авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |

«Современная математика. Фундаментальные направления. Том (). С. 1–157 УДК 515.16+519.17 ...»

-- [ Страница 4 ] --

6.3.1. Граф Кэли для группы G. Граф Кэли группы G представляет собой вертикальную полосу на клетчатой бумаге, расположенную между прямыми x = 0 и x = 1. В качестве единицы группы мы выбираем начало координат (0, 0). Умножение в группе на элемент a справа соответствует одному шагу в горизонтальном направлении, который меняет координату x с нуля на единицу или с единицы на нуль, умножение на b соответствует одному шагу по вертикали: вверх, если сумма двух координат точки является четной, и вниз, если она является нечетной;

умножение справа на b, наоборот, соответствует одному шагу вниз, если сумма координат четная и одному шагу вверх, если сумма координат нечетная, см. рис. 62.

80 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ a b' b a b b' a (0,0) b' b a b' b a РИС. 62. Граф Кэли группы G РИС. 63. Несрезанный свободный узел Каждой паре (D, X) мы сопоставляем элемент группы G. Нетрудно проверяется, что каждый такой элемент будет иметь координаты (0, 4m). Более того, класс сопряженности элемента с коор динатами (0, 4m) при m = 0 состоит из двух элементов группы G: одного элемента с координатами (0, 4m) и одного элемента с координатами (0, 4m). Таким образом, для длинных свободных узлов мы получаем инвариант с целыми значениями, равный l = 4m;

мы будем обозначать этот инвари ант для узла K через l(K);

в случае компактного узла K инвариантом будет являться модуль |l|;

последний инвариант мы обозначим через L(K).

Очевидно, что если мы обратим ориентацию хордовой диаграммы (обращая тем самым ориен тацию свободного узла), это приведет к обращению порядка букв в соответствующем слове, что в свою очередь, приведет к замене (0, 4m) (0, 4m). Это приводит к двум важным следствиям:

Следствие 6.2. Если для некоторого ориентированного свободного узла K имеет место l(K) = 0, то узел K необратим.

Следствие 6.3. L(K) является инвариантом неориентированных свободных узлов.

Далее мы будем задавать элементы группы G их координатами на графе Кэли. Легко проверя ется, что элемент группы G соответствующий хордовой диаграмме, имеет координаты (0, 4m) для некоторого целого m. Действительно, слово, соответствующее гауссовой диаграмме, имеет четное число вхождений буквы a, откуда следует равенство нулю первой координаты. Кроме того, общее число вхождений букв b и b кратно четырем. Последнее, в свою очередь, следует из того факта, что число нечетных хорд на хордовой диаграмме четно, а каждая хорда имеет два конца, которые соответствуют шагам в одну и ту же сторону на графе Кэли. Кроме того, класс сопряженности (в группе G) элемента (0, 4m) при m = 0 состоит из двух элементов: (0, 4m) и (0, 4m).

На рис. 63 изображен свободный узел K1, для которого имеет место L(K1 ) = 16.

6. Кобордизмы свободных узлов На этом рисунке мы используем полужирные линии для изображения четных хорд. Соответ ствующее слово, задающее элемент из G (при подходящем выборе отмеченной точки) будет иметь вид (b a)7 b b(ab)7 = (b b)16.

6.3.2. Замечания об определении инварианта L для зацеплений. Заметим, что теорема 6. верна для любой уточненной четности, а не только для гауссовой, при этом доказательство в случае произвольной уточненной четности остается дословно тем же.

Для целей, связанных с кобордизмами, нам необходимо научиться понимать значение инвари анта L не только при движениях Рейдемейстера, но и при перестройках Морса. Здесь мы будем использовать только гауссову уточненную четность.

Более того, нам нужно сначала определить этот инвариант для зацеплений из многих компо нент, ибо после перестройки Морса из узла может получиться зацепление.

Наша дальнейшая стратегия состоит в следующем. Предположим, что у нас имеется кобордизм (см. определение 6.7) D D, затягивающий оснащенный 4-граф ;

мы определим четность и уточненную четность для этого кобордизма, т.е. скажем, какие двойные линии (линии на D, точки на которых имеют два прообраза на D) являются четными, а какие — нечетными, а далее каждая нечетная двойная линия будет разделена на отрезки — нечетные первого типа и нечетные второго типа. Эта четность будет определена таким образом, что четность (уточненная четность) любой двойной точки на будет совпадать с четностью (уточненной четностью) того 1-страта, к которому принадлежит эта точка. Кроме того, этот подход позволит нам определить понятия четности и уточненной четности для сечений общего положения нашего кобордиз ма. Такие сечения будут представлять собой оснащенный 4-граф, задающий некоторое свободное зацепление. Имея корректно определенные четность и уточненную четность, мы сможем задать значение инварианта L на каждой компоненте зацепления — нашего сечения. Как окажется, зна чения этих инвариантов (наборы чисел) будут хорошо себя вести при перестройках Морса, из чего и будет следовать инвариантность.

Для свободного зацепления из одной компоненты (т.е. свободного узла) значение инварианта может быть описано одним числом L. В случае кобордизма каждое сечение представляет собой многокомпонентное свободное зацепление, таким образом, нам нужно определить значение инва рианта на соответствующем многокомпонентном зацеплении как набор классов сопряженности группы G (по одному на каждую компоненту), и естественно будет потребовать, чтобы каждый из этих элементов группы G (или соответствующий класс сопряженности) мог быть описан одним целым (соотв., целым неотрицательным) числом. В этому случае мы сможем каждой компоненте зацепления, появляющейся в сечении нашего кобордизма, сопоставить целое (целое неотрицатель ное) число.

Для этих целей нам потребуется, чтобы:

1) Четность и уточненная четность были корректно определенными на сечениях и правильно себя вели при перестройках Морса.

2) Число точек пересечения каждой из уникурсальных компонент сечения с каждой из двойных линий является четным;

более того, число точек пересечения этой уникурсальной компоненты сечения с нечетными двойными линиями является четным;

это условие необходимо для того, чтобы элемент группы G, соответствующий этой уникурсальной компоненте, имел в своей записи четное число букв a и мог быть описан одной координатой на графе Кэли.

3) Значение первой координаты элемента группы G (которое в этом случае задает элемент L) правильно себя ведет при перестройках Морса.

Четность общего числа точек пересечения с двойными линиями для каждой компоненты зацеп ления — несингулярного сечения — нужно и для того, чтобы четность была корректно опреде ленной. Действительно, для определения гауссовой четности некоторого перекрестка нам нужно рассмотреть одну из двух «половинок» нашего свободного узла, получающихся разведением в этом перекрестке, и подсчитать количество пересечений на этой половине. В случае свободного узла это число не зависит от выбора половинки, так как суммарное количество точек пересечения четно с учетом кратности: каждая двойная точка учитывается дважды.

В случае двухкомпонентного зацепления если мы берем перекресток, образованный двумя вет вями одной и той же компоненты, то определенные таким образом четности двух половин могут 82 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ быть различными в случае, если общее число перекрестков между двумя компонентами является нечетным.

Как мы далее увидим, все необходимые условия для естественного продолжения гауссовой чет ности будут естественным образом выполняться для тех многокомопонентных зацеплений, которые возникают в виде сечений дискового кобордизма.

Чтобы это сделать, нам понадобится дать более топологическое определение понятия гауссовой четности.

6.4. Срезанный род и кобордизмы свободных узлов.

Определение 6.6. Пусть K — оснащенный 4-граф с одной уникурсальной компонентой. Ска жем, что K имеет срезанный род не более g если найдутся поверхность Dg рода g с единственной компонентой края (окружностью) S, 2-комплекс Dg K, содержащий K как подкомплекс, и непрерывное отображение : Dg Dg такие, что:

1. (Dg ) = K Dg ;

для любой вершины v графа K имеет место 1 (v) = {v1, v2 }, а малая окрестность U (vi ) S отображается на пару противоположных ребер графа K в вершине v;

2. отображение является взаимно однозначным везде за исключением следующих отрезков:

= {x Dg | card( 1 (x)) 1};

3. подмножество 3 = {x Dg | card( 1 (x)) 2} является конечным подмножеством нульмер ного остова комплекса Dg и состоит из тех точек, которые имеют ровно три прообраза;

более того, 3 Dg = ;

4. «локальная трехмерность»: в комплексе Dg окрестности двойных точек, тройных точек и каспов имеют следующий вид:

(a) окрестность каспа (точки, в которой отображение не является иммерсией) гомеоморфна зонтику Уитни;

(b) окрестность двойной точки из \ 3, не являющейся каспом, гомеоморфна окрестности точки (0, 0, 0) в множестве {(x, y, z) | xy = 0} R3 ;

(c) окрестность тройной точки гомеоморфна окрестности точки (0, 0, 0) в множестве {(x, y, z) | xyz = 0} R3 ;

(d) окрестность вершины графа K в Dg гомеоморфна окрестности точки (0, 0, 0) в множестве {(x, y, z) | xy = 0, z 0} R3.

Поверхность Dg мы назовем затягивающей поверхностью рода g или кобордизмом рода g для K.

Иными словами, в определении мы требуем, чтобы свободный узел (оснащенный 4-граф K, представленный в виде образа окружности S) был затянут 2-комплексом Dg — образом двумерной поверхности Dg, край которой представляет собой одну окружность S, а особенности отображения : Dg Dg являются особенностями общего положения (т.е. окрестность каждой особенности вложима в R3 ).

Аналогичным образом определяется срезанный род для оснащенного 4-графа с многими уникур сальными компонентами, кобордизм рода g для свободных зацеплений (при этом у затягивающей поверхности будет несколько компонент края), а также отношение эквивалентности : два сво бодных узла K1 и K2 являются кобордантными, если свободное зацепление K1 K2 кобордантно тривиальному узлу (посредством кобордизма рода 0).

Замечание 6.4. Далее под словом «кобордизм» мы всегда будем понимать кобордизм рода нуль, если не оговорено противное.

Замыкание кроме точек из содержит также каспы, т.е. такие точки x Dg, для которых card( 1 (x)) = 1, и при этом для любой малой окрестности U (x) точки x пересечение U (x) представляет собой проколотый интервал. Пусть 2 обозначает дополнение \ 3.

