авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
-- [ Страница 1 ] --

Современная математика. Фундаментальные направления. Том (). С. 1–157

УДК 515.16+519.17

ЧЕТНОСТЬ В ТЕОРИИ УЗЛОВ И ГРАФ-ЗАЦЕПЛЕНИЯ

г.

c Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ

АННОТАЦИЯ. Настоящая монография посвящена маломерной топологии в контексте двух бурно раз-

вивающихся теорий: теории четностей и теории граф-зацеплений — важному обобщению теории вир туальных узлов, построенному на основе графов пересечений. Введенная вторым автором теория четностей позволяет по-новому взглянуть на теорию виртуальных узлов, теорию кобордизмов кривых в двумерных поверхностях и некоторые другие задачи топологии. Теория граф-зацеплений связана с нахождением новых комбинаторных подходов к теории узлов.

СОДЕРЖАНИЕ 1. Предисловие........................................... 2. Благодарности.......................................... 3. Введение. Основные понятия.................................. 3.1. Классические узлы..................................... 3.2. Виртуальные узлы..................................... 3.3. Скобка Кауфмана и индекс самозацепления....................... 3.4. Атомы и виртуальные узлы................................ 4. Эйлеровы циклы, гауссовы циклы и поворачивающие обходы............... 4.1. 4-Графы и эйлеровы циклы................................ 4.2. Оснащенные 4-графы и эйлеровы циклы......................... 4.3. Существование гауссова цикла.............................. 4.4. Гауссов цикл........................................ 4.5. Матрицы смежности.................................... 5. Четность в теории узлов.................................... 5.1. Свободные узлы и четная аксиоматика.......................... 5.1.1. Ослабленная четная аксиоматика......................... 5.1.2. Теория виртуальных узлов............................. 5.1.3. Двухкомпонентные классические и виртуальные зацепления.......... 5.1.4. Узлы в полнотории, кривые на двумерных поверхностях............ 5.2. Четность и гомологии................................... 5.3. Классификация четностей для свободных узлов.................... 5.4. Функториальное отображение f............................. 5.4.1. Случай четности из пункта 5.1.2......................... 5.4.2. Иерархия четностей на виртуальных узлах.................... 5.4.3. Случай четности из пункта 5.1.3......................... 5.4.4. Случай четности из пункта 5.1.4......................... 5.5. Инварианты......................................... 5.5.1. Разведения...................................

... 5.5.2. Оснащенные 4-графы................................ 5.5.3. Свободные узлы и зацепления........................... 5.5.4. Линейное пространство G............................. 5.5.5. Линейное пространство G............................. 5.5.6. Инварианты [ · ], { · }................................. 5.5.7. Применения инвариантов.............................. 5.5.8. Необратимость свободных зацеплений...................... 5.6. Скобка Голдмана и коскобка Тураева.......................... РУДН c 2 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ 5.6.1. Отображение m : 2 S............................. S 5.6.2. Алгебра Ли Голдмана................................ 5.6.3. Отображения S 2 и S S S /.. Коскобка Тураева [215].. S, 5.7. Применения дельты Тураева................................ 5.7.1. Необратимость свободных узлов.......................... 5.7.2. Четные и нечетные аналоги скобки Голдмана и коскобки Тураева....... 5.8. Аналог скобки Кауфмана................................. 6. Кобордизмы свободных узлов................................. 6.1. Введение........................................... 6.2. Комбинаторный кобордизм свободных узлов...................... 6.3. Инвариант свободных узлов................................ 6.3.1. Граф Кэли для группы G.............................. 6.3.2. Замечания об определении инварианта L для зацеплений........... 6.4. Срезанный род и кобордизмы свободных узлов..................... 6.5. Четность для кривых в двумерных поверхностях.................... 6.6. Срезанность свободных узлов............................... 6.6.1. Построение функции Морса и графа Риба.................... 7. Граф-зацепления......................................... 7.1. Введение........................................... 7.2. Граф-зацепления и петлевые графы............................ 7.2.1. Хордовые диаграммы................................ 7.2.2. Движения Рейдемейстера для петлевых графов и граф-зацеплений...... 7.2.3. Петлевые графы и граф-зацепления........................ 7.2.4. Операции разведения и (дельта) Тураева................... 7.3. Четность, минимальность и нетривиальные примеры.................. 7.4. Скобка Кауфмана. Теоремы минимальности....................... 8. Гомологии Хованова для классических узлов, виртуальных узлов и граф-зацеплений.. 8.1. Гомологии Хованова граф-зацеплений с коэффициентами в Z2............ 8.1.1. Корректность частичных дифференциалов.................... 8.1.2. Коммутативность двумерных граней........................ 8.2. Целочисленные нечетные гомологии Хованова граф-зацеплений........... 8.2.1. Главно унимодулярные двудольные граф-зацепления.............. 8.2.2. Нечётные гомологии Хованова PU-граф-зацеплений............... 8.3. Полином Джонса граф-зацеплений и гомологии Хованова граф-зацеплений..... 9. Нерешенные задачи....................................... 9.1. Свободные узлы....................................... 9.2. Граф-зацепления...................................... 9.3. Кобордизмы......................................... Список литературы.......................................... 1. ПРЕДИСЛОВИЕ В последние десятилетия теория узлов переживает бурное развитие комбинаторных подходов, связанные как с новыми комбинаторно определяемыми инвариантами (гомологии Хованова), так и с новыми комбинаторно определяемыми теориями (теория виртуальных узлов Кауфмана, на нослова и нанопредложения Тураева). Это развитие является естественным продолжением работ Дж. Х. Конвея, В. Ф. Р. Джонса, Л. Х. Кауфмана, положивших основу диаграмматическое теории узлов.

Одно из замечательных обобщений теории узлов — теория виртуальных узлов, изобретенная Л. Х. Кауфманом в конце 1990-х. Теория виртуальных узлов описывает узлы в утолщенных поверх ностях с точностью до изотопии и стабилизации. Она допускает простое описание посредством гауссовых диаграмм по движениям Рейдемейстера. Дело в том, что не все гауссовы диаграммы 1. Предисловие описывают классические узлы, а те гауссовы диаграммы, которые не соответствуют классическим узлам, задают как раз виртуальные узлы.

Важной вехой в развитии теории узлов явилось открытие М. Г. Ховановым категорификации полинома Джонса, в дальнейшем называемой «гомологиями Хованова». Суть категорификации со стоит в переходе от полинома (т.е. набора коэффициентов со степенями) к формальному цепному комплексу, гомологии которого инвариантны относительно движений Рейдемейстера. Гомологии Хованова относятся к полиному Джонса примерно так же, как обычные гомологии относятся к эйлеровой характеристике. Гомологии Хованова были отправной точкой в категорификации дру гих инвариантов в маломерной топологии. Важнейшим свойством гомологий зацеплений является их функториальность — возможность построения корректно определенного отображения, соответ ствующего функторам-кобордизмам.

Забывание у виртуальных узлов информации о проходах/переходах приводит к нетривиальной теории плоских узлов — гомотопических классов кривых на двумерных поверхностях, рассматри ваемых с точностью до стабилизации. Дальнейшее упрощение этой теории, связанное с забыва нием информации об ориентации окружающей поверхности, приводит к теории свободных узлов, описываемой посредством формальных гауссовых диаграмм без стрелок и знаков по движени ям Рейдемейстера, в которых эти стрелки и знаки также участия не принимают. Смысл таких движений Рейдемейстера состоит в том, что формальный четырехвалентный граф со структурой противоположности ребер в вершинах не предполагается вложенным в какую-либо поверхность, но при применении движения предполагается наличие локальной петли, двуугольника или тре угольника.

Свободные узлы были впервые рассмотрены В. Г. Тураевым под названием гомотопических классов гауссовых слов. В. Г. Тураев предположил их тривиальность. Одним из центральных ме тодов настоящей монографии является метод четности. В узком смысле четность состоит в сопо ставлении перекресткам свободного узла (виртуального узла) чисел 0 и 1 способом, правильным образом согласованным с движениями Рейдемейстера. В широком смысле четность определяет ся для более широкого класса топологических объектов, задаваемых комбинаторно как классы эквивалентности представителей с конечным числом узловых точек (линий) по движениям. Уз ловым точкам сопоставляются нули и единицы. Метод четности позволяет корректно определять функториальные отображения, строить многие комбинаторные инварианты, усиливать имеющие ся инварианты. В частности, методом четности выявлены глубокие нетривиальные структуры на свободных узлах.

Другая теория, изучаемая в настоящей монографии — теория граф-зацеплений. Каждой хор довой диаграмме соответствует граф пересечений. На такие графы пересечений формально пе реносятся движения Рейдемейстера. Однако аналогичным образом они переносятся и на графы, графами пересечений не являющиеся. Возникает формальная теория, связанная с теорией класси ческих и виртуальных узлов, но содержащая нечто большее в связи с наличием нереализуемых графов (такой переход от виртуальных зацеплений к граф-зацеплениям аналогичен переходу от классических узлов к виртуальным, в последнем случае мы разрешаем гауссовой диаграмме не реализовывать плоский граф, в то время как в первом случае мы разрешаем графу не быть графом пересечения хордовой диаграммы). Отметим, что есть два подхода к похожим теориям. Первый из них относится только к однокомпонентным узлам и к гауссовым диаграммам — теория петлевых графов Тральди и Цулли. Другая теория относится к поворачивающим обходам: любую связную диаграмму виртуального зацепления можно обойти, поворачивая в каждом классическом пере крестке с ребра на не противоположное ему ребро (виртуальные перекрестки проходятся транс версально). Это описание также кодируется хордовыми диаграммами, и переход к формальным оснащенным графам, понимаемым в качестве графов пересечения хордовых диаграмм, приводит к теории граф-зацеплений.

