авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |

«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ И.В. БОЙКОВ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Пенза ...»

-- [ Страница 4 ] --

Уравнение (1.14) можно представить в виде 1 x(t) = K 0 f (t) K 0 U h(t, )| t| x( ).

Учитывая свойства оператора K 0 и повторяя рассуждения леммы 1.3, убеждаемся в справедливости включения x (t) H.

Доказательство следствия. Так как оператор K [H, H ] непрерывно обратим, то каждой функции f H ставится в со ответствие единственное в пространстве H решение уравнения (1.14). Это решение будет единственным и в пространстве H. Ли нейный оператор K взаимно однозначно отображает H на H, и, следовательно, по теореме Банаха он непрерывно обратим.

Доказательство теоремы 1.2. Вначале докажем теорему при r = 1. Для простоты перейдем к с. и. у. с ядром Гильберта 2 s b(s) s a(s)x (s) + x ()ctg d + h(s, ) ctg x () d = 2 2 0 = f (s), (1.15) которое можно представить в виде b(s) x ( + s)ctg d+ F x = a(s)x (s) + 2 + h(s, + s) ctg x ( + s) d = f (s).

Пусть h (h 0) произвольное вещественное число. Тогда, введя обозначение x (s) = (x (s + h) x (s)) /h, перепишем то h ждество:

h1 ((F x ) (s + h) (F x ) (s)) = h1 (f (s + h) f (s)), в виде 2 s b(s) s a(s)x (s) + x ()ctg d + h(s, ) ctg xh () d = h h 2 2 0 (f (s + h) f (s)) (a(s + h) a(s))x (s + h) = h 1 s x ( + h)ctg (b(s + h) b(s)) d 2 2 (h(s + h, + s + h) h(s, + s)) ctg x ( + s + h) d.

2 (1.16) Обозначим правую часть равенства (1.16) через h и покажем, что при h 0 последовательность функций h в метрике про странства H (0 ) сходится к функции b (s) s x ()ctg (s) = f (s) a (s)x (s) d 2 s (hs (s, ) + h (s, )) ctg x () d.

При этом достаточно ограничиться доказательством справедли вости соотношения lim h1 (f (s+h)f (s))f (s) H = 0. Нетруд h но видеть, что |(f (s + h) f (s))/h f (s)| Ah /(1 + ).

Для оценки H h1 (f (s + h) f (s)) f (s);

введем произволь ное ( 0) и рассмотрим две возможности: 1) h и 2) h.

Простые выкладки приводят к неравенству f (s + h + ) f (s + ) f (s + h) f (s) J= f (s + ) f (s) = h h s++h s++h 1 =h (f (v) f (s + )) dv h (f (v ) f (s)) dv s+ s+ s++h h1 (f (v) f (s + ) f (v ) + f (s)) dv.

s+ В первом случае s++h |v s | dv = 2Ah (1 + )1 2A h /(1 + ), J = 2Ah s+ а во втором s++h dv = 2A 2A h.

J 2Ah s+ Из полученных неравенств следует, что lim h1 (f (s + h) f (s)) f (s) = 0.

H h Аналогичным образом доказывается, что lim h = 0.

h Так как f W 1 H, то при всех значениях h (h = 0) fh H.

Из теоремы 1.1 следует, что x H. Поэтому можно сделать вывод о принадлежности функции h пространству H. Из условий теоремы следует, что и функция H.

Зафиксируем произвольное значение (0 ). Так как оператор F непрерывно обратим в пространстве H, то уравнение (1.16) однозначно разрешимо при любом h = 0 и, следовательно, x H. Так как h сильно сходится к функции по метрике h пространства H, то x сильно сходится к решению x уравнения h Kx =, которое принадлежит H. Таким образом, справедливо соотношение lim x x H = 0, которое доказывает, что функция h h x является производной решения x уравнения Kx = f. Так как x H, то доказательство теоремы при r = 1 завершено.

Перейдем к рассмотрению случая, когда r 2. Доказательство проведем по индукции. Продифференцируем выражение (1.15) по s и представим результат в виде 2 b(s) x (+s)ctg d+ h(s, +s)|ctg | x (+s) d = a(s)x (s)+ s 2s 2 0 = F (s), (1.17) где b (s) x ( + s)ctg d F (s) = f (s) a (s)x (s) 2 [h1 (s, + s) + h2 (s, + s)] |ctg | x ( + s) d, hi (s, + s) производная по i-й переменной (i = 1, 2) функции h(u1, u2 ).

Воздействуем на обе части равенства (1.17) оператором h, определяемым по формуле h f (x) = f (x+h)f (x). Так как h [f (x)g(x)] = h = f (x)g(x + h) + f (x)g(x), то выражение (1.17) после воздей ствия на него оператором h примет вид b(s) hs x ( + s)ctg d+ a(s)h x (s) + s 2 h(s, + s)|ctg | hs x ( + s) d = Gh (s), + (1.18) s где h b(s) x (+s+h)ctg d Gh (s) = h F (s)(h a(s))x (s+h)+ s 2 (h h(s, + s))|ctg | x ( + s + h) d.

2s Так как a, b W 2 H, h(s, ) W 2,2 H, и x H, то функция Gh (s) принадлежит пространству H и сходится по норме про странства H (0 ) к функции b (s) x ( + s)ctg d G(s) = F (s) a (s)x (s) 2 (h1 (s, + s) + h2 (s, + s))|ctg | x ( + s) d.

2s Из условий теоремы следует, что уравнение (1.18) однозначно разрешимо и h x (s) H (0 ). Рассмотрим уравнение 2 b(s) z(+s)ctg d+ h(s, +s)|ctg | z(+s) d = G(s).

a(s)z(s)+ 2 2 0 Так как оператор K непрерывно обратим в пространстве H, то z H. Зафиксируем теперь произвольное (0 ). В пространстве H оператор K непрерывно обратим и Gh (s) силь но сходится к G(s). Поэтому в этом пространстве h x (s) силь но сходится к функции z(s) H. Следовательно, функция x (s), являющаяся решением уравнения (1.14), имеет вторую производ ную, принадлежащую классу H. В случае r = 2 теорема доказана.

Аналогичным образом доказывается справедливость теоремы при r = 3, 4,....

2. Приближенное решение линейных сингулярных интегральных уравнений на замкнутых контурах интегрирования (обоснование в пространствах Гельдера) Исследуем приближенные методы решения с. и. у. следующих видов:

Kx a(t)x(t) + b(t)S (x) + U h(t, )| t| x( ) = f (t), (2.1) Lx a(t)x(t) + S (h(t, )x( )) = f (t), (2.2) где функции a, b, f H, h H, 0 1.

Здесь единичная окружность с центром в начале коорди нат;

обозначения S x, U (hx) приведены в § 1. Ниже используется функция ln G( ) 1 (z) = exp d, 2i z где G(t) = a(t)b(t) в случае уравнения (2.1) и G(t) = a(t)h(t,t) в a(t)+b(t) a(t)+h(t,t) случае уравнения (2.2).

Обоснование вычислительных схем будем проводить в про странстве X = H, состоящем из функций, удовлетворяющих условию Гельдера H с нормой x = M (x)+H(x, ) = max |x(t)|+supt1 =t2 |xt1 xt2 |/|t1 t2 |, t, t1, t n k tk.

и его подпространстве Xn, состоящем из полиномов вида k=n Через Pn обозначен оператор, отображающий пространство X на множество интерполяционных полиномов степени n по узлам tk = eisk, sk = 2k/(2n + 1), k = 0, 1,..., 2n.

Приближенное решение уравнения (2.1) ищем в виде полинома n k t k, xn (t) = (2.3) k=n коэффициенты {k } которого определяются из системы линейных алгебраических уравнений, которая в операторной форме имеет вид ( Kn xn Pn [a(t)xn (t) + b(t)S (xn ) + U Pn )[h(t, )d(t, )xn ( )] ] = = Pn [f (t)]. (2.4) Здесь | t|, если | s| 2n+1, d(t, ) = i 2n+1 |e 1|, если | s| 2n+1 ;

= ei, t = eis.

Теорема 2.1 [11], [17]. Пусть функции a, b, f H, h H, (0 1) и оператор K непрерывно обратим в простран стве Гельдера X = H (0 ). Тогда при n таких, что q = An ln n ( = min(, 1, )), система уравнений (2.4) имеет един ственное решение x и справедлива оценка x x An ln n, n n где x решение уравнения (2.1).

Полученная в предыдущей теореме оценка погрешности зави сит от константы. Построим вычислительную схему, оценка по грешности которой зависит только от гладкости функций a, b, h, f.

Приближенное решение уравнения (2.1) будем искать в виде по линома (2.3), коэффициенты которого определяются из системы уравнений, представимых в операторной форме выражением Kn xn Pn [a(t)xn (t) + b(t)S (xn ( )) + tk+ 2n | t| d = Pn [f (t)], + h(t, tk )xn (tk ) (2.5) k=0 tk где tk = eisk, sk = 2k/(2n + 1), tk = esk, sk = (sk + sk+1 )/2, k = = 0, 1,..., 2n.

Теорема 2.2 [28]. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. То гда среди всевозможных приближенных методов решения уравне ния (2.1), использующих n значений функций a, b, f и n2 значе ний функции h, оптимальным по порядку на классе H является метод, описываемый вычислительной схемой (2.3), (2.5). Погреш ность этого метода равна x x = O(n() ln n), где x и x n n решения уравнений (2.1) и (2.5), соответственно.

Предположим теперь, что коэффициенты и правая часть урав нения (2.1) удовлетворяют условиям a(t), b(t), f (t) W r, h(t, ) W r,r. Аппроксимируем функцию G(t) сплайном Gn (t) степени r де фекта 1 по равномерному разбиению tk = exp{2k/n}. Эти сплай ны подробно описаны в книге [100].

Приближенное решение уравнения (2.1) будем искать в виде по линома (2.3), коэффициенты {k } которого определяются из систе мы линейных алгебраических уравнений Kn xn Pn [a(t)xn (t) + b(t)S (x( )) + U [Sn [h(t, )]xn ( )| t| ]] = = Pn [f (t)], (2.6) ( где Sn )[h(t, )] сплайн порядка r дефекта 1 по переменной и по равномерному разбиению, интерполирующий функцию h(eis, ei ) в узлах sk + 1 + (1)r+1 /2n, sk = 2k/n, k = 0, 1, · · ·, n.

Теорема 2.3 [28]. Пусть оператор K непрерывно обратим в пространстве X и a, b, f W r H, h W r,r H, r = 1, 2,..., 1;

тогда среди всевозможных алгоритмов решения уравнения (2.1), использующих n значений функций a, b, f и n2 значений функции h, оптимальной по порядку является вычислительная схема (2.3), (2.6). Погрешность этой вычислительной схемы равна x x n (r+) O(n ln n), где x и xn решения уравнений (2.3) и (2.6), соответственно.

Приближенное решение уравнения (2.2) ищется в виде полино ма (2.3), коэффициенты {k } которого определяются из системы линейных алгебраических уравнений Ln xn Pn [a(t)xn (t) + S (Pn [h(t, )]xn ( ))] = Pn [f (t)]. (2.7) Теорема 2.4 [11], [17]. Пусть оператор L непрерывно обратим.

Тогда при n таких, что q = O n ln2 n (En ((t)) + En (h) + En (h)) t 1, система (2.7) имеет единственное решение x и справедливо n неравенство x x O(q +En (f )), где x решение уравнения n (2.2), (t) = exp{(t)}, 1 a( ) b( ) d (t) = ln.

2i a( ) + b( ) t Пусть приближенное решение уравнения (2.2) ищется в виде по линома (2.3), коэффициенты {k } которого определяются из систе мы линейных алгебраических уравнений 1 h(t, )xn ( ) L n xn P n d = P n [f (t)], (2.8) a(t)xn (t) + Pn i t где P n оператор проектирования на множество интерполяци онных тригонометрических полиномов степени n по узлам tk = esk, sk = (sk + +sk+1 )/2, k = 0, 1,..., 2n, sk = 2k/(2n + 1), k = 0, 1,..., 2n + 1.

Теорема 2.5 [11], [17]. Пусть оператор L непрерывно обратим.

Тогда при n таких, что q = O (En ((t)) + En (h)) ln2 n 1 систе ма уравнений (2.8) имеет единственное решение x и справедлива n оценка x x O(q + En (f )), где x решение уравнения (2.2).

n Построим оптимальные по порядку вычислительные схемы при ближенного решения с. и. у. вида (2.2). Приближенное решение будем искать в виде полинома (2.3), коэффициенты {k } которого определяются из системы линейных алгебраических уравнений L xn P n [a(t)xn (t) + h(t, t)S (xn ( ))+ n 1 h(t, ) h(t, t) xn ( )d = P n [f (t)].

