авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 11 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ГЕОГРАФИИ им. В.Б. СОЧАВЫ RUSSIAN ACADEMY OF SCIENCES SIBERIAN BRANCH SOCHAVA INSTITUTE OF ...»

-- [ Страница 2 ] --

Глава полей, Y – “активные социальные агенты”, Y(X) – все позиции агента Y в раз ных социальных слоях X(Y), (X,Y) – позиция социального агента Y в конкрет ном социальном слое X(Y). Позиции разных слоев находятся в отношении гомологии друг с другом: Y(X) Y(X) (аналогия по вертикали, X фиксиро вано). Подобным же образом позиции разных агентов в одном социальном поле находятся в отношении X(Y) X(Y) (гомология по горизонтали, Y фик сировано).

В техническом знании (см. п. 1.1.6) Y – это технические системы (объек ты Y(X)), состоящие из конструктивно согласованных частей – агрегатов или устройств X(Y). Все многообразие частей X распределяется по техническим системам Y(X) и типизируется: X(Y) – устройства одного типа, используемые в разных машинах Y. Тип устройств X(Y) представлен изделиями разнообраз ной формы и функций, имеющими общее происхождение от первичного об разца и образующими гомологический ряд.

В географии и геологии X следует рассматривать как множество хроно логических рядов, а Y – рядов хорологических. Тогда Y(X) отражает разные местоположения в фиксированный момент времени X, а X(Y) – совокупность процессов, происходящих в данном месте Y в разные моменты времени. На пример, Y(X) – пространственный фациальный ряд в ландшафте, X(Y) – при родный режим конкретного участка фации, (X,Y) – переменное состояние фации. Гомология X(Y) X(Y) означает временную связь различных пере менных состояний фаций (динамику), аналогия Y(X) Y(X) – пространст венные связи фаций в ландшафте. Из этого различия возникают представ ления о геохорах Y(X) и геомерах X(Y) как пространственных и типологичес ких единицах геосистемного анализа [Сочава, 1978]. Поскольку отношения X(Y) X(Y) и Y(X) Y(X) симметричны, наблюдаются взаимно обратные отображения, которые можно интерпретировать как направленный в опреде ленную сторону, так и флуктуирующий по разным направлениям процесс (аналог турбулентности). Факторально-динамические ряды – это изменения и по фактору влияния Y, и по времени X. Эти изменения коррелированны, т. е. снижение видоизменяющего действия фактора Y(X) Y(X) приводит к формированию новой геосистемы X(Y) X(Y).

В иерархии геосистем ось Y обозначает уровень иерархии (ранг, размер ность);

X – варианты геосистем разного уровня;

Y(X) – аналоги геосистем ти па X на разных уровнях иерархии, например, сходство криаморфных фаций с зональными фациями северной тайги [Крауклис, 1979];

X(Y) – все геосисте мы данного уровня иерархии, например, многообразие фаций таежного типа природной среды (эпифация по В.Б. Сочаве [1978]). В периодической систе ме географической зональности [Григорьев, Будыко, 1956] координата X измеряется по радиационному индексу сухости, а Y – по величине радиаци онного баланса. Дифференциация природных зон – таблица (X,Y) – по X осу ществляется по признаку континентальности положения, а по Y – по принад Представление о гомологии, аналогии и гомотопии в современной науке лежности к широтно-климатическому поясу. Функция X(Y) соответствует конкретному поясу с полным набором природных зон от лесов до пустынь, а Y(X) включает все зоны-аналоги, например леса разных климатических поя сов (подробней см. разд. 3.2).

Рассмотренные индуктивные ряды (1.1), (1.2) отображений Pq(n) Pq(n + 1), как отмечалось, существуют в двухмерном пространстве поряд кового номера n и сравниваемой характеристики q. По n формируется серия гомологических рядов X, а по q – рядов аналогов Y. Утверждение X(Y) выде ляет гомологический ряд одного свойства q, Y(X) – все характеристики n-го элемента этих рядов. Полиморфизм, по Ю.А. Урманцеву [1968], обозначается формулой X(Y), а изоморфизм – Y(X).

В качестве иллюстраций матричной схемы можно привести примеры из других областей деятельности. В частности, в метрологии [Большая… эн циклопедия, 1978] физическая величина трактуется как свойство физических объектов, в качественном отношении общее для многих объектов, но в коли чественном отношении индивидуальное для каждого объекта (время, длина, масса и т. д.). Например, выделяется высота деревьев вообще как размерная характеристика и высота конкретного дерева, которая изменяется и может быть в любой момент измерена. Понятно, что в данном случае X соответству ет измеряемой переменной величине, а Y должно рассматриваться как сово купность объектов разного размера. Тогда X(Y) – гомологический ряд, состо ящий из измерений одного объекта Y в разные моменты его существования, Y(X) – объекты одного и того же размера X (аналоги).

В теории и практике организации деятельности используется представ ление о матричной структуре системы управления [Поспелов, Ириков, 1976], которая создается путем совмещения структур двух типов – линейно-функ циональной и программно-целевой. В соответствии с линейной структурой управления по вертикали Y (см. рис. 1.4) строится управление по отдельным сферам деятельности (в лаборатории, в конструкторском бюро, на производ стве). В соответствии с программно-целевой структурой по горизонтали X организуется управление программами (рис. 1.5). Например, реализуются проекты создания разных марок машин, для чего необходим полный набор комплектующих изделий (кузова, моторы, шасси и т. д.) и соответствующих подразделений Y их разработки, изготовления и сборки. По этой причине в программно-целевую организацию проекта X включаются группы исполни телей из различных функциональных подразделений Y фирмы, отвечающих за Y-й блок работы;

Y(X) – ряд линейной организации групп создания одно типных изделий для разных проектов X;

X(Y) – согласованное X(Y) X(Y) изготовление структурно и функционально подогнанных изделий специалис тами разных групп для создания различных марок машин X. Подобным же образом в научно-исследовательском институте при подготовке программы X развития территории в творческий коллектив привлекаются специалисты Глава Рис. 1.5. Матричная организация управления.

Пунктирная линия – группы реализации одного проекта.

из различных лабораторий Y, каждая из которых отвечает за определенный раздел X(Y) программы X. Работа по всем разделам программы должна быть согласована: X(Y) X(Y). Предлагаемое содержание этого раздела Y(X) = = X(Y) – объект (X,Y) – является следствием решения аналогичных задач для разных проектов X. В данном случае ряд аналогов выстраивается по горизон тали и состоит из групп разной специализации в проекте, а ряд гомологов – по вертикали и отражает взаимодействие групп разработчиков в пределах функционального подразделения. Этим подчеркивается относительность вы деления осей по направлениям.

Матричная организация (см. рис. 1.5) иллюстрирует также территори ально-отраслевую структуру хозяйства региона, где по вертикали Y(X) рас полагаются предприятия одной отрасли, а по горизонтали X(Y) формирует ся межотраслевой комплекс региона Y. В территориально-производственном комплексе региона реализуется технологическая последовательность (гомо логический ряд) производства товаров и услуг, а по вертикали осуществляет ся руководство отраслевым комплексом, состоящим из аналогичных пред приятий, с целью повышения его эффективности и доходности.

Разрабатывается концепция единого поля мировой культуры с точки зре ния изоморфизма разных ее областей: естественно-научной, социокультур ной, сферы искусства и т. д. [Чучин-Русов, 1996]. В основе ее лежит бинар Представление о гомологии, аналогии и гомотопии в современной науке ный характер различных культурных феноменов, понятийные модели которых интерпретируются квантовой физикой как волна–частица, биологией – как генотип–фенотип, языкознанием, литературоведением, искусствознанием и историей культуры – как синхрония–диахрония.

Приведенные примеры позволяют сделать два важных обобщения о схе мах типологии и строения систем разной природы. Пусть Y – множество классифицируемых объектов, а X – множество их типов. Тогда Y(X) – все объ екты типа X, X(Y) – множество типов, в частности характеристик, свойствен ных данному объекту Y. Выражение X(Y) обозначает систему типов (полисис тему) объекта Y, например, набор видов фаций, встречающихся на местности.

Формула Y(X) выделяет множество объектов типа X, например совокупность участков местности, относящихся к ареалу конкретного вида фации. Если Y – объекты, а X – предметы исследования, то X(Y) – конкретный объект как множество предметов исследования, Y(X) – сквозное направление (предмет) исследования в разных объектах.

В конкретной позиции (X, Y) – элементы X в объекте Y – связи рядов объ единяются: X(Y) = Y(X), что позволяет сконструировать единую функцио нальную систему связи всех элементов и систем (X, Y) (X, Y), которая ле жит в основе целостности природных и социальных образований. Каждая система является элементом системы более высокого порядка, например в ряду “ткани–органы–организм”. Этот факт можно отобразить введением в структуру (X, Y) новой координаты (X, Y, Z), чем обеспечивается иерархичес кое устройство систем разного масштаба, целостность которых порождается гомологическими рядами отношений (X, Y, Z) (X, Y, Z). Надо полагать, что нарушение принципа гомологии в организации системы соответствует нача лу разрушения системы. С логической точки зрения существование гомо морфизма (X, Y) (X, Y) означает выводимость свойств каждого элемента в системе из свойств любого другого элемента системы, что позволяет рассмат ривать матричную структуру как онтологическую модель знаний. Выбор на чального элемента индукции произволен, но, как правило, выбирается прос тейший базовый элемент.

