авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 15 |

«А.В. Малишевский Качественные модели в теории сложных систем A.V. Malishevski Qualitative Models in the ...»

-- [ Страница 2 ] --

Некоторые глобальные оценки цепных систем. II векторы h () и h (). Нетрудно видеть, что h () при, а h () при. Рассмотрим асимптотику векторов h () и h () при и соответственно 1. Примем за норму n неотрицательного вектора z число z = i=1 zi. Можно показать, h () h () что пределы lim = g и lim = g существуют и h () h () удовлетворяют уравнениям gi = min bi (ui )g (i = 1,..., n), (22) ui gi = max bi (ui )g (i = 1,..., n). (23) ui Для дальнейшего нам потребуется лишь факт существования неот рицательных векторов g, g, удовлетворяющих (22) и (23), а чтобы получить такие векторы, достаточно взять частичные пределы указан ных величин. Доказательство последнего приведено в приложении III.

Составим множества {ui } и {ui } всех значений параметра ui, которые доставляют min в (22) и max в (23) соответственно (i = = 1,..., n). Выпуклая комбинация i bi (u ) bi = i i удовлетворяет условиям gi bi g, (24) gi bi g, (25) u u {ui } (или {ui } ) для всех i, то (24) причем если i i (соответственно (25)) обращается в равенство.

В общем случае числа, и векторы g, g удовлетворяют усло виям 0, 0;

g 0, g 0 и g = 0, g = 0. Ниже мы ограничимся случаями 0, g 0 и 0, g 0, исключив тем самым из рассмотрения вырожденные случаи. Действительно, возьмем, например, пару, g. Нетрудно видеть, что g представля ет собой собственный вектор матрицы B(u ), составленной из строк bi (ui ), ui {ui } (i = 1,..., n), который соответствует собственному числу. Поэтому, если не выполняется условие 0, g 0, т. е.

если gi = 0 хотя бы для одного i, или если = 0, то матрица B(u ) разложима [19]. Аналогичное рассуждение относится и к, g. Разло жимость матриц B(u) как раз и означает определенную структурную вырожденность цепной системы.

1 Знак означает стремление сверху.

38 I. Анализ цепных динамических систем Перейдем к оцениванию показателя R(t). Временно зафиксируем t = T и запишем для показателя J = R(T ) функцию Лагранжа:

T = q(T ) e + [r q(0)] p(0) + [q(t) B(t) q(t + 1)] p(t + 1) t= или T q(t) [B(t + 1) p(t + 1) p(t)] + q(T ) [e p(T )]. (26) = rp(0) + t= Положим в (26) p(t) = T t g, где константа 0 выбрана так, что g e. Тогда в силу (24) все выражения в квадратных скобках в (26) неотрицательны, откуда rp(0), (p(0) = T g ) и, значит, R(T ) T rg. Нижняя граница для R(T ) найдена. Для отыскания нижнего достижимого значения R(T ) положим в (26) p(t) = T t g, где константа 0 выбрана так, что g e. Возьмем набор выде ленных параметров U = {{u1 },..., {un } }. В этом случае все выра жения в квадратных скобках в (26) неположительны, что дает оценку нижнего достижимого по U значения R(T ;

U, ) T rg. Так как выведенные оценки справедливы для произвольного T, имеем сразу для всех t = 0, 1,... нижнюю границу t rg R(t;

U, ) для всех U, (27) и нижнее достижимое значение t rg R(t;

U, ) для всех. (28) Эти оценки неточные, так как, вообще говоря,. Однако они являются неулучшаемыми в определенном классе оценок в классе экспонент. Чтобы придать однозначный смысл этому утверждению, рассмотрим следующие показатели, характеризующие последователь ность R(t) (t = 0, 1,...):

ln R(t) ln R(t) = exp lim, = exp lim.

t t t t Назовем нижним темпом роста величины R(t), а верхним тем пом роста;

если эти величины совпадают, будем называть = = темпом роста 1 R(t). Используя (27), (28), можно сказать, что пред ставляет собой нижнюю границу (K) и одновременно нижнее дости жимое значение (M ) темпа роста [R(t)].

1 Если [R(t)] 1, естественно называть темпом убывания величины R(t).

Некоторые глобальные оценки цепных систем. II Аналогично можно получить для последовательности R(t) (t = = 0, 1,...) верхнюю границу t rg R(t;

U, ) ( 0) для всех U, (29) и верхнее достижимое значение t rg R(t;

U, ) ( 0) для всех. (30) Величина представляет собой верхнюю границу (L) и одновре менно верхнее достижимое значение (N ) темпа роста [R(t)].

Рассмотрим двухпараметрические списки процессов {bi (ui, vi )}, ui = 1,..., ri, vi = 1,..., si (i = 1,..., n). Положим mM = = min max (B(u, v)) и Mm = max min (B(u, v)). По аналогии с h () u v u v и h () можно рассмотреть векторы hmM () и hMm () и показать, что пределы hmM () hMm () = gmM и lim = gMm lim mM () Mm hMm () mM h существуют и удовлетворяют уравнениям mM gi = min max bi (ui, vi )gmM mM (i = 1,..., n), (31) ui vi Mm gi = max min bi (ui, vi )gMm Mm (i = 1,..., n). (32) ui vi Пользуясь этими результатами, как и в случае однопараметриче ских списков, можно построить оценки достижимых по U значений R(t) в классе экспоненциальных оценок, аналогичные (28) и (30): ниж нее достижимое значение (mM )t и верхнее достижимое значение (Mm )t. Другими словами, темп роста [R(t)] имеет нижнее и верх нее достижимые по U значения M = mM и N = Mm соответственно;

эти оценки являются точными (неулучшаемыми).

Таким образом, все характерные оценки показателя R(t) имеют экспоненциальный вид. Грубо говоря, цепная система не может проде монстрировать никакого существенно иного поведения, чем экспонен циальный рост (или угасание ).

2. Приложение полученных оценок к трем задачам Рассмотрим теперь приложения, которые имеют полученные оцен ки показателей цепных систем в тех трех задачах, о которых говори лось во введении в части I настоящей работы (см. [36]).

2.1. Экономическая модель план-заказ. Вернемся к эко номической модели, описанной в части I настоящей работы [36]. Как отмечалось выше, 40 I. Анализ цепных динамических систем укрупненное описание (1) для такой системы характеризует совокуп ный заказ на набор продуктов q(t), подсчитанный на t плановых пери одов назад (t = 1,..., T ), исходя из требования на получение заданного n набора продуктов q(0) = r при t = 0. В этой задаче R(t) = i=1 qi (t) может рассматриваться как валовой показатель, характеризующий суммарный объем ресурсов или объем продукции 1. Тогда темп ро ста [R(t)] характеризует рост объема поставок при переходе к бо лее ранним плановым периодам. Для расширяющейся экономики эта величина должна быть меньше единицы;

обратная величина 1 дает, грубо говоря, относительный прирост валовой продукции за один плановый период 2.

Рассмотрим задачу, существенно связанную с построением оценок для плана-заказа указанного выше вида. Предположим, что при со здании плана-заказа имеется этап предварительного планирования, на котором можно выбирать лишь списки предполагаемых процессов про изводства каждого продукта, не детализируя, какие именно процессы и в каком пункте плана будут реализованы. Следуя формальной схеме, описанной выше, можно сказать, что здесь составителем плана выде ляются параметры ui, определяющие подсписки возможных процес сов, в то время как параметры vi, определяющие выбор конкретных процессов из этих подсписков, и i интенсивности таких процессов остаются скрытыми. В связи с этим уместно искать минимаксную оценку темпа роста такой системы [R(t)] оценку, которая характе ризует наибольшую величину темпа роста валовой продукции, кото рую можно гарантировать подбором предварительных списков процес сов. В соответствии с разделом 1 статьи искомая минимаксная оценка нижнее достижимое значение по выделенным параметрам U имеет вид mM. Таким образом, максимальная гарантируемая предва рительным планом величина темпа роста валовой продукции 1 рав на (mM )1, т.е. в экономической модели такого рода предварительным планом может быть гарантирован экспоненциальный рост (mM )t, но не более.

Из общих оценок, полученных выше можно было бы получить и некоторые оценки экспоненциального роста, известные из исследова ний линейных экономических моделей [20, 26, 32, 189];

на этих резуль татах мы здесь не останавливаемся.

2.2. Вероятностная модель. В качестве второго примера рас смотрим применение полученных оценок к исследованию общей веро 1 Предполагается, что единицы измерения различных продуктов выбраны так, что суммирование количеств этих продуктов с единичными весами имеет смысл.

2 Поскольку показатель по своему характеру асимптотический, такое утвер ждение применимо к достаточно долгосрочному плану.

Некоторые глобальные оценки цепных систем. II ятностной автоматной модели. Во введении и далее в части I насто ящей работы в [36] к такой модели была сведена задача надежности автомата. Эта модель оказывается полезной и при изучении экспери ментов с автоматами, также упомянутых во введении в [36]. Модель характеризуется тем, что фигурирующие в ней строки переходных вероятностей bi = (bi1,..., bin ) (i = 1,..., n) должны удовлетворять n лишь условиям bij 0, j=1 bij 1;

допускаемый при этом случай n bij 1 интерпретируется как возможность перехода (с вероятно j= n стью 1 j=1 bij ) в дополнительное поглощающее состояние s0, из которого система выйти не может. Легко видеть, что показатель n R(t) = = i=1 qi (t) текущий объем статистического ансамбля в со стояниях s1,..., sn при этом убывает (не возрастает) по t.

Применяя (при соответствующих предположениях) оценки темпа роста (убывания) показателя R(t) в такой системе, получаем, что объ ем статистического ансамбля в конечной модели с поглощением может убывать лишь по закону экспоненциального типа :

ct c t, R(t) (33) где c, c 0 константы. Подчеркнем, что этот вывод справедлив вне зависимости от того, как именно связаны параметры, определяю щие выбор строк переходных вероятностей (из заданных списков), с предысторией системы. Напомним, что в задаче надежности конечного автомата такими параметрами являются поступающие извне входные символы и что непредсказуемая зависимость этих входных символов от предыстории делает невозможным точный расчет динамической на дежности автомата. В то же время оценка надежности автомата при помощи показателя R(t) (представляющего собой безусловную вероят ность пребывания автомата в одном из n рабочих состояний) заведомо может быть получена в форме (33).