Граф-зацепления (как и петлевые графы) можно понимать как зацепления, имеющие перекрест ки, но не имеющие ребер.

Поскольку при переходе от гауссовых диаграмм к графам пересечения теряется различие меж ду узлами-мутантами, можно ожидать продолжения на граф-зацепления инвариантов, не меняю щихся при мутациях. Построение инвариантов граф-зацеплений выявляет возможность по-новому взглянуть на комбинаторику тех или иных инвариантов и в некоторых случаях проимитировать 4 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ наличие «геометрической» интерпретации там, где ее нет. Так, обобщение скобки Кауфмана на граф-зацепления связано с подсчетом «несуществующих» окружностей в состояниях.

В настоящей работе с помощью метода четности построены многочисленные инварианты сво бодных узлов, доказаны теоремы минимальности. Кроме того, с помощью метода четности постро ены препятствия к срезанности свободных узлов — невозможности затягивания свободных узлов диском.

Методы четности успешно работают и в теории граф-зацеплений. С помощью четности построе ны первые примеры граф-зацеплений, не эквивалентных реализуемым граф-зацеплениям. Исполь зуя комбинаторику матриц над Z2, доказано, что теория граф-узлов (граф-зацеплений с одной компонентой) эквивалентна теории гомотопий петлевых графов.

Наконец, построена теория гомологий Хованова с коэффициентами Z2 для граф-зацеплений и теория нечетных гомологий Хованова с коэффициентами Z для некоторого частного случая граф зацеплений. Эти работы показывают, как можно обойти препятствие к пониманию того, «как перестраиваются несуществующие окружности в состояниях Кауфмана для граф-зацеплений».

Методы свободных узлов и четности приводят к различным инвариантам виртуальных узлов для самых разнообразных четностей, а также к усилению инвариантов узлов и кобордизмов в старших размерностях. Свободные узлы имеют естественные приложения к задачам о вложениях графов в поверхности.

Методы теории граф-зацеплений в основном демонстрируют то, что многие объекты, которые невозможно кодировать с помощью одномерного формализма (хордовых диаграмм), но можно коди ровать комбинаторно (с помощью графов пересечения) тем не менее можно допускают обобщение комбинаторных инвариантов, связанных с хордовыми диаграммами.

2. БЛАГОДАРНОСТИ Авторы выражают благодарность О. В. Мантурову, В. А. Васильеву, А. Т. Фоменко, О. Я. Виро и В. В. Чернову за полезные советы и постоянное внимание к работе.

Авторы особенно благодарны П. Кан за ряд дискуссий по плоским виртуальным зацеплениям и кривым на поверхностях, рассматриваемым с точностью до гомотопий и стабилизаций, и за указание ссылки на работу [69].

Работа первого автора выполнена при частичной финансовой поддержке гранта РФФИ (про ект № 10-01-00748-а), гранта Президента РФ поддержки Ведущих научных школ (проект НШ 3224.2010.1), программы Развитие научного потенциала высшей школы (проект 2.1.1.3704), Программ Научные и научно-педагогические кадры инновационной России (госконтракты 02.740.11.5213 и 14.740.11.0794), Федеральным агентством по образованию НК-421П/108. Второй автор частично поддержан грантом Президента РФ поддержки Ведущих научных школ (проект № НШ-3224.2010.1), Аналитической ведомственной целевой программой «Развитие научного по тенциала высшей школы», Программой Научные и научно-педагогические кадры инновационной России (госконтракт 14.740.11.0794). Работа третьего автора выполнена при частичной финан совой поддержке гранта РФФИ (проект № 10-01-00748-а), гранта Президента РФ поддержки Ведущих научных школ (проект № НШ-3224.2010.1), программы Развитие научного потенциала высшей школы, проект 2.1.1.3704, Программ Научные и научно-педагогические кадры инноваци онной России (госконтракты 02.740.11.5213 и 14.740.11.0794).

3. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 3.1. Классические узлы. (Классический) узел представляет собой образ гладкого вложения окружности S 1 в сферу S 3 (или в R3 );

два узла называются изотопными, если один из них может быть получен из другого диффеоморфным отображением объемлющего пространства S (или R3 ) на себя, сохраняющим ориентацию сферы S 3 (или R3 ) (изотопия) (общеизвестно, что каждый из таких диффеоморфизмов гладко гомотопен тождественному в классе гладких диффео морфизмов [33]). Если мы вкладываем в сферу S 3 (или R3 ) несвязное объединение нескольких окружностей S 1 · · · S 1, то говорят о классическом зацеплении;

образ каждой окружности — узел — называется компонентой зацепления. Узлом также называют само вложение. Классифика ция узлов в S 3 эквивалентна классификации узлов в R3. В случае, если фиксирована ориентация окружности S 1, говорят об ориентированном узле (соответственно, в случае ориентированного 3. Введение. Основные понятия переход d   d    d проход   d РИС. 1. Локальная структура перекрестка зацепления требуется ориентация окружностей — прообразов компонент зацепления);

в случае изотопии ориентированных зацеплений требуется, чтобы диффеоморфизм объемлющего простран ства сохранял как ориентацию сферы S 3 (или R3 ), так и ориентации всех компонент.

Если компоненты зацепления перенумеровать и при изотопии потребовать, чтобы номера ком понент сохранялись, то мы получим крашеные зацепления.

Обычно узлы кодируются плоскими диаграммами, которые являются четырехвалентными графа ми с дополнительной структурой. Приведем основные определения, касающиеся четырехвалентных графов и плоских диаграмм узлов.

Пусть G — произвольный граф с множеством вершин V(G) и множеством ребер E(G). Под реб ром мы будем понимать класс эквивалентности двух полуребер, которые его составляют. Вершина v V(G) имеет степень, равную k, если v инцидентна k полуребрам. Граф, все вершины которого имеют степень k, называется k-валентным или просто k-графом. Для любого k свободная петля, т.е. граф без вершин с одним циклическим ребром, рассматривается как k-граф.

Определение 3.1. 4-Граф называется оснащенным, если в каждой вершине графа четыре ис ходящих из нее полуребра разбиты на два семейства полуребер, т.е. задана структура противо положных ребер. Полуребра из одного семейства называются (формально) противоположными.

Определение 3.2. Под изоморфизмом оснащенных 4-графов мы всегда будем понимать изо морфизм, сохраняющий оснащение. Обозначим через G0 оснащенный 4-граф, представляющий собой одну окружность.

При изображении оснащенных 4-графов на плоскости мы всегда предполагаем, что структура противоположных полуребер в вершинах наследуется из плоскости R2.

Пусть дан узел, т.е. образ отображения f : S 1 R3. Плоские диаграммы, соответствующие данному узлу, строятся следующим образом. Рассмотрим некоторую плоскость h R3 (скажем, h = Oxy) и проекцию узла на нее. Без ограничения общности можно считать, что проекция узла на плоскость представляет собой вложенный конечный оснащенный 4-граф, являющийся образом гладкого погружения окружности в плоскость. Обычно мы будем называть отрезок узла (т.е.

образ в трехмерном пространстве отрезка — части окружности) его ветвью. Иногда (когда из контекста ясно, о чем идет речь) ветвью мы будем называть также проекцию ветви на плоскость.

Каждая вершина графа проекции (называемая перекрестком диаграммы зацепления) снабжена следующей дополнительной структурой (помимо структуры противоположных ребер). Пусть a, b — две ветви узла, проекции которых пересекаются в точке v. Так как a и b не пересекаются в R3, два прообраза точки v имеют различные z-координаты. Таким образом, мы можем сказать, какая ветвь (a или b) проходит сверху (образует переход);

а какая — снизу (образует проход), см.

рис. 1. Ребра переходов изображаются сплошными линиями, в то время как проход изображается линией, имеющей разрыв в перекрестке. Такое изображение узла на плоскости называется плоской диаграммой узла.

Все перекрестки диаграммы ориентированного зацепления делятся на положительные и. Легко проверить, что в случае диаграммы узла знак перекрестка не зависит отрицательные от ориентации узла.

Плоская диаграмма зацепления называется альтернированной, если при движении вдоль любой из ее компонент проходы чередуются с переходами.

Простейшие примеры диаграмм классических узлов изображены на рис. 2. Первые две диа граммы представляют собой тривиальный узел, на третьей диаграмме изображен трилистник, на четвертой диаграмме — восьмерка. Все эти диаграммы являются альтернированными.

Назовем дугами диаграммы компоненты связности диаграммы (при этом ветвь прохода предпо лагается разрывной, как и изображается на рисунках).

6 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ 3 РИС. 2. Простейшие узлы 1 РИС. 3. Движения Рейдемейстера 1, 2, Определение 3.3. Оснащенный 4-граф проекции без указания структуры проходов и переходов называется тенью узла. Сложностью узла называется минимальное количество перекрестков диаграмм узлов заданного изотопического типа. Будем далее называть диаграмму зацепления связной, если таковой является ее тень. В частности, связной является любая диаграмма любого узла.

В [190] Курт Рейдемейстер привел список локальных топологических перестроек (преобразо ваний Рейдемейстера, известных ныне как движения Рейдемейстера). На рис. 3 приведены основные из них, остальные получаются их комбинацией. Рейдемейстер доказал, что любые две плоские диаграммы задают одно и то же зацепление тогда и только тогда, когда они могут быть получены друг из друга конечной последовательностью этих движений, а также плоской изото пии — преобразования диаграммы посредством диффеоморфизма плоскости на себя, сохраняющего ориентацию плоскости. Это позволяет рассматривать изотопические классы узлов как комбинатор ные объекты: они представляют собой классы эквивалентности плоских диаграмм по движениям Рейдемейстера.