Такая модель близка по форме к реляционной модели представления данных и знаний. Отношения задаются в виде таблицы X Y атрибутов X (го мологические ряды X(Y)) и значений Y (ряды аналогов Y(X)). Поиск необхо димых данных и знаний (X,Y) состоит в решении уравнения X(Y) = Y(X).

В структурном отношении каждая система Y состоит из множества раз нотипных элементов X(Y), например, элементарные частицы X – атомы Y, атомы X – молекулы Y, клетки – ткани, ткани – органы, органы – организмы, особи – популяции, видовые популяции – сообщества, природные компонен ты – фации, фации – ландшафты, нации – государства и т. д. Признак X озна чает и тип элемента, и их количество (кратность), так что системы с разным числом однотипных элементов различаются. В этом смысле множество X яв Глава Рис. 1.6. Матричная схема организации молекул из разнотипных химических эле ментов.

Пунктиром выделены гомологические ряды алканов (1), алкенов (2) и алкинов (3).

ляется мультимножеством [Петровский, 2002], т. е. множеством с повторяю щимися элементами, например, в химической структуре этана C2H6 углерод C встречается 2 раза, водород H – 6 раз. Ряд X(Y) X(Y) объединяет все эле менты из X одной системы Y, например атомы разного количества и качества в молекулу (рис. 1.6): C2 H6. Множество X(Y) – подмножество мультимно жества X. Ряд Y(X) Y(X) объединяет множество систем Y(X), обладающих элементами типа X по числу и составу, например, по водороду H6 наблюдает ся гомология этана C2H6 и пропила C3H6.

Фациальная структура ландшафта X(Y) – мультимножество, включаю щее только встречающиеся на территории фации (i) с указанием частоты их встречаемости (0 pi 1). Такая структура {pi} восстанавливается по ранго вым или частотным распределениям площади ландшафта по разным фациям.

Мультимножество X в данном случае состоит из последовательности единич ных отрезков 0 pi 1 для разных фаций i природной зоны (множества эпи фации). Ландшафтное мультимножество X(Y) имеет вид {pii} – фация i-го типа встречается на pi-й доли площади ландшафта. Сам ландшафт представ ляется как гомология этих участков фаций: pii pii.

Как видно, мультимножество X состоит из множеств Xi, каждое из кото рых включает весь спектр встречаемости элементов i-го типа в разных систе мах (от 0 до, от 0 до 1). Каждая система X(Y) содержит элементы i-го ка чества в строго определенном количестве, которое со временем может ме няться. Тенденции количественных изменений в структуре молекул разных гомологических рядов (алканов, алкенов, алкинов) по различным химичес ким элементам показаны на рис. 1.6. Они могут совпадать (по элементам nС Представление о гомологии, аналогии и гомотопии в современной науке углеродного скелета) или идти параллельно (по атомам водорода H). В пос леднем случае проявляется закономерность изменения числа nС от nH, кото рая может быть представлена линейным уравнением nC = nH + n0, (1.3) где n0 – кратность связи (одинарная, двойная, тройная), определяющая поло жение в изологическом ряду. По направлениям этих линий соединения упо рядочиваются в гомологические ряды. Уравнение (1.3) отражает количест венную связь множеств Xi однотипных элементов: Xi Xi, что определяет гомологию в мультимножестве X.

Имеет место относительность ориентации канонической матричной схе мы (см. рис. 1.4). Ее можно повернуть на некоторый угол, сместить и масш табировать (рис. 1.7), рассматривая в новой системе координат (X, Y) (X, Y ).

Обычно наблюдаемые данные представляются именно в такой, часто криво линейной, системе координат, т. е. сильно искажены относительно каноничес кой матричной схемы (см. рис. 1.4). В этой схеме линии рядов независимы:

X = const, Y = const (константы принимают разные значения). В новой систе ме координат существует как минимум линейная зависимость переменных Y = aX + b, (1.4) где a, b – константы ориентации линии и ее положения в пространстве. Такие линии можно интерпретировать как закон типа a, реализующийся в конкрет ной ситуации b (Y = b – точка пересечения оси Y) [Черкашин, 2008]. В мат ричной схеме (см. рис. 1.7) взаимодействуют два разнонаправленных зако на Y = a1 X + b1, Y = a2 X + b2, которые пересекаются в точках X = = (b2 b1 ) /(a1 + a2 ), Y = a1 X + b1. Видно, что ситуационный коэффициент b выполняет в новой схеме ту же роль, что и значения Y = const (при a = 0).

При обработке данных требуется про вести обратное преобразование коор динат (X, Y) (X, Y), чтобы привести к прямоугольному виду (см. рис. 1.4).

Но на практике зависимости (1.4) представляют собой слабоструктури рованное облако точек (рис. 1.8), и только последовательный анализ поз воляет выделить в этом облаке какие Рис. 1.7. Преобразование системы коорди нат для матричной схемы.

Глава Рис. 1.8. Изменение содержания химических элементов в воде р. Усмань (Воронеж ский биосферный заповедник) в зависимости от биомассы фито- и зоопланктона (1), перифитона (2) и бентоса (3) [Никаноров и др., 1988]. Введена новая система коорди нат (X, Y).

либо структурные закономерности [Черкашин, 1985]. На рис. 1.8 отмечены прямые и обратные функциональные связи содержания в воде химических элементов и биомассы организмов и пустые ячейки, где эти связи не реализу ются. Показано [Никаноров и др., 1988], что между концентрацией раство ренной меди и биомассой фитопланктона существует обратная линейная за висимость. В поле точек (см. рис. 1.8) имеются тенденции, линейная струк тура и ячейки. Значение b изменяется примерно на 0,15 мкг/л, градиент по биомассе составляет около 300 мг/м3.

Преобразование схемы (см. рис. 1.8) к каноническому виду (см. рис. 1.4) позволяет рассматривать условную биомассу сообществ X относительно ус ловной концентрации загрязнителей Y так, что (X ) соответствует вариантам запаса биомассы разных групп гидробионтов при фиксированной преобразо ванной концентрации Y. Отношение Y(X ) отражает изменение концентрации при фиксированной биомассе гидробионтов. Ряд Y(X ) гомологичен, посколь ку отражает непрерывное изменение концентрации поллютантов, а в ряду Y(X) проявляются аналогия и функциональные связи биомасс разных групп гидробионтов при определенном факторном воздействии.

Представление о гомологии, аналогии и гомотопии в современной науке 1.2.3. Уравнение гомологического пространства Приведенные матричные схемы имеют интересную аналогию в музы кальной культуре. Они напоминают строение струнных инструментов, на пример, гитары, состоящей из корпуса с грифом, вдоль которого натянуты струны, закрепленные на концах. Источником звука являются колебания струн. Высота извлекаемого звука определяется силой натяжения и толщи ной струны, а также длиной ее свободно колеблющейся части. Гриф поперек порогами дискретно делится на лады – отрезки с длиной, вызывающей повы шение звука струны на один полутон. В этой системе X соответствует по дли не участкам всех струн, X(Y) – длине отдельной струны Y, Y(X) – участкам струн одного лада X, и X(Y) – гомологический ряд гармонических колебаний струны, Y(X) – ряд аналогов звучания, простейший аккорд. Аккорд (от лат.

accordo – согласовываю) – сочетание трех и более разноименных музыкаль ных звуков Y(X) (X и Y – переменные), воспроизводимых почти одновремен но и отстоящих друг от друга на терцию. Музыкальная дисциплина, изучаю щая аккорды и другие созвучия, называется гармонией.

Колебание струны, а следовательно, звучание инструмента, описывается уравнениями математической физики [Корн Г., Корн Т., 1973]:

2 2 = c 2 2 ;

б) = 0, а) (1.5) t 2 x где (x, t) – величина вертикального смещения участков струны относитель но равновесного вертикального положения в точке x в момент времени t;

c – постоянная скорость распространения волн колебания струны;

= x + ct, = x ct. Общее решение (1.5) ( x, t ) = 1 () + 2 () = 1 ( x ct ) + 2 ( x + ct ) представляет пару бегущих волн, вызванных первичным возмущением и рас пространяющихся вправо 1 ( x ct ) и влево 2 ( x + ct ) вдоль оси x со ско ростью c. В начальный момент t = 0 воздействия ( x, 0) = 1 ( x) + 2 ( x), т. е. волновой процесс разделяет исходную деформацию струны на две не зависимые разнонаправленные составляющие. В то же время имеет место ( x, t ) = () (), что, согласно (1.5б), означает / = 0, / = 0, и функция ( x, t ) постоянна вдоль характеристик = x + ct = const, = x ct = const уравнения (1.5), а именно ( x, t ) = C (), = const, ( x, t ) = C (), = const, C, C – константы. Каждая характеристичес кая линия = const, = const индивидуализируется значениями функций C (), C () соответственно. Данные характеристики образуют пере секающиеся линейчатые поверхности (рис. 1.9) вида наклонной сетки на рис. 1.7 в пространстве (x, t) и прямоугольной сетки (рис. 1.10) вида рис. 1. в пространстве (, ). Линейчатые структуры характеристик можно интер претировать как матричную сеть (X, Y) – набор двух типов линий (законов), Глава Рис. 1.10. Схема организации гомологи Рис. 1.9. Характеристики для одномер ческого пространства с выделением узлов ного волнового уравнения.

