авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

«В.И. Борисов, В.И. Лебедев, С.Н. Перепечко ВВЕДЕНИЕ В ОПТИКУ УЛЬТРАКОРОТКИХ ЛАЗЕРНЫХ ИМПУЛЬСОВ Могилев, 2004 г. УДК 535.42 ББК ...»

-- [ Страница 2 ] --

II. Спектрально-временные соотношения для лазерных импульсов 2.1. Фазовая скорость света Монохроматическая плоская световая волна E E 0 expikx t рас пространяется со скоростью v p dx dt k по прямой линии, например вдоль оси ОХ. Эта скорость, называемая фазовой, соответствует скорости пе ремещения в пространстве вдоль оси ОХ условно выделенной плоскости по стоянной фазы волны. Приведенное выражение для фазовой скорости полу чается, если продифференцировать по времени соотношение для коорди наты поверхности постоянной фазы: kx t const ;

k dx dt 0 ;

dx dt k.

Иногда в литературе приводят мнение о том, что фазовая скорость не дает никакого представления о действительной скорости распространения волнового возмущения в среде, так как монохроматическая волна бесконечна и на ней нет меток для измерения. Поэтому ошибочно считают, что фазовую скорость нельзя непосредственно измерить, так как действительная скорость волнового возмущения может быть охарактеризована только так называемой «групповой скоростью». Например, в фундаментальной монографии Борна и Вольфа «Основы оптики» написано: «Легко видеть, что фазовую скорость нельзя определить экспериментально и поэтому следует считать ее лишенной какого-либо прямого физического смысла. Для измерения фазовой скорости необходимо было бы сделать отметку на бесконечно гладкой волне и измерить скорость этой отметки, что, однако, означало бы замену бесконечной гармонической волны другой функцией координат и времени»

[1].

На самом деле фундаментальная физическая константа – скорость света в вакууме есть именно фазовая скорость, определенная для плоской световой волны, а «метки» – движущиеся максимумы и минимумы этой волны.

Невозможность определения из опыта фазовой скорости света, сле довала из ошибочного заключения об отсутствии методов непосред ственного измерения частоты световых колебаний. Ранее казалось, что све товые колебания настолько высокочастотные и хаотичные, что прямое измерение их частоты принципиально невозможно. Это мнение, излагаемое в старых учебниках, иногда переносят и в современные книги. Развитие лазерной физики привело к созданию лазеров, являющихся источниками практически монохроматического излучения и разработке методов из мерения их частоты за счет использования методов оптического гетероди нирования.

Именно фазовую скорость света непосредственно измеряют в со временных экспериментах с точностью более 10 значащих цифр [2].

Определение фазовой скорости света проводят следующим образом.

Для измерений используют непрерывный гелий-неоновый лазер, стабилизированный по частоте с помощью поглощающей ячейки, за полненной парами йода (для = 0,63... мкм) или метана (для = 3,39...

мкм).

С помощью интерферометра Майкельсона или Фабри-Перо точно из меряют длину волны. Это измерение фактически сводится к ответу на во прос, сколько длин волн лазера укладывается на расстоянии между штрихами эталона метра. Практически эта часть измерений сводится к сравнению длины волны лазера с длиной волны эталонного источника стандартной газоразрядной лампы, заполненной изотопом криптона 86.

Затем, с помощью радиооптического моста определяют частоту из лучения этого же лазера, путем е сравнения с частотой эталонного квар цевого генератора радиодиапазона (рис.1.1).

Скорость света есть произведение этих двух величин с = 299792458 м/с (точно).

Таким образом, фазовая скорость плоской световой волны в в а кууме – точно определенная и непосредственно измеряемая физическая ве личина. С другой стороны, понятие «групповая скорость» во многих случаях неопределенно, а его применимость в оптике ультракоротких импульсов ог раничена весьма жесткими приближениями, при которых это понятие име ет смысл (см. следующий раздел). Эти приближения могут быть ещ оправ данными в радиофизике, где дисперсия среды очень слабо влияет на радио импульсы, распространяющиеся в среде. В оптике ультракоротких лазерных импульсов понятие «групповая скорость», вероятно, вообще неприменимо, так как дисперсионными параметрами среды более высоких порядков, чем первая, здесь пренебрегать уже нельзя. Действительно, в оптике диапазон частот, занимаемый сигналом, может быть в тысячи раз более широким, чем в радиодиапазоне. Соответственно возрастает и роль дисперсии при рас пространении оптических сигналов в среде. Тем не менее, понятия «груп повая скорость» и «дисперсия групповой скорости» прочно вошло во все справочники и современные учебники по оптике [3].

2.2. Скорость распространения импульсного сигнала Вопрос о скорости распространения немонохроматического сигнала или импульса в среде с дисперсией в оптике неоднозначен и универсального ответа на этот вопрос не существует. Все зависит от конкретных свойств среды и сигнала.

Физическое понятие импульса – математическая абстракция. На пример, импульс гауссовой формы в виде плоской волны занимает все пространство и бесконечен во времени. Для измерения скорости импульса необходимо на выходе среды измерять форму импульса. О распространении импульса судят по скорости перемещения его ма к симума Как будет показано ниже, в главе 5 теоретически скорость пе ремещения особой точки импульса в виде волнового пакета – его максимума может быть любой. Эта точка может смещаться в н а правлении движения несущей частоты волны с бесконечно большой скоростью, или даже эта скорость может быть отрицательной, когда точка максимума движется в направлении, противоположном нес у щей.

Импульс принципиально отличается от сигнала, всегда ограниченно го во времени и пространстве, то есть имеющего начало и конец. Поэтому сама постановка вопроса о скорости распространения сигнала отличается от случая импульса. В этом случае для экспериментатора важна не форма сиг нала, а достоверно (с заданной высокой степенью вероятности) установлен ный факт прибытия сигнала и момент регистрации, то есть момент начала сигнала на применом конце линии связи. При этом может быть измерена и скорость распространения сигнала, как отношение расстояния между источ ником и приемником сигнала к разности моментов начала испускания и према сигнала.

На самом деле в электронике такие измерения проводят опираясь на точку максимума импульсного сигнала. Началом сигнала считают точку на переднем фронте импульсного сигнала, имеющую амплитуду в заданное число раз меньшую, чем максимум сигнала. Общепринятая процедура из мерений в электронике основана на уровне 50% от максимума импульса.

При этом амплитуда максимума импульсного сигнала считается единицей при ее изменении в несколько раз, например, от 2,5 до 5 В, а нулем - для сигналов с амплитудой от 0 до 0,5 В. Это и обеспечивает исключительно вы сокую надежность работы электронных схем и цифровых линий связи.

Процедура измерения скорости распространения сигнала в среде, ос нованная на представлниях волновой оптики, была предложена Зоммер фельдом и Бриллюэном еще в 1914 г. [4,5]. Она формулировалась сле дующим образом.

Источник испускает плоскую монохроматическую волну вдоль оси ОХ в сторону возрастающих значений х. В точке х = 0 установлен затвор, пе рекрывающий волну. В момент времени t o = 0 затвор быстро откры вается. Таким образом, формируется ступенчатый сигнал. На доста точно большом расстоянии от затвора X находится фотоприемник, реги стрирующий момент прибытия сигнала. Вся система находится в среде с показателем преломления п. Вопрос заключается в том, через какое время, начиная с момента to, приемник зарегистрирует сигнал? Какова величина скорости распространения такого сигнала?

Нетрудно заметить, что приведенная формулировка не отличается необходимой математической и физической строгостью. Здесь игнориру ется реальная форма ступенчатого сигнала, дисперсионные свойства сре ды и характеристики приемника излучения. Поэтому любые выводы на ней основанные имеют частный характер.

В начале 20 в. был в моде основной постулат теории относительно сти о существовании максимальной скорости любых движений в природе – скорости света в вакууме. Поэтому считали, что групповая скорость, то есть скорость распространения любого импульсного сигнала принципи ально не может быть больше скорости света. Фазовая же скорость не пе реносит информации, поэтому она может быть любой, то есть больше или меньше фазовой скорости света в вакууме. Эти утверждения считают аксиомой.

Результаты анализа Зоммерфельда и Бриллюэна сводились к выво дам о существовании предвестников сигнала: В точку X волновое возму щение приходит со скоростью с – фазовой скоростью света в вакууме, даже если фазовая скорость в среде больше или меньше с. Возмуще ние состоит из трех частей: двух импульсов – предвестников малой ам плитуды и основного сигнала. Со скоростью с в точку X приходит нача ло первого предвестника сигнала. Начало второго предвестника прихо дит в точку X с фазовой скоростью света в среде с/п.

После второго предвестника амплитуда сигнала растет по за кону, зависящему от свойств среды и сигнала – прибывает основная часть сигнала. При этом крутая ступенька, формируемая затвором, – сигнал всегда сглаживается. Наличие предвестников обнаружили эксперимен тально в опытах с радиоволнами. Поэтому приведенные выводы до сих пор принимают за истину и цитируют [6].

Более корректная общая формулировка вопроса о скорости распро странения сигнала должна формулироваться на языке квантовой механи ки. Источник света и затвор, открывающийся с произвольной скоростью в некоторый момент времени, приемник – счетчик фотонов, и передающая среда образуют единую квантовую систему. Выводы квантовой механики однозначны: в указанной системе вероятность регистрации фотонов неко торых частот, находящихся вблизи резонансных частот среды, приемни ком становится ненулевой в момент открытия затвора независимо от рас стояния между источником и приемником. Фотоэлектрон возникает в приемнике без всякой задержки по отношению к началу сигнала. То есть скорость распространения квантовой информации равна бесконечности.