Доказательство инвариантности тех или иных функций на узлах (задаваемых на диаграммах узлов) основывается часто на проверке инвариантности относительно движений Рейдемейстера.

Рассмотрим комбинаторное представление диаграмм классического узла, а именно, мы постро им эйлеров цикл (более точное определение см. ниже) специального вида для диаграммы узла, которые являются связными 4-графами, и соответствующую хордовую диаграмму, хорды которой будут снабжены дополнительной информацией.

3. Введение. Основные понятия + + + РИС. 4. Гауссова диаграмма правого трилистника Определение 3.4. Хордовая диаграмма — это 3-граф, состоящий из выбранного неориентиро ванного гамильтонового цикла (окружности) и неориентированных ребер (хорд), соединяющих точки на окружности, причем разные хорды не имеют общих точек на окружности.

Мы назовем две хорды зацепленными, если концы одной хорды лежат в разных связных компо нентах множества, полученного из S 1 удалением концов другой хорды. В противном случае хорды называются незацепленными.

Замечание 3.1. Хордовые диаграммы, как правило, изображаются в виде стандартной евкли довой окружности с конечным множеством ее хорд (точки пересечения хорд вершинами, конечно, не являются).

Мы также будем рассматривать ориентированные хордовые диаграммы, т.е. хордовые диаграм мы, у которых окружность ориентирована. В этом случае мы рассматриваем хордовые диаграммы с точностью до изоморфизма графов, сохраняющего ориентацию окружности.

Каждой диаграмме классического узла можно поставить в соответствие хордовую диаграмму с дополнительной структурой — гауссову диаграмму [185].

Определение 3.5. Пусть K — плоская диаграмма ориентированного классического узла, на которой выбрана произвольная точка, не совпадающая с вершиной диаграммы. Гауссовой диа граммой G(K), соответствующей диаграмме K, называется хордовая диаграмма, состоящая из ориентированной окружности (с фиксированной точкой), на которой прообразы прохода и перехо да для каждого перекрестка соединены стрелкой, направленной от прообраза перехода к прообразу прохода. Каждая стрелка снабжена знаком, который совпадает со знаком перекрестка, т.е. равен единице для перекрестка вида и минус единице для.

Так, для классического правого трилистника гауссова диаграмма выглядит следующим образом, см. рис. 4.

Не трудно переписать движения Рейдемейстера на язык гауссовых диаграмм. В результате мы можем думать об узле, как о классе эквивалентности гауссовых диаграмм по формальным движениям.

Если мы рассмотрим произвольную хордовую диаграмму и попробуем нарисовать для нее диа грамму классического узла (для какого-либо задания ориентации хорд и каких-либо знаков), то в большинстве случаев мы потерпим неудачу, см. [27, 28, 142, 189]. Рассмотрим хордовую диа грамму D, изображенную на рис. 5. Легко видеть, что не существует диаграммы узла, гауссова диаграмма которой совпадала бы с хордовой диаграммой D с какой бы то ни было расстановкой стрелок и знаков [103].

Рассматривая любую хордовую диаграмму (со стрелками и знаками) как гауссову диаграмму и движения Рейдемейстера как движения на всех хордовых диаграммах, мы получим новую теорию — теорию виртуальных узлов [66].

3.2. Виртуальные узлы. В [103] Луис Кауфман ввел понятие виртуального узла (или — в случае многих компонент — виртуального зацепления). Виртуальный узел представляет собой естественное комбинаторное обобщение обычного понятия узла: вводится новый тип перекрест ка и пополняется список движений Рейдемейстера. Новый тип перекрестка (который называется виртуальным и изображается кружочком) не следует трактовать ни как переход одной ветви 8 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ РИС. 5. «Нереализуемая» хордовая диаграмма РИС. 6. Объезд над другой, ни как проход одной ветви под другой (его следует понимать как диаграмматиче ское изображение на плоскости двух «далеко отстоящих» частей узла (зацепления), пересечение которых является «дефектом изображения»), см. рис. 6. В этом смысле естественным является следующий выбор обобщенных движений Рейдемейстера: все обычные движения Рейдемейстера, относящиеся к классическим перекресткам, а также движение объезда. Последнее состоит в том, что ветвь диаграммы узла, содержащая последовательно несколько виртуальных перекрестков, но не содержащая классических перекрестков, может быть преобразована в любую другую ветвь с теми же начальной и конечной точками;

на месте новых пересечений и самопересечений ставятся виртуальные перекрестки, см. рис. 6.

Определение 3.6. Виртуальной диаграммой (или диаграммой виртуального зацепления) на зывается погружение (также и образ погружения) общего положения оснащенного 4-графа в R2, у которого образ каждой вершины снабжен структурой классического перекрестка, т.е. указано, какая ветвь (пара противоположных ребер) проходит выше, а какая — ниже;

при изображении на плоскости точки пересечения образов различных ребер оснащенного 4-графа называются вирту альными перекрестками и обозначаются кружочком.

Виртуальная диаграмма называется связной, если связен соответствующий оснащенный 4-граф.

Виртуальное зацепление — это класс эквивалентности виртуальных диаграмм по виртуаль ным движениям Рейдемейстера, которые включают в себя обычные движения Рейдемейстера и движение объезда.

То есть фактически для задания виртуального узла нам нужно лишь знать, как расположены классические перекрестки, и как они между собой соединяются, при этом нам не важно, как расположены пути, идущие между классическими перекрестками, пересекаются ли они и имеют ли точки самопересечения.

Подобно классическому зацеплению, виртуальное зацепление обладает некоторым количеством компонент.

Виртуальный узел — это виртуальное зацепление с одной уникурсальной компонентой.

Компоненты виртуального зацепления можно описать комбинаторно, исходя из виртуальной диаграммы.

Под уникурсальной компонентой диаграммы виртуального зацепления понимается следующее.

Рассмотрим виртуальную диаграмму L как одномерный комплекс на плоскости. Часть связных компонент этого комплекса представляет собой окружности;

каждую такую компоненту назовем 3. Введение. Основные понятия (уникурсальной) компонентой зацепления. Оставшаяся часть представляет собой четырехвалент ный граф с вершинами в классических и виртуальных перекрестках. Уникурсальной компо нентой диаграммы назовем также (помимо компонент-окружностей) классы эквивалентности на множестве ребер графа: два ребра e, e считаются эквивалентными, если существует набор ребер e = e1,..., ek = e и набор вершин v1,..., vk1 (некоторые из которых, быть может, совпадают) графа такие, что ребра ei, ei+1 подходят к вершине vi с противоположных сторон.

Числом закрученности w(L) виртуальной диаграммы L называется количество положительных перекрестков минус количество отрицательных перекрестков.

Легко видеть, что количество компонент диаграммы зацепления является инвариантным при обобщенных движениях Рейдемейстера. В классическом случае это определение компонент зацеп ления согласуется с приведенным ранее.

Замечание 3.2. Отметим, что такой подход — стандартные движения внутри локальной евкли довой области и движения типа объезда — был использован Н. Камадой и С. Камадой [91] для построения формальных теорий многомерных «виртуальных узлов» и их инвариантов.

Ветви виртуального узла, имеющие виртуальное пересечение, относящиеся к двум «далеко от стоящим» частям узла, могут свободно двигаться по поверхности независимо одна от другой. Это приводит к определению виртуальных узлов как узлов в утолщенных ориентированных поверхно стях S I, где S — двумерная ориентированная замкнутая поверхность, а I = [0, 1] — отрезок с фиксированной ориентацией;

при этом утолщенные поверхности должны рассматриваться с точ ностью до стабилизации, т.е. с точностью до добавления и удаления ручек к поверхности S так, чтобы добавляемые утолщенные ручки не затрагивали соответствующего узла.

Здесь и далее предполагается, что на утолщенной поверхности S I фиксирована структура прямого произведения и указано, какой край является верхним — край S {1}, а какой — нижним, край S {0}.

В случае зацепления нужно разрешать также несвязные поверхности S1 · · · Sk (при этом иногда требуют, чтобы в каждом многообразии Sj I лежала по крайней мере одна компонента виртуального зацепления, [120]). Зацепления в S I описываются диаграммами на S с прохо дами и переходами. В этом смысле виртуальные диаграммы получаются с помощью регулярных проекций общего положения диаграмм c поверхности S на плоскость: перекрестки переходят в классические перекрестки, а новые пересечения (дефекты проекции) отмечаются виртуальными перекрестками;

при этом требуется, чтобы при регулярной проекции окрестности классических перекрестков проектировались на ориентированную плоскость с сохранением ориентации. Дви жения Рейдемейстера для диаграмм на S (те же, что и в случае классических диаграмм узлов) соответствуют классическим движениям Рейдемейстера для виртуальных диаграмм;

существуют также преобразования, которые не меняют комбинаторной структуры диаграммы на S, но меняют комбинаторную структуру проекции на плоскость: им соответствует движение объезда.

Теорема об эквивалентности различных определений виртуальных узлов была анонсирована в работе [99] и доказана различными авторами, в том числе Кауфманом. Полное подробное доказа тельство можно найти, например, в [131].

Реализация движений объезда движениями на утолщенных поверхностях и их проекциями изображена на рис. 7.

Это подводит нас к локальным версиям движения объезда, которые состоят из:

1. Чисто виртуальных движений Рейдемейстера,,, которые получаются из классиче 1 2 ских движений Рейдемейстера заменой всех участвующих в них классических перекрестков виртуальными перекрестками, см. рис. 8.

