авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |

«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ И.В. БОЙКОВ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Пенза ...»

-- [ Страница 3 ] --

При решении уравнения (2.14) использовался способ задания ин формации Tm, определяемый набором функционалов 2 i j Tm (H, f ) = h(t, ) cos(kt ) cos(n )dtd, 2 i kn m.

f (t) cos(lt )dt, i, j = 0, 1;

k, n, l = 0, 1,..., m, В набор Tm входят коэффициенты Фурье ядер h(t, ) с номера ми из гиперболического креста m = {(t, ) : |t | m, |t| m, | | m}.

В [128] показано, что при использовании информационного опе ратора Tm справедлива оценка compL2 (WL2 (1), ) C1/r log(1/).

r Там же получена оценка снизу compL2 (WL2 (1), ) C1/r.

r Исследование сложности решения уравнения (2.14) при задании информации об уравнении в виде коэффициентов Фурье функции h(t, ) c номерами из ступенчатого гиперболического креста про ведено в [132].

Отметим, что оптимальность методов восстановления функций с доминирующей старшей производной отрезками ряда Фурье с номерами коэффициентов из гиперболических крестов была отме чена К.И. Бабенко [4].

Подробное изложение методов восстановления функций многих переменных отрезками рядов Фурье с номерами коэффициентов Фурье, принадлежащими гиперболическим крестам, содержится в монографии В.Н. Темлякова [148].

В работе С.В. Переверзева и С.Г. Солодкого [187] исследованы адаптивные прямые методы решения интегральных уравнений ви да h(t, )x( ) Kx x(t) + Hx = f, Hx = d, 0 1. (2.16) | t| Пусть = 1, H класс функций, удовлетворяющих условию Гельдера с показателем (0 1) и с нормой = max |x(t)| + sup |x(t1 ) x(t2 )|/|t1 t2 |, x (t, t1, t2 [0, 1]).

t t1 =t Через H = H (M ) обозначим множество операторов вида Hx, отображающих С в H и удовлетворяющих неравенствам (I + H) H M1, M2.

CH CC Через обозначен класс однозначно разрешимых уравнений вида (2.16), у которых f 1.

Приближенное решение уравнения (2.16) ищется по методу Рит ца в виде линейной комбинации N xN = ck k + f, (2.17) k= где k базисные элементы.

Если базисные элементы не зависят от вида оператора H, то метод приближенного решения уравнения (2.16) является неада птивным. Если базисные элементы {k }, k = 1, 2,..., N, зависят от вида конкретного оператора H, то метод называется адаптив ным.

В [187] даны определения оптимальных по точности адаптивных методов и предложен метод, являющийся оптимальным по поряд ку (по точности) методом решения интегральных уравнений на классе.

Этот метод заключается в следующем. Пусть li, i = 1, 2,..., n, базис подпространства пространства X = C, и пусть lk, k = 1, 2,..., n, k = Hlkn, k = n + 1,..., 2n.

Обозначим через Pn оператор, проектирующий пространство X на линейную оболочку {k }, k = 1, 2,..., n.

Приближенное решение уравнения (2.16) определяется как точ ное решение уравнения x2n (Pn Hx2n + HPn x2n Pn HPn x2n ) = f. (2.18) На классе уравнений получена оценка x x An(2), 2n где x и x решения уравнений (2.16) и (2.18), соответственно.

2n Oтметим, что оптимальные неадаптивные методы решения ин тегрального уравнения (2.16) имеют погрешность O(n(1) ).

3. Оптимальные по точности методы решения интегральных уравнений Фредгольма В этом параграфе построено несколько оптимальных по порядку ( по точности) алгоритмов пpиближенного pешения интегpальных уpавнений Фредгольма на классах функций Qr (, M ) и Br ().

При изложении этого параграфа автор следовал своей работе [35].

3.1. Одномерные уравнения Рассмотрим интегральное уравнение Kx x(t) + h(t, )x( )d = f (t). (3.1) Вначале будем предполагать, что f (t) Br, ([1, 1]), а функция h(t, ) принадлежит классу функций Br, ([1, 1]) по переменной t при произвольном фиксированном значении и по переменной при пpоизвольно фиксированном значении t. Перечисленные пред положения будем называть условиями А.

Разобьем сегмент [1, 1] на более мелкие сегменты k = [tk, tk+1 ] и = [k+1, k ] точками t0 = 1, tk = 1 + (ek1 /eN )v, k = k = 1(ek1 /eN )v, k = 1, 2,..., N +1, 0 = 1, причем v = 1/w, w = 2Ae при 2Ae 1 и v = ln2 при 2Ae 1.

Опишем построение интерполяционных полиномов. В каждом сегменте k (аналогично ) функция f (t) аппроксимируется ин k терполяционным полиномом Pu (f, k ) (аналогично Pu (f, ) ), ко k торый строится следующим образом. Параметр u = r при k = 0 и u = s при 1 k N. Здесь s = [(r + 1 )N/(2Ae)] + 1 при w 1 и s = [(r+1)N/(1+log2 e)]+1 при w 1. Обозначим через 1,..., u узлы полинома Лежандра степени u, расположенные в сегменте [1, 1]. При отображении сегмента [1, 1] на сегмент k ( ) уз- k лы 1,..., u отображаются в узлы 1,..., u ( 1,..., u ). Интерпо ляционный полином, построенный по узлам 1,..., u ( 1,..., u ), обозначается через Pu (f, k ) (Pu (f, )). Локальный сплайн, со k стоящий из полиномов Pu (f, k ) и Pu (f, ), обозначается fN (t).

k Приближенное решение уравнения (3.1) ищем в виде сплай на xN (t), который состоит из интерполяционных полиномов Pr (x, 0 ), Ps (x, k ), Ps (x, ), k = 1,..., N, Pr (x, ) с неопреде k j ленными пока значениями {xi,k }, j = 1, 2, в узлах интерполя s s x1 i,k (t) (Ps (x, ) = x2 i,k (t)), где ции, т. е. Ps (x, k ) = i,k k i,k i=1 i= 1 i,k (t) (i,k (t)) фундаментальный полином, отвечающий точке i k ( i ).

k j В обозначениях ik, j = 1, 2, верхний индекс j означает, что фундаментальный полином построен для узла i, расположенно го в сегменте k при j = 1, или для узла i, расположенного в сегменте при j = 2.

k Обозначим через LN оператор, ставящий в соответствие функ ции g(t), t [1, 1], локальный сплайн gN (t).

Неизвестные коэффициенты xj сплайна xN (t) определяются по i,k методу механических квадратур, который в операторной форме имеет вид KN xN xN (t) + Lt L [h(t, )xN ( )]d = LN f (t). (3.2) N N Обоснование метода механических квадратур (3.2) будем про водить в пространстве X = C[1, 1] и его подпространстве XN, состоящем из локальных сплайнов xN (t).

Теорема 3.1. Пусть оператор K [C, C] непрерывно обратим и выполнены условия А. Тогда при N таких, что q 1, система уравнений (3.2) имеет единственное решение x (t) и справедливы N n(r+1)/(2eA) n при w 1;

xN x оценки : xN xN Ae N n(r+1)ln n при w 1. Здесь n - число неизвестных xj, Ae ik n(r+1)/(2eA) n(r+1) ln q = Ae n при w 1;

q = Ae n при w 1.

Доказательство. Пусть f Br, (). Оценим погрешность аппроксимации функции f (t) сплайном fN (t). Для этого восполь зуемся известной оценкой погрешности аппроксимации функций интерполяционными полиномами f (t) PN (t) C AEN N, на сегменте [1, 1], где EN наилучшее приближение функции f (t) полиномом степени N, N константа Лебега.

Известно [126], что на классе W r (1) EN AN r и что для полиномов Лежандра N AN. Следовательно, на классе W r (1) f (t) PN (t) C AN r+1. При переходе от сегмента [1, 1] к сегменту [a, b] имеем f (t) PN (t) C AN r+1 (b a)r.

Приступим теперь к оценке погрешности аппроксимации функ ции f (t) локальным сплайном fN (t).

Вначале рассмотрим случай w 1.

На сегменте 0 имеем оценку f (t)fN (t) C CAr /eN (r+1)v Ce(r+1)N/(2Ae).

На сегменте k получаем CAs hs (eN /ek1 )(sr)v s = f (t) fN (t) C k = CAs ((ekv e(k1)v )/eN v )s (eN /ek1 )(sr1+)v s CAs (ev 1)s s CAs (2/w)s s Ces s CN e(r+1)N/(2eA).

Таким образом, при w 1 f (t) fN (t) C CN e(r+1)N/(2Ae).

Общее число функционалов, используемых при построении сплайна fN (t) в этом случае, равно n = 2N ([(r + 1 )N/(2Ae)] + 1) + 2(r + 1). Отсюда N = (1 + o(1)) Aen/(r + 1 ).

Следовательно, f (t) fN (t) C ne (r+1)n/(2Ae).

Рассмотрим теперь случай w 1. На сегменте 0 имеем f (t) fN (t) CA(r+1) /eN (r+1)v Ce(r+1)N ln C2(r+1)N, а на сегменте k, k = 1, 2,..., N, f (t) fN (t) CAs hs (eN /ek1 )(sr1+)v s k CAs (ev 1)s s CAs s C(2e)s s CN 2(r+1)N.

Общее число функционалов, используемых при построении сплайна fN (t) в этом случае, равно n = 2N ([(r + 1 )N/(1 + log2 e)] + 1) + +2(r + 1) = (1 + o(1))(2(r + 1 )N 2 /(1 + log2 e)).

Отсюда N = (1 + log2 e)n/(2(r + 1 )). Следовательно, по грешность аппроксимации при w 1 оценивается неравенством f (t) fN (t) CN 2(r+1)N CN e(r+1)N ln C ne (1+log2 e)(r+1)n/2 ln2.

Оценки на сегменте проводятся аналогично.

k Метод коллокации для уравнения (3.1) в операторной форме имеет вид K N xN xN (t) + LN h(t, )xN ( )d = LN [f (t)].

Воспользовавшись оценками точности аппроксимации локаль ными сплайнами, получаем:

KN K N X C ne, (3.3) где (r + 1 )n/2Ae, если w 1, = (1 + log2 e)(r + 1 )n/2 ln2, если w 1.

Так как квадратурная формула, построенная при весе 1 по узлам полинома Лежандра, является квадратурной формулой наивысшей алгебраической степени точности, то 1 LN L [h(t, )x( )]d = LN L [h(t, )]x( )d.

N N 1 Отсюда с учетом полученных выше оценок точности аппрокси мации локальными сплайнами имеем KN xN K N xN XN A ne xN. (3.4) Из неравенств (3.3), (3.4) и общей теории приближенных мето дов следует справедливость теоремы.

Исследуем приближенные методы решения уравнения (3.1) в предположении, что f (t) Qr, ([1, 1], M ), а функция h(t, ) при надлежит классу функций Qr, ([1, 1], M ) по переменной t при произвольном фиксированном значении и по переменной при фиксированном значении t. Перечисленные предположения будем называть условиями В.

Разобьем сегмент [1, 1] на более мелкие сегменты k = [tk, tk+1 ] и = [k+1, k ] точками tk = 1 + (k/N )v и k = 1 (k/N )v, k = k = 0, 1,..., N, где v = s/(s ).

Для аппроксимации функции f (t) на сегменте [1, 1] строится локальный сплайн fN (t) по описанному выше алгоритму. Един ственное отличие в том, что в каждом сегменте k ( ), k = k 0, 1,..., N 1, сплайн fN (t) представляет собой интерполяцион ный полином степени s 1, построенный по s узлам полинома Лежандра степени s, отображенным с сегмента [1, 1] на сегмент k ( ).k Приближенное решение уравнения (3.1) ищем в виде сплай на xN (t), который состоит из интерполяционных полиномов Ps (x, k ), Ps (x, ), k k = 0, 1,..., N 1, с неопределенными пока значениями xj в узлах i,k интерполяции.

