авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

МИНИ СТ ЕР СТВО ОБРА ЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛО ДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ

ДН ЕПРОПЕТРО ВСКИЙ НАЦИОНА ЛЬНЫЙ УНИ ВЕ Р СИТЕ Т

ЖЕЛЕЗНОДО РОЖНОГО ТРАН СПОРТА

И МЕНИ А КАД Е МИ КА В. ЛАЗА Р ЯНА

Физические зависимости

упругих массивов

МОНОГРАФИ Я

ИЗ ДАТЕЛЬСТВО

ДН ЕПРОПЕТРО ВСКОГО НАЦИОНА ЛЬНОГО УНИ ВЕ РС И Т ЕТА

ЖЕЛЕЗНОДО РОЖНОГО ТРАН СПОРТА И МЕН И А КАДЕ МИ КА В. ЛАЗАРЯНА 2012 УДК 624.044 ББК 22.25 Б 15 Автор:

канд. техн. наук, доц. И. К. Бадалаха.

Рецензенты: д-р техн. наук, проф. Н. Н. Беляев, д-р техн. наук, проф. Е. А. Сдвижкова, д-р техн. наук, проф. С. З. Полищук.

Печатается по решению ученого совета Днепропетровского национального университета железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна (протокол № 13 от 29.06.11) УДК 624. Физические зависимости упругих массивов [Текст]:

монография / И. К. Бадалаха. – Д.: Изд-во Днепропетр. нац. ун-та ж.-д. трансп. им. акад. В. Лазаряна, 2012. – 197 с.

ISBN 978-966-8471-51- Деформации упругой среды делятся на два вида соответственно их происхождению: объемные и чистого формоизменения. Каждый вид деформации подчиняется своей, отдельной, зависимости, поэтому они определяются раздельно.

Результаты выполненной работы могут быть использованы специалистами в области физики и механики деформируемых твердых тел, в том числе грунтов, преподавателями, аспирантами и студентами высших учебных заведений, проектировщиками при расчете оснований сооружений.

Ил. 41. Табл. 3. Біблиогр.: 29 наим.

Deformations of the elastic environment divide into two kinds according to their origin: extensional and of a pure form changing. Each kind of deformation is under it's individual dependence, therefore they are determined separately.

Executed job performances can be used by the specialists in the field of physics and mechanics of the deformed solids, including soils, by teachers, post-graduate students and students of higher educational establishments, by the designers at the calculation of building grounds.

© И. К. Бадалаха, © Изд-во Днепропетр. нац. ун-та ж.-д.

трансп. им. акад. В. Лазаряна, оригинал ISBN 978-966-8471-51-3 макет, Моей alma mater – родному ДИИТу посвящаю… СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ........................................................................................................... ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ............. 1.1. Зависимости напряженного состояния в упругом массиве.............................. 1.2. Зависимости деформированного состояния в упругом массиве.................... 1.3. Зависимости компонентов деформаций от компонентов перемещений....... 1.4. Физические зависимости в линейно-упругой изотропной среде................... 1.5. Плоское деформирование упругой среды......................................................... АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГИХ МАССИВОВ В РЕШЕНИИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ......................... 2.1. Решение Буссинеска............................................................................................ 2.2. Решение Фламана................................................................................................ 2.3. Решение Кельвина............................................................................................... 2.4. Деформации упругого изменения объема и формы........................................ Выводы по главе 2...................................................................................................... ВЫБОР ФИЗИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ УПРУГИХ ТЕЛ.

............................. 3.1. Метод аналогий в физических явлениях........................................................... 3.2. Зависимости объемного деформирования........................................................ 3.3. Зависимости чистого сдвига............................................................................... 3.4. Оценка возможности независимого существования двух видов деформаций.......................................................................................................... Выводы по главе 3.................................................................................................... ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ПРЕДЛОЖЕННЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ....................................................................... 4.1. Напряженно-деформированное состояние упругого изотропного полупространства при различных вариантах его нагружения..................... 4.1.1. Сосредоточенная сила, приложенная по нормали к поверхности полупространства.................................................................................... 4.1.2. Сосредоточенная сила, приложенная по касательной к поверхности полупространства.......................................................... 4.1.3. Сосредоточенная сила, приложенная наклонно к поверхности полупространства.................................................................................... 4.1.4. Нормальная нагрузка, равномерно распределенная вдоль линий конечной и бесконечной длины............................................................. 4.1.5. Нормальная нагрузка, равномерно распределенная на полосе постоянной ширины конечной и бесконечной длины........................ 4.1.6. Касательная нагрузка, равномерно распределенная на поверхности полупространства вдоль линий конечной и бесконечной длины.............................................................................. 4.1.7. Наклонная нагрузка, равномерно распределенная на поверхности полупространства вдоль линий конечной и бесконечной длины.............................................................................. 4.2. Напряженно-деформированное состояние упругого изотропного пространства от действия сосредоточенной внутри его силы...................... 4.3. Плоская деформация бесконечно длинных упругих массивов конечной толщины с ограниченной и неограниченной шириной................ 4.3.1. Упругий массив ограниченной ширины на жестком основании, допускающем только горизонтальные смещения............................... 4.3.2. Упругий массив ограниченной ширины на жестком основании, допускающем только вертикальные смещения................................... 4.3.3. Упругий массив ограниченной ширины на жестком основании, допускающем частично горизонтальные и вертикальные смещения.................................................................................................. 4.3.4. Бесконечно простирающийся упругий массив на жестком основании, допускающем только горизонтальные смещения........... 4.3.5. Бесконечно простирающийся упругий массив на жестком основании, допускающем только вертикальные смещения............... 4.3.6. Бесконечно простирающийся упругий массив на жестком основании, допускающем частично горизонтальные и вертикальные смещения...................................................................... ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................................................................................ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ................................................ ПРЕДИСЛОВИЕ В современной теории упругости используются физические зави симости, отражающие связь между напряженным и деформирован ными состояниями упругой среды, предложенные Коши в 1822 году и впоследствии названные обобщенным законом Гука. Эти зависимо сти в общем носят феноменологический характер: в них деформации не разделяются по причинам происхождений, а подчиняются одной общей закономерности, поэтому их применение приводит к серьез ным недостаткам в решении задач по определению напряженно деформированного состояния упругой среды. Такие зависимости бы ли приемлемы в науке того времени, поскольку ее уровень не позво лял дать теоретическое обоснование для более сложных физических зависимостей. Такая возможность, в принципе, появилась лишь после нахождения формулы Остроградского (1828 г.), выражающей зави симость потока векторного поля через малую замкнутую поверхность с объемом, очерченным этой поверхностью, и формулы Стокса (1854 г.), связывающей циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру с потоком ротора этого поля через поверхность, ограничен ную указанным контуром. Однако такая возможность пока не была реализована.

Настоящая работа посвящена поиску и обоснованию таких физи ческих зависимостей, применение которых в решениях задач о напряженно-деформированном состоянии упругих массивов не приводило бы к нарушениям общепринятых в мировой науке фи зических законов и положений.

Уважаемые читатели, автор будет благодарен, если вы направите ему свои замечания и отзывы по данной работе электронной почтой:

badalaha@rambler.ru.

ГЛАВА Основные положения современной теории упругости 1.1. Зависимости напряженного состояния в упругом массиве Если вблизи произвольной точки упругого массива M (x, y, z) про вести три плоскости, параллельные координатным осям, и пересечь их наклонной к ним плоскостью, то получим элементарный тетраэдр (рис. 1.1). Действующие по его граням полные напряжения принято обозначать так [1]: рx, р y, рz, р.

Рис. 1.1. Обозначение полных напряжений на гранях тетраэдра, выделенного возле заданной точки Составляющие первых трех напряжений, параллельные координа тным осям, действуют по трем взаимно ортогональным площадкам, параллельным координатным, соответственно yoz, xoz, xoy и обозна чаются:

от рx – составляющие рxx ;

р yx ;

рzx ;

от р y – составляющие рxy ;

р yy ;

рzy ;

от рz – составляющие рxz ;

р yz ;

рzz.

Составляющие рxx, р yy, рzz, действующие по нормалям к площад кам, называют нормальными напряжениями, остальные – касатель ными. В дальнейшем нормальные напряжения будем обозначать буквой с приданием ей индекса, указывающего ось, параллельно которой направлено это напряжение. Для касательных напряжений используем букву с двумя индексами: xy и yx ;

yz и zy ;

zx и xz, первый из которых обозначает направление действия данного напря жения, а второй – направление нормали к площадке его действия.

На рис. 1.2 показаны обозначения компонентов напряжений по трем видимым граням бесконечно малого параллелепипеда, который мысленно выделен в заданной точке массива. По трем невидимым граням соответствующие напряжения следует направлять в противо положную сторону. При этом знаки напряжений определяются с уче том нижеизложенных правил.

Нормальное напряжение считается положительным, когда оно вы зывает растяжение в рассматриваемом элементе, и отрицательным, когда приводит к его сжатию.

За положительное направление касательного напряжения прини мается положительное направление параллельной ему координатной оси, если растягивающее нормальное напряжение по этой же площадке имеет направление, совпадающее с положительным направлением той оси, параллельно которой оно действует. Если же растягивающее напряжение на этой площадке имеет направление, противоположное положительному направлению соответствующей координатной оси, то за положительное направление компонента ка сательного напряжения по той же площадке принимается отрица тельное направление параллельной ему оси координат.

Если размеры выделенного параллелепипеда бесконечно малы, то одноименные и параллельные напряжения для каждых двух парал лельных граней будут практически одинаковыми.

В том случае когда наклонная к координатным плоскостям пло щадка является главной (см. рис. 1.1), то для нее = 0, поэтому = р, т. е. полное и нормальное напряжения для главной площадки совпадают по величине и направлению.

Рис. 1.2. Обозначение компонентов напряжений на гранях бесконечно малого параллелепипеда В общем случае пространственно напряженного состояния масси ва через каждую его точку всегда можно провести три взаимно орто гональные плоскости, на которых будут отсутствовать касательные напряжения, а действующие на них нормальные напряжения имеют стационарные, т. е. независимые от координат, значения, называемые главными.