Интегральный показатель D = t=0 R(t) для вероятностной мо дели с поглощением также имеет ясный содержательный смысл. Пусть (t) величина, равная 1, если система в момент времени t находится в одном из состояний s1,..., sn, и равная 0, если система находится в поглощающем состоянии s0. Тогда величина t=0 (t), подсчитанная на некоторой реализации системы, представляет собой время жизни этой реализации, а усреднение этой величины по всему множеству ре ализаций дает среднее время жизни модели t=0 (t) = t=0 (t) = = t=0 R(t), т. е. как раз величину D.

Получив интерпретацию оценки показателя D как оценки средне го времени жизни модели с начальным распределением на состояниях 42 I. Анализ цепных динамических систем r, легко заметить, что и вспомогательный вектор h в оценках D ви да rh (см. (12)–(15) и (20)–(21)) имеет аналогичную интерпретацию:

компонента hi представляет собой соответствующую оценку средне го времени жизни модели с начальным распределением r = ri = = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) (единица на i-м месте), т.е. с детерминирован ным начальным состоянием si. Поэтому (5), (6) и (18), (19) представ ляют собой уравнения типа уравнений динамического программиро вания для оценок среднего времени жизни системы 1.

Применение этих результатов к изложенной ранее модельной зада че надежности автомата очевидно, так как по самому существу дела эта модель имеет поглощающее состояние: им является нерабочее со стояние, куда автомат попадает при неисправности. В задаче экспери ментов с автоматами (типа задачи Мура) эти результаты также могут быть использованы, так как и эта задача может быть представлена как вероятностная модель с поглощающим состоянием 2. Действительно, во введении отмечалось, что эксперимент может быть представлен как цепь переходов между экспериментальными ситуациями (если экспе римент вероятностный, то переходы случайны). Цель эксперимента перевести автомат в известное (или заданное) внутреннее состояние, т.е., другими словами, перейти в экспериментальную ситуацию вида автомат находится в данном внутреннем состоянии. Рассматривая эту ситуацию как поглощающее состояние эксперимента, получаем представление эксперимента как вероятностной модели переходов на конечном множестве состояний, одно из которых поглощающее.

Установив таким образом принципиальную возможность интерпре тировать вероятностный эксперимент с конечным автоматом как веро ятностную модель с поглощением, воспользуемся принятым для цеп ных систем оценочным подходом для построения оценки длины та кого эксперимента.

2.3. Оценка длины вероятностного эксперимента с конеч ным автоматом. Классическая схема эксперимента с конечным авто матом (последовательностной машиной) по Муру [4] в настоящее вре мя имеет много вариантов. Будем для определенности придерживать 1 Уравнения типа (5), (6) встречаются как точные уравнения в некоторых за дачах оптимизации в управляемых марковских цепях [13, 15, 73, 129]. Отметим, что существование оптимального управления в таких задачах в виде стационарной марковской стратегии [129], не учитывающей предыстории системы, подтверждает со своей стороны допустимость укрупненного марковского описания такой системы в виде (1).

2 Отметим в связи с этим работу [73], где управляемая марковская цепь с погло щающим состоянием рассматривалась как модель в задаче технической диагности ки, а также обзор [13], охватывающий сходные модели профилактики стареющих систем.

Некоторые глобальные оценки цепных систем. II ся одного из них в форме задачи перевода автомата из неизвестного начального состояния в заданное конечное состояние. Под автоматом будем понимать автомат типа Мили (последовательностную машину) с m внутренними состояниями 1,..., m, с k входными символами 1,..., k, с r выходными символами 1,..., r, функцией переходов = F (, ) и функцией выхода = (, ) [4].

Пусть f заданное конечное состояние, и пусть в начальный мо мент времени t = 0 автомат может находиться в каком-либо состоянии из множества S 0 = {i1..., iW }. Под экспериментом будем понимать подачу символов на вход автомата с целью перевести автомат в f за конечное число тактов, каково бы ни было истинное начальное со стояние автомата 0 S 0.

Так как состояния автомата в ходе эксперимента не наблюдают ся непосредственно, то установить факт прихода автомата в задан ное состояние f экспериментатор должен по наблюдаемой последо вательности символов t, t (t = 0, 1,... такты). Назовем экспери ментальной ситуацией S множество всех состояний, в которых может находиться автомат в данный момент времени;

ситуация S t, очевидно, однозначно определяется предысторией эксперимента 0, 0, 1, 1,..., t1, t1. Теперь можно сказать, что цель эксперимента преобразо вать начальную экспериментальную ситуацию S 0 в требуемую ситуа цию Sf = {f }.

Эксперимент можно представить как цепь преобразований экспери ментальных ситуаций следующего вида. Если при экспериментальной ситуации S на вход автомата подан символ, то на выходе автомата появляется символ = (, ), определяемый, помимо, состоянием автомата ( S). Регистрируемая пара символов, определяет новое множество возможных состояний автомата, т.е. новую экспери ментальную ситуацию;

обозначим ее S,. Таким образом, смена экс периментальной ситуации определяется двумя параметрами: выде ленным параметром и скрытым параметром. При эксперимен тальной ситуации S и при подаче детерминированного входного симво ла произойдет детерминированный процесс перехода S S,(,), зависящий от скрытого параметра S. При подаче случайного входного символа в соответствии с распределением вероятностей произойдет процесс случайного перехода из S в одну из ситуаций S1,(,1 ),..., Sk,(,k ) с вероятностями 1,..., k соответственно (подчеркнем, что здесь всюду одно и то же) 1. Поэтому вероятност ный эксперимент описывается вероятностной моделью переходов на 1 В пункте 1 о подобном процессе говорилось как о процессе, смешанном по выделенному параметру.

44 I. Анализ цепных динамических систем конечном множестве n = 2m 1 экспериментальных ситуаций с по глощением в ситуации Sf, причем параметрами процессов перехода являются выделенные параметры и скрытые параметры. Можно сказать, что выделенные параметры определяют подсписки воз можных процессов перехода из S, а выбор конкретного процесса из такого подсписка определяется скрытым параметром. Рассматрива емая система настолько проста, что нет надобности вводить формаль ную запись элементарных процессов с помощью векторов bi, как это делается для цепной системы общего вида;

вместо этого можно рабо тать в содержательных терминах исходной задачи, учитывая замеча ния об оценках в вероятностных моделях с поглощением, сделанные в п. 2.2.

Оценка, которая ищется в этой задаче, это оценка длины экспери мента (в вероятностном случае средней длины эксперимента), т.е. чис ла тактов до перехода в требуемую экспериментальную ситуацию. В теории экспериментов с автоматами представляет интерес минималь ная длина эксперимента, т.е. такая длина, которая может быть гаран тирована при некоторой стратегии экспериментатора вне зависимости от истинного начального состояния автомата, в то время как никакая другая стратегия не гарантирует меньшей длины. Обозначим мини мальную среднюю длину вероятностного эксперимента при начальной экспериментальной ситуации S через f (S). В качестве оценки вели чины f (S) примем оценку, которую, согласно прежней терминологии, следует назвать нижним достижимым значением показателя среднее время жизни по выделенным параметрам ;

эта оценка (обозначим ее через (S)) является мажорантой величины f (S), т.е. f (S) (S).

Она может быть получена как решение уравнения (18), принимающего вид рекуррентного уравнения динамического программирования:

(S) = 1 + min max (S,(,) ). (34) S Здесь 0, = 1;

пробегает значения 1,..., k.

Сделаем в связи с этим следующее замечание. В случае детермини рованного эксперимента уравнение (34) переходит в точное уравнение динамического программирования 1 для минимальной длины экспери мента f (S):

f (S) = 1 + min max f (S,(,) ). (35) S 1 Вывод этого уравнения с незначительными изменениями повторяет вывод из работы [14].

Некоторые глобальные оценки цепных систем. II Здесь наблюдается своеобразный случай, когда наличие глубин ных связей между скрытыми параметрами цепной системы не нару шает марковского характера ее описания, поскольку позволяет пред полагать как бы возможность независимого выбора параметров S в различных экспериментальных ситуациях S, хотя в действительно сти значения S предопределены истинным внутренним состояни ем автомата в начале эксперимента 0 S 0. Однако такое свойство не сохраняется при переходе к вероятностным экспериментам это показывает пример из [35], который нетрудно перевести на язык ко нечноавтоматного эксперимента. Поэтому уравнение (34) в отличие от (35) является уравнением лишь на оценку, но не на точное значение минимальной длины эксперимента. Этот факт еще раз демонстриру ет, что вводимое при цепном описании системы понятие состояния (в данном случае экспериментальная ситуация) может не заключать в себе полной информации о системе (в частности, не позволяя непо средственно пользоваться методом динамического программирования как точным методом) и в то же время может служить достаточно эф фективным средством для построения искомых оценок.

ПРИЛОЖЕНИЯ I. Вывод уравнения (5). Положим h1 = min [1 + bi (ui )h ].

ui Рассмотрим векторный ряд h(B) (2). Для него справедливо соот ношение h(B) = e + Bh(B) (П.1) (в случае (B) 1, когда некоторые или все компоненты этого ряда обращаются в, можно понимать (П.1) как символическое равенство, если полагать 0 · = 0). Тогда с учетом (П.1) имеем h = min hi (B(u)) = min [1 + bi (ui )h(B(u))]. (П.2) i u u h (i = 1,..., n) для любых u, и По определению, hi (B(u)) i поэтому в силу (П.2) h min [1 + bi (ui )h ] = hi. (П.3) i ui Таким образом, h hi (i = 1,..., n) или в векторной записи i h h. Но тогда hi = min [1 + bi (ui )h ] min [1 + bi (ui )h ]. (П.4) ui ui 46 I. Анализ цепных динамических систем Пусть min в правой части (П.4) достигается при ui = ui. Положим u = (1,..., un ). Тогда в матричной записи u h.

e + B( )e + B2 ( )e +... = h(B( )) h e + B( )h u u u u (П.5) Сопоставляя (П.3) и (П.5), получаем искомое равенство h = h.

