авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 10 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ МЕТАЛЛОВ ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕД Научно-образовательная серия ...»

-- [ Страница 7 ] --

В формуле (5.144) угловые скобки, помеченные индексом s, обозначают квантово-статистическое усреднение по состояниям рассеивателей. При выводе этой формулы мы воспользовались также статистической теоремой Вика – Блоха – Доминисиса (5.75).

Наконец, можно показать (предлагаем это доказательство провести самостоятельно), что |t| dte |t| d Sp{X X(t + i )0 } = Sp{X X(t)0 }.

dte (5.145) Учитывая сказанное, выражение для компоненты xx мож но представить в такой форме:

e2 |t| dE f (E) (E H0 )X(1f (H0 )X(t).

xx = dte 2kБ T (5.146) В этой формуле большие угловые скобки... обозначают квантово-статистическое среднее по фононным переменным и квантово-механическое среднее по одночастичным электрон ным состояниям.

Запишем в явном виде операторы X и X(t). Учитывая, что операторы координаты центра ларморовской орбиты коммути 316 Глава 5. Теория линейного отклика руют с гамильтонианом H0, получаем = il qy Cq bq eiq r Cq b+ eiq r ;

X q q il2 qy Cq bq eiq r eiq t ei/ H0 t X(t) = q Cq b+ eiq r eiq t ei/ H0 t (5.147).

q Подставим эти выражения в выражение (5.146):

e2 l qy | Cq |2 (Nq + 1) xx = dE f (E) kБ T q Sp (E H0 )eiq r 1 f (H0 ) (E H0 q )eiq r + +Nq Sp (E H0 )eiq r 1 f (H0 ) (E H0 + q )eiq r. (5.148) Шпур в формуле (5.148) означает суммирование по полному набору квантовых чисел = {n, px, pz, }, характеризующих состояние электрона в квантующем магнитном поле.

Для дальнейшего преобразования выражения (5.148) учтем два тождества Nq [f (E q ) f (E)] = f (E)[1 f (E q )];

[Nq + 1][f (E + q ) f (E)] = f (E)[1 f (E + q )], (5.149) которые проверяются непосредственной подстановкой функций распределения. С учетом этих соотношений выражение (5.148) можно переписать в более удобной для дальнейших преобразо ваний форме e2 2 f (E q ) f (E) q l4 qy | Cq | xx = dE q kБ T q Nq [Nq + 1] Sp (E H0 )eiq r (E H0 q )eiq r.

(5.150) При выводе этой формулы при преобразовании второго слагаемо го выражения (5.148) сделана замена переменных E + q E.

§ 8. Электропроводность при рассеянии на фононах Полученное выражение справедливо в случае неупругого рассеяния и квазиупругого рассеяния на фононах. В качестве примера рассмотрим упругое рассеяние на фононах. Посколь ку нас интересует только принципиальная сторона вопроса, связанная с методикой вычисления кинетических коэффициен тов в магнитном поле, ограничимся наиболее простым случаем ультраквантового предела, когда в переносе заряда участвуют только электроны самой нижней подзоны Ландау с номером n = 0. В этом случае матричные элементы от операторов экс понент в выражении (5.148) легко вычисляются, и мы имеем 2 q 2 / | 0, pz + qz, px + qx | eiq r | 0, pz, px |2 = el 2 ;

q = qx + qy.

При вычислении шпура по электронным переменным суммы удобно заменить интегралами Lx Lz 2V 2 d px (5.151) d pz d pz.

(2 )2 (2l) Для того чтобы получить последний результат, необходимо учесть кратность вырождения электронных состояний по квантовому числу px. Для подсчета этого числа наложим условие циклич ности на волновую функцию электрона (5.120) по осям X и Z, т. е. потребуем, чтобы координатам x + Lx, z + Lz и x, z соответствовала одна и та же функция. Если учесть реальный вид волновой функции (5.120), то это требование приводит к условию 2 px = nx, pz = nz, Lx Lz где nx и nz – некоторые целые числа. По оси Y не будем нала гать условие цикличности, но потребуем, чтобы решение (5.120) существовало только тогда, когда координата центра ларморов ской орбиты y0 находится в области 0 | y0 | Ly, (5.152) 318 Глава 5. Теория линейного отклика где Ly – размер образца по оси Y (легко проверить, что y0 – это одна из координат центра ларморовской орбиты и y0 = Y ). Та ким образом, максимальное значение координаты центра лар моровской орбиты | y0 |max = Ly. Так как | y0 |= c/(eH)px, нахо дим максимальное значение квантового числа px : px = /l2 Ly.

Тогда интеграл по px в формуле (5.151) равен /l2 Ly и мы получаем последний результат в этой формуле.

Суммирование по волновому вектору фононов также следу ет заменить интегрированием в цилиндрической системе коор динат V V dq (5.153) q d q d qz.

(2)3 (2) q Учитывая сделанные замечания, выражение для статиче ской проводимости xx в случае квазиупругого рассеяния за пишем следующим образом:

2e2 l4 1 f (E) dE qy | Cq | xx = qd q d qz (2)2 E kБ T 2 2 q 2 / E)el d pz (0pz E)(0pz+. (5.154) q (2l)2 qz В целях дальнейшего преобразования выражения (5.154) рассмотрим интеграл d pz q t (0pz E) (0pz+ E). (5.155) I= d qz qz Из закона сохранения энергии следует, что (pz + qz )2 (pz ) =.

2m 2m Поэтому участвующие в рассеянии фононы имеют квазиим пульс qz pz, что позволяет легко оценить продольную со ставляющую волнового вектора фононов, участвующих в рас сеянии, 2mkБ T 1 107 см qz § 8. Электропроводность при рассеянии на фононах для температур, при которых реально проводится эксперимент.

Перпендикулярная составляющая q волнового вектора фо нонов, участвующих в рассеянии, лимитируется обрезающим фактором el q /2, поэтому можно считать, что q 1/l и перпендикулярная со ставляющая волнового вектора фононов, участвующих в рас сеянии, по порядку величины совпадает с обратной магнит ной длиной. Поскольку в квантующем поле магнитная длина l меньше длины волны электрона, будем считать, что выпол няется условие l. В силу сделанных выше оценок, следует, что q qz и q q. Таким образом, интегралы, входящие в выражение I (5.155), могут быть достаточно просто вычисле ны:

p2 E d pz q z + t I= d qz 2m 2 q pz qz 2m z t (5.156) + = q.

E m 2m При выполнении интегрирования дельта-функций полезно использовать известную формулу d (x xi ) (5.157) (x) =, dx x=xi i где xi – это корни уравнения (x) = 0.

Подставляя результат (5.156) в формулу (5.154), получаем следующее выражение для диагональной статической электро проводности e2 l2 kБ T mC f 1 2 q 2 / dq q el 2 t+ dE xx =.

4 3 4 s E E 0 / (5.158) При получении этого результата мы использовали обозначе ние E 2 t Cq =Cq, C=.

2s 320 Глава 5. Теория линейного отклика Для упрощения дальнейших вычислений рассмотрим толь ко случай сильновырожденного электронного газа. Тогда инте грал по энергии вычисляется элементарно, если воспользовать ся аппроксимацией f (E ).

E Интеграл по q, очевидно, сводится к гамма-функции. Поэто му дальнейшее интегрирование не представляет проблем, и мы сразу получаем e2 l2 kБ T mC t+ 1 2 t+ (5.159) xx =.

4 3 4 s 0 /2 l2 Характерной особенностью полученного результата являет ся наличие расходимости в том случае, когда уровень Ферми пересекает подуровень Ландау. Эта особенность возникает из за того, что в квантующем магнитном поле плотность состояний электронов в пространстве энергий имеет корневую особенность на дне каждой подзоны Ландау. Особенно интересные эффекты в квантующем магнитном поле возникают в двумерном метал ле, который легко реализуется в полевом транзисторе. Нобелев ская премия по физике дважды присуждалась за исследование квантового эффекта Холла: в 1985 г. за открытие этого явления и в 1998 г. за открытие и интерпретацию дробного квантового эффекта Холла. Не имея возможности подробнее остановить ся на этой интересной теме, отсылаем читателя к специальной литературе [41].

Задача 5. Получить выражение для плотности состояний в пространстве энер гий для электронов проводимости в квантующем магнитном поле.

Решение Ввести понятие плотности состояний в пространстве энергий про ще всего, используя соотношение (5.160) g(E)dE, n px pz § 8. Электропроводность при рассеянии на фононах смысл которого состоит в том, что полное число состояний электро нов, которое определяется суммой в выражении (5.160), может быть записано также в виде интеграла от плотности состояний g(E) по всем возможным значениям энергии. При таком определении плот ность состояний – это число состояний электронов, попадающих в интервал энергий от E до E + dE в кристалле, объем которого ра вен единице. Чтобы определить число состояний, воспользуемся по лученным ранее результатом (5.151), добавив к нему суммирование по квантовому числу n (5.161) d pz.

(2l)2 n n px pz Для нахождения плотности состояний в формуле (5.161) следу ет перейти от интегрирования по pz к интегрированию по энергии, воспользовавшись определением спектра энергии электронов в кван тующем магнитном поле (5.120):

p z En pz = + 0 (n + 1/2).

2m Производя такую замену переменных интегрирования и сравнивая затем выражения (5.160) и (5.161), получаем 2 2m (5.162) g(E) =.

E 0 (n + 1/2) (2l) n В этой формуле, как и везде ранее, полагается единичный объем об разца. Суммирование по n производится по всем подзонам Ландау, лежащим ниже уровня Ферми. Формула (5.162) справедлива, если E 0 /2, а в интервале энергий 0 E 0 /2 плотность состоя ний равна нулю.

На рис. 31 приведен график плотности состояний электро нов в магнитном поле (кривая б). По оси абсцисс отложена энергия E в единицах 0 /2, а по оси ординат – величина 0 2 2m g(E).

2 (2l) На кривой а для сравнения приведен график плотности состояний электронов в отсутствие магнитного поля.

322 Глава 5. Теория линейного отклика Рис. 31. Плотность состояний электронов проводимости в квантующем магнитном поле Полученный результат указывает на наличие особенности в плот ности состояний на дне каждой подзоны Ландау. В действительности из-за столкновительного уширения уровней Ландау плотность состо яний на дне подзон не растет до бесконечности, оставаясь конечной величиной.

