авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 10 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ МЕТАЛЛОВ ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕД Научно-образовательная серия ...»

-- [ Страница 4 ] --

Это представление для двухчастичной функции распределения является формально точным, если система пространственно од нородна и справедлив принцип ослабления корреляций.

Вернемся к анализу уравнения (3.69). Частная производная по времени в этом уравнении в рассматриваемом приближе нии может быть опущена. Действительно, явная зависимость от времени функции распределения может возникнуть только за счет внешних взаимодействий по отношению к выбранной системе из двух частиц. Такими взаимодействиями могут быть столкновения с другими частицами или взаимодействие с пе ременным внешним полем с характерной частотой. Будем считать, что выполняется условие F2 F2 F F2.

t t ст Вводимое ограничение не является очень жестким, поскольку 1014 c и вплоть до частот оптического диапазона условие 1/ хорошо выполняется.

В этом случае частная производная F2 /t порядка инте грала столкновений и, следовательно, порядка r0 /v. Поскольку мы строим кинетическое уравнение в первом приближении по этому параметру, а правая часть (3.68) его уже содержит, то в уравнении (3.69) для функции F2 линейные по r0 /v члены можно опустить. По существу, отбрасывание частной производ ной в уравнении (3.69) эквивалентно предположению, что столк новение двух частиц происходит в стационарных условиях.

154 Глава 3. Кинетические уравнения Проинтегрируем уравнение (3.69) по r1 и p1. Вводя отно сительную координату R = r1 r, получаем p1 p F2 (R, p, p1 ) (|r r1 |) F dp1 dR = dr1 dp1.

m r p R (3.74) При записи последнего результата учтено, что (|r r1 |) F dr1 dp1 = r1 p в силу условия F2 |p1 =± = 0 и U (r) = 0.

Выражение в правой части (3.74) с точностью до множи теля совпадает с интегралом столкновения для одночастичной функции распределения, и поэтому правую часть в формуле (3.68) можно представить в виде p1 p F2 (R, p, p1 ) F1 (3.75) = dp1 dR.

t v m R ст При интегрировании по R в правой части формулы (3.75) перейдем в полярную систему координат, выбрав начало отсче та в точке r, где находится одна из частиц, ось Z направим вдоль вектора относительной скорости u = (p1 p )/m, обозна чим полярные координаты буквами a и (см. рис. 20) и вме сто функции F2 подставим ее выражение через одночастичные функции распределения (3.73). Так же, как и при выводе урав нения (3.58), будем считать, что частицы являются упругими шарами радиусом r0, так что областью взаимодействия будет сфера радиусом 2r0. В итоге получаем следующее выражение для интеграла столкновений:

2 F1 1 d = dp1 ada d u dz S (x, x1 )F1 (t, p ) F1 (t, p1 ).

t v dz ст 0 (3.76) При записи этого выражения операторы эволюции для одно частичной функции распределения были опущены, поскольку § 9. Вывод из цепочки уравнений Боголюбова при движении по фазовой траектории одночастичный оператор эволюции сохраняет импульс каждой из частиц. Поэтому S (p) S (p1 ) F1 (t, p) F1 (t, p1 ) = F1 (t, p ) F1 (t, p1 ).

Выполним интегрирование по z в правой части (3.76):

F1 = dp1 ada d u S (x, x1 )F1 (t, p) F1 (t, p1 ).

t v ст 0 (3.77) При подстановке нижнего предела z = частицы уже разведены на достаточно большое расстояние и не взаимодей ствуют между собой. Оператор эволюции S (x, x1 ) еще даль ше разводит их, и поэтому импульсы частиц не изменятся.

В итоге получаем = F1 (t, p) F1 (t, p1 ).

S (x, x1 )F1 (t, p) F1 (t, p1 ) При подстановке верхнего предела z = частицы также окажутся разведенными на достаточно большое расстояние и поэтому не взаимодействуют между собой. Но оператор эволю ции S (x, x1 ), сдвигая частицы по фазовой траектории, приве дет их в состояние взаимодействия. Поэтому, если прицельный параметр a 2r0, получаем S (x, x1 )F1 (t, p) F1 (t, p1 ) = F1 (t, p ) F1 (t, p1.) Если прицельный параметр a 2r0, то частицы не столкнут ся и их импульсы в результате действия оператора эволюции останутся неизменными S (x, x1 )F1 (t, p) F1 (t, p1 ) = F1 (t, p) F1 (t, p1 ).

Учитывая полученные выше результаты, запишем интеграл столкновения для случая взаимодействия упругих шаров:

2r0 F1 d u F1 (t, p ) F1 (t, p1 ) = dp1 ada t v ст 0 F1 (t, p) F1 (t, p1 ). (3.78) 156 Глава 3. Кинетические уравнения Легко заметить, что полученное выражение для интеграла столкновений полностью совпадает с интегралом столкновений в уравнении Больцмана (3.59).

§ 10. Уравнение Фоккера – Планка Значительную часть кинетических явлений составляют про цессы, в которых изменение параметров функции распределе ния в каждом элементарном акте рассеяния малы по сравнению с их характерными значениями. Типичным примером такой за дачи является релаксация импульса тяжелой частицы в газе легких частиц. Концентрация тяжелых частиц предполагается малой, и поэтому столкновениями тяжелых частиц между со бой можно пренебречь. При столкновении тяжелой частицы с легкой импульс тяжелой частицы меняется незначительно как по абсолютной величине, так и по направлению. Обозначим импульс передачи в элементарном акте рассеяния буквой q, q. Найдем уравнение, которому подчиняется одночастич p ная функция распределения f (t, p) (здесь и далее ради упро щения обозначений мы отказались от обозначения F1 для од ночастичной функции распределения).

Введем обозначение w(p, q) dq для числа переходов за еди ницу времени тяжелых частиц из состояния c импульсом p в состояние с импульсом p q. Тогда величина w(p + q, q) dq равна скорости переходов из состояния p + q в состояние с им пульсом p. Как показано выше, интеграл столкновений в кине тическом уравнении может быть записан в виде разности двух членов, один из которых описывает скорость перехода частиц в состояние с импульсом p, а другой – скорость ухода частиц из этого состояния. Применяя этот принцип, сконструируем инте грал столкновений для тяжелой частицы в легком газе [21]:

f w(p + q, q) f (t, p + q) w(p, q) f (t, p) dq. (3.79) = t ст § 10. Уравнение Фоккера – Планка Согласно сделанным предположениям, величина w(p, q) бы стро убывает с ростом q (импульс передачи мал). Поэтому ве личина q мала по сравнению с импульсом частиц p. Это обсто ятельство позволяет произвести разложение в интеграле столк новений (3.79) w(p + q, q)f (t, p + q) w(p, q)f (t, p) + w(p, q) f (t, p). (3.80) +q w(p, q)f (t, p) + q q p p p Подставляя разложение (3.80) в (3.79), получаем f (3.81) = A f (t, p) + B f (t, p) ;

p t p ст q w(p, q) dq;

B = q q w(p, q) dq. (3.82) A = Основной отличительной особенностью кинетического урав нения Фоккера – Планка является то, что при его записи удает ся выразить интеграл столкновений через усредненные харак теристики индивидуального акта рассеяния. Уравнения (3.81) и (3.82) подтверждают сказанное. Интеграл столкновений со держит лишь усредненные характеристики процесса рассеяния, которые выражаются через константы A и B. Как будет по казано ниже, во многих практически важных случаях это число констант можно сократить всего лишь до одной константы.

Обратим внимание еще на одну особенность полученного ин теграла столкновений. Правая часть (3.81) представляет собой дивергенцию вектора потока числа частиц s в импульсном пространстве s = A f (t, p) B f (t, p).

p Аналогичные принципы были использованы и при построе нии уравнения Фоккера – Планка для описания движения бро уновских частиц (см. формулы (2.29) – (2.33)), хотя там шла речь о потоке частиц не в импульсном, а в координатном про странстве.

158 Глава 3. Кинетические уравнения Поскольку A и B – всего лишь некоторые константы, удобнее для целей дальнейшего изложения вместо константы A ввести новую константу A, определив ее соотношением A = A + B.

p Выражение для потока s при этом существенно упростится:

s = A f (t, p) B f (t, p).

p Константы A и B в действительности не являются неза висимыми. Связь между ними легко установить, если рассмот реть равновесный случай. В условиях равновесия функция рас пределения известна: это функция распределения Максвелла – Больцмана. В дальнейшем чаще всего будем использовать нор мировку функций распределения на полное число частиц в об разце n (напомним, что ранее буквой n обозначалась концен трация частиц). Это расхождение в обозначениях не принципи ально, поскольку для оценок всегда объем образца полагается равным единице:

p2 p n exp dp exp f (t, p) =, Z=, Z 2mkБ T 2mkБ T а поток s0 в условиях равновесия должен обратиться в нуль.

Отсюда, производя необходимые вычисления, получаем B p p s0 = A + B = 0, A =.

mkБ T mkБ T Если вероятность перехода w(p, q) будет зависеть лишь от модуля вектора q, то, как следует из определения коэффици ентов B (3.82), в силу условий симметрии B = B.

В частности, такая ситуация реализуется, если можно прене бречь скоростью движения тяжелых частиц по сравнению со скоростью движения легких частиц и при анализе рассеяния считать, что скорость тяжелых частиц p/m 0.

§ 10. Уравнение Фоккера – Планка В этом случае запись интеграла столкновений для уравне ния Фоккера – Планка оказывается наиболее простой:

p f (3.83) =B f (t, p) + f (t, p).

p mkБ T t p ст Задача 3. С помощью уравнения Фоккера – Планка определить подвиж ность тяжелой частицы в легком газе.