Пересечение (S) Dg представляет собой исходный оснащенный 4-граф в Dg. Этот граф полу чается из S = Dg посредством склейки двойных точек на окружности S;

оснащение (структура противоположных ребер) для этого графа получается из S: для точки x в (S) прообраз 1 (U (x) (S)) состоит из двух ветвей окружности S;

образ каждой из этих ветвей относитель но отображения будет представлять собой две пары противоположных ребер.

6. Кобордизмы свободных узлов РИС. 64. Кобордизмы, соответствующие движениям Рейдемейстера РИС. 65. Несрезанный плоский виртуальный узел Картера Определение 6.7. Если K допускает кобордизм рода g и не допускает кобордизма рода g 1, мы скажем, что узел (оснащенный 4-граф) K имеет срезанный род g. Обозначение: sg(K) = g.

Свободный узел срезанного рода 0 мы назовем нуль-кобордантным или срезанным.

Следующая лемма вытекает из определения свободного узла:

Лемма 6.1. Если оснащенные 4-графы K, K представляют эквивалентные свободные уз лы, то K и K являются кобордантными, и, следовательно, sg(K) = sg(K ).

Действительно, на рис. 64 изображено, что эквивалентность посредством каждого из трех дви жений Рейдемейстера влечет кобордантность;

так как кобордантность является отношением экви валентности, мы получаем требуемое. Первое движение Рейдемейстера соответствует прохожде нию через точку каспа, второе движение Рейдемейстера соответствует прохождению через точку касания, а третье движение Рейдемейстера соответствует прохождению через тройную точку.

Таким образом, имеет смысл говорить о срезанном роде для свободных узлов, а не только для оснащенных 4-графов.

Замечание 6.5. Пусть K — плоский виртуальный узел, и пусть |K| — соответствующий ему свободный узел. Тогда из определения следует, что срезанный род узла K не меньше срезанного рода узла |K|. В частности, если плоский узел K является срезанным, то срезанным является и свободный узел |K|.

Пример 6.2. Первый простейший пример несрезанного виртуального узла принадлежит Дж. С. Картеру, [29]. Этот узел изображен на рис. 65.

Этот узел вложим в ориентируемую поверхность рода два. Ориентируем эту поверхность. На рис. 65 стрелки указывают взаимное расположение ветвей по часовой стрелке. А именно, ори ентируем окружность хордовой диаграммы против часовой стрелки и ориентируем ее образ соот ветствующим образом. Если два сегмента кривой (a, b) имеют пересечение в двойной точке X, 84 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ а касательные векторы к ним vX,a, vX,b образуют положительный базис на поверхности с двумя ручками, то соответствующая хорда на хордовой диаграмме снабжена стрелкой, направленной от прообраза отрезка a к прообразу отрезка b.

При таких обозначениях для плоских виртуальных узлов если две хорды участвуют во вто ром уменьшающем движении Рейдемейстера, то их стрелки должны быть противонаправленными.

Плоский виртуальный узел K, изображенный на рис. 65, нетривиален, более того, он не является и срезанным. Тем не менее в категории свободных узлов узел |K| тривиален, так как к двум «па раллельным» хордам возможно применить второе уменьшающее движение Рейдемейстера (после чего оставшаяся хорда удаляется первым движением Рейдемейстера). Значит, |K| тривиален и, следовательно, срезан.

Если свободный узел не является срезанным, то не является срезанным ни один из соответ ствующих ему виртуальных узлов.

Проблема нахождения не кобордантных нулю (не срезанных) свободных узлов является до вольно сложной.

В п. 6.2 мы ввели понятие комбинаторной эквивалентности. Наши комбинаторные преобразова ния состояли из третьего движения Рейдемейстера и добавления/удаления «четных симметричных конфигураций». Преобразования последнего вида включают в себя в качестве частных случаев первое и второе движение Рейдемейстера, и каждое из них представляет собой некоторый (топо логический) кобордизм рода нуль. Таким образом, если два узла являются комбинаторно кобор дантными, то они являются и топологически кобордантными. Взаимосвязь между топологическим и комбинаторным отношениями кобордантности будет рассмотрена в отдельной статье.

В работах Картера [29] и В. Г. Тураева [211] были изучены топологические препятствия к сре занности свободных узлов (погруженных в двумерные поверхности кривых). Идея таких препят ствий состоит в следующем: для погруженной кривой рассматриваются гомологические классы «половинок» x,1 и их гомологические спаривания. Эти спаривания образуют целочисленную мат рицу, препятствие к кобордизмам формулируется в терминах свойств полученной матрицы. Такой подход совершенно неприемлем в случае свободных узлов: для данного свободного узла можно найти много разных двумерных поверхностей, в которые он вложим с сохранением структуры противоположных полуребер в вершинах. Оказывается, что при переходе от одной поверхности к другой соответствующий индекс пересечения, если он определен, меняется даже по модулю Z2.

В качестве примера можно взять стандартную диаграмму трилистника и диаграмму трилистника после применения виртуализации к одной из его вершин (эта диаграмма находится на торе).

6.5. Четность для кривых в двумерных поверхностях. Обратим теперь внимание на струк туру кобордизма свободных узлов. Пусть задан кобордизм : D D (рода 0) затягивающий свободный узел (оснащенный 4-граф) K = (D).

Положим = 1 (). Тогда имеет естественную стратификацию на страты размерностей и 1. Страты размерности 0 суть двойные точки на крае, каспы, а также тройные точки;

все остальные точки образуют страты размерности 1. Двойной линией мы будем обозначать мини мальное по включению объединение 1-стратов, обладающее следующими свойствами:

1) два 1-страта, подходящие к одному и тому же каспу с противоположных сторон, принадлежат одной и той же двойной линии;

2) два 1-страта, подходящие к одной и той же тройной точке с противоположных сторон, принадлежат одной и той же двойной линии, см. рис. 66.

Пусть x K — двойная точка на крае D. Предположим, что 1 (x) = {x1, x2 }.

Вспомним определение гауссовой четности для оснащенных 4-графов. Рассмотрим двойную точку x, рассмотрим дугу (половину окружности) на K, соединяющую x с x и являющуюся образом дуги на окружности, и подсчитаем четность числа двойных точек на. Заметим, что здесь мы берем именно половину окружности, не важно которую, а не просто кривую на K, соединяющую точку x с точкой x. Дело в том, что если мы возьмем кривую на окружности D, соединяющую два прообраза x1 и x2 точки x, но локально (в окрестности этих прообразов) направленную внутрь разных «половинок», то количество двойных точек на такой кривой будет на единицу больше, ибо добавится один из прообразов точки x.

6. Кобордизмы свободных узлов c ay a y x z x x z bx b y z y c z t t t РИС. 66. Двойные линии a, x, y, z, каспы и тройные точки Рассмотрим теперь прообраз S, соединяющий точки x1 и x2. Тогда определение четности p(x) может быть переформулировано как четность количества элементов множества card( ). Заметим, что эта линия принадлежит диску D.

Если мы хотим обобщить определение четности на двойные линии и сделать его более топо логическим, мы можем вместо D рассмотреть произвольный путь D общего положения, соединяющий x1 с x2. Общность положения означает, что путь пересекает только по 2, причем все пересечения трансверсальные. Кроме того, нам нужно переформулировать условие правильной направленности пути в окрестности начала и конца (см. далее). Сделав это, мы мгновенно полу чаем корректную определенность четности, ибо любые два таких пути гомотопны относительно границы, и четность числа точек пересечения с множеством останется неизменной.

Требование на поведение кривой в окрестности точек x1 и x2 таково. Когда мы берем D, окрестности U (x1 ) и U (x2 ) точек x1 и x2 принадлежат одной и той же половине окружности S (окружность делится на половины этими точками). В терминах D и D это переформулируется следующим образом.

Пусть D — 1-страт в D, подходящий к точке x или содержащей ее. Ориентируем произ вольным образом и ориентируем два прообраза этого страта, 1 U (x1 ) и 2 U (x2 ), согласованным образом. Рассмотрим два вектора v1 и v2, касательные к в x1 и в x2 соответственно. Мы тре буем, чтобы базисы (1, v1 ) и (2, v2 ) задавали две различные ориентации на D. Ясно, что замена ориентации страта (и соответствующая ей одновременная замена ориентаций в окрестностях точек x1 и x2 ) не изменит определенной здесь четности числа 2.

Таким образом, это дает нам новый способ определения четности перекрестка x. Будем рас сматривать этот способ как определение четности для любой двойной точки из 2.

Действительно, пусть x — точка на двойной линии из 2. Подсчитав число точек пересечения кривой, соединяющей x1 и x2 указанным выше способом, мы получим число p(x). Назовем его гауссовой четностью точки x.

Следующее утверждение легко вытекает из определения.

Утверждение 6.4. Гауссова четность постоянна вдоль двойных линий.

Доказательство. Утверждение очевидно для пар точек, которые принадлежат одному 1-страту.

Это утверждение также очевидно для точек из разных 1-стратов, подходящих с двух сторон 86 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ x x. x x 2 v.

x x1 v РИС. 67. Геометрический способ определения четности A B p A q A2 B B РИС. 68. Поведение четности и уточненной четности при прохождении через трой ную точку к одному каспу. При прохождении через тройную точку четность не меняется по следующим причинам, см. рис. 68. Мы видим, что кривая, соединяющая два прообраза точки A, «параллельна»

кривой, соединяющей два прообраза точки B везде, за исключением двух малых областей. Внутри этих двух малых областей мы имеем два различия между этими циклами, которые соответствуют точкам пересечения p и q с двойными линиями. Таким образом, четность точек A и B одна и та же.

Это позволяет дать определение гауссовой четности для двойной линии:

Определение 6.8. Пусть — двойная линия на кобордизме. Выберем произвольную точку x из 2 и рассмотрим два ее прообраза x1 и x2 на D. Соединим x1 с x2 путем общего положения, поведение которого в окрестностях U (x1 ) и U (x2 ) согласовано (см. выше). Тогда гауссова четность двойной линии, содержащей x, определяется как четность числа точек пересечения между и.

Это позволяет нам определить множество even, состоящее из замыкания множества всех точек из, лежащих на четных двойных линиях, и odd — замыкание множества точек на нечетных двойных линиях.

