авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |

«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ И.В. БОЙКОВ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Пенза ...»

-- [ Страница 5 ] --

Пусть x0 - полином наилучшего равномерного приближения сте n пени n к функции x (t). Покажем, что если в некоторой окрестно сти S1 точки x существует ограниченный правый обратный опе ратор [K (x)]1 (x S1 ) с нормой [K (x)]1 = B0, то при доста r r точно больших n существует линейный оператор [Kn (x0 )]1. Су nr ществование правого обратного оператора [K (x0 )]1 следует при nr () n таких, что q = An 1, из результатов, приведенных в § 0 6 введения, причем [K (xn )]r = B0 /(1 q). Как и в § 2, можно показать, что при n таких, что q = An() ln2 n 1, оператор K1n (x0 ), где n i s K1n (x0 )zn Pn [hu (s,, x0 ())zn ()ctg Pn [a(t)zn (t) ]d+ n n 2 Pn [hu (s,, x0 ())zn ()]d], + n 2 имеет линейный обратный [K1n (x0 )]1 с нормой [K1n (x0 )] n n A ln n.

Для доказательства существования линейного оператора [Kn (x0 )] nr нужно оценить K1n (x0 )zn Kn (x0 )zn Pn [[a(t) a(t)]zn (t) + n n 1 2 s Pn [ Pn [hu (s,, x0 ()) hu (s,, x0 ())]zn ()ctg + ]d] + n n 2 1 2 Pn [ Pn [hu (s,, x0 ()) hu (s,, x0 ())]zn ()]d = + n n 2 = J1 + J 2 + J 3.

Легко показать, что J1 + J3 A ln2 n zn n(), Pn [[hu (sk,, x0 ()) hu (sk,, x0 ())] |I2 | A ln n max n n 0k2n sk d] A ln2 n zn n.

zn ()ctg Так как I2 - тригонометрический полином степени n, то I2 A ln2 n zn n().

Из оценок норм J1, J2, J3 и теоремы Банаха следует, что при n таких, что q = An() ln2 n 1, существует линейный опе ратор [Kn (x0 )]1 с нормой [Kn (x0 )]1 = B2 B1 /(1 q). При до n n казательстве предыдущей теоремы было показано, что Kn (x0 ) n An() ln n. Следовательно, уравнение (6.7) удовлетворяет всем условиям теоремы 6.5, приведенной во введении, из которой следу ет существование решения x уравнения (6.7) и оценка близости n x x.

n Доказательство теоремы 6.3 подобно доказательству теоре мы 6.2.

Доказательство теоремы 6.4. Покажем, что при выполнении условий ”б” оператор К имеет в пространстве L2 производную Фреше K (x)zn a (t, x(t))zn (t) + S (hu (t,, x( ))zn ( )), причем справедливо неравенство K (x1 ) K (x2 ) AF. (6.17) Для доказательства существования производной K (x)zn оценим разность I1 / zn = K(x + zn ) K(x) K (x)zn / zn.

При этом ограничимся оценкой второго, интегрального, слагае мого в выражении для I1.

Очевидно, 1 1 (1 )hu (t,, x( ) + zn ( ))d zn ( )( t)1 d.

|I1 | = i Представляя hu (t,, u) = [hu (t,, u) hu (,, u)] + hu (,, u), получаем I1 A zn max |zn | и, следовательно, I1 / zn An1/2 zn.

Из полученной оценки следует, что lim I1 / zn = 0. Нера zn венство (6.17) доказано.

Нетрудно видеть, что производная Фреше оператора Kn имеет вид s Kn (xn )zn Pn [au (s, xn (s))zn (s) + Pn [hu (s,, xn ())zn ()]d] 2 i s Pn [hu (s,, xn ())zn ()ctg ]d.

2 Докажем справедливость неравенства Kn (xn ) Kn (xn ) AF. (6.18) В самом деле, Kn (xn )zn Kn (xn )zn I2 + I3, где I2 = Pn [S (Pn [hu (,, xn ( )) hu (,, xn ( )))zn ( )])], 1 P [ h (t,, xn ( )) h (t,, xn ( )) zn ( )]d ] = I3 = Pn [ i n | t| 1 Pn [[h (s,, xn ()) h (s,, xn ())]zn ()ei p(s, )]d], = Pn [ p(s, ) = |ei eis |1 при | s| 2n+1 и p(s, ) = |ei/(2n+1) 1| при | s| 2n+1, h (t,, x( )) = (h(t,, x( )) h(,, x( ))) (ctg t )| t|1.

Нетрудно видеть, что I2 A P [[hu (,, xn ( )) hu (,, xn ( ))]zn ( )] A max |hu (t, t, xn (t)) hu (t, t, xn (t)) zn.

Перейдем к оценке выражения I3. Если в I3 подынтегральный член является действительной функцией, то I3 I4 I5, где {Pn {h (s,, xn ())h (s,, xn ())][p(s, )]1/2 }2 d }1/2, I4 = max{ 2 1 1 s {Pn [zn ()ei [Pn [p(s, )]]1/2 ]}2 d}1/2.

I5 = { ds 2 0 Можно показать, что I4 A max |h (s, s, xn (s)) h (s, s, xn (s))|.

Аналогично 2 2n 2n |zn (sk )|2 p(si, sk )}1/2 = I5 = { (2n + 1) i=0 k= 2 2n 2n p(si, sk )}1/2 A zn.

={ |zn (sk )| (2n + 1) k= i= Из проведенных выкладок следует, что в случае действительных функций I3 AF ||zn. В случае, если подынтегральная функция является комплексной, представляя ее в виде линейной комбинации действительных функций, приходим к аналогичной оценке. Из оце нок выражений I2 и I3 следует справедливость неравенства (6.18).

Из существования линейного оператора [K (x0 )]1 и теоремы Банаха следует, при n таких, что q1 = A ln nEn (x0 ) 1, суще ствование линейного оператора [K (x0 )]1 с нормой [K (x0 )] n [K (x0 )]1 /( n q1 ). В § 3 доказано, при n таких, что q2 = A ln2 n max[En ((t)), En (hu (t, t, x0 (t))), En (hu (t,, x0 ( )))] 1, существование линейно t, n n го оператора [Kn (x0 )]1 с нормой B0. Здесь (t) - решение краевой n задачи + (t) = G(t) (t), G(t) = (au (t, x0 (t))hu (t, t, x0 (t)))/(au (t, x0 (t))+ n n n +hu (t, t, x0 (t)))). Справедливость доказываемой теоремы следует n из результатов § 6 введения.

6.2. Проекционные методы решения нелинейных сингулярных интегральных уравнений на разомкнутых контурах интегрирования Рассмотрим нелинейное с. и. у.

1 h(t,, x( )) G(x) a(t, x(t)) + d = f (t), (6.19) i L t где L = c1 c2 - сегмент единичной окружности.

Приближенно решение уравнения (6.19) будем искать в виде по линома n k t k, xn (t) = k=n коэффициенты {k } которого определяются из системы уравнений n (t, xn (t)) + 1 Pn h (t,, xn ( )) d = Gn (xn ) P a i L t = Pn [f (t)], (6.20) где a(t, x(t)) при t L, a (t, xn (t)) = x(t) при t L;

h(t,, xn ( )) при t и L, h (t,, xn ( )) = 0 при t или L;

f (t) при t L, f (t) = 0 при t L.

Обоснование вычислительной схемы (6.20) проводится по той же схеме, что и обоснования вычислительных схем, приведенных в предыдущем пункте. Основное различие состоит в том, что при исследовании связи между обратимостью операторов G и Gn нуж но вместо результатов § 2 и § 3 использовать результаты § 4.

Опуская промежуточные выкладки, сформулируем утвержде ния, по сути дела аналогичные утверждениям предыдущего па раграфа.

Теорема 6.5 [46]. Пусть в сфере S(x, ), r = B B0 /(1 q), B = = R(x ) + O(n ln n), q = O(F1 B B0 ) + 1 1/(B B0 ) 1, 2 R(x )z au (t, x (t))z(t) + i hu (t,, x ( ))z( )( t)1 d, L выполнены условия:

1) au (t, u) H, hu (t,, u) H, f (t) H (0 1);

2) max{|hu (t,, u1 ) hu (t,, u2 )|, |h (t,, u1 ) h (t,, u2 )|} F1 ;

t, L 3) производная Фреше R(x )z оператора G(x ) непрерывно обра тима в пространстве L2 и [R(x )]1 B0 ;

4) характеристическое уравнение hu (t, t, x (t)) z( )d au (t, x (t))z(t) + = i t L имеет решение вида z(t) = (t c1 )1 (t c2 )2 (t), где 1 = 1 + i1, 2 = 2 + i2, (t) H.

Тогда при n таких, что O((n + n ) ln n) 1 ( = 1 при 0, = 1 ||, при 0, = min(1, 2 )), система уравнений (6.20) имеет единственное решение x и справедлива оценка x x = n n O((n + +n ) ln n), где x - решение уравнения (6.19).

7. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений методом дискретных особенностей 7.1. Приближенное решение линейных сингулярных интегральных уравнений В § 5 предложена вычислительная схема приближенного реше ния сингулярных интегральных уравнений в исключительных слу чаях, когда функция a2 (t) b2 (t) обращалась в нуль на многообра зиях меры, большей чем нуль. Обоснование предложенной вычи слительной схемы проводилось в предположении, что коэффици енты и правая часть уравнения удовлетворяют условию Гельдера.

Совершенно очевидно, что исследованная в § 5 вычислительная схема применима и в нормальных (не исключительных) случаях.

Представляет значительный интерес распространение получен ных в § 5 результатов на случай, когда коэффициенты и правые части уравнений принадлежат классам дифференцируемых функ ций, а также на нелинейные сингулярные интегральные уравне ния.

Этим вопросам посвящен данный параграф. Отметим, что по лученные результаты одновременно применимы в нормальных и исключительных случаях.

Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение вида 1 x( )d Kx a(t)x(t) + b(t) + h(t, )x( )d = f (t), (7.1) t 1 где a, b, f W r (1), h(t, ) W r,r (1), b(t) = 0.

Из проводимых ниже выкладок с очевидностью следует, что предлагаемый метод применим к сингулярным интегральным уравнениям на кусочно-гладких контурах. Этот метод одновре менно применим к сингулярным интегральным уравнениям нор мального типа и сингулярным интегральным уравнениям в ис ключительных случаях.

Разделим сегмент [1, 1] на n частей точками tk = 1 + 2k/n, k = 0, 1,..., n. Обозначим через k сегменты k = [tk, tk+1 ], k = = 0, 1,..., n1. Введем узлы tk,j = tk +jh/(r+1), j = 1, 2,..., r, k = 0, 1,..., n 1, h = 2/n. В каждом сегменте k построим полином Lr (f, k ), интерполирующий функцию f (t) по узлам tkj, j = = 1, 2,..., r, k = 0, 1,..., n 1. Полином Lr (f, k ) имеет вид r Lr (f, k ) = f (tkj )kj (t), j= где kj (t) фундаментальный полином по узлам tkj, j = 1, 2,..., r, k = 0, 1,..., n 1.

Сплайн, составленный из полиномов Lr (f, k ), k = 0, 1,..., n1, обозначим через fn (t).

Каждому узлу tkj поставим в соответствие сегмент kj = [tkj qh, tkj + h ], где h (0 h h/(r + 1)) и q - параметры, выбор которых описан ниже.

Приближенное решение уравнения (7.1) будем искать в виде сплайна xn (t), составленного из полиномов Lr (x, k ) со значени ями xkj = = x(tkj ), подлежащими определению. Значения xkj, j = 1, 2,..., r, k= = 0, 1,..., n 1, определяются из системы линейных алгебраиче ских уравнений вида xn ( ) xn ( ) n a(tkl )xkl + b(tkl ) d + b(tkl ) d + tkl tkl i= kl i n + h(tkl, )xn ( )d = f (tkl ), (7.2) i=0 i k = 0, 1,..., n 1, l = 1, 2,..., r, где означает суммирование по i = k 1, k, k + 1.

Интегралы xn ( ) xn ( ) d, d, h(tk,l )xn ( )d t t kl i i при реализации вычислительной схемы (7.2) аппроксимируются квадратурными формулами. Как будет видно из дальнейшего, вно симая при этом погрешность легко учитывается.

Докажем, что выбором параметра h можно добиться однознач ной разрешимости системы уравнений (7.2). Для доказательства воспользуемся теоремой Адамара об обратимости матриц.

