авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«МИНИ СТ ЕР СТВО ОБРА ЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛО ДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ ДН ЕПРОПЕТРО ВСКИЙ НАЦИОНА ЛЬНЫЙ УНИ ВЕ Р СИТЕ Т ЖЕЛЕЗНОДО РОЖНОГО ТРАН СПОРТА ...»

-- [ Страница 3 ] --

Рис. 4.12. Распределение поверхностей равного давления в упругом пространстве от сосредоточенной внутри его силы Следует заметить, что в начале главы 2 нами была сделана оговор ка о том, что в отличие от общепринятого в теории упругости знака сжимающего напряжения с минусом, в данной роботе было принято его значение с плюсом. В противном случае направление сдвигового смещения следовало бы брать отличным от принятого в векторном анализе.

После предварительных пояснений представим полное решение данной задачи. Так как компоненты напряжений в этой задаче приве дены в системе (2.86), то воспользуемся ими для определения функ ции давления по зависимостям (3.28)–(3.30):

( x + y + z ) = 4P 2 2z 2 3 2.

= (4.90) ( ) x +y +z С помощью функции давления (4.90) определяются компоненты сдвиговых смещений пространства:

P z, U = K c c 4 x x 2 + y 2 + z 2 ( ) 3P xz 3P xz Uc = Kc = Kc ;

( ) 4 x 2 + y 2 + z 2 5 2 2 R 3P z, V c = K c 4 y x 2 + y 2 + z 2 ( ) 3P yz 3Pyz V c = Kc = Kc.

( ) 4 x 2 + y 2 + z 2 2 2R 3P z, W = K c c 4 z ( x 2 + y 2 + z 2 ) P ( 3z 2 R 2 ) 2z P W = K =K c c c.

( ) 4 x 2 + y 2 + z 2 5 2 4R Компоненты линейных относительных деформаций от чистого сдвига определяются по зависимостям (3.31)–(3.33):

= K c 3P z ( y + z 4 x ), 2 2 U c 3P xz x = =K c c 4 x x 2 + y 2 + z 2 5 ( ) ( ) x 4 x 2 + y 2 + z 2 7 3P z ( R 5 x ) 2 =K c c ;

x 4 R 3P z ( x + z 4 y ) 2 2 V c 3P yz = Kc cy = = Kc, 2 ( ) ( ) y 4 x x + y 2 + z 2 2 4 x 2 + y 2 + z 2 7 3P z ( R 5 y ) 2 =K c c ;

y 4 R P z (9x + 9 y 6z ) 2 2 W c c P 2z x y 2 = = =K c, 2 ( ) ( ) z z 4 x x + y 2 + z 2 2 4 x 2 + y 2 + z 2 7 3P ( 3R 5 z ) 2 = c.

z 4 R Компоненты угловых деформаций от чистого сдвига определяют ся по зависимостям (3.34)–(3.36):

2 cP z, = K 2 = K c c 2 ( ) xy xy 2 xy x + y 2 + z 2 15 P xyz c = ;

xy 2 R y ( x2 + y 2 4 z 2 ) 2 c 3P = K 2 =K c c, ( ) yz yz 2 x 2 + y 2 + z 2 7 3P y ( R 5 z ) 2 =Kc c ;

yz 2 R x ( x2 + y 2 4z 2 ) 2 c 3P = K 2 =K c c, ( ) zx yz 2 x 2 + y 2 + z 2 7 3P x ( R 5 z ) 2 =Kc c.

zx 2 R Жесткие повороты элементарного куба от чистого сдвига отсутст вуют, т. е.

c = cy = c = 0.

x z Объемная относительная деформация в соответствии с (3.17) опи сывается зависимостью Pz = K 0 = K 0.

2 R Линейные относительные деформации от изменения объема в соответствии с (3.19) будут 0 = 0 = 0, x y Pz 0 = K 0 (4.91), z 2 R то есть смещения точек пространства от изменения объема среды бу дут происходить только по вертикали, они определяются интегриро ванием (4.91):

x P zdz 0P 1 W = dz = K 4 x 2 + y 2 + z 2 3, K 0 0 ( ) z( ) z 4 x 2 + y 2 + z 2 1 2 x z P W 0 = K0.

4R Следует заметить, что в верхней половине пространства (см.

рис. 4.12) будет происходить расширение среды, в нижней – сжатие, а перемещения в обеих половинах пространства будут направлены в одну сторону, совпадающую с направлением приложенной силы Р при этом в точках, симметрично расположенных относительно коор динатной плоскости хоу, они будут иметь одинаковую величину.

По известному полю перемещений от изменения объема W 0 опре деляются соответствующие угловые относительные деформации сог ласно (1.9):

U 0 V = + = 0;

xy y x V 0 W 0 0P 1, = + = 0+ K 4 y x + y 2 + z 2 ( ) yz z y Py 0 = K 0 ;

yz 4 R W 0 U 0 0P 1, = + =K 4 y x + y 2 + z 2 ( ) zx x z Px 0 = K 0.

zx 4 R Углы жестких поворотов элементарного куба от объемного дефор мирования определяются по (1.10):

V 0 W 0 0P 1, = = 0K 4 y x + y 2 + z 2 ( ) x z y Py 0 = K 0 ;

x 4 R W 0 U 0 0P 1 0, = =K 4 x x + y 2 + z 2 ( ) y x z Px 0 = K 0 ;

y 4 R U 0 V = = 0 + 0.

z y x Таким образом, мы получили полное решение задачи о напряженно-деформированном состоянии упругого пространства от сосредоточенной внутри его силы P. Как видим, оно отличается от решения для полупространства с сосредоточенной силой постоянным коэффициентом во всех компонентах, равным 0,5, поэтому может быть получено формальным сложением двух полупространств с продлением координатной оси z в отрицательную сторону и умно жением всех компонентов решения (4.1)–(4.21) на коэффициент 0,5.

Полученное таким способом решение можно интегрировать по линии и полосе постоянной ширины, конечной и бесконечной длины.

