авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«С.Л. Блюмин, А.М. Шмырин, О.А. Шмырина O v, x [a1] = {a 3} a4 a1 ...»

-- [ Страница 2 ] --

v, x, известных элементов матриц k= Формирование Aw x [a k ], Awv [ak ], k=N Aw xv [a k ] Формирование А, W Формирование вектора В Формирование матриц W x,Wv,W xv из результата пред. шага Решение полученной СЛАУ AW = B Вывод W x,Wv,W xv Конец Рис. 2.1. Схема алгоритма параметрической идентификации билинейных окрестностных моделей тогда, когда преобразованная описанным выше образом система уравнений относительно неизвестных элементов матриц (2.63) совместна. Критерий параметрической идентифицируемости отсюда принимает вид bwx bwx b b + b wv wv [Aw ][ ] A wv A wxx A wvv A wxv A w x A wv A w xx Awvv A w xv wxx = bwxx, (2.66) x bw bw vv vv bwxv bwxv где – блоки матрицы коэффициентов, A wx, A wv, A wxx, A wvv, A wxv соответствующие векторам, составленным из неизвестных элементов матриц w x, wv, wxx, wvv, wxv соответственно;

bwx, bwv, bwxx, bwvv, bwxv – блоки вектора свободных членов системы (2.63), соответствующие коэффициентам, стоящим при неизвестных элементах матриц w x, wv, wxx, wvv, wxv.

Если критерий (2.66) не выполняется, то решение уравнения (2.63) соответствует минимуму невязки между его левой и правой частью. Схема алгоритма параметрической идентификации билинейных окрестностных моделей представлена на рис. 2.1.

2.5. Разработка адаптивных алгоритмов идентификации билинейных окрестностных систем Представляет интерес изучение динамики, адаптации и оценки параметров окрестностных систем [34, 39].

Для оценки параметров билинейных окрестностных систем необходимо от представления, предложенного в главе 1, перейти к динамическому представлению относительно выхода системы.

Простейшая билинейная окрестностная система (1.7) для преобразований x, v, содержащая только линейные члены и билинейный член типа xv, имеет вид wx [a, ]x[ ] + wv [a, ]v[ ] + wxv [a,, ]x[ ]v[ ] = Ox [ a ] Ov [ a ] Ox [ a ] Ov [a ].

Зафиксируем некоторое µ A, µ O x. Найдем для данного значения аргумента вектор x[µ ] из (1.7). Для этого (1.7) умножим слева на wT [a, µ ] :

x ~~ wT [a, µ ] w x [a, µ ]x[ µ ] + wT [a, µ ] w x [a, ]x[ ] + x x ~ ~ Ox, µOx ~ ~ + wT [a, µ ] wv [a, ]v[ ] + w T [a, µ ] w xv [a,, ]x[ ]v[ ] = 0, (2.67) x ~O [ ax Ov, µOx x] Ov [ a ] ~ где O x = O x \ {µ }. Пусть w[a, µ ] = ( wT [a, µ ] w x [a, µ ]) + wT [a, µ ].Тогда из x x (2.67) получим ~~ x[ µ ] = w[a, µ ] wx [a, ]x[ ] ~~ Ox, µOx ~ ~ w[a, µ ]wv [a, ]v[ ] w[a, µ ]w xv [a,, ]x[ ]v[ ]. (2.68) ~ Ov, µOx Ox [ a ] Ov [ a ] Положим def def ~ ~ K x [a, ] = w[a, µ ]w x [a, ], K v [a, ] = w[a, µ ]wv [a, ], def ~ ~ K s [a,, ] = w[a, µ ]w xv [a,, ]. (2.69) С учетом (2.69) запишем x[ µ ] = K x [a, ]x[ ] K v [a, ]v[ ] K s [a,, ]x[ ]v[ ] (2.70) O1, x Ov Ox [a ] Ov [ a ] где O1, x U {µ} = O x.

Уравнение (2.68) можно записать x[ µ ] = K x [a, ]x[ ] K v [a, ]v[ ] O1, x Ov K s [a,, ]s[ x, v,, ], (2.71) Ox [a ] Ov [ a ] где s = s ( x, v,, ) — вектор, зависящий от произведения компонентов векторов x, v. В частности, для билинейных окрестностных систем вектор s может иметь вид s = s ( x, v,, ) = x( )vT ( )i, (2.72) где i R n — вектор с целочисленными координатами. В общем случае вектор s в (2.72) можно представить в виде s ( x, v,, ) = x( )vT ( )i, где — матрица, определяющая влияние выходов и входов подсистем на x.

Для класса нелинейных окрестностных систем структура вектора s зависит от свойств изучаемой системы.

Из (2.71) можно получить условия ограниченности решения. Для этого необходимо, чтобы K x [a, ] 1 O1, x [a], K v [a, ] Ov [a].

K s [a,, ] 1 O1, x [a] Ov [a] Тогда при v[ ] Ov [a] нетрудно получить, что x[µ ].

Рассмотрим теперь задачу оценки параметров системы (2.71). Пусть известно множество измерений I = {x[k ], v[k ], k A} и необходимо оценить матрицы K x [], K v [], K s [] в (2.71).

Введем адаптивную модель x[ µ ] = K x [a, ]x[ ] K v [a, ]v[ ] K s [a,, ]x[ ]v[ ], (2.73) O1, x Ov Ox [ a ] Ov [ a ] где K x [a, ], K v [a, ], K s [a,, ] a,, A — матрицы настраиваемых параметров системы, x[ µ ] — выход модели.

Используя изложенный выше подход, основанный на втором методе K x [a, ], K v [a, ], K s [a,, ] Ляпунова, алгоритм адаптации матриц подберем так, чтобы выполнялось условие V [ µ ] = V [ µ ] V [ µ µ ] 0, (2.74) где µ R — шаг изменения аргумента µ O1, x, µ O1, x. Для V [µ ] получим V [ µ ] = E T [ µ ]( K x [a, ]x[ ] K v [a, ]v[ ] O1, x Ov K s [a,, ]x[ ]v[ ] x[ µ ]) E T [µ µ ]E[µ µ ]. (2.75) O x [ a ] Ov [a ] Так как второе слагаемое в (2.75) всегда неотрицательно, то для обеспечения условия для настройки матриц (2.74) K x [a, ], K v [a, ], K s [a,, ] достаточно применить следующие адаптивные алгоритмы V [ µ ] K x [a,, µ ] = K x [a,, µ µ ] T x [a ] ;

(2.76) T [] K x V [ µ ] K v [a,, µ ] = K v [a,, µ µ ] Tv [a ] ;

(2.77) T K v [] V [ µ ] K s [a,, µ ] = K s [a,, µ µ ] Ts [a ], (2.78) T K s [] Tx [a] R cc,Tv [a] R cc,Ts [a] R cc — где некоторые положительно определенные симметрические матрицы, обеспечивающие сходимость алгоритмов (2.76), (2.77), (2.78). Схема системы адаптивной идентификации представлена на рис. 2.2.

Экспериментальная Объект информация Априорная v[µ ] информация Алгоритм x[µ ] адаптации V [µ ] Критерий Модель идентификации x[ µ ] Рис. 2.2. Система адаптивной идентификации Из (2.76), (2.77), (2.78) нетрудно получить следующие адаптивные алгоритмы K x [a, µ ] = K x [a,, µ µ ] + T x [a]E[µ µ ]x T [µ µ ] ;

(2.79) K v [a, µ ] = K v [a,, µ µ ] + Tv [a]E[ µ µ ]v T [ µ µ ] ;

(2.80) K s [a, µ s ] = K s [a, µ s µ s ] + Ts [a]E[ µ s µ s ]s T [ µ s µ s ], (2.81) где s µ = µ s (, ) — шаг изменения аргумента на окрестности. Если на G s = G s ( x, v, s ), систему идентификации наложены ограничения то соответствующие алгоритмы (2.79), (2.80), (2.81) можно записать в виде K x [a, µ ] = K x [a, µ µ ] + Tx [a] E ( E[ µ µ ]) x ( xT [µ µ ]) ;

K v [a, µ ] = K v [a, µ µ ] + Tv [a] E ( E[ µ µ ]) v (vT [ µ µ ]) ;

K s [a, µ ] = K s [a, µ s µ s ] + Ts [a] E ( E[ µ s µ s ]) s ( sT [ µ s µ s ]), (2.82) E = E ( E ), x = x ( E ), v = v ( E ), s = s ( E ), где функции и x : R n 1, x R n, v : R n v R n, s : R n s R n согласно [38] получаются на основе множества Gs с учетом обеспечения условия (2.74).

2.6. Адаптивный алгоритм идентификации нелинейных окрестностных дискретных систем Рассмотрим общий случай [20, 21, 87]. Нелинейная окрестностная смешанная система описывается уравнением ( g ;

{v ( ), Ov [ g ]};

{x( ), O x [ g ]};

{ y ( ), O y [ g ]}, a) = 0, (2.83) где g A = {0,1,K}, v [ g ], x [ g ], y [ g ] - окрестности узла g системы по входу, состоянию, выходу соответственно;

,, A.

В задаче идентификации нелинейной окрестностной смешанной системы задан массив K L наборов «вход-состояние-выход» vu, xu, y u, 1 u L во всех вершинах g, включенных в окрестности.

Для отыскания вектора параметров a следует решить систему уравнений:

( g ;

{v u ( ), Ov [ g ]};

{xu ( ), O x [ g ]};

{ y u ( ), O y [ g ]}, a) = 0, (2.84) g G,1 u L.

Задача может быть решена при помощи итерационного алгоритма нелинейного метода наименьших квадратов, использующего линеаризацию функции по вектору a в окрестности текущей точки a u, что приводит к оценке a(L) вектора параметров a. При поступлении нового набора данных K L +1 = {(v L +1 ( ), Ov ( g ));

( x L +1 ( ), O x ( g ));

( y L +1 ( ), O ( g ))} (2.85) пересчет оценки a ( L ) в оценку a ( L +1) = (a ( L), K L +1 ) осуществляется при помощи рекурретно-итерационной процедуры нелинейного метода наименьших квадратов, что решает задачу адаптивной идентификации параметров для систем нелинейного (в частности, билинейного) окрестностного класса.

Рассмотрим частный случай общей системы (2.66), явную разностную окрестностную нелинейную систему по состоянию (в частности, билинейную) xi +1 = f ( xi, a ) + N i, i = 0,1,K, L, (2.86) где xi R n, f - матрица известных нелинейных функций (в частности, f R nm, a R m билинейных), вектор неизвестных параметров, N i квадратная матрица известных коэффициентов, гаусcов шум с характеристиками M ( i ) = 0, M ( i T ) = I i j, j M -оператор математического ожидания, - дельта – функция Кронекера;

T -символ транспонирования.

Оценку a ( L +1) = (a ( L), K L +1 ) параметров получаем из нелинейного алгебраического уравнения [20, 21, 87] для окрестностных систем, ( ) L f x, a(L+1) T i R1( xi +1 f ( xi, a( L+1) )) = 0, (2.87) a i=0 где R = NN T.

Для решения применяем алгоритм линеаризации (2.87) ( ) L f ( x,a j ) T f xi,a j a j+1 = a j + R1 i i=1 a a ( ) T L f xi, a j (2.88) a R (xi+1 f (xi, a )), j = 0,1,2,...

j i=0 Алгоритм дает последовательность значений параметров, сходящуюся к решению уравнения (2.87).

3. СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ СМЕШАННОГО УПРАВЛЕНИЯ БИЛИНЕЙНЫМИ ОКРЕСТНОСТНЫМИ СИСТЕМАМИ В предыдущей главе разработаны алгоритмы идентификации билинейных окрестностных систем и предложен критерий идентификации. В третьей главе рассмотрим постановки задачи смешанного управления, алгоритмы смешанного, оптимального смешанного и квазиоптимального смешанного управления билинейными окрестностными системами.

3.1. Постановка задачи смешанного управления билинейными окрестностными системами В (1.7) рассматриваются билинейные окрестностные системы r r wi [a, ]u i [ ] + wi [a,, ]u i [ ] i [ ] = 0.

(3.1) i =1 Oui [a ] i =1 Oui [a ] O i [ a ] Здесь Ou i [ a ], O i [ a ] окрестности по ui, i элемента a, a A = {a1,..., a N } множество значений аргумента билинейной окрестностной системы, A = N ;

ui, i U, wi [a, ], wi [a,, ](i = 1, r ) - некоторые матрицы.

Рассмотрим [20, 21, 87] две различные постановки задачи смешанного управления для билинейных окрестностных систем (3.1).

В первой постановке предполагаем, что в системе (3.1) во всех узлах a A заданы либо векторы входных воздействий, либо векторы состояний.

Количество узлов с заданными входами v[ai ],i = 1, l равно l. Количество узлов с заданными состояниями x[ai ],i = 1, f. Имеем l + f = N, N - количество узлов.

неизвестных векторов входа v[ai ],i = 1, f Необходимо определить иl f векторов состояния x[ai ],i = 1,l.

Во второй постановке предполагается, что в узлах системы заданы часть + + + координат входа v[ki, kij ] и часть координат состояния x[li, lij ]. Здесь kij j - я + известная координата входа в узле i, а lij j - ая известная координата состояния в узле i.

{ } K A, K = {k1,..., k l }, k = l, l l1,...,l f, L = f - множества, содержащие номера узлов системы, в которых заданы часть компонентов входа и состояния системы соответственно;

{ } { } k i+ = k i+,..., k i+l, i = 1, l, j = 1, l i, li m, L+ = l i+,..., li+ f, i = 1, f ;

i,i,i 1 j = 1, f i, f i n - множества, содержащие номера известных компонент входа и состояния в вершинах ki, li.

Во второй постановке требуется определить неизвестные компоненты входа в узлах v[ K i, K ij ], i = 1, l, j = 1, m li из множества K, неизвестные компоненты состояния в узлах x[li, lij ], i = 1, f, j = 1, n f i из множества L, полностью неизвестные векторы входа и состояния в узлах K, L, дополняемых K, L до множества A.

3.2. Алгоритм смешанного управления билинейными окрестностными системами Рассмотрим краткое описание алгоритма смешанного управления билинейными окрестностными системами [21, 87].

Билинейную окрестностную систему w x [a, ]x[ ] + wv [a, ]v[ ] + [ w1xv [a,, ]v[,1]x[ ] + K Ox[ a ] Ov[ a ] Ox [a ] Ov [ a ] + wmxv [a,, ]v[, m]x[ ]] = 0 (3.2) можно рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений относительно элементов векторов состояний x, входных воздействий v и их произведений xv вида CU = 0. (3.3) Матрицы C,U имеют вид X W pxv ], U = V, C = [W x (3.4) Wv XV W x R cN Nn, Wv R cN Nm, W pxv R cN N ( n + m) -блочные где матрицы коэффициентов, составленных из матриц соответственно, w x, wv, w xv X R Nn, V R Nm, XV R N ( n+ m ) полученных на этапе идентификации, векторы, состоящие из всех компонент векторов состояний x, входных воздействий v и их произведений xv.

C = [W x [a s ] Wv [a s ] W pxv [a s ]], (3.5) где s = 1, N или C x [a1 ] C pxv [a1 ] C v [a1 ] C [a ] C pxv [a 2 ] C v [a 2 ] C= x 2 (3.6) M C x [a N ] C v [a N ] C pxv [a N ] Порядок матрицы C R cN [(m+ n ) N +2 mnN ].

0a i R ccn deg x a i, 0v i R ccmdeg v ai, 0a i Rccnmdeg x a i deg v a i x xv Пусть –– a нулевые матрицы. Тогда блоки матрицы C, соответствующие неизвестным элементам векторов x[a s ] в узле a s, принимают вид C x [a s ] = [0 a K0 a C x [a s, a s,1]KC x [a s, a s,deg a s ] 0 a K0 a ].

x x x x (3.7) s 1 s + x 1 N Блоки матрицы C, соответствующие неизвестным элементам векторов v[a s ] в узле a s, принимают вид C v [a s] = [0 v K0 v C x [a s, a,1]KC x [a s, a,deg a ] 0 v K0v ]. (3.8) a1 as 1 v s as +1 aN s s Блоки матрицы C, соответствующие неизвестным элементам векторов x[a1 ]v[a1 ] в узле a1, принимают вид C pxv [a1] = [C pxv [a1, a1,1, a,1]K KC pxv [a1, a1,deg a1, a,deg a ]0a K0a ].

xv xv (3.9) x 1 v1 2 N Для произвольного узла a s имеем C pxv [a s ] = [0a K 0a C pxv [a s, a s,1, a,1] K xv xv s 1 s KC pxv [a s, a,deg a, a,deg a ]0a K0a ].

xv xv (3.10) s + s xs s vs N Аналогично для узла a N :

C pxv [a N ] = [0a K0a C pxv [a N, a N,1, a N,1 ]K xv xv N KC pxv [a N, a,deg a, a,deg a ]]. (3.11) N xN N vN В свою очередь, указанные блоки матрицы C, соответствующие элементам векторов x[a i ] в узле ai, состоят из блоков. Эти блоки являются коэффициентами в уравнении (3.3) при элементах вектора x[a i ] C x [ai, ai, j ] = w x [a i, ai,1 ] 0n L 0n 0n 0n 0n w x [a i, ai,2 ] 0 n L 0n 0n =, (3.12) M L M L w x [ai, ai,deg x ai ] 0 n 0n 0n 0n i = 1, N, j = 1, deg x ai.

Размерность блоков следующая:

C x [ai, a, j ] Rcndeg x ai.

i Следующие блоки являются коэффициентами в уравнении (3.3) при элементах вектора v[a i ] Cv [ai, ai, j ] = wv [a i, ai,1 ] 0n L 0n 0n 0n 0n wv [a i, ai,2 ] 0 n L 0n 0n =, (3.13) M L M L wv [a i, ai,deg v ai ] 0 n 0n 0n 0n i = 1, N, j = 1, degv ai.

Размерность блоков следующая Cv [ai, a, j ] Rcmdeg v ai.

i Следующие блоки являются коэффициентами в уравнении (3.3) при элементах матрицы вектора x[ai ]v[a j ] C pxv [ai, ai, j, ai, p ] = w pxv [a i, ai,1, ai, p ] 0n 0n 0n 0n w pxv [a i, ai,2, ai, p ] 0n 0n = M M w pxv [a i, ai,degv ai, ai, p ] 0 n 0n 0n i = 1, N, j = 1, deg v a i, p = 1, m. (3.14) Размерность блоков следующая:

C pxv [ai, a, j, ai, p ] Rcmdeg v ai.

i В свою очередь, блоки w x [ai, ai, j ] имеют вид w x [ai, a i, j ](1,1) L w x [a i, a i, j ](1, n) M M, j O x [ ai ], w x [a i, a i, j ] = (3.15) w x [ai, a i, j ](c,1) L w x [ai, a i, j ](c, n) 0 R cn, j O x [ ai ].

Блоки wv [ai, ai, j ] имеют вид wv [ai, ai, j ](1,1) L wv [a i, ai, j ](1, m) M M wv [a i, ai, j ] = ](c,1) L wv [a i, ai, j ](c, m), j Ov [a i ]. (3.16) w [a, v i ai, j cm 0 R, j Ov [ a i ] Блоки w pxv [ai, ai,1, ai, p ] имеют вид w pxv [ai, ai,1, ai, p ] = w pxv [a i, ai,1, ai, p ](1,1) L w pxv [a i, ai,1, ai, p ](1, n) M M = w [a,,, j Ov [ a i ] (3.17) pxv i ai,1 ai, p ](c,1) L w pxv [a i, ai,1, ai, p ](c, n) cn 0 R, j Ov [ a i ] Вектор неизвестных, составленный из элементов матриц X, V, XV, имеет вид X [a ] i U = V [a j ], (3.18) X [ai ]V [a j ] где i = 1, N, j = 1, N или x[a1 ] M x[a N ] M v[a ] U =.

v[aM ] (3.19) N M x[a1 ]v[a1 ] M x[a N ]v[a N ] Размер матрицы U следующий [nN + mN + (n + m) N 2 ] 1.

Блоки вектора U имеют приведенную ниже структуру.

Элемент блока X [ai ], связанный с неизвестными элементами векторов x[a i ], имеет вид x1[a i ] x[a i ] = M, x[ai ] R n. (3.20) x n [a i ] Элемент блока V [a j ] связанный с неизвестными элементами векторов v[a i ], следующий:

v1[a j ] v[a j ] = M, v[a j ] R m. (3.21) v [a ] m j Элемент блока X [ai ]V [a j ] связанный с неизвестными элементами векторов x[ai ]v[a j ], следующий:

x1 [a i ]v1[a j ] x[a i ]v[a j ] =, x[a ]v[a ] R m + n.

M (3.22) x [a ]v [a ] i j N i N j Для получения нетривиального решения системы (3.3) экспертам следует задать часть элементов вектора U в системе (3.3), т.е. решить задачу смешанного управления билинейной окрестностной системой.

Пусть n - число заданных компонент состояния в задаче смешанного управления;

n k - число заданных компонент состояния в задаче смешанного управления в узле k ;

k - номер узла, в котором заданы компоненты вектора состояния;

kl - индекс заданной компоненты состояния в узле a k ;

Пусть m - число заданных компонент входа в задаче смешанного управления;

m p - число заданных компонент входа в задаче смешанного управления в узле p ;

p - номер узла, в котором заданы компоненты вектора входа;

pj - индекс заданной компоненты входа в узле b p.

Далее пусть x[ kl ] - значение заданной l -ой компоненты состояния в узле k ;

пусть v[ pj ] - значение заданной j -ой компоненты входа в узле p.

Для решения задачи смешанного управления при формировании матрицы D следует вырезать элементы столбцов матрицы коэффициентов уравнения (19), соответствующие известным компонентам векторов входов, состояний и их произведений, перенести в правую часть (19) элементы вырезанных столбцов, умноженные на значения соответствующих заданных компонент входов, состояний и их произведений. Тогда вектор D можно представить в виде D = d i, где координаты определяются по следующей формуле:

n nk m mk d i = C i,n k + kj x[ kj ] C i,n N + m k + kj v[ kj ] k = 0 j =1 p = 0 j = m nk m p n C i, N ( n +m )+ nm( k + p )+ p n+ kl v[ pj ]x[ kl ].

k =0 p =0 l =1 j = Размерность вектора D R Nn + nm +(n + m ) N 2.

По аналогии с алгоритмом смешанной идентификации, представленным во второй главе, получено уравнение вида CU = D. (3.23) Решение системы ищется и исследуется с помощью (3.23) псевдообращения по аналогии с (2.63) и (2.65):

U = C + D + (I C + C) y, (3.24) где I - единичная матрица;

y - вектор с произвольными элементами соответствующей размерности.