Другое дело, что приемник вследствие нулевых колебаний ва куума будет всегда регистрировать фотоотсчеты шума и при закрытом за творе, а скорость счета фотонов будет нарастать по некоторому закону на чиная с момента включения затвора. Момент регистрации сигнала, как суммы однофотонных сигналов определяется задаваемой экспериментато ром достоверностью приема сигнала. Например, если считать статистику регистрации фотонов гауссовой, прием сигнала с вероятностью ошибки в 10-3, потребует регистрации примерно 106 фотонов. Поэтому достоверный сигнал возникает с некоторой задержкой по отношению к моменту откры тия затвора и скорость передачи сигнала оказывается конечной.

Закономерности нарастания скорости счета фотонов в квантовой системе передачи информации определяются резонансными свойствами передающей среды и спектром сигнала, который зависит от особенностей включения затвора. Как известно, даже физический вакуум обладает резо нансными частотами, связанными с эффектами фоторождения пар частиц.

Это означает, что квантовая механика не отвергает возможности переда чи сигналов со сверхсветовой скоростью. Такие условия по-видимому мо гут быть созданы в усиливающих средах со сравнительно узкими полоса ми усиления для сигналов с узкополосными спектрами (см. 4.12).

Описанное выше принципиальное противоречие между кванто вой механикой и теорией относительности ясно понимали отцы основатели этих наук. Эйнштейн Подольский и Розен сформулировали это противоречие в виде парадокса, носящего их имена.

Экспериментальные исследования последних лет, основанные на измерениях вероятностей совпадения однофотонных сигналов, созда ваемых счетчиками фотонов, установленными на выходе оптических ин терферометров, из которых фотоны испускаются парами (сжатые состоя ния), показали, что парадокса Эйнштейна-Подольского-Розена не сущест вует [7,8], квантовая информация действительно переносится мгновенно.

Об этом свидетельствует и известный хрестоматийный факт, восприни маемый как парадокс: вероятность появления фотоэлектронов при облу чении фотокатода предельно ослабленным рентгеновским излучением возникает сразу же после включения возбуждения без какой-либо времен ной задержки.

Передающие среды в существующих системах передачи инфор мации обладают резонансными частотами лежащими вдали от спектраль ного контура сигнала. Поэтому скорость распространения импульсного сигнала обычно с достаточной для практики точностью соответствует фа зовой скорости света в среде.

2.3. Скорость распространения модулированных колебаний Рассмотрим теперь вопрос о том, как было введено понятие «груп повая скорость» сигнала [9,10,11]. В информационных системах про стейший сигнал – логическую единицу передают с помощью ограни ченного во времени импульса определенной амплитуды. В радиотехнике информацию передают также с помощью модуляции гармонической волны.

Простейший случай модуляции – суперпозиция двух синусоидальных линейно поляризованных в одной плоскости бегущих волн одинаковой ам плитуды А и начальной фазы. Если частоты таких колебаний 1 и 2 мало от личаются друг от друга, то результирующее колебание представляет собой почти синусоидально модулированную бегущую волну периодически по вторяющуюся во времени и пространстве.

Сумму двух таких колебаний можно представить как произведение двух синусоидальных волн, одна из которых характеризует несущую часто ту, а другая – огибающую.

f x,t 2 A cos m t k m x cost kx.

Значения частоты и волнового числа k несущей частоты в данном простейшем случае равны полусумме соответствующих величин исходных колебаний. Частота и волновое число огибающей данного модулированного колебания равна полуразности частот и волновых чисел складываемых ко лебаний:

1 2 1 2 ;

k 1 k1 k 2 ;

m 1 2 1 2 ;

k m 1 k1 k 2.

2 В вакууме или в среде без дисперсии частота колебаний пропорцио нальна волновому вектору = const k. Коэффициент пропорциональности равен фазовой скорости света в вакууме или в среде. Из приведенной выше формулы следует, что в этом случае скорости перемещения плоско сти постоянной фазы для несущей частоты v и огибающей vm одинаковы.

Волна в процессе распространения точно сохраняет свою форму в про странстве и во времени. Действительно v k const k k const;

v m m k m 1 2 k1 k 2 const k1 k 2 k1 k 2 const.

В среде частота и волновой вектор однозначно связаны друг с другом дисперсионным соотношением (k). При этом частоты колебаний и волновые векторы становятся уже не пропорциональными друг другу и скорости волн, образующих описанные выше оптические биения будут раз личаться. Это означает, что v vm – несущая частота результирующего ко лебания и его огибающая перемещаются в пространстве с разными ско ростями.

Обычно функцию, описывающую дисперсионное соотношение между волновым вектором в среде и частотой колебаний, представляют в виде ряда Тэйлора и ограничиваются только линейным по k членом разложения. В ра диофизике такое приближение в большинстве случаев хорошо оправдано. В первом приближении дисперсионное соотношение характеризуется произ водной d/dk, определенной в точке для некоторого среднего значения вол нового вектора. При использовании принятых упрощающих предпо ложений (d/dk = const) скорость огибающей vm будет равна этой произ водной vm = d/dk, так как в этом приближении 1 2 k1 k 2 d dk.

Таким образом, групповую скорость определяют как скорость перемещения максимумов или нулей огибающей регулярных биений, об разованных двумя плоскими монохроматическими волнами в предпо ложении о малой разности частот этих колебаний и в условиях замены ре ального дисперсионного соотношения его линеаризованной версией.

Это определение обычно обобщают на случай любых модулированных колебаний и импульсов. Общепринято, что групповая скорость для моду лированных колебаний и импульсов всегда существует и определяет ско рость перемещения огибающей светового импульса (волнового пакета или «группы» волн). Предполагается, что эту скорость всегда можно изме рить, наблюдая за движением максимумов периодических или оди ночных импульсов или измеряя скорость переноса энергии такими им пульсами. Это мнение, однако, ошибочно.

Рассмотрим, например, биения трех монохроматических волн, частоты которых выражается иррациональными числами. Волны распространяются в вакууме. На рис. 2.1 показан результат расчета биений трех источников, частоты которых в относительных единицах равны квадратному корню из 11, 12 и 13. Амплитуды колебаний источников одинаковы. В начальный момент времени фазы волн равны нулю. На начальных этапах биения представляют собой последовательность из двух импульсов разной амплитуды.

Рис.2.1а Результирующая амплитуда колебаний, представляющая собой сумму трех монохроматических колебаний с некратными частотами.

С течением времени амплитуды импульсов непрерывно изменяются, причем, амплитуды импульсов сначала выравниваются, а затем амплитуда меньшего импульса начинает превосходит амплитуду основного импульса.

Временная картина биений принципиально необратима.

Рис.2.1б. Изменение во времени картины биений, показанных на рис. 2.1а.

Момент, когда фазы всех трех волн снова одновременно станут ну левыми и волна приобретет первоначальную форму, из-за несоизмеримости частот колебаний никогда не наступает.

Рис. 2.1в. Дальнейшее изменение во времени колебаний, показанных на рис.2.1а,б.

На рис.2.1в уже невозможно определить, какой из импульсов оги бающей был основным в начальный момент времени.

Аналогичная картина будет наблюдаться при переходе от временного к пространственному представлению. В бегущей волне биения колебаний с некратными частотами также будут принципиально невоспроизводимы по мере распространения волны в пространстве.

Невоспроизводимая во времени и пространстве картина, естественно, должна наблюдаться и в общем случае модулированных колебаний, об разованных за счет сложения большого числа монохроматических коле баний с фиксированными частотами не находящимися в кратном соотно шении. По мере распространения огибающая волны испытывает нерегуляр ные и необратимые во времени и пространстве колебания. При этом на огибающей уже становится невозможно выделить период биений или осо бую точку, за перемещением которой можно следить. Понятие «груп повая скорость» теряет смысл, так как становится неопределенным. Обяза тельным условием введения любой физической величины является е ясный физический смысл и существование (хотя бы теоретически) процедуры е измерения.

Таким образом, рассмотренный пример показывает, что для получения регулярных биений необходимо выполнение ещ одного условия, которое обычно не принимают во внимание. Для получения биений, пред ставляющих собой сумму монохроматических колебаний, сохра няющих свою временную форму при регистрации неподвижным фото приемником или по мере распространения их в пространстве, час тоты колебаний, создающих биения, должны быть кратными.

В реальной физической ситуации это условие часто выполняется ав томатически, например, при рассмотрении колебаний струны с закреп ленными концами или для набора резонансных колебаний оптического резо натора. В этих случаях на длине струны или продольных размерах резона тора должно укладываться целое число длин волн резонансных колебаний и эти частоты оказываются кратными.

Рассмотрим, как изменяется сигнал, представляющий их себя сумму почти эквидистантных монохроматических колебаний:

N e cos(2t (1 j )).

j E j N На рис. 2.2 показан случай сложения 20 почти эквидистантных колеба ний, на котором видно, как регулярная вначале последовательность импуль сов разваливается со временем. Более детально особенности таких процессов можно исследовать на компьютере с помощью стандартных математических программ типа Maple или Mathcad, варьируя параметры в приведенной выше формуле.