Аналогичным образом выводится уравнение (6).

II. Вывод уравнения (19) проведем, опираясь на выведенное в при ложении I уравнение (5). Положим hi = max min [1 + bi (ui, vi )hMm ].

ui vi Введем обозначение hm (u) = min hi (B(u, v)) и составим вектор i v столбец hm (u) с компонентами hm (u),..., hm (u). В силу конечности 1 n hMm и соотношения hMm = max hm (u) (i = 1,..., n) (П.6) i i u вектор hm (u) также конечен при любом u. Поэтому при любом фик сированном u можно записать для hm (u) соотношение (5), которое приобретает вид hm (u) = min [1 + bi (ui, vi ) hm (u)] (i = 1,..., n). (П.7) i vi В силу (П.6) и (П.7) имеем hMm = max min [1 + bi (ui, vi ) hm (u)] i u vi max min [1 + bi (ui, vi )hMm ] = hi. (П.8) ui vi Таким образом, hMm h. Поэтому hi = max min [1 + bi (ui, vi ) hMm ] max min [1 + bi (ui, vi ) h ]. (П.9) ui vi ui vi Пусть ui = ui доставляет max в правой части (П.9) и положим u = = (1,..., un ). Подставим u = u в (П.7);

пусть при этом min в (П.7) u достигается при vi = vi. Положим v = (1,..., vn ) и рассмотрим v u матрицу B(, v). В силу (П.7) hm ( ) = e + B(, v) hm ( ) u u u e + B(, v) e + B2 (, v) e +... = h(B(, v)).

u u u (П.10) Некоторые глобальные оценки цепных систем. II Согласно определению hm (u) неравенство в (П.10) может быть только равенством, поэтому h(B(, v)) = hm ( ) hMm. Но тогда со u u гласно (П.9) h e + B(, v) h u e + B(, v) e + B2 (, v) e +... = h (B(, v)) hMm u u u (П.11) (с учетом вытекающего из (П.10) условия lim Bk (, v) = 0). Сравни u k вая (П.8) и (П.11), получаем h = hMm, т.е. равенство (19).

Аналогичным образом выводится уравнение (18).

III. Вывод уравнения (22). Заметим, что h () (i = 1,..., n) i убывающие функции, определенные при, и h () h () при. Вектор, единичный по норме, заведомо имеет по h () крайней мере частичный предел при. Обозначим этот предел предел по некоторой последовательности k при k через g.

Пользуясь уравнением (5) для h () = min hi B(u) (i = i u = 1,..., n), имеем h () h () i = min + bi (ui ) (i = 1,..., n), (П.12) h () h () h () ui откуда, переходя к пределу по k на последовательности k, получаем (22).

Аналогично выводится уравнение (23).

Р а з д е л II Качественные модели сложных систем взаимодействующих элементов и свойств Один класс игр, связанный с моделями коллективного поведения Описывается класс игр многих лиц со специфическим типом вза имоотношений между игроками. К участию в таких играх привлека ются автоматы с простой тактикой поведения. Устанавливаются критерии существования ситуации равновесия в игре (в смысле Нэ ша) и ее достижимости в процессе игры автоматов. В качестве примера приводится игровая интерпретация модели рынка и модели системы массового обслуживания.

Подход к исследованию коллективного поведения, основанный на изучении игр автоматов, берет начало в работах М.Л.Цетлина и его сотрудников. В одной из этих работ, посвященной задаче регулиров ки мощности в коллективе радиостанций [77], обращено внимание на такой тип отношений в коллективе, когда поведению участников свой ственно определенное взаимное противодействие. Подобная ситуация может возникнуть и в экономических системах;

это отчетливо обнару живается при попытке рассмотреть абстрактную модель рынка (типа модели процесса регулирования рыночных цен, описанной в [26]) с точ ки зрения коллективного поведения [79]. Анализ некоторых формаль ных свойств таких моделей показывает, что ряд общих результатов справедлив для целого класса игр безотносительно к их конкретной природе. Изложению этих результатов и некоторым их применениям и посвящена настоящая статья.

Класс игр, о котором пойдет речь, характеризуется специфическим типом взаимодействия между участниками, что формально отражено в постулатах относительно того, каким образом наилучший ответ иг рока на действия партнеров зависит от этих действий. Имеющаяся при этом возможность применять при отыскании такого наилучшего 1 Автоматика и телемеханика. 1969. №11. C. 128–137 (в соавторстве с Ю.Д.Тенисбергом).

Один класс игр ответа лишь ограниченную информацию позволяет эффективно ис пользовать в роли участников игры автоматы, обладающие несложной тактикой поведения.

Основные результаты, полученные в работе, сформулированы в теоремах о существовании и единственности ситуации равновесия в игре (в смысле Нэша) и о достижимости этой ситуации в процессе игры автоматов. Эти результаты используются для игровой интерпретации процесса установления рыночных цен, а также для анализа одной системы массового обслуживания.

1. Описание игры. Основные теоремы Будем рассматривать игры n лиц следующего типа. Пусть i-й участ ник управляет переменной ci, придавая ей значения из замкнутого интервала (быть может, бесконечного) ai ci bi (i = 1,..., n). Си туация в игре описывается вектором c = (c1, c2,..., cn ) C, где C = {c: a c b}. Будем предполагать, что для каждого i-го игрока при любых фиксированных значениях чужих переменных c1..., ci1, ci+1,..., cn существует единственное наилучшее для него значение собственной переменной ci ;

обозначим это значение че рез ci (c) = ci (c1,..., ci1, ci+1..., cn ). В частности, если мерой каче ства ситуации с точки зрения i-го игрока служит платежная функ ция Ki (c), то при ci = ci (c) достигается max Ki (c). При изучении вза ci имодействия индивидуумов, преследующих собственные цели, часто представляет интерес факт достижения ситуации равновесия по Нэ шу, т.е. такой точки c, в которой каждый игрок достигает оптимума по собственной переменной при данных значениях чужих переменных.

В принятых нами обозначениях точка Нэша характеризуется условием c = ci (c ) (i = 1,..., n).

i Функцию i (c) будем называть функцией-индикатором i-го игрока, если при ci ci (c) имеет место i (c) 0, а при ci ci (c) i (c) 0.

Функция-индикатор указывает игроку, в какую сторону ему следует изменять собственную переменную, чтобы достичь оптимума при су ществующих значениях чужих переменных 1. Примером индикатора является функция i (c) = ci (c) ci.

Будем предполагать, что функции-индикаторы i (c) существуют для всех игроков (i = 1,..., n), непрерывны и обладают следующими свойствами.

1 В определении функции-индикатора не предполагается, что (c) = 0 при c = i i = ci. Например, функция-индикатор i (c) может быть везде положительна;

в этом случае точка оптимума ci совпадает с правым концом отрезка [ai, bi ].

50 II. Качественные модели сложных систем А. При каждом i = 1,..., n функция i (c) убывает (строго) по собственной переменной и не убывает по совокупности чужих переменных 1.

Такое свойство будем называть контрамонотонностью.

Б. Для любого подмножества I множества индексов {i} = {1,..., n} функция I = i (c) iI убывает по совокупности собственных переменных ci, i I, и не убы дополнение I).

вает по совокупности чужих переменных cj, j I (I Свойство Б представляет собой своеобразное обобщение свойства А применительно к группам игроков;

в этом случае нужные условия налагаются на сумму функций-индикаторов отдельных членов груп пы. Можно назвать такое свойство групповой контрамонотонностью в отличие от индивидуальной контрамонотонности, определяемой свойством А. Разумеется, свойство А заведомо вытекает из Б.

Введем в рассмотрение функцию n |i (c)|.

(c) = (1) i= две точки из C, c = c, и пусть (ci Лемма 1. Пусть c и c ci )i (c) 0 для всех i = 1,..., n. Тогда (c) (c ).

Теорема 1. Для того чтобы точка c C была точкой Нэша, необхо димо и достаточно, чтобы она была точкой минимума функции (c) на множестве C. Если такая точка существует, то она единственна.

Доказательство леммы 1 и теоремы 1 приведены в приложении I.

Таким образом, вопрос о существовании точки Нэша сводится к во просу о существовании минимума функции (c) на C. Если замкнутая область C изменения переменных c ограничена, то в силу непрерывно сти (c) искомый минимум заведомо существует. Если же эта область не ограничена, минимум может и не достигаться;

этот вопрос решается исследованием конкретной функции (c). Например, существование 1 Здесь понятия убывания и неубывания (т.е. нестрогого возрастания) функции по одной переменной распространены на случай многих переменных следующим образом. Будем говорить, что функция f (x) = f (x1,..., xm ) убывает по совокуп ности переменных x = (x1,..., xm ), если для любых x и x таких, что xk xk для всех k = 1,..., n и xk xk хотя бы для одного x, имеет место неравенство f (x ) f (x );

f (x) не убывает по x, если f (x ) f (x ). Легко видеть, что функция f (x) убывает (или не убывает) по x в том и только в том случае, если она убывает (соответственно не убывает) по каждой переменной x при любых фиксированных значениях остальных переменных x1,..., xk1, xk+1,..., xm.

Один класс игр min (c) гарантируется равномерным ростом (c) на бесконечности 1.

Более тонкий признак существования min (c), полезный для прило жений, дается следующей леммой.

Лемма 2. Пусть существует точка c1 C такая, что i (c1 ) (i = 1,..., n), и точка c2 C такая, что i (c2 ) 0 (i = 1,..., n). Тогда функция (c) на C достигает своего минимума.

