авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 10 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ МЕТАЛЛОВ ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕД Научно-образовательная серия ...»

-- [ Страница 6 ] --

Оценим величину отклонения неравновесной температуры от равновесной, полагая, что 1. Разложим корень в форму ле (4.194) в ряд и ограничимся линейным членом по. В этом случае, вводя относительное изменение температуры Tk /T = = (Tk T )/T, получаем Tk (4.195).

T Для типичных значений параметров полупроводниковых материалов ( m = 0, 07m0, m0 – масса свободного электрона, = 5, 8 г/см3, s = 5 105 см/с, E0 = 1, 61018 Дж, T = 4K ), оценка величины по формулам (4.192), (4.189), (4.167) дает Tk /T 1, 32.

Зная температуру кинетических степеней свободы электро нов проводимости, можно определить и неравновесный хими ческий потенциал. Используя уравнение (4.181) для случая классической статистики Максвелла – Больцмана, получаем 3/ Tk 0 = exp, T kБ T kБ Tk § 14. Отрицательное дифференциальное сопротивление или, логарифмируя это выражение, Tk 3 Tk kБ Tk ln (4.196) = 0.

T 2 T Из формулы (4.196) следует, что химический потенциал неравновесных электронов не зависит от дрейфовой скорости vd в рассматриваемом приближении. В действительности та кая зависимость, конечно, имеется, и она может быть легко получена, если удержать в разложении (4.154) члены второго порядка малости по параметру k vd /kБ T, но это было бы явным превышением точности.

Таким образом, мы рассмотрели задачу о разогреве элек тронной системы внешним электрическим полем и нашли вы ражения для кинетической температуры (4.194), химического потенциала (4.196) и дрейфовой скорости (4.156), входящих в неравновесную функцию распределения (4.146).

Особо необходимо отметить, что величина отклонения тем пературы электронов Tk от равновесной температуры T не обя зательно должна быть малой (фактически при выводе уравне ний баланса импульса, энергии и числа частиц малость величи ны Tk /T не предполагалась).

Совершенно аналогично можно было рассмотреть и случай вырожденного электронного газа (эта задача предлагается чи тателю для самостоятельного решения).

Перейдем теперь к обсуждению возможных применений раз витой здесь теории для решения различных задач физической кинетики.

§ 14. Отрицательное дифференциальное сопротивление С прикладной точки зрения, важно найти такие условия, при которых разогрев носителей заряда приводил бы к появле нию на вольт-амперной характеристике участка с отрицатель ным значением dJ/dE, где J – плотность электрического тока, E –напряженность электрического поля, приложенная к образ цу. Такая ситуация может возникнуть, если вектор плотности 262 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов электрического тока J антипараллелен вектору напряженно сти электрического поля E и когда вектор J E, но плотность электрического тока в образце уменьшается с ростом электри ческого поля. В первом случае принято говорить об о т р и цательном с о п р о т и в л е н и и, а во втором – об о т р и ц а т е л ь н о м д и ф ф е р е н ц и а л ь н о м сопро тивлении (ОДС).

Отрицательное дифференциальное сопротивление может на блюдаться экспериментально в условиях контроля как тока че рез образец (рис. 30 a), когда большое дополнительное сопро тивления R включено в цепь последовательно с образцом, так и в условиях контроля напряжения на образце, когда он вклю чен параллельно большому дополнительному сопротивлению нагрузки RН (рис 30 б)).

J J E E V r r R R R V Рис. 30. S-образные (а) и N-образные (б ) нелинейные вольт-амперные характеристики и схемы их измерения при контроле тока и напряжения. Образцом является сопротивление r В первом случае нелинейные вольт-амперные характе ристики имеют вид S-образной кривой, а во втором слу чае – N-образной. Для того чтобы обеспечить контроль тока J, протекающего через образец с сопротивлением r, должно выполняться условие R r. Аналогично в случае б должно выполняться условие RH r.

§ 14. Отрицательное дифференциальное сопротивление Наиболее просто условия возникновения ОДС можно реа лизовать в том случае, когда контролируется ток через образец (рис. 30 a). Значение напряженности электрического поля в об разце E и кинетической температуры Tk в этом случае будет однозначной функцией тока. Мощность P, передаваемая систе мой электронов в решетку, совпадает с мощностью джоулевых потерь 1/ P (4.197) P = E, E=.

С другой стороны, эта же самая мощность может быть вы ражена через плотность тока J 2 = P, J = (P )1/2. (4.198) В условиях разогрева электронного газа, как следует из формулы (4.172), для случая статистики Максвелла – Больц мана Tk, где m – некоторый показатель степени, а m мощность, переданная электронами в решетку, согласно (4.187), имеет следующую температурную зависимость:

P (Tk T ) Tk.

n (4.199) Ek t ст Подставляя предполагаемую температурную зависимость и P в уравнения для напряженности поля E (4.197) и величи ны тока J (4.198), получаем 1/ E (Tk T ) Tk nm, 1/ J (Tk T ) Tk n+m (4.200).

Из формулы (4.200) следует, что если выполняются условия n m 0 и n + m 0, то E и J растут с возрастанием Tk и, следовательно, dJ/dE остается положительной величиной.

Если, однако, n m 0, а n + m 0, то при возрастании тока, а следовательно, Tk напряженность электрического поля будет уменьшаться, что соответствует участку с отрицатель ным дифференциальным сопротивлением на вольт-амперной 264 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов характеристике. Возникающая при этом вольт-амперная харак теристика имеет S-образный вид. В частности, легко видеть, что условия возникновения участка с ОДС выполняются, если релак сация импульса происходит за счет взаимодействия электронов с примесями ( m = 3/2 ), а релаксация энергии определяется пьезо электрическим рассеянием на акустических фононах ( n = 1/2 ).

В действительности явление возникновения ОДС сопровож дается развитием неустойчивостей в однородном полупроводни ковом кристалле. В частности, в условиях контроля тока через образец возникновение участка с ОДС на вольт-амперной ха рактеристике сопровождается «шнурованием» электрического тока. В плоскости продольного сечения образца возникают один или несколько каналов с более низким значением электрическо го сопротивления, которые по существу шунтируют образец.

При контроле напряжения на образце возникает неустойчи вость другой природы. В образце появляются участки (домены) с высоким и низким значением электрического сопротивления.

Все падение напряжения будет приходиться на домен с высо ким сопротивлением. Под действием электрического поля эти до мены движутся по образцу, благодаря чему возникают периоди ческие электрические колебания. Это явление нашло свое прак тическое применение для создания генераторов СВЧ-колебаний (диодов Ганна).

Диод Ганна – полупроводниковый прибор, состоящий из од нородного полупроводника, генерирующий СВЧ-колебания при приложении постоянного электрического поля. Физической ос новой, позволяющей реализовать такие свойства в диоде, яв ляется эффект Ганна, который заключается в генерации высо кочастотных колебаний электрического тока в однородном по лупроводнике с N-образной вольт-амперной характеристикой.

Эффект Ганна обнаружен американским физиком Дж. Ганном в 1963 г. в кристалле арсенида галлия с электронной проводимо стью. При приложении электрического поля E 2 – 3 кВ/см к однородным образцам из арсенида галлия n -типа в образ це возникают спонтанные колебания тока. В образце, обычно у катода, возникает небольшой участок сильного поля – «домен», 107 см/с и дрейфующий от катода к аноду со скоростью vd § 14. Отрицательное дифференциальное сопротивление исчезающий на аноде. Затем у катода формируется новый до мен, и процесс периодически повторяется, моменту возникно вения домена соответствует падение тока, текущего через об разец. Моменту исчезновения домена у анода – восстановление прежней величины тока. Период колебаний тока приблизитель но равен пролетному времени, т. е. времени, за которое домен дрейфует от катода к аноду.

С позиций сильнонеравновесной термодинамики, возникно вение шнуров электрического тока, или доменов, в однородном полупроводниковом материале является типичным примером самоорганизации и возникновения неравновесных структур.

Можно показать, что если в полупроводнике с S-образной вольт-амперной характеристикой на участке с ОДС возникает локальная флуктуация плотности тока, то эта флуктуация не будет рассасываться, как в обычном материале, а будет только нарастать, что и приведет к возникновению шнура тока. Совер шенно аналогично, если в полупроводнике с N-образной вольт амперной характеристикой в результате флуктуаций возникнет локальная область с большим значением электрического поля, нежели в соседних областях, то эта область не исчезнет, а будет только увеличиваться. В итоге возникнет домен сильного поля.

В этом смысле полупроводник, в котором реализованы условия возникновения ОДС, является активной средой.

Дальнейшее обсуждение явлений, возникающих в полупро водниках в результате разогрева электронов проводимости внеш ним электрическим полем, выходит за рамки нашего курса.

Обзор экспериментальных и теоретических работ по горячим электронам можно найти в монографии Конуэлл [27]. Исследо ванию процессов неустойчивости, возникающей в электронной плазме проводников, посвящены работы [33, 34].

Развитый в этой главе метод эффективных параметров поз воляет решать довольно широкий круг задач физической ки нетики, связанных с передачей энергии между подсистемами кристалла. Примерами таких задач являются эффект Феера (явление динамической поляризации ядер электрическим то ком);

эффект изменения сопротивления в полупроводниках при насыщении парамагнитного резонанса на примесных центрах, 266 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов позволяющий использовать простые электрические схемы де тектирования резонанса;

эффект Оверхаузера (явление дина мической поляризации ядер при насыщении парамагнитного резонанса на свободных электронах в металлах или полупро водниках). Анализ этих задач в полном объеме также далеко вы ходит за рамки учебного курса. Тем не менее в главе 6, посвящен ной методу неравновесного статистического оператора, мы при меним метод составления уравнений баланса импульса, энергии и числа частиц для интерпретации эффекта Оверхаузера.

Задача 4. Получить выражение для обратного времени релаксации горячих электронов, полагая, что рассеяние носителей тока происходит на за ряженных центрах с экранированным кулоновским потенциалом.

