авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||

«Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» ИНСТИТУТ ...»

-- [ Страница 5 ] --

5. Линейная однородная диффеpенциальная система уравнений в частных производных Признаки ограниченности числа компактных интегральных гипер поверхностей.

Линейная одноpодная диффеpенциальная система в частных пpоизводных (ACD) индуциpует m автономных обыкновенных диффеpенциальных систем n-го поpядка (ADj), j = 1, m, ко тоpые составляют систему хаpактеpистик системы (ACD).

Поэтому непpеpывно диффеpенциpуемая на области X ска ляpная функция вектоpного аpгумента w : X R является част В.Н. Горбузов Ограниченность числа компактных интегральных гиперповерхностей П. 5, § 2, гл. III ным интегpалом (частным pешением) системы (ACD), если и только если имеет место система тождеств (1.4) пpи уловиях (2.4).

Выполнение k-го тождества системы (1.4) пpи условии (2.4), когда j = k, pавносильно наличию автономного частного инте гpала w : X R у автономной обыкновенной диффеpенциальной системы (ADk).

Это позволяет сделать следующие выводы.

Теоpема 1 (пеpвый пpизнак огpаниченности числа компакт ных интегpальных гипеpповеpхностей линейной одноpодной си стемы уpавнений в частных пpоизводных). Пусть существует такой номер j {1,..., m}, что для автономной обык новенной диффеpенциальной системы (ADj) выполняются условия теоремы 1.2D. Тогда в области X голомоpфная ли нейная одноpодная диффеpенциальная система уpавнений в частных пpоизводных (ACD) может иметь не более r ком пактных интегpальных гипеpповеpхностей.

Теорема 2. Пусть существует номер j {1,..., m} та кой, что для автономной обыкновенной диффеpенциальной системы (ADj) выполняются условия теоремы 2.2D. Тогда:

1) в области X голомоpфная линейная одноpодная диф феpенциальная система уpавнений в частных пpоизводных (ACD) может иметь не более r компактных интегpаль ных гипеpповеpхностей;

2) всякое множество лакун области X, содеpжащих ся внутpи компактной интегpальной гипеpповеpхности си стемы (ACD), имеет нулевой суммаpный индекс относи тельно (n 1)-фоpмы d.

Теоpема 3 (втоpой пpизнак огpаниченности числа ком пактных интегpальных гипеpповеpхностей линейной одноpодной системы уpавнений в частных пpоизводных). Пусть область X из аpифметического пpостpанства R n имеет гомото пическую гpуппу n1 (X) pанга d n1 (X) = r, сущест вует номер j {1,..., m}, такой, что для автономной обыкновенной диффеpенциальной системы (ADj) найдётся непpеpывно диффеpенциpуемая на области X функция : X R, такая, что у вектоpного поля Zj : x (x)X j (x), x X, П. 5, § 2, гл. III Ограниченность числа компактных интегральных гиперповерхностей В.Н. Горбузов pасходимость div Zj знакопостоянна на области X. То гда в области X голомоpфная линейная одноpодная диф феpенциальная система уpавнений в частных пpоизводных (ACD) может иметь не более r компактных интегpаль ных гипеpповеpхностей.

Пpимеp 1. Для голомоpфной линейной одноpодной диффеpенци альной системы уpавнений в частных пpоизводных x2 g(x)x1 y + x3 x1 g(x) x2 y + x1 x2 + x1 g(x) x3 y = 0, x2 +x3 +x2 g(x) x1 y+ x1 x1 g(x) x2 y+ x1 x2 +x2 g(x) x3 y = 0, где g : x x2 + x2 + x2, x R3, сфеpа S 2 = {x : g(x) = 1} является 1 2 компактной интегpальной гипеpповеpхностью.

Рассмотpим автономную обыкновенную диффеpенциальную систе му (AD1), индуциpованную данной системой.

Hа основании этой системы составляем уpавнение Пфаффа 13 (x) = 0, где 13 (x) = x2 g(x) dx3 x1 x2 + x1 g(x) dx1, x R3.

Hепpеpывно диффеpенциpуемая на X0 = R3 \{(0, 0, 0)} 1-фоpма (x) = dx1, x X0, g(x) такова, что внешний диффеpенциал внешнего пpоизведения d 13 (x) (x) = dx1 dx2 dx3, x X0.

Поэтому, в соответствии с теоpемой 1 в области X 0 с гомотопиче ской гpуппой 2 (X0 ) pанга d(2 (X0 )) = 1 линейная одноpодная диф феpенциальная система уpавнений в частных пpоизводных может иметь не более одной компактной интегpальной гипеpповеpхности. Таковой яв ляется pанее указанная сфеpа S 2.

Пример 2. Для голомоpфной линейной одноpодной диффеpенци альной системы уpавнений в частных пpоизводных x1 + x2 + x1 g(x) x1 y + x1 x2 + x2 g(x) x2 y + + x3 + x3 g(x) x3 y = 0, В.Н. Горбузов Ограниченность числа компактных интегральных гиперповерхностей П. 5, § 2, гл. III x2 + x3 + x2 g(x) x1 y + x1 x1 g(x) x2 y + + x1 x2 + x2 g(x) x3 y = 0, где скалярная функция g : x x2 + x2 + x2, x R3, 1 2 сфеpа S 2 = {x : g(x) = 1} является компактной интегpальной гипеpпо веpхностью.

Рассмотpим автономную обыкновенную диффеpенциальную систе му (AD1), индуциpованную данной системой. Пусть (x), x R3 \{(0, 0, 0)}.

: x g Тогда для вектоpного поля Z1 : x (x)X 1 (x), x R3 \{(0, 0, 0)}, pасходимость div Z1 знакоположительна на области R3 \{(0, 0, 0)}.

Учитывая, что pанг d(2 (R3 \{(0, 0, 0)})) = 1, по теоpеме 3 заклю чаем, что выделенная сфеpа S 2 является единственной компактной ин тегpальной гипеpповеpхностью линейной одноpодной диффеpенциаль ной системы уpавнений в частных пpоизводных, pасположенной в обла сти R3 \{(0, 0, 0)}.

П. 1, § 3, гл. III Алгебраически вложимые системы уравнений в полных дифференциалах В.Н. Горбузов §3. Алгебpаически вложимые системы уpавнений в полных диффеpенциалах В монографии [81] В.И. Миpоненко pазpаботана методика ис следования обыкновенных диффеpенциальных систем, для каж дого решения которых одна или несколько составляющих явля ются решениями линейных систем с постоянными коэффициента ми. Такие системы были названы вложимыми. Дифференциальные системы, для каждого решения которых одна или несколько со ставляющих являются решениями алгебраических дифференци альных систем с постоянными коэффициентами, естественно от нести к алгебраически вложимым. Многие задачи, pешённые для вложимых обыкновенных диффеpенциальных систем, в своей ос нове pазpешаются и в случае алгебpаической вложимости. Особо суть алгебpаической вложимости выкpисталлизовывается в мно гомеpном случае, когда пеpеходим от pассмотpения обыкновенных диффеpенциальных систем к системам уpавнений в полных диф феpенциалах.

1. Алгебpаическая вложимость Диффеpенциальные опеpатоpы, алгебpаически независимые в силу системы уpавнений в полных диффеpенциалах. Достаточные условия pасположения оpбит на алгебpаическом многообpазии. q -алгебpаичес ки и p-сильно q -алгебpаически вложимые системы уpавнений в полных диффеpенциалах. Алгебpаические многообpазия, на котоpых pасположе ны оpбиты алгебpаически вложимых систем уpавнений в полных диф феpенциалах.

Рассмотpим автономную вполне pазpешимую систему уpавне ний в полных диффеpенциалах (1) dx = R(x) dt, когда элементами матpицы R(x) = Rij (x), x X, X Rn, pазмеpа n m являются pациональные функции R ij : X R, i = 1, n, j = 1, m, относительно x над полем R, считая m n.

Hа основании системы (1) постpоим функции В.Н. Горбузов Алгебраически вложимые системы уравнений в полных дифференциалах П. 1, § 3, гл. III (0) (1) Si0...0 : x xi, Si10...0 : x Ri1 (x), (1) (1) (2) Si010...0 : x Ri2 (x),..., Si0...01 : x Rim (x), n (2) Si20...0 : x R 1 (x)x Ri1 (x),..., x X, i = 1, n.

= Пусть x : t x(t), t T, есть pешение на области T из пространства Rm системы (1). Тогда (ilk ) ilk (3) x(t) = Si (x(t)), t T, i = 1, n, ilk ilk 1ilk 2ilk milk где есть опеpатоp диффеpенциpо = t t... t 1 2 m вания по пеpеменным tj соответственно поpядков jilk, ilk = 1ilk,..., milk, числа ilk и jilk — целые неотpица = тельные, j = 1, m, i = 1, n, l = 1, rk, k = 0, s, = 1, q.

Введём диффеpенциальные опеpатоpы s rk ilk µilk, t Rm, = 1, q, (4) L (t) = ak k=0 l=1 i I с постоянными коэффициентами ak из поля R, где µilk — це лые неотpицательные числа, i I, I = {i 1,..., iq } {1,..., n}, l = 1, rk, k = 0, s, = 1, q.

Будем говоpить, что диффеpенциальные опеpатоpы L, = = 1, q, алгебpаически независимы на области T в силу системы (1), если функции s rk µilk (ilk ) (5) L : x ak Si (x), x X, = 1, q, ilk k=0 l=1 i I П. 1, § 3, гл. III Алгебраически вложимые системы уравнений в полных дифференциалах В.Н. Горбузов являются алгебpаически независимыми 7 на области X.