2. Полувиртуальной версии третьего движения Рейдемейстера, которая состоит в том, что дуга, содержащая два виртуальных перекрестка, может быть перенесена сквозь классический перекресток, см. рис. 9.

Назовем увеличивающим тот из вариантов движения Рейдемейстера, который увеличивает ко личество перекрестков (классических в классическом случае и виртуальных — в виртуальном).

Так, движения 1, 2,, «в одну сторону» являются увеличивающими, а «в другую сторону»

1 — уменьшающими.

Очевидно следующее 10 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Sg Sg Sg Sg R R R2 R П а П а Р а Sg Sg Sg Sg R2 R R R В а Р аТ а Р а РИС. 7. Обобщенные движения Рейдемейстера и утолщенные поверхности 1 РИС. 8. Движения,, 1 2 РИС. 9. Полувиртуальная версия Утверждение 3.1. Две виртуальные диаграммы L и L получаются друг из друга последова тельным применением движений объезда тогда и только тогда, когда они получаются одна из другой последовательным применением движений,,, и обратными к ним.

1 2 3 3. Введение. Основные понятия РИС. 10. Поднятие виртуального перекрестка на ручку РИС. 11. Объезд и стабилизация Восстановление диаграммы узла в утолщенной поверхности по виртуальной диаграмме на плос кости происходит следующим образом.

Пусть L — диаграмма виртуального зацепления на сфере S 2 (мы компактифицируем плоскость R 2 одной точкой). Каждый виртуальный перекресток этой диаграммы соответствует пересечению двух дуг. Выберем одну из них и создадим для ее поднятия «ручку», см. рис. 10. В итоге мы получим диаграмму (с проходами, переходами и виртуальными перекрестками) на торе, у которой количество виртуальных перекрестков на единицу меньше, чем у изначальной диаграммы.

Отметим, что выбор расположения этой ручки — сверху или снизу — несуществен, так как утолщенный поверхности рассматриваются нами сами по себе вне конкретного вложения в R3.

Легко проверяется также, что несуществен и выбор той из двух дуг, которая «поднимается»

на вновь создаваемую ручку — две картинки-диаграммы L1 и L2, соответствующие таким двум поднятиям на поверхности с ручками M1 и M2, т.е. L1 M1 и L2 M2, будут комбинаторно– эквивалентны (т.е. существует гомеоморфизм f : M1 M2 одного поднятия на другое, переводя щий одну виртуальную диаграмму с перекрестками в другую f (L1 ) = L2 ).

Продолжая далее, мы можем избавиться ото всех виртуальных перекрестков и получить диа грамму на Sg (=Sg { 1 } Sg [0, 1]), где g — некоторое количество ручек. Здесь удобно использовать движение объезда. Каждое такое движение состоит в «собирании» последовательно расположенных ручек в одну и дроблении этой ручки на новые ручки, расположенные в других местах, см. рис. 11.

В нижней части рис. 11 «собирание» (или, наоборот, дробление) состоит из элементарных движений, которые как раз представляют собой дестабилизацию (соотв., стабилизацию). При этом классические движения Рейдемейстера производятся локально на некоторой части поверхности Sg, происходящей из сферы посредством добавления ручек.

12 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ РИС. 12. Скручивание Дена и движение F F РИС. 13. Запрещенные движения Естественно, что поверхность Sg автоматически является ориентированной: ориентация для Sg происходит из ориентации сферы S 2, к которой приклеиваются ручки.

Отметим, что на поверхности Sg нет выделенной системы параллелей и меридианов. Действи тельно, при применении первого виртуального движения Рейдемейстера эта поверхность подвер гается скручиваниям Дена, см. рис. 12.

Отметим, что два похожих на движения Рейдемейстера преобразования, показанные на рис. 13, вообще говоря, не являются эквивалентностями виртуальных узлов. Они получили название за прещенных движений, см. рис. 13.

Оказывается (это независимо заметили Гусаров, Поляк, Виро [66] и Кауфман [99, 103]), что при добавлении обоих запрещенных движений любые два виртуальных узла (но не зацепления!) становятся эквивалентными. Если добавить только одно из этих движений, а другое оставить за прещенным, получится интересная теория трубчатых узлов. Эта теория была предложена Шином Сато, [191], см. также [107].

Общеизвестно (доказательство, см., напр., в [131]), что каждый классический узел может быть перестроен в тривиальный узел последовательной заменой перекрестков. Это является отправной точкой для построения инвариантов узлов (скейн-модули, алгебры Конвея, полином Ка уфмана, инварианты Васильева и др.). Для виртуальных узлов это утверждение неверно, а имен но, разрешение замены типа классического перекрестка приводит к нетривиальной теории плоских виртуальных узлов, см., напр., [91]. Ее можно формализовать следующим образом. Вместо лю бого классического перекрестка — прохода или перехода — мы используем один тип перекрестка, называемый плоским (классическим);

он изображается обыкновенным пересечением двух линий на плоскости;

кроме того, мы допускаем виртуальные перекрестки. Движения Рейдемейстера для плоских виртуальных узлов изображены на рис. 14. Можно допустить дальнейшее упрощение и получить новую нетривиальную теорию. А именно, профакторизуем теорию плоских виртуальных узлов по новому движению — виртуализации, см. рис. 15. Получим новую теорию — теория свободных узлов. Оказывается, что даже эта теория не является тривиальной, более подробно см.

п. 5.

3. Введение. Основные понятия РИС. 14. Движения Рейдемейстера для плоских виртуальных узлов РИС. 15. Виртуализация РИС. 16. Простейший нетривиальный плоский виртуальный узел Упрощение теории виртуальных узлов, при котором мы помним информацию только о числе закрученности каждого перекрестка, называется теорией псевдоузлов. Если же мы помним ин формацию о том, какая ветвь проходит выше, а какая ниже, то эта теория называется теорией квазиузлов, см. [214].

Простейший пример плоского виртуального узла, который не может быть сведен к тривиально му, изображен на рис. 16.

Виртуальные узлы поднимаются на «утолщенные» поверхности. Если не обращать внимание на то, какая ветвь виртуального узла в классическом перекрестке проходит выше, а какая — ниже (забыть про структуру проходов/переходов в классических перекрестках), мы получим естествен ное поднятие плоских виртуальных узлов на двумерные поверхности (утолщение не требуется).

Поднятие происходит в два этапа. Сначала по виртуальной диаграмме L мы строим поверх ность с краем следующим образом. В каждом классическом перекрестке диаграммы зацепления мы располагаем крест (верхняя часть рис. 17), а в каждом виртуальном перекрестке — пару непересекающихся лент (нижняя картинка), ср. [91]. Соединяя эти кресты и ленты лентами (не перекрученными), идущими вдоль дуг зацепления, мы получаем ориентируемое двумерное много образие с краем, которое мы обозначим через M.

14 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ d  d d   d   d     d  d    d  d    ddd   d    d d    d d d    d d      d    d  d  dd d      d РИС. 17. Локальная структура поверхности M Естественным образом проекция диаграммы зацепления L отображается в M так, что дуги диаграммы отображаются в средние линии лент, а классические (плоские) перекрестки соответ ствуют перекресткам внутри крестов. Следовательно, мы получаем набор кривых M. Заклеи вая дисками граничные компоненты многообразия M, мы получаем ориентируемое многообразие M = M (L) без края с набором кривых, погруженных в него.

Это приводит нас к теореме, см., напр., [91].

Теорема 3.1. Плоские виртуальные зацепления — это классы эквивалентности конечных наборов ориентированных кривых в двумерных поверхностях, рассмотренных с точностью до свободной гомотопии, стабилизации и дестабилизации.

Вопрос о том, являются ли два таких задания плоского виртуального зацепления эквивалент ными в категории плоских виртуальных узлов распознается алгоритмически.

Пусть S — ориентируемая замкнутая двумерная поверхность рода g. В работе [69], указанной нам П. Кан, Дж. Хасс и П. Скотт показали, что если на поверхности S мы имеем две гомотопные кривые, количество точек самопересечений которых минимально, то эти две кривые можно связать только третьими движениями Рейдемейстера.

Докажем следующую теорему.

Теорема 3.2. Плоский узел имеет единственного минимального (в смысле рода поверхно сти) представителя (S, D) (замкнутая ориентируемая двумерная поверхность, кривая на ней) с точностью до диффеоморфизма (f : (S, D) (S, D ), D = f (D)) и гомотопии узла на поверхности.

Как следствие этой теоремы (используя результаты Дж. Хасса и П. Скотта) мы получим Следствие 3.1. Плоский узел имеет единственного минимального представителя (в смысле рода поверхности и количества перекрестков) с точностью до диффеоморфизма и третьего движения.

Доказательство теоремы 3.2 примерно повторяет доказательство теоремы Куперберга [120].

Докажем от противного. Пусть дан плоский узел, и пусть (S, D) — минимальный (по роду поверхности) представитель этого узла, который можно дестабилизациями и движениями Рей демейстера привести к разным минимальным представителям. Следовательно, на поверхности S существуют две диаграммы D1, D2, гомотопные диаграмме D, и нетривиальные замкнутые две кривые 1, 2 такие, что Di i =, i = 1, 2, и дестабилизация вдоль i (разрезание по циклу и заклеивание краев дисками) приводит к разным минимумам. Заметим, что по выбору представите ля (S, D) у результата дестабилизации (Si, Di ) для каждого i = 1, 2 минимум уже единственный.

), i = 1, 2, можно дестабилизировать к общей плоской диаграмме (S, D).

Покажем, что (Si, Di Тогда минимумы у (S1, D1 ) и (S2, D2 ) будут совпадать с минимумом для (S, D), и получится противоречие.

