авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |

«Современная математика. Фундаментальные направления. Том (). С. 1–157 УДК 515.16+519.17 ...»

-- [ Страница 5 ] --

1 1 c a b cD Пусть A(L1 )1 = (aij ), A(L2 )1 = (aij ), и пусть Gi = G(Li ), i = 1, 2, — два меченых графа, 1 имеющие матрицы смежности A(Li )1 + E. Покажем, что графы G1 и G2 получаются друг из друга последовательностью граф-преобразований g 2, g 3, g 4, g 4.

7. Граф-зацепления как в равенстве (7.1), мы имеем aij = aij для i, j Совершая элементарные преобразования, 3.

1 Далее, получаем 0 a 0 a 01 0 1 1 0 b 0 b 1 1 = det A(L1 ) = det = = det 0 0 0 0c 1 ab cD a b cD 1 0 a 1 0 b = det 1 0 b = det 0 0 c = a11, bcD bcD 1 0 b 1 0 b a12 = det 0 0 c = det 0 0 c = 1, acD bcD 1 1 b 0 1 b a13 = det 0 0 c = det 0 0 c = 1, abD cbD j 1 1 0 (b ) = det 0 0 0 (cj3 ) = 0, j 3 (a + b + c = 0), a1j abc Dj 0 1 0 (aj3 ) 0 1 0 (aj3 ) j3 j = det 0 0 0 (c ) = det 0 0 0 (c ), a2j abc Dj3 a0c Dj 0 1 0 (aj3 ) 0 1 0 (aj3 ) j3 j = det 1 1 0 (b ) = det 1 0 0 (b ).

a3j abc Dj3 a0c Dj Если либо a22 = 0, либо a33 = 0, то мы можем применить одни и те же вторые граф-преобразования 1 к меченым графам G1 и G2 и, после этого, применить еще четвертое граф-преобразование 4. g В результате мы получим, что соответствующие вершины имеют оснащение 0. Аналогично, если a32 = 1, мы можем применить одни и те же вторые граф-преобразования к меченым графам G1 и G2, а после этого применить еще четвертое граф-преобразование g 4. В результате мы получим, 1 что вершины v2 и v3 не смежны друг другу. Следовательно, без ограничения общности, мы можем 22 = a33 = 1, a32 = 0. Используя последние равенства, мы получаем считать, что a1 1 0 0 a 0 0 b a22 = det 0 0 c = det 0 0 c = acD bcD ( ) 0 b 1 0 0 c = det 0 + det 0 0 c 0c = 1 + det = 1, cD b cD bcD ( ) 1 a 1 0 c 0 0 1 b = 1 + det 1 b 1 1b a1 = det = det = 1, bD a bD cbD ( ) 1 a 1 1 b 0 c a23 = det 0 = det 0 0 c 0c = 1 + det = 0.

bD a bD cbD 108 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Найдем оставшиеся элементы матрицы A(L2 )1. Имеем 0 1 b 0 1 b 1 1 b a11 = det 1 1 c = det 1 0 a = det 1 0 a + bcD bcD bcD ( ) ( ) ( ) 1 1 b 0 a 0 c 0 1 c + det 0 b + det = det + det = cD cD cD bcD ( ) 1 1 b 1 b = det 0 0 c + det + 1 = 1, bD bcD 0 1 a 1 1 b a22 = det 1 1 c = det 1 1 c = 1, acD bcD 0 0 a 0 0 b a33 = det 0 0 b = det 0 0 c = 1, abD bcD ( ) 1 1 b 01b 11b 1 b a12 = det 1 1 c = det 0 1 c = det 0 0 c + det = 0, bD acD bcD bcD ( ) 0 0 b 00b 00b 1 1 c = det 0 1 c = det 0 0 c + det 0 b a2 = det = 0, cD abD cbD cbD 0 0 a 0 1 b a23 = det 1 1 c = det 0 1 c = 0, abD cbD j3 j 0 0 1 (b ) 0 0 1 (b ) a1j = det 1 1 1 (cj3 ) = det 1 1 0 (aj3 ) = abc Dj3 abc Dj ( ) j 1 0 1 (b ) 1 0 (aj3 ) j3 ) = a2j + a3j, = det 0 1 0 (a = det 1 b c Dj 0bc Dj 0 1 1 (aj3 ) 0 0 1 (aj3 ) j a2j = det 1 1 1 (c ) = det 1 0 0 (b ) = a3j, j 2 a b c Dj3 a0c Dj 0 0 1 (aj3 ) 0 0 1 (aj3 ) j a3j = det 0 0 1 (b ) = det 0 0 0 (c ) = a2j.

j 2 a b 0 Dj abc Dj Мы видим, что 0 1 1 1 0 0 f A(L1 )1 + E = 1 0 0 g, 0fgH 0 0 f + g 0 g A(L2 )1 + E =.

0 00 f f +g g f H 7. Граф-зацепления РИС. 82. Первый граф Буше дает нереализуемый граф-узел Легко видеть, что соответствующие вершины имеют структуру как в определении 7.6. Следо вательно, меченый граф G2 получается из меченого графа G1 применением последовательности граф-преобразований g 2, g 3, g 4, g 4.

Из теорем 7.4, 7.5 и из определений отображений и следует, что эти отображения взаимно обратны. Следовательно, мы доказали теорему 7.3.

Закончим этот раздел примером нереализуемого граф-узла.

Определение 7.16. Граф-зацепление (гомотопический класс петлевых графов) называется нереализуемым, если каждый его представитель не реализуем хордовой диаграммой.

Следствие 7.1. Граф-узел F не реализуем, если и только если гомотопический класс (F) не реализуем.

Пусть G — меченый граф, изображенный на рис. 82, каждая вершина которого имеет оснащение 1, а знак выбран произвольным образом.

Следствие 7.2. Граф-узел F, порожденный графом G, не реализуем.

Доказательство. Пусть L = (F). Легко видеть, что граф G, рассматриваемый как петлевой граф без петель, является представителем гомотопического класса L. Следовательно, петлевой граф L (см. теорему 7.10 и следствие 7.4) и граф-узел F не реализуемы.

7.2.4. Операции разведения и (дельта) Тураева. Определим операцию разведения для сво бодных граф-зацеплений. Как обычно, мы сначала переносим определение разведения для осна щенных 4-графов, см. п. 5.5.1, на реализуемые (простые) графы, а потом используем то же самое определение для всех графов.

Пусть G — произвольный свободный оснащенный (простой) граф, т.е. класс эквивалентности оснащенных графов по четвертым граф-преобразованиям. Все представители свободного оснащен ного графа имеют одинаковое количество вершин, и мы можем установить между множествами их вершин естественное соответствие. Поэтому имеет смысл говорить о вершине свободного осна щенного графа.

Пусть v — произвольная вершина из G. Рассмотрим два случая. В первом случае существует представитель H из G, для которого v имеет или оснащение 1, или степень большую, чем 0.

Нетрудно показать, что в этом случае вершина v удовлетворяет тем же самым условиям для лю бого представителя из G, и существуют два представителя H1 и H2 из G, которые отличаются друг от друга с помощью граф-преобразования g 4 или g 4 в вершине v. Под разведением свободного оснащенного графа G в вершине v мы будем подразумевать любой из двух свободных оснащен ных графов, имеющих представители H1 \ {v} и H2 \ {v} соответственно. В реализуемом случае это означает, что на оснащенном 4-графе существуют поворачивающие обходы, проходящие через рассматриваемую вершину двумя разными способами. Тогда разведение в вершине оснащенного 4-графа соответствует удалению хорды оснащенной хордовой диаграммы (вершины графа пересе чений), соответствующей вершине. Если разведение оснащенного 4-графа приводит к несвязному графу, то мы можем рассмотреть другой представитель того же самого граф-зацепления. Мы при ходим ко второму случаю: вершина v имеет оснащение 0 и является изолированной для какого-то, 110 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ РИС. 83. Одно из двух разведений в изолированной вершине а значит и для любого, представителя из G. Пусть H — произвольный представитель из G. Постро им новый граф H, который получается из H добавлением к нему новой вершины u с оснащением 0, смежной только с v, см. рис. 83 для реализуемого случая (пунктирная линия изображает пово рачивающий обход). В этом случае под разведением свободного оснащенного графа G в вершине v мы имеем в виду любой из двух свободных оснащенных графов, имеющих представители H \ {v} и H, соответственно.

Как правило, разведение свободного оснащенного графа в наборе вершин — это какой-то сво бодный оснащенный граф, полученный последовательным разведением вершин.

Замечание 7.10. Иногда при применении операции разведения могут возникнуть дополнитель ные вершины, которых не было в первоначальном графе. Мы эти новые вершины не разводим, т.е.

оставляем в новом графе.

Предложение 7.1. Предположим, что G, G — два свободных оснащенных графа, и граф G может быть получен из G как результат разведения в некоторых вершинах. Тогда, если граф G реализуем, то и граф G реализуем.

Доказательство. Если граф G реализуем, и граф G получен из графа G применением четвертого граф-преобразования и/или удалением вершины, то можно нарисовать соответствующий оснащен ный 4-граф и взять соответствующее разведение на нем, которое даст нам хордовую диаграмму для G. В втором случае, если граф G реализуем, то реализуемость графа G следует из леммы 7.1.

Построим операцию. Пусть i 1 — произвольное натуральное число. Определим множе ство Z2 Gi как линейное пространство над Z2, порожденное множеством Gi свободных оснащенных графов с i компонентами (т.е. для любого G Gi мы имеем corankZ2 (A(G) + E) = i 1) профак торизованное по следующим соотношениям:

1) второе граф-преобразование;

2) G = 0, если граф G имеет две вершины с оснащением 0, которые смежны только друг с другом.

Смысл соотношения из пункта 2) состоит в том, что мы обнуляем свободный оснащенный граф, если он имеет «незацепленную» с остальными компоненту (см. определение 7.14). Наличие двух вершин с оснащением 0, которые смежны только друг с другом, в реализуемом случае как раз и означает, что соответствующее свободное зацепление имеет незацепленную с остальными уникурсальную компоненту.

Для i = 1 мы определим Z2 G1 аналогично, только факторизовать будем по соотношению из пункта 1).

Определим отображение : Z2 G1 Z2 G2. Берем свободный оснащенный граф G с corankZ2 (A(G) + E) = 0 и строим элемент следующим образом. Для каждой вершины v графа G существуют два способа разведения. Один способ дает свободный оснащенный граф из Z2 G1, а другой — свободный оснащенный граф Gv из Z2 G2. Мы берем только Gv и полагаем Gv Z2 G2.

(G) = v Легко доказать следующую теорему.

Теорема 7.6. — корректно определенное отображение из Z2 G1 в Z2 G2.

