авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА Научно-исследовательский институт ядерной физики имени Д.В. Скобельцына П.В. ...»

-- [ Страница 3 ] --

Приложение 6. Применение методов математической статистики в обработке наблюдений Мы уже упоминали, что применение методов ма тематической статистики в обработке наблюдений ос новано на глубокой аналогии между произведением наблюдений и отбором генеральной совокупности.

При этом в качестве генеральной совокупности рас сматривается чисто гипотетически набор всех воз можных результатов наблюдений при данном ком плексе условий испытаний. Отбор данных из этой со вокупности производится в процессе регистрации не зависимо от нашей воли. Благодаря этому, основным фактором всегда является случайность, что и позво ляет применять для обработки наблюдений основные положения теории вероятности.

Приложения Отбор данных, происходящий помимо нашей воли, можно назвать естественным отбором именно таким он является при наблюдении. Однако при на блюдениях и дальнейшей их обработке часто возни кает необходимость и в других, способах искусствен ного отбора. Например, при спектральном анализе ве щества приходится делать пробы из разных его облас тей, чтобы нейтрализовать возможную неоднород ность материала;

спектры проб находится при этом целиком в нашем распоряжении. Для контроля над производством приходится брать образцы из общей продукции. При различных экономических и демо графических исследованиях также нужна предвари тельная сортировка объектов для изучения. Примеры таких случаев, когда исследователь вынужден прини мать сознательное решение, можно еще долго про должать. Отметим лишь в заключение, что даже заго товленный уже цифровой материал может нуждаться в дополнительной проверке в целях сокращения объема, для удаления неподходящих данных и верификации результатов расчетов – подобный отбор также произ водится исследователем целиком по его воли.

Существует много способов искусственного от бора. Они зависят от цели отбора и поставленной за дачи. В целом способы делятся на пристрастные и репрезентативные.

Пристрастными называют такие способы отбора, при которых существует заранее намеченный крите рий. При этом проверке подлежат все элементы сово купности. Например, из ряда чисел выделяют n самых больших или все, не достигающие требуемой вели чины. Этот вид отбора применяют и для изъятия всех реализаций с нарушением условия испытания. При страстный отбор является важной стадией экспери мента. Его задача состоит в устранении всех заметных Приложение 6. Применение методов математической статистики в обработке наблюдений нарушений условий испытания. Таким образом, не редко удается отбросить доминирующие (несиммет ричные) факторы, нарушающие нормальность распре деления.

Пристрастный отбор всегда является сознатель ным с ясной характеристикой данных, подлежащих рассмотрению, поэтому он редко вызывает затрудне ния. Сложнее обстоит дело со второй группой.

Способы отбора называются репрезентативными, если извлеченная группа элементов достаточно полно характеризует всю исходную совокупность. Разуме ется, как бы ни был удачен отбор, в суждениях обо всей совокупности будет элемент случайности. Более того, некоторые особенности первичного ряда не най дут отражения в полученном, поэтому «репрезента тивность» отбора является относительной и связана с конкретной числовой характеристикой, которая изуча ется с помощью извлеченных элементов.

Фактически репрезентативный отбор применяется при невозможности (либо затруднительности) сужде ния о характеристиках совокупности при использова нии всех ее элементов из-за чрезмерной величины или неполной доступности анализу. Если объем N очень велик, то на практике его можно считать бесконеч ным. В этом случае исходную совокупность рассмат ривают как генеральную, а извлеченные элементы как выборку, получая в дополнение все позитивные мо менты выборочного метода. Если N не очень велико по сравнению с n полученных элементов (скажем, N 10 n ), то с числом N необходимо считаться при интерпретации результатов.

Способ репрезентативного отбора зависит от сте пени наших знаний о совокупности. Если, например, известно, что элементы совокупности расположены Приложения случайным образом, то к ней применим механический отбор – отбирается каждый пятый, десятый или еще какой элемент. Если же в последовательности наблю дается некоторая ритмичность, необходимо применять аритмичный отбор, например, в первой десятке выде лим первый элемент, во второй – второй… Так, анали зируя раз в день качество продукции, не следует брать пробы в одно и то же время.

