авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

«А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, А. С. Семёнов АЛГ ОР ИТ МЫ МЕ Т О Д О В ВЗВЕ Ш Е ННЫ Х НЕВЯЗОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ...»

-- [ Страница 4 ] --

dt M1 := A M 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0. 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0. M1 = 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0. 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0. 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0. C1 := A C 18. 5.471344 4.404850 11. 5. 21.446746 10.942688 45.206238 88.877037 141. C1 = 43.838749 2.158284 130.400363 243.679989 395. 484. 42.803134 21.559281 157.454762 294. 16.255657 15.205775 70.670055 132.061581 217. B1 := A B T B1 = ( 0 0 0 0 0 ) D2 := A D ( ) 12 11 11 T D2 = 3.194 9.53 10 2.363 10 2.021 10 3.535 N2 := A N T N2 = ( 0 0 0 0 0 ) Приведем к нормальной системе дифференциальных уравнений первого порядка d H AA H + BB с начальными условиями H ( 0) D dt i := 1.. n D2n+ i1 := N2i ( 3.194 9.53 10 12 ) 11 11 T D2 = 2.363 10 2.021 10 3.535 10 i := 1.. n j := 1.. n AA i1, j 1 := AA n+i1, n+ j 1 := M1i1, j AA n+i1, j 1 := C1i1, j AA i1, n+ j 1 := if ( i j, 1, 0) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 AA = 5.471 4.405 11.524 18. 5.118 10.943 45. 21.447 88.877 141.921 0 0 0 0 43.839 2.158 130.4 243.68 395.416 0 0 0 0 42.803 21.559 157.455 294.237 484.226 0 0 0 0 16.256 15.206 70.67 132.062 217.334 0 0 0 0 i := 1.. n BBn+ i1 := B1i BBi1 := T BB = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) Найдем решение полученной системы дифференциальных уравнений.

H := D D( t, H ) := AA H + BB Y := rkfixed ( H, 0, T, 100, D) i := 1.. n Следовательно, при t=T получим следующие коэффициенты 1. 2. Y 100, k = 9. 11. 4. и для примера решение имеет вид U (x, T ) = U 0( x ) + 1.489131U 1 ( x) 2.09062U 2 ( x) + 9. 087395U 3 ( x) 11. 042085U 4 ( x) + + 4.193533U 5 ( x).

Выпишите аналогичным образом решение задачи своего варианта при n=5.

Пробное решение U(x) для n = 5 при t=0;

0.1T;

0.2T;

... T имеет вид n U ( x, s ) := V ( 0, x) + V ( k, x) Y 10s, k k = Выпишите матрицу U2 получившегося пробного решения, разбив отрезок [a,b] на 10 частей при t=0, 0.1T,..., T.

i := 0.. j := 0.. ba U2i, j := U a + i, j Таблица пробного решения при t=0, 0.1T,..., T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.211736 0.222982 0.255069 0.303519 0.362292 0.425439 0.488581 0.549782 0.609527 0.669893 0. 0.097031 0.224919 0.357026 0. 0.379137 0.369046 0.33871 0.288078 0.217478 0.128049 0. 0.269432 0.115568 0.050668 0. 0.772617 0.763454 0.735383 0.686925 0.616388 0.522747 0. 0.968705 0.958653 0.92855 0.87852 0.80867 0.718993 0.609314 0.479332 0.