Решение При наличии внешнего электрического поля, задаваемого векто ром напряженности E, на заряженную тяжелую частицу будет дей ствовать сила F = e E, где e – заряд частицы. Будем полагать, что электрическое поле является однородным и постоянным. В этих усло виях функция распределения зависит только от импульсов и не зави сит от координат и времени. Тогда, учитывая соотношение (3.59), для функции распределения f (p) можно записать кинетическое уравне ние с интегралом столкновений в форме (3.82):

p f (3.84) e E =B f (t, p) + f (t, p).

p p mkБ T p Поскольку левая и правая части уравнения (3.84) содержат оди наковые производные /p, то с точностью до несущественной кон станты должно выполняться равенство p (3.85) e E f (p) = B f (t, p) + f (t, p).

mkБ T p Будем искать решение уравнения (3.85) в линейном приближе нии по внешним силам, записав неравновесную функцию распреде ления в виде суммы равновесной функции f0 и малой поправки f :

f = f0 + f. Поскольку в левой части уравнения (3.85) уже набран первый порядок по внешней силе, заменим здесь f на f0. Подстанов ка равновесной функции распределения f0 в интеграл столкновения дает нулевой результат. Поэтому в линейном приближении по внеш ним силам получаем простое уравнение для определения поправки к функции распределения p e E (3.86) f + f = f0.

p mkБ T B 160 Глава 3. Кинетические уравнения Полученное уравнение является линейным неоднородным уравне нием. Легко проверить, что общим решением однородного уравнения является равновесная функция распределения f0. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде f = C p f0, где C – неизвестные пока коэффициенты. Подставляя пробное ре шение в уравнение (3.86), находим значения коэффициентов C и явный вид поправки к функции распределения f e E e E C = ;

f = p f0.

B B Электропроводность и подвижность при одном сорте носи телей тока определяются из феноменологических выражений (3.87) J = E = e n E, = e n.

Полный ток J можно выразить также через среднюю скорость дрейфа носителей заряда в электрическом поле vдр :

J = e n vдр.

Сравнивая этот результат с формулой (3.87), получаем vдр =.

E Таким образом, п о д в и ж н о с т ь численно равна средней дрейфовой скорости носителей заряда при напряженности электри ческого поля E, равной единице.

Полный электрический ток в образце определяется поправкой к функции распределения f. Подставляя ее значение в определение потока заряда, получаем e (3.88) J = e n E = v E p f0 (p) dp.

B Отсюда получаем выражение для подвижности p 2e (3.89) = f0 (p) dp.

3n B 2m § 10. Уравнение Фоккера – Планка При записи выражения (3.89) учтено, что функция f (p) в действи тельности зависит от модуля этого вектора, и поэтому при интегри ровании в формуле (3.88) можно записать 1 p vp =, 3m где – символ Кронекера.

Интеграл в правой части (3.89) представляет собой среднюю энер гию частиц. Действительно, переходя в этом интеграле к интегриро ванию в сферической системе координат с учетом условия нормиров ки функции f (p) и полагая = p2 /2m, получаем 3/2 exp(/kБ T ) d 4 n exp(/kБ T )p dp n (5/2) 0 = = n kБ T.

(3/2) exp(/kБ T )p dp2 1/2 exp(/kБ T )d 0 (3.90) Используя известные соотношения для гамма-функции xn1 ex dx;

(n) = (5/2) = 3/2 (3/2), получаем для подвижности тяжелых частиц в легком газе простую формулу e kБ T =.

B В этом выражении константу B можно рассматривать как феноме нологический параметр, который следует найти из эксперимента или оценить из первых принципов, задавая явный вид выражения для вероятности перехода в формуле (3.82).

162 Глава 3. Кинетические уравнения 3.3. Решение кинетических уравнений § 11. Решение уравнения Больцмана для равновесного состояния Анализ проблемы решения кинетического уравнения Больц мана начнем с простейшего случая равновесного состояния си стемы. В условиях равновесия функция распределения не со держит явной зависимости от координат и времени, а внешние силы, выводящие систему из состояния равновесия, отсутству ют. Тогда левая часть выражения (3.64) равна нулю и кинети ческое уравнение для равновесного состояния сводится к равен ству нулю интеграла столкновений u (, u) (f f1 f f1 ) dp1 d = 0. (3.91) Заметим, что до сих пор мы записывали кинетическое урав нение для одночастичной функции F1, и в уравнении (3.59) фи гурирует именно эта функция. Введенное соотношением (3.55) обозначение F1 (t, r, p) = f не должно вводить в заблуждение.

В дальнейшем удобно перейти к более привычному определе нию функции распределения, нормированной на концентрацию.

Поскольку одночастичная функция распределения F1 (t, r, p) связана с функцией f (t, r, p), нормированной на концентрацию, простым соотношением f (t, r, p) = n F1 (t, r, p), то для того, чтобы перейти к новым обозначениям при записи кинетиче ского уравнения, достаточно опустить выражение для концен трации в интеграле столкновений (3.59). В дальнейшем будем считать, что такой переход уже осуществлен, и полагать, что фигурирующие в кинетическом уравнении функции нормиро ваны на концентрацию. Именно поэтому при записи интеграла столкновений (3.91) мы опустили выражение для концентрации n перед интегралом.

Очевидно, что равенство нулю (3.91) достигается, если вы полняется условие f (p ) f (p1 ) = f (p) f (p1 ) § 11. Решение для равновесного состояния или после логарифмирования (3.92) ln f (p ) + ln f (p1 ) = ln f (p) + ln f (p1 ).

Равенство (3.92) можно интерпретировать как некоторый закон сохранения: сумма логарифмов функции распределения частиц до столкновения равна сумме логарифмов функции рас пределения частиц после столкновения. Известно, что парные упругие столкновения частиц характеризуются наличием адди тивных законов сохранения импульса, энергии и числа частиц (массы). Закон сохранения величины A называется а д д и т и в н ы м, если эта величина может быть представлена как сумма величин Ai для всех частей системы при условии от сутствия взаимодействия между ними. Никаких других адди тивных законов сохранения в этой задаче нет (вообще говоря, момент импульса также является аддитивным интегралом дви жения, но если не учитывать вращение молекул и изменение момента импульса в процессе столкновения, то этот интеграл движения можно не учитывать). Поэтому логарифм функции распределения может зависеть только от перечисленных выше пяти аддитивных инвариантов столкновения:

p (3.93) ln f (p ) = A + B p + C, 2m где A, B и C – некоторые константы. Выберем эти константы таким образом, чтобы моменты функции распределения имели осмысленные физические значения:

(3.94) dp f (p) = n, (3.95) dp f (p) p = n m v0, (p mv0 )2 (3.96) dp f (p) = kБ T n.

2m Момент нулевого порядка (3.94) является условием норми ровки функции распределения;

n – полное число (или концен трация) частиц в образце. Первый момент (3.95) представляет собой полный импульс системы частиц;

v0 – средняя скорость 164 Глава 3. Кинетические уравнения дрейфа, а второй момент (3.96) равен полной энергии хаотиче ского движения частиц. Легко видеть, что при таком выборе констант A, B и C функция распределения имеет вид (p mv0 ) n exp (3.97) f (p) =.

(2mkБ T )3/2 2mkБ T Таким образом, для равновесного случая решением кинети ческого уравнения (3.91) является известная функция распре деления Максвелла – Больцмана.

Результаты (3.94) – (3.97) могут быть обобщены по несколь ким направлениям. Во-первых, предыдущее рассмотрение мож но применить и к локально-равновесному состоянию. В этом случае функция распределения параметрически будет зави сеть от координат и времени через локальную концентрацию n(r, t) и локальную температуру T (r, t), и дрейфовую ско рость v0 (r, t). Такой подход позволяет использовать уравнение Больцмана для вывода гидродинамических уравнений балан са. В следующей главе, используя этот метод, будут получены уравнения баланса импульса, энергии и числа частиц для си стемы горячих электронов в проводящих кристаллах.

Нетрудно обобщить результаты (3.94) – (3.97) и на случай, когда частицы газа находятся в стационарном силовом потен циальном поле U (r), или случай неупругого рассеяния частиц (эти результаты можно найти в монографии [22]).

§ 12. H -теорема Больцмана В отличие от уравнений динамики, которые являются обра тимыми во времени, кинетическое уравнение Больцмана неин вариантно относительно операции обращения времени. Для то го чтобы в этом убедиться, применим операцию обращения вре мени ( t t, p p, r r ) к кинетическому уравнению (3.59). Обозначив f = f (t, p, r ), получим 2r f p = r f F a da (f f1 f f1 )udp1. (3.98) pf d t m 0 § 12. Н -теорема Больцмана После операции обращения времени левая часть уравнения (3.98) для функции f = f (t, p, r ) поменяла знак, а правая – нет.

Необратимость уравнения Больцмана связана с тем, что из всех возможных решений цепочки уравнений Боголюбова ото браны те решения, которые удовлетворяют принципу ослабле ния корреляций. Современники подвергли Больцмана острой критике за отход от идей детерминизма. С позиций современ ного знания, как указывалось в § 2 этой главы, точное решение динамической задачи в системах, демонстрирующих динамиче ский хаос, является совершенно бессмысленной задачей, и для получения результатов, имеющих практический смысл, необ ходимо переходить к статистическому описанию. Именно эту идею и реализовал Больцман, предложив свое уравнение.

Необратимый характер поведения системы, описание кото рой производится на языке функции распределения, удовлетво ряющей уравнению Больцмана, становится очевидным, если, следуя Больцману, определить величину H (функцию Ляпу нова см. (1.97)) (3.99) H(t) = dp f (p, t) ln f (p, t), которая является невозрастающей функцией времени. Очевидно, что можно определить и неубывающую величину S(t) = H(t), совпадающую с точностью до размерного множителя с энтропи ей системы. Существование невозрастающей функции H(t), опре деленной формулой (3.99), для функций, являющихся решени ем уравнения (3.59), обычно называют H -теоремой Больцмана.