Лемма 2 может быть усилена, если заменить в ее формулировке i (c) на модифицированную функцию-индикатор i (c) (см. (2)).

Доказательство этой леммы в усиленной форме также дано в При ложении I.

Приступим к описанию автоматов, приспособленных для роли иг рока, и к исследованию процесса их взаимодействия в игре рас сматриваемого класса. Принцип действия автомата, осуществляюще го разумный выбор величины ci, подсказывается самим определени ем функции-индикатора i (c): автомат должен увеличивать ci при i (c) 0 и уменьшать ci при i (c) 0. Конечно, при этом предпола гается, что автомату доступна информация о текущей величине i (c).

Отметим, однако, что этим и ограничивается вся нужная автомату ин формация о текущей ситуации c;

автомат может быть не осведомлен не только о выборе c1,..., ci1, ci+1,..., cn, осуществленном другими участниками игры, но даже и о числе этих участников.

Для того чтобы дать формальное описание тактики автомата-игро ка, нужно прежде всего доопределить способ поведения i-го игрока на концах интервала [ai, bi ]. С этой целью удобно несколько видоизменить функцию-индикатор:

0, если ci = ai, i (c) 0 или ci = bi, i (c) 0, i (c) = (2) i (c) во всех остальных случаях.

Модифицированная функция-индикатор (2) по-прежнему положи тельна при ci ci (c) и отрицательна при ci ci (c), но к тому же (в от личие от i (c)) функция i (c) всегда обращается в нуль при ci = ci (c).

Поэтому точка c является точкой Нэша в том и только в том слу чае, если i (c ) = 0 (i = 1,..., n). Теперь можно записать тактику i-го автомата–игрока в форме простейшего дифференциального соотноше ния ci (t) = i (c(t)).

() Вид функции (2) гарантирует, что переменная ci (t) никогда не вый дет за пределы допустимого интервала [ai, bi ]. Система уравнений () для i = 1,..., n описывает процесс взаимодействия автоматов в игре.

1 А именно, как нетрудно видеть, min (c) достигается в конечной точке c, если для любого A существует R = R(A) такое, что (c) A при c R.

52 II. Качественные модели сложных систем Легко видеть, что точка c является стационарной точкой этой си стемы в том и только в том случае, если c есть точка Нэша.

Следующая теорема утверждает, что такая точка (единственная в силу теоремы 1) глобально устойчива 1.

Теорема 2. Если точка Нэша c существует, то все траектории системы () сходятся к c.

Доказательство этой теоремы приведено в приложении II.

Можно также показать, что если точка Нэша не существует, то все траектории c(t) системы () уходят в бесконечность:

c(t) при t.

Отметим, что динамический процесс () во многом подобен извест ным итеративным (дискретно-шаговым или непрерывным) процеду рам поиска (в частности, градиентному алгоритму Эрроу–Гурвица по иска седловой точки [26]).

2. Примеры: модель рынка и модель системы массового обслуживания Рассмотрим теперь применение изложенных результатов к некото рым модельным задачам о взаимодействии в коллективах. Для нача ла обсудим с этой точки зрения модель процесса установления цен на рынке, описанную в [79]. Схема этой модели такова. Имеется n продав цов, торгующих одинаковым товаром;

i-й продавец характеризуется двумя величинами: qi количеством товара, которое у него имеется для сбыта в единицу времени, и ci ценой, по которой он продает свой товар (i = 1,..., n). Величина qi 0 фиксирована, а величина ci может назначаться продавцом по его усмотрению (0 ci ). Мак симальное количество денег, которое может выручить i-й продавец в единицу времени при условии, что он распродает свой товар полно стью равно i = ci qi. Однако это возможно лишь в том случае, если покупательский спрос i, которым пользуется в единицу времени то вар этого продавца, не ниже его предложения i. С учетом того, что спрос может быть и ниже предложения, выручка продавца в единицу времени может быть представлена как min{i, i }.

1 Под глобальной устойчивостью здесь понимается сходимость решений системы дифференциальных уравнений к точке равновесия при произвольных допустимых начальных данных. Из доказательства теоремы 2 видно, что система () также и асимптотически устойчива в целом (т.е. не только глобально устойчива, но и устойчива по Ляпунову).

Один класс игр В [79] рассматриваются некоторые простейшие модельные пред ставления о механизме формирования покупательского спроса. На ос нове этих представлений получены выражения для покупательского спроса как функции рыночных цен. Например, покупательская такти ка попарного сравнения цен порождает спрос у i-го продавца, опре деляемый выражением n (cj ci ), i (c) = (3) j= j=i где постоянная, (t) непрерывная возрастающая функция, та кая, что () = 0, (+) = 1, (x) + (x) = 1.

Тактика продавца, рассмотренная в [79], связывает изменение цены продавцом с величиной избыточного спроса (разностью между спро сом i и предложением i ), а именно ci = i (c) i (c).

(4) Модель процесса регулирования цен, основанного на величине из быточного спроса, в общей форме исследуется в [26]. В этой модели принят подход, основанный на постулировании определенных свойств спроса как функции рыночных цен. Поступая подобным же образом, сформулируем некоторые требования к функциям спроса и построим на их основе игровую модель рынка, в известном смысле обобщаю щую модель из [79].

Рассмотрим n игроков- продавцов, и пусть снова в единицу вре мени i-й продавец поставляет на рынок количество товара qi и продает его по цене ci. Пусть спрос, которым пользуется (в единицу времени) товар i-го продавца, составляет величину i = i (c). Будем предпола гать, что i (c) (i = 1,..., n) неотрицательные непрерывные функ ции, удовлетворяющие требованиям индивидуальной и групповой кон трамонотонности. Содержательный смысл этих требований состоит в следующем. Контрамонотонность функции спроса i (c) означает, что спрос покупателей на товар у i-го продавца уменьшается при повыше нии цены на товар, но во всяком случае не уменьшается при повыше нии цены на товар у другого продавца 1.

Аналогично, групповая контрамонотонность функций спроса i (c) означает, что суммарный спрос I (c) на товары какой-либо группы продавцов I может только увеличиться, если продавцы, не входящие 1 Последнее условие не кажется чрезмерно стеснительным, даже если учесть, что разные продавцы торгуют разными товарами (в этом случае предполагается валовая заменимость товаров [26]).

54 II. Качественные модели сложных систем в эту группу, повысят свои цены, но этот спрос уменьшится, если будут повышены цены внутри группы 1.

Легко убедиться, что функция избыточного спроса i (c) = i (c) i (c) (i (c) = ci qi ) также обладает всеми свойствами контрамоно тонности 2.

Заметим теперь, что i (c) может рассматриваться как функция индикатор для i-го игрока. Действительно, платежной функцией для i-го игрока-продавца служит выручка Ki (c) = min{i (c), i (c)}. По скольку функция i (c) убывает по ci, а i (c) возрастает по ci, то, как нетрудно видеть, максимум величины Ki (c) по ci при любых c1,..., ci1, ci+1,..., cn соответствует тому значению ci = ci (c1,...

..., ci1, ci+1,..., cn ), при котором i (c) = i (c). Далее, при ci ci (c) i (c) i (c), а при ci ci (c) i (c) i (c). Все это и означает, что i (c) = i (c) i (c) является функцией-индикатором i-го игрока (и, более того, совпадает с модифицированной функцией-индикатором i (c)).

Чтобы доказать существование и единственность точки Нэша в n |i (c)| на построенной игре, исследуем поведение функции (c) = i= бесконечности. В силу групповой контрамонотонности функций i (c) n полный покупательский спрос на рынке (c) = i (c) удовлетворяет i= условию (c) (0) для всех c 0. С учетом этого имеем цепочку неравенств n n n n |i (c) ci qi | ci qi ci (0).

(c) = i (c) qмин i=1 i=1 i=1 i= n Приняв в качестве нормы вектора c = ci, получаем, что (c) i= равномерно стремится к бесконечности при c, откуда, как уже от мечалось, следует существование точки минимума c у функции (c).

По теореме 1 c = c является единственной точкой Нэша в данной игре, т. е. единственной точкой, в которой i (c) = 0 (i = 1,..., n).

Поскольку в данной игре i (c) i (c), то c является единствен ной точкой, в которой i (c) = 0 (i = 1,..., n). Это означает, что 1 Нетрудно проверить, что функции спроса (3) удовлетворяют всем перечислен ным требованиям, за исключением случая, когда выделенная группа включает в n себя всех n продавцов: в этом случае I (c) = i (c) = const.

i= 2 Это утверждение справедливо для функций (3) уже без каких-либо оговорок.

Один класс игр c = (c,..., c ) представляет собой единственную систему цен, кото 1 n рая обеспечивает равенство спроса и предложения у каждого продав ца. Далее, согласно теореме 2, к точке c сходится процесс регулиро вания цен (). В силу сказанного c = (c,..., c ) может быть названа 1 n системой равновесных цен. Таким образом, установление равновесных цен в модели рынка, предусматривающей использование продавцами лишь ограниченной, локальной информации, может быть понято с иг ровой точки зрения.

Перейдем от модели рынка к другой модели, связанной с коллек тивным взаимодействием, к системе массового обслуживания, со стоящей из нескольких параллельно работающих устройств. Пусть к i-му обслуживающему устройству идет непрерывный поток клиентов с интенсивностью i 0, а пропускная способность этого устройства равна i 0 (i = 1,..., n) (величины i и i имеют размерность чис ла клиентов в единицу времени). Пусть i = i (t) и i = i (t). Тогда длина очереди (число ожидающих клиентов) у i-го обслуживающего устройства равна t [i (t) i (t)]dt, ci (t) = ci (0) + (5) где если ci (t) = 0 и i (t) i (t) 0, 0, [i (t) i (t)] = i (t) i (t) во всех остальных случаях.

Предположим, что мгновенная интенсивность потока клиентов, встающих в очередь к i-му обслуживающему устройству, представля ет собой функцию от текущих длин всех очередей: i = i (c1,..., cn ) (i = 1,..., n). Это представление является полным аналогом представ ления о мгновенных функциях спроса, зависящих от рыночных цен.

