авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

Федеральное агентство по образованию

Нижегородский государственный университет

им. Н. И. Лобачевского

Д. Е. БУРЛАНКОВ

Анализ

Общей теории относительности

Нижний Новгород

Издательство Нижегородского госуниверситета

2011

УДК 681.3.06

ББК В185

Б-91

Рецензент:

С. Ю. Губанов к. ф-м. н.

Бурланков Д. Е.

Анализ Общей теории относительности:

Б-91 Монография. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2011. 207 с.

ISBN 5 - 85746 - 281 - 9 Цель работы: продемонстрировать богатство описания Ми ра методами римановой геометрии, введенной в физику общей теорией относительности, но также показать тупик, в который заводит теорию принцип общей ковариантности. Общая тео рия относительности, будучи математически непротиворечивой и частично согласуемой с наблюдениями, не переходит в клас сическую физику. В монографии показана необходимость моди фикации общей теории относительности, так как принцип об щей ковариантности, определяющий структуру ОТО, является препятствием для согласования ее с классической и квантовой физикой. В то же время геометрическая основа ОТО, является надежным базисом теории пространства и времени.

ISBN 5 - 85746 - 281 - c Д. Е. Бурланков, c Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, Оглавление Предисловие Глава 1. ОТО не согласуется с классической физи кой 1.1. Две стороны теории поля............... 1.2. Принцип общей ковариантности........... 1.3. Без общей ковариантности.............. 1.4. Заключение....................... Глава 2. Расширение Вселенной и гравитация 2.1. Введение........................ 2.2. Решение......................... 2.3. Движение пробных тел................ 2.4. Назад по времени................... 2.5. Вращение........................ 2.6. Заключение....................... Глава 3. Глобальное время в общей теории относи тельности 3.1. Введение. Избранные системы координат..... 3.2. Глобальное время................... 3.3. Траектории тел и света................ 3.3.1. Движение в метрике Шварцшильда.... 3.3.2. Метрика Пэнлеве............... 3.3.3. Световые лучи................. 3.3.4. Гравитационное красное смещение..... 3.4. Глобальное время и энергия............. 3.4.1. Метрика Керра в глобальном времени... 3.5. Гравитационная энергия массивного тела..... 3.5.1. Гравитационная энергия тела в классиче ской механике................. 3.5.2. Энергия в формализме АДМ........ 3.5.3. Жидкая капля в ОТО............ 3.6. Динамика без общей ковариантности.

....... 3.7. Обсуждение...................... Глава 4. Об основах современной физики 4.1. Имеются ли проблемы в понимании основ совре менной физики?.................... 4.2. Теория относительности Лоренца и Пуанкаре... 4.3. Теория относительности Эйнштейна........ 4.3.1. Вращающаяся система............ 4.4. Общая теория относительности........... 4.4.1. Энергия и ОТО................ 4.5. Эфир и пространство................. 4.6. Заключение....................... Глава 5. Темная энергия – энергия динамического пространства 5.1. Энергия расширяющегося мира........... 5.2. Глобальное время и глобальное пространство... 5.3. “Темная энергия” – экспериментальное доказатель ство несостоятельности ОТО............. 5.4. Динамика пространства в глобальном времени.. 5.5. Точные решения.................... Глава 6. Поля скоростей в космической динамике 6.1. Введение........................ 6.2. Движение свободной частицы............ 6.3. Приближение малых масштабов........... 6.4. Местное время..................... 6.5. Уравнения потенциала и поля скоростей...... 6.6. Сферическая система координат.......... 6.7. Поле сопровождения................. 6.8. Поле Лензе-Тирринга................. 6.9. Движение спутника в поле Лензе – Тирринга... 6.10. Другие физические поля............... 6.10.1. Распространение света............ 6.10.2. Электромагнитное поле............ 6.11. Заключение....................... Глава 7. Вспышки сверхновых и вращение 7.1. Введение........................ 7.2. Горизонты ротаров.................. 7.3. Коллапс ротаров.................... 7.4. Пространственная метрика.............. 7.5. Заключение....................... Глава 8. Вращение релятивистской жидкости 8.1. Введение........................ 8.2. Изоэнтропный газ в сопутствующей системе... 8.3. Уравнения равновесия внутри звезды....... 8.4. Сшивание с метрикой Керра............. 8.5. Переход к нерелятивистскому пределу....... 8.6. Заключение....................... Глава 9. Уравнение Эйлера в поле скоростей 9.1. Введение........................ 9.2. Инвариантная производная по времени...... 9.3. Ковариантное уравнение Эйлера.......... 9.4. Гидродинамика на вращающемся шаре....... 9.5. Причины........................ 9.6. Заключение....................... Глава 10. Метод граничных мод 10.1. Введение........................ 10.2. Операторы Киллинга................. 10.3. Операторы вращений................. 10.4. Моды векторных полей................ 10.4.1. Граничные моды................ 10.4.2. Радиальные функции............. 10.4.3. Низшие моды................. 10.4.4. Вторая поляризация............. 10.5. Спинорные поля.................... 10.5.1. Операторы Киллинга............. 10.5.2. Релятивистский атом водорода....... 10.6. Заключение....................... Глава 11. О физическом смысле квантово-механического описания 11.1. Корпускулярно-волновой дуализм.......... 11.2. Физический смысл волновой функции....... 11.3. Трактовка квантовых явлений в современной ли тературе........................ 11.4. Волны и частицы................... 11.4.1. Корпускулярно-волновой дуализм в оптике 11.4.2. Высокочастотное приближение в уравне нии Шредингера................ 11.4.3. Квантовые характеристики частиц..... 11.4.4. Волновая функция и динамика....... 11.5. “Копенгагенская трактовка”............. 11.6. Заключение....................... Глава 12. Заключение. Красота теории Список литературы Предисловие Основной порог, о который споткнулась общая теория отно сительности (ОТО), – квантование. Вследствие общей ковари антности гамильтониан в ОТО равен нулю – и никакая дина мика оказывается невозможной.

Что это – неадекватность описания динамики пространства времени общей теорией относительности, или же незнание нами каких-то ее глубинных особенностей, существование еще не от крытых необычных методов построения квантовой теории?

Принятие второй точки зрения – раз гамильтониан равен нулю, нужно строить квантовую теорию с нулевым гамильто нианом – привело к разработке петлевой гравитации, которая, однако, не смогла придвинуться ни к каким практическим за дачам, занимаясь, в основном, внутренними определениями.

Однако многие ученые уже давно пытаются исправить ситу ацию, нарушив общую ковариантность, ввести все-таки нефор мальное, физическое время, как собственное время какого-либо вида материи [1, 2]. Гамильтониан в этом неформальном вре мени и привязать к квантовой теории. При этом глобальное время пространства в целом никак не противоречит наличию собственного времени у движущегося (точечного) наблюдателя (местное время по Лоренцу).

Ситуация аналогична, хотя по смыслу прямо противопо ложна, проблеме эфира в специальной теории относительно сти: представление об эфире, как о какой-то материальной сре де, требовало такого подбора его механических свойств, чтобы законы взаимодействия тел и электромагнитного поля с эфи ром не зависели от скорости движения, то есть состояния покоя эфира наблюдать было невозможно. В ОТО, наоборот, нужно выделить время, сохранив общую ковариантность.

Но не только проблемы квантовой теории требуют возврата в физику категории времени. Вся классическая физика постро ена на концепции развития мира во времени. Общая теория относительности претендует на то, что в каком-то пределе она переходит в классическую физику. То есть принципы ОТО (об щековариантность) должны действовать и в классической фи зике. Однако никакой общековариантности в нашем обиходном, нерелятивистском мире мы не наблюдаем. Значит что-то в ОТО недоработано.

Анализу этого вопроса посвящена первая глава.

Если время выделено, выделено и пространство. В 1997 – 2003 годах мною была разработана Динамическая теория про странства в глобальном времени, короче – Теория глобального времени (ТГВ) [3–6]. Фактически это – геометродинамика Уи лера, Арновитта, Дезера и Мизнера [7, 8] в глобальном време ни, то есть без всяких дополнительных условий на время и без условия равенства нулю гамильтониана.

Но в геометродинамике Уилера была серьезная трудность:

фундаментальные статические решения ОТО: метрика Шварц шильда, метрика Рейснера – Нордстрема, метрика Керра – ка зались непредставимыми в динамическом виде. Однако разра ботка математической техники инвариантного дифференциро вания по времени (см. стр. 138), являющегося важной состав ляющей математического аппарата ТГВ, поставило все на свои места: например, метрика Шварцшильда давно была приведена к глобальному времени математиком Полем Пэнлеве [9], прав да, сам Пэнлеве об этом не знал.

Теория глобального времени построена на базе несомнен ных достижений ОТО: пространство (трехмерное) предстает в ней как риманово пространство, с метрикой, различной в раз ных точках пространства и меняющейся с течением глобального времени. Инвариантная производная по времени является необ ходимым в ней математическим инструментом. Уравнения ТГВ – это уравнения динамики пространства в глобальном времени.

При этом уравнения движения тел и динамики полей (напри мер, электромагнитного) в одной и той же метрике в ТГВ и ОТО совпадают.

Общая теория относительности представляет уравнения, определяющие метрику четырехмерного пространства – вре мени на четырехмерном континууме. Сразу всю историю – и прошлое и будущее. В ней нет физического объекта, а лишь ре цепт описания. С формальной точки зрения ОТО отличается от ТГВ дополнительным уравнением, смысл которого – равен ство нулю суммарной плотности энергии всех полей и самого пространства. Поэтому, в частности, в ТГВ, где гамильтони ан отличен от нуля, нет проблемы темной энергии, а также квантовая теория естественным образом строится на ненуле вом гамильтониане. При этом основная часть решений ОТО, найденных за прошедшее столетие, сохраняется (как решения ТГВ с нулевой энергией).

Поэтому ТГВ является последовательной продолжатель ницей ОТО как физической теории пространства и времени.