Решение Пользуясь схемой переходов электронов между состояниями k, k+q, изображенной на рис. 28, запишем скорость изменения функции распределения в состоянии k за счет взаимодействия с рассеивателя ми. Если в качестве гамильтониана взаимодействия с рассеивателями взять гамильтониан (4.81), то для квантово-механической вероятно сти переходов (по аналогии с выражением (4.87)) получаем:

2t |Gq |2 k + q |eiq r |k (k+q k ), 1. Wk+q k = q q пр q 2t |Gq |2 k |eiq r |k + q (k+q k ).

2. Wk k+q = q q пр q Если учесть определение q (4.81), легко заметить, что среднее по состояниям рассеивателей q q пр = Ni, где Ni – число примесных центров в единице объема.

Для нахождения скорости изменения числа частиц в состоянии k под действием столкновений квантово-механические вероятности переходов необходимо умножить на вероятность заполнения началь ного состояния и вероятность того, что конечное состояние является § 14. Отрицательное дифференциальное сопротивление незаполненным. В результате подсчета получаем fk |Gq |2 fk+q fk (k+q k ). (4.201) = Ni t ст q В отличие от случая рассеивания на фононах рассматривать пе реходы под номерами 3 и 4 в формуле (4.87) смысла нет, поскольку суммирование в формуле (4.201) производится во всем диапазоне воз можных значений q.

По аналогии с выражением (4.152) построим уравнение баланса импульса k |Gq |2 fk+q fk (k+q k ).

P = Ni t ст kq Делая во втором слагаемом, пропорциональном fk, замену индексов суммирования сначала k + q k, k k q, а затем замену q q, получаем q |Gq |2 fk+q (k+q k ).

= (4.202) P Ni t ст kq Выделим в правой части (4.202) члены, линейные по дрейфовой скорости. Так как дрейфовая скорость содержится в функции рас пределения, разложим ее в ряд Тейлора, ограничиваясь линейными членами. Подставляя это разложение (см. формулу (4.154)) в выра жение, определяющее скорость изменения среднего импульса элек тронов за счет столкновений, для правой части (4.202), получаем 2 ( q)2 |Gq |2 fk+q vd (k+q k ). (4.203) P = Ni t ст kq Учитывая уравнение баланса импульса (4.154), окончательно для об ратного времени релаксации импульса горячих электронов получаем 1 2 ( q)2 |Gq |2 fk+q (k+q k ).

= (4.204) Ni 3nm kq Глава ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОТКЛИКА НА ВНЕШНЕЕ МЕХАНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ 5.1. Электропроводность электронного газа. Метод Кубо § 1. Уравнение Лиувилля и его решение Квантовая система может находиться в чистом или смешан ном состоянии. Если система находится в чистом состоянии, то она может быть описана волновой функцией, которая под чиняется уравнению Шредингера:

(5.1) i = H, t где H гамильтониан системы, постоянная Планка. Кванто во-механическое среднее оператора некоторой физической ве личины A в состоянии, описываемом волновой функцией, определяется выражением A = |A|. Физические вели чины, получающиеся в результате усреднения, должны быть действительными. Это приводит к тому, что операторы физи ческих величин являются эрмитовыми и удовлетворяют усло вию A+ = A, A+ = A, где знак тильды означает транспо нирование, а звездочка, как обычно, комплексное сопряже ние элементов матрицы. Описание системы на языке волновых функций является наиболее полным с точки зрения квантовой механики и в каком-то смысле соответствует описанию частиц на языке траекторий в классической механике.

Определим теперь понятие смешанного состояния в кван товой теории. Рассмотрим систему, которая является частью некоторой большой системы, находящейся в чистом состоянии.

§ 1. Уравнение Лиувилля и его решение Пусть совокупность координат x описывает интересующую нас подсистему, а совокупность q – остальные координаты замкну той системы. Волновая функция (q, x) зависит от переменных x и q и не распадается на произведение функций, зависящих только от x и только от q. По этой причине интересующая нас малая система не имеет волновой функции и не может быть опи сана с максимально допустимой в квантовой механике полнотой.

Вычислим снова среднее значение оператора A, который относится к малой системе и действует только на переменные x.

Обобщая результаты, полученные для чистых состояний, имеем (q, x) A (q, x) dq dx. (5.2) A= Введем более удобное для практических приложений опре деление среднего (5.2). Определим полный набор собственных функций n (x) некоторого оператора, например оператора Га мильтона, для выделенной подсистемы и аналогичный набор n (q) для остальной системы. Тогда очевидно, что волновая функция (q, x) может быть разложена в ряд (5.3) (q, x) = Cn m n (x) m (q).

n,m Подставляя этот результат в выражение (5.2), имеем Cin Cj m (x) A m (x) dx. (5.4) A= i (q) j (q) dq n n m;

i j Учитывая ортонормированность собственных функций i (q) и j (q), получаем Cn (j) Cm (j)Anm. (5.5) A= n, m;

j Для того чтобы продвинуться дальше, необходимо заметить, что коэффициенты Cn (j) и Cm (j) зависят от переменной j, относящейся к большой системе, и поэтому можно записать Cn (j) Cm (j) = W (j) a (j) am (j) = mn. (5.6) n j j 270 Глава 5. Теория линейного отклика Величина mn, введенная выше, носит название матрицы плот ности. Физический смысл введенной матрицы плотности проще понять, если рассмотреть диагональные матричные элементы W (j) a (j)an (j), (5.7) nn = n j которые можно легко интерпретировать. Действительно, будем считать, что состояние малой системы является смесью чистых состояний, которые нумеруются индексом j. Величина W (j) тогда имеет смысл вероятности реализации состояния j, а про изведение a (j) an (j) – вероятности реализации n -го собствен n ного значения для j -го чистого состояния. Величина W (j) a (j)an (j) nn = n j имеет смысл вероятности для системы находиться в n -м стаци онарном состоянии, которое может реализоваться в любом из возможных чистых состояний системы. Используя определение (5.6), среднее значение оператора A можно записать достаточ но просто:

(5.8) A= mn Anm.

n,m Пусть теперь оператор A, входящий в определение средне го, равен единичному оператору. Среднее значение такого опера тора, очевидно, равно единице. Поэтому вместо (5.8) получаем nn Sp{} = 1. (5.9) n Последний результат является очевидным, поскольку диаго нальный матричный элемент матрицы плотности имеет смысл, как это отмечено выше, вероятности нахождения системы в n -м стационарном состоянии. Вероятность находиться в одном из воз можных состояний полного набора состояний равна единице.

Уместно, забегая вперед, сразу привести пример системы, находящейся в контакте с термостатом. Будем считать, что вол новые функции n (x) являются собственными функциями опе ратора Гамильтона: Hn = En n, где En – собственные значе ния энергии системы. В этом случае вероятность для системы, § 1. Уравнение Лиувилля и его решение находящейся в смешанном состоянии, иметь значение энергии En определяется распределением Гиббса:

exp En /kБ T nn =.

exp Em /kБ T m В квантовой механике чистые и смешанные состояния раз личаются принципиально. Если система в некоторый момент времени t находилась в чистом состоянии, то, в силу линейно сти уравнения Шредингера, она и будет оставаться в чистом со стоянии на протяжении всей эволюции. В действительности чи стые состояния являются идеализацией и, видимо, не могут быть реализованы, если система взаимодействует со своим окружени ем.

Интересная взаимосвязь чистых и смешанных состояний возникает в связи с проблемой измерения.

Предположим, что мы имеем систему, находящуюся в чи стом состоянии, с волновой функцией = n Cn Un, где Un собственные функции, например, оператора энергии. Обычное квантово-механическое среднее A= Cn Cm Un (x)AUm (x) dx n, m для чистого состояния можно записать, используя определение среднего (5.8). Отсюда получаем простое выражение для ком понент матрицы плотности системы в чистом состоянии (5.10) m n = Cn Cm.

Будем производить измерение энергии в ансамбле таких одинаковых систем. Произведя многократное измерение, оче видно, получим вероятности Pn нахождения системы со зна чением энергии E = En. Таким образом, в результате измере ния сформируется смешанное состояние, которое описывается другой матрицей плотности, не совпадающей с исходной. Это становится особенно ясным, если снова найти среднее значение оператора (5.11) A= Pn Un (x)AUn (x) dx.

n 272 Глава 5. Теория линейного отклика Сравнивая два последних результата, видим, что произошла редукция матрицы плотности, и она потеряла недиагональные элементы, которые приводят в чистом состоянии к интерферен ции состояний с разными значениями n. Здесь ситуация пол ностью аналогична случаю, когда в некоторой точке простран ства складываются значения векторов напряженности электри ческого поля для двух когерентных источников света, в то вре мя как для некогерентных источников складываются квадраты интенсивностей (освещенности) и интерференция пропадает.

Таким образом, в процессе измерения чистое состояние за менилось смешанным и произошла потеря информации о си стеме. Поскольку потеря информации означает возрастание эн тропии, то мы сталкиваемся с ситуацией, когда процесс изме рения, как и в классической механике, приводит к возникнове нию необратимого поведения и возрастанию энтропии. Не имея больше возможности останавливаться на принципиальной, но весьма далекой от решения проблеме измерения в квантовой механике, мы отсылаем читателя к монографии И. Пригожи на [35], где можно найти ссылки и на другие работы по этой теме.

Найдем уравнение движения, которому подчиняется матри ца плотности. Для этого продифференцируем по времени вы ражение (5.7):

a (i, t) am (i, t) am (i, t) + a (i, t) W (i)[ n ]. (5.12) m n (t) = n t t t i Для того чтобы найти уравнения, которым удовлетворяют ко эффициенты an, вспомним, что волновая функция каждого чистого состояния (i) = k ak (i)k в смеси удовлетворяет уравнению Шредингера (i) (5.13) i= H(i), t где k – собственные функции некоторого оператора, не зави сящие от времени. Подставляя значение волновой функции (i) в (5.13), получаем уравнение для коэффициентов an :

ak (i) (5.14) i k = H ak (i)k.

t k k § 1. Уравнение Лиувилля и его решение Умножая это уравнение на m и интегрируя с учетом ортонор мированности собственных функций n, получаем am (i) (5.15) i = m H k dv ak (i).

t k Уравнение для комплексно-сопряженного коэффициента мож но записать по аналогии:

a (i) n H k dv a (i).

i n (5.16) = k t k Подставляя выражения (5.15), (5.16) в уравнение движения матрицы плотности (5.12) с учетом эрмитовости оператора энер гии, получаем m n (t) = (Hmk kn mk Hkn ). (5.17) t i Переходя от матричных обозначений к операторным и исполь зуя определение оператора Лиувилля iL [A, H] = AH HA, (5.18) iLA = [A, H], i получаем уравнение Лиувилля для квантовых систем (5.19) (t) + iL (t) = 0.

t Уравнение (5.19) позволяет найти значение (t) во все по следующие моменты времени, если задано значение (t0 ) в некоторый начальный момент времени t0.

