авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА Научно-исследовательский институт ядерной физики имени Д.В. Скобельцына П.В. ...»

-- [ Страница 2 ] --

Критическую точку k кр будем искать, исходя из требования условия справедливости нулевой гипотезы и равенства вероятности того, что критерий K примет значение, большее k кр, принятому уровню значимости P (K k кр ) =. (3.5.2) На практике критическую точку, удовлетворяющую этому требованию, обычно находят, используя специ альные таблицы, построенные для каждого критерия.

Глава III. Элементы математической статистики Для нахождения левосторонней критической об ласти используют выражение P(K k кр ) =. (3.5.3) Если критическая область носит двухсторонний характер, то вероятностное выражение будет иметь вид P(K k кр ) + P (K k кр ) =. (3.5.4) В качестве примера проверки статистической ги потезы рассмотрим процедуру сравнения исправлен ной выборочной дисперсии с гипотетической гене ральной дисперсией нормальной совокупности. Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна зна 2 чению (гипотетическому) 0. На практике 0 уста навливается на основании предшествующего опыта или теоретически.

Предположим, что из генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найдена выбо рочная дисперсия S 2 с k = n 1 степенями свободы.

Требуется по исправленной дисперсии при заданном уровне значимости проверить гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия, рассматриваемой со вокупности, равна гипотетическому значению 0.

Нулевую гипотезу можно записать в виде () H 0 : M S 2 = 0. (3.5.5) Тем самым, требуется проверить, что математиче ское ожидание исправленной дисперсии равно гипоте тическому значению генеральной дисперсии. Иными словами, требуется установить, значимо или незна 3.5. Проверка статистических гипотез чимо различаются исправленная выборочная и гипоте тическая генеральные дисперсии. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную вели чину (n 1)S 2 0. Поскольку можно доказать, что она имеет распределение 2 с k = n 1 степенями сво боды, обозначим ее через 2.

Таким образом, критерий проверки нулевой гипотезы 2 = (n 1)S 2 0.

(3.5.6) Если конкурирующей гипотезе H 0 придать вид = 0, то критическая область (в данном случае правосторонняя) находится, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область, в предположении справедливости нулевой гипотезы, была равна принятому уровню значимости:

[ ] P 2 кр (;

k ) =.

(3.5.7) Критическую точку кр (;

k ) обычно находят по таблице критических точек распределения 2, которая присутствует во многих справочных руководствах. В итоге, правосторонняя критическая область опреде лится с помощью неравенства 2 кр, а область принятия нулевой гипотезы – неравенством 2 кр.

Рассмотренные в данной главе методы математи ческой статистики играют большую роль в обработке экспериментальных данных. Некоторые практические аспекты, связанные с получением выборок данных и их предварительным анализом, изложены в приложении 6.

Глава IV. Анализ случайных процессов Глава IV. Анализ случайных процессов 4.1. Общие характеристики случайных процессов.

Стационарные и эргодические процессы Случайный процесс представляет собой совокуп ность функций времени и имеет вероятностное описа ние. Точечные функции процесса для фиксированных моментов времени являются случайными числами.

Полная совокупность функций времени представ ляет собой ансамбль, и будет обозначаться {x(t )}, где любая функция x(t ), ему принадлежащая, есть выбо рочная функция случайного процесса. Произвольная случайная функция обозначается X (t ). Значения ее реализаций x(t ) в некоторый момент времени t1 опре деляют случайную величину X (t1 ) или просто X 1.

Рассмотрим вероятностные характеристики сово купности реализаций случайного процесса.

Рассмотрим N реализаций случайной функции.

Выделим из них n1, значения которых в определенный момент времени t1 меньше, чем некоторое число x1.

При достаточно большом числе N относительная доля n1 ( x1, t1 ) функций, находящихся в момент вре мени ниже уровня x1, будет обладать статистической устойчивостью, т.е. будет оставаться приблизительно постоянным числом. Это число называется вероятно стью того, что при t = t1 случайная функция X (t1 ) на ходится ниже уровня x1 и обозначается P{ X (t1 ) x1}.

Указанная вероятность, так же как и число n1, зависит от фиксированного момента времени и от вы 4.1. Общие характеристики случайных процессов. Стационарные и эргодические процессы бранного уровня, т.е. будет функцией двух перемен ных t1 и x1 :

F1 (x1, t1 ) = P{ X (t1 ) x1}. (4.1.1) F1 ( x1,t1 ) – одномерная интегральная функция распределения вероятностей случайного процесса.

Если она имеет частную производную по x1 :

F1 ( x1, t1 ) = f1 (x1, t1 ), (4.1.2) x то эта производная называется плотностью вероятно сти или одномерной функцией распределения случай ного процесса.

Функции F1 (x1, t1 ) и f1 ( x1, t1 ) являются простей шими характеристиками случайного процесса. Они дают представление о процессе лишь в отдельные, фиксированные моменты времени.

Для более полной характеристики случайного процесса необходимо знать связь между вероятными значениями случайной функции при двух произволь ных моментах времени t1 и t2. Для этого рассмотрим снова N реализаций случайной функции и выделим из этого числа n2, значения которых в момент вре мени t1 меньше x1, а в t2 меньше x2. Аналогично, при достаточно большом N относительная доля n2 ( x1, t1, x2, t 2 ) N функций, находящихся при t = t ниже уровня x1 и при t = t 2 ниже уровня x2, будет об ладать статистической устойчивостью, т.е. останется приблизительно постоянным числом. Это число назы вается вероятностью того, что при t = t1 случайная Глава IV. Анализ случайных процессов функция находится ниже уровня x1 и при t = t 2 ниже уровня x2.

Указанная вероятность P{ X (t1 ) x1, X (t 2 ) x2 } яв ляется функцией четырех переменных x1, x2, t1, t2 :

F2 (x1, x2, t1, t 2 ) = P{ X (t1 ) x1, X (t 2 ) x2 }, (4.1.3) и называется двумерной интегральной функцией распределения вероятностей случайного процесса.

Если функция F2 ( x1, x2, t1, t 2 ) имеет производную 2 F2 (x1, x2, t1, t 2 ) = f 2 ( x1, x2, t1, t 2 ), (4.1.4) x1x то эта производная называется двумерной плотностью вероятности или двумерной функцией рас пределения.

По аналогии можно определить вероятность того, что случайная функция X (t ) в n моментах времени t1, t2,..., tn будет находиться ниже уровней соответст венно x1, x2,..., xn :

P{X (t1 ) x1, X (t 2 ) x2,..., X (t n ) xn } = (4.1.5) = F ( x1, x2,..., xn, t1, t 2,..., t n ).

Вероятность зависит от 2n переменных и называется n -мерной интегральной функцией распределения вероятностей случайного процесса.

Если F ( x1, x2,..., xn, t1, t 2,..., t n ) имеет производ ную 2 F ( x1,..., xn, t1,..., tn ) = f n ( x1,..., xn, t1,..., tn ), (4.1.6) x1 x2... xn 4.1. Общие характеристики случайных процессов. Стационарные и эргодические процессы то эта производная называется n -мерной плотностью вероятности случайного процесса.

f1 (x1, t1 ), Последовательность функций f 2 ( x1, x2, t1, t 2 ),..., f n (x1,..., xn, t1, t2,..., tn ) представляет своеобразную лестницу, поднимаясь по которой уда ется все более и более подробно характеризовать случайный процесс.

Если плотности вероятностей не зависят от выбора начала отсчета времени, то процесс называется стационарным в узком смысле. Менее жесткое требование стационарности заключается в том, чтобы математическое ожидание любой случайной величины X (t1 ) не зависело от выбора t1, а корреляционная функция двух случайных величин X (t1 )X (t 2 ) была (t 2 t1 ). Процессы, лишь функцией разности удовлетворяющие этим двум условиям, называются стационарными в широком смысле. В дальнейшем термин “стационарный” при отсутствии оговорок бу дет применяться по отношению именно к такому процессу.

Очень часто на практике приходится иметь дело с, так называемым, эргодическим процессом.

Эргодическим процессом называется стационарный процесс, если каждый член ансамбля ведет себя в ста тистическом смысле, как и весь ансамбль.

Для эргодических процессов математические ожи дания и моменты могут быть определены как усредне нием по времени, так и усреднением по ансамблю реа лизаций. В частности, n -й момент определяется как T x f (x ) dx = lim (1 2T ) X (t ) dt. (4.1.7) Xn = n n T T Глава IV. Анализ случайных процессов Для эргодичности случайного процесса, он должен быть строго стационарным. При этом не все строго стационарные процессы являются эргодическими.

Важное значение для описания процессов с дис кретизированным временем имеет теорема Котель никова. Рассмотрим сначала процесс, определяемый детерминированной функцией f (t ). Ее спектр (пре образование Фурье) F () будем считать непрерыв ным и ограниченным полосой частот (, ) ;

при частотах будем полагать, что F () = 0. Тем самым, справедливо выражение f (t ) = F () e it d.

(4.1.8) Функция F () представима рядом Фурье на интер вале (, ) при условии, что :

2 in F () = cn e, (4.1.9) n = где 2 in 1 F ()e 2 d = cn = (4.1.10) 2 in 2 n 1 F ()e 2 d = 2 f.

= 2 Ряд в правой части выражения (9) является периоди ческой функцией частоты с периодом 2, которая совпадает с F () лишь на основном интервале (, ) и не совпадает на остальных (± k, (k + 1) ), k 1. Подставляя (9) в (8) и учитывая (10), получим 4.1. Общие характеристики случайных процессов. Стационарные и эргодические процессы n sin t n f f (t ) =,. (4.1.11) t n n = Выражение (11) представляет интерполяционную формулу, при помощи которой можно по отсчетам функции f в дискретные моменты времени с часто той 2 2 восстановить точно все значения f (t ) на оси времени от до.