Начало Ввод Wx,Wv,W xv, известных v, x k= Формирование k=N Ck = [C x [ak ] MCv [ak ]MC pxv[ ak ]] Формирование C = [C1 K C N ]T Формирование D, U Решение СЛАУ CU = D Формирование векторов v[ak ], x[ak ] Вывод v, x Конец Рис 3.1. Схема алгоритма смешанного управления билинейными окрестностными системами Проверку выполнения условия совместности системы можно осуществить в терминах псевдообратных матриц. Билинейная окрестностная система совместна, если выполняется условие CC + D = D. (3.25) Если критерий (3.25) не выполняется, то решение уравнения (3.23) соответствует минимуму невязки между его левой и правой частью.

При получении неоднозначного решения необходимо набрать такие комбинации векторов x, v, которые обеспечивают минимум невязки левой и правой части (3.23).

3.3. Алгоритм оптимального смешанного управления Для получения оптимального по состоянию и входу смешанного управления может быть использован критерий [20, 39] (v j v ) ( xi xi ) 2 j K = iN1 + N=1, (3.26) x v = xi v j j где xi, v j -неизвестные компоненты состояния и входа;

x*, i = 1, N x, v*, j = 1, N v – их номинальные значения. Номинальные i j значения могут быть заданы экспертами.

При введении части переменных модели в критерий алгоритм решения задачи оптимального смешанного управления принимает вид, представленный на рис. 3.2.:

Начало Ввод заданных значений v, x, входящих в критерий Определение остальных Определение v и x по показателей решением задачи алгоритму случайного спуска смешанного управления Оптимизация по критерию нет останов?

да Вывод результатов компонентов входа и состояния Конец v, x по узлам Рис. 3.2. Алгоритм оптимального смешанного управления Данный алгоритм представлен следующими шагами:

1. Ввод части заданных значений входов и состояний, входящих в критерий. Количество и перечень заданных компонентов входов и состояний определяется из практических соображений экспертами.

Определение остальных показателей путем решения задачи 2.

смешанного управления билинейной окрестностной системой, в результате чего получается точка в многомерном пространстве, координатами которой являются значения состояний и управлений во всех узлах системы. На данном этапе применяется блок решения задачи смешанного управления, описанный выше. При этом формируются матрицы C, D и вектор U для системы CU = D, решение которой определяется по алгоритму U = C + D + (I C + C) y. (3.27) Практически, в качестве решения берется нормальное решение U =C+D. (3.28) Найденные неизвестные компоненты состояния и управления подставляются в критерий качества и вычисленное значение критерия сравнивается с вычисленными на предыдущих шагах. Критерием остановки процесса является отсутствие точки, обеспечивающей меньшее значение критерия качества в параллелепипеде ограничений параметров. Если такая точка отсутствует, переходим к выводу результатов - компонентов входа и состояния по узлам модели. В противном случае переходим к следующему шагу.

3. Для выбора следующей точки, в которой задана часть координат состояния и управления, применяем алгоритм случайного спуска с ограничениями. Рекуррентная форма записи алгоритма следующая [69]:

a K [ N ] 0, U [ N + 1] = U [ N ] K [ N ] 0, (3.29) где U [ N + 1] - приращение вектора параметров U [N ], a - величина шага ( U = a ), K [ N ] = K [ N ] K [ N 1] - единичный случайный вектор, изменение критерия качества при переходе от точки [N 1] к точке [N ].

Ограничения по параметрам учитываются на основе алгоритма возврата:

неудачным шагом считается тот, при котором нарушены ограничения или увеличивается показатель качества (U S ) (K 0 ), где S - ограничения типа неравенств. В этом случае осуществляется возврат в предыдущее состояние U [ N + 1] = U [ N ], и случайный шаг U [ N + 2] = a. При удачном шаге следует вводить случайный шаг U [ N + 1] = a.

Далее вся процедура повторяется.

3.4. Алгоритм квазиоптимального смешанного управления билинейными окрестностными системами Рассмотрим [39,86] задачу определения допустимого смешанного управления билинейными окрестностными системами w x [a, ]x[ ] + wv [a, ]v[ ] + w xv [a,, ]x[ ]v[ ] = O x [ a ] Ov [ a ] O x [ a ] Ov [ a ], (3.30) где v[a] R m, x[a] R n –– вход и состояние в узле a системы, w x [a, ] Rcn, wv [a, ] R cm, w xv [a,, ] Rcnm - матрицы–параметры, с – количество строк матриц, O x [a ], O v [a ] – окрестности узла по состоянию и входу;

a,, A, A = {a1,K, a N} конечное множество значений дискретного – A = N. Заданы p аргумента системы, компонентов векторов входных воздействий v1 и q компонентов векторов состояний x1. Пусть после компоновки известных и неизвестных компонентов входов и состояний в векторы–столбцы уравнение системы имеет вид A1 x1 + B1v1+W1 x1v1 + A2 x 2 + B 2 v 2 + W2 x2 v2 = 0 (3.31) Блочные матрицы A1, A2, B1, B 2,W1,W2, скомпонованы из элементов матриц–параметров w x [ a, ], wv [ a, ], w xv [ a,, ] и имеют соответствующую W1,W2 Rcnm.

A1, A2 Rcn, B1, B 2 Rcm, размерность, а именно:

Необходимо определить mN p неизвестных компонентов входов v 2 и nN q состояний Нормальное решение для состояния во втором узле x2.

x 2 = ( A2 + W2 v 2 ) + [( A1 x1 + B1v1 + W1 x1v1 + B2 v 2 )] (3.32) получаем из путем простых преобразований и операции (3.31) псевдообращения.

Исходные данные:

ЭТАП 1:

В первом узле заданы Задание v1, x1 в первом узле компоненты вектора входных воздействий v и компоненты вектора ЭТАП 2: состояний x Вычисление фиксированного Определить:

l приближения входа v2 линейной Во втором узле определим неизвестные окрестностной модели (оптимальное компоненты входа v 2 и управление для линейной модели при состояний x 2.

T W1 = W2 = 0, v 2 = v 2 ( ET A+ B 2) l (2) оценка v 2 -экспертная ЭТАП 3:

оптимального значения Вычисление состояния x 2 во втором входа во втором узле, узле – нормального решения системы E = [ x* i x 2i ], i = 1,K, n l (1) x 2 = ( A2 + W2 v 2 ) + [( A1 x1 + B1 x1 + вектор допустимой ошибки, т.е. отклонений + W1 x1v1 + B2 v 2 )] (3) оптимальных значений от значений, задаваемых экспертами x* i, i = 1,K, n.

ЭТАП 4:

Получение квазиоптимальных компонентов входа v 2 во втором узле для билинейной окрестностной системы v 2 =( B 2+W2 x 2 ) + ( A1 x1 + B1v1 + + W1 x1v1 + A2 x 2 ) (4) Рис. 3.3. Схема алгоритма квазиоптимального смешанного управления Далее определяем состояние во втором узле с помощью x T + фиксированного приближения входа v 2 = v 2 ( ET A2 B 2), получаемого из l линейного случая [86] при W1 = W2 = 0 с учетом необходимого условия J / v 2 = 0 J = 1/ 2 E T E + 1/ 2 v1 v1, экстремума критерия где T E = [ x* i x 2i ], i = 1,K, q - вектор допустимой ошибки, т.е. отклонений оптимальных значений от значений, задаваемых экспертами x*, i = 1,K, q. При 2i найденных фиксированных x 2 определяем соответствующие неизвестные квазиоптимальные компоненты входа во втором узле v 2 =( B 2+W2 x 2 ) + ( A1 x1 + B1v1 + W1 x1v1 + A2 x 2 ).

3.5. Пример смешанной идентификации и смешанного управления билинейными окрестностными системами Пусть требуется решить задачу идентификации и смешанного управления билинейной окрестностной системой, состоящей их двух узлов.

Пусть заданы окрестности по состоянию и управлению:

O x [a1] = {a1, a 2 }, O x [a 2 ] = {a1, a 2}, Ov [a1 ] = {a1}, Ov [a 2 ] = {a 2 }.

Параметрическая идентификация двумерной билинейной окрестностной системы Уравнение билинейной окрестностной системы имеет следующий вид.

Для узла a1 :

w x [1,1]x[1] + w x [1,2]x[2] + wv [1,1]v[1] + wv [1,2]v[2] + w xv [1,1,1]x[1]v[1] + + w xv [1,1,2]x[1]v[2] + w xv [1,2,1]x[2]v[1] + w xv [1,2,2]x[2]v[2] = 0.

Для узла a 2 :

w x [2,1]x[1] + w x [2,2]x[2] + wv [2,1]v[1] + wv [2,2]v[2] + w xv [2,1,1]x[1]v[1] + + w xv [2,1,2]x[1]v[2] + w xv [2,2,1]x[2]v[1] + w xv [2,2,2]x[2]v[2] = 0.

Пусть в первом уравнении системы w x [1,1] = 1 1, w x [1,2] = 1, 0 wv [1,1] = 1 0, wv [1,2] = 0 0, тензоры представлены в виде совокупности 0 1 0 прямоугольных матриц, представляющих собой срезы трёхмерной матрицы в количестве, равном числу координат вектора входа:

1 0 1 w xv [1,1,1] = 1 1 1, w xv [1,1,2] = 0 0 0 0, w xv [1,2,1] = 1 0 0 1, 0 0 11 0 0 0 0 0 w xv [1,2,2] = 0 0 0 0.

0 0 0 Пусть во втором уравнении системы w x [2,1] = 1 0, w x [2,2] = 1, wv [2,1] = 0 0, wv [2,2] = 1 1, 0 0 1 0 0 0 w xv [2,1,1] = 0 0 0 0, w xv [2,1,2] = 1 0 1 0, 0 0 0 0 2 0 0 2 0 1 w xv [2,2,1] = 0 0 0 0, w xv [2,2,2] = 22.

0 0 0 0 1 0 В первом уравнении неизвестными являются следующие элементы: 1, 11, 1 ;

во втором уравнении неизвестными являются следующие элементы:

4, 22.

Пусть заданы состояния и управления в обоих узлах системы:

x[1] = 1, x[2] = 1, v[1] = 1, v[2] = 1.

1 1 Представим билинейную окрестностную систему в следующем виде.

Для узла a1 :

1 0 1 + 2 0 1 + 1 0 1 + 0 0 1 + 1 0 1 1 1 1 + 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 11 1 1 + 0 0 0 0 1 1 + 1 0 21 1 1 + 0 0 0 0 1 1 = 0.

1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 Для узла a 2 :

1 0 1 + 1 0 1 + 0 0 1 + 1 0 1 + 0 0 0 0 1 1 + 0 1 1 0 4 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 2 0 1 0 1 + 1 0 1 0 1 1 + 0 0 0 0 1 1 + 1 = 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 При выполнении операций умножения матриц на векторы получаем суммы следующих векторов.

Для узла a1 :

1 + 2 + 1 + 0 + 1 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 0 = 0.

1 1 1 0 1 11 0 1 1 Для узла a 2 :

1 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 1 + 0 + 22 + 1 = 0.

1 4 0 1 0 2 1 0 1 Представим данную систему в координатной форме:

1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0, 1 + 1 1 1 + 1 1 = 0, 1 + 1 1 1 + 1 22 1 = 0, 1 + 4 + 1 2 1 + 1 + 1 = 0, 2 + 1 = 5, 21 4, 11 = 22 = 0, 4 = 1.

Представим систему в виде AW = B : [1 1] 1 = 5, имеем, A = [1 1].