В целях нахождения главных напряжений для произвольной точки упругого массива можно составить кубическое уравнение, связыва ющее величину главных напряжений в выбранной системе коор динат:

3 2 ( x + y + z ) + ( x y + y z + z x 2 2 2 ) xy yz zx ( x y z + 2 xy yz zx x 2 y 2 z 2 ) = 0. (1.1) yz zx xy Решение уравнения (1.1) даст три действительных корня для оп ределения главных напряжений ( 1 – максимальное значение, 2 – минимальное значение, 3 – промежуточное значение). Корни этого уравнения не зависят от системы координат, поэтому и коэффициен ты его также не зависят от выбора координатной системы, т. е. эти коэффициенты являются инвариантами преобразования координат.

В связи с этим уравнение (1.1) можно записать в виде 3 I 2 + II III = 0, где I, II и III – инвариантные соотношения, называемые соответ ственно первым, вторым и третьим инвариантами напряженного состояния.

Первый, линейный инвариант представляет собой сумму норма льных напряжений по любым трем ортогональным площадкам в дан ной точке. В дальнейшем будем обозначать его I1.

Напряженное состояние для элементарного объема можно запи сать в виде матрицы x, xy, xz ;

Tн = yx, y, yz ;

(1.2) zx, zy, z, которую называют тензором напряжения.

Для суждения о прочности упругого материала иногда целесооб разно выделить те компоненты, которые связаны с изменением объема, и отдельно рассмотреть компоненты деформации, имеющие отношение к изменению формы. С этой целью вводится обозначение (x + y + z ) = 1 I, ср = 3 а тензор (1.2) представляется в виде двух составляющих Tн = Т н + Dн, первую из которых ср, 0, 0;

Т н = 0, ср, 0;

0, 0, ср называют шаровой тензор напряжений, а вторую ( ср x ), xy, xz ;

( ср y ), yz ;

Dн = yx, ( ср z ) zy, zy, девиатор напряжений.

Если упругое тело после приложения нагрузки находится в равновесии, то для любого выделенного из него элементарного куба должны удовлетворяться шесть условий равновесия (здесь рассмат ривается статическое равновесие тела):

x = 0;

M = 0;

x y = 0;

M = 0;

y z = 0;

M = 0.

z После преобразований получаем систему дифференциальных ста тических уравнений равновесия Коши без инерционных сил:

x xy xz + + = 0;

x y z yx y yz + + = 0;

(1.3) x y z zx zy z + + = 0.

x y z В каждой строке системы уравнений (1.3) содержится условие ра венства нулю проекций действующих на элемент сил на ось коорди нат – соответственно x, y, z. Как видим, эта система не содержит ус ловий равенства нулю действующих моментов относительно тех же осей, однако из них вытекает закон парности касательных напряже ний:

xy = yx ;

zx = xz ;

yz = zy.

Таким образом, количество неизвестных компонентов напряжений сокращается с девяти до шести.

Если через одну и ту же точку упругой среды с прямоугольными координатами x, y, z провести новую систему прямоугольных коор динат x', y', z', то то же самое напряженное состояние будет опреде ляться шестью новыми компонентами напряжений на трех взаимно перпендикулярных элементарных площадках, проходящих через данную точку нормально новым осям:

x ;

y ;

z ;

xy ( = yx ) ;

xz ( = zx ) ;

yz ( = zy ).

Эти шесть новых компонентов выражаются через шесть прежних компонентов x ;

y ;

z ;

xy ( = yx ) ;

xz ( = zx ) ;

yz ( = zy ) зависимостями [2]:

x = l12 x + m12 y + n12 z + 2m1n1 zy + 2n1l1 zx + 2m1l1 xy ;

yx = l1l2 x + m1m2 y + n1n2 z + ( m1n2 + m2 n1 ) yz + ( n1l2 + n2l1 ) zx + + ( l1m2 + l2 m1 ) xy ;

zx = l1l3 x + m1m3 y + n1n3 z + ( m1n3 + m3 n1 ) yz + ( n1l3 + n3l1 ) zx + + ( l3 m1 + l1m3 ) xy ;

y = l2 x + m2 y + n2 z + 2m2 n2 zy + 2n2l2 zx + 2m2l2 xy ;

2 2 z = l3 x + m3 y + n3 z + 2m3 n3 zy + 2n3l3 zx + 2m3l3 xy ;

2 2 yz = l2l3 x + m2 m3 y + n2 n3 z + ( m2 n3 + m3 n2 ) yz + ( n2l3 + n3l2 ) zx + + ( l3 m2 + l2 m3 ) xy.

В этой системе зависимостей положение новой системы коорди нат x', y', z' определяется относительно старой с помощью девяти ко синусов между нормалями к площадкам в старой и новой системах, согласно схеме, приведенной в табл. 1.1.

Таблица 1. Схема к определению направляющих косинусов между двумя прямоугольными системами координат Новые х y z координаты x l1 m1 n y n l2 m z l3 m3 n 1.2. Зависимости деформированного состояния в упругом массиве Деформации любого элементарного объема упругого массива мо гут быть представлены состоящими из ряда отдельных простейших деформаций, т. е. разложены на составляющие. Так, в случае элемен тарного параллелепипеда можно различить шесть составляющих де формаций: три линейные составляющие (относительные удлинения ребер) и три угловые, или сдвиговые, составляющие (относительные изменения первоначальных углов).

Относительные удлинения ребер обозначаются буквой с индек сом, указывающим направление удлинения: x ;

y ;

z. Углы сдвига, проектирующиеся на плоскости x–y, y–z и z–x, соответственно обоз начаются xy (либо yx ), yz ( zy ) и zx ( xz ) [1–3].

Принято считать, что линейные относительные деформации соп ровождаются изменением объема, а угловые относительные дефор мации – изменением формы выделенного элемента. Однако здесь следует отметить очень важный момент о том, что это условие вы полняется не всегда. Например, для упругой объемно недеформируе мой среды при различных линейных относительных деформациях, отличных от нуля, изменение объема наблюдаться не будет, так как их сумма равна нулю, а будет наблюдаться формоизменение, не со провождаемое изменением объема, так называемое чистое. Но об этом речь пойдет дальше.

Если расположить все компоненты, определяющие деформиро ванное состояние в рассматриваемой точке массива, в виде таблицы, подобно таблице напряженного состояния (1.2), то получим матрицу, которую называют тензором деформаций:

1 x, xy, xz ;

2 1 = yx, y, Т деф yz ;

(1.4) 2 2 1 zx, zy, z.

2 При сложении всех членов по главной диагонали тензора дефор маций (1.4) получим относительную объемную деформацию в точке:

x + y + z =. (1.5) Очевидно, что эта сумма инвариантна по отношению к преобразо ванию ортогональной системы координат, также как и матрица тензор напряженного состояния, поэтому ее называют первым инва риантом тензора деформаций.

Если ввести обозначение ( x + y + z ) = ср (1.6) и назвать его средней деформацией в точке, то очевидно соотноше ние ср =, в котором ср представляет первый инвариант деформа ции в точке.

Подобно тому как это было сделано для напряженного состояния, разложим тензор (1.4) на две составляющие:

Tдеф = Tдеф + Dдеф, где Т деф – матрица, именуемая шаровым тензором деформаций:

ср, 0, 0;

= 0, ср, 0;

(1.7) Т деф 0, 0, ср, а дополняющей матрицей к (1.7), очевидно, будет матрица 1 ( x ср ), xy, xz ;

2 1 ( y ср ), = yx, yz ;

Dдеф 2 ( z ср ), 2 zx, zy, называемая девиатором деформаций.

Как и сами тензоры напряжений и деформаций, их девиаторы обладают свойствами, раскрывающими характер ожидаемой дефор мации [1].

1.3. Зависимости компонентов деформаций от компонентов перемещений Если в сплошном упругом массиве до его деформации выбрать произвольную точку М с координатами x, y, z, которая после дефор мации займет положение М1, то проекции полного перемещения точ ки в пространстве ММ1 на оси координат обозначаются соответст венно U, V, W и называются компонентами перемещения точки. Оче видно, что эти компоненты в различных точках различны и будут функциями координат точки:

U = f1 ( x, y, z ) ;

V = f 2 ( x, y, z ) ;

W = f 3 ( x, y, z ), а полное перемещение точки М определяется выражением = U 2 + V 2 + W 2 = ( x, y, z ).

Система дифференциальных зависимостей компонентов деформа ций от компонентов перемещений, предложенная Коши в 1822 г. [1], записывается в следующем виде:

относительные удлинения U x = ;

x V (1.8) = ;

y W z =, z относительные углы сдвига U V xy = + ;

y x V W (1.9) yz = + ;

z y W U zx = +.

x z Если около рассматриваемой точки М (x, y, z) выделить элемен тарный параллелепипед с гранями, параллельными координатным плоскостям, и первоначально предположить, что он не деформирует ся, то для определения его нового положения в связи с общей дефор мацией массива трех компонентов перемещений недостаточно, так как он может повернуться вокруг произвольной оси, не параллельной выбранным осям координат. В таком случае нужны составляющие углов поворотов диагоналей сторон параллелепипеда относительно нормальных к ним осей:

х – угол поворота диагонали грани, параллельной плоскости y–z;

у – угол поворота диагонали грани, параллельной плоскости z–x;

z – угол поворота диагонали грани, параллельной плоскости x–y, которые называют компонентами жесткого вращения [1]. Они явля ются функциями координат и тесно связаны с перемещениями.

Эти составляющие компонентов жесткого вращения определяются из зависимостей:

V W 2x = ;

z y W U 2 y = ;

(1.10) x z U V 2z =.

y x Случай, когда x = y = z (отсутствие жестких поворотов в ок ресности рассматриваемой точки), в теории упругости называют чис той деформацией, или чистым сдвигом.

Здесь следует отметить, что в теории упругости эти деформации явно недооценены. Например, в [1, с. 87] отмечено, что они «…в об щем для теории упругости интереса не представляют…». Как будет продемонстрировано дальше, они наглядно показывают возможность разделения общей деформации на две независимые части по проис хождению: объемную и чистого сдвига.

Дифференциальные зависимости компонентов относительных де формаций (1.8), (1.9) и углов жесткого вращения (1.10) от перемеще ний называют геометрическими уравнениями.

Уравнения равновесия (1.3) и геометрические зависимости (1.8), (1.9), составляя девять уравнений, содержат 15 неизвестных x ;

y ;

z ;

xy ;

yz ;

zx ;

х ;

y ;

z ;

xy ;

yz ;

zx ;

U ;

V ;

W, следовательно, для решения задачи определения напряженно-дефор мированного состояния упругого массива необходимо добавить еще шесть уравнений. При этом следует уточнить, что система уравнений для жесткого поворота (1.10) не добавляет количества уравнений, так как она вытекает из системы (1.8) и ее можно определить по извест ным компонентам деформаций.