Представим систему уравнений (7.2) в виде матричного уравне ния CX = F, (7.3) где X = (x1,..., xN ), F = (f1,..., fN ), C = {cij }ij = 1, N, N = nr.

Здесь xl = xij, fl = fij, где l = ri + j, i = 0, 1,..., n 1, j = 1, 2,..., r, xij = x(tij ), fij = f (tij ).

Пусть l = ri + j, i = 0, 1,..., n 1, j = 1, 2,..., r, k = rv + w, v = 0, 1,..., n 1, w = 1, 2,..., r. Тогда элементы сkl матрицы C имеют вид ij ( )d cll = a(tij ) + b(tij ) + tij ij + ij ( )h(tij, )d, l = 1, 2,..., N, i vw ( )d clk = b(tij ) + vw ( )h(tij, )d, tij ij i если tvw i (т.е. v = i), vw ( )d clk = b(tij ) + vw ( )h(tij, )d, tij v v если tvw i.

/ Оценим снизу максимум ij ( )d |cll | |b(tij )| |a(tij )| ij ( )h(tij, )d.

tij ij i ij ( )h(tij, )d = O(n1 ), Нетрудно видеть, что |a(tij )| a, i где a константа, не зависящая от i, j, i = 0, 1,..., n 1, j = 1, 2,..., r.

Так как ij (tij ) = 1, то для любого как угодно большого К су ществуют такие параметры h и q, что ij ( )d K.

tij ij В самом деле, ij ( )d d tij tij ij ij ij ( ) 1 ij ( ) d | ln q| d.

tij tij ij ij Выбором q можно добиться, чтобы ln q К + 1 + a, а выбором h можно добиться того, чтобы ij ( ) d, tij ij где ( 0) как угодно малое положительное число.

Следовательно, за счет выбора q и h можно добиться того, что бы |cll | К, l = 1, 2,..., N, где К - как угодно большое положи тельное число.

Приступим к оценке |ckl | при k = l, l, k = 1, 2,..., N.

Так как vw (tij ) = 0 при v = i и w = j, то vw ( )d =O.

tij n ij Легко видеть, что vw ( )d A, tij |i v| v vw ( )h(tij, )d = O.

n i За счет выбора константы К можно добиться выполнения усло вий теоремы Адамара. Отсюда следует, что при значениях h и q таких, что выполнены условия теоремы Адамара, система (7.3) и, следовательно, система (7.2) однозначно разрешимы.

Оценим норму матрицы C 1. Для этого представим матрицу C в виде C = D + G, где D диагональная матрица, состоящая из элементов сll, матрица G = C D.

Матричное уравнение (7.3) будем рассматривать в простран N стве R1 векторов x = (x1,..., xN ) с нормой x = max |xk |.

k Если рассматривать матрицу С как оператор, отображающий N пространство R1 в себя, то N C = max |ckj |.

k j= Представим матрицу С в виде C = D + G = D(I + D1 G). Так как диагональные элементы матрицы D больше К, то D 1/K. По построению матрицы G G ln n, причем константа = О(1) и зависит только от величины max |b(t)|, max |h(t, )|.

t t, Следовательно, по теореме Банаха при достаточно больших K (K 2 ln n) [I + D1 G]1 2 и C 1 2/K.

Аналогичные оценки справедливы и в пространствах R2 и E N.

N Оценим точность решения сингулярного интегрального уравне ния (7.1) по вычислительной схеме (7.2).

Обозначим через x решение уравнения (7.1). Приравняем ле вые и правые части выражения Kx = f в узлах коллокации. В результате имеем x ( ) a(tkl )x + b(tkl ) d + kl tkl k x ( ) n1 n h(tkl, )x ( )d = f (tkl ), + b(tkl ) d + (7.4) tkl i=0 i= i i k = 0, 1,..., n 1, l = 1, 2,..., r, где x = x (tkl ). Здесь означает kl суммирование по i = k.

Обозначим через x сплайн, аппроксимирующий функцию x (t) n по узлам tkl, k = 0, 1,..., n 1, l = 1, 2,..., r, и построенный по описанному выше алгоритму. Вычитая почленно из системы урав нений (7.2) систему уравнений (7.4), имеем:

xn ( ) x ( ) n a(tkl )(xkl x ) + b(tkl ) kl d + tkl kl xn ( ) x ( ) n n1 n h(tkl, )(xn ( ) x ( ))d = + b(tkl ) d + n tkl i=0 i= i i x ( ) x ( ) x ( ) n = b(tkl ) d + b(tkl ) d + tkl tkl kl kl x ( ) x ( ) n n1 n h(tkl, )(x ( ) x ( ))d, + b(tkl ) d + n tkl i=0 i=0 i i (7.5) k = 0, 1,..., n 1, l = 1, 2,..., r, где = k1 (k \ kl ) k+1.

kl Оценим правую часть выражения (7.5).

Нетрудно видеть, что x ( ) x ( ) n r1 = b(tkl ) d tkl kl x ( ) x ( ) (x (tkl ) x (tkl )) n n d Anr ;

b(tkl ) tkl kl x ( ) x ( ) n n d Anr ln n;

r3 = b(tkl ) tkl i=0 i n h(tkl, )(x ( ) x ( ))d Anr.

r4 = n i=0 i Приступим к оценке интеграла x ( ) r2 = b(tkl ) d.

tkl kl Введем функцию ( ), удовлетворяющую следующим условиям:

1) (kl d = 0;

) t kl 2) в области функция (t) (при выполнении условия 1) наи kl лучшим образом в метрике пространства С приближает функцию x (t).

Отметим, что функция (t) может быть разрывной в области.

kl Обозначим через Ekl (x ) модуль интеграла x ( ) ( ) Ekl (x ) = d, tkl kl где функция (t) удовлетворяет условиям 1 и 2.

Через E (x ) обозначим величину E (x ) = max Ekl (x ).

k,l Очевидно, r2 E (x ).

Из уравнения (7.5) и оценки C 1 следует, что max |x (tkl ) x (tkl )| A(nr ln n + E (x )).

n Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 7.1. Пусть a, b, f W r, h W rr, b(t) = 0 на сегменте [1, 1]. Пусть уравнение (7.1) имеет единственное решение. Тогда существуют такие параметры h и q, что система уравнений (7.2) однозначно разрешима и справедлива в метрике пространства RN оценка x (tkl ) xn (tkl ) A(nr ln n + E (x )), где x и xN ре шения уравнений (7.1) и (7.2), соответственно.

7.2. Приближенное решение нелинейных сингулярных интегральных уравнений Рассмотрим нелинейное сингулярное интегральное уравнение вида 1 b(t,, x( )) d + h(t,, x( ))d = f (t), (7.6) a(t)x(t) + i t где единичная окружность с центром в начале координат.

Условия, налагаемые на гладкость функций a(t), b(t,, u), h(t,, u), f (t) и на гладкость решения x(t) будут описаны ниже.

С помощью преобразования Гильберта от уравнения (7.6) можно перейти к следующему уравнению:

i s is is b(eis, ei, x(ei ))ctg a(e )x(e ) d+ 2 2 is i i i b(eis, ei, x(ei ))d = +i h(e, e, x(e ))e d + 0 = f (eis ), 0 s 2. (7.7) Для простоты обозначений вместо (7.7) ниже будем рассматри вать уравнение Kx a(s)x(s) + S(b(s,, x())) + T (h(s,, x())) a(s)x(s)+ 2 1 s + b(s,, x())ctg d + h(s,, x())d = f (s). (7.8) 2 0 Будем предполагать, что a(s), f (s) H, b3 (s,, u) H,,, 0 1, где b3 (s,, u) означает взятие производной по третьей переменной.

Обозначим через X банахово пространство X = H (0 ).

Обозначим через K производную Фреше оператора K в про странстве H, 0. Можно показать, что производная Фреше оператора K на элементе x0 равна 1 s K (x0 )z a(s)z(s) + b3 (s, s, x0 (s))z()ctg d+ 2 + h3 (s,, x0 ())z()d.

2 Будем предполагать, что функция a2 (s) b3 (s, s, x0 (s))2 может обращаться в нoль на множествах с мерой, равной или большей нуля.

Построим вычислительную схему приближенного решения урав нения (7.8). Выберем узлы k sk =, sk = sk + h, 0 h, k = 0,..., 2n.

n 2n Значение параметра h определяется ниже.

Уравнение (7.8) будем решать методом механических квадра тур. Для этого приравняем левые и правые части уравнения (7.8) в узлах s, k = 0, 1,..., 2n 1, а сингулярный и регулярный ин k тегралы аппроксимируем квадратурными формулами. Сингуляр ный интеграл при s [sj, sj+1 ) аппроксимируется квадратурной формулой sk+ 1 s 2n b(s, s, x(s )) Sx = Rn + ctg d, (7.9) k k 2 k=0,k=j1,j+1 sk а регулярный интеграл аппроксимируется квадратурной форму лой прямоугольников.

В результате получим систему нелинейных алгебраических уравнений следующего вида:

sk+ s 1 2n j a(s )x(s ) b(s, s, x(s )) + ctg d+ j j 2 k=0,k=j1,j+1 j k k sk 2n h(s, s, x(s )) = f (s ), j = 0,..., 2n 1.

+ (7.10) jk k j n k= Воспользуемся методом Ньютона Канторовича для решения системы (7.10).

После того, как из системы уравнений (7.10) определены значе ния x(s ), k = 0, 1,..., 2n 1, решение уравнения (7.8) восстанавли k вается в виде тригонометрического полинома n-го порядка 2n x(s )k (s), xn (s) = (7.11) k k= где 1 sin 2n+1 (s s ) k k (s) =.

ss 2n + 1 sin 2 k Возможно также восстановление решения уравнения (7.11) в ви де полигонов или локальных сплайнов, построенных по значениям x(s ), k = 0,..., 2n 1.

k Пусть Pn оператор, проектирующий пространство X на про странство Xn X, состоящее из тригонометрических полиномов степени n. Проектирование осуществляется по формуле 2n x(s )k (s).

Pn x = k k= Обозначим через Kn оператор, описываемый системой уравне ний (7.10) в пространстве Xn, а через K оператор, описываемый уравнением (7.8) в пространстве X.

Производная Фреше Kn (x0 )zn, zn Xn, оператора Kn на началь ном элементе x0 может быть записана в виде вектора с компонен тами sk+ s 1 2n j a(s )zn (s ) b3 (s, s, x0 (s ))zn (s ) + ctg d+ j j jk k k 2 k=0,k=j1,j+1 sk 2n h3 (s, s, x0 (s ))zn (s ), j = 0,..., 2n 1.

+ jk k k n k= Ниже будет показано, что при соответствующем выборе h про изводная Фреше Kn (x0 ) непрерывно обратима. В предположении, что оператор Kn (x0 ) непрерывно обратим, приближенное реше ние уравнения (7.10) будем искать по модифицированному методу Ньютона Канторовича xm+1 = xm [Kn (x0 )]1 Kn (m ), m = 0, 1, 2,...

x (7.12) Здесь Kn (x0 ) производная Фреше оператора Kn в пространстве Xn, x0 начальное приближение, x0 = Pn (x0 ).

Приведем итерационный процесс (7.12) к следующему виду:

Kn (x0 )m+1 = Kn (x0 )m Kn xm.

x x (7.13) Уравнение (7.13) на каждом шаге итерационного процесса опре деляет систему линейных алгебраических уравнений вида С x = g, (7.14) где g = Kn (x0 )m Kn xm, C = Kn (x0 ).

x Докажем, что система (7.14) на каждом шаге итерационного процесса имеет единственное решение. Для этого нужно дока зать непрерывную обратимость оператора Kn (x0 ). Для этого вос пользуемся теоремой Адамара, приведенной в §3 введения. Обо значим для краткости aj = a(s ), bjk = b3 (s, s, x0 (s )), hjk = j jk k h3 (sj, sk, x0 (sk )), j, k = 0,..., 2n 1. Будем полагать, что произ водные b3 (s, s, x0 (s )), j, k = 0,..., 2n 1, отличны от нуля на эле jj k ментах x0 (s), расположенных в окрестности решения x (s) уравне ния (7.8). Рассмотрим диагональные элементы матрицы системы (7.14) s s h sin 2n sin j+12 j bjj hjj bjj hjj |cjj | = aj + ln s s + = aj + ln +, sin h n n sin j 2 j j = 0, 1,..., 2n 1.