Используя основной принцип из п. 7.2.3, мы можем определить, принадлежит ли вершина графа «одной компоненте» или «различным компонентам» свободного оснащенного графа. А именно, мы назовем вершину vi свободного оснащенного графа G ориентированной, если corankZ2 (A(G) + 7. Граф-зацепления E) corankZ2 (Bi (G)). Не трудно показать, что corankZ2 Bi (G) = corankZ2 B(G \{vi }), если вершина vi является ориентированной.

Используя понятие ориентированной вершины, мы можем определить отображение i (итерации отображения ), рассматривая разведения только в ориентированных вершинах и беря только те разведения, которые имеют больше компонент, чем мы имели на предыдущем шаге.

Следствие 7.3. i является корректно определенным отображением из Z2 G1 в Z2 Gi+1.

7.3. Четность, минимальность и нетривиальные примеры. В настоящем разделе мы рас смотрим четность для свободных граф-узлов и свободных граф-зацеплений в духе четности из раздела 5. Поскольку мы построили эквивалентность между множеством граф-узлов и множе ством гомотопических классов петлевых графов, достаточно рассмотреть случаи граф-зацеплений и гомотопических классов петлевых графов.

Рассмотрим категорию свободных гомотопических классов петлевых графов.

Определение 7.17. Для каждого петлевого графа мы назовем вершину v четной, если v смеж на с четным числом вершин, отличных от нее самой;

в противном случае вершина v называется нечетной.

Замечание 7.11. В реализуемом случае четность из определения 7.17 совпадает с гауссовой четностью, см. раздел 5.

Аксиомы четности для оснащенных 4-графов, описанные в п. 5.1, могут быть непосредственно обобщены на случай петлевых графов (и, следовательно, на случай граф-узлов). Мы это оставляем в качестве простого упражнения.

Рассматривая движения Рейдемейстера на петлевых графах, мы получаем следующую теорему.

Теорема 7.7. Четность, определенная выше на петлевых графах с помощью четных и нечетных вершин, удовлетворяет аксиомам четности.

Используя четность, мы можем определить отображение i нечет, где сумма берется по всем нечетным ориентированным вершинам, и i, где сумма берется по всем четным ориентирован чет ным вершинам. Мы должны определить понятие четной и нечетной вершины для свободных оснащенных графов со многими компонентами.

Мы назовем вершину v свободного оснащенного графа G с одной компонентой четной (со отв., нечетной), если вершина, соответствующая вершине v петлевого графа (G), четна (соотв., нечетна). Рассмотрим свободный оснащенный граф Gv1,...,vk1 с k компонентами, который получа ется из G разведением свободного оснащенного графа G последовательно в вершинах v1,..., vk1 ;

где v1 является ориентированной вершиной в G, и vi, i = 2,..., k 1, является ориентированной вершиной в Gv1,...,vi1. Назовем ориентированную вершину u графа Gv1,...,vk1 четной относитель но разведения в вершинах v1,..., vk1 (соотв., нечетной относительно разведения в вершинах v1,..., vk1 ), если количество ориентированных вершин в Gv1,...,vk1, которые смежны с u в графе (G), четно (соотв., нечетно).

Замечание 7.12. Мы определили понятие четности вершины только для тех свободных осна щенных графов со многими компонентами, которые получаются из свободных оснащенных гра фов с одной компонентой. Во-первых, этого достаточно для определения операции итерация iчет(нечет). Во-вторых, мы это сделали для того, чтобы не усложнять конструкцию, но это можно сделать и в общем случае.

нечет — это корректно определенное отображение из Z2 G1 в Z2 Gi+1.

Предложение 7.2. i Рассмотрим другую четность для граф-зацеплений с двумя компонентами.

Определение 7.18. Назовем вершину графа, представляющего двухкомпонентное граф зацепление, четной, если она ориентирована, и нечетной в противном случае.

Теорема 7.8. Четность из определения 7.18 удовлетворяет аксиомам четности.

Доказательство следует из определения четности.

112 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Имея построенные четности, мы можем определить скобки: [·] для граф-узлов и {·} для граф зацеплений, аналогично п. 5.5.6. Для графа G, представляющего свободный граф-узел (соотв., для графа H, представляющего свободное двухкомпонентное граф-зацепление), рассмотрим сле дующие суммы Gs Z2 G1 и {H} = Hs Z2 G2, [G] = s чет., нетрив.

s чет.,1 комп.

где сумма берется по всем разведениям в четных вершинах, и берутся только те слагаемые, для которых corankZ2 (A(Gs ) + E) = 0. Во второй формуле еще требуется, чтобы Hs не был эквивалентен никакому простому графу, имеющему две вершины с оснащением 0, которые смежны только друг другу. Таким образом, если граф G имеет k четных вершин, то [G] будет содержать не более 2k слагаемых, и, если все вершины графа G являются нечетными, то мы будем иметь только одно слагаемое, сам граф G. То же самое верно и для графа H и {H}.

Теорема 7.9. Если G и G представляют один и тот же свободный граф-узел, то справед ливо следующее равенство: [G] = [G ]. Если H и H представляют одно и то же двухкомпо нентное свободное граф-зацепление, то {H} = {H }.

Доказательство 7.9 дословно повторяет доказательство теоремы 5.9 согласно основному прин ципу или, быть может, небольшой его модификации Определение 7.19. Мы назовем меченый граф G (соотв., петлевой граф L) минимальным, если не существует представителя граф-зацепления, порожденного G (соотв., гомотопического класса петлевых графов, порожденного L), имеющего строго меньше вершин, чем имеет G (соотв., L).

Теорема 7.10 (ср. с теоремой 5.1). Пусть G (соотв., H) — простой меченый граф, представ ляющий свободный граф-узел (соотв., двухкомпонентное граф-зацепление), все вершины ко торого являются нечетными согласно определению 7.17 (соотв., определению 7.18), причем к G (соотв., H) нельзя применить второе уменьшающее граф-преобразование. Тогда граф G (соотв., H) минимален.

Используя эту теорему, мы получаем Следствие 7.4. Граф G, изображенный на рис. 32 слева, представляющий свободный граф узел, является минимальным;

в частности, соответствующий граф-узел не тривиален и не реализуем.

Первое утверждение следствия тривиально: мы просто проверяем условия теоремы и получа ем, что граф G минимален;

для доказательства второго утверждения мы должны обратиться к доказательству теоремы 7.9, где мы видим, что любой представитель G граф-узла F имеет граф G в качестве своего разведения, т.е. граф G лежит внутри каждого представителя G данно го граф-узла, и, если граф G не реализуем, то и все графы G согласно предложению 7.1 не реализуемы. Аналогично можно увидеть, что двухкомпонентное свободное граф-зацепление H с представителем H (оснащение каждой вершины равно 0), показанным на рис. 84, не реализуемо, т.к. {H} = H. Заметим, что граф H на рис. 84 эквивалентен графу Буше, изображенному справа на этом рисунке, с помощью граф-преобразования 4 ;

следовательно, они представляют одно и то же двухкомпонентное свободное граф-зацепление.

Рассмотрим еще один пример.

Предложение 7.3. Петлевой граф K, изображенный на рис. 76, минимален и не реализуем.

Доказательство состоит из следующих шагов. Сначала заметим, что (K) состоит из семи слагаемых L + i Li, где только одно слагаемое (соответствующее вершине x) имеет все нечетные вершины и представляет собой двухкомпонент ное свободное граф-зацепление;

для каждого из оставшихся слагаем Li существует по крайней мере одна четная вершина.

Далее, двухкомпонентное свободное граф-зацепление, порожденное графом L, имеет представи тель, изображенный на рис. 84;

все вершины имеют оснащение 0. Для доказательства последнего факта нужно последовательно совершить следующие операции над K: сначала мы разводим граф 7. Граф-зацепления = РИС. 84. Двухкомпонентное свободное граф-зацепление x Уа x 6 3 = ( а,..

а а ) 6 1 М а2 2 3 3 ( ( а 1, 2 а а, а а, а а а а ) а а ) М а5 = Л а 4( а ( а а, а а ) 4) 2 = ( а а ;

а а а 0) РИС. 85. Двухкомпонентное свободное граф-зацепление K в вершине x (это может быть сделано только после смены обхода с помощью некоторой верши ны отличной от x, т.к. первоначально мы имели гауссов обход, а он не может задавать зацепление);

после этого мы должны сменить обход во всех других вершинах, чтобы получить поворачиваю щий. Все шаги показаны на рис. 85 (можно было воспользоваться отображением из теоремы 7.3 и сразу получить конечный граф, но мы решили проделать все преобразования для наглядности).

Рассмотрим скобку {(K)} = L + i {Li }. Заметим, что все граф-зацепления, порожденные слагаемыми {Li }, имеют представитель с количеством вершин строго меньше шести, так как каждый граф Li имеет по крайней мере одну четную вершину;

с другой стороны, граф-зацепление, порожденное L, не имеет представитель, количество вершин которого меньше шести;

итак, этот элемент L не уничтожается в сумме. Так как граф L не реализуемый, то свободный оснащенный узел K тоже не реализуем.

7.4. Обобщение скобки Кауфмана и другие инварианты. Теоремы минимальности. Мы уже имели дело с теоремой минимальности для граф-зацеплений, см. теорему 7.10. В данном 114 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ разделе мы рассмотрим теоремы минимальности для граф-зацеплений, основанные на обобще нии скобки Кауфмана для граф-зацеплений. Обобщим скобку Кауфмана и некоторые понятия на случай граф-зацеплений.

Пусть s V(G) — произвольное подмножество множества вершин V(G) меченого графа G.

Обозначим через G(s) подграф графа G с множеством вершин V(G(s)) = s и множеством ребер E(G(s)) таким, что {u, v} E(G(s)), где u, v s, если и только если {u, v} E(G).

Определение 7.20. Мы назовем подмножество из V(G) состоянием для графа G. A-состояние — это состояние, состоящее только из вершин графа G с метками (a, ), a {0, 1} (нет вершин с метками (b, +), b {0, 1}). Аналогично, B-состояние — это состояние, состоящее только из вершин графа G с метками (b, +) (нет вершин с метками (a, )).

Противоположное состояние для состояния s — это множество вершин, являющееся допол нительным до множества s в множестве всех вершин графа (противоположное состояние к A состоянию — это B-состояние). Два состояния называются соседними, если они различаются только в одной вершине, которая принадлежит одному из этих состояний и не принадлежит другому. Расстояние между двумя состояниями — это число вершин, в которых эти состояния различаются. Мы определим число окружностей в состоянии s как число corankZ2 A(G(s)) + 1.

Скобка Кауфмана меченого графа G — это полином (Лорана) a(s)(s) (a2 a2 )corankZ2 A(G(s)), G(a) = s где сумма берется по всем состояниям s графа G, (s) равно количеству вершин с метками (a, ) из s и вершин с метками (b, +) из V(G) \ s, (s) = |V(G)| (s).

