авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ" В.Н. Беляев, В.А. Климанов ...»

-- [ Страница 2 ] --

11. Investigation of accelerated Monte Carlo techniques for PET simulation and 3D PET scatter correction / C.H. Holdsworth, C.S.

Levin, T.H. Farquhar et al. // IEEE Trans. Nucl. Sci. V. 48. 2001. P. – 81.

Глава 2. Реконструкция изображений в позитронно-эмиссионной томографии Первичные экспериментальные данные при проведении ПЭТ исследований накапливаются в памяти компьютера в виде так на зываемых синограмм, из которых в результате процедуры реконст рукции (восстановления) формируется изображение исследуемого объекта (имидж). Реконструкция может выполняться разными ме тодами. Со времени своего внедрения в конце шестидесятых годов прошлого века в физико-математические приложения, связанные с получением медицинских изображений, томографическая реконст рукция превратилась во всесторонне исследованную и высокораз витую область прикладной науки. Разнообразие алгоритмов для реконструкции в ПЭТ обусловлено фактом отсутствия одного оп тимального алгоритма. Различные алгоритмы могут оказаться предпочтительными в зависимости от таких факторов, как отноше ние сигнал/шум, статический или динамический характер исследо вания распределения РФП, практические ограничения на время процессинга и, самое важное, клинической задачи, для решения которой восстанавливается изображение.

В данной главе основное внимание уделяется наиболее общим методам реконструкции. За основу изложения взяты обзорные ра боты [1 – 3]. Для более детального изучения продвинутых методов и алгоритмов реконструкции изображений в ПЭТ рекомендуются специализированные монографии [4 – 8].

1. Сбор данных при 2-мерной и 3-мерной визуализации ПЭТ-визуализация так же как некоторые другие способы визуа лизации может быть описана в рамках линейной интегральной мо дели набора данных. Начнем анализ с параллелепипеда, соеди няющего два детекторных элемента, рассматривая его как чувстви тельный объем (рис. 2.1). Если отсутствуют такие физические эф фекты как ослабление, рассеянные и случайные совпадения, изме нение эффективности регистрации детекторов и влияние скорости счета, то полное число событий совпадения будет пропорциональ но количеству РФП (трассера), содержащегося в затемненной части параллелепипеда.

Рис. 2.1. Объем ответа, соответствующий чувствительной области, сканируемой двумя детекторными элементами: а – полное изображение с объемом ответа, пока занным в виде линии ответа LOR;

б – увеличенное изображение объема ответа (VOR), сканируемого двумя прямоугольными детекторными элементами (адап тировано из [3]) 1.1. Двумерная визуализация При 2-мерной визуализации в ПЭТ учитываются только линии ответа (LOR), лежащие внутри выделенной плоскости визуализа ции. Сбор данных производится вдоль LOR через 2-мерный объект f(x,y), как показано на рис. 2.2. Линии ответа организуются в ряды проекций, линейные интегралы по всем s для фиксированного на правления. Множество всех проекций для 0 образуют двумерную функцию переменных s и, называемую, как отмеча лось выше, синограммой. Происхождение этого термина объясня ется тем, что фиксированная точка в объекте вычерчивает сину соидальный путь в области проекции (см. рис. 2.2). Синограмма всего объекта будет представлять суперпозицию всех синусоид, соответствующих каждой точке с активностью в исследуемом объ екте (рис. 2.3).

Рис. 2.2. Проекция p(s, ) образуется в результате интегрирования вдоль всех параллельных линий LOR под углом. В данном формате точка трассируется в синограмме в виде синусоиды (адаптировано из [3]) Рис. 2.3. Образование синограммы (б) в результате регистрации эмиссии позитронов в объекте (а) [3] Линейное интегральное преобразование f ( x, y) p( s, на зывается рентгеновским преобразованием [4], которое для 2-М изображений аналогично преобразованию Радона. Рентгеновское преобразование является основой для модели процесса сбора дан ных для нескольких модальностей, включая гамма-камеры, ОФЭКТ, ПЭТ, рентгеновские системы визуализации.

В 2-М ПЭТ формируются проекции только через поперечный скан объемного объекта. Визуализация 3-М объекта производится с помощью повторного набора данных для других (вдоль оси z) ска нов объекта. После завершения реконструкции синограмм для каж дой величины z, плоские изображения можно состыковать для по лучения 3-М изображения f(x,y,z). Такой метод можно рассматри вать как возможную форму 3-М визуализации, но он существенно отличается от полной 3-М модели набора данных.

1.2. Полный 3-М набор данных При 2-М визуализации в ПЭТ накапливаются только линейные интегральные данные для всех визуализационных плоскостей, пер пендикулярных к оси сканера и называемых прямыми плоскостями (см. рис. 1.9 и 1.10). Серия 2-М плоскостей совмещается для обра зования 3-М объема. При полной 3-М визуализации в ПЭТ прово дится набор данных как в прямых плоскостях, так и линейных ин тегралов данных вдоль косых плоскостей, которые пересекают прямые плоскости (см. рис. 1.10). Как многократные 2-М изобра жения, так и полные 3-М изображения приводят к 3-М визуализа ции. Разная терминология специфицирует только тип набираемых данных. Работа ПЭТ-сканера в полной 3-М моде позволяет увели чить чувствительность и, таким образом, понизить статистические флуктуации (шум), связанные с регистрацией фотонов, и улучшить отношение сигнал/шум в реконструированном изображении.

Ранние модели ПЭТ-сканеров не допускали полную 3-М визуа лизацию, так как эта мода требует примерно в 103 раз больше па мяти, чем 2-М. В результате реконструкция становилась в расчет ном отношении существенно более сложной и долгой. Кроме того, полные 3-М измерения содержат значительно больше рассеянных событий, чем 2-М измерения, так как последние выполняются с применением септы между кольцами детекторов, уменьшающей регистрацию рассеянных событий.

1.3. Детерминистская и стохастическая модели визуализации Один из способов представления системы визуализации состоит в описании ее следующим линейным соотношением:

p H f n, (2.1) где p – ряд результатов измерений;

H – известная модель системы;

f – неизвестное изображение;

n – погрешность измерения.

Целью реконструкции является получение изображения f на ос нове проекций p через неизвестный объект. В рамках этой линей ной интегральной модели требуется прояснить содержание значе ний данных. На практике значения данных моделируются либо как детерминистские, либо как стохастические (случайные) перемен ные.

По большей части данные, получаемые в ПЭТ, рассматривают ся как детерминистские, поэтому n в уравнении (2.1) считается детерминистской величиной. Если значение n известно, то можно найти точное решение для изображения. Аналитические методы реконструкции для решения этой задачи используют обратное пре образование Радона, дающее прямое математическое решение для изображения f на основе знания проекций p. Преимущество детер министского допущения заключается в упрощении задачи реконст рукции, что позволяет получить быстрое прямое решение. Отрица тельной стороной этого подхода является пренебрежение структу рой шума в наблюдениях (измерениях) и идеализация модели сис темы. Как следствие, детерминистский подход может приводить к изображениям с уменьшенным разрешением и неважными свойст вами шума (часто в форме полосы артефактов). Аналитические ме тоды рассматриваются в следующем разделе.

На самом деле значения данных от природы стохастичны в силу физических реалий, имеющих место в ПЭТ, включая процесс пози тронного распада, эффекты ослабления и рассеяния фотонов и про цесс регистрации фотонов. Следовательно, n в уравнении (2.1) пра вильнее рассматривать как случайный шум, что делает невозмож ным нахождение точного решения для изображения. Поэтому час то приходится возвращаться к численным оценочным методам, ко торые в области томографической реконструкции ищут решение с помощью итеративного подхода. Эти оценочные методы приводят к приближенным решениям при условии введения ограничений на решение в виде некоторых форм регулизации.

2. Аналитическая 2-М реконструкция изображений 2.1. Теорема 2-М центрального сечения Теорема центрального сечения является фундаментальным со отношением в аналитической реконструкции изображений. Эта теорема устанавливает, что Фурье преобразование 1-М проекции эквивалентно сечению (или профилю) под тем же углом 2-М пре образования Фурье всего объекта [7]. На рис. 2.4 иллюстрируется эта теорема.

Рис. 2.4. Иллюстрация теоремы 2-М центрального сечения, устанавливающей эк вивалентность между 1-М преобразованием Фурье проекции (F1(p(s, )) под уг и центрального сечения под тем же углом 2-М (F2(f(x,y)) лом преобразования Фурье объекта (адаптировано из [3]) Теорема центрального сечения указывает, что е сли из вестно P(v s, ) под всеми углами 0, то можно оп ределить все значения F(v x,v y ) (здесь v x и v y обозначают частоты, связанные с x и y, соответственно). Проводя об ратное 2-М преобразование Фурье, получим f(x,y).

2.2. Обратное проецирование Важнейший шаг в реконструкции изображений заключается в обратном проецировании, которое является сопряженным к про цессу прямого проецирования, создающего проекции объекта. На рис. 2.5 демонстрируется обратное проецирование вдоль фиксиро ванного угла.