В очень важной для космологии главе 2 найдено решение уравнений Эйнштейна для метрики вне сферически симметрич ного тяготеющего тела на фоне расширяющейся Вселенной. В ней выведено, что по мере расширения Вселенной гравитацион ные радиусы тяготеющих тел (звезд, например) уменьшается, что приводит к особенностям расширения, если смотреть назад во времени, в значительно более поздние моменты, чем момент “Большого Взрыва”. Работа написана именно на языке ОТО, хотя изначально решение получено в ТГВ.

В главе 3 показывается, что глобальное время естествен ным образом содержится в ОТО, анализируются задачи дви жения тел и распространения света с точки зрения ОТО и ТГВ.

Глава 4 посвящена анализу понятия относительности как в общей, так и специальной теории относительности (СТО). В СТО пространство – время представлено пространством Мин ковского, в котором все инерциальные системы равноправны глобально, независимо от их размеров и интервалов по времени.

В ОТО и ТГВ инерциальные системы имеются лишь в беско нечно малом, где они связаны друг с другом преобразованиями Лоренца. Время в этих системах поэтому принципиально отли чается от глобального времени, в котором происходит развитие Мира в целом.

В главе 5 сравниваются проблемы расширяющейся Вселен ной при описании с точек зрения ОТО и ТГВ. Показано, что проблема темной энергии в ОТО – это проблема суммарной нулевой энергии, диктуемая в этой теории принципом общей ковариантности. В ТГВ аналогичной проблемы просто нет: ка кая плотность энергии имеется, такая и есть. Не надо делать никаких усилий, чтобы, как в ОТО, довести ее до нуля.

Различие между метриками Шварцшильда и Пэнлеве ока зывается физически значимым. Введение различных координат (Крускала, Финкельстейна и пр.) для полного описания метри ки Шварцшильда оказывается просто математическим упраж нением в комплексном расширении пространственно – времен ной метрики.

В главе 6 выведены приближения слабого поля в ТГВ. К уравнениям гравитационного потенциала – основному инстру менту классической астрофизики – добавлены уравнения по ля скоростей в приближении слабого поля на фоне плоского пространства – времени. Из этих уравнений прямо получаются решения в виде полей Лензе – Тирринга, создаваемых враща ющимися звездами и планетами. Понятие равномерное движе ние относительно пространства восстанавливает свой смысл и описываются эффекты, с помощью которых это движение мо жет быть обнаружено.

В главе 7 изучены стадии коллапса вращающейся звезды.

Показано, что имеющиеся в литературе ограничения на ско рость вращения несостоятельны. Показан топологический пе реход при коллапсе быстро вращающихся звезд, когда она из фигуры с топологией сферы переходит в бубликообразную фи гуру.

В главе 8 из уравнений Эйнштейна выводятся дифферен циальные уравнение для описания внутренности вращающих ся звезд. Проблема вывода таких уравнений возникла после нахождения решения Керра, описывающего метрику снаружи вращающейся звезды, однако после построения Хартлем и Тор ном приближенных (линейных по угловой скорости) уравнений в 1968 году, проблема вывода точных уравнений так и висела в воздухе.

Глава 9 показывает эффективность использования матема тической техники инвариантного дифференцирования по вре мени не только в задачах ТГВ, но и в решении классических задач динамики океанов и атмосферы на вращающейся Земле.

Обобщение уравнения Эйлера динамики жидкости на произ вольное поле скоростей позволяет решать задачи гидродинами ки с учетом сложного движения в пространстве, совершаемого Землей или каким-либо другим телом.

В главе 10 разработаны математические методы для работы с векторными и спинорными полями.

В главе 11 обсуждаются проблемы квантовой теории. На чальный подход к квантовой теории гравитации с точки зре ния динамики пространства в глобальном времени изложен в монографиях [4, 5].

Наконец, в Заключении обсуждается проблема красоты той или иной теории. Насколько красота теории говорит о ее истин ности?

Цель работы: продемонстрировать богатство описания Ми ра методами римановой геометрии, введенной в физику общей теорией относительности, но также показать тупик, в который заводит теорию принцип общей ковариантности.

Естественным продвижением в развитии теории простран ства и времени является динамическая теория пространства в глобальном времени, не только включившая в себя большин ство достижений ОТО, но и придавшая геометрической картине физический характер. Пространство с этой точки зрения так же оказывается физическим объектом со своими уравнениями динамики и нетривиальной плотностью энергии.

Глава ОТО не согласуется с классической физикой Принцип общей ковариантности и следующее из него равен ство нулю энергии не допускает стыковки общей теории от носительности с классической физикой, квантовой теорией.

1.1. Две стороны теории поля Каждое физическое поле (электромагнитное, гравитацион ное) имеет две основные физические стороны: внешнюю и внут реннюю. Внешняя определяет, как это поле воздействует на другие физические объекты – другие поля, частицы (объект воздействия). Внутренняя – каким уравнениям подчиняется са мо поле, как на него влияют источники, сами объекты воздей ствия.

С лагранжевой точки зрения внешняя сторона определяет как потенциалы изучаемого поля модифицируют лагранжиан объектов воздействия. Внутренняя сторона определяет чистый лагранжиан самого изучаемого поля.

Электрическое поле приводит в движение заряженные ча стички, а магнитное поле отклоняет потоки заряженных ча стиц и проводники с токами – оба этих закона объединены в выражении силы Лоренца. Однако эти явления еще не опре деляют уравнений, на основании которых определяются элек тромагнитные напряженности. Это могут быть как линейные 1.1. Две стороны теории поля уравнения Максвелла, так и нелинейные уравнения Борна – Инфельда. Эксперименты по проверке корректности выраже ния для силы Лоренца еще не дают возможности определить уравнения поля, например, сделать выбор между электродина миками Максвелла и Борна - Инфельда.

Главный физический тезис общей теории относительности Эйнштейна – гравитация определяется метрикой искривленно го пространства - времени. Свободные частицы движутся по геодезическим. В электродинамике (и других полях) частные производные заменяются на ковариантные, определяемые мет рикой. Частицы и поля обладают локальной лоренц - инвари антностью. При этом уравнения, определяющие конфигурацию поля, далеко неоднозначны. Вспомним, что первый существен ный результат ОТО (вращение перигелия Меркурия) был полу чен Эйнштейном со считающимися математически неверными, не самосогласованными (для общего случая) уравнениями [11], однако это никак не сказалось на результате.

Точно также и расчет отклонения света в первоначальных и окончательных уравнениях Эйнштейна одинаков. Обе эти си стемы уравнений имеют решение Шварцшильда как вакуумное решение в сферически симметричном случае, поэтому большин ство т. наз. проверок ОТО (проверяющих на самом деле мет рику Шварцшильда, даже ее линеаризацию на фоне метрики Минковского) можно считать проверкой не только окончатель ных, но и первоначальных, считающихся неверными, уравнений Эйнштейна.

Но, говорят, тут включается в работу математика. В урав нениях Эйнштейна вариация действия материи по компонен там метрического тензора (как показал Гильберт [12]) приво дит в правой части уравнений (источники) к тензору энергии импульса, ковариантная четырехмерная дивергенция которого равна нулю, значит и в левой части (уравнения свободного по ля) должен стоять тензор с нулевой дивергенцией. Так ли это на самом деле?

В той же работе Гильберт показал, что общековариантные уравнения обладают избыточностью, в них содержатся тожде 14 ОТО не согласуется с классической физикой ства Гильберта. Например, при нахождении решения Шварц шильда возникает три нетривиальных конструкции тензора Эйн штейна, определяющие три дифференциальных уравнения на две искомые функции от радиуса, определяющие метрику. Од нако при нахождении этих функций из двух простейших диф ференциальных уравнений (первого порядка), третье уравнение (второго порядка) удовлетворяется автоматически, получается из первых дифференцированием.

Такая же ситуация и с моделью Фридмана, приводящей к двум дифференциальным уравнениям для одной искомой функ ции, после нахождение которой из уравнения Эйнштейна с ин дексами (0,0) – дифференциального уравнения первого поряд ка, – остальные уравнения (второго порядка) удовлетворяются автоматически.

Поэтому уравнения Эйнштейна в их первом варианте вполне допустимы, если они выполняются не для всех компонент, на пример:

Rij = Tij, (ij) = (00). (1.1) Эдесь уравнений девять, а не десять, как у Эйнштейна, поэтому никакого противоречия дивергенций нет. Назовем такую тео рию с девятью уравнениями теорией А. Она оказывается экс периментально проверенной и математически согласованной.

1.2. Принцип общей ковариантности – “Но уравнения (1.1) ужасны!” – воскликнет образованный теоретик. – “Они нарушают общую ковариантность! В них явно выделено время – индекс 0!” А разве при сравнении расчетного угла поворота орбиты Меркурия с наблюденным проверялся принцип общей ковари антности? Разве замеренный экспедицией Эддингтона угол от клонения света Солнцем хоть как-то связан с общей ковариант ностью?

Принцип общей ковариантности был путеводной ниточкой Эйнштейна, приведшей его хоть к какому-то замкнутому ва рианту создаваемой им сложной теории, подающей надежды, 1.2. Принцип общей ковариантности что-то объясняющей в наблюденеиях, которую надо было ис пытывать и испытывать, даже не столько экспериментально, сколько методологически, сравнением с классической физикой, в которую в какой-то области параметров ОТО обязана пере ходить, как, например, при скоростях много меньших скорости света динамика специальной теории относительности переходит в классическую динамику.

К сожалению, судьба общей теории относительности ока залась иной. Вместо физической теории она стала элитарной теорией. Она прошла проверку на внешнюю сторону, и это поспешно было объявлено как предельный переход к класси ческой физике. Коротенькую заметку о результатах экспеди ции Эддингтона по измерению отклонения света Эйнштейн на звал “Доказательство общей теории относительности” [13]. По сле такого триумфа разительная несогласованность ее внутрен ней структуры с классической физикой просто игнорировалась.

