авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ,

СТАТИСТИКИ И ИНФОРМАТИКИ (МЭСИ)

Кафедра Математического обеспечения и

администрирования

информационных систем

Рогозин Олег Викторович

Методы и модели поддержки

принятия инновационных решений

в агентно-ориентированных системах

Монография

Москва, 2012

1 УДК 613.2(11) Методы и модели поддержки принятия инновационных реше ний в агентно-ориентированных системах. Монография. – М.: МЭСИ, 2012. – 160 с.

Рецензенты:

д.э.н., проф. Тельнов Ю.Ф., д.т.н., проф. Майков К.А.

Автор:

к.т.н., доц., Рогозин О.В.

В монографии представлена методология формирования наукоем ких агентно-ориентированных систем. Реализован метод агентно компонентнои декомпозиции инновационного процесса на основе вы явления устоичивых взаимосвязеи между инновационными элемента ми. Применены методы нечеткого кластерного анализа и самооргани зующихся неиронных сетеи.

Разработаны методы определения нечетких, реитинговых, интер вальных (с заданным уровнем доверия), точечных оценок и оценок ин тенсивности проявлении качественных признаков объекта.

Работа предназначена для преподавателеи, аспирантов и студен тов вузов, слушателеи магистратуры, бакалавриата, научных работни ков, специалистов в области принятия решении и исследователеи новых научных направлении на основе построения и использования неиро нечетких систем ISBN 978-5-7764-0716-1 © Рогозин О.В., Оглавление Введение............................................................................................................................................................. ГЛАВА 1. МЕТОДОЛОГИЯ ФОРМИРОВАНИЯ АГЕНТНО-ОРИЕНТИРОВАННЫХ СИСТЕМ (АОС) ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ ИННОВАЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ........................................................................... 1.1. Обоснование разработки методологии формирования АОС принятия инновационных решений..... 1.2. Анализ методов и моделей ППР в статистических задачах................................................................... 1.3. Анализ методов и моделей ППР в многокритериальных задачах......................................................... 1.4. МАС и функции агента в задаче управления инновационным процессом (ИВП)................................. 1.5. Формализация МАС с использованием делиберативного агента в условиях точной модели мира... 1.6. Анализ методов и моделей МАС управления инновационным процессом в условиях неопределенности............................................................................................... 1.7. Обоснование нейро-нечетких методов и моделей МАС.

........................................................................ 1.8. Формализация нейро-нечетких методов и моделей МАС рационального агента................................ ГЛАВА 2. ТЕХНОЛОГИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ АОС ППР ИННОВАЦИОННОГО ПРЕДПРИЯТИЯ........ 2.1. Формальный аппарат технологии проектирования АОС на основе рациональных МАС.................... 2.2. Обработка и формализация экспертной информации........................................................................... 2.3. Применение методов кластерного и сравнительного анализа в МАС ППР инновационного предприятия............................................................................................... 2.4. Пропозициональные графы и система редукций.................................................................................... 2.5. Разбиение задач с ненадежными знаниями............................................................................................ 2.6. Адаптивные методы ППР в многоагентных системах. Субъективный байесовский метод................. ГЛАВА 3. НЕЧЕТКИЙ МЕТОД ПР НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ОТВЕТНОЙ РЕАКЦИИ АГЕНТА................................................. 3.1. Коррекция ошибки в типовой ситуации.................................................................................................... 3.2. Нечеткая логико-лингвистическая модель............................................................................................... 3.3. Алгоритм поиска решения с автокоррекцией по контрольным прецедентам....................................... 3.4. Формирование зон решения на основе контрольных прецедентов....................................................... 3.5. Определение переменных и правил в модели поправки решения........................................................ ГЛАВА 4. АОС ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ ИННОВАЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ ГИБРИДНЫХ МОДЕЛЕЙ............ 4.1. Критерии оценки эффективности инновационного проекта................................................................... Заключение......................................................................................................................................................... Литература.......................................................................................................................................................... ВВЕДЕНИЕ Разработка методов ППР в высокотехнологичном производстве требует анализа и учета многих факторов. Для успешного достижения поставленной цели необходимо применение новых информационных технологий, учитыва ющих особенности решения задачи в условиях неопределенности, слабой структурированности, неоднозначности.

Комплексный подход к решению проблемы должен включать использо вание аппарата нечетких множеств, теории нечеткой логики, нейронных се тей и генетических алгоритмов. Большой научный интерес представляют ги бридные модели, использующие преимущества различных подходов, рас сматриваемые системы отличаются наличием множества связей, высокой размерностью взаимосвязей, что затрудняет или делает невозможным приме нение точных математических методов. Кроме того, исходные данные не все гда измеримы с достаточной точностью, что накладывает дополнительные требования к способу моделирования системы. Подобные системы необходи мы в областях техники, медицины, экологии, бизнесе, социологии, которые применяются для решения задач прогнозирования, управления, классифика ции. В ряде систем ведения электронного бизнеса (B2B – business-to-business) [16] естественным образом возникает виртуальное представление участников рынка с помощью программных агентов, выполняющих функции предвари тельного семантического анализа информации и ведения переговоров между партнерами.

Передовые корпорации поддерживают такие неформальные структуры как сообщества обмена знаниями (community of practice – CoP) [17]. Во мно гих корпорациях встают задачи управления содержанием (content manage ment), требующие построения онтологических моделей, учитывающих логи ку связей и отношений, моделей метазнаний[Part 1-1].Для решения подобных задач требуются новые подходы. В этой связи и возникает парадигма агентно ориентированных систем, использующих интеллектуальных агентов как вы сокоуровневую абстракцию для формализации и структурирования предмет ной области и как мощное программное средство для разработки и реализа ции сложных информационных систем. Интеллектуальные агенты являются новым классом программных и программно-аппаратных сущностей, которые действуют от имени пользователя, чтобы находить и обрабатывать информа цию, вести переговоры в системах электронной торговли и услуг, автомати зировать выполнение рутинных операций и поддерживать решение трудных задач, сотрудничать с другими агентами при возникновении сложных про блем.

Развитие агентно-ориентированных систем позволяет перейти от тради ционной схемы проектирования систем управления с четкой иерархической структурой к самоорганизующимся мультиагентным системам, способным формировать новые знания и принимать решения. В настоящее время пред ставлено достаточно много разнообразных методологий агентно-ориентиро ванного моделирования и проектирования: MESSAGE, MaSE, AUML, PASSI, Gaia, PASSI, PROMETHEUS, TROPOS. Большой интерес представляет разра ботка нейро-нечетких моделй агентов (ННА), использование генетических алгоритмов при формировании рациональных агентов. Переход от реализа ции модуля логического вывода в делиберативных агентах (ДА) и экспертных системах (ЭС) к экспертным системам с доской объявлений (Blackboard Sys tem) и рациональным агентам требует новых когнитивных технологий полу чения и формализации знаний.

ГЛАВА 1. МЕТОДОЛОГИЯ ФОРМИРОВАНИЯ АГЕНТНО-ОРИЕНТИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ ППР 1.1. Обоснование разработки методологии формирования агентно-ориентированных систем поддержки принятия инновационных решений Проблема принятия решений составляет основу любой целенаправлен ной деятельности человека и, разработанной для ее решения агентно-ориен тированной системы. При всем многообразии возможных условий и ситуа ций, в которых осуществляется выбор, эта проблема носит достаточно уни версальный характер и отличается наличием следующих составляющих: це ли, альтернатив и ограничений Цель, которая должна быть достигнута. Альтернативные линии пове дения связаны с тем, что решения принимаются в условиях, когда существу ет несколько способов достижения поставленной цели. Каждый из способов может характеризоваться различной степенью и вероятностью достижения цели, требовать различных затрат. Ограничивающие факторы. Все множества ограничивающих факторов можно разбить на три группы: экономические факторы – денежные средства, трудовые и производственные ресурсы, время и т.п.;

технические факторы – габариты, вес, энергопотребление, надёжность, точность и т.п.;

социальные факторы, учитывающие требования человече ской этики и морали.

Под инновациями будем понимать нововведения в области техники, технологии, организации труда и управления, основанные на использовании достижений науки и передового опыта, а также использование этих новшеств в самых разных областях и сферах деятельности [1, 2]. Официальными рос сийскими терминами в области инновационной деятельности являются терми ны, используемые в «Концепции инновационной политики Российской Феде рации на 1998-2000 годы», одобренной постановлением Правительства РФ от 24 июля 1998 г. № 832. В частности, в этом документе дается следующее определение инновации: «Инновация (нововведение) – конечный результат инновационной деятельности, получивший реализацию в виде нового или усовершенствованного продукта, реализуемого на рынке, нового или усовер шенствованного технологического процесса, используемого в практической деятельности». Инновационная политика, как часть социально-экономической политики, определяет цели, приоритеты и механизм реализации КСИР.

Основным критерием оценки инновационной деятельности является стоимость инновационного предприятия. Но если в инновационной модели принятия решений широко и успешно применяются методы многокритери ального выбора, то формирование инновационной политики предприятия с последующей поддержкой принятия решений на уровне стратегии, тактики и оперативного управления является многовариантной задачей, в которой определяющую роль играют качественные характеристики, способные учесть влияние неопределенности.