+ Pn (2.9) i t Теорема 2.6 [28]. Пусть оператор L непрерывно обратим. Сре ди всевозможных алгоритмов приближенного решения с. и. у. вида (2.2), использующих n значений функций a(t), f (t) и n2 значений функции h(t, ), оптимальной по порядку является вычислитель ная схема (2.3), (2.9) с погрешностью x x = O(En ()+En (h)+t n En (h) + En (f )) ln n, где x и x решения уравнений (2.2) и (2.9).

n Доказательство теоремы 2.1. Пусть a(t), b(t), f (t) H, h(t, t) H, 0 1, = min(, 1 ).

Поставим в соответствие каждой функции z(t) H функции z (t) и z (t), аналитические внутри и вне соответственно, и + связанные с z(t) формулами Племеля Сохоцкого: z(t) = z + (t) z (t), S(t) = z + (t) + z (t).

Повторяя рассуждения, проведенные в [82], [64], можно показать, что уравнения (2.1) и (2.4) эквивалентны следующим:

K (1) x V x + W x = y, (1) K n x n V n x n + Wn x n = y n, где V x = x+ + x, W x = lU (h(t, )| t| x( )), l = /(a + b), Vn xn = Pn [V xn ], yn = Pn [y], y = lf. Wn xn = Pn [lU (Pn [h(t, )d(t, )x( )])].

Для доказательства однозначной разрешимости системы урав (1) нений Kn xn = yn воспользуемся общей теорией приближенных методов.

Введем полином n (t) = Vn xn +Tn [W xn ], где Vn xn = n x+ n x, + n n Tn [f ] - полином наилучшего равномерного приближения функции f тригонометрическими полиномами n-го порядка, n = Tn [ ± ].

± Из конструктивной теории функций следует, что K (1) xn n An() xn.

Оценим теперь l(t) Pn h(t, )[| t| d(t, )]xn ( )d + Pn K (1) xn Kn xn (1) 2i l(t) + Pn h(eis, ei )d(eis, ei )[xn () xn ()]ei d + 2 sk+ l(t) 2n [h(eis, ei )d(eis, ei )ei + Pn 2 k=0 sk h(e, e )d(eis, eisk )eisk ]n ()d is isk x A xn n ln n, где = min(, 1, ), xn () ступенчатая функция, равная xn (sk ) в интервале [sk, sk+1 ).

Из полученных оценок и общей теории приближенных методов анализа следует, что при n таких, что q = An ln n 1, систе (1) ма уравнений Kn xn = yn (и, следовательно, система уравнений (2.4)) имеет единственное решение x и x x An ln n, где n n x - решение уравнения K (1) x = y. Так как уравнения K (1) x = y и (2.4) эквивалентны, то существует оператор Kn с нормой A ln n. В самом деле, x [Kn ]1 Pn [lf ] = (1) Kn n [Kn ]1 Pn [lPn [f ]] (1) A [K (1) ]1 Pn [f ] ln n.

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2.2. Для простоты обозначений ни же положим a(t) + b(t) 1, G(t) = (a(t) b(t))(a(t) + b(t))1.

Уравнение (2.1) эквивалентно уравнению K (2) x x+ (t) G(t)x (t) + U h(t, )| t| x( ) = f, (2.10) и так как последнее уравнение однозначно разрешимо при любой правой части, то по теореме Банаха оператор K (2) непрерывно обратим и K (2) = C1. Аппроксимируем функцию G(t) полигоном Gn (t), построенным по n равноотстоящим узлам, и рассмотрим уравнение K (3) x x+ (t) Gn x (t) + U h(t, )| t| x( ) = f. (2.11) Это уравнение эквивалентно краевой задаче (x) n (t)x+ (t) n (t)x (t) + n (t)U h(t, )| t| x( ) = + = n (t)f (t), (2.12) где ln Gn ( ) 1 ± n (z) = exp d.

2i t Уравнение (2.12) будем решать методом механических квадра тур n xn Pn n (t)x+ (t) n (t)x (t)+ + n n tk+ 2n | t d = Pn [n (t)f (t)], +n (t) h(t, tk )xn (tk ) (2.13) k=0 tk где tk+1 = eisk+1, sk+1 = (2k+1).

2n+ Из неравенства K x K (3) x An() x следует при (2) n таких, что q = An() ln n 1, непрерывная обратимость оператора K (3). Легко показать, что 1 [K (3) ]1 (n )1.

Метод коллокации для уравнения (2.12) был обоснован при до казательстве теоремы 2.1. Из неравенства Pn xn n xn Xn A n() + n ln n xn следует, что при q = An ln n 1, опе ратор n непрерывно обратим и 1 n 1 /(1 q).

В § 1 показано, что решение x (t) уравнения (2.1) принадлежит классу H. Точно так же можно показать, что решение xn урав нения (2.12) также принадлежит классу H. Так как функция xn является решением уравнения (2.12), то справедливо равенство Pn [n (t)+ (t)n (t) (t)+n (t)U h(t, )| t| xn ( ) ] = Pn [y(t)], + xn xn y(t) = n (t)f (t), которое можно переписать в виде tk+ 2n Pn n (t)+ (t) n (t) (t) + n (t) + | t| d = xn xn h(t, tk )n (tk ) x k=0 tk = Pn y(t) n (t) U (h(t, )| t| xn ( )) tk+ 2n | t| d h(t, tk )n (tk ) x.

k=0 tk Вычитая из этого тождества уравнение (2.13) и переходя к нор мам, получаем:

n (n (t) x (t)) Pn (t) U h(t, )| t| xn ( ) x n tk+ 2n | t| d h(t, tk )n (tk ) x = I, k=0 tk где x - решение уравнения (2.13).

n Обозначим через xn полином наилучшего равномерного прибли жения степени n к функции xn. Тогда n (n x ) n (n xn ) + I An() ln n, x n x и так как 1 A, то xn x An() ln n.

n n Уравнение (2.13) эквивалентно уравнению tk+ 2n (3) Pn [x+ (t) Gn (t)x (t) | t| d ] = Kn x n + h(t, tk )xn (tk ) n n k=0 tk = Pn [f (t)]. (2.14) Воспользовавшись теоремой Крамера, можно показать, что [Kn ]1 = A 1 A 1 /(1 q).

(3) n Применяя к уравнению (2.14) теорему Банаха, можно показать, что при n таких, что q1 = (A ln n)n+ 1 /(1 q) 1, система уравнений tk+ 2n Kn xn Pn [x+ (t) G(t)x (t) + (4) | t| d ] = h(t, tk )xn (tk ) n n k=0 tk = Pn [f (t)] (2.15) однозначно разрешима и справедлива оценка x xn n + An ln n, где xn - решение системы уравнений (2.15). Cисте ма уравнений (2.15) эквивалентна системе уравнений (2.5), cледо вательно, x является также решением уравнения (2.5). Собирая n полученные выше оценки, имеем x x An+ ln n.

n Из результатов по построению асимптотически оптимальных квадратурных формул, полученных в монографиях [27], [34], сле дует оценка x x An+ ln n. Из сопоставления двух пре n дыдущих неравенств делаем вывод о справедливости теоремы.

Доказательство теоремы 2.3. При доказательстве теоремы 2.2 было отмечено, что уравнения (2.1) и (2.10) эквивалентны. Ап проксимируем функцию G(t) сплайном Gn (t) и рассмотрим урав нение K (5) x x+ (t) Gn (t)x (t) + U (h(t, )| t| x( )) = f. (2.16) Из оценки G(t) Gn (t) An(r+) и теремы Банаха следует, что при n таких, что q = An(r+) 1, оператор K (5) непрерывно обратим и [K (5) ]1 [K (2) ]1 /(1 q) = A. Уравнение (2.16) эквивалентно краевой задаче + Mn x n (t)x+ (t) n (t)x (t) + n (t)U (h(t, )| t| x( )) = yn, где ± [ln Gn (t)]( z)1 d, yn = n (t)f (t).

n (z) = exp 2i Метод механических квадратур для уравнения Mn x = yn имеет вид + Mn xn Pn [n (t)x+ (t)n (t)x (t)+n (t)U [Sn [h(t, )]xn ( )| t ]] = n n = Pn [n ] y (2.17) Повторяя рассуждения, приведенные при доказательстве преды дущей теоремы, можно показать, что из существования линейно го оператора [K (5) ]1 следует существование линейного оператора Mn с нормой Mn A [K (5) ]1 = A и что при n таких, что 1 q1 = = An(r++) ln n 1 оператор Mn непрерывно обратим в подпро странстве Xn, причем Mn A.

Обозначим через xn решение уравнения Mn x = yn. Из теоремы r+ Банаха следует x xn An ln n, а из рассуждений § вытекает, что xn W H. Тождество Pn [Mn x ] = Pn n f можно r n переписать в виде x + x Pn [n (t)+ (t) n (t) (t) + n (t)U [Sn [h(t, )]x ( )| t| ]] = n n n = Pn [n (t) n (t)[U (Dn [h(t, )] ( )| t| )]], y xn где Dn = E Sn.

Вычитая из этого тождества уравнение (2.17), имеем:

Mn ( x ) = Pn [n (t)[U (Dn [h(t, ) ( )]| t )]] xn n xn An(r+) ln n, где x - решение уравнения (2.17).

n Пусть x полином наилучшего равномерного приближения n степени n к функции x. Нетрудно видеть, что Mn A ln n. Сле n довательно, Mn (n xn ) Mn (n xn ) + Mn ( x ) x x xn n (r+) An ln n. Из последнего неравенства вытекает оценка x x x x + x x + x x Anr+ ln n.

n n n n n n Точно так же, как и при доказательстве предыдущей теоремы, можно показать, что при n таких, что q1 = Anr+ ln n 1, из однозначной разрешимости системы уравнений (2.17) следует однозначная разрешимость системы уравнений (2.6) и оценка x x n Anr+ ln n, где x решение системы (2.6).

n Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2.4. Проведем обоснование мето да коллокации для уравнения (2.2). В операторной форме метод коллокации записывается выражением L(1) xn Pn [a(t)xn (t) + S (h(t, )xn ( ))] = Pn [f (t)]. (2.18) n Уравнения (2.2) и (2.18) эквивалентны краевым задачам Z (1) x V x + W x = y (1) и Zn xn Vn xn + Wn xn = yn, где V x = x+ x, W x = S ((h(t, h(t, t))x), Vn xn = Pn [V xn ], a(t) b(t) y = f, Wn xn = Pn [W xn ], yn = Pn [y], G(t) =, a(t) + b(t) 1 b(t) = h(t, t), (z) = exp (ln G( ))( z) d.

2i Введем полином n (t) = Vn xn + T[n/3] [ (t)]S ((h(t, ) h(t, t))xn ( )), где Vn xn = n x+ n x, n = Tn (), h(t, ) = T[n/3] T[n/3] [h(t, )], + t n n через Tn () обозначен полином наилучшего равномерного при ближения степени n к функции. Очевидно, Vn xn V xn A xn En ()n. Так как h(t, )h(t, ) A ln n max{En [h(t, )], En [h(t, )]}, t то функция (t, ) = h(t, ) h(t, ) входит в класс Гельдера по пе ременной с показателем 1/ ln n и с коэффициентом A ln nEn (h), где En = t = ln n max{En [h(t, )], En [h(t, )]}. Поэтому S (h(t, ) h(t, )) A xn n ln nEn (h). Из этого неравен (h(t, t) h(t, t))xn ( ) ства и полученной выше оценки нормы Vn xn V xn следует, что при n таких, что q1 = A ln2 nn max{En ((t)), En (h(t, )),t En (h(t, )} 1, оператор Zn непрерывно обратим и [Zn ] (1) (1) A ln n. При этом x x A(q1 +En (f )), где x решение урав 1n 1n (1) нения (2.18). Уравнения Zn xn = yn и (2.18) эквивалентны. Следо вательно, оператор L(1) непрерывно обратим и [L(1) ]1 A ln n.

n n Так как L(1) Ln An() ln n, то при n таких, что q2 = n = max{q1, An ln2 nEn (h(t, ))} 1, оператор Ln непрерывно обра тим и x x An ln2 nEn (h). Объединяя оценки для x x n 1n 1n и x x, убеждаемся в справедливости теоремы.

1n n Доказательство теоремы 2.5. При доказательстве предыду щей теоремы было показано, что при n таких, что q1 1, оператор L(1) непрерывно обратим и [L(1) ]1 A ln n. Справедливость то n n ждества 1 h(t, )xn ( ) 1 Pn [h(t, )xn ( )] Pn P d P n d i n t i t 1 Pn [h(t, )]xn ( ) Pn d (2.19) i t следует из результатов по квадратурным формулам наивысшей алгебраической точности [104]. Воспользовавшись этим тожде ством, можно показать, что L1 Ln An ln2 n(En (h(t, ))+En (h(t, ))).

t n Следовательно, при n таких, что q = An ln2 n (En + En ) 1, опе t ратор Ln непрерывно обратим. Погрешность x x оценивается, n как в предыдущих теоремах. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2.6 подобно доказательству теоре мы 2.5 и поэтому опускается.

3. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений на замкнутых контурах интегрирования (обоснование в пространстве L2 ) Продолжим исследование приближенных методов решения с.и.у.

(2.1) и (2.2). Обоснование предлагаемых ниже вычислительных схем будем проводить в пространстве функций X = L2 () со ска лярным произведением f1 (eis )f2 (eis )ds (f1, f2 ) = 2 и его подпространстве Xn, состоящем из полиномов вида (2.3).

3.1. Приближенное решение уравнения (2.1) Приближенное решение уравнения (2.1) будем искать в виде по линома (2.3), коэффициенты {k } которого определяются из систе мы линейных алгебраических уравнений, которая в операторной форме имеет вид (2.4).

Теорема 3.1 [16], [18], [28]. Пусть в пространстве X опе ратор К имеет линейный обратный и функции a, b, f C[0;

2], h C[0;

2]2. Тогда при n таких, что 1 1 q = A (a;

n 2 ) + (b;

n 2 ) + n 2 + [(h;

n1 ) + n ] 1+ 1, уравнение (2.4) однозначно разрешимо при любой правой части и имеет место оценка x x A[q + (f ;

n1 )], где x и x n n решения уравнений (2.1) и (2.4), соответственно.

Доказательство. Введем уравнение m (t) x( )d b K (1) x am (t)x(t) + + i t h(t, )d (t, )x( )d = f (t), (3.1) + 2i где am (t), m (t) - полиномы наилучшего равномерного приближе b ния степени m для функций a(t), b(t), соответственно, d (t, ) = | t| при | t|, d (t, ) = при | t|, - поло жительное число, s1 = 2/(2n + 1). Числа и m фиксируются ниже.

Из теоремы Банаха следует, что при m и таких, что q1 = A(1 + (a;

m1 ) + (b;

m1 )) 1, оператор K (1) имеет линейный обратный с нормой, оцениваемой неравенством [K (1)] 1 K 1 /(1 q1 ).

Метод механических квадратур для уравнения K (1) x = f в опе раторной форме записывается следующим образом:

m (t) xn ( )d b (1) Kn xn Pn [m (t)xm (t) + a + i t 1 Pn [h(t, )d (t, )xn ( )]d ] = Pn [f ] = fn.

+ (3.2) 2i Поставим в соответствие каждой функции z(t) L2 функции z (t) и z (t), аналитические внутри и вне соответственно, и + связанные с z(t) формулами Племеля Сохоцкого: z(t) = z + (t) z (t), S(t) = = z + (t) + z (t).

В предыдущем параграфе было показано, что уравнения K (1) x = (1) f и Kn xn = fn эквивалентны, соответственно, следующим урав нениям, записываемым в операторной форме K (2) x V x + W x = y, K (2) [X X], (3.3) и (2) (2) Kn xn Vn xn + Wn xn = yn, Kn [Xn Xn ], (3.4) где V x = x+ + x, h(t, )d (t, )x( )d, Wx = 2i l = /(m + m ), a b am ( ) m ( ) 1 b (z) = exp ln : ( z) d, am ( ) + m ( ) 2i b Vn xn = Pn [V xn ], Wn xn = Pn Pn [h(t, )d (t, )xn ( )]d, 2i y = lf, yn = Pn [y], n k tk (2n + 1) - мерное пространство полиномов сте Xn = k=n пени не выше n, с той же нормой, что и пространство X.

Для обоснования предложенной вычислительной схемы введем полином 1 [n/2] n (t) = Vn xn + (T [n/2] [l]) Tt [h(t, )d (t, )]xn ( )d, 2i где Vn xn = n x+ n x, T [n/2] [f ] и n - полиномы наилучшего + n n равномерного приближения степени [n/2] и n для функций f и, соответственно.

Нетрудно видеть, что K (2) xn n + Pn K (2) xn n A(m1 /n1 + (h;

n1 )/2 ) xn, (3.5) где - произвольное число 0 1 (необходимость введения следует из теоремы И.И. Привалова (см. гл. 1) так как am, m b входят в класс Гельдера с показателем 1 и с коэффициентами m · max |m |, m · max |m |, соответственно).

a b Очевидно, l(t) Pn Rn [h(t, )( )d (t, )]d Kn xn Pn K (2) xn (2) x 2i A((h;

n1 ) + n ) xn /2, (3.6) где Rn = E Pn, E единичный оператор.

Из (3.5) (3.6) (полагая = [(h;

n1 )]1/(1+), = 1/ ln n, m = n1/2 ) и общей теории приближенных методов анализа следует, что при n таких, что q2 = A[(a;

n1/2 ) + (b;

n1/2 ) + n1/2 + [(h;

n1 )](1)/(1+) ] 1, существует линейный оператор [Kn ]1 с нормой [Kn ] (2) (2) [K (2) ]1 /(1 q2 ). При этом x x A{(a;

n1/2 ) + 1/ (b;

n )+ 1/ + [(h;

n1 )](1)/(1+) + (f ;

n1 )}, где x и x - решения +n уравнений (2.1) и (3.4), соответственно.

(1) Так как уравнения (3.4) и Kn xn = fn эквивалентны, то суще ствует линейный оператор [Kn ]1. Оценим его норму. Так как (1) x [Kn ] (2) yn = [Kn ] (2) Pn [lPn [f ]] [Kn ]1 |l| Pn [f ], (2) 1 то [Kn ]1 [Kn ]1 |l|.

(1) (2) Нетрудно видеть, что (Kn Kn )xn A[[|a a| + |b xn + I1, (1) b|] (3.7) где I1 = P n Pn [h(t, )xn ( )b(t, )]d, t 2i b(t, ) = [d (t, ) d(t, )].

I1 можно представить в следующем виде:

1/ |Pn [h(s, )sgn[b(s, )]|b(s, )|1/2 ]|2 d I1 max s 2 1/ 2 1 |Pn [xn ()ei Pn [|b(s, )|1/2 ]]|2 d ds s = 2 0 = I 2 · I3, (3.8) где h(s, ) = h(eis, ei ), b(s, ) = b(eis, ei ).

Обозначив через величину [(2n + 1)/2] + 1, оценим I2 :

1 1 + 1.

I2 A A (3.9) 2n + 1 k=1 sk (2n + 1) Нетрудно видеть, что 1 2n 2n |xn (si )|2 |b(sk, si )||l(si )| I (2n + 1) k=0 i= |l| 2n 2n |xn (si )|2 |b(sk, si )| A xn 2 1.

(3.10) (2n + 1) i= k= Из оценок (3.8) (3.10) (при приведенных выше значениях m, ) и теоремы Банаха следует справедливость теоремы 3.1.

Замечания. 1. Величины A могут быть легко оценены, если известна K 1. Последнюю можно оценить, пользуясь результа тами монографии [82].

2. Выше был рассмотрен случай, когда индекс уравнения (2.1) равен 0. Случай произвольного индекса сводится к предыдущему [82].

3. Так как X - гильбертово пространство, то для нахождения решения уравнения (2.1) может быть применен метод наискорей шего спуска [102].

3.2. Приближенное решение полных сингулярных интегральных уравнений В этом пункте рассматриваются сингулярные интегральные уравнения вида 1 h(t, )x( ) Kx a(t)x(t) + d = f (t). (3.11) i t Приближенное решение уравнения (3.11) ищем в виде полинома 2n xn (s) = k k (s), k= s sk 1 2n + k (s) = sin (s sk ) sin, 2n + 1 2 sk = 2k/(2n + 1), k = 0, 1, 2,..., 2n, коэффициенты {k } которого определяются из системы линейных алгебраических уравнений, записываемых в операторной форме следующим образом:

a(s)xn (s) i s Kn x n P n Pn h(s, )xn ()ctg d+ 2 1 Pn [h(s, )xn ()]d = P [f (s)], + (3.12) 2 где a(s) = a(eis ), h(s, ) = h(eis, ei ), f (s) = f (eis ), Pn (Pn ) - опе ратор проектирования на тригонометрические интерполяционные полиномы степени n по узлам sk = 2k/(2n+1)(k = (2k+)/(2n+ s 1)), k = 0, 1, 2,..., 2n.

Пусть функции a(t), f (t), h(t, ) (по обеим переменным) облада ют одним из следующих свойств:

1) имеют производные r-го порядка (r = 0, 1, · · ·), удовлетворя ющие условию Гельдера H, т.е.

a(t), f (t) W r H, h(t, ) W r,r H,, r = 0, 1,..., 0 1;

2) являются аналитическими в кольце R1 |t| R2, R1 1, R2 1. (3.13) Будем считать, что оператор K имеет линейный обратный.

Прежде всего, проведем обоснование метода коллокации для уравнения (3.11). Метод коллокации в операторной форме запи сывается следующим образом:

a(t)xn (t) + 1 h(t, )xn ( ) d f (t) = 0.

Kn xn Pn (1) (3.14) i t Уравнения (3.11) и (3.14) эквивалентны, соответственно, следу ющим уравнениям, записываемым в операторной форме:

K (2) x V x + W x = y, K (2) [X X], (3.15) и (2) (2) Kn xn Vn xn + Wn xn = yn, Kn [X X], (3.16) где V x x + + x, l = /(a + b), W x = lU x, 1 a( ) b( ) ( z)1 ln b(t) = h(t, t), (z) = exp d, a( ) + b( ) 2i Vn xn = Pn [V xn ], Wn xn = Pn [W xn ], y = lf, yn = Pn [y], Ux = h1 (t, )x( )d, h1 (t, ) = (h(t, ) h(t, t))/( t);

i n k Xn = k=n k t есть (2n + 1)-мерное пространство полиномов степени не выше n с той же нормой, что и пространство X.

Для обоснования метода коллокации введем полином 1 h(t, ) h(t, t) [n/3] n (t) = Vn xn + (T [l]) xn ( )d, i t где Vn xn = n x+ n x, [n/3] целая часть от n/3;

через h(t, ) + + n n обозначен полином наилучшего равномерного приближения степе t ни [n/3] по t и к функции h(t, ), т.е. h(t, ) = T[n/3] [T[n/3] [h(t, )]];

T [n/3] [f ] и n полиномы наилучшего равномерного приближения степени [n/3] и n для функций f и, соответственно.

Оценим K (2) xn n. Очевидно, Vn xn V xn A xn max[En ( + ), En ( )], (3.17) где En (f ) - наименьшее уклонение функции f от тригонометриче ских полиномов степени не выше n в метрике C2.

t, t, Так как |h(t, ) h(t, )| AEn (h) ln n (здесь En (h) = t = max[En (h(t, )), En (h(t, ))]), то, применяя к функции (t, ) = = h(t, ) h(t, ) теорему Бернштейна о структурных свойствах функций (см. теоремы 4.8 и 4.9 из введения), убеждаемся, что эта функция по переменной входит в класс Гельдера с показателем 1/ ln n и с коэффициентом A ln2 nEn (h). Поэтому t, 1 [h(t, ) h(t, )] [h(t, t) h(t, t)] x( )d i t A x En (h) ln2 n.

t, (3.18) Из (3.17), (3.18) следует, что K 2 xn n A xn ln2 n max[En ( + ), En ( ), En (h)].

t, Так как для Pn K (2) xn n справедлива аналогичная оцен ка, то из общей теории приближенных методов анализа следует, что при n таких, что q1 = A ln2 n max[En ( + )En (h), En ( )] 1, t, существует линейный оператор [Kn ]1 с нормой [Kn ] (2) (2) [K (2) ]1 /(1q1 ). При этом x A ln2 n max[En ( + ), En (f ), En ( ), En (h)] t, xn где x и x решения уравнений (3.11) и (3.16), соответственно.

n Так как уравнение (3.16) эквивалентно (3.14), то существует ли нейный оператор [Kn ]1. Оценим его норму. Очевидно, x (1) n (2) [Kn ] yn = Pn [lPn [f ]] [Kn ]1 |l| Pn [f ], т.е. n ]1 A.

(2) 1 (2) [K (1) = [Kn ] (1) Прежде чем приступить к оценке Kn Kn, заметим, что спра ведливо тождество s Pn Pn d h(s, )xn ()ctg s Pn Pn [h(s, )]xn ()ctg d s Pn Pn [h(s, )xn ()]ctg d.

Справедливость этого тождества следует из того, что если f (s) полином степени не выше n, то [f () f (s)]ctg[( s)/2] полином степени не выше n и sk sj 2n ctg = 0.

k= Воспользовавшись предыдущим тождеством, получаем:

1 (, )xn ( ) d + Pn (1) Kn x n K n x n i t 1 (t, ) (, ) + xn ( )d, i t t где h (t, ) = Pn [h(t, )], (t, ) = Pn [h(t, ) h (t, )].