сетки и базовой точки (, ), относитель но которой исследуются обменные про цессы (стрелки).

на траекториях которых выполняется принцип сохранения для значений функ ции ( x, t ), удовлетворяющей уравнению (1.5).

Уравнение (1.5б) имеет смысл рассматривать в качестве условия органи зации гомологических рядов, совокупность которых можно назвать гомоло гическим пространством. Это уравнение описывает некоторый циклический обменный процесс (рис. 1.11), проявляющийся вокруг каждой точки про странства (, ). Этот цикл явно не связан с соседними циклами, осущест вляется независимо, автономно. Уравнение (1.5а) одновременно описывает вращение в противоположных направлениях, одинаково для направлений Рис. 1.11. Схема организации гомологического пространства с чередованием положи тельных и отрицательных ячеек и зон сжатия–растяжения обменных процессов (стрелки).

Представление о гомологии, аналогии и гомотопии в современной науке и. Направление вращения, показанное на рис. 1.10, назовем положитель ным, а обратное ему – отрицательным. Локальная область с соответствующей ориентацией кручения будет положительной и отрицательной ячейкой (эле ментом) гомологического пространства. Явления кручения с положительной и отрицательной направленностью широко распространены в науке и техни ке: положительно и отрицательно заряженные частицы (позитроны и элект роны, катионы и анионы), оптические лево- и правовращающиеся изомеры химических соединений, растворы которых по-разному поляризуют свет, циклоны и антициклоны, атмосферные и океанические фронты, системы ме ханических передач вращательного движения и т. д.

По аналогии с наблюдаемыми явлениями и процессами структура гомо логического пространства может быть представлена последовательностью положительных и отрицательных ячеек вращения (в шахматном порядке) с чередованием направлений сжатия и растяжения в промежуточных областях (см. рис. 1.11). Каждая элементарная ячейка равномерно вращается вокруг своего центра в одном из направлений, причем соседние элементы не проти водействуют друг другу своим движением, формируя дробно-непрерывное поле точек. Альтернативные образы этого поля () можно получить, осно вываясь на двойственном представлении функции (, ) в виде суммы (, ) = 1 () + 2 () и произведения (, ) = () () и условии ин вариантности (, ) = C. Отсюда соответственно получаем () () () d d () 2 () = 1 = а) ;

б). (1.6) () d d Существует множество вариантов решения этих уравнений при соот ветствующей форме задания неизвестных функций одной переменной. Обра тим внимание на следующие формы: 1 () = 2, 2 () = 2, () = 1 /, () =, приводящие при (, ) = C к уравнениям окружностей разного радиуса R и пучка линий (рис. 1.12):

а) 2 + 2 = R 2 = C;

б) = C. (1.7) В дифференциальной форме (1.6) уравнения (1.7) взаимодополнительны d 1 d 2 d d =, =, так что 1 = 1.

d d d d Окружности калибруются при изме Рис. 1.12. Схема представления структуры локальной области гомологического про странства.

Глава нении радиуса R, а линии – путем поворота относительно центра координат (, ), т. е. значения инварианта структуры гомологического пространства C.

От величины C зависят размеры локальной области и характер зависимости ();

при C = 0 окрестность (, ) вырождается в точку и связь переменных исчезает ( = 0). Точка пересечения линии и окружности также непрерывно зависит от величины C. Такая зависимость гомотопическая, поскольку отра жает непрерывное изменение форм при изменении параметра C.

При сравнении модели гомологического пространства с периодической системой химических элементов необходимо понять, как свойства одной сис темы проявляются в другой. Чередования положительных и отрицательных позиций гомологических рядов просматриваются в последовательности за полнения электронами атомных орбит, которое происходит парами электро нов с разной ориентацией спина (+1/2, –1/2): водород–гелий, литий–бериллий и т. д. Водород имеет 1 неспаренный электрон, гелий – 2 спаренных, литий – 2 спаренных и 1 неспаренный, бериллий – 2 группы спаренных электронов.

Различие спина обеспечивает существование в 2 раза большего числа вари антов химических элементов. Выделение периодов и групп периодической системы связано с главным, орбитальным и магнитным квантовыми числами, определяющими уровень, форму и ориентацию атомных орбиталей соответ ственно. Увеличение значения главного квантового числа приводит к росту количества атомов в каждом периоде.

В периодической таблице химических элементов заполнение позиций происходит по периодам с увеличением атомного номера до инертных газов с последующим возвращением в начальную позицию следующего периода.

В гомологических рядах органических соединений длина ряда может быть достаточно большой, и переход в другой гомологический ряд по изологичес кому или генетическому направлениям прерывает счет позиций одного ряда и начинает отсчет соединений следующего ряда, т. е. здесь нет такого уни версального кода, как в периодической системе атомов, но, возможно, такой код существует, и все матричные схемы гомологических рядов, подобно ато мам вещества, можно вытянуть в одну линию. Реализация такой возможнос ти на эмпирическом и теоретическом уровнях составляет основное содержа ние настоящей монографии.

*** Гомология и аналогия имеют философский, системный и общенаучный статус, отражая разнообразие и подобие разных сторон действительности:

различие сходного (полиморфизм) и сходство различного (изоморфизм). Это два типа независимых векторов строения, развития и познания, множествен ное пересечение которых порождает матричную структуру представления знаний. Независимые локальные области точек пересечения (узлы сетки) ха рактеризуют конкретные объекты и ситуации. В итоге любое явление и зна Представление о гомологии, аналогии и гомотопии в современной науке ние о нем есть синтез (пересечение) рядов (полей) гомологии и аналогии. Все элементы реальности и отображающей ее научной системы представляют со бой многомерные наложения таких полей.

Хотя существует различие в понимании рядов гомологии и аналогии, обусловленное отличием формального (генетического) от диалектического (фенотипического) подобия, имеет смысл эти виды сходства считать гомоло гией, представленной двумя разновидностями – гомогенией и аналогией. По этой причине в общенаучном контексте гомологию следует рассматривать как общий закон формирования, существования и сохранения подобия раз личных процессов и явлений. Аналогию в широкой философской интерпре тации требуется, как принято, рассматривать в качестве принципа познания этого закона и его использования при решении фундаментальных и приклад ных проблем. Это значит, что аналогия выявляется там, где объективно су ществует гомология, а выяснение аналогии приводит к формированию гомо логических рядов структурных и функциональных связей. Наличие таких нумерованных индуктивных гомологических рядов подобия становится ос новой для развития представлений о гомотопии процессов и явлений, сущ ность которой выражается принципом: все существующее в мире линейно упорядоченно и суть одно и то же с точностью до некоторых гомоморфных преобразований. Гомология всегда проявляется там, где существует гомото пия. Фиксируется ряд общенаучных обобщений: гомотопия гомология аналогия.

С этих позиций становятся понятными разные проявления гомологии и гомотопии. Принцип актуализма подчеркивает инвариантность действия при родных и социальных законов относительно разнообразных условий, т. е.

все законы локально проявляются в разных средах, формируя гомологичес кие ряды калибровочных преобразований базовых законов. Калибровочные поля неоднородности земного пространства по географическим условиям возникают как гомотопические последовательности по степени отклонения локальных закономерностей от базовых законов. В частности, в типологичес ких полях ареалами или группами выделяются объекты-носители сходных свойств, относящиеся к одной таксономической единице (типу). Такая инва риантность определяет принципиальную возможность типологии и класси фикации, а также предполагает гомологическую связь таксонов в смысле их упорядоченности в ряды (эписистему) относительно некоторого таксономи ческого инварианта.

Периодическая система химических элементов представляет собой при мер матричной структуры гомологических рядов и гомотопии элементов, ко торые линейно упорядочены по атомному номеру и свертываются в таблицу по группам аналогии и периодам гомологии изменения свойств. Гомология органических соединений также отражает гомотопию – нумерованную по следовательность и индуктивную связность веществ общего типа строения и Глава реакционной способности. Серии гомологических рядов формируют матрич ную структуру из рядов-аналогов еще по двум независимым направлениям – изологическим и генетическим рядам.

Гомология и аналогия в биологических науках представлены рядами из менчивости живых систем. Возникновение биополимеров, клеток, тканей, органов растений, животных и т. д., всех фенотипических признаков организ мов кодируется генами – материальными носителями наследственной инфор мации, представленными кодирующими и регуляторными участками ДНК, которые несут информацию о строении однотипных молекул белка или РНК, определяющих рост, развитие и функции организма. Такая система индиви дуального развития является гомотопической, поскольку точно воспроизво дится на матричной структуре генов, сосредоточенных в хромосомах.

Матричные структуры в обществе воспроизводятся как системы после довательного и параллельного существования и развития. Матрица “про странство–время” позволяет в одном контексте рассматривать синхронные и диахронные явления и процессы, формирующиеся в обществе. Прослежива ется подобие временных стадий исторического развития культур разных вре менных периодов и географического положения. В наивысшей степени нало жение пространственных и временных рядов наблюдается в земной сфере на различных уровнях иерархии геосистем.

Существует дифференциальное уравнение, описывающее матричную структуру гомологического пространства, варианты представления и взаимо действия его автономных ячеек. Это одна из возможных моделей формирова ния гомолого-гомотопических рядов-аналогов, которая должна развиваться как инструмент объяснения выявляющихся природных и социальных законо мерностей.