При интегрировании по линии и полосе бесконечной длины мы по лучим плоское деформирование упругого пространства. Эти решения можно получить из приведенных выше решений для полупространс тва упомянутым способом. В этом смысле решения для полупрост ранства и пространства являются решениями-близнецами.

4.3. Плоская деформация бесконечно длинных упругих массивов конечной толщины с ограниченной и неограниченной шириной 4.3.1. Упругий массив ограниченной ширины на жестком основании, допускающем только горизонтальные смещения Исходя из условия задачи, граничные условия для функции давле ния будут следующие (рис. 4.13):

= 0 (W c = 0 ) ;

z = 0, z z = h, x 0, = 0;

z = h, x = 0, =, функция должна быть четной относительно координаты х, т. е.

( x, z ) = ( x, z ).

Это смешанная задача Дирихле–Неймана, решение которой если имеется, то единственное. Таким решением, удовлетворяющим по ставленным условиям, является функция [27] ( 2n 1) ch z ( 2n 1) x n = P 2l = cos (4.92).

( 2n 1) 2l n=1 2l ch h 2l Для проверки условия, является ли эта функция потенциальной, запишем ее вторые частные производные:

( 2n 1) z ch ( 2n 1) x ( 2n 1) x P n = 2l = cos ;

( 2n 1) h z 2l n=1 2l 2l ch 2l ( 2n 1) z ch ( 2n 1) ( 2n 1) x n = P 2l = cos.

( 2n 1) h x 2l n=1 2l 2l ch 2l Очевидно, что сумма вторых частных производных равна нулю, поэтому данная функция является гармонической, следовательно, по тенциальной.

Рис. 4.13. Схема к расчету напряженно-деформированного состояния бесконечно длинного упругого массива прямоугольного сечения на жестком основании, допускающем только горизонтальные смещения чистого сдвига, от линейно распределенной нагрузки По известной функции давления (4.92) определяются смещения от чистого сдвига из условий (3.28)–(3.30):

( 2n 1) z ch ( 2n 1) ( 2n 1) x n = P 2l = Kc U c = K c sin ;

( 2n 1) h x 2l n=1 2l 2l ch 2l ( 2n 1) z sh ( 2n 1) ( 2n 1) x n = P 2l = K c W c = K c cos, ( 2n 1) h z 2l n=1 2l 2l ch 2l а также от объемного сжатия упругого тела из условий (3.18)–(3.20):

( 2n 1) z sh ( 2n 1) x 0 n = P 2l 2l W 0 = K 0 dz = K 0 cos.

( 2n 1) h 2l n=1 ( 2n 1) 2l ch z 2l Для случая нагрузки равномерной интенсивности р (Н/м2), рас пределенной на бесконечной полосе постоянной ширины 2а, функ ция давления определяется путем интегрирования (4.92) в соответст вии со схемой, показанной на рис. 4.14:

( 2n 1) z ch ( 2n 1)( x ) a n = p 2l = cos d ( x ).

( 2n 1) h 2l a n=1 2l ch 2l После интегрирования и алгебраических преобразований имеем:

( 2n 1) a ( 2n 1) z n = sin ch ( 2n 1) x p 2l 2l = (4.93) cos.

( 2n 1) ( 2n 1) h l n=1 2l ch 2l 2l По известному значению функции давления (4.93) определяются перемещения в упругом массиве, вызванные чистым формоизмене нием [29]:

( 2n 1) z ch ( 2n 1) a ( 2n 1) x n = P 2l = K c sin U c = K c sin ;

( 2n 1) h x l n=1 2l 2l ch 2l ( 2n 1) z sh ( 2n 1) a ( 2n 1) x n = P 2l = K c sin W c = K c cos, ( 2n 1) h z l n=1 2l 2l ch 2l а также вертикальные перемещения от изменения объема среды:

( 2n 1) a ( 2n 1) z sin ch ( 2n 1) x 0 0 n = P 2l 2l W 0 = K 0 dz = K 0 cos dz, ( 2n 1) ( 2n 1) h l n=1 2l ch z z 2l 2l ( 2n 1) a ( 2n 1) z sin sh ( 2n 1) x P n = 2l 2l W0 = cos.

( 2n 1) h ( 2n 1) l n=1 2l ch 2l 2l Рис. 4.14. Схема к расчету напряженно-деформированного состояния бесконечно длинного упругого массива прямоугольного сечения на жестком основании, допускающем только горизонтальные смещения чистого сдвига, от полосовой равномерной нагрузки 4.3.2. Упругий массив ограниченной ширины на жестком основании, допускающем только вертикальные смещения Рассматриваемый массив и его загружение аналогичны принятым в задаче п. 4.3.1, однако основание допускает только вертикальные смещения от чистой деформации (рис. 4.15). Функция давления должна удовлетворять условиям (U = 0 ) ;

z = h, x = 0, = ;

z = h, x 0, = 0;

z = 0, =0 c x ( x, z ) = ( x, z ).

Рис. 4.15. Схема к расчету напряженно-деформированного состояния бесконечно длинного упругого массива прямоугольного сечения на жестком основании, допускающем только вертикальные смещения чистого сдвига, от линейно распределенной нагрузки Функция давления, удовлетворяющая поставленным граничным условиям, получена в виде [27] ( 2n 1) z sh ( 2n 1) x Р n= 2l = cos (4.94).

( 2n 1) h 2l n=1 2l sh 2l Проверим, является ли данная функция гармонической. Для этого запишем ее вторые частные производные:

( 2n 1) sh z ( 2n 1) ( 2n 1) x n = P 2l = cos ;

( 2n 1) x 2 2l n=1 2l 2l sh h 2l ( 2n 1) sh z ( 2n 1) ( 2n 1) x P n = 2l = cos.

( 2n 1) z 2 2l n=1 2l 2l sh h 2l Очевидно, что сумма этих производных равна нулю, поэтому функция (4.94) является гармонической и, следовательно, потен циальной.

Компоненты перемещений точек среды, вызванные чистым фор моизменением, в соответствии с условиями (3.28)–(3.30) будут:

( 2n 1) z sh ( 2n 1) ( 2n 1) x n = P 2l = Kc U c = K c sin ;

( 2n 1) h x 2l n=1 2l 2l sh 2l ( 2n 1) z ch ( 2n 1) ( 2n 1) x n = P 2l = W c = K c cos.