Перемещения любой точки упругого массива, как уже было отме чено, определяются тремя функциями координат U;

V;

W, деформа ции же элемента вокруг этой точки можно найти с помощью шести функций: х ;

y ;

z ;

xy ;

yz ;

zx.

Из уравнений (1.8) и (1.9) следует, что если заданы три функции перемещений, то компоненты относительных деформаций уже предопределены этими уравнениями.

Очевидно, что все шесть компонентов деформаций задать произ вольно нельзя, между ними должны быть какие-то зависимости, ко торые и были получены Сен-Венаном [1]:

2 z 2 x y xy yz zx xy 2 + 2= + = ;

;

y 2 x xy z x y z xy 2 y 2 z 2 yz zx xyx yz 2 x + 2= + = ;

;

(1.11) z 2 y yz x y z x yz 2 y xy yz zx 2 z 2 x 2 zx.

+ 2= + = ;

x 2 z zx y z x y zx Система уравнений (1.11) называется условиями совместности, или неразрывности, деформаций. Физический смысл ее следующий:

заданный упругий массив, сплошной и непрерывный до деформации, остается таковым и после деформации. Поскольку эта система выте кает из системы геометрических уравнений (1.8), (1.9), то геометри ческие уравнения также выражают условие неразрывности деформа ций и удовлетворение решения задачи системе (1.11) автоматически влечет за собой удовлетворение системе геометрических уравнений.

Как было отмечено выше, все шесть деформаций задать произ вольно нельзя, из них произвольно можно задать только три в любой комбинации.

1.4. Физические зависимости в линейно-упругой изотропной среде Итак, для полного описания напряженно-деформированного сос тояния в упругом массиве необходимо определить 15 неизвестных:

шесть компонентов напряжений ( x ;

y ;

z ;

xy ;

yz ;

zx ), шесть ком понентов относительных деформаций ( х ;

y ;

z ;

xy ;

yz ;

zx ) и три компонента перемещения (U;

V;

W), для которых имеется шесть урав нений Коши (1.8), (1.9) либо шесть уравнений Сен-Венана (1.11) и три уравнения равновесия (1.3). Недостающие шесть уравнений представляют собой физические зависимости, связывающие напря женное и деформированное состояния. При их обосновании исполь зован принцип независимости действия сил и линейная зависимость деформаций от напряжений.

Полагая вначале действие только напряжений x (одноосное на пряженное состояние), принимается, что элементарный куб получит следующие относительные удлинения [4]:

в направлении оси x x x =, Е в направлениях осей y и x, в соответствии с законом Пуассона:

x y = z =, Е где Е – модуль упругости (постоянный для упругой изотропной среды);

– коэффициент бокового расширения среды, или коэффициент Пуассона, также постоянный для данной упругой изотроп ной среды.

Принимая в дальнейшем действие одних только напряжений y, получим:

y y = ;

= =.

y x z E E Наконец, рассматривая действие одних только напряжений z, имеем:

z = ;

= = z.

z x y E E Принято, что касательные напряжения влекут только изменение формы элементарного куба, а удлинения его ребер отсутствуют. При этом пара касательных напряжений xy и yx будет вызывать перека шивание граней элемента, параллельных плоскости xoy, и оставлять без изменения грани xoz и yoz. То же самое относится и к двум ос тальным парам касательных напряжений yz = zy и zx = xz. При ли нейной зависимости угловой относительной деформации от соответ ствующего касательного напряжения имеем:

xy xy = ;

yz = zx = 0, G где величина G, называемая модулем сдвига, реже – постоянной Ла ме, как известно [2–4], определяется из условия:

E G=.

2 (1 ) Аналогично, при независимом действии других пар касательных напряжений yz = zy и zx = xz, будем иметь:

yz = ;

= = 0, yz zx xy G = zx ;

= = 0.

zx xy yz G В итоге, при наличии всех компонентов напряжений, используя принцип независимости действия сил, получим такие обобщенные составляющие деформаций:

x ( y + z ) ;

x = E 1 y = y ( z + x ) ;

E (1.12) z = z ( x + y ) ;

E xy = xy ;

yz = yz ;

zx = zx.

G G G Первую тройку уравнений из системы (1.12) иногда называют пе рвым законом Гука, а вторую – вторым законом Гука [1].

Из системы (1.12) обратным решением можно получить компо ненты напряжений, выраженные через относительные деформации:

x = 2G x + cp ;

1 y = 2G y + cp ;

1 (1.13) z = 2G z + cp ;

1 xy = G xy ;

yz = G yz ;

zx = G zx, где cp – средняя линейная деформация в точке, равная (1.6).

Компоненты нормальных напряжений в (1.13) можно записать та кже в более компактном виде:

x = 2G x + ;

y = 2G y + ;

(1.14) z = 2G z +, где – объемная относительная деформация в точке, численно рав ная = 3 ср ;

– постоянная Ляме, определяемая зависимостью [1–3, 5] = G.

1 После сложения в (1.12) левых и правых частей первых трех урав нений получаем 1 (x + y + z ).

x + y + z = (1.15) E Обозначив в (1.15) ( x + y + z ) = cp, ( x + y + z ) = cp и назвав их соответственно средняя линейная относительная дефор мация и среднее нормальное напряжение, имеем 1 ср = ср, (1.16) E или, обратно E ср = ср, 1 то есть средняя линейная деформация пропорциональна среднему нормальному напряжению. Учитывая, что сумма относительных удлинений элемента по трем ортогональным направлениям численно равна объемной относительной деформации (1.5), условие (1.16) мо жно записать выражением 3 (1 2 ) = ср, (1.17) Е которое носит название упругого изменения объема [1].

Отняв в первом уравнении системы (1.13) от левой и правой час тей соответственно левую и правую часть уравнения (1.14), получим E x ср = 2G x cp cp, 1 2 а окончательно, после замены модуля линейной деформации на мо дуль сдвига, x ср = 2G ( x cp ).

Второе и третье уравнения системы (1.13) преобразовываются по такой же схеме:

y ср = 2G ( y cp ) ;

z ср = 2G ( z cp ).

Остальные три уравнения системы (1.13) остаются без изменений.

Полученная таким способом новая система в целом будет иметь вид:

x ср = 2G ( x cp ) ;

xy = 2G xy ;

y ср = 2G ( y cp ) ;

yz = 2G yz ;

(1.18) 2 z ср = 2G ( z cp ) ;

zx = 2G zx.

2 Левые части уравнений в системе (1.18) называют компонентами напряжений, а правые части без коэффициента 2G – компонентами деформаций, отвечающими за изменение формы элемента. В целом система (1.18) представляет закон упругого изменения формы, кото рый формулируется в следующей редакции [1]: компоненты напря жений и деформаций, соответствующие изменению формы, пропор циональны друг другу.

Систему зависимостей (1.18) можно записать также в виде двух таблиц (матриц) x cp, xz ;

xy, yx, y cp, yz ;

=, z cp, zy, zx 1 x cp, xy, xz ;

2 1 = 2G yx, y cp, yz ;

(1.19) 2 1 2 zx, zy, z cp.

Левую матрицу, составленную из компонентов напряжений, вли яющих на изменение формы, называют девиатором напряжений ( Dн ), а правую матрицу – соответственно девиатором деформаций, и обоб щенный закон упругости будет иметь следующую символическую запись:

Dн = 2GDдеф. (1.20) Выражение (1.20) имеет название закона упругого изменения фо рмы. Возвращаясь к закону изменения объема, выражение (1.17) мо жно записать так:

Tн0 = E0Tдеф, (1.21) или в матричной форме ср, 0, 0;

ср, 0, 0;

0, ср, 0;

= E0 0, ср, 0;

(1.22) 0, 0, ср, 0, 0, ср.

В (1.21) и (1.22) коэффициент пропорциональности E0 называют объемным модулем упругости, который имеет следующую зависи мость от линейного модуля упругости:

E E0 =.

3 (1 2 ) 1.5. Плоское деформирование упругой среды Если при каком-либо напряженном состоянии упругого массива перемещения всех его точек будут происходить только в одной плос кости, то такую деформацию называют плоской. Классическим при мером плоской деформации может быть упругое полупространство, на поверхности которого равномерно распределена нагрузка вдоль бесконечной линии или полосы постоянной ширины. Сюда также от носятся упругие массивы, имеющие ограниченную толщину и хотя бы один из оставшихся размеров бесконечной величины, вдоль кото рого равномерно распределена внешняя нагрузка, а именно:

бесконечно простирающийся массив ограниченной постоянной толщины на жестком основании;

массив бесконечной длины и ограниченных, но постоянных по длине поперечных размеров на жестком основании.

Примером плоской деформации упругого тела малых размеров может быть тело цилиндрической формы, размещенное без трения между двух параллельных абсолютно жестких пластин с фиксиро ванным расстоянием между ними и нагруженное на боковой поверх ности равномерной нагрузкой р (рис. 1.3).

Если упругий массив с фиксированными поперечными размерами имеет бесконечно большую длину вдоль оси y и в этом же направле нии равномерно распределена внешняя нагрузка, то перемещения всех точек деформированного тела будут происходить только в плос костях, перпендикулярных линии распределения внешней нагрузки (оси y), т. е. y = 0;

xy = 0;

zy = 0;

xy = 0;

yz = 0, а тензор нап ряженного состояния в этом случае будет иметь следующую запись:

x ;

0;

xz ;

Tн = 0;

y ;

0;

zx ;

0;

z.

Рис. 1.3. Упругое тело между двух жестких пластин, нагруженное на боковой поверхности равномерной нагрузкой (плоская деформация) Система уравнений равновесия (1.3) для плоской деформации упрощается и принимает вид x zx + = 0;

x z (1.23) xz z = 0.

+ x z Из обобщенного физического закона, полагая y = 0, получим:

y = (x + z ), и тогда относительные деформации будут определяться зависимос тями (1 ) x (1 + ) z ;

x = E (1.24) z = (1 ) z (1 + ) x.