Глава ГОМОЛОГИЯ И ГОМОТОПИЯ В МАТЕМАТИКЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ Множества и отображения. Линейно упорядоченные множества. Тополо гическое пространство. Гомология и гомотопия на многообразиях. Мор физмы, категории и функторы. Расслоенные пространства. Топосы. По добие и размерность. Уравнения подобия. Фракталы. Математическое моделирование. Идентификация моделей. Комплексные индексы. Ситуа ционный и системный анализ Математика позволяет дать четкие формулировки выявленным законо мерностям, определить и разъяснить связи понятий, получить новые знания о процессах. Обсуждая вопрос о соотношении гомологии, аналогии и гомо топии, необходимо посмотреть на проблему с учетом имеющихся математи ческих знаний, а также с методических позиций становления математическо го моделирования как одной из самостоятельных процедур познания, отра жающей связи объектов действительности с их научной интерпретацией на различных уровнях обобщения и формализации. Использование методов мо делирования привело к решению задач идентификации математических мо делей по данным, отражающим конкретные географические ситуации. Выяв ление закономерностей изменения параметров моделей, особенно коэффици ентов взаимодействия компонентов систем, от места к месту, от стадии к стадии, становится одной из главных задач современной географии, без ре шения которой невозможно говорить о ее теоретическом и прикладном со вершенстве.

2.1. Основные понятия современной математики Развитие представлений о гомологии и гомотопии в математике про исходило независимо от формирования содержательно-научного толкования этих понятий. Скорее, конкретные науки привлекали некоторые представле ния математиков в этой области для систематизации своих выводов и при дания им большей строгости. Вместе с тем имеются отдельные разделы ма тематики, малодоступные для конкретно-научного применения, вследствие Глава чего во многих случаях исследователи ограничиваются простыми уравнения ми. Из существующего многообразия математических трактовок гомологии и гомотопии необходимо выбрать те направления, которые могут быть наибо лее полезны для решения географических задач.

2.1.1. Теория множеств Эта теория изучает общие свойства множеств и лежит в основе боль шинства математических дисциплин [Куратовский, Мостовский, 1970;

Алек сандров, 1977]. “Множество” является базовым понятием этой теории и в наивной теории множеств рассматривается как любой четко определенный набор X = {x} объектов (элементов множества): X = {x|P(x)} – множество элементов x, обладающих свойствами P(x), например, множество выделов фаций, представляющих на местности фацию данного типа;

множество вы делов фаций, отражающих фациальный состав низкогорного ландшафта юж ной тайги.

На множествах определен ряд отношений и операций, полезных при формализации знаний: x X, где x – элемент множества X;

A X, где A – под множество множества X;

X = A B, где X – объединение множеств A и B;

X = A B, где X – пересечение (общая часть) множеств A и B;

A – B – раз ность двух множеств A и B (отличие A от B) и др. Пересечение непересекаю щихся множеств A B = – пустое множество, которое не имеет ни одного элемента и содержится во всяком множестве. В.Л. Андреевым [1980] пред ложен алгоритм классификации, основанный на теоретико-множественных операциях объединения и пересечения и так называемых номинальных шка лах, позволяющих количественно оценивать меру включения одного множест ва в другое и меру сходства множеств. Подобные подходы часто используют ся при теоретико-множественном информационном анализе в географических исследованиях.

Функцией f, заданной (определенной) на множестве X, называется соот ветствие, которое любому элементу x X сопоставляет элемент y = f (x) Y.

Множество X называется областью определения функции, а множество Y эле ментов f (x) – областью значений функции.

Соответствие F двух множеств X и Y (F : X Y), при котором элементу x X сопоставляются элементы y Y, называется отображением F множест ва X в множество Y. В том случае, если каждый элемент x X соответствует, по крайней мере, одному элементу y Y, соответствие называется отображе нием X на Y. Элемент y – образ элемента x, а x – прообраз элемента y: y = F(x), x = F–1(y). Множество A X всех прообразов x = F–1(y), имеющих один и тот же образ y, называется полным прообразом элемента y.

Взаимно однозначным соответствием (отображением) F : X Y называ ется соответствие (отображение), когда: 1) каждому элементу x X соответ ствует один и только один элемент y Y;

2) двум различным элементам мно Гомология и гомотопия в математике и математическом моделировании жества X всегда соответствуют два различных элемента множества Y ;

3) всякий элемент y Y соответствует одному элементу x X. Отображение F–1 : Y X называется обратным отображению F : X Y. Два множества со взаимно обратным соответствием называются эквивалентными (X Y).

Отображения – важный способ математического сравнения множеств и реальных структур при определении их гомологического подобия. Биологи ческая таксономия при установлении строгих критериев классификации на основе подобия живых организмов широко использует математику для опи сания и анализа биологических и функциональных биосистем. На такие зако номерности формообразования и трансформации взаимного расположения гомологичных точек родственных организмов и их органов впервые обратил д’Арси Томпсон [Thompson, 1942]. Его модель требует непрерывности пре образования всех параметров и вытекает из закона аллометрии и принципа оптимальности [Розен, 1969]. В качестве исходной гипотезы принимается [Пузаченко, Лапшов, 1994], что всегда можно найти непрерывную функцию F, отображающую форму любого отдельно взятого индивидуального объекта X в любой другой индивидуальный объект Y : F : X Y. В результате подоб ных сравнений в разных областях знаний объекты увязываются в систему.

Это имеет прямое отношение к исследованию гомологии живых орга низмов и других систем. Отображения в таких случаях часто трактуются как перенос информации от одного множества элементов к другому или преобра зование информации (данных, знаний) в рамках одного множества. Напри мер, гомологией считается сходство сложных структур, которое основано на биологической информации [Haszprunar, 1992], выражающей связи в унифи цированном процессе развития [Osche, 1982] или базирующейся на генети ческой природе этого явления [Van Valen, 1982].

Множества бывают дискретными (состоят из изолированных элемен тов) и непрерывными, представленными связанными элементами, например множество натуральных чисел и множество действительных чисел. К непре рывным множествам относится любой отрезок оси действительных чисел:

(a, b) – открытый интервал от a до b без точек a и b и [a, b] – закрытый (зам кнутый) интервал, включающий значения a и b. Моделью любого интервала значений x [a, b] является единичный интервал значений t I = [0, 1], по скольку имеется взаимно однозначное соответствие точек интервалов t = ( x a ) /(b a ), (2.1) которое широко используется в географии для нормирования разноразмер ных показателей [Крауклис, Евдокимова, 1975]. Отрезок I – множество кон тинуума. Это своеобразный эталон линейно упорядоченного множества, по этому любое ограниченное сверху и снизу линейно упорядоченное дискретное и непрерывное множество сравнимо с I. Представление о континууме имеет прямое отношение к гомологическим рядам как рядам изменчивости в био Глава логии и других науках, например, в сравнительно-историческом языкознании диалектный континуум – это совокупность диалектов, образующих на терри тории непрерывную пространственную последовательность с минимальны ми отличиями между диалектами [Большой… словарь. Языкознание, 1998].

Декартовым произведением двух множеств A и B называется множество A B всех пар a, b, a A, b B, например, декартовое произведение X Y числовых осей X и Y задает координатную плоскость – непрерывное мно жество точек x, y, x X, y Y. Функция f : X Y, или y = f (x), на плос кости X Y соответствует линии графика функции, состоящей из точек x, f(x) X Y. Примером декартового произведения является матричная структура гомологического пространства X Y (см. п. 1.2.2). Параллелизм развития соответствует отображению X(Y) X(Y) для разных Y (отношение аналогии). Функция f : X Y отражает тенденцию (корреляцию) изменения Y при изменении X (см. рис. 1.4).

Множества бывают конечными и бесконечными, например, единичный интервал I и множество натуральных чисел бесконечно, т. е. их нельзя до конца пересчитать. Различаются счетные и несчетные множества. Любое дискретное множество счетно, например, множество натуральных чисел, по этому, сопоставляя элементам любого множества числа натурального ряда, выполняется подсчет количества элементов. Это количество называется мощ ностью счетного множества. Множество I несчетно и имеет мощность кон тинуума, т. е. обладает бесконечно большим числом связанных элементов.

В любом бесконечном множестве всегда найдется счетное подмножество, по этому из бесконечных множеств дискретное множество наименьшее по мощ ности. Множество четных чисел и множество всех целых чисел имеют оди наковую мощность (сравнимы, равномощны). Единичный интервал I равно мощен любому его замкнутому отрезку [a, b] I. Декартовое произведение A A бесконечного множества A на себя имеет ту же мощность, что и A. На пример, A – множество натуральных или действительных чисел, соотноше ние элементов числовой оси A и координатной плоскости A A. Мощности I и I I (единичный квадрат) также совпадают и равны мощности конти нуума.

Множество всех подмножеств множества A (показательного множества) является множеством комбинаций (без повторений) всех элементов A (вклю чая ) и обозначается 2A. При мощности множества A, равной n элементов, мощность 2A равна 2n. Мощность множества всегда меньше мощности его по казательного множества. Множество всех подмножеств бесконечного счетно го множества континуально и, в частности, не является счетным.

В настоящее время множество определяется как модель, удовлетворяю щая аксиомам ZFC (Цермело–Френкеля с аксиомой выбора). Аксиоматика теории множеств в основном содержит интуитивно ясные утверждения, на пример, аксиома объемности утверждает, что два множества A и B равны тог Гомология и гомотопия в математике и математическом моделировании да и только тогда, когда они имеют одни и те же элементы. Но особое место занимает аксиома выбора, на основе которой доказана теорема Цермело, име ющая принципиальное значение для исследований множеств.

