авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 15 |

«А.В. Малишевский Качественные модели в теории сложных систем A.V. Malishevski Qualitative Models in the ...»

-- [ Страница 5 ] --

2 Системы соотношений между скалярными величинами, свойства которых эк вивалентны специфическим условиям натуральности, изучались в ряде работ, в частности, в связи с экономико-математическими задачами ([198], §16, 21), задача ми о разрешимости систем линейных и нелинейных неравенств ([198], §20;

[150]), условиями глобальной взаимной однозначности отображений ([198], §20) и др. Наи более близкие к настоящей работе результаты содержатся в [150], где приведены достаточные условия разрешимости специальных систем нелинейных неравенств (теорема 3 в [150]), которые фактически включают утверждение теоремы 1с для того случая, когда результаты yi (как и действия xi ) числовые переменные ( стандартная модель ), а множества Xi открытые полуоси.

146 II. Качественные модели сложных систем Эти два примера показывают, что в натуральной системе при раз нотипных множествах X 1,..., X n, Y 1,..., Y n могут не реализовы ваться согласованные действия и даже ожидаемые результаты. Однако нетрудно показать, что в любой натуральной системе на Q существует набор возможных действий (x1,..., xn ), являющийся почти согласо i i ванным в том смысле, что xi X (где X замыкание множества i i X i ), а y i Y (Y замыкание Y i ) (i = 1,..., n).

4. Примеры Приведем несколько примеров, иллюстрирующих понятие нату ральной системы и применение теоремы о согласованных действиях.

Примеры 1 и 2 формальные;

они иллюстрируют возможность ана литической проверки факта натуральности. Примеры 3, 4 и 5 связаны с различными содержательными задачами.

Пример 1. Проведем полное исследование простейшей стандарт ной системы действия результаты, описываемой линейными со отношениями между двумя скалярными действиями x1, x2 и двумя скалярными результатами y1, y2 :

y1 = a11 x1 + a12 x2, (6) y2 = a21 x1 + a22 x2.

Пусть Q1 = Q2 = (, ), X1 = X2 = (0, ), Y1 = Y2 = (0, ). (6а) Найдем необходимые и достаточные условия натуральности систе мы (6), (6а). Прежде всего, полагая поочередно x1 0, x2 = 0 и x1 = 0, x2 0, находим, что для натуральности необходимо условие a11 0, a22 0. (7) Это условие в данном случае эквивалент общего условия (3), необходимого для натуральности. Далее, полагая поочередно x1 0, x2 и x2 0, x1, получаем еще одно необходимое условие натуральности:

a12 0, a21 0. (8) Пусть условия (7), (8) выполнены. Тогда все определяется величи ной произведения a12 a21 ( 0) в сравнении с a11 a22 ( 0): условие a12 a21 a11 a22 (9) Натуральные системы оказывается при этом необходимым и достаточным для натурально сти системы (6), (6а). Установим сначала достаточность: если (9) вы полнено, то при положительности хотя бы одной из величин x1, x положительна (хотя бы одна) соответствующая величина y1, y2 (на самом деле здесь достаточно проверить только случай x1 0, x2 0, так как в случае x1 0, x2 0 имеем y1 0, а в случае x1 0, x2 0 имеем y2 0 уже в силу условий (7), (8). Пусть (9) выполнено;

случай a12 = a21 = 0 тривиален, поэтому без ограничения общности предполагаем a21 = 0. Тогда можно указать число 0, такое, что |a12 | a.

|a21 | a Теперь, если x1 x2, причем x1 0, то y1 0, а если x1 x2, причем x2 0, то y2 0. Отсюда следует, что в случае (7)–(9) си стема (6), (6а) натуральна. Значения x1, x2 такие, что x1 = x2 0, представляют собой согласованные действия.

Если же при условиях (7), (8) нарушено (9):

a12 a21 a11 a22, (10) то система (6), (6а) не натуральна. Действительно, в этом случае при x1 = 1/a11 0, x2 = 1/a12 0 имеем y1 = 0 и y2 = a21 /a a22 /a12 0, т.е. y1 Y1 и y2 Y2. Легко также убедиться, что в этом / / случае при всех x1, x2 0 будем получать y1 Y1 или y2 Y2, откуда / / следует, что согласованного набора действий вообще не существует 1.

Наконец, если нарушено какое-либо из условий (7), (8), то система (6), (6а), как уже показано, не может быть натуральной. Однако при этом согласованный набор действий все-таки может существовать: на пример, если a11 0 и a21 0 (в нарушение условия (8)), то, очевидно, x1 = 1, x2 = при достаточно малом 0 согласованные действия.

Итак, для натуральности системы (6), (6а) необходимо и достаточ но, чтобы были выполнены условия (7)–(9). Эти условия не необхо димы, но достаточны для существования согласованного набора дей ствий (как это и гарантируется теоремой 2).

Видоизменим теперь рассмотренную систему, сузив множества воз можных действий (так, что в каждом из них останется только по од ному ненаправленному действию xi = 0):

Q1 = Q2 = [0, ), X1 = X2 = (0, ), Y1 = Y2 = (0, ). (6б) 1 Впрочем, и в этом случае, если только система (6) не вырождена: a a 12 21 = = a11 a22, как нетрудно видеть, найдутся действия x1, x2, дающие ожидаемые результаты y1 Y1 и y2 Y2 ;

однако при этом x1 X1 и x2 X2.

/ / 148 II. Качественные модели сложных систем Тогда, как легко видеть, появляется дополнительный (к найденно му выше) случай натуральности системы (6), (6б): это случай, когда условие (7) выполнено, а условие (8) не выполнено. Таким образом, система (6), (6б), удовлетворяющая необходимому условию натураль ности (7), не является натуральной в том и только в том случае, если коэффициенты перекрестных связей a12 и a21 оба отрицательны и достаточно велики по модулю: |a12 ||a21 | a11 a22. В этом случае ника кими допустимыми действиями x1, x2 0 невозможно получить оба результата y1 0 и y2 0. В противном случае система (6), (6б), (7) натуральна и обладает согласованными действиями.

Наконец, можно рассмотреть еще одну модификацию системы (6), (6а), заменив открытые множества в (6а) замкнутыми:

Qi = (, ), Xi = [0, ), Yi = [0, ) (i = 1, 2). (6в) Нетрудно убедиться аналогично предыдущему, что для натураль ности системы (6), (6в) необходимо и достаточно выполнение нестро гих аналогов неравенств (7)–(9) 1.

Пример 2. Рассмотрим обобщение системы (6), (6а) на случай про извольного n:

y1 = a11 x1 +... + a1n xn,.

. (11).

yn = an1 x1 +... + ann xn, Q1 =... = Qn = (, ), X1 =... = Xn = (0, ), (11а) Y1 =... = Yn = (0, ).

Найдем условия натуральности этой системы. Прежде всего, как и в предыдущем примере, легко обнаруживаем, что для натуральности системы (11), (11а) необходимы условия aii 0 (i = 1,..., n) (12) и aij 0 (i = j;

i, j = 1,..., n). (13) Для продолжения анализа представим соотношения (11) в матрич ной форме:

y = Ax, где x = (x1,..., xn ), y = (y1,..., yn ), A = (aij ) (14) 1 Если в (6в) положить X = [, ), где 0 (как это делается в стандартной i i i модели для соблюдения условия бездействия 0 Xi ), то указанные неравенства / нужно дополнить еще такими: aij j 0, что легко получить из предыдущего j заменой xi на xi i (i = 1, 2).

Натуральные системы и воспользуемся следующими двумя теоремами о матрицах, заимство ванными (в несколько измененной форме) из [78, 198].

Теорема об альтернативах [78]. Для каждой матрицы A имеет место одна из двух альтернатив: либо существует вектор x 0, такой, что Ax 0, либо существует вектор p 0, такой, что AТ p 0 1.

Теорема Хокинса–Саймона [198]. Пусть A квадратная матрица с неположительными внедиагональными компонентами. Тогда для того, чтобы существовали векторы x 0 и y 0, такие, что y = Ax, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы A были положительны (условие Хокинса–Саймона). При этом условии для любого y 0 решение x уравнения y = Ax существует и положительно.

Для анализа системы (11) понадобится одно следствие из этих тео рем.

Следствие. Пусть A квадратная матрица с неположительными внедиагональными компонентами. Тогда следующие три утверждения эквивалентны между собой:

а) система неравенств x 0, Ax 0 (15) не имеет решения;

б) система неравенств x 0, Ax 0 (16) имеет решение;

в) матрица A удовлетворяет условию Хокинса–Саймона (условию положительности всех главных миноров).

Доказательство. Эквивалентность утверждений б) и в) составля ет первую часть теоремы Хокинса–Саймона. Ввиду этого достаточно доказать эквивалентность утверждений а) и в). По теореме об альтер нативах неразрешимость системы неравенств (15) эквивалентна суще ствованию вектора p 0, такого, что AТ p 0, а это, согласно пер вой части теоремы Хокинса–Саймона, эквивалентно положительности всех главных миноров матрицы AТ, а значит, и матрицы A. Доказа тельство завершено.

Отметим, что разрешимость одной и только одной из двух систем неравенств (15) и (16), установленная в этом следствии, означает су ществование пары взаимоисключающих альтернатив, отличной от той, которая фигурирует в общей теореме об альтернативах. Однако это 1 Для вектора z = (z,..., z ) запись z 0 означает z i 0 (i = 1,..., n), запись n z 0 означает z 0 и z = 0, запись z 0 означает zi 0 (i = 1,..., n). Матрица AТ это транспозиция A.

