авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 15 |

«А.В. Малишевский Качественные модели в теории сложных систем A.V. Malishevski Qualitative Models in the ...»

-- [ Страница 4 ] --

Дополним условие ГК следующим предположением неограниченной продуктивности : для всякого y существует x 0 такое, что y(x) y.

Тогда теорема 2, как и в линейном случае, гарантирует существование, единственность и динамическую достижимость равновесия искомых выпусков x,..., x в процессе типа () с функциями-индикаторами 1 n fi (x) = yi yi (x) ( небалансы ).

Пример 9. Приведем теперь модель регулировки мощностей в кол лективе радиостанций из [77]. Рассматриваются n радиостанций;

каж дая i-я радиостанция характеризуется мощностью i 0 и качеством слышимости (отношением шум/сигнал), определяемым выражением i = aij j + Ni aii i (i = 1,..., n), j=i где aij 0, Ni 0 постоянные. В одной из постановок задачи [77] требуется независимо регулировать мощность каждого i-го передат чика так, чтобы i приняло заданное значение 0 0. Легко видеть, i что при этом разность i (1,..., n )/0 1 можно принять в качестве i функции-индикатора i-го передатчика. Заметим, что эта функция име ет такой же вид, что и (23) в примере 8. Поэтому при выполнении ана лога условия продуктивности для этой системы 2 набор функций индикаторов i (c) = i /0 1, где ci = ln i (i = 1,..., n), будет, как и i в примере 8, удовлетворять условию II (и ГК), а также условиям след ствия 3 из теоремы 2 и леммы 3 из [41], так что будут справедливы выводы о существовании, единственности и достижимости искомого состояния равновесия в процессе независимой регулировки мощностей по правилу (). Аналогично примеру 8 можно рассмотреть нелиней ное обобщение этой модели при соблюдении условия ГК.

Условие III. Условие III, как будет видно из примеров, связано с понятием выпуклости функций и его обобщениями. В примерах 10 и 1 См. лемму П.5 в приложении.

2 Соответствующие детерминантные условия как раз и даны в [77].

Модели совместного функционирования. 11 рассматриваются системы, равновесие в которых соответствует ми нимуму выпуклой функции или минимаксу (седлу) выпукло-вогнутой функции. Ввиду того, что такие ситуации достаточно изучены (в част ности, в задачах математической экономики [26]), в примерах 10 и дается лишь краткий формальный анализ их на языке общей моде ли настоящей работы. Более специфический пример 12 из теории игр анализируется подробнее.

Пример 10. Пусть величины c и связаны соотношением i (c) = U (c)/ci (i = 1,..., n), (26) где U (c) некоторая непрерывно дифференцируемая функция на C. Можно интерпретировать ci как обобщенные координаты, а i как соответствующие обобщенные силы;

при этом U (c) имеет смысл потенциала. Условие III для системы 1 (c),..., n (c) (26) эквивалентно строгой выпуклости потенциала U (c) на C (см., например, [151]). При этом условии каждая функция i (c) непрерывна и монотонно убывает по ci, так что ее действительно можно принять в качестве функции индикатора i-го элемента. Далее, при этом условии точка c является точкой равновесия в том и только в том случае, если c есть точка минимума функции U (c) на C. Это утверждение, дающее для данного примера дополнительную (помимо теоремы 2 из [41]) характеристику точки равновесия, следует из определения этой точки как решения системы уравнений () на C и из неравенства U (c1 ) U (c2 ) U (c1 ) (ci c1 ), (27) i ci i справедливого в случае строгой выпуклости функции U (c) для любых двух различных точек c1, c2 C [26, 151, 198].

Если указанная точка c существует, то процесс () сходится к ней при t в силу теоремы 3 из [41]. Более того, в данном примере можно гарантировать сходимость к c каждой невырожденной траек тории процесса (), так как этот процесс реализует монотонный спуск по функции U (c) ( под острым углом к антиградиенту ).

Пример 11. Пусть c и связаны соотношением K(c) (i = 1,..., m), ci i (c) = (28) K(c) + (i = m + 1,..., n), ci где функция K(c) непрерывно дифференцируема на C. Тогда для то го, чтобы набор функций {i (c)} удовлетворял условию III, необходи 114 II. Качественные модели сложных систем мо и достаточно, чтобы функция K(c) была строго выпукла по сово купности переменных (c1,..., cm ) и строго вогнута по (cm+1,..., cn ) [151]. При этом условии i (c) можно рассматривать как функцию индикатор, а c является точкой равновесия в том и только в том случае, если c есть седловая точка выпукло-вогнутой функции K(c), т. е. подвектор (c,..., c ) доставляет минимум K(c1,..., cm, c,..., 1 m m+ c ), а подвектор (c,..., c ) доставляет максимум K(c,..., c, n m+1 n 1 m cm+1,..., cn ) на соответствующем допустимом множестве (проекции C) 1. Это утверждение вытекает из строгой выпукло-вогнутости K(c) с применением соответствующих неравенств типа (27). Наконец, если точка равновесия c существует, то к ней, согласно теореме 3 из [41], сходится каждая траектория процесса (), который в данном случае представляет собой известный градиентный процесс Эрроу–Гурвица поиска седловой точки выпукло-вогнутой функции [26].

Пример 11 описывает, в частности, антагонистическую игру двух лиц с платежной функцией K(c), где первый игрок выбирает под вектор (c1,..., cm ), а второй подвектор (cm+1,..., cn ). Разберем те перь более сложный пример игры многих лиц из [215] (формаль ное описание которого включает предыдущие примеры как частные случаи).

Пример 12. Рассмотрим игру l лиц, в которой k-й игрок выбирает вектор xk = (xk,..., xk k ) размерности nk ;

состоянием игры являет 1 n ся вектор x = (x1,..., xl ) размерности n = n1 +... + nl, и платежной функцией k-го игрока является непрерывно дифференцируемая функ ция k (x). Будем предполагать, что игрок может измерять частные производные k (x)/xk (j = 1,..., nk ) своей платежной функции.

j Для каждого k введем в рассмотрение nk -мерный вектор k (x) k (x) k k (x) =,..., (29) xk xk k n и рассмотрим следующее условие [215]: для некоторого набора поло жительных чисел r1,..., rl и для любых двух векторов x, y (x = y) из допустимой прямоугольной области X выполняется l k xk ) 0.

rk ( k k (y) k k (x))(y (30) k= Условие (30) можно рассматривать как условие III для системы n функций-индикаторов j (x) = rk k (x)/xk (j = 1,..., nk ;

k = k j 1 Факт существования седловой точки не так легко проверить, как факт суще ствования минимума в предыдущем примере. Поэтому теорема 2 и следствие из нее в [41] могут быть полезны для выяснения самого этого факта.

Модели совместного функционирования. = 1,..., l) 1. Из (30), в частности, следует строгая вогнутость каж дой функции k (x) по совокупности своих переменных xk = (xk,..., xk k ). Пусть X замкнутое прямоугольное множество, и 1 n пусть на X выполнено условие (30);

тогда соответствующие следствия из теоремы 2 из [41] позволяют устанавливать существование и един ственность равновесия x для построенной системы n элементов и тем самым решения игры в смысле Нэша. В самом деле, в равно весии x подвектор xk таков, что для каждого j = 1,..., nk либо k (x )/xk = 0, либо k (x )/xk 0 и xk = bk (выход на ограни j j j j чение сверху), либо k (x )/xk 0 и xk = ak (выход на ограничение j j j снизу). Отсюда с учетом вогнутости k (x) по xk и соотношения типа (30) следует, что k (x ) = max k (x1,..., xk1, xk, xk+1,..., xl ), xk т.е. что x является равновесным состоянием игры (решением) в смыс ле Нэша. Наконец, если x существует, то динамический процесс k (x) xk = j (x) = rk k j (j = 1,..., nk ;

k = 1,..., l), (31) xkj рассматривавшийся в [215] и представляющий собой процесс вида () в данной системе, при выполнении условия (30) сходится в силу теоремы 3 из [41] к состоянию равновесия x.

Конкретным примером игры, удовлетворяющей условию (30) и, значит, условию III, может служить игра l лиц с платежными функ циями попарно-антагонистического вида l fkj (xk, xi ), k (x) = (32) j=1,=k где fkj (xk, xj ) = fjk (xj, xk ) и функции fkj (xk, xj ) строго вогнуты по xk и строго выпуклы по xj (j, k = 1,..., l;

j = k) (см. [151, 215]).

Такая игра представляет собой прямое обобщение антагонистической выпукло-вогнутой игры двух лиц (пример 11) на случай l лиц. Пусть X = {x| ak xk bk i = 1,..., nk ;

k = 1,..., l};

тогда i i i для набора функций (32) выполнено условие (30) (при rk 1), так что решение данной игры (в смысле Нэша) существует, единственно и достигается в процессе (31) асимптотически при t.

1 Таким образом, если n k = 1, то игрок k рассматривается как элемент с функцией-индикатором k k = k (x)/xk. Если же nk 1, то игроку k ста вятся в соответствие nk самостоятельных элементов с функциями-индикаторами k (x)/xk,..., k (x)/xk k.

n 116 II. Качественные модели сложных систем ПРИЛОЖЕНИЕ Будем называть здесь M -матрицей (матрицей Минковского–Мет цлера [26]) (n n)-матрицу D = [dij ] такую, что dii 0, dij (j = i;

i, j = 1,..., n). Из класса M -матриц выделим подкласс MX матриц (Метцлера–Хикса), характеризуемый выполнением каждого из трех эквивалентных условий, приведенных в следующей лемме.

Лемма П.1. Пусть D M -матрица. Тогда следующие три условия эквивалентны:

а) существует вектор z 0 такой, что Dx = z, где x 0;

б) все главные миноры матрицы D положительны;

в) все собственные значения матрицы D имеют положительные вещественные части.

