авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

«Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Д. Е. ...»

-- [ Страница 3 ] --

um = (7.17) m+ Так как для любого вихревого поля A тождество div A = выражает r-компоненту через -компоненту, то достаточно сле дить только за -компонентой двойного ротора поля скоростей:

(rot rot V) = m u rm3 u + ctg u + (m + 1)(m + 2) u =.

sin m+ (7.18) Вне тела источником является лишь производная по време ни от вектора M r ge = 3, 0, 0.

r При переходе из лабораторной системы, в которой тело дви жется, в систему, связанную с самим движущимся телом, про изводная по времени выражается через инвариантную произ водную (6.7). Так как в системе, связанной с телом, потенциал постоянен, эта производная определяется коммутатором векто ра постоянной скорости тела v = v {cos, sin, 0} r 7.7. Поле сопровождения с вектором ускорения:

1 M 2 cos sin Je = [v, ge ] = 2 v, 4,0. (7.19) 2 r c c r Уравнение вне тела rot rot Ve = Je приводит к радиальной зависимости с m = 1 и угловым соот ношением 1 4M u + ctg u u = v sin, (7.20) sin2 c частное решение которого u = 2 M v sin. Таким образом, внешнее поле определяется вектором 2M 2 cos sin, 2,0.

Ve = v (7.21) c2 r r Ротор этого поля 4M v 0, 0, rot Ve =. (7.22) c2 r Поле является вихревым и не исключается добавкой к гравита ционному потенциалу.

Внутри движущегося тела имеется источник от вещества 3M v sin cos, ji = 4 k v =,0 (7.23) c2 R3 r и источник переменного потенциала. Поле ускорения внутри тела M gi = 3 r R 118 Поля скоростей в космической динамике определяет этот источник:

1 M v sin [v, gi ] = 2 3 cos, Ji =,0. (7.24) c cR r Сравнение с общим полем Vm приводит к значению m = для внутреннего поля. Уравнение rot rot Vi = Ji + ji определяет внутреннее поле скоростей 4M v {r2 cos, 2 r sin, 0} Vi = (7.25) 5 c2 R с ротором, постоянным внутри тела:

4M v rot Vi = {0, 0, } c2 R и совпадающим с ротором внешнего поля на границе (7.22).

Так как дивергенция не равна нулю только для источников, то на границе тела (r = R) нормальная к границе (радиальная) составляющая источников непрерывна:

3M v Je (Ji + ji )|r=R = 0, sin, 0. (7.26) c2 R Однако внешнее (7.21) и внутреннее (7.25) поля на границе тела (при r = R) не совпадают. Общая теория линейных диф ференциальных уравнений предлагает для достижения непре рывности добавить однородные решения – векторные поля V с равными нулю ротором и диверегенцией, то есть являющиеся градиентом некоторого скалярного поля (r, ), удовлетворяю щего уравнению Лапласа = 0. Мультипольными решениями этого уравнения во внешней области являются Pl (cos ) e = l rl+ 7.7. Поле сопровождения и во внутренней области – i = rl Pl (cos ), l где Pl – полиномы Лежандра.

Угловая зависимость компонент внутреннего и внешнего по лей (7.21) и (7.25) показывает, что нужно добавлять однородные поля с l = 1, так как P1 (cos ) = cos. Тогда дополнительное безвихревое внешнее поле определяется скаляром cos 2 cos sin e = Ve = {, 4, 0}, ;

(7.27) r2 r3 r а внутреннее i = r cos ;

Vi = {cos, sin, 0}. (7.28) r Сшивание при r = R требует непрерывности двух компо нент поля скоростей – радиальной и касательной – при до бавлении внешнего поля (7.27) с неопределенным коэффициен том a 2 M v R2 /c2 и внутреннего (7.28) с неопределенным ко эффициентом b 2 M v /(R c2 ), определяемых затем из условий непрерывности:

cos sin 2 sin 4 sin {(2 2 a), (1 a) 2, 0} = {( + b), ( b) 2, 0}.

R R 5 R 5 R Отсюда a = 1/5, b = 2.

Таким образом, вне равномерно и прямолинейно движущей ся сферы создается поле сопровождения вне тела 2 2 R2 R 2M v Ve = cos, sin, c2 5 r3 r2 5 r r (7.29) и внутри тела 5 R 4M v (r2 + 5 R2 ) cos, 2r Vi = sin, 0.

5 c2 R3 r (7.30) 120 Поля скоростей в космической динамике На границе тела (при r = R) оба поля имеют компоненты 2M 8 cos 6 sin, Vb = v,0. (7.31) c2 5 R 5R Во внешнем поле основной является вихревая составляющая (7.21).

Параметром малости этих полей по отношению к скорости движения тела является отношение гравитационного радиуса к внешнему радиусу тела = 2 M/(c2 R). В динамике кос мических объектов, для которых этот параметр не мал, поля сопровождения могут играть существенную роль.

При неоднородном распределении плотности вещества дви жущегося тела возникают решения в виде высших мультипо лей.

Вне движущегося тела поле сопровождения является без вихревым, и преобразованием переменной времени, допускае мым общей теорией относительности, может быть уничтожено.

Однако необходимость сшивания с вихревым полем внутри те ла не допускает такого преобразования. Таким образом, поле сопровождения определяет абсолютное движение тела отно сительно пространства.

7.8. Поле Лензе–Тирринга Кроме полей сопровождения, определяемых движением те ла, вращающиеся космические объекты создают вокруг себя по ля Лензе–Тирринга.

Вращение однородного шара радиуса R и массы M вокруг некоторой оси с угловой скоростью создает токи, имеющие только не зависящую от координат компоненту j, то есть яв ляющиеся полем класса a.

В сферической системе (z = cos ) V = rl P (z) 4 z2 (z 2 1)P + P = l(l + 3) P. (7.32) z 7.8. Поле Лензе–Тирринга Так как источник не зависит от угла, то и поле скоростей не зависит от него, поэтому в правой части уравнения (7.32) должен быть нуль. Внешнему (вакуумному) решению соответ ствует l = 3, внутреннему, с однородным источником, значе ние l = 2:

16 k 12 M v = B R2 ;

(rot rot v) = 10 B = =.

c2 R3 c Отсюда находится константа B, определяющая внутреннее ре шение:

6 M r2 r 6M 3 2M B= ;

= = 2 ;

= 2. (7.33) 5 c2 R3 5 c2 R3 5 R cR Внешнее решение при r = R сшивается с внутренним b 6M M R2, = ;

b= R 5R откуда окончательно находим внутреннее поле r = 2. (7.34) 10 R Вне тела = b/r3. При r = R внутреннее и внешнее реше ния совпадают, откуда определяется константа b:

b 3 R3.

= ;

b= R3 10 Внешнее поле 3 R3 3kJ M R = 3= ;

J= (7.35) 2 c2 r 10 r – момент инерции вращающегося тела.

Неоднородность распределения вещества или угловой ско рости вращающегося тела приводит к высшим мультипольным решениям.

122 Поля скоростей в космической динамике 7.9. Движение в поле Лензе–Тирринга Вращающаяся планета массы M (в приближении однород ного распределения масс) создает вокруг себя гравитационный потенциал = M/r и монопольное поле Лензе–Тирринга, в сферических координатах имеющее одну компоненту поля ско ростей V = R3 /r3. Здесь константы R и – радиус планеты и значение угловой скорости на ее поверхности.

Гамильтониан материальной точки в таком поле p p2 R3 M 1 r p2 + H= +2 + p. (7.36) sin2 r 2 2r r Угол поворота вокруг оси вращения планеты в гамильто ниан не входит, вследствие чего сопряженный момент p l постоянен на орбите.

Гамильтониан (7.36) допускает движение по орбитам с по стоянным радиусом (сферическим орбитам), изменение которо го определяется уравнениями dr H = = pr = 0;

dt pr l2 R3 M d pr H p2 + = 3l 2 = 0. (7.37) =3 sin2 r dt r r r Угол и сопряженный ему импульс входят в гамильтони ан (7.36) и условие сферичности орбиты (7.37) через квадрат момента количества движения l L2 = p2 +, (7.38) sin коммутирующий с гамильтонианом (в смысле скобок Пуассо на), и потому являющимся постоянной величиной на орбите.

Если pr = 0, то уравнение (7.37) связывает константу радиуса 7.9. Движение в поле Лензе–Тирринга (r = const) с другими константами, определяющими траекто рию.

На сферической орбите угол периодически уменьшается, достигая минимального угла 0, при котором p = 0, а затем увеличивается. Вычислим энергию на сферической орбите, ха рактеризуемой углом 0 в высшей точке (p = 0):

l2 l R3 M E=.

2 r2 sin2 0 r3 r Условие сферичности (7.37) для этой орбиты l2 l R3 M 3 2 = r3 sin2 0 r4 r определяет момент l из квадратного уравнения:

R l2 3 l sin2 0 M r sin2 0 = 0.

r В линейном по приближении 3 R sin2 0 + M r sin 0 ;

l= r M l2 = M r sin2 0 + 3 R3 sin 0, r и энергия зависит от угла ориентации орбиты 0 :

R M M E= + sin 0. (7.39) 2 r 2r r Она минимальна при 0 = /2, то есть когда орбита лежит в экваториальной плоскости и вращение происходит в направле нии, противоположном.

Изменение во времени угла определяется условием посто янства полного углового момента (7.38), в которое не входит 124 Поля скоростей в космической динамике поле скоростей, то есть на сферической орбите меняется так же, как и на круговой при движении вокруг невращающегося центрального тела. В частности, малые колебания относительно экваториальной плоскости ( = /2 ) определяются частью гамильтониана p2 l2 p2 l 2 + 2 2 2 + H =, 2 r2 r sin 2 r 2r описывающей колебания с кеплеровской частотой l =. (7.40) r Скорость изменения угла на сферической орбите по срав нению с задачей Кеплера приобретает постоянную добавку:

R d H l = =2 + 3.

r sin dt l r Таким образом, сферические орбиты представляют собой кру говые кеплеровы орбиты, равномерно вращающиеся вокруг по лярной оси с угловой скоростью R3 /r3.

Этот результат можно получить и более просто: так как поле скоростей V = R3 /r3 зависит только от радиуса, то переход во вращающуюся с такой угловой скоростью систему коорди нат полностью устраняет поле скоростей на сфере радиуса r, и динамика на этой сфере происходит по законам Ньютона без поля вращения.

Орбиты, на которых радиус меняется, имеют более сложное строение: их скручивание по углу увеличивается при прибли жении к планете и уменьшается при удалении, так что за боль шое количество оборотов траектория заматывается как клубок.

