авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |

«Современная математика. Фундаментальные направления. Том (). С. 1–157 УДК 515.16+519.17 ...»

-- [ Страница 3 ] --

5.5.1. Разведения. Пусть дана диаграмма K в некоторой теории узлов K. Нашим основным при мером будет теория свободных узлов, в которой в качестве диаграмм будут выступать оснащенные 4-графы, поэтому мы будем часто пользоваться как термином «диаграмма», так и термином «граф».

56 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ c d d c a b d c a b a b РИС. 52. Два разведения вершины оснащенного графа Определим понятие разведения диаграммы (графа). В дальнейшем словом «разведение» мы будем называть как процесс разведения, так и диаграмму, получающуюся в результате разведения.

Отметим, что идея «разведения» 4-графа изучалась Нэш-Уильямсом, Буше и др., которые назвали ее разделение, см., напр., [177, 22].

Определение 5.7. Пусть v — вершина (перекресток) диаграммы K, в которой сходятся четыре полуребра a, b, c, d, причем полуребро a противоположно полуребру c, а полуребро b противопо ложно полуребру d. Назовем разведениями диаграммы K в вершине v один из двух оснащенных 4-графов, полученных из диаграммы K удалением вершины v и склейкой ребер в другом порядке:

a b, c d или a d, b c, см. рис. 52.

При этом оснащение остальных вершин (кроме v) у обоих разведений остается тем же, что и у диаграммы (графа) K.

Можно рассматривать и дальнейшие разведения диаграммы (графа) K в нескольких верши нах. Каждое разведение представляет собой результат последовательного разведения диаграммы в нескольких вершинах. В случае, когда диаграммы в теории узлов K содержат дополнитель ную информацию в перекрестках, то под разведением будет пониматься диаграмма, получаемая «забыванием» этой информации. Так, в случае разведения виртуальной диаграммы результатом разведения будет являться оснащенный 4-граф. Будем обозначать результаты разведения диаграм мы K через Ks, где s — это способ разведения (или состояние) диаграммы K.

Пусть K — диаграмма, и пусть v1,..., vn — все четные перекрестки диаграммы K. Назо вем четным разведением диаграммы K некоторое ее разведение во всех четных перекрестках v1,..., vn. Таким образом, у диаграммы K имеется 2n четных разведений.

Назовем четное разведение оснащенного 4-графа K (относительно любой четности) 1-четным разведением, если в результате разведения количество уникурсальных компонент получающегося оснащенного 4-графа равно единице.

В случае теорий кос или танглов в качестве исходных объектов допускаются графы с вер шинами валентности один (называемые концевыми) и валентности четыре (каждая из которых является оснащенной), а в случае танглов еще и со свободными компонентами — отдельно сто ящими окружностями. В этом случае результаты разведений также представляют собой графы с вершинами валентности 1 и 4 и свободными окружностями, причем множество вершин валентно сти 1 каждой разведенной диаграммы совпадает с множеством вершин валентности 1 диаграммы до разведения.

5.5.2. Оснащенные 4-графы. Для каждого оснащенного 4-графа K его разведения будут пред ставлять собой оснащенные 4-графы.

Для виртуальной диаграммы L разведениями будут являться виртуальные диаграммы, соответ ствующие разведениям оснащенного 4-графа K(L), получаемого из L забыванием дополнительной информации в классических перекрестках.

Далее мы будем интересоваться следующими множествами разведений свободного графа (вир туальной диаграммы): множеством всех разведений S, множеством всех четных разведений Sчет, 5. Четность в теории узлов множеством всех разведений с одной уникурсальной компонентой S1 и множеством всех четных разведений с одной уникурсальной компонентой Sчет,1. Элементы соответствующих множеств мы будем обозначать через s, sчет, s1, sчет,1 соответственно. Для упрощения обозначений при суммировании мы будем обычно опускать множество разведений, по которым будет происходить суммирование (оно будет связано с той переменной, которая пробегает это множество: s, sчет, s или sчет,1 ).

Оснащенные 4-графы, пробегающие одно из этих множеств разведений, будут использоваться в дальнейшем для построения инвариантов оснащенных зацеплений или других теорий узлов с четностью.

5.5.3. Свободные узлы и зацепления. Теория свободных узлов (не зацеплений) описывается гаус совыми диаграммами и движениями Рейдемейстера на них (для зацеплений строится гауссова диаграмма на многих окружностях). При этом переход от узлов к свободным узлам соответствует переходу от гауссовых диаграмм с метками на ребрах и ориентациями ребер к гауссовым диаграм мам без меток и ориентаций.

5.5.4. Линейное пространство G. Рассмотрим оснащенные 4-графы с одной уникурсальной ком понентой по отношению эквивалентности, порожденному вторым движением Рейдемейстера.

Определим линейное пространство G как множество Z2 -линейных комбинаций таких классов эквивалентности.

5.5.5. Линейное пространство G. Линейное пространство G — это множество Z2 -линейных комбинаций следующих объектов. Рассматриваются все оснащенные 4-графы, профакторизован ные по следующим соотношениям эквивалентности:

1) второе движение Рейдемейстера;

2) L = 0, т.е. оснащенный 4-граф, имеющий больше одной компоненты, одна из которых тривиальна, полагается равным нулю.

Имеет место естественное отображение g : G G, отображающее в нуль все классы эквива лентности оснащенных графов, имеющих более одной уникурсальной компоненты. Очевидно, что отображение g является эпиморфизмом групп.

5.5.6. Инварианты [ · ], { · }. Приводимые ниже инварианты будут явно определены для свобод ных узлов и зацеплений относительно любой четности, удовлетворяющей всем аксиомам четности из определения 5.3.

Эти определения прямо продолжаются на свободные танглы — объекты, задаваемые графами, имеющими помимо вершин валентности четыре свободные концы валентности 1 (в частности, на свободные косы и длинные свободные узлы). Явных определений для случая свободных танглов мы приводить не будем, оставляя их в качестве упражнения для читателя.

Так как любое виртуальное зацепление порождает свободное зацепление посредством «забы вания» структур классических перекрестков (проход–переход и локальное число закручивания), но мы помним структуру противоположных ребер, то эти инварианты будут «подниматься» до инвариантов виртуальных узлов и зацеплений в любой четности, которая определяется на соот ветствующих свободных зацеплениях.

Перейдем к построению инвариантов [·] и {·} свободных узлов, которые будут принимать зна чения в G и в G соответственно.

Пусть K — оснащенный 4-граф. Инвариант {·} задается по формуле {K} = Ksчет G, sчет где из обозначений следует, что сумма берется по всем четным разведениям sчет оснащенного 4-графа K, которые рассматриваются как элементы из G.

Теорема 5.9. Скобка {·} является инвариантом свободных зацеплений.

Доказательство. Проверим инвариантность скобки {·} относительно движений Рейдемейстера.

Здесь мы будем использовать те свойства четности 1, 2, 3 а), 3 б), 4, которым удовлетворяют перекрестки диаграмм, подвергающихся движениям Рейдемейстера.

58 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Пусть диаграммы K и K отличаются друг от друга движением 1, при этом диаграмма K содержит на одну вершину больше, чем диаграмма K, и эта вершина обозначена через v.

Отметим, что вершина v является четной согласно первой аксиоме четности. Одно из разведений диаграммы K в вершине v приводит к отдельно стоящей тривиальной компоненте, таким образом, любое четное разведение диаграммы K, в которой вершина v разведена неправильным образом, приведет к отдельно стоящей тривиальной компоненте, что даст нулевой элемент из G.

Разведение диаграммы K в вершине v правильным образом приводит к диаграмме K, что дает взаимно однозначное соответствие четных разведений для K и K, не имеющих отдельно стоящих тривиальных окружностей.

Таким образом мы доказали инвариантность скобки {·} относительно первого движения Рейде мейстера.

При втором и третьем движениях Рейдемейстера 2 и 3 мы покажем, что {K} + {K } (mod Z2 ) посредством разбиения на пары всех диаграмм, входящих в {K}+{K }, представляющих нетривиальные элементы из G. В силу того, что G — линейное пространство над Z2, это будет }.

означать равенство {K} = {K Пусть K получается из K вторым движением Рейдемейстера, добавляющим два перекрестка v1 и v2. Если оба эти перекрестка нечетные, то имеет место очевидное взаимно однозначное соот ветствие между множеством четных разведений диаграммы K и множеством четных разведений диаграммы K. Соответствующие разведения получаются друг из друга применением «одного и того же» движения Рейдемейстера, относящегося к вершинам v1 и v2. Если вершины v1 и v обе являются четными, то имеются четыре разведения диаграммы K в этих вершинах:,,,.

Отметим, что разведение имеет отдельно стоящую окружность, которая будет оставаться таковой при последующих разведениях в четных перекрестках. Таким образом, в {K } такие слагаемые учитываться не будут.

Далее, разведения и представляют собой один и тот же оснащенный 4-граф (при усло вии совпадения разведений во всех оставшихся перекрестках). Таким образом, эти разведения сокращаются в {K }.

диаграммы K очевидным образом находятся во взаимно однознач Четные разведения типа ном соответствии c четными разведениями диаграммы K и дают оснащенные 4-графы.

Пусть теперь диаграмма K переводится в диаграмму K движением 3. Из трех перекрестков диаграммы K, участвующих в движении Рейдемейстера, четными могут быть либо три перекрест ка, либо один.

Если три перекрестка диаграммы K, участвующие в движении Рейдемейстера, четные, то мы имеем семь типов слагаемых в {K} (и семь типов слагаемых в {K }): в каждой из трех вершин мы имеем две возможности разведения, при этом одна из восьми возможностей приводит к отдельно стоящей тривиальной окружности в K, а одна из возможностей приводит к отдельно стоящей тривиальной окружности в K (что не дает вклада в {K} или в {K }). Рассматривая K (на рис. слагаемые, соответствующие K, стоят слева, а слагаемые, соответствующие K, стоят справа), мы видим, что три из этих типов приводят к совпадающим наборам диаграмм (эти наборы обозначены через 1), поэтому в G два набора сокращаются друг с другом, и остается один набор. Аналогично имеются три «одинаковых» типа разведения (они обозначены через 2 на рис. 53).