Рис. 2.5. Обратное проецирование b(x,y, ) в массив реконструируемого изображения всех величин p(s, ) для всех значений (адаптировано из [3]) Концептуально обратное проецирование можно описать, как помещение величины обратно в массив изображения вдоль соот ветствующей линии ответа. Однако ввиду отсутствия информации о расположении точек эмиссии на LOR (она была потеряна на шаге прямого проецирования), то приходится предположить постоянное распределение во всех элементах вдоль линии ответа. В таком слу чае было бы ошибочно считать, что прямое обратное проецирова ние всех собранных проекций создаст исходное изображение. Это не так, потому что данный способ обратного проецирования при водит к преувеличенным значениям результатов ("избыточности") в центре преобразования Фурье и к уменьшенным значениям на краях. Например, если проводится обратное проецирование только под двумя углами и 2, то после преобразования Фурье вклад в центре будет двойным, в то время как на краях FOV одинарным.

Другой пример возьмем с одиночным точечным источником. Если применить простое обратное проецирование проекций такого ис точника, то изображение окажется сильно размазанным, так как проекции добавляются обратно к полной LOR, вдоль которой они были сделаны. Для устранения эффекта перебора применяется взвешивание результатов или фильтрация, которые позволяют по лучить равные вклады по всей области обзора.

2.3. Реконструкция методом обратной проеци рования с фильтрацией в Фурье пространстве Задачей реконструкции является расчет из данных p(s, ) значе ний f(x,y). После обратного проецирования для корректировки из быточности данных в центре фурье-пространства требуется приме нения процедуры фильтрации, чтобы создать в этом пространстве равное распределение. По существу, преобразование Фурье обрат ной проекции изображения следует подвергнуть фильтрации с по мощью "конусного" фильтра ( v vx v y ). Этот фильтр повыша 2 ет значения величин на края пространства Фурье и ослабляет в центре пространства. Такая операция записывается в виде F (v x, vy ) vB(v x, v y ), (2.2) где B(vx,vy) – 2-М преобразование Фурье обратно проецирован ного изображения;

F(vx,vy) – 2-М преобразование Фурье фильтро ванной обратной проекции изображения. Заключительная операция состоит в инверсии фурье-преобразования F(vx,vy) для получения изображения f(x,y).

Такой способ обработки экспериментальных данных ПЭТ из вестен как метод реконструкции фильтрованной обратной проек ции изображения. Таким образом, в этом методе сначала произво дится обратное проецирование данных по проекциям, затем они фильтруются в фурье-пространстве конусным фильтром и в заклю чении выполняется обратное фурье-преобразование. Альтернатив но, фильтрацию можно провести в пространстве изображения, применяя свертку b(x,y) c F2-1{v}. Недостатком подобного подхода является то, что функция b(x,y) имеет более широкую область оп ределения, чем f(x,y) из-за операции свертки с членом фильтрации, которая приводит в постепенному уменьшению значений за преде лами области определения f(x,y). Таким образом, любая численная процедура должна рассчитывать b(x,y), используя существенно бо лее широкую матрицу, чем это необходимо для конечного резуль тата. Данный недостаток можно устранить, изменяя порядок шагов фильтрации и обратного проецирования.

2.4. Реконструкция методом фильтрованного обратного проецирования Если изменить порядок шагов фильтрации и обратного проеци рования в уравнении (2.2), то получим полезный метод реконст рукции фильтрованного обратного проекций изображения:

f ( x, y ) p F ( s, )d (2.3) где фильтрованная проекция определяется из уравнения:

p F (s, ) F11{| vs | F1{ p(s, )}}, (2.4) которое можно рассматривать как предварительное корректиро вание на избыточность фурье-преобразования f(x,y). Одномерный пилообразный (англ. ramp) фильтр |vs| является сечением через симметричный относительно поворота 2-М конусный фильтр. Пре имущество этого метода заключается в том, что пилообразный фильтр применяется к каждой измеренной проекции, которая имеет конечную область определения по s и необходимо выполнить об ратное проецирование фильтрованных проекций только для |s|, меньшего чем радиус поля обзора. Это означает, что изображение в методе фильтрованной обратной проекции можно рассчитать, ис пользуя много меньшую по размеру матрицу реконструкции, чем в методе обратного проецирования с фильтрацией обратной проек ции в фурье-пространстве.

2.5. Регуляризация Инверсия уравнения (2.1) относится к плохо обусловленным за дачам и его решение (2.3) является нестабильным по отношению к небольшим возмущениям данных p(s, ). Такая ситуация может приводить к непредсказуемым изменениям в оценке f(x,y). Так как детектирование фотонов является стохастическим процессом, то для ограничения область решения до физически приемлемых зна чений необходимо использовать некоторые формы регуляризации.

Наиболее часто применяемым видом регуляризации реконст рукции изображения является простое сглаживание данных. В ме тоде реконструкции фильтрованной обратной проекции уравнения (2.3) эта операция записывается в виде следующего выражения:

f ( x, y ) f ( x, y) F{W (vs ) | vs | F1{ p( s, )}}d (2.5) где f ( x, y ) – реконструированная оценка f(x,y);

W(vs) – сглажи вающая (аподизационная) функция.

В литературе по реконструкции томографических изображений термин "фильтр" закреплен за единственным пилообразным филь ром |vs|. В то время как функция сглаживания может иметь произ вольный вид, который представляется предпочтительным с точки зрения отношения сигнал/шум или по другим соображениям. От метим, что если W(vs) 1, то уравнение (2.5) является смещенной оценкой f(x,y).

Продемонстрируем принцип действия большинства аподизаци онных функций на простой модели. Если рассматривать измерен ные проекционные данные как сумму истинных проекционных данных и некоррелированного случайного шума, p M ( s, ) p(s, ) n(s, ), то соответствующий измеренный спектр мощности равен PPM (vs, ) Pp (vs, ) P n (vs, ). По причине ко нечной частотной чувствительности системы детектирования мощ ность сигнала (PP) будет постепенно затухать, в то время как мощ ность шума (Pn) будет оставаться практически постоянной, что де монстрируется на рис. 2.6. Эффект пилообразного фильтра, также показанный, будет усиливать высокочастотные компоненты спек тра мощности, которые станут доминирующими в шуме при высо ких частотах. Общепринятая аподизационная функция представля ет косинусоидальное аподизационное окно, называемое также ок ном Ханнинга. Специфическая форма W(vs) будет определять ком промисс шум/разрешение в реконструированном изображении и также влиять на структуру шума в изображении. На практике за труднительно строго обосновать выбор функции W(vs), в принципе, ее выбор должен оптимизировать конкретную задачу, например, детектирование болезни.

Рис. 2.6. Иллюстрация использования W(vs,)|vs|, аподизирующей пилообразный фильтр для подавления усиления мощности шума высокой частоты выше граничной частоты vc [3] 3. Аналитическая 3-М реконструкция изображений Между реконструкцией 2-М и 3-М изображений существует два важных различия: пространственное изменение чувствительности сканера и избыточность данных в полном 3-М варианте. В 3-М мо де сканер более чувствителен к активности в центре FOV, чем к активности на краю, так как в таком случае более косые плоскости пересекают центр сканера. Это усложняет методы аналитической реконструкции. С другой стороны, избыточность данных является положительным моментом, так как для реконструкции 3-М изо бражения с помощью аналитических методов достаточно иметь экспериментальные данные только для одного срезам (скана). На личие 3-М экспериментальных данных по многим срезам позволяет применить для реконструкции много различных методов.

3.1. Алгоритм 3-М обратного проецирования Пространственное изменение чувствительности сканера возни кает как следствие конечной аксиальной протяженности сканера, приводящее к усечению проекций. Для 2-М кольцевого сканера регистрируемая интенсивность от точечного источника остается почти постоянной независимо от положения источника в пределах FOV, что иллюстрируется на рис. 2.7. В то время как для 3-М ци линдрического сканера детектируемая интенсивность точечного источника изменяется внутри FOV, особенно при аксиальном пе ремещении источника.

Рис. 2.7. Иллюстрация пространственной инвариантности 2-М визуализации и пространственного изменения 3-М визуализации при рентгеновском преобразовании (адаптировано из [3]) Пространственная изменчивость чувствительности усложняет процесс реконструкции. Например, если область определения не измеряется из-за усечения, то точный расчет 2-М фурье преобразования проекций для алгоритма реконструкции с помо щью метода фильтрованного обратного проецирования становится невозможным при простом использовании быстрого преобразова ния Фурье.

Общепринятым методом восстановления пространственной ин вариантности измеряемых 3-М рентгеновских проекций является алгоритм 3-М обратного проецирования [7]. В этом методе неизме ряемая область проекций оценивается численно прямым проециро ванием через первоначальную оценку изображения. Последняя формируется в результате реконструкции изображения, используя только прямые плоскости методом 2-М обратного проецирования с фильтрацией в фурье-пространстве для каждой наклонной плоско сти [8].

Кроме того, имеется возможность ограничить диапазон акси альных углов только не усеченными проекциями. Однако в меди цине такой прием обычно не применяется, так как размеры пациен та занимают целиком аксиальную длину сканера.

3.2. Методы перегруппировки При 3-М рентгеновской трансформации данных, применяя оп ределенную форму усреднения сигналов, можно использовать из меренные данные для оценки массива 2-М поперечных синограмм.

Такая процедура называется алгоритмом перегруппировки (или пересортировки). Преимущество алгоритмов перегруппировки за ключается в возможности эффективной реконструкции каждой пе регруппированной синограммы либо аналитическими, либо итера ционными методами. Дополнительно, перегруппировка может су щественно уменьшить размер данных. Недостаток методов пере группировки состоит в появлении пространственно изменяющегося возмущения и/или усиления статистического шума. Хотя методы перегруппировки не относятся, по существу, к процедурам рекон струкции, они служат важным дополнением к семейству методов, на которые опирается решение проблемы 3-М реконструкции изо бражений.