Следует обратить внимание на то, что уравнение движения для матрицы плотности отличается знаком от уравнения дви жения оператора в представлении Гейзенберга:

d A(t) = exp(i/ Ht) A exp(i/ Ht). (5.20) A(t) = iLA(t), dt 274 Глава 5. Теория линейного отклика Уравнение Лиувилля является обратимым во времени, и так же, как и в случае классической механики, его решение дава ло бы наиболее полное описание системы. Не следует думать, однако, что точное решение уравнения Лиувилля дает правиль ное описание необратимой динамики макроскопических систем.

Проблема выглядит значительно сложнее. В главе 1 неодно кратно подчеркивалось, что для классических систем необрати мое поведение связано со слабой устойчивостью решений, опре деляющих эволюцию фазовой точки в фазовом пространстве.

В случае квантовых систем пока такой ясности нет, но ситуация представляется аналогичной. Нет никакого смысла стремить ся получить точное решение уравнения Лиувилля. Физически осмысленный результат получается лишь в результате некото рого огрубленного (усредненного) описания. По этой причине все современные методы неравновесной статистической механи ки представляют собой различные варианты построения такого огрубленного описания. В этой и следующих главах постараем ся обсудить наиболее известные подходы построения описания неравновесных систем квантово-статистическими методами.

§ 2. Линейный отклик динамической системы на внешнее поле Рассмотрим реакцию системы, которая описывается гамиль тонианом H, на включение внешнего воздействия, задаваемого поправкой к гамильтониану HF (t) :

HF (t) = AF (t)e t, +0, (5.21) где A – операторная часть взаимодействия с внешним полем, F (t) – C -числовая функция, характеризующая амплитуду внеш него воздействия. Возмущение типа (5.21), которое может быть задано поправкой к гамильтониану, обычно называют м е х а н и ч е с к и м возмущением. Существует целый класс внеш них воздействий, которые не сводятся к некоторой механиче ской силе и не могут быть записаны в форме (5.21). Такие возмущения принято называть т е р м и ч е с к и м и возму щениями.

§ 2. Линейный отклик на внешнее поле Будем предполагать, что внешнее поле включается в момент времени t. До включения внешнего поля система нахо дилась в равновесном состоянии и описывалась равновесным статистическим оператором 1 (HN ) Z = Sp e(HN ), (5.22) 0 = e, Z N – оператор числа частиц. После включения внешнего поля система отклонится от состояния термодинамического равно весия и будет описываться неравновесным статистическим опе ратором (t). Представляет интерес выяснить, как изменится среднее значение оператора некоторой физической величины B в результате включения внешнего поля.

Для ответа на этот вопрос нужно найти явный вид стати стического оператора (t), который удовлетворяет уравнению Лиувилля (t) (5.23) + [iL + iLF (t)](t) = t с граничным условием (5.24) lim (t) = 0.

t Фигурирующие в уравнении (5.23) операторы iL и iLF (t) определены соотношениями 1 (5.25) iL R = [R, H], iLF (t) R = [R, HF (t)], i i R – произвольный оператор, [A, B] = AB BA.

Получим формальное решение уравнения (5.23), полагая внешнее поле слабым. Для этого запишем (t) в виде (5.26) (t) = 0 + (t) и линеаризуем уравнение (5.23), считая HF (t) и (t) малыми величинами (малость операторных величин следует понимать в 276 Глава 5. Теория линейного отклика том смысле, что малыми величинами являются матричные эле менты в том представлении, где эти операторы диагональны).

Линеаризованное уравнение имеет вид (t) (5.27) + iL (t) + iLF (t) 0 = 0.

t Умножим уравнение (5.27) слева на оператор эволюции eiLt, определяемый соотношением R ei/ eiLt R = ei/ Ht Ht (5.28).

В результате получаем уравнение iLt (t) = i eiLt LF (t) 0, (5.29) e t интегрируя которое в пределах от до t с учетом гранич ного условия (5.24), находим решение t (t) = i iLt dt eiLt LF (t ) 0. (5.30) e Чтобы в явном виде найти неравновесный статистический оператор (t), умножим левую и правую части уравнения (5.30) слева на оператор эволюции eiLt и сделаем в интегральном члене замену переменных, полагая t t = t1. Тогда, используя определение (5.26), получаем искомое значение статистического оператора (t) = 0 i eiLt1 LF (t + t1 ) 0 dt1, (5.31) или, подставляя выражение (5.21) для оператора HF (t), дру гую форму этого результата t1 iLt (5.32) (t) = 0 + e e [ 0, A ] F (t + t1 ) dt1.

i § 2. Линейный отклик на внешнее поле Пользуясь полученным результатом, найдем изменение сред него значения B t оператора некоторой физической ве личины B за счет действия внешней силы B t = Sp{B (t)} Sp{B 0 }. (5.33) Для практических приложений удобно для отклика системы на внешнее воздействие перейти к фурье-представлению, выпол няя фурье-преобразование по времени t :

deit B t = B, deit F (). (5.34) F (t) = фурье-образ отклика на внешнее воздействие B и фурье образ внешней силы F (), очевидно, определяются с помощью обратного преобразования Фурье. Используя результаты (5.32), (5.33), получаем e( i)t Sp B eiLt1 [ 0, A ] dt1 F (). (5.35) B = i Формула (5.35) позволяет исследовать реакцию системы на внешнее поле в том случае, когда механическое возмущение не приводит к развитию термических возмущений в системе. В этом смысле итерационная процедура решения уравнения (5.23) справедлива лишь на первом шаге, поскольку уже поправка второго порядка по HF (t) является некорректной, если не учи тывать индуцированные механической силой термические воз мущения, например разогрев электронов, и процессы переда чи энергии между различными подсистемами кристалла, как это сделано при анализе уравнений баланса энергии различных подсистем кристалла в предыдущей главе.

Хотя формально, как это сделано в исходной работе Р. Кубо, решение уравнения (5.23) может быть построено в виде ряда по степеням HF (t), оно может иметь смысл только для импульс ного возмущения. В этом случае, если длительность импульса 278 Глава 5. Теория линейного отклика достаточно мала, систему электронов можно считать изолиро ванной и термические возмущения не учитывать, поскольку для их формирования нужно время порядка времени релаксации энергии в системе, которое, как правило, на один-два порядка больше, нежели время релаксации импульса. Более того, да же если считать, что возмущение является слабым и можно ограничиться линейным приближением по внешней силе, при менимость полученного результата (5.35) для анализа реальных физических систем не кажется такой самоочевидной.

Действительно, до включения взаимодействия в момент вре мени t система описывалась большим каноническим распределением Гиббса и, следовательно, находилась в контак те с термостатом. После включения взаимодействия статисти ческий оператор (t) удовлетворяет уравнению (5.23), в кото ром фигурирует только гамильтониан системы и нет гамильто ниана термостата. Это означает, что мы произвели отделение системы от термостата в тот самый момент, когда было вклю чено взаимодействие с внешним полем. На практике, конечно, такое отделение реализовать не удается и поэтому полученное решение справедливо, если различием термодинамических ха рактеристик изолированной системы и системы в термостате можно пренебречь.

В завершение этого параграфа рассмотрим важный вопрос о появлении необратимого характера временной эволюции ста тистического оператора во времени. В кинетическом уравнении Больцмана необратимость возникла за счет необратимого во времени поведения интеграла столкновений, и, следовательно, оно заведомо является необратимым.

В отличие от кинетического уравнения, уравнение Лиувил ля является обратимым во времени, а необратимость привно сится с помощью граничного условия (5.24). Именно по это му способу строится необратимое во времени решение уравне ния Лиувилля в оригинальной работе Р. Кубо и большинстве изложений этой работы [36]. Того же самого результата мож но добиться эквивалентным, но более явным способом, вводя в правую часть уравнения Лиувилля (5.23) бесконечно малый источник ((t) 0 ), который можно интерпретировать как § 2. Линейный отклик на внешнее поле некоторый интеграл столкновений выделенной системы с окру жением, за счет которого неравновесное статистическое распре деление релаксирует к равновесному (величина 0 после вычисления средних). Этого оказывается достаточно для полу чения необратимого во времени решения уравнения Лиувилля и учета хаотизирующего действия термостата. Бесконечно малый источник в правой части уравнения Лиувилля служит просто для того, чтобы снять вырождение относительно операции об ращения времени.

Получим решение уравнения Лиувилля с бесконечно малым источником в правой части + iL + iLF (t) (t) = ((t) 0 ), (5.36) t полагая теперь HF (t) = AF (t). (5.37) Покажем, что при таком определении мы снова получим ре шение (5.32). Для этого, как и раньше, введем поправку (t), используя соотношение (5.26), и линеаризуем уравнение (5.36) по малым параметрам HF (t) и (t). Левая часть линеаризо ванного уравнения будет совпадать с левой частью уравнения (5.27), а в правой части будет стоять бесконечно малый источ (t). Умножая это уравнение на e( +iL)t, запишем ник линеаризованное уравнение (5.36) в виде t iLt (t) = i e t eiLt LF (t) 0. (5.38) ee t Интегрируя это уравнение в пределах от до t, получа ем уравнение, аналогичное уравнению (5.30), t (t) = i t iLt t eiLt LF (t ) dt 0. (5.39) ee e При выводе уравнения (5.37) мы учли, что lim e t eiLt (t) = t 280 Глава 5. Теория линейного отклика в силу конечности параметра. Оператор iLF (t) в формулах (5.38), (5.39) определен с помощью гамильтониана (5.37). Умно жая уравнение (5.39) на e( +iL)t и производя в интегральном члене замену переменных t t = t1, действительно получаем формулу (5.32).