В случае же, когда о совокупности ничего неиз вестно, единственной гарантией репрезентативности может служить случайный отбор, для чего требуется перенумеровать все элементы, а номера отобранных должны образовывать случайную последовательность чисел.

Увеличение числа параллельных наблюдений n является основным способом повышения точности статистического анализа. Среднее значение выборки объема n имеет дисперсию в n раз меньшую, чем при одиночных наблюдениях, поэтому для определения необходимого числа наблюдений достаточно знать их генеральную дисперсию 2 и допустимую дисперсию ) результата D X. При этом (см. формулу (3.1.5)) [] ) n = D X. Увеличение параллельных наблюдений неограниченно повышает точность получаемого ре зультата, при этом требуется неизменность условий испытаний.

Сигналы, сформированные данной выборкой, часто нуждаются в предварительной подготовке. Эта задача обычно решается путем их фильтрации, заклю чающейся в устранении одной из составляющих сиг нала. Наиболее часто целью фильтрации является по давление быстрых вариаций сигнала, которые обу словлены присутствием шумов различной природы.

Приложение 7. Обнаружение периодического сигнала Наиболее простым средством подавления быстрых изменений является процедура сглаживания, произво димая на основе различных алгоритмов. Часто рас сматривают противоположную задачу фильтрации – устранение медленно меняющихся значений в целях исследования высокочастотной составляющей. В этом случае говорят о задаче устранения тренда. Иногда интерес представляют смешанные задачи выделения среднемасштабных вариаций путем подавления как более быстрых, так и более медленных компонент.

Одна из возможностей их решения связана с примене нием полосовой фильтрации. Порой бывает полезным совмещение сглаживания с последующей интерполя цией или регрессией.

На практике устранение тренда осуществляется при помощи следующей процедуры. Сначала вычис ляют регрессию (например, линейную), исходя из ап риорной информации о тренде, затем из данных, при надлежащих выборке, вычитается функция регрессии.

При осуществлении полосовой фильтрации реализуют следующую последовательность операций:

1. Приведение массива данных к нулевому сред нему значению путем его вычитания из каждого элемента.

2. Удаление из сигнала высокочастотной состав ляющей, имеющее целью получение сглаженного сигнала.

3. Выделение из сигнала низкочастотной компо ненты с помощью снятия тренда.

Приложение 7. Обнаружение периодического сигнала Часто при проведении оптических исследований и передаче оптической информации световой пучок, распространяющийся в какой-либо среде, для его Приложения идентификации предварительно модулируется по ин тенсивности. Обнаружить пучок на фоне помех озна чает ответить на вопрос, существует полезный сигнал или нет. Задача определения его формы при этом не ставится.

Пусть p (t ) – периодический сигнал с неизвестным периодом основным T и b(t ) – шум. Рассмотрим су перпозицию x(t ) = p(t ) + b(t ). (П.7.1) Для упрощения предположим, что p(t ) и b(t ) централизованы, т.е. их среднее значение равно нулю, тогда сигнал x(t ) также будет централизован. С точки зрения физики, эта гипотеза вполне естественна, так как на практике часто исключают постоянную компо ненту, чтобы не «загромождать» измерительную аппа ратуру, шкала (или динамический диапазон) которой всегда ограничены.

Автокорреляционная функция в данном случае определяется выражением xx ( ) T [ p(t ) + b(t )][ p(t ) + b(t )]dt.