150 II. Качественные модели сложных систем относится только к матрицам с неположительными внедиагональными компонентами.

Рассмотрим теперь систему (11), (11а), взяв ее в матричной форме (14). По определению натуральности эта система не будет натуральной в том и только в том случае, если при некотором x = (x1,..., xn ) получим yi 0 для всего (непустого) множества I компонент i, таких, что xi 0. Если для всех остальных компонент j I / таких, что xj 0 положить xj = 0, то для измененного таким образом набора x = (x1,..., xn ) с учетом условия (13) будем иметь yi 0 уже для всех i = 1,..., n (т.е. y 0) и xi 0 для всех i = 1,..., n, причем xk 0 хотя бы для одного k (т.е. x 0). Следовательно, система (11), (11а), (13) не является натуральной в том и только в том случае, если система неравенств (15) для ее матрицы A имеет некоторое решение x.

Таким образом, натуральность системы (11), (11а), (13) эквива лентна неразрешимости системы неравенств (15) (утверждение а) в доказанном выше следствии);

с другой стороны, существование согла сованного набора действий, очевидно, эквивалентно разрешимости си стемы неравенств (16) (утверждение б)). Установленная эквивалент ность утверждений а) и б) означает, что натуральность системы (11), (11а) при условии (13) достаточна и в то же время необходима для су ществования согласованного набора действий в этой системе. Третье эквивалентное утверждение в) выдвигает условие Хокинса–Саймона в качестве критерия натуральности системы (11), (11а), (13). Заметим, что условие Хокинса–Саймона включает условие (12).

Вспомнив, что условие (13) само является необходимым для на туральности системы (11), (11а), окончательно получаем следующее утверждение.

Необходимыми и достаточными для натуральности системы (11), (11а) являются два условия:

1) неположительность всех внедиагональных компонент матрицы A = (aij ) коэффициентов этой системы и 2) положительность всех главных миноров этой матрицы (условие Хокинса–Саймона).

В частном случае n = 2 эти условия, как это и должно быть, сводятся к найденным в примере 1 условиям натуральности системы (6), (6а): условие Хокинса–Саймона сводится к паре условий (7), (9), а условие (13) к (8).

Отметим, что для натуральной системы (11), (11а) набор согла сованных действий x = (x1,..., xn ), согласно второй части теоремы Хокинса–Саймона, можно найти как x = A1 y, где y = (y1,..., yn ) 0 набор ожидаемых результатов.

Завершая этот пример, рассмотрим систему (11) при суженных Натуральные системы множествах возможных действий, заменив (11а) на Q1 =... = Qn = [0, ), X1 =... = Xn = (0, ), (11б) Y1 =... = Yn = (0, ) (аналогично замене (6а) на (6б) в примере 1). Тогда, если оставить (13) как дополнительное предположение, то условие Хокинса–Саймона для матрицы A системы (11) останется необходимым и достаточным усло вием натуральности системы (11), (11б) и в то же время необходимым и достаточным условием существования согласованного набора дей ствий.

Приведем теперь содержательные примеры, иллюстрирующие уп равленческий смысл понятий натуральная система и согласован ные действия. В этих примерах будут использоваться результаты формального анализа примеров 1 и 2.

Пример 3. Сведем к стандартной модели действия результа ты схему воздействия лекарств на организм, о которой говорилось во введении. Будем обозначать через y i i-й физиологический показа тель или комплекс показателей (симптомов), а через xi лекарство или комплекс лекарств (лечебных воздействий), предназначаемый для влияния на y i. Предполагается, что различные воздействия xi могут осуществляться независимо друг от друга 1.

Пусть X i множество тех точек в пространстве xi (скажем, в про странстве лекарственных доз), которым соответствует улучшение комплекса симптомов y i по сравнению с исходным при условии, что в организм вводится только xi, но не xj, j = i (т.е. если xj = 0 ( X j ), / j = i). Обозначив множество улучшенных значений y i через Y i, можем записать это утверждение в виде f i (0,..., 0, xi, 0,..., 0) Y i при xi X i, (17) i i 1 n где y = f (x,..., x ) (i = 1,..., n) зависимость установившихся физиологических показателей от набора введенных лекарств. Здесь делается предположение, что такая зависимость существует, стацио нарна и непрерывна. Множества X i и Y i предполагаются открытыми (поскольку естественно считать, что точки, достаточно близкие к точ ке, соответствующей улучшению состояния по данному показателю, обладают тем же свойством).

Удобно перейти к стандартной форме действий в этой модели, при няв, что каждое i-е лечебное воздействие можно описать одним чис ловым параметром xi (например, общей дозой данного комплекса ле карств, если они берутся в заданных пропорциях). Тогда по самому 1 Что касается комплексов симптомов y i, то они могут даже перекрываться между собой.

152 II. Качественные модели сложных систем смыслу параметров всегда имеем xi 0;

кроме того, масштабы изме рения xi всегда можно установить так, что все дозы 0 xi 1 будут разумными в смысле выполнения условия f i (0,..., 0, xi, 0,..., 0) Y i ;

таким образом, Qi = [0, 1]. При этом xi = 0 соответствует без действию, а xi 0 направленному действию для i-го элемента данной системы, так что формально можно положить Xi = (0, ).

Рассмотрим в качестве допустимых (возможных) наборов действий все наборы вида (x1,..., xn ), где xi 0, xi = 1, и проанализиру ем возможные последствия одновременного осуществления несколь ких действий. Имеются две взаимоисключающие альтернативы: либо 1) возможна неестественная ситуация (типа описанной во введении), когда ни один из показателей, подвергаемых направленному лечебно му воздействию, не улучшается, т.е. для некоторого допустимого на бора (x1,..., xn ) имеем f i (x1,..., xn ) Y i / для всех i, таких, что xi 0, либо 2) такие ситуации невозможны каждый раз при введении до пустимой комбинации лекарств хотя бы один соответствующий пока затель улучшается, т.е. для каждого допустимого набора (x1,..., xn ) имеем f i (x1,..., xn ) Y i хотя бы для одного i, такого, что xi 0.

Если реализуется вторая альтернатива, т. е. если система лекар ства симптомы натуральна, то, согласно теореме 2с, существует согласованный набор действий (x1,..., xn ), такой, что xi = 1 и f i (x1,..., xn ) Y i (i = 1,..., n).

xi 0, Это означает, что подбором дозировок различных лекарств в этом случае заведомо можно добиться одновременного улучшения всех по казателей.

Отметим, что качественный, топологический (а не количественный, метрический) характер модели позволяет включать в нее без поте ри строгости выводов и такие физиологические показатели, которым трудно или даже невозможно придать точный количественный харак тер (симптомы типа утомление, возбуждение и т.п.). В то же вре мя рассмотрение количественных показателей позволяет продвинуть ся в анализе такой системы далее. Рассмотрим простейший случай, когда имеются два лекарства в дозах x1, x2 и два количественных фи зиологических показателя y1, y2, и допустим, что (в некотором при Натуральные системы ближении) существует линейная зависимость y1 = a11 x1 + a12 x2, y2 = a21 x1 + a22 x2.

Предположим, что целью i-го лечебного воздействия является по ложительность i-го показателя (i = 1, 2), что означает его улучшение по сравнению с исходным нулевым значением. Привлекая результа ты анализа примера 1 (система (6), (6б)), заключаем, что единствен ным случаем, когда невозможно подбором дозировок лекарств добить ся улучшения обоих показателей, является случай, когда каждое ле карство обладает в этой системе вредным побочным действием (т.е.

a12 0 и a21 0), причем произведение коэффициентов прямого дей ствия a11 a22 не превосходит произведения коэффициентов побочного действия a12 a21. Если это не так, то искомый подбор дозировок всегда осуществим (см. пример 1, система (6), (6б)), т.е. найдутся дозы x1, x2 0, такие, что будут получены оба ожидаемых улучшения y1 и y2 0.

Пример 4. Приведем теперь как пример системы действия ре зультаты один фрагмент из исследования системы образования в США, опубликованного в виде отчета РЭНД Корпорейшн [156]. В этой работе, в частности, изучалось, каким образом такие факторы, как за работная плата учителей и нагрузка, приходящаяся на учителя (число учеников в классе), влияют на качество обучения (успеваемость) и на величину расходов на обучение. Одно из статистических обследований, описанных в [156], показало, что увеличение зарплаты учителей на 5% при одновременном увеличении нагрузки на 8% в конечном счете при вело к повышению качества обучения при неизменном бюджете. Про анализируем эти данные в терминах стандартной модели действие результаты.

Будем рассматривать повышение зарплаты учителей как действие, направленное на повышение качества обучения, а увеличение нагруз ки на учителя как действие, направленное на экономию бюджета.

Пусть x1 изменение зарплаты учителя, x2 изменение нагрузки на учителя, y1 изменение качества обучения (здесь безразлично, в каких единицах оно измеряется), y2 величина экономии бюджета.

Тогда формально множества направленных действий X1, X2 и мно жества ожидаемых результатов Y1, Y2 имеют вид (0, );

будем счи тать, что множества возможных действий имеют вид Qi = [i, i ], i 0 i. Снова допустим, что в линейном приближении существу ет зависимость y1 = a11 x1 + a12 x2, y2 = a21 x1 + a22 x2.

154 II. Качественные модели сложных систем Здесь a11 0, a22 0, a12 0, a21 0;

как следует из анализа примера 1, такая система может как быть, так и не быть натураль ной. Заметим теперь, что приведенный выше результат обследования означает существование x1 0, x2 0, таких, что y1 0 и y2 = 0. От сюда следует a11 a22 a12 a21, и, значит, данная система действия результаты натуральна (см. пример 1). Следовательно, существуют согласованные действия (одновременное повышение зарплаты и на грузки учителей), обеспечивающие и повышение качества обучения, и снижение расходов.

Подчеркнем, что если бы, наоборот, в качестве действия, направ ленного на повышение качества обучения, было выбрано снижение на грузки на учителя, а в качестве действия, направленного на экономию бюджета, снижение зарплаты, то, как снова вытекает из приведен ных данных, такая система действия результаты не была бы нату ральной, и (как следует из соотношения a11 a22 a12 a21 ) эти действия невозможно было бы согласовать так, чтобы они привели к ожидае мым результатам. На этом примере можно видеть, что факт натураль ности системы может служить показателем того, адекватно ли выбра ны направленные действия и правильно ли между ними распределена ответственность за соответствующие результаты.