§ 9. Свойства симметрии корреляционных функций Аддитивные законы сохранения и правила отбора для средних Наличие аддитивных законов сохранения приводит к допол нительным правилам отбора для средних.

Пусть состояние системы определяется двумя квантовыми числами k и и в этой системе сохраняется полное число ча стиц a+ ak ;

[N, H] = 0, N= k k § 9. Свойства симметрии корреляционных функций где H – полный гамильтониан системы. Тогда гамильтониан H и статистический оператор 0 инвариантны относительно преобразования H = U + HU, 0 = U + 0 U, U = eiN ;

(5.163) где – произвольное вещественное число. Применяя это преоб разование к операторам рождения (уничтожения) частиц, по лучаем U + a+ U = ei a+.

U + ak U = ei ak, (5.164) k k Рассмотрим квантово-статистическое среднее произвольно го числа операторов рождения (уничтожения) частиц Sp{a+... ak... 0 } = Sp{a+... ak... U + 0 U } = k k Sp{U (a...ak...)U 0 } = e Sp{a+...ak...0 }, + + in (5.165) = k k где n – разность между числом операторов рождения и уничто жения частиц. Сравнивая первое и последнее выражения в фор муле (5.165), замечаем, что поскольку преобразования являют ся тождественными, то должно выполняться условие n = 0, т. е. число операторов рождения должно совпадать с числом операторов уничтожения под знаком шпура. В противном слу чае это квантово-статистическое среднее равно нулю, если вы полняется закон сохранения частиц.

Рассмотренный подход можно применить и при наличии других законов сохранения. В частности, рассмотрим правила отбора, которые накладывает однородность пространства на свойства квантово-статистических средних.

Если пространство однородно, то при отсутствии внешних сил сохраняется импульс системы ka+ ak P= k k и, следовательно, гамильтониан системы и статистический опе ратор коммутируют с оператором полного импульса. Поэтому 324 Глава 5. Теория линейного отклика можно определить оператор канонического преобразования U, оставляющий инвариантными гамильтониан и статистический оператор 0, H = U + HU, 0 = U + 0 U, U = eiP ;

(5.166) где – произвольный вектор.

Рассмотрим снова квантово-статистическое среднее от про извольного набора операторов рождения (уничтожения) ча стиц. Повторяя проведенные выше выкладки (5.165) с опера тором канонического преобразования, определенным формулой (5.166), получаем условие (k+...k +...) ei (5.167) = 1.

Если это условие не выполняется, то Sp{a+... ak... 0 } = 0.

k Это условие имеет простой физический смысл: если в системе сохраняется полный импульс частиц, то суммарный квазиим пульс рожденных частиц должен быть равен суммарному ква зиимпульсу частиц уничтоженных. Аналогичные правила отбо ра можно получить и при наличии других законов сохранения (например момента количества движения, спина и т. д.).

Роль вырождения энергетических уровней в статистической физике Из квантовой механики хорошо известно, что при наличии вырождения энергетических уровней приемы вычисления сред них для операторов динамических величин существенно услож няются. Казалось бы, в статистической механике вырожденные и невырожденные состояния рассматриваются совершенно оди наково. Однако в действительности это совсем не так. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим проблему вычисления продоль ной компоненты тензора статической магнитной восприимчи вости zz. Используя результаты теории линейного отклика § 9. Свойства симметрии корреляционных функций (5.80), выражение для продольной статической восприимчиво сти электронного газа запишем следующим образом:

(gБ )2 t Sp S z eiLt1 [ 0, S z ]. (5.168) zz = dt1 e i Если гамильтониан H0, который входит в определение рав новесного статистического оператора 0, не зависит от попе речных компонент спина S +, S, то статистический оператор коммутирует с оператором S z и мы получаем неразумный ре зультат: zz = 0. Казалось бы, этот результат непосредственно следует из условия сохранения z - компоненты полного спина.

В действительности мы имеем здесь дело со случаем вырожде ния энергетических уровней в квантовой статистической меха нике и средние от операторов динамических величин должны заменяться квазисредними. К в а з и с р е д н и е определяют ся следующим образом:

1) производится замена гамильтониана H0 на гамильтониан H0 + uH, где добавка выбирается таким образом, чтобы снять вырождение;

2) вычисляются интересующие нас квантово-статистические средние;

3) после выполнения термодинамического предельного пе рехода выполняется предельный переход u 0.

Таким образом, правильно вычисленным значением сред него для произвольного динамического оператора A является предел A = lim Sp{A e(H0 +uH ) }. (5.169) Z u Вернемся теперь к анализу проблемы вычисления продоль ной магнитной восприимчивости с позиций квазисредних. Бу дем полагать, что в гамильтониан введена бесконечно малая поправка, которая снимает вырождение относительно поворо тов вокруг оси Z в пространстве спинов. В этом случае уже 326 Глава 5. Теория линейного отклика нельзя считать априори, что [ 0, S z ] = 0. Поэтому для пре образования этого коммутатора воспользуемся формулой Кубо (5.81) и запишем его в следующем виде:

d S z 1.

[ 0, S z ] = (5.170) 0 i Подставляя это выражение в формулу (5.168), получаем 0 2 t d Sp S z S z (t1 + i )0. (5.171) zz = (gБ ) dt1 e Выполняя в этом выражении интегрирование по частям по пе ременной t1, получаем d Sp S z S z (i ) zz = (gБ ) 1 (gБ )2 t Sp S z S z (t1 + i )0. (5.172) d dt1 e Используя теорему Абеля dt e t f (t) = lim f (t) lim 0 t для преобразования второго слагаемого в последней формуле, окончательно получаем d Sp S z S z (i ) zz = (gБ ) (gБ ) Sp{S z 0 } Sp{S z 0 }. (5.173) Используя стандартное обозначение Sp{S z 0 } = S z, § 9. Свойства симметрии корреляционных функций полученный результат запишем более компактно:

d (S z S z )(S z (i ) S z ). (5.174) zz = (gБ ) Для газа невзаимодействующих электронов H0 = gБ S z H, поэтому S z (i ) = S z. Тогда полученный результат допускает дальнейшее упрощение, и мы получаем формулу, совпадающую с классическим определением магнитной восприимчивости zz = (gБ )2 Sz Sz, (5.175) Sz = Sz Sz.

где Свойства симметрии корреляционных функций при операциях пространственного вращения, комплексного сопряжения и обращения времени Свойства симметрии корреляционных функций при опера циях пространственного вращения, комплексного сопряжения и обращения времени рассмотрим на примере корреляцион ной функции, определяющей компоненты электропроводности в квантующем магнитном поле:

dte t I (t), = (5.176) I (t) = d J (t)J (i ).

Рассмотрим вначале свойства симметрии корреляционной функции I (t) при операциях пространственного вращения системы координат. Если гамильтониан системы инвариантен относительно вращения вокруг выделенной оси, то корреля ционная функция I (t) при таких преобразованиях коорди нат преобразуется как произведение компонент импульса P P.

328 Глава 5. Теория линейного отклика В частности, если магнитное поле H = 0, для кристаллов ку бической симметрии получаем Ixx (t) = Iyy (t) = Izz (t), (5.177) Ixy (t) = Iyz (t) = Ixz (t) = 0.

Таким образом, в этом случае все диагональные компоненты равны между собой, а недиагональные обращаются в нуль.

Во внешнем магнитном поле применение этого же принципа приводит к такому результату:

Ixy (t) = Iyx (t), (5.178) Ixx (t) = Iyy (t);

а все остальные недиагональные компоненты равны нулю. Нес колько слов следует сказать относительно компоненты Izz (t) в квантующем магнитном поле. Поскольку в этом случае дви жение вдоль оси Z остается квазисвободным, для вычисления продольной составляющей тензора электропроводности следует использовать методику, развитую в § 3 настоящей главы.

Найдем соотношения, которым удовлетворяет корреляцион ная функция I (t) при операции комплексного сопряжения.

Если корреляционная функция по своему смыслу является дей ствительной величиной, то при операции комплексного сопря жения могут получиться дополнительные соотношения, кото рым должна удовлетворять корреляционная функция.

Рассмотрим вначале применение операции комплексного со пряжения к шпуру двух операторов Sp{AB} = n|A|m m|B|n = nm n A m d m B n d2 = Sp{B + A+ }.

(5.179) = nm В формуле (5.179) B + означает эрмитово-сопряженный опера тор.

§ 9. Свойства симметрии корреляционных функций Применяя найденное соотношение для корреляционной функ ции I (t), получаем + I (t) = J (t)+ = d Sp J (i ) (5.180) = d Sp 0 J (i )J (t).

При выводе этого соотношения мы учли, что статистический оператор 0 является самосопряженным оператором и + = 0.

Оператор тока также является самосопряженным оператором и поэтому он удовлетворяет соотношению J (t + i )+ = J (t i ).

Выполняя в последнем интеграле формулы (5.180) замену переменных интегрирования =, получаем I (t) = I (t). (5.181) Таким образом, мы показали, что корреляционная функция I (t) является действительной величиной.

Рассмотрим свойства симметрии корреляционных функций относительно операции обращения времени.

Симметрия движения по отношению к изменению знака вре мени проявляется в квантовой механике в том, что если функ ция есть волновая функция некоторого стационарного состо яния, то обращенная во времени волновая функция, которую мы обозначим как, описывает также некоторое возможное состояние с той же энергией.

Рассмотрим уравнение Шредингера (5.182) i = H.

t Если гамильтониан инвариантен относительно операции обра щения времени, то, обращая время, получаем другое уравнение i (5.183) = H, t 330 Глава 5. Теория линейного отклика которое очень походит на уравнение, комплексно сопряженное уравнению (5.182), = H.

i (5.184) t Сравнивая уравнения (5.183) и (5.184), попробуем опреде лить оператор, который бы играл роль оператора обращения времени. Пусть имеется некоторый унитарный оператор O, удовлетворяющий условиям OH = HO, O 1 O = 1, O 1 = O +.

Подействуем этим оператором на уравнение (5.184) O = HO.

i (5.185) t Сравнивая это уравнение с уравнением (5.183), находим, что O K =.

Величину K = OK0, где K0 – оператор комплексного сопря жения, можно назвать оператором обращения времени.