Простейший, но полезный и часто используемый метод пере группировки называется алгоритмом перегруппировки одиночно го среза. В нем перегруппированные синограммы формируются из усреднения всех наклонных синограмм, пересекающих прямую плоскость в центре трансаксиального поля обзора [9]. Более точ ным методом перегруппировки является алгоритм перегруппиров ки Фурье, который основан на эквивалентности с разумной точно стью между специфическими элементами в фурье преобразованных наклонных и поперечных синограмм. Другими словами, фурье-преобразованные наклонные синограммы пересор тировываются в поперечные синограммы и после нормализации для выборки в Фурье преобразовании обратно трансформируются для аккуратного восстановления прямых синограмм. Этот метод немного усиливает статистический шум по сравнению с перегруп пировкой одиночного среза, но результаты имеют значительно меньшее возмущение.

4. Итеративная реконструция изображений 4.1. Основные элементы Итеративные методы обеспечили улучшение аналитического подхода, так как в них возможен учет структуры шума в измере нии и применение более реалистической модели системы. Более реалистичный подход зачастую реализуется в виде итерационного процесса, при котором производится последовательное улучшение оценки искомого изображения. Поэтому обратной стороной их ис пользования является сильное повышение сложности алгоритмов и особенно объемов расчета, в результате чего они не находили дол гое время широкого практического применения.

Все итеративные методы содержат пять основных компонентов.

Первый и часто упускаемый из виду компонент заключается в мо дели изображения. Обычно это дискретизация области изображе ния на N отдельных пикселей (2-М элементы изображения) или вокселей (3-М элементы изображения). В некоторых моделях предлагаются сферические элементы [10,11] с перекрывающимися границами. Но на практике из-за сложности расчетов они не ис пользуются. Как правило, элементы изображения считаются детер министскими переменными, но в некоторых случаях эти же эле менты могут рассматриваться как случайные переменные и при реконструкции изображений может применяться байесовский под ход.

Второй основной компонент представляет модель системы, свя зывающую изображение и данные. Элемент Hi,j модели системы H характеризует систему визуализации и представляет вероятность того, что эмиссия из вокселя j детектируется в проекции i. Поэтому N pi H i, j f j, (2.6) j где pi – среднее значение i-проекции;

fi – активность в вокселе j (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Иллюстрация одиночного элемента модели системы Hi,j (адаптировано из [3]) Большинство клинических методов использует пространственно инвариантные модели системы с функциями отклика, упрощен ными для повышения эффективности расчета. В недавних исследо ваниях показано, что применение более точных, пространственно зависимых моделей системы улучшает разрешение и уменьшает погрешности позиционирования в системах высокого разрешения для небольших животных [12] и при ПЭТ-визуализации всего тела [13].

Третий компонент всех итеративных методов представляет мо дель данных, которая в статистических (возможно точнее стохас тических) методах описывает соотношение между значением вели чины в измерениях и ожидаемым значением измеряемой величины.

Другими словами, эта модель определяет, как изменяются измере ния проекций вокруг их ожидаемых величин, и вытекает из нашего базового понимания процесса набора данных. Так как детектирова ние фотонов подчиняется распределению Пуассона, то в большин стве методов применяется модель Пуассона. Для M проекций закон Пуассона устанавливает, что вероятность L того, случайный вектор пуассоновского распределения для числа отсчетов P равен истин ным отсчетам фотонов p при заданном векторе скорости эмиссии f, есть pipi exp( pi ) M P( P p | f ) (2.7) pi !

i Хотя модель Пуассона вполне подходит для ПЭТ визуализации с концептуальной точки зрения, однако после введения поправок на случайные события, рассеяние и ослабление излучения данные уже не совсем корректно считать пуассоновскими. Поэтому для повышения точности модели и расчетных соображений были пред ложены другие модели такие, как аппроксимации Пуассона [14], смещенный Пуассон [15], гауссовские модели.

Теперь, имея описание изображения, измерений и системы, ос тановимся на рассмотрении принципа управления или управляю щего критерия, который определяет "наилучшее" изображение.

Управляющий принцип часто математически выражается как стоимостная или целевая функция. Наиболее распространенным критерием при итеративной реконструкции является максимизация функции правдоподобия, представляющей стандартный метод ста тистической оценки. В этом подходе вероятностное соотношение (2.7) представляет функцию правдоподобия объекта f, т.е. задача состоит в такой оценке объекта f, которая обеспечивает макси мальное значение L( ).

Оценки максимального правдоподобия являются выигрышны ми, потому что они обеспечивают несмещенное, с минимальной дисперсией оценивание процесса при стремлении числа измерений к бесконечности. Это означает, что при большом количестве изме рений или проекций ожидаемая величина оценки изображения приближается к истинному изображению ( E ( f ) ftrue ). Доказа но, что эти оценки обеспечивают минимальную дисперсию и соз дают наименьший шум среди всех возможных несмещенных оце нок. Однако несмотря на такое шумовое свойство, нередко несме щенное оценивание приводит к неприемлемому уровню шума вследствие значительного шума в системах детектирования эмис сии фотонов. Поэтому на практике часто выбираются методы, дающие некоторое смещение в реконструированном изображении в обмен на уменьшение уровня шума. Такое смещение вводится в форме пространственного сглаживания либо в неявном виде, оста навливая алгоритм перед достижением решения максимального правдоподобия, либо в явном виде через некоторые операции сглаживания. Такие операции сглаживания могут иметь форму постпроцессинга через фильтр низких частот или один из байесо вых штрафных подходов, обсуждаемых ниже.

Заключительный компонент всех итеративных методов пред ставляет алгоритм, который оптимизирует целевую или стоимост ную функции, т.е. находит наилучшую оценку изображения. В ли тературе предложены и на практике используются разные числен ные алгоритмы, начиная от градиентных алгоритмов и заканчивая наиболее распространенными алгоритмами максимизации ожида ния.

4.2. Алгоритм максимизации ожидания максимального правдоподобия Метод максимизации математического ожидания максимально го правдоподобия (англ. maximum likelihood expectation maximiza tion (MLEM)) или, короче, метод максимального правдоподобия (МП) является численным методом определения оценки макси мального правдоподобия. Алгоритм MLEM, начиная с его первого применения в области реконструкции изображений в 1982 г. [16], остается основой для наиболее популярного статистического мето да реконструкции изображений и является фундаментом для мно гих других методов.

Приложение алгоритма MLEM к реконструкции изображений в ПЭТ приводит к простому итерационному уравнению f j( n 1) pi H ( n 1) f, (2.8) H H j ij f k( n ) ij i ik i k где f j( n 1) следующая оценка вокселя j, основанная на текущей оценке f ( n ).

Рис. 2.9. Диаграмма MLEM алгоритма. Начало с позиции первоначального угады ), алгоритм итеративно выбирает новую оценку изображения, осно (0) вания ( f ванную на измеренных проекциях p (адаптировано из [3]) Опишем этот алгоритм более подробно с помощью рис. 2.9.

Итерационный процесс начинается с "угадывания" начального приближения к изображению f (0), показанного в верхнем левом углу рисунка и присутствующего как знаменатель в уравнении (2.8). За начальное приближение обычно берется равномерное рас пределение источников эмиссии по всему объему. Первый шаг (1) заключается в прямом проецировании этого изображения в про странство проекций. Затем (2) эти проекции сравниваются с изме ренными проекциями p и формируется мультипликативный кор ректирующий фактор для каждой проекции. Далее (3) данный фак тор проецируется обратно в пространство изображения с целью определения корректирующего фактора для начальной оценки изо бражения. В пространстве изображения этот корректирующий фак тор умножается (4) на текущую оценку изображения и делится на весовой член, основанный на модели системы, чтобы учесть жела тельную мощность каждого фактора коррекции изображения. По лученная таким образом новая оценка изображения снова вводится в алгоритм как следующее приближение, и весь процесс повторя ется до достижения решения максимального правдоподобия.

В процессе работы алгоритма после нескольких первых итера ций в создаваемом изображении появляется низкочастотный ком понент. При приближении к решению максимального правдоподо бия в реконструируемом изображении появляется все больше вы сокочастотных проявлений, что существенно увеличивает вариа цию в реконструкции. Как отмечалось выше, эту вариацию часто уменьшают (ценой увеличивающегося смещения), применяя ран нюю остановку алгоритма или постсглаживание реконструкции.

Сходимость алгоритма MLEM зависит от изображения, но на прак тике обычно для достижения решения требуется от 20 до 50 итера ций. Так как MLEM требует на каждой итерации одного прямого и одного обратного проецирования, то общее время процессинга зна чительно больше, чем для метода фильтрованных обратных проек ций, однако алгоритм MLEM позволяет получать более точную ре конструкцию.

4.3. Алгоритм максимизации ожидания упорядоченных подмножеств Алгоритм ожидания упорядоченных подмножеств (англ. ordered subsets expectation maximization (OSEM)) был внедрен в 1994 г. [17] с целью сокращения времени расчета по алгоритму MLEM. Факти чески, он представляет небольшую модификацию MLEM и исполь зует подмножества полного массива данных при каждой коррекции в следующей форме:

f j( n ) pi H ( n 1) f, (2.8) H H j ij f k( n ) i j iSb ik iSb k где шаги обратного проецирования суммируются только по проек циям подмножества Sb из полного числа подмножеств B. Поэтому изображение корректируется в течение каждой подытерации и одна полная итерация корректирует B подмножеств изображения. Если количество подмножеств B = 1, то OSEM совпадает с MLEM.

