авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 ||

«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ И.В. БОЙКОВ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Пенза ...»

-- [ Страница 6 ] --

Введем параметр h, где h достаточно малое положительное чи сло, величина которого будет описана ниже. В качестве точки tkl возьмем точку с координатами tkl = (tk, tl ), tk = tk + h, tl = tl+1 h, A h N. Тогда интеграл dkl (tkl ) можно представить следующим образом: tkl d kl t r(tkl, ) r2 (d, ) dkl (tkl ) = q1 + q2, tkl r(tkl, ) r2 (tkl, ) G1 где 0 - круг радиуса h с центром в точке tkl, G1 = kl \0.

Из теоремы 1.5 монографии [121] следует, что q2 = 0. Для упро щения описания выкладок, проводимых при оценке интеграла q1, обратимся к рисунку. При сделанном выше предположении о том, что характеристика обращается в нуль в двух точках, возможны два случая.

Вначале рассмотрим случай, представленный на рисунке 1.

.

Пусть a0 = tkl. Предположим для определенности, что функция () отрицательна внутри треугольника a0 a1 a2 и положительна в дополнении этого треугольника до квадрата kl. Из необходимо го и достаточного условия существования сингулярного интеграла следует, что интеграл по области, ограниченной круговым сегмен том 1 c хордой a2 a3 и дугой a2 a3, будет положительным. Обозна чим = kl \1, где kl прямоугольник a4 a8 a10 a11. Пусть S kl область a4 a5 a6 a7 a8 a9 a4.

Оценим снизу величину интеграла R R () ()d ()dd d = ln ()d.

r 2 (, tkl ) r2 (, tkl ) r r S kl (3.8) A Здесь r расстояние между точками a0 и a1, R = N.

Отметим, что при выводе предыдущего неравенства был сделан переход к полуокружности, отмеченной на рисунке 1 пунктирной b 0 a0 b0 a линией. Нетрудно видеть, что r = =, sin( 2 ) sin и так как угол 2 не равен, то за счет выбора h = b0 a0 величина r может быть сделана сколь угодно малой. Отметим, что в ситу ации, представленной на рисунке 1 tk = (tk + tk+1 )/2, tl = tl+1 h, если k = 0, N + 1 и l = 0, N + 1. Таким образом, за счет выбо ра h правую часть неравенства (3.8) можно сделать как угодно большой. Из полученных оценок нетрудно заметить, что A sin dkl (tkl ) D ln, (3.9) Nh где D некоторая вполне определенная положительная константа.

За счет выбора h всегда можно добиться того, чтобы величина dkl (tkl ) была как угодно большой и чтобы выполнялись условия теоремы Адамара. Таким образом, в случае, когда 2 1, доказана однозначная разрешимость системы (3.5).

Рассмотрим теперь случай, когда 2 1 =. Этот случай в наиболее сложном для исследования варианте, когда 1 = 0, представлен на рисунке 2.

Обозначим через 0 круг радиуса h c центром в точке a0 = tkl, а через 1 дополнение 0 до прямоугольника c1 c2 a2 a1. Из условия существования сингулярного интеграла следует, что интеграл по области 0 равен нулю. Оценим интеграл по области 1. При этом напомним, что функция () обращается в нуль на прямой a1 a2.

Будем для определенности считать, что внутри прямоугольника c1 c2 a2 a1 функция () отрицательна, а внутри прямоугольника a1 a2 d1 d2 - положительна.

Очевидно, что 1 k |() r(,at0 ), 0 |d d |()|d 2 tl B.

1 r 2 (, a ) r 2 (, a ) r(, a0 ) r2 (, a0 ) 0 1 Перепишем последний интеграл в более удобном виде, перенеся начало локальной системы координат в точку a0. Тогда h h |2 | d1 d2 B 2 2B d1 d2 + 2 2 1 + 2 2 2 (1 + 2 )1+/ 2 1 + 1 0 h A h 2N +2B d1 d2 = 2B(q1 + q2 ).

2 (1 + 2 )1+/ 0h Переходя к полярным координатам, получаем:

h h /4 / h h sin sin cos 2 d1 d2 sin q1 = = d d+ d d = 2 (1 + 2 )1+/2 0 0 / h h h2 /4 /2 / 1 1 = sin ln d + sin ln d ln d + sin cos sin 0 / / ln d.

cos / В силу симметричности подынтегральных функций оба инте грала равны между собой. Оценим, например, первый из них. По скольку 2 sin 1, то /4 /4 /4 / 1 1 ln d ln 2 d = ln d = ln ln d = sin 2 0 0 0 / = ln (ln 1) = ln ln = ln 2.

42 4244 Следовательно, q1 /2. Оценим второе слагаемое. Для этого A разобьем прямоугольник e1 c2 a2 e3 на m = квадратов и инте Nh грал по всему прямоугольнику представим как сумму интегралов 2 по каждому квадрату. Для первого квадрата 1 + 2 h, сле довательно, искомый интеграл в данном квадрате ограничен 1.

2 Для второго квадрата 1 + 2 2h, следовательно, искомый ин теграл в данном квадрате ограничен 1/4, и т.д. Таким образом, m q2. Последняя сумма представляет собой сумму геометри v=1 v ческой прогрессии с первым элементом b0, равным 1, и знаменате лем q, равным 1. Тогда b0 (q m 1) q2 = 2 1 m 2.

q1 |()|d Таким образом, интеграл ограничен некоторой кон 1 r (, a0 ) стантой B при любых значениях h. С другой стороны, по аналогии с выкладками, проведенными при рассмотрении первого случая, |()|d интеграл, r2 (, a0 ) kl kl = [d2, d1 ;

a1, a2 ], за счет выбора h может быть сделан как где угодно большим.

|()|d Для того, чтобы это доказать, оценим интеграл, r 2 (, a0 ) kl где kl прямоугольник b1 b2 d2 d1. Обозначим через kl область e2 e3 v1 v2. Нетрудно видеть, что A N 3h 4 |()|d |()|d |()|d R ln ()d, r 2 (, a0 ) r2 (, a0 ) r2 (, a0 ) 2h 0 2h kl kl A где R = 3h.

N Устремляя h к нулю, можно сделать рассматриваемый интеграл сколь угодно большим.

Таким образом, доказана однозначная разрешимость системы уравнений (3.5) в случае, если характеристики () обращаются в нуль на двух лучах, исходящих из полюса. Повторяя проделан ные выше выкладки, можно показать, что если характеристики () обращаются в нуль на конечном числе лучей, исходящих из полюса, то можно таким образом подобрать константы h1 и h2 (для каждого случая свой набор), чтобы система уравнений (3.5) была однозначно разрешима.

Исследуем точность приближенного решения x (t1, t2 ) уравне N ния (3.5).

Пусть x (t1, t2 ) точное решение уравнения (3.3). Приравняв обе части этого уравнения в узлах коллокации tkl, получаем то ждество:

1 tk 2 tl x ( ) r(,tkl ), r(,tkl ) N N a(tkl )x (tkl ) + d = f (tkl ), (3.10) r2 (, tkl ) i=1 j= ij k, l := 1, N.

Обозначим через KN оператор, описываемый системой (3.5) в пространстве RN 2, через K оператор, описываемый исходным уравнением (3.3), а через PN оператор, проецирующий про странство X = H (0 ) на кусочно-постоянные функции по узлам tkl, k, l := 1, N. Тогда x PN x = KN (KN (x PN x )) = N N KN (PN f 1 KN PN x ) = KN (PN Kx KN PN x ) = KN (PN Kx PN KPN x )+ +KN (PN KPN x PN KN PN x ).

Переходя к норме в пространстве RN 2, имеем:

||x PN x || DN + D||PN [KPN x KN PN x ]||. (3.11) N Оценим второе слагаемое в правой части неравенства. Так как ||PN || D, то достаточно оценить величину 1 tk 2 tl P x d.

I1 =, kl ) r(, tkl ) r 2 (, tkl ) N r(, t gkl Здесь gkl = [tk1, tk+2 ;

tl1, tl+2 ]\kl.

Выше отмечалось, что функция () обращается в нуль по крайней мере на двух отрезках прямых, выходящих из точки (tk, tl ). Пусть это будут сегменты KK1 и F F1 (см. рис. 3).

Введем функцию (x1, x2 ) H (M ) (0 1), такую, что (tkl ) = (PN x )(tkl ) и 1 tk 2 tl (1, 2 ), d1 d2 = 0.

r(, tkl ) r(, tkl ) r 2 (, tkl ) g kl Существование такой функции следует из того, что характери стика () обращается в нуль на двух лучах, исходящих из точки tkl. Наметим построение этой функции. Обозначим через OF2 и OF3 биссектрисы острого и тупого углов KOF, соответственно.

На биссектрисе OF2 построим функцию z1 = u1 (x1, x2 ), которая описывает отрезок прямой, проходящей через точку O и образую щей с биссектрисой OF2 угол 1. Внутри острого угла KOF по строим кусочно-линейную поверхность, проходящую через прямые OK, OF2 и OF. Аналогичное построение проведем внутри тупого угла KOF, но в этом случае угол наклона прямой z2 = u2 (x1, x2 ) обозначим через 2.

Нетрудно видеть, что выбором величин углов 1 и 2 все гда можно добиться выполнения равенства (3.11). Полученная в результате этого построения поверхность описывается функцией (x1, x2 ), определенной в области gkl. Нетрудно видеть, что функ ция (x1, x2 ) принадлежит классу Гельдера H (M ) с константой M, определяемой коэффициентами 1 и 2.

Тогда 1 t k 2 t l (P x (1, 2 ))d1 d, kl ) r(, tkl ) r2 (, tkl ) N r(, t gkl tk 2 tl 1 (|(PN x )(1, 2 ) (PN x )(tkl )|+, kl ) r(, tkl ) r2 (, tkl ) r(, t gkl d1 d2 BM +|(1, 2 ) (tkl )|)d1 d2 BM1 /2. (3.12) r 2/2 (, tkl ) N gkl Таким образом, из оценок (3.11) (3.12) следует, что ||x x || ||x PN x || + ||PN x x || BM N /2.

N N Здесь использовалась оценка ||x PN x || AN, которая сле дует из того, что x H. Это включение при условии, что () и f (x) принадлежат классу функций Гельдера H (0 1), доказано в [121].

