авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, А. С. Семёнов АЛГ ОР ИТ МЫ МЕ Т О Д О В ВЗВЕ Ш Е ННЫ Х НЕВЯЗОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ...»

-- [ Страница 2 ] --

4. Проверьте правильность данных, представленных в таблице 3.1.

5. Какими свойствами должны обладать пробные функции в методе Ритца?

6. Как в методе Ритца находится невязка пробного решения?

7. Докажите, что ортогональная на [a, b] система функций, среди которых нет тождес твенно равной нулю, линейно независима.

8. Как в методе Ритца строится система алгебраических уравнений для определения коэффициентов пробного решения? Проверьте справедливость соотношений (3.9), (3.10).

9. Опишите алгоритм приближенного решения краевой задачи (3.1),(3.2) методом Ритца.

10.Приведите пример пробных функций для решения задачи методом Ритца.

11.Проверьте, что функции (3.13) являются собственными функциями задачи (2.13).

12.Опишите алгоритм метода хорд-касательных для приближенного вычисления корней уравнения f (x ) = 0.

13.Опишите алгоритм метода половинного деления для приближенного вычисления корней уравнения f (x ) = 0.

14.Опишите алгоритм метода итераций для приближенного вычисления корней уравнения f (x ) = 0.

4. Решение краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка интегральным методом наименьших квадратов 4.1. Постановка задачи и алгоритм метода Снова рассмотрим краевую задачу: найти на отрезке [a, b ] решение Y (x ) дифференциального уравнения L[y ] = y + p( x) y + q( x) y = f ( x), (4.1) удовлетворяющее условиям a0 y( a) + a1 y (a) = a2, (4.2) b0 y(b) + b1 y (b) = b2, где p( x), q( x), f (x ) – заданные функции, непрерывные на отрезке [a, b ] ;

a0, a1, a2, b0, b1, b2 – заданные числа, причем a0 + a12 0, b02 + b12 0.

Заметим здесь, что краевая задача (3.1), (3.2) может быть сведена к задаче (4.1), (4.2). Для этого достаточно разделить обе части уравнения (3.1) на K (x) и ввести обозначение p( x) = K ( x ) / K ( x ), q( x ) = ( x ) / K ( x ), f ( x) = g ( x ) / K ( x ).

Для нахождения приближенного решения задачи (4.1), (4.2) интегральным методом наименьших квадратов строиться функциональная последовательность {y n (x )}0 из пробных решений вида n y n ( x) = u 0 ( x) + Ci u i ( x), (4.3) i = где u 0 ( x), u1 ( x),..., un (x ) – функции, удовлетворяющие таким же условиям и требованиям, что и аналогичные функции в методах Галеркина и Ритца.

Подс тавляя пробное решение (4.3) вместо y (x) в уравнение (4.1), получим невязку R (C1,..., Cn, x ) = L[u 0 ] f (x ) + C i L[ui ], n (4.4) i = Напомним, что функция (4.4), линейно зависящие от параметров C1,..., C n, является характеристикой уклонения пробного решения (4.3) от точного решения задачи Y (x ). Поэтому подберем значения C1,..., C n так, чтобы они доставляли глобальный минимум следующей функции переменных C1,..., C n b (C1,..., C n ) = (R(C1,..., C n, x ), R (C1,..., Cn, x )) = R 2 (C1,..., C n, x )dx. (4.5) a Заметим, что, так как (C1,..., C n ) из (4.5) неотрицательная квадратичная функция n переменных, то глобальный минимум ее существует и совпадает с локальным.

Необходимое условие локального минимума функции (4.5) дают R = 2 R, C = 0, k = 1, n, С k k откуда R (x, C1,..., C n ) R b = R (x, C1,..., C n ) R, dx = 0. (4.6) C C k k a Записав условия (4.6) в развернутом виде, для определения значений переменных С1,..., C n получаем неоднородную систему уравнений n -го порядка n akj C j = bk, k = 1, n, (4.7) j = где [] b a kj = L[u k ]L u j dx;

a (4.8) b bk = ( f (x ) L[u 0 ])L[u k ]dx.

a Решив систему (4.7) и подставив определяемые этим решением значения параметров С1,..., C n в (4.4), завершаем построение пробного решения y n (x).

Этапы возможного алгоритма приближенного решения задачи (4.1), (4.2) интегральным методом наименьших квадратов качес твенно полностью совпадают с этапами алгоритма решения задачи методом Галеркина. Имеется только одно количес твенное различие, связанное с тем, что параметры С1,..., C n пробного решения на первом и последующих этапах определяются решением системы (4.7), а не системы (2.8), как было в методе Галеркина.

Подчеркнем, что пробные функции можно подбирать так же, как и в методах Галеркина и Ритца.

4.2. Задание к лабораторной работе Интегральным методом наименьших квадратов найти наиболее точное решение краевой задачи (2.16), построенное при помощи системы из n пробных функций многочленов. За меру точнос ти выбрать (по указанию преподавателя) или 1, или 2 из (3.15). Варианты заданий приведены в таблице 2.1.

Лабораторная работа выполняется с использованием прикладной системы MathCAD, в которой реализуется алгоритм построения пробных решений y m (x) интегральным методом наименьших квадратов.

Перед обращением к этой программе необходимо подготовить следующие числовые и строчные данные.

Числовые данные:

a, b – концы отрезка интегрирования;

n – максимальное число параметров С i в пробном решении.

Значение параметра n дает преподаватель.

Строчные данные:

аналитические выражения для функций u 0 ( x),..., u n ( x ).

4.3. Выполнение работы в компьютерном классе 1. Прежде чем начать выполнение лабораторной работы на ЭВМ, внимательно ознакомьтесь с данной инструкцией.

2. При необходимости включите сами (или попросите лаборанта) питание компьютера. После того, как система загрузится, запускаем двойным щелчком левой кнопки мыши на рабочем столе программу Mathcad, если же ярлык отсутс твует, тогда открываем программу через кнопку «Пуск» (Программы Mathsoft Mathcad).

3. Узнайте у лаборанта расположение файла ODU.mcd и откройте его (File Open или, если программа русифицирована, Файл Открыть). При любой ошибке ввода программы нужно обратиться к лаборанту.

4. Прочитайте в начале файла задание на лабораторную работу и просмотрите пример выполнения работы, для которого исследование уже проведено. Для выполнения лабораторной работы «Решение краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка интегральным методом наименьших квадратов» необходимо использовать пункты 1, 2 и 5, 6. Цели и задачи каждого из пунктов описаны ниже.

5. Для набора функций нужно либо воспользоваться всплывающим меню инструментов «Calculator», либо ввести ее с клавиатуры, используя следующие символы арифметических действий и стандартных функций: сложение – ‘+’;

вычитание – ‘–‘;

умножение – ‘*’;

деление – ‘/’;

возведение в степень – ‘^’;

квадратный корень – ‘\’;

синус – sin(x);

косинус – cos(x);

экспонента – exp(x);

натуральный логарифм – ln(x). При вводе числовых данных, являющихся десятичными дробями, целую и дробную части нужно разделять точкой (например, 0.5, 1.5 и т. д.).

6. Порядок выполнения работы Вам укажет программа подсказками и заданиями, выделенными красным цветом.

4.4. Порядок выполнения лабораторной работы Рекомендуется такой порядок выполнения лабораторной работы.

1. Изучить разделы 4.1–4.3 настоящей главы, повторить разделы 2.2, 3.2 и подготовить ответы на контрольные вопросы из раздела 4.6.

2. Пройти собеседование с преподавателем;

получить допуск к выполнению работы в диалоге ПЭВМ, номер варианта задания и значение параметра n.

3. Выполнить подготовительный шаг алгоритма метода наименьших квадратов и подготовить, если u 0( x) не является точным решение задачи, все числовые и строчные исходные данные для расчетов на ПЭВМ.

4. Выполнить расчетную часть работы на ПЭВМ, переписав с экрана дисплея значения коэффициентов C i пробных решений и итоговые таблицы пробных решений и их невязок.

5. Оформить и защитить отчет по лабораторной работе такого же содержания, что и отчеты по работам предыдущих глав.

4.5. Тестирующий пример Интегральным методом наименьших квадратов найти приближенное решение краевой задачи (2.17), используя пробные функции из раздела (2.5).

Для выполнения лабораторной работы используется тот же файл ODU.mcd, что и в разделах 2.5 и 3.5. В пункте «Пос тановка задачи» вводим числовые параметры и функции, входящие в задачу (2.17). В пункте «Получение точного решения в системе MathCAD» получаем таблицу 2.2 точного решения задачи.

В пункте «Получение приближенного решения интегральным методом наименьших квадратов» в качестве пробных функций используем те же функции, что и в разделе 2.5:

1 u 0 (x ) = 6 5 x, u1 ( x) = 1 x + x 2, u2 ( x ) = 1 x + x 3, 3 1 1 u 3 ( x ) = 1 x + x 4, u 4 ( x ) = 1 x + x 5, u5 ( x ) = 1 x + x 6.

5 6 В результате расчета по программе при n = 5 получим вектор коэффициентов С = (1,137789 2,526360 2,595082 0, 032496 1,202066), следовательно, пробное решение имеет вид y 5 (x ) = u0 (x ) + 1,137789u1 (x ) 2,526360u 2 ( x) 2,595082u3 ( x) + 0,032496u 4 ( x) 1,202066u 5 (x ).

Основные результаты расчета по программе ODU.mcd при n представлены в таблицах 4.1 и 4.2. В приложении A приведен пример при n = 5.

Наилучшее приближенное к точному решению дает пробное решение y 5 (x ), для которого max Y (x ) y5 ( x) 0,00002, [a,b ] max R(C1,..., C5, x ) 0,009138, [a,b ] max y 5 (x ) y4 (x ) 0,000347.

[a,b ] Таблица 4.1.

Таблица пробных решений n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n= x 0,0 6,0 0,485925 0,84169 0,845604 0,846773 0, 0,1 5,5 0,518952 0,868583 0,86258 0,865383 0, 0,2 5,0 0,515219 0,908436 0,881732 0,886952 0, 0,3 4,5 0,474725 0,947502 0,899486 0,905566 0, 0,4 4,0 0,397471 0,972036 0,909288 0,91417 0, 0,5 3,5 0,283456 0,96829 0,901611 0,903955 0, 0,6 3,0 0,132681 0,922519 0,863951 0,863744 0, 0,7 2,5 – 0,054855 0,820975 0,780826 0,779382 0, 0,8 2,0 – 0,279151 0,649914 0,633781 0,633126 0, 0,9 1,5 – 0,540208 0,395587 0,401382 0,403032 0, 1,0 1,0 – 0,838025 0,04425 0,059222 0,062341 0, Таблица 4.2.

Таблица невязок пробных решений n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n= x 0,0 25,00 – 6,246424 1,87907 – 0,469539 0,067257 – 0, 0,1 24,58 – 4,497554 0,543229 – 0,004734 – 0,019227 0, 0,2 24,12 – 2,862206 – 0,394301 0,189442 – 0,026537 0, 0,3 23,62 – 1,340378 – 0,961014 0,195123 – 0,002561 – 0, 0,4 23,08 0,067928 – 1,184401 0,088489 0,020879 – 0, 0,5 22,50 1,362713 – 1,091957 – 0,060232 0,0268 0, 0,6 21,88 2,543978 – 0,711172 – 0,186764 0,011841 0, 0,7 21,22 3,611721 – 0,06954 – 0,232783 – 0,014965 0, 0,8 20,52 4,565944 0,805445 – 0,145919 – 0,033414 – 0, 0,9 19,78 5,406645 1,886293 0,120248 – 0,013352 – 0, 1,0 19,00 6,133826 3,145509 0,606185 0,084099 0, 4.6. Вопросы для самоконтроля 1. Как в методе наименьших квадратов строится система линейных уравнений для определения параметров пробного решения?

2. Получите самостоятельно развернутый вид условий (4.6), проверив тем самым справедливость формул (4.7), (4.8).

3. Опишите алгоритм приближенного решения краевой задачи (4.1), (4.2) интегральным методом наименьших квадратов.

4. Приведите примеры пробных функций для решения задачи (4.1), (4.2) интегральным методом наименьших квадратов.

5. Решение начально-краевой задачи для одномерного параболического уравнения методом Галеркина.