Пример 5. Рассмотрим простейшую многопродуктовую экономиче скую модель схему межотраслевого баланса. Пусть имеются n вза имосвязанных отраслей (технологий);

i-я отрасль производит i-й про дукт в количестве xi и затрачивает при этом количество ji (xi ) каждого j-го продукта (i, j = 1,..., n). В классической линейной мо дели межотраслевого баланса Леонтьева [198] ji (xi ) = aji xi, где aji постоянный технологический коэффициент. Величина xi полного вы пуска продукта i-й отрасли служит мерой интенсивности работы этой отрасли и с точки зрения управления экономической системой может рассматриваться как входная переменная i-е действие. Будем пред полагать для простоты, что величину xi можно выбирать произвольно в пределах от 0 до. За соответствующую выходную переменную yi (результат) примем величину чистого выпуска i-го продукта, равную его полному выпуску минус суммарные производственные затраты, т.е.

в линейной модели Леонтьева n yi = xi aij xj (i = 1,..., n). (18) j= Естественно рассматривать положительную интенсивность xi i-й отрасли как действие, направленное на достижение положительного чистого выпуска yi. Таким образом, приходим к стандартной модели Натуральные системы действия результаты вида yi = fi (x1,..., xn ), Qi = [0, ), Xi = (0, ), Yi = (0, ) (i = 1,..., n).

(19) Рассмотрим вопрос о достижимости ожидаемых результатов в этой модели, т.е. о существовании набора интенсивностей x = (x1,..., xn ), обеспечивающего положительные чистые выпуски всех продуктов y1,..., yn 0. Будем называть такой набор x = (x1,..., xn ) продук тивным режимом, а модель, для которой существует продуктивный ре жим, продуктивной моделью. Заметим, что положительный чистый выпуск yi 0 возможен только при положительном полном выпуске xi 0;

поэтому продуктивный режим это синоним согласованно го набора действий в данной модели. Тем самым отыскание условий продуктивности модели сводится к отысканию условий существования согласованного набора действий на множестве R возможных режимов x 0. Учитывая теперь, что, согласно теореме 2, натуральность систе мы вида (19) гарантирует существование в ней согласованного набора действий, немедленно получаем, что натуральность есть достаточное условие продуктивности модели Леонтьева (18).

Это утверждение в действительности можно усилить, воспользо вавшись тем, что для линейной модели Леонтьева свойство продук тивности (изучавшееся в литературе в несколько иной, но эквивалент ной формулировке [198]) достаточно полно характеризуется теоремой Хокинса–Саймона (см. пример 2). Возьмем линейную модель Леонтье ва в матричной форме:

y = (E A)x, (20) где E единичная матрица, A = (aij ) матрица технологических коэффициентов. Применяя теорему Хокинса–Саймона к матрице A = E A системы (20), заключаем, что для продуктивности (20) необ ходима и достаточна положительность всех главных миноров матри цы E A. Как следует из анализа системы (11), (11б) в примере 2, это же условие необходимо и достаточно для натуральности системы (20). Таким образом, для линейной модели интенсивности чистые выпуски свойства продуктивности и натуральности полностью сов падают (натуральность не только достаточна, но и необходима для продуктивности);

теорема Хокинса–Саймона дает аналитический кри терий, позволяющий эффективно проверить выполнение этих свойств для данной линейной модели.

Для того чтобы пояснить экономический смысл понятия натураль ности в системе интенсивности чистые выпуски, введем еще од но понятие абсолютно непродуктивный режим. Назовем набор 156 II. Качественные модели сложных систем интенсивностей x = (x1,..., xn ) 0 (хотя бы одна из которых поло жительна) абсолютно непродуктивным режимом, если при этом все чистые выпуски неположительны: y = (y1,..., yn ) 0, т.е. если в этом режиме система потребляет каждого из продуктов не меньше, чем про изводит 1. Легко видеть (снова приняв во внимание, что yi 0 может быть только при xi 0), что абсолютно непродуктивный режим суще ствует в системе (18) в том и только в том случае, если эта система не является натуральной. Иначе говоря, натуральность системы интен сивности чистые выпуски есть не что иное, как отсутствие в ней абсолютно непродуктивных режимов.

Таким образом, для линейной модели Леонтьева (18) следующие три свойства оказываются эквивалентными между собой: 1) отсут ствие абсолютно непродуктивных режимов;

2) натуральность;

3) про дуктивность. В частности, эквивалентность свойств 1 и 3 означает, что в линейной модели (18) продуктивный режим существует в том и только в том случае, если в ней невозможен абсолютно непродуктив ный режим 2.

В заключение укажем, что для прямого нелинейного обобщения мо дели Леонтьева свойство натуральности остается достаточным (в силу теоремы 2) для продуктивности, но перестает быть необходимым в одной и той же нелинейной системе могут существовать и продуктив ный, и абсолютно непродуктивный (несовместимый с натуральностью) режим.

С другой стороны, как легко видеть, в нелинейной модели, как и в линейной, эквивалентом натуральности является отсутствие абсолют но непродуктивных режимов. Поэтому в нелинейном случае остается в силе утверждение: если в модели невозможен абсолютно непродук тивный режим, то в ней существует продуктивный режим (в линей ном случае, как было показано, справедливо и обратное). Тем самым любое условие, гарантирующее в нелинейной модели невозможность абсолютно непродуктивного режима, является достаточным условием продуктивности. Этот результат позволяет получить некоторые новые условия продуктивности для нелинейной модели межотраслевого ба ланса;

однако вывод этих условий выходит за рамки настоящего иллю стративного примера, предназначенного лишь для разъяснения самог о понятия натуральности.

1 Подчеркнем, что абсолютно непродуктивный режим более сильное по нятие, чем просто непродуктивный режим в смысле режим, не являющийся продуктивным.

2 Это утверждение можно также получить непосредственно, применяя след ствие, приведенное в примере 2 (точнее, эквивалентность пунктов а) и б) в этом следствии), к матрице A = E A системы (20).

Натуральные системы ПРИЛОЖЕНИЕ Приводимое ниже доказательство теоремы 1с опирается на одну комбинаторно-топологическую лемму о нумерации вершин симплек сов, обычно называемую леммой Шпернера [198], или, более непосред ственно, на вытекающую из нее лемму о покрытии симплекса, приве денную в [72] также под названием лемма Шпернера. Дадим сначала нужные определения, а затем формулировку этой леммы (в приспо собленном для целей настоящей работы виде).

Рассмотрим n-мерное пространство векторов x = (x1,..., xn ). Мно жество Pn = {x| xi = 1, xi 0 (i = 1,..., n)} называется стандарт ным симплексом. Точки x1 = (1, 0,..., 0), x2 = (0, 1, 0,..., 0),...,xn = = (0,..., 0, 1) называются вершинами симплекса Pn. Каждое подмно жество вида {x|xi1 + xi2 +... + xis = 1, xi1 0, xi2 0,..., xis 0} называется гранью симплекса, натянутой на вершины xi1, xi2,..., xis, и обозначается xi1 xi2... xis. В частности, сам симплекс Pn являет ся своей (несобственной) гранью, натянутой на все n вершин: Pn = = x1 x2... xn.

Назовем семейство n множеств H 1,..., H n натуральным покрыти ем симплекса Pn, если каждая грань xi1 xi2... xis целиком лежит в объединении одноименных множеств H i1 H i2... H is.

Лемма Шпернера [72]. Пусть n замкнутых множеств H 1,..., H n образуют натуральное покрытие симплекса Pn. Тогда эти множества имеют общую точку.

Множество A Pn называется открытым в Pn ( в относительной топологии ), если для каждой точки x A пересечение некоторой окрестности точки x с множеством Pn целиком лежит в A. Покажем, что лемма Шпернера остается в силе, если в ней вместо замкнутых множеств H 1,..., H n будут фигурировать открытые в Pn множества H 1,..., H n.

Для этого, очевидно, достаточно доказать следующую лемму.

Лемма. Пусть n открытых в Pn множеств H 1,..., H n образуют натуральное покрытие симплекса Pn. Тогда можно указать замкнутые подмножества G1 H 1,..., Gn H n, также образующие натуральное покрытие Pn.

Доказательство. Пусть Hc дополнение к множеству H в Pn, т.е. множество точек из Pn, не принадлежащих H. Семейство n мно жеств H 1,..., H n согласно определению является натуральным по крытием симплекса Pn в том и только в том случае, если каждая грань xi1 xi2... xis не пересекается с пересечением одноименных мно жеств Hc1 Hc2... Hcs. Обозначим через (Hc )i1 i2...,is расстоя i i i i1 xi2... xis до H i1 H i2... H is. Рассмотрим множества ние от x c c c 158 II. Качественные модели сложных систем H 1,..., H n из условия леммы;

так как эти множества открыты в Pn, 1 n то их дополнения в Pn множества Hc,..., Hc замкнуты. Поэтому i1 i2...is все расстояния (Hc ) положительны. Возьмем минимальное из этого конечного набора расстояний и обозначим его ;

очевидно, 0.

i Построим для каждого множества Hc его открытое -расширение в i Pn, т.е. множество всех точек в Pn, находящихся на расстоянии от Hc, i меньшем, чем 0;

обозначим это множество через Gc, а дополнение через Gi. Очевидно, что множество Gi к нему в Pn открытое c i замкнутое, причем Gi H i (i = 1,..., n). Каждая в Pn, а G грань xi1 xi2... xin при достаточно малом 0 не пересекается с пересечением одноименных множеств Gi1 Gi2... Gis, и, значит, c c c множества G1,..., Gn образуют натуральное покрытие симплекса Pn.

Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1с. Без ограничения общности считаем, что система натуральна на множестве Pn = {x|xi = 1, xi 0}, а множества Xi имеют вид (i, ) или [i, ), где i 1/n, причем 0 Xi (i = 1,..., n). Легко видеть, что если x = (x1,..., xn ) / xi1 xi2... xis, т.е. если xi1 + xi2 +... + xis = 1, то xi Xi хотя бы для одного i {i1, i2,..., is } и xj Xi для всех j {i1, i2,..., is }.

/ / Поэтому в силу натуральности системы имеем y i Y i хотя бы для одного i {i1, i2,..., is }.

Обозначим через H i множество всех точек x P n, таких, что y = f i (x1,..., xn ) Y i. Согласно непрерывности f i, если множество i Y i замкнуто, то и H i замкнуто, а если Y i открыто, то H i открыто в Pn. Из доказанного выше следует, что если x xi1 xi2... xis, то x H i хотя бы для одного i {i1, i2,..., is }, т.е. x H i1 H i... H is. Таким образом, семейство H 1,..., H n является натуральным покрытием симплекса Pn.

Если множества Y 1,..., Y n все замкнуты либо все открыты, то и множества H 1,..., H n все замкнуты либо все открыты в Pn. Поэтому в силу леммы Шпернера множества H 1,..., H n должны иметь общую точку x Pn. По построению получаем f i (x,..., x ) Y i (i = n = 1,..., n). Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2с. Возьмем в качестве i-го результата вместо y i пару (xi, y i ), приняв в качестве i-го множества ожидаемых результатов прямое произведение Xi Y i. Полученная система, как и исходная, натуральна на P ;

кроме того, новые множества ожидаемых результатов либо все замкнуты, либо все открыты. Поэтому по теореме 1с существует набор (x1,..., xn ) P такой, что (xi, y i ) Xi Y i (i = 1,..., n). Очевидно, это и есть искомый согласованный набор действий.

Свойство бесконфликтности Свойство бесконфликтности в системах упорядоченных разбиений Системы упорядоченных разбиений множеств фигурируют во мно гих задачах от группировки объектов по нескольким порядковым признакам до согласования индивидуальных предпочтений на множе стве альтернатив. В таких задачах часто рассматривается, в явной или неявной форме, вопрос о построении единого упорядоченного разби ения как некоторой композиции исходных разбиений, естественно согласованной с ними и соединяющей в себе их общие черты. Про тотипом этого является классическая модель К.Эрроу согласования предпочтений в терминах бинарных отношений упорядочения [63, 95].

В [63] установлена применимость подхода Эрроу к согласованию су щественно иных типов структур в задачах групповых решений в частности, к согласованию бинарных отношений эквивалентности и порождаемых ими классификаций на множестве объектов (обычных, т.е. неупорядоченных, разбиений [82]). Аксиоматизация этой задачи в [63] оказалась допускающей такое решение, которое равноправным образом учитывает все исходные классификации;

этим решением слу жит комбинационная группировка, т.е. совокупность всех пересечений исходных классов. В противоположность этому задача о согласовании упорядочений не имеет подобного универсального симметричного решения, а приводит к диктаторским [63, 95] или, в усиленной фор ме, лексикографически-диктаторским [163] правилам согласования.

По такому правилу решение о согласованном упорядочении объек тов принимается согласно одному лишь главному (первому по важ ности) среди исходных упорядочений, и только при безразличии по первому упорядочению решение принимается согласно второму и т.д.

В настоящей работе предметом изучения являются наборы упоря доченных разбиений, т.е. упорядочений, описываемых в целостных терминах подмножеств исходного множества, а не в локальных тер минах бинарных отношений (хотя они взаимопереводимы). Рассматри вается задача построения единого упорядоченного разбиения, по воз можности согласованного с исходными разбиениями. Задача не фор мулируется здесь аксиоматически, в стиле Эрроу, но исследуемые пути ее решения подсказаны вышеупомянутыми результатами для модели Эрроу: вводится аналог правила лексикографического диктата (в терминах структуры упорядоченного разбиения), универсально при менимого, но нарушающего требование равноправия;

вводится пра 1 Анализ данных и экспертные оценки в организационных системах. М.: Ин ститут проблем управления, 1985. С. 22–30.

160 II. Качественные модели сложных систем вило симметричной композиции упорядоченных разбиений, которое удовлетворяет требованию равноправия, но не универсально. Далее очерчивается область применимости симметричного правила, кото рая характеризуется простым критерием согласованности исходных упорядоченных разбиений условием бесконфликтности, причем оказывается, что в этой области симметричное правило эквивалентно лексикографическому.

Ради простоты далее изложение ведется применительно к двумер ному случаю (системы из двух упорядоченных разбиений), но резуль таты без большого труда распространяются и на многомерный случай.

Далее всюду рассматривается фиксированное конечное множество U. Приведем необходимые определения, и в том числе напомним неко торые известные понятия, относительно которых имеются разночте ния (см., например, [63, 64, 82, 134]). Разбиением множества U назы вается семейство U = {Ui }i=1,...,N подмножеств множества U такое, что Ui = U и Ui Uk = при i = k, (1) i=1,...,N причем Ui =, i = 1,..., N. (2) Будем, однако, допускать к рассмотрению и такие семейства U, в кото рых выполнено (1), но не обязательно (2);

будем называть их неочи щенными разбиениями. Разбиение, полученное из такого U выбрасы ванием членов Ui = (с возможной переиндексацией оставшихся чле нов Uk = ), будем называть ректификатом неочищенного разбиения U и обозначать rect U.

Пусть U = {Ui }i=1,...,N и V = {Vj }j=1,...,M два разбиения множе ства U. Произведением U ·V разбиений U и V будем называть разбиение U · V = rect {Ui Vj }i=1,...,N ;

j=1,...,M. (3) Очевидно, произведение двух разбиений (3) действительно является разбиением, и оно коммутативно: U · V = V · U.

Разбиение W = {Wk }k=1,...,Q называется измельчением разбиения V = {Vj }j=1,...,M, а V укрупнением W, если Vj = Wk, j = 1,..., M, kKj для некоторого разбиения K = {Kj }j=1,...,M множества индексов K = = {1,..., Q}. Очевидно, произведение U · V является измельчением как Свойство бесконфликтности разбиения U, так и разбиения V:

(Ui Vj ), Vj = (Ui Vj ) Ui = (4) j=1,...,M i=1,...,N (реально суммирование в (4) идет только по индексам, которые соот ветствуют непустым множествам-членам в (3)).

Для описания структуры операции умножения разбиений и дру гих операций далее будет удобно для пары разбиений U, V рассмат ривать пары индексов (i, j), i = 1,..., N ;

j = 1,..., M. Пару индексов (i, j) назовем связью в паре разбиений U, V, если Ui Vj =. Вве дем множество P всех связей в паре U, V и отметим некоторые его простейшие свойства. Прежде всего, не любое подмножество P {(i, j)}i=1,...,N ;

j=1,...,M может быть реализовано как множество свя зей в какой-либо паре разбиений;

это вытекает из следующей леммы.

Лемма 1. Если P множество связей, то для каждого i = 1,..., N существует j (и обратно, для каждого j = 1,..., M существует i) такое, что (i, j) P.

В самом деле, как вытекает из требования Vj = U в определении j разбиения V, каждое Ui U должно пересекаться хотя бы с одним Vj V;

аналогично обратное.

Из леммы 1, в частности, вытекает для числа T элементов множе ства P нижняя граница max{M, N } в дополнение к очевидной верхней границе M N :

max{M, N } T M N. (5) Перенесем теперь понятия, введенные выше для обычных, неупо рядоченных, разбиений, на новый объект упорядоченные разбие ния. Будем называть упорядоченным разбиением множества U и обо значать символом U последовательность U1, U2,..., UN подмножеств множества U такую, что U = {Ui }i=1,...,N есть разбиение множества U. Иначе говоря, упорядоченное разбиение U это разбиение U с ли нейным упорядочением его членов Ui согласно натуральному порядку индексов 1 i = 1,..., N.

Составом упорядоченного разбиения U, обозначаемым через |U|, будем называть соответствующее неупорядоченное разбиение U. Ана логично неупорядоченному случаю будем рассматривать также неочи щенные упорядоченные разбиения U (с неочищенным составом |U| = = U) и их ректификаты rect U. Два упорядоченных разбиения U и V будем считать равными в том и только в том случае, если совпадают и их составы, и их упорядочения этого общего состава.

1 Ввиду конечности разбиений здесь достаточно целочисленной индексации.

162 II. Качественные модели сложных систем Будем называть упорядоченное разбиение U = U1,..., UN укруп нением упорядоченного разбиения W = W1,..., WQ, а W измель чением U, если члены U представимы в виде Ui = Wk, i = 1,..., N, (6) ki1 +1 k ki при некоторых k0 k1... kN, где k0 = 1, kN = Q. (7) Из (6), (7) очевидно, что U является укрупнением W в том и только в том случае, когда состав |U| есть укрупнение |W| и из Wk, Wk Ui следует Wk Ui для всех индексов k между k и k.

Теперь можно приступить к основной цели этой работы к введе нию и анализу операции композиции двух упорядоченных разбие ний наподобие определенной выше операции умножения двух неупо рядоченных разбиений. В отличие от неупорядоченного случая, жела емая операция не имеет естественно-однозначного определения;

далее вводятся различные ее версии.

Лексикографическим произведением U · V двух упорядоченных раз биений U = U1,..., UN и V = V1,..., VM множества U назовем упорядоченное разбиение U · V = rect U1 V1, U1 V2,..., U1 VM, U2 V1,..., UN VM. (8) Очевидно, выражение (8) действительно дает упорядоченное разбие ние;

упорядоченное в силу самй его записи, а разбиение посколь о ку его состав есть разбиение: |U · V| = |U| · |V|.

