авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«Федеральное агентство по образованию Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Д. Е. БУРЛАНКОВ ...»

-- [ Страница 3 ] --

Звезды, имеющие момент количества движения больше пре дельного, определяемого выражением (7.1) для краткости бу дем называть ротарами, в отличие от медленно вращающихся слипаров.

Исследователи чисто математических свойств метрик исхо дят из того, что метрика Шварцшильда однопараметрична, а метрика Керра имеет два параметра. Но если отвлечься от вра щения Земли, метрика вне ее описывается решением Шварц шильда, однако все сложности в окрестности гравитационно го радиуса никакого отношения к Земле не имеют так как ее гравитационный радиус составляет приблизительно 7 · 1010 ее 7.2. Горизонты ротаров геометрического радиуса, а метрика внутри Земли представи ма скорее внутренним решением Шварцшильда без каких-либо горизонтов и пр. Короче говоря, в метрике Шварцшильда два параметра: гравитационный и геометрический радиусы, а в ре шении Керра таких параметров три: масса M, параметр вра щения a и гравитационный потенциал на поверхности звезды, определяющий ее внешний геометрический контур.

Шварцшильдовы и медленно вращающиеся звезды (слипа ры – a M ), если их масса велика, должны коллапсировать достаточно спокойно: материя уходит под эргосферу и то, что с ней там происходит, никогда не скажется на области вне эр госферы, не выпускающей наружу ни вещество, ни сигналы.

Поэтому ядерные взрывы внутри эргосферы не могут привести к взрывам сверхновых.

Поведение ротаров принципиально другое. Пока теоретиче ские сингулярности находятся далеко под поверхностью объек та, никаких заметных проявлений это нарушение не вызыва ет. Однако, если ротар неограниченно коллапсирует, то еще до ухода материи под горизонт наступает топологический фазо вый переход: внешняя фигура звезды из топологически подоб ной сфере переходит в топологически подобную тору, причем не постепенным уменьшением размера вдоль оси вращения до ну ля с постепенным превращением в тор, а при конечной толщине вращающегося диска. При этом обнажается сингулярность. Та кой переход, без сомнения, является упомянутым выше “суще ственным преобразованием природы звезды”, который не может происходить без взрывов.

7.2. Горизонты ротаров Если осесимметричная вращаюшаяся звезда имеет массу m и момент количества движения L, то ее керрова модель опреде ляется массовым параметром M = k m/c2 и параметром враще ния a = L/(m c). Оба эти параметра имеют размерность длины, так что их отношение = a/M = L c/(k m2 ) – быстрота враще ния – безразмерна. Значение = 1 отделяет слипары ( 1) 112 Вспышки сверхновых и вращение от ротаров ( 1).

Третьим параметром является гравитационный потенциал 0 на поверхности звезды, через который определяется безраз мерный параметр времени = 2 /c2 :

= 1.

g00 = 1 + c Он определяет внешнюю геометрию звезды. Значение = определяет теоретический горизонт звезды. Если 1, то теоретический горизонт реально отсутствует: под внешней гра ницей звезды находится вещество и характер решения суще ственно отличается от вакуумного. Звезда является почти сфе рической с экваториальным радиусом R, и момент инерции J = m R2. Для однородной сферы = 2/5, так что для приблизи тельно сферической звезды быстрота вращения выражается че рез ускорение свободного падения на ее поверхности g = k m/R и период вращения вокруг собственной оси T :

m R2 c R a c == = c = 2.

M km km gT Мы уже показали, что Земля является быстрым ротаром.

Приведем значение безразмерного параметра Керра для Солн ца и некоторых планет Солнечной системы:

g м сек T, час. Солнце 0.4 275 6000 1. Венера 0.332 8.87 243 cут. 3. Меркурий 0.324 3.7 1411 32. Луна 0.4 1.62 27.3 Юпитер 0.2 25 9ч.50 мин. Земля 0.332 9.81 24 Сатурн 0.22 11 10ч.14 мин.

Здесь для Луны и Солнца вследствие отсутствия замерен ных величин взято значение = 0.4 – как для однородного шара. Если для Солнца = 0.315, то оно окажется как раз на 7.2. Горизонты ротаров границе слипаров и ротаров. Если же 0.2, как у Юпитера или Сатурна, то Солнце оказывается слипаром. Все же пла неты, а также Луна, являются ярко выраженными ротарами.

Выделяется значение = 1023 у Сатурна, у которого и наблю даются наиболее эффектные проявления вращения.

Метрика Керра при нулевой массе (параметр M = 0, но a = 0) описывает плоское пространство в сфероидальных ко ординатах (см. [10]). Размер сингулярной области определяет ся параметром a и кривизна пропорциональна M/a3, то есть мала при малом отношении M/a, так что несмотря на слож ность формул, метрика Керра может описывать ротары в по чти плоском пространстве, однако в сфероидальных координа тах, связывающих координаты Бойера – Линдквиста с декар товыми координатами в трехмерном евклидовом пространстве следующим образом:

a2 + r2 sin cos ;

a2 + r2 sin sin ;

x= y= (7.3) z = r cos.

У слипаров выделяют две характерные поверхности – гори зонт, определяемый соотношением 2M r g00 = 1 = 0, (7.4) r2 + a2 cos и эргосфера, определяемая соотношением = r2 2 M r + a2 = 0. (7.5) Последнее уравнение имеет вещественные решения лишь при 1, так что для ротаров эргосфера отсутствует и остает ся лишь одна характерная поверхность – горизонт, уравнение которого следует из (7.4):

r2 2 M r + a2 cos2 = 0. (7.6) Это квадратное относительно r уравнение имеет два решения M 2 a2 cos2 = M 1 2 cos2.

r1,2 = M ± 1± 114 Вспышки сверхновых и вращение Проследим, как меняется горизонт при a M = 0.95 =1 = 1.01:

Критическая поверхность (при = 1) отсекает по оси z отрезки размера a = M.

При 1 геометрическая особенность r = 0, = /2 ( [48]) оказывается открытой и отстоит от оси вращения на расстоянии a.

Приведем вид горизонта для больших (в масштабе M = 1):

= 2, = 7.3. Коллапс ротаров В великолепном обзоре Руффини [50] записаны уравнения движения пробных частиц (не изменяющих массу и момент ко личества движения звезды). Они не содержат каких-либо ви димых особенностей, которые можно было бы трактовать как взрыв. Более того, описание динамики коллапса пылевидной 7.3. Коллапс ротаров материи, образующей массу и момент количества движения вра щающейся звезды, был описан в [51]. Эти решения также пред ставлены некоторыми интегралами. Но чтобы представить “су щественное преобразование природы звезды”, нужно следить не за отдельными пылинками, а за облаком в целом. В сфериче ски - симметричном варианте коллапса уменьшается внешний радиус звезды, при этом во всех точках поверхности одинако во уменьшается гравитационный потенциал (растет по модулю, так как он отрицателен). При коллапсе вращающейся звезды последовательность поверхностей = const ( = const) в опре деленной степени отображает коллапс ротара. Эти поверхности находятся из выражения для компоненты g00 метрики Керра:

2 2M r g00 = 1 1=1 ;

2 c Как и для горизонта, это квадратное уравнение относительно радиуса:

2M r2 r + a2 cos2 = 0.

Оно совпадает с уравнением горизонта (7.6), если в последнем заменить M на M/. В частности, топологический переход со вершается при потенциале M M = a;

c = =. (7.7) c a Это очень важное соотношение: если при сферически – сим метричном коллапсе особенности достигаются при = 1, то для ротаров топологическая особенность достигается при зна чительно меньших значениях: = c = 1/. Размер критиче ской поверхности вдоль оси z для = 1 равен M, определяется массой, а для ротаров этот размер равен параметру вращения a, который может быть во много раз больше гравитационного радиуса.

Построим серию эквипотенциальных поверхностей M M a2 cos ± r1,2 = 116 Вспышки сверхновых и вращение для ротара с = 2 (в масштабе M = 1):

На ранней стадии коллапса форма ротара близка к сфериче ской, однако по мере приближения к критическому потенциалу c = 1/ она становится более сплюснутой. После прохождения критического потенциала происходит резкое изменение геомет рии звезды: она при конечном размере вдоль оси z (z = 2 a) принимает тороидальную форму, при этом обнажается сингу лярность. По-видимому, этот переход для сколь-нибудь реали стической модели вещества звезды не может проходить квази статически, а приводит к взрыву. Внутренний контур на рисун ке отображает горизонт = 1. Переход наступает задолго до горизонта, особенно у ротаров с большим.

7.4. Пространственная метрика До сих пор мы занимались только компонентой g00 метри ки Керра. Однако картины горизонтов или эквипотенциальных поверхностей зависят от пространственной метрики, и здесь мы сталкиваемся с принципиальными вопросами.

Еще в 1921 году П. Пэнлеве [9] показал неоднозначность трехмерной геометрии в решении Шварцшильда (см. раздел 3.3.2.). Он рассмотрел преобразование времени t = t +u(r) и по казал, что при этом метрика остается статической и сферически симметричной, однако при этом меняется метрика простран ственного сечения t = const. В частноcти, он привел метрику 7.4. Пространственная метрика Шварцшильда к виду: ds2 = 2kM 2k M c2 dt2 + 2 dt dr (dr2 + r2 (d2 + sin2 d2 )).

r c2 r (7.8) Пространственное сечение этой метрики (dt = 0) – это плоское евклидово пространство.

Наиболее характерным свойством этой метрики является со отношение g 00 = 1 всюду и всегда. Время с таким соотношением называется глобальным временем. В глобальном времени про странство и время строго отделены, трехмерное пространство риманово (т.е. с четырехмерной точки зрения любые прираще ния пространственных координат определяют пространствен ноподобные интервалы).

Космологические решения ОТО всегда исходят из метрики в виде:

ds2 = c2 dt2 ij (x, t) dxi dxj, где компонента метрики g 00 = 1 – время глобальное.

Прочие решения ОТО также могут быть приведены к гло бальному времени. Если имеется четырехмерная метрика g в произвольных координатах x, для приведения ее к глобаль ному времени нужно преобразовать координаты (точнее – вы брать только новую временню координату = c t) так, чтобы у выполнилось условие g 00 = 1. По законам преобразования тен зора g 00 = g = 1.

(7.9) x x Но это дифференциальное уравнение на оказывается урав нением Гамильтона – Якоби для траекторий движения свобод но падающих материальных точек (лабораторий), общим соб ственным временем которых и является t. Таким образом, в глобальном времени реализуется физический принцип эквива лентности, привязывающий инерциальную систему к свободно падающей лаборатории, однако в отличие от лифта Эйнштейна, этих лабораторий множество и время в них синхронизировано.

