авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |

«В.И. Борисов, В.И. Лебедев, С.Н. Перепечко ВВЕДЕНИЕ В ОПТИКУ УЛЬТРАКОРОТКИХ ЛАЗЕРНЫХ ИМПУЛЬСОВ Могилев, 2004 г. УДК 535.42 ББК ...»

-- [ Страница 5 ] --

Характер дисперсии активной среды лазера в области максимума спектрального контура коэффициента усиления можно наглядно представить используя известную лоренцову модель диэлектрической проницаемости ак тивной среды. Формула для диэлектрической проницаемости среды в этом случае имеет вид:

A(1 2 ) A ( ) 1 i, (4.12) (1 2 ) 2 2 2 (1 2 ) 2 2 здесь частота излучения и полуширина спектрального контура нормиро ваны к частоте максимума спектрального контура поглощения 0, А - посто янный коэффициент, характеризующий концентрацию активных частиц сре ды и силу их осцилляторов.

Квадратный корень из модуля действительной части этого выражения дает показатель преломления среды, а корень модуля мнимой части – коэф фициент поглощения. Вычисления этих величин, приводящие к чрезвычайно громоздким формулам, расчет по которым вручную вряд ли возможен, про ведены с использованием компьютерной программы Maple-8.

Из расчетов следует, что изменение показателя преломления, одно значно связанно с коэффициентом поглощения вещества. Это позволяет, зная концентрацию активных частиц в веществе или непосредственно измерив ко эффициент поглощения в максимуме спектрального контура поглощения ак тивной среды, работающей по трехуровневой схеме возбуждения, рассчитать ее дисперсионные параметры.

Например, для титан сапфирового лазера с коэффициентом поглоще ния, равным 0,5 см-1 и относительной шириной спектрального контура 0, расчетные кривые, полученные путем подбора расчетных параметров А и, приведены на рис 4.29. На графиках в зависимостях для дисперсионных параметров опущены нормировочные множители, приведенные в формулах (4.11).

Рис. 4.29. Дисперсионные параметры активной среды титан-сапфирового лазера.

Расчеты дисперсионных параметров для активной среды газового ге лий-неонового лазера с коэффициентом усиления 7,810-3 см-1 и относитель ной шириной спектрального контура усиления 610-6 показаны на рис.4.30.

Проведенные расчеты позволяют сделать следующие выводы:

В общем случае учет дисперсии активной среды путем разложения волнового вектора в ряд невозможен. Это возможно для сравнительно узкополосного волнового пакета с несущей частотой, совпадающей с максимумом спектрального контура усиления.

Дисперсионный параметр второго порядка в принятой модели равен нулю. Это означает, что причинами уширения импульса в лазерном резонаторе будут дисперсионные параметры более высоких порядков, приводящие к несимметрии ультракороткого импульса и появлению вторичных импульсов-спутников;

скорость распространения огибающей волнового пакета в лазерном резонаторе всегда больше скорости света. Для титан-сапфирового лазера это отличие невелико. Для лазеров с узкой полосой усиления, например в гелий-неоновом лазере, превышение может быть значи тельным (рис.4.30).

Рис.4.30. Коэффициент поглощения и дисперсионный параметр первого порядка активной среды с параметрами, характерными для гелий-неонового лазера.

В принятой расчетной модели не учитывается влияние других резо нансных линий активной среды, приводящее к ненулевым значениям диспер сионного порядка второго порядка и в области максимума спектрального контура усиления [38]. Влияние этих переходов на дисперсионные парамет ры среды дает поправки второго порядка малости.

а б Рис.4.31. Пример расчета дисперсии (а) и дисперсионного параметра первого порядка (б) для поглощающей среды, в котором световой импульс распространяется с нулевой скоро стью.

Описанная расчетная модель предсказывает существование эффекта оста новки света в поглощающей среде. Как известно, этот эффект наблюдают при прохождении светового импульса через резонансно поглощающую сре ду, охлажденную до состояния бозе-эйнштейновского конденсата. Группо вая скорость светового импульса в этом случае составляет всего десятки мет ров в секунду [39]. Для среды, с шириной спектрального контура поглоще ния, характерной для газа при нормальных условиях, также должно наблю даться указанное явление. На рис.4.31 приведен пример расчета для этого случая.

Можно отметить, что в случае усиливающей среды, для которой знак дисперсионного параметра первого порядка изменяется на обратный, расчет предсказывает в некоторых случаях бесконечно большую скорость распро странения импульса.

В случае, когда лазер генерирует строго периодическую последова тельность одиночных импульсов за время обхода светом лазерного резона тора, говорят, что реализуется режим «полной синхронизации мод». Строгая периодичность следования импульсов обусловлена тем, что внутри лазерного резонатра, работающего в режиме синхронизации мод, циркулирует единст венный ультракороткий (часто его называют также сверхкоротким) импульс, рис.4.32. Пространственная протяженность этого импульса может быть зна чительно (в сотни тысяч раз) меньше длины лазерного резонатора. Способ генерации обуславливает основное свойство такого излучения: соседние им пульсы в последовательности почти когерентны, поскольку каждый из них является копией предыдущего и отличается только тем, что испытывает один дополнительный обход лазерного резонатора.

I tимп Т = 2L/c Время, t ~ 1/tимп I Огибающая спектра = с/2L Частота излучения, Рис.4.32. Временная зависимость огибающей интенсивности излучения лазера ультракоротких импульсов I и его спектр. Дискретные спектральные линии, находящиеся под огибающей спектра, обычно ошибочно называют модами лазерного резонатора. На самом деле эти эквидистантные частоты - результат спектрального разложения строго пе риодических, когерентных импульсов, испускаемых лазером. Спектральная ширина оги бающей спектра излучения лазера примерно обратно пропорциональна длительности отдельного ультракороткого импульса tимп.

4.12. О механизме возникновения затравочных высокочастотных пуль саций в лазерном резонаторе Сценарий эволюции многочастотной генерации во время переходного режима, возникающего после включения лазера, следующий.

Рассмотрим лазер, на спектральном контуре усиления активной среды которого укладываются только две резонансные частоты резонатора. После включения накачки возникает и начинает повышаться коэффициент усиле ния активной среды. Люминесценция среды становится усиленной: спектр контура усиления сужается, на огибающей спектрального контура появляют ся максимумы, соответствующие резонансным частотам лазерного резонато ра. В некоторый момент выполняется энергетическое условие генерации для единственной резонансной частоты лазерного резонатора, которая находится ближе другой моды к максимуму спектрального контура усиления. Мощ ность излучения для этой моды начинает экспоненциально нарастать, тогда как для другой резонансной частоты пороговое условие генерации не дости гается и ее мощность продолжает соответствовать мощности усиленной лю минесценции. Поэтому в пороге лазер любого типа всегда генерирует на единственной частоте. Это твердо установленный экспериментальный факт.

При дальнейшем повышении мощности резонансная частота генери рующей моды отстраивается от максимума усиления. При этом возникает двухчастотная генерация. Ее возможные причины: пространственная моду ляция коэффициента усиления и показателя преломления активной среды, связанная с существованием стоячей световой волны в лазерном резонаторе.

Поэтому в лазере становится энергетически выгодной генерация на суммар ной, несущей частоте, которая образуется в результате сложения генери рующих двух мод резонатора, положение которых уже не совпадает с макси мумом спектрального контура усиления. Несущая частота автоматически следит за максимумом спектрального контура усиления. При этом во вре менной картине излучения на выходе лазера возникают биения этих частот, период которых равен времени обхода светом резонатора.

Как известно, при сложении двух монохроматических колебаний с близкими частотами результирующее колебание характеризуется несущей частотой, амплитуда которой промодулирована разностной частотой склады ваемых колебаний. Причем, частота несущей зависит от амплитуд склады ваемых колебаний. Несущая частота находится точно посредине между ис ходными частотами только в случае равенства их амплитуд.

Таким образом, дальнейшее развитие переходного процесса генерации приводит к двухчастотному режиму генерации. Интенсивности частот в спектре автоматически настраиваются таким образом, чтобы несущая частота находилась в максимуме спектрального контура усиления активной среды.

Именно для этой частоты в конце переходного процесса выполнены оба ус ловия генерации: энергетическое и фазовое. Говорить о выполнении энерге тического условия генерации для продольных мод лазерного резонатора в отдельности при этом не имеет смысла.

Лазер ведет себя как самонастраивающаяся система, которая автома тически устанавливает несущую частоту излучения в максимум спектрально го контура усиления. Особенно наглядно эта особенность видна при наблю дении спектра гелий-неоновых лазеров с длиной резонатора L =30 см. Меж модовый интервал для такого резонатора равен с/2L = 500 МГц. Полуширина спектрального контура усиления гелий-неоновой смеси этого лазера состав ляет порядка 1000 МГц. В спектре такого лазера по мере его прогрева можно наблюдать периодический процесс перехода от одночастотной к двухчастот ной генерации. Если длина резонатора такая, что одна из резонансных частот находится вблизи максимума контура усиления, то в спектре присутствует одна частота – она же и синусоидальная несущая. При отстройке резонанс ной частоты лазерного резонатора от максимума контура усиления активной среды в спектре появляются две частоты. Причем, интенсивности этих частот изменяются так, что результирующая несущая частота всегда стремится на ходиться вблизи максимума контура усиления. Переход к двухчастотной ге нерации на временном языке означает, что излучение в лазере начинает пульсировать с периодом, равным времени обхода светом резонатора.

Возникновение биений включает квантовые нестационарные коге рентные эффекты взаимодействия излучения с активной средой. Это означа ет, что длительность импульсов биений начинает резко сокращаться, а их амплитуда соответственно возрастать. В спектре излучения при этом возни кают дополнительные частоты, а общая ширина спектра излучения лазера так же резко возрастает.

Ясно, что говорить о выполнении энергетического порогового условия генерации для всех частот, которые наблюдают в спектре излучения лазера нельзя. Равенство коэффициента усиления и коэффициента потерь лазера выполняется только для несущей частоты излучения, которая в конце пере ходного временного режима всегда устанавливается в максмимуме спек трального контура усиления.

Если конструкция лазерного резонатора стабильна, не чувствительна к внешним возмущениям, а накачка обеспечивает малое превышение коэффи циента усиления над потерями, то возможен другой сценарий переходного режима. В редких случаях выполнение энергетического условия генерации может случайно произойти в момент, когда одна из резонансных частот ла зерного резонатора находится точно в максимуме спектрального контура усиления. При этом в лазере отсутствуют причины для перехода к двухчас тотной генерации и затравочные пульсации излучения не возникают. Лазер будет продолжать генерировать на одной частоте и нужный режим генера ции ультракоротких импульсов не реализуется. В этом случае эксперимента тор должен разрушить это совпадение частот, например, щелкнув по держа телю зеркала лазерного резонатора.

Литература к разделу 1. Maiman T.H. Phys. Rev. Lett. 4,564 (1960).

Физическая энциклопедия, т.2, с.546. М:, 1990.

2.

3. Encyclopedia Britanica, 2002.

Hellwarth R.W. – In Advances in Quantum Electronics, Ed. J. Singer. Columbia University 4.

Press. New York, 1961, p.334.

5. Hargrove L.E., Fork R.I., Pollack V.A. Appl. Phys. Lett. 5, 4 (1964).

6. Mocker H.W., Collins R.J. Appl. Phys. Lett. 7, 270, (1965).

7. DeMaria A.J., Stetser D.A., Heynay H. Appl. Phys. Lett. 8, 174, (1966).

8. Крюков П.Г., Летохов В.С. УФН, 99, 169 (1969).

9. Гудмен Дж. Статистическая оптика. М:. Мир, 1988, 528 с.

10. Крюков П.Г. Лазеры ультракоротких импульсов. Квантовая электроника, 31, 95 – 119, (2001).

11. Clement T.S, Diddams S.F., Jones D.J. Lasers, Ultrafast Pulse Technology. Encyclopedia of Physical Science and Technology, third edition, vol. 8. (2002).

12. Лебедев В.И., Ясень А.И. ЖПС, 17, 786, (1972).

13. DiDomenico M. J. Appl. Phys., 35, 2870, (1964). Yariv A. J. Appl. Phys. 36, 388 (1965).

Fleck J.A., Jr. J. Appl. Phys. 39, 3318 (1968. Летохов В.С. ЖЭТФ, 55, 1077, (1968).

