авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«МИНИ СТ ЕР СТВО ОБРА ЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛО ДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ ДН ЕПРОПЕТРО ВСКИЙ НАЦИОНА ЛЬНЫЙ УНИ ВЕ Р СИТЕ Т ЖЕЛЕЗНОДО РОЖНОГО ТРАН СПОРТА ...»

-- [ Страница 2 ] --

Пример 4. Упругое тело шаровидной формы (для удобства и наглядности) подвергается сжатию равномерным давлением р, при ложенным симметрично на двух его противоположных частях (рис. 2.16, на котором пунктиром качественно показана его форма после деформирования).

Рис. 2.16. Сжатие упругого тела нагрузкой, приложенной симметрично на двух частях его поверхности Очевидно, что в этом случае деформации тела происходят за счет как объемного деформирования с сопутствующим ему формоизмене нием, так и иного формоизменения, вызванного другой причиной, независимой от объемного деформирования. Почему же такого фор моизменения нет в первых трех примерах? В чем различие? А разли чие состоит в их напряженном состоянии. В первых трех случаях оно однородное, т. е. одинаковое в любой точке упругого тела, в четвер том же – различно в различных точках, т. е. в упругом теле возника ют градиенты напряженного состояния, которые и вызывают допол нительное формоизменение, но это формоизменение не зависит от объемного, так как имеет другое происхождение. В дальнейшем бу дем называть его чистым формоизменением, или чистым сдвигом (оба термина равнозначны по существу). Отличие от общепринятого в теории упругости понятия чистого сдвига состоит в том, что в дан ном случае деформация чистого сдвига протекает без изменения объ ема, т. е сумма линейных относительных деформаций от чистого сдвига равна нулю c + cy + c = 0, а напряженно-деформированное x z состояние упругой среды пространственное, т. е. все компоненты на пряжений различные и отличаются от нуля.

Общепринятое же понятие чистого сдвига [4] относится к плоско му напряженному состоянию, когда главные напряжения 1 = 2, 3 = 0, и тогда по площадкам, проведенным под углом 45° к главным двум ( 1 и 2 ), нормальные напряжения отсутствуют, а действуют только касательные напряжения, которые согласно обобщенному физичес кому закону и вызывают сдвиговые деформации.

Таким образом, понятие чистого сдвига в данной работе несколь ко шире этого понятия в классическом толковании, оно относится не только к плоскому напряженному состоянию, но и к пространст венному.

Из рассмотренных примеров вытекают следующие важные выво ды. Объемная деформация, как правило, не является всесторонне рав номерной. Можно назвать единственный тривиальный случай такой деформации: равномерное всестороннее обжатие упругого тела.

В общем же случае она должна всегда сопровождаться изменением формы тела. Поэтому в объемное деформирование следует отнести и вызванную им часть общего формоизменения.

Если же считать, как это принято в теории упругости, объемные деформации равномерными, то определение соответствующих пере мещений не вызывает затруднений, но приводит к неприемлемым ре зультатам. Для примера рассмотрим напряженное состояние упруго го полупространства, нагруженного сосредоточенной силой Р (2.1)– (2.10). Используя формулу (2.7), запишем среднее нормальное на пряжение в полупространстве:

( x + y + z ) = ( 3) Rz3.

1+ P ср = Учитывая (1.16), запишем линейные относительные деформации от изменения объема:

(1 + )(1 2 ) P z.

1 0 = 0 = 0 = ср = x y z 3 E R E Поскольку мы ранее условились сжимающее напряжение обозна чать со знаком плюс, то в вычислениях относительных деформаций и перемещений следует поменять знак.

Определяем перемещения вдоль оси х, вызванные изменениями объема упругой среды:

2 (1 + ) Pz x x dx U = 2 dx = 2 2 2 32 = 0 0 (x + y + z ) x 3E 2 (1 + )(1 2 ) Pz 1 x, = ( y 2 + z 2 ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 12 3E а после подстановки пределов:

2 P (1 + )(1 2 ) xz U0 = (2.87).

( y + z )( x + y + z ) 3 E 2 2 2 2 2 Аналогично определяются горизонтальные перемещения от изме нения объема среды вдоль оси у. В результате имеем:

2 P (1 + )(1 2 ) yz V0 = (2.88).

( y + z )( x + y + z ) 3 E 2 2 2 2 2 Определяем вертикальные перемещения:

(1 + )(1 2 ) P z zdz W = dz = = 0 (x ) z 3 E +y +z 2 2 2 z P (1 + )(1 2 ) x, = (x + y + z ) 3E 2 2 а после подстановки пределов получим:

P (1 + )(1 2 ) W0 = (2.89).

(x + y + z ) 3E 2 2 2 Для удобства анализа запишем перемещения (2.87)–(2.89) в ци линдрических координатах:

радиальные перемещения P (1 + )(1 2 ) rz U r0 = ;

r (r + z ) 3 E 2 2 2 вертикальные перемещения P (1 + )(1 2 ) W0 =.

(r + z ) 3 E 2 2 Угловые деформации определяем, пользуясь зависимостями Коши (1.9). Для этого составим частные производные компонентов пере мещений (2.87)–(2.89):

U 0 xz, = A ( y 2 + z 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) y y xyz 3 ( y 2 + z 2 ) + 2 x U 0.

=A (2.90) ( y + z )( x + y + z ) y 2 2 2 2 x ( x 2 + y 2 + z 2 )( y 2 z 2 ) z 2 ( y 2 + z 2 ) U = A ;

(2.91) ( y2 + z 2 ) ( x2 + y2 + z 2 ) z V 0 yz, = A x ( x 2 + z 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) x xyz 3 ( x 2 + z 2 ) + 2 y V 0 ;

=A (2.92) ( y2 + z 2 ) ( x2 + y2 + z 2 ) x y ( x 2 + y 2 + z 2 )( x 2 z 2 ) z 2 ( x 2 + z 2 ) V = A ;

(2.93) ( x2 + z2 ) ( x2 + y2 + z 2 ) z W 0 1, = A (x + y + z ) x x 2 2 W 0 x = A (2.94) ;

(x + y + z ) x 2 2 2 W 0 y = A (2.95).

(x + y + z ) y 2 2 2 Компоненты угловых деформаций получаем в виде U 0 V = +, xy y x 3( y2 + z2 ) + 2x2 3( x2 + z2 ) + 2 y xyz ;

(2.96) =A + ( y 2 + z 2 )2 (x + z ) ( x2 + y2 + z 2 ) xy 3 V 0 W = +, yz z y y ( x 2 + y 2 + z 2 )( x 2 z 2 ) ( x 2 + z 2 )( x 2 + 2 z 2 ) 0 = A ;

(2.97) (x ) (x ) yz +z +y +z 2 2 2 2 W 0 U = +, zx x z x ( x 2 + y 2 + z 2 )( y 2 z 2 ) ( y 2 + z 2 )( y 2 + 2 z 2 ) = A. (2.98) (y ) (x ) zx +z +y +z 2 2 2 2 В формулах (2.90)–(2.98) А – постоянный коэффициент, который равен P (1 + )(1 2 ) A=.

3E Представленные перемещения и деформации от объемного дефор мирования (2.87)–(2.98), хотя формально и удовлетворяют условиям совместности (2.18), (2.19), имеют следующие недостатки, связанные с исходной предпосылкой:

1. Все угловые деформации (2.96)–(2.98) отличны от нуля, поэто му избежать формоизменения в упругой среде от объемных дефор маций в предположении, что относительные линейные деформации этого вида равны между собой в каждой точке:

0 = 0 = 0 =, x y z невозможно, потому что они различны в различных точках полупрос транства, так как объемная относительная деформация является фун кцией координат:

= f ( x, y, z ).

Само по себе наличие угловых деформаций при отсутствии каса тельных напряжений – отступление от существующих физических зависимостей (1.12).

2. Принятие условия ( x + y + z ) = ср x = y = z = влечет за собой нарушение равновесия любого элемента от этой час ти напряжения.

Таким образом, шаровой тензор, каким представляется объемное деформирование, когда принимается 0 = 0 = x y z и накладывается условие отсутствия формоизменения, не соответст вует его истинному тензору, так как в этом случае неизбежно появле ние угловых деформаций, т. е. формоизменения.

Выделение частей напряженного состояния, от которых зависит объемное деформирование и формоизменение, нарушает единство напряженного состояния в целом, так как каждая из выделенных час тей в отдельности не удовлетворяет условиям равновесия. При таком допущении нет оснований в отдельном рассмотрении упомянутых видов деформаций как независимых: они будут перекрещиваться, на кладываться и зависеть одна от другой.

Подобное выделение объемных деформаций и деформаций фор моизменения является умозрительным, оно не соответствует реаль ным условиям деформирования и лишено всякой логики, так как здесь потерян главный стержень, по которому следует разделять их не по внешнему признаку проявления, а по причине возникновения.

Выделение каких-то частей напряженного состояния, ответственных за тот или иной вид деформации, – заблуждение. Напряженное состояние не отдельными своими частями, а в целом ответственно за все деформации, при этом различается только форма его влияния на упругую среду: одна форма влияния вызывает объемное деформиро вание, другая – чистое формоизменение.

Выводы по главе Выше были проанализированы главные решения теории упругос ти, которые должны были стать эталонными для выполнения в них законов физики, механики, логики. К сожалению, они таковыми не могут быть из-за ряда содержащихся в них серьезных недостатков, главными из которых являются следующие.

1. В решениях теории упругости имеются разрывы cплошности среды при определении перемещений, нелогичная и противоречивая их кинематика.

2. Линейная зависимость напряженного состояния упругого мас сива от его деформационной характеристики (коэффициента Пуас сона) приводит к тому, что перемещения в нем зависят уже от нее дважды, чем нарушается принцип линейности в линейной теории упругости.

3. Для конкретных задач с полупространством и пространством в напряженном состоянии не выполняется третий закон механики.

4. Невозможен логический предельный переход от напряженного состояния при плоской деформации полупространства к напряжен ному состоянию его при равномерном загружении всей поверхности.

5. Отсутствует взаимная связь между напряженно-дефор мированным состоянием в упругом полупространстве и пространстве от действия сосредоточенной силы.

6. Попытка разделения деформаций не по природе их возникнове ния, а по форме проявления принципиально не верна, так как из объ емных деформаций исключается сопутствующее им формоизмене ние, а в деформации формоизменения собраны деформации различ ного происхождения – от объемного деформирования и от чистого сдвига.

Источником перечисленных и ряда других недостатков в решени ях теории упругости являются принятые физические зависимости между напряжениями и деформациями (1.12), (1.13), названные обобщенным законом Гука, хотя он к ним не имеет отношения. Эти зависимости предложил в 1822 г. Коши [1], через 144 года после отк рытия Гуком закона линейной зависимости абсолютной деформации упругого тела от приложенной к нему силы (1678 г.). Зависимости (1.12), (1.13), по сути, являются феноменологическими, полученными из наблюдений деформаций тел малых размеров и механически пере несенными на упругие массивы больших размеров.

Два явления, которые наблюдаются при загружении упругого тела (объемное деформирование и чистый сдвиг), различные по природе происхождения, описываются одной формулой, устанавливающей локальную зависимость обоих видов деформаций от напряженного состояния. Из этой зависимости автоматически вытекает один из главных постулатов теории упругости о совпадении осей главных на пряжений и осей главных деформаций, который стает камнем претк новения на пути принятия иных физических зависимостей. Из разроз ненных элементов непросто сложить монолитный массив, так как то лько в массиве могут проявиться интегрирующие его свойства, а ло кальная зависимость не может превратиться в интегральную, как бы мы не делили массив на элементы.