Рис 2.2 Автокорреляционная функция излучения, возникающая при сложе нии монохроматических почти пе риодических колебаний. N = 10, = 0.01, = 0.002.

Регулярные периодические колебания в общем случае рас пространения в среде с диспер сией преобразуются в нерегу лярные и невоспроизводимые во времени колебания. Если на вход среды, дисперсия которой опи сывается нелинейной зависимо стью волнового числа от частоты колебаний, падает сумма эквидистант ных монохроматических колебаний с нулевыми начальными фазами, то с увеличением расстояния внутри среды картина биений становится не регулярной и невоспроизводимой вследствие нарушения синфазности исходных монохроматических колебаний.

2.4. Скорость распространения квазимонохроматического импульса Перейдем к случаю распространения сигнала в виде уединенного оптического импульса. Такой лазерный импульс обычно представляют в виде квазимонохроматической волны как произведение синусоидальной высо кочастотной оптической несущей и медленно изменяющейся по сравне нию с ней функции A(x,t), описывающей огибающую этой несущей.

V x, t A x, t exp it kx.

Огибающую этого пакета, представляющую собой импульс достаточно произвольной формы, можно представить в виде суммы волн, частоты которых соответствуют разности между несущей частотой волнового пакета и частотой составляющего его монохроматического колебания.

А x, t a exp i t k k x d Интегрирование ведется по всем частотам волнового пакета, причем, / предполагается малым по сравнению с единицей. Это условие не является жестким. Даже фемтосекундные оптические импульсы с достаточной для практики точностью можно считать узкополосными вол новыми пакетами.

Если при изменении частоты в пределах производную dk/d co можно считать постоянной величиной, то нетрудно видеть, что оги бающая волнового пакета распространяется с постоянной скоростью vm=d /dk без искажения формы. Как уже указывалось выше, в этом случае k-k dk d. Выражение под знаком экспоненты при этом можно преобразовать к виду dk i t x d В плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, dk для координаты которой выполняется условие t x, амплитуда оги d бающей постоянна. Следовательно, скорость перемещения любого значе ния А, в том числе и максимума огибающей, определяется величиной d /dk, т.е. групповой скоростью, введенной выше. При этом форма огибающей по мере распространения в среде не искажается.

Казалось бы и в этом случае все ясно. Каждый импульс колоколообраз ной формы имеет особую точку – максимум, которую можно использовать в качестве репера для определения скорости перемещения всего импульса в пространстве. Однако, как и в случае модулированных колебаний, говорить о перемещении импульса как неизменного волнового цуга, сохраняющего свою форму, можно только в частном случае малости влияния дисперсии среды распространения.

Сделаем конкретные оценки. Известно, что при распространении импульса длительностью ~ 10 пикосекунд в одномодовом световоде в спек тральной области минимальной дисперсии заметные искажения – расши рение импульса происходит на длинах порядка 1 км. Ограничимся случаем симметричных импульсов гауссовой формы с учетом второй производной волнового вектора по частоте. При этом характер уширения импульса d 2 k d 2 L.

определяется безразмерным параметром t При одинаковом дисперсионном параметре и длине среды искажения импульса обратно пропорциональны квадрату его длительности. Это означа ет, что для 10 фемтосекундного импульса соответствующая длина будет в миллион раз меньше, т.е. ~1 мм. С другой стороны микро- и наносе кундные радиоимпульсы в этих условиях будут распространяться без иска жений на многие тысячи километров.

В случаях, когда несущая частота колебаний волнового пакета нахо дится не в области нулевой дисперсии световода или вблизи полосы погло щения среды ситуация радикально изменяется. Дисперсионные искаже ния становятся существенными уже на длинах в несколько метров и для пикосекундных импульсов.

Эти оценки показывают, что для оптических пико- и фемтосекундных импульсов пренебрегать дисперсионными искажениями импульсов при их распространении в среде в большинстве практических случаев невозможно.

Как будут влиять дисперсионные искажения огибающей импульса на скорость распространения его максимума? Более подробно ответ на этот вопрос можно найти в главе 5.

Коротко можно отметить следующие факты. Из-за дисперсионного уширения передний и задний фронты симметричного гауссова импульса распространяются с различными скоростями. Передний фронт убегает вперед а задний фронт отстает от максимума такого импульса. Сам максимум рас пространяется с «групповой скоростью». Ясно, что толкование групповой скорости, как скорости переноса энергии импульсом в данном случае не оп равдано, хотя в данном частном случае максимум импульса перемещается с групповой скоростью.

Ситуация радикально изменяется в случае несимметричного импуль са. При этом возникает эффект линейной симметризации импульса (см.

раздел 5.5). По мере распространения в среде с дисперсией импульс стре мится принять симметричную форму. В зависимости от исходной асиммет рии импульса его максимум может перемещаться в принципе с любой скоро стью большей или меньшей скорости света. Для импульса с крутым задним и пологим передним фронтами скорость перемещения максимума импульса на некотором расстоянии среды оказывается больше, чем скорость света.

Естественно, групповая скорость в таких случаях не постоянная величина.

Для ультракоротких импульсов обычно существенными становятся дисперсионные параметры среды третьего и, возможно, более высоких порядков. Влияние дисперсионного параметра третьего порядка рассмотрено в п. 5.7. Этот член разложения приводит к появлению асимметрии огибаю щей и возникновению модуляции огибающей на заднем фронте импульса.

В случае распространения импульса в усиливающей среде с насыщени ем усиления передний фронт импульса испытывает большее усиление, чем задний. В результате максимум импульса набегает на передний фронт импульса. Возникает эффект напоминающий опрокидывание океанской волны, падающей на берег. Экспериментально в усиливающей среде на блюдалась скорость движения максимума импульса в несколько раз большая скорости света в вакууме. Это свойство, однако, по видимому нельзя использовать для передачи информации со сверхсве товой скоростью сигналов. У сигнала, в отличие от бесконечно протя женного импульса, передний фронт имеет ограниченную длительность. На чало передачи сигнала необходимо отсчитывать не от максимума им пульса, а от начала его переднего фронта. Сверхсветовое распростране ние максимума сигнала неизбежно прекращается, когда этот максимум при ближается к началу переднего фронта сигнала.

Аналогичные линейному эффекты симметризации, опрокидывания и чирпирования импульса наблюдаются также при распространении импульса в нелинейных средах.

В свое время, в эпоху долазерной физики казалось, что создана общая модель пригодная для практически всех случаев распространение импуль сов в среде, основанная на квазимонохроматическом приближении и линей ном дисперсионном соотношении. Поскольку в радиофизике пренебрежение дисперсией среды в большинстве случаев хорошо оправдано, понятие, применимое только в этом случае, – «групповая скорость», стали рас пространять на описания всех случаев распространения импульсных сигна лов. Это понятие иногда использовали даже в квантовой механике примени тельно к волнам де Бройля, обладающим значительной дисперсией и в ва кууме.

Последующее развитие физики оптических импульсов, однако, внесло коррективы. Оказалось, что универсальной модели, описывающей рас пространения импульсов в среде, не существует. Во многих практически важных случаях оптики ультракоротких лазерных импульсов понятие «групповая скорость» не имеет ясного физического смысла и его ис пользование даже в учебных целях вряд ли целесообразно.

По изложенным причинам в оптике ультракоротких лазерных импуль сов нецелесообразно использование также термина «дисперсия групповой скорости», он также не имеет никакого строгого физического смысла и может использоваться лишь в самом первом приближении. В частных случаях расчет искажений квазимонохроматических импульсов в среде це лесообразно проводить используя разложение волнового вектора в ряд Тэй лора по частоте. При этом степень приближения волнового вектора его точ ному значению определяется числом учтенных членов разложения:

дисперсионными параметрами первого, второго, третьего... порядков.

Вопрос о числе членов разложения должен решаться исходя из конкретных условий.

2.5. Спектрально-временные соотношения для импульсов, генери руемых двухчастотным лазером Рассмотрим простейший случай – модель лазера, в спектре излуче ния которого имеются две частоты (две моды лазерного резонатора). По лагаем, что фазовой модуляцией излучения лазера можно пренебрегать. По ле в луче такого лазера имеет вид:

E t 1 exp 1t 2 cos 0t 1 2 exp 21t 2 cos 0 t 2. (2.1) Предполагаем, что каждая мода описывается гауссовым спектраль ным контуром, ширины которых определяются константами 1 и 2, на чальные фазы колебаний мод – 1 и 2,, частоты – 0 и 0, где 2 – межмодовый спектральный интервал. Величина с L опре деляется, как известно, оптической длиной резонатора лазера L.

Интенсивность излучения, усредненная по оптической частоте, за писывается для этого поля следующим образом:

I t 12 exp 21t 2 22 exp 2 2t 2 1 2 exp 1 2 t 2 cost 2 1 (2.2) 1 2 и соответственно спектр – 0 2 0 I 1 exp 2 exp 21 21 2 2 2. (2.3) 0 2 0 1 2 cos 2 1 exp 41 4 1 2 Приведенные формулы полностью описывают временные и спектраль ные характеристики любого двухмодового лазера с гауссовыми спектраль ными контурами мод. Во временной структуре излучения такого лазера все гда присутствует периодическая модуляция с периодом, определяемым расстоянием (по спектру) между модами Т = 1/, причем глубина мо дуляции не зависит от значений начальных фаз мод 1 и 2.