Обозначим через LN оператор, ставящий в соответствие функ ции g(t), t [1, 1], локальный сплайн gN (t).

Неизвестные коэффициенты xj сплайна xN (t) определяются по i,k методу механических квадратур, который в операторной форме имеет вид KN xN xN (t) + Lt L [h(t, )xN ( )]d = LN f (t). (3.5) N N Теорема 3.2. Пусть оператор K B[C, C] непрерывно обратим и выполнены условия В. Тогда при N таких, что q = AN s 1, система уравнений (3.5) имеет единственное решение x (t) и N справедлива оценка xN x AN s. (3.6) N Доказательство. В гл. I было показано, что погрешность ап проксимации функции g(t) Qr, ([1, 1], M ) сплайном gN (t) оце нивается неравенством g(t) gN (t) AN s.

Используя эти неравенства и повторяя рассуждения, проведен ные при доказательстве теоремы 3.1, убеждаемся в справедливо сти теоремы 3.2.

Замечание. Метод механических квадратур (3.5) является оптимальным по порядку по точности на классе Qr, ([1, 1], M ) среди всех методов, использующих для своего построения О(N 2 ) функционалов вида h(wk ) и О(N ) функционалов вида f (tk ), где wk произвольная точка в квадрате [1, 1]2, а tk произвольная точка на сегменте [1, 1].

Для доказательства этого замечания достаточно рассмотреть уравнение x(t) + h( )x( )d = f (t), где f (t) Qr, ([1, 1], M ), решение которого имеет вид x (t) = f (t) + +C. Значит, x Qr, ([1, 1], M ). В гл. I получена оценка снизу для поперечников Бабенко N (Qr, ([1, 1], M )) AN s. Из это го неравенства вытекает неулучшаемость оценки (3.6) и, следова тельно, оптимальность метода при использовании O(N ) функцио налов вида f (tk ).

Покажем, что эта оценка остается неизменной и в случае, когда используется N 2 значений функции h(t, ), удовлетворяющей условию B.

Для этого рассмотрим два уравнения x1 (t) + x1 ( )d = и x2 (t) + ( + h(t, ))x2 ( )d =, где h(t, ) неотрицательная функция, удовлетворяющая услови ям B и обращающаяся в нуль в N 2 узлах, расположенных в обла сти [1, 1].

Ниже, в § 6 будет показано, что для решений x1 (t) и x2 (t) при веденных выше уравнений справедливо неравенство h(t, )dtd AN s.

x1 (t) x2 (t) C 1 2 1 Отсюда следуют неулучшаемость оценки (3.6) и оптимальность метода при использовании O(N 2 ) функционалов вида h(wk ).

Из полученных оценок снизу следует оптимальность по порядку метода механических квадратур.

3.2. Многомерные уравнения Рассмотрим уравнение 1 Kx x(t1,..., tl )+... h(t1,..., tl, 1,..., l )x(1,..., l )d1... dl = 1 = f (tl,..., tl ), l = 2, 3,.... (3.7) Вначале предполагаем, что функция f (tl,..., tl ) Br, (), = = [1, 1]l, а функция h(t1,..., tl, 1,..., l ) принадлежит классу Br, () по переменной t = (tl,..., tl ) при произвольно фиксирован ном значении = (1,..., l ) и по переменной при произвольно фиксированном значении t. При этом предположении будем гово рить, что выполнено условие A.

Для построения и обоснования приближенных методов решения уравнения (3.7) при условиях A необходимо предварительно ис следовать точность аппроксимации функции g(tl,..., tl ) Br, () локальными сплайнами. Эти вопросы были исследованы в первой главе. Для удобства воспроизведем здесь элементы выкладок, про веденных в первой главе.

Обозначим через k, k = 1,..., N, множество точек t = (tl,..., tl ) из области, расстояние от которых до границы обла сти удовлетворяет неравенствам (ek1 /eN )v (t, ) (ek /eN )v, где v = = 1/w, w = 2Ae при 2Ae 1 и v = ln2 при 2Ae 1, а через множество точек t, таких, что 0 (t, ) eN v.

Каждую область k покроем кубами k1,...,il, грани которых па-i раллельны осям координат, а ребра равны hk = e(kN )v e(k1N )v при k = 1, 2,..., N и h0 = eN v при k = 0.

При этом в каждой области k среди кубов k1,...,il может ока- i l заться 2 параллелепипедов.

Общее число n элементов покрытия n = CeN v(l1), C = const.

Пусть k1,...,il = [ak1, ak1 +1 ;

... ;

akl, akl +1 ]. В каждом кубе k1,...,il i i i i i i функция g(t1,..., tl ) аппроксимируется интерполяционным поли номом gN (t1,..., tl, k1,...,il ) = Pu,...,u g(t1,..., tl ). Здесь Pu,...,u = Pu1... Pul, t t i t а через Pui обозначен интерполяционный полином Pu, построен ный при доказательстве теоремы 3.1 и действующий по перемен ной ti, i = = 1, 2,..., l. Положим u = s при k = 1, 2,..., N и u = r при k = 0.

Кроме того, положим s = [(r + 1 )N/(2Ae)] + 1 при w = 2Ae и s = [(r + 1 )N/(1 + log2 e)] + 1 при w 1.

Локальный сплайн, определенный в и состоящий из полиномов gN (t1,..., tl ;

k1,...,il ), будем обозначать gN (t1,..., tl ). Множество ло i кальных сплайнов, построенных описанным выше способом, обо значим через LSN.

В гл. 1 было показано, что (r+1)/(l1) g(t) gN (t) n1, (3.8) где n1 общее число функционалов, используемых при построении сплайна gN (t).

Приближенное pешение уравнения (3.7) будем искать в виде ло кального сплайна xN (t1,..., tl ) LSN с неопределенными пока значениями в узлах интерполяции. Эти значения определяются по методу механических квадратур из системы линейных алгебраи ческих уравнений, которая в операторной форме имеет вид 1 KN xN xN (t) + LN L [h(t, )xN ( )]d = LN [f (t)], (3.9)...

N 1 где через LN обозначен оператор проектирования на множество сплайнов из LSN ;

верхний индекс в операторе проектирования L означает, что проектирование проводится по переменной.

N Из полученной выше оценки (3.8) погрешности аппроксимации локальными сплайнами и из общей теории приближенных методов вытекает следующее утверждение.

Теорема 3.3. Пусть оператор K [C, C] непрерывно обра тим и выполнены условия А. Тогда при N таких, что q = (r+1)/(l1) Cn1 1, система уравнений (3.9) имеет единственное решение x (t) и N (r+1)/(l1) справедлива оценка xN x Cn1, где x решение уравнения (3.7).

Будем говорить, что выполнены условия B, если функция f (t) Qr, (, M ), а функция h(t, ) Qr, (, M ) по переменной t при произвольно фиксированном значении и по переменной при произвольно фиксированном значении t.

Для построения и обоснования приближенных методов решения уравнения (3.7) при условиях B необходимо предварительно иссле довать точность аппроксимации функции g(t1,..., tl ) Qr, (, M ) локальными сплайнами. Повторим для удобства читателя фраг менты рассуждений, проведенных в главе 1.

Обозначим через k, k = 0, 1,..., N 1, множество точек t, расстояние от которых до границы области удовлетворяет неравенству (k/N )v (t, ) ((k + 1)/N )v, где v = s/(s ).

В каждой области k разместим кубы k1,...,il, стороны которых i v v равны hk = ((k + 1)/N ) (k/N ). Общее число кубов, которое можно разместить в области, равно N v(l1), v l/(l 1), N l, n n(v ) (3.10) v l/(l 1), l N lnN, v = l/(l 1).

В каждом кубе k1,...,il интерполяция осуществляется по формуле i k gN (t1,..., tl ;

i1,...,il ) = Ps,...,s g(t1,..., tl ).

Сплайн, составленный из полиномов gN (t1,..., tl ;

k1,...,il ), обо i значим через gN (t). Множество сплайнов, построенных указан ным способом, обозначим через LSN. В гл. I показано, что g(t) gN (t) n(n1 ), где обозначено (s)/(l1) n1, v l/(l 1), s/l n(n1 ) (3.11) n1, v l/(l 1), s/l n1 (lnn1 )s/l, v = l/(l 1).

Здесь через n1 обозначено число функционалов, используемых при построении сплайна gN (t).

Приближенное решение уравнения (3.7) будем искать в виде ло кального сплайна xN (t1,..., tl ) LSN с неопределенными пока зна чениями в узлах интерполяции. Эти значения находятся по мето ду механических квадратур из системы линейных алгебраических уравнений, которая в операторной форме имеет вид 1 KN xN xN (t) + L L [h(t, )xN ( )]d = L [f (t)],...

N N N 1 (3.12) где через L обозначен оператор проектирования на множество N сплайнов из LSN.

Используя приведенные выше оценки аппроксимации локальны ми сплайнами функций из класса Qr, (, M ) и общую теорию при ближенных методов, доказываем следующее утверждение.

Теорема 3.4. Пусть оператор K [C, C] непрерывно обратим и выполнены условия B. Тогда при N таких, что q = An(n1 ) 1, система уравнений (3.12) имеет единственное решение x (t) и N справедлива оценка x x C n(n1 ), (3.13) N где x решение уравнения (3.7), n(n1 ) определяется формулой (3.11), в которой n1 число узлов в сплайне xN (t).

Замечание. Метод механических квадратур (3.12) является оптимальным по порядку ( по точности) на классе функций Qr, (, M ) среди всевозможных алгоритмов, использующих n2 зна чений функции h(t, ) и n1 значений функции f (t).

Замечание доказывается так же, как соответствующее замеча ние в одномерном случае.

4. Оптимальные по точности методы решения многомерных слабосингулярных интегральных уравнений Рассмотрим интегральное уравнение Kx x + Hx x(t) + h(t, )x( )d = f (t), t D, (4.1) D где D внутренняя область параллелепипеда D = [1, 1]l, l 2, t = (t1,..., tl ), = (1,..., l ).

Введем следующие обозначения. Пусть = (1,..., l ), = = (1,..., l ), где i, i 0, | |= 1 +... + l, Dt = (/t1 )1.....(/tl )l, Dt+ = (/t1 + /1 )1.....(/tl + /l )l.

На ядро h(t, ) налагаются следующие условия [56]: оно имеет на множестве (DD)\{t = } непрерывные производные Dt D h(t, ) (| | + | |) m) до порядка m (m 1) и существует веще ственное число v, такое, что для функции h (t, ) =| Dt Dt+ h(t, ) | (| | + | | m) выполняется неравенство 1+ | t |v||, v+ | |= 0, h (t, ) C (4.2) 1+ | log | t ||, v+ | |= 0.

В работе [56] введено пространство C m,v (D) функций x(t), t D, которые имеют в D непрерывные производные до порядка m и для которых конечна норма x m,v = suptD | D x(t) |, m l v;

0||m |D suptD 1+|lnx(t)|, supxD | D x(t) | + m = l v;

(t)| 0||lv ||=lv suptD 1+|lnx(t)| + |D suptD | D x(t) | + (t)| 0||lv ||=lv = suptD d(t)||(lv) | D x(t) |, + m l v, lv||m при v целом;

suptD | D x(t) | + 0lv + suplv||m suptD (t)||(lv) | D x(t) |, m l v, при v нецелом.

Здесь через (t) обозначено расстояние от точки t D до грани цы D области D : (t) = dist(t, D) = inf D | t | (t D).

Обозначим шар радиуса r с центром в точке t0 через B(t0, r) = {t Rl :| t t0 | r}(t0 Rl, r 0).

В [56] доказано следующее утверждение.