118 Вспышки сверхновых и вращение Тем самым принцип эквивалентности из локального превраща ется в глобальный.

Решение уравнения (7.9) для метрики Керра в координатах Бойера – Линдквиста в принятых обозначениях 2 = r2 + a2 cos2 ;

= r2 2 M r + a2 ;

W = (r2 + a2 )2 a2 sin приводит ее к глобальному времени заменой = t U (r), где 2M r(r2 + a2 ) d U (r) = u(r) =.

dr Подстановка dt = d + u dr не меняет компоненты g00, но 2M r(r2 + a2 ) 2M ar g 00 = 1;

g 0r = g 0 = ;

.

2 W Метрика пространственного сечения = const приводится к виду 2 2M r(r2 + a2 )(2M r 2 ) = 2 rr = + ;

(7.10) 2 2M r(r2 + a2 ) 2M ar sin2 ;

r = 2 2M r = r2 + a2 + 2 a2 sin2 sin Скалярная кривизна трехмерного пространства 8 M a2 r (1 + 3 cos 2) R= (2 ) линейна по M и обращается в бесконечность при 2 = 0, то есть при r = 0, = /2.

Геометрия построенных в предыдущих разделах поверхно стей горизонта и равного потенциала определяется метрикой 7.4. Пространственная метрика (7.10). Мы проследим лишь за двумя параметрами этих поверх ностей: вдоль оси z ( = 0, dl = g (z) dr) и вдоль экваториаль ного радиуса ( = ±/2, dl = g (r) dr), где (в масштабе a = 1) g (z) = grr |=0 = 1;

(1 + r2 )(r2 + 4 M 2 ) 2 M r (1 + 2 r2 ) g (r) = grr |=/2 =.

1 2 M r + r (7.11) Расстояние по оси z не искажается. В частности, при критиче ском потенциале топологического фазового перехода толщина диска вдоль оси z равна 2 a.

При расчете расстояний вдоль экваториального радиуса мас штабный множитель g (r) не равен единице. Расстояние от оси вращения до сингулярности R определяется интегралом по ра диальной переменной при = /2:

g (r) dr.

R= Вычислим сначала это расстояние при M = 0 – в евклидовом пространстве в сфероидальной системе координат (7.3). Здесь 1 dr = 1 + r2 |0 3 = 4 1 = 1.

(r) g = ;

R= 1 + r2 1 + r Отсюда и определяется верхний предел интеграла. Для нену левых масс этот интеграл как функция быстроты вращения представлен на графике:

Из графика видно, что уже при 5 10 расчеты мало от личаются от расчетов в плоском пространстве, т.е. в динамике быстрых ротаров кривизна пространства играет малую роль.

120 Вспышки сверхновых и вращение 7.5. Заключение Отказ от чисто теоретического ограничения на момент ко личества движения вращающейся звезды позволил выявить но вый механизм, приводящий к взрыву звезд, тем более, что боль шинство астрономических объектов этому ограничению не под чиняются. Это запрет не на существование звезд с большим моментом, а на плавный, квазистатический их коллапс.

При больших моментах взрыв наступает значительно рань ше, чем коллапсирующая звезда достигнет своего горизонта, и при размерах, значительно бльших ее гравитационного ради о уса.

Глава Вращение релятивистской жидкости Из уравнений Эйнштейна общей теории относительности вы ведена система уравнений для равновесной конфигурации вра щающейся звезды из идеальной жидкости. Как и в нереля тивистской задаче, давление зависит от гравитационного по тенциала, включающего и центробежный потенциал (от ком поненты метрики g00 ). Исследованы граничные условия в цен тре и на бесконечности. На поверхности гравитационный по тенциал постоянен. Выведены условия сшивания внутреннего решения с внешним, в частности, с метрикой Керра. При при ближении поверхности вращающейся коллапсирующей звезды к горизонту, где скорость света стремится к нулю, враще ние носит принципиально релятивистский характер и источ ники неограниченно возрастают. Уравнения равновесия могут быть выведены из принципа минимума энергии. Прослежен путь перехода к нерелятивистским задачам.

8.1. Введение Вращение является одним из важнейших свойств космиче ских объектов. Около 50% галактик являются спиральными, вращаются вокруг своих осей звезды и планеты. Громадный прогресс в описании вращаюшихся космических тел был до стигнут в 1963 году, когда Рой Патрик Керр [52] нашел точное 122 Вращение релятивистской жидкости решение уравнений Эйнштейна в вакууме, описывающее внеш ность вращающейся звезды. Лишь через 20 лет Субрахманьян Чандрасекар [53] дал последовательный вывод этого решения уравнений Эйнштейна.

Если для звезды без вращения внутреннее и внешнее ре шения были найдены К. Шварцшильдом в 1915 году, сразу же после создания Общей теории относительности, то для метрики и распределения материи внутри вращающейся звезды до сих пор отсутствует не только аналитическое решение для какого либо вида материи, но и системы самосогласованных уравне ний, решение которых дало хотя бы численное решение [54].

Поэтому пока при исследовании вращающихся звезд в общей теории относительности приходится довольствоваться первым приближением по скорости вращения, разработанным в году Хартлем и Торном [55].

Наблюдатели имеют дело лишь с внешностью звезд, видимо, определяемой метрикой Керра, но поверхность звезды опреде ляется условиями сшивания внутреннего решения с внешним, которые до сих пор не были выведены [56].

В нерелятивистском случае давление равновесной жидко сти определяется суммарным гравитационным и центробежным потенциалом, в релятивистском же случае этот суммарный по тенциал определяет компоненту метрики g00 = 1 + 2 /c2. Зави симость давления идеальной изоэнтропной жидкости от компо ненты метрики g00 в сопутствующей системе является достаточ но общим соотношением, вывод которого мы здесь представим.

8.2. Изоэнтропный газ в сопутствующей си стеме В изоэнтропной жидкости давление, плотность энергии и другие термодинамические потенциалы однозначно функцио нально связаны друг с другом. Эти соотношения достаточно по дробно рассмотрены еще Толменом [57]. Для дальнейшего важ но соотношение между давлением p, энтальпией h, плотностью 8.2. Изоэнтропный газ в сопутствующей системе вещества и плотностью энергии :

dp = dh;

d = h d;

+ p = h. (8.1) Тензор энергии-импульса идеальной жидкости может быть представлен в виде:

T = ( + p) u u p = ( u ) (h u ) p.

(8.2) Закон сохранения количества вещества ( u ) = 0. (8.3) из четырех уравнений равенства нулю дивергенции тензора энер гии – импульса = u h, = T (h u ) оставляет только три независимых (четвертым является он сам):

h, u + (u u ) u = 0. (8.4) h Свертка этих соотношений с u тождественно равна нулю.

В сопутствующей системе частицы относительно себя не пе ремещаются и отлична от нуля только компонента четыре – скорости u0, а компоненты ui равны нулю (латинскими индек сами мы отмечаем пространственные компоненты). Если, кро ме того, система стационарна – производные по времени от всех переменных равны нулю, – то уравнения (8.4) принимают ста ционарный вид:

h,j u0 0 uj =. (8.5) h Так как производные по времени равны нулю, слева оказыва ется лишь добавка в ковариантную производную от связностей и так как g00 (u0 )2 = 1, u = g 0 u0, откуда g 0 u = u0 :

g00,j h,j u0 u = u0 00j g 0 u = =. (8.6) 0j 2 g00 h 124 Вращение релятивистской жидкости Отсюда следует основное соотношение гидростатики иде альной изоэнтропной жидкости в сопутствующей системе:

const h=. (8.7) g Все термодинамические величины, однозначно определяемые энтальпией h, выражаются через компоненту метрики g00 (с нижними индексами). В частности, эта компонента метрики определяет давление, и на поверхности звезды, определяемой равенством нулю давления, компонента g00 должна быть по стоянной.

8.3. Уравнения равновесия внутри звезды В сопутствующей системе координат метрика определяет ся четырьмя неопределенными функциями двух переменных:

(r, ), µ(r, ), (r, ), (r, ): (gij ) = e2 q 2 e22 r2 2 sin2 q e22 r2 sin 0 e2µ 0 0.

e2µ2 r 0 0 q e22 r2 sin2 e22 r2 sin 0 (8.8) Корень из детерминанта этой метрики не зависит от :

g = e2µ+2 r2 sin.

При этом тензор энергии-импульса представляется как 0 ( +p) K 0 1K 0 p 0 i (Tj ) =. (8.9) 0 0 p 0 p 00 Исключительно важную роль играют тождества Гильберта i i Tj = 0, подставив в которые связности, вычисленные через метрику (8.8), для тензора (8.9) получаются два уравнения p + p ln g00 p + p ln g = = ;

. (8.10) r 2 r 2 8.3. Уравнения равновесия внутри звезды Это значит, что поверхности постоянного давления (изоба ры) – это поверхности постоянного гравитационного потенциа ла, если представить компоненту метрики g00 = 1 + 2 /c2. В частности, на границе тела p = 0, поэтому уравнение границы тела определяется условием = const.

Мы используем систему единиц 8 k/c4 = 1, в которой урав нения Эйнштейна записываются как Gi = Tji. j Если взять произвольные функции (r, ), µ(r, ), (r, ), (r, ), то тензор Эйнштейна имеет нетривиальные компоненты (из-за симметрии Gij нужно рассматривать компоненты с i j):

G 0 ;

G1 ;

G2 ;

G 3 ;

G1 ;

G0.

0 1 2 3 2 Для того, чтобы метрические функции описывали вращающую ся звезду из идеальной жидкости с тензором энергии-импульса (8.9), на них должно быть наложено четыре уравнения:

Z1 = G2 = 0;

Z2 = G1 G2 = 0;

Z3 = G1 G3 = 0;

(8.11) 1 1 2 1 ( + p) K G0 =.

1 K Последнее уравнение является дифференциальным уравне нием на (r, ):

+ (3 ctg + 3 4 ) rr + ( + 3 r 4 r ) r + = r r 2 e2µ2 ( + p). (8.12) 1 e24 q 2 2 r2 sin При подстановке в G0 G1 G2 G3 = +3 p второй производной 0 1 2 rr, выраженной из (8.12), в полученное выражение из вторых производных входят только rr и :

2 + ctg + + 3p = e2µ rr + r +r r + + (8.13) r r e2µ+26 ( + p) q 2 2 r2 sin2 1 24 q sin2 (r2 2 + 2 ).