По признаку содержания или внутренней структуры выделяют иннова ции технические, экономические, организационные, управленческие и др., по масштабу инноваций – глобальные и локальные;

по параметрам жизненного цикла – выделение и анализ всех стадий и подстадий, закономерности про цесса внедрения и т. п. Ученые: Н. Мончев, И. Перлаки, Хартман В. Д., Мэн сфилд Э., Фостер Р., Твист Б., И. Шумпетер, Роджерс Э. и др. трактуют это понятие в зависимости от объекта и предмета своего исследования. Напри мер, Б. Твист определяет инновацию как процесс, в котором изобретение или идея приобретают экономическое содержание. Ф. Никсон считает, что инно вация – это совокупность технических, производственных и коммерческих мероприятий, приводящих к появлению на рынке новых и улучшенных про мышленных процессов и оборудования. Санто определяет инновацию, как такой общественный – технический – экономический процесс, который через практическое использование идей и изобретений приводит к созданию луч ших по своим свойствам изделий, технологий, и в случае, если она ориенти руется на экономическую выгоду, прибыль, появление инновации на рынке может привести добавочный доход.

Шумпетер трактует инновацию как новую научно-организационную комбинацию производственных факторов, мотивированную предпринима тельским духом. В настоящее время применительно к технологическим ин новациям действуют понятия, установленные в Международных стандартах в статистике науки, техники и инноваций.

В соответствии с этими стандартами инновация – конечный результат инновационной деятельности, получивший воплощение в виде нового или усовершенствованного продукта, внедренного на рынке, нового или усовер шенствованного технологического процесса, используемого в практической деятельности, либо в новом подходе к социальным услугам.

Традиционные подходы включают в качестве основы макроэкономиче скую модель Кейнса, которая базируется на взаимодействии потребления, сбережений, инвестиций и дохода и учитывает три основных состояния эко номики: подъем, развитие и спад. В этих условиях инновационные решения могут иметь различный характер. Часто используется новое понятие “пре дельная склонность к инновациям ” по аналогии с предельной склонностью к сбережениям и потреблению. Но учитывая, что в модели Кейнса формирова ние множества инвестиционных решений, приводит к росту дохода, то, сле довательно, может реализоваться в увеличении расходов на инновации.

Основа инновационной концепции, заложенная в работах Шумптера [1] и Кондратьева [2] позволяет выделить пять типичных признаков понятия ин новация: 1 – использование новой техники, новых технологических процес сов или нового рыночного обеспечения производства;

2 – внедрение продук ции с новыми свойствами;

3 – использование нового сырья;

4 – изменения в организации производства и его материально-технического обеспечения;

5 – появление новых рынков сбыта. В качестве инновационного решения бу дем понимать объединение наукоемких проектов на основе цели или набора целей и критериев выбора.

Инновационные проекты могут включать как завершенные, так и не за вершенные процессы. Каждый инновационный процесс включает совокуп ность технологий, ресурсов требующихся для их выполнения и определенное время выполнения. Сформируем набор показателей эффективности иннова ционного проекта и представим обобщенную модель инновационного проек та в виде:

I In, G, T, R где I – инновационный проект, In – начальное состояние инновационного проекта, G – цель, T – технологии или правила перехода от одного со стояния проекта к другому, R – ресурсы.

В общем случае под инвестиционным процессом понимается целена правленное вложение заданного объёма (потока) капитальных затрат на фик сированном временном интервале [t(i),t(i)+T(i)], где t(i) – момент начала реа лизации данного (i-ого) инвестиционного предложения (он может быть за фиксирован изначально или определяться уже в ходе формирования кон кретной инвестиционной программы). В большинстве сложных задач прихо дится стремиться к достижению различных целей. Реализация инновацион ного проекта происходит в соответствии с тремя уровнями.

1.2. Анализ статистических методов и моделей в задачах ППР В ППР решаются следующие задачи 1. Выявление различий в уровне исследуемого признака.

2. Оценка сдвига значений исследуемого признака.

3. Выявление различий в распределении признака.

4. Выявление степени согласованности изменений.

5. Анализ изменений признака под влиянием контролируемых условий.

Критерии используется для оценки различий между выборками по уровню какого-либо признака. В исследованиях сложных объектов часто бы вает важно доказать, что в результате действий каких-либо факторов про изошло достоверное изменение в измеряемых показателях. К числу таких факторов, например, может быть отнесено время. Сопоставление показателей через некоторые промежутки времени дает временной сдвиг. Cопоставление показателей, полученных одними и теми же методами, но в разных условиях измерения, дает ситуационный сдвиг. Можно создать специальные экспери ментальные условия, предположительно влияющие на те, или иные показате ли, и сопоставить их значения до и после эксперимента. Если сдвиги окажут ся статистически достоверными, это позволяет утверждать, что эксперимен тальные воздействия были существенными или эффективными.

Схема 1. Многоцелевой характер обработки информации Во всех этих случаях мы говорим о сдвиге под влиянием контролируе мых или не контролируемых воздействий. Здесь возникает проблема, связан ная с наличием или отсутствием контрольной группы. Если ее нет, то сдвиг может объясняться действием самых различных причин и по мощности воз действия может значительно превосходить экспериментальный фактор. Мы никогда не сможем исключить той возможности, что изменения достигнутые, как нам кажется, в результате наших воздействий, на самом деле объясняют ся неучтенными причинами. При отсутствии контрольной группы, констати руем, что сдвиг произошел, но не можем приписать его фактору воздействия.

Бывают случаи, когда контрольная группа отсутствует, но есть две или более экспериментальных групп, различающихся по условиям и способам воздей ствия на них. Сопоставление групп, различающихся по этим признакам, поз воляет уточнить специфическое действие экспериментальных или естествен но действующих факторов. В этой ситуации в выводах мы все же ограниче ны, если не удается проверить результаты на контрольной группе.

Наконец, существует еще один вид сдвига – структурный, связанный с разными показателями одних и тех же объектов. Мы можем сопоставлять разные показатели одних и тех же объектов, если они измерены в одних и тех же единицах, по одной и той же шкале. В принципе под сдвигом понимается разность между первым и вторым измерением для объектов. Очень часто сначала вычисляются разности отдельно для каждой из групп, а затем прово дится сопоставление двух рядов разностей, полученных в разных группах.

Выявление различий в распределении признака Распределения могут различаться по средним, дисперсиям, асиммет рии, эксцессу и по сочетанию этих признаков. Анализ реально получаемых в исследованиях распределений может позволить нам подтвердить или опро вергнуть данные теоретические положения. Если удается доказать, что рас пределения статистически достоверно различаются, это может стать основой для построения классификации задач и типологии объектов. В практических целях эмпирические распределения проверяются на нормальность, если со бираются использовать параметрические методы и критерии. Традиционные критерии для определения расхождения или согласия распределений – это Пирсона и критерий Колмогорова – Смирнова. Оба эти метода методы требуют тщательной группировки и довольно сложных вычислений. Кроме того, возможности этих критериев в полной мере проявляются на больших выборках (n 30). Но эти методы дают хорошие результаты при решении следующих двух задач:

1. В задачах доказательства не случайности предпочтений в выборе из не скольких альтернатив 2. В задачах, требующих обнаружения точки максимального расхождения между двумя распределения, которая затем может использоваться для перегруппировки данных с целью применения критерия *.

Факторный анализ Главная цель факторного анализа – уменьшение размерности исходных данных с целью их экономного описания при условии минимальных потерь исходной информации. Результатом факторного анализа является переход от множества исходных переменных к существенно меньшему числу новых пе ременных – факторов. Фактор при этом интерпретируется как причина сов местной изменчивости нескольких исходных переменных.

С точки зрения статистики, если предположить, что корреляции могут быть объяснены влиянием скрытых причин – факторов, то можно считать, что еще одно назначение факторного анализа – анализ корреляций множе ства признаков. В таблице 1 приведены результаты исследования 50 испыту емых по пяти переменным.

Таблица 1. Матрица корреляций пяти показателей интеллекта № Показатели 1 2 3 4 1 Счет в уме 1 0.88 0.33 0.23 0. 2 Числовые ряды 1 0.32 0.24 0. 3 Осведомленность 1 0.58 0. 4 Словарный запас 1 0. 5 Сходство Коэффициент корреляции r – Пирсона Статистическая гипотеза о связи двух переменных проверяется в отно шении коэффициента r – Пирсона.

Применяется для изучения взаимосвязи двух метрических переменных на одной и той же выборке.

( x M )( y M ) x y i i r ( xi M x) ( yi M y) xy Если значения той и другой переменной были преобразованы в z – зна чения по формуле:

y M x M z yi y x i i zx, i x y Тогда (z x z y ) i r i N xy Отметим, что коэффициент корреляции Пирсона есть мера прямоли нейной взаимосвязи, он не чувствителен к криволинейным связям.

Основной (нулевой) статистической гипотезой является равенство r – Пирсона нулю в генеральной совокупности.

Определение p-уровня значимости осуществляется при помощи крите рия t-Стьюдента:

N r tэ, df N xy 1 r xy Для численного определения степени взаимосвязи двух переменных при исключении третьей переменной применяют коэффициент частной кор реляции.