Теорема 4.1. Пусть условие (4.2) выполнено при = 0 для t, D, а при = 0 для t D, B(t, (t)). Тогда, если при данном f C m,v (D) уравнение (4.1) разрешимо в L1 (D), то любое решение x(t) L1 (D) принадлежит также и C m,v (D), причем x(t) m,v A1 x L1 +A2 f m,v, где постоянные A1 и A2 не зависят от x(t) и f (t).

Вначале исследуем приближенное решение уравнения (4.1) ме тодом сплайн-коллокации.

Нам понадобятся некоторые утверждения об аппроксимации функций из C m,v локальными сплайнами. Доказательства этих утверждений проводятся по аналогии с доказательствами, прове денными в гл. I, где восстанавливаются функции из Qr, (, M ).

Пусть N целое число, = m (l v). Обозначим через k множество точек t D, удовлетворяющих неравенствам (k/N )q (t, D) ((k + 1)/N )q, k = 0, 1,..., N 1, q = m/r, r = l v.

Покроем область k кубами k1,...,il, ребра которых равны hk = i ((k + +1)/N )q (k/N )q, k = 0, 1,..., N 1. Обозначим через n число кубов k1,...,il, покрывающих область D.

i Повторяя рассуждения, приведенные в гл. I, убеждаемся, что n= = n(q), где n(q) определено формулой (3.11).

Функцию f (t1,..., tl ) в параллелепипеде k1,...,il будем аппрокси i мировать интерполяционным полиномом Pm,...,m (f, k1,...,il ), постро i ение которого описано в предыдущем параграфе.

Локальный сплайн, составленный из полиномов Pm,...,m (f, k1,...,il ) i и аппроксимирующий функцию f (t1,..., tl ) в области D, обозна чим через fN (t).

Обозначим nr/(l1), q l/(l 1), nm/l, n () q l/(l 1), m/l n ln n, q = l/(l 1), где r = l v.

По аналогии с рассуждениями, проведенными в гл. I, доказыва ются следующие утверждения.

Теорема 4.2 [35]. Пусть D = [1, 1]l, l 2, r = l v, l v нецелое, q = m/r. Справедливы оценки n (C m,v (D)) dn (C m,v (D), D) n(1), причем эти оценки реализуются построенными выше локальными сплайнами.

Теорема 4.3 [35]. Пусть D = [1, 1]l, l 2, r = l v, q = m/r.

Пусть l v натуральное число. Справедливы оценки n (C m,v (D)) A (m/l), dn (C m,v (D), C) A (m/l)lnn, n n причем оценки поперечника Колмогорова dn (C m,v (D), C) реализу ются построенными выше локальными сплайнами.

Обозначим через LN оператор проектирования из простран ства C на множество локальных сплайнов LN f (t1,..., tl ) = fN (t1,..., tl ).

Приступим к изложению метода коллокации. Приближенное ре шение уравнения (4.1) будем искать в виде локального сплайна xN (t), значения которого в узлах интерполяции определяются из системы линейных алгебраических уравнений, которая в оператор ной форме имеет вид KN xN xN (t) + LN h(t, )xN ( )d = LN f (t). (4.3) D В предположении, что оператор K B[C, C] непрерывно обра тим, докажем однозначную разрешимость системы уравнений (4.3). Для этого воспользуемся методом, предложенным в [57] в случае одномерных слабосингулярных уравнений.

Из приведенных выше утверждений вытекает, что для любой непрерывной функции f C(D) limN f LN (f ) = 0.

Оператор H компактный. Значит, lim H LN H L L = при N. Из этого соотношения и обратимости оператора K следует обратимость оператора KN.

Пусть x (t) и x (t) решения уравнений (4.1) и (4.3) соответ N ственно. Воспользуемся соотношением x (t)x (t) = (ILN T ) N (LN x x ), приведенным в [57, с. 45]. Переходя в этом равенстве к нормам и воспользовавшись утверждениями теорем 4.1 и 4.2 об аппроксимации функций из C m,v, получаем оценки погрешности:

1) x x AN m, если l v ненатуральное число;

N 2) x x AN m lnN, если l v натуральное число.

N Отметим, что первая из оценок не может быть улучшена (по порядку) ни при каком способе решения уравнения (4.1), исполь зующем значения функции h(t, ) в произвольных n2 узлах, распо ложенных в D, а функции f (t) в пpоизвольных n узлах, pаспо ложенных в области D. Доказательство этого утверждения прово дится так же, как в §3.

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 4.4 [35]. Пусть выполнены следующие условия: 1) оператор K непрерывно обратим из L в L ;

2) f (t) C m,v.

Пусть r = l v, q = m/r. Тогда при достаточно больших N систе ма уравнений (4.3) однозначно разрешима и справедливы оценки x x N A (m/l), если r нецелое число;

x x A (m/l)lnn, если n n N r целое число. Здесь x и x решения уравнений (4.1) и N (4.3) соответственно. При r нецелых вычислительная схема (4.3) оптимальна по точности (по порядку) среди всевозможных алго ритмов, использующих значения функций h(t, ) и f (t) в произ вольных n2 и n узлах соответственно.

Замечание. При решении практических задач необходимо вы числять интегралы, стоящие в левой части системы уравнений (4.3).

В случае, когда уравнение (4.1) имеет вид h(t, )x( ) x(t) = d + f (t), (4.4) r(t, ) G где r(t, ) = ((t1 1 )2 +... + (tl l )2 )), его приближенное ре шение ищется в виде сплайна xN, значения которого в узлах ин терполяции определяются из системы линейных алгебраических уравнений PN [h(t, )]xN ( )d xN (t) = PN + PN [f (t1,..., tl )]. (4.5) r(t, ) D Нетрудно видеть, что для этой системы справедливы утвержде ния теоремы 4.4.

5. Оптимальные по сложности алгоритмы приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма В этом параграфе строятся оптимальные по порядку по слож ности алгоритмы решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода Kx x + Hx x(t) + h(t, )x( )d = f (t) (5.1) D с ядрами, принадлежащими классам функций Qr, (G, M ) и Br, (G), D = = [1, 1]l, G = [1, 1]2l, l = 1, 2,..., t = (t1,..., tl ), = (1,..., l ).

Предполагается, что в уравнении (5.1) минимальное расстояние от единицы до собственного значения уравнений больше d(d 0).

В качестве набора простейших операций здесь берется набор P={ вычисление значений функций, арифметические операции}.

Параграф написан по материалам статьи автора [37].

5.1. Оценки снизу Оценим снизу число арифметических действий, необходимых для решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода вида (5.1).

Вначале проведем исследование в случае, когда h(t, ) 1, f (t) 2, где 1 = Qr, ([1, 1]2l, M ), 2 = Qr, ([1, 1]l, M ), l = 2, 3,....

Будем считать, что уравнение (5.1) однозначно решимо и что расстояние от единицы до множества собственных значений опе ратора H больше, чем d 0. Будем также считать, что для вычи сления значений функций h(t1,..., tl, 1,..., l ), f (t1,..., tl ) в произ вольно фиксированных узлах (t1,..., tl, 1,..., l ) и (t1..., tl ) тре буется равномерное (для каждой функции в отдельности) число арифметических действий.

Теорема 5.1. Пусть h(t1,..., tl, 1,..., l ) 1, f (t1,..., t2 ) 2, где 1 = Qr, ([1, 1]2l, M ), 2 = Qr, ([1, 1]l, M ), l = 2, 3,....

Тогда n(s+1)/(2l1), v 2l/(2l 1);

s/2l (s+2l)/(2l+1) E(n, 1, 2, d) A n (ln n), v = 2l/(2l 1);

s/2l n, v 2l/(2l 1), (5.2) где v = (s + 2l)/(s + 2l ).

Доказательство. Оценим снизу верхнюю грань функционала Jh = h(t1,..., tl, 1,..., l )dt1... dtl d1... dl (5.3) DD в предположении, что h(t1,..., t2l ) 1 и что она обращается в нуль в n узлах подынтегральной функции, которые при доказа тельстве теоремы будем называть узлами функционала Jh.

Разобьем куб G = D D на более мелкие кубы. Предварительно разобьем куб G на области Gk, состоящие из точек t = (t1,..., t2l ), расстояние (t, G) от которых до границы G области G удовле творяет неравенствам v v k k+1 (s + 2l) (t, G), v=, k = 0, 1,..., N 1.

N N (s + 2l ) Пусть hk = ((k + 1)/N )v (k/N )v, k = 0, 1,..., N 1. Покроем каждую из областей Gk кубами Gk1,...,i2l с ребрами, равными hk, k = i = 0, 1,..., N 1, и с гранями, параллельными граням куба G.

То обстоятельство, что в каждой области Gk может оказаться 22l параллелепипедов, не сказывается на общности рассуждений.

Обозначим через n общее число кубов Gk1,...,i2l. Повторяя рассу i ждения, проведенные в гл. I, можно показать, что числа n и N связаны соотношениями N v(2l1), v 2l/(2l 1);

N 2l, n A (5.4) v 2l/(2l 1);

2l N lnN, v = 2l/(2l 1).

Пусть n1 = 2n и N1 целое число, связанное с n1 соотношениями (5.4). Повторяя описанные выше построения, покроем куб G куба k ми Gi1,...i2l, k = 0, 1,..., N1 1, с ребрами hk = ((k+1)v k v )/N1, k = v = 0, 1,..., N1 1. В результате этих построений куб G оказывается k покрытым 2n кубами Gi1,...i2l, k = 0, 1,..., N1 1. Так как функция h обращается в нуль только в n узлах, то в n кубах из множе k ства Gi1,...i2l, k = 0, 1,..., N1 1, отсутствуют узлы функционала J.

Назовем эти кубы отмеченными.

Введем функцию g(t1,..., t2l ), определенную в кубе G и равную нулю в неотмеченных кубах. В произвольно фиксированном отме k ченном кубе Gi1,...i2l = [ak1, ak1 +1 ;

... ;

ak2l, ak2l +1 ], k = 0, 1,..., N1 1, i i i i функция g(t1,..., t2l ) равна [(t1 ak1 )(ak1 +1 t1 ) ·... · (t2l ak2l )(ak2l +1 t2l )]s i i i i g k1,...,i2l =A, i s(4l1) (k/N1 )v hk где константа A подбирается из требования g Qr, (G, M ). Мож но показать, что такая константа существует и не зависит от индексов k = 0, 1,..., N1 1, i1,..., i2l. Несложные выкладки дают оценку g(t1,..., t2l )dt1... dt2l = A1 N (s+2l),... (5.5) k Gi1,...,i2l k справедливую для любого куба Gi1,...,i2l, k = 0, 1,..., N1 1, в кото ром отсутствуют узлы функционала J. Так как число таких кубов не меньше n, то n(s+1)/(2l1), v 2l/(2l 1);

Jg nAN (s+2l) = A s/2l (s+2l)/(2l1) n (ln n), v = 2l/(2l 1);

s/2l n, v 2l/(2l 1).

Получена оценка снизу верхней грани функционала Jh на мно жестве функций из Qr, (G, M ), обращающихся в нуль в n узлах.

Получив оценки снизу точности аппроксимации функционала Jh, перейдем к оценке снизу числа арифметических действий, не обходимых для приближенного решения уравнения (5.1) с точно стью (5.2). При этом воспользуемся рассуждениями из [80].

Рассмотрим два интегральных уравнения 1 x1 (t) =... h1 (t1,..., tl, 1,..., l )x1 (1,..., l )d1... dl +, 1 (5.6) 1 x2 (t) =... h2 (t1,..., tl, 1,..., l )x2 (1,..., l )d1... dl +, 1 (5.7) l где h1 (t, ) = + h(t, ), h2 (t, ) =, M/2, (1 + 2d)/2, M, 0 |h(t, )|. В качестве функции h(t, ) возьмем функ цию h(t, ) = g(t, )/(max(t, )[1,1]2l |g(t, )|) где g функция, по строенная при исследовании функционала Jh.