+e r 1 e24 q 2 2 r2 sin2 126 Вращение релятивистской жидкости Из уравнения G3 = p определяется дифференциальное урав нение на µ(r, ):

µ + µr = p e2µ2 + µrr + + r + r r ( + p) q 2 2 r2 sin2 e2µ+2 6 + e24 q 2 sin2 (r2 2 +2 ).

r 24 q 2 2 r 2 sin2 1e (8.14) Суммa (G1 + G2 ) e2µ2 = 1 3 r + 2 + 2 ( + 2 ctg + 2 ) = 2 p e2µ2 (8.15) rr + r r r определяет дифференциальное уравнение на (r, ). Однако име ются еще два тождества G1 = G3 и G2 = 0, которые позволяют 1 3 определить все вторые производные (r, ):

= 2 2 ctg r r r µr + µ r2 µr r + ctg µ + 1 24 2 2 r2 r + r2 p e2µ 2 q r sin (r2 2 2 );

(8.16) e r µr 2 r 2 r + µr r + 2 ( µ ctg µ )+ rr = r r r p e2µ2 + e24 q 2 r2 sin2 (r2 2 2 );

(8.17) r r = (ctg + ) (µr r )+ 1 µ ( + r ) 2 r + e24 q 2 r2 sin2 r. (8.18) r Согласованность вторых производных rr, r, гаранти руется тождествами Гильберта. Оно выражается в перестано вочности частных производных:

z1 = (rr ) r (r );

z2 = (r ) r ( ).

Выражения z1 и z2 обращаются в нуль при выполнении соотно шений (8.10).

8.3. Уравнения равновесия внутри звезды Граничные условия В римановом пространстве бесконечно малая окрестность любой точки имеет евклидову геометрию. В частности, в окрест ности центра пространственная метрика может быть представ лена как метрика Минковского с малыми поправками, уравне ния Эйнштейна по которым линейны. В метрике в бесконечно малой окрестности центра ds2 = e20 dt2 e2µ0 20 (dr2 + r2 (d2 + sin2 d2 )) две константы 0 и µ0 могут быть исключены глобальным мас штабным преобразованием eµ0 0 r = r.

e0 t = t;

После решения внутренней задачи значения e и eµ на грани це при сшивании с внешним решением и определяют масштаб обратного преобразования. Таким образом, в центре можно по лагать 0 = µ0 = 0, 0 = 0 (то есть решать задачу в переменных t, r).

Параметр q входит в уравнения в сочетании q r2, поэтому в центре стремление r к нулю эквивалентно стремлению q к нулю, то есть функция в окрестности центра не влияет на другие функции метрики. Уравнения вблизи центра линейные:

4 rr + r + 2 (3 ctg + ) = 2 ( + p0 ) 0 ;

(8.19) r r 2 1 0 + 3p rr + r + 2 (ctg + ) = ;

(8.20) r r 1 µ µrr + µr + 2 = p0 ;

(8.21) r r 2 µr ctg µ rr + r = + + p0 ;

(8.22) r r r + 2 ctg + r r = ctg µ r µr + r2 p0 ;

(8.23) r + ctg r = ctg µr + µ. (8.24) r 128 Вращение релятивистской жидкости Это система линейных, неоднородных, почти не связанных урав нений. Ее решение представляется как сумма неоднородного (проще всего – сферически-симметричного) решения и супер позиции однородных решений.

В сферически-симметричном решении первые радиальные производные линейны по радиусу:

r2 r2 r2 r2 r µ µrr ;

rr ;

rr ;

0 +rr ;

p p0 +prr.

2 2 2 2 Подстановка этих соотношений в уравнения (8.19)-(8.24) при r 0 приводит к связи параметров вблизи центра:

rr = ( + p0 ) 0 ;

+ 3 p0 p0 p rr = ;

µrr = ;

rr =.

6 2 ( + p0 ) ( 0 + 3 p 0 ) prr = ( + p0 ) rr =.

Таким образом, параметрами, определяющими решение, явля ются p0, 0 и 0, определяемое через p0 уравнением состояния.

К построенному неоднородному решению вблизи центра мо гут быть добавлены с произвольными коэффициентами муль типольные решения однородных уравнений:

4 rr + r + 2 (3 ctg + ) = 0;

(8.25) r r 2 rr + r + 2 (ctg + ) = 0;

(8.26) r r 1 µ µrr + µr + 2 = 0. (8.27) r r Их несингулярные решения вблизи центра представляются как 0 (r, ) = rk ak Qk (cos ).

k= 8.4. Сшивание с метрикой Керра Сферическая часть – полиномы Гегенбауэра с = 3/2 – яв ляются основой сферических функций в пятимерном простран стве. Функция раскладывается по полиномам Лежандра.

rk bk Pk (cos ).

(r, ) = k= Наконец, µ0 (r, ) = rk (ck cos k x + dk sin k x).

k= Однако, согласование с запрещает мультипольные дополне ния к µ, но на мультиполи и нет никаких ограничений, так что в принципе, кроме p0, 0, 0 решение определяется двумя бесконечными сериями констант ak и bk в центре.

Интегрирование ведется до достижения поверхности p = 0. На границе жидкости должны быть непрерывны функции,, µ и их нормальные производные.

На бесконенчости пространство становится плоским, источ ники отсутствуют, и поля удовлетворяют уравнениям (8.25) (8.26) также с двумя сериями констант. Это или решение Кер ра [52], или решения Томимацу и Сато [58], или их некоторая композиция с осесимметричными решениями Вейля.

8.4. Сшивание с метрикой Керра В метрике Керра на поверхности можно ввести константу k, связанную со значением компоненты g00 на границе:

2M r g00 = 1 =1.

r2 2 cos +a k Она определяет уравнение поверхности звезды:

r 2 + a2 cos2 = 2 k M r.

(8.28) Это квадратное уравнение относительно r. При k |a|/M оно определяет поверхность, топологически эквивалентную сфере с 130 Вращение релятивистской жидкости полярным радиусом r = k M + k 2 M 2 a2 и экваториальным r = 2 k M. Вторая поверхность лежит внутри первой, но так как внутри первой поверхности находится вещество, метрика не совпадает с метрикой Керра и второе решение просто отсут ствует. При k |a|/M оба решения определяют поверхность, топологически изоморфную тору.

Здесь мы обозначили радиальную переменную r, так как она не обязана совпадать с радиальной переменной внутреннего решения.

Через константу k определяются и другие компоненты мет рики Керра. На поверхности p = 0, k = const:

a sin2 ;

a2 sin2 sin2 ;

g33 = 2 k M r + 1 + g03 = k k 2kM r g11 = ;

g22 = 2 k M r;

r 2 2M r +a Эта метрика должна сшиваться с метрикой внутреннего реше ния на границе:

2kM r d2 = e2µs 2s dr2 ;

2 k M r = e2µs 2s r2.

r r2 + a2 2 M r Отсюда d r dr = r r2 + a2 2 M r определяется связь r и r:

M 2 a r =r+M +. (8.29) 4r Сшивание компонент g M 2 a2 a e2 = r+M + 4r k позволяет вычислить, затем значения на границе a2 sin a2 M 2 k e2 = e = 1 + ;

a2 M 2 4 r2 k1 k 2 (r + 4r ) 8.4. Сшивание с метрикой Керра и k M ((M + 2r)2 a2 ) e2µ2 =.

2 r При этом a (k 1) =.

a2 M 2 k2 a r+ sin 4r Для сшивания с метрикой Керра интегрирование из центра должно вестись с такими параметрами, чтобы на поверхности p = 0 выйти на эти соотношения.

Угловую скорость можно выразить через внешние коор динаты. Так как a2 M = r2 2 M r + a2, r+ 4r то распределение на поверхности определяется выражением a =, (8.30) r ((1 + k) r 2 k M ) + (1 + k) a В частности отношение угловой скорости на экваторе e к уг ловой скорости на полюсах p 2 k 2 M (k M + k 2 M 2 a e = 4 k 3 M 2 + a2 (1 + k) p |a|/M угловая скорость на поверхно показывает, что при k сти постоянна, но при уменьшении k она становится неоднород ной:

a2 1 + 2 k e 1 2 2.

p kM 4k Угловая скорость на экваторе меньше угловой скорости на по люсах. Распределение угловой скорости на поверхности звезды (8.30) определяется только параметрами метрики Керра a, M и параметром поверхности k и не зависит от вещества (которое, однако, полагается сжимаемой идеальной жидкостью).

132 Вращение релятивистской жидкости Вариационный метод Уравнения равновесия (8.12)–(8.15) могут быть получены из принципа минимума потенциальной энергии, выраженную через рассматриваемые поля:

U = U + U + Uµ + Lp, (8.31) где 1 34 r sin3 (2 + r2 2 );

U = e (8.32) r U = e sin ( + r2 r );

2 (8.33) Uµ = e sin ((ctg + ) µ + (1 + r r ) r µr );

(8.34) Особо следует сказать о лагранжиане жидкости Lp, опреде ленном Шютцем [59] через давление как функции энтальпии, определяющей плотность вещества и плотность энергии :

dp dp = p = p;

= ;

+ p =.

d d Зависимость давления от компоненты g00, определяемая тож дествами Гильберта (8.10) связывает энтальпию с этой компо нентой: = k/ g00, где константа k определяется соотноше нием на границе при нулевом давлении. Лагранжиан Шютца определяется выражением Lp = g p();

= 1/ g00 ;

g00 = e2 e22 q 2 2 r2 sin2 ;

g = e2µ+2 r2 sin.

Вариация этого выражения по компонентам метрики определя ет правые части в вариационных уравнениях:

p g ( + p) g Lp = g 2 g 8.5. Переход к нерелятивистскому пределу Lp ( + p) g = 2 g p g ( + p) g Lp =.

g 2 g Так как g00 не зависит от µ, то эта вариация проще:

p g Lp = = 2 p.

g µ µ Вариация по µ приводит лишь к уравнению на (8.15). Од нако уравнение (8.18) не является вариационным, оно есть ре зультат выбора переменных такими, чтобы gr = 0, и является дополнительным.

Важным является различие знаков у различных составляю щих: U положительно определена, а U – отрицательно опре делена. С точки зрения классической физики выражение энер гии (8.31) может включать произвольный набор компонент. На пример, в монографии автора [5] рассмотрены чисто вихревые поля, содержащие компоненты, µ и. Энергия этих полей положительно определена.

В общей теории относительности принцип общей ковариант ности требует, чтобы суммарная энергия равнялась нулю, по этому в решениях ОТО дозировка компонент строго согласова на.

