авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 15 |

«А.В. Малишевский Качественные модели в теории сложных систем A.V. Malishevski Qualitative Models in the ...»

-- [ Страница 3 ] --

Условия IД и IIД представляют собой варианты условий домини рующей диагонали для матрицы [i /cj ] [26, 198]. Согласно этим условиям каждый диагональный компонент матрицы [i /cj ] отри цателен, а его модуль превышает сумму модулей остальных, внедиа гональных компонентов в данном столбце (условие IД ) или в строке (условие IIД ). Условие IIIД также предполагает отрицательность диа гональных компонентов i /ci и в определенном смысле их главен ство среди всех остальных (во всяком случае при достаточно малых по сравнению с ними внедиагональных компонентах i /cj (j = i) условие IIIД заведомо выполнено). Таким образом, каждое из усло вий IД, IIД, IIIД указывает на ограниченность взаимного влияния элементов системы, на определенное превосходство внутриэлемент ных воздействий над межэлементными.

Интерпретация условий. Проявление ограниченности межэле ментных влияний можно усмотреть и в исходной, конечной форме условий I–III, если привлечь соответствующую интерпретацию этих условий. Изложим одну такую интерпретационную схему, объединя ющую многие содержательные примеры и позволяющую пояснить происхождение и качественный характер условий I–III. В предла гаемой интерпретации взаимодействие между несколькими целена правленными элементами представляет собой состязание элементов потребителей за получение некоторого нужного им ресурса. Пусть ci есть величина усилий i-го элемента по привлечению ресурса, а i (c) величина дефицита ресурса (если i 0, то |i | величина избыт ка) у i-го элемента в сложившейся ситуации c. Тогда монотонность Модели совместного функционирования i (c) по ci, предусматриваемая каждым из условий I–III, означает возможность саморегулирования каждого отдельного элемента, так как гарантирует уменьшение дефицита ресурса у i-го элемента при увеличении его собственных усилий (и обратно). Рассмотрим теперь, что означают условия I–III в целом для системы таких элементов.

Условие I в данной интерпретации означает следующее. Пусть группа I состоит из элементов, увеличивших или во всяком случае не уменьшивших свои усилия по привлечению ресурса, а группа I наоборот, из элементов, уменьшивших (не увеличивших) свои усилия.

Тогда согласно условию I суммарный дефицит i у первой группы уменьшится по сравнению со второй группой. Это можно трактовать как предпосылку для возможности группового саморегулирования таких элементов.

В аналогичной ситуации условие II означает, что дефицит i заве домо изменится в ожидаемую сторону у того элемента, который пред принял максимальное изменение своего усилия |ci |. Наконец, условие III можно истолковать подобно условию I, если рассмотреть взвешен ное изменение общего дефицита i ci.

Все три условия I–III в той или иной форме отражают сохране ние способности к саморегулированию в системе элементов, взаимное влияние которых ограничено. Подробному анализу того, как соотно сятся между собой условия I–III (путем выявления случаев, когда они охватывают друг друга), и анализу конкретных примеров посвящена вторая часть работы.

3. Статические свойства модели Исследуем условия существования и единственности точки равно весия, т.е. решения системы алгебраических уравнений () на множе стве C (3). Предполагая выполненными поочередно условия I–III, бу дем пользоваться вспомогательными функциями степени неравнове n n сия вида |i (c)| и I (c) = | i (c)|, I (c) = i=1 i= n ( i (c)) II (c) = max | i (c)|, III (c) = i i= соответственно (по существу, используя три различные нормы в пространстве);

при явном рассмотрении точки равновесия c будем также использовать непосредственную меру удаленности точки c C от c вида n n |ci c |, FII (c) = max |ci c |, FIII (c) = (ci c ) FI (c) = i i i i i=1 i= 76 II. Качественные модели сложных систем соответственно (нормы в c-пространстве).

Теорема 2. Пусть на C выполнено условие I (или II, или III). Тогда для того чтобы точка c была точкой равновесия, необходимо и до статочно, чтобы c была точкой минимума на C функции I (c) (или II (c), или III (c) соответственно). Если такая точка существует, то она единственна.

Доказательство теоремы 2 приведено в приложении;

там же пока зано, что при условии I в теореме 2 можно взять функцию I вместо I.

Запишем окончательное утверждение в виде схемы:

Пусть выполнено условие................. I II III Тогда равновесие на C эквивалентно (единственному) минимуму на C функции I и I II III Такой краткой табличной записью формулировок утверждений бу дем пользоваться и далее.

Теорема 2 сводит вопрос о существовании равновесия к вопросу о существовании минимума соответствующей функции (или ) на C и позволяет получить как непосредственное следствие ряд достаточных условий существования и единственности равновесия.

Следствия. Пусть на C выполнено условие I (или II, или III). Тогда:

Следствие 1. Если множество C ограничено, то точка равновесия на C существует и единственна.

Следствие 2. Если существует ограниченное подмножество S C, обладающее тем свойством, что для любой точки c C можно ука зать точку c = c(c) S такую, что I () c I (c) (соответственно II () II (c) или III () III (c)), то точка равновесия на C суще c c ствует, единственна и принадлежит S. В частности:

Следствие 2а. Если (c) равномерно по c C при c, то точка равновесия на C существует и единственна.

Следствие 3. Пусть существуют точки c1, c2 C такие, что c1 c i i (i = 1,..., n) и определяемое ими прямоугольное множество S = {c|c1 c ci (i = 1,..., n)} i i таково, что для каждого i = 1,..., n: а) i (c) 0 при всех c S таких, что ci = c1, б) i (c) 0 при всех c S таких, что ci = c2. Тогда точка i i равновесия на C существует, единственна и принадлежит S 1.

Следствия 1–3 наиболее легко устанавливаются при условии I, так как тогда можно непосредственно пользоваться теоремой о существо 1 Смысл условий следствия 3 существование в C ящика S с непроницаемыми (изнутри) стенками. Подобное условие часто будет встречаться в дальнейшем.

Модели совместного функционирования вании минимума непрерывной функции I (c) на соответствующем за мкнутом ограниченном множестве. В случае условий II и III нуж но предварительно перейти от однозначных, но разрывных функций II (c) и III (c) к соответствующим многозначным, но замкнутым (ана лог непрерывности [198]) функциям. Полный вывод следствий 1–3 при веден в приложении.

Замечание. Следствие 2а позволяет, в частности, получить допол нительное следствие.

Следствие для линейного случая. Если функции i (c) (i = 1,..., n) линейны и выполнено какое-либо из условий I–III, то точка равновесия на C существует и единственна.

Действительно, требование (c) при c на C, как нетрудно убедиться, в линейном случае (9) всегда выполнено в силу невырожденности матрицы [i /cj ] = [ij ], вытекающей из теоре мы 1.

Следствие 2а аналогичным образом применимо и к любой систе ме, которая, помимо условия I, II или III, удовлетворяет требованию при c. Легко усилить формулировки самих усло вий I–III так, что это требование будет выполнено автоматически. На пример, если взять дифференциальные формулировки IД –IIIД, то до статочно предположить, что соответствующие выражения в (10)–(12) не только знакоопределены, но и отделены от нуля некоторыми кон стантами на C. Для таких систем равновесие всегда будет существо вать.

4. Динамические свойства модели Будем называть траекторией процесса () или () всякую непре t со рывную вектор-функцию c(t), определенную при всех значениями c(t) C, имеющую всюду на [0, ) правостороннюю про изводную c(t) и удовлетворяющую уравнениям () или () соответ ственно. Исследуем при различных условиях сходимость траекторий c(t) процессов () и () к равновесию c 1 при t при произвольных начальных состояниях c(0) C (не обязательно предполагая заранее, что точка равновесия существует). Сразу же отметим, что уравнения (), определяющие лишь знаки скоростей ci, но не их абсолютные величины |ci |, сами по себе допускают сколь угодно малые |ci | всюду на C. Поэтому среди траекторий процесса () можно найти и такие вырождающиеся траектории c(t), которые сходятся к ложным рав новесиям : c(t) c при t, но (c) = 0. Чтобы получать более 1 См., например, доказательство леммы П.7 в приложении.

78 II. Качественные модели сложных систем содержательные утверждения о сходимости траекторий c(t) к истин ному равновесию c : (c ) = 0, нужно исключить указанные случаи вырожденности. Для этого достаточно ограничиться рассмотрени ем траекторий следующего типа. Назовем траекторию c(t) процесса () невырожденной, если для нее выполнено следующее условие.

Условие невырожденности. Не существует такого индекса i и такой последовательности моментов времени {t } ( = 1, 2,...), что ci (t ) 0, но i (c(t )) 0 при.

Нетрудно убедиться, что для всякой невырожденной траектории c(t) процесса () из c(t) c при t следует () = 0. Условию c невырожденности удовлетворяет, в частности, любая траектория про цесса () (очевидно, являющаяся также траекторией процесса ()) 1.

В дальнейшем условие невырожденности, если оно потребуется, будет оговариваться явно.

Лемма Пусть выполнено условие................ I II III и пусть существует точка равновесия c.

Тогда функция........................... FI (c) FII (c) FIII (c) монотонно убывает на любой траектории c(t) процесса............................. () () () до тех пор, пока c(t) = c.

Следующая лемма в отличие от леммы 1 не предполагает обяза тельного существования точки равновесия.

Лемма Пусть выполнено условие................ I II IIIД Тогда функция........................... I (c) и I (c) II (c) III (c) монотонно убывает на любой траектории c(t) процесса............................. () () () до тех пор, пока c(t) = c.

Леммы 1 и 2 представляют определенный самостоятельный инте рес, утверждая монотонность движения к равновесию в процессах (), () по соответствующей метрике F, в пространствах c и, однако факта сходимости к равновесию они не гарантируют. Для того чтобы из этих лемм вытекала сходимость c(t) c, нужно их усилить, пока зав дополнительно, что на траекториях c(t) соответствующие функ ции F (c) и (c) ((c)) убывают до своего абсолютного минимума на C. Это усиление делается в следующих теоремах.

1 Еще один пример заведомого выполнения условия невырожденности дает про цесс ( ) (см. сноску на стр. 71) с неубывающими функциями fi.

Модели совместного функционирования Теорема 3.

Пусть выполнено условие................. I II III и пусть существует точка равновесия c.

Тогда каждая невырожденная траектория c(t) процесса.............................. () () () сходится к c при t.

