авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 ||

«Современная математика. Фундаментальные направления. Том (). С. 1–157 УДК 515.16+519.17 ...»

-- [ Страница 6 ] --

Замечание 8.2. Вслед за [183] введем другую классификацию двумерных граней куба состоя ний: антикоммутативные грани (тип A), коммутативные грани (тип C) и нулевые грани (типы X и Y). Грани типа 1 соответствуют типу A;

грани типов 2, 3 — типу C. Что касается граней типа 5, коммутативным граням приписывается тип C, а антикоммутативным — тип A. Грани типа 4 — нулевые, так как xi = xj = 0 V (s i j), правило приписывания их к типам X или Y будет дано ниже.

Определение 8.5. Назовем вершину v V внутренней, если v V0 и sgn(v) = 1, либо v V1 и sgn(v) = 1. В противном случае, вершина v называется внешней.

Замечание 8.3. Слова «внутренний» и «внешний» происходят из реализуемого случая. Пусть имеется диаграмма классического зацепления. Тогда хордовая диаграмма, построенная по повора чивающему обходу диаграммы согласно рис. 78, будет вложена в плоскость. При этом некоторые хорды попадут внутрь области, ограниченной ориентированной окружностью хордовой диаграм мы, а некоторые хорды будут лежать во внешней области. Разбиение хорд на «внутренние» и «внешние» задает двудольную структуру на графе пересечений хордовой диаграммы.

Диаграммы типа 4 отличаются от диаграмм типа 5 сменой знака у вершины vi или vj. Поэтому перебор реализуемых случаев среди вариантов 1.1–3.3 в утверждении 8.9 приводит к следующему утверждению.

Лемма 8.5. 1. В любой диаграмме типа 5 вершины vi, vj либо обе внутренние, либо обе внешние.

2. В любой диаграмме типа 4 одна из вершин vi, vj является внутренней, а другая является внешней.

Следующее утверждение показывает, как связаны соотношения между образующими в проти воположных вершинах двумерных граней типа 4 и 5.

Лемма 8.6. Рассмотрим произвольную двумерную грань типа 5. Тогда • если sgn(vi ) = sgn(vj ), то xi ± xj = 0 V (s) xi xj = 0 V (s i j);

• если sgn(vi ) = sgn(vj ), то xi ± xj = 0 V (s) xi ± xj = 0 V (s i j).

Для любой двумерной грани типа 4 имеем • если sgn(vi ) = sgn(vj ), то xi ± xj = 0 V (s i) xi xj = 0 V (s j);

• если sgn(vi ) = sgn(vj ), то xi ± xj = 0 V (s i) xi ± xj = 0 V (s j).

Доказательство. Поскольку диаграммы типа 4 получаются из диаграмм типа 5 сменой знака у одной из вершин, например, vi, достаточно рассмотреть только диаграммы типа 5.

Обозначим s = s V, = 0, 1.

1. Предположим сначала, что sgn(vi ) = sgn(vj ) = 1 и vi, vj V0. Тогда vi, vj s. Имеет место равенство xi + xj = 0 V (s). Это означает, что существуют коэффициенты k, где vk s0, такие что k rk Zxl | vl s1 Zxi, xj.

s s s xi + xj = ri + rj + k:vk s Другими словами, имеются соотношения k sgn(vl )akl + sgn(vl )ail + sgn(vl )ajl = 0 для любого k l s1. Следовательно, k k akl = ail · ajl.

Равенство xi + xj V (s i j) означает, что найдутся числа µl, vl (s i j)1 = s1, такие что sij Zxk | vk (s i j)0.

xi + xj = µl rl l : vl (sij) Это равносильно системе уравнений:

µl alk = 0, vk s0, µl ali = sgn(vi ), µl alj = sgn(vj ).

l l l 136 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Тогда k akl = µl (ail + · ajl ) = k µl akl = µl (k,l) : vk s0, vl s1 l k l µl alj = sgn(vi ) sgn(vj ).

= µl ali + l l k µl akl = С другой стороны, µl alk = 0. Таким образом, sgn(vi )sgn(vj ) + = 0 и k k l k,l =, что доказывает утверждение леммы.

Случай vi, vj V1 рассматривается аналогично.

2. Пусть sgn(vi ) = 1, sgn(vj ) = 1 и vi V0, vj V1. Обозначим s = (s j) V, = 0, 1.

Тогда s0 = s, s1 = s {vj } и (s i j)0 = s {vi }, (s i j)1 = s.

0 1 0 Равенство xi + xj = 0 V (s) означает, что существуют k, vk s0, такие что k rk Zxk | vk s1 Zxi.

s s xi + xj = ri + k : vk s Таким образом, имеются соотношения k akl + ail = 0, vl s, k akj + aij = sgn(vj ).

k k Равенство xi + xj = 0 V (s i j) приводит к соотношениям µl alk = ajk, vk s, µl ali + aji = sgn(vi ).

l : vl s l : vl s 1 Тогда k akl = k µl akl = µl µl ail = sgn(vi ) + aji.

(k,l) : vk s, vl s l k l 0 С другой стороны, k µl akl = l akj = aij sgn(vj ).

k µl alk = (k,l) : vk s, vl s k l k 0 Так как aji = aij, имеем = sgn(vi )sgn(vj ) = 1. Таким образом, xi ± xj = 0 V (s) тогда и только тогда, когда xi ± xj = 0 V (s i j).

3. Случай sgn(vi ) = sgn(vj ) = 1 рассматривается аналогично случаю 1.

Рассмотрим двумерную грань типа 4 и пусть vi — ее внутренняя вершина. Мы припишем грани тип X, если xi = sgn(vj )xj V (s i) (согласно лемме 8.6, это эквивалентно равенству xi = sgn(vi )xj V (s j)), и припишем грани тип Y, если xi = sgn(vj )xj V (s i).

Заметим, что для определения типа грани X или Y существенной является двудольная струк тура графа. Этот факт показывает, что имеется препятствие к обобщению конструкции нечетных гомологий Хованова на виртуальные зацепления (даже на те зацепления, которым соответствуют ориентированные атомы).

Для определения дифференциала в нечетном комплексе Хованова для граф-зацеплений, как в случае нечетных гомологий Хованова обычных зацеплений, требуется дополнительная структура — расстановка знаков.

Обозначим множество ребер куба состояний как E. Назовем расстановкой знаков произволь ное отображение : E {±1} (см. [183]). Двумерная грань называется четной (соотв.нечетной), если она содержит четное (соотв. нечетное) количество ребер e, таких что (e) = 1. Расстанов кой знаков типа X называется такая расстановка, что все грани типов A и X являются четными, а все грани типов C и Y являются нечетными. Аналогично, расстановка знаков типа Y — это расстановка, у которой грани типов A и Y четные, а грани типов C и X нечетные.

Следующая лемма аналогична соответствующей лемме в работе [183].

Лемма 8.7. Любой трехмерный куб в кубе состояний содержит четное количество граней типов A и X. Аналогично, любой куб содержит четное количество граней типов A и Y.

8. Гомологии Хованова Доказательство. Доказательство состоит в переборе всех возможных конфигураций куба с ис пользованием лемм 8.5, 8.6. В реализуемом случае данный перебор сводится к рассмотрению всевозможных ориентированных атомов с тремя вершинами, / V (s i j k) V (s i k) m6 O kk5 O mmm kkk mmm kkk kkk mm mmm kkk / V (s i) V (s i j) O O / V (s k) V (s j k) m6 kk mmm kkk mmm kkk kkk mm mmm kkk / V (s j) V (s) В соответствии с рангами модулей, сопоставляемых вершинам трехмерного куба, можно выделить 18 возможных типов кубов (с точностью до перестановки осей), см. рис. 92, которые обладают следующими двумя свойствами:

1. начальная вершина имеет метку 0;

2. разность чисел в любых двух соседних вершинах равна ±1.

Ниже число в вершине, отвечающей состоянию s куба, равно rank Z V (s ) rank Z V (s). Рассмат риваемые случаи можно объединить в следующие группы.

Случаи 1, 6, 13, 18. Типы двумерных граней однозначно определяются рангами модулей, со ответствующих состояниям, и их количество можно посчитать явно. Например, в случае 6 куб содержит 4 грани типа C и 2 грани типа A.

Случаи 2, 5, 7, 10, 14, 15. Эти случаи не реализуются согласно лемме 8.5. Невозможно разделить вершины vi, vj, vk на внутренние и внешние, чтобы все грани типа 4, инцидентные состоянию s либо s i j k, имели одну внутреннюю и одну внешнюю вершины.

Случаи 3, 8, 11, 16. Куб имеет 4 коммутативные граней (случаи 11, 16) либо 2 грани типа A и 2 грани типа C (случаи 3, 8). Другие две грани куба противоположны и имеют одинаковый тип, так как одна из них является проекцией другой.

Случаи 4, 9, 12, 17. Рассмотрим, например, случай 4. Куб содержит одну антикоммутативную грань и две коммутативные грани. Другие три грани инцидентны состоянию s i. Предположим, что xi = xj = xk V (s i) и sgn(vi ) = sgn(vj ) = sgn(vk ) = 1. Тогда рассматриваемые три грани имеют тип A, Y и Y. При изменении знака у одной из вершин куба vi, vj, vk либо изменении знака у одной из переменных xi, xj, xk в V (si) поменяются типы у двух граней из трех. Следовательно, при общее число A-граней и X-граней остается четным.

С учетом справедливости предыдущего утверждения, доказательство следующей леммы дослов но повторяет доказательство леммы 1.2 из работы [183].