Теорема 7.11. Скобка Кауфмана меченого графа инвариантна при g 2 g 4 граф преобразованиях и умножается на (a±3 ) при g 1 граф-преобразовании.

Определение 7.21. Определим полином Джонса для меченого графа G, для которого corankZ2 (A(G) + E) = 0, как XG (a) = (a)3w(G) G(a).

Замечание 7.13. Полином Джонса можно определить для произвольного граф-зацепления, но для этого сначала надо определить понятие «ориентированного» граф-зацепления. Для простоты изложения мы не будем этого делать в этой монографии.

Теорема 7.12. Полином Джонса является инвариантом граф-узлов.

Основные результаты, касающиеся теорем минимальности в классическом случае, следуют из хорошо известной теоремы Кауфмана-Мурасуги -Тистлтуэйта.

Теорема 7.13 ([176, 200]). Длина полинома Джонса-Кауфмана для зацеплений со связной тенью и n классическими перекрестками меньше или равна 4n. Равенство достигается толь ко для альтернированных диаграмм без точек распадения или для связных сумм таких диа грамм.

Напомним, что точкой распадения связной виртуальной диаграммы называется такой ее пере кресток v, что при удалении соответствующей вершины v из остова соответствующего атома этот остов распадется на более чем одну связную компоненту.

В [131] теорема 7.13 была обобщена на случай виртуальных диаграмм. Оценка spanK 4n может быть усилена spanK 4n 4g, где g — род соответствующего атома.

Используя теорию атомов, нетрудно видеть, что альтернированные диаграммы зацепления — это те диаграммы, которые имеют нулевой род атома (более точно, диаграмма имеет нулевой род, если она связная сумма нескольких альтернированных диаграмм).

Для виртуальных диаграмм мы имеем понятие квазиальтернированной диаграммы [131]. Это диаграмма виртуального зацепления, получающаяся из альтернированной диаграммы классическо го зацепления виртуализацией некоторых перекрестков и применением движения объезда.

Определение 7.22. Редуцированной диаграммой называется связная диаграмма виртуального зацепления, не имеющая точек распадения.

Обобщим понятия, введенные выше, на случай граф-зацеплений.

7. Граф-зацепления Определение 7.23. Назовем меченый граф G, имеющий n вершин, альтернированным, если k + l = n + 2, где k — это число окружностей в A-состоянии s1, т.е. k = corankZ2 A(G(s1 )) + 1, а l — это число окружностей в B-состоянии s2 графа G, т.е. l = corankZ2 A(G(s2 )) + 1.

Назовем меченый граф G адекватным, если число k окружностей в A-состоянии локально минимально, т.е. не существует соседнего состояния для A-состояния с k + 1 окружностью, и то же самое верно для числа окружностей в B-состоянии.

Замечание 7.14. Определение адекватного графа обобщает (см., напр., [201]) классическое определение адекватной диаграммы: никакая окружность в A-состоянии и никакая окружность в B-состоянии не распадается на две окружности после одного разведения.

Из определения альтернированного графа сразу следует следующее Утверждение 7.2. Оснащение каждой вершины альтернированного графа равно нулю.

Определение 7.24. Меченый граф называется нераспадающимся, если он не имеет изолиро ванных вершин.

Определение 7.25. Для меченого графа G определим род атома как 1 (k + l n)/2, где k и l равны количествам окружностей в A-состоянии s1 и B-состоянии s2 графа G соответственно, т.е. k = corankZ2 A(G(s1 )) + 1 и l = corankZ2 A(G(s2 )) + 1.

Отметим, что это число согласуется с родом атома в обычном случае: мы используем равенство = 2 2g, где — это эйлерова характеристика, и подсчитываем, используя число вершин n, число ребер 2n и количество 2-ячеек (окружности A-состояния и окружности B-состояния).

Утверждение 7.3. Меченый граф является альтернированным, если и только если род его атома равен 0.

Лемма 7.6. Для любого меченого графа G, имеющего n вершин, мы имеем 4n 4g(G), spanG где g(G) — род соответствующего атома.

Доказательство. Действительно, утверждение этой леммы следует из определений скобки Кауф мана и рода атома. Обозначим число окружностей в A-состоянии графа G через k, и обозначим число окружностей в B-состоянии графа G через l.

Легко видеть, что никакое состояние не может содержать монома, имеющего степень выше, чем старшая степень монома в A-состоянии, и никакое состояние не может содержать монома степени ниже, чем младшая степень монома в B-состоянии.

В максимальном состоянии рассмотрим старший моном степени n + 2(k 1), а в минимальном — младший моном степени n 2(l 1).

Очевидно, что длина скобки Кауфмана L не превосходит 2n + 2(k + l 2).

Учитывая, что g(G) = 1 (k + l n)/2, получаем требуемое.

Лемма 7.7. Для адекватного меченого графа G, имеющего n вершин, мы имеем spanG = 4n 4g(G), где g(G) — род соответствующего атома.

Доказательство. Действительно, достаточно проверить, что старший моном, происходящий из A-состояния графа G, не сокращается с мономом, происходящим из другого состояния (те же самые рассуждения могут быть применены к младшему моному, происходящему из B-состояния).

Рассмотрим моном a(s)(s) (a2 )corankZ2 A(G(s)) для состояния s. Для A-состояния мы имеем = n, = 0, corankZ2 A(G(s)) = k 1. Если мы рассмотрим соседнее к A-состоянию состояние s, то уменьшится на 1, увеличится на 1 и, следовательно, степень монома a уменьшится на два. Мы можем компенсировать это уменьшение только увеличением числа corankZ2 A(G(s)) на 1. Это может произойти только в случае, когда существует соседнее к A-состоянию состояние s с corankZ2 A(G(s)) = k. Существование такого состояния противоречит адекватности диаграммы.

Мономы, соответствующие другим состояниям, имеют степень не больше степени монома, со ответствующего состоянию s. Отсюда получаем утверждение леммы.

116 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ + 7 + 1 + РИС. 86. Граф Буше BW Лемма 7.8. Альтернированный меченый граф G является адекватным, если и только если он является нераспадающимся.

Доказательство. Импликация очевидна.

Предположим теперь, что граф G является альтернированным, нераспадающимся, но не являет ся адекватным. Обозначим число окружностей в A-состоянии через k и в B-состоянии через l. Без ограничения общности, мы можем считать, что существует состояние s, для которого (s) = n 1, (s) = 1 и corankZ2 A(G(s)) = k. Рассмотрим состояние s, противоположное состоянию s. Оче видно, что число окружностей в состоянии s равно l 1 (суммарное число не может превосходить k + l). Обозначим вершину графа G, в которой A-состояние отличается от состояния s, через v.

Таким образом, меченый граф G, полученный из меченого графа G сменой знака вершины v, имеет также нулевой род.

Поскольку граф G является альтернированным, все состояния, имеющие одну окружность, на ходятся на одном и том же расстоянии от A-состояния. С другой стороны, все эти же состояния находятся на одном и том же расстоянии от состояния s. Это означает, что либо все состояния с одной окружностью содержат вершину v, либо все они не содержат вершину v.

Предположим, что все эти состояния содержат вершину v. Покажем, что вершина v является изолированной. Действительно, если бы существовала вершина w, которая смежна вершине v, то, начиная со состояния с одной окружностью, содержащем вершину v, и меняя его в вершинах v и w, мы бы получили другое состояние с одной окружностью, которое не содержит вершины v. Это завершает доказательство.

Леммы 7.6, 7.7, 7.8 дают следующую теорему.

Теорема 7.14. Альтернированный нераспадающейся меченый граф является минимальным.

Доказательство. Пусть G — альтернированный нераспадающейся меченый граф, имеющий n вершин. Предположим противное, что существует граф G, имеющий n вершин и n n. Мы имеем 4n = spanG = spanG 4n 4g(G ), где g(G ) — род атома графа G. Получаем противоречие.

Пример 7.2. Рассмотрим граф BW3, изображенный на рис. 86, состоящий из семи вершин:

i-ая вершина смежна с j-ой, если и только если i j ±1 (mod 6), i, j = 1,..., 6, и 7-ая смежна с 2, 4, 6. Пометим все четные вершины (0, +), а нечетные — (0, ). Граф BW3 является альтернированным. По теореме 7.14, граф BW3 минимален. Мы не знаем, реализуемо или нет граф-зацепление, порожденное BW3. Мы предполагаем, что не реализуемо. По крайней мере мы знаем, что это граф-зацепление не имеет представителя, имеющего меньше семи вершин.

8. ГОМОЛОГИИ ХОВАНОВА ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ УЗЛОВ, ВИРТУАЛЬНЫХ УЗЛОВ И ГРАФ-ЗАЦЕПЛЕНИЙ Построение М. Г. Ховановым [109] нового инварианта узлов стало одним из наиболее значи тельных продвижений в теории узлов на рубеже XX и XXI веков. Между гомологиями Хованова и полиномом Джонса имеется связь, аналогичная связи между гомологиями многообразия и его эйлеровой характеристикой. В этом смысле гомологии Хованова являются усилением полинома 8. Гомологии Хованова РИС. 87. Диаграмма левого трилистника с ориентированными перекрестками L L0 L РИС. 88. Правило разведения ориентированного перекрестка Джонса и представляют собой мощный инвариант узлов и зацеплений: как показали недавно Кронхаймер и Мрувка [118], гомологии Хованова распознают тривиальный узел.

Конструкцию Хованова можно также рассматривать как функтор между категорией оснащенных кобордизмов одномерных многообразий и категорией цепных комплексов. Такая интерпретация расширяет связь между топологической квантовой теорией поля и теорией узлов и открывает дорогу возможным многомерным обобщениям инварианта Хованова.

Переход от полиномиального инварианта узла к гомологическому (так называемая категори фикация) был осуществлен и для других полиномов, помимо Джонса. Так, были определены гомологии Хованова-Розанского [113, 114, 115], категорифицирующие полином HOMFLY, и го мологии Хегора-Флоера [184, 186] — категорификация полинома Александера.

Первые обобщения гомологий Хованова на случай виртуальных узлов были произведены в [131, 136, 141], причем в нескольких вариантах. Были определены гомологии с коэффициен тами в Z2 для всех виртуальных узлов, а также целочисленные гомологии для виртуальных узлов, которым соответствуют ориентируемые атомы, и были предложены способы сведения произволь ных виртуальных узлов к ориентированным. Определение целочисленных гомологий Хованова для всех виртуальных зацеплений (атомы которых не обязательно ориентируемы) было дано в рабо тах [159, 145].

Ожват, Расмуссен и Сабо в работе [183], модифицировав комплекс Хованова, получили новый инвариант зацеплений, который они назвали нечетными гомологиями Хованова. Нечетные гомоло гии Хованова, как и обычные (четные) гомологии, категорифицируют полином Джонса. Нечетная и четная теории совпадают, если в качестве основного поля взять Z2.