Следующая теорема характеризует динамику системы без предва рительного предположения о существовании точки равновесия.

Теорема 4.

Пусть выполнено условие.. I I II III Тогда либо................. некото- каждая каждая каждая рая дан ная невырожденная траектория c(t) процесса............... () () () () уходит в, т.е. c(t) при t, и равновесие... может не не не не су- сущест- сущест- сущест щество- вует вует вует вать либо точка равновесия c существует и.............. данная каждая каждая каждая невырожденная траектория c(t) процесса............... () () () () сходится к c при t.

Доказательства лемм 1, 2 и теорем 3, 4 приведены в приложении.

Следствие Пусть выполнено условие............ I II III Тогда каждая ограниченная невырожденная траектория процесса () () () (если таковая существует) сходится к точке равновесия.

!

Замечание 1. В лемме 2 и в теореме 4 не предполагается заранее суще ствование точки равновесия c ;

наоборот, из них можно в качестве по бочного результата выводить существование c. Действительно, след ствие из теоремы 4 гласит, что из факта ограниченности хотя бы одной траектории системы () или () при соответствующем условии I, II или III вытекает существование точки равновесия c. Ограниченность траекторий процессов () или () нередко можно установить по виду 80 II. Качественные модели сложных систем функций i (c) и множества C (предполагая сам факт существования траекторий, вопрос о котором здесь не рассматривается). Простейший случай, когда ограниченность всех траекторий гарантирована, это случай, когда само множество C ограничено. Другой случай заведомой ограниченности траекторий процессов () (и тем более ()) описыва ется следующей леммой.

Лемма 3. Пусть начальная точка c(0) траектории c(t) процесса () принадлежит множеству S = {c|c1 c2 (i = 1,..., n)} C ci i i такому, что для каждого i = 1,..., n: а) либо c1 = ai, либо i (c) i при всех c S таких, что ci = c1 ;

б) либо c2 = bi, либо j (c) 0 при i i всех c S таких, что ci = c2. Тогда каждая траектория c(t) процесса i () с начальным состоянием c(0) S целиком лежит в S: c(t) S при всех t 0.

Смысл условий леммы 3 подобно условиям следствия 3 из теоре мы 2 сводится к тому, что точку c(0) можно заключить в ящик S с отражающими (внутрь) стенками. Доказательство этой леммы, до статочно простое и не связанное со специфическими условиями I–III для функций-индикаторов, здесь опускается.

Замечание 2. Возможность существования неограниченных траек торий процессов () и () при выполнении каждого из условий I, II, III иллюстрируется прежним одномерным примером: C = (, ), (c) = ec.

Замечание 3. Согласно замечанию из раздела 3 статьи в линейном случае условия I–III гарантируют свойство (c) и тем самым (c) при c. Ввиду этого из теоремы 4 с леммой 2 вытекает такое следствие.

Следствие для линейного случая. Пусть функции (c) линейны и пусть выполнено условие.................. I II III Тогда каждая невырожденная траектория процесса................................... () () () сходится к точке равновесия.

Аналогичным образом гарантируется сходимость процессов и для дру гих систем, указанных в замечании в разделе 3 статьи.

ПРИЛОЖЕНИЕ Лемма П.1. Пусть [akl ] (n n)-мерная матрица. Для того чтобы при всех x = (x1,..., xn ) = 0 имело место неравенство Модели совместного функционирования n akl xk Sign xl 0 (либо 0), (П.1) k,l= необходимо и достаточно, чтобы выполнялись n неравенств n |akl | 0 (соответственно akk + 0) (k = 1,..., n). (П.2) l=1, =k Доказательство. Необходимость. Положим xk = 1, xl = 0 (l = k) и придадим Sign xl значение sign akl (l = k). Подставив эти значения в (П.1), получим (П.2).

Достаточность. Пусть выполнено (П.2). Возьмем произвольный вектор x = 0 и положим l {Sign xl }, т.е. l = sign xl, если xl = 0, и l произвольное число из [1, 1], если xl = 0. Тогда |xk | akl xk l = akl k l k,l k l |xk | akk + |akl | 0 (соответственно 0), (П.3) k l=k что в силу произвольности выбора l {Sign xl } дает (П.1). Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. Положим для c C и некоторого r c() = r, c() = c + c(), () = (c + c()) (c). (П.4) Тогда i (c) i () = rj + o() (i = 1,..., n).

cj j Пусть выполнено условие I. Возьмем произвольную внутреннюю точку c C;

тогда для произвольного r при достаточно малых имеем c() C. Подставляя в (6) c() и () при достаточно малых и устремляя 0, получаем i (c) rj Sign ri 0, (П.5) cj i,j откуда в силу леммы П.1 с учетом произвольности r получаем усло вие IД (нестрогое неравенство в (10)) для данной внутренней точки множества C. Ввиду непрерывности i (c)/cj это условие должно выполняться и в граничных точках C.

82 II. Качественные модели сложных систем Обратно, пусть всюду на C выполнено условие IД (неравенство (10)). Возьмем произвольные c и c + c из C, положим в (П.4) r = c и выберем какие-нибудь i {Sign ri } (i = 1,..., n). Тогда i (c()) i (c)i = rj i d. (П.6) cj i i j Применяя лемму П.1 к условию IД (10), находим, что теперь нера венство (П.5) должно выполняться как строгое и, значит, подынте гральное выражение в (П.6) отрицательно. Отсюда следует условие I (6).

Пусть теперь выполнено условие II. Возьмем произвольную внут реннюю точку c множества C и произвольный вектор p. Положим ri {Sign pi } (i = 1,..., n) и возьмем c(), c() и () из (П.4), так что снова c() C при достаточно малых. Тогда для всех i та ких, что pi = 0, имеем |ci | = max |cj |, так что в силу условия II (7) j для этих i при достаточно малых 0 получаем i ()ci () 0, т.

е. i ()pi 0. В пределе по 0 получаем для этих i неравенства i (c) pi rj 0. (П.7) cj j Заметим теперь, что (П.7) тривиально выполняется и для тех i, для которых pi = 0. Суммируя неравенства (П.7) по всем i = 1,..., n и подставляя вместо каждого ri его общее значение Sign pi, имеем i (c) pi Sign pj 0. (П.8) cj i,j Применяя лемму П.1, получаем из (П.8) условие IIД (нестрогое неравенство в (11)) для каждой внутренней и по непрерывности для каждой граничной точки множества C.

Обратно, пусть на C выполнено условие IIД. Пусть заданы c и c + c из C, c = 0. Возьмем r = c и c() из (П.4). Пусть |ci | = = maxj |cj |. Тогда в силу условия IIД (11) имеем 1 i (c()) i (c()) i (c)ci = rj ri d = ri + cj ci 0 j i (c()) rj i (c()) i (c()) + d ri + d 0.

cj ri ci cj j=i i=j Модели совместного функционирования Таким образом, выполняется условие II (7).

Аналогичным путем получаем, что для выполнения условия III необходимо выполнение на C (нестрогого) неравенства n i (c) ri rj 0 (П.9) cj i,j= при всех r и достаточно выполнения неравенства (П.9) при всех r = как строгого. Применяя известный критерий Сильвестра знакоопреде ленности квадратичной формы, получаем утверждение теоремы, отно сящееся к условию III.

Утверждения теоремы для линейного случая следуют из того, что при r = 0 (p = 0) неравенства (П.5), (П.7), (П.9), очевидно, с необхо димостью выполняются при условиях I–III как строгие.

Теорема полностью доказана.

C и для каждого Лемма П.2. Для любых двух точек c, c индекса i = 1,..., n справедливы соотношения i (c )(ci ci ) i (c )(ci ci ), (П.10) ( i (c ) i (c ))(ci ci ) (i (c ) i (c ))(ci ci ), (П.11) ( i (c ) i (c ))sign (ci ci ) (i (c ) i (c ))sign (ci ci ), (П.12) и если ci = ci, то | i (c ) i (c )| |i (c ) i (c )|. (П.13) Доказательство соотношений (П.10)–(П.13) получается путем рас смотрения всех возможных соотношений между i и i в точках c и c.

Докажем, например, (П.10). Если ci = ci, то (П.10) очевидно. Пусть ci ci ;

тогда и ci bi и, значит, i (c ) i (c ). Пусть теперь ci ci ;

тогда и ai ci и, значит, i (c ) i (c ). В обоих случаях выполняется (П.10).

Заменив в (П.10) c на c и c на c, получим неравенство, вычитая из которого неравенство (П.10), получим (П.11).

Аналогичным образом выводятся соотношения (П.12) и (П.13).

Лемма П.3. Пусть выполнено условие I. Пусть i (c)ci 0 (i = = 1,..., n) и c = 0. Тогда I (c) 0 и I (c) 0.

Пусть выполнено условие II. Пусть для некоторого индекса k тако го, что |k (c)| maxi | i (c)|, имеем |ck | = maxi |ci |, k (c)ck 0 и c = 0. Тогда II (c) 0.

Пусть выполнено условие III. Пусть ci = i (c) (i = 1,..., n), где 0, и c = 0. Тогда III (c) 0.

84 II. Качественные модели сложных систем Доказательство. Условие I. Выпишем очевидное соотношение |i (c)| = |i (c + c)| |i (c)| |i (c + c) i (c)| = |i (c)|.

(П.14) Воспользуемся (П.14) для оценки тех слагаемых в I (c) = = i |i (c)|, которым соответствует ci = 0. Для тех i, для ко торых ci = 0, дадим другую оценку. Во-первых, учитывая, что |sign ci | = 1, имеем |i (c + c)| i (c + c)sign ci. (П.15) Во-вторых, в силу условия леммы при ci = 0 и i (c) = 0 имеем sign i (c) = sign ci, так что при ci = |i (c)| = i (c)sign i (c) = i (c)sign ci. (П.16) Из (П.15) и (П.16) получаем i (c)sign ci, еслиci = 0.

|i (c)| (П.17) Из (П.14) и (П.17) находим n I (c) = |i (c)| = |i (c)| + |i (c)| i=1 i:ci = i:ci = |i (c)|, i (c)sign ci + (П.18) i:ci = i:ci = так что в силу условия I (см. (5)) I (c) 0. Точно также для I (c) устанавливается неравенство, аналогичное (П.18) (с i вместо i ), откуда в силу (П.12), (П.13) и условия I I (c) 0.

