авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

«Современная математика. Фундаментальные направления. Том (). С. 1–157 УДК 515.16+519.17 ...»

-- [ Страница 2 ] --

Определение 4.6. Скажем, что две матрицы A = (aij ) и B = (bkl ) совпадают (или равны) с точностью до диагональных элементов, если aij = bij при i = j.

Основной результат этого раздела — следующая 4. Гауссовы циклы и поворачивающие обходы v1 v v v РИС. 30. Уменьшающие операции Теорема 4.3 (см. [74]). Матрица смежности гауссова цикла, рассматриваемая над Z2, сов падает с матрицей (A(D) + E)1 с точностью до диагональных элементов.

Доказательство. Пусть V(H) = {v1,..., vn }. Нетрудно показать, что следующие операции, при мененные к D, уменьшают число негауссовых хорд:

1. оснащенная звездочка, примененная к негауссовой хорде с оснащением 0;

2. m (((m a) b) a), где m — оснащенное циклическое слово с двойным вхождением, a, b — негауссовы буквы (хорды) с оснащением 1 и они чередуются в m (зацеплены).

Мы назовем эти операции уменьшающими операциями. Уменьшающие операции меняют эйлеров цикл U на 4-графе, и число негауссовых вершин в новом эйлеровом цикле меньше, чем в U, см.

рис. 26 а), рис. 30.

Пусть D — оснащенная хордовая диаграмма, и пусть A(D) — ее матрица смежности. Будем применять уменьшающие операции. Без ограничения общности можно считать, что уменьшающие операции применяются к хордам с наименьшими номерами в нашей нумерации. Тогда первая уменьшающая операция на языке матриц выглядит следующим образом 0 0 1 G 0 A(D) = 0 A0 A1 A(D ) = 0 A0, A 1 A A2 1 A A2 + (1) 1 а вторая — 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 A0 A1 A2 A A(D) = 1 0 A A4 A5 A 0 1 A A A7 A 2 1 1 A A A A 3 6 1 G10 1 G 0 1 0 0 0 A0 A1 A2 A A(D ) = ;

0 1 A A4 A5 + (1) A6 + (1) 1 0 A A + (1) A8 + (1) A 2 A + (1) A + (1) 1 1 A3 A 6 здесь жирные 0 и 1 указывают на вектор-столбцы, полностью состоящие из 0 и 1 соответственно;

(1) — это матрица, полностью состоящая из единиц, и Ai — какие-то матрицы подходящих размеров.

28 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Мы будем последовательно применять эти операции к хордовой диаграмме D. Наша следу ющая цель — показать, что после применения уменьшающих операций к оснащенной хордовой диаграмме D, не имеющей гауссовых хорд, мы получим с точностью до диагональных элементов оснащенную хордовую диаграмму с матрицей смежности (A(D) + E)1.

Чтобы получить матрицу (A(D) + E)1, мы будем совершать элементарные преобразования над строками матрицы B(D) = A(D) + E с det(A(D) + E) = 1. Построим матрицу (A(D) + E|E) размера n 2n. Обозначим через Mij...k матрицу, полученную из матрицы M удалением строк и столбцов с номерами i, j,..., k.

Так как det B(D) = 1, то либо найдется диагональный элемент равный 1, либо найдутся два таких номера i и j, что bii = bjj = 0, bij = bji = 1.

В первом случае без ограничения общности можно считать, что b11 = 1. Совершая элементарные преобразования над матрицей B(D) с помощью первой строки, получаем 0 B(D) = A(D) + E = 0 A0 + E A 1 A1 A2 + E 0 B (D) = 0 A0 + E A 0 A1 A2 + E + (1) и (B (D)|E ) = (B(D)|E) 0 1 1 0 = 0 A0 + E 0.

A1 0E A 10E 0 A2 + E + (1) После применения первой уменьшающей операции к хордовой диаграмме D хорда, соответствую щая вершине v1, становится гауссовой хордой, смежности негауссовых хорд определяются матри цей B (D)1, а другие смежности определяются первым столбцом матрицы E.

Во втором случае без ограничения общности можем предположить, что b11 = b22 = 0, b12 = b21 = 1. Совершая элементарные преобразования с помощью первых двух строк матрицы B(D), мы получим B(D) = A(D) + E = 0 1 0 1 0 0 0 0 0 A0 + E A1 A2 A = A 10 A4 + E A5 A 0 1 A2 A5 A7 + E A 11 A3 A6 A8 A9 + E 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 A0 + E A1 A2 A B (D) =.

0 0 A4 + E A5 + (1) A6 + (1) A 0 0 A + (1) A7 + E A8 + (1) A 2 A A + (1) A + (1) A9 + E 00 3 6 и (B (D)|E ) = (B(D)|E) 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 A0 + E A1 A2 A3 00E 0 =.

0 0 A A4 + E A5 + (1) A6 + (1) 01 0 E 0 0 A A + (1) A7 + E A8 + (1) 10 0 0E 2 A A + (1) A + (1) A9 + E 11 0 0 0E 00 3 6 4. Гауссовы циклы и поворачивающие обходы После применения второй уменьшающей операции к хордовой диаграмме D хорды, соответствую щие вершинам v1 и v2, становятся гауссовыми хордами, смежности негауссовых хорд определяются матрицей B (D)12, а оставшиеся смежности определяются первыми двумя столбцами матрицы E.

Предположим, что мы совершили k уменьшающих операций. После этих преобразований мат рица (B(D)|E) преобразуется в матрицу ( ) EC F (B (D)|E ) = 0R SE и F — это l l-матрица, R — симметрическая матрица. Тогда новая оснащенная хордовая диа грамма содержит l гауссовых хорд, смежности негауссовых хорд определяются матрицей R, а все оставшиеся смежности — первыми l столбцами матрицы E. Так как det B (D) = 1, то det R = 1, и в матрице R существует или диагональный элемент, равный 1, или два таких номера p и q, что rpp = rqq = 0, rpq = rqp = 1.

Рассмотрим первый случай. Без ограничения общности считаем, что r11 = 1. В этом случае мы применим первую уменьшающую операцию. Мы получим ( ) EC F (B (D)|E ) = = 0R SE E C 1 C2 C3 F00 0 1 0 1 S1 1 0 = 0 0 R1 R2 S2 0 E S3 0 0 E 0 1 R2 R E 0 C2 C3 F1 F2 0 0 1 0 S1 1 0 = 0 0 R1 R2 S2 0 E S 0E 0 0 R2 R3 + (1) ) ( EC F = (B (D)|E ), = 0 R S E где F — это (l+1)(l+1) матрица, R — это симметрическая матрица. Число гауссовых хорд новой ходовой диаграммы равно l + 1, смежности негауссовых хорд определяются матрицей R, а все оставшиеся смежности — первыми l + 1 столбцами матрицы E. Второй случай рассматривается аналогично первому.

В конце мы получим матрицу ( ) (A(D) + E) E и оснащенную хордовую диаграмму только с гауссовыми хордами. Матрица смежности полученной хордовой диаграммы с точностью до диагональных элементов равна (A(D) + E)1.

Мы доказали теорему для недиагональных элементов, но мы знаем, что на диагонали будут стоять буквы G.

Замечание 4.6. Пусть H — произвольный (связный и содержащий хотя бы одну вершину) ориентированный 4-граф, причем в каждую вершину входят и выходят ровно два полуребра (ори ентации полуребер, соответствующих одному ребру, совпадают). Легко видеть, что на графе H существует ориентированный эйлеров цикл U. Зададим оснащение на H таким образом, чтобы U являлся поворачивающим обходом на уже оснащенном графе H, и в каждой вершине пара противоположных полуребер состоит из входящего и исходящего из нее полуребер. Если на осна щенном ориентированном 4-графе H существует ориентированный гауссов цикл, то теорема 4. дает формулу для матрицы смежности гауссова цикла. Таким образом, последнее утверждение о существование гауссова цикла является теоремой 3.4 из [87], и, следовательно, теорема 3.4 из [87] является частным случаем теоремы 4.3.

Из предыдущей теоремы немедленно получаем Следствие 4.1. Пусть U1 и U2 — два поворачивающих обхода, и пусть D1 и D2 — их осна щенные хордовые диаграммы такие, что det(A(Di ) + E) = 1. Тогда матрицы (A(D1 ) + E)1 и (A(D2 ) + E)1 совпадают с точностью до диагональных элементов.

30 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ v4 v v v РИС. 31. Оснащенный 4-граф Пример 4.5. Рассмотрим оснащенный 4-граф, состоящий из 4 вершин vi, рис. 31. Пусть U1 и U2 — два поворачивающих обхода, заданные оснащенными циклическими словами с двойными вхождениями 1 m(U1 ) = (v1 v4 v2 v1 v2 v3 v4 v3 ) и m(U2 ) = (v1 v4 v3 v4 v2 v3 v1 v2 ), соответственно. Тогда 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 A(m(U1 )) =, A(m(U2 )) =.

0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 Мы получаем 0 0 1 0 1 (A(m(U1 )) + E)1 =, 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 (A(m(U2 )) + E)1 = 1 1 1 1 1 и G 0 G 1 A= 1 1 G 111G — матрица смежности гауссова цикла, заданного с помощью (v1 v4 v3 v1 v2 v4 v3 v2 ).

Определение 4.7. Оснащенная хордовая диаграмма называется d-диаграммой [131], если все ее хорды являются негауссовыми хордами с оснащением 0, и множество всех ее хорд может быть разбито на два дизъюнктных подмножества, причем хорды из одного подмножества не зацеплены друг с другом.

Из критерия планарности погруженной кривой, см. стр. 20, и из теории атомов немедленно получаем Следствие 4.2. Пусть D — оснащенная хордовая диаграмма, все хорды которой являются негауссовыми с оснащением 0, и det(A(D) + E) = 1. Если числа 1,..., n Z2 таковы, что ( ) det (A(D) + E)1 + diag(1,..., n ) = 1, 4. Гауссовы циклы и поворачивающие обходы РИС. 32. Нереализуемые графы Буше РИС. 33. Граф, который неоднозначно представим хордовыми диаграммами ( ) то матрица (A(D)+E)1 +diag(1,..., n ) имеет единицы на диагонали. Кроме того, если ( ) D является d-диаграммой, то матрица (A(D) + E)1 + diag(1,..., n ) является матри цей смежности d-диаграммы. Здесь через diag(1,..., n ) обозначена диагональная матрица с числами 1,..., n на диагонали.

Определение 4.8. Мы скажем, что поворачивающий обход U задает структуру источник сток (ср. с определением 3.10), если каждая пара противоположных полуребер состоит из двух входящих в вершину или двух исходящих из нее полуребер.