Так как функция (t, ) входит по переменной t в класс Гельдера с показателем 1/ ln n и с коэффициентом A ln2 nEn (h), то справед лива оценка Kn xn Kn xn A xn ln2 nEn (h).

(1) Из этой оценки и теоремы Банаха следует при n таких, что q2 = = max{q1, A ln2 nEn (h)} 1, существование линейного обратного оператора Kn. При этом Kn [K (1) ]1 /(1 q2 ). Кроме того, 1 n x x A ln2 nEn (h), где x - решение уравнения (3.12).

n n n Очевидно, x x x x + x x. Собирая полученные n n n n выше оценки, приходим к следующему утверждению.

Теорема 3.2 [19]. Пусть оператор K имеет линейный обрат ный. Тогда при n таких, что q = A ln2 n max[En (), En (h), En (h(t, t))] t, 1, оператор Kn имеет линейный обратный с нормой Kn A и x x A ln2 n max[En (), En (f ), En (h(t, t)), En (h)], t, n где x и x решения уравнений (3.11) и (3.14), соответственно.

n Замечания. 1. Конкретизируя En () для различных классов функций, получаем эффективные оценки скорости сходимости и погрешности. Так, например, если выполнено первое из усло вий (3.13), то q = A ln2 n/nr+ и x x A ln2 n/nr+, а n если выполнено второе условие, то q = A ln2 n[R2 n1 n+ + R1 ] и x x A ln2 n[R2 n1 n+ + R1 ].

n 2. Выше был рассмотрен случай, когда индекс уравнения (3.11) равен нулю. Случай произвольного индекса сводится к пре дыдущему.

3. В [82] отмечено, что при аппроксимации с.и.у. системами ал гебраических уравнений высокого порядка последние предпочти тельнее решать итерационными методами. Поэтому при практиче ском решении уравнения (3.11) следует, найдя начальное прибли жение к решению x методом коллокации, дальнейшее уточнение решения производить методом наискорейшего спуска, применен ным к системе уравнений (3.12) достаточно высокого порядка.

4. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений с разрывными коэффициентами и на разомкнутых контурах интегрирования Исследуем проекционные методы решения уравнений Kx a(t)x(t) + b(t)S (x( )) + U (h(t, )x( )) = f (t), (4.1) Lx e(t)x(t) + SL (k(t, )x( )) = g(t). (4.2) Здесь единичная окружность с центром в начале координат, L = (c1, c2 ) сегмент. Будем считать, что a(t), b(t), h(t, ), f (t) удовлетворяют условию Гельдера с показателем, 0 1 всю ду на окружности, за исключением точки t = 1, где функции a(t) и b(t) имеют разрыв первого рода. Функции e(t), g(t) H, k(t, ) H, (0 1). В плоскости комплексной переменной проведем разрез из начала координат через точку C(t = 1) в бесконечность.

В разрезанной таким образом плоскости используемые ниже функ ции (t 1) и t являются аналитическими.

Результаты этого параграфа частично изложены в работах ав тора [22], [24], [28].

4.1. Основные утверждения Сингулярные интегральные уравнения на разомкнутых конту рах интегрирования сводятся к с. и. у. с разрывными коэффициен тами. Поэтому основное внимание будем уделять с. и. у. (4.1). Из теории с. и. у. [125] следует, что особенности решения x (t) уравне ния (4.1) совпадают с особенностями канонической функции клас са h(C), соответствующей оператору K 0 x a(t)x(t)+b(t)S (x( )).

Пусть решение x (t) в окрестности узла C имеет вид (tC) (t), где = 2i ln G(C0) = + i, 1 1, H, G(t) = d(t)s(t), G(C+0) d(t) = a(t) b(t), s(t) = (a(t) + b(t))1.

В зависимости от величины (предполагается, что + 1) необходимо различать два случая: а) 0 1, б) 0. В каждом случае приходится рассматривать отдельную вычислительную схему и проводить ее обоснование.

Остановимся вначале на случае ”а”: 0 1. Приближенное решение уравнения (4.1) ищем в виде полинома (2.3), коэффициен ты которого определяются из системы уравнений Kn xn Pn [a(t)xn (t) + b(t)S (xn ( ))+ +U (Pn [h(t, )d(t, )xn ( )])] = Pn [f (t)]. (4.3) Обоснование этой вычислительной схемы проводится в про странстве X = H ( 1 = min(,, 1)) и его подпространстве Xn, состоящем из полиномов вида (2.3).

Теорема 4.1. Пусть выполнены следующие условия: функции a, b, f H, h H (0 1) всюду, кроме точки t = 1, в которой a(t) и b(t) имеют разрыв первого рода;

краевая задача + (t) = G(t) (t) имеет решение вида (t) = (t1) (t), = +i;

0;

оператор K [X, X] непрерывно обратим. Тогда при n таких, что q = A(n(1 ) + n ) ln n 1, система уравнений (4.3) однозначно разрешима и справедлива оценка x x Aq, где n x и x решения уравнений (4.1) и (4.3).

n Приближенное решение уравнения (4.1) ищем в виде полинома (2.3), коэффициенты которого определяются из системы уравнений Kn xn Pn [a(t)xn (t) + b(t)S (xn ( ))+ tk+ 1 2n | t| d ] = Pn [f (t)], + h(t, tk )xn (tk ) (4.4) 2i k=0 tk где tk = eisk, sk = (2k + 1)/(2n + 1), k = 0, 1,..., 2n.

Teoрема 4.2. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы и решение x (t) уравнения (4.1) имеет вид x (t) = (t 1) (t), где (t) H. Тогда при n таких, что q = A n() + n() ln n 1, система уравнений (4.4) однозначно разрешима при любой правой части и справедлива оценка x x A(n() + n n() ) ln n, где x и x решения уравнений (4.1) и (4.4).

n Перейдем теперь к случаю ”б”: 1 0. Обозначим через X пространство функций x(t) вида x(t) = (t 1) (t) с нормой |(t1 ) (t2 )| x(t) = max |(t)| + sup, |t1 t2 | t t1 =t2 1(t1,t2 ) где 2 = min(, 1 + ). Через Y обозначим пространство функций, удовлетворяющих условию Гельдера H с нормой |y(t1 ) y(t2 )| y(t) = max |y(t)| + sup.

|t1 t2 | t t1 =t2 1(t1,t2 ) Через Yn обозначим подпространство пространства Y, состоящее n k tk.

из полиномов вида k=n Приближенное решение уравнения (4.1) ищем в виде функции xn (t) = x+ (t) + x (t), где n n n x+ (t) = (t 1) + (t) = (t 1) k tk, n n k= t1 t 1 x (t) k tk, = n (t) = (4.5) n t t k=n коэффициенты {k } которой определяются из системы уравнений Kn xn Pn [x+ (t) G(t)x (t) + s(t)U (P [h(t, )d(t, )xn ( )])] = n n n = Pn [s(t)f (t)]. (4.6) Теорема 4.3. Пусть выполнены условия: 1) функции a, b, f H, h H, (0 1) всюду, кроме точки t = 1, в кото рой a(t), b(t) имеют разрыв первого рода;

2) оператор K, действу ющий из пространства X в пространство Y, непрерывно обра тим;

3) краевая задача + (t) = G(t) (t) имеет решение вида (t 1) (t), = + i, 1 0. Тогда при n таких, что q = A n(2 ) + n ln n 1 (2 = min(, 1 +, 1 + )), систе ма уравнений (4.6) имеет единственное решение x и справедлива n оценка x x A(n(2 ) + n ) ln n, где x решение уравне n ния (4.1).

Отметим изменения, которые возникают при построении вычи слительной схемы и ее обосновании, если предположить, что сво бодный член уравнения (4.1) имеет в точке c = 1 особенность вида (t 1). Введем пространство Y функций вида y(t) = (t 1) (t), H, с нормой |(t1 ) (t2 )| y = max |(t)| + sup, |t1 t2 | t t1 =t2 1(t1,t2 ) и его подпространство Yn Y, состоящее из функций вида yn = n = (t 1) k tk. Через Pn обозначим оператор, действующий из k=n Y в Y по формуле P y(t) = P [(t 1) (t)] = (t 1) Pn [(t)].

n n n Будем считать, что оператор K действует из X в Y и имеет не прерывный обратный. Приближенное решение уравнения (4.1) бу дем искать в виде функции xn (t), определенной выражением (4.5), коэффициенты {k } которой определяются из системы алгебраи ческих уравнений n Kn xn Pn [x+ (t) G(t)x (t) + s(t)U [Pn (h(t, )d(t, )xn ( ))d ]] = n = Pn [s(t)f (t)]. (4.7) Здесь d(t, ) функция определенная в § 2.

Теорема 4.4. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы.

Тогда при n таких, что q = A(n(2 ) + n ) ln n 1, система уравнений (4.7) однозначно разрешима при любой правой части и справедлива оценка x x | Aq, где x и x решения уравне n n ний (4.1) и (4.7).

В ряде случаев оказывается предпочтительней рассматривать уравнения (4.1) и (4.2) как операторные уравнения в пространстве Lp (1 p ) и проводить обоснование вычислительных схем в пространствах Lp и их подпространствах Ln,p, состоящих из по линомов вида (2.3).

Теорема 4.5. Пусть оператор K непрерывно обратим в про странстве L2, коэффициенты a(t), b(t), f (t) H, h(t, ) H, непрерывны всюду на, за исключением точки t = 1, в кото рой a(t), b(t) имеют разрыв первого рода. Тогда при n таких, что q = A(n + n + +n(1)/(1+) ) 1, система уравнений (4.3) имеет единственное решение x и справедлива оценка x x Aq, где x решение n n уравнения (4.1). Здесь = (1 ||) при 0, = при 0;

функция (t 1) 0 (t), где = + i, 0 H, является решением краевой задачи + (t) = G(t) (t).

Теорема 4.6. Пусть оператор K непрерывно обратим в про странстве Lp (1 p 2), коэффициенты a, b, h, f всюду, за ис ключением точки t = 1, удовлетворяют условию Гельдера с по казателем (0 1), в точке t = 1 функции a и b име ют разрыв первого рода, а (t 1) 0 (t), ( = + i) реше ние краевой задачи + (t) = G(t) (t). Тогда при n таких, что q = A(n + n + n(1)/(1+) ) 1 ( = при 0, = 1 || при 0), система уравнений (4.3) имеет единственное решение x и справедлива оценка x x A(n + n n +n + n(1)/(1+) ), где x решение уравнения (4.1).

Замечание. В случае, когда 0, приведенные теоремы до пускают усиление: при 0 можно положить = 1.

Приближенное решение уравнения (4.2) ищем в виде полинома (2.3), коэффициенты которого определяются из системы уравнений e Ln xn Pn [(t)xn (t) + c(t)S (xn ( )) + S (Pn [(t, )xn ( )])] = r = Pn (t), (4.8) где e(t) = e(t), c(t) = c(t), при t L, r(t, ) = k(t, ) при t, L;

e(t) = 1, c(t) = 0, при t L, r(t, ) = 0 при t, или L, c(t) = k(t, t), r(t, ) = (k(t, ) k(t, t))/( t).

Теорема 4.7. Пусть оператор L непрерывно обратим в про странстве L2 и краевая задача + (t) = (a(t) k(t, t))/(a(t) + k(t, t)) (t) на контуре L имеет решение вида (t с1 )1 +i1 (t с2 )2 +i2 (t). Тогда при n таких, что q = A[n ln n + n||1 ] ( = max(|1 |, |2 |)), система уравнений (4.8) имеет единственное решение x и x x Aq, где x решение уравнения (4.2).

n n 4.2. Доказательства теорем Доказательство теоремы 4.1. Уравнения (4.1), (4.3) можно представить в следующей эквивалентной форме:

K (1) x x+ (t) G(t)x (t) + s(t)U (h(t, )d(t, )x( )) = f (t);

(4.9) Kn xn P n x+ (t) G(t)x (t) + s(t)U P n [h(t, )d(t, )xn ( )] (1) = n n = P n [s(t)f (t)]. (4.10) В книге [66] приведено решение краевой задачи + (t) = G(t) (t) t + + (t) = (t 1) 1 (t), (t) = 1 (t), t t ± + (t) где 1 (t) решение краевой задачи 1 (t) = G(t) (t1) t с непрерывным коэффициентом G(t) t1 (t1). t Подставляя в уравнения (4.9) и (4.10) вместо функции G(t) отно шение + (t)/ (t), приходим к эквивалентным краевым задачам:

K (2) x x+ (t) (t) + (t)x (t) + (t)s(t)U (h(t, )d(t, )x( )) = = s(t) (t)f (t), (4.11) Kn xn P n [ (t)x+ (t) + (t)x (t)+ (2) n n + (t)s(t)U (P n [h(t, )d(t, )xn ( )])] = P n [s(t) (t)f (t)]. (4.12) Так как (t) функция, удовлетворяющая условию Гельдера с показателем 1 и обращающаяся в нуль в точке c, то (t)s(t) H1. Введем полином zn (t) = n (t)x+ (t) n (t)x (t) + Tn [ (t)s(t)U (h(t, )d(t, ))], + n n n = Tn []. Возвращаясь к выкладкам, сделанным в §2, убежда емся в справедливости следующих неравенств: K (2) xn zn A xn /n1, P n K (2) xn Kn xn A xn (n(1 ) + n ) ln n.

