авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 10 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ МЕТАЛЛОВ ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕД Научно-образовательная серия ...»

-- [ Страница 3 ] --

Так как при своем движении броуновские частицы подчи няются закону сохранения числа частиц, то функция распреде ления должна удовлетворять уравнению неразрывности d (2.28) + div ( v) = 0.

dt Здесь v – скорость броуновских частиц.

§ 3. Вывод уравнения Фоккера – Планка Оставаясь в рамках полуфеноменологического описания, представим поток частиц состоящим из двух частей:

v = u0 + uсл.

Первая часть потока u0 связана с наличием действующих внеш них сил и ее можно назвать регулярной частью потока. При записи уравнения Ланжевена (2.1) предполагалось, что на бро уновскую частицу действует сила сопротивления Fтр = v.

Теперь, рассуждая аналогично, будем считать, что если бро уновская частица находится в поле внешних сил Fвн = U с потенциалом U, то эти внешние силы вызовут движение ча стицы со скоростью u0 = Fвн / = U/.

Этот результат является следствием не механических, а гидро динамических законов движения.

Вторая часть потока, связанная со случайным блуждани ем, имеет характер диффузионного процесса. В феноменологи ческой теории диффузия описывается законом Фика, который утверждает, что плотность потока частиц Jсл = vсл пропор циональна градиенту плотности числа частиц. Используя функ цию плотности распределения, запишем закон Фика в следую щей форме:

uсл = D.

Здесь D – феноменологический коэффициент диффузии.

Собирая эти два результата, найдем выражение для полного потока броуновских частиц:

v = (2.29) U +D.

Величины D и в формуле (2.29) для потока частиц на самом деле не являются независимыми феноменологическими коэффициентами. Между ними существует простая связь, ко торую легко установить. В условиях равновесия суммарный по ток (2.29) равен нулю. Поэтому уравнение (2.29) для равновес ного состояния системы можно рассматривать как уравнение для определения равновесного распределения. В записи по 104 Глава 2. Броуновское движение компонентам уравнение для определения равновесного распре деления можно представить в виде d ln 1 dU = (2.30) ;

= 1, 2, 3.

dx D dx Переменные в этом уравнении разделяются, поэтому его ре шение можно записать сразу U (r ) (r ) = const exp (2.31).

D Вместе с тем, если частицы находятся в поле потенциальных сил с потенциалом U (r), то равновесное распределение этих частиц будет иметь вид U( ) (r ) = const, exp (2.32).

kБ T Сравнивая выражения (2.31) и (2.32), находим выражение для коэффициента диффузии D :

kБ T D=, = 6 R, где – коэффициент сдвиговой вязкости среды, R – радиус броуновской частицы.

Теперь можно вернуться к уравнению неразрывности (2.28).

Подставляя в него плотность потока частиц в форме (2.29), по лучаем уравнение Фоккера – Планка для плотности распреде ления броуновских частиц:

d 1 kБ T div( grad U ) (2.33) = 0, dt где – оператор Лапласа.

Уравнение (2.33) позволяет однозначно найти функцию рас пределения броуновских частиц (r, t), если для этого уравне ния заданы начальные и граничные условия. По своему смыслу это уравнение описывает релаксацию неравновесного распреде ления (r, t) к равновесному больцмановскому распределению, определяемому формулой (2.31).

§ 4. Решение уравнения Фоккера – Планка § 4. Решение уравнения Фоккера – Планка Рассмотрим простой случай, позволяющий, с одной сторо ны, просто решить уравнение Фоккера – Планка, а с другой, по лучить картину движения броуновской частицы, соответствую щую пределу t в уравнении Ланжевена.

Пусть потенциал внешних сил U = 0 и система предпола гается бесконечной и пространственно-однородной. В этом слу чае достаточно рассмотреть одномерное распределение (x, t).

Предположим, что в начальный момент времени броуновская частица находилась в точке с координатой x = 0, а плот ность функции распределения описывалась дельта-функцией (x, 0) = (x). Тогда дальнейшая динамика этого распределе ния будет подчиняться уравнению Фоккера – Планка kБ T d d (2.34) =.

dx dt Кроме начального условия (x, 0) = (x), решение урав нения (2.34) должно еще удовлетворять условию нормировки (2.27) и условию стремления плотности распределения к нулю при бесконечном удалении от начальной точки:

lim (x, t) = 0.

x± Для решения уравнения (2.34) определим фурье-преобразо вание плотности p (t) распределения соотношением p (t)eipx dp (2.35) (x, t) = и запишем уравнение (2.34) для фурье-трансформы p (t) плот ности распределения:

dp (t) kБ T (2.36) + p p (t) = 0, p (0) = 1.

dt 106 Глава 2. Броуновское движение В уравнении (2.34) все коэффициенты являются постоянны ми величинами, а переменные разделяются. Поэтому, учитывая начальное условие p (0) = 1, запишем решение kБ T p (t) = exp (2.37) pt.

Для нахождения функции распределения в координатном пред ставлении подставим найденный результат в определение (2.35):

1 p2 t ipx ekБ T / (2.38) (x, t) = e dp.

Если выполнить интегрирование по p в этой формуле (ме тодика вычисления такого рода интегралов рассмотрена в при мере 2.2), то получим распределение Гаусса x exp (2.39) (x, t) =.

4kБ T / t 4kБ T / t Если теперь учесть, что распределение Гаусса (нормальное распределение) определяется двумя параметрами – средним значением x и дисперсией Dx и имеет вид (x x) f (x) = exp, 2 Dx 2Dx то простое сравнение с формулой (2.39) позволяет заключить, что среднее значение x для распределения (2.39) равно нулю, а дисперсия 2kБ T Dx (t) = t, что совпадает с результатом (2.26), найденным из уравнения Ланжевена. Этот же результат можно получить, вычислив вто рой момент распределения Dx (t) = (x x)2 = (x x)2 (x, t)dx § 4. Решение уравнения Фоккера – Планка Интересно рассмотреть, как эволюционирует распределение (2.39) с ростом времени t. На рис. 18 приведены графики функ ции плотности распределения (2.39) для четырех значений па раметра t/.

Рис. 18. Плотность распределения (2.39) для различных значений параметра t/ ;

величина x измерена в единицах v Видно, что с ростом времени t эволюция распределения сво дится к «размазыванию» распределения. Оно становится ме нее сосредоточенным, а вероятность обнаружить броуновскую частицу достаточно далеко от начальной точки возрастает.

Задача 2. Рассмотрим вычисление интеграла, возникающего при фурье преобразовании нормального распределения (2.38).

Поставим задачу следующим образом: найти характеристиче скую функцию стандартного нормального распределения x f (x) = exp.

Характеристической ф у н к ц и е й распределе ния f (x) называется фурье-образ f (p) этого распределения 108 Глава 2. Броуновское движение x exp (2.40) ipx f (p) = e dx.

Решение Для нахождения интеграла, входящего в определение фурье образа нормального распределения, предварительно вычислим ин теграл Пуассона ex dx.

IП = Самым простым и изящным способом нахождения интеграла Пу ассона является его сведение к вычислению некоторого интеграла в полярных координатах по площади четверти круга:

RR 2 2 y ex dx ey dy = lim ex IП = dxdy.

R 0 0 0 Последний интеграл можно рассматривать как интеграл по площади круга радиусом R, находящейся в первом квадранте координатной плоскости. Этот интеграл легко может быть взят переходом к поляр ной системе координат x = r cos, y = r sin :

/2 R r er dr = IП = lim d.

R 0 Отсюда следует, что ex IП = dx =, а аналогичный интеграл (2.41) exp((A x) )dx =.

A Для вычисления интеграла (2.40) попытаемся с помощью замены переменных привести его к виду (2.41), записав показатель экспо ненты x2 /2 + ipx в подынтегральной функции выражения (2.40) в виде (Ax B)2 + C.

§ 4. Решение уравнения Фоккера – Планка Сравнивая эти два выражения, находим A = 1/ 2, B = ip/ 2, C = p2 /2. Используя результат (2.41), получаем p 1 f (p) = (2.42) exp(x + i p x)dx = exp( ).

Таким образом, характеристическая функция стандартного нор мального распределения найдена. Описанный выше прием использо вался и для вычисления интеграла (2.38).

На этом закончим краткое знакомство с методами описания движения броуновской частицы. Более подробное рассмотрение и примеры решения многочисленных задач о движении бро уновской частицы можно найти в книге И. А. Квасникова [17].

К обоснованию и применению уравнения Фоккера – Планка мы еще вернемся в следующей главе в связи с обсуждением кинетических уравнений.

Завершая главу, подведем некоторые итоги. Задача о дви жении броуновской частицы – это одна из простых задач физи ческой кинетики. Она позволяет наглядно увидеть, как может происходить огрубление описания динамической системы. Точ ное описание движения броуновской частицы на языке уравне ний классической механики не только невозможно, но и бес смысленно, поскольку через достаточно малый промежуток времени система забывает о своем начальном импульсе и даль нейшее ее движение напоминает диффузию, а не механическое движение. Причину такого явления мы подробно обсуждали в главе 1 применительно к динамике диссипативных систем.

Естественно, встает вопрос о том, как возникает огрубленное описание в системах, подчиняющихся динамическим уравнени ям Гамильтона. Поэтому в начале следующей главы будут про анализированы условия, при которых система не может быть описана на языке динамических уравнений движения и требу ется ее статистическое описание.

Глава КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В НЕРАВНОВЕСНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ 3.1. Описание неравновесных систем в статистической механике § 1. Интегрируемые и неинтегрируемые динамические системы К сожалению, по сложившейся традиции в курсе классиче ской механики, который изучается в университете, совершенно недостаточно внимания уделяется неинтегрируемым системам, представляющим для нас наибольший интерес. По этой при чине придётся сделать небольшой экскурс в механику класси ческих систем.

Как известно, система динамических уравнений Гамильтона H H = pi, (3.1) = qi, i = 1, 2... N, pi qi называется полностью интегрируемой, если существует канони ческое преобразование переменных qi, pi, в результате которого можно перейти от обобщенных координат qi и обобщенных им пульсов pi к переменным Ji, i (действие угол), в терминах которых система уравнений (3.1) записывается в виде [18]:

H H (3.2) = i, = 0, i = 1, 2... N.