E Из уравнений непрерывности деформаций (1.10) остается одно:

2 x 2 z 2 xz + 2=. (1.25) z 2 x xz Если деформации в (1.25) выразить через напряжения, то полу чим:

2 xz 2 ( x z ) + 2 ( z x ) = 2 (1 + ), z 2 x xz то есть это уравнение представляет условие совместности деформа ций, выраженное в напряжениях.

Продифференцировав первое уравнение в (1.23) по x, а второе по z и затем сложив их, получим:

2 xz 2 x 2 z = 2 2.

xz x z Подстановка (1.24) в уравнение (1.25) приводит уравнение совме стности к виду, выраженному только через нормальные напряжения, т. е. получаем известное уравнение Леви [1]:

2 ( x + z ) + 2 ( x + z ) = 0.

x 2 z В итоге, для плоской деформации совокупность основных уравне ний теории упругости приводится к системе из трех уравнений:

x xz + = 0;

x z zx z + = 0;

x z ( x + z ) = 0, где для сокращения записи принято:

2 = 2 + 2, x z то есть эта запись представляет собой известный оператор Лапласа.

Таким образом, сумма нормальных напряжений ( x + z ) в задаче плоского деформирования, инвариантная относительно выбора коор динатной системы, представляет гармоническую, а следовательно по тенциальную функцию.

ГЛАВА Анализ напряженно-деформированного состояния упругих массивов в решениях теории упругости Далее в данной работе рассмотрим и проанализируем решения те ории упругости, которые считаются математически точными, т. е.

удовлетворяющими всем ее требованиям, и поэтому стали классичес кими. К таким решениям относят решения Буссинеска [1–6], Фламана [2;

7–9], Кельвина [4;

10;

11].

2.1. Решение Буссинеска На поверхности полупространства по нормали к нему действует сосредоточенная сила Р. Начало координат принято в точке прило жения силы, ось z направлена вниз, в полупространство. Эта задача решена французским ученым Буссинеском в 1885 г. [6]. Запишем это решение в декартовой системе координат.

Компоненты напряжений 3P x 2 z (1 2 ) ( 2R + z ) x2 z ;

x = 5+ (2.1) 3 R(R + z) R (R + z) 2 R R 3P y 2 z (1 2 ) ( 2R + z ) y 2 z ;

y = 5+ (2.2) 3 R(R + z) R (R + z) 2 R R 3P z z = ;

(2.3) 2 R 3P xyz (1 2 ) ( 2 R + z ) xy xy = ;

(2.4) R3 ( R + z ) 2 R 5 3P yz yz = ;

(2.5) 2 R 3P xz zx = ;

(2.6) 2 R первый инвариант напряженного состояния 3P z (1 2 ) 3P z Pz = (1 + ) 3 ;

І1 = x + y + z = (2.7) 2 R 3 2 R 3 R компоненты перемещений P (1 + ) xz x 3 (1 2 ) U= ;

(2.8) R(R + z) 2E R P (1 + ) yz y 3 (1 2 ) V= ;

(2.9) R(R + z) 2E R P (1 + ) z 2 2 (1 ).

W= (2.10) 2E R 3 R Решение этой задачи в цилиндрических координатах записывается в следующем виде [1]:

3P z z = ;

(2.11) 2 R P (1 2 ) 3r 2 z r = ;

(2.12) 2 R ( R + z ) R z P (1 2 ) = ;

(2.13) R R(R + z) 2 3P rz rz = ;

(2.14) 2 R компонент горизонтальных перемещений P (1 + ) zr r (1 2 ) 2 ;

Ur = (2.15) ( R + rz ) 2E R компонент вертикальных перемещений P (1 + ) 2 (1 + ) z W= + 3. (2.16) 2E R R В формулах (2.1)–(2.16):

R – радиус-вектор, расстояние от рассматриваемой точки с коор динатами х, y, z до точки приложения внешней силы, R = ( x2 + y 2 + z 2 ) 2 ;

– коэффициент Пуассона;

E – модуль линейной деформации;

r – горизонтальное расстояние от рассматриваемой точки до оси z (цилиндрическая координата), r = ( x2 + y 2 ) 2.

Здесь и в дальнейших выкладках значение сжимающего напряже ния принято со знаком плюс.

В представленном решении имеются следующие недостатки.

Компоненты нормальных напряжений x и y (2.1) и (2.2) в декарто вой системе координат либо r и (2.12) и (2.13) в цилиндрической системе координат зависят от деформационной характеристики, и эта зависимость приводит к необоснованному появлению по оси х и y поверхности полупространства (при z = 0 ) растягивающих гори зонтальных напряжений при сжимающей внешней силе Р и, наобо рот, сжимающих горизонтальных напряжений при растягивающей внешней силе:

P (1 2 ) r = 0;

z 0 r = ;

2 2 z P (1 2 ) r 0;

z = 0 r =.

2 z 2 r Появление радиального напряжения r в упругом массиве – это реакция его на действие внешней силы P, поэтому невозможно пред ставить, чтобы при сжатии любого тела внешней вертикальной силой в нем возникали растягивающие горизонтальные напряжения и, нао борот, при растяжении внешней силой возникали сжимающие гори зонтальные напряжения. Это противоречит кинематике деформиро вания.

Полное напряженное состояние в решении (2.1)–(2.7) можно раз делить на две части: в одной компоненты напряжений не зависят от коэффициента Пуассона (), а в другой – зависят. Запишем эти части в виде двух систем.

Система напряжений, не зависящих от :

компоненты напряженного состояния 3P xyz 3P x 2 z x ;

xy = = ;

2 R 2 R 3P yz 3P y 2 z y ;

yz = = (2.17) ;

2 R 2 R 3P xz 3P z z ;

zx = = ;

2 R 5 2 R первый инвариант напряженного состояния:

3P z I1 = x + y + z =. (2.18) 2 R Система напряжений, зависимых от :

компоненты напряженного состояния x2 ( 2R + z ) z 3P (1 2 ) = ;

3 R ( R + z ) R 3 ( R + z )2 R x 2 3P (1 2 ) y ( 2R + z ) z = 3 ;

3 R ( R + z ) R ( R + z )2 R y 2 (2.19) = 0;

z 3P (1 2 ) xy ( 2 R + z ) = ;

R3 ( R + z ) xy 2 = 0;

yz = 0;

zx первый инвариант напряженного состояния (1 2 ) 3P z I1 = + + =. (2.20) x y z 2 R Нетрудно убедиться в том, что обе системы напряжений (2.17), (2.19) удовлетворяют дифференциальным условиям равновесия (1.3).

При сравнении инвариантов (2.18) и (2.20) стает очевидным, что они описываются одной и той же гармонической функцией, отвеча ющей одним и тем же граничным условиям. Однако если инвариант (2.18) вызван действием приложенной силы P, то инвариант (2.20) 1 соответствует действию силы P.

Таким образом, полный инвариант напряженного состояния (2.7) вызван действием на полупространство двух приложенных в одной точке, различных по величине и противоположно направленных сил 1 Ри P.

Однако вторая сила является фиктивной: в равновесии она участия не принимает, но ее действие уменьшает общую интенсивность на пряженного состояния и, в частности, величину компонентов x и y. Как это объяснить с точки зрения физики, механики, математи ки, логики? Вопрос пока остается открытым.

Из решения следует, что горизонтальные смещения поверхности, ограничивающей полупространство, направлены к точке приложения сжимающей внешней силы P и от нее, когда она растягивающая.

Так, приняв в (2.15) z = 0, имеем:

(1 2 )(1 + ) P.

Ur = (2.21) 2Er На рис. 2.1 показана качественная эпюра горизонтальных смеще ний поверхности от силы P, на которой очевиден разрыв сплошности среды в точке приложения силы. Объяснить этот разрыв лишь осо бенностью распределения напряженно-деформированного состояния в этой точке и решить проблему исключением из рассмотрения неко торой ограниченной области вокруг нее неправомерно, так как при экстраполировании данного решения на распределенную каким-либо образом нагрузку на поверхности полупространства этот разрыв сох раняется. Проиллюстрируем это следующим примером.

Вертикальные перемещения поверхности полупространства от со средоточенной силы согласно (2.16) при z = 0 будут (1 ) P. W= (2.22) Er Интегрирование (2.22) для случая равномерно распределенной на грузки интенсивностью q по площади круга радиуса а (согласно рис. 2.2) приводит к следующему результату [4]:

вертикальные перемещения центра загруженной площади 2 (1 2 ) Wr =0 = qa;

E вертикальные перемещения края загруженной площади 4 (1 2 ) Wr =a = qa.

E Рис. 2.1. Качественная эпюра горизонтальных смещений поверхности полупространства от силы Р в решении Буссинеска Поскольку исходные функции для определения горизонтальных и вертикальных смещений, соответственно (2.21) и (2.22), отличают ся лишь постоянным коэффициентом, равным (1 2 )(1 + ) Р 1 U r =0 Er k= = =, (1 )(1 + ) P 2 (1 ) Wr =0 2Er то горизонтальные перемещения поверхности в тех же точках, выра женные через вертикальные, будут:

(1 2 )(1 + ) 2 (1 ) qa = (1 2 )(1 + ) qa;

U r =0 = kWr =0 = 2 (1 ) E Е (1 2 ) 4 (1 ) qa = 2 (1 2 )(1 + ) qa, U r =a = kWr =a = 2 (1 ) E E то есть горизонтальное смещение центра загруженной площади в раза больше смещения ее края. Соответствующая эпюра качественно приведена на рис. 2.2.

Таким образом, разрыв горизонтальных перемещений поверхнос ти в исходной формуле (2.21) для сосредоточенной силы сохраняется при экстраполяции ее на распределенную нагрузку и приводит к не лепому результату.

Рис. 2.2. Качественная эпюра горизонтальных перемещений поверхности над нагрузкой, равномерно распределенной по площади круга Наличие горизонтальных смещений точек плоскости, ограничи вающей упругое полупространство, приводит к тому, что ее дефор мированное положение при симметричном изменении направления действия силы P на противоположное изменится несимметрично.

Так, если на поверхности полупространства выбрать какую-либо точ ку М (рис. 2.3), то после приложения вертикальной сжимающей силы (+P) точка опустится вниз и приблизится к направлению действия силы, заняв положение M 1 (рис. 2.3, а). После симметричного изме нения направления действия внешней силы на растягивающее (–P) выбранная точка М поднимется вверх и удалится от точки приложе ния силы, заняв положение M 2 (рис. 2.3, б).