Принятые физические зависимости приводят к дефектам во всех имеющихся решениях теории упругости. Кажущаяся простота и ло гичность этих зависимостей превратила их в догму и тем самым на ложила табу на пересмотр и уточнение, поэтому исследования шли в бесперспективном направлении – получения результата путем усо вершенствования и усложнения математического аппарата. А реше ние проблемы почти два столетия лежит на поверхности и заклю чается в корректировке и усовершенствовании самой модели дефор мирования. Такая задача и является главной целью настоящей работы.

ГЛАВА Выбор физических зависимостей упругих тел 3.1. Метод аналогий в физических явлениях Вначале напомним некоторые важные зависимости из теории век торного поля, которые будут использованы в дальнейших изло жениях.

Векторное поле градиентов связано со скалярным физическим по лем зависимостью [14;

15] u u u A = grad ( u ) = i+ j + k, x y z где i, j, k – единичные векторы по направлению координатных осей соответственно x, y, z.

С векторным полем градиентов связано скалярное поле диверген ции:

Ax Ay Az div A = + +, (3.1) x y z и векторное поле ротора A A A A A A rot A = z y i + x z j + y x k, (3.2) y z z x x y где Ax, Ay, Az – составляющие вектора A по соответствующим на правлениям координатных осей.

Дивергенция входит в одну из основных формул векторного ана лиза – формулу Остроградского для потока векторного поля через замкнутую поверхность (S):

AdS = A dS = div AdV, n (S ) (S ) (V ) где (S) – замкнутая поверхность, ограничивающая областьV;

An – проекция вектора A на направление внешней нормали к поверхности (S).

Ротор входит в другую основную формулу – формулу Стокса для циркуляции вектора по замкнутой ориентированной линии (L):

A dL = A cos dr = Adr = rot A, ( L) ( L) ( L) – проекция вектора A на касательную к контуру (L), прове где A денную в направлении его обхода;

– угол между вектором A и касательной ;

– единичный радиус-вектор, r = xi + y j + zk.

r Здесь и в дальнейшем речь идет об односвязной области (мас сиве).

Векторное поле называют потенциальным, если оно является гра диентом некоторого скалярного физического поля, т. е. в случае, когда A = grad ( u ). (3.3) При этом функцию u называют потенциалом векторного поля A.

Кроме условия (3.3) к потенциальным относятся поля, у которых rot A = 0 (3.4) либо Ad r = 0, (3.5) ( L) то есть безвихревые (3.4) и бесциркуляционные (3.5) поля.

Если поле удовлетворяет хотя бы одному из условий (3.3)–(3.5), то оно удовлетворяет и остальным условиям, т. е. условия потенциаль ности (3.3), отсутствия вихрей (3.4) и циркуляции (3.5) векторного поля эквивалентны. При этом потенциальная функция u является гармонической:

2u = 0, (3.6) где 2 – оператор Лапласа, 2 2 = 2 + 2 + 2.

x y z Известно, что многие физические явления, между которыми, каза лось бы, нет ничего общего, подчиняются одним и тем же математи ческим зависимостям. Это положение очень четко сформулировал академик А. Н. Крылов [16, с. 28]: «…Казалось бы, что может быть общего между расчетом движения небесных светил под действием притяжения к Солнцу и между качкой корабля на волнении, или ме жду определением так называемых вековых неравенств в движении небесных тел и крутильными колебаниями вала многоцилиндрового двигателя дизеля, работающего на корабельный винт или электроге нератор. Между тем, если написать только формулы и уравнения без слов, то нельзя отличить, какой из этих вопросов решается: уравне ния одни и те же».

Совпадение уравнений не случайность, а свидетельство того фак та, что все эти физические явления отражают лишь различные формы проявления движения материи. Например, стационарные процессы распространения тепла, движение электрического тока в проводящей среде, ламинарное движение идеальной жидкости, явление диффу зии, распространение магнитного потока – все эти явления подчиня ются одному и тому же дифференциальному уравнению в частных производных эллиптического типа, которое при отсутствии внутрен них источников имеет вид u u u B1 ( x, y, z ) + B2 ( x, y, z ) + B3 ( x, y, z ) = 0. (3.7) x x y y z z При постоянных коэффициентах Bi зависимость (3.7) переходит в уравнение Лапласа (3.6), которому подчиняется гармоническая функция, обладающая свойствами потенциала.

В случае изучения конкретного физического явления скалярная функция u и коэффициенты Bi ( x, y, z ) в уравнении (3.7) будут ме нять только физический смысл. Так, при движении электрического тока в проводящей среде функция u будет электрическим потенциа лом, а коэффициенты Bi ( x, y, z ) – удельной проводимостью среды.

В стационарных полях термодинамики это будут соответственно значения температуры и коэффициентов теплопроводности, в задачах фильтрации – пьезометрический напор и коэффициент фильтрации и так далее.

В табл. 3.1 сведены основные зависимости наиболее распростра ненных стационарных физических полей [17], описываемых уравне нием (3.7). Это уравнение можно решать аналитически и эксперимен тально. При экспериментальном решении задач физическая природа явления играет роль только в выборе технических средств для осуще ствления эксперимента, точности и удобства измерений, степени соответствия между идеализированной моделью, принятой при тео ретическом рассмотрении, и натурой.

Метод решения заданного уравнения путем экспериментального исследования какого-либо физического явления, описываемого этим уравнением, носит название метода математического моделирования, или метода аналогий. Кроме математического моделирования, суще ствует также физическое моделирование, при котором сохраняется физическая природа явления. Однако математическое моделирова ние, которое рассматривает целый класс аналогичных явлений, опи сываемых одними и теми же уравнениями, является более общим, чем физическое. При моделировании уравнения эллиптического типа (3.7) наиболее удобным оказался метод электрогидродинамических аналогий (ЭГДА). Этот метод применяется в гидромеханике, элект ротехнике, теплотехнике, теории упругости, электронной оптике.

В 1887 г. Н. Е. Жуковский в «Лекциях по гидромеханике» [18] по свящает целую главу электрогидродинамической аналогии. Однако исключительно важная роль в развитии метода ЭГДА принадлежит академику Н. Н. Павловскому [19]. Им разработана конструкция прибора ЭДГА, его схема и методика решения задач напорной фильт рации.

Таблица 3. Основные зависимости стационарных физических полей Стационарное Стационарное Стационарное Стационарное Стационарное Стационарное электрическое поле поле фильтрации гидродинамическое электростатичес- магнитное поле тока в проводящей жидкости поле идеальной кое поле в поле температур среде жидкости диэлектрике Закон Ома Закон Дарси Основное Закон Закон Основное уравнение индукции магнитной уравнение гидродинамики индукции теплопроводности j = grad = gradh D = gradu q = gradt = гд gradгд B = µgraduм Q = ds I = jds G = ds Q = Dds Ф = Bds Q = qds S S S S S S div j = 0 div = 0 div = 0 div D = 0 div B = 0 div q = rot j = 0, j = E rot = 0 rot = 0 rot D = 0, D = E rot B = 0;

B = µ H rot q = j – плотность D – электроста- B – магнитная q – плотность – скорость – скорость тическое смещение индукция жидкости фильтрации тока теплового потока – электрическая µ – магнитная – коэффициент – удельная – коэффициент гд – плотность проницаемость проницаемость электропроводность теплопроводности фильтрации жидкости u – электростати – электрический t – температура h – пьезометричес- uм – скалярный гд – гидродинами ческий потенциал теплового потока кий напор потенциал магнитный ческий потенциал Q – поток Q – количество I – сила тока Q – фильтрацион- потенциал скорости электрического тепла Ф – магнитный ный расход E – напряженность G – расход массы смещения поток электрического поля E – напряжен- H – напряжен ность электростати- ность магнитного ческого поля поля В теории упругости прибор ЭДГА впервые был применен В. А. Флориным для экспериментального определения напряженного состояния основания [8].

При анализе решений теории упругости, выполненном в предыдущей главе, обращает на себя внимание важная деталь: пер вый инвариант напряженного состояния упругой среды во всех зада чах представляет собой скалярную гармоническую функцию, удов летворяющую условию Лапласа 2 I1 2 I1 2 I + + = 0, x 2 y 2 z поэтому поле такой функции может быть потенциалом векторного поля. Очевидно, что потенциальным векторным полем в упругой среде могут быть только смещения ее точек. Задача состоит в опре делении этих смещений.

Как уже отмечалось во второй главе, деформация любого элемен та упругой среды является следствием двух наблюдаемых явлений:

изменения объема среды, вызванного изменением плотности, и чис того формоизменения, которое не зависит от изменения объема. Ка ждому явлению должны соответствовать свои относительные и абсо лютные деформации. Но поскольку оба вида деформаций всегда соп ровождаются изменением формы, для отличия деформаций формоизменения, протекающих без изменения объема упругой сре ды, используется два равнозначных их названия: чистое формоизме нение либо чистый сдвиг, и в дальнейшем, для краткости, условимся называть все абсолютные и относительные деформации от изменения объема среды объемными, а все остальные деформации, не связанные с изменением объема, – сдвиговыми. Термины «чистый сдвиг» и «чи стое формоизменение» будут употребляться в отдельных случаях, требующих более четкого разграничения деформаций по их проис хождению.

Логично предположить, что соответствующие двум явлениям деформации вызваны одним и тем же напряженным состоянием упругой среды, но различными формами его воздействия на среду, поэтому они должны подчиняться различным физическим закономер ностям, которые не могут быть описаны одной объединенной зави симостью. В связи с этим упомянутые деформации будем определять раздельно, т. е. находить два полные тензоры деформаций с соответс твующими им перемещениями [20–22]: тензор объемных относи тельных деформаций со смещениями точек среды и тензор сдвиговых относительных деформаций и смещений.

3.2. Зависимости объемного деформирования Начнем с рассмотрения векторного поля смещений точек упругой среды от объемного деформирования [20;

22]. Для этого выделим в упругом массиве элемент объема V, ограниченный замкнутой по верхностью S (рис. 3.1), и запишем изменение его объема в результа те деформирования:

dV, V = (3.8) (V ) где – объемная относительная деформация.

Рис. 3.1.Схема к определению изменения объема элемента упругой среды при деформировании Изменение объема этого элемента (правая часть уравнения (3.8)) может быть определено как поверхностный интеграл произведения вектора объемного смещения любой точки выделенного объема на внешнюю нормаль к ней:

dV = F ndS, (3.9) (V ) (S ) где F – вектор смещения точек поверхности (S) выделенного эле мента (V) в результате объемного деформирования среды;

n – единичный вектор, совпадающий с внешней нормалью к поверхности S.

Выполнив в правой части переход от поверхностного интеграла к интегралу по всему выделенному объему на основании теоремы Остроградского, имеем:

U 0 V 0 W 0 F ndS = dV = div F dV.

+ + (3.10) (V ) x y z (S ) (V ) Теперь (3.9) запишем в виде U 0 V 0 W dV = V x + y + z dV = V ( x + y + z )dV.

0 0 (3.11) (V ) () () После приравнивания подынтегральных функций в (3.11) получим U 0 V 0 W = + + = 0 + 0 + 0. (3.12) x y z x y z В формулах (3.10)–(3.12):

U 0, V 0, W 0 – проекции вектора смещения F в упругой среде на координатные оси, соответственно x, y, z или компоненты объемного смещения;

0 + 0 + 0 – относительные линейные деформации в упругой сре x y z де от изменения ее объема.

Выражение (3.12) является условием сплошности упругой среды при изменении ее объема.

В соответствии с существующей линейной физической зависимо стью объемной относительной деформации от среднего нормального напряжения в точке (1.7), вытекающей из обобщенного физического закона и называемой законом упругого изменения объема [1], имеем:

3 (1 2 ) ср = ср = (3.13), E E где ( x + y + z ) = 1 I1.