При минимально возможной частоте отбора 2 = n sin t n f f (t ) =. (4.1.12) t n n = Формула (12) – суть теоремы В.А. Котельникова, согласно которой детерминированная функция f (t ), имеющая ограниченный спектр, полностью определя ется своими дискретными значениями в точках, рас положенных на расстоянии 2 2 друг относительно друга, где – максимальная частота (циклическая) в спектре функции f (t ).

Теорема Котельникова может быть распростра нена на случайные процессы. Пусть X (t ) – непрерыв ный и стационарный в широком смысле случайный процесс, энергетический спектр которого FX () непрерывный и равный нулю вне полосы частот. Тогда формула (12) может быть обобщена на случайные процессы путем замены функции f (t ) на Глава IV. Анализ случайных процессов F (t ). Иными словами, случайный процесс полностью определяется счетным множеством случайных величин n xn = X, n = 0, ± 1, K (4.1.13) 4.2. Измерение параметров случайных процессов К статистическим параметрам случайного про цесса X (t ) принято относить ряд характеристик (та ких, как математическое ожидание, средний квадрат, дисперсия), связанных со случайными величинами X (t ), рассматриваемыми в различные моменты вре мени t. Естественно, для стационарного случайного процесса целесообразно рассматривать только одну группу параметров.

В практическом отношении важной является за дача определения характеристик случайного процесса по одной реализации (так как часто в распоряжении имеется лишь она одна, притом конечной длительно сти). Ясно, что по одному эксперименту невозможно осуществить усреднение по ансамблю для оценки па раметров, поэтому единственной альтернативой явля ется осуществление усреднения по времени. Для эрго дического случайного процесса такой подход заслу живает рассмотрения, так как временное усреднение (на интервале бесконечной длительности) эквива лентно усреднению по ансамблю. Разумеется, в боль шинстве случаев трудно доказать, что случайный про цесс является эргодическим;

обычно требуется пред положить, что он эргодичен, если только нет явных физических причин, исключающих справедливость такого допущения. Кроме того, не представляется возможным реализовать временное усреднение в пре 4.2. Измерение параметров случайных процессов делах интервала бесконечной длительности, а усред нение на интервале конечной продолжительности приведет к приближенным результатам. Рассмотрим, насколько точным является это приближение, и от ка ких причин зависит его качество?

Сначала рассмотрим задачу оценки математиче ) ского ожидания X эргодического случайного про цесса {x(t )} путем усреднения по времени на конечном интервале на основе выражения ) 1T X = X (t ) dt. (4.2.1) T ) Необходимо отметить, что X – случайная вели чина, так как мы получили бы другое число, если бы использовался иной временной интервал или наблю далась не такая временная реализация. Таким образом, ) X не будет тождественно равно истинному математи ческому ожиданию. Вопрос о том, насколько они близки, требует дополнительного анализа.

) Будем исходить из того, что X – хорошая оценка ) X, если математическое ожидание величины X будет равно X, а ее дисперсия окажется малой. В соответст ) вии с (1) математическое ожидание величины X равно [] ) 1 T 1T E X = E X (t )dt = E [X (t )]dt = T 0 T0 (4.2.2) T 1 1 T X (t )dt = T X t 0 = X.

= T Глава IV. Анализ случайных процессов ) Из (2) следует, что X имеет математическое ожидание, равное истинному. Оценка дисперсии слу ) чайной величины X оказывается значительно более трудоемкой и требует знания автокорреляционных функций, что является предметом рассмотрения сле дующей главы. Однако дисперсию таких оценок не сложно проанализировать для процесса с дискретным временем. (Это соответствует случаю обработки оцифрованного сигнала с заданным уровнем дискре тизации.) С практической точки зрения, операция интегри рования в выражении (1) в редких случаях может быть выполнена аналитически, поскольку X (t ) не предста вима явно. Альтернативой является численное интег рирование выборок случайного процесса X (t ), наблю даемых через равноотстоящие промежутки времени.

Таким образом, если X 1 = X (t ), X 2 = X (2t ),..., X N = X ( Nt ), то оценка случайной величины X мо жет быть представлена в виде формулы ) 1N X = Xi, (4.2.3) N i = являющейся дискретным аналогом соотношения (1).

) Оценка X по-прежнему является случайной вели чиной и имеет математическое ожидание [] ) 1 N E X = E X i = N i =1 (4.2.4) 1N 1N = E[X i ] = X = X.

N i =1 N i = 4.2. Измерение параметров случайных процессов Видим, что оценка и в этом случае имеет матема тическое ожидание, равное его истинному значению.

) Для оценки дисперсии случайной величины X по лагают, что анализируемые выборки следуют во вре мени на достаточно длительных интервалах и поэтому ) статистически независимы. Средний квадрат X может быть записан в виде () )2 1 N N E X = E 2 X i X j = N i =1 j =1 (4.2.5) [ ], NN = 2 E X i X j N i =1 j = где двойное суммирование обусловлено произведе нием двух сумм. Так как выборки статистически неза висимы, то [ ] X 2, i = j, E Xi X j = () X, i j.

Таким образом, получим ( ) ( )[ )( ) ].

) ( E X = 1 N 2 N X 2 + N 2 N X (4.2.6) Этот результат является следствием того, что двойная сумма в (5) содержит в совокупности N 2 чле нов, но только N из них соответствуют случаю i = j.

Уравнение (6) представимо в виде ()) ) E X = (1 N )X 2 + [1 (1 N )](X = (4.2.7) () = (1 N ) X + X.

Глава IV. Анализ случайных процессов Последнее выражение позволяет определить дис ) персию случайной величины X :

( ) { [ ]} () ) )2 ) D X = E X E X = (4.2.8) = (1 N ) X + ( X ) ( X ) = (1 N ) X.

2 2 Видно, что дисперсия оказывается в N раз мень ше дисперсии случайного процесса. Тем самым по мере увеличения протяженности выборки дисперсия стремится к нулю.

4.3. Корреляционная и структурная функции При статистической обработке измерений случай ных величин широко используется понятие корреля ционных функций. При анализе сигналов ее аргумен том является интервал между двумя случайными величинами.

Если эти величины являются выборочными значе ниями одного и того же случайного процесса, то ука занная функция называется автокорреляционной (или просто корреляционной) функцией данного процесса, если же они принадлежат различным случайным про цессам – взаимной корреляционной функцией. Сначала рассмотрим автокорреляционные функции.

Пусть X (t ) – некоторый случайный процесс, а случайные величины определяются как X 1 = X (t1 ), X 2 = X (t 2 ), тогда, по определению, автокорреляционная функция есть R X (t1, t 2 ) = E [ X 1 X 2 ] = dx1 x1 x2 f ( x1, x2 ) dx2, (4.3.1) 4.3. Корреляционная и структурная функции где f ( x1, x2 ) – двумерная плотность распределения вероятностей.

Это определение справедливо как для стационар ных, так и для нестационарных процессов. Однако для стационарных процессов выражение (1) можно упро стить. Т.к. для него в широком смысле любое усред нение по ансамблю не зависит от начала отсчета вре мени, и автокорреляционная функция может быть за писана в виде RX (t1, t2 ) = RX (t1 + T, t2 + T ) = (4.3.2) = E [X 1 (t1 + T )X 2 (t2 + T )].

Поскольку выбор начала отсчета времени произ вольный, положив T = t1, получаем R X (t1, t 2 ) = R X (0, t 2 t1 ) = E [ X (0)X (t 2 t1 )]. (4.3.3) Очевидно, что это выражение зависит только от промежутка времени t 2 t1. Вводя обозначение = t 2 t1 и опуская нуль в аргументе R X (0, t 2 t1 ), (1) перепишем как R X ( ) = E [X (t1 )X (t1 + )]. (4.3.4) Это выражение для автокорреляционной функции стационарного случайного процесса. Оно зависит только от и не зависит от значения t1, поэтому индекс в выражении (4) обычно опускают и рассматриваемую зависимость представляют в виде R X ( ) = E [X (t )X (t + )].

Часто используется временная автокорреляцион ная функция для отдельной реализации x(t ), опреде ляемая как Глава IV. Анализ случайных процессов T x () = lim x(t )x(t + )dt = x(t )x(t + ). (4.3.5) T 2T T Здесь угловые скобки обозначают усреднение по вре мени. Для эргодического процесса, x(t ) x(t + ) явля ется неизменной функцией для любой реализации x(t ) и равной R x ( ), т.е. для эргодического процесса x ( ) = Rx (). (4.3.6) Предположение об эргодичности, если оно не ока зывается явно неправомерным, часто упрощает расчет корреляционных функций.

Из (4) непосредственно следует, что при = 0 в силу R X (0 ) = E [ X (t1 )X (t1 )] автокорреляционная функ ция равна среднему квадрату случайного процесса.

При 0 автокорреляционная функция R X ( ) может рассматриваться как мера подобия случайных процес сов X (t ) и X (t + ). Проиллюстрируем данное утвер ждение применительно к выборочной функции цен трированного стационарного случайного процесса X (t ) путем введения функции Y (t ) = X (t ) X (t + ). (4.3.7) Определим такую величину, которая минимизи рует средний квадрат процесса Y (t ). (Это позволит по лучить меру подобия случайных процессов X (t + ) и X (t ).) Вычислить ее можно путем расчета дисперсии случайного процесса Y (t ), приравняв производную дисперсии по нулю и решив относительно полу ченное уравнение:

4.3. Корреляционная и структурная функции [ ][ ] E [Y (t )] = E [ X (t ) X (t + )] = 2 (4.3.8) [ ], = E X 2 (t ) 2X (t )X (t + ) + 2 X 2 (t + ) Y = X 2R X () + 2 X, 2 2 d Y = 2 R X ( ) + 2 2 X = 0, d R X () =.

X Видно, что прямо пропорционально R X ( ). Коэффи циент называется коэффициентом корреляции. Он является показателем того, насколько сохраняется форма случайного процесса X (t ) в среднем по ан самблю и не относится к отдельно взятой выборке (реализации) X (t ), что очень важно. Коэффициент корреляции может принимать значения от + 1 до 1.

