авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«П.Ф. Демченко, А.В. Кислов СТОХАСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ПРИРОДНЫХ ОБЪЕКТОВ Броуновское движение и геофизические приложения Москва ...»

-- [ Страница 2 ] --

2.2. Уравнения Ланжевена для медленных переменных: общая теория и простой климатический пример Любую фазовую функцию (под фазовой функцией понимается функция от траектории системы в фазовом пространстве) от быстрых и медленных пере менных можно разбить на сумму двух слагаемых F = F | Y + ( F F | Y ) = F | Y + F. (2.2.1) Это можно сделать и для правой части (2.1.8). Применяя (2.1.16) к правой части уравнения (2.1.8), для медленной переменной перепишем уравнение (2.1.8) в виде dY i = etM ( U | Y(0) + U(0) = U | Y (t ) + U(t ). (2.2.2) dt Напомним, что оператор M в технике Мори действует в пространстве на чальных состояний {X,Y }, хотя формально можно определить MF (X, Y ) = dX dY ( X X ) ( Y Y )MF ( X, Y ).

00 0 0 В (2.2.2) используется свойство линейности оператора эволюции M, дейст вующего в пространстве начальных состояний. В (2.2.2) остаток U=UU|Y, который в первоначальной версии теории стохастических моделей климата К.

Хассельмана рассматривается как дельта-коррелированный по времени слу чайный источник флуктуаций – «белый шум» – на самом деле не обязан быть равным нулю даже при осреднении по статистическому ансамблю начальных состояний. На характерных временах эволюции быстрой подсистемы он со X храняет память о корреляциях быстрых и медленных переменных. Для его пре образования применяется операторное тождество [Mori et al., 1980] t (t )(A + B) A t (A + B) = etA + d e Be. (2.2.3) e В справедливости тождества (2.2.3) можно убедиться простым дифферен цированием по времени с учетом того, что при t=0 оно очевидно.

Применяя (2.2.3) ко второму слагаемому в (2.2.1) (при этом положив B=PM, A=QM) и учитывая (2.1.19), для любой фазовой функции F, получаем разбиение на три слагаемых t (t )M )PMe QM F (0) + etQM F (0).

F (t ) = F | Y (t ) + d e (2.2.4) В (2.2.4) операторы проецирования Мори P и Q=1P определены в преды дущем разделе. Подстановка (2.2.4) при F = U в (2.1.8) превращает уравне i ние эволюции медленных переменных в обобщенные уравнения Ланжевена [Mori et al., 1980] t (t )M dY (t ) PMe QM U (0) + etQM U (0). (2.2.5) = U | Y(t ) + d e dt Разбиение правой части (2.2.5), полученное тождественными преобразо ваниями, есть перезапись (2.2.2) в виде, удобном для применения аппрокси маций исходя из априорных знаний или предположений о поведении реше ний исходной системы. Первое слагаемое – адаптированное к Y(t) квазиста ционарное (то есть при фиксированном Y(t)) условное среднее значение ско рости изменения медленных переменных.

Последнее слагаемое – случайная сила, среднее от которой по любому распределению функции вероятностей начальных значений вида (0) = (0) ( X(0)Y(0)) ( – стационарная XY Y S S плотность распределения быстрых переменных при фиксированных значени ях медленных удовлетворяет (2.1.15)) равно нулю (поскольку PQ=0) etQM QU | Y(0) = PetQM QU = 0. (2.2.6) i i Второе слагаемое в (2.2.5) – интеграл памяти – описывает вклад конечно сти времени запаздывания среднестатистической реакции X-системы, оно за висит от t и значений Y(t), зависимость от X(0) в нем исчезает. Если = O(M 1) = O(M 1), то QM = M + QM = + O( ), так X X Y Y X Y X XY как интегрированием по частям можно показать, что PM = dX (u f ) dXf (u ) = 0. Первое слагаемое равно нулю S S X в силу предположения о стремлении на бесконечности к нулю достаточно S быстро, второе – в силу (2.1.15). Поэтому выражения, содержащие exp(tQM), при интегрировании по X(0) затухают на временах, корреляционная X функция последнего слагаемого в (2.2.4), (2.2.5) при t стремится к ну X лю, а интеграл памяти имеет порядок /. При замене в интеграле памяти XY верхнего предела интегрирования на t=+, выражение (2.2.5) переходит в уравнение, формально не содержащее запаздывание [Mori et al., 1980], d Y (t ) = U | Y(t ) + U (t ), e dt (2.2.7) U (t ) = e QM U(0), U(t ) | Y(0) = 0, U | Y(t ) = U | Y (t ) + d M U ( ) | Y(t ). (2.2.8) e Уравнение (2.2.7) и есть искомое уравнение Ланжевена – основное исход ное уравнение теории броуновского движения. По форме оно напоминает пер вый вариант стохастических моделей климата К. Хассельманна (с заменой U на U ). В линейном одномерном случае при возможности осуществления замены e U |Y(t)= -Y(t) выражение (2.2.7) превращается в привычное линейное урав e нение Ланжевена – частный случай уравнения Ланжевена общего вида.

В теории броуновского движения [Mazo, 1978] наличие интеграла памяти приводит к возникновению макроскопического трения – это второй член справа в (2.2.8). Несмотря на то, что он имеет порядок / 1, в задаче о движении XY тяжелой молекулы в газе легких молекул только наличие этого члена приводит к достижению статистически стационарного состояния для тяжелой молекулы (частицы), поскольку, как можно показать из гамильтоновских уравнений дви жения, в этом случае первый член справа в (2.2.8) тождественно равен нулю.

Проиллюстрируем этот факт, а заодно и возможности метода проекцион ных операторов, на классической задаче о движении тяжелой молекулы мас сы M с координатой и скоростью R и V, взаимодействующей с газом из N легких молекул массы m, каждая из которых имеет координату и скорость m,. Гамильтониан полной системы и оператор эволюции состоят из сум ii мы трех слагаемых m v MV 2 F + U (R, r N ), + i H= M=V + +M, i2 R M V где f U U + i F=, f =, M = v, R i 0 i i r i m v r i i i а равновесная функция распределения задает проекционный оператор Мори PF = Fd p N dr N, = exp(H / k T ).

0Z 0B Выражение (2.2.5) для скорости броуновской частицы, согласно второму закону Ньютона, перепишется в виде t dV = MeMt PMV (0) + F + (t ) + d exp(M (t ) PM (F + ( )). (2.2.5а) M dt + В (2.2.5а) F (t) – случайная сила, среднее от которой по равновесному на чальному распределению равно нулю:

F + (t ) = M exp(QMt )QMV (0), PF + (t ) = F + (t ) =0. (2.2.5б) eq Можно показать, что первый член справа в (2.2.5а) есть средняя равновес ная сила, действующая на тяжелую молекулу со стороны легких и равная ну лю. Далее делается традиционное приближение [Mazo, 1978], которое заклю чается в том, что в стоящих после оператора P (который содержит осредне ние по быстрым движениям) операторах, содержащих QM (этот оператор входит в F ), он заменяется на M, поскольку = O (M 1) = O (M 1 ) + 0 m 0 M M (здесь нижние индексы 0 и M относятся к операторам легких молекул и бро уновской частицы соответственно). Это приближение опирается на оценку QM = M + QM = M + O ( / ) = M + O(m/M ). Последняя оцен 0 M 0 mM 0 ка следует из вида гамильтониана полной системы H и гипотезы о равнораспре делении кинетической энергии по степеням свободы. Используя это свойство несколько раз, окончательно приводим уравнение (2.2.5а) к виду [Mazo, 1978] 1t dV (t ) = F + (t ) d V (t ) F (0)F ( ) M dt k T B (2.2.5в) d F (0)F( ) V (t ) + F + (t ).

kT B Это и есть классическое линейное уравнение Ланжевена, полученное мето дом проекционных операторов. Уравнение (2.2.5в) содержит флуктуационно диссипативное соотношение – пропорциональность коэффициента трения инте гралу от корреляционной фунцкции случайных воздействий. Дело в том, что яд ро интеграла памяти в (2.2.5в) – корреляционная функция силы F – содержит ос реднение по быстрым переменным и согласно принятому ранее традиционному + приближению, совпадает с корреляционной функцией случайной силы F.