Доказательство эквивалентности этих условий друг другу (а также некоторым другим) можно найти в [26, 198]. Заметим также, что сам вид условий б) и в) показывает, что если D MX-матрица, то и ее транспозиция DТ также MX-матрица.

Лемма П.2. Для любой матрицы A справедливо одно и только одно из следующих двух утверждений:

1) существует вектор x 0 такой, что AТ x 0;

2) существует вектор y 0 такой, что Ay 0.

Эта лемма один из вариантов известных теорем об альтернати вах (см., например, [78]).

Лемма П.3. Пусть D = [dij ] M -матрица. Тогда следующие четы ре условия эквивалентны друг другу:

(I) µj dji 0 (i = 1,..., n) при некоторых µ1,..., µn 0;

j (II) j dij 0 (i = 1,..., n) при некоторых 1,..., n 0;

j (III) все det[µi dij j + µj dji i ]i1,...,ik 0 (k = 1,..., n) при неко торых µ1,..., µn, 1,..., n 0;

(IV) все det[dij ]i1,...,ik 0 (k = 1,..., n).

Эта лемма дает еще три эквивалентных условия (I), (II), (III) то го, что M -матрица D является MX-матрицей (IV). Доказательство ее проведем по такой логической схеме:

(I) (III) (IV).

(IV) (II) Модели совместного функционирования. (IV)(I), (II). Пусть выполнено (IV), т. е. согласно лемме П.1 D и DТ являются MX-матрицами и, значит, существуют две пары поло жительных векторов µ, u и, v такие, что DТ µ = u 0, D = v 0, (П.1) т.е. выполнены условия (I) и (II).

(I) и (II)(III). Введем диагональные матрицы M и N с ii-и ком понентами µi и i соответственно (i = 1,..., n). Тогда µ=Me и =Ne, где e = (1,..., 1), и из (П.1) имеем DNe 0, DТ Me 0, откуда далее получаем MDNe 0, NDТ Me 0. (П.2) Положим MDN = A;

тогда AТ = NТ DТ MТ = NDТ M, так что (П.2) можно записать в виде пары неравенств Ae 0, AТ e 0, суммируя которые, получаем (A + AТ )e 0. (П.3) Очевидно, симметрическая матрица A + AТ является, как A и D, M -матрицей. Поэтому из (П.3) с учетом леммы П.1 заключаем, что все главные миноры матрицы A + AТ положительны условие (III).

(III)(IV). Условие (III) согласно критерию Сильвестра для сим метрической матрицы означает положительную определенность мат рицы A + AТ. Это далее означает положительную квазиопределен ность матрицы A, т. е. xТ Ax 0 при всех x = 0. Поэтому ни для какого вектора x 0 невозможно AТ x 0. Отсюда по лемме П.2 су ществует y 0 такой, что Ay 0, т.е. MDNy 0 и, значит, Du 0, где u = Ny 0. Последнее в силу леммы П.1 означает, что D MX матрица, так что D удовлетворяет условию (IV). Лемма полностью доказана.

Лемма П.4. Пусть A = [aij ] и B = [bij ] матрицы, связанные соотношениями aii = bii, aij = |bij | (j = i;

i, j = 1,..., n). Тогда если матрица A положительно квазиопределенная (т.е. xТ Ax 0 при всех x = 0), то и матрица B положительно квазиопределенная.

Доказательство дается цепочкой соотношений bii x2 + bii |xi | xТ Bx = 2 bij xi xj i i i i j=i Т |bij ||xi ||xj | = y Ay 0 (yi = |xi |, i = 1,..., n;

x = 0).

i j=i Лемма П.5. Пусть набор i (c),..., n (c) удовлетворяет условию ГК на C, и пусть c внутренняя точка C. Тогда для каждого достаточно 118 II. Качественные модели сложных систем малого 0 можно указать точки c (), c () C такие, что c () c c (), c () c = c () c = и (c ()) (c) (c ()).

Доказательство. Отображение c (c) взаимно однозначно на C, что видно из формулировки условия ГК;

кроме того, оно непрерывно на C. Поэтому (c) гомеоморфно отображает множество C Rn на его образ (C) Rn и, следовательно, переводит внутреннюю точку c C во внутреннюю точку (c) (C) в Rn [198]. Ввиду этого для данной внутренней точки c и ее образа (c) можно указать пару точек, таких, что (c) и, (C), т.е. = (c ) и = (c ) для некоторых c, c C. Более того, очевидно, для любого достаточно малого 0 точки, можно подобрать так, что c c = c c =. Наконец, с учетом условия ГК легко убедиться, что указанные точки c, c должны удовлетворять соотношению c c c. Лемма доказана.

Перейдем к доказательству теорем из раздела 1 статьи.

Доказательство теоремы 1. Пусть dii = i /ci 0, dij = = |i /cj | (i = j). Применяя к M -матрице D = [dij ] лемму П.3, уста навливаем эквивалентность условий IДМ и IIДМ друг другу и условию положительности всех главных миноров матрицы MDN + NDТ M (M, N диагональные матрицы с ii-ми компонентами µi, i 0).

Последнее по критерию Сильвестра означает положительную опре деленность этой матрицы и тем самым положительную квазиопре деленность матрицы A = MDN. Введем матрицу B с компонентами i bij = µi j. Матрицы A и B удовлетворяют условиям леммы П.4;

ci поэтому матрица B должна быть положительно квазиопределенной и, значит, матрица B + BТ положительно определенная, что, опять по критерию Сильвестра, дает условие IIIДМ. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2 проведем в четыре этапа.

а. Существование и единственность равновесия. Пусть существует множество S (7), (8). Рассмотрим множества P 1 = {c|c S, (c) P 2 = {c|c S, (c) 0}, 0}.

Эти множества не пусты, так как они содержат точки c1 и c2 соот ветственно;

ограничены, так как S ограничено;

замкнуты ввиду зам кнутости S, непрерывности (c) и определения (c). Поэтому функ ci должна достигать на P 1 своего максимума и на ция (c) = своего минимума. Рассмотрим P 1 и точку c, доставляющую P max ci на P 1. Покажем, что на самом деле c доставляет одновре менно максимум на P 1 каждому компоненту ci, т.е. c c для всех Модели совместного функционирования. c P 1. Допустим противное: найдется c P 1, не мажорируемый век тором c ;

пусть без ограничения общности ci c при i = 1,..., k i c при i = k + 1,..., n. Покажем, что тогда и (если k n) ci i c = (c1,..., ck, c,..., c ) P 1. Очевидно, c S;

далее, в силу n k+ контрамонотонности i (c) имеем i (c ) i (c ) 0 при i = 1,..., k i (c ) 0 при i = k + 1,..., n. Таким образом, c P 1 и и i (c ) c c, что противоречит определению c.

Покажем теперь, что (c ) = 0. Действительно, в противном случае (c ) 0;

пусть, например, 1 (c ) 0. При этом заведомо c c2, 1 так как из c = c2, c c2 (i = 2,..., n) и 1 (c ) 0 с учетом 1 1 i i контрамонотонности 1 (c) получалось бы противоречие с условием 1 (c2 ) 0. Ввиду этого при достаточно малом увеличении c1 до c c мы получим точку c = (c1, c,..., c ) S такую, что все еще n 1 1 (c ) 0 и ввиду контрамонотонности i (c) 0 для i = 2,..., n.

Полученный результат c P 1, c c противоречит определению c. Следовательно, (c ) = 0, так что c S представляет собой точку равновесия на C.

Аналогично показывается, что на множестве P 2 существует точка c, доставляющая минимум сразу всем компонентам ci (c c для всех c P 2 ) и являющаяся точкой равновесия ((c ) = 0).

Докажем теперь единственность точки равновесия на C (и тем самым, в частности, равенство c = c ). Действительно, допустим, что c, c C, (c ) = (c ) = 0 и c = c. Пусть для определенности множество I индексов i таких, что ci ci, не пусто;

тогда по условию ГК i (c ) i (c ) для некоторого i I. Так как для этого i должно быть ai ci ci bi, то отсюда и i (c ) i (c ). Противоречие доказывает единственность точки равновесия на C.

б. Непроницаемость S-ящика. Докажем, что если c(t) траек тория процесса () и c(0) S, то эта траектория целиком лежит в S: c(t) S, 0 t. Для этого воспользуемся леммой 3 из [41].

Случай c1 = ai, c2 = bi (i = 1,..., n) тривиален. Рассмотрим другой i i крайний случай: ai c1 c2 bi (i = 1,..., n). В этом случае c1 и c i i внутренние точки множества C, так что согласно (8) (c1 ) = (c1 ) и (c2 ) = (c2 ) 0 и, далее согласно лемме П.5 можно указать точ ки c () для c1 и c () для c2 такие, что c () c1 c2 c (), (c ()) (c1 ) 0, (c ()) (c2 ) 0. При этом ввиду контрамо нотонности функций i (c) множество S() = {c|c () c ()} C c (П.4) удовлетворяет условиям леммы 3 из [41], и, следовательно, траектория c(t) целиком лежит в S(), если c(0) S(). По построению S() 120 II. Качественные модели сложных систем S ( 0), и S() сжимается в S (т.е. c () c1, c () c2 ) при 0. Отсюда следует, что если c(0) S, то траектория c(t) процесса () целиком лежит в S.