Явный вид оператора O зависит от конкретного выбора га мильтониана. Если оператор Гамильтона имеет вид 1 e P A gБ rot A + V (r), (5.186) 2m c то оператор O можно выбрать в виде O = iy OA, где оператор OA изменяет знак векторного потенциала и на правление магнитного поля на противоположное.

Легко проверить, что для оператора O = iy OA выполня ется свойство OH = HO для гамильтониана (5.186). Для пер вого и третьего слагаемого гамильтониана (5.186) выполнение свойства OH = HO очевидно. Для того чтобы убедиться в § 9. Свойства симметрии корреляционных функций выполнении этого свойства для второго слагаемого гамильто ниана (5.186), достаточно заметить, что iy = iy, поскольку матрицы Паули 0 i 1 1 01 x =, y =, z = 0 10 i 2 2 антикоммутируют:

x y + y x = 0, y z + z y = 0, и выполняется очевидное соотношение iy y = y iy.

Таким образом, в интересующем нас случае оператор обра щения времени K имеет вид K0 = K0, O 1 = O +, (5.187) K = OK0 = iy OA K0 ;

причем оператор K0 производит операцию комплексного со пряжения, а оператор OA меняет знак A A или H H.

Найдем свойства симметрии корреляционных функций, ко торые возникают благодаря инвариантности гамильтониана от носительно операции обращения времени. Сначала рассмотрим матричный элемент оператора n |K 1 AK|m = n |(O + AO) |m = = n |O + AO|m = On |A|Om = Kn |A|Km. (5.188) Таким образом, мы доказали, что n |K 1 AK|m = Kn |A|Km.

Обобщая этот результат, для шпура двух операторов запишем следующее соотношение:

= Sp{A B } (5.189) Sp{AB}.

H H При выводе формулы (5.189) мы учли, что численное значение шпура не зависит от того, по какой полной системе собствен ных функций он вычисляется: или и воспользовались 332 Глава 5. Теория линейного отклика обозначением K 1 AK = A. Нижний индекс H или H у корреляционных функций служит лишь для напоминания (опе рация смены знака направления магнитного поля включена в оператор обращения времени).

Используя последовательно соотношения (5.179) и (5.189), получим еще одно полезное соотношение = Sp{B + A+ } (5.190) Sp{AB}.

H H Применяя соотношение (5.190) к корреляционной функции I (t), получаем + +, + = 0, I (t)H = d Sp J (t + i )0 J H + + = J (t i ), J = J. (5.191) J (t + i ) Тогда d Sp{0 J (t i )J } I (t)H = = H d Sp{J J (t + i )0 } (5.192) = = I (t)H H Соотношение (5.192), если учесть определение (5.176), поз воляет записать соотношение симметрии Онсагера для компо нент тензора электропроводности в магнитном поле (5.193) (H) = (H).

Обобщая этот результат, для компонент обобщенной восприим чивости AB, получаем (5.194) AB (H) = A B BA (H), где величины A и B равны ±1 в зависимости от четности операторов A и B при операции обращения времени.

§ 9. Свойства симметрии корреляционных функций Из соотношений (5.192), (5.193) следует, что диагональные компоненты тензора электропроводности могут содержать лишь четные степени магнитного поля.

Используя свойства симметрии операторов тока относитель но операции обращения времени, запишем еще одно полезное соотношение (5.195) I (t)H = I (t)H.

Для доказательства этого соотношения рассмотрим корреляци онную функцию I (t)H :

d Sp{J J (t + i )0 } I (t)H = = H d Sp{(J J (t + i )0 ) } = = H m |O + J J (t = d +i )0 O|m = H 0 m Km |J J (t + i )0 |Km = d = H 0 m = I (t).

d Sp{J J (t + i )0 } (5.196) = H H Учитывая равенство (5.181), легко получаем результат (5.195).

Поскольку диагональные компоненты корреляционной функ ции I (t) четны по магнитному полю, то отсюда следует, что (5.197) Ixx (t) = Ixx (t), Iyy (t) = Iyy (t), Izz (t) = Izz (t).

Глава МЕТОД НЕРАВНОВЕСНОГО СТАТИСТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА 6.1. Неравновесный и квазиравновесный статистические операторы § 1. Квазиравновесное распределение В этой главе будет рассмотрен метод неравновесного стати стического оператора (НСО), который идейно связан с методом проекционных операторов Мори. Метод НСО активно разви вался в работах Д. Н. Зубарева и В. П. Калашникова. Доста точно полный обзор ранних работ этих авторов по методу НСО содержится в книгах [36, 37]. Для знакомства с методом мож но рекомендовать также монографию Г. Рёпке [42], в которой, к сожалению, приведено слишком мало примеров применения метода НСО для решения прикладных задач. Обзор более позд них работ, содержащих современное развитие этого достаточно перспективного метода, можно найти в книге [43].

Мы не претендуем на то, чтобы дать достаточно полный и современный обзор работ по использованию метода НСО для решения задач физической кинетики. Нашей целью является желание обратить внимание читателей, и в первую очередь сту дентов, на простой, современный, сравнимый по общности с ки нетическим уравнением метод НСО, который, тем не менее, еще не нашел должного практического применения.

Эволюцию во времени неравновесного состояния макроско пической системы можно описать с помощью неравновесного статистического оператора (t, 0), удовлетворяющего уравне нию Лиувилля (5.19):

[A, H] A.

(6.1) ( + iL)(t, 0) = 0, iLA = t i § 1. Квазиравновесное распределение В уравнении (6.1) величина (t, 0) имеет два временных ар гумента. Первый временной аргумент описывает зависимость статистического оператора от времени t, связанную с явной за висимостью параметров от величины t. Например, это может быть зависимость температуры, дрейфовой скорости и т. д. от времени. Второй временной аргумент t – это обычная гайзен берговская зависимость оператора от времени, при этом, по скольку (t) является интегралом движения, (6.2) (t, t) = exp{iLt}(t, 0) = (0, 0).

Уравнение Лиувилля в этих обозначениях можно записать также в виде d(t, t) (6.3) = 0.

dt Если в начальный момент времени t0 статистический опе ратор известен и равен (t0, 0), то решение задачи Коши для НСО определяется выражением (t, 0) = exp{iL(t t0 }(t0, 0), (6.4) а временная зависимость средних для оператора некоторой фи зической величины А имеет вид A t = Sp{A(t, 0)} = Sp{(t0, 0) exp{iL(t t0 }A}. (6.5) При выводе последнего соотношения мы воспользовались цик лической перестановочностью операторов под знаком шпура и выражением (5.20) для оператора гайзенберговской эволюции.

Следует отметить, что приведенные выше соотношения отно сятся к частному случаю систем, гамильтониан которых не за висит от времени.

Формулы (6.2) – (6.5) соответствуют точному динамическо му описанию системы, которое, как это следует из результатов предыдущих глав, является ненаблюдаемым для систем со сла бой устойчивостью. Предположим, что начиная с некоторого момента времени, которое порядка времени размешивания в системе, измеримыми величинами для исследуемой системы 336 Глава 6. Метод НСО будут средние значения Pn t некоторой совокупности операто ров Pn. По этой причине можно предполагать, что по истечении времени в системе исчезнет память о начальном распределе нии (t0, 0) и эволюция системы будет определяться только ее общими статистическими свойствами.

Тогда для рассмотрения достаточно далекой асимптотики можно вообще не рассматривать те корреляции, которые t распадаются за время t. Эта идея, высказанная Н. Н. Бо голюбовым, лежит в основе метода НСО. Если мы её примем, то истинное начальное условие для уравнения Лиувилля lim (t) = (t0 ) tt (которое, кстати, мы все равно не знаем ) можно без ущерба заменить идеализированным условием, состоящим в том, что и в начальный момент времени НСО считается функционалом только от тех же переменных Pn t, которые оказываются дол гоживущими или измеримыми на временах t. Поэтому, как следует из решения уравнения Лиувилля (6.4), (t, 0) будет функционалом от Pn t и во все последующие моменты времени.

Обсудим теперь другое важнейшее положение излагаемого метода. Пусть мы имеем систему, состояние которой на инте ресующем нас этапе эволюции описывается набором средних (измеримых) величин Pn t. Наряду с неравновесным стати стическим оператором (t, 0) введем квазиравновесный стати стический оператор (t, 0), эквивалентный НСО в том смыс ле, что средние значения операторов Pn равны между собой во все моменты времени для равновесного и квазиравновесного распределений:

t (6.6) Pn = Sp{Pn (t, 0)} = Sp{Pn (t, 0)}.

Условие (6.6) является новым предположением и не следует из той программы построения теории необратимых явлений, кото рая обсуждалась в предыдущей главе. Мы отложим выяснение физического смысла этого условия и рассмотрим его несколь ко позже в этой главе после вывода явного выражения для квазиравновесного распределения. Сейчас лишь отметим, что § 1. Квазиравновесное распределение условие (6.6) позволяет построить термодинамику неравновес ной системы.

Смысл квазиравновесного распределения будет выясняться по мере изложения. Исходя из того, что такое распределение ввести можно и что это распределение будет некоторым функ ционалом от средних значений наблюдаемых величин Pn t, бу дем считать, что распределение (t, 0) является функционалом от наблюдаемых средних Pn t, взятых в один и тот же момент времени t. Тогда, считая, что (t, 0) зависит от времени только через зависимость средних Pn t от времени, получаем (t, 0) (t, 0) Pn t. (6.7) = t t t Pn n Уравнение (6.7) позволяет дать еще одну интерпретацию операторов Pn. Эти операторы являются базисными оператора ми в гильбертовом пространстве и эволюция во времени любого оператора может быть выражена через эволюцию совокупно сти базисных операторов. Из уравнения (6.7) следует, что ква зиравновесное распределение не удовлетворяет уравнению Ли увилля. Выражение для производной по времени для величин Pn t можно получить, если воспользоваться уравнением (6.6).

Дифференцируя это уравнение по времени с учетом уравнения Лиувилля (5.19), получаем t Pn = Pn t. (6.8) t При выводе последнего выражения мы воспользовались опре делением оператора Лиувилля (5.18) и учли, что = Sp{Pn iL(t, 0)} = Sp{Pn (t, 0)}.

t (6.9) Pn Уравнение (6.8) можно рассматривать как обобщенное ки нетическое уравнение. В частности, это уравнение может иметь смысл уравнения для одночастичной функции распределения, если величина Pk = a+ ak, где a+, ak – операторы рожде k k ния и уничтожения частицы, например электрона, в некотором состоянии k.