Аксиома выбора утверждает, что для любого семейства A = {Ai} попарно непересекающихся непустых множеств Ai A (Ai Aj = ) существует мно жество С, такое, что, каково бы ни было множество Ai данного семейства, множество Ai C всегда состоит из одного элемента. Иными словами, для каждого семейства A = {Ai} непустых непересекающихся множеств сущест вует множество C, имеющее один и только один общий элемент с каждым из множеств Ai A. Это означает, что для каждого A существует функция выбо ра f, определенная на Ai A, такая, что f (Ai) = ai Ai и ai С.

Например, пусть A – натуральный ряд чисел, а Ai – все числа aij, по следовательная сумма цифр которых равна ai, т. е. сравнима по модулю 9 с ai: aij = ai mod 9 = ai + 9j. Для числа 246 эта свертка f (246) = f (2 + 4 + 6) = = f (12) = f (1 + 2) = 3, т. е. 246 = 3mod 9 = 3 + 927. Ясно, что ai = ai0 Ai так же является элементом Ai. В десятичной системе счисления существует элементарных чисел ai Ai, соответствующих цифрам от 1 до 9. Следова тельно, все множество натуральных чисел A = {Ai} разбивается на 9 непере секающихся подмножеств Ai. Критерием отнесения числа a A к одному из этих множеств является функция f (a) свертки чисел. Множество С = {ai} со стоит из элементарных чисел – представителей множеств Ai.

Аксиома выбора предполагает, что для любого семейства множеств воз можна реализация такой процедуры, т. е. в любом множестве можно найти элемент-представителя в множество выбора С = {ai}. Это положение имеет принципиальное значение для понимания некоторых аспектов методологии географических исследований [Черкашин, 1997]. Функция выбора f (a) выде ляет на каждом множестве Ai своеобразное ядро ai Ai, например, ядро клет ки содержит генетическую информацию для жизни клетки и развития всего организма. Ядро научной теории (система основных понятий и законов-акси ом) порождает все знания теории. Понятие ядра широко используется в при родном и экономическом районировании, в частности, таким ядром может быть административный центр района – центр управления территорией.

В учении о геосистемах [Сочава, 1978] выделяется коренное ядро эпифации, соответствующее фациям зональной нормы. Функция f (a) устанавливает пространственно-временную и функциональную связь каждой фации ланд шафта с коренной фацией и является моделью эпифации. Множество С = {ai} в данном случае объединяет коренные геосистемы разных типов природной среды, т. е. позволяет выйти на более высокий уровень обобщения знаний.

Интересные реализации этого общего подхода представлены в работе А.Ю. Ретеюма [1988]. Он рассматривает широкий класс формальных и ес тественных систем, которые назвал нуклеарными. В современной науке ну клеарные модели могут использоваться для формирования эписистемных Глава онтологий представления географических и других знаний [Географические исследования…, 2007;

Черкашин, 2007б].

Онтологии в информатике являются средством описания знаний – струк туры для систематизации, организации, управления и применения научных знаний при решении задач [Козодоев и др., 2005;

Овдей, Проскудина, 2005;

Sowa, 2000]. Онтологии призваны системно упорядочить знания и реализо вать структуру этого порядка в вычислительных алгоритмах. Системные он тологии возникают как результат расслоения знаний на разных системных основах. Появление в российской науке термина системная онтология связа но с работами Г.П. Щедровицкого [1995, 1997], в которых, в частности, пред лагается методология формирования предметных полисистемных онтологий мира путем топического разложения (систематизации) материала с последую щим конфигурированием рассматриваемых проекций в целостную систему.

Теорема Цермело, базирующаяся на аксиоме выбора, утверждает, что для каждого семейства множеств всегда существует отношение, вполне упо рядочивающее его в онтологию. На примере множеств натуральных чисел хорошо видно, что элементарные числа-представители множеств линейно упорядочивают эти множества в ряд от 1 до 9. С этой точки зрения эписис темные ядра онтологий также могут быть основой для упорядочения знаний в линейной последовательности, в частности, типов природной среды по яд рам эпифаций. Как выглядит этот порядок в данном случае – не ясно, но его потенциальное существование следует из теоремы Цермело.

Аксиома выбора и теорема Цермело справедливы не только для непере секающихся множеств, но и любых других множеств, в частности для мно жества подмножеств множества A, т. е. 2A без [Куратовский, Мостовский, 1970]. Отсюда всякое множество имеет функцию выбора и может быть впол не внутренне упорядочено.

Аксиоматические и доказанные положения теории множеств имеют большое значение для аксиоматизации теории комплексов [Черкашин, 1997], а именно, географических комплексов [Черкашин, Истомина, 2005]. Если представить все многообразие объектов и явлений Мира как некоторое уни версальное множество всех их возможных комбинаций, т. е. построить мно жество всех подмножеств Мира, то, согласно формулировкам теорем теории множеств, все они могут быть линейно упорядочены и каждому найдется место на единичном интервале множества континуума (см. разд. 3.2).

2.1.2. Топологические пространства Топология – это раздел математики, изучающий свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных (гомеоморфных) дефор мациях. В отличие от геометрии в топологии не рассматриваются метричес кие свойства объектов, а исследуются структурные свойства пространства, такие как связность и ориентируемость. Топологией также называется кон Гомология и гомотопия в математике и математическом моделировании кретный пространственный объект, изучаемый общей топологией, – совокуп ность открытых множеств, или топологическое пространство.

Топологические пространства естественным образом возникают почти во всех разделах математики и в приложениях. На множестве X, содержащем подмножества Xi, задана топология T(X) = {Xi}, если выполняются три усло вия: 1) объединение произвольного числа множеств Xi T(X) принадлежит T(X), т. е. Xi T(X);

2) пересечение конечного семейства множеств Xi T(X) принадлежит T(X), т. е. Xi T(X);

3) все множество X и пустое множест во принадлежат T(X). Множества Xi T(X) – это открытые множества (без границ), когда любая точка с ее окрестностью принадлежит Xi. Пара (X, T) называется топологическим пространством.

Особенности топологического пространства лучше понять, используя представление о базе этого пространства. База топологии X (базис топологии, открытая база, база топологического пространства) – семейство B = {Xj} от крытых подмножеств Xj X такое, что каждое открытое множество Xi X и Xi T(X) является объединением элементов Xj B. Пространство может иметь много баз, наименьшая из которых состоит из непересекающихся мно жеств, полностью покрывающих пространство Xi X. Тогда открытыми мно жествами пространства X принимаются все подмножества Xi X, представи мые объединением произвольного семейства множеств – элементов базы B = {Xj}.

Пусть X – географическое пространство, например, ландшафт, представ ляющий собой объединение выделов фаций (биогеоценозов) с границами (контурами выделов). Выдел фации без границы – открытое множество, в со вокупности с границей – замкнутое множество. Границы делят пространство территории на множество открытых подпространств, составляющих базис топологии этого пространства в том смысле, что любое естественное объеди нение выделов дает новый выдел сложного состава – открытое множество (подпространства) пространства ландшафта. Сам ландшафт – это тоже объеди нение различных выделов. Элементы базы топологического пространства (вы делы) не пересекаются, покрывают весь ландшафт. Их произвольные объеди нения соответствуют выделам, которые могут включать одинаковые элемен тарные выделы из базы. Открытость выделов означает их функциональную неограниченность, т. е. связность. Этим обеспечивается единство представле ний о континуальности и дискретности географического пространства.

Важными для топологии являются особые деформации F, переводящие одну пространственную форму X в другую Y и называемые гомеоморфизма ми. Это функции, отображения, преобразования F : X Y, происходящие без разрывов и склеиваний. Более абстрактным и обобщенным аналогом дефор мации является гомотопия.

В топологии большое внимание уделяется изучению структуры связнос ти и движению в топологическом пространстве. Непрерывное отображение Глава (t): [0, 1] X (t [0,1]) единичного интервала [0,1] на пространство X на зывается путем, причем точка x0 = (0) – это начало пути, а точка x1 = (1) – конец пути. В качестве X можно рассматривать пространство непрерывной функции (t), изменяющейся на протяжении пути. Путь на местности может быть представлен дорогой или линией трансекта, вдоль которого перемеща ются или проводят стационарные исследования. Путь в смысле функции в географической интерпретации – это физико-географические характеристики ландшафта, изменяющиеся вдоль трансекта, данные стационарных исследо ваний. Путь в обоих смыслах выражает упорядоченную связь соседних участ ков территории.

Путь – не обязательно прямая линия. Исследования могут проводится на маршруте, например, когда косвенными методами исследуется динамика фа ций: выбираются биогеоценозы разных восстановительно-возрастных ста дий, которые упорядочиваются по их положению в сукцессионном ряду. Так путь в пространстве превращается в путь во времени, на котором обязатель но есть начальная стадия восстановления и конечное коренное состояние.

Аналогично пространственные закономерности переводятся в закономернос ти формирования факторально-динамических рядов [Крауклис, 1979], когда “путь” измеряется степенью факторной деформации геосистем.