Можно представить себе механизм выбора обслуживающего устрой ства клиентом, например, сходным с механизмом выбора продавца покупателем в [79];

в частности, тактика типа попарного сравнения длин очередей приводит к интенсивности потока клиентов вида (3).

Отвлекаясь, как и ранее, от способа образования функций i (c), вновь наложим на эти функции требования индивидуальной и груп повой контрамонотонности, истолкование которых совершенно анало гично истолкованию этих требований в модели рынка. Кроме того, до полнительно постулируем еще одно условие: для каждого i i (c) при ci равномерно по c1,..., ci1, ci+1,..., cn. Содержательный 1 Идеализированное представление о непрерывном потоке потоке покупате лей использовалось в [79] при описании механизма покупательского спроса.

56 II. Качественные модели сложных систем смысл этого условия состоит в том, что клиентам приписывается опре деленная нетерпеливость : клиент не только предпочитает, вообще говоря, более короткую очередь более длинной, но и может вообще от казаться от обслуживания из-за слишком длинных очередей. Наконец, будем считать для простоты i = const = 0 для каждого i = 1,..., n.

i Дадим теперь игровую интерпретацию рассматриваемой модели массового обслуживания. Построим формальную игру n лиц, в кото рой i-й игрок выбирает значения собственной переменной ci на интер вале [0, ], стремясь добиться наибольшей близости величины i (c) к 0. Легко видеть, что функцией-индикатором i-го игрока может слу i жить функция i (c) = i (c) 0 и что совокупность этих функций i для i = 1,..., n обладает свойством групповой контрамонотонности.

Введем модифицированную функцию-индикатор при ci = 0 и i (c) 0, 0 i i (c) = (6) i (c) 0 во всех остальных случаях i и рассмотрим процесс игры ci = i (c) (i = 1,..., n). (7) По предположению i (c) 0 при ci 0 равномерно по чужим переменным и, следовательно, для каждого i = 1,..., n существует ci такое, что при ci = ci i (c) = i (c) 0. Заметим теперь, i что условия усиленной леммы 2 выполняются, если положить c1 = = 0 и c2 = c = (1,..., cn ). В силу леммы 2, теорем 1 и 2 отсюда c вытекает существование, единственность и глобальная устойчивость точки Нэша c. Отметим, что, очевидно, i (c ) 0 для всех i = i = 1,..., n.

Возвращаясь к задаче о параллельно работающих обслуживающих устройствах, представим себе, что i-му устройству сопоставлен игрок, ответственный за его работу и стремящийся обеспечить реальную за грузку i этого устройства, наиболее близкую к номинальной загрузке 0. Этот игрок пытается добиться своей цели, сообщая клиентам зна i чение величины ci (t), изменяющейся в соответствии с соотношениями (7), (6).

Из проведенного формального анализа игры вытекает, что, сле дуя тактике (7), каждый игрок в пределе приходит к равновесию, добившись либо в точности номинальной загрузки своего устройства (i = 0 ), либо частичной загрузки (i 0 ), увеличить которую он i i уже не может (в последнем случае c = 0). Более того, возникающая i ситуация равновесия в игре в определенном смысле целесообразна с Один класс игр точки зрения системы в целом: в точке c достигается минимум сум n |i (c) 0 |.

мы невязок (c) = i i= Уравнения (6), (7) представляют собой не что иное, как уравне ния длин очередей в исходной системе массового обслуживания. По этому аппарат очередей как раз и является тем механизмом, кото рый как бы реализует целенаправленную тактику (6), (7), ведущую к упорядочению распределения клиентов между отдельными обслужи вающими устройствами. В результате получается загрузка системы, наиболее близкая к номинальной (в смысле минимума суммы невязок n i=1 |i i |). Следует, однако, помнить, что это справедливо лишь в рамках указанного выше механизма поведения клиентов, ориенти рующегося на длины очередей (i = i (c) (i = 1,..., n)). Перераспре деление потоков с помощью аппарата очередей может приводить к неоправданным потерям клиентов, которые покинут систему необ служенными, хотя часть обслуживающих устройств будет оставаться загруженной не полностью.

ПРИЛОЖЕНИЯ I. Доказательство леммы 1. В силу условий леммы можно разбить множество индексов {i} = {1,..., n} на два подмножества I и I таким образом, что при i I ci ci и i (c) 0, при i I ci ci и i (c) 0.

Рассмотрим сначала подмножество I. Очевидно, |i (c)|.

i (c) = (П.1) iI iI В силу групповой контрамонотонности функций i (c) (i = 1,..., n) имеет место неравенство i (c) i (c ), (П.2) iI iI причем, если хотя бы для одного i ci ci, то в (П.2) имеет место строгое неравенство. Наконец, |i (c )|.

i (c ) (П.3) iI iI 58 II. Качественные модели сложных систем Сопоставляя (П.1), (П.2) и (П.3), получим |i (c)| |i (c )|, (П.4) iI iI причем, если хотя бы для одного i ci ci, то неравенство (П.4) строгое. Аналогичным образом получаем |i (c)| = |i (c )|, i (c) i (c ) (П.5) iI iI iI iI что совместно с (П.4) дает n n |i (c)| |i (c )|, (П.6) i=1 i= причем, если c = c, и, значит, хотя бы для одного i либо ci ci, либо ci ci, то неравенство (П.6) строгое, т. е. (c) (c ).

Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. Пусть c точка Нэша, т. е. (c ) = = 0 (через обозначаем вектор с компонентами 1,..., n ). Тогда для любой точки c C выполняются неравенства (ci c )i (c ) i (i = 1,..., n). Действительно, если i (c ) 0 для некоторого i, то согласно определению точки Нэша при этом c = bi и, значит, заведомо i ci c ;

аналогично, если i (c ) 0, то ci c. Следовательно, в силу i i леммы 1 при c = c (c) (c ). Это и означает, что точка c есть единственная точка минимума функции (c) в C.

Обратно, пусть c точка минимума (c). Допустим, что c не является точкой Нэша, т. е. (c ) = 0. Возьмем c = (c ), где 0, и выберем столь малым, что c = c +c C и (в силу непрерывности (c)) i (c)i (c ) 0 (i = 1,..., n). Тогда и i (c) i (c ) 0 (i = 1,..., n), откуда i (c)ci 0, т. е. (c ci )i (c) 0 (i = 1,..., n). В силу леммы i 1 (c ) (c), что противоречит предположению о минимальности (c ).

Таким образом, точка минимума функции (c) есть точка Нэша, а точка Нэша есть точка минимума (c), причем точка минимума (c) единственна.

Теорема доказана.

Доказательство леммы 2. Покажем сначала, что c1 c2 (i = i i = 1,..., n). Допустим противное и обозначим через I0 множество всех тех индексов i, для которых c1 c2. Так как при i I0 заведомо i i Один класс игр c1 ai и c2 bi, то при этом из i (c1 ) 0 следует i (c1 ) 0, а из i i i (c2 ) 0 следует i (c2 ) 0. Поэтому i (c1 ) i (c2 ), iI0 iI что противоречит групповой контрамонотонности функций i (c) (i = = 1,..., n).

Таким образом, c1 c2 ;

обозначим через S непустое подмножество S = {c: c1 c c2 } множества C. Пусть c произвольная точка из C;

поставим ей в соответствие точку c = c(c) из S следующим образом:

ci = c1 при ci c1 (i I ), i i при c1 ci c2 (i I= ), ci = ci i i ci = c2 при ci c2 (i I ), i i одновременно введя соответствующее разбиение индексов I, I=, I.

Рассмотрим случай i I. Учитывая, что для выделенного индекса i ci = c1, а для всех остальных индексов j = i cj c1, в силу инди i j i (c1 ).

видуальной контрамонотонности функции i (c) имеем i (c) Далее, так как при i I заведомо c1 ai, то i (c1 ) i (c1 ). А по i скольку по условию леммы i (c1 ) 0 для любого i, то окончательно получаем, что при любом i I i (c) 0. Аналогично, при любом i I i (c) 0.

Теперь легко видеть, что при всех i = 1,..., n выполняется условие (ci ci ) i (c) 0, откуда по лемме 1 (c) (c). Значит, и подавно (c), где = min (c) = (c ) минимум непрерывной функ cS ции (c) на замкнутом ограниченном множестве S, достигающийся в некоторой точке c S C. В силу произвольности точки c C отсюда заключаем, что минимальное значение функции (c) на всем множестве C существует, равно и достигается в точке c.

Лемма доказана.

II. Рассмотрим систему ci = i (c) (i = 1,..., n). () Доказательство теоремы 2. Пусть c точка Нэша или, что то же самое, точка покоя системы (). Рассмотрим функцию F (c) = n = i=1 |ci c |. Возьмем произвольную точку c C и построим для i нее разбиение множества индексов {i} на три подмножества I, I, I= следующим образом:

если ci c или ci = c, i (c) 0, i I, i i если ci c или ci = c, i (c) 0, i I, (П.7) i i если ci = c, i (c) = 0.

i I=, i 60 II. Качественные модели сложных систем Выпустим из точки c траекторию системы () c(t) (c(0) = c) и рас смотрим изменение функции F (c) вдоль этой траектории: F = F (c(t)).

Нетрудно видеть, что правосторонние производные величин |ci c | по i времени в силу системы () существуют и равны в точке t = 0 соот ветственно ci при i I, d |ci c | = ci при i I, i dt при i I=.