Приведем доказательство этой теоремы для случая прост ранственно однородного распределения газа в условиях отсут ствия внешних сил. Кинетическое уравнение в этой ситуации описывает релаксацию газа к равновесному состоянию и имеет наиболее простой вид f (p ) u (, u) f (p ) f (p1 ) f (p ) f (p1 ) dp1 d. (3.100) = t Найдем производную функции H(t) по времени и покажем, что она всегда неположительна. Выполняя дифференцирование 166 Глава 3. Кинетические уравнения по времени в (3.99), получаем H(t)) f (p ) = dp 1 + ln f (p ).

t t Подставим в это выражение значение производной функции распределения из кинетического уравнения (3.100):

H(t)) u (, u) f (p ) f (p1 ) f (p ) f (p1 ) = t 1 + ln f (p ) dp dp1 d. (3.101) Поскольку интегрирование по p и p1 ведется в одинаковых пределах, выражение (3.101) можно симметризовать, записав его в виде H(t)) u (, u) f (p ) f (p1 ) f (p ) f (p1 ) = t 2 + ln f (p ) f (p1 ) dp dp1 d. (3.102) Полученный результат можно подвергнуть дальнейшей сим метризации. Поскольку dp dp1 = dp dp1, u = u. Поэтому возможна дальнейшая симметризация H(t)) u (, u) f (p )f (p1 ) f (p )f (p1 ) = t 2 + ln f (p )f (p1 ) 2 ln f (p )f (p1 ) dp dp1 d. (3.103) Если рассматривать только выражения в квадратных скоб ках, то можно заметить, что подынтегральная функция в пра вой части формулы (3.103) может быть представлена в виде y f (x, y) = (x y) ln, x где x = f (p ) f (p1 ), y = f (p ) f (p1 ). Теперь очевидно, что при любых значениях x = y функция f (x, y) отрицательна.

Равенство нулю достигается только в случае равенства x = y.

Поскольку относительная скорость частиц до соударения u и § 13. Разложение Гильберта сечение рассеяния (, u) являются положительными величи нами, то подынтегральная функция в правой части (3.103) яв ляется неположительной величиной во всей области интегриро вания и H(t) 0.

t Этим исчерпывается доказательство теоремы.

Заметим, что H -теорема Больцмана, доказанная выше, эк вивалентна второму началу термодинамики, которое гла сит, что энтропия системы не может уменьшаться. Факти чески H -теорема является даже более общим утверждением, поскольку она справедлива и для систем, далеких от состояния равновесия. Она позволяет утверждать, что и для неравновес ного состояния можно определить функцию Ляпунова, которая в каком-то смысле эквивалентна энтропии для равновесных си стем. Другие формулировки доказательства H -теоремы и об суждение проблемы необратимости решений уравнения Больц мана можно найти в специальной литературе [23, 24].

§ 13. Разложение Гильберта Кинетическое уравнение Больцмана (3.64) является нели нейным интегродифференциальным уравнением, и нахождение его решений, удовлетворяющих начальным и граничным усло виям, представляет необычайно сложную проблему. Неудиви тельно, что до сих пор нет полного анализа существования и единственности решений этого уравнения в общем виде. По лученные к настоящему времени результаты весьма скромны, и большая их часть изложена в упоминавшихся монографи ях [23,24]. Основные направления практического использования уравнения Больцмана для решения задач физической кинетики состоят в попытках построения теории возмущений.

Самым простым и физически ясным является метод линеа ризации интеграла столкновений. В этом случае теория возму щений строится по степеням отклонения системы от состояния равновесия, а решение кинетического уравнения f (p, t) ищется в виде равновесной функции распределения f0 (p ) и малой по правки f (p, t). Линеаризация интеграла столкновений состоит в том, что удерживаются только линейные по f (p, t) члены.

168 Глава 3. Кинетические уравнения Для линеаризованного уравнения Больцмана имеется ряд стро гих результатов существования и единственности решений за дач с начальными и граничными условиями [24]. Недостатком этого подхода является то, что анализ оказывается справедли вым только для слабонеравновесных состояний.

Другая группа методов теории возмущений состоит в разло жении функции распределения в ряд по степеням некоего мало го параметра и построении итерационной схемы последователь ного определения коэффициентов разложения. Впервые этот прием для анализа решений уравнений Больцмана применил Д. Гильберт в 1912 г. Изложим кратко сущность и результаты разложения Гильберта.

Оценим вначале порядок различных членов в уравнении Больцмана. Если – характерная частота изменения внеш них воздействий, v – характерная скорость частиц, d – харак терный размер пространственной неоднородности системы, l – длина свободного пробега частиц, а l/v = – время свободного пробега частиц, то можно оценить порядок различных членов в уравнении Больцмана:

f v f f v f, rf f.

v f, t d t l ст Отсюда следует, что можно ввести два безразмерных пара метра, характеризующих относительную величину интеграла столкновений по сравнению с вкладами слагаемых в левой ча сти уравнения: и l/d. В качестве первого приближения можно считать, что эти параметры близки по величине, и то гда относительный вклад интеграла столкновений определяет ся лишь одним параметром Kn = l/d, который носит название ч и с л а К н у д с е н а. При малых значениях числа Кнуд сена длина свободного пробега мала, столкновения происходят достаточно часто и вклад интеграла столкновений велик. При больших значениях числа Кнудсена Kn 1 возможен режим свободномолекулярного течения газа, когда интеграл столкно вений в кинетическом уравнении можно опустить. Этот анализ наводит на мысль, что теорию возмущений для кинетического уравнения можно строить для двух разных предельных случа ев, когда число Кнудсена Kn 0 и когда это число велико и Kn.

§ 13. Разложение Гильберта Разложение Гильберта соответствует первому случаю, когда число Кнудсена Kn = является малым параметром (плотные газы). Запишем кинетическое уравнение (3.64), вводя для ин теграла столкновений символическое обозначение I(f, f ) :

f p (3.104) + rf +F pf = I(f, f ).

t m Величина в левую часть (3.104) введена для того, чтобы про ще было отобрать члены одинакового порядка малости по па раметру при построении итерационной процедуры.

Решение кинетического уравнения f будем искать в виде разложения в бесконечный ряд по степеням параметра :

f = f (0) + f (1) + 2 (2) (3.105) f +....

После того как все члены разложения (3.105) будут найдены, параметр следует положить равным единице и вернуться к исходным определениям. В этом смысле разложение являет ся формальным приемом, всего лишь позволяющим правильно отобрать члены одинакового порядка малости.

Подставим разложение (3.105) в уравнение (3.104) и при равняем члены в левой и правой частях уравнения (3.104), со держащие нулевой, первый, второй и т. д. порядки по. В ре зультате получаем бесконечную последовательность уравнений, позволяющих определить коэффициенты разложения f (i) :

0 = I(f (0), f (0) ), (3.106) f (0) p (0) (0) = I(f (1), f (0) ) + I(f (0), f (1) ), (3.107) + rf +F pf t m f (1) p (1) + F p f (1) = + rf t m = I(f, f ) + I(f (2), f (0) ) + I(f (1), f (1) ), (0) (2) (3.108).................................................

Уравнение (3.106) позволяет определить f (0). Легко видеть, что по существу это уравнение совпадает с уравнением (3.91) и 170 Глава 3. Кинетические уравнения его решением будет квазиравновесная функция распределения (3.97) (p mv0 ) n (0) exp (3.109) f (p, r, t) =, (2mkБ T )3/2 2mkБ T где параметры n, v0, T являются локально-равновесными ве личинами и зависят от координат и времени.

Проанализируем структуру уравнений (3.107), (3.108). Даль нейшие выкладки достаточно громоздки. Поскольку нас инте ресуют лишь принципиальные моменты метода, а не приклад ные аспекты, без всякого ущерба можно опустить член, про порциональный внешней силе, в уравнениях (3.107), (3.108).

Каждое из этих уравнений позволяет определить очередную поправку в разложении (3.105). Таким образом, в принципе, можно определить все члены разложения (3.105), но для этого придется на каждом шаге решить некоторое линейное неодно родное интегральное уравнение. Структура интегральных урав нений для определения очередной поправки f (n) = f (0) h(n) одинакова и может быть записана в символической форме:

p (0) (n1) = Lh(n) + S (n), n = 1, 2..., (3.110) + rf h t m Lh(n) = I f (0), f (0) h(n) + I f (0) h(n), f (0), h(0) = 1, (3.111) n (1) (n) I f (0) h(k), f (0) h(nk), n = 2, 3..., (3.112) S = 0, S = k= где L – линейный интегральный оператор, а S (n) – некоторая функция, явный вид которой известен, если найдены преды дущие члены разложения (3.105). Поскольку величины f (0) из вестны, приходим к системе уравнений для отыскания функций h(n), структура которых одинакова и представляет собой на каждом шаге линейное неоднородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода:

Lh(n) = g (n). (3.113) § 13. Разложение Гильберта Решениями однородного уравнения Lh(n) = 0 для случая упругого рассеяния частиц являются аддитивные инварианты столкновения = 1, 2,..., 5, т. е. константа, три компонен ты импульса и кинетическая энергия (заметим, что эти величи ны являются собственными функциями уравнения Lh = h, со ответствующие собственному значению = 0 ). Решение неод нородного уравнения (3.113) эквивалентно нахождению обрат ного оператора L1, что в общем случае невозможно, посколь ку = 0 входит в число возможных собственных значений оператора L. Поэтому потребуем дополнительно, чтобы век тор g (n), задающий неоднородность, был ортогонален, и будем искать решения на этом классе функций. Впрочем, мож но сослаться и на более общее утверждение: решение неодно родного уравнения Фредгольма второго рода существует тогда и только тогда, когда его правая часть (неоднородность) ор тогональна всем его решениям. В результате получаем очень важное условие, которое позволит получить уравнения перено са ( n = 1, 2,...) :

p f (0) h(n1) S (n) dp = 0;

+ = 1, 2,..., 5.

r t m (3.114) В формуле (3.114) – вектор, компонентами которого явля ются инварианты столкновения (набор собственных функций однородного уравнения Lh(n1) = 0 на шаге n 1 ).

Общим решением неоднородного уравнения (3.113) являет ся сумма частного решения h(n) неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения h(n) = h(n) + C, (n) (3.115) = 1, 2,..., 5.