Тогда уравнения (5.6) и (5.7) однозначно разрешимы и расстоя ние от 1 до любого собственного значения больше, чем d. Из (5.6) следует, что x1 (t) 0. Вычитая уравнение (5.7) из уравнения (5.6), имеем:

x1 (t) x2 (t) = 1 1 1 =... (x1 (t) x2 (t))dt +... h(t, )x1 ( )d. (5.8) 1 1 1 Интегрируя равенство (5.8) и учитывая, что x1 (t) 0, получа ем:

1... (x1 (1,..., l ) x2 (1,..., l ))d1... dl = 1 1 l = 2... (x1 (1,..., l ) x2 (1,..., l ))d1... dl + 1 1 +... h(t1,..., tl, 1,..., l )x1 (1,..., l )d1... dl dt1... dtl.

1 Отсюда следует, что x1 (1,..., l ) x2 (1,..., l ) 1... h(t1,..., tl, 1,..., l )d1... dl dt1... dtl 1 2l 1 n(s+1)/(2l1), v 2l/(2l 1);

s/2l (s+2l)/(2l+1) A n (lnn), v = 2l/(2l 1);

s/2l n, v 2l/(2l 1) и, следовательно, n(s+1)/(2l1), v 2l/(2l 1);

s/2l (s+2l)/(2l+1) E(n, 1, 2, d) A n (ln n), v = 2l/(2l 1);

s/2l n, v 2l/(2l 1).

Теорема доказана.

Теорема 5.2. Пусть h(t1,..., tl, 1,..., l ) 1, f (t1,..., t2 ) 2, где 1 = Br, ([1, 1]2l ), 2 = Br, ([1, 1]l ), l = 1, 2,.... Тогда E(n, 1, 2, d) An(r+2)/(2l1). (5.9) Доказательство теоремы 5.2 подобно доказательству теоремы 5.1.

5.2. Оптимальные по сложности алгоритмы Построим итерационно - проекционные методы, реализующие оценки, полученные в теоремах 5.1 и 5.2. Так как эти построения проводятся аналогично для обоих классов функций, то остановим ся на построении алгоритма для класса Br,, так как он технически более сложен.

Рассмотрим уравнение (5.1). Пусть функция f (t) Br, (D), а функция h(t, ) принадлежит классу Br, (G). При этом предполо жении будем говорить, что выполнено условие A.

Для построения и обоснования приближенных методов решения уравнения (5.1) при условиях A необходимо предварительно ис следовать точность аппроксимации функции g(tl,..., tl ) Br, (D) локальными сплайнами. Напомним построения, проведенные в гл.

I.

Обозначим через k, k = 1,..., N, множество точек t = (tl,..., tl ) из области D, расстояние от которых до границы обла сти D удовлетворяет неравенствам (ek1 /eN )v (t, ) (ek /eN )v, где v = = 1/w, w = 2Ae при 2Ae 1 и v = ln2 при 2Ae 1, а через множество точек t D, таких, что 0 (t, ) eN v.

Каждую область k покроем кубами k1,...,il, грани которых па- i раллельны осям координат, а ребра равны hk = e(kN )v e(k1N )v при k = 1, 2,..., N и h0 = eN v при k = 0.

При этом в каждой области k при таком способе построения покрытия среди кубов k1,...,il может оказаться 2l параллелепипе i дов.

Общее число n элементов покрытия оценивается соотношением n = CeN v(l1), C = const.

Пусть k1,...,il = [ak1, ak1 +1 ;

... ;

akl, akl +1 ]. В каждом кубе k1,...,il i i i i i i функция g(t1,..., tl ) аппроксимируется интерполяционным поли номом gN (t1,..., tl, k1,...,il ) = Pu,...,u g(t1,..., tl ). Здесь Pu,...,u = Pu1... Pul, а t t i t через Pui обозначен интерполяционный полином Pu, действующий по переменной ti, i = 1, 2,..., l. Положим u = s при k = 1, 2,..., N и u = r при k = 0. Кроме того, положим s = [(r +1)N/(2Ae)]+ при w = 2Ae 1 и s = [(r + 1 )N/(1 + log2 e)] + 1 при w 1.

Локальный сплайн, определенный в D и состоящий из полино мов gN (t1,..., tl ;

k1,...,il ), будем обозначать gN (t1,..., tl ). Множе i ство локальных сплайнов, построенных описанным выше спосо бом, обозначим через LSN.

В гл. I была оценена погрешность аппроксимации функций из Br, локальными сплайнами. Было показано, что g(t) gN (t) n(r+1)/(l1), (5.10) где n общее число функционалов, используемых при построении сплайна gN (t).

Приближенное pешение уравнения (5.1) будем искать в виде ло кального сплайна xN (t1,..., tl ) LSN с неопределенными пока значениями в узлах интерполяции. Эти значения определяются из уравнения, которое в операторной форме имеет вид 1 xN (t) + Lt L [h(t, )xN ( )]d = LN [f (t)],... (5.11) N N 1 где через LN обозначен оператор проектирования на множество сплайнов из LSN ;

верхний индекс в операторе проектирования L означает, что проектирование проводится по переменной.

N Из полученной выше оценки (5.10) погрешности аппроксимации локальными сплайнами и из общей теории приближенных мето дов анализа следует, что если оператор K [C, C] непрерыв но обратим и выполнены условия А, то при N таких, что q = Cn(r+1)/(l1) 1, система уравнений (5.11) имеет единственное решение x0 (t) и справедлива оценка x0 x Cn(r+1)/(l1), N N где x решение уравнения (5.1), n число, связанное с N соот ношением n = CeN v(l1).

Введем оператор 1 L [h(t, )x( )]d.

KN x x(t) +... (5.12) N 1 Оператором, обратным к оператору KN, является оператор KN, который определяет решение уравнения KN x = g по формуле 1 L [h(t, )xN ( )]d, x(t) = g(t)... N 1 где xN (t) решение уравнения (5.11) при правой части, равной LN g.

Покажем, что при достаточно больших N ( таких, что уравнение (5.11) однозначно разрешимо) линейный оператор KN отображает банахово пространство C на себя. Обозначим через C множество образов KN x, x C. Очевидно, C подпространство пространства C. Покажем, что оператор KN однозначно отображает C на C.

Предположим, что это не так. Тогда уравнение KN x = f имеет несколько решений x1, x2 и, следовательно, их разность z = x x2 является решением уравнения KN z = 0. Отсюда следует, что LN KN z = 0. Это уравнение эквивалентнo уравнению 1 zN (t) + Lt L [h(t, )zN ( )]d = 0,... (5.13) N N 1 где zN LSN. Отсюда следует, что zN = 0 и z = 0. Так как опе ратор KN однозначно отображает C на C, то единица не является собственным значением оператора KN, и он отображает взаимно однозначно C на C. Следовательно, по теореме Банаха он непре рывно обратим.

Введем операторы KNi, i = 1, 2, которые строятся следующим образом (числа Ni определяются ниже). Пусть ni целое число, связанное с Ni формулой ni = eNi v(l1). Потребуем, чтобы ni было кратным n и, кроме того, чтобы число m = ni /n было представимо в виде m = ml, где m0 целое число. Разделим каждый куб k1,...,il 0 i k на m равных кубов, которые будем обозначать через i1,...,il. В k каждом кубе i1,...,il функция g(t1,..., tl ) аппроксимируется интер k поляционным полиномом gN1 (t1,..., tl ;

i1,...,il ) = Pu,...,u g(t1,..., tl ), где значения u определяются, как и выше. Локальный сплайн, k определенный в D и состоящий из полиномов gN1 (t1,..., tl ;

i1,...,il ), будем обозначать через g N1 (t1,..., tl ). Оператор проектирования из пространства C на множество локальных сплайнов g N1 (t1,..., tl ) обозначим через LNi.

Операторы KNi имеют вид 1 KNi x x(t) +... LNi [h(t, )x( )]d. (5.14) 1 Построим, следуя [80], последовательные приближения уравне ния (5.1) xN = KN (KN1 KN )x0 + KN f, 1 (5.15) N 1 xN = KN (KN2 KN )xN + KN f, (5.16) где x0 решение уравнения KN x = f.

N Последовательно вычитая из уравнения (5.1) уравнения KN x = 1 f, (5.15), (5.16) и учитывая, что x = KN (K KN )x + KN f, имеем x x0 = KN (K KN )x, (5.17) N x xN = KN (K KN )(x x0 ) + KN (K KN1 )x0, 1 (5.18) N N x xN = KN (K KN )(x xN ) + KN (K KN2 )xN.

1 (5.19) Из соотношений (5.17), (5.18), (5.19) следуют оценки x x 0 = A K KN, (5.20) N x xN = A( K KN + K KN1 ), (5.21) x xN = A( K KN + K KN K KN1 + K KN2 ).

(5.22) Следовательно, x xN = A( K KN + K KN K KN1 + K KN2 ).

(5.23) Определим числа N1, N2 и подсчитаем число арифметических действий, необходимых для вычисления xN. При вычислении x0, xN и xN система уравнений (5.11) решается три раза. При N использовании метода Гаусса это потребует An3 арифметических действий. При вычислении операторов KN1 и KN2 в n узлах тре буется Ann1 и Ann2 арифметических действий. Таким образом, общее число арифметических действий, достаточное для нахожде ния xN, равно A(n3 + nn1 + +nn2 ).

Предположим, что для решения уравнения (5.1) используется n значений функции h(t, ). Тогда, полагая r+2 l1 2 r+2 l1 r+2 l n = [n ], n1 = [n ], n2 = [n ], 3(r+1) 2l1 3 r+1 2l1 r+1 2l r+ убеждаемся, что погрешность метода равна x x An 2l 4 r+2 l при числе арифметических действий n.

3 r+1 2l 4 r+2 l Отсюда следует, что при r и l таких, что 1, 3 r+1 2l r+ x x An 2l при числе арифметических действий An.

Следовательно, изложенный метод оптимальный по порядку по сложности при указанных соотношениях r и l.

Аналогичным образом строится оптимальный метод и для урав нений с ядрами, принадлежащими Qr,.

Замечание 1. Воспользовавшись алгоритмом Штрассена [2] ре шения систем линейных уравнений, можно уточнить соотношения параметров r и l, при которых изложенный выше метод будет оптимальным по порядку.

Замечание 2. Воспользовавшись полученными выше оценка ми интегральных операторов и связью между величинами s-чисел вполне непрерывных операторов и их аппроксимациями конечно мерными операторами [71, c.48], можно существенно уточнить из вестные оценки s-чисел интегральных операторов с ядрами из про странств Qr, и Br,.

6. Оптимальные по сложности алгоритмы приближенного решения одномерных слабосингулярных интегральных уравнений Фредгольма В этом параграфе построены оптимальные по порядку по слож ности алгоритмы решения слабосингулярных интегральных урав нений вида Kx x + Hx x(t) + h(t, )x( )d = f (t), (6.1) с ядрами, имеющими степенные особенности.

Предполагается, что в уравнении (6.1) минимальное расстояние от 1 до собственного значения уравнения больше d(d 0).

В дальнейшем будем рассматривать два близких класса, к ко торым принадлежат ядра уравнения (6.1).

Класс 1, состоящий из функций h(t1, t2 ), удовлетворяющих условиям h(v) (t1, t2 ) C M, 0 |v| r;

(6.2) M |h(v) (t1, t2 )|, r + 1 |v| s, (6.3) |t1 t2 ||v|r1+ где h(v) (t1, t2 ) = |v| h(t1, t2 )/tv1 tv2, v = (v1, v2 ), |v| = v1 + v2, 1 и класс 1, состоящий из функций h(t1, t2 ), удовлетворяющих усло виям M |h(v) (t1, t2 )|, 0 |v| s, (6.4) |t1 t2 ||v|+ где 0 1.