Условие II. Согласно (П.10) для данного индекса k имеем k (c)ck k (c)ck 0. (П.19) По условию II k (c)ck 0, (П.20) что вместе с (П.19) дает k (c + c)ck 0, откуда с учетом (П.10) k (c + c)ck k (c + c)ck 0. (П.21) Из (П.19), (П.20) и (П.21) находим, что | k (c + c)| |k (c + c)| |k (c)|. (П.22) Модели совместного функционирования Но по условию леммы |k (c)| II (c);

очевидно также, что II (c+ +c) | k (c + c)|;

поэтому из (П.22) получаем II (c) 0. (П.23) Условие III. Имеем ( i (c))2 = 2 ( i (c))2.

III (c) = i (c) i (c) + (П.24) i i i Здесь 1 i (c) i (c) = i (c)ci i (c)ci 0 (П.25) i i i по условию III. Из (П.24) и (П.25) сразу получаем ( i (c))2 0.

III (c) (П.26) i Лемма полностью доказана.

Доказательство теоремы 2. Условие 1. Пусть (c ) = 0. Тогда, очевидно, i (c )ci 0 (i = 1,..., n) для любых c, так что при c = = 0 в силу леммы П.3.I I (c ) 0 (и I (c ) 0). Следовательно, c точка минимума функции I (и I ) на C, притом единственная.

Обратно, пусть c точка минимума I (c) (I (c)) на C. Допустим, что (c ) = 0. Возьмем 0 столь малое, что приращение c = (c ) = 0 таково, что c = c + c C и i (c)i (c ) 0 (i = = 1,..., n);

это всегда возможно в силу непрерывности функций i (c) и определения (2) функций i (c). Тогда i (c)(c ci ) 0 (i = 1,..., n) и i c = c, так что по лемме П.3.I I (c) I (c ) (I (c) I (c )) вопреки минимальности I (c ) (I (c )) на C.

Условие II. Необходимость сразу видна из того, что если (c ) = 0, то II (c ) = 0 заведомый минимум функции II (c) 0. Докажем единственность точки c, указанной выше. Пусть c = c. Тогда по условию II с учетом (П.11) для некоторого индекса k имеем (c = c c ), k ck k ck откуда k (c) = k (c) k (c ) = k = 0, так что (c) = 0 и II (c) 0.

Докажем достаточность. Пусть c точка минимума функции II (c) на C;

допустим, что (c ) = 0. Возьмем c = (c ), где 0 столь мало, что c = c + c C и для некоторого индекса k одновременно выполнены три условия:

| k (c)| = max | i (c)| = II (c), (П.27) i 86 II. Качественные модели сложных систем | k (c )| = max | i (c )| = II (c ), (П.28) i k (c) k (c ) 0. (П.29) Существование такого следует из непрерывности k (c) и опреде ления k (c). Далее, при этом по построению имеем |ck | = max |ci | 0 (П.30) i и k (c)(c ck ) 0, (П.31) k так что из (П.27), (П.30) и (П.31) в силу леммы П.3.II получаем II (c) II (c ) вопреки предположению о минимальности II (c ) на C.

Условие III. Необходимость снова следует из того, что если (c ) = = 0, то III (c ) = 0 очевидный минимум функции III (c) 0.

Покажем, что такая точка c единственна. Пусть c = c ;

тогда в силу условия III с учетом (П.11) получаем i (c)(ci c ) = ( i (c) i (c ))(ci c ) i i i i (i (c) i (c ))(ci c ) 0, i i так что (c) = 0 и, значит, III (c) 0.

Докажем достаточность. Пусть c точка минимума функции III (c) на C;

допустим, что (c ) = 0. В силу непрерывности i (c) и определения i (c) можно выбрать 0 такое, что для каждого вектора z, удовлетворяющего условиям c + z C и z, имеет место (c + z) = 0. Положим 0, если c = ai, zi 0 или c = bi, zi 0, i i ci (z) = (П.32) zi во всех остальных случаях.

Очевидно, вектор-функция c = c(z) с компонентами (П.32) непре рывна, причем если z, то c + c(z) C и (c + c(z)) = 0.

c(z), (П.33) Введем в рассмотрение функцию (c + c(z)).

g(z) = (П.34) (c + c(z)) Обозначим через D замкнутый шар радиуса с центром 0. Очевид но, функция g(z) определяет непрерывное отображение шара D в Модели совместного функционирования себя. Поэтому в силу теоремы Брауэра о неподвижной точке долж на существовать точка z D такая, что g(z ) = z и, значит, z = (c + c(z )), где 0. При этом в силу (П.32) и (П.33) c(z ) = (c + c(z )) = 0. (П.35) Применяя лемму П.3.III к векторам c = c + c(z ) и c = c(z ), получаем III (c + c(z )) III (c ), что противоречит предположению о минимальности III (c ) на C.

Теорема полностью доказана.

Вывод следствия из теоремы 2. Покажем сначала, что в теореме можно заменить однозначные функции I, II, III соответствующими замкнутыми функциями I, II, III.

Напомним, что многозначная функция y(x) на замкнутом множе стве X Rn, ставящая в соответствие каждой точке x X множество Y (x) числовых значений y, называется замкнутой, если ее график V = {(y, x)|y Y (x), x X} (П.36) представляет собой замкнутое множество в (n + 1)-мерном простран стве Rn+1 [198].

Для получения возьмем выражение для соответствующей функ ции и заменим в нем i на многозначные функции i, получаемые из i замыканием их графиков и принимающие в каждой точке c C два значения: i (c) и i (c), которые различаются между собой только в точках разрыва функции i (c), где i (c) = 0, но i (c) = 0. Отсюда видно, что | i (c)| | i (c)| для всех точек c C и всех i = 1,..., n, так (c) для всех c C, причем в каждой точке c C одно что (c) из значений многозначной функции | i (c)| (i = 1,..., n) (а значит, и (c)) совпадает со значением соответствующей функции | i (c)| ((c)).

Это рассуждение показывает, что минимумы одноименных функ ций (c) и (c) на C либо достигаются в одной и той же точке c C, либо не достигаются на C вообще. Поэтому в теореме 2 можно за менить каждую функцию (c) на соответствующую функцию (c) и воспользоваться следующей леммой.

Лемма П.4. Пусть y(x) замкнутая многозначная скалярная функция на замкнутом ограниченном множестве X Rn и множе ство ее значений {y|y Y (x), x X} ограничено. Тогда функция y(x) достигает на X своего минимума, т.е. существует точка x X такая, что число y = min{y|y Y (x )} определено и y y для всех y Y (x), x X. (П.37) 88 II. Качественные модели сложных систем Справедливость этой леммы ясна из рассмотрения непрерывной однозначной функции f (y, x) y на замкнутом ограниченном множе стве V (П.36).

Установим теперь следствия 1–3 из теоремы 2, в которой вместо подставлены соответствующие функции (ради единообразия не будем особо выделять условие I, при котором можно было бы пользо ваться однозначной непрерывной функцией I ).

Следствие 1 получается применением леммы П.4 к соответству ющей функции (c), чем и доказывается достижимость min (c) (= min (c)) на C.

Следствие 2 получается применением леммы П.4 к соответству ющей функции на множестве S, которое без ограничения общно сти можно считать замкнутым (так как в противном случае мож но взять его замыкание, также, очевидно, удовлетворяющее условиям следствия 2). Этим доказывается достижимость min (c) на S в неко торой точке c S;

а так как (c ) ((c)) (c) для любой точки c c C, то c доставляет min (c) на C.

Следствие 2а получается как частный случай следствия 2, если положить S = {c|(c) A}, где A столь велико, что S не пусто.

Следствие 3 получается применением леммы П.4 к на S, чем доказывается достижимость min (c) на S в некоторой точке c нов S. Теперь остается заметить, что если образовать функции i (c) из i (c) на множестве C нов = S по формальному правилу (2), то в нов силу условий следствия 3 окажется i (c) i (c) на S и, значит, c нов доставляет минимум соответствующей функции (c) на C нов. Тогда нов по теореме 2 (c ) = 0, т. е. (c ) = 0.

Доказательство леммы 1. Условие I. Вычислим правостороннюю производную функции FI (c(t)) по t в произвольной точке c = c тра ектории c(t) процесса ():

n d d |ci c | = ci sign (ci c ) + |ci | = FI (c) = i i dt dt i:ci =c i:ci =c i=1 i i ( i (c) i (c )) sign (ci c ) + | i (c) i (c )|.

= i i:ci =c i:ci =c i i Применяя лемму П.2 (соотношения (П.12), (П.13)) и условие I, имеем d (i (c) i (c )) sign (ci c ) + |i (c) i (c )| 0, FI (c) i dt i:ci =c i:ci =c i i (П.38) Модели совместного функционирования откуда и следует убывание FI (c(t)) по t.

Условие II. Пусть c = c(t) = c. Обозначим через K множество всех индексов k таких, что |ck c | = max |ci c | ( 0).

k i i Тогда правосторонняя производная функции FII (c(t)) по t равна d d d max |ci c | = max |ck c | = max[ck sign (ck c )].

FII (c) = i k k dt dt i kK dt kK Для всех k K согласно условию II с учетом (П.11) получаем k (c)(ck c ) = ( k (c) k (c ))(ck c ) (k (c) k (c ))(ck c ) 0, k k k причем на траектории c(t) процесса () всегда k (c)ck 0, так что в итоге получаем ck (ck c ) 0. Поэтому ck sign (ck c ) = |ck | k k для всех k K, откуда d FII (c) = max(|ck |) = min |ck | 0, (П.39) dt kK kK так что FII (c) убывает вдоль траектории c(t), пока c(t) = c.

Условие III. Доказательство, аналогичное предыдущему, следует из d d (ci c )2 (ci c )(i (c) i (c )) 0. (П.40) FIII (c) = i i dt dt i i Лемма П.5. Пусть H(c) непрерывная функция на C, H(c) при c = c и H(c ) = 0. Пусть c(t) ограниченная непрерывная кривая в C и H(c) 0 всюду на c(t). Пусть для любого замкнутого C, не содержащего c, из c(t) ограниченного множества следует H(c(t)) 0 (где = ( )). Тогда c(t) c при t.

Эта лемма вариант известных теорем Ляпунова (см., например, работу [12]).