328764 0.157581 0. U2 = 0.487772 0.34243 0.173056 0. 0.967401 0.956663 0.924937 0.873467 0.80368 0.716472 0. 0.768705 0.758653 0.72855 0.67852 0.60867 0.518993 0.409314 0.279332 0.128764 0.042419 0. 0.372617 0.363454 0.335383 0.286925 0.216388 0.122747 6.384336 10 0.130568 0.284432 0.450668 0. 0.697031 0.824919 0.957026 1. 0.220863 0.230954 0.26129 0.311922 0.382522 0.471951 0. 1.349782 1.409527 1.469893 1. 1.011736 1.022982 1.055069 1.103519 1.162292 1.225439 1. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Получим матрицу предыдущего (для n = 4 ) пробного решения AP := submatrix ( A, 0, n 2, 0, n 2) MP := submatrix ( M, 0, n 2, 0, n 2) CP := submatrix ( C, 0, n 2, 0, n 2) BP := submatrix ( B, 0, n 2, 0, 0) D1P := submatrix ( D1, 0, n 2, 0, 0) N1P := submatrix ( N1, 0, n 2, 0, 0) M1P := AP MP C1P := AP CP B1P := AP BP D2P := AP D1P N2P := AP N1P i := 1.. n 1 j := 1.. n AAPi1, j 1 := AAPn+ i2, n+ j 2 := M1Pi1, j AAPn+ i2, j1 := C1Pi1, j AAPi1, n+ j 2 := if ( i j, 1, 0) 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 AAP = 2.837 7.582 7.048 9. 26.749 28.254 48.398 4. 2. 36.102 47.418 88. 1.027 10 18.479 28.628 53.498 i := 1.. n D2Pn+ i2 := N2Pi ( 3.194 ) 12 12 T D2P = 2.104 10 1.156 10 1.926 10 i := 1.. n BBPi1 := BBPn+ i2 := B1P i T BBP = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 ) HP := D2P D( t, HP) := AAP HP + BBP YP := rkfixed ( HP, 0, T, 100, D) Следовательно, предыдущее пробное решение U(x) для n = 5 при t=0, 0.1T,..., T имеет вид n UP( x, s) := V ( 0, x) + V ( k, x) YP10s, k k = Выпишите матрицу U3 получившегося пробного решения, разбив отрезок [a, b] на 10 частей при t=0, 0.1T,..., T.

i := 0.. 10 j := 0.. ba U3i, j := UP a + i, j Матрица предыдущего пробного решения при t=0, 0.1T,..., T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.211736 0.220885 0.247759 0.290687 0.347068 0.413613 0.486662 0.562526 0.637827 0.709803 0. 0.3791370.367531 0.33321 0.2776220.203037 0.11235 8.82986 0.104155 0.223409 0.346156 0. 0.7726170.761752 0.72932 0.6757950.6019470.508809 0.397637 0.2698610.127041 0.029178 0. 0.9687050.9592840.9308670.8830220.8151120.726422 0.616304 0.4843420.3305150.1553290. U3= 0.9674010.958628 0.93203 0.8868180.8218040.735583 0.626757 0.4941810.3372070.1558850. 0.7687050.7592840.7308670.6830220.6151120.526422 0.416304 0.2843420.130515 0.044671 0. 0.3726170.361752 0.32932 0.2757950.2019470.1088092.362821 103 0.130139 0.272959 0.429178 0. 0.220863 0.232469 0.26679 0.322378 0.396963 0.48765 0.59117 0.704155 0.823409 0.946156 1. 1.011736 1.020885 1.047759 1.090687 1.147068 1.213613 1.286662 1.362526 1.437827 1.509803 1. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Выпишите матрицу сравнения полученных решений для n = 5 и n = Матрица сравнения пробных решений 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 3.025 10 0.002 0.007 0.013 0.015 0.012 0.002 0.013 0.028 0. 2.54 10 13 0.002 0.006 0.01 0.014 0.016 0.013 0.007 0.002 0. 0. 0. 3.104 10 0.002 0.006 0.011 0.014 0.014 0.009 0 0.011 0. 4.396 10 0.001 0.002 0.005 0.006 0.007 0.007 0.005 0.002 0.002 0. U23 := U2 U3 = 4.032 10 13 0.002 0.007 0.013 0.018 0.019 0.015 0.006 0.005 0.017 0. 2.043 10 0.001 0.002 0.005 0.006 0.007 0.007 0.005 0.002 0.002 0. 0. 8.464 10 0.002 0.006 0.011 0.014 0.014 0.009 0 0.011 0. 0. 1.736 10 12 0.002 0.006 0.01 0.014 0.016 0.013 0.007 0.002 0. 0. 1.892 10 0.002 0.007 0.013 0.015 0.012 0.002 0.013 0.028 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Максимальное значение |U23ij| равно ( ( ) ( )) 10 K11 := max max U23, min U K11 = 0. Выпишите это значение для n=1, …, n=5 и сделайте вывод.

Сравним точное и приближенное (при n = 5 ) решения, для этого найдем разность матриц этих решений U1 и U2.