(n) Здесь h(n) – любое частное решение уравнения (3.113), C – это пять величин (аналог коэффициентов A, B и C в уравне нии (3.93)), зависящих от координат и времени, которые нужно будет определить на каждом шаге итерации.

Чтобы сделать выбор функций h(n) однозначным, наложим пять дополнительных условий:

h(n) f (0) dp = 0, (3.116) = 1, 2,..., 5.

172 Глава 3. Кинетические уравнения С точки зрения математики, необходимость этих условий свя зана с тем, что решение неоднородного уравнения следует искать на множестве функций, ортогональных базису собственных функ ций однородного уравнения Lh(n) = 0, что обеспечивает суще ствование оператора L1.

Итак, функция f (0) находится из уравнения (3.106), и она совпадает с равновесной функцией распределения f0. Поправки f (n) = f (0) (h(n) + C ) (n) (3.117) для n = 1, 2,... содержат неизвестные функции координат и (n) времени C и неизвестные функции h(n) и их следует най ти из условий (3.114), (3.110), обеспечивающих существование поправки на n + 1 шаге. Таким образом, по крайней мере прин ципиально, есть возможность построить итерационную схему определения всех членов разложения (3.105).

Реализуем описанную выше схему для случая n = 1. По скольку интегралы S (n) dp = для всех n, если величины являются инвариантами столк новений [23], условия ортогональности (3.114) сводятся к пя ти уравнениям, представляющим собой уравнения Эйлера для невязкой среды p f (0) dp = 0, (3.118) + = 1, 2,..., 5.

r t m Напоминаем, что в качестве величин следует взять пять инвариантов столкновений: массу частицы m, три компоненты импульса частицы mv и кинетическую энергию mv 2 /2.

Взяв 1 = m, из (3.118) получим уравнение неразрывности v0i (3.119) + = 0, t ri mf (0) dp, v0i = vi f (0) dp. (3.120) =mn= n § 13. Разложение Гильберта Для 2,3,4 = mv из (3.118) получаем уравнение баланса им пульса v0i (3.121) + Pij + v0i v0j = 0, t rj Pij = m (vi v0i )(vj v0j )f (0) dp = m ci cj f (0) dp. (3.122) В этой формуле Pij – компоненты тензора напряжений, ci = = vi v0i – компоненты скорости теплового движения. При вы воде формулы (3.121) следует записать скорость частицы vi в виде суммы скоростей теплового движения ci и скорости дрей фа v0i. Тогда, с учетом того, что средняя скорость теплового движения равна нулю, получаем vi vj f (0) dp = m (ci + v0i )(cj + v0j )f (0) dp = m ci cj f (0) dp + mv0i v0j f (0) dp = Pij + v0i v0j.

=m Наконец, подставляя в качестве 5 кинетическую энергию частицы mv 2 /2, получаем макроскопическое уравнение балан са энергии 3 kБ T 12 3 kБ T + v0 + v0j + v0 + v0i Pij + qj = 0.

t 2 m 2 rj 2m (3.123) Вывод формулы (3.123) не представляет труда, если учесть со отношения (3.96) и определение тензора напряжений (3.122).

Величина qj представляет собой поток тепла m c2 cj f (0) dp.

qj = i Уравнения (3.119), (3.121), (3.123) представляют собой урав нения Эйлера для пяти макроскопических величин, входящих в f (0), т. е. для n(r, t) или (r, t), v0i (r, t) и T (r, t). Найден ные в результате решения этих уравнений гидродинамические параметры еще не являются истинными плотностью, скоростью 174 Глава 3. Кинетические уравнения и температурой. Их можно рассматривать как первое прибли жение к истинным параметрам. Для нахождения очередной по правки следует перейти к следующему шагу итерации.

Обобщим результаты (3.119), (3.121), (3.123) для случая произвольных значений n 1. Очевидно, что совокупность пяти гидродинамических уравнений, вытекающих из условия (3.114), всегда можно записать в виде (n) (n) + div J = 0, = 1, 2,..., 5, n = 0, 1..., (3.124) t (n) = f (n) dp, J = v f (n) dp.

(n) (3.125) На каждом шаге итерации систему уравнений (3.124) необ (n) ходимо решить и найти неизвестные коэффициенты C, со держащиеся в поправках f (n), а затем еще найти величины h(n) – частное решение соответствующего неоднородного уравнения (3.110). Таким образом, очевидно, что намеченная программа трудно реализуема, и главная ценность разложения Гильбер та не в практическом методе нахождении решения уравнения Больцмана, а в доказательстве существования и единствен ности решения. Кроме того, разложение Гильберта позволяет установить взаимно однозначное соответствие между функцией распределения f (p, r, t) и первыми ее моментами n(r, t), v0 (r, t) и T (r, t). Иначе говоря, разложение Гильберта позволяет дока зать, что кинетическое уравнение Больцмана однозначно опре деляет функцию распределения f (p, r, t), если в начальный момент времени заданы первые пять моментов функции рас пределения.

Для доказательства этого положения достаточно в выраже (n) ние для плотности (3.125) подставить выражение для f (n) из (3.117). В результате получаем уравнение взаимосвязи вели (n) (n) чин и коэффициентов C :

(n) (n) (0) (n) f (0) dp. (3.126) = f h dp + C = § 13. Разложение Гильберта В силу условия (3.116) первый интеграл в выражении (3.126) равен нулю, и мы получаем пять уравнений, позволяющих вы (n) (n) (n) разить величины C через. Поскольку величины C определяются из решения дифференциальных уравнений, то для их однозначного определения нужно задать начальные усло вия на каждом шаге итерации. Но так как мы доказали одно (n) (n) значное соответствие между величинами C и, то на каждом шаге итерации можно задавать начальные условия не (n) (n) для C, а для. Таким образом, все поправки к функции распределения будут найдены из уравнения Больцмана, если в (n) начальный момент времени будут заданы величины. Иначе говоря, функция распределения f (p, r, t) однозначно определя ется пятью параметрами n(r, t), v0 (r, t) и T (r, t), заданными в начальный момент времени. Поскольку в качестве начального времени можно выбрать любой момент времени, можно утвер ждать, что имеется взаимно однозначное соответствие между функцией распределения f (p, r, t) и вектором ее первых пяти моментов, заданным в произвольный момент времени, т. е. обос новать применимость гидродинамических уравнений для опи сания эволюции системы.

Величины h(n), естественно, тоже подлежат определению как частные решения уравнений (3.110) на каждом шаге итера ции. Но уравнения (3.110) не требуют задания начальных усло (n1) вий и содержат величины C, найденные уже на преды дущем шаге. Поэтому проблема нахождения величин h(n) ни- как не скажется на сделанных выше выводах о том, что зада ние первых пяти моментов функции распределения в началь ный момент времени однозначно определяет решение уравне ния Больцмана.

Таким образом, Гильберт доказал существование и един ственность решения уравнения Больцмана в классе решений, которые могут быть представлены в виде разложения (3.105).

Доказать возможность такого разложения, а тем более убедить ся в его сходимости, к сожалению, до сих пор не удалось. Тем не менее разложение Гильберта служит теоретической основой для большинства практически применяемых методов решения уравнения Больцмана и в частности метода Энскога – Чепмена, основные идеи которого будут изложены ниже.

176 Глава 3. Кинетические уравнения § 14. Метод Энскога – Чепмена. Вывод уравнений гидродинамики В предыдущем параграфе показано, что решение уравнения Больцмана может быть построено в виде разложения по малому параметру (числу Кнудсена), которое полностью определяется заданием в начальный момент гидродинамических величин. Но если функция распределения f (p, r, t) в произвольный момент времени t выражается через гидродинамические величины в начальный момент времени, то и гидродинамические величи ны в произвольный момент времени должны выражаться через начальные значения гидродинамических параметров. Следова тельно, можно исключить из рассмотрения функцию распреде ления и установить прямую связь между гидродинамическими величинами в различные моменты времени. Этот результат тео рии Гильберта позволяет обосновать применение гидродинами ческих уравнений для описания газодинамики.

Система гидродинамических уравнений (3.119), (3.121), (3.123) представляет собой пять независимых уравнений для определения тринадцати неизвестных величин. Этими неиз вестными величинами являются: плотность, три компоненты средней скорости v0, шесть компонент симметричного тензора напряжений Pij и три компоненты потока тепла q. Темпера тура T легко может быть выражена через диагональные ком поненты тензора напряжений. Действительно, определяя дав ление соотношением p= P11 + P22 + P33, где компоненты тензора Pij определяются выражением (3.122), и вспоминая условие (3.96), получаем хорошо известное соот ношение p = nkБ T, и температура в действительности может быть определена через другие гидродинамические параметры.

Таким образом, система гидродинамических уравнений неза мкнута. Для того чтобы ее замкнуть, необходимо выразить ве личины Pij и qi через гидродинамические величины n, v0, p (или T ). Тогда система гидродинамических уравнений будет замкнута и мы получим пять независимых уравнений для опре деления пяти гидродинамических параметров на каждом шаге итерации.

§ 14. Метод Энскога – Чепмена Цель метода Энскога – Чепмена состоит в установлении ука занной связи и получении замкнутой системы гидродинамиче ских уравнений баланса. Метод Энскога – Чепмена является развитием метода Гильберта, и можно показать [24], что в ме тоде Энскога – Чепмена реализована перестройка разложения Гильберта для функции распределения f (p, r, t) по степеням малого параметра (числа Кнудсена). Такая перестройка необ ходима, поскольку разложение Гильберта в любом порядке по позволяет получить лишь уравнения гидродинамики невязкой жидкости. В физике достаточно много примеров, когда в любом порядке теории возмущений теоретический результат не согласу ется с экспериментом и нужна перестройка ряда теории возмуще ний (часто эквивалентная суммированию некоторой бесконечной последовательности членов ряда теории возмущений). Примене ние диаграммной техники и метода массового оператора в зада чах физики твердого тела как раз может служить примером та кого подхода.