Таким образом доказано следующее утверждение.

Теорема 3.1 [47] [49]. Пусть оператор K непрерывно обра тим, функции () и f (x) принадлежат классу H (0 1), характеристика () обращается в нуль на двух отрезках, выхо дящих из полюса. Тогда существует такое h (одно и то же для всех прямоугольников kl, k, l = 1, N, используемых в вычислительной схеме (3.5)), что система уравнений (3.5) однозначно разрешима и справедлива оценка ||x x || AM N /2, N где x и x решения уравнений (3.3) и (3.5), соответственно.

N Обобщим теорему 3.1 на случай более общих сингулярных ин тегральных уравнений.

Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение (3.4), у кото рого характеристика () обращается в нуль на конечном числе лучей, выходящих из полюса. Из теоремы о необходимом и доста точном условии существования сингулярного интеграла [121] сле дует, что ()dS = 0, где S единичная окружность, которую S пробегает точка. Поэтому при любом числе лучей, на которых функция () обращается в нуль, можно таким образом разме стить полюс функции () в квадрате kl, чтобы ()d = 0.

kl После этого выбором величины h можно добиться того, чтобы эле менты главной диагонали матрицы левой части системы (3.5) бы ли преобладающими и были выполнены условия теоремы Адама ра.

Рассмотрим теперь способы построения вычислительной схемы уравнения (3.4) в случае, когда характеристика (t, ) зависит от t. Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение (t, )x( ) a(t)x(t) + d = f (t) (3.13) (r(t, )) Как и при исследовании приближенных методов решения урав нения (3.4), ограничимся предположением, что = [A, A]2. По кроем область квадратами kl, построение которых было опи сано выше.

Приближенное решение уравнения (3.13) будем искать в виде кусочно-постоянной функции xN (t1, t2 ), равной xkl в прямоуголь нике kl. В каждом квадрате kl выберем точку tkl такую, что 1 tk, 2 tl d tkl ;

r(, tkl ) r(, tkl ) r2 (, tkl ) kl 1 tk, 2 tl d N 1 N tkl ;

.

r(, tkl ) r(, tkl ) r2 (, tkl ) i=0 j=0 ij Здесь означает суммирование по (i, j) = (k, l).

Если такие точки tkl существуют для каждого k, l, k, l = 0, N, то возьмем их в качестве узлов коллокации. В результате получаем вычислительную схему 1 tk, 2 tl d + N N a(tkl )xkl + xij tkl ;

r(, tkl ) r(, tkl ) r2 (, tkl ) i=1 j=1 ij 1 tk, 2 tl d +xkl tkl ;

= f (tkl ), k, l = 1, 2,..., N.

r(, tkl ) r(, tkl ) r 2 (, tkl ) kl (3.14) Здесь означает суммирование по квадратам ij, не совпа дающим и не соприкасающимся с квадратом kl.

Сходимость вычислительной схемы (3.14) обосновывается ана логично обоснованию вычислительной схемы (3.5).

Рассмотрим теперь изменения, которые необходимо внести в вы числительную схему в случае, когда область G не является ква дратом. Для простоты обозначений ограничимся случаем, когда символ сингулярного интеграла не зависит от полюса.

Введем параметр H и покроем область G квадратами со сторо ной H. Назовем квадрат внутренним, если расстояние между этим квадратом и границей области G не меньше H. Квадраты, не удовлетворяющие этому условию, назовем граничными.

Пронумеруем в каком-нибудь порядке все граничные квадраты натуральными числами от 1 до m. Пересечение j-го граничного квадрата с областью G обозначим через gj, j = 1, m.

Пронумеруем в каком-нибудь порядке все внутренние квадраты натуральными числами от 1 до N и обозначим их через k, k = = 1, N. Построим покрытие области G более мелкими областями, k = 1, N, которые определяются следующим образом: = k, k k если пересечение области k с областями gj пусто, и является k объединением области k с теми из областей gj, которые имеют непустое пересечение с k. Отметим, что каждая из областей gj, j = 1, m, может входить только в одну из областей, k = 1, N.

k Покрытие области G областями проиллюстрировано на рис. 4.

k При этом, естественно, возможна неоднозначность в определе нии областей, k = 1, N. Из рис. 4 видно, что в качестве обла k сти можно взять область 1 g20 или 1 g1 g20 g19. Способ построения областей, k = 1, N, как будет видно из дальнейших k рассуждений, не влияет ни на построение вычислительной схемы, ни на оценки сходимости приближенного метода.

Внутренние квадраты назовем отмеченными, если они гра k ничат только с внутренними квадратами. Пусть общее число от меченных квадратов равно N. Будем обозначать отмеченные ква драты через отм, k = 1, N. Неотмеченные внутренние квадраты k будем обозначать через н, j = 1, m. Очевидно, что каждый неот j меченный квадрат н входит в множество, j = 1, m.

j j Введем еще одно обозначение. Пусть имеется m отмеченных квадратов отм, j = 1, m, имеющих общие ребра с неотмеченны j ми квадратами. Эти отмеченные квадраты обозначим через отм, j j = 1, m. Построим объединение квадратов отм с областями j l, l = 1, m. В результате построения получаем m областей j, j = 1, m. Каждая из областей j является объединением одного квадрата отм, j = 1, m и одной или нескольких областей, j k отм общие ребра.

k = 1, m, имеющих с j Из рисунка 4 видно, что область 1 определяется формулой 1 = 1 2 5 6 7 g18... g1.

Аналогичным образом определяются остальные области j, j = 2, m. Для простоты обозначений оставшиеся отмеченные ква драты k обозначим через k. Таким образом, область G покрыта областями k, k = 1, N.

Приближенное решение уравнения (3.3) будем искать в виде кусоч но-постоянной функции x(t1, t2 ), равной xk в областях k, k = 1, N. Неизвестные xk определяются из системы линейных алге браических уравнений N a(Mk )k + dk (Mk )k + x x dj (Mk )j = f (Mk ), x k = 1, N, j=1 v 1 wk 2 d1 d k где dk (Mk ) =,, r(Mk, ) r(Mk, ) r 2 (Mk, ) отм k 1 wk 2 d1 d v k dj (Mk ) =,, r(Mk, ) r(Mk, ) r 2 (Mk, ) j Mk = (vk, wk ), k = 1, N, отм отмеченный квадрат, входящий в k область k, означает суммирование по областям j, не имею щим пересечения с областью k, k = 1, N.

Выбор точек Mk, k = 1, N, и обоснование вычислительной схе мы проводятся по методике, изложенной выше при доказательстве теоремы 3.1.

3.2. Приближенное решение нелинейных многомерных сингулярных интегральных уравнений В этом параграфе излагаются результаты статьи [49], посвя щенной построению и обосновыванию проекционных методов ре шения уравнений вида (3.2). Для простоты обозначений будем счи тать, что E = G = [A, A]2.

Уравнение (3.2) будем рассматривать в предположении, что функция a(t, x) имеет вторую частную производную по второй пе ременной, а функция (t,, x) имеет вторую частную производную по третьей переменной, причем эти производные по всем перемен ным удовлетворяют условию Гельдера с показателем, 0 1.

Исследовать данное уравнение будем в банаховом пространстве X функций x(t1,..., tl ), удовлетворяющих условию Гельдера с по казателем (0 ) по каждой переменной. Норма в про странстве X вводится формулой |x(t) x( )| ||x(t1,..., tl )|| = max |x(t1,..., tl )| + sup, r(t, )=0 (r(t, )) tG 1/ где t = (t1,..., tl ), = (1,..., l ), r(t, ) = (t1 1 )2 +... + (tl l )2.

Можно показать, что при выполнении приведенных выше усло вий производная Фреше оператора K(x) в точке x0 равна 3 (t,, x0 ( ))z( ) K (x0 )z a2 (t, x0 (t))z(t) + d, rl (t, ) G где через a2 (t, u) и 3 (t,, u) обозначены, соответственно, про изводные по второй и третьей переменной функций a2 (t, u) и 3 (t,, u).

Предположим, что на начальном элементе x0 оператор K (x0 ) непрерывно обратим в пространстве X. Приближенное решение уравнения (3.2) будем искать по итерационной схеме xn+1 = xn [K (x0 )]1 K(xn ). (3.15) Из теоремы 6.7 введения следует, что при достаточно хорошем начальном приближении итерационный процесс (3.15) сходится к решению x (t) уравнения (3.2).

Поскольку практическое применение итерационного процесса (3.15) затруднительно, возникает необходимость в построении эф фективной вычислительной схемы. Для простоты обозначений бу дем полагать l = 2.

Будем искать приближенное решение уравнения (3.2) в виде кусочно-постоянной функции xN (t1, t2 ), построение которой описа но в предыдущем параграфе. При этом используются обозначения предыдущего параграфа. Значения xkl находятся из системы не линейных алгебраических уравнений N 1 N a(tkl, xkl ) + dij (tkl ) = f (tkl ), k, l = 2, N 1, (3.16) i=2 j= tkl, xij d где tkl = (tk, tl ), h = 2A, dij (tkl ) = tkl,, N r(tkl, ) r 2 (tkl, ) ij 1, tl + h2 ), способ определения величин h1 и h2 будет tkl = (tk + h описан ниже. Матрицу, описывающую левую часть системы (3.16), обозначим через KN.

В пространстве RM, M = (N 2)2, вычислим производную Фре ше оператора KN в начальном значении x0 = {x0 }, i, j = 2, N 1. ij Нетрудно видеть, что эта производная равна N 1 N kl a2 (tkl, x0 )zkl + d0 (tkl )zij, k, l = 2, N 1, ij i=2 j= (3.17) tkl 0 d где d0 (tkl ) = 3 tkl,, xij 2.

ij r(tkl, ) r (tkl, ) ij Cистема уравнений (3.16) в операторной форме записывается уравнением KN (xN ) = fN. Производную Фреше (3.17) оператора KN (xN ) в точке x0 обозначим через KN (x0 )zN. Наряду с операто ром KN (x0 )zN введем оператор KN (x0 )zN, который определяется выражением N 1 N kl a2 (tkl, x0 )zkl + d (tkl )zij + d (tkl )zkl, k, l = 2, N 2, ij kl i=2 j= (3.18) означает суммирование по прямоугольникам ij, не Здесь имеющим общих граней с квадратом kl, tkl 0 d d (tkl ) = 3 tkl,, xij 2, ij r(tkl, ) r (tkl, ) ij tkl 0 d d (tkl ) = 3 tkl,, xij 2.

ij r(tkl, ) r (tkl, ) ij В предыдущем параграфе было показано, что можно таким образом выбрать значения h1 и h2, что оператор KN (x0 ) будет не прерывно обратим в RM. При этом h1 и h2 можно выбрать таким 0 образом, что ||[KN (x )] ||RM будет достаточно мала.