7.10. Другие физические поля Полная система космической динамики состоит из уравне ний (7.8)–(7.11) и уравнений других полей, в частности, напри 7.10. Другие физические поля мер, электромагнитного. Уравнения полей в плоском простран стве с учетом поля скоростей и гравитационного потенциала получаются из уравнений в свободном пространстве заменой частной производной по времени на инвариантную, определя емую полем скоростей, и учетом вызванного гравитационным потенциалом замедления местного времени. Эти эффекты опре деляются четырехмерной метрикой в “местном времени” – ма лыми добавками к метрике Минковского (при выборе c = 1), линейной по потенциалу и квадратичной по полю скоростей:

1 + 2 V Vx Vy Vz 1 + Vx (g ) =.

1 + Vy 1 + Vz Здесь V 2 Vx + Vy2 + Vz2.

Обратный метрический тензор 1 2 Vx Vy Vz Vx 1 Vx V x Vy Vx Vz (g ) =.

2 1 Vy Vx Vy Vy Vy Vz 2 1 Vz Vx Vz Vy Vz Vz (7.41) Уравнения полей записываются в общековариантном виде в соответствии с техникой ковариантного дифференцирования лишь с учетом малости соответствующих добавок.

7.10.1. Распространение света Например, распространение света описывается уравнением эйконала g = 0, x x которое после подстановки =, = k в метрике (7.41) t r приобретает вид (1 2 ) ( (V k))2 = (1 + 2 ) k 2. (7.42) 126 Поля скоростей в космической динамике Отсюда выражается частота :

= (1 + 2 ) k 2 + (V k), (7.43) определяющая групповую скорость света d k vg = = (1 + 2 ) + V.

dk k В достаточно сильных полях Лензе–Тирринга лучи “закручива ются”, так что возникает эффект “космического линзирования”.

Опишем ставшую уже классической задачу распростране ния светового луча вблизи Солнца с массой M, создающего гравитационный потенциал = M/r. В уравнении эйконала (7.42) отсутствует поле скоростей. Выбрав полярные координа ты, распишем это уравнение:

k M 2 (1 + 4 ) = kr + 2. (7.44) r r Так как коэффициенты уравнения не зависят от времени, то на луче = const, и обозначив kr / = n, k / = l, выразим зависимость n(l):

l M 2.

n= 1+ r r Определяющая траекторию зависимость r() находится из урав нения l d n r = =. (7.45) dr l l M 1+ r r Переменные разделяются dx dx l M d = x ;

;

.

r l 1 + 4 x x2 2 ) 1 (x 7.10. Другие физические поля Отсюда l x= = sin + 2.

r Луч идет из бесконечности и уходит на бесконечность, где x = 0, что соответствует начальному и конечному углам, удовлетво ряющим соотношению M 1 = 2, 2 = + 2 ;

2 1 = + sin + 2 = 0;

l в хорошем соответствии с наблюдениями экспедиции Эддинг тона в 1919 году и выражением, полученным в ОТО [13].

7.10.2. Электромагнитное поле При слабых полях влияние гравитационного потенциала и поля скоростей можно рассматривать раздельно. Сначала рас смотрим модификацию уравнений Максвелла в поле скоростей V (без предположения их малости).

Напряженности образуют четырехмерный тензор 0 Ex Ey Ez Ex Bz By (Fij ) =. (7.46) Ey Bz 0 Bx Ez By Bx Лагранжиан электромагнитного поля (g µ g g g µ ) F Fµ g L= (7.47) при метрическим тензоре (7.41) с = (E [V B]) 2 B L= приводит к модифицированным полям индукции в вакууме L = E [V B];

D = E 128 Поля скоростей в космической динамике L H = 4 = B [V D] B и уравнениям Максвелла в традиционном виде, не включающем поле скоростей V:

1 B div B = 0;

+ rot E = 0;

(7.48) c t 1 D rot H = div D = 4 e ;

je.

c t c Без поля скоростей, но с гравитационным потенциалом лагранжиан E 2 B 2 2 (E 2 + B 2 ) L= (7.49) приводит к выражениям D = (1 2 ) E;

H = (1 + 2 ) B.

Лагранжиан также определяет электромагнитное поле как источник гравитационных полей в уравнениях (7.8)–(7.11). Век тор Умова–Пойнтинга электромагнитного поля является источ ником поля Лензе–Тирринга, а плотность электромагнитной энергии – источником гравитационного потенциала:

E2 + B2 [E B].

= ;

j= (7.50) 8 c2 4 c Учет поля Лензе–Тирринга необходим при расчете магнит ных полей массивных карликов и в тонких экспериментах с вра щающимися сверхпроводниками [48].

7.11. Заключение Система уравнений (7.8)–(7.11) вместе с определяющим ди намикуматериальнойточки гамильтонианом (7.5), а также урав нениями динамики других полей с учетом поля скоростей и гра витационного потенциала образуют замкнутую систему уравне ний космической динамики.

Глава Вспышки сверхновых и вращение Показано, что коллапс вращающейся звезды с большим мо ментом количества движения (параметр Керра a M ) с неиз бежностью приводит к взрыву. При больших моментах взрыв наступает значительно раньше, чем коллапсирующая звезда до стигнет своего горизонта, и при размерах, значительно бльших о ее гравитационного радиуса.

8.1. Введение Вспышки сверхновых звезд обычно объясняются ядерными превращениями при сильном гравитационном сжатии звезды.

Анализ наблюдений за вспышками сверхновых приводит к вы воду: “По-видимому, вспышка сверхновой связана с существен ным преобразованием природы звезды”, – [49, с. 40]. Но что это за преобразование, каков спусковой механизм этого процесса?

Определенный свет на данную проблему проливает факт, что сверхновые II типа наблюдаются только в спиральных галак тиках (см. [50, с. 604]). Видимо, существенную роль играют процессы вращения. В предлагаемой главе будет изучен один совершенно естественный механизм “существенного преобразо вания природы звезды”, связанный с вращением.

В общей теории относительности (ОТО) имеется точное ста ционарное решение уравнений Эйнштейна вне вращающегося объекта – решение Керра, являющееся в определенном смыс 130 Вспышки сверхновых и вращение ле вершиной достижений ОТО. Однако математическая слож ность наряду с математическим изяществом решения сделали его неприкосновенной собственностью математиков и матема тически утонченных физиков-теоретиков. Этому решению по священ, например, целиком второй том монографии Субрахма ньяна Чандрасекара [22]. Во Введении Чандрасекар приводит цитату из Ландау и Лифшица [13]: “В литературе нет конструк тивного аналитического вывода метрики [Керра], адекватного его физическому смыслу... ”, и в опровержение этого утвержде ния дает математически строгую цепочку вычислений, приво дящих к метрике Керра (на 17-и страницах). Ясно, что астро физики из этого решения могут брать лишь конечные резуль таты и выводы.

Роковую роль в астрофизической судьбе решения Керра сыг рало исключительно глубокое исследование Картера [51] то пологической структуры метрики Керра, в котором он пока зал, что при параметре Керра a, большем, чем гравитацион ный радиус, в окрестности сингулярности возникают нефизи ческие особенности временной части метрики. Мода на уста новление “принципов природы” привела к заключению: “Поте ря смысла метрикой Керра при a rg /2 означает, что значение amax = rg /2, Mmax = m rg /2 дает верхнюю границу возмож ных значений момента коллапсара.” После установления этого “принципа природы” ограничение метрики Керра малыми мо ментами стало как бы очевидной истиной: “Подчеркнем, что все рассмотренные выше свойства пространства–времени чер ной дыры справедливы только, если M |a|. В противном слу чае в решении исчезает горизонт и оно уже не описывает чер ную дыру. Появляются “патологические” особенности [Хокинг, Эллис (1973)], и вряд ли это решение может иметь какое-либо отношение к реальности.” [52, с. 63].

Но если звезда образовалась путем гравитационного сжатия облака пыли, масса этой пыли и ее момент количества движе ния не связаны никакими математическими ограничениями – 8.1. Введение они определяются начальными условиями. Момент количества движения вполне может оказаться больше критической вели чины, определяемой условием a = rg /2:

M Lcr =. (8.1) c Здесь – гравитационная постоянная, а M – масса звезды. По смотрим, что значит это ограничение. Для оценки можно при нять звезду в виде однородного шара массы M и радиуса R, тогда ее момент инерции равен J = 0.4 M R2. Приравнивая момент количества движения L = J его “максимально до пустимому значению” (8.1), можно найти предельную угловую скорость вращения:

M 2 5M 5g M R2 max = ;

max = =, (8.2) 2c 5 c 2R 2c где g – ускорение свободного падения на поверхности звезды.

В частности, для Земли эта “максимальная угловая скорость вращения” max = 50/(6 · 108 ) 107 c1 определяет “мини мально допустимый период вращения Земли вокруг своей оси” T 2 · 104 часа, или 873 суток, или 2.4 года. Если Земля будет вращаться быстрее (что она и делает), то будет нарушен прин цип предельно допустимого момента. И Луна нарушает уста новленные пределы. Скорее всего, трудно найти небесный объ ект, вращающийся с угловой скоростью, меньшей “предельно допустимой”.

Звезды, имеющие момент количества движения больше пре дельного, определяемого выражением (8.1), для краткости бу дем называть ротарами, в отличие от медленно вращающихся слипаров.

В метрике Шварцшильда два параметра: гравитационный и геометрический радиусы, а в решении Керра таких параметров три: масса M, параметр вращения a и гравитационный потен циал на поверхности звезды, определяющий ее внешний геомет рический контур.

132 Вспышки сверхновых и вращение Шварцшильдовы и медленно вращающиеся звезды (слипа ры, a M ), если их масса велика, по современным представ лениям должны коллапсировать достаточно спокойно: материя асимптотически приближается к эргосфере.

Поведение ротаров принципиально другое. Пока теоретиче ские сингулярности находятся далеко под поверхностью объек та, никаких заметных проявлений это нарушение не вызыва ет. Однако, если ротар неограниченно коллапсирует, то еще до ухода материи под горизонт наступает топологический фазо вый переход: внешняя фигура звезды из топологически подоб ной сфере переходит в топологически подобную тору, причем не постепенным уменьшением размера вдоль оси вращения до ну ля с постепенным превращением в тор, а при конечной толщине вращающегося диска. При этом обнажается сингулярность. Та кой переход, без сомнения, является упомянутым выше “суще ственным преобразованием природы звезды”, который не может происходить без взрывов.

8.2. Изоэнтропный газ в сопутствующей си стеме Полагая вещество коллапсирующей звезды изоэнтропным, найдем условие, определяющее форму ее поверхности. В изоэн тропной жидкости давление, плотность энергии и другие термо динамические потенциалы однозначно функционально связаны друг с другом. Эти соотношения достаточно подробно рассмот рены еще Толменом [59]. Для дальнейшего важно соотношение между давлением p, энтальпией h, плотностью вещества и плотностью энергии :

dp = dh;

d = h d;

+ p = h. (8.3) Тензор энергии–импульса идеальной жидкости может быть представлен в виде T = ( + p) u u p = ( u ) (h u ) p.