Не имея возможности изложить все детали оригинально го метода Энскога – Чепмена, ограничимся лишь обсуждением принципов, позволяющих получить замкнутые уравнения гид родинамики, пригодные для описания вязкой жидкости (урав нений Навье – Стокса).

Начальные шаги построения разложения Энскога – Чепмена полностью совпадают с разложением Гильберта. Таким обра зом, рассуждая точно так же, как и в предыдущем параграфе, приходим к уравнениям (3.105) – (3.108). Для простоты огра ничимся случаем, когда внешняя сила F = 0.

Решением уравнения (3.106) является функция (3.109), в ко торой параметры n, v0, T представляют собой локальную плот ность частиц, их среднюю скорость и температуру и в общем случае являются произвольными функциями координат и вре мени. Строго говоря, в уравнении (3.109) должны стоять вели чины n(0), v0 (0), T (0) – гидродинамические параметры нулево го приближения. Однако теория получается значительно более 178 Глава 3. Кинетические уравнения изящной, а результаты легко интерпретируемыми, если сразу считать, что параметры n, v0, T удовлетворяют уравнениям dp f (0) (p, r, t) = n, (3.127) dp f (0) (p, r, t) p = n m v0, (3.128) (p mv0 )2 (0) (3.129) dp f (p, r, t) = kБ T n.

2m Здесь f (0) – это функция распределений (3.109). Тогда поправ ки f (n), n = 1, 2,..., должны удовлетворять системе опреде лений dp f (n) (p, r, t) = 0, (3.130) dp f (n) (p, r, t) p = 0, (3.131) (p mv0 ) (n) (3.132) dp f (p, r, t) = 0.

2m Пять уравнений (3.130) – (3.132) представляют собой аналог уравнений (3.116). Как эти уравнения следует использовать при построении уравнений гидродинамики, обсудим чуть позже.

Если в разложении (3.105) ограничиться лишь первым чле ном и положить f = f (0), то в качестве уравнений гидродина мики получим уравнения Эйлера (3.119), (3.121), (3.123). Легко заметить, что в этом случае тензор напряжений может быть записан в виде Pij = pij, а поток тепла q равен нулю. Тогда си стема гидродинамических уравнений является замкнутой. Этот результат совпадает с тем, что дает разложение Гильберта.

Учтем теперь поправку f (1) в разложении (3.105) и поло жим f = f (0) + f (1) = f (0) (1 + h(1) ). (3.133) В этом случае для h(1) можно записать интегральное уравнение p f (0) = I f (0), f (0) h(1) + I f (0) h(1), f (0). (3.134) + r t m § 14. Метод Энскога – Чепмена Неоднородное интегральное уравнение (3.134) для определе ния h(1) можно получить, полагая n равным единице в урав нениях (3.110) – (3.112). Анализ уравнения (3.134) в методе Эн скога – Чепмена радикальным образом отличается от анализа Гильберта. Как уже указывалось, основной целью метода Эн скога – Чепмена является вывод гидродинамических уравне ний. Поскольку разложение Гильберта в любом порядке по не позволяет получить уравнения движения вязкой жидкости, разложение следует перестроить. Эта перестройка основана на результате, полученном Гильбертом. Поскольку решение урав нения Больцмана однозначно определяется заданием первых пяти моментов функции распределения, то и производная по времени в уравнении (3.134) может быть выражена через эти моменты.

Для реализации этой программы подставим в левую часть уравнения (3.134) функцию f (0), определяемую выражением (3.109), и выполним дифференцирование по координатам и вре мени, полагая, что функциями координат и времени являются гидродинамические параметры n, v0, T. В результате простых вычислений получаем 1 T (p mv0 )2 p (0) 1 n (0) + rf =f + + t m n t T t 2mkБ T T (p mv0 )2 p mv0 v0 1 n + +v + v + kБ T t n r T r 2mkБ T p mv0 (3.135) + (v r )v0.

kБ T Все производные по времени в правой части (3.135) исклю чим с помощью гидродинамических уравнений (3.119), (3.121), (3.123), которые с учетом того, что Pij = pij, p = nkБ T, q = 0, = n m, можно записать в более простой форме n (3.136) + div nv0 = 0, t v0 + (v0 r ) v0 = (3.137) r p, t T (3.138) + v0 r T + T div v0 = 0.

t 180 Глава 3. Кинетические уравнения Для вывода последнего уравнения следует преобразовать (3.123), используя законы сохранения (3.136) и (3.137).

После исключения производных по времени в результате простых, но достаточно громоздких преобразований правую часть (3.135) можно представить в виде [22]:

m(v v0 )2 v v0 1m (0) (v v0 ) f T r T 2kБ T 2 3 kБ T m v0i div v0 + (v v0 )i (v v0 )j. (3.139) kБ T rj Запишем теперь интегральное уравнение (3.134), используя полученный выше результат. Для упрощения записи, как и ранее, будем использовать скорость теплового движения c = vv0. Для интеграла столкновений воспользуемся выражением в правой части (3.100) и подставим вместо функции распределения f ее разложение (3.133). Тогда, учитывая законы сохранения энер гии, получаем mс с 5 m 1 v0i (0) сi сj с 2 ij f rT + = T 2kБ T 2 kБ T 3 rj (0) (1) (1) u(, u)f (0) f1 h(1) + h1 h(1) h1 (3.140) = dp1 d.

Уравнение (3.140) представляtт собой неоднородное уравне ние Фредгольма, и его решение является суперпозицией общего решения однородного уравнения и частного решения неоднород ного уравнения. Оно позволяет найти поправку к функции рас пределения первого порядка по. Подробно методика решения уравнения (3.140) изложена в монографии М. Н. Когана [25]. Не вдаваясь в детали вычислений, отметим, что частное решение интегрального уравнения (3.140) ищется в виде T 1 v0i h(1) = A ci B ci cj c2 ij (3.141), ri 3 rj где скалярные величины A и B предполагаются зависящими от модуля скорости теплового движения, концентрации и тем пературы. Для определения этих констант выражение (3.141) § 14. Метод Энскога – Чепмена следует подставить в уравнение (3.140), в результате чего оно распадается на два уравнения – уравнение для определения па раметра A и уравнение для определения параметра B, которые затем следует решить.

Функцию распределения с точностью до первого порядка по можно записать в виде T 1 v0i f = f (0) 1 A ci B ci cj c2 ij (3.142), ri 3 rj где A – перенормированная скалярная величина A. Эта перенор мировка возникает в связи с учетом решения однородного урав нения [25].

Выражение для функции распределения (3.142) позволяет найти поток тепла и уточненное выражение для тензора на пряжений. Подставляя (3.142) в определения плотности потока тепла qj и тензора напряжения Pij m c2 cj f dp, qj = Pij = m ci cj f dp, i получаем v0i v0j T qj =, Pij = pij ij div v0 ;

(3.143) + rj rj ri m m A c4 f (0) dp, = Bf (0) c4 dp. (3.144) = 6 Константы и, входящие в выражение (3.144), должны быть найдены из решения уравнения (3.140). Для этих целей функции A(c) и B(c) раскладываются в ряд по полиномам Сонина [25].

Процедура разложения достаточно громоздка, а результат зависит от конкретной модели взаимодействия частиц. Приве дем здесь результат лишь для случая, когда частицы являются упругими шарами с диаметром d и в разложении по полиномам Сонина оставлен лишь первый член разложения [25]. В этом случае 15 mkБ T 2, = Cv.

= 16 d 182 Глава 3. Кинетические уравнения В последней формуле Cv – это теплоемкость газа при постоян ном объеме.

Таким образом, учет поправки h(1) к функции распреде ления позволяет вместо уравнений (3.136) – (3.138) получить новую замкнутую систему гидродинамических уравнений ба ланса с перенормированным значением тензора напряжений и отличным от нуля потоком тепла. Перенормировка тензора на пряжений связана с учетом необратимого (вязкого) переноса импульса в газе. Коэффициент называется коэффициентом вязкости среды, а коэффициент – коэффициентом теплопро водности. Важно отметить, что коэффициент вязкости и коэф фициент теплопроводности не являются феноменологическими параметрами, а вычисляются из первых принципов.

В заключение отметим, что, хотя процедуру последователь ного нахождения коэффициентов разложения функции (3.133) в методе Энскога – Чепмена можно и продолжить, вычисли тельные трудности приводят к тому, что получить поправки к функции распределения более высокого порядка, нежели вто рой, фактически не удается. Не удается также доказать и схо димость процедуры разложения (3.133) в общем виде. Поэтому, хотя метод Энскога – Чепмена широко используется на практике, сфера его применимости остается не до конца исследованной.

§ 15. Метод моментов Наиболее универсальным методом, позволяющим в прин ципе замкнуть систему гидродинамических уравнений баланса при произвольных числах Кнудсена, является метод моментов.

Рассмотренные выше гидродинамические переменные по суще ству являются моментами функции распределения:

n(r, t) = M (0) = (3.145) f dp, pi (1) (3.146) nv0i (r, t) = Mi = f dp, m (2) (3.147) Pij (r, t) = mMij = m ci cj f dp, m (3) m ci c2 f dp.

qi (r, t) = Mijj = (3.148) 2 § 15. Метод моментов В формулах (3.145) – (3.148) индексы i, j пробегают значения 1, 2, 3. Моменты M называются центральными и определены для отклонений скорости относительно среднего значения. Мо менты функции распределения M и центральные моменты M очевидно связаны между собой и легко могут быть выражены друг через друга.

Основная идея метода моментов состоит в том, чтобы вы разить функцию распределения через ее моменты f (p, r, t) = f (p, M (0), M (1),...), (3.149) где моменты M (k) являются функциями координат и времени.

Тогда, подставив таким образом записанную функцию распре деления в кинетическое уравнение Больцмана, получим систе му уравнений для отыскания моментов функции распределе ния. В общем случае кинетическое уравнение Больцмана экви валентно бесконечной системе уравнений для моментов, но в большинстве практически важных случаев можно ограничить ся учетом нескольких первых моментов.