В стохастических дифференциальных уравнениях природных объектов статистически стационарное состояние достигается за счет включения отри цательных обратных связей, содержащихся в U|Y. Простейшим примером такой отрицательной обратной связи является линейная: U|Y=·U, при этом собственные числа матрицы обратных связей являются положитель ными. Поэтому на данном этапе (эта глава и следующая) в качестве исходно го уравнения Ланжевена можно рассматривать более привычное уравнение (2.2.2), отвлекаясь от эффектов памяти.

Проиллюстрируем роль случайных сил и отрицательных обратных связей на простом геофизическом примере, который позволяет понять, каким образом сто хастические дифференциальные уравнения применяются к описанию флуктуа ций природных объектов. Рассмотрим простейшую так называемую «нуль мерную» энергобалансовую модель климата [Будыко, 1974;

Golitsyn, 1983;

Dikinson, 1981], в основе которой лежит уравнение энергетического баланса вер тикального столба, проходящего через атмосферу и деятельный слой суши или океана и осредненного по поверхности теплоизолированной с боковых границ области (полушарию или всего земного шара). В этом уравнении предполагает ся, что теплосодержание, как принято в простых энергобалансовых моделях, па раметризуется через эффективную теплоемкость C и эффективную температуру поверхности T. Изменение теплосодержания определяется притоком тепла че s рез границы – в данном случае благодаря использованию понятия деятельного слоя только через внешнюю границу атмосферы. Таким образом, dT I S = R = 0 (1 ) F.

C (2.2.9) 4 dt Правая часть (2.2.9) R – горизонтально осредненный радиационный баланс на верхней границе атмосферы – слагается из усвоенной приходящей солнеч I ной радиации ( 0 =342 Вт/м – средняя по Земному шару инсоляция ( I cолнечная постоянная), интегральное альбедо) и уходящего в космос те плового излучения F. Введем в рассмотрение среднее климатическое значе d T I S = 0 (1 ) F. Теперь ние температуры T, такое, что C S dt можно получить выражение, описывающее вариации во времени малых откло нений T = (T T ) в следующем виде:

S S S d T I S = F 0.

C dt Перепишем его в виде уравнения Ланжевена, пренебрегая эффектами за паздывания и обозначая короткопериодные синоптические флуктуации пере менных верхним штрихом:

d T I S = F | T 0 | T + R.

C (2.2.10) S S dt Здесь правая часть записана относительно малых отклонений от среднего стационарного значения T c выделением адаптированных к T медленных S S изменений потока уходящего в космос теплового излучения F | T, S альбедо | T и короткопериодных флуктуаций (синоптического мас S штаба) радиационного баланса R'.

Уравнение (2.2.10) есть аналог (2.2.7) без интеграла памяти.

Известно, что после осреднения по быстропротекающим синоптическим процессам в атмосфере уходящую в космос длинноволновую радиацию мож но рассчитать по формуле [Будыко, 1974]: F | T = A + BT, так что S S F | T = A + BT. (2.2.11) S S Если учесть зависимость альбедо от температуры (генетически связанную с изменением отражательных свойств Земного шара или полушария при ва риациях площади снежного покрова), представить ее в виде разложения в ряд Тейлора и ограничиться первым членом разложения, то в (2.2.10) появится еще одно линейное слагаемое, зависящее от температуры. Можно и далее расширять перечень действующих обратных связей, добавляя в В соответст вующие слагаемые, то есть BB+0,25I d/dT + … [Голицын, Демченко, 1980;

Кислов, 2001], но в рамках рассматриваемой простой модели такое ус ложнение задачи не приведет к улучшению результатов. Таким образом, с учетом сделанных замечаний, уравнение (2.2.10) преобразуется к виду клас сического линейного уравнения Ланжевена d T S = BT + R (t ), C (2.2.12) S dt или R d T S = 1 T + f (t ), = C = 1, f=. (2.2.13) S TB dt C T T C В уравнении (2.2.13) = B /C – параметр, обратный = (времени ре TB T лаксации медленной переменной) – имеет размерность частоты и во многих работах по исследованию флуктуаций в природных объектах используется в качестве параметра отрицательной обратной связи при сопоставлении теорети чески рассчитанных спектров флуктуаций с данными наблюдений за природ ными объектами. Параметр отрицательной обратной связи (в данном случае из-за излучения тепловой радиации в космос) может быть вычислен по анали тическим, эмпирическим, полуэмпирическим и численным моделям переноса электромагнитного излучения, не зависящим от стохастических моделей пове дения потоков излучения. Инерционность медленной переменной (параметр C) можно рассчитывать исходя из физической модели исследуемого процесса те плонакопления. В этой связи авторы разделили разные формы записи стохас тического дифференциального уравнения для медленной переменной: уравне ния (2.2.12) и (2.2.13). Первое содержит аппроксимацию исходных соотноше ний энергетического баланса с соблюдением закона сохранения энергии. Для исследуемых далее природных объектов эта форма записи стохастических уравнений будет основной. Однако для получения аналитических результатов форма (2.2.13) более удобна по причине ее традиционности.

Возможность разделения процессов на быстрые и медленные содержится в уравнении (2.2.13), в котором явным образом входит время. Для оценки T этой величины требуется знать численные значения констант В и С. Оценки первой величины в целом лежат в окрестности B=2,0 Вт/Kм [Агаян и др., 8 1985;

Мохов, 1981]. Оценки C колеблются в пределах от 2 до 0,4·10 Дж/м К [Демченко, 1982]. При таких C и В время (около года или нескольких лет) T существенно превышает время корреляции синоптической изменчивости в ат мосфере (несколько суток). Для дальнейших расчетов примем теплоемкость 8 C=2·10 Дж/м К. Она соответствует теплоемкости верхнего квазиоднородного слоя океана (см. раздел 3.1) с учетом доли суши в Северном полушарии. По мимо синоптической изменчивости в атмосфере существуют процессы и с большими временными масштабами. Здесь мы ограничиваемся расчетом меж годовой изменчивости, беря в качестве ланжевеновского источника синоптиче скую изменчивость. При учете только последней не составляет принципиаль ных трудностей включение сезонного хода как в определение интенсивности источников, так и в детерминированную составляющую правой части уравне ния (2.1.12) при расчете долгопериодной изменчивости температуры.