Таким образом, уравнения (5.23) и (5.36) по существу эк вивалентны, однако использование уравнения (5.36) физически более оправданно, поскольку в нем, хотя и в идеализированной форме, учитывается взаимодействие с термостатом.

§ 3. Вычисление электропроводности В качестве примера использования метода Кубо рассмотрим вычисление электропроводности электронов, взаимодействую щих с фононами. Пусть система описывается гамильтонианом (5.40) H(t) = H + HF (t), H = H0 + Hep, где H0 – оператор невзаимодействующих электронной и фо нонной подсистем N P, P = p, (5.41) H0 = Hk + Hp, Hk = j 2m j Hep – оператор электрон-фононного взаимодействия, явный вид которого для большинства механизмов электрон-фононного взаимодействия можно задать в форме (4.76);

p – -проекция j оператора импульса j -го электрона. Суммирование в формуле (5.41) ведется по всем электронам в зоне проводимости. Гамиль тониан взаимодействия электронов с внешним электрическим полем HF (t) = eX E (t), X = (5.42) rj, j rj – оператор -проекции координаты j -го электрона, E – -проекция амплитуды внешнего электрического поля.

Вспоминая феноменологическую связь между плотностью электрического тока и напряженностью электрического поля § 3. Вычисление электропроводности J () = E () и результат (5.35), запишем выражение для тензора электропроводности e2 e( i)t Sp P [ 0, X (t1 ) ] dt1. (5.43) () = m i При выводе этой формулы мы положили B = J = eP /m.

Из выражения (5.43) следует, что электропроводность элек тронного газа выражается через корреляционную функцию, которая определена для равновесного состояния системы. Фи зически это означает, что время релаксации среднего импульса электронов, вызывающего направленный дрейф электронов в электрическом поле, определяется теми же самыми процессами, что и время «рассасывания» флуктуаций среднего импульса электронов в равновесном состоянии.

В отличие от кинетического уравнения, где выражение для поправки к функции распределения фактически сразу позволя ет вычислить все кинетические коэффициенты, использование формального решения уравнения Лиувилля (5.32) для вычис лении кинетических коэффициентов всего лишь приводит нас к проблеме вычисления квантовых корреляционных функций.

Таким образом, вместо проблемы решения сложного интегро дифференциального кинетического уравнения, в теории Кубо возникает проблема «распутывания» временных корреляцион ных функций (примером которых может служить корреляци онная функция в правой части выражения (5.43)).

Для вычисления электропроводности () воспользуемся методом функций Грина [36, 37].

Поясним, почему используется именно метод функций Гри на. Проблема здесь состоит в том, что в формуле (5.43) как в статистическом операторе 0, так и в операторе эволюции, определяющем временную зависимость оператора координа ты электронов X (t1 ), фигурирует полный гамильтониан H, собственные функции и собственные значения которого найти не удается и поэтому точное вычисление этой корреляционной функции невозможно. Попытка разложения статистического оператора 0 и оператора эволюции eiLt1 в ряд по степеням оператора электрон-фононного взаимодействия Hep в любом конечном порядке теории возмущений приводит к неверному 282 Глава 5. Теория линейного отклика результату. Из результатов, полученных на основании кинети ческого уравнения, следует, что 1/Hep, а разложение корреляционной функции в ряд по степеням Hep даст неко торую полиномиальную зависимость от константы электрон фононного взаимодействия.

Правильный результат может получиться лишь в том слу чае, когда суммируется некоторая бесконечная последователь ность членов ряда теории возмущений, сводящаяся к бесконеч но убывающей геометрической прогрессии, которая легко под дается суммированию. В методе функций Грина как раз разви ты методы диаграммной техники и массового оператора, поз воляющие достаточно легко производить такое суммирование бесконечных рядов теории возмущений.

Определяя функцию Грина G (t1 ) соотношением t Sp P eiLt1 0, X G (t1 ) = (t1 )e, i 1, x (5.44) (x) =, 0, x запишем выражение для электропроводности, используя опре деление функции Грина e2 e it (5.45) () = e G (t1 ) dt1 = G (), m i m где G () – фурье-трансформа функции Грина (5.44). По скольку, согласно (5.45), фурье-трансформа функции Грина пропорциональна электропроводности, нашей ближайшей за дачей является нахождение величины G (). Для этой цели составим уравнения движения для функции (5.44). Продиффе ренцируем (5.44) по времени t1 :

d G (t1 ) = (t1 ) Sp P 0, X + G (t1 ) + G1 (t1 ), dt1 i P t1 1 iLt G1 (t1 ) = (t1 )e Sp P e 0,. (5.46) i m § 3. Вычисление электропроводности При выводе уравнения движения для функции Грина G мы воспользовались определением производной от тета-функции d (x) = (x) dx и учли, что d iLt [ 0, X ] = eiLt1 iL [0, X ] = e dt ];

X = 1 [ X, H ] = P.

iLt =e [ 0, X i m Последнее равенство в этой формуле обусловлено тем, что опе раторы Гамильтона фононов и электрон-фононного взаимодей ствия коммутируют с оператором координаты электронов.

Легко заметить, что уравнение движения для функции Гри на G (t1 ) содержит новую неизвестную величину G1 (t1 ), для которой также можно составить уравнение движения. Диф ференцируя G1 (t1 ) в формуле (5.46) по времени t1, получаем P d G1 (t1 ) = (t1 ) Sp P 0, + G1 (t1 ) G2 (t1 ), dt1 i m t1 1 eiLt1 0, P G2 (t1 ) = (t1 )e Sp P. (5.47) i m При выводе формул (5.47) мы воспользовались тем, что под знаком шпура можно производить циклическую перестановку операторов:

(5.48) Sp{ABC} = Sp{CAB}.

Это свойство легко доказывается, если воспользоваться опреде лением шпура как суммы диагональных матричных элементов.

В нашем случае использование (5.48) дает P P = Sp P eiLt1 0, iLt Sp P e iL 0,.

m m 284 Глава 5. Теория линейного отклика Уравнение для функции Грина G1 (t1 ) также содержит новую функцию Грина G2 (t1 ). Таким образом, действитель но возникает цепочка «зацепляющихся» уравнений движения для все новых и новых функций Грина и точное нахождение функции G (t1 ) становится невозможным.

Один из возможных подходов для приближенного нахож дения функции Грина состоит в том, что на определенном ша ге производится искусственное замыкание бесконечной цепочки уравнений движения и функция Грина, возникающая на оче редном шаге, выражается через предыдущие функции Грина.

Полученная таким образом система уравнений решается уже по возможности точно. Этот метод расцепления функций Грина достаточно широко используется в теории магнетизма. К сожа лению, при использовании метода расцепления очень трудно оценить сделанные приближения. Обычно это удается сделать, только сравнивая полученные результаты с результатами рас четов другими методами.

Более обоснованным представляется метод массового опера тора, о котором мы упоминали выше. Достоинство этого метода состоит в том, что при его использовании реализуется простая и физически ясная программа. Функция Грина в частотном пред ставлении, как правило, имеет полюса в комплексной плоско сти. Поэтому построение теории возмущений для такой функ ции совершенно бессмысленно. В то же время сами эти полюса могут определяться аналитическими функциями и построение теории возмущения для них вполне возможно.

Рассмотрим, как эту программу можно реализовать на кон кретном примере вычисления электропроводности электронно го газа. Произведем преобразование Фурье уравнений движения для G (t1 ), G1 (t1 ) и т. д. Определяя трансформы Фурье dt1 eit1 G (t1 ), G () = § 3. Вычисление электропроводности dt1 eit1 G1 (t1 ), G1 () = dt1 eit1 G2 (t1 ), (5.49) G2 () = запишем цепочку уравнений движения для функций Грина в частотном представлении (i )G () = n + G1 (), (i )G1 () = G2 (), (5.50).....................................

В выражении (5.50) точками обозначены невыписанные яв но уравнения движения для функций Грина G2 () и т. д.

При выводе уравнений (5.50) мы учли, что 1 Sp{[X, P ]0 } = Sp{P [0, X ]} = i i Sp{[x, p ]0 } = n, = j ij i Sp{P [0, P ]} = 0.

i Решение системы уравнений (5.50) будем искать в виде n (5.51) G () =, i M () где M () – м а с с о в ы й о п е р а т о р. Полюса функ ции Грина (5.51) определяют спектр коллективных возбужде ний электронного газа, связанных с флуктуацией среднего им пульса электронной системы. Название «массовый оператор»

заимствовано из теории элементарных частиц, где энергия эле ментарных возбуждений является синонимом их массы.

Поскольку есть основания считать поправку к спектру эле ментарных возбуждений M () аналитической функцией, мож но попытаться ее найти, используя теорию возмущений. Ма лым параметром, по которому строится теория возмущений, 286 Глава 5. Теория линейного отклика является константа электрон-фононной связи. Функция Грина G1 () пропорциональна первой степени, а G2 () – второй степени этого параметра (доказательство этого важного факта будет приведено ниже).

Для общности результатов рассмотрим решение формаль ной системы зацепляющихся уравнений LG = I1 + G1, (5.52) LG1 = I2 + G2, I (5.53) G=.

LM Смысл введенных обозначений в формулах (5.52), (5.53) совер шенно очевиден, и каждый член в этих формулах легко может быть сопоставлен соответствующему члену в уравнениях (5.50), (5.51).

Подставляя функцию Грина (5.53) в первое из уравнений цепочки (5.52) и решая полученное уравнение относительно M, находим G1 L (5.54) M=.

I1 + G Из второго уравнения (5.52) найдем G1 и подставим в числи тель выражения для массового оператора (5.54). В результа те, учитывая, что функция I1 не содержит взаимодействия, а G1 пропорциональна константе электрон-фононного взаи модействия в первой степени, получаем разложение массового оператора по степеням малого параметра I2 G2 I2 G (5.55) M= + +....