для случая K Таким образом, и в {K}, и в {K } остаются пять типов слагаемых: 1, 2, 3, 4, 5.

В этих пяти случаях имеется однозначное соответствие (см. рис. 53), которое приводит к ра венству {K} = {K }.

Если среди трех вершин, участвующих в 3, мы имеем ровно одну четную вершину в правой и в левой частях (скажем a a ), мы приходим к ситуации, изображенной на рис. 54.

Из этого рисунка мы видим, что те разведения, где вершина a (соотв., a ) разведена верти кально, дают совпадающие слагаемые для {K} и для {K }, а те разведения, где a и a разведены горизонтально, находятся в однозначном соответствии для диаграмм K и K, причем соответ ствующие графы отличаются друг от друга применением двух вторых движений Рейдемейстера.

Это доказывает, что {G} = {G } в G.

5. Четность в теории узлов = =1 3 = 5 = 2 = РИС. 53. Соответствия разведений при движении 3 с тремя четными вершинами a a РИС. 54. Соответствие между разведениями для 3 с одной четной вершиной Инвариант [·] задается по формуле Ks1,чет G, (5.1) [K] = s1,чет где сумма берется по всем четным разведениям диаграммы K, дающим одну окружность.

Очевидно, что [K] = g({K}), что приводит к теореме Теорема 5.10. Скобка [·] является инвариантом свободных узлов.

Иногда нам будет удобно пользоваться скобкой [·] именно в определении по формуле (5.1).

Замечание 5.9. Отметим, что инварианты, приведенные выше, можно строить исходя из любой четности, удовлетворяющей аксиомам 1, 2, 3 а), 3 б), 4.

Инварианты {·} и [·] переводят некоторый класс эквивалентности (диаграмм по движениям Рей демейстера) в линейную комбинацию классов эквивалентности (диаграмм по второму движению Рейдемейстера и обращению в нуль некоторых классов диаграмм). Оказывается, что множества 60 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ G и G легко описываются алгоритмически: у каждого элемента любого из этих множеств имеет ся единственный минимальный представитель, который находится посредством последовательного упрощения. Под упрощением мы понимаем второе движение Рейдемейстера, уменьшающее коли чество перекрестков на 2, а также (в случае элементов из G) преобразование, обращающее в нуль диаграмму с более чем одной уникурсальной компонентой, у которой имеется отдельно стоящая тривиальная компонента.

Более точно сказанное выше можно сформулировать в виде леммы, которой мы предпошлем определения.

Назовем оснащенный 4-граф упрощаемым, если он либо содержит компоненту без вершин, либо содержит две вершины v1 и v2, соединенные парой ребер p, q таких, что p, q являются соседними как в вершине v1, так и в вершине v2.

Второй случай — это как раз ситуация, в которой к графу можно применить второе уменьшаю щее движение Рейдемейстера.

Оснащенные 4-графы, не допускающие упрощения, назовем минимальными. Скажем, что граф 0 получается из графа последовательным упрощением, если существует цепочка оснащенных 4-графов = n · · · 1 0, в которой каждый следующий граф получается из предыдущего применением второго упрощающего движения Рейдемейстера.

Назовем минимальным представителем графа минимальный граф, получаемый из графа последовательным упрощением.

В случае G понятия минимального и неупрощаемого графов совпадают.

Лемма 5.5. Если оснащенные 4-графы 0 и с одной уникурсальной компонентой мини мальны, и оба получаются из оснащенного 4-графа последовательным упрощением, то изоморфен графу.

Лемма утверждает, что у каждого оснащенного 4-графа с одной уникурсальной компонентой минимальный представитель единствен.

Из этой леммы вытекает Лемма 5.6. Оснащенные 4-графы и с одной уникурсальной компонентой эквивалентны в G, если и только если у них совпадает минимальный представитель.

Доказательство. Выведем лемму 5.6 из леммы 5.5. Утверждение = очевидно. Предположим, что = в G, при этом минимальные представители графов и различны. Пусть и — два оснащенных графа, получающиеся один из другого вторым движением Рейдемейстера, при этом граф имеет на две вершины больше, чем граф. Тогда по определению минимального представителя и в силу леммы 5.5 мы заключаем, что минимальные представители для и совпадают. Рассмотрев цепочку = 1 · · · k = вторых движений Рейдемейстера, связывающих с, замечаем, что минимальные представители любых двух соседних графов в этой цепочке совпадают. Поэтому совпадают и минимальные представители графов и, откуда следует эквивалентность этих графов в G.

Доказательству леммы 5.5 предпошлем два простых утверждения.

Утверждение 5.4. Предположим, что оснащенный 4-граф с одной уникурсальной компо нентой имеет два неизоморфных минимальных представителя. Тогда найдется такое упро щение графа ( может совпадать с ), для которого имеет место следующее.

Среди минимальных представителей графа найдутся такие неизоморфные оснащенные 4-графы 0 и, а среди элементарных упрощений оснащенного 4-графа найдутся такие графы 1 и, что 0 является одним из минимальных представителей для 1, но не для.

1 Доказательство. Выберем два неизоморфных минимальных представителя 0 и графа и рассмотрим цепочку элементарных преобразований от к 0. В начальный момент у графа среди минимальных представителей имеется граф, а в конце цепочки среди минимальных представителей графа 0 минимального представителя уже нет (так как 0 неуменьшаем). Вы бирая в цепочке от до 0 последний по счету граф, имеющий граф 0 в качестве минимального представителя, и обозначая этот граф через, получаем требуемое.

5. Четность в теории узлов Утверждение 5.5. Если оснащенные 4-графы 1 и получаются из оснащенного 4-графа одним элементарным упрощением каждый, то либо графы 1 и изоморфны, либо найдется оснащенный 4-граф, который может быть получен одним элементарным упрощением из каждого из графов 1,.

Доказательство. Достаточно рассмотреть вершины {, } графа, в которых происходит упро щение 1 и вершины {, } в которых происходит упрощение графа. Если множество {, } {, } состоит из двух или трех элементов, то очевидно, что графы 1 и изоморфны.

Если это множество состоит из четырех элементов, то легко видеть, что к графу 1 можно при менить элементарное упрощение в вершинах {, } и в результате получить граф, изоморфный графу, получаемому из применением элементарного упрощения в вершинах {, }.

Доказательство леммы 5.5. Рассмотрим оснащенный 4-граф с одной уникурсальной компонен той и предположим, что он имеет более одного минимального представителя.

В силу утверждения 5.4 имеется такое упрощение графа, что среди графов, получающихся из одним элементарным упрощением, можно выбрать такую пару 1 и, для которой один из графов 0 или является минимальным представителем для 1, но не для. Без ограниче 0 ния общности будем считать, что этот граф 0. Согласно утверждению 5.5 существует граф, получаемый элементарным упрощением как из графа 1, так и из графа. Так как по условию в числе минимальных представителей не имеет графа 0, то и граф не имеет в числе минимальных представителей графа. С другой стороны, так как явля 2 0 ется минимальным представителем для 1, то у 1 имеется по крайней мере два минимальных представителя.

Переобозначая 1 через и повторяя описанное выше рассуждение, мы получим, что один из графов (обозначим его через 2 ), получаемых элементарным преобразованием из 1, также имеет по крайней мере два неизоморфных минимальных представителя. Рассуждая также и далее получим цепочку 1 2... графов, каждый следующий из которых получается из предыдущего упрощением, и при этом каждый граф i имеет по крайней мере два минимальных представителя.

В итоге получим противоречие для того из графов i, который является неуменьшаемым.

Итак, мы полностью описали, как распознавать эквивалентность оснащенных 4-графов из G:

нужно взять их минимальные представители и сравнить. В случае G минимальные графы не могут быть упрощаемыми, т.к. в них (по определению минимальности) не бывает двуугольников, кото рые можно было бы упростить вторым движением Рейдемейстера, а количество уникурсальных компонент равно единице.

В случае графов из G минимальным представителем может быть упрощаемый граф, т.е. граф, у которого имеется отдельно стоящая компонента. В последнем случае такой граф эквивалентен нулю в G.

По аналогии с леммой 5.6 для G доказывается следующая Лемма 5.7. Оснащенные графы и из G эквивалентны, если их минимальные пред ставители и либо оба содержат отдельно стоящие тривиальные компоненты, либо не содержат отдельно стоящих тривиальных компонент и являются изоморфными.

5.5.7. Применения инвариантов. Используя четность, построенную в пункте 5.1.4, и инвариант [·], определенный для этой четности, можно доказать следующую Теорема 5.11. Пусть K — оснащенный 4-граф, гауссова диаграмма которого является нечетной несократимой. Тогда у любого оснащенного 4-графа K, задающего тот же свобод ный узел, что и K, найдется одно из разведений, которое как оснащенный 4-граф изоморфно оснащенному 4-графу K.

Очевидно, что следствием этой теоремы является теорема 5.1.

Пример 5.5. Оснащенный 4-граф, задаваемый хордовой диаграммой, изображенной на рис. 55, является нечетным несократимым.

62 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ РИС. 55. Нечетная несократимая хордовая диаграмма и ее граф пересечения Легко видеть, что множество нечетных несократимых гауссовых диаграмм бесконечно, отку да следует и бесконечность множества различных минимальных оснащенных 4-графов.

Теорема 5.11 является следствием фундаментального, но просто доказываемого утверждения.

Утверждение 5.6. Для нечетного несократимого оснащенного 4-графа K с одной уникур сальной компонентой имеет место равенство (5.2) [K] = K.