Для его вычисления достаточно знать три коэффициента корреляции xy xz yz – Пирсона: xy, xz, yz :

xy z (1 )( 3 ) xz yz При интерпретации результатов с точки зрения причинности следует быть осторожным. Если Z коррелирует с X и Y, а частная корреляция близка к 0, из этого не следует, что именно Z является общей причиной для X и Y.

Таким образом, чем коэффициент x xy z больше по абсолютной величине, тем меньше связь между X и Y обусловлена влиянием Z.Основной нулевой стати стической гипотезой является равенство нулю частной корреляции в гене ральной совокупности H 0 r xy z :

.

Определение p-уровня значимости определяется при помощи критерия t-Стьюдента:

N r xy z, df N t э 1 r xy z p, H Если отклоняется и делается вывод, что обнаружена стати стически достоверная связь x и y при фиксированном значении z.

Коэффициент корреляции r – Спирмена Если объекты в количестве N были ранжированы сначала по перемен ной X, а затем по переменной Y, то корреляцию можно получит, вычислив коэффициент r – Пирсона для двух рядов рангов.

При условии отсутствия повторяющихся рангов формула коэффициен та r – Пирсона может быть преобразована к формуле коэффициента r – Спирмена:

6 d i r N ( N 1) s Здесь d i – разность рангов для объекта i.

Коэффициент корреляции r – Спирмена равен коэффициенту корреля ции r – Пирсона, вычисленному для двух предварительно ранжированных переменных.

Коэффициент корреляции – Кендалла Альтернативой корреляции по Спирмену является корреляция по Кен даллу, основывающаяся на том, что если у пары объектов изменение по X совпадает по направлению с изменением по Y, то это говорит о положитель ной связи, если не совпадает, об отрицательной связи.

Корреляция – Кендалла Есть разность относительных частот совпадения и инверсий при пере боре всех пар объектов в выборке:

P( p) P(q), где P(p), P(q) – относительные частоты, соответственно, совпадений и инверсий. Всего в выборке объемом N объектов существует N ( N 1) всех возможных пар объектов. Следовательно:

P Q N ( N 1) 2, где P – число совпадений, Q – число инверсий, причем:

N ( N 1) PQ, иначе формулу можно представить:

P Q 4Q 4P 1 PQ N ( N 1) N ( N 1) При подсчете – Кендалла данные сначала упорядочиваются по пере менной X. Затем для каждого объекта подсчитывается, сколько раз его ранг по Y оказывается меньше, чем ранги объектов, находящихся ниже. Это число и является числом совпадений для всех объектов и есть P.

Отметим, что, зная коэффициент – Кендалла, можно рассчитать веро ятности:

P( p) P(q) Вероятность совпадения: 2, Вероятность инверсий: Корреляция бинарных данных Для изучения связи между двумя номинативными переменными воз можно использование коэффициентов корреляции K – Чупрова и C – Пирсо на, но предпочтительнее использование критерия – Пирсона.

Исследование связи двух переменных основывается на использовании четырех клеточных таблиц сопряженности.

Таблица 2. Клеточные Признак X Итог 0 Признак Y 0 A b a+b 1 C d c+d Итог a+c b+d В этом случае расчет проводится по формуле:

ad bc (a b)(c d )(a c)(b d ) Интерпретация факторов – одна из основных задач факторного анали за. Ее решение заключается в идентификации факторов через исходные пе ременные.

Факторные нагрузки – аналоги коэффициентов корреляции, показыва ющие степень взаимодействия соответствующих переменных и факторов.

Чем больше абсолютная величина факторной нагрузки, тем сильнее связь пе ременной с фактором, тем больше данная переменная обусловлена действием соответствующего фактора. Каждый фактор идентифицируется по тем пере менным, с которыми он в наибольшей степени связан, то есть по переменны ми, имеющим по этому фактору наибольшие нагрузки. Идентификации фак тора, как правило, заключается в присвоении ему имени, обобщающего по смыслу, входящие в него нагрузки. Иногда нет никаких оснований предпола гать наличие факторов как скрытых причин изучаемых зависимостей, и зада ча состоит в обнаружении группировок тесно связанных переменных. Тогда целесообразно использовать кластерный анализ.

Анализ главных компонент Преобразует набор коррелирующихся переменных в другой набор – некоррелирующихся переменных. Предположим, у нас имеются две положи тельно коррелирующие переменные X, Y, измеренные на группе объектов.

Тогда график двумерного распределения (рассеивания) этих объектов в осях измеренных признаков (координаты объектов заданы значениями признаков) будут представлять собой эллипс, так как большему значению X будет соот ветствовать большее значение переменной Y и наоборот. Главная ось эллип M са – это прямая, вдоль которой будет наблюдаться наибольший разброс данных. Вдоль второй оси эллипса M 2, перпендикулярной первой и прохо дящей через его середину, будет наблюдаться наименьший разброс данных.

Если перед нами возникла задача представления объектов в терминах одной размерности (переменной), то главная ось эллипса является наиболее подхо дящей, так как вдоль нее объекты различаются лучше (дисперсия больше), чем вдоль любой другой прямой, в том числе вдоль отдельно взятых осей X, Y. Анализ главных компонент в отношении этих двух признаков и состоит в переходе от них к главной компоненте, соответствующей главной оси эллип са, и в представлении объектов в значениях проекций этих объектов на дан ную ось (главную компоненту). Иначе говоря, происходит переход от коор M динат объекта по двум осям (X, Y) к их координатам по одной оси.

Анализ главных компонент можно представить как преобразование информации, содержащейся в исходных данных. При этом, определив глав ную компоненту как направление, в котором наблюдается наибольший раз брос объектов и, представляя объекты в единицах измерения по этой оси, те ряется минимум информации об отличии объектов друг от друга. Чем силь нее взаимосвязь двух переменных, тем меньше информации теряется при пе реходе от двух переменных к главной компоненте.

При наличии более двух коррелирующих переменных определение главных компонент аналогично. В осях трех и более переменных график раз броса объектов будет представлять собой эллипсоид. Первая ось этого эл липсоида пройдет по его наибольшему диаметру, вторая – по наибольшему диаметру в плоскости, рассекающий эллипсоид посредине и перпендикуляр но первой оси, и так далее. Количество осей будет равно количеству пере менных, и в направлении каждой последующей оси будет все меньше и меньше разброс наблюдений. При этом количество компонент, пользователь выбирает как «главные», в общем случае может быть произвольно. В основе данного подхода лежит математический метод определения собственных значений и собственных векторов корреляционной матрицы. В процессе компонентного анализа решается уравнение, которое в матричной форме имеет следующий вид:

R AA T R – исходная матрица корреляций, А – матрица, каждый элемент кото a рой ik компонентная нагрузка переменной i по компоненте k. Это урав нение называют фундаментальной факторной теоремой. Результатом реше ния этого уравнения является матрица компонентной нагрузки А.

Решение уравнения для таблицы 1 позволяет получить матрицу компонент ных нагрузок в следующем виде (таблица 3) Таблица 3. Компоненты корреляционной матрицы показателей интеллекта Переменная Компоненты 1 2 3 4 1 0.77 -0.58 0.0 0.03 -0. 2 0.75 -0.6 -0.13 0.0 0. 3 0.75 0.41 -0.06 -0.51 -0. 4 0.68 0.53 -0.39 0.33 -0. 5 0.78 0.3 0.52 0.18 0. Собственное значе- 2.78 1.24 0.45 0.41 0. ние () Доля дисперсии 0.56 0.25 0.09 0.08 0. Накопленная доля 0.56 0.81 0.9 0.98 1. дисперсии Собственные значения выделяются в порядке их убывания в соответ ствии с осями эллипсоида разброса наблюдений. Количество выделяемых компонент (и собственных значений) равно числу переменных. Сумма всех собственных значений равна количеству переменных. Чем выше корреляция между переменными, тем больше предыдущее собственное значение и меньше – последующее. Если все корреляции между исходными значениями равны 0, то каждое собственное значение равно 1. Собственное значение, де ленное на количество переменных, есть доля дисперсии, соответствующей данной компоненте. Все компоненты исчерпывают 100% совокупной дис персии переменных. Каждый элемент a ik матрицы A – это компонентная нагрузка переменной i по компоненте k. Компонентная нагрузка – аналог ко эффициента корреляции. Соответственно, квадрат компонентной нагрузки приобретает смысл части дисперсии переменной, объясняемой соответству ющей компонентой.

Полная единичная дисперсия каждой переменной разложена по компо нентам. Сумма всех компонентных нагрузок по столбцу равна собственному значению данной компоненты:

N aij ij j i – номер компоненты, j – номер переменной. Собственное значение, деленное на количество переменных, это доля дисперсии, соответствующая данной компоненте, и используется как показатель информативности компо ненты. Факторная теорема позволяет восстановить коэффициенты корреля ции по матрице компонентных нагрузок А.

Восстановленный коэффициент корреляции считается по формуле:

M aik a jk r ij i, j – номера переменных в корреляционной матрице, k – k номер компоненты, М – количество компонент.

Как уже говорилось, можно воспользоваться анализом главных компо нент, как упрощенным вариантом факторного анализа. Тогда выбираются не все компоненты, а только главные, объясняющие большую часть дисперсии.

В данном случае главными будут первые две компоненты, объясняющие 81% дисперсии переменных.