ср = (3.14) 3 Величина E, 3 (1 2 ) как известно, в теории упругости называется модулем объемной от носительной деформации и обозначается E0.

В дальнейшем величину среднего напряжения будем называть да влением в точке и обозначать 1 ( 1 + 2 + 3 ) = I1, = ср = (3.15) 3 а модуль объемной деформации заменим выражением E0 =, K в котором K 0 – коэффициент объемной относительной деформации, м2/Н.

В результате закон изменения объема запишется в виде = K 0. (3.16) Такая форма записи является более предпочтительной при описа нии различных физических явлений. Она позволяет сразу определить физический смысл коэффициента K 0, который представляет в дан ном случае объемную относительную деформацию упругой среды от единичного давления и имеет размерность, обратную напряжению.

Математическая запись (3.16) может быть сформулирована так:

объемная относительная деформация в любой точке упругого масси ва пропорциональна давлению в этой точке.

Переход от относительной объемной деформации к соответст вующим ей линейным относительным деформациям выполняется по правилу: объемная относительная деформация численно равна ли нейной относительной деформации, ориентированной параллельно направлению действия внешней силы:

= i0, (3.17) а остальные две линейные относительные деформации равны нулю, то есть 0j = 0 = 0. (3.18) к Компонент перемещения Fi 0 также будет ориентирован парал лельно линии действия внешней силы. Он определяется интегриро ванием относительной деформации i0 :

Fi 0 = i0 di, (3.19) а остальные два компонента перемещений при этом будут отсутст вовать:

Fj0 = Fk0 = 0. (3.20) Угловые деформации определяются исходя из известных уже пе ремещений Fi 0 по зависимостям (1.9) и могут быть представлены в виде Fi = ;

ij y 0jk = 0;

(3.21) Fi.

ki = k Углы жесткого поворота диагоналей элементарного «куба» опре деляются из зависимостей (1.10) и имеют следующий вид:

2 = 0;

i Fi 20j = ;

(3.22) k Fi 2k =.

j Таким образом, определены перемещения и полный тензор отно сительных деформаций от объемного деформирования, которые удо влетворяют условиям совместности (1.8). При этом, хотя величина объемной относительной деформации и соответствует закону упруго го изменения объема среды (3.16), принятому в теории упругости, однако полный тензор деформаций не является шаровым.

3.3. Зависимости чистого сдвига Рассмотрим векторное поле чистосдвиговых деформаций [21;

22].

С этой целью выделим элемент объема V в упруго напряженном мас c сиве вместе с векторным полем сдвиговых смещений F и составим c поверхностный интеграл произведения векторов F на внешнюю нормаль к поверхности S выделенного элемента, который представ ляет приращение его объема (рис. 3.2):

) ( U c V c W c c F n dS = V = + + dV, (3.23) x y z (V ) (S ) или c V = div F dV.

(V ) Поскольку относительные и абсолютные деформации от измене ния объема мы свели в одну группу и уже определили, то чистый сдвиг упругой среды должен протекать без изменения его объема ( V = 0 ), поэтому U c V c W c c + + = div F = 0, (3.24) x y z или c div F = c + cy + c = 0. (3.25) x z В формулах (3.23)–(3.25):

F c, U c, V c, W c – величина сдвигового смещения любой точки сре ды и ее проекции на координатные оси соответственно x, y, z;

c, cy, c – относительные линейные деформации чистого сдвига x z в направлении соответствующих координат.

Рис. 3.2. Схема к доказательству потенциальности вектора сдвиговых смещений от чистого формоизменения при деформировании упругой среды Условие (3.24)–(3.25) может быть выполнено лишь в том случае, когда вектор сдвиговых смещений будет иметь потенциал, т. е.

F = K c grad ( f ), c (3.26) c где f – потенциал векторного поля F.

Очевидно, что потенциалом векторного поля сдвиговых смещений является давление в точке (3.15), представляющее гармоническую функцию, поэтому сдвиговые смещения в упругом массиве будут оп ределяться зависимостью F = K c grad ( ), c (3.27) а их проекции на координатные оси соответственно x, y, z записыва ются в виде d U c = K c ;

(3.28) dx d V c = K c ;

(3.29) dy d W c = K c. (3.30) dz В формулах (3.26)–(3.30): K c – коэффициент сдвигового смеще ния, деформационная характеристика упругой среды, ее физический смысл: смещение точки упругого массива от единичного градиента давления, м Н. Определение этого коэффициента не представляет никаких проблем.

Относительные деформации от чистого сдвига можно найти по за висимостям (1.8), (1.9) после подстановки в них компонентов смеще ний (3.28)–(3.30):

= K c c ;

(3.31) x x = K c c ;

(3.32) y y = K c c ;

(3.33) z z = 2 K c c ;

(3.34) xy xy = 2 K c c ;

(3.35) yz yz = 2 K c c. (3.36) zx zx Таким образом, стационарное скалярное физическое поле давле ний в упругой среде является потенциалом векторного поля смеще c ний от чистого сдвига F (3.27). Скалярное же поле дивергенции век c тора F представляет сумму линейных относительных деформаций (3.1), которая при чистом сдвиге равна нулю:

c div F = c + cy + c = 0.

x z c Поэтому векторное поле ротора F (3.2), представляющее жесткие повороты элементов среды, будет также отсутствовать:

2 c 2 = K +K = 0;

c c x yz zy 2 c 2 = K +K = 0;

c c y zx xz 2 c 2 = K +K = 0.

c c z xy yz Условие (3.27) представляет физическую зависимость вектора сдвиговых смещений от напряженного состояния в упругой среде.

В табл. 3.2 сведены основные зависимости чистого формоизменения упругой среды в физическом поле давлений. Эту таблицу можно счи тать продолжением табл. 3.1, в которой представлены основные зави симости различных стационарных физических полей.

Таблица 3. Основные зависимости стационарного физического поля давлений в упругой среде Величина (условие) Формула F = K c grad ( ) c Основное уравнение смещений упругой среды от чистого формоизменения Приращение объема среды при деформировании V = F nds (S ) Условие отсутствия изменения объема элемента c div F = при чистом формоизменении Условие отсутствия жестких поворотов элемента c rot F = при чистом формоизменении Давление в точке ( x + y + z ) = Примечания:

c F – вектор смещения точки среды от чистого формоизменения;

K с – коэффициент чистого формоизменения;

F – вектор смещения точки от изменения объема среды;

n – единичный вектор, нормальный к поверхности выделенного объема среды.

3.4. Оценка возможности независимого существования двух видов деформаций Итак, согласно вышеизложенному, от стационарного поля давле ний линейно зависит поле объемных относительных деформаций уп ругой среды = K 0, которое создает векторное поле соответствую 0 щих смещений F. Скалярное поле дивергенции векторного поля F отлично от нуля, так как оно представляет сумму линейных относи тельных деформаций от изменения объема (3.12), поэтому здесь не могут проявиться свойства потенциала у физического поля дав лений:

div F = 0 + 0 + 0 = 0.

x y z Одновременно это же физическое поле давлений является потен циалом сдвиговых смещений (3.27):

c F = K с grad().

Как видим, в двух видах рассмотренных деформаций проявляются два способа влияния скалярного поля давлений на формирование де формаций в упругой среде:

от величины давления линейно зависит величина объемной отно сительной деформации любого элемента среды (3.16);

разность давлений в различных точках среды создает его градиен ты, от которых линейно зависит величина смещений чистого сдвига.

Таким образом, одно и то же скалярное физическое поле давлений проявляет себя и как обычное, действуя на среду в каждой ее точке локально, от чего в ней возникают объемные и линейные относи тельные деформации, и как потенциальное, действуя на среду интег рально, от чего в ней возникают смещения чистого сдвига.

Уместно здесь отметить, что тезис о возможной потенциальности перемещений в упругой среде не является новым, он изложен в учебниках по теории упругости. При этом все связывается с углами поворота диагоналей сторон элементарного куба (1.10), имеющими различные названия: жесткие повороты [1], компоненты вращения [3], элементарное вращение [2]. Суть этого тезиса в основном сводит ся к следующему [3].

Если в упругом теле отсутствуют углы поворотов диагоналей сто рон элемента относительно осей координат, т. е. всюду в нем выпол няются соотношения 2x = 0;

2 y = 0;

2z = 0, то рассматриваемая деформация будет потенциальной, т. е. компоненты упругих переме щений U, V, W будут частными производными одной функции коор динат Ф(x, y, z):

U= ;

U= ;

U=.

x y z Однако в упругом сжимаемом теле чистая деформация протекает одновременно с объемной и для ее выделения из общей деформации необходимо было внести коррективы в существующие физические зависимости, поэтому серьезного развития упомянутого тезиса не последовало.

Таким образом, разделив полную деформацию на две независи мые составляющие – объемную и чистого формоизменения (или чис того сдвига) и приняв линейные зависимости объемной относитель ной деформации от величины давления в точке, а сдвигового смеще ния – от градиента этого давления, задача по определению деформаций решается без нахождения компонентов напряжений.

Напряженное состояние полностью характеризует гармоническая, потенциальная функция давления, которая равна одной трети первого инварианта напряженного состояния или среднему нормальному нап ряжению в точке. Деформации каждого вида определяются раздель но, а полные деформации представляют алгебраическую сумму этих двух видов деформаций.

Схема решения конкретной задачи по определению напряженно деформированного состояния упругой среды следующая:

1. По заданным граничным условиям находим гармоническую функцию давления. Граничные условия для нее могут быть заданы одним из трех способов: значениями самой функции (задача Дирих ле), значениями ее производных (задача Неймана) и значениями функции на одной части границ и значениями ее производных на другой части границ (смешанная задача Дирихле–Неймана).

2. Относительная объемная деформация и соответствующие ей компоненты линейных деформаций 0, 0, 0 определяются из зави x y z симостей (3.16)–(3.24).

3. Компоненты смещений точек среды от объемных деформаций U, V 0,W 0 определяются из зависимости (3.19).

4. Компоненты угловых деформаций от изменения объема xy, 0, 0 находим с использованием зависимостей (1.9).

yz zx 5. Углы поворотов диагоналей сторон элементарного куба от объ емного деформирования x, y, z определяются по (1.10).

0 0 6. Компоненты смещений точек среды от чистого сдвига U, V c, W c находятся из зависимостей (3.28)–(3.30).

c 7. По зависимостям (3.14), (3.15) определяется полный тензор от носительных деформаций от чистого сдвига 0, 0, 0, 0, 0, 0.

x y z xy yz zx 8. Полные компоненты абсолютных и относительных деформаций определяются путем алгебраического суммирования соответствую щих компонентов от изменения объема и чистого сдвига:

перемещения U = U 0 +U c;

V = V 0 +V c;

W = W 0 +W c, линейные деформации x = 0 + c ;

x x y = 0 + cy ;

y z = 0 + c, z z угловые деформации xy = 0 + c ;

xy xy c yz = yz + yz ;

zx = 0 + c.

zx zx Поскольку объемные и сдвиговые деформации независимы, то по рядок их определения можно менять: после п. 2 выполнять пункты 6, 7, а затем пункты 2–5, 8.

Как видим, определение компонентов напряжений не является обязательным, так как деформации можно найти по функции давле ния, которая полностью характеризует напряженное состояние в уп ругом массиве. Однако для ряда задач определение компонентов напряжений может быть выполнено по зависимостям, предложенным В. А. Флориным [8], суть которых состоит в следующем.