Тогда на временах изменений температуры флуктуации радиационного баланса R и соответствующую им случайную силу f в (2.2.13) можно рас сматривать как дельта-коррелированный по времени случайный процесс – белый шум с корреляционной функцией [Кляцкин,1980]:

K ( ) = f (t + ) f (t ) = 2 D ( ). (2.2.14) f f Коэффициент D рассчитывается из интегрального соотношения f + D = K ( )d = 2, (2.2.15) f f ff где 2 – дисперсия процесса f, – его время корреляции. Здесь имеется в f f виду интегральное время корреляции, определяемое по формуле (2.2.15). Для экспоненциально спадающей по времени корреляционной функции оно соот ветствует уменьшению последней в e раз. Для времени корреляции можно принять рекомендованную оценку =3 cут [Leith, 1975]. Коэффициент D f f традиционно называется коэффициентом диффузии, само решение (2.2.13) представляет собой одномерный процесс ОрнштейнаУленбека, который от носится к классу диффузионных случайных процессов [Рытов,1976;

Гарди нер, 1986]. Корреляционная функция такого процесса экспоненциально спа дает с характерным временем : K ( 0) = 2 exp( / ) = K ( ). Эту T T T T T функцию также называют автокорреляционной, ей соответствует спектраль ная плотность 2 D 2 T T 2 + 2 f S ( ) = K ( ) cos( ) d = =. (2.2.16) T T 0 1 + ( )2 2 + T T Характерная особенность данного выражения состоит в том, что при, когда не сказывается стабилизирующее влияние отрицательной об T ратной связи, она растет обратно пропорционально квадрату частоты при стремлении последней к нулю, что соответствует спектру нестационарного случайного процесса, возникающему при накоплении воздействий случайных флуктуаций разных знаков. Это так называемый «красный шум». Однако на малых частотах, там, где спектр (2.2.16) выходит на плато, как T спектр белого шума (константа). Таким образом по характерной частоте пе региба спектра можно судить о параметре обратной связи.

Отметим, что в (2.2.16) используется спектральная плотность по положи тельным частотам, которая вдвое превышает часто используемую спектраль ную плотность, заданную во всем диапазоне частот с заменой в первом ра венстве (2.2.16) нижнего предела интегрирования на минус бесконечность и под интегралом 2 cos( ) на 1/4 exp(i). Использование такого опреде T ления спектральной плотности более удобно для того, чтобы спектр задавал распределение дисперсии 2 энергии флуктуаций – по положительным T частотам [Монин, Яглом, 1967]:

2 D R f R f + f 2= ST ( )d = = =. (2.2.17) T B 2 T BC BC Теперь, зная B и C, для оценки низкочастотной (межгодовой) хаотической составляющей изменчивости среднеглобальной или среднеполушарной тем пературы поверхности нам необходимо знание характеристик синоптической изменчивости радиационного баланса на верхней границе атмосферы. По ре зультатам обработки спутниковых данных о компонентах радиационного ба ланса [Hartmann, Short, 1980] в среднем за год осредненная по Северному по лушарию оценка стандартного отклонения локальных синоптических флук туаций радиационного баланса на верхней границе атмосферы составляет:

=40 Вт/м [Демченко, 1982].

R Несмотря на то, что оценка базируется на данных измерений, полученных на заре эпохи спутниковой климатологии радиационного баланса, ее величи на представляется надежной, поскольку речь идет о среднегодовых и средне полушарных значениях. Гораздо более современные данные представлены короткими рядами (см., например, Standard deviation of monthly 1x1 averaged over globe.(CERES data from March 2000 through Feb.2004, averaged through all months), по которым трудно сделать надежные статистические оценки.

Дисперсию полушарно осредненной величины можно грубо оценить R в предположении, что поле локальных флуктуаций R является статистиче ски однородным на сфере [Демченко, 1980, 1982, 1983]. В случае, если ради ус корреляции этого поля r мал по сравнению с радиусом Земли a, опираясь k на идеи А.М. Обухова [Обухов, 1947], можно показать, что r 2 2 k k.

2.2.18) R R0 r a Коэффициент k зависит от нормированной пространственной корреля r ционной функции углового расстояния между точками на сфере. В дальней шем здесь примем значение k = 2 / (аппроксимация пространственной r корреляционной функции в виде: (r ) = exp( r 2 ) ). Для времени и радиуса корреляции можно принять эмпирическую оценку r 1000 км, характери k зующую масштабы пространственной корреляции погодной изменчивости [Гандин, Каган, 1976], =3 cут [Leith, 1975].

f По сути уравнение (2.2.18) есть следствие закона больших чисел и выража ет этот закон для дисперсии суммы каких-либо характеристик статистически независимых объектов (площадь каждого пропорциональна r 2 ) при общей k 2, и известной дисперсии флуктуаций этой площади, пропорциональной a характеристики в каждой независимой площадке.

Подставляя (2.2.18) в (2.2.17), можно получить оценки стандартного от клонения межгодичных флуктуаций среднеполушарной температуры (с уче том сглаживания по периоду 1 год), вызванных описанным «броуновским механизмом». В зависимости от выбранного значения теплоемкости эти оценки лежат в пределах =0,12 K 0,25 K. Эти значения сравнимы с эм T пирическими оценками по данным инструментальных наблюдений [Braganza et al., 2003] =0,150,24 K (нижняя граница интервала относится к оценке с T исключенным трендом).

Разумеется, помимо рассмотренного в данном разделе механизма генера ции флуктуаций инерционных элементов, в климатической системе Земли присутствуют и иные механизмы. Для нас важно, однако, что стохастические дифферециальные уравнения, полученные из первых принципов, предназна ченные для расчета характеристики шумов по физическим моделям, позволи ли получить весьма близкие к реальности значения.

2.3. Плотность вероятностей флуктуаций: уравнение ФоккераПланка и пример применения к расчету спектра нелинейного природного объекта Простая энергобалансовая модель флуктуаций планетарно осредненной температуры поверхности, рассмотренная в предыдущем разделе, допускает статистическое описание в рамках линейного стохастического дифференци ального уравнения. И в многомерном случае можно получить аналитические выражения для спектров и корреляционных функций в виде решения таких уравнений. В случае, если уравнения Ланжевена (2.2.2) или (2.2.7) не линей ны (что часто имеет место для природных процессов), необходимо находить такие характеристики процесса, как плотность распределения вероятностей (включая и многовременные). В общем случае решение нелинейной много мерной системы dZ (t ) i = F (Z(t )) + f (t ), f (t + ) f (t ) = 2 D ( ) (2.3.1) i i i j ij dt является марковским случайным процессом. Здесь и далее мы для простоты не будем учитывать зависимость F от времени t и тензора коэффициентов диффузии D – от Z. Марковским процессом называется процесс «без после действия», для которого условная плотность распределения вероятностей в момент времени t полностью определяется его значением в любой предше n ствующий момент времени t t n p (, t | Z,..., Z, t ) = p (Z, t |,t,t ), n n n n 1 n 1 21 n n n 1 n (t t... t ). (2.3.2) n n 1 В (2.3.2) p – плотность вероятностей перехода, то есть условная веро ятность того, что в момент t значение изучаемой случайной функции равно Z, при условии, что в предшествующей момент времени t оно равнялось 2 Z. Зная ее и одноточечную плотность распределения вероятности (Z) в 1 Z статистически стационарном случае можно определить, например, времен ную корреляционную функцию. В одномерном случае K ( ) = z (t + ) z (t ) z K ( ) = dzdz zz ( z, t + ;

z, t ) = dzdz p ( z, | z,0) ( z ) zz, (2.3.3) Z 00Z 0 0 21 0 Z где Z ( z, t + ;

z, t ) – двухточечная плотность распределения вероятностей.

Если случайные силы в (2.3.1) можно считать гауссовым случайным про цессом, то одноточечную плотность распределения вероятностей и плотность вероятностей перехода можно определить из уравнения ФоккераПланка ки нетического уравнения для плотности распределения вероятностей решения уравнений (2.3.1). Здесь мы изложим метод, который базируется на осреднении индикаторной функции = (Z(t ) Z) по всем возможным траекториям Z Z(t), то есть статистическом усреднении уравнения для индикаторной функции [Кляцкин, 1980] (см. далее уравнение (2.3.5)). Ее осреднением определяется искомая плотность распределения вероятностей (Z, t ) = (Z(t ) Z). В от личие от уравнения Лиувилля в (2.3.5) входит произведение индикаторной функции на случайную силу f (t ). Расщепление корреляций такого рода бази руется на теореме Новикова [Новиков, 1964] для функционала R[f]] от дельта коррелированного гауссового случайного процесса f(t) t R[f ] R.