Лемма 8.8. У любого PU-ориентированного двудольного помеченного графа G существует расстановка знаков типа X и расстановка типа Y.

Фиксируем некоторую расстановку знаков типа X или Y и определим цепной комплекс C(G) = V (s) sV с дифференциалом s (u) = (e)s (u).

{s,s V | ss =E} Следующие леммы были доказаны в работе [183], их доказательства остаются справедливыми в нашей ситуации.

Лемма 8.9. Если и — две расстановки знаков одного типа (X или Y), то цепные ком плексы (C(G), ) и (C(G), ) изоморфны.

138 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ /3 /1 / 2 2 ? O ? O ? O ? O ? O ? O                   /2 /2 / 1 1 O O O O O O /2 /2 / 1 1 ? ? ? ? ? ?

                  /1 /1 / 0 0 случай 1 случай 2 случай /1 /1 / 0 0 ? O ? O ? O ? O ? O ? O                 /0 /0 / 1 O O O O O O /2 /0 / 1 1 ? ? ? ? ? ?

                  /1 /1 / 0 0 случай 4 случай 5 случай /1 / /1 0 ? ? O ? O O ? O ? O ? O                /0 / /0 1 O O O O O O /0 / /0 1 1 ? ?

? ? ? ?

                / 1 / /1 0 случай 7 случай 8 случай / / 1 / 1 0 ?0 ? O ? O O ? O ? O ? O                  / /0 / 1 1 O O O O O O / /0 /0 1 1 ?

? ? ? ? ?                  / /1 /1 0 случай 10 случай 11 случай / 1 / 1 / 0 ?0 ? ? O O O ? O ? O ? O                 /0 /0 / 1 O O O O O O / 2 /0 / 1 1 ?

? ? ? ? ?

            / 1 / 1 / 0 0 случай 13 случай 14 случай / 1 / 1 / 2 2 ?O ? O ? O ? O ? O ? O         / 2 / 2 / 1 1 O O O O O O /0 / 2 / 1 1 ?

? ? ? ? ?

             / 1 / 1 / 0 0 случай 16 случай 17 случай РИС. 92. Типы 3-мерных кубов в кубе состояний 8. Гомологии Хованова Лемма 8.10. Если и — две расстановки знаков различных типов, то имеется изомор физм (C(G), ) (C(G), ).

= Таким образом, гомологии комплекса C(G) не зависят от выбора расстановки знаков.

Определение 8.6. Гомологии Kh (G) цепного комплекса (C(G), ) называются приведенными нечетными гомологиями Хованова PU-ориентированного двудольного помеченного графа G.

Основная теорема данного параграфа утверждает, что определенные выше нечетные гомологии Хованова являются инвариантом PU-граф-зацеплений.

Теорема 8.2. Гомологии Хованова Kh (G) инвариантны относительно движений R, 1, PU,,.

2 3 Доказательство. Доказательство теоремы в целом аналогично доказательству в случае Z2, за исключением необходимости следить за расстановкой знаков.

Пусть G — PU-ориентированный двудольный меченый граф, и пусть G — граф, получаемый из G при помощи некоторого движения Рейдемейстера R, 1, P U, 3, 4.

Доказательство инвариантности гомологий относительно движения R повторяет рассуждения леммы 2.3 из [183].

Инвариантность относительно 1.

Пусть G получается из G добавлением изолированной вершины v. Тогда его матрица смежности ( ) 0. Комплекс C(G) расщепляется как Z-модуль в сумму C Cv, где A(G) имеет вид 0 A(G) C соответствует состояниям s V(G), таким что v s, а Cv соответствует состояниям s V(G), таким что v s. Имеется естественная биекция между состояниями в C(G), C и Cv. Пусть — расстановка знаков на C(G). Определим расстановку знаков на C(G) следующим образом.

Положим = на Cv и (e) = 1 для всех ребер между C и Cv. Если sgn(v) = 1, положим = на C. Если sgn(v) = 1, положим = · на C, где (s s i) = 1, если rank Z V (s i) = rank Z V (s) + 1, и (s s i) = 1.

Тогда — расстановка знаков того же типа, что и, поскольку все двумерные грани, содержащие ребра, которые соединяют C и Cv, имеют тип C или A, а четность других граней такая же, как в C(G).

Комплекс (C(G), ) изоморфен произведению комплексов (C(G), ) C(v), где комплекс C(v) равен комплексу графа с одной вершиной. Тогда H (C(v)) = Z · 1, где 1 H0 (C(v)), если sgn(v) = 1, и 1 H1 (C(v)), если sgn(v) = 1. Таким образом, мы имеем Kh (G) = Kh (G) Kh (v) Kh (G).

= Инвариантность относительно 2.

Предположим, что мы добавляем вершины v и w, чтобы получить граф G при помощи движения 2, и что sgn(v) = 1, sgn(w) = 1. Как и в случае коэффициентов Z2, мы можем записать комплекс C(G) в виде (8.3). Заметим, что ограничение расстановки знаков комплекса C(G) на комплекс C является расстановкой знаков того же типа, что и.

Для любого состояния s из Cvw зададим линейную функцию f : V (s) Z2 формулой f ( i xi ) = 1 + 2. Функция f корректно определена, поскольку она равна нулю на лю i соотношении: f (ri )= ai1 + ai2 = 0, так как ai1 = ai2 и sgn(vi ) = sgn(vj ). Тогда s бом ker f x2 V (s) и Cvw = X x2 Cvw. Подкомплекс X Cw ацикличен. Сле V (s) = довательно, гомологии C(G) совпадают с гомологиями факторкомплекса вида (8.4). Частное этого комплекса по подкомплексу C тоже оказывается ациклическим. Таким образом, C(G) имеет те же гомологии, что и C = C(G).

Инвариантность относительно 3.

Без ограничения общности можно считать, что вершины u, v, w, участвующие в третьем дви жении Рейдемейстера, имеют номера 1, 2, 3 в V(G) = V(G). Тогда матрицы смежности G и G 140 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ имеют вид 1 0 0 a b 0 1 0 1 0 0 a 0 a 0 A(G) =, A(G) =.

1 0 0 b 0 0 0 b 0 a b D b a a b D Соответствующие матрицы соотношений равны 1 0 0 ab 0 1 0 1 0 0 a a 0 0 A(G) =, A(G) =.

1 0 0b 0 0 0 b 0 a b D ba a b D Обозначим V (s) = V (G(s)). Тогда для любого s V(G) \ {u, v, w}, как и в неориентированном случае, имеем V (s) V (s), V (s v) V (s v), V (s w) V (s w), V (s v w) V (s u v) = = = = = V (s u w), V (s u v w) V (s u), V (s u v) V (s u w) V (s) и соответствующие = = = изоморфизмы внешних алгебр согласованы с дифференциалом.

Комплексы C(G) и C(G) записываются в форме куба (8.5).

Для каждого состояния s в Cu определим линейную функцию f : V (s) Z формулой f ( i xi ) = 1, а для состояния из Cuvw — функцию f : V (s) Z формулой f ( i xi ) = i i 1 + 2 3. Рассуждая, как в теореме 8.1, мы можем свести комплексы (8.5) к комплексам (8.6) и (8.7).

Покажем, что два полученных комплекса изоморфны.

Пусть — расстановка знаков типа X на C(G). Обозначим через, u, uv и т.д. ограничения на ребра модулей C, Cu, Cuv и т.д. Ограничение расстановки на ребра между кубами Cu и Cuv будем обозначать как u (v), для ребер между другими кубами будем использовать аналогичное обозначение.

Как и в [183], мы можем считать, что uv = uw.

Нам потребуется явный вид изоморфизмов V (s v w) V (s u v) V (s u w) и т.д., = = упомянутых выше. Мы определяем эти изоморфизмы на образующих, как показано в таблице x1 x2 x Vuv V x2 x3 x Vuw V x3 x2 x3 (8.11) Vuvw Vu x2 = x3 x x Vvw Vuv x1 x2 x x Vvw Vuw x1 x x3 x 4, переходят в себя: xi xi. Здесь V означает V (s), Vu означает Другие образующие xi, i V (s u), Vuv — V (s u v) и т.п.

Рассматриваемые отображения индуцируют изоморфизмы модулей uv : Cuv C, uw : Cuw C, uvw : Cuvw Cu, vw : Cvw Cuv, vw : Cvw Cuw. Ниже для отождествления модуля uv uw Cuw с модулем C мы будем использовать подкорректированный изоморфизм uw = uw, где + = u (v)u (w). Далее, мы задаем расстановку знаков в образе так, чтобы получить цепное 8. Гомологии Хованова отображение квадратов uv (w) / Cuvw 1 uv (w) / Cu Cuv O O CO O v (u) vw (u) 2 v (u) 2 vw (u) / Cuv / Cvw Cv Cv 1 v (w) v (w) uw (v) uw (v) / Cuvw / Cu Cuw CO O O O w (u) vw (u) 3 w (u) 3 vw (u) / Cuw.

/ Cvw Cw Cw w (v) w (v) Индуцированная расстановка знаков изображена на ребрах диаграммы. Знак i, i = 1, 2, 3, равен 1 на ребрах s s i в C(G), таких что rank Z V (s i) = rank Z V (s) + 1, и равен 1 в остальных случаях.