14. Moulton P.E. J. Opt. Soc. Amer. B, 3, 125 (1986).

15. Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы.- М.: Мир, 1978.

16. Акулин В.М., Карлов Н.В. Интенсивные резонансные взаимодействия в квантовой электронике. М.: Наука. 1987.-312 с.

17. Басов Н.Г., Прохоров А.М. УФН. 57, 485 – 501, (1955).

18. Fox A.G., Smith P.W. Mode-locked laser and 180 pulse. Phys. Rev. Lett. 18, 826, (1967).

19. Борисов В.И., Лебедев В.И. ЖПС, (1974), вып.6, с 864.

20. Иванов В.А., Лебедев В.И., Труб Е.П. и др. ЖПС, 26, 49 (1977).

21. Методы расчета ОКГ. Под ред. Б.И.Степанова, т.2, Минск: Наука и техника, 1968, 656с.

22. Freund I. Appl. Phys. Lett.,vol.26A, p.357 (1968).

23. Милинкевич А.В., Савва В.А., Самсон А.М. и др. ЖПС, т.21, с. 604, 1974.

24. Лебедев В.И., Ясень А.И. ЖПС, т.22, с. 1002, (1975).

25. Горбань И.С., Конончук Г.Л. ЖПС, т.8, с 864, (1968).

26. Лебедев В.И., Юревич В.А., А.И. Ясень А.И. ЖПС, 1977, т.26, С. 1000.

27. Юревич В.А., Лебедев В.И. Вести АН БССР, сер физ.-мат наук № 1, с59, (1982).

28. Лебедев В.И., Юревич В.А., Ясень А.И. ДАН БССР, т.29, с 913, (1985).

29. Maitland A., Dunn M.H. Laser Physics, Amsterdam-London, (1969), русский перевод этой книги: А. Мэйтленд, М. Данн. Введение в физику лазеров. М. (1978), 408 с.

30. Вавилов С.И., Левшин В.Л. Z. f. Phys., 48, 396 (1928).

31. Sorokin P.P et. al. IBM J. 8, 182, (1964);

Kafalas P., Masters J.I. Murray E. J. Appl. Phys, 35, 2349, (1964);

Soffer B.H., Hoskins R.H. Nature, 204, 276, (1964).

32. Борисов В.И., Кабаев Н.И., Лебедев В.И., Юревич В.А. Некоторые особенности про светления фототропного затвора стоячей световой волной. –ЖПС. 34, 1005, (1981).

33. Пилипович В.А., Ковалев А.А. Оптические квантовые генераторы с просветляющими ся фильтрами. Минск, «Наука и техника» (1975) - 216 с.

34. Борисов В.И., Лебедев В.И. О возникновении высокочастотного динамического хаоса в излучении лазера. Лазеры и оптич. нелин. Матер. 9 Бел.-Лит. семин. Минск, 1989, С. 41.

35. Slusher R.E., Gibbs H.M. //Phys. Rev. vol.A5, p. 1634, (1972).

36. Clement T.S, Diddams S.F., Jones D.J. Lasers, Ultrafast Pulse Technology. Encyclopedia of Physical Science and Technology, third edition, vol. 8. (2002).

37. Ахманов С.А., Вислоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазерных импуль сов.- М.: Наука, 1988. с 21.

38. Борисов В.И., Лебедев В.И. Определение хроматической дисперсии полупроводнико вого лазера по временной когерентности его излучения // ЖПС.-1992.- т.57, №3 с.340. Борисов В.И., Крол А.М., Лебедев В.И. Компенсация дисперсии активной среды в полупроводниковом лазере с внешним резонатором// ЖПС.-1999.т.66, №5.- с.707.

39. Hau L.V., Harris S.E., et. al. Light speed reduction to 17 meters per second in an ultracold atomic gas. Nature. 397, 594 (1999).

V.

5.1.

,, { {.

k(!), k(!). {,.

..

Z E(0;

t) = 21 (!)ei!td!;

? Z E(0;

t)e?i!tdt (!) = ? {.

, L,, Z E(L;

t) = 21 (!)ei(!t ? k(!)L)d!;

(5.1) ? k(!) {.

{.,,,,.

k(!),,.

,, E(L;

t). {,.

,, (5.1),,,.,,, (5.1).

k(!), (5.1),.

(5.1), {,.

,,, (5.1)., { !

!;

!=! 1: 0,,,.

(5.1) ! !;

k(!), !: k(!),, !

( ).,,,..., k(!) = k(! ) + dk(!) (! ? ! ) + 1 d d! (! ? ! ) + : : : :

k(!) (5.2) d! !=!0 0 0 !=! f(0;

t) !

E(0;

t) = f(0;

t)ei! t:

L, (5.2), :

1 Z (! ? ! )ei(!t?(k L+k L(!?! )+ k L(!?! ) +: : : ))d!;

0 E(L;

t) = 0 0 0 ? Z f(0;

t)e?i(! ? ! )dt (! ? ! ) = ? {, k(!), 0, !:

E(L;

t), f(L;

t) { E(L;

t) = f(L;

t)ei(! t ? k L);

0 :

Z f(L;

t) = 21 (!)ei(!t ? k L! ? k L! ? : : : )d!:

0 1 0 ? = t ? tL, tL = k L Z f(L;

) = 21 (!)ei(! ? k L! ? : : : )d!:

1 ? !, !;

, (5.2),. ! (5.2),.

Z f(L;

) = 21 (!)ei(! ? k L! )d!:

1 (5.3) ?. (5.2), f(L;

),, (5.3).

(5.3),, 1{5]., k{,.

L tL..

, vg = k ?1= d! : dk k,.

.

f(L;

),.

f(L;

),, Z1 Z (!) (!)ei! d! = 2 f ( ? t)f (t)dt;

1 2 1 ?1 ? f (t) (!) (!) { 1 2 f (t)., (!), 2 Z f ( ? t)f(0;

t)dt:

f(L;

) = ? f (t) (5.3), ?i 1 k L!

(!) = e :

, t f (t) = p 1 exp ? 2ik L ;

2 ik L 1, {. f(L;

), Z exp ? ( ? t) f(0;

t)dt:

1 f(L;

) = p (5.4) 2ik L 2 ik L?1 (5.3) (5.4),. (5.4),,.

, (5.4),, R ?1 f(L;

)d ;

., { R E= ?1 f(L;

)f (L;

)d ;

6, 7, 10],,,.

, (5.4), L.

,,,, vg.

, vg.

f(L;

) (5.3)., (5.3) L;

f(L;

), @f(L;

) = 1 ik @ f(L;

) ;

@L @ 2 0.

f(L;

) ! 0 ! 1;

, f(0;

):

,,, f(L;

),,.

f(L;

),,, f(L;

);

.

.

.,,.

,,., k, 0 (5.2). (5.2),.

5.2.,,,,. {,,. {,,,,.

.{,,,.,.

,,,,., 2{5],.

.

f(0;

t) = exp ? tt ;

t.

{ Z p t e? ! t exp(?( tt ) )e?i!tdt = (!) = 2 ? {.

.

L (5.3) Z p f(L;

) = 21 t exp(? 1 ! t ? 1 ik L! + i! )d! = 22 4 0 0 ?1 (5.5) 1p t ?

r = q 1 k L exp ? ( =t k) L :

exp t +2ik L 2 t + ik L 1+2i t 12 1 2 00 1+2i t 00 0 40,,, {,..

. 1 I() I(0). - 0. { p 0..

p, - 0.4, p (L);

- 0. p (0) t 2 1 1 p0:

{.5.1.

,.

.5.1,. = 1:

p exp ?2 2t,, t, p0 2( p0=(2t )) = ln 2;

p p = 2 ln 2 t : (5.6) p0 f(L;

) (5.5) { I(L;

)=f(L;

)f (L;

)= s 1 exp ? ( t ) : (5.7) 1+ 2k L 1+ 2k L 2 t t I(L;

) (5.7) p0, 4( p0 ) ln 2 1 exp ?

I(L;

) = s ;

1 + 4k L ln 4k L ln 1+ 0 p p, p (L).

p (5.6), 4 ln 2 p (L) = ln 2;

2 p 1 + 4k L ln p0 p (L) = 1 + 4k L ln 2 :

p(L) 2 p0 p s 1 + 4k L ln 2 :

p (L) = p0 (5.8) p (5.8).

k., (5.8).

(5.7), (5.7), = kt L :

(5.9).,, 1{,,., L;

p( ) ! 1:

p - 1 I(µ, ). - I(0,0) - 0. t;

-,, µ - - - 2 {;

= =t :.5..

,,.5.2.

, vg.,., (5.8) = 1, p 3.

.

{.

I( ;

0). (5.7) = 0, ! I( ;

0) = p 1 1 1 ? 1 + O( 1 ) :

2 1 + (2 ) 2, 1=(8 );

,,.5.2., I( ;

0) 10% 1:1.

, I( ;

),.,, (. ),.

,.,. {,,.

.

;

., {.

{, 2 ln 2= 0:44.,.

f(L;

), (5.5) '( ;

),, 2 ? 1 arctg(2 ):

'( ;

) = 1 + (2 ) t '( ;

),,,,.,.

,,., {, {,.

,,,,.,,,,,.

f(0;

t), 1;

f(0;

t) = 1 + ( tt ) t{ p, p 2?1 t.

=2, p0 p0 f(0;

t),. { (!) = t e?j!jt ;

,, L Z e?v cos( v)e?i v dv:

f( ;

) =,, Zx Zx C(x) = cos( 2 t )dt;

S(x) = sin( 2 t )dt;

2 0, Re(p);

q Z ? ip r 1 ? i ? S( p p ) + iC( p p ) :

e?pxe?iqx dx = 2q e 4q 2q 2q C(iz) = iC(z);

S(iz) = ?iS(z);

, r" exp i( 2+ i) 1 + i + C p+ i ? iS p+ i + 1 1 f( ;

) = # exp i( 2? i) 1 + i ? C p? i + iS p? i 1 : (5.10), - 0.35 I(µ, ) - I(0,0) - 0. 0., - 0. - 0.,., 0. - 0. - -8 -6 -4 -2 0 2 4 6.5.3.

{.., - 2, { 4.

.5.3,,,.,,.

.

(5.10) 0 {, " # 1 ?S 1 + 2 ? C p 1 2 p I( ;

0) = : (5.11),.5.4,, I( ;

0) 2 : (5.12) - 1 I( µ,0), 0.,, - 0..

0. 0. I( p ;

0) µ 2=. 0 1 2 3 -.5.4.

.

, (5.12) (5.11),,,.

,,,,.

! 0:

I( ;

0), (5.11) I( ;

0) 1 ? 5 ;

,.,,,,,,,.

,.

f(0;

t) f(0;

t) = exp ? jtj ;

?

t t: L,.

(!) { { 2t :

(!) = 1 + (!t ) (5.3), Z dx exp i( x ? 1 x ) :

f( ;

) = 1 1+x ? f( ;

) Z df = 1 i exp i( x ? 1 x ) dx + 2 f;

d 2i ? s df( ;

) = ? i exp( i ) + i f( ;

): d 2 2 f( ;

), pi = i ?j j 2 Z f( ;

) = e 2 e ? p exp(?x ? ) dx :

4x r r 1 e i2 e?j j erfc i ? q j +ej j erfc j i + qj j f( ;

)= 2 : (5.13) 22i 22i 2 =0 (5.13), r i i:

f( ;

0) = e 2 erfc : p zez erfc(z) 1 ? 1 + 3 ;

(5.14) 2z (2z ) 2 I( ;

0) 2:

I( ;

0) I( ;

0) 10% 5:7;

.

,, k(!) (5.2)., ;

.

,.

,, :.5.5., ;

.5.5,,.

0. 1 (µ,) (µ,) (0,0) (0,0) 0.8 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 4 2 2 2 1 1.5.5. :) { = 0, { = 0:1, ) { = 0:8, { = 1:6.

I( ;

0): f( ;

0) {, r I( ;

0) 1 ? 2 ?2 ! 0:

p I( ;

0),.

,,., (5.13) p21 i ? 1 f( ;

0) :

f( ;

) f( ;

0) ?,, (5.2).

k(!);

,.