Возьмем теперь промежуточный случай, когда при различных i = = 1,..., n может быть и c1 = ai, и c1 ai ;

и c2 = bi, и c2 bi.

i i i i Рассмотрим, например, точку c1 ;

пусть, без ограничения общности, c1 ai при i = 1,..., k и c1 = ai при i = k + 1,..., n. Легко ви i i деть, что набор k функций i (c1,..., ck, ak+1,..., an ) (i = 1,..., k) от k переменных c1,..., ck удовлетворяет условию ГК на k-мерной про екции C (k) = {(c1,..., ck )|ai ci bi (i = 1,..., k)} множества C на соответствующее подпространство Rk, и точка c1(k) = (c1,..., c1 ) яв 1 k ляется внутренней точкой этого множества C (k) в Rk (так как ai c1 c2 bi (i = 1,..., k)). Поэтому, применяя лемму П.5, как и i i выше, получаем k-мерный вектор c (k) () = (c1 (),..., ck ()) и соот ветствующий n-мерный вектор c () = (c1 (),..., ck (), ak+1,..., an ) такой, что i (c ()) = i (c ()) 0 для i = 1,..., k. Рассмотрев анало гичным образом точку c2 и приняв во внимание контрамонотонность функций i (c), находим, что для достаточно малых 0 можно ука зать точки c (), c () и соответствующее множество S() (П.4), удо влетворяющее условиям леммы 3 из [41]. Отсюда ввиду произвольной малости 0, как и выше, заключаем, что траектория c(t) целиком лежит в S, если c(0) S.

в. Построение объемлющего ящика S(c). Возьмем произвольную точку c S и рассмотрим множества Q1 (c) = {s|c1 Q2 (c) = {s|c c2, (s) s c, (s) 0}, s 0}.

Эти множества, очевидно, не пусты, ограничены и замкнуты. Рас суждая, как и в п. а, заключаем, что множества Q1 (c) и Q2 (c) со держат соответственно точку s1 (c) и точку s2 (c), максимальную (ми нимальную) по всем компонентам одновременно на Q1 (c) (на Q2 (c)).

Кроме того, аналогично п. а находим, что 1) i (s1 (c)) = 0 (а именно 0), только если s1 (c) = ci, i (П.5) 2) i (s2 (c)) = 0 (а именно 0), только если s2 (c) = ci.

i Далее, в силу соотношений Q1 (c) P 1, Q2 (c) P 2 и характери стики точки c в п. а как максимальной в P 1 и минимальной в P по всем координатам имеем c s1 (c) s2 (c).

c, (П.6) Модели совместного функционирования. Построим множество S(c) = {s|s1 (c) s s2 (c)};

очевидно, точки s (c), s2 (c) и множество S(c) удовлетворяют условиям (7), (8) теоремы 2 в качестве c1, c2 и S соответственно.

Рассмотрим траекторию c(t) процесса () при c(0) S и соот ветствующее переменное по t множество S(c(t)) S. В силу п. б хвост траектории {c( )| t} целиком лежит в множестве S(c(t)).

Поэтому при t множества Q1 (c( )) и Q2 (c( )) заведомо содержат точки s1 (c(t)) и s2 (c(t)) соответственно, так что c s1 (c(t)) s1 (c( )) s2 (c( )) s2 (c(t)). (П.7) Таким образом, S(c( )) S(c(t)) при t, т.е. множество S(c(t)), содержащее и точку c(t), и точку c, может с течением времени t только сжиматься. Остается показать, что множество S(c(t)) действи тельно сжимается до точки c при t, т.е. что s1 (c(t)) c, s2 (c(t)) c при t.

г. Сжатие S(c(t)) в точку c. С учетом (П.6) и контрамонотонности i (s1 (c)) 0, и в случае i находим, что в (П.5) в случае 1) i (c) 2) i (c) i (s (c)) 0. Поэтому в случае 1) ci (t) 0 и в случае 2) ci (t) 0, причем всегда | i (s1 (c))| | i (s2 (c))| | i (c)|, | i (c)| (i = 1,..., n). (П.8) Пусть дана траектория c(t) процесса (). Покажем, что точки s1 (c(t)) и s2 (c(t)) движутся таким образом, что если i (s1 (c(t))) = 0, то существует s1 (c(t)) = ci (t) 0, i (П.9) если i (s2 (c(t))) = 0, то существует s2 (c(t)) = ci (t) 0.

i (П.10) В самом деле, при любом достаточно малом t 0 точка s = = (s1,..., sn ):

если i (s1 (c(t))) 0, ci (t + t), si = если i (s1 (c(t))) = ci (t), в силу (П.5)–(П.7) и непрерывности и контрамонотонности i (c) при надлежит множеству Q1 (c(t + t)) и, значит, s1 (c(t + t)) s. С учетом (П.6) отсюда находим, что s1 (c(t + t)) = ci (t + t), если i i (s1 (c(t))) = 0 и t 0 достаточно мало, что и доказывает (П.9).

Аналогично устанавливается (П.10).

Используя (П.7)–(П.10) нетрудно заметить, что множество S(c(t)) монотонно сжимается, причем в случае невырожденности траектории c(t) оно сжимается в точку c при t, а именно s1 (c(t)) c, s2 (c(t)) c при t. Отсюда с учетом (П.6) следует, что c(t) c при t. Теорема доказана.

122 II. Качественные модели сложных систем Доказательство теоремы 3. Достаточность. Контрамонотон ность функций i (c) при условии ГКД очевидна. Поэтому нужно лишь доказать, что если c, c + c C, c 0, то i (c) 0 хотя бы для одного i. Докажем это сначала в малом, при достаточно малых c.

Возьмем r 0 и положим c() = r, 0. Тогда i (c) i (c) = rj + o(). (П.11 ) cj j Согласно условию ГКД и лемме П.1 матрица D = [i (c)/cj ] и, значит, DТ является MX-матрицей, и для некоторого y 0 имеем DТ y 0. Следовательно, по лемме П.2 ни для какого x 0 не может i (c) быть Dx 0. Поэтому должно быть rj 0 хотя бы для cj j одного i, откуда согласно (П.11) i (c) 0 при достаточно малом 0, что в силу произвольности r 0 означает локальное выполне ние условия ГК.

Проверим теперь выполнение условия ГК при произвольном допу стимом c 0. Допустим противное: (c) 0, и рассмотрим мно жество L = {s|c s c + c, (s) (c)}.

Очевидно, L не пусто (оно содержит c и c + c), ограничено и за мкнуто. Поскольку c является изолированной точкой в L ввиду ло кальной выполнимости условия ГК, то множество L = L \ {c} также не пусто (содержит c + c), ограничено и замкнуто. Поэтому в L имеется вектор c, минимизирующий ci на L.

По построению c c;

пусть для определенности ci ci при i = 1,..., k и ci = ci при i = k + 1,..., n (возможно, k = n). Си стема k функций i (s1,..., sk, ck+1,..., cn ) от s1,..., sk (i = 1,..., k) удовлетворяет условию ГКД, так что матрица D(k) = [i /sj ]k, вы- численная в точке c, является MX-матрицей, и по лемме П.1 можно указать вектор p(k) = (p1,..., pk ) 0 такой, что D(k) p 0. Положим c() = (1 p1,..., ck pk, ck+1,..., cn );

тогда при достаточно малом c 0 получаем i (c()) i (c) для i = 1,..., k, а в силу контрамоно тонности и для i = k + 1,..., n.

Таким образом, при достаточно малом 0 имеем c c() c + c и (c()) (), так что c() L ;

в то же время c() c вопреки c определению c. Это доказывает достаточность ГКД для ГК.

Необходимость. Возьмем произвольную внутреннюю точку c C, произвольный вектор r 0 и положим c = r, где 0 столь мало, Модели совместного функционирования. что c + c C. Тогда по условию ГК i (c) 0 для некоторого i, так что из (П.11) в пределе по 0 получаем i rj 0 для некоторого i, причем ri 0. (П.12 ) cj j Возьмем D = [i /cj ] и D() = D + E, где 0 и E еди ничная матрица;

очевидно, D() M -матрица. Согласно (П.12) i-й компонент вектора D()r положителен, откуда ввиду произвольности r 0 согласно лемме П.2 получаем, что DТ ()y 0 для некоторо го y 0. Отсюда по лемме П.1 DТ () и D() MX-матрицы, и все главные миноры матрицы D() положительны. Устремляя 0, по лучаем, что все det[i /cj ]i1,...,ik неотрицательны, так что условие ГКД выполняется в произвольной внутренней точке c C, а с учетом непрерывности i (c)/cj и в каждой граничной точке множества C.

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 4 сводится к непосредственному прило жению леммы П.3 к матрице D = [i /cj ].

Доказательство теоремы 5. Достаточность. Пусть c точка равновесия, внутренняя для C. Тогда (c ) = 0, и по лемме П.5 най дутся точки c1, c2, удовлетворяющие условиям (7), (8) теоремы 2, что и гарантирует сходимость каждой невырожденной траектории c(t) про цесса () (и подавно ()) при c1 c(0) c2 к c.

Необходимость. Для сходимости в процессе () необходима, в частности, сходимость всех траекторий процесса (), необходимым условием чего является (локальная) асимптотическая устойчивость точки равновесия c процесса (). Поскольку c внутренняя точка множества C, вопрос сводится к асимптотической устойчивости точки равновесия c в процессе c = (c). Необходимым условием послед ней является неположительность (а для линейной системы отри цательность) вещественных частей всех собственных значений матри цы [i (c )/cj ] [12] и, значит, положительность вещественных частей всех собственных значений матрицы [i (c )/cj ] + E, 0.

Применяя лемму П.1 к M -матрице [i (c )/cj ] + E (в линейном случае к [i (c )/cj ]) и устремляя 0, находим, что для указан ной асимптотической устойчивости необходимо выполнение условия ГКД (в линейном случае ГКД ).

Теорема доказана.

124 II. Качественные модели сложных систем Взаимодействие элементов в системе с распределением ответственности При изучении сложной системы нередко оказывается полезным рассматривать ее как совокупность взаимосвязанных элементов, каж дый из которых является в определенном смысле самостоятельным, индивидуализированным объектом управления. Индивидуальность такого элемента проявляется в первую очередь в том, что для него можно указать индивидуальную цель управления, которая присуща этому элементу по самой его природе либо специально сконструирова на и предписана ему как частная подцель общей цели системы. Управ ление системой, состоящей из таких элементов, часто можно предста вить как совокупность отдельных управляющих воздействий, идущих к различным элементам. Если каждое такое управляющее воздействие всегда согласуется с частной целью соответствующего элемента, т.е.