8.5. Переход к нерелятивистскому преде лу В уравнениях (8.15) – (8.18) в качестве источника для поля входит величина p – в размерных единицах 8 k p/c4 и квад ратичные компоненты градиентов других метрических функ ций, при пренебрежении которыми эти уравнения оказываются однородными линейными, имеющими решение = 0. В урав нении (8.14), определяющем поле µ, кроме того содержится слагаемое со множителем ( + p) 2 r2, в размерных единицах ( 8 k /c2 ) (v 2 /c2 ) – произведение двух малых величин. Это 134 Вращение релятивистской жидкости определяет область допустимости приближения µ = 0. В урав нении (8.12), определяющем поле вращения как постоянную составляющую 0 плюс неоднородную функцию, определяю щий неоднородную составляющую, пропорционален (16 k /c2 ) 0, то есть в широком диапазоне классических задач пренебрежи мо мал, поэтому в этих условиях можно положить = const.

Тогда единственной вычисляемой переменной остается (r, ), для которой уравнение (8.13) с учетом указанных упрощений переходит в дифференциальное уравнение + 3 p e4 ( + p) 2 r2 sin 2 + ctg = e rr + r + + 2.

e e2 2 r2 sin r r (8.35) Энтальпия, а вместе с ней и давление, является функцией компоненты g00 = e2 e2 2 r2 sin2.

В частности, на поверхности звезды эта величина постоянна.

Это приближение является приближением специальной тео рии относительности, так как в нем не затронута деформация пространства, но оставлены релятивистские эффекты динами ки жидкости, наиболее существенным из которых является зна менатель в последнем слагаемом (именно компонента g00 ). При больших угловых скоростях вращения на периферии она стре мится к нулю – скорость вращения приближается к скорости света.

Следующим шагом является разложение e2 1+2 /c2 при 2 1 и заменой в правой части e 1 (далее мы переходим /c к размерным величинам):

+ 3 p ( + p) 2 r2 sin 2 + ctg 8k rr + r + =2 +2.

c 2 r2 sin r r c (8.36) 2 r 2 sin2 /2. Это предел Энтальпия зависит от функции слабого потенциала, но также релятивистский.

Наконец, переход к классической теории вращающейся жид кости (см., например, [60]) состоит в пренебрежении вклада ки нетической энергии вращения по сравнению с энергией покоя в 8.6. Заключение источнике:

2 + ctg + 3p 4 k.

rr + r + = 4k (8.37) 2 c r r Последнее приближение допустимо при максимально достижи мом давлении пренебрежимо малым по сравнению с плотно стью энергии.

8.6. Заключение Рассмотренная схема перехода от релятивистской системы уравнений вращающейся идеальной жидкости к традиционным нерелятивистским показывает пути учета релятивистских эф фектов для вращающихся звезд. Хотя все наблюдаемые движе ния небесных тел являются существенно нерелятивистскими, однако в процессе коллапса вращающихся объектов (звезд, или даже галактик в целом) возможно приближение границы это го объекта к горизонту, где скорость света стремится к нулю, что делает даже медленное движение релятивистским, и учет релятивистских эффектов для таких объектов становится обя зательным.

Например, в уравнении (8.12) при малых значениях величи ны q r – при малых по сравнению с местной скоростью света скоростях вращения – уравнение является линейным по. Од нако знаменатель в правой части пропорционален компоненте метрики g00, и если звезда сжата почти до горизонта g00 0, правая часть уравнения – источник – интенсивно возрастает и поле (поле Лензе – Тирринга) становится очень большим.

Обычный линейный подход приводит к оценке этих полей как незначительных в динамике космоса, однако при коллапсе вра щающихся звезд эти поля становятся существенными и могут приводить к эффектам, объясняемым в настоящее время эфе мерной “темной материей”, в то время как сильное поле Лензе – Тирринга вполне может объяснить аномалии движения звезд в спиральных галактиках [5].

Глава Уравнение Эйлера в поле скоростей Уравнения Эйлера записываются в системе с произвольным полем скоростей в обшековариантном виде с помощью инва риантной производной по времени. Вокруг однородно вращаю щегося шара имеется серия точных решений в виде гармони ческих и вихревых мод с полусуточным периодом. 24 декабря 2008 г., ИКИ, HEA-2008.

9.1. Введение Гидродинамическое уравнение Эйлера v + (v ) v = p (9.1) t с первого взгляда не является инвариантным даже по отно шению к переходу из одной инерциальной системы в другую.

Действительно, если в таком виде оно выполняется в некото рой инерциальной системе K, то в системе K, относительно которой система K движется с постоянной скоростью V, ско рости жидкости v относительно системы K по отношению к системе K равны v = v V, так что после такой замены (с учетом того что V – константа) в системе K уравнение Эйлера примет вид v )v + (v ) v = (V p, (9.2) t 9.1. Введение отличный от (9.1).

Однако именно Эйлер заложил основы понятия инвариант ная производная по времени, записав сначала в системе, свя занной с некоторой частицей жидкости, второй закон Ньютона, затем заметив, что при переходе в движущуюся систему функ ция f (r, t) оказывается функцией f (r, t) = f (rv t, t), так что ее производная по времени в исходной системе выражается через производную по времени в движущейся системе f f = + (v ) f. (9.3) t t Именно из этого появилась квадратичная по скоростям до бавка в уравнении (9.1). Поэтому производную по времени в уравнении (9.2) нужно заменить на Эйлерову производную, что эквивалентно добавлению в левую часть слагаемого (V ) v, сокращающимся с появившемся аналогичным слагаемым в пра вой части, что восстанавливает исходный вид уравнения Эйлера (9.1) уже в движущейся системе. Таким образом, в уравнении Эйлера производная по времени – не просто частная производ ная, но некий оператор – производная по времени в исходной системе.

Однако ее еще нельзя назвать инвариантной производной по времени по двум причинам. Во-первых, она является инва риантной только по отношению к постоянной и однородной ско рости перемещения относительно исходной инерциальной си стеме. Так при рассмотрении динамики жидкости во вращаю щейся системе, с неоднородным полем скоростей V = [ r] приходится из физических соображений, руками вводить ко риолисово ускорение [10, 60, 61]. Во-вторых, эйлерово преобра зование производной по времени справедливо при любом поле скоростей только для скалярных функций, а в преобразовании тензорных полей нужно учитывать их Ли-вариацию, связанную с преобразованием компонент поля при мгновенном преобразо вании координат.

138 Уравнение Эйлера в поле скоростей 9.2. Инвариантная производная по време ни Обозначим пространственные координаты инерциальной си стемы через xi, а некоторой неинерциальной системы xj (, t).

x Производные по времени, если функция зависит от координат, в различных системах, в которых сами координаты меняются во времени, выражаются по-разному. Производную по времени в инерциальной системе будем обозначать символом Dt и на зовем ее инвариантной производной по времени. По правилу дифференцирования сложной функции F xi xi F F F + V i i;

Vi = Dt F = +i =, (9.4) t x t t x t что и определяет инвариантную производную от скаляра (дав ления, плотности) в произвольной неинерциальной системе.

Для тензорного поля выражение чуть сложнее, так как про изводится еще преобразование, связанное с индексами. Рассмот рим сначала преобразование контравариантного векторного по ля Ai. В инерциальной системе отсчета его компоненты будем обозначать Ai :

xi j Ai xi Aj Aj xi Ai = +Vk + Aj A;

=.

xj xj xk xj t t t Преобразуем последнюю производную:

xi xi xk xl xi = l jVl = xj l xj xk t t x x x Отсюда инвариантная производная по времени от контравари антного векторного поля выражается:

i Dt Ai = A Aj j V i +V j j Ai = Ai Aj V;

j +V j Ai. (9.5) i ;

j t x x Она выражается одинаковым образом через обычные и ковари антные производные, так как в последнем случае все связности сокращаются.

9.3. Ковариантное уравнение Эйлера Аналогично, для ковариантного векторного поля j Bi + V;

i Bj + V j Bi;

j Dt Bi = (9.6) t и тензора произвольного ранга (в данном примере – третьего):

i Dt Qi = Q V;

s Qs + V;

j Qi + V;

k Qi + V s Qi.

i s s (9.7) js jk t jk jk sk jk;

s Она состоит из r + 2 составляющих, где r – ранг тензора. При r = 0 (скаляр) – мы имеем выражение (9.4) с двумя составля ющими: частной производной по времени и “переносным” чле ном, определяемым полем абсолютных скоростей. Для тензо ров, имеющих индексы, к каждому индексу (верхнему или ниж нему) добавляется слагаемое, определяемое производной поля скоростей как для контравариантного (9.5) или ковариантного векторного поля (9.6) в зависимости от расположения индек са. Инвариантная производная по времени была введена при описании динамики пространства [4, 5, 62].

Теперь все соотношения, полученные в инерциальной си стеме координат, можно перенести в неинерциальную, заменив обычную производную по времени на инвариантную.

9.3. Ковариантное уравнение Эйлера Ковариантное уравнение Эйлера для гидродинамического поля скоростей v(r, t) в неинерциальной системе, относитель но которой инерциальная система имеет поле скоростей V(r, t), должно выражаться через инвариантную производную по вре мени от поля скоростей относительно инерциальной системы, равной v(r, t) = v(r, t) V(r, t) в гравитационном поле с потен циалом :

Dt v + ( ) v = p ;

v Левая часть этого уравнения раскрывается v V ) v (v ) V + ((v V) (v V) + (V = t t 140 Уравнение Эйлера в поле скоростей v V + (v ) v 2 (v ) V + (V ) V.

t t Так мы приходим к ковариантному виду уравнения Эйле ра, применимому с любым полем скоростей и в любой системе координат, с учетом того, что пространственные производные векторов в выбранной метрике должны быть ковариантными, как это предписывается в римановой геометрии:

v 1 V ) v 2 (v )V = p + (v ) V + (V + (9.8) t t При однородном и постоянном поле скоростей все производ ные от поля V исчезают и уравнение (в любой инерциальной системе) принимает вид (9.1).

Во вращающейся системе V = [ r]:

[ r] ) V = [ v];

) V = [ [ r]] = (v (V.

Уравнение Эйлера принимает известный вид [10, 60, 61] в гра витационном потенциале с корректировкой на кориолисово ускорение:

[ r] v ) v 2 [ v] = p + (v +. (9.9) t В случае зависимости угловой скорости от времени к правой части добавится [ r].