Переход к главным компонентам позволяет ввести еще одно важное понятие факторного анализа. Общность – часть дисперсии переменной, объ ясняемая главными компонентами (факторами), вычисляется как сумма квадратов нагрузок по строке:

M aik 2 h i k i – номер переменной, k – номер главной компоненты. Для нашего примера первые две компоненты исчерпывают 93% дисперсии первой пере менной и 74% четвертой переменной. Восстановленные только по главным компонентам коэффициенты корреляции будут меньше исходных по абсо лютной величине, а на диагонали восстановленной матрицы будет не 1, а ве личина общности.

Анализ компонент в чистом виде используется для решения одной из наиболее важных проблем факторного анализа – проблемы числа факторов.

Принцип выделения «главных факторов» в факторном анализе тот же, что и при анализе главных компонент. Но в отличие от компонентного анализа факторный анализ направлен на объяснение корреляций между переменны ми, а не только компонент дисперсии.

Факторная структура – основной результат применения факторного анализа. Элементы факторной структуры – факторные нагрузки переменных a, аналогичные компонентным нагрузкам.

ik Таблица 4. Факторная структура в общем виде 1 … М h 1 … a a h 11 1M … … … … … N … a a h N1 NM N … M Однако основное требование их получения, в отличие от анализа глав ных компонент – максимально полное отображение исходных коэффициен тов корреляции. Поэтому основное уравнение факторного анализа:

R /RR T AA R – исходная матрица интеркорреляций, R – матрица восстановленных коэффициентов корреляции.

Алгоритм факторного анализа обеспечивает максимально возможное приближение вычисленных коэффициентов корреляции к исходным значе ниям. Это достигается варьированием числа факторов и диагональными эле ментами корреляционной матрицы, на которых располагаются не единицы, а значения общностей. Обычно заранее не известно, сколько факторов необхо димо и достаточно для представления данного набора переменных. Сама же процедура факторного анализа предполагает предварительное задание числа факторов. Поэтому возникает задача оценки их возможного количества. Для этого используют график собственных значений. Для определения числа факторов наиболее популярны два критерия. Первый – критерий Кайзера:

число факторов равно числу компонент, собственные значения которых больше 1.

Второй способ определения числа факторов – критерий отсекания Р.

Кетелла, требует построения графика собственных значений. Количество факторов определяется приблизительно по точке перегиба на графике соб ственных значений до его выхода на пологую кривую после резкого спада.

При этом проверяется три гипотезы: если К – точка перегиба, то возможное количество факторов равно K 1 K K По первому критерию в нашем примере число факторов равно 2, так как первые два собственных значения больше 1. По второму критерию – от до 4. При определении числа факторов необходимо учитывать, что указан ные критерии являются примерным ориентиром. Окончательное решение о числе факторов принимается только после интерпретации факторов.

Проблема общности Единичная дисперсия каждой переменной представляется в факторном анализе как сумма ее общности и характерности:

1 hi ei 2 2, где hi – общность переменной с номером i, e2 i – ее харак терность. Общность – это часть дисперсии, обусловленная действием общих факторов. Характерность – часть дисперсии, обусловленная спецификой пе ременной и ошибками измерения. Общность переменной i равна сумме квадратов ее нагрузки по всем M факторам:

M aik 2 h i k Разделив суммарную дисперсию, обусловленную действием данного фактора, на количество признаков, получим долю дисперсии, обусловленную данным фактором, или информативность (мощность) фактора. Сумма квад ратов всех элементов факторной структуры – факторных нагрузок – равна сумме всех общностей и суммарной дисперсии всех переменных, обуслов ленных общими факторами. Эта величина, деленная на количество призна ков, известна как полнота факторизации:

M 1M 1N 2 1MN N k 1 k N i V V k hi aik N k 1 i k h V k го – мощность фактора, – собственное число фактора, – i k k общность переменной, a ik – вклад фактора в переменную.

Понятно, что качества факторного анализа тем выше, чем выше полно та факторизации.

Проблема общностей заключается в том, что они, как и число общих факторов, неизвестны до начала анализа. Различия в методах факторизации и заключается в том, как решается проблема общностей.

Методы факторного анализа – это различные способы получения факторной структуры при заданном числе факторов.

Метод главных компонент Вопрос о приближении восстановленных коэффициентов корреляции к исходным корреляциям не решается. Факторная структура искажается в сто рону преувеличения абсолютных величин факторных нагрузок.

Факторный анализ образов Метод главных компонент, применяемый к редуцированной корреля ционной матрице, у которой вместо единиц на главной диагонали распола гаются оценки общности. Общность каждой переменной оценивается пред варительно, как квадрат коэффициента множественной корреляции (КМК) этой переменой со всеми остальными.

Метод главных осей На первом шаге общности вычисляются по методу главных компонент.

На каждом последующем шаге собственные значения и факторные нагрузки вычисляются исходя из предыдущих значений общности. Окончательное реше ние получается после выполнения заданного числа итераций или достижения минимальных различий между общностями на данном и предыдущем шаге.

Метод, не взвешенных наименьших квадратов На первом шаге формируются общности через квадрат КМК. Вычисля ется факторная структура, и восстанавливаются коэффициенты корреляции.

Проверяется разность исходных и вычисленных корреляций. За новые значе ния общностей принимаются вычисленные по полученной факторной струк туре. На следующем шаге вычисляется новая факторная структура. Снова проверяется разность. Процесс повторяется многократно до минимума раз ности.

Обобщенный метод наименьших квадратов Отличается от предыдущего тем, что каждой переменной вводятся спе циальные весовые коэффициенты. Чем больше общность переменной, тем в большей степени она влияет на факторную структуру (имеет больший вес).

Метод максимального правдоподобия.

Этот метод позволяет дополнительно получить показатель полноты факторизации – статистическую оценку «качества подгонки». Мерой каче ства подгонки является оценка различия исходных и вычисленных коэффи циентов корреляции по критерию, значимость которого определяется в зависимости от числа факторов и количества переменных.

Если критерий показывает значимое отклонение при M-факторной мо дели, следует перейти к модели с M 1 факторами, и так до тех пор, пока от клонение исходных и вычисленных корреляций перестанет быть статистиче ски значимым по критерию. Как правило, результаты факторного ана лиза непосредственно не подлежат интерпретации. В то же время ценность результатов факторного анализа определяется возможностью его однознач ной интерпретации.

Рассмотрим результат метода главных осей к данным о пяти показате лях способностей. Все переменные имеют наибольшие нагрузки по первому фактору и невозможно определить, какие переменные идентифицируют вто рой фактор. Для ответа на этот вопрос и необходимо решить проблему вра щения фактора относительно признака. Факторную структуру можно пред ставить в виде точек – признаков в пространстве M факторов. Положение каждой точки задается факторными нагрузками как координатами этой точки по соответствующим факторам. Расстояние каждой точки от начала коорди нат или длина вектора-переменной равно сумме квадратов всех координат этой точки.

Таблица 5. Факторная структура пяти показателей способностей Факторные нагрузки a Переменные Общность h ik i F F 1 1 0.807 -0.482 0. 2 0.774 -0.481 0. 3 0.661 0.416 0. 4 0.58 0.47 0. 5 0.675 0.317 0. 2.478 0.959 3. Собственное значение k Доля дисперсии 0.496 0.192 0. Поскольку координаты – это факторные нагрузки, то длина каждого вектора равна общности соответствующей переменной. Коэффициент корре ляции между каждой парой переменных равен косинусу угла между соответ ствующими векторами в пространстве общих факторов. Иначе говоря, чем выше корреляция, тем меньше угол между соответствующими переменными.

В нашем примере желателен поворот осей факторов по часовой стрелке так, чтобы фактор 1 прошел вблизи переменных 1 и 2, а фактор 2 – вблизи пере менных 3-5. Решение, при котором каждая переменная имеет большую нагрузку только по одному фактору, а по остальным ее нагрузки близки к ну лю, называется простой структурой. Данная задача решается с помощью ана литических методов, в которых каждая пара факторов поворачивается отно сительно переменных до тех пор, пока не достигается наиболее возможная простота структуры. В одних случаях критерием простоты является фактор ная сложность переменных (квадримакс), в других – индекс сложности каж дого фактора (варимакс). Во втором случае факторная сложность переменной пропорциональна числу общих факторов, связанных с переменной. Наиболее широко используется вращение, где на каждом шаге простота структуры определяется по критерию варимакса Кайзера – варимакс-вращение.

Таблица 6. Примера результата варимакс-вращение Переменные F F h 1 1 0.921 0.217 0. 2 0.903 0.193 0. 3 0.183 0.757 0. 4 0.088 0.739 0. 5 0.26 0.7 0. Сумма квадратов факторной нагрузки 1.773 1.694 3. Доля дисперсии 0.355 0.339 0. После вращения каждая переменная имеет большую нагрузку только по одному фактору. Следовательно, каждый фактор может быть однозначно интерпретирован через входящие в него переменные.

Оценка значений факторов Этот процесс позволяет перейти от множества исходных переменных к существенно меньшему числу факторов как новых переменных.