Эта разительная несогласованность очевидна: в классиче ской физике нет общей ковариантности, которая должна бы в ней быть, если бы она являлась каким-то пределом ОТО.

Наиболее серьезно она проявляется в проблеме энергии. В любой общековариантной теории (ОТО, теория струн) допу стимость произвольного преобразования времени без измене ния действия приводит к нулевой энергии. И не только энергии в целом, интегрально, но и плотности энергии в любой точке и в любой момент времени. Это явление подробно описано в монографии Мизнера, Торна и Уилера [8] т. 2, с. 129, формула (21.12).

При этом время может быть выбрано как угодно. Выберем его в какой-либо задаче совпадающим при слабых полях с вре менем аналогичной классической задачи. Тогда выход в эту за дачу из ОТО приводит и к классической энергии равной нулю.

Рассмотрим, например, самогравитирующую жидкую кап лю (звезду). В классической физике ее гравитационная энергия отрицательна. Если эту каплю разделить на две, которые за тем разнести на большое расстояние, энергия увеличится. Для выполнения описанного процесса нужно совершить работу. В 16 ОТО не согласуется с классической физикой общей теории относительности как у исходной капли, так и у ее разнесенных потомков энергия равна нулю, причем с учетом громадной m c2.

1.3. Без общей ковариантности Именно равенство нулю гамильтониана в ОТО приводит к невозможности ее согласовать с квантовой теорией, где гамиль тониан является основным рабочим инструментом. Если смот реть на ОТО как на вариант физической теории, то этот факт также требует пересмотра ее основ (отказа от общей ковари антности). При элитарном подходе к теории нужно изощряться дальше, строя как-то квантовую теорию с нулевым гамильто нианом (например, петлевую гравитацию).

При отказе от общей ковариантности гамильтониан оказы вается ненулевым и квантовая теория гравитации начинает де лать первые шаги с ненулевым гамильтонианом Арновитта Дезера - Мизнера (см. [8] т. 2), равенства нулю которого требу ет (0,0) уравнение Эйнштейна.

В космологии исчезает проблема “темной энергии”, так как эта проблема возникла из жесткой связи постоянной Хэббла, определяемой скоростью расширения Мира, с плотностью ма терии, что является прямым следствием требования нулевой плотности суммарной энергии (энергия пространства в этой мо дели отрицательна – см. [5]).

Проливается свет и на специальную теорию относительно сти. Вне зависимости от уравнений, определяющих геометрию пространства – времени динамика частиц, локальных полей (на пример, электромагнитного) обладает локальной лоренц - ин вариантностью и все локальные наблюдения и эксперименты только с локальными объектами никакого глобального време ни почувствовать не могут. Только когда физика связывает ся с динамикой пространства, описываемой искомыми на се годняшний день уравнениями, проявляется абсолютное время.

Например, даже сейчас, при узаконеном принципе общей кова риантности космологические задачи изначально формулируют 1.4. Заключение ся в глобальном времени.

При восстановлении понятия абсолютное время восстанав ливается и абсолютное пространство. Возникает (восстанав ливается) понятие абсолютного движения – относительно про странства. При этом у каждого движущегося наблюдателя свое собственное (“местное”) время, связанное с глобальным време нем преобразованиями Лоренца. Эти преобразования определя ют ход событий в окрестности движущегося наблюдателя. Его собственное время и ближайшая окрестность пространства об разуют “относительное время” и “относительное пространство” в формулировке Ньютона, однако связь их с абсолютным вре менем и абсолютным пространством несколько сложнее, чем полагал Ньютон.

Мир, ставший в теории относительности набором движу щихся наблюдателей, каждый со своим временем, восстанавли вается независимым от наблюдателей (которые его могут лишь слегка деформировать) и развивающимся в целом в глобальном времени.

1.4. Заключение Общая теория относительности не прошла полную началь ную проверку на соответствие с классической физикой. Ее прин цип общей ковариантности и следующее из него равенство нулю энергии не допускает стыковки ОТО с классической физикой, квантовой теорией. Поэтому требуется дальнейшая настройка теории, основанной на псевдоримановой геометрии простран ства и времени и опирающейся на глобальное время. Это может быть теория А с уравнениями (1.1), это может быть динами ка пространства в глобальном времени, изложенная в [5], или какая-то новая теория, но работа в направлении поиска адек ватной теории пространства и времени, согласуемой с класси ческой физикой, должна продолжаться.

Глава Расширение Вселенной и гравитация Найдено решение уравнений Эйнштейна, описывающее метри ку вокруг тяготеющего сферического тела в расширяющейся Вселенной. Гравитационная масса тела по мере расширения Вселенной уменьшается. Изучено движение свободных реля тивистских частиц в полученной метрике.

2.1. Введение Расширение Вселенной в XX веке установлено с высокой степенью очевидности, благодаря выполнению в первой чет верти века грандиозной программы наблюдений в обсервато рии Маунт-Вильсон, результаты которой сконцентрировались на имени Эдвина Хэббла, и теоретическому продвижению, свя занного, прежде всего, с именами Эйнштейна и Фридмана. Наи более распространенное описание расширяющейся Вселенной представляется метрикой Эйнштейна - де Ситтера (см.,например, [8]):

ds2 = dt2 2 (t) (dR2 + R2 d 2 ). (2.1) Здесь d 2 = d2 + sin2 d2 – метрика двумерной сферы еди ничного радиуса. Длины измеряются в световых годах, а время в годах, так что скорость света равна единице.

Время в метрике (2.1) – абсолютное мировое время. Сечение t = const – евклидово трехмерное пространство, (абсолютное 2.1. Введение пространство) масштаб которого меняется с течением време ни: (t) = (1 + t/t0 )2/3, где t0 14 млрд лет – наше время от “большого взрыва”, так что параметр t отсчитывает время от настоящего момента.

Расстояние от центра – точки, в которой полагается R = 0, – до любой другой точки пространства с координатой R опре деляется величиной r = (t) R. С течением времени это рассто яние меняется. При переходе от координат в пространстве R к параметризации расстояниями r метрика (2.1) изменяется:

r 1 dr r R= ;

dR = ;

=.

(t) 3 (t0 + t) Подставляя эти дифференциалы в (2.1), получаем метрику ds2 = (1 V 2 ) dt2 + 2 V dr dt dr2 r2 d 2, (2.2) где 2r V V =. (2.3) 3 (t0 + t) Тензор Эйнштейна для этой метрики принимает значения 0 V 0 0 (Gi ) =, =, (2.4) j 3 (t0 + t) 0 0 0 00 В момент времени t = t0 плотность обращалась в бесконеч ность – так называемый “большой взрыв”.

Поле V в метрике (2.2) назовем полем скоростей.

Другим (точнее – первым) фундаментальным решением об щей теории относительности является решение Шварцшиль да [15] с метрикой dr 2 M ds2 = c2 dt2 r2 d 2.

1 (2.5) 2 M c2 r 1 c2 r Эта метрика описывает пространство – время вне сферическго тела с массой M.

20 Расширение Вселенной и гравитация Открытие космологического расширения Вселенной поста вило вопрос: как меняется метрика тяготеющего тела с учетом глобального расширения. Эта проблема была поставлена в году А. Эйнштейном в совместной работе с Е. Штраусом [14]:

из-за расширения “граничные условия, на которых основано решение Шварцшильда, непригодны для реальной звезды. В частности, граничные условия, пригодные для расширяющего ся пространства, зависят от времени, поэтому априори можно ожидать, что поле, окружающее одиночную звезду, существен но зависит от времени.” Попытка Эйнштейна и Штрауса сшивания решений Шварц шильда и Фридмана оказалась неудачной вследствие того, что в сшиваемых метриках переменная времени выбиралась совер шенно различной физически. В метрике Фридмана компонента g 00 = 1 всюду и всегда, в то время как в решении Шварцшильда эта компонента зависит от радиуса, и, более того, под гравита ционным радиусом пространственно подобна.

В 1921 году Пэнлеве [9], исследуя преобразование метрики Шварцшильда при преобразовании переменной времени dt = dt + w(r) dr, нашел метрику (далее мы будем называть ее мет рикой Пэнлеве):

a a ds2 = dt2 1 dr dt dr2 r2 d 2, +2 (2.6) r r где a = 2 M, где M – гравитационный радиус тела, также выра женный в световых годах. Например, для Солнца M = 1.6· (световых) лет. Более подробно эту метрику мы рассмотрим в разделе 3.3.2.

Пространственное сечение t = const имеет метрику трех мерного евклидова пространства в сферических координатах.

Метрика (2.6) есть результат преобразования времени с функ цией V 2M w= ;

V=. (2.7) 1V r Метрика Пэнлеве стационарна – поле скоростей не зависит 2.2. Решение от времени. Все компоненты тензора Эйнштейна для этой мет рики равны нулю.

Нетрудно заметить, что метрика Пэнлеве имеет тот же вид (2.2), что и метрика однородного расширяющегося Мира, но с другим полем скоростей:

2M V = VM =. (2.8) r Целью данной главы является нахождение совместного ре шения, вблизи массы (при малых радиусах и небольшом интер вале времен) она должна переходить в метрику Пэнлеве, а на бесконечности – в метрику Эйнштейна – де Ситтера на основе формы метрики (2.2).

2.2. Решение Так как обе сшиваемые метрики имеют вид (2.2), обобщим в метрике (2.2) лишь выражение для поля скоростей (2.3):

Vr (r) V= (2.9) t0 + t и вычислим тензор Эйнштейна, а затем приведем его к виду (2.4). Равенство нулю давления, определяемого компонентой Vr (r) (Vr (r) + 2 r (Vr (r) 1)) G1 =, r2 (t + t0 ) приводит к дифференциальному уравнению первого порядка на функцию Vr (r):

Vr (r) + 2 r (Vr (r) 1) = 0, (2.10) решение которого содержит константу интегрирования C:

2r C +.