6. Кобордизмы свободных узлов Из определения гауссовой четности для двойных линий легко вытекает следующее Утверждение 6.5. Из трех двойных линий, пересекающихся в одной точке, количество нечетных двойных линий четно (равно нулю или двум).

Перейдем теперь к определению уточненной гауссовой четности. Рассмотрим нечетную двой ную линию, выберем на ней произвольную точку x общего положения и рассмотрим два про образа x1 и x2 точки x. Соединим точки x1 и x2 путем общего положения D и вычислим количество точек общего положения между и even. Если это число является четным, скажем, что 1-страт, содержащий точку x, имеет первый тип;

в противном случае скажем, что он имеет второй тип.

Заметим, что здесь не нужно требовать какой-либо согласованности (сонаправленности) на чального и конечного отрезков пути: при малом шевелении пути в окрестности его начала (конца) может измениться лишь количество точек его пересечения с нечетными двойными линиями, в то время как мы интересуемся пересечением с четными двойными линиями.

Из определения вытекает Утверждение 6.6. Уточненная гауссова четность является постоянной вдоль 1-стратов, принадлежащих. Она не меняется при прохождении через точку каспа (с одного страта на другой страт той же двойной линии), и она изменяется с b на b или с b на b при прохождении через тройную точку с одного страта двойной линии на другой.

Доказательство. Утверждение о постоянности типа вдоль 1-стратов очевидно. Рассмотрим те перь рис. 68. Предположим, что двойные линии и нечетные, а двойная линия четная. Две соответствующие точкам A и B линии (линия, соединяющая два прообраза точки A и линия, соединяющая два прообраза точки B) могут быть выбраны «параллельными» везде, за исключе нием двух областей, содержащих точки p и q. Так как при определении типа нечетной двойной линии мы учитываем пересечения с четными двойными линиями, мы видим, что точка q счита ется, а точка p не считается. Случай, когда все три линии являются нечетными, рассматривается аналогично. Тем самым доказано, что тип меняется на единицу при прохождении через тройную точку.

Определив гауссову четность для двойных линий и уточненную гауссову четность для стратов, мы можем теперь построить инвариант L для любого сечения кобордизма D.

Доказанные выше свойства четности на двойных линиях и уточненной четности на стратах гарантируют корректную определенность этого инварианта и его неизменность при движениях Рейдемейстера.

6.6. Срезанность свободных узлов. Оказывается, что инвариант L свободных узлов доставляет препятствие к срезанности.

Перед формулировкой и доказательством основной теоремы сделаем несколько утверждений, от носящихся к срезанности. Согласно лемме 6.1, срезанный род корректно определен для свободных узлов.

Следующее утверждение тривиально следует из рис. 64.

Утверждение 6.7. Если оснащенный 4-граф K эквивалентен оснащенному 4-графу K (по средством движений Рейдемейстера), то срезанный род узла K равен срезанному роду узла K. В частности, если K является срезанным, то таковым является и K.

Таким образом, имеет смысл говорить о кобордизмах свободных узлов, а не только о кобор дизмах оснащенных 4-графов.

В качестве следствия мы получаем следующее Утверждение 6.8. Если оснащенный 4-граф K вложим в S 2 или T 2, то K является срезан ным.

Действительно, всякий оснащенный 4-граф на сфере эквивалентен (даже как плоский вирту альный узел) тривиальному свободному узлу;

всякий оснащенный 4-граф на торе гомотопен либо тривиальному узлу (без перекрестков), либо некоторому узлу, лежащему в цилиндре (дополне нию в торе до некоторой простой несжимаемой кривой). В последнем случае этот свободный 88 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ узел эквивалентен узлу, лежащему на сфере (ибо цилиндр является подмногообразием сферы) и, следовательно, тривиален.

Утверждение 6.9. Пусть K — свободный узел, и пусть f (K) — свободный узел, полученный из K удалением нечетных перекрестков. Тогда если узел K является срезанным, то срезанным является и f (K).

Доказательство. Действительно, всякий кобордизм (рода нуль) для узла K порождает кобордизм рода нуль для узла f (K) полученный разведением всех нечетных двойных линий: две точки из 2, склеиваемые при старом кобордизме, останутся склеенными при новом кобордизме тогда и только тогда, когда у старого кобордизма двойная линия является четной. Отметим, что это правило склейки согласовано с тройными точками, ибо в каждой тройной точке если имеется две четные двойные линии, то третья двойная линия также является четной.

Обозначим полученный кобордизм для f (K) через f (D), где D — кобордизм для K.

Основной результат данного раздела состоит в следующем.

Теорема 6.3. Если для свободного узла K имеет место L(K) = 0, то K не является сре занным.

Из этой теоремы, в частности, вытекает Следствие 6.4. Пусть — кривая, погруженная в ориентированную замкнутую двумерную поверхность Sg. Тогда если для свободного узла, задаваемого кривой, имеет место L() = 0, то плоский виртуальный узел, соответствующий кривой, не является срезанным.

Действительно, диск, гладко отображенный в трехмерное многообразие является затягивающим диском. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Проблема нахождения препятствий к тому, чтобы кривая в поверхности Sg была затягиваема диском, собственным образом погруженным в трехмерное многообразие M с краем Sg, изучалась Картером, [29], Тураевым [211] и др. Были построены некоторые топологические препятствия, основанные на структуре первой группы гомологий поверхности Sg.

В настоящем разделе мы рассматриваем более сложную проблему: вместо кривых в двумерных поверхностях мы рассматриваем оснащенные 4-графы, а вместо затягивающих дисков в трехмер ных многообразиях — «абстрактные» затягивающие диски. В этом случае мы не можем определить «группу гомологий», ибо оснащенный 4-граф можно считать вложенным в разные поверхности, у которых будут разные группы гомологий.

С этой точки зрения четность в некотором смысле «заменяет» группы гомологий.

6.6.1. Построение функции Морса и графа Риба. Доказательство основной теоремы будет со стоять из нескольких шагов.

Сначала мы примем следующее соглашение об обозначениях: через мы будем обозначать отображение D D, соответствующее кобордизму, а через µ мы будем обозначать как функцию Морса на диске с самопересечениями µ : D R (см. определение ниже), так и композиционное отображение µ : D R, представляющее собой функцию Морса на диске D.

Предположим, что свободный узел K (задаваемый оснащенным 4-графом) допускает кобордизм : D D (рода 0).

Определение 6.9. Функцией Морса на D мы назовем такую функцию Морса µ : D [0, ), что: (x) = (y) всегда влечет µ(x) = µ(y), все тройные точки и точки каспов на D лежат на некритических уровнях функции µ и µ1 (0) = K, µ1 (1) =. Мы будем использовать одно и то же обозначения µ как для функции, определенной на D, так и для функции, определенной на D.

Неособым значением функции µ мы будем обозначать некритическое значение X функции µ (на D) такое, что множество µ1 (X) D не содержит каспов и тройных точек. Функцию Морса на D мы будем называть простой, если каждый ее особый уровень содержит либо ровно одну критическую точку, либо ровно одну тройную точку, либо ровно один касп.

Далее мы будем считать, что функция Морса на D является простой, а уровень 0 является неособым. Ясно, что такие функции Морса всюду плотны в классе всех функций Морса. Каждая 6. Кобордизмы свободных узлов 0. 0. 0. f 0. 0. 0. 0.08 0. 0.05 0. РИС. 69. Граф Риба и перестройки окружностей функция Морса имеет особые уровни двух типов: соответствующие перестройкам Морса (седла, максимумы и минимумы), а также уровни, соответствующие движениям Рейдемейстера. Обозна чим особые уровни этой функции Морса µ (обоих типов) через c1 · · · ck и выберем неособые уровни ai : 0 = a0 c1 a1 c2... ak ck ak+1 = 1.

Построим теперь граф Риба µ (молекулу) для функции Морса µ следующим образом. Все вершины этого графа будут иметь валентность 1 или 3. Вершины валентности один (кроме одной) будут соответствовать минимумам и максимумам функции µ;

вершины валентности три будут соответствовать седловым точкам (заметим, что каждое седло состоит в перестройке либо од ной окружности в две, либо двух в одну, ибо поверхность — диск — является ориентируемой);

каждое ребро графа Риба будет соответствовать цилиндру S 1 I D, который непрерывно отоб ражается функцией µ на это ребро (отрезок) между двумя вершинами (критическими точками);

этот цилиндр не содержит морсовских критических точек внутри (хотя, быть может, содержит особые точки, соответствующие перестройкам Рейдемейстера). Одна вершина валентности один будет соответствовать уровню 0 (некритическому), на котором находится окружность S = D, см.

рис. 69.

Так как этот граф представляет собой граф Риба функции Морса на диске D, граф µ пред ставляет собой дерево.

Теперь мы сопоставим каждому ребру графа Риба неотрицательную целочисленную метку.

Метка на ребре, исходящем из нулевого уровня функции Морса, будет совпадать с L(K).

Для каждого неособого уровня c функции µ прообраз Kc = µ1 (c) D представляет собой оснащенный 4-граф, задающий свободное зацепление;

при прохождении через особую точку «Рей демейстера» этот граф подвергается соответствующему движению Рейдемейстера;

при прохожде нии через морсовскую особую точку граф претерпевает перестройку Морса. Каждый перекресток графа Kc принадлежит некоторой двойной линии. Определим четность перекрестка как гауссо ву четность соответствующей двойной линии. Аналогичным образом мы определим уточненную четность перекрестка как уточненную четность того 1-страта, которому он принадлежит.

Можно легко заметить, что если сечение функции Морса представляет собой свободный узел (является оснащенным 4-графом с единственной уникурсальной компонентой), то четность и уточ ненная четность на этой компоненте совпадают с гауссовыми четностью и уточненной четностью, определяемыми стандартным образом посредством гауссовых диаграмм.

Выберем неособый уровень c, рассмотрим свободное зацепление Kc и ориентируем его ком поненты произвольным образом (как мы далее увидим, выбор ориентации будет несуществен);

каждая уникурсальная компонента Kc,j свободного зацепления Kc задает класс сопряженности (Kc,j ) элемента (Kc,j ) в группе G таким же образом, как и свободный узел. Пусть (Kc ) — неупорядоченный набор всех классов (Kc,j ) для всех j (с повторениями).

Из утверждений 6.4 и 6.6 мы получаем следующую лемму.