5.1. Постановка задачи и алгоритм метода Рассмотрим следующую начально-краевую задачу. Требуется в плоской области { } D = ( x, t ) R 2 ;

a x b, t найти решение U (x, t ) дифференциального уравнения u K u 2u L[u( x, t)] = K 2 ( x, t )u g (x, t ) (5.1) t x x x удовлетворяющее двум краевым или граничным условиям (, ) + u(a, t ) = ( ), a0u a t a1 x a2 t (5.2) u (b, t ) b0u (b, t ) + b1 = b2 (t ), x и начальному условию u ( x, 0) = f ( x), (5.3) где K ( x, t), K (x, t ), ( x, t ), g ( x, t ), a 2 (t ), b2 (t ) – заданные, непрерывные на D x функции (K ( x, t ) 0);

a0, a1, b0, b1 – заданные действительные числа, причем a0 + a12 0, b0 + b12 0 ;

f (x ) – заданная функция, непрерывная на [a, b] вместе 2 с f (x) и такая, что a0 f (a ) + a1 f ( a) = a 2 (0), (5.4) b0 f (b ) + b1 f (b) = b2 (0).

Напомним, что в такой форме может быть поставлена задача одномерной нестационарной теплопроводнос ти [1]. Например, типичная задача о нестационарной теплопередаче путем теплопроводности в однородном стержне единичной длины, концы которого поддерживаются при температурах T1 и T2, при начальном распределении температуры вдоль стержня по закону T (x,0) = T1 + (sin(x ) + x )(T2 T1 ) получается как частный случай сформулированной задачи a = 0, b = 1, K ( x, t) = 1, ( x, t ) = 0, g ( x, t ) = a0 = 1, a1 = 0, a2 = T, b0 = 1, b1 = 0, b2 = T, (5.5) f (x ) = (sin(x) + x )(T2 T1 ) + T1.

В методе Галеркина для нахождения приближенного решения задачи (5.1)– (5.4) строится функциональная последовательнос ть {un (x, t )} из пробных решений u n ( x, t ) следующим образом.

Задаемся в области D некоторой системой дважды дифференцируемых функций u 0 ( x, t), u1 ( x),..., un (x ) таких, что u 0 ( x, t) удовлетворяет краевым условиям (5.2), а пробные функции u i (x) (i 1) являются линейно независимы на [a, b] и удовлетворяют однородным краевым условиям a0u (a) + a1u (a ) = 0, (5.6) b0u(b) + b1u (b) = 0.

Составляем функцию n u n ( x, t ) = u0 ( x, t ) + vk (t )uk ( x) (5.7) k = с неизвестными пока функциями v1 (t ), v2 (t ),..., vn (t ), зависящими только от аргумента t.

Подчеркнем, что в силу линейности условий (5.2) и (5.6), функция (5.7) удовлетворяет условиям (5.2) при любых функциях v1 (t ),...,v n (t ). Значит, следует так определить vi (t ) (i 1) и количество (n) этих функций, чтобы u n ( x, t ) из (5.7) удовлетворяла уравнению (5.1) и начальному условию (5.3) с заданной точностью.

Подставляя u n ( x, t ) вместо u ( x, t) в уравнение (5.1), получаем невязку 2 u0 n u dvk n R1 (v1 (t ),..., v n (t), x, t ) = K ( x, t ) 2 + vk u uk ( x ) + x k t k =1 dt k = K u 0 n n + v k u k ( x, t ) u0 + v k uk g (x, t ) x x k =1 k= или K dvk n n R1(v1,..., vn, x, t ) = uk Ku k + uk + uk v k x dt k =1 k = (5.8) 2u0 K u 0 u K x 2 + x x + u0 + g t.

Подставляя u 0 ( x,0), в полученную из (5.7) при t = 0, в (5.3), находим невязку n R2 (v1(0),...,v n (0), x ) = u0 (x,0) + v k (0)uk ( x) f ( x ). (5.9) k = Невязки R1 и R2 являются характеристиками уклонения функции (5.7) от точного решения U (x,t ) задачи (5.1)–(5.4). Во всяком случае, если при некотором наборе функций v1 (t ),...,v n (t ) R1 0 и R2 0, то функция u n ( x, t ) из (5.7) – точное решение U (x,t ).

В общем случае эти невязки оказываются отличными от нуля. Поэтому накладываем дополнительные условия на функции vk (t ) и их начальные значения vk (0) так, чтобы невязки в каком-то смысле были бы наименьшими.

В обобщенном методе Галеркина эти условия определяются системой уравнений:

(R1(v1 (t ),...,vn (t ), x,t ), wk ( x) ) = 0, k = 1, n;

(5.10) (R2 (v1(0),...,vn (0), x), wk ( x)) = 0, k = 1, n;

(5.11) где w1 (x ),..., wn ( x) – заданные линейно независимые на [a, b] поверочные функции;

а b (V ( x),W ( x)) = V ( x )W ( x)dx.

a Напомним здесь, что если поверочные функции w1 (x ),..., wn ( x) входят в полную на [a, b] систему функций, то можно ожидать сходимости последовательности {un (x,t )} в среднем к точному решению U (x,t ) [1].

Запишем условия (5.10) в развернутом виде n u v j (Kuj ) + u j K 0 + dv j n u j (x ) j =1 dt j=1 x x x u + u0 + g ( x,t ) 0, wk ( x) = 0, t или (u j, wk ) (Kuj ) + u j, wk v j n dv n j j =1 x j =1 dt u u K 0 + u0 + g ( x,t ) 0, wk (x ) = 0, x x t или dv j n n akj c (t )v j = bk (t ), k = 1, n ;

(5.12) dt j=1 kj j = где akj = (u j, wk ) = u j ( x )wk ( x )dx, b (5.13) a K ( ) b ckj = Kuj + u j, wk = Kuj + u j + u j wk dx, (5.14) x x a u u bk (t ) = K 0 + u0 + g (x,t ) 0, wk ( x ) = x x t (5.15) b u u 0 K u = K 2 + + u0 + g 0 wk dx, x x x t a k = 1, n, j = 1, n.

Если ввести в рассмотрение матрицы A = (a kj )n, C = (ckj )n, B = (bk )n,1, V = (v j )n,1, то система (5.12) в матричном виде запишется так dV = CV + B.

A (5.16) dt Покажем, что матрица A всегда невырожденная, т. е. det A 0.

Рассмотрим однородную линейную алгебраическую систему уравнений относительно неизвестных 1, 2,..., n (u j, wk ) j = 0, k = 1, n.

n (5.17) j = Если det A = 0, то система (5.17) имеет множество ненулевых решений.

Пусть одним из таких решений является совокупность 1, 2,..., n, где, например, m 0. Подставляя это решение в уравнение системы (5.17), суммируя все получившиеся при этом равенства и используя свойства скалярного произведения, получаем (1u1 +... + nun, w1 +... + wn ) = 0, m 0.

Так как функции wk (x ) линейно независимы, то w1 +... + wn 0. Значит,/ должно выполнятся тождество 1u1 +... + nu n 0, m 0. Но это невозможно из-за линейной независимости функций u1,..., u n. Значит, ненулевых решений у системы (5.17) нет, а для этого необходимо и достаточно, чтобы det A 0.

Таким образом, матрица A невырожденная и, следовательно, имеет обратную матрицу A1.

Теперь из (5.16) получаем dV = A1 (CV + B). (5.18) dt Таким образом, функции v j (t ) должны удовлетворять нормальной системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n -го порядка.

Заметим, что если функции K ( x, t), ( x,t ) зависят только от x, то система (5.18) – система с постоянными коэффициентами. Заметим так же, что если в качестве поверочных функций выбраны пробные, которые ортогональны, то матрицы A и A1 являются диагональными матрицами.

Запишем теперь в развернутом виде условия (5.11). Получаем n u0 (x,0) + v j (0)u j (x ) f ( x), wk (x ) = j = = (u j ( x ),wk ( x) )v j (0) + (u0 ( x,0) f ( x), wk (x )) = 0;

n j = или (u j ( x), wk (x))v j (0) = ( f ( x) u 0 (x,0), wk (x)), k = 1, n;

n j = или n akj v j (0) = d k, k = 1, n;

(5.19) j = где akj определяются формулами (5.13), а b d k = ( f ( x) u 0 ( x,0), wk (x )) = ( f ( x) u 0 ( x,0) )wk ( x )dx.

a Если ввести матрицу D = (d k )n,1, то из (5.19) получаем V (0) = A1D. (5.20) Таким образом, для нахождения функций Vk (t ), k = 1, n, определяющих пробное решение (5.7), получаем задачу Коши для нормальной системы (5.18) линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n -го порядка с начальными условиями (5.20). Решив указанную задачу Коши и подставив определяемые этим решением функции v k (t) в (5.7), заканчиваем построение пробного решения u n ( x,t ).

Опишем возможный алгоритм построения приближенного решения задачи (5.1)–(5.3) методом Галеркина, предполагая, что последовательность {un (x,t )} сходится равномерно к точному решению U (x,t ).

1. Подготовительный шаг алгоритма. На этом шаге выбираем функцию u 0 ( x, t) и находим невязку R10 ( x,t ) = L[u0 ] g ( x, t ) от подстановки функции u 0 ( x, t ) в уравнение (5.1). Находим невязку R20 ( x ) = u0 ( x,0) f ( x) для условия (5.3). Определяем max R10 (x,t ) = 10 и max R20 (x) = 20.

[a,b] D Если 10 1 и 20 2, где 1 и 2 заданные меры точности приближенного решения, то полагаем U (x,t ) u0 (x,t ). В противном случае переходим к ~ следующему шагу алгоритма, предварительно выбрав u j (x ) и поверочные wk (x ) функции.

2. Первый шаг алгоритма. Определив функцию v1 (t ) из решения задачи Коши (5.18), (5.20) при n = 1, строим функции u1 (x,t ) = u0 + v1(t )u1( x). Находим по формулам (5.8), (5.9) невязки R11 (v1 (t), x,t ), R21 (v1(0), x ) и определяем max R11 (v1, x, t ) = 11 и max R21(v1(0), x) = 21. Если 11 1 и 21 2, то [a,b] D полагаем U (x,t ) ~ u1( x, t), и вычисления заканчиваем. В противном случае переходим к вычислениям на втором шаге алгоритма и т. д.

Таким образом, на m-ом (m 1) шаге алгоритма строим функцию m u m ( x, t ) = u0 ( x, t ) + vk (t )uk ( x), k = определив предварительно функции v1 (t ),...,v m (t ) из решения задачи Коши (5.18), (5.20) при n = m. Находим по формулам (5.8), (5.9) невязки R1m (v1 (t ),...,v m (t ), x,t ), R2m (v1 (0),...,vm (0), x ), а затем вычисляем max R1m (v1 (t ),...,vm (t ), x, t ) = 1m и max R2m (v1(0),...,vm (0), x) = 2m.

[a,b] D Если 1m 1 и 2m 2, то полагаем U (x,t ) u m ( x,t ), в противном случае ~ переходим к (m + 1) -му шагу алгоритма.

5.2. О построении функции u0 (x,t) Пробные и поверочные функции можно выбирать так же или такими же методами, как описано в предыдущих главах.

Поэтому обсудим здесь только возможность построения функции u 0 ( x, t) в виде многочлена относительно x с коэффициентами, зависящими от t, и рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих эту возможность.

Например, положив u 0 ( x, t) = A(t ), из условий (5.2) получаем систему функциональных уравнений a0 A(t ) = a2 (t ), b0 A(t ) = b2 (t ), a (t ) и если a0b2 b0a2, то система совместна и A(t ) = 2. Если же a0b2 b0 a 2, то / a система несовместна, и ищем u 0 ( x, t) в виде u 0 ( x, t) = A(t ) + B(t ) x = P (x,t ).

Для определения A(t ) и B(t ) из условий (5.2) получаем систему функциональных уравнений a0 A(t ) + (a0 a + a1 ) B(t ) = a 2 (t), b0 A(t ) + (b0b + b1 ) B(t ) = b2 (t );

которую можно исследовать, используя теорему Кронекера-Капелли, как линейную неоднородную алгебраическую систему относительно неизвестных функций A(t ) и B(t ).

Если 1 = a0 (b0b + b1 ) b0 (a 0a + a1 ) 0, то система совместна и определена при этом a2 a0a + a1 a0 a b b0b + b1 b b A(t ) = 2, B(t ) = 0, 1 и функция u 0 ( x, t) = P ( x,t ) определяется однозначно. Если 1 = 0, то система несовместна, и ищем u 0 (x, t ) в виде u 0 ( x, t) = A(t ) + B(t ) x + C(t ) x 2 = P2 ( x, t ).