(8.4) 8.2. Изоэнтропный газ в сопутствующей системе Закон сохранения количества вещества ( u ) =0 (8.5) из четырех уравнений равенства нулю дивергенции тензора энер гии–импульса = u h, = T (h u ) оставляет только три независимых (четвертым является он сам):

h, u + (u u ) u = 0. (8.6) h Свертка этих соотношений с u тождественно равна нулю.

В сопутствующей системе частицы относительно себя не пе ремещаются, и отлична от нуля только компонента четыре– скорости u0, а компоненты ui равны нулю (латинскими индекса ми мы отмечаем пространственные компоненты). Если, кроме того, система стационарна – производные по времени от всех переменных равны нулю, – то уравнения (8.6) принимают ста ционарный вид:

h,j u0 0 uj =. (8.7) h Так как производные по времени равны нулю, слева оказывает ся лишь добавка в ковариантную производную от связностей, и, так как g00 (u0 )2 = 1, u = g 0 u0, откуда g 0 u = u0 :

g00,j h,j u0 u = u0 00j g 0 u = =. (8.8) 0j 2 g00 h Отсюда следует основное соотношение гидростатики иде альной изоэнтропной жидкости в сопутствующей системе:

const h=. (8.9) g 134 Вспышки сверхновых и вращение Все термодинамические величины, однозначно определяемые энтальпией h, выражаются через компоненту метрики g00 (с нижними индексами). В частности, с этой компонентой метри ки связано давление, и на поверхности звезды, определяемой равенством нулю давления, компонента g00 должна быть по стоянной.

8.3. Горизонты ротаров Керрова модель вращаюшейся звезды определяется грави тационным радиусом rg и параметром вращения a. Оба эти параметра имеют размерность длины, так что их отношение = 2 a/rg = L c/( M 2 ) – быстрота вращения – безразмерна.

Значение = 1 отделяет слипары ( 1) от ротаров ( 1).

Третьим параметром является гравитационный потенциал 0 на поверхности звезды, через который выражается безраз мерный параметр = 2 /c2 :

= 1.

g00 = 1 + c Он определяет внешнюю геометрию звезды. Значение = 1 да ет теоретический горизонт звезды. Если 1, то теоретиче ский горизонт реально отсутствует: под внешней границей звез ды находится вещество, и характер решения существенно отли чается от вакуумного. Момент инерции звезды с экваториаль ным радиусом R J = M R2. Для однородного шара = 2/5, так что для приблизительно сферической звезды быстрота вра щения выражается через ускорение свободного падения на ее поверхности g = M/R2 и период вращения вокруг собствен ной оси T :

M R2 c R a c = = = c = 2.

rg /2 M M gT Мы уже показали, что Земля является быстрым ротаром.

8.3. Горизонты ротаров Приведем значения безразмерного параметра для Солнца и некоторых планет Солнечной системы:

g, м с T, час. Солнце 0.4 275 6000 1. Венера 0.332 8.87 243 cут. 3. Меркурий 0.324 3.7 1411 32. Луна 0.4 1.62 27.3 Юпитер 0.2 25 9 ч. 50 мин. Земля 0.332 9.81 24 Сатурн 0.22 11 10 ч. 14 мин.

Здесь для Луны и Солнца взято значение = 0.4 – как для однородного шара. Если для Солнца = 0.315, то оно окажется как раз на границе слипаров и ротаров. Если же 0.2, как у Юпитера или Сатурна, то Солнце оказывается слипаром. Все же планеты, а также Луна, являются ярко выраженными рота рами. Выделяется значение = 1023 у Сатурна, у которого и наблюдаются наиболее эффектные проявления вращения.

Метрика Керра при нулевой массе (параметр rg = 0, но a = 0) описывает плоское пространство в сфероидальных ко ординатах (см. [13]). Размер сингулярной области определяется параметром a, и кривизна пропорциональна rg /a3, то есть ма ла при малом отношении rg /a, так что несмотря на сложность формул, метрика Керра может описывать ротары в почти плос ком пространстве в сфероидальных координатах, связывающих координаты Бойера–Линдквиста с декартовыми координатами в трехмерном евклидовом пространстве следующим образом:

a2 + r2 sin cos ;

a2 + r2 sin sin ;

x= y= z = r cos. (8.10) У слипаров выделяют две характерные поверхности – гори зонт, определяемый соотношением rg r g00 = 1 2 = 0, (8.11) r + a2 cos 136 Вспышки сверхновых и вращение и эргосферу, определяемую соотношением = r2 rg r + a2 = 0. (8.12) Последнее уравнение имеет вещественные решения лишь при 1, так что для ротаров эргосфера отсутствует и остает ся лишь одна характерная поверхность – горизонт, уравнение которого следует из (8.11):

r2 rg r + a2 cos2 = 0. (8.13) Это квадратное относительно r уравнение имеет два решения (µ = rg /2):

µ2 a2 cos2 = µ 1 ± 1 2 cos2.

r1,2 = µ ± Проследим, как меняется горизонт при a µ (цифры на осях показывают отношение радиуса к µ):

= 0.95 =1 = 1. Критическая поверхность (при = 1) отсекает по оси z отрезки размера a = µ.

При 1 геометрическая особенность r = 0, = /2 [51] оказывается открытой и отстоит от оси вращения на расстояние a.

8.4. Коллапс ротаров Приведем вид горизонта для больших :

=2 = 8.4. Коллапс ротаров В великолепном обзоре Руффини [53] записаны уравнения движения пробных частиц (не изменяющих массу и момент ко личества движения звезды). Они не содержат каких-либо ви димых особенностей, которые можно было бы трактовать как взрыв. Более того, описание динамики коллапса пылевидной материи, образующей массу и момент количества движения вра щающейся звезды, приведено в [54]. Эти решения также пред ставлены некоторыми интегралами. Но чтобы выявить “суще ственное преобразование природы звезды”, нужно следить не за отдельными пылинками, а за облаком в целом. В сфери чески симметричном варианте коллапса уменьшается внешний радиус звезды, при этом во всех точках поверхности одинако во уменьшается гравитационный потенциал. При коллапсе вра щающейся звезды последовательность поверхностей = const ( = const) в определенной степени отображает коллапс рота ра. Эти поверхности находятся из выражения для компоненты g00 метрики Керра:

2 2µr 1=1 2.

g00 = 1 + c 138 Вспышки сверхновых и вращение Как и для горизонта, это квадратное уравнение относительно радиуса:

2µ r2 r + a2 cos2 = 0.

Оно совпадает с уравнением горизонта (8.13), если в послед нем заменить µ на µ/. В частности, топологический переход совершается при потенциале µ µ = a;

c = =. (8.14) c a Это очень важное соотношение: если при сферически симмет ричном коллапсе особенности достигаются при = 1, то для ро таров топологическая особенность достигается при значительно меньших значениях: = c = 1/. Размер критической поверх ности вдоль оси z для = 1 равен µ, определяется массой, а для ротаров этот размер равен параметру вращения a, который может быть во много раз больше гравитационного радиуса.

Построим серию эквипотенциальных поверхностей µ µ a2 cos ± r1,2 = с = 0.25, 0.5, 1, 2, 4 для ротара с = 2:

На ранней стадии коллапса форма ротара близка к сфериче ской, однако по мере приближения к критическому потенциалу 8.5. Пространственная метрика c = 1/ она становится более сплюснутой. После прохождения критического потенциала происходит резкое изменение геомет рии звезды: она при конечном размере вдоль оси z (z = 2 a) принимает тороидальную форму, при этом обнажается сингу лярность. По-видимому, этот переход для сколь-нибудь реали стичной модели вещества звезды не может проходить квазиста тически, а приводит к взрыву. Внутренний контур на рисунке отображает горизонт = 1. Переход наступает задолго до го ризонта, особенно у ротаров с большим.

8.5. Пространственная метрика До сих пор мы занимались только компонентой g00 метри ки Керра. Однако картины горизонтов или эквипотенциальных поверхностей зависят от пространственной метрики, и здесь мы сталкиваемся с принципиальными вопросами.

Ранее была показана необходимость приведения пространст венно–временных картин к глобальному времени (g 00 = 1). На пример, метрика Шварцшильда была приведена к глобальному времени Пэнлеве (см. стр. 36).

В [6] выполнено приведение метрики Керра к глобально му времени решением уравнения (2.2). В координатах Бойера– Линдквиста в принятых обозначениях 2 = r2 + a2 cos2 ;

= r2 rg r + a2 ;

W = (r2 + a2 )2 a2 sin приведение к глобальному времени выполняется заменой вре меннй переменной в метрике Керра tK = t + U (r), где о rg r (r2 + a2 ) d U (r) = u(r) =.

dr Подстановка dtK = dt + u dr не меняет компоненты g00, но rg r (r2 + a2 ) rg a r g 00 = 1;

g 0r = g 0 = ;

.

2 W 140 Вспышки сверхновых и вращение Метрика пространственного сечения t = const приводится к ви ду 2 rg r (r2 + a2 )(rg r 2 ) = 2 ;

rr = + ;

(8.15) 2 rg r (r2 + a2 ) rg a r sin2 ;

r = 2 rg r = r2 + a2 + 2 a2 sin2 sin2.

Если положить a2 = 0, то r, r2 rg r, и метрика переходит в уже упоминавшуюся (4.21) с евклидовым простран ственным сечением.

Геометрия построенных в предыдущих разделах поверхно стей горизонта и равного потенциала определяется метрикой (8.15). Мы проследим лишь за двумя параметрами этих поверх ностей: вдоль оси z ( = 0, dl = g (z) dr) и вдоль экваториаль ного радиуса ( = ±/2, dl = g (r) dr), где (в масштабе a = 1) g (z) = grr |=0 = 1;

(1 + r2 )(r2 + rg ) rg r (1 + 2 r2 ) (r) grr |=/2 = g =. (8.16) 1 rg r + r Расстояние по оси z не искажается. В частности, при критиче ском потенциале топологического фазового перехода толщина диска вдоль оси z равна 2 a.

При расчете расстояний вдоль экваториального радиуса мас штабный множитель g (r) не равен единице. Расстояние от оси вращения до сингулярности R определяется интегралом по ра диальной переменной при = /2:

g (r) dr.

R= 8.5. Пространственная метрика Вычислим сначала это расстояние при rg = 0 – в евклидовом пространстве в сфероидальной системе координат (8.10). Здесь r r dr 1 + r2 |0 3 = g (r) = 4 1 = 1.

;

R= = 1 + r2 1 + r Отсюда и определяется верхний предел интеграла R. Для нену левых масс этот интеграл как функция быстроты вращения представлен на графике:

Из графика видно, что уже при 5..10 расчеты мало от личаются от расчетов в плоском пространстве, т.е. в динамике быстрых ротаров кривизна пространства играет малую роль.