Определим псевдообратную к матрице A по алгоритму Фаддеева [4]. Так как rankA = 1, то количество итераций l = 1. Примем 1 = I, определим AT A = 1 [1 1] = 1 1 ;

произведение определим след данной матрицы 1 1 1 = tr (AT A)=2. Псевдообратная к матрице A определится по формуле 1 0 1 1 0 1 1 1 1 AT A+ = = = =.

2 1 Тогда, в соответствии с методикой параметрической идентификации W = A + B. Имеем, 1 W = 1 = A + B = 2 (5) = 2.

21 1 5 Получили 11 = 4, 22 = 0, 4 = 1, 2 =, 1 =.

1 2 Результат идентификации билинейной окрестностной системы:

1 0 x[1] + 2 0 x[2] + 1 0v[1] + 1 0 1 1 x[1]v[1] + 1 0 1 2 x[2]v[1] = 0, 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 (3.33) 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 x[1] + 0 1 x[2] + 0 1v[2] + 2 0 0 1 x[1]v[2] + 0 1 0 1 x[2]v[2] = 0.

Смешанное управление двумерной билинейной окрестностной системой Пусть в (3.33) заданы часть координат состояний и управлений.

x[1] = 1 ;

v[1] = v2 ;

x[2] = 21 ;

v[2] = 21.

x v 1 1 Требуется определить координаты векторов v12 ;

x 21 ;

v21.

Подставим указанные выше векторы состояний и управлений в систему (3.33):

1 01 + 2 0x21 + 1 0 2 + 1 0 1 11 2 + 1 0 1 2x21 2 = 0, 0 11 0 1 1 0 1v12 0 1 0 41v12 0 1 0 1 1 v 1 01 1 0x21 1 0v21 1 0 1 01v21 0 0 1 0x21v 0 11 + 0 1 1 + 0 1 1 + 2 0 0 11 1 + 0 1 0 1 1 1 = 0.

Далее, произведя операции умножения, получим:

1 + 2 x21 + 2 + 2 + 2 + v12 + 2x21 + 2 + 2 v12 = 0, 1 1 v12 v12 4v12 x21v12 v 1 + x21 + v21 + v21 + v21 + 0 + v21 = 0.

1 1 1 2v21 1 x21 Представим данную систему в координатной форме:

1 5 x + 2 + 2 + 2 + v + 2 x 2 + 5 v = 0, 2 21 12 21 1 1 + v + v + 4v + x v v 2 = 0, 12 12 12 21 12 1 + x 21 + v 21 + v 21 + v 21 + 0 v 21 = 0, 1 1 + 1 + 2v 21 + 1 + x 21 1 = 0, x 21 + 7v12 = 10, x 21 + 7v12 = 10, 5v12 + x 21v12 = 0, 5v + x 21v = 0, 5v12 + x 21v12 = 0, 7v12 + 2v 12 11.

x + 2v = 1, 21 = x 21 + 2v 21 = 1, 21 2v 21 + x 21 = 1, Представим систему в виде CU = D :

v12 v = 0. Имеем C = 5 0 1, U = v 21, D = 0.

5 0 1 v 7 2 0 21 11 7 2 xv x v 21 12 21 Определим псевдообратную к матрице C по алгоритму Гревиля [4].

Воспользуемся стандартной процедурой псевдообращения в MATCAD:

0.13072 0. C + = 0.45752 0. 0.34641 0. Тогда, в соответствии с методикой смешанного управления U = C + D.

Имеем v12 0. 0.13072 0. U = v 21 = C + D = 0.45752 0.33987 0 = 3.73857.

0.34641 0. 2. x v 21 Результат смешанного управления билинейной окрестностной системой:

v12 = 0.503272, v 21 = 3.73857, x 21v12 = 2.51636.

Отсюда получим x 21 = 5.

x[1] = 1 ;

v[1] = 0.503272 ;

Имеем, окончательно 1 x[2] = 5 ;

v[2] = 3.73857.

1 При получении неоднозначного решения необходимо набрать такие комбинации векторов x, v, которые обеспечивают минимум невязки левой и правой части системы (3.33).

4. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ ЦЕХА ОЧИСТКИ СТОЧНЫХ ВОД В данной главе рассмотрены примеры некоторых билинейных окрестностных систем, применение алгоритмов идентификации и управления этими системами.

Приведены примеры построения классических, линейной и билинейной моделей цеха очистки сточных вод и главной его части - аэротенка. Решена задача смешанного управления и оптимального смешанного управления для данных объектов.

4.1. Примеры билинейного моделирования системы из двух узлов Рассмотрим пример получения системы из двух узлов:

x[1] x[2] 1 v[1] v[2] Рис.4.1. Окрестностная система из двух узлов На рис.4.1 сплошными линиями представлены связи по состоянию, пунктирными - по входу.

Окрестности узлов по состоянию имеют вид O x [1] = {,2}, O x [2] = {,2}.

1 Окрестности узлов по входу:

Ov [1] = {,2}, Ov [2] = {2}.

Билинейная окрестностная система для двух узлов и для двух сигналов x и v имеет вид 2 wx [a, ]x[ ] + wv [a, ]v[ ] + wlxx [a,, ]x[, l ] x[ ] + O x [ a ] l =1 O x [a ] Ov [ a ] O x [ a ] 2 2 + wlvv [a,, ]v[, l ]v[ ] + wlxv [a,, ]v[, l ] x[ ] + Ov [a ] l =1 O x [a ] l =1 Ov [ a ] Ov [a ] 2 + wlvx [a,, ]x[, l ] v[ ] = Ov [a ] l =1 O x [ a ] или wx [a, ]x[ ] + wv [a, ]v[ ] + [w1xx [a,, ]x[,1]x[ ] + O x [a ] Ov [ a ] O x [a ] O x [a ] + w2 xx [a,, ]x[,2]x[ ]] + [w1vv [a,, ]v[,1]v[ ] + Ov [ a ] Ov [ a ] + w2vv [a,, ]v[,2]v[ ]] + [w1xv [a,, ]v[,1]x[ ] + O x [ a ] Ov [ a ] + w2 xv [a,, ]v[,2]x[ ]] + [w1vx [a,, ]x[,1]v[ ] + Ov [a ] O x [ a ] + w2vx [a,, ]x[,2]v[ ]] = 0.

Получаем полную систему из двух уравнений в координатной форме и удаляем слагаемые, не соответствующие окрестностям.

Первое уравнение системы w x [1,1]x[1] + w x [1,2]x[2] + wv [1,1]v[1] + wv [1,2]v[2] + (w1xx [1,1,1]x[1,1]x[1] + + w2 xx [1,1,1]x[1,2]x[1] + w1xx [1,1,2]x[2,1]x[1] + w2 xx [1,1,2]x[2,2]x[1] + + w1xx [1,2,1]x[1,1]x[2] + w2 xx [1,2,1]x[1,2]x[2] + w1xx [1,2,2]x[2,1]x[2] + + w2 xx [1,2,2]x[2,2]x[2]) + ( w1vv [1,1,1]v[1,1]v[1] + w2vv [1,1,1]v[1,2]v[1] + + w1vv [1,1,2]v[2,1]v[1] + w2vv [1,1,2]v[2,2]v[1] + w1vv [1,2,1]v[1,1]v[2] + + w2vv [1,2,1]v[1,2]v[2] + w1vv [1,2,2]v[2,1]v[2] + w2vv [1,2,2]v[2,2]v[2]) + + ( w1vx [1,1,1]v[1,1]x[1] + w2vx [1,1,1]v[1,2]x[1] + w1vx [1,1,2]v[2,1]x[1] + + w2vx [1,1,2]v[2,2]x[1] + w1vx [1,2,1]v[1,1]x[2] + w2vx [1,2,1]v[1,2]x[2] + + w1vx [1,2,2]v[2,1]x[2] + w2vx [1,2,2]v[2,2]x[2]) + ( w1xv [1,1,1]x[1,1]v[1] + + w2 xv [1,1,1]x[1,2]v[1] + w1xv [1,1,2]x[2,1]v[1] + w2 xv [1,1,2]x[2,2]v[1] + + w1xv [1,2,1]x[1,1]v[2] + w2 xv [1,2,1]x[1,2]v[2] + w1xv [1,2,2]x[2,1]v[2] + + w2 xv [1,2,2]x[2,2]v[2]) = 0.

Второе уравнение системы wx [2,1]x[1] + wx [2,2]x[2] + wv [2,1]v[2] + wv [2,2]v[2] + (w1xx [2,1,1]x[1,1]x[1] + + w2 xx [2,1,1]x[1,2]x[1] + w1xx [2,1,2]x[2,1]x[1] + w2 xx [2,1,2]x[2,2]x[1] + + w1xx [2,2,1]x[1,1]x[2] + w2 xx [2,2,1]x[1,2]x[2] + w1xx [2,2,2]x[2,1]x[2] + + w2 xx [2,2,2]x[2,2]x[2]) + ( w1vv [2,1,1]v[1,1]v[1] + w2vv [2,1,1]v[1,2]v[1] + + w1vv [2,1,2]v[2,1]v[1] + w2vv [2,1,2]v[2,2]v[1] + w1vv [2,2,1]v[1,1]v[2] + + w2vv [2,2,1]v[1,2]v[2] + w1vv [2,2,2]v[2,1]v[2] + w2vv [2,2,2]v[2,2]v[2]) + + ( w1vx [2,1,1]v[1,1]x[1] + w2vx [2,1,1]v[1,2]x[1] + w1vx [2,1,2]v[2,1]x[1] + + w2vx [2,1,2]v[2,2]x[1] + w1vx [2,2,1]v[1,1]x[2] + w2vx [2,2,1]v[1,2]x[2] + + w1vx [2,2,2]v[2,1]x[2] + w2vx [2,2,2]v[2,2]x[2]) + (w1xv [2,1,1]x[1,1]v[1] + + w2 xv [2,1,1]x[1,2]v[1] + w1xv [2,1,2]x[2,1]v[1] + w2 xv [2,1,2]x[2,2]v[1] + + w1xv [2,2,1]x[1,1]v[2] + w2 xv [2,2,1]x[1,2]v[2] + w1xv [2,2,2]x[2,1]v[2] + + w2 xv [2,2,2]x[2,2]v[2]) = 0.

4.2. Разработка моделей сложного промышленного объекта - цеха очистки сточных вод 4.2.1. Описание цеха очистки сточных вод как объекта управления Современные очистные сооружения, предназначенные для очистки городских сточных вод, состоящих из хозяйственно-бытовых и промышленных стоков, являются сложными, многостадийными, распределёнными системами.

Цеху очистки сточных вод присущи следующие свойства, позволяющие отнести его к сложной системе [33, 82]:

1) отсутствие математического описания;

2) стохастичность, связанная в основном с большим числом внешних факторов, оказывающих влияние на поведение объекта;

3) нестационарность, проявляющаяся в дрейфе характеристик объекта, то есть в эволюции объекта во времени;

4) невоспроизводимость экспериментов, что проявляется в различной реакции объекта на одну и ту же ситуацию или управление в различные моменты времени.

Сооружения системы включают в себя подсистемы механической, биологической очистки, обеззараживания и обработки осадка. Механическая очистка представлена решётками, песколовками, усреднителями, первичными отстойниками;

биологическая – аэротенками, вторичными отстойниками;

обеззараживание контактными резервуарами;

обработка осадков – илоуплотнителями, иловыми площадками, цехом механического обезвоживания.