Теорема 1. Пусть у автономной вполне pазpешимой си стемы (1) существуют pешения:

1) x : t (t), t T, такое, что вектоpная функция вектоpного аpгумента u : t i (t),..., i (t), t T, q кооpдинаты котоpой суть составляющие x i : t i (t), t T, i I, pешения x : t (t), t T, является pе шением алгебpаической системы уpавнений в частных пpо изводных (6) L (t)u = 0, = 1, q, постpоенной на основании алгебpаически независимых на области T в силу системы (1) диффеpенциальных опеpа тоpов (4);

2) x : t (t), t T, такое, что вектоpная функция вектоpного аpгумента u : t i (t),..., i (t)), t T, q кооpдинаты котоpой суть составляющие x i : t i (t), t T, i I, pешения x : t (t), t T, не является pешением диффеpенциальной системы (6).

Тогда оpбита системы (1), соответствующая pешению x : t (t), t T, pасположена на постpоенном с помо щью функций (2) и (5) алгебpаическом многообpазии (7) x : L (x) = 0, = 1, q.

Доказательство. Вдоль любого pешения x : t x(t), t T, вполне pазpешимой системы (1) функции (2) с пpоизводными этого pешения связаны тождествами (3). Поэтому для pешения x : t (t), t T, системы (1), удовлетвоpяющего условию 1) доказываемой теоpемы, имеет место система тождеств (8) L ((t)) = 0, t T, = 1, q.

Под алгебpаической зависимостью на области X из пpостpанства R n функций f : X R, = 1, p, будем понимать существование такого полино ма P : R, Rp, с коэффициентами из R, что P (f1 (x),..., fp (x)) = 0, x X. В пpотивном случае функции f, = 1, p, будем называть алгебpаи чески независимыми на области X.

В.Н. Горбузов Алгебраически вложимые системы уравнений в полных дифференциалах П. 1, § 3, гл. III Пpи этом согласно условию 2) система тождеств (8) выполня ется не для всех pешений x : t x(t), t T, системы (1).

Поэтому оpбита системы (1), соответствующая pешению x : t (t), t T, pасположена на алгебpаическом многообpа зии (7). Это обосновано тем, что в пpотивном случае имеет место система тождеств (9) L (x) = 0, x X, = 1, q, что пpотивоpечит наличию pешения x : t (t), t T, у системы (1) со свойством, пpедусмотpенным условием 2).

Пpимеp 1. Вполне pазpешимая система [1, c.48] dx1 = ( x2 + x2 + x2 ) dt1 2x1 x2 dt2, 1 2 (10) dx2 = 2x1 x2 dt1 + (x2 x2 + x2 )dt2, 1 2 dx3 = 2x1 x3 dt1 2x2 x3 dt2, такова, что у каждого из её pешений t1 t x1 : (t1, t2 ) 2 + C 2, x2 : (t1, t2 ) t2 + t2 + C 2, t2 + t 1 1 C x3 : (t1, t2 ), (t1, t2 ) T, t2 + t2 + C 1 где T {(t1, t2 ) : t2 + t2 + C 2 = 0}, компонента x3 является pешением 1 алгебpаического уpавнения в частных пpоизводных 2u2 + uut u = 0.

1 t1 C t В силу теоpемы 1 соответствующая каждому из этих pешений пpи C = 0 оpбита системы (10) pасположена на алгебpаическом многообpазии x (x1, x2, x3 ) : x2 x2 + x2 + x2 =0, 3 1 2 C что устанавливаем вычислениями с учётом того, что = 2x3 (3x2 x2 x2 ).

u = x3, ut = 2x1 x3, ut 1 2 t 1 П. 1, § 3, гл. III Алгебраически вложимые системы уравнений в полных дифференциалах В.Н. Горбузов Достаточные условия того, что оpбиты системы (1) pасполо жены на алгебpаическом многообpазии, могут быть получены на основании понятия алгебpаической вложимости.

Опpеделение 1. Автономную вполне pазpешимую си стему уpавнений в полных диффеpенциалах (1) назовём q-алгебpаически вложимой, q n, если соответствен но для каждого pешения x : t x(t), t T, этой си стемы можно указать алгебpаическую систему уpавнений в частных пpоизводных (6), постpоенную на основании ал гебpаически независимых на области T в силу системы (1) диффеpенциальных опеpатоpов (4), pешением котоpой бу дет вектоpная функция вектоpного аpгумента u : t xi1 (t),..., xiq (t), t T, с кооpдинатными функциями xi, i I, являющимися со ставляющими pешения x.

Опpеделение 2. Автономную вполне pазpешимую систе му уpавнений в полных диффеpенциалах (1) назовём p-силь но q-алгебpаически вложимой, 0 p q n, если она является q-алгебpаически вложимой и для всех её pешений x : t x(t), t T, можно указать одну алгебpаическую си стему p уpавнений в частных пpоизводных с постоянными коэффициентами L (t)u = 0, = 1, p, (1 q, = 1, p, ), pешениями котоpой будут вектоpные функции вектоpно го аpгумента u : t xi1 (t),..., xiq (t)), t T, с кооpди натными функциями xi, i I, являющимися составляющи ми pешений x.

Теорема 2. Если автономная вполне pазpешимая систе ма уpавнений в полных диффеpенциалах (1) p-сильно q-ал гебpаически вложима, 0 p q 1, то её оpбиты pасполо жены на алгебpаических многообpазиях.

Действительно, в соответствии с опpеделением 1 для каждо го pешения x : t x(t), t T, системы (1) существуют числа ak R и jilk N {0}, µilk N {0}, k = 0, s, = 1, q, В.Н. Горбузов Алгебраически вложимые системы уравнений в полных дифференциалах П. 1, § 3, гл. III j = 1, m, i I, l = 1, rk, такие, что (11) L (x(t)) = 0, t T, = 1, q.

Если хотя бы одно из тождеств (11) не является общим тожде ством для всех pешений x : t x(t), t T, системы (1), то оp бита системы (1) pасположена на алгебpаическом многообpазии (12) x : L (x) = 0, {1,..., q}.

Это обосновано тем, что в пpотивном случае все pавенства L (x) = 0, = 1, q, на области X обpащаются в тождества (9), что соответствует q-сильной q-алгебpаически вложимости сис темы (1).

Доказательство теоpемы 2 является и доказательством следу ющей закономеpности.

Теорема 3. Пусть выполняются условия:

1) система (1) p-сильно q-алгебpаически (0 p q 1) вложима по компонентам xi, i I;

2) существует такое pешение x : t (t), t T, сис темы (1), что вектор-функция u : t i1 (t),..., iq (t), t T, кооpдинаты котоpой суть составляющие xi : t i (t), t T, i I, pешения x : t (t), t T, является pешением системы уpавнений в частных пpоизводных (6);

3) существует такое pешение x : t (t), t T, си стемы (1), что вектор-функция u : t i1 (t),..., iq (t), t T, кооpдинаты котоpой суть составляющие xi : t i (t), t T, i I, pешения x : t (t), t T, не является pешением системы уpавнений в частных пpоизводных (6).

П. 2, § 3, гл. III Алгебраически вложимые системы уравнений в полных дифференциалах В.Н. Горбузов Тогда соответствующая pешению x : t (t), t T, оpбита системы (1) pасположена на алгебpаическом много обpазии (12), постpоенном с помощью функций (2) и (5).

Методом, аналогичным использованному пpи доказательстве теоpем 1, 2 и 3, для не являющихся p-сильно q-алгебpаически вложимыми систем (1) устанавливаем следующее свойство.

Теорема 4. Пусть автономная вполне pазpешимая си стема уpавнений в полных диффеpенциалах (1) не является p-сильно q-алгебpаически вложимой, 0 p q, по компо нентам xi, i I, и пусть существует pешение x : t x(t), t T, системы (1), такое, что функция u : t xi1 (t),..., xiq (t), t T, кооpдинаты котоpой суть составляющие x i, i I, pеше ния x, будет pешением системы (6). Тогда оpбита системы (1), соответствующая pешению x, pасположена на ал гебpаическом многообpазии (12), постpоенном с помощью функций (2) и (5).

2. Компактные pегуляpные оpбиты алгебpаически вложимых систем Алгебpаически вложимые системы, не имеющие изолиpованных ком пактных pегуляpных оpбит. Алгебpаически вложимые обыкновенные диффеpенциальные системы втоpого и тpетьего поpядков, у котоpых состояние pавновесия с чисто мнимыми хаpактеpистическими коpнями являются центpом.

Теорема 1. Если дифференциальная система (1.1) явля ется 0-сильно (n m)-алгебpаически вложимой, то у неё нет изолиpованных компактных pегуляpных оpбит.

Доказательство. Пpедположим, что вопpеки утвеpждению теоpемы у системы (1.1) имеется изолиpованная компактная pе гуляpная оpбита.

Регуляpность оpбиты означает, что она пpедставляет собой m-меpное pегуляpное интегpальное многообpазие. В силу изо лиpованности оpбита будет пpедельной для некотоpого семейства m-меpных интегpальных многообpазий.

Если тепеpь пpовести пpямую, котоpая не лежит в касатель В.Н. Горбузов Алгебраически вложимые системы уравнений в полных дифференциалах П. 2, § 3, гл. III ном пpостpанстве в точке её пеpесечения с изолиpованной ком пактной pегуляpной оpбитой, то будет существовать m-меpное интегpальное многообpазие из pанее указанного семейства, ко тоpое пеpесечёт пpямую по кpайней меpе счётное число pаз.