Таблица сравнения точного и приближенного решения 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0. 0.0001370.0010990.0035210.001540 0.002100 0.001737 0.001463 0.003074 0.006169 0.008633 0. 0.000078 0.0001700.0003430.0011520.0015460.001248 0.003213 0.008642 0.006482 0.000018 0. 0.000058 0.000894 0.002708 0.004367 0.003710 0.000194 0.0063030.0131010.0171680.0130410. 0.000049 0.0001010.0001070.000233 0.000012 0.000242 0.000654 0.000583 0.000102 0.0011670. 0.0000470.0006910.0025100.0038880.0037650.000886 0.004213 0.010408 0.014995 0.015685 0. U12:= U1 U2 = 0.000049 0.0001010.0001070.000233 0.000012 0.000242 0.000654 0.000583 0.000102 0.0011670. 0.000058 0.000894 0.002708 0.004367 0.003710 0.000194 0.0063030.0131010.0171680.0130410. 0.000078 0.0001700.0003430.0011520.0015460.001248 0.003213 0.008642 0.006482 0.000018 0. 0.0001370.0010990.0035210.001540 0.002100 0.001737 0.001463 0.003074 0.006169 0.008633 0. 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0. Максимальное значение |U12ij| равно ( ( ) ( )) 10 K12 := max max U12, min U K12 = 0. Выпишите это значение для n=1, …, n=5 и сделайте вывод.

Найдем невязки полученного пробного решения.

При t=T получим невязку n n R1(x ) := V (k, x) (M1k 1,z 1 Y100, n +z + C1k 1, z 1 Y100, z ) + B1k 1 z =1 k = ( x) V (k, x) ( M1k 1, z 1 Y100,n + z ) [K1(x ) V2(k, x) + K2( x ) V1(k, x ) + n n n k =1 k = z = + (x ) V (k, x ) Y100,k ( K1( x) V2(0, x) + K 2(x ) V1(0, x ) + ( x) V (0, x ) + g (x )) i := 0.. ba UN1i, 0 := a + i UN1i, 1 := R1( UN1i, 0) Таблица невязок при t=T T 0.314 0.628 0.942 1.257 1.571 1.885 2.199 2.513 2.827 3. UN1 = 3.382 0.47 0.028 0.3 0.019 0.264 0.019 0.3 0.028 0.47 3. Максимальное значение |UN1ij| равно ( ( ) ( )) 1 K13 := max max UN1, min UN K13 = 3. Выпишите это значение для n=1, …, n=5 и сделайте вывод.

При t=0 получим невязки R2(x) и R3(x) n R2( x) := V ( 0, x) f ( x) + D2 k 1 V ( k, x) k = i := 0.. ba UN2i, 0 := a + i b a UN2i, 1 := R2 a + i Таблица невязок при t= 0. 0 0.314 0.638 0. 942 1. UN2T = 0.00 1. 0791013 5.596 1014 2.0611013 4.610 3. 1.571 1. 885 2. 199 2.513 2. 5.329 10 13 1. 7541013 6. 3821013 1. 5661012 1. 7991012 0. Максимальное значение |UN2ij| равно ( ( ) ( )) 1 K14 := max max UN2, min UN K14 = 1.799227 Выпишите это значение для n=1, …, n=5 и сделайте вывод.

n R3( x) := ( x) + N2k 1 V ( k, x) k = i := 0.. ba UN3i, 0 := a + i b a UN3i, 1 := R3 a + i Матрица невязок при t= 0 0. 314 0. 628 0.942 1. 257 1. 571 1.885 2.199 2.513 2. 827 3. UN3T = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Максимальное значение |UN3ij| равно ( ( ) ( )) 1 K15 := max max UN3, min UN K15 = Выпишите это значение для n=1,..., n=5 и сделайте вывод.

Выводы Таким образом, при n = 5 получаем следующие результаты:

max|Un (x, T) Un 1 (x, T) | max|U (x,T ) Un (x,T ) | max| R1n ( x, T ) | max| R2 n (x ) | K11 = 0.043315 K12 = 0.010454 K13 = 3.381705 K14 = 1.799227 Сделайте вывод о точности полученных решений.

Приложение Г Лабораторная работа «Решение первой краевой задачи для двухмерного эллиптического уравнения методом Галеркина»

Задание на лабораторную работу 1. В пункте «Пос тановка задачи» ввести вместо данных примера непрерывные функции уравнения K1(x, y) (K1 0), K2(x, y) (K2 0), K3(x, y), K4(x, y), K5(x, y), f(x, y) и числовые параметры задачи a, b, c, d своего варианта.