,, k(!) (5.2),,.

, f( ;

);

,,.

,.5.3 5.5,,,,.

,,.

5.3. {.

,,,,,.,,,,, 10,..

.,,. ! !:

2 2;

!( ) = 1 + (2 ) t 2.

? vg = ( dk(!) ) : vg, d!

! vg = ? k !:

k vg,,, k 0;

,.. !

vg ;

.,,.

,,.,,,.,,.

,. (5.3),,,,,.

,.

,,,. f(0;

t) = exp ?( tt ) + i t ;

.

, !(t) = 2 t: { r (!) = 1 ? i t t exp ? 4(1 ! ti t ) ?

2 0 {, Is(!);

t exp ? ! t 2 Is(!) = (!) (!) = ;

0 q 2(1 + ( t ) ) 1+( t ) 22.

=t (!) (5.3), L i(x ? 1 x ) Z1 ? x 1 e 4(1 ? i ) e 2 dx:

f( ;

) = p (1 ? i )? (5.5), exp 1 ?(1 ?(1 ? i ) ;

i) 1 f( ;

) = p + i 1 + i2 (1 ? i ), '( ;

) ?

1 ei'( ;

);

(5.15) f( ;

)= q exp (1 + 2 ) + (2 ) 2 (1 + 2 ) + (2 ) 4 2 + 2 (1 + ) ? 1 arctg 1 + '( ;

) = : (5.16) (1 + 2 ) + (2 ) 2,.. (5.15), (5.6) q p( ) = (1 + 2 ) + (2 ) : (5.17) 2 p (5.17),, L, L ! 1, ! 1,., p( ) p 2 + 1;

p..5.6,.

4 (µ) 4 p p0 3 2 0 0.5 1 1. µ 1 2 0 0.5 1 1. µ.5.6. ),) '( ;

) (5.16).

1 { = 0;

2 { = 1;

3 { = ?1;

4 { = ?2.

:

(5.17), = 2(1? ) : (5.18) min + (5.18) '( ;

):

,,.5.6, '( ;

):,,.

(5.16), (5.18).

, min ( 2.5.6 5.6 ).,,.

! {, k :

k ( ) = 2 c d n;

3 d 0 2,.

,.,, n( ), {. 8]:

Bj X 3 n( ) = 1 + ? j j=,,,.

, Bj j:

B = 0:6961663 ;

= 0: 2 1 B = 0:4079426 ;

= 0: 2 k () 10 2 B = 0:8974994 :

= 97:934002 6 2 3 - 0.5 1 1.5 0,, = k 0:7, 4:5 10?26c /. - -.5.7.

,.5.7.,,, -.

k : 2=.

, 1.27.,, Lmin,.

min, =p p : (5.19) p min 1+ k, (5.19),,,.

;

, {. '( ;

) ( 3, 4.5.6 ).

, Lmin p.

1+.

.

(5.18), min 6 1=, min = ?1:

;

, !0 ! 0;

, min ! ?1:

..

10?9, t p0 0:85 10? (5.6),.

10.

p !=2 ;

p j j = 22 ?2;

j j = j jt 3:14 10 0:227:

17 p (5.19), 0:975 10?9. = 0:7, p min 1:6 10?3A;

= 10 Lmin;

.5. k( ) min, 1700.

.

jj 1,..

p,,.,,,,,.

, p :

p p0 = 2 ln 2= j j = 1;

..

, p j j 1:

10 10, 8 j j 2:. = 0:184: (5.19) min p min;

2.5, 0:4 10. min Lmin;

,, 3000.

, {., L Lmin,.

t, 10? :t 1 0:85, 10, 0:975 10?12, Lmin 2:7. = 0: p min = 10 = 2:7 A. = 5 10, jj = 0:66 10? 1:13, p min 6.3.

,,,.

p0 6 ? ( ) 1.

1.5 (µ,) (µ,) 0. 0 0 1 0.5 0.1µ µ 0 1 0. 1.5.8.. : ) = ?1, ) = ?5.

, (5.15),.5.8., j j = 1,,.,.

,,.

,. {,,.

,,, f(L;

).,,,,.

1 exp(i t ):

f(0;

t) = 1 + ( tt ).,,,,, f(L;

). (5.4),,,,, (5.13) r f( ;

) = 2 2i exp 1 + 22i ?

1 " r j j erfc 1 + 2 jj exp ? ? + r 2i 1+2 (5.20) 2 2i # r exp j j erfc jj 1+2 :

+ r 2i 1+ 2 2i,. r r f( ;

0) = 2i exp 1 + 2 1+2 ;

erfc 2i 2i,, s s " # j1 + 2 j + 1 ? C j1 + 2 j 1 ?S 2 I( ;

0) = : (5.21) 2 (5.21) (5.11). (5.21) I( ;

0).5.9., 1,.5.4., {.,.

1 (µ,0) (µ,0) 2. 0. 0.6 1. 0.4 1 0. 0. µ 0 0.5 1 1.5 2 0.5 1 1.5.5.9. ( : 1 ? = 0;

2 ? = ): ).

1=2;

3? = 1;

4? = 2;

). : 1? = 0;

2? = ?1=4;

3 ? = ?1=2;

4 ? = ?1.

0: min ;

I( ;

0). ( 2.5.9 ), I( ;

0) I( ;

0) 1 ? 2 ! 0;

., = ?1=(2 ), s.

p j s? j s;

( 3, 4.5.9 )., s;

(5.21) p j s? j 1? p ! s:

I( ;

0) s s s, !0 ! 1:, s s:,,,.

s f(0;

t), (5.4).

, Z 1 exp(i x ) exp i( ? x) dx:

f( s;

) = p21 i (5.22) 1+x 2s s ? (5.22), s, Z r f( s;

) = i exp(?i 1 exp(i2 x)dx;

) (5.23) 1+x ? p i e?i e?j2 j:

f( = s;

) = (5.24),. (5.24),. s,. (5.22) (5.23), t L;

, s;

f( s;

) f(0;

t), {.

6].

s,,., I( s;

0) = j j, (. 2.5.9 ).

.

? =2:

(5.18), min,,,,.

j j=1,,,.

.

.5.9. ! ?1:

min s (5.23), j j;

,,,. { ?., =p 2. pp 4 2 ? 1= ln 2 3:7: p 2.

. f(0;

t),.

s,.5.10.. s;

Maple V.

2.5 (µ,) (µ,) 1. 1 0. 0 1.5 1 1.5 1 0. 0. 0.5 0. 0. µ 0. 0 0.4µ 0.5 0.5 0. 1 0. 1.5 1. 0.5.10..

: ) = ?3=4;

) = ?1:

, (5.23),, f(0;

t):

,, f( ;

);

s,.

5. k(!) (5.2),,.

,,. (5.5),,,., f(0;

t) { f(L;

).

,,, 9].

, f(0;

t).,, 5.2.

,, L, f(0;

t).

f(0;

t) {, R E= ?1 f(0;

t)f (0;

t)dt:

,, t ! 1:, t,,.

f(0;

t), f(0;

t),,. f(0;

t) {,., f(0;

t),.

, f(0;

t),,, t.

, Hn(x) {.

Z Hm(x)Hn(x)e?x dx = 0;

m 6= n;

? Z p 2nn!;

n = 0;

1;

:::;

Hn(x)e?x dx = dn = 2 ? m n.

t, t e? 1 ( tt ) :

1 X f(0;

t) = ak Hk t (5.25) k=0 ak Z 1 f(0;

t x)Hk (x)e? x dx:

ak = d (5.26) k ? (5.25).

ak (5.26) f(0;

t) N? (5.25), Z t e? 2 ( tt ) N X f(0;

t) ? ak H t dt: (5.27) k=0 ? f(0;

t),, {.

, (5.25), f(0;

t).

,.

E.

,,, (5.25). E, Z1 X E= jf(0;

t)j dt = jak j dk : (5.28) 2 2 k= ? (5.25), (5.27),, N X E? jak j dk : (5.29) 2 k= f(L;

) {, (5.25)., Z1 Z1 ?

t Hk tt e f(0;

t)e?i!tdt = t e?i!tdt = X ? ak (!) = k=0 ?1 ? Z k Hk (!t )e? !2t :

p 1 1 Hk (x)e? x e?i!t xdx = 2 t X X =t ak ak (?i) 0 0 k=0 k= ? L (5.3). (!) (5.3), Z 1 p2 t Hk (!t )e? ! t ei(! ? k L! )d!:

X ak (?i)k 1 f(L;

) = 22 0 2 0 k=0 ?, Z f( ;

) = p1 e? (1 + i )x Hk (x)ei xdx:

X ak (?i)k 1 2 k=0 ? :

Z e?px Hk (x)ei xdx hk = ? Re(p) 0. Hk+1(x) = 2xHk (x) ? 2kHk?1(x) hk.

hk hk+1 = ip hk ? 2k(1 ? 1 )hk?1;

(5.30) p. (5.30), hk = h Ak k., Ak? (5.30) i ? 2k(1 ? p ) k?1:

k+1 = Ap k A p 1 ? 1=p, A q = 1;

h =., p exp(? 4p ), 0 ? k r 2 Hk p i hk = p e 4p 1 ? p?1 :

2p 1 ? p?, 2k r k 2 exp ?

f( ;

) = p1 1? 1+i X ak (?i) 1 + i 2(1 + i ) 2 k= i Hk 2;

q (1 + i ) 1 ? 1 + i 1 ? i kH ?

f( ;

) = p1 1 i ak 1 + i 2 k X exp 2(1 + i ) :

p + 1+ k=, ?

1 ei'( ;

) X a e?i k ( )H f( ;

)= p ;

exp p k k 2(1+ ) 1+ 1+ 4 2 k= (5.31) '( ;

) = 1 1 + ? arctg ;

k ( ) = k arctg.

2 (5.31),.,.

k, f( ;

).

(5.31)..

,.

f(0;

t), ak,.,,,.,,.

,.,.

,,, (5.25), t ) e? 1 tt :

f(0;

t) = a + a H ( t 0 2 a =a 1=, 2.

a a. 0,, t=0.

H (0) = (?1) H (0) k (2k)!=k!,, 2k,, H (0) = ?2: (5.31), p,.. a =a ? 6 0:05. 2 0,,, {.

,,,., 1 10,,,.

,, 10?12 :

= p,,.,,.,,, {.

, L=0,,., f( ;

) ( ).,, f(0;

?t) = ?f(0;

t).

(5.25), f( ;

).

,, {,., vg.

,., (.5.11a) ( (1 ? j tt0 j)e? ( t0 ) t jtj t ;

1 f(0;

t) = (5.32) jtj t :

0 f(0;

t), (5.25) t t. f(0;

t), t 0,,.

t= t. f (0,) 0. 0. 0. 0.6 0. 0. 0. 1 0.5 0 0.5 0. 0. 1 0.5 0 0.5.5.11. ) (5.32) (5.25) 11,) (5.33) { N = 10, { N = 30.

N:

(5.25) Z a = d2 (1 ? x)H (x)e?x dx = d2 H (1)e?1 ? H (0) :

2k 2k 2k?2 2k? 2 2k 2k N = 10, 11,, 5.11a.

, t e? 1 tt ;

N X f(0;

t) ? ak H (5.33) t 2k k=0 N.5.11.

30, ( ).5.11.

, (5.29) E N 1 X ja j d :

=1? E kk k= E t, E = p erf(1) + e?1 ? 1;

N N 10 15 20 25 10 2.57 2.21 1.45 0.77 0. f(0;

t), N, (5.33). (5.25), N = 20 30.

.5.11,,,, f(0;

t).

.

f(0;

t) = exp ?( tt ) ;

,. (. 10]),,.

E = ?( )=2.

t 1 5= 0 (5.25) p :

Z e?px ? x dx = 1 pp exp p K p;

2 (5.34) 2 2 8 1= ? K (x) {, ak :

1 1 ;

a= p e K1 1 ? 5K 1;

1 a= p e K 32 32 32 22 32 0 1=4 3=4 1= a = 1p e 45K 1 ? 13K 1:

32 1536 4 1=4 3= 16k(2k + 1)(2k + 2)a + 4k(12k + 1)a + (12k ? 7)a +a = 0;

2k+2 2k 2k?2 2k?,,,.

ak, N, (N) N 10 15 20 25 10 2.08 0.91 0.057 0.036 0., N N =.