В качестве 2 возьмем класс функций W s (M ), s = 1, 2,....

Теорема 6.1 [37]. Пусть h(t1, t2 ) 1, f (t) 2. Тогда n(r+2), v 2;

s/2 (s+2)/ f E(n, 1, 2, d) A (6.5) n (ln n), v = 2;

s/ n, v 2, где v = (s + 2)/(r + 3 ).

Теорема 6.2 [37]. Пусть h(t1, t2 ) 1, f (t) 2. Тогда n(2), v1 2;

E(n, 1, 2, d) A s/2 (s+2)/2 (6.6) n (ln n), v1 = 2;

1 s/ n, v1 2, где v1 = (s + 2)/(2 ).

Доказательства обеих теорем проводятся аналогично, и поэтому остановимся на доказательстве теоремы 6.2.

Доказательство теоремы 6.2. Доказательствo теоремы про водится аналогично доказательству теоремы 5.1 из предыдущего параграфа. Поэтому остановимся только на некоторых отличиях в доказательствах.

Оценим снизу верхнюю грань функционала Jh = h(t1, t2 )dt1 dt в предположении, что h 1 и обращается в нуль в n произволь ным образом расположенных узлах.

Разобьем квадрат D = [0, 1]2 на более мелкие квадраты. Для + этого введем области Dk и Dk, расположенные выше и ниже глав ной диагонали B = {t1 = t2 } квадрата D, такие, что для точек, лежащих в этих областях, справедливы неравенства v v 1k 1 k+ (t, B), 2N N где v = (s + 2)/(r + 2 ).

+ В каждой из областей Dk и Dk разместим квадраты со сторо v kv нами, равными hk = 2 k+1 N, k = 0, 1, 2,..., причем в N + каждой из областей Dk и Dk вместо двух квадратов могут быть + трапеции и треугольники. Отметим также, что квадраты Dk и Dk имеют две стороны, параллельные диагонали D. Общее число ± квадратов Dk равно N v, v 2;

N, v 2;

n A (6.7) N 2 ln N, v = 2.

Пусть n1 = 2n и N1 целое число, связанное с n1 соотношения ми (6.7). Повторяя описанные выше построения, покроем квадрат ± D квадратами Dk,l, k = 0, 1,..., N1 1, с ребрами hk = ((k + 1)v k v )/N1, k = 0, 1,..., N1 1. В результате этих построений v k квадрат D оказывается покрытым 2n квадратами Di1,...i2l, k = 0, 1,..., N1 1. Так как для вычисления функционала Jh исполь k зуется только n узлов, то в n квадратах из множества Di1,...i2l, k = 0, 1,..., N1 1, отсутствуют узлы функционала Jh. Повторяя те перь рассуждения, аналогичные проведенным при доказательстве теоремы 5.1 из предыдущего параграфа, убеждаемся в справедли вости теоремы.

Рассмотрим уравнение h(t, )x( ) Kx x + Hx x(t) + d = f (t), | t| где h(t, ) H, f (t) H, 0 1, 0 1.

Повторяя проведенные выше рассуждения, убеждаемся, что справедливо следующее утверждение.

Теорема 6.3 [37]. Пусть h(t1, t2 ) 3 = H, f (t) 4 = H.

Тогда E(n, 3, 4, d) An/2.

Построим оптимальный по сложности алгоритм приближенного решения уравнения (6.1).

Для определенности остановимся на случае, когда h 1, f 2.

Обозначим через µk, k = 1, 2,..., s, узлы полинома Лежандра s-го порядка, расположенные в сегменте [1, 1], а через µk, k = 1, 2,..., s, их образы при отображении [1, 1] на [a, b]. Пусть Ls (f, [a, b]) интерполяционный полином порядка s 1, интерпо лирующий функцию f (t) по узлам µk, k = 1, 2,..., s, в сегменте [a, b].

Обозначим через границу сегмента [1, 1], т.е. точки ±1.

Пусть t1 = 1 + (k/N )v, t2 = 1 (k/N )v, k = 0, 1,..., N. Введем k k сегменты 1 = [t1, t1 ], 2 = [t2, t2 ], k = 0, 1,..., N 1. Сплайн, k k k+1 k k+1 k аппроксимирующий функцию f (t) и составленный из полиномов Ls (f, i ), i = 1, 2, k = 0, 1,..., N 1, обозначим через fN (t).

k Множество локальных сплайнов, построенных указанным спосо бом, обозначим через LSN. Оператор проектирования на множе ство локальных сплайнов LSN обозначим через LN. Приближенное решение уравнения (6.1) будем искать в виде локального сплайна xN (t) LSN с неопределенными пока коэффициентами. Эти ко эффициенты определяются из системы алгебраических уравнений, которая в операторной форме имеет вид KN xN xN (t) + LN L [h(t, )xN ( )] d = LN (f (t)]. (6.8) N Из общей теории приближенных методов анализа следует, что при N таких, что q = AN r 1, система уравнений (6.8) одно значно разрешима и справедлива оценка x x AN r, где x N и XN решения уравнений (6.1) и (6.8) соответственно.

Введем оператор L [h(t, )x( )]d.

K N x x(t) + (6.9) N Обратным оператором к оператору K N является оператор K N, который определяет решение уравнения K N x = g по формуле L [h(t, )xN ( )]d, x(t) = g(t) (6.10) N где xN (t) решение уравнения (6.8) при правой части LN [g].

При N таких, что система уравнений (6.8) однозначно разре шима (для этого достаточно, чтобы q = AN r 1), линейный оператор K N отображает банахово пространство C на себя. Сле довательно, по теореме Банаха он непрерывно обратим.

Введем операторы K Ni, i = 1, 2, L i [h(t, )x( )]d.

K Ni x x(t) + (6.11) N Построим последовательные приближения 1 xN = K N (K N1 K N )x0 + K N f, (6.12) N 1 xN = K N (K N2 K N )xN + K N f, (6.13) где N1 = [n2/3 ] + 1, N2 = [n1/2 ] + 1, N = [n1/3 ] + 1, n число ариф метических действий, используемых при построении алгоритма.

Отметим, что при вычислении последовательных значений xN и xN сингулярные интегралы вычисляются по оптимальным по точности и сложности (одновременно) алгоритмам [27], [33], тре бующим AN арифметических действий и имеющим точность AN (r+). Повторяя рассуждения, приведенные в §5, получаем оценку:

x xN ” An(r+)/2. (6.14) Таким образом, построен оптимальный по порядку (по точно сти) алгоритм приближенного решения уравнения (6.1).

7. Оптимальные по сложности методы решения многомерных слабосингулярных интегральных уравнений Фредгольма Рассмотрим многомерные слабосингулярные интегральные урав нения вида Kx x + T x x(t) + h(t, )x( )d = f (t), t D, (7.1) D где D внутренняя область параллелепипеда D = [1, 1]l, l 2, t = (t1,..., tl ), = (1,..., l ).

В §4 построен оптимальный по порядку (по точности) метод решения уравнений вида (7.1).

Ниже предлагается оптимальный по порядку (по сложности) метод решения слабосингулярных интегральных уравнений вида (7.1).

Пусть G = [1, 1]2l, l = 2,....

Обозначим через 1 множество функций, для которых выпол няется условие (4.2), а через 2 множество функций, принадле жащих пространству C m,v (D), описанному в § 4.

Теорема 7.1 [37]. Пусть h(t, ) 1, f (t) 2, w = m+2l. Тогда 2lv n(lv)/l, w (l + 1)/l, (lv)/l (2lv)/l E(n, 1, 2, d) A (7.2) n (ln n), w = (l + 1)/l, (m+l1)/(l+1) n, w (l + 1)/l.

Доказательство. Оценим снизу верхнюю грань функционала 1 Jh =... h(t, )dtd 0 в предположении, что h 1 и обращается в нуль в n произ вольным образом расположенных узлах, принадлежащих области G. Зафиксируем произвольное i, 1 i l, и рассмотрим квадрат Di = [0, 1]2 на плоскости 0ti i, i = 1, 2,..., l.

Пусть N целое число, величина которого определяется ниже.

Разобьем квадрат Di (i = 1, 2,..., l) на более мелкие квадраты ±i, k, j = kj = 1, 2,..., Ni, i = 1, 2,..., l, способом, аналогичным описанному в § 6. Отличие заключается в величине константы w, которая здесь равна w = (m + 2l)/(2l v). В дальнейшем для простоты обозна чений будем опускать символы (±).

Общее число ni (i = 1, 2,..., l) квадратов i, которые можно kj разместить в квадрате Di, определяется формулой (6.7). Пусть k1,...,jl = j = 1 1 2 2... l l, k = 1, 2,..., N, ji = 1, 2,..., Ni, i = 1, 2,..., l.

kj kj kj Общее число кубов k1,...,jl, k = 0, 1,..., N, которые можно раз j местить в G, оценивается выражением l 2 2(k/N )w N M ((k + 1)/N )w (k/N )w k= N wl, w (l + 1)/l, wl (7.3) N ln N, w = (l + 1)/l, l+ N, w (l + 1)/l.

Пусть M = 2n. Подберем число N таким образом, чтобы вы полнялось соотношение (7.3). Так как число точек, в которых функция h(t, ) обращается в нуль, равно n, то имеется по край ней мере n кубов вида k1...jl, в которых функция h(t, ) в нуль j не обращается. Назовем эти кубы отмеченными. Для простоты обозначений в каждой плоскости 0ti i (i = 1, 2,..., l) введем но вую систему координат, взяв в качестве осей диагонали первого и второго квадрантов. В произвольном отмеченном кубе k1,...,j2l = j k k k k [aj1, aj1 +1 ;

... ;

aj2l, aj2l +1 ] функция h(t, ) определяется формулой [(t1 aj1 )k (ak1 +1 t1 )... (t2l ak2l )(ak2l +1 t2l )]m j j j hk1,...,j2l =A.

j m(4l1) hk (k/N )w(v+m) В дополнении объединения отмеченных кубов до области G функция h(t, ) полагается равной нулю. Константа А выбирается таким образом, чтобы h(t, ) 1.

Нетрудно видеть, что hk1...j2l (t, )dtd AN m2l. (7.4) j k1,...,j j 2l Таким образом, h(t, )dtd AnN m2l. (7.5) G Из неравенств (7.4) и (7.5) следует справедливость теоремы.

Рассмотрим уравнение h(t, )x( )d Kx x(t) + = f (t), (7.6) ((1 t1 )2 +... + (l tl )2 ) D где h H,...,, f H,...,, 0 l/2.

Теорема 7.2 [37]. Пусть h(t, ) 3 = H,...,, f (t) 4 = H,...,. Тогда n(l+)/l, w (l + 1)/l, (l+)/l (2l+)/l E(n, 3, 4, d) A n (ln n), w = (l + 1)/l, (l+1)/(l+1), w (l + 1)/l, n где w = ( + 2l)/( + 2l ).

Доказательство теоремы подобно доказательству теоремы 7.1.

Подобно тому, как это было сделано для одномерных слабосин гулярных интегральных уравнений, строятся при соответствую щих сочетаниях m, v,, l, оптимальные по порядку (по сложно сти) алгоритмы приближенного решения уравнения (7.1) при усло виях (4.2) и уравнения (7.6).


Замечание. Полученные выше результаты могут быть распро странены и на интегральные уравнения с другими видами слабо сингулярных ядер.

8. Oптимальные способы задания информации Выше были построены оптимальные по точности методы реше ния интегральных уравнений Фредгольма на классах Qr (, M ), Br () и слабосингулярных интегральных уравнений в предпо ложении, что информационный оператор Т задается значениями функций h(t, ), f (t), t = (t1,..., tl ), = (1,..., l ), в N узлах, при чем значения функций h(t, ) задаются в N1 точках, а функции f (t) в N2 точках, N1 + N2 = N.