Ji i В уравнениях (3.1) и (3.2) H – функция Гамильтона систе мы. Особая роль переменных действие – угол состоит в том, что в этих переменных функция Гамильтона зависит только от интегралов движения Ji и не зависит от углов i. Очевидно, § 1. Неинтегрируемые динамические системы что если такие переменные удается найти, то система уравнений (3.2) легко интегрируется:

H Ji = Ji (0), i = i (0) + i t, i =, i = 1, 2... N.

Ji (3.3) По этой причине с позиции теории канонических преобра зований основной задачей механики является отыскание подхо дящего канонического преобразования, приводящего систему к виду (3.2). Более того, наши интуитивные представления о по ведении механических систем также относятся исключительно к интегрируемым системам.

Между тем число систем, которые являются интегрируемы ми, невелико. К ним, безусловно, относятся системы с одной степенью свободы и приводящиеся к ним (например системы невзаимодействующих частиц или совокупность гармонических осцилляторов, взаимодействующих между собой по гармониче скому закону) несколько частных случаев систем с двумя и тре мя степенями свободы. На этом перечень интегрируемых систем заканчивается. Все остальные системы неинтегрируемые, и их поведение может сильно отличаться от привычных для нас ин тегрируемых систем. Детерминированность, возможность дина мического описания, обратимость во времени – все это, строго говоря, относится только к интегрируемым системам.

Простейшей системой, которая позволит нам рассмотреть раз личия в поведении интегрируемых и неинтегрируемых систем, яв ляется совокупность двух гармонических осцилляторов, взаимо действующих между собой не по гармоническому закону. Эта си стема описывается гамильтонианом Эно Эйлеса [12]:

22 12 m1 q1 m2 q2 2 + V (q1 q2 q2 ). (3.4) H= (p1 + p2 ) + + 2m 2 2 Здесь p1, q1, 1 и p2, q2, 2 импульс, координата и соб ственная частота колебаний первого и второго осцилляторов соответственно. Масса частиц предполагается одинаковой. Ес ли параметр V в уравнении (3.4) равен нулю, то мы получаем интегрируемую систему уравнений движения, если же V = 0, то система уравнений является неинтегрируемой в указанном 112 Глава 3. Кинетические уравнения выше смысле и её решение может быть получено лишь c исполь зованием численных методов интегрирования системы диффе ренциальных уравнений.

Прежде чем переходить к непосредственному анализу ди намики системы с гамильтонианом (3.4), напомним читателю некоторые важные результаты классической механики, относя щиеся к гамильтоновым системам (см. [19]).

Будем задавать состояние механической системы в данный момент времени положением фазовой точки в фазовом про странстве 6N переменных qi, pi, i = 1, 2,..., 3N. В этом случае эволюция системы наглядно может быть представлена траек торией фазовой точки в фазовом пространстве.

Рассмотрим некоторую малую область A фазового про странства. Уравнения динамики Гамильтона (3.1) задают одно параметрическую группу преобразований фазового простран ства Gt, переводящую фазовую точку (q(0), p(0)) в новое по ложение (q(t), p(t)). Это преобразование обычно называют фа зовым потоком. В результате действия преобразования Gt фа зовые точки, принадлежащие области A, в момент времени t переходят в некоторую область At, причем Gt А = At.

Согласно теореме Лиувилля [19], для консервативных си стем фазовый поток сохраняет фазовый объем. Иначе говоря, объём области A равен объёму области At. На основании этой теоремы Пуанкаре сформулировал парадоксальное на первый взгляд утверждение.

Если фазовая точка системы находится в произвольно ма лой области фазового пространства U, то в процессе эволюции она сколько угодно раз вновь может оказаться в этой области U. Это утверждение, известное как теорема о возвратах Пу анкаре, по сути говорит, что любая система в ходе эволюции должна через какое-то время вновь вернуться в исходное со стояние. Доказательство теоремы Пуанкаре может быть легко получено.

Рассмотрим образы фазовой области U через равные ин тервалы времени, т. е. в моменты времени t, t +, t + 2,..., t + n. Фазовый поток будет преобразовывать область U в мо мент времени t+n в область Gt+n U = U n. Поскольку объёмы областей U t, U 1, U 2,..., U n, согласно теореме Лиувилля, равны § 2. Эволюция в фазовом пространстве между собой, то рано или поздно объёмы U n и U m перекро ются, если фазовый объем системы не равен бесконечности. На рис. 19 схематически изображена эволюция фазовой области U и показано перекрытие этих областей в некоторый момент времени. Возникающие в процессе эволюции образы области U могут иметь различную форму, но сохраняют свой объём.

1 Рис. 19. К доказательству теоремы Пуанкаре:

эволюция малой области фазового пространства;

показано частичное перекрытие областей 1 и Несмотря на кажущееся противоречие теоремы Пуанкаре здравому смыслу, может существовать несколько различных объяснений парадокса о возврате механической системы в ис ходное состояние. Одно из возможных объяснений сводится просто к оценке времени возврата. Учитывая огромное число возможных состояний, которое порядка 6N !, и конечную ско рость изменения фазовых переменных, легко получить оценку, согласно которой время возврата для макроскопической систе мы значительно превышает время существования Галактики.

Это объяснение было исторически первым, но, как увидим в дальнейшем, есть и другие причины того, что для наблюдаемых нами систем теорема Пуанкаре о возвратах не выполняется.

§ 2. Эволюция динамических систем в фазовом пространстве Вернемся теперь снова к вопросу о поведении интегрируе мых и неинтегрируемых систем и рассмотрим его с позиций эво люции малой области фазового пространства системы. Можно 114 Глава 3. Кинетические уравнения выделить три типичных сценария эволюции малой окрестности фазовой точки (для простоты мы иногда будем говорить не о малой окрестности точки в фазовом пространстве, а о фазовой точке).

В первом случае фазовая траектория является замкнутой линией и система совершает периодическое движение. Приме ром такой системы является совокупность двух невзаимодей ствующих гармонических осцилляторов с кратным отношением собственных частот колебаний 1 и 2.

Её гамильтониан можно получить, если в выражении (3.4) считать V = 0, а отношение частот принять равным некото рому рациональному числу. На рис. 20 а изображена поверх ность постоянной энергии этой системы, которая является то ром в пространстве переменных p2, q1, q2, а фазовая траекто рия представляет собой замкнутую линию, навитую на тор.

Рис. 20. Фазовый портрет системы (3.4):

a – случай неэргодической системы;

фазовая траектория не покрывает тор;

b – фазовый портрет эргодической системы в сечении Пуанкаре 2 1 = 65, 2 = Для такой системы возможно динамическое описание. Ста тистическое описание вводить нецелесообразно. Информацию о поведении системы можно получить, наблюдая появление фа зовых точек в с е ч е н и и П у а н к а р е, т. е. в сечении фазового пространство одной из плоскостей, например плоско стью q1 = 0 (рис. 20 b). Если частоты соизмеримы, то в сече нии Пуанкаре получим дискретное множество точек, если же § 2. Эволюция в фазовом пространстве частоты несоизмеримы, то множество точек, в которых фазо вая кривая «протыкает»плоскость q1 = 0, будет представлять собой эллипс.

Рассмотрим теперь случай, когда отношение частот осцил ляторов не сводится к рациональному числу ( 1 и 2 несо измеримы). В этом случае фазовая траектория является неза мкнутой линией, которая полностью покрывает тор. Именно это обстоятельство позволяет ввести статистическое описание системы.

Определим функцию (p, q), задающую плотность вероят ности обнаружить фазовую точку системы в бесконечно ма лом элементе объёма dpdq в окрестности точки, положение которой в фазовом пространстве задается совокупностью ве личин p, q. Для этого в фазовом пространстве системы вы делим элемент объёма dp, dq и будем отмечать долю време ни, в течение которого фазовая точка находится внутри объ ёма dpdq. Для упрощения обозначений совокупность величин pi, qi, i = 1, 2,..., N мы заменили буквами p и q соответ ственно. Очевидно, что предел отношения (3.5) lim = (p, q)dpdq, t t где t время наблюдения за системой, задаёт вероятность обна ружить фазовую точку системы внутри объёма dpdq. Из опре деления плотности вероятности следует, что она нормирована на единицу:

(3.6) (p, q)dpdq = 1.

В выражении (3.6) интегрирование ведется по изоэнергетиче ской поверхности H(p, q) = const. В дальнейшем введен ную таким образом величину (p, q) будем называть статисти ческим оператором системы.

Если статистический оператор (p, q) уже известен, то сред нее значение любой физической переменной f (p, q) может быть найдено как математическое ожидание величины f (p, q) :

(3.7) f (p, q) = f (p, q)(p, q)dpdq, 116 Глава 3. Кинетические уравнения где интегрирование ведется по доступной для системы области фазового пространства (поверхности постоянной энергии). Ес ли система, кроме энергии, имеет ещё K интегралов движения, то размерность гиперповерхности, по которой производится ин тегрирование, будет равна 6N K 1.

Среднее значение величины f (p(t), q(t)) можно получить также усреднением её по времени:

T (3.8) f = lim f (p(t), q(t))dt.

T T Полученная в результате усреднения по формуле (3.7) вели чина f (p, q) может быть названа статистическим средним, а величина f, вычисленная по формуле (3.8), динамическим средним.

Представляется уместным подчеркнуть, что статистическая механика равновесных систем строится на весьма грубом упро щении формулы (3.7) для среднего по фазовому пространству.

Краеугольным камнем статистической механики Гиббса явля ется гипотеза, что величина (p, q) = const, если p и q принад лежат изоэнергетической поверхности. Причины удивитель ного успеха столь грубого приближения кроются в особенности динамики гамильтоновых систем, и мы вернемся к этой пробле ме позднее.