Напомним кратко определение нечетных гомологий Хованова. Пусть имеется диаграмма клас сического зацепления. На каждом перекрестке диаграммы произвольным образом вводится ориен тация (добавляются стрелки), как показано на рисунке 87.

В соответствии с ориентированным правилом разведения (рис. 88), каждое состояние диаграм мы (т.е. один из возможных способов разведения всех перекрестков) представляет собой набор окружностей и стрелок между ними.

Состояния диаграммы можно рассматривать как вершины дискретного куба {0, 1}n, где 0 соот ветствует положительному разведению перекрестка, а 1 — отрицательному. Мы можем ориентиро вать одномерные ребра куба в направлении от состояния со всеми положительными разведениями к состоянию со всеми отрицательными разведениями. В случае трилистника куб состояний вы глядит, как показано на рисунке 89. Сопоставим каждой вершине куба состояний s внешнюю алгебру V (s), где V (s) — свобод ный Z-модуль, порожденный окружностями состояния s. Прямая сумма внешних алгебр по всем состояниям образует пространство цепей нечетных гомологий Хованова. Дифференциал комплекса Хованова представляет собой сумму частичных дифференциалов, каждый из которых действует вдоль некоторого ребра куба.

118 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ РИС. 89. Куб ориентированных состояний для диаграммы трилистника c a b S S’ РИС. s Вид частичного дифференциала s, который действует вдоль ребра, направленного от состояния s к состоянию s, определяется тем, как изменяются окружности состояния при изменении разве дения. Если при переходе от s к s две окружности сливаются в одну, дифференциал определяется по формуле s (u) = u, u s V (s), где, допуская вольность в обозначениях, мы предполагаем, что элемент u представлен в виде некоторого полинома от образующих, а его образ — в виде того же полинома от образующих (т.е.

окружностей) пространства V (s ), в которые переходят образующие (окружности) состояния s.

Если же при переходе по ребру одна окружность c распадается в две a и b (см. рис. 90), то дифференциал задается формулой s (u) = (b a) u, u s V (s).

В формуле окружности a и b рассматриваются как образующие модуля V (s) V (s). Более подробно, если элемент u имеет вид u = u1 + c u2, где полиномы u1, u2 не содержат образующей c, то s (u) = (b a) u1 + b a u2.

s Общий дифференциал комплекса определяется как сумма частичных:

s = (e)s.

e=ss Здесь — это некоторая расстановка знаков, то есть отображение, сопоставляющее каждому ребру число 1 или 1. Использование расстановки знаков необходимо для получения тождества 2 = 0. Заметим, что другим необходимым условием для получения тождества является ком мутативность либо антикоммутативность частичных дифференциалов (т.е. (анти)коммутативность двумерных граней куба состояний), что в данном случае непосредственно проверяется.

Нечетные гомологии Хованова определяются как гомологии комплекса s V (s) с дифферен циалом. Оказывается, что они не зависят от выбора расстановки знаков и выбора ориентации перекрестков диаграммы.

Дж. Блум в работе [20] предложил другую конструкцию комплекса, вычисляющего (приве денные) нечетные гомологии Хованова. Он показал, что в качестве образующих модулей V (s) (более точно, приведенного варианта данных модулей), лежащих в основе определения цепей комплекса, можно брать перекрестки диаграммы зацепления, и что соотношения между новыми 8. Гомологии Хованова образующими однозначно определяются ориентированной матрицей смежности графа пересечений диаграммы. Поскольку граф пересечений не меняется при мутациях, нечетные гомологии Хова нова оказываются инвариантными относительно мутаций [20], и также можно ожидать, что их удастся перенести на граф-зацепления. На самом деле, конструкция Блума в случае характери стики 2 дословно переносится на уровень граф-зацеплений. Этот инвариант можно рассматривать как определение обычных гомологий Хованова граф-зацеплений, так как для зацеплений теории нечетных и обычных гомологий Хованова совпадают по модулю 2. С другой стороны, как показал С. Верли [225], целочисленные гомологии Хованова не сохраняются при мутациях, что исключает возможность прямого определения соответствующего инварианта для граф-зацеплений. Поскольку вопрос об инвариантности гомологий Хованова относительно мутаций узлов остается открытым, существование конструкции гомологий для граф-узлов представляет предмет для дальнейших ис следований.

8.1. Гомологии Хованова граф-зацеплений с коэффициентами в Z2. Пусть G — (простой) меченый граф с n вершинами, и A = A(G) = (aij ) – его матрица смежности. Далее мы фор мулируем Z2 -версию конструкции Блума нечетных гомологий Хованова. Причина использования коэффициентов Z2 заключается в том, что цепной комплекс в конструкции Блума определяется по элементам матрицы смежности A, которые лежат в Z2.

Рассмотрим подмножество s множества вершин V = V(G) графа G. Напомним, что мы назы ваем подмножества множества вершин V состояниями (по аналогии с разведениями диаграммы зацепления при построении скобки Кауфмана или обычного комплекса Хованова). Пусть G(s) — подграф в G, порожденный множеством вершин s, и обозначим A(s) = A(G(s)). Рассмотрим векторное пространство V (s) = Z2 x1,..., xn | r1,..., rn s s s s с образующими x1,..., xn и соотношениями r1,..., rn, где соотношения заданы формулой aij xj, если vi s, xi + {j | vj s} s ri = если vi s.

aij xj, {j | vj s} Размерность пространства V (s) равна числу corank Z2 A(s).

Между состояниями и вершинами n-мерного куба {0, 1}n имеется естественная биекция, учи тывающая метки графа: состоянию s отвечает вектор (1,..., n ), где полагаем i = 0, если vi s и sgnvi = 1 (т.е. знак вершины положителен), либо vi s и sgnvi = 1 (т.е. знак вершины отрица телен). В противном случае считаем, что i = 1. Любое ребро куба тогда связывает состояния s и s i, где состояние s i равно s {vi }, если vi s, и равно s \ {vi }, если vi s. Будем обозначать такое ребро как s s i. Направление ребра определяется так, чтобы выполнялось vi s, если sgn(vi ) = 1, и vi s, если sgn(vi ) = 1. Каждому ребру s s i мы сопоставляем линейное отображение si : V (s) V (s i) s внешних алгебр, заданное формулой { xi u если xi = 0 V (s), s si (u) = если xi = 0 V (s).

u Рассмотрим градуированное векторное пространство C(G) = V (s) sV и отображение на нем s (u) = s (u).

{s,s V | ss } Утверждение 8.1. Отображение корректно определено и задает на C(G) структуру цеп ного комплекса.

s Доказательство. Необходимо показать, что отображения si определены корректно (т.е. перево s дят соотношения ri в соотношения) и что каждая двумерная грань куба состояний коммутативна (тогда будет выполняться тождество 2 = 0).

120 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Нам потребуются следующие две технические леммы.

Лемма 8.1. Рассмотрим состояние s и индекс i такой, что vi s. Без ограничения общно сти можно считать, что ( ) Aa A(s i) =, a где A = A(s). В этом случае имеем ( ) A 1. xi = 0 V (s) тогда и только тогда, когда rank Z2 A = rank Z2 ;

)a ( ( ) A Aa 2. xi = 0 V (s i) тогда и только тогда, когда rank Z2.

+ 1 = rank Z a a aij xj следует равенство xi = 0 V (s), которое озна Доказательство. Из условия xi = {j | vj s} чает, что вектор a линейно зависит от строк матрицы смежности A. Таким образом, первое утверждение леммы истинно.

Из равенства xi = 0 V (s i) следует, что вектор (0 1) линейно выражается через строки ( ) Aa Aa = rank Z2 a. Но матрицы A(s i). Тогда rank Z a 0 ( ) Aa A A a = rank Z2 a 0 = rank Z rank Z2 + 1.

a 0 1 0 ( ) Aa Лемма 8.2. Если rank Z2 = rank Z2 A + 1 для симметрической матрицы A, то a ) ( A справедливо равенство rank Z2 = rank Z2 A.

a ( ) ( ) A Aa = rank Z2 A. Тогда rank Z Доказательство. Предположим, что rank Z2 = a ( a) ( ) ( ) A A a, и вектор линейно зависит от столбцов матрицы rank Z2. Следо rank Z a a вательно, вектор a зависит от столбцов матрицы A и (после применения транспозиции) вектор ( ) A линейно зависит от строк матрицы A. Тогда rank A = rank, что противоречит a Z2 Z a начальному предположению.

Утверждение 8.2. Для любого s и любого индекса i справедливы утверждения 1. dim V (s i) = dim V (s) + 1 тогда и только тогда, когда xi = 0 V (s) и xi = 0 V (s i);

2. dim V (s i) = dim V (s) 1 тогда и только тогда, когда xi = 0 V (s) и xi = 0 V (s i);

3. dim V (s i) = dim V (s) тогда и только тогда, когда xi = 0 V (s) и xi = 0 V (s i).

Случай xi = 0 V (s) и xi = 0 V (s i) не реализуется.

В переводе на геометрический язык, условие xi = 0 V (s) эквивалентно тому, что при изме нении у состояния s типа сглаживания в i-м перекрестке проходящая через данный перекресток окружность разбивается в две.

Доказательство. Предложение следует из лемм 8.1, 8.2 и равенств dim V (s) = corank Z2 A(s), dim V (s i) = corank Z2 A(s i).

Например, пусть xi = 0 V (s) и xi = 0 V (s i). Без ограничения можно считать,( ) A что vi V (s). Тогда, используя обозначения леммы 8.1, мы имеем rank Z2 A = rank Z a ( ) ( ) ( ) A Aa A + 1 = rank Z и rank Z2. Следовательно, rank Z2 = rank Z2 A + a a a 8. Гомологии Хованова xi / 2 / /2 1 1 1 O O O O O O xj xj xj xj 1 /1 / / 0 xi Тип 1 Тип Тип xi / / 1 O O O O xj xj / /1 0 xi Тип 4 Тип РИС. 91. Типы четных двумерных граней в кубе состояний ( ) ( ) ( ) A Aa Aa 1 и rank Z2. Но тогда rank Z2 = rank Z2 A + 1 и = rank Z a a a ( ) A = rank Z2 A по лемме 8.2. Противоречие.

rank Z a Мы будем называть первые два случая утверждения четными, а третий случай — нечетным.

s Из определения дифференциала следует, что в нечетном случае si = 0.

На языке диаграмм зацеплений и их разведений, четный случай соответствует перестройке диа граммы в перекрестке, при которой две окружности переходят в одну или наоборот, а нечетный случай (который возникает только у диаграмм виртуальных зацеплений, атом которых неориенти руем) — перестройке одной окружности в одну.