Пусть D0 — минимальный по числу перекрестков представитель D на S. Воспользуемся следу ющей леммой 3. Введение. Основные понятия + + РИС. 18. Гауссова диаграмма виртуального узла Лемма 3.1. Пусть D и D — диаграммы на S, причем D получается из D конечной после довательностью уменьшающих первых и вторых движений Рейдемейстера, а также третьих движений и изотопий. Пусть — нестягиваемая замкнутая кривая такая, что D =.

Тогда можно изотопировать одновременно с диаграммой D, чтобы кривая с диаграммой не пересекались. В частности, существует кривая, изотопная, такая, что D =.

Доказательство. Кривая лежит в нетривиальной (не гомеоморфной диску) компоненте S \ D.

Посмотрим, что происходит с компонентами при движениях. При первом, втором и третьем дви жениях исчезает тривиальная компонента дополнения (при третьем еще одна такая появляется), остальные изотопируются. При изотопии все компоненты изотопируются. Значит, кривая при на ших преобразованиях не затрагивается, и мы ее изотопируем вместе со всеми.

По лемме 3.2 можно считать, что D1 = D2 = D0 и D0 i =, i = 1, 2. Рассмотрим полную дестабилизацию представителя (S, D0 ). Для этого заменим нетривиальные компоненты S \ D0 на объединение дисков и заклеим дисками окружности, по которым эти компоненты примыкали к узлу D0. Это эквивалентно проведению последовательной дестабилизации по некоторому набору непересекающихся нетривиальных кривых, лежащих в S \D0. Ясно, что можно выбрать этот набор так, чтобы он включал кривые i. Следовательно, результат полной дестабилизации (S, D) полу чается дальнейшей дестабилизацией (Si, Di ) (по остальным кривым набора). Что и требовалось.

Теорема 3.2 доказана.

Как было отмечено выше, произвольные гауссовы диаграммы, вообще говоря, могут не быть реализованы в виде вложений оснащенных 4-графов в плоскость, но можно их реализовать по средством погружений общего положения, отмечая точки, имеющие больше одного прообраза (в случае общего положения — ровно два прообраза), виртуальными перекрестками, см. рис. 18.

Это естественным образом приводит к следующему определению виртуальных узлов (не зацеп лений): нужно рассмотреть все формальные гауссовы диаграммы и формально описать движения Рейдемейстера (как в случае классических диаграмм): они будут представлять собой комбинатор ные схемы преобразований гауссовых диаграмм. В этом случае классы эквивалентности гауссовых диаграмм по формальным движениям Рейдемейстера и будут представлять виртуальные узлы.

Отметим, что нам не понадобится движение объезда, так как гауссова диаграмма «не знает» ни чего о расположении виртуальных перекрестков на плоскости, а «знает» лишь о расположении классических перекрестков и о том, как они соединены между собой. Это означает, что гауссовы диаграммы чувствительны только к классическим движениям Рейдемейстера и нечувствительны к движениям объезда. Точный список движений Рейдемейстера для гауссовых диаграмм мы при водим в пп. 5 и 7. Далее это послужит для построения новой теории — теории граф-зацеплений, см. п. 7.

3.3. Скобка Кауфмана и индекс самозацепления. Приведем здесь два примера инварианта виртуальных узлов. Первый инвариант — это скобка Кауфмана. В последующих разделах мы усилим этот инвариант, используя понятие четности, и обобщим его на новые комбинаторные объекта.

Второй инвариант, рассмотренный здесь, принадлежит Кауфману и основан на понятии четно сти. Этот инвариант является первым, в котором используется четность. Как мы увидим далее (п. 5), понятие четности дает глубокие, важные и интересные результаты.

16 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Рассмотрим неориентированную диаграмму L виртуального зацепления с n классическими пе рекрестками. Каждый из перекрестков диаграммы L можно развести одним из двух способов:

положительным A : или отрицательным B :. Выбор разведения всех перекрест ков называется состоянием диаграммы. Таким образом, диаграмма L имеет 2n состояний. После разведения диаграммы согласно некоторому состоянию, мы получим диаграмму виртуального за цепления без классических перекрестков. Таким образом, получаемое виртуальное зацепление будет тривиальным. Сопоставим каждому состоянию s три числа: (s) — число классических перекрестков, разведенных способом A, (s) = (n (s)) — число классических перекрестков, разведенных способом B и (s) — число компонент (тривиального) зацепления в состоянии s.

Определим скобку Кауфмана [99] · неориентированной диаграммы L по формуле:

a(s)(s) (a2 a2 )((s)1), L = s где сумма берется по всем состояниям s диаграммы L.

Скобка Кауфмана инвариантна относительно всех обобщенных движений Рейдемейстера, за исключением первого классического движения Рейдемейстера 1.

Из определения следует, что скобка Кауфмана удовлетворяет соотношению + a = a.

Определение 3.7. Назовем длиной полинома Лорана P (x) одной переменной x разность между показателями старшей и младшей степеней мономов, входящих в него с ненулевыми коэффициен тами. Обозначение: spanP (x).

Отметим, что длина скобки Кауфмана инварианта при всех движениях Рейдемейстера.

Скобка Кауфмана, которая является «почти» инвариантом неориентированных виртуальных за цеплений, приводит к построению инварианта ориентированных виртуальных зацеплений.

Для этого ее нужно нормировать следующим образом. Пусть L — ориентированная виртуальная диаграмма. Положим X(L) = (a)3w(L) |L|, где w(L) — число закрученности диаграммы L, а |L| — неориентированная диаграмма, получаемая из L забыванием ориентации.

Известно [99], что таким образом мы получаем инвариантный полином (полином Лорана) ори ентированных зацеплений, который называется полиномом Джонса-Кауфмана [85]. По полиному Джонса-Кауфмана зацеплений можно судить о следующем:

1. Является ли зацепление классическим?

2. Каким может быть род зацепления (в смысле атома, см. определение на стр. 18)?

3. Каким может быть количество перекрестков диаграммы данного зацепления (оценка снизу)?

Построим второй инвариант.

Определение 3.8. Пусть K — диаграмма ориентированного виртуального узла. Мы назовем классический перекресток диаграммы K нечетным, если в гауссовой диаграмме для K количество хорд, зацепленных с соответствующей хордой, нечетно.

Положим J(K) = w(K)|Odd(K), где Odd(K) обозначает набор нечетных перекрестков диаграммы K, при этом ограничение чис ла закрученности w(K) на Odd(K), обозначаемое через w(K)|Odd(K), равно сумме знаков всех нечетных перекрестков диаграммы K. Тогда несложно показать, что J(K) является инвариан том виртуального узла (зацепления) K. Назовем J(K) индексом самозацепления виртуальной диаграммы K. Этот инвариант прост, но достаточно силен.

Если узел K является классическим, то J(K) = 0, так как классические диаграммы не имеют нечетных перекрестков.

3. Введение. Основные понятия b a a b c K E РИС. 19. Виртуальный трилистник K и виртуальная восьмерка E a c d b K’ РИС. 20. Узел K Теорема 3.3. Пусть K — виртуальный узел, и пусть K обозначает зеркальный образ узла K (полученный заменой всех типов классических перекрестков диаграммы K). Тогда имеет место J(K ) = J(K).

Таким образом, если J(K) = 0, то узел K неэквивалентен своему зеркальному образу. Если K — виртуальный узел, а J(K) не равно нулю, то узел K не эквивалентен никакому классическому узлу.

Мы оставляем доказательство этой теоремы, а также доказательство инвариантности J(K) читателю. За подробностями мы отсылаем читателя к [102].

Рассмотрим рис. 19. Два виртуальных узла на этом рисунке представляют собой область при менения теоремы 3.3. В случае узла K оба перекрестка являются нечетными, поэтому мы имеем J(K) = 2. Это доказывает, что узел K нетривиален, неклассичен и неэквивалентен своему зер кальному образу. Аналогично для виртуального узла E перекрестки a и b являются нечетными.

Мы имеем J(E) = 2, откуда следует, что узел E также нетривиален, неклассичен и неэквивален тен своему зеркальному образу. Заметим, что для узла E значение инварианта не зависит от типа перекрестка c.


Обратимся к рис. 20. Виртуальный узел K имеет J(K ) = 2. Заметим, что K развязывается, если мы допустим второе (на рис. 13 снизу) запрещенное движение. Этот пример подчеркивает, почему мы запрещаем такие движения в виртуальной теории узлов.

3.4. Атомы и виртуальные узлы. Атомы были первоначально введены А. Т. Фоменко [56] для классификации гамильтоновых систем малой сложности. Как оказалось в дальнейшем, атомы играют важную роль в теории узлов и маломерной топологии, см. работы [131, 142, 146, 166] и ссылки в них.

Определение 3.9. Атомом называется пара (M, ), состоящая из двумерного замкнутого мно гообразия M и оснащенного четырехвалентного графа M такого, что M \ представляет собой несвязное объединение двумерных клеток, покрашенных в два цвета — черный и белый — таким образом, что клетки, инцидентные одному ребру графа, имеют разные цвета.

Граф называется остовом атома (M, ).

Атомы рассматриваются с точностью до естественной эквивалентности: гомеоморфизмов дву мерных многообразий, переводящих остов в остов и согласованных с раскраской клеток.

Каждый атом (более точно, его класс эквивалентности) может быть полностью восстановлен по следующим комбинаторным данным:

18 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ 1. остов (4-граф);

2. A–структура или структура противоположных ребер (делящая четыре полуребра, исхо дящие из каждой вершины, на две пары, называемые противоположными;

отношение про тивоположности определяется в соответствии с расположением полуребер на поверхности) и 3. B–структура (в каждой вершине выделены две пары соседних полуребер (или двух углов), которые входят в границу одной черной клетки).