Vr (r) = 3 r Первое слагаемое однозначно определяет расширение и мал о при малых r, где основную роль играет второе слагаемое. При 22 Расширение Вселенной и гравитация t = 0 оно совпадает с полем скоростей метрики Пэнлеве (2.8) если выбрать константу C = t0 2 M. Тогда полное поле скоро стей:

1 2r 2M V= + t0. (2.11) t0 + t 3 r Это решение переходит в метрику Пэнлеве при t0 или в метрику Эйнштейна – де Ситтера при t0 0.

Тензор Эйнштейна сохраняет вид (2.4). Компонента G0 опре деляет плотность пылевидной материи (в трактовке ОТО):

4 3 t0 2 M G0 = 1+. (2.12) 3 (t0 + t)2 2 r3/ Сингулярность плотности порядка r3/2 интегрируема с эле ментом объема 4 r2 dr.

2.3. Движение пробных тел Динамика свободной материальной точки определяется га мильтонианом h – выражением энергии через радиальный им пульс и момент через обратный метрический тензор (все им пульсы отнесены к массе):

g p p = 1;

p0 = h.

, = 0... 3;

(2.13) Гамильтониан свободной частицы h определяется из соотноше ния (2.13) для метрики (2.2) через обратную метрику:

L (h + V p)2 p2 + = 1;

r L2 p Vr (r) 1 + p2 + h= +. (2.14) r2 t0 + t Гамильтониан определяет уравнения движения:

dr p 2r t0 2M = + + ;

(2.15) dt 3 (t0 + t) t0 + t r L 1 + p2 + r 2.3. Движение пробных тел L dp p 2 t0 2 M = ;

(2.16) 2 r3/ dt t0 + t L r3 1 + p2 + r d L =. (2.17) dt L r2 1 + p2 + r При очень больших t0 – далеко по времени от “большого взрыва” – в составляющей скорости основную роль играет часть с массой. Если время обращения по орбите мало по сравнению с t0, то изменение масштаба при каждом обороте незначительно и траектории практически совпадают с траекториями в метрике Шварцшильда. Однако за большое число оборотов или при не очень большом t0 изменение масштаба приводит к значитель ному изменению траекторий.

Рассмотрим, например, изменение круговых орбит за счет расширения. Базисом для такого анализа является описание орбит в поле Шварцшильда, проведенное в 1931 году Хагива рой [20] (см. также монографию Чандрасекара [21]).

На круговых орбитах (для релятивистских частиц) энергия и момент определяются радиусом орбиты r0 :

(r0 2 M )2 M r L2 = E= ;

.

r0 (r0 3 M ) r0 3 M Предельной орбитой, на которой еще возможно круговое дви жение, является r0 = 3 M. Орбиты с такими параметрами в расширяющемся Мире будем называть условно круговыми ор битами.

24 Расширение Вселенной и гравитация Сравним (сильно релятивистские орбиты при 2 M = 1) с r0 = 100 при t0 = 106 и t0 = 250000 на интервале времени 100000:

С течением времени орбиты не только увеличивают свой радиус, но и в конце концов частица улетает в бесконечность.

Это связано с исключительно важным свойством поля скоро стей (2.11). Масса гравитирующего тела входит в него не как отдельная константа, а в виде зависящего от времени выраже ния M t Mt =. (2.18) (t0 + t) Гравитирующие свойства центрального тела в настоящий момент определяются величиной M, однако по мере расшире ния мира его гравитационная масса падает обратно пропорцио нально квадрату абсолютного времени, так что в конце концов оказывается не в состоянии удержать тело, первоначально вра щавшееся по (почти) круговой орбите.

Этот эффект особенно существенен при рассмотрении тра екторий в обратном по времени направлении. Тяготеющая мас са возрастает, а радиус орбиты уменьшается, так что в конце концов достигается предел r = 3 M :

2.3. Движение пробных тел Условно эллиптические орбиты образуют более сложные узо ры из вращающихся эллипсов уменьшающихся (назад по вре мени) размеров. Орбиты также как и условно круговые доходят до предельно малых размеров, после чего также происходит па дение на центр.

26 Расширение Вселенной и гравитация 2.4. Назад по времени Полученное решение говорит о том, что коэффициент про порциональности между инерциальной (постоянной во време ни) и гравитационной массой в расширяющемся мире уменьша ется с течением времени. Это уменьшение нельзя приписать из менению гравитационной постоянной, так как сами уравнения Эйнштейна, из которых получено решение, выведены в пред положении ее постоянства. Этот эффект приводит к важным следствиям при рассмотрении истории Вселенной – движении по времени назад.

Пусть имеется звезда радиуса R и массой M с малым в на стоящий момент гравитационным радиусом rg = 2 M/r. При движении назад по времени ее гравитационный радиус возрас тает и в какой-то момент достигает внешнего радиуса. Пусть на поверхности этой звезды покоится малое тело массы m. Момент L = 0. Из гамильтониана (2.14) следует условие для покояще гося тела p mV m V = 0;

p = r=.

1V 2 + p m Чтобы тело находилось в равновесии, со стороны поверхности звезды его должна поддерживать сила h mV V = pV = F =p=.

r 1V Приближение к гравитационному радиусу: V 1. При этом вес каждого тела на поверхности звезды стремится к бесконеч ности.

Гравитационный радиус (при малых r в абсолютном време ни t) достигает радиуса R при условии:

2 M t2 rg rg = = R;

t1 = t0.

t2 R Здесь rg –гравитационный радиус звезды в настоящий момент.

Например, для Солнца R = 695 500 км, rg = 3 км, откуда t1 = 27 000 000 лет.

2.5. Вращение Раньше этого времени Солнце не могло существовать.

2.5. Вращение Кроме массы звезда характеризуется моментом количества движения, определяющим вдали от звезды поле Лензе – Тир ринга. Точное стационарное решение вакуумных уравнений Эйн штейна при удалении от поверхности звезды определяется мет рикой Керра, содержащей параметр вращения a, так что при a 0 метрика Керра переходит в метрику Шварцшильда. В книге [5] метрика Керра была переведена в глобальное время (см. также стр. 47), при этом пространственная часть метрики всюду риманова, но в отличие от метрики Пэнлеве не является плоской.

Однако в линейном приближении по параметру вращения a – на радиусах r a – пространственная часть переходит в евклидово пространство:

ds2 = dt2 (dr V r dt)2 r2 d2 r2 sin2 (d dt)2. (2.19) В расширяющемся Мире 2r 2M t0 2M a 3L Vr = + ;

= =. (2.20) 3 2 c r 3 (t0 + t) r (t0 + t) r Здесь L – не зависящий от времени момент импульса вращаю щейся звезды, как это следует из формулы (6.38) при рассмот рении слабых полей.

Для метрики (2.19) тензор Эйнштейна в линейном по a при ближении сохраняет вид (2.4) с плотностью энергии (2.12), ес ли подставить динамическое поле V r из (2.11), а выражение для сохранить константой. При этом также оказываются от личными от нуля компоненты тензора Эйнштейна G1 = V r и G3 =, а остальные равны нулю с точностью до a2.

Таким образом, получено решение для метрики вращающей ся звезды в расширяющейся Вселенной в линейном приближе нии по параметру a, то есть на расстояниях много больших гравитационных радиусов звезд.

28 Расширение Вселенной и гравитация Если тяготеющая масса в процессе расширения уменьшает ся, то момент количества движения L остается неизменным, а следовательно, по мере расширения Вселенной процессы враще ния оказываются более существенными на более поздних ста диях.

2.6. Заключение Полученное сферически - симметричное решение определя ется единственным дифференциальным уравнением (2.10) и усло вием расширения – простой зависимостью поля скоростей от времени (2.9). Оно содержит единственную константу интегри рования. Решение приводит к нетривиальному выражению для компоненты тензора Эйнштейна G0 (2.12).

С точки зрения общей теории относительности для реали зации такого решения требуется нетривиальное непрерывное распределение пылевидной материи, определяемое компонен той G0 – его нужно специально сформировать распределением этой пыли.

С точки зрения динамической теории пространства в гло бальном времени [5] – это вакуумное решение, найденное еще в 2008 году С.Ю. Губановым [16]. Выражение для компоненты G0 в этом подходе определяет плотность энергии и является результатом решения.

Таким образом:

• При рассмотрении ранних стадий развития Вселенной осо бенности возникают значительно позже времени Большо го Взрыва. В решении Фридмана не было параметров, по этому особенность в его решении только при tabs = 0.

• Большое красное смещение квазаров может быть связа но не только с кинематическим изменением длины волны за счет расширения Вселенной, но и с мощным гравита ционным красным смещением в удаленных от нас по вре мени звездах, имевших во время излучения значительно бльшие гравитационные массы.

о 2.6. Заключение • Если на ранних стадиях расширения Вселенной притяже ние превалировало над вращением, то с ростом масштаба процессы вращения начинают превалировать над притя жением.

• Этим может объясняться спиралевидность большого чис ла галактик, а также эффекты аномального распределе ния скоростей во вращающихся галактиках, обычно объ ясняемые некоей “темной материей”.

Глава Глобальное время в общей теории относительности Решения ОТО могут быть приведены к глобальному времени.

На примере рассмотрения движения тел и света в окрестно сти массивного тела показано, что определяющие траекто рии значения энергии и момента количества движения пол ностью согласованы с их нерелятивистским пределом и выра жение для энергии генерируется сдвигом в глобальном време ни. Равенство нулю энергии в ОТО определяется принципом общей ковариантности и не соответствует понятию класси ческой энергии, в которую должна переходить энергия в ОТО.

Анализ показывает необходимость отказа от общей ковари антности.