8.1.1. Корректность частичных дифференциалов. Рассмотрим отображение si : V (s) s V (s i). Нужно проверить, что соотношения переводятся в соотношения, т.е. что для любого элемента u и любого индекса j найдутся элементы uk V (s i) такие, что si (rj u) = rk uk V (s i).

si s s k Для любого индекса j мы имеем rj = rj + xi при некотором Z2. Если xi = 0 V (s i), si s то si (rj u) = rj u = rj u + xi u = rj u si si s s s в пространстве V (s i), где u = u или u = 0. Если xi = 0 V (s i), тогда xi = 0 V (s), si (rj u) = xi rj u = xi rj u + xi xi u = rj (xi u).

si si s s s s В любом случае отображение si определено корректно.

8.1.2. Коммутативность двумерных граней. Покажем, что частичные дифференциалы комму тируют между собой, то есть что любая двумерная грань в кубе состояний коммутативна.

Любая двумерная грань куба состояний имеет вид sij sj / V (s j) V (s i j) (8.1) O O s si sj sij / V (s i).

V (s) s si Относительно изменения размерности пространств V (s ), s = s, s i, s j, s i j диаграммы без нечетных ребер можно разбить на пять типов (см. рис. 91).

122 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Здесь число в вершине квадрата, соответствующей состоянию s, равно разности dim V (s ) dim V (s) = corank Z2 A(s )corank Z2 A(s), а метка z = 1, xi, xj на ребре, отвечающем отображению s s s, означает, что s (u) = z u.

Двумерные грани типов 1, 2, 3 очевидно коммутативны. Любая грань типа 4 является ком мутативной, поскольку xi = xj = 0 V (s i j). Для грани типа 5 нужно показать, что xi = xj V (s i j). С точностью до перенумерации переменных есть три возможных случая.

1. sgn(vi ) = sgn(vj ) = 1. Тогда vi, vj s i j. Без ограничения общности, можно считать, что vi и vj — это последние вершины состояния s i j. Матрицу смежности A(s i j) можно записать в виде Aab a, (8.2) b где A = A(s).

Так как corank Z2 A(s i) = corank Z2 A(s) 1, то xi = 0 V (s i). Тогда строки матрицы ( ) Aa порождают вектор (0 1). Следовательно, строки матрицы A(s i j) A(s i) = a порождают вектор (0 1 ), Z2. Если = 0, то xi = 0 V (s i j), что невозможно. Тогда = 1, и мы получаем соотношение xi + xj = 0 в пространстве V (s i j).

2. sgn(vi ) = 1, sgn(vj ) = 1. Тогда vi s i j и vj s i j. Мы можем считать, что матрица смежности A(s i) имеет вид (8.2), где A = A(s j).

Имеет место равенство xi = 0 A(s i). Из него вытекает, что вектор (0 1 0) является линейной комбинацией строк матрицы смежности A(s i). Если коэффициент в данной линейной ( ) Aa ) равен нулю, то строки матрицы A(s i j) = комбинации при строке (b a порождают вектор (0 1). Таким образом, xi = 0 V (s i j), что приводит к противоречию. По этой причине коэффициент при (b ) равен 1. Тогда вектор (b + 1) порождается строками матрицы A(s i j), что означает xi + xj = 0 V (s i j).

3. sgn(vi ) = sgn(vj ) = 1. Тогда матрица A(s) имеет вид (8.2), где A = A(s i j). Равенство xi + xj = 0 V (s i ( отвечает вектору-соотношению ) + b. Поскольку rank Z2 A(s) = j) a ) ( Aa Aab rank Z2 A(s j) = rank Z2, последняя строка матрицы A(s) = rank Z a a выражается через остальные строки. Если коэффициент при строке (a ) в соответствующей ( ) линейной комбинации равен нулю, то вектор (b ) зависит от строк матрицы A a b, а вектор b — от строк матрицы A. Следовательно, xj = 0 V (s i j), что неверно. Таким образом, коэффициент при (a ) нулю не равен, так что вектор a + b порождается строками матрицы A, что означает xi + xj = 0 V (s i j).

Так как отображения, отвечающие нечетным ребрам куба состояний, являются нулевыми, нуж но проверить коммутативность только двух типов двумерных граней, содержащих нечетные ребра:

xi / / 1 O O O O xj 1.

/0 / Тип Тип Диаграмма типа 6 коммутативна, так как dim V (s i) = dim V (s i j), так что xj = V (s i j).

Для установления коммутативности диаграммы типа 7 необходимо доказать, что xi = V (s i j). Предположим, что это на так.

Пусть sgn(vi ) = sgn(vj ) 1. Тогда матрица смежности имеет вид (8.2). Так как xj = = ( ) Aa Aa a = rank Z2. Тогда вектор b линейно зависит от V (s i), мы имеем rank Z a b 8. Гомологии Хованова ( ) ( ) A A = rank Z2 A, значит b зависит от строк матрицы A.

строк матрицы. Но rank Z a a ( ) A С другой стороны, выполняется равенство xj = 0 V (s), откуда rank Z2 = rank Z2 A. Мы b получили противоречие.

Случаи, когда вершины имеют другие знаки, рассматриваются аналогично.

Таким образом, утверждение 8.1 доказано.

Определение 8.1. Гомологии Kh(G) комплекса (C(G), ) назовем приведенными (нечетными) гомологиями Хованова меченого графа G.

Основной результат настоящего раздела состоит в том, что гомологии Хованова являются кор ректно определенным инвариантом граф-зацеплений.

Теорема 8.1. Гомологии Хованова Kh(G) инвариантны относительно движений g 1 g 4.

Доказательство. Пусть G есть произвольный меченый граф, и G — граф, получающийся из G при помощи одного из движений Рейдемейстера g 1 g 4.

Инвариантность относительно g 1.

Пусть G получается из графа G добавлением изолированной вершины v. Комплекс C(G) изо морфен произведению комплексов C(G) C(v), где комплекс C(v) равен x / Z2 Z2 x, если sgn(v) = 1, и равен / Z2, x= Z2 x если sgn(v) = 1. В любом случае, H (C(v)) = Z2 · 1, где 1 H0 (C(v)) при sgn(v) = 1, и H1 (C(v)) при sgn(v) = 1. Таким образом, мы получаем Kh(G) = Kh(G) Kh(v) Kh(G).

= Инвариантность относительно g 2.

Предположим, что граф G получается добавлением вершин v и w, причем sgn(v) = 1, sgn(w) = 1. Без ограничения общности, можно считать, что матрица смежности A(G) записывается в одной из двух следующих форм 0 0 a 1 1 a 0 0 a 1 1 a.

или a a A(G) a a A(G) В обоих случаях, для любой вершины s V(G) выполняются равенства corank Z2 A(G(s)) = corank Z2 A(G(s)), corank Z2 A(G(s {v})) = corank Z2 A(G(s {w})) = corank Z2 A(G(s {v, w})) 1.

Эти соотношения определяют вид верхнего и левого отображений в комплексе C(G), записанном в форме / Cw (8.3) Cvw O O x2 / C.

Cv Здесь пространство Cv содержит цепи, состояние которых включает вершину v, но не включает вершину w;

пространства цепей C (не содержащих v и w), Cw (содержащих w, но не v), Cvw (включающих как v, так и w) определяются аналогично.

Для каждого состояния s из Cvw определим линейную функцию f : V (s) Z2 при помощи формулы f ( i xi ) = 1 +2. Функция f корректно определена, так как она обращается в нуль на i любом соотношении: f (ri ) = ai1 + ai2 = 0, так как ai1 = ai2. Тогда V (s) = ker f x2 V (s) s 124 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ и Cvw = X x2 Cvw. Подкомплекс X Cw стягиваемый. Следовательно, гомологии комплекса C(G) равны гомологиям факторкомплекса (8.4) x2 Cvw O x / C.

Cv Данный факторкомплекс после факторизации по подкомплексу C также является стягиваемым.

Таким образом, комплекс C(G) имеет те же гомологии, что и комплекс C = C(G).

Инвариантность относительно g 3.

Без ограничения общности можно считать, что вершины u, v, w, участвующие в третьем дви жении Рейдемейстера, имеют номера 1, 2, 3 в V(G) = V(G). Матрицы смежности графов G и G имеют вид 0 1 1 0 0 0 (a + b) 1 0 0 a 0 a A(G) =.

1 0 0 b, A(G) = 0 00 b 0abB a+b a b B Обозначим V (s) = V (G(s)). Тогда для любого состояния s V(G)\{u, v, w} имеем V (s) V (s), = V (s v), V (s w) V (s w), V (s v w) V (s u v) V (s u w), V (s v) = = = = V (s u v w) = V (s u), V (s u v) = V (s u w) = V (s), причем соответствующие изоморфизмы внешних алгебр перестановочны с дифференциалом.

Запишем комплексы C(G) и C(G) в форме куба:

/ Cuvw / Cu (8.5) Cuw Cuv ?O ?O ? O ? O   1     / Cuv 1/ CO u Cuvw Cuw O O O / Cvw / C.

Cw Cv x1 x ?

? ? ?        / Cv / Cw C Cvw Для каждого состояния s из Cu рассмотрим линейную функцию f : V (s) Z2, заданную формулой f ( i i xi ) = 1. Функция корректно определена и индуцирует разложения пространств ker f x1 V (s) и Cu = X x1 Cu. Рассмотрим подкомплекс V (s) = / Cuvw Cuw ? O ?O     / Cuv X O / Cvw.

Cw ?

  Cv Факторкомплекс C x1 Cu является стягиваемым, так что гомологии комплекса C(G) изо морфны гомологиям рассматриваемого подкомплекса. Подкомплекс содержит стягиваемую часть X (X). Отображения X Cuv и X Cuw являются изоморфизмами, так что после фактори зации мы получим комплекс / Cuvw (8.6) Cuwc O ?O cc cc  c  Cuv O / Cvw, Cw ?

  Cv где пространства Cuv и Cuw отождествляются.

8. Гомологии Хованова Аналогичные рассуждения сводят комплекс C(G) к комплексу (для состояний s из Cuvw нужно определить функцию f : V (s) Z2 при помощи формулы f ( i i xi ) = 1 + 2 + 3 ).

/ Cu (8.7) Cuvc O ? O cc c  Cuw O / C.

Cv ?

  Cw Оба построенных комплекса изоморфны комплексу Cv Cw C Cvw Cuvw. Таким образом, гомологии комплексов C(G) и C(G) совпадают.

Инвариантность относительно g 4.

Заметим, что в реализуемом случае, когда граф G является графом пересечений поворачиваю щего обхода диаграммы зацепления, инвариантность относительно движений g 4 и g 4 очевидна, поскольку диаграмма зацепления при этом не меняется, и нечетный комплекс Хованова, в своей геометрической формулировке, остается тем же самым. Нам остается проверить, что инвариант ность относительно g 4 сохраняется и для не реализуемых графов.


Пусть вершины u и v, участвующие в движении g 4, имеют номера p и q в V (G) = V (G).