представляется целесообразным с точки зрения элемента, а не только (и даже не обязательно) с точки зрения системы в целом, то о такой системе будем условно говорить здесь как о системе с распределением ответственности.

При распределении ответственности за управление отдельными элементами важно быть уверенным в том, что при этом действитель но возможно добиться одновременного достижения всех частных це лей элементов, а значит, и общей цели системы. Однако легко привести целый ряд примеров, когда попытки одновременного решения несколь ких управленческих задач по схеме распределения ответственности не приводят к успеху. Дело в том, что при чисто локальном управле нии отдельным элементом принимается во внимание лишь непосред ственно ожидаемый результат данного управляющего действия, т.е.

тот результат, который был бы получен, если бы данный элемент в действительности был изолирован от остальных элементов системы (или, как часто говорят, при прочих равных условиях для данного элемента). При таком подходе принципиально не могут быть учтены в полной мере те отдаленные, вторичные последствия принимаемого управленческого решения, которые проистекают из взаимосвязанно сти всех элементов системы и могут непредвиденным образом сказать ся на данном элементе. В действительности же эти непредвиденные вторичные эффекты могут привести к итоговым результатам, пря мо противоположным первоначальным намерениям.

Для иллюстрации этого положения начнем с примера, на первый 1 Проблемы планирования и управления экономическими целенаправленными системами. Новосибирск, 1972. С. 113–124.

Взаимодействие элементов взгляд от экономики весьма далекого, но, по-видимому, достаточно хо рошо поясняющего суть дела. Представим себе врача, который хочет воздействовать на определенный физиологический параметр пациен та (например, добиться повышения давления крови) и вводит с этой целью дозу соответствующего лекарства. Как прямой результат этого действия, давление крови повысится, но побочным результатом может оказаться нежелательное изменение какого-то другого параметра. Же лая устранить этот побочный эффект, врач попытается ввести другое, компенсирующее лекарство. Может оказаться, что тогда побочный эф фект будет устранен (или смягчен), но давление крови снова упадет, причем до уровня более низкого, чем первоначальный. Таким образом, итогом разрозненных действий, каждое из которых преследует свою частную цель, может быть полная неудача в выполнении исходного намерения.

Подобные ситуации нередко возникают и в экономических моде лях. Обратимся, например, к распространенному модельному пред ставлению о положительной зависимости выпуска (предложения, или избыточного предложения) некоторого продукта от устанавливаемой на него цены. Из этого представления вытекает, что повышение це ны при прочих равных условиях увеличит предложение продукта, и в этом смысле цена может служить рычагом управления выпус ком (предложением) продукта. Однако если прочие равные условия не соблюдаются например, одновременно увеличиваются цены и на другие продукты, то в конечном счете предложение некоторых (а возможно, даже всех) продуктов не только не увеличится, но даже уменьшится. (Подобные явления, в частности, исследовались в извест ной модели рыночного равновесия Хикса.) Подчеркнем, что отмечен ный аномальный эффект возможен несмотря на исходное предпо ложение о том, что повышение цены на отдельный продукт всегда увеличивает его предложение.

Еще один пример возможной неэффективности распределения от ветственности в экономической модели обнаруживается при анализе схемы межотраслевого баланса (типа известной модели затраты выпуск Леонтьева). Пусть экономическая система состоит из n от раслей, выпускающих n различных продуктов. Будем считать целью системы увеличение чистого выпуска (т.е. выпуска за вычетом произ водственных затрат) всех продуктов, а частной целью увеличение чистого выпуска одного продукта. Естественно предписать каждую такую частную цель той отрасли, которая выпускает данный про дукт, и пытаться для достижения этой цели увеличивать интенсив ность (полный выпуск) данной отрасли. Но учтем теперь, что уве личение интенсивности отрасли сопряжено с увеличением затрат про 126 II. Качественные модели сложных систем дуктов, потребляемых этой отраслью. Чтобы воспрепятствовать неже лательному уменьшению чистого выпуска этих продуктов, придется одновременно с увеличением интенсивности первой, исходной отрасли увеличить интенсивности ее отраслей-поставщиков (а также отраслей поставщиков этих отраслей и т.д.). А так как отрасли-поставщики, в свою очередь, могут расходовать продукт первой отрасли, то в конеч ном счете чистый выпуск продукта первой отрасли может даже умень шиться (и это действительно возможно в так называемом непродук тивном режиме работы экономической модели).

На этих примерах видно, что попытки решения взаимосвязанных управленческих задач по схеме распределения ответственности в некоторых случаях приводят к аномальным эффектам, когда по лучаемые результаты оказываются в противоречии с исходными целя ми. Однако в других случаях, чему также имеется много примеров, схема распределения ответственности является вполне работоспо собной. Последнее утверждение заведомо справедливо в том триви альном случае, когда управляемая система на самом деле состоит из не связанных между собой элементов. Естественно предположить, что если элементы системы связаны между собой в каком-то смысле до статочно слабо настолько, что исключены вышеупомянутые ано мальные эффекты, то управление в ней по схеме распределения ответственности принципиально допустимо. И действительно, далее мы опишем формальную модель, в рамках которой это предположе ние доказывается как теорема, причем условие достаточно слабого, или, лучше сказать, не слишком сильного, взаимодействия элемен тов приобретает точный смысл и может быть выражено в форме эф фективно проверяемого критерия.

Дадим сначала общее, качественное описание предлагаемой моде ли. Рассмотрим систему, каждый элемент которой описывается стати ческой функциональной зависимостью действие результат. Част ная цель, или подзадача, стоящая перед элементом, допускает коли чественную меру ее выполнения результат, который зависит от (количественно измеряемого) действия данного элемента, причем на вид этой зависимости влияют как параметры действия и остальных элементов. Предположим, что каждый отдельный элемент всегда мо жет найти такое действие, которое, при условии бездействия всех остальных элементов, заведомо приведет к достижению его частной цели (в том смысле, что результат будет принадлежать требуемой области значений).

Если несколько элементов одновременно предпримут действия, на правленные на достижение своих частных целей, то из-за наличия пе рекрестных связей между ними, вообще говоря, не все они достигнут Взаимодействие элементов нужных результатов. Более того, может оказаться, что ни один из эле ментов не достигнет своей цели;

примеры подобных ситуаций как раз и приводились выше. Возможность или невозможность появления таких аномальных эффектов в системе положена в основу классификации систем по силе взаимосвязей между элементами классификации на натуральные и ненатуральные системы. Натуральной будем называть систему, если есть гарантия, что хотя бы один из эле ментов, предпринявших целенаправленное действие, получит (каче ственно) ожидаемый результат. И наоборот, система ненатураль на, если в ней возможен аномальный эффект, когда все элементы, предпринявшие некоторые целенаправленные действия, получают ре зультаты, (качественно) противоположные ожидаемым. Здесь под ожидаемым подразумевается тот результат, который был бы получен при изоляции данного элемента от остальных.

Условие, выделяющее натуральные системы, на первый взгляд мо жет показаться слишком слабым, так как каждый раз требуется до стижение цели только одним элементом. Однако в рамках формаль ной модели ниже будет показано, что в классе натуральных систем, в отличие от ненатуральных, всегда можно добиться одновременного достижения целей всех элементов (в смысле получения качественно желаемых результатов).

Опишем теперь формальную модель (не стремясь здесь к полной общности и строгости изложения). Пусть система состоит из n эле ментов, где каждый i-й элемент описывается парой числовых пере менных: xi действие и yi результат. Результат yi связан статической функциональной зависимостью с действием xi этого элемента и, кроме того, с действиями xj других элементов j = i:

yi = fi (x1,..., xi,..., xn ) fi (x), где функции fi (i = 1,..., n) пред полагаются непрерывными и (для простоты) определенными при всех x. Примем, что цель i-го элемента состоит в том, чтобы получить ре зультат yi 0;

для этого элемент может выбрать любое действие xi 0. Предполагается, что для изолированного элемента i эта цель достигается при любом ненулевом действии : если все xj = 0, j = i, а xi 0, то yi 0, т.е. fi (0,..., 0, xi, 0,..., 0) 0 при любом xi 0.

Рассмотрим произвольный набор допустимых действий x = (x1,...

..., xn ) 0;

здесь, вообще говоря, некоторые из действий xi поло жительны, а некоторые равны нулю. Проанализируем соответствую щий набор результатов y = (y1,..., yn ), где yi = fi (x) (i = 1,..., n);

здесь некоторые из результатов yi положительны, а некоторые могут быть отрицательны или равны нулю. Конкретизируя введенное вы ше понятие, назовем систему натуральной, если для любого набора x 0 (x = 0) найдется хотя бы один индекс i, такой, что xi 0 и 128 II. Качественные модели сложных систем yi 0 (это и означает в данном случае, что полученный результат для i-го элемента качественно соответствует приложенному действию). И наоборот, система ненатуральна, если для некоторого вектора x (x = 0) будем иметь xi yi 0 для всех i = 1,..., n (все результа ты не соответствуют действиям). Справедлива следующая теорема о согласованных действиях: если система натуральна, то можно ука зать набор x = (x1,..., xn ) 0, такой, что соответствующий набор y = (y1,..., yn ), где yi = fi (x) (i = 1,..., n), удовлетворяет условию y 0.

Таким образом, в натуральной системе действия элементов всегда могут быть так согласованы по величине, что все элементы получат желаемые результаты (в качественном смысле). Это свойство обеспе чивает принципиальную возможность распределения ответственно сти между элементами натуральных систем.