В спектре излучения помимо членов, определяющих спектральные свойства каждой из мод, содержится интерференционный член, зависящий от разности начальных фаз мод и степени перекрытия спектральных контуров мод. В случае, когда лазер генерирует короткий импульс с длительностью, соизмеримой с периодом оптических биений мод, спектральные контуры мод оказываются уширенными и сильно перекрываются. В этом случае временная картина излучения лазера сильно зависит от разности фаз гене рирующих мод. Такой случай можно реализовать только в лазере с боль шим коэффициентом усиления и практически его трудно реализовать.

Рис.2.3. Спектрально-временные характеристики гипотетического двухмодового импульсного лазера.

Спектр излучения в случае разности фаз мод равной нулю (1) и (2) (а).

Огибающая импульса при разности фаз мод равной: 0 (б);

(в);

не крат ной (г). Случай сильно разнесенных мод (д).

При нулевой разности фаз гене рирующих мод в момент времени t = 0 осциллирующий множитель в формуле (2.2) оказывается положи тельным и, следовательно, времен ная структура импульса оказывается симметричной относительно своего максимума, причем в центре оги бающей находится максимум.

Структура такого импульса показана на рис.2.3б. При сдвиге фаз равном импульс также симметричен отно сительно максимума огибающей, но уже с двумя одинаковыми по вели чине максимумами (рис.2.3,в). Все другие промежуточные ситуации приводят к несимметрии импульса.

Чаще всего длительность лазер ного импульса на несколько поряд ков больше периода межмодовых биений. В этом случае под общей оги бающей импульса содержится большое число периодов биений и форма им пульса практически не зависит от фаз мод. При этом в спектре лазера мо ды сильно разнесены и слабо перекрываются. То есть интерференцион ный член в формуле, описывающей спектр лазера, оказывается малым.

На рис.2.3, д показан характерный вид импульса в этом случае.

Для количественной оценки глубины модуляции во временной структу ре импульса рассмотрим конкретный пример. Будем считать спектральные контуры мод одинаковыми, а межмодовое расстояние в несколько раз пре вышающим полуширину этих спектральных контуров.

Спектр лазера при этом оказывается состоящим из суммы двух мод 0 0 2 2 I 1 exp 22 exp.

2 2 2 Зависимость интенсивности излучения от времени можно записать следующим образом:

I t K exp 2t 2 I1 I 2 2 I1 I 2 cost 2 1, где К - коэффициент пропорциональности, a I1 и I2 – интенсивности мод.

Нетрудно заметить, что рассмотренный случай полностью аналогичен пространственной интерференции двух монохроматических волн. В нашем случае роль пространственной координаты играет время, а пространственный сдвиг фаз между интерферирующими пучками эквивалентен разности фаз лазерных мод.

Глубина модуляции временной картины описывается выражением, ана логичным функции видности пространственной интерференционной карти ны:

I min I1 I I max I1 I где Imax и Imin - максимальное и минимальное значение интенсивности в им пульсе, промодулированном по амплитуде, соответственно. Это отношение обращается в ноль, когда интенсивности мод одинаковы, т.е. когда спектр симметричен. Из приведенного выражения следует, что изменение интен сивности одной из мод в широких пределах незначительно изменяет глубину модуляции импульса.

Соответствующее выражение для АКФ в этом случае имеет вид:

min I1 I.

max I1 I Рис.2.4. Зависимость глубины модуляции во временной картине излучения двухчастотного лазера (1) и автокорреляционной функции (2) от относительной интенсивности мод. Точки – эксперимент.

На этом же графике рис.2.4. при ведены результаты измерений глубины модуляции для двухмодового гелий неонового лазера типа ЛГ 52. Измерения оказалось возможным выполнить с помощью интерферометра Фабри-Перо, так как лазеры этого типа по мере прогрева резонатора в течение получаса после включения генерируют пе риодически и попеременно то на одной, то на двух продольных модах резо натора. При этом общая выходная мощность лазера не изменяется. Периоди ческая модуляция излучения этих лазеров с частотой 400 МГц испытывает низкочастотные (с периодом порядка секунд) флуктуации, амплитуда кото рых отмечена на графике.

Временная картина, показанная на рис.2.3 чрезвычайно устойчива и вос производима. Это подтверждают многократные съемки электронно оптической камерой, а также регистрация излучения с помощью стробоско пического осциллографа. Временная картина излучения регистрируется (по сле прогрева лазера) на протяжении многих часов без каких либо колебаний как периода следования, так и амплитуд пульсаций.

Рис.2.5. Временная картина генерации двухчастотного лазера ЛГ52-3, снятая с по мощью электронно-оптической камеры «Агат». Период следования импульсов - 2,5 нсек.

Полученные экспериментальные данные с непрерывным двухчастот ным лазером позволяют сделать важное заключение, которого обычно не чувствуют исследователи лазеров, занимающиеся чисто теоретическими изысканиями. Высокочастотные пульсации излучения лазера, следующие с периодом, равным времени обхода его резонатора практически не чувстви тельны к техническим флуктуациям фаз и амплитуд элементарных колеба ний (мод), сложение которых их образует. Т.е. для получения устойчивых высокочастотных колебаний интенсивности излучения с периодом, равным времени обхода светом резонатора в обычных непрерывных двухмодовых лазерах, применения специальных методов синхронизации фаз мод не требу ется.

2.6. Автокорреляция лазерных импульсов. Интерферометр Май кельсона Автокорреляционную функцию (АКФ) оптического излучения измеряют с помощью интерферометра Майкельсона. Этот интерферометр представля ет собой систему из трех зеркал, расположенных так, как показано на рис.2.6.

Прибор работает в параллельном пучке света. Пучок разделяется све тоделительным зеркалом, наклоненным к падающему пучку на угол 45 гра дусов, или светоделительной призмой на два пучка равной интенсивности (коэффициент отражения этого зеркала берется равным 0,5 для указанного выше угла падения). Эти пучки отражаются точно назад зеркалами 2 и 3 с нанесенными на них полностью отражающими покрытиями.

Рис.2.6. Схема измерений АКФ с помощью интерферометра Майкельсона. лазер, 2 телескопическая система, формирующая широкий, параллельный пучок света. 3 зеркало, колеблющееся вдоль оси пучка с амплитудой, примерно равной половине длины волны излучения, 4 - уголковый от ражатель или зеркало, 5 - диафрагма, 6 фо топриемник и регистрирующая система.

При этом на экране, установ ленном на выходе интерферометра, пучки точно накладываются друг на друга, создавая интерференционную картину. Сдвиг фазы между интерфе рирующими лучами определяется разностью расстояний от светодели тельного зеркала до двух других зеркал. Интенсивность светового пятна на экране изменяется от нуля до максимального значения, рав ного интенсивности падающего на интерферометр луча в зависимости от разности хода интерферирующих лучей.

До создания лазеров работа с интерферометром при использовании в качестве источника света лампы накаливания представляла собой сложную экспериментальную задачу. Это было связано с необходимостью фор мирования параллельного светового пучка, точной юстировки зеркал и вы равнивания оптических длин плечей интерферометра. Для осуществления такого выравнивания для разных длин волн анализируемого излучения внутрь интерферометра устанавливался компенсатор точно такой же толщины и из того же стекла, что и светоделительное зеркало.

С помощью лазера настройка интерферометра доступна даже школь никам. Поскольку при этом не требуется точно выравнивать оптические длины плечей интерферометра, легко сформировать параллельный световой пучок, а лучи, отраженные зеркалами хорошо видны на удаленном экране. Для обеспечения необходимой точности юстировки зеркал экран, на котором наблюдают степень пространственного совмещения двух пучков, следует устанавливать в нескольких метрах от интерферометра.

Для устранения влияния на работу лазера лучей, отраженных от ин терферометра в обратном направлении, оптическая ось интерферометра немного разъюстируется по отношению к оптической оси лазера. Поэтому лазер необходимо относить на возможно большее расстояний от ин терферометра, чтобы отраженный луч не попадал на выходное зеркало ла зера.

При исследовании предельно коротких импульсов может оказаться су щественной дисперсия света в светоделительном зеркале. В этом случае его толщина должна быть минимальной. При высоком оптическом качестве зеркал и при использовании хорошо сколлимированного с помощью телескопа луча непрерывного гелий-неонового лазера, обычно ис пользуемого для юстировки прибора, нетрудно наблюдать интерфе ренционные полосы, а также полное погашение светового луча на экране.

Для наблюдения на экране интерференционных полос одно из зеркал интерферометра слегка разъюстируют. Изменение разности хода ин терферирующих лучей, за счет перемещения с помощью микро метрического винта одного из зеркал интерферометра вдоль оптиче ской оси, приводит к смещению на экране всей системы интерференци онных полос, причем направление смещения определяется знаком измене ния разности хода.

В случае падения на интерферометр расходящегося светового пучка, на экране, естественно, наблюдают кольцевую интерференционную картину, симметричную оптический оси прибора. При плавном изменении разности хода интерферирующих лучей за счет перемещения одного из зеркал диаметры колец непрерывно изменяются. При этом кольца в интер ференционной картине в зависимости от направления перемещения зеркала или последовательно схлопываются в точку на оси картины или расходятся из центра.