Равенство = 1 указывает, что формы выборочных функций x(t ) случайного процесса X (t ) идентичны, т.е. полностью коррелированны. При = 0 выбороч ные функции некоррелированны, т.е. не существует какого-либо фрагмента выборки случайного процесса X (t + ), который являлся бы частью выборки про цесса X (t ). Значение = 1 свидетельствует об иден тичности форм выборок и противоположности их зна ков, а именно: форма выборки процесса X (t + ) явля ется зеркальным отражением формы выборочной функции процесса X (t ).

Поскольку R X () зависит от коэффициента корре ляции и дисперсии X случайного процесса X (t ), Глава IV. Анализ случайных процессов конкретный вид функции R X ( ) невозможно опреде лить без знания одной из этих величин. Например, если случайный процесс имеет нулевое математиче ское ожидание и положительную автокорреляционную функцию, то о случайных величинах X (t1 ) и X (t1 + ) можно сказать лишь то, что у них, вероятно, одинако вые знаки. Если автокорреляционная функция отрица тельна, то указанные выше случайные величины веро ятно имеют противоположные знаки. Если же она близка к нулю, эти случайные величины могут иметь как противоположные, так и одинаковые знаки.

При описании случайных процессов наряду с кор реляционными функциями часто используются структурные функции. Рассмотрим структурную функцию некоторого стационарного процесса:

D X ( ) = (x x ) = = x 2 2 xx + x = (4.3.9) ( ).

= 2 R X () + = 2 R X () 2 2 Это выражение дает связь между корреляционной и структурной функциями и показывает, что для ста ционарного процесса возможно использование как той, так и другой. При этом надо учитывать, что R X (0 ) = 2, (4.3.10) и D X ( ) = 2 2. (4.3.11) Графически характерные зависимости структурной и корреляционной функций от величины сдвига изобра жены на рис. 4.3.1.

4.4. Свойства автокорреляционных функций Рис. 4.3.1. Взаимный ход автокорреляционной и структурной функций.

4.4. Свойства автокорреляционных функций Рассмотрим свойства автокорреляционной функ ции, сопоставив их со свойствами представляемого ею случайного процесса, который будем считать стацио нарным и эргодическим. Перечислим в конспективной форме основные свойства.

1. R X (0) = X 2. Это означает, что средний квадрат случайного процесса X (t ) можно найти, приравняв его к автокорреляционной функции при = 0.

Указанное свойство не зависит от равенства нулю математического ожидания. Если математическое ожидание X равно нулю, то средний квадрат равен дисперсии этого процесса.

Глава IV. Анализ случайных процессов 2. R X ( ) = R X ( ). Автокорреляционная функция является четной относительно.

Свойство симметрии очень полезно при вычисле нии автокорреляционной функции случайного про цесса, поскольку оно означает, что расчеты можно произвести только для положительных, а результат для отрицательных определить на основании этого свойства. Для нестационарного процесса симметрия справедлива не всегда.

3. R X ( ) R X (0 ). Наибольшее значение автокор реляционная функция, как правило, принимает при = 0. Однако в некоторых случаях могут существовать иные, для которых эта функция имеет такое же значение (например, для периодической функции X (t ) ), но и для них R X ( ) не может быть больше R X (0 ).

4. Если X (t ) содержит постоянную составляющую или имеет ненулевое математическое ожидание, то функция R X ( ) также будет иметь постоянную состав ляющую. Например, если X (t ) = A, то R X ( ) = E [X (t1 )X (t1 + )] = E [AA] = A 2. (4.4.1) Предположим теперь, что функция X (t ) представ ляет собой сумму ее математического ожидания X и составляющей N (t ) с нулевым математическим ожиданием так, что X (t ) = X + N (t ), тогда [[ ][ ]] RX ( ) = E X + N (t1 ) X + N (t1 + ) = [( ) + X N (t ) + X N (t + ) + N (t )N (t + )] = =E X (4.4.2) 1 1 1 ( ) +R (), =X N 4.4. Свойства автокорреляционных функций так как по условию E [N (t1 )] = E [N (t1 + )] = 0. Таким образом, и в этом случае RX () содержит постоянную составляющую, равную квадрату математического () ожидания X процесса X (t ).

При рассмотрении эргодического случайного про цесса значение математического ожидания может быть определено по автокорреляционной функции при, стремящемся к бесконечности, и при условии, что любыми периодическими составляющими автокорре ляционной функции в пределе можно пренебречь. По скольку в результате таких вычислений получается только квадрат математического ожидания X, опреде ление его знака не представляется возможным.

5. Если X (t ) – периодический процесс, то R X ( ) также будет периодической функцией с тем же периодом.

Это свойство автокорреляционных функций может быть распространено на случайные процессы, содер жащие любое количество периодических составляю щих. Если каждая реализация x(t ) случайного про цесса X (t ) является периодической функцией и пред ставима рядом Фурье, результирующая автокорреля ционная функция также будет периодична и предста вима рядом Фурье.

6. Если X (t ) – центрированный эргодический слу чайный процесс, не содержащий периодических со ставляющих, то lim R X ( ) = 0. (4.4.3) При больших в силу того, что влияние значений этого процесса, имевших место в прошлом, уменьша Глава IV. Анализ случайных процессов ется во времени, случайные величины X (t ) и X (t + ) становятся статистически независимыми.

7. Форма автокорреляционных функций не может быть произвольной. Один из возможных способов оп ределения их формы заключается в расчете преобра зования Фурье [R X ( )] = R () exp[ jt ]dt. (4.4.4) X при [R X ( )] 0 для всех.

Смысл ограничения станет, очевидным после рас смотрения спектральной плотности в п. 4.5. Кроме всего прочего, это ограничение отрицает возможность существования автокорреляционных функций с пло скими вершинами, вертикальными боковыми сторо нами или какими-либо разрывами в их графических изображениях.

Завершая анализ свойств автокорреляционных функций, выделим еще один важный аспект их тео рии. Хотя, согласно (4.3.1), знание совместной плот ности распределения вероятностей f ( x1, x2 ) случай ного процесса X (t ) является достаточным для одно значного определения автокорреляционной функции R X (t1, t 2 ), обратное утверждение не является справед ливым. Может существовать множество различных случайных процессов с одинаковыми автокорреляци онными функциями. Таким образом, знание корреля ционной функции случайного процесса не эквива лентно знанию плотности распределения вероятностей и является значительно менее информативным, чем знание совместной функции распределения.

4.5. Измерение автокорреляционных функций 4.5. Измерение автокорреляционных функций Поскольку автокорреляционная функция играет важную роль в анализе стохастических сигналов, рас смотрим вопрос о практических подходах к ее опреде лению. Обычно она не может быть вычислена, исходя из совместных плотностей распределения вероятно стей, так как они редко бывают известны. Усреднение по ансамблю также невозможно, поскольку обычно приходится иметь дело лишь с одной реализацией.

Поэтому чаще всего единственно возможной опера цией является расчет временной автокорреляционной функции на ограниченном интервале в предположе нии, что случайный процесс – эргодический.

Предположим, что какой-то случайный сигнал, ха рактеризующий процесс X (t ), наблюдается в течение интервала времени от 0 до T в виде напряжения или тока x(t ). При этом целесообразно ввести понятие приближенной (оценочной) корреляционной функции:

T ) R X ( ) = x(t )x(t + )dt при 0 T. (4.5.1) T По всему ансамблю возможных реализаций x(t ) эта приближенная функция является случайной. Обратите внимание, что время усреднения равно T, а не T, потому что интервал (выборочная функция) охваты вает только часть наблюдаемых данных, включающих как x(t ), так и x(t + ).

Выполнить интегрирование в выражении (1), как правило, невозможно, поскольку математическое вы ражение для x(t ) не известно. Однако интеграл можно аппроксимировать суммой выборок из непрерывной временной функции в отдельный момент, т.е. перейти к случаю дискретного времени. На практике это озна Глава IV. Анализ случайных процессов чает, что обрабатывается оцифрованный сигнал с ин тервалом дискретизации, который мы положим рав ным t. Таким образом, если выборки из какой-либо реализации x(t ) случайного процесса X (t ) соответст вует моментам времени 0, t, 2t, Nt и если их зна чения x(t ) равны x0, x1, x2, …, xN, то дискретное представление выражения (1) будет иметь вид ) N n RX (nt ) = X k X k +n, N n + 1 k =0 (4.5.2) при n = 0, 1, K M и M N.

Эта приближенная (оценочная) функция по всему ан самблю возможных выборок x0, x1, x2, …, xN также является случайной величиной и обозначается ) R X (nt ). Даже если значение N весьма велико (обычно порядка нескольких тысяч), операцию (2) не сложно выполнить с помощью компьютера.

Для оценки качества приближения, задаваемого формулой (2), необходимо определить математическое ) ожидание и дисперсию функции R X (nt ), поскольку она является случайной, а ее точное значение зависит от конкретной рассматриваемой реализации и соот ветствующего ей набора выборок. Математическое ожидание вычисляется легко, так как ) N n E R X (nt ) = E X k X k +n = N n + 1 k =0 N n E[X k X k + n ] = = (4.5.3) N n + 1 k = N n RX (nt ) =RX (nt ).

= N n + 1 k = 4.6. Взаимные корреляционные функции Таким образом, математическое ожидание этого при ближения совпадает с точными значениями автокор реляционной функции и является ее несмещенной оценкой.

Труднее определить дисперсию такого приближе ния, детали вычислений выходят за рамки нашего рас смотрения. Опуская подробные выкладки, отметим, что эта дисперсия должна удовлетворять условию ) 2M D R X (nt ) R (kt ).