Отображения Cuv Cuvw и Cuw Cuvw индуцируют одно и то же отображение C Cu. Дей ствительно, первый квадрат дает отображение (u)s1 = uv (w)uvw s123 (uv )1, в то время s s как второй — отображение uw (v)uvw s123 (uw )1. Изоморфизм (uw )1 uv, отождествляю s + + щий модули Cuv и Cuw, равен s13 (s12 )1. Следовательно, два индуцированных отображе s1 s ния будут совпадать, если s12 s1 s13 s uv (w)s123 s12 = uw (v)s123 s13.

Но = u (v)u (w) и uv (w)u (v)uvw s123 s12 = uw (v)u (w)uvw s123 s13, s12 s1 s13 s поскольку любая двумерная грань в C(G) с учетом расстановки знаков антикоммутативна.

Первый изоморфизм сохраняет тип двумерных граней и не меняет четность по отношению к расстановкам знаков. Тогда индуцированная расстановка знаков имеет тип X на квадрате / Cu CO O / Cuv Cv Второй изоморфизм сохраняет четность двумерных граней типов 1, 2, 3, и меняет четность граней типов 4 и 5, так как в этом случае имеется единственное ребро на грани, у которого 1 = 1. С другой стороны, изоморфизм меняет коммутативные грани типа 5 на антикоммутативные и наоборот, так как соотношение x1 = x2 Vuvw равносильно соотношению x3 = x1 Vu. X-грани становятся Y-гранями и наоборот, так как равенство x2 = sgn(v1 )x1 (= x1 ) Vvw переходит в x1 = x3 = sgn(v3 )x3 Vuw. Таким образом, будет иметь тип X на квадрате / Cu CO O / Cuw Cw Мы можем расширить до расстановки знаков типа X на всем комплексе C(G) (это возможно,так как факторпространство, получающееся после сжатия всех граней, где определено, в точку имеет нулевую группу когомологий H 2 ). Тогда редуцированный комплекс, полученный из C(G), вместе с выбранной расстановкой знаков будет изоморфен соответствующему комплексу, полученному из C(G).

142 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Инвариантность относительно 4.

Пусть вершины u и v, принимающие участие в движении 4, имеют номера p и q в V(G) = V(G).

Коэффициенты матриц смежности A(G) = (aij ) и A(G) = (aij ) связаны соотношением aij apq aip ajq + apq aiq ajp, {i, j} {p, q} =, {i, j} {p, q} =, {p, q}, aij, aij = aij, {i, j} = {p, q}.

Рассмотрим отображение, действующее на множестве состояний согласно формуле s {u, v}, {u, v} s =, s \ {u, v}, {u, v} s = {u, v}, (s) = {u, v} s =, {u, v}, s, вместе с линейными отображениями : V (s) V ((s)), заданными формулой xi, i = p, q, xq, i = p, (xi ) = xp, i = q.

Тогда отображение корректно определено и, после естественного продолжения до гомомор физма внешних алгебр, определяет отображение : C(G) C(G). Это отображение не меняет тип двумерных граней. Если мы выберем расстановки знаков и на пространствах C(G) и C(G) соответственно, так что = (), то будет цепным отображением. Таким образом, комплексы (C(G), ) и (C(G), ) изоморфны, как и их гомологии.

Следствие 8.4. Нечетные гомологии Хованова Kh(G) являются инвариантом PU-граф зацеплений.

8.3. Полином Джонса граф-зацеплений и гомологии Хованова граф-зацеплений. Гомоло гии Хованова, снабженные градуировками, тесно связаны со скобкой Кауфмана меченых графов, введенной выше. Оказывается, что, как и в случае обычных узлов и зацеплений, скобка Кауфмана (с точностью до сдвига градуировки) совпадает с эйлеровой характеристикой биградуированных гомологий Хованова. Чтобы показать справедливость данного утверждения, опишем, какие гра дуировки имеют гомологии Хованова граф-зацеплений. Рассмотрим сначала граф-зацепления без ориентации.

Пусть G — меченый граф с n перекрестками. В комплексе Хованова C(G) есть две градуиров гомологическая градуировка M0 и алгебраическая градуировка deg в градуированных алгебрах ки:

V (s). Дифференциал не является однородным относительно deg, однако он согласован с граду ировкой Q0, которая элементу u r V (s) сопоставляет число Q0 (u) = dimZ2 V (s) 2r + M0 (s).

Дифференциал увеличивает на единицу гомологическую градуировку M0 и не меняет градуировку Q0. Тогда имеется разложение гомологий Хованова в прямую сумму Kh(G) = Kh(G)(m,q).

m,qZ Эйлерова характеристика гомологий Хованова, как показывает теорема ниже, с точностью до множителя равна скобке Кауфмана графа G.

Теорема 8.3.

(1)m dimZ2 Kh(G)(m,q) · tq = (it1/2 )n G(it1/2 ).

m,qZ Доказательство. Левая часть выражения совпадает с эйлеровой характеристикой комплекса C(G). Каждое состояние s V(G) имеет гомологическую градуировку M0 (s) = (s), и соот ветствующее пространство цепей V (s) вносит в эйлерову характеристику вклад (1)(s) (t + t1 )dim V (s) t(s).

Так как dim V (s) = corank Z2 A(s) и (s) = 1 ((s) (s) + n), сумма по всем состояниям равна правой части доказываемого равенства.

8. Гомологии Хованова Градуировки M0, Q0 комплекса Хованова не сохраняются при движениях Рейдемейстера. В следующей таблице показано, эти градуировки меняются при движениях.

M0 Q 0 g 1 + g 1 1 (8.12) g 2 1 g 3 0 g 4 0 g 4 0 Здесь g 1± означает добавление изолированной вершины со знаком ±1, а g 2 означает движение Рейдемейстера, добавляющее две вершины. В ячейках таблицы стоят сдвиги градуировок после совершения соответствующего движения.

Итак, группы Kh(G)(m,q) не являются инвариантами граф-зацеплений. Тем не менее, они допус кают нормализацию для граф-узлов (см. определение 7.14).

Напомним, что число закрученности граф-узла инвариантно относительно движений g 2 g 4.

Движение g 1± меняет число закрученности на 1. Опираясь на этот факт и таблицу (8.12) мы строим две градуировки, сохраняющиеся при движениях Рейдемейстера n(G) + w(G) n(G) + 3w(G) M = M0 (8.13), Q = Q0 +.

2 Здесь n(G) есть число вершин графа G.

Обозначим через Khm,q (G) однородную часть гомологий Kh(G), имеющую градуировки M = m и Q = q. Из инвариантности градуировок относительно движений Рейдемейстера вытекает утверждение.

Утверждение 8.10. Группы Khm,q (G), m, q Z, являются инвариантами граф-узлов.

Число закрученности позволяет определить другой инвариант граф-узлов — полином Джонса.

Из теоремы 8.3 следует утверждение.

Теорема 8.4. Биградуированные гомологии Хованова граф-узлов Khm,q (G) представляют собой категорификацию полинома Джонса, т.е.

(1)m dimZ2 Khm,q (G) · tq = X(G)(it1/2 ).

m,qZ Перейдем теперь к случаю PU-граф-зацеплений. Пусть G — PU-ориентированный двудольный граф (оснащение каждой вершины равно нулю), и пусть A = A(G) — его матрица смежности.

На нечетном комплексе Хованова графа G, как и в случае неориентированных граф-зацеплений, имеются гомологическая градуировка M0 и алгебраическая градуировка Q0, которая на элементе u r V (s) принимает значение Q0 (u) = rank Z V (s) 2r + M0 (s). Отсюда имеем разложение нечетных гомологий Хованова Kh (G) = m,qZ Kh (G)(m,q).

Нам нужно определить скобку Кауфмана для PU-ориентированного графа G. Для этого рас смотрим неориентированный меченый граф G, получаемый из графа G забыванием ориентации.

Вершины графа G имеют знаки, равные знакам соответствующих вершин в G, и оснащение 0.

Тогда матрица смежности A = A(G) графа G является редукцией по модулю 2 матрицы A(G).

Определение 8.7. Назовем скобкой Кауфмана G PU-ориентированного двудольного поме ченного графа G полином G.

Назовем PU-граф-зацепление с представителем G главно унимодулярным граф-узлом (PU граф-узлом), если G — граф-узел в смысле определения 7.14.

Число закрученности w(G) двудольного PU-ориентированного помеченного графа G полагаем равным числу w(G).

Назовем полиномом Джонса X(G) главно унимодулярного граф-узла с представителем G по лином X(G).

144 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ Заметим, что определение PU-граф-узла корректно, поскольку забывание ориентации «функто риально», т.е. если два PU-ориентированных графа G и G связаны движением Рейдемейстера, то соответствующие им неориентированные графы G и G связаны тем же самым движением.

Для PU-граф-узла G можно при помощи формул (8.13) ввести инвариантные градуировки M и Q и, аналогично неориентированному случаю, получить сохраняющееся при движениях Рейде мейстера разложение Kh (G) = m,qZ Khm,q (G).

Из свойства главной унимодулярности матрицы A вытекает следующая лемма.

Лемма 8.11. Для любого состояния s V(G) = V(G) имеем rank Z A(s) = rank Z2 A(s).

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что s = V(G). Пусть m — некоторый минор матрицы A, а m — соответствующий ему минор (т.е. минор, имеющие те же наборы строк и столбцов, что и m) матрицы A. Тогда m m (mod 2). Согласно лемме 8.3, m равен 0, 1 или 1. Следовательно, m = 0 тогда и только тогда, когда m = 0. Заключение леммы теперь следует из того факта, что ранг матрицы равен максимальному размеру ненулевого минора.

Доказанная лемма позволяет дать определение скобки Кауфмана графа G в терминах матрицы смежности A.