Коэффициенты матриц смежности A(G) = (aij ) и A(G) = (aij ) связаны соотношением { aij + aip ajq + aiq ajp, {i, j} {p, q} =, aij = {i, j} {p, q} =.

aij, Рассмотрим отображение : C(G) C(G), действующее на состояниях по формуле s {u, v}, {u, v} s =, s \ {u, v}, {u, v} s = {u, v}, (s) = {u, v} s =, {u, v}, s, а также линейные отображения : V (s) V ((s)), заданные формулой i = p, q, xi, xq, i = p, (xi ) = xp, i = q.

Отображение является изоморфизмом линейных пространств и, после соответствующего рас ширения до изоморфизма внешних алгебр V (s) V ((s)), задает изоморфизм градуиро ванных линейных пространств : C(G) C(G). Отображение является цепным отображением комплексов. Следовательно, комплексы C(G) и C(G), а также их гомологии изоморфны.

Инвариантность относительно g 4.

Пусть вершина v, участвующая в движении g 4, имеет номер p. Коэффициенты матриц смеж ности A(G) = (aij ) и A(G) = (aij ) связаны соотношением aij + aip ajp, i, j = p, aip, j = p, aij = apj, i = p.

Определим отображение : C(G) C(G), действующее на множестве состояний, формулой (s) = s p, а линейные отображения : V (s) V ((s)) — формулой (xi ) = xi, 1 i n. Отображения задают изоморфизм комплексов C(G) и C(G), так что гомологии комплексов совпадают.

Следствие 8.1. Гомологии Хованова Kh(G) являются инвариантом граф-зацеплений.

126 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Пример 8.1. Рассмотрим граф Буше W5 (рис. 32 слева), все вершины которого помече ны (0, +). Гомологии Хованова данного помеченного графа G были вычислены Дж. Блумом:

Kh1 (G) = Kh2 (G) = Kh4 (G) = Kh5 (G) = Z2, Kh3 (G) = Z2 Z2, остальные группы гомоло гий равны нулю. Отсюда, в частности, следует, что граф-зацепление G нетривиально. Выше (см.

следствие 7.4) с использованием четности был доказан более сильный факт — нереализуемость граф-зацепления G.

8.2. Целочисленные нечетные гомологии Хованова граф-зацеплений. Определение целочис ленных нечетных гомологий Хованова для граф-зацеплений сталкивается с проблемой, что знаки целочисленной матрицы пересечений ориентированной хордовой диаграммы, вообще говоря, не сохраняются при мутациях. Однако возможность контролировать изменение знаков появляется, когда мы можем различать внешние и внутренние хорды диаграммы. По этой причине следует ограничиться рассмотрением двудольных графов. Имеется также другое ограничение, связанное требованием, чтобы ориентация графа была согласована с движениями Рейдемейстера, — главная унимодулярность [24]. Таким образом, целочисленные нечетные гомологии Хованова определя ются для двудольных главно унимодулярных граф-зацеплений.

Двудольные главно унимодулярные граф-зацепления можно рассматривать в качестве «класси ческих» граф-зацеплений, поскольку реализуемые графы такого типа соответствуют графам пе ресечений классических (не виртуальных) диаграмм зацеплений. Вопрос в том, является ли дан ный класс граф-зацеплений «естественным» определением классических граф-зацеплений. Другой проблемой является вопрос о существовании нереализуемых двудольных главно унимодулярных граф-зацеплений.

8.2.1. Главно унимодулярные двудольные граф-зацепления. В настоящем параграфе мы опреде ляем ориентированную версию движений Рейдемейстера ориентированных двудольных графов.

Пусть G — ориентированный двудольный граф без петель и кратных ребер с n вершинами и V = V(G) — множество его вершин. Мы предполагаем, что G является меченым графом, причем оснащение каждой вершины равно 0. Другими словами, задано только отображение sgn : V {1, 1} (знак вершины).

Занумеруем вершины графа G в некотором порядке. Матрица смежности A(G) = (aij )i,j=1,...,n ориентированного графа G определяется как целочисленная матрица с элементами aij = 1 и aji = 1, если vi является началом, а vj концом ребра в графе G, соединяющего эти две вершины (мы будем использовать в этом случае обозначение vi vj ), и aij = 0, если vi и vj не являются соседними вершинами. Кроме того, мы имеем aii = 0 для каждого i = 1,..., n.

Подмножество множества вершин s V, как и выше, называется состоянием. Определим G(s) как подграф в G, порожденный множеством вершин s, и обозначим A(s) = A(G(s)). Поскольку граф G двудольный, множество вершин можно представить в виде объединения двух непересека ющихся подмножеств V = V0 V1, так что для любого состояния s матрица A(s) имеет блочный вид ( ) 0 B(s) A(s) =, B(s) где строки матрицы B(s) соответствуют вершинам из s V0, а столбцы отвечают вершинам из подмножества s V1.

Определим движения Рейдемейстера на меченых ориентированных двудольных графах. Как и введенные в предыдущей главе движения Рейдемейстера на неориентированных графах, они получаются как результат изменения графов пересечения хордовых диаграмм после применения к последним обычных движений Рейдемейстера;

затем определение распространяется и на случай нереализуемых графов.

Движение R. Для произвольной вершины v V(G) мы меняем направление ребер, инцидентных вершине v.

Движение 1. Первое движение Рейдемейстера заключается в добавлении/удалении изолиро ванной вершины со знаком + или.

Движение 2. Второе движение Рейдемейстера представляет собой добавление/удаление двух несмежных вершин u и v с противоположными знаками и одинаковыми окрестностями, так чтобы 8. Гомологии Хованова получившийся граф оставался двудольным. Мы требуем при этом, чтобы направления добавляе мых ребер были согласованы: если для некоторой вершины w V(G) мы имеем u w (соответ ственно, u w), то v w (соответственно, v w).

Движение 3. Третье движение Рейдемейстера определяется следующим образом. Пусть u, v, w — три вершины графа G, имеющие знак ’-’, такие что вершина u смежна только v и w, причем u v и u w. Тогда мы удаляем ребра, соединяющие u с v и w. Мы добавляем ребра u t (соответственно, u t) для всех вершин t, таких что v t (соответственно, v t), и добавляем ребра u t (соотв. u t), если w t (соотв. w t). Кроме того, мы меняем знак у вершин v и w на ’+’. Обратное преобразование также назовем третьим движением Рейдемейстера.

Движение 4. Четвертое движение Рейдемейстера определяется следующим образом. Мы вы бираем произвольные смежные вершины u со знаком a и v со знаком b. Затем мы меняем метку вершины u на b, а вершины v — на a, а также меняем направление ребра uv. Помимо это го, мы меняем смежность произвольной пары вершин (t, w), такой что t N (u) и w N (v).

Ориентация новых ребер вида tw выбирается так, чтобы квадрат utwv был четным, то есть чис ло сонаправленных ребер относительно некоторого обхода цикла utwv было четным (см. пример ниже).

/v /v /v u u u O O O O   to /w /w w t t четный квадрат тоже четный квадрат нечетный квадрат Оказывается, что сформулированное выше определение движения 4 позволяет произвольно менять ориентацию ребер графа;

при этом используются вспомогательные вершины, добавляемые при помощи увеличивающего движения 2.

Утверждение 8.3. Пусть G — ориентированный двудольный меченый граф, и G отличается от графа G ориентацией ребер. Тогда граф G можно получить из графа G применением движений 2 и 4.

Доказательство. Пусть u и v — две смежные вершины в графе G. Мы можем поменять направ ление ребра, соединяющего вершины u и v, следующим образом. Добавим две новые вершины w, w, так что N (w) = N (w ) = {v} (движение 2 ). Затем добавим еще две вершины t, t, так что N (t) = N (t ) = {u, w} и квадрат uvwt был нечетным (снова движение 2 ). Обозначим полу чившийся граф как G. Применим дважды движение 4 к паре вершин w, t. В новом графе G смежность вершин такая же, как в графе G, и совпадают направления всех ребер, за исключе нием ребра uv, которое меняет направление, так как квадрат uvwt в графе G является четным.

После этого удалим при помощи второго движения вершины w, w, t, t, получив, таким образом, граф G, отличающийся от графа G только направлением ребра uv.

Повторяя данную операцию необходимое число раз, мы получим граф G.

Доказанное утверждение показывает, что теория ориентированных двудольных графов с движе ниями R, 1,..., 4 является на самом деле теорией неориентированных помеченных двудольных графов с движениями Рейдемейстера обычных граф-зацеплений, сохраняющих двудольную струк туру графов. Это означает, что необходимо наложить дополнительное условие, чтобы ориентация графов была существенной.

Определение 8.2. Пусть G — двудольный меченый граф. Назовем ориентацию графа G главно унимодулярной, если для каждого состояния s V определитель det A(s) (над Z) равен либо 0, либо 1. Граф G с такой ориентацией назовем PU-ориентированным.

Любой двудольный граф, реализуемый в виде графа пересечения некоторой хордовой диаграм мы, является PU-ориентированным [23]. Обратное утверждение неверно, например, следующий 128 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ граф является PU-ориентированным, но не реализуем:

/· /· · @ aa aa aa a /· /· /· /· ·a @ aa aa aa  /· /· · Действительно, любой собственный главный минор матрицы смежности равен 0 или 1, так как любой собственный подграф в реализуем, а определитель всей матрицы смежности равен нулю, поскольку в нет совершенных паросочетаний. С другой стороны, рассмотрим один из трех циклов в. Этот подграф является графом пересечений некоторой хордовой диаграммы, причем диаграмма определена однозначно. Нетрудно проверить, что данную диаграмму нельзя дополнить до диаграммы с графом пересечений.

Существуют двудольные графы, которые не являются PU-ориентируемыми. Например, исполь зуя утверждение 8.6 ниже, легко проверить, что на графе Буше BW3 (рис. 86) нельзя ввести главно унимодулярную ориентацию. Татт показал [217], что граф BW3 является единственным препятствием к PU-ориентируемости;

то есть произвольный двудольный граф не является PU ориентируемым тогда и только тогда, когда, применяя к нему шарнирные преобразования, можно получить граф, содержащий BW3 в качестве подграфа.


Вопрос о том, существует ли PU-ориентированный граф, который нельзя движениями Рейде мейстера преобразовать в реализуемый граф, остается открытым.

Наряду со свойством главной унимодулярности, можно рассматривать более сильное свойство полной унимодулярности, когда все миноры матрицы равны 0, 1 или 1. Для матриц смежности двудольных графов, как показывает сформулированная ниже лемма, эти свойства эквивалентны.

Лемма 8.3. Пусть G — ориентированный двудольный меченый граф. Следующие утвержде ния равносильны:

1. граф G является PU-ориентированным;

2. любой минор матрицы A(G) равен 0, 1 или 1;

3. любой минор матрицы B(G) равен 0, 1 или 1.