Систему уравнений (3.16) будем решать модифицированным ме тодом Ньютона Канторовича xm+1 = xm [KN (x0 )]1 KN xm. (3.19) N N N Здесь xm = {xm }, k, l = 2, N 1.

N kl Для доказательства сходимости итерационной схемы (3.19) вос пользуемся теоремой 6.8, приведенной во введении. Для этого в метрике пространства RM оценим норму KN xm KN xm1 = KN (xN + (xm xm1 ))(xm xN ) m1 m N N N N N KN (xm1 + (xm xm1 )) xm xN. m N N N N Если все последовательные приближения xm, m = 0, 1,..., не N выходят из сферы S(x0, r) с центром в точке x0 и радиусом r, N то, как следует из выражения (3.17) производной Фреше, для лю бого u S(x0, r) выполняется ||KN (u)|| L, 0 L. По N вторяя рассуждения, приведенные в предыдущем параграфе, мож но показать, что ||K (u1 ) K (u2 )|| L1 (N + ||u1 u2 ||) для всех u1, u2 S(xN, r). Поэтому при достаточно хорошем началь ном приближении и достаточно большом N выполнены все усло вия теоремы 3.2 и итерационный процесс сходится к решению x N уравнения KN xN = fN.

Оценим близость решения x уравнения (3.2) и решения x N уравнения KN xN = fN. Предположим, что решение x уравнения (3.2) принадлежит классу Гельдера H, 0 1. Обозначим через x наилучшее приближение функции x (t) кусочно- посто N янными функциями.

Тогда ||x (t) x (t)|| AN.

N Очевидно, ||KN ( (t))||RM = xN tkl d NN kl = max a(tkl, x ) + tkl,, xij f (tkl ) r(tkl, ) r (tkl, ) k,l i=1 j=1 ij tkl d N N kl kl a(t, x ) max + tkl,, xij f (tkl ) r(tkl, ) r (tkl, ) k,l i=1 j= ij tkl d N N a(tkl, x ) + tkl,,x f (tkl ) r(tkl, ) r2 (tkl, ) i=1 j= ij L max || x ||kl ALN.

xkl k,l Поэтому, выбрав xN в качестве начального приближения в ите рационном процессе (3.19), имеем ||KN ( )|| ALN и ||x xN N xN || AN, где x решение уравнения KN xN = fN. Следовательно, N ||x x || ||x x || + || x || AN.

N xN N N Таким образом, доказано, следующее утверждение.

Теорема 3.2. Пусть выполнены следующие условия:

1) в уравнении (3.2) функции a2 (t, x), 3 (t,, x), f (t) удовлетворя ют условию Гельдера с показателем ;

2) уравнение (3.2) имеет единственное решение x в некоторой сфе ре S(x, r);

3) функция (t,, x) явным образом не зависит от t и в некоторой окрестности точки x имеет конечное число прямых, на которых она обращается в нуль.

Тогда система (3.16) в сфере S(x, r) имеет единственное реше ние x, к которому сходится модифицированный метод Ньютона N Канторовича, причем справедлива оценка ||x x || AN.

N Замечание. Эта теорема распространяется и на общие урав нения вида (3.2) при условии, что можно таким образом выбрать точки tkl, чтобы оператор (3.17) был обратим.

4. Приближенное решение бисингулярных интегральных уравнений методом дискретных особенностей 4.1. Приближенное решение линейных бисингулярных интегральных уравнений Рассмотрим бисингулярное интегральное уравнение x(1, t2 ) Kx a(t1, t2 )x(t1, t2 ) + b(t1, t2 ) d1 + 1 t 1 1 x(t1, 2 ) x(1, 2 ) +c(t1, t2 ) d2 + d(t1, t2 ) d1 d2 + 2 t 2 (1 t1 )(2 t2 ) 1 1 1 + h(t1, t2, 1, 2 )x(1, 2 )d1 d2 = f (t1, t2 ), (4.1) 1 где a, b, c, d, h, f функции, имеющие производные до r-го порядка по всем переменным.

Полученные ниже результаты легко распространяются на урав нение любой конечной размерности.

Разделим область = [1, 1]2 на n2 частей kl = [tk, tk+1 ;

tl, tl+1 ], где tk = 1+2k/n, k = 0, 1,..., n. В каждом квадрате kl построим полином Lr (f, kl ), интерполирующий функцию f (t1, t2 ) на сетке узлов (tk, tl ), где tk = tk + (tk+1 tk )i/(r + 1), i = 1, 2,..., r, k, l = ij i = 0, 1,..., n 1. Полином Lr (f, kl ) имеет вид r r f (tk, tl )ki (t1 )lj (t2 ), Lr (f, kl ) = ij i=1 j= где ki (t1 ) и lj (t2 ) фундаментальные полиномы по узлам tk и i l tj, соответственно.

Сплайн, составленный из полиномов Lr (f, kl ), k, l = 0, 1,..., n 1, обозначим через fnn (t1, t2 ).

Каждой точке tk поставим в соответствие сегмент i = [tk i k i qh, tk +h ]. Каждому узлу M kl = (tk, tl ) поставим в соответствие i ij ij прямоугольник kl = [ti qh, ti +h ;

tj qh, tl +h ], где h (0 h k k l j h/(r+1)) и q параметры, выбор которых описан ниже, h = 2/n.

Приближенное решение уравнения (4.1) будем искать в виде сплайна xnn (t1, t2 ), составленного из полиномов Lr (x, kl ) со зна чениями xkl = x(tk, tl ), k, l = 0, 1,..., n 1, i, j = 1, 2,..., r, тре ij ij бующими определения. Значения xkl определяются из системы ли ij нейных алгебраических уравнений xnn (1, tl ) xn (tk, 2 ) j i a(tk, tl )xkl b(tk, tl ) kl + k d1 + c(ti, tj ) d2 + i j ij ij 2 tl 1 t i j i j k l xnn (1, tl ) xn (1, 2 )d1 d2 n j +d(tk, tl ) + b(tk, tl ) k d1 + ij ij (1 tk )(2 tl ) 1 ti k1 = i j k ij kl xnn (tk, 2 ) xnn (1, 2 )d1 d n1 n1 n i +c(tk, tl ) kl d2 +d(ti, tj ) + ij 2 tl (1 tk )(2 tl ) l1 =0 l k1 =0 l1 =0 k l j i j 1 n1 n h(tk, tl, 1, 2 )xnn (1, 2 )d1 d2 = f (tk, tl ), + (4.2) ij ij k1 =0 l1 =0k 1 l i, j = 1, 2,..., r, k, l = 0, 1,..., n 1.

Здесь k1 означает суммирование по k1 = k 1, k, k + 1, l означает суммирование по l1 = l 1, l, l + 1.

Все используемые в вычислительной схеме (4.2) интегралы вы числяются по кубатурным формулам [27], [34]. Как будет видно из дальнейших рассуждений, замена интегралов кубатурными фор мулами не оказывает существенного влияния на быстроту сходи мости. В точках tk и tl фундаментальные полиномы ki (tk ) и lj (tl ) i j i j равны единице. Можно выбрать такое h, что в h окрестности то чек tk и tl нет других узлов фундаментальных полиномов.

i j В системе уравнений (4.2) элементы, стоящие на главной диа гонали, имеют вид ki (1 ) ij = a(tk, tl ) + b(tk, tl ) kl d1 + ij ij 1 tki i k lj (2 ) ki (1 )lj (2 )d1 d +c(tk, tl ) kl l d2 + d(ti, tj ) + ij (1 tk )(2 tl ) 2 tj i j j ij l kl h(tk, tl, 1, 2 )ki (1 )lj (2 )d1 d2.

+ (4.3) ij kl Если, по крайней мере, одно из значений b(tk, tl ), c(tk, tl ), d(tk, tl ) ij ij ij отлично от нуля, то за счет выбора параметров q и h можно до kl биться того, что число ij будет как угодно велико. Отметим, что если знаки слагаемых в выражении ij различны и слагаемые ”по гашают” друг друга, то каждому узлу tk и tl можно поставить в i j соответствие сегменты [qi hi + ti, ti + hi ] и [qj hl + tl, tl + hl ], kk kk k l j jj j i, j = 1, 2,..., r, k, l = = 0, 1,..., n 1. При этом прямоугольник ij можно определить kl qk i i i i ij независимо от описанных выше сегментов, kl = [i hk +tk, tk +hk ;

ql j j hl + tl, tl + hl ], i, j = 1, 2,..., r, k, l = 0, 1,..., n 1.

jj j Повторяя проведенные выше выкладки, можно показать, что в каждой строке матрицы G сумма модулей всех элементов, за ис ключением элемента, стоящего на главной диагонали, не превос ходит величины порядка ln2 n. Следовательно, можно выбрать па раметры qi, qj, hk, hl (а в случае необходимости и параметры qi, k l k i j l i j qj, hk, hl ) таким образом, чтобы система уравнений (4.2) была однозначно разрешима в силу теоремы Адамара об обратимости матриц.

После того, как установлена однозначная разрешимость систе мы уравнений (4.2), близость точного решения уравнения (4.1) и приближенного решения xnn (t1, t2 ) оценивается по аналогии с рас суждениями, проведенными в §7 главы III и в §2 данной главы.

4.2. Приближенное решение нелинейных бисингулярных интегральных уравнений В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением характери стического бисингулярного интегрального уравнения b(t1, t2, x(1, t2 )) Kx a(t1, t2, x(t1, t2 )) + d1 + 1 t 1 c(t1, t2, x(t1, 2 )) d(t1, t2, x(1, 2 )) + d2 + d1 d2 = 2 t1 (1 t1 )(2 t2 ) 1 1 = f (t1, t2 ), (4.4) так как отсутствие компактного оператора не влияет на общность рассуждений. Здесь a, b, c, d, f функции, имеющие производные до r-го порядка по всем переменным.