Итак, при больших вращательных моментах коллапсирую щей звезды взрыв наступает значительно раньше, чем ее по верхность достигнет горизонта, и при размерах, значительно бльших ее гравитационного радиуса.

о Глава Вращение релятивистской жидкости Из уравнений Эйнштейна общей теории относительности вы ведена система уравнений для равновесной конфигурации вра щающейся звезды из идеальной жидкости. Как и в нереляти вистской задаче, давление зависит от гравитационного потен циала, включающего и центробежный потенциал. Исследова ны граничные условия в центре и на бесконечности. Выведены условия сшивания внутреннего решения с внешним, в частно сти, с метрикой Керра. При приближении поверхности вращаю щейся коллапсирующей звезды к горизонту, где скорость света стремится к нулю, вращение носит принципиально релятивист ский характер и источники неограниченно возрастают. Уравне ния равновесия могут быть выведены из принципа минимума энергии. Прослежен переход к нерелятивистским задачам.

9.1. Введение Вращение является одним из важнейших свойств космиче ских объектов. Около 50% галактик являются спиральными, вращаются вокруг своих осей звезды и планеты. Громадный прогресс в описании вращающихся космических тел был до стигнут в 1963 году, когда Рой Патрик Керр [55] нашел точное решение уравнений Эйнштейна в вакууме, описывающее внеш ность вращающейся звезды. Лишь через 20 лет Субрахманьян 9.2. Уравнения равновесия внутри звезды Чандрасекар [22] дал последовательный вывод этого решения уравнений Эйнштейна.

Если для звезды без вращения внутреннее и внешнее реше ния были найдены К. Шварцшильдом в 1915 году, сразу же после создания общей теории относительности, то для метрики и распределения материи внутри вращающейся звезды до сих пор отсутствует не только аналитическое решение для какого либо вида материи, но и система самосогласованных уравне ний, решение которых дало хотя бы численные результаты [56].

Поэтому пока при исследовании вращающихся звезд в общей теории относительности приходится довольствоваться первым приближением по скорости вращения, разработанным в году Хартлем и Торном [57].

Наблюдатели имеют дело лишь с внешностью звезд, видимо, определяемой метрикой Керра, но поверхность звезды зависит от условий сшивания внутреннего решения с внешним. Такие условия до сих пор не были выведены [58], точнее, выведены лишь в предыдущей главе: на поверхности равновесной звезды компонента метрики g00 постоянна.

9.2. Уравнения равновесия внутри звезды В сопутствующей системе координат метрика определяет ся четырьмя неопределенными функциями двух переменных (r, ), µ(r, ), (r, ), (r, ):

(gij ) = e2 q 2 e22 r2 2 sin2 q e22 r2 sin 0 e2µ 0 0.

e2µ2 r 0 0 q e22 r2 sin2 22 e 0 0 r sin (9.1) Корень из детерминанта этой метрики не зависит от :

g = e2µ+2 r2 sin.

144 Вращение релятивистской жидкости Параметр q введен для анализа разложения по степеням. В точных формулах он полагается равным единице.

Тензор энергии–импульса в этой метрике представляется так:

( +p) K 0 0 1K 0 p 0 (Tji ) = K = q 2 r2 sin2 e24.

;

0 0 p 0 p 00 (9.2) Исключительно важную роль играют тождества Гильберта Tji = 0, подставив в которые связности, вычисленные через i метрику (9.1), для тензора (9.2) получаем два уравнения p + p ln g00 p + p ln g = = ;

. (9.3) r 2 r 2 Это значит, что если представить компоненту метрики как g00 = 1+2 /c2, то поверхности постоянного давления (изобары) – это поверхности постоянного гравитационного потенциала.

В частности, на границе тела p = 0, поэтому уравнение границы тела определяется условием = const, как это было показано выше для общего случая.

В этой главе мы используем систему единиц 8 /c4 = 1, в которой уравнения Эйнштейна записываются как Gi = Tji.

j Если взять произвольные функции (r, ), µ(r, ), (r, ), (r, ), то тензор Эйнштейна имеет нетривиальные компонен ты (нужно рассматривать лишь компоненты с i j из-за сим метрии Gij ):

G0 ;

G 1 ;

G2 ;

G3 ;

G1 ;

G 0.

0 1 2 3 2 Для того, чтобы метрические функции описывали вращающую ся звезду из идеальной жидкости с тензором энергии–импульса (9.2), на них должно быть наложено четыре условия:

Z1 = G2 = 0;

Z2 = G1 G2 = 0;

Z3 = G1 G3 = 0;

1 1 2 1 9.2. Уравнения равновесия внутри звезды ( + p) K G0 =. (9.4) 1 K Последнее уравнение является дифференциальным уравне нием для (r, ):

+ (3 ctg + 3 4 ) rr + ( + 3 r 4 r ) r + = r r 2 e2µ2 ( + p) =. (9.5) 1 e24 q 2 2 r2 sin При подстановке в G0 G1 G2 G3 = + 3 p второй производ 0 1 2 ной rr, найденной из (9.5), в полученное выражение из вторых производных входят только rr и :

2 + ctg + + 3p = e2µ rr + r + r r + + (9.6) r r e2µ+26 ( + p) q 2 2 r2 sin2 1 24 q sin2 (r2 2 + 2 ).

+ +e r 1 e24 q 2 2 r2 sin2 Из уравнения G3 = p определяется дифференциальное урав нение для µ(r, ):

µ + µr = p e2µ2 + µrr + + r + r r ( + p) q 2 2 r2 sin2 +e2µ+2 6 + e24 q 2 sin2 (r2 2 +2 ).

r 1 e24 q 2 2 r2 sin2 (9.7) Суммa (G1 + G2 ) e2µ2 = 1 3 r + 2 + 2 ( + 2 ctg + 2 ) = 2 p e2µ2 (9.8) = rr + r r r дает дифференциальное уравнение для (r, ). Однако имеют ся еще два тождества G1 = G3 и G2 = 0, которые позволяют 1 3 определить все вторые производные (r, ):

= 2 2 ctg r r r µr + µ r2 µr r + ctg µ + 146 Вращение релятивистской жидкости 1 24 2 2 +r2 r + r2 p e2µ 2 q r sin (r2 2 2 );

(9.9) e r µr 2 r 2 r + µr r + 2 ( µ ctg µ )+ rr = r r r +p e2µ2 + e24 q 2 r2 sin2 (r2 2 2 );

(9.10) r r = (ctg + ) (µr r )+ 1 +µ ( + r ) 2 r + e24 q 2 r2 sin2 r. (9.11) r Согласованность вторых производных rr, r, гаранти руется тождествами Гильберта. Оно выражается в перестано вочности частных производных:

z1 = (rr ) r (r );

z2 = (r ) r ( ).

Выражения z1 и z2 обращаются в нуль при выполнении соотно шений (9.3).

9.3. Граничные условия В римановом пространстве бесконечно малая окрестность любой точки имеет евклидову геометрию. В частности, в окрест ности центра пространственная метрика может быть представ лена как метрика Минковского с малыми поправками, уравне ния Эйнштейна по которым линейны. В метрике в бесконечно малой окрестности центра ds2 = e20 dt2 e2µ0 20 (dr2 + r2 (d2 + sin2 d2 )) две константы 0 и µ0 могут быть исключены глобальным мас штабным преобразованием eµ0 0 r = r.

e0 t = t;

9.3. Граничные условия После решения внутренней задачи значения e и eµ на грани це при сшивании с внешним решением и определяют масштаб обратного преобразования. Таким образом, в центре можно по лагать 0 = µ0 = 0, 0 = 0 (то есть решать задачу в переменных t, r).

Параметр q входит в уравнения в сочетании q r2, поэтому в центре стремление r к нулю эквивалентно стремлению q к нулю, то есть функция в окрестности центра не влияет на другие функции метрики. Уравнения вблизи центра линейные:

4 rr + r + 2 (3 ctg + ) = 2 ( + p0 ) 0 ;

(9.12) r r 2 1 0 + 3p rr + r + 2 (ctg + ) = ;

(9.13) r r 1 µ µrr + µr + 2 = p0 ;

(9.14) r r 2 µr ctg µ rr + r = + + p0 ;

(9.15) r r r + 2 ctg + r r = ctg µ r µr + r2 p0 ;

(9.16) r + ctg r = ctg µr + µ. (9.17) r Это система линейных, неоднородных, почти не связанных урав нений. Ее решение представляется как сумма неоднородного (проще всего – сферически симметричного) решения и супер позиции однородных решений.

В сферически симметричном решении первые радиальные производные линейны по радиусу:

r2 r2 r µ µrr rr rr ;

;

;

2 2 r2 r 0 + rr p p0 + prr ;

.

2 148 Вращение релятивистской жидкости Подстановка этих соотношений в уравнения (9.12)–(9.17) при r 0 приводит к связи параметров вблизи центра:

rr = ( + p0 ) 0 ;

+ 3 p0 p0 p rr = ;

µrr = ;

rr = ;

6 2 ( + p0 ) ( 0 + 3 p0 ) prr = ( + p0 ) rr =.

Таким образом, параметрами, определяющими решение, явля ются p0, 0 и 0, выраженное через p0 из уравнения состояния.

К построенному неоднородному решению вблизи центра мо гут быть добавлены с произвольными коэффициентами муль типольные решения однородных уравнений 4 rr + r + 2 (3 ctg + ) = 0;

(9.18) r r 2 rr + r + 2 (ctg + ) = 0;

(9.19) r r 1 µ µrr + µr + 2 = 0. (9.20) r r Их несингулярные решения вблизи центра представляются как 0 (r, ) = rk ak Qk (cos ).

k= Сферическая часть – полиномы Гегенбауэра с = 3/2 – яв ляются основой сферических функций в пятимерном простран стве. Функция раскладывается по полиномам Лежандра:

0 (r, ) = rk bk Pk (cos ).

k= 9.4. Сшивание с метрикой Керра Наконец, rk (ck cos k x + dk sin k x).

µ (r, ) = k= Однако согласование с запрещает мультипольные дополнения к µ, но на мультиполи и нет никаких ограничений, так что в принципе, кроме p0, 0, 0, решение определяется двумя бесконечными сериями констант ak и bk в центре.

Интегрирование ведется до достижения поверхности, т.е. до p = 0. На границе жидкости должны быть непрерывны функ ции,, µ и их нормальные производные.

На бесконечности пространство становится плоским, источ ники отсутствуют, и поля удовлетворяют уравнениям (9.18), (9.19) также с двумя сериями констант. Это или решение Кер ра [55], или решения Томимацу и Сато [60], или их некоторая композиция с осесимметричными решениями Вейля.