В качестве оценки значений фактора (для объекта k) используется ли нейная комбинация значений исходных переменных X:

N f x x x ik 1k Nk i, j 1i Ni ik j f x – значение фактора с номером i для объекта k, – значение при jk ik знака с номером j для этого объекта, ij – факторный коэффициент признака j для фактора i. Поскольку известны корреляции между исходными перемен ными и корреляции этих переменных с факторами (факторные нагрузки), то в качестве наиболее эффективной оценки факторных коэффициентов ij чаще всего выступают коэффициенты множественной регрессии. В качестве зависимой переменной выступает фактор, в качестве независимых перемен ных – исходные переменные, а вычисления производятся как в регрессион ном анализе.

Вычисленные по модели множественной регрессии, оценки факторных коэффициентов используются для вычисления оценок значений факторов для каждого объекта, и тем самым осуществляется переход от множества N пе ременных к меньшему множеству M новых переменных – факторов.

Проблема оценки значений факторов заключается в том, что ее надеж ность обладает большей или меньшей определенностью – в зависимости от вида исходных данных и факторной нагрузки. Зависимость надежности фак торных оценок от факторной структуры заключается в следующем. Чем меньше суммарная общность всех переменных, тем меньше надежность фак торных оценок всех факторов. Чем меньше информационность фактора (сумма факторных нагрузок по столбцу), тем меньше надежность факторных оценок данного фактора. В связи с надежностью факторных оценок особое значение приобретает качество измерения исходных переменных. Чем боль ше исходные переменные соответствуют требованиям к метрическим пере менным, тем надежнее факторные оценки. Если переменные измерены в по рядковой или дихотомической шкале, то надежность оценок снижается. Од нако в некоторых случаях эти оценки могут оказаться состоятельными.

Условием их состоятельности являются действительно простая факторная структура, а также высокие значения общностей и факторных нагрузок пере менных.

Модели факторного анализа 1 n x,, x Пусть число измеряемых параметров равно n, а число факто 1 m f f,, ров m, причем m n. Будем обозначать факторы через и считать их N мерными векторами со средним значением равным 0 и дисперсией равной 1. Параметры также стандартизированы и имеют нулевое среднее и единич ную дисперсию. В факторном анализе обычно предполагается линейная за висимость между измеренными параметрами и факторами:

m kj k j j f x (1) подлежащие определению коэффициенты, k 1 jk называемые факторными нагрузками или просто нагрузками (нагрузка j-го параметра на k-й фактор) j помеха. Этот вектор называется характерным 1 n фактором, а f f общие факторы. Из нашего представления следует,,, что характерный фактор имеет равное нулю среднее значение.

В большинстве случаев считается, что число m заранее задано. Внеш ние переменные имеют вид уравнения регрессии за тем отличием, что неиз 1 n f f,, вестны и векторы.

Зададим предположения о свойствах общих и характерных факторов.

1 n f f,, Предположение 1. Общие факторы не коррелируют между собой:

N / k l k l f,f 0/ k l Введем в рассмотрение факторы:

x m kj k j ~j, j 1 n j f x k Их называют вычисленными параметрами. Цель любой из моделей факторного анализа заключается в таком определении общих факторов и со ответствующих факторных нагрузок, чтобы поведение вычисленных пара метров было в каком-либо смысле близко к поведению измеренных парамет ров. Например, модель главных компонент, модель центроидных компонент и факторная модель различаются разным пониманием близости.

Модель главных компонент Модель главных компонент удовлетворяет предположению I и IIa.

1 n f f,, Предположение IIa. Общие факторы и факторные нагрузки таковы, что они минимизируют суммарную дисперсию характерных факто ров:

, m n 1 min j j j N j 1 j Соотношение означает, что в этой модели близость поведения изме ренных и вычисленных параметров понимается просто как сумма квадратов евклидовых расстояний между ними.

Предположение II a эквивалентно условию:

jm n m x kj f, x f k k min j j 1 kj N k 1 k Минимум берется по набору общих факторов и по значения нагрузок.

kj Пусть общие факторы каким-то образом фиксированы. Продифферен цируем выражения из левой части (5) по каждой из нагрузок kj и приравня ем нулю:

jm j, 0, j 1 n, l 1 m x kj k l l f,f f k С учетом предположения I отсюда следует, что:

1 j j l, l 1 m, j 1 n ij l, f N x xf Это значит, что в качестве факторных нагрузок следует брать проекции параметров на соответствующие общие факторы.

Проведя соответствующие преобразования, получим:

x N x, x x 2 j 2 j 1 j j 2 j j j Модель центроидных компонент В этом случае используется предположение IIб. Общие факторы 1 n f f,, таковы, что они в совокупности более близки, чем любой другой 1 n x,, x набор из m векторов, к совокупности измеряемых параметров в смысле условия:

n m x max h j f, j 1 h На практике, когда это, возможно, целесообразно обрабатывать мате риал на основе обеих моделей, а затем сравнить оба результата. В тех случа ях, когда эти результаты называются близкими, появляются дополнительные основания считать, что исходные предположения действительно адекватны обрабатываемым данным.

Факторная модель Факторная модель основывается на выражении (1) и предположениях I и II b.

Предположение II b. Характерные факторы не коррелируют как со всеми общими факторами, так и между собой:

f 0, k 1 m, j 1 n k j 0. j s;

j, s 1 n j s Это представление адекватно ситуации, в которой помехи,, 1 n яв ляются значительными. Измеряемый параметр представляет собой сумму двух составляющих: вычисленного параметра, определяемого общими фак торами (существенными свойствами изучаемого явления), и измеряемого фактора, связанного лишь с природой измеряемого параметра, и не завися щего от свойств самого явления. Для того чтобы было удовлетворено усло вие факторной модели, матрица коэффициентов корреляции между измеряе мыми параметрами должна быть в определенном смысле вырожденной (большинство ее миноров должно быть равно нулю). При этом должно со блюдаться следующее соотношение между минимально допустимыми m и n n 3 4 6 10 m 1 2 3 6 Вращение факторов В факторном анализе возникает «проблема вращения факторов», кото рая формулируется следующим образом: какими соображениями следует ру ководствоваться при выборе системы общих факторов из бесконечного числа таких систем, лежащих в одном и том же линейном пространстве, и какими вычислительными методами следует осуществлять этот выбор.

1.3. Анализ методов и моделей ППР в многокритериальных задачах Метод Многокритериальной теории полезности MAUT (Multi-Attribute Utility Theory) имеет следующие особенности:

1. Строится функция полезности, имеющая аксиоматическое (чисто ма тематическое) обоснование;

2. Некоторые условия, определяющие форму этой функции, подвергаются проверке в диалоге с ЛПР;

3. Обычно используется для решения задач с заданными альтернативами, а полученные результаты используются для оценки заданных альтерна тив.

Основные этапы подхода MAUT:

1. Разработать перечень критериев.

2. Построить функции полезности по каждому из критериев. (В практиче ских задачах в случае линейной функции полезности бывает достаточ но таблицы значений функции для имеющихся значений критерия.) 3. Задать веса критериев.

4. Построить зависимость между оценками альтернатив по критериям и общим качеством альтернативы (многокритериальная функция полез ности).

5. Оценить все имеющиеся альтернативы и выбрать наилучшую.

Аксиоматическое обоснование В методе MAUT выдвигаются некоторые условия (аксиомы), которым должна удовлетворять функция полезности ЛПР. В MAUT эти условия мож но разделить на две группы.

Первая группа – аксиомы общего характера.

1. Аксиома, утверждающая, что может быть установлено отношение между полезностями любых альтернатив: либо одна из них превосходит дру гую, либо они равны.

2. Аксиома транзитивности: из превосходства полезности альтернативы А над полезностью альтернативы В и превосходства полезности В над полез ностью С следует превосходство полезности альтернативы А над полезно стью альтернативы С.

3. Для соотношений между полезностями альтернатив А, В, С, имею щими вид U A U B U C, можно найти такие числа, меньше 1 и больше 0, что:

U A 1 U C U B, U A 1 U B U B, \ где U - многокритериальная функция полезности альтернативы;

Аксиома 3 основана на предположении, что функция полезности не прерывна, и что можно использовать любые малые части полезности альтер натив. Вторая группа условий специфична для MAUT. Они называются ак сиомами (условиями) независимости, позволяющими утверждать, что неко торые взаимоотношения между оценками альтернатив по критериям не зави сят от значений по другим критериям.


Независимость по разности Предпочтения между двумя альтернативами, отличающимися лишь оценками по порядковой шкале одного критерия C1, не зависят от одинако вых (фиксированных) оценок по другим критериям С2,...,CN.

Независимость по полезности.

Критерий C1 называется независимым по полезности от критериев С2,..., CN, если порядок предпочтений альтернатив, в которых меняются лишь уровни критерия С1, не зависит от фиксированных значений по другим критериям.

Независимость по предпочтению.

Независимость по предпочтению является одним из наиболее важных и часто используемых условий. Два критерия C1 и С2 независимы по предпочтению от других критериев С3,...,СN, если предпочтения между альтернативами, раз личающимися лишь оценками по С1, С2, не зависят от фиксированных значе ний по другим критериям.

В тех примерах, где три и более критериев зависят от остальных, также про является и нарушение условия независимости по предпочтению. В связи с этим особое внимание уделяется проверке условия независимости по пред почтению.