В наиболее простом варианте, допускающем измерение параметров, данную систему рассматривают как совокупность четырёх узлов, именуемых «вход на очистные сооружения», «после усреднения», «после механической очистки», «сброс в реку» [33, 82]. Кроме того, для оценивания существенных показателей, определяемых только для цеха в целом, введем фиктивную подсистему «Цех в целом», связанную со всеми подсистемами цеха очистки сточных вод. Связь между подсистемами (узлами) представлена в виде графа на рис. 4.2, где 1- вход системы;

2- состояние после усреднения;

3- состояние после механической очистки;

4- сброс в реку;

5- цех в целом.

v[1] v[4] x[1] x[4] x[2] x[3] v[2] v[3] Рис. 4. 2. Граф цеха очистки сточных вод 4.2.2. Информативность переменных состояния и управления Из 35 измеряемых параметров 2 (прозрачность и взвешенные вещества) условно приняты за выход из системы, остальные 33 за состояние. При этом для параметра «запах» введена количественная характеристика (фекалии –1, илистое -0).

При анализе работы цеха были выбраны существенные параметры состава сточных вод, некоторые из которых приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1.

Существенные факторы работы цеха Компоненты входа и состояния Наименование показателя Объем проходящей воды, тыс.м., куб/сут x[1] Температура, С x[2] Осадок отстоя через 2 часа x[3] Плотный осадок, мг/л x[4] Прокаленный осадок, мг/л x[5] Активная реакция pH x[6] Щелочность, мг экв/л x[7] Жесткость, мг экв/л x[8] Растворенный кислород, мг/л x[9] Азот аммонийный, мг/л x[10] Азот нитритов, мг/л x[11] Азот нитратов, мг/л x[12] Фосфор фосфатов, мг/л x[13] ХПК, мг О2/Л x[14] ХПК, мг О2/Л отстоен.

x[15] БПК5 мг О2/л x[16] БПК5 мг О2/л отстоен.

x[17] Хлориды, мг/л x[18] Сульфаты, мг/л x[19] Железо, мг/л x[20] Никель, мг/л x[21] Цинк, мг/л x[22] Медь, мг/л x[23] Хром, мг/л x[24] Прозрачность, см v[1] Взвешенные вещества, мг/л v[2] 4.3. Модели оценки качества очистки сточных вод в системе автоматизированной диагностики Для прогнозирования поведения системы могут применяться как статические и динамические модели, полученные по классическим методикам, так и окрестностные модели и метод смешанного управления, являющиеся новыми разработками [11-19, 33-36, 77-100]. В данной главе сделана попытка связать вместе два подхода, используя общность представления системы с помощью окрестностных моделей.

4.3.1. Статические и динамические модели процесса очистки сточных вод В целях выявления существенных технологических факторов процесса очистки сточных вод, наиболее сильно влияющих на выходные показатели (прозрачность и взвешенные вещества), были определены коэффициенты корреляции между параметрами состояния и указанными выходными показателями.

Анализ показывает, что по значению коэффициента корреляции ( r 0.6 ) существенными параметрами по влиянию на выходы являются:

по прозрачности азот аммонийный, r = 0.79 ;

азот нитратов, r = 0.825 ;

фосфор фосфатов, r = 0.772 ;

по взвешенным веществам:

азот аммонийный, r = 0.677 ;

ХПК мг 0,2/л, r = 0.819 ;

БПК5 мг 0,2/л, r = 0.722 ;

сульфаты мг/л, r = 0.674 ;

железо мг/л, r = 0.91;

медь мг/л, r = 0.771;

фенолы мг/л, r = 0.618.

Приведем некоторые модели зависимости выходных параметров от существенных факторов.

Модель взвешенных веществ:

v[2] = 10.14 + 0.86 x[10] + 0.62 x[12] 2.45 x[13] + 6.44 x[14] + 612.3 x[16], (4.1) где x[10] — содержание азота аммонийного, x[12] — азота нитратов, x[13] — фосфора фосфатов, x[14] —ХПК мг 0,2/л, x[16] - БПК5 мг 0,2/л, x[20] железа, x[23] - меди, v[2] -взвешенные вещества мг/л, v[1] - прозрачность, см.

Рис.4.3. демонстрирует адекватность модели (4.1).

Адекватность модели 60 взвешенные в-ва 30 - взвешенные в-ва мг/л - модель - относит. ошибка 0 - янв мар май июл сен ноя месяцы Рис.4.3. Адекватность модели взвешенных веществ (4.1) Модели прозрачности:

x[12] v[1] = 21,97 0,03x[10] + 46,53 4 x[12] 9,55 7,73, (4.2) x[12] x[13] v[1] = 15,2 0,27 x[10] + 26,63( x[12])1 / 4 + 2,7 x[13]. (4.3) Рис.4.4. демонстрирует адекватность модели (4.3).

прозрачность регрессия янв мар май июл сен ноя Рис.4.4. Адекватность модели прозрачности (4.3) Укажем также некоторые соотношения, связывающие важные с экологической точки зрения параметры группы азота и фосфора между собой и с выходными:

x[10] = 19,15 0,741x[12] + 0,037 x[13] 0,2v[1] ;

(4.4) x[10] = 28,076 + 2,4 x[12] 4,59 x[13] 7,86 x[12]x[13] 0,113v[1] ;

(4.5) x[12] x[10] = 29,645 15,91x[12] 1,371x[13] 0,187 x[13] 0,465v[1] + 5,03x[12](v[1])0,33. (4.6) Рис.4.5. демонстрирует адекватность моделей (4.5),(4.6) (модели 2 и 3) Предсказанное азот_ аммон модель азот аммонийный 10 Предсказанное азот_ аммон модель янв мар май июл сен ноя Рис.4.5. Адекватность моделей (4.5),(4.6) (модели 2 и 3) Говоря об анализе моделей, продемонстрируем для модели (4.6) на рис.4.6. следующий график аммонийны азот азот аммонийный й Предсказанное азот 0 5 аммонийный азот нитратов мг/л Рис.4.6. График подбора Исходя из результатов анализа взаимосвязей, получили динамические модели, более адекватно описывающие изменение переменных. Так, для v[1] x12,t v1,t +1 = 15,2 + 0,24v1,t + 0,127 x10,t + 30,9 4 x12,t 10,17 x12,t 2,95, (4.7) x3,t где t — дискретное время.

4.3.2. Синтез окрестностных моделей и смешанное управление цехом очистки сточных вод Приведенные выше модели, полученные по классическим методикам, связывают параметры в пределах одного узла, в данном случае «сброс в реку».

Разработка более общих и точных моделей оценки качества очистки сточных вод в системе автоматизированной диагностики требует учета сложной структуры системы, в частности всех названных узлов. При этом в свете возрастающих экологических требований актуальными для данных систем становятся задачи определения параметров тех узлов, для которых измерение является дорогим и затруднительным, определение параметров входного и промежуточных участков по заданным инструкцией параметрам выхода из системы (норма на сброс в реку), определение параметров промежуточных участков по заданным экспертами (инструкцией) значениям параметров на входе и выходе из системы [20, 33-36, 83-84].

Рассмотрим в данном пункте реализацию методики построения линейной и билинейной окрестностных моделей на примере сложного распределенного объекта - цеха очистки сточных вод ОАО «НЛМК».

Для решения указанных выше задач при выборе линейной структуры модели наиболее приспособленной является симметричная модель и метод смешанного управления [20, 33].

Симметричная модель имеет вид w x [a, ]x[ ] = wv [a, ]v[ ], (4.8) O x [ a ] Ov [a ] где v[a ] R m, x[a ] R n –– вход, состояние и выход в узле системы a ;

wv [a, ] R cm wx [a, ] R cn –постоянные матрицы–параметры;

, Ov [a ], O x [a ] –окрестности по входу, состоянию соответственно (вообще говоря, Ov [a ] Ox [a ] a A );

a,, A, A = {a1,K, a N } – множество значений аргумента системы, A = N.

В свете сказанного решение задачи смешанного управления позволяет определить неизвестные компоненты входов v и состояний x по известной их части v* и x*.

Было проведено несколько вариантов расчётов с идентификацией модели и смешанным управлением в каждом из них. Результаты расчётов показали, что полезным является, как отмечено выше, введение фиктивного пятого опорного узла «цеха в целом», связанного со всеми другими подсистемами ЦОСВ, т.е.

узла, компонентами которого являются средние значения 4 названных узлов системы. При этом при определении текущих параметров 2-го и 3-го узлов («после усреднения» и после «механической очистки») по параметрам входа и выхода из системы (данные инструкции) по результатам моделирования с учётом данных предыдущего года погрешность составила 4%, а по данным текущего года - менее 1%. Аналогичные результаты получены при решении других поставленных выше задач. Была проведена смешанная идентификация системы по заданным первому и четвёртому узлам в предположении о 10%-ном и 30-40%-ном снижении значений во втором и третьем узлах соответственно по отношению к входу. Остановимся подробнее на процедуре идентификации. В соответствии с рис. 4.1 окрестности системы по входу и cостоянию имеют следующий вид:

Ov [1] = {1};

Ov [2] = {2};

Ov [3] = {3};

Ov [4] = {4};

Ov [5] = {5};

Ox [1] = {1,2,5};

Ox [2] = {1,2,3,5};

O x [3] = {2,3,4,5};

O x [4] = {3,4,5};

O x [5] = {1,2,3,4,5}.

Для линейной окрестностной модели уравнения узлов системы имеют следующий вид (обозначения узлов заменены их номерами).

wx [1,1]x[1] + wx [1,2, ]x[2] = wv [1,1]v[1];

wx [2,1, ]x[1] + wx [2,2]x[2] + wx [2,3]x[3] + w x [2,5]x[5] = wv [2,2]v[2];

wx [3,2]x[2] + wx [3,3]x[3] + wx [3,4, ]x[4] + wx [3,5, ]x[5] = wv [3,3]v[3];

(4.9) wx [4,3]x[3] + wx [4,4]x[4] + wx [4,5]x[5] = wv [4,4]v[4];

w [5,1]x[1] + w [5,2]x[2] + w [5,3]x[3] + w [5,4]x[4] + w [5,5]x[5] = w [5,5]v[5].

x x x x x v При выборе нелинейной структуры модели целесообразным является применение билинейных окрестностных моделей, развивающих симметричные и учитывающих нелинейность типа произведения состояния на управление [20] r r wi [a,, ]ui [ ] i [ ] = 0.

wi [a, ]u i [ ] + (4.10) i =1 Oui [a ] i =1 Oui [ a ] O i [a ] ui, i Здесь Ou i [a], O i [a] окрестности по элемента a A = {a1,..., a N }, wi [a, ], wi [a,, ](i = 1, r ) - некоторые матрицы.

a, Используя методику построения симметричной и билинейной модели, проведем параметрическую идентификацию цеха очистки сточных вод. Часть результатов идентификации для билинейной модели приведена ниже.

При идентификации окрестностной модели часть элементов некоторых матриц задается экспертами. Так, в частности, для одного из вариантов вычислений были рассчитаны и заданы следующие элементы матриц:

w x [1,1](1,1) = 0.1302;

w x [ 2,2](1,1) = 0.0513;

w x [3,3](1,1) = 0.05388;

w x [4,4](1,1) = 0.05795;

w x [5,5](1,1) = 0.0771;

w x [1,1](1,1) = 1;

wv [2,2](1,1) = 1;

wv [3,3](1,1) = 1;

wv [4,4](1,1) = 1;

wv [4,4](5,5).

Укажем некоторые из матриц-параметров [a, ], характеризующие коэффициенты связи по входу:

wv [1,1] = [1,00000000 0,00688363], wv [2,2] = [1,00000000 0,00008446], wv [3,3] = [1,00000000 0.00013471], wv [4,4] = [1,00000000 0,00081221],...