Доказательство. 1 3. Пусть B — некоторая подматрица в матрице B(G). Обозначим через s0 V0 множество вершин, соответствующих строкам матрицы B, а s1 V1 — множество вершин, соответствующих столбцам матрицы B. Тогда ( ) 0 B A(s0 s1 ) =, B так что det A(s0 s1 ) = (det B)2 = 0 или 1. Следовательно, det B = 0, 1 или 1.

3 2. Пусть C — квадратная подматрица в A(G). В соответствии с разложением V = V0 V матрицу C можно записать в блочном виде ( ) 0 B C=.

B2 Если блоки B1 и B2 не являются квадратными, то ранг матрицы C меньше, чем размер матрицы C, так что det C = 0. Если же блоки квадратные, то det C = ± det B1 det B2 = 0, 1 или 1, поскольку det B1, det B2 = 0, 1 или 1.

Переход 2 1 очевиден.

Следующее утверждение показывает, что свойство главной унимодулярности хорошо себя ведет относительно движений Рейдемейстера и, таким образом, может рассматриваться как свойство ориентированных граф-зацеплений.

Утверждение 8.4. Пусть двудольный граф G PU-ориентирован. Тогда 1. любой подграф в G PU-ориентирован;

8. Гомологии Хованова 2. если граф G получается из G применением движений R, 1, 3, 4, то граф G PU ориентирован.

Доказательство. Первое утверждение очевидно.

Покажем, что PU-ориентация сохраняется при движении R. Матрица смежности A(G ) получа ется из матрицы A(G) умножением на 1 строки и столбца, соответствующих вершине v, участ вующей в движении R. Тогда для любого состояния s V мы имеем det A(G (s)) = det A(G(s)), если v s, и det A(G (s)) = (1)2 det A(G(s)) = det A(G(s)), если v s. Таким образом, все миноры равны 0, 1 или 1, так что граф G PU-ориентирован.

Движение 1. Предположим, что граф G получен добавлением изолированной вершины v.

Тогда для любого состояния s V(G ) справедливы равенства det A(G (s)) = 0, если v s, и det A(G (s)) = det A(G(s)), если v s. Поэтому G PU-ориентирован.

Движение 3. Без ограничения общности можно считать, что вершины u, v, w, участвующие в движении, имеют номера 1, 2, 3 в множестве V(G) = V(G ). Тогда матрицы смежности имеют вид 1 0 0 a b 0 1 0 1 0 0 a 0 a 0 A(G) =.

, A(G) = 1 0 0b 0 0 0 b 0 a b C b a a b C Действительно, покажем, что вектор a b является вектором смежности вершины u в гра фе G. Рассмотрим произвольную вершину t в графе G, и пусть p — номер вершины. Введем обозначение для коэффициентов матриц смежности A(G) = (aij )i,j=1,...,n, A(G ) = (a )i,j=1,...,n.

ij Если вершина t не соединена ребром с вершинами v и w, то a2p = a3p = 0 и a = 0, так что 1p a = a2p a3p. Если вершина t смежна с v, но не w, то a3p = 0 и a = a2p = a2p a3p. Если 1p 1p t смежна с w, но не с v, то a2p = 0 и a = a3p = a2p a3p. Если вершина t соединена с 1p обеими вершинами v и w, то a2p = a3p и a = 0 = a2p a3p. Случай a2p = 1, a3p = 1 (или 1p a2p = 1, a3p = 1) невозможен, поскольку тогда мы бы имели have 0 1 0 0 A(G({u, v, w, t})) = 1 0 0 0 1 1 где det A(G({u, v, w, t})) = 4, так что граф G не был бы PU-ориентированным.

Для любого состояния s V \ {u, v, w} справедливы тождества det A(G(s)) = det A(G (s)), det A(G(s{v})) = det A(G (s{v})), det A(G(s{w})) = det A(G (s{w})), det A(G(s{v, w})) = det A(G (s {v, w})). Кроме того, выполняются равенства det A(G(s {u})) = 0, det A(G(s {u, v})) = det A(G(s{u, w})) = det A(G(s)), det A(G(s{v, w})) = det A(G (s{u, v})) = A(G (s {u, w})), det A(G(s {u, v, w})) = det A(G (s {u})) и det A(G (s {u, v, w})) = 0.

Таким образом, все миноры det A(G(s)), s V, равны некоторым минорам матрицы смежности графа G и наоборот. Следовательно, граф G PU-ориентирован тогда и только тогда, когда G PU-ориентирован.

Движение 4. Без ограничения общности можно считать, что u V0, v V1 и u v, где u, v — вершины, принимающие участие в движении 4. Мы можем также предположить, что u является первой вершиной в нумерации множества V0, а v — первой вершиной в V1. Тогда матрица B(G) имеет вид ( ) 1 c B(G) =.

d B Прибавляя или вычитая первую строку матрицы B(G) из остальных строк, мы получим матрицу ( ) 1 c B=.

0 B Элементы подматрицы B1 равны 0, ±1, так как иначе матрица B(G) содержала бы минор = 2. Пусть D1 — произвольная квадратная подматрица в B1, а D — подматрица в B, по 1 лучающаяся из D1 добавлением первой строки и первого столбца. Тогда det D1 = det D = 0, ±1, 130 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ поскольку D переводится преобразованиями строк в соответствующую квадратную подматрицу в B(G). В частности, det B1 = det B. Матрица B1 также может быть получена прибавлени ем/вычитанием столбца d из столбцов матрицы B1.

Матрица B(G ) имеет вид ( ) 1 c.

d B Рассмотрим произвольную квадратную подматрицу D в B(G ). Если D не содержит ни первого столбца, ни первой строки, то D является подматрицей в B1, так что det D = 0, ±1. Если D включает первую строку, но не первый столбец, она сводится преобразованием строк к подмат рице в B(G). Если D включает первый столбец, но не включает первую строку, то ее можно преобразовать к подматрице в B(G) посредством операций над столбцами. Если ( ) 1 (c ) D=, d C то при помощи операций над строками она преобразуется к матрице ( ) 1 (c ), 0 C где C совпадает с подматрицей в B1. Следовательно, det D = det C = 0, ±1.

Таким образом, любой минор матрицы B(G ) равен 0, ±1, и значит, по лемме 8.3 граф G PU-ориентирован.

Семейство PU-ориентированных графов не замкнуто относительно второго движения Рейдемей стера. По этой причине мы определяем главно унимодулярное второе движение Рейдемейстера P U, требуя, чтобы результат преобразования был PU-ориентированным графом.

Определение 8.3. Назовем PU-ориентированным граф-зацеплением класс эквивалентности произвольного PU-ориентированного графа относительно движений R, 1, P U, 3, 4.

Рассмотрим некоторые свойства PU-ориентированных графов.

Следующее утверждение обосновывает введение главной унимодулярности в определение ориен тированных граф-зацеплений, поскольку оно гарантирует, что при преобразованиях Рейдемейстера не могут появиться нечетные квадраты. Как мы видели выше (утверждение 8.3), появление нечет ных квадратов обесценивает роль ориентации графа.

Утверждение 8.5. Пусть G — ориентированный двудольный меченый граф. Тогда G явля ется PU-ориентированным тогда и только тогда, когда никакой граф, G, полученный из G применением движения 4, не содержит нечетных квадратов (циклов длины 4).

Доказательство. необходимость вытекает из утверждения 8.4.

Предположим, что применяя движение 4 к G, мы не получим нечетных квадратов. Далее мы будем называть такой граф стабильно четным. Рассмотрим состояние s V и обозначим si = s Vi, i = 0, 1. Если #s0 = #s1, то det A(s) = 0. Так что будем считать #s0 = #s1 = k.

Покажем, что det A(s) = (det B(s))2 = 0 или 1 посредством индукции по параметру k.

При k = 1 утверждение очевидно выполняется. Если k = 2, то det B(s) = 0, ±1, потому что в G нет нечетных квадратов.

Согласно предположению индукции, для любого стабильно четного графа G и подмножеств вершин s Vi (G ), i = 1, 2, таких что #s = #s k, мы имеем det B(G (s s )) = 0, ±1.

0 1 0 i Если матрица B(s) нулевая, то det) B(s) = 0. В противном случае без ограничения общности ( 1 c можно считать, что B(s) =. Тогда применим движение 4 к первой вершине u в s d B и первой вершине( в s1. Обозначим полученный граф через G. Обозначим также s = s \ {u, v}.

v ) 1 c Тогда B(G (s)) =, где det B1 = det B(s) (см. доказательство инвариантности в утвер d B ждении 8.4 относительно движения 4 ). Но B1 = B(G (s )), G является стабильно четным и #s = #s #s0 = #s1 = k. Следовательно, det B(s) = det B1 = 0, ±1.

0 8. Гомологии Хованова Таким образом, для каждого состояния s в G мы имеем det B(s) = 0, ±1, так что граф G PU-ориентирован, согласно лемме 8.3.

Определение 8.4. Цикл C в ориентированном графе называется примитивным, если C = G(V(C)), т.е. любые две вершины, не являющиеся соседними в цикле C, не смежны в G. Цикла C называется четным, если число сонаправленных ребер в цикле четно. В противном случае, цикл называется нечетным.

Утверждение 8.6. Пусть G — PU-ориентированный двудольный граф. Тогда любой прими тивный цикл в G является четным.

Доказательство. Рассмотрим примитивный цикл C. Если длина l цикла C равна 4, то C — это квадрат, и значит, четный. При l 4 мы выбираем любые две соседние вершины u и v на цикле C и применяем к ним движение 4. В полученном графе цикл C разбивается в сумму четного квадрата, содержащего вершины u и v, и примитивного цикла C длины l 2. Новый примитивный цикл имеет ту же четность, что и цикл C. После повторения данной процедуры l/2 2 раз, цикл C превратится в квадрат, который будет четным, согласно предложению 8.5.

Следовательно, исходный цикл C является четным.

Следствие 8.2. Любые две PU-ориентации двудольного графа G переводятся одна в другую при помощи движений R.

Доказательство. Разность между двумя PU-ориентациями задает коцикл c в H 1 (G, Z2 ). Согласно утверждению 8.6 коцикл c обнуляется на любом примитивном цикле. С другой стороны, прими тивные циклы порождают группу H1 (G, Z2 ), так что c = 0. Тогда c = d, C 0 (G, Z2 ). Это значит, что одна из рассматриваемых PU-ориентаций может быть получена из другой посредством применения движения R к вершинам v, обладающим свойством (v) = 0.

Таким образом, теория PU-ориентированных граф-зацеплений является на самом деле теорией PU-ориентируемых граф-зацеплений. Мы будем называть двудольные графы, допускающие PU ориентацию, главно унимодулярными графами (или PU-графами) и назовем соответствующие граф-зацепления PU-граф-зацеплениями.

Перейдем к определению нечетных гомологий Хованова для главно унимодулярных граф зацеплений.