Используя различные варианты определения натуральности, соот ветственно получим ряд вариантов теоремы о согласованных действи ях. Так, в этом определении и в теореме можно ограничиться рас смотрением наборов действий с заданной нормой x, в частности, с достаточно малой нормой ( локальная натуральность ). Натураль ность может быть рассмотрена по отношению к произвольному исход ному начальному состоянию x = x0, y = y 0 = f (x0 ) (не обязательно при x0 = 0), причем роль величин xi и yi будут играть соответствен но приращения xi и yi. В этом случае теорема о согласованных действиях гарантирует, что для любой точки x, в которой система натуральна, можно указать набор x = (x1,..., xn ) 0, такой, что y = (y1,..., yn ) 0, где yi = fi (x) = fi (x + x) fi (x) (i = 1,..., n).

Наконец, полезно следующее усиление понятия натуральности.

Рассмотрим в качестве возможных действий i-го элемента не только положительные, но и отрицательные приращения xi и в качестве желаемых результатов произвольные знаки приращений yi. На зовем систему полностью натуральной, если для любого набора действий x = 0 соответствующий набор результатов y = f (x) таков, что хотя бы для одного элемента результат yi качествен но, по знаку соответствует действию xi, т.е. xi yi 0. Из этого определения, в частности, непосредственно вытекает, что ес ли i-й элемент рассматривается изолированно, т.е. если величины xj (j = i) фиксированы, то для получения заданного качественного ре знака i = sign yi (i = +1 или 1) зультата нужно выбрать действие того же знака: sign xi = i. Для полностью натуральной системы теорема о согласованных действиях принимает следующий вид.

Взаимодействие элементов Пусть задан произвольный набор желаемых знаков результатов 1 = sign y1,..., n = sign yn (i = ±1). Тогда существуют дей ствия x1,..., xn, каждое из которых обеспечило бы своему эле менту в случае его изолированности желаемый знак результата, т.е.

такие, что sign x1 = 1,..., sign xn = n, и эти действия сов местно также обеспечат желаемые знаки результатов всем элементам:

sign f1 (x) = 1,..., sign fn (x) = n.

Теорема о согласованных действиях позволяет установить возмож ность управления натуральной системой и в более сложной задаче, чем получение результатов yi заданных знаков. Так, для полно стью натуральной системы можно организовать согласованное дви жение в заданную сторону, т.е. построить непрерывную кривую x(t) (t время), такую, что каждая координата xi (t) изменяется в задан ную сторону i (возрастает, если i = +1, и убывает, если i = 1), и при этом yi (t) изменяется в ту же сторону. Такое согласованное изме нение помогает добиться выполнения заданий fi = y i (i = 1,..., n) (а если значения fi (x) = y i недостижимы при допустимых x, то наи лучшего в определенном смысле приближения к ним). Можно также рассматривать и другие постановки целей системы и целей элементов, в частности, игровые постановки.

Мы не останавливаемся здесь на конструктивных методах отыска ния согласованных действий и движений. Скажем только, что в их основе лежит достаточно простой принцип: самостоятельные целена правленные действия элементов допускаются до тех пор, пока ни один из элементов не начнет получать нежелательный результат;

в против ном случае только этот элемент получит право на самостоятельные действия.

Совокупность полученных следствий и позволяет считать, что для натуральных систем достаточно широкий класс задач управления ре шается по схеме распределения ответственности, когда каждый эле мент совершает действие, целесообразное с точки зрения непосред ственно ожидаемого результата (как если бы элемент был изолиро ван). Наличие межэлементного взаимодействия в натуральной систе ме, в отличие от ненатуральной, не искажает качественного характера частных задач, стоящих перед элементами, а требует лишь некоторого согласования действий этих элементов, остающихся локально целесо образными.

Возникает вопрос, насколько широк класс натуральных систем и как определить, является ли данная система натуральной. Несколько позже мы вернемся к примерам, приводившимся вначале, и покажем, что именно нарушение натуральности соответствующих систем и обу словило описывавшиеся там аномальные эффекты. Сейчас мы рас 130 II. Качественные модели сложных систем смотрим формальные признаки натуральности (здесь и далее будем иметь в виду полную натуральность, обеспечивающую натуральность и в любом другом более слабом смысле).

Прежде всего заметим, что само определение натуральности в принципе позволило бы установить (давало бы операционное пра вило вывода), является ли данная система натуральной, если бы была возможность перебрать все векторы действий x (или x) и со ответствующие векторы результатов y = f (x) (или y = f (x)) и проверить, не встретится ли хотя бы один случай, когда xi yi 0 (или xi yi 0) для всех i = 1,..., n;

если не встретится система на туральна. Однако при этом пришлось бы перебрать бесконечно много векторов x и даже векторов направлений x/ x. Можно показать, что на самом деле допустимо ограничиться перебором значитель но суженного множества векторов x (так что, если ограничиться несколько усиленным определением полной натуральности, множе ство перебираемых векторов направлений x/ x будет конечным).

Здесь мы приведем другой критерий натуральности, который име ет аналитическую форму. Предположим дополнительно, что функции fi (x) дифференцируемы, и рассмотрим матрицу частных производных fi (i, j = 1,..., n). Тогда положительность всех главных миноров xj этой матрицы fi 0 (i = 1,..., n), xi fi fi xi xk 0 (i, k = 1,..., n, i = k), fk fk xi xk.

.

.

f1 f...

x1 xn..

....

fn fn...

x1 xn является достаточным условием полной натуральности системы. Неот рицательность главных миноров необходимое условие полной нату ральности (положительность миноров дает необходимое условие для несколько усиленного варианта полной натуральности).

Отметим интересный частный случай симметричности матрицы Взаимодействие элементов fi. Существует скалярная функция потенциал (x), такая, xj (x) что fi (x) =, а указанный выше критерий натуральности экви xi валентен строгой выпуклости функции. Поэтому, в частности, физи ческие и экономические модели, которые описываются совокупностью (x) прямых переменных xi и сопряженных переменных yi = xi со строго выпуклым потенциалом (x), представляют собой натураль ные системы.

Из соображений непрерывности очевидно следует, что достаточ fi ные условия натуральности заведомо выполнены, если матрица xj хорошо диагонализирована, т.е. если внедиагональные компоненты fi (i = j), характеризующие межэлементные связи, достаточно малы xj fi по сравнению с диагональными компонентами 0, характеризу xi ющими внутриэлементную зависимость действие результат. Это дает формальное подтверждение подсказываемого интуицией факта, что в системе со слабыми межэлементными связями не может быть аномальных эффектов, выводящих систему из класса натуральных систем.

Вернемся теперь к примерам, с которых начиналось наше изложе ние, и посмотрим, как интерпретируются отмеченные в них эффекты с помощью формальных терминов натуральности и ненатуральности соответствующих систем. Отождествим дозы лекарств с действия ми xi ;

значения параметра организма, на которые призваны воздей ствовать (для определенности в сторону увеличения) эти лекарства, отождествим с результатами y1. Тогда в случае натуральности си стемы лекарства параметры согласно теореме о согласованных действиях всегда можно добиться изменения данного параметра y1 в нужную сторону, подобрав дозу соответствующего лекарства x1 и, ес ли понадобится, дозы вспомогательных лекарств xj, компенсирующие побочные изменения других параметров yj (j = 2,..., n). И наоборот, наличие аномального эффекта в этом примере означает, что система лекарства параметры была ненатуральной (побочные параметры yj (j = 2,..., n) в конечном счете остались прежними, а основной пара метр y1 изменился в сторону, противоположную желаемой), или, дру fi гими словами, перекрестные связи, j = i оказались сильнее xj fi прямых.

xi 132 II. Качественные модели сложных систем Проанализируем теперь примеры экономических систем. Первый из этих примеров относится к модели регулирования избыточного предложения товаров с помощью цен. Пусть xi цена i-го товара, а yi = fi (x) его избыточное предложение (превышение предложе ния над спросом). Предположим, что fi (x) монотонно возрастает по xi при неизменных xj (j = i). Тогда аномальная ситуация, когда одно временное увеличение всех xi приводит к уменьшению всех yi = fi (x), означает ненатуральность системы. Предположим теперь, что система полностью натуральна, т.е. что, увеличив цены xi на товары некото рой группы I+ и уменьшив цены xj на товары некоторой группы I, мы всегда получим увеличение избыточного предложения yi хотя бы для одного i I+ или уменьшение yj хотя бы для одного j I. Фор мально достаточно предположить выполнение детерминантных усло вий натуральности, которые в данном примере цены избыточные предложения совпадают с условиями Хикса. Тогда в силу теоре мы о согласованных действиях всегда можно, например, найти такие согласованные приращения цен xi 0, что в результате будет уве личено избыточное предложение yi каждого из товаров.

Рассмотрим более подробно пример управления предложением про дукта, которое основано на регулировании режима производства, а именно на целенаправленном изменении интенсивности функциони рования соответствующей отрасли. Пусть xi интенсивность i-й от расли, т.е. объем полного выпуска продукта i, а yi объем чисто го выпуска этого продукта. Величина yi меньше xi на величину gi суммарного потребления продукта i во всех производственных отрас лях;

gi зависит от интенсивности функционирования этих отраслей:

gi = gi (x), так что yi = xi gi (x) fi (x) (i = 1,..., n). В линейной модели межотраслевого баланса ( затраты выпуск ) леонтьевского типа n gi (x) = aij xj, j= где aij постоянные технологические коэффициенты, так что n yi = fi (x) xi aij xj, j= или в матричной форме y = f (x) x Ax = (E A)x, где A = (aij ) технологическая матрица, E единичная матрица. В более общей модели вектор-функция f (x) может быть нелинейной.

Взаимодействие элементов Возникает вопрос, возможен ли вообще в данной модели одновре менный выпуск всех продуктов в положительных количествах (во прос о продуктивности модели). Формально он сводится к вопросу о существовании положительных действий таких интенсивностей (полных выпусков) отраслей xi, при которых будут обеспечены поло жительные результаты чистые выпуски yi = fi (x) 0. Если си стема интенсивности чистые выпуски натуральна, ответ на этот вопрос утвердителен. Более того, если система полностью натураль на, то всегда существуют не только указанные согласованные интен сивности xi 0, но и согласованные приращения интенсивностей xi 0, обеспечивающие увеличение чистых выпусков одновременно во всех отраслях: yi 0 (i = 1,..., n).

fi имеет вид матрицы E A;

необ В линейной модели матрица xj ходимым и достаточным условием полной натуральности такой систе мы является положительность всех главных миноров матрицы E A.