( 2n 1) h x 2l n=1 2l 2l sh 2l Перемещения, вызванные изменением плотности среды, опреде ляются интегрированием (4.94) в соответствии с (3.17)–(3.19):

( 2n 1) z sh ( 2n 1) x n = KP 2l W0 = cos dz, ( 2n 1) h 2l n=1 2l sh 2l ( 2n 1) z sh ( 2n 1) x n = KP 2l W0 = + C.

cos ( 2n 1) h 2l n=1 2l sh 2l Произвольная интегрирования С определяется из граничных усло вий: при z = 0 перемещения от изменения плотности W 0 = 0, тогда окончательно имеем ( 2n 1) z ch ( 2n 1) x 2l n = 1. (4.95) W = K P 0 cos ( 2n 1) h n =1 ( 2n 1) 2l sh 2l В том случае когда на поверхности массива на полосе шириной 2а будет действовать равномерно распределенная нагрузка р (Н/м2), функция давления определяется интегрированием (4.94) в соответ ствии со схемой, приведенной на рис. 4.16:

( 2n 1) z sh ( 2n 1)( x ) a n = p 2l = cos d ( x ), ( 2n 1) h 2l a n=1 2l sh 2l ( 2n 1) z sh ( 2n 1)( x ) a n = p 2l 2l =.

sin ( 2n 1) h a 2l n=1 ( 2n 1) 2l sh 2l После подстановки пределов и алгебраических преобразований функция давления принимает вид ( 2n 1) a ( 2n 1) z sin sh ( 2n 1) x n = p 2l 2l = (4.96) cos.

( 2n 1) ( 2n 1) h l n=1 2l sh 2l 2l По известной функции давления (4.96) определяются смещения точек массива, вызванные чистым формоизменением:

( 2n 1) z sh ( 2n 1) a ( 2n 1) x n = p 2l = K c sin U c = K c sin ;

( 2n 1) h x l n=1 2l 2l sh 2l ( 2n 1) z ch ( 2n 1) a ( 2n 1) x p n= 2l = K c sin W c = K c cos.

( 2n 1) h z l n=1 2l 2l ch 2l Рис. 4.16. Схема к расчету напряженно-деформированного состояния бесконечно длинного упругого массива прямоугольного сечения на жестком основании, допускающем только вертикальные смещения чистого сдвига, от полосовой равномерной нагрузки Перемещения точек упругой среды от изменения ее плотности по лучим интегрированием (4.96) с учетом (3.17)–(3.19) и граничных ус ловий, подобно тому, как это выполнялось в (4.95):

( 2n 1) ( 2n 1) a ch n = sin ( 2n 1) x 2l p.

2l W 0 = K 0 cos ( 2n 1) h 2l n=1 ( 2n 1) 2 2l sh 2l 2l 4.3.3. Упругий массив ограниченной ширины на жестком основании, допускающем частично горизонтальные и вертикальные смещения В задачах п. 4.3.1 и 4.3.2 рассматривалось напряженно-дефор мированное состояние упругих массивов прямоугольного поперечно го сечения бесконечной длины для двух предельных случаев по гра ничным условиям на контакте их с основанием: контакт допускает только горизонтальные смещения от чистого сдвига (п. 4.3.1) либо только вертикальные (п. 4.3.2). Если же контакт с основанием допус кает частично горизонтальные и вертикальные смещения, то задача может быть решена путем комбинирования двух этих решений.

С этой целью внешняя нагрузка делится на две части пропорцио нально оценочной величине упомянутых смещений:

p = p г + p в = mг p + mв p = p ( mг + mв ), где mг и mв – коэффициенты, пропорциональные частям внешней нагрузки, формирующим соответственно горизонтальные и верти кальные смещения точек упругой среды от чистого сдвига. Очевидно, что их сумма равна единице.

Таким образом, общее решение будет состоять из суммы двух ре шений: решения (п. 4.3.1) с коэффициентом пропорциональности mг и решения (п. 4.3.2) с коэффициентом пропорциональности mв при соответствующей внешней нагрузке. Например, для нагрузки Р, рав номерно распределенной вдоль бесконечной линии, будем иметь следующее решение:

функция давления ( 2n 1) z ( 2n 1) z ch sh (1n 1) x г n = P 2l 2l = cos + mв m, ( 2n 1) h ( 2n 1) h 2l n=1 2l ch sh 2l 2l перемещения, вызванные чистым формоизменением среды, P n= ( 2n 1) ( 2n 1) x 2l U =K c c sin 2l n=1 2l ( 2n 1) z ( 2n 1) z г ch sh 2l 2l m +m в ;

( 2n 1) h ( 2n 1) h ch sh 2l 2l P n= ( 2n 1) ( 2n 1) x 2l W =K c c cos 2l n=1 2l ( 2n 1) z ( 2n 1) z sh ch 2l 2l mг + mв ;

( 2n 1) h ( 2n 1) h ch sh 2l 2l перемещения, вызванные изменением объема среды, P n= ( 2n 1) ( 2n 1) x 2l W = K 0 cos 2l n=1 2l ( 2n 1) z ( 2n 1) z г sh ch 2l 2l m +m в. (4.97) ( 2n 1) h ( 2n 1) h ch sh 2l 2l Для случая нагрузки р (Н/м2), равномерно распределенной вдоль бесконечной полосы шириной 2а, получим следующее решение:

функция давления ( 2n 1) a sin ( 2n 1) x n = p 2l = cos ( 2n 1) l n=1 2l 2l ( 2n 1) z ( 2n 1) z ch sh 2l 2l mг + mв ;

( 2n 1) h ( 2n 1) h ch sh 2l 2l смещения точек упругого массива от чистого формоизменения ( 2n 1) a ( 2n 1) x p n= sin 2l sin 2l U =K c c l n= ( 2n 1) z ( 2n 1) z г ch sh 2l 2l m +m в, ch ( 2n 1) h ( 2n 1) h sh 2l 2l ( 2n 1) a ( 2n 1) x n = p sin W = K c c cos l 2l 2l n = ( 2n 1) z ( 2n 1) z sh ch 2l 2l mг + mв ;

( 2n 1) h ( 2n 1) h ch sh 2l 2l смещение точек упругого массива от изменения его плотности:

( 2n 1) a sin ( 2n 1) x n = p 2l W 0 = K 0 cos ( 2n 1) l n=1 2l 2l ( 2n 1) z sh ( 2n 1) z ch 2l.