Поэтому правосторонняя производная функция F (c(t)) по времени существует и равна при t = n d |ci c | = ci i (c) F (c) = ci = i (c). (П.8) i dt i=1 iI iI iI iI Рассмотрим подмножество индексов I. При i I либо ci c i и, значит, заведомо ci ai, и поэтому согласно определению функций i (c), либо ci = c, но тогда i (c) 0 и, значит, i (c) = i (c) i (c) i = i (c). Следовательно, i (c) i (c). (П.9) iI iI Далее, в силу групповой контрамонотонности функций i (c) (i = = 1,..., n) имеет место неравенство i (c ), i (c) (П.10) iI iI причем, если хотя бы для одного i ci c, то неравенство (П.10) i строгое. Наконец, при i I заведомо c bi и, значит, i (c ) i (согласно определению точки Нэша c ), так что i (c ) 0. (П.11) iI Объединяя (П.9), (П.10), и (П.11), получаем i (c ) i (c) i (c) 0, (П.12) iI iI iI причем, если хотя бы для одного i имеем ci c, то среднее неравен i ство в (П.12) строгое.

Аналогичным образом получаем Один класс игр i (c ) i (c) i (c) 0, (П.13) iI iI iI причем, если хотя бы для одного i имеет место ci c, то среднее i неравенство в (П.13) строгое. Подставляя (П.12) и (П.13) в (П.8) и учитывая, что при c = c хотя бы для одного i либо ci c, либо i ci c и, значит, по крайней мере одно из средних неравенств (П.12), i (П.13) строгое, получаем i (c) 0 при c = c.


i (c) F (c) (П.14) iI iI Таким образом, функция F (c) (которая служит мерой отклонения точки c от c ) убывает вдоль любой траектории c(t) системы () при c(t) = c. Для того чтобы доказать, что, более того, F (c(t)) 0, т.е.

c(t) c при t, нужно усилить 1 оценку (П.14) производной F (c). Согласно (П.14) F (c) (c), (П.15) где i (c) (c) = i (c), (П.16) iI iI причем (c) 0 при c = c. Подчеркнем, что разбиение множества индексов (П.7) зависит от точки c: I = I (c), I = I (c), I= = I= (c);

значит, зависимость функции (П.16) от c обусловлена не только функ циями i (c) (i = 1,..., n), но и зависимостью разбиения I, I, I= от c. Поэтому функция (c), вообще говоря, разрывна, что препятствует непосредственному применению теоремы Ляпунова для установления сходимости c(t) c. Однако можно обнаружить следующее доста точное для доказательства сходимости c(t) c свойство функции (c): для любой области C, = {c: F (c) }, где 0 и, для всех c C,.

существует 0 такое, что (c) Допустим противное: для некоторой области C, ( 0, ) найдется последовательность точек {ck }, ck C, (k = 1, 2,...), для которой (ck ) 0 при k. Рассмотрим соответствующую по следовательность разбиений множества индексов (П.7) {I (ck ), I (ck ), I= (ck )}. Так как число различных разбиений множества индексов {1,......, n} на три подмножества I, I, I= конечно, то хотя бы одно разбиение повторяется в этой последовательности бесконечно много 1 Если предположить непрерывную зависимость решений системы () от началь ных данных, то оценки (П.14) достаточно для установления сходимости c(t) c на основании известной теоремы об асимптотической устойчивости (см., например, [12]).

62 II. Качественные модели сложных систем раз. Обозначим такое разбиение через I, I, I=. А так как ck C, замкнутая ограниченная область, то из {ck } (k = 1, 2,...), где C, можно выделить подпоследовательность {k } такую, что а) I (k ) c c I, I (k ) I, I= (k ) I= для всех k = 1, 2,... и б) существует c c lim ck = c C,. 1 Рассматривая условия, фигурирующие в опреде k лении разбиения (П.7), полагая в (П.7) c = ck и переходя к пределу по k, получаем, что ci c i I, при i ci c i I, при i ci = c i I=.

при i Рассуждая, как и ранее при выводе правого неравенства в (П.14) (учитывая, что c C, и, значит, c = c ), получаем i () c i () 0.

c (П.17) iI iI Введем обозначение i (c) (c) = i (c). (П.18) iI iI Функция (П.18) отличается от (П.16) тем, что в (П.18) разбиение I, I, I= фиксировано, и поэтому (c), очевидно, непрерывная функ ck ) = (k ) для всех k = 1, 2,... Поэтому ция. Заметим, что ( c c lim (k ) = lim (k ) = 0.

c (П.19) k k Но в силу непрерывности (c) c c lim (k ) = (). (П.20) k Из (П.19) и (П.20) c () = 0, что противоречит (П.17). Следовательно, принятое допущение невер, существует = (, ) но, и для любых и, для всех c C,.

такое, что (c) Завершим теперь доказательство теоремы, показав, что для произ вольной траектории c(t) системы () c(t) c при t. Допустим противное;

тогда F (c(t)) 0 при t для некоторой траектории 1 Однако нельзя гарантировать, что I () = I, I () = I, I= () = I=.

c c c Модель хаотического обмена c(t), а так как F (c(t)) убывает по t, то найдется 0 такое, что F (c(t)) F (c(0)) при всех t 0. Положим = F (c(0)) и возьмем при всех t = (, );

тогда F (c(t)) (c(t)) 0 и, значит, F (c(t)) F (c(0)) t при t, что невозможно уже из-за неотрицательности F (c).

Теорема полностью доказана.

Модель хаотического обмена ресурсами и аналогии между термодинамикой и экономикой Достаточно широким и интересным классом процессов, протекаю щих в экономических, социологических, биологических и физических системах, являются процессы обмена, распределения и перераспреде ления ресурсов. Задача выявления общих механизмов обмена и распре деления, свойственных объектам различной природы, до настоящего времени в явной форме не ставилась, хотя именно наличием таких механизмов можно объяснить, например, возможность физического моделирования некоторых задач линейного и нелинейного програм мирования и математической экономики [24, 74]. К сожалению, из вестные экономико-математические модели обмена и распределения ресурсов (см., например, [26]) имеют чисто феноменологический ха рактер, проявляющийся, в частности, в том, что существование так называемых функций полезности просто постулируется, а не обос новывается свойствами структуры взаимодействия между элементами системы. Кроме того, в этих моделях рассматривались лишь процессы экономического обмена, а отдельные попытки установления аналогий между экономическими и термодинамическими процессами (см., на пример, [161]) хотя и интересны, но не могут быть признаны полно стью удавшимися: во-первых, эти аналогии не продвинуты настолько далеко, чтобы можно было считать аналогичными сами механизмы процессов, и, во-вторых, они также имеют чисто феноменологический характер. Что касается процессов обмена ресурсами в биологии и со циологии, то формализованных моделей таких процессов почти нет;

1 V Всесоюзное совещание по проблемам управления. Рефераты докладов. М., 1971. С. 207–209 (в соавторстве с Л.И.Розоноэром).

64 II. Качественные модели сложных систем здесь можно выделить интересные результаты для одного модельного социологического процесса обмена, полученные Б.Г.Питтелем в [68].

Процессы обмена, в которых распределение ресурсов полностью децентрализовано и осуществляется исключительно в актах случай ных локальных взаимодействий между элементами системы, можно назвать процессами хаотического обмена ресурсами. Уравнения, опи сывающие такие процессы на микроскопическом уровне (т.е. на уровне взаимодействия между элементами), должны отражать, во-первых, факт сохранения полных количеств ресурсов (т.е. иметь интегралы движения ) и, во-вторых, отражать хаотический характер взаимо действия между элементами. Поэтому процессы хаотического обмена ресурсами во многих отношениях аналогичны процессам, рассматри ваемым в статистической физике (где роль ресурсов играют такие со храняющиеся экстенсивные величины, как энергия, число частиц и т.п.). Целью настоящей работы является выявление тех общих черт хаотических процессов обмена и распределения, которые свойственны как физическим процессам, так и процессам иной природы. Естествен но поэтому, что в работе используются понятия и методы статистиче ской физики и термодинамики (см., например, [30]).

В первой части работы рассмотрена модель процесса хаотического обмена ресурсами, основанная на предположении о том, что элемен ты соглашаются на обмен с вероятностью, пропорциональной неко торым априорно заданным предпочтениям этих элементов (идея о существовании такого рода предпочтений высказана и использована в [68]). Поведение такой системы описывается марковским случайным процессом;

показывается, что финальное распределение вероятностей этого процесса аналогично известному в статистической физике мик роканоническому распределению. Далее изучается равновесное состо яние системы, вводится энтропия финального распределения и извест ными в статистической физике методами показывается, что равновес ное распределение ресурсов по элементам максимизирует энтропию при заданных значениях полных количеств ресурсов. Вводится поня тие оценки ресурса системой (цены) как производной равновесной эн тропии по количеству ресурса и показывается, что при контакте двух систем оценки ресурсов этими системами выравниваются, а суммар ная энтропия систем достигает максимума. Этим завершается переход от микроскопического описания системы к макроскопическому ( тер модинамическому ) описанию. Оценка (цена) ресурса оказывается тем самым аналогичной таким интенсивным величинам в термодинамике, как величина, обратная температуре, химический потенциал и т. п.

Результаты, полученные в первой части работы, могут рассматри ваться как микроскопическая основа для построений аналогий меж Модель хаотического обмена ду термодинамикой и феноменологическими моделями, изучаемыми в математической экономике. Установлению таких аналогий посвяще на вторая часть работы. Исходным пунктом здесь является аналогия между основным предположением экономических моделей о максими зации полного дохода (или функции полезности), с одной стороны, и, с другой стороны, термодинамическим принципом, согласно которо му суммарная равновесная энтропия систем, находящихся в контакте, максимизируется при заданных полных значениях экстенсивных вели чин.

В предлагаемой системе аналогий доход (или значение функции полезности) соответствует равновесной энтропии;

подлежащие произ водству, обмену или распределению ресурсы (товары) экстенсивным величинам в термодинамике;

оценки (цены) товаров интенсивным величинам. Прибыль, получаемая в процессе распределения ресурсов (или производства товаров), соответствует термодинамическому по тенциалу (с обратным знаком);

максимизация прибыли при фиксиро ванных ценах в условиях бесконечно емкого рынка соответствует ми нимизации термодинамического потенциала системы, находящейся в термостате. Равновесие фаз в термодинамике интерпретируется эконо мически как равновесие между различными способами производства;

равенство химических потенциалов фаз означает при этом равенство прибылей, приходящихся на одну производственную ячейку.