Замечание 4.7. Структура источник-сток не зависит от ориентации обхода U. Если какой-либо обход задает структуру источник-сток, то соответствующий атом ориентируем.

Геометрически первая часть следствия 4.2 означает следующее. Имея оснащенный 4-граф H и некоторый поворачивающий обход U на нем, мы можем задать ориентацию на графе H: ориенти руем обход U произвольным образом и зададим с помощью него ориентацию на H. Оказывается, если какой-то поворачивающий обход задает на оснащенном 4-графе структуру источник-сток, то и любой другой поворачивающий обход тоже будет задавать структуру источник-сток, т.к. соот ветствующий атом ориентируем. Вторая часть следствия относится к вопросу планарности. Если у нас имеется планарный оснащенный 4-граф, т.е. вложенный в плоскость граф с сохранением структуры противоположных ребер, то все поворачивающие обходы задают d-диаграммы.

4.5. Матрицы смежности. В разделе 7 мы обобщим понятие виртуального зацепления и по строим новую теорию — теорию граф-зацеплений: мы рассматриваем не только графы пере сечений хордовых диаграмм и движения на них, но и все простые графы и движения на них, которые индуцируются движениями на графах пересечений. Граф-зацепления можно строить раз ными способами. Мы построим две теории граф-зацеплений: при построении первой теории мы будем использовать гауссов цикл, а при построении второй — поворачивающий обход. Результа ты данного раздела нам потребуются для доказательства равносильности двух этих подходов к построению теории граф-зацеплений, см. раздел 7.

Хорошо известно, что существуют симметрические матрицы над Z2, которые могут не иметь реализацию в виде хордовых диаграмм [21], см. рис. 32 (здесь симметрическая матрица — это матрица смежности соответствующего графа), и симметрические матрицы, которые могут быть реализованы разными хордовыми диаграммами, см. рис. 33. При доказательстве теоремы 4.3 мы использовали только элементарные преобразования и матрицы смежности. Оказывается, что теоре ма 4.3 и следствие 4.2 могут быть переформулированы для произвольных симметрических матриц, см. также раздел 7.2.

В данном разделе все матрицы рассматриваются над полем Z2 с диагональными элементами, равными 0 или 1. Рассмотрим следующую операцию над множеством симметрических матриц.

32 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Определение 4.9. Пусть A = (aij ) — произвольная симметрическая матрица размера n n.

Построим новую матрицу Loc(A, k) = (aij ), здесь apq = apq + 1, p, q = k, если apk = 1 и akq = 1, и apq = apq иначе. Мы назовем преобразование A Loc(A, k) локальным дополнением матрицы A в элементе akk (эта операция является аналогом операции оснащенная звездочка).

Нетрудно показать, что, если aij = 1, то матрицы Loc(Loc(Loc(A, i), j, i) и Loc(Loc(Loc(A, j), i, j) совпадают с точностью до диагональных элементов с номерами i, j.

Определение 4.10. Пусть A — произвольная симметрическая матрица, для которой aii = ajj = 0, aij = aji = 1. Шарнирное преобразование — это преобразование A A, где диагональные элементы матрицы A совпадают с диагональными элементами матрицы A, а другие элементы матрицы A совпадают с соответствующими элементами матрицы Loc(Loc(Loc(A, i), j, i).

Обозначим через Sym(n, Z2 ) множество всех симметрических n n матриц над Z2. Рассмотрим два отношения эквивалентности на множестве Sym(n, Z2 ). Первое отношение — это равенство с точностью до диагональных элементов, обозначим это отношение эквивалентности через D.

Второе отношение эквивалентности определяется следующим образом: будем говорить, что две матрицы A и B получены друг из друга заменой обхода, обозначим это отношение эквивалент ности через A C B, если A и B получаются друг из друга последовательностью преобразований:

локальное дополнение в элементе, равным единице, и шарнирное преобразование.

Замечание 4.8. В реализуемом случае вторая эквивалентность соответствует «настоящей» за мене обхода на оснащенном 4-графе.

Доказательство основного результата этой части основано на следующих четырех леммах.

Лемма 4.1 (см. [77, 78]). Если det(A + E) = 1 и B C A, то det(B + E) = 1, где E — единичная матрица.

Замечание 4.9. Если симметрические матрицы A и B реализуются в виде хордовых диаграмм, то лемма 4.1 в этом случае означает, что после применения подходящих операций оснащенная звездочка к поворачивающему обходу проекции узла на плоскость мы снова получим поворачива ющий обход проекции узла, а не зацепления.

Обозначим через Sym+ (n, Z2 ) Sym(n, Z2 ) подмножество множества всех симметрических матриц, состоящее из всех матриц A, для которых det(A + E) = 1.

Следствие 4.3. Отношение C также является отношением эквивалентности и на мно жестве Sym+ (n, Z2 ).

Рассмотрим два множества L(n) = Sym(n, Z2 )/ D G(n) = Sym+ (n, Z2 )/ C.

and Лемма 4.2. Каждый элемент множества L(n) имеет представитель с определителем, рав ным 1.

Доказательство. Докажем лемму по индукции, где индукцию будем проводить по размерности n матрицы.

База индукции. Для n = 1 утверждение леммы очевидно.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение леммы верно для квадратных матриц размера n 1, и пусть A — произвольная n n матрица. По предположению индукции мы можем считать, что det A11 = 1, где Aij — это алгебраическое дополнение до элемента aij. Тогда либо n n 11 1j a1j A1j = 1, det A = a11 A + a1j A = a11 + j=2 j= либо n n 11 1j a1j A1j = 1, det A = (a11 + 1)A + a1j A = a11 + 1 + j=2 j= 4. Гауссовы циклы и поворачивающие обходы где матрица A отличается от A только одним элементом a11.

Лемма 4.3. Пусть B и B — произвольные две матрицы над Z2, для которых det B = det B = 1, и матрицы B и B совпадают с точностью до одного диагонального элемента. Тогда матрицы B 1 + E и B 1 + E получаются друг из друга операцией локальное дополнение в элементе, равным единице.

Доказательство. Без ограничения общности считаем, что B = (bij ), B = (bij ) — две n n матрицы, bnn = bnn + 1 = 0 и bij = bij, i = n или j = n. Найдем обратные матрицы B 1 и B 1, совершая элементарные преобразования над строками матриц B и B, т.е. с помощью элементарных преобразований мы приведем матрицы B и B к единичному виду, а затем, применяя те же самые преобразования к единичным матрицам, мы получим обратные.

Используя равенство det B = det B = 1, имеем n n n 1 = det B = det B + det Bn = 1 + det Bn, det Bn = 0, rankBn = n 2;

n rankB = n, n здесь Bn — матрица, полученная из матрицы B удалением n-ой строки и n-го столбца. Так как n матрица Bn является симметрической, без ограничения общности можем считать, что det C = 1, где C — матрица, полученная из Bn удалением (n 1)-ой строки и (n 1)-ого столбца.

n Совершая элементарные преобразования над строками матриц B и B (первые (n 1) строк матриц B и B совпадают), мы приводим матрицы B и B к виду E uv F 0 0 1 a 1 0, B 11 b 0 E uv F 0 0 1 a 1 0 ;

B 10 b 0 здесь F — это (n 2) (n 2)-матрица, a, b, u, v — (n 2)-вектор-столбцы. Далее совершая элементарные преобразования над строками матрицы B и B, получаем E uv F 00 E uv F 0 0 1 a 1 0 0 1 0 b 0 B 10 01 01 a 1 0 b Eu0 F1 b 0 E00 F2 b a 0 1 0 b 0 1 0 1 0 b 0 1, 0 0 1 a 1 0 0 0 1 a 1 т.е. u = a, v = b (обратная матрица к симметрической матрице является симметрической), Eu v F 00 E ab F 0 0 a 1 0 0 1 0 a + b 1 B 0 1 01 01 a 1 b 0 Ea0 F1 b0 E00 F3 a+b a 1.

0 1 0 a + b 1 1 0 1 0 a + b 0 0 1 01 a 10 0 a 1 Нетрудно видеть, что F3 получена из F2 добавлением строки a к строке матрицы F2, которая со ответствует строке матрицы B 1, имеющей последний элемент равный 1. Следовательно, матрица B 1 + E получена из матрицы B 1 + E с помощью операции локальное дополнение в элементе, которой соответствует элементу bnn.

34 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Лемма 4.4. Пусть B и B — две произвольные матрицы над Z2, для которых det B = det B = 1, и пусть матрицы B и B совпадают с точностью до двух элементов на диагонали с j i k номерами i и j. Предположим, что det Bi = det Bj = 1, здесь Bk — матрица, полученная из B удалением k-ой строки и k-го столбца. Тогда матрицы B 1 + E и B 1 + E получаются друг из друга одним шарнирным преобразованием.

Доказательство. Без ограничения общности можем считать, что B = (bij ), B = (bij ) — две матрицы размера n n, b(n1)(n1) = b(n1)(n1) + 1, bnn = bnn + 1 и bij = bij для (i, j) = (n1, n1), (n, n). Найдем обратные матрицы B 1 и B 1, совершая элементарные преобразования над строками матриц B и B.

Используя равенство det B = det B = 1, мы получаем (n1)n (n1)n n1 n 1 = det B = det B + det Bn1 + det Bn + det B(n1)n = 1 + det B(n1)n, (n1)n (n1)n rankBn1 = rankBn = n 1, rankB(n1)n = n 3, n1 n det B(n1)n = 0, (n1)n здесь матрица B(n1)n получена из матрицы Bn удалением (n 1)-ой строки и (n 1)-ого столбца.

n (n1)n Так как матрица B(n1)n является симметрической, без ограничения общности можно считать, (n1)n что det C = 1, где матрица C получена из B(n1)n удалением (n 2)-ой строки и (n 2)-ого столбца. Нетрудно показать, что две матрицы, полученные из матрицы B удалением n-ой строки, n-ого столбца для первой матрицы и (n 1)-ой строки, (n 1)-ого столбца для второй матрицы невырождены.