Оказывается, что если функции h(t, ) и f (t) задавать не их значениями в узлах, а функционалами другого вида, то оценки точности и сложности решения упомянутых выше классов инте гральных уравнений можно значительно усилить.

Пусть X банахово пространство, F класс функций, H множество линейных непрерывных операторов, действующих из X в X и таких, что уравнение Kx x + Hx x(t) + h(t, )x( )d = f (t), (8.1) t = (t1,..., tl ), = (1,..., l ), l 2, однозначно разрешимо при любых H H и f F.

Предположим, что информация о каждом уравнении (8.1) зада ется в виде вектора, состоящего из N функционалов (1,..., N )(i = = i (H), i = 1, 2,..., N1, j = j (f ), j = N1 + 1,..., N ), при чем для вычисления значений i (H), j (f ), i = 1, 2,..., N1, j = N1 + 1,..., N, требуется O(N 2 ) простейших операций, к которым относятся арифметические операции, вычисление значений функ ций, вычисление интегралов. (Отметим, что в §§ 57 под простей шими операциями понимались арифметические операции и опера ции вычисления значений функций).

Множество всевозможных наборов функционалов (1 (H, f ),..., N (H, f )) обозначим через TN [H, f ].

Введем следующие классы функций. Через Qr (2, M ) обозна чим множество функций h(t, ), t = (t1,..., tl ), = (1,..., l ), которые при фиксированном t принадлежат классу Qr (, M ) по переменной, а при фиксированном классу Qr (, M ) по пе ременной t.

Через Br (2 ) обозначим класс функций h(t, ), которые при фиксированном t принадлежат классу Br () по переменной, а при фиксированном классу функций Br () по переменной t.

Напомним, что класс функций C m,v () был описан в § 4.

Пусть 1 = Qr (2, M ), 2 = Qr (, M ), = const 1.

Обозначим через H(1, ) множество интегральных операто ров Hx = h(t, )x( )d, у которых h(t, ) Qr (2, M ) и (I + H) C.

Теорема 8.1. При X = C N (s)/(l1) при v l/(l 1);

N s/l (ln N )s/l EN (1, 2, d) А (8.2) при v = l/(l 1);

N s/l при v l/(l 1), где v = s/(s ).

Доказательство. Справедливость этого утверждения легко доказывается на классе интегральных уравнений вида x(t) + h( )x( )d = f (t), h( )d = 1.

Это уравнение имеет решение x(t) = f (t), = ( h( )f ( )d )/(1 + h( )d ), причем x(t) 2. В гл. I было показано, что для поперечника Бабенко справедлива оценка N (s)/(l1) при v l/(l 1);

N s/l (ln N )s/l N (Qr (, M )) C при v = l/(l 1);

N s/l при v l/(l 1), где v = s/(s ).

Следовательно, при любом способе задания информационно го оператора (1 (H),..., N1 (H), N1 +1 (f ),..., N (f )) cправедлива оценка (8.2).

Аналогичным образом доказываются следующие утверждения.

Теорема 8.2. Пусть X = C, 3 = Br (2 ), 4 = Br (), = =[1, 1]l, l 2. Справедлива оценка EN (3, 4, d) CN (r+1)/(l1).

Обозначим через 5 множество ядер h(t, ), удовлетворяющих неравенству (4.2), а через 6 множество функций, принадлежа щих классу C m,v ().

Теорема 8.3. При X = C N r/(l1) при q l/(l 1);

N m/l EN (5, 6, d) C при q l/(l 1);

N m/l (ln N )m/l при q = l/(l 1), где r = l v, q = m/r.

Построим приближенные методы решения уравнений вида (8.1), реализующие оценки теорем 8.1 8.3 на соответствующих классах функций.

Для определенности остановимся вначале на случае, когда h(t, ) Qr (2, M ), f (t) Qr (, M ), = [1, 1]l, l 2. Покроем область кубами k1,...,il, k = 0, 1,..., N 1 так, как это описано i в разделе 2 § 3. Обозначим через Ps···s (f, k1,...,il ) функцию i s s k1,···,kl (k1,...,il )tk1 · · · tkl ··· i l k1 =0 kl = Ps···s (f, k1,...,il ) = t k1,...,il, при i i t \ k1,...,il, 0 при i s s k1,···,kl (k1,...,il )tk1 · · · tkl - полином, приближающий где ··· i l k1 =0 kl = функцию f (t) в кубе k1,...,il, k = 0, 1,..., N 1.

i Объединение функций Ps···s (f, k1,...,il ) является локальным сплай i t ном Ss,···,s (f ), определенным в области. Обозначим через Ss,···,s оператор, ставящий функции f (t) в соответствие локальный сплайн t Ss,···,s (f ). Верхний индекс t означает, что оператор Ss,···,s берет ся по переменной t. Отметим, что способ определения полинома Ps,···,s (f, k1,...,il ), k = 0, 1,..., N 1, существенной роли не играет.

i В качестве этого полинома может быть взят отрезок ряда Тейло ра, интерполяционный полином, отрезок ряда по ортогональным полиномам и т.д. Ниже для определенности в качестве полиномов Ps,···,s (f, k1,...,il ), k = i = 0, 1,..., N 1, берутся интерполяционные полиномы по узлам полиномов Чебышева или Лежандра.

В качестве приближенного к уравнению (8.1) возьмем уравнение t Ks x x(t) + Hs x x(t) + Ss,···,s [h(t, )]x( )d + t + Ss,···,s [h(t, )]x( )d Ss,···,s Ss,···,s [h(t, )]x( )d = f (t). (8.3) Точное решение уравнения (8.3) является приближенным реше нием уравнения (8.1).

Рассмотрим уравнения (8.1) и (8.3) в пространстве X = C. Из теоремы Банаха следует, что при достаточно больших N (таких, что q = A(sN )s K 1 1) оператор Ks непрерывно обратим и справедлива оценка Ks K 1 /(1 q).

Обозначим через x и x решения уравнений (8.1) и (8.3).

s Очевидно, x x + Hs (x x ) = (Hs H)x.

s s Из обратимости оператора Ks следует, что x x Ks (HHs )x A [(ISs )(ISs )h(t, )]x ( )d t s m2(s)/(l1), v l/(l 1), m2s/l, A v l/(l 1), 2s/l s/l m (ln m), v = l/(l 1), где m = sl m0, m0 общее число кубов k1,...,il, k = 0, 1,..., N 1, i покрывающих область.

Общее число функционалов, используемых при построении вы числительной схемы (8.3), n = O(m2 ). Следовательно, n(s)/(l1), v l/(l 1), x x A ns/l, v l/(l 1), s s/l s/l n (ln n), v = l/(l 1).

Сравнивая эту оценку с оценкой теоремы 8.1, убеждаемся в спра ведливости следующего утверждения.

Теорема 8.4. При X = C, l N (s)/(l1) при v l/(l 1), N s/l (ln N )s/l EN (1, 2, d) при v = l/(l 1), N s/l при v l/(l 1), где v = s/(s ).

Аналогичным образом доказываются следующие теоремы.

Теорема 8.5. При X = C, l = N s.

EN (1, 2, d) Теорема 8.6. При X = C, l N (r+1)/(l1).

EN (3, 4, d) 9. Сверхсходимость решений интегральных уравнений Начиная с середины XX в. активно развиваются итерационно про екционные методы решения функциональных и, в частности, ин тегральных уравнений. Среди этих методов необходимо, в первую очередь, отметить метод функциональных поправок Соколова и его различные модификации. Подробно с этими методами мож но познакомиться по монографиям [107], [116]. Позднее выделился в отдельное направление один итерационно-проекционный метод, обладающий чрезвычайно высокой сходимостью.

Изложим этот метод на примере операторного уравнения вто рого рода Kx x = Hx + f, K B[X, X], (9.1) где K линейный оператор в банаховом пространстве X.

Пусть XN подпространство пространства X и PN [X, XN ] проектор, отображающий X на XN.

Для приближенного решения уравнения (9.1) используем проек ционный метод KN xN xN = PN HxN + fN, KN B[XN, XN ], fN = PN f. (9.2) Предположим, что уравнения (9.2) однозначно разрешимы, на чиная с некоторого номера N, и что справедлива оценка KN M.

Пусть xN решение уравнения (9.2). Введем поправку xN = HxN + f.

(9.3) Итерационно-проекционный метод, описываемый уравнениями (9.2), (9.3), называется сверхсходящимся. Проведем выкладки, оправдывающие это название. Покажем [55], что решение xN удо влетворяет уравнению xN HPN xN = f.

(9.4) Действительно, xN HPN xN = HxN + f HPN (HxN + f ) = = H(xN PN HxN PN f ) + f = f. (9.5) Из (9.1) и (9.4) имеем (I HPN )N = x Hx, x (I HPN )N x + HPN x = HPN x Hx.

x Используя равенство PN = PN, получаем:

(I HPN )(N x) = HPN x Hx HPN x + HPN x, x (I HPN )(N x) = (HPN H)(x PN x).

x Отсюда, предполагая, что оператор I HPN непрерывно обра тим, имеем:

(N x) = (I HPN )1 (HPN H)(x PN x) x и, следовательно, xN x (I HPN )1 · (HPN H)(x PN x).

(9.6) Из неравенства (9.6) следует, что близость точного решения x уравнения (9.1) и приближенного x, полученного по методу сверх N сходимости (9.2) (9.3), зависит от точности аппроксимации опе ратора H операторами HPN на множестве функций, представимых в виде z = x PN x, x X, и от нормы x PN x.

Точность проекционного метода (9.2) равна А x PN x. Сле довательно, дополнительная точность метода сверхсходимости за висит от HPN H на множестве Z = {x PN x}, x X.

Рассмотрим многомерные интегральные уравнения Фредголь ма на классах функций Qr (, M ), Br () и многомерные сла босингулярные интегральные уравнения. Для приближенного ре шения этих уравнений воспользуемся модификацией метода мо ментов, которую подробно изложим в случае уравнений на классе функций Qr (, M ). Для простоты дальнейших выкладок предпо ложим, что целое число.

Рассмотрим интегральное уравнение Kx x + Hx x(t) + ··· h(t, )x( )d = f (t), (9.7) где = [1, 1]l, t = (t1,..., tl ), = (1,..., l ), h(t, ) Qr (2, M ), f (t) Qr (, M ).

Разобьем область на более мелкие кубы k1,...,il по алгоритму,i описанному в § 3. При этом полагаем v = (2s + 2l)/(2s + 2l 2). Приближенное решение уравнения (9.7) будем искать в виде кусочно-непрерывной функции xN (t), которая определяется фор мулой N xN (t, k1,...,il ).

xN (t) = (9.8) i k=0 i1,···,il Функция xN (t, k1,...,il ) равна нулю в дополнении куба k1,···,il до i i k области, а в области i1,···,il она определяется формулой s s xN (t, k1,···,il ) = xj1,···,jl (k1,···,il )Pj1,···,jl (t, k1,···,il ).


··· (9.9) i i i j1 =0 jl = Здесь xj1,···,jl (k1,···,il ) подлежащие определению числовые коэф i фициенты, Pj1,···,jl (t, k1,···,il ) образ полинома Pj1,···,jl (t, [1, 1]l ) = i = Pj1 (t1 ) · · · Pjl (tl ) при отображении куба [1, 1]l на куб k1,···,il, i k = 0, 1,..., N 1. Через Pj (t) обозначен ортонормальный полином степени j, определенный на сегменте [1, 1].