Доказательство теоремы 3. Условие I. Заметим, что каждая тра ектория c(t) процесса () в силу леммы 1.I целиком лежит в ограни ченной области {c|FI (c) FI (c(0))}. Из (П.38) видно, что производная FI (c) мажорируется значениями многозначной функции n (i (c) i (c ))Sign (ci c ), (c) = (П.41) i i= которая на любом ограниченном замкнутом множестве, как зам кнутая многозначная функция, достигает своего максимального зна чения (см. лемму П.4). Если c, то (c) 0 при всех c / 90 II. Качественные модели сложных систем в силу условия I. Поэтому = max (c) 0 и, значит, все значе c ния, принимаемые функцией (c) на, удовлетворяют условию 0. Следовательно, производная FI (c) на каждом множестве c мажорируется отрицательной константой: FI (c) const 0.

Применяя теперь лемму П.5, заключаем, что c(t) c при t.

Условие II. Снова прежде всего заметим, что каждая траектория процесса () в силу условия II леммы 1 целиком лежит в ограничен ной области {c|FII (c) FII (c(0))}. Заметим также, что в каждой огра, не содержащей точку c, функции ниченной замкнутой области k (c), k K, где множество индексов K = K(c) введено в доказатель стве утверждения II леммы 1, отделены от нуля в совокупности, т. е.

для каждой такой области можно указать число 0 такое, что | k (c)| при k K(c), c. Тогда в силу условия невырожденно сти траектории c(t) можно указать такое число 0, что |ck (t)| для всех k K(c(t)) при всех t таких, что c(t). Используя теперь оценку (П.39) и применяя лемму П.5, заключаем, что c(t) c при t.

Условие III. Достаточно применить лемму П.5 к оценке (П.40) про изводной FIII (c) сверху непрерывной отрицательной вне c функци ей с учетом ограниченности траектории c(t) в силу утверждения III леммы 1.

Теорема полностью доказана.

Лемма П.6. Пусть f (t) функция, заданная на (0, t), и пусть для каждого t (0, t) существует (t) 0 такое, что f () f (t) при всех (t (t), t). Тогда f (t) убывает на (0, t).

Доказательство немедленно вытекает из леммы 19.3 в [198].

Доказательство леммы 2. Условие I. Рассмотрим произвольную траекторию c(t) процесса () и покажем, что функция I (c(t)) мо нотонно убывает на интервале [0, t ), где t (возможно, равное +) определяется как t = sup{t|(c(t)) = 0}. Возьмем t (0, t ) и поло жим c = c(t). При этом c = c, т. е. (c) = 0. В силу непрерывности c(t) по t и (c) по c и определения (c) можно выбрать = (t) 0 столь малое, что при всех (t, t) будет i (c()) i (c) 0 (i = 1,..., n), причем хотя бы для одного k будет k (c()) k (c) 0. Поэтому на тра ектории системы () всюду ci () i (c) 0 (i = 1,..., n), причем хотя бы для одного k имеем ck () k (c) 0. Отсюда, интегрируя ci по вре мени от (t, t) до t, получаем i (c)(ci () ci ) 0 (i = 1,..., n), (П.42) причем c() = c. Отсюда по утверждению I леммы П.3. I (c()) I (c).

Модели совместного функционирования Тем самым показано, что для каждого t (0, t ) существует (t) 0 такое, что при всех (t, t) I (c()) I (c(t)). Это согласно лемме П.6 означает, что I (c(t)) убывает на (0, t ). Точно так же рас сматривается I (c(t)) на (0, t ). Нетрудно видеть, что интервал (0, t ) здесь можно замкнуть слева. Итак, функции I (c) и I (c) убывают на траектории c(t) процесса () от t = 0 до тех пор, пока c(t) = c.

Условие II. Возьмем c = c(t) = c. Тогда в силу непрерывности i (c) и определения i (c) можно указать окрестность B точки c в C столь малую, что если i (c) = 0, то i (c ) совпадает с i (c ) при всех c B и, значит, является на B непрерывной функцией. Поэтому если для некоторого индекса k | k (c)| = max | i (c)| = 0, i то для любого (0 ) получим в достаточно малой окрест ности B | k (c )| и k (c ) k (c) 0, c B. (П.43) С другой стороны, можно указать такое (0 ) и столь малую окрестность B точки c, что если |j (c)| maxi | i (c)| =, то |j (c )| при всех c B;

значит, и подавно | j (c )|, c B. (П.44) Учитывая непрерывность c(t) по t, из (П.43) и (П.44) заключаем, что можно найти число = (t) 0, удовлетворяющее следующему условию. Рассмотрим приращение c вдоль данной траектории c(t) процесса () вспять :

t ci = ci (t t) ci (t) = i (c())d (i = 1,..., n).

tt Тогда при любом t таком, что 0 t, из |ck | = max |ci | i следует, что либо | k (c)| = maxi |i (c)|, либо k (c) = 0, но |k (c)| maxi | i (c)|, причем в любом случае k (c)ck 0.

Таким образом, выполняются условия пункта II леммы П.3;

по этому II (c + c) II (c), т.е. II (c(t t)) II (c(t)) для всех t (0, (t)). Применяя лемму П.6, заключаем, что функция II (c) 92 II. Качественные модели сложных систем монотонно убывает на траектории c(t) процесса () 1, если только c(t) = c.

d Условие IIIД. Ввиду того что на траектории процесса () i (c) = dt d = i (c) только тогда, когда i (c) = 0, имеем dt d d d ( i (c(t)))2 = III (c(t)) = i (c(t)) i (c(t)) = dt dt dt i i d i (c) =2 i (c(t)) i (c(t)) = 2 i (c) j (c). (П.45) dt cj i i В силу условия IIIД и критерия Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы величина (П.45) при c = c отрицательна (и, более того, в силу непрерывной дифференцируемости i (c) и опреде ления i (c) она отделена от нуля на любом ограниченном замкнутом C, не содержащем c ). Отсюда сразу следует моно множестве тонное убывание III (c(t)) до тех пор, пока c(t) = c.

Лемма 2 полностью доказана.

Лемма П.7. Пусть c(t) невырожденная траектория процесса ();

пусть для некоторой последовательности {t } такой, что t при, существует lim c(t ) = c, и пусть () = 0. Тогда можно c указать такую шаровую окрестность точки c в C радиуса r Br = {c|c C, cc r} (П.46) и такую пару последовательностей {t } и {t }, что: а) моменты t и t чередуются: t1 t1 t2 t2..., причем t, t при ;

б) существует lim c(t ) = c;

в) существует lim c(t ) = c, c Sr, где Sr сферическая часть границы области Br : Sr = {c|c C, c c = r};

г) c(t) Br при t [t, t ], ( = 1, 2,...).

Доказательство. Возьмем r 0 столь малым, что для некоторого k при всех c Br будем иметь k (c) k () 0 и | k (c)| c 0. Последнее ввиду невырожденности траектории c(t) гарантирует, что |ck (t)| 0 при c(t) Br ;

очевидно также, что при этом ck (t) k () 0, так что ck не меняет знака при пребывании точки c(t) в c 1 Лемма 2.II справедлива и для любой траектории c(t) процесса (), на которой соблюдается условие иерархии скоростей :

| k (c(t))| | i (c(t))|, то |ck (t)| |ci (t)|.

если В частности, это справедливо для всех траекторий процесса вида ci = f ( i (c(t))) (i = 1,..., n), где f (x) монотонно возрастающая функция, сохраняющая знак.

Модели совместного функционирования Br. Отсюда следует, что точка c(t) всякий раз, оказавшись в области Br, покинет ее не позже, чем через время 2r/. Последующий приход точки c(t) в Br связан с обязательным пересечением Sr. Ввиду этого можно указать последовательность моментов прихода точки c(t) в Br, обозначаемую через {t }, такую, что c(t ) Sr и c(t ) Br при t [t, t ] ( = 1, 2,...).

Легко видеть, что, выделяя соответствующие подпоследовательно сти, можно получить пару последовательностей {t } и {t }, удовлетво ряющую условию а. При этом в силу ограниченности и замкнуто сти множества Sr последовательность {c(t )} можно без ограничения общности предполагать сходящейся к некоторой точке c, так что вы полнено и условие в. Условия б и г выполнены по построению.

Доказательство теоремы 4. Условие I. Пусть c(t) траектория системы (), не уходящая в бесконечность: c(t) при t.

Тогда можно указать последовательность {t } такую, что t при, но все точки c(t ) лежат в некоторой ограниченной области.

Выделяя, если нужно, подпоследовательность, всегда получим после довательность точек {c(t )}, сходящуюся к некоторой точке c C.

Докажем, что () = 0.c Допустим противное: () = 0. Тогда выполнены условия леммы c П.7. Радиус r в этой лемме можно подчинить дополнительному тре 0, c Br бованию, чтобы в Br выполнялись условия i (c) i () c (i = 1,..., n). Тогда с учетом леммы П.7г получим подобно (П.42) i ()(ci (t ) ci (t )) c 0 (i = 1,..., n) для каждого = 1, 2,..., откуда в пределе по с учетом леммы П.7б,в получаем i ()( c) cc 0 (i = 1,..., n), причем c = c. Отсюда по утверждению I леммы П.3 I ( ) I ().

c c Но тогда в силу непрерывности функции I (c) можно указать и номер 0 = 0 () такие, что при всех I (c(t )) I (c(t )).

Таким образом, на оси времени имеется последовательность точек t0 t0 t0 +1 t0 +1... такая, что при всех 0 I = = I (c(t )) I (c(t )) 0. Поэтому с учетом монотонного убывания I (c(t)) согласно лемме 2.I получаем I (c(t )) I (c(t0 )) ( 0 ) при 0, откуда I (c(t )) при вопреки неотрицательности I. Это противоречие доказывает, что () = 0, т.е.

c что c является точкой равновесия, единственной по теореме 2.I.

94 II. Качественные модели сложных систем Докажем, что c(t) c при t. Допустим противное: c(t) c.

Тогда, как легко видеть, траектория c(t) должна иметь помимо c еще хотя бы одну предельную точку c. Но тогда для c совершенно ана ) = 0, что противоречит единственности точки логично получаем (c равновесия.

Наконец, пусть c(t) траектория процесса (). Тогда, по только что доказанному, точка равновесия существует, и по теореме 3.I к ней сходится каждая траектория процесса ().

Условие II. Аналогично предыдущему с использованием лемм П.7, П.3. (утверждение II) и утверждению II леммы 2 для оценки убывания функции II (c(t)) показывается, что если некоторая траектория c(t) процесса () не уходит в, то существует точка равновесия;

к этой точке согласно утверждению II теоремы 3 сходится каждая невырож денная траектория процесса ().