Будем считать, что в пространстве X существует сфера S(x, ) с центром в точке x и радиусом, в которой существует един ственное решение x уравнения (4.4).

Приближенное решение уравнения (4.4) будем искать в виде сплайна xnn (t1, t2 ). описание которого приведено в предыдущем пункте.

Обозначим через Pnn оператор, проектирующий пространство непрерывных функций C([1, 1]2 ) на множество упомянутых выше локальных сплайнов: Pnn f = fnn.

Тогда метод коллокации для уравнения (4.4) имеет вид b(t1, t2, xnn (1, t2 )) Pnn 1, t2, xnn (t1, t2 )) Knn xnn + d1 + a(t 1 t 1 1 c(t1, t2, xnn (t1, 2 )) d(t1, t2, xnn (1, 2 )) d1 d2 = + d2 + 2 t1 (1 t1 )(2 t2 ) 1 1 = Pnn [f (t1, t2 )]. (4.5) Систему уравнений (4.5) решаем модифицированным методом Ньютона Канторовича. Обоснование этого метода для бо лее сложных многомерных сингулярных интегральных уравнений приведено в следующем параграфе.

5. Приближенное решение многомерных сингулярных интегральных уравнений методом дискретных особенностей 5.1. Приближенное решение линейных уравнений Рассмотрим многомерное сингулярное интегральное уравнение ()x( ) a(t)x(t) + b(t) d = f (t), (5.1) r 2 (t, ) G где G односвязное многообразие на плоскости E2. Будем счи тать, что функции a, b, f, имеют производные до r-го порядка по всем переменным.

Результаты, полученные для уравнений вида (5.1), распростра няются на уравнения вида (t, )x( ) a(t)x(t) + d = f (t). (5.2) (r(t, )) G Необходимо отметить, что мы ограничиваемся двумерными сингулярными интегральными уравнениями только для простоты обозначений. Из проделанных выкладок будет видно, что полу ченные результаты практически идентично распространяются на многомерные сингулярные интегральные уравнения любой конеч ной размерности.

Построим вычислительную схему приближенного решения урав нения (5.1) в предположении, что G квадрат [A, A]2, где A некоторое вещественное число.

Покроем область G квадратами k kl = [tk, tk+1 ;

tl, tl+1 ], k, l = 0, N + 1, tk = A + 2A,k= N + 0, N + 2.

Наряду с квадратами kl, k, l = 0, N + 1, введем прямоугольни ки kl, k, l = 1, N, которые определяются следующим образом:

kl = kl при k = 2, N 1 и l = 2, N 1;

11 = 00 01 10 11 ;

1,N = 0,N 1,N 0,N +1 1,N +1 ;

N,1 = N,0 N +1,0 N,1 N +1,1 ;

N,N = N,N N,N +1 N +1,N N +1,N +1 ;

1,l = 0,l 1,l при l = 2, N 1;

N,l = N,l N +1,l при l = 2, N 1;

k,1 = k,0 k,1 при k = 2, N 1;

k,N = k,N k,N +1 при k = 2, N 1.

Приближенное решение уравнения (5.1) будем искать в виде кусочно-полиномиальной функции xnn (t1, t2 ).

Построение сплайна xnn (t1, t2 ) описано в предыдущем парагра фе.

Каждому узлу xkl сплайна xN (t1, t2 ) поставим в соответствие ij прямоугольник ij = [tk q1 h, tk + h;

tl q2 h, tl + h], где h kl i i j j 2A/(rN ), q1, q2 параметры, величины которых будут определе ны ниже.

Значения xkl, i, j = 1, 2,..., r, k, l = 1, 2,..., N, определяются из ij системы линейных алгебраических уравнений 2 tl tk j xnn (1, 2 ) 1 i akl xkl + bkl kl, kl d1 d2 + ij ij ij kl r(, Mij ) r(, Mij ) r2 (, Mij ) ij kl 2 tl tk j xnn (1, 2 ) N N 1 i kl kl +bij kl ), r(, M kl ) r 2 (, M kl ) d1 d2 = fij, r(, Mij k1 =1 l1 =1 kl ij ij (5.3) i, j = 1, 2,..., r, k, l = 1, 2,..., N, где Mij = (tk, tl ), akl = a(Mij ), bkl = b(Mij ), fij = f (Mij ), i, j = kl kl kl kl kl ij ij ij = 1, 2,..., r, k, l = 1, 2,..., N, означает суммирование по зна k1 l чениям (k1, l1 ) = (k + v, l + w), где v, w = 1, 0, 1.

Несколько изменяя рассуждения, проведенные в § 3, можно по казать, что если характеристика () обращается в нуль на ко нечном числе лучей, исходящих из начала координат, то выбором параметров q1, q2, h можно добиться, чтобы интеграл 2 tl kl tk j ij (1, 2 ) 1 i kl, kl d1 d kl r(, Mij ) r(, Mij ) r 2 (, Mij ) ij kl был как угодно большим.

Повторяя рассуждения, приведенные выше, можно показать, что выбором параметров q1, q2, h можно добиться того, что для систе мы уравнений (5.3) выполнены условия теоремы Адамара о раз решимости линейных систем уравнений. После того, как доказа на однозначная разрешимость системы уравнений (5.3), близость точного решения x(t1, t2 ) уравнения (5.1) и приближенного реше ния xnn (t1, t2 ) оценивается на основании рассуждений, неоднократ но проведенных выше.

5.2. Приближенное решение нелинейных уравнений Рассмотрим нелинейное уравнение ()b(t,, x( )) a(t)x(t) + d = f (t). (5.4) r 2 (t, ) G Пусть уравнение (5.4) имеет единственное решение x (t), t = (t1, t2 ) в некоторой сфере S(x, ). Как и в предыдущем пункте, для простоты обозначений ограничиваемся двумерными уравне ниями с символом, не зависящим от t. Из приведенных рассужде ний следует, что все полученные результаты распространяются на уравнения вида (5.2).

Будем считать, что коэффициенты, характеристика и правая часть уравнения (5.4) имеют производные до r порядка по всем аргументам.

Введем пространство X функций x(t1, t2 ), удовлетворяющих условию Гельдера с показателем, 0 1, по каждой пере менной. Норма в пространстве X определяется формулой |x(t1, t2 ) x(t1, t2 )| x(t1, t2 ) = max |x(t1, t2 )| + max sup + |t1 t1 | t1,t2 12 t2 2 t =t 1 |x(t1, t2 ) x(t1, t2 )| + max sup.

|t2 t2 | t1 1 t =t 2 Через Xn обозначим подпространство пространства X, состо ящее из сплайнов xnn (t1, t2 ), описание которых приведено в пре дыдущем пункте, а через Pn обозначим оператор, проектирующий пространство непрерывных функций C([A, A]2 ) на множество ло кальных сплайнов: Pn f = fnn.

Приближенное решение уравнения (5.4) будем искать в виде ло кального сплайна xnn (t1, t2 ) со значениями xkl, которые определя ij ются из системы алгебраических уравнений 2 t l kl tk j b(Mij, 1, 2, xnn (1, 2 )) 1 i akl xkl + kl, d1 d2 + ij ij kl kl r(, Mij ) r(, Mij ) r2 (, Mij ) ij kl 2 tl kl tk j b(Mij, 1, 2, xnn (1, 2 )) N N 1 i +bkl kl, d1 d2 = ij kl kl r(, Mij ) r(, Mij ) r 2 (, Mij ) k1 =1 l1 =1 kl kl = fij, (5.5) i, j = 1, 2,..., r, k, l = 1, 2,..., N, где Mij = (tk, tl ), akl = a(Mij ), fij = f (Mij ), i, j = 1, 2,..., r, k, l = kl kl kl kl ij ij = 1, 2,..., N, означает суммирование по значениям (k1, l1 ) = k1 l (k + +v, l + w), где v, w = 1, 0, 1.

Можно показать, что производная Фреше оператора Kx равна ()b3 (t,, z( ))x( ) K (z)x a(t)x(t) + d, r 2 (t, ) G где b3 (t,, u) = b(0,0,1) (t,, u).

Будем считать, что этот оператор непрерывно обратим в метри ке пространства X при z, принадлежащих сфере S(x, ), 0.

Введем оператор 2 t l kl tk j b3 (Mij,, z( ))xnn ( ) 1 i akl xkl + Knn (z)x kl, d + ij ij kl kl r(, Mij ) r(, Mij ) r2 (, Mij ) ij kl 2 tl kl tk j b3 (Mij,, z( ))xnn ( )d N N 1 i +,, kl kl kl r(, Mij ) r(, Mij ) r2 (, Mij ) k1 =1 l1 =1 kl (5.6) i, j = 1, 2,..., r, k, l = 1, 2,..., N.

Повторяя рассуждения, приведенные в предыдущем пункте, можно показать (используя обозначения предыдущего пункта), что оператор Knn (z)x непрерывно обратим в метрике простран ства Rm, m = N 2.

Для удобства описания предлагаемой вычислительной схемы представим значения xkl в виде вектора Xm = (1,..., xm ). При x ij kl этом способ трансформации значений xij, i, j = 1, 2,..., r, k, l = 0, 1,..., N 1, в элементы xv, v = 1,..., m, не имеет принципиаль ного значения.

Оператор (5.6) можно в матричном виде представить выраже нием m Xm, где m = {ij }, i, j = 1, 2,..., m, матрица, составленная из эле ментов ij. Явный вид этих элементов не выписывается из-за их громоздкости. Точно так же систему уравнений (5.5) можно запи сать в матричной форме K m X m = Fm. (5.7) Обозначения Km и Fm очевидны.

Решение системы уравнений (5.5) будем искать модифицирован ным методом Ньютона Канторовича n n n+ Xm = Xm 1 (Km Xm Fm ), n = 0, 1,.... (5.8) m Обоснование вычислительной схемы (5.8) проводится так же, как и для полисингулярных интегральных уравнений.

Список литературы 1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. - М.: Наука, 1965. - 407 с.