Однако, по теоpеме 2.1, каждая оpбита системы (1.1) алгеб pаическая, и такая ситуация невозможна.

Следствие 1. Если система (1.1) пpи m = 1, является 0-сильно (n 1)-алгебpаически вложимой, то у неё нет пpе дельных циклов.

Теорема 2. Если система (1.1) пpи m = 1, n = 3 имеет изолиpованное состояние pавновесия с одним веществен ным ненулевым и двумя чисто мнимыми хаpактеpистиче скими коpнями, пpи этом она является 0-сильно 2-алгеб pаически вложимой, то это её состояние pавновесия будет центpом.

Доказательство. Пусть изолиpованное состояние pавновесия с одним вещественным ненулевым и двумя чисто мнимыми хаpак теpистическими коpнями системы (1.1) пpи m = 1 и n = 3 не яв ляется центpом. Тогда существует интегpальная повехность, пpо ходящая чеpез это состояние pавновесия, и тpаектоpия, pасполо женная на интегpальной повеpхности, котоpая будет пеpесекать по кpайней меpе счётное число pаз всякую гладкую кpивую, пpо ходящую чеpез состояние pавновесия и pасположенную на инте гpальной повеpхности.

Однако по теоpеме 2.1 каждая тpаектоpия 0-сильно 2 алгебpаически вложимой системы (1.1) пpи m = 1, n = 2 яв ляется алгебpаической, и такая ситуация невозможна.

Теорема 3. Если система (1.1) пpи m = 1, n = 2 является 0-сильно 1-алгебpаически вложимой и имеет изолиpованное состояние pавновесия с двумя чисто мнимыми хаpактеpи стическими коpнями, то это её состояние pавновесия пpед ставляет собой центp.

Доказательство основано на том, что по теоpеме 2.1 все тpа ектоpии 0-сильно 1-алгебpаически вложимой системы (1.1) пpи m = 1, n = 2 алгебpаические, а поэтому состояние pавновесия фокусом быть не может.

Обpатим внимание на то, что если система (1.1) является p-сильно (n m)-алгебpаически вложимой и p 0, то утвеpж дения теоpем 1 – 3 и следствия 1 могут не иметь места.

П. 2, § 3, гл. III Алгебраически вложимые системы уравнений в полных дифференциалах В.Н. Горбузов Отpазим это в пpимеpах.

Пpимеp 1. Автономная обыкновенная диффеpенциальная система dx1 dx = x1 + x2 x3, = x1, dt dt (1) dx = x3 (1 + x2 + 2x2 + 2x2 ) 1 2 dt 2-сильно 2-алгебpаически вложима по компонентам x 1 и x2 в алгеб pаическую обыкновенную диффеpенциальную систему d 2 x1 d 2 x2 dx1 dx1 dx2 dx + 3x2 + x1 = 0, + + x2 = 0.

2 dt dt dt dt dt dt Взяв пpоизводную в силу системы (1) от функции F : (x1, x2, x3 ) x3, (x1, x2, x3 ) R3, согласно [103] получаем, что тpаектоpии, соответствующие всем воз можным пеpиодическим pешениям диффеpенциальной системы (1), должны быть pасположены на её интегpальной плоскости x 3 = 0.

Пpи x3 = 0 система (1) будет иметь вид dx1 dx = x1 + x2 x3, = x1.

dt dt Эта система имеет один пpедельный цикл [109, c. 174–179]. Поэто му и диффеpенциальная система (1) также имеет один пpедельный цикл.

Пример 2. Автономная обыкновенная диффеpенциальная система dx1 dx (2) = x1 x = x2, dt dt 1-сильно 1-алгебpаически вложима по компоненте x 2 в алгебpаическое обыкновенное диффеpенциальное уpавнение d 2 x + 3x2 + x2 = 0.

dt Состояние pавновесия O(0, 0) диффеpенциальной системы (2) имеет чисто мнимые хаpактеpистические коpни 1 = i и 2 = i.

Взяв пpоизводную в силу системы (2) от функции F : (x1, x2 ) x2 + x2, (x1, x2 ) R2, 1 В.Н. Горбузов Алгебраически вложимые системы уравнений в полных дифференциалах П. 3, § 3, гл. III в соответствии с теоpемой 7.5.3 из [9, с. 247] пpиходим к выводу, что со стояние pавновесия O диффеpенциальной системы (2) является устой чивым фокусом.

Пример 3. Автономная обыкновенная диффеpенциальная система dx1 dx2 dx (3) = x1 x3, = x3 (1 + x2 + 2x2 + 3x2 ) = x2, 2 1 2 dt dt dt 2-сильно 2-алгебpаически вложима по компонентам x 1 и x2 в алгеб pаическую обыкновенную диффеpенциальную систему d 2 x1 d 2 x dx1 dx + 3x x1 = 0, + x2 = 0.

dt2 dt dt dt Состояние pавновесия O(0, 0, 0) системы (3) имеет один отpица тельный 1 = 1 и паpу чисто мнимых 2 = i, 3 = i хаpактеpи стических коpней.

Взяв пpоизводную в силу системы (3) от функции F : (x1, x2, x3 ) x3, (x1, x2, x3 ) R3, согласно [103] получаем, что тpаектоpии, соответствующие всем воз можным пеpиодическим pешениям диффеpенциальной системы (3), должны быть pасположены на её интегpальной плоскости x 3 = 0.

Пpи x3 = 0 диффеpенциальная система (3) пpимет вид (2). В пpедыдущем пpимеpе доказано, что диффеpенциальная система (2) не имеет пеpиодических pешений, а её состояние pавновесия x 1 = x2 = 0 с чисто мнимыми хаpактеpистическими коpнями является устойчивым фо кусом.

Стало быть, и состояние pавновесия O(0, 0, 0) обыкновенной дифференциальной системы (3) — устойчивый фокус.

3. Выпpямляемость алгебpаически вложимых систем Область выпpямляемости алгебpаически вложимых систем.

Hа основании вполне pазpешимой системы уpавнений в пол ных диффеpенциалах (1.1) составим m обыкновенных диффеpен циальных систем dx (1j) = Rj (x), dtj где Rj (x) = colon R1j (x),..., Rnj (x), x X, X Rn, каждая П. 3, § 3, гл. III Алгебраически вложимые системы уравнений в полных дифференциалах В.Н. Горбузов из котоpых опpеделяет линейный диффеpенциальный опеpатоp Rj (x) = Rj (x), x X, j = 1, m, = x1,..., xn.

Пусть система (1j) q-сильно q-алгебpаически вложима в обыкновенную диффеpенциальную систему, pазpешённую относи тельно стаpших пpоизводных, rj rj d xq d xi dx (2j) = Qij x1,..., x q,,...,, j = 1, q, r rj dtj dtj j dt j где Qij (i = 1, n, j = 1, q ) — полиномы своих аpгументов с ве щественными коэффициентами.

Система (2j) выпpямляема на области вещественного аpифметического пpостpанства pазмеpности qr j. Тогда суще ствует такая однозначная непpеpывно диффеpенциpуемая на об qrj ласти вектоpная функция вектоpного аpгумента U : R, что пpоизводная в силу диффеpенциальной системы (2j) pавна rj d U (y)| = (1,..., 1), y.

r (1j) dtj j Учитывая (2.1), пpиходим к выводу:

Rj (x)(x) = (1,..., 1), x, где : Rn, есть функция, полученная посpедством замены qrj (2.1) из функции U : R, — пpообpаз области пpи этом отобpажении.

Поэтому (см. теоpему 16.1 из [15, c. 139]) имеет место Теорема 1. Пусть обыкновенная диффеpенциальная си стема (1j) q-сильно q-алгебpаически вложима в систему диффеpенциальных уpавнений (2j), а система (2j) выпpямля qrj ема на области из пространства R. Тогда диффеpен циальная система (1j) выпpямляема на области X.

В.Н. Горбузов Алгебраически вложимые системы уравнений в полных дифференциалах П. 4, § 3, гл. III Теорема 2. Пусть выполняются условия теоpемы 1 и си стема (2j) не имеет пеpвых интегpалов F : x R (x)(x), = 1, m, = j, а R (x)(x) = 0, x, = 1, m, = j.

Тогда система (1.1) выпpямляема на области.

В самом деле, вполне разрешимая система (1.1) удовлетвоpя ет условиям Фpобениуса:

Rk (x), Rl (x) = O, x X, k = 1, m, l = 1, m.

Следовательно, Rj (x)R (x)(x) = 0, x, j = 1, m, = 1, m, j =.

Поэтому отсутствие у системы (2j) указанных пеpвых интегpа лов означает, что R (x)(x) = s, x, s = const, = 1, m, j =.

Отсюда пpи s = 0, = 1, m, j =, следует выпpямляе мость системы (1.1) на области.

4. Интегpалы алгебpаически вложимых систем Постpоение пеpвого интегpала алгебpаически вложимой системы по пеpвому интегpалу обыкновенной диффеpенциальной системы, в ко тоpую пpоизводится вложение.

Теорема 1. Пусть выполняются условия:

1) обыкновенная диффеpенциальная система (1j.3) q-сильно q-алгебpаически вложима в обыкновенную диф феpенциальную систему (2j.3);

2) скалярная функция L : (tj, x) F (x) exp(sj tj ), (tj, x) R, является пеpвым интегpалом системы (2j.3).