Обычно предполагается, что статистическое и динамическое средние равны. С учетом постоянства (p, q) на изоэнергетиче ской поверхности и условия нормировки (3.6) имеем f (p, q)dpdq (3.9) f (p, q) = f =.

dpdq Это утверждение носит название э р г о д и ч е с к о й г и п о т е з ы. Её справедливость не поддаётся строгому дока зательству, но следствием эргодической гипотезы является воз можность построить термодинамическое описание равновесных систем, которое хорошо согласуется с опытом.

Итак, если динамическая система устроена таким образом, что в ходе эволюции за достаточно большое время фазовая § 2. Эволюция в фазовом пространстве траектория покрывает всю изоэнергетическую поверхность, то возможно статистическое описание системы с использовани ем статистического оператора (p, q). Существенное упроще ние в описании возникает тогда, когда можно считать, что (p, q) = const на всей гиперповерхности постоянной энергии.

Перейдем теперь к рассмотрению еще одной возможной си туации и примем в гамильтониане (3.4) 1 = 2 и V = 1.

Гамильтонова система уравнений движения при этом перестает быть интегрируемой, а поведение фазовой траектории совер шенно меняется. Теперь изоэнергетическая поверхность систе мы в фазовом пространстве уже не является тором. На рис. 21 a изображена фазовая траектория системы, полученная в резуль тате численного интегрирования уравнений движения.

Рис. 21. Фазовый портрет системы (3.4):

a – параметр V = 1, 1 = 2 = 1 ;

b – фазовый портрет той же системы в сечении Пуанкаре q1 = Траектория напоминает запутанный клубок ниток и совсем не похожа на регулярное движение фазовой точки по поверхности тора в предыдущем случае.

Более полную информацию о поведении системы можно по лучить, наблюдая появление фазовых точек в сечении Пуан каре (сечении фазового пространства плоскостью q1 = 0 ). Ре зультат такого численного эксперимента показан на рис. 21 b.

Каждая точка на этом рисунке соответствует «протыканию»

118 Глава 3. Кинетические уравнения фазовой траекторией плоскости q1 = 0 при движении фазовой точки вдоль положительного направления оси q1.

Строгих аналитических расчетов даже для такой простой модели не существует, а результаты численных экспериментов различных авторов однозначно указывают на то, что в этой мо дели реализуется стохастическое поведение. Доказательством является то, что если пронумеровать точки, возникающие на дисплее, то последовательность точек с близкими номерами оказывается хаотически разбросанной по всей изоэнергетиче ской поверхности. Ситуация не меняется, если уменьшать вре менной шаг при интегрировании уравнений движения. Можно сказать, что в этой системе реализуется стохастическое поведе ние, или так называемый динамический хаос.

Попробуем понять, как может возникнуть состояние дина мического хаоса в системе, описываемой уравнениями Ньюто на. Рассмотрим некоторую малую область фазового простран ства A. В случае интегрируемых систем фазовый поток фак тически просто перемещает область A в новое положение на изоэнергетической поверхности, покрывая её всю со временем.

В случае неинтегрируемых систем область A, сохраняя свой объём, расслаивается на тонкие нити и постепенно за некото рое характерное время, которое естественно назвать временем перемешивания, рассредоточивается по всей изоэнергетической поверхности. Количественное определение понятию перемеши вания можно дать, используя понятие меры. Назовем отноше ние объёма области A к объёму фазового пространства, доступ ному для системы, мерой области A и обозначим (A). В ходе эволюции объём области A заменяется объёмом At. Но объём области A равен объёму At, поэтому, очевидно, (A) = (At ).

Выделим некоторую другую произвольную область B и будем считать её неподвижной. Ясно, что из-за перемешивания ку сочки области A будут попадать в область B. Перемешивание будет полным, если объём перекрывающихся частей областей At и B, отнесенный к объёму B, будет равен относительному объёму области A. На языке понятия меры это условие полного перемешивания можно записать следующим образом:

(At B) (3.10) (A) = lim.

(B) t § 2. Эволюция в фазовом пространстве Перемешивание возникает в таких системах, где имеется сильное «разбегание» двух фазовых точек, находившихся в начальный момент на произвольно близком расстоянии друг от друга. Такие системы называют неустойчивыми. Неустойчи вость систем, в свою очередь, приводит к непредсказуемости их поведения. Действительно, если в начальный момент време ни положение фазовой точки известно с некоторой точностью, т. е. мы знаем, что она принадлежит некоторой области с харак терным размером, то сказать, где будет фазовая точка через некоторый промежуток времени t, невозможно. Она с конечной вероятностью может оказаться в любой точке изоэнергетиче ской поверхности.

Когда мы говорим о разбегании фазовых точек в системах с перемешиванием, то это достаточно легко себе представить.

В этом случае мы анализируем поведение копий систем, разли чающихся начальными условиями. Разбегание траекторий для таких систем означает их сверхчувствительность к начальным условиям. Но о каком хаосе может идти речь, когда мы ре шаем систему дифференциальных уравнений для нескольких частиц и анализируем движение одной фазовой точки? Тео рема единственности решения дифференциальных уравнений, казалось бы, должна давать детерминированное поведение, и в каждый момент времени можно строго вычислить координаты и импульсы всех частиц, составляющих систему.

Стохастичность здесь также возникает из-за сверхвысокой чувствительности динамики системы к заданию начальных усло вий. Не имея возможности анализировать эту проблему в де талях, приведем лишь наглядный пример, демонстрирующий суть проблемы (говорят, что пример убеждает разумного, а доказательство упрямого).

Простейшей моделью стохастической системы может слу жить бильярд Синая. Этот бильярд представляет собой плос кий стол, ограниченный стенками. В середине бильярда поме щена круглая шайба радиусом R. Другая подвижная шайба меньшим радиусом r запускается с некоторой начальной скоро стью v из произвольной точки бильярда. Предполагается, что все удары являются абсолютно упругими. Поскольку, как пока зано на рис. 22, результат рассеяния сильно зависит от началь ного направления скорости и начального положения подвижной 120 Глава 3. Кинетические уравнения шайбы, любое малое изменение начальных условий приведет в конце концов к другой картине движения.

1 Рис. 22. Бильярд Синая – простейшая механическая система, демонстрирующая хаотическое поведение Таким образом, именно сверхвысокая чувствительность к условиям рассеяния приводит к стохастическому поведению си стемы. При любой конечной точности вычислений через некото рое число актов рассеяния движущейся шайбы на центральном диске поведение частицы уже не будет зависеть от начального положения и начальной скорости частицы. Иначе говоря, систе ма забудет своё начальное состояние и динамическое описание станет невозможным.

Описать движение такой шайбы можно, лишь вычислив ве роятность её обнаружения в любой точке стола. Очевидно, что после некоторого времени, равного времени размешивания, эта вероятность уже не будет зависеть от t, а будет определяться лишь особенностями устройства системы, в частности геомет рическими размерами. Более того, можно утверждать, что дви жение частицы в бильярде будет необратимым. Действительно, потеря информации о начальных условиях означает возраста ние информационной энтропии в изолированной системе, что характерно для необратимого поведения. Критерием, позволя ющим различать системы с размешиванием от интегрируемых систем, является отличие от нуля энтропии Колмогорова – Си ная (1.123).

Завершая эту тему, хотелось бы еще раз обратить внимание читателя на следующие основные моменты.

§ 2. Эволюция в фазовом пространстве Возможность, а точнее, необходимость введения статисти ческого описания связана со слабой устойчивостью динамиче ских систем. Можно сказать, что статистическое описание воз можно потому, что за любое макроскопическое время измере ния динамической величины фазовая точка успеет побывать в огромном числе точек, разбросанных хаотически по всей фа зовой поверхности. Именно размешивание позволяет использо вать представление о том, что плотность распределения фазо вых точек на изоэнергетической поверхности представляет со бой постоянную величину (микроканоническое распределение), что является краеугольным камнем статистической механики Гиббса. Эргодичность систем (3.9) необходимое, но не достаточ ное условие применимости статистического описания, и только в системах с размешиванием плотность распределения фазо вых точек оказывается одинаковой на всей изоэнергетической поверхности системы.

Для интегрируемых систем статистическое описание невоз можно, поскольку фазовая точка движется по траектории, и если уж вводить усредненное описание, то усреднение нужно проводить вдоль траектории движения, а не по всему фазовому пространству.

Хаотическое поведение возникает как в динамических систе мах, описывающихся уравнениями Гамильтона, так и в диссипа тивных динамических системах, причем механизм возникнове ния динамического хаоса по существу одинаков – сверхвысокая зависимость картины движения от начальных условий.

Остановимся еще на одном вопросе. Не следует думать, что сложность системы автоматически гарантирует возникновение размешивания в ней. Еще на заре развития компьютерного экс перимента С. Улам, Д. Паста и Э. Ферми решили проверить при помощи численного эксперимента, выполняется ли одна из основных гипотез статистической механики – гипотеза о равно мерном распределении энергии по степеням свободы. Для этих целей была взята система осцилляторов, взаимодействующих не по гармоническому закону. Как показал численный экспе римент, при возбуждении одной из колебательных мод внача ле происходил интенсивный обмен энергии с другими модами 122 Глава 3. Кинетические уравнения и энергия, казалось бы, распределялась между всеми колеба тельными модами, но через некоторое время колебания исход ной моды вновь усиливались. Наблюдалось явление, похожее на возврат системы в исходное состояние, предсказываемое теоре мой Пуанкаре о возвратах. Решение проблемы Ферми – Паста – Улама было получено в начале 1960-х гг. М. Крускалом и Н. Забуским, доказавшими, что система Ферми – Паста – Ула ма представляет собой разностный аналог уравнения Кортевега – де Вриза и что равномерному распределению энергии пре пятствует солитонный характер распространения волн в этой системе (термин «солитон» предложен H. Забуским).

Наконец, еще одно замечание. Статистическая механика Гиб бса исходит из достаточно простых предположений о постоян стве плотности распределения фазовых точек на изоэнергети ческой поверхности. В то же самое время, как отмечалось в главе 1, в условиях динамического хаоса фазовое пространство становится фрактальным и имеет дробную размерность. К со жалению, пока совершенно не ясно, влияет ли это как-то на статистические свойства системы или нет.