3.1. Введение. Избранные системы коор динат Декартова система координат в евклидовом пространстве является избранной. Ее избранность состоит в том, что в ней как бы отсутствует метрический тензор: во всех точках простран ства он представляется единичной матрицей, поэтому, напри мер, ковариантные и контравариантные компоненты тензоров совпадают. Именно поэтому до середины XIX века люди, жи вя и работая в евклидовом пространстве, даже не подозревали о существовании метрического тензора. Работая, например, в 3.1. Введение. Избранные системы координат сферической системе координат, проводили аккуратный пере счет в эту систему длин и производных по координатам, считая декартову систему исходной, естественной.

Аналогична ситуация со временем в классической физике.

Наиболее уверенно свойства времени описал Леонардо до Вин чи ( [17] с. 82):

Время совпадает только с первыми началами гео метрии, т. е. с точкой и линией: точка во времени должна быть приравнена к мгновению, а линия име ет сходство с длительностью известного количества времени. И подобно тому, как точки - начало и конец линии, так мгновения - граница и начало каждого промежутка времени.

Ньютону пришлось строго определять объективное время при описании объективных законов движения: производная от скорости по какому времени пропорциональна силе.

Большую путаницу в понятие времени внес Эрнст Мах. Вме сто обсуждения времени, в котором протекают физические про цессы, в частности, определяемые тем же вторым законом Нью тона, он ведет речь лишь об измерении времени [18]:

Движение может быть равномерным относительно другого движения. Вопрос, равномерно ли движе ние само по себе не имеет никакого смысла. В такой же мере мы не можем говорить об “абсолютном вре мени” (независимо от всякого измерения). Это аб солютное время не может быть измерено никаким движением и поэтому не имеет никакого ни прак тического, ни научного значения, никто не вправе сказать, что он что-нибудь о таком времени знает, это праздное “метафизическое” понятие.” Действительно, математика давно научилась использовать замену переменных. Описание процессов в произвольно выбира емом времени – это тензорный анализ в одномерном простран 32 Глобальное время в общей теории относительности стве. Пусть, например, t – ньютоново время. Преобразуем пе ременную времени t = f ( ) и будем принимать за “новое вре мя”. Назовем такое произвольное преобразование времени пре образованием Маха. Связь описаний динамических процессов в ньютоновом времени и “новом времени” определяется связью длительности, о которой писал Леонардо, в одном и другом вре мени:

dt dt = d.

d Время метризуется:

2 dt dt dt2 = d 2 = g d 2 ;

g =.

d d Далее вводится связность g d g d 2t d t = = /.

d 2 d 2 d По отношению ко времени скорость является ковариантным вектором и ковариантная производная скорости по времени про порциональна производной по ньютонову времени:

dv dt d v d dv v = v= = g. (3.1) dt d d d dt dt d При записи второго закона Ньютона нужно не забывать добав ку со связностью. В ньютоновом, “объективном” времени нет никаких добавок. Они исчезают, как связности в декартовой системе координат евклидового пространства.

Можно, например, следуя совету Маха, время измерять уг лом сдвига Земли по ее эллиптической орбите вокруг Солнца, положив d = d ;

= const:

r(t) d L = ;

dt = d.

r(t) dt L Далее можно вычислить связность и при записи закона движе ния не забыть про нее. Тогда в новом времени будет естественно равномерное изменение угла по новому времени.

3.2. Глобальное время Так как одномерное пространство не обладает кривизной, при любом g ( ) можно найти истинное, равномерно текущее время dt = g ( ) d, определяющее динамику физических процессов. При движении планеты вокруг Солнца есть равно мерный процесс именно в этом времени: постоянна секториаль ная скорость (второй закон Кеплера).

3.2. Глобальное время В работе 1911 года [19] Эйнштейн рассмотрел свободно па дающий лифт как инерциальную систему. Рассмотрим динами ку такого лифта в произвольным гравитационном поле с мет рическим тензором g (xµ ) и обратным метрическим тензором g (xµ ). Будем описывать свободное движение частицы с мас сой m уравнением Гамильтона – Якоби для действия S(xµ ):

S S g = m2 c2 ;

g = 1.

x x x x Последнее уравнение получено из первого заменой переменной S = m c. Уравнение Гамильтона – Якоби определяет функцию (xµ ) в принципе, во всем пространстве. Более того, так как это дифференциальное уравнение в частных производных, оно определяет множество решений, имеющих, как правило каусти ческие особенности. При этом оно описывает свободное падение не одной лаборатории, а целого континуума.

Если, однако, имеется такое решение без особенностей, то выбрав переменную за временню переменную, мы приведем у компоненту метрического тензора g 00 к значению единица во всем пространстве. По законам преобразования тензора g 00 = g = 1. (3.2) x x Переменную естественно назвать глобальным временем [5]. Характерным условием в глобальном времени является g 00 = 1.

34 Глобальное время в общей теории относительности Не задаваясь пока вопросом о единственности и каустиках, констатируем: по крайней мере, в конечной области про странства – времени можно перейти к глобальному вре мени.

Для того, чтобы понять связь глобального времени с време нем классической механики, рассмотрим хорошо изученные в ОТО процессы движения частиц и света в окрестности сфери чески симметричного тела массы M.

3.3. Траектории тел и света Описание всех возможных траекторий было проведено еще в 1931 году в фундаментальной работе японца Хаджикара [20].

Очень подробное описание траекторий проведено в [8, 21]. Мы рассмотрим этот вопрос с целью уяснения смысла параметров траекторий – энергии и момента импульса.

При описании различных физических явлений вблизи мас сивного тела метрика Шварцшильда обычно рассматривается как единственная – с точностью до преобразования простран ственных координат. В одной из самых первых фундаменталь ных монографий по ОТО – “Матеметической общей теории от носительности” Эддингтона [22] вопросу единственности посвя щено специальное исследование: это решение “...при соблюде нии некоторых условий является единственным”:

1. галилеев характер метрики на бесконечности;

2. равенство нулю g41, g42, g43 ;

3. независимость gµ от t;

4. шаровая симметрия части ds2, относящейся к простран ству.

Условия 1, 3 и 4 являются физическими, однако условие – психологическое: математики и физики всегда предпочитали работать с ортогональной системой координат – проще. Лег ко показать, что в общем случае четырехмерная метрика не 3.3. Траектории тел и света может быть приведена к диагональному виду. Действительно, метрический тензор имеет 10 компонент, но имеется произвол выбора четырех функций преобразования координат, с помо щью которых можно обратить в нуль четыре компоненты мет рики, так что неуничтожимыми остаются шесть компонент, в то время как диагональная метрика представляется четырьмя компонентами. Поэтому требование диагональности метрики в общем случае невыполнимо, несовместно с уравнениями Эйн штейна и может рассматриваться лишь как временное удобство, возможное лишь в задачах с соответствующей симметрией. На пример, никакими преобразованиями нельзя глобально уничто жить недиагональные компоненты в метрике Керра, описываю щей геометрию пространства – времени снаружи вращающейся массы.

3.3.1. Движение в метрике Шварцшильда В метрике Шварцшильда:

dr 2 M ds2 = c2 dt2 r2 (d2 + sin2 d2 ).

1 2 M c2 r 1 c2 r (3.3) движение происходит по экваториальной поверхности симмет рии, поэтому, выбрав сферические координаты, можно считать, что движение происходит при неизменном значении угла = /2 с равным нулю p.

Общая методика описания движения опирается на связь им пульсов с массой движущегося тела – уравнение Гамильтона Якоби для действия S:

S g P P = m2 c2 ;

g p p = 1, = P ;

(3.4) x где введены относительные импульсы P = m c p.

После обозначения p l уравнение Гамильтона-Якоби при нимает вид:


p2 l2 2µ U p2 2 = 1;

U 1. (3.5) r U r r 36 Глобальное время в общей теории относительности Величина µ = M/c2 имеет размерность длины, а rg = 2 µ называют гравитационным радиусом. Из уравнений Гамильто на следует постоянство p0 = E/mc = const (закон сохранения энергии) и l = p = const. Выразив, теперь из (3.5) импульс pr p2 U (1 + l2 /r2 ) pr = ±, (3.6) U находим зависимость и r, определяющую траекторию движе ния (принцип Мопертюи):

l/r d pr = =. (3.7) p2 (1 2 µ/r) (1 + l2 /r2 ) dr l Этот вид уравнения может быть упрощен заменой радиаль ной переменной и соответствующей константы момента:

x = µ/r;

a = µ/l;

b = µ p0 /l. (3.8) После такой замены связь между углом и переменной x, свя занной с радиусом определяется дифференциальным уравнени ем:

dx dx d = =.

b2 2x)(a2 x2 ) 2 x3 x + 2 a2 x + (b2 a2 ) (1 + (3.9) В знаменателе стоит кубический полином, который можно расписать как произведение одночленов с корнями x1, x2, x3 :

2 x3 x2 + 2 a2 x + (b2 a2 ) = 2 (x x1 ) (x x2 ) (x x3 ) = 2 x3 2 (x1 + x2 + x3 ) x2 + (x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) x + (x1 x2 x3 ) x.

Сравнивая коэффициенты этого многочлена с коэффициента ми многочлена, входящего в выражение (3.9) при одинаковых степенях x, находим:

x1 + x2 + x3 = 1/2;

2 a2 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ;

b2 a2 = x1 x2 x3.

3.3. Траектории тел и света Третий корень выражается с помощью теоремы Виета через первые два: x3 = 1/2 x1 x2. Через них же теперь выража ются a и b, а следовательно, p0 и l. Но корни (x1, x2 ) – это точки – точки максимального (r1 ) и минимального (r2 ) ради усов: x1 = µ/r1 ;

x2 = µ/r2. Именно их удобнее задавать в качестве параметров орбит. Через них выражаются момент и энергия:

2 µ r 1 r l2 = 2;

(3.10) r1 r2 (r1 + r2 ) 2µ(r1 + r1 r2 + r2 )) (r1 + r2 ) (r1 2µ)(r2 2µ) p2 = (3.11) 0 2 r1 r2 (r1 + r2 ) 2µ(r1 + r1 r2 + r2 ) Из выражения (3.9) можно извлечь, например, знаменитое вращение перигелия Меркурия. Параметры x1 и x2 для орбит планет солнечной системы очень малые величины. При этом в процессе движения x1 x x2 x3. Положим x1 = x h;

x2 = x0 + h;

, тогда при h 0 так как x0 h x x0 + h значение x = x0 + x0. В этом приближении q = 1 2 (x + x1 + x2 ) 1 6 x0 = const и интеграл берется точно:

d q d = ;

q = arcsin. (3.12) h h2 x = x0 + h sin(q ).