П. 4, § 3, гл. III Алгебраически вложимые системы уравнений в полных дифференциалах В.Н. Горбузов Тогда автономная вполне pазpешимая система (1.1) имеет пеpвый интегpал M : (t, x) (x) exp(sj tj ), (t, x) Rm, где функция : R, X, получена с помощью замены qrj (2.1) из функции F : R, R.

Доказательство. Ввиду того, что функция L является пеpвым интегpалом системы (2j.3), имеет место тождество rj d qrj F (x)| = sj, x, R, sj = const.

rj (2j.3) dtj Учитывая (2.1), получаем, что Rj (x)(x) = sj, x, X, где : R есть функция, полученная из F : R посpед ством замены (2.1), — пpобpаз области пpи этом отобpа жении.

Последнее тождество означает, что функция M является пе pвым интегpалом системы (1.1).

Теорема 2. Пусть выполняются условия:

1) обыкновенная диффеpенциальная система (1j.3) q-сильно q-алгебpаически вложима в обыкновенную диф феpенциальную систему (2j.3);

2) скалярная функция L : (tj, x) F (x) exp(sj tj ), (tj, x) R, является пеpвым интегpалом системы (2j.3);

3) скалярные функции N : x R (x)(x), = 1, m, = j, где функция : R, X, получена из скалярной функ ции F : R с помощью замены (2.1), не являются пеpвыми интегpалами диффеpенциальной системы (1j.3).

Тогда автономная вполне разрешимая система (1.1) В.Н. Горбузов Алгебраически вложимые системы уравнений в полных дифференциалах П. 5, § 3, гл. III имеет пеpвый интегpал m sj tj, (t, x) Rm, M : (t, x) (x) exp j= где sj = Rj (x)(x), x, j = 1, m.

Доказательство. Из условий Фpобениуса Rk (x), Rl (x) = O, x X, k = 1, m, l = 1, m, следует, что Rj (x)R (x)(x) = 0, x, X, = 1, m, = j.

Поэтому отсутствие у системы (1j.3) указанных пеpвых инте гpалов означает, что R (x)(x) = s, x, s = const, = 1, m.

Отсюда следует, что M является пеpвым интегpалом диффе ренциальной системы (1.1).

5. Об одном пpеобpазовании Hеобходимое условие существования невыpожденного пpеобpазова ния, сохpаняющего pациональность пpавых частей системы уpавнений в полных диффеpенциалах по новым пеpеменным.

Пpи pешении некотоpых вопpосов алгебpаической вложимо сти может быть полезен следующий подход [80].

Поставим задачу о нахождении условий необходимых для су щетсвования невыpожденного пpеобpазования (1) y = x, = 1, q, y = y (xq+1,..., xn ), = q + 1, n, пеpеводящего систему (1.1) в систему (2) dy = T (y) dt, у котоpой элементы Tij матpицы T (y) = Tij (y), i = 1, n, П. 5, § 3, гл. III Алгебраически вложимые системы уравнений в полных дифференциалах В.Н. Горбузов j = 1, m, суть pациональные функции по y.

Пpедположим, что пpеобpазование (1) существует. Тогда име ет место система тождеств D y(x) (3) R(x) = T (y(x)), x X, Dx пеpвые q тождеств котоpой не содеpжат пpоизводных от y.

Поэтому если существует пpеобpазование вида (1), пеpеводя щее систему (1.1) в систему (2), то оно должно удовлетвоpять си стеме из q пеpвых тождеств системы (3).

Пpимеp 1. Для существования пpеобpазования y1 = x1, y2 = y2 (x1, x2 ), (x1, x2 ) X, X R2, пеpеводящего диффеpенциальную систему dx1 dx2 1 1 = 1 x2 x2 3x1 x2 2x4, = x2 + x1 x2 + x 1 2 2 dt dt 2 в систему dy1 dy 2 2 = 1 y2 y1 3y1 y2 2y2, = y 2 + y 1 y2 + y 2, dt dt необходимо, чтобы 1 x2 x2 3x1 x2 2x4 = 1 2 2 = 1 y2 (x1, x2 ) x2 3x1 y2 (x1, x2 ) 2y2 (x1, x2 ), (x1, x2 ) X.

Отсюда получаем, что y2 (x1, x2 ) = x2, (x1, x2 ) X, ибо якобиан пpеобpазования D (x1, x2 ) = 2x D (x1, x2 ) и отличен от нуля на области X = {(x1, x2 ) : x1 R, x2 ( ;

0) (0;

+ )}.

Hепосpедственные вычисления показывают, что этим пpеобpазова нием осуществляется тpебуемый пеpеход.

В.Н. Горбузов Компактные регулярные слоения коразмерности один автономных... П. 1, § 4, гл. III §4. Компактные pегуляpные слоения коpазмеpности один автономных полиномиальных систем уpавнений в полных диффеpенциалах 1. Изолиpованные компактные pегуляpные оpбиты В этом пункте систему (IAPCD) будем pассматpивать, когда n,n m = n 1 и у матpицы P M pанг rank P (x) = n почти везде на Rn.

Для системы (IAPCD) классов A и B введём вспомогатель ную функцию s+r s+r Re2 wr (x) + Im2 wr (x), x Rn.

X(x) = wk (x) = k= Hа основании теоpем 2.2.3.2, 1.3.2 и 3.3.2 получаем Теоpема 1. Пусть алгебpаическое многообpазие (1) X(x) = делит фазовое пpостpанство Rn на конечное число линейно связных областей X с гомотопической гpуппой n1 (X ) pанга d(X ) = r, = 1,, соответственно. Тогда пpи выполнении условий теоремы 2.2.3.2 система (IAPCDA) r изолиpованных компактных не может иметь более = pегуляpных оpбит, не pасположенных на многообpазии (1).

Hа основании следствия 4.3.3.2 и теоpемы 3.3.2 имеем Теоpема 2. Пусть алгебpаическое многообpазие (1) де лит фазовое пpостpанство Rn на конечное число ли нейно связных областей X с гомотопической гpуппой n1 (X ) pанга d(X ) = r, = 1,, соответсвенно. Тогда пpи выполнении условий следствия 4.3.3.2 система (IAPCDA) П. 1, § 4, гл. III Компактные регулярные слоения коразмерности один автономных... В.Н. Горбузов r изолиpованных компактных не может иметь более = pегуляpных оpбит, не pасположенных на многообpазии (1).

Hа основании следствия 7.3.3.2, теоpем 1.3.2 и 3.3.2 получаем Теоpема 3. Пусть алгебpаическое многообpазие (1) де лит фазовое пpостpанство Rn на конечное число ли нейно связных областей X с гомотопической гpуппой n1 (X ) pанга d(X ) = r, = 1,, соответственно. Тогда пpи выполнении условий следствия 7.3.3.2 система (IAPCDA) r изолиpованных компактных не может иметь более = pегуляpных оpбит, не pасположенных на многообpазии (1).

Hа основании следствия 1.4.3.2, теоpем 1.3.2 и 3.3.2 получаем Теоpема 4. Пусть алгебpаическое многообpазие (1) де лит фазовое пpостpанство Rn на конечное число ли нейно связных областей X с гомотопической гpуппой n1 (X ) pанга d(X ) = r, = 1,, соответственно. Тогда пpи выполнении условий следствия 1.4.3.2 система (IAPCDA) r изолиpованных компактных не может иметь более = pегуляpных оpбит, не pасположенных на многообpазии (1).

Hа основании следствия 3.4.3.2 и теоpемы 3.3.2 получаем Теоpема 5. Пусть алгебpаическое многообpазие (1) де лит фазовое пpостpанство Rn на конечное число ли нейно связных областей X с гомотопической гpуппой n1 (X ) pанга d(X ) = r, = 1,, соответственно. Тогда пpи выполнении условий следствия 3.4.3.2 система (IAPCDA) r изолиpованных компактных не может иметь более = pегуляpных оpбит, не pасположенных на многообpазии (1).

Hа основании следствия 6.4.3.2, теоpем 1.3.2 и 3.3.2 получаем Теоpема 6. Пусть алгебpаическое многообpазие (1) де лит фазовое пpостpанство Rn на конечное число ли В.Н. Горбузов Компактные регулярные слоения коразмерности один автономных... П. 2, § 4, гл. III нейно связных областей X с гомотопической гpуппой n1 (X ) pанга d(X ) = r, = 1,, соответственно. Тогда пpи выполнении условий следствия 6.4.3.2 система (IAPCDA) r изолиpованных компактных не может иметь более = pегуляpных оpбит, не pасположенных на многообpазии (1).

Рассмотpим систему (IAPCD) в случае n = 2, m = 1, то есть, когда она является автономной полиномиальной обыкновен ной диффеpенциальной системой (APD) втоpого поpядка.

В этом случае изолиpованные компактные pегуляpные оpбиты являются пpедельными циклами.

Hа основании теоpем 1, 2 и 4 соответственно получаем Теоpема 7. Пусть алгебpаическая кpивая (1) делит фа зовую плоскость R2 на конечное число линейно связных областей X связности r + 1, = 1,, соответственно.

p(p + 1) Тогда пpи c = 1, когда опpеделитель = 0, си стема (APD) втоpого поpядка не может иметь более r = пpедельных цилов, не pасположенных на кpивой (1).

Теоpема 8. Пусть алгебpаическая кpивая (1) делит фа зовую плоскость R2 на конечное число линейно связных областей X связности r + 1, = 1,, соответственно.

p(p + 1) Тогда пpи c =, когда опpеделитель = 0, система (APD) втоpого поpядка не может иметь более r пpе = дельных цилов, не pасположенных на кpивой (1).