2. В пункте «Получение точного решения» ввести найденное аналитически число слагаемых в разложении в двойной тригонометрический ряд Фурье, обеспечивающих точнос ть решения 0.001.

3. В пункте «Получение приближенного решения» ввести вместо данных примера системы пробных V1(k,x,y) и проверочных W(k,x,y) функций своего варианта. Выполнить построение трех пробных решений задачи, вводя последовательно n=1, n=2, n=3. Переписать значения Ck и, подставив их, получить пробное решение. Выписать таблицы пробных решений и таблицы сравнения с предыдущим пробным решением.

4. В пункте «Сравнение точного и приближенного решений» исследовать поведение пос троенных пробных решений при n=1, n=2, n=3, сравнивая их таблицы с таблицей точного решения.

Постановка задачи Требуется в плоской замкнутой облас ти D={(x,y) | 0 x a, 0 y b } найти функцию U(x,y), удовлетворяющую внутри D уравнению d2 d2 d d K1( x, y) U + K2( x, y) U + K3( x, y) U + K4( x, y) U + K5( x, y) U f ( x, y) d x2 d y2 dx dy а на границе D области D краевому условию U (x, y ) =d.

В качестве функции f(x,y) возьмем функцию f(x,y)=cxy.

Введите непрерывные функции уравнения K1(x,y) (K10), K2(x,y) (K20), K3(x,y), K4(x,y), K5(x,y) и числовые параметры задачи a, b, c, d K1( x, y) := 1 K2( x, y) := 1 K3( x, y) := 0 K4( x, y) := K5( x, y) := a := b := c := 1 d := f ( x, y) := c x y Получение точного решения Найдем точное решение U(x,y), используя разложение функции в двойной MM тригонометрический ряд Фурье U (x, y ) = d + H km sin( kx / a) sin(my / b).

k =1m = Введите число слагаемых, обеспечивающих точность решения 0. M := Вычислим коэффициенты H km i := 1.. M j := 1.. M a b i x j y 4 c x sin dx y sin dy H i1, j 1 := (i + j ) 2 2 2 a b 0 Следовательно, точное решение U(x, y) имеет вид M M k x m y H k 1, m1 sin sin U ( x, y) := d + a b k =1 m = Выпишите матрицу U1 получившегося точного решения, разбив облас ть D на 100 частей i := 0.. j := 0.. i,b j U1i, j := U a Матрица точного решения 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10.108 10.211 10.305 10.381 10.435 10.457 10.437 10.364 10.223 10 10.211 10.413 10.596 10.747 10.853 10.897 10.859 10.716 10.44 10 10.305 10.596 10.86 11.079 11.235 11.302 11.251 11.045 10.644 10 10.381 10.747 11.079 11.358 11.558 11.648 11.59 11.336 10.828 U1 = 10 10.435 10.853 11.235 11.558 11.794 11.908 11.852 11.567 10.979 10 10.457 10.897 11.302 11.648 11.908 12.043 12 11.711 11.083 10 10.437 10.859 11.251 11.59 11.852 12 11.981 11.721 11.111 10 10.364 10.716 11.045 11.336 11.567 11.711 11.721 11.529 11.02 10 10.223 10.44 10.644 10.828 10.979 11.083 11.111 11.02 10.72 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 График точного решения U min ( U1) = 10 max ( U1) = 12. Получение приближенного решения n Введите порядок пробного решения U n = V (0, x, y ) + C kV (k, x, y ).