Для определения A(t ) и B(t ) из условий (5.2) получаем систему ( ) a0 A(t ) + (a0 a + a1 ) B(t ) + a0a 2 + 2a1a C (t ) = a2 (t ), ( ) b0 A(t ) + (b0b + b1 ) B(t ) + b0b 2 + 2b1b C(t ) = b2 (t );

( ) ( ) 2 = a0 b0b 2 + 2b1b b0 a0 a 2 + 2a1a 0, то система совместна если и неопределена, причем B(t ) можно придавать произвольные значения. Если 2 = 0, то система несовместна, и ищем u 0 ( x, t) в виде u 0 ( x, t) = A(t ) + B(t ) x + C(t) x 2 + D(t ) x 3 = P3 (x,t ).

Условия (5.2) приводят к системе a0 A(t ) + (a0 a + a1 ) B(t ) + (a0 a 2 + 2a1a ) C(t ) + (a 0a 3 + 3a1a 2 ) D(t ) = a2 (t ), b0 A(t ) + (b0b + b1 ) B(t ) + (b0b 2 + 2b1b) C(t ) + (b0b3 + 3b1b 2 ) D(t ) = b2 (t).

Покажем, что это система всегда совместна и, следовательно, неопределена.

Для этого надо доказать, что для любых значений параметров a,b, a0,b0, a1,b1 не могут выполняться все условия несовместности, отмеченные выше, одновременно a0 (b0 b + b1 ) b0 (a0 a + a1 ) = 0, ( )( ) a0 b0 b + 2b1b b0 a 0a + 2a1a = 0, 2 ( )( ) a0 b0 b + 3b1b b0 a0 a + 3a1a = 0, 3 2 3 a b b a.

02/ 0 Введем обозначения x1 = a0b0, x2 = a0b1, x3 = b0a1 и заметим, что, в силу ограничений на параметры (a0 + a12 0, b02 + b12 0) и последнего из выписанных условий несовместности, переменные x1, x 2 и x 3 одновременно в ноль обратиться не могут. Тогда первые три условия несовместности можно записать в виде линейной однородной системы относительно x1, x 2 и x (b a) x1 + x2 + x3 = 0, (b a ) x1 + 2bx2 + 2 ax3 = 0, 2 (b a ) x1 + 3b x2 + 3a x3 = 0, 3 3 2 которая должна иметь ненулевое решение. Для этого необходимо и достаточно, чтобы определитель третьего порядка ba 1 3 = b 2 a 2 2b 2 a = 0.

b 3 a3 3b 2 3a Последнее невозможно, так как 3 = (b a )4 и a b.

Таким образом, при любых значениях параметров a, b, a0, a1,b0,b1 всегда найдется хотя бы одна функция вида u 0 ( x,t ) = P3 (x,t ), удовлетворяющая условиям (5.2).

Пример 1. Построить u 0 ( x, t) для задачи с краевыми условиями u (0, t ) u (0,t ) + = t, x (5.21) u (1, t) + u(1,t ) = 4t.

x Решение. Пусть u 0 ( x, t) = A(t ), тогда условия (5.21) дают A(t ) = t, 5t 0, A(t ) = 4t;

т. е. – несовместную систему. Если теперь u 0 ( x, t) = A(t ) + B(t ) x, то условия (5.21) приводят к системе A(t ) + B(t ) = t, A(t) = 6t, A(t ) + 2 B(t ) = 4t ;

A(t) = 5t.

Следовательно, в качестве функции u 0 ( x, t) можно взять функцию u 0 ( x,t ) = (6 5 x )t.

Пример 2. Построить функцию u 0 ( x, t) для задачи с краевыми условиями u (0, t ) = e t, u (0,t ) + x (5.22) u (2,t ) u (2,t ) 2t = 2e.

x Решение. Пусть u 0 ( x, t) = A(t ), тогда условия (5.22) дают A(t ) = e t, e t 2e 2t 0, A(t ) = 2e 2t ;

т. е. – несовместную систему. Если теперь u 0 ( x, t) = A(t ) + B(t ) x, то условия (5.22) приводят также к несовместной системе t A(t ) + B(t ) = e, (5.23) A(t ) + B(t ) = 2e 2t.

Полагая u 0 ( x, t) = A(t ) + B(t ) x + С(t) x 2, снова получаем несовместную систему (5.23). Ищем поэтому u 0 ( x, t) в виде u 0 ( x, t) = A(t ) + B(t ) x + С(t) x 2 + D(t )x 3. Из условий (5.22) имеем A(t ) + B(t ) = е t, A(t ) + 2 B(t ) + 4С(t) + 8 D(t ) B(t ) 4C(t ) 12D(t) = 2е 2t ;

A(t ) + B(t ) = е t, A(t ) + B(t ) = е t, A(t ) + B(t ) 4 D(t ) = 2е 2t ;

4D(t ) = 2е 2t е t.

Получили совместную систему. Одним из решений ее будет, например, следующая совокупность функций A(t) =et, B(t) = 0, C(t) = 0, D(t) = 0,5e2t + 0,25et.

Таким образом, u 0 ( x, t) = e t + (0,25e t 0,5e 2t )x 3.

Пример 3. Построить u 0 ( x, t) и систему из пяти пробных функций для задачи с краевыми условиями u (0,t ) = c 2 = const, (5.24) u (l, t) = c3 = const, c 2 c3.

Решение. Если u 0 ( x) = A, то получаем из (5.24) несовместимую систему A = c2, A = c3.

Если u 0 ( x) = A + Bx, то условия задачи (5.24) дают A = c2, A = c2, c3 c A + lB = c3, B =.

l Таким образом, x u 0 ( x) = c2 + (c3 c 2 ).

l В качестве пробных функций можно взять u1 (x ) = x( x l ), u2 (x ) = x 2 ( x l ), u3 ( x) = x 3 ( x l), u 4 ( x) = x 4 ( x l ), u5 (x ) = x 5 ( x l ).

5.3. Задание к лабораторной работе Рассматривается начально-краевая задача. Требуется в плоской области D = {(x,t ) R 2 : 0 x l, t 0} найти решение u ( x, t) дифференциального уравнения u 2u = c1 2, (5.25) t x удовлетворяющее условиям u (0,t ) = c 2, u (l,t ) = c 3;

(5.26) c3 c2 c4l u ( x,0) = f ( x) = c 4 x + x + c 2;

(5.27) l где c1,c 2, c3, c4 – некоторые заданные постоянные величины.

Заметим, что эта задача получается как частный случай задачи (5.1)–(5.3) при a = 0, b = l, K( x,t ) c1, ( x,t ) 0, g (x,t) 0, a0 = 1, a1 = 0, a2 = c2, b0 = 1, b1 = 1, b2 = c3.

Варианты заданий, определяемые различными наборами значений постоянных c1,c 2, c3, c4 задачи (5.25)–(5.27) и параметра T, приведенные в таблице 5.1.

Таблица 5. Варианты задания к лабораторной работе № l c1 c2 c3 c4 T 1 0,1 1 3 1 0, 2 0,2 2 4 –1 0, 3 0,4 3 5 1 4 0,1 3 1 –1 0, 5 0,2 4 2 1 0, 6 0,4 5 3 –1 7 0,3 1 2 1 0, 8 0,5 2 3 –1 0, 9 0,6 4 5 1 10 0,7 1 4 –1 Лабораторная работа выполняется с использованием прикладной системы MathCAD, которая реализует алгоритм построения пробных решений u m ( x, t ) задачи (5.25)–(5.27) методом Галеркина.

Перед обращением к программе необходимо подготовить числовые и строчные данные, вводимые в процессе диалога с ЭВМ с клавиатуры дисплея.

Числовые данные:

l – правый конец отрезка изменения переменной x ;

c1 – числовой параметр уравнения (5.25);

T – значение параметра T задачи.

Строчные данные:

аналитические выражения для функции u 0 ( x),u1( x ),...,u5 ( x) ;

аналитические выражения поверочных функций w1 (x ),..., w5 (x ).

В результате расчета программа выводит на экран дисплея значения v1 (T ),..., v5 (T ), таблицы значений пробных решений, таблицы невязок R1( x,T ) и R2 ( x).

В лабораторной работе требуется:

1. Методом Фурье (методом разделения переменных) найти точное аналитически заданное решение U (x,t ) задачи (5.25)–(5.27) и построить с шагом 0,1l трехзначную таблицу точного решения при t = T, т. е. функции v( x) = U (x,T ).

2. Методом Галеркина найти первые пять функций из последовательности пробных решений {un (x,t )}1, используя нормированные системы пробных и поверочных функций, тип которых задает преподаватель.

3. Исследовать поведение построенных пробных решений, анализируя найденные с помощью ЭВМ таблицы пробных решений, таблицы сравнения с предыдущим пробным решением, таблицы сравнения с точным решением U (x,T ), таблицы невязок R1, R2.

5.4. Выполнение работы в компьютерном классе 1. Прежде чем начать выполнение лабораторной работы на ЭВМ, внимательно ознакомьтесь с данной инструкцией.

2. При необходимости включите сами (или попросите лаборанта) питание компьютера. После того, как система загрузится, запускаем двойным щелчком левой кнопки мыши на рабочем столе программу Mathcad, если же ярлык отсутствует, тогда открываем программу через кнопку «Пуск» (Программы Mathsoft Mathcad).

3. Узнайте у лаборанта расположение файла Parab.mcd и откройте его (File Open или, если программа русифицирована, Файл Открыть). При любой ошибке ввода программы нужно обратиться к лаборанту.

4. Прочитайте в начале файла задание на лабораторную работу и просмотрите пример выполнения работы, для которого исследование уже проведено. Программа файла Parab.mcd состоит из четырех пунктов «Постановка задачи», «Получение точного решения», «Получение приближенного решения», «Выводы». Цели и задачи каждого из пунктов описаны ниже.

5. Для набора функций нужно либо воспользоваться всплывающим меню инструментов «Calculator», либо ввести ее с клавиатуры, используя следующие символы арифметических действий и стандартных функций: сложение – ‘+’;

вычитание – ‘–‘;

умножение – ‘*’;

деление – ‘/’;

возведение в степень – ‘^’;

квадратный корень – ‘\’;

синус – sin(x);

косинус – cos(x);

экспонента – exp(x);

натуральный логарифм – ln(x). При вводе числовых данных, являющихся десятичными дробями, целую и дробную части нужно разделять точкой (например, 0.5, 1.5 и т. д.).

6. Порядок выполнения работы Вам укажет программа подсказками и заданиями, выделенными красным цветом.

5.5. Порядок выполнения лабораторной работы 1. Повторить раздел 1. Изучить разделы 5.1–5.6 данной главы и подготовить ответы на контрольные вопросы из раздела 5.7.

2. Пройти собеседование с преподавателем;

получить номер варианта работы и указания по выбору пробных и поверочных функций.

3. Выполнить первый пункт задания, связанный с построением ряда Фурье для точного решения задачи U (x,t ) и нахождением длины отрезка этого ряда, обеспечивающую точность решения 0,001.

4. Выполнить подготовительный шаг алгоритма метода Галеркина и, если u 0 ( x) не является точным решением задачи, подготовить все числовые и строчные данные для расчетов и в пункте «Постановка задачи» программы Parab.mcd (прил. Б) ввести их вместо задания рассмотренного примера.

5. В пункте «Получение точного решения» программы ввести найденное в 3-м пункте число слагаемых в разложении в тригонометрический ряд Фурье.

Выписать трехзначную таблицу получившегося точного решения U (x,T ).

6. В пункте «Получение приближенного решения» рассмотрено применение двух систем пробных и трех систем поверочных функций. По заданию преподавателя ввести вместо задания примера системы пробных V1(k, x) и поверочных W (k, x ) функций, указанных во 2-м пункте (см.

приложение Б). Выполнить построение пяти пробных решений задачи, вводя последовательно n=1, …, n=5. Переписать значения vk (T ) (элементы вектора Y100, k программы) и, подставив их, получить первые пять пробных решения.

Исследовать поведение построенных пробных решений, анализируя таблицу пробных решений, таблицу сравнения с предыдущим пробным решением, таблицу сравнения с точным решением и таблицы невязок.

7. В пункте «Выводы» приведены максимальные по модулю значения таблицы сравнения с предыдущим пробным решением, таблицы сравнения с точным решением и таблиц невязок при t = T трех комбинаций систем пробных и поверочных функций.

8. Оформить и защитить отчет по лабораторной работе. Отчет должен содержать титульный лист, математическую постановку задачи и ее физическую интерпретацию, основные результаты работы.