Но это условие совпадает с известным необходимым и достаточным условием продуктивности линейной модели Леонтьева затраты вы пуск (условие Хокинса–Саймона). Таким образом, в линейном случае натуральность модели затраты выпуск эквивалентна ее продук тивности.

В нелинейной модели затраты выпуск y = f (x) (где нели нейность обусловлена зависимостью технологических коэффициентов от интенсивностей производства) критерий натуральности дает доста точное условие ее продуктивности и одновременно необходимое усло вие локальной продуктивности в каждой точке x (под локальной продуктивностью мы подразумеваем возможность получения поло жительных приращений чистых выпусков yi 0 во всех отрас лях за счет положительных приращений их интенсивностей xi (i = 1,..., n)). Это позволяет рассматривать критерий натурально сти модели условие положительности главных миноров матрицы fi как обобщение условия продуктивности (Хокинса–Саймона) xj на нелинейный случай.

Таким образом, аномальный эффект, обсуждавшийся в этом примере, можно рассматривать с двух эквивалентных точек зрения:

как нарушение натуральности модели и как ее локальную непро дуктивность. При ненатуральности (локальной непродуктивности) модели нельзя добиться увеличения чистых выпусков продуктов та ким, казалось бы, очевидным путем, как увеличение интенсивностей (полных выпусков) отраслей-производителей;


наоборот, заведомо при дется уменьшить интенсивности. Этот вывод еще раз показывает, 134 II. Качественные модели сложных систем что в ненатуральной системе нельзя рассчитывать на возможность решения общесистемной задачи путем решения частных задач отдель ных элементов теми действиями, которые кажутся естественными для каждого из элементов в отдельности;

в такой системе приходится использовать централизованное управление. В то же время наличие свойства натуральности позволяет, по крайней мере, в простейших модельных примерах, решать общую задачу путем такого согласо вания действий элементов, которое не нарушает факта локальной целенаправленности этих действий для отдельных элементов.

Натуральные системы Анализируются возможные типы реакций произвольной системы на совокупность одновременных входных воздействий. Выделяются случаи, когда наблюдаемая совокупность реакций полностью проти воположна (в определенном смысле) ожидаемым реакциям на оди ночные воздействия. Системы, в которых такие случаи невозмож ны, названы натуральными. При достаточно общих предположени ях доказывается, что для натуральной системы всегда существует совокупность воздействий, приводящая к совокупности ожидаемых результатов. Рассматриваются примеры.

1. Введение Одна из общих задач анализа систем состоит в изучении связи меж ду поведением системы в целом и поведением отдельных ее элементов (подсистем), в выявлении системных эффектов, обусловленных вза имодействием элементов. Примером такой задачи является изучение реакций некоторого объекта на совокупность входных воздействий при условии, что реакции этого объекта на одиночные воздействия извест ны или могут быть хотя бы качественно охарактеризованы, и требуется предсказать или описать реакции объекта на целые наборы одновре менно поступающих на него воздействий. Эта задача возникает, в част ности, в связи с управлением сложными объектами и с многоцелевым управлением.

Рассмотрим некоторый объект управления и предположим, что каждой входной переменной (скалярной или векторной) дей ствию сопоставлена некоторая выходная переменная (скалярная 1 Автоматика и телемеханика. 1973. №11. С. 42–57.

Натуральные системы или векторная) результат, приписываемый этому действию. Бу дем предполагать, что каждое отдельное направленное действие на входе объекта обеспечивает некоторый ожидаемый результат на выходе. Поставим вопрос: что произойдет при восприятии объ ектом сразу нескольких направленных действий;

будут ли при этом получены все ожидаемые результаты, или только некоторые, или ни одного?

Естественно ожидать, что ответ на этот вопрос должен зависеть как от характеристики каждой отдельной элементарной пары i-е дей ствие i-й результат, так и от характера взаимосвязей между эти ми элементарными парами, т.е. от влияния каждого i-го действия на j-е результаты (j = i). Исследованию этого вопроса путем анализа абстрактной системы элементарных пар действия результаты по священа настоящая работа.

С точки зрения управления важно не только то, достижимы ли все требуемые результаты, но и то, достижимы ли они с помощью сте реотипных управляющих действий, тех самых, которые применяются для получения одиночных результатов и фигурируют как направлен ные действия в отдельных элементарных парах действие резуль тат. Если характеристики элементарных пар действие результат, связанных в одну систему, остаются в каком-то смысле сходными с характеристиками этих элементарных пар, взятых изолированно, то можно надеяться, что для управления системой применимы прежние, стереотипные направленные действия, т.е. можно пытаться управ лять отдельными элементами системы более или менее независимо, автономно, децентрализованным способом. В противном же случае, когда наличие побочных влияний i-х действий на j-е результаты (j = i) кардинально изменяет характеристики элементарных пар i-е действие i-й результат, в системе могут возникать своеобразные неестественные ситуации, требующие существенно новых, по необ ходимости централизованных способов управления.

Для пояснения рассмотрим ряд примеров (особо отмечая роль по бочных влияний и возможность неестественных ситуаций ).

а. Лечение больного можно рассматривать как управление специ фическим объектом организмом. Если лечение заключается в при менении лекарств, каждое из которых предназначено для изменения определенного физиологического показателя, то введение дозы дан ного i-го лекарства можно рассматривать как i-е стереотипное на правленное действие, а улучшение соответствующего i-го симптома (показателя) как i-й ожидаемый результат.

Данное i-е лекарство может обладать вредным побочным влияни ем на некоторые j-е симптомы. Для устранения или смягчения этих 136 II. Качественные модели сложных систем побочных эффектов могут одновременно вводиться другие, компенси рующие лекарства;

но они, в свою очередь, возможно, окажут вредное влияние на исходный, i-й симптом. В итоге может возникнуть неесте ственная ситуация : все подвергавшиеся лечебному воздействию симп томы стали хуже, чем до лечения. Это, очевидно означает, что стерео типные лечебные воздействия в данном случае неуместны.

б. Пусть имеется система из n производственных отраслей;

каждая i-я отрасль выпускает свой i-й продукт и потребляет продукты других j-х отраслей. Естественно рассматривать функционирование i-й отрас ли как действие, направленное на выпуск i-го продукта для внешних (непроизводственных) потребителей. Однако все желаемые результа ты положительные внешние выпуски всех продуктов могут быть достигнуты только при условии продуктивности системы [198];

на оборот, в непродуктивной системе возможна такая ситуация, когда внутреннее (производственное) потребление столь интенсивно, что си стема потребляет каждого продукта больше, чем производит.

в. Рассмотрим простейшую систему стимулирования работников на производстве. Допустим, что рассматриваются два производственных показателя условно говоря, количество и качество продукции.

Действием, направленным на увеличение количества, служит, напри мер, повышение расценок, а действием, направленным на повышение качества, премирование за качество. Ясно, что каждый из этих сти мулов может влиять на оба показателя, причем в противоположных направлениях. Можно представить себе ситуацию, когда совместное применение обоих этих стимулов способно привести не к улучшению, а к ухудшению обоих показателей.

Примеры, близкие к изложенным здесь, будут формально проана лизированы в заключительном разделе этой работы.

Как показывают примеры, в системе, образованной взаимосвязан ными элементарными парами действие результат, при достаточ но сильных мешающих взаимодействиях возможна крайняя, неесте ственная ситуация: все направленные действия, будучи примененными одновременно, дают результаты, противоположные ожидаемым. Вы делим теперь те системы, в которых такие неестественные ситуации невозможны, т.е. те системы, в которых каждый раз хотя бы одно из направленных действий приводит к ожидаемому результату. Бу дем называть такие системы натуральными. Крайним, тривиальным случаем натуральной системы является система, распадающаяся на несвязанные элементарные пары действие результат ;

в такой си стеме, очевидно, каждое направленное действие всегда дает ожидае Натуральные системы мый результат 1. Для произвольной же натуральной системы заранее не ясно, существует ли для нее вообще хотя бы одна ситуация, когда все результаты оказываются ожидаемыми. В принципе могло бы быть так, что при любом наборе направленных действий наблюдается сме шанная ситуация: хотя бы одно из них дает ожидаемый результат (в соответствии с определением натуральности), но в то же время хотя бы один результат не соответствует ожиданию.

Основной теоретический итог данной работы состоит в том, что в рамках рассматриваемой модели возможность существования в систе ме действия результаты одних только смешанных ситуаций ис ключена. Оказывается (при определенных предположениях), что если система натуральна, то для нее всегда можно подобрать направлен ные действия, которые дадут сразу все ожидаемые результаты. Грубо говоря, если в системе невозможна ситуация ни один результат не соответствует ожиданию, то в ней осуществима ситуация все ре зультаты являются ожидаемыми.

2. Предварительное описание модели и результатов анализа Прежде чем привести все точные формальные определения и утверждения, изложим их на описательном уровне. Будем рас сматривать системы, характеризуемые наборами из n действий x1,..., x n точек в некоторых пространствах и n результатов y1,..., yn точек в некоторых других пространствах, связанных зависимостями y 1 = f 1 (x1,..., xn ),.

. (1).

y n = f n (x1,..., xn ).