В равенстве (5.2) в левой части граф K понимается как представитель свободного узла, а в правой части — как представитель элемента из G.

Доказательство утверждения 5.6 очевидно: так как все перекрестки оснащенного 4-графа K являются нечетными, то в формуле для [K] разводить нужно пустое множество перекрестков.

Таким образом, мы получаем единственное слагаемое, представляющее собой оснащенный 4-граф K.

Доказательство теоремы 5.11. Выведем теорему 5.11 из утверждения 5.6. Пусть оснащенный 4-граф K эквивалентен оснащенному 4-графу K как свободный узел. Тогда [K ] = [K] = K.

Следовательно, у графа K имеется хотя бы одно разведение K, эквивалентное графу K как элемент из G. Поэтому K является минимальным представителем для K. Далее можно заметить, что если оснащенный 4-граф L получается из L одним элементарным упрощением, то граф L получается из L разведением в двух вершинах (тех самых, в которых мы проводили элементарное упрощение). Следовательно, граф K получается разведением некоторых вершин графа K, а граф K получается разведением графа K. Отсюда следует, что K получается разведением из K.

Аналогичные результаты о минимальности можно получать и для зацеплений из произвольного количества компонент. Для этого вместо скобки [·] и четности из пункта 5.1.2 можно использовать, например, скобку {·} и четность из пункта 5.1.3. А именно, полностью аналогично теореме 5. доказывается Теорема 5.12. Пусть L — оснащенный 4-граф с двумя уникурсальными компонентами, при этом все перекрестки принадлежат обеим компонентам и к L не применимо второе умень шающее движение Рейдемейстера. Тогда у любого оснащенного 4-графа L, задающего то же свободное зацепление, что и L, найдется разведение, изоморфное L как оснащенный 4-граф.

Доказательство. По определению инварианта {·} для четности из пункта 5.1.3, имеем {L} = L (заметим, что инвариант [·] в четности из пункта 5.1.2 не дает никакой информации, так как после разведения пустого множества перекрестков у диаграммы L мы получаем снова диаграмму L, которая имеет больше одной уникурсальной компоненты и, следовательно, [L] = 0).

Так как граф L не уменьшаем посредством второго движения Рейдемейстера, то в G имеет, дающей то же свободное зацепление, что и L, место L = 0. Далее, для любой диаграммы L имеет место {L } = L. Отсюда следует, что одно из разведений для L представляет элемент, эквивалентный L в G, из чего, в свою очередь, следует, что сам оснащенный 4-граф L получается разведением.

из L В качестве примера приведем следующее Утверждение 5.7. Свободное зацепление L1, приведенное на рис. 56, минимально, а соот ветствующий ему атом является ориентируемым.

5. Четность в теории узлов РИС. 56. Минимальный представитель двухкомпонентного зацепления Доказательство. Доказательство ориентируемости соответствующего атома следует из непосред ственной проверки условия источник-сток. Минимальность вытекает из теоремы 5.12.

Заметим, что примеры минимальных диаграмм оснащенных зацеплений в случае неориенти руемого атома можно устанавливать проще: простейшим таким примером является оснащенное зацепление из двух компонент с одной вершиной, принадлежащей обеим компонентам.

Однако такому остову соответствуют неориентируемые атомы, так как остов не имеет ориен тации, удовлетворяющей условию источник-сток.

Оказывается, что методы, приведенные выше, позволяют доказывать минимальность и для диа грамм свободных узлов, которым соответствуют ориентируемые атомы. Далее мы покажем, как из этого можно вывести нетривиальность свободных узлов, которым соответствуют ориентируемые атомы, т.е. таких узлов, задаваемых такими оснащенными 4-графами, у которых все вершины четны.

5.5.8. Необратимость свободных зацеплений. Естественной операцией на множестве свобод ных узлов и зацеплений является обращение ориентации. Введем обозначение: если K — ориен тированный свободный узел (оснащенный 4-граф), то через K мы будем обозначать свободный узел (оснащенный 4-граф), полученный из K обращением ориентации. Аналогично, для свободно го зацепления L через L мы будем обозначать свободное зацепление получающееся обращением у L всех компонент.

В настоящем разделе мы покажем существование необратимых свободных зацеплений: L = L.

Для этого нам придется модифицировать скобку {·} таким образом, чтобы входящие в нее в качестве слагаемых графы несли в себе информацию об ориентации исходного зацепления. Через |K|, |L| мы будем обозначать неориентированные узлы и зацепления, получаемые из K и L забыванием ориентации.

Мы докажем следующую теорему.

Теорема 5.13. Пусть L = L1 L2 — оснащенный 4-граф, представляющий собой диаграм му ориентированного свободного зацепления из двух компонент L1, L2, и пусть при этом выполнены следующие условия.

1. Все перекрестки диаграммы зацепления L образованы обеими компонентами L1 и L2.

2. К оснащенному 4-графу L не применимо уменьшающее второе движение Рейдемейстера.

3. Общее количество перекрестков диаграммы L нечетно.

4. Оснащенный ориентированный 4-граф L не изоморфен ни одному из графов L1 L2, L1 L2 с учетом ориентации.

Иными словами, замена ориентации компоненты L1 меняет 4-граф вне зависимости от ориентации компоненты L2.

5. Не существует изоморфизма оснащенного 4-графа |L| на себя, переводящего |L1 | в |L2 |, а |L2 | — в |L1 |.

Тогда диаграмма L не эквивалентна диаграмме L.

64 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Первые два условия этой теоремы гарантируют минимальность диаграммы L согласно теоре ме 5.12.

Ясно, что диаграмма L также является минимальной в силу той же теоремы. Тем не менее, скобка {·} не позволяет различать зацепления L и L, так как все слагаемые в скобке представляют собой классы эквивалентности неориентированных 4-графов.

Модифицируем теперь скобку {·}. Заметим, что для двухкомпонентных зацеплений нечетность количества перекрестков, образованных двумя компонентами, является инвариантным свойством.

Пусть H — множество классов эквивалентности Z2 -линейных комбинаций оснащенных 4-графов с двумя уникурсальными компонентами, одна из которых ориентирована, по двум соотношениям эквивалентности:

1. Второму движению Рейдемейстера (которое учитывает ориентацию ориентированной компо ненты).

2. Соотношению L = 0, где нулю приравниваются диаграммы, имеющие одну отдельно стоящую тривиальную компоненту.

Для множества свободных зацеплений из двух компонент, имеющих нечетное количество пере крестков между компонентами и одну ориентированную выделенную компоненту, мы построим инвариант L {L}2 H.

Если обе компоненты зацепления L являются ориентированными и выполнено условие нечетно сти количества перекрестков между компонентами, то такому зацеплению, вообще говоря, будут соответствовать два инварианта {L}2,L1, {L}2,L2 в зависимости от выбранной ориентированной компоненты.

Перейдем к построению инварианта {·}2.

У двухкомпонентного зацепления L нечетными мы будем называть перекрестки, относящиеся к обеим компонентам. Рассмотрим четные разведения для зацепления L. Каждое из них будет представлять собой оснащенный 4-граф, задающий зацепление из не менее, чем двух компонент:

так как мы разводим лишь четные перекрестки, мы получим некоторый набор компонент, проис ходящий из компоненты L1, и некоторый набор компонент, происходящий из L2.

Мы выберем лишь те слагаемые, у которых количество компонент равно двум, при этом компо ненту, соответствующую компоненте L1, снабдим ориентацией.

Ориентация выбирается согласно следующему правилу. В каждой диаграмме Ls, получающейся разведением всех четных перекрестков диаграммы L, в каждом нечетном перекрестке мы имеем ориентацию компоненты (Ls )1, соответствующую ориентации компоненты L1 в этом же перекрест ке.

Количество таких перекрестков нечетно, и в каждом из них компонента L1 задает одну из двух ориентаций для новообразованной компоненты (Ls )1. Выберем в качестве ориентации для (Ls ) ту из двух ориентаций, которая встречается нечетное число раз.

Формульно это выглядит следующим образом {L}2 = ((Ls )1,неч. ор., (Ls )2 ) H.

sчетн, 2 комп Имеет место Теорема 5.14. Скобка {L}2 является инвариантом двухкомпонентных зацеплений с одной фиксированной ориентированной компонентой и с нечетным количеством перекрестков меж ду различными компонентами зацепления.

Доказательство. Повторим доказательство теоремы 5.9, обращая при этом внимание на ориента цию и соображение четности.

Во-первых, заметим, что «неориентированная» версия {L}2 инварианта {L}2 получается есте ственной проекцией инварианта {L} на линейное пространство оснащенных 4-графов, задающих двухкомпонентные зацепления.

Таким образом, нам нужно лишь проследить за ориентациями компонент, возникающими в разложении {L} при применении движений Рейдемейстера.

При первом движении Рейдемейстера проверка очевидна: перекресток, в нем участвующий, сглаживается согласованным с ориентацией способом и не влияет на ориентацию.

5. Четность в теории узлов L L L L L L1 L1 L L L L L ab L L1 L1 L1 L1 L L L a’b’ РИС. 57. Поведение ориентаций при третьем движении Рейдемейстера То же самое происходит и в случае второго движения Рейдемейстера с двумя четными пере крестками и третьего движения Рейдемейстера с тремя четными перекрестками: соответствующие диаграммы до и после применения движения Рейдемейстера имеют одинаковый набор нечетных перекрестков с одинаковой ориентацией компоненты L1 в каждом из них.

В случае второго увеличивающего движения Рейдемейстера L L, применяемого к двум нечетным перекресткам, слагаемые в {L}2 и в {L }2 находятся в однозначном соответствии и отличаются друг от друга вторым движением Рейдемейстера. Остается заметить, у каждого сла гаемого из {L }2 оба новых перекрестка задают одну и ту же ориентацию для ориентированной компоненты. Следовательно, от наличия этих перекрестков правило для определения ориентации для ориентированной компоненты соответствующего слагаемого не меняется.