Так как bjj = 0, j = 0,..., 2n1, то выбором h элементы cjj могут быть сделаны как угодно большими. С другой стороны, имеем sk+ s 2n1 2n j |cjk | |bjk | ctg d + 2 k=0,k=j,j1,j+1 k=0,k=j sk 2n + hjk A + B ln n.

n k=0,k=j Таким образом, если для всех значений j = 0,..., 2n 1 выпол няются условия h sin 2n bjj hjj aj + ln + A + B ln n, (7.15) sin h n где A и B вполне определенные константы, зависящие от функ ций b3 (s,, x0 ()), h3 (s,, x0 ()), то система (7.14) имеет единственное решение на каждой итерации m = 0, 1, 2,....

Докажем сходимость итерационного процесса (7.12) к точному решению уравнения (7.10).

Доказательство сходимости будем проводить в пространстве R2n векторов v = (v1,..., v2n ) с нормой ||v|| = max |vi |.

1i2n Оценим сначала норму обратного оператора [Kn (x0 )]1. Для это го воспользуемся обобщенной теоремой Банаха.

Представим матрицу оператора Kn (x0 ) в виде суммы двух ма триц:

Kn (x0 ) = D + E, где элементы матрицы D имеют вид 0, j = k;

sj+1 sj hjj djk = a + bjj ctg d +, j = k;

j 2 n sj а элементы матрицы E имеют вид 0, j = k;

hjk n, j = k 1, k + 1;

ejk = sj hjk bjk sk+ ctg d +, в остальных случаях.

2 sk 2 n Оценим нормы матриц D1 и E в метрике пространства R2n :

h sin 2n ||D 1 || C ln G +, ||E|| A + B ln n.

h sin Из последних двух соотношений следует, что выбором h можно добиться того, чтобы h sin 2n ||D1 ||||E|| (A + B ln n) G + C ln q 1.

h sin Тогда по обобщенной теореме Банаха h sin 2n ||[Kn (x0 )]1 || G + C ln ln n AB.

h sin Для доказательства разрешимости уравнения (7.10) и сходимо сти к его решению метода Ньютона Канторовича воспользуем ся теоремой о сходимости модифицированного метода Ньютона Канторовича, приведенной в § 6 введения.

Из этой теоремы следует, что если в некоторой сфере S(x0, r) выполнено условие ||[Kn (x0 )]1 ||||Kn (u1 ) Kn (u2 )|| q 1, u1, u2 S(x0, r), (7.16) то уравнение (7.10) имеет единственное в этой сфере решение x (s) n и итерационный процесс (7.12) сходится к этому решению.

Отметим, что если уравнение (7.10) имеет решение, то из усло вий гладкости функций a, b, h следует, что существует такая сфера S(x0, r), в которой выполняется неравенство (7.16).

Обозначим через x (s) точное решение уравнения (7.8), а через x (s) точное решение уравнения (7.10). В итерационном процессе n (7.12) в качестве начального приближения возьмем x0 (s) = x (s) = = P2n [x (s)]. Будем считать, что в сфере S(x0, r) выполнено усло вие (7.16).

Тогда ||m+1 m || ||[Kn (x0 )]1 ||||Kn xm Kn xm1 Kn (x0 )(m m1 )|| x x xx ||[Kn (x0 )]1 ||||[Kn (m1 + (m xm1 )) Kn (x0 )](m xm1 )|| x x x q||m xm1 || q 2 ||m1 xm2 ||... q n ||1 x0 || x x x и, следовательно, q k ||1 x0 || ||xn x0 || x ||1 x0 ||.

x 1q k= Таким образом, ||P2n [x ] x || ||1 x0 ||/(1 q).

x n Осталось оценить ||1 x0 ||. Из формулы (7.12) следует, что x ||1 x0 || ||[Kn (x0 )]1 ||||Kn (0 )|| A||Kn (0 )||.

x x x Выражая f (s ) из формулы (7.10), оценим норму ||Kn (0 )||. Оче x j видно, a(s )(x (s ) x (s )) + ||Kn (0 )|| = max x j j j 0j2n sk+ s 2n j (b(s,, x ()) b(s, s, x (s )))ctg + k d + j jk k=0,k=j1,j+1 sk sk+ s j b(s,, x ())ctg + d + j k=j1,j+1 sk 2n1 sk+ (h(s,, x ()) h(s, s, x (s )))d + j k = r 1 + r2 + r 3 + r 4.

j k k=0 sk Оценим каждое слагаемое r1,..., r4 в отдельности.

Нетрудно видеть, что r1 + r4 An.

Несколько сложнее оценивается r2 An ln n.

Для оценки r3 покажем, что для каждого узла s, j = 0, 1,..., 2n j 1, существует такая функция (s) H, что (s ) = b(s, s, x(s )) j jj j и sj s s s j+ j j ()ctg d + ()ctg d = 0.

2 sj1 sj+ При этом контур [0, 2] будем считать закольцованным, т.е.

нуль отождествляется с 2.

В качестве простейшего представителя функции () можно взять прямую () = (s ) + D( s ), (7.17) j j где 2 h h sin sin nb(s, s, x(s )) n jj j D= ln. (7.18) h h 2 sin sin + n2 n Тогда sj s j (b(s,, x ()) r3 ())ctg d + j sj sj+ s j (b(s,, x ()) + ())ctg d j sj+ sj+ s j (b(s,, x ()) b(s, s, x (s )))ctg d + j jj j sj+ sj s j (b(s,, x ()) b(s, s, x (s )))ctg + d + j jj j sj sj s j ((s ) + ())ctg d + j sj sj+ s j (s ))ctg + (() d = I1 I4.

j sj+ Оценивая каждое из слагаемых I1 I4 в отдельности, получим I1 An ;

I2 An ;

I3 + I4 A|D|n1.

Таким образом, при h таких, что |D| n1, имеем r An ln n.

Собирая оценки r1 r4, убеждаемся, что при указанных выше значениях h и D справедлива оценка max |x (s ) x (s )| An ln n.

j nj 0j2n Теперь можно оценить близость точного и приближенного ре шений в метрике пространства X. Если приближенное решение x (s) восстанавливается на сегменте [0, 2] по значениям x (s ), n nk k = 0, 1,..., 2n1, интерполяционным полиномом (7.11), то справедливы оцен ки ||x x ||C An ln2 n, ||x x ||X An+ ln2 n.

n n Если приближенное решение x (s) восстанавливается на сегмен n те [0, 2] по значениям x (s ), k = 0,..., 2n 1, полигоном, то спра nk ведливы оценки ||x xn ||C An ln n, ||x x ||X An+ ln n.

n Теорема 7.2 [50]. Пусть уравнение (7.8) имеет единственное решение x (s) H, и пусть функции a(s), f (s) H, b3 (s,, u), h3 (s,, u) H,,, 0 1. Тогда при таких значениях h, что выполнены условия (7.15), система уравнений (7.14) на ка ждом шаге итерационного процесса имеет единственное решение, а итерационный процесс (7.12) при m сходится к решению (x (s ),..., n x (s2n1 )) и при |D| n1 справедливы оценки n ||x (s) x (s)||C An ln n, ||x (s) x (s)||X An+ ln n, m m где x (s) полигон, построенный по значениям (x (s ),..., x (s )).

n n0 n 2n Замечание 1. Из проведенных выше выкладок и результатов § 5 следует, что утверждения теоремы 7.2 могут быть распростра нены на исключительные случаи нелинейных сингулярных инте гральных уравнений вида h(t,, x( )) a(t)x(t) + d = f (t).

t Замечание 2. Нетрудно видеть, что вычислительные схемы, исследованные в пункте 7.1, могут быть легко распространены на нелинейные сингулярные интегральные уравнения.

8. Приближенное решение сингулярных интегро дифференциальных уравнений Этот параграф посвящен приближенным методам решения син гулярных интегро-дифференциальных уравнений (с.и.д.у.) раз личных видов. Рассматриваются линейные и нелинейные уравне ния на замкнутых и разомкнутых контурах интегрирования.

8.1. Приближенное решение линейных сингулярных интегро - дифференциальных уравнений В этом пункте предлагаются и обосновываются вычислитель ные схемы приближенного решения с. и. д. у. вида m ak (t)x(k) (t) + bk (t)S (x(k) ( )) + U (hk (t, )| t| x(k) ( )) = Kx k= = f (t) (8.1) при условиях x(t)tk1 dt = 0, k = 0, 1,..., m 1, (8.2) и вида m [ak (t)x(k) (t) + S (hk (t, )x(k) ( ))] = f (t) Fx (8.3) k= при условиях (8.2). Напомним, что через S (x) и U (x) обозначены операторы 1 x( ) S (x) = d, U (x) = x( )d.

i t 2i Предположим выполненными условия 1) ak (t), bk (t), f (t) H, hk (t, ) H,, 0 1;

2) ak (t), bk (t), f (t) C[0, 2], hk C[0, 2]2 ;

3) ak (t), bk (t), f (t) W H, hk (t, ) W r,r H,, k = 0, 1,..., m.

r Обоснование вычислительных схем будем проводить в про странстве Гельдера X = H ( min(;

1 )) и его подпростран n k tk ;

в пространстве стве Xn, состоящем из полиномов вида k=n X1 = L2 () и его подпространстве X1,n, состоящем из полиномов n k t k.

вида k=n Приближенное решение задачи (8.1) (8.2) ищем в виде поли нома n k tk+m + k tk, xn (t) = (8.4) k=0 k=n коэффициенты {k } которого определяются из системы уравнений m [ak (t)x(k) (t) + bk (t)S (x(k) ( ))+ Kn x n = P n n n k= +U (Pn [hk (t, )x(k) ( )d(t, )] ]] = Pn [f (t)], (8.5) n где d(t, ) - функция, определенная в § 2.

Теорема 8.1 [43], [44]. Пусть краевая задача (8.1) (8.2) одно значно разрешима при любой правой части и выполнены условия 1. Тогда при n таких, что q = A ln n/n 1 ( = min(,, )), система уравнений (8.5) однозначно разрешима и справед лива оценка x xn H A ln n/n, где x и xn решения краевой задачи (8.1) (8.2) и уравнения (8.5), соответственно.

Теорема 8.2 [43], [44]. Пусть краевая задача (8.1) (8.2) одно значно разрешима при любой правой части и выполнено условие 2.

m Тогда при n таких, что q = A [n1/2 + (ak, n1 ) + (bk, n1 ) + k= (1)/(1+) + (hk, n ) ] 1, система уравнений (8.5) имеет един ственное решение xn (t) и справедлива оценка x x L2 A[q + n 1 (f, n )], где x решение краевой задачи (8.1) (8.2).

Для решения краевой задачи (8.1) (8.2) можно предложить еще одну вычислительную схему, обладающую меньшей величи ной погрешности.

Будем искать приближенное решение краевой задачи (8.1) (8.2) в виде полинома (8.4), коэффициенты {k } которого опреде ляются из системы алгебраических уравнений (k) bk (t) xn ( ) m (k) Kn xn = Pn ak (t)xn (t) + d + i t k= tj+ 1 2n d (k) + hk (t, tj )xn (tj ) = Pn [f (t)], (8.6) 2i j=0 | t| tj 2k+ где tk+1 = eisk+1, sk+1 = 2n+1, k = 0, 1,..., 2n.

Введем пространство X m = H функций, удовлетворяющих m условию (8.2) и имеющих производную m-го порядка, входящую m [||x(k) ||C + H(x(k) ;

)].

в класс Гельдера H с нормой x = k= Теорема 8.3 [31]. Пусть оператор K, действующий из X m в X, непрерывно обратим и выполнены условия 1. Тогда при n таких, что q = An ln n 1, система уравнений (8.6) имеет единственное решение x, и в метрике пространства H справедливо неравен n ство x(m) x(m) H An() ln2 n, где x решение краевой n задачи (8.1)-(8.2).

Аппроксимируем функцию Gm (t) = (am (t)bm (t))/(am (t)+bm (t)) полигоном Gmn, построенным по n равноотстоящим узлам. Обо ± значим через mn функции 1 ln Gmn ( ) ± mn (z) = exp d.

2i z Приближенное решение задачи (8.1) (8.2) ищем в виде поли нома (8.4), коэффициенты k которого определяются из системы уравнений m Pn mn (t)x(m)+ (t) mn (t)x(m) (t) + (k) Kn x n + mn (t) ak (t)xn (t)+ n n k= tj+ (k) bk (t) xn ( ) 1 2n d (k) + d + hk (t, tj )xn (tj ) + i t 2i j=0 | t| tj tj+ mn (t) 2n d hk (t, tj )x(k) (tj ) + = Pn [f (t)]. (8.7) n 2i j=0 | t| t j Теорема 8.4 [43], [44]. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы. Тогда при n таких, что q = An ln n 1, система урав нений (8.7) имеет единственное решение x и справедлива оценка n () x xn An ln n, где x решение краевой задачи (8.1) (8.2).