Предложено много подходов разделения пространства проекций на подмножества. Большинство подходов использует неперекры вающиеся подмножества (каждое подмножество содержит M/B проекций). В наиболее общем подходе пространство проекций де лится на подмножества с различных ракурсов или азимутальных углов. Например, предположим, что сбор проекций объекта прово дится под углами 0, 23, 45 и 68 градусов. Разделим эти проекции на два подмножества, объединив в одном подмножестве проекции под углами 0 и 45 градусов, а в другом проекции под углами 23 и градусов. Затем применим алгоритм MLEM к проекциям в подмно жестве 1 и получим оценку изображения. Затем получаем оценку изображения, используя подмножество проекций 2.

На рис. 2.10 демонстрируется свойство сходимости OSEM для разного числа операций и числа подмножеств. Хотя OSEM похож на MLEM, этот удобный в вычислительном отношении метод не гарантирует сходимость к решению максимального правдоподо бия. На практике его сходимость подобна сходимости MLEM стре мится к решению максимального правдоподобия приблизительно в B раз быстрее, чем традиционный MLEM.

На рис. 2.11 приводится зависимость значений пуассоновской функции правдоподобия (уравнение (2.3)) для OSEM и MLEM вер сий от числа операций, иллюстрирующая улучшение скорости с увеличением числа подмножеств. Это повышение скорости сопро вождается небольшим увеличением дисперсии при одинаковом уровне смещения с MLEM [17]. Как следствие, рекомендуется про являть умеренность в выборе полного числа подмножеств. Из рис.

2.11 также видно, что наибольшие изменения в оценке имеют ме сто на начальных итерациях, подтверждая тактику преждевремен ной остановки этих алгоритмов для уменьшения дисперсии. На практике для получения привлекательного изображения применя ют раннюю остановку алгоритма OSEM и постсглаживание резуль татов.

Рис. 2.10. Реконструкция симулированных данных с помощью алгоритма OSEM при увеличении числа итераций. В ряде A используется одно подмножество, что эквивалентно методу MLEM, и выполняется 1, 4, 8 и 16 итераций;

в рядах B и C используется 4 и 16 подмножеств и такое же как в ряде А число итераций;

в ряде D проводится дополнительная постфильтрация 3-мерным гауссовским фильтром [3] Рис. 2.11. Зависимость значения функции правдоподобия от числа итераций при реконструкции симуляционных данных с помощью алгоритмов MLEM и OSEM [3] (адаптировано из [3]) MLEM и OSEM методы представляют лишь алгоритмы для на хождения оценки максимального правдоподобия, являясь только последними двумя компонентами в выделенных в разделе 4.1 этой главы основных элементах, общих для всех итеративных методов.

Первые три компонента (модели изображения, системы и экспери ментальных данных) могут очень сильно видоизменяться и тем не менее называться OSEM алгоритмом. Например, в одном варианте OSEM метода используется очень простая модель, дающая рекон струкцию изображения с намного худшим качеством, чем другая разновидность OSEM метода, использующая более реалистическую модель системы 4.6. Байесовые штрафные методы В байесовых штрафных методах делается попытка улучшить ка чество реконструированного изображения, используя определен ную информацию об изображении. Например, в качестве такой ин формации можно взять неотрицательность концентрации трассера или допущение только небольшого различия результатов между соседними вокселями. Эта априорная информация по правилу Бай еса включается в максимальную апостериальную (англ. a maximum a posteriory (MAP)) целевую функцию (функция со всей информа цией, доступной из принятого априорного знания об изображении).

Детали MAP оценки в данном разделе не рассматриваются, некото рое представление о ней дается в работе [2].

Основная идея заключается в том, что предположительная ин формация вводится в итеративный процесс как априорный член, который навязывает условия на оценку изображения при каждой итерации, приводящие к гарантированной сходимости с опреде ленными алгоритмами. Такой прием эквивалентен применению штрафа в каждой итерации, поэтому эти методы относят к штраф ным. Априорный или штрафной член может благоприятствовать желаемым свойствам в изображении, таким как уровни гладкости [18], сохранение краев [19] или даже особые структуры, основан ные на анатомическом аспекте информации, получаемой от от дельных компьютерно-томографического или магниторезонан сного обследований [20]. Например, используя изображения, полу ченные в этих обследованиях, можно определить предполагаемые границы между районами, в которых ожидается однородная кон центрация трассера. Эти границы далее вводятся как априорная информация для усиления гладкости между вокселями, принадле жащими одному анатомическому району.

Одна из проблем при приложении априорной информации за ключается в выборе параметра, изменяющего воздействие, которое будет накладывать штраф на изображение. Несмотря на то, что байесовы методы начали внедряться в клиническую практику дос таточно давно, они пока не получили широкого распространения из-за дополнительной сложности в выборе и применении подхо дящих параметров для управления "силой" штрафного члена.

4.7.Трехмерная итеративная реконструкция Принципиально итеративные методы легко распространяются на полные 3-М ПЭТ-измерения и реконструкции. В полной 3-М позитронно-эмиссионной томографии модель данных базируется на 3-М измерениях (см. рис. 1.10), а модель изображения вместо 2 мерной версии теперь становится 3-М объемом. Модель системы связывает воксельные элементы с полными 3-М ПЭТ-проекциями.

К 3-М измерениям прикладываются такие же управляющие прин ципы и статистические соотношения как и к 2-М измерениям и, соответственно, оптимизационные алгоритмы. Важно, что итера тивные методы моделируют пространственную вариацию в полных 3-М измерениях через модель системы, поэтому все экстраусилия, необходимые для аналитической реконструкции 3-М измерений, здесь не являются необходимыми.

На практике главная проблема для полной 3-мерной реконст рукции находится в вычислительной области. Размер изображения увеличивается с 104 пикселей до 105 вокселей. Размер массива дан ных возрастает даже больше, с 104 до 107 входов. Соответственно, модель системы должна рассчитываться для 1012 комбинаций вме сто 108 как при 2-мерной ПЭТ. Это возрастание накладывается как на требования к ресурсам памяти, так и на скорость процессинга компьютеров. Однако прогресс в вычислительной технике, имею щий место последние десятилетия, позволяет преодолеть отмечен ные трудности.

Другая возможность итеративных методов состоит в пересор тировке 3-М данных в 2-М поперечные срезы, как обсуждалось в разделе 3.2 настоящей главы. Затем выполнить более быструю 2-М итеративную реконструкцию каждого 2-мерного среза. Комбина ция пересортировки фурье-преобразований с надлежаще взвешен ными 2-М итеративными методами реконструкции для каждой от сортированной синограммы была успешно применена для реконст рукции 3-М ПЭТ данных всего тела за клинически приемлемое время [21].

5. Компромисс между качеством изображения и шумовым разрешением 5.1. Определения качества изображения Обсуждение методов томографической реконструкции приводит к необходимости определения, какой из методов обеспечивает наи лучшее качество изображения. Объективное сравнение качества изображения весьма затруднительно и может быть выполнено только в контексте специфичности области приложения или ре шаемой задачи. Как утверждается в классических публикациях [22,23], "качество изображения должно оцениваться на базе усред ненного выполнения определенной актуальной задачи некоторым наблюдателем или лицом принимающим решение". Другими сло вами, качество изображения следует оценивать из возможности с помощью изображения, получаемого конкретным методом рекон струкции, достигнуть желаемых результатов. Такой подход для оценки качества изображения согласно работе [2] называется со глашением, основанным на задаче. Например, если изображения предполагается использовать для диагностики определенного забо левания, то алгоритм можно считать работающим хорошо, если он дает изображения, которые приводят к точным диагнозам.

Двумя главными категориями задач изображения являются классификация задач и оценка задач. Классификация задач распре деляет изображения или свойства изображения в один или более классов. Самая общая классификация представляет детектирование или обнаружение (двоичная классификация). Другие примеры классификационных задач включают детектирование сигнала, сег ментацию изображения и диагноз. С другой стороны, задачами оценки являются поиск определенных численных параметров в системе изображения, таких как количественные физиологические параметры или оценка характеристик для распознавания паттерна.

Специфические примеры задач оценивания включают фракцию сердечной эжекции и значение потока трассера в камерной модели ткани.

5.2. Количественные оценки Наиболее распространенный подход к оценке качества изобра жения заключается в определении одной из распространенных ко личественных характеристик, включая такие величины, как отно шение сигнал/шум, уровни смещения и контраста. Необходимо со блюдать осторожность в попытках выразить объем изображения (содержащий ~ 106 элементов) через несколько описательных ве личин, так как эти отдельные величины не могут охватить характер всего изображения. Помня это предостережение, тем не менее час то полезно при сравнении изображений анализировать значения нескольких различных характеристик.

При выборе качества изображения имеет место постоянный по иск компромисса между смещением (или сдвигом) и отклонением (или дисперсией). Так как ПЭТ-визуализация отображается слу чайными данными, то и реконструированное из этих данных изо бражение тоже случайно. Другими словами, если один и тот же объект сканируется много раз, то реконструированные изображе ния не будут одинаковыми из-за статистической вариации данных.

Поэтому предпочтительной является ситуация, когда метод рекон струкции создает изображение, усредненная версия которого сов падает с истинным изображением. Подобным же образом пользо ватель предпочел бы метод реконструкции, который создает изо бражения, чьи величины не отклоняются от их средних значений, т.е. метод с нулевой дисперсией.