При любом законе распределения внешней, нормальной к плоской поверхности упругого массива нагрузки компоненты напряжений можно выразить зависимостями:

2 F 2 F x = z 2 dz + F + (1 2 ) 2 dz ;

x y F F 2 y = z 2 dz + F + (1 2 ) 2 dz 2 ;

y x dF z = z + F;

dz (3.37) 2 F 2 F xy = z dz + (1 2 ) dz ;

xy xy dF xz = z ;

dx dF yz = z, dy где x + y + z F=.

2(1 + ) Учитывая, что напряженное состояние в упругом массиве не зави сит от коэффициента Пуассона, система уравнений (3.37) принимает вид x = z 2 dz + ;

xy = z dz;

xy x y = z 2 dz + ;

xz = z ;

(3.38) y x yz = z.

z = z + ;

y z Для плоского деформирования упругого массива эта система трансформируется в d x = + z ;

dz d z = z (3.39) ;

dz d xz = z.

dx В (3.38) и (3.39) – функция давления (3.15).

Выводы по главе 1. Предложено разделить деформации в упругой среде на два вида по их происхождению: объемные и чистого сдвига (чистого формо изменения), определять их раздельно, а потом суммировать.

2. Для каждого вида деформаций принята своя физическая зави симость от поля давлений, представляющего собой функцию средне го нормального напряжения в упругой среде:

объемная относительная деформация линейно, через коэффициент объемной деформации, зависит от давления = K 0 ;

вектор смещения любой точки от чистого формоизменения ли нейно, через коэффициент сдвигового смещения, зависит от градиен та давления c F = K c grad(), то есть является потенциальным.

3. Коэффициент объемной относительной деформации K 0 пред ставляет обратную зависимость от известного модуля объемной де формации.

4. Коэффициент сдвигового смещения K c, м, – новая физичес Н кая деформационная константа упругой среды, представляющая смещение любой ее точки от единичного градиента давления, опре деляется экспериментально.

5. Функция давления определяется аналитически или экспери ментально по заданным граничным условиям, в изотропной среде она не зависит ни от какой ее физической характеристики, как и любая потенциальная функция в каком-либо физическом поле.

6. Известные величины модуля линейной деформации и коэф фициента Пуассона при расчетах деформаций не нужны, но они мо гут быть использованы для определения коэффициента объемной от носительной деформации среды.

7. Зависимость угловых деформаций от касательных напряжений не прослеживается и не используется, поэтому надобность в модуле сдвига (константа Ламе, зависящая от модуля линейной деформации и коэффициента Пуассона) отпадает.

8. Очевидным в представленных зависимостях является то, что один из двух постулатов, на которых построены соотношения Коши, о том, что главные оси деформаций совпадают с главными осями на пряжений, в них не выполняется. Однако второй постулат о линейной зависимости, но не между отдельными компонентами напряжений и деформаций, а между давлением и объемной относительной дефор мацией, с одной стороны, и между градиентами давления и сдвиго выми смещениями, с другой стороны, сохранен в виде двух физичес ких зависимостей соответственно (3.16) и (3.17). И в этой связи воз никает следующее замечание.

Если правомерным является название физических зависимостей (1.12) или (1.13), предложенных Коши, обобщенным законом Гука, то так же правомерным может быть сохранение этого названия за пред ложенными линейными физическими зависимостями (3.16) и (3.27), первая из которых является локальной, а вторая интегральной от од ной обобщенной характеристики напряженного состояния упругой среды – функции давления.

ГЛАВА Задачи, решаемые с помощью предложенных физических зависимостей В данной главе приводятся результаты решения ряда задач по оп ределению напряженно-деформированного состояния однородных изотропных упругих массивов, полученные на основании примене ния предложенных физических зависимостей.

4.1. Напряженно-деформированное состояние упругого изотропного полупространства при различных вариантах его нагружения 4.1.1. Сосредоточенная сила, приложенная по нормали к поверхности полупространства В некоторой точке упругого полупространства по нормали к его поверхности приложена сосредоточенная сила Р (рис. 4.1). Гранич ными условиями для потенциальной функции давления будут [20;

22]:

z = 0, = 0;

(4.1) R, 0, (4.2) Функция должна быть четной относительно координат x и y. При этом очевидно, что в точке приложения внешней силы ( x = y = z или R 0 ) функция давления неограниченно возрастает ( ), это особенность всех задач с сосредоточенной силой.

Условие (4.1) означает, что горизонтальные смещения поверхнос ти от чистого сдвига должны отсутствовать, т. е. при z = = = 0, (4.3) x y а вектор сдвигового смещения будет направлен по нормали к поверх ности.

Функцией давления, отвечающей этим условиям, является треть функции радиального напряжения (2.39), на котором мы подробно останавливались во второй главе, где эта функция приведена с учетом условий общего равновесия 1 Pz = R =. (4.4) 2 R Рис. 4.1. Схема загружения полупространства сосредоточенной силой, нормальной к его поверхности Полный тензор напряжений для данного случая нагрузки приве ден в (2.40)–(2.45).

По известной функции давления определяются все перемещения и относительные деформации. Сначала находятся перемещения и от носительные деформации от чистого сдвига согласно (3.28)–(3.30).

Компонент перемещения U c P z = K c 3P xz U c = K c, 2 x x 2 + y 2 + z 2 ( ) ( ) 2 x 2 + y 2 + z 2 5 3P xz Uc = Kc (4.5) ;

2 R компонент перемещения V c P z = K c 3P yz V = K c c, 2 y x 2 + y 2 + z 2 3 ( ) ( ) 2 x 2 + y 2 + z 2 5 3P yz V c = K c (4.6) ;

2 R компонент перемещения W c = K c P ( 2z x y ), 2 2 P z W = Kc c 2 z x 2 + y 2 + z 2 3 ( ) ( ) 2 x 2 + y 2 + z 2 5 P 3z 2 R (4.7) W =K c c.

2 R Компоненты линейных относительных деформаций от чистого сдвига в соответствии с зависимостями (3.31)–(3.33) будут:

компонент c :

x c 3P ( z y 2 + z 2 4x2 ) U c c 3P xz =K = =K c, 2 ( ) ( ) x x 2 x x + y 2 + z 2 2 2 x 2 + y 2 + z 2 7 3P z ( R 5 x ) 2 =K c c (4.8) ;

x 2 R компонент cy = K c 3P z ( x + z 4 y ), 2 2 V c c 3P yz = =K c 2 y x 2 + y 2 + z 2 5 ( ) ( ) y y 2 x 2 + y 2 + z 2 7 3P z ( R 5 y ) 2 cy = K c (4.9) ;

2 R компонент c z c 3P ( z 9 x 2 + 9 y 2 10 z 2 ) W c 3P 2 z x y 2 =K = =K c, 2 ( ) (x + y + z ) z z 2 z x + y 2 + z 2 2 2 2 2 2 P z ( 9 R 19 z ) 2 =K c c (4.10).

z 2 R Компоненты угловых относительных деформаций от чистого сдвига в соответствии с зависимостями (3.34)–(3.36) будут:

компонент cxy 2 U c V c c cP z = = + = 2 K = K c 2 ( ) xy y x xy xy x + y 2 + z 2 3P 2 xz, = K c 2 ( ) 2 y x + y 2 + z 2 или 15P xyz c = K c ;

(4.11) xy R компонент cyz V c W c c c 3P yz = = + = 2 K = K c z x 2 + y 2 + z 2 ( ) yz z y yz 3P y ( x + y 4 z ) 2 2 = Kc, ( ) x2 + y 2 + z 2 7 или 3P y ( R 5 z ) 2 =Kc c (4.12) ;

yz R компонент c zx W c U c 2 3P xz, c = + = 2 K c = K c z x 2 + y 2 + z 2 ( ) zx x z yz 3P x ( x + y 4 z ) 2 2 =K c c, ( ) zx x2 + y2 + z 2 7 или 3P x ( R 5 z ) 2 =Kc c (4.13).

zx R Очевидно, что углы поворотов диагоналей элементарного куба (жесткие повороты) от чистого сдвига будут отсутствовать:

c = cy = c = 0.

x z Таким образом, найдены абсолютные и относительные деформа ции от чистого сдвига.

Переходим теперь к определению объемных деформаций.

Объемная относительная деформация в соответствии с (3.26) будет Pz = K 0 = K 0. (4.14) 2 R Линейная относительная деформация от изменения объема в направлении, параллельном действию приложенной силы, численно равна объемной относительной деформации (3.17)–(3.20), т. е.

Pz 0 = = K 0, (4.15) z 2 R а остальные линейные относительные деформации отсутствуют 0 = 0 = 0.

x y По известной линейной относительной деформации 0 определя z ются вертикальные перемещения точек среды от изменения объема z z Pzdz W = dz = K 0.

2 ( x + y + z ) z 2 2 2 Согласно [23] этот интеграл равен:

z P, W =K 0 ( ) 2 x 2 + y 2 + z 2 1 а после подстановки пределов получим K 0P 1 P W= = K. (4.16) ( ) 2 x 2 + y 2 + z 2 2 2R Компоненты угловых деформаций от изменения объема согласно (1.9) будут:

U 0 V = + = 0 + 0;

(4.17) xy y x V 0 W 0 P 1, 0 = + = 0+ K 2 y x 2 + y 2 + z 2 ( ) yz z y P y 0 = K 0, ( ) yz 2 x 2 + y 2 + z 2 3 или Py 0 = K 0 ;

(4.18) yz 2 R W 0 U 0 P 1 +0= 0 = + = K 2 x x 2 + y 2 + z 2 ( ) zx x z P x = K 0, ( ) 2 x 2 + y 2 + z 2 3 или Px 0 = K 0. (4.19) zx 2 R Углы поворотов диагоналей сторон элементарного куба от объем ных деформаций будут отличными от нуля, они определяются из за висимостей (1.10):

V W P 0 1 P y 0 = = 0 K0 = K0, x z y 2 y 2 2 ( x + y + z ) (x + y + z ) 2 2 22 2 или Py 0 = K 0 ;

(4.20) х 2 R W 0 U 0 0P 1 0= = =K 2 x x + y 2 + z 2 ( ) y x z P x = K0, ( ) 2 x 2 + y 2 + z 2 3 или Px 0 = K 0. (4.21) у 2 R Жесткий поворот элемента относительно оси z будет отсутство вать:

U 0 V = = 0 0.

z y x Полные компоненты перемещений и деформаций в данной задаче представляют алгебраическую сумму соответствующих компонентов от чистого сдвига и объемного деформирования.

4.1.2. Сосредоточенная сила, приложенная по касательной к поверхности полупространства Соответствующая схема приложения силы показана на рис. 4.2.

Граничными условиями для функции давления в этом случае яв ляются:

1) z = 0, = 0, (т. е. отсутствие вертикальных перемещений по z верхности от чистого сдвига);

2) R, 0;

3) функция должна быть четной относительно координаты y и нечетной относительно координаты x;

4) функция должна обеспечить радиальность напряженного сос тояния в полупространстве.

Функцией давления, отвечающей этим условиям, является гармо ническая функция 1 x 1x = = A 3.

A ( ) 3 x2 + y 2 + z 2 3 2 3 R Постоянный коэффициент А определяется из условия общего рав новесия. С этой целью параллельно координатной плоскости zoy на расстояниях ± x от нее проведем две плоскости (рис. 4.3).