R[f ] f (t ) = ds f (t ) f ( s ) = D (2.3.4) i i j ij f (t ) 0 f j (t ) j В (2.3.4) D – тензор коэффициентов диффузии (см. (2.3.1)).

ij В (2.3.4) вариационная производная функционала R по переменной f (t ) j есть аналог частной производной для случая, когда независимая переменная f (t ) сама является функцией (здесь – времени), а R зависит от поведения f j во все моменты времени. В общем случае вариационная производная от про извольного функционала F[ u ] по полю u (x ) в точке x (x – вектор) опре 0 деляется соотношением [Рытов и др., 1978]:

F [u ] F [u + u ] F [u ], при | x | 0, max[ u ] 0.

= lim u (x ) u ( x ) dx x Надо отметить, что изложенный далее метод получения уравнения для плотности вероятности переменной Z – кинетического уравнения Фокке раПланка не является единственным. В частности, его можно получить ме тодом проекционных операторов Мори [Mori et al., 1980] из исходной дина мической системы. Интересен вывод уравнения Фоккера–Планка методом интегралов по траекториям [Chernyak et al., 2006]. Последний метод также как и метод Кляцкина, базируется на исходных уравнениях Ланжевена.

Уравнение для индикаторной функции = (Z(t ) Z) можно получить Z из (2.3.1), как и ранее при выводе уравнения (2.1.12) воспользовавшись тем, что / Z(t)= /Z, Z Z (Z(t ) Z) + (V (Z) (Z Z(t )) = ( (Z(t ) Z) f (t )). (2.3.5) t ii i i После осреднения при отсутствии в правой части случайной силы f выра жение (2.3.5) превращается в уравнение Лиувилля (по аналогии с (2.1.4)). Для осреднения правой части уравнения (2.3.5) используем теорему Новикова (2.3.4) и правило взятия вариационной производной [Кляцкин, 1980] (Z(t ) Z) f (t ) = D (Z(t ) Z) Z (t ) = D ( Z(t ) Z = i ij k f (t ) k ij k jk j = D (Z, t ). (2.3.6) ij j Z После осреднения (2.3.5) с помощью (2.3.6) получаем уравнение Фоккера Планка для одноточечной плотности распределения вероятностей (Z,t) Z ( Z, t ) = (V ( Z, t ) (Z, t )) + D (Z, t ) = L (Z, t ). (2.3.7) tZ ii Z i ij j Z FP Z При выводе (2.3.7) здесь для простоты не учтена зависимость интенсивно сти случайных сил f от зависимых переменных Z, хотя в принципе можно считать D в (2.3.7) функцией Z. В (2.3.7) введен так называемый кинетиче = F + D, которому соответству ский оператор ФоккераПланка L FP ii i ij ет сопряженный L+ = + F + D. Решение (2.3.7) с начальным условием FP ii i ij ( Z, t = 0) = ( Z Z ) соответствует плотности вероятности перехода в Z формуле (2.3.3) для корреляционной функции. В дальнейшем нам зависи мость D от Z не понадобится (тогда коэфиициенты диффузии D можно в ij (2.3.7) вынести из под знака дифференцирования). В различных монографиях по неравновесной статистической механике и теории диффузионных случай ных процессов формы записи уравнения Фоккера–Планка несколько отлича ются. Мы пользуемся формой записи (2.3.7) [Mori et al., 1980], ее можно по лучить методом проекционных операторов из исходной динамической систе мы (2.1.8), (2.1.9). Однако она отличается от той, которая принята в некото рых других монографиях [Кляцкин, 1980;

Свешников, 1968 и т.д.]. Запись уравнения ФоккераПланка в виде (2.3.7) по форме соответствует уравнению сохранения «потока вероятности» J = J, J = V D. (2.3.8) i t i ij j Во всех монографиях, посвященных применению уравнения Фоккера– Планка, оно имеет дивергентный вид (2.3.8) с отличием в форме записи пото ка вероятности. При формальном математическом выводе из уравнения Лан жевена уравнения Фоккера–Планка точным является вывод, данный с помо щью метода вариационных производных [Кляцкин, 1980] при гипотезе о га уссовости случайных, дельта-коррелированных по времени сил. Вывод из уравнения Чепмена–Колмогорова [Свешников, 1968] для непрерывного слу чайного процесса также является строгим. Однако при постоянстве тензора коэффициентов диффузии D форма записи уравнения Фоккера–Планка не сказывается на проведении дальнейших расчетов.

Приведем пример применения уравнения Фоккера–Планка для расчета вре мени корреляции нелинейного случайного процесса – флуктуаций влагозапаса почвы W – количества влаги, которое содержится в верхнем слое почвы единич ного сечения. Подробный анализ вопросов применения стохастических диффе ренциальных уравнений для расчета флуктуаций W дан в разделе (3.5), посвя щенном динамике увлажнения континентов. В разделе (3.5) дан вывод уравне ния линейного уравнения Ланжевена для W (3.5.3). При этом отмечается, что главный вклад в отрицательную обратную связь дает зависимость испарения с поверхности суши от влагозапаса в деятельном метровом слое почвы (в бес W снежный период). Испарение дается выражением E = E, где E – потен 0W k циальная испаряемость (равная испарению с водной поверхности при тех же ат мосферных условиях), W некоторое критическое по испарению значение вла k гозапаса деятельного слоя почвы. В основном уравнении интегрального баланса влаги в деятельном слое почвы (3.5.1) пренебрегается нелинейным процессом формирования поверхностного стока R, который можно представить в виде R = H (W W ), (2.3.9) c c через функцию Хэвисайда [H(x0)=0, H(x0)=1] и – скорость релаксации c W к критическому значению W за счет стока. Вместе с тем в (3.5.1) и (3.5.3) c учитывается процесс вертикальной фильтрации влаги в почве за счет капил лярной влагопроводности с соответствующей параметризацией потока F = D(W W ) через эмпирический коэффициент D и влажность нижних H d горизонтов W. Параметризация поверхностного стока (2.3.9) полностью со d ответствует его параметризации в модели (3.5.1).

В пренебрежении нелинейным процессом формирования поверхностного стока в разумных приближениях уравнение для флуктуаций W становится ли нейным уравнением Ланжевена (уравнение 3.5.3), в котором роль случайных сил в основном играют флуктуации осадков синоптического масштаба. Коэф фициент линейной отрицательной обратной связи = 1 = E W зависит E E 0k от потенциальной испаряемости E и критического влагозапаса W. Как по k казали численные эксперименты со стохастическим уравнением для флук туаций влагозапаса, проведенные методом Монте-Карло [Delworth, Manabe, 1988], корреляционная функция флуктуаций W экспоненциально спадает с характерным временем затухания. Однако зависимость от условий W W испарения немонотонна. В режиме недостаточного увлажнения, когда сред ние осадки P существенно меньше E, время корреляции = 1/E и 0 WE с уменьшением E увеличивается. Ситуация меняется вблизи E P, да 0 лее с уменьшением E время корреляции начинает быстро спадать. Это 0 W соответствует режиму достаточного увлажнения и переувлажнения, когда не линейным стоковым членом (2.3.9) в уравнении для флуктуаций влагозапаса уже пренебрегать нельзя.

Рассмотрим нелинейное стохастическое уравнение флуктуаций влагозапа са почвы, которое можно записать в виде [Демченко, 1990, 2003] U dW + f (t ), f (t + ) f (t ) = 2 D ( ), = W W W W W dt (2.3.10) (W W ) 2 + (W W ) H (W W ), U (W ) = 0 E c E где характеризует скорость релаксации влагозапаса к критическому за c счет стока по параметризации (2.3.9). Система уравнений (2.3.10) полностью соответствует уравнению (3.5.1) с заменой P P + DW и d 1/ 1/ + D.