8.2.2. Нечётные гомологии Хованова PU-граф-зацеплений. Пусть G — PU-ориентированный двудольный меченый граф с n вершинами, а A = A(G) — его матрица смежности.

Пусть s V = V(G). Рассмотрим модуль V (s) = Zx1,..., xn | r1,..., rn, s s s s где соотношения r1,..., rn заданы формулой xi sgn(vj )aij xj, если vi s, {j | vj s} s (8.8) ri = sgn(vj )aij xj, если vi s {j | vj s} Обозначим матрицу соотношений через A = (aij )i,j=1,...,n, aij = sgn(vj )aij,. Пусть A — про извольная подматрица в A(G). Обозначим через A соответствующую подматрицу (т.е. подмат рицу с тем же множеством строк и столбцов, что и в A ) в матрице A. Тогда верны равенства rank Z A = rank Z A и corank Z A = corank Z A.

Основным техническим следствием из свойства главной унимодулярности является следующее утверждение.

Утверждение 8.7. Для любого состояния s Z-модуль V (s) является свободным.

Доказательство. Модуль V (s) не имеет кручения тогда и только тогда, когда для любого k идеал Ek (s) Z, порожденный всеми минорами коранга k в матрице соотношений A(s), равен 0 или Z.

Но по лемме 8.3 все миноры в матрице A равны 0 либо ±1, и значит, любой минор в A равен или ±1.

132 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Ранг модуля V (s) совпадает с corank Z A(s) = corank Z A(s).

Имеется естественное взаимно-однозначное соответствие между состояниями s V и вершина ми n-мерного куба {0, 1}n. Каждое ребро куба имеет вид s s i, где s i обозначает состояние s {vi }, если vi s, и состояние s \ {vi }, если vi s. Мы ориентируем ребро таким образом, чтобы vi s, если sgn(vi ) = 1, и vi s, если sgn(vi ) = 1. Каждому ребру s s i поставим в соответствие отображение si : V (s) V (s i) s внешних алгебр, заданное формулой { xi u, если xi = 0 V (s), s si (u) = если xi = 0 V (s).

u, Здесь элемент u рассматривается как полином образующих и в таком виде может рассматри от ваться в качестве элемента как внешней алгебры V (s), так и алгебры V (si). Корректность отображения, то есть независимость результата от представления u в виде полинома показана ни же.

Лемма 8.4. xi = 0 V (s) тогда и только тогда, когда corank Z A(s i) = corank Z A(s) + Доказательство. Случай 1: sgn(vi ) = 1. Тогда vi s и s i = s {vi }. Матрица соотношений для состояния s i (с точностью до нумерации вершин) имеет вид ( ) A(s) a A(s i) =.

a aij xj. Равенство xi = 0 означает, что строка a линейно зависит и мы имеем xi = {j | vj s} ( ) A(s) от строк матрицы A(s). Это эквивалентно равенству rank Z (A(s)) = rank Z. Поэтому a rank Z A(s) rank Z A(s i) rank Z A(s) + 1. Но ранги матриц A(s) и A(s i) являются четны ми, так как rank Z A(s) = rank Z A(s), rank Z A(s i) = rank Z A(s i), а матрицы A(s) и A(s i) кососимметричны. Следовательно, rank Z A(s i) = rank Z A(s) и rank Z A(s i) = rank Z A(s) + Случай 2: sgn(vi ) = 1. Тогда vi s и s i = s \ {vi }. Матрица смежности состояния s (при должной нумерации вершин) имеет вид ( ) A(s i) a A(s) =.

a ( ) A(s i) a Так как vi S, равенство xi = 0 означает, что ранги матриц и a A(s i) a 0 совпадают. Но a 0 A(s i) a A(s i) rank Z 0 = rank Z 1 rank Z A(s i) + 1.

a 0 1 a Следовательно, rank Z A(s) = rank Z A(s i) + 2 и corank Z A(s i) = corank Z A(s) + 1.

Рассуждения выше можно обратить, так что условие на коранг матриц является критерием для равенства xi = 0.

С геометрической точки зрения, условие xi = 0, как и в рассмотенном выше случае коэффициен тов Z2, означает, что при замене разведения в i-м перекрестке окружность состояния, проходящая через данный перекресток, распадается на две окружности.

Следствие 8.3. xi = 0 V (s) тогда и только тогда, когда xi = 0 V (s i).

Утверждение 8.8 (Корректность определения частичных дифференциалов). Для любого со стояния s и номера i отображение si : V (s) V (s i) корректно определено.

s 8. Гомологии Хованова Доказательство. Достаточно проверить, что для любого элемента u и индекса j найдутся эле менты uk V (s i) такие, что si (rj u) = rk uk V (s i).

si s s k + j xi при некотором j Z. Если xi = 0 V (s i), то si s Для любого j имеем rj = rj si (rj u) = rj u = rj u + j xi u = rj u si si s s s в V (s i). Если xi = 0 V (s i), то si (rj u) = xi rj u = xi rj u + j xi xi u = ±rj (xi u).

si si s s s s В любом случае, отображение si корректно определено.

Замечание 8.1. Для любого состояния s и индекса i отображение si : V (s) V (s i) s имеет следующие свойства:

1. если rank Z V (s i) = rank Z V (s) 1, то si эпиморфизм, ядро которого равно xi (s);

s V rank Z V (si) = rank Z V (s)+1, то отображение si задает изоморфизм модулей V (s) s 2. если и xi V (s i).

Как было отмечено в начале настоящего раздела, для построения корректно определенного диф ференциала комплекса в виде суммы (со знаками) частичных дифференциалов необходимо, чтобы частичные дифференциалы коммутировали либо антикоммутировали, то есть чтобы двумерные грани куба состояний были (анти)коммутативны.

Каждая двумерная грань куба состояний, как и в неориентированном случае имеет вид (8.1).

Поскольку PU-графы не имеют оснащения, то, в обозначениях утверждения 8.1, в кубе будут встречаться только грани четного типа (см. рис. 91). Сформулируем необходимое нам утверждение.

Утверждение 8.9 (Коммутативность двумерных граней). Любая двумерная грань куба состо яний либо коммутативна, либо антикоммутативна.

Доказательство. Грань типа 1 антикоммутативна. Двумерные грани типов 2, 3 коммутативны.

Грань типа 4 является сразу коммутативной и антикоммутативной, так как xi = xj = 0 V (s i j).

Рассмотрим двумерную грань типа 5 более подробно. Возможно несколько случаев.

1. sgn(vi ) = sgn(vj ) = 1. Тогда vi, vj s i j. Без ограничения общности можно считать, что vi и vj — последние вершины состояния s i j.

1.1. vi, vj V0. Матрицу соотношений A(s i j) можно представить в форме B a, (8.9) b B a b где B = B(s). Так как xi = 0 V (s i), строки матрицы (B a) порождают вектор (0 1).

a b) порождают вектор вида (0 1 ), Z.

Следовательно, строки матрицы (B Аналогично, матрица (B a b) порождает вектор (0 1). Линейной комбинацией этих двух векторов будет вектор (0 0 1 ). Если = 1, имеем (1 )xj = 0 V (s i j). Так как модуль V (s i j) свободен, мы получаем xj = 0 V (s i j), что неверно. Таким образом, = 1 и = = ±1. Следовательно, xi ± xj = 0 V (s i j), так что грань коммутативна или антикоммутативна.

1.2. vi V0, vj V1. Матрица соотношений A(s i j) может быть представлена в виде 0 0 Bb 0 0 a. (8.10) B a 0 0 b 134 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ ( ) Bb (a Так как xi = 0 V (s j), вектор ) линейно зависит от строк матрицы.

b Следовательно вектор a зависит от строк матрицы B, так что xi = 0 V (s), что приводит к противоречию. Таким образом, данный случай невозможен.

1.3. vi, vj V1. Этот случай рассматривается аналогично случаю 1.1.

2. sgn(vi ) = 1, sgn(vj ) = 1. Тогда vi s i j и vj s i j.

2.1. vi, vj V0. Без потери общности можно считать что матрица соотношений A(s i) имеет ( ) B вид (8.9), где B = B(s j). Так как xi = 0 V (s j), то rank Z = rank Z B. Аналогично, a ( ) B B = rank Z B. Следовательно, rank Z a = равенство xj = 0 V (s j) влечет rank Z b b ( ) B B rank Z B, но rank Z a + 1, поскольку xi = 0 V (s i). Таким образом, этот = rank Z b b случай не реализуется.

2.2. vi V0, vj V1. Матрицу соотношений A(s ( можно представить в виде (8.10), где i) ) ( ) B B = B(s j). Так как xj = 0 V (s j), имеем rank Z = rank Z B. Тогда вектор b ( ) b порожден строками матрицы B, а строки матрицы B a порождают вектор вида ( ) B a (b ). Следовательно, матрицу можно преобразованиями строк привести к мат b ( ) ( ) ( ) B a B a, где =. Если = 0, то rank = rank Z B a рице Z 0 b и xj = 0 V (s i j), но это не так.

Если || 1, то выполняется равенство B = 0 (иначе найдется минор матрицы A(G), не равный нулю и кратный ). Следовательно, b = 0. Если = 0, то xj = 0 V (s i j), что неверно.

Если = ±1, то xi xj = 0 V (s i j).

Пусть = ±1, тогда xi xj = 0 V (s i j).

2.3. vi V1, vj V0. Данный случай аналогичен случаю 2.2.

2.4. vi, vj V1. Случай не реализуется по тем же причинам, что и случай 2.1.

3. sgn(vi ) = sgn(vj ) = 1. Тогда vi, vj s i j.

3.1. vi, vj V0. Матрица A(s) имеет вид (8.9), где B = B(s i j). Так как xi = 0 V (s i), ( ) B B то rank Z a. Следовательно, вектор a порождается строками матрицы B = rank Z b b и вектором b. Это означает, что xi = xj V (s i j) для некоторого Z. С другой стороны, по тем же причинам xi = xj V (s i j), так что xi = xi. Если = 1, то выполняются равенства (1 )xi = 0 и xi = 0, так как модуль V (s i j) свободен. Но xi = 0 V (s i j).

Следовательно, = 1, так что = = ±1 и xi xj = 0 V (s i j).

3.2. vi V0, vj V1. Матрица соотношений A(s) имеет вид (8.10), где B = B(s i j).

( ) B Так как xi = 0 V (s i j), то rank Z = rank Z B + 1. Равенство xj = 0 V (s a ( ) ( ) ( ) B Bb i j) влечет rank Z B b = rank Z B + 1. Тогда rank Z + 1. Но = rank Z a a ( ) ( ) B Bb, поскольку xj = 0 V (s). Таким образом, данный случай rank Z = rank Z a a невозможен.

3.3. Случай vi, vj V1 аналогичен случаю 3.1.

8. Гомологии Хованова Итак, любая диаграмма типа 5 либо коммутативна, либо антикоммутативна.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.