Укажем некоторые из матриц w x [a, ], являющиеся коэффициентами модели цеха очистки сточных вод по состоянию для узлов “вход на очистные сооружения”, “после усреднения”, “после механической очистки”, “сброс” и “цех в целом”:

wx [1,1] = [0.13020000 0.00048557 0.00002856... 0.00015424 ];

связь по состояниям между “входом на очистные сооружения” и “после усреднения” wx [1,2] = [0.00203081 0.00051413 0.00002856... 0.00218791];

M связь по состояниям между узлами “после усреднения” и “после механической очистки” w x [2,3] = [0.00006635 0.00001727 0.00000093... 0.00007149 ].

Используя методику, рассмотренную в главе 3, решим задачу смешанного управления для цеха очистки сточных вод. В качестве исходных данных берется прозрачность и взвешенные вещества. Часть результатов приведена ниже (с округлением до тысячных).

Введенные значения входных воздействий для пяти узлов – “вход на очистные сооружения”, “после усреднения”, “после механической очистки”, “сброс в реку”, “цех в целом”:

v[1,1] = 7;

v[1,2] = 128.7;

v[2,1] = 11.73;

v[2,2] = 97.27;

v[3,1] = 16.46;

v[3,2] = 65.84;

v[4,1] = 21.2;

v[4,2] = 34.4;

v[5,1] = 11.5975;

v[5,2] = 81.5525.

Рассчитанные по алгоритму смешанного управления некоторые значения состояний для узлов “после усреднения” и “после механической очистки”:

-для узла “после усреднения” x[2,1] = 71.100007;

x[2,2] = 17.100104;

x[2,3] = 1.000167;

x[2,4] = 4.299877;

x[2,5] = 485.497651;

x[2,6] = 330.498380;

x[2,7] = 7.899858;

x[2,8] = 3.700055;

.

-для узла “после механической очистки” x[3,1] = 71.101471;

x[3,2] = 17.200077;

x[3,3] = 0.999814;

x[3,4] = 4.300179;

x[3,5] = 471.701006;

x[3,6] = 345.300243;

x[3,7] = 7.899788;

x[3,8] = 3.699745;

M При этом управление объектами, в частности аэротенком, в пределах цеха с использованием окрестностной модели осуществляется с учетом отклонения измеряемых координат состояния от заданных уставок параметров по схеме:

Механическая Аэротенк v x очистка Рис. 4.7. Схема управления 4.3.3. Применение адаптивного подхода к построению модели процесса очистки сточных вод Представляет интерес изучение динамики, адаптации и оценки параметров указанных классов окрестностных систем (4.8)-(4.10) в случае не полностью учтенной структуры объекта (узлы укрупнены). Для оценки параметров окрестностной системы необходимо от представления, предложенного в формулах (4.1)-(4.7) [34, 39], перейти к указанному ниже представлению. Для этого, например, простейшую билинейную окрестностную систему (4.10) для преобразований x, v, содержащую только линейные члены и билинейные члены типа xv, w x [a, ]x[ ] + wv [a, ]v[ ] + Ox [a ] Ov [ a ] + w xv [a,, ]x[ ]v[ ] = (4.11) O x [a ] Ov [ a ] следует преобразовать к виду wx [a, ]x[ ] + wv [a, ]v[ ] = O x [a ] Ov [ a ] = wxv [a,, ]x[ ]v[ ] (4.12) O x [a ] Ov [ a ] или к виду wx [a, ]x[ ] + wv [a, ]v[ ] = S, (4.13) O x [a ] Ov [ a ] где под S в общем случае понимается слагаемое, включающее в себя неопределенность, связанную как с нелинейностью модели, так и с не полностью учтенной структурой объекта (укрупненностью узлов). Последнее обстоятельство позволяет для укрупненных узлов, учитываемых в (4.13) слагаемым S, применять формулы типа (4.1)-(4.7). Применение адаптивной идентификации позволяет уменьшить структурную неопределенность объекта и выделить с помощью процедуры обработки S слагаемые, соответствующие не учитываемым ранее узлам системы. Вид слагаемых (линейные, билинейные) определяется дополнительно из свойств S. При этом можно говорить об иерархической структуре соотнесения новых узлов по отношению к совокупности всех прежних узлов, т.е. о дереве окрестностного описания объекта. Алгоритм преодоления неопределенности, заключенной в слагаемом S, подробно описан в работе [34] (см. также раздел 2.5) и назван методом адаптивной идентификации билинейных окрестностных систем. Он основан на использовании функций Ляпунова и метода адаптивных алгоритмов.


В данном разделе на примере системы автоматизированной диагностики качества очистки сточных вод на основе общности окрестностного представления предложена методология увязывания двух подходов в прогнозировании: статических и динамических моделей, полученных по классическим методикам, и окрестностных билинейных дискретных моделей и метода смешанного управления, являющихся новыми разработками. При этом классические модели в рамках данного представления могут связывать параметры в пределах одного узла (или укрупненного узла), а основной моделью является билинейная окрестностная. Структура последней в простом случае может быть полностью задана, и для прогнозирования применяется метод смешанного управления. В общем случае для прогнозирования работы объекта со сложной структурой, нелинейными связями, наличием неопределенности применяем рассмотренный адаптивный подход. По мере раскрытия неопределенности новые узлы могут быть включены в окрестностную модель.

4.4. Управление аэрационными сооружениями на основе окрестностных моделей с учётом энергозатрат В данном разделе на примере моделирования работы аэротенка рассматривается сравнение трех классов моделей: классических, линейных окрестностных и билинейных окрестностных. Показано, что при проведении процедуры оптимизации окрестностные модели, учитывающие априорные знания о наиболее важных взаимодействиях между частями объекта, обеспечивают лучший результат по сравнению с классическими моделями в смысле среднеквадратического критерия. Еще больший эффект достигается при применении билинейных окрестностных моделей [39].

В качестве примера сложной пространственно-распределенной системы рассмотрим биологическую очистку сточных вод. Для такой системы актуальной является задача достижения наилучшего качества очистки сточных вод при наименьших затратах, в частности наименьшем расходе электроэнергии. Рассмотрим описание, моделирование и управление данными системами на примере наиболее важной части — аэротенка.

4.4.1. Описание работы и выбор существенных параметров работы аэротенка Биологическая очистка играет существенную роль в современных очистных сооружениях, предназначенных для очистки городских сточных вод [19, 82 - 84]. Сооружения биологической очистки предназначены для снятия органических загрязнений. Биологическая очистка представлена следующими сооружениями: аэротенками, вторичными отстойниками, контактными резервуарами. Аэротенки предназначены для очистки сточных вод от органических загрязнений, находящихся в сточных водах в растворённом и нерастворённом виде (рис. 4.7-4.8). Технический регламент работы аэротенков обусловлен поддержанием нескольких характеристик, обеспечивающих нормально идущий процесс биологической очистки. Такими характеристиками являются: гидравлическая нагрузка, регулируемая шиберами;

процент регенерации активного ила, регулируемый количеством коридоров;

доза ила в аэротенке и регенераторе, регулируемая количеством циркуляционного оборудования;

количество растворённого кислорода, регулируемого количеством работающих воздуходувок;

интенсивность аэрации, регулируемая работой системы аэрации. В аэротенках микробиальная масса находится во взвешенном состоянии в виде отдельных хлопьев, представляющих собой зооглейные скопления микроорганизмов, простейших и Исходная вода Очищенная вода Рис. 4.8. Схема аэротенка 1 Рис. 4.9. Аэрационный процесс: 1 - аэратор;

2- активный ил более организованных представителей фауны. Этот биоценоз организмов, развивающихся в аэробных условиях на органических загрязнениях, содержащихся в сточной воде, называется активным илом. Органические кислоты, спирты, белки, углеводы используются бактериями для получения углерода, азота, фосфора и т.д., вследствие чего происходит прирост массы бактерий.

Интенсивность биохимических процессов зависит от ряда факторов:

температуры, обеспечения кислородом, перемешивания (интенсивность аэрации), состава биоценоза, наличия питательных веществ. Часть ила после отстаивания возвращается в аэротенки (циркуляционный ил), часть удаляется в илоуплотнители. Бактерии имеют высокую скорость воспроизводства. На этой способности к быстрому размножению и высокой скорости потребления питательных веществ основано использование биологических методов очистки сточных вод.

Анализ работы аэротенка показывает, что в качестве переменных состояния в полной модели могут быть взяты: 1) растворенный кислород, 2) группа азота (азот аммонийный, азот нитритов, азот нитратов);

3) ХПК (биохимические загрязнения);

4) БПК (органические загрязнения);

5) взвешенные вещества;

6) прозрачность. В качестве переменной входа (обобщенного управляющего воздействия) - затраты электроэнергии. В более простом варианте с учетом наиболее существенных переменных состояния могут быть взяты растворенный кислород, азот аммонийный, азот нитритов.

4.4.2. Классические и окрестностные модели аэротенка Рассмотрим примеры некоторых классических и окрестностных моделей аэротенка [20, 39]. Так, анализ исходных данных позволил получить регрессионную зависимость расхода электроэнергии от восьми наиболее существенных параметров v = 115186,9 + 53,8 x[14] 90,8v[1] 116,1v[2] 329,2 x[10] 10371x[11] + 13,1x[12] 3297 x[9], (4.14) где x[14] — ХПК (мг 02/л), v[1] — прозрачность (см), v[2] — взвешенные вещества (мг/л), x[10] — азот аммонийный (мг/л), x[11] — азот нитритов (мг/л), x[12] — азот нитратов мг/л, x[9] — растворенный кислород (мг/л), v — расход электроэнергии (кВт/сут).

Для изучения работы аэротенка были построены также различные линейные окрестностные модели [19, 83, 84], обобщающие классические линейные дискретные модели, и для каждой из них проведены соответствующие расчеты. В частности, в упрощенном варианте построена симметричная модель с двумя узлами [19, 84], представленная на рис.4.1.

Сплошные линии – связи по состоянию, пунктирные - по входу. Симметричная модель (4.8) при сделанных предположениях имеет вид wx [1,1]x[1] + wx [1,2]x[2] = wv [1,1]v[1], w [2,1]x[1] + w [2,2]x[2] = w [2,2]v[2], (4.15) x x v где V [a ]R 3, x[a] R 3 - вход и состояние в узле a системы, wv [a, ]R13, wx [a, ]R13 - матрицы-параметры, x [a ], v [a ] – окрестности узла a по состоянию и входному воздействию соответственно. В нашем случае v [1] = {1}, v [2] = {2}, x [1] = {1,2}, x [2] = {1,2}.

В качестве компонентов состояния взяты растворённый кислород, азот аммонийный и азот нитритов. В качестве входов - затраты электроэнергии.

Очистка сточных вод от азота аммонийного и азота нитритов напрямую зависит от количества электроэнергии, затраченной на увеличение интенсивности аэрации, увеличения процесса рециркуляции, т.е. на работу воздуходувок, циркуляционных насосов, шнеков. Для решения задачи смешанного управления в качестве состояний выходного узла взяты данные ПДС (норма) и рассчитаны затраты электроэнергии в кВт.

Так как процессы, протекающие при биологической очистке, являются в целом нелинейными, то актуальным является применение билинейных окрестностных моделей (4.10), развивающих симметричные.