Смещение является мерой точности реконструкции в среднем;

вариация представляет собой меру воспроизводимости оценки (на сколько сильно оценка изменяется вокруг среднего значения). Как отмечалось выше, во всех методах имеются пути для уменьшения уровня вариации за счет увеличения смещения (по существу, сте пени сглаживания). Фильтрование обратной проекции (рис. 2.12) уменьшает вариацию через изменение порога отсечки аподизи рующего фильтра, используемого для фильтрации перед обратным проецированием.

Рис. 2.12. Сравнение реконструкций фильтрованных обратных проекций симуля ционных данных с различным уровнем шума и различными параметрами сглажи вания. Уменьшение порога отсечки в фильтре Ханнинга приводит к более сгла женному результату. Левая колонка имеет наименьшее сглаживание и наиболь шей вариацией, правая колонка имеет наибольшее сглаживание и наименьшую вариацию [3] В методе OSEM алгоритм останавливается раньше времени или применяется постреконструкционный фильтр (рис. 2.13). Таким образом, так как все методы способны к изменению соотношения смещение/вариация, то для утверждения, что метод А превосходит метод В по смещению, необходимо, чтобы метод А имел меньшее смещение при таком же уровне вариации как метод В (или мень шую вариацию при том же уровне смещения). Этот вывод иллюст рируется на рис. 2.14.

Рис. 2.13. Сравнение OSEM реконструкции симуляционных данных с различным уровнем шума при разных параметрах сглаживания. Варьирование пост реконструкционного фильтра изменяет соотношения шум/смещение. Левая ко лонка имеет минимальное смещение с наибольшей вариацией;

правая колонка имеет наибольшее смещение при минимальной вариации [3] Отношение сигнал/шум и контраст/шум являются двумя други ми сравнительными показателями качества для оценки оптималь ности компромисса смещение-вариация в изображении. Этот член выражает в количественной форме определенную характеристику силы сигнала в отношении к количеству шума. Для протокола пол ное описание смещения и вариации не может быть сделано из од ного реконструированного изображения, так как эти величины ос нованы на ожидаемой оценке изображения (реконструированное изображение, усредненное по многим реализациям). Часто для це лесообразности отношение сигнал/шум рассчитывается из одной реконструкции. В таком случае эти значения проливают свет на соотношение смещение/вариация, но их нельзя интерпретировать как законченное понимание вариационной характеристики метода.

Рис. 2.14. Зависимости соотношения смещение/вариация для четырех гипотетиче ских методов реконструкции A, B, C и D. Форма кривых связана с изменением в каждом методе параметра сглаживания. Возможно утверждение, что метод А лучше работает чем метод В в терминах смещения. Альтернативно, методы С и D выполняют реконструкцию лучше, чем другие при разных уровнях вариации (адаптировано из [3]) Разнообразные количественные характеристики используются также для описания пространственного разрешения методов рекон струкции. Разрешение в общем виде определяется как уровень вос произведения пространственных деталей в системе изображения.

Оно часто выражается через функцию расширения точки (англ. the point spread function (PSF)), т.е. через изображение точечного объ екта. Для этого в систему помещается точечный источник и прово дится его реконструкция в изображении. В результате в изображе нии наблюдается размытие точки расположения источника. В ПЭТ PSF часто характеризуется трансаксиальной и аксиальной полными ширинами на половине максимума (FWHM), которые описывают ширину на половине максимальной величины PSF, аппроксимиро ванной распределением Гаусса (в трансаксиальном или в аксиаль ном направлениях). Такой способ лишь частично соответствует поведению разрешения метода, так как распределение Гаусса отли чает наличие длинного хвоста. Другое описание значений разре шения включает полную ширину на одной десятой от максимума (FWTM) и свойства модуляционной передаточной функции (фурье преобразование PSF). Операция сглаживания, производящая уменьшение вариации в изображении, ведет к уменьшению разре шения, следовательно, компромисс смещение/вариация неизбежно транслируется в компромисс разрешение/вариация. Поэтому будет недостаточным просто объявить, что метод А приводит к лучшему разрешению, чем метод В. В данном случае необходимо дополни тельно указать, что данный факт имеет место при одинаковом уровне вариации.

Возможно наиболее распространенное приложение ядерной ме дицины – это обнаружение опухолей. Так как врачи анализируют изображение именно с такой целью, то наилучшим способом оцен ки методов реконструкции для целей обнаружения является анализ изображений человеком-наблюдателем. К несчастью, обстоятель ное человеческое изучение представляет очень длительную и час то непрактичную процедуру, потому что оно требует оценки мно гочисленных реконструированных изображений и многих идеаль ных опытных наблюдателей. В результате первоначальное тести рование методов реконструкции для детектирования часто прово дится с помощью компьютерных алгоритмов, называемых цифро выми наблюдателями и предназначенными для имитирования дей ствий человека-наблюдателя. Научное сообщество предложило разнообразные цифровые наблюдатели, например, наиболее попу лярный канальный (направленный) наблюдатель Хотеллинга [24,25]. Независимо от использования цифрового или человеческо го наблюдателя результаты наблюдения часто представляются в форме анализа приемных оперативных характеристик (англ. re ceiver operating characteristic (ROC)). ROC кривые рисуют соотно шение между истинно положительными и отрицательно положи тельными классификациями. Полная детекционная характеристика метода часто связывается с площадью под ROC кривой, расшире ние площади означает улучшение детекционной характеристики.

6. Актуальные проблемы Обратная задача нахождения изображения поперечного сечения из томографических ПЭТ-измерений может в настоящее время ре шаться различными методами. При детерминистской интерпрета ции ПЭТ-измерений быстрое прямое решение обеспечивают ана литические методы. Однако при использовании более адэкватной модели потенциально более точное решение дают итерационные методы, правда, в этом случае существенно увеличивается трудо емкость расчетов. В данной главе было представлено введение в известный стандартный аналитический метод фильтрованного об ратного проецирования и широко применяемый сегодня итераци онный метод OSEM. Эти методы наиболее популярны в ядерной медицине благодаря качеству результирующего изображения, а также благодаря их быстродействию и относительной простоте во внедрении и понимании. Можно ожидать, что в недалеком буду щем с увеличением мощности компьютеров в клиники будут вне дряться и более сложные методы реконструкции.

Параллельно с совершенствованием методов реконструкции изображений в этой области существует много новых проблем, требующих своего решения для обеспечения быстрого прогресса ПЭТ-томографии. Новые продвижения в ПЭТ-инструментарии, как, например, метод времени пролета [26], требует специализиро ванных алгоритмов реконструкции для реализации своего потен циала, обещая существенное улучшение отношения сигнал/шум.

Аналогично, методы функциональных изображений являются су щественно динамическими, поэтому для них необходимо развивать методы реконструкции, позволяющие получать распределения трассеров, изменяющиеся во времени. Решение выделенных и дру гих актуальных задач в области совершенствования методов рекон струкции еще поднимет эффективность и клиническую значимость ПЭТ-томографии.

Контрольные вопросы 1. С какой целью проводится реконструкция изображений в по зитронно-эмиссионной томографии?

2. Как проводится сбор данных при 2-мерной и 3-мерной ви зуализации в ПЭТ?

3. Что называется рентгеновским преобразованием?

4. Опишите детерминистскую и стохастическую модели визуа лизации.

5. Сформулируйте теорему 2-М центрального сечения.

6. В чем заключается метод обратного проецирования?

7. Какие особенности имеет метод обратного проецирования с фильтрацией в Фурье пространстве?

8. Как проводится реконструкция изображений методом фильт рованного обратного проецирования?

9. Зачем и как проводится регуляризация данных?

10. Опишите алгоритм 3-М обратного проецирования.

11. В чем смысл метода перегруппировки?

12. Отметьте достоинства и недостатки итеративных методов реконструкции по сравнению с аналитическими методами.

13. Из каких основных компонент состоят итеративные методы реконструкции?

14. Какое преимущество имеет метод максимального правдопо добия перед другими методами?

15. Что представляет собой алгоритм максимизации ожидания максимального правдоподобия?

16. Чем отличается алгоритм максимизации ожидания упорядо ченных подмножеств (OSEM) от алгоритма максимизации ожида ния максимального правдоподобия (MLEM)?

17. Для чего и почему применяется преждевременная остановка алгоритмов OSEM и MLEM?

18. В чем идея применения байесовых штрафных методов?

19. Какова главная проблема 3-М итеративной реконструкции?

20. Как определяется качество изображения?

21. Опишите количественные оценки качества изображении.

22. Что такое PSF анализ ROC ?

Список литературы 1. Defrise M., Kinaham P.E., Michel C.J. Image reconstruction al gorithms in PET // In: Positron emission tomography. Basic sciences / Eds. D.L. Balley, D.W. Townsend, P.E. Valk, M.N. Maisey / 2005.


Springer-Verlag London Limited.

2. Кинахам П.Е., Дефриз М., Клэкдойл Р. Аналитические мето ды реконструкции изображений // В: Эмиссионная томография:

основы ПЭТ и ОФЭКТ / Ред. Д. Арневальд, М. Верник // перевод с англ. М.: 2009. Техносфера. С. 455 – 477.

3. Alessio A., Kinahan P. PET image reconstraction // In: Nuclear Medicine. 2nd Edition/ Eds. R.E. Henkin, D. Bova, G.L. Dillehay et al.

V.1. 2006. Mosby/Elsevier. P. 271 – 284.