Рис. 4.2. Схема загружения полупространства касательной к поверхности сосредоточенной силой Очевидно, что в левой плоскости на расстоянии x от координат ной плоскости zoy среда испытывает нормальные растягивающие на пряжения. При этом независимо от расстояний ± x слева и справа суммарное реактивное давление в каждой плоскости должно быть равным половине приложенной силы Р, так как левая и правая части полупространства вместе уравновешивают внешнюю силу. Посколь ку распределение напряжений является радиальным, то компонент нормального напряжения x описывается зависимостью x2 x x xx x = R = R 2 = A 3 2, RR R RR x x = A 5. (4.22) R Рис. 4.3. Схема интегрирования компонента x для определения коэффициента А в (4.20) Составим интеграл для определения суммарного реактивного дав ления по одной из плоскостей:

y = z = y = z = dydz x dydz = Ax = (x ) +y +z 2 2 2 y = z =0 y = z = z = y =+ z 2 1 z dy = = Ax3 3 y = ( x 2 + y 2 ) 2 ( x + y + z ) ( ) 3 x 2 + y 2 + z 2 2 z = 2 2 2 y =+ y =+ 2 Ax 2 dy y 1 y + 3 arctg = = Ax = 3 2 x2 ( x2 + y 2 ) 2 z 3 y = ( x 2 + y 2 )2 x y = A 2 Ax3 = =.

3 2x Эта величина должна быть равной половине внешней силы P A=, откуда 3P A=, что совпадает с (2.38) и подтверждает взаимосвязь решений задач о напряженно-деформированном состоянии в полупространстве.

Компоненты напряжений в данной задаче, учитывая радиальное распределение полного напряжения, определяются по известной функции первого инварианта напряженного состояния 3P x I1 = R = 3 = 2 R из зависимостей (2.29)–(2.37), в результате чего получим:

3P x x = ;

(4.23) 2 R 3P xy y = ;

(4.24) 2 R 3P xz z = ;

(4.25) 2 R 3P x 2 y xy = ;

(4.26) 2 R 3P xyz yz = ;

(4.27) 2 R 3P x 2 z zx =. (4.28) 2 R Компоненты перемещений от чистого сдвига находим по зависи мостям (3.28)–(3.30):

P = K c P y + z 2x, 2 2 x U = K c c 2 x x 2 + y 2 + z 2 3 ( ) ( ) 2 x 2 + y 2 + z 2 5 или P 3x 2 R U =K c c ;

(4.29) 2 R P x = K c 3P xy V = K c c, 2 y x 2 + y 2 + z 2 ( ) ( ) 2 x 2 + y 2 + z 2 5 или 3P xy V c = K c ;

(4.30) 2 R P x = Kc P xz W c = K c, 2 z x 2 + y 2 + z 2 ( ) ( ) 2 x 2 + y 2 + z 2 5 или 3P xz Wc = Kc. (4.31) 2 R Компоненты линейных относительных деформаций от объемного деформирования определяются с использованием зависимостей (3.17)–(3.20):

Px 0 = K 0 ;

(4.32) x 2 R 0 = 0 = 0.

y z Перемещения точек полупространства от объемного деформиро вания в направлении оси х определяются интегрированием:

P xdx 0P U = dx = K 2 2 2 3 2 = K 2 2 2 2 12, 0 0 (x + y + z ) x ( ) x 2 x x + y + z K P U0 = K0. (4.33) 2 R Определение угловых относительных деформаций от сдвигового и объемного деформирования по известным уже перемещениям не вызывает затруднений, поэтому они здесь не приведены.

Компоненты углов поворота элементов от сдвигового деформиро вания будут отсутствовать, как и во всех задачах, а соответствующие компоненты от объемного деформирования по известному вектору перемещений U 0 определяются из зависимостей (1.10) аналогично тому, как это было выполнено для сосредоточенной силы Р, направ ленной по нормали к поверхности полупространства. Поскольку эта операция не вызывает затруднений, то ее результаты здесь не приве дены.

4.1.3. Сосредоточенная сила, приложенная наклонно к поверхности полупространства В том случае, когда сила действует наклонно к поверхности полу пространства, составляя углы наклона, и к координатным осям соответственно x, y, z (рис. 4.4), порядок решения задачи будет сле дующий.

1. Действующая сила раскладывается на три составляющие, на правленные по координатным осям:

касательная составляющая по направлению оси х Px = P cos ;

касательная составляющая по направлению оси у Py = P cos ;

нормальная составляющая по направлению оси z Pz = P cos.

2. Определяются все компоненты напряженно-деформированного состояния в отдельности от каждой силы.

3. Полные компоненты напряженно-деформированного состояния от действующей силы Р представляются алгебраической суммой со ответствующих компонентов от сил Px, Py и Pz.

В целях более наглядного представления решения данной задачи запишем сначала решение для случая, когда внешняя сила приложена по касательной к поверхности и направлена вдоль оси у.

Рис. 4.4. Схема загружения поверхности полупространства наклонной сосредоточенной силой Функция давления в этом случае будет P y = ;

( ) 2 x 2 + y 2 + z 2 3 компоненты напряжений 3P x 2 y 3P xy x = ;

xy = ;

2 R 5 2 R 3P y 3 3P y 2 z y = ;

yz = ;

2 R 5 2 R 3P yz 2 3P xyz z = ;

zx = ;

2 R 5 2 R компоненты перемещений от чистого сдвига 3P xy Uc = Kc ;

2 R P (3 y R ) 2 V =K c c ;

2 R 3P yz Wc = Kc ;

2 R перемещения от объемного деформирования P V 0 = K0 ;

2 R U 0 = W 0 = 0.

Теперь запишем полное решение задачи для случая, когда внешняя сила действует наклонно к поверхности полупространства, которое представляет сумму решений от действия трех составляю щих силы Р, приложенных в одной точке Px, Py, Pz :


функция давления P ( x cos + y cos + cos ) ;

= (4.34) 2R компоненты напряжений:

3P x ( xcos + ycos + zcos ) ;

x = (4.35) 2 R 3P y ( xcos + ycos + zcos ) ;

y = (4.36) 2 R 3P z ( xcos + ycos + zcos ) ;

z = (4.37) 2 R 3P xy ( xсos + yсos + zсos ) ;

xy = (4.38) 2 R 3P yz ( xсos + yсos + zсos ) ;

yz = (4.39) 2 R 3P xz ( xсos + yсos + zсos ) ;

zx = (4.40) 2 R компоненты сдвиговых смещений:

P 5 ( 3x R 2 ) сos + 3xyсos + 3 xzсos ;

Uc = Kc (4.41) 2R P 3xyсos + ( 3 y 2 R 2 ) сos + 3 yzсos ;

V c = Kc (4.42) 5 2R P 3xzсos + 3 yzсos + ( 3z 2 R 2 ) cos ;

W c = Kc (4.43) 5 2R компоненты перемещений от объемного деформирования Pсos U0 = K0 ;

(4.44) 2R Pcos V 0 = K0 ;

(4.45) 2R Pсos W0 = K0. (4.46) 2R Линейные и угловые относительные деформации несложно полу чить из зависимостей соответственно (3.31)–(3.33) и (3.34)–(3.36), ис пользуя полученные сдвиговые смещения (4.41)–(4.43) и объемные смещения (4.44)–(4.46). Полученное решение (4.34)–(4.46) можно не сколько упростить, если есть возможность выбора ориентации коор динатной системы. Выбор следует осуществить таким образом, что бы ее начало совпадало с точкой приложения внешней силы, а сам вектор внешней силы находился в одной из вертикальных координат ных плоскостей. Тогда одна из составляющих внешней силы ( Px либо Py ) превращается в нуль. Например, если действующая сила лежит в плоскости хоz, то в формулах (4.34)–(4.46) исчезают слагаемые, со держащие множитель сos, и наоборот, если действующая сила на ходится в плоскости хоу, то исчезают слагаемые, содержащие cos.

В том же случае, когда внешняя сила приложена по нормали к плос кости, ограничивающей полупространство, мы получим приведенное выше решение (4.4)–(4.21) как частный случай решения (4.34)–(4.46).

4.1.4. Нормальная нагрузка, равномерно распределенная вдоль линий конечной и бесконечной длины По нормали к поверхности полупространства вдоль некоторой ли нии равномерно распределена погонная нагрузка интенсивностью Р, Н/м [24].

Напряженное состояние в этой задаче можно получить путем ин тегрирования решения для сосредоточенной силы (2.39)–(2.45) по одной из координат на поверхности полупространства в соответствии с рис. 4.5.

Функция давления для этого случая определяется интегрировани ем (2.39):

d ( y ) ( y ) b b Pz 3P ;

= = 2 ( x 2 + z 2 ) 2 b 2 3 ( x + y ) + z x + ( y ) + z 2 2 b 2 2 ( y + b) ( y b) P z =. (4.47) 2 ( x 2 + y 2 ) 2 x + ( y + b) x + ( y b) + z 2 2 2 Компоненты напряжений определяются интегрированием соот ветствующих компонентов решения (2.40)–(2.45).

Определение компонента x :

d ( y ) b 3Px 2 z x = = 2 b 2 x + ( y ) + z 2 b ( y ) ( y ) 3Px z ;

= 2 ( x 2 + z 2 ) 2 3 x2 + ( y ) + z 2 2 b x + ( y ) + z 2 ( y + b) ( y + b) 3P xz x = 2 ( x 2 + z 2 ) 2 1 x + ( y + b) + z 3 x + ( y + b) + z 2 2 2 2 2 ( y b) ( y b) +. (4.48) x 2 + ( y b )2 + z 2 3 x + ( y b) + z 2 2 Рис. 4.5. Схема загружения полупространства равномерно распределенной вдоль линии нормальной к поверхности нагрузкой Определение компонента у :

( y ) d ( y ) = b 3P z у = 2 b 2 x + ( y ) + z 2 b ( y ) 3P z ;

= 2 ( x 2 + z 2 ) 2 2 2 b x + ( y ) + z ( y + b) ( y b) 3 3P z y =.(4.49) 2 3 ( x 2 + z 2 )2 x + ( y + b) + z x2 + ( y b ) + z 2 2 2 22 Определение компонента z :

d ( y ) b 3Pz 3 z 3P z = = 2 ( x 2 + z 2 ) 2 x 2 + ( y )2 + z 2 b b ( y ) ( y ) ;

x 2 + ( y )2 + z 2 3 2 2 2 b x + ( y ) + z ( y + b) ( y + b) 3P z z = ( ) 2 1 2 x 2 + z 2 x2 + ( y + b ) + z 2 2 x + ( y + b) + z2 2 ( y b) ( y b) +. (4.50) x + ( y b) + z2 x2 + ( y b ) + z 2 2 Определение компонента xy :

( y ) d ( y ) = 3P xz 1 b b 3P xz ;

xy = 2 b 2 2 3 5 2 2 b x + ( y + ) + z x + ( y ) + z 2 2 P 1 xy = xz. (4.51) 2 2 x + ( y + b) + z x + ( y b) + z 2 2 2 Определение компонента yz :

( y ) d ( y ) = 3P z 2 b b 3P 2 z ;

yz = 2 b 2 2 3 5 x + ( y + ) + z2 x + ( y ) + z 2 b 2 P 2 1 yz = z. (4.52) 2 2 x + ( y + b) + z2 x2 + ( y b ) + z 2 2 Определение компонента zx :

d ( y ) b z2 x 3P 2 3P z x zx = = 2 ( x 2 + z 2 ) 2 ( ) +z b x + y 2 b ( y ) ( y + b) ;

3 x + ( y ) + z 2 2 b x + ( y + b) + z 2 2 ( y + b) ( y + b) 3P zx zx = ( ) 2 1 2 x 2 + z 2 x 2 + ( y + b )2 + z 2 2 x + ( y + b )2 + z 2 ( y b) ( y b) +. (4.53) x2 + ( y b ) + z 2 2 x + ( y b ) + z Для определения перемещений, вызванных сдвиговыми деформа циями, сначала находим частные производные функции давления, а сами перемещения записываем с использованием формул (3.28)– (3.30). В результате будем иметь:

P xz Uc = Kc 2 ( x 2 + z 2 ) ( x + z 2 ) ( y + b) ( y b) + x + ( y + b) + z x + ( y b) + z 2 2 2 2 2 ( y + b) ( y b) + (4.54) x2 + ( y + b ) + z 2 x2 + ( y b ) + z 2 2 2 P 1 V c = K c z ;

(4.55) 2 2 x + ( y + b) + z x + ( y b) + z 2 2 2 ( x2 z 2 ) P W = K c c 2 ( x + z ) ( x 2 + z 2 ) ( y + b) ( y b) x + ( y + b) + z x + ( y b) + z 2 2 2 2 2 ( y + b) ( y b) z2. (4.56) x + ( y + b) + z x + ( y b) + z 2 2 2 2 Определение вертикальных перемещений от изменения плотности среды выполняется интегрированием (4.47) с учетом (3.19):

( y + b) P z 2 ( x + z 2 ) W 0 = K0 2 x + ( y + b) + z 2 z ( y b) z 2 dz. (4.57) ( x + z ) x2 + ( y b ) + z 2 В целях сокращения записей интегрируем выражение:

zdz, (x )( x ) +z +y +z 2 2 2 2 2 в котором выполняем подстановку:

t 2 = x2 + y2 + z 2, откуда z 2 = t 2 x2 y 2 ;

tdt = zdz.