Условие IIIД. Снова аналогично случаю условия I с использовани ем леммы П.7 и утверждению III леммы 2 (соотношение (П.45)) для оценки убывания функции III (c(t)) показывается, что если некоторая траектория процесса () не уходит в, то существует точка равнове сия;

к ней по утверждению III теоремы 3 сходится каждая траектория процесса ().

Доказательство теоремы 4 завершено.

Модели совместного функционирования многих целенаправленных элементов. II Рассматриваются системы, состоящие из взаимосвязанных эле ментов с индивидуальными целями (см. [41]). Исследуется степень общности введенных в [41] условий успешного функционирования та ких систем. В рамках общей теоретической схемы из [41] анализиру ется серия примеров из различных областей: модели распределения физических, экономических и других ресурсов, системы массового обслуживания, модели экономического равновесия, некоторые задачи теории игр и поведения автоматов.

1 Автоматика и телемеханика. 1972. №12. С. 108–128.

Модели совместного функционирования. 1. Сравнительный анализ условий, налагаемых на функции-индикаторы В первой части работы (см. [41]) рассмотрены три различных усло вия I, II, III (а также их дифференциальные варианты IД, IIД, IIIД ), налагаемые на наборы функций-индикаторов 1 (c),..., n (c):

I. i (c)sign ci 0 (c = 0).

i II. i (c)ci 0 для i таких, что |ci | = max |ck | 0.

III. i (c)ci 0 (c = 0).

i Показано, что выполнение каждого из этих условий обеспечивает (при некоторых дополнительных требованиях) успешное функциони рование системы, а именно обеспечивает существование равновесия i (c) = 0 (i = 1,..., n) () и сходимость к нему всех траекторий процесса ci = i (c) (i = 1,..., n) () или, даже сильнее, всех невырожденных траекторий процесса sign ci = sign i (c) (i = 1,..., n). () Возникает вопрос: насколько широки классы систем, определяемые условиями I–III, и каковы возможности подгонки заданной систе мы под эти условия. Обсуждению этого вопроса и посвящен насто ящий раздел статьи. Далее будет выяснено, как соотносятся между собой условия I–III в общем случае, а также в характерном частном случае линейном и контрамонотонном ;

на примере последнего случая будет показано, насколько эти условия достаточные условия успешного функционирования близки к необходимым. Здесь же рас сматривается еще одно полезное условие групповой контрамонотон ности. В пункте 2 полученные результаты используются при анализе конкретных примеров.

Масштабы переменных и связь между условиями I–III.

Пусть система задана своим множеством допустимых состояний C и набором функций-индикаторов 1 (c),..., n (c). Если эта система непо средственно не подпадает ни под одно из условий I–III, то можно по пытаться изменить заданную форму ее описания. Ограничимся здесь 96 II. Качественные модели сложных систем рассмотрением изменений масштабов по осям;

прием подбора мас штабов оказывается, с одной стороны, достаточно действенным при анализе конкретных примеров, а с другой стороны, позволяет устано вить взаимосвязи между условиями I–III. Простейшее, линейное изме нение масштабов представляет собой переход к новым фиксированным единицам измерения и сводится к замене переменных ci на cнов = i ci, i нов i на i = µi i, где i, µi положительные константы (i = 1,..., n).

Могут также оказаться полезными и более общие, нелинейные изме нения масштабов, т.е. замены ci на cнов = i (ci ), i на i = i (i ), нов i где i, i монотонно возрастающие функции.

Имея в виду указанные замены переменных, естественно рассмат ривать условия I–III и их дифференциальные варианты IД –IIIД с точ ностью до подбора масштабов по осям ci, i. Используя теорему 1 из [41], выпишем соответствующие модифицированные дифференциаль ные условия:

µi i + j µj 0 (i = 1,..., n), (1) ci ci IДМ : j=i при некоторых µ,..., µ 0, (2) 1 n i i i + j 0 (i = 1,..., n), (3) ci cj IIДМ : j=i при некоторых,..., 0, (4) 1 n i j все det µ j + µj i 0 (k = 1,..., n), (5) i IIIДМ : cj ci i1,...,ik при некоторых µ1,..., µn, 1,..., n 0. (6) При µ1,..., µn, 1,..., n = 1 условия IДМ –IIIДМ представляют со бой условия IД –IIIД из [41];

вообще, условия IДМ –IIIДМ превращаются в IД –IIIД соответственно при переходе к cнов = ci, i = µi i. Усло нов i i вия IДМ –IIIДМ имеют локальный характер;

коэффициенты µi, i здесь могут зависеть от c. Если же µi, i константы, не зависящие от c, то указанные замены переменных осуществимы сразу на всем множе стве C, и в новых переменных cнов, i всюду на C будет выполне нов i но соответствующее условие IД –IIIД. Это рассуждение, в частности, 1 Легко видеть, в частности, что изменения масштабов c влияют на выполнение i условий II и III, но не условия I, а изменения масштабов i на выполнение условий I и III, но не II.

2 Отметим, что в [26] исследовались динамические процессы вида () с функци ями i, удовлетворяющими дифференциальным условиям вида IДМ –IIIДМ с посто янными коэффициентами µi, i, и был доказан ряд утверждений о сходимости тра екторий этих процессов к равновесию (без явного доказательства существования Модели совместного функционирования. всегда применимо к линейным функциям-индикаторам, для которых i /cj = const на C и, значит, можно полагать µi, i = const на C.

Теорема 1. Условия IДМ и IIДМ эквивалентны друг другу и влекут за собой условие IIIДМ.

Доказательство теоремы 1 приводится в приложении. Ввиду того, что в линейном случае конечные условия I–III эквивалентны диффе ренциальным условиям IД –IIIД соответственно (теорема 1 в [41]), по лучаем следующее следствие.

Следствие. На классе линейных функций-индикаторов условие I сводится подбором масштабов к условию II, условие II к условию I и каждое из условий I и II к специальному случаю условия III.

В общем случае условия I–III непосредственно не сопоставимы;

классы функций-индикаторов, выделяемые этими условиями, пересе каются и ни один из них не включает другой (в этом легко убедиться уже на линейном примере при n = 2). Однако локальную теоре му 1 можно интерпретировать как указание на то, что условия I и II, так сказать, одинаково жестки, а условие III мягче первых двух.

В линейном случае эти качественные утверждения получают четкий смысл, сформулированный выше в следствии из теоремы 1.

Условие контрамонотонности. Более тонкая связь между усло виями I–III выявляется при рассмотрении класса контрамонотон ных функций-индикаторов [34] функций i (c), убывающих по ci и неубывающих по cj (j = i). Ввиду важности этого класса, в том числе для приложений, сформулируем новое, самостоятельное усло вие групповой контрамонотонности, выделяющее тот подкласс клас са контрамонотонных систем, для которого обеспечивается успешное функционирование (в прежнем смысле). Это условие обобщает усло вие аддитивной групповой контрамонотонности (АГК) из [34], ко торое мы здесь приведем в следующей форме:

Условие АГК. Для любого разбиения множества индексов {1,..., n} на две группы I и I такого, что если i I, то ci 0, а если i I, то ci 0, должны выполняться неравенства i (c) 0, i (c) 0, iI iI причем если хотя бы одно ci 0 ( 0), то левое (соответственно правое) неравенство строгое.

равновесия). Так, например, в [26] при условии IДМ (1), (2) доказано монотонное убывание функции I (c) в процессе (), откуда при дополнительном предположе нии о непрерывной зависимости траекторий процесса () от начальных данных делается вывод о сходимости к равновесию траекторий, не уходящих в бесконеч ность.

98 II. Качественные модели сложных систем Условие АГК, как легко видеть, эквивалентно следующей паре условий:

А. Каждая функция i (c) (i = 1,..., n) контрамонотонна.

n Б. Если c 0 1, то i (c) 0.

i= Легко убедиться, что на классе контрамонотонных функций i (c) условие АГК совпадает с условием I, так что условие I можно рас сматривать как обобщение условия АГК, получаемое путем отказа от контрамонотонности при сохранении соответствующего общего нера венства для сумм i. Вводимое ниже условие групповой контрамо нотонности (ГК) обобщает условие АГК в другом направлении, посту лируя неравенства не для сумм i по соответствующим группам, а лишь для некоторых их членов, но при этом сохраняя требование контрамонотонности.

Условие ГК. Пусть I множество всех i таких, что ci 0, а I множество всех i таких, что ci 0. Тогда, если I не пусто, то k (c) 0 для некоторого k I, и если I не пусто, то k (c) для некоторого k I.

С учетом непрерывности функций i (c) условие ГК можно пред ставить в следующей эквивалентной форме:

А. Функции i (c) (i = 1,..., n) контрамонотонны.

Б. Если c 0, то k (c) 0 для некоторого k.

Теорема 2. Пусть на C выполняется условие ГК, и пусть можно указать множество S = {c|c1 c2 (i = 1,..., n)} C ci (7) i i такое, что c1 c2, i (c1 ) i (c2 ) 0, 0 (i = 1,..., n). (8) i i Тогда на C существует единственная точка равновесия c, причем c S. Далее, каждая невырожденная траектория c(t) процесса () при любом начальном состоянии c(0) S целиком лежит в S: c(t) S, t 0, и сходится к c при t.

1 Запись x y для векторов x, y равносильна системе покомпонентных нестрогих неравенств, а запись x y означает, что x y и x = y.

2 На самом деле существование множества S вида (7), (8) при условии ГК не только достаточно, но и необходимо для существования точки равновесия. Это утверждение в несколько более слабой форме, а именно существование окрестно сти S C (7), (8) точки равновесия c в случае, когда c внутренняя точка множества C, устанавливается и используется в доказательстве теоремы 5.

Модели совместного функционирования. Доказательство теоремы 2 приведено в приложении.

Приведем теперь дифференциальный вариант условия ГК.

Условие ГКД. А. Функции i (c) непрерывно дифференцируемы, и i (c)/cj 0 (j = i;

i, j = 1,..., n).

Б. Все det[i (c)/cj ]i1,...,ik 0 (k = 1,..., n). (9) Через ГКД будем обозначать условие ГКД, ослабленное путем за мены строгих неравенств в (9) нестрогими.