Следствие 8.5. Скобка Кауфмана PU-ориентированного графа G равна a(s)(s) (a2 a2 )corankZ A(s), G(a) = sV(G) где (s) равно сумме вершин с метками из s и вершин с метками + из V(G) \ s, (s) = |V(G)| (s).

Используя данное следствие, мы можем сформулировать теорему, связывающую нечетные го мологии Хованова со скобкой Кауфмана и полиномом Джонса. Доказательство этой теоремы не отличается от неориентированного случая.

Теорема 8.5. Пусть G — PU-ориентированный двудольный меченый граф с n вершинами.

Тогда эйлерова характеристика нечетных гомологий Хованова (относительно градуировок M0 и Q0 ) совпадает (с точностью до множителя) со скобкой Кауфмана графа G:

(1)m rank Z Kh (G)(m,q) · tq = (it1/2 )n G(it1/2 ).

m,qZ Если G является представителем PU-граф-узла, то нечетные гомологии Хованова, рас сматриваемые с инвариантными градуировками M и Q, категорифицируют полином Джонса:

(1)m rank Z Khm,q (G) · tq = X(G)(it1/2 ).

m,qZ 9. НЕРЕШЕННЫЕ ЗАДАЧИ В данном разделе мы сформулируем некоторые открытые проблемы, касающиеся свободных узлов, граф-зацеплений и комбинаторной теории узлов 9.1. Свободные узлы.

1. Известно, что плоские виртуальные узлы алгоритмически распознаются, см. [69] и стр. 14.

Возникает вопрос, существует ли какой-нибудь алгоритм распознающий два свободных узла?

2. Выше мы построили отображение из всех виртуальных узлов в виртуальные узлы с ори ентируемыми атомами. В работе [167] построено отображение из узлов на фиксированной поверхности на классические узлы. Это отображение не согласуется со стабилизацией. В на стоящее время второму автору известно, как согласовать это отображение со стабилизацией, т.е. как на диаграммном уровне построить отображение из виртуальных узлов в классические узлы.

Можно ли придумать другие отображения, которые бы проецировали множество виртуаль ных узлов на множество классических узлов? Например, попытаться найти индекс, используя характеристические классы.

9. Нерешенные задачи 3. Тураевым было построено отображение из длинных плоских узлов в длинные виртуальные узлы. Можно ли построить хоть какое-нибудь отображение из длинных свободных узлов в длинные виртуальные узлы? Этот вопрос можно расширить и попытаться построить хоть какое-нибудь отображение, которое «увеличивает» структуру.

4. Задача о кобордизмах в сечениях: Пусть дан свободный узел и его кобордизм. При переходе от сечения кобордизма к другому сечению могут происходить перестройки Морса и движе ния Рейдемейстера. При этом топология объемлющей поверхности (кобордизма) накладывает определенные условия на тип движений Рейдемейстера, которые могут происходить при пере ходе от уровня к уровню. Можно ли построить четность на данном свободном узле, которая определялась бы только этим кобордизмом и уважала бы только движения внутри этого кобордизма.

5. Доказать или опровергнуть гипотезу о не единственности минимального представителя сво бодного зацепления, т.е. найдется свободное зацепление, которое имеет несколько минималь ных представителей.

9.2. Граф-зацепления.

1. Можно ли построить проекцию из множества граф-зацеплений на множество реализуемых граф-зацеплений?

2. Построить четность на граф-зацеплениях используя критерий Буше о реализуемости графа.

Так же попробовать найти четность, ответственную за циклическую 6-реберную связность, см. [21].

3. Построить обобщения фробениусова расширения и инварианта Расмуссена на «жесткие»

граф-зацепления с ориентируемыми атомами.

4. Верно ли, что два эквивалентных реализуемых граф-зацепления эквивалентны в классе реа лизуемых. Если это не так, то построить пример.

5. Построить группу для граф-зацеплений, аналогичную группе из п. 6.

6. Построить «граф-косы».

9.3. Кобордизмы. Методы, использованные для доказательства того, что инвариант L достав ляет препятствие к срезанности, не обобщаются непосредственно для получения нижних оценок на срезанный род свободных узлов. Две причины состоят в следующем. Во-первых, когда мы опре деляем четность и уточненную четность на двойных линий на D, мы выбираем произвольную кривую, соединяющую два прообраза точки на двойной кривой. Мы утверждаем, что любые две кривые, соединяющие два таких прообраза (и правильно ведущие себя в окрестности концов), являются гомотопными. Это верно в случае кобордизма рода нуль, но в случае поверхности Dh произвольного рода h это, вообще говоря, неверно.

Таким образом, чтобы определить четность для двойных линий, нам нужно будет наложить некоторые ограничения на затягивающую поверхность: нужно будет потребовать, чтобы класс ко гомологий, двойственный графу, был Z2 -гомологически тривиальным. Важность свойства чет новалентных графов быть Z2 -гомологически тривиальными тесно связана с атомами, подробнее см. [161].

Другая проблема состоит в том, что граф Риба произвольной функции Морса (не обязательно соответствующей диску) не обязательно является деревом. Рассмотрим рис. 93.

Таким образом, стартуя со свободного узла K, у которого, скажем, L(K) = 8, мы (в принципе) можем разбить его перестройкой Морса на свободной двухкомпонентное зацепление, состоящее из двух свободных узлов K1 и K2, у которых L(Ki ) = 4, а затем другой перестройкой Морса пере строить это тривиальное зацепление в тривиальный узел. Инвариант L не является препятствием к этому, так как 4 и 4 в сумме дают нуль.

В работе [127] построено усиление Gm группы G построенной в настоящей работе (в обозна чениях [127] наша группа G есть G1 ) и построены инварианты свободных узлов со значениями в классах сопряженности элементов из Gm. Идея состоит в том, что четные хорды далее подразде ляются на хорды разных видов, что приводит к уточнению образующих и соотношениях в группе;

эти построения тесно связаны с итерированными четностями и отображением f, удаляющим нечетные перекрести. Похоже, что все инварианты, связанные с группами Gm, также доставляют препятствие к срезанности узла. Более того, в работе [150] построены инварианты виртуальных 146 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ РИС. 93. Граф Риба, соответствующий кобордизму рода один узлов, в которых помимо четности хорд учитывается структура проход/переход. Исследованию связи этих инвариантов с кобордантностью мы посвятим отдельную работу.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Афанасьев Д. М. Об усилении инвариантов виртуальных узлов с помощью четности// Матем. сб. — 2010. — 201, № 6. —С. 3–18.

2. Afanasiev D. On a generalization of the Alexander polynomial for long virtual knots// Knot Theory and Its Ramications J. — 2009. — 18, № 10. — С. 1329–1333.

3. Афанасьев Д. М., Мантуров В. О. О минимальных диаграммах виртуальных зацеплений// Доклады РАН. Сер. матем. —2009. — 426, № 1. — С. 7–10.

4. Afanasiev D. M., Manturov V. O. On virtual crossing number estimates for virtual links// Knot Theory and Its Ramications J. 2009. — 18, № 6. — С. 757–772.

5. Alexander J. W. Topological invariants of knots and links// Trans. AMS. —1923. — 20. — С. 257–306.

6. Alexander J. W. A matrix knot invariant// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. — 1933. — 19. — С. 222–275.

7. Arnold V. I. Topological invariants of plane curves and caustics. — Univ. Lect. Series, AMS, Providence 5, 1994. — viii+60 с.

8. Arnold V. I. Plane curves, their invariants, perestroikas and classications// In: Singularities and Bifurcations (Adv. Soviet Math., AMS, Providence). — 1994. — 21. — С. 33–91.

9. Artin E. Theorie der Z pfe// Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. — 1925. — 4. — С. 27–72.

o 10. Asaeda M., Przytycki J., Sikora A. Categorication of the Kauman bracket skein module of I-bundles over surfaces// Algebraic and Geometric Topology. — 2004. — 4, № 52. — С. 1177–1210.

11. Bardakov V. G. The virutal and universal bradis// Fundamenta Mathematicae. — 2004. — 184. — С. 1– 18.

12. Bar–Natan D. On the Vassiliev Knot Invariants// Topology. — 1995. — 34. — С. 423–472.

13. Bar–Natan D. On Khovanov’s categorication of the Jones polynomial// Algebraic and Geometric Topology. — 2002. — 2, № 16. — С. 337–370.

14. Bar–Natan D., Garoufalidis S. On the Melvin-Morton-Rozansky conjecture// Inv. Math. — 1996. — 125. — С. 103–133.

15. Bigelow S. Braid groups are linear// J. Amer. Math. Soc. — 2001. — 14. — С. 471–486.

16. Bigelow S. Does the Jones polynomial detect the unknot// Knot Theory and Its Ramications J. — 2002. — 11. — С. 493–505.

17. Birman J. S. Braids, links and mapping class groups. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1975 (Ann.

Math. Stud., 1982).— 228 с.

18. Birman J. S. New points of view in knot theory// Bull. AMS. — 1993. — 28. — С. 283–287.

19. Blanchet C. An oriented model for Khovanov homology// Knot Theory and Its Ramications J. — 2010. — 19 No 2. — С. 291–312.

20. Bloom J. Odd Khovanov homology is mutation invariant// Math. Res. Lett. — 2010. — 17, № 1. — С. 1–10.

21. Bouchet A. Circle graph obstructions// Combinatorial Theory B J. — 1994. — 60. — С. 107–144.

22. Bouchet A. Multimatroids. I. Coverings by independent sets// SIAM J. Discrete Math. — 1997. — 10, № 4. — С. 626–646.

23. Bouchet A. Unimodularity and circle graphs// Discrete Math. — 1987. — 66. — С. 203–208.

9. Нерешенные задачи 24. Bouchet A, Cunningham W. H., Geelen J. F. Principally unimodular skew-symmetric matrices// Combinatorica. — 1998. — 18, № 4. — С. 461–486.