Приближенное решение задачи (8.3) (8.2) ищем в виде поли нома (8.4), коэффициенты {k } которого определяются из системы уравнений (k) n k (t)x(k) (t) + 1 Pn [hk (t, )xn ( )] d = m Fn xn = P a n i t k= = Pn [f (t)]. (8.8) Теорема 8.5 [43], [44]. Пусть краевая задача (8.3) (8.2) однозначно разрешима при любой правой части f и выполнены условия 3. Тогда при n таких, что q = An(r+) ln2 n 1, систе ма уравнений (8.8) имеет единственное решение x и справедлива n оценка x x An(r+) ln2 n, где x решение краевой за n дачи (8.3) (8.2).

Приближенное решение задачи (8.3) (8.2) ищем в виде поли нома (8.4), коэффициенты {k } которого определяются из системы линейных уравнений m (t)x+(k) (t) + (t)x(k) (t)+ Fn x n P n n n n n k= (t) hk (t, ) hk (t, t) (k) n = Pn [ (t)f (t)], (8.9) + Pn xn ( ) d n i t где 1 ln Dmn ( ) ± (z) = exp d ;

n 2i z Dmn полигон, аппроксимирующий по n равноотстоящим узлам функцию Dm (t) = (a(t) h(t, t))/(a(t) + h(t, t)).

Теорема 8.6 [31]. Пусть выполнены условия предыдущей тео ремы. Тогда при n таких, что q = An ln2 n 1, система уравне ний (8.9) имеет единственное решение x и x x An ln n, n n где x решение краевой задачи (8.3) (8.2).

Теорема 8.7 [43], [44]. Пусть краевая задача (8.1) (8.2) одно значно разрешима при любой правой части и выполнены условия 3. Тогда при n таких, что q = An(r+) ln n 1, система урав нений (8.5) имеет единственное решение x и справедлива оценка n x x L n An(r+) ln n, где x решение краевой задачи (8.1) (8.2).

Приближенное решение задачи (8.3), (8.2) будем искать в виде полинома (8.4), коэффициенты которого определяются из системы линейных уравнений m n (t)x+(k) (t) + n (t)x(k) (t)+ + F n xn Pn n n k= n (t) hk (t, ) hk (t, t) (k) + Pn xn ( ) d = Pn [n (t)f (t)], (8.10) i t где ln Dmn ( ) ± n (z) = exp d, 2i z Dmn (t) сплайн степени r дефекта 1 по разбиению tk = 2k/n, аппроксимирующий функцию Dm (t) = (am (t) hm (t, t))/(am (t) + hm (t, t)).

Теорема 8.8 [31]. Пусть выполнены условия теоремы 8.7. То гда при n таких, что q = An(r+) ln2 n 1, система уравнений (8.10) имеет единственное решение x и справедлива оценка n x x An(r+) ln n, L n где x решение краевой задачи (8.3), (8.2).

Замечание. Можно показать, что предыдущая теорема справед лива при m q=O [En (ak ) + En (hk )] + k= 1 am bm +En ln2 n ln d (8.11) exp 2i a m + bm t и оценка погрешности имеет вид x x = O(En (f ) + q). (8.12) n Не имея возможности (из-за отсутствия места ) привести до казательства всех приведенных выше теорем, остановимся на до казательстве теорем 8.1 и 8.5. Доказательства остальных теорем могут быть получены объединением доказательств теорем 8.1 и 8.5 и теорем из § 2 и § 3 данной главы.

Доказательство теоремы 8.1. Сведем краевую задачу (8.1), (8.2) и уравнение (8.5) к эквивалентным краевым задачам. Для этого вводится функция 1 x( )d (z) =.

2i z Воспользуемся формулами Племеля Сохоцкого 1 x( )d + (t) (t) = x(t), + (t) + (t) =, (8.13) i t 1 x(k) ( )d (k)+ (k) (k) (k)+ (k)+ (t) (t) = x (t), (t) + (t) =, i t (8.14) k = 1,..., m. Подставляя равенства (8.13), (8.14) в уравнения (8.1) и (8.5), приходим к следующим краевым задачам:

m (ak (t) + bk (t)) (k)+ (t) (ak (t) bk (t)) (k) (t)+ Kx k= hk (t, )((k)+ ( )(k) ( )) + d = f (t) | t| 2i (8.15) при условиях (8.2) и m (ak (t) + bk (t)) (k)+ (t) (ak (t) bk (t)) (k) (t)+ K n xn P n k= 1 Pn hk (t, )d(t, ) (k)+ ( ) (k) ( ) d = + = Pn [f (t)]. (8.16) n Нетрудно видеть, что + (t) = k tk+m, (t) = k tk.

k=0 k=n Сведем краевые задачи (8.15), (8.2), и (8.16) к эквивалентным с.и.у. Для сведения к с.и.у. краевой задачи (8.15), (8.2) можно воспользоваться интегральным представлением Ю.М. Крикунова m+ m [103]. Для этого функции d dz m(z) и d dz m(z) представляются инте гралом типа Коши с одной и той же плотностью dm + (z) v( )d dm (z) z m v( )d =, =. (8.17) dz m 2i z dz m 2i z Для сведения краевой задачи (8.16) к эквивалентному с.и.у. вос пользуемся интегральным представлением dm + (z) vn ( )d dm (z) z m vn ( )d =, =, (8.18) dz m 2i z dz m 2i z n (m+k)! n (1)m k (m+k1)! tk.

k tk где vn (t) = k! (k1)!

k=0 k= Повторяя соответствующие рассуждения работы [103], с помо щью представлений (8.17) и (8.18) сводим краевые задачи (8.15), (8.2) и (8.16) к эквивалентным с.и.у.:

b (t) v( )d + (1) a v(t) K v + i t 1 h0 (t, )d + k0 (, ) ln( )v()d+ (2i)2 | t| v() + m v() 1 |hm (t, )| +... + d d = f1 (t) (8.19) (2i)2 | t| 2i и b (t) vn ( )d Pn vn (t) + (1) Kn vn = + a i t Pn 0 (t, )d(t, ) k0 (, ) ln( )vn ()d d + + h (2i) m 1 vn () + v () Pn m (t, )d(t, ) +... + d d = h (2i)2 = Pn [f1 (t)], (8.20) где k0 (t, ),...,km1 (t, ) фредгольмовы ядра, a (t),b (t),f1 (t) 1 C2 ;

явный вид этих функций может быть выписан на основании представления Ю.М.Крикунова [103] (явный вид этих функций не выписывается, так как ниже используются лишь их характеристи ки).

В нашем распоряжении выбор основного пространства X, в ко тором рассматривается уравнение (8.19). Будем считать, что X пространство квадратично суммируемых функций со скалярным произведением t = eis.

(g1, g2 ) = g1 (t)g2 (t)ds, 2 Приближенное решение vn (t) ищем в подпространстве (2n + 1) n k t k - мерных полиномов Xn вида с той же нормой, что и k=n (1) пространство X. Очевидно, Kn [Xn Xn ].

(1) Будем считать, что оператор K имеет линейный обратный.

(Это эквивалентно тому, что краевая задача (8.1), (8.2) однозначно разрешима при любом f ).

v() Так как k0 (, ) ln( )v()d A v, ( ) d Av, где (как и всюду) A вполне определенные постоянные, не зави сящие от v и n, то вместо уравнений (8.19), (8.20) можно ограни читься рассмотрением уравнений b(t) v( )d 1 h(t, )v( ) K (1) v a(t)v(t)+ + d = f (t), (8.21) i t 2i | t| b(t) vn ( )d Kn v P n (1) a(t)vn (t) + + i t Pn [h(t, )d(t, )vn ( )] d = Pn [f (t)].

+ (8.22) 2i Обоснование вычислительной схемы (8.22) приближенного ре шения уравнения (8.21) приведено в §§ 2,3.

Доказательство теоремы 8.5. Как и при доказательстве те оремы 8.1, сведем краевую задачу (8.3), (8.2) и уравнение (8.8) к эквивалентным с.и.у.

Для этого следует воспользоваться тождеством s P n Pn d h(s, )()ctg g s P n Pn [h(s, )()] ctg g d s P n Pn [h(s, )] g ()ctg d, ( Xn ).

g (8.23) Воспользовавшись тождеством (8.23), уравнения (8.3), (8.8) можно представить в следующем виде:

bk (t) x(k) ( ) m (k) Fx ak (t)x (t) + d + i t k= 1 hk (t, ) hk (t, t) (k) x ( )d = f (t) + (8.24) 2i t и bk (t) x(k) ( ) m Pn n (k) Fn x n ak (t)xn (t) + d + i t k= hk (t, t))x(k) ( ) 1 (hk (t, ) d = P n [f ], n + Pn (8.25) 2i t где bk (t) = hk (t, t), n m.

Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоре мы 8.1, уравнения (8.24), (8.2) и (8.25) можно свести к эквивалент ным с.и.у. Поэтому обоснование вычислительной схемы (8.8) для краевой задачи (8.3), (8.2) сводится к обоснованию вычислитель ной схемы b(t) vn ( )d Fn vn P n (1) a(t)vn (t) + + i t 1 (h(t, ) h(t, t))vn ( ) d = P n [f ] + Pn (8.26) 2i t для с.и.у.

b(t) v( )d 1 h(t, ) h(t, t) F (1) v a(t)v(t) + + v( )d = i t 2i t = f (t), (8.27) где a(t), b(t), f (t) H, h(t, ) H, (0 1. (8.28) Теперь доказательство теоремы 8.5 свелось к обоснованию вы числительной схемы (8.27) для уравнения (8.26) при условиях (8.28). Это исследование было проведено в § 3.

8.2. Приближенное решение нелинейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на замкнутых контурах интегрирования Выше было исследовано применение методов коллокации и механических квадратур к линейным с.и.д.у. Сейчас изучим применение этих методов к нелинейным сингулярным интегро дифференциальным уравнениям вида Kx a(t, x(t),..., x(m) (t)) + S (h(t,, x( ),..., x(m) ( ))) = f (t) (8.29) при условиях x(t)tk1 dt = 0, k = 0, 1,..., m 1. (8.30) В этих формулах под понимается единичная окружность с цен тром в начале координат, aui (t, u0, u1,..., um ) H···, hui (t,, u0, u1,..., um ) H···, f (t) H (i = 0, 1,..., m). (8.31) Вычислительная схема. Приближенное решение краевой за дачи (8.29), (8.30) ищется в виде полинома n k tk+m + k tk, xn (t) = (8.32) k=0 k=n коэффициенты которого определяются из системы уравнений t Kn xn Pn [a(t, xn (t),..., xn (t))+S (Pn [h(t,, xn ( ),..., x(m) ( ))])] = (m) n t = Pn [f (t)]. (8.33) Обоснование метода. Сведем краевую задачу (8.29), (8.30) и аппроксимирующее ее уравнение (8.33) к эквивалентным нелиней ным уравнениям.

Введя функции (z) = 2i x( ) d, n (z) = 2i xnz) d, ( 1 z и воспользовавшись формулами Племеля-Сохоцкого, приходим к уравнениям Kx a(t, + (t) (t),..., (m)+ (t) (m) (t))+ +S (h(t,, + ( ) ( ),..., (m)+ ( ) (m) ( ))) = f (t), (8.34) t Kn xn Pn [a(t, + (t) (t),..., (m)+ (t) (m) (t))+ n n n n +S (Pn [h(t,, + ( ) ( ),..., n ( ) (m) ( ))])] = (m)+ n n n t [f (t)].

=P (8.35) n Воспользовавшись интегральным представлением Ю.М. Крику нова [103], уравнения (8.34) при условиях (8.2) и (8.35) сводятся к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям K (1) v a(t, 0 (v(t)),..., m (v(t)))+ +S (h(t,, 0 (v( )),..., m (v( )))) = f1 (t), (8.36) t (1) Kn vn Pn [a(t, 0 (vn (t)),..., m (vn (t)))]+ +S (P [h(t,, 0 (vn ( )),..., m (vn ( )))])] = P t [f1 (t)], (8.37) n n где 1 0 (v(t)) = k0 (t, )v( )d,..., m1 (v(t)) = km1 (t, )v( )d, 2i 2i m (v(t)) = v(t)(1 + tm ) + S (v( ) tm S (v( ))), (8.38) k0 (t, ),..., km (t, ) фредгольмовские ядра (явный вид этих функ ций выписан в [103]), v плотность интегрального представления n k tk, k постоянные, однозначно Ю.М. Крикунова, vn (t) = k=n выражаемые через k.