Рассмотрим теперь случай третьего движения Рейдемейстера, в котором участвуют две ком поненты. Если из трех ветвей две относятся к неориентированной компоненте L2, а одна — к ориентированной компоненте L1, то как на диаграмме L до применения движения, так и на диа грамме L (после применения движения), мы имеем два последовательных перекрестка на компо ненте L1, задающих одинаковую ориентацию. Следовательно, имеет место совпадение ориентаций у соответствующих слагаемых в {L}2 в H.

Остается наиболее трудный случай, когда ориентированная компонента образует две ветви, а неориентированная компонента образует одну ветвь, при этом единственный четный перекресток, принимающий участие в третьем движении Рейдемейстера, лежит на самопересечении ориентиро ванной компоненты.

Две версии этого движения изображены на рис. 57.

В верхней части рис. 57 видно, что слагаемые из первой пары в правой части и в левой части имеют по два перекрестка каждое, причем ориентации компоненты L1 в этих перекрестках в обоих случаях противоположны, следовательно, в целом соответствующие слагаемые задают один и тот же элемент из H (с учетом второго движения Рейдемейстера).

66 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ L L РИС. 58. Пример необратимого свободного зацепления Что касается второго слагаемого на верхнем рис. 57, то две точки пересечения (левая и правая) компоненты L1 с компонентой L2 в левой части (левая и правая) задают те же самые ориента ции, что и две точки пересечения в правой части, следовательно, и в этом случае правило для определения ориентации компоненты из {L}2 в правой части и в левой части одно и то же.

На нижнем рисунке первое слагаемое в левой части имеет два перекрестка, ориентированных одинаково, следовательно, их совместный вклад в определение ориентации компоненты L1 можно не учитывать. То же самое происходит и в первом слагаемом в правой части.

На нижнем рисунке второе слагаемое в левой части имеет две точки пересечения a, b между компонентами L1, L2, а второе слагаемое в правой части имеет две точки пересечения a, b между соответствующими компонентами. Заметим, что ориентация компоненты L1 в точке a противопо ложна ориентации в точке a, а ориентация в точке b противоположна ориентации в точке b. Если ориентации компоненты L1 в точках a и b в левой части согласованы, то согласованы и соответ ствующие ориентации в правой части. Если же ориентации в точках a и b различны, то как в правой, так и в левой части мы имеем пару перекрестков, дающих обе возможные ориентации для компоненты L1. Суммируя сказанное, приходим к выводу, что во всех случаях ориентация соответствующего слагаемого в {L}2 будет одна и та же.

Тем самым мы показали, что скобка {L}2 инвариантна относительно движений Рейдемейстера как элемент из H.

Из определения следует Утверждение 5.8. Если у диаграммы зацепления L = L1 |L2 | все перекрестки принадлежат обеим компонентам, и количество перекрестков нечетно, то {L1 |L2 |}2 = L1 |L2 | в H.

Доказательство теоремы 5.13. Пусть зацепление L удовлетворяет условиям этой теоремы. Пред положим, что зацепление L эквивалентно зацеплению L1 L2. Применяя скобку {·} к |L|, мы видим, что движения Рейдемейстера не могут перевести зацепление |L| в себя, поменяв местами компоненты L1 и L2 (свойство 5).

Далее, L1 |L2 | не эквивалентно как двухкомпонентное свободное зацепление с выделенной ориентированной компонентой зацеплению L1 |L2 |. Переходя к {·}2, мы видим, что L1 |L2 | = L1 |L2 | в H.

Поэтому зацепления L и L не эквивалентны: для согласованной нумерации компонент неэк вивалентность следует из свойств нового инварианта {·}2, а для несогласованной — из посылки теоремы Примером к теореме 5.13 служит свободное зацепление, изображенное на рис. 58. Все условия теоремы 5.13 вытекают из явной проверки.

5. Четность в теории узлов 5.6. Скобка Голдмана и коскобка Тураева. Оказывается, что на множестве пар [двумерная замкнутая ориентированная поверхность, кривая на этой поверхности] имеются интересные опера ции, инвариантные относительно движений Рейдемейстера. А именно, пусть S — фиксированная двумерная поверхность (мы будем считать эту поверхность ориентированной, в противном случае все рассуждения проходят с коэффициентами из Z2 ).

Все кривые мы будем считать погруженными посредством погружения общего положения. Такая кривая представляет собой вложение оснащенного 4-графа. Две погруженные кривые в общем по ложении гомотопны, если и только если одна из них получается из другой композицией движений Рейдемейстера (естественно, в случае, когда графы вложены в поверхность, движения Рейдемей стера учитывают структуру этой поверхности, в отличие от движений Рейдемейстера свободных графов).

Пусть S — множество всех линейных комбинаций гомотопических классов (при гомотопии возможно нарушение гладкости и погружения в связи с первым движением Рейдемейстера) кривых на фиксированной поверхности S с коэффициентами из основного поля F (поле предполагается произвольным в случае ориентированной поверхности S или полем характеристики 2 в случае неориентируемой S). Кривые предполагаются ориентированными.

Пусть, далее, 2 — множество F -линейных комбинаций гомотопических классов упорядоченных S пар ориентированных кривых на S, а 2 — факторпространство пространства 2 по следующему S,0 S соотношению: K = 0, т.е. нулю полагаются равными все зацепления, имеющие диаграмму на S, состоящую из двух связных компонент, одна из которых гомотопически тривиальна.

Перейдем к построению инвариантных отображений.

5.6.1. Отображение m : 2 S. Пусть 1, 2 — пара ориентированных кривых, погруженных S в S в общем положении, и пусть X1,..., XN — перекрестки из 1 2 (в силу предположения общности положения они суть трансверсальные и их конечное число). Пусть m(1, 2 )k — ориен тированная кривая, полученная разведением 1 2 в перекрестке Xk способом, согласованным с ориентацией. Положим signk (1, 2)m(1, 2 )k S, (5.3) m(1, 2 ) = k где сумма берется по всем номерам перекрестков k = 1,..., N, а знак sign(1, 2) в перекрест ке k обозначает знак перекрестка, т.е. равен единице, если базис, образованный касательными векторами (1, 2 ), положителен, и минус единице иначе.

Эта сумма рассматривается как элемент из S. Из непосредственной проверке вытекает Теорема 5.15 (Голдман [64]). Отображение m : 2 S корректно определено, т.е., если S пара (1, 2 ) эквивалентна паре (1, 2 ), то m(1, 2 ) = m(1, 2 ).

Замечание 5.10. В случае оснащенных зацеплений операция (5.3) определена только над по лем характеристики 2, так как знак signk (1, 2) можно определить только при наличии ориен тированной поверхности S, которой нет в случае свободных зацеплений. Более того, не имея поверхности, мы уже не можем определить отображение m для произвольной пары кривых, а можем определить его лишь для двухкомпонентного свободного зацепления (не имея поверхности, мы не имеем и точек пересечения кривых, заданных абстрактно).

5.6.2. Алгебра Ли Голдмана [64]. Отображение m можно трактовать несколько иначе. Имея пару кривых 1, 2 (фактически мы говорили о паре гомотопических классов кривых на S), мы можем считать, что задано отображение [·, ·] : 1, 2 [1, 2 ] = signk (1, 2)m(1, 2 )k, k при этом при перемене мест 1 и 2 мы, естественно, придем к замене знака: [1, 2 ] = [2, 1 ].

Легко проверяется также, что операция [·, ·] удовлетворяет тождеству Якоби: для любой тройки ориентированных кривых 1, 2, 3 имеем:

[[1, 2 ], 3 ] + [[2, 3 ], 1 ] + [[3, 1 ], 2 ].

Таким образом, множество S обладает структурой алгебры Ли.

68 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ 5.6.3. Отображения S 2 и S S S /.. Коскобка Тураева [215]. Пусть — ори S, ентированная кривая общего положения на ориентированной поверхности S, и пусть X1,..., XN — точки самопересечения кривой S. Тогда в результате разведения кривой в перекрестке Xi способом, согласованным с ориентаций, мы получим две кривые, одну из которых i,L естественно называть левой, а другую (i,R ) — правой. Следовательно, мы можем определить отображение (i,L i,R i,R i,L ). (5.4) i Это отображение является кососимметричным, но оно не вполне корректно определено: если мы применим к кривой первое движение Рейдемейстера, увеличивающее количество перекрестков на единицу, то в правой части равенства (5.4) возникнут дополнительные слагаемые вида 0 0, где 0 — стягиваемая кривая, а — кривая, гомотопная кривой.

Таким образом, для того, чтобы коскобка была корректно определена, нам нужно проф акторизовать множество кривых по соотношению, согласно которому стягиваемая кривая рав на нулю. Те же соображения позволяют построить инвариантное отображение (кривая линейная комбинация ориентированных пар кривых), не задающее структуры коалгебры, для это го достаточно рассмотреть отображение, заданное по формуле : X s 2, S, s где сумма рассматривается над Z2, Xs означает пару кривых на поверхности S, полученных разведением кривой в перекрестке XS, согласованным с ориентацией, а результат отображения рассматривается как элемент из 2.S, Тем самым мы получили отображение : S 2, которое мы в дальнейшем будем называть S, дельтой Тураева.

Пусть F r — множество всех линейных комбинаций свободных узлов с коэффициентами из Z2, а 2 r,0 — множество Z2 -линейных комбинаций свободных зацеплений с двумя компонентами, F профакторизованное по следующему соотношению: K = 0, т.е. нулю полагаются равными все свободные зацепления, имеющие диаграмму, состоящую из двух связных компонент, одна из которых тривиальный свободный узел.