Коэффициенты xj1,···,jl определяются по модифицированному ме тоду моментов, который в операторной форме имеет вид KN xN xN (t) + PN [ h(t, )xN ( )d ] = PN [f (t)], (9.10) где PN оператор проектирования, ставящий каждой непрерыв ной функции x(t) C кусочно-полиномиальную функцию, опреде ляемую формулами (9.8) (9.9).

Можно показать, что при достаточно больших N система урав нений (9.10) однозначно разрешима. Проведем итерацию (9.3) для уравнения (9.7). В данном случае она имеет вид xN (t) = h(t, )xN ( )d + f (t), (9.11) где xN (t) решение уравнения (9.10).

Таким образом, оценка погрешности проекционно-итерационного метода (9.11) сводится к оценке в метрике пространства С () нор мы выражения (HPN H)(x PN x) при x Qr (, M ).

Будем оценивать эту норму при r 1. В этом случае в каждом кубе k1,...,il функция x(t) разлагается в ряд по ортонормальным i полиномам Pj1,···,jl (t, k1,...,il ).

i Оценка нормы (HPN H)(x PN x) сводится к оценке нормы Jik,...,il = h(t, )(x( ) PN x( ))d C.

k1,...,i i l Пусть k1,...,il = [a1, b1 ;

· · · ;

al, bl ]. Сделаем замену переменных i wi + i = ai + (bi ai ), i = 1, 2,..., l.

Тогда bi ai l Jik,...,il = hk1,...,il (t, w)(xk1,...,il (w)(PN xk1,...,il )(w)) dw C.

i i i i= Обозначения hk1,...,il (t, w), xk1,...,il (w) очевидны. Здесь xk1,...,il (w) i i i k отображение функции x( ) из куба i1,...,il в куб. В кубе k1,...,il функция x( ) имела производные до s порядка включи i тельно, причем модуль s-й производной был ограничен константой M/((x, )) = M (N/k)v при x k1,...,il, 1 k N 1. Модуль r i - й производной ограничен константой M при x 01,...,il. При ото i k бражении x( ) в xi1,...,il (w) последняя функция имеет производные до s - го порядка в, причем s-я производная ограничена кон стантой (hk /2)s M (N/k)v при 1 k N 1, a r -я производная ограничена константой (h0 /2)r M при k = 0.

Функция hk1,...,il (t, w) имеет производные по переменной w до s-го i порядка при 1 k N 1 и до r-го порядка при k = 0. Эти про изводные ограничены константой (hk /2)s M (N/k)v при 1 k N 1 или константой (h0 /2)r M при k = 0.

Выражение xk1,...,il (w)(PN xk1,...,il )(w) k1 ···kl (k1,...,il )Pk1 (w1 ) · · · Pkl (wl ), = ··· i i i k1 =0 kl = где означает суммирование по k1, · · ·, kl, не принадлежащим кубу [0, s]l.

Заметим теперь, что l Jik,...,il hk hk1,...,il (t, w) k1,···,kl (k1,...,il )Pk1 (w1 ) · · · Pkl (wl )dw = ··· i i k1 =0 kl = k1,...,kl (k1,...,il ) hk1,...,il (t, w)Pk1 (w1 ) · · · Pkl (wl )dw = = ··· i i k1 =0 kl =0 k1,...,kl (k1,...,il )h1,···,kl (k1,...,il ) = ··· i k i k1 =0 kl = 1/2 1/ k1,...,kl (k1,...,il ) (h1,···,kl (k1,...,il )) ··· ···.

i k i k1 =0 kl =0 k1 =0 kl = Здесь h 1,···,kl (k1,...,il ) = maxt |h 1,···,kl (t, k1,...,il )|, h 1,···,kl (t, k1,...,il ) k i k i k i коэффициенты разложения функции h(t, ) (по переменной в области k1,...,il ) в ряд Фурье по ортогональной в k1,...,il системе i i функций Pk1 (1 ) · · · Pkl (l ), ki = 0, 1,...,, i = 1, 2,..., l.

В ряде случаев коэффициенты k1,···,kl (k1,...,il ) и hk1.···,kl (t, k1,...,il ) i i можно легко оценить. Пусть разложение функций x(t) и h(t, ) в кубе k1,...,il, k = 0, 1,..., l, проводится по полиномам Чебышева i первого рода.

Тогда для коэффициентов Фурье k1,···,kl (k1,...,il ) имеют место i оценки: при 1 k N v k |k1,···,kl (k1,...,il )| Ahs, v... klvl i k N k1 при k = 0 и целом |k1,···,kl (01,...,il )| Ahr, k11... klvl v i где v1 +... + vl = s.

Аналогичная оценка справедлива и для коэффициентов Фурье hk1,...,kl (t, k1,...,il ).

i В результате имеем 1/ k1,···,kl (k1,...,il ) ··· i k1 =0 kl = 1/ v v N 1 N Ahs Ahs 2vl k k 2v k k (k1,...,kl ) k1... kl при k = 1,..., N 1, где множество точек с целочисленными координатами, расположенных в кубе [0, s]l.

При k = 1/ k1 ···kl (01,...,il ) Ahr.

i (k1,...,kl ) Аналогично, 2v N Jik,···,il Ah2s+l k k при k = 1,..., N 1.

При k = Ji01,...,il Ah0.

2r+l Поэтому (HPN H)x AnN (2s+l) x (9.12) где n число кубов k1,...,il, покрывающих область.

i Величина n была ранее оценена в § 3 соотношением (3.10). Из неравенства (9.12) и соотношения (3.10) следует, что n(2s+12)/(l1) при v l/(l 1), n(2s+l)/l x xN A при v l/(l 1), n(2s+l)/l (ln n)(2s+l)/l при v = l/(l 1).

Из сопоставления этого неравенства с оценкой, полученной в $ 3, с очевидностью следует сверхсходимость исследуемого ме тода. Очевидно, что эффект сверхсходимости будет значительно более высоким, если использовать в качестве приближенного ре шения отрезки ряда Фурье с коэффициентами, принадлежащими гиперболическим крестам.

10. Приближенное решение интегральных уравнений Вольтерра 10.1. Одномерные интегральные уравнения Вольтерра Рассмотрим интегральное уравнение t Kx x(t) + h(t, )g(t )x( )d = f (t), t = [0, T ], (10.1) где h(t, ) W s,s (M ), f (t) W s (M ), g(t) Q ([0, T ], M ).

r, Повторяя практически дословно рассуждения, проведенные в § книги [57], можно показать, что оператор K отображает простран ство Q ([0, T ], M ) на пространство Q ([0, T ], M1 ). Следователь r, r, но, если f Q ([0, T ], M1 ), то и x Q ([0, T ], M ).

r, r, Таким образом, будем искать решение в классе функций, име ющих непрерывные производные до r-го порядка включительно и производные v-го порядка (r v s), удовлетворяющие неравен M ству |x(v) (t)| tvr, v = r + 1,..., s.

Приближенное решение уравнения (10.1) будем искать в виде сплайна xn (t), 0 t T с неизвестными коэффициентами xk, k = j 1, 2,..., N, j = 0, 1,..., s, построение которого описано гл. I. Опишем процесс определения этих коэффициентов.

Вначале проведем обоснование метода коллокации. Для этого введем функцию K(t, ) = 1, при 0 t, K(t, ) = 0, при t T.

Тогда уравнение (10.1) можно представить в виде T Kx x(t) + K(t, )h(t, )g(t )x( )d = f (t).

Нетрудно видеть, что оператор K B[X, X], X = C[0, T ], не прерывно обратим. Из общей теории приближенных методов сле дует, что, начиная с некоторого номера n0, операторы T Kn xn Pn n (t) + K(t, )Pn [h(t, )]g(t )xn ( )d = Pn [f (t)] x (10.2) непрерывно обратимы в подпространстве Xn, состоящем из сплай нов вида xn (t), причем Kn B для всех n n0. Здесь Pn [f ] оператор проектирования функции f из X на множество сплайнов fn (t). Обоснование этого утверждения не приводится, так как в главе III проведено подобное обоснование для более сложного слу чая сингулярных интегральных уравнений.

Обозначим через x и x решения уравнений (10.1) и (10.2) n соответственно. Пусть x наилучшее приближение функции x n сплайнами из Xn. Тогда Kn ( x ) = xn n T Pn x (t) x (t)) K(t, )h(t, )g(t )[ ( ) x ( )]d + = + xn (n n T K(t, )(h(t, ) Pn [h(t, )])g(t )x ( )d.

+ n Следовательно, x x Ans.

n n Так как x x Ans, то окончательно имеем x x n n Ans.

Теорема 10.1 [53]. Пусть выполнены следующие условия:

1) h(t, ) W s,s (M ), g(t), f (t) Q ([0, T ], M );

r, 2) оператор K [C, C] непрерывно обратим.

Тогда начиная с некоторого номера n0 операторы Kn (n n0 ) непрерывно обратимы и справедлива оценка x x Ans, где n x и x решения уравнений (10.1) и (10.2) соответственно.

n Из сопоставления утверждений теоремы 10.1 и теоремы 3. следует Теорема 10.2 [53]. Среди всевозможных приближенных ме тодов решения уравнения (10.1), использующих n функционалов функции f (t) и n2 функционалов функции h(t, ), оптимальным по порядку по точности на классах функций F (f, g F = Q ([0, T ], M )) и H (h H = Q ([0, T ]2, M )) r, r, является проекционный метод (10.2).

Пусть теперь функция g(t) Br, ([0, T ]). В предположении, что оператор K отображает класс функций Br, () в себя, утвер ждения предыдущей теоремы можно усилить. Введем узлы t0 = 0, tk = 2kn T, k = 1, 2,..., n. Через k обозначим сегменты k = [tk, tk+1 ], k = = 0, 1,..., n 1. Локальный сплайн fn (t), аппроксимирующий функцию f (t), строится следующим образом. На каждом сегменте k, k = = 0, 1,..., n 1, функция f (t) аппроксимируется интерполяцион k ным полиномом степени r по узлам j, которые являются образами узлов полинома Лежандра r + 1 степени j, j = 1, 2,..., r + 1, ото браженными с сегмента [1, 1] на сегмент k, k = 0, 1,..., n 1.

Из теоремы 4.6 следует, что f (t) fn (t) A2n(r+1). Еще раз повторяя выкладки, проведенные при доказательстве теоремы 10.1, убеждаемся в справедливости следующего утверждения.

Теорема 10.3 [53]. Пусть = [0, T ] и выполнены следующие 1) h(t, ) A([0, T ]2 ), g(t),f (t) Br, (). 2) оператор условия:

K [C, C] непрерывно обратим;

3) оператор K отображает класс функций Br, () в себя.

Тогда начиная с некоторого номера n0 операторы Kn (n n0 ) не прерывно обратимы и справедлива оценка x x A2n(r+1),n где x и x решения уравнений (10.1) и (10.2) соответственно.

n Из сопоставления утверждений теоремы 4.6 главы I и теоремы 10.3 следует Теорема 10.4 [53]. Среди всевозможных приближенных ме тодов решения уравнения (10.1), использующих n функционалов функции f (t) и n2 функционалов функции h(t, ) оптимальным по порядку по точности на классах функций F (f, g F = Br, ([0, T ])) и H (h H = A([0, T ]2 )) является проекционный метод (10.2).

10.2. Приближенное решение многомерных слабосингулярных интегральных уравнений Вольтерра В этом пункте будем рассматривать интегральные уравнения вида Kx x(t1,..., tl )+ tl t + ··· h(t1,..., tl, 1,..., l )g(t1 1,..., tl l )x(1,..., l )d1 · · · dl = 0 = f (t1,..., tl ), (10.3) где 0 t1,..., tl T, h(t1,..., tl, 1,..., l ) и f (t1,..., tl ) функ ции, имеющие частные производные до s-го порядка, слабосингу лярные ядра g(t1 1,..., tl l ) могут иметь вид g(t1,..., tl ) = tr1 +1 · · · trl +l (10.4) 1 l или вид g(t1,..., tl ) = (t2 + · · · + t2 )r+. (10.5) 1 l Для простоты изложения полагаем ri = r и i =, i = 1, 2,..., l.