Колебание между x1 и x2 совершается за период по углу 2 2 3 M (r1 + r2 ) = = 1+. (3.13) 2 c2 r1 r q µ 1 6 r Отсюда определяется знаменитый поворот перигелия Мерку рия на 43 угловые секунды в столетие.

Это выражение для изменения угловой переменной оказыва ется верным и при достаточно малых радиусах (не очень малых x0 – существенно релятивистское движение) – лишь бы малой была разность h = (x2 x1 )/2.

38 Глобальное время в общей теории относительности Изучим и более общие решения. Корни подкоренного урав нения (3.9) расположим в порядке x1 x2 x3. Так как подко ренное выражение должно быть положительно, если оно имеет вид f (x) = 2 (x x1 )(x2 x)(x3 x), (3.14) то совершается колебание x1 x x2, то есть между двумя меньшими корнями. При стремлении x1 x2 орбита переходит в устойчивую круговую. Если же x3 стремится к x2 (x3 = x2 + h;

h 0), то x2 также определяет круговую орбиту, однако малейшее уменьшение x x2 приводит к колебаниям между x1 и x2 – неустойчивая круговая орбита. Условие устойчивости круговой орбиты x3 x2.

Так как x1 + x2 + x3 = 1/2, то предельной устойчивой кру говой орбитой является орбита с x1 = x2 = x3 = 1/6, то есть Rmin = 6 µ.

На круговых орбитах r1 = r2 = R:

µ R2 (R 2µ) l2 = ;

e=. (3.15) R 3µ R (R 3µ) Энергия минимальна на предельной устойчивой орбите R = 6 µ, на которой она равна 8/9 m c2. В знаменателе подкорен ного выражения (3.15) стоит множитель (R 3µ), определя ющий, что при R 3 µ круговых орбит не существует. При уменьшении радиуса к значению 3 µ энергия (на самом деле e = E/(m c2 )) стремится к бесконечности. Она достижима лишь при m = 0 – для светового луча.

Общие финитные траектории имеют вид вращающегося эл липса и в общем случае незамкнутые. При малых значениях максимального и минимального радиусов угол вращения зна чительно увеличивается. Например, при орбите, близкой к кру говой, применимо выражение (3.12):

=.

1 6 M/(R c2 ) 3.3. Траектории тел и света То есть угол поворота может быть любой величиной от 2 до бесконечности. Среди этих траекторий есть и замкнутые, вот, например:

А вот примеры граничных траекторий:

Круговые орбиты с радиусом 3 µ R 6 µ неустойчи вы. Приведенные графики можно рассматривать и как уход с неустойчивой орбиты, так и наоборот, как асимптотическое па дение на нее с бесконечной накруткой угла. Первый график – финитная траектория, второй – инфинитная.

Условие того, что траектория является граничной такое же, как и для неустойчивой окружности: x3 = x2 ;

x1 + 2 x2 = 1/2.

Отсюда 1 2 x1 4 µ r x2 = ;

r2 =. (3.16) r1 2µ В частности, если r1 =, r2 = 4 µ.

40 Глобальное время в общей теории относительности 3.3.2. Метрика Пэнлеве Отказавшись от условия ортогональности метрики в году, Пэнлеве [9] показал, что существует бесконечно много ста тических сферически симметричных решений с заданной мас сой, получающихся из решения Шварцшильда преобразовани ем временнй переменной о dt = dt + w(r) dr. (3.17) Французский математик Поль Пэнлеве (1863-1933), один из создателей аналитиче ской теории дифференциальных уравнений, политик (во время Первой мировой войны военный министр и даже премьер-министр Франции), авиатор (10 октября 1908 г. под нялся с Вильбуром Райтом в качестве пас сажира в первом официальном полете с пас сажиром).

Многообразие сферически симметричных статических ре шений определяется многообразием функций w(r). Назовем это преобразование времени поясным, так как оно аналогично опре делению поясного времени на Земном шаре: в какой-то момент времени в поясах различной долготы установлено различное поясное время (например, когда в Москве 12 часов дня, в Лон доне еще только 10 утра, а в Вашингтоне 4 часа ночи). Но с точки зрения классической физики приращение времени для наблюдателя, покоящегося в любом поясе приращение времени одинаково (глобальный сдвиг времени).

В частности, внимание Пэнелеве привлекла одна метрика – далее мы будем называть ее метрикой Пэнлеве:

a a ds2 = dt2 1 dr2 r2 (d2 + sin2 d2 ), (3.18) + r r где a = 2 M/c2 = 2 µ. Пространственное сечение t = const имеет метрику трехмерного евклидова пространства в сфериче ских координатах. В решении Шварцшильда (3.3) пространство 3.3. Траектории тел и света (сечение t = const) не только сильно искривлено, но под грави тационным радиусом rg = 2kM/c2 вообще теряет свою локаль но евклидову структуру. Пространственный элемент метрики Шварцшильда dr dl2 = + r2 (d2 + sin2 d2 ) 1 2 M/(r c2 ) определяет тензор Риччи с не равными нулю компонентами 2M M 1 2 R1 = ;

R2 = R3 =, r3 c2 r3 c в то время как для плоского пространственного элемента мет рики Пэнлеве все компоненты тензора Риччи равны нулю.

Метрика (3.18) – результат поясного преобразования (3.17) метрики Шварцшильда с функцией V 2M w= ;

V= (3.19) 1V2 r c В метрике Пэнлеве не равны нулю следующие компоненты обратного метрического тензора 2M g 00 = 1;

g 0r = g r0 = V ;

g rr = V 2 1;

V = ±, (3.20) r c а g, g совпадают с соответствующими компонентами в мет рике Шварцшильда. Преобразованием (3.19) Пэнлеве привел метрику Шварцшильда к глобальному времени, а евклидовость пространства поднимает шансы этой метрики как предельной при переходе в классическую физику.

Уравнение Гамильтона-Якоби (при = /2, p = 0), в ко тором радиальный импульс в отличие от шварцшильдова обо значим pr, выглядит так:

l (p0 + V pr )2 p r = 1. (3.21) r 42 Глобальное время в общей теории относительности Выразим из него импульс pr l p2 (1 V 2 )(1 + V p0 ± ) V 0 r pr = = pr + w p0 ;

w=, 1V2 1V (3.22) так как 1 V 2 = U, а pr – это выражение радиального импуль са (3.6). Функция w в этом выражении – это функция (3.19), связывающая метрику Пэнлеве с метрикой Шварцшильда.

Определяющее траекторию дифференциальное уравнение d pr pr = = dr l l в точности совпадает c дифференциальным уравнением для метрики Шварцшильда, так как добавка к выражению для им пульса не зависит от углового момента l в случае метрики Пэн леве.

Этот результат вполне согласуется с математической техни кой ОТО: при преобразовании времени в соответствии с выра жением (3.17) ковариантный вектор импульса получает добавку t p r = p r + p = pr + w(r) p0. (3.23) r Так как преобразуется только времення переменная, это пре а образование на траекторию не влияет.

И в других координатах, после поясного преобразования (3.17) с произвольной функцией w(r) радиальный импульс преобра зуется по (3.23), – а значит траектории во всех статических сферически симметричных метриках одинаковы и определяют ся одними и теми же значениями момента импульса и энергии.

При этом в метрике Пэнлеве это траектории в трехмерном ев клидовом пространстве.

До некоторых пор поясное преобразование не влияет на фи зическую картину. Однако при уходе тела под горизонт пред ставляются картины, физически различные в разных метриках.

Начнем с метрики Пэнлеве. Уравнение Гамильтона – Якоби (m = 1):

2M (e + V p)2 p2 = 1;

V =. (3.24) c2 r 3.3. Траектории тел и света Уравнения Гамильтона определяют скорость движения части цы в собственном времени (вектор 4-скорости):

H H ur = r = = V e (1 V 2 )p;

u0 = = e + V p.

p e Рассмотрим падение на центр частицы, с энергией E = m c2 ;

p0 = 1, – на бесконечности она покоилась. Уравнение Гамильтона – Якоби в метрике Пэнлеве:

2 2 µ/r p (2 V p (1 V 2 )) = 0;

p1 = 0;

p2 =.

1 2 µ/r Совсем простое решение с p = 0:

2µ r = a (t t0 )2/3 ;

r= ;

a= µ. (3.25) r Частица проходит в плоском пространстве от гравитационного радиуса до центра r = 0 за конечное и даже для больших масс короткое время 3/ 2 rg 2µ 4M t= = =.


a 3c 3c В то же время при падении на центр в метрике Шварц шильда возникают проблемы с двулистными пространствами, описываемыми, диаграммами Крускала (см., например, [23]).

3.3.3. Световые лучи Уравнение Гамильтона-Якоби для световых лучей (уравне ние эйконала) однородно по действию:

g k k = 0.