3.2. Обоснование квазиклассических кинетических уравнений § 3. Уравнение Лиувилля для функции распределения Рассмотрим газ классических частиц, состоящих из N оди наковых одноатомных молекул, заключенных в некоторый объ ем V. Пусть для простоты изложения динамическое состояние каждой молекулы определяется координатой q и импульсом p.

Декартовы проекции векторов p и q обозначим соответственно p и q ( = 1, 2, 3).

Поскольку мы рассматриваем газ классических частиц, их координаты и импульсы подчиняются уравнениям Гамильто на (3.1) dp H dqi H =, i (3.11) =, i = 1, 2... N.

dt qi dt pi § 3. Уравнение Лиувилля для функции распределения В формуле (3.11) H – полный гамильтониан системы, индекс i нумерует молекулы.

Состояние механической системы в некоторый момент t, как указывалось выше, задается совокупностью значений коор динат и импульсов всех частиц, составляющих систему. Таким образом, в каждый момент времени состояние системы пред ставляется точкой в 6N -мерном фазовом пространстве. Эво люцию системы можно описывать, изучая движение фазовой точки в фазовом пространстве.

Следуя Гиббсу, перейдем к описанию динамики системы на языке функции распределения. Для этого, вместо того чтобы рассматривать эволюцию отдельной системы, рассмотрим сово купность совершенно одинаковых динамических систем, разли чающихся только начальным положением в фазовом простран стве. Такая совокупность систем называется а н с а м б л е м Г и б б с а. Если обозначить через (p, q, t) плотность точек в фазовом пространстве, нормированную на единицу, то величи на (p, q, t) dpdq представляет собой вероятность обнаружить фазовую точку в элементе объема фазового пространства dpdq.

Описание системы в рамках метода Гиббса является чисто динамическим. В этом легко убедиться, если посмотреть, како му уравнению должна удовлетворять функция распределения (p, q, t). Как упоминалось выше в связи с обсуждением тео ремы Пуанкаре о возвратах, движение фазовых точек в клас сической механике есть ф а з о в ы й п о т о к, который за дается однопараметрической группой преобразований фазового пространства Gt (p1 (0), p2 (0),..., pN (0);

q1 (0), q2 (0),..., qN (0)) Gt (p1 (t), p2 (t),..., pN (t);

q1 (t), q2 (t),..., qN (t)), где p(t) и q(t) находятся из решения уравнений Гамильтона (3.11).

Рассмотрим фазовые точки, попавшие в момент времени t в некоторый элемент объема фазового пространства dp dq. Под 124 Глава 3. Кинетические уравнения действием фазового потока эти точки в момент времени t пере местятся в элемент объема фазового пространства dp dq. По скольку фазовые точки не уничтожаются и не возникают вновь, то можно записать очевидное равенство (p, q, t) dp dq = (p, q, t ) dp dq, выражающее закон сохранения фазовых точек фазовым пото ком. Поскольку, согласно теореме Лиувилля, фазовый поток сохраняет фазовый объем и dpdq = dp dq, то отсюда следу ет условие постоянства функции распределения при эволюции частиц по фазовой траектории:

(p, q, t) = (p, q, t ).

Предполагая временное приращений dt = t t бесконечно ма лым, произведем разложение функции (p, q, t ) с точностью до членов первого порядка:

N N pi dt. (3.12) (p, q, t ) = (p, q, t) + + qi + t qi pi i=1 i= Отсюда следует равенство нулю выражения в квадратных скоб ках в правой части (3.12). Учитывая уравнения Гамильтона, которым удовлетворяют координаты и импульсы частиц систе мы, получаем уравнение Лиувилля для классической функции распределения N H H где + [, H] = 0, [, H] =.

t qi pi pi qi i= (3.13) Уравнение (3.13) позволяет найти значение функции (p, q, t), если задано значение функции распределения (p, q, 0) в на чальный момент времени. При описании системы на языке N -частичной функции распределения не достигается никако го сокращения в описании. Это описание столь же подробно, как и динамическое описание с использованием уравнений Га мильтона. Чтобы продвинуться дальше, необходимо перейти к менее подробному описанию системы, например на языке § 4. Цепочка уравнений Боголюбова одно-частичной функции распределения. То, что такое описа ние возможно, следует из материала, изложенного в § 1 главы 3. Действительно, при эволюции системы из начального состо яния за временной период порядка характерного времени раз мешивания система забывает свое начальное состояние и коэф фициенты корреляции высоких порядков обращаются в нуль.

Поэтому, если рассматривать поведение системы на временах, больших времени хаотизации, то бессмысленно описывать си стему на языке N -частичной функции распределения (p, q, t).

Достаточно использовать упрощенное описание на языке одно или двухчастичных функций распределения. Впервые этот под ход для вывода кинетических уравнений продемонстрировал Н. Н. Боголюбов в работе «Проблемы динамической теории в статистической физике» [20].

§ 4. Цепочка уравнений Боголюбова Поскольку N -частичные функции распределения содержат избыточную и бесполезную информацию о корреляции частиц высоких порядков, целесообразно ввести более простые s -час тичные функции распределения Fs (t, x1, x2,..., xs ), s = 1, 2..., N, определив их таким образом, чтобы величина s (3.14) Fs (t, x1, x2,..., xs ) dx1 dx2... dxs Vs давала вероятность того, что в момент времени t динамиче ские состояния группы из s молекул находятся в бесконечно малом объеме dx1 dx2... dxs вблизи точки x1, x2,..., xs. Для определения s -частичной функции распределения проинтегри руем (x1, x2,..., xN ) по всем «лишним» переменным:

Fs (t, x1, x2,..., xs ) = V s (t, x1, x2,..., xN ) dxs+1 dxs+2... dxN.

(3.15) Здесь и далее величина xi обозначает совокупность координа ты и импульса i -й частицы, V – объем системы.

Нашей целью является вывод уравнения, которому подчи няется одночастичная функция распределения F1 (t, x). Тем не 126 Глава 3. Кинетические уравнения менее разумно начать вывод уравнения движения для s -час тичной функции распределения, упростив его на заключитель ном этапе.

Для вывода уравнения движения, которому подчиняется s частичная функция распределения, будем использовать урав нение Лиувилля (3.13). Пусть система представляет собой раз реженный газ свободно двигающихся молекул, взаимодействие между которыми определяется короткодействующим потенциа лом (|qi qj |), зависящим только от модуля расстояния между частицами. В этом случае гамильтониан системы в потенциаль ном поле U (q) можно записать в виде p (|qi qj |), H1 (xi ) = i + U (qi ).

H= H1 (xi ) + 2m 1iN 1ijN (3.16) Используя гамильтониан (3.16), запишем уравнение Лиувил ля (3.13) для полной функции распределения:

[(|qi qj |), ]. (3.17) = [H1 (xi ), ] + t 1iN 1ijN Умножим обе части уравнения (3.17) на V s и проинтегри руем их по переменным xs+1, xs+2,..., xN, причем интегриро вание по каждой из переменных xi производится по всем воз можным значениям координаты и импульса i -й частицы. В ре зультате получаем следующее выражение:

Fs Vs = [H1 (xi ), ] dxs+1 dxs+2... dxN + t 1is Vs + [H1 (xi ), ] dxs+1 dxs+2... dxN + s+1iN [(|qi qj |), ] dxs+1 dxs+2... dxN + Vs + 1ijs § 4. Цепочка уравнений Боголюбова [(|qi qj |), ] dxs+1 dxs+2... dxN + Vs + 1is s+1jN [(|qi qj |), ] dxs+1 dxs+2... dxN.

Vs (3.18) + s+1ijN При записи соотношения (3.18) мы учли, что для любой сим метричной относительно перестановки индексов функции ij справедливо следующее представление двойной суммы:

s N s N ij = ij + ij ij + ij = 1ijN i=1 i=s+1 j=1 j=s+ = ij + ij + ij.

1ijs 1is s+1ijN s+1jN Для дальнейшего преобразования уравнения (3.18) учтем тождества (доказательство см. в задаче 3.1) (3.19) [H1 (xl ), ] dxl = 0;

[(|qi qj |), ] dxi dxj = 0, (3.20) которые выполняются, если плотность распределения стре мится к нулю на границах фазовой области (при |q| и |p| ). Рассмотрим последовательно каждое из слагаемых в правой части уравнения (3.18).

Выполняя интегрирование в первом слагаемом с учетом определения (3.15), запишем его в виде Vs [H1 (xi ), ] dxs+1 dxs+2... dxN = [H1 (xi ), Fs ].

1is 1is Второе слагаемое в соответствии с тождеством (3.19) обраща ется в нуль и вклада не дает.

Третье слагаемое в правой части (3.18) с учетом определе ния (3.15) легко преобразуется:

V s [(|qi qj |), ] dxs+1... dxN = [(|qi qj |), Fs ].

1ijs 1ijs 128 Глава 3. Кинетические уравнения В четвертом слагаемом можно обнаружить, что все слагае мые при суммировании по индексу j в силу тождественности частиц, приводящей к инвариантности функции распределения (x1, x2,..., xs,..., xj,..., xN ) = (x1, x2,..., xj,..., xs,..., xN ) относительно перестановки координат частиц xj и xs, заменой переменных при интегрировании можно привести к одинаково му виду. Число таких слагаемых, очевидно, N s. Поэтому получаем [(|qi qj |), ] dxs+1 dxs+2... dxN = Vs 1is s+1 j N = (N s) [(|qi qs+1 |), ] dxs+1 dxs+2... dxN = Vs 1is (N s) [(|qi qs+1 |), Fs+1 ] dxs+1.

= V 1is Наконец, пятое слагаемое в правой части (3.18) с учетом тождества (3.20) равно нулю и вклада не дает.