Совершая элементарные преобразования над строками матриц B и B (первые (n 2) строки матриц B и B совпадают), мы приводим матрицы B и B к виду Euvw F 0 0 1 1 a 1 0, B 0 b 0 1 11l 0 1 l 0 c 0 0 Euvw F 0 0 0 0 1 1 a 1, B 0 b 10l 0 0 1 l 1 c 0 0 где F — (n 3) (n 3)-матрица, a, b, c, u, v, w — (n 3)-вектор-столбцы, и l {0, 1}. Далее совершая элементарные преобразования над строками, имеем Euvw F 0 0 1 1 a 1 0 B 0 b 0 1 11l 0 1 l 0 c 0 0 Euvw F 0 0 ( ) 0 1 0 0 l 1+l la + lb + (1 + l)c l B E ;

0 la + b + c 010 l 00 (1 + l)a + b + c 1 + l 0 1 здесь F1 l(a + b + c) + c la + b + c (1 + l)a + b + c la + lb + (1 + l)c l l 1+l =, B 1 la + b + c l 1 + b + c (1 + l)a 1+l 1 4. Гауссовы циклы и поворачивающие обходы и Euvw F 0 0 0 0 1 1 a 1 B 0 b 10l 0 0 1 l 1 c 0 0 Euvw F 0 0 ( ) 0 1 0 0 1+l l l(a + b + c ) + b l B E ;

0 + b + c 010 (1 + l)a 1+l 00 la + b + c 0 1 l 1 здесь F2 l(a + b + c) + b (1 + l)a + b + c la + b + c l(a + b + c ) + b l 1+l l =.

B 1 (1 + l)a + b + c 1+l 1 + b + c la l 1 Исследуем более подробно матрицы F1 и F2. Имеем 4 случая в зависимости от последних двух элементов строк.

а) Если последние два элемента строки матрицы B 1 равны 0, то и последние два элемента соответствующей строки матрицы B 1 равны 0. Возможны следующие два случая: либо строки матриц F1 и F2 получены из F добавлением суммы двух строк la + b + c и (1 + l)a + b + c к соответствующей строке матрицы F, либо они равны соответствующей строке матрицы F. В обоих случаях мы получим равенство строк матриц B 1 и B 1, последние два элемента которых равны 0.

б) Если последние два элемента строки матрицы B 1 равны 1, то и последние два элемента соответствующей строки матрицы B 1 равны 1. Возможны следующие два случая: строки матриц F1 и F2 получены из F добавлением строки la +b +c или добавлением строки (1+l)a +b +c к соответствующей строке матрицы F. В обоих случаях мы получим равенство строк матриц B и B 1, последние два элемента которых равны 1.

в) Если предпоследний элемент строки матрицы B 1 равен 0, а последний равен 1, то пред последний элемент соответствующей строки матрицы B 1 равен 1, а последний — 0. Возмож ны следующие два случая: строки матриц F1 и F2 получены из F добавлением суммы строк la + lb + (1 + l)c и l(la + b + c ) для F1 и суммы строк l(a + b + c ) + b и l((1 + l)a + b + c ) для F2 или добавлением суммы трех строк la + lb + (1 + l)c, (1 + l)(la + b + c ) и (1 + l)a + b + c для F1 и суммы трех строк l(a + b + c ) + b, (1 + l)((1 + l)a + b + c ) и la + b + c для F2 к соответствующей строке матрицы F. В обоих случаях сумма соответствующих друг другу строк матриц B 1 и B 1 равна la + b + c.

г) Если предпоследний элемент строки матрицы B 1 равен 1, а последний — 0, то предпо следний элемент соответствующей строки матрицы B 1 равен 0, а последний равен 1. Возмож ны следующие два случая: строки матриц F1 и F2 получены из F добавлением суммы строк la + lb + (1 + l)c и (1 + l)(la + b + c ) для F1 и суммы строк l(a + b + c ) + b и (1 + l)((1 + l)a + b + c ) для F2 или добавлением суммы трех строк la + lb + (1 + l)c, l(la + b + c ) и (1 + l)a + b + c для F1 и суммы строк для l(a + b + c ) + b, l((1 + l)a + b + c ) и la + b + c для F2 к соответствующей строке матрицы F. В обоих случаях сумма соответствующих друг другу строк матриц B 1 и B 1 равна (1 + l)a + b + c.

Следовательно, матрицы B 1 + E и B 1 + E получаются друг из друга шарнирным преобразо ванием.

Замечание 4.10. Если симметрическая матрица B реализуется в виде хордовой диаграммы, то и матрица B, равная B с точностью до диагональных элементов, тоже реализуется в виде хордовой диаграммы. В этом случае леммы 4.3 и 4.4 означают, что поворачивающие обходы, полученные из гауссова обхода разными способами, связаны преобразованиями указанными в утверждении 4.1.

1. Отображение : G(n) L(n), заданное формулой Теорема 4.4 ([76]).

[A]C = [(A + E)1 ]D, 36 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ корректно определено.

2. Существует обратное отображение 1 : L(n) G(n).

Доказательство. Обозначим через Eij, i = j, матрицу, все диагональные элементы которой равны 1, элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца, равен 1, остальные элементы равны 0.

1) Пусть A C A.

Если матрицы A и A получаются друг из друга шарнирным преобразованием для первых двух элементов, то 0 1 0 1 1 0 0 0 0 A0 + E A1 A2 A, B =A+E = 10 A1 A4 + E A5 A 0 1 A2 A5 A7 + E A 11 A3 A6 A8 A9 + E 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 A0 + E A1 A2 A = B =A+E = A4 + E A5 + (1) A6 + (1) 0 1 A1 1 0 A + (1) A7 + E A8 + (1) A2 A A + (1) A + (1) A9 + E 11 3 6 = BE1k1... E1kp E2(kp +1)... E2kq E1(kq +1)... E1n E2(kq +1)... E2n E12 E21 E12 = BM, здесь k1,..., kp — номера тех столбцов, которые имеют 1 в первой строке и 0 во второй строке, kp + 1,..., kq — номера тех столбцов, которые имеют 0 в первой строке и 1 во второй строке, и kq + 1,..., n — номера тех столбцов, которые имеют 1 в первых двух строках.

Получаем B 1 = M 1 B 1. Последняя матрица получается из матрицы B 1 добавлением строк к первым двум ее строкам. Так как матрицы B 1 и B 1 являются симметрическими, то матрица B 1 может отличаться от матрицы B 1 только в четырех элементах, расположенных в первых двух строках и столбцах. И так мы должны доказать равенство b12 = b12, B 1 = (bij ), B 1 = (bij ).

Имеем 0 0 1 0 A0 + E A1 A2 A 1 = A1 A4 + E A5 A b = det 0 A2 A5 A7 + E A 1 A3 A6 A8 A9 + E 0 0 1 0 A0 + E A1 A2 A = det 0 A6 + (1) = A1 A4 + E A5 + (1) 0 A A A7 + E A 2 + (1) A + E + (1) 0 A3 A6 A8 A0 + E A1 A2 A A A6 + (1) A4 + E A5 + (1) = det, A2 A5 A7 + E A + (1) A + E + (1) A3 A6 A8 0 1 0 0 A0 + E A1 A2 A 0 A4 + E A5 + (1) A6 + (1) = A b = det 1 A + (1) A7 + E A8 + (1) A 2 A A + (1) A + (1) A9 + E 1 3 6 5. Четность в теории узлов 0 1 0 0 A0 + E A1 A2 A = det 0 A6 + (1) = A1 A4 + E A5 + (1) 0 A A A7 + E A 2 + (1) A + E + (1) 0 A3 A6 A8 A0 + E A1 A2 A A A6 + (1) A4 + E A5 + (1) = det = b12.

A A5 A7 + E A + (1) A + E + (1) A3 A6 A8 Мы доказали, что B 1 D B 1.

Если матрицы A и A получаются друг из друга операцией локальное дополнение в первом элементе, который равен единице, то 0 B = A + E = 0 A0 + E A 1 A1 A2 + E и 0 B = 0 A0 + E = (A(G1 ) + E)E1m E1(m+1)... E1n, A 1 A1 A2 + (1) + E здесь числа m, m + 1,..., n соответствуют номерам строк, содержащим 1 в первой строке.

Получаем B 1 = E1n... E1m B 1. Матрица B 1 получается из матрицы B 1 добавлением суммы строк номерами от m до n к первой ее строке. Так как матрицы B 1 и B 1 являются симметри ческими, то матрица B 1 отличается от матрицы B 1, быть может, только первым элементом на диагонали. Мы доказали B 1 D B 1.

Если матрицы A и A получаются друг из друга последовательностью операций локальное до полнение и шарнирное преобразование, то последовательно применяя два предыдущих случая, мы получим (A + E)1 D (A + E)1.

2) Если B D B и det B = det B = 1, то, применяя леммы 4.3 и 4.4, мы получаем B 1 + E C B 1 + E. Используя лемму 4.2, мы видим, что существует некоторая матрица B с det B = 1 в каждом классе [C]D. Мы можем определить обратное отображение 1 : L(n) G(n), положив 1 ([C]D ) = [B 1 + E]C.

Замечание 4.11. Если мы рассматриваем симметрические матрицы, реализуемые хордовыми диаграммами, то соответствующие элементы из G(n) и L(n) — это просто оснащенные 4-графы с точностью до мутации, см. [37, 61]. Наш изоморфизм устанавливает эквивалентность между разными способами задания оснащенного 4-графа.

5. ЧЕТНОСТЬ В ТЕОРИИ УЗЛОВ Пусть дана гауссова диаграмма виртуального узла. Назовем хорду четной, если количество хорд, зацепленных с ней, четно и нечетной иначе (считается, что хорда не зацеплена сама с собой). Такая четность называется гауссовой. Далее для хорд a, b будем писать a, b = 0 Z2, если a, b не зацеплены, и a, b = 1 Z2, если они зацеплены.

Пример 5.1. Рассмотрим гауссову диаграмму, изображенную на рис. 34 (стрелки и знаки хорд на четность не влияют). Тогда хорды a и b являются нечетными, а хорды c, d, e — четными.

Как было замечено Гауссом, гауссова диаграмма классического узла имеет все четные хор ды, [27, 28, 189].

Движения Рейдемейстера для диаграмм классических узлов естественным образом переписы ваются на языке гауссовых диаграмм. При этом не всякая гауссова диаграмма реализует класси ческий узел. В частности, к таким нереализуемым диаграммам относятся диаграммы, имеющие нечетные хорды.

Классические узлы представляют собой собственное подмножество множества виртуальных уз лов [66]. Как оказывается, существует резкое упрощение виртуальных узлов — свободные узлы 38 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ d c a b e РИС. 34. Гауссова диаграмма (см. определение 5.2), которое получается забыванием на гауссовой диаграмме виртуального уз ла информации о стрелках и знаках. Свободные узлы представляют собой центральный объект исследования настоящей части;

они тесно связаны с граф-зацеплениями, изучавшимися в рабо тах [77, 78, 206, 80]. Граф-зацеплениям будет посвящен раздел 7.