Аналогия между термодинамикой и моделями обмена может быть существенно углублена, если рассмотреть некоторый выделенный ( базисный ) товар, сопоставить его энергии и ввести понятие эко номической работы как количества базисного товара, отданного системой окружающей среде в процессе его обмена на другие товары.

При этом количество тепла (в отличие от работы) соответствует коли честву базисного товара, переданного системе из внешней среды за счет его обмена на некоторые неучтенные товары. Использование аналогов известных в термодинамике утверждений о коэффициенте полезного действия термодинамического цикла позволяет дать оценку максимального количества базисного товара, которое может быть извлечено из системы путем обмена лишь за счет изменения мак роскопической обстановки, без нарушения хаотического характера взаимодействия внутри системы.


Дальнейшие феноменологические аналогии обнаруживаются при сопоставлении условий равновесия в термодинамической системе и в экономической модели типа модели многопродуктового рынка. Сово купность величин, описывающих подобную систему, распадается на пары взаимно двойственных (экстенсивных и интенсивных) перемен ных. Условием устойчивости равновесия является монотонная зави 66 II. Качественные модели сложных систем симость между переменными в каждой такой паре при фиксации во всех остальных парах по одной переменной. Это условие в диффе ренциальной форме сводится к знакоопределенности главных миноров соответствующей функциональной матрицы. Последнее для термоди намической системы эквивалентно вогнутости энтропии как функции состояния, а для рыночной модели известно как условие совершенной устойчивости по Хиксу [11] и сводится к вогнутости целевых функций спроса и предложения (без бюджетных ограничений ). Для таких си стем при надлежащей формулировке оказывается справедливым из вестный в физике принцип Ле-Шателье [30] (принцип компенсации возмущений).

Результаты работы могут быть использованы в тех областях теории и практики управления, в которых рассматриваются процессы обмена и распределения ресурсов, содержащие элемент стихийности. В част ности, эти результаты проясняют механизмы формирования функций полезности и оценок ресурсов, а также устанавливают верхнюю гра ницу количества ресурсов, которое может быть извлечено из системы чисто макроскопическим управлением без вмешательства во внутрен ние акты взаимодействия между элементами.

Модели совместного функционирования многих целенаправленных элементов. I Рассматривается формализованная схема функционирования вза имосвязанных элементов, преследующих индивидуальные цели. Эта схема охватывает ряд моделей теории игр и поведения автоматов, математической экономики, распределения ресурсов, массового об служивания. В первой части работы формулируется общая модель и вводятся основные предположения о характере взаимодействия эле ментов в системе. Устанавливаются теоремы о существовании и единственности равновесия в модели и о его асимптотической до стижимости в процессах независимого целенаправленного поведения элементов.

1 Автоматика и телемеханика. 1972. №11. С. 92–110.

Модели совместного функционирования Введение Системы, изучаемые в теории управления и в смежных областях, нередко можно рассматривать как совокупности взаимосвязанных эле ментов, каждый из которых наделен собственной целью. Отдельный элемент обычно характеризуется некоторым стандартным правилом (алгоритмом) целенаправленного поведения, основанным на использо вании ограниченной информации о системе в целом. Если несколько таких элементов функционируют одновременно, причем между ними имеются достаточно сильные взаимодействия, то стандартные прави ла индивидуального целенаправленного поведения элементов могут не обеспечивать им достижения искомых целей. Возникает вопрос: при каких условиях все же можно гарантировать в такой системе дости жимость целей всех элементов?

Подобная постановка в той или иной форме возникала уже в за дачах управления техническими объектами в теории многосвязного регулирования [61]. Сходные задачи часто появляются в таких обла стях, как теория игр и коллективное поведение автоматов [16, 26, 66, 77], математическая экономика и задачи распределения ресурсов [16, 26, 34, 66, 198], системы массового обслуживания [34, 66] и др. Насто ящая работа посвящена анализу некоторых характерных для этих об ластей типов взаимодействий между целенаправленными элементами, при которых обеспечивается их успешное совместное функционирова ние, хотя каждый элемент преследует свою цель и пользуется лишь косвенной информацией о состоянии всей системы.

В основу общей модели, используемой в этой работе, положено представление о функции-индикаторе целенаправленного элемента, опирающееся на одно из основных понятий теории автоматического регулирования управление по рассогласованию. Рассмотрим систе му управления техническим многомерным статическим объектом с n регулирующими воздействиями ci и n соответствующими регулиру емыми параметрами объекта fi = fi (c), где c вектор (c1,..., cn ).

Пусть назначение i-го регулятора, с которого на объект поступает воз действие ci, состоит в поддержании заданного значения fi0 параметра fi (i = 1,..., n). Тогда можно считать i-й регулятор целенаправлен ным элементом, целью которого является обращение в нуль величи ны рассогласования i (c) = fi0 fi (c). Если fi (c)/ci 0, то i (c) представляет собой сигнал отрицательной обратной связи для регуля тора ci и принцип действия регулятора по рассогласованию сводится к увеличению ci при i (c) 0 и к уменьшению ci при i (c) 0;

для астатического регулятора соответствующее простейшее динамическое уравнение имеет вид ci = i (c). Основные вопросы при изучении систе 68 II. Качественные модели сложных систем мы n независимо действующих регуляторов (связанных между собой через объект управления) такого типа это вопросы о существова нии состояния равновесия i (c) = 0 (i = 1,..., n) и об устойчивости динамического процесса ci = i (c) (i = 1,..., n).

В описанном примере каждый i-й элемент-регулятор характеризу ется величиной рассогласования функцией i (c);

будем называть ее функцией-индикатором i-го элемента, имея в виду, что цель этого эле мента сводится к обращению i (c) в нуль, а текущая величина i (c) (по существу, ее знак) указывает i-му элементу, каким образом для этого нужно изменять ci. Приведем примеры систем иной природы, кото рые можно представить как системы из целенаправленных элементов такого же типа.

Рассмотрим экономическую систему, в которой циркулируют n ти пов продуктов;

объем потребления i-го продукта равен i, а объем выпуска i. Пусть i и i зависят от n управляющих параметров c1,..., cn (роль ci может играть, например, интенсивность производ ства i-го продукта либо его цена);

предположим, что при увеличении ci избыточный спрос i (c)i (c) на i-й продукт уменьшается. Пусть цель управляющего органа, распоряжающегося выбором ci, заключа ется в обеспечении равенства спроса и предложения по i-му продукту.

Тогда этот орган можно представить как целенаправленный элемент с функцией-индикатором i (c) = i (c) i (c).

Еще один пример: рассмотрим игру n лиц, в которой каждый i-й иг рок распоряжается выбором числовой переменной ci, стремясь увели чить свой выигрыш Ki = Ki (c). Предположим, что платежная функ ция Ki (c) гладкая и при любых фиксированных cj (j = i) имеет един ственный максимум по ci ;

точка максимума определяет положение цели i-го игрока (его наилучший ответ ci на действия партнеров cj (j = i)). Очевидно, что цель i-го игрока здесь также можно, подобно предыдущему, описать функцией-индикатором i (c) = Ki (c)/ci.

Во всех приведенных примерах целенаправленный элемент мож но рассматривать как автомат, стремящийся обратить в нуль число вую функцию-индикатор. Если единственный вид информации о си стеме, доступный i-му элементу, это текущее значение его функции индикатора i (ни точное положение его цели ci, ни состояния cj дру гих элементов j = i ему не известны), то успешность совместного функционирования таких элементов будет зависеть от того, как из меняется каждая функция-индикатор при изменении состояний эле ментов, взаимодействующих с данным. Оказывается, что многие мо дели из самых разных областей, несходные внешне, но обладающие однотипным характером взаимодействий между элементами, подда ются анализу (по крайней мере, в простых формах) едиными метода Модели совместного функционирования ми. Исследованию соответствующей общей модели с приложением к анализу конкретных примеров и посвящена настоящая работа.

1. Постановка задачи Пусть каждому i-у элементу (i = 1,..., n) сопоставлена число вая переменная ci состояние этого элемента или непосредствен но управляемая им величина. Состояние системы в целом описыва ется вектором c = (c1,..., cn ). Будем считать, что цель i-го эле мента заключается в том, чтобы обратить в нуль некоторую число вую величину i, зависящую, вообще говоря, от состояния всех эле ментов системы: i = i (c1,..., cn ) = i (c). Величину ci такую, что i (c1,..., ci1, ci, ci+1,..., cn ) = 0, будем называть положением цели i го элемента;

очевидно, ci зависит, вообще говоря, от состояний cj всех остальных элементов j = i, так что ci = ci (c). Будем предполагать далее, что величина i (c) как функция от своей переменной ci при любых фиксированных чужих переменных cj (j = i) имеет следую щий характер:

0 при ci (c) ci, i (c) (1) 0 при ci (c) ci.

Такая функция названа в [34] функцией-индикатором 1. Знак sign i (c) указывает i-му элементу направление к цели на оси ci ;

абсо лютную величину |i (c)| можно рассматривать как меру удаленности i-го элемента от цели.

Приняв функцию-индикатор i (c) в качестве описания целенаправ ленного элемента i, предусмотрим возможность того, что i (c) не будет обращаться в нуль на всем допустимом интервале изменения перемен ной ci. Пусть ci выбирается из замкнутого интервала [ai, bi ], конечного или бесконечного. Предположим, что при некотором наборе cj (j = i) величина i (c) как функция от ci положительна (и, значит, предпи сывает i-му элементу увеличивать ci ) всюду на [ai, bi ]. При этом есте ственно различать два случая: 1) в случае конечного bi примем за положение цели i-го элемента ci (c) точку bi крайнюю из допусти мых точек;

2) в случае bi = + будем считать, что цель i-го элемента вообще недостижима.

Аналогично, если величина i (c) отрицательна всюду на [ai, bi ] как функция от ci, то в случае ai будем считать, что ci (c) = ai, а в случае ai = что цель i-го элемента недостижима. В соответствии с этим соглашением введем модифицированную функ цию-индикатор i (c):

1 Функция (c) заведомо удовлетворяет условию (1), если она монотонно убы i вает по ci при любых фиксированных cj (j = i).