4.4.3. Квазиоптимальное смешанное управление аэротенком Для изучения работы аэротенка были построены различные окрестностные модели и для каждой из них проведены соответствующие расчеты. В частности, в упрощенном варианте построены симметричные и билинейные модели с двумя узлами. В пункте 3.4 главы 3 представлена методика квазиоптимального смешанного управления билинейной окрестностной системой, состоящей из двух узлов. Рассмотрим применение этой методики для моделирования работы аэротенка.

Пусть в системе (1.7), представленной двумя узлами, в соответствии с частным случаем методики, изложенной в пункте 3.4 [86], в первом узле заданы компоненты вектора входных воздействий v1 и компоненты вектора состояний x1. Представим (1.7) в виде A1 x1 + B1 v1 + W1 x1v1 + A2 x2 + B2 v 2 + W2 x2v2 = 0. (4.16) Блочные матрицы A1, A2, B1, B 2,W1,W2 имеют размерности матриц w x [ a, ], wv [ a, ], w xv [a,, ]. Необходимо определить во втором узле неизвестные компоненты входа v 2 и состояний x 2.

В соответствии с главой 2 была осуществлена идентификация модели (4.16) Затем по указанному алгоритму (пункт 3.4) по формулам T v2 = v ( E T A+ B 2) ;

l 2 x2 = ( A2 + W2 v2 ) + [( A1 x1 + B1v1 + W1 x1v1 + B2 v2 )] ;

v 2 =( B 2+W2 x 2 ) + ( A1 x1 + B1v1 + W1 x1v1 + A2 x 2 ) (4.17) было получено допустимое решение задачи смешанного управления билинейной окрестностной системы - вектор состояний для второго узла x[9] 5. x 2 = x[10] = 0.3580847 (4.18) x[11] 0. и допустимое приближение входа второго узла v2 = 83719.8525688. Здесь в качестве компонент вектора состояний второго узла взяты: x[9] -содержание кислорода (мг/л), x[10] -азота аммонийного (мг/л), x[11] -азота нитритов (мг/л);

в качестве скалярного входа v2 второго узла - расход электроэнергии (кВт/сут).

Среднеквадратическое относительное отклонение данной точки от точки, заданной технологической инструкцией по параметрам состояния, составляет 3.854 %. Изменение расхода электроэнергии в случае использования такого режима по сравнению с применяемыми уставками составляет 0.000176 %.

Среднеквадратическое относительное отклонение данной точки от точки, заданной технологической инструкцией по параметрам состояния и с учетом минимальных затрат электроэнергии, составляет 3.253 %. Отклонение данной точки, полученной по методике нахождения допустимого решения задачи смешанного управления билинейной окрестностной системы по параметру v 2, v2 = 81407.2808333, от точки полученной далее как решение задачи оптимизации для полной билинейной окрестностной системы по среднеквадратическому критерию, составляет 2.84 %.


Методика определения допустимого решения позволяет минуя процедуру оптимизации, обсуждаемую ниже, по формулам получить (4.17) квазиоптимальное решение задачи смешанного управления.

4.4.4. Сравнение классических, линейных окрестностных и билинейных окрестностных моделей аэротенка Далее приводятся некоторые результаты оптимизации, полученные с помощью трёх классов моделей: линейных и нелинейных классических (регрессионных), линейных окрестностных и билинейных окрестностных. Для расчета оптимальных показателей на основании мнения экспертов были выделены отмеченные выше показатели в качестве параметров состояния и входа и вошедшие в среднеквадратический критерий качества (критерий минимальности) 11 ( x[i ] x [i ]) + (v2 v 2 ), K = i=9 (4.19) x [i ] v где x[i], i = 9,11, v2 ––выбранные показатели;

x [i ], i = 9,11, v2 ––значения соответствующих показателей, рекомендуемых технологической инструкцией.

При этом модели, построенные по классическим методикам, применили для нахождения оптимального управления в пределах одного (в данном случае, второго) узла, а полилинейные окрестностные, связывающие параметры разных узлов и позволяющие определить оптимальные уставки параметров с помощью метода смешанного управления, - для нахождения оптимального управления, в частности во втором узле, с использованием данных обоих узлов [35].

Для расчетов использовались следующие классические (регрессионные) линейная и квадратичная модели v2 = 108287,0 3096,3 x[9] 179,7 x[10] 5910,3 x[11], (4.20) v2 = 2764.4 + 24522.1x[9] 1903x 2 [9] + 1835.4 x[10] 71.2 x 2 [10] 18607.4 x[11] + 18194.2 x 2 [11], (4.21) где скалярные значения x[9] — растворенный кислород (мг/л), x[10] — азот аммонийный (мг/л), x[11] — азот нитритов (мг/л), v2 — расход электроэнергии (кВт/сут). Далее линейная окрестностная модель вида [20, 35] wx1 x1 + wx2 x2 + wv1 v1 + wv2 v 2 = 0, (4.22) x[9] x[9] x[10], v и x = x[10], v понимаются векторные состояния и где под x1 = 1 2 x[11] x[11] скалярные входы соответственно в первом и втором узлах системы. Следующая модель - это полная билинейная окрестностная модель вида [20, 35] с обозначениями из (4.22) wx1 x1 + wx 2 x2 + wv1 v1 + wv 2 v 2 + + Wx1v1 x1v1 + Wx1v2 x1v2 + Wx2 v1 x2v1 + Wx2 v2 x2 v2 = 0 (4.23) Для расчета оптимальных показателей на основании мнения экспертов были выделены следующие показатели в качестве параметров состояния и входа и вошедшие в критерий качества (табл. 4.2) Таблица 4. Показатели, вошедшие в критерий качества Компоненты Наименование Требование к состояния и входа показателя оптимуму Раствор.кислород,мг/л x[9] max Азот аммонийный,мг/л x[10] min Азот нитритов,мг/л x[11] min Расход электроэнергии, v(2) min кВт·ч По разработанному алгоритму [87, 93] были получены оптимальные решения задачи смешанного управления для линейных и нелинейных окрестностных систем (4.22)- (4.23) со среднеквадратическим критерием оптимальности (4.19).

Варьируя последовательно первый;

первый и второй;

первый, второй и третий факторы, получили результаты, приведенные в таблице 4.3. Полученные результаты согласуются с реальными данными. Они иллюстрируют наилучшие достижимые значения показателей в смысле критерия (4.19).

Таблица 4. Результаты оптимизации 1 показатель 2 показателя 3 показателя Оптимальные значения критерия Компоненты состояния и входа 0.7438596 0.2280899 0. Значения показателей, соответствующие оптимальному значению критерия x[9] 7.4257649 7.345704 7. x[10] 0.61031578 0.400465 0. x[11] 0.02357894 0.02017 0. v(2) 81431.8862 81408.44 81407. Результаты оптимизации [35] сведены в таблицу 4.4. Сравнение результатов пункта 4.4.3 и таблицы 4.4 показывает, что методика получения допустимого решения (4.17) позволяет получить решение с хорошими показателями (значение среднеквадратического критерия, полученное по формуле (4.18), K = 0.13 ).

При минимальном значении критерия оптимальности cреднеквадратическое относительное отклонение полученной в результате процедуры оптимизации точки от точки, заданной технологической инструкцией по параметрам состояния и с учетом минимальных (не ниже заданного предела) затрат электроэнергии, составляет для линейной регрессионной модели 6.153 %, для квадратичной регрессионной модели (расчетные затраты ниже заданного предела) 5.98 %, для линейной окрестностной модели 5.96 %, для билинейной окрестностной 5.64 %.

Оценка качества (минимум среднеквадратического критерия (4.19)) трёх классов моделей на примере моделирования работы аэротенка отражена в строке таблицы 4.4 и демонстрирует улучшение качества от классических моделей до билинейных окрестностных.

Отметим дополнительно, что высокое качество окрестностных и билинейных окрестностных моделей, подтверждённое представленными расчетами, позволяет эффективно воспользоваться предлагаемой автором методикой объединения двух подходов в управлении пространственно распределенными системами: основной моделью является билинейная окрестностная и управление осуществляется методом смешанного управления, задающим уставки, а модели, построенные по классическим методикам, применяем при уточняющем локальном управлении в пределах одного укрупненного узла.

Таблица 4. Результаты оптимизации классических и окрестностных моделей Классические Окрестностные Линейные Квадратичные Линейные Билинейные Оптимальные значения критерия 0.246 0.239 0.238 0. Среднеквадратическое относительное отклонение по Компоненты состоянию от нормы в % состояния 7.777 7.777 7.694 7. и входа Изменение расхода электроэнергии по сравнению с применяемыми уставками в % 1.75 10.617 0.00001 2. Среднеквадратическое относительное отклонение по состоянию от нормы с учетом min затрат электроэнергии в % 6.153 5.98 5.96 5. Значения показателей, соответствующие оптимальному значению критерия x[9] 7.4 7.4 7.385 7. x[10] 0.39 0,39 0.39008 0. x[11] 0.02 0,02 0.02 0. v(2) 85186.091 74830.966 83719.98 81407. В данном разделе на примере системы управления аэротенком рассматривается сравнение трех классов моделей: классических, линейных окрестностных и билинейных окрестностных [35]. Показано, что при проведении процедуры оптимизации окрестностные модели, учитывающие априорные знания о наиболее важных взаимодействиях между частями объекта, что позволяет принципиально снизить размерность модели, обеспечивают лучший результат по сравнению с классическими моделями в смысле среднеквадратического критерия. Кроме того, в разделе предлагается объединение двух подходов в управлении пространственно-распределенными системами: основной моделью является полилинейная окрестностная и управление осуществляется методом смешанного управления, задающим уставки, модели, построенные по классическим методикам, применяем при уточняющем локальном управлении в пределах одного укрупненного узла.

4.4.5. Адаптивные модели управления работой аэротенка Для текущего локального управления аэротенком в пределах второго узла применили методы адаптивного управления, при этом сначала решалась задача идентификации [36].

По каналам «азот аммонийный ( x[10] )— растворенный кислород ( x[9] )»

и «растворенный кислород ( x[9] ) — расход электроэнергии ( v )» были получены следующие математические модели:

x10,n+1 = x10,n + x 9,n + f n, (4.24) x9,n = vn +, (4.25) где n — дискретное время, f n = 5,98, = 0,43, = 1,89. = 0,0002, = 23,84.

Далее в качестве управления u n в (4.28) принималась переменная x[9].

Алгоритм управления x[9] определялся таким образом, чтобы минимизировать ошибку en = x10,n x10,n, где x10,n — заданный уровень азота аммонийного в * * воде. Для решения задачи оптимального управления рассмотрим функционал Vn = en. Обозначим (n, u n ) = Vn = Vn+1 Vn. (4.26) Тогда задача формулируется следующим образом: необходимо найти управление u n кислородом таким образом, чтобы u n = min (n, u n ). (4.27) n Вычислим функцию (n, u n ) с учетом (4.24). Тогда, пользуясь методом алгоритмов управления, из условия (4.27) получаем следующий закон:

en + f n un =. (4.28) После определения закона управления на основе зависимости (4.25) определяем расход электроэнергии для поддержания требуемого расхода кислорода в виде u vn = v (u n ) = n. (4.29) Так как на расход электрической энергии накладываются экономические ограничения, то при реализации полученной зависимости с помощью регулятора (4.29) преобразуем к виду v*, u n u 2, vn = vn, u n [u1, u 2 ], (4.30) v*, u n u1, где v*,v* — некоторые числа, v* v*, u1,u 2 — пределы содержания x4 в растворе { u1 = 6.7;

u 2 = 7.2;

y = 79000;

y = 83700 }.

Результаты работы синтезированных алгоритмов (4.28) — (4.30) показаны на рис. 4.10. Здесь в качестве x10,n брался x10,n.