Следствия из аксиом Если аксиомы первой группы и некоторые из условий независимости выполнены, то из этого следует строгий вывод о существовании многокрите риальной функции полезности в определенном виде. По теореме Р. Кини, ес ли условия независимости по полезности и независимости по предпочтению выполнены, то функция полезности является аддитивной:

N U x wiU i x, i N w при 1, либо мультипликативной:

i i N 1 kU x 1 kwiU i x, i N w при 1, где i i U, Ui – функции полезности, изменяющиеся от 0 до 1;

wi – коэффициенты важности (веса) критериев, причем 0 wi 1;

коэффициент k-1;

Таким образом, многокритериальную функцию полезности можно определить, если известны значения коэффициентов wi, k, а также однокри териальные функции полезности U(x). Рассмотрим применение метода на примере задачи выбора программного обеспечения. Имеются три пакета ПО для управления обработкой документов и потоками работ: Docs Open 3.0., Keyfile 3.1., Livelink Intranet 7.0.

Были выбраны слудующие критерии для их оценки:

Функциональная пригодность Защищенность Документация и поддержка Цена Альтернативы получили следующие экспертные оценки по критериям:

Таблица 7. Оценки альтернатив Критерий Docs Open 3.0. Keyfile 3.1. Livelink Вес (оценки по шкале от 0 до 10) Intranet 7.0. (от 0 до 1) Функциональная пригодность 6 7 8 0, Защищенность 10 8 6 0, Документация и поддержка 7,5 7,5 6 0, Цена 7 8 6 0, Обобщенная оценка альтернатив по всем критериям:

A1 6 0,5 10 0,2 7,5 0,15 7 0,15 7, A2 7 0,5 8 0,2 7,5 0,15 8 0,15 7, A3 8 0,5 6 0,2 6 0,15 6 0,15 7, Таким образом, наиболее предпочтительна вторая альтернатива (Keyfile 3.1.).

Хотя построение общей функции полезности требует достаточно много времени и усилий ЛПР, полученный результат позволяет оценить любые (в том числе и вновь появляющиеся) альтернативы.

Общая характеристика метода MAUT Достоинства С помощью метода MAUT можно определить полезность каждой из альтернатив. Многокритериальная теория полезности позволяет получить значения в интервальной шкале.

Недостатки В методе MAUT ЛПР должен изначально задать точные количествен ные измерения всех основных параметров, что является достаточно слож ным. Подход MAUT не дает возможности провести исследования проблемы привычным для человека методом «проб и ошибок». Это приводит к тому, что различные заданные параметры (например, веса критериев) приводят к различным результатам.

Метод AHP Метод анализа иерархий (Analytic Hierarchy Process – АНР) является систематической процедурой для иерархического представления элементов, определяющих суть проблемы. Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последова тельности суждений ЛПР по парным сравнениям. В результате может быть выражена относительная степень (интенсивность) взаимодействия элементов в иерархии. Эти суждения затем выражаются численно. AHP включает в себя процедуры синтеза множественных суждений, получения приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений. Такой подход к решению проблемы выбора исходит из естественной способности людей думать логи чески и творчески, определять события и устанавливать отношения между ними.

Основные этапы подхода АНР Постановка задачи, решаемой с помощью метода АНР, заключается обычно в следующем. Дано: общая цель (или цели) решения задачи;

крите рии оценки альтернатив;

альтернативы. Требуется: выбрать наилучшую аль тернативу. Подход АНР состоит из совокупности этапов.

1. Первый этап заключается в структуризации задачи. В AHP любая за дача или проблема предварительно структурируются и представляются в ви де иерархии, древовидной или сетевой. Таким образом, основная цель иссле дования и все факторы, в той или иной степени, влияющие на достижение цели, распределяются по уровням в зависимости от степени и характера вли яния. На первом уровне иерархии всегда находится одна вершина – цель про водимого исследования. Второй уровень иерархии составляют факторы, непосредственно влияющие на достижение цели. При этом каждый фактор представляется в строящейся иерархии вершиной, соединенной с вершиной 1-го уровня. Третий уровень составляют факторы, от которых зависят вер шины 2-го уровня и т.д. Этот процесс построения иерархии продолжается до тех, пока в иерархию не включены все основные факторы или хотя бы для одного из факторов последнего уровня невозможно непосредственно полу чить необходимую информацию. По окончании построения иерархии для каждой материнской вершины проводится оценка весовых коэффициентов, определяющих степень ее зависимости от влияющих на нее вершин более низкого уровня. При этом используется метод парных сравнений.

2. На втором этапе ЛПР выполняет парные сравнения элементов каж дого уровня, результаты сравнений переводятся в числа.

Метод парных сравнений (по Т. Саати) При парных сравнениях ЛПР дается шкала словесных определений уровня важности, причем каждому определению ставится в соответствие число.

Таблица 8. Шкала относительной важности Количественное Уровень важности значение Равная важность Умеренное превосходство Существенное или сильное превосходство Значительное (большое) превосходство Очень большое превосходство Промежуточные решения между двумя соседними суждениями 2, 4, 6, При сравнении элементов, принадлежащих одному уровню иерархии, ЛПР выражает свое мнение, используя одно из приведенных в таблице опре делений. В матрицу сравнения заносится соответствующее число. Если эле мент A1 доминирует над элементом A2, то в клетку матрицы, соответствую щую строке A1 и столбцу A2, заносится целое число, а в клетку, соответству ющую строке A2 и столбцу A1, заносится обратное число. Если обозначить долю фактора (коэффициент важности) Ai через wi, то элемент матрицы wi aij.

wj Таким образом, в предлагаемом варианте применения метода парных сравнений, определяются не величины разностей значений факторов, а их отношение. При этом очевидно aij. Работа экспертов состоит в том, что, a ji производя парное сравнение факторов A1,...,An эксперт заполняет таблицу парных сравнений. Если w1, w2,..., wn неизвестны заранее, то парные сравне ния элементов производятся с использованием субъективных суждений, чис ленно оцениваемых по шкале, а затем решается проблема нахождения ком понента w. При сравнении критериев определяется их важность или воздей ствие на достижение цели. Таким образом определяются веса критериев. При n критериях производится nn 1 / 2 сравнений.

3. Вычисляются коэффициенты важности для элементов каждого уров ня. При этом проверяется согласованность суждений ЛПР.

Один из основных методов отыскания вектора w основывается на од ном из утверждений линейной алгебры.

При построении матриц парных сравнений важным вопросом является согласованность матрицы. Ранжирование элементов осуществляется с помо щью главных собственных векторов матрицы An n. Число является соб ственным числом квадратной матрицы A, а ненулевой элемент w – ее соб ственным вектором. Собственные числа квадратной матрицы An n могут быть вычислены как корни уравнения det A E 0, а собственные векторы – как решение соответствующих однородных систем A E w 0. При этом собственный вектор, соответствующий максимальному собственному числу, называется главным собственным вектором.

При проведении сравнений в реальной ситуации вычисленное макси мальное собственное число будет отличаться от соответствующего собствен ного числа для идеальной матрицы. Это различие характеризует так называ емую рассогласованность реальной матрицы и характеризует уровень дове рия к полученным результатам. Для проверки согласованности собственные числа матрицы сравниваются с собственными числами случайно заполнен ной матрицы.

Рассогласованность матрицы парных сравнений может быть вызвана, по крайней мере, двумя факторами: личными качествами эксперта, степенью неопределенности объекта оценки.

Поэтому рассогласованность матрицы выступает как результат взаимо действия этих факторов. В последнем случае необходимо изучать объект та кой, какой он есть со всеми присущими ему неопределенностями.

В практических задачах приближенное значение главного собственного вектора можно получить суммированием элементов каждой строки. Для каж дой строки вычисляется суммa n ai aij.

j Затем все ai нормируются так, чтобы их сумма была равна 1. В результа те получается искомый собственный вектор w. Этот способ значительно про ще в реализации, но он не позволяет определять качество исходных данных.


4. Подсчитывается количественный индикатор качества каждой из аль тернатив и определяется наилучшая альтернатива.

Рассмотрим применение метода на примере задачи выбора программ ного обеспечения, описанной выше.

Рис. 1.2. Структура задачи выбора ПО по методу AHP В иерархии выделяются элементы-родители и элементы потомки. По томки воздействуют на элементы вышестоящего уровня иерархии, являющи еся по отношению к ним родителями. Для всех элементов-потомков, относящ ихся к одному родителю строятся матрицы парных сравнений.

Таблица 9. Матрица сравнений критериев выбора ПО Критерии Функциональная Защищенность Документация и поддержка Цена Вес пригодность (С2) (С2) (С3) (С1) С1 1 7 6 6 20 0, С2 1/7 1 3 3 7,143 0, С3 1/6 1/3 1 1/2 2 0, С4 1/6 1/3 2 1 3,5 0, Таблица 10. Матрица сравнения альтернатив по отдельным критериям По критерию С1 (функциональная пригодность) Альтернатив Docs Open 3.0. Keyfile 3.1. Livelink Intranet 7.0. Собственный Вес вектор Docs Open 3.0 1 1/3 1,83 0, Keyfile 3.1. 2 1 1/2 3,5 0, Livelink Intranet 7.0. 3 2 1 6 0, По критерию С2 (защищенность) Docs Open 3.0 1 3 5 8 0, Keyfile 3.1. 1/3 1 3 4,33 0, Livelink Intranet 7.0. 1/5 1/3 1 1,53 0, По критерию С3 (документация и поддержка) Docs Open 3.0 1 1 1/2 2,5 0, Keyfile 3.1. 1 1 1/2 2,5 0, Livelink Intranet 7.0. 2 2 1 5 0, По критерию С3 (цена) Docs Open 3.0 1 2 3,5 0, Keyfile 3.1. 2 1 3 6 0, Livelink Intranet 7.0. 1/2 1/3 1 1,83 0, Определение наилучшей альтернативы Синтез полученных коэффициентов важности осуществляется по фор муле N S i wiV ji (2.11), где Si – показатель качества i-й альтернативы;

i wi – вес i-гo критерия;

Vji – важность j-й альтернативы по i-му критерию.