(2) Из этих оценок и теории приближенных методов анализа сле дует, что при n таких, что q = A(n(1 ) + n ) ln n 1, систе ма уравнений (4.3) однозначно разрешима и справедлива оценка x x Aq, где x и x решения уравнений (4.1) и (4.3).

n n Теорема доказана.

Доказательство теоремы 4.2 является объединением доказа тельств теорем 4.1 и 2.2.

Доказательство теоремы 4.3. Уравнение (4.1) эквивалент но краевой задаче (4.9). Во всех точках контура, кроме узла c, функцию G(t) можно представить в виде соотношения G(t) = + (t)/ (t) = = (t 1) + (t)/(t 1) (t). Подставляя в уравнения (4.9) и (4.10) вместо G(t) указанное выше соотношение, приходим к уравнени ям:

K (3) x (t 1) (t)x+ (t) (t 1) + (t)x (t) + (t 1) (t)s(t) U (h(t, )| t| x( )) = (t 1) (t)s(t)f (t), (4.13) Kn xn P n [(t 1) (t)x+ (t) (t 1) + (t)x (t) + (t 1) (t)s(t) (3) n n U (P n [h(t, )d(t, )xn ( )])] = P n [(t 1) (t)s(t)f (t)]. (4.14) Уравнения (4.9) и (4.13) эквивалентны. Это следует из того, что каждое решение уравнения (4.9) является и решением урав нения (4.13). Обратно, каждое решение уравнения (4.13) превра щает уравнение (4.9) при t = 1 в тождество. Так как под решением уравнения (4.1) понимается функция, обращающая его в тождество всюду, кроме точки t = 1, то эквивалентность уравнений (4.9) и (4.13) доказана. Эквивалентность уравнений (4.6) и (4.14) очевид на.

Введем полином zn (t) по формуле t (t) x+ (t) Tn (t 1) + (t) x (t)+ zn (t) = tTn n n t +Tn (t 1) (t)s(t)U (h(t, )d(t, )x( )).

Поясним построение полинома Tn [(t 1) (t)/t]. Пусть Tn [(t 1) (t)/t] полином наилучшего равномерного приближе ния функции (t 1) (t)/t в области D. Тогда Tn [(t 1) (t)/t] k tk. Так как разность (t 1) (t)/t Tn [(t имеет вид k=n 1) (t)/t] является аналитической в области, то максималь ное и минимальное значения она принимает на окружности. По этому свободный член в представлении Tn [(t 1) (t)/t] не пре восходит En ((t 1) (t)/t). Отбрасывая его, получаем полином Tn [(t 1) (t)/t] Xn. Нетрудно видеть, что K (3) xn zn A xn n2 + ln n;

P n K (3) xn zn A xn n(2 ) ln n. (4.15) Теперь нужно оценить величину I = Kn xn P n K (3) xn. Пред (3) ставим I в виде I = I1 + I2 +... + I5, где I1 = P n [(t 1)s(t) (t)U (h(t, )(xn ( ) xn ( ))| t| )], I2 = P n [(t 1)s(t) (t)U (h(t, )n ( )[| t| d(t, )])], x 2n tk+ I3 = P n 1)s(t) (t) (h(t, ) h(t, tk ))n ( )d(t, )d, x (t k=0 tk tk+ 2n Pn h(t, tk ) + (tk ) ( 1) (| t| I4 = 1)s(t) (t) (t n k=0 tk tk+1 (| t| |tk t| )d, |tk t| )d + (tk ) n tk tk+ 2n Pn h(t, tk ) + (tk )|tk [( 1) I5 = 1)s(t) (t) t| (t n k=0 tk tk+1 1 tk 1 d.

(tk 1) ]d + (t)|tk t| n tk tk t Пусть xn (t) = (t 1) + (t) + n (t). Тогда через xn (t) обо n t (t1) + (tk )+ t1 (tk ) в промежутке значим функцию, равную n n t [tk, tk+1 );

h(tj, tk ) означает суммирование по k = j.

k Можно показать, что I1 A xn n ln n;

I2 A xn n(1) ln n;

I3 A xn n ln n.

Оценим tk+ 2n Pn h(t, tk )+ (tk ) ( 1) | t| |I4 | = 1)s(t) (t) (t n k=0 tk tk+ 2n ( 1) | t| |tk t| d |tk t| d A ln n k=0 tk tk+ 2n max |+ | 1++|| | tk | d max |+ | ln n An n n k 1+ k=0 tk An(1+) xn ln n.

Аналогично 2n |I4 | = Pn (t 1)s(t) (t) h(t, tk ) (tk ) n k= tk +1 | t| |tk t| d An(1+) xn ln n;

tk |I5 | An(1) ln n xn.

Собирая вместе оценки I1,..., I5, имеем:

I = Kn P n K (3) A n2 + n ln n.

(3) (4.16) Из оценок (4.15)(4.16) и общей теории приближенных методов анализа следует справедливость теоремы.

Доказательство теоремы 4.4. B подпространстве Xn, состо ящем из функций xn (t) = x+ (t) x (t), определенных выражением n n (4.5), уравнения (4.1) и (4.7) эквивалентны следующим:

t (4) + (t) (t 1) (t)+ K xn G(t) n n t +(t 1) s(t)U h(t, )| t| xn ( ) = (t 1) s(t)f (t), t (4) P n + (t) (t 1) (t)+ Kn xn G(t) n n t +(t 1) s(t)U Pn [h(t, )d(t, )xn ( )] = Pn (t 1) s(t)f (t).

Функция G1 (t) = G(t) t1 (t 1) удовлетворяет условию t Гельдера с показателем. Повторяя сделанные при доказатель стве предыдущей теоремы выкладки, убеждаемся в справедливо сти теоремы 4.4.

Доказательство теоремы 4.5. Пусть решение краевой задачи (t) = G(t) (t) имеет вид (t1) 0 (t), где 0 (t) H (t (\1)), + = + i. При обосновании предложенной вычислительной схемы необходимо различать два случая: а) 0 и б) 0.

Проведем обоснование в случае ”а”. Уравнения (4.1) и (4.3) экви валентны краевым задачам (4.11) и (4.12). Введем полином n (t) = n (t)x+ (t)n (t)x (t)+Tn (t)s(t)U (h(t, )d (t, )xn ( )), + n n где n (t) = Tn [], d (t, ) = при | t|, d (t, ) = | t| при | t|. Повторяя рассуждения, сделанные в §3, можно показать, что K (2) xn n + Pn (K (2) xn n ) A n + n 1 + 2 n + n xn, Pn K (2) xn Kn xn A n + 2 n (2) xn.

Полагая = n/(1+), получаем, что при n таких, что q = A n + n + n(1)/(1+) 1, система уравнений (4.3) имеет единственное решение x и спра n ведлива оценка x x Aq, где x решение уравнения (4.1).

n Приближенное решение с. и. у. (4.1) в случае ”а” обосновано.

Перейдем к случаю ”б”. Функцию G(t) можно представить в ви де G(t) = (t 1)+ (t)/(t 1) (t), где + (t) и (t) решения краевой задачи + (t) = G(t) (t). Уравнения (4.1) и (4.3) эквива лентны краевым задачам K (5) x t ((t 1)/t) (t)x+ (t) (t 1)+ (t)x (t)+ +(t 1) (t)s(t)U h(t, )| t| x( ) = (t 1) (t)s(t)f (t) и Kn xn Pn t ((t 1)/t) (t)x+ (t) (t 1)+ (t)x (t)+ (5) n n +(t 1) (t)s(t)U Pn [h(t, )d(t, )xn ( )] = Pn (t 1) (t)d(t)f (t).

Введем полином t (t) x+ (t) Tn (t 1)+ (t) x (t)+ n (t) = tTn n n t +Tn (t 1) (t)s(t)U h(t, )| t| xn ( ).

Можно показать, что K (5) xn n | A n + n 1 + 2 n + n(1||) xn, Pn K (5) xn Kn xn A n + 2 n (5) xn.

Полагая = n/(1+), получаем, что при n таких, что q = A(n + +n(1||) + n(1)/(1+) ) 1, система уравнений (4.3) имеет един ственное решение x и справедлива оценка x x Aq. Теорема n n доказана.

Доказательство теоремы 4.6. Введем уравнение K (6) x a(t)x(t) + b(t)S (x( )) + U (h(t, )d (t, )x( )) = f (t), (4.17) где d (t, ) = | t| при | t|, d (t, ) = при | t| (величина фиксируется ниже), и оценим норму разности 2 (6) h(eis, ei ) |ei eis | d (eis, ei ) x(ei ) Kx K x = 0 2 1/p p 1/q i |h(eis, ei )| |ei eis | d (eis ei ) e d ds 0 1/p p 11/q |ei eis | d (eis, ei ) |x(ei )|d ds A1 x.

При таких, что q = A1 1, оператор K (6) непрерывно обратим и справедливо неравенство [K (6) ]1 A/(1 q).

Метод механических квадратур для уравнения (4.17) в опера торной форме записывается следующим образом:

(6) Kn xn Pn [a(t)xn (t) + b(t)S (xn ( )) + +U Pn [h(t, )d (t, )xn ( )] = Pn [f (t)]. (4.18) Решение краевой задачи + (t) = G(t) (t) имеет вид (t 1) (t), где = + i, H. Рассмотрим отдельно два случая:

а) 0 и б) 1 0.

Остановимся вначале на случае ”а”. Представим уравнения (4.17) и (4.18) в виде краевых задач K (7) x V x + W x = y, (7) Kn xn Vn xn + Wn xn = yn, где операторы V, W, Vn, Wn и функции y, yn определены в § 2. Вве дем полином n (t) = n x+ n x +U (Tn [ (t)h(t, )d (t, )] xn ( )).

+ t n n Можно показать, что K (7) xn n A n + n /2 + n xn.

Для простоты выкладок полагаем, что q 1, где p1 + q 1 = 1.

Покажем теперь, что аналогичная оценка справедлива и для ве личины Pn K (7) xn n. Очевидно, Pn U Dn [ (t)h(t, )d (t, )] xn ( ) t = 1/p 1 p = |Pn U Dn [l(t)h(t, )d (t, )] xn ( )) d dt t i 2p 1/p p/ p t |Pn U Dn [ (t)h(t, )d (t, )] xn ( ) | d dt d i 1/ A |Pn U Dn [l(t)h(t, )d (t, )] xn ( ) d dt t A(n + n 2 + n ) xn.

t t Здесь Dn = I Tn. Из полученных оценок следует, что при n и таких, что q2 = max(q1, A(n + n 2 + n )) 1, оператор Kn непрерывно обратим, причем [Kn ]1 [K (6) ]1 /(1 q2 ).

(7) (7) (6) (7) Так как уравнения Kn xn = fn и Kn xn = yn эквивалентны, то оператор Kn непрерывно обратим. Норму оператора [Kn ]1 мож (6) (6) но оценить, повторяя выкладки, неоднократно проделанные выше.

Введя обозначение b(t, ) = d (t, ) d(t, ), оценим величину:

(6) Kn xn Kn xn = Pn [l(t)U (Pn [h(t, )b(t, )xn ( )])] 1/p p 2 1 1 s Pn Pn (eis )h(eis, ei )b(eis, ei )xn (ei ) ei d ds 2 0 1/q 1 s max Pn Pn (eis )h(eis, ei )b(eis, ei ) d 2 1/p 1 s max Pn Pn (eis )h(eis, ei )b(eis, ei ) ds xn = I1 I2 xn.

2 Нетрудно видеть,что 1/q 1 s I1 = max Pn Pn l(eis )h(eis, ei )b(eis, ei ) d = s 1/q 2 2n 2n = max l(eisj )h(eisj, eisk )b(eisj, eisk )k () j (s) d s j=0 k= 1/q 2 2n A ln n max l(eisj )h(eisj, eisk )b(eisj, eisk )k () d s j k= 1/q 2 j+ A ln n max l(eisj )h(eisj, eisk )b(eisj, eisk )k () d s j 0 k=j 1/q 2 n () d A ln n.


k k 0 k= Здесь = [(2n + 1)/2] + 1, означает суммирование по k = 0.