90 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Лемма 6.2. Четность и уточненная четность, определенные на множестве всех не особых уровней Kc, удовлетворяют всем аксиомам четности и уточненной четности при тех дви жениях Рейдемейстера, которые возникают при переходе от одного особого уровня к другому внутри кобордизма D.

Таким образом, мы получаем следующую лемму Лемма 6.3. При изменении параметра c вдоль отрезка [a, b] [0, 1], на котором с уровнем Kc происходят лишь перестройки Рейдемейстера, но не перестройки Морса, причем уровни, соответствующие значениям a и b, не содержат перестроек Рейдемейстера, мы имеем совпа дение неупорядоченных множеств с повторениями (Ka ) = (Kb ), если ориентации компонент зацеплений Ka и Kb согласованы: эти множества представляют собой классы сопряженности элементов из G.

Более того, (K0 ) представляет собой класс сопряженности элемента (K).

Доказательство проходит так же, как доказательство теоремы 6.2.

Теперь мы хотели бы рассмотреть как набор неотрицательных целых чисел с повторениями, а также забыть об ориентациях компонент зацеплений Kc. Для этого нам потребуется следующая Лемма 6.4. Пусть c — неособый уровень функции µ, и пусть Kc,1,..., Kc,n — уникурсаль ные компоненты свободного зацепления Kc = µ1 (c) D. Тогда для каждого i = 1,..., n выполняются следующие условия:

1. Общее число точек пересечения между Kc,i и Kc,j, j = i, является четным.

2. Число нечетных точек пересечения между Kc,i и Kc,j, j = i, (т.е. точек пересечения, лежащих на нечетных двойных линиях) является четным.

Доказательство. Доказательство вытекает из того факта, что прообраз оснащенного 4-графа Kc,i в диске D представляет собой окружность, а число точек пересечения замкнутой кривой с множеством (или с множеством even ) в D в общем положении состоит из четного числа точек.

Лемма 6.4 мгновенно влечет, что (Kc,i ) для неособого значения c задает элемент с координа тами (0, 2k) на графе Кэли группы G (для некоторого целого k).

Пусть Lc = {lc,1,..., lc,m } — неупорядоченный набор целых чисел с повторениями, полученный из (K, c) заменой классов сопряженности элементов из G на абсолютные значения их второй координаты. Так как обращение ориентации заменяет координаты элемента группы G с (0, 2k) на (0, 2k), то при смене ориентации неупорядоченный набор модулей чисел (о котором говорится в лемме 6.4), соответствующих компонентам зацепления, не меняется.

Каждое число lc,i N {0} отвечает некоторой компоненте свободного зацепления Kc и не меняется при движениях Рейдемейстера при изменении c (при условии, что c не проходит через морсовские особые точки). Сопоставим это число ребру графа µ.

Проанализируем теперь поведение этих меток lc,i в вершинах графа µ.

Лемма 6.5. Пусть Kc и Kc+ отличаются одной морсовской перестройкой на уровне c.

Тогда:

1. Если перестройка соответствует появлению окружности, то множество Lc+ получа ется из множества Lc добавлением одного элемента 0.

2. В случае исчезновения окружности множество Lc+ получается из множества Lc уда лением одного нуля.

3. В случае, когда две окружности сливаются в одну, множество Lc+ получается из мно жества Lc применением следующей операции: все элементы, кроме двух (равных m и n), остаются неизменными, а вместо двух элементов появляется один элемент рав ный некоторому k = ±n ± m.

4. Операция разбиения одной окружности на две обратна операции слияния двух окруж ностей в одну: при этой операции один элемент k преобразуется в два элемента m, n такие, что ±m ± n = k, а остальные элементы остаются неизменными.

7. Граф-зацепления + + + РИС. 70. Правый трилистник и его гауссова диаграмма + + РИС. 71. Виртуальный трилистник и его гауссова диаграмма Доказательство. Первые два утверждения очевидны: на тривиальной окружности нет двойных точек, таким образом, соответствующий ей элемент из G равен единице, а его координаты равны (0, 0), и соответствующая метка нулевая.

Последние два утверждения вытекают из следующего соображения. Если окружность C с от меченной точкой X разбивается на две окружности посредством перестройки Морса, которая происходит в окрестности точки X и окрестности некоторой другой точки Y на окружности, то соответствующее слово w G разбивается в произведение двух слов w = wXY wY X.

Оставшаяся часть доказательства вытекает из правил умножения в группе G: для элементов u, v G, имеющих координаты (u1, u2 ) и (v1, v2 ) соответственно, произведение u · v имеет коорди наты (±u1 ± v1, ±u2 ± v2 ).

Доказанная лемма следующим образом приводит к доказательству теоремы 6.3. Все вершины графа µ валентности 1, кроме одной (соответствующей исходному узлу K), имеют метку 0. В каждой вершине валентности три сумма трех меток со знаками ± равна нулю. Таким образом, учитывая, что граф Риба является деревом, мы получаем L(K) = 0. Противоречие завершает доказательство теоремы 6.3.

Пример 6.3. Рассмотрим свободный узел K1, изображенный на рис. 63. Согласно теореме 6. он не является срезанным. Таким образом, ни один из плоских виртуальных узлов K, которому соответствует свободный узел K1, также не является срезанным.

7. ГРАФ-ЗАЦЕПЛЕНИЯ 7.1. Введение. Известно, что классические и виртуальные узлы [99] могут быть представлены гауссовыми диаграммами, и вся информация об узле и его инвариантах может быть прочитана из любой гауссовой диаграммы, кодирующей этот узел, см. рис. 70 и рис. 71.

Оказывается, некоторая информация об узле может получена из комбинаторного объекта — графа пересечений гауссовой диаграммы, см. определение 7.2 и рис. 72. Вершины графа пересе чений снабжены числом закрученности. Однако иногда гауссовы диаграммы могут быть получены из графа пересечений многими способами, см. рис. 33, и некоторые графы (рис. 32) не могут быть представлены хордовой диаграммой вообще [21] (мы такие графы называем нереализуемыми).

Переходя к графам пересечений, мы помним только информацию о числе закрученности и за бываем информацию о циклическом порядке полуребер в каждой вершине, которая задается с помощью стрелок на гауссовой диаграмме. В принципе возможно описать аналогичные объекты, когда граф пересечений содержит всю информацию об узле;

однако, уже информации о числе за крученности достаточно для восстановления большого объема информации, как мы увидим ниже.

92 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ - + + + + + + + + + + РИС. 72. Гауссова диаграмма и меченый граф пересечений РИС. 73. Сглаживание вдоль двух хорд дает одну или три окружности Более того, если мы забываем о числе закрученности и только имеем структуру противополож ности ребер, мы получаем объекты, которые не могут быть сведены к тривиальным движениями Рейдемейстера, см. главу 5.

Вероятно, самый легкий и наглядный пример, показывающий, как получить информацию об узле из его графа пересечений, — это теорема 4.1, позволяющая найти количество окружностей в состояниях скобки Кауфмана из графа пересечений, см. рис. 73 (на рисунке изображены графы пересечений и хордовые диаграммы). В частности, она означает, что мы можем обобщить скобку Кауфмана на все графы, не обязательно соответствующие узлам, причем обобщение совпадает с обычной скобкой Кауфмана в случае, если граф реализуем хордовой диаграммой. Это было от правной точкой исследования у Л. Тральди и Л. Цулли [206] (петлевые графы): они построили независимо теорию «нереализуемых графов», обладающую многими интересными свойствами тео рии узлов. Объекты этой теории — это классы эквивалентности (меченых) графов по «движениям Рейдемейстера» (переведенным на язык графов пересечений). Существенный недостаток такого подхода состоит в том, что он может быть применен только к узлам, а не к зацеплениям: для ко дирования зацепления нужно использовать более сложные объекты, чем гауссовы диаграммы, — гауссовы диаграммы на многих окружностях. Этот подход получил дальнейшее развитие в рабо тах Тральди [203, 204, 205], и он позволяет кодировать не только узлы, но и зацепления с любым конечным количеством компонент с помощью меченых графов. Первый вопрос, возникающий при построении этой теории, следующий: верно или нет, что каждый простой граф эквивалентен пет левому графу виртуального узла? Этот вопрос был отрицательно решен в [160], т.е. не каждый простой граф эквивалентен реализуемому графу.

Мы предложили другой подход к обобщению узлов и зацеплений: в то время как гауссовы диаграммы соответствуют трансверсальному проходу каждого перекрестка, мы можем рассмотреть поворачивающие обходы, см. раздел 4. Кроме того, мы можем закодировать тип прохода вершины (A-разведение или B-разведение), см. рис. 74. Заметим, что здесь каждая вершина еще будет иметь метку, зависящую от ориентации противоположных ребер (оснащение 0 или оснащение 1).

Второй важный вопрос — это вопрос об эквивалентности двух теорий: а именно, существует ли эквивалентность между множеством гомотопических классов петлевых графов, введенных Тральди и Цулли [206], и множеством граф-узлов, построенных в [77, 78]. Согласно п. 4.4 для виртуальных узлов существует формула, связывающая матрицы смежности графов пересечений гауссовой диаграммы и хордовой диаграммы, построенной по поворачивающему обходу, и наобо рот. Эта формула позволяет доказать эквивалентность двух теорий [74, 75], при этом, гомотопи ческий класс петлевых графов и граф-узел, построенные из одного и того же узла, переходят при этой эквивалентности друг в друга. Эта эквивалентность будет описана в п. 7.2.

Вообще, можно рассмотреть произвольный эйлеров цикл на зацеплении и для него сначала построить хордовую диаграмму, а потом граф пересечений, см. [203]. В настоящей монографии мы рассматриваем только гауссовы циклы и поворачивающие обходы.