Отметим, что свободные узлы и зацепления в литературе также называются гомотопическими классами гауссовых слов и гауссовых предложений [62, 211, 212]. Это связано с тем, что гаус совы диаграммы можно кодировать словами, см. пункт 4. Если же мы рассматриваем зацепление с многими компонентами, то ему соответствует гауссова диаграмма на нескольких окружностях, количество которых равно количеству компонент зацепления. Гауссовы диаграммы на несколь ких окружностях, в свою очередь, кодируются гауссовыми предложениями. Тем самым, любое утверждение о гауссовой диаграмме переписывается на языке слов и предложений.

Каждая гауссова диаграмма задает некоторый абстрактный оснащенный 4-граф, ребра которого находятся в однозначном соответствии с дугами хордовой диаграммы, а вершины — в однознач ном соответствии с хордами. Дуги, инцидентные одному и тому же концу хорды, соответствуют (формально) противоположным (полу)ребрам графа. Скажем, что гауссова диаграмма нечетна, если все ее хорды нечетны. Скажем, что гауссова диаграмма несократима, если для любых двух различных хорд a, b этой диаграммы найдется такая хорда c этой диаграммы, что a, c = b, c.

Те же термины (нечетность, несократимость) мы будем применять и к оснащенному 4-графу, со ответствующему гауссовой диаграмме.

Можно легко убедиться, что к нечетной несократимой диаграмме нельзя применить движения Рейдемейстера, уменьшающие количество перекрестков (первое и второе), а также третье движе ние Рейдемейстера, т.е. за «один шаг» эту диаграмму можно только усложнить.

Оказывается, имеет место Теорема 5.1. Нечетная несократимая диаграмма D минимальна, т.е. любая диаграмма D, задающая тот же свободный узел, что и D, имеет большее количество перекрестков, чем D.

Эта теорема приводит к отрицательному ответу на гипотезу Тураева [212], в которой предпола галось, что все свободные узлы эквивалентны тривиальному. Первое доказательство теоремы 5. и развитие теории четности появились в серии препринтов [160, 161, 162].

Параллельно и независимо (несколько позже) примеры нетривиальных свободных узлов были получены Э. Гибсоном в работе [62].

Более того, благодаря этой теореме можно построить бесконечное число нечетных несократимых свободных узлов, минимальные диаграммы которых различны, тем самым доказав, что число классов эквивалентности свободных узлов бесконечно.

Далее мы докажем эту теорему в гораздо более сильной формулировке.

Отметим, что свойства четности были далее использованы для изучения кобордизмов сво бодных зацеплений, см. [148] и пункт 6. При этом соображения четности позволили доказать существование некобордантных нулю свободных узлов как с комбинаторной точки зрения [79], так и с топологической [163]. В работе [163] использовалось перенесение понятия четности с пе рекрестков на узлах на линии пересечений двумерных поверхностей. Обзор по теории четностей см. также в [164]. Также стоит отметить, что для случая классических узлов существует только тривиальная четность (т.е. правило, которое удовлетворяет аксиомам четности, см. пункт 5.1).

5. Четность в теории узлов Структура настоящего раздела такова. Сначала мы определим свободные узлы и выявим есте ственный набор свойств четных и нечетных хорд и опишем их поведение при движениях Рейде мейстера. Этот набор условий можно переформулировать как аксиоматику четности, т.е. набор требований, которым должна удовлетворять некоторая абстрактная четность в теории узлов, так же можно переформулировать определение четности в терминах гомологий (эта конструкция нам понадобится в следующем разделе). Мы приведем другие примеры четностей, удовлетворяющие этим аксиомам (отличные от четности, происходящей из гауссовых диаграмм). Далее мы пока жем, что в случае свободных узлов существует единственная нетривиальная четность — гауссова четность.

В пункте 5.4 мы построим функториальное отображение f : для каждой теории узлов, обла дающей четностью, мы построим корректно определенное отображение на множестве классов эквивалентности узлов, определяемое посредством «забывания» нечетных перекрестков. С помо щью отображения f мы построим проекционное отображение, переводящее все виртуальные узлы в узлы с ориентируемыми атомами и оставляющее на месте узлы с ориентируемыми атомами.

Некоторые инварианты виртуальных узлов непосредственно определяются для виртуальных узлов с ориентируемыми атомами, но не просто определяются для всех виртуальных узлов. К таким инвариантам относятся гомологии Хованова, сигнатура виртуального узла через матрицу Г рица.

е Благодаря проекционному отображению можно продолжать инварианты узлов с ориентируемыми атомами на все виртуальные узлы.

В пункте 5.5 мы построим инварианты [·] и {·}, которые позволяют, в частности, доказывать теорему 5.1 (в более сильной формулировке).

Это позволяет доказать необратимость свободных зацеплений.

Пункт 5.6 посвящен описанию скобки Голдмана [64] и коскобки Тураева [215], впервые воз никших в связи с изучением классов гомотопии наборов кривых на поверхностях и естественным образом переносящихся на упрощение гомотопических классов кривых — свободные узлы и за цепления. С использованием результатов пункта 5.5 о необратимости свободных зацеплений и коскобки Тураева мы доказываем необратимость свободных узлов.

В пункте 5.7 мы используем четность и свободные узлы для усиления скобки Кауфмана вирту альных узлов.

5.1. Свободные узлы и четная аксиоматика. Пусть дана (неориентированная) хордовая диа грамма D. Тогда ей можно поставить в соответствие подлежащий оснащенный 4-граф H(D) с единственной уникурсальной компонентой (мы рассматриваем гауссов обход). Хордовой диаграм ме с пустым множеством хорд соответствует G0. В противном случае ребра графа находятся в однозначном соответствии с дугами хордовой диаграммы, а вершины — в однозначном соответ ствии с хордами. Дуги, инцидентные одному и тому же концу хорды, соответствуют (формально) противоположным (полу)ребрам.

Далее, для оснащенного 4-графа G с одной уникурсальной компонентой мы определим спарива ние вершин v1, v2 (над Z2 ): v1, v2 = a(v1 ), a(v2 ), где a(vi ) — хорды, соответствующие вершинам vi.

Оснащенный 4-граф — очень резкое упрощение понятия диаграммы узла (зацепления): в клас сических перекрестках мы не указываем структуру проход-переход, кроме того, мы не обращаем внимания на знак перекрестка (или, что эквивалентно, мы забываем про структуру проход-переход и циклический порядок полуребер, а помним лишь об отношении противоположности полуребер).

Нашей целью является рассмотрение классов эквивалентности оснащенных 4-графов по движе ниям, соответствующим движениям Рейдемейстера.

Каждое из этих движений состоит в преобразовании одного фрагмента оснащенного 4-графа.

Определение 5.1. Первое движение Рейдемейстера состоит в добавлении/удалении петли, см.

рис. 35.

Второе движение Рейдемейстера состоит в удалении/добавлении двуугольника, образованно го парой ребер, которые являются соседними (не противоположными) в каждой из двух вершин, см. рис. 36.

Третье движение Рейдемейстера изображено на рис. 37.

40 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ РИС. 35. Первое движение Рейдемейстера и его версия на языке хордовых диаграмм РИС. 36. Второе движение Рейдемейстера и его версия на языке хордовых диаграмм РИС. 37. Третье движение Рейдемейстера и его версия на языке хордовых диаграмм 5. Четность в теории узлов РИС. 38. Плоский узел Кишино Определение 5.2. Свободным зацеплением назовем класс эквивалентности оснащенных 4 графов по движениям Рейдемейстера.

Очевидно, что количество компонент оснащенного 4-графа не меняется при применении движе ний Рейдемейстера, поэтому имеет смысл говорить о количестве компонент оснащенного зацеп ления.

Свободным узлом мы называем свободное зацепление с одной уникурсальной компонентой.

Свободные узлы можно трактовать как классы эквивалентности гауссовых диаграмм по соот ветствующим преобразованиям.

Тривиальным свободным узлом (соотв., тривиальным зацеплением из n компонент) назовем свободный узел (соотв., свободное зацепление), задаваемое графом G0 (соответственно, графом, состоящим из n несвязных копий графа G0 ).

Аналогично определяются длинные свободные узлы: единственную уникурсальную компоненту нужно разорвать и вытянуть концы на «бесконечность». Движения Рейдемейстера можно приме нять лишь к «конечным областям». Более формально: у 4-графа с единственной уникурсальной компонентой можно пометить одно из ребер (скажем, вершиной, расположенной в середине этого ребра) и при определении эквивалентности разрешать только те движения Рейдемейстера, которые происходят в областях, не содержащих новую вершину. На хордовых диаграммах это соответству ет метке, расположенной на одной из дуг, и запрещаются движения на хордовых диаграммах, при которых конец хорды проходит через метку.

Естествен вопрос: что представляют из себя свободные узлы? Если рассмотреть планарный оснащенный 4-граф (происходящий из классического узла), то этот планарный граф естественным образом сводится к тривиальному оснащенному графу. Можно легко показать,что оснащенный 4-граф с одной уникурсальной компонентой, вложимый в тор (с сохранением отношения противо положности), также свод м к тривиальному графу G0 (без вершин).

и Свободные узлы тесно связаны с плоскими виртуальными узлами. Последние представляют собой классы эквивалентности (самопересекающихся) кривых в ориентируемых двумерных по верхностях с точностью до гомотопии и стабилизации.

Тем не менее, эквивалентность свободных узлов еще более грубая, чем эквивалентность плос ких виртуальных узлов: свободные узлы не предполагают наличия какой-либо поверхности. Каж дый раз для применения движения Рейдемейстера мы можем вложить соответствующий 4-граф в некоторую поверхность (с сохранением оснащения), применить это движение и снова забыть про поверхность.

Пример 5.2. Рассмотрим плоский узел Кишино, изображенный на рис. 38. Известно, что он не тривиален как плоский виртуальный узел.

Тем не менее, у соответствующего оснащенного 4-графа, рассмотренного вне поверхности, есть двуугольник, образованный соседними ребрами;

тем самым, свободный узел, задаваемый плоским узлом Кишино, тривиален.

Точное утверждение, связывающее виртуальные узлы и свободные узлы, таково:

Лемма 5.1. Свободный узел — это класс эквивалентности виртуальных узлов по двум преобразованиям: заменам прохода на переход и виртуализациям.

42 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Можно считать, что виртуализация — это замена способа изображения оснащенного графа на плоскости, при которой циклический порядок полуребер меняется, а соотношение противополож ности остается неизменным.