25. Bourgoin M. O. Twisted Link Theory// Algebraic & Geometric Topology. — 2008. — 8, № 3. — С. 1249– 1279.

26. Burau W. Uber Zopfgruppen und gleichzeitig verdrillte Verkettungen// Abh. Math. Sem. Univ.

Hamburg — 1936. — 11. — С. 179–186.

27. Cairns G., Elton D. The planarity problem for signed Gauss words// Knot Theory and Its Ramications J. — 1993. — 2. — С. 359–367.

28. Cairns G., Elton D. The planarity problem. II// Knot Theory and Its Ramications J. — 1996. — 5. — С. 137—144.

29. Carter J. S. Closed curves that never extend to proper maps of disks// Proc. AMS. — 1991. — 113, № 3. — С. 879–888.

30. Carter J. S., Saito M. Diagrammatic invariants of knotted curves and surfaces// unpublished manuscript. — 1992.

31. Carter J. S., Kamada S., Saito M. Stable equivalence of knots on surfaces// Knot Theory and Its Ramications J. — 2002. — 11. — С. 311–322.

32. Carter J. S., Kamada S., Saito M. Surfaces in 4-space. — N.Y: Springer Verlag, 2004. — 213 c.

33. Cerf J. Sur les di omorphismes de la sph` re de dimension trois (4 = 0). Lecture Notes in Mathematics, e e 53. — Berlin-New York: Springer-Verlag, 1968. — xii+133 с.

34. Champanerkar A., Kofman I. Spanning trees and Khovanov homology// arXiv:math.GT/0607510.

35. Chmutov S., Duzhin S. CDBook. Book about chord diagrams. Introduction to Vassiliev Knot Invariants. — http://www.pdmi.ras.ru/ duzhin/ papers/cdbook.ps.gz.

36. Chmutov S. V., Duzhin S. V., Lando S. K. Vassiliev Knot Invariants. I, II, III// Adv. Sov. Math. — 1994. — 21. — С. 117–147.

37. Chmutov S. V., Lando. S. K. Mutant knots and intersection graphs// Algebraic & Geometric Topology. — 2007. — 7. — С. 1579-–1598.

38. Chrisman M., Manturov V. O. Combinatorial Formulae for Finite-Type Invariants via Parities// arXiv:math.GT/1002.0539.

39. Clark D., Morrison S., Walker K. Fixing the functoriality of Khovanov homology// Geometry & Topology. — 2009. — 13, № 3 — С. 1499–1582.

40. Cohn M., Lempel A. Cycle decomposition by disjoint transpositions// Combin. Theory Ser. A J. — 1972. — 13. — С. 83–89.

41. Conway J. H. An enumeration of knots and links and some of their algebraic properties// In:

Computational Problems in

Abstract

Algebra (New York, Pergamon Press). — 1970. — С. 329–358.

42. Crapo H., Rosenstiehl. P. On lacets and their manifolds// Discrete Math. — 2001. — 233, № 1-3. — С. 299–320.

43. Dehn M. Die beiden Kleeblattschlingen// Mathematische Annalen. — 1914. — 102. — С. 402–413.

44. Dehn M. Uber die Topologie des dreidimensionalen Raumes// Mathematische Annalen. — 1910. — 69. — С. 137–168.

45. Дроботухина Ю. В. Аналог многочлена Джоунса для зацеплений в RP 3 и обобщение теоремы Кауфмана-Мурасуги// Алгебра и анализ. — 1990. — 2, No 3. — С. 171–191.

46. Дужин С. В., Карев М. В. Определение ориентации струнных зацеплений при помощи инвариантов конечного типа// Функц. анализ и его приложения. — 2007. — 41, № 3. — С. 48–59.

47. Dye H. A. Detection and Characterization of Virtual Knot Diagrams// Ph.D. Thesis, University of Illinois at Chicago, 2003.

48. Dye H. A., Kauman L. H. Virtual knot diagrams and the Witten-Reshetikhin-Turaev Invariants// Knot Theory and Its Ramications J. — 2005. — 14, № 8. — С. 1045–1075.

49. Dye H. A., Kauman L. H. Minimal Surface Representation of Virtual Knots and Links// arXiv:math.GT/ 0401035v1.

50. Dye H. A., Kauman L. H. Virtual Crossing Number and the Arrow Polynomial// Knot Theory and Its Ramications J. — 2009. — 18, № 10. — С. 1335–1357.

51. Dye H. A., Kauman L. H., Manturov V. O. On two categorications of the arrow polynomial for virtual knots// The mathematics of knots, Contributions in the Mathematical and Computational Sciences. — 2010. — 1. — С. 95–127.

52. Eliahou Sh., Kauman L. H., Thistletwaite M. Innite families of links with trivial Jones polynomial// Topology. — 2003. — 42. — С. 155–169.

53. Fenn R. A., Kauman L. H., Manturov V. O. Virtual Knots: Unsolved Problems// Fundamenta Mathematicae, Proceedings of the Conference “Knots in Poland-2003”. — 2005. — 188. — С. 293–323.

148 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ 54. Filotti I. S., Miller G. L., Reif J. On determining the genus of a graph in O(v O(g) ) steps// In: Proc. XI Annual Symp. on Theory of Computing (N.Y.: ACM Press). — 1979. — С. 27—37.

55. Flemming Th., Mellor B. Virtual Spatial Graphs// Kobe J. Math. — 2007. — 24. — С. 57–85.

56. Fomenko A. T. The theory of multidimensional integrable hamiltonian systems (with arbitrary many degrees of freedom). Molecular table of all integrable systems with two degrees of freedom// Adv. Sov.

Math. — 1991. — 6. — С. 1–35.

57. Freyd P., Yetter D., Hoste J., Lickorish W. B. R., Millett K. C., and Ocneanu A. A new polynomial invariant of knots and links// Bull. Amer. Math. Soc. — 1985. — 12. — С. 239–246.

58. Garoufalidis S. A conjecture on Khovanov’s invariants// Fundamenta Mathematicae. — 2004. — 184. — С. 99–101.

59. Gauss C. F. Zur Mathematischen Theorie der electrodynamischen Wirkungen// Werke K ningl. Gesell.

o Wiss. G ttingen. — 1877. — 5. — С. 605.

o 60. Mo-Lin Ge, Kauman L. H. Yong Zhang, Virtual Extension of Temperley–Lieb Algebra// arXiv:math-ph/ 0610052.

61. Ghier L. Double occurence words with the same alternance graph// ARS Combinatorice. — 1993. — 36. — С. 57–64.

62. Gibson A. Homotopy Invariants of Gauss Words// arXiv:math.GT/0902.0062.

63. Gibson A., PhD thesis.

64. Goldman W. Invariant functions on Lie groups and Hamiltonian ows of surface group representations// Inventiones Mathematicae. — 1986. — 85. — С. 263–302.

65. Gordon C. McA., Luecke J. Knots are determined by their complements// J. Amer. Math. Soc. — 1989. — 2, № 2. — С. 371–415.

66. Goussarov M., Polyak M., and Viro O. Finite type invariants of classical and virtual knots// Topology. — 2000. — 39. — С. 1045–1068.

67. Гусаров М. Н. Новая форма полинома Джонса-Конвея для ориентированных зацеплений// Зап. на учных семинаров ЛОМИ. — 1991. — 193, Геометрия и топология 1. — С. 4–9.

68. Haken W. Theorie der Normal chen// Acta Mathematicae. — 1961. — 105. — С. 245–375.

a 69. Hass J., Scott P. Shortening curves on surfaces// Topology. — 1994. — 33, № 1. — С. 25–43.

70. Hemion G. The classication of knots and 3–dimensional spaces. — Oxford: Oxford Univ. Press, 1992. — 168 с.

71. Hrencecin D. On Filamentations and Virtual Knot Invariant// Thesis www.math.uic.edu/ dhren/ FINALCOPY.ps.

72. Hrencecin D., Kauman L. H. On Filamentations and Virtual Knots// Topology and its Applications. — 2003. — 134. — С. 23–52.

73. Hurwitz A. Uber Riemannsche Fl che mit gegebenen Verzweigungspunkten// Math. Ann. — 1981. — a 39. — С. 1–61.

74. Ilyutko D. P. Framed 4-Valent Graphs: Euler Tours, Gauss Circuits and Rotating Circuits// arXiv:math.CO/0911.5504.

75. Ilyutko D. P. An Equivalence between the Set of Graph-knots and the Set of Homotopy Classes of Looped Graphs// arXiv:math.GT/1001.0360.

76. Ильютко Д.П. Оснащенные 4-графы: эйлеровы циклы, гауссовы циклы и поворачивающие обходы// Матем. сб. — 2011.. — в печати.


77. Ilyutko D. P., Manturov V. O. “Introduction to graph-link theory”, Knot Theory and Its Ramications J.

18:6, 791—823 (2009).

78. Ильютко Д.П., Мантуров В. О. Граф-зацепления// Доклады РАН. Сер. матем. — 2009. — 428, № 5. — С. 591–594.

79. Ильютко Д.П., Мантуров В. О. Кобордизмы свободных узловДоклады РАН. Сер. матем. — 2009. — 429, № 4. — С. 439–441.