Таким образом, уравнение для s -частичной функции рас пределения можно записать в следующей форме:

Fs (|qi qj |), Fs + = H1 (xi ) + t 1is 1ijs N s (|qi qs+1 |), Fs+1 dxs+1. (3.21) + V 1is Определим гамильтониан совокупности s молекул соотно шением (|qi qj |) (3.22) Hs = H1 (xi ) + 1is 1ijs и перейдем в уравнении (3.21) к термодинамическому пределу N, V, N/V = n = const, где n – плотность числа § 4. Цепочка уравнений Боголюбова частиц. Тогда уравнение для s -частичной функции распреде ления можно записать в более компактной форме:

Fs [(|qi qs+1 |), Fs+1 ] dxs+1. (3.23) = [Hs, Fs ] + n t 1is Записав это уравнение, мы еще не продвинулись вперед в за даче сокращения в описании. В действительности мы получили цепочку «зацепляющихся» уравнений для функций распределе ния, которая эквивалентна (по полноте информации) исходно му уравнению Лиувилля. Эта идея использовать совокупность «зацепляющихся» уравнений движения для последовательно сти функций распределения или корреляционных функций ви да (2.3) очень часто используется в неравновесной статисти ческой механике для построения схем сокращенного описания.

Похожие идеи высказывались в работах Борна, Грина, Кирк вуда, Ивона. Поэтому в литературе очень часто уравнения дви жения (3.23) называют цепочками уравнений движения Бого любова – Борна – Грина – Кирквуда – Ивона (ББГКИ).

Чтобы получить замкнутое уравнение, необходимо функ цию распределения, например Fs+1, выразить через функции распределения меньших порядков. Тогда система уравнений за мкнется и мы получим сокращение в описании. В следующих параграфах мы получим различные варианты уравнений для одночастичной функции распределения, взяв за основу цепочку уравнений (3.23).

Задача 3. Используя определение классических скобок Пуассона (3.13), до казать справедливость тождеств (3.19), (3.20) при условии, что стремится к нулю на границах фазовой области.

Решение Рассмотрим тождество (3.19). Используя определение скобок Пуас сона, получаем H1 (p, q) (p, q) H1 (p, q), (p, q) dp dq = p q H1 (p, q) (p, q) (3.24) dp dq.

q p 130 Глава 3. Кинетические уравнения Проинтегрируем первый и второй члены в правой части послед него выражения по частям.

H1 (p, q) (p, q) H1 (p, q) dpdq = dp (p, q) p q p q 2 H1 (p, q) dpdq (3.25) (p, q);

p q H1 (p, q) (p, q) H1 (p, q) dpdq = dq (p, q) q p q p H1 (p, q) (3.26) dpdq (p, q).

p q Вклад от первого слагаемого в правой части (3.25) и (3.26) равен нулю, а вторые слагаемые оказались одинаковыми. Поэтому в правой части (3.24) стоит разность двух одинаковых членов.

Для доказательства тождества (3.20) воспользуемся определени ем скобок Пуассона (3.13). Поскольку потенциал парного взаимодей ствия частиц зависит только от координат, получаем (|qi qj |), dxi dxj = (|qi qj |) (|qi qj |) (3.27) = + dpi dqi dpj dqj.

qi pi qj pj Интегрируя каждое из слагаемых в правой части (3.27) по частям, легко заметить, что правая часть выражения (3.27) равна нулю и тождество (3.20) действительно выполняется.

§ 5. Уравнение для одночастичной функции распределения. Приближение времени релаксации Получим уравнение движения для одночастичной функции распределения F1 (x, t). Рассмотрим вначале скобку Пуассона [H1, F1 ]. Переходя к векторным обозначениям, получаем H(r, p) F1 (t, p, r) H(r, p) F1 (t, p, r) [H1, F1 ] = = r p p r p = F (r) p F1 (t, p, r) (3.28) r F1 (t, p, r).

m § 5. Уравнение для одночастичной функции Учитывая этот результат, на основании уравнения (3.23) за пишем уравнение для одночастичной функции распределения F1 (t, p, r) p + F (r) + F1 (t, p, r) = p r t m dr dp (|r r |), F2 (t, p, r, p, r ). (3.29) =n Уравнение (3.29) все еще является точным динамическим уравнением. Его левая часть представляет собой скорость изме нения одночастичной функции распределения за счет ее явной зависимости от времени и перемещения частиц в координат ном и импульсном пространствах. Иначе говоря, в левой части (3.29) записана полная производная функции F1 по времени. В отличие от N -частичной функции распределения эта производ ная не равна нулю, а равна изменению функции распределения за счет парных столкновений с другими частицами. По этой причине правую часть уравнения (3.29) часто называют и н т е г р а л о м с т о л к н о в е н и й. С учетом сказанного за пишем уравнение для одночастичной функции распределения, заменяя правую часть интегралом столкновений F1 p F = (3.30) + F (r) p F1 + r F1.

t m t ст Различные способы построения замкнутых кинетических уравнений различаются по существу только тем, как конструи руется интеграл столкновений. Мы предполагаем рассмотреть в дальнейшем несколько таких способов, а начнем с простейшего – приближения времени релаксации.

П р и б л и ж е н и е в р е м е н и р е л а к с а ц и и ис ходит из простого предположения, что в отсутствие внешних сил пространственно однородная система будет релаксировать к равновесию с некоторым характерным временем. Иначе говоря, уравнение F1 F = (3.31) t t ст 132 Глава 3. Кинетические уравнения должно описывать релаксацию неравновесного распределения F1 (t) к равновесной функции распределения системы f0. Легко видеть, что всем этим условиям удовлетворяет интеграл столк новений, записанный в форме F1 (t) f F =.

t ст Решение уравнения (3.31) в этом случае будет иметь вид F1 (t) f0 = C(0)et/, где константа C(0) определяется из начальных условий для функции F1.

В итоге кинетическое уравнение в приближении времени ре лаксации может быть записано в следующей форме:

F 1 f F1 p = (3.32) + F (r) p F1 + r F1.

t m Следует отметить, что каких-либо серьезных аргументов для того, чтобы считать процесс релаксации экспоненциаль ным, не существует. Тем не менее этот подход, в силу своей простоты, широко используется, особенно при качественной интерпретации результатов эксперимента. Использование по нятия времени релаксации зачастую дает неплохие результаты при анализе кинетических явлений в металлах и полупровод никах. Величина при этом играет роль подгоночного пара метра. В некоторых случаях для времени релаксации удается построить замкнутые выражения из первых принципов и тем самым обосновать использование приближения времени релак сации. Подробнее эти вопросы будут рассмотрены в главе 4.

§ 6. Кинетическое уравнение Власова § 6. Кинетическое уравнение Власова для бесстолкновительной плазмы Для получения из цепочки уравнений Боголюбова (3.29) за мкнутого уравнения для одночастичной функции распределе ния нужно двухчастичную функцию распределения предста вить в виде некоторого функционала, зависящего только от од ночастичных функций распределения. Ясно, что без привлече ния каких-либо дополнительных физических идей относитель но свойств потенциала взаимодействия или относительно ха рактера поведения функции F2 дальнейшее продвижение впе ред невозможно. Поэтому будут рассмотрены два противопо 3 ложных случая R0 n 1 и R0 n 1, где R0 – характер ный радиус взаимодействия микрочастиц, n – число частиц в единице объема. Первый случай соответствует случаю газа ма лой плотности, когда характерный радиус сил взаимодействия частиц много меньше среднего расстояния между частицами.

Рассмотрение этого случая мы пока отложим.

Второй случай реализуется в ионизованной плазме, где ве личина R0 имеет смысл радиуса дебаевского экранирования заряженных частиц.

Рассмотрим систему частиц с кулоновским потенциалом вза имодействия e (|r r |) = ±.

|r r | Система в целом считается электрически нейтральной. Осо бенностью кулоновского взаимодействия является то, что по тенциал взаимодействия слишком слабо спадает с расстояни ем между частицами. Поэтому приходится учитывать взаимо действие пробной частицы со всеми остальными частицами си стемы. Более того, эффект парного взаимодействия пробной частицы с любой другой частицей системы оказывается мно го меньше эффекта ее взаимодействия с эффективным полем, создаваемым совокупностью оставшихся N 2 частиц. Таким образом, мы приходим к выводу, что в случае кулоновского по тенциала взаимодействия более важным является учет взаимо действия пробной частицы с усредненным полем других частиц, нежели учет парных взаимодействий. Отсюда следует справед ливость важного упрощения.

134 Глава 3. Кинетические уравнения Очевидно, что двухчастичную функцию распределения мож но всегда записать в виде F2 (t, p, r, p, r ) = F1 (t, p, r) F1 (t, p, r ) + G2 (t, p, r, p, r ), (3.33) где функция G2 (t, p, r, p, r ) учитывает парные корреляции.

Поскольку, как отмечено выше, учет парных корреляций оказы вается менее важен, нежели влияние эффективного поля, пар ной корреляционной функцией G2 в (3.33) можно пренебречь.

Это упрощение сразу позволяет оборвать цепочку уравнений Боголюбова и получить замкнутое уравнение для одночастич ной функции распределения.

В реальных системах, например электронной плазме, куло новский потенциал экранируется подвижными электронами и предложенный выше способ рассуждений справедлив лишь на расстояниях r rд, где обратный радиус дебаевского экрани рования q0 определяется выражением 4ne q0 = =.


rд kБ T С другой стороны, чтобы концепция среднего поля имела право на жизнь, необходимо, чтобы внутри сферы Дебая было достаточно много частиц: n rд 1. Подставляя сюда оценку радиуса дебаевского экранирования, получаем усло 4e2 n1/3. Поскольку n1/3 1/a0, где a0 – величи вие kБ T на порядка среднего расстояния между частицами, записанное выше условие легко интерпретируется: кинетическая энергия движения частиц должна быть много больше энергии кулонов ского взаимодействия между ближайшими частицами 4e kБ T.

a Итак, пренебрегая парными корреляциями, запишем двух частичную функцию распределения в виде произведения одно частичных (3.34) F2 (t, p, r, p, r ) = F1 (t, p, r) F1 (t, p, r ) § 6. Кинетическое уравнение Власова и подставим это выражение в правую часть формулы (3.29):

dr dp (|r r |), F2 (t, p, r, p, r ) = n (|r r |) F1 (t, p, r ) (3.35) =n dr dp F1 (t, p, r ).

r p Еще одно слагаемое, возникающее при раскрытии скобок Пуас сона, в котором производные вычисляются по r и p, обраща ется в нуль в силу тождества (3.20).