5.6. Тестирующий пример Найти функцию u (x, 1), удовлетворяющую в области D = {( x,t ) R 2 : 0 x, t 0} уравнению u 2u = 0,1 2 (5.28) t x и условиям u (,t ) = 2, u (0,t ) = 1, (5.29) 1 u ( x, 0) = f ( x) = 1 + x + x 2 = 1 2. 8233 x + x 2. (5.30) Задача (5.28)–(5.30) является частным случаем задачи (5.25)–(5.27) при с1 = 0,1, c 2 = 1, c3 = 2, c4 = 1, t = T = 1. Ее можно интерпретировать как задачу одномерной нестационарной теплопроводности, когда концы стержня поддерживаются при постоянных температурах и известна начальная температура стержня.

Найдем точное решение этой задачи методом разделения переменных [4,5].

Известно, что для уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями (x,t ) D = {(x,t ) R 2 : 0 x l, t 0}, u 2u = с1 2, t x u (0,t ) = 0, u (l, t) = 0, u ( x,0) = ( x), решение имеет вид n2 n c t u ( x, t) = An e sin x, l2 (5.31) l n= где An – коэффициенты Фурье n 2l An = ( x )sin x dx. (5.32) l l Найдем решение волнового уравнения с неоднородными граничными условиями (6.29)–(6.31). Ищем U (x,t ) в виде x U (x, t ) = V (x, t ) + 1 +. (5.33) Тогда из (5.28)–(5.30) для определения функции V ( x, t ) получаем следующую задачу с однородными условиями V 2V = 0,1 2, (5.34) t x V (0,t ) = 0, V (,t ) = 0, (5.35) V ( x,0) = ( x) = x (x ). (5.36) Подставляя в (5.31), (5.32) с1 = 0,1, l =, (x ) = x (x ), получим решение V ( x, t ) = Ane 0.1n t sin(nx), n= где An = (x x )sin(nx)dx.

2 Интегрируя два раза по частям, получаем n = 2m;

0, ( ) An = 3 ( 1) 1 = n n 3, n = 2m 1.

n Таким образом, точное решение задачи (5.28)–(5.30) аналитически задается выражением x 8 e 0,1( 2m1) t sin((2 m 1) x ) U (x, t ) = 1 + (5.37) m=1 (2m 1) Найдем такое значение m = M, при котором функция x 8 M e 0,1( 2m1) sin((2m 1) x ) U (x,1) = 1 + € (5.38) m=1 (2m 1) приближенно с абсолютной точностью = 0,001 определяет функцию (5.37) на множестве G = {( x,t ) D : 0 x, t = T = 1}, т. е. x [0, ] : U ( x,1) U ( x,1) = 0,001.

€ (5.39) Оценим сверху величину.

8 e 0,1(2 m1) 8 e 0.1( 2m1) 2 sin((2m 1) x ) = sin((2m 1)x ) = m= M +1 (2 m 1) m= M +1 (2m 1) 8 e 0,1(2m1) 8e 0,1( 2M +1) (2M + 1)3 0,1[(2m1)2 (2M +1)2 ] 2 e m=M +1 (2m 1) 3 (2 M + 1)3 m= M +1 (2m 1) 8e 0,1( 2M +1) (2 M + 1)3 8e 0,1( 2M +1) 2 0,1( 2k 2)( 4M +2 k ) e (2 M + 1)3 k =1(2 M + 2k 1)3 (2M + 1) 2 M + 1 3 0, 2( 4M + 4) 2 M + 1 3 0,4( 4M +6) 2M + 1 3 0,6( 4M +8) 1 + +....

+ + e e e 2M + 3 2M + 5 2M + 8e 0,1( 2M +1) 8e 0,1( 2M +1) 2 (1 + e +....)= 0,8( M +1) 1, 6(M +1) = (M ).

+e 0,8( M +1) (2M + 1) (2 M + 1) 1 e 3 Значит, условие (5.39) будет заведомо выполнено, если e 0,1( 2M +1) (M ) = 0,001. (5.40) (2M + 1) 3 1 e 0, 8(M +1) Найдем подбором наименьшее значение M, при котором выполняется условие (5.40). Получаем 8e 0, (1) = = 0,0480 0,001, 3,1416 27 (1 e 1, 6 ) (2) = 0,0018 0,001, (3) = 0,0006 0,001.

Следовательно, M = 3.

Итак, функция x 8 3 e 0,1( 2m1) sin((2m 1) x ) U (x,1) = 1 + € m=1 (2m 1) по меньшей мере с точностью = 0,001 определяет значения функции U (x,1) на отрезке [0, ].

В таблице 5.2 представлены четырехзначные значения функции U (x,1). € Таблица 5. Таблица точного решения задачи x 0,000 0,314 0,628 0,942 1,257 1,571 1,885 2, U (x,1) 1,0000 0,3552 – 0,1908 – 0,5743 – 0,7689 – 0,7674 – 0,5689 – 0, € x 2,153 2,827 3, U (x,1) 0,4092 1,1552 2, € График точного решения при T = 1 имеет вид Рис.5.1. График точного решения.

Построим теперь приближенное решение методом Галеркина, выбрав x u 0 ( x) = 1 +, тогда f (x ) u0 (x ) = x ( x 3,1416), и используя разные варианты пробных и поверочных функций.

1 вариант. В качестве пробных и поверочных функций выбираем нормированные функции u k ( x ) = uk (x ), k = 1,5;

(5.41) uk где k +1, uk = (u k (x )) dx = u k ( x ) = x (x ), k.

(k + 1)(2k + 1)(2 k + 3) 30 x x 1 = 0,98364 x (0,31831 x 1), u1 = Т. е.

105 x x 1 = 0,58576 x 2 (0,31831 x 1), u2 = 252 x x 1 = 0, 28885 x 3 (0,31831 x 1), u3 = 495 x x 1 = 0,12886 x 4 (0,31831 x 1), u4 = 858 x x 1 = 0,05400 x 5 (0,31831 x 1).

u5 = Основные результаты расчета по программе Parab.mcd при n представлены в таблицах 5.3–5.5. В приложении Б приведен пример при n = 5.

Таблица 5. Таблица значений пробных решений n=1 n=2 n=3 n=4 n= x 0,000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, 0,314 0,2973 0,2973 0,3522 0,3522 0, 0,628 – 0,2270 – 0,2270 – 0,1847 – 0,1847 – 0, 0,942 – 0,5729 – 0,5729 – 0,5693 – 0,5693 – 0, 1,257 – 0,7405 – 0,7405 – 0,7719 – 0,7719 – 0, 1,571 – 0,7296 – 0,7296 – 0,7748 – 0,7748 – 0, 1,885 – 0,5405 – 0,5405 – 0,5719 – 0,5719 – 0, 2,199 – 0,1729 – 0,1729 – 0,1693 – 0,1693 – 0, 2,513 0,3730 0,3730 0,4153 0,4153 0, 2,827 1,0973 1,0973 1,1522 1,1522 1, 3,142 2,0000 2,0000 2,0000 2,0000 2, Т. е. пробное решение u5 (x,1) = 1 + 0,3183x + 2,454 1 (x) + 1,5038 2 (x) 2,1978 3 (x) + 1,7511 4 (x ) 0,655 5 (x) u u u u u определяет точное решение как минимум с тремя верными значащими цифрами при достаточно малых значениях невязок.

Таблица 5. Таблица значений невязок R1( x,1) пробных решений n=1 n=2 n=3 n=4 n= x 0,000 – 0,18073 – 0,18073 – 0,05930 – 0,05930 0, 0,314 – 0,09940 – 0,09940 – 0,00476 – 0,00476 – 0, 0,628 – 0,03615 – 0,03615 0,00977 0,00977 – 0, 0,942 0,00904 0,00904 0,00521 0,00521 0, 1,257 0,03615 0,03615 – 0,00351 – 0,00351 – 0, 1,571 0,04518 0,04518 – 0,00741 – 0,00741 – 0, 1,885 0,03615 0,03615 – 0,00351 – 0,00351 – 0, 2,199 0,00904 0,00904 0,00521 0,00521 0, 2,513 – 0,03615 – 0,03615 0,00977 0,00977 – 0, 2,827 – 0,09940 – 0,09940 – 0,00476 – 0,00476 – 0, 3,142 – 0,18073 – 0,18073 – 0,05930 – 0,05930 0, Таблица 5. Таблица значений невязок R2 ( x) пробных решений n=1 n=2 n=3 n=4 n= x 0,000 0 0 0 0 2,776 1015 1,099 1014 1,946 1013 – 1,079 0,314 4,219 1015 1,488 1014 1,981 1013 – 5,596 0,628 4,441 1015 1,421 1014 1,044 1013 – 2,061 0,942 3,553 1015 1,110 1014 – 2,132 1014 – 4,610 1,257 2,665 1015 7,550 1015 – 1,297 1013 – 5,329 1,571 1,332 1015 6,217 1015 – 1,958 1013 – 1,754 1,885 3,997 1015 – 2,083 1013 6,382 2,199 0 3,997 1015 – 1,699 1013 1,566 2,513 0 2,827 1,110 1015 3,442 1015 – 9,315 1014 1,799 3,142 0 0 0 0 Анализ данных в таблицах 5.3–5.5 позволяет предположить, что имеет место равномерная сходимость последовательности пробных решений к точному решению. Наилучшее приближение дает u 5 ( x,1), для которого max u 5 ( x,1) U ( x,1) 0,000156, max u5 ( x,1) u 4 ( x,1) 0,007272, x x max R1 ( x,1) 0,0225, max R2 (x ) 2 10-12.

x x 2 вариант. В качестве пробных возьмем функции (5.39), а в качестве поверочных – нормированные многочлены Лежандра, которые ортогональны на отрезке [0, ], т. е. функции wk (x ) = P (x ),k = 1,5;

Pk 1 (x ) k где 2 P0 ( x) = 1, P (x ) = x, 1 2 P2 ( x) = 3 x 1, 2 1 2 P3 (x ) = 5 x 3 x, 2 1 2 4 35 x 30 2 x + 3, P ( x) = 8 2 || Pk ||= (Pk (x ))2 dx =.

2k + Таким образом, w1 ( x) = 0.5642, w2 ( x) = 0.9772 (0.6366x 1), w3 ( x ) = 0.6308 (3 (0.636x 1)2 1), w4 ( x) = 0.7464 (0.6366 x 1) (5 (0.6366 x 1)2 3), w5 ( x ) = 0.2116 (35 (0.6366 x 1)4 30 (0.6366 x 1)3 + 3).

Основные результаты расчета по программе при n 5 представлены в таблицах 5.6–5.8.

Таблица 5.6.

Таблица значений пробных решений n=1 n=2 n=3 n=4 n= x 0,000 1,0000 1,00000 1,00000 1,00000 1, 0,314 0,3134 0,31343 0,36687 0,36687 0, 0,628 – 0,1983 – 0,19835 – 0,17349 – 0,17349 – 0, 0,942 – 0,5353 – 0,53533 – 0,56847 – 0,56847 – 0, 1,257 – 0,6975 – 0,69752 – 0,78049 – 0,78049 – 0, 1,571 – 0,6849 – 0,68492 – 0,78700 – 0,78700 – 0, 1,885 – 0,4975 – 0,49752 – 0,58049 – 0,58049 – 0, 2,199 – 0,1353 – 0,13533 – 0,16847 – 0,16847 – 0, 2,513 0,4017 0,40165 0,42651 0,42651 0, 2,827 1,1134 1,11343 1,16687 1,16687 1, 3,142 2,0000 2,00000 2,00000 2,00000 2, Таблица 5.7.

Таблица значений невязок R1 (x,1) пробных решений n=1 n=2 n=3 n=4 n= x 0,000 – 0,17710 – 0,17710 – 0,02673 – 0,02673 0, 0,314 – 0,08147 – 0,08147 0,00623 0,00623 – 0, 0,628 – 0,00708 – 0,00708 0,01090 0,01090 0, 0,942 0,04605 0,04605 0,00302 0,00302 0, 1,257 0,07793 0,07793 – 0,00620 – 0,00620 – 0, 1,571 0,08855 0,08855 – 0,01002 – 0,01002 – 0, 1,885 0,07793 0,07793 – 0,00620 – 0,00620 – 0, 2,199 0,04605 0,04605 0,00302 0,00302 0, 2,513 – 0,00708 – 0,00708 0,01090 0,01090 0, 2,827 – 0,08147 – 0,08147 0,00623 0,00623 – 0, 3,142 – 0,17710 – 0,17710 – 0,02673 – 0,02673 0, Таблица 5.8.