7. Граф-зацепления 1 5 13 10 14 9 5 2 :2-8,3-14,4-6,7-10, :1-12,5- 11- РИС. 74. Поворачивающий обход изображен тонкой линией;

Хордовая диаграмма Очевидно, что если граф реализуем в смысле гауссовых диаграмм, то он реализуем и в смысле хордовых диаграмм, построенных по поворачивающему обходу, и наоборот: мы просто в реализу емом случае можем построить оснащенный 4-валентный граф и перерисовать на нем обход, или воспользоваться эквивалентностью между множеством гомотопических классов петлевых графов и множеством граф-узлов, см. далее. Отсюда следует, что при доказательстве разных теорем о нереализуемости каких-либо графов мы можем пользоваться любым из двух подходов: гауссов цикл или поворачивающий обход. Мы покажем, что не всякий граф эквивалентен графу пересе чений гауссовой диаграммы некоторого узла, и, следовательно, используя эквивалентность между множеством гомотопических классов петлевых графов и множеством граф-узлов, мы сразу полу чаем, что и не всякий граф эквивалентен графу пересечений хордовой диаграммы, построенной по поворачивающему обходу некоторого узла. Пример «нереализуемого» петлевого графа впервые появился в [160, 161]. Итак, теория граф-зацеплений и гомотопических классов петлевых графов интересна по разнообразным причинам:

а) в некоторых случаях она показывает чисто комбинаторные способы извлечение инвариантов узлов;

б) в некоторых случаях она дает эвристические подходы к новым «теориям узлов»;

в) она подчеркивает некоторые «графовые» эффекты, которые трудно увидеть в обычной теории классических и виртуальных узлов.

Отметим, что для граф-зацеплений, и, следовательно, для гомотопических классов петлевых графов, построена теория гомологий Хованова для граф-узлов [179, 180]. Гомологии Хованова мы рассмотрим в разделе 8.

Мы назовем граф-зацепление (гомотопический класс петлевых графов) нереализуемым, если все его представители не реализуемы хордовыми диаграммами. Рассмотрим пару примеров нереа лизуемых свободных граф-зацеплений и свободных гомотопических классов петлевых графов.

Здесь мы не указываем никакой структуры в вершине (кроме, конечно, структуры противополож ности полуребер), поскольку любой граф-зацепление (гомотопический класс петлевых графов) с таким подлежащим графом не реализуем. Гомотопический класс, порожденный петлевым графом, изображенном на рис. 32 (слева), дает нам нереализуемый свободный гомотопический класс петлевых графов. Имея диаграмму виртуального зацепления, мы можем забыть про структуру проход-переход и циклический порядок полуребер в перекрестке и рассматривать только подлежа щий оснащенный 4-граф. Это привело нас к понятию свободного узла и свободного зацепления, см. главу 5. Как оказалось, некоторую информацию о виртуальном узле можно получить только из подлежащего оснащенного 4-графа. Этой информации достаточно, чтобы доказать нетриви альность многих свободных узлов и свободных зацеплений. Тот же самый трюк работает и для граф-зацеплений и гомотопических классов петлевых графов, однако здесь вместо подлежащего оснащенного 4-графа мы рассматриваем абстрактный граф, который играет роль графа пересече ний несуществующей хордовой диаграммы.

Граф, показанный на рис. 75 (слева), сам по себе не реализуем (в смысле гауссовых диаграмм), но что произойдет, если мы пометим все его вершины некоторым способом и затем попробуем применить к графу движения Рейдемейстера, надеясь получить реализуемый граф? Для некоторых 94 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ A’ A РИС. 75. Нереализуемый граф, представляющий тривиальный гомотопический класс x РИС. 76. Четный нереализуемый граф, представляющий нереализуемый гомотопи ческий класс нереализуемых графов такое возможно, см., напр., рис. 75. Гомотопический класс, порожденный петлевым графом, показанным на рис. 75 (слева), реализуем. В самом деле, второе движение Рейдемейстера, переведенное на язык гауссовых диаграмм, состоит в добавлении/удалении двух «параллельных» хорд. На языке графов пересечений, хорды соответствуют вершинам, а «парал лельные» хорды соответствуют двум несмежным вершинам, имеющим одинаковые смежности с оставшимися. Итак, вершины A и A на рис. 75 имеют одинаковые смежности, и удаление этих двух вершин делает наш граф реализуемым.

Проблема нахождения свободных граф-зацеплений и свободных гомотопических классов пет левых графов, не имеющих реализуемых представителей, аналогична проблеме построения вир туальных узлов, не эквивалентных классическим узлам. Оказывается, решение в случае свобод ных гомотопических классов петлевых графов может быть достигнуто посредством соображений четности (теорема 7.10): все вершины графа, изображенного на рис. 32 (слева), имеют нечетную степень, и мы к этому графу не можем сразу применить уменьшающее второе движение Рейдемей стера. Поэтому гомотопический класс этого графа будет нереализуемым в более строгом смысле:

любой его представитель имеет подграф, изоморфный первоначальному графу (мы пренебрегаем числом закрученности), который не реализуем, и гомотопический класс, в свою очередь, тоже не реализуем. Также мы имеем пример нереализуемого графа, степени вершин которого четны, см.

рис. 76.

Настоящий раздел устроен следующим образом. Сначала мы даем определения граф-зацепления и гомотопического класса петлевых графов. Далее, используя четность, доказываем результаты, касающиеся нетривиальности. В частности, четность позволяет нам построить графозначные ин варианты для граф-зацеплений.

В п. 7.4, мы кратко опишем способы построения скобки Кауфмана для граф-зацепления и некоторых других инвариантов граф-зацеплений. Также мы сформулируем некоторые результаты, касающиеся минимальности граф-зацеплений.

7.2. Граф-зацепления и петлевые графы.

7.2.1. Хордовые диаграммы. Любые две эквивалентные (в классе всех виртуальных диаграмм) связные (см. определение 3.3) виртуальные диаграммы являются эквивалентными в классе связ ных виртуальных диаграмм [77]. Поэтому, без ограничения общности, мы считаем, что все рас сматриваемые виртуальные диаграммы связны и содержат по крайней мере один классический перекресток [77, 78].

Определение 7.1. Хордовая диаграмма называется меченой, если каждая хорда снабжена мет кой (a, ), где a {0, 1} — оснащение хорды, и {±} — знак хорды. Если метки не указаны, то мы считаем, что все они равны (0, +).

7. Граф-зацепления (0,+) (0,-) (1,+) (1,-) РИС. 77. Замена хорды парой линий (0,+) (1,+) (1,-) (0,-) РИС. 78. Замена классического перекрестка меченой хордой Хордовая диаграмма называется оснащенной, если каждая хорда снабжена только оснащением, т.е. 0 или 1.

Пусть D — меченая хордовая диаграмма. Мы можем построить такую виртуальную диаграм му K(D) (с точностью до виртуализации), что диаграмма D совпадает с хордовой диаграммой некоторого поворачивающего обхода на K(D). Мы погружаем диаграмму D в R2, вкладывая окружность диаграммы в плоскость и размещая некоторые хорды внутри окружности, а осталь ные — вне. После этого мы удаляем окрестности каждого из концов всех хорд и заменяем каждую хорду парой хорд, соединяющих четыре точки на окружности, которые образовались в результате удаления двух окрестностей. При этом новые две хорды образуют только классический перекре сток, если оснащение хорды равно 0, и образуют классический и виртуальный перекрестки, если оснащение хорды равно 1, см. рис. 77 (пересечения хорд из разных пар образуют всегда вирту альные перекрестки). Еще мы требуем, чтобы первоначальные части окружности соответствовали A-разведению, если хорда положительна, и B-разведению, если хорда отрицательна.

Обратно, имея связную виртуальную диаграмму K, мы можем построить меченую хордовую диаграмму DC (K). Мы рассматриваем поворачивающий обход C на K (виртуальные перекрестки проходятся трансверсально) и строим оснащенную хордовую диаграмму, как в п. 4.2. Знак хорды равен + (соотв., ), если обход локально согласуется с A-разведением (соотв., B-разведением).

Оснащение хорды зависит от ориентации противоположных полуребер при движении вдоль C, см.

рис. 78. Нетрудно проверить, что эта операция обратна операции построения виртуальной диа граммы из меченой хордовой диаграммы: если мы рассмотрим хордовую диаграмму D и построим виртуальную диаграмму K(D) из нее, тогда для некоторого поворачивающего обхода C меченая хордовая диаграмма DC (K(D)) будет совпадать с D. Это доказывает следующую теорему.


Теорема 7.1 ([131]). Для любой связной виртуальной диаграммы L существует меченая хордовая диаграмма D такая, что L = K(D).

7.2.2. Движения Рейдемейстера для петлевых графов и граф-зацеплений. Опишем движения на графах, которые получаются из движений Рейдемейстера на виртуальных диаграммах, исполь зуя поворачивающий обход [77, 78] и гауссов цикл [206]. Эти движения в обоих случаях соответ ствуют «настоящим» движениям Рейдемейстера, когда они применяются к графам, реализуемым хордовыми диаграммами. Затем мы обобщим эти движения на все графы (не только реализуемые диаграммами). В результате мы получим два новых объекта: граф-зацепление и гомотопический 96 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ класс петлевых графов. Таким образом, виртуальные диаграммы задаются (с некоторой поте рей информации) графами. Возникает аналогия: переход от «реализуемых» гауссовых диаграмм (классические узлы) к произвольным хордовым диаграммам ведет к понятию виртуального узла, а переход от реализуемых (посредством хордовых диаграмм) графов к произвольным графам ведет к понятию двух новых объектов, граф-зацепление и гомотопический класс петлевых графов (здесь слово «петлевой» соответствует числу закрученности, а именно, если число закрученности равно 1, то соответствующая вершина в графе имеет петлю). Для построения первого объекта мы будем использовать меченые простые графы, а для построения второго — (немеченые) графы без кратных ребер, но петли допускаются.

Определение 7.2. Граф пересечений (см. [36]) (D) хордовой диаграммы D — это простой граф (без петель и кратных ребер), вершины которого находятся в однозначном соответствии с хордами диаграммы D, причем две вершины соединены ребром в том и только в том случае, если соответствующие им хорды зацеплены.

Назовем граф меченым, если каждая его вершина v снабжена меткой (a, ), где a {0, 1} — это оснащение вершины v, а {±} — знак вершины v.

Пусть D — меченая хордовая диаграмма. Меченый граф пересечений, ср. [189, 36], G(D) диаграммы D — это граф пересечений, каждая вершина которого снабжена соответствующей меткой. Простой граф H называется реализуемым, если существует такая хордовая диаграмма D, что H = G(D). В противном случае граф называется нереализуемым.