4. Лалуш С.Д., Верник М.Н. Итеративная реконструкция изо бражений // В: Эмиссионная томография: основы ПЭТ и ОФЭКТ / Ред. Д. Арневальд, М. Верник // Перевод с англ. М.: 2009. Техно сфера. С. 479 – 507.

5. Natter F., Wubbeling F. Mathematical methods in image recon struction // Philadelphia. 2001. SIAM.

6. Barret H.H., Myers K.J. Foundation of image science // New York. 2004. Wiley.

7. Kak A.C., Slaney M. Principles of computerized tomographic im aging // New York. 1988. IEEE Press.

8. Defrise M., Kinaham P.E. Data acquisition and image reconstruc tion for 3D PET // In: The theory and practice of 3D PET. V. 32. Devel opment of nuclear medicine. Eds.: D.W. Townsend, B. Bendriem / Dordrecht. 1998. Klower. P. 11 – 54.

9. Daube-Witherspoon M.F., Muehllehner G. Treatment of axial data in 3D PET // J. Nucl. Med. V.28. 1987. P. 1717 – 1724.

10. Matej S., Lewitt R.M. Practical consideration for 3-D image re construction using spherically symmetric volume elements // IEEE Trans. Med. Imaging. V.15. 1996. P. 68 – 78.

11. Obi T., Matej S., Lewitt R.M., G.T. 2.5D simultaneous multislice reconstruction by series expansion methods from FORE PET data // IEEE Trans. Med. Imaging. V. 19. 2000. P. 474 – 484.

12. Pragmatic fully 3D image reconstruction for the MiCES mouse imaging PET scanner / K. Lee, P.E. Kinahan, J.E. Fessler et al // Phys.

Med. Biol. V. 49. 2004. P. 4563.

13. Alessio A., Kinahan P.E., Lewellen T. Modeling and incorpora tion of system response functions in 3D whole body PET // IEEE Trans Med. Imaging. 2005.

14. Bouman C.A., Sauer K. A unified approach to statistical tomo graphy using coordinate descent optimization // IEEE Trans. Nuclear Science. V. 45. 1998. P. 1083 – 1089.

15. Yavuz M., Fessler J.A. Statistical tomographic reconstruction methods for randoms-precorrected PET scans // Med. Image Anal. V. 2.

1998. P. 369 – 378.

16. Shepp L., Vardi Y. Maximum likelihood reconstruction for emis sion tomography // IEEE Trans Med. Imaging. M-1. 1982. P. 113 – 122.

17. Lalush D., Tsui B. Performance ordered-subset reconstruction algorithms under conditions of extreme attenuation and truncation in myocardial SPECT // J. Nucl. Med. V. 41. 2000. P. 737 – 744.

18. Fessler J.A., Hero A.O. Penalized ML image reconstruction us ing space-alternating generalized EM algorithm // IEEE Trans. Image Processing. V. 4. 1995. P. 1417 – 1429.

19. Bouman C.A., Sauer K. A generalized Gaussian image model for edge-preserving MAP estimation // IEEE Trans. Image Processing. V. 2.

1993. P. 296 – 310.

20. Alessio A., Kinaham P, Lewellen T. Improved quantitation for PET/CT image reconstruction with system modelling and anatomical priors // SPIE Medical Imaging. San Diego. 2005.

21. Fast reconstruction of 3D PET data with accurate statistical mod elling / C. Combat, P. Kinaham, M. Defrise et al // IEEE Trans. Nuclear Science. V. 45. 1998. P. 1083 – 1089.

22. Barrett H.H. Objective assessment of image quality: effects of quantum noise and object variability // J. Opt. Soc. Am. A. V. 7. 1990.

P. 1266 – 1278.

23. Barrett H.H., Myers K.J. Foundations of image science // Hobo ken, NJ. 2004. Wiley.

24. Model observers for assessment of image quality/ H.H. Barrett, J.

Yao, J.P. Rolland et al. // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. V. 90. 1993. P.

9758 – 9765.

25. Optimization of iterative reconstructions of Tc-99m cardiac SPECT studies using numerical observers/ M.V. Narayanan, H.C. Gif ford, M.A. King et al// IEEE Trans. Nucl. Sci. V. 49. 2002. P. 2355 – 2360.

26. Mosses W.W. Time of flight in PET revisited// IEEE Trans. Nu clear Science. V. 50. 2003. P. 1325 – 1320.

Глава 3. Моделирование кинетики трассеров в ОФЭКТ и ПЭТ 1. Введение Процедуры визуализации в ядерной медицине (ЯМ) принципи ально отличаются от традиционной трансмиссионной рентгеноло гической визуализации. Во-первых, ионизирующее излучение, де тектируемое устройствами визуализации, образуется внутри иссле дуемого биообъекта, а не создается внешними генераторами. Во вторых, в ЯМ измерение эмиссии р/н производит изображение рас пределения радиофармпрепаратов (РФП) или радиотрассера в теле биообъекта, в то время как трансмиссионные исследования созда ют изображения, измеряющие степень ослабления излучения в те ле. Распределение РФП зависит от физиологического, фармаколо гического или биохимического состояний индивидуума, в то время как степень ослабления излучения целиком связана с физическим составом тканей. Таким образом, фундаментальная разница в при роде двух процессов визуализации заключается в том, что проце дуры ЯМ дают информацию, касающуюся того, как тело индиви дуума функционирует на физиологическом, фармакологическом и биохимическом уровнях, а рентгенологические процедуры только раскрывают анатомические подробности.

Два основных метода ЯМ, а именно ОФЭКТ и ПЭТ, хорошо подходят для предоставления такой функциональной информации.

Они позволяют после инжекции РФП в человека или в животное, и последующих процедур 3-мерных способов измерения, примене ния подходящего алгоритма реконструкции и введения соответст вующих коррекций на физические эффекты такие, как ослабление, рассеяние и др., получать высококачественные 3-мерные изобра жения региональной концентрации РФП.

Дополнительное подключение методов моделирования кинети ки и многокамерного анализа предоставляет потенциал для суще ственного улучшения количественной и качественной информации, которую возможно извлечь из этих биологических данных. Целью математической модели здесь является определение соотношения между измеренными данными по концентрации трассеров и фи зиологическими параметрами, влияющими на усвоение и метабо лизм трассера, такими как кровоток, скорость переноса, синтез, среднее время транзита, уровни нейротрансмиттеров и рецепторов.

Накопление и концентрация радиоактивности в конкретном районе ткани в конкретное время после инжекции зависит от двух факторов. Первый, и наиболее интересный, представляет локаль ную физиологию ткани, например, течение крови или метаболизм выбранного района. Вторым является входная функция, т.е. время действия концентрации радиоактивности трассера в крови или в плазме, которое определяет пригодность трассера для органа мишени. Модель представляет собой математическое описание со отношения между концентрацией в ткани и этими контролирую щими факторами. Полная (всеобщая) модель способна, используя знание локальных физиологических переменных и входной функ ции, предсказывать временной курс (распределение по времени) накопления радиоактивности в определенном области ткани. Уп рощенная модель может предсказать только отдельные аспекты кривой концентрации трассера в ткани, такие как первоначальный наклон или относительную концентрацию активности в органе мишени по отношению к референсному (опорному) району.

Разработка моделей является сложной задачей. Исследования, которые необходимо провести для разработки и валидации модели, могут оказаться очень сложными. Не существует абсолютных пра вил для определения компонентов моделей. Сложность "абсолютно точной" модели, как правило, делает ее непрактичной для рутинно го использования или приводит к статистически нереальным ре зультатам. Упрощение и переход к "менее точной" модели часто оказываются более полезным для практики.

Модель способна предсказывать результаты измерения активно сти тканей при условии знания всей лежащей в ее основе физиоло гии. Однако способ работы с моделью используется редко, так как требует точного знания информации, которая и является искомой в исследовании. Обычно применяется инверсия уравнений модели, т.е. решается обратная задача определения региональных физиоло гических параметров на основе результатов измерения накопления активности в отдельных органах и крови индивидуума. Такие спо собы получения данных о пациентах называют модельными мето дами, основанными на модели (англ. model-based methods), или просто модельными методами.

В этой главе кратко описывается, как принципы кинетики трас серов, переноса масс и камерного анализа применяются к области визуализации РФП с целью получения разнообразной информации, касающейся функционального состояния индивидуума и являю щейся более важной, чем только получение изображение распреде ления р/н. Следует отметить, что в главе дается, фактически, об щее представление о принципах камерного анализа и физиологиче ского моделирования, так как детальное освещение этих вопросов далеко выходит за пределы данного учебного пособия.

2. Характеристика трассеров и камерных моделей 2.1. Характеристики радиотрассеров В зарубежных публикациях по ЯМ различают понятия "индика тор" и "трассер". Понятие "индикатор" определяется Лассеном и Перлом в работе [1] как тестовое вещество, которое следует вслед за жидким носителем (например, кровью) гидродинамической сис темы (сосудистая сеть). Понятие "трассер" определяется этими же авторами [1] как более специфическая индикаторная молекула, ко торая имеет сходство или отслеживает естественную соматическую субстанцию по всему организму. Степень сходства между трассе ром и натуральной субстанцией изменяется в зависимости от кон кретного радиоактивного медицинского препарата. Например, [11С]глюкоза является подлинным трассером глюкозы, потому что они химически идентичны, в то время как 2-деокси-2 [18F]фтор дезокси-глюкоза ([18F]FDG) представляет аналог глюкозы. Она то же трассирует глюкозу, но ее поведение не идентично глюкозе, так как они имеют химическое отличие.