Пару xi, y i будем рассматривать как i-й элемент системы (1). Вхож дение переменных xj (j = i) в выражение для y i отражает наличие 1 В теории автоматического регулирования известна классическая задача об ав тономном регулировании, которая состоит в синтезе системы управления много мерным объектом, такой, что каждое i-е входное (управляющее) воздействие вли яет только на одну i-ю выходную (управляемую) переменную объекта и не влияет на остальные j-е переменные [17, 62]. Такая система (если ее удается построить) может служить примером указанного выше тривиального случая натуральной си стемы. В настоящей работе рассматривается не задача синтеза, а задача анализа (в частности, анализа возможностей управления) для произвольной заданной нату ральной системы, в которой влияние i-го действия на j-е результаты (j = i) может быть существенным и неустранимым.

1 Точки xi и y i могут быть, в частности, точками в функциональных простран ствах функциями времени, так что формально зависимостями вида (1) могут описываться не только статические, но и динамические системы.


138 II. Качественные модели сложных систем связей между элементами. Удобно (хотя и не обязательно) считать, что точка xi = 0 в пространстве xi соответствует бездействию для i-го элемента, а зависимость y i = f i (0,..., 0, xi, 0,..., 0) (2) описывает i-й элемент в изолированном виде.

Выделим в пространстве действий xi множество направленных дей ствий X i ;

считаем, что 0 X i. В пространстве результатов y i выделим / множество Y i, удовлетворяющее условию f i (0,..., 0, xi, 0,..., 0) Y i при всех xi X i. (3) Назовем Y i множеством ожидаемых результатов. Таким образом, по определению каждое направленное действие xi X i применитель но к изолированному элементу i дает ожидаемый результат y i Y i.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда одновременно производится несколько направленных действий, т.е. когда xi X i для всех i из некоторого (непустого) подмножества I множества индексов {1,..., n}.

Если при этом y i Y i для всех i I, будем говорить, что эта ситуация / неестественная.

Будем называть систему действия результаты натуральной, если в ней невозможна неестественная ситуация. Другими словами, система называется натуральной, если при любом наборе действий (x1,..., xn ), содержащем направленные действия xi X i, i I, и xj X j, j I, / / хотя бы одному из направленных действий соответствует ожидаемый результат: y i Y i для некоторого i I.

Отметим, что каждая подсистема натуральной системы (получа емая из (1) фиксацией xi = 0 для элементов i, не входящих в под систему) сама является натуральной системой. Отсюда, в частности, следует формальная необходимость выполнения условия (3) для каж дого изолированного элемента натуральной системы.

Основная задача, изучаемая в этой работе, можно ли добить ся подбором действий, чтобы все результаты оказались ожидаемыми.

Теорема 1, приведенная в следующем разделе, показывает, что при некоторых достаточно общих предположениях о типе множеств X i, Y i и функций f i факта натуральности системы для этого достаточно.

Однако эта теорема ничего не говорит о том, какие действия xi нуж но выбрать, чтобы получить ожидаемые результаты;

может оказаться, что для этого необходимо хотя бы часть действий xi взять не из мно жеств направленных действий X i. С управленческой точки зрения Натуральные системы это означает, что для достижения всех желаемых результатов придет ся отказаться от стереотипных управляющих действий, применя емых для управления изолированными элементами, и найти некото рое централизованное решение набор таких управляющих действий (x1,..., xn ), которые для некоторых элементов представятся неесте ственными : xi X i. / Указанные управленческие соображения оправдывают выдвиже ние более сильного требования к решению задачи искать действия, приводящие к ожидаемым результатам, только среди направленных действий. Назовем набор действий (x1,..., xn ) согласованным набо направленные: xi X i ром действий, если 1) все эти действия ожидаемые: y i Y i (i = 1,..., n) и 2) все полученные результаты (i = 1,..., n). Теорема 2 в следующем разделе гласит, что при неко торых достаточно общих предположениях (несколько более сильных, чем в теореме 1) факта натуральности системы достаточно для су ществования согласованных действий. Таким образом, согласно этой теореме, если система натуральна, т.е. если при любом наборе действий (x1,..., xn ) хотя бы одному направленному действию xi X i из этого набора соответствует ожидаемый результат y i Y i, то при некоторых общих предположениях существует хотя бы один набор направленных действий x1 X 1,..., xn X n, такой, что все соответствующие результаты ожидаемые: y 1 Y 1,..., y n Y n.

Эта теорема позволяет искать управляющие действия среди дей ствий, естественных с точки зрения самих элементов.

В заключение этого предварительного обсуждения подчеркнем то важное обстоятельство, что в определении натуральности требуется не просто наличие хотя бы одного ожидаемого результата y i Y i, но требуется наличие его всегда среди именно тех результатов, которые соответствуют направленным действиям xi X i. Без этого последне го требования нельзя в общем случае рассчитывать на одновременное получение всех ожидаемых результатов. Простейшей иллюстрацией этого служит система, в которой все результаты постоянные, во обще не зависящие от действий, причем некоторые из результатов ожидаемые, а некоторые нет. Таким образом, указанное требование, заложенное в определение натуральной системы (своего рода закреп ление ответственности каждого i-го действия за сопоставляемый ему i-й результат), является существенно важным для обеспечения дости жимости всех ожидаемых результатов.

140 II. Качественные модели сложных систем 3. Формальные определения и теоремы Будем для простоты считать, что действия и результаты пред ставляются точками в конечномерных векторных пространствах.

Пусть xi вектор в ki -мерном пространстве (i-е действие), прини мающий значения из множества возможных действий Qi в этом про странстве. Пусть в этом же пространстве указано множество направ ленных действий X i. Будем предполагать, что множество возможных действий Qi линейно-связно 1 и имеет непустое пересечение с X i, но не содержится в X i целиком. Каждое множество X i будем ради просто ты предполагать либо замкнутым, либо открытым. Пусть y i вектор в li -мерном пространстве (i-й результат), и пусть в этом простран стве указано множество Y i ожидаемых результатов. Наконец, пусть заданы соотношения y i = f i (x1,..., xn ) (i = 1,..., n). Функции f i бу дем предполагать непрерывными. Множества Qi, X i, Y i и функции f i (i = 1,..., n) определяют систему действия результаты.

Состояние системы описывается набором действий (x1,..., xn ).

Для начала будем рассматривать все без исключения наборы (x1,..., xn ), составленные из возможных действий xi Qi (i = 1,..., n);

гово ря формально, за множество R возможных наборов действий примем прямое произведение Q = Q1 Q2...Qn. Наряду с этим в дальней шем (при представлении действий в стандартной форме ) в качестве множеств возможных наборов действий будем рассматривать также некоторые специфические подмножества множества Q.

Определение 1. Система действия результаты называется на туральной (на заданном множестве возможных наборов действий R), если при любом возможном наборе действий (x1,..., xn ) R, содер жащем хотя бы одно xi X i, имеет место f k (x1,..., xn ) Y k хотя бы для одного k, такого, что xk X k.

Из определения натуральности следует, в частности, что если xj произвольная точка из Qj, не принадлежащая X j (j = 1, 2,..., i 1, i + 1,..., n), а xi произвольная точка из Qi, то f i (x10,..., x(i1)0, xi, x(i+1)0,..., xn0 ) Y i при всех xi X i.

В разделе 2 предполагалось, что можно выделить специфические точ ки xj0 = 0 X j, соответствующие бездействию для j-го элемента / (j = 1,..., n) (см. соотношение (3)). Это выделение точек бездей 1 Множество A называется линейно-связным, если любые две его точки a, b A можно соединить дугой, целиком лежащей в A, т.е. если существует непрерывное отображение отрезка [0, 1] в A такое, что (0) = a, (1) = b и ( ) A при всех [0, 1].

Натуральные системы ствия полезно при анализе конкретных примеров, но в общей модели в этом нет необходимости.

Теорема 1. Пусть система действия результаты натуральна на множестве возможных наборов действий R = Q (= Q1... Qn ), и пусть множества ожидаемых результатов Y 1,..., Y n все замкнуты либо все открыты. Тогда существует набор действий (x1,..., xn ) Q, такой, что f i (x1,..., xn ) Y i (i = 1,..., n).

Отметим, что в теореме 1 не утверждается, что xi X i.

Определение 2. Возможный набор действий (x1,..., xn ) R назы вается согласованным набором действий, если xi X i, f i (x1,..., xn ) Y i (i = 1,..., n).

Теорема 2. Пусть в условиях теоремы 1 дополнительно предполага ется, что множества направленных действий X 1,..., X n все замкнуты либо все открыты одновременно с множествами Y 1,..., Y n. Тогда су ществует согласованный набор действий.

В приведенных формулировках теорем 1 и 2 считались возможны ми любые наборы действий (x1,..., xn ) Q1... Qn. Оказывается, что достаточно рассматривать только определенную часть этих набо ров;

такое сужение множества возможных наборов действий R приво дит к более сильным теоремам как за счет ослабления предположений (натуральность системы требуется на более узком множестве наборов действий), так и за счет усиления утверждений (дается дополнитель ная локализация искомого набора действий 1 ).

Для того чтобы дать описание множества возможных наборов дей ствий, рассматриваемого в дальнейшем, перейдем к стандартной фор ме представления действий. Пользуясь предположением о том, что каждое множество возможных действий Qi линейно-связно и содер жит как точки из X i, так и точки не из X i, построим параметриче 1 Без такой дополнительной локализации утверждения теорем 1 и 2, относящи еся к случаю замкнутых множеств Y 1,..., Y n и (в теореме 2) X 1,..., X n, явля ются сравнительно слабыми: они допускают тривиальное решение (x1,..., xn ), где каждая точка xi лежит на границе множества X i (можно убедиться, рассмат ривая малые вариации xi с учетом непрерывности функций f i и натуральности системы, что любой набор граничных точек xi множеств X i удовлетворяет в за мкнутом случае утверждениям теорем 1 и 2). Усиление теорем 1 и 2, данное ниже в теоремах 1с и 2с, позволяет и в замкнутом случае гарантировать существо вание нетривиального набора (x1,..., xn ): если множества X 1,..., X n имеют непустые внутренности, то хотя бы один компонент xi этого набора будет внутрен ней точкой для X i. Нетривиальность этого набора (x1,..., xn ) выражается в том, что из существования указанного набора как непосредственное следствие можно вывести лемму Шпернера о покрытии симплекса [72], из которой, в свою очередь, выводятся (см. Приложение) теоремы 1, 1с, 2, 2с.