При нагрузке упругого полупространства нормально направлен ной к его поверхности сосредоточенной силой P в нем возникают радиальные горизонтальные перемещения (2.15), которые можно представить в виде [5] 1 P sin Ur = cos, (2.23) 1 + cos 4Gr где – угол, образованный радиус-вектором с вертикальной осью z, направленной вниз (рис. 2.4);

G – модуль сдвига;

r – горизонтальное расстояние от рассматриваемой точки до оси z (радиус), r = x2 + y2. (2.24) Рис. 2.3. Смещение точки поверхности полупространства от сосредоточенной силы в решении Буссинеска:

а – сила, сжимающая полупространство;

б – сила, растягивающая полупространство Смещение направлено либо к линии действия силы P, либо в про тивоположную сторону, в зависимости от того, будет ли радиус вектор R лежать вне или внутри конической области, которая описы вается уравнением cos (1 + cos ) = (1 2 ). (2.25) Предельные значения угла, в зависимости от коэффициента Пуассона, будут:

min = 51 40;

= 0, = 0,5, max = 0,5.

Пользуясь формулой (2.23), можно построить эпюру горизонталь ных перемещений U r на некоторой глубине z в решении Буссинеска.

Такая эпюра качественно показана на рис. 2.4, где угол удовлетво ряет условию (2.25). Анализ этой эпюры приводит к следующим ре зультатам.

Рис. 2.4. Качественная эпюра горизонтальных смещений точек полупространства от сосредоточенной силы в плоскости z =const (решение Буссинеска) Начиная от оси z, горизонтальные перемещения положительны, то есть совпадают с направлением радиуса r, и увеличиваются от нуля до своего максимального значения U r max, а затем уменьшаются до нуля в точке пересечения образующей конической области с горизон талью. В этой точке перемещения меняют свое направление на про тивоположное, т. е. становятся отрицательными. Продолжая умень шаться, они достигают своего минимального значения U r min, после чего начинают возрастать и постепенно, при r, приближаются к нулю.

Если рассматривать деформации в направлении радиуса r, то на нем можно выделить три области. Первая начинается от оси z и заканчивается в точке достижения горизонтальными перемещения ми максимального значения U r max. В этой области упругая среда испытывает растяжение по горизонтали ( r 0 ). Вторая область на чинается в точке U r max и заканчивается в точке U r min. Здесь относи тельные горизонтальные деформации меняют свой знак на отрица тельный ( r 0 ) и среда по горизонтали начинает сжиматься. Третья область начинается в точке достижения горизонтальными перемеще ниями своего минимального значения U r min и продолжается до r. На этом участке относительные горизонтальные деформации меняют свой знак и становятся растягивающими ( r 0 ).

Таким образом, горизонтальные перемещения точек среды вдоль радиуса r меняют свое направление, а относительная линейная де формация r меняет знак дважды: растяжение–сжатие–растяжение, что не может быть оправдано кинематикой деформирования. Для ка чественного уточнения возможных горизонтальных перемещений проведем следующий мысленный эксперимент.

Приложим вертикальную силу P в центре верха упругого тела ци линдрической формы диаметром 2а и высотой h, опирающегося без трения на недеформируемое основание (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Качественная эпюра кинематически возможных горизонтальных перемещений в упругом теле цилиндрической формы Очевидно, что в этом случае тело будет расширяться в горизон тальных направлениях от оси симметрии z, т. е. в нем возникнут соот ветствующие перемещения, качественная эпюра для которых показа на на упомянутом выше рисунке. Если теперь мы будем неограни ченно увеличивать высоту и радиус цилиндра при неизменной силе P, то горизонтальные перемещения боковой поверхности тела будут монотонно уменьшаться и в пределе ( a = ), ( h = ) станут равны ми нулю.

Максимальное значение горизонтального смещения также будет уменьшаться и стремиться к какому-то конечному положительному значению, однако для изменения направления смещений внутри тела нет никаких причин, это кинематически невозможно. Поэтому при чину изменения направления горизонтальных перемещений в реше нии Буссинеска следует искать в исходных предпосылках, т. е. в фи зических зависимостях, которые не точно отражают взаимосвязь ме жду напряженным и деформированным состояниями среды.

Устранить эту аномалию можно путем уточнения физических зави симостей.

Продолжая анализ решения Буссинеска, выделим в упругом полу пространстве часть его объема вместе с приложенной внешней силой P некоторой замкнутой на ограничивающую плоскость поверхностью (рис. 2.6), а действие отброшенной части заменим множеством сил qi, сосредоточенных на малых площадках.

Рис. 2.6. Радиальность напряженного состояния в полупространстве На рис. 2.6 форма выделенного объема изображена в виде полу сферы, но она может быть любой, что никак не меняет сути рассмат риваемого вопроса.

Согласно третьему закону механики реактивная сила Q должна быть равной внешней силе P, противоположно ей направленной и приложенной в той же точке, что и сила P. Действие же сил qi дол жно быть статически эквивалентным силе Q, поэтому она должна быть их равнодействующей, но равнодействующую имеет только та система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Такой точкой является точка приложения внешней силы. Отсюда вы вод: всякая элементарная реактивная сила qi внутри полупространст ва, сосредоточенная на любой элементарной площадке, должна быть направлена по радиус-вектору R в точку приложения внешней силы на его поверхности.

Этим самым полностью определяется напряженное состояние в полупространстве, так как элементарная сила qi, отнесенная к ве личине площадки действия Fi, представляет полное напряжение q в этой площадке, которое называется радиальным: R = i.

Fi Очевидно, когда элементарная площадка ориентирована нормаль но к радиус-вектору в некоторой точке, то такое напряжение будет главным, а два другие будут отсутствовать. Именно такое напряжен ное состояние в полупространстве вытекает из третьего закона меха ники.

А теперь проверим, соблюдается ли этот закон в решении Бусси неска. С этой целью выделим элементарную площадку в полупрост ранстве, нормалью к которой является радиус r – расстояние до ли нии действия силы P (рис. 2.7 в цилиндрической системе координат).

Действующее полное напряжение R в этой площадке разложим на два компонента:

r z r = R sin = R ;

rz = R cos = R.

R R Соотношение r R sin r = = tg = (2.26) rz R cos z является условием радиальности напряженного состояния.

Подставим в (2.26) значения нормального r (2.12) и танген циального rz (2.14) напряжений:

P 3 zr 2 (1 2 ) 2R r =. (2.27) R ( R + z ) 3Pz 2 r rz 2 R Очевидно, что условие радиальности напряженного состояния (2.28), так же как и третий закон механики, в общем случае в реше нии Буссинеска не выполняются. Однако есть частный случай, един ственный из множества случаев напряженного состояния с различными коэффициентами Пуассона, в котором при = 0,5 вы полняются и условия равновесия, и третий закон механики, – это ра диальное напряженное состояние, в котором нет места его зависимо сти от коэффициента Пуассона.

Рис. 2.7. Схема к проверке радиальности напряженного состояния в полупространстве от действия сосредоточенной силы Таким образом, истинное напряженное состояние в полупростран стве от сосредоточенной силы может быть определено, если известна функция радиального напряжения. Чтобы убедиться в этом, зададим ся, пока без дополнительных условий, функцией радиального распре деления напряжений в полупространстве в виде z R = A (2.28) R и определим все компоненты напряжений в декартовой системе координат. С этой целью выделим в окрестности какой-либо точки М (x, y, z) элементарный тетраэдр, в котором грань abc является нор мальной к радиус-вектору R, проведенному в точку приложения вне шней силы, а три остальные грани параллельны координатным плос костям (рис. 2.8).


Рис. 2.8. Схема к определению компонентов напряжений в полупространстве от действия сосредоточенной силы при радиальном напряженном состоянии По площадке abc действует полное напряжение R. Полные на пряжения в остальных площадках тетраэдра будут:

площадка boc ( ) x px = R cos x R = R ;

R площадка aoc ( ) y p y = R cos y R = R ;

R площадка aob ( ) z pz = R cos z R = R.

R Для определения компонентов напряженного состояния разложим полные напряжения в каждой из трех ортогональных площадок на нормальное и два касательных. При этом следует учесть, что полное напряжение в каждой площадке направлено в точку приложения внешней силы, т. е. совпадает с направлением радиус-вектора R.

Компоненты напряжения в плоскости yoz:

( ) z x2 x2 z x xx x = px cos R x = px = R =A 3 2 =A 5 ;

(2.29) R RR RR R ( ) y xy z xy xyz yx = px cos R y = рx = R =A 3 2 =A 5;

(2.30) R RR RR R ( ) xz z xz z xz zx = px cos R z = px = R =A 3 2 =A 5, (2.31) R RR RR R компоненты напряжений в плоскости zox:

( ) z y2 y2 z y yy y = p y cos R y = p y = R =A 3 2 =A 5 ;

(2.32) R RR RR R ( ) yz z yz z yz zy = p y cos R z = p y = R =A 3 2 =A 5 ;

(2.33) R RR RR R ( ) x yx z xy xyz xy = p y cos R x = p y = R =A 3 2 =A 5, (2.34) R RR RR R компоненты напряжений в плоскости xoy:

( ) z z2 z y zz z = pz cos R z = pz = R =A 3 2 =A 5;

(2.35) R RR RR R ( ) xz x xz z xz xz = pz cos R x = pz = R =A 3 2 =A 5;

(2.36) R RR RR R ( ) yz y yz z yz yz = pz cos R y = pz = R =A 3 2 =A 5. (2.37) R RR RR R Коэффициент А в компонентах напряжений (2.29)–(2.37) опреде лим из условий равновесия. Для этого проведем полусферическое се чение любым радиусом с центром в точке приложения сосредоточен ной силы P (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Схема для определения коэффициента пропорциональности А для функции давления (2.28) в полупространстве от действия сосредоточенной силы По всей поверхности полусферы будут действовать сжимающие радиальные напряжения, величину которых запишем в виде cos R = A.

R Для элементарного сферического пояса abcd, отвечающего мало му центральному углу d, величину этих напряжений будем считать одинаковой.

Составим уравнение равновесия полусферы:

cos dF = P, R где dF – поверхность элементарного сферического пояса abcd, dF = 2 ( R sin )( Rd ) z.