E E В (2.3.10) введено обозначение W = W P /E и предполагается, что E 0 W = W = W. В исследованиях почвенной влаги часто применяется зависи c k мость W =0,75W, однако в рассматриваемой задаче это лишь несколько ус k c ложняет вид потенциала в (2.3.10), не приводя к качественным изменениям результатов. Нашей задачей далее в этом разделе будет анализ влияния нели нейности, появившейся за счет включения в уравнение поверхностного стока, на корреляционную функцию происходящих на постоянном во времени кли матическом фоне флуктуаций малых отклонений W = W W. Для этого будет использована техника вычислений, которая базируется на нелинейном уравнении ФоккераПланка вида (2.3.7) для одномерного уравнения Ланже вена (2.3.10).

Уравнение Ланжевена для влагозапаса почвы (2.3.10) является частным случаем многомерного уравнения (2.3.1). Ему соответствует одномерное уравнение ФоккераПланка для (W, t ) – частный случай многомерного W уравнения (2.3.7):

W = ( U ) + D W =L =0. (2.3.11) W W W W FP W W t В (2.3.11) одномерный оператор ФоккераПланка L также являятся ча FP стным случаем многомерного аналога в (2.3.7).

Рассматривая динамику влажности почвы в регионах с достаточным и по вышенным увлажнением будем формально считать (W, t ) заданным на W всей оси W (,+), что, как показали наши детальные расчеты по методу Монте-Карло [Демченко, 1990, 2003], не приводит к значительным погреш ностям при определении статистических характеристик флуктуаций в облас ти параметров задачи, характерных для современного климата. В статистиче ски стационарном случае заданное на всей числовой оси решение одномерно го уравнения Фоккера-Планка (например, уравнения (2.3.11) при =0) имеет t решением аналог распределения Больцмана в статистической физике:

(W ) = N exp(U /D ) [Кляцкин, 1980;

Гардинер, 1986] и в нашем случае WS W U (W, ) = C exp( )= W c D W (2.3.12) (W W ) 2 E ]exp[ c (W W ) H (W W )].

= C exp[ 0 2D D E W В (2.3.12) С – нормировочная константа (интеграл от плотности распреде ления вероятностей равен единице), D = D дисперсия W в режиме E WE недостаточного увлажнения.

Далее для получения аналитических результатов рассмотрим предельный случай «мгновенного» сброса избыточной влаги в сток при достижении кри тического влагозапаса и продолжении положительного поступления влаги в почву – так называемую «модель ведра» [Delworth, Manabe, 1988]. В этой мо дели среднее от любой функции от W можно вычислить с помощью (2.3.12) и затем перейти к пределу при. Для вычисления характеристик флук c туаций влагозапаса в квазиравновесном приближении используется стацио нарная плотность распределения вероятностей (2.3.12). Если интересующие нас функции не имеют особенностей вблизи W, то, благодаря наличию в (2.3.12) «обрезающей» экспоненты, для вычисления средних при дос c таточно рассматривать диапазон W W ) с плотностью распределения веро ятности (W W )2 ].

= C exp[ (2.3.13) WS E 2D E Вводится важный безразмерный параметр [Демченко,1990, 2003] WE P 1)( 0 0 )1/ 2 = (W W )(2 D )1/ 2.

=( (2.3.14) R E 0 E E 2D 0 W Параметр – основной критерий подобия модели – меняет знак при R смене режима увлажнения с недостаточного на избыточный и остается инвариантным при некоторых преобразованиях величин внешних параметров: W, E, P и D. Далее можно получить аналитические 0 0 W выражения для интересующих нас характеристик флуктуаций [Демченко 1990]. Например, для среднего влагозапаса справедливо W D 0 W = (W W ) (W )dW + W = W ( E )1/ 2, E WS E E F ( ) RR (2.3.15) R F ( ) = erfc( ), e RR R где erfc(x) – дополнительный интеграл вероятностей [Абрамовитц, Стиган, 1979].

Выражение для корреляционной функции флуктуаций влагозапаса отно сительно среднего стационарного значения W = W W можно получить, умножив (2.3.10) в момент времени t+ (0) на W (t ), осредняя с учетом d W /dt = 0 и учитывая, что f (t + )W (t ) = 0. Последнее соотношение W следует из того, что, во-первых, решение задачи Коши для (2.3.10) в момент времени t функционально не зависит от значений вынуждающей силы в бу дущие моменты времени – принцип динамической причинности [Кляцкин, 2002]. Однако статистическая связь может существовать из-за статистической связи значений случайного возбуждения в разные моменты времени – конеч ности времени корреляции – что не имеет места для дельта коррелированного случайного процесса. Окончательно получаем уравнение для корреляционной функции флуктуаций влагозапаса в виде dK ( 0) U, K (0) = 2.

W = U (t + )W (t ), U = (2.3.19) W W d W Уравнение (2.3.19) не замкнуто из-за нелинейности в силу того, что в правую часть будут входить моменты более высокого порядка например, W (t + )2 W (t ) и более старшие (получается бесконечная цепочка урав нений для моментов). Однако численные эксперименты указывают [Del worth, Manabe, 1988], что в статистическом смысле (2.3.10) эквивалентно линейному стохастическому дифференциальному уравнению – корреляци онная функция решения спадает экспоненциально. Это обстоятельство яв ляется необходимым условием для применения приближенных методов, сводящих дифференциальное уравнение для корреляционных функции к линейному. К числу таких методов принадлежит и метод «квазиравновесно го приближения» [Brey et al., 1985], проверенный, например, при нахожде нии корреляционной функции одномерного уравнения Ланжевена с потен 2 циалом вида U(x)=-ax +bx («двойная потенциальная яма») Изложим вкратце этот метод в одномерном случае. Поскольку читателю в дальнейшем возможно придется столкнуться с решением нелинейных про блем, подобным возникшей в данном примере с нелинейным механизмом формирования поверхностного стока, изложим метод для произвольной пе ременной x. В одномерном случае для любой переменной x ( как и для W), которая подчиняется одномерному уравнению Ланжевена dx dU = U ( x) + f (t ), f (t ) f (t ) = 2 D (t t ), U ( x) =. (2.3.20) dt dx Уравнению Ланжевена (2.3.20) соответствует уравнение ФоккераПланка (2.3.7) для одноточечной плотности распределения вероятностей с прямым и сопряженным операторами d2 d d d (...), L+ = U ( x) (...) + D U ( x)(...) + D = L (...), (2.3.21) FP FP dx 2 dx dx dx которому также будут удовлетворять и плотность вероятностей перехода и двухточечная (двухвременная) корреляционные функции. При этом сопря женность подразумевает, что dxFL G = dxGL+ F.

FP FP Основная идея метода квазиравновесного приближения заключается в том, что первые моменты x(t ) и корреляционные функции K (t, t ) = x(t )x(t ) ( x(t ) = x(t ) x(t ) ) вычисляются через соответствую щие одноточечные и двухточечные квазиравновесные плотности распределе ния вероятностей ( x, t ) и ( x, t ;

x, t ), которые определяются из усло LE LE вия совпадения соответствующих средних и корреляционных функций, рас считанных по точным кинетическим уравнениям. Например U + (t ) x}, x(t ) = x(t ) = dx ( x, t ) x.