k = n := Введите пробные функции k k V1( k, x, y) := x ( a x) y ( b y) Нормируем их. Для этого вычислим нормировочные коэффициенты и выпишем их аналитические выражения i := 1.. n a b VV i1 := ( V1 ( i, x, y) ) d x d y 0 1 1 T VV 5 7 30 105 Получили нормированные пробные функции V1 ( k, x, y) V ( k, x, y) := if k 0,,d VV k Выпишем первые четыре функции V ( 0, x, y) ( y) V ( 1, x, y) 30 x ( x) y 2 ( y) V ( 2, x, y) 105 x ( x) y 3 ( y) V ( 3, x, y) 252 x ( x) y Введем оператор, равный левой части уравнения d2 d2 d L1( k, x, y, V ) := K1( x, y) V ( k, x, y) + K2( x, y) V ( k, x, y) + K3( x, y) V ( k, x, y) dx2 d y2 d x d L ( k, x, y, V ) := L1 ( k, x, y, V ) + K4 ( x, y) V ( k, x, y) + K5 ( x, y) V ( k, x, y) dy Применим этот оператор к первым четырем пробным функциям f ( x, y) L ( 0, x, y, V ) x y ( y) ( x) L ( 1, x, y, V ) 60 y 60 x 5 ( x ) 420 x y 2 ( y) + 210 x 2 ( x ) ( y ) L (2, x, y, V ) 210 ( x ) y 7 7 420 x 2 ( x) y ( y ) 1512 x 2 y 3 ( y ) + L ( 3, x, y,V ) 1512 x ( x ) y 9 ( y ) 1512 x 3 ( x ) y ( x ) y + 1512 x 9 Введите поверочные функции (для примера в качес тве поверочных возьмем пробные функции) W ( k, x, y) := V ( k, x, y) Найдем коэффициенты системы уравнений AC=B для определения оптимальных коэффициентов пробных решений Ck i := 1.. n a b Bi1 := ( f ( x, y) L ( 0, x, y, V ) ) W ( i, x, y) dx d y 6. 8. B= 8. i := 1.. n j := 1.. n a b A i1, j 1 := L ( j, x, y, V ) W ( i, x, y) d x d y 2.026424 1.773121 1.459025 A = 1.773121 2.836993 3.191617 1.459025 3.191617 4.377075 Решая систему уравнений AC=B матричным методом, получим вектор коэффициентов Ck C := A 1 B 1. C= 0. 0. Выпишите получившееся пробное решение для n = 3.

Следовательно, пробное решение U(x, y) для n = 3 имеет вид n U ( x, y) := V ( 0, x, y) + C k 1 V ( k, x, y) k = Выпишите матрицу U2 получившегося пробного решения, разбив область D на 100 частей i := 0.. 10 j := 0.. i,b j U2i, j := U a Матрица пробного решения 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10.149 10.27 10.36 10.419 10.445 10.435 10.388 10.301 10.172 10 10.27 10.497 10.676 10.802 10.868 10.866 10.788 10.624 10.365 10 10.36 10.676 10.939 11.137 11.255 11.279 11.188 10.96 10.573 10 10.419 10.802 11.137 11.405 11.584 11.646 11.56 11.286 10.782 U2 = 10 10.445 10.868 11.255 11.584 11.822 11.932 11.864 11.564 10.967 10 10.435 10.866 11.279 11.646 11.932 12.086 12.047 11.744 11.093 10 10.388 10.788 11.188 11.56 11.864 12.047 12.04 11.762 11.118 10 10.301 10.624 10.96 11.286 11.564 11.744 11.762 11.54 10.988 10 10.172 10.365 10.573 10.782 10.967 11.093 11.118 10.988 10.639 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 Максимальное и минимальное значения матрицы равны min ( U2) = 10 max ( U2) = 12. Найдем вектор коэффициентов Ck для предыдущего пробного решения.

Для этого решим систему уравнений A1C=B1, где A1 угловая матрица (n-1)-го порядка матрицы A, а B1 вектор-столбец, содержащий первые ( n 1 ) элементы столбца B.