Так как |k ()| d A ln n/n, то 1/q 1/q 2 A n k k () d ln n A |k ()|d n k ln n k= k= 0 A[n1 ( 1 1)]1/q (ln n)1+1/q A(1)q (ln n)1+1/q.

Из полученных неравенств следует оценка I1 A(1)/q ln(q+1)/q n.

Оценка выражения I2 проводится аналогично, и в результате имеем неравенство I2 A(1)/p ln(p+1)/p n.

Следовательно, Kn xn Kn xn A1 xn ln2 n.

(6) Из полученных оценок, полагая для определенности = (1) (1) n/(1+), получаем, что при n таких, что q = A n + n 1+ + n 1+ ln2 n 1, система уравнений (4.3) имеет единственное решение x и n справедлива оценка x x Aq, где x решение уравнения n (4.1).

В случае ”а” теорема доказана.

Обоснование исследуемой вычислительной схемы в случае ”б” является объединением сделанных выше выкладок и рассуждений из второй части доказательства теоремы 4.5. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 4.7 принципиально не отличается от доказательства теоремы 4.5.

5. Исключительные случаи сингулярных интегральных уравнений В предыдущих параграфах рассматривались с.и.у.

b(t) x( ) a(t)x(t) + d + h(t, )x( )d = f (t) i t нормального вида [125], т.е. предполагалось выполнение условия a2 (t) b2 (t) = 0 на контуре.

В случае, когда условие нормальности нарушается в конечном числе точек, при ряде дополнительных условий построены и обо снованы приближенные методы проекционного типа [73], [135] для решения с.и.у.

Большое число прикладных задач сводится к различным клас сам с.и.у., у которых условие нормальности нарушается во всей области определения уравнений.

М.М. Лаврентьев [109], [110] выделил следующие классы с.и.у., у которых условие нормальности нарушается во всей области опре деления уравнений:

1 x( )d x(t) + = f (t), (5.1) i t 1 x(1, t2 )d1 1 x(t1, 2 )d + = f (t1, t2 ), (5.2) i 1 t1 i 2 t 1 x(1, 2 )d1 d2 = f (t1, t2 ), (5.3) 1 t1 2 t и поставил задачу исследования единственности их решения. Эта задача решалась в работе автора [29], где выделен ряд классов единственности решений и исследована их устойчивость.

В этом параграфе даны приближенные методы решения син гулярных интегральных уравнений, у которых нарушено условие нормальности на многообразиях меры, большей чем нуль. Полу ченные при этом результаты распространяются и на уравнения (5.1) (5.3).

5.1. Методы регуляризации характеристических сингулярных интегральных уравнений С характеристическими c. и. у.

K 0 x a(t)x(t) + b(t)S (x( )) = f (t) (5.4) и эквивалентными им краевыми задачами L + (t) = G(t) (t) + g(t) (5.5) приходится сталкиваться при решении многих задач. Рассмотрим исключительный случай уравнений (5.4) и (5.5) случай, когда a2 b2 может обращаться в нуль, и случай, когда функция G(t) может принимать значения, равные нулю и бесконечности.

Вначале займемся краевой задачей (5.5). Пусть функция G(t) представима в виде G(t) = G1 (t)G2 (t), где G1 (t) функция, удо влетворяющая условию Гельдера и не обращающаяся в нуль на контуре, а G2 (t) функция, обращающаяся в нуль на некото ром многообразии, принадлежащем, причем изменение аргумен та функции G2 (t) при обходе контура не превосходит. Из усло вий, наложенных на функцию G2 (t), следует, что найдется такое комплексное число, что |G2 (t)1| 1. Решение уравнения (5.5) будем искать методом итерации 1 1 n ( ) d n+1 (t) = n n (t)+(1n ) (G2 (t) 1) n (t) + + 2 2i t +g (t)], 0 0 n 1 1 1. (5.6) При переходе от уравнения (5.5) к итерационной схеме (5.6) была сделана замена переменных + (t) = + (t) + (t), (t) = 1 (t) (t) и осуществлен переход к уравнению + (t) = G2 (t) (t) + g (t). Здесь G1 (t) = + (t), g (t) = + (t)g(t). Затем, (t) вычитая из обеих частей последнего уравнения функцию (t), имеем:

(t) = (G2 (t) 1) (t) + g (t).

Заменив здесь функцию (t) на функцию 1 1 ( ) d (t) +, 2 2i t окончательно получаем уравнение:

1 1 ( ) d (t) = (G2 (t) 1) (t) + + g (t).

2 2i t Применив к этому уравнению метод последовательных прибли жений, изученный в статье Л. И. Обломской [127], приходим к ме тоду последовательных приближений (5.6). Анализируя этот ме тод в метрике L2 (), убеждаемся, что так как 1 1 ( ) (G2 (t) 1) (t) + d = 1, 2 2i t L то выполнены условия теоремы Л. И. Обломской и итерационный процесс (5.6) сходится к решению уравнения (5.5), если последнее существует.

Проведем дискретизацию итерационного метода (5.6). Обозна m k tk. Вместо итерационной чим через (t) полином (t) = k=m схемы (5.6) имеем n+1 (t) = n n (t) + (1 n )Pm (G2 (t) 1) n (t)+ 1 n ( ) d + + g (t). (5.7) 2i t Легко проверить, что 1 1 n ( ) d Pm (G2 (t) 1) n (t) + = 1.

2 2i t L Таким образом, выполнены условия теоремы Л. И. Обломской и итерационный процесс (5.7) сходится к одному из решений урав нения (t) = Pm (G2 (t) 1) + g (t), если они существуют.

Перейдем к с. и. у. (5.4). В книге [82] исследовалась примени мость метода простой итерации к уравнению (5.4) при минималь ных ограничениях на гладкость исходных данных и на условия обращения a2 (t) b2 (t) в нуль на. Для этого была предложена замена x = x1 +µS x1, 2 = µ2, и было показано, что при условиях z+ vrai max z+1 q 1 (z = a/b, = /µ) метод простой итерации t сходится к решению уравнения x1 = (aµ + b)(a + bµ)1 S x1 + f (a + bµ)1, (5.8) полученного из (5.4) указанной выше заменой.

После того, как уравнение (5.4) было сведено к уравнению (5.8), применим к последнему итерационный метод xn+1 = n xn + (1 n ) f (a + bµ)1 + (aµ + b)(a + bµ)1 S xn.

1 1 (5.9) z+ При условии vrai max z+1 1 итерационный процесс (5.9) схо t дится к одному из решений уравнения (5.4) (при условии, что оно разрешимо).

При решении краевой задачи (5.5) можно воспользоваться ме тодом регуляризации А. Н. Тихонова. Предположим, что уравне ние (5.5) имеет решение (t), причем vrai max |± (t)| K = const. Кроме того, предположим, что существует семейство функ ций R(t, ), удовлетворяющих следующим условиям: 1) функции R(t, ) не обращаются в нуль при всех значениях 0 0 ;

2) изменение аргумента функции R(t, ) не превышает ве личины (), где () 0, при всех из интервала 0 ;

3) справедливо соотношение R(t, ) G2 (t) L2 ()/( max |R(t, )() 1|) 0 при 0.

t Здесь () комплексное число, такое, что справедливы нера венства ( ()) /2 arg[()R(t, )] ( ()) /2. Суще ствование такого числа следует из условий 1, 2.

В качестве регуляризированного возьмем уравнение + (t) = R(t, ) (t) + g (t), (5.10) где + (t) = + (t) + (t), (t) = ()1 (t) (t), G1 (t) = (t)/ + (t), g (t) = g(t) + (t).

Покажем, что при выполнении условий 1 и 2 уравнение (5.10) имеет единственное решение, которое может быть получено мето дом простой итерации n+1 (t) = (R(t, )() 1) n (t) + g (t).

Из теоремы Банаха следует, что оператор 1 K = (t) (R(t, )() 1) (t) + S ((t)) 2 имеет линейный обратный с нормой удовлетворяющей неравенству K (1 max |R(t, )() 1|)1.

t Покажем, что на множестве существенно ограниченных функ ций оператор K является регуляризующим. Пусть ± (t) L.

Представим уравнение (5.5) в виде L + (t) = G2 (t)() (t) + g (t), где + = + +, = 1 (). Тогда 1 1 K L = K (L K ) K L K L2 L2 L (R(t, ) G2 (t)) () (t) K L 1 K R(t, ) G2 (t) L2 vrai max | (t)|.

Из условия 3 следует, что K L L2 0. Это доказывает, что оператор K является регуляризующим на множестве суще ственно ограниченных функций.

5.2. Проекционные методы решения сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях на замкнутых контурах Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение вида b(t) x( ) a(t)x(t) + d + h(t, )x( )d = f (t), (5.11) i t где t, a2 (t) b2 (t) может обращаться в нуль на, b(t) = 0, единичная окружность с центром в начале координат на комплекс ной плоскости. Будем полагать, что a(t), b(t) H, h(t, ) H.

Перейдем сначала с помощью преобразования Гильберта от уравнения (5.11) к следующему уравнению:

ib(eis ) s is is x(ei )ctg a(e )x(e ) d+ 2 2 b(eis ) is i i i x(ei )d = f (eis ), 0 s 2.

+i h(e, e )x(e )e d + 0 (5.12) Для простоты обозначений вместо (5.12) будем рассматривать уравнение 2 b(s) s a(s)x(s) + x()ctg d + h(s, )x()d = f (s).

2 2 0 (5.13) Построим вычислительную схему для решения уравнения (5.13).

Для этого выберем сетку узлов k k sk =, sk = + h, 0 h, k = 0,..., 2n.

n n 2n Параметр h определяется ниже.

Решение будем искать в виде полинома 2n xn (s) = ak k (s), k= где k (s) - фундаментальные полиномы по узлам s, k = k 0, 1,..., 2n, 0, s = s, l = k;

k (s) = l 1, s = s.

k Построим квадратурную формулу для вычисления сингулярно го интеграла из уравнения (5.13) при s [sj, sj+1 ) в виде sk+ 1 s 2n x(s ) Sx = ctg d + Rn. (5.14) k 2 k=0,k=j1,j+1 sk К уравнению (5.13) применим метод коллокации, воспользовав шись квадратурной формулой (5.14) и принимая за узлы коллока ции s, k = 0,..., 2n 1. При этом получим систему уравнений k sk+ b(s ) s 2n j j a(s )x(s ) x(s ) + ctg d+ j j k 2 k=0,k=j1,j+1 sk 1 2n h(s, s )x(s ) = f (s ), j = 0,..., 2n 1.

+ (5.15) jk k j 2n k= Докажем, что полученная система имеет единственное решение.

Для этого воспользуемся теоремой Адамара.

Обозначим для краткости aj = a(s ), bj = b(s ), hjk = h(s, s ).

j j jk Рассмотрим диагональные элементы матрицы системы (5.15) s s bj sin j+12 j hjj |cjj | = aj + ln sj s + = 2n sin 2 j bj sin 2n h hjj = aj + ln +.

sin h 2n Так как bj = 0 при j = 0,..., 2n1, то выбором h коэффициенты cjj могут быть сделаны как угодно большими. С другой стороны, имеем sk+ s 1 2n1 |bj | 2n1 2n j |cjk | |hjk | + ctg d 2n k=0,k=j 2 k=0,k=j,j1,j+1 k=0,k=j sk |bj | 1 2n1 2n |hjk | + 2n k=0,k=j 2 k=0,k=j,j1,j+1 2|k j| |bj | j1 1 2n1 2n |hjk | + + 2n k=0,k=j 4 k=0 j k k=j+1 k j A + B ln n.

Таким образом, условия теоремы Адамара выполняются и си стема (5.15) имеет единственное решение.


Оценим погрешность замены сингулярного интеграла из урав нения (5.13) квадратурной формулой (5.14). Предварительно по кажем, что для каждого узла s, j = 0, 1,..., 2n 1, существует j такая функция (s), что (s ) = x(s ) j j и sj s s s j+ j j ()ctg d + ()ctg d = 0. (5.16) 2 sj1 sj+ При этом контур [0, 2] будем считать закольцованным, т.е.

нуль отождествляется с 2.