N k X (4.5.4) = M В этом выражении подразумевается, что 2M + 1 при близительно (оценочных) значений автокорреляцион ной функции перекрывают область, в которой эта функция имеет достаточно большую амплитуду. Если (M + 1)t мало, то дисперсия, произведение определяемая выражением (4), может также быть не значительной. Отметим, что более точная дисперсия приближенного значения имеет вид ) R (nt ) 2 R 2 ()d, T X DX (4.5.7) где T = Nt – длительность наблюдаемой реализации (выборки).

4.6. Взаимные корреляционные функции Часто возникает необходимость определить кор реляцию между двумя случайными величинами, при надлежащими к различным процессам. Если два слу чайных процесса X (t ) и Y (t ) совместно стационарны в широком смысле, то для случайных величин X 1 = X (t1 ), Y2 = Y (t1 + ) Глава IV. Анализ случайных процессов можно определить взаимную корреляционную функцию R XY () = E [X 1Y2 ] = dx1 x1 y 2 f ( x1, y 2 ) dy 2. (4.6.1) Существует еще один вид взаимной корреляцион ной функции, которую можно определить для тех же двух моментов времени. Для случайных величин Y1 = Y (t1 ), X 2 = X (t1 + ) она имеет вид RYX ( ) = E [Y1 X 2 ] = dy1 y1 x2 f ( y1, x2 )dx2. (4.6.2) Поскольку оба случайных процесса X (t ) и Y (t ) явля ются совместно стационарными, приведенные взаим ные корреляционные функции зависят только от вре менного интервала. Для стационарных случайных процессов, не обладающих свойством совместной ста ционарности, указанная зависимость не наблюдается.

Временные взаимные корреляционные функции для пары реализаций x(t ) и y (t ) случайных процессов X (t ) и Y (t ) могут быть определены так же, как и выше, а именно T xy ( ) = lim x(t )y(t + ) dt, (4.6.3) T 2T T T yx () = lim y(t )x(t + ) dt. (4.6.4) T 2T T Если случайные процессы являются совместно эрго дическими, то выражения (3) и (4) дают одинаковые значения для каждой пары реализации. Таким обра зом, для эргодических процессов имеем 4.6. Взаимные корреляционные функции xy ( ) = R XY ( ), (4.6.5) yx () = RYX (). (4.6.6) Основные свойства взаимных корреляционных функций весьма существенно отличаются от свойств автокорреляционных функций.

1. Значения R XY (0 ) и RYX (0 ) не имеют никакого реального физического смысла и не соответствуют средним квадратам случайных величин X = X (t ) и Y = Y (t ). Тем не менее, равенство R XY (0 ) = RYX (0 ) справедливо.

2. В общем случае взаимные корреляционные функции не являются четными относительно. Тем не менее, существует вид симметрии, описываемый соотношением RYX ( ) = R XY ( ). (4.6.7) Это свойство объясняется тем, что сдвиг Y (t ) во вре мени в определенном направлении эквивалентен сдвигу X (t ) в противоположном направлении.

3. Взаимная корреляционная функция необяза тельно должна иметь максимум при = 0. Тем не ме нее, можно показать, что R XY () [R X (0 )RY (0 )].

1/ (4.6.8) Аналогичное соотношение справедливо и для RYX ( ).

Максимум взаимной корреляционной функции может оказаться при каком угодно, но не может превысить значения (8). Более того, он может не достигаться ни при каких.

Свойства автокорреляционных и взаимных корре ляционных функций часто используются в оптических Глава IV. Анализ случайных процессов исследованиях. Некоторые примеры такого использо вания приведены в приложениях 7 и 8.

4.7. Энергетический спектр стационарного случайного процесса Рассмотрим возможность применения гармониче ского анализа к изучению свойств стохастических процессов. Сразу отметим, что непосредственное при менение классического гармонического анализа к слу чайным процессам невозможно, так как спектральные плотности, рассчитанные по спектрам Фурье их реали заций, не имеют конечных значений при любых часто тах. В прочем, можно обобщить гармонический ана лиз, усредняя спектральные разложения, полученные из отдельных выборок.

Рассмотрим одну реализацию X k (t ) случайного процесса X (t ). Пусть, кроме того, X Tk ) (t ) – усеченная ( T реализация, равная нулю вне интервала t и совпа дающая с X (t ) внутри этого интервала. Спектр (пре (k ) образование Фурье) функции X Tk ) (t ) имеет вид ( T Z Tk ) () = X (t )e ( () it k dt. (4.7.1) T T Средняя мощность на частоте, отнесенная к по лосе f = 1 T, равна 2 (k ) GTk ) () = Z T () = ( T (4.7.2) T2 T X T (t1 )X T (t 2 )e 1 2 dt1dt 2.

i ( t t ) (k ) (k ) = T T 2 T 4.7. Энергетический спектр стационарного случайного процесса При T GT () не стремится, вообще говоря, к определенному пределу, и является случайной функ цией. Среднее по множеству реализаций для GT () равно FT () = m1 {GT ()} = T2 T (4.7.3) m {X (t )X (t )}e i(t1 t 2 ) = 2/T dt1dt 2.

1 T 1 T T 2 T Символ m1 обозначает усреднение по ансамблю реализаций.

Вводя корреляционную функцию R(t1, t2 ) процесса X (t ), можно FT () представить в виде T2 T FT () = 2 T 2R(t1, t 2 )e 1 2 dt1dt 2.

i ( t t ) (4.7.4) T T Если случайный процесс X (t ) стационарный в широ ком смысле, то R(t1, t 2 ) = R(t 2 t1 ) и, следовательно, T2 T FT () = 2 T 2R(t 2 t1 )e 1 2 dt1dt 2.

i ( t t ) (4.7.4) T T Вводя переменную = t1 t 2, последнее выражение можно преобразовать к виду T FT () = 2 1 R() e i d. (4.7.5) T T Предел FT () при T равен F () = lim FT () = 2 R() e i d. (4.7.6) T Глава IV. Анализ случайных процессов Функцию частоты F (), т.е. предел при T усредненной по множеству реализаций спектральной плотности средней мощности процесса, называют энергетическим спектром стационарного случайного процесса. Он дает только усредненную картину рас пределения энергии процесса по частотам элементар ных гармонических составляющих, но не учитывает их фазовой структуры.

Из (6) следует также, что энергетический спектр F () и корреляционная функция R() стационарного случайного процесса связаны друг с другом парой преобразований Фурье (теорема Винера-Хинчина):

F () = 2 R() e d = 4 R( ) cos d, i (4.7.7) 1 R( ) = F ()e d = 2 F ()cos d.

i (4.7.8) 4 Так как GT () и FT () = m1 {GT ()} неотрица тельны, то и энергетический спектр F () является не отрицательной функцией частоты. Кроме того, как следует из (7), F () – четная функция. Заметим, что в формуле (8) при использовании преобразования Фурье в показательной форме понятие спектрального рас пределения средней мощности процесса распростра нялось на все действительные частоты от = до = +. Физический смысл имеют только положи тельные 0. Для использования показательной фор мы интеграла Фурье, каждая спектральная компонента разбивается на две равные по интенсивности 1 2 F () и 1 2 F ( ), из-за чего общий энергетический спектр 4.7. Энергетический спектр стационарного случайного процесса F (), распространенный на отрицательные частоты, становится четной функцией частоты.

Преобразование Фурье возможно только для абсо лютно интегрируемой функции, поэтому формулы (7) и (8) справедливы, если F () d N.

R( ) d M, (4.7.9) где M и N – постоянные величины. Это условие ограничивает применимость теоремы Винера-Хинчина исключительно стационарными процессами, среднее значение которых равно нулю. Если это условие вы полнено, то энергетический спектр F () стационар ного случайного процесса – непрерывная функция частоты.

Из (8) следует, что при = R(0) = F ()d, (4.7.10) т.е. средняя мощность стационарного процесса равна площади его энергетического спектра. Спектральная плотность средней мощности при = F (0 ) = 2 R( ) d (4.7.11) равна удвоенной площади под графиком корреляци онной функции. Если R () – неотрицательная, то F (0 ) пропорциональна времени корреляции процесса 0 = F (0 ) 4 R(0 ). (4.7.12) Величину площади под кривой энергетического спектра, отнесенную к спектральной плотности на не Глава IV. Анализ случайных процессов которой характерной частоте 0, называют шириной полосы энергетического спектра R(0 ) F ()d = F (0 ).

= (4.7.13) 2F (0 ) Ее можно интерпретировать как ширину равномер ного в полосе энергетического спектра процесса, эквивалентного данному по средней мощности.

Корреляционная функция R( ) и энергетический спектр F () стационарного случайного процесса, как пара преобразования Фурье, обладают всеми прису щими этому преобразованию свойствами. В частно сти, чем шире спектр F (), тем уже корреляционная функция R( ), и наоборот.

Если случайный процесс эргодический, то вместо корреляционной функции можно использовать вре менную корреляционную функцию любой его реали зации и, таким образом, находить энергетический спектр по его единственной реализации.

4.8. Марковский и винеровский процессы Пусть в каждый момент времени некоторая сис тема может находиться в одном из состояний E1, E2, K (число состояний конечно или счетно). Если система случайно переходит из одного состояния, на пример Ei, в другое, скажем E j, то говорят, что в сис теме происходит случайный процесс. Если при этом вероятность перехода из состояния Ei в E j зависит только от Ei, и не зависит от того, когда и как система пришла в это состояние, то случайный процесс X (t ) называют марковским. Другими словами, если для ка 4.8. Марковский и винеровский процессы ждого момента времени t0 протекание случайного процесса X (t ) в будущем (при t t 0 ) определяется его настоящим (значением X (t 0 ) ) и от прошлого (от X (t ) при t t 0 ) не зависит, то X (t ) – марковский случайный процесс.

Исчерпывающей вероятностной характеристикой марковского процесса является условная интегральная функция распределения F2 ( y, t x0, t 0 ), представляющая вероятность того, что X (t ) y, если при t 0 t имело место равенство X (t 0 ) = x0. Иначе говоря, если из вестно значение x0 марковского процесса в момент времени t0, то вероятностные свойства процесса при t t 0 уже не зависят от того, что происходило до мо мента t0. Производная f 2 ( y, t x0, t 0 ) = F2 ( y, t x0, t 0 ) (4.8.1) y характеризует условную плотность распределения ве роятностей.