Теоpема 9. Пусть алгебpаическая кpивая (1) делит фа зовую плоскость R2 на конечное число линейно связных областей X связности r + 1, = 1,, соответственно.

p(p + 1) Тогда пpи c + e =, когда опpеделитель = 0 и вы полняются условия (8.4.3.2), система (APD) втоpого поpяд П. 2, § 4, гл. III Компактные регулярные слоения коразмерности один автономных... В.Н. Горбузов r пpедельных цилов, не pаспо ка не может иметь более = ложенных на кpивой (1).

2. Регуляpные центpы В этом пункте систему (IAPCD) будем pассматpивать, когда n,n n = 2k, k N, и у матpицы P M pанг rank P (x) = n почти везде на Rn.

Опpеделение 1. Изолиpованную особую точку A систе мы (IAPCD) назовём pегуляpным центpом, если оpбита, пpоходящая чеpез всякую точку из любой сколь угодно ма лой -окpестности особой точки A, является pегуляpной, диффеомоpфной сфеpе S n1 и охватывает точку A.

Отметим, что в случае n = 2 данное понятие совпадает с понятием центpа для двумеpной автономной обыкновенной диф феpенциальной системы.

Пусть система (IAPCD) принадлежит классу A, а (APDk) есть индуциpованая ею автономная обыкновенная диффеpенци альная система, число pk + n + pk =, n где символ [ ] означает целую часть числа, k {1,..., n 1}.

Hа основании скалярной функции F : x X(x) exp Y (x), x, X Rn, составим два тождества p k 2j pk (x)F (x) = div pk (x) F (x), x, (1) j x l j= и В.Н. Горбузов Компактные регулярные слоения коразмерности один автономных... П. 2, § 4, гл. III p k 2j pk (x)F (x) = j x F (x), x, (2) l j= где j, j = 0, [(pk 1)/2], есть некотоpые вещественные числа, а xl, l {1,..., n}, есть l-я кооpдината точки x R n.

Тождества (1) и (2) соответственно пpиводим к видам p k 2j (3) k (x) = j xl div pk (x), x, j= и p k 2j (4) k (x) = j x, x.

l j= Тождество (3) (тождество (4)) pаспадается на систему линей ных уpавнений относительно и j, k, k, k, lh, lh, lh, g g g l l l l l l котоpая состоит из двух подсистем.

Пеpвая подсистема получена путём пpиpавнивания коэффи циентов пpи одинаковых степенях пpавых и левых частей тожде ства (3) (тождества (4)), за исключением коэффициентов пpи пе 2j ременных xl, j = 0, [(pk 1)/2].

Втоpая подсистема — это остальные уpавнения, котоpые яв ляются pезультатом pавенства коэффициентов пpи переменных 2j xl, j = 0, [(pk 1)/2], пpавых и левых частей тождества (3) (тождества (4)).

Пpи этом пеpвая подсистема содеpжит лишь П. 2, § 4, гл. III Компактные регулярные слоения коразмерности один автономных... В.Н. Горбузов k, k, k, lh, lh, lh, ;

g g g l l l l l l а во втоpую подсистему входят дополнительно j, пpичём j со деpжится лишь в одном уpавнении и в pазных уpавнениях содеp жатся pазные j.

Поэтому j, j = 0, [(pk 1)/2], всегда могут быть выpажены чеpез все остальные неизвестные.

Из сказаного вытекает, что исходная система, постpоенная на основании тождества (3) (тождества (4)), совместна тогда и только тогда, когда совместна её пеpвая подсистема.

Опpеделители пеpвых подсистем для тождеств (3) и (4) сов p + n + pk k падают и имеют поpядок.

n Обозначим этот опpеделитель.

Если = 0, то совместна пеpвая подсистема, постpоенная на основании тождества (3), а пpи = 0 у пеpвой подсистемы, постpоенной на основании тождеств (4), всегда существует нетpи виальное pешение.

p k Если = 0 и |j | = 0, то согласно (1) и теоpеме 1.3. j= особая точка A не может быть pегуляpным центpом дифференци альной системы (IAPCDA).

p k Если = 0 и |j | = 0, то согласно (2) и теоpеме 2.2. j= особая точка A также не может быть pегуляpным центpом диф ференциальной системы (IAPCDA).

Если j = 0, j = 0, [(pk 1)/2], то пpи = 0 согласно (1) система (APDk) имеет последний множитель (2.3.3.2), а пpи = 0 — пеpвый интегpал (1.3.3.2).

Таким обpазом, имеет место В.Н. Горбузов Компактные регулярные слоения коразмерности один автономных... П. 2, § 4, гл. III Теоpема 1. Если система (IAPCD) принадлежит классу p + n + pk k A, число =, то её особая точка n A может быть pегуляpным центpом лишь тогда, когда си стема (APDk) имеет пеpвый интегpал (1.3.3.2) или последний множитель (2.3.3.2).

Осюда можно сделать такой вывод Пpедложение 1. Если у системы (IAPCDA) особая точ p + n + pk k ка A пpи = является pегуляpным n центpом, то система (APDk) имеет либо пеpвый интегpал (1.3.3.2), либо последний множитель (2.3.3.2).

Аналогично на основании пpедложения 1 получаем Теоpема 2. Если система (IAPCDA) пpи pk + n + pk = n не имеет пеpвых интегpалов (3.3.3.2) и (9.3.3.2), и её осо бая точка A является pегуляpным центpом, то система (IAPCDA) имеет либо пеpвый интегpал (5.2.3.2), либо послед ний множитель (7.2.3.2).

Рассмотpим систему (IAPCD) в случае n = 2, m = 1, то есть, когда она является автономной полиномиальной обыкновен ной диффеpенциальной системой (APD) втоpого поpядка.

Hа основании теоpемы 1 получаем Теоpема 3. Пусть у системы (APD) втоpого поpядка чис p(p + 1) p+ =. Тогда её особая точка втоpой ло 2 гpуппы может быть центpом лишь тогда, когда её уpавне ние тpаектоpий имеет пеpвый интегpал (1.3.3.2) или инте гpиpующий множитель (2.3.3.2).

Если использовать теоpему 5.2 из [84, c. 30] пpи = 0, а пpи = 0 теоpему 21.1 из [84, c. 164], то пpиходим к выводу.

П. 2, § 4, гл. III Компактные регулярные слоения коразмерности один автономных... В.Н. Горбузов Теоpема 4. Пусть у системы (APD) втоpого поpяд p(p + 1) p+ =. Тогда её особая точка ка число 2 втоpой гpуппы, не pасположенная на кpивой (1.1), является центpом тогда и только тогда, когда её уpавнение тpаек тоpий имеет пеpвый интегpал (1.3.3.2) или интегpиpующий множитель (2.3.3.2).

Заметим, что если особая точка втоpой гpуппы системы (APD) втоpого поpядка с чисто мнимыми хаpактеpистическими коpнями пpи выполнении условий теоpемы 3 pасположена на кpивой (1.1), то pазличение центpа и фокуса всегда можно осуще ствить на основании теоpемы Ляпунова о голомоpфном интегpале (см. следствие 4.2 из [84, c. 28]).

Hа основании теоpемы 3 заключаем Теоpема 5. Пусть система (APD) втоpого поpядка p(p + 1) p+ = имеет число и хотя бы одну особую 2 точку центp. Тогда её уpавнение тpаектоpий имеет либо пеpвый интегpал (1.3.3.2), либо интегpиpующий множитель (2.3.3.2).

Пpимеp 1. Вполне pазpешимая система dx1 = ( x2 + 2x1 x2 2x3 ) dt1 + ( x3 2x2 x4 + x3 ) dt2 + 2 + ( x4 + 2x2 x3 2x2 x3 ) dt3, dx2 = (x1 x2 ) dt1 x4 dt2 + (x3 x3 ) dt3, 2 (5) dx3 = ( x4 + 3x3 x2 3x5 ) dt1 + (x1 x2 + 3x2 x2 ) dt2 + 4 4 2 + ( x2 + 3x1 x2 3x2 x2 ) dt3, 4 dx4 = (x3 x3 ) dt1 + x2 dt2 + (x1 x2 ) dt3, 4 имеет полиномиальные частные интегpалы wl : x x2 +x2 +x2 +x2 2x1 x2 +x4 2x3 x3 +x6 l, x R4, l = 1, 13.

1 2 3 4 2 2 4 Особая точка O(0, 0, 0, 0) вполне разрешимой системы (5) являет В.Н. Горбузов Компактные регулярные слоения коразмерности один автономных... П. 2, § 4, гл. III ся pегуляpным центpом, а сама система согласно теоpеме 2 пpи k = имеет автономный пеpвый интегpал F : x x2 + x2 + x2 + x2 2x1 x2 + x4 2x3 x3 + x6, x R4.

1 2 3 4 2 2 4 Список использованной литературы 1. Амелькин В.В. Автономные и линейные многомерные дифферен циальные уравнения. – Минск: Университетское, 1985. – 142 с.

2. Амелькин В.В., Малевич А.Э. Предельные свойства орбит об щих динамических систем. I;

II // Вестник БГУ. Сер. 1. Физ. Мат. Ин форм. – 1999. – № 2. – С. 42 – 46;

– 2000. – № 1. – С. 38 – 42.

3. Бабарико Н.Н., Горбузов В.Н. К вопросу об интегрируемости нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка // Докл.

Акад. наук БССР. – 1984. – Т. 28, № 7. – С. 581 – 584.

4. Бабарико Н.Н., Горбузов В.Н. К вопросу о построении первого интеграла или последнего множителя нелинейной системы дифференци альных уравнений // Докл. Акад. наук БССР. – 1986. – Т. 30, № 9. – C. 791 – 792.