Атом (M, ) называют связным (ориентируемым), если M связно (ориентируемо) как много образие. Родом атома (M, ) называют род поверхности M. Вершиной (ребром) атома называют вершину (ребро) его остова.

Замечание 3.3. В [207] В. Г. Тураев использовал схожую конструкцию (поэтому род атома в некоторых источниках, напр., [126], называют родом Тураева).

Если атом (M, ) не является ориентируемым, то можно рассмотреть его ориентирующее на крытие, т.е. атом, (M, ), являющийся прообразом пары (M, ) при двулистном ориентирующем накрытии;

в случае, когда атом (M, ) ориентируем, определим атом (M, ) как два отдельно стоящих экземпляра атома (M, ) (с фиксированным изоморфизмом одного атома на другой).

Атомы удобны для описания зацеплений и виртуальных зацеплений.

Среди атомов выделяется класс высотных, которые соответствуют диаграммам классических зацеплений. Согласно [128], назовем высотным такой атом, остов которого может быть вложен в плоскость таким образом, что A–структура атома соответствует A–структуре, наследуемой атомом из плоскости, т.е. в каждой вершине атома противоположные полуребра остаются противополож ными при вложении остова на плоскость.

В общем случае высотностью h ориентируемого атома (M, ) называется минимальный род ориентируемой поверхности S, в которую остов атома может быть вложен с сохранением A– структуры. Из определения атома следует, что высотность ориентируемого атома не превосходит его рода: h(M, ) g(M, ).

Остов каждого атома представляет собой оснащенный 4-граф: оснащение (соотношение про тивоположности полуребер) наследуется из вложения графа в двумерную поверхность. Иначе можно сказать, что атом — это вложение оснащенного 4-графа (без циклических компонент) в поверхность таким образом, чтобы связные компоненты дополнения к графу в поверхность были клетками, допускающими шахматную раскраску.

Вопросам планарности оснащенных 4-графов (т.е. является ли данный оснащенный 4-граф осто вом атома рода 0) посвящена работа [142], а вопросу о том, какой род может принимать атом в зависимости от его остова — работа [146].

Пусть дана виртуальная диаграмма L, построим по ней атом At(L). Вершины атома At(L) со ответствуют классическим перекресткам диаграммы L. Классические перекрестки диаграммы L соединены друг с другом ветвями диаграммы L, которые могут пересекать друг друга только в виртуальных перекрестках. В каждом классическом перекрестке мы имеем четыре исходящих по луребра e1, e2, e3, e4, занумерованные по часовой стрелке таким образом, что пара (e1, e3 ) образует проход, а пара (e2, e4 ) — переход. Эти ребра соответствуют ребрам атома At(L), которые соеди няют соответствующие вершины. При этом 1-циклы остова, к которым приклеиваются черные и белые клетки устроены следующим образом. Граница 2-клетки — это поворачивающая окружность на остове: окружность, которая проходит каждое ребро не более одного раза и в каждой вершине поворачивает с ребра на соседнее (не противоположное). Черные клетки приклеиваются к углу, образованному (e1, e2 ) и (e3, e4 ), а белые — к (e2, e3 ) и (e1, e4 ), см. рис. 21.

Назовем родом, ср. [199], виртуального зацепления L минимум значения g(M, ) по всем ато мам (M, ), соответствующим диаграммам зацепления L, a высотностью — минимум значения h(M, ) по всем атомам (M, ), соответствующим диаграммам зацепления L.

Из определения следует, что классические зацепления имеют высотность нуль. Действительно, если зацепление является классическим, то его тень представляет собой вложенный в плоскость четырехвалентный граф, который является остовом соответствующего атома. По построению A– структура атома совпадает с A–структурой, индуцируемой из плоскости. Таким образом, всякой классической диаграмме соответствует высотный атом.

3. Введение. Основные понятия e3 e e2 e РИС. 21. Приклеивание клеток Отметим, что обратная процедура построения виртуальной диаграммы по атому не является однозначной: диаграмма виртуального зацепления определяется с точностью до движений объезда и виртуализаций, см., напр., [131]. Последнее связано с тем обстоятельством, что оснащенность остова атома еще не задает циклической структуры исходящих полуребер: так, зная, что полуребра e1, e3 противоположные, мы имеем два возможных циклических порядка для вложения окрест ности этой вершины в плоскость: e1, e2, e3, e4 и e1, e4, e3, e2. Соответствующие им диаграммы виртуальных узлов отличаются друг от друга (движениями объезда и) виртуализациями.

Отметим, что виртуальные узлы с точностью до виртуализации — это псевдоузлы.

Пусть дан некоторый атом At. Предположим, что для A–структуры атома существует ориента ция всех ребер атома At такая, что в каждой вершине по два противоположных ребра являются исходящими, а два других — входящими.

Определение 3.10. Назовем такую структуру структурой источник-сток.

Замечание 3.4. Та же самая структура исследовалась в теории виртуальных узлов Н. Кама дой, см., напр., [90]. Там эта структура называлась альтернированной ориентацией для графа, который в настоящей работе называется остовом атома.

Предложение 3.1. [166] Остов атома допускает структуру источник-сток, тогда и толь ко тогда, когда атом является ориентируемым.

Доказательство. Предположим, что A–структура атома обладает структурой источник-сток. Рас смотрим черные (послекритические) клетки этого атома. Мы зададим ориентацию всех черных клеток таким образом, чтобы в каждой вершине атома две локальные ориентации, заданные чер ными клетками, примыкающими к этой вершине, были согласованы (т.е. в вершине соприкосно вения двух черных клеток две ориентации, задаваемые подряд идущими ребрами, были либо обе направлены по часовой стрелке, либо обе — против часовой стрелки). Легко видеть, что из этого следует ориентируемость атома.

Граница каждой черной клетки атома представляет собой цикл, состоящий из подряд идущих ребер, при этом каждое следующее ребро не является противоположным предыдущему согласно A–структуре. Так как в каждой вершине выполнено условие источник-сток, то цикл является ориентированным, т.е. представимым в виде отображения ориентированной окружности, при этом ориентация ребер согласована с ориентацией окружности. Ориентация границы клетки задает ориентацию и на внутренности этой клетки: для этого достаточно выбрать репер, первый вектор которой ориентирован по одному из ребер границы, а второй направлен внутрь клетки. Проделаем это для каждой черной клетки. Наличие структуры источник-сток в каждой вершине означает, что ориентации клеток, соседствующих по вершине, согласованы. Ориентация легко продолжается и на белые клетки.

Предположим теперь, что атом ориентирован. Фиксируем произвольную ориентацию атома про извольным образом и зададим ориентацию ребер атома таким образом, чтобы для каждой черной клетки C и каждого ребра e, ей инцидентного, ориентация пары векторов, была положитель e ной, где — нормальный вектор, направленный от точки на ребре e внутрь клетки C, а — e вектор, направленный вдоль ребра согласно выбранной ориентации.

20 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Очевидно, что полученная ориентация ребер будет задавать структуру источник-сток.

Замечание 3.5. Из предложения 3.1 следует, что если некоторый атом (M, ) с остовом ориентируем, то таковым является и любой другой атом (M, ) с тем же остовом и той же A–структурой.

4. ЭЙЛЕРОВЫ ЦИКЛЫ, ГАУССОВЫ ЦИКЛЫ И ПОВОРАЧИВАЮЩИЕ ОБХОДЫ Настоящий раздел является подготовительным для раздела 7. Основной результат — это явная формула, связывающая матрицы смежности поворачивающего обхода и гауссового цикла на связном оснащенном 4-графе.

Каждый оснащенный 4-граф G имеет эйлеров цикл U, т.е. путь, проходящий по всем ребрам графа G и притом только по одному разу. В каждой вершине графа мы имеем две возможности ее прохождения: либо мы двигаемся с полуребра на противоположное ему полуребро, либо мы двигаемся с полуребра на непротивоположное ему полуребро. Среди всех эйлеровых циклов на оснащенном 4-графе G можно выделить два особых типа циклов: в эйлеровых циклах первого типа мы каждую вершину проходим согласно первой возможности прохода через нее, а в эйлеро вых циклах второго типа — согласно второй возможности, т.е. мы всегда двигаемся с полуребра на непротивоположное ему полуребро. Нетрудно видеть, что на любом оснащенном 4-графе суще ствует не более одного эйлерова цикла первого типа. Эйлеров цикл первого типа, если конечно он существует, назовем гауссовым циклом,. Эйлеровы циклы второго типа (поворачивающие об ходы, см. [121, 142, 146]) существуют на любом связном оснащенном 4-графе, и число их может быть больше одного. Если мы рассмотрим проекцию узла, то она имеет гауссов цикл, а проекция зацепления (не узла) не имеет гауссова цикла.


Имея эйлеров цикл на оснащенном 4-графе, мы можем построить хордовую диаграмму, соот ветствующую этому циклу. Мы соединяем на окружности хордами прообразы всех вершин, т.е.

каждой вершине соответствует одна хорда.