Правую часть формулы (3.35) можно представить в форме U (r ) F1 (t, p, r ), r p где эффективный потенциал U определен выражением dp dr (|r r |) F1 (t, p, r ).

U (t, r ) = n Подставляя этот результат в уравнение для одночастичной функции распределения (3.29), получаем замкнутое уравнение для функции F1 с самосогласованным полем p F1 U (t, r ) + U (t, r ) F1 F (3.36) + = 0.

t m r r p При записи этого уравнения мы предположили, что внешняя сила F (t, r ) = U (t, r ), где U (t, r ) – потенциал поля внеш них сил. Уравнение (3.36) и есть уравнение Власова, полученное им в 1938 г. Отметим несколько основных особенностей этого уравнения.

Во-первых, интегродифференциальное уравнение Власова обратимо во времени. Обратимость во времени является есте ственным следствием отказа от учета взаимодействия между частицами.

Во-вторых, однокомпонентная плазма реально существо вать не может. Поэтому к уравнению для функции распределе ния электронов следует добавить уравнение для функции рас пределения ионов. Исключение составляет модельный случай, когда плотность распределения ионов однородна и постоянна.

136 Глава 3. Кинетические уравнения В-третьих, движение заряженных частиц приводит к воз никновению переменного электромагнитного поля. Поэтому урав нение Власова еще необходимо дополнить уравнениями Макс велла для компонент электрического и магнитного полей. Та ким образом, уравнения (3.36) в действительности следует рас сматривать как некую программу, реализация которой требует серьезных усилий. Рассмотрим интересную и практически важ ную задачу, для решения которой можно использовать линеа ризованное уравнение Власова.

Задача 3. Используя линеаризованное кинетическое уравнение Власова, опре делить спектр продольных колебаний электронной плазмы, предпо лагая, что положительно заряженные ионы неподвижны и имеют однородное распределение.

Решение В условиях сформулированной задачи можно ограничиться толь ко рассмотрением движения электронов. Представим одночастичную функцию распределения F1 в виде суммы равновесной функции рас пределения f0 (v) и неравновесной добавки f (t, v, r) :

F1 (t, v, r) = f0 (v) + f (t, v, r).

Электронный газ будем считать невырожденным. В этом случае равновесное распределение f0 является распределением Максвелла – Больцмана mv 3/ m exp (3.37) f0 (v) =.

2kБ T 2kБ T В этой формуле m – масса электронов, v – их скорость. Распреде ление (3.37) нормировано на единицу:

mv 3/ m exp dvx dvy dvz = 1.

2kБ T 2kБ T При таком выборе нормировки функции распределения интегрирова ние в формуле для самосогласованного потенциала U должно про изводиться по v, а не по p.

Если неравновесность является слабой и f (t, v, r)/f0 (v) 1, то уравнение (3.36) можно линеаризовать. Действительно, проанализи руем силы, действующие на электрон. Согласно (3.36), на электрон § 6. Кинетическое уравнение Власова действует внешняя сила взаимодействия с положительно заряжен ным фоном U (r ), и сила, определяемая градиентом самосогла сованного поля U (t, r ). В условиях равновесия эти силы должны компенсировать друг друга. Поэтому результирующая сила, действу ющая на электрон, будет определяться только неравновесной добав кой f (t, v, r) :

e (U + U ) = e E (r, t) = n f (t, v, r ). (3.38) dv dr r |r r | Магнитное поле, которое возникает при движении заряженных частиц, в данном случае вклада не дает, поскольку слагаемое [v H] p f0 = в силу коллинеарности векторов v и p f0.

Используя (3.38), легко получить уравнение, которому удовлетво ряет вектор напряженности E (r, t) результирующего электрического поля. Найдем дивергенцию левой и правой частей (3.38). Учитывая, что 1 = 4 (r r ), div r = |r r | |r r | получаем из (3.38) одно из хорошо известных уравнений Максвелла div E(t, r ) = 4en (3.39) dv f (t, v, r).

Здесь – оператор Лапласа.

Используя определение (3.38), запишем линеаризованное уравне ние Власова (3.36) для рассматриваемого случая f (t, v, r) p f (t, v, r) f eE(t, r) (3.40) + = 0.

t m r v Линеаризация в данном случае состоит в том, что в уравнении (3.40) удержаны лишь линейные члены по малой добавке f (t, v, r). По скольку в последнем слагаемом (3.40) электрическое поле E(t, r) ли нейно по этой добавке, градиент p F1 можно заменить p f0 – вели чиной, вычисленной по равновесному распределению.

Система уравнений (3.39), (3.40) позволяет решить задачу об определении спектра продольных колебаний электронной плазмы.

138 Глава 3. Кинетические уравнения Как указывалось выше, уравнение Власова обратимо во времени. Эта обратимость приводит к вырождению решений относительно опера ции обращения времени. Вырождение можно снять, добавив беско нечно малый источник в правую часть уравнения (3.40), который подобен интегралу столкновений (3.32) при записи кинетического уравнения в приближении времени релаксации:

F = f (t, v, r).

t ст В этой формуле – малая величина, которая после выполнения тер модинамического предела N, V, N/V = n = const должна быть устремлена к нулю. Для дальнейших вычислений будем использовать «исправленное» уравнение Власова f (t, v, r) p f (t, v, r) f eE(t, r) = f (t, v, r), (3.41) + t m r p дающее решения запаздывающего типа.

Поскольку нас интересуют продольные колебания, то вместо фурье трансформы уравнений (3.39), (3.41) можно просто искать решение в форме f (t, v, r) = fk, (v) ei(kxt), E(t, r) = E(k, ) ei(kxt).

Подставляя эти выражения в формулы (3.39), (3.41), получаем уравнения для фурье-компонент fk, (v) и E(k, ) e f i vx k + i fk, (v) E(k, ) = 0, m vx ikE(k, ) = 4en (3.42) dvfk, (v).

Из первого уравнения (3.42) найдем e f0 E(k, ) fk, (v) = i m vx vx k + i и подставим это значение в правую часть второго из уравнений (3.42).

В результате получаем уравнение для определения фурье-компонент поля 4e2 n f0 k E(k, ) = E(k, ) (3.43) dv.

vx vx k + i m § 6. Кинетическое уравнение Власова Уравнение (3.43) имеет тривиальное решение E(k, ) = 0. Если существует нетривиальное решение и E(k, ) = 0, то должно выпол няться условие 4e2 n f0 (3.44) 1+ dv = 0.

vx vx k + i mk Это уравнение и является искомым дисперсионным соотношени ем, выражающим зависимость частоты колебаний электронов от их волнового вектора k (напомним, что рассматриваются продоль ные колебания электронной плазмы вдоль оси X ). Для того чтобы получить явный вид зависимости (k), необходимо вычислить инте грал, входящий в формулу (3.44). Поскольку основной задачей этого примера была иллюстрация применения уравнения Власова для ре шения задач физической кинетики и мы эту задачу выполнили, полу чив уравнение (3.44), опустим далее подробные детали последующих вычислений, отсылая читателей к имеющейся литературе [17].

Для нахождения явного закона дисперсии введем плазменную ча стоту 0, определив ее соотношением 4e2 n 0 =, m и выполним интегрирование по компонентам скорости vy и vz. Учи тывая, что 2 m(vy + vz ) f0 mvx m = dvy dvz exp f0, = 1, vx kБ T 2kБ T 2kБ T получаем 2 1/ 0 m m mvx vx 1 dvx exp = 0.

vx k + i k kБ T 2kБ T 2kБ T (3.45) Интеграл в (3.45) содержит особенность при vx = /k. Для его вычисления применим известное соотношение 1 = P i(x), lim 0 x + i x где P – операция выделения главной части, сводящейся к «выкалы ванию» точки, содержащей особенность. В результате этой операции 140 Глава 3. Кинетические уравнения дисперсионное соотношение можно записать в виде 1 Re I + i Im I = 0, (3.46) 2 1/ 0 m m mvx vx dvx exp (3.47) Re I =, 2kБ T vx k k kБ T 2kБ T m (/k) 1/ 0 m m exp (3.48) Im I =.

k k 2 kБ T 2kБ T 2kБ T При выполнении интегрирования по vx было использовано тожде ство ( kvx ) = 1/k (/k vx ).

К сожалению, вычислить интеграл по формуле (3.47) точно не удается. Поэтому рассмотрим лишь длинноволновое приближение 1 и разложим дробь в подынтегральном выражении по kvx / этому малому параметру, удерживая лишь несколько первых членов vx k vx k 2 vx k vx = vx + + 2 + 3 +....

vx k Учитывая, что нечетные моменты распределения Максвелла – Больцмана равны нулю, а второй и четвертый моменты легко вы числяются: vx = kБ T /m, vx = 3(KБ T /m)2, где 2 1/ m mvx n exp n vx = dvx vx, 2kБ T 2kБ T получаем приближенное выражение для правой части (3.47) k 2 kБ T (3.49) Re I = 2 1+3 2.

m Вернемся теперь к анализу дисперсионного соотношения (3.46).

Отбрасывая пока мнимую часть, получим дисперсионное соотноше ния в длинноволновом приближении без учета затухания. Для этого подставим (3.49) в (3.46):

k 2 kБ T 2 = 0 1 + (3.50).

2 m Отсюда в нулевом приближении по малому параметру k 2 kБ T 2 m § 6. Кинетическое уравнение Власова получаем = 0. Подставляя этот результат в правую часть (3.50) и извлекая квадратный корень из левой и правой частей, в первом приближении по k 2 получаем 3 kБ T k (3.51) = 0 1+ 2.

2 m Затухание плазменных колебаний будем искать в нулевом при ближении по параметру kvx /, полагая, что = + i, где – действительная часть плазменной частоты, а – ее мнимая часть. Чтобы найти связь между и Im I, вернемся к дисперсион ному уравнению (3.46), записав его в виде 1 = 0.