Впервые метод моментов для решения кинетического урав нения применил Грэд в 1949 г. Следуя Грэду, разложим функ цию распределения в ряд по трехмерным полиномам Эрмита:

1 (2) (2) 1 (3) (3) (1) (1) f = f (0) a(0) H (0) + ai Hi + aij Hij + aijk Hijk +....

2! 3!

(3.150) (N ) В этой формуле коэффициенты разложения ai,j,... являются функциями координат и времени. Полиномы Эрмита являются функциями безразмерной относительной скорости p mv = mkБ T и их явный вид можно получить с помощью формулы 2 N (N ) exp N (3.151) Hij...k = (1) exp.

2 i j... k 184 Глава 3. Кинетические уравнения Используя формулу (3.151), легко вычислить явный вид поли нома Эрмита любого порядка. На практике требуются лишь полиномы низших порядков, часть из которых приведена ниже:


(1) (2) H (0) = 1, Hij = i j ij, Hi = i, (3) Hijk = i j k i jk + j ik + k ij. (3.152) Из определения полиномов Эрмита (3.151) следует, что все полиномы, различающиеся перестановкой индексов, тождествен но равны. Полиномы Эрмита (3.151) ортогональны с некоторой весовой функцией 1 (n) (m) exp (3.153) H H d = nm.

(2)3/2 Функция f (0) в формуле (3.150) определена соотношением n (0) exp (3.154) f =.

(2mkБ T )3/2 Коэффициенты разложения, пользуясь ортогональностью полиномов Эрмита, можно выразить через гидродинамические параметры или моменты функции распределения:

(mkБ T )3/ a(N ) f H ) d.

(N (3.155) = n(r, t) Приведем явные выражения для нескольких первых коэффи циентов разложения:

Pij pij (1) (1) (2) a(0) = M (0) = 1, = Mi ai = 0, aij =, p (3) mMijk m (3) (3.156) aijk =.

p kБ T (N ) Поскольку коэффициенты разложения a выражаются через моменты функции распределения, а те, в свою очередь, § 15. Метод моментов представляют собой интересующие нас гидродинамические ве личины, то проблема нахождения гидродинамических уравне ний баланса в методе моментов сводится к проблеме нахожде ния уравнений для коэффициентов разложения (3.150). Урав (N ) нения движения коэффициентов a можно найти, используя кинетическое уравнение Больцмана. Для этого нужно подста вить функцию распределения (3.150) в кинетическое уравнение, умножить обе части уравнения на соответствующий полином Эрмита с весовой функцией и проинтегрировать по относи тельной скорости. Условие ортогональности полиномов Эрмита позволяет существенно ограничить число членов в каждом из уравнений. Хотя эта процедура представляется достаточно про стой, она чрезвычайно громоздкая, и мы опустим вывод этих уравнений, отсылая читателя к специальной литературе [25].

С практической точки зрения, желательно получить урав нения для тех моментов (гидродинамических величин), кото рые поддаются измерению и имеют ясный физический смысл.

Как отмечалось выше, таких моментов 13: концентрация n, три компоненты дрейфовой скорости v0i, температура T, шесть компонент симметричного тензора напряжений pij и три ком поненты потока тепла qi. Для получения гидродинамических уравнений для этих переменных достаточно аппроксимировать функцию распределения (3.150) выражением 1 (2) (2) 1 (3) (3) f = f (0) 1 + aij Hij + aijj Hikk, (3.157) 2 оставив в ней всего три первых члена разложения. Эта аппрок симация функции распределения известна в литературе как тринадцатимоментное приближение Грэда. Результаты, полу ченные в этом приближении, полностью согласуются с резуль татами Энскога – Чепмена. Полный вывод гидродинамических уравнений, соответствующих тринадцатимоментному приближе нию Грэда, можно найти в упоминавшейся монографии [25].

Следует отметить, что в методе моментов аппроксимация функции распределения с помощью некоторой комбинации гид родинамических параметров может быть фактически произ вольной. Конкретный вид аппроксимирующей функции зави сит от поставленной задачи и особенностей изучаемого физиче ского явления. В следующей главе метод моментов будет приме нен для получения замкнутых гидродинамических уравнений для системы горячих электронов в проводящих кристаллах.

Глава КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ И ФОНОНОВ В ПРОВОДЯЩИХ КРИСТАЛЛАХ 4.1. Кинетические коэффициенты в приближении времени релаксации § 1. Кинетическое уравнение для электронов и его решение в приближении времени релаксации Рассмотрим простейшую модель проводника, согласно кото рой носителями тока являются квазисвободные электроны или дырки, взаимодействующие в результате процессов столкнове ния с дефектами кристаллической решетки или фононами. Для простоты будем предполагать, что закон дисперсии электронов (дырок) является параболическим и имеет вид p (4.1) p =, 2m где p – вектор импульса носителей тока, m – их масса. Пред положение о параболическом характере закона дисперсии не является принципиальным для рассматриваемой в этой гла ве элементарной теории кинетических явлений. Все результа ты могут быть обобщены на случай сферически-симметричной зоны проводимости, когда энергия электронов произвольным образом зависит от модуля волнового вектора k.

В состоянии термодинамического равновесия свойства элек тронного газа определяются функцией распределения Ферми – Дирака p (4.2) f0 (p ) = exp +1, kБ T § 1. Решение в приближении времени релаксации где kБ – постоянная Больцмана.

В неравновесном случае также можно ввести неравновесную функцию распределения f (r, p, t), зависящую от координат r, импульса p и времени t и удовлетворяющую условию норми ровки V (4.3) dp dr f (r, p, t) = n, (2 ) где нумерует проекцию спина электрона на ось Z ( = ±1/2), n – число электронов в образце. В дальнейшем везде объем образца будет полагаться равным единице и величина n будет иметь смысл концентрации электронов. Множитель Lx Ly Lz V = (2 )3 (2 ) имеет смысл плотности числа электронов в импульсном про странстве. Его появление в формуле (4.3) связано с тем, что состояния электронов квантованы:

2 n1 2 n2 2 n px = ±, py = ±, pz = ±, Lx Ly Lz где n1, n2, n3 – целые числа, пробегающие значения от нуля до бесконечности. Поэтому при подсчете числа состояний в фор муле (4.3) необходимо вести суммирование по дискретным со стояниям электронов, различающихся значениями компонент импульса. Поскольку суммирование по дискретным состояни ям значительно усложняет вычисления, суммирование обычно заменяют интегрированием, умножив интеграл на размерный коэффициент, имеющий смысл плотности состояний в импульс ном пространстве. Из формулы (4.3) следует, что выражение 2V dp dr f (r, p, t) (2h) имеет смысл числа электронов с импульсом p, координатой r, попавших в элемент фазового объема dp dr в момент времени t.

188 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов Если предположить, что электроны являются невзаимодейству ющими частицами, то каждый электрон можно рассматривать как изолированную систему. Фазовые точки, соответствующие возможным различным состояниям частицы, просто перемеща ются из одной области фазового пространства в другую, не ис чезая и не возникая вновь, поскольку процессы с рождением и уничтожением частиц здесь не рассматриваются. Схематически картина движения фазовых точек изображена на рис. 25.

t dpdr t dpdr Рис. 25. Схема перемещения фазовых точек в фазовом пространстве Каждая фазовая точка из области фазового пространства dp dr в момент t переместится в момент t в некоторую область dp dr, как показано на рис. 25. Поэтому можно записать ра венство (4.4) f (r, p, t)dp dr = f (r, p, t )dp dr.

Как уже отмечалось в § 8 предыдущей главы, согласно тео реме Лиувилля, фазовый поток сохраняет фазовый объем си стемы, и поэтому имеет место равенство dp dr = dp dr. Тогда из формулы (4.4) следует важный результат (4.5) f (r, p, t) = f (r, p, t ), согласно которому неравновесная функция распределения невза имодействующих электронов является интегралом движения и ее полная производная по времени должна быть равна нулю.

Если все-таки взаимодействие существует, то полная производ ная равна не нулю, а изменению функции распределения за § 1. Решение в приближении времени релаксации счет взаимодействия (столкновений) с рассеивателями, напри мер дефектами кристаллической решетки или фононами. Та ким образом, получаем f =. (4.6) f (r, p, t) + r r f (r, p, t) +p p f (r, p, t) t t ст Левая часть выражения (4.6) описывает изменение функции распределения за счет эволюции в фазовом пространстве, а пра вая – изменение функции распределения за счет столкновений.

В общем случае, как это следует из материала, изложенного в предыдущей главе, столкновительный член в правой части (4.6) является нелинейным функционалом, ядро которого содержит функцию распределения и зависит от конкретного механизма взаимодействия электронов с подсистемами кристалла. Урав нение (4.6) представляет собой кинетическое уравнение для по движных носителей заряда (электронов или дырок) в квази классическом приближении. Условия применимости квазиклас сического описания движения электронов в кристалле будут рассмотрены позднее.

Как отмечалось выше, попытка строгого решения кинетиче ского уравнения даже для простейших потенциалов взаимодей ствия наталкивается на серьезные вычислительные трудности.

Однако хорошо известно, что многие особенности кинетических явлений в металлах и полупроводниках можно понять в рамках приближения времени релаксации, когда интеграл столкнове ний аппроксимируется выражением f f f (4.7) =.

t p ст Поэтому знакомство с теорией явлений переноса в проводящих кристаллах начнем, основываясь на этом простейшем прибли жении.