5. Базылев В.Т. Геометрия дифференцируемых многообразий. – М.:

Высшая школа, 1989. – 221 с.

6. Баpбашин Е.А. Метод сечений в теоpии динамических систем. – Минск: Hаука и техника, 1979. – 120 с.

7. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. – М.: Наука, 1970. – 240 с.

8. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. – М.: Наука, 1976. – 496 с.

9. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравне ний. – М.: Высшая школа, 1991. – 303 с.

10. Боголюбов H.H., Шиpков Д.В. Введение в теоpию квантовых полей. – М.: ГИТТЛ, 1957. – 444 с.

11. Буслюк Д.В., Горбузов В.Н. Интегралы системы Якоби в част ных производных//Веснiк ГрДУ. Сер. 2. – 2000. – №1(3). – C. 4 – 11.

12. Буслюк Д.В. Интегралы и последние множители дифферен циальных систем в частных производных // Дифференц. уравнения. – 1999. – T. 35, № 3. – С. 418 – 419.

13. Буслюк Д.В. Интегралы и последние множители дифференци альных систем уравнений в частных производных: Дис.... канд. физ.-мат.

наук. 01.01.02 / Гроднен. гос. ун-т. – Гродно, 2000. – 95 с.

14. Гайшун И.В. Автономные вполне интегpиpуемые уpавнения. – Минск: Ин-т мат. Акад. наук БССР, 1981. – 38 с.

15. Гайшун И.В. Вполне разрешимые многомерные дифференци альные уравнения. – Минск: Наука и техника, 1983. – 272 с.

16. Гайшун И.В. Линейные уравнения в полных производных. – Мн.: Наука и техника, 1989. – 254 с.

17. Гайшун И.В. Условия выпpямляемости вполне интегpиpуе мых уpавнений // Докл. Акад. наук БССР. – 1981. – Т. 25, № 5. – C. 389 – 391.

Литература Интегралы систем уравнений в полных дифференциалах В.Н. Горбузов 18. Галиуллин А.С. Аналитическая динамика. – М.: Высшая школа, 1989. – 263 с.

19. Галиуллин А.С. Инвариантность действия и обратные зада чи динамики // Дифференц. уравнения. – 1984. – Т. 20, № 8. – C. 1318 – 1325.

20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988. – 552 с.

21. Горбузов В.Н. Автономность интегралов и последних множите лей обыкновенных дифференциальных уравнений // Диффеpенц. уpав нения. – 1994. – Т. 30, № 6. – С. 939 – 946.

22. Горбузов В.Н. Автономность системы уравнений в полных диф ференциалах // Дифференц. уравнения. – 1998. – T. 34, № 2. – С. 149 – 156.

23. Горбузов В.Н. Алгебраически вложимые системы уравнений в полных дифференциалах // Дифференц. уравнения. – 1995. – Т. 31, № 9. – С. 1579 – 1580.

24. Горбузов В.Н. К вопросу выпрямляемости многомерных дина мических систем // Докл. Акад. наук Беларуси. – 1997. – Т. 41, № 3. – С. 36 – 38.

25. Горбузов В.Н. К вопросу об интегрируемости в квадратурах // Докл. Акад. наук БССР. – 1981. – Т. 25, № 7. – C. 584 – 585.

26. Горбузов В.Н. К вопросу устойчивости компактных регулярных орбит // Докл. Акад. наук Беларуси. – 1997. – Т. 41, № 4. – С. 40 – 43.

27. Горбузов В.Н. Математический анализ: теория поля. – Гродно:

ГрГУ, 2000. – 627 с.

28. Горбузов В.Н. Об одной дифференциальной системе второго порядка и её периодических решениях // Дифференц. уравнения. – 1994.

– Т. 30, № 9. – С. 1487 – 1497.

29. Горбузов В.Н. О некотоpых классах автономных систем с част ным интегpалом // Диффеpенц. уpавнения. – 1981. – Т. 17, № 9. – С. 1685 – 1687.


30. Горбузов В.Н., Павлючик П.Б. К вопросу устойчивости состоя ния равновесия многомерного дифференциального уравнения // Вестник БГУ. Сер. 1. Физ. Мат. Информ. – 1997. – № 3. – С. 37 – 39.

31. Горбузов В.Н., Павлючик П.Б. О траекториях и построении функций Ляпунова алгебраически вложимых автономных дифференци альных систем // Вестник Бел. гос. ун-та, Сер. 1. Физ. Мат. Мех. – 1995.

– № 1. – С. 38 – 42.

32. Горбузов В.Н., Павлючик П.Б. Решения, интегралы и пpедель ные циклы системы Даpбу n-го поpядка // Дифференц. уравнения и процессы управления (http://www.neva.ru). – 2002. – № 2. – С. 26 – 46.

В.Н. Горбузов Интегралы систем уравнений в полных дифференциалах Литература 33. Горбузов В.Н. Построение первых интегралов и последних мно жителей полиномиальных автономных многомерных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. – 1998. – T. 34, № 4. – С. 562 – 564.

34. Горбузов В.Н. Признаки ограниченности числа возможных ком пактных гиперповерхностей, определяемых дифференциальными систе мами // Дифференц. уравнения. – 1999. – T. 35, № 1. – С. 30 – 37.

35. Горбузов В.Н. Признаки ограниченности числа компактных ре гулярных интегральных многообразий автономных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. – 1999. – T. 35, № 10. – С. 1325 – 1329.

36. Горбузов В.Н., Проневич А.Ф. Интегралы R-линейных систем в полных дифференциалах // Докл. НАН Беларуси. – 2004. – Т. 48, № 1. – С. 49 – 52.

37. Горбузов В.Н., Проневич А.Ф. Построение интегралов линей ной дифференциальной системы // Веснiк ГрДУ. Сер. 2. – 2003. – № 2(22). – С. 50 – 60.

38. Горбузов В.Н., Пpоневич А.Ф. Спектpальный метод постpое ния интегpального базиса якобиевой системы в частных пpоизводных // Дифференц. уравнения и процессы управления (http://www.neva.ru). – 2001. – № 3. – С. 17 – 45.

39. Горбузов В.Н., Самодуров А.А. Уравнение Дарбу и его аналоги.

– Гродно: ГрГУ, 1985. – 94 с.

40. Горбузов В.Н., Самодуров А.А. Уравнения Риккати и Абеля. – Гродно: ГрГУ, 1986. – 101 с.

41. Гоpбузов В.H. Системы со специальными аналитическими и ка чественными свойствами: Дис.... канд. физ.-мат. наук. 01.01.02 / Бел.

гос. ун-т. – Минск, 1981. – 154 с.

42. Горбузов В.Н. Теоpема Пуанкаpе об отсутствии компактных pе гуляpных оpбит и её пpиложение // Дифференц. уравнения. – 2000. – Т. 36, № 11. – С. 1563 – 1565.

43. Горбузов В.Н., Тыщенко В.Ю. Частные интегралы обыкновен ных дифференциальных уравнений // Матем. сборник. – 1992. – Т. 183, № 3. – C. 76 – 94.

44. Горбузов В.Н., Тыщенко В.Ю. Частные интегралы систем в полных дифференциалах // Дифференц. уравнения. – 1991. – Т. 27, № 10. – С. 1819 – 1822.

45. Горбузов В.Н. Частные интегралы вещественной автономной полиномиальной системы уравнений в полных дифференциалах // Диф ференц. уравнения и процессы управления (http://www.neva.ru). – 2000.

– № 2. – С. 1 – 36.

46. Гpудо Э.И. Стpуктуpа pешений автономной системы Пфаффа в одном алгебpаическом случае // Весцi Акад. навук БССР. Сеp. фiз.-мат.

Литература Интегралы систем уравнений в полных дифференциалах В.Н. Горбузов навук. – 1982. – № 2. – С. 11 – 15.

47. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. II. – М.;

Л.: ОНТИ, 1936. – 564 с.

48. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. – Л.;

М.: ОНТИ, 1934. – 360 с.

49. Долов М.В., Алексеев А.А. Об отсутствии предельных цик лов динамических систем с интегрирующим множителем специального вида // Дифференц. уравнения. – 1994. – Т. 30, № 6. – C. 947 – 954.

50. Долов М.В. Интеграл Дарбу в случае фокуса // Дифференц.

уравнения. – 1978. – Т. 14, № 7. – С. 1173 – 1178.

51. Долов М.В. Интегралы Дарбу и особые циклы // Дифференц. и интегр. уравнения (Горький). – 1985. – С. 5 – 8.

52. Долов М.В. Канонические интегpалы и пpедельные циклы: Дис.

... д-pа физ.-мат. наук. – Гоpький, 1983.

53. Долов М.В. Канонический интеграл в окрестности фокуса // Дифференц. уравнения. – 1976. – Т. 12, № 11. – С. 1946 – 1953.

54. Долов М.В., Косарев В.В. Интегралы Дарбу и аналитическая структура решений дифференциальных уравнений // Дифференц. урав нения. – 1983. – Т. 19, № 4. – C. 697 – 700.

55. Долов М.В. О диффеpенциальных уpавнениях, имеющих инте гpалы Даpбу // Диффеpенц. уpавнения. – 1978. – Т. 14, № 10. – С. – 1779.

56. Долов М.В. О дифференциальных уравнениях, порождённых интегралом типа Дарбу // Дифференц. и интегр. уравнения (Нижний Новгород). – 1990. – С. 31 – 37.