= k ;

(3.26) x В метрике Шварцшильда k 2 /U U kr = = c k0 ;

= 0. (3.27) r t 44 Глобальное время в общей теории относительности Если мы интересуемся траекторией световых лучей, а не раз верткой их во времени, то как и при движении частиц нужно выразить радиальное волновое число 2 U k /r kr =, U и его производная по моменту k определит производную угла по радиусу:

k /r d kr = =±. (3.28) dr k 2 U k /r Как и для массивного тела заменим переменную r на обрат ную:

µ µ x = ;

dx = 2 dr;

= a.

r r k c Тогда уравнение траектории представится в виде:

dx d =. (3.29) a2 (1 2 x) x В отличие от уравнения (3.9) здесь всего один параметр a2 и, следовательно, всего один параметр r0 – наименьшее приближе ние луча к массивному телу определяет корень x0 = µ/r0, при котором кубический многочлен обращается в нуль. Он опреде ляет траекторию:

a2 = (1 2 x0 ) x2. (3.30) Подстановка этого выражения для a2 в (3.29) приводит к вы ражению dx d =. (3.31) (x0 x)(x + x0 2 x2 2 x x0 2 x2 ) Например, для Солнца x0 = 2.12 106, а 0 x x0, и подкоренное выражение можно разложить в ряд:

x x2 + x x0 + x 1 =2 1+ dx = + 4 x0 = x2 x2 x + x 3.3. Траектории тел и света 4M +. (3.32) R c Именно хорошо совпадающее с этим выражением значение угла отклонения света, проходящего вблизи Солнца в 1919 го ду во время полного солнечного затмения замерила экспедиция Эддингтона.

Для движения по окружности, как мы видели, два корня должны совпадать. Если выражение (3.30) продифференцировать по x0, ре зультат обратится в нуль при x0 = 1/3. При таком значении x0 в куби ческом многочлене два корня сов падают, а третий корень отрицате лен:

1 1 1 2 =.

x1 = x2 = ;

x3 = 3 2 3 Так как x3 x2, эта орбита (с R = 3µ) неустойчива.

Точно также не меняется траектория светового луча при по ясном преобразовании (3.17) и поэтому угловое отклонение лу ча света Солнецем не зависит от того – выбирается ли метрика Шварцшильда или Пэнлеве.

3.3.4. Гравитационное красное смещение В уравнении Гамильтона – Якоби (3.27) частота света яв ляется интегралом на траектории вследствие стационарности метрики.

Фотон проявляет себя во взаимодействии, например, с ато мами. Нужно вести речь не об энергии фотона, а о его энергии относительно того или иного тела (наблюдателя). На наблюда теля действует частота света в его собственном времени (см., например, [24]):

d = c u = c u k.

= (3.33) d x 46 Глобальное время в общей теории относительности Для наблюдателя, покоящегося в гравитационном поле в точке с потенциалом, где g00 = 1 + 2 2 отлична от нуля только ком c понента четырехмерной скорости u0, вычисляемая из условия нормировки g u u = 1;

g00 (u0 )2 = 1;

u0 = 1/ g00, так что выражение (3.33) приводит к наблюдаемой частоте = c u0 k0 = =. (3.34) 2 2M 1+ 1+ c2 r c Именно такой сдвиг частоты замерили Паунд и Реббка.

Частота света, измеряемая покоящимся наблюдателем, опре деляется только компонентой четырехмерной метрики g00, ко торая при поясном преобразовании времени не меняется.

3.4. Глобальное время и энергия При рассмотрении динамики вне массивного тела мы поль зовались вполне определенными понятиями энергии, момента количества движения, при уменьшении гравитационного потен циала плавно переходящими в соответствующие величины клас сической физики. В частности, инвариантность относительно сдвига по времени как в метрике Шварцшильда, так и в мет рике Пэнлеве приводила к сохраняющейся величине – энергии, величина которой одинакова во всех системах, связанных пояс ным преобразованием времени.

Вектор однородного сдвига по времени на величину, одина ковую во всех точках пространства t = t+dt – в векторном виде = (dt, 0, 0, 0) при поясном преобразовании не меняется, а в метрике Пэнлеве – это однородный сдвиг глобального времени.

Поэтому в круге задач, даже не только статических (на пример, космологических), понятие энергии можно связывать именно со сдвигом в глобальном времени, не меняющим соот ношения g 00 = 1. Он совпадает с генератором энергии в клас сической механике. Так как существует приведенный выше ал горитм приведения к глобальному времени, которое, таким об разом является не выдумкой в дополнение или в противовес к 3.4. Глобальное время и энергия ОТО, но естественно в ОТО содержится. В рассмотренных за дачах сильно релятивистского движения с вензелями и петлями энергия, момент импульса также хорошо определены, как и в задачах классической механики.

Для демонстрации приведенного выше алгоритма приведе ния решений ОТО к глобальному времени приведем в глобаль ное время метрику Керра.

3.4.1. Метрика Керра в глобальном времени В 1963 году Патрик Керр нашел более общее вакуумное ре шение уравнений Эйнштейна, в которое, кроме массы, входит еще параметр a, которому пропорционален момент количества движения вращающегося тела с массой M. При a = 0 это ре шение переходит в решение Шварцшильда [15]. ds2 = 2 2 2 2 w 2µr µra dt2 dr d 2 sin2 d2 +4 2 sin2 d dt, 2 (3.35) где = r2 + a2 2 µ r;

2 = r2 + a2 cos2 ;

w = (r2 + a2 )2 + 2 µ r a2 sin2.

Приведем ее к глобальному времени, используя изложенную выше методику перехода в собственное время свободно пада ющих в метрике Керра безмассовых лабораторий (пылинок).

Сначала нужно записать уравнение Гамильтона – Якоби:

2 2 (r2 + a2 ) 1 1 a2 sin2 2 2 t r 1 2µr 4 µ a r 1 + = 1, (3.36) sin2 2 2 t где = r2 + a2 2M r;

2 = r2 + a2 cos2.

Так как коэффициенты уравнения не зависят от t и, то сопряженные им импульсы есть константы:

= t + l + f (, r).

48 Глобальное время в общей теории относительности Из условия совпадения с t на бесконечности нужно, чтобы = 1. Слагаемое с квадратом l = / содержит в знаменателе sin2, и для избежания соответствующей сингулярности нужно положить l = 0. Умножив при этой подстановке (3.36) на 2, получим 2 (r2 + a2 )2 a2 sin2 r2 a2 + a2 sin2 = 0.

r Сокращая слагаемые с sin2, получим уравнение с коэффици ентами, не зависящими от, что вместе с условием на бесконеч ности определяет независимость от, так что окончательно получаем 2 µ r (r2 + a2 ) = t ± w(r);

w(r) =. (3.37) При a = 0 эта функция переходит в функцию (3.19) преобразо вания Пэнлеве.

Подстановка dt = d + u dr меняет компоненты метрики 2M r(r2 + a2 ) g 00 = 1;

g 0r = V r = и приводит пространственное сечение = const к метрике 2 2M r(r2 + a2 )(2M r 2 ) = 2 rr =+ ;

(3.38) 2 2M r(r2 + a2 ) 2M ar sin2 ;

r = 2 2M r = r2 + a2 + 2 a2 sin2 sin с детерминантом всюду положительным det(ij ) = 4 sin2. (3.39) Это говорит о том, что пространство всюду имеет локально ев клидов тип, в то время как в координатах Бойера - Линдкви ста (3.35) под горизонтом ( = 0) пространственное сечение t = const становится локально псевдоевклидовым.

3.5. Гравитационная энергия массивного тела 3.5. Гравитационная энергия массивного те ла 3.5.1. Гравитационная энергия тела в классической механике Классическая теории гравитации в своей основе опирается на введенный Лапласом гравитационный потенциал, определя емый из дифференциального уравнения Пуассона = 4 (3.40) с граничным условием равенства нулю на бесконечности.

Энергия самогравитирующей системы по аналогии с элек тростатикой складывается из отрицательной энергии самого по ля и потенциальной энергии тела:

( ) W= + dV. (3.41) Вне тела массы M и радиуса R M M 1 d e r2 dr = e = We = ;

. (3.42) r 2k dr 2R R Внутри тела уравнение (3.40) с учетом граничного условия |R = M/R приводит к выражению для потенциала внутри тела:

M r 3M i = +.

2 R 2R Отсюда энергия тела:

M2 6 M2 13 M Wi = =.

10 R 5R 10 R Суммарная энергия также отрицательна:

9 M W0 = We + Wi =. (3.43) 5R 50 Глобальное время в общей теории относительности Если жидкую каплю разделить на две, разнесенные на боль шое расстояние, то гравитационный радиус каждой капли, про порциональный ее массе, уменьшится в два раза, а внешний ра диус в 3 2 раз. Так как суммарная масса капель не изменится, то общая отрицательная энергия капель в своих гравитацион ных полях по модулю составит 22/3 = 0.63 от (3.43). То есть для такого разделения капель нужно совершить работу:

M A = 1.134. (3.44) R Что же предсказывает общая теория относительности?

3.5.2. Энергия в формализме АДМ Одним из важнейших этапов в описании динамики простран ства - времени в ОТО явилась серия работ Арновитта, Дезера и Мизнера 1959 года (формализм АДМ) [7], где в явном виде выделена переменная времени и показано, что динамическими переменными в ОТО являются компоненты трехмерной метри ки.

Они представили десять компонент четырехмерного метри ческого тензора через шесть компонент метрического тензора ij, трехмерный вектор V i и функцию хода времени N (t, x, y, z):

g00 = N 2 ij V i V j ;

g0i = ij V j ;

gij = ij. (3.45) Компоненты обратного метрического тензора Vi ViVj g 00 = g 0i = g ij = ij.

;

;

(3.46) N2 N2 N 10 уравнений Эйнштейна получаются как уравнения Эйле ра при вариации полного действия (гравитационное действие Гильберта плюс действие вещества) по всем десяти компонен там метрического тензора или десяти компонентам разбиения АДМ.

3.5. Гравитационная энергия массивного тела Разбиение АДМ (3+1) можно проводить в любых координа тах при любом выборе переменной времени. Проведем это это разбиение после приведения к глобальному времени:

g 00 = 1;

g 0i = V i ;

g ij = V i V j ij. (3.47) N (t, x, y, z) = 1;

Однако в соответствии с теоремой Гильберта вариация дей ствия по N и есть суммарная (гравитация плюс вещество) плот ность энергии. Но принцип общей ковариантности ОТО требу ет, чтобы и эта вариация равнялясь нулю, – априори выставля ется требование равенства нулю плотности суммарной энергии в любой точке и в любой момент времени.