В географии топологический подход связан с дробным, т. е. локальным изучением природной среды [Сочава, 1978]. Его становление обусловлено раз витием количественных методов исследования, математического и компью терного моделирования, системного анализа, необходимостью междисципли нарного подхода, ландшафтного картографирования. Причем термин топо логия в географическом понимании сформировался самостоятельно и давно в связи с изучением и картированием мелких форм рельефа, а не заимствован у математиков. Связь географического и математического толкования тополо гии предстоит еще установить, а пока математические знания используются в основном для иллюстрации географических идей и формирования достаточно общего представления о свойствах географического пространства.


Топогеосистема исследуется полевыми (маршрутными, стационарными и экспериментальными) методами как целое, покомпонентно – методами ком плексной ординации, которые позволяют систематизировать и количественно оценивать связи между отдельными ее составляющими [Там же]. Силами разных специалистов на полигон-трансектах сопряжено и синхронно прово дятся исследования выделов фаций с учетом их пространственного распреде ления и таксономической (фациальной) принадлежности.

Для топологических исследований одна из главных задач – это изучение связности ландшафтного пространства, его структуры и динамики. Статисти ческий анализ и моделирование дают возможность “…установить и количест венно выразить эмпирические зависимости между изучаемыми явлениями и влияющими на них факторами” [Сочава, 1978, с. 144–145]. Пространствен Гомология и гомотопия в математике и математическом моделировании но-временные наблюдения на трансектах показали, что метод комплексной ординации позволяет изучить многие явления перехода в пространстве и вре мени одного биогеоценоза в другой, выявить природные рубежи и наличие континуума, а также механизмы формирования дискретности и непрерыв ности геопространства. Особый раздел геотопологических исследований – анализ конфигурации границ биогеоценозов. “Конфигурация – признак гео системы прежде всего хорологического, но одновременно и функционального порядка…” [Сочава, 1978, с. 148].

Одной из распространенных разновидностей топологических структур являются графы как формализация путевых сетей в пространстве и во време ни, например, графы соседства [Викторов А., 1986], которые могут быть ис пользованы для восстановления структуры классификации [Солодянкина, Черкашин, 2004] и моделирования пространственного взаимодействия [Фро лов, Черкашин, 2007а,б]. Ориентированные графы смены состояний рас тительного покрова [Ландшафтно-интерпретационное картографирование, 2006] и ландшафтов [Виноградов и др., 1998] широко применяются при мо делировании динамики географических систем. В целом выражение концеп туальных представлений о процессах и явлениях в виде графов – это важный этап создания математических моделей. Здесь графы как топологические структуры выступают в качестве моделей представления знаний, и по-осо бому звучит главный тезис: топологическое – это то, что не меняется при не прерывных деформациях.

2.1.3. Гомология и гомотопия. Многообразия Понятие гомология широко используется во многих разделах алгебры и топологии [Фоменко, 1998;

Rowland et al., 2008]. Исторически в топологичес ком смысле первым его применял А. Пуанкаре, понимая под этим от ношение между пространствами, отображаемыми в некоторое дру гое пространство. Пример – отоб ражения (i, j ) разных фрагментов карт (Ui, Uj ), локально точно моде лирующих на плоскости Un (мно гообразии) поверхность Земли Dn (рис. 2.1). Картографическое мно гообразие склеивается из множест ва пересекающихся (Ui Uj ) ло Рис. 2.1. Гомология локальных карт.

Пояснение см. в тексте.

Глава кальных карт, и гомологическое сходство (ij = j i1 ) этих карт определяется эквивалентностью отображения зон пересечения карт на поверхности плане ты: i(Ui Uj) = j(Ui Uj). Это обеспечивает непрерывное картографичес кое покрытие территории атласом локальных карт.

Для упрощения определения гомологии А. Пуанкаре структурировал пространства, предполагая, что все они триангулированы, разбиты на сим плексы (многомерные тетраэдры), т. е. являются симплициальными комплек сами. Симплексы склеиваются по их границам (граням). Геодезическая три ангуляционная сеть формирует на поверхности планеты симплициальный комплекс из двумерных симплексов (треугольников), подразделяющих про странство на непересекающиеся области с границами, проходящими по сторо нам треугольников. Гомология триангулированного пространства – алгебраи ческая структура, отображающая топологию этого пространства, т. е. законы последовательности сочленения его частей в комплексе. Эти связи передают ся понятиями “границы, цепи и циклы”. Например, граница цикла равна ну лю, в частности, граница окружности не существует и разбивает плоскость на две части. Граница триангуляционной сети планеты в целом также являет ся циклом и гомологична нулю. В общем случае, если один цикл гомологичен другому, то они отличаются на границу пространства большей размерности.

Гомология упорядочивает различные структурированные множества, связанные разными отношениями (функциями, морфизмами). Гомотопия ус танавливает связи между самими функциями.

Гомотопия – непрерывное семейство отображений Ft : X Y двух мно жеств X и Y при t [0, 1] изменяющимся от 0 до 1. Например, функции y = и y = ex гомотопны, поскольку y = etx : x y, и y = 1 при t = 0 и y = ex при t = 1.

Эту мысль можно выразить с помощью прямого, декартового произведе ния: гомотопией называется непрерывное отображение Ft : [0, 1] X Y то пологических пространств X и Y (см. рис. 2.1).

Произведение [0, 1] X обычно изображается в виде цилиндра (рис. 2.2), в основаниях и по всему объему которого находится исходное множество X, которое скользит по образующей цилиндра, в данном случае представленной отрезком t [0, 1]. На каждом уровне t имеет место индивидуальное отобра жение Ft : X Y, приводящее к раз ным результатам Ft (x).

Географические примеры гомо топии связаны прежде всего с непре Рис. 2.2. Гомотопия отображений.

Пояснение см. в тексте.

Гомология и гомотопия в математике и математическом моделировании рывным изменением во времени и пространстве характера отношений между компонентами геокомплекса и разными геокомплексами на территории. Функ циональные связи как бы скользят по пространственно-временному конти нууму от начального (t = 0) до конечного (t = 1) состояния, и всякий раз оди наковое воздействие X вызывает разную реакцию Y (см. рис. 2.2). Например, X – множество значений температуры почвы, Y – прирост биомассы сообще ства, которое при одинаковой температуре имеет разные значения в зависи мости от фациальных условий местоположения и сезона года t : y = Ft (x).

Отображeния f и g вида f, g : X Y называются гомотопными, если су ществует гомотопия Ft, такая, что F0 = f и F1 = g (см. рис. 1.2). Гомотопия поз воляет сопоставлять разные функции сравнения множеств X и Y, т. е. задает отношение эквивалентности между непрерывными отображениями X Y различного вида. Так может выполняться, например, сравнение разнотипных математических моделей.

Множества X и Y могут быть представлены отдельными точками x0 и y0, связанными многочисленными путями, соответствующими разным отобра жениям Ft : x0 y0 (рис. 2.3) [Болтянский, Ефремович, 1982]. При гомотопии каждый путь является трансформацией (модификацией, деформацией) дру гих путей.

Пример такой гомотопии – закон эквивалентности путей перемещения физической системы из одной точки потенциального поля в другую: характе ристики конечного состояния не зависят от того, каким путем система попала в это состояние. В географическом пространстве системы связаны между со бой напрямую и опосредовано через другие системы. Очевидно, связь двух геосистем через пространство не зависит от того, по какому пути опосредо ванных связей данная связь установлена, через какие промежуточные фации она прошла (см. рис. 2.3).

Представления о гомологии и гомотопии в математике постоянно разви ваются. Д. Квиллен [Quillen, 1967] разработал теорию модельных категорий, которая уже проникла во многие области современной математики и играет важную роль. Он обобщил различные конструкции в теории гомотопий (го мотопическая категория, расслоения и корасслоения), гомологической алгеб ре (производная категория, резольвенты) и симплициальной теории гомото пий, что позволило сформулировать все эти теории на едином языке. Теперь даже можно говорить о теории гомо топий [Rezk, 2001]. В итоге получает ся, что на высоких уровнях обобще ния гомология и гомотопия – довольно близкие понятия.

Рис. 2.3. Разнотипные пути связи двух точек.

Глава 2.1.4. Гомоморфизмы, категории и функторы Математическое понятие гомоморфизм – это основной вид морфизма (отображения) H : А B, при котором сохраняются основные операции и со отношения (см. п. 1.1.1). Гомоморфный образ B – образ объекта А, имеющего ту же структуру и свойства, но, возможно, иной элементный состав и по ко личеству, и по качеству. Образ B в методологии науки и математике рассмат ривают в качестве модели объекта А, отражающей основные, но не обязатель но все его особенности. Обязательное требование к модели – ее гомоморфизм (адекватность) моделируемому объекту.

Примерно так трактуется гомоморфизм в теории систем – это логико математическое понятие, означающее одностороннее отношение подобия между двумя системами. Систему называют гомоморфной другой системе, если первая обладает некоторыми, но не всеми, свойствами или законами по ведения другой.

Существует несколько видов гомоморфизма: 1) изоморфизм – взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм;

2) автоморфизм – изоморфизм множества на само это множество;

3) мономорфизм – однозначный (инъек тивный) гомоморфизм;

4) эндоморфизм – гомоморфизм в само множество;

5) эпиморфизм – сюръективный гомоморфизм. Эти морфизмы отличаются по степени точности сравнения объектов и набору объектов (один или несколь ко). Изоморфизм – самое точное отображение одного множества в другом.