9.4. Гидродинамика на вращающемся ша ре Используем уравнение (9.9) для описания потоков на равно мерно вращающейся сфере. Естественно выбрать сферическую систему координат, в которой, однако, вместо традиционного угла (широты) за независимую переменную мы выберем его косинус z = cos, так что метрика примет вид:

dz dl2 = dr2 + r2 + (1 z 2 ) d2. (9.10) 1 z 9.4. Гидродинамика на вращающемся шаре При вычислении ковариантных производных понадобятся связ ности, определяемые зависимостью метрического тензора от ко ординат. Ненулевые компоненты в метрике (9.10):

1 z z = = ;

z = z = z (1 z 2 );

;

rz r zz 1 z r r z r = ;

r = r (1 z 2 );

=.

zz z 2 1 z 1z В сферической системе поле скоростей имеет одну постоян ную компоненту V =. Мы будем везде записывать векторы в контравариантном виде (с верхними индексами);

например, вектор вращения выглядит так:

V = (V r, V z, V ) = (0, 0, ).

Рассмотрим сначала потенциальные колебательные (с ча стотой ) моды на сфере с потенциалом t = fr (r) Plm () ei m ei t = fr (r) Plm () ei m ( m ), определяющий компоненты скорости v i = g ii i (мы не будем здесь их выписывать). При = 0 (отсутствие вращения) эта потенциальная мода является решением уравнений Эйлера. Од нако при = 0 к ней добавляется вихревая составляющая, ли нейная по и линейная по полю скоростей: если в данный мо мент поле скоростей является потенциальным, то производная по времени, вычисленная по уравнению Эйлера, содержит вих ревую составляющую: на вращающейся сфере потенциальная мода рождает вихревые.

При описании атмосферных явлений обычно принимаются в расчет только моды, связанные с неоднородностью давления (потенциальные), однако, например, вихревые моды, взаимо действуя с потенциальными, участвуют в определении общего баланса энергии.

Обратим внимание еще на один вид мод – гармонические моды. Это безвихревые векторные поля с нулевой дивергенцией – потенциальные поля с гармоническим потенциалом.

142 Уравнение Эйлера в поле скоростей При отсутствии вращения в сферической системе хорошо известны стационарные гармонические функции, имеющие вид l Blm Alm rl + f (r,, ) = Ylm (, ), (9.11) rl+ l=0 m=l а градиент таких функций обладает и нулевым ротором, и ну левой дивергенцией.

Среди векторных полей имеется однопараметрическое под множество с нулевым ротором и нулевой дивергенцией (гармо нические поля):

i vm = ei m rm2 ( 1 2 )m r, z,, (9.12) 1 z удовлетворяющее нелинейному уравнению, входящему в урав нение Эйлера:

( ) v = 0.

v (9.13) Гармоническое поле с заданным m 0 порождает серию вихревых полей с целочисленным индексом k: vm = vm (r z)k, k также являющихся решениями уравнения (9.13). Дивергенция этих полей также равна нулю, а ротор пропорционален индексу k:

ik k k k rot vm = v = i k vm. (9.14) rz m На сфере, вращающейся с постоянной угловой скоростью, амплитуда оказывается зависящей от времени, а вследствие ста ционарности эта зависимость определяется экспоненциальным множителем ei t. Уравнение Эйлера (без перепада давления, так как дивергенция этих полей равна нулю):

[ r] v ) v 2 [ v] = + (v. (9.15) t приводит к единственному требованию = 2, то есть период колебаний каждой такой моды равен половине периода враще ния сферы (половине суток).

9.5. Причины Таким образом имеется двухпараметрическая серия точных решений уравнения (9.15):

i vm = ei m 2 i t rm+k2 z k ( 1 2 )m k r, z,, (9.16) 1 z а также комплексно сопряженные им.

Первые поля при k = 0:

1 z i v1 = ei (2 t) 1 2,, ;

r 1 r v2 = ei (2 2 t) r (1 z 2 ), z (1 z 2 ), i ;

Наиболее существенным моментом является одинаковая вре менная зависимость для всех этих мод – с полусуточным пери одом.

9.5. Причины Три причины определяют полусуточую периодичность рас смотренных мод:

1. Равенство нулю дивергенции не вызывает изменений дав ления, волна не является акустической.

2. Равенство нулю (v· )v приводит к линейности уравнения динамики:

v + 2 [ v] + [ [ r]] = 0, имеющего решения с 3. t зависимостью от времени e2 i t.

Специфическая геометрия решений становится более понят ной при переходе к декартовой системе координат:

1 2 cos ;

1 2 sin ;

x=r y=r zd = r z.

Преобразование компонент вектора определяется матрицей 1 2 cos 1 2 sin z (x, y, zd ) z 1z z = r 1 2 cos r 1 2 sin (J) =, r (r, z, ) sin cos 1 2 1 r r 144 Уравнение Эйлера в поле скоростей определяющей вектор в декартовой системе координат:

(J) · vm = (x i y)m1 zd (1, i, 0) e2 i t.

k k (9.17) При k = 0 – это хорошо известные двумерные решения на основе функций комплексной переменной, переведенные в трех мерье добавлением нулевой третьей компоненты. Умножение на произвольную функцию третьей переменной делает поле вих ревым, но соотношения div v = 0 и (v · )v = 0 сохраняются.

Выражение (9.17) обобщается: полусуточный период имеет вектор:

v = w(x + i y) f (zd ) (1, i, 0) e2 i t (9.18) с произвольной функцией комплексной переменной w(x + i y) и произвольной функцией f (zd ).

В двумерном случае полусуточный период во вращающейся системе имеют векторы:

v = w(x + i y) (1, i) e2 i t.

[61] Если жидкость, простирающаяся до бесконечности, перво начально находится в состоянии с угловой скоростью 0 /2, то любое двумерное движение, вызываемое в этой жидкости, име ет постоянную завихренность 0...

9.6. Заключение Колебания давления с полусуточным периодом эксперимен тально были обнаружены давно. Процитируем Ламба [60]:

“Если обратить внимание на возможное увеличение ампли туды вследствие резонанса, то интересно поставить вопрос о том, не может ли атмосфера иметь свободные периоды прибли зительно в 12 солнечных или лунных часов...

Известно из опыта, что в показаниях барометра наблюдают ся правильные колебания с периодом в одни солнечные сутки и в половину солнечных суток, между тем как влияние соот ветствующих лунных приливов почти незаметно. Амплитуда 9.6. Заключение полусуточных колебаний (по солнечным суткам) на экваторе примерно равна 0.937 мм, в то время как амплитуда, которую дает “статическая” теория приливов равна только 0.011 мм.” Ламб описывает разные модели возникновения полусуточ ных колебаний, однако, при учете только дивергентных мод (с отличной от нуля дивергенцией) накладываются жесткие спе циальные требования на параметры атмосферы. Рассмотрен ные выше гармонические и вихревые моды имеют полусуточ ный период никак не связанный с параметрами атмосферы.

Хотя сами гармонические и вихревые моды перепада давле ния не создают, но резонансно взаимодействуя (вследствие су щественной нелинейности уравнения Эйлера) с дивергентными модами, могут приводить к колебаниям давления с полусуточ ным периодом.

Глава Метод граничных мод Граничные моды – с максимальным по модулю значением m – находятся из дифференциальных уравнений первого порядка.

Остальные сферические моды получаются из них действием операторов понижения или повышения. Техника особенно вы игрышна для многокомпонентных полей. Она применяется для нахождения мод векторных полей. Использование ее для спи норных полей приводит к непосредственному отделению урав нения для радиальных функций, например, при описании атома водорода уравнением Дирака.

Ключевые слова: векторные сферические гармоники, спи норные сферические гармоники, Ли-вариации, векторы Киллин га.

10.1. Введение Традиционная операторная техника получения сферических функций достаточно прозрачна: в алгебре Ли трехмерной груп пы вращений имеется два коммутирующих оператора Lz и L2, собственными функциями которых и являются сферические функ ции. То, что они являются собственными функциями Lz, при i m, а дей водит к специфической зависимости от угла как e ствие при этом оператора L2 приводит к уравнению Лежандра в функции от cos. Также вводятся операторы L+ и L, по вышающие и понижающие индекс m моды. Воздействие эти ми операторами на моду с m = 0, представляемую полиномом 10.1. Введение Лежандра с индексом l, получается серия мод с индексом m, изменяющимся от l до +l.

При описании колебаний атмосферы и океанов, распростра нения радиоволн приходится сталкиваться с векторными функ циями, а в квантовой механике, учитывающей спин электрона, приходится иметь дело со спинорными функциями. Для них то же выведены операторы Lz и L2, однако, так как эти функции многокомпонентные, то действие оператора L2 приводит к си стеме линейных дифференциальных уравнений второго поряд ка, в которых перемешаны разные компоненты полей. Хотя эта процедура и доведена до конца (см., например, [63–65]), однако получающиеся выражения для мод слишком громоздки.

Метод граничных мод упрощает процедуру построения мод (не только скалярных, спинорных и векторных, но и мод лю бой тензорной размерности) за счет следующего обстоятель ства: оператор L2 может быть представлен в виде L2 = L · L+ + L2 + i Lz. (10.1) z Построение серии мод начинается с граничной моды с наиболь шим значением m = l. Действие на эту моду оператором L+ дает нулевой вектор (или спинор). Эта мода вследствие кон струкции (10.1) автоматически оказывается собственной функ цией оператора L2 с собственным значением l (l + 1).

Требование граничности моды определяется дифференци альным оператором первого порядка L+, что существенно упро щает процедуру по сравнению с традиционной. Далее, действуя на эту моду оператором L, получаем моды с меньшими m вплоть до m = l. При этом, так как оператор L коммути 2, все эти моды являются собственными рует с оператором L модами последнего с тем же собственным значением l (l + 1).

В данной работе методом граничных мод мы построим сфе рические моды для векторных и спинорных полей.

148 Метод граничных мод 10.2. Операторы Киллинга Основной структурой, определяющей геометрические свой ства пространства, является выражение для расстояния между двумя бесконечно близкими точками – метрический элемент, определяемый метрическим тензором ij (x) с определенной за висимостью его компонент от координат:

dl2 = ij (x) dxi dxj. (10.2) Например, бесконечно малый элемент длины в сферической си стеме определяется выражением:

dl2 = dr2 + r2 (d2 + sin2 d2 ). (10.3) Проведем теперь бесконечно малое преобразование коорди нат, определяемое векторным полем i (x) и параметром мало сти (индекс после запятой определяет частную производную по соответствующей координате: i,j j i ):


xi = xi + i (x);

dxi = di + i,j dxj.

x (10.4) Выпишем преобразования метрического элемента (10.2) в ли нейном порядке по :

dl2 = ij (k + k )(di + i,k dxk )(dj + j,k dxk ) x x x ij () di dj + (ij,k k + kj k,i +ik k,j ) di dj.

xxx xx В этом выражении мы заменили i,k dxk i,k dk так как x различие этих выражений дает вклад лишь в квадратичное по выражение для вариации метрического элемента.