Выполняем интегрирование R по всей полусфере:

cos A R 2 2 ( R sin ) Rd = P;

A2 cos 2 sin d = P;

cos = P, A а после подстановки пределов A2 = P, откуда:

3P A=. (2.38) Окончательно значение радиального напряжения в любой точке полупространства будет 3P cos 3P z R = =. (2.39) 2 R 2 2 R Другой возможный способ определения коэффициента А: проин тегрировать напряжения z по любой горизонтальной плоскости и приравнять сумму внешней силе P. Результат получим один и тот же.

Таким образом, следует считать доказанным, что компоненты на пряженного состояния в упругом полупространстве от действия нор мальной к его поверхности силы P для любой изотропной однород ной среды будут:

3P x 2 z x = ;

(2.40) 2 R 3P y 2 z y = ;

(2.41) 2 R 3P z z = ;

(2.42) 2 R 3P xyz xy = ;

(2.43) 2 R 3P yz yz = ;

(2.44) 2 R 3P xz zx =. (2.45) 2 R 2.2. Решение Фламана Нормально к поверхности упругого полупространства вдоль бес конечной линии равномерно распределена погонная сила P ( H м ).

Это задача плоского деформирования полупространства. Она решена Фламаном в 1892 г. [7].

Компоненты напряженного состояния и перемещений запишем в виде [2;

4;

6;

8;

9] x2 z 2P x = (2.46) ;

( x 2 + z 2 ) z 2P z = (2.47) ;

( x 2 + z 2 ) xz 2P xz = (2.48) ;

( x 2 + z 2 ) 2P z y =, (2.49) ( x2 + z 2 ) или P z Pz (1 ) y = ;

(2.50) (x + z ) x2 + z 2 первый инвариант напряженного состояния 2P z (1 + ) 2 2, I1 = (2.51) x +z или 1 2 3P z 3P z I1 = ;

(2.52) x2 + z 2 3 x2 + z компонент горизонтального перемещения P (1 + )(1 2 ) P (1 + ) xz U = + ;

(2.53) E E x 2 + z компонент вертикального перемещения 2 P (1 2 ) 2 P (1 + ) z (x ) W = +z 2 2 (2.54).

E E x2 + z Для удобства дальнейшего анализа здесь компонент напряженно го состояния y в плоскости деформации и первый инвариант на пряженного состояния I1 записаны в двух видах – соответственно (2.49), (2.50) и (2.51) (2.52). Записи (2.49) и (2.51) являются общепри нятыми, а в записях (2.50) и (2.52) выделены части компонентов на пряжений, не зависящих от коэффициента Пуассона (первые члены в (2.50) и (2.52)) и зависимых от него (вторые члены в (2.50) и (2.52)).

В формуле (2.53) угол определяется по схеме, приведенной на рис. 2.10, на котором величина R = ( x2 + z 2 ) представляет радиус-вектор, т. е. расстояние от линии распределения внешней нагрузки P до рассматриваемой точки М (x, z).

Рис. 2.10. Схема обозначения угла в (2.53) при определении горизонтальных перемещений полупространства в решении Фламана В целях установления взаимной связи решений Буссинеска и Фламана попробуем получить компоненты напряженного состоя ния (2.46)–(2.50) из (2.1)–(2.7) путем предельного перехода. Для это го будем считать, что на поверхности упругого полупространства вдоль оси у равномерно распределена внешняя нагрузка Р (Н/м) в пределах от y = до y = +.

Интегрирование компонента х (2.1) 3Р (1 2 ) x 2 zdy 3Р х = + ( ) 2 0 x 2 + y 2 + z 2 5 2 2 2 x 2 + y 2 + z 2 12 + z (x ) ( ) +y +z 2 2 2 2 x 2 + y 2 + z 2 12 + z y ( ) 3Р (1 2) zdy dy = ( x + y + z ) ( x + y + z ) + z 0 (x + y + z ) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x2 z y 3Р y + Р (1 2 ) = ( x2 + z 2 ) 2 ( x + y + z ) 3( x2 + y 2 + z 2 ) 2 2 2 y 2 z x 2 x 2 + y 2 + z 2 12 + z 3 z 2 x 2 + y 2 + z 2 12 + 2 x 2 z y ( ) ( ) ( x2 + y 2 + z 2 ) (x + z 2 )( x 2 + y 2 ) x2 z Р z y 3Р 2Р (1 2 ) 2 + (1 2 ) = ( x + z 2 ) ( x2 + y 2 + z 2 ) 2 0 ( x2 + z 2 ) 1 x2 z z Р z 2P (1 2 ) 2, =, ( x + z2 ) ( x + z 2 ) х ( x 2 + z 2 ) что совпадает с (2.46).

Интегрирование компонента y (2.2) 3Р (1 2 ) y 2 zdy 3Р y = + ( ) 2 0 x 2 + y 2 + z 2 5 2 2 2 2 ( ) ( x + y + z ) + z 1 0 x + y +z 2 2 2 2 2 2 2 x 2 + y 2 + z 2 12 + z y ( ) ( x + y + z ) ( x + y + z ) + z 2 2 2 2 2 3Р (1 2 ) zdy dy = 0 (x + y + z ) 2 3 2 2 2 x 2 + y 2 + z 2 12 y Р (1 2 ) ( ) 3Рz 1 y = 3( x + z ) x2 + y 2 + z 2 2 0 ( x + y + z )( x + y 2 ) ( ) 2 2 2 2 2 Р (1 2 ) z y = ( x2 + z 2 ) ( x2 + y 2 + z 2 ) 2 Р (1 2 ) Р z z = 0 = ( x2 + z 2 ) ( x2 + z 2 ) Р z 2Р z (1 1 + 2 ) 2 2, y = =, (x + z ) ( x2 + z 2 ) что совпадает с (2.49).

Интегрирование компонента z (2.3):

z 3 dy 3Рz 3Р 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2 ( x 2 + z 2 ) z = = 0( ) y3 3Рz 3 y = 1, ( x + z ) ( x + y + z ) 3( x + y + z ) 1 2 2 2 2 2 Рz z =, ( x + z ) что совпадает с (2.47).

Интегрирование компонента xz (2.6):

xz 3Р xz = ( x 2 + z 2 ) y3 xz y 3Р =, 3( x + y + z ) 2 ( x 2 + z 2 )2 1 2 ( x2 + y 2 + z 2 ) 2 xz 2Р xz =, ( x 2 + z 2 ) что совпадает с (2.48).

Поскольку функции (2.5) и (2.6) нечетные относительно коорди наты у, то их интегралы в пределах от y = до y = + сходятся к нулю, поэтому xy = yz = 0.

Интегрирование первого инварианта напряженного состояния I1 (2.7):

P zdy 2P z y = (1 + ) I1 = (1 + ) 2, ( x 2 + z 2 ) x 2 + y 2 + z 2 12 ( ) ( ) 0 x2 + y 2 + z 2 2 Pz I1 = (1 + ), ( x2 + z 2 ) что совпадает с (2.51).

Таким образом, путем предельного перехода от напряженного сос тояния в решении Буссинеска мы получили напряженное состояние в решении Фламана, что подтверждает взаимную связь этих решений.

Вероятно, что компоненты перемещений (2.15), (2.16) и (2.53), (2.54) также взаимосвязаны между собой, по этой причине и недостатки в рассматриваемом решении имеют близкий характер. Остановимся на некоторых из них.

От коэффициента Пуассона зависят уже не три, а только один компонент напряжения y в плоскости деформации, который не ока зывает влияния ни на деформации, ни на перемещения, но влияет на величину первого инварианта напряженного состояния, снижая его интенсивность (2.49). Уточним, что зависимость компонента y от коэффициента Пуассона вытекает из обобщенного физического закона.

Горизонтальные перемещения поверхности, как это следует из (2.50) при z = 0, будут постоянные по величине на всей ограничива ющей полупространство поверхности и направлены к линии прило жения сжимающей внешней нагрузки и от нее в случае растягиваю щей нагрузки [8]:

(1 + )(1 2 ) Р, U ( x,0 ) x0 = ± 2E x Соответствующая эпюра качественно показана на рис. 2.11, из ко торого следует, что на линии распределения внешней нагрузки имеется разрыв горизонтальных перемещений. По поводу этого раз рыва следует отметить, что к нему приведут любые горизонтальные перемещения поверхности, отличные от нуля.

Рис. 2.11. Качественная эпюра горизонтальных перемещений точек поверхности полупространства от равномерно распределенной вдоль бесконечной линии нагрузки (решение Фламана) Как и в рассмотренном выше решении Буссинеска, в этом реше нии также наблюдается несимметричное изменение деформирован ного положения поверхности полупространства при симметричном изменении направления действия внешней нагрузки на противопо ложное, что не может быть подтверждено кинематикой деформиро вания.

Горизонтальные перемещения в упругом полупространстве при плоском его деформировании линейной нагрузкой определяются за висимостью (2.53). Для удобства анализа запишем ее в виде [2] P (1 + ) (1 2 ) + sin cos.

U= E Рассматривая выражение в квадратных скобках, видим, что гори зонтальные перемещения в упругом полупространстве при z, отлич ном от нуля, меняют свое направление на противоположное при некотором удалении от оси z. Подобно решению Буссинеска, в кото ром можно выделить коническую область с вершиной под приложен ной силой, в данном решении существует клиновидная область с вер шиной под линией распределения нагрузки, в пределах которой гори зонтальные перемещения при сжимающей нагрузке направлены от оси z, а за ее пределами – к оси z (рис. 2.12). Уравнение этой области можно представить в виде (1 2 ) = sin, в котором составляет угол при вершине клина, он зависит от коэффициента Пуассона.


Предельные значения этого угла будут:

= 0, min = 0;

= 0,5, max =.

На рис. 2.12 приведена качественная эпюра горизонтальных пере мещений на некоторой глубине z. При бесконечном удалении от оси z эти перемещения стремятся к конечному значению:

(1 + )(1 2 ).

x, U = P 2E Для случая, когда коэффициент Пуассона = 0,5, горизонтальные перемещения во всем полупространстве при сжимающей внешней нагрузке будут одного знака – растягивающие, а на поверхности они будут отсутствовать. Такие перемещения не противоречат кинемати ке деформирования.

Путем предельного перехода от напряженного состояния в данной задаче мы должны получить полупространство, загруженное равно мерно распределенной нагрузкой р ( Н/м 2 ) по всей его поверхности.

С этой целью воспользуемся напряженным состоянием полупрост ранства от действия равномерно распределенной нагрузки по беско нечной полосе шириной 2а [8], переход от которого к напряженному состоянию при загружении всей поверхности полупространства оче виден.