Теорема 3. Пусть функции i (c) (i = 1,..., n) непрерывно диффе ренцируемы на C. Тогда для того чтобы набор функций i (c) (i = = 1,..., n) удовлетворял на C условию ГК, достаточно, чтобы он удо влетворял на C дифференциальному условию ГКД, и необходимо, что бы он удовлетворял на C ослабленному дифференциальному условию ГКД. Если функции i (c) линейны, то условия ГК и ГКД эквивалентны друг другу.

Доказательство теоремы 3 приведено в приложении.

Связь между условиями ГК и I–III в контрамонотонном случае. На классе контрамонотонных функций каждое из условий I, II, III, как легко видеть, влечет за собой условие ГК, т. е. является частным случаем последнего. Ниже устанавливается более глубокая связь между этими условиями.

Теорема 4. На классе контрамонотонных функций-индикаторов ус ловия IДМ, IIДМ, IIIДМ, ГКД эквивалентны друг другу.


Доказательство теоремы 4 дано в приложении.

Следствие. На классе линейных контрамонотонных функций-ин дикаторов каждое из условий I, II, III, ГК сводится подбором масшта бов к каждому из остальных.

Для завершения характеристики условий I, II, III, ГК рассмотрим их как достаточные условия сходимости к равновесию в процессах (), () и проверим, насколько они близки к необходимым.

Теорема 5. Рассмотрим класс систем с непрерывно дифференци руемыми контрамонотонными функциями-индикаторами на C;

пусть каждая система этого класса имеет единственную точку равновесия, внутреннюю для C. Для систем данного класса выполнение условия ГКД всюду на C является достаточным, а выполнение условия ГКД (в линейном случае ГКД ) в точке равновесия необходимым для схо димости всех невырожденных траекторий процессов () и () на C к точке равновесия при всех достаточно близких к этой точке начальных состояниях (локальная устойчивость).

100 II. Качественные модели сложных систем Доказательство теоремы 5 дано в приложении. С учетом теоремы 1 из [41], теорем 3 и 4, а также факта эквивалентности локальной и глобальной устойчивости линейных систем на Rn получаем следующее следствие.

Следствие. На классе линейных контрамонотонных функций-ин дикаторов на C = Rn каждое из условий I, II, III, ГК достаточно и с точностью до подбора масштабов необходимо для сходимости всех траекторий процессов () и () к точке равновесия.

Следствия из теорем 4 и 5 показывают, в частности, что условия I– III как достаточные условия успешного функционирования систем не слишком узки, поскольку на таком нетривиальном классе, как класс линейных контрамонотонных систем, эти достаточные условия по су ществу сомкнулись с необходимым (в данном случае) условием успеш ного функционирования условием ГК.

2. Примеры анализа систем целенаправленных элементов В этом пункте приводится серия модельных примеров, многие из которых известны из литературы;

эти примеры, относящиеся к самым различным областям, анализируются здесь с помощью общих теорем настоящей работы. Примеры сгруппированы по трем подразделам ста тьи, иллюстрирующим применение условий I, II и III соответственно;

впрочем, некоторые примеры подпадают более чем под одно условие.

Для условия ГК нет надобности в специальных примерах, поскольку многие системы, рассматриваемые как иллюстрации к условиям I, II, III, оказываются контрамонотонными и, следовательно, удовлетворя ют также и условию ГК.

Условие I. Характерная область приложения условия I это системы целенаправленных элементов, состязающихся за получение некоторого ресурса. Об этом уже говорилось вкратце в разделе 2 пер вой части работы (см. [41]);

изложим соответствующую общую схему более подробно. Пусть ci количественная мера усилий i-го эле мента по привлечению ресурса, i количество ресурса, достающееся i-му элементу, а i его потребность в ресурсе;

здесь i = i (c) и i = i (c) (i = 1,..., n). Тогда i (c) = i (c) i (c) (10) представляет собой величину дефицита ресурса (или, с обратным зна ком, величину избытка ресурса) у i-го элемента. Обычно величину (10) можно рассматривать как функцию-индикатор для i-го элемента, если Модели совместного функционирования. цель этого элемента заключается в удовлетворении своей потребности в ресурсе. В таких задачах набор функций i (c) (10) (i = 1,..., n) часто оказывается удовлетворяющим условию I;

а именно: в модель ных примерах потребность i обычно либо постоянная, либо монотон но возрастающая функция i (ci ) от величины усилия i-го элемента ci, а набор функций {i (c)} (i = 1,..., n) удовлетворяет условию I (возможно, в ослабленном варианте с нестрогими неравенствами).

Условие I здесь означает, что если сравнить группу I элементов, уве личивших (во всяком случае, не уменьшивших) свои усилия по привле чению ресурса, и группу I элементов, не увеличивших свои усилия, то первая группа получит заведомо не меньшее, чем вторая группа, дополнительное суммарное количество ресурса (которое, впрочем, мо жет оказаться и отрицательным 1 ).

Выполнение условия I часто обеспечивается самой природой рас пределительной системы. Для того чтобы обосновать это утверждение, мы рассмотрим простые физические процессы распределения матери альных потоков. Начнем с простейшего примера линейной электри ческой цепи (системы распределения токов), поддающейся непосред ственному аналитическому расчету.

Пример 1. Пусть имеются n потребителей тока, соединенные па раллельно;

i-й потребитель характеризуется величиной проводимости i, которую он может устанавливать в диапазоне 0 i i макс. Вся эта группа потребителей подключена к источнику ЭДС величины E с внутренним сопротивлением R. Ток i-го потребителя, как легко ви деть, при этом равен Ii = Ii () = Ei (1 = R k ). (11) k Если предположить, что каждый i-й потребитель регулирует свою на грузку, т.е. проводимость i, с целью, чтобы ток Ii сравнялся с задан 0 0, то, очевидно, разность Ii Ii () будет служить ным значением Ii для него функцией-индикатором (здесь i играет роль ci, Ii роль i, а Ii () роль i (c) из описанной выше общей схемы). Легко проверить, что система функций Ii Ii () = i () (i = 1,..., n) удо влетворяет условию I. Поэтому в силу следствия 1 из теоремы 2 в [41] в такой системе всегда существует единственное состояние равновесия на допустимом множестве = {| 0 i i макс (i = 1,..., n)};

в равновесии для каждого i либо Ii ( ) = Ii, либо же Ii ( ) Ii и 0 1 При контрамонотонности функций { (c)}, т. е. при чистой состязательно i сти элементов, это дополнительное количество всегда неотрицательно.

2 Кроме того, эта система функций контрамонотонна и, следовательно, удовле творяет также условию ГК.

102 II. Качественные модели сложных систем i = i макс (неустранимая недогрузка). Это равновесие, согласно теореме 4 из [41], достигается 1 при любом начальном состоянии в про цессе независимого регулирования нагрузок потребителей по правилу типа ():

sign i = sign i () = sign (Ii Ii ()) (i = 1,..., n) (12) (уменьшение проводимости при избыточном токе и увеличение при недостаточном). Отметим также, что согласно лемме 2 из [41] в про |Ii цессе (12) происходит монотонное убывание суммы невязок i Ii ()| (функция I ) до своего абсолютного минимума на допустимом множестве.

Пример 2. В примере 1 можно было получить аналитические выра жения для функций-индикаторов и проверить выполнение условия I путем непосредственных вычислений. Покажем теперь, что на самом деле для физической (технической) распределительной системы вы полнение условия I вытекает из общих достаточно грубых качествен ных предпосылок. Возьмем сначала такую же электрическую цепь, что и в примере 1, но уже с нелинейными проводимостями i и сопротивле нием R. Пусть характеристика напряжение ток i-го потребителя имеет вид Ii = i (U, i ), где U напряжение, i параметр проводимости. В случае линейной проводимости i = U i ;

в общем случае будем лишь предполагать, что функция i возрастает по U и по i. Внутреннее сопротивление источника также будем в общем случае считать непостоянным, так что напряжение U = U (I), где I = Ii, есть некоторая невозрастающая нелинейная функция (в линейном случае, в примере 1, U = E RI, где R = const ). Таким образом, установившиеся в цепи токи должны удовлетворять системе нелинейных алгебраических уравнений Ii = i (U (I), i ), I= Ii, i т.е.

Ii = i Ik, i (i = 1,..., n), (13) где i (x, y) i (U (x), y) функция, невозрастающая по x и возраста ющая по y. Такое же рассуждение можно провести, например, для си стемы параллельно включенных потребителей потоков жидкости или 1 Здесь и далее под достижимостью равновесия в динамическом процессе подра зумевается сходимость к равновесию невырожденных траекторий этого процесса.

Модели совместного функционирования. газа;

обозначая через Ii величину потока у i-го потребителя, а через i параметр его проводимости (например, степень открытия крана на трубопроводе), снова получим систему вида (13).

Итак, пусть задана система потоков, описываемая уравнениями (13). Исследуем возможности достижения заданных величин пото ков Ii на допустимом множестве = {|i мин i i макс (i = = 1,..., n)}. Относительно функций i (x, y) в (13) будем предпола гать лишь, что они непрерывные, неотрицательные, невозрастающие по x и возрастающие по y (x, y 0). При этом система (13) при лю бых фиксированных 1,..., n 0 определяет единственное решение I1,..., In 0. Действительно, функция i i (I, i ) не возрастает по I и, значит, уравнение I = i i (I, i ) имеет при любых 1,..., n единственное решение I = I(1,..., n ) 0, что дает однозначные величины Ii = i (I(1,..., n ), i ), которые, очевидно, непрерывно за висят от = (1,..., n ).

Покажем, что набор функций fi (1,..., n ) = Ii = i (I(1,...

..., n ), i ) удовлетворяет условию I. Возьмем = (1,..., n ) = = 0;

разобьем множество индексов {1,..., n} на три подмножества K, K=, K так, что при k K k 0, при k K= k = 0, при k K k 0. Для данного могут осуществиться три случая: I 0, I = 0 и I 0. Рассмотрим их поочередно.

Случай 1: I 0. В силу невозрастания i (I, i ) по I и возрастания 0 для всех k K K=.

по i в этом случае имеем заведомо Ik Но так как I = ( Ik ) 0, то отсюда заключаем, что K заведомо не пусто и |Ik | Ik 0, kK K= kK так что n Ik sign k 0. (14) k= Случай 2: I 0 совершенно аналогично дает (14).

Случай 3: I = 0 дает, очевидно, Ik = 0 для k K=, Ik 0 для k K и Ik 0 для k K. Так как хотя бы одно из множеств K и K не пусто в силу условия = 0, то снова получаем (14).