12, N = 30 625.

. (5.33) N.5.12.

N =,.

f (0,t) 0. 0. 0. -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5t 0. t 0. -0. t t -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1..5.12. ),) (5.33) { N = 10, { N = 30.

N:

,,, {,,.,,, vg.

=0 (5.4), p ip.

(5.34), (5.9), r f( ;

0) = i32 exp ? 321 I?1=4 321 + iI 321 ;

1= 2 2 2,, :

I( ;

0) = 32 exp ? 161 I?1=4 321 + I 321 (5.35) 2 1= 2 2 2,.5.13,., 0:22, max 30%., 2 max,.

(µ,0) (µ,0) 1.3 0.02 (µ,0) 1. 0. 1. 0.5 1 1. 0.9 µ 0. 0. 0. 0.6 0. 0. µ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1..5.13. ),) (5.35) { N = 10, N:

{ N = 20.

,, p t p0 = 2t0 ln 2=2. 0:9,,.5.7, k, p0 = L 660.

,,, 1. jj 0:83., j j=,.

. z! (5.35), I (z) (z=2) =?( + 1).

! p?( ) :

I( ;

0) 4 2?( ) (5.35).5.13., I( ;

).,, N. 3, 10?.5.13.

.

ak,, (5.25) {. (5.4).

,, ak.,,.

(5.25),,,, ak.,,.

,, (5.25), N,,.

5.,, {.,,, vg.

.

,. 5.2 5.4,.

,.

.

I( ;

)., L (5.31) :

? 1+ I( ;

) = p ak e?i k Hk X e ;

(5.36) p 1+ 1+ 2 k= k = k arctg.,,, {, (5.36).

I( ;

) = p 1 a e?i X H + p 2k 1+ 1+ 2k 2k 2 k= ? 1+ 1 e?i X a H e :

p 2k+ 1+ 2k+1 2k+ k= I( ;

).

, k;

k ? 2(1+ ) a e?i X H e p 2k 1+ 2k 2k k=0 (5.37) ? 2(1+ ) X (?1)k a H e p 1+ 2k 2k k=, ? 2(1+ ) e?i X a H e p 2k+ 1+ 2k+1 2k+ k=0 (5.38) ? 2(1+ ) X ?i (?1)k a H e p 1+ 2k+1 2k+ k= (5.37) (5.38) !.

=2: ak, (5.36),,., " I( ;

) = p X (?1)k a H + p 1+ 1+ 2k 2k 2 k= (5.39) ? 1+ # X (?1)k a H e ;

p 1+ 2k+1 2k+ k=.. I( ;

).

, I( ;

) (5.39),, { f(0;

t): (5.31),, t { 1 ei'( ;

) ~ f( ;

) = p ;

p p 2 1+ 1+ 4 2 '( ;

), (5.31), t (!).

, (5.39) 1 ~ I( ;

) = (5.40) p p 2 1+ 1+ 2 (5.39) (5.40), 5.2.

,., (5.39).,, (5.40) I( ;

0) 2 1 j ~(0)j : p ! = 1+ (5.39) (5.40),..

=, arctg.,,,,,,.

5.2. (!),, (5.40), exp( p j ):

?2j I( ;

) (5.41) p 2 1+ 1+ 2,, (5.12)., (5.11),.5.14., = 10 42%, = 40 20%.

10% 140.

, (..5.14, ), (5.10), (5.41).

.,.

0.3 (µ,0) 0.3 (µ,0) 0.15 (µ,0) 0. 0.2 0.2 0. 0. 0.1 0. 0. 0. µ µ 0 5 10 15 20 µ 25 30 35 40 5 10 10 10 5 0.5.14. :), ) = 5, ), ), = 10.

, { (5.41).

, (5.40),. 5.2 p t L L= p p :

4( 2 ? 1)k k,.5.7 5.3. = 0:9, p0 = 10,,, {,, = 85,.5.14 L 21.

= 140, (5.40), p0 6 ?12.

, (5.40).,,, (5.40).

k(!), (5.40).

(5.40).,.

.,..,, (5.40), 5.2,.

.

max, ! 1.

, max.,,,..., (5.40),. I( ;

).,,.

(5.4), t ! 1.

f(0;

t) (5.4), f( ;

) f( ;

0) ? i f ( ;

0) + 2 (i f( ;

0) ? f ( ;

0)):

1 fk ( ;

0) Z1 x k e? 2i f(0;

x)dx;

k = 1;

2:

fk ( ;

0) = p21 i x ?, I( ;

) I( ;

0)? 2 Im f( ;

0)f ( ;

0) + I ( ;

0)?Re f( ;

0)f ( ;

0) ;

1, Ik ( ;

0) = fk ( ;

0)fk ( ;

0).

,, max Im f( ;

0)f ( ;

0) :

max = (5.42) I ( ;

0) ? Re f( ;

0)f ( ;

0) 1 !1 (5.42) I ( ;

0) Re(f( ;

0)f ( ;

0)). 1 Im(f( ;

0)f ( ;

0)), 1= ;

(5.42).,,, f ( ;

0) 0,,.

max., (..5.15), exp ? ( tt ) t 0;

f(0;

t) = (5.43) : exp ? ( t ) t 0;

t = 1:

: = 1;

p " k# k 1?2 1? a = k! 2 2 p 1 +p 1 ;

1+2 1+2 1+2 1+ 2k 2k+ " 4(1 ? 2 ) k?j 1 ?

k k! (?1)j 2j X =p a j 1+2 1+ (2k + 1)! 2 j= 2k+1 2k k?j 1 # 4(1 ? 2 ) 1+2 :

1+ f(0;

t), (a ;

a ;

:::;

a );

. 31 0 1 f(0;

t).5.15.

, f(0;

t).

1 f(0,t) 0. f(0,t) 0.8 0.01 f(0,t) 0. 0. t -1 0 1 2 3 0. -0. -0. 0. -0. -2 2 4 t.5.15., :) (5.43), ) N = 30.

f(0;

t).5.16. 1=4 1=2,,.,.,,,.

(µ,) (µ,) (µ,) 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 2 1 0 2 1 0 2 1 5 1 23 4 1 23 4 1 23.5.16. (5.43). :

) 1=4, ) 1=2, ) 1.

,,. (..5.16, ).

.

,, (5.42),.

fk ( ;

0).

(5.42) (5.4) Z exp( i x )f(0;

x + ) dx:

1 f(L;

) = p 2k L 2 ik L? = 0, (5.9) (5.34) Z1 ix dx +Z exp ? x + ix dx = f( ;

0)= p21 i 2 exp ? x + 2 2 2 (5.44) 0 1 p1 + 2i + 2p1 + 2i :

r i f ( ;

0) = 2 1 + 1 ? 1 +1 ;

2i 2i f ( ;

0) = i2 (1 + 2i ) + (1 + 2i ) 1 1 :

2 3=2 3= fk ( ;

0) (5.42),, (5.43).

(5.42),, r ?;

max +.

( ? )=( + ) {.

.5. I( ;

) (5.36).

max 1. I max 1 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. µ µ 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5.5.17. (5.43) :),).

I( ;

), max (5.42), Imax( ) 1 + ( ( ? ) ) :

+,,.5.17.

. (5.42) ! 1:

fk ( ;

0), p p +p + ) 1r ( ? p )( p p: (5.45) ( ? 2)( ? ) + 2 1:51:.5.17 max, (5.45) 1=,, (5.45).

.5...5.2.5.,.

, 1 (µ,). 0., 0. - 0., 0., - 0 µ 1 - 2,.5.18.

. (5.43).

, (5.36) = 0: (5.44), 2 cos( (arctg 2 ?arctg 2 )) I( ;

0)= 1 1 +p :

+p p 4 1+(2 ) 1+(2 ) (1+(2 ) )(1+(2 ) ) 2 2 2 (5.46) (5.46), (µ,0) - 0. (µ,0) (5.36),, 0. 0 1 2 3 4 µ. =0 0. - 0.,.5.19. - (5.43)., (5.36). : { 21,.5.19, { 31.

,,., {,,,,.

.,,.

Rx f(x )dx, 0 a k,, x?a. f(x ),.

,,, k. x?a,.,,..

,.

.

ak.

.

.5. 10.,, ak,., ( ),,,,.

! 1,,,, 6 10, L,,.5.19,,.

,,.

, {.

.

{,, (5.31).

,., (..5.20 ) t e? 1 tt ;

t 2 f(0;

t) = t (5.47) t 0:

:

0;

(?1)k+ a = 1 ;

a = 2p ;

a = 1 ;

a = p k!(4k ? 1) 1 ;

4 0 1 2 2k+1 2 2k+ a k = 1;

2;

3;

: : : : f(0;

t) =0, 2k+ t (5.31) {. {,,.5.20, 1%,.,.

0.7 f(0,t) 0. f(0,t) 0. 0.01 f(0,t) 0. 0. 0 1 2 3 t 0. 0. 0. 0.1 0. t 0 1 2 3.5.20. ) (5.47), ) 25 ( ) 30 ( ).

f(0;

t) L,,.

f(L;

), (5.4) Z ?

exp ? ( 2i x) x e? x dx:

f( ;

) = p21 i 2 1 q Re(p) Z 1 r exp q erfc q :

e?px ? qxdx = 2 p 2pp 4p Z1 r d exp q erfc q ?px ? qxdx = 1 2 2pp xe = 2 p dq 4p 1 r (1 + q ) exp( q ) erfc( q ) ? q :

2 2pp p p 4p p 2p 4p f( ;

), Z f( ;

) = p21 i exp i2 x exp ? x (1 ? i ) exp ? i x dx = 2 " i exp i2 i i i 2 2 2 3= 1? (1+i ) exp ? 2 (1+i ) erfc p 2(1+i ) 2 (1+i ) 3= # r ? 2p i 3= :

(1+i ) f( ;

),,, 5.2.

!

r r p C( 2 t) + iS( 2 t) erfc(i t) = 1 ? 2i 3=2 3= f( ;

);

1 2 exp ? 2(1+i ) 1 + C( ) + S( ) ?

f( ;

) = 2(1+i ) i + 1+i 0 3= s # exp( i2 ) ;

2i i C( ) ? S( ) + (5.48) 0 (1+i ) =q :

(1 + i ) f( ;

),.,, (5.4).

,.

f( ;

).

{, (5.48), Maple.

,.,,,,.,,,,.

(5.48).

,.

,,,,.

, lim C( ) = lim S( ) = 1 ;

0 !1 ! 0, f( ;

) ! f(0;

) ! 0.

, f( ;

) f(0;

), (5.47), f( ;

),., (5.48),.

C( ) S( ) 0,,,,.

,,.,..

, (5.48).

(5.48),,.

(5.48) ! 0;

f( ;

).,, (5.31),.

,,,,.

,,,,.

k(!),,.

,.

,, I( ;

0) =(1 + ), { 1 2 2 3=,.

, k(!).

!

(5.2) k(!),,.,.

,,,.

. p ;

f( ;

) C(x) S(x).

f(x) g(x) C(x) = 2 + f(x) sin( 2 x ) ? g(x) cos( 2 x ) 2 S(x) = 1 ? f(x) cos( 2 x ) ? g(x) sin( 2 x );

2,, x ! 1;

j arg(x)j f(x) 1x ? 3x + O x 3 5 g(x) 1x ? 15 + O x1 :

x 2 3 4 7 (5.48),,, :

1 + C( ) + S( ) ? i C( ) ? S( ) = 0 0 0 r p 2 ? 2i f( ) exp(i 2 ) ? 2 g( ) exp(i 2 );

0 0 0 2 i 1 2 2 5= f( ;

) (i + 1 + i ) exp(? 2(1 + i ) ) + O( ):

(1 + i ) 3=.

f( ;

) i,.

, 1 2 2 2 4 ( ? 1+ I( ;

) + 1 + ) exp(? 1 + ): (5.49) (1 + ) 2 2 2 3= (5.49) (5.47),,,,.

(..5.21a),,,.,,.5.21,,.