В маломерной топологии оба подхода, подход с помощью гауссова цикла и подход с помощью поворачивающего обхода, широко используются. Подход с помощью гауссова цикла применяется в теории узлов, а именно, в построении инвариантов конечного порядка, инвариантов Василье ва [12, 36, 66], и в вопросах планарности погруженной кривой, см. [27, 28, 189]. Однако для определения планарности оснащенного 4-графа более удобно пользоваться поворачивающим об ходом, см. [142, 146, 189]. Критерий планарности для погруженной кривой, которая является оснащенным 4-графом, формулируется очень просто: погруженная кривая планарна тогда и только тогда, когда хордовая диаграмма какого-то, а, следовательно, и произвольного поворачивающего обхода является d-диаграммой, т.е. хордовой диаграммой, хорды которой допускают разбиение на два семейства таким образом, чтобы хорды из одного семейства не были зацеплены друг с другом (более точное определение см. ниже), [131, 189]. Если мы хотим обобщить вопрос планарно сти и рассматривать вопрос нахождения минимального рода двумерной замкнутой ориентируемой поверхности, в которую может быть вложена заданная кривая, то подход с помощью поворачиваю щего обхода тоже более удобен. Существует критерий, дающий ответ на вопрос о минимальности рода, см. [146].

Так как существует много поворачивающих обходов, соответствующие одному и тому же гаус сову циклу, любые свойства гауссова цикла могут быть определены из любого поворачивающего обхода [77]. Следовательно, эти свойства не зависят от способа выбора поворачивающего обхо да. Например, если один из поворачивающих обходов является d-диаграммой, то остальные тоже являются d-диаграммами. Таким образом, встает вопрос о получении явной формулы, позволяю щей нам получить гауссов цикл из произвольного поворачивающего обхода и наоборот. Конечно, имея оснащенный 4-граф, мы можем ответить на вопрос: существует или нет гауссов цикл на нем? Мы можем просто двигаться вдоль графа, в каждой вершине мы имеем единственный способ движения. Но этот метод в случае большего количества вершин не отражает явно комбинатори ку эйлеровых циклов. В настоящем разделе мы приводим явную форму, которая зависит только от матрицы смежности эйлерова цикла: беря произвольный эйлеров цикл и строя его матрицу смежности, мы можем понять, имеет ли данный оснащенный 4-граф гауссов цикл и в случае 4. Гауссовы циклы и поворачивающие обходы существования найти его матрицу смежности. Матрица смежности эйлерова цикла является сим метрической матрицей, причем не каждая симметрическая матрица является матрицей смежности некоторого эйлерова цикла. Оказывается, что приведенная далее формула верна для всех симмет рических матриц. Исследуя данную формулу, мы можем получить некоторые интересные факты, касающиеся симметрических матриц, см. п 7.

4.1. 4-Графы и эйлеровы циклы. Пусть H — произвольный (связный) 4-граф с множеством вершин V(H), и пусть U — эйлеров цикл на графе H, т.е. путь, проходящий по всем ребрам графа и притом только по одному разу. Опишем связь между двумя эйлеровыми циклами на данном графе H.

Определим k-преобразование (Коциг [116]). Для каждой вершины v V(H) существуют в точности два замкнутых пути Pv и Qv на U, не имеющих общих ребер, начинающихся и за канчивающихся в вершине v. Существует единственный эйлеров цикл, отличный от U, также соединяющий пути Pv и Qv (если мы зададим произвольную ориентацию на эйлеровом цикле U, то на новом эйлеровом цикле мы двигаемся вдоль Pv согласно ориентации на U, а вдоль Qv — в противоположном направлении). Обозначим через U v новый эйлеров цикл, полученный из U.

Преобразование U U v называется k-преобразованием.

Предложение 4.1 (см. [116]). Любые два эйлерова цикла на 4-графе связаны последова тельностью k-преобразований.

Пусть w = x1 x2... xk1 xk — произвольное слово, т.е. конечная последовательность букв неко торого конечного алфавита. Зеркальный образ слова w — это слово w = xk xk1... x2 x1.

Мы будем рассматривать классы эквивалентности слов, где любое слово из класса, порож денного словом x1... xk, является или циклической перестановкой wi = xi xi+1... xk x1... xi1, k, слова x1... xk, или зеркальным образом циклической перестановки слова wi. Мы 1 i обозначим этот класс через (x1... xk ) и назовем его циклическим словом.

Определение 4.1. Слово называется словом с двойным вхождением, если каждая его буква встречается в нем ровно два раза.

Замечание 4.1. Когда мы рассматриваем циклическое слово с двойным вхождением, для нас будет важно лишь расположение букв, соответствующих одной и той же вершине, а не их обозна чение, см. [211].

Пример 4.1. Слово abccba является словом с двойным вхождением, а слово abccb не является словом с двойным вхождением.

Очевидно, что зеркальный образ и циклическая перестановка слова с двойным вхождением являются словами с двойным вхождением. Поэтому имеет смысл говорить о циклическом слове с двойным вхождением. Каждое циклическое слово с двойным вхождением удобно изображать хордовой диаграммой.

Пусть X — произвольное конечное множество, и m — произвольное циклическое слово с двой ным вхождением, где буквы берутся из множества X. Тогда слово m имеет представление по средством хордовой диаграммы, которая строится последовательным расположением букв слова m вдоль окружности S 1, выбором точек на S 1 около каждого расположения буквы слова и соеди нением хордой каждой пары точек, соответствующих двум одинаковым буквам слова. Нетрудно видеть, что мы получаем взаимно однозначное соответствие между множеством циклических слов с двойным вхождением и множеством хордовых диаграмм.

Пример 4.2. Рассмотрим слово m = (abacdbcd). Слово m имеет хордовую диаграмму, изобра женную на рис. 22.

Определим операцию на циклических словах с двойным вхождением, которая будет соответ ствовать k-преобразованию. Пусть m = (vAvB), где A, B — подслова слова m, и буквы принад лежат некоторому конечному алфавиту. Тогда положим m v = (v AvB), A — зеркальный образ подслова A. Легко проверить, что эта операция является корректно определенной на циклических словах с двойным вхождением. На рис. 23 преобразование m m v изображается для хордовых диаграмм (пунктирные дуги хордовых диаграмм содержат концы всех хорд, отличных от v). Для 22 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ a c b d a b d c РИС. 22. Хордовая диаграмма слова (abacdbcd) v v A B A B A B v v v v РИС. 23. Операция на хордовых диаграммах каждого преобразования хордовых диаграмм мы считаем, что только фиксированные фрагменты хордовых диаграмм меняются. Части хордовых диаграмм, не содержащие хорд, участвующих в преобразованиях, изображаются пунктирными дугами.

Пусть U — произвольный ориентированный эйлеров цикл на 4-графе H с множеством вер шин V(H) = {v1,..., vn }, которое будет играть роль алфавита. Двигаясь вдоль U, мы встреча ем каждую вершину дважды. Последовательно записывая встречающиеся вершины, мы получим циклическое слово m(U ) в алфавите V(H). Очевидно, что в полученном слове каждая вершина встречается дважды, следовательно, эйлеровы циклы кодируются циклическими словами с двой ным вхождением. Из определения следует, что m(U v) = m(U ) v и, если мы имеем циклическое слово m с двойным вхождением или хордовую диаграмму, мы можем построить 4-граф, имеющий такой эйлеров цикл U, что m(U ) = m. Мы просто «стягиваем» в одну вершину каждую пару вершин хордовой диаграммы, помеченных одной и той же буквой, (хорду) и отождествляем новую вершину с этой буквой.

4.2. Оснащенные 4-графы и эйлеровы циклы. Пусть H — произвольный оснащенный 4-граф, и U — эйлеров цикл на нем. Построим оснащенное циклическое слово m(U ) с двойным вхожде нием (соотв., оснащенную хордовую диаграмму), соответствующее эйлерову циклу U. В каждой вершине v графа H мы имеем следующие три возможности прохождения вдоль U через вершину v:

1. мы переходим с полуребра на противоположное ему полуребро, см. рис. 24 а). Вершина v в этом случае будет называться гауссовой вершиной для U, и хорда, соответствующая этой вершине, также будет называться гауссовой;

2. мы переходим с полуребра на непротивоположное ему полуребро, причем ориентации про тивоположных ребер различны, см. рис. 24 б). Вершина v в этом случае будет называться негауссовой вершиной с оснащением 0 для U, и хорда, соответствующая этой вершине, также будет называться негауссовой хордой с оснащением 0;

3. мы переходим с полуребра на непротивоположное ему полуребро, причем ориентации про тивоположных ребер совпадают, см. рис. 24 в). Вершина v в этом случае будет называться негауссовой вершиной с оснащением 1 для U, и хорда, соответствующая этой вершине, также будет называться негауссовой хордой с оснащением 1.

Определение 4.2. Эйлеров цикл, имеющий только гауссовы вершины, называется гауссовым циклом. Эйлеров цикл, содержащий только негауссовы вершины, называется поворачивающим обходом, см. [77, 78, 142, 146, 189].

4. Гауссовы циклы и поворачивающие обходы v v v ) ) а) РИС. 24. Переход через вершину Определение 4.3. Назовем оснащенный 4-граф, имеющий гауссов цикл, уникурсальным гра фом.