2l mг + mв ch ( 2n 1) h ( 2n 1) h sh 2l 2l 4.3.4. Бесконечно простирающийся упругий массив на жестком основании, допускающем только горизонтальные смещения По нормали к поверхности массива приложена нагрузка Р (Н/м), равномерно распределенная вдоль бесконечной линии (рис. 4.17).

Условия контакта массива с жестким основанием допускают только горизонтальные смещения. Граничными условиями для функции давления в этом случае будут:

(W = 0);

z = 0, =0 c z z = h, x 0, = 0;

z = h, x = 0, =.

Для определения такой функции давления воспользуемся сле дующим приемом. В решении (4.92) будем увеличивать ширину мас сива, устремив ее к бесконечности (l ) В пределе мы должны по лучить искомую функцию. Для этого представим функцию (4.92) в следующем виде:

P n= ch ( ztn ) cos ( xtn ) tn, огр 2l n=1 ch ( htn ) где ( 2n 1) tn =.

2l При неограниченном увеличении ширины массива (l ) сум мирование заменяем интегрированием:

P ch ( zt ) cos ( xt ) dt.

= = lim огр 0 ch ( ht ) x Рис. 4.17. Схема к расчету напряженно-деформированного состояния бесконечно простирающегося массива ограниченной толщины на жестком основании, допускающем только горизонтальные перемещения чистого сдвига, от линейно-распределенной нагрузки Согласно [30] несобственный интеграл такого вида равен cos ch chx 2 chx cos x dx =.

+ cos ch Выполнив соответствующую подстановку, будем иметь функцию давления x z ch cos P 2h 2h.

= (4.98) h ch x + cos z h h Путем элементарных алгебраических преобразований приводим ее к более удобному виду [29] x z ch cos P 2h 2h = (4.99) 2h sh 2 x + cos 2 z 2h h или x z ch cos P 2h 2h.

= (4.100) 2h ch 2 x sin 2 z 2h h Можно убедиться, что данная функция давления удовлетворяет поставленным граничным условиям и является гармонической, т. е.

обладает потенциалом. Здесь следует отметить, что функция (4.92) была получена в [27] при исследовании мгновенных напоров воды в грунтовой массе после приложения нагрузки.

Если предпосылки к получению функций давления (4.92) и (4.98)– (4.100) корректны, а сами функции определены верно, то путем пре дельного перехода h от функции, например (4.98), мы должны получить функцию давления для случая плоского деформирования полупространства линейно распределенной нагрузкой.

Предварительно в целях упрощения выкладок мысленно перене сем начало координат (см. рис. 4.13) на поверхность массива, в точку приложения силы и попытаемся перейти к упомянутому пределу:

(h z) x ch cos P 2h 2h = lim огр = lim =.

(h z) h x h ch + cos h h Для раскрытия неопределенности воспользуемся правилом Лопиталя (h z) ( h z ) z x x x 2 cos ch sin sh 2h 2h 2 P 2h 2h 2h 2h =.

lim ( h z ) z x x h h sh 2 sin h 2h h h Поскольку неопределенность остается нераскрытой, воспользуем ся второй раз этим правилом и запишем раздельно производные чис лителя и знаменателя.

Производная числителя по h:

(h z) (h z) x x x x P ch 2 cos + sh 3 cos 2h 2h 2h 2h h 2h ( h z ) z ( h z ) z x x x sh 2 sin 2 sh sin 2h 2h 2h 2h 2h 2h 2h ( h z ) z ( h z ) x x x ch cos ch sin.

2h 2h 2 2h h 2h 2h Производная знаменателя по h:

( h z ) z ( h z ) z x x 2 x 2x h ch 2 + ch 3 cos sin 3.

h h hh h h h h После упрощений числителя и знаменателя получаем z P P z h3 = lim.

( x2 + z 2 ) h h 4( x2 + z 2 ) h Таким образом, мы получили функцию давления при нагружении полупространства нормальной к его поверхности нагрузкой, равно мерно распределенной вдоль бесконечной линии (4.60) и подтверди ли взаимосвязь функций давления (4.60), (4.92), (4.94) и (4.99).

Для определения компонентов напряжений и смещений точек упругого массива в данной задаче запишем частные производные функции давления (4.99):

x z x z x z sin sh cos ch 2 ch cos P 2h = P 2h 2h 2h 2h 2h ;

x 2h sh 2 x + cos 2 z 4h 2 2 x z + cos sh 2h 2h 2h 2h x z x z x z cos ch sin sh 2 ch cos P 2h = P 2h 2h 2h 2h 2h ;

z 2h sh 2 x + cos 2 z 4h 2 2 x z + cos sh 2h 2h 2h 2h Компоненты напряжений могут быть определены по зависимос тям (3.39):

x = + ( h z ), z z x z x x z cos ch sin sh ch cos 2h ( h z ) 2h P 2h 2h 2h 2h x = ;

2h sh 2 x + cos 2 z 2h 2 x z + cos sh 2h 2h 2h 2h z = ( h z ), z x z ch cos P 2h 2h + z = 2h sh 2 x + cos 2 z 2h 2h z x z x cos sin sh ch (h z) 2h 2h 2h 2h + ;

(4.101) 2h x z + cos sh 2h 2h x z ch cos P 2h ;

2h y = = 2h sh 2 x + cos 2 z 2h 2h zx = ( h z ), x x z x 2 z cos ch sh sin P 2h 2h 2h 2h (h z) zx =.

4h 2 x z + cos sh 2h 2h Для проверки условия соблюдения общего равновесия в данной задаче выполним следующую операцию: просуммируем вертикаль ное давление, которое передается в любой точке от массива на осно вание, в результате чего оно должно быть равным приложенной силе Р.