80. Ilyutko D. P., Manturov V. O. Graph-links// arXiv:math.GT/1001.0384.

81. Ishii A., Kamada N., Kamada S. The virtual magnetic Kauman bracket skein module and skein relations for the f-polynomial// Knot Theory and Its Ramications J. — 2008. — 17, № 6. — С. 675—688.

82. Jablan S., Sazdanovic R. LINKNOT. Knot Theory by Computer, Series on Knots and Everything, Vol.

21. — World Scientic, 2007. — 500 с.

83. Jacobsson M. An invariant of link cobordisms from Khovanov’s homology theory// Algebraic and Geometric Topology. — 2004. — 4. — С. 1211–1251.

84. Jaeger F., Kauman L. H., and Saleur H. The Conway Polynomial in S 3 and Thickened Surfaces: A new Determinant Formulation// Combin. Theory. Ser. B J. — 1994. — 61. — С. 237–259.

9. Нерешенные задачи 85. Jones V. F. R. A polynomial invariant for links via Neumann algebras// Bull. Amer. Math. Soc. — 1985. — 129. — С. 103–112.

86. Jones V. F. R. Hecke algebra representations of braid groups and link polynomials// Annals of Mathematics. — 1987. — 126. — С. 335–388.

87. Jonsson J. On the number of Euler trails in directed graphs// Math. Scand. — 2002. — 90. — С. 191–214.

88. Kadokami S. Detecting non-triviality of virtual links// Knot Theory and Its Ramications J. — 2003. — 6. — С. 781–819.

89. Kamada N. On the Jones polynomial of checkerboard colorable virtual knots// Osaka J. Math. — 2002. — 39, № 2. — С. 325–333.

90. Kamada N. A relation of Kauman’s f -polynomials of virtual links// Topology and Its Applications. — 2005. — 146-147. — С. 123–132.

91. Kamada N., Kamada S. Abstract link diagrams and virtual knots// Knot Theory and Its Ramications J. — 2000. — 9, № 1. — С. 93–109.

92. Kamada N., Nakabo S., and Satoh S. A virtualized skein relation for Jones polynomial// Illinois Journal of Mathematics. — 2002. — 46, № 2. — С. 467–475.

93. Kamada S. Braid presentation of virtual knots and welded knots// Osaka J. Math. — 2007. — 44, № 2. — С. 441–458.

94. Kauman L. H. On Knots. — Annals of Math Studies, Princeton University Press, 1987. — 498 с.

95. Kauman L. H. Knots and Physics. — Singapore: World Scientic, 1991. — 788 с.

96. Kauman L. H. State Models and the Jones Polynomial// Topology. — 1987. — 26. — С. 395–407.

97. Kauman L. H. Combinatorics and knot theory// Contemporary Mathematics. — 1983. — 20. — С. 181– 200.

98. Kauman L. H. Link manifolds and periodicity// Bull. Amer. Math. Soc. — 1973. — 79. — С. 570–573.

99. Kauman L. H. Virtual knot theory// European Journal of Combinatorics. — 1999. — 20, № 7. — С. 663–690.

100. Kauman L. H. Detecting virtual knots// Atti. Sem. Math. Fis., Univ. Modena, Supplemento al vol.

IL. — 2001. — С. 241–282.

101. Kauman L. H. Diagrammatic Knot Theory// in preparation.

102. Kauman L. H. A Self-Linking Invariant of Virtual Knots// Fundamenta Mathematicae. — 2004. — 184. — С. 135–158.

103. Kauman L. H. Virtual Knots// talks at MSRI Meeting, January 1997 and AMS meeting at University of Maryland, College Park, March 1997.

104. Kauman L. H., Lambropoulou S. Virtual braids// Fundamenta Mathematicae. — 2004. — 184. — С. 159–186.

105. Kauman L. H., Lambropoulou S. Virtual braids and the L-Move// Knot Theory and Its Ramications J. — 2006. — 15, № 6. — С. 773–811.

106. Kauman L. H., Manturov V. O. Virtual Biquandles// Fundamenta Mathematicae. — 2005. — 188. — С. 103–146.

107. Кауфман Л. Х., Мантуров В. О. Виртуальные узлы и зацепления// Труды математического института РАН им. В.А.Стеклова. — 2006. — 252, № 1. — С. 114–133.

108. Kauman L. H., Radford D. Bi-Oriented Quantum Algebras and a Generalized Alexander Polynomial for Virtual Links// AMS Contemp. Math. — 2002. — 318. — С. 113–140.

109. Khovanov M. A categorication of the Jones polynomial// Duke Math. J. — 1997. — 101, № 3. — С. 359–426.

110. Khovanov M. A functor-valued invariant of tangles// Algebraic and Geometric Topology. — 2002. — 2. — С. 665-–741.

111. Khovanov M. Link homology and Frobenius extensions// arXiv.math:GT/0411447.

112. Khovanov M. Categorications of the colored Jones polynomial// Knot Theory and Its Ramications J. — 2005. — 14, № 1. — С. 111–130.

113. Khovanov M., Rozansky L. Matrix Factorizations and Link Homology// arXiv.math:GT/0401268.

114. Khovanov M., Rozansky L. Matrix Factorizations and Link Homology II// arXiv.math:GT/0505056.

115. Khovanov M., Rozansky L. Virtual crossings, convolutions and a categorication of the SO(2N ) Kauman polynomial// arXiv.math:GT/0701333.

116. Kotzig A. Eulerian lines in nite 4-valent graphs and their transformations// In: Theory of Graphs (Proc.

Colloq., Tihany, 1966). — New York: Academic Press,1968. — С. 219–230.

117. Krammer D. Braid groups are linear// Ann. of Math. —2002. — 2, № 155. — С. 131–156.

118. Kronheimer P. B., Mrowka T. S. Khovanov homology is an unknot-detector// arXiv:math.GT/1005.4346.

119. Krylov D. Yu., Manturov V. O. Parity and Relative Parity in Knot theory// arXiv:math.GT/1101.0128.

150 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ 120. Kuperberg G. What is a Virtual Link?// Algebraic and Geometric Topology. — 2003. —3. — С. 587–591.

121. Las Vergnas M. Eulerian circuits of 4-valent graphs imbedded in surfaces// In: Algebraic methods in graph theory, Szeged 1978 (Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai). — Amsterdam-New York: North-Holland, 1981. — 25. — С. 451–477.

122. Lee E. S. The support of the Khovanov’s invariants for alternating knots// arXiv:math.GT/0201105.

123. Lee E. S. On Khovanov invariant for alternating links// arXiv:math.GT/0210213.

124. Lins S., Richter B., and Shank H. The Gauss code problem o the plane// Aequationes Math. — 1987. — 33, № 1. — С. 81–95.

125. Lov sz L., Marx M. A forbidden substructure characterization of Gauss codes// Acta Sci. Math.

a (Szeged). — 1976. — 38, № 1–2. — С. 115–119, short version: Bull. Amer. Math. Soc. — 1976. — 82, № 1. — С. 121–122.

126. Lowrance A. Heegaard-Floer Homology and Turaev genus// arXiv:math.GT/0709.0720.

127. Manturov O. V., Manturov V. O. Free Knots and Groups// Knot Theory and Its Ramications J. — 2009. — 18, № 2. — С. 181–186.

128. Мантуров В. О. Бифуркации, атомы и узлы// Вестник МГУ. Сер. Матем. — 2000. — 1. — С. 3–8.

129. Мантуров В. О. Атомы, высотные атомы, хордовые диаграммы и узлы. Перечисление атомов малой сложности с использованием языка Mathematica 3.0.// Топологические методы в теории гамильтоно вых систем. — М., Факториал, 1998. — С. 203–212.

130. Мантуров В. О. Скобочная полугруппа узлов// Мат. Заметки. — 2000. —67, № 4. — С. 549—562.

131. Мантуров В. О. Теория узлов. — Москва-Ижевск, РХД, 2005. — 512 с.

132. Мантуров В. О. Инвариантные полиномы виртуальных зацеплений// Труды ММО. — 2004. — 65, № 1. — С. 175–200.

133. Мантуров В. О. О распознавании виртуальных кос// Записки научных семинаров ПОМИ, Геометрия и топология. — 2003. — 299, № 8. — С. 267–286.

134. Мантуров В. О. Инварианты виртуальных зацеплений// Доклады РАН. Сер. матем. — 2002. — 384, № 1. — С. 11–13.

135. Мантуров В. О. Атомы и минимальные диаграммы виртуальных зацеплений// Доклады РАН. Сер.

матем. — 2003. — 391, № 2. — С. 166–168.

136. Мантуров В. О. Полином Хованова для виртуальных узлов// Доклады РАН. Сер. матем. — 2004. — 398, № 1. — С. 15–18.

137. Мантуров В. О. Кривые на поверхностях, виртуальные узлы и полином Джонса-Кауфмана// Доклады РАН. Сер. матем. — 2003. — 390, № 2. — С. 155–157.

138. Мантуров В. О. Инварианты конечного порядка виртуальных зацеплений и полином Джонса Кауфмана// Доклады РАН. Сер. матем. — 2004. — 395, № 1. — С. 18–21.

139. Мантуров В. О. О длинных виртуальных узлах// Доклады РАН. Сер. матем. — 2005. — 401, № 5. — С. 595–598.


140. Мантуров В. О. Инвариантный полином двух переменных для виртуальных зацеплений// Успехи мат. наук. — 2002. — 57, № 5(347). — С. 141–142.

141. Мантуров В. О. Комплекс Хованова для виртуальных узлов// Фундаментальная и прикладная мате матика. — 2005. — 11, № 4. — С. 127–152.