Двигаясь вдоль эйлерова цикла U, мы встречаем каждую вершину графа H дважды. Перейдем к построению оснащенного циклического слова m(U ) с двойным вхождением, соответствующего эйлерову циклу U. Слова будут рассматриваться над алфавитом X = V(H) V(H)1 V(H)G, где множество V(H)1 состоит из элементов вида v 1 для каждой вершины v V(H), а множество V(H)G состоит из элементов вида v G для каждой вершины v V(H). Каждой гауссовой вершине будут соответствовать в m(U ) две одинаковые буквы из множества V(H)G, т.е. каждому вхожде нию соответствующей вершины мы припишем верхний индекс G. Например, m(U ) = (Av G Bv G ), если вершина v является гауссовой. Каждой негауссовой вершине с оснащением 0 будут соответ ствовать в m(U ) две одинаковые буквы из множества V(H) V(H)1, т.е. каждому вхождению соответствующей вершины мы либо ничего не припишем, либо припишем оба раза верхний индекс 1. Например, m(U ) = (AvBv) или m(U ) = (Av 1 Bv 1 ), если вершина v является негауссовой вершиной с оснащением 0. Каждой негауссовой вершине с оснащением 1 будут соответствовать в m(U ) две разные буквы из множества V(H) V(H)1, т.е. двум вхождениям соответству ющей вершины мы, произвольным образом, приписываем разные верхние индексы. Например, m(U ) = (Av 1 Bv) или m(U ) = (AvBv 1 ), если вершина v является негауссовой вершиной с оснащением 1 (мы не делаем различия между этими двумя словами). Таким образом, мы рас сматриваем не просто оснащенные циклические слова, а классы эквивалентности оснащенных циклических слов, где эквивалентность порождается автоморфизмами алфавита, которые меняют буквы v и v 1 местами для некоторой буквы v. Для простоты изложения мы называем эти классы оснащенными циклическими словами.

Замечание 4.2. Построенное оснащенное слово не всегда будет являться словом с двойным вхождением каждой буквы. Мы можем рассмотреть проекцию : V (H) V (H)1 V (H)G V (H) V (H)G, заданную правилом v ±1 v и v G v G. Образ построенного оснащенного слова при этой проекции является уже словом с двойным вхождением каждой буквы. Мы называем оснащенное слово словом с двойным вхождением, если образ слова при проекции является словом с двойным вхождением.

Изображая оснащенное циклическое слово с двойным вхождением посредством оснащенной хордовой диаграммы, мы будем использовать хорды трех типов: хорды с меткой G для гауссовых вершин, «жирные» хорды без меток для негауссовых вершин с оснащением 0 и пунктирные хорды для негауссовых вершин с оснащением 1.

Пример 4.3. Рассмотрим оснащенное циклическое слово с двойным вхождением m = (ab1 acdG e1 dG b1 c1 e). Имеем: d — гауссова вершина, a, b — негауссовы вершины с оснаще нием 0 и c, e — негауссовы вершины с оснащением 1. Соответствующая оснащенная хордовая диаграмма изображена на рис. 25.

Пусть V — произвольное конечное множество. Имея оснащенное циклическое слово m с двой ным вхождением (оснащенную хордовую диаграмму) в алфавите V V 1 V G, мы можем построить оснащенный 4-граф, имеющий такой эйлеров цикл U, что оснащенное слово m(U ) совпадает с m.

Мы сначала построим 4-граф, а затем зададим оснащение, используя тип каждой вершины.

Определим операцию оснащенная звездочка на множестве оснащенных циклических слов с двойным вхождением. Будем обозначать эту операцию тем же самым символом.

24 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ c a d b G e a e d b c РИС. 25. Оснащенная хордовая диаграмма для (ab1 acdG e1 dG b1 c1 e) v v ) v v ) РИС. 26. Операция оснащенная звездочка Замечание 4.3. Мы использовали то же самое обозначение для «простых» циклических слов с двойным вхождением. Далее мы будем рассматривать только оснащенные циклические слова с двойным вхождением, и такое обозначение не приведет к противоречию.

Сначала мы определим операцию w, где w — произвольное подслово (необязательно слово с двойным вхождением) оснащенного циклического слова с двойным вхождением. Пусть w = x1... xk. Тогда w = xk... x1, где xl = xl, если l = G, и xl = xl, если l = ±1. Далее, 1 k k l l l l m = (a m1 a m2 ) — оснащенное циклическое слово с двойным вхождением. Положим m a = (am1 am2 ), если = = G (рис. 26 а));

m a = (aG m1 aG m2 ), если = = G (рис. a));

m a = (am1 a1 m2 ), если = (рис. 26 б)). Таким образом, в результате применения операции оснащенная звездочка к букве a мы получаем: если a являлась гауссовой буквой, то в новом слове она будет негауссовой буквой с оснащением 0;

если a являлась негауссовой буквой с оснащением 0 (соотв., 1), то в новом слове она будет гауссовой буквой (соотв., негауссовой буквой с оснащением 1).

Используя предложение 4.1, не трудно доказать Предложение 4.2 (см. [77, 78, 146]). Любые два оснащенных циклических слова с двойным вхождением, полученные из оснащенного 4-графа, связаны между собой последовательным применением операции оснащенная звездочка.

4. Гауссовы циклы и поворачивающие обходы Беря произвольный эйлеров цикл и применяя операцию оснащенная звездочка к гауссовым буквам, мы получаем Предложение 4.3. Каждый оснащенный 4-граф имеет поворачивающий обход.

Замечание 4.4. Нетрудно доказать предложение 4.3, используя и другие методы.

Очевидно, что существует много поворачивающих обходов, и не каждый оснащенный 4-граф имеет гауссов цикл (если гауссов цикл существует, то он единствен). В следующем разделе 4. мы сформулируем критерий существования гауссова цикла, используя произвольный эйлеров цикл, и покажем, как его получить при условии существования. Следующее утверждение говорит нам, как связаны два поворачивающих обхода на оснащенном 4-графе.

Утверждение 4.1 (см. [77, 78, 146]). Любые два поворачивающих обхода получаются друг из друга последовательностью следующих операций: оснащенная звездочка, примененная к негауссовым буквам с оснащением 1, и (((m a) b) a), где m — оснащенное циклическое слово с двойным вхождением, a, b — негауссовы буквы с оснащением 0, причем они чередуются в слове m, т.е. m = (... a... b... a... b).

4.3. Существование гауссова цикла. Нам потребуются два понятия для формулирования кри терия существования гауссова цикла: матрица смежности оснащенного циклического слова с двойным вхождением (оснащенной хордовой диаграммы) и перестройка множества хорд.

Определение 4.4. Пусть D — оснащенная хордовая диаграмма, и пусть S 1 — ее окружность.

Напомним, что две хорды называются зацепленными, если концы одной хорды лежат в разных связных компонентах множества, полученного из S 1 выбрасыванием концов другой хорды. Ис пользуя язык оснащенных циклических слов с двойным вхождением, мы называем две буквы a, b чередующимися, если мы их встречаем последовательно (... a1... b1... a2... b2...), при прочтении слова циклически.

Определение 4.5. Матрица смежности хордовой диаграммы D с пронумерованными n хор дами — это n n матрица A(D) = (aij ), удовлетворяющая следующим условиям 1. элемент aii равен оснащению хорды с номером i, т.е. или G, или 0, или 1;

2. aij = 1, i = j, если и только если хорды с номерами i и j зацеплены;

3. aij = 0, i = j, если и только если хорды с номерами i и j не зацеплены.

Замечание 4.5. Матрицы смежности рассматриваются над Z2, если у нас на диагонали нет букв G.

Пример 4.4. Пусть D — оснащенная хордовая диаграмма, изображенная на рис. 25. Пронуме руем все хорды из D: хорда aa имеет номер 1, хорда bb — номер 2 и т.д. Тогда 1 0 1 0 A(D) = 0 1 1 0 1.

0 0 0 G Пусть D — оснащенная хордовая диаграмма без гауссовых хорд. Определим перестройку вдоль множества хорд хордовой диаграммы D следующим образом. Для каждой хорды, имеющей осна щение 0 (соотв., 1), мы рисуем параллельную (соотв., пересекающую) хорду около первоначальной хорды и удаляем дуги окружности между соседними концами, как показано на рис. 27. Незначи тельным шевелением картинка в R2 преобразуется в одномерное многообразие в R3. Это многооб разие M (D) и есть результат перестройки, см. рис. 28.

Оказывается, число компонент связности многообразия M (D) может быть определено из мат рицы смежности A(D) диаграммы D.

Теорема 4.1 (см. [14, 40, 175, 198, 202]). Пусть D — оснащенная хордовая диаграммы, не содержащая гауссовых хорд. Тогда число компонент связности многообразия M (D) равно corankZ2 A(D) + 1, где A(D) — матрица смежности диаграммы D над Z2 и коранг вычисляется над Z2.

26 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ РИС. 27. Перестройка окружности по хордам РИС. 28. Многообразие M (D) A A A A A A A! L A! L A! L A" A" A" A A!

A A! A!

A / A" A A" A A A"    РИС. 29. Структура оснащенной хордовой диаграммы Используя теорему 4.1 мы можем сформулировать критерий существования гауссова цикла.

Пусть D — оснащенная хордовая диаграмма с матрицей смежности A(D). Построим матрицу A(D), удаляя строки и столбцы матрицы A(D), соответствующие гауссовым хордам.

Теорема 4.2 (см. [77, 78]). Пусть H — оснащенный 4-граф, и пусть U — эйлеров цикл на H. Тогда H имеет гауссов цикл тогда и только тогда, когда corankZ2 (A(D) + E) = 0, где D — оснащенная хордовая диаграмма, построенная для U, а E — единичная матрица.

Доказательство немедленно следует из рис. 29. Удалим все гауссовы хорды, заменим все хорды с оснащением 0 на пересекающиеся хорды, а все хорды с оснащением 1 на параллельные хорды. В результате мы получим путь, двигаясь вдоль которого, мы переходим с ребра e3 на e1. Это и есть гауссов цикл.

4.4. Гауссов цикл. Пусть H — оснащенный 4-граф, имеющий гауссов цикл, и пусть U — эй леров цикл на H. Используя предложение 4.3, мы можем считать, что m(U ) (соотв., хордовая диаграмма D) не имеет гауссовых вершин (соотв., гауссовых хорд), т.е. U — поворачивающий обход.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.