( + i) Считая, что затухание мало и / 1, разложим знаменатель в последнем выражении с точностью до линейных членов по / :

0 1 2 1i = 0.

Сравнивая это выражение с (3.46) в нулевом порядке по k ( = 0 ), для константы затухания получаем следующее выражение:

m(0 /k) 3/ 0 m exp (3.52) =.

k3 2kБ T 2kБ T Затухание продольных плазменных волн, определяемое выраже нием (3.52), было найдено Л. Д. Ландау в 1946 г. Следует обратить внимание на то, что это затухание получено без учета столкновений электронов с рассеивателями. Электрическое поле в данном случае играет роль квазиупругой силы. Затухание определяется лишь той частью электронов, для которых скорость вдоль оси X совпадает с фазовой скоростью волны, равной /k. Эти электроны наиболее эффективно периодически разгоняются, а затем замедляются элек трическим полем. После ускорения в электрическом поле число элек тронов, для которых выполняется условие vx = /k, больше, неже ли после замедления. Поэтому тормозящее действие электрического поля эффективнее, нежели ускоряющее, и электроны этой группы за цикл колебаний в среднем теряют часть своей энергии. Следует 142 Глава 3. Кинетические уравнения отметить, что, кроме затухания Ландау, существуют и другие меха низмы, приводящие к затуханию плазменных колебаний без учета столкновений: например излучение электромагнитной энергии уско ренно движущимися электронами.

§ 7. Уравнение Больцмана для газа малой плотности Одним из основных результатов кинетической теории явля ется кинетическое уравнение для одночастичной функции рас пределения, полученное Л. Больцманом в 1872 г. Рассмотрим два различных подхода, позволяющих получить это уравнение:

качественный, которому следовал Л. Больцман, и вывод из пер вых принципов с использованием цепочки зацепляющихся урав нений движения для функций распределения Н. Н. Боголюбо ва. Прежде чем переходить к непосредственному выводу кине тического уравнения, следует проанализировать условия при менимости развиваемого подхода.

Во-первых, рассмотрение будет ограничено парными столк новениями, поскольку задача рассеяния двух тел имеет анали тическое решение, а задачи рассеяния трех и более тел име ют только численное решение и не могут быть представлены в аналитической форме. По этой же причине ограничим свое рас смотрение пространственно однородными системами. На самом деле требование пространственной однородности не является сильно лимитирующим ограничением. Функция распределения не должна существенно изменяться на расстояниях r (по рядка длины свободного пробега частиц). Функция распределе ния, тем не менее, может зависеть от координат как от пара метра. Для большинства физических приложений этого оказы вается достаточно.

Во-вторых, будем рассматривать систему частиц с потенци алом взаимодействия типа отталкивания. В этом случае при рассеянии не могут возникнуть связанные состояния.

В-третьих, будем считать, что радиус сил взаимодействия r много меньше среднего расстояния между частицами a0 = v 1/3, где v – это объем, приходящийся на одну частицу. Параметр r0 /v будет считаться малым по сравнению с другими простран ственными масштабами системы.

§ 8. Качественный вывод уравнения Больцмана Существование двух различных пространственных масшта бов приводит и к появлению двух различных временных мас штабов. Если считать, что система состоит из частиц одного сорта, имеющих среднюю скорость v, то можно ввести харак терное время взаимодействия частиц 0 = r0 /v и характерное время свободного пробега = /v, где – длина свободного пробега. Очевидно, что выполняется условие 0.

Действительно, численные оценки для газа при нормальных условиях дают: N/V 3 1019 частиц/см3 ;

объем, приходящий ся на одну частицу, v0 3 1020 см3 ;

среднее расстояние между частицами a0 = 3 107 см;

характерный радиус сил взаимо действия между частицами r0 108 см;

длина свободного пробега 105 см;

тепловая скорость движения молекул v = 105 см/с. Отсюда получаем 0 1013 c, а 1010 c. На личие столь разных временных и пространственных масштабов позволяет огрубить описание и осуществить переход от дина мического описания к статистическому.

§ 8. Качественный вывод уравнения Больцмана Если столкновения между молекулами не учитывать совсем, то каждую частицу газа можно рассматривать как замкнутую подсистему и для одночастичной функции распределения F1 (t, p, r) тогда справедлива теорема Лиувилля dF1 F1 p или = 0;

+ r F1 +F p F1 = 0.

dt t m Учет столкновений приводит к тому, что функция распре деления будет претерпевать изменения не только за счет дви жения частицы по фазовой траектории, но и за счет ее столк новений с другими частицами. Эта часть изменения функции распределения, как указывалось выше, называется интегралом столкновения. Заслугой Больцмана является как раз построе ние интеграла столкновений для газа малой плотности.

Хотя при построении интеграла столкновений необходимо учитывать кинематику процесса столкновений, этот вывод не может быть чисто динамическим. Если интересоваться пове t, то не возникает дением системы на временах 144 Глава 3. Кинетические уравнения необходимости в точном описании процесса столкновения ча стиц: достаточно знать лишь асимптотическое поведение систе мы (т. е. найти взаимосвязь состояний задолго до столкнове ния с состояниями через достаточно большой промежуток по сле столкновения).

При упругих столкновениях двух частиц должны выпол няться законы сохранения импульса и энергии p + p1 = p + p1 = P, 2 p2 + p2 = p (3.53) + p1, где p, p1 и p, p1 – импульсы частиц до столкновения и после него, P – полный импульс системы двух частиц. Скорости от носительного движения u = (p1 p )/m и u = (p1 p )/m до столкновения и после него равны по абсолютной величине и противоположны по направлению: u = u.

Очевидно, что, используя уравнения (3.53), импульсы ча стиц до и после столкновений можно выразить через две вели чины: суммарный импульс частиц P и скорость относительного движения u :

P mu P mu p=, p1 = +, 2 2 2 P mu P mu (3.54) p=, p1 = +.

2 2 2 Перейдем к построению интеграла столкновений. Для упро щения записи введем обозначения:

F1 (t, r, p ) = f, F1 (t, r, p1 ) = f1, (3.55) F1 (t, r, p ) = f, F1 (t, r, p1 ) = f1.

В некоторый момент времени t в элементе объема фазо вого пространства drdp будет находиться nf drdp частиц, где n = 1/v – число частиц в единице объема (концентрация). Ин теграл столкновений определяет скорость изменения числа ча стиц, находящихся в элементе объема фазового пространства § 8. Качественный вывод уравнения Больцмана drdp в окрестности точки r, p. Для того чтобы ее найти, необ ходимо подсчитать, сколько частиц уходит из этого объема фа зового пространства и сколько приходит за единицу времени.

Поскольку все акты рассеяния происходят независимо и рассеян ные частицы к следующему акту рассеяния успевают термализо ваться, каждый акт рассеяния можно рассматривать независимо.

Рассмотрим одну частицу, имеющую координату r, p, и остановим ее, т. е. перейдем в систему координат, связанную с этой частицей. В качестве модели взаимодействия частиц возь мем модель твердых сфер, полагая, что каждая из частиц имеет радиус r0. Окружим выделенную частицу сферой взаимодей ствия частиц радиусом 2r0, в центре которой поместим начало цилиндрической системы отсчета. Ось Z этой системы напра вим вдоль вектора относительной скорости u. Схема выбора осей координат приведена на рис. 23.

® u da dj ® z || u a 2r Рис. 23. Выбор координат при анализе парных столкновений частиц Координату, задающую полярный угол, обозначим, а ра диальную переменную – буквой a. Обозначим бесконечно ма лый элемент площади поперечного сечения сферы adad как d (на рис. 23 этот элемент площади выделен более жирной линией). Среднее число частиц c импульсами от p1 до p1 + dp1, падающих на эту площадку за единицу времени, будет равно nf1 uddp1. Тогда среднее число столкновений частиц, находя щихся в элементе фазового объема drdp, с частицами, имеющи ми импульс от p1 до p1 + dp1, будет определяться выражением (3.56) nf drdp nf1 uddp1.

146 Глава 3. Кинетические уравнения Поскольку в результате каждого из этих столкновений одна частица покидает элемент объема фазового пространства drdp, изменяя свой импульс, то полное число таких столкновений можно найти, проинтегрировав по всем возможным значени ям импульсов p1 и площади поперечного сечения сферы рас сеяния. В итоге получаем число частиц, покидающих элемент фазового объема drdp за единицу времени:

2r f drdp = n (3.57) n d ada f f1 udp1 drdp.

t 0 Чтобы найти число частиц, приходящих за единицу времени в элемент объема фазового пространства drdp, достаточно за метить, что частицы, имеющие до рассеяния импульсы p и p1, после рассеяния будут обладать импульсами p и p1. Следо вательно, для нахождения числа частиц, приходящих в элемент объема фазового пространства drdp, нужно произвести «обра щение» процесса рассеяния, заменив в формуле (3.57) f f, f1 f1, dp dp, dp1 dp1, u u. В результате полу чаем 2r f (3.58) n drdp = n d ada f f1 udp1 drdp.

t + 0 Используя кинематику законов рассеяния, легко доказать, что dpdp1 = dp dp1. Действительно, как известно, закон пере хода от одной системы координат к другой задается с помощью якобиана преобразований dp dp1 = |D|dp dp1, где якобиан пре образования D (функциональный определитель) определяется выражением (p, p1 ) (p, p1 ) (P, u ) (P, u) D= =.

(p, p1 ) (P, u ) (P, u) (p, p1 ) Анализируя уравнения (3.54), можно обнаружить, что (p, p1 ) (p, p1 ) =, (P, u ) (P, u) § 8. Качественный вывод уравнения Больцмана поскольку взаимосвязь переменных p, p1 и P, u точно такая же, как для переменных p, p1 и P, u. Отсюда следует ( [1, 3]), что (p, p1 ) (P, u) (P, u ) (u) = 1, D= =.