,.

max 0.5 (µ,) 1. 0. 1. 0. 0. 1. 0. µ 0 1 2 3 4 0 0.5 1 1.5.5.21. (5.47): ) ( ) = 0: ( ), ) I( ;

).

{ {,,,. (..5.21 ),.

, vg..

.5.21.

, {,,,.

,. k,,, {.

5], 11, 12].

,,,,.

, vg.

, k(!). (5.2) (5.1) (5.3).

(5.1).

,.

!,.

vg.

,.5.21,.

,.5.21.

I( ;

), (5.49)., max ? 2 max (1 + 2 ) + 3 (1 + ) = 0;

4 2 2 2 p +:

max = (1 + 2 ) 1+ 2 2 2, max, (5.49) p :

p 2(1 + ): 5 max,,. f(0;

t) max ( ):

.5.21.,,.

.

f(0;

t);

.

,,, 1=2.5.21, 40%, 70%.

, f(0;

t), (5.31),,., = 1=2 p 2.

(5.47).5.22. I(µ, ) - 0. I( ;

) 0..

, (5.48), - 0.. 0. - µ 0. (5.36). 0.5,.5.22.

(5.47) max.

fk ( ;

0) (5.42).

r f( ;

0) = p 1 ;

f ( ;

0) = 2 1;

i (1 ? i ) 2 i (1 ? i ) 1 3= f ( ;

0) = p 3 :

i) 2 i (1 ?

5= (5.42) I ( ;

0) = (12+ ) ;

Re f( ;

0)f ( ;

0) = 4(1 + ) ;

3 1 22 2 5= 5= Im f( ;

0)f ( ;

0) = ? p :

qp 2 (1 + ) 1+ + 22,.5. p 2p p 1+ =3 2 lim max = qp 1:76:

?

p ! 1 + + (3 ? 8 1 + ) 2 I( ;

) (5.42),.

(5.48) (5.36),. I( ;

).5.23a. f(0;

t).

20.

0.001 I(µ, ) 0. 0.002 I(µ, ) 0. 0. 0 -0. -0. -0. -0.003 -0. 0.2 µ µ 0 1. 0.3 1. 1. 0.4 2 1. 0.5 3.5.23. (5.47) (5.36), 30 :), ).

,,.

,,,. (5.36) ! 1;

,,.5.23a.

, I( ;

),,.

,. f(0;

t), ?

,.5.22,,,.

f( ;

), = ! 1, (5.14) z ! 1;

j arg(z)j : f( ;

);

r exp( i2 ) + O( f( ;

) = 2i 2 2 9= ):

3,., 0.,,.

2 ! 1;

I( ;

) (5.50), (5.50),.

(5.50),..5.23a, (5.36). (..5.23 ),.

5.,,,.,,,., (5.2).

-,,,.,.,,,.

,.., { (5.2),.

.,,.

!,. !,., k,.,,,., (5.2), !,.

, k:, k.,, ! k 0.

(! ? ! )., k(!):

(5.2) k(!) k(! )+ dk(!) (!?! )+ 2 d d! (!?! ) + 6 d d! (!?! ) : (5.51) 1 k(!) 1 k(!) 2 2 d! !=!

0 0 0 2 !=! !=!

0 0,,, (5.51),.

,.,,.

k,.

L, (5.3), Z f(L;

) = 21 (!)ei(! ? k L! )d!;

1 ?,, (!) {., 5.2, f(L;

) Z t exp(? 1 ! t )ei(! ? k L! )d!:

f(L;

) = 2p 1 (5.52) 0 22 ?, t.

cos(qt +xt) {, d y(x) = xy(x):

dx Z cos(qt + xt)dt = p Ai( px ):

3q 3q 3 ? jxj ! Ai(x) Ai(x) 0. Ai(x) p 1 p e? x 2 3= x 3 0. p 1px sin( 4 + 2 x ):

Ai(?x) 3= 3 4 -8 -6 x -4 -2 -0., - -0. j arg(x)j :

,.5.24. Ai(x).

Bi(x) x! p 1px e x :

2 3= Bi(x) (5.52),, p;

q x p q, Z e?pt cos(qt + xt)dt:

?. x,,,. Z1 Z d f(x) = d e?pt cos(qt + xt)dt = ? t e?pt cos(qt + xt)dt:

2 2 2 3 2 dx dx 2 ?1 ? 3q, 1 d f(x) = ? Z e?pt d sin(qt + xt) + x Z e?pt cos(qt + xt)dt:

3q dx 2 3 ?1 ? :

df(x) = ? Z te?pt sin(qt + xt)dt;

dx ? 3q d dx = 2p df(x) + xf(x):

f(x) dx f(x) f(x) = e Cx g(x), C., 3q C g(x) + 2C dg(x) + d dx g(x) = 2p Cg(x) + dg(x) + xg(x):

dx dx C = p=(3q) x p3q x ;

x= g(x ), 0 d g(x ) = p + x g(x ): 2 0 dx (3q) 4= f(x), f(x) = C Ai p1 ( 3q + x) + C Bi p1 ( 3q + x) exp( px );

p p 2 3q 3q 3q 1 3 CC x.

1 x ! 1,, f(x) C = 0:

Bi(x);

C pq Z e?px cos(qx )dx;

f(p) = ? p.

Z1 Z df(p) = ? x e?px cos(qx )dx = ? 2p xe?px sin(qx )dx:

2 2 3 dp 3q ?1 ?, 1 d f(p) = ? 2 Z xe?px sin(qx )dx + 2p Z x e?px sin(qx )dx:

2 2 3 3 dp 3q 3q ?1 ? p,, f(p) p d dp = df(p) + 2p f(p) + 2p df(p) :

f(p) 2 dp 9q dp 2,, p f(p) = C (p) Ai (3q) ;

1 4= x = p =(3q) ;

, 2 4= p f(x) 2 x d dx = f(x) + 4x df(x) ;

dx f(x) = exp( x )g(x);

2 3=., p 2p 3 f(p) = C exp 27q Ai (3q) ;

2 4= C- p,. f(0) = C Ai(0);

, Z cos(qt )dt = p Ai(0);

3q ? p C = 2 = 3q, Z p p e?pt cos(qt + xt)dt = p3q exp 3q ( 2p + x) Ai p13q ( 3q + x) : (5.53) 2 2 9q 3 ? q (5.53) q;

. jqj, q, x.

p Re(p) 0;

,,,.

(5.9) = kt L ;

3,, L Z exp(? x ) cos(x ? 1 x )dx = 1 f( ;

) = 2p 4 3 ? p 1 ( 1 ? ) Ai 8 ? :

exp 2 12 (5.54) p p =2 = 3 3 3 (5.7) (5.54),,,.,,.

, 5.5,,,., (5.54),.

(..5.25a).,. f( ;

),, 1 8 ? + (4 ) Ai 8 ? = 0;

Ai p 3 2= p =2 =2 3 3.

1 (µ 3,) 3.2 min 0.3 max 0. 0. 2. 0.2 2. 0. 2. 0. 0. 2. 0. 0. 0. 1. µ µ -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1 1.5.5.25. :) = 0;

0:15;

0:3, ),) I( 3 ;

):

,.5.25,, ! 0:

:

,,.. p ( 7 ? 1) ! 0.

, 1: max 3 3,,,.,.

.

,.5.25,,,,.

f( ;

min) =0,,,, min.

a, 2:338, 1 +a p =2;

min = (5.55) 8 1.5.25.

, p 32 3 3= min = 0:3;

8a.

- (µ3,), - 0. 0. 3 1;

min 0. 3 - 0.,.5.26. 0. 0 µ3 - 1 12 1. { -.5.26.

{.

.

5.2,.,{,, {,,.

(µ 3,) 1 (µ 3,) 0.8 0. 0.6 0. 0.4 0. 0.2 0. 0 2 1.5 1 0.5 2 1.5 1 0..5.27. I( 3;

) : ) 3 = 1=2;

) = 1: {, { (5.56).

.

, (..5.27 ) 3=2:, (5.54), !

f( ;

) p 1 exp 21 21 +j j ? p ? ?

+j j : (5.56) 3= 1+8 j j 3 =2 3 3 3 ;

(5.56) p,;

.

.5.27.5.27, 1:

(5.55), min. 1 min min 3, 1:66, 2 = 1:

,,.

,,. ;

!, I( ;

) p8 4 ? 1 exp 1 ( 121 ? ) : (5.57) 3 (.5.28 ), (.5.28 ).

(µ3,) (µ 3,) 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 01 0 1. 1.5 2 2.5 3 2 2.5 3 3.5 4 4..5.28. : ) 3 = 1=2;

) = 1:

{, { (5.57).

, (5.55) (5.56), p:

p;

;

.

.5.29.

, q;

k 0:

(5.53) k 0;

,,.

.

. - (µ3,) 0. 0. 5.2 0. = 0: - µ3 0 - 0 6 L..5.29. -.

,,.,.

(5.54),, = 0;

p exp 241 Ai f( ;

0) = p :

p =2 = 3 3 3 3 ! Ai(x), f( ;

0) 1 ? 3 ;

3 :

.

, p ! 1:

f( ;

0) p = 3, R ?1 f(L;

)d ;

,,, p:,.

5.2, k 6=, k(!)., :

, f( ;

) p ! = 1+.

,,,.

.

;

2=, (5.56) (5.57),.

,,,.

.

(5.53), p;

., 5.3, Z exp ? 4(1 x i ) exp i(x ? 1 x ) dx:

1 f( ;

) = p p ?

1?i 3 ? (5.53) :

r 1 exp 2 (11? i ) 12 (11? i ) ?

f( ;

) = 1 ? i p = 3 3 Ai p 1 8 (1 1 i ) ? : (5.58) ?

=2, {,,.5.26 5.27.

(5.58), I( ;

), Ai(x).

.

(µ 3,) - 1., 3 0. ! (!) 0.. - 0. 0. - 0, µ p 0. 1+ 0.4.5.30.. = 2:

,.5.30,.

,.

.5.31.,.

5.3, p +1,.

,. {. (5.58),., :

, j8 (1 ? i )j?1 ! 0 (µ3,) ! 1;

, - 0. I( ;

), - 0. - 0. 0. :

.5.31 - 0. :, - 0. - 1 0 1 2 3 4 -.5.31.

. = 3=2:

{ = 0;

. { = 1=2;

- { = 1.

? ?

I( ;

) p ( 2 )?2=3 exp :

(1 + ) Ai 3 p = 1+ 3 2 3,,,.

5.2 f(t) = exp(?jtj=t ): (!);

L Z f(L;

) = t d! ei(! ? k L! ): 1 1 + (!t ) ?, Z dx ei(x ?

f( ;

) = 1 x ):

1 1+x 3 ?,, { Z1 Z f (x)f (x)dx = 21 f (!)f (!)d!;

1 2 1 ?1 ? Z e?j! + j Ai p !

f( ;

) = p ?

d!:

=2?1 = 3 3 f( ;

), {,.,,. p,, Z1 Z e?pt Ai(t)dt;

G(p) = e?pt Ai(?t)dt:

F(p) = x x p, dF(p) = Ai (x) + p Ai(x) e?px ? p F(p);

dp dG(p) = Ai (x) ? p Ai(x) e?px + p G(p):

dp Z1 Zp Zp Ai(t)dt + Ai (x) e?tx + t dt + Ai(x) te?tx + t dt e? p ;

13 13 F(p) = 3 3 x 0 Z1 Zp Zp Ai(?t)dt + Ai (?x) e?tx ? t dt ? Ai(?x) te?tx ? t dt e p :

13 13 G(p) = 3 3 x 0 f( ;

) Z1 Z =2) Ai(?t)dt + e?

p p f( ;

) = e exp(?t =2) Ai(t)dt = exp(?t 3 3 3 ?~ ~ Z~ ( + 1 3)h 2 ? Ai(?t)dt + ( 3 ) 3 Ai (?~) 0 (? ;

? 3) ? ( 3 ) 3 Ai(?~) 1 (? ;

? 3 )i 1 =e 3 2 Z~ h i + e?( + 6 3) 1 + Ai(?t)dt + ( 23 ) 3 Ai (?~) 0 ( ;

3) + ( 23 ) 3 Ai(?~) 1 ( ;

3) ;

(5.59) 1 1 p R ~= = =2;

k ( ;

) = tk exp( t + t )dt;

k = 0;

1;

3 3 3.