В качестве простейшего представителя функции () можно взять прямую () = x(s ) + k( s ), (5.17) j j nx(s ) sin h sin 2 h где k = 2 j ln sin h sin n + h2. Нетрудно видеть, что k = 0 при n 2 n s = (sj + sj+1 )/2.

j Тогда погрешность квадратурной формулы (5.14) оценивается неравенством sk+ s 2n j (x(s )] ctg 2 |Rn | [(x() d+ k k=0,k=j1,j+1 sk sj s s s j+ j j + (x() ())ctg d + (x() ())ctg d 2 sj1 sj+ sj+ s j x(s ))ctg (x() d + j sj sk+ s 2n j x(s ))ctg (x() d + + j k=0,k=j,j1,j+1 sk sj s j x(s ))ctg + (x() d + j sj sj s s s j+ j j ((s ) + ())ctg d + (x() x(sj ))ctg d + j 2 sj1 sj+ sj+ s j (() (s ))ctg + d = I1 + · · · + I6.

j sj+ Оценим каждое из слагаемых I1 I6 в отдельности: I1 An ;

I2 An ln n;

I3 + I4 An ;

I5 + I6 Akn1.

Таким образом, при h таких, что k n1, имеем Rn An ln n. Пусть уравнение (5.13) при правой части f имеет един ственное решение x H, 0 1. Было показано, что при до статочно малых h, таких что выполняются условия теоремы Ада мара, система (5.15) имеет единственное решение x. Обозначим n через Kn оператор, описываемый системой уравнений (5.15) в про странстве R2n, а через K оператор, описываемый уравнением (5.13). Обозначим через Pn оператор, проектирующий простран ство X = H (0 ) на интерполяционные многочлены по узлам s, k = 0, 1..., 2n 1. Тогда k x Pn x = Kn (Kn (x Pn x )) = n n = Kn (Pn f Kn Pn x ) = Kn (Pn Kx Kn Pn x ) = 1 = Kn (Pn Kx Pn KPn x ) + Kn (Pn KPn x Pn Kn Pn x ).

1 Переходя к норме в пространстве R2n, имеем:

ln2 n ln3 n ||x Pn x || A||x Pn x || ln n + A A.

n n n Таким образом, ln3 n x || x || ||x ||x Pn x || + ||Pn x A.

n n n Теорема 5.1 [50]. Пусть уравнение (5.13) имеет единственное решение x (t) H, 0 1. Существуют такие значения h, что система уравнений (5.15) имеет единственное решение x (t), и n при h таких, что коэффициент k прямой (5.16) по модулю меньше или равен n1, справедлива оценка ||x x || A ln n.

n n Замечания. 1. Если уравнение (5.13) имеет несколько решений, то, как видно из доказательства теоремы, последовательность x n при n стремится к одному из этих решений.

2. Выше в качестве функции () была выбрана прямая (5.16).

Можно подобрать функции () таким образом, что условие теоре мы 5.1 будет выполнено при гораздо менее сильных ограничениях на h. Пусть, например, 0 h /(2n). Тогда в качестве () можно взять, например, функцию x(s ), [sj, sj+1 ], j x(sj ) + A1 | sj |, [sj1, sj ], () = x(sj ) + A2 | sj |, [sj+1, sj+2 ], 0 при остальных значениях.

Здесь Ai и i, i = 1, 2, подбираются таким образом, чтобы sj s s s j+ j j ()ctg d + ()ctg d = 0.

2 sj1 sj+ Отметим, что в качестве () можно взять разрывные функции.

5.3. Проекционные методы решения сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях на разомкнутых контурах Рассмотрим сингулярные интегральные уравнения вида b(t) 1 x( ) a(t)x(t) + d + h(t, )d = f (t), 1 t 1, (5.18) 1 t где f (t), a(t), b(t) H, h(t) H, функция b(t) = 0, a2 (t) b2 (t) может обращаться в нуль на многообразиях с мерой, большей нуля.

Выберем узлы k tk = 1+, k = 0,..., 2n, t = tj +h, j = 1, 2,..., n1, t = tj+1 h, j j n j = n, n + 1,..., 2n 2, 0 h 2n. Параметр h определяется ниже.

Построим квадратурную формулу для интеграла x( ) I2 x = d. (5.19) t Эта формула при t [tj, tj+1 ), j = 1, 2,..., 2n 2, имеет вид:

tk+ t2 x(t ) 2n3 x(t ) d + d + 1 k t0 t tk t k=2,k=j1,j+ 1 x(t 2n1 ) + d, j = 1, 2n 2;

t t2n 2n3 tk+1 x(t ) t x(t ) d + d + 1 k t1 t tk t k= I2 x = R N + (5.20) 1 x(t 2n1 ) d, j = 1;

+ t t2n 2n4 tk+1 x(t ) t x(t ) d + t d + 1 k t0 t k=2 tk t2n x(t2n1 ) + t d, j = 2n 2.

t2n Заменим в уравнении (5.18) сингулярный интеграл по квадра турной формуле (5.20), а интеграл в смысле Римана по формуле прямоугольников и к полученному выражению применим метод коллокации c узлами t, k = 1,..., 2n 2. Тогда получим систему k уравнений следующего вида:

tk+ b(t ) t2 x(t ) x(t ) 2n a(tj )x(tj ) + j 1 k d + d + t0 t t k=2,k=j1,j+ j j tk x(t ) 2n 2n h(tj, tk )x(t ) = f (t ), j = 2, 2n 3;

+ d + k j tj n k= t2n tk+ b(t ) t2 x(t ) x(t ) 2n a(tj )x(tj ) + j 1 k d + d + t1 t t k= j j tk x(t ) 2n 2n h(tj, tk )x(t ) = f (t ), j = 1;

+ d + k j tj n k= t2n tk+ b(t ) t2 x(t ) x(t ) 2n a(tj )x(tj ) + j 1 k d + d + t0 t t k= j j tk t2n x(t ) 2n 2n h(tj, tk )x(t ) = f (t ), j = 2n 2. (5.21) + d + n k j tj k= t2n Докажем, что система (5.21) имеет единственнное решение. Для этого воспользуемся критерием Адамара. Для краткости введем обозначения aj = a(t ), bj = b(t ), hjk = h(t, t ). Обозначим через j j jk cjk, j, k = 1,..., 2n 2, элементы матрицы С системы (5.21).

Рассмотрим диагональные элементы матрицы С tj+ bj tj+1 t bj d hjj hjj j |сjj | = aj + + aj + ln + = t 2n tj tj n j tj bj n h hjj = aj + ln +.

h n Так как bj = 0, j = 1..., 2n 2, то выбором h эта величина может быть сделана как угодно большой.

С другой стороны, при j = 1, 2n 2 имеем tk+ t d d 2n1 2n A |cjk | + + t t k=1,k=j k=2,k=j,j1,j+ j j tk d 2n + + |hjk | t n k=0,k=j j t2n t t0 t2n t j j A ln + ln + D E ln n + D.

t tj+2 t tj j1 j В остальных случаях оценки аналогичные. Таким образом, усло вия теоремы Адамара выполняются, и система (5.21) имеет един ственное решение.

Оценим погрешность замены сингулярного интеграла в уравне нии (5.18) квадратурной формулой (5.20).

Для этого подберем для каждого узла t, j = 1,..., 2n 2, функ j цию (t), такую, что tj tj+ 1 (t ) x(t ), = ( ) d + ( ) d = 0. (5.22) j j t t j j tj1 tj+ Будем полагать, что для каждого j функция (t) = x(t ) + k(t j tj ) задает прямую, определяемую условиями (5.22). Здесь x(tj )n h(2/n h) k= ln. (5.23) 2 (1/n + h)(1/n h) Тогда, полагая для определенности j = 1, 2n 2, получим:

t2 x( ) x(t ) x( ) x(t ) 1 2n |Rn | d + d + tj tj t2n tk+ d 2n (x( ) x(t )) + + k t k=2,k=j1,j+1 tk j tj tj+ (x( ) ( ))d (x( ) ( ))d + + t tj j tj1 tj+ t2 x( ) x(t ) x( ) x(t ) 1 2n d + d + tj tj t2n tj+1 tk+ d d 2n x(t )) (x( ) x(t )) + (x( ) + + j k t t k=3,k=j,j1,j+ j j tj tk tj tj+ (x( ) ( ))d (x( ) ( ))d + + = r1 + · · · + r 6.

t t j j tj1 tj+ Оценив каждое слагаемое в отдельности, по аналогии с прове денными выше оценками для интегралов с ядром Гильберта, име ем: A (t2n t ) · (t t0 ) j j RN An + Akn1 + ln.

n h По аналогии с доказательством теоремы 5.1, убеждаемся в спра ведливости следующего утверждения.

Теорема 5.2 [50]. Пусть уравнение (5.18) имеет единственное решение x (t) H, 0 1. Существуют такие значения h, что система уравнений (5.21) имеет единственное решение x (t), n и если h такое, что коэффициент k (5.23) по модулю меньше или равен n+1, то справедлива оценка x (t) x (t) A ln n.

n n Замечание. В случае уравнений на отрезке справедливы заме чания, сделанные выше к теореме 5.1.

6. Приближенное решение нелинейных сингулярных интегральных уравнений Параграф посвящен проекционным методам решения нелиней ных сингулярных интегральных уравнений различных видов. Обо снование проводится в пространствах Гельдера и L 6.1. Проекционные методы решения нелинейных уравнений на замкнутых контурах интегрирования.

Рассмотрим нелинейное с.и.у.

1 h(t,, x( )) Kx a(t, x(t)) + d = f (t), (6.1) i t где единичная окружность с центром в начале координат.

Вычислительная схема 1. Приближенное решение уравнения (6.1) ищем в виде полинома n k t k, xn (t) = (6.2) k=n коэффициенты которого определяются из системы уравнений 1 s k sj 2n a(tj, xn (tj )) + h(tj, tk, xn (tk )) 1 ictg 2n + 1 k=0 2i hu (tj, tj, xn (tj ))xns (eis ) = f (tj ), (j = 0, 1,..., 2n), (6.3) j 2n + где tj = exp(isj ), sj = 2j/(2n + 1), означает суммирование по k = j, а xns означает взятие производной по s.

Теорема 6.1 [10], [13], [17]. Пусть уравнение (6.1) имеет в некоторой сфере S единственное решение x, существует линейный оператор [K (x )]1 и выполнены условия: x (t), f (t) H, a(t, u), au (t, u), au (t, u) H,1, h(t,, u), hu (t,, u), hu (t,, u) H,,1, где 0 1, |u|. Тогда при n таких, что q = An(/2) ln5 n 1, (6.4) система уравнений (6.3) имеет решение x и в метрике простран n ства X = H ( ), выполняется неравенство x x An(/2) ln2 n. (6.5) n Вычислительная схема 2. Приближенное решение уравнения (6.1) в предположении, что a(t, x(t)) = a(t)x(t), ищется в виде по линома 2n xn (s) = k k (s), (6.6) k= коэффициенты которого определяются из системы уравнений j )) + 1 2(k j) 2n a(tj, xn (t h(tj, tk, k ) 1 ictg = 2n + 1 k=0 4n + = f (tj ), j = 0, 1,..., 2n, (6.7) где tj = exp(isj ), k (s) = 2n+1 (sin 2n+1 (s sk ))/sin ssk, sk = 2n+1, 1 2k 2 tk = eik, sk = (2k+1).

s 2n+ Теорема 6.2 [13 ], [17], [28]. Пусть уравнение (6.1) имеет в некоторой сфере S единственное решение x (t), существует огра ниченный правый обратный оператор [K (x)]1 (x S) и выпол r нены условия a(t), f (t), x (t) H, h(t,, u), hu (t,, u) H,, 0 1, |u|. Тогда при n таких, что q = A ln2 n/n 1, (6.8) система уравнений (6.7) имеет единственное решение x и в ме n трике пространства X = H (0 2 /4) справедлива оценка x x An(/2) ln2 n. (6.9) n Вычислительная схема 3. Приближенное решение уравнения (6.1) ищется в виде полинома (6.6), коэффициенты {k } которого определяются из уравнения a(t, xn (t)) + 1 Pn h(t,, xn ( )) d = Pn [f (t)].

Kn xn P n i t (6.10) n обозначен проектор на множество три Напомним, что через P гонометрических интерполяционных полиномов порядка n по уз лам tk = eik, sk = (2k + 1)/(2n + 1), k = 0, 1,..., 2n.

s Теорема 6.3 [13], [17], [28]. Пусть уравнение (6.1) имеет в не которой сфере S единственное решение x (t), существует ограни ченный правый обратный оператор [K (x)]1 (x S) и выполнено r одно из следующих условий:

a) x (t) W r H, a(t, u) W r,r+1 H,1, h(t,, u) W r,r,r+1 H,,1, б) функции x (t), a(t, x (t)), h(t,, x ( )), аналитические в областях R1 |t| R2, R1 |t|, | | R2, где R1 1, R2 1.