В отличие от свободных узлов виртуальные узлы имеют циклический порядок ребер в вершине:

мы не только можем сказать, какие полуребра являются локально противоположными, но и ска зать, в каком порядке они появляются при обходе вокруг вершины против часовой стрелки. Кроме того, у виртуальных узлов имеется естественная структура проходов и переходов в вершинах.

Естественная отображение «забывания» структуры перекрестков переводит множество вирту альных узлов (зацеплений) на множество свободных узлов (зацеплений). Тем самым, все инвари анты свободных узлов задают некоторые инварианты виртуальных узлов.

Заметим, что в случае свободных зацеплений легко построить пример нетривиального сво бодного зацепления, т.е. такого зацепления, которое нельзя свести к оснащенному 4-графу без вершин.

Действительно, рассмотрим оснащенный 4-граф G2 с одной вершиной v и двумя ребрами a, b, каждое из которых соединяет вершину v с собой, при этом в вершине v ребро a противоположно ребру a, а ребро b противоположно ребру b. Это свободное зацепление не эквивалентно триви альному свободному зацеплению в связи с нетривиальностью следующего простого инварианта двухкомпонентных свободных зацеплений.

Легко заметить, что четность количества вершин, в которых сходятся обе компоненты зацепле ния, инвариантна при движениях Рейдемейстера. Так как для зацепления G2 количество таких вершин нечетно, свободное зацепление G2 нетривиально.

Далее под узлом (в широком смысле) мы будем понимать класс K диаграмм K, эквивалент ность на которых задается движениями, т.е. локальными преобразованиями из некоторого списка.

В каждом конкретном случае мы будем оговаривать, какой список движений имеется в виду: как правило, такие преобразования будут отвечать изотопиям узлов в некотором трехмерном многооб разии или гомотопиям кривых на некоторой двумерной поверхности.

Каждая из диаграмм представляет собой некоторый выделенный класс графов (быть может, с дополнительной структурой в вершинах), у которых некоторые четырехвалентные вершины осна щены. Эквивалентность задается движениями Рейдемейстера, описанными выше, применительно к оснащенным четырехвалентным вершинам. В некоторых случаях (например, в теории классиче ских узлов) на движения накладываются дополнительные ограничения (например, связанные со структурой проход-переход в вершинах).

Примерами таких теорий являются теория классических и виртуальных узлов, а также кос и танглов (классических или виртуальных).

Пусть дано правило, сопоставляющее каждой вершине каждой диаграммы K из класса K число 0 (в этом случае вершину назовем четной) или 1 (в этом случае вершину назовем нечетной). В дальнейшем четность перекрестка v мы будем обозначать через p(v) и писать p(v) = 0 в случае, если перекресток v четен и p(v) = 1, если перекресток v нечетен.

Определение 5.3. Пусть K1 и K2 — диаграммы узла из K, получаемые друг из друга одним движением Рейдемейстера, причем K2 имеет не больше перекрестков, чем K1. Скажем, что это правило удовлетворяет четной аксиоматике, если выполнены следующие условия:

1. если K2 получается из K1 первым движением Рейдемейстера, то участвующий в движении Рейдемейстера перекресток диаграммы K1 является четным;

2. если K2 получается из K1 вторым движением Рейдемейстера, то оба перекрестка, участвую щие в движении Рейдемейстера, имеют одинаковую четность;

3. если K2 получается из K1 третьим движением Рейдемейстера, то имеется естественное соот ветствие между тройкой перекрестков на диаграмме K1 и тройкой перекрестков на диаграмме K2, участвующих в движениях Рейдемейстера ((a, a ), (b, b ), (c, c )), см. рис. 39.

Требуется, чтобы a) четность соответствующих перекрестков совпадала, б) из перекрестков a, b, c количество нечетных перекрестков было четным (т.е. 0 или 2).

4. При каждом движении Рейдемейстера K1 K2 имеется взаимно однозначное соответствие между перекрестками диаграммы K1, не принимающими участие в движении Рейдемейстера, 5. Четность в теории узлов c b a’ a c’ b’ РИС. 39. Соответствие перекрестков при третьем движении Рейдемейстера и перекрестками диаграммы K2, не принимающими участие в движении Рейдемейстера.

Требуется, чтобы соответствующие перекрестки имели одинаковую четность.

Замечание 5.1. Естественно, правило определения четности для изоморфных графов должно быть одинаковым. Так, например, если оснащенный 4-граф имеет симметрию (т.е. изоморфизм, сохраняющий оснащение), то перекрестки, получающиеся друг из друга под действием этой сим метрии, имеют одинаковую четность.

Замечание 5.2. В случае виртуальных узлов словом «перекресток» мы будем называть лишь классические перекрестки, если не оговорено противное. Мы будем игнорировать движение объ езда как не меняющее взаимного расположения (классических) перекрестков.

Таким образом, можно считать, что виртуальный узел — это класс эквивалентности диаграмм, на которых указаны классические перекрестки и правила их соединения, по классическим движе ниям Рейдемейстера.

5.1.1. Ослабленная четная аксиоматика.

Определение 5.4. Скажем, что некоторая теория узлов K удовлетворяет ослабленной четной аксиоматике, если в этой теории узлов при движениях Рейдемейстера выполняются аксиомы 2, 3 а), 4, а вместо аксиомы 3 б) выполняется ее ослабленная версия:

3 б’) из трех перекрестков a, b, c, участвующих в движении Рейдемейстера, количество нечет ных перекрестков не равно единице.

Замечание 5.3. Ослабленная четная аксиоматика была введена в диссертации Э. Гибсона [63], до сих пор не опубликованной. Гибсон также сообщил, что ему были известны некоторые сообра жения, связанные с отображением f, «убивающим нечетные перекрестки», см. далее.

5.1.2. Теория виртуальных узлов. Рассматриваются виртуальные узлы, т.е. виртуальные зацеп ления с одной компонентой.

Иной способ определения гауссовой четности состоит в следующем. Рассмотрим виртуальную диаграмму K и ее классический перекресток v. Зададим произвольную ориентацию диаграммы K.

Диаграмму K в перекрестке v (для определенности будем считать, что он имеет вид ) можно развести двумя способами: способом, согласованным с ориентацией и способом, не согласованным с ориентацией. Легко видеть (см. рис. 40), что первый способ приводит к зацеплению из двух компонент, а второй случай — к узлу (виртуальному зацеплению из одной компоненты).

Заметим, что количество компонент, получаемое после разведения диаграммы K в перекрестке v тем или иным способом, не зависит от ориентации диаграммы K.

Рассмотрим диаграмму, полученную из диаграммы K разведением, согласованным с ориентаци ей (т.е. дающим двухкомпонентное зацепление). Обозначим полученное зацепление через L1 L2.

Рассмотрим те классические перекрестки диаграммы K, в которых компонента L1 пересекается с компонентой L2.

Если число таких перекрестков четно, то объявим перекресток v четным;

в противном случае объявим перекресток v нечетным.

Очевидно, что такое определение четности совпадает с определением четности посредством гауссовой диаграммы, приведенным выше.

Действительно, разведение в перекрестке v, согласованное с ориентацией, можно трактовать как перестройку гауссовой диаграммы по хорде. После этого все перекрестки, образуемые в 44 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ РИС. 40. Разведения перекрестка зацеплении L = L1 L2 обеими компонентами L1 и L2, соответствуют хордам на разведенной гауссовой диаграмме из двух окружностей, которые соединяют одну окружность с другой. На исходной хордовой диаграмме, соответствующей узлу K, такие хорды — это в точности хорды, зацепленные с хордой, соответствующей перекрестку v.

Замечание 5.4. Отметим, что свойство хордовой диаграммы «все хорды являются четными»

отвечает тем виртуальным диаграммам, которым соответствуют ориентируемые атомы, см. тео рему 5.6.

5.1.3. Двухкомпонентные классические и виртуальные зацепления. Здесь «теорией узлов» мы назовем теорию двухкомпонентных виртуальных зацеплений.

Четность определяется следующим образом. Для диаграммы зацепления L = L1 L2 назовем четным классический перекресток, образованный одной компонентой (L1 или L2 ), а нечетным — перекресток, лежащий на пересечении проекций двух компонент L1 и L2.

Непосредственно проверяется Утверждение 5.1. Описанная выше четность удовлетворяет аксиомам 1, 2, 3 а), 3 б), 4.

5.1.4. Узлы в полнотории, кривые на двумерных поверхностях. Рассмотрим класс K узлов в полнотории B, представленном в виде утолщенного кольца S 1 I 1 I 1. Узлы задаются посредством своих проекций на S 1 I 1, которые получаются «забыванием» последнего сомножителя I 1. При этом ограничимся лишь рассмотрением тех узлов, чей класс гомологий в H1 (S 1 I 1 I 1, Z2 ) = Z равен нулю.

На этом множестве K узлов (к которому относятся, в частности, все классические узлы, лежа щие внутри некоторого шара D3 B) определим четность перекрестков следующим образом.

Пусть K — диаграмма, X — ее перекресток. Разведем диаграмму K в перекрестке X способом, согласованным с ориентацией (см. выше). Получим зацепление L. Очевидно следующее равенство в классах гомологий H1 (S 1 I 1 I 1, Z2 ) = Z2 : [K] = [L] = [L1 L2 ] = [L1 + L2 ]. Таким образом, учитывая, что [K] = 0, имеем: [L1 ] = [L2 ] Z2.

Если [L1 ] = [L2 ] = 1 Z2, то назовем перекресток X нечетным, в противном случае назовем перекресток четным.

Непосредственно проверяется Утверждение 5.2. Описанные выше четности удовлетворяют аксиомам 1, 2, 3 а), 3 б), 4.

Замечание 5.5. Как частный случай теории, описанной выше, можно рассмотреть теорию за мкнутых кос из четного числа нитей, рассматриваемых с точностью до изотопий кос и сопряжений.

Каждая коса естественным образом представима в виде тангла, т.е. диаграммы внутри I 1 I 1, а замкнутая коса — в виде диаграммы в S 1 I 1.

Метод, использующий Z2 –гомологии, может быть использован и в более общей ситуации.

Известно, что виртуальные узлы представляют собой узлы в утолщенных поверхностях Sg I, рассматриваемых с точностью до изотопий и стабилизаций.

Забудем про стабилизацию и рассмотрим два класса объектов: кривые в Sg, рассматриваемые с точностью до гомотопии, и узлы в Sg I, рассматриваемые с точностью до изотопии.

5. Четность в теории узлов v v, v, РИС. 41. Графы-разведения v,1 и v, И в том, и в другом случае объекты кодируются диаграммами общего положения, которые представляют собой оснащенные 4-графы на Sg (в случае узлов — еще и со структурами проход– переход и циклический порядок полуребер в каждой вершине). Отношения эквивалентности зада ются посредством движений Рейдемейстера.