Для стационарного марковского процесса f 2 ( y, t x0, t 0 ) = f 2 ( y, x0 ), (4.8.2) где = t t 0.

Частным случаем марковского процесса является винеровский процесс. Он описывает броуновское движение – движение погруженной в жидкость ма ленькой частицы под влиянием ударов молекул жид кости. Это явление называется по имени английского ботаника Р. Броуна, который в 1827 г. открыл явление, но не объяснил его. Лишь в 1905 г. А. Эйнштейн опи сал броуновское движение математически. Начиная с Глава IV. Анализ случайных процессов 1918 г., американский ученый Н. Винер строит мате матическую модель, более точно его описывающую.

По этой причине процесс броуновского движения называют винеровским процессом.

Прежде чем перейти к винеровскому процессу, введем предварительно понятия нормального процесса и процесса с независимыми приращениями.

Случайный процесс X (t ) называют нормальным, (гауссовым), если совместное распределение X (t1 ), X (t 2 ), …, X (t k ) является нормальным для каждого k и всех ti ( i = 1, 2,..., k ). Нормальный процесс полно стью определяется двумя характеристиками: матема тическим ожиданием и корреляционной функцией.

Случайный процесс X (t ) называют процессом с независимыми приращениями, если его приращения на неперекрывающихся интервалах взаимно независимы, т.е. случайные величины X (t 2 ) X (t1 ), X (t3 ) X (t 2 ),..., X (t k ) X (t k 1 ) для t1 t 2... t k взаимно независимы.

Этот процесс определяется распределением прираще ний X (t ) X (s ) для произвольных t и s. Если X (t ) X (s ) зависит только от разности t s, то процесс называют процессом со стационарными приращениями.

Винеровским процессом (процессом броуновского движения) называют нормальный случайный процесс X (t ) с независимыми стационарными приращениями, [ ] для которого X (0 ) = 0, M [X (t )] = 0, M X (t ) = 2t для всех t 0.

Важное значение винеровского процесса состоит в том, что он используется при изучении многих других.

4.9. Белый шум 4.9. Белый шум Рассмотрим теперь энергетический спектр случай ного процесса, имеющего очень широкую полосу.

Пусть спектральная плотность F () средней мощно сти процесса сохраняет постоянное значение до очень высоких частот. Его корреляционная функция R() бу дет отлична от нуля только в очень небольшом интер вале значений своего аргумента около начала коорди нат, т.е. при малых. Энергетический спектр F () = 2 N 0 = const, (4.9.1) равномерный на всех частотах, является полезной ма тематической идеализацией спектров указанного типа.

Случайный процесс, имеющий равномерный на всех частотах спектр, называют «белым шумом». Его корреляционная функция равна N 0 i R() = e d = N 0 (), (4.9.2) т.е. представляет собой дельта-функцию в начале координат.

Коэффициент корреляции для белого шума 1, = 0, () = (4.9.3) 0, 0.

Таким образом, он характеризуется тем, что его значения в любые два даже сколь угодно близкие мо мента времени некоррелированы. Следует отметить, что определенное понятие белого шума относится только к спектральной картине случайного процесса и оставляет совершенно открытым вопрос о законах распределения. Точнее говоря, его распределение ве роятностей в обычном смысле не существует.

Глава IV. Анализ случайных процессов Белый шум является идеализацией, никогда не реализуемой на практике, так как, во-первых, доста точно близкие значения случайной функции практиче ски всегда зависимы и, во-вторых, реальные процессы имеют конечную мощность, а для белого шума полная мощность процесса бесконечна.

4.10. Преобразование случайных сигналов временными фильтрами Корреляционно-спектральная теория случайных процессов играет исключительно важную роль при ис следовании вопросов о связи случайных компонент сигналов на входе и выходе линейных временных фильтров. Фильтр представляет собой устройство, преобразующее входной сигнал x(t ) в выходной сиг нал y (t ) по некоему закону, определяемому линейным ) оператором L :

) Lx(t ) = y (t ). (4.10.1) ) Благодаря тому, что L – линейный оператор, вы полняется принцип суперпозиции. Его математиче ским выражением является интеграл y (t ) = h(t t )x(t )dt. (4.10.2) Входящая в этот интеграл функция импульсного ) отклика системы h(t t ) = L{(t t )} характеризует форму сигнала на выходе системы при подаче на ее вход узкого -образного импульса. Фурье-образ функции импульсного отклика называется передаточной функцией системы H (). Она связывает 4.10. Преобразование случайных сигналов временными фильтрами между собой спектры выходного Y () и входного X () сигналов Y () = H ()X (). (4.10.3) Будем описывать статистические свойства случай ного сигнала на входе в систему с помощью автокор реляционной функции Rx ( ), задаваемую выражением (4.3.5). Энергетический спектр входного сигнала Fx () связан с функцией Rx ( ) теоремой Винера Хинчина Fx () = 2 Rx () e i d. (4.10.4) Найдем связь между автокорреляционными функ циями и энергетическими спектрами входного и вы ходного сигналов. Автокорреляционная функция вы ходного сигнала определяется, как R y ( ) = y (t ) y (t + ). (4.10.5) Заменяя в формуле (5) y (t ) и y (t + ) интегралами су перпозиции (2), получаем R y () = h (t )Rx (t ) dt, (4.10.6) где h (t ) = h(t + )h( ) d. (4.10.7) Перейдем в (6) от корреляционных функций к энергетическим спектрам сигналов. В результате по лучим следующее выражение для выходного сигнала Глава IV. Анализ случайных процессов Fy () = H () Fx ().

(4.10.8) Часто представляет интерес величина дисперсии флуктуаций сигнала на выходе фильтра R y (0 ) = y 2 (t ). (4.10.9) Из формул (5) – (7) следует, что y 2 = h (t )Rx (t )dt = H () Fx () d.

(4.10.10) Отметим, что передаточная функция системы H () входит в выражения (8) и (10), взятая в абсолют ном значении. Поэтому мы не можем сделать вывода о степени коррелированности между максимумами и минимумами выходных и входных сигналов. Для по лучения этой информации необходимо вычислить функцию взаимной корреляции Rxy = x(t ) y (t + ). (4.10.11) Для нее может быть получено выражение Rxy () = h( t )Rx (t )dt. (4.10.12) Выполнив преобразования Фурье обеих частей этого соотношения, получим зависимость Fxy () = H ()Fx (), (4.10.13) в которой теперь сохранена через множитель H () информация о фазах.

Степень сходства между y (t ) и x(t ) проще всего определить, обнулив в (12):

4.10. Преобразование случайных сигналов временными фильтрами x(t ) y (t ) = Rxy (0 ) = h(t )Rx (t ) dt = (4.10.14) H ()F () d.

= x Часто при сравнении входного и выходного сиг нала используется величина E = [ y (t ) x(t )].

(4.10.15) Эта величина часто используется в задачах оптималь ной фильтрации.

Результаты выполненного выше анализа преобра зования стохастических сигналов линейными систе мами широко используются в оптике. Они применя ются при исследовании флуктуаций сигналов в линей ных оптических усилителях, в оптических волноводах, волокнах и других устройствах и элементах. В то же время для решения задач, связанных с передачей через оптические системы изображений со стохастическими искажениями, рассмотренный аппарат анализа нужда ется в доработке. Это связано, прежде всего, с тем, что для описания соотношения между структурой свето вой волны в оптической плоскости объекта и в плос кости изображения необходимы функции двух попе речных координат. Любую оптическую систему, осу ществляющую преобразование структуры световой волны, можно рассматривать в виде пространствен ного фильтра. Соответствующий формализм описания рассмотрен в приложении 9.

Дополнение. Использование программного пакета MathCAD в статистических расчетах Дополнение. Использование программного пакета MathCAD в статистических расчетах Статистический анализ разнообразных физических явлений требует, как правило, проведения больших объемов вычислений с использованием компьютеров.

В некоторых случаях расчеты предполагают разра ботку специального программного обеспечения. Од нако очень часто достаточно бывает воспользоваться возможностями типовых программных пакетов, таких как MathCAD, MATLAB, STATISTICA и SPSS. Для иллюстрации этих возможностей приведем некоторые сведения из описания пакета MathCAD.

Генерация случайных чисел Программный пакет MathCAD содержит ряд эф фективных генераторов случайных чисел, с помощью которых, используя встроенные функции, можно ис следовать характеристики приведенных ранее функ ций распределения.

Для получения случайной величины X в виде по следовательности случайных чисел, подчиняющихся нормальному распределению, можно воспользоваться встроенной функцией rnorm(n, X, ), где n – количе ство чисел, X – среднее значение случайной вели чины, – стандартное отклонение. На рис. Д.1 пока зан график изменения одного из возможных вариантов изменения случайных чисел xi (i = 1, 2,..., n ) при зада нии параметров n = 1024, X = 1, = 0,5.

Отметим, что приведенную последовательность можно рассматривать как случайную выборку из не кой генеральной совокупности с объемом выборки n и выборочной дисперсией (см. раздел 3.1). График на рис. Д.1 можно рассматривать также в качестве сигнала, характеризующего одну из реализаций нор мального стационарного процесса (раздел 4.1). В та ком случае x будет означать некую физическую вели чину, а i – дискретное время.

Рис. Д.1. Последовательность случайных чисел с нормальным распределением.

График нормальной плотности распределения ве роятностей строится с помощью встроенной функции dnorm(x, X, ). Примеры для различных средних и дисперсий показаны на рис. Д.2.

Функция нормального распределения вероятно FX ( x ) строится при помощи функции стей pnorm(x, X, ). Графики двух видов функций нормаль ного распределения приведены на рис. Д.3.