Линейная по составляющая вариации называется Ли - ва риацией метрики по векторному полю :

ij = ij,k k + kj k,i +ik k,j. (10.5) Если векторное поле i таково, что ij = 0, это поле назы вается полем Киллинга, а преобразование координат этим по лем – движением пространства, так как после такого преобра зование метрический элемент имеет точно такое же выражение, 10.2. Операторы Киллинга как и до преобразования, то есть геометрические свойства про странства не изменяются. Типичными движениями евклидова пространства являются повороты.

При преобразовании координат (10.4) могут изменяться дру гие поля. Например, Ли-вариация скалярного поля определяет ся следующим образом:

f (x) = f ( + ) = f () + ( i i ) f (x);

f (x) = ( i i ) f (x).

x x (10.6) При рассмотрении Ли-вариации векторного поля следует учесть, что в линейном по приближении xj j xj = xj j ;

= i j,i.

i x Далее нужно рассмотреть инвариантное выражение:

xj Ai (x) = Ai ( + ) i x = xi x xj j (Ai + j Ai,j ) (i j,i ) = (Ai () + Ai ) i.

x xj x Отсюда определяется Ли-вариация векторного поля:

Ai = j Ai,j Aj i,j [, A]i. (10.7) В это выражение входят два векторных поля и A, причем антисимметрично:

[, A] = [A, ].

Такая конструкция называется коммутатором двух векторных полей. Коммутатор есть также векторное поле.

При бесконечно малом преобразовании координат с помо щью векторного поля k все поля получают бесконечно малые добавки – Ли-вариации, определяемые линейными оператора ми. Ли-вариация скалярного поля k f = k i i f = K f. (10.8) 150 Метод граничных мод Ли-вариация векторного поля определяется коммутатором, яв ляющимся линейным оператором в пространстве векторных по лей:

k A = [k, A] = K A. (10.9) Ли-вариация, определяемая векторным полем Киллинга, опре деляет оператор Киллинга. Наиболее важным свойством опера торов Киллинга поля любой тензорной размерности является теорема о коммутации:

Теорема 1 Коммутатором операторов, порожденных двумя полями Киллинга, является оператор, порожденный комму татором этих полей.

10.3. Операторы вращений Сферические координаты слегка модифицируем, введя в ка честве независимой переменной вместо угла его косинус = cos. В этих координатах метрика принимает вид:

dz dl2 = dr2 + r2 + (1 2 ) d2. (10.10) 1 Последняя метрика допускает три линейно независимых век торных поля Киллинга (три бесконечно малых вращения). Век торные поля мы представляем их контравариантными компо нентами (k r, k, k ):

e±i. (10.11) 1 2, 0, ±i k3 = (0, 0, 1);

k± = 1 Коммутаторы полей Киллинга:

[k3, k ] = i k ;

[k3, k+ ] = i k+ ;

[k+, k ] = 2 i k3. (10.12) 10.4. Моды векторных полей Важность использования операторов Киллинга можно уви деть в следующей теореме. Так как векторы Киллинга не из меняют метрики, то при преобразовании Киллинга не меняется оператор ротор.

10.4. Моды векторных полей Теорема 2 С точки зрения теории линейных операторов ком мутатор с полем Киллинга и ротор коммутируют.

Например:

[kp, rot A] = rot [kp, A] (10.13) 10.4.1. Граничные моды В качестве первого оператора, определяющего моды полей любой тензорной размерности (скалярного, векторного и т.д.), удобно выбрать оператор, порожденный полем Киллинга k (10.11). Моды полей, являющиеся собственными векторами это го оператора, имеют определенную зависимость от угла – как ei m. Назовем такую моду m – модой.

Из коммутационных соотношений (10.12), приводящих к со ответствующим коммутаторам операторов Киллинга, следует, что оператор K+, определяемый векторным полем k+, действуя на m – моду, переводит ее в m + 1 – моду (увеличивает m). Со ответственно K уменьшает m.

Моды, не допускающие увеличения m, назовем граничными модами. Условием того, что данная векторная мода является граничной, является равенство нулю коммутатора векторного поля Киллинга k+ с данным полем. Присвоим этому макси мальному индексу наименование mmax = l.

Такт как операторы вращения действуют только на угловые переменные, мы пока не будем обозначать зависимость функ ций от радиуса. Выберем граничную моду в виде 1 2 )l ei l.

A = (fr (), f (), i f ()) ( Коммутатор вектора k+ с этой модой приводит к векторному полю Q1 Q ) ( 1 2 )l+1 ei (l+1), [k+, A] = (i fr (), i, 2 (1 2 ) (10.14) где Q1 = fw () + f () + f ();

1 152 Метод граничных мод Q2 = f () + (1 2 ) ((1 2 ) fw () fw ()).

Условием того, что выбранная мода является граничной, явля ется равенство нулю Q1 и Q2, откуда fw () выражается через f ():

fw = f () f (), (10.15) 1 а f () удовлетворяет дифференциальному уравнению f () = 0, то есть f = a + b, а (a + b ) fw = b.

1 Также из уравнения (10.14) следует,что fr = c – не зависит от. Константы a, b, c определяют три граничные поляриза ции, для которых теперь определим зависимость от радиуса:

A0 = (fr (r), 0, 0) ( 1 2 )l ei l ;

(10.16) (0) (1) (1) (1) ( 1 2 )l ei l ;

(10.17) A1 = fr (r), f (r), i f (r) 1 (2) (2) (2) ( 1 2 )l ei l (10.18) A2 = i fr (r), i f (r), f (r).

1 В первой и второй модах радиальная часть у компонент A и A одинакова, так как операторы K± преобразуют только угловые компоненты.

В теории углового момента моды ищутся как собственные функции операторов K3 и квадратичного K 2 = K · K+ + K3 + i K3, коммутирующего с K, K+, K3. Так как для граничной + · A = 0, она автоматически оказывается собственной моды K модой оператора K 2 с собственным значением l (l + 1).

Поэтому движение от граничных мод для скалярного поля требует решения лишь дифференциального уравнения первого порядка, а для многокомпонентных полей с высшим спином, имеющих по две поляризации – системы двух дифференциаль ных уравнений первого порядка. В этом состоит существенное упрощение метода граничных мод.

10.4. Моды векторных полей 10.4.2. Радиальные функции Для монохроматических волн уравнения Максвелла приво дятся к виду rot B = i k E.

rot E = i k B;

(10.19) После выбора масштаба k r = 1, эти уравнения приводятся к виду rot rot E = E;

rot rot B = B. (10.20) Электромагнитные поля удовлетворяют уравнениям divE = 0 0, divB = 0, откуда в (10.16) следует fr (r) = 0 и fr (r) = 0, то есть остаются всего две моды.

Рассмотрим моду A1 :

z ) f1 (r) ( 1 2 )l ei l ;

A1 = (0, 1, i (10.21) 1 z Ротор этого поля i f1 (r), i z rotA1 = f1 (r) + f1 (r), r 1 ( 1 2 )l ei l ;

f1 (r) + f1 (r) (10.22) 1 z2 r z F [f1 ] ) ( 1 2 )l ei l 2, rot rotA1 A1 = (0, 1, i 1z r (10.23) где F [f1 ] = r2 f1 (r) + 4 r f1 (r) + (r2 l2 l + 2) f1 (r).

Дифференциальное уравнение r2 f1 (r) + 4 r f1 (r) + (r2 (l + 2) (l 1)) f1 (r) = 0 (10.24) определяет радиальную зависимость.

В окрестности нуля, как это следует из подстановки f = rk, r 0:

k(k 1) + 4 k (l + 1)(l + 2) = 0, 154 Метод граничных мод откуда k1 = l1;

k2 = (l+2). Радиальные функции без особен ностей в нуле определяют колебательные моды в резонаторах, а сингулярные – мультипольное излучение.

Дифференциальное уравнение (10.24) определяет рекуррент ное соотношение для функций с разными l:

l ul (r) ul (r).

ul+1 (r) = (10.25) r Первые радиальные функции (ul – не сингулярные при r = 0, а wl – сингулярные):

r cos r sin r cos r + r sin r u1 = ;

w1 = ;

r3 r 3 r cos r + (r2 3) sin r 3 r sin r (r2 3) cos r u2 = ;

w2 =.

r4 r Они могут быть получены из общих формул:

l 1d sin r ul (r) = rl1 ;

r dr r 1 d l cos r wl (r) = rl1 (10.26) r dr r Первая серия ршений соответствует полям в резонаторах, не имеющих сингулярности при r = 0. Вторая серия в этой точ ке сингулярна, соответствует излучателю в начале координат.

При этом число l определяет номер мультипольности излуча теля, а соответствующая угловая часть определяет диаграмму направленности.

10.4.3. Низшие моды Действие оператора K (коммутация с вектором k ) приво дит к модам с меньшими значениями m, при этом радиальная функция не меняется.

Например, при l = ) ( 1 2 )3 e3 i.

E3,3 = f3 (r) (0, 1, i 1 10.4. Моды векторных полей Последовательное коммутирование с вектором k приводит к модам:

E3,2 = [k, E3,3 ] = f3 (r) (0, 4 i (1 2 ), 2 (1 3 2 )) e2 i.

E3,1 = [k, E3,2 ] = ei f3 (r) (0, 2 (1 2 ) (1 5 2 ), 2 i (11 15 2 )).

1 E3,0 = [k, E3,1 ] = 24 f3 (r) (0, 0, (1 5 2 ));

Последняя мода не зависит от угла.

E3,1 = [k, E3,0 ] = ei 24 f3 (r) (0, 2 (1 2 ) (1 5 2 ), 2 i (11 15 2 )).

1 E3,2 = [k, E3,1 ] = 240 f3 (r) (0, 2 i (1 2 ), (13 2 )) e2 i.

) ( 1 2 )3 e3 i.

E3,3 = [k, E3,2 ] = 720 f3 (r) (0, 1, i 1 Коммутатор k с последним полем приводит к нулевому век торному полю:

[k, E3,2 ] = 0.

Это также граничная мода, но по отношению к полю Киллинга k.

Радиальная функция у всех этих мод одинакова. Несингу лярная:

(3 (5 2 r2 ) sin r (15 r2 ) r cos r), f3 (r) = u3 = r или сингулярная:

(3 (5 2 r2 ) cos r + (15 r2 ) r sin r).

f3 (r) = w3 = r При любом l центральная мода имеет вид E3,0 = fl (r) (0, 0, Cl ()), 156 Метод граничных мод а Cl () удовлетворяет дифференциальному уравнению (1 2 ) Cl () 4 Cl () + (l 1)(l + 2) Cl () = 0. (10.27) Это дифференциальное уравнение Гегенбауэра с индексом m = 3/2, имеющее решение в виде соответствующих полиномов. Так же полином Cl () = Pl+1 (), где Pl () – полином Лежандра.