Остановимся вначале на гладкости решений уравнений вида (10.3) с ядрами (10.4) и (10.5). Повторяя рассуждения, проведен ные в [56], можно показать, что если ядро g имеет вид (10.4) и f Q (, M ), то решение x(t1,..., tl ) уравнения (10.3) принадле r, жит классу функций Q (, M ) с = sr. В случае, когда ядро r, g имеет вид (10.5) и f Q (, M ), решение x(t1,..., tl ) уравнения r, (10.3) принадлежит классу функций Q (, M ) с = s r.r, Приступим теперь к построению и обоснованию вычислитель ной схемы приближенного решения уравнения (10.3). Так как вы числительные схемы строятся и обосновываются для ядер (10.4) и (10.5) одинаковым образом, то остановимся на случае урав нения (10.3) с ядром (10.4). Приближенное решение будем ис кать в виде сплайна x (t1,..., tl ) с неизвестными значениями s k k k k xs (i1,..., il ), (i1,..., il ) k1,...,il, k = 0, 1,..., N 1, в узлах сетки, построение кото i рого описано при доказательстве теоремы 4.3 в гл. I. Значения x (ik1,..., ikl ) s определяются из системы линейных алгебраических уравнений tl t KN x Ps (t) + Ps [h(t, )]g(t )x ( )d = Ps [f (t)].

··· xs s s 0 (10.6) Здесь Ps оператор проектирования на множество локальных сплайнов вида x (t1,..., tl ). Обоснование вычислительной схемы s (10.6) проводится так же, как в одномерном случае. Повторяя рас суждения, проведенные в пункте 10.1, убеждаемся, что начиная с достаточно больших n0 (N n0 ), система уравнений (10.6) одно значно разрешима и справедлива оценка x x s m(n, v), C где x и x решения уравнений (10.3) и (10.6) соответственно, s числовая функция m(n, v) введена в теореме 4.3 гл. I.

Следовательно, учитывая теорему 4.3 гл. I, приходим к следую щему утверждению Теорема 10.5 [53]. Среди всевозможных приближенных ме тодов решения уравнения (10.3), использующих n функционалов функции f (t1,..., tl ) и n2 функционалов функции h(t1,..., tl ;

1,..., l ) оптимальным по порядку по точности на классах функций F (f, g F = Q ([0, T ]l, M )) и H (h H = A([0, T ]2l )) является про r, екционный метод (10.6), имеющий точность x x C m(n, v), s где x и xs решения уравнений (10.3) и (10.6), соответственно.

Теоремы для классов Q ([0, T ]l, M ), Br, ([0, T ]l ) и Br, ([0, T ]l ) r, доказываются подобным образом, на основе теорем 4.4 4.6 гл. I.

Предварительно введем класс функций A().

Определение 10.1. Пусть = [0, T ]l, l = 1, 2,...,. Функция f (t1,..., tl ) принадлежит классу A(), если выполнены условия:

|v| f (t1,..., tl ) M |v| |v||v|, при 0 |v|, v1 vl t1 · · · tl где константа M не зависит от |v|.

Теорема 10.6 [53]. Среди всевозможных приближенных ме тодов решения уравнения (10.3), использующих n функционалов функции f (t1,..., tl ) и n2 функционалов функции h(t1,..., tl ;

1,..., l ) оптимальным по порядку по точности на классах функций F1 (f, g Q ([0, T ]l, M ), h A([0, T ]2l )), r, F2 (f, g Br, ([0, T ]l ), h A([0, T ]2l )), F3 (f, g Br, ([0, T ]l ), h A([0, T ]2l )) является проекционный метод (10.6). При этом справедивы оценки точности нахождения приближенного решения ns/l, в случае класса F1 ;

(r+1)/(l1) x C A n, в случае класса F x s n(r+1) 2, в случае класса F 2l где x и x решения уравнений (10.3) и (10.6) соответственно.

s Замечание. В работе [166] построены алгоритмы решения многомерных интегральных уравнений Вольтерра на многопро цессорных компьютерах.

ГЛАВА III ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. О гладкости решений сингулярных интегральных уравнений Рассматривается связь между гладкостью коэффициентов и правых частей сингулярных интегральных уравнений различных типов и гладкостью их решений. Результаты, приведенные в этом параграфе, ранее были опубликованы в работе автора [28].

1.1. Интегральные операторы на классах гладких функций Лемма 1.1. Если h(t, ) H, то оператор t Kx = (h(t, ) h(t, t)) ctg x( ) d, 0 1, переводит каждую ограниченную функцию в функцию, принадле жащую классу H (0 1).

Обозначим через Z класс функций, таких, что |f (x + ) f (x)| A|ln |||, 0.

Лемма 1.2. Пусть x H (0 1), 0 1. Тогда 2 x( ) ctg t d принадлежит при = функция v(t), v(t) = пространству Z, а при = пространству H, причем = при и = + 1 при.

Лемма 1.3. Пусть интегральное уравнение t Hx x(t) + h(t, ) ctg x( ) d = f (t), 0 1, где h(t, ), f (t) H (0 1), имеет единственное решение x (t). Тогда x (t) H.

Лемма 1.4. Пусть интегральное уравнение Hx = f, где h(t, ) W r,r H,, f (t) W r H, имеет единственное решение x (t).

Тогда x (t) W r H.

Доказательство леммы 1.1 проводится по аналогии с дока зательством леммы 1.41 из монографии [121]. Пусть |x(t)| A.

Обозначим через v(t) оператор (Hx)(t). Тогда |v(t + ) v(t)| I1 + I2 + I3 = |h(t +, ) h(t +, t + )| r t t ctg |x( )| d + |h(t, ) h(t, t)| ctg |x( )| d + 2 r t (h(t +, ) h(t +, t + )) ctg + t (h(t, ) h(t, t)) ctg x( ) d, (1.1) где r1 = | t | 3, r2 = | t| 3, = 2 \ (r1 r2 ).

Слагаемые I1 и I2 оцениваются одинаково I1 + I2 A 1+ x C. (1.2) Для оценки I3 представим это выражение в виде t I3 = I4 + I5 + I6 = (h(t +, ) h(t, )) ctg x( ) d + t + (h(t +, t + ) h(t, t)) ctg x( ) d + (h(t +, ) t t h(t +, t + )) ctg ctg x( ) d. (1.3) 2 Нетрудно видеть, что I4 + I5 A x C. (1.4) Переходя к оценке третьего слагаемого, заметим, что |h(t+, )h(t+, t+)| A min | t2k| (k = 0, 1). (1.5) k На сегменте 1 = [t + 3, t + ] справедливо неравенство t t t t | ctg ctg |= ctg ctg 2 2 2 21 |cos(( t )/2)|. (1.6) sin1+ (( t )/2) На сегменте 2 = [t +, t + + ] функции ctg t и ctg t 2 имеют разные знаки и поэтому t t t t ctg ctg ctg + ctg. (1.7) 2 2 2 На сегменте 3 = [t + +, t + 2 2] оценка проводится аналогично (1.6).

Из неравенств (1.5) (1.7) следует, что | t | d I6 A x + C cos1 (( t )/2) sin1+ (( t)/2) t t | t | d A +1 x + ctg + ctg C.

2 2 (1.8) Из оценок (1.1) (1.4) и (1.8) следует, что |v(t + ) v(t)| A6 x C.

Доказательство леммы 1.2 повторяет доказательство преды дущей леммы. Очевидно, t t |v(t + ) v(t)| = (x( ) x(t)) ctg ctg d 2 t t |x( ) x(t)| ctg d + |x( ) x(t)| ctg d + 2 r r t t + (x( ) x(t)) ctg ctg d = J1 + J2 + J3, 2 (1.9) где r = { : | t| 4}, = [0, 2] \ r.

Нетрудно видеть, что J1 + J2 A1 +1. (1.10) Введем обозначения 1 = [t + 4, t + ], 2 = [t +, t + 2 4], 3 = [t + +, t + 2 4]. Тогда t t J3 (x( ) x(t)) ctg ctg d 2 1 2 (·)d + (·)d + (·)d = J4 + J5 + J6. (1.11) 1 2 Оценим каждое слагаемое в отдельности t t | t| ctg ctg J4 + J6 A2 d 2 t 1 t A3 | t| cos sin d 2 A|ln |||, если =, A +1, если, (1.12) A, если ;

t t d A +1.

J5 = (x( ) x(t)) ctg + ctg 2 (1.13) Из неравенств (1.9) (1.13) следует справедливость леммы.

Доказательство леммы 1.3. Представим уравнение Hx = f в виде 2 t t x(t)+ (h(t, )h(t, t)) ctg x( ) d +h(t, t) x( ) ctg d = 2 0 = f (t).

Из леммы 1.41 монографии [121] следует, что решение x (t) урав нения Hx = f принадлежит классу Hv, v = min(, 1 ). Если 1, то лемма доказана. Предположим, что 1. Из 2 (h(t, ) h(t, t)) ctg t d ото леммы 1.1 следует, что оператор бражает класс функций Hv в Z. Повторяя рассуждения, сделанные при доказательстве леммы 1.2, убеждаемся в том, что оператор 2 x( ) ctg t d отображает класс функций Hv в Z при = 1/ или в Hv1 при = 1/2. Здесь v1 = 2(1 ), если 1, и v1 = 1, если 1. Если окажется, что v1, то лемма дока зана. В противном случае для завершения доказательства нужно повторить (возможно, несколько раз) предыдущие рассуждения, полагая уже, что x Hv1.

Доказательство леммы 1.4. Лемма 1.4 является частным случаем доказываемой ниже теоремы 1.2.

1.2. О гладкости решений сингулярных интегральных уравнений на замкнутых контурах Рассмотрим сингулярные интегральные уравнения (с. и. у.) Kx a(t)x(t) + b(t) (S x) (t) + U h(t, )| t| x( ) = f (t), (1.14) где 1 x( ) d S x =, U (hx) = h(t, )x( ) d, 0 1.

i t 2i Оператору K поставим в соответствие характеристический опе ратор K 0 x = ax + bS x.

Исследование гладкости решений уравнений вида (1.14) будем проводить в банаховых пространствах H (0 1) с нормой x H = M (x) +H(x;

) = maxt |x(t)|+supt1 =t2 (|x(t1 )x(t2 )|/|t t2 | ).

Теорема 1.1. Пусть a, b, h, f H (0 1), уравнение (1.14) нормального типа, индекс оператора K 0 равен нулю, а оператор K непрерывно обратим в пространстве H (0 ). Тогда единственное решение x (t) уравнения (1.14) принадлежит классу H.

Следствие. Если выполнены условия теоремы, то оператор K, действующий на H в H, непрерывно обратим.

Теорема 1.2. Пусть a(t), b(t), f (t) W r H, h(t, ) W r,r H,, (0 1), уравнение (1.14) нормального типа, индекс оператора K 0 равен нулю и оператор K непрерывно обратим в пространстве H (0 ). Тогда решение x (t) уравнения (1.14) принадле жит пространству W r H.

Доказательство теоремы 1.1. Известно [121], что при сделан ных предположениях оператор K 0 является линейным оператором, действующим из H в H при любых (0 ) и при всех указанных значениях оператор K 0 непрерывно обратим. Пока жем, что K 0 A при 0 1, где A константа, H не зависящая от. В монографии [125] показано, что b(t) f ( ) d K0 f = a(t)f (t), i Z( )( t) где 1 a( ) b( ) d Z(t) = (t), (t) = ln.

2i a( ) + b( ) t Известно, что Sf A f и a(t)f (t) a(t) x(t) H.

H H H H 0 Поэтому K A.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.