Аналогично определим отображение дельта Тураева из F r в 2 r,0 : каждому оснащенному 4 F графу K с одной уникурсальной компонентой мы сопоставим линейную комбинацию Ki (над Z2 ) i оснащенных 4-графов с двумя уникурсальными компонентами каждый, полученных разведением в соответствующих вершинах, при этом будем рассматривать полученную сумму как элемент из 2 r,0.

F 5.7. Применения дельты Тураева. В пункте 5.5.7 мы показали, как четность (в смысле пунк та 5.1.2 или в смысле пункта 5.1.3) можно применять для доказательства минимальности диа грамм свободных узлов. Однако первый пример (минимальность нечетного несократимого узла) был применим лишь к свободным узлам, гауссовы диаграммы которых имеют все нечетные хорды.

Использовался инвариант [·].

Далее был рассмотрен пример двухкомпонентного свободного зацепления, которому соответ ствуют ориентируемые атомы. Посредством инварианта {·}, примененного для четности из пунк та 5.1.3, была доказана минимальность этой диаграммы L в сильном смысле: мы доказали, что у каждого оснащенного 4-графа L, задающего то же зацепление, что и L, найдется разведение, представляющее собой граф, изоморфный L как оснащенный 4-граф.

Теперь мы приведем пример свободного узла, которому соответствуют ориентируемые атомы, про который можно доказать минимальность одной из диаграмм.

Утверждение 5.9. Диаграмма K1 свободного узла, изображенного на рис. 59, минимальна.

Ориентируемость атомов, соответствующих диаграмме K1, легко проверяется прямым построе нием структуры источник–сток.

Доказательство утверждения 5.9. Рассмотрим (K1 ) 2 r,0.

F 5. Четность в теории узлов x 2 РИС. 59. Минимальная гауссова диаграмма x РИС. 60. Пример необратимого свободного узла По построению (K1 ) состоит из девяти слагаемых (так как K1 имеет девять вершин), и каждое из этих слагаемых является двухкомпонентным зацеплением. Эти слагаемые получаются разведе ниями диаграммы K1 в перекрестках. Одно из этих слагаемых (полученное разведением по хорде x) представляет собой двухкомпонентное зацепление L1, изображенное на рис. 56. Обозначим остальные слагаемые через Mi, i = 1,..., 8.

Таким образом, (K1 ) = L1 + Mi = L i (в последнем равенстве мы использовали симметрию хордовой диаграммы относительно центра, например, слагаемое M1 совпадает со слагаемым M3 и т.д.).

Рассматривая {(K1 )} и принимая во внимание инвариантность отображения {·}, мы получаем, что любая диаграмма свободного узла K имеет по крайней мере одно разведение, представляющее собой L1 как оснащенный 4-граф, т.е. любая диаграмма содержит по крайней мере 9 перекрестков.

5.7.1. Необратимость свободных узлов. Подобно тому, как нетривиальность свободных узлов можно доказать исходя из нетривиальности свободных зацеплений, необратимость свободных узлов можно вывести из необратимости свободных зацеплений. Для этого нужно лишь обратить внимание на то, что операция Тураева согласована с ориентацией. Более того, Теорема 5.16. Свободный узел K2, изображенный на рис. 60, необратим.

Доказательство. Легко убедиться, что (K2 ) = L + Li, где L — свободное зацепление, изоб i раженное на рис. 58, а Li — свободные зацепления из двух компонент, у каждого из которых имеется по крайней мере перекресток, образованный двумя ветвями одной и той же компоненты.

Действительно, у хордовой диаграммы, изображенной на рис. 60, имеется ровно одна хорда x, зацепленная со всеми остальными хордами.

Отсюда легко следует, что {(K2 )}2 = {(K 2 )}2.

5.7.2. Четные и нечетные аналоги скобки Голдмана и коскобки Тураева. Пусть в некоторой теории узлов K задана некоторая четность (мы будем в основном иметь дело с теорией свободных узлов и четностью из пункта 5.1.2).

Рассмотрим множества F r и 2 r,0. Определим на них отображения чет и неч : F r 2 r,0.

F F 70 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Пусть K — оснащенный 4-граф с единственной уникурсальной компонентой. Положим чет (K) = Ks, неч (K) = Ks.

Sчет Sнеч Здесь в первом случае берется сумма всех оснащенных 4-графов, получающихся разведением од ной четной вершины графа K (сумма берется по всем четным вершинам) способом, согласованным с ориентацией. Во втором случае сумма берется по всем нечетным вершинам, и также выбираются разведения одной нечетной вершины графа K, согласованные с ориентацией.

При применении каждого из отображений чет и неч к конкретному оснащенному 4-графу K мы получаем сумму, которую можно рассматривать как элемент из 2 r,0.

F Отметим, что выражение «способ, согласованный с ориентацией» осмысленно и для неориенти рованных оснащенных 4-графов: нам нужно выбрать тот способ разведения в вершине, который приводит к двухкомпонентному оснащенному зацеплению. Из двух способов такой способ ровно один, и он согласован с любой из двух ориентаций данного свободного узла.

Имеет место Теорема 5.17. Отображения чет и неч корректно определены как отображения из F r в 2 r,0.

F Доказательство. Для доказательства заметим следующее. Если оснащенные 4-графы K и K отличаются применением первого движения Рейдемейстера, то имеет место почленное равенство неч (K) = неч (K ): количество нечетных перекрестков у K совпадает с количеством нечетных перекрестков у K, следовательно, имеет место взаимно однозначное соответствие между слага емыми в разложениях неч (K ) и неч (K). Соответствующие слагаемые получаются друг из друга применением одного первого движения Рейдемейстера. В случае чет в разложении у K количество слагаемых на единицу больше, чем в разложении у K. Это «лишнее» слагаемое в K представляет собой двухкомпонентное зацепление с одной отдельно стоящей тривиальной компо нентой. Таким образом, это слагаемое тривиально в 2 r,0. Все остальные слагаемые в чет (K ) F находятся во взаимно однозначном соответствии со слагаемыми из чет (K), при этом соответ ствующие слагаемые изоморфны как оснащенные 4-графы.

Пусть теперь K получается из K применением второго движения Рейдемейстера, причем ко личество перекрестков у K на два больше, чем количество перекрестков у K. Эти два «лиш них» перекрестка имеют одинаковую четность. Если оба перекрестка нечетные, то в разложениях чет (K) и чет (K ) количества слагаемых одинаковы, и все соответствующие слагаемые получа ются друг из друга применением второго движения Рейдемейстера. Если оба перекрестка четные, то в чет (K ) имеется на три слагаемых больше, чем в чет (K), но два из этих трех слагаемых тождественно совпадают, а одно имеет тривиальную окружность, поэтому все новые слагаемые сокращаются в G. Все остальные слагаемые в чет (K) находятся во взаимно однозначном соот ветствии со слагаемыми из чет (K ), при этом соответствующие слагаемые представляют собой изоморфные оснащенные 4-графы.

Аналогично, если мы рассматриваем случай неч, то в случае двух нечетных перекрестков мы получим два «лишних» слагаемых в неч (K ) по сравнению с неч (K);

эти два новых слага емых будут сокращаться;

в случае двух четных перекрестков мы получим взаимно однозначное соответствие между слагаемыми. Таким образом, неч (K) = неч (K ).

Если K получается из K третьим движением Рейдемейстера, то имеет место взаимно одно значное соответствие между перекрестками оснащенного 4-графа K и перекрестками оснащенного 4-графа K. При этом четные перекрестки соответствуют четным, а нечетные — нечетным.

Если разводим диаграммы K и K в перекрестке v (и соответствующем ему перекрестке, ко торый мы также обозначим через v), при этом перекресток X не участвует в третьем движении Рейдемейстера, то, очевидно, что соответствующие оснащенные двухкомпонентные свободные за цепления будут совпадать, так как представляющие их графы будут получаться друг из друга «тем же самым» третьим движением Рейдемейстера, которое преобразует K в K.

Если же этот перекресток v — один из трех, участвующих в третьем движении Рейдемейстера то легко видеть, что разведение диаграммы K в перекрестке v либо совпадает с разведением диаграммы K в перекрестке v (соответствующем v), либо отличается от него применением двух 5. Четность в теории узлов вторых движений Рейдемейстера, одно из которых уменьшает количество перекрестков на два, а второе — увеличивает количество перекрестков на два.

Аналогично «коумножающим отображениям» чет, неч строятся «умножающие отображения»

mчет, mнеч, при этом в качестве пространства, на котором эти отображения определены, мож но рассматривать более широкое пространство, чем 2 r,0 : равенство нулю диаграмм, имеющих F отдельно стоящую тривиальную компоненту, не является более обязательным в случае «умноже ний».

Замечание 5.11. Было бы интересно рассмотреть комбинации операций, чет и неч (при надлежащих модификациях), взятых в разных порядках, и проанализировать, какие зацепления (свободные зацепления) могут получиться из того или иного узла при рассмотрении на каждом шаге той или иной четности.

Замечание 5.12. Для определения отображения нам не требуется структура проходов и переходов в перекрестках (которая имеется в случае виртуальных узлов).

5.8. Аналог скобки Кауфмана. В настоящем разделе мы построим аналог скобки Кауфмана · для теорий узлов с четностью, который обобщает обычную скобку Кауфмана в случае клас сических узлов. Имеется много усилений скобки Кауфмана на случай виртуальных узлов, см., например статьи [25, 50, 51, 160, 173] и ссылки в них.

Мы явно выпишем все формулы в случае теории виртуальных узлов. Изложенное ниже обобще ние скобки Кауфмана работает также и в других случаях, когда у каждого перекрестка имеется естественный способ определения одного из разведений как разведения типа A, а другого раз ведения — как разведения типа B, при этом движения Рейдемейстера «в естественном смысле согласованы с этими правилами». Отметим, что такие обобщения проходят, например, для теории граф-зацеплений, см. пункты 7 и [77, 78, 80].