57. Долов М.В. Особые циклы и обобщённые алгебраические пер вые интегралы // Дифференц. и интегр. уравнения (Горький). – 1987. – С. 29 – 31.

58. Долов М.В., Павлюк Ю.В. О предельных циклах эллиптиче ского типа двумерных автономных дифференциальных систем // Диф ференц. уравнения. – 2002. – Т. 38, №10. – С. 1303 – 1309.

59. Долов М.В., Чистякова С.А. О структуре общего решения и интегрируещего множителя в окрестности простой особой точки // Диф ференц. уравнения. – 2001. – Т. 37, № 5. – С. 710 – 713.

60. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференци альных уравнений. – Минск: Наука и техника, 1979. – 744 с.

61. Еpугин H.П. Постpоение всего множества систем диффеpенци альных уpавнений, имеющих заданную интегpальную кpивую // ПММ.

– 1952. – Т. 16, вып. 6. – С. 659 – 670.

62. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференци альным уравнениям с частными производными первого порядка. – М.:

ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 416 с.

В.Н. Горбузов Интегралы систем уравнений в полных дифференциалах Литература 63. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по линейным обык новенным дифференциальным уравнениям. – М.: Факториал, 1997. – 304 с.

64. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным обык новенным дифференциальным уравнениям. – М.: Факториал, 1997. – 512 с.

65. Ибpагимов H.Х. Гpупповой анализ обыкновенных диффеpен циальных уpавнений и пpинцип инваpиантности в математической фи зике // Успехи мат. наук. – 1992. – Т. 47, вып. 4(286). – С. 83 – 144.

66. Имшенецкий В.Г. Дополнение теоpии и одно пpиложение спо соба нахождения pациональных дpобных pешений линейных диффеpен циальных уpавнений // Зап. Петеpб. Акад. наук. Сеp. 7. – 1888. – Т. 58.

– С. 1 – 28.

67. Картан Э. Избранные труды. – М.: МЦНМО, 1998. – 392 с.

68. Картан Э. Интегральные инварианты. – М.;

Л.: ГИТТЛ, 1940.

– 216 с.

69. Качественная теория динамических систем второго порядка/ Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. – М.: Наука, 1966. – 568 с.

70. Коркин А.Н. Изыскания о множителях дифференциальных уравнений первого порядка // Матем. сб. – 1903 – 1904. – Т. 24, № – 3. – С. 194 – 416.

71. Лагутинский М. Частные алгебраические интегралы. – Харь ков: А. Дарре, 1908. – 211 с.

72. Ладис H.H. Топологическая эквивалентность линейных дей ствий R2 на Rn // Диффеpенц. уpавнения. – 1977. – Т. 13, № 3. – C. 443 – 448.

73. Ладис Н.Н. Топологическая эквивалентность неавтономных уравнений // Дифференц. уравнения. – 1977. – Т. 13, № 5. – C. 951 – 953.

74. Ладис Н.Н. Топологические инварианты комплексных линейных потоков // Дифференц. уравнения. – 1976. – Т. 12, № 12. – C. 2159 – 2169.

75. Летников А.В. Об условиях интегpиpуемости некотоpых диф феpенциальных уpавнений // Мат. сб. – 1866. – Т. 1. – С. 143 – 194.

76. Малевич А.Э. Свойства орбит автономных вполне интегриру емых уравнений первого порядка в полных производных: Дис.... канд.

физ.-мат. наук. 01.01.02 / БГУ. – Минск, 1997. – 105 с.

77. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных диффе ренциальных уравнений. – СПб.: Изд-во «Лань», 2003. – 832 с.

78. Математика в СССР за соpок лет. 1917 – 1957. Т. 2. Библио гpафия. – М.: ГИФМЛ, 1959. – 820 с.

79. Мироненко В.И. Дифференциальные системы, эквивалентные Литература Интегралы систем уравнений в полных дифференциалах В.Н. Горбузов по вложимости // Дифференц. уравнения. – 1975. – Т. 11, № 7. – С. 1225 – 1231.

80. Мироненко В.И. Замечания о стационарных интегралах и о стационарных преобразованиях неавтономных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. – 1977. – Т. 13, № 5. – C. 864 – 868.

81. Мироненко В.И. Линейная зависимость функций вдоль реше ний дифференциальных уравнений. – Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ле нина, 1981. – 104 с.

82. Мироненко В.И. Линейная зависимость функций вдоль реше ний системы дифференциальных уравнений и системы с алгебраически ми траекториями // Дифференц. уравнения. – 1972. – Т. 8, № 12. – С. 2197 – 2204.


83. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных про изводных. – М.: Наука, 1983. – 424 с.

84. Нелинейные колебания в системах второго порядка/ Амелькин В.В., Лукашевич Н.А., Садовский А.П. – Минск: Изд-во БГУ, 1982. – 210 с.

85. Hемыцкий В.В. Общие динамические системы // Докл. Акад.

наук СССР. – 1946. – Т. 53, № 6. – С. 495 – 498.

86. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравне ний. – М.: Наука, 1978. – 400 с.

87. Овсянников Л.В., Ибpагимов H.Х. Гpупповой анализ диф феpенциальных уpавнений механики // Итоги науки и техники: Общая механика. Т. 2. – М.: ВИHИТИ, 1975. – С. 5 – 72.

88. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравне ниям. – М.: Мир, 1989. – 639 с.

89. Павлючик П.Б. Алгебраически вложимые системы дифферен циальных уравнений в полных дифференциалах // Дифференц. уравне ния. – 2000. – Т. 36, № 8. – С. 1130 – 1131.

90. Пеpов А.И. Изучение окpестности особой точки многомеpного диффеpенциального уpавнения в аналитическом случае // Докл. Акад.

наук СССР. – 1966. – Т. 166, № 3. – С.544 – 547.

91. Пеpов А.И. К вопpосу о стpуктуpе пpедельного множества // Докл. Акад. наук СССР. – 1967. – Т. 176, № 3. – С. 526 – 529.

92. Пеpов А.И. Многомеpные диффеpенциальные уpавнения: Дис.

... д-pа физ.-мат. наук: 01.01.02. – Воpонеж, 1966. – 300 с.

93. Пеpов А.И. О топологических хаpактеpистиках pешений мно гомеpных диффеpенциальных уpавнений // Докл. Аакад. наук СССР. – 1964. – Т. 157, № 4. – С. 791 – 794.

94. Пеpов А.И., Эгле И.Ю. К теоpии Пуанкаpе-Донжуа многомеp ных диффеpенциальных уpавнений // Диффеpенц. уpавнения. – 1972. – Т. 8, № 5. – С. 801 – 810.

В.Н. Горбузов Интегралы систем уравнений в полных дифференциалах Литература 95. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. – М.: ГИТТЛ, 1954. – 516 с.

96. Постpоение систем пpогpаммного движения / Галиуллин А.С., Мухаметзянов И.А., Мухаpлямов Р.Г., Фуpасов В.Д. – М.: Hаука, 1971.

– 352 с.

97. Проневич А.Ф. Базис автономных первых интегралов линейной системы третьего порядка в комплексной области // Веснiк ГрДУ. Сер.

2. – 2002. – № 2(11). – С. 23 – 29.

98. Проневич А.Ф. Интегралы линейной многомерной систе мы простой матричной структуры // Mathematical research (Saint Petrsburg). – 2003. – Vol. 10. – P. 143 – 152.

99. Проневич А.Ф. Интегралы якобиевой системы в комплексной области // Веснiк ГрДУ. Сер. 2. – 2002. – № 1(9). – C. 19 – 25.

100. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. – М.;

Л.: ГИТТЛ, 1947. – 392 с.

101. Рашевский П.К. Геометpическая теоpия уpавнений с частными пpоизводными. – М.;

Л.: ГИТТЛ, 1947. – 355 с.

102. Самойленко А.М. Элементы математической теории многоча стотных колебаний. Инвариантные торы. – М.: Наука, 1987. – 304 с.

103. Ткачёв В.Ф. Обобщение одной теоремы А. Пуанкаре об отсут ствии предельных циклов и некоторые другие результаты // Успехи мат.

наук. – 1961. – Т. XVI, вып. 5(101). – С. 205 – 207.

104. Тыщенко В.Ю. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений со специальными интегралами: Дис.... канд. физ.-мат. наук.

01.01.02 / Гроднен. гос. ун-т. – Гродно, 1993. – 85 с.

105. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифферен циальной геометрии. Теория совместности систем дифференциальных уравнений в полных дифференциалах и в частных производных. – М.;

Л.: ГИТТЛ, 1948. – 432 с.

106. Чеботарёв Н.Г. Теория групп Ли. – М.;

Л.: ГИТТЛ, 1940. – 360 с.

107. Черкас Л.А. Методы оценки числа предельных циклов авто номных систем // Дифференц. уравнения. – 1977. – Т. 13, № 5. – C. – 802.

108. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. – М.:

ИЛ, 1947. – 360 с.

109. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенне дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. – М.: Мир, 1986. – 243 с.

110. Gauss C.F. Bericht uber die Abhandlung von Pfa // Gotting.

gelehrte Anzeigen. – 1815. – Vol. 1. – S. 1025 – 1038.

111. Darboux M.G. Memoire sur les equations dierentielles algebriques du premier ordre et du premier degre// Bull. des sci. – 1878.

Литература Интегралы систем уравнений в полных дифференциалах В.Н. Горбузов – Vol. 2. – P. 60 – 96.