(P, u ) (p, p1 ) (u ) (P, u) P =const Чтобы найти функциональный определитель D, подставим значения проекций относительной скорости до парного столк новения и после него: u = (ux, uy, uz ), u = (ux, uy, uz ). По скольку в выбранной нами для рассмотрения акта упругого рас сеяния системе координат изменяется только компонента ско рости uz, а компоненты скорости ux и uy остаются постоянны ми, то функциональный определитель, используя его свойства ( [1], [3]), можно еще упростить:

(u) (ux, uy, uz ) (uz ) = 1.

D= = = (ux, uy, uz ) ux =const (u ) (uz ) uy =const Таким образом, мы доказали, что |D| = 1 и dpdp1 = dp dp1.

Этот результат позволяет объединить члены, описывающие уход и приход частиц в элемент объема drdp, под одним знаком ин теграла и произвести сокращение одинаковых членов в левой и правой частях уравнений (3.57) и (3.58) Объединив получен ные результаты, запишем уравнение Больцмана для газа малой плотности с интегралом столкновения в правой части:

2r f p ada (f f1 f f1 )udp1. (3.59) + r f +F pf =n d t m 0 Для практических расчетов в формуле (3.59) переменные p и p1, от которых зависят функции f и f1, следует выразить через переменные p и p1, используя соотношения (3.53), (3.54).

Рассмотрим альтернативные способы записи интеграла столк новений для случая парных столкновений в центральном поле (центральным называется силовое поле, потенциал которого за висит только от расстояния до силового центра). В центральном 148 Глава 3. Кинетические уравнения поле в процессе столкновения, в дополнение к энергии и им пульсу, сохраняется еще и момент количества движения. Это приводит к тому, что каждый элементарный акт рассеяния происходит в плоскости, перпендикулярной вектору момента количества движения (рассмотренный выше случай столкно вения упругих шаров является частным примером рассеяния в центральном поле). Рассеяние в центральном поле обычно описывают на языке сечения рассеяния.

Пусть однородный пучок частиц падает на неподвижный рассеивающий центр с постоянной скоростью u. С е ч е н и е м р а с с е я н и я (, u) называется коэффициент про порциональности между величиной плотности потока падаю щих частиц I и числом частиц dN, рассеянных в телесный угол d = sin d d за единицу времени:

(3.60) dN = I (, u)d.

В этой формуле – так называемый угол рассеяния, т. е. угол между векторами относительной скорости u и u до рассеяния и после него. Геометрический смысл параметров, в терминах которых описывается столкновение частиц в центральном поле, изображен на рис. 24 (рассмотрен случай столкновения упругих шаров радиусом r0 ).

Все частицы, имеющие прицельный параметр от b до b+db, попадут в сферический поясок на сфере рассеяния, изображен ный на рис. 24 a, и будут иметь углы рассеяния от до + d.

Отсюда следует, что все частицы, попавшие в элемент поверхно сти b db d сферы рассеяния, будут рассеяны в телесный угол d. Следовательно, dN = I b db d. Сравнивая это выражение с формулой (3.60), находим b db (3.61) (, u) =.

sin d Производная db/d здесь взята по модулю, поскольку при на шем определении угла рассеяния он увеличивается с уменьше нием прицельного параметра.

§ 8. Качественный вывод уравнения Больцмана u ® a u ® a ® u ® q u dj 2r b b a q db Рис. 24. Кинематика упругого рассеяния:

а – сечение сферы взаимодействия плоскостью, перпендикулярной u ;

б – построение, позволяющее найти взаимосвязь прицельного параметра b с углом рассеяния Функциональную связь между прицельным параметром b и углом рассеяния можно найти, используя построение на рис. 24 б. Как следует из него, b = 2r0 sin. Угол связан с углом рассеяния простым соотношением = /2 /2.

Поэтому b = 2r0 cos /2. Подставляя этот результат в формулу (3.61), получаем выражение для сечения рассеяния в случае упругого столкновения частиц радиусом r0 :

2r0 cos /2 sin /2 (3.62) (, u) = = r0.

sin Полное сечение рассеяния т может быть найдено интегри рованием по всему телесному углу 2r (3.63) т = (, u)d = d bdb = 4r0.

0 Второе равенство здесь получено с использованием определе ния (3.61).

Сравнивая выражение (3.63) и правую часть формулы (3.59), легко обнаружить, что интеграл столкновений в кинетическом 150 Глава 3. Кинетические уравнения уравнении Больцмана можно записать, используя для характе ристики рассеяния понятие сечения рассеяния. В этом случае вместо (3.59) имеем f p u (, u) (f f1 f f1 )dp1 d. (3.64) + rf +F pf =n t m Для практических целей удобно записать интеграл столк новений так, чтобы он явно содержал законы сохранения энер гии и импульса. Для этого нужно в интеграле столкновений добавить интегрирование по импульсу p1 и энергии E1 нале тающих частиц после рассеяния и дописать соответствующие -функции, выражающие закон сохранения энергии:

f dp1 dp1 dE1 u d f (p )f (p1 ) f (p)f (p1 ) =n t ст (p + p1 p p1 ) (E + E1 E E1 ). (3.65) Рассматривая рассеяние частиц как переход системы из со стояния p, p1 в состояние p p1, введем понятие вероятности перехода W (p, p1 ;

p, p1 ), определив ее соотношением dE1 u d = dp W (p, p1 ;

p, p1 ).

В результате интеграл столкновений может быть записан в сле дующей форме:

f dp1 dp dp1 W (p, p1 ;

p, p1 ) f (p ) f (p1 ) =n t ст f (p) f (p1 ) (p + p1 p p1 ) (E + E1 E E1 ). (3.66) Анализируя структуру интеграла столкновений (3.66), лег ко заметить, что он распадается на два вклада, описывающих приход частиц в состояние с импульсом p и уход частиц из этого состояния. Для того чтобы такое представление было возмож но, вероятность переходов W (p, p1 ;

p, p1 ) должна удовлетво рять условию (3.67) W (p, p1 ;

p, p1 ) = W (p, p1 ;

p, p1 ).

§ 9. Вывод из цепочки уравнений Боголюбова Соотношение (3.67) есть частный случай проявления принци па д е т а л ь н о г о р а в н о в е с и я, который в данном случае сводится просто к тому, что механические (квантово механические) вероятности переходов между состояниями в прямом и обратном направлении равны.

§ 9. Вывод уравнения Больцмана из цепочки уравнений Боголюбова Запишем первые два уравнения цепочки Боголюбова для функций распределения F1 и F2 в линейном приближении по параметру r0 /v. Раскрывая скобку Пуассона в (3.29), (3.23), получаем (|r r1 |) F p, (3.68) + F (r) p+ F1 = dr1 dp r t m v r p ((|r r1 |) + U (r )) F p p F2 + r+ r t m m r p ((|r r1 |) + U (r1 )) F (3.69) = 0.

r1 p Поскольку интегральный член в правой части (3.68) уже со держит первую степень малого параметра r0 /v (потенциал вза имодействия отличен от нуля только внутри сферы радиусом r0 ), мы опустили интегральный член в правой части уравнения (3.69), содержащий первую степень малого параметра r0 /v. То гда уравнение для функции F2 превращается в уравнение Ли увилля для двухчастичной функции распределения.

Будем искать решение системы уравнений (3.68), (3.69), удо влетворяющее принципу пространственного ослабления корре ляций, который в данном случае сводится к тому, что при до статочно большом удалении частиц друг от друга их корреля ция ослабевает и парная корреляционная функция может быть записана в виде произведения одночастичных функций:

(3.70) F2 (t, p, r, p1, r1 )||rr1 | = F1 (t, r, p) F1 (t, r1, p1 ).

152 Глава 3. Кинетические уравнения Выражение (3.70) можно рассматривать как граничное условие, накладываемое на функцию распределения, которое позволяет отобрать физически осмысленное решение.

Поскольку уравнение (3.66) представляет собой уравнение Лиувилля для двухчастичной функции распределения при пол ном пренебрежении столкновениями с другими частицами, то его решением будет функция, остающаяся постоянной при дви жении вдоль фазовой траектории:

F2 (t, x(t, x0 ), x1 (t, x0 )) = F2 (t, x(t, x0 ), x1 (t, x0 )) = = S (x, x1 ) F2 (t, x(t, x0 ), x1 (t, x0 )). (3.71) В формуле (3.71) величины x, x1 используются для обозна чения совокупности координаты и импульса частиц. Величина x0 обозначает координаты и импульсы совокупности двух ча стиц в начальный момент времени. Запись x(t, x0 ) означает, что координата и импульс частицы вычислены в результате реше ния механической задачи с начальным условием {x, x1 } = x0.

При записи второй части равенства (3.71) использован оператор S (x, x1 ), который сдвигает частицы вдоль фазовой траекто рии на временной интервал :

S (x, x1 ) = eiL2, iL2 A = [A, H].

Здесь iL2 – оператор Лиувилля двух частиц.

Предположим теперь, что время столь велико, что части цы разводятся на расстояние, превышающее характерный ради ус корреляции. В этом случае двухчастичная функция распре деления распадется на произведение одночастичных функций распределения и, продолжив цепочку равенств (3.71), получаем F2 (t, x, x1 ) = S (x, x1 ) F2 (t, x, x1 ) = = S (x, x1 ) F1 (t, x) F1 (t, x1 ) = (3.72) = S (x, x1 ) S (x) S (x1 ) F1 (t, x) F1 (t, x1 ), где S (x), S (x1 ) – одночастичные операторы эволюции.

Выражение (3.72) определяет взаимосвязь одночастичной и двухчастичной функций распределения, взятых в один и тот же момент времени. Это уравнение справедливо в приближении § 9. Вывод из цепочки уравнений Боголюбова газа малой плотности r0 /v 1 для механических систем, в ко торых реализуется пространственное ослабление корреляций.

В дальнейшем будем рассматривать пространственно одно родный случай. Тогда зависимость одночастичной функции F от координат может быть только параметрической, связанной с плавным изменение внешних условий (например наличием гра диента температуры), а на расстояниях порядка длины свобод ного пробега эта функция от координат не зависит. Поэтому соотношение (3.72) можно еще упростить:

(3.73) F2 (t, x, x1 ) = S (x, x1 ) S (p) S (p1 ) F1 (t, p ) F1 (t, p1 ).



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 10 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.