Приняв в (4.101) z = 0, имеем:

x ch P 2h.

z = 2h sh 2 x + 2h Теперь проинтегрируем z по контакту упругого массива с осно ванием x x d sh ch dx 2h = 2 P arctg sh x = 2 P 1 = P P p 2h 2h 2h 0 sh 2 x + 1 h sh 2 x + = 2 0 2h 2h то есть условие общего равновесия в задаче выполняется.

Компоненты смещений точек упругого массива от чистого фор моизменения получим согласно (3.28)–(3.30):

x z x z sin cos ch sh P 2h 2h 2h 2h Uc = Kc ;

4h 2 x z + cos sh 2h 2h x z x z cos sin sh ch P 2h 2h 2h 2h Wc = Kc.

4h 2 2 x z +cos sh 2h 2h Смещения точек упругого массива от изменения объема будут:

z x z x z + sin z ch cos dz ch z P P 2h 2h 2h 2h, x dz = K 0 = K 0 ln 2 ch x sin z z 2h sin ch 2h 2h 2h 2h x z + sin ch P 2h 2h.

W 0 = K 0 ln 2 ch x sin z 2h 2h Для случая, когда на поверхности упругого массива будет дейст вовать равномерно распределенная нагрузка интенсивностью p, Н/м2, по бесконечной полосе шириной 2а, функция давления может быть получена путем интегрирования (4.99) соответственно рис. 4.18:

( x ) z cos d ( x ) ch a p 2h 2h 2h a = = ( x ) z + cos ch 2h 2h ( x ) ( x ) dsh sh a a z 2h p 2h p 2h, 2h a 2 ( x ) = = arctg cos z a 2h z cos + cos sh 2h 2h 2h ( x + a) ( x a) ch sh p 2h 2h.

= arctg arctg (4.102) z z 2h cos cos 2h 2h Рис. 4.18. Схема к расчету напряженно-деформированного состояния бесконечно простирающегося упругого массива ограниченной толщины на жестком основании, допускающем только горизонтальные смещения чистого сдвига, от полосовой равномерной нагрузки С целью определения компонентов напряжений и сдвиговых сме щений запишем частные производные (4.102) ( x + a) ( x a) ch ch p z 2h 2h = cos ;

2h 2 ( x + a ) ( x a) x 2h z z + cos 2 + cos ch sh 2h 2h 2h 2h ( x + a) ( x a) ch sh p z 2h 2h = sin.

2h 2h 2 ( x + a ) ( x a) z z z + cos 2 + cos sh sh 2h 2h 2h 2h Компоненты напряженного состояния упругого массива в соот ветствии с (3.39) и (4.102) будут:

( x + a) ( x a) sh sh p 2h + p ( h z ) 2h x = arctg arctg z z 2h cos cos 2h 2h ( x + a) ( x a) sh sh z 2h 2h sin ;

2h sh 2 ( x + a ) + cos 2 z sh 2 ( x a ) + cos 2 z 2h 2h 2h 2h ( x + a) ( x a) sh sh 2h + p ( h z ) p 2h z = arctg arctg z z 2h cos cos 2h 2h ( x + a) ( x a) sh sh z 2h 2h sin ;

2h sh 2 ( x + a ) + cos 2 z sh 2 ( x a ) + cos 2 z 2h 2h 2h 2h ( x + a) ( x a) sh sh p 2h ;

2h arctg y = arctg z z cos cos 2h 2h ( x a) ( x a) ch ch z P 2h 2h xz = ( h z ) cos.

2h 2 ( x + a ) ( x a) z z + cos 2 + cos sh sh 2h 2h 2h 2h Компоненты смещений точек упругого массива от чистого фор моизменения получим согласно (3.28), (3.30):

p U c = K c = K c x 2h ( x + a) ( x a) ch ch z 2h 2h cos ;

2h 2 ( x + a ) ( x a) 2 z 2 z + cos + cos sh sh 2h 2h 2h 2h p W c = K c = Kc z 2h ( x + a) ( x a) sh sh z 2h 2h sin.

2h sh 2 ( x + a ) + cos 2 z sh ( x a ) + cos 2 z 2h 2h 2h 2h Смещения точек упругого массива от объемного деформирования можно получить путем интегрирования функции (4.97) с учетом (3.17)–(3.19):

( x + a) ( x a) sh sh p 2h dz + C ;

2h arctg W 0 = K 0 dz = K 0 arctg z z cos cos 2h 2h где С – произвольная интегрирования, которая может быть определе на из граничных условий: при z = 0, W 0 = 0.

4.3.5. Бесконечно простирающийся упругий массив на жестком основании, допускающем только вертикальные смещения Эта задача отличается от задачи п 4.3.4 тем, что условия контакта массива допускают вместо горизонтальных смещений от чистого формоизменения вертикальные (рис. 4.19). Граничными условиями для функции давления будут:

= 0 (U c = 0 ) ;

z = 0, x z = h, x 0, = 0;

z = h, x = 0, = ;

( x, z ) = ( x, z ).

Функция давления, отвечающая поставленным граничным усло виям, может быть получена из решения (4.94) для ограниченной ши рины массива (см. рис. 4.15), в котором следует выполнить предель ный переход путем l. Предварительно запишем это решение в виде P 2l n= sh ( ztn ) cos ( xtn ) tn, огр = 2l n=1 sh ( htn ) где ( 2n 1) tn =.

2l При неограниченном возрастании ширины массива l суммирова ние заменяем интегрированием:

P sh ( zt ) cos ( xt ) dt.

= = lim огр 0 sh ( ht ) l Согласно [29] несобственный интеграл такого вида сходится к своему пределу:

sin sh x sh x cos x dx =.