Интегрирование выполняется по новой переменной t:

1 y+t tdt tdt ( x2 + t 2 x2 y 2 ) t = 2 2 = ln.

( y t )t 2 y y t Выполнив обратную замену, имеем:

y + x 2 + y 2 + z 2 ( ) = zdz = ln 2 y y x 2 + y 2 + z 2 12 z ( x2 + y 2 )( x2 + y 2 + z 2 ) ( ) z y + x 2 + y 2 + z 2 ( ). (4.58) = ln 2 y y x 2 + y 2 + z 2 ( ) Окончательно после соответствующей подстановки в (4.57) имеем:

x 2 + ( y + b )2 + z 2 ( y + b) + 0P W =K ln 4 ( y + b ) ( y + b) x 2 + ( y + b )2 + z 2 x 2 + ( y b )2 + z 2 ( y b) +. (4.59) ln y b ( y b) x + ( y b) + z 2 Следует отметить, что предельный переход в формулах (4.47)– (4.53) путем b дает напряженное состояние полупростран ства при его плоском деформировании, когда нормальная нагрузка равномерно распределена на поверхности вдоль бесконечной линии:

P z = ;

(4.60) ( x2 + z 2 ) x2 z 2P x = (4.61) ;

( x 2 + z 2 ) P z y = = ;

( x + z2 ) z 2P z = (4.62) ;

( x 2 + z 2 ) xy = yz = 0;

z2 x 2P zt = (4.63).

( x 2 + z 2 ) Перемещения, вызванные сдвиговыми деформациями, в соответ ствии с (3.28)–(3.30) будут:

P 2 xz U c = K c = ;

(4.64) x ( x 2 + z 2 ) P (x z ) 2 W = K = c c (4.65).

( x 2 + z 2 ) z Перемещения, вызванные изменением плотности среды, направ лены параллельно линии действия внешней нагрузки и определяются интегрированием:

z2 z z P2 0P zdz W = z dz = K ( x2 + z 2 ) dz = K 0 ;

z1 z1 z z P ln ( x + z ) W =K0 0 2 2 z или x2 + z P W =K 0 (4.66) ln ;

2 x 2 + z Поскольку в (4.66) при неограниченном возрастании координаты z вертикальное перемещение W 0 также растет неограниченно, то с ее помощью можно определять только величину сжатия конкретного слоя упругой среды конечной толщины.

Таким образом, представлено полное решение задачи о напряжен но-деформированном состоянии упругого полупространства при его нагружении равномерно распределенной нагрузкой по линии конеч ной и бесконечной длинны.

4.1.5. Нормальная нагрузка, равномерно распределенная на полосе постоянной ширины конечной и бесконечной длины Рассмотрим сначала задачу, когда нагрузка равномерной интен сивности р ( Н м 2 ) распределена по площади прямоугольника (рис. 4.6). Граничными условиями для гармонической функции дав ления будут:

в пределах загруженной площадки z = 0, = p, за пределами загруженной площадки z = 0, = 0 ;

z 0, R, 0.

Функция давления, удовлетворяющая этим условиям, получена в [25] при исследовании мгновенных напоров в водонасыщенном грунте, возникающих в результате его быстрого загружения анало гичной нагрузкой:

z ( x + a ) + ( y + b ) + z 2 2 p + = arctg ( x + a )( y + b ) 1 z ( x + a ) + ( y b ) + z + arctg ( z x a) + ( y + b) + z 2 2 2 2 2 + arctg ( x + a )( y b ) ( x a )( y + b ) ( x a ) 2 + ( y b ) 2 + z 2 z. (4.67) arctg ( x a )( y b ) Рис. 4.6. Схема загружения полупространства равномерной нагрузкой по площади прямоугольника Эту же функцию можно получить путем интегрирования функции давления для сосредоточенной силы:

zd ( x ) d ( y ) ab P 2 a b = = ( x ) + ( y ) + z 2 2 ( x ) zd ( y ) a b pz = = 2 b ( y ) + z ( x ) + ( y ) + z 2 2 a 2 2 ( x )( y ) ab P, = arctg ( x ) 2 + ( y ) 2 + z 2 a b 2 z а после подстановки пределов интегрирования получаем:

( x a )( y b ) P = + arctg 2 z ( x a ) + ( y b ) + z 2 2 ( x + a )( y b ) ( x a )( y + b ) + arctg + +arctg 1 z ( x + a ) + ( y b ) + z 2 z ( x a ) + ( y + b ) + z 2 2 2 2 ( x + a )( y + b ) + arctg. (4.68) z ( x + a ) + ( y + b ) + z 2 2 Функции (4.67) и (4.68) дают одинаковый результат, если в (4.67) арктангенс брать в пределах от 0 до, в функции же (4.68) он берет ся как обычно: при изменении ее в промежутке от до + арктан генс изменяется от до +.

Для определения компонентов напряжений в этой задаче есть два пути.

1. Можно воспользоваться соотношениями В. А. Флорина (3.37) для пространственных задач с плоской поверхностью при действии на них нормальной нагрузки.

2. Можно интегрировать компоненты напряжений, полученные для полупространства при действии сосредоточенной силы, направ ленной по нормали к его поверхности (2.40)–(2.45).

Однако, поскольку в традиционной постановке эта задача была решена [27], то воспользуемся этим решением для определения ком понентов напряжений среды в рассматриваемой задаче, приняв в нем коэффициент бокового расширения = 0,5. В результате получим:


( x + a )( y + b ) z p x = 2 ( x + a ) + z ( x + a ) + ( y + b ) + z 2 2 2 2 ( x a )( y b ) z ( x a ) + z 2 ( x a ) + ( y b ) + z 2 2 2 ( x + a )( y b ) z + ( y b ) + z ( x + a ) + ( y b ) + z 2 2 2 2 ( x a )( y + b ) z + ( y + b ) + z ( x a ) + ( y + b ) + z 2 2 2 2 1 z ( x a ) + ( y b ) + z 2 2 z ( x a ) + ( y + b ) + z 2 2 2 2 arctg + arctg ( x a )( y b ) ( x a )( y + b ) 1 z ( x + a ) + ( y + b ) + z z ( x + a ) + ( y b ) + z 2 2 2 2 2 ;

arctg + arctg ( x + a )( y + b ) ( x + a )( y b ) ( x + a )( y b ) z p y = 2 ( y b ) + z ( x + a ) + ( y b ) + z 2 2 2 2 ( x + a )( y + b ) z ( y + b ) + z ( x + a ) + ( y + b ) + z 2 2 2 2 ( x a )( y b ) z + ( y b ) + z ( x a ) + ( y b ) + z 2 2 2 2 ( x a )( y + b ) z + ( y + b ) + z ( x a ) + ( y + b ) + z 2 2 2 2 1 z ( x a ) + ( y b ) + z + arctg ( z x a) + ( y + b) + z 2 2 2 2 2 arctg ( x a )( y b ) ( x a )( y + b ) 1 z ( x + a ) + ( y + b ) + z z ( x + a ) + ( y b ) + z 2 2 2 2 2 ;

arctg + arctg ( x + a )( y + b ) ( x + a )( y b ) ( x a ) 2 + ( y b ) 2 + 2 z z ( x a )( y b ) p z = 2 ( x a ) 2 + z 2 ( y b ) 2 + z 2 ( x a ) + ( y b ) + z 2 2 ( x a ) 2 + ( y + b ) 2 + 2 z z ( x a )( y + b ) ( x a ) + z 2 ( y + b ) + z 2 2 ( x a ) + ( y + b ) + z 2 2 ( x + a ) 2 + ( y b ) 2 + 2 z z ( x + a )( y b ) + ( x + a ) 2 + z 2 ( y b ) 2 + z 2 ( x + a ) + ( y b ) + z 2 2 ( x + a ) 2 + ( y + b ) 2 + 2 z z ( x + a )( y + b ) + ( x + a ) + z 2 ( y + b ) + z 2 2 ( x + a ) + ( y + b ) + z 2 2 1 z ( x a ) + ( y b ) + z 2 z ( x a ) + ( y + b ) + z 2 2 2 2 arctg + arctg + ( x a )( y b ) ( x a )( y + b ) z ( x + a ) + ( y b ) + z 2 z ( x + a ) + ( y + b ) + z 2 2 2 2 + arctg arctg ;

( x + a )( y b ) ( x + a )( y + b ) p z z xy = 2 1 ( x + a ) + ( y b ) + z ( x a ) + ( y + b ) + z 2 2 2 2 2 2 z z + ;

1 ( x + a ) 2 + ( y b ) 2 + z 2 ( x + a ) 2 + ( y + b ) 2 + z 2 ( x + a) pz yz = 2 ( y b ) + z ( x + a ) + ( y b ) + z 2 2 2 ( x a) ( y b ) + z ( x a ) + ( y b ) + z 2 2 2 ( x + a) + ( y + b ) + z 2 ( x + a ) + ( y + b ) + z 2 2 2 ( x a) + ;

( y + b ) + z ( x a ) + ( y + b ) + z 2 2 2 ( y + b) pz zx = 2 ( x a ) + z ( x a ) + ( y + b ) + z 2 2 2 ( y b) ( x + a ) + z ( x + a ) + ( y b ) + z 2 2 2 ( y + b) + ( x + a ) + z ( x + a ) + ( y + b ) + z 2 2 2 ( y b) +.