I1 I1 I1 I При вычислении электропроводности функция I1 = n, а I2 = 0, поэтому массовый оператор может быть записан в виде G2 () (5.56) M () =, n § 3. Вычисление электропроводности или в более развернутом виде 1 dt1 e( i)t1 Sp P eiLt1 [ 0, P ]. (5.57) M () = nm i Выясним, какой физический смысл имеет массовый опера тор, определенный соотношением (5.51). Для этого вспомним, что, согласно классической теории электропроводности, высо кочастотная проводимость может быть записана в виде e2 n (5.58) () =.

m 1/ i Сравнение формул (5.45), (5.51) и (5.58) показывает, что они совпадают, если считать, что массовый оператор M () имеет смысл частоты релаксации импульса. Таким образом, как уже отмечалось выше, массовый оператор функции Грина (5.44) описывает спектр элементарных возбуждений, причем в нашем случае действительная часть массового оператора определяет затухание возбуждений, а мнимая (если она существует) – ча стоту собственных колебаний среднего импульса электронной системы.

При вычислении массового оператора по формуле (5.57) вновь встает проблема анализа корреляционной функции и, на первый взгляд, может показаться, что никакого прогресса не достигнуто. На самом деле это не так. Во-первых, массовый оператор M () имеет смысл частоты релаксации среднего импульса и, как показано в главе 4 (см. формулу (4.160)), про порционален квадрату константы электрон-фононного взаимо действия.

Во-вторых, в функции Грина G2 () и массовом операто ре M () уже набран второй порядок по константе электрон фононного взаимодействия, поэтому в статистическом опера торе 0 и операторе эволюции можно опустить гамильтониан Hep, заменив H на H0. Действительно, оператор P, фигури рующий в правой части (5.57), по определению, равен 1 P = [ P, H0 + Hep ] = [P, Hep ] P(l), (5.59) i i 288 Глава 5. Теория линейного отклика поскольку гамильтониан H0 коммутирует с оператором сум марного импульса электронов P.

Коммутатор [ 0, P ], стоящий под знаком шпура в фор муле (5.57), также пропорционален константе взаимодействия электронов с фононами. Это особенно хорошо видно, если ис пользовать тождество Кубо A, eH = d eH [ H, A ] eH eH. (5.60) Для доказательства тождества Кубо введем функцию I() I() = A, eH, (5.61) удовлетворяющую уравнению d I() = A H eH H eH A. (5.62) d Рассмотрим теперь функцию I() eH и найдем производную по от этой функции. Учитывая равенство (5.61), получаем уравнение d I() eH = H, eH A eH (5.63) d с очевидным начальным условием I(0) = 0.

Интегрируя уравнение (5.63) в пределах от 0 до, с учетом начального условия получаем d eH [ H, A ] eH eH, (5.64) I() = что совпадает с формулой (5.60).

Применяя тождество Кубо к коммутатору [0, P ], получаем 1 [ 0, P ] = d P(l) ( i ) 0, i P(l) ( i ) = eH P(l) eH.

(5.65) § 3. Вычисление электропроводности Таким образом, мы показали, что в функции Грина G2 () уже набран второй порядок по взаимодействию и если ограни читься вычислением массового оператора в борновском прибли жении теории рассеяния, то можно опустить оператор взаимо действия Hep в статистическом операторе и операторе эволю ции. Тогда на основании результатов (5.57), (5.59), (5.65) полу чаем 0 1 1 ( i)t1 = dt1 e d P(l) P(l) (t1 + i ), nm 1 H (5.66)... = Sp... e.

Z В дальнейшем ограничим вычисления случаем статическо го внешнего поля, полагая частоту = 0. Теперь интеграл по времени t1 можно распространить до +, поскольку подын тегральная функция в этом случае является четной функцией аргумента t1. Действительно, рассмотрим выражение dSp P(l) (t1 i )P(l) 0 = d P(l) P(l) (t1 + i ) = 0 d Sp P(l) eH0 eH0 P(l) (t1 ) eH0.

(5.67) = Z Вводя новую переменную =, получаем d P(l) P(l) (t1 + i ) = d P(l) P(l) (t1 + i ) = 0 (5.68) = d P(l) P(l) (t1 + i ).

Второе равенство в формуле (5.68) следует из изотропии га мильтониана H0 относительно вращений в координатном про странстве.

290 Глава 5. Теория линейного отклика Учитывая последний результат, выражение (5.66) для мас сового оператора M (0) = 1/ можно записать в виде 1 dt1 e |t1 | d P(l) P(l) (t1 + i ). (5.69) = 2nm Формула (5.69) для обратного времени релаксации импульса электронов проводимости справедлива для любых механизмов рассеяния, поскольку при ее выводе нигде не использовался яв ный вид оператора электрон-фононного рассеяния на продоль ных акустических фононах.

В предыдущей главе мы уже вычисляли время релаксации импульса равновесных электронов 1/0 при рассеянии на про дольных акустических фононах (см. формулу (4.167)). Интерес но сравнить результаты для частоты релаксации среднего им пульса, которые получаются при использовании кинетического уравнения и метода линейного отклика на внешнее возмуща ющее поле (поскольку в этой главе усреднение производится только по равновесному ансамблю, не будем помечать равно весные характеристики дополнительным индексом «0»).

Будем использовать гамильтониан электрон-фононного рас сеяния на продольных акустических фононах (4.76), получен ный в предыдущей главе, записав его в виде E0 q b+ eiq rj, |Cq | = iqrj Сq bq e. (5.70) Hep (rj ) = + q 2s q Для вычисления корреляционной функции, стоящей в формуле (5.69), удобно перейти к представлению вторичного квантования для электронных переменных. Операторы P(l) и P(l) (t1 + i ) представляются в виде суммы одночастичных операторов Pj, Pj(l), P(l) = Hep (ri ) = i j i j Cq q bq eiqrj b+ eiqrj. (5.71) Pj, Hep (rj ) =i Pj(l) = q i q § 3. Вычисление электропроводности Поэтому, пользуясь правилом перехода к представлению вторичного квантования для операторов аддитивного типа [38], имеем P = i Cq q bq k | eiq r | k (l) q, k,k,, b+ k | eiq r | k a+ ak, (5.72) q k где ak, ak – ферми-операторы рождения и уничтожения электронов с волновым вектором k и проекцией спина на ось Z ( = ±1/2 ).

Усреднение в формуле (5.69) производится одновременно по электронным и фононным состояниям и, поскольку оператор H0 уже не содержит взаимодействия электронов с фононами, усреднение по электронным и фононным переменным произво дится независимо. Подставляя результат (5.72) в (5.69) и вычис ляя квантово-статистические средние от произведений операто ров рождения и уничтожения электронов и фононов, получаем 1 dt e |t| |Cq |2 q 2 | k | eiq r | k | = d 6nm 0 q,k,k,, (k k + q )(t+i ) (Nq + 1)fk (1 fk ) ei/ + +| k | eiq r | k |2 Nq fk (1 fk ) ei/ (k k q )(t+i ) (5.73).

При выводе этого выражения мы воспользовались форму лами a+ ak = fk kk, ak a+ = (1 fk ) kk ;

k k a+ a+ = 0;

ak ak = 0, k k a+ (t) = a+ ei/ ak (t) = ak ei/ k t k t (5.74), k k и статистической теоремой Вика – Блоха – Доминисиса [38], согласно которой среднее значение от произвольного числа опе раторов рождения и уничтожения фермионов для систем с га мильтонианом, который может быть представлен в виде k a+ ak, H0 = k k 292 Глава 5. Теория линейного отклика равно сумме всех возможных полных систем спаривания этого произведения. Под спариванием операторов A1 и A2 понима ется среднее значение этих операторов A1... A2 = A1 A2... = Sp{A1 A2 0 } Sp{... 0 }, полной системой с п а р и в а н и я называются такие спаривания, при которых не остается ни одного неспарен ного оператора. При этом получающемуся произведению сред них значений пар операторов рождения (уничтожения) в случае статистики Ферми приписывается знак (1)P, где P – число перестановок операторов рождения (уничтожения), переводя щее исходное расположение операторов в данное. Согласно этой теореме, произведение четырех фермионных операторов можно представить в виде a+ a+ ak a = fk kk f + k (1 fk ) k. (5.75) +fk k Первый член в правой части формулы (5.75), соответствую щий линиям спаривания над операторами рождения (уничто жения), вклада не дает, поскольку оператор взаимодействия обычно определяется так, чтобы он не имел диагональных мат ричных элементов в представлении H0. По этой причине в вы ражении для 1/ фигурирует только второе слагаемое в правой части формулы (5.75), соответствующее линиям спаривания, изображенным снизу.

Дальнейшее вычисление частоты релаксации импульса элек тронов по формуле (5.73) уже не представляет большого труда.

Выполним сначала интегрирование по t и. Пользуясь опре делением дельта-функции 1 1 1 dt e |t| eixt = (x) =, 2i x i x + i § 3. Вычисление электропроводности первый из интегралов в фигурной скобке (5.73) запишем в виде |t | (k k + q )(t+i ) d ei/ dt e = 1 exp{(k k + q )} (k k + q ) = = k k + q = 2 (k k + q ). (5.76) Преобразуя аналогичным образом второй интегральный член формулы (5.73) и производя в нем замену индексов суммирова ния k k, k k, получаем 1 |Cq |2 ( q)2 | k | eiq r | k |2 (Nq + 1) = 6nm qkk fk (1 fk ) + Nq fk (1 fk ) (k k + q ). (5.77) Для доказательства полной идентичности формул (5.77) и (4.160) воспользуемся законом сохранения квазиимпульса k | eiq r | k = k,k+q и формулами (4.158), согласно которым (Nq + 1) fk (1 fk ) = Nq fk (1 fk ), если в системе действует закон сохранения энергии k k + q = 0.


С учетом сделанных выше замечаний выражение для обрат ного времени релаксации импульса приобретает вид 1 ( q)2 |Cq |2 Nq fk (1 fk+q )(k k+q + q ).

= 3nm k, q (5.78) 294 Глава 5. Теория линейного отклика Это выражение полностью эквивалентно полученному ра нее в главе 4 результату (4.160) для обратного времени релак сации среднего импульса равновесных электронов. Некоторое расхождение в обозначениях не должно вводить в заблужде ние, поскольку, как уже указывалось, используемое в этой главе обозначение fk означает равновесную функцию распределения.