T T xx = lim (П.7.2) В силу свойства дистрибутивности функции корреля ции имеем xx () = pp () + bb () + pb () + bp (). (П.7.3) Можно считать, что шум b(t ) и сигнал p (t ) незави симы. При этом условии корреляционные функции pb () и bp () тождественно равны нулю (с точно стью до погрешностей оценок, обусловленных конеч ным временем интегрирования). Автокорреляционная Приложение 8. Теория когерентности функция шума bb ( ) стремится к нулю с возраста нием (раздел 4.4);

следовательно, для достаточно больших значений (бльших по модулю некоторого 1 ) величина bb () практически равна нулю с точно стью до погрешности оценки. Значение 1, начиная с которого автокорреляционную функцию bb ( ) можно положить равной нулю, зависит от характера шума и, в частности, от его спектральной плотности:

чем шире полоса частот шума при заданной полной мощности, тем быстрее убывает автокорреляционная функция. Итак, при 1 в выражении для корреля ционной функции периодического сигнала остается только одно слагаемое:

xx () = pp (). (П.7.4) В действительности xx ( ) = pp ( ) + (), (П.7.5) где ошибка ( ) тем меньше, чем больше время интег рирования T или времення постоянная усредняю щего низкочастотного фильтра.

Итак, описанный корреляционный метод позво ляет обнаружить периодический сигнал на фоне шума.

Приложение 8. Теория когерентности В теории когерентности фундаментальную роль играет функция взаимной корреляции между оптиче скими возмущениями, разделенных временным интер валом, в двух точках пространственной области x1 и x2. В литературе по оптике она известна как функция взаимной когерентности ( x1, x2 ;

). Оптическое воз мущение, то есть одна из декартовых координат Приложения электрического вектора, представимо в виде интеграла Фурье, взятого по положительным частотам:

V = a( ) cos[( ) 2t ]d.

r Этому реальному возмущению соответствует ком плексное, которое называется «аналитическим сигналом»:

V (t ) = V (r ) (t ) + iV (i ) (t ), где V (i ) (t ) = a( )sin[( ) 2t ]d.

При этом реальная V (r ) (t ) и мнимая V (i ) (t ) части не яв ляются взаимно независимыми. С помощью аналити ческих сигналов строится функция когерентности:

(x 1, x 2 ;

) = 12 ( ) = V (x 1, t + )V * (x 2, t ).

12 (0 ) Заметим, что величина характеризует пространственную когерентность излучения. Она выражает корреляцию в двух точках пространства в одно и то же время и, поскольку эта величина пропор циональна контрасту полос в звездном интерферо метре Майкельсона, ее пространственное преобразо вание Фурье дает информацию о распределении ярко сти в источнике излучения. Величина 11 ( ) опреде ляет временную когерентность. Она представляет со бой значение функции корреляции в одной точке про странства для двух моментов времени, и, поскольку она пропорциональна контрасту полос в двулучевом интерферометре Майкельсона, ее временное преобра Приложение 9. Сравнение характеристик временных и пространственных фильтров зование Фурье дает информацию о спектральном рас пределении энергии источника. Иными словами, звездный интерферометр Майкельсона является ана лизатором пространственных гармоник, а двулучевой интерферометр – временных гармоник.

Приложение 9. Сравнение характеристик временных и пространственных фильтров Рассмотрим в качестве пространственного фильтра оптическую систему, которая линейным образом пре образует распределение интенсивности света (, ) в плоскости объекта в распределении интенсивности i( x, y ) в плоскости изображения ({, } и {x, y} – попе речные координаты в плоскостях, соответственно, объекта и изображения). Наиважнейшей характери стикой пространственного фильтра является «функция рассеяния» s (x, y ), описывающая распределе ние света на плоскости (x, y ), обусловленное нали чием точечного источника в плоскости объекта (, ).

Эта функция, называемая также переходной, является аналогом функции импульсного отклика временного фильтра. В силу линейности оптической системы вы полняется принцип суперпозиции, согласно которому i ( x, y ) = s(x, y )(, )dd. (П.9.1) Аналогично временным фильтрам преобразование спектров пространственных частот оптической сис темы определяется передаточной функцией Приложения ( ) s ( x, y ) e i x x + y y dxdy r () =. (П.9.2) s(x, y )dxdy Здесь x и y – пространственные частоты распреде ления интенсивности вдоль осей x и y.

Спектральные распределения световых пучков на r выходе из оптической системы I () определяются ин тенсивным преобразованием вида I () = I ( x, y ) = r i ( x, y ) e rr ir dxdy. (П.9.3) Аналогичное выражение имеет место для распределе r ния интенсивности O() на входе.