Фиксируем некоторый класс когомологий из H 1 (Sg, Z2 ) = H 1 (Sg I, Z2 ) и будем рассматри вать только такие узлы (кривые), для которых () = 0.

Тогда для такого множества узлов (кривых) K и для их диаграмм на Sg можно определить чет ность перекрестка посредством разведения перекрестка способом, согласованным с ориентацией и взятием класса на одной из «половинок» L1 или L2, получающихся после такого разведения.

Легко проверяется, что эта четность удовлетворяет аксиомам 1, 2, 3 а), 3 б), 4.

5.2. Четность и гомологии. В настоящем разделе мы переформулируем общее определение чет ности в терминах гомологий, ср. [164]. Эта переформулировка будет нам полезна для понимания способов определения четности для двойных линий некоторого кобордизма, см. пункт 6.5.

Рассмотрим оснащенный 4-граф с одной уникурсальной компонентой. Группа гомологий H1 (, Z2 ) порождена «половинками», соответствующими вершинам графа: для каждой вершины v мы имеем две «половинки» графа, v,1 и v,2, получаемые из разведением этой вершины, см. рис. 41. Если на множестве всех оснащенных 4-графов (возможно, снабженных некоторыми дополнительными структурами в вершинах) определена четность, то мы можем сказать, что на каждом из графов естественным образом определен следующий когомологический класс h (над Z2 ): для каждой из двух половинок v,1, v,2 мы полагаем h(v,1 ) = h(v,2 ) = p(v), где p(v) обо значает четность вершины v. Принимая во внимание то, что каждые две половинки в сумме дают цикл, соответствующий всему графу, мы получаем корректно определенный «характеристический»


когомологический класс h из H 1 (, Z2 ), равный нулю на цикле, задаваемом всем графом.

Заметим следующее. Каждому циклу c H1 (, Z2 ), рассмотренному как подграф графа, можно сопоставить набор тех вершин графа, которым c инцидентен ровно по двум ребрам, причем эти два ребра не являются противоположными. Обозначим множество всех таких вершин через d(c).

Покажем по индукции, где индукцию будем проводить по количеству вершин в множестве d(c), что c равен с точностью до сумме vi,1, где vi пробегают все множество d(c). Если d(c) i состоит из одной вершины, то утверждение очевидно. Пусть утверждение верно для всех циклов c, множества d(c ) которых содержат менее n вершин. Пусть c — произвольный цикл, и мощность множества d(c) равна n. Выберем произвольную вершину v d(c) и рассмотрим цикл c, который получается из цикла c сменой прохода через вершину v — вершина v проходится трансверсально, т.е. мы переходим с полуребра на противоположное ему полуребро. Тогда мощность множества d(c ) равна n 1, и c получается из c прибавлением половинки, соответствующей вершине v.

Отсюда получаем справедливость утверждения.

Собирая воедино свойства этого когомологического класса h и вспоминая аксиоматику четности, мы видим, что 1. Для каждого оснащенного 4-графа мы имеем h() = 0.

2. Если оснащенный 4-граф получается из оснащенного 4-графа применением первого движения Рейдемейстера, состоящего в добавлении петли, то всякому базису {i } группы H1 (, Z2 ) естественным образом соответствует базис группы H1 (, Z2 ), состоящий из одного элемента, соответствующего петле, и набора элементов i, находящихся в естественном соответствии с элементами i.

46 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ i i’ ’’ ’ РИС. 42. Когомологические условия в случае движений Рейдемейстера В этом случае h() = 0 и i : h(i ) = h(i ).

получается из графа применением второго увеличивающего дви 3. Пусть теперь граф жения Рейдемейстера. Тогда любому базису {i } группы H1 (, Z2 ) естественным образом соответствует базис группы H1 (, Z2 ), состоящий из одного «двуугольника», элементов i, находящихся во взаимно однозначном соответствии с элементами i (это взаимно одно значное соответствие устанавливается посредством сглаживания), и еще одного элемента, см. рис. 42, левая часть. Двуугольник равен в H1 (, Z2 ) сумме двух половинок одинаковой четности.

Тогда имеют место следующие равенства: h(i ) = h(i ), h() = 0.

получается из оснащенного 4-графа посредством третьего 4. Пусть оснащенный 4-граф движения Рейдемейстера. Тогда существует граф с единственной вершиной валентности шесть и остальными вершинами валентности четыре, получающийся из каждого из графов и посредством стягивания «малого» треугольника в точку. Это порождает естественные отображения i : H1 (, Z2 ) H1 (, Z2 ) и i : H1 (, Z2 ) H1 (, Z2 ), см. рис. 42, правая часть.

Тогда имеет место следующее: коцикл h равен нулю на малых треугольниках в графах и, кроме того, если для некоторых циклов a H1 (, Z2 ), a H1 (, Z2 ) имеет место i(a) = i (a ), то h(a) = h(a ).

Равенство нулю коцикла на малых треугольниках следует из того, что каждый малый треугольник представляет в H1 (, Z2 ) элемент, равный (с точностью до прибавления самого графа ) сумме трех половинок, из которых число нечетных равно нулю или двум.

Таким образом, каждая четность для свободных узлов порождает некоторый «характеристи ческий» класс Z2 -когомологий на множестве всех оснащенных 4-графов с одной уникурсальной компонентной, и этот класс правильно ведет себя при движениях Рейдемейстера.

Обратное утверждение также верно.

Теорема 5.2. Предположим, что задано правило, сопоставляющее каждому оснащенному 4-графу Z2 -когомологический класс, при этом этот класс является «характеристическим»

в том смысле, что он удовлетворяет условиям 1 – 4, описанным выше. Тогда этот класс происходит из некоторой четности.

Действительно, достаточно определить нашу четность для каждой вершины как значения клас са на соответствующей половинке. Независимость от выбора одной из двух половинок вытекает из условия равенства нулю когомологического класса на всем графе. Далее непосредственно про веряются аксиомы четности: они явно следуют из условий 1)–4).

Эта точка зрения позволяет искать четности для классов узлов, лежащих в Z2 -гомологически нетривиальных многообразиях. Подробнее см. [119].

5.3. Классификация четностей для свободных узлов. В данном пункте мы покажем, что справедлива следующая 5. Четность в теории узлов a a a6 a a a a8 a a6 a 3 a a 3 a a a4 a РИС. 43. Пятиугольники РИС. 44. Многоугольник в случае диаграмм узлов Теорема 5.3. Для свободных узлов нет никакой нетривиальной четности, кроме гауссовой четности.

Доказательство этой теоремы основано на леммах 5.2, 5.3, 5.4.

Мы будем задавать свободные узлы в виде гауссовых диаграмм с множеством пронумерованных хорд {a1,..., an }.

Определение 5.5. Будем говорить, что набор хорд с номерами i1,..., ik хордовой диаграммы образует многоугольник (в данном случае k-угольник), если циклическое слово с двойным вхож дением, соответствующее данной хордовой диаграмме, содержит следующие последовательности различных букв b2p1 b2p, где b2p1, b2p {ai(p), ai(p1) }, p = 1,..., k, для некоторой перестановки Sk.

Пары (b2p1, b2p ) букв b2p1, b2p из определения многоугольника назовем сторонами много угольника.

Пример 5.3. Рассмотрим хордовую диаграмму, изображенную на рис. 43. Тогда хорды a2, a4, a5, a6, a8 образуют выпуклый пятиугольник (слева) и невыпуклый пятиугольник (справа).

На рис. 44 изображен многоугольник в случае диаграмм узлов. Диаграмма узла не пересекает внутренность многоугольника.

Лемма 5.2. Сумма четностей хорд многоугольника гауссовой диаграммы в любой четности сравнима с нулем по модулю два.

Доказательство. Докажем утверждение леммы по индукции. Индукцию будем проводить по ко личеству сторон многоугольника. Пусть дана произвольная четность P.

База индукции. Справедливость утверждения для петли, двуугольника и треугольника вытека ет из определения 5.3.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для (k 1)-угольника. Рассмотрим про извольный k-угольник ai1 ai2... aik.

Применим к хордовой диаграмме второе движение Рейдемейстера, добавив две хорды b и c, см.

рис. 45 (на рис. 45 изображены три возможности применения второго движения Рейдемейстера в зависимости от расположения концов хорд ai1, ai2, ai3, aik ).

48 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ ai ai ai2 b c a ik a ik ai ai ai ai ai 3 c ai2 b ai a ik a ik ai1 ai ai ai ai ai ai1 c a ik a ik b ai РИС. 45. Второе движение Рейдемейстера В результате мы получим (k 1)-угольник c ai3 ai4... aik и треугольник b ai1 ai2. По предположе нию индукции имеем k p(aij ) 0 p(b) + p(ai1 ) + p(ai2 ) 0 (mod 2), p(c) + (mod 2), p(b) = p(c), j= где p(a) четность хорды a в четности P. Следовательно, k p(aij ) 0 (mod 2).

j= Замечание 5.6. Если мы работаем с диаграммами узлов, то соответствующие картинки для леммы 5.2 выглядят как показано на рис. 46.

Перейдем от теории свободных узлов к теориям классических и виртуальных узлов. Поскольку двуугольники и треугольники, участвующие в движениях Рейдемейстера, затягиваются дисками, мы получаем Следствие 5.1. Для любой четности и плоской (виртуальной) диаграммы узла сумма чет ностей перекрестков, образующих многоугольник, который затягивается диском на подле жащей поверхности, сравнима с нулем по модулю два.

Используя виртуализацию, мы можем любой многоугольник свести к многоугольнику, который затягивается диском на подлежащей поверхности. В результате мы получим (см. также доказа тельство теоремы 5.4) 5. Четность в теории узлов ai ai ai c ai b ai ai1 a ik a ik РИС. 46. Случай плоских диаграмм узлов a a a a a a РИС. 47. Четная в гауссовой четности хорда Следствие 5.2. Если вместо теории свободных узлов мы рассмотрим теорию псевдоузлов, то лемма 5.2 остается справедливой и в этой теории, т.е. наличие числа закрученности перекрестка не дает ничего нового.

Лемма 5.3. Для свободного узла (псевдоузла) любая хорда, четная в гауссовой четности, является четной в любой другой четности.

Доказательство. Пусть дана четность P, и пусть a — четная в гауссовой четности хорда. Рас смотрим одну из половинок окружности хордовой диаграммы, на которые хорда делит эту окруж ность. В силу четности хорды a на этой половинке находится четное число концов хорд. Применим индукцию по количеству этих концов.