Кроме того, мы опустили индекс поляризации фононов, по лагая сразу, что рассеяние происходит на продольных акусти ческих фононах.

Пример вычисления электропроводности показывает, что в тех случаях, когда может быть применено кинетическое урав нение, результаты этого подхода и теории линейной реакции на внешнее механическое возмущение совпадают между собой.

Метод Кубо, однако, обладает большей общностью в том смыс ле, что формальное выражение для кинетических коэффициен тов типа (5.43) сохраняют свой смысл и в области квантующих магнитных полей и не содержат каких-либо предположений о виде спектра электронов и структуре гамильтониана взаимо действия носителей тока с рассеивателями.

Более того, имеется ряд задач физической кинетики, кото рые достаточно трудно решить, используя метод кинетических уравнений, в то время как теория линейной реакции на внешнее возмущение позволяет без труда получить результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом.

Примером такой задачи, рассмотренной в следующем па раграфе, может служить вычисление компонент тензора дина мической парамагнитной восприимчивости электронного газа и определение времени релаксации поперечных компонент спино вой парамагнитной восприимчивости электронов проводимости.

§ 4. Высокочастотная магнитная восприимчивость Пусть имеется система электронов, помещенных во внешнее магнитное поле H Z. Будем полагать, что амплитуда поля является достаточно малой, так что квантования орбитального движения не происходит. Если кроме статического магнитного поля на систему действует еще и слабое радиочастотное поле h, § 4. Высокочастотная магнитная восприимчивость поляризованное в плоскости, перпендикулярной оси Z, то га мильтониан интересующей нас системы можно записать в виде P H(t) = H + HF (t), H = He + Hs + Hp + Hep, He =, 2m Hs = gБ S z | H |, HF (t) = gБ S h(t), S = s, (5.79) j j s – -проекция оператора спина j -го электрона, g – эффек j тивный фактор спектроскопического расщепления для электро нов проводимости, Б – магнетон Бора, S – оператор полно го спина электронов. Гамильтониан Hep описывает взаимодей ствие электронов с рассеивателями, Hp – гамильтониан рас сеивателей. Явный вид этих операторов мы конкретизировать не будем, однако сразу заметим, что оператор Hep, в отличие от оператора электрон-фононного взаимодействия, выведенно го нами в главе 4, должен содержать слагаемые, пропорцио нальные компонентам оператора спина электронов. В случае электрон-фононного и электрон-примесного взаимодействий та кая структура оператора Hep возникает при учете в процессах взаимодействия электронов с рассеивателями спин-орбитального вклада.

Пользуясь теорией линейного отклика системы на внешнее воздействие, развитой в §2 настоящей главы, запишем выра жение для проекции среднего магнитного момента электронов M t m(t) :

(gБ ) dt1 e( i)t Sp S eiLt1 [ 0, S ] h ().

m () = i (5.80) Этот результат непосредственно следует из выражения (5.35), если в него подставить A = B = M = gБ S, F () = h().

Для дальнейшего преобразования выражения (5.80) вос пользуемся тождеством Кубо (5.60), которое теперь запишем 296 Глава 5. Теория линейного отклика в виде 1 [ 0, S ] = d S (i ) 0, (5.81) i и введем удобное обозначение (5.82) ( A, B ) = d Sp A B(i ) 0.

В результате получаем m () = (gБ )2 dt1 e( i)t1 (S, S (t1 ))h ();

(5.83) S = [S, H].

i Уравнение (5.83) фактически определяет тензор магнитной восприимчивости электронного газа, поперечные компоненты которого в круговых переменных m± = mx ± imy ;

h± = hx ± ihy имеют вид (gБ ) dt1 e( i)t (S +, S (t1 )).

(5.84) ± () = Как и в случае электропроводности, компоненты тензора па рамагнитной восприимчивости ± () выражаются через кор реляционную функцию, для вычисления которой можно ис пользовать метод функций Грина.

Если исходить из формулы (5.84), то для вычисления попе речных компонент тензора магнитной восприимчивости целе сообразно ввести функцию Грина ( S +, S (t1 )).

t (5.85) G+ (t1 ) = (t1 ) e § 4. Высокочастотная магнитная восприимчивость Тогда, пользуясь уравнениями движения gБ | H | S = is S + S(l), s =, S(l) = [S, Hep ], (5.86) i можно выразить поперечные компоненты тензора парамагнит ной восприимчивости через функции Грина G+ () и G1 + () (gБ ) (5.87) + () = G1 + () + is G+ (), где dt1 eit1 G1 + (t1 ), G1 + () = dt1 eit1 G+ (t1 ), G+ () = ( S +, S(l) (t1 )).

t (5.88) G1 + (t1 ) = (t1 ) e Выбор вида функции Грина не является однозначным. Если исходить из выражения (5.80), то можно выразить поперечные компоненты тензора магнитной восприимчивости электронного газа через коммутаторную функцию Грина Sp S + eiLt1 [ 0, S ], G+ (t1 ) = (t1 ) e t (5.89) i фурье-трансформа которой также позволяет определить попе речные компоненты парамагнитной восприимчивости:

(gБ ) G+ (). (5.90) + () = В связи с этой неоднозначностью встает закономерный во прос: одинаковыми ли будут конечные результаты вычислений, если исходить из разных представлений (5.85) и (5.89) для функции Грина? Ответ на этот вопрос, как мы убедимся ни же, будет отрицательным. При использовании приближенных 298 Глава 5. Теория линейного отклика методов вычисления функции Грина (5.85) и (5.89) дают каче ственно различающиеся результаты для магнитной восприим чивости, хотя, конечно, при точном вычислении результат не должен зависеть от вида исходной функции Грина.

Применим развитый в предыдущем параграфе метод массо вого оператора для нахождения компонент тензора магнитной восприимчивости + () исходя из определений (5.85) и (5.89) и выясним, в чем состоят различия в получающихся результа тах.

Вначале воспользуемся определением (5.87). Составляя це почку уравнений движения для функции Грина G+ (t1 ) (5.85) и переходя затем к частотному представлению, совершенно ана логично тому, как это было сделано в предыдущем параграфе, получаем i( s + i )G+ () = (S +, S ) + G1 + (), i( s + i )G1 + () = (S +, S ) G2 + (), (l) (5.91)................................................, + dt1 e( i)t (5.92) G2 + () = (S(l), S(l) (t1 )).

Система уравнений (5.91) аналогична формальной системе (5.52). Поэтому, вводя массовый оператор M+ () для функ ции Грина G+ () соотношением (S +, S ) G+ () = (5.93) i( s + i ) M+ () и пользуясь результатами (5.54) (5.55), получаем (S +, S )M+ () G1 + () = (5.94), i( s + i ) M+ () (S +, S(l) ) G2 + () (5.95) M+ () = + + + O(Hep ).

+, S) (S (S, S ) Последний член в правой части формулы (5.95) означает слагаемые, содержащие константу взаимодействия электронов § 4. Высокочастотная магнитная восприимчивость с рассеивателями в степени выше, чем вторая. Вычисляя мас совый оператор в борновском приближении теории рассеяния, будем учитывать только первые два члена в формуле (5.95) и отбрасывать последний.

Подставляя выражения (5.93) и (5.94) в формулу (5.87) для поперечных компонент тензора парамагнитной восприимчиво сти электронов проводимости, получаем (gБ )2 (S +, S ) is + M+ () (5.96) + () =.

i(s i ) + M+ () Для интерпретации смысла членов, входящих в это выра жение, найдем парамагнитную восприимчивость исходя из фе номенологических уравнений движения магнитного момента, предложенных Блохом в 1946 г. Записанная в декартовой си стеме координат эта система уравнений имеет вид d gБ mx [m H]x H = H + h, mx =, dt T my d gБ [m H]y my =, dt T d gБ mz [m H]z m = m 0 H, (5.97) mz =, dt T 0 – статическая магнитная восприимчивость системы. Вели чины T1 и T2 имеют смысл времени релаксации продольных и поперечных компонент спиновой намагниченности, m – сум марный вектор магнитного момента системы. Предполагая, что геометрия внешних полей осталась прежней, перейдем к цикли ческим переменным, для чего второе уравнение системы (5.97) умножим на мнимую единицу и сложим с первым уравнением.

Тогда получим уравнение, содержащее только одну компоненту намагниченности – m+ :

m+ 0 h+ d gБ {m+ H mz h+ } (5.98) m+ =.

dt T Действительно, величина mz, входящая в формулу (5.98), H ( H =| H | ), может быть записана в случае, когда h+ в виде mz = 0 H.

300 Глава 5. Теория линейного отклика Производя преобразование Фурье уравнения (5.98), получа ем уравнение m+ 0 h+ i( s ) m+ () = is 0 h+ (5.99) +.

T2 T Отсюда, пользуясь определением магнитной восприимчивости m+ () = + () h+ (), находим 0 (is + 1/T2 ) (5.100) + () =.

i (s ) + 1/T Выражение для поперечной магнитной восприимчивости (5.100), полученное из феноменологических уравнений Блоха, имеет ту же самую структуру, что и формула (5.96), если при нять, что роль статической восприимчивости играет величина (gБ ) (S +, S ), (5.101) 0 = а роль обратного времени релаксации 2 (), зависящего от ча стоты, играет реальная часть массового оператора = 2 () = Re M+ ().

T Мнимая часть массового оператора при этом описывает сдвиг частоты зеемановской прецессии s за счет взаимодействия с рассеивателями s = Im M+ ().

Интересной особенностью результатов (5.96), (5.100) явля ется то, что они справедливы при высоких и низких частотах. В пределе низких частот 0 высокочастотная парамаг нитная восприимчивость + () переходит в статическую вос приимчивость 0. Этот предельный переход в область малых частот нарушается, если при вычислении парамагнитной вос приимчивости воспользоваться коммутаторной функцией Гри на (5.89).


§ 4. Высокочастотная магнитная восприимчивость Действительно, составляя цепочку уравнений движения для коммутаторной функции Грина в частотном представлении, имеем i( s + i ) G+ () = S z +G1 + (), i 1 [S(l), S + ] G2 + (), (5.102) i( s + i ) G1 + () = i 1 dt1 e( i)t [S(l) (t1 ), S + ], G1 + () = i 1 + dt1 e( i)t G2 + () = [S(l) (t1 ), S(l) ].(5.103) i Решение системы уравнений (5.102) в борновском приближе нии теории рассеяния для массового оператора M+ () имеет вид 2 Sz G+ () = (5.104), i i( s + i ) M+ () [S(l), S + ] G2 + () M+ () = (5.105) +i.