Рис. 2.12. Качественная эпюра горизонтальных смещений точек полупространства в плоскости z = const от нагрузки, равномерно распределенной вдоль бесконечной линии на поверхности (решение Фламана) Компоненты напряжений, вызванные полосовой равномерно рас пределенной нагрузкой, будут:

2 paz ( x 2 z 2 a 2 ) ax a+x р x = arctg + arctg + ;

(2.55) z ( x 2 + z 2 a 2 ) + 4a 2 z z 2 paz ( x 2 z 2 a 2 ) ax a+x р z = arctg + arctg ;

(2.56) z ( x 2 + z 2 a 2 ) + 4a 2 z z 4 paxz xz = (2.57) ;

( x 2 + z 2 a 2 ) + 4a 2 z ax a+x 2р y = (x + z ) = + arctg arctg, (2.58) z z или ax a+x р y = + arctg arctg z z ax a+x (1 2 ) arctg р + arctg ;

(2.59) z z первый инвариант напряженного состояния ax a+x р I1 = (1 + ) + arctg arctg (2.60) z z или ax a+x 3р I1 = + arctg arctg z z (1 2 ) 3 р arctg a x +arctg a + x. (2.61) 3 z z В формулах (2.59) и (2.61) для компонента напряжения y и пер вого инварианта напряжений I1 выделены отдельно их части, не за висимые от коэффициента Пуассона и зависимые от него.

Предельный переход от (2.55)–(2.60) путем а дает x = z = p;

y = 2 p;

zx = 0;

I1 = 2 p (1 + ), (2.62) то есть получаем явно бессмысленный результат, т. к. x и y не ра вны между собой.

Задача по определению напряженного состояния полупространст ва, вся поверхность которого загружена равномерно распределенной нагрузкой р, может быть решена и другим путем, исходя из обоб щенных физических зависимостей. Для этого заменим в первых двух уравнениях (1.12) вертикальный компонент z = p и ввиду отсутст вия горизонтальных перемещений и деформаций получим x ( y + р ) ;

x = E (2.63) y = y ( x + р ).

E Решение системы уравнений (2.63) дает x = y = р = k k p, (2.64) где kk – коэффициент, который в механике грунтов называют коэф фициентом бокового давления, или геостатическим коэффициентом [8;

9;

13]. Он определяет соотношение главных напряжений в услови ях отсутствия боковых деформаций упругой среды.

Как видим, два подхода к решению одной и той же задачи дают различные результаты, чего в принципе быть не должно.

Причина несовпадения результатов предельного перехода (2.62) и прямого решения (2.64), а также зависимости компонента y от коэффициента Пуассона при плоском деформировании полупрост ранства скрыта в неточном отражении связи между напряженным и деформированным состояниями существующими физическими за висимостями.

Ответить на вопрос о том, каким же все-таки должно быть напря женное состояние упругого полупространства при загружении его поверхности равномерной нагрузкой, можно очень просто, руковод ствуясь следующими соображениями.

Поскольку истинное напряженное состояние в изотропном упру гом полупространстве от сосредоточенной нормальной к его поверх ности силы Р (Н) мы уже определили в виде (2.29)–(2.37), то переход к решению, когда на поверхности этого полупространства действует равномерно распределенная вдоль бесконечной линии сила Р (Н/м), можно выполнить путем предельного интегрирования компонентов (2.29)–(2.37). Выполним это интегрирование.

Компонент х :

x 2 zdy x2 z 3Р 3Р х = 2 = 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2 2 ( x 2 + z 2 ) ( ) y y ;

( x + y + z ) 3( x2 + y 2 + z 2 ) 2 2 x2 z 2Р х = (2.65) ;

( x 2 + z 2 ) компонент z :

z 3 dy z 3Р 3Р z = 2 = 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2 ( x 2 + z 2 ) ( ) y y ;

( x + y + z ) 3( x2 + y 2 + z 2 ) 2 2 z 2Р z = (2.66) ;

( x 2 + z 2 ) компонент y :

y 2 zdy zy 3Р 3Р y = 2 ;

= ( ) ( )( ) 2 x 2 + y 2 + z 2 5 2 3 x 2 + z 2 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 Рz y = ;

(2.67) x2 + z компонент xz :

xz 2 dy xz 3Р 3Р xz = 2 = ( x 2 + z 2 ) ( ) 2 x 2 + y 2 + z 2 5 y y ;

( x + y + z ) 3( x2 + y 2 + z 2 ) 2 2 xz 2Р xz = (2.68).

( x 2 + z 2 ) Поскольку подинтегральные функции (2.34) и (2.37) нечетные от носительно координаты у, то их интегралы в пределах от y = до y = + сходятся к нулю. Поэтому имеем:

3Р xzydy 2 2 2 5 2 = 0;

xy = (x + y + z ) xz 2 ydy 3Р yz = = 0.

( ) 2 x 2 + y 2 + z 2 5 Интегрирование первого инварианта напряжений I1 :

3Р zdy 3Р zy I1 = 2 ;

= ( )( ) ( ) 2 x 2 + y 2 + z 2 2 x 2 + z 2 2 x 2 + y 2 + z 2 1 2 3Р z I1 =. (2.69) x2 + z Решение задачи плоского деформирования упругого полупрост ранства, когда на его поверхности равномерно распределена нагрузка по бесконечной полосе постоянной ширины, получим из формул (2.55)–(2.61), где в компоненте y (2.59) и первом инварианте напря женного состояния I1 (2.61) формально примем = 0,5.

Из полученных соотношений следует, что для случая плоского деформирования компонент нормального напряжения y в плоскости деформации (2.66) равен среднему значению между двумя другими компонентами нормальных напряжений x и z в плоскостях, пер пендикулярных плоскости деформации. Поэтому в системе напряже ний (2.46)–(2.52) не должно быть их зависимостей от коэффициента Пуассона. Компонент y (2.49) должен быть заменен компонентом (2.67), а первый инвариант напряжений I1 (2.51) и (2.52) на (2.69).

После этого предельный переход к напряженному полупространству, когда на всей ограничивающей его поверхности будет действовать равномерно распределенная нагрузка интенсивностью р ( Н/м 2 ), дает следующие результаты.

Интегрирование компонента x (2.68):

4 pz x 2 p zx 2 dx x x = 2 + arctg ;

x = p.

= ( x2 + z 2 ) 2z ( x 2 + z 2 )2 z Интегрирование компонента z (2.66):

4 pz 3 x 2 p z 3 dx x z = 2 arctg ;

z = p.

= + 2 z 2 ( x2 + z 2 ) 2z ( x 2 + z 2 )2 z Интегрирование компонента y (2.67):

2 pz p zdx x y = 2 arctg ;

y = p.

= x2 + z 2 z z Поскольку функция zx (2.68) нечетная относительно координаты х, то ее интеграл в пределах от x = до x = + сходится к нулю.

В результате получим zx = 0.

Интегрирование первого инварианта напряжений (2.69) 3 p zdx 6 pz 1 x I1 = 2 arctg ;

= x +z z 2 z I1 = 3 р.

Таким образом, мы пришли к результату о том, что при загруже нии всего полупространства равномерной нагрузкой интенсивностью р ( Н/м 2 ) напряженное состояние его будет однородным, гидростати ческим:

x = y = z = p;

I1 = x + y + z = 3 p.

Теперь решения трех задач для полупространства, когда нормаль но к его поверхности действуют: cосредоточенная нагрузка Р (Н);

ра вномерно распределенная по бесконечной линии нагрузка интенсив ностью Р (Н/м), равномерно распределенная по всей поверхности на грузка интенсивностью р ( Н/м 2 ), взаимно связаны: от первой задачи предельным интегрированием получаем решение второй задачи, а от второй задачи предельным интегрированием получаем решение тре тьей задачи. Все логично и математически обосновано, без ограниче ний и допущений.

2.3. Решение Кельвина Сила Р сосредоточена в некоторой точке упругого пространства.

Решение этой задачи получил в 1848 году Кельвин [10]. Приведем компоненты напряженного состояния этой задачи в цилиндрических координатах [4;

11]:

3r 2 z P z ;

(1 2 ) r = (2.70) 8 (1 ) r + z 2 2 ( ) (r2 + z2 ) P (1 2 ) z = ;

(2.71) 8 (1 ) r 2 + z 2 3 ( ) 3z P z ;

+ (1 2 ) z = (2.72) 8 (1 ) r 2 + z 2 2 ( ) (r2 + z2 ) 3rz P z.

+ (1 2 ) zr = (2.73) 8 (1 ) r 2 + z 2 2 ( ) (r2 + z2 ) Эта задача имеет скорее теоретическое, познавательное значение, чем практическое. Она играет существенную роль в анализе напря женно-деформированного состояния полупространства и пространст ва, являясь важным звеном в проявлении взаимозависимости решений задач теории упругости для массивов.

Как видим, напряженное состояние (2.70)–(2.73) зависит от коэф фициента Пуассона. В целях анализа этой зависимости запишем рас сматриваемое решение для предельного случая, когда упругая харак теристика = 0,5 и напряженное состояние не будет от нее зависеть:

r2z 3P = (2.74) ;

( ) r 4 r 2 + z 2 5 = 0;

(2.75) z 3P z = (2.76) ;

( ) 4 r 2 + z 2 5 rz 3P zr = (2.77).

( ) 4 r 2 + z 2 5 Как видим, компоненты этих напряжений в два раза меньше ком понентов напряжений для полупространства при тех же условиях (формулы (2.11)–(2.14), в которых принято = 0,5 ), и это вполне ло гично, потому что сила Р в (2.74)–(2.77) равномерно распределяется на два полупространства, одно из которых она сжимает, а другое рас тягивает.

Разделим теперь напряженное состояние в упругом бесконечном пространстве (2.70)–(2.73) на две части, выделив в каждом компонен те часть напряжения, которая не зависит от коэффициента Пуассона (система (2.74)–(2.77)). Оставшаяся часть будет зависимой от него и определяется по схеме.