, (5.59) f( ;

);

f( ;

):,.

. = 0 (5.59), 2 Z1 Z 2 + Ai (0) x dx ? Ai(0) x dx5+ 1 e? xe?

1 1 f( ;

0) = e 3 4 3 3 3 3 3 2 6 6 0 2 Z1 Z 1 + Ai (0) x dx + Ai(0) x dx 1 e?

1 1 e xe 3 (5.60) 4 3 3 3 3 3 2 6 6 0 5.2, = 0;

,.,., = 0:01 = 83%. (..5.32 ),, I( ;

0),, f( ;

0) = 0:

3 (5.60), =2 = 1 ? p p p f( ;

0) 1 + 2 Ai (0) =2;

3 3?( ) 3 3 3.

1 f(µ,) 1 f(µ,) 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 2 1 0 1 2 3 2 1 0 1 2.5.32.

. : a) 0.01, ) 0.05.

., 0:3;

,.

, p =2, (5.59).,,, p =2 (5.59),,..5.,,.

,, (5.59), p =,,., (5.59), p =2, f( ;

) e? + 2 Ai ? p : (5.61) = (5.61), ~, p 2 =2.

(µ3,) (5.61) - 0., - 0. 0. - 0.. - 0 µ3 0. 1 0 1 0. -..5.33.5.33. { -.

.

f( ;

), 0:4: (5.61).

,.

f( ;

),..,,,.5.33.

.

0.6 (µ 3,) - 0. 0.. - µ3 0. 1 - (5.57),.5.34.

-.

{,.

.5.28., (5.61),, f( ;

)..,.5.34,.

(5.59).

, ! 1.

(5.60), (5.60) { Zx e?tta ? 1dt;

?(a;

x) = ?(a) ? (a;

x);

(a;

x) = 2? 1 1;

1 ? 1 2;

h i e = 3 3?( ) 3 6 3?( ) 3 6 3 1 3 1 e h 1 ? 1 ;

1 + 1 ? 2 ;

1 i:

3 ?( ) 3 6 ?( ) 3 6 3 1 3 x ?(a;

x) xa ? 1e?x(1 + a ? 1 + : : : );

x, ?3 ?3 i 1h 1 1 +1 2 ;

3 ?( ) 6 ?( ) 3 1 3 )?.

( 1 (5.60) h ? ?(1 ) 1 F 1;

4;

1 +1 6 1 F 2;

3;

5 i 1 e? :

3 3 33 2?( ) 3 1 1 3 3 1 1 1 3 ?(b) F (a;

b;

x) ?(a) exxa ? b;

1 ?1 ?2 i 1h 1 1 ? ?(1 ) 3 3 ?( ) 6 3 2 3,. f( ;

0), ? f( ;

0) :

3?( ) 3,.,,.

(5.59)., ! ?1, Z1 Z p p f( ;

?j j) = e?j j e?t =2 Ai(?t)dt + ej j e?t =2 Ai(t)dt: (5.62) 3 3 ?j~j j~j.

, 1. j~j.

, (5.62)., (5.62) p p =2 exp ? 2 p j j =2 : 3= 1? p p 3 jj 2 jj = 3= jj,,, jj., (5.62),, f( ;

?j j) exp(?j j + 6 ) ! ?1;

3..,.

(5.59).

!, ?

2 ( ) Ai (1 ? 2 ):

f( ;

) (5.63) 3 p 2 =,,.

.5.35, f( ;

) (5.63), (5.61).

( =2) (5.63), {,,.

,,,., (5.57),, (5.63), 4 ( ) (1 ? ) : 3=2 I( ;

) (5.64) 3 2 3 5= 0.14 (µ3,) 0.3 f (µ3,) 0. 0. 0. 0.1 0. 0. 02 5 3 4 6 8 9 0. 0.1 0. 0 4 6 8.5.35. :) f( 3 ;

) ( ) (5.63) ( ) = 2, ) I( 3 ;

) 3=4( ), (5.64) ( ).

,{,.

.5.35.

k;

k, 000 0 k.

, k,,,,.

L, (5.51), Z f(L;


) = 21 (!)ei(! ? k L! ? k L! )d!;

00 1 2 0 2 ? (!) {.

, f(L;

),.

, (!), ;

f(L;

) 5.2,, :

Z 1 e? x ei( x ? x ? x )dx:

f(L;

) = 2p 1 2 4 2 ?, (5.53), p ? ?

2 f( ;

) = : (5.65) exp Ai (1+2i ) (1+2i ) 1+2i p p =2 = 23 12 3 3 3,,.,, 1+2i (5.65) 1=(1?2i ), (5.65) (5.58).,.

.5.30 5.31,,,.,, k = 0,,. (5.65),,,.

{,,.

1=2:

, (5.58) (5.65),,,,,.,,.

.5.36.

0.5 (µ,) (µ,) (µ,) 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.2 0. 0.1 0.1 0. 3 2 1 3 2 1 3 2 1 0.5.36.

. : = 1;

: ) 1/4, ) 1/2, ) 3/4. = 0:

3, (5.51).,, {,,, k k, 00 0. !,, !.

,.

5.3,,, k.,,.

{, {,..

0.8 max 1 1.3 1. 0.6 1.1 0. 0.2 0.9 µ3 0. 0 0.5 1 1.5 2 0.7 µ 0. 0 1 1.5 0..5.37. :),) 3-. :

1) = 1=4, 2) = 1=2, 3) = 3=4, 4) = 1:

, 3, 4.5.37,,.,.5.37,,,.

! { {,,, !, 1, 2.5.37.

,,,.,,, (..5.37 ),,,, vg.,, :

vg vmax = (5.66) max vg k 1? t,.5.7,, { vg k, 10?15 10?16., k(!), max = 1,, (5.66).

,,, 12., (5.66) 1,, vg.,,,,.

(5.1).

,.

,,,,.

., =0(.5.38 ) 2,.

0.25 (µ,) 0.2 µ= 0.4 (µ3,) 0. 0. 0. 0 0.05 µ 4 4 2 2 4 6.5.38. = 2: ) 3 = 3=4, ) 2 3-.

, (..5.38 )., = 2,.,,,,.

k,. (5.5) (5.65),.

.5.39.

,,.

0.6 µ=0.5 µ=0. 0. 0. 0. 0. 0.2 0. 1 2 0.01 0.01 µ µ 0.02 0. 0 0.03 0. 1 0.04 0. 0.05 3 0.05.5.39. = 1=2: ) 3-,), ),.

,,..5.39,,,.5.39., 10?2. =,.,,.,,,., (5.2),,.. 5.39. ?13, p0.

, 5., (5.31),.

Z Hn(x)e?px ei( x + qx )dx:

Jn = 2 ? J Jn (5.53), Jn+2 = 8in (1 ? p)Jn?1 ? 4ip Jn+1 ? 2Jn 2 + (2n + 1) ? 4n(n ? 1)Jn?2:

3q 3q 3q,,, (5.36),,.

V 1... {.:, 1953.

2...,..,...{.:, 1979.

3... {.:, 1965.

4...,..,..

. {.:, 1988.

5.... //, 1976,.118, 2,.339{367.

6...,... {.:., 1985.

7. Anderson D., Lisak M. Analytic study of pulse broadening in dispersive optical bers. // Physical Review, 1987, v.A-35, p.184{187.

8. Marcuse D. Pulse distorsion in single{mode bers. // Applied Optics, 1980, v.19, 10, p.1653{1660.

9.... // i.. i -.. 1986, 2,.60{67.

10. Anderson D., Lisak M. Propagation characteristics of frequency{chirped super{Gaussian optical pulses. // Optics Letters, 1986, v.11, 9, p.569{ 571.

11...,..,..,..,..

//, 1966,.50,.23.

12...,... //, 1969,.99, ( ).169.

VI.

6.1..

.,,,, !i., ! T = 2 = !.

,,,.,. {, N X E(0;

t) = ai cos(!it):

i= N X ?

ai (!i ? !) + (!i + !) :

(!) = i=, L !i k(!i)L.

:

N X ai cos(!it ? k(!i)L):

E(L;

t) = i= k(!i).

(5.2), !.

. !,, !i : !i = ! + !i;

!i = i !:

, 1/2,, L ! !

N N 2 ai cos !i ? k L2 !i !i ? k L2 !i ;

X X 00 2 I(L;

) = ai sin + 0 i=1 i= = t ? tL {,, vg.

,, i{ i = kL !;

(5.9), 1,., 1.

= 2 i.

, =2, i, L,. L=, 4 =(k ! ): L, L., =, 2.

i,.

i, i., kL ! = ;

1 : L = T =(2 k ):,.

L,. k ( ),.5.7, k = 5:6 10?26 =.

, 0.6, 200, L 7 10., -.,.

100 ( k = 3:2 10?26 =, 1.5 ) = 0:85 : L 500..

, L,,.

L,.

., p p=q | =, q, q.

.

,,,.

.

, 7,.6.1.,,, (.6.1 ).

L, 0:01L (.6.1 ),.

.

1 () (µ,) 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. T 3 2 1 1 2.6.1. :),) = 0;

0:02;

0:04;

0:06.

=,,, =.,,,,.,,,.

T =(2 k ), T{,.

,.

6.2.

,..,.

,.

,,..

,.

,,.

.

, =2.

f(0;

t) = A exp ? tt ch t t :

? 0 A{, t, p0,, (5.6).

f(0;

t), I(0;

t) = f(0;

t) f (0;

t), (,, f(0;

t) f (0;

t), ).

,, I(0;

t) = A exp ?2 tt ch t t :

?

(6.1) 2 0 (5.5).

, I(L;

t) !

I(L;

t) = p A exp (1 + 4 )t exp ? (1 +24 ) t 2 2 1+4 2 ? sin (1 + 4 )t :

ch (1 + 4 )t (6.2) 2 2 2 0 vg,,, V: = t ? k L:,.

,,., (5.9),.

(6.2).,. -, 2 exp (1 + 4 )t ;

.,,,.

,.

ch ;

-, (6.1), (6.2),,.

-.

., t:

:, 5.2.

,,,.. (6.2), = 0, I( ;

0) = p A 22 exp (1 + 4 )t :

1+4 I( ;

0) = 0, I( ;

0) A 1 + 2(( =t ) ? 1) ]:

2 2,, =t 1,,.

=t, p 1 =t 2,,.,.

{.,,,.

.

I( ;

0). : 1+4 ;

(6.3) t,. p =t 1=2.

2,, 5..,,,.

, - (,µ) - =t,.6.2. 0. - - 1 µ =t ;

- p 2:.6.2..

p 2t.,,,.

,.

,,.,,.

,,,, = 0.

, (6.3),.

-.

I( ;

0), (6.3) ( A) exp 2 (( =t ) ? 1) =( =t ): (6.4) 0 t= =2 (6.1),, :

1 exp 1 : (6.5) 2t 4 (6.4) (6.5),, p =t 4= e;

.

..6.3,.

1 (, µ) (,µ) 0. 0. 2 µ 0 4 0 µ 3 2 2 1 3.6.3.

: ) =t0 = 2;

) =t0 = 3:

=t, p.e 2:4,, 4=.6.3,.,, {.

, (6.2)., (6.2), ch, x.

, ch (x) ? sin (2 x);

(6.6) 2,,.

! 0.

, (6.6) (6.2) (6.1) p ! = 1+4.

0,.

(6.6)., 1=2 (6.6), = 0.,.

= 1=2.

.

, =t,., =t ! 1. 1=2,,.,,,.6.3,.,,.,.

,., (6.1) =t = 3,, = 0,, 5% =t., p, 1+4 : =(2 t ) 3., (6.6). 1=, = 0., 1:89,.,.

.

, = 2:87,.

(6.2) =t =., 1:7. =t,,.

,, (6.6),.

=t =, = 0 4:1t. 5t t,, 0., 2:2., =t,, : 1:84, 2:69, 1.

=t,,,.

:

(6.6), x 1.

,, = 1 +=t :

4 (6.7) t 0 (6.7) (6.6).,, ( =t ).,, =t., q (,µ) t 2(1 + 4 ) 5:

0..6.4, - - 2µ 0 =t 10. 4 68..6.4..

,.

,.

.