Итак, для данной распределительной системы набор функций {Ii ()}, а значит, и {Ii Ii ()} всегда удовлетворяет условию I. Поэтому остаются в силе выводы о существовании и единственно 1 Можно также убедиться, что эти функции, как и в частном случае (11), кон трамонотонны и, значит, выполнено и условие ГК.


104 II. Качественные модели сложных систем сти состояния равновесия в такой системе и о его достижимости при регулировании потоков по правилу (12).

Проиллюстрировав естественность условия I для систем с распре делением физического ресурса, приведем теперь примеры из других областей, где условие I иногда будем просто постулировать.

Пример 3. Пусть имеется система n обслуживающих устройств;

i-е устройство обладает заданной пропускной способностью i. Величи на потока клиентов к i-му устройству i зависит от его усилия ci (например, от качества обслуживания или от расходов на рекламу и т. п.), а также и от чужих усилий cj (j = i). Если цель i-го участ ника состоит в том, чтобы обеспечить загрузку i-го обслуживающего устройства, равную номинальной i или как можно более близкую к ней, то функция i (c) (10) является для него функцией-индикатором.

Предположим, что система функций i (c) (10) (здесь i = const ) удовлетворяет условию I. Предположим также, что допустимая вели чина усилия ci лежит в некотором конечном интервале [ai, bi ] (i = = 1,..., n). Тогда согласно следствию 1 из теоремы 2 в [41] существует единственное состояние равновесия (c,..., c ) такое, что для каждого 1 n i-го обслуживающего устройства его загрузка i (c ) либо а) равна его номинальной загрузке i ;

либо б) превышает номинальную загрузку:

i (c ) i, хотя i-й участник применяет минимум усилий для привле чения клиентов (c = ai );

либо, наконец, в) реальная загрузка ниже i номинальной: i (c ) i, хотя i-й участник применяет максимум уси лий (c = bi ). В этом состоянии равновесия, согласно теореме 2 из i |i i (c)|, [41], достигается минимум суммы невязок по загрузке что говорит об удовлетворительности такого режима для системы в целом. Наконец, если каждый участник в динамике руководствуется естественным правилом () изменения усилий по привлечению клиен тов в зависимости от их избытка или недостатка, то согласно лемме и теореме 4 из [41] система достигает указанного состояния равновесия из любого начального состояния, причем в этом процессе сумма невя зок |i i (c)| монотонно убывает до своего абсолютного минимума на C = {c|ai ci bi (i = 1,..., n)}.

Отметим, что здесь, в отличие от [34], не делается никаких предпо ложений о знаке взаимного влияния различных участников. Увеличи вая свои усилия по привлечению клиентов, каждый участник может как перехватывать клиентов у партнеров (случай контрамонотон ного влияния [34]), так и, наоборот, способствовать увеличению по тока клиентов не только к себе, но и к партнерам;

справедливость полученных результатов (если только выполнено условие I) от этого не зависит.

Модели совместного функционирования. Пример 4. Рассмотрим непосредственное обобщение модели уста новления рыночных цен из [34]. Пусть на рынке имеется n видов това ров, цена на i-й товар равна ci (0 ci ), спрос на него равен i (c), а предложение i (c). Рассмотрим функцию избыточного спроса на i-й товар i (c) = i (c) i (c), которую будем предполагать непрерывной и убывающей по ci. Функция i (c) является функцией-индикатором для продавца i-го товара, который стремится установить цену, вырав нивающую спрос и предложение i и i [26, 34, 79, 198].

Этот пример подходит под изложенную выше общую схему, если покупательский спрос рассматривать как ресурс, делимый между продавцами, цену ci, взятую с обратным знаком, как меру уси лия i-го продавца по привлечению ресурса, а предложение i i-го продавца как его потребность в ресурсе. Пусть система функций i (c) = i (c) i (c) удовлетворяет условию I, и предположим также, что для каждого товара i найдется столь высокий уровень цены ci, что при ci ci избыточный спрос i (c) на этот товар отрицателен, како вы бы ни были цены cj на остальные товары j = i. Тогда выполнены условия следствия 3 из теоремы 2, а также леммы 3 в [41] (достаточно положить c1 = 0, c2 = c). Следовательно, равновесные цены c,..., c 1 n такие, что для каждого i = 1,..., n либо i (c ) = 0, либо i (c ) 0, c = 0, существуют и единственны. В соответствии с леммой 3 и тео i ремой 4 из [41] заключаем, что эти цены устанавливаются в процессе независимого регулирования цены каждого товара на основании зна ка избыточного спроса на этот товар (). В отличие от [34] здесь не делается предположений о валовой заменимости товаров о кон трамонотонном характере зависимости избыточного спроса на данный товар от цен на остальные товары.

Интересно отметить, что функции избыточного спроса, порождае мые покупательской тактикой попарного сравнения цен [34, 79]:

(cj ci ) i (ci ) i (c) = A (i = 1,..., n) j=i (A = const, (x), i (y) (y 0) положительные монотонно возрас тающие функции, (x) + (x) = const ), удовлетворяют условию I, а также каждому из условий II, III и ГК.

Пример 5. Рассмотрим пример другого рода, в котором группа вза имодействующих участников решает общую задачу. Этот пример простейшая модельная задача распределения экономического ресур са между несколькими потребителями с неизвестными характеристи ками;

изложим ее в форме, близкой к [16], где рассматривался один вариант коллективного поведения автоматов при решении подобной 106 II. Качественные модели сложных систем задачи. Пусть задано ограниченное количество R некоторого ресурса и имеются n потребителей этого ресурса. Каждый i-й потребитель пе рерабатывает получаемый ресурс в конечный продукт, объем выпуска которого при переработке x единиц ресурса равен i (x). Производ ственная функция i (x) предполагается неотрицательной, определен ной при всех x 0, непрерывно дифференцируемой и в соответствии с обычным представлением об убывающей предельной эффективно сти i (x) (= di (x)/dx) строго вогнутой. Пусть общая цель систе мы состоит в том, чтобы произвести максимум суммарного конечного продукта. Тогда в идеале нужно было бы дать i-му участнику такое количество ресурса x, чтобы достигнуть i n max i (xi ).

x1 +...+xn =R i= Но если функции i (x) неизвестны заранее, то возникает необхо димость в организации поиска наилучшего (или хотя бы достаточно удовлетворительного) режима работы.

Используя подход Корнаи–Липтака (см., например, [18]), будем предполагать, что каждый i-й потребитель сообщает держателю ре сурса свою собственную оценку этого ресурса ci. Держатель ресурса распределяет его таким образом, чтобы подавляющая часть его шла тем потребителям, которые предлагают наибольшие оценки и тем са мым обещают наибольшую эффективность его использования.

Пусть i (c) количество ресурса, которое отдает i-му потреби телю держатель ресурса в случае, если набор предложенных оценок есть c = (c1,..., cn ). Относительно функций i (c) будем предполагать, что они непрерывны и что набор {i (c)} (i = 1,..., n) удовлетворя ет следующему требованию: потребителям, повысившим свои оценки, передается часть ресурса, предназначавшегося потребителям, которые теперь понизили или, по крайней мере, не повысили свои оценки. При мером правила распределения ресурса, удовлетворяющего этому тре бованию, может служить следующее правило:

n i (c) = Rgi (ci ) gk (ck ) (i = 1,..., n), (15) k= где gi (x) положительные непрерывные возрастающие функции от x 0. Если функции gi (x) растут по x достаточно быстро, например, gi (x) xN, где N 1, то правило (15) сколь угодно точно аппрокси мирует правило отдавать весь ресурс тому (тем), кто дает максималь ные оценки. Легко видеть, что набор функций {i (c)} (i = 1,..., n), Модели совместного функционирования. удовлетворяющий вышеуказанным требованиям, тем самым удовле творяет условию типа I (вообще говоря, в нестрогом варианте).

Опишем теперь правила поведения потребителей. Предполагаем, что каждый i-й потребитель стремится сообщать держателю ресурса свою истинную оценку эффективности для него этого ресурса ci = i.

Однако мы допускаем, что i-й потребитель не знает точного значения своей эффективности i (xi ) даже в текущей рабочей точке xi = i (c), а способен лишь выяснить, завышена объявленная им оценка эффектив ности ci по сравнению с истинной текущей эффективностью i (i (c)), или занижена, или в точности равна ей. Легко видеть, что при этом можно принять разность i (i (c)) ci за функцию-индикатор i-го по требителя и предписать ему соответствующее правило () изменения своей оценки ci.

Для удобства анализа подменим функцию-индикатор i (i (c)) ci другой, эквивалентной функцией, которую построим следующим образом. Заметим, что в процессе () при i (c) = i (i (c)) ci можно без существенного ограничения общности считать, что ci (t) [i, i ], где i = min i (x) = i (R), i = max i (x) = i (0).

0xR 0xR Действительно, с помощью леммы 3 из [41] (полагая в ней c1 = i = i, c2 = i +, где 0 сколь угодно мало) легко видеть, что i если ci (0) [i, i ], то ci (t) [i, i ] при всех t 0 в этом процес се. Определим теперь для каждого ci [i, i ] число xi (ci ) как точку максимума функции i (xi )ci xi по xi 1. Как следует из строгой вогну тости и непрерывной дифференцируемости функции i (x), функция xi (ci ) взаимно однозначно и непрерывно отображает [i, i ] на [0, R].

При этом ci i (i (ci )), так что x sign (i (xi ) ci ) sign (i (ci ) xi ) x тождественно по xi [0, R] и ci [i, i ]. Это означает, что функция xi (ci ) i (c) эквивалентна функции i (i (c)) ci в роли функции индикатора i-го потребителя. Более того, ввиду непрерывности, а зна чит, и взаимной непрерывности отображения ci xi (ci ) функция xi (ci ) xi отделена от нуля одновременно с функцией i (xi ) ci, т.е. если |i (xi ) ci | const 0, то и |i (ci ) xi | x const 0, и обратно. В силу всего сказанного можно вместо процесса () с 1 Функцию (x ) c x можно интерпретировать как прибыль i-го потребителя ii ii при переработке им количества ресурса xi, закупленного по цене ci, в количество i (xi ) продукта, имеющего единичную цену. Тогда xi (ci ) это объем закупок ресурса i-м потребителем по цене ci, максимизирующий его прибыль при этой цене.

108 II. Качественные модели сложных систем i (c) = i (i (c)) ci рассматривать процесс () с i (c) = xi (ci ) i (c);

каждая невырожденная траектория исходного процесса будет в то же время невырожденной траекторией подмененного процесса, и обрат но.