Трассеры и индикаторы, применяемые для визуализации в ЯМ, принципиально отличаются тем, что они имеют в своем составе радионуклиды, ионизирующее излучение которых регистрируется аппаратными средствами. По этой причине их обычно именуют радиоиндикаторами или радиотрассерами. Различие между радио трассерами и радиоиндикаторами не является критическим для по нимания кинетики трассеров, в то же время в отечественной лите ратуре по ядерной медицине широко используется термин "радио фармпрепарат", который, по нашему мнению, более полно отража ет смысловое содержание этого понятия. Поэтому в тексте этой главы параллельно используются три термина: трассер (когда вхо ждение р/н в состав соединения не обязательно), радиотрассер и радиофармпрепарат (РФП). Во всех случаях подразумевается, что инжектируемое соединение, включая меченые и немеченные моле кулы (имеющие или не имеющие в своем составе атомы радиоак тивного изотопа), присутствуют в ткани в пренебрежимо малой массовой концентрации, чтобы не оказывать заметного влияния на естественные процессы в организме. На рис. 3.1 показан пример возможных путей, по которым может проследовать трассер после внутривенной инжекции в организм.

Рис. 3.1. Общее представление процессов, связанных с доставкой, усвоением, свя зыванием и выведением радиотрассера X. Артериальный кровоток доставляет X в район интереса и венозный кровоток выводит из района интереса. Трассер может войти через капиллярную мембрану в ткань, где он может обратимо или необра тимо проникнуть во внутриклеточное или внеклеточное пространство или вклю читься в процессы обмена (XP). Откуда трассер в первоначальной или метаболи тической форме может выйти из ткани обратно в кровь (адаптировано из [2]) Концентрация трассера измеряется количеством трассера по от ношению к объему жидкости-носителя (например, мкКи/мл крови) или по отношению к количеству имеющейся родительской суб станции (Ки/г или чаще Ки/ммоль). Это второе определение пред ставляет отношение концентрации трассера (мкКи/мл крови) к концентрации естественной субстанции (граммов или молей роди тельской субстанции на миллилитр крови). Данная величина от слеживается и называется специфической (или удельной) активно стью трассера.

После ввода в организм у трассера возможна разная биохимиче ская судьба, поэтому при выборе подходящего соединения требу ется большая осторожность. В идеальном варианте желательно, чтобы в изучаемом физиологическом процессе имелся только один фактор, контролирующий усвоение и распределение трассера.

Однако в реальности и другие факторы будут оказывать влияние на кинетику и распределение трассера. Например, для радиотрассера, связывающегося с рецепторами, на данные по региональному на коплению радиоактивности будут влиять региональный кровоток, плазма протеиновое связывание, проницаемость капилляров, ско рость ассоциации и диссоциации рецепторов, концентрация сво бодных рецепторов, выведение радиотрассера из крови, метабо лизм радиотрассера и др. Для хорошо спроектированного радио трассера суммарное воздействие дополнительных факторов должно быть минимальным.

Как отмечалось выше, радиотрассер может быть прямой мече ной версией природного соединения, имеющегося в организме, или аналогом этого соединения. Но возможен также вариант мече ного лекарственного препарата. Достаточно часто природное со единения проходят в организме очень сложный метаболический путь, и тогда модель, описывающая данные по распределению ра диоактивности в ткани, также оказывается слишком сложной. В этом случае грамотно спроектированный аналог может очень су щественно упростить моделирование и улучшить чувствительность модели к изучаемым параметрам. Серьезный недостаток в приме нении аналога заключается в том, что измеряемые кинетические параметры принадлежат самому аналогу, а не натуральному соеди нению. Для корректировки этого различия необходимо предвари тельно изучить соотношение между обоими видами параметров.

Важным качеством радиотрассера является достаточно активное усвоение его органом интереса, чтобы накопление радиоактивно сти в органе было достаточным для статистики отсчетов в слое разумной длины после инжекции в допустимой дозе.

2.2. Типы моделей Сегодня предложен широкий круг подходов к извлечению зна чимых физиологических данных из результатов измерения радио активности тканей с помощью ОФЭКТ и ПЭТ. Все модельные под ходы включают несколько основных допущений, в особенности принцип сохранения масс. Детальный анализ различных альтерна тивных моделей выполнен в работах [3 – 6].

Некоторые подходы, опирающиеся на стохастическом, не ка мерном рассмотрении процессов, требуют минимального количе ства предположений, относящихся к физиологии усвоения и мета болизма трассеров [7]. Эти методы допускают измерение опреде ленных физиологических параметров, таких как время транзита и объемное распределение без явного описания всех специфических депо или камер, куда могут проникнуть молекулы радиотрассера.

Альтернативно существуют модели, в которых пытаются достичь точного описания истории радиотрассера. Эти модели не только специфицируют возможную специфическую локализацию и био химические формы трассера, но также включают градиенты накоп ления, создаваемые в пределах разных физиологических областей.

В особенности активное развитие получили распределительные модели капиллярно-тканевого обмена [8]. Так как этот этап пред ставляет первый шаг в усвоении в ткани любого трассера, точные модели доставки трассера через капилляры имеют важное значе ние.

Существует класс моделей, чья сложность лежит между стохас тическими и распределительными моделями. Их называют камер ными моделями. Эти модели определяют некоторые детали осно вообразующей физиологии, но не включают определение градиен тов накопления. Наиболее общее применение камерного моделиро вания заключается в математическом описании распределения трассера по телу биообъекта [9 – 11]. Более подробное описание этих моделей дается в следующем разделе.

3. Камерный анализ и транспорт масс Радиотрассеры позволяют исследовать динамику физиологиче ских и биохимических процессов без изменения нормальных функций биологической системы. Математическое описание дви жения радиотрассеров внутри системы называют кинетикой трас серов. Биологическая система представляется здесь как комбина ция камер (или депо), связанных кинетическими процессами обме на вещества между камерами. Камерная модель состоит из конеч ного числа депо, каждое из которых ведет себя как отдельный го могенный компонент целой биологической системы [11]. Камера может представляться либо отдельным физическим пространством, таким как плазма крови или ткань мозга, либо разными химиче скими формами (FDG против FDG-6-РО4), либо различными фар макологическими состояниями (связанное против несвязанного) радиотрассера, находящимися в одном и том же физическом про странстве.

Количество или накопление материала в камерах может быть описано системой дифференциальных уравнений первого порядка относительно параметров моделей, называемых константами ско рости. Численные значения этих параметров управляются скоро стью обмена вещества между камерами. Для случая, когда две ка меры представляют отдельные различные объемы, параметрами, описывающими обмен или перенос материала между камерами, являются скорости тока или транспорта. Если же две камеры нахо дятся в одном и том же физическом пространстве, но представляют разные химические формы или фармакологические состояния, то параметрами являются скорости трансформации из одного химиче ского состояния или формы вещества в другое.

Фундамент для дифференциальных уравнений первого порядка, описывающих обмен вещества между камерами (либо трассера, либо родительского соединения), построен на законе сохранения масс или балансе масс (этот термин более распространен в данной области). Баланс масс в этих условиях, означает, что количество вещества, которое входит в камеру в единицу времени (англ. influx) минус количество вещества, которое покидает камеру в единицу времени (англ. efflux), равно количеству вещества, накапливающе муся в камере в единицу времени (скорость накопления). Соответ ствующее уравнение записывается в следующем виде:

Скорость накопления = influx – efflux. (3.1) Соединение может относиться либо к материнской субстанции в единицах массы (грамм или моль) или веществу трассера в едини цах радиоактивности (микрокюри). В условиях стационарного ре жима, при котором скорость накопления вещества равна нулю, уравнение баланса масс сводится к следующему:

[ifllux]ss [eflux]ss, (3.2) где нижний индекс "ss" означает стационарный режим.

На рис. 3.2 показана гипотетическая камерная система, состоя щая из трех камер C1, C2 и Сз и шести параметров скорости k1 – k6.

В некоторых случаях параметры записываются с двумя индексами, определяющими номера двух связываемых камер.

Рис. 3.2. Гипотетическая камерная модель, состоящая из трех камер: С1, С2 и С3.

Вещество обменивается или переносится между камерами со скоростями, пропорциональными шести параметрам скорости k1 – k6.

Дифференциальные уравнения, описывающие количество веще ства в каждой камере, записывается в такой же форме, как и урав нение баланса масс (3.1):

dQ1 (t ) / dt [k2Q 2 (t ) k4Q 3 (t )] [k1Q 1 (t ) k3Q 1 (t )];

dQ2 (t ) / dt [k1Q 1 (t ) k6Q 3 (t )] [k2Q 2 (t ) k5Q 2 (t )];

(3.3) dQ3 (t ) / dt [k3Q 1 (t ) k5Q 2 (t )] [k4Q 3 (t ) k6Q 3 (t )], где dQi(t)/dt (скорость накопления) – скорость изменения количест ва вещества в i-камере, которое равно концентрации вещества, ум ноженной на объем. Положительные члены дают значения influx, а отрицательные члены eflux. Количество вещества, выходящего из камеры, пропорционально количеству вещества, находящегося в камере.

Параметры скорости имеют размерность обратного времени и указывают, какая доля вещества выходит из камеры в данный мо мент за единицу времени. Если радиотрассер реально отслеживает системную субстанцию, то значение параметра для радиотрассера будет совпадать со значением параметра скорости для родитель ской субстанции.