( x, t ) = A(t ) exp{ (2.3.22) LE LE x D В (2.3.22) A(t) – нормировочная константа, а (t) определяется из условия совпадения точных и квазиравновесных средних. Аналогично строится и ква зиравновесная двухточечная функция плотности распределения вероятностей ( x, t ;

x, t ) = ( x, t ) ( x, t ) + LE LE (2.3.23) ( x, t )] dy ( y y (t ) ) ( y, t;

x, t ), +[ x(t ) LE где плотность вероятностей (x,t;

x,t) удовлетворяет по левым аргументам уравнению Фоккера–Планка: = L. Двухточечная корреляционные t FP точная и квазиравновесная функции совпадают. Для того, чтобы показать это, умножим (2.3.23) на произведение xx и проинтегрируем по этим перемен ным, получив тем самым квазиравновесную корреляционную функцию. За тем учтем, что ( x) LE dxx LE ( x, t ) = 1, = dxx x(t ) x(t ) dxdx LE ( x, t ) LE ( x, t ) xx = x(t ) x(t ).

После несложного преобразования получаем равенство точной и квази равновесной корреляционных функций.

Следующий шаг метода квазиравновесного приближения заключается в том, что в дифференциальном уравнении для временной корреляционной функции используется квазиравновесная двухточечная плотность распреде ления вероятностей dK (t, t ) d x(t ) x(t ) = dxdx[L + x]{x ( x, t ;

x, t )} = L+ x x(t ) + = FP LE FP LE dt dt L+ x.

+[ x(t ) x(t ) ]x(t ) x(t ) FP Из этого соотношения следует, что для отклонений от средних справед ливо L+ x d FP LE x(t )x(t ).

) = x(t ) x(t x(t ) dt Для стационарных флуктуаций относительно некоторого среднего значе ния (для простоты можно считать x=0), можно показать, учитывая опреде ление сопряженного оператора ФоккераПланка (2.3.21) и определение ква зиравновесной плотности вероятности (2.3.23), что U ( x)x U ( x) dK ( ) st K ( ).

LE ( x = 0) K ( ) = = (2.3.24) d x(t ) (x) st Поскольку в рассматриваемом примере стационарная плотность распреде ления веротностей совпадает с локальноравновесной, в (2.3.24) мы заменили индекс локального равновесия на значок, указывающий на флуктуации вблизи устойчивого стационарного состояния.

Применим полученные соотношения (2.3.24) для расчета K ( ) :

W WU (W ) dK ( ) st K ( ).

= (2.3.25) d W st В (2.3.25) выражение f обозначает статистическое осреднение произ st вольной функции f(W) по стационарному решению уравнения (2.3.11) для плотности распределения вероятностей (W, ). Таким образом, в ква WS c зиравновесном приближении, зная, можно определить, как величину, WS W обратную коэффициенту обратной связи и (2.3.25):

= 2 U (W )W 1.

(2.3.26) W W st Для любой стохастической модели типа (2.3.11), в которой ставится граничное условие (±) = 0, выполняется соотношение [Демченко, WS 1990], = W, (2.3.27) WD W в справедливости которого можно убедиться интегрированием по частям + d + WU = D W WS dW = D dW = D, st W W WS W dW Здесь следует сделать одно замечание. Поскольку влагозапас W не может быть отрицательным, ставить граничное условие при W=, строго говоря, некорректно. Однако для малых флуктуаций вдали от W=0 это не должно приводить к большим погрешностям в определении и. Если же W W флуктуации сосредоточены вблизи W=0, вклад нелинейности, связанной со стоком, мал. В этом случае квазиравновесное приближение дает для точ W ный результат независимо от вида функции плотности вероятностей.

Используя (2.3.27) и вычисляя 2 по аналогии с W с помощью ста W ционарной плотности распределения вероятностей (2.3.16), для времени кор реляции получаем формулу R = (1 + ). (2.3.28) W E 2 ( ) F ( ) 2 F RR RR Для проверки применимости квазиравновесного приближения при описа нии зависимости от внешних параметров проведено сравнение расчета W методом Монте-Карло по конечно-разностной модели (при применении W «модели ведра») с результатом применения формулы (2.3.28). В качестве случайных источников были выбраны флуктуации осадков, заданные датчи ком независимых случайных чисел, распределенных по экспоненциальному закону ( P ) = P 1 exp( P / P [Semenov, Bengtson, 2003]. На рис. 2.3.1 при ведены результаты расчета зависимости от E при фиксированных зна W чениях средних осадков и критического влагозапаса.

Рис. 2.3.1. Зависимость безразмерного времени корреляции / от E /P.

WE 1 – расчет по конечно-разностной модели (флуктуации осадков распределены по экспонен циальному закону);

2 – расчет по квазиравновесному приближению (2.3.28);

3 – величина среднего влагозапаса по (2.3.15), нормированного на критический.

Реальные времена корреляции определяются в регионах без избыточного увлажнения, которые занимают основную часть суши, масштабом = E мес. Это проверено на эмпирическом материале [Vinnikov, Yeserkepova,1991].

Проведенный в данном разделе анализ роли нелинейности не учитывает, на пример, сезонного хода динамики увлажнения. Поэтому данный фрагмент раздела следует рассматривать, как демонстрацию возможностей современ ных методов использования уравнения ФоккераПланка в задачах определе ния флуктуационых характеристик гидрологичесого режима.

На рисунке 2.3.1 видно, во-первых, что смена знака зависимости времени корреляции от величины потенциальной испаряемости происходит уже при E 1, 25 P. При этих значениях, согласно данным рисунка (кривая 3), средний влагозапас составляет 0,7 от критического. При E = P это отно шение равно 0,8, а рассчитанная по стохастической модели величина со W ставляет около половины от ее оценки по величине для линейной модели в E отсутствие стока. Сравнение с эмпирическими данными об отношении вели чин среднего влагозапаса к критическому [Vinnikov, Yeserkepova,1991] для территории бывшего СССР показывают, что области с W близким к W k занимают большую часть высоких и значительную часть умеренных широт.

2.4. Описание предсказуемости стохастических природных процессов в рамках линейных уравнений Ланжевена Говоря о прогнозах и предсказуемости природных процессов можно иметь в виду очень разные характеристики и использовать различные критерии для их оценок. Далее мы будем говорить о динамических прогнозах, получаемых в результате интегрирования физико-математических моделей исследуемых природных процессов на некоторый промежуток времени t в будущее. Поми мо этого вида прогнозов существуют и другие. Например, в инерционных прогнозах будущее состояние природных объектов получают интерполяцией в будущее их текущего состояния, опираясь на различные методы, в том чис ле и статистические. На основании такого рода прогнозов были выдвинуты так называемые «проекты века»: проекты по переброске части стока север ных рек для предотвращения обмеления Каспийского и Аральского морей, перекрытию выхода в Каспийское море залива Кара-Богаз-Гол. Последний проект был даже осуществлен. Однако до начала переброски части стока се вероевропейских рек в Волгу с начала 1980-х годов XX века уровень Каспия начал стремительно расти, и причиной этого стали, в конечном счете, про изошедшие изменения типов атмосферной циркуляции (см. рис. 3.3.1). Воз можности инерционных прогнозов во многом связаны с наличием квазипе риодических процессов, например явлением Эль-Ниньо – Южное колебание, арктическим (североатлантическим) колебанием, и рядом других планетар ных процессов, к поведению которых можно «привязать» состояние явлений регионального масштаба.

Существование инерционных природных объектов, таких, как морские льды в полярных широтах, может увеличить предсказуемость прогнозов со стояния атмосферы из-за инерционности элементов климатической системы, которые задают граничные условия для потоков тепла, влаги и импульса ме жду подстилающей поверхностью и атмосферой. В частности показано, что привлечение данных о протяженности морского льда, влажности почвы и аномалий температуры поверхности океана повышает успешность прогнозов [Мелешко и др., 2001]. Однако в этой работе показано, что успешность про гнозов для внетропических широт Северного полушария ограничивается пер вым месяцем, а затем резко падает, свидетельствуя, по мнению авторов ста тьи, об ограниченном действии «памяти» о начальном состоянии атмосферы.