338 Глава 6. Метод НСО Для того чтобы сделать еще один шаг в понимании смыс ла введенного квазиравновесного распределения, вычислим эн тропию системы, предполагая, что квазиравновесный ансамбль систем удалось приготовить. Определим энтропию квазиравно весной системы выражением S(t) = Sp{(t, 0) ln (t, 0)}, (6.10) а величину S(t) = ln (t, 0) (6.11) будем называть оператором энтропии.

Найдем производство энтропии в системе. Термин «произ водство энтропии» заимствован из феноменологической термо динамики необратимых процессов [5] и означает производную по времени от среднего значения энтропии системы. Для равно весных систем производство энтропии равно нулю, а для нерав новесной – положительно. Дифференцируя уравнение (6.10) по времени, получаем d S(t) = Sp{(t, 0) ln (t, 0)} = Sp{S(t, 0)(t, 0)}, (6.12) dt (6.13) S(t, 0) = + iL S(t, 0).

t При выводе формулы (6.12) мы учли, что, как это будет пока зано в следующем параграфе, ln (t, 0) является линейным по операторам Pn, и поэтому Sp{(t, 0) ln (t, 0)} = Sp{(t, 0) ln (t, 0)}.

Величину S(t, 0) будем называть оператором производства энтропии.

Поскольку S(t) также является функционалом от Pn t, то, используя выражение (6.8), получаем S(t) S(t) t (6.14) = Pn.

Pn t t n Вводя обозначение § 2. Экстремальность квазиравновесного ансамбля S(t) Fn (t), (6.15) Pn t для производства энтропии получаем простое уравнение S(t) Fn (t) Pn t, (6.16) = t n которое совпадает по форме с производством энтропии в фе номенологической неравновесной термодинамике Онсагера [5].

Знак в формуле (6.15) означает функциональную производ ную. Согласно Онсагеру, производство энтропии в системе рав но сумме произведений обобщенной термодинамической силы на сопряженный термодинамический поток. Выражение (6.16) как раз имеет такую структуру и позволяет интерпретировать величину Fn (t) как обобщенную термодинамическую силу, а Pn t – как обобщенный термодинамический поток.

§ 2. Экстремальные свойства квазиравновесного распределения и термодинамика квазиравновесного ансамбля Интересно выяснить, каким должен быть явный вид квази равновесного распределения. Ясно, что определение (t) может быть неоднозначным, поскольку пока к этому распределению предъявляется одно требование, оно должно быть функцио налом от Pn t. Выражение (6.10), задающее связь квазирав новесного распределения с энтропией, позволяет однозначным образом определить (t). Именно потребуем, чтобы (t) удо влетворял максимуму информационной энтропии S(t) = Sp{(t, 0) ln (t, 0)} при дополнительных условиях: а) как бы ни варьировалось рас пределение, наблюдаемые средние значения базисных операто ров должны оставаться неизменными:

Sp{Pn (t, 0)} = Pn t ;

(6.17) 340 Глава 6. Метод НСО б) при вариации распределения должно сохраняться условие нормировки (6.18) Sp{(t, 0)} = 1.

Условия экстремальности выражения (6.10) совместно с огра ничениями (6.17), (6.18), накладываемыми на возможные вари ации (t, 0), ставят задачу на условный экстремум функциона ла S(t).

Хорошо известно, что задача на условный экстремум функ ционала S(t) с помощью введения лагранжевых множителей может быть сведена к задаче на безусловный экстремум неко торого другого функционала (t) :

= Sp{ ln } Fn (t)Sp{Pn } [(t) 1]Sp{}. (6.19) n В выражении (6.19) Fn (t) и [(t) 1] лагранжевы множи тели. Вычисляя вариацию по левой и правой частям выра жения (6.19), получаем = Sp{[ln + (6.20) Fn (t)Pn + (t)]}.

n Из условия экстремальности следует, что = 0. Поэто му, учитывая, что величина является произвольной, а шпур в правой части формулы (6.20) все равно должен быть равен нулю, имеем (6.21) ln + Fn (t)Pn + (t) = 0.

n Из формулы (6.21) уже легко получить явный вид квазиравно весного статистического оператора:

(6.22) (t) = exp{[(t) + Fn (t)Pn ]}.

n В выражении (6.22) лагранжевы множители еще не опреде лены, и для их нахождения необходимо использовать уравнения § 2. Экстремальность квазиравновесного ансамбля (6.17), (6.18). Чтобы лучше понять смысл параметров, входя щих в определение (6.22), сравним его с каноническим распре делением Гиббса exp{(H N )}. (6.23) 0 = Z В этом выражении Z статистическая сумма, химический потенциал системы, H и N операторы Гамильтона и числа частиц, обратная температура в энергетических единицах.

Из сравнений формул (6.22), (6.23) следует, что равновесное распределение – это распределение с заданным значением энер гии и числа частиц, а квазиравновесное – это распределение с заданным значением средних Pn t. Величина (t) в выраже нии (6.22) носит название функционала Масье – Планка и, как и статистическая сумма Z, определяется условием нормировки (6.24) (t) = ln Sp{exp{ Pn Fn (t)}}.

n Выбор параметров Pn и функций Fn (t) зависит от кон кретной задачи. В частном случае гидродинамического режи ма, когда измеримыми величинами являются энергия системы, дрейфовый импульс и число частиц, набор операторов Pn и со пряженных им термодинамических функций Fn (t) может быть выбран следующим образом:

Операторы H P N Термодинамические функции (t) (t)mV (t) (t)(t) Здесь P оператор суммарного импульса частиц системы, V их дрейфовая скорость, m масса.

Перейдем теперь к построению термодинамики квазиравно весного распределения.

Используя определения (6.10) и (6.22), запишем выражение для энтропии системы Pn t Fn (t). (6.25) S(t) = (t) + n 342 Глава 6. Метод НСО Это уравнение можно рассматривать как преобразование Ле жандра – переход от одного термодинамического потенциала к другому (от (t) к S(t) ) для неравновесной системы. Это становится совершенно очевидным, если произвести вариацию функционала Масье – Планка (6.24):

(t) = ln Sp{exp{ Pn Fn (t)}} = n Pn Fn (t)}}] = [Sp{exp{ Sp{Pm Fm (t) n m exp{ Pn Fn (t)}} = Pm t Fm (t). (6.26) n m Последнее выражение в правой части формулы (6.26) записано с учетом соотношений (6.6), (6.22), (6.24).

С другой стороны, используя определение энтропии (6.25) и явный вид квазиравновесного распределения (6.22), получаем ( Pn t Fn (t) + Pn t Fn (t)). (6.27) S(t) = (t) + n Подставляя в эту формулу значение (t), определяемое выра жением (6.26), получаем Fn (t) Pn t. (6.28) S(t) = n Соотношения (6.26), (6.28) можно интерпретировать следу ющим образом: при записи энтропии роль независимых пере менных играют величины Pn t, а при записи функционала Масье Планка величины Fn (t).

Полученные результаты позволяют обобщить соотношения Гиббса – Гельмгольца на случай неравновесной термодинами ки. Вычисляя функциональную производную от функционала Масье – Планка и используя уравнение (6.26), имеем (t) = t (6.29) Pm.

Fm (t) § 2. Экстремальность квазиравновесного ансамбля Подставляя этот результат в выражение для энтропии, полу чаем обобщение соотношений Гиббса – Гельмгольца на случай неравновесной термодинамики:

(t) S(t) = (t) (6.30) Fm (t).

Fm (t) m Эта формула выражает энтропию системы через функционал Масье – Планка. Легко можно получить и обратное соотноше ние. Действительно, из выражения для вариации энтропии по лучаем S(t) (6.31) Fn (t) =.

Pn t Тогда формула для энтропии вновь дает S(t) (t) = S(t) Pn t. (6.32) t Pn m Отличие этих соотношений от их равновесных аналогов сводит ся только к замене частных производных на функциональные.

Для понимания смысла квазиравновесного распределения (t) очень важно выяснить, можно ли использовать это рас пределение для описания неравновесных процессов?

Вычислим производство энтропии в квазиравновесном со стоянии. Усредняя оператор производства энтропии (6.13) по квазиравновесному распределению, получаем t (6.33) S(t) = Sp{(t)[(t) + Pn Fn (t) + Pn Fn (t)]}.

q n n Учитывая соотношение (6.26), получаем (t) = Pm t Fm (t).

m Подставляя этот результат в выражение (6.33), находим [(Pn Pn t )Fn (t) + Pn Fn (t)]} = t S(t) = Sp{(t) q n (Sp{(t)Pn } Pn t )Fn (t) + Sp{(t)iLS(t)} = 0. (6.34) = n 344 Глава 6. Метод НСО При выводе последнего соотношения мы учли, что (t) и опе ратор энтропии S(t) коммутируют между собой, и поэтому Sp{(t)iL S(t)} = 0.

Таким образом, производство энтропии в квазиравновесном состоянии равно нулю. Это означает, что в квазиравновесном состоянии отсутствуют потоки и такое распределение не может описать неравновесное состояние системы. Суммируя все ска занное, можно заметить, что квазиравновесное распределение характеризует ансамбль, в котором имеющиеся термодинами ческие силы как бы скомпенсированы некими причинами и по этому термодинамические потоки не развиваются.

Можно встать и на такую точку зрения. Квазиравновесное распределение описывает только что сформированный нерав новесный ансамбль частиц, эволюция которого только начи нается, поэтому термодинамические потоки еще не развились.

Очевидно, что квазиравновесное распределение можно исполь зовать в качестве начального условия для истинного неравно весного распределения, что мы и предполагаем сделать в даль нейшем.

В завершение параграфа найдем связь между вторыми функ циональными производными от потенциалов S(t) и (t) и кор реляционными функциями по квазиравновесному состоянию:

2 (t) Pm t = = Fn (t) Fn (t)Fm (t) (6.35) = Sp{Pm exp{[(t) + Pk Fk (t)]}}.

Fn (t) k Сделаем небольшое математическое отступление и вычис лим производную по параметру от операторной экспоненты.

Рассмотрим вначале более простой вопрос о разложении экс поненты exp{(A + B)t} в степенной ряд. Здесь A и B – не коммутирующие между со бой операторы, а t некоторый параметр. Введем обозначения:

§ 2. Экстремальность квазиравновесного ансамбля exp{(A + B)t}, D(t) G(t) exp(At).