При падении на идеальный интерферометр Майкельсона плоской мо нохроматической волны с длиной волны, и интенсивностью I0, интен сивность света на его выходе I зависит от разности фаз интерфери рующих лучей: 2 l1 l2, где l1 и l2 оптические длины плечей ин терферометра.

I 0 1 cos I 0 cos I 2 Это означает, что при нулевой разности хода лучей в интерферометре и в последующих максимумах интерференции, когда косинус становится рав ным единице, интерферометр Майкельсона полностью пропускает па дающую на него волну. В минимумах интерференции, естественно, свет полностью отражается от интерферометра назад в направлении источника света. Учет этого отражения устраняет кажущийся парадокс с сохранением энергии в интерференционной картине на выходе интерферометра: в максимумах интерференционной картины интенсивность света в два раза превышает сумму значений интенсивностей интерферирующих лучей.

В современных конструкциях интерферометра Майкельсона точное перемещение зеркала осуществляют с помощью шагового электрического двигателя, управляемого компьютером. Сигнал с фотоприемника преобразуют аналогово-цифровой платой в цифровую форму и также за писывают в память компьютера.

Лазер и интерферометр помещают на оптическую скамью, под вешенную на воздушной подушке для развязки от механических виб раций пола лаборатории.

2.4. Автокорреляционная функция лазерного импульса В случае одиночного лазерного импульса, падающего на ин терферометр Майкельсона, интенсивность сигнала на его выходе, оче видно, зависит от разности хода лучей. Эта разность характеризует сте пень отличия сигнала от его смещенной во времени копии. При нулевой разности хода всегда реализуется интерференционный максимум. А если разность хода столь велика, что импульсы, прошедшие разные плечи ин терферометра не перекрываются, то интерференция отсутствует. Поэтому зависимость видности от разности хода лучей в интерферометре будет представлять собой осциллирующую с периодом, равным половине несущей длины волны функцию, также имеющую вид импульса. Эту функцию, по аналогии с оптическим импульсом, также удобно характеризовать несущей частотой и огибающей.

Таким образом, было введено понятие автокорреляционной функции излучения (АКФ). АКФ имеет ясный физический смысл и строго оп ределенную процедуру измерения. Она представляет собой зависимость видности интерференционных полос на выходе интерфер ометра Майкельсона от разности хода или временной задержки между интер ферирующими лучами. Для сигнала в виде одиночного импульса ширину АКФ определяют по уровню половинной интенсивности от максимума огибающей АКФ. Для измерения АКФ одиночного импульса измерения ин тенсивности излучения на выходе интерферометра надо производить многократно для разных значений разности хода интерферирующих лучей. Поэтому для осуществления таких измерений необходимо иметь ис точник воспроизводимых импульсов.

Пусть временная зависимость вектора напряженности электрического поля излучения лазера описывается функцией E(t). Для лазеров, рабо тающих в режиме непрерывной генерации сверхкоротких импульсов эта функция периодическая, с периодом равным времени обхода светом ре зонатора. На выходе интерферометра Майкельсона с разностью хода меж ду его лучами, приводящей к задержке, поле излучения в месте располо жения фотоприемника имеет вид:

[ E (t ) E (t )].

E (t ) Постоянная времени фотоприемника Т всегда значительно больше периода оптической несущей, поэтому он регистрирует величину:

t 0 T t 0 T t 0 T E t E t 2 dt 1 E t 2 dt 1 E t E t dt, I 1 T 4 2T 2T t0 t0 t где to - произвольный начальный момент времени. В приведенной формуле первый интеграл представляет собой среднюю интенсивность излучения, не зависящую от разности хода лучей в интерферометре. Второй интеграл есть автокорреляционная функция для поля излучения. Эта функция симметрична по отношению к изменению знака – величины разности за держки лучей в плечах интерферометра Майкельсона, что легко проверить, сделав замену переменных в интеграле на в приведенной выше форму ле: t.

Из приведенной формулы видно, что при = 0 АКФ становится равной полной мощности сигнала. При этой задержке АКФ всегда имеет максимум, который положителен. АКФ есть четная функция. Это означает, что АКФ симметрична относительно нулевой задержки между импульсами.

АКФ лазерных импульсов пикосекундной длительности содержит тысячи интерференционных максимумов. В этих случаях целесообразно ре гистрировать огибающую АКФ. Для этого интерференционные полосы, возникающие на выходе интерферометра Майкельсона, сканируют от носительно апертуры фотоприемника и регистрируют только переменную составляющую его сигнала. Такое сканирование достигают за счет колеба ний одного из зеркал вдоль оптической оси интерферометра с амплиту дой порядка половины длины волны излучения. Еще один способ – непре рывное перемещение зеркала интерферометра со строго постоянной скоро стью.

На рис.2.7 видно, что АКФ оказывается симметричной не только отно сительно нулевой разности хода, но и относительно среднего значения энер гии излучения. Среднее значение энергии регистрируется в случае, когда временная задержка между интерферирующими импульсами превыша ет его длительность, т.е. импульсы не перекрываются во времени и в про странстве.

Рис. 2.7. Интенсивность и автокорреляционная функция короткого когерен т ного лазерного импульса с гауссовой формой огибающей.

Ширина огибающей АКФ для гауссова импульса в два раза больше длительности самого импульса.

Для фемтосекундных импульсов измеряют АКФ с разрешением интер ференционных полос. Экспериментально это не простая задача и требует применения высококачественной аппаратуры и развязки интерферомет ра от технических флуктуации пола помещения лаборатории и устранения акустических шумов в лаборатории. Такие измерения осуществляют непосредственно для квазинепрерывного излучения лазера. При этом, оче видно, АКФ оказывается периодической функцией временной задержки ме жду интерферирующими лучами. Однако, поскольку длина резонатора ла зера ультракоротких импульсов составляет величину порядка метра, обыч но регистрируют нулевой максимум огибающей АКФ, находящийся в области нулевой разности хода интерферометра. В случае полу проводниковых лазеров при регистрации нулевого максимума АКФ возни кают особенности, отмеченные ниже в главе 7.

Характерно, что зарегистрированные интерференционные полосы АКФ имеют регулярный и воспроизводимый вид даже для непрерывных лазеров, работающих в режиме нерегулярных хаотических высокочастотных пульсаций излучения. Это означает, что в излучении квазинепрерывных лазеров всегда присутствует единственная несущая монохроматическая частота, которую фактически и наблюдают при регистрации АКФ с раз решением интерференционных полос.

2.5. Соотношение неопределенностей для лазерных импульсов В радиотехнике и оптике широко используют соотношение вза имности, связывающее длительность импульса и ширину его спектра. Из анализа частных случаев в радиотехнике был сделан важный вывод: чем меньше длительность импульса, тем шире его спектр. Произведение шири ны спектра импульса на его длительность есть постоянное число, завися щее только от формы импульса и, как правило, имеющее величину по рядка единицы. Используя это произведение, определяют требования к ширине полосы пропускания радиотехнического устройства.

В квантовой физике соответствующее соотношение называют «соот ношением неопределенностей». В оптике и ядерной физике по ширине спектра оценивают время жизни возбужденного состояния атомной или ядерной системы.

В лазерной физике обычно используют простой прием оценки дли тельности сверхкороткого импульса, генерируемого лазером, как вели чины обратной ширине огибающей спектрального контура этого им пульса. Регистрация спектра не вызывает особых трудностей, тогда как из мерение длительности и формы ультракороткого лазерного импульса требует применения сложных корреляционных измерений.

Все это свидетельствует о важной роли указанного соотношения в физике. Однако, оно не носит строгого характера закона. О нем говорят, как о правиле или неравенстве. Вопрос о его принципиальной справедливо сти и математической строгости обычно не вызывает сомнений, хотя усло вия применимости явно не оговариваются.

Ниже приведены результаты количественного анализа соотношения неопределенностей для ширины спектра и длительности лазерного импульса, которые показывают, что «соотношение неопределенностей» является следствием принципиально не реализуемой на практике процедуры измерения основополагающих физических величин. После приведения процедуры измерения к общепринятому на практике виду оказывается, что произведение этих величин для некоторых импульсов может быть сколь угодно близким к нулю.

Рассмотрим вначале более частный вопрос. Можно ли определить фор му и длительность импульса по его спектру? Ответ на этот вопрос отрица тельный. Спектр заданного импульса однозначно определяется формой импульса. Однако одному и тому же спектру может соответствовать беско нечное множество импульсов разной временной формы. При регист рации спектра теряется информация о фазах спектральных составляю щих излучения. А временная картина излучения существенно зависит от фаз составляющих его монохроматических колебаний.

По спектру нельзя ничего сказать о фазовой модуляции излучения. В оптике лазерных импульсов имеет место и другой эффект. Распространение импульса в среде часто сопровождается быстрыми изменениями его структуры, приводящим к перестройке спектра. При описании таких процессов становится неприменимым само определение спектра, как суммы монохроматических составляющих колебательного процесса. Поэтому спектральное описание процессов приходится дополнять введением новых понятий, противоречащих самому определению спектра: «мгновенный спектр» и «скорость изменения несущей частоты излучения», которую обычно называют «чирпом».

По мере уменьшения длительности импульса ширина спектра, вообще говоря, возрастает. Математически последнее утверждение формулируют в виде так называемого "соотношения неопределенностей":

t k, (2.5.1) где t – длительность огибающей импульса, - соответствующая ему ширина спектра k - константа, зависящая от формы импульса и, как обыч но считают, имеющая величину, равную 1/2 (см. например, [1] и ссылки в ней).