9.4. Сшивание с метрикой Керра В метрике Керра на поверхности можно ввести константу k, связанную со значением компоненты g00 на границе:

2mr g00 = 1 =1 ;

m = rg /2.

r2 2 cos +a k Она определяет уравнение поверхности звезды:

r 2 + a2 cos2 = 2 k m r.

(9.21) Это квадратное уравнение относительно r. При k |a|/m оно описывает поверхность, топологически эквивалентную сфере с полярным радиусом rp = k m + k 2 m2 a2 и экваториальным re = 2 k m. Вторая поверхность лежит внутри первой, но так как внутри первой поверхности находится вещество, метрика 150 Вращение релятивистской жидкости не совпадает с метрикой Керра, и второе решение просто от сутствует. При k |a|/m оба решения определяют поверхность, топологически изоморфную тору.

Здесь мы обозначили радиальную переменную r, так как она не обязана совпадать с радиальной переменной внутреннего решения.

Через константу k выражаются и другие компоненты мет рики Керра. На поверхности p = 0, k = const:

a sin2 ;

a2 sin2 sin2 ;

g33 = 2 k m r + 1 + g03 = k k 2kmr g11 = ;

g22 = 2 k m r.

r 2 + a2 2 m r Эта метрика должна сшиваться с метрикой внутреннего ре шения на границе (значение функций которого на границе мы помечаем индексом s):

2kmr d2 = e2µs 2s dr2 ;

2 k m r = e2µs 2s r2.

r r2 2 2mr +a Отсюда dr dr =, r r 2 2mr +a что определяет связь r и r:

m2 a r =r+m+. (9.22) 4r Сшивание компонент g m 2 a2 a e2s = r+m+ 4r k позволяет вычислить, затем значения на границе a2 sin a2 m2 k e2s = e s = 1 + ;

a2 m2 4 r2 k1 k 2 (r + 4r ) 9.4. Сшивание с метрикой Керра и k m ((m + 2r)2 a2 ) e2µs 2s =.

2 r При этом a (k 1) =.

a m k2 r + a2 sin 4r Для сшивания с метрикой Керра интегрирование из центра должно вестись с такими параметрами, чтобы на поверхности, где p = 0, выйти на эти соотношения.

Угловую скорость можно выразить через внешние коор динаты. Так как a2 m = r 2 2 m r + a2, r+ 4r то распределение на поверхности имеет вид a =. (9.23) r ((1 + k) r 2 k m) + (1 + k) a В частности, отношение угловой скорости на экваторе e к уг ловой скорости на полюсах p 2 k 2 m (k m + k 2 m2 a2 ) e =, 4 k 3 m2 + a2 (1 + k) p |a|/m угловая скорость на поверхности показывает, что при k постоянна, но при уменьшении k становится неоднородной:

a2 1 + 2 k e 1 2 2.

p km 4k Угловая скорость на экваторе меньше угловой скорости на по люсах. Распределение угловой скорости на поверхности звезды (9.23) определяется только параметрами метрики Керра a, m и параметром поверхности k и не зависит от вещества (которое, однако, полагается сжимаемой идеальной жидкостью).

152 Вращение релятивистской жидкости 9.5. Вариационный метод Уравнения равновесия (9.5)–(9.8) могут быть получены из принципа минимума потенциальной энергии, выраженной через рассматриваемые поля:

U = U + U + Uµ + Lp, (9.24) где 1 34 r sin3 (2 + r2 2 );

U = e (9.25) r U = e sin ( + r2 r );

2 (9.26) Uµ = e sin ((ctg + ) µ + (1 + r r ) r µr ). (9.27) Особо следует сказать о лагранжиане жидкости Lp, найден ном Шютцем [61] через давление как функции энтальпии, определяющей плотность вещества и плотность энергии :

dp dp = p = p;

= ;

+ p =.

d d Зависимость давления от компоненты g00, полученная из тождеств Гильберта (9.3), связывает энтальпию с этой компо нентой: = k/ g00, где константа k определяется соотноше нием на границе при нулевом давлении. Лагранжиан Шютца записывается в виде Lp = g p();

= 1/ g00 ;

g00 = e2 e22 q 2 2 r2 sin2 ;

g = e2µ+2 r2 sin.

Вариация этого лагранжиана по компонентам метрики опреде ляет правые части в вариационных уравнениях:

p g ( + p) g Lp = ;

g 2 g 9.6. Нерелятивистский предел Lp ( + p) g = ;

2 g p g ( + p) g Lp =.

g 2 g Так как g00 не зависит от µ, то эта вариация проще:

p g Lp = = 2 p.

g µ µ Вариация по µ приводит лишь к уравнению для (9.8). Од нако уравнение (9.11) – не вариационное, оно есть результат выбора переменных такими, чтобы gr = 0, и является допол нительным.

Важным является различие знаков у различных составляю щих: U положительно определена, а U – отрицательно опре делена. С точки зрения классической физики выражение энер гии (9.24) может включать произвольный набор компонент. На пример, в монографии автора [7] рассмотрены чисто вихревые поля, содержащие компоненты, µ и. Энергия этих полей положительно определена.

9.6. Нерелятивистский предел В нерелятивистском пределе давление p пренебрежимо ма ло по сравнению с плотностью энергии, основной составляющей которой является c2. В линейном приближении в уравнениях (9.8)–(9.11) можно пренебречь квадратичными комбинациями градиентов метрических функций. В этом приближении источ ники содержатся только в уравнениях для и :

4,r, +3 ctg, 8k,rr + + =. (9.28) 2 c r r Правая часть содержит в знаменателе c2, и в нерелятивистском приближении ей можно пренебречь, так что решением оказы 154 Вращение релятивистской жидкости вается, в частности, = const. Для гравитационного потенци ала = c2 уравнение (9.6) переходит в уравнение Лапласа– Пуассона:

2,r + ctg, = 4 k.

,rr + + (9.29) r r Дифференциальные уравнения (9.7)–(9.11) оказываются ли нейными и однородными и содержат решения µ = 0, = 0.

Энтальпия, а вместе с ней и давление, являются функциями компоненты 2 r2 sin g00 = 1 +.

c2 Величина 2 r2 sin2 /2 представляет собой гравитационный потенциал с учетом центробежного. На поверхности звезды он должен быть постоянным.

Возможны более мягкие приближения, например, линеари зованные уравнения, но без пренебрежения релятивизмом или давлением. Источники в уравнениях (9.5)–(9.7) содержат в зна менателе величину g00. Хотя все наблюдаемые движения небес ных тел являются существенно нерелятивистскими, в процессе коллапса вращающихся объектов (звезд или даже галактик в целом) возможно приближение границы этого объекта к гори зонту, где скорость света стремится к нулю, что делает даже медленное движение релятивистским, и учет релятивистских эффектов для таких объектов становится обязательным.

Глава Уравнение Эйлера в поле скоростей Уравнения Эйлера записываются в системе с произвольным полем скоростей в общековариантном виде с помощью инвари антной производной по времени. Вокруг однородно вращающе гося шара имеется серия точных решений в виде гармонических и вихревых мод с полусуточным периодом. 24 декабря 2008 г., ИКИ, HEA-2008.

10.1. Введение Гидродинамическое уравнение Эйлера v + (v ) v = p (10.1) t с первого взгляда не является инвариантным даже по отноше нию к переходу из одной инерциальной системы в другую. Дей ствительно, если в таком виде оно выполняется в некоторой инерциальной системе K, то в системе K, относительно кото рой система K движется с постоянной скоростью V, уравнение Эйлера примет вид v )v + (v ) v = (V p, (10.2) t отличный от (10.1).

Однако именно Эйлер заложил основы понятия инвариант ная производная по времени, записав сначала в системе, свя занной с некоторой частицей жидкости, второй закон Ньютона, 156 Уравнение Эйлера в поле скоростей затем заметив, что при переходе в движущуюся систему функ ция f (r, t) переходит в функцию f (r, t) = f (r(t), t), так что ее производная по времени в исходной системе выражается через производную по времени в движущейся системе:

f f = + (v ) f. (10.3) t t Именно из-за этого появилась квадратичная по скоростям добавка в уравнении (10.1). Поэтому производную по време ни в уравнении (10.2) нужно заменить на Эйлерову производ ную, что эквивалентно добавлению в левую часть слагаемого (V ) v, взаимно уничтожающегося с появившимся аналогич ным слагаемым в правой части, что восстанавливает исходный вид уравнения Эйлера (10.1) уже в движущейся системе. Та ким образом, в уравнении Эйлера производная по времени – не просто частная производная, но некий оператор – производная по времени в исходной системе.

Однако ее еще нельзя назвать инвариантной производной по времени по двум причинам. Во-первых, она является инва риантной только по отношению к постоянной и однородной ско рости перемещения относительно исходной инерциальной си стемы. Так, при рассмотрении динамики жидкости во вращаю щейся системе, с неоднородным полем скоростей V = [ r], приходится из физических соображений, руками, вводить ко риолисово ускорение [13, 62, 63]. Во-вторых, эйлерово преобра зование производной по времени справедливо при любом поле скоростей только для скалярных функций, а в преобразовании тензорных полей нужно учитывать их Ли-вариацию, связанную с преобразованием компонент поля при мгновенном преобразо вании координат.

10.2. Инвариантная производная по времени 10.2. Инвариантная производная по време ни Обозначим пространственные координаты инерциальной си стемы через xi, а некоторой неинерциальной системы – xj (i, t).

x Производные по времени, если функция зависит от координат, в различных системах, в которых сами координаты меняются во времени, выражаются по-разному. Производную по времени в инерциальной системе будем обозначать символом Dt и на зовем ее инвариантной производной по времени. По правилу дифференцирования сложной функции F xi xi F F F + V i i;

Vi = Dt F = +i =, (10.4) t x t t x t что и определяет инвариантную производную от скаляра (дав ления, плотности) в произвольной неинерциальной системе.

Для тензорного поля выражение чуть сложнее, так как про изводится еще преобразование, связанное с индексами. Рассмот рим сначала преобразование контравариантного векторного по ля Ai. В инерциальной системе отсчета его компоненты будем обозначать Ai :

xi j Ai xi Aj Aj xi Ai = +Vk + Aj A;

=.

xj xj xk xj t t t Преобразуем последнюю производную:

xi xi xk xl xi = l j V l.

= xj l xj xk t t x x x Отсюда инвариантная производная по времени от контравари антного векторного поля выражается:

i D t Ai = A Aj j V i +V j j Ai = Ai Aj V;

j +V j Ai. (10.5) i ;

j t x x 158 Уравнение Эйлера в поле скоростей Она записывается одинаковым образом через обычные и кова риантные производные, так как в последнем случае все связно сти взаимно уничтожаются.