Составим уравнение движения для функции D(t) :

dD(t) dG(t) exp(At) + G(t)A exp(At). (6.36) = (A + B)D(t) = dt dt Оператор A коммутирует с операторной экспонентой exp(At).

Поэтому второе равенство в выражении (2.36) можно записать в виде dG(t) (A + B)D(t) = exp(At) + D(t)A.

dt A + B тоже коммутирует с D(t) и поэтому (A + B)D(t) = D(t)(A + B).

Подставляя этот результат в формулу (6.36) и сокращая оди наковые члены, получаем dG(t) D(t)B = exp(At), dt dG(t) или (6.37) = exp{(A + B)t}B exp{At}.

dt Учитывая, что exp{(A + B)t} = G(t) exp(At) и используя последнее уравнение, получаем d ln G(t1 ) = exp(At1 )B exp(At1 ) dt1.

Интегрируя это дифференциальное уравнение с учетом гранич ного условия G(0) = 1, ln G(0) = 0, получаем t (6.38) G(t) = exp{ exp(A)B exp(A) d}, t exp{(A + B)t} = exp{ exp(A)B exp(A)d} exp(At).

346 Глава 6. Метод НСО Если оператор B мал (малость оператора понимается как малость соответствующих матричных элементов) и можно обой тись первыми членами разложения, то вместо (6.38) получаем t G(t) = 1 + exp(A)B exp(A) d;

exp{(A + B)t} = t (6.39) = exp(At) + exp(A)B exp(A)d exp(At).

На основании этой формулы выведем правило дифферен цирования операторной экспоненты по параметру. Используя определение производной, имеем d exp(P1 1 + P2 2 ) = d [exp(P1 1 +P2 2 +P2 2 ) exp(P1 1 +P2 2 )].

= lim 2 0 (6.40) Считая, что P2 2 есть малый оператор, и полагая t = 1, на основании формулы (6.39) получаем exp(P1 1 + P2 2 + P2 2 ) = exp(P1 1 + P2 2 ) + + exp[(P1 1 + P2 2 )]P2 2 exp[(P1 1 + P2 2 )] d.

(6.41) С учетом этого результата в итоге имеем d exp(P1 1 + P2 2 ) = d exp[(P1 1 + P2 2 )]P2 exp[(P1 1 + P2 2 )( 1)] d.

= (6.42) § 2. Экстремальность квазиравновесного ансамбля Возвратимся снова к формуле (6.35). С помощью выраже ния (6.42), найдем функциональную производную:

exp{ Pk Fk (t)} = Fn (t) k = Pk Fk (t)( 1)] d. (6.43) exp[ Pk Fk (t) ]Pn exp[ 0 k k Далее, действуя аналогично с учетом того, что Pk Fk (t))}]1, exp((t)) = [Sp{exp( k получаем Sp{Pn exp( k Pk Fk (t))} exp((t)) =.

[Sp{exp( k Pk Fk (t))}] Fn (t) Суммируя последние результаты, получаем выражение для функциональной производной среднего значения базис ного оператора Sp{Pm (t)} = Fn (t) d Sp{Pm (t) Pn (t)1 }.

Pm t t (6.44) = Pn Наконец, определяя скалярное двух операторов соотношением d Sp{(Pm Pm t )(t) (Pn Pn t )(t)1 }, (Pn, Pm )t = q Pm tq = (Pm, Pn )t.

получаем (6.45) q Fn (t) Подведем некоторые итоги. Исходя из принципа экстре мальности информационной энтропии построено выражение 348 Глава 6. Метод НСО для квазиравновесного статистического оператора (6.22). Смысл этого распределения состоит в том, что оно описывает только что приготовленный ансамбль неравновесных систем, в котором еще не началась эволюция и не развились потоки.

Ключевым для понимания метода НСО является соотноше ние (6.6), устанавливающее равенство средних значений базис ных операторов Pn, вычисленных с использованием неравно весного и квазиравновесного распределений. Истолковать это соотношение можно следующим образом. К моменту времени, когда сформировался квазиравновесный ансамбль, единствен ным набором величин, измеримых в неравновесной системе, был набор переменных Pn. В дальнейшем эволюция системы происходит так, что новых медленно меняющихся динамических переменных не появляется, и средние значения Pn t операторов Pn медленно эволюционируют благодаря зависимости от време ни сопряженных термодинамических сил Fn (t).

Что касается термодинамических сил Fn (t), то они форми руются в ходе реальной эволюции системы и будут зависеть от неравновесных процессов, протекающих в системе. Нахождение термодинамических сил Fn (t) будет темой подробного обсуж дения в параграфе, посвященном линейным релаксационным уравнениям в методе НСО.

Полученные результаты позволяют построить также термо динамику неравновесной системы. Однако до сих пор нам неиз вестен явный вид квазиравновесного распределения, поэтому в следующем параграфе мы сформулируем уравнение движения для НСО, что позволит восстановить явный вид квазиравновес ного распределения и развить термодинамику неравновесной системы.

§ 3. Граничные условия и уравнение Лиувилля для НСО Рассмотрим неравновесную систему, состояние которой на достаточно больших временах описывается набором макроско пических переменных Pn t. Как уже неоднократно отмеча лось, это означает, что только эти величины являются изме римыми в данной системе и что сделанное предположение не нарушает общности рассмотрения. Чаще всего набор величин § 3. Граничные условия и уравнение Лиувилля для НСО Pn это набор гидродинамических квазиинтегралов движения таких, как энергия, дрейфовый импульс, число частиц и т. д.

Однако в качестве величин Pn могут выступать и более мелко структурные переменные, например числа заполнения кванто вых состояний.

Будем предполагать, что в момент времени t0, который для удобства будет отнесен на отрицательную бесконечность (ко нечно, имеется в виду «физическая бесконечность», т. е. време на, значительно большие, нежели некоторое характерное для данной системы время размешивания, за которое «вымирают»

несущественные для дальнейшей эволюции корреляции), приго товлен квазиравновесный ансамбль систем, описываемый ква зиравновесным распределением (t).

Сформулируем начальное условие для неравновесного ста тистического оператора (t). Будем полагать, что в момент времени t0 неравновесный и квазиравновесный статистические операторы совпадают.

Сформулируем теперь условие, позволяющее записать нерав новесный статистический оператор в виде некоторого функци онала от квазиравновесного распределения. Мы уже отмечали, что квазиравновесный статистический оператор (t) не удовле творяет уравнению Лиувилля и под действием оператора эво люции будет трансформироваться в отличие от неравновесного распределения (t), которое является интегралом движения.

Будем считать, что если приготовить квазиравновесное рас пределение, а затем предоставить системе возможность эво люционировать, то квазиравновесное распределение (t) через некоторое время порядка времени размешивания трансформи руется в неравновесное распределение (t).

На языке математики это последнее условие и сформулиро ванное выше граничное условие для НСО с учетом введенных ранее определений (6.2) – (6.4) можно записать в виде lim exp(it1 L)(t + t1, 0) = lim exp(it1 L)(t + t1, 0). (6.46) t1 t Уравнение (6.46) не только позволяет выразить НСО (t) через квазиравновесное распределение (t), но и вносит необра тимость в поведение величины (t). Действительно, достаточно в этом уравнении устремить t1 +, чтобы теория описывала 350 Глава 6. Метод НСО не возрастание, а убывание энтропии в системе. Причина этого понятна. В уравнении (6.46) квазиравновесное распределение, сформированное в момент времени t0 =, в ходе эволюции трансформируется в неравновесное распределение при t t0.

Иначе говоря, направление спонтанно текущего процесса зада но и меньшему значению времени соответствует более упоря доченное состояние. Если положить t0 = +, то система с течением времени будет переходить из менее упорядоченного в более упорядоченное состояние, что и соответствует уменьше нию энтропии с течением времени. Применяя теорему Абеля, согласно которой (6.47) lim f (t) = lim exp( t)f (t)dt, t если этот предел существует, перепишем уравнение(6.46) в сле дующем виде:

0 lim exp( t1 )(t + t1, t1 )dt1 = lim exp( t1 )(t + t1, t1 )dt1.

0 (6.48) Уравнение (6.48) допускает интересную интерпретацию. По существу, формула (6.48) утверждает, что сглаженные (усред ненные) по достаточно большому промежутку времени стати стические операторы (t + t1, t1 ) и (t + t1, t1 ) равны между со бой. Часто сглаживание, определяемое формулой (6.48), назы вают взятием инвариантной части. Очевидно, что (t + t1, t1 ) = = (t), поэтому (6.49) lim exp( t1 )(t + t1, t1 )dt1 = (t).

Из уравнений (6.48), (6.49) следует, что в ходе эволюции квазиравновесное распределение трансформируется в неравно весное распределение. В этом, собственно, и состоит физиче ский смысл уравнения (6.48). Результат (6.49) можно получить § 3. Граничные условия и уравнение Лиувилля для НСО и другим путем. Интегрируя правую часть уравнения (6.48) по частям, получаем dt1 exp( t1 ) exp(iLt1 )(t + t1, 0) = = (t, 0) lim exp( t1 )(t + t1, t1 ) t (6.50) dt1 exp( t1 ) exp(iLt1 ) + iL (t + t1, 0).

t Потребуем, чтобы последний интеграл в формуле (6.50) об ращался в нуль. Это требование выполняется автоматически, если (t, 0) является точным интегралом движения. В действи тельности, как мы выясним чуть позже, (t, 0) не является ин тегралом уравнения Лиувилля в строгом смысле этого слова, но то выражение для (t, 0), которое мы получим, также обес печивает равенство нулю интеграла (6.51) dt1 exp( t1 ) exp(iLt1 ) + iL (t + t1, 0).

t Далее, lim exp( t1 )(t + t1, t1 ) = 0, t поскольку величина в этой формуле является конечной и должна стремиться к нулю после выполнения термодинами ческого предела и вычисления средних. Поэтому выражение (6.50) по существу является определением неравновесного ста тистического оператора:

(6.52) (t, 0) = dt1 exp( t1 ) exp(iLt1 )(t + t1, 0).