Все моды могут быть получены из этой центральной моды с помощью коммутации с полями Киллинга k+ и k. Поэтому моды с m различного знака комплексно сопряжены друг другу (с точностью до множителя), а в каждой серии m изменяется от l до +l, то есть содержится 2 l + 1 различных мод.


10.4.4. Вторая поляризация Вспомним, что коммутатор с полем Киллинга и ротор ком мутируют (10.13). Поэтому, если мода A граничная, то и rot A тоже является граничной модой. Поэтому вторую поляризацию можно выразить через ротор первой (10.22):

f2 (r) E2 = ( 1 2 )l ei l, f (r), f2 (r), i (10.28) l,l 1 где f2 (r) = f (r) + f (r).

r Далее, коммутируя это поле 2 l раз с полем Киллинга k, полу чим серию мод с (l m l). Коммутатор k с E2 приводит l,l к нулевому полю.

Таким образом, сферические моды радиоволн образуют две поляризации, для одной из которых равна нулю радиальная компонента вектора E, а для другой – радиальная компонента вектора H. В каждой поляризации содержится бесконечный на бор серий, характеризуемый граничным индексом l, а в каждой серии 2 l + 1 мод с индексом (l m l).

Так как в дифференциальном уравнении (10.27) собственное значение равно (l 1)(l + 2), то, в отличие от скалярных мод, минимальное l = 1.

10.5. Спинорные поля 10.5. Спинорные поля При переходе от декартовой системы к сферической опера тор Паули преобразуется в соответствии с преобразованиями операторов дифференцирования:

1 1 = r D = 1 +2 +3 + +, x y z r r r 1 где (1, 2, 3 ) – стандартные матрицы Паули, не зависящие от координат [65], а матрицы r r r r = 1 + 2 + 3 = x y z 1 2 ei 1 2 (1 cos +2 sin )+ 3 =, 1 2 ei r = 1 + 2 + 3 = x y z 1 1 2 ei 1 2 3 = (1 cos +2 sin )+, ei 1 = r 1 2 1 + 2 + 3 = x y z i ei 2 cos 1 sin = i ie зависят только от угловых координат.

В операторе Паули можно выделить радиальную и сфери ческую части:

1 1 D = r 1 2 + + = r + Y, r r r r где 1 1 2 Y= +.

158 Метод граничных мод Квадрат оператора Паули вне зависимости от избранной си стемы координат является единичной матрицей, умноженной на оператор Лапласа:

D·D =. (10.29) Однако в сферически симметричных задачах, связанных с оператором Паули (например в задаче о релятивистском атоме водорода), квадрат оператора Паули может появиться в комби нации d U (r) 1 r D · U (r) D = V (r) + ( · Y ). (10.30) dr r Если U (r) – некая сферически симметричная функция, то опе ратор S = r · Y = ei i i e 0 1 1 2 + i 2 ei e 0 (10.31) должен быть инвариантным относительно вращений, к описа нию которых мы и переходим.

10.5.1. Операторы Киллинга Спиноры являются двухкомпонентными объектами:

u(r,, ) =.

v(r,, ) Бесконечно малые вращения вариации функций скалярными операторами Киллинга L± = e±i 1 ±i L3 = ;

+ с коммутационными соотношениями [L3, L± ] = ±i L± ;

[L+, L ] = 2 i L3, 10.5. Спинорные поля дополняют преобразование спиноров матрицами 0 i 00 i/2 s+ = ;

s = ;

s3 = i 0 0 i/ с аналогичными коммутационными соотношениями [s3, s± ] = ±i s± ;

[s+, s ] = 2 i s3.

Поэтому операторами Киллинга в пространстве спиноров явля ются операторы K± = L± + s± ;

K3 = L3 + s3 ;

с обычными коммутационными соотношениями.

Оператор D2 по своей конструкции (10.29) сферически сим метричен [K, D2 ] = 0.

Сферическая симметрия оператора S (10.31), коммутирую · D), выражается в том, что он также щего с оператором (D коммутирует со всеми операторами Киллинга:

[(D · D), S] = 0;

[K3, S] = 0;

[K±, S] = 0.

Оператор (D · D), выражается через операторы Киллинга и оператор S:

2 2 1 3.

2 D·D = 2 + K · K+ + K3 + i K 3 S + + r r r r (10.32) Здесь выделяется сферический оператор Лапласа 2 = K · K+ + K3 + i K 3 S + = Y ((1 2 ) ) + ( )2. (10.33) 1 160 Метод граничных мод Применим теперь метод граничных мод к спинорным полям.

Сначала найдем условие того, что двухкомпонентный спинор является собственной модой оператора K3 :

u() ei m1 (m1 + 1/2) u() ei m K3 · = i = ;

= i.

v() ei m2 (m2 1/2) v() ei m Отсюда следует связь показателей m1 = m, m2 = m + 1. Тогда u() ei m K3 · = i = ;

m+.

v() ei (m+1) Собственное значение оператора K3 полуцелое. Заметим, что сами показатели в компонентах целые (m – целое).

Теперь найдем граничные моды, обозначив максимальное значение m индексом l:

u() ( 1 2 )l ei l l = v() ( 1 2 )l+1 ei (l+1) из условия K+ l = 0:

(u () + v()) ( 1 2 )l+1 ei (l+1) K+ l = i.

v () ( 1 2 )l+2 ei (l+2) Отсюда следует v () = 0, что определяет две граничные моды:

с v1 () = 0 и v2 () = 1:

( 1 2 )(l1) ei (l1) ( 1 2 )l ei l (1) (2) l = ;

l =.

( 1 2 )l ei l Оба эти спинора являются собственными модами оператора Y (10.33) с собственным значением l (l + 1). Собственные значе ния оператора K3 :

(1) (1) (2) (2) K3 · l = i (l + 1/2) l ;

K · l = i (l 1/2) l.

10.5. Спинорные поля Собственные значения оператора S:

(1) (1) (2) (2) S · l = l l ;

S · l = (l + 1) l.

Действие оператора K приводит к функциям с меньшими значениями m, но с теми же самыми собственными значениям операторов Y и S.

Например, при l = 1 имеется четыре моды первой серии с собственным значением оператора K3 уменьшающимся от 3/ до 3/ 1 2 ei (1) 1,3/2 = ;

(1) (1) 1,1/2 = K · 1,3/2 = i ;

1 2 ei i 1 2 ei (1) (1) 1,1/2 = K · 1,1/2 = ;

(1) (1) 1,3/2 = K · 1,1/2 =.

1 2 ei 6 i Их компоненты – скалярные сферические функции с l = 1. Все эти моды являются собственными векторами оператора S с соб ственным значением 1. Вторая серия – с собственным значе нием 2 оператора S – состоит всего из двух мод:

(2) 1,1/2 = ;

1 2 ei 1 2 ei i (2) (2) 1,1/2 = K · 1,1/2 = i (1) (2) Действие оператора K на моды 1,3/2 и 1,1/2 дает нуль.

Всего при определенном l содержится 2 (l + 1/2) + 1 мод первой серии и 2 (l 1/2) + 1 мод второй серии, то есть всего 2 (2 l + 1) мод. Мы не следили за нормировкой мод, так как это достаточно простая проблема.

162 Метод граничных мод 10.5.2. Релятивистский атом водорода В качестве примера использования спинорных сферических мод рассмотрим разделение переменных в задаче о релятивист ском атоме водорода. Четырехкомпонентный дираковский спи нор представляется через два двухкомпонентных 1 и 2, для которых уравнение Дирака определяется системой из двух урав нений [66]:

(E + mc2 U ) (E mc2 U ) 1 + D 2 = 0;

2 + D 1 = 0.

c c Из первого уравнения можно выразить 1 через 2 :

c 1 = D 2.

(E + mc2 U ) Подставив это выражение во второе уравнение, получаем диф ференциальное уравнение на спинор 2 :

(E U m c2 ) c D· D 2 2 = 0. (10.34) E + mc2 U c Здесь в соответствии с (10.30) появляется сферически инва риантный оператор S. Если обозначить c U (r) W (r), E + m c2 U (r) то уравнение (10.34) представляется в виде (E U (r))2 m2 c S D · D + W (r) + + 2 = 0.

c2 r r (10.35) Представляя теперь 2 в виде произведения радиальной функ 1 ции u(r) на сферическую моду первого (S · yl,k = l yl,k ) или второго типа с собственным значением l + 1, для их радиаль ных функций сразу получаются дифференциальные уравнения второго порядка:

d 2 u1 2 d u1 l (l + 1) + u1 + d r2 r r dr 10.6. Заключение (E U (r))2 m2 c d u1 l u W (r) + u1 = 0;

c2 dr r d 2 u2 2 d u2 l (l + 1) + u2 + d r2 r r dr (E U (r))2 m2 c d u2 l + W (r) + u2 + u1 = 0;

(10.36) c2 dr r Наличие после функции W (r) множителя, зависящего от l, опи сывает спин - орбитальное взаимодействие.

10.6. Заключение Аналогично можно строить моды полей высших тензорных размерностей. Например, при описании малых возмущений мет рики Шварцшильда в [67] или метрики внутри звезды в [68] от сферических составляющих тензорных гармоник использо валось только собственное значение, определяющее их вклад в радиальную функцию, которая и была основным объектом ис следования. Их же явный вид (диаграммы направленности) не описывались. Метод граничных мод позволяет представить и явный вид угловой зависимости этих мод.

Глава О физическом смысле квантово-механического описания 11.1. Корпускулярно-волновой дуализм Квантовая механика является рабочим инструментом для создателей электронных приборов. В то же время, ее физиче ская трактовка связана с “волнами вероятности”, “принципи альной ненаблюдаемостью...”, чуть ли не необходимостью вклю чать в описание состояний квантово-механических объектов че ловеческое сознание, и прочими заклинаниями.

Действительно, на микроуровне исследователи столкнулись и с вероятностями, и с тем, что называют корпускулярно – вол новой дуализм. И фотоны рентгеновских лучей, и электроны, и другие микрочастицы обладают индивидуальностью части цы, могут сталкиваться, обладают энергией и импульсом, со хранение которых строго соблюдается при столкновениях. В то же время и электроны, и рентгеновские лучи, и даже та кие большие по микромасштабом конструкции как фуллерены диффрагируют на кристаллических решетках, проявляя несо мненно волновые свойства.