2 ch + cos Рис. 4.19. Схема к расчету напряженно-деформированного состояния бесконечно простирающегося упругого массива ограниченной толщины на жестком основании, допускающем только вертикальные перемещения чистого сдвига, от линейно распределенной нагрузки Выполнив соответствующую подстановку, получим искомую функцию давления:

z sin P h =. (4.103) 2h ch x + cos z h h Для дальнейшего анализа решения и определения компонентов напряжений и деформаций запишем первые и вторые частные произ водные полученной функции давления (4.103):

первые частные производные x z sh sin P h h = 2 ;

x 2h x z ch + cos h h x z 1 + ch cos P h h;

= z 2h x z ch + cos h h вторые частные производные z 2 x x z 1 sh + ch cos sin P 2 h h h h = 3 ;

x 2 2h x z ch + cos h h z x x z 1 sh 2 + ch cos sin 2 P2 h h h h =.

z 2 2h3 x z ch + cos h h Можно убедиться, что функция (4.103) удовлетворяет поставлен ным граничным условиям и является гармонической, следовательно, она обладает потенциалом.

Подтверждением взаимной связи решений теории упругости яв ляется возможность предельного перехода от решения одной задачи к решению другой задачи. В связи с этим попробуем перейти от фун кции давления (4.103) в данной задаче к функции давления при плос ком деформировании полупространства равномерно распределенной вдоль бесконечной линии нормальной нагрузкой (4.59). В целях удобства преобразований мысленно перенесем начало координат на рис. 4.19 вертикально вверх, в точку приложения нагрузки. В новой координатной системе функция (4.103) запишется в виде (h z) sin P h =, (h z) 2h x ch + cos h h где координата z направлена вниз, а область ее изменения будет h z 0.

Для перехода к функции давления в полупространстве от анало гичной нагрузки будем неограниченно увеличивать толщину упруго го слоя h :


(h z) sin P h = lim =.

(h z) x h 2 h ch + cos h h Для раскрытия неопределенности воспользуемся правилом Лопи таля и запишем первые производные по h в числителе и знаменателе:

( h z ) z cos P h h = lim =.

( h z ) z x z h 2h sh 2 sin h h h h Поскольку неопределенность не раскрыта, записываем в числите ле и знаменателе вторые производные по h:

P = lim h 2h ( h z ) z ( h z ) 2z sin 2 cos h h h h = ( h z ) z ( h z ) 4z 2 x z x z ch 2 + sh 3 cos 2 + sin h h h h h h h h z P Pz h = lim =.

h 2h x2 + z 4( x2 + z 2 ) h Таким образом, путем предельного перехода от (4.103) мы полу чили функцию давления при нагружении поверхности полупростран ства нагрузкой, равномерно распределенной вдоль бесконечной ли нии (4.59), что подтверждает взаимосвязь решений и является их контролем.

Компоненты напряженного состояния в данной задаче в соответ ствии с условиями (3.39) определяются зависимостями z x z 1 + ch sin cos P P h h h;

(h z) x = 2h ch x + cos z 2h x z ch + cos h h h h z x z 1 + ch sin cos P P h h h;

+ (h z) z = (4.104) 2h ch x + cos z 2h x z ch + cos h h h h z sin P h y = ;

2h ch x + cos z h h x z sh sin P h h zx = ( h z ) 2.

2h x z ch + cos h h Чтобы убедиться, выполняется ли условие общего равновесия в данной задаче, проинтегрируем компонент z на контакте упругого массива с жестким основанием, в результате чего мы должны полу чить внешнюю нагрузку Р (Н/м). Выполним эту операцию.

Компонент z (4.104) для случая z = 0 принимает вид x 1 + ch P P h= z =.

x 2h x z = 2h 1 + ch 1 + ch h h Составляем уравнение равновесия 2 z dx P = 0;

P dx h 1 + ch x P = 0, h x d x x e h h P P = P (1 0 ) P = 0.

P = Pth P = P x x 2h 0 e + 0 1 + ch h h Очевидно, что условие общего равновесия в задаче выполняется.

Запишем теперь компоненты смещений точек упругого массива от чистого формоизменения в рассматриваемой задаче:

x z sh sin P h h U c = K c =2 ;

x 2h x z ch + cos h h x z 1 + ch sin P h h;

W c = K c = z 2h x z ch + cos h h Вертикальные перемещения точек массива от изменения его плот ности определяются интегрированием (4.103) с учетом зависимостей (3.17)–(3.19):

z sin dz P h W 0 = K 0 dz =K 2h ch x + cos z, h h x z P W0 = K0 ln ch + cos + C.

2h h h Здесь С – постоянная интегрирования, которая определяется из граничных условий: при z = 0 вертикальное перемещение от измене ния плотности отсутствует, так как на этом уровне = 0, поэтому x P C = K 0 ln ch + 2 h и тогда x +1 ch 0P h W = K ln.

2 ch x + cos z h h В том случае, когда на поверхности бесконечно простирающегося упругого массива ограниченной толщины в данной задаче будет действовать равномерно распределенная нагрузка р (Н/м2) по полосе бесконечной длины и постоянной ширины 2а, задача определения функции давления решается путем интегрирования (4.103) согласно рис. 4.20:

x d ( x ) sin a P h 2h a ( x ) =.

z + cos ch h h После интегрирования согласно [30] и подстановки пределов получим:

( x + a) z 1 + ch cos р 1 h h = arcsin ( x + a) 2 sin z z ch cos h h h ( x a) z 1 + ch cos h. (4.105) h arcsin ( x a) z ch cos h h Рис. 4.20. Схема к расчету напряженно-деформированного состояния бесконечно простирающегося упругого массива ограниченной толщины на жестком основании, допускающем только вертикальные смещения чистого сдвига, от полосовой равномерной нагрузки Для определения компонентов напряжений и перемещений от чи стого формоизменения запишем частные производные (4.105):

р 1 = ;

(4.106) 2h ch ( x + a) + cos z ch ( x a) + cos z x h h h h р z = ln tg x 2h 2h ( x + a ) z ( x a ) z 1 + ch 1 + ch cos cos h h arcsin h h arcsin z ( x + a ) z ( x a ) + cos cos ch ch h h h h ( x + a) ( x a) sh sh 1 h h. (4.107) ( x + a ) z z ( x a ) z + cos sin ch + cos ch h h h h h В формулах (4.105)–(4.107) перед членами, содержащими положи тельное значение ( x + a ) либо ( x a ), следует поменять знак на про тивоположный.