Найдем теперь уравнение движения, которому удовлетворя ет НСО (6.52). Для этого продифференцируем уравнение (6.52) 352 Глава 6. Метод НСО по времени t :

(t) d = dt1 exp( t1 ) exp(iLt1 ) (t + t1, 0) = t dt = exp( t1 ) exp(iLt1 )(t + t1, 0) |0 (t, 0) iL(t). (6.53) Учитывая, что при t1, exp t1 0, получаем уравне ние Лиувилля, содержащее бесконечно малый источник в пра вой части:

(t, 0) + iL(t, 0) = ((t, 0) (t, 0)). (6.54) t Необходимо отметить, что равенство нулю выражения (6.51) выполняется, в чем легко убедиться, если вспомнить формулу (6.48).

Следует сказать несколько слов о смысле бесконечно малых источников в правой части уравнения движения НСО (6.54).

Как известно, уравнение Лиувилля (5.19) является обратимым во времени. Вместе с тем мы хорошо знаем, что в реальных системах имеется спонтанное нарушение симметрии динамиче ских уравнений относительно операции обращения времени. Та ким образом, в исправленных с учетом второго закона термоди намики динамических уравнениях должно быть снято вырож дение состояний, связанное с симметрией относительно опера ции обращения времени.


Более последовательно интерпретировать возникновение ис точников в правой части уравнения (6.54) в духе идеологии квазисредних Н. Н. Боголюбова (см. §8 главы 5). Очевидно, что с этих позиций все средние, которые вычисляются при использовании метода НСО, являются квазисредними, а член ((t, 0) (t, 0)), снимающий вырождение уравнения Ли увилля относительно операции обращения времени, в некото ром идеализированном виде учитывает контакт системы с тер мостатом, приводящий к релаксации неравновесного распреде ления, если систему предоставить самой себе. Тогда величина может быть интерпретирована как обратное время релаксации неравновесного распределения к квазиравновесному.

§ 4. Линейные релаксационные уравнения § 4. Линейные релаксационные уравнения в методе НСО Практическое решение задач с использованием метода НСО начнем с наиболее простого случая, когда слабонеравновесное состояние системы можно описать в рамках гидродинамическо го подхода набором средних значений термодинамических коор динат Pn t или набором сопряженных им термодинамических сил Fn (t) (6.31).

Рассмотрим для такой системы задачу определения спек тра гидродинамических возбуждений. Иначе говоря, поставим задачу определения времен затухания связанных флуктуаций средних значений = Pn t Pn t, t Pn где = Sp{Pn 0 }, t Pn 0 – равновесное распределение Гиббса. Поскольку неравновес ность является слабой, естественно предположить, что система уравнений, описывающая связанную релаксацию отклонений Pn t, должна быть линейной.

Для построения линейных релаксационных уравнений отно сительно величин Pn t необходимо получить линейные разло жения статистических операторов (t, 0), (t, 0).

Произведем вначале разложение квазиравновесного стати стического оператора (t, 0). Для упрощения записи примем следующее соглашение: величины P, P t, F (t) будем понимать как вектор-столбцы с компонентами Pn, Pn t, Fn (t) соответ ственно. Тогда квазиравновесное распределение (6.22) можно записать в виде S(t, 0) = (t) + P + F (t).

(6.55) (t) = exp(S(t, 0)), Производя разложение S(t, 0), имеем S(t, 0) = S0 + S(t, 0), S(t, 0) = (t) + P + F (t), (6.56) (t) = ln Sp{exp[P + (F0 + F (t))]} ln Sp{exp[P + F0 ]}.

354 Глава 6. Метод НСО Величины, отмеченные нижним индексом 0, относятся к равно весной системе.

Для того чтобы найти приращение функционала (t), необ ходимо произвести разложение операторной экспоненты в по следнем из равенств выражения (6.56) по малому параметру P + F (t).

Используя формулу (6.39) для разложения операторной экс поненты и учитывая, что под знаком шпура операторные экс поненты можно циклически переставить, получаем (t) = Sp{P + 0 }F (t), (6.57) 0 = exp(S0 ).

Подставляя результат (6.57) во второе равенство выражения (6.56), получаем S(t) = P + F (t), P + = P + Sp{P + 0 }.

(6.58) Пользуясь этим представлением, выражение (6.55) для ква зиравновесного распределения запишем в виде (t) = exp[S0 S(t, 0)]. (6.59) Производя вновь разложение операторной экспоненты (6.59) с использованием формулы (6.39), получаем d P + 1 F (t).

(t) = 0 (6.60) 0 Произведем аналогичное разложение неравновесного стати стического оператора (t, 0). Интегрируя это уравнение по ча стям, получаем (t) = (t) dt1 exp( t1 ) exp(iLt1 )( + iL) (t + t1, 0).(6.61) t Подставим в уравнение (6.61) полученный ранее резуль тат для разложения квазиравновесного распределения (6.60).

§ 4. Линейные релаксационные уравнения В итоге, выполняя простые преобразования, получаем d P + 1 F (t) + (t) = 0 0 dt1 exp( t1 ) exp(iLt1 ) + d {P + F (t + t1 ) + P + F (t + t1 )}1.

(6.62) 0 Выражение (6.62) позволяет решить поставленную задачу и получить систему линейных релаксационных уравнений для флуктуаций термодинамических параметров Pn t. Для этого необходимо лишь воспользоваться условием (6.6):

t Pn = Sp{Pn (t, 0)} = Sp{Pn (t, 0).} Однако более удобная и красивая запись этих уравнений получается, если перейти к фурье-представлению. Определим фурье-трансформы величин Pn t, (t) = (t)0, (t) = = (t) 0, F (t) следующими соотношениями:

t P = d exp(it) P, F (t) = d exp(it) F (), (6.63) (t) = d exp(it)(), (t) = d exp(it)().

Тогда, используя очевидное соотношение (6.64) P = Sp{P ()} = Sp{P ()}, 356 Глава 6. Метод НСО из первой части равенства сразу получаем важный результат + + d P P + (i ).

= (P, P )F ();

(P, P ) = P (6.65) Далее, используя определения (t) и (t), получаем exp[( i)t1 ] exp(iLt1 ) dt () = () + d (P + iP + )1 F ().

(6.66) Если в этом выражении провести интегрирование по t1, то вместо (6.66) получается простое выражение для (), удоб ное для практических приложений:

(P + iP + )1 F ().

() = ()+ d i + iL (6.67) В этом выражении операторная резольвента понимается как некоторый бесконечный ряд.

Теперь можно построить линейные релаксационные уравнения.

Из общих соображений ясно, что во временном представлении та кие уравнения при учете запаздывания должны иметь вид t T (t t1 ) P t t (6.68) P = dt1, t где T (t t1 ) некоторое ядро. Аналогичные уравнения можно записать и для отклонений F (t).

Уравнения типа (6.68) легко получить из условия SP{P()} SP{P()} = 0.

§ 4. Линейные релаксационные уравнения Подставляя полученные ранее результаты для () и (), имеем (P + iP + )1 }F () = 0. (6.69) d Sp{P 0 i + iL Вводя для сокращения записи корреляционные функции B1 } d = (A, B) = Sp{A i + iL 0 dt1 exp[( i)t1 ](A, B(t1 )), (6.70) = получаем уравнение для отклонений термодинамических сил F () i(P, P + ) F () (P, P + ) F () = 0.

(6.71) Необходимо напомнить, что уравнение (6.71) матричное и ве личина F () является вектор-столбцом.

Для дальнейшего анализа удобно ввести так называемую транспортную матрицу (P, P + ).

(6.72) T () = + ) (P, P Тогда система линейных релаксационных уравнений принимает простой вид [i T ()]F () = 0. (6.73) Совершенно аналогичное уравнение можно получить и для величин P. Для этого необходимо, пользуясь уравнением = (P, P + )F () P (см. формулу (6.65)), выразить F () через P и подста вить этот результат в уравнение (6.72). Тогда дисперсионное уравнение для P будет иметь вид 358 Глава 6. Метод НСО [i T ()] P = 0, T ()(P, P +). (6.74) T () = +) (P, P Уравнения (6.73) и (6.74) позволяют решить задачу о свя занной релаксации гидродинамических возбуждений в слабоне равновесной системе. Поскольку системы уравнений (6.73) или (6.74) однородны, то спектр элементарных возбуждений ищется из условия равенства нулю детерминанта системы det|T () i| = 0. (6.75) Естественно, более правильным при решении такой задачи является переход к нормальным координатам. Нормальные ко ординаты вводятся таким образом, чтобы в новых переменных транспортная матрица была диагональной.

Примеры рассмотрения коллективных гидродинамических возбуждений в многочастичных системах приведены в моно графии Д. Форстера [44]. По этой причине не будем обсуждать модельные системы и ограничимся рассмотрением принципи альных вопросов, позволяющих развить методику вычисления компонент транспортной матрицы.

Определим матричную функцию Грина релаксационных урав нений (6.73), (6.74) соотношениями {T () i + }G() = 1, {T () i + }G() = 1. (6.76) Явное определение функций Грина G() через корреляцион ные функции (P, P + ) и (P, P + ) может быть легко получено, если воспользоваться определением для T () (6.72). Выполняя интегрирование по частям в числителе формулы (6.72), полу чаем {(P, P + ) + i( + i )(P, P + ) }. (6.77) T () = + ) (P, P § 4. Линейные релаксационные уравнения Подставляя этот результат в выражение (6.76), получаем (P, P + ). (6.78) G() = +) (P, P Аналогично определяется и функция G() = (P, P + ) (6.79).

(P, P + ) Из определения (6.76) следует, что введенные функции Гри на (6.78), (6.79) являются действительно функциями Грина ре лаксационных уравнений в строгом смысле этого слова, а их полюса совпадают со спектром нормальных мод системы.

Подведем некоторые итоги и наметим дальнейшие шаги ре шения поставленной задачи определения спектра гидродинами ческих возбуждений в системе, состояние которой определяется набором динамических параметров Pn.

Полученные выше результаты решают скорее формальную задачу, поскольку явное вычисление полюсов функций Грина (6.78), (6.79) представляет собой достаточно сложную самосто ятельную проблему. Обычно для определения полюсов функ ции Грина используются либо метод массового оператора, ли бо методы, основанные на диаграммной технике. Следует от метить, что использование диаграммной техники для вычис ления функций Грина, входящих в кинетические коэффициен ты, приводит, на наш взгляд, к неоправданному усложнению теории. Кроме того, ясно, что все результаты, которые можно получить с помощью диаграммной техники, можно получить и с помощью метода массового оператора, тогда как обратное утверждение является неверным.