Замечание 7.1. Мы будем еще рассматривать простые графы, каждая вершина которых имеет одну метку, 0 или 1. Назовем такие графы оснащенными. Таким образом, мы имеем два типа оснащенных графов: 4-валентные графы и простые графы. Из текста всегда будет ясно, какой оснащенный граф мы рассматриваем.

В реализуемом случае, оснащенные графы — это графы пересечений оснащенных хордовых диаграмм.

Следующая лемма очевидна.

Лемма 7.1. Простой граф реализуем, если и только если каждая его компонента связности реализуема.

Определение 7.3. Пусть G — произвольный граф и v V(G). Множество всех вершин графа G смежных с v называется окрестностью вершины v и обозначается N (v).

Определим две операции на простых немеченых графах, которые на языке матриц смежности совпадают с преобразованиями из определений 4.9 и 4.10 с точностью до меток.

Определение 7.4 (Локальное дополнение). Пусть G — произвольный граф. Локальное допол нение графа G в вершине v V(G) — это операция, которая меняет смежности только между вершинами a, b N (v) и a = b (остальные смежности остаются без изменений). Обозначим граф, полученный из G с помощью операции локальное дополнение в вершине v, через LC(G;

v).

Определение 7.5 (Шарнирное преобразование). Пусть G — произвольный граф с двумя раз личными вершинами u и v. Шарнирное преобразование графа G в вершинах u и v — это операция, которая меняет смежности только между такими вершинами x, y, что x, y {u, v}, / x N (u), y N (v) и либо x N (v), либо y N (u) (остальные смежности остаются без измене / / ний). Обозначим граф, полученный из G с помощью шарнирной операции в вершинах u и v, через piv(G;

u, v).

Пример 7.1. На рис. 79 изображены графы G, LC(G;

u) и piv(G;

u, v).

Из определения 4.10 сразу следует Лемма 7.2. Если вершины u и v смежны, то существует изоморфизм piv(G;

u, v) LC(LC(LC(G;

u);

v);

u).

= Определим граф-преобразования, т.е. преобразования меченых графов. Мы рассматриваем ме ченые хордовые диаграммы, построенные посредством поворачивающих обходов, и движения на 7. Граф-зацепления v v u u v u LC(G;

u) P(G;

u,v) G РИС. 79. Локальное дополнение и шарнирное преобразование них, которые получаются из «настоящих» движений Рейдемейстера виртуальных диаграмм. За тем мы эти движения переносим на произвольные меченые графы, используя графы пересечений хордовых диаграмм. В результате мы получим новый объект — класс эквивалентности меченых графов по формальным движениям [77, 78].

Определение 7.6. g 1. Первое граф-преобразование состоит в добавлении/удалении изолиро ванной вершины с меткой (0, ), {±}.

g 2. Второе граф-преобразование состоит в добавлении/удалении двух несмежных (соотв., смежных) вершин с метками (0, ±) (соотв., (1, ±)), и имеющих одинаковые смежности с осталь ными вершинами.

g 3. Третье граф-преобразование определяется следующим образом. Пусть u, v, w — произ вольные три вершины графа G, все имеющие метки (0, ), причем вершина u смежна только с вершинами v и w в G, а вершины v и w не смежны друг с другом. Тогда мы изменяем толь ( ) ( ) ко смежности вершины u с вершинами v, w и t N (v) \ N (w) N (w) \ N (v). Кроме того, мы еще меняем знаки вершин v и w на +. Обратная операция также называется третьим граф преобразованием.

g 4. Четвертое граф-преобразование для графа G определяется следующим образом. Мы берем две смежные вершины u и v с метками (0, ) и (0, ) соответственно. Заменяем граф G на piv(G;

u, v) и, кроме того, меняем знаки вершин u и v на и соответственно.

g 4. В этом четвертом граф-преобразовании мы берем одну вершину v с меткой (1, ).

Заменяем G на LC(G;

v) и, кроме того, меняем знак вершины v и оснащение каждой вершины u N (v).

Замечание 7.2. Четвертые граф-преобразования g 4 и g 4 в реализуемом случае соответству ют замене поворачивающего обхода диаграммы зацепления другим поворачивающим обходом, см.

утверждение 4.1. Иногда, применяя эти преобразования, мы будем просто говорить, что мы меняем обход.

Замечание 7.3. Мы определили граф-преобразования для меченых графов. Если мы рассмат риваем оснащенные графы, то для них граф-преобразования получаются из граф-преобразований g 1g 4 забыванием знака, т.е. второй компоненты метки. В этом случае мы будем использовать те же самые обозначения.

Сопоставление граф-преобразований с движениями Рейдемейстера приводит к следующей тео реме.

Теорема 7.2. Пусть G1 и G2 — два меченых графа пересечений виртуальных диаграмм K и K2 соответственно. Если K1 и K2 эквивалентны в классе связных диаграмм, тогда G1 и G2 получаются друг из друга последовательностью граф-преобразований g 1 g 4.

Определение 7.7. Граф-зацепление — это класс эквивалентности простых меченых графов по граф-преобразованиям g 1 g 4.

Замечание 7.4. Имея хордовую диаграмму, мы можем построить атом, см. п. 3.4, соответ ствующий хордовой диаграмме. Хордовые диаграммы, все хорды которых имеют оснащение 0, кодируют ориентируемые атомы. Хордовые диаграммы, все хорды которых положительны, коди руют атомы с одной белой клеткой: эта белая клетка соответствует A-состоянию (состоянию, в котором все перекрестки разведены способом A : ) виртуальной диаграммы. Напомним, 98 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ u u v v w w РИС. 80. Третье движение Рейдемейстера что B-состояние диаграммы виртуального узла — это разведение всех перекрестков диаграммы способом B :.

Для граф-зацеплений, имеющих представитель с ориентированным атомом, существует два формально различных отношения эквивалентности. Первое отношение описано в [77] (которое включает в себя только диаграммы с ориентируемыми атомами), а второе определено здесь. Мы знаем, что эти две эквивалентности совпадают [77], поэтому мы используем тот же самый термин «граф-зацепления».

Следующее определение аналогично определению свободных узлов. Мы рассматриваем только одну метку–оснащение на графе, которая в реализуемом случае как раз и отвечает за структуру противоположности ребер.

Определение 7.8. Свободный оснащенный граф — это класс эквивалентности оснащенных (простых) графов по граф-преобразованиям g 4 и g 4. Свободное граф-зацепление — это класс эквивалентности свободных оснащенных графов по граф-преобразованиям g 1 g 3.

Определение 7.9. Мы назовем свободный оснащенный граф реализуемым, если каждый его представитель реализуем с помощью хордовой диаграммы.

Замечание 7.5. Не трудно показать, что свободный оснащенный граф реализуем, если и только если у него имеется реализуемый представитель (мы просто перерисовываем картинку).

Рассмотрим теперь другой подход, основанный на гауссовом цикле. Пусть DG (K) — гауссова диаграмма виртуальной диаграммы K. Построим граф, полученный из графа пересечений диа граммы DG (K) добавлением петель вершинам, соответствующим отрицательным хордам, т.е. пе рекресткам, имеющим отрицательное число закрученности [206]. Мы будем называть такие графы петлевыми графами. Опишем движения на петлевых графах. Эти движения аналогичны граф преобразованиям и также соответствуют настоящим движениям Рейдемейстера.

Определение 7.10. 1. Первое движение Рейдемейстера для петлевых графов состоит в до бавлении/удалении изолированной вершины (петлевой или непетлевой).

2. Второе движение Рейдемейстера для петлевых графов состоит в добавлении/удалении двух вершин, имеющих одинаковые смежности со всеми вершинами, и, кроме того, одна из них петлевая, а другая нет.

3. Третье движение Рейдемейстера для петлевых графов определяется следующим образом.


Пусть u, v, w — три такие вершины, что вершина v является петлевой, вершина w не является петлевой, вершины v и w смежны, вершина u не смежна с вершинами v и w, а каждая вершина x {u, v, w} либо не смежна со всеми вершинами u, v, w, либо смежна ровно с двумя из них.

/ Тогда при третьем преобразовании мы меняем смежности только между тремя вершинами u, v, w, см. рис. 80. Обратная операция также называется третьем движением Рейдемейстера.

Замечание 7.6. Два третьих движения Рейдемейстера (первое движение — это когда третья вершина петлевая, а второе — не является петлевой) не исчерпывают все возможные представле ния третьего классического движения на гауссовых диаграммах [206]. Можно показать, что все другие версии третьего движения, которые изображены на рис. 81 (мы меняем смежности только между тремя выделенными вершинами), являются комбинациями вторых и третьих движений, описанных в определении 7.10, см. [182].

7. Граф-зацепления u u w w v u u v w v w РИС. 81. Возможные конфигурации третьего движения Рейдемейстера Определение 7.11. Мы назовем класс эквивалентности графов (без кратных ребер, но петли допускаются) по трем движениям, описанным в определении 7.10, гомотопическим классом пет левых графов. Свободный гомотопический класс петлевых графов — это класс эквивалентности простых графов по движениям с точностью до петель, т.е. в движениях мы забываем про петли.

Замечание 7.7. Отношение эквивалентности из определения 7.11 называется эквивалентно стью Рейдемейстера в [206], и оно отличается от классической гомотопии зацеплений.

Петлевые графы кодируют только узлы, а граф-зацепления могут кодировать связные вирту альные диаграммы с любым количеством компонент. Подход с помощью поворачивающего обхода имеет преимущество в этом смысле. Можно обобщить эти два подхода и рассмотреть произволь ный эйлеров цикл на диаграмме зацепления. Это было инициировано Л. Тральди в [203], где он ввел понятие помеченных графов.

Определение 7.12. Мы назовем (свободное) граф-зацепление (соотв., (свободный) гомотопи ческий класс петлевых графов) реализуемым, если существует его представитель, реализуемый хордовой диаграммой.

7.2.3. Петлевые графы и граф-зацепления. Пусть G — произвольный меченый граф с множе ством вершин V(G) = {v1,..., vn }.

Определение 7.13. Матрица смежности A(G) меченого графа G — это матрица (aij ) над Z2, для которой aii равно оснащению вершины vi, aij = 1, i = j, если и только если вершины vi и vj смежны, и aij = 0 в противном случае.