Для нахождения квантилей x p нормального распределения случайной величины X используется функция qnorm( p, X, ). Так, 98% квантиль при = 0, X = 1, значениях имеет величину qnorm( p, X, ) = 2,027.

Дополнение. Использование программного пакета MathCAD в статистических расчетах Рис. Д.2. Плотность нормального распределения вероятностей.

Непрерывная кривая – X = 1 и = 0,5 ;

пунктир – X = 0, = 0,2.

Рис. Д.3. Функции нормального распределения вероятностей.

Непрерывная кривая – X = 1 и = 0,5 ;

пунктир – X = 0, = 0,2.

Случайный сигнал, характеризующийся логариф мически нормальным распределением вероятности, получается применением функции rlnorm(n, X, ). На рис. Д.4 он графически представлен для параметров n = 1024, X = 1, = 0,5.

Рис. Д.4. Последовательность случайных чисел с логарифмически нормальным распределением вероятностей.

Логарифмически нормальная плотность распре деления вероятностей строится при помощи функции rlnorm(x, X, ). Ее примеры приведены на рис. Д.5.

Рис. Д.5. Плотность логарифмически нормального распределения вероятностей. Непрерывная кривая – X = 1 и = 0,8 ;


пунктир – X = 0, = 0,4.

Для логарифмически нормального распределения вероятностей существует функция plnorm(x, X, ).

Примеры приведены на рис. Д.6.

Дополнение. Использование программного пакета MathCAD в статистических расчетах При помощи функции qlnorm( p, X, ) нахо дятся квантили логарифмически нормального распре деления.

Как легко увидеть из приведенных примеров, MathCAD имеет четыре категории встроенных функ ций. Они различаются написанием их первой литеры, а оставшаяся часть имени функции (ниже в списке функций она условно обозначена звездочкой) иденти фицирует тот или иной тип распределения.

d * (x, par ) – плотность вероятности;

p * ( x, par ) – функция распределения;

q * (x, par ) – квантиль распределения;

r * (M, par ) – вектор M независимых случай ных чисел, каждое из которых имеет соответствующее распределение;

x – значение случайной величины (аргумент функций);

p – значение вероятности;

par – список параметров распределения.

Рис. Д.6. Функции логарифмически нормального распределения вероятностей. Непрерывная кривая – X = 1 и = 0,5 ;

пунктир – X = 0, = 0,2.

Для получения функции, относящиеся, напри мер, к равномерному распределению, вместо * надо поставить unif и ввести соответствующий список параметров par. В данном случае он будет состоять из двух чисел a и b – интервала распределения случайной величины.

Если наряду с построением графиков плотно стей вероятностей распределений случайных чисел (или вместо них) требуется построить гистограмму соответствующего распределения, можно воспользо ваться рядом встроенных функций, позволяющих реа лизовать построение их различных вариантов. Ниже приведен рисунок, иллюстрирующий применение встроенной функции hist (int, x ) ( int отражает число столбцов гистограммы и их ширину, x – последова тельность случайных чисел) для сигнала, представ ленного на рис. Д.7, для 50 сегментов гистограммы.

Рис. Д.7. Гистограмма последовательности чисел с логарифмически нормальным распределением вероятностей.

Для определения коэффициентов асимметрии и эксцесса в MathCAD имеются две встроенные функции:

Дополнение. Использование программного пакета MathCAD в статистических расчетах skew (x ) – коэффициент асимметрии выборки случайных чисел x ;

kurt ( x ) – коэффициент эксцесса выборки случайных чисел x.

Если в качестве примера взять плотности лога рифмически нормального распределения вероятно стей, графики которых показаны на рис. Д.5, то для показанного пунктиром распределения асимметрия окажется равной 1,14, а эксцесс – 2,08;

соответствую щие параметры для графика в виде непрерывной ли нии будет равны skew ( x ) = 3,34 и kurt ( x ) = 20,08.

Генерация коррелированных случайных чисел.

Ковариация и корреляция При моделировании случайных процессов и структур иногда возникает необходимость в генерации двух последовательностей случайных чисел, элементы которых попарно коррелировали бы с некоторым ко эффициентом корреляции R. Процедура создания та ких последовательностей состоит в следующем. Сна чала получается первая последовательность случай ных чисел x (например, с нормальным распределе нием, общим числом элементов N = 200, стандартным отклонением = 2, и нулевым средним значением).

Вторая – y строится по формуле y = xR + 1 R 2 rnorm(N,0, ). (Д.1) Согласованные изменения величин x и y для разных значений R показаны на рис. Д.8.

Для установления связи между двумя случай ными последовательностями в MathCAD существуют а б Рис. Д.8. Изменения случайных чисел с корреляцией.

а – R = 0,5, б – R = 0,9.

Дополнение. Использование программного пакета MathCAD в статистических расчетах функции, называемые ковариацией ( covar( x, y ) ) и коэффициентом корреляции ( corr ( x, y ) ). Ковариация и коэффициент корреляции определяются согласно формулам N covar(x, y ) = (x x )( y y ), (Д.2) N i = covar(x, y ) corr (x, y ) =. (Д.3) x y Для рассмотренных выше последовательностей x и y ( R = 0,5 ) оценка дает следующие значения:

covar(x, y ) = 1,928, corr ( x, y ) = 0,493.

Моделирование стохастизации лазерного пучка в атмосфере MathCAD обладает широкими возможностями для моделирования сложных оптических явлений. В качестве примера приведем анализ стохастизации ла зерного пучка при развитии мелкомасштабной турбу лентности в атмосфере.

Воспользуемся простейшей одномерной моделью, в которой прохождение излучения через случайно-не однородную среду с изменяющимися характеристи ками турбулентности заменяется его прохождением через движущийся фазовый экран с параметрами, за висящими от поперечной координаты. Такая упро щенная модель, хотя и не позволяет получить кор ректные количественные характеристики изучаемых явлений, дает возможность на качественном уровне выявить основные физические факторы, определяю щие пространственно-временную структуру излуче ния, и сопоставить поведение лазерных пучков при их вариации. Случайное распределение фазы на экране описывалось функциями Вейерштрасса:

[ ] b( 2 0 1 b 2 D ( ) N D 2 )n k = cos 2sb n k + n, (Д.4) [ ] ( 2 D 4 )( N +1 ) 4 1 b 2 n = где n – случайная фаза n -ой гармоники, N – число гармоник, 0 – стандартное отклонение фазы свето вых колебаний после прохождения плоской волной фазового экрана, b, s – масштабирующие параметры, k – дискретная поперечная координата. Параметр D при достаточно большом количестве гармоник опре деляет фрактальную размерность распределения фазы на экране.

В тех случаях, когда с помощью фазового экрана описывалась слаборазвитая мелкомасштабная турбу лентность, в выражении (4) использовалось небольшое число гармоник. (Обычно использовались лишь две гармоники, N = 1 ). При описании развитой мелкомас штабной турбулентности количество гармоник увели чивалось до 10.

Считалось, что лазерный пучок имеет гауссов профиль и плоский волновой фронт при падении на фазовый экран. Тем самым, его амплитуда перед экра ном задавалась в виде выражения ( k m ) Akm) = e (0 w. (Д.5) Здесь w – радиус пучка, m – координата, определяю щая положение центра пучка. После прохождения фа зового экрана амплитудно-фазовый профиль пучка за давался комплексной амплитудой ( k m ) i k Akm = e w. (Д.6) e Дополнение. Использование программного пакета MathCAD в статистических расчетах Распределение поля за экраном определялось для дальней зоны. Для этого использовалась процедура быстрого преобразования Фурье распределения (6).

Затем вычислялось распределение интенсивности I km = A по координате k для фиксированных значе ний m. Для каждого m в дальней зоне находилась ко ордината “центра тяжести” пучка k cm K I k km k cm = k =. (Д.7) K I km k = Количество значащих точек K отражает эффективную ширину экрана.

Указанные зависимости позволяют описать флук туации интенсивности в центре тяжести пучка при от носительном смещении экрана по отношению к световому пучку (смещение задается величиной параметра m ).

Результаты численного моделирования представ лены на рис. Д.9, а-в, относящимся к случаю, когда ра диус пучка w принимает значения 20 (значения опре деляются количеством значащих точек, фрактальная размерность D = 1,5 ). Левая часть рисунка относится к случаю слабо развитой мелкомасштабной турбулент ности, а правая – к случаю сильно развитой. Рис. Д.9, а характеризует флуктуации фазы k на экране. На рис. Д.9, б изображен профиль интенсивности лазер ного пучка I km в дальней зоне за экраном при произ вольно выбранном значении параметра m, отвечаю щим за смещение экрана относительно пучка. Кривые a б в Рис. Д.9. Моделирование флуктуационной структуры излучения в отсутствии (слева) и в присутствии (справа) развитой мелкомасштабной турбулентности. а – изменение фазы на экране, б – профиль пучка после прохождения экрана, в – флуктуации интенсивности в центре тяжести пучка. Радиус пучка w = 20. (Шкала фаз отложена в радианах, интенсивности – в относительных единицах.) на рис. Д.9, в отражают флуктуации интенсивности в центре тяжести пучка I cm в зависимости от величины параметра m.

Моделирующий слабо развитую мелкомасштаб ную турбулентность фазовый экран характеризуется возмущениями фазы, в отношение которых можно указать некий характерный размер, равный, примерно, Дополнение. Использование программного пакета MathCAD в статистических расчетах 50 значащим точкам по поперечной координате. (Этот размер превосходит поперечный размер лазерного пучка). Развитие же мелкомасштабной турбулентно сти моделируется наложением на характерные для слаборазвитой турбулентности фазовые неоднородно сти неупорядоченных высокочастотных составляю щих флуктуаций.

Анализ флуктуаций интенсивности показал, что при слаборазвитой мелкомасштабной турбулентности их статистика близка к нормальной, а при сильно – к логарифмически нормальной.