70 II. Качественные модели сложных систем 0, если ci = ai, i (c) 0 или ci = bi, i (c) 0, i (c) = (2) i (c) во всех остальных случаях.

Положение цели ci (c) при этом всегда определяется как решение уравнения i (c1,..., ci1, ci, ci+1,..., cn ) = 0 относительно ci.

Пусть задано замкнутое прямоугольное множество допустимых со стояний системы C = {c|ai ci bi (i = 1,..., n)};

(3) здесь + (i = 1,..., n). Назовем состоянием ai bi равновесия системы такое состояние c C, в котором достигаются цели всех элементов: ci = ci (c) (i = 1,..., n), т.е. i (c) = 0 (i = 1,..., n). () Вопрос о существовании и единственности состояния равновесия в рассматриваемой системе целенаправленных элементов сводится к вопросу о существовании 2 и единственности решения системы алгеб раических уравнений () на множестве C.

Перейдем теперь к динамическому поведению целенаправленных элементов. Приведем стандартные правила изменения ci на [ai, bi ], которые используют лишь доступные элементу сведения текущее значение функции-индикатора i (c(t)) или даже только его знак. Эти правила реализуют естественный с точки зрения каждого отдельного элемента принцип движения в направлении своей цели по своей переменной ci на допустимом интервале [ai, bi ]. Простейшее правило такого рода задается дифференциальными уравнениями ci = i (c) (i = 1,..., n). () 1 Далее в статье рассматриваются несколько тесно связанных друг с другом уравнений, ссылки на которые имеют символьный вид (прим. составителей).

2 Факт существования равновесия иногда можно установить стандартным при емом представив состояние равновесия как неподвижную точку отображения c(c): C C. В самом деле, пусть каждая функция i (c) непрерывна и монотонно убывает по ci ;

тогда вектор-функция c(c) = (1 (c),..., cn (c)) определена и непре c рывна на C. Если при этом замкнутое множество C (3) ограничено, то в силу теоремы Брауэра [26, 198] искомая неподвижная точка отображения c(c): C C существует. Однако в случае неограниченного множества C, важном для прило жений, это рассуждение теряет силу.

Простой одномерный пример: n = 1, C = (, ) = R1, (c) = ec показывает, что на неограниченном множестве C равновесие действительно может не суще ствовать (в этом примере c не определено). Двумерный пример n = 2, C = R2, 1 (c) = c1 + c2 + 1, 2 (c) = c1 c2 показывает, что равновесие может не существо вать даже в том случае, если все функции ci (c) определены на всем множестве C.

Модели совместного функционирования Правило () предусматривает однозначную количественную зави симость между абсолютными величинами функции-индикатора | i (c)| и скоростью движения |ci |. Для содержательных задач такое требова ние нередко является слишком жестким, так как не все фигурирующие в модели величины могут быть измеримы количественно или управ ляемы в соответствии с количественным правилом (это особенно от носится к биологическим, экономическим и другим моделям, включа ющим описание поведения человека). Поэтому в общей модели важно иметь возможность использовать качественную реализацию прин ципа движения в направлении цели, связывающую лишь знаки вели чин ci (t) и i (c(t)), но не их модули:

sign ci = sign i (c) (i = 1,..., n). () Систему динамических уравнений () можно переписать эквива лентным образом как систему уравнений в контингенциях ci i (c) (i = 1,..., n), где i (c) = (0, ), если i (c) 0;

i (c) = {0}, если i (c) = 0, и i (c) = (, 0), если i (c) 0.

По-видимому, для описания систем, содержащих некоторый фак тор произвола, гибкие уравнения () могут быть приспособлены лучше, чем жесткие уравнения ();

последние более пригодны для описания детерминированных систем типа технических объектов 1.

При исследовании системы целенаправленных элементов, задан ных своими функциями-индикаторами, встают два основных вопроса:

1) о существовании и единственности равновесия;

2) о достижимости равновесия при стандартных правилах поведения элементов. Первый вопрос в рамках принятой модели сводится к исследованию системы алгебраических уравнений (), а второй к исследованию системы динамических уравнений () или (). Ответы зависят от свойств рас сматриваемых функций-индикаторов (1), (2) на допустимом множе стве (3), т.е. в конечном счете от характера взаимодействий между эле ментами. Изучению свойств функций-индикаторов с этой точки зре ния посвящены дальнейшие разделы работы.

В разделе 2 данной статьи вводятся три основные условия, налагае мые на функции-индикаторы и имеющие смысл своеобразных ограни 1 Можно рассматривать и другие типы жестких уравнений, более общие, чем (), например, ci = fi ( i (c)), ( ) где fi функции, сохраняющие знак : sign fi (x) = sign x. Очевидно, ( ) сводится к весьма частному случаю системы ().

72 II. Качественные модели сложных систем чений на степень взаимного влияния элементов. Далее в статье уста навливаются теоремы статики (существование и единственность рав новесия решения системы ()) и теоремы динамики (сходимость к равновесию процессов () и ()). Общие теоремы части I данной ра боты будут применены в части II к анализу примеров из различных областей, в том числе указанных во введении.

2. Условия на функции-индикаторы Далее в этой работе рассматриваются наборы непрерывных функ ций-индикаторов 1 (c),..., n (c), удовлетворяющие одному из форму лируемых ниже условий I–III. В приводимых формулировках c и c+ произвольные точки из C, а i (c) = i (c + c) i (c).

+c Условие I. Пусть c = 0. Возьмем разбиение множества индексов {1,..., n} на два подмножества I и I такое, что если i I, то 0, а если i I, то ci ci 0. Тогда должно выполняться неравенство i (c) i (c) 0 (c = 0). (4) iI iI В данной формулировке условия I разбиение на подмножества I и I, вообще говоря, неоднозначно: каждый индекс i такой, что ci = 0, можно отнести к любому из этих подмножеств. Если же взять другое, однозначное разбиение множества индексов для данного c = теперь уже на три подмножества I, I=, I : i I ci 0, i I= ci = 0, i I ci 0, то условие I можно записать в следующей эквивалентной форме:

i (c) |i (c)| i (c) + (c = 0). (5) iI iI iI= Еще одну эквивалентную запись условия I, удобную для дальней шего применения, можно получить, если воспользоваться многознач ной функцией Sign x, которая совпадает с однозначной функцией sign x при всех x = 0 (а именно равна +1 при x 0 и 1 при x 0) и отлича ется от sign x только при x = 0: Sign 0, по определению, принимает все значения из интервала [1, 1] (тогда как sign 0 = 0). Теперь условие I можно записать так:

n i (c)Sign ci 0 (c = 0) (6) i= (имеется в виду, что неравенство должно выполняться при всех воз можных значениях фигурирующих в нем многозначных функций).

Модели совместного функционирования Условие II. Пусть c = 0 и пусть |ck | = max |ci |. Тогда должно i выполняться неравенство k (c)ck 0 (c = 0). (7) Условие III. Пусть c = 0. Тогда должно выполняться неравенство n i (c)ci 0 (c = 0). (8) i= В дальнейшем, говоря об условии I, или II, или III, будем подразу мевать, что оно выполняется в каждой точке c C (если не оговорено другое).

Введенные условия I–III определяют три соответствующих класса наборов функций-индикаторов (1 (c),..., n (c)). Проанализируем, чем характерны выделенные таким образом классы. Прежде всего, легко видеть, что каждое из условий I–III предусматривает, в частности, мо нотонное убывание функции i (c) по ci (i = 1,..., n). Для того чтобы убедиться в этом, достаточно положить в соответствующем неравен стве (6), (7) или (8) c = (0,..., 0, ci, 0,..., 0), ci = 0, что сразу даст i (c)ci 0. Каждое из условий I, II, III, взятое в полном объе ме, можно рассматривать как вариант понятия монотонного убывания функции, обобщенного на случай вектор-функции (c), т.е. набора n функций от n переменных (1 (c1,..., cn ),..., n (c1,..., cn )).

Дифференциальные варианты условий. Дальнейшее разъяс нение характера условий I–III можно получить, дополнительно пред положив гладкость функций-индикаторов и перейдя к дифференци альным вариантам конечных условий I–III. Будем далее обозна чать через [aij ] (n n)-мерную матрицу с компонентами aij (i, j = 1,..., n), а через det[aij ]i1,...,ik ее произвольный главный минор k го порядка. Рассмотрим матрицу частных производных [i (c)/cj ] в некоторой точке c C. (В важном частном случае линейных функций индикаторов i (c) = ij cj + i, ij, i = const (i, j = 1,..., n) (9) j матрица [i /cj ] [ij ] постоянна на C.) Введем дифференциаль ные условия n i (c) j (c) IД : + 0 (i = 1,..., n), (10) ci ci j=1, =i n i (c) i (c) IIД : + 0 (i = 1,..., n), (11) ci cj j=1, =i 74 II. Качественные модели сложных систем i (c) j (c) Все det IIIД : + 0 (k = 1,..., n). (12) cj ci i1,...,ik Через IД, IIД, IIIД будем обозначать ослабленные варианты условий IД, IIД, IIIД, получаемые заменой строгих неравенств (10), (11), (12) соответственно на нестрогие.

Теорема 1. Пусть функции i (c) непрерывно дифференцируемы на C. Тогда для того чтобы набор функций 1 (c),..., n (c) удовлетворял на C условию I, или II, или III, достаточно, чтобы этот набор удовле творял на C соответствующему дифференциальному условию IД, IIД, IIIД, и необходимо, чтобы он удовлетворял на C соответствующему ослабленному дифференциальному условию IД, IIД, IIIД. Более того, если функции i (c) линейны, то каждое дифференциальное условие IД, IIД, IIIД в точности эквивалентно соответствующему конечному усло вию I, II, III.

Доказательство теоремы 1 приводится в приложении.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 15 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.