( x + a ) + z ( x + a ) + ( y b ) + z 2 2 2 Для определения компонентов перемещений, вызванных чистым сдвигом в упругой среде, находятся частные производные функции давления (4.67). В результате имеем:

( y + b ) z ( y + b ) + z 2 p = x 2 ( x + a) + ( y + b) + z 2 2 ( y b) z ( y b ) + z 2 1 + ( x + a) ( y + b) + z 2 ( x + a ) + ( y + b ) + z 2 2 2 ( x + a ) + ( y b ) + z 2 ( y + b ) z ( y + b ) + z 1 + ( x + a) ( y b) + z 2 ( x + a ) + ( y b ) + z 2 2 2 ( x a ) + ( y + b ) + z 2 ( y b ) z ( y b ) + z 1 + ( x a) ( y + b) + z 2 ( x a ) + ( y + b ) + z 2 2 2 ( x a ) + ( y b ) + z 2 ;

( x a ) ( y b ) + z ( x a ) + ( y b ) + z 2 2 2 2 p ( x + a ) z ( x + a ) + z = y 2 ( x + a) + ( y + b) + z 2 2 ( x + a ) z ( x + a ) + z 1 + ( x + a) ( y + b) + z 2 ( x + a ) + ( y + b ) + z 2 2 2 ( x + a ) + ( y b ) + z 2 2 ( x a ) z ( x a ) + z + ( x + a) ( y b) + z 2 ( x + a ) + ( y b ) + z 2 2 2 ( x a ) + ( y + b ) + z 2 2 + ( x a) ( y + b ) + z 2 ( x a ) + ( y + b ) + z 2 2 2 + ( x a ) ( y b ) + z ( x a ) + ( y b ) + z 2 2 2 ( x a ) z ( x a ) + z ;

( x a ) 2 + ( y b ) 2 + z ( x + a )( y + b ) ( x + a ) + ( y + b ) + 2 z 2 p = z 2 ( x + a ) + ( y + b ) + z 2 2 + ( x + a ) ( y + b ) + z ( x + a ) + ( y + b ) + z 2 2 2 ( x + a )( y b ) ( x + a ) + ( y b ) + 2z 2 + ( x + a ) 2 + ( y b ) 2 + z 2 + ( x + a ) ( y b ) + z ( x + a ) + ( y b ) + z 2 2 2 ( x a )( y + b ) ( x a ) + ( y + b ) + 2 z + ( x a ) + ( y + b ) + z 2 2 + ( x a ) ( y + b ) + z ( x a ) + ( y + b ) + z 2 2 2 ( x a )( y b ) ( x a ) + ( y b ) + 2 z + ( x a ) + ( y b ) + z 2 2.

( x a ) ( y b ) + z ( x a ) + ( y b ) + z 2 2 2 2 Теперь перемещения точек среды, вызванные чистым сдвигом, в сокращенной форме записи будут:

U c = K c ;

x V c = K c ;

y W c = K c.

z Перемещения точек, вызванные изменением плотности среды, согласно (3.19) будут протекать только по вертикали, то есть U 0 = V 0 = 0, а вертикальные перемещения будут z z W = K dz = K dz.

0 00 (4.69) z Интегрированные функции (4.67) соответственно (4.69) в полных записях довольно трудоемкие, поэтому мы будем интегрировать один член этой формулы, записав его сокращенно:

z ( x 2 + y 2 + z 2 ) dz F = arctg, (4.70) xy а затем приведем результат в развернутом виде.

Интегрирование (4.70) выполняется по частям:

12 z ( x + y 2 + z 2 ) ;

u = arctg xy 2z ( x2 + y 2 ) + 4z du = ;

z 2 ( x2 + y 2 + z 2 ) xy 2 z 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1+ x +y 2 xy ( x 2 + y 2 + 2 z 2 ) du = dz;

(x + y + z ) ( x + y + z ) x y + z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d = dz;

= z;

z ( x2 + y 2 + z 2 ) F = u du = zarctg ;

xy xy ( x 2 + y 2 + 2 z 2 ) z dz.

(x + y + z ) ( x + y + z ) x y + z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Вводится новый аргумент:

t 2 = ( x2 + y 2 + z 2 ), при этом 2tdt = 2 zdz;

tdt = zdz, тогда:

xy ( x 2 + y 2 + 2 z 2 ) z x dz = y 2 + z 2 ( x2 + y 2 + z 2 ) ( x2 + y 2 + z 2 ) xy ( 2t 2 x 2 y 2 ) tdt xy ( 2t 2 x 2 y 2 ) = = dt = t 4 t 2 ( x2 + y 2 ) + x2 y x2 y 2 + t 2 (t 2 x2 y 2 ) t 2 t ( t x ) + ( t y )dt = xy ( t x ) dt + 2 2 2 2 2 = xy ( t x )( t y ) ( t x )( t y ) 2 2 2 2 2 2 2 (t y 2 ) dt dt dt + = xy 2 + xy 2 = ( t x )( t y ) (t y ) (t x ) 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1+ t t 1+ y xy dt xy dt 1 1 x= = 2 2 = x ln y ln ( ) ( ) y t2 x t2 2 1+ t t 1+ 1+ 2 1 x y y y x ( y + t) y (x + t) = ln ln.

2 ( y t) 2 (x t) Возвращаясь к аргументу z, окончательно имеем:

z ( x2 + y 2 + z 2 ) F = zarctg + xy y + ( x2 + y 2 + z 2 ) x + ( x2 + y 2 + z 2 ) 1 2 x y + ln + ln.

( ) ( ) 2 y x 2 + y 2 + z 2 12 2 x x 2 + y 2 + z 2 Теперь запишем результат интегрирования (4.69) в развернутом виде:

( x + a ) 2 + ( y + b ) 2 + z 2 z p W= zarctg ( x + a )( y + b ) x + a ) ( y + b ) + ( x + a ) + ( y + b ) + z 2 2 ( ln ( y + b ) ( x + a ) + ( y + b ) + z 2 ( y + b ) ln ( x + a ) + ( x + a ) + ( y + b ) + z + 2 2 ( x + a) ( x + a ) + ( y + b ) 2 + z 2 z ( x + a ) + ( y b ) + z 2 2 + zarctg + ( x + a )( y b ) ( y b ) + ( x + a ) + ( y b ) + z 2 2 ( x + a ) ln + + ( y b ) ( x + a ) + ( y b ) + z 2 ( x + a ) + ( x + a ) + ( y b ) + z 2 2 ( y b ) ln + + ( x + a ) ( x + a ) + ( y b ) + z 2 z ( x a ) + ( y + b ) + z 2 2 + zarctg + ( x a )( y + b ) ( x a ) ln ( y + b ) + ( x a ) + ( y + b ) + z + 2 2 + ( y + b) ( x a ) + ( y + b ) 2 + z 2 ( y + b ) ln ( x a ) + ( x a ) + ( y + b ) + z 2 2 + ( x a) ( x a ) + ( y + b ) 2 + z 2 z ( x a ) + ( y b ) + z 2 2 zarctg ( x a )( y b ) ( x a ) ln ( y b ) + ( x a ) + ( y b ) + z 2 2 ( y b) ( x a ) + ( y b ) 2 + z 2 ( y b ) ln ( x a ) + ( x a ) + ( y b ) + z 2 2.

( x a) ( x a ) + ( y b ) 2 + z 2 2 Предельный переход от (4.68) путем b = ± дает функцию давле ния для задачи плоского деформирования полупространства равно мерно распределенной нагрузкой интенсивностью р (Н/м2) по беско нечной полосе шириной 2a (рис. 4.7).

x+a xa p = arctg arctg. (4.71) z z Производные (4.71) будут:

p x+a xa p 4axz arctg = arctg ;

( x 2 + z 2 a 2 ) 2 + 4a 2 z x z z 2a ( x 2 a 2 z 2 ) p x+a xa p arctg = arctg.

( x 2 + z 2 a 2 ) 2 + 4a 2 z z z z Окончательно компоненты напряженного состояния при плоском деформировании полупространства равномерно распределенной наг рузкой по бесконечной полосе шириной 2a будут иметь вид:

2a ( x 2 a 2 z 2 ) x+a xa p x = arctg arctg ;

z ( x 2 + z 2 a 2 ) 2 + 4a 2 z z 2a ( x 2 a 2 z 2 ) x+a xa p z = arctg arctg + ;

z ( x 2 + z 2 a 2 ) + 4a 2 z z x+a xa p y = = arctg arctg ;

z z 4axz p xz =.

( x 2 + z 2 a 2 ) 2 + 4a 2 z Рис. 4.7. Схема полупространства, равномерно нагруженного полосовой нагрузкой Компоненты сдвиговых смещений согласно (3.28)–(3.30) будут:

p 4axz U c = K c = Kc ;

( x 2 + z 2 a 2 )2 + 4a 2 z x 2a ( x 2 a 2 z 2 ) cp W = K =K c c.

( x 2 + z 2 a 2 )2 + 4a 2 z z Перемещения, вызванные объемным деформированием, опреде ляются интегрированием:

z dz;

W =K 0 0 z p xa z z x+a arctg dz arctg W =K dz = 0 z1 z z z p z z z z arctg dz arctg =K dz.

z1 x+a xa z Согласно [23] эти интегралы равны:

x+a p z ln ( x + a ) + z W0 = K0 + zarcctg x+a z xa z ln ( x a ) + z 2. (4.72) zarcctg xa 2 z В выражении (4.72) нижний предел z брать не следует, по скольку осадка от изменения плотности среды будет неограниченно возрастать, поэтому должна определяться величина сжатия конкрет ного упругого слоя.

4.1.6. Касательная нагрузка, равномерно распределенная на поверхности полупространства вдоль линий конечной и бесконечной длины Решение этой задачи можно получить соответствующим интегри рованием компонентов решения (4.22)–(4.33). Схема нагружения по лупространства приведена на рис. 4.8.

Функция давления может быть получена интегрированием (4.29):

d ( y ) ( y ) b b Px Px, = = 2 ( x 2 + z 2 ) x 2 + y 2 + z 2 2 b 2 b 2 3 x + ( y ) + z ( ) 2 ( y + b) ( y b) Px =. (4.73) 2 ( x 2 + z 2 ) x 2 + y + b 2 + z 2 2 x 2 + y b 2 + z 2 ( ) ( ) Рис. 4.8. Схема загружения поверхности полупространства касательной нагрузкой, равномерно распределенной вдоль линии длиной 2b Компонент нормального напряжения x определяется интегриро ванием компонента (4.23):

d ( y ) b 3Px 3 3Px x = = 2 ( x + z ) 2 b 2 3 x + ( y ) + z 2 b ( y ) ( y ), x + ( y ) + z 2 2 b 3 x + ( y ) + z 2 2 2 ( y + b) ( y + b) 3Px x = 2 ( x 2 + z 2 ) 2 1 x2 + ( y + b ) + z 2 3 x2 + ( y + b ) + z 2 2 ( y b) ( y b). (4.74) x 2 + ( y b )2 + z 2 3 x2 + ( y b ) + z 2 Компонент нормального напряжения y определяется интегриро ванием компонента (4.24):

d ( y ) ( y ) 3 b b 3Px 3Px, y = = 2 ( x 2 + z 2 ) 2 b 3 b x 2 + ( y )2 + z 2 x 2 + ( y )2 + z 2 ( y + b) ( y b) 3 Px y =. (4.75) 2 ( x 2 + z 2 ) 2 x2 + ( y b ) + z 2 x + ( y + b) + z 2 2 Компонент нормального напряжения z определяется интегриро ванием компонента (4.25):

d ( y ) b 3Pxz 2 3Pxz z = = 2 ( x + z ) 2 5 x ( y ) + z 2 2 b b ( y ) ( y ) ;

3 x ( y ) + z 2 2 b x + ( y ) + z 2 2 ( y + b) ( y + b) 3Pxz z = 2 ( x 2 + z 2 ) 2 1 x2 + ( y + b ) + z 2 3 x2 + ( y + b ) + z 2 2 ( y b) ( y b) +. (4.76) x 2 + ( y b )2 + z 2 3 x + ( y b) + z 2 2 Компонент касательного напряжения xy определяется интегриро ванием компонента (4.26):

( y ) d ( y ) b b 3Px 2 Px 2 ;

xy = = 2 2 5 2 2 b x 2 + ( y )2 + z 2 x + ( y ) + z b Px 1 xy =. (4.77) 2 2 x + ( y + b) + z x + ( y b) + z 2 2 2 Компонент касательного напряжения yz определяется интегриро ванием компонента (4.27):

b ( y ) d ( y ) b 3Pxz 3Pxz ;

yz = = 2 b 2 2 2 2 b x + ( y ) + z 3 x + ( y ) + z 2 2 Pxz 1 yz =. (4.78) 2 2 x + ( y + b) + z x + ( y b) + z 2 2 2 Компонент касательного напряжения zx определяется интегриро ванием компонента (4.28):

d ( y ) b 3Px 2 z 3Px 2 z 2 b zx = = 2 ( x 2 + z 2 ) 5 x + ( y ) + z 2 b ( y ) ( y ) ;

x + ( y ) + z 2 2 b 3 x + ( y ) + z 2 2 2 ( y + b) ( y + b) 3Px z zx = 2 ( x 2 + z 2 ) 2 1 x2 + ( y + b ) + z 2 2 3 x2 + ( y + b ) + z 2 2 ( y b) ( y b) +. (4.79) x2 + ( y b)2 + z2 2 3x2 + ( y b)2 + z2 Сложив (4.74)–(4.76), можно убедиться, что функция давления (4.73) представляет среднее значение из трех нормальных напряже ний x, y, z.