* 110000 yn un yn 100000 yn y nрег un un 90000 80000 1 3 5 7 9 11 n Рис. 4.10. Результаты работы процедуры (4.28) — (4.30) Ошибка прогнозирования переменной x10,n с помощью предложенной процедуры и результаты работы алгоритма (4.29) в пространстве {n, u n, en } показаны на рис. 4.11 и рис. 4.12.

e 5 E_ 0 n 1 3 5 7 9 - - Рис. 4.11. Ошибка прогнозирования переменной x10,n un 0 4 en n Рис. 4.12. Результаты работы алгоритма (4.33) в пространстве {n, u n, en } 4.5. Прогнозирование свойств материалов с помощью распределенных окрестностных моделей Для прогнозирования свойств материалов могут применяться как статические, так и динамические модели, представляющие собой отдельные зависимости для каждого выходного показателя. Представляет интерес получение общей модели прогнозирования, увязывающей различные выходные характеристики материалов на основе применения окрестностных моделей [39, 108].

Рассмотрим сначала вопрос синтеза классических статических моделей для полимербетона ПН-609-21М, применяющегося для покрытия дорог. На основе анализа зависимости между пределом выносливости полимербетона max и коэффициентом асимметрии цикла была получена математическая модель, описывающая изменение max :

0,317 0,5 + 0,228 0,034 0,02 ;

0 0,3, () = (4.31) 0,199 0,4 + 0,198 + 0,091 0,12 ;

0,3 0,65.

Другой характеристикой свойств полимербетона является коэффициент выносливости k v, зависящий от величины напряжения sp, коэффициента асимметрии и армирования k ar. Результаты идентификации при k as коэффициенте асимметрии k as = 0.3 и коэффициенте армирования k ar = 1. дали модель k v = 0.056 + 0.18( sp 75) 0.2 0.19(703 sp ) 0.3. (4.32) Был получен ряд моделей кривых виброползучести сжатых полимербетонных элементов.

Рассмотрим задачу построения общей модели прогноза свойств полимербетона, включающую в себя в качестве входных переменных (факторов)- уровень нагружения, количество циклов нагружения, коэффициент асимметрии, в качестве переменных состояния (прогнозируемых переменных) деформацию виброползучести, предел выносливости. На основе этой модели можно сформулировать следующие частные задачи:

1) определить количество циклов нагружения, например, при = 0.3, максимальных уровне нагружения и пределе выносливости, минимальной деформации виброползучести;

2) определить максимальный уровень нагружения и количество циклов нагружения, соответствующие максимальному пределу выносливости и минимальной деформации виброползучести.

Для решения указанных задач при выборе линейной структуры модели наиболее приспособленной является линейная дискретная окрестностная модель и метод смешанного управления.

Решение задачи смешанного управления позволяет определить неизвестные компоненты входов v и состояний x по известной их части v и x.

В рассматриваемом случае применения симметричной окрестностной модели для получения связи двух характеристик полимербетона (деформации виброползучести, предела выносливости) с тремя факторами (уровень нагружения, количество циклов нагружения, коэффициент асимметрии) в качестве узлов взяты моменты съема данных и выбрана полная схема связей по состоянию и управлению.

Для окрестностей узлов по состоянию и входу в случае полной схемы связей O x [1] = {1,K, N }, K, O v [ N ] = {1,K, N },где N -количество узлов (моментов съема данных), уравнения узлов системы имеют следующий вид (обозначения узлов заменены их номерами):

wv [1,1]v[1] + K + wv [1, N ]v[ N ] = wx [1,1]x[1] + K + wx [1, N ]x[ N ], (4.33) M wv [ N,1]v[1] + K + wv [ N, N ]v[ N ] = wx [ N,1]x[1] + K + wx [ N, N ]x[ N ].

После завершения процедуры идентификации матриц-параметров была решена задача 1 смешанного управления при следующей постановке.

Задана часть входов: v[3,1] = 0.32, v[4,1] = 0.4 (уровень нагружения), v[3,3] = 0,3, v[4,3] = 0.3 ассимметрии) и часть состояний (коэффициент x[3,1] = 3, x[4,1] = 18 виброползучести), (деформация x[3,2] = 0.399, x[4,2] = 0.399 выносливости). Найти (предел v[3,2], v[4,2] (количество циклов нагружения) при = 0.3. С использованием алгоритма решения задачи смешанного управления получаем, например, следующие v[3,2] = 0, v[4,2] = 3.3.

результаты: При уровнях нагружения v[3,1] = 0.4, v[4,1] = 0.4 количество циклов нагружения равно v[3,2] = 0, v[4,2] = 1.019. Аналогично решаем задачу 2. При деформации x[3,1] = 3, x[4,1] = виброползучести и пределах выносливости x[3,2] = 0.3998, x[4,2] = 0.3998 имеем уровни нагружения v[3,1] = 0.32, v[4,1] = 0.4 и v[3,2] = 0, v[4,2] = 8.7546.

количество циклов нагружения В работе для прогнозирования свойств полимербетона получены статические модели, представляющие собой отдельные зависимости для каждого выходного показателя. Вместе с тем для получения общей модели прогнозирования, увязывающей различные выходные характеристики полимербетона с входными факторами, предложена методика, основанная на применении окрестностных моделей и метода смешанного управления с учетом полной структуры связей по состоянию и входу.

4.6. Некоторые перспективы использования билинейных окрестностных моделей Во многих прикладных задачах окрестности, как подмножества множества значений аргумента, оказываются нечеткими. Уже в случае простейших дискретно-временных и близких к ним систем это приводит к необходимости учета зависимости текущего состояния от состояний из временного промежутка от начального до текущего момента времени, иначе говоря – к системам с нефиксированным последействием. Предложенный в [20] подход к учету нечеткости окрестностей по состоянию дискретно-временных систем и рассмотрение смежных вопросов позволяют расширить класс нечетких систем до более общего класса систем c изменяющейся структурой.

В [20] введены билинейные нечетко-окрестностные системы вида r r wi [a, ]µ i ui [ ] + wi [a,, ]µ i u i [ ] i i [ ] = 0.

(4.34) i =1 Ou i [a ] i =1 Oui [ a ] O yi [a ] Здесь Oui [a ], O i [a ] окрестности по u i, i элемента a, a A = {a1,..., a N } множество значений аргумента билинейной окрестностной системы, A = N ;

ui, i U, wi [a, ], wi [a,, ](i = 1, r ) - некоторые матрицы, µ i, i [0,1].

Координатная форма (4.34) имеет вид [20] r wui [a, ]µ i u i [ ] + i =1Oui [ a ] r + [ w1ui i [a,, ] i i [,1]µ i u i [ ] + K i =1Oui [ a ] O i [a ] + wmiui i [a,, ] i i [, mi ]µ i u i [ ]] = 0. (4.35) Данная форма модели (4.34) представляется удобной для программной реализации.

В работе отмечены преимущества билинейных нечетко [20] окрестностных систем по сравнению с традиционными и линейными окрестностными системами. Представляется интересным рассмотрение моделей с вариациями значений µ i, i [0,1], улучшающими результаты [20,39].

Другое актуальное направление изучения билинейных окрестностных и нечетко-окрестностных моделей связано с динамическим представлением и учетом временного фактора. Так, обобщением «решетчатых систем» [6] x (t + 1, s) = ( ) x(t, s ) + ()u (t, s ) = Z 0 ( N ) Z 0 ( N ) = (s ) x (t, ) + ( s )u (t, ) = Z 0 ( N ) Z 0 ( N ) = ( s x)(t, s ) + ( s u )(t, s), (4.36) где сигналы сети зависят как от номера клетки s Z 0 ( N ), так и от времени t Z 0, а слагаемые представляют собой K -свертки, могут быть линейные окрестностные системы в выходной форме со специально заданной операцией движения по окрестности. При этом каждая из упорядоченных окрестностей, связанных с временным узлом, содержит в себе все окрестности, связанные с узлами другой природы (обобщение бесконечных вправо цепочек из клеток, каждая из которых представляет собой, например, {m} -цепь).

Тогда для линейной окрестностной модели [20] вида r r ( wx [a, ]x[ ] + wv [a, ]v[ ]) = 0, (4.37) Ai A O x Ov Ai (i = 1, r ), учитывающей время с помощью кортежей где r a {A} = U Ai = {ai1,..., aiN }, i= получим r r r x[ µ ] = [a, ]x[ ] K v [a, ]v[ ].

Kx (4.38) O x [ a ],µAi +1,aAi Ov [ a ],µAi +1,aAi Для билинейной окрестностной модели [20], также учитывающей время с помощью кортежей Ai (i = 1, r ), r r ( wx [a, ]x[ ] + wv [a, ]v[ ] + wxv [a,, ]x[ ]v[ ]) = 0, (4.39) Ai A O x Ov O x Ov получим r r r x[ µ ] = K x [ a, ] x[ ] K v [ a, ]v [ ] O x ( Ai ),µAi +1,aAi Ov ( Ai ), µAi +1,aAi r K s [a,, ]s [ x, v,, ]. (4.40) O x [ a ]µAi + Ov [a ],aAi Здесь s = s ( x, v,, ) — вектор, зависящий от произведения компонентов векторов окрестности по элемента x, v, Ox [a ], Ov [a ] — x, v a, r a {A}= U Ai = {ai1,..., aiN }, K x [ a, ], K v [ a, ], K s [ a, a, ] некоторые i= матрицы.

Аналогичные представления получим для билинейных нечетко окрестностных систем r r r x[ µ ] = K x [ a, ]µ i x[ ] K v [ a, ] i v[ ] O x [ a ], µAi +1,aAi Ov [ a ], µAi +1,aAi r K s [a,, ]µ i i s [ x, v,, ]. (4.41) O x [ a ],µAi + Ov [a ],aAi Такие модели можно трактовать как бесконечные вправо цепочки из систем, соответствующих кортежам Ai.

a4 a4 a a a a a3 a3 a a5 a5 a a a a a6 a6 a Рис.4.13. Билинейная окрестностная система как одномерная однонаправленная цепь, составленная из систем, соответствующих кортежам Ai Трактовки таких структур как временных расширяют их использование при моделировании реальных объектов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ На основе анализа состояния проблем, связанных с решением задач идентификации и управления дискретными объектами, можно сделать заключение, что для повышения качества управления такими объектами необходима разработка билинейных окрестностных моделей, обобщающих известные и адекватно представляющих сложные распределенные объекты, учитывающих обилие технологических и субъективных факторов, а также необходима разработка методов смешанного управления данными объектами.

Поэтому в монографии представлены следующие результаты.

Исследован новый класс билинейных окрестностных моделей, обобщающих билинейные дискретно-временные и линейные окрестностные модели, отличающихся гибким описанием структуры связей между узлами распределенного объекта по состоянию и входу с помощью окрестностей.

Сформулирована задача параметрической идентификации и задача смешанного управления для билинейных окрестностных систем.

Разработан алгоритм тензорной линеаризации билинейных окрест ностных моделей, отличающийся возможностью приведения билинейных одноаргументных к линейным двухаргументным моделям с использованием тензорных произведений;

координатные формы билинейных окрестностных моделей, отличающиеся удобством для реализации алгоритма параметрической идентификации.

Разработан алгоритм смешанной параметрической идентификации билинейных окрестностных моделей, отличающийся применением метода формирования блочных матриц коэффициентов и векторов свободных членов в соответствии с принятой структурой составных векторов переменных, и адаптивной параметрической идентификации, разработанный для распределенных систем.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.