142. Мантуров В. О. Доказательство гипотезы В. А. Васильева о планарности сингулярных зацеплений// Известия РАН, Сер. Мат. — 2005. — 69, № 5. — С. 169—178.

143. Мантуров В. О. Комбинаторные вопросы теории виртуальных узлов// Математические вопросы ки бернетики. — 2003. — 12. — С. 147–178.

144. Мантуров В. О. Комплекс Хованова и минимальные диаграммы узлов// Доклады РАН. Сер. матем. — 2006. — 406, № 3. — С. 308–311.

145. Мантуров В. О. Гомологии Хованова виртуальных узлов с произвольными коэффициентами// Изве стия РАН, Сер. Мат. — 2007. — 71, № 5. — С. 111–148.

146. Мантуров В. О. Вложения четырехвалентных оснащенных графов в двумерные поверхности// До клады РАН. Сер. матем. — 2009. — 424, № 3. — С. 308–310.

147. Мантуров В. О. Дополнительные градуировки в гомологиях Хованова// Доклады РАН. Сер. матем. — 2008. — 420, № 2. — С. 168–171.

148. Мантуров В. О. Четность и кобордизмы свободных узлов// Матем. сб. — 2011. — в печати.

149. Мантуров В. О. Четность в теории узлов// Матем. сб. — 2010. — 201, № 5. — С. 65–110.

150. Мантуров В. О. Свободные узлы, группы и инварианты конечного порядка// Statu Nascendi.

151. Manturov V. O. Knot Theory. — CRC-Press, Boca Raton, 2004. — 416 с.

152. Manturov V. O. Multivariable polynomial invariants for virtual knots and links// Knot Theory and Its Ramications J. — 2003. — 12, № 8. — С. 1131–1144.

9. Нерешенные задачи 153. Manturov V. O. Kauman–like polynomial and curves in 2–surfaces// Knot Theory and Its Ramications J. — 2003. — 12, № 8. — С. 1145–1153.

154. Manturov V. O. Vassiliev invariants for virtual links, curves on surfaces and the Jones-Kauman polynomial// Knot Theory and Its Ramications J. — 2005. — 14, № 2. — С. 231–242.

155. Manturov V. O. Long virtual knots and their invariants// Knot Theory and Its Ramications J. — 2004. — 13, № 8. — С. 1029–1039.

156. Manturov V. O. On Invariants of Virtual Links// Acta Applicandae Mathematicae. — 2002. — 72, № 3. — С. 295–309.

157. Manturov V. O. Virtual Knots and Innite-dimensional Lie algebras// Acta Applicandae Mathematicae. — 2004. — 83. — С. 221–233.

158. Manturov V. O. Flat Hierarchy// Fundamenta Mathematicae. — 2005. — 188. — С. 147–154.

159. Manturov V. O. Khovanov Homology for Virtual Links with Arbitrary Coecients// Knot Theory and Its Ramications J. — 2007. — 16, № 3. — С. 345–377.

160. Manturov V. O. On Free Knots// arXiv:math.GT/0901.2214.

161. Manturov V. O. On Free Knots and Links// arXiv:math.GT/0902.0127.

162. Manturov V. O. Free Knots are Not Invertible// arXiv:math.GT/0909.2230v2.

163. Manturov V. O. Parity and Cobordisms of Free Knots// arXiv:math.GT/1001.2728.

164. Manturov V. O. Free Knots and Parity// arXiv:math.GT/09125348, v.1., to appear in: Proceedings of the Advanced Summer School on Knot Theory, Trieste, Series of Knots and Everything. — World Scientic.

165. Manturov V. O. Additional Gradings in Khovanov homology// Topology and Physics. Dedicated to the Memory of X-S.Lin, Nankai Tracts in Mathematics. — Singapore: World Scientic, 2008. — С. 266–300.

166. Manturov V. O. Embeddings of four-valent framed graphs into 2-surfaces// The mathematics of knots, Contributions in the Mathematical and Computational Sciences. — 2010. — 1. — С. 209–238.

167. Manturov V. O. A Functorial Map from Knots in Thickened Surfaces to Classical Knots and Generalisations of Parity// arXiv:math.GT/1011.4640.

168. Marko A. A. Uber die freie Aquivalenz der geschlossenen Z pfe// Matem. sb. — 1936. — 1. — С. 73–78.

o 169. Matveev S. V. Algorithmic topology and classication of 3-manifolds. — N.-Y.: Springer Verlag, 2003. — 480 с.

170. McDougall A. A Diagramless Link Homology// arXiv:math.GT/0911.2518.

171. Mellor B. A few weight systems arising from intersection graphs// Michigan Math. J. — 2003. — 51. — С. 509–536.

172. Menasco W. and Thistlethwaite M. A classication of alternating links// Annals of Mathematics. — 1993. — 138. — С. 113–171.

173. Miyazawa Y. Magnetic Graphs and an Invariant for Virtual Links// Knot Theory and Its Ramications J. — 2006. — 15, № 10. — С. 1319–1334.

174. Miyazawa Y. A multi-variable polynomial invariant for virtual knots and links// Knot Theory and Its Ramications J. — 2008. — 17, № 11. — С. 1311–1326.

175. Moran G. Chords in a circle and linear algebra over GF (2)// Combin. Theory Ser. A J. — 1984. — 37. — С. 239–247.

176. Murasugi K. The Jones polynomial and classical conjectures in knot theory// Topology. — 1987. — 26. — С. 187–194.

177. Nash-Williams C. St. J. A. Connected detachments of graphs and generalized Euler trails// J. London Math. Soc. (2). — 1985. — 31, № 1. — С. 17–29.

178. Nelson S. Unknotting virtual knots with Gauss diagram forbidden moves// Knot Theory and Its Ramications J. — 2001. — 10, № 6. — С. 931–935.

179. Nikonov I. Khovanov homology of graph-links// arXiv:math.GT/1005.2812.

180. Nikonov I. Odd Khovanov homology of principally unimodular bipartite graph-links// arXiv:math.GT/ 1006.0161.

181. Ohtsuki T. Quantum Invariants. A Study of Knots, 3-Manifolds, and Their Sets. — Singapore: World Scientic, 2001. — 451 с.

182. Ostlund Olof-Petter Invariants of knot diagrams and relations among Reidemeister moves// arXiv:math.GT/0005108.

183. Ozsv th P., Rasmussen J., Szab Z. Odd Khovanov homology// arXiv:math.QA/0710.4300.

a o 184. Ozsv th P., Szab Z. Holomorphic disks and knot invariants// Adv. Math. — 2004. — 186, № 1. — a o С. 58-–116.

185. Polyak M., Viro O. Gauss diagram formulae for Vassiliev invariants// Int. Math Research Notices.— 1994. —11. — С. 445–453.

186. Rasmussen J. A. Khovanov Homology and the slice genus// arXiv:math.GT/0402131.

152 Д. П. ИЛЬЮТКО, В. О. МАНТУРОВ, И. М. НИКОНОВ 187. Rasmussen J. A. Floer homology and knot complements// PhD thesis, Harvard University, 2003, arXiv:math.GT/0306378.

188. Rasmussen J. A. Some Dierentials on Khovanov-Rozansky Homology// arXiv:math.GT/0607544.

189. Read R. C., Rosenstiehl P. On the Gauss crossing problem// Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai.— North Holland, Amsterdam and New-York, 1976. — С. 843–876.

190. Reidemeister K. Knotentheorie.— Berlin: Springer, 1932.

191. Satoh S. Virtual knot presentation of ribbon torus-knots// Knot Theory and Its Ramications J. — 2000. —9, № 4. — С. 531–542.

192. Sawollek J. On Alexander-Conway polynomials for virtual knots and links// Knot Theory and Its Ramications J. — 2003. — 12, № 6. — С. 767–779.

193. Sawollek J. An Orinetation-sensitive Vassiliev invarinats for virtual knots// arXiv:math.GT/0203123.

194. Shumakovitch A. Torsion of the Khovanov homology// arXiv:math.GT/0405474.

195. Шуберт Х. Алгоритм для разложения зацеплений на простые слагаемые// Математика. — 1966. — 10, № 4. — С. 57–104.

196. Silver D. S., Williams S. G. Alexander Groups and Virtual Links// Knot Theory and Its Ramications J. — 2001. — 10, № 1. — С. 151–160.

197. Silver D. S., Williams S. G. Alexander Groups of Long Virtual Knots// preprint. — 2004.

198. Soboleva E. Vassiliev Knot Invariants Coming from Lie Algebras and 4-Invariants// Knot Theory and Its Ramications J. — 2001. — 10, № 1. — С. 161–169.

199. Stoimenov A., Tchernov V., Vdovina A. The canonical genus of a classical and virtual knot// In:

Proceedings of the Conference on Geometric and Combinatorial Group Theory, Part II, Haifa 2000;

Geom. Dedicata. — 2002. — 95. — С. 215–225.

200. Thistlethwaite M. A spanning tree expansion for the Jones polynonial// Topology. — 1987. — 26. — С. 297–309.

201. Thistlethwaite M. On the Kauman polynomial of an adequate link// Invent. Math. — 1988. — 93, № 2. — С. 285–296.

202. Traldi L. Binary nullity, Euler circuits and interlace polynomials// arXiv:math.CO/0903.4405.

203. Traldi L. A bracket polynomial for graphs. II. Links, Euler circuits and marked graphs// Knot Theory and its Ramications J. — 2010. — 19. — С. 547–586.