Исследование вопросов предсказуемости атмосферы при ее взаимодействии с более инерционными звеньями природной среды, например, с верхним слоем океана, требует развития методов анализа предсказуемости объектов природ ной среды с разными временными масштабами релаксации.

Принципиальным вопросом при прогнозировании природных процессов является их предсказуемость. Вопрос заключается в определении временного интервала – интервала предсказуемости, на котором ошибка прогноза не вы ходит за определенные рамки. Предсказуемость геофизических переменных, в частности, атмосферных, лимитируется неопределенностью задания на чального состояния начальной ошибкой, неопределенностью параметров ди намической модели и внутренней неустойчивостью самого моделируемого объекта. Как показали многочисленные исследования [Дымников, 1997], предсказуемость атмосферных переменных лимитируется в основном именно внутренней неустойчивостью.

Получить информацию о предсказуемости определенного объекта можно проводя вычислительные эксперименты с моделирующей его поведение ди намической системой [Дымников, 1998]. Пусть она задана вектором пере менных Z(t) и оператором эволюции L (например, системой обыкновенных дифференциальных уравнений с соответствующими начальными условиями):

Z = L(Z), t 0, Z(t = 0) = Z. (2.4.1) t С помощью соответствующей метрики вводится расстояние || (t ) || между траекториями Z(t) и Z(t)+ (t ) с близкими начальными данными Z и Z +.

0 Разность начальных данных рассматривается как неизбежная начальная ошибка. Далее ставится множество численных экспериментов с различными значениями и вычисляется средняя величина || (t ) ||.

Будем считать, что эффекты разбегания траекторий, характеризующие по степенную потерю предсказуемости, имеют место уже при малых || ||. Это последнее условие позволяет линеаризовать систему (2.4.1) относительно траектории Z(t). Вместо (2.4.1) запишем систему линейных уравнений = A(Z(t )), (t = 0) = с решением (t ) = B(t ). (2.4.2) t 0 Норму || (t ) || можно определить через скалярное произведение с помо щью матрицы B и сопряженной ей B + :

|| (t ) ||2 = ((t ), (t )) = (B, B ) = (B + B, ). (2.4.3) 0 0 Собственные числа и соответствующие им собственные векторы i i матрицы B + B определяют поведение траекторий системы (2.4.1) вблизи Z(t) [Дымников, 1998]. Положительным соответствуют локальные показатели i ( L) Ляпунова (1/t )ln(|| (t ) / ||) / 2 на интервале (0,t), которые задают 0i i i i скорость экспоненциального разбегания близких траекторий вдоль направле ний соответствующих собственных векторов [Dymnikov, Filatov, 1997]. Вви ду нелинейности сиcтемы и ограниченности области изменений переменных рост || (t ) || должен когда то прекратиться, и || (t ) || начинает колебаться вблизи некоторого определенного значения. Таким образом рост ошибок ес тественно прекращается, временной интервал, на котором он становится сравним со стационарной в среднем мерой естественной изменчивости, зада ет время предсказуемости.

В контексте тех процессов, динамика которых изучается в данной книге принципиально важно рассмотреть предсказуемость, которая определяется внутренней неустойчивостью динамической системы. Переходим к рассмот рению данного процесса.

Неустойчивость можно трактовать как наличие шумов в системе, приво дящих к тому, что в течение конечного промежутка времени – интервала предсказуемости – разброс отдельных «прогнозов», генерируемых по ан самблю близких начальных значений постепенно сравнивается с величиной ошибок (заданных какой-либо мерой). Понимаемые в таком аспекте первые теоретические оценки предсказуемости температуры на основе стохастиче ских моделей климата были проведены для линейных стохастических энер гобалансовых моделей [North, Cahalan, 1981]. Отклонения некоторой эффек тивной температуры поверхности T от среднеклиматического значения в S таких моделях для теплоизолированной с боковых границ области подчиня ются линейным уравнениям Ланжевена (2.2.12) или (2.2.13). Релаксация на чальной аномалии T (0) происходит путем восстановления радиационного S баланса на верхней границе атмосферы, нарушенного из-за этой аномалии, за счет излучения длинноволновой радиации в космос с учетом возможного воздействия положительной дестабилизирующей обратной связи альбедо – температура. Оба эти процесса определяют температурную чувствительность радиационного баланса к изменениям температуры поверхности и постоян ную релаксации в (2.2.13). В [North, Cahalan, 1981) рассмотрен только T первый процесс с характерным временем релаксации =С/B=, где С – R T некоторая эффективная теплоемкость системы, B – коэффициент темпера турной чувствительности уходящей в космос длинноволновой радиации.

Решение задачи Коши для T (2.2.13) с начальным условиeм T (0) S S шение задачи Коши для T (2.2.13) с начальным условиeм T (0) можно S S представить суммой двух слагаемых – детерминированной и случайной ком понент («сигнала» и «шума») (d ) ( n) T (t ) = T (t ) + T (t ). (2.4.4) S S S (d ) Первое слагаемое в (2.4.4) T (t ) представляет решение задачи Коши S для (2.2.13) с заданным начальным значением T (0) в отсутствие случай S ных сил и в дальнейшем трактуется, как «сигнал» (верхний индекс (d) обо значает «determinated» – детерминированный). Его можно рассчитать по (2.2.13), полагая f(t )=0 и задавая начальное отклонение T (0), S d (d ) (d ) (d ) T (t ) = T (t ), T (0) = T (0). (2.4.5) S S S S dt T При осреднении по всем возможным начальным состоянием T (0) S (d ) (t ) =( T (0) exp(/ ) равно нулю. Однако величина значение T S S T (d ) (t )) = T (0)2 exp(2/ ) в каждый момент време дисперсии (T S S T ни отлична от нуля и далее принимается в качестве меры «сигнала».


Отклонения от этого детерминированного «сигнала» связаны в рассматри ваемой стохастической модели с воздействием ланжевеновских короткопери одных источников f(t) в (2.2.13). Рассмотрим второе слагаемое в (2.4.4) – ве ( n) личину T (t ), эволюция которой удовлетворяет (2.2.13) с нулевым на S чальным значением (верхний индекс (n) обозначает «noise» – шум). Домно ( n) ( n) жив (2.2.13), записанное относительно T (t ), на 2 T (t ), получим S S уравнение для искомого шума ( n) d (T (t ))2 2 ( n) ( n) ( n) (T (t ))2 + 2T f (t ), (T )2 (0) = 0, S = S S S dt T которое осредним по ансамблю реализаций f(t) c помощью уже использован ного в разделе (2.3) метода расщепления корреляций по теореме Новикова. В результате получим ( n) d ( T (t ))2 2 ( n) (T (t ))2 + 2 D.

S = (2.4.6) f S dt T Из (2.4.6) следует, что ( n) ( n) (T (t )) 2 = ( T )2 ) [1 exp((2t / )]. (2.4.6а) S S T Индекс «» в (2.4.6а) означает предел переменой при t+, то есть ста тистически стационарное значение 2.

st Случайное воздействие со временем приводит к тому, что амплитуды «сигнала» и «шума» в (2.4.4) становятся сравнимыми, это накладывает есте ственные ограничения на период времени, для которого возможен прогноз.

Этот период зависит от инерционности системы – ее способности сохранять память о начальном состоянии.

Интервал времени среднестатистической предсказуемости [Зубарев, Дем ченко, 1992] определяется, как время t, за которое дисперсия флуктуаций (d ) решения (2.2.13) T (t ), связанная с неопределенностью задания началь S ных условий T (0), сравнивается с дисперсией флуктуаций, вызванной S ( n) стохастическими источниками f(t) T (t ), S (d ) ( n) (t ))2 = (T (t ))2.