Осуществив преобразования Фурье для обеих час тей соотношения (1), получаем зависимость r r r I () = ()O(), (П.9.4) соответствующую зависимости (4.10.3) для временных фильтров.

Совпадение формализма описания временных и пространственных фильтров позволяет распростра нить на пространственные фильтры подходы к ана лизу преобразования стохастических сигналов, рас смотренные в разделе 4.10. В то же время следует учи тывать важные особенности стохастического анализа пространственных фильтров.

Во-первых, преобразования сигналов в простран ственных фильтрах двумерны. Во-вторых, при некоге рентном освещении интенсивности света линейно складываются, так что все входные и выходные функ Приложение 9. Сравнение характеристик временных и пространственных фильтров ции оказываются положительными функциями. Нако нец, усреднения для корреляционных функций и их преобразований являются пространственными, а не временными, и производятся по большой площади.

Таблица Пространственные фильтры Временные фильтры () r rr Ro ( ) = o( )o + Rx ( ) = x(t )x(t + ) R () = i ( )i ( + ) rr R y () = y (t ) y (t + ) i Fxy () = 2 Rxy () e ir d r r r Foi () = 2 R (r )e rr i r dr oi () ( ) r rr Ri = 2 s Ro ( )d R y ( ) = h (t )Rx (t )dt r r2 r Fi () = () Fo () Fy () = H () Fx () () s( + )R ()d r r r Roi = Rxy ( ) = h(t + )Rx dt o Опуская менее существенные детали и техниче ские особенности преобразования случайных сигналов в пространственных фильтрах, приведем для удобства сопоставления в виде таблицы основные соотношения, характеризующие работу как временных, так и про странственных фильтров.

Приложения Присутствующая в таблице функция ( ) r s определяется выражением ( ) s( + )o()d.

r r s = r Векторы,, располагаются либо в плоско сти объекта, либо в плоскости изображения.

Литература 1. Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров. – М.: Наука, 1964, 772 с.

2. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. – М.: Наука, 1966, 404 с.

3. О’Нейл Э. Введение в статистическую оптику.

– М.: Мир, 1966, 254 с.

4. Пустыльник Е.И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1968, 288 с.

5. Худсон Д. Статистика для физиков. – М.: Мир, 1970, 296 с.

6. Тихонов В.И. Выбросы случайных процессов. – М.: Наука, Главная редакция физико математической литературы, 1970, 392 с.

7. Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. Том 1, 2. – М.: Мир, 1971, 317 с.

8. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая. – М.: Советское радио, 1974, 552 с.

9. Гришин В.К. Статистические методы анализа и планирования экспериментов. – М.:

Издательство Московского университета, 1975, 128 с.

Литература 10. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы. – М.: Наука, Главная редакция физико математической литературы, 1976, 496 с.

11. Идье В., Драйард Д., Джеймс Ф., Рус М., Садуле Б. Статистические методы в экспериментальной физике. Пер. с англ. / Под ред. Тяпкина А.А. – М.: Атомиздат, 1976, 335 с.

12. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И.

Введение в статистическую радиофизику.

Часть 2. Случайные поля. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1978, 464 с.


13. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С.

Введение в статистическую радиофизику и оптику. – М.: Наука, Главная редакция физико математической литературы, 1981, 640 с.

14. Баракат Р., Даллас У., Фриден Б., Мерц Л., Педжис Р., Риглер А. Компьютеры в оптических исследованиях. Пер. с англ. / Под ред. Фридена Б. – М.: Мир, 1983, 488 с.

15. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: в двух томах. Т. 1.

– М.: Мир, 1983, 312 с.

16. Гудмен Дж. Статистическая оптика. – М.: Мир, 1988, 528 с.

17. Купер Дж., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. – М.: Мир, 1989, 376 с.

18. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.:

Высшая школа, 1998, 576 с.

19. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2000, 479 с.

20. Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. – СПб.: Наука, 2001, 295 с.

21. Палий И.А. Прикладная статистика. – М.:

Высшая школа, 2004, 176 с.

22. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. – М.: Айрис-пресс, 2008, 288 с.

Предметный указатель Предметный указатель основная, А статистическая, альтернативная гипотеза. См. гистограмма, 13, конкурирующая гипотеза Д аналитический сигнал, ансамбль, 9 дисперсия, аппроксимация, 70 выборочная, асимметрия, 36 генеральная, исправленная, Б доверительный интервал, белый шум, доверительный уровень, броуновское движение, З В закон распределения варианта, 63 биномиальный, вариационный ряд, дискретной случайной вероятность, 78 величины (ряд время корреляции, распределения), выборка, 63 Пуассона, выборка репрезентативная, И выборочная функция, интегральная Г интенсивность, генеральная совокупность, 63 интервальная оценка, гипотеза К альтернативная, конкурирующая, 73 квантиль, нулевая, 73 квантовый выход, ковариация. См. Н корреляционный момент наблюдаемое значение, когерентность начальные моменты случайной временная, 152 величины, пространственная, 152 начальный момент контраст, 145 1-го порядка, коррелированные величины, 45 2-го порядка, корреляционный момент, 45 некоррелированные коэффициент величины, корреляции, 46, 91 несмещенная оценка критерий генерального среднего, минимума суммы О квадратов, область См. статистический допустимых значений. См.

критерий, область принятия гипотезы критическая область, критическая, критические границы, критическая двустороняя, критические точки, критическая Л левосторонняя, линейная регрессия, 72 критическая одностороняя, линия регрессии, 70 критическая правосторонняя, М принятия гипотезы, математическое ожидание, объем генеральной медиана, совокупности, метод наименьших отбор квадратов, аритмичный, мода, естественный, Предметный указатель искусственный, 146 с независимыми механический, 148 приращениями, пристрастный, 146 случайный, репрезентативный, 147 со стационарными случайный, 148 приращениями, оценка стационарный в узком интервальная, 68 смысле, несмещенная, 65 стационарный в широком смещенная, 67 смысле, точечная, 68 эргодический, П Р передаточная функция, 110 размах, плотность вероятностей, 13, 79 распределение n-мерная, 81 F-распределение Фишера безусловная, 54 Снедекора, двумерная, 41, 80 t-распределение маргинальная, 54 Стьюдента, нормальная (гауссовская), 19 Бернулли, райсовская, 58 бета-распределение, совместная, 41 биномиальное, условная, 41 Вейбулла, процесс гамма-распределение, броуновского движения, 108 Гаусса, винеровский, 108 Коши, марковский, 107 Лапласа, нормальный логарифмически (гауссовский), 108 нормальное, Максвелла, нормальное, 19 среднее квадратическое Паскаля, 32 отклонение, полимодальное, 18 средний квадрат случайной Пуассона, 26 величины, равномерное, 28 стандартное отклонение. См.

Рэлея, 24 среднее квадратическое унимодальное, 18 отклонение хи-квадрат-распределение статистическая гипотеза, Пирсона, 34 статистический критерий, экспоненциальное, 29 структурная функция, Эрланга, 33 сумма случайных фазоров, регрессия, Т ряд теорема вариационный, Винера-Хинчина, С Котельникова, 82, случайные величины, 11 точечная оценка, дискретные, У непрерывные, уравнение регрессии, целочисленные, спекл-структура, 62, Ф спектр фазор, энергетический, формула среднее Байеса, выборочное, Бернулли, выборочное эмпирическое, фотособытие, генеральное, функция среднее значение случайной автокорреляционная, 88, величины, Предметный указатель взаимной корреляции, 88, 100 Ц корреляционная, 88, 97 центральная предельная передаточная, 110 теорема, плотности распределения центральные моменты вероятностей. См. плотность случайной величины, вероятностей Ч распределения, частота варианта, распределения вероятностей относительная, интегральная, 79, число фотоотсчетов, распределения Рэлея обобщенная, Ш структурная, ширина характеристическая, доверительного интервала, функция вероятности полосы энергетического двумерная, спектра, совместная, Э эксцесс, энергетический спектр,

Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.