Соотношение (2.5.1) широко применяют для оценок длительности ла зерных сверхкоротких импульсов по зарегистрированной обычными спек тральными приборами ширине огибающей спектрального контура излуче ния лазера.

По соотношению между шириной спектра и длительностью импульса иногда пытаются судить также о наличии существенного чирпа в несущей частоте импульса, который приводит к уширению спектра примерно про порциональному скорости чирпа. Для этого используют понятие «спек трально-ограниченный импульс». В этом случае речь идет об импульсе, дли тельность которого полностью определяется обратным значением ши рины его спектра. При этом предполагают, что «спектрально ограни ченный импульс» имеет гладкую огибающую над единой несущей частотой излучения и отсутствует фазовая или частотная модуляция этой несущей частоты. Для оценки длительности «спектрально-ограниченных импульсов»

по спектру обычно полагают, что форма огибающей импульса описывается функцией sech2. Такая форма следует из теории, в которой ультракороткий импульс, циркулирующий в лазерном резонаторе, считают солитоном. В этом случае при «полной синхронизации мод» постоянная 2 ln 1 k t 0,315.... Для импульса гауссовой формы k = 0,44....

Рассмотрим теперь, как изменяется величина k в "соотношении неопре деленностей" в зависимости от того, какой смысл вкладывают в понятия "ширина спектра" и "длительность импульса".

Неоднозначность трактовки соотношения (2.5.1) является следствием принципиально разного определения измеряемых величин теоретиками и экспериментаторами. Теоретики и экспериментаторы зачастую говорят об одних и тех же величинах на разных языках. Приведенные ниже ин тегральные величины принципиально не существуют. При теоретическом выводе соотношения (2.5.1) использованы интегральные определения дли тельности импульса и ширины спектра. Экспериментаторы же опре деляют эти величины так, как это принято в радиотехнике, по некото рому уровню от максимального значения. Чаще всего используют понятие полуширина импульса и полуширина спектрального контура – значения, измеренные на уровне половины от максимального значения интенсивно сти огибающей этих величин. Разные определения для одной и той же ве личины отнюдь не безобидны и дают существенно различные значения длительности и ширины спектра импульса. Поэтому, как показано ниже, в отдельных случаях подобный произвол может привести к ошибочной ин терпретации результатов. Более того, переход к общепринятым опреде лениям длительности импульса и ширины его спектра приводит к принци пиальному ограничению применимости «соотношения неопределен ностей» в оптике лазерных импульсов.

Анализ, приведенный ниже, показывает, что соотношение (2.5.1) может использоваться для оценки длительности импульса по спектру излучения не для любых импульсов, а при более жестком предположении, фактически только для импульсов с гауссовой огибающей или близких к ним по форме.

При этом постоянная k = 0,4.

Определим вначале основные понятия. Будем рассматривать веще ственные сигналы f(t). Физическим носителем этого сигнала может быть, например, величина какой-либо компоненты вектора напряженности элек трического поля, при условии, что общее выражение для этой компо ненты допускает факторизацию, т.е. Ei r, t f t Ei r. Во многих практи чески важных случаях такое требование выполняется. Примером могут служить плоские волны в среде или, например, излучение лазера, работаю щего на одной поперечной моде, или лазерное излучение в одномодовом во локонном световоде. Подчиним функцию f(t) условию f t dt.

Это условие означает, что через фиксированную точку пространства им пульсом переносится конечная энергия. Тем самым из рассмотрения исклю чаются лазеры, работающие в непрерывном режиме. Интегрируемость квад рата функции f(t) позволяет сопоставить каждой такой функции ее фурье образ f t exp- it dt, который в общем случае является комплексной функцией и содержит всю необходимую информацию о фазовой структуре волнового пакета. При этом сама f(t) может быть восстановлена из посредством обратного преобразования f t expit d.

Экспериментально измеряемыми величинами являются не сам Фу рье-образ, а спектр, определяемый из соотношения I и огибающая оптического импульса 1 t0 T I t d, f T t где величина Т выбирается из условия Т o Т Т и где Т о – период световой волны, Ти – длительность импульса. Вещественность функции f(t) приводит к тому, что.

Тем самым спектр оказывается симметричным относительно нулевой частоты. Следует напомнить, что отрицательные частоты в действительности не существуют и не могут быть измерены, а их введение следует из мате матической логики. Как видно из приведенных выше уравнений, спектраль но-временные преобразования Фурье, производят в бесконечных временных и частотных пределах.

Для большинства лазерных импульсов выполняется условие квазимо нохроматичности, что позволяет представить функцию f(t) в виде f t At cos 0t, где 0 – частота оптической несущей;

- начальная фаза оптического коле бания;

A(t) - мгновенное значение амплитуды импульса. Мгновенная интен сивность сигнала при этом оказывается равной I t A2 t.

Спектр такого импульса получается из спектра A(t) сдвигом послед него на величину ±0, т.е.

1~ ~ I I 0 I 0, ~ где I – спектр амплитуды импульса. Учитывая это, в дальнейшем будем опускать быстро осциллирующий множитель, понимая под f(t) ам плитуду соответствующего импульса.

Рассмотрим вначале, по аналогии с классической монографией Борна и Вольфа [1], каким образом получают «соотношение неопределенностей»

(названного ими «соотношением взаимности» для времени когерентности и ширины спектра для волнового цуга). Интегральные длительность импульса и ширина спектра определяются ими как дисперсия аргумента при условии, что в качестве плотности распределения выбирается нормиро ванная интенсивность соответствующей величины.

t f t dt tf 2 t dt 2 t 2 ;

f 2 t dt f t dt I d I d 2.

(2.5.2) I d I d Определенные таким образом, длительность импульса и ширина спек тра не зависят от максимального значения этих величин. Имеет смысл пронормировать энергию импульса, считая ее равной 1, т.е.

f t dt 1.

При такой нормировке для энергии, содержащейся в спектре, ра венство Парсеваля дает I d 1.

С учетом симметрии спектра относительно нулевой частоты выраже ние для произведения на t примет вид 1 2 2 t 2 t f t dt tf 2 t dt 2 I d.

Это выражение можно упростить, предположив, что производная функ ции f(t) квадратично интегрируема. Равенство Парсеваля для функции f(t) имеет вид f t dt I d.

2 2 Таким образом 2 2 t t f t dt tf t dt f t dt.

2 Для получения конкретной числовой оценки предположим внача ле, что импульс симметричен. Тогда t 2 t 2 f 2 t dt f 2 t dt.

Выражение, стоящее в правой части, допускает простую оценку с по мощью неравенства Шварца.

t f t dt f t dt tf t f t dt.

2 2 Так как функция f t нормирована, то интеграл в квадратных скобках легко вычисляется tf t f t dt 2.

Таким образом, для импульса, описываемого любой симметричной функцией, 1 t или t. (2.5.3) Как известно, знак равенства в неравенстве Шварца достигается только в том случае, если f x constg x. Применительно к нашей ситуации это означает, что f t consttf t.

Интегрирование этого выражения дает t f t A exp const.

Требование квадратичной интегрируемости означает, что константа от рицательна. Следовательно, знак равенства в “соотношении неопределенно стей” для симметричных импульсов достигается на гауссовых импульсах вида t f t A exp - const Несколько более громоздкие выкладки показывают, что учет несим метрии импульсов не уменьшает величины константы, стоящей в правой части неравенства. Это связано с тем, что интегрирование ведется в беско нечных пределах. Между тем, в ряде работ [2,4,5] условие симметричности для I() сразу же вводится в определение ширины спектра. Такое, казалось бы, незначительное изменение приводит, однако, к тому, что величина кон станты в правой части уменьшается еще больше. Точные численные значе ния ее для случая симметричных и несимметричных импульсов приведены в работах [3,5].

Таким образом, мы видим, что минимум в “соотношении неопределен ностей” довольно чувствителен к тому, как мы определяем величины t и. Это, по-видимому, и является причиной того, что во многих работах численное значение этого минимума, вполне конкретное, заменяется неко торой неопределенной константой k, завышенной, как правило, на порядок, а то и больше.

На практике, описанные выше интегральные способы определения ве личин t и не получили какого-либо распространения, вследствие их практической нереализуемости. Физическая величина не является математи ческим понятием, таким как точка, линия или интеграл в бесконечных пре делах. При ее введении всегда явно или неявно должна быть оговорена прямая или хотя бы косвенная процедура ее измерения. В большинстве случаев длительность импульса определяют по уровню половины макси мального значения его интенсивности.

Ширину спектра определяют аналогично. Поэтому в теоретических со отношениях мы обязаны использовать не абстрактно-теоретические, а обще принятые стандартные определения измеряемых физических величин. Такое переопределение основных спектрально-временных параметров импуль сов требует и соответствующего обоснования "соотношения неопределен ностей", поскольку в данном случае оно, вообще говоря, ниоткуда не следует. Различными авторами [6, 7] был рассмотрен ряд конкретных при меров, в которых вычислялось произведение t1/2 на 1/2 для некоторых модельных ситуаций, При этом оказалось, что соответствующая величина для гауссова импульса, равная t1/2 1/2 = (2/)ln2=0,44, отнюдь не мини мальна. Практически для всех непрерывных функций, моделирующих ту или иную форму лазерного импульса t1/2 1/2 оказалось меньше, чем у гауссо ва импульса. Эти результаты показывают, что импульсы, обладающие малым значением произведения t1/2 1/2 должны моделироваться функ циями, аналитические свойства которые значительно отличается от гауссои ды.