Для дальнейшего упрощения кинетического уравнения (4.6) заметим, что f (r, p, t) f1 (r, p, t) f1 (r, p, t), t p f1 (r, p, t) = f (r, p, t) f0 (p ). (4.8) 190 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов В выражении (4.8) f1 (r, p, t) является поправкой к равновесной функции распределения, которая возникает за счет действия внешних термодинамических сил. Вплоть до частот оптическо го диапазона параметр p 1, и поэтому в кинетическом уравнении (4.6) производную по времени можно опустить. Ина че говоря, поскольку время релаксации импульса достаточно 1013 c ), электронная система успевает подстраи мало ( p ваться к изменяющемуся с частотой внешнему полю и пере менное поле в каждый момент времени можно рассматривать как статическое. Это означает, что если не рассматривать эф фекты в высокочастотном электрическом поле, то можно прене бречь явной зависимостью от времени неравновесной функции распределения и опустить частную производную по времени в кинетическом уравнении (4.6).

Еще одно существенное упрощение связано с тем, что в ло кально-равновесном состоянии неравновесная функция распре деления будет зависеть от координат только параметрически, через зависимость от координат термодинамических парамет ров, таких как температура и химический потенциал f f (4.9) rf = T+.


T Если ограничиться в кинетическом уравнении (4.6) линейным приближением по термодинамическим силам T,, считая неравновесность слабой ( f0 f1 ), то в правой части выраже ния (4.9) неравновесную функцию распределения можно заме нить равновесной функцией f0 (p ), и в результате несложных вычислений получаем p f rf = (4.10) + T.

p T При наличии внешнего электрического поля, задаваемого век тором напряженности E, и магнитного поля с индукцией H e p = eE + [v H]. (4.11) c § 1. Решение в приближении времени релаксации Поэтому в линейном приближении по термодинамическим си лам (магнитное поле в данном случае термодинамической си лой, вызывающей отклонение от состояния равновесия, не яв ляется) имеем f0 e [v H]. (4.12) p pf = ev E + p f p c v и по При получении результата (4.12) мы учли, что p f этому вклад e p f0 [v H] = 0, c поскольку v [v H] = 0.

Подставляя результаты (4.7), (4.10), (4.12) в кинетическое уравнение (4.6), получаем p f0 f1 e v e [v H]. (4.13) T = + p f p T p c В том случае, когда магнитное поле равно нулю, выражение (4.13) сразу позволяет определить поправку к функции распре деления f1, линейную по градиенту электрохимического потен циала = ( + 1/e ) (1.14) и градиенту температуры T :

p f f1 = p v e (4.14) T.

p T Если магнитное поле не равно нулю, то для решения урав нения (4.13) будем искать поправку f1 в виде f f1 = (4.15) v (p ), p где (p ) – неизвестная векторная функция, зависящая только от энергии.

192 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов Вычислим градиент в импульсном пространстве от функции f1. Пользуясь определением (4.15), получаем 2 f0 f p f1 = v v (p ) v (p ), p p p v (p ) = vi p i (p ) + i (p ) p vi, p i (p ) (p ) (4.16) p i (p ) = v, i (p ) p vi =.

p m Подставляя полученные результаты в последнее слагаемое в правой части (4.13) и учитывая, что члены, пропорциональ ные вектору скорости v, вклада не дадут, получаем простое выражение e f [v H] = 0 v [h (p )]. (4.17) p f c p При выводе формулы (4.17) мы воспользовались определением частоты ларморовской прецессии 0 электронов в магнитном поле eH (4.18) 0 =, mc ввели единичный вектор h, ориентированный вдоль направ ления вектора индукции магнитного поля (H = h H), H – модуль вектора индукции магнитного поля, и переставили по рядок векторов в векторно-скалярном произведении.

Подставляя результаты (4.15), (4.17) в формулу (4.13) и про изводя необходимые сокращения, получаем векторное уравне ние для определения функции (p ) (p ) + [a (p )] = b;

(4.19) p b = p e (4.20) a = 0 p h;

T.

T Для решения уравнения (4.19) умножим его один раз ска лярно, а второй раз векторно на вектор a. В результате простых § 1. Решение в приближении времени релаксации алгебраических преобразований можно выразить вектор (p ) через векторы a и b :

b + a (a b ) [a b ] (4.21) (p ) =.

1 + a Для получения более удобной структуры решения воспользу емся тождеством a (a b ) [a [a b ] ] (4.22) b= a и подставим это выражение для b в решение (4.21). В резуль тате получаем представление для функции (p ), выраженое через векторы a и b :

[a b] + 1/a2 [a [a b ] ] (p ) = 2 a (a b ) (4.23).

1 + a a Наконец, учитывая явный вид векторов a и b и подставляя их значения (4.20) в формулу (4.23), получаем 0 p [h ] + [h [h ] ] (p ) = ep (h )h + 1 + (0 p ) p 0 p [h T ] + [h [ h T]] T )h. (4.24) +p (h 1 + (0 p ) T Формулы (4.14), (4.15), (4.24) будут использованы в даль нейшем для определения потоков заряда и тепла и вычисления кинетических коэффициентов, определяющих термомагнитные и гальваномагнитные явления в проводящих кристаллах.

194 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов § 2. Условия применимости квазиклассического описания электронов в проводящих кристаллах Записанное в предыдущем разделе кинетическое уравнение (4.6), (4.13) является квазиклассическим. Поскольку хорошо из вестно, что электроны в кристалле – это квантовые объекты и есть достаточно много убедительных эффектов (например ди фракция электронов в кристаллах), в которых квантовые свой ства электронов наглядно проявляются, встает вопрос о приме нимости такого описания. В действительности квазиклассиче ское описание накладывает некоторые ограничения на условия проведения физического эксперимента, но можно показать, что для большинства реальных ситуаций, в которых производит ся измерение кинетических явлений в твердых телах, приме нение квазиклассического описания вполне оправданно. Ниже сформулированы основные условия применимости квазиклас сического кинетического уравнения для описания кинетических явлений в проводящих кристаллах при наличии постоянного внешнего магнитного поля и без него.

Эти условия приводят к трем основным ограничениям.

Во-первых, длина волны электрона должна быть мень ше других характерных пространственных масштабов задачи, что позволяет рассматривать электрон как точечный объект.

В отсутствие магнитного поля естественным параметром раз мерности длины является длина свободного пробега l. Поэтому квазиклассическое описание возможно, если l.

Во-вторых, неопределенность в энергии электрона E, ко торая является следствием квантово-механического принципа неопределенности, должна быть малой по сравнению со средней энергией электрона (средняя энергия kБ T для невырож денного случая и в условиях вырождения), § 2. Условия применимости квазиклассического описания где 0 – характерное время взаимодействия электрона с други ми подсистемами кристалла. Поэтому время характерного вза имодействия электронов с рассеивателями 0 должно быть до статочно большим. В этом случае столкновительное уширение энергетических уровней можно считать пренебрежимо малым и температура будет единственным параметром, хаотизирующим движение носителей заряда. Это условие служит основанием для описания электронной системы на языке функции распре деления. Вместе с тем характерное время столкновений должно быть существенно меньше, чем время между двумя последова тельными столкновениями, поскольку каждое из них рассмат ривается как независимый процесс и считается, что после каж дого столкновения в системе успевает сформироваться нерав новесное распределение. Поэтому в качестве верхней оценки времени 0 можно взять время между двумя последователь ными столкновениями и считать, что 0 p. Это тем более оправданно, поскольку величина p легко поддается экспери ментальной оценке. В этом случае условие 0 p по существу сводится к условию l. В этом легко убедиться, если предыдущее условие записать в виде v vp, умножив левую и правую часть неравенства на среднюю ско рость электронов v. Тогда в левой части неравенства стоит ве личина /p, а в правой – длина свободного пробега l = vp.

Таким образом, первое и второе ограничения в отсутствие маг нитного поля приводят к одному и тому же условию l.

Еще одно ограничение возникает в том случае, когда элек трон находится в области действия внешних силовых полей.

В этом случае, если электрон рассматривается как точечный объект, изменение его энергии на длине порядка длины волны де Бройля должно быть много меньше средней энергии элек трона. Иначе говоря, если, например, рассматривать движение электрона во внешнем электрическом поле, то должно выпол няться условие eE kБ T для невырожденного случая.

196 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов Это ограничение не является очень существенным, поскольку простые оценки дают ограничение E 106 В/м, что вполне приемлемо для большинства экспериментальных ситуаций.

Рассмотрим условия применимости кинетического уравне ния для описания неравновесных носителей тока в магнитном поле. В этом случае имеется три характерных параметра раз мерности длины: lH, так называемая «магнитная длина»– ха рактерный размер ларморовской орбиты электрона 1/ c lH =, eH длина волны электрона де Бройля = 2m и длина свободного пробега электронов между двумя последо вательными столкновениями l.

В этих условиях первым критерием квазиклассического опи сания является условие 1/ 2 c.

eH 2m Полагая в этом выражении kБ T, получаем хорошо из вестное в литературе условие применимости квазиклассическо го описания электронов в магнитном поле:

(4.25) 0 kБ T.

Это условие допускает простую интерпретацию: при ква зиклассическом описании расстояния между квантованными уровнями энергии электронов в магнитном поле должны быть малыми, по сравнению со средней энергией теплового движения электронов.

Другое условие применимости кинетического уравнения в магнитном поле также связано с влиянием магнитного поля на орбитальное движение электронов. Расстояние между уровня ми Ландау в магнитном поле 0 должно быть существенно § 2. Условия применимости квазиклассического описания меньше столкновительного уширения уровня /p, вызван ного рассеянием электронов на дефектах кристаллической ре шетки или фононах. Это условие обычно записывают в виде (4.26) 0 p 1.

Условие (4.26) может иметь и другую интерпретацию: для того чтобы квазиклассическое описание было применимо, необходи мо, чтобы электрон, двигаясь по циклотронной орбите, между двумя актами рассеяния успевал пройти лишь малую часть пе риода T круговой траектории 2lH 2 lH T, = 0, =.

v T v В этой формуле v – в вырожденном случае скорость электрона на поверхности Ферми (в невырожденном случае эту величину следует заменить на среднюю тепловую скорость). Поскольку время релаксации импульса l p, v условие 0 p 1 может быть записано также в виде lH l.

Иначе говоря, радиус циклотронной орбиты должен быть много больше длины свободного пробега электрона.