Обозначив содержимое внешних скобок в (4.105)–(4.107) буквами соответственно А, В и D, записываем компоненты напряженного сос тояния:

p p A + ( h z ) D;

x = 2 2h p p A ( h z ) D;

z = 2 2h p ( h z ) B.

zx = 2h Смещение точек среды от объемного деформирования можно по лучить интегрированием функции (4.105):

p W0 = Adz + C, где произвольная интегрирования С определяется из граничных условий.

4.3.6. Бесконечно простирающийся упругий массив на жестком основании, допускающем частично горизонтальные и вертикальные смещения Выше были рассмотрены решения по определению напряженно деформированного состояния бесконечно простирающегося упругого массива конечной толщины на жестком основании при двух предель ных значениях граничных условий на контакте: основание допускает только горизонтальные смещения чистого сдвига (п. 4.3.4) и основа ние допускает только вертикальные смещения чистого сдвига (п. 4.3.5). В том же случае, когда основание допускает частично гори зонтальные и вертикальные смещения, решение можно получить путем комбинирования двух упомянутых решений, подобно тому как это было сделано в п. 4.3.3. Запишем такое решение для случая равномерно распределенной линейной нагрузки интенсивностью Р (Н/м).


Функция давления x z x z ch cos sh sin P г h ;

2h 2h + m в h = m 2h sh 2 x + cos 2 z 2 x 2 z + cos ch h 2h 2h h компоненты напряжений x z ch cos P г 2h ( h z ) 2h x = m 2h sh 2 x + cos 2 z 2h 2h 2h z x z x cos sin sh ch 2h 2h 2h 2h + 2 x z + cos sh 2h 2h z z x 1 + ch cos sin h, h h (h z) в +m x z h z x ch 2h + cos h ch + cos h h x z ch cos P г 2h + ( h z ) 2h z = m 2h sh 2 x + cos 2 z 2h 2h 2h z x z x cos sin sh ch 2h 2h 2h 2h + 2 x z + cos sh 2h 2h z z x 1 + ch cos sin h, h h + (h z) в +m x z h z x ch 2h + cos h ch + cos h h x z 2 x z sin г sh cos ch P m 2h 2h 2h 2h xz = 2 ( h z ) 2 h x z + cos sh h 2h x z sh sin h ;

h mв z 2 x + cos ch h h компоненты смещений чистого сдвига z x z x z x sin sh cos ch г sh sin c Р m 2h 2h 2h 2h h h, U =K m c в x z 2h 2 2 2 x z ch + cos + cos sh h h 2h 2h x z 2 x z cos г ch sin sh c Р m 2h 2h 2h 2h W = K c 2h 2 2 2 x z + cos sh 2h 2h z x 1 + ch sin h h, m в z x ch + cos h h вертикальные смещения от изменения плотности упругого мас сива x z x г ch 2h + sin 2h mв ch + 1 Р h W 0 = K 0 m ln + ln.

x z x z 2 sin ch + cos ch 2h 2h h h ЗАКЛЮЧЕНИЕ Руководствуясь предложенными физическими зависимостями для упругих массивов и описанной выше последовательностью действий при определении их напряженно-деформированного состояния, по лучены решения ряда задач, имеющих различные граничные условия.

В этот ряд входят как задачи, которые имели решения в прежней по становке, с использованием системы физических зависимостей в виде обобщенного закона Гука с присущими им недостатками, но решены теперь по-новому, так и задачи, решения которых не были известны в традиционной постановке. Среди последних важное место занимает общая задача по загружению полупространства наклонно действую щей к его поверхности сосредоточенной силой. Ее решение можно интегрировать для любой распределенной нагрузки. Для случая дей ствия в этой задаче сосредоточенной силы по нормали к поверхности полупространства будем иметь ее частный случай, относящийся к первой части решенных задач.

Ко второй части решенных задач также относятся задачи плоского деформирования бесконечно простирающегося упругого массива ограниченной толщины нормальной к его поверхности линейной и полосовой нагрузкой, а также другие задачи.

Таким образом, применение предложенных физических зависи мостей расширяет круг аналитически решаемых задач, а сами pе шения выглядят проще по сравнению с теми, которые были известны в традиционной постановке. И, что самое главное, во всех получае мых решениях строго выполняются законы механики.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Безухов, Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести [Текст] / Н. И. Безухов. – М.: Высшая шк., 1961. – 537 с.

2. Лейбензон, Л. С. Курс теории упругости [Текст] / Л. С. Лейбензон. – М.;

Л.: ОГИЗ – Гостехиздат, 1947. – 464 с.

3. Филоненко–Бородич, М. М. Теория упругости [Текст] / М. М. Филоненко– Бородич. – М.: Физматгиз, 1959. – 364 с.

4. Тимошенко, С. П. Теория упругости [Текст]: пер. с. англ. / С. П. Тимошен ко, Дж. Гудьер. – М.: Наука, 1975. – 576 с.

5. Ляв, А. Математическая теория упругости [Текст]: пер. с 4-го англ. издания / А. Ляв. – М.;

Л.: Изд-во НКТП СССР, 1935. – 674 с.

6. Boussinesq, J. Application des potentiels a l'equilibre et du movement des sol ides elastiques [Text] / J. Boussinesq. – Paris, 1885.

7. Flamant, Comptes rendus, t. 114, Paris, 1892.

8. Флорин, В. А. Основы механики грунтов [Текст].: в 2 т. / В. А. Флорин // Л.;

М.: Гос. изд-во лит-ры по строительству, архитектуре и строительным материалам. 1959. – т. 1. – 359 с.

9. Цытович, Н. А. Механика грунтов [Текст] / Н. А. Цытович. – М.: Гос. изд во лит-ры по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1963. – 636 с.

10. Kelvin, Cambridge and Dublin Math. J., 1848.

11. Жемочкин, Б. Н. Теория упругости [Текст] / Б. Н. Жемочкин. – М.: Гос.

изд-во лит-ры по строительству и архитектуре, 1957. – 256 с.