Таблица значений невязок R2 ( x) пробных решений n=1 n=2 n=3 n=4 n= x 0,000 0 0 0 0 – 2,78 0,314 0 0 0 – 2,22 0,628 0 0 0 0,942 0 0 0 0 1,78 1,257 0 0 0 4,00 1,571 0 0 0 4,44 1,885 0 0 0 3,55 2,199 0 0 0 1,55 2,513 0 0 0 – 1,33 2,827 0 0 0 3,142 0 0 0 0 Наилучшее приближение к точному решению дает пробное решение u 5 ( x,1), для которого max | u5 (x,1) U ( x,1) | 0,001, max | u5 (x,1) u4 ( x,1) | 0, x x max | R1( x,1) | 0,012, max | R2 (x ) | 4,44 10-15.

x x Таким образом, пробное решение u5 (x,1) = 1 + 0,318x + 2,4678 1(x ) + 1,4224u2 (x) 2,0088 3( x) + 1,5563 4 (x) 0.591 5 (x) u u u u определяет точное решение с тремя верными значащими цифрами.

3 вариант. В качестве пробных и поверочных функций выбираем нормированные функции u k ( x) = uk (x ), k = 1,5;

uk где u k (x ) = sin((2k 1)x ), u k = (u k (x )) dx =.

u1(x ) = 0,7979 sin(x );

Т. е. u1 (x ) = 0,7979 sin(x ), u (x ) = 7,181 sin(3x );

u 2 ( x) = 0,7979 sin(3x ), u 3 (x ) = 0,7979 sin(5 x), u (x ) = 19,95 sin(5x );

u ( x ) = 39,10 sin(7 x);

u 4 ( x) = 0,7979 sin(7 x ), u ( x) = 64,63 sin(9 x).

u 5 (x ) = 0,7979 sin(9 x ), расчета по программе при n 5 представлены в Основные результаты таблицах 5.9–5.11.

Таблица 5. Таблица значений пробных решений n=1 n=2 n=3 n=4 n= x 0,000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1, 0,314 0,387979 0,356957 0,355284 0,355240 0, 0,628 – 0,154345 – 0,190814 – 0,190814 – 0,190761 – 0, 0,942 – 0,564096 – 0,575945 – 0,574273 – 0,574290 – 0, 1,257 – 0,791376 – 0,768838 – 0,768838 – 0,768870 – 0, 1,571 – 0,804150 – 0,765804 – 0,767477 – 0,767421 – 0, 1,885 – 0,591376 – 0,568838 – 0,568838 – 0,568870 – 0, 2,199 – 0,164096 – 0,175945 – 0,174273 – 0,174290 – 0, 2,513 0,445655 0,409186 0,409186 0,409239 0, 2,827 1,187979 1,156957 1,155284 1,155240 1, 3,142 2,000000 2,000000 2,000000 2,000000 2, Таблица 5. Таблица значений невязок R1 (x,1) пробных решений n=1 n=2 n=3 n=4 n= x 0,000 0 0 0 0 13 13 13 13 0,314 – 2,12 10 – 2,22 10 – 2,42 10 – 2,52 10 – 2,58 14 14 14 – 5,50 0,628 – 7,17 10 – 7,80 10 – 7,79 10 – 6,65 0,942 – 4,90 1014 – 5,00 1014 – 2,93 1014 – 3,29 1014 – 4,87 1,257 – 2,47 1015 0 – 7,30 1015 1,12 1,571 1,33 1014 1,83 1014 – 2,33 1015 9,66 1015 – 9,85 1,885 – 1,76 1014 – 1,55 1014 – 1,56 1014 – 2,27 1014 – 4,16 2,199 – 8,13 1015 – 9,99 1015 1,06 1014 6,91 1015 – 8,80 2,513 – 1,47 1014 – 1,95 1014 – 1,93 1014 – 7,91 1015 3,52 2,827 3,97 1015 0 – 2,07 1014 – 3,04 1014 – 3,65 3,142 0 0 0 0 Результаты расчета свидетельствуют о равномерной сходимости последовательности пробных решений. Наилучшее приближение дает u 5 (x,1), для которого max | u5 (x,1) U ( x,1) | 1,06 10-8, max | u5 (x,1) u4 ( x,1) | 1,06 10- x x max R1 ( x,1) 2,6 10, max R2 (x ) 0, - x x и которое определяется формулой u 5 (x,1) = 1 + 0,318x 2,888u1 (x ) 0,0481 2 ( x) 0,0021 3 (x ) u u 0,00007u 4 ( x) 0,000001 5 ( x).

u Таблица 5. Таблица значений невязок R2 ( x) пробных решений n=1 n=2 n=3 n=4 n= x 0,000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0, 0,314 0,101359 0,025057 0,004686 – 0,001321 – 0, 0,628 0,082354 – 0,007344 – 0,007344 – 0,000283 0, 0,942 0,012472 – 0,016673 0,003699 0,001405 – 0, 1,257 – 0,053140 0,002296 0,002296 – 0,002068 0, 1,571 – 0,079078 0,015236 – 0,005136 0,002288 – 0, 1,885 – 0,053140 0,002296 0,002296 – 0,002068 0, 2,199 0,012472 – 0,016673 0,003699 0,001405 – 0, 2,513 0,082354 – 0,007344 – 0,007344 – 0,000283 0, 2,827 0,101359 0,025057 0,004686 – 0,001321 – 0, 3,142 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0, 5.7. Вопросы для самоконтроля 1. Приведите физические интерпретации задачи (5.1)–(5.3).

2. Найдите решение задачи (5.1)–(5.3) с условиями (5.5) методом разделения переменных.

3. Найдите решение задачи (5.1)–(5.3) с условиями (5.5) операционным методом, используя преобразование Лапласа.

4. Каким условиям должны удовлетворять пробные функции?

5. Какими свойствами должны обладать поверочные функции?

6. Как находятся, согласно алгоритма метода Галеркина для решения задачи (5.1)–(5.3), функции R1 и R2, названные невязками?

7. Как строиться система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для определения коэффициентов vk (t ) пробного решения?

Постройте эту систему для задачи (5.1)–(5.3).

8. Как определяются начальные условия в задаче Коши относительно фун кций vk (t) ? Найти уравнения, определяющие эти условия для задачи (5.1)–(5.3).

9. Какие условия обеспечивают сходимость в среднем последовательности пробных решений к точному решению задачи (5.1)–(5.3)?

10.Приведите конкретный пример пробных функций для задачи (5.1)–(5.3).

11.Как нормировать пробную или поверочную функцию на отрезке [a, b]?

12.Как проверить ортогональность функций на [a, b]?

13.Как проверить ортонормированность функций на [a, b]?

14.Опишите алгоритм аналитического метода решения задач Коши для нормальной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

15.Опишите алгоритм метода Рунге-Кутта для приближенного решения задачи Коши для нормальной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

6. Решение начально-краевой задачи для одномерного гиперболического уравнения методом Галеркина 6.1. Постановка задачи и алгоритм метода Рассмотрим следующую начально-краевую задачу. Требуется в плоской области D = {(x,t ) R 2 : a x b, t 0} найти решение U (x,t ) дифференциального уравнения 2u u 2u u L[u( x, t)] = 2 + (x,t ) K1 (x,t ) 2 K 2 ( x, t ) (x,t )u = g ( x, t ), (6.1) t x t x удовлетворяющее двум краевым (граничным) условиям u(a,t ) a0u (a,t ) + a1 = a 2 (t ), x (6.2) u (b, t ) b0u (b, t ) + b1 = b2 (t ), x и начальным условиям u ( x,0) = f (x ), (6.3) u ( x,0) = ( x), (6.4) t где ( x,t ), K1 ( x, t) ( K1 0 ), K 2 (x, t), (x,t ), g (x,t ) – заданные, непрерывные на D функции;

a2 (t ), b2 (t ) – дифференцируемые на [0, ) функции;

a0, a1, b0, b1 – заданные действительные числа, причем a0 + a1 0, b0 + b1 0 ;

2 2 2 f (x ) – заданная функция, непрерывная на [a, b] вместе с f (x) и такая, что a0 f (a) + a1 f (a ) = a 2 (0), b0 f (b) + b1 f (b) = b2 (0);

(x ) – заданная функция, непрерывная на [a, b] вместе со своей производной и такая, что da (0) a0 (a) + a1 (a) = 2, dt db2 (0) b0 (b) + b1 (b) =.

dt Напомним, что в такой форме может быть поставлена задача о поперечных колебаниях струны или задача о продольных или крутильных колебаниях стержня, рассмотренная в разделе 1.

В методе Галеркина для нахождения приближенного решения задачи (6.1)– (6.4) строится функциональная последовательность {u n (x,t )} из пробных решений u n ( x, t) следующим образом. Задаемся в области D некоторой системой дважды дифференцируемых функций u 0 ( x, t), u1 ( x),..., un (x ) таких, что u 0 ( x, t) удовлетворяет краевым условиям (6.2), а пробные функции u i (x) (i 1) являются линейно независимыми на [a, b ] и удовлетворяют однородным краевым условиям a0 u ( a) + a1u ( a ) = 0, (6.5) b0 u( b) + b1u ( b) = 0.

Составляем функцию n u n ( x, t ) = u0 ( x, t ) + vk (t ) uk ( x) (6.6) k = с неизвестными пока функциями v1 (t),...,vn (t), зависящими только от аргумента t.

Подчеркнем, что в силу линейности условий (6.2) и (6.5), функция (6.6) удовлетворяет условиям (6.2) при любых функциях v1 (t ),...,v n (t ). Значит, следует так определить vi (t ) (i 1) и количество (n) этих функций, чтобы u n ( x, t ) из (6.6) удовлетворяла уравнению (6.1) и начальным условиям (6.3), (6.4) с заданной точностью.

Подставляя u n ( x, t ) вместо u ( x, t) в уравнение (6.1), получаем невязку 2 vk vk 2u 0 u n R1 ( v1 ( t ),..., vn (t ), x, t ) = 2 + ( x, t ) uk ( x ) + + (x,t ) t t k =1 t t 2 u0 u n n n K1 ( x, t ) 2 + vk u K 2 ( x, t ) 0 + vk u ( x, t ) u0 + v k uk g ( x, t ) x k x k = k k =1 k = или 2v k v n n n R1 ( v1,..., vn, x, t ) = uk u k k (K 1u + K 2u + uk )vk t 2 t k k k =1 k =1 k = (6.7) 2 u0 u u0 2 u K1 0.

+ u 0 + g + K t x x 2 t Подставляя u n (x,0) в (6.3), находим невязку n R2 (v1(0),...,v n (0), x ) = u0 (x,0) + v k (0)uk ( x) f ( x ). (6.8) k = u n ( x,0) Подставляя, находим невязку t u ( x, 0) n R3 ( v1 (0),..., vn (0), x ) = 0 + vk ( 0)u k ( x ) ( x ).

& & & (6.9) t k = Невязки R1, R2 и R3 являются характеристиками уклонения функции (6.6) от точного решения U (x,t ) задачи (6.1)–(6.4). Во всяком случае, если при некотором наборе функций v j (t ) R1 0, R2 0 и R3 0, то функция u n ( x, t ) из (6.6) – точное решение.

В общем случае эти невязки оказываются отличными от нуля. Поэтому накладываем дополнительные условия на функции vk (t ) и их начальные значения vk (0), vk (0), так, чтобы невязки в каком-то смысле были бы & наименьшими.

В обобщенном методе Галеркина эти условия определяются системами уравнений:

(R1(v1 (t ),...,vn (t ), x,t ), wk ( x) ) = 0, k = 1, n;

(6.10) (R2 (v1(0),...,vn (0), x), wk ( x)) = 0, k = 1, n;

(6.11) (R3 (v1 (0),...,vn (0), x), wk ( x)) = 0, k = 1, n;

& & (6.12) где w1 (x ),..., wn ( x) – заданные линейно независящие на [a, b] поверочные функции;

а b (V ( x),W (x)) = V ( x)W ( x)dx.

a Напомним здесь, что если поверочные функции w1 (x ),..., wn ( x) входят в полную на [a, b] систему функций, то можно ожидать сходимости последовательности {un (x,t )} в среднем к точному решению U (x,t ) [1].