, 5.2,.,, (6.2),, t (6.6). Tint xmin, (6.6).

x (6.2), Tint = 2 xmin(1 + 4 ) : (6.8) t =t 0 xmin.

, 1=2, p " = ? 1=2.

: xmin 3", (6.6) xmin(") " p xmin(") = 3"(1 ? 3 " + 33 " + 37 " ? 10574623 " + : : : );

2 3 2 56 16,,. xmin p 1+a" 3= xmin(") = 3" ;

1 + (a + 1)" + (a + )" 6 a=,v=(p).

6v 2= 7(1?v) 4, 2:5, xmin 2%.

0:84.6.5.

0.6 T x min t 0 t 0.5 0. 0. 0. 0. µ µ 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1 2.6.5., :

) xmin, ) (6.8).

xmin( ), (6.8),.

.6.5.

! 1:

(6.6), Tint, t, Tint = 2 :

t ( =t ) 0 Tint,.,.6.5,.

Tint.,,.,,.

6.3.

,,,.

,,,.

, -, E(0;

t) N exp ? t ? j t X ei! t:

E(0;

t) = A exp ? T (6.9) t j=?N : A{,,,t {,, 1/ (5.6), T {,,{,! {.

2N +1,.,, vg.

,,.

,.

, L,, V,.

, V.

(6.9),,.

exp(i! t), :

!

N t? j exp ? 1 Tj ? X 2 f(0;

t) = A ;

t j=?N = 1 + (t =T) ;

- t - T., (5.5) (5.9), (6.9), L !

N ?j f( ;

) = p A exp ? 1 Tj ? (1+2i X 2 : (6.10) t ) 1+2i j=?N (6.10).

,,,.

,,.

,,,,, 10 10, 4.

,, (6.10),,, -,.

- (µ,) - 0.,,, - 1µ - 3..6.6.

. 6.6., - ( =t0 = 3).

, ( =t = 3),.,, 5%.,,.

T = 12,,.6.3.,, I(0;

0),, 85% I( ;

0),.

,.,, 3:94 64%.

,,, 5t,.

,..

, N,,,,,, N, N ?1.

,,.

,,.,.,.

,.

=t = 5, T=t = 50.

(6.10), 0, T., f( ;

),,,.

, - 1 (µ,) 0. - 0. - 0. N = 2, 0., -. - 0. 1.5 µ.. 6.7 - 2.6.7.

. -, - =t0 = 5 T = 50.

..,.., 2,.

,,,.,, 1,,,.,,, 1:89,.

- 1 (µ,),.6.8, 0. - 0. - 0. - 0.,. 4 µ - 5. - - 6.6.8. 5 =t0 = 5 T = 50.

.

6.5.

(6.10),.

(6.10).

,.

.

1].,,,.

(6.10),,, :

.,,,,.

2].,,.

:

(, ),.

, 10 100,, ( ), 1 100..,,, 1000.

,,.

-.

,.,. 3].

,.

-79, " " 4]. 3.5.

, 650,. 5.

1,2.

,,.

,,.,.,.

.

..,,,.

,.,,,. 1,5,, 15.,.

,.

. 6.9. { " " ( ) 300 ( ) 1200 ( ).

300 1200. 6.9.,.

,,.

,. 6.10.

.6.10. - () ( ),.

300 (, ) 100 ( ).

300..

,.

1200.

.6.11.. : A, D, G, 200 (H), 300 (B, E, I) 1200 ( ).

5] L = 2nc (NA) ;

n{, NA,L{,c{ {.

300,, 6.5, 1200 { 26.

5,..

(.6.10 ).,,.

,.6.9 6.10,.6.11.,,,,,.

,,,.

,, :.,.

,.,,,..

,,.

,,,.

,,,, 5,6].

6.6..

, 6.3, =t.

,.. 0. 0. 0. 0. -40 -20 20. 6.12.

. = 10. { =t = 3:

,.

=t0 10.

.. 6.13.

,. 6.12. (6.10). = 5:5 6.

, (.6.13, ).

,,., {.,.

0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. a b 0 -40 -20 20 -40 -20 20.6.13.,. 6.12., = 5:5 ( ) 5:6 ( ).

,,,.

,. 6., 6.12 6.13 :

,.

L.

,,.,..

0. 0. 0. 0. -40 -20 20.6.14.,. 6. = 27:5:

,,. 6.14..

,.

6.7.

1830.,,, 8].,., -,, ( ) zT = a =, {.

,,.

.

-, 0,63.

, 0;

5.

,, ( ).

.6.15.. 1-, 2-,3-,4-,z-.

9]., zT,..,, ( 7.2).

.6.16. 5 z. = 0,6, z = 57.

,.

..,.

...,,,.

.

,,. -, 10].

VI 1. Azana J. Temporal self-imaging e ects for periodic optical pulse sequences of nite duration. J. Opt. Soc. Am. B// vol. 20, p 83 (2003).

2. Minkovich V.P., Starodumov A.N., Borisov V.I., Lebedev V.I., Perepechko S.N. Opt. Commun. 192, 231 235 (2001).

3...,..,..,. 11 (1985), 1441-1444.

4...,.., 12 (1986) 1736.

5. Gloge D.,Chinnock T.L., Ring D.H. Appl. Opt.-vol 11, 1534 1536 (1972).

6...,.,....

12, 157-159, (1985).

7. Dumitrica A. et. al. Rev. roum. phys. 29, 169 174, (1984).

8. Talbot H.F. Facts relating to optical science. Philos. Mag. 9, 401 - 407, (1836).


9. Berry M.V., Klein S. Integer, fractional and fractal Talbot e ects. Journ.

of Modern Optics, vol.43, 2139 -2164, (1996).

10. Pastorski K. The self-imaging phenomenon and its applications. Progress in Optics, XXVII, E, Amsterdam, pp 1 - 108, (1989).

VII. Некоторые корреляционные измерения Многие физические процессы в оптике, радиотехнике и других облас тях науки и техники одновременно обладают случайным и детерминирова ным характером описывающих их физических параметров и функций. Для анализа таких процессов широко применяют аппарат корреляционных функ ций различных порядков. При этом, используют как автокорреляционные, так и кросс-корреляционные функции первого и более высоких порядков.

Различают временную и пространственную когерентность. В случае пространственной когерентности определяют способность светового луча интерферировать со смещенной в пространстве копией этого же луча. Та кой способ разделения лучей называют делением волнового фронта. Про странственная когерентность существенна при анализе изображения и в го лографии. При рассмотрении временной когерентности интересуются спо собностью луча интерферировать с запаздывающим во времени, но не сме щенным в пространстве вариантом этого луча. Для измерения степени вре менной когерентности используют метод деления амплитуды.

Оба типа когерентности характеризуют функциями когерентности.

С физической точки зрения функции когерентности есть меры структурного подобия опорного и задержанного во времени или сдвинутого в пространст ве полей. Временная функция когерентности есть усредненная по всем мо ментам времени величина, аргумент которой – временная задержка между интерферирующими лучами. В исследованиях ультракоротких лазерных им пульсов используют амплитудный интерферометр (обычно это интерферо метр Майкельсона) с помощью которого измеряют временную функцию ко герентности первого порядка, которую иногда называют функцией взаимной когерентности. При регистрация второй или более высокой гармоники сиг нала на выходе интерферометра Майкельсона определяют функции коге рентности более высоких порядков. Интерферометр Майкельсона с нели нейным кристаллом, установленном на его выходе и удваивающим частоту регистрируемого сигнала, образует интерферометр интенсивности.

Автокорреляционной функции первого порядка электромагнитного излучения может быть рассчитана также по спектру излучения с помощью его Фурье преобразования. Решение обратной задачи, т.е. определение спек тра излучения по его автокорреляционной функции составляет основу Фу рье-спектроскопии.

Метод корреляционного анализа широко используют в радиотехнике при выделении сигнала на фоне шумовых помех.

Несмотря на большой круг применений корреляционных функций из лучения, в этой области непрерывно возникают новые задачи. В настоящей главе приводятся результаты исследований некоторых из таких применений в лазерной физике и оптике волоконных световодов.

7.1. Деградация лазерных диодов и корреляционная функция первого порядка их излучения Проблема долговечности полупроводниковых лазеров является наиболее важной в технологии их изготовления. Большое количество ис следователей во всем мире занимаются изучением этой проблемы, но многие причины деградации еще не ясны, хотя практически в области повышения надежности полупроводниковых лазеров в последние годы достигнут огромный прогресс. Этот прогресс обусловлен использовани ем технологии сверхрешеток. В лазерах на сверхрешетках пространст венная подвижность дефектов кристаллической решетки оказывается сильно ограниченной.

В монографии [1] выделяют следующие типы деградации полупро водниковых лазеров:

а) катастрофическое разрушение зеркал при большой плотности оптического генерируемого излучения;

б) образование дефектов “темных линий”, которые представляют собой сетку дислокаций, образующихся во время работы лазера;

в) медленная деградация: процесс постепенного накопления де фектов в лазерном кристалле по сравнению с катастрофической деград а цией и разрушением лазера под действием дефектов “темных линий”.

Катастрофическая деградация связана с большой плотностью гене рируемого излучения, которая в конечном итоге приводит к разрушению выходных зеркальных торцов полупроводниковых лазеров. В [1] указы вается, что критическая мощность генерации составляет порядка 5... МВт/см2 для гомолазеров. Эта цифра несколько ниже для лазеров на ге тероструктурах. Сокращение длительности импульса накачки сущест венно уменьшает критическую плотность излучения. Так в [2] указыва ется, что критическая плотность излучения для полосковых лазеров на двойной гетероструктуре равна 4...8 МВт/см 2 для импульсов длительно стью 100 нс.

Причиной, приводящих к катастрофической деградации, обычно считают локальное поглощение генерируемого излучения на случайных неоднородностях кристалла или областях пространственного заряда вблизи поверхности зеркал.

Дефекты “темных линий”, ответственные за более медленную де градацию лазерных диодов, связаны с нарушением кристаллической структуры активного слоя и окружающих сред [3]. Они приводят к изме нению внутренних параметров кристалла, которые можно учесть при теоретическом рассмотрении [4].

Существенное влияние на скорость деградации оказывают режимы эксплуатации лазерных диодов [5].

Указать какие-либо однозначные причины, влияющие на деграда цию полупроводниковых лазеров, на сегодняшний день не представляет ся возможным, ввиду множества параметров, характеризующих работу лазерного диода. Эти параметры связаны со структурой кристалла арсе нида галлия, с его спектроскопическими характеристиками и параметр а ми генерируемого излучения. Поэтому установление связей между пар а метрами лазера и скоростью его старения является актуальной задачей, решение которой сводится к поиску методов, позволяющих прогнозир о вать долговечность полупроводниковых лазеров. Большая часть этих ме тодов основана на регистрации изменений во времени электрических и оптических свойств p-n- переходов [6], другие основаны на поиске ста тистических закономерностей изменения лазерных параметров [7], тре тьи отслеживают изменения микроструктуры лазерного кристалла путем регистрации рентгеновские спектров лазерных диодов [8]. Интересное наблюдение отмечено в [9]: перед катастрофической деградацией увели чивается интенсивность второй гармоники, генерируемой самим лазер ным кристаллом.

Нами было замечено, что полупроводниковые лазеры ИЛПН-102 и ИЛПН-108 в номинальном режиме при накачке постоянным током дают излучение, автокорреляционная функция (АКФ) которого соответствует генерации регулярных или нерегулярных субпикосекундных световых импульсов с периодом следования, равном времени обхода светом резо натора. В связи с этим возникло предложение об использовании изме рений АКФ для прогнозирования надежности работы полупроводнико вых лазеров. С этой целью были изучены генерационные характеристики порядка 40 образцов полупроводниковых лазеров ИЛПН-102 и ИЛПН 108.

При номинальной выходной мощности лазерного диода 5·10-3 Вт и излучающей площади 0,5х20 мкм 2 средняя плотность мощности состав ляет 5·104 Вт/см 2. При скважности сверхкоротких импульсов порядка 10...100 максимальная плотность мощности достигнет пробойного зна чения. Пиковая мощность генерации может подняться еще на один-два порядка за счет релаксационных колебаний интенсивности излучения лазера.