Что касается утверждений теорем 1 и 2 для открытого случая, то они уже сами по себе гарантируют существование нетривиального (в том же смысле) набора (x1,..., xn ).

142 II. Качественные модели сложных систем скую кривую (дугу) xi (i ), соединяющую в Qi точку вне X i с точкой в X i. Итак, пусть xi (i ) непрерывная функция скалярного параметра i, такая, что xi (i ) Qi при всех i, xi (0) X i и xi (1) X i. Нетрудно / видеть, что дугу xi (i ) всегда можно выбрать так, что либо Xi при i [0, i ), где 0 i / 1, 1) xi (i ) Xi при i [i, 1], либо Xi при i [0, i ], где / i 1, 2) xi (i ) Xi при i (i, 1].

Если множество X i замкнуто, то реализуется случай 1, а если X i открыто случай 2. Подставляя параметрические выражения для действий xi в функции f j, считая теперь параметры действий i но выми действиями и обозначая их xi (взамен прежних действий xi ), получаем стандартную (по действиям) форму модели:

y i = f i (x1,..., xn ) (i = 1,..., n), xi Qi, где Qi стандартное множество возможных действий ко нечный или бесконечный интервал на числовой оси (обычно удобно включать 0 Qi ), и Xi = [i, ) (где обычно i 0) либо Xi = = (i, ) (где i 0) стандартное множество направленных дей ствий (причем Xi Qi = ) (i = 1,..., n).

Если исходная система натуральна, то и система, сведенная к фор ме модели со стандартными действиями, остается натуральной, по скольку она отличается от исходной фактически лишь сужением мно жества возможных наборов действий. Более того, система, не являв шаяся натуральной на исходном множестве возможных наборов дей ствий R, может оказаться натуральной на суженном множестве R.

Это соображение можно использовать в конкретных задачах, выби рая множество R достаточно экономно и этим облегчая выполнение условий натуральности.

В качестве стандартного множества R возможных наборов дей ствий x = (x1,..., xn ) далее будем рассматривать множество P = = {x| xi =, xi 0 (i = 1,..., n)}, где niмакс.

Отметим, что в проведенном переходе от общей к стандартной мо дели скалярные параметры действий, вообще говоря, не имеют ко личественного смысла;

они определены с точностью до произвольно го непрерывного монотонного преобразования. Однако в содержатель ных задачах стандартному действию xi бывает возможно придавать Натуральные системы смысл количественной меры интенсивности i-го действия;

в таком кон тексте множество P охватывает наборы действий с фиксированной суммарной интенсивностью.

Приведем теперь усиления теорем 1 и 2 для систем действия результаты, представленных в форме модели со стандартными дей ствиями (теоремы 1c и 2c).

Теорема 1с. Пусть модель со стандартными действиями xi при Xi = [i, ), i 0 либо Xi = (i, ), i 0 (i = 1,..., n) натуральна на множестве возможных наборов действий P = {x| xi =, xi (i = 1,..., n)}, где niмакс, и пусть множества ожидаемых резуль татов Y 1,..., Y n либо все замкнуты, либо все открыты. Тогда суще ствует набор действий (x1,..., xn ) P, такой, что f i (x1,..., xn ) Y i (i = 1,..., n).

Теорема 2с. Пусть в условиях теоремы 1с дополнительно предпола гается, что множества X1,..., Xn все замкнуты (т.е. имеют вид [i, ), i 0) либо все открыты (т.е. имеют вид (i, ), i 0) одновремен но с множествами Y 1,..., Y n. Тогда в P существует согласованный набор действий.

Доказательства теорем 1с и 2с даны в приложении. Поскольку каж дая система действия результаты, удовлетворяющая предполо жениям настоящего раздела, может быть преобразована в систему со стандартными действиями, то тем самым доказаны и теоремы 1 и 2.

Можно заметить, что в случае n = 2 утверждения всех этих теорем легко выводятся из соображений непрерывности, однако общий случай требует привлечения более сложного аппарата 1.

Замечание 1. Подчеркнем, что все основные понятия, используе 1 Математические утверждения настоящей работы связаны с одним известным топологическим свойством n-мерного пространства. Это свойство в различных, но в конечном счете эквивалентных формах выражено в таких (внешне несходных) теоремах, как лемма Шпернера о покрытии симплекса [72], теорема Брауэра о непо движной точке [198], теорема Гейла–Никайдо–Дебре об избыточном спросе ([198], теорема 16.6 в однозначном варианте ), теорема Карамардиана о разрешимости неравенств ([150], теорема 3) и некоторые другие. Каждую из этих теорем мож но непосредственно (сравнительно просто) вывести из каждой другой, и в этом смысле указанные теоремы эквивалентны между собой (см., в частности, [198], теоремы 16.6 и 16.7).

Доказательство теорем 1, 1с, 2, 2с данной работы сводится к надлежащему при менению одной (любой) из указанных эквивалентных теорем (в приложении для этого использована лемма Шпернера);

в свою очередь, обратно, каждая из послед них может быть выведена из теорем 1, 1с, 2, 2с. Таким образом, в чисто формаль ном аспекте теоремы 1, 1с, 2, 2с представляют собой лишь еще одну эквивалент ную форму выражения известного математического факта. С другой стороны, эта форма в отличие от предыдущих специально приспособлена для непосредственного приложения к анализу объектов, описываемых системами вход-выходных соответ ствий.

144 II. Качественные модели сложных систем мые в модели (принадлежность точки множеству, замкнутость и от крытость множества, непрерывность функции), имеют не метриче ский (количественный), а множественно-топологический (качествен ный) характер. И действительно, теоремы 1 (1с) и 2 (2с) остаются в силе и для систем с более общими пространствами действий xi и результатов y i, чем конечномерные векторные: в качестве этих про странств можно брать произвольные метрические и даже произволь ные топологические пространства (с сохранением требования линей ной связности множеств Qi );

формулировки и доказательства теорем сохраняются при этом дословно. Тот факт, что данная модель целиком опирается не на метрические, а на топологические свойства системы (и, в частности, безразлична к любым непрерывным деформациям со ответствующих пространств), позволяет с бльшим основанием вклю о чать в эту модель качественные переменные, такие, как некоторые физиологические, психологические, социологические показатели, ко торым едва ли можно придать бесспорный количественный смысл.

Сказанное не противоречит тому, что в других содержательных за дачах может быть удобно использовать метрическую, количествен ную интерпретацию. Так, в модели со стандартными действиями xi можно интерпретировать число xi как меру интенсивности действия.

При этом величина xi интерпретируется как мера интенсивности всего набора действий, множество P как множество наборов дей ствий с заданной суммарной интенсивностью. Из теорем 1с и 2с следует, что, задавшись любой достаточно большой интенсивностью набора действий, при условии натуральности системы на множе стве P всегда можно получить согласованный набор действий с ука занной суммарной интенсивностью. Далее, для метрических про странств результатов y i можно ввести достаточно удобную числовую меру интенсивности результата как расстояние от точки y i до гра ницы множества Y i, взятое со знаком плюс, если y i Y i (т.е. ес ли результат ожидаемый), и со знаком минус в противном случае.

Эти соображения показывают, что можно, сохранив достаточную сте пень общности 1, принять в качестве модели системы действия ре зультаты стандартную модель, описываемую n скалярными функ 1 С чисто формальной точки зрения можно было бы вообще ограничиться рас смотрением указанной стандартной модели, поскольку даже модель с самыми об щими (топологическими) пространствами действий и результатов всегда может быть сведена к модели скалярные действия xi скалярные результаты yi спе циальным формальным преобразованием (способ введения скаляров xi указан вы ше, а в качестве yi можно взять расстояние, с соответствующим знаком, от точки x P до границы множества f i (Y i f i (P ))). Однако для приложений может быть полезной общая модель, включающая достаточно произвольные пространства действий и результатов.

Натуральные системы циями yi = fi (x1,..., xn ) от n скалярных переменных xi, изменяю щихся в некоторых (конечных или бесконечных) интервалах 2. При этом стандартные множества направленных действий Xi, как и выше, имеют вид полуосей [i, ) либо (i, ), а за стандартные множества ожидаемых результатов Yi принимаются полуоси [0, ) либо (0, ) (i = 1,..., n).

Замечание 2. Требования одновременной замкнутости либо откры тости всех множеств в условиях теорем 1 (1с) и 2 (2с) существенны. В самом деле, рассмотрим следующую стандартную модель действия результаты для n = 2:

y1 = x1 x2, (4) y2 = x2 x1, Q1 = Q2 = [0, ), X1 = X2 = (0, ), Y1 = (0, ), Y2 = [0, ). (4а) Эта система натуральна на Q1 Q2, однако оба ожидаемых резуль тата (y1 Y1, y2 Y2 ) не достигаются одновременно ни при каких x1, x2. В этом примере множество Y1 открыто, а Y2 замкнуто, что нару шает условие теоремы 1.

Рассмотрим другой пример:

y1 1, (5) y2 = x1, Q1 = Q2 = (, ), X1 = X2 = [0, ), Y1 = Y2 = (0, ). (5а) Эта система натуральна на Q1 Q2 и, поскольку оба множества Y1, Y2 открыты, она удовлетворяет условиям теоремы 1. В соответствии с этой теоремой существует набор (x1, x2 ) возможных действий, даю щий y1 Y1 и y2 Y2. Очевидно, в таком наборе с необходимостью x1 0, т.е. x1 X1 ;

следовательно, в данной натуральной системе / согласованных действий не существует.

В этом примере множества Y1, Y2 открыты, а X1, X2 замкнуты, что нарушает условие теоремы 2.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 15 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.