Полученные неравенства позволяют выделить три области изменения внешнего магнитного поля: слабые поля, сильные поля и квантующие магнитные поля.

Если выполняются неравенства lH l или, что эквивалент но, 0 p 1, то магнитные поля называются слабыми.

Если выполняются обратные неравенства, то магнитные по ля называются сильными. В этом случае магнитное поле суще ственно искривляет траекторию движения электронов, но если его влияние можно не учитывать при расчете вероятностей рас сеяния, то и в случае сильных магнитных полей даже в усло виях 0 p 1 кинетическое уравнение применимо для описа ния кинетических явлений в магнитном поле. Естественно, что условие l должно оставаться справедливым.

При дальнейшем увеличении магнитного поля нарушает ся условие (4.25) и магнитное поле становится квантующим.

198 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов В этом случае спектр носителей заряда в магнитном поле пол ностью перестраивается и влияние магнитного поля следует учитывать не только при анализе орбитального движения элек тронов, но и при расчете вероятностей рассеяния в каждом эле ментарном акте столкновений.

§ 3. Определение потоков заряда и тепла. Вычисление кинетических коэффициентов в случае H = Обобщая простейшее выражение для потока заряженных частиц J = e n v, где n – число частиц, имеющих скорость v, для плотности потока заряда и тепла получаем выражения e (4.27) J= dp f (p ) v, (2 ) dp (p ) f (p ) v. (4.28) JQ = (2 ) Суммирование по спиновому квантовому числу в формулах (4.27), (4.28) дает численный множитель, равный двум, так как мы не учитываем спиновое расщепление уровней. При записи выражения (4.28) мы учли определение (1.12).

Из физических соображений легко понять, что в формулах (4.27), (4.28) отличный от нуля вклад дает только неравновес ная поправка к функции распределения f1 (p ), определяемая выражением (4.14) в отсутствие магнитного поля и выражени ями (4.15), (4.24) при наличии внешнего магнитного поля.

Рассмотрим сначала кинетические явления в отсутствие внешнего магнитного поля. В этом случае кинетические коэф фициенты являются скалярными величинами. Тогда, подстав ляя выражение (4.14) в формулы, определяющие поток заряда и тепла, имеем e J = e2 K0 (4.29) K1 T, T JQ = eK1 K2 T, (4.30) T § 3. Вычисление кинетических коэффициентов где интегралы Kl, l = 0, 1, 2, определены соотношением 21 f p v 2 (p )l.

dp (4.31) Kl = (2 )3 3 p При выводе формул (4.29) – (4.31) мы учли, что для произволь ной функции модуля квазиимпульса электронов (p ) справед ливо представление dp (p ) v 2 ij, dp (p ) vi vj = где ij – символ Кронекера, i, j = x, y z.

Сравнивая формулы (4.29), (4.30) с соответствующими фе номенологическими результатами (1.15), (1.35), (1.36), получа ем выражение кинетических коэффициентов, определяющих явления теплоэлектропроводности и термоэлектрические явле ния через введенные выше интегралы Kl :

1 K =, =, e2 K0 e T K K2 K0 K (4.32) =.

T K Таким образом, для вычисления этих кинетических коэф фициентов необходимо вычислить интегралы Kl (4.31). Пере ходя к интегрированию по энергии в формуле (4.31), после вы полнения интегрирования по полярному и азимутальному уг лам в сферической системе координат имеем 2 (2m)1/2 f0 3/ dp (p )l. (4.33) Kl = p p 3 2 3 p Интегралы по энергии, содержащие функцию Ферми или ее производные, могут быть сведены к так называемым интегра лам Ферми Fp /kБ T индекса p :

xp (4.34) Fp = dx, exp x /kБ T + kБ T 200 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов зависящим от параметра /kБ T, для которых хорошо известны различные асимптотические представления [8]. Общие выраже ния, которые получаются при этом, оказываются достаточно гро моздкими, и поэтому мы рассмотрим лишь два предельных слу чая, для которых легко получаются простые оценки.

Случай сильного вырождения В этом случае 0, /kБ T 1 и производная по энергии от функции распределения имеет резкий максимум при p =. На рис. 26 представлена зависимость функции Ферми – Дирака p f0 (x) =, x= ex + 1 kБ T и ее первой производной от безразмерного параметра x.

Рис. 26. Графики функция распределения Ферми – Дирака и ее производной:

a – функция распределения Ферми – Дирака f0 (x) в зависимости от аргумента x = (p ” )/kБ T ;

б – производная функции распределения “ 0 (x) fx в зависимости от того же аргумента Как следует из рис. 26 б, производная от функции распре деления отлична от нуля лишь в небольшом интервале энер гий p kБ T. Эта особенность производной функции распре деления широко используется для построения приближенных формул вычисления интегралов, содержащих в качестве подын тегральной функции произведение гладкой функции (p ) и производной от функции распределения Ферми – Дирака по § 3. Вычисление кинетических коэффициентов энергии p. Простейшей аппроксимацией является замена про изводной от функции распределения дельта-функцией Дирака f0 (p ) (p ).

p В общем случае строится разложение подынтегральной функ ции по малому параметру kБ T / [26]. Как правило, достаточно удержать два первых члена разложения 2 2 (p ) f dp (p ) () + (kБ T ) +....

p 0 p p = (4.35) Производя простые вычисления с использованием формул (4.33), (4.35) и оставляя первые неисчезающие члены по малому параметру kБ T /, получаем n (kБ T )2 K0, K0 = p (), K2 = m 2 2 p () n (kБ T ) (4.36) K1 = + p ().

3m Для практического применения формул (4.36) необходимо знать численное значение и вид функциональной зависимости времени релаксации импульса от энергии p (p ). Обычно эту зависимость считают степенной:

r p (p ) = 0 p /kБ T, где r – показатель рассеяния, значение которого зависит от конкретного механизма релаксации импульса электрона, 0 – размерный множитель, величина которого зависит от механиз ма рассеяния и температуры. Конкретные значения величин 0 и r для различных механизмов рассеяния можно найти в монографиях [8, 26, 27].

202 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов Выражения для кинетических коэффициентов в пределе сильного вырождения легко могут быть получены, если выра жения для интегралов Kl (4.36) подставить в формулы (4.32):

e2 n (4.37) = = p (), m 2 kБ kБ T (4.38) = (3/2 + r), 3e 2 2 n (4.39) = kT p ().

3Бm При выводе последнего соотношения мы учли, что K0 K2 K1.

Полученные результаты (4.37) – (4.39) качественно правиль но описывают поведение электропроводности, дифференци альной термоэдс и теплопроводности в нормальных метал лах и сильновырожденных полупроводниках. Мы не приводим здесь значения термоэлектрических коэффициентов, характе ризующих явления Пельтье и Томсона, поскольку, как показано в главе 1, они выражаются в изотропном случае через коэффи циент дифференциальной термоэдс. Оценим порядок величины дифференциальной термоэдс, используя формулу (4.38) 2 kБ kБ T 108 T (4.40) (В/K), 3e где температура T измеряется в градусах по шкале Кельвина.

Эта оценка по порядку величины совпадает с известными экспе риментальными данными для термоэдс большинства металлов ( = 3 10 мкВ/K ). Существенные отклонения от формулы (4.38) могут возникать, например, при наличии магнитных при месей (эффект Кондо). Мы не будем останавливаться на этом интересном вопросе, отсылая читателей к специальной литера туре [28, 30].

Другим важным результатом рассматриваемой теории яв ляется выполнение закона Видемана – Франца для коэффици ентов и, 2 kБ = T L, L =, 3 e § 3. Вычисление кинетических коэффициентов который хорошо подтверждается на эксперименте при доста точно высоких температурах ( T 300 K).

Задача 4. Используя выражение для поправки к функции распределения (4.14), дать качественное квантово-статистическое объяснение воз никновения тока в проводнике при наличии внешнего электрического поля и градиента температуры.

Решение Пусть имеется только внешнее электрическое поле, задаваемое вектором напряженности E. До включения внешнего электрического поля равновесная функция распределения была сферически симмет ричной и зависела только от модуля импульса p = k. При включе нии внешнего электрического поля одно из направлений выделяется и функция распределения перестает быть сферически симметричной.

В стационарном неравновесном состоянии импульс электронов будет иметь добавку p = eEp, связанную с действием внешнего элек трического поля. В вырожденном случае участие в электропереносе, как следует из рис. 26 б, принимает лишь небольшой слой электронов шириной порядка kБ T вблизи поверхности Ферми. Остальные элек троны не могут ускоряться внешним электрическим полем, посколь ку ближайшие энергетические состояния заняты. Поэтому и добавку к импульсу получают лишь электроны, лежащие на поверхности Ферми.

Рассмотрим для простоты направление, совпадающее с внешним электрическим полем. Электроны, двигающиеся в направлении элек трического поля, тормозятся полем (электрон является отрицатель но заряженной частицей) и на поверхности Ферми имеют меньшую скорость, нежели электроны, двигающиеся в противоположном на правлении. Схематически эта ситуация изображена на рис. 27 а.

Таким образом, при включении электрического поля возникает группа электронов вблизи поверхности Ферми, движущаяся в на правлении против поля, которая имеет дополнительную поправку к скорости v = |e|/m E p (). Аналогичная по численности группа электронов, движущаяся по полю, будет иметь меньшую скорость, что и приводит к появлению направленного движения электронов при включении электрического поля.

204 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов f(p) f(p) T1 T Dp p p p p Рис. 27. Возникновение асимметрии функции распределения при наличии внешнего поля и градиента температуры:

а – смещение границы Ферми при наличии электрического поля на величину p = |e| E p () ;

б – изменение формы функции распределения вблизи уровня Ферми при наличии градиента температуры Иначе говоря, включение постоянного электрического поля при водит к смещению Ферми-поверхности в импульсном пространстве на величину p = eEp. Поэтому искажение функции распределения можно найти, если записать равновесное распределение в системе ко ординат, сдвинутой на величину p = e E p () :



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 10 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.