Тогда, если выполнено условие ”а”, то при n таких, что q = Anr+2 ln6 n 1, система уравнений (6.10) имеет решение x n и в метрике пространства X = H (0 (r + )/2) справедлива оценка x x Anr+ ln2 n. Если же выполнено условие ”б”, n ]n ln6 n 1, система урав n+1 n1 то при n таких, что q = A[R1 +R ]n ln2 n.

n+1 n нений (6.10) имеет решение x и x x A[R1 +R n n В ряде случаев более предпочтительным является рассмотрение нелинейных с.и.у. в пространстве L2. Будем искать приближенное решение уравнения (6.1) с помощью итерационного процесса xm+1 = xm [ Kn xm 2 / Kn (x0 )Kn xm 2 ][Kn (x0 )] Kn xm, (6.11) n n n n n n n где i s Kn xn Pn [a(s, xn (s)) Pn h(s,, xn ())ctg d+ 2 1 x0 (s) = Pn [x0 (s)], + Pn [h(s,, xn ())]d f (s)], (6.12) n 2 x0 (s) достаточно хорошее приближение к решению x уравне ния (6.1), xn (s) - тригонометрический полином степени не выше n, a(s) = = a(eis ), h(s, ) = h(eis, ei ), xn (s) = xn (eis ).

Пусть выполнены следующие условия: а) функции a(t, x0 (t)), f (t), x0 (t), h(t,, x0 ( )), или аналитические в кольце R1 |t|, | | R2, R1 1, R2 1, или имеют производные до r порядка по всем переменным, причем r производные удовлетворяют усло вию Гельдера с показателем ;

б) в некоторой сфере, определенной ниже, max{|hu (t,, u1 )hu (t,, u2 )|, |h (t,, u1 )h (t,, u2 )|} F (u1, u2 S), t, где h (t,, u) = [hu (t,, u) hu (,, u)]/(| t| exp(i1 )), - про извольное число, 0, 1 = 1 (, t) = arg | t|.

Введем обозначения: 0 = Kx0 f, 0 = Kn x0, B0 = n 0 1 0 [Kn (xn )], B = max{ K (x ), Kn (xn ) }. Существование кон стант B0, K (x0 ) и их связь с величинами [K (x0 )]1 и K (x0 ) n будут установлены ниже.

Теорема 6.4 [17], [28]. Пусть в сфере S[x : x x0 r], r = 2 2 = B B0 0 /(1 q) + A ln nEn (x0 ), q = AF B B0 + (1 B B0 ) 1, выполнены условия ”a” и оператор K (x0 ) имеет линейный обрат ный (достаточно существования левого обратного). Тогда при n таких, что p = A ln2 n max(En (a), En (x0 ), En (), En (hu (t, t, x0 (t))), n En (hu (t,, x0 ( )))) 1, уравнение Kn xn = 0 имеет в S единствен t, n ное решение x, к которому сходится итерационный процесс (6.11) n со скоростью x xm q m 0 B (1 q). Расстояние между x и n n n решением x уравнения (6.1) оценивается неравенствами x x A ln2 n max(En (a), En (), En (f ), En (h(t,, x ( ))), t, n n x x B 0 /(1 q) + En (x0 ), (6.13) n где (z) = exp{(z)}, (z) = 2i ( z)1 lnG( )d, G(t) = (a(t) hu (t, t, x0 (t))/(a(t) + hu (t, t, x0 (t))).

n n Доказательство теоремы 6.1. Приближенное решение ищем в подпространстве Xn X полиномов вида (6.2). При выполнении условий теоремы оператор K имеет производную Фреше hu (t,, x( ))z( )( t)1 d, (6.14) K (x)z au (t, x(t))z(t) + i удовлетворяющую в сфере S(x, r) с произвольным радиусом r условию Липшица K (x1 ) K (x2 ) A(r) x1 x2.

Система уравнений (6.3) в операторной форме записывается в виде выражения 2 2n Kn (xn ) Pn [a(s, xn (s)) + h(s, sk, xn (sk ))k ()d 2 0 k= i s Pn [h(s, s, xn ()) h(s, s, xn (s))]ctg d 2 2 2n i sk s [h(s, sk, xn (sk )) h(s, s, xn (sk ))]ctg k () d = 2 0 k= = Pn [f (s)].

Через a(s, xn (s)) обозначена функция a(eis, xn (eis )). Аналогич но определяются функции h(s, sk, xn (sk )), f (s). Здесь k () - фун даментальные тригонометрические полиномы по узлам sk = 2k/(2n + 1), k = 0, 1,..., 2n.

Нетрудно видеть, что производная Фреше оператора Kn имеет вид Kn (xn )zn Pn [au (s, xn (s))zn (s) I1 (xn ) I2 (xn ) + I3 (xn )], где через I1 (xn ), I2 (xn ), I3 (xn ), соответственно обозначены опера торы 2 2n i sk s Pn { {[hu (s, sk, xn (sk ))hu (s, s, xn (sk ))]zn (sk )ctg }]k ()d};

2 k= i s Pn { Pn {[hu (s, s, xn ())zn () hu (s, s, xn (s))zn (s)]ctg }d};

2 2 2n Pn { [hu (s, sk, xn (sk ))zn (sk )]k ()d}.

2 k= Покажем, что производная Фреше Kn удовлетворяет условию Липшица Kn (xn ) Kn (xn ) An ln2 n xn xn. (6.15) Доказательство приведем лишь для I2 (для I1 и I3 доказатель ство намного проще, нежели для I2 ). В книге [126] показано, что 2n |k (s) A ln n. Поэтому k= 2 2n |I2 (xn ) I2 (xn )| A ln n{ max | {[hu (sj, sj, xn (sk )) 0j2n 2n + 1 k= hu (sj, sj, xn (sk ))]zn (sk ) [hu (sj, sj, xn (sj )) sk sj hu (sj, sj, xn (sj ))]zn (sj )}ctg + |[h (sj, sj, xn (sj ))xn (sj ) 2n + 1 u hu (sj, sj, xn (sj ))xn (sj )]zn (sj )| + |[h (sj, sj, xn (sj )) 2n + 1 u hu (sj, sj, xn (sj ))]zn (sj )|} A ln n[I4 + I5 + I6 ].

Оценим |I4 | n k 1 A xn xn |I4 | A|xn xn ||zn | zn ln n.

k= Известно следующее неравенство М. Рисса [192]. Если f (s) тригонометрический полином степени не выше n, то |f (s)| n max |f (s + s +/2n) f (s)|/2. Пользуясь этим неравенством, получаем оценки |I5 | A xn xn zn n, I6 A xn xn zn n.

Так как ((I2 (xn ) I2 (xn )) тригонометрический полином степе ни n, то |(I2 (xn )I2 (xn )| An ln n xn xn zn. Теперь нетрудно убедиться в справедливости (6.15).

Из включения x (t) H следует существование такого по линома x0 (t) Xn, что x x0 An(). Покажем, что n n из существования линейного оператора [K (x )]1 следует суще ствование линейного оператора [Kn (x0 )]1. Пусть [K (x )]1 = n B0. Тогда из теоремы Банаха следует при n таких, что q = An() 1, существование оператора [K (x0 )]1 с нормой n 0 [K (xn )] B0 /(1 q). В §2 показано, что при n таких, что q = A ln n/n 1, оператор K1n (x0 ), где K1n (x0 )zn n n Pn [au (t, x0 (t))zn (t)+S [hu (t,, x0 ( ))zn ( )]], имеет линейный обрат n n ный с нормой [K1n (x0 )]1 A ln n. Для доказательства су n ществования линейного оператора [Kn (x0 )]1 нужно оценить n [Kn (x0 ) K1n (x0 ). Вначале оценим n n s J = Pn Rn [hu (s, s, x0 ())zn () hu (s, s, x0 (s))zn (s)]ctg d, n n где Rn = I Pn. Построим для функции hu (s, s, x0 ()) интерпо n ляционный полином степени n по переменной и по узлам sk = 2k(2n + 1)1, k = 0, 1,..., 2n. Этот полином будем обозначать че рез hn (s, s, ). Замечая, что [hn (s, s, )zn () hn (s, s, s)zn (s)]ctg s по переменной является полиномом степени не выше 2n, получа ем J J1 + J2, где s J1 = Pn hu (s, s, x0 ()) hn (s, s, ) zn ()ctg d, n 2n J2 = Sk (s)k (s), k= Pn [[[hu (sk, sk, x0 ())hn (sk, sk, )]zn ()[hu (sk, sk, x0 (sk )) Sk (s) = n n sk hn (sk, sk, sk )]zn (sk )]ctg ]d.

Очевидно J1 A ln2 n zn /n, {|[hu (sk, sk, x0 (sk ))x0 (sk ) hn (sk, sk, sk )]zn (sk )|+ |Sk (s)| n n 2n + +|hu (sk, sk, x0 (sk )) hn (sk, sk, sk )]zn (sk )|} = (|J3 | + |J4 |) = n 2n + = |J3 |, 2n + так как J4 = 0 по определению полинома hn (s, s, ).

Приступим к оценке |J3 |. Функция hu (s, s, x0 ()) имеет производ n ную по, входящую в класс H с коэффициентом An. Это следует из условий теоремы и неравенства М. Рисса.

Легко показать, что |J3 | An1 zn ln n.

Из последних двух неравенств следует, что |Sk (s)| A zn n ln n и, следовательно, J2 A ln2 n zn n(). Отсюда и из оценки J1 имеем J A ln2 n zn n().

Теперь оценим i s Pn hu (s,, x0 ()) hu (s, s, x0 ()) zn ()ctg J5 = d n n 2 I1 (x0 ) [[hu (s,, xn ())h (s,, xn ())][hu (s, s, x0 ()) A ln n n n n s h (s, s, x0 ())]]zn ()ctg d + n n 2 2n [[hu (s, sk, x0 (sk )) h (s, sk, x0 (sk ))] + Pn [ n n n 0 k= sk s [hu (s, s, x0 (sk )) h (s, s, x0 (sk ))]]zn (sk )k ()ctg d] + n n n 2i 2n [h (sk,, x0 (sk ))]=sk zn (sk )k () + = J6 + J7, n n k=0 2n + где h (s,, x0 ()) интерполяционный тригонометрический по n n лином степени [n/2] по переменной и по узлам sk (k = 0, 1,..., 2[n/2]) для функции P[n/2] [h(s,, x0 ())], т.е. h (s,, x0 ()) = n n = P[n/2] P[n/2] [h(s,, xn ())].

Нетрудно видеть, что J6 A ln2 n zn n().

Воспользовавшись неравенством М. Рисса, получаем:

J7 A ln2 n zn n(). Из оценок J6 и J7 следует, что J5 A ln2 n zn n(). Оценка Pn [ hu (s,, x0 ())zn ()d] I3 (x0 ) A ln n zn n() (6.16) n n получается без труда. Из оценок J, J5 и неравенства (6.16) следует, что K1n (x0 ) Kn (x0 ) A ln2 n/n.

n n Так как оператор K1n (x0 ) непрерывно обратим, то, приме n няя теорему Банаха, получаем, что при n таких, что q = An() ln2 n 1, оператор Kn (x0 ) имеет линейный обратный с n нормой (Kn (x0 )) n A ln n. Отметим, что Kn x0 Kn x0 Kx0 + Kx0 Kx n n n n An() ln n. В сфере S[x : x x0 A ln2 n/n ] при n таких, n A ln n что q = n 1, выполнены все условия теоремы 6.5 из введе ния, из которой следует существование решения x (t) уравнения n (6.3) и справедливость оценки x x A ln2 n/n. Теорема n доказана.

Доказательство теоремы 6.2. Обоснование вычислительной схемы 2 проводится в пространстве X = H ( /4) и его подпространстве XN, состоящем из полиномов вида (6.2).

Повторяя выкладки, сделанные при доказательстве предыду щей теоремы, можно показать, что оператор К имеет производную Фреше hu (t,, x( ))z( )( t)1 d, K (x)z a(t)z(t) + i удовлетворяющую в сфере xx0 r условию Гельдера K (x1 ) K (x2 ) A x1 x2, где x0 произвольный элемент про странства X, a A константа, зависящая лишь от r и x0.

Система уравнений (6.7) в операторной форме записывается в виде выражения i s a Kn (xn ) Pn [(s)xn (s) Pn [h(s,, xn ())ctg ]d+ 2 1 + Pn [h(s,, xn ())]d] = Pn [f ], 2 где a(s) = a s, h(s,, xn ()) = h s,, xn (), 2n + 1 2n + f (s) = f s.

2n + Производная Фреше оператора Kn (xn ) равна i s a Kn (xn )zn Pn [(s)zn (s) Pn [hu (s,, xn ())zn ()ctg ]d+ 2 1 + Pn [hu (s,, xn ())zn ()]d], 2 где hu (s,, xn ()) = hu (s /(2n + 1),, xn ()).

Рассуждения, мало отличающиеся от приведенных при доказа тельстве теоремы 6.1, позволяют утверждать, что Kn (xn ) Kn (xn ) An ln2 n xn xn.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.