По известной функции давления (4.73) определяются компоненты сдвиговых смещений в соответствии с (3.28)–(3.30):

( y + b) ( y b) cP x c U = K 2 2 ;

2 x ( x + z ) 2 1 2 x + ( y + b) + z x + ( y b) + z 2 2 ( y + b) ( y b) K P x2 z 2 c U= + c 2 ( x 2 + z 2 ) 2 x + ( y + b) + z x + ( y b) + z 2 2 2 2 2 ( y + b) ( y b) x +2 ;

(4.80) x + z2 2 x + ( y + b) + z x + ( y b) + z 2 2 2 ( y + b) ( y b) d Px V c = K c ;

2 ( x + z ) dy 2 x2 + ( y b ) + z 2 x + ( y + b) + z 2 2 Px 1 V c = K c ;

(4.81) 2 2 x + ( y + b) + z x + ( y b) + z 2 2 2 2 ( y + b) ( y b) P d x W c = K c 2 2 ;

2 dz ( x + z ) 2 x + ( y + b )2 + z 2 2 x 2 + ( y b )2 + z 2 P xz W =K c c 2 ( x 2 + z 2 ) ( x + z 2 ) ( y + b) ( y b) + 1 x2 + y + b 2 + z 2 2 x2 + y b 2 + z 2 ( ) ( ) ( y + b) ( y b) +. (4.82) x2 + ( y + b ) + z 2 x2 + ( y b ) + z 2 2 2 Горизонтальные перемещения точек среды от объемного дефор мирования в соответствии с (3.19) будут направлены параллельно действию внешней нагрузки, т. е. параллельно оси х, они определя ются интегрированием функции давления (4.73):

U = x dx = K dx;

0 x x ( y + b) ( y b) Px U0 = K0 dx.

2 ( x 2 + z 2 ) x 2 + y + b 2 + z 2 2 x 2 + y b 2 + z 2 ( ) ( ) x Постольку подобный интеграл определялся ранее (4.59), запишем его, поменяв местами координаты x и z:

y +(x + y + z ) 2 2 xdx.

= (4.83) ln (x )( x ) ( ) 2 y y x 2 + y 2 + z 2 12 x +z +y +z 2 2 2 2 2 x После соответствующей подстановки в (4.83) окончательно гори зонтальные перемещения от изменения объема среды будут опреде ляться выражением ( y + b ) + x2 + ( y + b ) + z 2 P U0 = K0 ln 4 ( y + b ) ( y + b) x 2 + ( y + b )2 + z 2 ( y b ) + x2 + ( y b ) + z 2 1. (4.84) ln y b ( y b) x 2 + ( y b )2 + z 2 2 При увеличении длины линии загружения от до + (см.

рис. 4.8) получим плоское деформирование полупространства каса тельной нагрузкой, равномерно распределенной вдоль бесконечной линии. На рис. 4.9 приведена схема сечения полупространства плос костью xоz, нормальной к линии распределения внешней нагрузки.

Напряженное состояние полупространства для рассматриваемого случая можно получить путем предельного перехода от (4.73)–(4.79), в результате чего имеем:

функция давления Px =, (4.85) ( x2 + z 2 ) компоненты напряжений 2 Px 3 Px ;

x = ;

y = ( x + z ) ( x + z ) 22 2 2 Pxz z = (4.86) ;

( x2 + z 2 ) 2 Px 2 z xy = yz = 0;

zx =. ( x2 + z 2 ) Рис. 4.9. Схема плоского деформирования полупространства касательной нагрузкой Компоненты смещений от сдвигового деформирования согласно (3.28)–(3.30) будут Pd c P x + z 2x 2 2 x = K U = K c c, dx ( x 2 + z 2 ) ( x 2 + z 2 ) P x2 z U =K c c (4.87) ;

( x 2 + z 2 ) Pd P ( 2 xz ) x 2 = K c W = K c c, dz ( x + z 2 ) ( x 2 + z 2 ) 2P xz Wc = Kc. (4.88) ( x 2 + z 2 ) Перемещения от изменения объема среды получим в соответствии с (3.17)–(3.19):

x x P 2 xdx 0P ln ( z + x ), z 2 + x U =K =K 0 0 2 2 x x P z 2 + x2 U =K 0 (4.89) ln.

2 z 2 + x Поскольку при x смещения U 0 неограниченно возрастают, то по этой формуле следует определять абсолютную деформацию конкретного, конечного участка – от x1 до x2.

4.1.7. Наклонная нагрузка, равномерно распределенная на поверхности полупространства вдоль линий конечной и бесконечной длины В том случае, когда равномерно распределенная нагрузка интен сивностью Р (Н/м) вдоль линии конечной длины действует наклонно к поверхности полупространства, составляя с осями координат х и z углы соответственно и (рис. 4.10), ее следует разложить на две составляющие по координатным осям соответственно: Px = P cos, Pz = P cos, и составить комбинацию решений для нагрузки, распре деленной по линии конечной длины, – решения (4.47)–(4.55), (4.58) для вертикальной составляющей Pz и решения (4.73)–(4.82), (4.84) для горизонтальной составляющей Px. Приведем здесь это решение без компонентов напряжений, которые, в общем, не играют никакой роли при определении абсолютных и относительных деформаций.

Рис. 4.10. Схема загружения полупространства наклонной равномерно распределенной вдоль линии нагрузкой Функция давления ( y + b) P cos y b z = + 2 ( x 2 + z 2 ) 2 1 x + ( y + b) + z2 x 2 + ( y b )2 + z 2 2 ( y + b) ( y b) P cos x +.

2 ( x 2 + z 2 ) 2 1 x + ( y + b) + z2 x 2 + ( y b) 2 + z 2 2 Компоненты смещений от чистого сдвига P cos xz U c = K c = Kc 2 ( x 2 + z 2 ) x ( y + b) y b 2 + ( x + z 2 ) x 2 + ( y + b )2 + z 2 1 2 x 2 + ( y b )2 + z 2 1 y+b y b c P cos + + K 3 x2 + ( y + b ) + z 2 x2 + ( y b ) + z 2 2 2 x2 z 2 y+b y b + ( x + z ) 22 x + ( y + b) + z x + ( y b) + z 2 2 2 2 2 y+b y b x +2 ;

(x + z2 ) 2 x + ( y + b) + z x + ( y b) + z 2 2 2 P cos ( z ) V c = K c = K c y 1 x + ( y + b) + z x + ( y b) + z 2 2 2 2 P cos ( x ) 1 K c ;

2 x + ( y + b) + z x + ( y b) + z 2 2 2 2 P cos W c = K c = Kc 2 ( x 2 + z 2 ) z ( y + b) ( y b) z 2 x2 2 +z ( x + z 2 ) x 2 + ( y + b )2 + z 2 1 2 x 2 + ( y b )2 + z 2 1 ( y + b) ( y b) P cos xz + Kc 2 ( x 2 + z 2 ) x2 + y + b 2 + z 2 2 x2 + y b 2 + z 2 ( ) ( ) ( y + b) ( y b) 2 + 2 ( x + z ) x2 + ( y + b ) + z x2 + ( y b ) + z 2 2 ( y + b) ( y b) +.

x + ( y + b) + z x + ( y b) + z 2 2 2 2 Компоненты смещений от объемного деформирования ( y + b) + x 2 + ( y + b )2 + z 2 0 P cos 1 U =K ln 4 ( y + b ) ( y + b) x 2 + ( y + b )2 + z 2 ( y b ) + x2 + ( y b ) + z 2 ln ;

( y b ) ( y b ) x 2 + ( y b )2 + z 2 1 2 ( y + b) + x 2 + ( y + b )2 + z 2 P cos 1 W0 = K0 ln 4 ( y + b ) ( y + b) x + ( y + b) + z 2 ( y b ) + x2 + ( y b ) + z 2 ln.

( y b ) ( y b ) x 2 + ( y b )2 + z 2 1 2 Для случая действия на поверхности полупространства наклонной силы, равномерно распределенной вдоль бесконечной линии, мы по лучим плоское его деформирование.

Соответствующая схема может быть представлена рис. 4.10, на котором следует продлить воображаемую линию распределенной си лы в обе стороны до бесконечности: b +.

Разложив наклонную силу на вертикальную и горизонтальную составляющие, мы получим две задачи плоского деформирования полупространства от линейно распределенных сил, для каждой из ко торых имеется свое решение: (4.60)–(4.66) для Pz и (4.85)–(4.89) для Px. Общее решение рассматриваемой задачи будет представлять сумму этих решений. Запишем его без компонентов напряжений, по добно тому, как это было выполнено в предыдущем решении, когда линия распределения наклонной силы имела ограниченную длину:

P ( z cos + x cos ) ;

= ( x2 + z 2 ) K cP 2 xz cos + ( x 2 z 2 ) cos ;

Uc = ( x2 + z ) K cP ( x 2 z 2 ) cos 2 xz cos ;

W = c ( x2 + z ) P cos z 2 + x U =K 0 ln 2 ;

2 z + x P cos x 2 + z W =K 0 ln 2.

2 x + z 4.2. Напряженно-деформированное состояние упругого изотропного пространства от действия сосредоточенной внутри его силы Выше было показано, что напряженное состояние упругого полу пространства от действия любой сосредоточенной на его поверхнос ти силы и упругого пространства от сосредоточенной внутри его си лы имеет радиальное распределение. Для упрощения пояснений будем сравнивать полупространство, на поверхности которого дейст вует нормальная сила (рис. 4.11), и пространство с таким же распо ложением координат и направлением действия силы, приложенной внутри (рис. 4.12).

Рис. 4.11. Распределение поверхностей равного давления в упругом полупространстве от действующей по нормали к нему силы Очевидно, что в первом случае координата z будет иметь только положительные значения, а во втором ее следует продлить и в отри цательную область. Поэтому в первом случае семейство поверхнос тей равного давления будет представлено сферами, центры которых находятся на оси z и касаются ограничивающей плоскости под приложенной силой. С увеличением радиуса сферы уменьшается давление, и в пределе поверхностью нулевого давления будет огра ничивающая плоскость ( z = 0 ).

Во втором же случае, выше плоскости хоу, с изменением знака координаты z давление также поменяет знак, и таким образом, в пространстве будет два симметрических семейства поверхностей равных давлений: одно с положительными давлениями (в положи тельной области координаты z), второе – с отрицательными давлени ями (в отрицательной области координаты z). В соответствии с тем, что сдвиговые смещения направлены в сторону убывания градиентов давлений, симметрично расположенные точки упругого пространства будут смещаться в положительной области в сторону внешней нор мали к поверхностям равных давлений, в отрицательной области – в сторону внутренней нормали (см. рис. 4.12).



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.