В этом пункте предельный переход от ОТО к классической механике не верен. Вариация в собственном времени парамет ра хода времени N недопустима, она приводит к расхождению ОТО с классической механикой. Чтобы этого расхождения не было, теория, строящаяся на четырехмерной геометрии про странства – времени не может быть общековариантной.

3.5.3. Жидкая капля в ОТО Рассмотрим конкретный пример – самогравитирующая жид кая капля, – рассмотреный выше с классической точки зрения.

Статическая сферически-симметричная метрика приводит ся к виду:

ds2 = e2 (r) c2 dt2 e2 µ(r) dr2 r2 (d2 + sin2 d2 ). (3.48) Здесь две функции радиуса, которые должны быть найдены из уравнений Эйнштейна: (r), переходящая в гравитационный потенциал классической физики:

e2 = 1 +, c и функция µ(r), определяющая деформацию пространства, ока зывающимся плоским при µ(r) = 0.

52 Глобальное время в общей теории относительности Сначала попробуем провести приближение, в котором име ется только гравитационный потенциал, оставив пространство плоским:

ds2 = e2 (r) c2 dt2 dr2 r2 (d2 + sin2 d2 ).

Компонента G0 определяющая энергию гравитации, для этой метрики оказывается равной нулю. Ожидаемого приближения к классическому уравнению Пуассона для гравитационного по тенциала = 4 не возникает. Деформация пространства в уравнениях Эйнштейна оказывается необходимым элементом.

Для полной метрики (3.48) плотность энергии гравитации w = G0 выражается только через функцию деформации про странства µ(r):

1 d (r e2 µ(r) ) 1, w = G0 = (3.49) r2 dr а энергия гравитации в сферическом объеме радиуса R опреде ляется интегралом:

R c4 d (r e2 µ(r) ) e+µ Wg = dr. (3.50) 4k dr Вариации этого функционала по (r) и приводит к “десято му” уравнению Эйнштейна d (r e2 µ(r) ) 1 = r2, (3.51) dr из которого следует равенство нулю полной энергии внутри те ла R R c4 E= w g dr d d + g dr d d = 0. (3.52) 16 k 0 Переход к классической механике должен бы совершаться при малых массах, при стремлении µ к нулю, однако очевидно, что разложение (3.51) в ряд по µ дает нуль в любом приближе нии.

3.6. Динамика без общей ковариантности Таким образом, решение задачи о равновесии самогравити рующей жидкой капли в ОТО не переходит в соответствую за дачу классической механики. ОТО в ее современном виде име ет неправильный переход к классике.

Например, в рассмотренной выше задаче классической ме ханики о разрезании капли пополам мы вычислили необходи мую для этого работу. В ОТО и исходная капля, и разнесенные на большое расстояние ее части имеют нулевую энергию, поэто му необходимая работа равна нулю.

3.6. Динамика без общей ковариантности Образцом работы в глобальном времени является космо логия. Например, наиболее популярная в космологии метрика Эйнштейна – Де Ситтера имеет компоненту g 00 = 1, то есть вре мя в ней – глобальное. От глобального времени зависит масштаб пространства, четко отделенного от времени, m(t):

ds2 = c2 dt2 m2 (t) (dx2 + dy 2 + dz 2 ). (3.53) Из десяти уравнений Эйнштейна вследствие высокой симмет рии нетривиальными остаются два: вариация зависимости от времени радиуса приводит к динамическому уравнению:

m m + 2 = 4 p;

2 (3.54) mm c Вариация множителя перед dt2 приводит к “десятому уравне нию Эйнштейна”:

m 2 =. (3.55) 3 c m Уравнение (3.54) – дифференциальное уравнение второго порядка, динамическое. Его первый интеграл с учетом термо динамического соотношения, связывающего плотность энергии и давление p при изменении объема d = ( +p) dV допускает произвольную константу интегрирования E:

c m3 m m2 = E.

(3.56) 3 54 Глобальное время в общей теории относительности Одно это уравнение обеспечивает динамику масштаба мира, правда с произвольной константой E, определяемой из началь ных условий: если принять масштаб Мира в данный момент равным единице, то m = H – постоянной Хаббла, а – замерен ная к настоящему времени средняя плотность энергии вещества во Вселенной.

Однако уравнение (3.55) – требует, чтобы эта константа рав нялась нулю, то есть, чтобы H 2 c.

= (3.57) c2 Величина c называется критической плотностью.

Однако по тщательным замеров астрофизиков XX века это уравнение не выполняется в 25 раз! И здесь вариация по мас штабу времени приводит к резкому расхождению с наблюде ниями. Выход найден только через название дисбаланса этого уравнения “темной энергией”.

Таким образом без общей ковариантности и космологиче ские задачи перестают противоречить наблюдениям.

3.7. Обсуждение В 1914 году Эйнштейну наконец удалось установить общую физическую схему нащупываемой теории гравитации: источни ком кривизны, описываемой тензором Риччи, является тензор энергии – импульса материи R = T. Проведенный на ос нове этих уравнений расчет траектории Меркурия без всяких дополнительных гипотез объяснил обнаруженный Леверрье по ворот его эллиптической траектории. Казалось, что теория уже создана и работает.

Однако в 1915 году Д. Гильберт показал математическую некорректность этих уравнений и, дав Эйнштейну время на исправление математической ошибки, представил изящный ва риационный вывод математически корректных уравнений [12].

Теория с необычной физической идеей оказалась полностью корректной со стороны математики.

3.7. Обсуждение Но физики еще не привыкли к основному закону разви тия, хорошо известного программистам: “Последняя найденная ошибка на самом деле является предпоследней.” И общая тео рия относительности после экспериментарной проверки в году отклонения световых лучей Солнцем (вторая проверка) была объявлена непогрешимой как с физической, так и мате матической точек зрения.

Конечно, такое поспешное возведение теории в ранг непо грешимых вызывало протест многих физиков, однако для се рьезной критики нужно было серьезно с этой теорией порабо тать, но в исключительно богатой на открытия первой четверти (и даже половины) XX века большинство ученых занималось развитием совершенно других направлений. А некомпетентные “разоблачения” ОТО только укрепляли ее авторитет “самой вы дающейся теории”.

Немногие физики решались заявлять публично о своих со мнениях. Например, в известной книге Л. Бриллюена [25] мы читаем: “Общая теория относительности – пример великолеп ной математической теории, построенной на песке.” Но в книге Бриллюена более примечательно предисловие, написанное крупнейшим советским специалистом в ОТО А.З.

Петровым, где он высказывет серьезную озабоченность поло жением ОТО как раздела физики:

“Что же касается общей теории относительности, то вопреки довольно распространенному мнению могу чее сооружение этой теории покоится на столь шат ком экспериментальном фундаменте, что ее можно было бы назвать колоссом на глиняных ногах.” “... не существует опытных измерений основных ве личин теории, например, энергии поля тяготения.” “... общая теория относительности до сих пор щего ляет в коротких щтанишках “вундеркинда”, которо му все позволено и даже – освобождение от экспери ментальной проверки. Для истинного физика такое положение нетерпимо.” 56 Глобальное время в общей теории относительности “Среди рассматриваемых Бриллюэном вопросов за служивают особого внимания следующие: теория от носительности и потенциальная энергия...” Но интересны замечания и других крупных специалистов в ОТО.

Субрахманьян Чандрасекар (1910 – 1995). В 1931 г. показал наличие предела массы белых карликов. В 1983 г. издал монографию “Мате матическая теория черных дыр”.

Лауреат Нобелевской премии 1983 г.

Вклад в общую теорию относитель ности Субрахманьяна Чандрасекара огромен.

Однако и он обеспокоен слабой экспериментальной базой теории. В лекции “Эстетические основы общей теории относи тельности”, посвященной Шварцшильду [26], он пишет не о до верии, а о вере в эту теорию:

“Во время последних двадцати лет большие усилия были направлены на сверение низших порядков при ближения и Ньютоновой теории, как это предска зывала Общая теория относительности. Эти усилия увенчались успехом, и предсказания теории, относя щиеся к изменению течения времени в точках с раз личной гравитацией, к отклонению световых лучей, ожидаемому при пересечении гравитационного поля и следующее отсюда замедление времени, к прецес сии Кеплеровских орбит и, наконец, к замедлению периода обращения двойных звезд на эксцентриче ских орбитах, вследствие гравитационного излуче ния, все было подтверждено в пределах погрешно стей наблюдения и измерения.

Но все эти явления по отношению к следствиям из 3.7. Обсуждение Нютоновской составляли несколько частей к милли ону, не более 3-4 параметров в пост – ньютоновском развитии сравнений поля Эйнштейна. И, таким об разом, предсказание общей теории относительности в пределах сильного гравитационного поля не полу чило никакого подтверждения...

Почему же тогда мы верим этой теории?... наше доверие следует из красоты математического опи сания природы, которое дает теория.” Классическая механика заслужила доверие ученых и инже неров после работ Ньютона, Эйлера, Лапласа, показав свою эффективность в самых разных приложениях. В отношении к ОТО Чандрасекар говорит лишь о вере.

В конце 70-х годов В.Н. Фоломешкин подверг критике тезис о равенстве нулю энергии в ОТО, как противоречащий класси ческому понятию энергии. Если есть некоторое выражение для плотности гравитационной энергии (определяемую в те време на псевдотензором), содержащее некоторый малый параметр, то если полное выражение равно нулю, то оно равно нулю и в любом порядке разложения по этому малому параметру. Мо гут ли гравитационные волны в ОТО уносить энергию, если энергия источника всегда равна нулю [27]? Его поддержал А.А.



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.