База индукции: Если количество концов равно нулю, то хорда a четная в четности P по свойству четности, связанному с первым движением.

Шаг индукции: Предположим, что любая четная в гауссовой четности хорда, на полуокружно сти которой лежит меньше n = 2k концов хорд, четна относительно P, и что на полуокружности хорды a лежит ровно n концов.

Ориентируем хордовую диаграмму против часовой стрелки. Пусть a1, a2 — первые два конца хорд на полуокружности.

Рассмотрим два случая.

Пусть концы a1, a2 отвечают разным хордам, см. рис. 47. Добавим вторым движением пару хорд b, b так, чтобы полуокружность, соответствующая хорде b, содержала то же множество концов хорд, что и выбранная полуокружность для a, за исключением концов a1, a2, см. рис. (сверху). Покажем, что четность p(a) в четности P хорды a совпадает с четностью хорд b и b (p(b) = p(b ) по определению четности). Для этого добавим пару хорд c, c, чтобы образовать треугольник a1 a2 c, см. рис. 48 (снизу). Тогда p(a1 ) + p(a2 ) + p(c) 0 (mod 2). С другой стороны, имеется пятиугольник aa1 ca2 b, для которого в силу леммы 5.2 выполняется тождество p(a) + p(a1 ) + p(c) + p(a2 ) + p(b) 0 (mod 2).


Следовательно, p(a) + p(b) 0 (mod 2), откуда p(a) = p(b) = p(b ). На полуокружности хорды b находится меньше концов хорд (с точностью до концов хорд c, c, которые не влияют на четность хорд), чем на полуокружности, соответствующей хорде a, значит, по предположению индукции p(b ) = 0, и хорда a четная.

Если концы a1, a2 принадлежат одной хорде, то эта хорда четная (т.к. входит в первое движение Рейдемейстера) и образует треугольник с хордами a и b. Следовательно, p(a) + p(b) 0 (mod 2) и p(a) = p(b) = p(b ) = 0.

50 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ a a a a a a b b b’ b’ c’ c a a a a a c a b b c’ b’ b’ РИС. 48. Четная в гауссовой четности хорда Лемма 5.4. Если хотя бы одна из хорд является нечетной в гауссовой четности и в то же самое время является четной в другой четности P, то все хорды являются четными в четности P.

Доказательство. Утверждение леммы можно переформулировать следующим образом: нечетные в гауссовой четности хорды имеют одинаковую четность в любой четности. Доказательство по следнего утверждения аналогично доказательству леммы 5.3.

Фиксировав какую-либо нечетную в гауссовой четности хорду a, мы можем любую нечетную в гауссовой четности хорду b заменить, с помощью приема из леммы 5.3, хордой c, которая вместе с хордой a входит во второе движение Рейдемейстера, т.е. четности хорд a и c совпадают, следовательно, четности a и b совпадают.

Это завершает доказательство теоремы 5.3.

Учитывая утверждение 5.1, получаем Следствие 5.3. Любая четность для плоских и виртуальных узлов происходит из гомологий подлежащей поверхности. Таким образом, любая четность на виртуальных узлах задает тривиальную четность на классических узлах.

Применяя предыдущие рассуждения, докажем следующую теорему.

Теорема 5.4. Для классических узлов (a priori мы не предполагаем их продолжение до вир туальных узлов) существует единственная четность — тривиальная четность.

Доказательство. Достаточно показать, что сумма четностей перекрестков классического узла, образующих двуугольник или треугольник, в любой четности сравнима с нулем по модулю два.

Мы рассмотрим только треугольник. Пусть перекрестки a, b, c образуют треугольник. Если мы можем применить третье движение Рейдемейстера к нашему треугольнику, то равенство p(a) + p(b) + p(c) 0 (mod 2) следует из определения 5.3. В противном случае перекрестки об разуют альтернированный треугольник. Применяя три вторых движения и одно третье движение Рейдемейстера мы получим диаграмму K (см. рис. 49), где следующие равенства верны:

p(b) + p(c) + p(d) 0 (mod 2), p(e) + p(f ) + p(g) 0 (mod 2), p(a) + p(f ) + p(g) 0 (mod 2), p(e) + p(d) 0 (mod 2).

5. Четность в теории узлов b b f d e a c a g c K K’ РИС. 49. Альтернированный треугольник Мы имеем p(a) = p(e) = p(d) p(b) + p(c) (mod 2). Следовательно, p(a) + p(b) + p(c) 0 (mod 2).

5.4. Функториальное отображение f. Приведенное в настоящем разделе отображение f для четности из пункта 5.1.2 было впервые предложено Тураевым. Далее мы строим это отображение для произвольной четности, удовлетворяющей ослабленным аксиомам четности.

Теорема 5.5. Пусть K — некоторая теория узлов, обладающая четностью, удовлетворя ющей ослабленной четной аксиоматике. Построим отображение f, которое диаграмме K сопоставляет диаграмму, получающуюся по следующему правилу.

Всякий четный классический перекресток диаграммы K остается перекрестком, а всякий нечетный удаляется (т.е. при изображении мы на его месте ставим виртуальный перекре сток).

Тогда отображение f корректно определено на классах узлов, т.е. переводит эквивалент ные диаграммы в эквивалентные.

Замечание 5.7. В случае свободных узлов, когда в качестве диаграмм рассматриваются осна щенные 4-графы, операция f состоит в удалении четных перекрестков и последующем соединении противоположных полуребер в одно ребро. В случае, когда диаграммы узлов изображаются на плоскости или на поверхности, удаляемый перекресток помечается кружочком и рассматривается как виртуальный перекресток.

Доказательство теоремы 5.5. Нам необходимо проверить, что если диаграммы K1 и K2 получа ются друг из друга применением одного движения Рейдемейстера, то диаграммы f (K1 ) и f (K2 ) либо совпадают (при изображении на плоскости отличаются движением объезда), либо отличают ся применением движения Рейдемейстера.

Действительно, в случае первого движения Рейдемейстера добавление петли под действием отображения f превращается либо в добавление петли (если перекресток является четным), либо в добавление виртуальной петли (последнее преобразование является частным случаем движения объезда).

В случае второго движения Рейдемейстера, если оба перекрестка были нечетными для исходных диаграмм, для f (K1 ) и f (K2 ) мы получаем движение объезда, а в случае, если оба перекрестка были четными, мы получаем второе движение Рейдемейстера.

Наконец, в случае третьего движения Рейдемейстера мы можем получить третье движение Рейдемейстера для f (K1 ) и f (K2 ), если все три перекрестка были четными, или одну из версий движения объезда, если четным был либо один перекресток из трех, либо ни одного.

Отметим, что в силу аксиомы 4 все перекрестки, не участвующие в движении Рейдемейстера, остаются неподвижными, что обеспечивает неизменность диаграммы f (K1 ) при переходе в f (K2 ) вне окрестности тех перекрестков, которые участвуют в движении Рейдемейстера.

Перейдем теперь к описанию функции f в случае конкретных теорий узлов с четностями.

52 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ a РИС. 50. Гауссовы диаграммы и структуры источник-сток 5.4.1. Функция f в случае четности из пункта 5.1.2. Пусть K — виртуальная диаграмма, задающая свободный узел, G(K) — соответствующая гауссова диаграмма, а At(K) — атом, соот ветствующий диаграмме K. Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 5.6. Атом At(K) ориентируем тогда и только тогда, когда все хорды диаграммы G(K) являются четными.

В частности, свойство ориентируемости атома зависит лишь от свободного узла, соот ветствующего узлу K, и не зависит от структуры проход-переход в классических перекрест ках диаграммы K.

Доказательство. Известно (предложение 3.1), что атом ориентируем тогда и только тогда, когда на его остове можно задать структуру источник-сток, см. рис. 50 в центре.

Вспомним, что ребра графа — остова атома — соответствуют дугам хордовой (гауссовой) диа граммы. При этом соседние дуги на гауссовой диаграмме соответствуют противоположным ребрам.

Следовательно, структура источник-сток задает на гауссовой диаграмме ориентацию дуг, облада ющую следующими двумя свойствами:

1) дуги гауссовой диаграммы чередуются, т.е. за каждой дугой, ориентированной по часовой стрелке, следует дуга, ориентированная против часовой стрелки;

2) у каждой хорды на одном конце имеются две исходящие дуги, а на другом — две входящие.

Из этих условий легко следует, что для каждой хорды по одну сторону от нее имеется четное число концов других хорд, откуда и вытекает четность хорды.

Пример 5.4. Рассмотрим гауссову диаграмму, изображенную на рис. 50 слева. На ней задана ориентация дуг, задающая структуру источник-сток (см. опр. 3.10) на остове соответствующего атома. Как нетрудно убедиться, один из атомов, соответствующих этой диаграмме, является сфе рическим (т.е. поверхность атома представляет собой сферу), следовательно, он ориентируем, т.е.

ориентируемы и все остальные атомы с тем же остовом.

На хордовой диаграмме, изображенной на рис. 50 справа, задание такой структуры невозможно, ибо хорда a является нечетной (она зацеплена ровно с одной хордой). Поэтому чередующаяся ориентация стрелок вдоль окружности хордовой диаграммы приводит к четырем входящим ребрам на концах хорды a.

Таким образом, отображение f оставляет неизменными те диаграммы, которым соответствуют ориентируемые атомы (напомним, что мы рассматриваем диаграммы только виртуальных узлов, а не зацеплений). Если атом At(K), соответствующий диаграмме K, не ориентируем, то диаграмма f (K) имеет строго меньше классических перекрестков, чем диаграмма K.

Отметим, что, вообще говоря, f 2 (K) = f (K), ибо после удаления нечетных хорд хордовой диа граммы некоторые четные хорды могут стать нечетными. Так, например, для хордовой диаграммы с четырьмя хордами a, b, c, d, у которой имеются три зацепленные пары хорд: (a, b), (a, c), (b, d), после удаления нечетных хорд c, d, хорды a, b становятся нечетными.

Легко видеть, что для каждой диаграммы виртуального узла K с n перекрестками найдется та кое число m n, что f m (K) = f m+1 (K), т.е. атом, соответствующий диаграмме f m (K), является ориентируемым.

5. Четность в теории узлов Очевидно, что отображение, убивающее нечетные перекрестки, задается и на множестве ато мов: достаточно лишь удалить все нечетные перекрестки и оставить структуру черных и белых углов в оставшихся перекрестках.

Это приводит нас к следующей фильтрации на множестве атомов и виртуальных узлов. Пусть At — атом, остов которого имеет одну уникурсальную компоненту. Тогда либо At является ориен тируемым (в этом случае скажем, что атом At имеет градуировку нуль), либо неориентируемым.