Автоморфизм отображает элементы одного множества в элементы другого, не обязательно в одни и те же, например, инверсия x I = [0, 1] соответству ет форме x 1 – x.

Сравниваемые объекты обозначаются буквами, а морфизмы – стрелка ми, которые могут обращаться (обратное отображение). Схемы, отражающие сравнение различных объектов, называются коммутативными диаграммами (рис. 2.4). Такая диаграмма – это ориентированный граф, вершины которого являются объектами, а ребра – морфизмами. Естественно, такой граф наде лен определенной топологией.


В теории категорий понятие стрелки, абстрагированной от понятий функции и отображения, используется в качестве теоретико-множественного Рис. 2.4. Коммутативные диаграммы:

а – коммутативный треугольник;

б – коммутативный квадрат;

в – коммутативная последова тельность.

Гомология и гомотопия в математике и математическом моделировании отношения принадлежности: H : А B – А принадлежит B в том смысле, что образ H(А) B. Это позволяет задавать множества не через его элементы (внутреннюю структуру), а указав внешние связи с другими множествами [Голдблатт, 1983], что отражает сущность модели географического комплек са, раскрывающегося через связи компонентов.

Диаграммы являются коммутативными, поскольку отображения (сигна лы), передаваемые по разным направлениям (каналам), должны быть иден тичны, например, для коммутативного треугольника g = f d, для комму тативного квадрата k h = f d, где знак соответствует суперпозиции (композиции) отображений. В силу свойства коммутации любая диаграмма может быть разбита разными способами на коммутативные треугольники (см. рис. 2.4, б), т. е. триангулирована. Коммутативные треугольники состав ляют топологический базис одноименных диаграмм.

Стрелки в коммутативных диаграммах, как правило, не образуют циклов, т. е. в этих системах нет обратных связей. Процесс передачи сигнала направ лен в определенную сторону (на рис. 2.4 – в направлении С). Он осуществля ется по разным направлениям, что обеспечивает своеобразный контроль за действием, в чем и заключается основной смысл коммутации. Вследствие этого диаграммы могут быть представлены как направленный поток преобра зований (см. рис. 2.4, в). Стержнем этого потока становится последователь ность A B C, в которую остальные объекты встраиваются. В этой после довательности выполняется закон коммутации g = f d. Последовательность имеет начальный A, конечный C и промежуточные B и D элементы.

Линейный ряд чередования объектов и стрелок в теории категорий на зывается комплексами, если суперпозиция последовательных стрелок явля ется нулевым морфизмом. Однако последнее требование справедливо только для узкого класса объектов, поэтому комплексами можно считать любую ли нейную последовательность объектов.

Язык коммутативных диаграмм весьма удобен для выражения геогра фических мыслей, особенно когда речь идет о преобразовании потоков ин формации. С его помощью можно моделировать систему территориального управления, где имеет место разделение властей (субъекты управления) и со ответствующих функций (стрелки) принятия решений [Геоинформационная система…, 2002]. Коммутативная последовательность (комплекс) A B C моделирует географический комплекс как упорядоченное множество компо нентов, функционально (информационно) связанных друг с другом. Сущест вует главный компонент, соответствующий, по мнению Н.А. Солнцева [2001], геологической основе формирования ландшафта, и группа подчиненных ком понентов B, в которую входят растительность и животный мир. Замыкающим компонентом C считается почва, формирующаяся под влиянием всех других компонентов. Коммутативные свойства географических комплексов выража ются в передаче воздействий по цепи от компонента к компоненту.

Глава Аналогично можно построить модель ландшафтного комплекса как пос ледовательности связи фаций разного функционального предназначения и таксономической принадлежности. Выделяется группа главных A (ядро ланд шафта) и подчиненных фаций. Главные (коренные), обычно плакорные, фа ции сбалансированы по всем факторам влияния зонального окружения. Это основные индикаторы выделения ландшафтов и районирования территории.

Через цепь воздействий видоизменяются характеристики подчиненных фа ций и формируется весь облик ландшафта.

Представление о разных видах морфизмов и их последовательностей позволяет перейти к понятиям теорий категорий и функторов.

Категория C состоит из следующих компонентов: 1) класс (множество) ObC объектов категории;

2) класс (множество) MorC морфизмов (стрелок) категории;

3) для каждой упорядоченной пары объектов X и Y из ObC задано множество гомоморфизмов HomC(X,Y) из MorC;

4) для каждой упорядочен ной тройки объектов X, Y, Z из ObC задано отображение, сопоставляющее паре морфизмов (f, g) морфизм h = gf, называемый их композицией, или про изведением;

5) в MorC для каждого морфизма f однозначно определены объ екты X, Y, соответствующие началу и концу стрелки f.

Все эти требования можно записать проще и понятней: категория должна удовлетворять коммутативной диаграмме, являющейся моделью категории.

Функтор – формально это категория, объектами которой служат другие категории. Функтором F из категории C в категорию D называется два вида отображений F : ObC ObD, MorC MorD – объекты переходят в объекты, морфизмы трансформируются в морфизмы. При этом сохраняются все ос новные свойства: 1) ориентация стрелок;

2) законы коммутации отображе ний. Это означает, что структура коммутативных диаграмм обоих категорий тождественна. Возможны функторы, обращающие стрелки, поэтому приме нение функтора в широком смысле можно трактовать как изменение структу ры коммутативной диаграммы категории.

f0 f Пусть коммутативная последовательность X 0 X 1 X 2 – мо дель одного географического комплекса связанных компонентов Xi, а g Y0 Y1 g1 Y2 – модель другого комплекса с компонентами Yi. Связь этих двух комплексов задается функтором (2.2) сравнивающим или преобразующим как компоненты, так и связи компонен тов, т. е. весь географический комплекс. Такой функтор можно назвать функ тором географического сравнения или преобразования.

Возможна композиция функторов, объединяющая сколь угодно много комплексов в систему разными способами в соответствующую коммутатив Гомология и гомотопия в математике и математическом моделировании ную диаграмму, где объектами являются категории, а стрелки – морфизмы функторов. Так строится модель урочища, состоящая из нескольких элемен тарных природно-территориальных комплексов (фаций). Местность собирает в комплекс урочища, ландшафт – местности. Если фация (в математическом смысле) – категория компонентов, то урочище – это функтор, местность – ка тегория функторов, ландшафт – функтор категории функторов. Это означает, что разные ландшафты взаимодействуют как целое с другими ландшафтами, и нет возможности сравнить, например, ландшафтный комплекс с элементар ным природно-территориальным комплексом (ПТК). Они представляют раз личные уровни комплексирования.

Морфизмы на разных уровнях абстракции и обобщения есть отношение сравнения (подобия) или преобразования комплексов разной сложности.

В коммутативных диаграммах, по сути, формируются гомологические ряды передачи информации от объекта к объекту и от функции к функции. В связи с этим категорный подход нашел применение в проектировании информаци онных систем [Плоткин, 1991;

Голубцов, 1998;

Муха, 2003а,б;

Косиков, 2005].

Относительно давно категорно-функторный подход применяется в математи ческой и теоретической биологии [Рощин, 1982].

Сравнительные исследования природных и экологических комплексов разного порядка являются предметом комплексной географии с выделением законов комплексирования и пространственно-временного варьирования структурных и функциональных особенностей комплексов.

2.1.5. Процедуры расслоения Закономерен вопрос, откуда возникают структуры, из которых формиру ются топологические пространства, категории и функторы разного уровня абстракции? Это можно понять через формализованную процедуру расслое ния пространств и объектов различного содержания (рис. 2.5).

Расслоение в математике – непрерывное сюръективное отображение : X B, т. е. такое отображение, когда каждый элемент b B есть образ од ного или нескольких элементов множества X. Это своеобразное отображение свертки, когда группа Xb элементов X представлена одним элементом b B. Тогда обратное отображение –1 : b X развертывает b B в X в виде Xb, как бы высвечивает свойства b в X.

В расслоении : X B участвуют: 1) пространство расслоения X = {b};

2) база расслоения B = {b};

3) проекция расслоения. Обратная проекция –1 : B X (сечение расслоения) превращает пространство X в расслоенное пространство Y = {Xb}, где Xb X и Xb Y – слой Xb над элементом базы b B в X. Расслоение полное, если в нем участвуют все точки X, каждая из которых находит свой образ в B. Это возможно при полноте самой базы расслоения B. База B может разбивать X как на непересекающиеся множества слоев Y = {Xb}, так и на пересекающееся множество слоев, когда пространст Глава Рис. 2.5. Процедура расслоения : X Y пространства X и представление его в виде расслоенного пространства Y на базе расслоения B. Соотношение процедур типиза ции, классификации и ординации.

Жирными линиями на X выделены отношения соседства контуров.

во X становится многообразием – континуумом, склеенным в областях пере сечения. Наибольший интерес представляет чистое расслоение, определяю щее естественную дифференциацию пространства.

Расслоение напоминает сортировку элементов X с учетом свойств (информации), сконцентрированных в B. Например, распределение участков местности X по их принадлежности к определенной фации b B. Пере распределение географических знаний X по системным теориям осу ществляется на основе представлений о ядре каждой теории b B, соответ ствующей набору основных понятий и аксиом.

На рис. 2.5 ландшафтное пространство расслоения X представлено в географических координатах (x, y), в котором каждый элемент X привя зан к этим координатам = (x, y). Каждый участок территории соотносит ся с элементами базы расслоения B, и в зависимости от свойств участка и характеристик элементов B ему сопоставляется конкретный элемент b B.