Так как функции i (v)(i = 0, 1,..., m), определенные выраже ниями (8.38), линейные операторы, то для простоты выкладок вместо уравнений (8.36) и (8.37) можно ограничиться уравнениями K (2) (v) a(t, v(t)) + S (h(t,, v( ))) = f (t) (8.39) и (2) Kn (vn ) Pn [a(t, vn (t)) + S (Pn [h(t,, vn ( ))])] = Pn [f (t)], (8.40) где f (t) H, au (t, u) H,, hu (t,, u) H,, (0 1).

В нашем распоряжении выбор пространства, в котором будем проводить обоснование метода механических квадратур (8.40) для уравнения (8.39). Сначала остановимся на пространстве L2. При этом приближенное решение ищется в подпространстве L2 L2, состоящем из полиномов степени не выше n. В этих условиях метод механических квадратур (8.40) для уравнения (8.39) обоснован в § 3. Воспользовавшись приведенными там результатами, приходим к следующей теореме.

Теорема 8.9 [45]. Пусть в некоторой сфере S краевая за дача (8.29), (8.30) имеет единственное решение x W m H, и уравнение K (x )z = f при любом f имеет единственное реше ние, удовлетворяющее условиям (8.30). Тогда при n таких, что q = A ln2 n/n 1, система уравнений (8.33) имеет единственное решение x, и справедлива оценка (x )(m) (x )(m) A ln n/n.

n n Возьмем теперь в качестве пространства, в котором проводит ся обоснование применения метода механических квадратур (8.40) к уравнению (8.39), пространство X функций, удовлетворяющих условию Гельдера H (0 ) с нормой x = max |x(t)| + + sup [|x(t1 ) x(t2 )|/|t1 t2 | ]. Приближенное решение ищется в t2 =t пространстве Xn X полиномов степени не выше n.

Во втором параграфе проведено обоснование метода коллокации в пространстве X. Воспользовавшись результатами этого пара графа, убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Теорема 8.10 [45]. Пусть в некоторой сфере S краевая задача (8.29), (8.30) имеет единственное решение x W m H, и урав нение K (x )z = f при любой правой части имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям (8.30). Тогда при n таких, что q = A3 ln6 n/n 1, система уравнений (8.33) имеет един ственное решение x (t), и справедлива оценка (x )(m) (x )(m) n n 2 A4 ln n/n.

Ранее было показано, что сингулярные интегро-дифференциальные уравнения сводятся к сингулярным интегральным уравнениям.

Поэтому ниже мы ограничимся рассмотрением уравнения Kx a(t)x(t) + b(t)S (x( )) + U (h(t, )x( )) = f (t). (8.41) Будем считать, что коэффициенты a(t), b(t), h(t, ), (по обеим переменным) f (t) удовлетворяют интегральному условию Гельде (r+) ра Hp (0 1), а решения этого уравнения Lp ( p ). Предположим, что оператор K непрерывно обратим в Lp. Будем решать уравнение (8.41) методом моментов. Для этого предварительно сведем его к краевой задаче Римана K (1) x V x + W x = y, где V x x+ + x, W x = lU (h(t, )x( )), y = lf, Приближенное решение уравнения K (1) x = y ищется в виде по n k tk, коэффициенты которого определяются из линома xn (t) = k=n системы (1) K n x n V n x n + Wn x n = y n, (8.42) где 1 a( ) b( ) yn = n [y], l = /(a+b), (z) = exp ln d, 2i a( ) + b( ) z Vn xn = n [V xn ], Wn xn = n [lU ( [h(t, )xn ( )])].

n n оператор проектирования на n частную сумму ряда Фурье.

Введем полином (xn ) = Vn xn + U (Tn [h(t, )]xn ( )), где Vn xn = t = n x+ n x, n = Tn [], Tn оператор проектирования на + n n множество полиномов наилучшего приближения степени не выше n в метрике Lp. Оценим норму K (1) xn (xn ) |x+ | n + n +|x | + n + A h(t, ) Tn [h(t, )] |xn |.

+ n Так как xn полином степени не выше n, то |xn | n1/p xn.

Поэтому, воспользовавшись оценками работы [134], имеем K1 xn (xn ) An(r+1/p) xn. Так как n = 1, то справедлива следующая теорема.

Теорема 8.11 [44], [45]. Пусть оператор K непрерывно обра тим в Lp (1 p ), и функции a(t), b(t), h(t, ) (по обеим переменным), f (t) удовлетворяют интегральному условию Гель (r+) дера Hp (если r = 0, то 1/p). Тогда при n таких, что q = An(r+1/p) 1, система уравнений (8.42) имеет единствен ное решение x и справедлива оценка x x An(r+1/p).

n n Замечание. Распространение этих утверждений на случай син гулярных интегро-дифференциальных уравнений не представляет труда.

8.3. Приближенное решение линейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами В этом и следующем пунктах изучаются прямые (без регуля ризации) методы приближенного решения с. и. д. у. с разрывны ми коэффициентами и на разомкнутых контурах интегрирования.

Впервые приближенные методы решения сингулярных интеграль ных уравнений с разрывными коэффициентами изучались в моно графии [82], в которой был предложен эффективный алгоритм све дения сингулярных интегральных уравнений с разрывными коэф фициентами к эквивалентным сингулярным интегральным урав нениям с непрерывными коэффициентами.

Рассмотрим сначала сингулярные интегро-дифференциальные уравнения вида m [ak (t)x(k) (t) + bk (t)S (x(k) ( ))+ Kx k= +U (hk (t, )| t| x(k) ( ))] = f (t) (8.43) при условиях x(t)tk1 dt = 0, k = 0, 1,..., m 1, (8.44) где ak (t), bk (t), hk (t, ) (k = 0, m), f (t) функции, непрерывные в метрике C всюду на, за исключением точки t = 1, в которой ak (t) и bk (t) (k = 0, m) имеют разрыв 1 рода.

Приближенное решение краевой задачи (8.43), (8.44) ищется в виде полинома (8.32), коэффициенты которого определяются из си стемы алгебраических уравнений m [ak (t)x(k) (t) + bk (t)S (x(k) ( ))+ K n xn P n n n k= (k) +U (Pn [hk (t, )d(t, )xn ( )])] = Pn [f (t)], (8.45) где d(t, ) = | t| при | s| 2/(2n + 1), d(t, ) = |ei2/(2n+1) 1| при | s| 2/(2n + 1), t = eis, = ei.

Точно так же, как и в случае с. и. д. у. с непрерывными коэффи циентами, краевая задача (8.43), (8.44) и система (8.45) сводятся к эквивалентному сингулярному интегральному уравнению и ап проксимирующей его алгебраической системе. Вместо них целесо образно ограничиться уравнениями Kx a(t)x(t) + b(t)S (x( )) + U (h(t, )| t| x( )) = f (t) (8.46) и Kn xn Pn [a(t)xn (t) + b(t)S (xn ( )) + U (Pn [h(t, )d(t, )xn ( )])] = = Pn [f (t)], (8.47) где a(t) и b(t) имеют разрыв первого рода в точке t = 1.

В качестве пространства, в котором проводится обоснование вы числительной схемы (8.47), возьмем пространство L2.

Подобно выкладкам, приведенным в § 3, уравнениям (8.46) и (8.47) поставим в соответствие промежуточные уравнения Kx am (t)x(t) + bm (t)S (x( )) + U (h(t, )| t| x( )) = f (t) и Kn xn Pn [am (t)xn (t)+bm (t)S (xn ( ))+U (Pn [h(t, )d(t, )xn ( )])] = = Pn [f (t)], где am (t) и bm (t), m = [n1/2 ] полигоны, аппроксимирующие функ ции a(t) и b(t) по m равноотстоящим узлам, причем при построе нии полигонов am (t) и bm (t) в точке t = 1 используются предельные значения a(1 + 0), a(1 0) и b(1 + 0), b(1 0).

Переход от уравнения Kx = f к уравнению Kx = f и от урав нения Kn xn = fn к уравнению Kn xn = fn проводится по теореме Банаха.

Уравнения Kx = f и Kn xn = fn сводятся к эквивалентным кра евым задачам K (1) x x+ (t) G(t)x (t) + D(t)U (h(t, )| t| x( )) = = D(t)f (t), (8.48) Kn xn Pn [x+ (t) G(t)x (t) + D(t)U (Pn [h(t, )d(t, )xn ( )])] = (1) n n = Pn [D(t)f (t)], (8.49) где G(t) = S(t)D(t), S(t) = am (t) bm (t), D(t) = (am (t) + bm (t))1.

Пусть решение краевой задачи + (t) = G(t) (t) имеет вид (t) = (t 1) 0 (t), где = + i, 0 H.

Как и в случае сингулярных интегральных уравнений с непре рывными коэффициентами, уравнения (8.48), (8.49) можно пред ставить в следующей эквивалентной форме:

K (2) x V x + W x = y, (8.50) (2) K n x n V n x n + Wn x n = y n, (8.51) где + + V x = x x, W x = lU (h(t, )| t| x( )), l =, y = lf, a+b yn = Pn [y], Vn xn = Pn [V xn ], Wn xn = Pn [lU (Pn [h(t, )d(t, )xn ( )])], ln[S( )D( )]( z)1 d (z 1) exp при 0, 2i (z) = ln[S( )D( )]( z)1 d exp при 0.

2i Для обоснования предложенной вычислительной схемы введем полином (t) = Vn xn + U (Tn [l(t)h(t, )d (t, )]xn ( )), t где Vn xn = n x+ n x, n = Tn (), Tn оператор проектиро + t t n n вания на множество тригонометрических полиномов наилучшего равномерного приближения степени не выше n по переменной t, d (t, ) = = | t| при | t|, d (t, ) = при | t|, фиксиру ется ниже. Можно показать, что (модуль непрерывности функций am (eis ) и bm (eis ) определяется в открытом промежутке 0 s 2) K (2) xn A[w(am ;

n1 ) + w(bm ;

n1 ) + w(;

n1 )+ +w(h;

n1 )1 + 2 n + n ] xn, (8.52) Pn K 2 xn A[w(am ;

n1 ) + w(bm ;

n1 ) + w(;

n1 )+ +w(h;

n1 )1 + 2 n + n ] xn, (8.53) где = (1 ||) при 0, = при 0.

Теперь осталось оценить Pn K (2) xn Kn xn. Повторяя рассу (2) ждения, сделанные в § 4, получаем оценку Pn K (2) xn Kn xn A[w(h;

n1 ) + 2 n ] xn.

(2) (8.54) Из оценок (8.52)(8.54), полагая для определенности = /(1+) n, получаем следующее утверждение.

Теорема 8.12 [45]. Пусть оператор K непрерывно обратим в пространстве L2, коэффициенты a(t), b(t), h(t, ), f (t) C всюду на, за исключением точки t = 1, в которой a(t), b(t) имеют разрыв первого рода. Тогда при n таких, что q = A[w(a;

n1/2 )+w(b;

n1/2 )+w(;

n1 )+(w(h;

n1 ))(1)/(1+) +n + +n(1)/(1+) ] 1, система уравнений (8.45) имеет единственное решение x. Спра- n ведлива оценка x x A[q + w(f ;

n1 )], где x решение урав n нения (8.45). Здесь = (1 ||) при 0, = при 0, = + i, (t 1) 0 (t) решение краевой задачи + (t) = [(am (t) bm (t))/(am (t) + bm (t))] (t).

Следствием теоремы 8.12 является предложение:

Теорема 8.13. [45]. Пусть краевая задача (8.43), (8.44) имеет единственное решение при любой правой части и выполнены усло вия ak (t), bk (t), hk (t, ) (k = 0, m), f (t) C всюду, за исключением точки t = 1, в которой am (t) и bm (t) имеют разрыв первого рода.

Тогда при n таких, что q = A max0km [w(ak ;

n1 ) + w(bk ;

n1 ) + w(;

n1 ) + w(hk ;

n1 ) + n +]. +n(1)/(1+) ] 1, система уравне ний (8.45) имеет единственное решение x и справедлива оценка n x x A[q + n +w(f ;

n1 )], где x решение краевой задачи (8.43), (8.44). Здесь = (1 ||) при 0, = при 0, = + i, (t 1) 0 (t) решение краевой задачи + (t) = [(am (t) bm (t))/(am (t) + bm (t))] (t).