Дифференциальные уравнения, описывающие скорость накоп ления материала в камере, можно также записать в терминах кон центрации вместо абсолютного количества материала:

dC1 (t ) / dt [k2C 2 (t ) k4C 3 (t )] [k1C 1 (t ) k3C 1 (t )];

dC2 (t ) / dt [k1C 1 (t ) k6C 3 (t )] [k2C 2 (t ) k5C 2 (t )];

(3.4) dC3 (t ) / dt [k3C 1 (t ) k5C 2 (t )] [k4C 3 (t ) k6C 3 (t )].

Эти уравнения в равной степени применимы для трассеров и родительского материала. Так как в ПЭТ и ОФЭКТ измеряется обычно не абсолютное количество, а концентрация радиотрассера, то при кинетическом моделировании и камерном анализе, как пра вило, применяется система уравнений в форме (3.4).

4. Допущения камерного моделирования Успешное применение простых камерных моделей к сложным биологическим системам требует выполнения многих допущений или предположений. Эти допущения, как правило, полностью не соблюдаются, так что успех использования таких моделей зависит от того, производят ли погрешности в этих допущениях приемле мые погрешности в модельных измерениях.

Другими словами, большинство применений кинетики трассе ров включают определенное количество предположений, которые должны выполняться, чтобы измерения, полученные относительно биологической системы, могли считаться корректными. Эти пред положения или допущения разделяются на две категории: 1) пред положения, которые относятся к самой биологической системе и к радиотрассеру, применяемому при измерениях;

2) предположения, которые относятся к специфическим экспериментальным проце дурам, применяемым при выполнении измерений. В этом разделе рассмотрим первую категорию.

Камерное моделирование по своей природе предполагает, что каждая камера является "хорошо перемешанной", т.е. внутри каме ры отсутствует градиент концентрации трассера. Поэтому все мо лекулы трассера имеют равную вероятность обмена с другими ка мерами. Допущение гомогенности позволяет упростить математи ческое описание, однако ограничивает возможность корректного описания некоторых биологических структур. Например, камерная модель не может включать изменение концентрации в капиллярах от артериальной до венозной областей, или гетерогенное распреде ление рецепторов в небольшом объеме ткани. Часто в ПЭТ приложениях, данное предположение нарушается по причине са мой природы визуализационного процесса из-за низкого разреше ния. В реконструированном изображении даже данные отдельного пикселя представляют смешение отсчетов, создаваемых разными тканями.

Все процессы биологической системы, которые влияют на кине тическое поведение радиотрассеров, должны находиться в течение эксперимента в установившемся (стационарном) режиме или со стоянии. Здесь необходимо подчеркнуть разницу между понятиями стационарного и равновесного состояний. Существование устано вившегося режима предполагает, что количество или концентрация материала в каждой камере системы остается постоянным во вре мени. При этом, однако, не требуется существования равновесной ситуации, при которой имеет место нулевой чистый (суммарный или балансный) перенос материала между камерами. Стационарное состояние требует только, чтобы суммарная скорость, с которой вещество входит в камеру, равнялась суммарной скорости, с кото рой оно покидает камеру. Это различие поясняется на рис. 3.3.

На практике возможны случаи, когда выполняется только одно из двух условий. Например, в ситуации, показанной на рис. 3.3,а, если k2 = k4 = 0 и k1C0 = k3C1, в камере С1 будет существовать ста ционарное состояние, однако, равновесия между C0 и С1 или между С1 и С2 не будет. Одиночная камера может находиться в стацио нарном или нестационарном (переходном) состоянии, в то время как две камеры находятся либо в состоянии равновесия между со бой, либо в состоянии неравновесия. На практике требование ста ционарности означает, что концентрация или количество родитель ской субстанции в определенной камере должно оставаться посто янным в течение эксперимента и, следовательно, скорость переноса (или метаболизм) родительской субстанции должна быть постоян ной во временных рамках исследования.

Рис. 3.3. Иллюстрация различия между стационарным состоянием и равновесием.

Камера С1 (а) находится в стационарном состоянии, если полное количество мате риала, входящего в камеру в единицу времени по пути k1 и k4, равняется полному количеству материала, покидающего камеру в единицу времени по пути k2 и k3.

Условие равновесия относится к взаимосвязи между двумя камерами. Две камеры (б) находятся в состоянии равновесия, если суммарный перенос материала между ними равен нулю. Скорость переноса из камеры C1 в камеру С2, задаваемая произ ведением k1C1, должна равняться скорости переноса из камеры С2 в камеру С1, задаваемой произведением k2C Требования стационарного режима предъявляется только к сис темному веществу, но не к радиотрассеру. Возьмем измерение ме таболизма глюкозы с помощью [18F]FDG. Концентрация системной глюкозы в церебральных капиллярах и тканях мозга и концентра ция глюкозы-6-фосфата в тканях мозга должна быть постоянной во время исследования, поддерживая постоянными суммарные скоро сти переноса глюкозы и фосфорилирования. Однако концентрация трассера (аналог глюкозы [18F] FDG) в камерах может изменяться и изменяется свободно в зависимости от времени. Хотя стационар ный режим требуется для системной субстанции глюкозы, глюкоза не находится в равновесии между камерами, потому что всегда имеет место суммарный поток глюкозы из крови в ткань.

Концентрация трасcера, вводимого в систему, предполагается достаточно малой, чтобы не оказывать влияния или не возмущать систему своим присутствием. Соблюдение этого условия гаранти рует, что процессы, управляющие кинетическим поведением ра диотрассера, остаются первого порядка, и что закон сохранения масс выполняется.

5. Скорости усвоения и выведения, время транзита и объем распределения Камерный анализ и методы кинетики трассеров оказываются полезными только при условии четкой взаимосвязи между коэф фициентами уравнений транспорта масс и физиологическими или биохимическими параметрами, связанными с исследуемой биоло гической функцией. В этом разделе рассматривается физиологиче ская значимость констант скорости камерных моделей. При напи сании раздела использовался материал обзорных работ [2, 13].

5.1. Физиологическая значимость параметров модели для камерного анализа [15O]H2O 5.1.1. Дифференциальное уравнение кинетики радиотрассера [15O]H2O в мозге Хорошим примером применения камерного анализа для кван тификации важного физиологического параметра является дина мическое измерение и моделирование кинетики радиотрассера [15O]H2O в ткани мозга с помощью ПЭТ. Чтобы связать ПЭТ измерения с биологической функцией, необходимо хорошее пони мание биохимии радиотрассера, что подразумевает адекватное зна ние in-vivo биологическое поведение трассера и включает следую щее:

механизм транспорта между кровью и мозгом;

возможное захватывание, метаболизм, синтез или расщепле ние трассера;

возможную инверсию любого захвата или метаболических процессов;

распределение в крови, т.е. скрепление с протеином плазмы крови, красными кровяными тельцами;

возможное образование и присутствие радиомеченых мета болитов в крови;

возможное образование и присутствие радиомеченых мета болитов в мозге.

Отметим некоторые свойства [15O]H2O, важные для камерного анализа. Период полураспада [15O]H2O составляет 122 с. Вода не захватывается и не метаболизируется в ткани мозга. Для описания in-vivo распределения воды в мозге достаточно однокамерного представления свободной [15O]H2O. Вода переносится через барьер кровь-мозг (БКМ) за счет пассивной диффузии. БКМ имеет высо кую проницаемость для воды, поэтому вода может быстро диф фундировать в мозг и обратно. Вода не связывается протеином плазмы. Она диффундирует в красные кровяные тельца, но прихо дит в быстрое равновесие с плазмой, и радиоактивность красных кровяных телец можно считать доступной для транспорта в мозг.

Ни в мозге, ни в крови нет меченых метаболитов.

Учитывая эти свойства in-vivo поведения [15O]H2O, можно предложить однокамерную модель или, если артериальную плазму рассматривать как отельную камеру, двухкамерную модель. Такая простая модель, содержащая депо крови, и два параметра скорости, описывающие обмен [15O]H2O между кровью и мозгом, представ лен на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Камерная модель для [ 15O]H2O. Модель состоит из камеры, представ ляющей артериальную плазму, и однокамерной модели ткани, представляющей ткань мозга. Сap и Сb – концентрации радиотрассера в артериальной ткани (мкКи/мл крови) и мозге (мкКи/мл мозга);

K1 и k2 – параметры скорости, описы вающие транспорт радиотрассера через барьер кровь-мозг (БКМ) Константа (или параметр) скорости K1 обозначена заглавной бу квой, чтобы подчеркнуть отличие в единицах измерения от пара метра k2, потому что единицами измерения в Cap являются мкКи/мл крови, а не мкКи/мл мозга. Так как influx и eflux для камеры выра жаются в одинаковых единицах, то K1Cap(t) и k2Cb должны иметь одинаковую размерность. Отсюда размерность K1 получается [мл крови/мин/мл мозга], так чтобы произведение K1Cap имело размер ность [мкКи/мин/мл крови].

Уравнение баланса масс, как описывалось ранее, имеет вид Скорость измерения концентрации = influx – eflux. (3.5) Соответствующие линейные дифференциальные уравнения для простой камерной модели записываются в следующей форме:

dCb (t ) K1Cap (t ) k2Cb (t ), (3.6) dt где dCb(t)/dt – первая производная от [15O]H2O в мозге, представ ляющая скорость изменения концентрации.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.