Приложение 1. Прохождение излучения через случайно неоднородные среды Приложения Приложение 1. Прохождение излучения через случайно неоднородные среды Статистика, характеризующаяся нормальным и логарифмически нормальным распределениями веро ятности, часто обнаруживается при анализе экспери ментальных данных, относящихся к локальным флук туациям интенсивности излучения при его распро странении в случайно неоднородной среде. Свойст вами такой среды обладает, в частности, приземная атмосфера, которой присущи случайные локальные изменения показателя преломления. При слабых изме нениях показателя преломления световое излучение будет сопровождаться флуктуациями, подчиняющи мися нормальному закону. При сильных – логарифми чески нормальному. Такого рода изменения во флук туационной структуре излучения авторы данного по собия имели возможность наблюдать при постановке экспериментов на приземной оптической трассе. Дли на 560 метров, расположенной на высоте 25 метров, распространялся лазерный пучок с длиной волны 0,63 мкм. Регистрировались флуктуации интенсивнос ти в центре тяжести пучка. Используемой трассе, по строенной на базе зданий МГУ на юго-западе Москвы, был присущ режим перемежаемости мелкомасштаб ной турбулентности. Ему было свойственно споради ческое развитие мелкомасштабной турбулентности, приводящей к стохастизации поперечной структуры лазерного пучка. В отсутствие развитой мелкомас штабной турбулентности структура пучка имела ква зирегулярный характер (рис. П.1.1, а), при ее наличии приобретала спеклоподобный вид (рис. П.1.1, б).


Приложения Рис. П.1.1. Структура лазерного пучка в отсутствии (а) и в присутствии (б) развитой мелкомасштабной турбулентности.

Флуктуации интенсивности пучка регистрирова лись с помощью быстродействующего фотоэлемента.

Рис. П.1.2. Флуктуации интенсивности в центре тяжести пучка для квазирегулярной ( t t0 ) и стохастической ( t t0 ) структур светового поля.

Одна из типичных реализаций флуктуаций интенсив ности за временной промежуток, включающий как стадию отсутствия развитой мелкомасштабной турбу Приложение 2. Статистическая модель оптических шумов лентности, так и стадию ее присутствия, показана рис. П.1.2. Уже из общего характера колебаний интен сивности видно, что в квазирегулярном состоянии пучка ( t t0 ) качественная картина его флуктуаций описывается нормальным законом, а в стохастическом – логарифмически нормальным (сравните приведен ную реализацию изменений интенсивности с графи ками на рис. Д.1 и Д.4).

Приложение 2. Статистическая модель оптических шумов В оптической практике с биномиальным законом распределения и законом распределения Пуассона час то приходится сталкиваться в случаях, когда необхо дим корректный учет присутствующих в оптических изображениях шумов. В роли этих шумов выступают флуктуации, вызывающие зернистую структуру изо бражения в силу пространственно-неоднородной чув ствительности регистрирующей среды или фотоэле мента. Наиболее часто зернистая структура изо бражения моделируется с помощью экрана, напоми нающего форму шахматной доски (рис. П.2.1).

Рис. П.2.1. Моделирующий экран с квадратными элементами.

Приложения Пусть площадь действующего отверстия регистри рующей системы A = L2 и на нее приходится N квадратов, m из которых прозрачны, а n непрозрачны (зерна). Будем также считать, что площадь каждого зерна a = l 2, а вероятность того, что случайно выбран ный квадрат окажется прозрачным, при большом чис ле квадратов равна отношению «прозрачной» площади ко всей площади, т.е. p = m N = T, где T – общее пропускание. Общее число квадратов на площади A равно A L N= = = m+n.

a l Определим вероятность PN (m ) того, что среди N белых и черных квадратов будет точно m белых квад ратов. Ясно, что существует N положений для пер вого белого квадрата, (N 1) – для второго и (N m + 1) положений – для m -го белого квадрата.

Общее число перестановок для m элементов среди N положений равно N!

N ( N 1)( N 2 )K ( N m + 1) =, (N m )!

но так как m белых квадратов ничем не отличаются друг от друга, то число сочетаний m неразличимых элементов составляет N!

Cm = N.

m ! (N m )!

Вероятность появления каждого из m квадратов равна p, а вероятность (N m ) черных квадратов равна (1 p ). Учтя все это, приходим к биномиальному Приложение 2. Статистическая модель оптических шумов распределению, задаваемому формулой (1.4.1), в которой p = T.

Если увеличить N и в то же время уменьшить p, так, чтобы при этом m = pN оставалось конечным, то биномиальное распределение будет стремиться к пу ассоновскому распределению, выражаемого формулой (m )m e m PN (m ), m!

где m = pN.

Рис. П.2.2. Модель экрана с круглыми зернами.

Отметим, что закон Пуассона хорошо описывает статистику другой модели зернистой структуры, состоящей из круглых перекрывающихся зерен (рис. П.2.2). Если предположить, что зерна круглые и их центры расположены случайно, то вероятность Приложения обнаружения n зерен на A площади будет определяться выражением (n )n e n, P ( A) = n n!

где d = n A – плотность заполнения зернами.

Приложение 3. Теория фотоотсчетов При падении электромагнитных волн падают на фоточувствительную поверхность, происходит слож ная последовательность событий. Основные звенья этой цепочки таковы: 1) поглощение кванта световой энергии (фотона) и передача ее возбужденному элек трону, 2) перенос возбужденного электрона к поверх ности и, наконец, 3) его выход с поверхности. Будем называть выход электрона с фоточувствительной по верхности фотособытием. Число K таких фотособы тий, проходящих в данном временном интервале, на зовем числом фотоотсчетов.

Полуклассическая теория фотоотсчетов основыва ется на следующих трех предположениях относи тельно статистических свойств фотособытий. Во-пер вых, принимается, что вероятность отдельного фото события на площади фоточувствительной поверхно сти, малой по сравнению с площадью когерентности падающего света, за время, меньшее времени коге рентности света (но намного больше периода оптиче ских колебаний), пропорционально интенсивности па дающей волны, длине интервала времени и рассмат риваемой площади фоточувствительной поверхности.

В математической записи вероятность наблюдения одного фотособытия за время t на площади A имеет вид Приложение 3. Теория фотоотсчетов P(1;

t, A) = tAI ( x, y;

t ), (П.3.1) где – коэффициент пропорциональности, а I (x, y;

t ) – интенсивность волны в момент времени t в точке с координатами (x, y ). Во-вторых, принимается, что вероятность более чем одного события, происходя щего за такой временной интервал и на такой малой поверхности пренебрежимо мала по сравнению с ве роятностью одного фотособытия и с вероятностью его отсутствия. (Следовательно, возможность многократ ных событий исключается.) В-третьих, принимается, что числа фотособытий, происходящих в любых двух неперекрывающихся временных интервалах, статиче ски независимы. (Процессы фотоэмиссии не имеют «памяти».) Несложно заметить, что эти три предположения отражают условия получения пуассоновского распре деления (см. раздел 1.4). Если каждое событие пред ставить пространственно-временной дираковской функцией единичной площади, то мы получим слу чайный процесс, который будет пространственно-вре менным пуассоновским импульсным процессом со скоростной функцией, равной интенсивности света, умноженной на коэффициент пропорциональности.

Поэтому в соответствии с формулой (1.4.2) вероят ность наблюдения K фотособытий во временном ин тервале (t, t + ) может быть записана в виде (K ) K P (K ) = eK, (П.3.2) K!

где K – среднее число фотособытий, которое дается выражением Приложения t+ K = I (x, y;

)ddxdy (П.3.3) A t ( A – освещаемая площадь фоточувствительной поверхности).

Для удобства этот результат записывают, вводя величину, которую называют интегральной интенсив ностью W. Она имеет размерность энергии и определяется как t + W = I ( x, y;

)ddxdy. (П.3.4) A t Заметим, что возможно более простая форма записи, если интенсивность света, падающего на фоточувст вительную поверхность, постоянна во времени или в пространстве. Так, если интенсивность имеет посто янное значение I 0 (независящее как от времени, так и от пространственных координат), то выражение для W сводится к виду W = I 0 A. (П.3.5) Записанное с использованием интегральной интенсив ности выражение для вероятности наблюдения K фотособытий таково:

(W )K e W.

P (K ) = (П.3.6) K!

Можно выразить постоянную через другие, бо лее знакомые нам физические константы. Интеграль ная интенсивность W фактически равна энергии света, падающего на фоточувствительную поверх ность за интересующие нас время измерения, а каж Приложение 4. Применение центральной предельной теоремы в оптике дый фотон несет энергию h, таким образом, среднее число фотособытий за время равно W K = W =, (П.3.7) h где h – постоянная Планка ( 6,626196 1034 Дж с ), – среднее оптическая частота излучения, а – так называемый квантовый выход (среднее число фото событий, вызываемых одним падающим фотоном, 1 ). Итак, коэффициент пропорциональности равен =. (П.3.8) h Приложение 4. Применение центральной предельной теоремы в оптике С центральной предельной теоремой оптике при ходится встречаться довольно часто. При этом ее при менение не всегда непосредственно связано со стати стической природой явлений. Некоторые из них воз никают как следствие многократного повторения опе рации свертки.

Каскадные оптические системы. Линейные оп тические системы иногда могут образовывать своего рода «каскад», когда выходное изображение одной из систем служит входом для другой. В этом случае пол ная оптическая передаточная функция полн () равна m () произведению передаточных функций ( m = 1, 2, K, n ) отдельных систем:

полн () = 1 () 2 ()K n (). (П.4.1) Приложения Если число n равно трем или более, а отдельные m () – аналогичные функции, то в соответствии с центральной предельной теоремой функция полн () должна хорошо аппроксимироваться гауссовой пере даточной функцией. Функция рассеяния точки, пред ставляющая собой Фурье-образ функции (), также должна быть гауссовой.