Иными словами, происходит типизация X на типологии (наборе типов) B.

Однотипные участки объединяются в ареалы, которые могут быть разорва ны, т. е. находиться в разных местах территории. Территория X при выде лении ареалов (слоев) превращается в расслоенное пространство с разно типными ареалами Xb. Множество компактных выделов однотипных ареалов без границ формирует базис топологического пространства T, включающего не только элементарные выделы, но и любые их объединения, в том числе Гомология и гомотопия в математике и математическом моделировании пространство T в целом. Таким образом, неструктурированное пространство X на базе B превращается в расслоенное пространство ареалов и выделов ареалов, а топологическое пространство T формируется из различных комби наций выделов без учета их границ.

Если на множестве типов задать структуру, например, иерархическую схему упорядочения элементов базы расслоения, то типология B станет клас сификацией (B). В то же время каждый тип b B может быть представлен в пространстве его признаков Z = {zj} (пространстве ординации), в котором b характеризуется набором показателей z1, z2, …. Вариантом такого пространст ва является модель факторально-динамических рядов фаций [Крауклис, 1979]. Тип b в пространстве ординации представлен областью определения Zb и центром притяжения zb этой области (инвариант, ядро типа). Области оп ределения Zb разных типов обычно пересекаются, но так, что ядро zb при надлежит только соответствующей области притяжения Zb (zb Zb). Иными словами, множество Z = {Zb} – это расслоенное пространство ординацион ного пространства Z на той же базе B. В таком случае слои Xb могут иденти фицироваться на структуре Z пространства Z, что осуществляется методами многомерной статистики. Однако этот распространенный подход часто не да ет необходимых результатов вследствие пересечения областей определения типов Zb [см.: Арманд Д., 1983].

Классификационная топология (B) множества B индуцирует в про странстве ординации Z соответствующую структуру, в которой близкие в классификационном смысле элементы b B должны быть близки и в призна ковом пространстве Z, что часто используется как критерий (мера) статисти ческой классификации. Аналогично структура (B) отображается на реальное пространство X, связывая отношением близости (соседства) его слои Y = {Xb}.

В силу этого соседние в пространстве выделы типологических единиц долж ны быть смежными и в структуре классификации, что является важным кри терием классификации геосистем и их типологического ранжирования.

Как видим, в решении практических задач средствами расслоения мно гое зависит от структуры базы расслоения B, которая может быть как диск ретным (точечным), так и непрерывным пространством. В последнем случае она представлена многообразием B = M размерности Rn – 1 в координатном пространстве Rn, например, линией эллипса на плоскости R 2 (рис. 2.6).

Касательным расслоением : TM M для гладкого многообразия M на зывается расслоение вмещающего его пространства R 2 на точках x M, со вокупность которых формирует базу расслоения B. Отдельный касательный слой Tx M касается многообразия M в единственной точке x M. Таким обра зом, касательное пространство TM = {Tx M} параметризуется многообразием M, т. е. характер (ориентация) касательных слоев зависит от свойств много образия M. Касательные слои Tx M могут быть представлены как независи мые (непересекающиеся) пространства (см. рис. 2.6, в). Размерность TM рав Глава Рис. 2.6. Касательное расслоение : TM M гладкого многообразия M:

а – исходное многообразие M в пространстве R2;

б – касательное расслоение на элементах x M;

в – независимое представление касательных слоев TxM на базе элементов x M;

то тальное пространство TM = {TxM} соответствует боковой поверхности цилиндра.

на удвоенной размерности M, в данном примере – размерности поверхности цилиндра R2. Элемент тотального пространства TM – это пара (x, ), где x M и TxM (см. рис. 2.6, в). Каждый касательный слой TxM представлен в TM инвариантом слоя x, причем одновременно x TxM и x M, и вариантами слоя TxM – точками, отличными от x. Касательное расслоение TM облада ет естественной топологией и гладкой структурой, превращающими TM в многообразие.

Существуют касательные расслоения более высокого порядка: T 2M = = T(TM) – повторное применение процедуры расслоения к касательному про странству TM. Это означает наличие иерархии в организации многообразий.

В силу того, что при каждом применении оператора T размерность простран ства удваивается, на каждом новом уровне увеличивается степень свободы (разнообразие) представления информации.

Сравнивая рис. 2.6, в с рис. 1.4, можно предположить, что матричная схема гомологического пространства X Y является расслоенным простран ством TYY или TXX. Расслоение TYY на объектном многообразии Y порождает множество X(Y) параллельных гомологических рядов, каждый из которых X(y) (y Y фиксировано) соответствует отдельному слою (ряду). Локальные ячейки (см. рис. 1.12) – это касательные плоскости к гомологическому про странству X Y или проекции плоскостей на X Y, т. е. расслоение над рас слоением T(TYY) или многообразием M(TYY). Изображение на рис. 1.12 задает структуру этих плоскостей, а гомологический ряд X(Y) – сечение этой струк туры по одному из направлений, т. е. включает инвариант (точку касания) и варианты, формирующиеся по направлению. Разные направления соответ Гомология и гомотопия в математике и математическом моделировании Рис. 2.7. Схема четырехмерного рас слоенного пространства T(X Y) = = T(TY Y), построенного на точках гомологической поверхности X Y многообразия TY Y.

ствуют разным гомологическим рядам, например, разнокачест венным гомологическим рядам в химии или факторально-динами ческим рядам в географии. Ана логия рядов подчеркивается воз можностью их взаимной калиб ровки (отображения) при смене направления дифференцировки.

Расслоенное пространство T(TYY ) имеет размерность 4, и его образное представление (рис. 2.7) есть совокупность разно вращающихся слоев Tx(Ty Y ) из T(TYY ), нанизанных на линии X( y) = TyY. Последовательность слоев Tx (Ty Y ) формирует гомологический ряд TX (TyY).

Модель касательных расслоений может использоваться для анализа гео графических закономерностей. Например, А.А. Григорьев [1966] сформировал представление об едином физико-географическом процессе X – совокупности природных географических процессов географической оболочки Земли Y. Он обособил в единый комплекс несколько компонентов x X: климатический, геоморфологический, гидрологический, почвенно-географический, геобота нический, зоогеографический и др. Компоненты x X на территории y Y находятся во взаимодействии X(y) X(y), развитии x(y) x(y) и латеральной динамической связи Y(x) Y(x), поэтому изменения одних компонентов вы зывают изменения остальных. Компоненты представляют звенья одной нераз рывной цепи природных процессов Y(X) на разных территориях Y. Важнейшей характеристикой интенсивности процесса является соотношение тепла и вла ги. Единый физико-географический процесс дифференцируется по типам фи зико-географической среды T(TYY), в условиях которой это соотношение зави сит от общих климатических условий и макрорельефа X(Y).

Д.Л. Арманд [1949а, 1983] выступил против основных позиций идеи ин тенсивности физико-географического процесса и его интерпретаций. По его мнению, об интенсивности интегрального физико-географического процесса можно говорить только в том случае, если интенсивность всех его составля ющих увеличивалась или уменьшалась одновременно. Такого нет в природе, поскольку обычно одни процессы подавлены, а другие протекают интенсив но. Кроме того, невозможно подобрать единицу для измерения интенсивнос ти комплексного процесса, поскольку каждая из составляющих измеряется в Глава своей размерности. А.Г. Исаченко [1953] поддержал эти соображения и обра тил внимание [Исаченко, 1990], что некоторые формулировки А.А. Григорье ва создают впечатление о своего рода бессубстратности этого процесса, от рыве его от материального носителя – реальной природной системы.

С позиций современного ландшафтоведения А.Г. Исаченко [1990б] трак тует понятие “интенсивность физико-географического процесса” как интен сивность функционирования геосистем Y, т. е. как совокупность всех процес сов перемещения, обмена и трансформации энергии и вещества в них X(Y) [Исаченко, 1981, с. 304]. При таком подходе звеньями единого физико-гео графического процесса считаются не частные (компонентные) процессы, а интегрирующие внутренние потоки субстанции X(y), пронизывающие разные компоненты: энергообмен, влагооборот, биогенный и абиогенный круговоро ты веществ в конкретных геосистемах разного уровня. Функциональный гео системный подход предполагает четкое разграничение внутренних X(y) (меж компонентных) и внешних Y(x) (межсистемных) связей.

С формально-математических позиций точки зрения А.А. Григорьева и А.Г. Исаченко практически не различаются. В них прослеживается одна об щая мысль территориальной и межтерриториальной геосистемной интегра ции частных географических процессов через вертикальные и горизонталь ные потоки вещества и энергии. Касательными слоями к многообразию этого взаимодействия являются типологические единицы прежде всего зонального уровня, а затем касательные более дробной таксономии.

Порожденные процедурами расслоения слои (пересекающиеся и непе ресекающиеся) могут рассматриваться как множества, могут быть упорядо чены с помощью различных морфизмов в категории и функторы, объединены в топологические пространства. По этой причине процедуры расслоения должны применяться одними из первых операций при решении научных про блем в географии.

2.1.6. Топосы В математике топос – это особый тип категорий в теории категорий, рас сматривается в математической теории топосов, занимающей важное место в развитии логики, геометрии и топологии [Голдблатт, 1983;



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 11 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.