= + r ;

(2.78) r r = + ;

(2.79) = z + z ;

(2.80) z = + rz. (2.81) rz rz После подстановки в (2.78)–(2.81) значений соответствующих компонентов напряжения из систем (2.70)–(2.73) и (2.74)–(2.77) имеем:

r2z 3r 2 z 3P P z ;

(1 2 ) = + 4 r 2 + z 2 2 8 (1 ) r 2 + z 2 2 ( ) ( ) (r2 + z2 ) r 5 P (1 2 ) 3r 2 z z ;

= + (2.82) 8 (1 ) r 2 + z 2 2 ( ) (r2 + z2 ) r P (1 2 ) z = ;

(2.83) 8 (1 ) r 2 + z 2 3 ( ) z3 z 3P P z, + (1 2 ) = + 4 r 2 + z 2 2 8 (1 ) r 2 + z 2 2 ( ) ( ) (r2 + z2 ) z 5 P (1 2 ) 3z 3 z ;

= (2.84) 8 (1 ) r 2 + z 2 2 ( ) (r2 + z2 ) z rz 2 3rz 3P P r (1 2 ), = + + 4 r 2 + z 2 2 8 (1 ) ( ) (r2 + z2 ) 2 (r2 + z2 ) rz 5 3P (1 2 ) rz r.

= (2.85) 8 (1 ) r 2 + z 2 2 ( ) (r2 + z2 ) rz Очевидно, что система полных напряжений (2.70)–(2.73) эквива лентна сумме двух систем напряжений (2.74)–(2.77) и (2.82)–(2.85).

Обе части напряженного состояния в отдельности удовлетворяют дифференциальным условиям равновесия (1.8). Однако, если система (2.74)–(2.77) уравновешивает внешнюю силу Р, так как интегрирова ние компонента z по любой горизонтальной плоскости дает силу – 0,5Р, то система (2.82)–(2.85) не уравновешивает ничего, в чем можно убедиться интегрированием добавочной части компонента верти кального напряжения (2.85), который зависит от коэффициента z Пуассона. С этой целью сначала представим ее в виде 3z 3 z = B +B, (r ) (r ) z 5 +z +z 2 2 2 2 P 1 где В – постоянный коэффициент, равный B =.

8 Выделим в упругом пространстве двумя параллельными беско нечными плоскостями, расположенными на расстояниях ± z от точ ки приложения силы Р, часть его объема (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Схема интегрирования компонента (2.84) в решении Кельвина z На одной из плоскостей выделим кольцевой элемент dF радиусом r и центром на оси z (см. рис. 2.13):

dF = 2rdr.

Составим интегралы для суммирования напряжения по всей z плоскости:

3z 3 2rdr z 2rdr B B = (r ) (r ) 5 +z +z 2 2 2 2 0 1 = B 6z 3 B 2z = (r + z ) 3( r + z ) 20 2 2 1 = B 2z 3 0 3 + B 2z 0 = 2B + 2B = 0, z z то есть суммарное давление на эту плоскость от напряжений рав z но нулю. Очевидно, что интегрирование по второй плоскости приве дет к такому же результату.

С другой стороны, первые инварианты напряженного состояния рассматриваемых систем соответственно равны:

3P r 2 z z3 ;

I1 = + + z = +0+ 4 ( r + z ) (r2 + z2 ) r 2 3P z I1 =, ( ) 4 r 2 + z 2 3 3P (1 2 ) r2z I1 = + + = 8 (1 ) r 2 + z 2 5 ( ) r z P (1 2 ) P (1 2 ) z 8 (1 ) r 2 + z 2 3 2 8 (1 ) ( ) 3P (1 2 ) P (1 2 ) z z z + ;

8 (1 ) r 2 + z 2 5 2 8 (1 ) r 2 + z 2 3 (r2 + z2 ) ( ) ( ) P (1 2 ) z I1 =.

2 (1 ) r 2 + z 2 3 ( ) Полностью первый инвариант напряженного состояния запишем в виде 2 (1 2 ) 3P 3P z z I1 = I1 + I1 =, 4 r 2 + z 3 3 2 3 (1 ) 4 r 2 + z 2 3 ( ) ( ) или 2 (1 2 ) 3 z I1 = P P.

3 (1 ) ( ) 4 r 2 + z 2 3 2 Здесь функция перед квадратными скобками – гармоническая, следовательно, потенциальная;

она отвечает конкретным граничным условиям и полностью характеризует интенсивность напряженного состояния в упругом массиве, ее источником является конкретная си ла. Но в скобках две силы, действующие в одной и той же точке: сила Р и часть этой силы с обратным знаком, уменьшающая интенсив ность напряженного состояния в целом. По всем законам их следует алгебраически суммировать, но в задаче наблюдается влияние второй силы на напряженное состояние, а в равновесии она не учитывается, то есть является фиктивной.

Как и в решении Буссинеска, можно показать, что в рассматри ваемом решении в общем случае распределение напряжений не яв ляется радиальным, поэтому в нем также не выполняется и третий за кон механики. Однако существует единственный, частный случай напряженного состояния упругого пространства от действующей внутри его сосредоточенной силы P, когда выполняются и третий закон механики, и условия равновесия. Он представлен компонента ми (2.74)–(2.77), т. е. при радиальном напряженном состоянии, кото рое не зависит от коэффициента Пуассона.

Таким образом, мы приходим к выводу о том, что эти две задачи – близнецы. Сложив из двух полупространств полное пространство та ким способом, чтобы внутри его оказалась сосредоточенная сила Р, и продлив ось z в обе стороны от до +, мы распределяем эту силу в равных частях на две половины пространства: к одной поло вине приложена сжимающая сила, равная 0,5Р, а к другой – растяги вающая сила такой же величины.

Формально в решения (2.40)–(2.45) следует ввести коэффициент 0,5, и тогда получим единственное решение задачи о распределении напряжений в однородном упругом пространстве от сосредоточенной силы, которое в декартовой системе координат будет представлено в виде:

3P xyz 3P x 2 z x = ;

xy = ;

8 R 8 R 5 3P yz 2 3P y z y = ;

yz = ;

(2.86) 8 R 8 R 3P xz 3P z z = ;

zx =.

8 R 5 8 R 2.4. Деформации упругого изменения объема и формы Общую деформацию элементарного объема упругой среды в теории упругости делят на два вида – деформацию изменения объ ема и деформацию изменения формы. Соответственно сформулиро ваны два закона: закон упругого изменения объема (1.17), (1.21), (1.22) и закон упругого изменения формы (1.18)–(1.20).

В законе упругого изменения объема дается величина объемной относительной деформации и принимается, что ее вызывает шаровой тензор напряжения (1.22), поэтому линейные компоненты этого вида деформаций равны между собой. В целях их определения из общего напряженного состояния выделяется шаровой тензор напряжений, от которого зависят линейные деформации от изменения объема среды.

В законе упругого изменения формы принято, что после выделе ния части напряжения, вызвавшей изменение объема, оставшаяся часть напряженного состояния, представляющая девиатор напряже ния (1.19), вызывает изменение формы элемента.

Но ни та, ни другая часть деформации не доведены до логического завершения. Поскольку есть два вида деформаций по происхожде нию, то следует определять также два полных тензора деформаций и соответствующие им перемещения.

Правомерность выделения частей напряженного состояния, соот ветствующих каждому виду деформаций, вызывает сомнения по следующим причинам:

– оба вида деформаций вызваны одним и тем же напряженным состоянием, но различными его формами взаимодействия с упругой средой;

– обе части напряженного состояния в отдельности не уравнове шены;

– не существует «рафинированной» объемной деформации в упру гом массиве с равномерным сжатием любого элемента, она обяза тельно должна сопровождаться только ей принадлежащим формоиз менением.

Для того чтобы внести некоторую ясность в причины возникнове ния рассматриваемых деформаций и классифицировать их не по форме внешнего проявления, а по происхождению, рассмотрим несколько элементарных примеров.

Пример 1. Упругое тело цилиндрической формы сжимается по вертикали равномерным давлением р без возможности бокового рас ширения (рис. 2.14). В механике грунтов такие испытания грунта на зывают компрессионными.

Тело помещается в жесткое кольцо, трение по его стенкам отсут ствует. Очевидно, что деформация тела в этом случае будет проте кать только за счет изменения его объема и только по вертикали, а единственная относительная деформация по вертикали в любой то чке будет численно равна объемной относительной деформации:

= 0, z остальные же относительные линейные деформации будут отсутст вовать, т. е. 0 = 0 = 0.

x y Рис. 2.14. Равномерное сжатие упругого тела по вертикали без возможности горизонтального расширения Абсолютные перемещения торцов цилиндрического тела от объемной деформации будут наблюдаться только по вертикали:

W = 0,5 0 h.

z Таким образом, единственная линейная относительная деформа ция, отличная от нуля, будет 0, и любой выделенный элемент изме z няет свою форму, например из элементарного куба он превращается в элементарный параллелепипед, так как угловые относительные де формации отсутствуют xy = yz = zx = 0.

Пример 2. Упругое тело цилиндрической формы помещено без трения между двумя жесткими пластинами (см. рис. 1.3) с неизме ненным расстоянием между ними и сжимается по боковой поверхно сти равномерно распределенной нагрузкой р. Это плоская деформа ция упругого тела. Линейные относительные деформации в этом слу чае также будут протекать только за счет изменения объема тела, но уже в двух направлениях – вдоль осей х и y (здесь принята декартова система координат, ее начало – в центре тела, ось z вертикальная).

Величина объемной относительной деформации будет численно равна сумме двух равных по величине линейных относительных деформаций = 0 + 0, а третья линейная относительная деформа x y ция будет отсутствовать ( 0 = 0 ). Отсутствуют также угловые отно z сительные деформации от изменения объема в выбранной системе координат 0 = 0 = 0 = 0.

xy yz zx Очевидно, что объемная деформация тела в этом случае также со провождается изменением формы: любой выделенный по направле нию координат осей элемент в виде куба сжимается в двух горизон тальных направлениях и превращается в параллелепипед.

Пример 3. Упругое тело в виде шара (или любой другой объем ной формы) сжимается равномерным давлением p по всей поверхно сти (рис. 2.15).

Рис. 2.15. Сжатие упругого тела всесторонним равномерным давлением В этом случае его деформация также будет протекать только вследствие изменения объема, но, в отличие от первых двух приме ров, изменения формы наблюдаться не будет. Тензор деформаций здесь будет шаровым: любой выделенный элемент будет подвержен равномерному сжатию, т. е.

0 = 0 = 0 0, x y z при отсутствии угловых деформаций от изменения объема 0 = 0 = 0 = 0, xy yz zx то есть относительные линейные деформации будут одинаковыми по любому направлению, а перемещения в любой точке направлены к центру.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.