Запишем условия (6.10) в развернутом виде n d 2v j n (K1u j + K 2uj + u j )v j dv j n u j (x ) + u j j =1 dt 2 dt j= j = 2u0 u u 0 2u + u0 + g ( x, t) 2 0, wk ( x ) = 0, K1 2 + K t x x t или n d 2v j n (u j, wk ) + (u j, wk ) (K1u + K2u j + u j, wk )v j dv j n j =1 j dt 2 dt j= j = 2u u u 2u K1 20 + K 2 0 + u 0 + g (x,t ) 20 0, wk (x ) = 0, t x x t или d 2v j dv j n n n akj + hkj c v = bk, k = 1, n;


(6.13) dt j =1 kj j dt j =1 j = где akj = (u j, wk ) = u j ( x )wk ( x )dx, b (6.14) a b hkj (t ) = ( x, t)u j ( x)wk ( x)dx, (6.15) a ckj (t ) = (K1uj + K2u j + u j )wk dx, b (6.16) a b u u0 u0 2u bk (t ) = K1 2 + K 2 + u 0 + g ( x,t ) 2 0 wk (x )dx, (6.17) t x x t a k = 1, n, j = 1, n.

Если ввести в рассмотрение матрицы A = (a kj )n, H = (hkj )n, C = (ckj )n, B = (bk )n,1, V = (v j )n,1, то система (6.13) в матричном виде запишется так d 2V dV A 2 = H + CV + B.

dt dt Так как матрица A невырожденная, то отсюда получаем d 2V dV = A1 H + CV + B. (6.18) dt dt Заметим, что если функции ( x,t ), K1 (x,t ), K2 (x,t ), ( x, t ) зависят только от x, то система (6.18) – система с постоянными коэффициентами. Заметим так же, что если в качестве поверочных функций выбраны пробные, которые ортогональны, то матрицы A и A1 являются диагональными матрицами.

Запишем теперь в развернутом виде условия (6.11). Получаем n u 0 (x,0) + v j (0)u j (x ) f ( x), wk (x ) = j = = (u j ( x ),wk ( x) )v j (0) + (u0 ( x,0) f ( x), wk (x )) = n j = или (u j (x), wk ( x))v j (0) = ( f ( x) u 0 ( x,0), wk (x)), k = 1, n;

n j = или n akj v j (0) = d k, k = 1, n;

(6.19) j = где akj определяются формулами (6.14), а b d k = ( f ( x) u 0 ( x,0), wk (x )) = ( f ( x) u 0 ( x,0) )wk ( x )dx. (6.20) a Если ввести матрицу D = (d k )n,1, то из (6.19) получаем V (0) = A1D (6.21) Теперь запишем в развернутом виде условия (6.12). Получаем u0 ( x,0) n dv j (0) + u j (x ) ( x), wk (x ) = t j =1 dt dv j (0) u 0 ( x,0) = (u j ( x ),wk ( x) ) n ( x), wk ( x ) = + t dt j = или dv j (0 ) n akj = rk, k = 1, n;

(6.22) dt j = где akj определяются формулами (6.14), а u (x,0) u (x,0) b rk = (x ) 0, wk (x ) = (x ) 0 w (x )dx. (6.23) t t k a Если ввести матрицу R = (rk )n,1, то из (6.22) получаем dV (0) = A1R. (6.24) dt Заметим, что если (x ) 0 и u 0 ( x, t) зависят только от x, то vk (0) = 0, k = 1, n и & R3 0.

Таким образом, для нахождения функций vk (t ), k = 1, n, определяющих пробное решение (6.6), получаем задачу Коши для канонической системы (6.18) линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2n с начальными условиями (6.21) и (6.24). Решив указанную задачу Коши и подставив определяемые этим решением функции vk (t ) в (6.6), заканчиваем построение пробного решения u n ( x, t ).

Опишем возможный алгоритм построения приближенного решения задачи (6.1)–(6.4) методом Галеркина, предполагая, что последовательность {un (x,t )}1 сходится равномерно к точному решению U (x,t ).

1. Подготовительный шаг алгоритма. На этом шаге выбираем функцию u 0 ( x, t) и находим невязку R10 ( x,t ) = L[u0 ] g ( x, t ) от подстановки функции u 0 ( x, t) в уравнение (6.1). Находим невязку R20 ( x ) = u0 ( x,0) f ( x) для условия u ( x,0) ( x) для условия (6.4). Определяем (6.3) и невязку R30 ( x) = t max R10 ( x, t) = 10, max R20 ( x ) = 20 и max R30 (x ) = 30. Если 10 1, 20 [a,b ] [a,b] D и 30 3, где 1, 2 и 3 – заданные меры точности приближенного решения, то полагаем U (x,t ) u0 (x,t ). В противном случае переходим к следующему ~ шагу алгоритма, предварительно выбрав пробные u j (x ) и поверочные wk (x ) функции. Как выбирать пробные и поверочные функции, показано в разделе 5. данной работы.

2. Первый шаг алгоритма. Определив функцию v1 (t ) из решения задачи Коши (6.18), (6.21) и (6.24) при n = 1, строим функцию u1 (x,t ) = u0 + v1(t )u1( x).

Находим по формулам (6.7)–(6.9) невязки R11 (v1 (t), x,t ), R21 (v1(0), x ), R31 (v1(0), x ) & max R21 (v1 (0), x ) = max R11 (v1, x, t ) = 11, и определяем и [a,b] D max R31 (v1(0), x ) = 31. Если 11 1, 21 2 31 3, то полагаем и & [a,b] U (x,t ) ~ u1( x, t) и вычисления заканчиваем. В противном случае переходим к вычислениям на втором шаге алгоритма и т. д.

Таким образом, на m-м (m 1) шаге алгоритма строим функцию m u m ( x, t ) = u0 ( x, t ) + vk (t )uk ( x), k = определив предварительно функции v1 (t ),...,v m (t ) из решения задачи Коши (6.18), (6.21), (6.24) при n = m. Находим по формулам (6.7)–(6.9) невязки R1m (v1 (t ),...,v m (t), x,t ), R2m (v1(0),..., vm (0), x ), R3m (v1 (0),..., vm (0), x ), а затем & & max R1m = 1m, max R2m = 2m, max R3m = 3m.

вычисляем Если [a,b] [a,b] D 1m 1, 2m 2, 3m 3, то полагаем U (x,t ) u m ( x,t ), в противном случае ~ переходим к (m + 1) -му шагу алгоритма.

6.2. Задание к лабораторной работе Рассматривается начально-краевая задача. Требуется в плоской области D = {(x,t ) R 2 : 0 x l, t 0} найти решение u ( x, t) дифференциального уравнения 2u 2u = c1 2, (6.25) t 2 x удовлетворяющее условиям u (0,t ) = c 2, u (l,t ) = c 3;

(6.26) c3 c2 c4l u ( x,0) = f ( x) = c 4 x + x + c 2;

(6.27) l u ( x,0) = (x ) = 0;

(6.28) t где c1,c 2, c3, c4 – некоторые заданные постоянные величины.

Заметим, что эта задача получается как частный случай задачи (6.1)–(6.4) при a = 0, b = l, ( x,t ) 0, K1( x, t ) c1, K 2 ( x,t ) 0, (x, t ) 0, g (x,t ) 0, (x ) 0, a0 = 1, a1 = 0, a2 = c2, b0 = 1, b1 = 0, b2 = c 3.

Варианты заданий, определяемые различным набором значений постоянных c1,c 2, c3, c4 задачи (6.25)–(6.27) и параметра T, приведены в таблице 6.1.

Таблица 6. Варианты задания к лабораторной работе № l c1 c2 c3 c4 T 1 3 9 0,1 – 0,1 1 2 2 4 – 0,1 0,1 –1 3 1 1 0,1 0,2 1 4 3 4/9 0,2 0,1 –1 5 2 9 – 0,1 0,1 1 6 1 4 0,1 – 0,1 –1 7 2 9 – 0,1 – 0,2 1 8 3 1/4 – 0,1 0,1 –1 9 1 4/9 0,2 0,1 1 10 3 4 0,1 0,2 –1 Лабораторная работа выполняется с использованием прикладной системы MathCAD, которая реализует алгоритм построения пробных решений u m ( x, t ) задачи (6.25)–(6.28) методом Галеркина.

Перед обращением к программе необходимо подготовить числовые и строчные данные, вводимые в процессе диалога с ЭВМ с клавиатуры дисплея.

Числовые данные:

l – правый конец отрезка изменения переменной x ;

c1 – числовой параметр уравнения (6.25);

c2, c3,c 4 – числовые параметры условий (6.26), (6.27);

T – значение параметра T задачи;

Строчные данные:

аналитические выражения для функции u 0 ( x),u1( x ),...,u5 ( x) ;

аналитические выражения поверочных функций w1 (x ),..., w5 (x ) ;

В результате расчета программа выводит на экран дисплея значения v1 (T ),..., v5 (T ), таблицы значений пробных решений, таблицы невязок R1( x,T ) и R2 ( x). Заметим, что для рассматриваемой задачи R3 ( x ) 0.

В лабораторной работе требуется:

1. Методом Фурье (методом разделения переменных) найти точное аналитически заданное решение U (x,t ) задачи (6.25)–(6.28) и построить с шагом 0,1l трехзначную таблицу точного решения при t = T, т. е. функции U (x, T ).

2. Методом Галеркина найти первые пять функций из последовательности пробных решений {un (x,T )}1, используя нормированные системы пробных и поверочных функций, тип которых задает преподаватель.

3. Исследовать поведение построенных пробных решений, анализируя найденные с помощью ЭВМ таблицы пробных решений, таблицы сравнения с предыдущим пробным решением, таблицы сравнения с точным решением, таблицы невязок R1, R2 и R3.

6.3. Выполнение работы в компьютерном классе 1. Прежде чем начать выполнение лабораторной работы на ЭВМ, внимательно ознакомьтесь с данной инструкцией.

2. При необходимости включите сами (или попросите лаборанта) питание компьютера. После того, как система загрузится, запускаем двойным щелчком левой кнопки мыши на рабочем столе программу Mathcad, если же ярлык отсутствует, тогда открываем программу через кнопку «Пуск» (Программы Mathsoft Mathcad).

3. Узнайте у лаборанта расположение файла Giperb.mcd и откройте его (File Open или, если программа русифицирована, Файл Открыть). При любой ошибке ввода программы нужно обратиться к лаборанту.

4. Прочитайте в начале файла задание на лабораторную работу и просмотрите пример выполнения работы, для которого исследование уже проведено. Программа файла Giperb.mcd состоит из четырех пунктов «Постановка задачи», «Получение точного решения», «Получение приближенного решения», «Выводы». Цели и задачи каждого из пунктов описаны ниже.

5. Для набора функций нужно либо воспользоваться всплывающим меню инструментов «Calculator», либо ввести ее с клавиатуры, используя следующие символы арифметических действий и стандартных функций: сложение – ‘+’;

вычитание – ‘–‘;

умножение – ‘*’;

деление – ‘/’;

возведение в степень – ‘^’;

квадратный корень – ‘\’;

синус – sin(x);

косинус – cos(x);

экспонента – exp(x);

натуральный логарифм – ln(x). При вводе числовых данных, являющихся десятичными дробями, целую и дробную части нужно разделять точкой (например, 0.5, 1.5 и т. д.).

6. Порядок выполнения работы Вам укажет программа подсказками и заданиями, выделенными красным цветом.

6.4. Порядок выполнения лабораторной работы 1. Повторить разделы 1.2, 5.2, изучить разделы 6.1–6.5 данной работы и подготовить ответы на контрольные вопросы из раздела 6.6.

2. Пройти собеседование с преподавателем;

получить номер варианта работы и указания по выбору пробных и поверочных функций.

3. Выполнить первый пункт задания, связанный с построением ряда Фурье для точного решения задачи U (x,t ) и нахождением длины отрезка этого ряда, обеспечивающую точность решения 0,001.

4. Выполнить подготовительный шаг алгоритма метода Галеркина и, если u 0 ( x) не является точным решением задачи, подготовить все числовые и строчные данные для расчетов и в пункте «Постановка задачи» программы Giperb.mcd (см. прил. В) ввести их вместо задания рассмотренного примера.


5. В пункте «Получение точного решения» программы ввести найденное в 3-м пункте число слагаемых в разложении в тригонометрический ряд Фурье.

Выписать трехзначную таблицу получившегося точного решения U (x,T ).

6. В пункте «Получение приближенного решения» рассмотрено применение двух систем пробных и трех систем поверочных функций. По заданию преподавателя ввести вместо задания примера системы пробных V1(k, x) и поверочных W (k, x ) функций, указанных во 2-м пункте (см.