Однако лексикографическое произведение в общем случае неком мутативно: U · V = V · U. Пусть, например, U = {a, b, c}, U = {a, b}, {c}, V = {a, c}, {b}. (9) Тогда U · V = {a}, {b}, {c}, V · U = {a}, {c}, {b}. (10) Структурные свойства произведений упорядоченных разбиений особенно удобно изучать на языке связей. Пусть снова [(i, j) P ] [Ui Vj = ]. Тогда последовательность членов Ui Vj (= ) в лек сикографическом произведении U · V задается последовательностью пар их индексов (i, j) P, и эта последовательность упорядочена лексикографически в смысле обычной векторной лексикографии [134]:

[(i, j) строго предшествует (k, l)] [i k или (i = k и j l)]. (11) Свойство бесконфликтности Эту последовательность пар индексов лексикографического произве дения U · V можно наглядно представить как результат прочтения матрицы связей (i, j) обычным способом по строке слева направо и затем с переходом к следующей строке, тогда как произведению V · U соответствует прочтение той же матрицы японским способом по столбцам сверху вниз.

Лемма 2. Лексикографическое произведение U · V является измель чением упорядоченного разбиения U, а V · U измельчением V.

Эта лемма немедленно вытекает из определений лексикографиче ского произведения и измельчения упорядоченных разбиений.

В противоположность неупорядоченному случаю, в лемме 2 оба разбиения, U и V, остаются каждый раз неравноправными: U, в отли чие от V, может не быть укрупнением произведения V · U, а V не быть укрупнением U · V (см. пример (9)–(10)). Разумеется, в свете лем мы 2 это возможно тогда и только тогда, когда U · V = V · U;

если же эти лексикографические произведения совпадают, то оба упорядоченных разбиения U и V оказываются двумя разными укрупнениями одного и того же базового упорядоченного разбиения g = U · V = V · U.

Далее будет показано (см. теорему 3), что верно и обратное: если U и V являются укрупнениями какого-либо одного, пусть произвольного, базового упорядоченного разбиения g, то тогда U и V лексикогра фически коммутируют и в качестве g можно взять общее значение U · V = V · U.

Учитывая, однако, что в общем случае лексикографическое произ ведение U · V некоммутативно, введем иное определение произведения упорядоченных разбиений, предусматривающее равноправие сомно жителей. Будем называть совершенным произведением двух упоря доченных разбиений U и V множества U упорядоченную последова тельность непустых множеств вида U V = Ui1 Vj1, Ui2 Vj2,..., UiT VjT (12) при условии, что ее состав |U V| = {Uit Vjt }t=1,...,T есть разбиение множества U, а члены в (12) упорядочены по неубыванию индексов:

i1 i2... iT, j 1 j2... jT. (13) Условие неубывания (13) удобно переписать для пар индексов:

(i1, j1 ) (i2, j2 )... (iT, jT ), (14) заменив его эквивалентным образом на условие полустрогого воз растания:

(i1, j1 ) (i2, j2 )... (iT, jT ), (15) 164 II. Качественные модели сложных систем означает нестрогое, а где полустрогое покомпонентное ( век торное ) неравенство, т.е.

[(i, j) (i, j )] [i i и j j ], [(i, j) (i, j )] [(i, j) (i, j ) и (i, j) = (i, j )].

Усиление формы неравенств (14) до формы (15) возможно потому, что члены выражения (12) не могут повторяться в силу определения разбиения.

Лемма 3. Определению совершенного произведения (12), (13) для фиксированных U, V может удовлетворять не более одного упорядо ченного разбиения множества U.

Действительно, состав |U V| разбиения (12) заведомо является подсоставом разбиения U · V и, значит, должен совпадать с ним. Сле довательно, (12) представляет собой специальное упорядочение раз биения U · V а именно, удовлетворяющее условию (15). Если бы существовало другое упорядочение того же разбиения U · V, удовле творяющее тому же условию (15), то оно должно было бы отличаться от первого перестановкой хотя бы одной пары членов, что невозможно в силу (15).

Итак, если совершенное произведение U V существует, то оно единственно;

в этом смысле его определение (12), (13) корректно. Лег ко видеть, что это произведение коммутативно:

U V=V U. (16) Соотношение (16) следует понимать в том смысле, что если существует левая часть в (16), то правая также существует, однозначно определе на и совпадает с левой, и обратно (произведение U V также ассоци ативно, как и U · V, и U · V, что важно для корректного определения n-кратного произведения).

Теорема 1. Совершенное произведение U V двух упорядоченных разбиений U и V множества U существует тогда и только тогда, когда их лексикографическое произведение коммутативно:

U · V = V · U. (17) Более того, при этом U V = U · V = V · U. (18) Доказательство.

Свойство бесконфликтности 1. Пусть U V существует. Тогда, с учетом совпадения составов |U V|, |U · V| и |V · U|, из сопоставления определения (12), (13) с (8) следует (18).

2. Пусть выполнено (17). Рассмотрим U · V = rect U1 V1, U1 V2,..., UN VM = = Ui1 Vj1, Ui2 Vj2,..., UiT VjT. (19) В силу определения лексикографии (8) здесь i1 i2... iT. С другой стороны, упорядоченное разбиение (19) должно совпадать с V · U в силу (17), откуда вновь в силу определения лексикографии j1 j2... jT. Таким образом, упорядоченное разбиение (19) удо влетворяет условиям (13) и, следовательно, оно является совершенным произведением U V. Теорема доказана.

Дадим теперь критерий существования совершенного произведе ния U V на языке связей в паре U, V. Скажем, что в множестве связей P имеется конфликт 1, если найдутся две пары (p, r), (q, s) P (20) индексов p, q, r, s таких, что p q и r s. (21) Лемма 4. Для того чтобы совершенное произведение U V суще ствовало, необходимо и достаточно, чтобы в множестве связей P для системы U, V не было конфликтов.

Доказательство. Пусть совершенное произведение U V (12), (13) существует. Тогда, если в (20) (p, r) = (it, jt ), (q, s) = (i, j ), то в силу (13) из (21) вытекает одновременно и t, и t. Следователь но, конфликт (20), (21) невозможен. Обратно, пусть конфликтов вида (20), (21) в P нет. Тогда для любых двух пар (p, r), (q, s) P необходи мо (p, r) (q, s) или (q, s) (p, r), что позволяет линейно упорядочить множество P в виде последовательности (15). Лемма доказана.

Характеризация последовательности связей (it, jt ) (15), упорядо чивающей множество P, дается следующей леммой.

Лемма 5. Последовательность связей (it, jt ), t = 1,..., T, для совер шенного произведения U V упорядоченных разбиений U = U1,..., UN и V = V1,..., VM удовлетворяет следующим условиям.

1). Условие неразрывности :

(it+1, jt+1 ) (it, jt ) (0, 0) (1, 1). (22) 1 В [64] подобная ситуация названа строгой несогласованностью.

166 II. Качественные модели сложных систем 2). Краевые значения:

(i1, j1 ) = (1, 1);

(iT, jT ) = (N, M ). (23) 3). Условие узости. Для всякого c найдется не более одного t такого, что it + jt = c.

4). Длина последовательности T заключена в границах max{M, N } M + N 1.

T (24) Доказательство.

1. Левое неравенство в (22) равносильно (15). Рассмотрим правое неравенство в (22) и допустим, что оно нарушено для определен ности, пусть it+1 it + 1. Тогда в силу (13) значение i = it + 1 не достигается ни при каком = 1,..., T, а это противоречит лемме 1.

2. Допустим, что (i1, j1 ) = (1, 1) для определенности, i1 1.

Тогда в силу (13) it 1 для всех t = 1,..., T, вопреки лемме 1.

Аналогично доказывается второе равенство в (23).

3. Это условие следует из (15).

4. Нижняя граница (24) уже дана в (5), а верхняя следует из сопо ставления условий 2 и 3. Лемма полностью доказана.

Для иллюстрации рассмотрим множество связей для некоторой пары U = U1,..., U5, V = V1,..., V8 с (5 8)-матрицей (i, j) вида j (25) i Здесь 10 заполненных клеток обозначают связи из множества P. Оче видно, это множество P не содержит конфликтов и может быть сдела но равномерно по i, j упорядоченным с помощью прохода из клет ки (1, 1) в клетку (N, M ) = (5, 8) ходами шахматного короля (см.

(22)). Легко видеть, что в согласии с леммой 4 и теоремой 1 полу чаемая последовательность (it, jt ) соответствует последовательности членов Ui Vj и в совершенном произведении U V, и в каждом из двух лексикографических произведений U · V и V · U ( европейский и японский порядки прочтения заполненных клеток таблицы (25) очевидно совпадают).

Свойство бесконфликтности Вернемся к произвольным упорядоченным разбиениям U, V и пе реведем свойство конфликтности связей в P на язык разбиений.

Систему U, V назовем бесконфликтной, если не существует четверки множеств Up, Uq |U|;

Vr, Vs |V| такой, что Up Vr =, Uq Vs =, (26) p q, r s. (27) Поскольку условия (26) и (27) совпадают с (20) и (21), определение бес конфликтности для пары U, V равносильно определению отсутствия конфликта в множестве P. Ввиду этого из леммы 4 и теоремы 1 непо средственно получаем следующий результат.

Теорема 2. Для того чтобы у двух упорядоченных разбиений U, V множества U существовало совершенное произведение U V или, что эквивалентно, чтобы лексикографические произведения U · V и V · U совпадали, необходимо и достаточно, чтобы система U, V была бесконфликтной.

Тот факт, что существование конфликтной ситуации для пары U, V эквивалентно некоммутативности лексикографического произведе ния U и V, нетрудно увидеть непосредственно. В самом деле, условие (27) необходимо и достаточно для того, чтобы член Up Vr строго предшествовал члену Uq Vs в U · V, но следовал после него в V · U, а существование таких двух членов (26), (27) необходимо и достаточно для того, чтобы два упорядоченных разбиения U · V и V · U с одним и тем же составом |U · V| не совпадали между собой.

Из теоремы 2, взятой вместе с леммой 2, вытекает следующая лем ма.