2. Ахо А. Построение и анализ вычислительных алгоритмов/ А. Ахо, Дж. Хопкрофт, Дж. Ульман.- М.: Мир. 1979. - 536 с.

3. Бабенко К.И. О приближении периодических функций мно гих переменных тригонометрическими многочленами // Докл. АН СССР, 1960.- Т. 132.- N 2. - C. 247-250.

4. Бабенко К.И. О некоторых задачах теории приближений и численного анализа // Успехи математических наук, 1985. - Т.40.

- Вып.1. - С. 3 - 28.

5. Бабенко К.И. Основы численного анализа.- М.: Наука, 1986. 744 с.

6. Бахвалов Н.С. О свойствах оптимальных методов решения задач математической физики // Журнал вычислительной мате матики и математической физики, 1970. - Т.10. - N 3. - С.555 568.

7. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуко вом потоке газа. - М.: Наука, 1965. - 244 с.

8. Белоцерковский С.М. Численные методы в сингулярных ин тегральных уравнениях/ С.М. Белоцерковский, И.К. Лифанов. М.: Наука, 1985. - 256 с.

9. Боголюбов Н.Н. Применение методов Н.И.Мусхелишвили в теории элементарных частиц/ Н.Н Боголюбов, В.А. Мещеряков, А.Н. Тавхелидзе // Труды симпозиума по механике сплошной сре ды и родственным проблемам анализа. - Тбилиси: Мецниереба, 1971. - Т. 1. - С. 5 - 11.

10. Бойков И.В. О приближенном решении нелинейных сингу лярных интегральных уравнений методом механических квадра тур // Сб. аспирант. работ. Точные науки. - Казань: Изд-во КГУ, 1970. С. 61-72.

11. Бойков И.В. О приближенном решении некоторых типов ин тегральных уравнений с особенностями // Сб. аспирант. работ.

Точные науки. - Казань: Изд-во КГУ, 1970.- С. 73-81.

12. Бойков И.В. Некоторые вопросы приближенного решения не линейных операторных уравнений методом Ньютона-Канторовича // Сб. аспирант. работ. Точные науки. - Казань: Изд-во КГУ, 1970. С. 82-94.

13. Бойков И.В. О применении метода механических квадратур к приближенному решению нелинейных сингулярных интеграль ных уравнений // Функц. анализ и теория функций. Cб.- Казань:

Изд-во КГУ, 1970.- С. 3-12.

14. Бойков И.В. Об одном методе приближенного решения нели нейных сингулярных интегральных уравнений // Функц. анализ и теория функций. Сб.- Казань: Изд-во КГУ, 1970.- С. 13-21.

15. Бойков И.В. Некоторые вопросы метода Ньютона — Кан торовича // Известия вузов. Математика. 1970. - N 8. - С. 9 ( аннотация статьи, принятой к печати).

16. Бойков И.В. К методу механических квадратур для сингу лярных интегральных уравнений с непрерывными коэффициента ми // Сб. аспирант. работ. Точные науки. - Казань: Изд-во КГУ, 1971. С. 140-147.

17. Бойков И.В. О приближенном решении сингулярных инте гральных уравнений// ДАН СССР, 1972.- Т. 203.- N 3.- С. 511-514.

18. Бойков И.В. К приближенному решению сингулярных ин тегральных уравнений// Матем. заметки, 1972.- Т.12.- N 2.- С.

177-186.

19. Бойков И.В. Об одном прямом методе решения сингулярных интегральных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1972.- Т.12.- N 6.- С. 1381-1390.

20. Бойков И.В. Приближенное решение интегро-дифференциаль ных уравнений с интегралом в смысле Адамара // Ученые записки Пенз. политехн. ин-т.- Пенза: Изд-во Пенз. политехн. ин-т.- Вып.

4, 1973.- С. 42-61.

21. Бойков И.В. Принцип компактной аппроксимации в возму щенном методе Галеркина// ДАН СССР, 1974.- Т. 215.- N 1.- C.

11-14.

22. Бойков И.В. О приближенном нахождении всех решений функциональных уравнений// ДАН СССР, 1974.- Т. 217.- N 6. С. 1241-1244.

23. Бойков И.В. Приближенные методы решения задач гравиме трии // Вопросы теории и методики гравитационных измерений на движущемся основании. Сб.- Москва: Институт физики Земли АН СССР, 1976. - C. 112-121.

24. Бойков И.В. О приближенном решении особых интегральных уравнений гравиметрии// Исслед. по динамич. гравиметрии. Сб. Москва: Институт физики Земли АН СССР, 1977.- C. 118-152.

25. Бойков И.В. Приближенное решение многомерных сингуляр ных интегральных уравнений и их приложения // Применение вы числ. методов в научно-техн. иссл. Межвуз.сб. Пенза: Изд-во Пенз.

политехн. ин-т.- Вып. 2, 1980. С. 3-18.

26. Бойков И.В. Приближенное решение сингулярных инте гральных уравнений в исключительных случаях// Методы изме рений и обраб. набл. в морской гравиметрии. Сб.- Москва: Ин-т физики Земли АН СССР, 1980.- C. 108-124.

27. Бойков И.В. Оптимальные по точности алгоритмы прибли женного вычисления сингулярных интегралов.- Саратов: Изд-во Саратов. гос. ун-та, 1983.- 210 с.

28. Бойков И.В. Оптимальные методы вычислений в задачах автоматического регулирования.- Пенза: Изд-во Пенз. политехн.

ин-т, 1983.- 96 с.

29. Бойков И.В. Об одном исключительном случае сингулярных интегральных уравнений// Применение вычислительных методов в научно-технических исследованиях.- Межвуз. сб. науч.тр. - Вып.

6. - Пенза: Изд-во Пенз. политехн. ин-т, 1984.- С. 3-11.

30. Бойков И.В. Оптимальные по точности алгоритмы вычисле ния интегралов // Оптимальные методы вычислений и их при менение: Межвуз.сб.науч.тр. - Пенза: Пенз. политехн.ин-т, 1987. Вып.8. С. 4 - 22.

31. Бойков И.В. Оптимальные по точности алгоритмы вычисле ния сингулярных интегралов и решения сингулярных интеграль ных уравнений: Дис.... д-ра физ.- мат. наук. Новосибирск: Вычи слительный центр СО АН СССР. - 1991.- 474 с.

32. Бойков И.В. Аналитические методы идентификации дина мических систем.- Пенза: Изд-во Пенз. политех. ин-т, 1992.- с.

33. Бойков И.В. Пассивные и адаптивные алгоритмы прибли женного вычисления сингулярных интегралов: Ч. 1.- Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1995. - 214 с.

34. Бойков И.В. Пассивные и адаптивные алгоритмы прибли женного вычисления сингулярных интегралов: Ч. 2.- Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1995. - 128 с.

35. Бойков И.В. Оптимальные методы решения некоторых клас сов интегральных уравнений// Дифференциальные уравнения, 1997.- Т.33.- N 9.- С. 1155-1166.

36. Бойков И.В. Аппроксимация некоторых классов функций ло кальными сплайнами // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1998.- Т. 38.- N 1.- С. 25-33.

37. Бойков И.В. Оптимальные по сложности алгоритмы прибли женного решения интегральных уравнений // Дифференциальные уравнения, 1998.- Т 34.- N 9.- С. 1240-1245.

38. Бойков И.В. Итерационные методы решения уравнений в свертках // Известия вузов. Математика, 1998.- N 2.- С. 8-15.

39. Бойков И.В. Оптимальные алгоритмы восстановления функ ций и вычисления интегралов на одном классе бесконечно диффе ренцируемых функций // Известия вузов. Математика, 1998.- N 9. С. 14-20.

40. Бойков И.В. Оптимальные по сложности алгоритмы прибли женного решения сингулярных интегральных уравнений // Диф ференциальные уравнения, 1999.- Т. 34.- N 9.- С. 1199-1206.

41. Бойков И.В. Оптимальные методы вычисления полисингу лярных интегралов и решение полисингулярных интегральных уравнений// Труды Средневолжского математического общества, 2003.- Т.5.- N 1.- С. 109-118.

42. Бойков И.В. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решения гиперсингулярных интегральных уравнений/ И.В. Бойков, Н.Ф. Добрынина, Л.Н. Домнин - Пенза: Изд-во Пенз.

гос. техн. ун-та, 1996.- 188 с.

43. Бойков И.В. Приближенное решение сингулярных интегро дифференциальных уравнений/ И.В. Бойков, И.И. Жечев // Сб.

аспирант. работ. Точные науки. - Казань: Изд-во Казан. гос. ун-та, 1972.- C.169-174.

44. Бойков И.В. К приближенному решению сингулярных интегро-дифференциальных уравнений 1 [линейные уравнения] / И.В. Бойков, И.И. Жечев // Дифференциальные уравнения, 1973. Т.9.- N 8. C. 1493-1502.

45. Бойков И.В. Приближенное решение сингулярных интегро дифференциальных уравнений на разомкнутых контурах интегри рования/ И.В. Бойков, И.И. Жечев // Приложение функциональ ного анализа к приближенным вычислениям: Сб. - Казань: Изд-во Казан. гос.ун-та, 1974.- C. 21-28.

46. Бойков И.В. К приближенному решению сингулярных интегро- дифференциальных уравнений II/ И.В. Бойков, И.И. Же чев // Дифференциальные уравнения, 1975.- Т. 11.- N 3.- C. 562 571.

47. Бойков И.В. Об одном приближенном методе решения мно гомерных сингулярных интегральных уравнений/ И.В. Бойков, Ю.Ф. Захарова // Надежность и качество: Тр. Международного симпозиума. - Пенза, 2002.- С. 185-187.

48. Бойков И.В. Приближенные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений/ И.В. Бойков, Ю.Ф. Заха рова // Деп. в ВИНИТИ.- N 1539 - В. 2002.- 03.09.02.- 13 с.

49. Бойков И.В. Приближенные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений/ И.В. Бойков, Ю.Ф. Заха рова // Вопросы математического анализа: Сб. науч. тр. - Крас ноярск: ИПЦ КГТУ, 2003.- Вып. 6.- С. 30-50.