Аналогично, для ковариантного векторного поля j Bi + V;

i Bj + V j Bi;

j Dt Bi = (10.6) t и для тензора произвольного ранга (в данном примере – тре тьего):

i D t Qi = Q V;

s Qs + V;

j Qi + V;

k Qi + V s Qi.

i s s (10.7) js jk t jk jk sk jk;

s Она состоит из r + 2 составляющих, где r – ранг тензора. При r = 0 (скаляр) имеем выражение (10.4) с двумя составляющими:

частной производной по времени и “переносным” членом, опре деляемым полем абсолютных скоростей. Для тензоров, имею щих индексы, к каждому индексу (верхнему или нижнему) до бавляется слагаемое, содержащее производную поля скоростей как для контравариантного (10.5) или ковариантного векторно го поля (10.6) в зависимости от расположения индекса. Инва риантная производная по времени была введена при описании динамики пространства [6, 7, 64].

Теперь все соотношения, полученные в инерциальной си стеме координат, можно перенести в неинерциальную, заменив обычную производную по времени на инвариантную.

10.3. Ковариантное уравнение Эйлера Ковариантное уравнение Эйлера для гидродинамического поля скоростей v(r, t) в неинерциальной системе, относительно которой инерциальная имеет поле скоростей V(r, t), должно вы ражаться через инвариантную производную по времени от поля скоростей относительно инерциальной системы, определяемого 10.3. Ковариантное уравнение Эйлера разностью v(r, t) = v(r, t) V(r, t), равной в гравитационном поле с потенциалом :

Dt v + ( ) v = p v.

Левая часть этого уравнения раскрывается так:

v V ) v (v ) V + ((v V) (v V)) + (V = t t v V + (v ) v 2 (v ) V + (V ) V =.

t t Мы приходим к ковариантному виду уравнения Эйлера, при менимому с любым полем скоростей и в любой системе коорди нат с учетом того, что пространственные производные векто ров в выбранной метрике должны быть ковариантными, как это предписывается в римановой геометрии:

v 1 V ) v 2 (v )V = p + + (v ) V + (V. (10.8) t t При однородном и постоянном поле скоростей все произ водные поля V исчезают и уравнение (в любой инерциальной системе) совпадает с (10.1).

Во вращающейся системе V = [ r], поэтому [ r] ) V = [ v];

) V = [ [ r]] = (v (V, и уравнение Эйлера принимает известный вид [13, 62, 63] в гра витационном потенциале с корректировкой на кориолисово ускорение:

[ r] v ) v 2 [ v] = p + (v +. (10.9) t В случае зависимости угловой скорости от времени к правой части добавится [ r].

160 Уравнение Эйлера в поле скоростей 10.4. Гидродинамика на вращающемся ша ре Используем уравнение (10.9) для описания потоков на рав номерно вращающейся сфере. Естественно выбрать сфериче скую систему координат, в которой, однако, вместо традицион ного угла (широты) за независимую переменную возьмем его косинус = cos, так что метрика примет вид:

d dl2 = dr2 + r2 + (1 2 ) d2. (10.10) 1 При вычислении ковариантных производных понадобятся связ ности, определяемые зависимостью метрического тензора от ко ординат. Ненулевые компоненты в метрике (10.10):

1 = = ;

= = (1 2 );

;

r r 1 r r = r = r = r (1 2 );

;

.

1 2 1 В сферической системе поле скоростей имеет одну постоян ную компоненту V =. Мы будем везде записывать векторы в контравариантном виде (с верхними индексами), например, вектор вращения выглядит так:

V = (V r, V, V ) = (0, 0, ).

Рассмотрим сначала потенциальные колебательные (с ча стотой ) моды на сфере с потенциалом t = fr (r) Plm () ei m ei t = fr (r) Plm () ei m ( m ), определяющим компоненты скорости v i = g ii i (мы не будем здесь их выписывать). При = 0 (отсутствие вращения) эта 10.4. Гидродинамика на вращающемся шаре потенциальная мода является решением уравнений Эйлера. Од нако при = 0 к ней добавляется вихревая составляющая, ли нейная по и по полю скоростей: если в данный момент поле скоростей является потенциальным, то производная по време ни, вычисленная по уравнению Эйлера, содержит вихревую со ставляющую: на вращающейся сфере потенциальная мода рож дает вихревые.

Обратим внимание еще на один вид мод – гармонические моды. Это безвихревые векторные поля с нулевой дивергенцией – потенциальные поля с гармоническим потенциалом.

При отсутствии вращения в сферической системе хорошо известны стационарные гармонические функции, имеющие вид l Blm Alm rl + f (r,, ) = Ylm (, ), (10.11) rl+ l=0 m=l а градиент таких функций обладает и нулевым ротором, и ну левой дивергенцией.

Среди векторных полей имеется однопараметрическое под множество с нулевым ротором и нулевой дивергенцией (гармо нические поля):

i vm = ei m rm2 ( 1 2 )m r,,, (10.12) 1 удовлетворяющее нелинейному уравнению, входящему в урав нение Эйлера:

( ) v = 0.

v (10.13) Гармоническое поле с заданным m 0 порождает серию вихревых полей с целочисленным индексом k: vm = vm (r )k, k также являющихся решениями уравнения (10.13). Дивергенция этих полей также равна нулю, а ротор пропорционален индексу k:

ik k k k rot vm = v = i k vm. (10.14) r m 162 Уравнение Эйлера в поле скоростей На сфере, вращающейся с постоянной угловой скоростью, амплитуда колебаний оказывается зависящей от времени, а вследствие стационарности эта зависимость определяется экс поненциальным множителем ei t. Уравнение Эйлера (без пе репада давления, так как дивергенция этих полей равна нулю) [ r] v ) v 2 [ v] = + (v (10.15) t приводит к единственному требованию = 2, то есть период колебаний каждой такой моды равен половине периода враще ния сферы (половине суток).

Таким образом, имеется двухпараметрическая серия точных решений уравнения (10.15):

i vm = ei m 2 i t rm+k2 k ( k 1 2 )m r,,, 1 (10.16) а также комплексно сопряженных им.

Первые поля при k = 0:

1 i v1 = ei (2 t) 1 2,, ;

r 1 r v2 = ei (2 2 t) r (1 2 ), (1 2 ), i.

Наиболее существенным моментом является одинаковая вре менная зависимость для всех этих мод – с полусуточным пери одом.

Две причины определяют полусуточную периодичность рас смотренных мод:

1. Равенство нулю дивергенции не вызывает изменений дав ления, волна не является акустической.

10.4. Гидродинамика на вращающемся шаре 2. Равенство нулю (v· )v приводит к линейности уравнения динамики:

v + 2 [ v] + [ [ r]] = 0, t имеющего решения с зависимостью от времени e2 i t.

Специфическая геометрия решений становится более понят ной при переходе к декартовой системе координат:

1 2 cos ;

1 2 sin ;

x=r y=r z = r.

Преобразование компонент вектора осуществляется с помо щью матрицы (x, y, z) (J) = = (r,, ) 1 2 cos 1 2 sin 1 = r 1 2 cos r 1 2 sin, r sin cos r 1 2 r 1 определяющей вектор в декартовой системе координат:

(J) · vm = (x i y)m1 z k (1, i, 0) e2 i t.

k (10.17) При k = 0 это хорошо известные двумерные решения на ос нове функций комплексной переменной, переведенные в трех мерье добавлением нулевой третьей компоненты. Умножение на произвольную функцию третьей переменной делает поле вих ревым, но соотношения div v = 0 и (v · )v = 0 сохраняются.

Выражение (10.17) обобщается: полусуточный период имеет вектор v = w(x + i y) f (z) (1, i, 0) e2 i t (10.18) с произвольной функцией комплексной переменной w(x + i y) и произвольной функцией f (z).

164 Уравнение Эйлера в поле скоростей В двумерном случае полусуточный период во вращающейся системе имеют векторы [63] v = w(x + i y) (1, i) e2 i t.

10.5. Заключение Колебания давления с полусуточным периодом эксперимен тально были обнаружены давно. Процитируем Лэмба [62]:

“Если обратить внимание на возможное увеличение амплитуды вследствие резонанса, то интересно по ставить вопрос о том, не может ли атмосфера иметь свободные периоды приблизительно в 12 солнечных или лунных часов...

Известно из опыта, что в показаниях барометра на блюдаются правильные колебания с периодом в од ни солнечные сутки и в половину солнечных суток, между тем как влияние соответствующих лунных приливов почти незаметно. Амплитуда полусуточ ных колебаний (по солнечным суткам) на экваторе примерно равна 0.937 мм, в то время как амплитуда, которую дает “статическая” теория приливов, равна только 0.011 мм.” Лэмб описывает разные модели возникновения полусуточ ных колебаний, однако при учете только дивергентных мод (с отличной от нуля дивергенцией) накладываются жесткие спе циальные требования на параметры атмосферы. Рассмотрен ные выше гармонические и вихревые моды имеют полусуточ ный период, никак не связанный с параметрами атмосферы.

Хотя сами гармонические и вихревые моды перепада давле ния не создают, но, резонансно взаимодействуя (вследствие су щественной нелинейности уравнения Эйлера) с дивергентными модами, могут приводить к колебаниям давления с полусуточ ным периодом.

Глава Метод граничных мод Граничные моды – с максимальным по модулю значением m – находятся из дифференциальных уравнений первого поряд ка. Остальные сферические моды получаются из них действием операторов понижения или повышения. Техника особенно вы игрышна для многокомпонентных полей. Она применяется для нахождения мод векторных полей. Использование ее для спи норных полей приводит к непосредственному отделению урав нения для радиальных функций, например, при описании атома водорода уравнением Дирака.

11.1. Введение Традиционная операторная техника получения сферических функций достаточно прозрачна: в алгебре Ли трехмерной груп пы вращений имеется два коммутирующих оператора Lz и L2, и их собственные функции – сферические функции. То, что они являются собственными функциями Lz, приводит к специфи i m, а действие при этом ческой зависимости от угла как e оператора L2 приводит к уравнению Лежандра для функций от cos. Также вводятся операторы L+ и L, повышающие и понижающие индекс m моды. Воздействие этими операторами на моду с m = 0, представляемую полиномом Лежандра с ин дексом l, генерирует серию мод с индексом m, изменяющимся от l до +l.


При описании колебаний атмосферы и океанов, распростра нения радиоволн приходится сталкиваться с векторными функ 166 Метод граничных мод циями, а в квантовой механике, учитывающей спин электрона, необходимо иметь дело со спинорными функциями. Для них тоже выведены операторы Lz и L2, однако, так как эти функ ции многокомпонентные, то действие оператора L2 приводит к системе линейных дифференциальных уравнений второго по рядка, в которых перемешаны разные компоненты полей. Хотя такая процедура генерации мод и доведена до конца (см., на пример, [65–67]), однако она слишком громоздка.