Лемма 6. Если пара U, V бесконфликтна, то U и V являются дву мя укрупнениями одного и того же упорядоченного разбиения g, в качестве которого можно взять любое из совпадающих в этом случае упорядоченных разбиений U V = U · V = V · U.

Для иллюстрации вернемся к матрице связей (25) и развернем ее в последовательность заполненных клеток (it, jt ) для U V. Отмечая принадлежность множеств Uit Vjt к укрупненным классам Ui и Vj из упорядоченных разбиений U и V, получаем следующую диаграмму укрупнений:

i 1 2 3 4 j 1 2 3 4 5 6 7 168 II. Качественные модели сложных систем Лемма 6 содержит необходимое условие бесконфликтности пары U, V в терминах укрупнений некоторого базового упорядоченного разбиения g. Это условие оказывается также достаточным, и поэтому лемма 6 допускает следующее обращение.

Лемма 7. Пусть U и V являются укрупнениями одного и того же упорядоченного разбиения g. Тогда система U, V бесконфликтна.


Доказательство. Допустим противное: в паре U, V имеется кон фликтная ситуация вида (26), (27). Так как U и V укрупнения упо рядоченного разбиения g = G1,..., Gk, то Up = Gk, Vr = Gl kp1 +1 k kp lr1 +1 l lr при соответствующих {k } и {lµ }. Поэтому из условия Up Vr = следует, что существует Gt такое, что Gt Up Vr и lr1 + 1 t kp.

Аналогичным образом должно существовать G Uq Vs, где kq1 + +1 ls. При этом из условия p q следует, что t kp kq1 + 1, а из условия r s что t lr1 + 1 ls.

Это противоречие доказывает лемму.

Объединение лемм 6 и 7 позволяет сформулировать основной ре зультат данной работы.

Теорема 3. Для того чтобы в системе из двух упорядоченных разби ений U, V множества U существовало совершенное произведение U V, необходимо и достаточно, чтобы U и V порождались как два укруп нения какого-либо одного упорядоченного разбиения g множества U.

Более того, при этом в качестве g заведомо можно взять само совер шенное произведение U V, которое существует и совпадает с обоими лексикографическими произведениями U · V и V · U.

Подчеркнем, что в достаточной части утверждения теоремы базовое упорядоченное разбиение g может быть произвольным;

нуж но лишь, чтобы оно было общим измельчением и для U, и для V. Такое базовое разбиение g можно интерпретировать как своего рода внут ренний фактор, проявляющийся в огрубленной форме в наблюдае мых упорядоченных классификациях U и V. Эту факторную ин терпретацию нетрудно перевести на язык порядковых шкал (призна ков), определяющих упорядоченные разбиения, сведя ее к требованию, чтобы порядковые шкалы для U и V получались как результаты по разному осуществляемого склеивания соседних градаций одной и той же внутренней базовой шкалы (примером может служить прак тикуемое в социологии формирование возрастных групп с по-разному проводимыми границами между ними). Такая внутренняя одномер ность системы упорядоченных разбиений, согласно основному резуль Свойства порядковых функций множеств тату настоящей работы, как раз и характеризует ту степень согласо ванности внутри этой системы (очевидно, весьма жесткую), которая необходима и достаточна для осуществимости совершенной компо зиции исходных упорядоченных разбиений.

В заключение кратко укажем, что аналогичные постановки задач и результаты распространяются на системы из n 2 упорядоченных разбиений, а также на системы из иных, но родственных объектов: би нарных отношений слабого порядка и порядковых шкал. При этом аналогами операций лексикографического и совершенного умножения разбиений служат операции лексикографической композиции и сим метричного объединения-пересечения бинарных отношений, а также соответствующие операции над порядковыми шкалами.

Свойства порядковых функций множеств Примером функции (функционала) от множества, отличной от обычных аддитивных функций (мер), является оптимальное значение в задаче экстремизации, рассматриваемое как функция от допустимо го множества:

F (X) = max f (x). (1) xX Функция F в (1), как и ее генератор функция f, может быть не числовой, а порядковой, т.е. принимать значения из произвольно го линейно упорядоченного множества L. Однако порядковые функ ции множеств, порождаемые задачами экстремизации (1), обладают свойством, аналогичным аддитивности. Дальнейшие ослабления это го свойства также приводят к выделению замечательных, в том или ином смысле, классов функций множеств, которым и посвящен насто ящий доклад.

Во избежание технических усложнений ограничимся конечным случаем. Далее всегда X U, где U фиксированное конечное мно некоторая порядковая функция на 2U. Скажем, жество. Пусть F что F удовлетворяет условию порядковой аддитивности, если F (X X ) = max{F (X ), F (X )} (2) для любых X, X U.

1 Расширенный вариант тезисов доклада на Всесоюзном семинаре по оптимиза ции и ее приложениям. Душанбе, 1986. С. 151–152.

170 II. Качественные модели сложных систем Теорема 1. Для того чтобы F была порядковоаддитивна, необходи мо и достаточно, чтобы она была представима в виде (1). При этом с необходимостью f (x) = F ({x}), x U.

Имея в виду эту теорему, будем называть порядковоаддитивной всякую функцию F (X), представимую в виде (1) с какой-либо f (x).

Теперь можно рассмотреть более общий случай, когда F определена не обязательно на всех X U, а на некотором подсемействе X 2U. В частности, F может не быть определена на одноэлементных множествах. Введем условие: для любых X X и {X } X таких, что X X, имеет место F (X) max F (X ). (3) Теорема 2. Для того чтобы функция F (X), определенная на неко тором X 2U, была порядковоаддитивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (3).

Далее для простоты считаем, что F определена на всех собствен ных подмножествах X U.

Будем называть функцию F (X) монотонной, если F (X ) при X X, F (X ) (4) и назовем F (X) -квазивыпуклой, если F (X X ) max{F (X ), F (X )} (5) при любых X, X U (эту и последующие версии свойства ква зивыпуклости можно интерпретировать как разновидности свойств абстрактной квазивыпуклости согласно [76]).

Теорема 3. Функция F (X) порядковоаддитивна тогда и только то гда, когда она монотонна и -квазивыпукла.

Эта теорема очевидна ввиду того, что равенство в условии квази аддитивности (2) эквивалентно конъюнкции двух неравенств: условия субаддитивности (5) (т.е. -квазивыпуклости) и условия суперадди тивности:

F (X X ) max{F (X ), F (X )} (6) для любых X, X U что эквивалентно монотонности (4).

Назовем F (X) гипераддитивной, если она представима в виде F (X) = max G(S) (7) SX при всех X U, где G(S) некоторая порядковая функция ( гене ратор ) на 2U.

Свойства порядковых функций множеств Лемма 1. Гипераддитивность F (X) эквивалентна ее монотонности.

Теорема 4. Для того чтобы F (X) была порядковосупераддитивной (субаддитивной), необходимо и достаточно, чтобы она была предста вима в виде F (X) = max max g(x, S) (8) xX SX либо, соответственно, F (X) = max min g(x, S) (9) xX SX с некоторой функцией g на U 2U.

Замечание 1. В полуаддитивных представлениях (8) (или (7)) для монотонной и (9) для -квазивыпуклой функции F можно принять:

g(x, S) G(S) F (S) в (7) и (8), g(x, S) min F (Z) в (9).

Z:xZS Назовем F -квазивыпуклой, если F (X X ) max{F (X ), F (X )}. (10) Замечание 2. -квазивыпуклость функции F (X) эквивалентна квазивыпуклости функции F c (X) F (U \ X).

Теорема 5. Для того чтобы F (X) была -квазивыпуклой, необхо димо и достаточно, чтобы она была представима в виде F (X) = max max g(S, z) (11) SX zU \X с некоторой функцией g на 2U U.

Следствие (из теоремы 5 в силу замечания 2):

-квазивыпуклость функции F эквивалентна ее представимости в виде F (X) = max max g(x, Z) (12) xX ZU \X при некоторой функции g на U 2U (наряду с представлением (9)).

Назовем F, -квазивыпуклой, если она одновременно - и -ква зивыпукла.

Теорема 6. Для того чтобы F была, -квазивыпуклой, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в форме F (X) = max max g(x, y) (13) xX yU \X с некоторой функцией потока g(x, y) на U U.

Замечание 3. В представлениях (11), (12) и (13) можно принять, соответственно, F (U \ T ) = g(S, z) = min min F (Q), (14) T :zT U \S Q:Q z,QS 172 II. Качественные модели сложных систем F (U \ Q) g(x, Z) = min F (T ) = min (15) T :xT U \Z Q:Q x,QZ и g(x, y) = min F (T ). (16) T :T x,T y Лемма 2. Всякая монотонная (и только такая) функция F предста вима в виде следующего разложения по некоторой системе {g (x)}N порядковоаддитивных функций на U :

F (X) = min max g (x). (17) N xX С помощью разложения (17) получаем, как следствие из теорем 4, 5, дальнейшие эквивалентные представления функций.

Теорема 7. Справедливы разложения:

1) Для монотонной (порядковосупераддитивной) функции F :

F (X) = min max max g (x, y);

(18) N xX yX 2) Для -квазивыпуклой (порядковосубаддитивной) функции:

F (X) = max max min g (x, y) (19) N xX yX или = max min max hµ (x, y);

(20) yU \X µM xX 3) Для -квазивыпуклой функции:

F (X) = max min max g (x, y) (21) xX N yU \X при некоторых наборах функций g (hµ ).

Замечание 4. Задание порядковой функции F : 2U L равно сильно заданию семейства {X }L ее множеств уровня X = {X U : F (X) }. Можно убедиться, что 1) монотонность F эквивалент на замкнутости каждого X относительно теоретико-множественного сужения его членов-множеств:

X X, S X S X ;

(22) 2) -квазивыпуклость (либо -квазивыпуклость) эквивалентна за мкнутости каждого X относительно объединения (соответственно, пересечения):

X, X X X X X (23) (соответственно, X X X, Комбинаторная модель причинных связей т.е. эквивалентна полурешеточности X ), поэтому, -квазивыпук лость F эквивалентна решеточности всех X ;

3) квазиаддитивность F эквивалентна тому, что каждое X имеет вид булеана:

X = {X: X X }, где X U. (24) Для частного случая порядковых функций F : 2U L при L = {0, 1}, т.е. для логических функций множеств, задание каждой такой функции равносильно заданию множества X0 ее нулей, и структура этого множества определяет свойства F.