Среди общеизвестных моделей, минимальным значением t1/2 1/2 об ладает импульс типа "односторонней экспоненты" [6, 7]. Однако, и в этом случае t1/2 1/2 = 0,11, что по-видимому, позволяло надеяться на то, что "со отношение неопределенностей" справедливо и в обычном общепринятом смысле. Анализ уже известных результатов позволяет предположить, что импульсы с малым значением величины t1/2 1/2 должны обладать узким интенсивным максимумом. В спектральной области им соответствуют контуры с широкими медленно убывающими "хвостами". Симметрия спек трально-временного преобразования позволяет предположить и обрат ное. Если значительная часть энергии импульса сосредоточена в медлен но убывающих "хвостах", то спектр такого импульса должен схлопывать ся. В качестве примера рассмотрим следующий симметричный импульс t f t erfc, (2.5.4) T где erfc(х) – дополнительный интеграл вероятностей, Т – масштабный множитель. Фурье-образ такого сигнала также является симметричной функцией частоты и при 0 равен 1 sin arctgT 2 2, причем 0 T.

1 T Для расчета величины t1/2 и 1/2 следует решить следующие урав нения T и f t, 2 т.к. функции f(t) и монотонно убывающие и уровень по ампли туде соответствует уровню 0,5 по мощности.

Обозначая Т через х получим уравнение для определения ширины sin arctgx x спектра 1 x2 Ненулевой корень этого уравнения равен xо= 0,8533. Следовательно, 2x 1 2 0, T или же x 1 2.

T Длительность импульса оказывается равной, t1 2 2 y 2T, где у – корень уравнения erf (у) = 1 - 1/2, равный 0,266. В итоге получаем 2 x0 y 1 2 t1 2 0,038. (2.5.5) Полученное значение примерно в два раза меньше минимального зна чения, которое следует из соотношения неопределенностей при интеграль ном определении входящих в него величин (0,0796).

Рассмотренный пример далеко не единичен. Существует широкий класс функций с описанными выше свойствами, для которых произведение 1 2 t1 2 может быть сколь угодно малым. Тем самым переход к реально измеримым физическим величинам приводит к тому, что "соотношение не определенности" теряет смысл.

В качестве примера рассмотрим следующий симметричный импульс f t, (2.5.6) t T где v1, v не равно целому положительному числу. Длительность та кого импульса равна t1 2 2T 21 2 1, причем lim t1 2 2T 2 1.

Вычислим теперь фурье-образ этого сигнала. Он равен 2T 3 2T 2 2 T,1 ;

1 F2 1;

, 1 2 4 a где 1 F2 b, ;

x – обобщенная гипергеометрическая функция. При v c выражение для можно представить в виде следующего ряда 2T 1 T 0T.

Для ширины спектра при этом получается выражение 1 1, а lim 0.

1 T 2 Таким образом, мы построили явным образом семейство функций, для всех членов которого 1 2 t1 2 может быть сделано сколь угодно малым при условии, что v близко к единице. Производные от функций этого се мейства терпят разрыв в нуле. Можно построить и такое семейство функций, все члены которого будут дифференцируемыми всюду. Напри мер, f t, при 1/2 (2.5.7) t 1 T На рис. 2.8 приведены зависимости интенсивности излучения от вре мени и распределение интенсивности в спектре для импульсов, произве дение 1 2 t1 2 для которых равно 0,038 и 0,00046.

Рис. 2.8. а - Зависимость относительной интенсивности излучения от времени для импульсов, описываемых функцией (2.5.4) (импульс большей длительности) и функцией (2.5.6) при v = 1,5. б - спектры импульсов, показанных на рис.2.5.1.а, нормированные к единице. Для импульса меньшей длительности ширина спектра больше.

Рассмотренные примеры показывают, что существуют функции, опи сывающие импульсы разумной формы, для которых постоянная k при общепринятом определении и t может быть сколь угодно малой. Ана лиз приведенных примеров показывает, что этот вывод не изменяется и при определении и t по любому другому уровню от максимального.

Возможно и интегральное определение и t через длительность и ширину спектра эквивалентного импульса прямоугольной формы с энергией, равной энергии рассматриваемого импульса. Оказалось, что и при таком оп ределении постоянная k может быть сколь угодно близкой к нулю.

Таким образом, для лазерных импульсов неизвестной произволь ной формы, параметры которых измеряют с помощью любых экспериментальных приемов постоянная k может принимать сколь УГОДНО малые значения. При использовании предположения о гауссовой форме импульса «соотношение неопределенности» можно использовать, при этом значение k = 0,44.

На практике "соотношение неопределенностей" иногда используют в качестве критерия, позволяющего судить о «степени синхронизации мод» в лазере. Большое значение величины 1 2 t1 2 иногда интерпретируют как на личие в импульсе фазовой или частотной модуляции. Поэтому часто незави симыми способами измеряют величины 1 2 и t1 2 и, если их произведение оказывается меньше единицы, то говорят, что лазер генерирует импульсы, ограниченные спектром, т.е. импульсы, обладающие минимально возможной длительностью при заданной ширине спектра.

Таблица 2.1. Спектрально-временные соотношения для некоторых импульсов.

В действительности же аналитические свойства измеренного импульса, как правило, неизвестны, а, поскольку, как показано выше, произведение 1 2 t1 2 может принимать какие угодно положительные значения, то го ворить о том, является ли тот или иной импульс спектрально ограниченным, не имеет смысла. Точно так же по значению k ничего определенного нельзя сказать о том, присутствует ли фазовая модуляция или нет, равно как и су дить о «степени синхронизации мод».

Таким образом, к интерпретации результатов на основе "соотношения неопределенностей" для лазерных импульсов следует подходить с осто рожностью. Это, по-видимому, можно делать, если на основании незави симых данных есть уверенность, что форма огибающей импульса близка к гауссовой. К счастью, это предположение обычно оправдывается на практи ке, поскольку форма спектрального контура усиления активной среды лазера (вблизи максимума) хорошо описывается гауссовой кривой. Поэтому огибающая спектра излучения титан-сапфирового лазера, генерирующего ультракороткие импульсы, также может быть представлена гауссовым кон туром.

Соотношения неопределенностей широко применяют в квантовой механике. В связи с этим возникает вопрос о степени общности приведенных выше выкладок, и, в частности, о их применимости к квантово-механическим задачам. Прямой аналогии, по видимому, нет. При рассмотрении лазерных импульсов, их спектров и корреляционных функций мы имеем дело с непосредственно наблюдаемыми электромагнитными полями, для которых спектрально-временные соотношения должны строго выполняться. В квантовой механике, как известно, оперируют идеальными физическими моделями. В ней реальные объекты представлены в виде дельта-функций Дирака и одновременно в виде бесконечных плоских волн. В квантовой механике атом испускает фотон (бесконечную плоскую монохроматическую волну) мгновенно. В ней рассчитывают статистические ве роятности процессов, поэтому результаты расчетов не применимы к единичным про цессам. Квантово-механические соотношения справедливы лишь в среднем. Поэтому при описании процессов с физическими моделями квантовой механики спектрально временные соотношения, справедливые в электродинамике, по-видимому, непо средственно не применимы. Этот вопрос безусловно заслуживает обсуждения, однако, он выходит за рамки нашей темы.

Структура спектра излучения лазера несет информацию о временной картине исследуемого излучения. Так, если сигнал имеет периодическую со ставляющую, то соотношение t =1 выполняется точно. Здесь и t – расстояния между ближайшими максимумами в спектральной и временной картинах излучения соответственно. Это следует из симметрии временного и спектрального представлений относительно преобразований Фурье [1].

Строгая периодичность следования импульсов приводит к тому, что дискретные частоты спектра излучения лазера эквидистантны с точностью ~10-15, которая ограничена лишь стабильностью лазерного резонатора. Это позволяет использовать эти частоты в качестве оптических реперов. Если одна из дискретных частот спектра фемтосекундного лазера привязана к частоте оптического стандарта частоты, то все другие частоты отличаются от нее точно на величину, кратную межмодовому интервалу лазерного резо натора.

Литература к разделу II 1. Born M, Wolf Е. Principles of Optics, 1964. Борн М., Вольф Е. Ос новы оптики М., 1970, - 856 с.

2. Evenson К. М., Wells J.S., Petersen F. R., Danitlson B.L., Day G.W.

Appl. Phys. Lett. 22, 192 (1973) 3. Climent T.S., S.A., Diddams, D.J. Jones. Lasers, ultrafast pulse technolo gy. Encyclopedia of Physical Science and Technology, Third Edition. N Y.2002.

4. Sommerfeld A. Arm. d. Physik, 44, 177, (1914).

5. Brillouin L. Ann. d. Physik, 44, 203, (1914).

6. Ахманов С.А., Вислоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов.- М.: 1988, 312 с.

7. Кадомцев Б.Б. Необратимость в квантовой механике. УФН, т. 173, с.

1221-40 (2003).

8. Grangier Ph., Abram I. Physics World, February, (2003), p. 31 – 35.

9. Вайнштейн Л. А. Распространение импульсов. УФН, 118, 339, (1976).