Для трех программных продуктов проведенные вычисления позволяют определить:

A1= 0,61 0,16 0,22 0,58 0,06 0,25 0,11 0,31 0,2743 ;

A2= 0,61 0,31 0,22 0,31 0,06 0,25 0,11 0,53 0,3306 ;

A3= 0,61 0,53 0,22 0,11 0,06 0,5 0,11 0,16 0,3951 ;

Альтернатива Livelink Intranet 7.0. оказалась лучшей.

Общая характеристика подхода АНР Достоинства: Метод AHP направлен на сравнение реальных альтерна тив. Метод АНР может применяться в тех случаях, когда эксперты (или ЛПР) не могут дать абсолютные оценки альтернатив по критериям, а пользуются более слабыми сравнительными измерениями. Метод позволяет получить приоритеты в шкале отношений.

Недостатки: Введение новой, недоминирующей альтернативы может в общем случае привести к изменению предпочтений между двумя ранее за данными альтернативами.

Метод ELECTRE Метод ELECTRE направлен на решение задач с уже заданными много критериальными альтернативами. В отличие от метода АНР в методах ELECTRE не определяется количественно показатель качества каждой из альтернатив, а устанавливается лишь условие превосходства одной альтерна тивы над другой. Постановка задачи обычно имеет следующий вид:

Дано: N критериев со шкалами оценок (обычно количественные), веса критериев (обычно целые числа), альтернативы с оценками по критериям.

Требуется: выделить группу лучших альтернатив.

Основные этапы методов ELECTRE 1. На основании заданных оценок двух альтернатив подсчитываются значения двух индексов: согласия и несогласия. Эти индексы определяют со гласие и несогласие с гипотезой, что альтернатива А превосходит альтерна тиву В.

2. Задаются уровни согласия и несогласия, с которыми сравниваются подсчитанные индексы для каждой пары альтернатив. Если индекс согласия выше заданного уровня, а индекс несогласия ниже, то одна из альтернатив превосходит другую. В противном случае альтернативы несравнимы.

3. Из множества альтернатив удаляются доминируемые. Оставшиеся образуют первое ядро. Альтернативы, входящие в ядро, могут быть либо эк вивалентными либо несравнимыми.

4. Вводятся более «слабые» значения уровней согласия и несогласия (меньший по значению уровень согласия и больший уровень несогласия), при которых выделяются ядра с меньшим количеством альтернатив.

5. В последнее ядро входят наилучшие альтернативы. Последователь ность ядер определяет упорядоченность альтернатив по качеству.

Индексы согласия и несогласия В различных методах семейства ELECTRE индексы согласия и несо гласия строятся по-разному. Рассмотрим принцип построения этих индексов на примере метода ELECTRE1.Каждому из N критериев ставится в соответ ствие целое число р, характеризующее важность критерия. Выдвигается ги потеза о превосходстве альтернативы А над альтернативой В. Множество I, состоящее из N критериев, разбивается на три подмножества:

I+ – подмножество критериев, по которым А предпочтительнее В;

I= – подмножество критериев, по которым А равноценно В;

I – подмножество критериев, по которым В предпочтительнее А.

Далее формулируется индекс согласия с гипотезой о превосходстве А над В. Индекс согласия подсчитывается на основе весов критериев. В методе ELECTRE1 этот индекс определяется как отношение суммы весов критериев подмножеств I+ и I- к общей сумме весов:

w i iI, I c AB w i iI Индекс несогласия d AB с гипотезой о превосходстве А над В определя ется на основе самого «противоречивого» критерия – критерия, по которому В в наибольшей степени превосходит А. Чтобы учесть возможную разницу длин шкал критериев, разность оценок В и А относят к длине наибольшей шкалы:

lB l A i i d AB max iI Li, где l A, l B оценки альтернатив А и В по i-му критерию;

i i Li – длина шкалы i-гo критерия.

Свойства индекса согласия:

0 c AB 1 ;

1.

+ c AB 1, если подмножество I пусто;

2.

c AB сохраняет значение при замене одного критерия на несколько 3.

с тем же общим весом.

Свойства индекса несогласия:

0 d AB 1 ;

1.

d AB сохраняет значение при введении более детальной шкалы по 2.

i-му критерию при той же ее длине.

Введенные индексы используются при построении матриц индексов согласия и несогласия для заданных альтернатив.

Выделение ядер В методе ELECTRE 1 бинарное отношение превосходства задается уровнями согласия и несогласия. Если c AB c1 и d AB d1, где c AB, d AB – задан ные уровни согласия и несогласия, то альтернатива А объявляется лучшей по сравнению с альтернативой В. Если же при этих уровнях сравнить альтерна тивы не удалось, то они объявляются несравнимыми. Если оценки альтерна тив в значительной степени противоречивы (по одним критериям одна намного лучше другой, а по другим – наоборот), то такие противоречия ни как не компенсируются и такие альтернативы сравнивать нельзя. Понятие несравнимости позволяет выявить альтернативы с «контрастными» оценка ми, как заслуживающие специального изучения. Похожие идеи используются и в других методах семейства ELECTRE.

Задавая уровни коэффициентов согласия и несогласия, постепенно по нижая требуемый уровень коэффициента согласия и повышая требуемый уровень коэффициента несогласия, ЛПР может исследовать имеющееся множество альтернатив. При заданных уровнях на множестве альтернатив выделяется ядро недоминируемых элементов, которые находятся либо в от ношении несравнимости, либо в отношении эквивалентности. При измене нии уровней из данного ядра выделяется меньшее ядро и т. Д. Различные яд ра представляют собой возможные решения проблемы. В конечном итоге можно получить одну лучшую альтернативу.

Рассмотрим пример задачи выбора программного обеспечения, опи санный выше.

Таблица 11. Таблица критериев Критерий Docs Open 3.0. Keyfile 3.1. Livelink Intranet 7.0. Вес (оценки по шкале от 0 до 10) Функциональная пригодность 6 7 8 0, Защищенность 10 8 6 0, Документация и поддержка 7,5 7,5 6 0, Цена 7 8 6 0, Таблица 10. Индексы согласия Docs Open 3.0. Keyfile 3.1. Livelink Intranet 7.0.

Docs Open 3.0. * 0,55 0, Keyfile 3.1. 0,2 * 0, Livelink Intranet 7.0. 0,5 0,5 * Таблица 11. Индексы несогласия Docs Open 3.0. Keyfile 3.1. Livelink Intranet 7.0.

Docs Open 3.0. * 0,2 0, Keyfile 3.1. 0,1 * 0, Livelink Intranet 7.0. 0,2 0,1 * Зададим уровень согласия c AB 0,5 и уровень несогласия Тогда d AB 0,1.

в ядро входят доминирующая альтернатива Keyfile 3.1.

Общая характеристика метода Достоинства: Поэтапность выявления предпочтений ЛПР в процессе назначения уровней согласия и несогласия и изучения ядер. Детальный ана лиз позволяет ЛПР сформировать свои предпочтения, определить компро миссы между критериями.

Использование отношения несравнимости позволяет выделить пары альтернатив с противоречивыми оценками, остановиться на ядре, выделение которого достаточно обоснованно с точки зрения имеющейся информации.

Недостатки: Трудности при применении методов ELECTRE связаны с назначением ЛПР весов. В ряде случаев при выделении ядер могут возникать циклы.

1.4. Многоагентные среды и функции агента в задаче управления инновационным процессом (ИВП) Агента условно определяют как программу или объект, обладающий программой, который после получения задания способен поставить себя на место ЛПР, и обладающий следующими свойствами:

Автономность – возможность действовать независимо от пользователя.

Адаптивность – способность к обучению во время работы. Агент счи тается адаптивным, если он может изменять свое поведение на основа нии опыта.

Коммуникативность – способность коммуникации с другими пользова телями или агентами.

Способность к сотрудничеству. Агент способен к сотрудничеству, если он может общаться с другими агентами для решения своих задач.

Персонифицированность – естественное поведение.

Мобильность – возможность перемещения по окружающей среде.

Дж. Люгер определяет МАС как вычислительную программу, решате ли которой расположены в некоторой среде и каждый из них способен к гиб ким, автономным и социально-организованным действиям в направлении предопределенной цели [2].В. Б. Тарасов дает формализованное определение МАС [11] в виде MAS (A,E,R,ORG,ACT,COM,EV) где А – множество агентов, Е – множество сред, находящихся в определенных отношениях R и взаимо действующих друг с другом, формирующие некоторую организацию ORG, обладающих набором индивидуальных и совместимых действий ACT (стра тегия поведения и поступков), включая возможные коммуникативные дей ствия COM и возможность эволюции EV. Согласно [61] МАС может рас сматриваться как сильно связанная сеть решателей совместно работающих над проблемами, которые могут выходить за рамки возможностей индивиду альных агентов.