2 Sz 2 Sz Подставляя результат (5.104) в формулу (5.90) для попереч ных компонент тензора магнитной восприимчивости, получаем Sz i (5.106) + () = (gБ ).

i(s i ) + M+ () Для сравнения результатов (5.106) и (5.96) необходимо учесть, что в нулевом порядке по взаимодействию s ( S+, S ) S z = (5.107) и, таким образом, в пределе при 0 выражение + (), определенное с помощью коммутаторной функции Грина, не пе реходит в статическую восприимчивость 0. Результат (5.106) 302 Глава 5. Теория линейного отклика для восприимчивости + () можно получить из феномено логической системы уравнений Блоха (5.97), предварительно испортив структуру релаксационных членов. Легко заметить, что замена m+ 0 h+ m+ T2 T в уравнении (5.98) немедленно приводит к выражению + (), имеющему структуру формулы (5.106). Этот факт позволяет лучше понять, в чем состоит различие результатов (5.106) и (5.96).

Магнитная восприимчивость, определенная формулой (5.96), соответствует тому случаю, когда релаксация магнитного мо мента системы m+ происходит к равновесному значению маг нитного момента 0 h+ в переменном магнитном поле, а фор мула (5.106) описывает релаксацию магнитного момента к ну левому значению поперечной намагниченности. По этой при чине результат (5.106) справедлив только для высоких частот s 2, когда магнитный момент не успевает следовать за полем и можно считать, что релаксация магнитного момента происходит к нулевому значению.

Завершая рассмотрение задачи вычисления парамагнитной восприимчивости электронного газа, докажем соотношение (5.107) и вычислим статическую восприимчивость 0.

Будем исходить из определения корреляционной функции d Sp S + S 1 = + (S, S ) = 0 d Sp S + e S e s S z (1 ) s S z (5.108) =.

Пользуясь коммутационными соотношениями для компо нент оператора полного спина [S, S z ] = ± S, получаем полезное соотношение S eHs = e(Hs s ) S, (5.109) § 4. Высокочастотная магнитная восприимчивость с помощью которого выражение (5.108) может быть преобразо вано следующим образом:

1 exp{ s } (S +, S ) = S + S S z. (5.110) = s s При выводе этого соотношения мы снова воспользовались формулой (5.109), полагая e S + S = Sp S + S Z eHs e s s = 1 = Sp S Z eHs S + e = Sp S S + Z eHs, Z = Sp eHs s и коммутационные соотношения для операторов S +, S [S +, S ] = 2S z.

Теперь не представляет труда вычислить и статическую па рамагнитную восприимчивость электронного газа. Пользуясь определением 0, имеем (gБ )2 + gБ S z, 0 = (S ;

S ) = 2 H sz a+ ak = S z = k k 1 ( a+ ak a+ ak, sz = ±, (5.111) = 2 k k k где стрелками и обозначена ориентация спинового момен та относительно оси Z. Пользуясь формулами (5.74), выразим средние от операторов рождения (уничтожения) электронов че рез функции заполнения электронов fk и fk со спином, ори ентированным вдоль магнитного поля и в противоположном направлении соответственно. Полагая параметр s малым, разложим функции распределения fk и fk по этому пара метру с точностью до линейных членов и, переходя затем от суммирования по волновому вектору k к интегрированию по 304 Глава 5. Теория линейного отклика энергии, получаем стандартную формулу статической парамаг нитной восприимчивости электронного газа 21/2 2 m3/2 f ( ) 1/ Б (5.112) 0 = d.

Для полного вычисления поперечных компонент динамиче ской парамагнитной восприимчивости электронного газа необ ходимо, вообще говоря, рассмотреть вопрос о вычислении мас сового оператора, определяемого формулой (5.95), и частоты релаксации поперечных компонент спиновой намагниченности 2 (). Во втором порядке по взаимодействию Hep величина 2 () определяется действительной частью функции G2 + () и может быть легко вычислена. Принципиально эти вычисления ничем не отличаются от вычисления обратного времени релакса ции среднего импульса электронов в предыдущем параграфе, но они достаточно громоздки и поэтому мы их здесь не приводим.

5.2. Электропроводность в квантующем магнитном поле § 5. Потоки заряда и тепла в квантующем магнитном поле В основу теории термогальваномагнитных явлений, изло женной в предыдущей главе, было положено кинетическое урав нение Больцмана. При изменении внешних условий, таких как температура образца T, напряженность внешнего магнитного поля H, условия применимости квазиклассического описания могут оказаться нарушенными и подход, основанный на кинети ческом уравнении, неприменим. Как показано в § 2 предыдущей главы, если выполняются условия 0 kБ T и 0 p 1, то при построении теории явлений переноса следует учитывать квантование орбитального движения электронов в магнитном поле и возникновение дискретных уровней энергии электронов (уровней Ландау). Наличие дискретного спектра электронов в магнитном поле приводит к ряду особенностей, проявляющихся § 5. Потоки заряда и тепла в квантующем поле в термодинамических и кинетических явлениях. Так, в кван тующем магнитном поле возможны осцилляции термодинами ческих характеристик и термогальваномагнитных коэффици ентов при изменении внешнего магнитного поля, связанные с прохождением очередного уровня Ландау через уровень Ферми (более подробно об этом см. в следующем параграфе).

Кроме этих, достаточно очевидных различий квазикласси ческой и квантовой теории термогальваномагнитных явлений, связанных с перестройкой спектра носителей тока, имеются су щественные различия в определении потоков заряда и тепла.

В предыдущей главе потоки заряда и тепла были определены соотношениями (4.27), (4.28). В квантовой теории аналогами этих формул являются определения J = Sp{J }, JE = Sp{JE }, e (5.113) J = (v N + N v), JE = (J H + H J), 2 2e где – статистический оператор, J и JE – операторы плотно сти электрического тока и плотности потока энергии, v – опера тор скорости носителей тока, H – оператор плотности энергии.

В квантующем магнитном поле эти определения, однако, оказались некорректными. Еще в 50-х гг. прошлого века япон ские физики Касуя и Накаджима обратили внимание на то, что определенные таким образом поток плотности заряда и поток тепла JQ = JE /e J приводят к нарушению соотношения Эйнштейна, согласно которому коэффициенты, стоящие перед градиентом электрического потенциала и градиентом химиче ского потенциала (деленного на заряд электрона), должны быть равны, а также нарушению соотношений симметрии Онсагера.

Фактическая причина нарушения соотношений Эйнштейна была вскрыта в работах П. С. Зырянова и В. П. Силина. Они показали, что в случае пространственно-неоднородных систем в объемную плотность потока заряда при наличии квантующего магнитного поля вносит вклад ток (c rot m), обусловленный за висимостью парамагнитной и диамагнитной восприимчивостей электронного газа от химического потенциала и температуры.

Поэтому ток проводимости Jпр, который должен фигурировать 306 Глава 5. Теория линейного отклика при определении коэффициентов переноса, следует правильно определить, исключив из формулы плотности потока заряда ту часть, которая непосредственно не связана с электропереносом:

Jпр = Sp{J } c rot m, B H = 4 m. (5.114) Поток тепла в квантующем магнитном поле также требует переопределения, поскольку даже в пространственно-однородном случае вклад в поток тепла дает вектор Пойтинга c [E (H B)], который следует вычесть из плотности потока энергии, чтобы получить правильное выражение для потока тепла:

c JQ = JE Jпр [E (H B)]. (5.115) e При наличии пространственной неоднородности в правой части формулы (5.115) возникают дополнительные слагаемые, пропорциональные пространственным производным тока на магниченности c rot m Более подробно с проблемой определения потока заряда и тепла в квантующем магнитном поле и проблемой вычисления термогальваномагнитных коэффициентов можно познакомить ся в обзорной работе [39] и монографии [40]. Там же можно найти и необходимые ссылки на оригинальные работы.

В рамках учебного курса нет никакой возможности изло жить теорию термогальваномагнитных явлений в квантующем магнитном поле в полном объеме. Мы планируем лишь остано виться на проблеме вычисления диагональных и недиагональ ных компонент тензора электропроводности, основываясь на теории линейного отклика Кубо. В этом случае компоненты плотности тока намагниченности c rot m обращаются в нуль и мы возвращаемся к обычному определению тока проводимости (5.113), которым и будем пользоваться в дальнейшем.

§ 6. Динамика движения электрона в магнитном поле § 6. Динамика движения электрона в квантующем магнитном поле Рассмотрим движение электронов в кристалле при наличии внешнего магнитного поля H, параллельном оси Z, которое задается векторным потенциалом A = {H y, 0, 0}, H = rot A.

Как известно, силы, действующие на частицу в магнитном поле, не являются потенциальными. Однако в электромагнитном по ле можно ввести обобщенную потенциальную функцию, завися щую от скорости. Для классической системы функция Лагран жа L свободно движущейся заряженной частицы в электромаг нитном поле может быть записана в виде mv 2 e e + A v. (5.116) L= 2 c Обобщенный (канонический) импульс p вве дем соотношением L e (5.117) p= = mv + A.

v c Поскольку энергия электрона в магнитном поле (без учета спина) есть mv 2 /2, а функция Гамильтона есть энергия, выра женная через обобщенный импульс, для функции Гамильтона H электрона в магнитном поле получаем 0 = (p e/c A), (5.118) H 2m где p = i, поскольку при переходе к квантовому описа нию именно канонический импульс должен быть заменен опе ратором i. Введем понятие к и н е т и ч е с к о г о и м п у л ь с а p = p e/c A. Тогда можно записать 0 = (p), px = i e + Hy, py = i pz = i H y, z.

x 2m c (5.119) 308 Глава 5. Теория линейного отклика Приведем выражения для спектра и собственных функций оператора Гамильтона H. Подробности решения этой задачи можно найти в учебных руководствах по квантовой механике:

kz + 0 (n + ), (5.120) H0 n pz px = n pz n pz px, n,pz = 2m y y = (4l)1/2 ei/ (pz z+px x ) n n pz px, l n (x) = Nn ex /2 Hn (x), где n = 0, 1, 2,... – номер уровня Ландау (мы решили сохра нить традиционное обозначение для нумерации уровней Ландау, хотя ранее этой буквой была обозначена концентрация электро нов). l = ( c/eH)1/2 – магнитная длина, y0 = c/(eH)px, Nn – нормировочный множитель для собственной функции операто ра энергии гармонического осциллятора n (x). Как следует из закона дисперсии (5.120), движение в направлении оси Z оста ется квазисвободным. Квантуется лишь движение в плоскости, перпендикулярной магнитному полю.