приложение В). Выполнить построение пяти пробных решений задачи, вводя последовательно n=1, …, n=5. Переписать значения vk (T ) (элементы вектора Y100, k программы) и, подставив их, получить первые пять пробных решения.

Исследовать поведение построенных пробных решений, анализируя таблицу пробных решений, таблицу сравнения с предыдущим пробным решением, таблицу сравнения с точным решением и таблицы невязок.

7. В пункте «Выводы» приведены максимальные по модулю значения таблицы сравнения с предыдущим пробным решением, таблицы сравнения с точным решением и таблиц невязок при t = T трех комбинаций систем пробных и поверочных функций.

8. Оформить и защитить отчет по лабораторной работе. Отчет должен содержать титульный лист, математическую постановку задачи и ее физическую интерпретацию, основные результаты работы.

6.5. Тестирующий пример Найти функцию u (x,1), удовлетворяющую в области D = {(x,t ) R 2 : 0 x, t 0} уравнению 2u 2u = (6.29) t 2 x и условиям u (,t ) = 2, u (0,t ) = 1, (6.30) u ( x,0) 1 u ( x,0) = f ( x) = 1 + x + x 2 = 1 2,8233x + x 2, = 0. (6.31) t Задача (6.29)–(6.31) является частным случаем задачи (6.25)–(6.28) при с1 = 1, с2 = 1, с3 = 2, с4 = 1, t = T = 1. Ее можно интерпретировать как задачу о поперечных колебаниях струны с закрепленными концами и с начальным профилем, определяемым равенством (6.31).

Найдем точное решение этой задачи методом разделения переменных [4,5].

Известно, что для волнового уравнения с однородными граничными условиями (x,t ) D = {(x,t ) R 2 : 0 x l, t 0}, 2u 2u = с1 2, t x u (0,t ) = 0, u (l, t) = 0, u ( x,0) u ( x,0) = ( x), = (x ) t решение имеет вид n c1 n n c U (x,t ) = An cos t sin t + Bn sin l x, (6.32) l l n= где An, Bn – коэффициенты Фурье n n 2l 2l An = ( x )sin (x) sin x dx, Bn = x dx, (6.33) n l l l Найдем решение волнового уравнения с неоднородными граничными условиями (6.29)–(6.31). Ищем U (x,t ) в виде x U (x,t ) = V ( x, t ) + 1 +. (6.34) Тогда из (6.29)–(6.31) для определения функции V ( x, t ) получаем следующую задачу с однородными граничными условиями 2V 2V = 2, (6.35) t 2 x V (0, t) = 0, V (, t) = 0, (6.36) V ( x,0) V ( x,0) = x (x ), = 0. (6.37) t Подставляя в (6.32), (6.33) с1 = 1, l =, (x ) = x( x ), ( x ) = 0, получим решение V ( x, t ) = ( An cos(nt ) + Bn sin(nt ))sin(nx), n = где 2 ( x x ) sin(nx)dx, Bn = 0.

An = Интегрируя два раза по частям, получаем n = 2 m;

0, An = 3 (( 1) 1) = 4 n n 3, n = 2m 1.

n Таким образом, точное решение задачи (6.29)–(6.31) аналитически задается выражением x 8 cos((2m 1)t ) sin((2m 1) x ).

U (x, t ) = 1 + (6.38) m=1 (2 m 1) Найдем такое значение m = M, при котором функция x 8 M cos(2m 1) sin((2m 1)x ) U (x,1) = 1 + € (6.39) m=1 (2m 1) приближенно с абсолютной точностью = 0,001 определяет функцию (6.38) на множестве G = {( x,t ) D : 0 x, t = T = 1}, т. е. x [0, ] :|U (x,1) U (x,1) |= 0,001.

€ (6.40) Оценим сверху величину.

8 cos(2m 1) 8 sin(( 2m 1) x ) | sin((2m 1) x )| = m= M +1 ( 2m 1) m=M +1 (2m 1) 8 8 dx 8 1 1 (2x 1) 2 = (2 M 1)2.

= m= M +1 (2m 1) M (2 x 1) 3 M Значит, условие (6.40) будет заведомо выполнено, если (M ) = 0,001. (6.41) (2M 1) Подбором устанавливаем, что наименьшее значение M при котором выполняется условие (6.41), равно 14.

Итак, функция x 8 14 cos(2m 1) U( x,1) = 1 + sin((2m 1) x) € m=1 (2 m 1) гарантированно с точностью = 0,001 определяет значения функции U (x,1) на отрезке [0, ]. В таблице 6.2 представлены шестизначные значения функции U( x,1).

€ Таблица 6. Таблица точного решения задачи x 0,000 0,314 0,628 0,942 1,257 1,571 1, U( x,1) € 1,000000 0,741356 0,482725 0,223927 0,031342 0,032573 0, x 2,199 2,153 2,827 3, U( x,1) € 0,623927 1,082725 1,541356 2, График точного решения при T = 1 имеет вид Рис.6.1. График точного решения.

Построим теперь приближенное решение методом Галеркина, выбрав x u 0 ( x) =1 +, тогда f (x ) u0 (x ) = x ( x 3,1416), и используя разные варианты пробных и поверочных функций.

1 вариант. В качестве пробных и поверочных функций выбираем нормированные функции u k ( x ) = uk (x ), k = 1,5;

(6.42) uk где u ( x ) = x k (x ), k k + uk = (u k (x )) dx =.

(k + 1)(2k + 1)(2 k + 3) 30 x x u1 = 1 = 0,98364 x (0,31831 x 1), Т. е.

105 x x u2 = 1 = 0.58576 x 2 (0,31831 x 1), 252 x x u3 = 1 = 0.28885 x 3 (0,31831 x 1), 495 x x u4 = 1 = 0.12886 x 4 (0,31831 x 1), 858 x x u5 = 1 = 0.05400 x 5 (0,31831 x 1).

Основные результаты расчета по программе Giperb.mcd при n представлены в таблицах 6.3–6.5. В приложении В приведен пример при n = 5.

Анализ данных в таблицах 6.3–6.5 позволяет предположить, что имеет место равномерная сходимость последовательности пробных решений к точному решению. Наилучшее приближение дает u 5 (x,1), для которого max u5 ( x,1) U (x,1) 0,010454 max u5 ( x,1) u 4 ( x,1) 0,,, x x max R1 ( x,1) 3,381705 max R2 ( x) 1,799227 10-12.

, x x Т. е. пробное решение u 0 ( x,1) = 1 + 0,31831x + 1,489131 1 (x ) 2,09062u 2 ( x) + 9,087395 3 (x ) u u 11,042085u4 (x ) + 4,193533 5 ( x ) u определяет точное решение как минимум с одной верной значащей цифрой.

Таблица 6. Таблица значений пробных решений n=1 n=2 n=3 n=4 n= x 0,000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1, 0,314 0,625000 0,625000 0,776539 0,776539 0, 0,628 0,355556 0,355556 0,470224 0,470224 0, 0,942 0,191668 0,191668 0,197106 0,197106 0, 1,257 0,133335 0,133335 0,040077 0,040077 0, 1,571 0,180557 0,180557 0,048875 0,048875 0, 1,885 0,333335 0,333335 0,240077 0,240077 0, 2,199 0,591668 0,591668 0,597106 0,597106 0, 2,513 0,955556 0,955556 1,070224 1,070224 1, 2,827 1,425000 1,425000 1,576539 1,576539 1, 3,142 2,000000 2,000000 2,000000 2,000000 2, Таблица 6. Таблица значений невязок R1 (x,1)пробных решений n=1 n=2 n=3 n=4 n= x 0,000 – 1,069500 – 1,069500 2,323290 2,323290 – 3, 0,314 – 0,588225 – 0,588225 0,186328 0,186328 0, 0,628 – 0,213900 – 0,213900 – 0,382878 – 0,382878 0, 0,942 0,053475 0,053475 – 0,203985 – 0,203985 – 0, 1,257 0,213900 0,213900 0,137539 0,137539 0, 1,571 0,267375 0,267375 0,290411 0,290411 0, 1,885 0,213900 0,213900 0,137539 0,137539 0, 2,199 0,053475 0,053475 – 0,203985 – 0,203985 – 0, 2,513 – 0,213900 – 0,213900 – 0,382878 – 0,382878 0, 2,827 – 0,588225 – 0,588225 0,186328 0,186328 0, 3,142 – 1,069500 – 1,069500 2,323290 2,323290 – 3, Таблица 6. Таблица значений невязок R2 ( x) пробных решений n=1 n=2 n=3 n=4 n= x 0,000 0 0 0 0 15 14 – 1,080 2,776 10 1,099 10 1,946 0,314 4,219 1015 1,488 1014 1,981 1013 – 5,596 0,628 4,441 1015 1,421 1014 1,044 1013 – 2,061 0,942 3,552 1015 1,110 1014 – 2,132 1014 – 4,610 1,257 2,665 1015 7,550 1015 – 1,297 1013 – 5,329 1,571 1,332 1015 6,217 1015 – 1,958 1013 – 1,754 1,885 3,997 1015 – 2,083 1013 6,382 2,199 0 3,997 1015 – 1,699 1013 1,566 2,513 0 2,827 1,110 1015 3,442 1015 – 9,315 1014 1,780 3,142 0 0 0 0 2 вариант. В качестве пробных возьмем функции (6.40), а в качестве поверочных – нормированные многочлены Лежандра, которые ортогональны на отрезке [0, ], т. е. функции wk (x ) = P ( x ), k = 1,5;

Pk 1 (x ) k где P0 ( x) = 1, 2 P (x ) = x, 1 2 P2 ( x) = 3 x 1, 2 1 2 P3 (x ) = 5 x 3 x, 2 1 2 4 35 x 30 x + 3, P ( x) = 8 2 || Pk ||= (Pk (x ))2 dx =.

2k + Таким образом, w1 ( x) = 0.5642, w2 ( x) = 0.9772 (0.6366x 1), w3 ( x ) = 0.6308 (3 (0.6366x 1)2 1), w4 ( x) = 0.7464 (0.6366 x 1) (5 (0.6366 x 1)2 3), w5 ( x ) = 0.2116 (35 (0.6366 x 1)4 30 (0.6366 x 1)3 + 3).

Основные результаты расчета по программе при n 5 представлены в таблицах 6.6–6.8.

Наилучшее приближение к точному решению дает пробное решение u 5 ( x,1), для которого max u5 ( x,1) U (x,1) 0,029854 max u5 ( x,1) u 4 ( x,1) 0,,, x x max R1( x,1) 1,340616 max R2 (x ) 4,440892 1015.

, x x Таким образом, пробное решение u 5 (x,1) = 1 + 0,31831x + 0,877496u1( x) + 1,613380 2 ( x ) + 0,366355u3 ( x) u 2.008929u4 (x ) 0,729460u 5 (x ) определяет точное решение с одной верной значащей цифрой.

Таблица 6. Таблица значений пробных решений n=1 n=2 n=3 n=4 n= x 0,000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1, 0,314 0,699192 0,699192 0,724389 0,724389 0, 0,628 0,487453 0,487453 0,428745 0,428745 0, 0,942 0,364782 0,364782 0,190694 0,190694 0, 1,257 0,331179 0,331179 0,065685 0,065685 0, 1,571 0,386645 0,386645 0,086985 0,086985 0, 1,885 0,531179 0,531179 0,265685 0,265685 0, 2,199 0,764782 0,764782 0,590694 0,590694 0, 2,513 1,087453 1,087453 1,028745 1,028745 1, 2,827 1,499192 1,499192 1,524389 1,524389 1, 3,142 2,000000 2,000000 2,000000 2,000000 2, Таблица 6. Таблица значений невязок R1 (x,1) пробных решений n=1 n=2 n=3 n=4 n= x 0,000 – 0,902452 – 0,902452 1,195500 1,195500 1, 0,314 – 0,415128 – 0,415128 – 0,278552 – 0,278552 – 0, 0,628 – 0,036098 – 0,036098 – 0,487764 – 0,487764 0, 0,942 0,234637 0,234637 – 0,135092 – 0,135092 0, 1,257 0,397079 0,397079 0,277356 0,277356 – 0, 1,571 0,451226 0,451226 0,448313 0,448313 – 0, 1,885 0,397079 0,397079 0,277356 0,277356 – 0, 2,199 0,234637 0,234637 – 0,135092 – 0,135092 0, 2,513 – 0,036098 – 0,036098 – 0,487764 – 0,487764 0, 2,827 – 0,415128 – 0,415128 – 0,278552 – 0,278552 – 0, 3,142 – 0,902452 – 0,902452 1,195500 1,195500 1, Таблица 6.8.