Суммируя изложенное, определим МАС как совокупность взаимосвя занных агентов как программных, так и аппаратных, способных взаимодей ствовать друг с другом и окружающей средой, обладающих определенными интеллектуальными способностями и возможностью индивидуальных и сов местных действий. Классифицировать МАС можно по целому ряду призна ков (рис. 3). Важным признаком является способ решения проблем. Системы Рис. 1.3. Характеристики и этапы принятие решений агентом распределенного решения проблем содержат агентов специально разрабо танных для решения определенного круга задач или достижения известных целей. В этом случае все агенты определяются априорно (на стадии проекти рования) и должны взаимодействовать согласованно и непротиворечиво (благожелательно). Открытые МАС могут содержать переменные множеств агентов, входящих в систему и выходящих из не, причем возможно столк новение интересов поведение агентов.

Агентно – ориентированные системы можно трактовать как гибридные системы, содержащие наряду с МАС и другие системы (ЭС, обучающие и те стирующие системы, распределенные объектные приложения и т.п.).

Разработка агентно-ориентированных систем ППР представлена на рис.

5 и включает в себя следующие этапы:

1) Идентификация предметной области. Определение внешних и внутренних факторов.

2) Концептуализация. Формирование стратегических целей проекта.

Выработка методов анализа принятого решения на основе оценки инноваци онного риска.

3) Формализация. Формирование систем ППР с использованием агентно-ориентированных компонент, учитывающих основные количествен ные и качественные характеристики.

4) Реализация агентно-ориентированных систем ППР.

5) Тестирование и модификация.

1.5. Формализация МАС с использованием делиберативного агента в условиях точной модели мира Делиберативную архитектуру принято определять как архитектуру агентов, содержащих точную символическую модель мира и принимающих решения на основе логического вывода [48]. Теоретическим основанием для построения моделей ДА послужила гипотеза физических символьных си стем, сформулированная Ньювеллом и Саймоном [66]. Согласно трактовке M.R. Genesereth делиберативный агент должен обладать следующими свой ствами:

– содержать эксплицитно представленную базу знаний, заполненную формулами в некотором логическом языке, представляющую его убеждения;

– функционировать в следующем цикле: восприятие обстановки (об сервация) – логический вывод – действие;

– принимать решения о действиях на основе методов логического вы вода.

Предпочтение и полезность Теория предпочтения базируется на понятии бинарного отношения.

Бинарное отношение R на непустом множестве X есть подмножество множе ства всех упорядоченных пар элементов из X. Множество упорядоченных пар задается декартовым произведением X X x, y / x X, y Y. Запись xRy означает, что пара x, y R X X, x R y означает ( x, y)R.

Для бинарных отношений устанавливаются следующие свойства:

1. Рефлексивность. Если xRx для каждого x X ;

нерефликсивность:

для каждого x X.

x Rx 2. Симметричность, если из xRy следует yRx. Ассиметричность, если из xRy следует y Rx.

3. Транзитивность, если из xRy u yRz следует xRz. Отрицательная тран зитивность: если из x R y и y Rz следует x Rz.

4. Связность, если xRy или yRx (полная);

слабая: если из x y следует xRy или yRx.

В теории предпочтений используется два основных бинарных отноше ния на множестве X:

1. Отношение нестрогого предпочтения ( xy;

x либо предпочтитель нее y, либо безразлично к x;

y не предпочтительнее x).

2. Отношение предпочтения ( x y;

x предпочтительнее y).

Отношения предпочтения и безразличия могут быть определены через нестрогое предпочтение следующим образом:

x y т. и т.т. к. x y и неверно, что yx.

xy т. и т. т. к. x y u yx.

Если за основу берется отношение, тогда и можно определить:

xy тогда и только тогда, когда неверно x y u y x.

x y тогда и только тогда, когда x y, или неверно x y и неверно y x.

Для отношения целесообразно предположить, что оно ассиметрично.

Для отношения – связность. Из ассиметричности отношения следует, что отношение безразличия рефлексивно (xx) и симметрично по определе нию. Отношение предпочтения на X транзитивно, если из того, что x y u y z следует, что x z. Однако, это может быть не всегда. Приведем простой пример:

Молодому ученому предлагают три места работы на выбор:

X: ассистента в очень престижном университете с окладом Y: старшего преподавателя в периферийном институте с окладом Z: заведующего учебной частью в гимназии с окладом Ученый предпочитает X больше, чем Y, рассудив, что престиж извест ного университета стоит 5000;

исходя из аналогичных соображений, он предпочитает Y больше, чем Z, но сравнивая X и Z, что занимаемый пост и размер оклада перевешивают престижность, поэтому он предпочитает Z по сравнению с X. В этой ситуации предпочтения образуют цикл:

X Y,Y Z, Z X.

Поэтому на практике для работы с предпочтениями вводятся специаль ные ограничения, часто называемые аксиомами теории полезности.

Для того чтобы сформулировать эти аксиомы, введем понятие лотереи.

Lx1, p, x Простой лотереей называется вероятностное событие, имеющее xux два исхода, вероятность наступления которых обозначим соответ 1 Lx1, p, x2 означает, что исход x ственно через p и (1 – p). Тогда запись x равнозначен лотерее, которая имеет исходы x1 с вероятностью p или x2 с ве роятностью (1 – p) Аксиома 1. Упорядоченность или существование относительных предпочтений (неизбежность выбора). Для любой пары исходов x1 x2 их, предпочтения будут таковы, что x1 x2 x2 x1 x1 x2. Это означает, что, если даны два состояния, то рациональный агент должен либо предпо честь одно другому, либо рассматривать их оба как в равной степени предпо чтительные.

Аксиома 2. Транзитивность. В терминах исходов/событий формули ровка аксиомы следующая x1, x2, x3x1 x2 x2 x3 x1 x3. Если ис пользовать терминологию лотерей, имеем:

a L1, L2, L3L1 L2 L2 L3 L1 L bL1, L2, L3L1 L2 L2 L3 L1 L x x Аксиома 3. Сравнение простых лотерей. Если для ЛПР, то 1 a L1 x1, p1, x2 L2 x1, p2, x2/ p1 p b L1 x1, p1, x2 L2 x1, p2, x2/ p1 p В некоторых случаях эту аксиому формулируют как аксиому о моно тонности:

(p p L ( x, p, x ) L ( x, p, x )) x x 1 1 2 1 2 1 1 2 1 x Аксиома 4. Непрерывность. Если некоторое состояние находится в порядке предпочтения между x1 x3, то существует некоторая вероятность p, того, что рациональный агент будет безразличен к тому, чтобы определенно x x, с веро выбрать или лотерею, результатом которой является состояние x, ятностью р, и состояние с вероятностью – р.

pL( x1, p, x3) x x x x 1 2 Аксиома 5. Заменяемость. Если агент безразличен к выбору между двумя лотереями, L1 L2, то агент безразличен и к выбору между двумя более, сложными лотереями, которые являются одинаковыми, за исключением того, L L. Такое свойство опре что в одной из них подставлена лотерея вместо 2 деляется независимо от вероятностей и от других результатов лотерей.

L L L3 ( L1, p, x) L3 ( L2 p, x) 1 A p A p (1-p)q B q B (1-p) (1-p)(1-q) (1-q) C C Аксиома 6. Декомпонуемость. Сложные лотереи можно свести к про стым, используя законы вероятности. Это свойство получило название пра вила «экономии количества ставок», поскольку согласно ему две последова тельные лотереи могут быть сжаты в одну эквивалентную лотерею:

( p, A;

1 p, (q, B;

1 q, C )) ( p, A;

(1 p)q, B;

(1 p)(1 q), C ) L x, p, L x, q, x L x, p, x, 1 pq, x 1 2 1 2 3 1 2 x Обозначим через исход, который не является более предпочтительным, * чем любой другой исход, а через x исход, который не является менее пред почтительным, чем любой другой. Они соответственно практически означа ют наименее и наиболее предпочтительные исходы. Тогда справедливо:

Аксиома 7. Численная оценка предпочтений. Каждому возможному исходу x ЛПР/ агент может поставить в соответствие число x 0 x 1,, x, xL * x x.

такое, что Аксиомы 3 и 7 определяют для ЛПР меру относительного предпочтения раз личных исходов. (x) вероятность равноценности.

Аксиома 8. Численная оценка неопределенности суждений. Каждо му возможному событию E, которое может влиять на исход решения, можно поставить в соответствие число PE,0 PE 1, такое, что становятся равно и ситуация, при которой ЛПР получает L x, PE, x * 0 & x значными лотерея, x, если оно не происходит.

если происходит событие E, и Полезность Другой мерой предпочтения является функция полезности. Это специ альная вещественная функция u, определенная на X, которая называется функцией полезности для отношения предпочтения на X, если u(x)u(y) для любого x и y, таких что x y, и называется совершенной функцией по лезности для отношения на X, если для всех x и y справедливо неравенство u(x)u(y) тогда и только тогда, когда x y.



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.