8.4. О другом подходе к обоснованию приближенных методов решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений В пунктах 8.1 8.3 изложен метод приближенного решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений, обоснование которого основано на применении представления Ю.М. Крикуно ва. Другой подход к обоснованию приближенных методов решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений был предло жен автором в 1971 г., но из-за задержки по техническим причи нам (большой объем первоначальной рукописи) публикации ста тьи [21], был опубликован только в 1974 г., т.е. через 2 года после выхода из печати статьи [43] ( см. также [44], [46]).

Приведем основные элементы этого метода. Для краткости оста новимся только на нелинейных с.и.д.у.

Рассмотрим с.и.д.у.

Kx a(t, x(t),..., x(m) (t))+ 1 h(t,, x( ),..., x(m) ( )) + d = f (t) (8.55) i t при условиях x(t)tk1 dt = 0, k = 0, 1,..., m 1, (8.56) где единичная окружность с центром в начале координат.

Будем считать, что f (t) H, aui (t, u0,..., um ) H,1,...,1, hui (t,, u0,..., um ) H,1,...,1, i = 0,..., m.

Приближенное решение задачи (8.55), (8.56) ищется в виде по линома n k tk+m + k tk, xn (t) = k=0 k=n коэффициенты {k } которого определяются из системы уравнений Kn x n (m) [Pn [[h(s,, xn (),..., x(m) ())] Pn a(s, xn (s),..., xn (s)) + n s i[[h(s, s, xn (),..., xn ()) h(s, s, xn (s),..., x(m) (s))]ctg (m) ] n 2n [h(s, sk, xn (sk ),..., x(m) (sk )) i n k= sk s (m) h(s, s, xn (sk ),..., xn (sk ))]ctg k () d = Pn [f (s)], (8.57) где Pn - оператор проектирования на множество интерполяци онных полиномов по узлам sk = 2k/(2n + 1), k = 0,..., 2n, a(s) = a(eis ), x(j) (s) = x(j) (eis ), j = 0,..., m, kj означает сумми n n k рование по k = j, k (s) фундаментальные тригонометрические полиномы степени n по узлам sk.

m Введем следующие пространства функций: X = H простран ство функций, удовлетворяющих условию (8.56) и имеющих про изводную m порядка, входящую в класс Гельдера H, с нормой m x = M (m) (x) + H (m) (x;

) = max |x(k) (t)|+ k=0 tL + sup |x(m) (t2 ) x(m) (t1 )|/|t2 t1 | ;

t2 =t Y пространство функций, удовлетворяющих условию Гельдера H с нормой y = M (0) (y) + H (0) (y);

Xn X пространство функций вида xn (t);

Yn Y пространство полиномов степени не выше n.

Обоснование метода проводится при /2. Операторы К и Kn имеют производные Фреше K и Kn в пространствах X и Xn.

В произвольной точке X эти производные имеют вид m aj (t, (t), (t),..., (m) (t))z (j) (t)+ K ()z j= 1 hj (t, ( ), ( ),..., (m) ( ))z (j) ( ) m d, + j=0 i t m aj (s, (s), (s),..., (m) (s))zn (s)+ (j) Kn ()zn Pn j= 1 m hj (s,, (), (),..., (m) ())zn () d (j) + Pn 2 j= i m hj (s, s, (), (),..., (m) ())zn () (j) Pn 2 j= s hj (s, s, (s), (s),..., (m) (s))zn (s) ctg (j) d 2 m 2n i hj (s, sk, (sk ), (sk ),..., (m) (sk ))zn (sk ) (j) 2 0 j=0 k= s hj (s, s, (sk ), (sk ),..., (m) (sk ))zn (sk ) k () ctg (j) d.

Здесь через aj (s, u0, u1,..., um ) и hj (s,, u0, u1,..., um ) обозначе ны производные от функций a(s, u0, u1,..., um ) и h(s,, u0, u1,..., um ) по переменной uj, j = 0, 1,..., m. Остальные обозначения приве дены в описании формулы (8.57).

Нетрудно показать, что справедливо неравенство K (x1 ) K (x2 ) A x1 x2.

Воспользовавшись неравенством М. Рисса [192], можно пока зать, что Kn (xn1 ) Kn (xn2 ) An ln2 n xn1 xn2. Пусть x H решение задачи (8.55), (8.56), и пусть существует огра ниченный правый обратный оператор R(x ) = [K (x )]1 с нор- r 1, оператор K (x0 ), мой B0. При n таких, что q1 = A/n n 0 xn = Tn x, имеет ограниченный правый обратный R(xn ) с нор мой R(x0 ) B0 /(1 q1 ). Здесь n Tn оператор проектирования на полиномы наилучшего прибли жения степени n в равномерной метрике.

Выше в §§ 2-4 неоднократно использовался прием, заключаю щийся в сведении исходного сингулярного интегрального уравне ния и аппроксимирующей его системе алгебраических уравнений к эквивалентной краевой задаче Римана и аппроксимирующей ее системе алгебраических уравнений. В данном случае этот прием заключается в следующем.

Рассмотрим уравнение K ()x = f. Для простоты обозначений представим это уравнение в виде (k) 1 hk (t, )x ( ) m (k) Gx ak (t)x (t) + d = f (t).

i t k= Метод коллокации для уравнения Gx = f имеет вид 1 hk (t, )x(k) ( ) m n (k) Gn xn Pn ak (t)xn (t) + d = Pn [f (t)].

i t k= Выделим отдельно характеристический оператор со старшей производной hm (t, t) x(m) ( ) (m) Gx am (t)x (t) + d + i t 1 hm (t, ) hm (t, t) (m) + x ( )d + i t 1 hk (t, )x(k) ( ) m (k) + ak (t)x (t) + d = f (t). (8.58) i t k= Представим уравнение (8.58) в виде hm (t, t) x(m) ( ) Gx am (t)x(m) (t) + d + H(x, x,..., x(m1) ) = i t = f (t). (8.59) Повторяя выкладки, неоднократноприведенные выше, сведем уравнение (8.59) к краевой задаче G(1) x (t)x(m)+ (t) + (t)x(m) (t) + lH(x, x,..., x(m1) ) = = l(t)f (t), (8.60) где (t) решение краевой задачи + (t) = G(t) (t), G(t) = (am (t) bm (t))/(am (t) + bm (t), bm (t) = hm (t, t), l(t) = (t)/(am (t) + bm (t)).

Метод коллокации для краевой задачи (8.60) записывается в ви де операторного уравнения G(1) xn Pn [ (t)x(m)+ (t) + (t)x(m) (t)+l(t)H(xn, xn,..., x(m1) )] = (m) n n n n = Pn [f (t)].

n где x(m) (t) = k tk.

n k=n Введем полином n (t) = n (t)x(m)+ (t) n (t)x(m) (t) + Tn [l(t)H(xn, xn,..., x(m1) )], + n n n где n (t) = Tn [ ± (t)], Tn оператор проектирования на множе ± ство полиномов степени n наилучшего равномерного приближе ния. Отметим, что наилучшие приближения к функциям + (t) и (t) строятся таким образом, чтобы полиномы n (t) и n (t) были + функциями, аналитическими внутри и вне единичной окружности, соответственно.

Оценим нормы G(1) xn n и Pn K (1) xn n. Для этого нужно оценить нормы xn n x(m) и Rn [l(t)H(xn, xn,..., x(m1), (m)± ± n n где Rn = E Tn, E тождественный оператор.

Первая из этих норм неоднократно оценивалась выше. Для оцен ки второй нормы достаточно заметить, что оператор H(xn, xn,..., x(m1) ) n не зависит от функции x(m) и, следовательно, в метрике про n странства X справедлива оценка Rn [lH(xn, xn,..., x(m1) )] n An1 xn. Отметим, что при ее получении было использовано не равенство М. Рисса.

Таким образом, из общей теории приближенных методов следу ет, что оператор G(1) непрерывно обратим. Из обратимости опе n (1) ратора Gn следует обратимость оператора Gn. Доказательство этого утверждения неоднократно приводилось выше.

Воспользовавшись результатами предыдущих пунктов можно показать, что при q2 = max{q1, A ln2 n/n } 1 оператор Kn (x0 ) n имеет линейный обратный с нормой [Kn (x0 )]1 A ln n.

n Теорема 8.14 [21]. Пусть краевая задача (8.55), (8.56) имеет в некоторой сфере S единственное решение x, существует ограни ченный правый обратный оператор [K (x )]1. Тогда при n таких, r что q = A ln5 n/n2 1, уравнение (8.57) имеет такое решение x, что x x A ln2 n/n.

n n ГЛАВА IV ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В этой главе исследуются приближенные методы решения по лисингулярных и многомерных сингулярных интегральных урав нений.

1. Приближенное решение краевых задач в бицилиндрических областях Пусть в плоскости комплексного переменного zk (k = 1, 2) дана единичная окружность k с центром в начале координат, делящая + ее на две части: внутреннюю Dk и внешнюю Dk. Общую часть ±± границ бицилиндрической области D ±± = D1 D2 обозначим че рез 12 = 1 2. Будем искать функции ±± (t1, t2 ), аналитические в областях D±±, исчезающие в бесконечно удаленных точках обла стей D ± и D и удовлетворяющие краевому условию K a(t1, t2 )++ (t1, t2 ) + b(t1, t2 )+ (t1, t2 ) + c(t1, t2 )+ (t1, t2 )+ +d(t1, t2 ) (t1, t2 ) = f (t1, t2 ). (1.1) Следует отметить, что приводимые ниже результаты справед ливы и в полицилиндрических областях. Мы рассматриваем крае вую задачу (1.1) в бицилиндрической области только для просто ты обозначений.

Краевую задачу (1.1) можно рассматривать при различных предположениях. Будем считать, что функции a, b, c, d не обраща ются в нуль на 12, а коэффициенты a, b, c, d и правая часть f урав нения (1.1) удовлетворяют условию Гельдера H (0 1).

Предположим, что функции a, b, c, d допускают следующую фак торизацию: существуют кусочно-аналитические функции ± (z1, z2 ), отличные от нуля в соответствующих областях и являющиеся ре шениями уравнений ++ (t1, t2 ) = a(t1, t2 ) (t1, t2 ), (1.2) + (t1, t2 ) = b(t1, t2 ) + (t1, t2 ), (1.3) + (t1, t2 ) = c(t1, t2 ) + (t1, t2 ), (1.4) (t1, t2 ) = d(t1, t2 ) ++ (t1, t2 ). (1.5) В общем случае нахождение решений ±± этих уравнений явля ется трудной задачей, однако в ряде случаев можно указать ее ре шение в замкнутой форме. Во-первых, если функции a, b, c, d имеют вид a(t1, t2 ) = a1 (t1 )a2 (t2 ), b(t1, t2 ) = b1 (t1 )b2 (t2 ), c(t1, t2 ) = c1 (t1 )c2 (t2 ), d(t1, t2 ) = d1 (t1 )d2 (t2 ), то указанные уравнения разрешимы в за мкнутой форме. Это следует из того, что каждое из этих уравне ний распадается на два одномерных уравнения. Для определенно сти остановимся на уравнении ++ (t1, t2 ) = a(t1, t2 ) (t1, t2 ). Это уравнение можно переписать в виде + (t1 ) + (t2 ) = a1 (t1 )a2 (t2 ) (t1 ) (t2 ), что эквивалентно двум уравнениям + (t1 ) = a1 (t1 ) (t1 ), + (t2 ) = a2 (t2 ) (t2 ).

Решения этих уравнений приведены в § 7 главы I.

Во-вторых, в монографии [88] показано, что факторизации:

1) A(t, ) = tp q x±± (t, )x± (t, ), 2) A(t, ) = tp q x±± (t, )x (t, ), 3) A(t, ) = tp q x±± (t, )x ± (t, ), имеют место тогда и только тогда, когда функция (t, ) = ln A0 (t, ) (A(t, ) = tp q A0 (t, )) удовлетворяет соответствующим условиям:

1) (I S1 ) = 0, 2) (I S2 ) = 0, 3) (I S12 ) = 0.

Здесь 1 (1, t2 ) 1 (t1, 2 ) S1 = d1, S2 = d2, i 1 1 t1 i 2 2 t 1 (1, 2 ) d1 d S12 =, 2 1 2 (1 t1 )(2 t2 ) p и q частные индексы функции A(t, ). Предполагается, что |A(t, )| 0.


Приведенные факторизации называются вырожденными, и они являются решениями уравнений (1.2) (1.5). Эти решения имеют вид ±± = exp P ±± ln A0 (t, ), где P ±± оператор проектирования на D ±±, удовлетворяющий условиям P ++ P + P + + P = I, P ++ + P + + P + + P = S12, P ++ P + + P + P = S, P ++ + P + P + P = S2.