Таблица значений невязок R2 ( x) пробных решений n=1 n=2 n=3 n=4 n= x 0,000 0 0 0 0 – 2,775558 0,314 0 0 0 – 2,220446 0,628 0 0 0 0,942 0 0 0 0 1,776357 1,257 0 0 0 3,996803 1,571 0 0 0 4,440892 1,885 0 0 0 3,552714 2,199 0 0 0 1,554312 2,513 0 0 0 – 1,332268 2,827 0 0 0 3,142 0 0 0 0 3 вариант. В качестве пробных и поверочных функций выбираем нормированные функции u k ( x ) = uk (x ), k = 1,5;

uk где u k ( x ) = sin((2k 1)x ), uk = (u (x )) dx =.

k u1 (x ) = 0,7979 sin(x );

u 2 ( x) = 0,7979 sin(3x );

Т. е.

u 3 (x ) = 0,7979 sin(5 x);

u4 ( x ) = 0,7979 sin(7 x );

u5 ( x ) = 0,7979 sin(9 x).

Основные результаты расчета по программе при n 5 представлены в таблицах 6.9–6.11.

Таблица 6. Таблица значений пробных решений n=1 n=2 n=3 n=4 n= x 0,000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1, 0,314 0,674833 0,750371 0,744593 0,740064 0, 0,628 0,391285 0,480085 0,480085 0,485408 0, 0,942 0,186899 0,215752 0,221531 0,219801 0, 1,257 0,091471 0,036590 0,036590 0,033300 0, 1,571 0,124131 0,030761 0,024983 0,030580 0, 1,885 0,291471 0,236590 0,236590 0,233300 0, 2,199 0,586899 0,615752 0,621531 0,619801 0, 2,513 0,991285 1,080085 1,080085 1,085408 1, 2,827 1,474833 1,550371 1,544593 1,540064 1, 3,142 2,000000 2,000000 2,000000 2,000000 2, Таблица 6. Таблица значений невязок R1 (x,1) пробных решений n=1 n=2 n=3 n=4 n= x 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, 12 12 – 1,328 1012 – 1,391 – 1,265 10 – 1,145 10 – 1,255 0, – 4,277 1013 – 4,290 1013 – 4,259 1013 – 3,237 1013 – 2,521 0, – 2,922 1013 – 3,177 1013 – 1,881 1013 – 2,185 1013 – 3,337 0, – 1,465 1014 2,709 1014 2,154 1014 – 3,264 1014 1,110 1, 7,971 1014 1,230 1013 – 8,438 1015 8,971 1014 – 6,350 1, – 1,048 1013 – 5,751 1014 – 6,284 1014 – 1,179 1,885 0, – 4,863 1014 – 5,418 1014 6,994 1014 4,119 1014 – 7,161 2, – 8,782 1014 – 1,297 1013 – 1,267 1013 – 3,808 1014 4,258 2, 2,376 1014 – 9,048 1013 – 1,355 1013 – 2,238 1013 – 2,544 2, 3,142 0,000 0,000 0,000 0,000 0, Таблица 6. Таблица значений невязок R2 ( x) пробных решений n=1 n=2 n=3 n=4 n= x 0,000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0, 0,314 0,101359 0,025057 0,004686 – 0,001321 – 0, 0,628 0,082354 – 0,007344 – 0,007344 – 0,000283 0, 0,942 0,012472 – 0,016673 0,003699 0,001405 – 0, 1,257 – 0,053140 0,002296 0,002296 – 0,002068 0, 1,571 – 0,079078 0,015236 – 0,005136 0,002288 – 0, 1,885 – 0,053140 0,002296 0,002296 – 0,002068 0, 2,199 0,012472 – 0,016673 0,003699 0,001405 – 0, 2,513 0,082354 – 0,007344 – 0,007344 – 0,000283 0, 2,827 0,101359 0,025057 0,004686 – 0,001321 – 0, 3,142 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0, Наилучшее приближение к точному решению дает пробное решение u 5 ( x,1), для которого max u5 ( x,1) U (x,1) 0,001551 max u5 ( x,1) u 4 ( x,1) 0,,, x x max R1 (x,1) 1,39129 1012, max R2 ( x ) 0,0024.

x x Таким образом, пробное решение u 5 (x,1) = 1 + 0,31831x 1,724395u1 (x ) + 0,117022u 2 ( x) 0,007243 3 ( x ) u 0,007015u4 ( x ) + 0,003989u5 (x ) определяет точное решение с тремя верными значащими цифрами.

6.6. Вопросы для самоконтроля 1. Приведите физические интерпретации задачи (6.1)–(6.4).

2. Каким условиям должны удовлетворять пробные функции?

3. Какими свойствами должны обладать поверочные функции?

4. Как находятся, согласно алгоритму метода Галеркина для решения задачи (6.1)–(6.4), функции R1, R2 и R3, названные невязками?

5. Как строиться система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для определения коэффициентов vk (t ) пробного решения?

Постройте эту систему для задачи (6.1)–(6.4).

6. Как определяются начальные условия в задаче Коши относительно функций vk (t ) ? Найти уравнения, определяющие эти условия для задачи (6.1)– (6.4).

7. Приведите конкретный пример пробных функций для задачи (6.1)–(6.4).

8. Как нормировать пробную или поверочную функцию на отрезке [a, b]?

9. Как проверить ортогональность функций на [a, b]?

10.Как проверить ортонормированность функций на [a, b]?

11.Опишите алгоритм аналитического метода решения задач Коши для нормальной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

12.Опишите алгоритм сведения канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений к равносильной нормальной системе.

7. Решение первой краевой задачи для двухмерного эллиптического уравнения методом Галеркина 7.1. Постановка задачи и алгоритм метода Рассмотрим следующую задачу. Требуется в плоской замкнутой области D найти функцию u ( x, y ), удовлетворяющую внутри D уравнению 2u 2u u u K1( x, y ) 2 + K2 ( x, y ) 2 + K3 (x, y) + K 4 (x, y) + K 5 (x, y) u = f (x, y), (7.1) x y x y а на границе Г D области D – краевому условию = g (M ), u (M ) (7.2) M Г D где K1 (x, y ) (K1 0), K 2 ( x, y) ( K2 0), K3 ( x, y), K 4 ( x, y), K5 (x, y ), f (x, y), g (M ) – заданные непрерывные функции.

Напомним, что в такой форме может быть поставлена первая краевая задача двухмерной стационарной теплопроводности, рассмотренная в разделе 1.

Заметим, что частным случаем задачи (7.1)–(7.2) является задача Дирихле на плоскости [1].

В методе Галеркина для нахождения приближенного решения задачи (7.1)– (7.2) строится функциональная последовательность {u n ( x, y )} из пробных решений u n ( x, y ) следующим образом.

Зададим в области D некоторую систему дважды дифференцируемых функций v0 ( x, y ), v1 ( x, y ),..., v n ( x, y ) таких, что v0 ( x, y ) удовлетворяет краевому условию (7.2), а пробные функции vi (x, y ) ( i 1 ) являются линейно независимыми на D и удовлетворяют однородному граничному условию vi (M ) M Г D = 0. (7.3) Составляем функцию n u n ( x, y ) = v 0 ( x, y ) + Ck v k ( x, y ) (7.4) k = с неизвестными пока постоянными коэффициентами Ck. Заметим, что, в силу линейности относительно u ( x, y ) граничного условия (7.2), функция (7.4) при любых значениях C1,..., Cn удовлетворяет ему. Подставляя u n ( x, y ) из (7.4) вместо u ( x, y ) в уравнение (7.1), получаем функцию n Rn ( x, y, C1,..., Cn ) = L[v 0 ] + C k L[v k ] f ( x, y ) (7.5) k = где введено обозначение 2v 2v v v L(v ) K 1 2 + K2 2 + K3 + K4 + K5 v.

x y x y Функцию (7.5) называют невязкой. Она линейно зависит от параметров C1,..., Cn и является характеристикой уклонения u n ( x, y ) от точного решения U (x, y ) задачи. Если невязка (7.5) тождественно равна нулю внутри области D, то U (x, y ) = u n (x, y ). В общем случае невязка оказывается отличной от нуля и, следуя Галеркину, значения параметров C1,..., Cn определяем из системы уравнений (Rn (x, y, C1,..., Cn ),W k ( x, y)) = 0, k = 1, n, (7.6) где (v( x, y), g ( x, y)) = v( x, y) g ( x, y)dxdy (7.7) D является скалярным произведением двух функций, а Wk (x, y ) – заданные непрерывные и линейно независимые на D функции, называемые поверочными. Заметим, что в качестве поверочных функций можно взять пробные. Если Wk (x, y ) входят в полную систему функций, то при n из равенств (7.6) следует сходимость невязки к нулю в среднем.

Запишем условие (7.6) в развернутом виде, для определения значений параметров C k получаем неоднородную систему линейных алгебраических уравнений n -го порядка n a kj C j = bk, k = 1, n, (7.8) j = где a kj = (L[v j ],Wk ) = L[v j ] Wk dxdy, D (7.9) b k = ( f L[v o ],Wk ) = ( f L[v 0 ]) Wk dxdy.

D Решив систему (1.8) и подставив определяемые этим решением значения C k в (7.4), заканчиваем построение пробного решения u n ( x, y ).

Опишем возможный алгоритм приближенного решения задачи (7.1), (7.2) методом Галеркина, предполагая, что последовательность u n ( x, y ) сходится поточечно к U (x, y ).

1. Подготовительный шаг алгоритма. На этом шаге выбираем функцию v0 ( x, y ), пробные функции v1 ( x, y ),..., v n ( x, y ) и поверочные функции W1 ( x, y ),..., Wn ( x, y ). Заметим, что пробные и поверочные функции можно строить или выбирать, руководствуясь соображениями, аналогичными описанными в работах [2], [3]. Находим функцию R0 (x, y) = L[v 0 ] f ( x, y ), т. е. невязку от подстановки u 0 ( x, y ) в уравнение (7.1). Если ( x, y ) D : R0 ( x, y ) = 0, то v0 ( x, y ) = U ( x, y ) и вычисление заканчиваем. Если же R0 (x, y ) 0, то переходим к следующему шагу алгоритма.

2. Первый шаг алгоритма. Строим функцию u1 = v 0 ( x, y ) + C1 v1 (x, y), определив значение C1 из решения системы (7.8) при n = 1. Находим невязку R1 (x, y, C1 ) = L[v 0 ] f ( x, y ) + C1L[v1] = R0 ( x, y ) + C1L[v1]. Если R1 (x, y, C1 ) 0, то U = u1 ( x, y ) и задача решена, если же R1( x, y, C1 ) 0, то находим max u1( x, y ) v 0 ( x, y ) = 1. Если 1, где – заданная мера точности D приближенного решения, то полагаем U (x, y) u1 ( x, y ) и вычисления заканчи ваем. Если же 1, то переходим к вычислениям на следующем шаге и т. д.

Таким образом, на m-м шаге ( m 1 ) строим функцию m u m (x, y) = v 0 (x, y) + Ci v i ( x, y ), i = определив значения C1,..., Cm из решения системы (7.8) при n = m, и определяем невязку m Rm ( x, y, C1,..., C m ) = R0 ( x, y ) + Ci L(vi ).

i = Если Rm ( x, y, C1,..., C m ) 0, то U (x, y) = u m ( x, y ) и вычисления заканчиваем.

Если Rm ( x, y, C1,...,Cm ) 0, то находим m = max um u m1. Если m, то D U (x, y) u m ( x, y ), если же m, то переходим к (m + 1) -му шагу.

7.2. Задание к лабораторной работе Требуется в плоской области (прямоугольник) D = {(x, y ) R 2 : 0 x a, 0 y b} найти функцию удовлетворяющую внутри области u ( x, y ), D дифференциальному уравнению 2 u 2u + 2 = cxy, (7.10) x y а на границе области D краевому условию u ( x, y ) (x, y)Г D = d, (7.11) где a, b, c, d – некоторые заданные числовые параметры задачи, а Г D – граница области D (контур прямоугольника).

Заметим, что эта задача является частным случаем задачи (7.1)–(7.2), при K1 = 1, K 2 = 1, K 3 = K 4 = K5 = 0, f (x, y) = c xy. Ее можно интерпретировать как задачу двумерной стационарной теплопроводности, когда граница плоской замкнутой области поддерживается при постоянной температуре и задана плотность тепловых источников внутри области.

Варианты заданий, определяемые различными наборами значений параметров задачи приведены в таблице 7.1.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.