12. Бадалаха, И. К. Определение напряженно-деформированного состояния упругих массивов путем выделения объемных и сдвиговых деформаций [Текст] / И. К. Бадалаха // Межведомственный сб. науч. тр. / Ин-т геотехн.

механики НАН Украины. – Д.: Поліграфіст, 2000 – Вып. 18. – С. 119–127.

13. Гольдштейн, М. Н. Механика грунтов, основания и фундаменты [Текст] / М. Н. Гольдштейн, А. А. Царьков, И. И. Черкасов. – М.: Транспорт, 1981. – 320 с.

14. Мышкис, А. Д. Лекции по высшей математике [Текст] / А. Д. Мышкис. – М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит-ры, 1967. – 640 с.

15. Овчинников, П. П. Вища математика [Текст]: в 2 ч. / П. П. Овчинников, Ф. П. Яремчук, В. М. Михайленко. – К.: Техніка, 2003. – Ч. 1. – 600 с.

16. Крылов, А. Н. Собрание трудов [Текст]: в 11 т. / А. Н. Крылов. – М.;

Л.:

Изд-во АН СССР, 1951. – Т. 1, ч. 2. – 323 с.

17. Жуковский, Н. Е. Собрание сочинений [Текст]: в 7 т. / Н. Е. Жуковский. – М.;

Л.: Гостехиздат 1948. – Т. 2. – 764 с.

18. Павловский, Н. Н. Собрание сочинений [Текст]: в 2 т. / Н. Н. Павловский. – М.;

Л.: Изд-во АН СССР, 1956. – Т. 2. – 771 с.

19. Бадалаха, И. К. Постановка и решение задач теории упругости с использо ванием потенциала [Текст] / И. К. Бадалаха // Будівництво: зб. наук. пр.

Дніпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. – 1999. – Вип. 6. – С. 173–184.

20. Бадалаха, І. К. Рішення задач теорії пружності з роздільним визначенням чистих і об’ємних деформацій [Текст] / І. К. Бадалаха // Тези 69-ї Міжнародної науково-техн. конф. «Проблеми та перспективи розвитку залізничного транспорту» 21–22 травня 2009 р., Дніпропетровськ. – Д.:

Вид-во Дніпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. акад. В. Лазаряна, 2009. – С. 184–185.

21. Бадалаха, И. К. Решение задач теории упругости с раздельным определе нием чистых и объемных деформаций [Текст] / И. К. Бадалаха // Зб. наук.

пр. Дніпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. ім. акад. В. Лазаряна. – 2009. – Вип. 27. – С. 154–159.

22. Двайт, Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы [Текст] / Г. Б. Двайт. – М.: Наука, 1977. – 224 с.

23. Бадалаха, И. К. Напряженно-деформированное состояние упругого полу пространства от погонной линейной нагрузки, действующей на ограничен ном и неограниченном протяжении его поверхности [Текст] / И. К. Бадала ха // Зб. наук. пр. Дніпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. ім. акад. В. Лазаря на. – 2009. – Вип. 26. – С. 98–102.

24. Мачерет, Я. А. Распределение мгновенных напоров и давлений в грунтовой массе, вызванных мгновенной нагрузкой [Текст] / Я. А. Мачерет // Тр.

ВИОС. Основания и фундаменты. Сб. 4: Вибрации оснований и фундамен тов. – М., 1934. – С. 64–123.

25. Бадалаха, И. К. Напряженно-деформированное состояние упругого полу пространства, нагруженного равномерно распределенной нагрузкой по площади прямоугольника и по бесконечной полосе [Текст] / И. К. Бадалаха // Зб. наук. пр. Дніпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. ім. акад. В. Лазаряна.

– 2009. – Вип. 28. – С. 82–89.

26. Короткин, В. Г. Объемная задача для упруго-изотропного полупространст ва [Текст] / В. Г. Короткин // Сб. 4, изыскательский выпуск / НКТП СССР, Главгидроэнергострой. Государственный всесоюзный трест по изысканиям и проектированию гидроэлектростанций и гидроэнергоузлов, Гидроэнер гопроект, Ленинградское отделение. – 1938. – С. 52–85.

27. Бадалаха, И. К. Влияние гидродинамических факторов на устойчивость ос нований и сооружений из насыпных грунтов [Текст]: дис … канд. техн. на ук / И. К. Бадалаха. – Д., 1980. – 199 с.

28. Бадалаха, И. К. Напряженно-деформированное состояние бесконечно длинных упругих массивов различной ширины и ограниченной толщины на жестком основании рои их плоском деформировании [Текст] / И. К. Ба далаха // Зб. наук. пр. Дніпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. ім. акад. В. Ла заряна. – 2010. – Вип. 31. – С. 161–172.

29. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений [Текст] / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. – М.: Наука, 1971. – 1108 с.

Для нотаток УДК 624. Физические зависимости упругих массивов [Текст]:

монография / И. К. Бадалаха. – Д.: Изд-во Днепропетр. нац. ун-та ж.-д. трансп. им. акад. В. Лазаряна, 2012. – 197 с.

ISBN 978-966-8471-51- Деформації пружного середовища поділяються на два види відповідно до їх походження: об’ємні й чистої формозміни. Кожен вид деформації підпорядковується своїй, окремій, залежності, тому вони визначаються окремо.

Результати виконаної роботи можуть бути використані спеціалістами в галузі фізики й механіки деформівних твердих тіл, у тому числі ґрунтів, викладачами, аспірантами й студентами вищих навчальних закладів, проектувальниками для розрахунку основ споруд.

Наукове видання Бадалаха Іван Кузьмич Фізичні залежності пружних масивів Монографія (Російською мовою) Редактор О. О. Котова Комп’ютерна верстка О. М. Гончаренко 1.

Формат 60 84 Ум. друк. арк. 11,91. Обл.-вид. арк. 10,50.

Тираж 300 пр. Зам. № Видавництво Дніпропетровського національного університету залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 1315 від 31.03.2003 р.

Адреса видавництва та дільниці оперативної поліграфії:

49010, м. Дніпропетровськ, вул. Лазаряна, 2.



Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.