50. Бойков И.В. Приближенное решение сингулярных инте гральных уравнений в исключительных случаях/ И.В. Бойков, Н.Ю. Кудряшова // Дифференциальные уравнения, 2000. - Т. 35 N 9. -С. 1230-1237.

51. Бойков И.В. Об одном приближенном методе решения нели нейных сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях/ И.В. Бойков, Н.Ю. Кудряшова // Надежность и каче ство: Тр. Международного симпозиума. - Пенза, 2002.- С. 187-189.

52. Бойков И.В. Итерационные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений/ И.В. Бойков, Н.В. Мойко // Синтез и сложность управляющих систем: Материалы XII-й Международной школы-семинара.- М.: МГУ, 2001.- Ч. I.- С. 31-36.

53. Бойков И.В. Оптимальные по точности приближенные ме тоды решения интегральных уравнений Вольтерра/ И.В. Бойков, А.Н. Тында //Дифференциальные уравнения, 2002.- N 9.- C. 1225 1232.

54. Бойков И.В. Оптимальные по точности приближенные мето ды решения многомерных слабосингулярных интегральных урав нений Вольтерра второго рода/ И.В. Бойков, А.Н. Тында // На дежность и качество: Тр. Международного симпозиума. - Пенза:

Пенз. гос. ун-т., 2002.- С. 163-167.

55. Бойков И.В. Сверхсходимость приближенного решения мно гомерных интегральных уравнений Вольтерра/ И.В. Бойков, А.Н. Тында // Труды Средневолжского математического обще ства, 2003.- Т.5.- N 1.- С. 119-126.

56. Вайникко Г.М. О гладкости решения многомерных слабосин гулярных интегральных уравнений// Математический сборник, 1989. Т. 180.- N 12. - С. 1709—1723.

57. Вайникко Г.М. Методы решения слабосингулярных инте гральных уравнений/ Г.М. Вайникко, А. Педас, П. Уба.- Тарту:

Тарту с. гос. ун-т, 1984. - 94 с.

58. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.:

ГИФМЛ, 1959.- 628 с.

59. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. - М.: Наука, 1970. - 380 с.

60. Верлань А.Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы /А.Ф. Верлань, В.С. Сизиков.- Киев: Наукова думка, 1986. - 544 с.

61. Витушкин А.Г. К тринадцатой проблеме Гильберта // До клады АН СССР, 1955. - Т.95. - N 4. - С.701 - 704.

62. Витушкин А.Г. Оценка сложности задачи табулирования. М.: ГИФМЛ, 1959. - 228 с.

63. Ворович И.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости/ И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко. - М.:

Наука, 1974. - 456 с.

64. Габдулхаев Б.Г. Приближенное решение сингулярных ин тегральных уравнений методом механических квадратур// ДАН СССР, 1968.- Т. 179.- N 2. - С. 260 - 264.

65. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- М.: Наука, 1967. - 576 с.

66. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1963.- 640 c.

67. Гахов Ф.Д. Уравнения типа свертки/Ф.Д. Гахов, Ю.И.

Черский. - М.: Наука, 1978. - 296 с.

68. Гельфанд И.М. Коммутативные нормированные кольца/ И.М. Гельфанд, Д.А. Райков, Г.В. Шилов. - М.: Физматгиз, 1960. 316 с.

69. Гельфанд И.М. Обобщенные функции и действия над ними/ И.М. Гельфанд, Г.В. Шилов. - М.: Физматгиз, 1958.- 440 с.

70. Глускин Е.Д. Об одной задаче о поперечниках // Доклады АН СССР, 1974. - Т.219. - N 13. - С.527 - 530.

71. Гохберг И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряжен ных операторов в гильбертовом пространстве/ И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн.- М.: Наука, 1965. - 448 с.

72. Гохберг И.Ц. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов/ И.Ц. Гохберг, Н.Я. Крупник.- Киши нев: Штинца, 1973.- 426 с.

73. Гохберг И.Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения/ И.Ц. Гохберг, И.А. Фельдман. - М.: Наука, 1971. - с.

74. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. 3, часть 2.- М. Л.: ГТТИ, 1934. - 320 с.

75. Гусейнов А.И. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений/ А.И. Гусейнов, Х.Ш. Мухтаров. -М.:

Наука, 1982. - 414 с.

76. Джишкариани А.В. К решению сингулярных интегральных уравнений приближенными проекционными методами // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1979. - Т.

19.- N 5. - С. 1149-1161.

77. Джишкариани А.В. К решению сингулярных интегральных уравнений коллокационными методами // Журнал вычислитель ной математики и математической физики, 1981. - Т. 21.- N 2. - С.

355-362.

78. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. - М.: Наука, 1977. - 511 с.

79. Дудучава Р.В. Интегральные уравнения свертки с разрыв ными предсимволами, сингулярные интегральные уравнения с не подвижными особенностями и их приложение к задачам механики.

- Тбилиси: Мецниереба, 1979. - 137 с.

80. Емельянов К.В. О числе арифметических действий, необ ходимом для приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода/ К.В. Емельянов, А.М. Ильин // Жур нал вычислительной математики и математической физики, 1967. Т.7. N 4.- С. 905-910.

81. Жечев И.И. Приближенное решение систем нелинейных син гулярных интегро-дифференциальных уравнений на замкнутых контурах интегрирования// Nature. Пловдив, 1973.- Т. 6.- N 1. С.19-25.

82. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, 1968. - 287 с.

83. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ: Справ. пособие. Киев: Наукова думка, 1986. - 584 с.

84. Иванов В. К. Теоpия линейных некоppектных задач и ее пpи ложения/ В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. - М.: Hаука, 1978.

- 270 с.

85. Интегральные уравнения. Справочная математическая би блиотека. М.: Наука, 1968. - 448 с.

86. Исмагилов Р.С. Поперечники компактов в линейных норми рованных пространствах // Геометрия линейных пространств и теория операторов. - Ярославль: Ярослав. гос. ун-т, 1977. - С. 75 113.

87. Исмагилов Р.С. Поперечники множеств в линейных норми рованных пространствах и приближение функций тригонометри ческими полиномами // Успехи математических наук, 1974. - Т.79.

- N 1. - С. 161 - 178.

88. Какичев В.А. Методы решения некоторых краевых задач для аналитических функций двух комплексных переменных.- Тюмень:

Тюменский гос. ун-т, 1973.- 124с.

89. Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная ма тематика // Успехи математических наук, 1948.- Т. III. - В. 6.- С.


89 - 185.

90. Канторович Л. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах/ Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. - М: Наука, 1959.

- 684 с.

91. Канторович Л. В. Функциональный анализ/ Л.В. Канторо вич, Г.П. Акилов. - М: Наука, 1977.- 750 с.

92. Канторович Л. В. Приближенные методы высшего анализа/ Л.В. Канторович, В.И. Крылов.- Л.-М.: ГИТТЛ, 1949.- 696 с.

93. Карпенко Л.Н. Приближенное решение одного сингулярного интегрального уравнения при помощи полиномов Якоби// При кладная математика и механика, 1966. Т. 30.- N 3. С. 564-569.

94. Кашин Б.С. Поперечники некоторых конечномерных мно жеств и классов гладких функций // Изв. АН СССР. Серия мате матическая, 1977. - Т. 41. - N 1. - С. 334 - 351.

95. Колмогоров А.Н. Асимптотические характеристики некото рых вполне ограниченных метрических пространств // Доклады АН СССР, 1956. - Т. 198. - N 3. - С. 585 - 589.

96. Колмогоров А.Н. Избранные труды. Математика и механи ка. - М.: Наука, 1985. - 470 с.

97. Колмогоров А.Н. -энтропия и -емкость множеств в функ циональных пространствах/ А.Н. Колмогоров, В.М. Тихомиров // Успехи математических наук, 1959. - Т. 14. - Вып.2. - С. 3 - 86.

98. Колтон Д. Методы интегральных уравнений в теории рас сеяния/ Д. Колтон, Р. Кресс - М.: Мир, 1987. - 311 с.

99. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976. - 320 с.

100. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения.-М.: Нау ка, 1984. - 352 с.

101. Коpнейчук Н.П. Точные константы в теории пpиближения.

М.: Наука, 1987.- 424 с.

102. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений/ М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко и др.- М.: Наука, 1969. - 456 с.

103. Крикунов Ю.М. Обобщенная краевая задача Римана и ли нейное сингулярное интегро-дифференциальное уравнение// Уч.

записки Казанского ун-та, 1956.- Т. 116.- Вып. 4. - С. 3-30.

104. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов.- М.:

Наука, 1967. - 498 с.

105. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и ин тегральные уравнения.- Л.: ГИТТЛ, 1950.- 280 с.

106. Купрадзе В.Д. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости/ В.Д. Купрадзе, Т.Г. Гечелиа, М.О. Башелейншвили, Т.В. Баргуладзе. - М.: Наука, 1976. - с.

107. Курпель Н.С. Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений.- Киев: Наукова думка, 1968.- 210 с.

108. Лаврентьев М.А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы // Тр. ЦАГИ, 1932. - Т. 118. - С. 3 - 56.

109. Лаврентьев М.М. Об одном классе сингулярных интеграль ных уравнений. // Успехи математических наук, 1979.- Т. 34. N 2.- С. 143.

110. Лаврентьев М.М. Об одном классе сингулярных интеграль ных уравнений. //Сиб. матем. журн., 1980.- Т. 21.- N 3.- С. 225-228.

111. Лаврентьев М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа/ М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишат ских. - М.: Наука, 1980. - 288 с.

112. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интеграль ные уравнения со сдвигом. - М.: Наука, 1977. - 448 с.

113. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравне ний и численный эксперимент - М.: ТОО ”Янус”, 1995. - 520 с.

114. Лифанов И.К. Обоснование численного метода ”дискретных вихрей” решения сингулярных интегральных уравнений/ И.К. Ли фанов, Я.Е. Полонский // Прикладная математика и механика, 1975. - Т. 39.- N 4. - С. 742-746.

115. Лифанов И.К. Теплицевы матрицы и сингулярные инте гральные уравнения/ И.К. Лифанов, Е.Е. Тыртышников // Вычи слительные процессы и системы. - М.: Наука, 1990. - Вып. 7. - С.

94 - 278.

116. Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений.- Киев: Наукова думка, 1980. - 264 с.

117. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа/ Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. - М.: Наука, 1965. - 540 с.

118. Майоров В.Е. Дискретизация задачи о поперечниках // Успехи математических наук, 1975. - Т.30. - N 6. - С. 179 - 180.

119. Маковоз Ю.И. Об одном приеме оценки снизу поперечников множеств в банаховом пространстве // Математический сборник, 1972. - Т. 87. - N 1. - С. 136 - 142.

120. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравне ний и его применение к дифференциальным уравнениям с сингу лярными коэффициентами// Труды АН Тадж. ССР. - Душанбе, 1963. - Т. 1. - 126 с.

121. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и ин тегральные уравнения. - М.: Физматгиз, 1962. - 254 с.

122. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравне ниям. - М.: ГИФМЛ, 1959. - 232 с.

123. Мусаев Б.И. Конструктивные методы в теории сингуляр ных интегральных уравнений // Дис.... д-ра физ.-мат. наук.- Тби лиси: ТГУ, 1988. - 339 с.

124. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи матема тической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 707 с.

125. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравне ния. - М.: Наука, 1968. - 612 с.

126. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. - М.;

Л.:

ГИФМЛ, 1949. - 688 с.

127. Обломская Л.Я. О методах последовательных приближений для линейных уравнений в банаховых пространствах // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1968. - Т.

8. N 2. - С. 417-426.

128. Переверзев С.В. Об оптимальных способах задания инфор мации при решении интегральных уравнений с дифференциаль ными ядрами // Украинский математический журнал, 1985. - Т.

38.- N 1.- С. 55-63.

129. Переверзев С.В. Об оптимизации методов приближенного решения интегральных уравнений с дифференциальными ядрами // Сибирский математический журнал, 1987.- Т. 28.- N 3.- C. 173 183.

130. Переверзев С.В. О сложности задачи нахождения решений уравнений Фредгольма II рода с гладкими ядрами. I // Украин ский математический журнал, 1988.- Т. 40.- N 1.- С. 84-91.

131. Переверзев С.В. О сложности задачи нахождения решений уравнений Фредгольма II рода с гладкими ядрами. II // Украин ский математический журнал, 1989.- Т. 41.- N 2.- С. 189-193.

132. Переверзев С.В. Оценка сложности приближенного реше ния уравнений Фредгольма второго рода с дифференциальными ядрами // Украинский математический журнал, 1989.- Т. 41.- N 10.- С. 1422-1425.

133. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: Наука, 1965.- 128 с.

134. Потапов М.К. О приближении алгебраическими многочле нами в метрике Lp.// Сб. Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций. М.: Наука, 1961.- С. 64-69.

135. Пресдорф З. Некоторые классы сингулярных уравнений. М: Мир, 1979. - 494 с.

136. Пресдорф З. Линейные интегральные уравнения. - В кн.:

Итоги науки и техники. Серия: Современные проблемы матема тики. М.: Наука, 1988.- Т. 27.- С. 5-130.

137. Привалов И.И. Интегральные уравнения.- М.-Л.: ОНТИ, 1935.- 238 с.

138. Раковщик Л.С. О методе Ньютона-Канторовича// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1968. - Т.

8.- N 6. - С. 1207-1217.

139. Саникидзе Д.Г. Вычислительные процессы для сингуляр ных интегралов с ядром Коши и их некоторые приложения // Дис.

... д-ра физ.-мат. наук. - М.: МФТИ, 1986. - 390 с.

140. Самко C.Г. Интегралы и производные дробного поряд ка и некоторые их приложения/ С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И.

Маричев.- Минск: Наука и техника, 1987.- 688 с.

141. Сеге Г. Ортогональные многочлены.- М.: Физматгиз, 1962.

- 500 с.

142. Сизиков В.С. Математические методы обработки результа тов измерений.- Санкт-Петербург: Политехника, 2001.- 240 с.

143. Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Т 4.- М.: ГИФМЛ, 1958. - 812 с.

144. Соболев С.Л. Уравнения математической физики.- М.: Го стехиздат, 1950.- 424 с.

145. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул.- М.:

Наука, 1974. - 808 с.

146. Стечкин С.Б. О наилучших приближениях заданных клас сов функций любыми полиномами // Успехи математических на ук, 1954. - Т.9. - N 1. - С.133 - 134.

147. Сухарев А.Г. Минимаксные алгоритмы в задачах числен ного анализа. -М.: Наука, 1989. - 304 с.

148. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной сме шанной производной. - М.: Наука, 1986. - 111 с.

149. Теоретические основы и конструирование численных алго ритмов задач математической физики // Под ред. К.И.Бабенко. М.: Наука, 1979. - 196 с.

150. Тиман А.Ф. Теория приближений функций действительного переменного.- М.: Физматгиз, 1960.- 624 с.

151. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория приближений// Успехи математических наук, 1960. - Т.15. - N 13. - С.81 - 120.

152. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений.

- М.: Наука, 1975. - 304 с.

153. Тихомиров В.М. Теория приближений.- В кн.: Итоги науки и техники. Серия: Современные проблемы математики. Фундамен тальные направления.- М.: Наука, 1987. - Т. 14. - С. 105-170.

154. Тихонов А. H. Методы pешения некоppектных задач/ А.Н. Тихонов, В.Я. Аpсенин. - М.: Hаука, 1974. - 224 с.

155. Трауб Дж. Общая теория оптимальных алгоритмов/ Дж.

Трауб, Х. Вожьняковский. - М.: Мир, 1983. - 382 с.

156. Трауб Дж. Информация, неопределенность, сложность/ Дж. Трауб, Х. Вожьняковский, Г. Васильковский. - М.: Мир, 1988. - 184 с.

157. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М.: ИЛ.- 1960.- с.

158. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интеграль ного исчисления.- Т. 2.- М.: Физматгиз, 1959.- 808 с.

159. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некото рые их приложения// Труды Тбилисского математического инсти тута АН Груз.ССР, 1958.- Т. 23.- С. 3-158.

160. Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра.- В кн.:


Итоги науки и техники. Серия: Математический анализ.- М.: На ука, 1979. - Т. 17. - С. 131-198.

161. Atkinson K.E. The Numerical Evaluation of the Cauchy Transform on Simple Closed Curves // Society for Industrial and Applied Mathematics. - Journal on Numerical Analysis, 1972. - V.

9. - P. 284-299.

162. Abel N.H. Solution de quelques problemes a l’aide d’integrales denies// Oeuvres completes, 1823.- V. I.- P. 11-27.

163. Abel N.H. Auosung einermechanischen Aufgabe// Oeuvres completes, 1826.- V. I.- P. 97-101.

164. Baker C.T.H. A perspective on the numerical treatment of Volterra equations// Journal of Computational and Applied Mathematics, 2000. - V. 125.- P. 217-249.

165. Boikov I.V. The Optimal Algorithms of Calculation of Singular Integrals, Decision of Singular Integral Equations and Its Applications// 15 th Imacs World Congress on Scientic Computation, Modelling and Applied Mathematics. Berlin, 1997. V. 1. Computational Mathematics. Berlin: Wissenschaft Technik Verlag, 1997.- P. 587-592.

166. Boikov I.V. Optimal on accuracy methods for approximate solution of the second kind weakly singular Volterra integral equations for multi processor computers/I.V. Boikov, A.N. Tynda // International Conference on Computational Mathematics. Part two. Novosibirsk, 2002.- P. 380-388.

167. Bruner H. The Numerical Solution of Weakly Singular Volterra Integral Equations By Collocation on Graded Meshes// Mathematics of Computation, 1985.- V. 45.- N 172.- P. 417-437.

168. Brunner H. On the History of Numerical Methods for Volterra Integral Equations// CWI Newsletter, 1986.- N 11. - 20 p.

169. Brunner H. Piecewise polynomial collocation method for nonlinear weakly singular Volterra equations/ H. Brunner, A. Pedas and G. Vainikko // Mathematics of Computation, 1999.- V. 68.- N 227.-P. 1079-1095.

170. Chen Han-Lin. A quasi-wavelet algoritms for second kind boundary integral equations/ Chen Han-Lin, Peng Si-Long // Advanced in Compu tational Mathematics, 1999. - V. 11.- P. 355-375.

171. Davis H.T. A Survey of Methods for the Inversion of Integrals of Volterra Type// Indiana University Studies. Bloomington, 1927. V. 14 (Studies ь. 76, 77). 77 p.

172. Du Boir-Reimond P. Bemerkungen uber 2 z/x2 + 2 z/y 2 = J. Reine Angew. Math., 1888. - V. 103. - P. 204-229.

173. Du Jinyuan. On the numerical solution for singular integral equa tions with Hilbert kernel// Math. Num. Sin, 1989.- V. 2.- N 2.- P.

148-166.

174. Du Jinyuan. The collocation methods for singular integral equa tions with Cauchy kernels// Acta Math. Sci, 2000.- V. 20.- N 3. P. 289-302.

175. Dzhishkariani A. Projective-iterative method of solution of integ ral equations/A. Dzhishkariani, G. Khvedelidze // Proceedings of A.

Raz madze Mathematical Institute, 1999.- V. 120.- P. 27-47.

176. Elliot D. The Approximate Solution of Singular Integral Equations // Solution Methods for Integral Equations. - Theory and Applications, 1979. - P. 83-107.

177. Golberg M.A. A Superconvergence Result For the Generalized Airfoil Equation with Application to the Flap Problem / M.A.

Golberg, M. Lea, G. Miel// Journal of Integral Equations, 1982. V. 5.- N 2. P. 175-186.

178. Huber A. Eine Naherungsmethode zur Auosung Volterrascher Integralgleichungen// Monatsh. Math. Phys., 1939.- V. 47.- P. 240 246.

179. Jen E. Cubic splines and approximate solution of singular integral equations/E. Jen, R.P. Srivastav // Math. Comp., 1981.- V.

37.- N 156.- P. 417-423.

180. Junghanns P. Kollokationverfahren zur naherungsweisen Losung singularer Integralgleichungen mit unstetegen Koezienten // Math.

Nachr., 1981.- V. 102.- P. 17-24.