К началу XX века волны четко отделялись от частиц. На пример, катодные лучи отклонялись магнитным и электриче 11.1. Корпускулярно-волновой дуализм ским полями в соответствии с формулами для частиц опреде ленного заряда, массы, скорости. Именно используя это их свой ство Дж. Дж. Томсон установил физические параметры элек трона как частицы.

После открытия рентгеновских лучей встал вопрос и об их природе: волны это или частицы? Они не отклоняются ни элек трическим, ни магнитным полем. Но может быть, это поток незаряженных частиц?

В 1899 году Г. Хага и С.Г. Винд из Гронингенского универ ситета получили фотографию в рентгеновских лучах от узкой клинообразной щели, изготовленной из платиновой пластинки толщиной 0.5 мм, и имевшей в наиболее широкой части шири ну несколько микрон. На фотографии было отчетливо заметно дифракционное расширение по мере сужения щели, по которо му они оценили длину волны порядка 0.2 нМ. Ч. Баркла в году обнаружил поляризацию рентгеновских лучей. Все это го ворило о волновых свойствах рентгеновских лучей.

Однако Дж. Дж. Томсон в “Силливановских лекциях” года отметил сложность представления рентгеновсого излуче ния волнами: “Рентгеновы лучи способны преодолевать боль шие расстояния в газах, и по мере прохождения сквозь газ они его ионизируют. Однако число молекул, расщепляющихся та ким образом чрезвычайно мало (менее миллиардной от общего их числа) даже в случае интенсивного облучения. Теперь, ес ли условия во фронте волны однородны, то все молекулы газа оказываются в одинаковых условиях. Так почему же тогда рас щепляется только малая их доля?” Для объяснения этого феномена Томсон вводит модель иголь чатого излучения: “Трудность объяснения малой ионизации устра няется, если вместо того, чтобы считать волновой фронт рентге новского излучения однородным, мы допустим, что он состоит из “крупинок” большой интенсивности, разделенных значитель ными интервалами, интенсивность которых очень мала.” Эту картину (со сторны видимого света) в 1905 году суще ственно развивает Эйнштейн [69]: “Я и в самом деле думаю, что опыты, касающиеся “излучения черного тела”, фотолюминес 166 О физическом смысле квантово-механического описания ценция, возникновения катодных лучей при освещении ультра фиолетовыми лучами и других групп явлений, связанных с воз никновением и превращением света, лучше объясняются пред положением, что энергия света распределена по пространству дискретно. Согласно этому сделанному здесь предположению, энергия пучка света, вышедшего из некоторой точки, не рас пределяется непрерывно во все возрастающем объеме, а скла дывается из конечного числа локализованных в пространстве неделимых квантов энергии, поглощаемых или возникающих только целиком.” Используя, исследования Планка по черному излучению, он приписывает каждой такой “крупинке” энергию, объясняя этой гипотезой законы фотоэффекта.

Но еще в 1902 году О. Люммер и Е. Герке с помощью зе леных лучей ртутной лампы получили интерференцию с раз ностью фаз в 2600000 длин волн – расстояние порядка одно го метра. Позже, в 1920 году в Маунт-Вильсоновской обсерва тории при интерференционном измерении углового диаметра звезды Бетельгейзе была получена интерференция между пуч ками, прибывшими со звезды на расстоянии около 610 см друг от друга. Казалось невозможным, что эти огромные когерент ные пучки могут быть отдельными фотонами.

Поэтому фотонная теория оставлась в круге интересов лишь малого числа энтузиастов (Томсон, Эйнштейн, Штарк). Напри мер, на Сольвеевском конгрессе 1911 года в докладе “Законы теплового излучения и гипотеза кванта действия” Макс Планк писал: “Поэтому в дальнейшем изложении мы исключим гипо тезу световых квантов;

мы можем это тем более сделать, что до сих пор она не вышла из стадии примитивного развития.” К 1910 году У.Г. Брэгг установил, что рентгеновские лучи не ионизируют газ напрямую, а выбивают из небольшого чис ла атомов электроны, движущиеся с очень высокой скоростью и каждый из них ионизирует газ как -частица, отрывая электро ны при последующих столкновениях с молекулами газа. Ско рость выброшенного электрона зависит от жесткости (проника ющей способности) рентгеновских лучей, а не от их интенсив ности или природы атома, из которого вырывается электрон.

11.1. Корпускулярно-волновой дуализм При этом Брэгг обратил внимание на то, что энергия выбитого электрона практически не отличается от энергии электрона в пучке катодных лучей, возбуждающих рентгеновские лучи. Он сформулировал общий принцип: “если в атом входит один излу чающий объект (альфа-, бета-, гамма-, рентгенов или катодный луч), то появляется один, и только один, объект, несущий энер гию входящего... При этом энергия не рассеивается и скорость вторичного бета-луча не зависит от пути, пройденного рент геновским путем, так что последний не может рассеять свою энергию в пути, что говорит о его корпускулярной природе”.

В 1911-1912 годах Ч.Т.Р. Вильсон, используя свой метод фо тографирования в пузырьковой камере, полностью подтвердил выводы Брэгга. Вся область, пройденная рентгеновским лучом, была заполнена крошечными черточками и пятнышками, состо ящими из капель, осаждавшихся вдоль траекторий вторичных бета-частиц.

Однако в апреле 1912 г. сотрудникам Мак са Лауэ В. Фридриху и П. Книппингу уда лось экспериментально получить дифрак ционную картину при прохождении пучка рентгеновского излучения через кристалл медного купороса.

После этих экспериментов У.Г. Брэгг писал: “Мне кажется, проблема уже заключается не в выборе одной из двух теорий рентгеновских лучей, а в нахождении такой теории, которая объединила бы возможности обеих”.

В несомненной двойственности проявления свойств рентге новских лучей – корпускулярных и волновых – в 1923 году была поставлена точка Артуром Комптоном, показавшим, что рентгеновские лучи, дифрагирующие как волны на кристаллах, представляют из себя поток безмассовых частиц – фотонов, – летящих со скоростью света, с энергией E = h и импульсом p = E/c = h /c. Комптон изучил рассеяние рентгеновских лучей электронами и показал, что частота рассеянного фото 168 О физическом смысле квантово-механического описания на изменяется по законам сохранения энергии и импульса при столкновении двух частиц.

При этом для определения длин волн, падающего и рассеянного излучения он пользовался мето дом Брэгга, использующим вол новые свойства рентгеновского излучения.

После этого исследования Комптона стала несомненной необ ходимость построения некоторой картины взаимодействий на атомном уровне и на ее основе теории атомных явлений. В экс перименте Комптона сталкиваются фотон и электрон, но по сле столкновения фотон распространяется как волна (его длину волны и измерял Комптон). Связанные с этой дилеммой теоре тические дискуссии и новые эксперименты хорошо описаны в статье Э.В. Шпольского “Экспериментальная проверка фотон ной теории рассеяния” [71].

В 1924 году появилась статья Н. Бора, Г.Крамерса и Дж.

Слетера “Квантовая теория излучения” [72], в которой авто ры старались примирить квантовую теорию фотонов с клас сической электромагнитной теорией Максвелла, для чего они ввели понятие виртуальных фотонов и вероятностное толкова ние волн. Электрон после столкновения летел в определенном направлении, а электромагнитная волна – поток виртуальных фотонов – распространялась в пространстве. При этом зако ны сохранения импульса и энергии оказывались выполняемыми только в среднем.

Поставленная ими проблема вызвала серию эксперименталь ных работ.

В опыте Боте и Гейгера два различных счетчика фиксировали электроны отда чи и фотоэлектроны, выбиваемые рас сеянными фотонами. При этом наблю далась строгая корреляция между от счетами обоих счетчиков.

11.1. Корпускулярно-волновой дуализм То есть рассеяние происходило как единый акт, а не вероят ностным образом (то вылетит электрон, то фотон).

Еще более прямой эксперимент был поставлен Комптоном и Саймоном в 1925 году. В этом опыте в камере Вильсона фикси ровался трэк электрона отдачи и трэк электрона, выбиваемого на некотором расстоянии от точки рассеяния вторичным фото ном из атомов газа в камере Вильсона. Когда фиксировались оба события, было очевидно, что вторичный фотон и выбитый электрон разлетаются в строгом соответствии с законами со хранения энергии и импульса, на основании которых и вывел формулу изменения частоты Комптон.

Появление в 1923-1924 гг серии работ Луи де Бройля, в кото рых движение электронов также определялось некоторой вол ной, было уже идеологически подготовлено.

Де Бройль на основании связанной с элек троном волны с параметрами, определяемы ми параметрами движения соответствующей этой волне частицы – частотой = E/ и волновым вектором k = p/ – легко объяс нил мистические правила квантования Бора:

стационарные орбиты – это такие классиче ские орбиты, на которых укладывается целое число волн.

Теория Де Бройля описывала лишь свободные частицы, но в самом начале 1926 года Э. Шредингер сумел распространить ее на движение в заданном потенциальном поле в виде знаме нитого уравнения Шредингера. Применив его к осциллятору, он получил его планковский спектр E =, а затем для атома водорода получил формулу Бальмера – Ридберга. Уравнение Шредингера оказалось мощнейшим рабочим инструментом фи зики. Применение его в ближайшие последующие годы к слож ным атомам, молекулам, твердому телу приносило лишь либо триумфальное объяснение уже накопленных эксперименталь ных результатов, либо предсказывало новые явления, сразу же наблюдаемые в экспериментах.

170 О физическом смысле квантово-механического описания 11.2. Физический смысл волновой функ ции Но теория Шредингера не давала смысла волновой функ ции. Основными вычисляемыми в квантовой механике величи нами оказались уровни энергии и связывающие их матричные элементы, квадраты которых трактовались как вероятности пе рехода. Для успешного использования техники квантовомеха нических вычислений сколь-нибудь последовательное исследо вание смысла квантовомеханической волновой функции и ее динамики совершенно не требовалось. Нужно было овладеть техникой решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, теорией возмущений и умени ем прослеживать переход к классичесой физике при больших квантовых числах. Что касается адекватной физической трак товки, то какая-то трактовка нужна, лишь бы она не отвлекала от практических задач.

На развитие общего взгляда на квантовые процессы значи тельное влияние оказала последовательность ее развития. Урав нение Шредингера появилось в начале 1926 года, а годом ра нее, в 1925 появились статьи Гейзенберга, Борна и Иордана по матричной механике. Была открыта некоммутативность опера торов координаты и импульса, из чего появились два идеологи ческих принципа квантовой механики: соотношение неопреде ленности Гейзенберга и принцип дополнительности Бора.



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.