C1 := if n 1, ( submatrix ( A, 0, n 2, 0, n 2) ) 1 submatrix ( B, 0, n 2, 0, 0), 1. C1 = 1. Получим матрицу предыдущего (для n = 2 ) пробного решения, разбив область D на 100 частей n n 1, V ( 0, x, y) + C1 k 1 V ( k, x, y ), V ( 0, x, y ) UP ( x, y ) := if k = i := 0.. j := 0.. i,b j U3i, j := UP a Матрица предыдущего пробного решения 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10.121 10.224 10.306 10.364 10.394 10.392 10.355 10.28 10.163 10 10.224 10.432 10.61 10.747 10.83 10.846 10.784 10.63 10.373 10 10.306 10.61 10.886 11.111 11.259 11.306 11.228 11.001 10.6 10 10.364 10.747 11.111 11.418 11.632 11.716 11.632 11.343 10.811 U3 = 10 10.394 10.83 11.259 11.632 11.903 12.02 11.938 11.606 10.976 10 10.392 10.846 11.306 11.716 12.02 12.163 12.088 11.74 11.063 10 10.355 10.784 11.228 11.632 11.938 12.088 12.027 11.696 11.04 10 10.28 10.63 11.001 11.343 11.606 11.74 11.696 11.425 10.876 10 10.163 10.373 10.6 10.811 10.976 11.063 11.04 10.876 10.54 10 10 10 10 10 10 10 10 10 Получим матрицу сравнения полученных пробных решений при n = 2 и n = 3, т. е. найдем разность матриц U2 и U Матрица сравнения полученных решений 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.028 0.046 0.054 0.055 0.051 0.043 0.032 0.021 0.01 0.046 0.065 0.066 0.056 0.038 0.02 0.004 0.006 0.008 0.054 0.066 0.053 0.026 0.003 0.027 0.041 0.041 0.026 0.055 0.056 0.026 0.014 0.049 0.07 0.072 0.057 0.029 U23:= U2 U3 = 0.051 0.038 0.003 0.049 0.08 0.089 0.073 0.042 0.009 0.043 0.02 0.027 0.07 0.089 0.078 0.041 0.004 0.031 0.032 0.004 0.041 0.072 0.073 0.041 0.013 0.066 0.079 0.021 0.006 0.041 0.057 0.042 0.004 0.066 0.116 0.112 0.01 0.008 0.026 0.029 0.009 0.031 0.079 0.112 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Максимальное значение |U23ij | равно max ( max ( U23), min ( U23) ) = 0. Выпишите это значение для n=1, n=2, n=3 и сделайте вывод Сравнение точного и приближенного решения Сравним точное и приближенное решения, для этого найдем разность матриц этих решений U1 и U Матрица сравнения точного и приближенного решения 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.041 0.058 0.056 0.038 0.01 0.022 0.05 0.063 0.05 0.058 0.084 0.081 0.056 0.015 0.031 0.072 0.092 0.074 0.056 0.081 0.079 0.058 0.021 0.023 0.063 0.085 0.071 0.038 0.056 0.058 0.047 0.026 0.002 0.03 0.05 0.046 U12:= U1 U2 = 0.01 0.015 0.021 0.026 0.029 0.024 0.012 0.003 0.013 0.022 0.031 0.023 0.002 0.024 0.043 0.047 0.033 0.011 0.05 0.072 0.063 0.03 0.012 0.047 0.059 0.041 0.008 0.063 0.092 0.085 0.05 0.003 0.033 0.041 0.011 0.032 0.05 0.074 0.071 0.046 0.013 0.011 0.008 0.032 0.081 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Максимальное значение |U12ij | равно max ( max ( U12), min ( U12) ) = 0. Выпишите это значение для n=1, n=2, n=3 и сделайте вывод.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В данном пособии выполнено достаточно полное изложение алгоритмов методом взвешенных невязок [1] численного решения линейной краевой задачи для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка, линейных начально-краевых задач для одномерных уравнений параболического и гиперболического типа, первой краевой задачи для двухмерного эллиптического уравнения.

Результаты решения этих задач математической физики подтверждаю т общие выводы о возможностях таких методов, предс тавленные в монографии [1]. Именно то, что эти методы, во-первых, приводят к сравнительной точности получаемых решений и, во-вторых, позволяют достигать приемлемой точности при небольшом (на более пяти) числе пробных и поверочных функций, взятых из младших элементов полной системы функций.

В пособии не обсуждаются вопросы, связанные с проблемой сходимости последовательности пробных решений к искомому точному решению задачи.

Не обсуждаются также трудности и пути их преодоления, которые возникают, например, когда получение решения методом Галеркина с необходимой точностью требует сохранения большего числа пробных функций в пробном решении. С обсуждением этих проблем можно ознакомиться в монографии [1].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галеркина / К.

Флетчер.– М. : Мир, 1988. – 352 с.

2. Калиткин, Н. И. Численные методы / Н. И. Калиткин. – М. : Наука, 1978. – 512 с.

3. Корн, Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. – М. : Наука, 1970. – 720 с.

4. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – М. : Наука, 1972. – 735 с.

5. Вельмисов, П. А. Уравнения математической физики : учебное пособие / П. А. Вельмисов, Т. Б. Распутько. – Ульяновск : УлГТУ, 2001. – 68 с.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.