Здесь мы продемонстрируем другой метод анализа функций Грина, который известен как метод Мори [45].

Объединение метода НСО для построения статистического оператора и обобщенных релаксационных уравнений с методом проекционных операторов Мори для вывода уравнений движе ния корреляционных функций или уравнений движения опера торов динамических величин позволяет говорить о создании но вого метода решения задач физической кинетики, основанного 360 Глава 6. Метод НСО на последовательном использовании идеологии проекционных операторов.

§ 5. Почему приходится вводить операторы проектирования?

Начиная построение теории необратимых явлений, естествен но взять за основу динамическое уравнение Лиувилля (5.19).

Но в этом случае сразу встаёт вопрос: каким образом нужно развивать теорию, чтобы в результате получить необратимое поведение системы?


Еще со времен первой основополагающей работы Больцмана хорошо известно, что для неравновесной системы можно найти неубывающую функцию HB = (6.80) dpf (p, t) ln(f (p, t)), которая с точностью до множителя, определяющего размер ность, совпадает со статистической энтропией системы. В выра жении (6.80) f (p, t) – одночастичная функция распределения, p – импульс частицы. Величина f (p, t) удовлетворяет уравне нию Больцмана. Это уравнение не является динамическим и больше похоже на феноменологическое уравнение диффузии в фазовом пространстве. Можно попробовать обобщить опреде ление (6.80), используя функционал S= (6.81) dp dq (t) ln((t)), где – статистический оператор, а интегрирование ведется по всей поверхности постоянной энергии (классический случай).

Определим функционал еще более общего вида (6.82) S= dp dq (t) M (p, q), где M (p, q) – некоторая функция достаточно общего вида. Ес ли величина S является неубывающей функцией (функцией Ляпунова), то производная dS /dt 0. Для вычисления этой производной запишем формальное решение уравнения (5.19) в виде § 5. Зачем нужны операторы проектирования? (6.83) (t) = exp(iLt)(0), где (0) – статистический оператор в начальный момент вре мени (сразу после приготовления ансамбля). Из определений (5.19), (5.20) следует также, что d(t)/dt = 0. По этой причине, дифференцируя (6.82) по времени, имеем dS = dp dq (t) iLM (p, q) 0. (6.84) dt В этом уравнении мы воспользовались определением d/dtM (p, q) = iLM (p, q) {M (p, q), H(p, q)}, справедливым для классической механики (роль оператора iL играет скобка Пуассона {A, B} ). Введем обозначение iLM (p, q) = D(p, q), где величина D(p, q) может быть просто функцией или опе ратором, действующим на переменные p, q. Можно показать, что если D(p, q) является просто функцией переменных p, q, то функцию Ляпунова нельзя определить соотношением (6.82).

Действительно, рассмотрим частный случай равновесной системы. Тогда (0) = const, поскольку мы предполагаем, что система эргодична. Если D(p, q) есть функция перемен ных p, q, то для состояния термодинамического равновесия dS /dt = 0, и из (6.82) следует dS (6.85) = dp dqD(p, q) = 0, dt что, в силу произвольности системы, сразу приводит нас к заклю чению, что D(p, q) = 0 и, следовательно, функционал, определен ный соотношением(6.82), не существует, если D(p, q) = iLM (p, q) является обычной функцией переменных p, q.

Из результата (6.85), полученного Пригожиным [46], сле дует важный вывод. Если мы хотим построить функцию Ля пунова исходя из первых принципов в классической теории, мы вынуждены предположить, что величина M (p, q), входя щая в уравнение (6.82), должна быть оператором. Поскольку 362 Глава 6. Метод НСО D(p, q) = iLM (p, q) = 0, то, согласно идеологии, развитой в квантовой теории, следует, что энергия системы и величина M (p, q) не могут быть измерены одновременно.

Интерпретировать этот факт можно следующим образом:

оставаясь в рамках представлений о траекториях частицы, необ ратимого поведения системы получить нельзя и функцию Ля пунова построить не удастся. Отказ от понятия траекторий про изводится так же, как и в квантовой механике, введением но вой операторной величины (в квантовой механике это оператор импульса, в теории необратимых явлений – оператор M (p, q), тесно связанный с оператором микроскопической энтропии).

В квантовом случае, когда величины H, (t) сами являются операторами, функцию Ляпунова можно попробовать ввести, обобщив соотношения (6.81), (6.82):

S = kSp{(t) ln (t)}, (6.86) или в более общем виде (6.87) S = Sp{(t)M (t)}.

Совершенно ясно, однако, что первое из приведенных соот ношений не может быть функцией Ляпунова в силу того, что d/dt = 0, и поэтому dS /dt = 0.

Выражение (6.87) может играть роль функции Ляпунова лишь в том случае, если величина M есть некоторый суперо ператор, т. е. оператор, действующий не на функции, а на опе раторы. Кроме того, оператор M не должен коммутировать с оператором Гамильтона и, пожалуй, самое главное, оператор M должен быть нефакторизуемым оператором, т. е. не должен со хранять различия между чистыми и смешанными состояниями в квантовой механике.

Напомним, что все другие квантово-механические операто ры, действуя на волновую функцию системы в чистом состоя нии, оставляют её в чистом состоянии.

Условие нефакторизуемости является менее очевидным и требует некоторых пояснений.

Ясно, что описание системы на языке волновых функций является наиболее полным в квантовой теории, и при таком описании необратимого поведения не возникает. В системах, § 5. Зачем нужны операторы проектирования? для которых характерно необратимое поведение, различие меж ду чистыми и смешанными состояниями утрачивается. Это не означает, что уравнение Шредингера перестаёт быть справед ливым. В этих системах различия между чистыми и смешанны ми состояниями перестают быть наблюдаемыми. Развиваемая точка зрения принадлежит И. Пригожину [46] и интенсивно развивалась им и его сотрудниками.

Проведенный выше анализ позволяет заключить, что ни в рам ках классической, ни в рамках квантовой механики необратимое поведение ввести не удается, если не сделать существенных до полнительных предположений, выходящих за рамки стандарт ной классической или квантовой теории. Отсюда, в частности, следует, что непосредственно из динамических уравнений, не внося новых физических идей, необратимое поведение систе мы получить не удастся. Причина этого состоит не в том, что необратимое поведение систем противоречит динамике, а в том, что динамическое описание является недостаточно развитым и на существующем этапе приспособлено лишь для описания интегрируемых систем в классической механике и систем, на ходящихся в чистом состоянии, в квантовой механике.

Отмеченный результат не является новым. Так или иначе это осознавали все создатели теории явлений переноса начиная с Л. Больцмана, вводя свои способы обобщения динамики на случай неинтегрируемых систем. Так, Больцман использовал гипотезу о столкновениях (Stosszahlansatz), согласно которой предполагается, что перед каждым столкновением состояния пары сталкивающихся частиц не являются коррелированными и описываются одночастичными функциями распределения.

Несколько иные аргументы использовал Н. Н. Боголюбов при выводе кинетического уравнения Больцмана из системы для s-частичных функций распределения (см. [17,20]. Основная идея Боголюбова состоит в том, что можно выделить несколько характерных масштабов времени, на которых систему следует описывать с помощью принципиально различных подходов.

Если принять, что частица имеет характерный размер R и характерную скорость v, то на временах t st = R0 /v система может быть описана только динамическим образом.

364 Глава 6. Метод НСО Следующий временной масштаб связан с временем свободно го пробега частицы. Если обозначить среднее расстояние меж ду частицами буквой l R0, то время свободного пробега st. Кинетическая стадия эволюции наступает тогда, = l/v когда t st. На этих временах, согласно Боголюбову, двухчастичная и все следующие функции распределения яв ляются некоторыми функционалами одночастичной функции распределения. Именно эта идея позволяет замкнуть цепочку уравнений Боголюбова и получить уравнение для одночастич ной функции распределения. Ясно, что подход Боголюбова ос нован на предположении, что начиная с некоторого момента времени точная динамика системы, учитывающая все корреля ции, становится несущественной. Эта же идея лежит и в основе гипотезы Больцмана о столкновениях;

по существу, это просто попытки учесть специфику динамики неинтегрируемых систем, демонстрирующих неустойчивость.

Начиная с работы Р. Цванцига [47] для получения необра тимой динамики широко используется метод операторов проек тирования, который позволяет разделить статистический опе ратор на две ортогональные в некотором смысле части (об суждение свойств операторов проектирования отложим до сле дующего параграфа, ограничиваясь качественными замечани ями). Для проекции статистического оператора P(t), которую Цванциг назвал «р е л е в а н т н о й», т. е. актуальной, име ющей отношение к делу частью, удается получить необрати мое во времени уравнение движения, которое обычно называют m a s t e r e q u a t i o n, или, как принято в нашей литерату ре, о с н о в н ы м к и н е т и ч е с к и м у р а в н е н и е м.

Величина (1P)(t) достаточно быстро осциллирует и её обыч но не учитывают при вычислении средних. Этот метод постро ения описания неравновесных систем изложен в главе 8.

Другой подход, основанный на применении операторов про ектирования, использовал Мори [45]. Он развил метод постро ения уравнений движения для операторов физических величин, в котором предполагается, что динамика произвольного операто ра должна определяться динамикой некоторого набора базисных операторов. В этом случае для проекции оператора PA(t) удает ся получить необратимое во времени уравнение движения, кото рое напоминает уравнение Ланжевена для броуновской частицы.

§ 5. Зачем нужны операторы проектирования? Не вдаваясь в детали определения и практического исполь зования проекционных операторов, которые будут подробно об суждаться в следующих параграфах, отметим лишь явные пре имущества построения теории необратимых явлений с исполь зованием методики операторов проектирования. Во-первых, это простота и компактность вывода основных уравнений теории, которую отметил еще Цванциг. Во-вторых, и это главное, метод операторов проектирования позволяет построить новые дина мические уравнения, которые описывают необратимую и нега мильтонову эволюцию динамических величин.

Для возникновения необратимости необходимо найти подхо дящий механизм, который нарушал бы инвариантность обычно го динамического описания относительно обращения времени.

Интересующее нас нарушение симметрии должно быть внут ренним, т. е. не связанным с существованием новых взаимодей ствий. В то же время этот механизм должен быть универсаль ным. Иначе говоря, он должен иметь место и в классических, и в квантовых системах.