Возвращаясь к уравнению (1.1), будем искать его приближенное решение в виде функций n n n kl tk tl kl tk tl k=0 l=n k=0 l= ++ (t1, t2 ) = + (t1, t2 ) =,, n n ++ (t 1, t2 ) + (t1, t2 ) 1 n 1 kl tk tl kl tk tl 12 k=n l=0 k=n l=n + (t1, t2 ) = (t1, t2 ) =,, n n + (t1, t2 ) (t1, t2 ) где ++, +,, +, соответственно, решения уравнений (1.2) (1.5). Коэффициенты {kl } этих уравнений определяются из системы линейных алгебраических уравнений Kn n = Pnn a++ + b+ + c+ + d = Pnn [f ], (1.6) n n n n t t где Pnn = Pn1 Pn2.

Обоснование описанной вычислительной схемы будем проводить в пространстве E функций, аналитических в соответствующих областях D ±± и удовлетворяющих по обеим переменным условию Гельдера H (0 ) с нормой |x(t1, t2 ) x(t1, t2 )| x(t1, t2 ) = max |x(t1, t2 )| + max sup + |t1 t1 | t1,t2 12 t2 2 t =t 1 |x(t1, t2 ) x(t1, t2 )| + max sup.

|t2 t2 | t1 1 t =t 2 Будем считать, что оператор K непрерывно обратим в E.

Теорема 1.1 [25], [28]. Пусть оператор K непрерывно обра тим в пространстве E, функции a, b, c, d не обращаются в нуль на контуре 12, удовлетворяют условию Гельдера H (0 1).

Пусть, кроме того, имеют место факторизации (1.2) (1.5). То гда при n таких, что q = An() ln2 n 1, система уравне ний (1.6) имеет единственное решение и справедлива оценка n An() ln2 n, где n решение уравнения (1.1).

Доказательство. Оценим величину Kn Kn n. Нетрудно видеть, что Kn Kn n a++ Pnn a++ + · · · + d Pnn d. (1.7) n n n Так как все слагаемые оцениваются одинаково, то остановимся на оценке первого. Заменяя a(t1, t2 ) отношением ++ (t1, t2 )/ (t1, t2 ), можно записать, что J = a++ Pnn a++ = ++ ( )1 ++ Pnn ++ ( )1 ++.

n n n n Обозначим через n полином наилучшего равномерного при ближения для функции ( )1, аналитической в области D.

Тогда n n n n kl tk tl kl tk tl + J = ( ) n 12 k=0 l=0 k=0 l= n n n n kl tk tl ( )1 kl tk tl.

+Pnn n 12 k=0 l=0 k=0 l= Известно, что Pnn A ln2 n, ( )1 n An(). То гда n n J = An() ln2 n kl tk tl An() ln2 n ++.

12 n k=0 l= Проведя аналогичные выкладки для остальных слагаемых, сто ящих в правой части неравенства (1.7), убеждаемся в справедли вости оценки Kn Kn n An() ln2 n n. Из этой оценки и теоремы Банаха следует обратимость слева оператора Kn. Так как оператор Kn – конечномерный, то обратимость слева влечет за собой двустороннюю обратимость. Теорема доказана.

Пусть функции a, b, c, d представимы в виде произведений a(t1, t2 ) = = a1 (t1 )a2 (t2 ),..., d(t1, t2 ) = d1 (t1 )d2 (t2 ). Тогда оценки, приведенные в предыдущей теореме, допускают усиление, если до полнительно предположить, что функции a, b, c, d имеют производ ные.

Предположим, что ai, bi, ci, di W r H, r 1, 0 1, i = = 1, 2. Тогда, повторяя рассуждения, приведенные при доказатель стве предыдущей теоремы, убеждаемся в справедливости следую щего утверждения.

Теорема 1.2 [25], [28]. Пусть оператор K непрерывно обратим в пространстве E, функции a, b, c, d не обращаются в нуль на кон туре 12 и представимы в виде a(t1, t2 ) = a1 (t1 )a2 (t2 ),..., d(t1, t2 ) = = d1 (t1 )d2 (t2 ), ai, bi, ci, di W r H, r 1, 0 1, i = 1, 2. Тогда при n таких, что q = Anr+ ln2 n 1, система уравнений (1.6) имеет единственное решение и справедлива оценка n n Anr+ ln2 n, где решение уравнения (1.1).

Аналогичным образом доказывается теорема 1.3.

Теорема 1.3 [25], [28]. Пусть выполнены условия теоремы 1.2, причем ai, bi, ci, di – функции, аналитические в кольце i |zi | Ri (i = 1, 2). Тогда при n таких, что q = A n+1 + Rn1 ln2 n ( = max(1, 2 ), R = min(R1, R2 )), система уравнений (1.6) имеет единственное решение и справедлива оценка Aq, n n где – решение уравнения (1.1).

Проведем теперь обоснование вычислительной схемы (1.6) в про странстве L2 (12 ) функций, суммируемых с квадратом. В этом слу чае будем предполагать, что коэффициенты и правая часть урав нения (1.1) являются непрерывными функциями.

Теорема 1.4 [25], [28]. Пусть оператор K непрерывно обратим в пространстве L2 (12 ), функции a, b, c, d, f C2 не обращаются в нуль на 12 и, кроме того, имеют место факторизации (1.2) (1.5).

Тогда при n таких, что q = A max (a, n1 ),..., (d, n1 ) 1, си стема уравнений (1.6) имеет единственное решение и справед- n лива оценка A max (a, n1 ),..., (d, n1 ), где n решение уравнения (1.1).

Доказательство. Методика доказательства точно такая же, как при доказательстве теоремы 1.1. Различие состоит лишь в оценках. Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что если f (t1, t2 ) является тригонометрическим полиномом степени не выше n по каждой переменной, то Pnn (f (t1, t2 )) = f (t1, t2 ).

Кроме того, если n полином наилучшего равномерного приближения функции, то |(t1, t2 ) n (t1, t2 )| A max t1 (t1, t2 );

n1, t2 (t1, t2 );

n1.

Воспользовавшись этими оценками и повторяя рассуждения, сделанные при доказательстве предыдущей теоремы, убеждаемся в справедливости следующих теорем.

Теорема 1.5 [25], [28]. Пусть оператор K непрерывно обратим в L2 (12 ), функции a, b, c, d не обращаются в нуль на 12, справедли во представление a(t1, t2 ) = a1 (t1 )a2 (t2 ),..., d(t1, t2 ) = d1 (t1 )d2 (t2 ), причем ai, bi, ci, di W r H (r 1, 0 1), i = 1, 2. Тогда при n таких, что q = Anr 1, система уравнений (1.6) имеет един ственное решение и справедлива оценка Anr, n n где – решение уравнения (1.1).

Теорема 1.6 [25], [28]. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы, и, кроме того, пусть функции ai, bi, ci, di аналитиче ские в кольце i |zi | Ri (i = 1, 2). Тогда при n таких, что q = A n+1 + Rn1 1, система (1.6) имеет единственное ре шение, причем A n+1 + Rn1, где решение n n уравнения (1.1), = max(1, 2 ), R = min(R1, R2 ).

2. Приближенное решение полисингулярных интегральных уравнений В этом параграфе для простоты обозначений будем рассма тривать бисингулярные интегральные уравнения. Полученные результаты легко распространяются на полисингулярные инте гральные уравнения любой конечной размерности.

2.1. Приближенное решение бисингулярных интегральных уравнений нормального типа Рассмотрим на контуре 12 = 1 2 бисингулярное интеграль ное уравнение Kx = a(t1, t2 )x(t1, t2 ) + b(t1, t2 )S12 (x(1, 2 ))+ +U12 [h(t1, t2, 1, 2 )x(1, 2 )] = f (t1, t2 ). (2.1) Воспользовавшись формулами Сохоцкого для бисингулярных интегралов, приведенных в § 7 введения, представим уравнение (2.1) в виде:

(a + b)++ (a b)+ (a b)+ + (a + b) + +U12 h(t1, t2, 1, 2 )(++ + + + + ) = f (t1, t2 ).

Будем считать, что функции (a + b), (a b) не обращаются в нуль на 12, принадлежат классу Гельдера H (0 1) и имеют частные индексы, равные нулю.

Разделим на (a + b) обе части предыдущего уравнения. В ре зультате получим уравнение ++ (a b)(a + b)1 + (a b)(a + b)1 + + + (a + b) U12 h(t1, t2, 1, 2 )(++ (1, 2 ) +... + (1, 2 )) = = f (t1, t2 )(a + b)1. (2.2) В монографии [88] доказана возможность представления (a b)(a + b)1 = ( + + )1 ++, ±± где ±± = exp ln (a b)(a + b)1.

Заменим в уравнении (2.2) функцию (a b)(a + b)1 выражением ( ++ )/ + +. В результате получим L = ( ++ )1 ++ ( + + )1 + ( + + )1 + + +( ++ )1 +( ++ (ab))1 U12 h(t1, t2, 1, 2 )(++ (1, 2 ) +...

... + (1, 2 ))d1, d2 = ++ (a + b)1 f (t1, t2 ). (2.3) Приближенное решение уравнения (2.3) будем искать в виде функций n n n ++ = ++ kl tk tl, + = + kl tk tl, n 12 n k=0 l=0 k=0 l=n (2.4) 1 n 1 + = + kl tk tl, = kl tk tl.

n 12 n k=n l=0 k=n l=n Коэффициенты {kl } определим из системы линейных алгебраи ческих уравнений Ln n Pnn [Ln ] = Pnn [f ]. (2.5) Обоснование вычислительной схемы (2.5) проводится в про странстве Е, введенном в предыдущем параграфе.

Теорема 2.1 [25], [28]. Пусть выполнены условия: 1) уравнение (2.1) однозначно разрешимо при любой правой части;

2) функ ции a, b, c, d, f удовлетворяют условию Гельдера H по ка ждой переменной;

3) коэффициенты a, b, c, d не обращаются в нуль на 12 и имеют равные нулю частные индексы. Тогда си стема уравнений (2.5) однозначно разрешима при n таких, что q = An() ln2 n 1, и справедлива в метрике пространства E оценка An() ln2 n, где и решения уравне n n ний (2.3) и (2.5), соответственно.

Теорема 2.2 [25], [28]. Пусть выполнены условия 1), 3) преды дущей теоремы, а функции a, b, h, f непрерывны. Тогда система уравнений (2.5) однозначно разрешима при n таких, что q = = A max (a, n1 ),..., (d, n1 ) 1, и в метрике L2 (12 ) справед лива оценка A max (a, n1 ),..., (d, n1 ), (f ;

n1 ), n где и - решения уравнений (2.3) и (2.5), соответственно.

n Доказательства теорем 2.1 и 2.2 аналогичны доказатель ству теоремы 1.4.

Замечание. Если функции a, b, h, f имеют большую гладкость, то справедливы оценки, аналогичные приведенным в теоремах 1.1, 1.4, 1.5, 1.6.

2.2. Приближенное решение бисингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях В этом разделе изложены результаты работы [50].

Рассмотрим бисингулярное интегральное уравнение вида b(t1, t2 ) x(1, t2 ) c(t1, t2 ) x(t1, 2 ) a(t1, t2 )x(t1, t2 ) + d1 + d2 + i 1 1 t1 i 2 2 t d(t1, t2 ) x(1, 2 ) + d1 d2 = f (t1, t2 ), (2.6) 2 1 2 (1 t1 )(2 t2 ) t1 1, t2 2.

Предположим, что a(t1, t2 ), b(t1, t2 ), c(t1, t2 ), d(t1, t2 ) H,, 1, 2 - единичные окружности на комплексных плоскостях z1 и z2.

Пользуясь преобразованием Гильберта, сведем уравнение (2.6) к уравнению с ядром Гильберта, которое для простоты обозначений запишем как 1 s a(s1, s2 )x(s1, s2 ) + b(s1, s2 ) x(1, s2 ) ctg d1 + 2 s +c(s1, s2 ) x(s1, 2 ) ctg d2 + 2 1 s 1 2 s +d(s1, s2 ) x(1, 2 ) ctgctg d1 d2 = f (s1, s2 ).

2 (2.7) Отметим, что все проведенные ниже рассуждения справедли вы и для более общих уравнений, включающих в левую часть и компактный интегральный оператор. Функции b(s1, s2 ), c(s1, s2 ), d(s1, s2 ) предполагаются такими, что выполнены приводимые ни же условия (2.16).