В качестве примера реализации вышеописанных свойств порядко вых функций множеств укажем на модель монотонной системы по И.Муллату [65], которая в обозначениях настоящей работы описыва ется скалярной функцией F (X) на подмножествах X конечного мно жества объектов U, где F определяется так:

F (X) = min (x, X), (25) xX где (x, X) некоторая функция на U 2U, монотонная по X (экстре мизация F по X используется в задачах группировки, когда (x, X) имеет смысл меры связанности объекта x с X;

эффективный алго ритм экстремизации так определенной F дан в [65]). Из леммы 1 и теоремы 4 получаем, что функция F (X) определяется некоторой мо нотонной системой, в смысле (25), в том и только в том случае, если функция F (X) порядковосубаддитивна, иначе говоря, если F (X) -квазивыпукла.


Комбинаторная модель причинных связей Введение Представим себе объект, на который могут поступать дискретные входные воздействия x, y, z,... или сочетания (совокупности) таких воздействий, т.е. наборы вида X = {x, y,...}. При этом на выходе объ екта наблюдаются последствия этих воздействий, обозначаемые сим волами, µ,,.... Совокупность всех наблюдаемых последствий при данном наборе воздействий X обозначим через. Предполагаем, что 1 Методы и алгоритмы анализа эмпирических данных. М.: Институт проблем управления, 1988. С. 27–34.

174 II. Качественные модели сложных систем имеется детерминированная и статическая (фактор времени не рас сматривается) функциональная зависимость X. Зададимся во просом, можно ли описать эту зависимость с помощью системы при чинных связей при более или менее обычном понимании причинно сти, и каковы свойства такой системы.

На интуитивном уровне можно считать данное воздействие x при чиной для некоторого последствия, если наличие x во входном набо ре воздействий X с необходимостью влечет наличие последствия в выходном наборе (x есть достаточная причина для ;

обозначим это символом x ). Разумеется, одно и то же воздействие x может быть причиной для нескольких различных последствий 1, 2,.... В свою очередь, одно и то же может проявляться как последствие лю бой из нескольких причин x1, x2,.... Подчеркнем, что причинами мы называем только отдельные воздействия, а не их совокупности (по следние будем иногда трактовать как составные причины ).

Система индивидуальных причинно-следственных связей вида xi j будет давать полное описание общей функциональной зависимости X, если выполнено следующее требование: в любой регистрируемой входо-выходной паре X каждое последствие имеет (хотя бы одну) свою причину среди воздействий x X.

Действительно, в этом случае, в силу данного выше определения причины, для любого набора воздействий X соответствующий на бор последствий однозначно определяется как состоящий из тех и только тех последствий, для которых имеются причины x в X.

Так устроенную функциональную зависимость X будем далее называть разложимой по системе причинных связей x (кратко разложимой).

Не всякая зависимость воздействия последствия разложима;

сформулированное выше условие разложимости может нарушаться. А именно, может оказаться, что некоторый набор воздействий X вызы вает (среди прочего) некоторое последствие, для которого нельзя указать (ни одной) причины x в наборе X. При этом возможны две качественно противоположные ситуации.

Ситуация I. Последствие не вызывается ни одним отдельно взя тым воздействием x из набора X (и поэтому у заведомо нет причин в X). Но поскольку все эти воздействия в совокупности все же порож дают, здесь имеет место положительный системный эффект место индивидуальной причины x занимает совместное воздействие коллективной (комплексной) причины X для. Примером может служить обычный логический вывод, скажем, при доказательстве ма тематических утверждений. В самом деле, пусть x, y, z,... предпо Комбинаторная модель причинных связей ложения об исследуемом предмете (постулаты), а, µ,,... дока зываемые следствия (теоремы). Тогда следствия из некоторого набора предположений X будут, как правило, более богатыми, чем совокуп ность следствий из этих же предположений, но принимаемых пооче редно, по одному.

Ситуация II. Последствие порождаемо некоторым одиночным воздействием x в отсутствие других воздействий (т.е. формально, од ноэлементным набором воздействий X = {x}). Однако x все же не является причиной для (в смысле данного выше определения), по скольку при расширении набора воздействий до некоторого X, по прежнему включающего x, последствие исчезает. Это отрица тельный системный эффект. Примером такой ситуации может слу жить совокупность лекарственных воздействий на организм, когда по тенциальный лечебный эффект одного лекарства может уничтожаться побочным влиянием других, принимаемых одновременно.

Далее в этой работе строится формализация вышеописанной схе мы функциональных зависимостей воздействия последствия как для случая ее разложимости по причинным связям, так и для слу чая неразложимости. Даются конструктивные критерии разложимо сти. Анализируются возможные причины нарушения этих критериев в виде типичных системных эффектов (двух основных качественно противоположных типов) и разрабатывается соответствующее расши рение понятия причинности ( квазиразложимость системы связей).

Формальная модель воздействия последствия.

Критерии разложимости по причинным связям Пусть U множество элементов x, y,..., называемых воздействи ями, а множество элементов, µ,..., называемых последствиями (природа множеств U и для дальнейшего несущественна;

впрочем, в случае конечности U возможны некоторые упрощения, что будет ого вариваться при необходимости).

Пусть задано отображение (функциональная зависимость) F, пе реводящее множества X U в :

F (X) =. (1) В общем случае F определено на некотором семействе X 2U, т.е. F : X 2. Особо будем выделять случай, когда F определено на X = 2U, т.е. при всех X U (быть может, кроме X = ).

Назовем функцию F сепарабельной, если она представима в виде F (X) = f (x) (2) xX 176 II. Качественные модели сложных систем при всех X X, где f : U 2 некоторая функция, которую будем называть причинной функцией.

Замечание 1. Здесь и далее следует для корректности особо ого ворить случай X = (если он допускается). Можно для простоты положить F () = либо же дополнить выражение (2) несобствен ным аддитивным членом f (“”) = C (при этом C интерпретируется как постоянно наблюдаемый набор выходных сигналов совокупность последствий пустого воздействия “”).

Определение сепарабельности служит основой для формализации понятия схемы причинно-следственных связей, обсуждавшейся во введении. Чтобы завершить эту формализацию, приведем дальней шие определения. Пусть задано отображение F ;

назовем выявленно причинной функцией для F функцию xV f (x) F (S), (3) Sx (здесь и далее ради краткости, когда это не приводит к недоразуме ниям, не указываем подразумеваемое требование, что все множества воздействий берутся только из допустимого семейства X ).

Определение выявленно-причинной функции (3) формализует по нятие причины. Действительно, множество x = f (x) состоит из всех тех и только тех последствий, которые наблюдаются вся кий раз, когда данное x входит в применяемый набор воздействий.

Следующее определение завершает формализацию понятия разложи мости, рассмотренного во введении.

Функциональную зависимость F назовем разложимой, если при всех X X F (X) = f (x). (4) xX На первый взгляд разложимость (4) есть ужесточение свойства се парабельности (2), поскольку выражение (4) есть специальный случай выражения (2). Однако в действительности разложимость не сильнее сепарабельности, а эквивалентна ей:

Утверждение 1. Функция F сепарабельна тогда и только тогда, когда она разложима.

Таким образом, в качестве причинной функции f в (2) всегда мож но взять выявленно-причинную функцию f из (3).

Доказательство. В утверждении 1 тогда очевидно;

докажем только тогда. Зафиксируем произвольное X X. Для любого x X согласно (2) и (3) имеем Комбинаторная модель причинных связей f (x) = f (x) h(x), (5) где h(x) f (z). (6) zX Из (5) и (6) получаем f (x) = f (x), xX xX что и доказывает утверждение 1.

Рассмотрим теперь случай всюду определенной функции F, т.е.

X = 2U. В этом случае (и даже шире, при любом таком X, в которое входят все одноэлементные множества X = {x}) ситуация упрощается до тривиальности, так как при этом из сепарабельности сразу следует, что f (x) = f (x) = F ({x}), x U. (7) Далее, при этом в силу (7) условие сепарабельности (а значит, и разложимости) становится равносильным выполнению соотношения F (X) = F ({x}) (8) xX для всех X X, что представляет собой простейшее функциональное уравнение для сепарабельной функции F (уравнение сепарабельно сти). Выполнение этого уравнения есть простейший критерий разло жимости отображения F.

Вернемся к общему случаю произвольного X и выпишем более об щее соотношение, чем (8). Пусть для любого семейства {X } множеств X X, такого, что X X, выполняется равенство F( X ) = F (X ). (9) Назовем (9) условием аддитивности. Очевидно, соотношение (8) есть частный случай соотношения аддитивности (9). С другой сторо ны, легко видеть, что всякая сепарабельная функция F всегда удовле творяет условию аддитивности. Поэтому в ситуации, когда применимо соотношение (8), т.е. при X, содержащем все одноэлементные подмно жества универсума U, свойства сепарабельности и аддитивности эк вивалентны.

178 II. Качественные модели сложных систем Утверждение 2. При X = 2U условие аддитивности (9) эквива лентно условию (8), а значит, и сепарабельности, и разложимости функции F.

Замечание 2. Если в случае X = 2U множество U конечно, то условие аддитивности можно свести к эквивалентному условию более простого вида: для любых X, X U F (X X ) = F (X ) F (X ) (аналогичные замечания верны для рассматриваемых в следующем разделе условий полуаддитивности ).