Таким образом, неконтролируемые колебания интенсивности излу чения лазеров могут легко приводить к превышению пороговой пробой ной плотности мощности материала волноводного слоя и выходных тор цов лазерных диодов.

Измерения АКФ позволяют судить о длительности и относитель ной пиковой мощности сверхкоротких лазерных импульсов [10] и, таким образом, прогнозировать повышенную вероятность радиационного про боя конкретных образцов диодов.

На рис.7.1 приведена схема экспериментальной установки.

Рис. 7.1. Схема экспериментальной установки для записи спектра и АКФ полупр о водникового лазера. 1- лазерный диод;

2 - микрообъектив;

3 - светоделительный ку бик;

4, 5 - зеркала интерферометра Майкельсона, 6 - точечная диафрагма, 7 - ФЭУ, - селективный усилитель У 2-8, 9 - самописец, 10 - светоделительное зеркало, 11 – спектрограф ДФС -8.

Регистрация АКФ проводилась следующим образом. Излучение ла зера с помощью микрообъектива преобразовывалось в слабо расходя щийся пучок, который направлялся в интерферометр Майкельсона. Пе ременная разность хода между интерферирующими световыми пучками создавалась путем перемещения зеркала 4 вдоль оптической оси интер ферометра. Сигнал на выходе интерферометра проектировался на фото катод ФЭУ через точечную диафрагму диаметром порядка 0,3мм. Зерка ло 5, прикрепленное к пьезокерамической пластинке, колебалось вдоль оси интерферометра с амплитудой порядка половины длины волны и с частотой 350 Гц. Электрическое напряжение, возникающее на выходе ФЭУ, усиливалось и регистрировалось самописцем КСП-4. Одновремен но другим самописцем проводилась регистрация спектра генерации. Для записи спектра часть излучения лазера с помощью зеркала 10 направля лась в спектрограф. В работе использовались фотоэлектронные умножи тели ФЭУ-112. Измерения АКФ и спектра проводились при мощности генерации диодов равной 2 мВт.

Было проведено исследование изменения АКФ, спектра и ватт амперных характеристик для лазерных диодов в течение трех лет. За время наблюдения часть лазерных диодов или вышла из строя, или зн а чительно изменила генерационные характеристики. Анализ АКФ и спек тральных характеристик таких лазерных диодов, записанных через не большое время (несколько месяцев) после их изготовления, позволили выявить ряд характерных особенностей, влияющих (по нашему мнению) на надежность работы полупроводниковых лазеров. Эти характерные особенности видны на рисунках (7.2...7.7). Интенсивности спектральных компонент и АКФ приведены в произвольном масштабе. Внизу АКФ от мечена линия нулевой интенсивности.

На рис. 7.2 приведены характеристики лазера №2. Характерной особенностью этого диода является несимметричная форма общей оги бающей АКФ относительно нулевой задержки. Так как АКФ симметрич на по определению, то несимметрия свидетельствует об изменении спек тра генерации за время съемки АКФ, составляющего порядка 5 мин.

Видно также, что со временем фон между пиками АКФ изменяется. Это говорит о нестабильности временных параметров генерации этого лазе ра, что и привело к последующей его быстрой деградации в течение часов общей наработки.

б Еген,мВт 2,5 нм а Через 2 года Iн,мА 100 в 8,1 пс Рис. 7. 2. Спектр (а), ватт-амперные характеристики (б) и АКФ первого порядка ла зерного диода №2 (в).

Лазер № 11, характеристики которого приведены на рис.7.3, быст ро деградировал и стал работать в режиме светодиода. АКФ этого диода также несимметрична. В огибающей спектра наблюдались провалы. Об щая наработка этого диода порядка 5 часов.

Диод № 27 из этой же партии, что и лазеры № 2 и № 11.За четыре года (общая наработка за это время составила порядка 5 часов) многочасто т ный режим генерации этого лазерного диода сменился одночастотным.

Это свидетельствует об образовании в объеме диода отражающих свет дефектов, в результате чего возникла селекция продольных мод лазерн о го резонатора. Такие изменения следовало ожидать, так как в исходном спектре генерации этого лазерного диода и на АКФ наблюдались прова лы, свидетельствующие о релаксационных колебаниях интенсивности, что и видно на рис. 7.4.

Еген, мВт а б 2,5 нм Через 3 года Iнак, мА в 8 пс Рис.7.3. Спектр (а), ватт-амперные характеристики (б) и АКФ (в) лазерного диода № 11.

Еген, мВт а б нм 2,6 нм Рис. 7.4. Спектр Через (а), ватт-амперные характеристики (б) и АКФ (в) лазерного диода №27.

месяцев Полупроводниковый лазер № 7 из этой же серии имел первона чально гладкую огибающую спектра с шириной по уровню половинной интенсивности 6,7 нм, что более чем в два раза превышает ширину спек, мА I нак нм тра других лазеров этой же серии. АКФ этого лазера была симметрич ной. По истечении трехлетнего срока хранения (за это время наработка в диода была всего лишь порядка 10 часов) спектр генерации этого диода 8,1 пс сузился более чем в два раза, что свидетельствует об изменениях, пр о изошедших внутри лазерного диода. Видимо, они связаны с тем, что при синхронизации мод в таком лазерном диоде с широким спектром обр а зуются импульсы длительностью порядка 200 фс, что приводит к высо ким плотностям излучения в волноводном слое лазера и к возникнове нию 0микродефектов. Генерация лазера на нескольких поперечных модах также является неблагоприятным фактором, о чем свидетельствует рис.7.5, на котором приведены характеристики диода № 59. Генерация в этом случае прои с ходит в нестационарном стохастическом режиме, за счет дополнитель ных биений, возникающих между группами продольных мод, характери зующих каждую поперечную моду.

Еген, мВт а б Через 1,3 нм месяцев Рис.7.5. Спектр (а), ватт-амперные характеристики (б) и АКФ (в) лазерного диода № 59.

Для некоторых полупроводниковых лазеров наблюдаются АКФ, содержащие кроме основных пиков еще спутники, которые имеют зна чительную амплитуду. Это свидетельствует о нестационарном характере генерации, что приводит к снижению надежности лазера. К примеру, на рис.7.6 приведены характеристики диода № 30 (общая наработка поряд ка 5 часов), которые свидетельствуют о резком ухудшении работоспо собности в течение одного года. Из этой же партии для диода № спутники в АКФ имели интенсивности, сравнимые с интенсивностью основных пиков. Через два года хранения этот диод стал работать как светодиод.

Еген, мВт а б Рис.7.6. Спектр (а), ватт-амперные характеристики (б) и АКФ (в) лазерного диода № 2,4 нм 30.

Через месяцев Динамика изменения генерационных характеристик более деталь 140 I, мА 100 нак но была прослежена для диода № 26. Его характеристики приведены на в рис.7.7. Общее время наработки в течение двух лет для него составило 8,1 пс порядка 100 часов. Спектр этого лазера был более или менее гладким.

АКФ носила также гладкий симметричный характер. Фон между пиками АКФ был практически равен нулю. После двухлетней работы пороговый ток накачки несколько возрос, как видно на рис.7.7. Оказалось, что в этом случае изменилась АКФ: возрос фон между пиками до величины 0,5% от нулевого максимума. Возле основных пиков появились спутни ки, амплитуда которых составила 1...1,5% от их максимального значе ния. Заметного искажения спектра при этом не наблюдалось.

Еген, мВт 200 а б Рис.7.7. Спектр (а), ватт-амперные характеристики (б) и АКФ (в) лазерного диода № 26.

2,5 нм Через 1 года Анализ АКФ и спектра, проведенный для тех лазерных диодов, кото рые остались работоспособными в течение длительного времени, пока зал, что полуширина спектра соответствует вышеизложенным требова 260 I, мА 200 нак ниям, но несимметрия спектра и фон между пиками АКФ не для всех 8,5 пс в диодов близки к нулю. Эти неблагоприятные факторы в своей совокуп ности выражены менее ярко, чем для диодов, которые изменили в значи тельной степени характеристики генерации, и описаны выше.

Таким образом, анализ работы сравнительно небольшого количества полупроводниковых лазеров показал, что надежность их работы, вероят 0 но, корреллирует с шириной и характером его спектра и огибающей АКФ.

Наиболее вероятно наблюдать высокую надежность и сохраняемость лазеров, которые работают на одной поперечной моде, спектр которых включает менее 10 частот по уровню половинной интенсивности, при этом огибающая спектра должна быть гладкой. АКФ такого лазера должна иметь симметричную, относительно нулевой задержки, форму с фоном между пиками близким к нулю.

7.2. Корреляционные свойства лазерного излучения в многомодовых волоконных световодах Многомодовые волоконные световоды (ВС) обладают большим апертурным углом и диаметром световедущей сердцевины по сравнению с одномодовыми световодами. Поэтому они удобнее для многих приме нений, так как их проще возбуждать и по ним можно передавать значи тельные световые мощности. При создании когерентных оптических систем на основе волоконных световодов, возникает вопрос о когерент ности света, прошедшего через многомодовый световод.

О возможности передачи высокой степени пространственной и временной когерентности через многомодовый световод свидетельствует контраст спекл-картины на его выходе [11]. В одной из первых работ [12], посвященных вопросу когерентности света в ВС, отмечается, что модуль комплексной степени когерентности убывает с увеличением дли ны ВС и при уменьшении диаметра световедущей сердцевины. В [13] проведен анализ зависимости контраста спекл-картины на выходе ВС от его длины. Показано, что величина контраста определяется дисперсией мод ВС и межмодовым взаимодействием при рассеянии мод на неодно родностях волоконного световода. В [14] экспериментально показано, что средний контраст имеет минимальное значение на оси ВС и макси мальное на периферии. В работе [15] отмечается, что величина среднего контраста сильно зависит от степени фокусировки, а также поперечного смещения и угловой расстройки вводимого в ВС пучка. Сохранение пр о странственной когерентности в приосевой (центральной) зоне многомо дового ВС объясняется наличием градиента в центре его сердцевины [16].

Распространение последовательности маломощных когерентных им пульсов в волоконном световоде сопровождается рядом специфических вре менных явлений, связанных с интерференцией импульсов, которая изучена пока недостаточно. Также отсутствует количественная теория, описывающая когерентные свойства такого излучения в многомодовых световодах.

В работе [17] проводились экспериментальные исследования времен ной когерентности излучения квазинепрерывных лазеров, представляющего собой периодическую последовательность импульсов. Из интуитивных пред ставлений следует, что максимумы функции временной когерентности (ФВК), представляющей собой огибающую автокорреляционной функции первого порядка должны испытывать такое же уширение, как и одиночный импульс при распространении в волоконных световодах [18,19].

В наших экспериментах по исследованию когерентности излучения в ВС применялись гелий-неоновый и полупроводниковые лазеры. Гелий- не оновый лазер ЛГ-79 с длиной волны излучения 0,6328 мкм, генерирует на семи продольных модах резонатора Его излучение представляет собой регу лярную периодическую последовательность импульсов длительностью 0,7 нс с периодом следования 5 нс. Полупроводниковые полосковые лазеры на ар сениде галлия типа ИЛПН-102, ИЛПН-207 и ИЛПН-108, генерируют при на качке постоянным током в зависимости от образца на 10...40 продольных модах лазерного диода в спектральном диапазоне 0,8...0,9 мкм. Для полупро водниковых лазеров характерна нерегулярная квазипериодическая времен ная картина излучения с периодом 6...8 пс и с характерной длительностью спектрально ограниченных импульсов 0,1...0,3 пс [10]. Излучение полупро водниковых и газового лазеров дает хорошо воспроизводимую периодиче скую ФВК, максимумы которой отстоят друг от друга на расстоянии, соот ветствующем двойной длине лазерного резонатора, их полуширина пример но соответствует обратной ширине спектра, а значение ФВК в промежутках между ее максимумами мало.

Для регистрации функции временной когерентности гелий-неонового лазера использовалась установка, схема которой приведена на рис. 7.8.

Рис. 7.8. Схема экспериментальной установки для регистрации функции временной коге 4 рентности лазера.

1 - лазер;

2- телескоп;

3 - зеркало;

4 - уголковый отражатель;

5 - щель;

6 - фотопри емник;

7 - светоделительный кубик;

8 - регистрирующий прибор.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.