Рассмотрим свободный модуль F над кольцом Z[a, a1 ], порожденный всеми оснащенными 4 графами.

Пусть F — модуль, полученный факторизацией модуля F по двум соотношениям:

1. по второму движению Рейдемейстера, 2. по соотношению L = (a2 a2 )L, где L означает произвольный оснащенный 4-граф, а L — несвязную сумму графа L с отдельно стоящей окружностью.


Алгоритмическая распознаваемость элементов из F (наличие у них единственного минималь ного представителя) доказывается полностью аналогично случаю G.

Теория виртуальных узлов обладает гауссовой четностью (в смысле пункта 5.1.2);

эта четность, в свою очередь, удовлетворяет аксиомам 1, 2, 3 а), 3 б), 4, для каждой диаграммы узла в каждом классическом перекрестке мы будем использовать тот факт, что имеются разведения различных видов A и B (мы не будем выписывать аксиоматику, которой должны подчиняться разведения типов A и B для перекрестков диаграмм, участвующих в движениях Рейдемейстера).

Построим теперь четную скобку Кауфмана, принимающую значение в модуле F, следующим образом.

Kчет = a(s)(s) Ks, sчет где (s) (соотв., (s)) — количество положительных (соотв., отрицательных ) разведений в состоянии s, Ks — свободное зацепление, получающееся разведением узла K согласно состоянию s, рассмотренное как элемент из F.

Замечание 5.13. Имеется естественное отображение F G, получаемое факторизацией коль 1 ] Z, где a 1, 2 0.

ца коэффициентов: Z[a, a Таким образом, инвариант {·} будет представлять собой упрощение инварианта ·.

Теорема 5.18. Скобка ·чет является инвариантом узлов из теории K относительно дви жений Рейдемейстера 2, 3. При применении движения 1 значение · умножается на 72 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ (a)±3, при этом следующая нормировка для · инвариантна относительно всех трех дви жений Рейдемейстера:

Xчет (K) = (a)3w(K) Kчет, где w(K) обозначает число закрученности для ориентированной диаграммы K.

Назовем X(K) четным полиномом Джонса, ср. [85], для узла K.

Замечание 5.14. Четный полином Джонса является обобщением инварианта {·} для любой теории узлов с четностью и правилом A и B разведений перекрестков. Переход осуществляется посредством отображения Z[a, a1 ] Z2 : a 1, 2 0.

Кроме того, для четности в смысле пункта 5.1.2 полином Xчет (K) является обобщением обыч ного полинома Джонса для классических узлов и для узлов, диаграммы которых имеют ориенти руемые атомы. В этом случае в определении скобки ·чет все элементы Ks представляют собой тривиальные зацепления, которые в модуле F являются кратными тривиального узла с коэффици ентами, равными соответствующим степеням полинома (a2 a2 ). Считая образующую модуля F, порожденную тривиальным узлом, единицей, мы получаем стандартный полином Джонса.

Доказательство теоремы 5.18. Это доказательство полностью аналогично доказательству инва риантности скобки {·}. Пусть K получается из K применением одного из трех движений Рейде мейстера.

При движении 1 имеем (в F):

чет + a чет = a чет = = (a + a1 (a2 a2 )) чет = (a3 ) чет.

Аналогично для другого случая первого движения Рейдемейстера имеем:

чет = (a3 ) чет.

При применении второго движения Рейдемейстера нужно различать два случая. Если оба пе рекрестка, принимающих участие во втором движении Рейдемейстера, являются нечетными, то имеется взаимно однозначное соответствие между перекрестками диаграмм K и K, из которого вытекает взаимно однозначное соответствие между слагаемыми в Kчет и K чет. При этом соответствующие слагаемые получаются друг из друга применением второго движения Рейдемей стера и, следовательно, представляют собой одинаковые элементы из F.

В случае двух четных перекрестков, принимающих участие во втором движении Рейдемейсте ра, проходит стандартное доказательство инвариантности для обычной скобки Кауфмана относи тельно второго движения Рейдемейстера. Как и в стандартной скобке Кауфмана, три слагаемых сокращаются в F за счет коэффициентов a2, a2 и (a2 a2 ).

В случае третьего движения Рейдемейстера нужно различать случаи, когда количество чет ных перекрестков, участвующих в третьем движении, равно единице, и когда количество четных перекрестков, участвующих в движении, равно трем.

Если количество четных перекрестков в диаграмме K (или K ), участвующих в третьем дви жении Рейдемейстера, равно единице, то после разведения диаграмм K и K в соответствующих перекрестках v и v мы получим суммы Kчет = aKчет,+ + a1 Kчет, ;

K чет = aK чет,+ + a1 K чет, ;

где индексы плюс и минус отвечают за положительные (отрицательные) разведения в перекрестках v и v. Легко видеть, что соответствующие слагаемые для K и K в одном из разведений (+ или ) совпадают, а в другом — отличаются применением второго движения Рейдемейстера к соответствующим графам, т.е. равны в F.

В случае, когда все три перекрестка диаграммы K, участвующих в третьем движении Рейдемей стера K K, являются четными, доказательство дословно повторяет доказательство инвариант ности скобки Кауфмана относительно третьего движения Рейдемейстера в случае классических и виртуальных узлов.

6. Кобордизмы свободных узлов 6. КОБОРДИЗМЫ СВОБОДНЫХ УЗЛОВ 6.1. Введение. Кривая, погруженная в поверхность, допускает естественное понятие нуль кобордантности или срезанности: говорят, что погруженная кривая Sg в ориентированную замкнутую двумерную поверхность Sg рода g является нуль-кобордантной (или срезанной), если найдется такое ориентированное 3-многообразие M, M = Sg, и такой диск D, гладко отображен ный в M отображением f, что f (D) = f (D) M =.

Аналогично, будем говорить, что погруженная кривая Sg имеет срезанный род, равный h, если в приведенном выше определении вместо диска D рассматривается ориентированная поверх ность рода h с одной компонентой края.

Первые препятствия к срезанности для кривых были найдены С. Картером, [29];

затем эта проблема изучалась В. Г. Тураевым, [211], К. Орром и другими.

Замечание 6.1. В дальнейшем мы будем иметь дело лишь с погружениями общего положения кривых в двумерные поверхности, если не оговорено противное. Под общим положением для кривой понимается, что все ее особенности состоят из конечного числа точек самопересечения, при этом каждая точка самопересечения является двойной и трансверсальной.

Можно легко показать, что если две кривые гомотопны, и одна из них является срезанной, то и другая кривая является срезанной. Таким образом, уместно говорить о классах срезанности для гомотопических классов кривых. Кроме того, если кривая в поверхности Sg+1 не имеет общих точек с меридианом некоторой ручки, то можно считать, что эта же кривая лежит в поверхности Sg, полученной из Sg+1 разрезанием вдоль полученной кривой (меридиана) и заклеиванием полу чившихся компонент края дисками. Очевидно, что пары (Sg, ) и (Sg+1, ) одновременно являются либо срезанными, либо нет.

Следовательно, имеет смысл говорить о классах срезанности плоских виртуальных узлов [213], которые представляют собой классы эквивалентности пар (окружность, погруженная в ориенти рованную 2-поверхность, и сама поверхность) с точностью до изотопий кривых по поверхности и стабилизаций/дестабилизаций.

В работе [160] (полную версию см. в [149]) было положено начало всестороннему изучению свободных узлов. Для свободных узлов можно естественным образом определить понятие срезан ности (см. ниже) таким образом, чтобы, если плоский узел срезан, то и соответствующий ему свободный узел тоже оказался бы срезанным.

В настоящем разделе понятие четности будет обобщено с одномерных объектов (кривые с са мопересечениями) на двумерные (диски с самопересечениями), что позволит строить инварианты срезанности свободных узлов. Эта проблема (о существовании не срезанных свободных узлов) стала актуальной после построения первых примеров нетривиальных свободных узлов. Точные определения срезанных свободных узлов и срезанного рода для свободных узлов см. далее, опре деление 6.7.

Препятствия к срезанности (и инварианты кобордизмов) для плоских виртуальных узлов, по строенные Картером, Орром и Тураевым не могут быть прямо перенесены на случай свободных узлов, так как эти инварианты несут в себе гомологическую информацию о поверхности, в то время как свободные узлы не относятся ни к какой поверхности. В некотором смысле, четность способна заменить гомологии в то время когда у рассматриваемого объекта нет «настоящих» го мологий, см. п. 5.2.

Понятие четности имеет и другие приложения в теории кобордизмов свободных узлов и погру женных кривых. В частности, если свободный узел, задаваемый оснащенным 4-графом, является срезанным, то срезанным является и свободный узел, задаваемый графом, полученным из графа «удалением нечетных перекрестков», см. теорему 6.9 далее.

Целью настоящего раздела является построение одного простого (на самом деле — целочис ленного) инварианта свободных узлов, который доставляет препятствие к срезанности (нуль кобордантности) свободных узлов.

74 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ В работе [79] было введено родственное понятию кобордизма отношение эквивалентности, на званное комбинаторным кобордизмом: вместо топологического определения, использующего по нятие затягивающего диска, мы имели дело с формальным комбинаторным определением, сле дуя работе Тураева [211]. Согласно этому определению, два свободных узла являются (комбина торно) кобордантными, если один может быть продеформирован в другой посредством конечной цепочки движений из заданного списка. Эти движения включают в себя все движения Рейдемей стера, и каждое из них отвечает настоящему (топологическому) кобордизму.

Раздел организован следующим образом. Сначала мы рассмотрим понятие комбинаторно кобор дантных свободных узлов. Мы построим инвариант и пример, показывающий, что свободные узлы нетривиальны более в широком смысле.