Лазерный резонатор. В лазерном резонаторе оп тическое излучение многократно проходит расстояние между зеркалами. Предположим, что эти зеркала имеют форму квадрата со стороной a, а расстояние между ними равно b. Пусть ( x2 ) – амплитуда волны в точке x 2 на втором зеркале, тогда в соответствии с дифракционной формулой Френеля эта амплитуда связана с распределением поля ( x1 ) на первом зер кале следующим образом:

a ( x2 ) = ( x1 )K (x2 x1 )dx1, (П.4.2) a где ядро преобразования имеет вид:

( ) K ( x ) = (b ) exp ix 2 b (П.4.3) В этих выражениях – некоторый числовой множи тель, характеризующий потери и фазовые сдвиги волны в резонаторе, а – длина световой волны.

Уравнение (2) означает, что амплитуда поля на зеркале 2 равна свертке с ядром K ( x ) поля ( x1 ), об резанного в пределах x1 a. Так как процесс распро странения излучения от зеркала к зеркалу повторяется многократно, выходная волна после n -кратного прохождения резонатора является результатом Приложение 4. Применение центральной предельной теоремы в оптике последовательного применения n раз двух операций (усечения поля и его свертки).

Если бы на каждом шаге не происходило усечение поля апертурой зеркала, то мы имели бы только по следовательные свертки и, таким образом, выполня лась бы центральная предельная теорема. Операция усечения меняет ситуацию, так как она действует на результат каждой операции свертки. Она порождает добавочные осцилляции функций, которые затем под вергаются свертке. В результате не получается глад кой гауссовой кривой, которую дает центральная пре дельная теорема. Эти осциллирующие функции в итоге сходятся к некоторым устойчивым модам лазер ного резонатора.

Однако если отношение a достаточно велико, то b в (2) эффект усечения оказывается слабым, поскольку, прежде чем x1 достигнет границы x1 = ± a, функция ( x1 ) уменьшиться практически до нуля. В этом слу чае поле в резонаторе после n отражений является ре зультатом n операций свертки с ядром (3) и, следова тельно, приобретает близкое к гауссовскому распреде ление по поперечным координатам. На рис. П.4.1 по казаны зависимости распределения по поперечной ко ординате амплитуды поля в резонаторе при n = 1 и n = 300. Там же для сравнения приведена гауссовская кривая.

Атмосферная турбулентность. Данный пример применения центральной предельной теоремы непо средственно связан со статистической природой явле ний, которые возникают при сложении n случайных величин. При этом мы имеем дело со «случайными блужданиями».

Приложения Рис. П.4.1. Распределение амплитуды поля в оптическом резонаторе при n = 1 (1, непрерывная линия) и n = (2, пунктир). Кривая 3 – гауссовское распределение.

Рассмотрим модель турбулентной атмосферы, слой которой, находящийся между источником и при емником света, моделируется рядом экранов неболь шой толщины, каждый из которых дает сдвиг фазы, не зависящий от пространственных координат, но слу чайным образом изменяющийся во времени. Эти эк Приложение 4. Применение центральной предельной теоремы в оптике раны расположены перпендикулярно линии, соеди няющей источник и приемник. В данный момент вре мени полная фаза световой волны полн в приемнике равна сумме отдельных ее сдвигов m на этих экранах:

полн = 1 + 2 + K + n, (П.4.4) где m = nm hm, а nm – случайный показатель прелом ления на m -м экране и hm – эффективная толщина каждого экрана. Поскольку турбулентность атмосфе ры изменяется независимо от одного моделирующего экрана до другого (или, по крайней мере, от одной группы экранов до другой) и фазовые флуктуации в пределах каждого экрана подчиняются одним и тем же статистическим закономерностям, то выполняется центральная предельная теорема и, следовательно, полн подчиняется нормальному закону распределе ния. Это стандартное предположение, которое дела ется при рассмотрении плотности вероятности f ( полн ) в отдельной точке приемной апертуры. В бо лее общем случае предполагается правомерность гаус совского закона для совместной плотности распреде ления вероятности фаз f ( полн, 'полн ) в двух точках апертуры.

Равенство (4) описывает случайное блуждание луча. Каждая фаза m приводит к независимому по ве личине и направлению изменению траектории луча.

Поэтому проекция суммы m (где m = 1, 2,K, n ) после довательных смещений луча на направление, перпен дикулярное линии, соединяющей излучатель и прием Приложения ник, будет испытывать случайные блуждания влево и вправо от этого направления.

Статистика многомодового колебания. К цен тральной предельной теореме приходится обращаться также при анализе многомодовой генерации лазера.

Обычно лазер излучает целый ряд статистически неза висимых мод, поэтому многомодовая модель оказыва ется одной из весьма распространенных для лазерного излучения. Оно представляет собой суперпозицию N мод и обладает спектром, качественный вид которого показан на рис. П.4.2. При этом суммарное колебание светового поля будет описываться выражением N N (t ) = an cos(n t + n ) = an cos n. (П.4.5) n =1 n = Рис. П.4.2. Спектр многомодового колебания.

Будем считать, что амплитуды мод an и их час тоты n постоянны, а фазы n распределены равно мерно:

f ( n ) = 2, n, (П.4.6) и статистически независимы:

Приложение 4. Применение центральной предельной теоремы в оптике N f (1, 2,K N ) = f ( n ). (П.4.7) n = Можно показать, что в общем случае генерируе мых мод с разными частотами функция плотности распределения вероятности величины при N сходится к гауссовской. Удобный способ нахождения функции распределения f ( ) основан на расчете его характеристической функции (v ) = e iv.

Подстановка в это соотношение выражения (5) дает N (v ) = expiv an cos n = n =1 N N = exp{ivan cos n } = (van ).

n =1 n = Здесь (van ) – характеристическая функция одной моды:

(an ) = exp{ian cos n } = exp{ian cos(n t + n )}d n = J 0 (an ), = где J 0 ( x ) – функция Бесселя нулевого порядка от действительного аргумента.

Таким образом, характеристическая функция слу чайной величины в целом равна N (v ) = J 0 (van ). (П.4.8) n = Приложения Функция распределения f ( ) находится из (8) с помо щью Фурье-преобразования:

f ( ) = (v )e dv.

iv Можно показать, что при N 2 Na f ( ) = exp 2, 2 =.

2 Тем самым, мы имеем еще одно подтверждение справедливости центральной предельной теоремы.

Приложение 5. Спекл-эффекты при когерентном формировании изображения При формировании изображения сложного объ екта с помощью высококогерентного поляризованного излучения, генерируемого лазером, распределение ин тенсивности света принимает сложный вид. Если по верхность объекта шероховата в масштабе оптических длин волн (обычная на практике ситуация), то изобра жение кажется зернистым, с множеством светлых и темных пятен, не имеющих видимой связи с макро скопическими рассеивающими свойствами объекта.

Такое хаотическое неупорядоченное строение принято называть спекл-структурой. Спеклы можно наблю дать также при прохождении плоской однородной волны через прозрачную пластину с шероховатой поверхностью. Типичное изображение равномерно отражающей поверхности показано на рис. П.5.1.

Причины возникновения спекл-структуры были установлены уже в ранних работах, посвященных лазерам. Большинство поверхностей, естественных и искусственных, являются сильно шероховатыми в Приложение 5. Спекл-эффекты при когерентном формировании изображения масштабе оптических длин волн. При осве щении монохромати ческим светом волна, отраженная от поверх ности, оказывается со стоящей из вкладов большого числа рассе ивающих точек или площадок. Элемент Рис. П.5.1. Спекл-структура на фраг (рис. П.5.2) изображе- менте изображения объекта.

ния в точке наблюде ния – суперпозиция множества амплитудных функций размывания (рассеяния), каждая из которых отвечает своей точке на поверхности объекта. Вследствие ше роховатости поверхности различные суммируемые функции размывания имеют заметно различающиеся фазы, что приводит к сложной интерферограмме.

Сказанное относится и к случаю прозрачных не однородных объектов, освещаемых плоской монохро матической волной. Из-за наличия неоднородностей фронт волны, покидающий объект, весьма неровен и имеет исключительно сложную структуру. В силу этого интенсивность прошедшей волны характеризу ется большими пространственными флуктуациями, обусловленными перекрытием множества расфазиро ванных функций размывания.

Поскольку мы не знаем детальной микроскопиче ской структуры сложного волнового фронта, поки дающего объект, приходится статистически подходить к вопросу о свойствах спекловой структуры. Рассмат ривается статистическое распределение для ансамбля поверхностей с одинаковыми макроскопическими свойствами, но различающихся в микроскопических Приложения деталях. Так, если мы поместим фотоприемник в оп ределенную точку плоскости изображения, то изме ренная интенсивность не может быть заранее точно предсказана, даже если макроскопические свойства предмета точно известны. Мы можем найти только статистическое распределение этой интенсивности для некоего ансамбля шероховатых поверхностей.

Одной из важных статистических характеристик спекловой структуры является плотность распределе ния интенсивности I в некоторой точке изображения.

Рис. П.5.2. Образование спекл-структуры на изображении шероховатого объекта.

Какова вероятность наблюдения светлого максимума или темного минимума интенсивности? На этот во прос можно ответить, увидев аналогию нашей задачи с рассмотренной в разделе 2.2 задаче о суммировании случайных фазоров. В указанном разделе было пока зано, что плотность распределения вероятности изме нений интенсивности (2.2.15) подчиняется экспонен Приложение 6. Применение методов математической статистики в обработке наблюдений циальному распределению с отрицательным пока зателем.

Так как плотность распределения интенсивности – экспонента с отрицательным показателем, флуктуации относительно среднего значения будут весьма замет ными. Если мы определим контраст C спекловой структуры как отношение стандартного отклонения интенсивности к ее среднему значению, то для поля ризованного света получим C = I = 1.

I Высокий контраст спеклов приводит к значительному ухудшению эффективного разрешения и чрезвычайно неудобен, если наблюдателя интересует тонкая струк тура изображения.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.