Метод граничных мод упрощает процедуру построения мод (не только скалярных, спинорных и векторных, но и мод лю бой тензорной размерности) за счет следующего обстоятель ства: оператор L2 может быть представлен в виде z L2 = L · L+ + L2 + i Lz. (11.1) Построение серии мод начинается с граничной моды с наиболь шим значением m = l. Действие на эту моду оператором L+ дает нулевой вектор (или спинор). Эта мода вследствие кон струкции (11.1) автоматически оказывается собственной функ цией оператора L2 с собственным значением l (l + 1).

Требование граничности моды определяется дифференци альным оператором первого порядка L+, что существенно упро щает процедуру по сравнению с традиционной. Далее, действуя на эту моду оператором L, получаем моды с меньшими m вплоть до m = l. При этом, так как оператор L коммути 2, все эти моды являются собственными рует с оператором L модами последнего с тем же собственным значением l (l + 1).

В данной главе методом граничных мод мы построим сфе рические моды для векторных и спинорных полей.

11.2. Операторы Киллинга Основной структурой, определяющей геометрические свой ства пространства, является выражение для расстояния между двумя бесконечно близкими точками – метрический элемент, 11.2. Операторы Киллинга задаваемый метрическим тензором ij (x) с определенной зави симостью его компонент от координат:

dl2 = ij (x) dxi dxj. (11.2) Например, бесконечно малый элемент длины в сферической си стеме имеет вид:

dl2 = dr2 + r2 (d2 + sin2 d2 ). (11.3) Проведем теперь бесконечно малое преобразование коорди нат, определяемое векторным полем i (x) и параметром мало сти (индекс после запятой означает частную производную по соответствующей координате: i,j j i ):

xi = xi + i (x);

dxi = di + i,j dxj.

x (11.4) Выпишем преобразования метрического элемента (11.2) в ли нейном порядке по :

dl2 = ij (k + k )(di + i,k dxk )(dj + j,k dxk ) x x x ij () di dj + (ij,k k + kj k,i +ik k,j ) di dj.

xxx xx В этом выражении мы заменили i,k dxk i,k dk, так как x различие этих выражений дает вклад лишь в квадратичное по выражение для вариации метрического элемента.

Линейная по составляющая вариации называется Ли-вари ацией метрики по векторному полю :

ij = ij,k k + kj k,i +ik k,j. (11.5) Если векторное поле i таково, что ij = 0, оно называет ся полем Киллинга, а преобразование координат этим полем – движением пространства, так как после преобразования мет рический элемент имеет точно такое же выражение, как и до преобразования, то есть геометрические свойства пространства 168 Метод граничных мод не изменяются. Движениями евклидова пространства являются сдвиги и повороты.

При преобразовании координат (11.4) могут изменяться дру гие поля. Например, Ли-вариация скалярного поля определяет ся следующим образом:

f (x) = f ( + ) = f () + ( i i ) f (x);

f (x) = ( i i ) f (x).

x x (11.6) Вычисляя Ли-вариации векторного поля следует учесть, что в линейном по приближении xj j xj = xj j ;

= i j,i.

xi Далее нужно рассмотреть инвариантное выражение:

xj Ai (x) = Ai ( + ) i x = i x xj x j = (Ai + j Ai,j ) (i j,i ) = (Ai () + Ai ) i.

x j x x Отсюда находится Ли-вариация векторного поля:

Ai = j Ai,j Aj i,j [, A]i. (11.7) В это выражение входят два векторных поля и A, причем антисимметрично:

[, A] = [A, ].

Такая конструкция называется коммутатором двух векторных полей. Коммутатор есть также векторное поле.

При бесконечно малом преобразовании координат с помо щью векторного поля k все поля получают бесконечно малые добавки – Ли-вариации, определяемые линейными оператора ми. Ли-вариация скалярного поля k f = k i i f = K f. (11.8) 11.3. Операторы вращений Ли-вариация векторного поля определяется коммутатором, яв ляющимся линейным оператором в пространстве векторных по лей:

k A = [k, A] = K A. (11.9) Ли-вариация по векторному полю Киллинга определяет опе ратор Киллинга. Наиболее важным свойством операторов Кил линга поля любой тензорной размерности является теорема о коммутации:

Теорема 1. Коммутатором операторов, порожденных двумя полями Киллинга, является оператор, порожденный комму татором этих полей.

11.3. Операторы вращений Сферические координаты слегка модифицируем, введя вме сто угла его косинус = cos в качестве независимой пере менной. В этих координатах метрика принимает вид:

d dl2 = dr2 + r2 + (1 2 ) d2. (11.10) 1 Последняя метрика допускает три линейно независимых век торных поля Киллинга (три бесконечно малых вращения). Век торные поля мы представляем их контравариантными компо нентами (k r, k, k ):

e±i. (11.11) 1 2, 0, ±i k3 = (0, 0, 1);

k± = Коммутаторы полей Киллинга:

[k3, k ] = i k ;

[k3, k+ ] = i k+ ;

[k+, k ] = 2 i k3. (11.12) 170 Метод граничных мод 11.4. Моды векторных полей Важность использования операторов Киллинга можно уви деть в следующей теореме. Так как векторы Киллинга не из меняют метрики, то при преобразовании Киллинга не меняется оператор ротор.

Теорема 2. С точки зрения теории линейных операторов ком мутатор с полем Киллинга и ротор коммутируют. Напри мер:

[kp, rot A] = rot [kp, A]. (11.13) 11.4.1. Граничные моды В качестве первого оператора, определяющего моды полей любой тензорной размерности (скалярного, векторного и т.д.), удобно выбрать оператор, порожденный полем Киллинга k (11.11). Моды полей, являющиеся собственными векторами это го оператора, имеют определенную зависимость от угла – как ei m. Назовем такую моду m–модой.

Из коммутационных соотношений (11.12), приводящих к со ответствующим коммутаторам операторов Киллинга, следует, что оператор K+, определяемый векторным полем k+, действуя на m–моду, переводит ее в m + 1–моду (увеличивает номер мо ды). Соответственно K уменьшает номер моды.

Моды, не допускающие увеличения или уменьшения m, на зовем граничными модами. Условием того, что данная вектор ная мода – верхняя граничная, является равенство нулю ком мутатора векторного поля Киллинга k+ с данным полем. При своим этому максимальному индексу наименование mmax = l.

Так как операторы вращения действуют только на угловые переменные, мы пока не будем обозначать зависимость функ ций от радиуса. Выберем граничную моду в виде A = (fr (), f (), i f ()) ( 1 2 )l ei l.

11.4. Моды векторных полей Коммутатор вектора k+ с этой модой приводит к векторному полю Q1 Q ) ( 1 2 )l+1 ei (l+1), [k+, A] = (i fr (), i, 2 (1 2 ) (11.14) где Q1 = f () + f () + f ();

1 Q2 = f () + (1 2 ) ((1 2 ) f () f ()).

Условием того, что выбранная мода является граничной, явля ется равенство нулю Q1 и Q2, откуда f () выражается через f ():

f = f () f (), (11.15) 1 а f () удовлетворяет дифференциальному уравнению f () = 0, то есть f = a + b, а (a + b ) f = b.

1 Также из уравнения (11.14) следует, что fr не зависит от.

Константы a, b, c определяют три граничные поляризации, для которых теперь найдем зависимость от радиуса:

(1) (1) (1) ( 1 2 )l ei l ;

fr (r), f (r), i f (r) A1 = 1 (2) (2) (2) ( 1 2 )l e i l ;

A2 = i fr (r), i f (r), f (r) 1 A0 = (fr (r), 0, 0) ( 1 2 )l ei l.

(0) (11.16) В первой и второй модах радиальная часть у компонент A и A одинакова, так как операторы K± преобразуют только угловые компоненты.

172 Метод граничных мод В теории углового момента моды ищутся как собственные функции операторов K3 и квадратичного K 2 = K · K+ + K3 + 3, коммутирующего с K, K+, K3. Так как для граничной iK моды K+ · A = 0, она автоматически оказывается собственной модой оператора K 2 с собственным значением l (l + 1). Поэтому движение от граничных мод для скалярного поля требует ре шения лишь дифференциального уравнения первого порядка, а для многокомпонентных полей с высшим спином, имеющих по две поляризации – системы двух дифференциальных уравне ний первого порядка. В этом состоит существенное упрощение метода граничных мод.

11.4.2. Радиальные функции Для монохроматических волн уравнения Максвелла приво дятся к виду rot B = i k E.

rot E = i k B;

(11.17) После выбора масштаба k r = 1 эти уравнения преобразуются:

rot rot E = E;

rot rot B = B. (11.18) Электромагнитные поля удовлетворяют уравнениям divE = 0 0, divB = 0, откуда в (11.16) следует fr (r) = 0 и fr (r) = 0, то есть остаются всего две моды.

Рассмотрим моду A1 :

) f1 (r) ( 1 2 )l ei l.

A1 = (0, 1, i (11.19) 1 Ротор этого поля i f1 (r), i rotA1 = f1 (r) + f1 (r), r 1 1 2 )l ei l ;

f1 (r) + f1 (r) ( (11.20) 1 2 r 11.4. Моды векторных полей F (f1 ) ) ( 1 2 )l ei l rot rotA1 A1 = (0, 1, i, 1 2 r (11.21) где F (f1 ) = r2 f1 (r) + 4 r f1 (r) + (r2 l2 l + 2) f1 (r).

Дифференциальное уравнение r2 f1 (r) + 4 r f1 (r) + (r2 (l + 2) (l 1)) f1 (r) = 0 (11.22) дает радиальную зависимость.

В окрестности нуля, как это следует из подстановки f = rk, r 0:

k(k 1) + 4 k (l + 1)(l + 2) = 0, откуда k1 = l1;

k2 = (l+2). Радиальные функции без особен ностей в нуле определяют колебательные моды в резонаторах, а сингулярные – мультипольное излучение.

Дифференциальное уравнение (11.22) порождает рекуррент ное соотношение для функций с разными l:

l ul (r) ul (r).

ul+1 (r) = (11.23) r Первые радиальные функции (ul – не сингулярные при r = 0, а wl – сингулярные):

r cos r sin r cos r + r sin r u1 = ;

w1 = ;

r3 r 3 r cos r + (r2 3) sin r 3 r sin r (r2 3) cos r u2 = ;

w2 =.

r4 r Они могут быть получены из общих формул:

l 1d sin r ul (r) = rl1 ;

r dr r 174 Метод граничных мод l 1d cos r wl (r) = rl1. (11.24) r dr r Первая серия решений соответствует полям в резонаторах, не имеющим сингулярности при r = 0. Вторая серия в этой точке сингулярна, соответствует излучателю в начале координат. При этом число l определяет номер мультипольности излучателя, а соответствующая угловая часть – диаграмму направленности.

11.4.3. Низшие моды Действие оператора K (коммутация с вектором k ) приво дит к модам с меньшими значениями m, при этом радиальная функция не меняется.