В отличие от случая X = 2U, в общем случае, при X 2U, адди тивность функции F не гарантирует ее сепарабельности даже если U конечно. Пусть, например, U = {a, b, c, d}, X = {X1, X2, X3 }, где X1 = {a, b}, X2 = {b, c}, X3 = {c, d}. Тогда условие аддитивности (9) выполняется (при любой функции F !) тривиальным образом. Но если положить, например, F (X1 ) = F (X3 ) =, но F (X2 ) =, то сепара бельность такой функции F заведомо невозможна.

Для того чтобы получить эквивалент сепарабельности в терминах наблюдаемых свойств функции F в общем случае, введем еще одно условие. Назовем функцию F консервативной, если для любого семей ства множеств {X } и любого множества X из X X X F (X) F (X ). (10) Утверждение 3. Из свойства консервативности (10) следует свой ство аддитивности (9).

Чтобы доказать утверждение 3, вначале заметим, что (10) в част ном случае X = X дает соотношение X ) F( F (X ).

Остается убедиться, что это включение в действительности должно быть равенством. С этой целью заменим в (10) множество X на любое X, а семейство {X } на семейство, состоящее из одного члена множества X ;

получаем F (X ) F ( X ) для любого X, что и обеспечивает окончательное равенство (9).

При этом консервативность является существенным усилением ад дитивности, так как в приведенном выше примере консервативность, в отличие от аддитивности, не имеет места. Роль этого усиления вы является следующей теоремой.

Теорема 1 (общий критерий сепарабельности). Пусть X область определения функции F произвольного вида. Для того чтобы F была Комбинаторная модель причинных связей сепарабельна, а значит, разложима, необходимо и достаточно, чтобы F была консервативной на X.

Доказательство. Если F сепарабельна, то выполнение условия консервативности (10) легко проверяется непосредственно. Обратно, пусть выполнено (10). Покажем, что тогда выполнено условие разло жимости (4). Для этого сначала заметим, что условие (4) путем под становки в него выражения (3) переходит в уравнение F (X) = F (S). (11) xX S x Заметим, что в каждом конъюнктивном члене F (S) в правой части (11) при любом x в качестве одного из множеств S фигурирует X. Поэтому эта правая часть обозначим ее через A заведомо вложена в F (X):

F (X) A.

Остается доказать, что и обратно, F (X) A. Допустим противное:

тогда существует F (X) такое, что A. Но тогда, согласно / смыслу выражения A, для всякого x X найдется Sx x такое, что F (Sx ).

/ (12) Семейство {Sx }xX, очевидно, образует покрытие множества X, поэтому согласно условию консервативности (10) с учетом (12) долж но быть F (X), вопреки предыдущему предположению. Теорема / доказана.

Отклонения от разложимости.

Квазисепарабельность В предыдущем разделе был проведен анализ свойства сепара бельности функциональной зависимости (разложимости на причинно следственные связи). Сепарабельность (разложимость) интерпрети руется как простое взаимоналожение последствий от различных причин, без их интерференции. В поведении функции F это про является в форме свойства аддитивности (9) или в его обобщенной форме свойства консервативности (10).

Во введении отмечалось, что нарушение свойства разложимости системы (а значит, в силу формальных результатов предыдущего раз дела нарушение аддитивности и консервативности F ) выражается в системных эффектах двух типов положительном и отрицатель ном. В этом разделе изучается формальная структура таких эффек тов.

180 II. Качественные модели сложных систем Обратимся к условию аддитивности и заметим, что уравнение (9) можно свести эквивалентным образом к паре противоположных одно сторонних включений: X ) F( F (X ) (13) и X ) F( F (X ), (14) где X X.

Будем называть (13) условием супераддитивности, а (14) усло вием субаддитивности. Проанализируем эти условия поочередно.

Прежде всего заметим, что супераддитивность (13) эквивалентна монотонности функции F, а именно условию X X F (X ) F (X ), X,X X. (15) Теорема 2. Для того чтобы функция F : X 2 (X 2U ) была монотонной, т.е. супераддитивной, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде X X.

F (X) = G(S), (16) SX при некоторой функции-генераторе G: 2U 2.

Доказательство. Достаточность проверяется непосредственно, а необходимость вытекает из того, что представление (16) для монотон ной функции F заведомо справедливо, если положить G(S) F (S) для S X и G(S) для S X.

/ Представление (16) описывает в явной форме уже упоминавшийся положительный системный эффект. Действительно, согласно (16) подмножество воздействий S может порождать в F (X) даже те по следствия, которые отсутствуют в множествах последствий F (X ) для малых подмножеств воздействий X, не содержащих S цели ком, однако присутствуют в G(S), а значит, и появляются в F (X), когда X S. В этом смысле множество воздействий S играет роль комплексной причины для.

1 Это обстоятельство фактически используется в приведенном выше доказатель стве утверждения 3.

Комбинаторная модель причинных связей Замечание 3. Определение монотонности (15), если быть точным, соответствует одному из двух естественных определений монотонно сти монотонному возрастанию F по X. Аналогичным образом опре деляется свойство монотонного убывания:

X X F (X ) F (X ). (17) Как легко убедиться, для монотонно убывающих функций также справедливо представление, аналогичное (16):

X X.

F (X) = G(S), (18) SX (Отметим, что хорошим доопределением F на X = здесь будет F () =.) Перейдем от монотонности (супераддитивности) к субаддитив ности.

Теорема 3. Для того чтобы функция F : X 2 (X 2U ) была субаддитивной, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде X X, F (X) = G(x;

S), (19) xX SX при некоторой функции-генераторе G: U 2U 2.

Доказательство. Достаточность проверяется подстановкой выра жения (19) в (14): нужно лишь учесть, что конъюнктивные члены вида G(x;

S) в выражении для F ( X ) заведомо мажорируются соответ ственными (при тех же x) членами, присутствующими в выражени ях для F (X ) (каждый такой член обязательно будет присутствовать в выражении для хотя бы одного, поскольку совокупность {X } дает покрытие для X). Для доказательства необходимости положим G(x;

S) F (S) при x S X и G(x;

S) в остальных случаях. То гда, поскольку в каждом конъюнктивном члене правой части (19) обозначим ее через B в качестве одного из сомножителей G(x;

S) будет стоять G(x;

X) F (X), получим заведомо F (X) B. Покажем теперь, что в то же время F (X) B. Допустим противное: тогда най дется F (X) такое, что B. Аналогично тому, как это делалось / при доказательстве теоремы 1, возьмем для каждого x X такое Sx, что x Sx X и G(x;

Sx ) F (Sx ). Ввиду субаддитивности F на / покрытии {Sx }xX множества X снова получаем противоречие. Тео рема доказана.

Представление (19) демонстрирует отрицательный системный эф фект : одиночное воздействие x может вызывать некоторое послед ствие G(x;

{x}), которое, однако, будет аннулировано, соглас 182 II. Качественные модели сложных систем но (19), при расширении {x} до некоторого X x такого, что / G(x;

X).

/ Полученное ранее представление для супераддитивных функций (16) также может быть эквивалентным образом преобразовано к фор ме, аналогичной представлению (19) для субаддитивных функций:

Следствие из теоремы 2. Для того чтобы функция F была мо нотонной (супераддитивной), необходима и достаточна ее представи мость в виде F (X) = G(x;

S). (20) xX SX Действительно, монотонность функции вида (20) очевидна;

обрат но, для всякой монотонной функции F представление (20) получается из (18) при G(x;

S) G(S) независимо от x (напомним, что о значении F () говорилось в замечании 1).

Используя теорему 3 и следствие из теоремы 2, получаем еще один результат:

Теорема 4. Для того чтобы функция F была супераддитивной (либо субаддитивной), необходимо и достаточно, чтобы она была представи ма в следующем квазисепарабельном виде:

X X, F (X) = f (x;

X), (21) xX где квазипричинная функция f : U X 2 монотонно возрастает (соответственно, убывает) по второму аргументу.

Доказательство. Достаточность представления (21) легко про веряется подстановкой этого квазисепарабельного выражения в опре деления супер- и субаддитивности (13) и (14) с учетом монотонности f по X. Необходимость вытекает из представлений (20) и (19), в силу которых для перехода к представлению (21) достаточно положить f (x;

X) G(x;

S) SX и f (x;

X) G(x;

S) SX соответственно;

монотонное убывание (возрастание) этих функций по X гарантируется теоремой 2 и замечанием 3 (представления (16) и (18)).

Саму форму представления (21) в общем случае можно назвать псевдосепарабельной. Легко видеть, что такое представление на самом деле не обладает никакой спецификой для представляемой функции:

Упорядоченность для гиперотношений любая функция F может быть представлена в псевдосепарабельной форме, для чего достаточно положить f (x;

X) F (X) для X X независимо от x. Специфичность представления (21), названная вы ше квазисепарабельностью, возникает при дополнительном требова нии монотонности f (x;

X) по X.

Квазисепарабельность как раз и интерпретируется как наличие си стемных эффектов одностороннего характера эффектов, которые искажают причинность в том смысле, в каком об этом говорилось в предыдущих разделах. Действительно, монотонное возрастание квази причинной функции f (x;

X) по X интерпретируется как положитель ный системный эффект, а убывание как отрицательный. Теорема 4 устанавливает взаимно-однозначное соответствие между такими од носторонними системными эффектами и двумя свойствами полуадди тивности (при отсутствии аддитивности) функции F.

В заключение укажем, что приведенный здесь анализ множествен нозначных функций множеств переносится с соответствующими изме нениями на функции на абстрактных решетках, принимающие значе ния также на решетках.

Упорядоченность для гиперотношений в модели множественных связей Простейшей логико-математической моделью парных связей объ ект объект на множестве объектов U служат бинарные отношения вида xy, x, y U. В роли подобной же модели множественных связей типа группа объектов объект предлагается рассматривать гиперотношения вида Xy, X U, y U. При этом некоторые типы упорядоченности для таких гиперотношений удается задать и охарактеризовать аналогично обычным бинарным отношениям.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 15 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.