10. Рабинович М.И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. М., 2000, - 560 с.

11. Ахманов С.А., Никитин С.Ю. Физическая оптика. М., 1998 -656 с.

III. Измерение параметров ультракоротких лазерных им пульсов Многочисленные экспериментальные данные показывают, что ультрако роткие лазерные импульсы принципиально не шумовые. Сам способ их генерации (вынужденное излучение в резонаторе) обуславливает их детерминированную природу и высокую монохроматичность и коге рентность несущей частоты импульсов в периодической последовательно сти, генерируемой лазером. Поэтому перенесение методов статистической радиофизики и оптики для универсального описания ультракоротких лазерных импульсов, которое довольно широко распространено в научной литературе [1,2], вряд ли оправдано, К тому же практически все ис следователи используют не шумовую, а квазимонохроматическую модель ультракороткого лазерного импульса.

В рамках этой модели когерентный ультракороткий импульс (ге нерируемый лазером) характеризуют следующие параметры:

• длина волны несущей частоты и сама эта частота;

• спектр излучения и его ширина;

• энергия;

• длительность и форма огибающей;

• длительность фронтов и степень их симметрии относительно макси мума импульса;

• вид фазовой модуляции несущей частоты;

• знак и скорость дрейфа несущей частоты (в простейшем случае ли нейной по времени фазовой модуляции).

Измерения спектра не представляет трудностей, в особенности для широкой огибающей спектрального контура фемтосекундных импульсов.

Наибольшие экспериментальные проблемы существуют при определении трех последних величин.

Электронные способы регистрации формы импульсов с использованием фотоэлектрических приемников (фотоэлементов, фотодиодов, ФЭУ) ог раничены интервалами длительностей, превышающими ~ 100 псек. В принципе это время, по-видимому, может быть снижено, так как элементарный процесс фотоэлектронной ионизации для типичных зонных структур материала фотокатодов составляет 10-14с. Однако, из-за разброса скоростей фотоэлектронов указанное значение временного разрешения в фотоэлектрических приемниках не может быть достигнуто. В наилучших электронно-оптических преобразователях с разверткой временное разрешение ограничено величиной порядка 1 пикосекунды [3].

Это означает, что в пико- и фемтосекундном диапазонах длитель ностей для измерения временных параметров лазерных импульсов долж ны использоваться оптические методы: спектральные и корреляционные, которые должны быть дополнены старыми и новыми модификациями пря мых электронных методов регистрации.

3.1. О некоторых заблуждениях в области корреляционных измерений длительности ультракоротких лазерных импульсов Следует сразу же отметить, что строго обоснованных методов оп ределения формы и других параметров ультракоротких лазерных им пульсов не существует. Именно поэтому эта проблема до сих пор акту альна и постоянно обсуждается в научной литературе.

Без использования произвольных предположений о форме огибающей ультракороткого лазерного импульса и фазовой модуляции его мгновенной несущей частоты корректно определить его временные характеристики на основании измерений спектра и автокорреляционных функций разных порядков невозможно.

Это связано с тем, что фотоприемные устройства регистрируют сред нюю интенсивность излучения. Высокая оптическая частота несущей и ма лая длительность самих импульсов исключают возможность использова ния прямых электронных методов измерения амплитуды электромагнитных колебаний. При измерениях спектра, и корреляционных функций излучения обычно теряется информация о фазе колебаний, так как регистрируемые сигналы при этом пропорциональны квадрату амплитуды электромагнит ных колебаний. Интенсивность излучения в обычно применяемых процеду рах измерений является средним значением по большому числу ультрако ротких импульсов.

Тем не менее, в литературе опубликован ряд работ, в которых утверждается, что на основе корреляционных и спектральных измерений разработан тот или иной метод определения параметров ультракоротких импульсов, которым авторы наскоро присваивают красивые названия, (FROG, PICASO, SPIDER...) [4 – 7]. На самом деле в этих работах экспе риментальные данные с помощью стандартных компьютерных про грамм подгоняются к той или иной неявно принятой модели ультракорот кого импульса, параметры которого и определяются.

В конце 60-х годов в литературе активно обсуждался метод двухфотон ной люминесценции [8] для регистрации ультракоротких световых импуль сов. Идея метода заключалась в регистрации трека двухфотонной люминесценции, возбуждаемого двумя идентичными импульсами, распро страняющимися в растворе красителя во встречных направлениях.

Корреляционный сигнал в люминесцирующей среде можно наблюдать на фоне сплошного трека люминесценции только, в том случае, если он пропорционален интенсивности в квадрате или в более высокой степени. А это означает, что для таких измерений необходимо использовать двухфотонную люминесценцию. Метод отличается исключительной на глядностью.

Интенсивность трека двухфотонной люминесценции, пропорциональна автокорреляционной функции интенсивности. Дальнейшие исследования показали пригодность метода лишь для качественных измерений. Трек двухфотонной люминесценции регистрируется в присутствии постоянного фона, а коэффициент контрастности трека сильно зависит от ряда трудно контролируемых факторов.

Регистрация трека двухфотонной люминесценции, предложенная еще в 1967 г., оказалась исторически первым корреляционным мет о дом регистрации длительности сверхкороткого импульса. Почти сразу же был предложен еще один метод определения автокорреляционной функ ции интенсивности. Метод заключался в экспериментальном опреде лении интенсивность второй гармоники исследуемого излучения на выходе интерферометра Майкельсона в зависимости от разности хода лучей в пле чах интерферометра [9, 10]. Для ортогонально поляризованных пучков ин терферирующих импульсов, а также в неколлинеарной схеме сигнал второй гармоники возникает только в том случае, если два импульса про странственно перекрываются. Таким образом, стала возможной без фоновая прямая регистрация автокорреляционной функции интен сивности. Пространственные размеры пикосекундных импульсов хорошо подходят для таких измерений.

Эти обстоятельства, по-видимому, и привели к возникновению одного из самых стойких заблуждений лазерной физики. Оно может быть сформулировано следующим образом: «корректно зарегистрировать дли тельность ультракороткого импульса можно только исключительно с по мощью нелинейных корреляционных методов».

Это заблуждение настолько укоренилось, что уже более 30 лет его воспринимают как аксиому и в литературе не обсуждают [11, 12]. Это удивительно, так как более простые линейные измерения авто корреляционной функции первого порядка дают те же результаты, что и не линейные измерения. На это обстоятельство обращали внимание авторы [13] ещ в 1970 г. В [14] авторы настоящей работы продемонстрировали применимость линейного метода регистрации для излучения квази непрерывного лазера, субнаносекундные импульсы которого можно регист рировать независимо как фотоэлектронными, так и корреляционными мето дами (см. 3.5).

Еще одна причина существования указанного выше заблуждения заключается, вероятно, в распространенности ошибочного представление о лазерном излучении как о шумовом, флуктуационном процессе. Как известно, корреляционная функция интенсивности не зависит от случайных флуктуации фаз регистрируемого излучения. Поэтому научная об щественность восприняла именно приведенное выше ошибочное утвер ждение. Линейный корреляционный метод регистрации ультракоротких им пульсов в научной литературе не признатся. Более того, в литературе су ществует множество работ, в которых для определения длительности ульт ракоротких импульсов используют корреляционные измерения третьего и более высоких порядков, а также фотоприемники с двухфотонным и более высокими степенями нелинейного поглощения, которые, как кажется их авторам, дают некие новые сведения об истинной форме ультракороткого импульса.

Возможность и даже необходимость использования линейных по ам плитуде корреляционных методов измерений с очевидностью следует из рассмотрения простого примера предельно короткого оптического им пульса. В импульсах, содержащих всего несколько периодов оптических колебаний, уже нельзя с определенностью говорить об огибающей, несущей частоте и о фазовой модуляции этой несущей. Импульсы с такими па раметрами уже получают в опытах с квазинепрерывными лазерами на сап фире, активированном титаном при тщательной компенсации дисперсии ла зерного резонатора и внешних измерительных устройств [15].

Пусть измеряемый импульс содержит всего один период колебаний оптической несущей, т.е. содержит положительный и отрицательный выбросы амплитуды поля. Автокорреляционную функцию первого порядка (АКФ) получают путем линейного сложения исходного импульса с его копией, сдвинутой во времени. Проще всего такая процедура реализуется с помощью интерферометра Майкельсона. В нем измеряемый импульс делят на два одинаковых импульса, и складывают с точно регулируемой временной задержкой. С помощью любого инерционного фотоприемника измеряют энергию сигнала на выходе интерферометра в зависимости от разности хода лучей. Естественно, для выполнения таких измерений необходимо иметь источник воспроизводимых ултьракоротких импульсов, так как для получения значения АКФ в каждой точке графика необходимо отдельное измерение. Эта функция и есть линейная автокорреляционная функция или автокорреляционная функция первого порядка (иногда эту функцию называют автокорреляцией второго порядка, так как она пропорциональна интенсивности излучения [16]).

Лазеры генерируют непрерывную последовательность одинаковых ультракоротких импульсов. Для измерений АКФ нет необходимости выделять отдельный ультракороткий импульс. Их выполняют в непрерыв ном режиме для бесконечной последовательности импульсов, так как рас стояние между импульсами в последовательности обычно в десятки, а то и в сотни тысяч раз превышает длительность отдельного импульса.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.