Найдем коммутационные соотношения для компонент опе ратора кинетического импульса p :

eH eH [px, py ] = [px + y, py ] = (5.121) [py, y] = i 2.

c c l [px, pz ] = [py, pz ] = [px, y] = [py, x] = [py, z] = [pz, x] = 0, [px, x] = [py, y] = [pz, z] = i. (5.122) Интересной особенностью движения электронов в магнит ном поле является то, что здесь удается выделить медленно меняющиеся переменные X, Y – координаты центра лармо ровской орбиты, которые являются квазиинтегралами движе ния (коммутируют с гамильтонианом H0 ) и координаты отно сительного движения, :

c c X = x, Y = y, = py, px. (5.123) = eH eH § 6. Динамика движения электрона в магнитном поле Легко проверить, что вновь введенные величины удовлетво ряют коммутационным соотношениям [, ] = il2, [X, Y ] = il2, (5.124) а остальные коммутаторы равны нулю:

[, X] = [, X] = [, Y ] = [, Y ] = 0.

Из основных принципов квантовой механики следует, что ес ли два оператора не коммутируют, то физические величины, им соответствующие, одновременно неизмеримы и удовлетворяют принципу неопределенности. Отсюда следует, что Y l2, X положение центра ларморовской орбиты квантуется и в пло щадке порядка l2 может располагаться лишь один центр.

Получим уравнения движения для операторов X и Y, счи тая, что гамильтониан задачи имеет вид H = H0 + U. В даль нейшем в качестве оператора U будет использоваться оператор электрон-фононного или электрон-примесного взаимодействий.

Сначала рассмотрим уравнения движения для компонент кине тического импульса px и py :

1 i i px = [py, px ]py + [U, px ].

[px, H0 + U ] = i m Используя ранее полученные результаты (5.122), получаем eH H0 U px = (5.125).

c py x Совершенно аналогично можно получить и уравнение дви жения для оператора py :

eH H0 U py = (5.126).

c px y 310 Глава 5. Теория линейного отклика Используя определение (5.123) и полученные выше резуль таты (5.125), (5.126), имеем 1 1 1 X = [x, H0 + U ] = [x, H0 ] [, H0 ] [, U ] = i i i i 1 1 c U = [, U ] = [X, U ] =, i i eH y 1 c U (5.127) Y = [Y, U ] =.

i eH x Таким образом, координаты центра ларморовской орбиты изменяются только под действием потенциала возмущений U.

Это позволяет считать величины X и Y медленно меняющими ся физическими величинами. Наличие медленно меняющихся переменных в квантующем магнитном поле радикальным об разом изменяет и методику вычисления кинетических явлений в квантующем магнитном поле.

§ 7. Выражение для компонент тензора электропроводности в квантующем магнитном поле В квантующем магнитном поле нарушаются условия приме нимости кинетического уравнения. Поэтому для анализа элек тропроводности будем использовать выражение (5.43), которое мы получили, используя теорию линейного отклика на слабое механическое возмущение. Применяя для преобразования этого выражения формулу Кубо (5.60) и вводя вместо импульсов P операторы тока, определив их выражением J = eP, получаем 0 de( i)t Sp{J J (t1 + i )0 }. (5.128) = dt Делая замену переменных t1 t1, получаем окончательно de(i )t Sp{J (t1 )J (i )0 }. (5.129) = dt 0 § 7. Тензор электропроводности в квантующем поле Запишем компоненты тока J и J, используя определение координат центра ларморовской орбиты и координат относи тельного движения, которые далее будут пониматься как сум марные величины для всей системы электронов Jx = e( + X), Jy = e( + Y ).

Для упрощения обозначений и сокращения объема формул вве дем так называемое скалярное произведение двух операторов Кубо A;

B(t) (см. также формулу (5.82)), которое в кван тующем магнитном поле является четной функцией времени, если операторы A и B совпадают (доказательство этого заме чательного факта в § 9 настоящей главы):

d Sp{AB(t + i )0 }. (5.130) A, B(t) = Тогда, используя выражение (5.129), для xx (0) на нулевой частоте получаем t dt1 e t xx (0) = dt1 e Jx (t1 ), Jx ) = Jx, Jx (t1 )) = 0 = e2 dt1 e t, (t1 ) +, X(t1 ) + X, (t1 ) + (5.131) + X, X(t1 ).

Покажем, что все члены, кроме последнего, равны нулю.

Для доказательства рассмотрим корреляционную функцию d dte dte t t, (t) =, (t) = dt 0 =, (0) + lim e dte t t (5.132), (t) +, (t).

t 312 Глава 5. Теория линейного отклика При получении выражения (5.132) мы выполнили интегри рование по частям. Пользуясь принципом ослабления корреля ций, согласно которому корреляция между двумя физическими величинами, взятыми в момент времени t1 и t2, ослабевает с увеличением временного интервала t = t1 t2, получаем lim e, (t) e t Sp{0 } Sp{(t)0 } 0.

t (5.133) t Для преобразования последнего выражения в формуле (5.132) воспользуемся теоремой Абеля, согласно которой в термодина мическом пределе справедливо равенство dte t lim, (t) = + = lim, (t) = Sp{0 } Sp{(t)0 } = 0. (5.134) t Обратимся, наконец, к преобразованию первого слагаемого во второй строчке формулы (5.132). Сделав замену переменной интегрирования = / в формуле скалярного произведения (5.130), получим 1 1 } d Sp{1 } =, = = Sp{ d 0 0 0 d Sp{ 1 } = = 0 1 = Sp{[0, ]} = Sp{[, ]0 } = 0. (5.135) i i При получении результата (5.135) мы сделали замену пере менных = 1 и воспользовались формулой Кубо (5.60).

Совершенно аналогично можно доказать, что 1 nc dte, (t) =, = Sp{[, ]0 } = t (5.136) ;

i eH dte dte t t (5.137) X, (t) = 0;

Y, (t) = 0.

0 § 8. Электропроводность при рассеянии на фононах Равенство нулю корреляционных функций в формуле (5.137) следует из того факта, что коммутаторы [X, ] и [Y, ] равны нулю.

Теперь можно вернуться к формуле (5.131) и записать ре зультат для xy (0) и других компонент электропроводности в квантующем магнитном поле. Учитывая результаты (5.134) – (5.137), получаем enc + e2 dt1 e t (5.138) xy = X(t1 ), Y ;

H xx = e2 dt1 e t (5.139) X, X(t1 ) ;

dt1 e t (5.140) yy = e Y, Y (t1 ).

Анализируя полученные результаты, нетрудно заметить, что в квантующем магнитном поле диагональные компоненты xx и yy отличны от нуля только благодаря процессам рассеяния, поскольку, как следует из уравнений движения для этих ве личин (5.127), xx и yy пропорциональны по меньшей мере квадрату константы взаимодействия электронов с рассеивате лями. Недиагональная компонента xy содержит не зависящий от процессов рассеяния бесстолкновительный вклад enc/H и квадратичную по константе взаимодействия электронов с рас сеивателями поправку. Важно отметить, что компоненты тен зора электропроводности в квантующем магнитном поле вы ражаются через корреляционные функции координат центров ларморовских орбит, которые в борновском приближении тео рии рассеяния могут быть непосредственно вычислены.

§ 8. Вычисление электропроводности в случае квазиупругого рассеяния на фононах Рассмотрим вычисление xx и yy в случае квазиупругого рассеяния на фононах, полагая, что оператором U в формулах 314 Глава 5. Теория линейного отклика (5.127) является гамильтониан электрон-фононного взаимодей ствия (4.76).

Чтобы лучше понимать полученные выше результаты для компонент тензора электропроводности в квантующем магнит ном поле, полезно сравнить их с результатами, которые дает метод кинетического уравнения в пределе сильного 0 p (но неквантующего) магнитного поля. На основании формул (4.118), (4.121) и (4.128) получаем e2 n 0 p enc (5.141) xy = ;

m 1 + (0 p )2 H e2 n e2 n p (5.142) xx = 2.

m 1 + (0 p )2 m0 p Таким образом, в пределе сильного магнитного поля, ес ли при разложении знаменателя в формуле (5.141) по малому параметру 1/(0 p )2 оставить только нулевой член разложе ния, кинетическое уравнение для недиагональной компоненты электропроводности дает тот же самый бесстолкновительный вклад, что и формула (5.138).

Выражение для диагональной компоненты (5.142) позво ляет, по крайней мере формально, определить время релаксации импульса в квантующем магнитном поле. Действительно, сравни вая два выражения (5.142) и (5.139), получаем определение для времени релаксации импульса в квантующем магнитном поле:

1 m dt1 e t (5.143) = X, X(t1 ).

p n Проблема вычисления компонент xx и xy тензора элек тропроводности в борновском приближении теории рассеяния по существу сводится к квадратурам, поскольку в этом прибли жении взаимодействием в статистическом операторе и операто ре эволюции можно пренебречь и тогда эти операторы имеют только диагональные матричные элементы на классе собствен ных функций | оператора H0. Поскольку корреляционная § 8. Электропроводность при рассеянии на фононах функция A, B(t) является четной функцией временного ар гумента t, интегрирование по переменной t1 в интеграле(5.143) можно распространить до, сделав пределы симметричны ми. Тогда интегрирование по времени t1 даст -функцию.

Далее квантово-статистическое среднее по электронным и фононным переменным представим в виде Sp{X X(t)0 } = | X | | X(t) | s ( ) f (1 f ) ei/ (5.144).



Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 10 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.