Далее мы строим инвариант для топологической кобордантности узлов. Мы доказываем его инвариантность относительно движений Рейдемейстера. После этого для доказательства того, что он правильно себя ведет при кобордизмах мы обобщаем понятие четности со свободных узлов на затягивающие их диски. Мы рассматриваем двойные линии на диске и определяем, какие двойные линии являются «четными», а какие «нечетными». Мы используем гомологический подхода к определению четности двойной линии, согласованный с гомологическим определением четности перекрестков свободного узла.


После этого дается введение в теорию Морса для кобордизмов погруженных кривых и приводит ся набросок доказательства основной теоремы. Рассматривая функцию Морса на затягивающем диске и имея правильное гомологическое определение четности для двойных линий, мы можем продолжить определение инварианта на каждую поверхность уровня функции Морса. После этого простые рассуждения из теории Морса и естественная «аддитивность» инварианта при разбие ниях приводят к противоречию нетривиальности инварианта. Ключевым рассуждением является перенос понятия четности с точек самопересечения кривой на двойные линии поверхности.

6.2. Комбинаторный кобордизм свободных узлов. Пусть D — произвольная хордовая диа грамма.

Определение 6.1. Назовем четной симметричной конфигурацией C на хордовой диаграмме D набор попарно непересекающихся дуг Ci на окружности хордовой диаграммы, обладающий следующими свойствами:

1. концы дуг не совпадают с концами хорд, и внутри каждой дуги имеется четное число концов хорд;

2. каждая хорда, имеющая один конец в C, имеет другой конец также в C;

3. рассмотрим инволюцию i окружности, переводящую все точки вне дуг Ci в себя и отра жающую точки дуги относительно радиуса, соединяющего центр окружности с серединой этой дуги. Соединяя хордой образы тех двух точек, которые были соединены хордой на пер воначальной хордовой диаграмме, мы получим хордовую диаграмму i(D). Требуется, чтобы конфигурация C была симметрична, т.e. хордовые диаграммы D и i(D) были эквивалентны.

Определение 6.2. Назовем элементарным кобордизмом преобразование хордовой диаграммы, состоящее в удалении всех хорд, входящих в четную симметричную конфигурацию, а также преобразование, обратное к данному. Скажем, что две хордовые диаграммы свободного узла ко бордантны, если они получаются друг из друга последовательным применением элементарных кобордизмов и третьих преобразований Рейдемейстера.

Замечание 6.2. Четность хорд не меняется при элементарных кобордизмах.

Данное определение соответствует определению кобордизма слов (нанослов) [211], т.к. имеется естественное отображение из классов кобордизмов (нано)слов в классы кобордизмов свободных узлов.

Первое и второе преобразования Рейдемейстера представляют собой частные случаи элемен тарных кобордизмов, а третье — нет. Поэтому имеет смысл говорить о кобордизмах свободных узлов.

Главным результатом настоящего пункта является доказательство существования свободных узлов, не кобордантных нулю. Для решения этой задачи мы построим инвариант кобордизмов свободных узлов.

6. Кобордизмы свободных узлов Пусть L — оснащенный 4-граф. Каждая его уникурсальная компонента Li задается своей хор довой диаграммой Di. Таким образом, некоторые из вершин графа L представляются хордами одной из диаграмм Di (а именно те вершины, которые лежат на одной уникурсальной компо ненте). Выберем из числа этих вершин четные (в смысле хордовой диаграммы Di ), и в каждой из четных вершин v графа L рассмотрим то из двух его разведений Lv, у которого количество уникурсальных компонент на единицу больше, чем у графа L.

Пусть R — множество Z2 -линейных комбинаций классов эквивалентности оснащенных 4-графов по второму и третьему преобразованиям Рейдемейстера. Положим Lv R, (L) = v где сумма берется по четным перекресткам v.

Замечание 6.3. Мы используем то же самое обозначение как и для дельты Тураева, посколь ку эти две операции, в некотором смысле, похожи. В дельте Тураева каждой кривой сопоставля ется линейная комбинация упорядоченных пар кривых, а здесь каждому оснащенному 4-графу с k уникурсальными компонентами — линейная комбинация классов эквивалентности оснащенных 4-графов с k + 1 уникурсальными компонентами.

Утверждение 6.1. Отображение является корректно определенным отображением из R в R.

Доказательство. В самом деле, предположим, что граф L получается из графа L посредством третьего движения Рейдемейстера. Рассмотрим три вершины a1, a2, a3 в графе L, которые участ вуют в этом движении, и соответствующие вершины a, a, a графа L. По построению вершина 1 2 ai лежит на одной уникурсальной компоненте графа L, если и только если вершина a лежит на i одной уникурсальной компоненте графа L. Кроме того, вершина ai является четной, если и только если вершина a является четной. Легко видеть, что всякий раз когда вершина ai является четной, i разведение Lai дает тот же самый вклад в R, что и разведение L (соответствующие оснащенные ai 4-графы либо изоморфны, либо отличаются вторым движением Рейдемейстера).

Далее, пусть графы L и L отличаются вторым движением Рейдемейстера, и пусть граф L имеет на две вершины a, b больше, чем граф L. Если две вершины a, b нечетны, то слагаемые в (L) находятся во взаимно однозначном соответствии со слагаемыми в (L ), и соответствующие диаграммы отличаются вторым движением Рейдемейстера. Если же две вершины a, b четны, то очевидно, что разведения в этих двух вершинах дают одинаковый вклад для L, и, так как мы работаем над Z2, эти слагаемые уничтожатся.

Следовательно, для любого k N корректно определенным является и отображение k, итера ция k раз отображения. Поэтому если L и L — два оснащенных 4-графа, получающиеся друг из друга вторыми и третьими преобразованиями Рейдемейстера, то для любого k N имеет место k (L ) = k (L).

Пусть L — оснащенный 4-граф, имеющий k уникурсальных компонент. Сопоставим диаграмме L граф (L) и число j(L) согласно следующему правилу. Граф (L) имеет k вершин, находящихся в однозначном соответствии с уникурсальными компонентами оснащенного 4-графа L. Две вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда соответствующие компоненты имеют нечетное число общих точек. Очевидно следующее Утверждение 6.2. Если два оснащенных 4-графа L и L эквивалентны, то графы (L), (L ) изоморфны.

Определим число j(L) по графу (L) следующим образом. Если граф (L) несвязен, положим j(L) = 0. В противном случае j(L) положим равным числу ребер графа (L).

Фиксируем натуральное число n. Пусть N — линейное пространство, порожденное над Z векторами {ai, i N}. Для оснащенного 4-графа L положим J (L) = aj(L) при j(L) 0 и J (L) = при j(L) = 0. Продолжим это отображение на Z2 –линейные комбинации оснащенных 4-графов по линейности.

Положим, далее, I(n) (L) = J (n (L)).

76 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Теорема 6.1. Если L и L кобордантны, то I(n) (L) = I(n) (L ).

Доказательство этой теоремы опирается на два утверждения, первое из которых очевидно, а второе, утверждение 6.3, является центральным. В силу утверждения 6.2 отображение I(n) (·) инвариантно относительно третьего преобразования Рейдемейстера (ибо таковым является даже отображение n ). Кроме того, имеет место Утверждение 6.3. Если оснащенные 4-графы L1 и L2 элементарно кобордантны, то I(n) (L1 ) = I(n) (L2 ).

Доказав утверждение 6.3, мы докажем и теорему 6.1.

Набросок доказательства утверждения 6.3. Вместо оснащенных 4-графов мы будем рассматри вать гауссовы диаграммы.

Пусть D2 — это гауссова диаграмма, полученная из гауссовой диаграммы D1, удалением четной симметричной конфигурации C.

Хорды диаграммы D1 можно разделить на три множества:

1. множество тех хорд, которые соответствуют хордам диаграммы D2 ;

мы обозначим их в обеих диаграммах D1 и D2 через j ;

2. множество тех хорд j, которые остаются неподвижными при инволюции i на C;

3. множество пар хорд k и k = i(k ), которые получаются друг из друга инволюцией i (здесь k = k ).

Напомним, что для каждой хордовой диаграммы D выражение n (D) — это сумма некоторых последовательных разведений (p1...pk ) (D) вдоль хорд p1,..., pk, где каждая хорда pi является хордой диаграммы D и четной после разведения вдоль всех хорд p1,..., pi1.

n (D1 ) распадается на три типа слагаемых:

1. те слагаемые, для которых все хорды pi совпадают с хордами j. Эти разведения находятся во взаимно однозначном соответствии с разведениями диаграммы D2. Мы утверждаем, что соответствующие элементы в I((p1...pk ) (D1 )) и в I((p1...pk ) (D2 )) совпадают;

2. те слагаемые, в которых хотя бы одна хорда из хорд pi является хордой j, и ни одна из хорд pi не является ни хордой, ни хордой. Мы утверждаем, что каждое из таких слагаемых в I((p1...pk ) (D1 )) равно нулю;

3. те слагаемые, в которых хотя бы одна хорда из хорд pi является либо хордой j, либо хордой j. Эти слагаемые разбиваются на пары: элементы I((p1...pk ) (D1 )) и I((1...k ) (D1 )) равны.

pp Рассмотрим сначала первый случай. Так как дуги нашей симметричной конфигурации не имеют общих точек с хордами j, то легко видеть, что после разведения вдоль любой хорды j каждая дуга будет полностью принадлежать какой-либо одной окружности. Это означает, что соответству ющие графы ((p1...pk ) (D1 )) и ((p1...pk ) (D2 )) изоморфны.

В самом деле, хорды j не влияют на граф ((p1...pk ) (D1 )) вообще, так как они всегда лежат на одной уникурсальной компоненте. Хорды i и i принадлежат либо одной уникурсальной компоненте, либо одной и той же паре уникурсальных компонент. Следовательно, либо они вообще не участвуют, либо их вклады в построение графа ((p1...pk ) (D1 )) аннулируют друг друга.