Такая общая и внутренняя причина нарушения симметрии может иметь место, если в действительности реализуются не все возможные состояния или начальные условия, допустимые при динамическом описании, а лишь некоторый ограниченный набор, обладающий асимметрией требуемого типа. Эта идея, по существу, является новым постулатом теории, который эк вивалентен включению второго начала термодинамики в число основных уравнений динамики (см. монографию [46]).

Интересно отметить, что такая формулировка второго нача ла термодинамики высказывалась еще в 1909 г. Ритцем, кото рый считал, что второе начало термодинамики выражает некий принцип, позволяющий исключить некоторые решения динами ческих уравнений из числа реализуемых.

Последовательное выполнение программы построения тео рии необратимых процессов как динамической теории, пригод ной для описания систем со слабой устойчивостью или «внут ренне случайных систем», для которых реализуется состояние со спонтанно нарушенной симметрией, проще всего осуществля ется именно с использованием методики проекционных опера торов, развитой специально для отбора существенных для эво люции состояний.

366 Глава 6. Метод НСО Можно даже высказать более смелую мысль. Развивая ме тод операторов проектирования, мы делаем шаг в сторону со здания новой динамики, в которой второе начало термодина мики возведено в ранг динамического принципа, отбирающего из всех возможных решений физически реализуемые.

§ 6. Метод проекционных операторов Мори Как следует из приведенных выше результатов, исследова ние динамики гидродинамических флуктуаций приводит к про блеме вычисления корреляционных функций базисных опера торов, т. е. динамических переменных, измеримых, с одной сто роны, а с другой – достаточных для описания существа рассмат риваемых физических явлений. Вычисление этих корреляцион ных функций является сложной самостоятельной проблемой.

По существу, мы продвинулись вперед только в том смысле, что удалось свести задачу о релаксации в слабонеравновесной системе к исследованию корреляционных функций, определен ных для равновесного состояния.

Принципиальная возможность такого сведения, или, ина че, возможность выразить кинетические коэффициенты сла бонеравновесной системы через равновесные корреляционные функции, хорошо известна и является утверждением флукту ационно-диссипационной теоремы (ФДТ).

Физическая причина справедливости ФДТ кроется в том, что микроскопические процессы, вызывающие релаксацию в неравновесной системе и рассасывание флуктуаций в равновес ной системе, одни и те же.

Теперь нужно сделать следующий шаг и разработать проце дуру вычисления равновесных корреляционных функций опе раторов, входящих в базисный набор. По существу, это несколь ко иная постановка той же задачи, что уже обсуждалась в § 5, где мы анализировали причины, по которым оказывается удоб ным введение операторов проектирования.

Существует много различных определений проекционных операторов, которые используются для построения уравнений движения динамических переменных. Начнем знакомство с тех никой операторов проектирования с методики, предложенной Мори (см. работу [45]).

§ 6. Метод проекционных операторов Мори Метод операторов проектирования Мори исходит из простой идеи, что любой динамический оператор A(t) можно разделить на две составляющие: одна из них будет выражаться через ба зисные операторы и с-числовые функции, а другая часть пред ставляет собой остаток:

A(t) = PA(t) + QA(t), Q = (1 P), PA(t) = (A(t), P + )(P, P + )1 P, P2 = P. (6.88) Скалярное произведение двух операторов определено так же, как и раньше (см. формулу (6.65)):

d Sp{A B1 }. (6.89) (A, B) = 0 Совершенно ясно, что такое разделение является точным и его можно произвести всегда. Весь смысл разделения состо ит в том, что операторы PA(t) и QA(t) имеют совершенно разный характер временной зависимости. Операторы P и P + являются квазиинтегралами движения, т. е. почти сохраняю щимися величинами, и меняются во времени благодаря лишь относительно слабым возмущениям основного гамильтониана.

Величина QA(t), наоборот, быстро осциллирует с характерным для атомных масштабов периодом. Именно этот факт позволяет разделить медленную эволюцию оператора и быстрые осцилля ции, которые могут определять лишь процессы с характерным атомным масштабом частоты.

Следует сказать несколько слов о том, какой смысл вклады вается в понятия «медленная эволюция»и «быстрая эволюция»

операторов. Дело в том, что уравнение движения для корреля ционной функции получается из операторного уравнения, если все его члены умножить справа на некоторый не зависящий от времени оператор и затем вычислить среднее по равновесному состоянию. Поэтому поведение оператора и поведение корреля ционных функций оказываются сопоставимыми.

Смысл оператора проектирования очень легко понять, если воспользоваться геометрической аналогией, представленной на рис. 32 для случая, когда имеется лишь только один оператор в наборе P.

368 Глава 6. Метод НСО (1– P)A(t) A(t) PA(t) P Рис. 32. Геометрический смысл оператора проектирования Используя определение оператора проектирования (6.88), легко доказать, что выполняется важнейшее условие проек тирования вектора на оси ортогонального базиса: операторы PA(t) и (1 PA(t)) ортогональны в смысле скалярного произ ведения (6.89):

(PA(t), (1 P)A+ (t)) = 0. (6.90) Для доказательства соотношения (6.90) рассмотрим действие оператора проектирования на сопряженный оператор A+ (t).

Используя определение оператора проектирования Мори (6.88), получаем + + + + PA (t) = (PA(t)) = (A(t), P ) P = (P, P + ) 1 = P+ (A(t), P + )+ = P + (P, A+ (t)). (6.91) +) +) (P, P (P, P Последнее равенство в формуле (6.91) получается немедлен но, если вспомнить, что Sp{AB}+ = Sp{B + A+ }.Теперь доказа тельство соотношения (6.90) сводится просто к учету формулы (6.91) и выполнению алгебраических преобразований в выра жении (6.90).

Необходимо подчеркнуть, что оператор Q также является идемпотентным проекционным оператором и для него выпол няется условие Q2 = Q.

§ 6. Метод проекционных операторов Мори Рассмотрим уравнение движения для оператора P, принад лежащего набору базисных операторов:

d (6.92) P (t) = iLP (t).

dt Подействуем на это уравнение оператором Q = (1 P). По скольку оператор (1 P) не зависит от времени, его можно пе реставить с оператором дифференцирования по времени. Вводя обозначение QP (t) = (1 P)P (t) = P (t), получаем d P (t) = QiL(1 P)P (t) + QiLPP (t). (6.93) dt Для упрощения формул удобно ввести обозначение PP (t) = (P (t), P + )(P, P + )1 P = (t)P, (t) = (P (t), P + )(P, P + )1. (6.94) С учетом этих определений уравнение (6.93) перепишем в виде d P (t) (1 P)iLP (t) = (t)(1 P)P (t). (6.95) dt Уравнение (6.95) можно легко проинтегрировать. Для этого умножим его слева на операторную экспоненту exp{(1 P)iLt}.

Тогда первые два члена в уравнении (6.95) можно объединить в один, и интегрирование в пределах от 0 до t дает t dt1 (t1 ) exp{(1 P)iL(t t1 )}(1 P)P (t1 ). (6.96) P (t) = Этот результат носит промежуточный характер и будет ис пользован несколько позже.

370 Глава 6. Метод НСО Рассмотрим уравнение движения для корреляционной функ ции (t) (6.94). Используя вновь соотношение iLP (t1 ) = iLPP (t1 ) + iL(1 P)P (t1 ), (6.97) получаем d d P (t1 ), P + )(P, P + )1 = (t1 ) = ( dt1 dt = (P, P + (t1 ))(P, P + )1 = (PP, P + (t1 ))(P, P )1 + +((1 P)P, P + (t1 ))(P, P + )1, (6.98) или d (t1 ) = i(t1 ) + ((1 P)P, P + (t1 ))(P, P + )1, (6.99) dt где i так называемая матрица частот, i = (P, P + )(P, P + )1.

Рассмотрим скалярное произведение ((1 P)P, P + (t1 )).

Поскольку для произвольных операторов C и B выполняется равенство ((1 P)C, PB + ) = 0, то скалярное произведение можно записать в виде ((1 P)P, (1 P)P + (t1 )).

С учетом результата (6.96) уравнение движения для корреля ционной функции запишем в виде d (t) = i(t) + dt t dt1 ((1 P)P, (exp{i(1 P)L(t + t1 )}(1 P)P )+ ) + (t1 )+ (P, P + )1. (6.100) Рассмотрим корреляционную функцию Sp{P (t1 ) P + 1 }+ d.

(t1 )+ = 0 (P, P + )+ § 6. Метод проекционных операторов Мори Учитывая свойства симметрии корреляционных функций при операции эрмитова сопряжения и приведенное выше выраже ние, получаем (t1 )+ = (P (t1 ), P + ).

+) (P, P Наконец, сделаем замену переменных в интеграле, вводя но вую переменную s = t1 + t, и определим величину случайной силы f соотношением f = (1 P)P. С учетом всех сделанных замечаний вместо уравнения (6.100) получаем t d ds(f, f + (s)) (t) = i(t) (t s). (6.101) (P, P + ) dt Если учесть, что (t) = (P (t), P + )(P, P + )1, то можно лег ко получить и уравнение движения динамической переменной P (t) :

t d P (t) = iP (t) ds(s)P (t s), (6.102) dt где (s) так называемая функция памяти, которая учитывает предысторию развития системы на времена 0 s t :

(s) = (f, f + (s))(P, P + )1. (6.103) Подведем некоторые итоги и обсудим физический смысл полученных результатов. По своему виду уравнения (6.101), (6.102) напоминают уравнения Ланжевена для броуновской ча стицы и описывают немарковскую динамику исследуемых вели чин Pn. Важно подчеркнуть, что временная эволюция функции памяти (s) (f, f + (s)) = d Sp{(1 P)P [exp{(1 P)iLs}(1 P)P ]+ 1 } 0 = 372 Глава 6. Метод НСО является негамильтоновой и определяется лишь частью опера тора Гамильтона, из которой исключены с помощью операто ра проектирования Q члены, определяющие медленную эво люцию динамических переменных.

Отметим, что произведенное выделение быстро изменяюще гося ядра интегральных уравнений (6.101), (6.102) произведено точно. До сих пор не делалось никаких предположений о сла бости взаимодействия в системе.

Наконец, обсудим смысл использования «тождественных»



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 10 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.