Во втором случае существует единственное такое натуральное число n 0, что f n (At) является ориентируемым атомом, а f n1 (At) не является ориентируемым атомом. В этом случае скажем, что атом At имеет градуировку n.

Аналогично определяется и градуировка на множестве виртуальных узлов: скажем, что вирту альный узел K имеет градуировку 0, если у него есть диаграмма с ориентируемым атомом;

узел K имеет градуировку n 0, если узел f n (K) имеет диаграмму с ориентируемым атомом, а узел f n1 (K) таковых диаграмм не имеет.

Таким образом, мы имеем естественное разбиение множества виртуальных узлов на подмноже ства: K0 K1 K2 · · · Kn · · ·.

Легко построить примеры, показывающие непустоту каждого из множеств Kn. Построим при мер по индукции. Рассмотрим нечетную несократимую хордовую диаграмму, содержащую k хорд, где k — некоторое фиксированное натуральное число. На первом шаге добавим k попарно неза цепленных хорд, каждая из которых зацеплена ровно с одной хордой первоначальной диаграммы.

На l-ом шаге мы добавляем k попарно незацепленных хорд, каждая из которых зацеплена ровно с одной хордой, добавленной на предыдущем шаге. Совершая n 1 шагов, мы получим диаграмму градуировки n.

Определение 5.6. Отображение, переводящее все виртуальные узлы в узлы с ориентируемыми атомами и оставляющее на месте узлы с ориентируемыми атомами, назовем проекционным.

Такой подход позволяет получить простое доказательство следующей теоремы Виро-Мантурова (впервые доказанной в 2005 и впервые опубликованной в [77]).

Теорема 5.7. Пусть K, K — две эквивалентные диаграммы виртуальных узлов, имеющие ориентируемые атомы. Тогда существует цепочка преобразований Рейдемейстера K = K K1 · · · Kn = K такая, что все атомы, соответствующие диаграммам Ki, являются ориентируемыми.

Доказательство. Рассмотрим цепочку диаграмм K = L0 L1 · · · Ln = K таких, что диаграммы Li и Li+1 связаны между собой классическими движением Рейдемейстера.

Пусть максимальное количество перекрестков по всем диаграммам Li равно k.

Применим к цепочке преобразование f. Получим цепочку диаграмм K = L0 = L L 0... L = Ln = K, в которой каждые две соседние диаграммы получаются друг из друга движением n Рейдемейстера либо совпадают (т.е. получаются друг из друга движением объезда).

Применяя преобразование f и далее (всего k раз начиная с исходной цепочки), мы получим цепочку диаграмм f k (K) = K = L0 f k (L1 ) · · · f k (Ln ) = Ln = K, в которой атомы, соответствующие всем диаграммам, являются ориентируемыми, и каждые две соседние диаграммы либо совпадают (связаны движением объезда), либо отличаются друг от друга одним из движений Рейдемейстера.

Замечание 5.8. Исходное доказательство теоремы Виро-Мантурова в общем случае (для вир туальных зацеплений из произвольного числа компонент) опирается на геометрию виртуальных узлов и теорему Куперберга. В настоящее время авторам известно комбинаторное доказательство этой теоремы в общем случае, основанное на понятии относительной четности для диаграмм виртуальных зацеплений [119].

5.4.2. Иерархия четностей на виртуальных узлах. Как следует из теоремы Виро-Мантурова, виртуальные узлы, которым соответствуют ориентируемые атомы, образуют естественный под класс всех виртуальных узлов, для определения эквивалентности которых можно использовать лишь те движения Рейдемейстера, которые оставляют диаграммы внутри этого подкласса.

В частности, этот класс (обозначим его через V1 ) включает в себя классические узлы. Мы покажем, что имеется естественная фильтрация на множестве виртуальных узлов (не связанная 54 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ с градуировкой n, приведенной выше):

V0 V1 V2 · · · Vn · · ·, которая начинается с множества V0 всех виртуальных узлов и имеет своим пределом «узлы ин декса 0» V — множество узлов, содержащее в себе все классические узлы.

Итак, пусть K — виртуальная диаграмма, G(K) — ее гауссова диаграмма. Расставим на диа грамме G(K) знаки и стрелки обычным способом (знак плюс соответствует перекрестку,а знак минус — перекрестку ): стрелка направлена от прообраза дуги, образующей переход, к прообразу дуги, образующей проход.

Каждому классическому перекрестку мы сопоставим индекс, который будет представлять собой натуральное число или нуль. Пусть v — классический перекресток диаграммы K, а c(v) — соот ветствующая ему (ориентированная) хорда диаграммы G(K). Рассмотрим все хорды диаграммы G(K), зацепленные с хордой c(v). Посчитаем для них сумму знаков тех хорд, которые пересекают c(v) слева направо и вычтем сумму знаков тех хорд, которые пересекают хорду c(v) справа налево.

Модуль полученной величины назовем индексом хорды и обозначим его через ind(v) ind(c(v)).

Ясно, что если атом, соответствующий диаграмме K, ориентируемый, то индексы хорд диаграм мы G(K) четные.

Следовательно, V1 состоит из тех узлов, у диаграмм которых индекс каждой из хорд является четным.

Соберем воедино несколько фактов, доказательство которых сводится к простой проверке.

1. В первом движении Рейдемейстера может участвовать лишь хорда Утверждение 5.3.

индекса нуль.

2. Во втором движении Рейдемейстера участвуют две хорды одинаковых индексов.

3. Индекс хорды не меняется при третьем движении Рейдемейстера ind(a) = ind(a ), ind(b) = ind(b ), ind(c) = ind(c ), кроме того, если три хорды a, b, c участвуют в третьем движении Рейдемейстера, то ind(a) ± ind(b) ± ind(c) = 0, см. рис. 39.

4. Индекс хорды, не участвующей в некотором движении Рейдемейстера, не меняется по сле применения к диаграмме этого движения Рейдемейстера.

5. У классической диаграммы все перекрестки имеют индекс нуль.

Заметим сначала, что свойство равенства индекса нулю является свойством ослабленной чет ности. То же самое верно для свойства равенства нулю по модулю целого числа. Следовательно, отображение, удаляющее хорды ненулевого индекса, является корректно определенным в любой теории узлов, в которой имеется индекс.

Кроме того, описанные выше свойства индекса показывают, что индекс можно использовать для определения четности.

Действительно, из утверждения 5.3 вытекает, что на диаграммах из V1 можно ввести следу ющую четность: пусть K — диаграмма узла из V1 ;

объявим четными те перекрестки диаграммы K, которые имеют индекс, кратный четырем, а нечетными — те, которые имею индекс, имеющий остаток 2 от деления на 4.

Из утверждения 5.3 вытекает, что так определенная четность удовлетворяет всем аксиомам четности.

Применяя отображение f к узлам из V1, удаляющее перекрестки, имеющие индекс, не деля щийся на 4, мы можем выйти за пределы класса V1. Тем не менее, если две диаграммы x, y из V1 эквивалентны, то диаграммы f (x) и f (y) эквивалентны (даже если они не лежат в V1 ).

Рассуждая аналогичным образом и далее мы определим множества Vk диаграмм, у которых все перекрестки имеют индексы, делящиеся на 2k, а также V как множество диаграмм, у которых все перекрестки имеют индекс 0.

Имеется набор отображений fk : Vk V0, который состоит в удалении всех хорд индекса сравнимого с 2k по модулю 2k+1. Все эти отображения переводят эквивалентные диаграммы в эквивалентные.

Имеет место 5. Четность в теории узлов 1 4 4 1 + + РИС. 51. Неклассическая диаграмма из класса V Теорема 5.8. Пусть K, K — две диаграммы виртуальных узлов из Vk (где k — натураль ное число или символ ), задающие эквивалентные виртуальные узлы. Тогда существует цепочка K = K0 K1 · · · Kn = K диаграмм из Vk, в которой любые соседние диаграммы отличаются одним из движений Рейдемейстера или движением объезда.

Эта теорема доказывается так же как и теорема 5.7 посредством функториального отображения, удаляющего все хорды, индекс которых не делится на 2k (в случае конечного k) или удаляющего все хорды с ненулевым индексом (для k = ).

Отметим, что класс V довольно интересен: он представляет собой «аппроксимацию» классиче ских узлов виртуальными узлами, и все инварианты, определенные на V, могут быть перенесены на все виртуальные узлы посредством отображения f.

Пример неклассической диаграммы K из V, изображен на рис. 51.

На гауссовой диаграмме на рисунке изображена диаграмма G(K) со стрелками и со знаками.

Легко видеть, что на диаграмме G(K) стрелки, соответствующие перекресткам 1 и 2, противона правленны, что гарантирует равенство нулю индексов хорд 3 и 4. Противоположными являются и стрелки, соответствующие перекресткам 3 и 4.

5.4.3. Отображение f в случае четности из пункта 5.1.3. Пусть K — диаграмма классиче ского или виртуального зацепления из двух компонент. Отображение f заменяет все перекрестки, образованные обеими компонентами диаграммы K, на виртуальные. Геометрический смысл опе рации f таков: каждому зацеплению L = L1 L1 она сопоставляет распадающееся зацепление из двух компонент L1 и L2.

5.4.4. Отображение f в случае четности из пункта 5.1.4. Это отображение сопоставляет уз лам в полнотории «виртуальные узлы в полнотории», т.е. классы эквивалентности диаграмм в S 1 I 1 с классическими и виртуальными перекрестками по движениям Рейдемейстера.

Получаемые в качестве образа отображения f узлы можно исследовать далее различными способами, например, рассматривая их как обычные виртуальные узлы (посредством вложения S 1 I 1 R2 ) либо исследуя дополнительные четности.

Аналогичным образом можно рассматривать четность f для узлов на утолщенной поверхности, которая приводит к теории «виртуальных узлов на той же утолщенной поверхности».

5.5. Инварианты. Оказывается, что если некоторая теория узлов K обладает четностью, удо влетворяющей всем аксиомам четности 1, 2, 3 а), 3 б), 4, то это позволяет строить инварианты узлов K со значениями в линейных комбинациях графов. Такие линейные комбинации графов происходят из диаграмм исходного узла посредством разведений и, следовательно, несут в себе много информации об узле в целом: о количестве перекрестков на его возможных диаграммах и об их взаимном расположении.

В частности, для некоторых теорий узлов с четностью, удовлетворяющей аксиомам 1, 2, 3 а), б), 4, легко доказываются теоремы о минимальности диаграмм по количеству перекрестков.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.