1 2 Выберем систему узлов vk = vk = vk = k/n, k = 0,..., 2n, vk = 2 = vk = vk = k/n + h, 0 h /2n, k = 0,..., 2n 1. Величина параметра h будет определена ниже.

Решение будем искать в виде полинома 2n1 2n xnn (s1, s2 ) = akl k (s1 )l (s2 ), k=0 l= где k (s) фундаментальные полиномы по узлам vk, k = 0, 1,..., 2n 1, 0, s = vl, l = k;

k (s) = 1, s = vk.

Заменим в уравнении (2.7) сингулярные интегралы кубатурны ми формулами. Пусть s1 [vi, vi+1 ), s2 [vj, vj+1 ). Тогда 2 1 v i x(1, s2 ) ctg d1 = vk+ 1 vi 2n = x(vk, vj ) ctg d1 + r1, (2.8) k=0,k=i1,i+1 vk 2 2 v j x(s1, 2 ) ctg d2 = vk+1 2 v j 2n = x(vi, vk ) ctg d2 + r2 ;

(2.9) k=0,k=j1,j+1 vk 2 2 2 vj 1 vi x(1, 2 ) ctg ctg d1 d2 = 2 vk+1 vl+1 2 vj 1 v i 2n1 2n x(vi, vl ) = ctg ctg d1 d2 + 2 k=0,k=i1,i+1 l=0,l=j1,j+1 vk vl +r3. (2.10) Для оценки погрешности квадратурных формул (2.8) и (2.9) вве дем прямые y1 (1 ) = x(vi, vj ) + k1 (1 vi ), y2 (2 ) = x(vi, vj ) + k2 (2 vj ), где коэффициенты k1 и k2 подбираются описанным в § 5 гл. III способом. Погрешность квадратурных формул (2.8) и (2.9) также была оценена в § 1.

Остановимся на оценке погрешности квадратурной формулы (2.10). Эта погрешность удовлетворяет неравенству vk+1 vl+ 2n1 2n (x(1, 2 ) x(vk, vl )) |r3 | k=0,k=i1,i+1 l=0,l=j1,j+1 vk vl 2 vj 1 vi ctg ctg d1 d2 + 2 2n1 vk+1 vl+ + (x(1, 2 ) il (1, 2 )) k=i1,i+1 l=0 vk vl 2 vj 1 vi ctg ctg d1 d2 + 2 vk+1 vl+ i2 2n + + (x(1, 2 ) kj (1, 2 )) l=j1,j+1 k=0 k=i+2 vk vl 2 vj 1 vi ctg ctg d1 d2 = r31 + r32 + r33.

2 Здесь il (1, 2 ) и kj (1, 2 ) поверхности такие, что vi vl+1 1 vi 2 vj il (1, 2 ) ctg ctg d1 d2 + 2 vi1 vl vi+2 vl+1 2 vj 1 v i + il (1, 2 ) ctg ctg d1 d2 = 0, (2.11) 2 vi+1 vl vk+1 vj 2 v j 1 vi kj (1, 2 ) ctg ctg d1 d2 + 2 vk vj vk+1 vj+2 1 vi 2 vj + kj (1, 2 ) ctg ctg d1 d2 = 0, (2.12) 2 vk vj+ и, кроме того, il (vi, vl ) = x(vi, vl ), l = 0, 1,..., 2n 1, (2.13) kj (vk, vj ) = x(vk, vj ), k = 0, 1,..., i 1, i + 2,..., 2n 1. (2.14) Нетрудно видеть, что такие поверхности существуют. В каче стве простейшего примера подобной поверхности, удовлетворяю щей условиям (2.11) и (2.13), возьмем y(1, 2 ) = x(vi, vl ) + kil ( vi ), где kil определяется формулой (2.11).

Аналогичное построение справедливо и для условий (2.12), (2.14).

Для получения оценок r31 r33 понадобятся следующие неравен ства [66, с. 90]:

|x(1, 2 )x(vi, vl )| A(|1 vi | +|2 vl | ) A(|1 vi ||2 vl |)/2, |il (1, 2 ) il (vi, vl )| kil |1 vi |.

Воспользовавшись этими замечаниями, нетрудно показать, что ln2 n ln n ln n ln n ln n r31 A, r32 A + Ak, r33 A + Ak, n n n n n где k = maxil |kil |.

Следовательно, ln2 n ln n r33 A + Ak.

n n Заменим теперь в уравнении (2.7) сингулярные и бисингуляр ные интегралы квадратурными формулами (2.8) (2.10) и к по лученному выражению применим метод коллокации. В результате имеем vk+1 1 vi 2n a(vi, vj )x(vi, vj ) + b(vi, vj ) x(vk, vj ) ctg d2 + k=0,k=i1,i+1 vk vk+1 2 vj 2n +c(vi, vj ) x(vi, vk ) ctg d2 + k=0,k=i1,i+1 vk vk+1 vl+1 1 vi 2 vj 2n1 2n x(vk, vl ) +d(vi, vj ) ctg ctg d = 2 k=0,k=i1,i+1 l=0,l=j1,j+1 vk vl = f (vi, vj ), i, j = 0, 1,..., 2n 1, (2.15) где d = d1 d2.

В случае если vj+ vi+1 2 vj 1 vi b(vi, vj ) ctg d1 + c(vi, vj ) ctg d2 + 2 vi vj vi+1 vj+1 2 v j 1 vi +d(vi, vj ) ctg ctg d1 d2 = 0 (2.16) 2 vi vj при i, j = 0, 1,..., 2n 1, то выбором параметра h можно добиться того, что система уравнений (2.15) будет однозначно разрешима.

Оценка погрешности приближенного решения уравнения (2.7) по вычислительной схеме (2.15) оценивается неравенством A ln n + n ln n Ak n. Справедливость этого неравенства доказывается по анало гии с доказательством, приведенным в § 5 гл. III. Отметим, что если в качестве функций kl и kl взять более сложные поверхно сти, то второе слагаемое в приведенной выше оценке погрешности можно уменьшить.

Замечание. Приведенные выше рассуждения можно распро странить и на бисингулярные интегральные уравнения вида 1 x(1, t2 ) x(t2, 2 ) a(t1, t2 )x(t1, t2 ) + b(t1, t2 ) d1 + c(t1, t2 ) d2 + 1 t1 2 t 1 1 1 x(1, 2 )d1 d +d(t1, t2 ) + h(t1, t2, 1, 2 )x(1, 2 )d1 d2 = (1 t1 )(2 t2 ) 1 1 = f (t1, t2 ).

При этом в качестве узлов коллокации следует взять узлы, вве денные в § 5 гл. III при исследовании приближенных методов реше ния сингулярных интегральных уравнений на разомкнутых конту рах интегрирования.

3. Приближенные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений Многомерные сингулярные интегральные уравнения вида (t, )x( ) a(t)x(t) + d = f (t), (3.1) (r(t, ))l E 1/ l (tk k ) где t = (t1,..., tl ), = (1,..., l ), r(t, ) =,= k= (t ), E некоторое мнообразие в Rl, находят широкое при = r(t, ) менение в многочисленных задачах математики, механики, аэро динамики и других областях физики и техники [85], [106], [121].

Несмотря на это, приближенные методы решения уравнений ви да (3.1) к настоящему времени практически не разработаны.

В данном параграфе описан метод приближенного решения уравнений вида (3.1) и более общих нелинейных сингулярных ин тегральных уравнений вида (t,, x( )) a(t, x(t)) + d = f (t), (3.2) (r(t, ))l E на произвольных многообразиях E Rl.

Результаты, включенные в этот параграф, опубликованы в ра ботах [47] [49].

3.1. Приближенное решение линейных многомерных сингулярных интегральных уравнений Рассмотрим двумерное сингулярное интегральное уравнение ()x( ) a(t)x(t) + b(t) d = f (t), (3.3) (r(t, )) G где G односвязное многообразие на плоскости E2. Будем счи тать, что функции a(t), b(t), f (t) и () удовлетворяют условию Гельдера с показателем (0 1) по всем переменным.

Ниже будет показано, что результаты, полученные для уравне ний вида (3.3), распространяются на уравнения вида (t, )x( ) a(t)x(t) + d = f (t). (3.4) (r(t, )) G Мы ограничиваемся двумерными сингулярными интегральны ми уравнениями только для простоты обозначений. Из проделан ных выкладок будет видно, что полученные результаты практи чески дословно распространяются на многомерные сингулярные интегральные уравнения любой конечной размерности.

Построим вычислительную схему приближенного решения урав нения (3.3) в предположении, что G квадрат [A, A]2, где A некоторое вещественное число. Ниже будут описаны изменения, которые необходимо ввести в вычислительную схему в случае, ко гда G произвольное односвязное многообразие. Покроем область G квадратами kl = [tk, tk+1 ;

tl, tl+1 ], k, l = 0, N + 1, где tk = A + 2Ak/(N + 2), k = 0, N + 2.

Наряду с квадратами kl, k, l = 0, N + 1, введем прямоугольни ки kl, k, l = 1, N, которые определяются следующим образом:

kl = kl при k = 2, N 1 и l = 2, N 1;

11 = 00 01 10 11 ;

1,N = 0,N 1,N 0,N +1 1,N +1 ;

N,1 = N,0 N +1,0 N,1 N +1,1 ;

N,N = N,N N,N +1 N +1,N N +1,N +1 ;

1,l = 0,l 1,l при l = 2, N 1;

N,l = N,l N +1,l при l = 2, N 1;

k,1 = k,0 k,1 при k = 2, N 1;

k,N = k,N kN +1 при k = 2, N 1.

Приближенное решение уравнения (3.3) будем искать в виде кусоч но-постоянной функции xN (t1, t2 ), равной константе xkl в квадрате kl, k, l = 1, N.

Неизвестные значения xkl определяются из системы линейных алгебраических уравнений N N a(tkl )xkl + dij (tkl )xij + xkl dkl (tkl ) = f (tkl ), k, l = 1, 2,..., N, i=1 j= (3.5) где означает суммирование по прямоугольникам ij, не име ющим общих граней с квадратом kl, tkl = (tk, tl ), kl = (k, l ), 2A tkl d h2 =, dij (tkl ) =, N r(tkl, ) r2 (tkl, ) ij tkl d dij (tkl ) =, t = (tk + h1, tl + h2 ), kl, ) r 2 (tkl, ) kl r(t ij величины h1 и h2 будут описаны ниже.

Покажем, что для широких классов ядер () параметры h1 и h2 могут быть выбраны таким образом, чтобы система уравнений (3.5) была однозначно разрешима. В качестве критерия однознач ной разрешимости системы уравнений (3.5) будем использовать теорему Адамара.

Вначале оценим сверху выражение N N N N dij (tkl ) Bh2 (tk tj )2 + (tl tj ) i=1 j=1 i=1 j= [ N ]+1 [ N ]+ 2 8Bh2 2 + t j=1 ti i=1 j [ N ]+1 [ N ]+ N 2 8Bh = (i2 + j 2 )4A i=1 j= [ N ]+1 [ N ]+ 1 2 = 8B DlnN. (3.6) i=1 j=1 i + j 2 Отметим, что здесь и далее для единообразия через B и D обо значаются различные константы (B1, B2,... D1, D2,...), возника ющие при оценках. Все эти константы не зависят от N и легко могут быть получены. Так как их численные значения нигде не используются, то оценки этих констант опускаются.

Таким образом, если обозначить через C матрицу системы урав нений (3.5), то из неравенства (3.6) следует, что N |cjk | D ln N, (3.7) k=0,k=j причем эта оценка не зависит от j, 1 j N 2.

Покажем теперь, что можно так подобрать параметры h1 и h2, что величина |dll (tll )| может быть сделана сколь угодно большой.

Известно [121] необходимое и достаточное условие существова tkl ния сингулярного интеграла, согласно которому ds = r(tkl, ) S 0, где S - единичная окружность с центром в точке tkl, которую про бегает точка. Так как криволинейный интеграл первого рода обращается в нуль, а функция () по предположению непрерыв на, то имеются по крайней мере две точки, в которых функция () обращается в нуль. Предположим для определенности, что функция () обращается в нуль в точках a1 и a2. Это означает, что имеются два отрезка прямых линий, соединяющих точку tkl с точками a1 и a2, на которых функция () обращается в нуль.

Так как характеристика () не зависит от полюса, то углы 1 и 2 между этими прямыми и осью O1 не зависят от местораспо ложения точки tkl. Положим для определенности 0 1 2.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.