Так как функции xi (ci ), очевидно, строго убывают по своим пере менным ci, а набор функций {i (c)} удовлетворяет нестрогим нера венствам из условия I, то набор функций-индикаторов i (c) = xi (ci ) i (c) (i = 1,..., n) уже полностью удовлетворяет условию I (а так же в силу контрамонотонности и условию ГК). Применяя следствие 3 из теоремы 2 в [41] при c1 = i, c2 = i, получаем, что существует i i единственный равновесный набор оценок c = (c,..., c ) такой, что 1 n xi (c ) = i (c ) или, что то же самое, i (i (c )) = c (i = 1,..., n). В си i i лу леммы 3 и теоремы 4 из [41] это равновесное состояние достигается в процессе ().

Отметим, что если правило распределения ресурса близко к прави лу отдать тому, кто дает максимальную оценку, например, приме няется правило вида (15) с gi (x) xN, N 1, то равновесные оценки окажутся почти совпадающими: c c... c, финальное рас 1 2 n пределение ресурса 1 (c ),..., n (c ) будет близким к оптимальному распределению x,..., x, а суммарный выпуск продукта будет близок 1 n i (x ).

к максимально возможному выпуску i Условие II. Рассмотрим сначала достаточно общий формальный тип моделей, удовлетворяющих условию II. Это модели, в которых функции-индикаторы имеют вид (10) и порождаются следующим об разом. Пусть заданы n функций i (c0, c1,..., cn ) (i = 1,..., n), одно родные по сдвигу переменных :

i (c0, c1,..., cn ) i (c0 + s, c1 + s,..., cn + s) (i = 1,..., n). (16) К этому же виду приводятся функции однородные нулевой степе ни i (c0, c1,..., cn ) i (c0, c1,..., cn ) (17) (, c0, c1,..., cn 0, i = 1,..., n) путем замены переменных cнов = ln cj (j = 0, 1,..., n). Пусть каж j дая функция i (16) является неубывающей по переменным cj, j = i, причем строго возрастающей по co. Зафиксируем некоторое значение c0 = c и положим i (c1,..., cn ) = i (c, c1,..., cn ) i (ci ) (i = 1,..., n), (18) где i неубывающая функция от ci. Пусть c = (c1,..., cn ) = и |ck | = max |ci |;

пусть для определенности s = ck 0. Тогда, i Модели совместного функционирования. учитывая, что cj ck для всех j = 1,..., n, получаем k (c + c) = k (c, c1 + c1,..., cn + cn ) k (ck + ck ) k (c +s, c1 +s,..., cn +s)k (ck ) = k (c, c1,..., cn )k (ck ) = k (c).

0 Аналогично, если ck 0, то k (c+c) k (c). Это и означает вы полнение условия II. (В то же время функции i (c) контрамонотонны, так что выполнено и условие ГК.) Пример 6. Рассмотрим обслуживание одним прибором потока раз нотипных требований с -приоритетами [28]. Пусть имеется l типов требований;

разным типам i = 1,..., l приписываются приоритет ные параметры числа i такие, что если обслуживания ожидают требования нескольких типов, то первым обслуживается требование с меньшим значением + t, где t время прихода требования. Пусть mi (1,..., l ) показатель качества обслуживания требований i-го ти па, например, среднее время обслуживания. Очевидно, mi (1,..., l ) mi (1 +,..., l + ). (19) Кроме того, при определенных предположениях можно считать, что каждая функция mi является неубывающей по j (j = i) [28]. Вы делим n типов требований 1,..., n и предположим, что все остальные требования обладают фиксированными приоритетами со средним зна чением ср. Тогда можно считать, что качество обслуживания требова ния i-го выделенного типа определяется функцией mi (ср, 1,..., n ), однородной по сдвигу (19), неубывающей по j (j = i) и возрастающей по ср. Поэтому при фиксированном ср система функций µi (1,..., n ) = mi (ср, 1,..., n ) Ti (i = 1,..., n), (20) где Ti = const, в силу доказанного выше удовлетворяет условию II.

Функции (20) могут служить функциями-индикаторами при регули ровании приоритетов i с целью добиться заданных показателей Ti обслуживания требований типов i = 1,..., n. Выполнение условия II позволяет (при дополнительном предположении о существовании и 2 таких, что i i, µi (1 ) 0, µi (2 ) 0 (i = 1,..., n)) в силу 1 следствия 3 из теоремы 2 и теоремы 3 в [41] установить существо вание и единственность равновесия и сходимость к нему в процессе независимого регулирования приоритетов вида (). Подобный про цесс исследован, в частности, в [28]. Эти выводы сохраняют силу и без предположения о неубывании mi по j (j = i), если выполнение условия II постулируется отдельно.

Пример 7. Обратимся снова к модели регулирования цен из приме ра 4. Рассмотрим n функций избыточного спроса (разностей спроса и 110 II. Качественные модели сложных систем предложения) на n товаров из общего числа l = n + 1 товаров:

i (c0, c1,..., cn ) = i (c0, c1,..., cn ) i (c0, c1,..., cn ) (i = 1,..., n).

(21) Обычно в таких моделях считается, что цены cj определены с точ ностью до единицы измерения, так что от умножения всех cj (j = = 0, 1,..., n) на одно и то же число 0 значения функций (21) не изменяются (однородность нулевой степени) [26, 198]. При этом можно выделить базисный товар 0, зафиксировать цену на него c0 1 и измерять цены на остальные n товаров уже в единицах базисного [26, 198]. Это приводит к функциям-индикаторам избыточного спроса вида i (c1,..., cn ) i (1, c1,..., cn ) (i = 1,..., n).

Если предположить, что товары 0, 1,..., n обладают валовой за менимостью [26, 198]: i (c0, c1,..., cn ) (i = 1,..., n) не убывает по cj (j = i), причем возрастает по c0, то после нелинейного преобразова ния масштабов по типу (17) (16) путем замены ci на cнов = ln ci для i получаемого набора функций-индикаторов {i (cнов )} будет выполнено условие II (а также ГК). Поэтому для данной модели останутся в силе выводы из примера 4. Разумеется, то же будет, если просто постули ровать выполнение условия II, не предполагая контрамонотонности, т.е. валовой заменимости товаров, либо если, наоборот, постулировать усиленную валовую заменимость, эквивалентную условию ГК: если цены на товары некоторой группы I возросли, а на все остальные не возросли, то избыточный спрос хотя бы на один товар группы I должен уменьшиться.

Пример 8. Рассмотрим модель межотраслевого баланса [26, 198].

Пусть имеется n отраслей;

i-я отрасль выпускает продукт i в количе стве xi 0 и на выпуск единицы этого продукта расходует aij единиц продукта j, где aij 0 постоянные коэффициенты (i, j = 1,..., n).

Чистый (конечный) выпуск i-го продукта yi равен n yi = yi (x) = xi aij xj (i = 1,..., n). (22) j= Пусть требуется получить чистые выпуски yi 0, для чего нуж но найти соответствующие величины полных выпусков xi 0 (i = = 1,..., n). При такой цели функцией-индикатором для i-й отрасли может служить (при очевидном условии aii 1) функция fi (x) = yi yi (x) или эквивалентным образом функция gi (x) = (yi yi (x))/xi, т.е.

aij xj xi 1 (i = 1,..., n).

gi (x) = yi + (23) j Модели совместного функционирования. Замечая, что функция (23) однородна нулевой степени, перейдем к новым переменным ci = ln xi (xi 0), в которых функции-индикаторы (23) приобретают вид i (c) = yi eci + aij ecj ci (i = 1,..., n). (24) j Легко видеть, что набор функций (24) удовлетворяет условию II;

это сразу следует из анализа однородных по сдвигу функций, прове денного в начале настоящего подпункта достаточно положить в (24) yi = ai0 ec0, считая c = 0 и ai0 = yi, и сопоставить (24) с (18).

0 Будем предполагать, что модель (22) продуктивна [26, 198], т.е.

что система (22) допускает y = (y1,..., yn ) 0 хотя бы при одном x = = (x1,..., xn ) 0. Очевидно, что при любом достаточно малом x1 будет f (x1 ) 0 (и g(x1 ) 0);

в то же время продуктивность согласно [198] гарантирует в линейной модели (22) существование сколь угодно большого вектора x2 0 такого, что f (x2 ) 0 (и g(x2 ) 0). Переходя к соответствующим векторам в пространстве c, заключаем, что для функций-индикаторов (24) выполнены условия следствия 3 из теоремы 2 (а также леммы 3) из [41], и, следовательно, точка равновесия c существует, единственна и в силу теоремы 3 достигается в процессе (). Возвращаясь в пространство x, обнаруживаем, что существует единственный набор полных выпусков x = eci, дающий требуемые i чистые выпуски yi (i = 1,..., n). Поскольку каждой невырожденной траектории x(t) исходного процесса sign xi = sign fi (x) (= sign gi (x)) (i = 1,..., n), ограниченной в силу леммы 3 из [41], соответствует невырожденная траектория c(t) процесса () с функциями (24), то этот исходный процесс будет сходиться к x при любом x(0) 0.

Подчеркнем, что в этом примере функции fi (x) (и gi (x)) контра монотонны. Нетрудно показать, что набор функций fi (x) (а значит, и gi (x)) удовлетворяет условию ГК в том и только в том случае, ес ли модель (22) продуктивна 1. Отсюда с учетом существования сколь угодно малого x1 0 и сколь угодно большого x2 0, для которых f (x1 ), g(x1 ) 0 и f (x2 ), g(x2 ) 0, находим, что для продуктивной линейной модели (22) существование и единственность равновесия x и его достижимость в процессе типа () при функциях-индикаторах 1 Достаточно применить теорему 3 к матрице [f (x)/x ] = E A системы i j (22) и воспользоваться леммой П.1 из приложения.

112 II. Качественные модели сложных систем fi (x) или gi (x) гарантируется теоремой 2. Условие ГК позволяет рас смотреть и более общую, нелинейную модель межотраслевого баланса n yi (x) = xi aij (x)xj (i = 1,..., n), (25) j= где предполагается, что функции yi (x) непрерывны и контрамонотон ны. Условие ГК для модели (25) можно назвать условием продук тивности в приращениях, так как из него вытекает, что для любого x 0 можно указать x 0 такое, что y = y(x + x) y(x) 0 1.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 15 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.