Утверждение 7.1 (см. [77, 78]). Если графы G и G представляют одно и то же граф зацепление, то corankZ2 (A(G) + E) = corankZ2 (A(G ) + E), где E — единичная матрица. Таким образом, число corankZ2 (A(G) + E), где G — представитель граф-зацепления F, является ин вариантом граф-зацепления F.

Определение 7.14. Число компонент граф-зацепления F — это corankZ2 (A(G) + E) + 1, здесь G — представитель граф-зацепления F. Граф-зацепление F, для которого corankZ2 (A(G) + E) = для любого представителя G из F, называется граф-узлом.

Предположим, что corankZ2 (A(G) + E) = 0, и положим Bi (G) = A(G) + E + Eii для каждой вершины vi V(G), здесь Eii — матрица с одним ненулевым элементом, равным 1 и стоящим на пересечении i-го столбца и i-ой строки. Число закрученности wi графа G (с corankZ2 (A(G) + E) = 0) в вершине vi — это wi = (1)corankZ2 Bi (G) signvi, и число закрученности графа G — это n wi.

w(G) = i= 100 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Замечание 7.8. Если граф реализуем хордовой диаграммой и, следовательно, виртуальной диа граммой, то мы можем найти число компонент полученного зацепления, используя формулу из теоремы 4.1. Найденную формулу можно использовать для определения числа компонент нереа лизуемого графа. В результате мы и получим определение 7.14.

Также отметим, что в реализуемом случае wi — это «настоящее» число закрученности пере крестка, соответствующего вершине vi.

Заметим, что в настоящем разделе мы пользуемся следующим основным принципом: Предполо жим, что существует равенство, в котором участвуют количества окружностей некоторых состояний хордовых диаграмм, причем это равенство может быть сформулировано в терми нах графа пересечений. Тогда соответствующее равенство верно также и для нереализуемых графов.

Причина, по которой этот принцип верен, в следующем: каждый раз мы имеем картинку, где некоторые два количества окружностей равны друг другу (или отличаются на константу), это может быть выражено в терминах соответствующих матриц смежности, и доказательство в общем случае не зависит от поведения матрицы вне перекрестков, о которых идет речь. Это означает, что равенство верно для матриц общего вида, таким образом, оно верно и для произвольных графов.

Этот принцип имеет множество следствий. Мы рассмотрим два примера.

Первый пример связан определением 7.14. Он показывает, что количество компонент, определен ное для нереализуемого графа той же самой формулой, что и для реализуемого графа, не меняется при движениях граф-преобразованиях, а число закрученности не меняется при втором, третьем и четвертых граф-преобразованиях, но меняется на ±1 при первом граф-преобразовании.

Второй пример следующий. Предположим, что мы имеем оснащенный 4-граф K с вершиной v, и мы хотели бы знать, принадлежит ли эта вершина одной компоненте (здесь компонента в смысле зацепления) или разным компонентам соответствующего граф-зацепления. Мы можем рассмотреть два сглаживания (разведения) Ka, Kb графа K в v и увидеть, сколько компонент мы получили после разведения. Если v принадлежит одной компоненте, то число компонент одного из графов Ka, Kb равно числу компонент графа K, и число компонент другого графа равно числу компонент графа K плюс один. Если v принадлежит двум разным компонентам графа K, то число компонент каждого из Ka, Kb равно числу компонент K минус один. Переходя к граф-зацеплениям и беря коранги матриц, мы можем увидеть, принадлежит ли вершина графа одной компоненте граф зацепления или двум разным.

Этот метод также используется для доказательства инвариантности скобки Кауфмана для граф зацеплений, см. далее.

Покажем, что множество гомотопических классов петлевых графов эквивалентно множеству граф-узлов, т.е. докажем следующую теорему.

Теорема 7.3. Существует взаимно однозначное соответствие между множеством петле вых графов и множеством классов эквивалентности меченых графов G с corankZ2 (A(G)+E) = 0 по четвертым граф-преобразованиям, которое порождает эквивалентность между множе ством гомотопических классов петлевых графов и множеством граф-узлов. Причем, граф узел и гомотопический класс, построенные оба из одной и той же виртуальной диаграммы, связаны этой эквивалентностью.

Сначала докажем вспомогательные леммы и дадим необходимые определения.

Замечание 7.9. На самом деле это соответствие мы уже построили, см. теорему 4.4. Остается проверить, что оно правильно себя ведет при граф-преобразованиях и движениях Рейдемейстера для петлевых графов.

Обозначим, через Ci,j,...,k матрицу, полученную из матрицы C удалением столбцов и строк с номерами i, j,..., k. Мы будем писать Bi,j,...,k (G) вместо B(G)i,j,...,k.

Лемма 7.3. Имеет место равенство wi (G) = (1)corankZ2 Bi (G)+1 sign vi.

Доказательство. Мы докажем равенство только для w1. Пусть ( ) a b A(G) + E = bC 7. Граф-зацепления и corankZ2 (A(G) + E) = 0 det(A(G) + E) = 1, здесь жирные буквы соответствуют вектор-столбцу. Имеем ( ) ( ) ( ) a + 1 b a b 1 det B1 (G) = det = det + det b C bC bC и B1 (G) = C, det(B1 (G)) = det(A(G) + E) + det C = 1 + det B1 (G).

Последнее равенство и доказывает лемму для случая w1.

Лемма 7.4. Пусть G — меченый граф с det B(G) = 1 и B(G)1 = (bij ). Тогда 1 wi (G) sign vi bii =.

Доказательство. Имеем wi (G) = (1)corankZ2 Bi (G)+1 sign vi wi (G) sign vi = (1)corankZ2 Bi (G)+ wi (G) sign vi + corankZ2 Bi (G) = 1 wi (G) sign vi bii = det Bi (G) = 1 corankZ2 Bi (G) =.

Определение 7.15. Определим матрицу смежности A(L) = (aij ) над Z2 для петлевого графа L, все вершины которого занумерованы, как: aii = 1, если и только если вершина с номером i является петлевой, т.е. существует петля в этой вершине, и aii = 0, если соответствующая вершина не является петлевой;

aij = 1, i = j, если и только если вершина с номером i смежна вершине с номером j, и aij = 0 иначе.

Построим отображение из множества всех граф-узлов в множество всех гомотопических классов петлевых графов. Мы покажем, что это отображение имеет обратное.

Пусть G — произвольный представитель граф-узла F. Рассмотрим простой граф H с матрицей смежности, равной матрице (A(G) + E)1 с точностью до диагональных элементов, см. опре деление 4.6. Построим граф L(G) из графа H, добавляя петли в вершины графа H, которые соответствуют вершинам графа G с отрицательным числом закрученности (см. определение 7.14).

Определим отображение из множества граф-узлов в множество гомотопических классов петле вых графов, положив (F) = L, где L — гомотопический класс петлевого графа L(G).

Теорема 7.4. Отображение корректно определено.

Доказательство. Пусть G1, G2 — два представителя граф-узла F, и пусть B(Gi ) = A(Gi ) + E, B(Gi )1 = (bkl ). Мы должны показать, что гомотопические классы петлевых графов L(G1 ) и i L(G2 ) совпадают, т.е. графы L1 = L(G1 ) и L2 = L(G2 ) получаются друг из друга движениями Рейдемейстера на петлевых графах.

Рассмотрим четыре случая, которые соответствуют каждому из четырех граф-преобразований.

1) Мы знаем, что, если меченые графы G1 и G2 получаются друг из друга четвертыми дви жениями g 4 и/или g 4 (напомним, что в реализуемом случае эти движения соответствуют смене поворачивающего обхода), то числа закрученности соответствующих вершин графов G1 и G2 совпадают, см. [77, 78], и графы L1 и L2 изоморфны с точностью до петель, т.е. их матрицы смежности совпадают с точностью до диагональных элементов, см. теорему 4.4. Из этих двух утверждений мы немедленно получаем изоморфизм петлевых графов L1 и L2.

2) Пусть G1 и G2 связаны первым граф-преобразованием g 1 (без ограничения общности будем считать, что удаляется вершина с номером 1). Имеем ( ) B(G1 ) =, B(G2 ) = A(G2 ) + E, 0 A(G2 ) + E ( ) B(G2 )1 = (A(G2 ) + E)1, B(G1 ) =, 0 (A(G2 ) + E) 102 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ здесь 0 обозначает вектор-столбец соответствующего размера, состоящий из 0. Следовательно, L получается из L1 с помощью движения 1.

3) Пусть графы G1 и G2 получаются друг из друга вторым граф-преобразованием g 2 (без ограничения общности будем считать, что удаляются вершины с номерами 1 и 2). Имеем два случая.

В первом случае a B(G1 ) = 0 1, a B(G2 ) = A(G2 ) + E, a a A(G2 ) + E а во втором a B(G1 ) = 1 0, a B(G2 ) = A(G2 ) + E.

a a A(G2 ) + E Рассмотрим только первый случай. Мы знаем, что w1 (G1 ) = w2 (G1 ) в G1 [77, 78]. Кроме того, так как 1 0 a 1 0 a 1 0 a det 0 1 a = det 1 1 0 = det 1 1 0 = det C, aaC aaC 00C то d bc B(G1 )1 = c b, B(G2 )1 = (A(G2 ) + E)1.

d d d (A(G2 ) + E) Это означает, что петлевые графы L1 и L2 связаны вторым движением Рейдемейстера 2.

4) Предположим, что графы G1 и G2 получаются друг из друга третьим граф-преобразованием g 3. Пусть соответствующие вершины графов G1 и G2 под действием g 3 имеют одинаковые номера (в [77] мы использовали другую нумерацию). Докажем, что L1 и L2 связаны последова тельностью вторых 2 и третьих 3 движений Рейдемейстера.

Имеем 1 1 1 1 1 0 a B(G1 ) = 1 0 1 b, 0abC 1 1 1 0 1 a 1 1 0 a 1 = det B(G1 ) = det 1 0 b, 1 0 1 b = det abC 0abC 0 0 (a + b) 0 b B(G2 ) =, det B(G2 ) = 0 01 a a+b b a C Покажем, что либо вершины v1, v2, v3 V(L1 ), либо вершины v1, v2, v3 V(L2 ) имеют конфи гурацию, изображенную на рис. 81.