Докажем второй пункт. Возьмем одну хорду pj = k и рассмотрим дугу Ci на диаграмме D1, где находится k. Без ограничения общности, можно считать, что хорда k самая внутренняя хорда на Ci среди всех тех хорд l, вдоль которых мы разводим.

Наше слагаемое выглядит как (...k... ). Разведение соответствующей диаграммы (которая по лучается в результате разведения вдоль хорд, находящихся до хорды k ) вдоль хорды k раз резает уникурсальную компоненту, которая содержит дугу Ci. Очевидно, что эта уникурсальная компонента расщепится в смысле графа, т.е. даст одну новую вершину, причем эта вершина со ответствует уникурсальной компоненте, которая имеет общие хорды с другими уникурсальными компонентами только типов и. Так как мы вдоль таких хорд не разводим, то эта универсаль ная компонента всегда будет иметь четное число хорд с каждой универсальной компонентой, т.е.

граф будет несвязным.

Третий пункт доказывается с помощью теоремы 4.1. А именно, с помощью теоремы 4.1 мы всегда можем понять, принадлежат ли концы одной хорды двум разным окружностям или одной, 6. Кобордизмы свободных узлов РИС. 61. Хордовая диаграмма свободного узла, не кобордантного тривиальному и соединяют ли две хорды, концы каждой из которых лежат на разных окружностях, одни и те же окружности или разные.

Пример 6.1. Рассмотрим свободный узел K, хордовая диаграмма которого изображена на рис. 61. Для этого узла мы получаем ( ) = + +, ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = = + + + + +, ( ) = + + + + + + = = + + + + + = = +.

Таким образом I(3) (K) = a4. По теореме 6.1 класс кобордизма свободного узла K нетривиален.

6.3. Инвариант свободных узлов. В настоящем разделе мы построим новый инвариант сво бодных узлов, пользуясь исключительно четностью и уточненной четностью и докажем его ин вариантность при движениях Рейдемейстера. Далее мы докажем, что этот инвариант доставляет препятствие к срезанности для свободного узла. В настоящем разделе под четностью и уточнен ной четностью мы будем понимать гауссову четность и гауссову уточненную четность.

Обобщение инварианта, который мы приводим в настоящем разделе, было построено в рабо те [127];

для наших целей (построения препятствия к срезанности) нам достаточно будет той (слабой) версии инварианта, которая приведена ниже. Тем не менее, вопрос об использовании ин варианта, построенного [127] (в [127] была доказана его инвариантность относительно движений Рейдемейстера для свободных узлов) в качестве препятствия к срезанности, является важным.

Для построения инварианта нам потребуется ввести понятие уточненной четности, аналогич ное понятие четности.

78 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Определение 6.3. Уточненной четностью перекрестка мы называем четность вместе с допол нительным правилом, сопоставляющим каждому нечетному перекрестку либо букву b, либо букву b (в этих случаях мы говорим, что перекресток является нечетным первого типа или нечетным второго типа соответственно), таким образом, что:

1. если второе движение Рейдемейстера применяется к двум нечетным перекресткам, то эти два перекрестка имеют один и тот же тип (либо оба помечены как b, либо оба помечены как b );

2. если в третьем движении Рейдемейстера мы имеем два нечетных перекрестка, то при приме нении движения каждый из них меняет свой тип (b превращается в b, а b — в b);

3. кроме того, при каждом из движений Рейдемейстера нечетные перекрестки, не принимающие участия в движении, своего типа не меняют.

Мы определим гауссову уточненную четность на оснащенных 4-графах с единственной уни курсальной компонентой следующим образом.

Определение 6.4 (Гауссова уточненная четность). Пусть D — хордовая диаграмма, на которой задана гауссова четность, т.е. хорда диаграммы D является четной, если количество хорд, зацеп ленных с ней, четно, и нечетной в противном случае. Далее скажем, что нечетная хорда имеет первый тип (по Гауссу), если она зацеплена с четным числом четных хорд;

в противном случае скажем, что нечетная хорда имеет второй тип (по Гауссу).

Для оснащенного 4-графа, соответствующего хордовой диаграмме D, гауссова четность и гауссова уточненная четность для вершин определяются как гауссова четность и гауссова уточ ненная четность соответствующих хорд хордовой диаграммы.

Можно легко проверить, что гауссова четность и уточненная гауссова четность удовлетворяют аксиомам четности и уточненной четности.

Определение 6.5. Сечение кобордизма, т.е. затягивающего диска, называется сингулярным, если оно содержит критическую точку, которая не является ни морсовской особенностью, ни Рейдемейстеровской особенностью. В противном случае, сечение называется регулярным.

Далее для построения инварианта кобордизмов мы определим понятия гауссовой четности и гауссовой обобщенной четности в других ситуациях. Сначала для двумерного диска с самопе ресечениями мы определим гауссову четность и уточненную четность для фрагментов двойных линий (линий самопересечения) этого диска, а затем для каждого регулярного сечения диска, которое представляет собой оснащенный 4-граф (быть может, с многими уникурсальными ком понентами), определим четность и уточненную четность как четность и уточненную четность, индуцированные с двойных кривых.

Однако для нашей первой цели (построения инварианта свободных узлов) нам будет доста точно иметь корректно определенную четность для оснащенных 4-графов с одной уникурсальной компонентой.

Рассмотрим группу G = a, b, b | a2 = b2 = b2 = e, ab = b a с единицей e. Для слова в алфавите из a, b, b мы будем обозначать через [] соответствующий слову элемент группы G.

Мы сначала построим инвариант свободных длинных узлов (соответственно, свободных узлов) со значениями в G (соответственно, со значениями во множестве классов сопряженности группы G).

Пусть D — ориентированная хордовая диаграмма с отмеченной точкой X на окружности C, отличной от концов хорд. Далее мы увидим, что для наших целей от ориентации хордовой диа граммы D можно будет избавиться.

Будем различать четные и нечетные хорды диаграммы D;

более того, среди нечетных хорд диаграммы D мы будем делать различие между хордами первого и второго типов.

Паре (D, X), где D — ориентированная хордовая диаграмма с отмеченной точкой X на окруж ности хордовой диаграммы, мы сопоставим слово в алфавите из трех букв {a, b, b } следующим образом. Будем двигаться вдоль ориентации окружности хордовой диаграммы C, начиная с точки X. Каждый раз, когда мы проходим через конец хорды, мы будем записывать букву a, b или b в зависимости от того, является хорда четной, нечетной первого типа или нечетной второго типа.

6. Кобордизмы свободных узлов Таким образом, каждой хорде будут соответствовать две одинаковые буквы в разных местах сло ва. Пройдя всю окружность до точки X, мы получим слово (D, X);

это слово задает некоторый элемент из G;

мы будем обозначать его также через (D, X). Более того, иногда в обозначении мы будем опускать нижний индекс X, если из контекста ясно, о какой начальной точке идет речь.

Теорема 6.2. Если две пары (D, X) и (D, X ) порождают эквивалентные свободные узлы, то имеет место [(D, X)] = [(D, X )] в G.

Доказательство. Действительно, пусть сначала D и D отличаются одним первым движением Рейдемейстера (скажем, D имеет на одну хорду больше). Тогда слово (D ) получается из слова (D) добавлением пары подряд идущих букв — образующих a·a;

таким образом, соответствующие элементы группы G совпадают.

Аналогично, если D получается из D посредством увеличивающего второго движения Рей демейстера, то две новые хорды в D имеют одинаковую четность (и, если обе нечетные, то и одинаковый тип), следовательно, этим хордам соответствует одна и та же буква–образующая (a, b или b ), которую мы обозначим через u. Таким образом, слово (D ) получается из слова (D) добавлением подслова u · u в двух местах. Как и в случае первого движения Рейдемейстера, такое преобразование не меняет элемента из G.

Третье движение Рейдемейстера D D может иметь один из двух видов. В первом случае все три участвующие в этом движении хорды являются четными.

Тогда слова (D) и (D ) тождественно совпадают.

Во втором случае две из трех хорд, участвующих в движении Рейдемейстера, являются нечет ными, а одна хорда — четная. Вспомним, что при третьем движении Рейдемейстера каждая из нечетных хорд, в нем участвующих, меняет свой тип.

Рассмотрим те три отрезка в словах (D) и (D ), на которых расположены концы «подвиж ных» хорд. Для тех из двух отрезков, которые содержат концы нечетных хорд, преобразование подслов-отрезков имеет один из следующих видов ab b a или ba ab. Оба соотношения представляют собой тождества в группе G.

Рассмотрим теперь тот отрезок, на котором расположены два конца нечетных хорд. Если эти два конца имеют один и тот же тип на диаграмме D, то на диаграмме D они также будут иметь один и тот же тип. Таким образом, при переходе от (D) к (D ) мы заменяем подслово b·b на b ·b и наоборот. Так как оба подслова соответствуют тривиальному элементу групп G, мы получаем (D) = (D ) в G.

Наконец, если две нечетные хорды, участвующие в третьем движении Рейдемейстера, имеют различный тип на диаграмме D, то они будут иметь различный тип и на диаграмме D, и при переходе от (D) к (D ) соответствующий отрезок из двух букв меняться не будет: буквы b, b на этом отрезке поменяют порядок дважды: один раз в связи с тем, что хорды меняют тип, а другой раз — в связи с тем, что концы хорд переставляются при третьем движении Рейдемейстера.

Таким образом, каждое из движений Рейдемейстера оставляет неизменным элемент группы G, соответствующий ориентированной хордовой диаграмме с отмеченной точкой.

Из этой теоремы мгновенно вытекает Следствие 6.1. Класс сопряженности элемента [(D, X)] в группе G является инвариантом свободных узлов, т.е. не зависит от выбора отмеченной точки X на диаграмме D свободного узла.

Действительно, при перемещении отмеченной точки через конец некоторой хорды мы произво дим циклическую перестановку букв в слове, которая порождает сопряжение в группе G.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.