181. Junghanns P. Numerical analysis for one dimensional Cauchy singular integral equations/ P. Junghanns, B. Silbermann // Journal of Computational and Applied Mathematics, 2000.- V. 125.- N 1-2. P. 395-421.

182. Lalesco T. Sur l’equation de Volterra// J. de Math. Pures Appl., 1908, V. 6.- N 4.- P. 125-202.

183. Lalesco, T. Introduction a la theorie des equations integrales. Paris: Hermann and Fils, 1912.- 71 p.

184. Le Roux J. Sur les integrales des equationslineaires aux derivees partielles du second ordre a deux variables independantes// Ann. Sci.

Ecole Normale Super. Ser. 3, 1895.- V. 12. - P. 227-316.

185. Michlin S.G. Singulare Integraloperatoren/ S.G. Michlin, S.

Pros sdorf. - Berlin: Acad. - Verl., 1980. - 514 p.

186. Neumann C. Untersuchungen uber das logarithmische and New ton’s cheotential.- Teubner, Leipzig, 1877. - 120 p.

187. Pereversev S.V. On Optimization of Direct Methods of Solving Weakly Singular Integral Equations/ S.V. Pereversev, S.G. Solodky // Journal of Complexity, 1993.- V. 9.- P. 313-325.

188. Prossdorf S. Approximation Methods for Solving Singular Integral Equations. - Berlin, 1981.- Preprint.- P. - Math. -12/81.- p.

189. Prossdorf S. A Finite Element Collocation Method for Singular Integral Equations/ S. Prossdorf, G. Shmidt // Math. Nachr., 1981. V. 100. - P. 33-60.

190. Prossdorf S. Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations/ S. Prossdorf, B. Silbermann.- Berlin.: Acad.

Verl., 1991. 544 p.

191. Ramm A.G. Theory and Applications of Some New Classes of Integral Equations.- Berlin: Springer- Verlag, 1980. - 343 p.

192. Riss M. Janrsber// Deutsch. Math, 1914.- V. B 29.- P. 131-137.

193. Qiya Hu. Stieltjes derivatives and - polynomial spline collocation for Volterra integrodierential equations with singularities // SIAM Jour nal of Numerical Analysis, 1996.- V. 33.- N 1.- P. 208-220.

194. Shmidt G. On spline collocation for singular integral equations. Preprint. P. - Math. - 13/82, Berlin, 1982.- 42 p.

195. Sonine N. Sur la generalisation d’une formule d’Abel// Acta Math., 1884.- V. 3.- P. 171-176.

196. Tang T. A note on collocation methods for Volterra integro dierential equations with weakly singular kernels// IMA Journal Numerical Analysis, 1993.- V. 13.- P. 93-99.

197. Volterra V. Sulla inversione degli integralideniti// Nota I,II,III,IV. Atti Acc. Sc. Torino, 1896.-V. 31. - P. 311-323, 400-408, 557-567, 693-708.

198. Wagner C. On the numerical solution of Volterra integral equations, J. Math. Phys., 1954. - V.32.- P. 289-301.

199. Wolkenfelt P.H.M. The construction of reducible quadrature rules for Volterra integral and integro-dierential equations// IMA Journal Numer. Anal., 1982.- V.2.- P. 131-152.

200. Wiener N. Uber eine Klasse Singularer Integralgleichungegen/ N. Wiener, E. Hopf // Berlin: Sitz. Acad. Wiss., 1931.- P. 696-706.

СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ............................................... ВВЕДЕНИЕ.................................................... 1. Постановка задачи оптимизации............................. 2. Классы функций............................................. 3. Вспомогательные предложения и обозначения................ 4. Элементы теории приближений.............................. 4.1. Полиномы наилучшего приближения....................... 4.2. Элементы теории сплайнов................................. 5. Элементы функционального анализа......................... 5.1. Нормирование пространства................................ 5.2. Линейные операторы....................................... 5.3. Дифференцирование в нормированных пространствах...... 6. Общая теория приближенных методов....................... 6.1. Общая теория приближенных методов для уравнений вто рого рода.......................................................... 6.2. Общая теория приближенных методов для обратимых спра ва операторов..................................................... 6.3. Приближенное решение уравнений, сводящихся к уравнени ям второго рода...............................................

.... 6.4. Метод Ньютона Канторовича............................ 7. Элементы теории краевых задач и сингулярных интеграль ных уравнений.................................................... 7.1. Интегралы типа Коши..................................... 7.2. Краевая задача Римана..................................... 7.3. Сингулярные интегральные уравнения..................... 8. Краткий обзор методов решения интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма.......................................... 8.1. Аналитические методы решения интегральных уравнений Вольтерра......................................................... 8.2. Приближенные методы решения уравнений Вольтерра..... 8.3. Элементы теории линейных интегральных уравнениях Фредгольма....................................................... 9. Обзор приближенных методов решения сингулярных интегральных уравнений.......................................... ГЛАВА I.

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ.......... Введение........................................................ 1. Поперечники и локальные сплайны на классах функций Qr, (, M ) и Br, ()............................................... 1.1. Поперечники на классе функций Qr, ([1, 1], M )............ 1.2. Поперечники на классе Qr, ([1, 1]l, M ) функций многих переменных............................................... 2.Аппроксимация сплайнами на классе Br, (, M ) функций одной переменной........................................ 3. Оптимальные методы восстановления на классе Br, () функций многих переменных.............................. 4. Поперечники и локальные сплайны на классах функций Qr, (, M ) и Br, ()............................................... ГЛАВА II ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАБОСИНГУЛЯР НЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА И ВОЛЬ ТЕРРА............................................................ 1. Классические методы приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма............................................ 1.1. Методы коллокации и механических квадратур............ 1.2. Метод последовательных приближений..................... 1.3. Метод аналитического продолжения по параметру......... 1.4. Метод вырожденного ядра.................................. 1.5. Метод моментов............................................ 2. Оптимальные по точности и сложности методы решения одномерных слабосингулярных интегральных уравнений......... 3. Оптимальные по точности методы решения интегральных уравнений Фредгольма............................................ 3.1. Одномерные уравнения..................................... 3.2. Многомерные уравнения.................................... 4. Оптимальные по точности методы решения многомерных слабосингулярных интегральных уравнений...................... 5. Оптимальные по сложности алгоритмы приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма................... 5.1. Оценки снизу............................................... 5.2. Оптимальные по сложности алгоритмы.................... 6. Оптимальные по сложности алгоритмы приближенного решения одномерных слабосингулярных интегральных уравнений Фредгольма............................. 7. Оптимальные по сложности методы решения многомерных слабосингулярных интегральных уравнений Фредгольма............................................ 8. Oптимальные способы задания информации................. 9. Сверхсходимость решений интегральных уравнений......... 10. Приближенное решение интегральных уравнений Вольтер ра................................................................. 10.1. Одномерные интегральные уравнения Вольтерра......... 10.2. Приближенное решение многомерных слабосингулярных интегральных уравнений Вольтерра.............................. ГЛАВА III ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬ НЫХ УРАВНЕНИЙ.............................................. 1. О гладкости решений сингулярных интегральных уравнений. 1.1. Интегральные операторы на классах гладких функций.... 1.2. О гладкости решений сингулярных интегральных уравне ний на замкнутых контурах....................................... 2. Приближенное решение линейных сингулярных интеграль ных уравнений на замкнутых контурах интегрирования (обосно вание в пространствах Гельдера)................................. 3. Приближенное решение сингулярных интегральных уравне ний на замкнутых контурах интегрирования (обоснование в про странстве L2 )..................................................... 3.1. Приближенное решение уравнения (2.1).................... 3.2. Приближенное решение полных сингулярных интегральных уравнений......................................................... 4. Приближенное решение сингулярных интегральных уравне ний с разрывнымикоэффициентами и на разомкнутых контурах интегрирования................................................... 4.1. Основные утверждения..................................... 4.2. Доказательства теорем..................................... 5. Исключительные случаи сингулярных интегральных уравне ний................................................................ 5.1. Методы регуляризации характеристических сингулярных интегральных уравнений.......................................... 5.2. Проекционные методы решения сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях на замкнутых контурах... 5.3. Проекционные методы решения сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях на разомкнутых контурах. 6. Приближенное решение нелинейных сингулярных интеграль ных уравнений.................................................... 6.1. Проекционные методы решения сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях на разомкнутых контурах. 6.2. Проекционные методы решения нелинейных сингулярных интегральных уравнений на разомкнутых контурах интегрирова ния................................................................ 7. Приближенное решение сингулярных интегральных уравне ний методом дискретных особенностей............................ 7.1. Приближенное решение линейных сингулярных интеграль ных уравнений.................................................... 7.2. Приближенное решение нелинейных сингулярных инте гральных уравнений.............................................. 8. Приближенное решение сингулярных интегро - дифференци альных уравнений................................................. 8.1. Приближенное решение линейных сингулярных интегро дифференциальных уравнений.................................... 8.2. Приближенное решение нелинейных сингулярных интегро дифференциальных уравнений на замкнутых контурах интегриро вания.............................................................. 8.3. Приближенное решение линейных сингулярных интегро дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами... 8.4. О другом подходе к обоснованию приближенных методов решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений.... ГЛАВА IV ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ СИНГУЛЯР НЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.......................... 1. Приближенное решение краевых задач в бицилиндрических областях.......................................................... 2. Приближенное решение полисингулярных интегральных урав нений.............................................................. 2.1. Приближенное решение полисингулярных интегральных уравнений нормального типа...................................... 2.2. Приближенное решение полисингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях............................ 3. Приближенные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений.......................................... 3.1. Приближенное решение линейных многомерных сингуляр ных интегральных уравнений..................................... 3.2. Приближенное решение нелинейных многомерных сингуляр ных интегральных уравнений..................................... 4. Приближенное решение бисингулярных интегральных урав нений методом дискретных особенностей......................... 4.1. Приближенное решение линейных бисингулярных инте гральных уравнений.............................................. 4.2. Приближенное решение нелинейных бисингулярных инте гральных уравнений.............................................. 5. Приближенное решение многомерных сингулярных инте гральных уравнений методом дискретных особенностей.......... 5.1. Приближенное решение линейных уравнений............... 5.2. Приближенное решение нелинейных уравнений............ Список литературы.............................................

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.