Имеем ([77]) wi (G1 ) = wi (G2 ), i = 1, 2, 3, 1 0 a det B1 (G1 ) = det 0 1 b = abC 1 0 a 0 0 a = det 1 1 b + det 1 1 b = 0bC abC 7. Граф-зацепления 1 0 a 0 1 a 0 1 a = det 1 1 b + det 1 1 b + det 1 0 b, 0bC a0C abC ( ) 1 1 0 1 1 b = det 0 b det B2 (G1 ) = det, bC 0bC ( ) 1 1 0 a det B3 (G1 ) = det 1 1 a = det, aC 0aC ( ) ( ) ( ) 1 0 a 1 a 0 b 1 1 b = det 1 a + b b1 = det = det + det, b C bC bC 0bC ( ) ( ) ( ) 1 1 a 1 a + b 1 b 0 a b1 = det 1 0 b = det = det + det, a C aC aC 0aC ( ) 1 1 0 1 0 b = det 1 b b1 = det, aC 0aC 0 b 0 0 b b12 = det 0 1 a = det 1 1 a = a+b a C baC 0 1 b 0 1 b = det 1 0 a + det 1 1 a = 1 + b12, baC b0C 1 b 1 1 b b13 = det 0 0 a = det 0 0 a = a+b b C abC 1 1 b 10b = det 0 1 a + det 0 1 a = 1 + b13, abC a0C 0 (a + b) 1 0 b b23 = det 0 = det 0 0 a = a a+b b C abC 1 0 b 1 0 b 0 1 a + det 0 1 a = 1 + b23.

= det abC a0C b12 = b23 + det B2 (G1 ), b13 = b23 + det B3 (G1 ), 1 1 1 b12 + b13 = det B1 (G1 ) + 1, 1 b12 = b12 + 1, b13 = b13 + 1, b23 = b23 + 1.

2 1 2 1 2 Используя последние равенства, нетрудно показать, что либо вершины v1, v2, v3 V(L1 ), либо вершины v1, v2, v3 V(L2 ) имеют конфигурацию, изображенную на рис. 81. Также из этих ра венств видно, что конфигурация другой тройки вершин получается из структуры первой тройки сменой соответствующих смежностей.

i Обозначим через f вектор-столбец, полученный из вектор-столбца f удалением i-го элемента, i и обозначим через C j (соотв., C j ) матрицу, полученную из матрицы C удалением j-го столбца (соотв., i-ой строки и j-го столбца).

104 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Покажем, что смежность двух вершин, каждая из которых отлична от вершин v1, v2, v V(L1 ), в графе L1 совпадает со смежностью двух соответствующих вершин в графе L2, т.е. равны соответствующие элементы матриц B(G1 )1 и B(G2 )1. Для i, j 3 имеем 1 1 1 (aj3 ) 1 ij b1 = det = j (b ) 1 0 i3 i 0 ai3 b C j j3 ) ( 1 0 0 (a + b) j (b ) 0 1 0 ij = det = b2, (aj3 ) 0 0 i3 i3 i ai (a + b) b C j j3 j 1 0 (b ) 1 1 0 (b ) b2 = det 0 1 (aj3 ) = det 1 0 1 (aj3 ) = b1, 1j 1j (a + b) b a C j3 0ba C j j3 ) j3 ) ( ( 1 0 0 (a + b) 1 0 0 (a + b) b2 = det 0 = det 1 0 1 = 2j (aj3 ) (aj3 ) a+b b a C j3 0ba C j j3 j 1 0 0 (b ) 1 1 0 (b ) = det 1 0 1 = det 1 1 1 = b2j, 0 0 0ba C j3 0ba C j аналогично получаем b3j = b3j.

1 Осталось проверить, что каждая вершина x {v1, v2, v3 } либо смежна ровно двум вершинам / из множества вершин {v1, v2, v3 } для L1, либо ни одной (аналогично для L2 и соответствующего множества вершин). Это утверждение эквивалентно двум равенствам b1j +b2j +b3j = 0 и b1j +b2j + 1 1 1 2 b3j = 0. Используя ранее выведенные равенства, достаточно проверить только первое равенство.

Имеем ( ) 111 j 1 0 (b ) b1 = det 1 0 1 (b ) j 2j = det, ab C j 0ab C j ( ) 111 j 1 1 0 (aj3 ) = det 0 1 (a ) 3j b1 = det, ab C j 0ab C j 1 1 0 (aj3 ) b1j = det 1 0 1 (bj3 ) = 0ab C j ( ) ) ( j = det 1 1 (a + b) = b2j + b3j.

1 ab C j Мы доказали, что наши тройки вершин удовлетворяют всем требованиям замечания 7.6, следо вательно, петлевые графы L1 и L2 получаются друг из друга последовательностью вторых 2 и третьих 3 движений Рейдемейстера.

Определим теперь отображение из множества всех гомотопических классов петлевых графов в множество всех граф-узлов. Пусть L — гомотопический класс какого-то графа L. Используя лемму 4.2, мы можем построить симметрическую матрицу A = (aij ) над Z2, совпадающую с матрицей смежности графа L с точностью до диагональных элементов и имеющую det A = 1.

Пусть G(L) — меченый граф, имеющий матрицу смежности, равную (A1 + E). Следовательно, первая компонента метки вершины равна соответствующему диагональному элементу матрицы (A1 + E), а вторую компоненту метки вершины с номером i определим равенством wi (1 2aii ), 7. Граф-зацепления где wi = 1, если вершина с номером i графа L не имеет петли, и wi = 1 иначе. Положим (L) = F, где G(L) — представитель граф-узла F.

Лемма 7.5. Граф-узел F не зависит от выбора диагональных элементов при построении матрицы A.

Доказательство. Независимость граф-узла F (с точностью до знака, т.е. до второй компоненты метки вершины) от выбора диагональных элементов следует из теоремы 4.4.

Действительно, пусть A1 и A2 — две симметрические матрицы над Z2, совпадающие с матри цей смежности графа L с точностью до диагональных элементов и имеющие det A1 = det A2 = 1.

Тогда матрицы (A1 + E) и (A1 + E) получаются друг из друга четвертыми g 4 и/или g 4 граф 1 преобразованиями (с точностью до знака вершины). Осталось заметить, что мы определили знак вершины таким образом, что петлевые вершины соответствуют вершинам с отрицательным чис лом закрученности, а непетлевые вершины — вершинам с положительным числом закрученности (лемма 7.4). Кроме того, число закрученности не меняется при четвертых граф-преобразованиях g 4, g 4, а число закрученности и оснащение вершины полностью определяют знак вершины.

Теорема 7.5. Отображение корректно определено.

Доказательство. Пусть L1, L2 — произвольные два представителя гомотопического класса L.

Покажем, что граф-узлы, имеющие своими представителями графы G1 = G(L1 ) и G2 = G(L2 ) соответственно, совпадают. Для этого, используя лемму 7.5, достаточно показать, что графы G1 и G2 связаны друг с другом последовательностью граф-преобразований.

Рассмотрим три случая.

1) Пусть L1 и L2 получаются друг из друга первым движением Рейдемейстера 1. Допустим, что мы удаляем вершину с номером 1 (достаточно рассмотреть только этот случай). Имеем ( ) a a {0, 1}.

A(L1 ) =, 0 A(L2 ) Предположим, что det A(L2 ) = 1, где матрица A(L2 ) совпадает с матрицей A(L2 ) с точностью до диагональных элементов, и ( ) A(L1 ) =.

0 A(L2 ) Тогда ( ) A(L1 ) =, 0 A(L2 ) и, следовательно, графы G1 и G2 связаны последовательностью граф-преобразований g 1, g 4, g 4.

2) Пусть L1 и L2 получаются друг из друга вторым движением Рейдемейстера 2, удалением вершин с номерами 1 и 2 (достаточно рассмотреть только этот случай). Имеем a 0b A(L1 ) = b 1 a, b {0, 1}.

a a A(L2 ) Предположим, что det A(L2 ) = 1, где матрица A(L2 ) совпадает с матрицей A(L2 ) с точностью до диагональных элементов, и a 1+b b A(L1 ) = b a, det A(L1 ) = 1.

1+b a a A(L2 ) Так как a 1 + b b a 1+b b det b 1 + b a = det 1 1 0 = a a C a aC 106 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ 1 + b b a = det 1 1 0 = det C, 0 0C ( ) ( ) a a 1+b b det = det + det A(L2 ), a A(L2 ) a A(L2 ) то d f f + = f +1.

A(L1 )1 d f A(L2 ) d d Из структуры матрицы A(L1 )1 следует, что две вершины (не принадлежащие графу G2 ) имеют одинаковое оснащение и одинаковые смежности, а из структуры матрицы A(L1 ) и из совпадения оснащений вершин следует, что эти две вершины имеют разные знаки. Это означает, что графы G1 и G2 связаны друг с другом последовательностью граф-преобразований g 2, g 4, g 4.

3) Предположим, что петлевые графы L1 и L2 получаются друг из друга третьим движением Рейдемейстера 3. Занумеруем все вершины V(Li ) = {v1,..., vn } таким образом, чтобы соответ i i ствующие вершины петлевых графов L1 и L2 при движении 3 имели один и тот же номер, и без 1 1 ограничения общности предположим, что вершины v1 и v3 являются петлевыми, вершина v2 не 1 смежна вершине v 1, вершина v 1 не смежна ни одной из вершин является петлевой, вершина v1 2 1 1 v1 и v2 в петлевом графе L1. Случай, когда вершина v3 не является петлевой, получается из предыдущего случая применением вторых и третьих движений Рейдемейстера.

Имеем 1 1 0 a 1 0 1 a 1 0 0 b 0 0 1 b A(L1 ) = A(L2 ) =, 1 1 1 c, 0 0 1 c abcD abcD a + b + c = 0.

Без ограничения общности (если нужно, то применим второе движение Рейдемейстера), мы можем считать, что c = 0. Используя доказательство леммы 4.2, построим матрицу 0 1 0 a 1 1 0 b A(L1 ) = 0 0 0 c abcD с det A(L1 ) = 1.

Так как 0 0 1 a 1 a 1 a 0 0 0 0 0 1 b 0 0 c 0 c 0 0 det = det = det A(L1 ) = 1, (7.1) = det 1 1 1 c 1 1 b 0 1c 1 abcD a c cD a c bD мы имеем 1 a 0 0 1 b A(L2 ) =.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.