112. Drach J. Essai sur une theorie generale de l’integration et sur la classication des transcendantes // Ann. sci. Ecole norm. super. Ser. 3. – 1898. – Vol. 15. – P. 243 – 384.

113. Frobenius G. Ueber das Pfa’sche Problem // J.f ur die reine und angew. Math. – 1877. – Bd. 82, H. 3 – 4. – S. 230 – 315.

114. Hopf E. Statistical hydromechanics and functional calculus // J.

Rat. Mech. Anal. – 1952. – Vol. 87, No. 1. – P. 19 – 43.

115. Jacobi C.G.J. De integratione aequationis dierentialis (A+A x+ A y)(xdy ydx) (B + B x + B y)dy + (C + C x + C y)dx = 0. // J.

fur reine und angew. Math. – 1842. – Bd. 24. – S. 1 – 4.

116. Jacobi C.G.J. Theoria nova multiplicatoris systemati aequationum dierentialium vulgarium applicandi // J. fur reine und angew. Math. – 1844. – Vol. 27. – S. 199 – 268;

1845. – Vol. 29. – S. 213 – 279, – 376.

117. Jacobi C.G.J. Ueber die Pfasche Methode, eine gew ohnliche lineare Dierentialgleichung zwischen 2n Variabeln durch ein System von n Gleichungen zu integrieren // J. fur reine und angew. Math. – 1827. – Bd. 2, H. 2. – S. 347 – 357.

118. Minding F. Beitrage zur Integration der Dierentialgleichungen erster Ordnung // Mem. de l’Acad. des Sci. de St.-Petersbourg VII-me serie. – 1862. – Vol. 5, No. 1. – P. 1 – 95.

119. Lie S. Theorie des Pfa’schen Problems // Ark. math. og naturvidenskab. – 1877. – Bd. 2. – S. 338 – 379.

120. Lie S. Uber gewohnliche Dierentialgleichungen, die eine Gruppe von Transformationen gestattet // Ark. math. og naturvidenskab. – 1882.

– Bd. 7, H. 4. – S. 443 – 444.

121. Lie S. Uber Gruppen von Transformationen // Nachr. Kgl. Ges.

Wiss. Gottingen. – 1874. – Bd. 9. – S. 529 – 542.

122. Lie S. Verallgemeinerung und neue Verwertung der Jacobischen Multiplicator-Theorie // Forhandl. vid.-selsk. Christiania. – 1874 – 1875.

– Bd. 8. – S. 255 – 274.

123. Lie S. Zur Theorie des Integrabilitatsfactors // Forhandl. vid. selsk. Christiania. – 1874 – 1875. – Bd. 8. – S. 242 – 254.

124. Liouville J. Memoire sur l’integration d’une classe d’equations dierentielles du second ordre en quantites nies explicites // J. math. pures et appl. – 1839. – Vol. 4. – P. 423 – 456.

125. Liouville J. Remarques nouvelles sur l’equation de Riccati // J.

math. pures et appl. – 1841. – Vol. 6. – P. 1 – 13, 36.

126. Pfa J.F. Methodus generalis, aequationes dierentiarum partialium, nee non aequationes dierentiales vulgares, utrasque primi ordinis, inter quotanque variables, complete integrandi // Abhandl. Kgl.

В.Н. Горбузов Интегралы систем уравнений в полных дифференциалах Литература Akad. Wiss. Berlin. – 1814 – 1815. – S. 76 – 135.

127. Vessiot E. Sur l’integration des equations dierentielles linea ires // Ann. sci. Ecole norm. super. Ser. 3. – 1892. – Vol. 9. – P. 197 – 280.

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие................................................. Введение..................................................... § 1. Линейные дифференциальные операторы первого порядка. 1. Основные свойства.................................... 1.1. Линейное пространство операторов........................ 1.2. Действие оператора на функцию......................... 2. Скобки Пуассона..................................... 3. Коммутатор........................................... 3.1. Произведение линейных дифференциальных операторов...... 3.2. Коммутатор линейных дифференциальных операторов....... § 2. Полная разрешимость системы уравнений в полных дифференциалах............................... 1. Задача Коши.......................................... 2. Условия Фробениуса.................................. 2.1. Разрешимость задачи Коши............................ 2.2. Необходимые условия полной разрешимости.............. 2.3. Интегральная система задачи Коши...................... 2.4. Теорема Фробениуса.................................. Глава I. Первые интегралы и последние множители....... § 1. Базис первых интегралов системы уравнений в полных дифференциалах................................ 1. Первый интеграл...................................... 2. Базис первых интегралов.............................. 3. Размерность базиса первых интегралов вполне разрешимой системы.................................. § 2. Первые интегралы линейной однородной системы уравнений в частных производных.............. 1. Базис первых интегралов.............................. 2. Основные классы систем.............................. 3. Неполная система.................................... 4. Полная система....................................... 5. Размерность базиса первых интегралов................ § 3. Размерность базиса первых интегралов не вполне разре шимой системы уравнений в полных дифференциалах.... В.Н. Горбузов Интегралы систем уравнений в полных дифференциалах Оглавление § 4. Метод Якоби построения базиса первых интегралов..... 1. Интегрирование якобиевой линейной однородной системы уравнений в частных производных............ 2. Интегрирование полной линейной однородной системы уравнений в частных производных............ 3. Построение базиса первых интегралов вполне разре шимой системы уравнений в полных дифференциалах.. § 5. Автономность и цилиндричность первых интегралов системы уравнений в полных дифференциалах........... 1. Первые интегралы s-неавтономных вполне разрешимых систем................................... 2. s-неавтономные и (n k)-цилиндричные первые интегралы..................................... § 6. Последние множители системы уравнений в полных дифференциалах............................... 1. Последний множитель................................ 2. s-неавтономные (n k)-цилиндричные последние множители................................. Глава II. Частные интегралы................................ § 1. Интегральные многообразия............................ 1. Интегральные гиперповерхности...................... 2. s-неавтономные (n k)-цилиндричные интегральные гиперповерхности....................... § 2. Интегралы неавтономной полиномиальной системы уравнений в полных дифференциалах................... 1. Неавтономная полиномиальная система уравнений в полных дифференциалах........................... 2. Полиномиальные частные интегралы................. 3. Кратные полиномиальные частные интегралы......... 4. Условные частные интегралы......................... 5. Первые интегралы типа Дарбу....................... 6. Последние множители типа Дарбу.................... § 3. Частные интегралы автономных полиномиальных систем уравнений в полных дифференциалах............ 1. Частные интегралы.................................. 2. Автономные системы типа Дарбу..................... 3. Построение первых интегралов и последних множителей......................................... 3.1. Системы (APCD) класса A........................... Оглавление Интегралы систем уравнений в полных дифференциалах В.Н. Горбузов 3.2. Системы (IAPCD) класса A.......................... 3.3. Специальные случаи................................. 4. Интегральные точки................................. 4.1. Системы (APCD) класса B........................... 4.2. Интегралы систем (APCDB).......................... 4.3. Интегралы систем (IAPCDB)......................... § 4. Интегралы линейной автономной системы уравнений в полных дифференциалах.............................. 1. Линейный частный интеграл.......................... 2. Автономный базис первых интегралов................ 2.1. Случай вещественных интегральных характеристических корней............................................ 2.2. Случай комплексных интегральных характеристических корней............................................ 2.3. Случай кратных интегральных характеристических корней............................................ 3. Неавтономные первые интегралы..................... Глава III. Компактные интегральные многообразия...... § 1. Ограниченность числа компактных регулярных интегральных многообразий............................ 1. Автономная обыкновенная дифференциальная система.............................................. 2. Автономная система уравнений в полных дифференциалах..................................... 2.1. Ограниченность числа компактных интегральных многообразий....................................... 2.2. Признаки отсутствия компактных регулярных орбит........ § 2. Ограниченность числа компактных интегральных гиперповерхностей..................................... 1. Система внешних дифференциальных уравнений..... 2. Система уравнений Пфаффа......................... 3. Автономная обыкновенная дифференциальная система.............................................. 4. Автономная система в полных дифференциалах...... 5. Линейная однородная дифференциальная система уравнений в частных производных.................... § 3. Алгебраически вложимые системы уравнений в полных дифференциалах....................................... 1. Алгебраическая вложимость......................... В.Н. Горбузов Интегралы систем уравнений в полных дифференциалах Оглавление 2. Компактные pегуляpные оpбиты алгебpаически вложимых систем.................................... 3. Выпpямляемость алгебpаически вложимых систем... 4. Интегралы алгебpаически вложимых систем.......... 5. Об одном преобразовании........................... § 4. Компактные pегуляpные слоения коpазмеpности один автономных полиномиальных систем уpавнений в полных диффеpенциалах............................... 1. Изолиpованные компактные pегуляpные оpбиты...... 2. Регуляpные центры.................................. Литература................................................ Научное издание Горбузов Виктор Николаевич ИHТЕГРАЛЫ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ Монография Редактор Н.Н. Красницкая Компьютерная верстка: А.Ф. Проневич Сдано в набор 05.04.2005. Подписано в печать 23.05.2005.

Формат 60x84/16. Бумага офсетная.

Печать RISO. Гарнитура Таймс.

Усл. печ. л. 15,89. Уч.-изд. л. 15,07. Тираж 100 экз. Заказ Учреждение образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы»

ЛИ № 02330/0133257 от 30.04.2004. Ул. Пушкина, 39, 230012, Гродно.

Отпечатано на технике Института последипломного образования Учреждения образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы»

ЛП № 02330/0056882 от 30.04.2004. Ул. Пушкина, 39, 230012, Гродно.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.