204. Traldi L. A bracket polynomial for graphs. III. Vertex weights// arXiv:math.GT, math.CO/0905.4879.

205. Traldi L. A bracket polynomial for graphs, IV. Undirected Euler circuits, graph-links and multiply marked graphs// arXiv:math.GT, math.CO/1003.1560.

206. Traldi L., Zulli L. A bracket polynomial for graphs// Knot Theory and its Ramications J. — 2009. — 18. — С. 1681–1709.

207. Turaev V. G. A simple proof of the Murasugi and Kauman theorems on alternating links// Enseignement Math matique (2). — 1987. — 33, № 3–4. — С. 203–225.

e 208. Тураев В. Г. Введение в комбинаторные кручения.— М.: МЦНМО, 2004. — 136 с.

209. Turaev V. G. Virtual strings and their cobordisms// arXiv:math.GT/ 210. Turaev V. G. Algebras of loops on surfaces, algebras of knots, and quantization// In: Braid Group, Knot Theory and Statistical Mechanis (C. N. Yang and M. L. Ge, eds.), Math. Phys. — Signapore: World Sci.

Publ. — 1989. — 9. — С. 59–95.

211. Turaev V. G. Cobordisms of Words// arXiv:math.CO/0511513v2.

212. Turaev V. G. Topology of words// Proc. Lond. Math. Soc. — 2007. — 95, № 3. — С. 360—412.

213. Turaev V. G. Virtual open strings and their cobordisms// arXiv:math.GT/0311185v5.

214. Turaev V. G. Knots and words// arXiv:math.GT/0506390v1.

215. Turaev V. G. Skein quantization of Poisson algebras of loops on surfaces// Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. — 1991. — 4, № 24. — С. 635–704.

216. Turaev V. G., Turner P. Unoriented topological quantum eld theory and link homology// Algebraic and Geometric Topology. — 2006. — 6. — С. 1069-–1093.

217. Tutte W. T. A homotopy theorem for matroids I, II// Trans. Amer. Math. Soc. — 1958. — 88. — С. 144–174.

218. Vassiliev V. A. Cohomology of knot spaces, in Theory of Singularities and its applications// Advances in Soviet Mathematics. — 1990. — 1. — С. 23–70.

219. Vassiliev V. A. Complements of discriminants of smooth maps: topology and applications, 2nd extended edition, Translations of Math. Monographs, 98. — AMS, Providence, RI, 1994. — 268 с.

220. Васильев В. А. Инварианты и когомологии первого порядка для пространств вложений самопересе кающихся кривых в Rn // Известия РАН, Сер. Мат. — 2005. — 69, № 5. — С. 3–52.

Предметный указатель. 221. Vershinin V. On Homology of Virtual Braids and Burau Representation// Knot Theory and Its Ramications J. — 2001. — 18, № 5. — С. 795–812.

222. Viro O. Remarks on denition of Khovanov Homology// arXiv:math.GT/0202199.

223. Viro O. Virtual links and orientations of chord diagrams// Proceedings of the G kova Conference-2005. — o International Press. — С. 187–212.

224. Vogel P. Algebraic structures on modules of diagrams// Institut de Math matiques de Jussieu, e Pr publication 32, revised in 1997, http:///www.math.jussieu.fr/ vogel.

e 225. Wehrli S. Khovanov homology and Conway mutations// arXiv:math.GT/0301312.

226. Wehrli S. A spanning tree model for the Khovanov homology// Knot Theory and Its Ramications J. — 2008. — 17, № 12. — С. 1561–1574.

227. Зенкина М. В., Мантуров В. О. Инвариант зацеплений в утолщенном торе// Записки научных семинаров ПОМИ. — 2009. — 372. — С. 5–18.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ A–Структура, 18 увеличивающее, A-Состояние, 97, 114 запрещенное, B–Структура, 18 Фильтрация, B-Состояние, 98, 114 Функция d-Диаграмма, 20, 30 Морса, k-Граф, 5 простая, k-Преобразование, 21 Гомологии Хованова k-Угольник, 47 граф-зацеплений, Аксиоматика нечетные PU-граф-зацеплений, четная ослабленная, 43 Гомотопический класс четности, 39, 42 нереализуемый, 93, Атом, 17 петлевых графов, 92, ориентируемый, 18 свободный, связный, 18 реализуемый, высотный, 18 свободный, Буквы Градуировка, чередующиеся, 25 Граф Цикл k-валентный, четный, 131 Риба, эйлеров, 6, 20, 21 адекватный, гауссов, 20, 22 альтернированный, нечетный, 131 главно унимодулярный, примитивный, 131 меченый, Четность минимальный, двойной точки, 85 нераспадающейся, гауссова, 37, 85 нереализуемый, двойной линии, 86 оснащенный, 5, уточненная, 78, 87 пересечений, уточненная, 77, 78 меченый, Число петлевой, 92, компонент, 99 реализуемый, окружностей, 114 стабильно четный, закрученности, 9, 99, 143 свободный оснащенный, Дельта Тураева, 68 реализуемый, Диаграмма уникурсальный, альтернированная, 5 PU-ориентированный, гауссова, 7 Граф-преобразование, нечетная, 38 Граф-узел, 92, несократимая, 38 главно унимодулярный, хордовая, 7 Граф-зацепление, меченая, 94 нереализуемое, 93, ориентированная, 7 реализуемое, оснащенная, 22, 95 свободное, 93, квазиальтернированная, 114 PU-ориентированное, редуцированная, 114 Грань связная, 6 четная, узла, 5 нечетная, виртуальная, 8 Хорда, связная, 8 четная, виртуального зацепления, 8 гауссова, Диаграммы хордовые нечетная, кобордантные, 74 негауссова Диск с оснащением 0, затягивающий, 74 с оснащением 1, Длина полинома Лорана, 16 Хорды Дуга, 5 незацепленные, Движение зацепленные, 7, Рейдемейстера, 6, 39, 126 Индекс, чисто виртуальное, 9 хорды, объезда, 8 самозацепления, полувиртуальное, 9 Изоморфизм, Предметный указатель. Изотопия, 4, 6 Полином Касп, 82 Джонса, 114, Категорификация, 117 четный, Кобордизм Джонса-Кауфмана, элементарный, 74 Поверхность комбинаторный, 74 затягивающая, слов, 74 Предложение Количество компонент, 41 гауссово, Компонента, 8 Представитель уникурсальная, 8, 9 минимальный, зацепления, 4 Преобразование Конфигурация Рейдемейстера, четная симметричная, 74 шарнирное, 32, Кривая Проход, левая, 68 Расстановка знаков, 118, нуль-кобордантна, 73 типа X, правая, 68 типа Y, срезанная, 73 Расстояние, Кривые Разведение, 43, гомотопные, 67 1-четное, Линия четное, двойная, 81, 84 перекрестка, Локальное дополнение, 32, 96 свободного оснащенного графа, 109, Матрица смежности, 25, 126 Ребра Метка, 89 эквивалентные, Многоугольник, 47 противоположные, Молекула, 89 Ребро, Накрытие атома, ориентирующее, 18 циклическое, Обход Результат перестройки, поворачивающий, 20, 22 Род Образ Тураева, зеркальный, 21 атома, 18, Окружность, 7 кобордизма, Ориентация срезанный, 73, 82, альтернированная, 19 виртуального зацепления, главно унимодулярная, 127 Сечение вполне унимодулярная, 128 регулярное, Оснащение сингулярное, хорды, 94 Скобка Кауфмана, 16, 114, вершины, 96 четная, Остов атома, 17 Скручивание Дена, Отображение Слово проекционное, 53 циклическое, Отрезок гауссово, нечетный оснащенное, 22, первого типа, 81 с двойным вхождением, 21, второго типа, 81 Сложность, Переход, 5 Состояние, 56, 119, Перекресток, 5 диаграммы, четный, 43 графа, нечетный, 16, 43 противоположное, первого типа, 78 Состояния второго типа, 78 соседние, отрицательный, 5 Спаривание плоский классический, 12 гомологическое, положительный, 5 Степень, виртуальный, 7 Сторона, Перестройка, 43 Страт Перестройка вдоль множества хорд, 25 первого типа, Петля второго типа, свободная, 5 Структура Погружение источник-сток, 19, общего вида, 73 противоположных ребер, 5, 156 Предметный указатель.

Тангл PU-граф, PU-граф-узел, свободный, PU-граф-зацепление, Тень, Теория квазиузлов, псевдоузлов, свободных узлов, Точка распадения, Трилистник, Унимодулярность шлавная, Узел, 4, Кишино, классический, нуль-кобордантный, ориентированный, плоский виртуальный, срезанный, свободный, 37, 41, длинный, тривиальный, тривиальный, трубчатый, виртуальный, 7, Узлы изотопные, кобордантные, комбинаторно кобордантные, Вершина атома, четная, 42, относительно разведения, гауссова, концевая, нечетная, 42, относительно разведения, негауссова с оснащением 0, с оснащением 1, ориентированная, внешняя, внутренняя, Ветвь, Высотность, Виртуализация, Восьмерка, Зацепление, классическое, крашеное, ориентированное, свободное, 41, тривиальное, виртуальное, 7, Замена обхода, Значение неособое, Знак хорды, вершины, Звездочка оснащенная, 4-Граф минимальный, упрощаемый, Предметный указатель. Д. П. Ильютко Механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова E-mail: ilyutko@yandex.ru В. О. Мантуров Факультет физико-математических и естественных наук РУДН E-mail: vomanturov@yandex.ru И. М. Никонов Механико-математический факультет, МГУ им. М. В. Ломоносова E-mail: nim@mail.ru

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.