Например, при l = ) ( 1 2 )3 e 3 i.

E3,3 = f3 (r) (0, 1, i 1 Последовательное коммутирование с вектором k приводит к модам:

E3,2 = [k, E3,3 ] = f3 (r) (0, 4 i (1 2 ), 2 (1 3 2 )) e2 i ;

E3,1 = [k, E3,2 ] = ei = f3 (r) (0, 2 (1 2 ) (1 5 2 ), 2 i (11 15 2 )) ;

1 E3,0 = [k, E3,1 ] = 24 f3 (r) (0, 0, (1 5 2 )).

Последняя мода не зависит от угла.

E3,1 = [k, E3,0 ] = ei = 24 f3 (r) (0, 2 (1 2 ) (1 5 2 ), 2 i (11 15 2 )) ;

1 E3,2 = [k, E3,1 ] = 240 f3 (r) (0, 2 i (1 2 ), (13 2 )) e2 i ;

11.4. Моды векторных полей ) ( 1 2 )3 e3 i.

E3,3 = [k, E3,2 ] = 720 f3 (r) (0, 1, i 1 Коммутатор k с последним полем приводит к нулевому век торному полю:

[k, E3,2 ] = 0.

Это также граничная мода, но по отношению к полю Киллинга k.

Радиальная функция у всех этих мод одинакова. Несингу лярная радиальная функция имеет вид:

(3 (5 2 r2 ) sin r (15 r2 ) r cos r), f3 (r) = u3 = r а сингулярная (3 (5 2 r2 ) cos r + (15 r2 ) r sin r).

f3 (r) = w3 = r При любом l центральная мода имеет вид E3,0 = fl (r) (0, 0, Cl ()), а Cl () удовлетворяет дифференциальному уравнению (1 2 ) Cl () 4 Cl () + (l 1)(l + 2) Cl () = 0. (11.25) Это дифференциальное уравнение Гегенбауэра с индексом 3/2, имеющее решение в виде соответствующих полиномов. Поли ном Cl () = Pl+1 (), где Pl () – полином Лежандра.

Все моды могут быть получены из этой центральной моды с помощью коммутации с полями Киллинга k+ и k. Поэтому моды с m различного знака комплексно сопряжены друг другу (с точностью до множителя), а в каждой серии m изменяется от l до +l, то есть содержится 2 l + 1 различных мод.

176 Метод граничных мод 11.4.4. Вторая поляризация Вспомним, что коммутатор с полем Киллинга и ротор ком мутируют (11.13). Поэтому, если мода A граничная, то и rot A тоже является граничной модой. Поэтому вторую поляризацию можно выразить через ротор первой (11.20):

f2 (r) E2 = 1 2 )l ei l, f (r), f2 (r), i ( (11.26) l,l 1 где f2 (r) = f (r) + f (r).

r Далее, коммутируя это поле 2 l раз с полем Киллинга k, полу чим серию мод с (l m l). Коммутатор k с E2 приводит l,l к нулевому полю.

Таким образом, сферические моды радиоволн образуют две поляризации, для одной из которых равна нулю радиальная компонента вектора E, а для другой – радиальная компонента вектора H. В каждой поляризации содержится бесконечный на бор серий, характеризуемый граничным индексом l, а в каждой серии 2 l + 1 мод с индексом (l m l).

Так как в дифференциальном уравнении (11.25) собственное значение равно (l 1)(l + 2), то, в отличие от скалярных мод, минимальное значение l = 1.

11.5. Спинорные поля При переходе от декартовой системы к сферической опера тор Паули преобразуется в соответствии с преобразованиями операторов дифференцирования:

D = 1 + 2 + 3 = x y 1 1 = r + +, r r r 11.5. Спинорные поля где (1, 2, 3 ) – стандартные матрицы Паули, не зависящие от координат [67], а матрицы r r r r = 1 + 2 + 3 = (11.27) x y 1 2 (1 cos + 2 sin ) + 3 = = 1 2 ei = ;

1 2 ei r = 1 + 2 + 3 = x y 1 1 2 3 = = (1 cos + 2 sin ) + 1 2 ei = ;

ei 1 = r 1 2 1 + 2 + 3 = x y i ei = 2 cos 1 sin = i ie зависят только от угловых координат.

В операторе Паули можно выделить радиальную и сфери ческую части:

1 1 D = r 1 2 + + = r + Y, r r r r где 1 1 2 Y= +.

178 Метод граничных мод Квадрат оператора Паули вне зависимости от выбранной системы координат является единичной матрицей, умноженной на оператор Лапласа:

D·D =. (11.28) Однако в сферически симметричных задачах, связанных с оператором Паули (например, в задаче о релятивистском атоме водорода), квадрат оператора Паули может появиться в комби нации d U (r) 1 r D · U (r) D = U (r) + ( · Y ).

1+ (11.29) dr r Если U (r) – некая сферически симметричная функция, то опе ратор S = r · Y = ei i i e 0 1 1 2 + ei ei 0 1 (11.30) должен быть инвариантным относительно вращений, к описа нию которых мы и переходим.

11.5.1. Спинорные операторы Киллинга Спиноры являются двухкомпонентными объектами:

u(r,, ) =.

v(r,, ) Бесконечно малые вращения вариации функций скалярными операторами Киллинга L± = e±i 1 ±i L3 = ;

+ 1 11.5. Спинорные поля с коммутационными соотношениями [L3, L± ] = ±i L± ;

[L+, L ] = 2 i L дополняют преобразование спиноров матрицами 0 i 00 i/2 s+ = ;

s = ;

s3 = i 0 0 i/ с аналогичными коммутационными соотношениями [s3, s± ] = ±i s± ;

[s+, s ] = 2 i s3.

Поэтому операторами Киллинга в пространстве спиноров явля ются операторы K± = L± + s± ;

K3 = L3 + s с такими же коммутационными соотношениями.

Оператор D2 по своей конструкции (11.28) сферически сим метричен:

[Ki, D2 ] = 0.

Сферическая симметрия оператора S (11.30), коммутирую · D), выражается в том, что он также щего с оператором (D коммутирует со всеми операторами Киллинга:

[(D · D), S] = 0;

[K3, S] = 0;

[K±, S] = 0.

Оператор (D · D) выражается через операторы Киллинга и оператор S:

2 2 1 3.

2 D·D = 2 + K · K+ + K3 + i K3 S + + r r r r (11.31) Здесь выделяется сферический оператор Лапласа 2 = K · K+ + K3 + i K3 S + = Y 180 Метод граничных мод = ((1 2 ) ) + ( )2. (11.32) 1 Применим теперь метод граничных мод к спинорным полям.

Сначала найдем условие того, что двухкомпонентный спинор является собственной модой оператора K3 :

u() ei m1 (m1 + 1/2) u() ei m ;

K3 · = i = = i.

v() ei m2 (m2 1/2) v() ei m Отсюда следует связь показателей m1 = m 1, m2 = m. Тогда u() ei (m1) K3 · = i m = ;

.

v() ei m Собственное значение оператора K3 полуцелое. Заметим, что сами показатели в компонентах целые (m – целое).

Теперь найдем граничные моды, обозначив максимальное значение m индексом l:

u() ( 1 2 )l1 ei (l1) l =.

v() ( 1 2 )l ei l Из условия K+ l = (u () v()) ( 1 2 )l ei l K+ l = i.

v () ( 1 2 )l+1 ei (l+1) Отсюда следует v () = 0, что определяет две граничные моды (с v1 () = 0 и v2 () = 1):

( 1 2 )l1 ei (l1) 1 2 )l1 ei (l1) ( l = ;

l+ =.

( 1 2 )l ei l Оба эти спинора являются собственными модами оператора K с одинаковым собственным значением m = l 1/2 и собствен ными модами оператора S (11.30) с собственными значениями + + S · lm = (1 l) lm ;

S · lm = (1 + l) lm. (11.33) 11.5. Спинорные поля Действие оператора K приводит к двум сериям из 2 (l + 1) функций с меньшими значениями m (от (l 1/2) до (l 1/2)), но с теми же самыми собственными значениями операторa S.

Первую серию с собственными значениями S, равными 1 l, назовем отрицательной серией, а вторую, с собственными зна чениями l + 1, – положительной.

Например, при l = 2 имеются четыре отрицательные моды с собственным значением оператора K3, уменьшающимся от 3/2 i до 3/2 i:

1 2 ei 2,3/2 = ;

2,1/2 = K · 2,3/2 = i ;

1 2 ei i 1 2 ei 2,1/2 = K · 2,1/2 = ;

2,3/2 = K · 2,1/2 =.

1 2 ei 6 i Все эти моды являются собственными векторами оператора S с собственным значением 1 l = 1.

Положительная серия с l = 2 – также из четырех мод – порождается действием оператора K на спинорную функцию 1 2 ei + 2,3/2 =.

(1 2 ) e2i Эти моды являются собственными векторами оператора S с соб ственным значением l + 1 = 3. Действие оператора K на моды (1) (2) 1,3/2 и 1,3/2 дает нуль.

Всего при определенном l содержится 4 l мод. Мы не следили за нормировкой мод, так как это достаточно простая проблема.

Исключительно важную роль играет матрица r (11.27): она переводит моду с заданными l и m положительной серии в со ответствующую отрицательную моду и наоборот.

182 Метод граничных мод 11.5.2. Разделение переменных Из предыдущего следует техника разделения переменных в задачах со спинорами:

s • Угловая часть Ulm определяется двумя квантовыми чис лами l 0 и m ((l 1/2) m l 1/2), а также квантовым знаком серии со значениями s = ±.

• Угловая зависимость определяется двумя коммутирую s s щими операторами: K3 Ulm = i m Ulm с полуцелыми соб ственными значениями и спин-орбитальным оператором S, по-разному действующим на функции разных серий:

+ + S Ulm = (1 l) Ulm ;

S Ulm = (1 + l) Ulm.

Матрица r (r = 1) меняет местами серии без изменения квантовых чисел:

+ + r Ulm = Ulm ;

r Ulm = Ulm.

• Оператор D можно представить в виде S D = r · +. (11.34) r r • Если волновая функция представлена в виде = f (r) Ulm, то 1l + D · f (r) Ulm = f (r) + f (r) Ulm ;

r l+1 + D · f (r)Ulm = f (r) + f (r) Ulm.

r 11.5. Спинорные поля 11.5.3. Релятивистский атом водорода В качестве примера использования спинорных сферических мод рассмотрим разделение переменных в задаче о релятивист ском атоме водорода. Четырехкомпонентный дираковский спи нор представляется через два двухкомпонентных 1 = u(r)Ulm + и 2 = v(r)Ulm, для которых уравнение Дирака определяется системой из двух уравнений [68]:

(E + mc2 U ) (E mc2 U ) 1 + D 2 = 0;

2 + D 1 = 0.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.