(T (2.4.7) S S В (2.4.7) слева осреднение ведется по ансамблю начальных состояний со стационарной плотностью вероятностей. Дисперсия «шумов»

st ( n) (T (t )) 2 в начальный момент времени равна нулю и при t стремится S ( n) к стационарному значению 2 = (T (t ))2, определяемому по – st S st стационарной плотностью вероятностей решений (2.2.13). Далее будем счи тать, что распределение начальных отклонений в (2.4.5) распределено с той же стационарной плотностью вероятностей. В качестве меры среднеста st тистической предсказуемости T вводится величина [Зубарев, Демченко, S 1992] ( n) (T (t )) S 0 1.

J (t ) = 2 (2.4.8) S st В начальный момент времени J (0) =1, а с ростом t эта функция убывает и S при некотором значении обращается в нуль, причем значение t, при котором это происходит, совпадает с интервалом предсказуемости, определяемым (2.4.7).

Доказательство правильности выбора критерия (2.4.8) приведем для мно гомерной системы уравнений Ланжевена. Для любой линейной системы сто хастических дифференциальных уравнений с постоянными матрицами коэф фициентов и интенсивности случайных сил D dY (t ) i = Y (t ) + f (t ), f (t ) f (t ) = 2 D (t t ). (2.4.9) ij j i i j ij dt ( n) Матрица ковариаций решения задачи Коши (2.4.9) (Y ) с элемен t тами [Y (t ) Y (0)][Y (t ) Y (0)], составленными из осредненных произве i i j j дений случайных отклонений от заданных начальных значений под действи ем случайных сил, удовлетворяет уравнению ( n) d (Y ) t + (Y(n) )2 (Y(n) )2 T = 2D, (Y(n) )2 = 0 (2.4.10) t t dt и находится по формуле [Hasselmann, 1976] T ) = (Y )2 e t (Y )2 et.

( n) 2 ( n) ( n) (Y (2.4.11).

t Здесь и далее верхний индекс Т означает транспонирование матрицы. В то же время матрица ковариаций решения задачи Коши (2.4.9) без случайных сил, но со случайно распределенными случайными начальными значениями (d ) (d ) (d ) (Y )2 с элементами Y (t )Y (t ), как можно показать, также i j t подчиняется уравнению (2.4.9) с нулевой правой частью и решением T ) = e t (Y )2 et.

(d ) 2 (d ) (Y (2.4.12):

t Поскольку при принятом определении среднестатистической предсказуе (d ) (d ) мости считается, что (Y )2 = (Y )2, то условие (2.4.7) для оп ределения интервала времени предсказуемости k-того элемента Y определя k ется из (2.4.11), (2.4.12) Y 2 (t kk 1 = 0.

J (t ) = 2 (2.4.13) k 2 (0) Y kk Критерий (2.4.8) является частным случаем более общего (2.4.13). В дальнейшем этот критерий будет использован в разделе, связанном с пред сказуемости температуры воздуха при взаимодействиями с аномалиями ТПО в главе 4.

В одномерном случае согласно (2.2.5) ( n) (T (t )) 2 = 2 exp(2t / ), T S st и равенство нулю (2.4.7) означает, что время предсказуемости t можно оп ределить из соотношения 2exp(2t / T ) = как t = T ln 2 = 0,69 T. (2.4.14) 2 Масштаб времени t = /2 связан с определением интервала предсказуе T мости, введенного в [North, Cahalan, 1981] из определения ошибки N= || (t ) ||1/ 2 прогноза, как меры разности отклонения аномалии температуры T (t ) от среднего отклика T (t ) при воздействии случайных сил f(t) S S N (t ) = N [1 exp(2t / t )]1/ 2, N = 2. (2.4.15) st Согласно [North, Cahalan, 1981] соотношение (2.4.15) задает интервал пред сказуемости t = / 2, немного больший, чем определяемый соотношением T (2.4.14). Однако оба интервала предсказуемости, как по (2.4.14), так и по (2.4.15), отличаются не сильно и составляют несколько десятых долей от.

T При принятой в разделе 2.2 средней оценке B =2 Вт/м и оценке инте 7 гральной теплоемкости атмосферы C ~10 Дж/м [North, Cahalan, 1981], a получим оценку =58 суток. В упомянутой работе содержатся и результаты T численных экспериментов по определению времен релаксации температуры атмосферы к изменению солнечной постоянной и к удвоению концентрации углекислого газа в атмосфере. Эти оценки совпали с полученной по энер T гобалансовой модели (около 2 месяцев).

ГЛАВА 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАЗЛИЧНЫХ ПРИРОДНЫХ ОБЪЕКТОВ 3.1. Температура и соленость в деятельном слое Мирового океана Мировой океан покрывает около 65% земной поверхности, его средняя глубина составляет около 4 км, следовательно, это очень тонкий слой воды у поверхности планеты (радиус земного шара равен примерно 6400 км).

Океаны достаточно однородны по своему химическому составу: концентра ция солей (соленость) редко выходит за пределы значений 34–37 г/кг. На рис. 3.1.1 показано типично наблюдаемое распределение температуры, со лености и плотности с глубиной. Видно, что в полярных районах у поверх ности располагается холодный и распресненный слой воды, а с глубиной значения температуры, солености и плотности сначала несколько возраста ют (в слое галоклина и пикноклина), а затем профили практически не изме няются с глубиной. В умеренной зоне и в тропиках у поверхности находит ся слой теплой воды с квазиоднородным распределением температуры с глубиной (так называемый верхний квазиоднородный слой – ВКС). Ниже температура сначала быстро убывает, а затем переходит в квазипостоянное распределение с глубиной.

Рис. 3.1.1. Температура (а, С), соленость (б, промилле, ‰) и плотность воды (в, кг/м ) как функция глубины в полярной (1), умеренной (2) и тропической (3) зонах.

Такая картина характерна для большей части акватории Мирового океана – исключения могут проявляться в области стрежней океанских течений и у бере гов. Отметим, что если рассматривать «среднее» по поверхности всей акватории распределение, в каком-то смысле типичное для всего Мирового океана, то тако вым является, несомненно, профиль, близкий к тропическому, поскольку пло щадь, которую занимают на Земном шаре полярные океаны, весьма мала.

Наблюдаемое распределение температуры с глубиной связано с тем, что океан (за исключением полярных областей) нагревается сверху. Поэтому во да у его поверхности теплее и «легче», чем в нижележащих слоях. В таких условиях устойчивой стратификации, примыкающий к поверхности ВКС создается за счет турбулентного перемешивания, энергию для которого по ставляет действие ветра на поверхностный слой. В некоторых случаях важ ную роль в формировании ВКС могут играть упорядоченные движения – циркуляция Ленгмюра [Полонский, 1989]. Если вода в ВКС становится плот нее, чем в нижележащих слоях (из-за зимнего понижения температуры и (или) повышения солености), то развивается конвекция до больших глубин и толщина ВКС существенно возрастает. Так, воды могут погружаться весьма глубоко (до 2–4 км), как, например, в северо-западной части Средиземного моря [MEDOC …, 1970;

Schott et al., 1993], формируя промежуточные и глу бинные водные массы.

Рассмотрим более детально распределение температуры в верхних слоях субтропического океана (рис. 3.1.2). Те его слои, в которых существенно взаимодействие с атмосферой и отчетливо выражен сезонный ход, представ ляют собой так называемый деятельный слой океана (ДСО). В нем выделяет ся ВКС и слой сезонного термоклина. Нижняя его граница принимается за глубину, на которой сезонные колебания температуры, а также солености и плотности, не превышают некоторого заданного значения. Деятельный слой океана сравнительно невелик, а основная же толща вод, из-за своей инерци онности и отсутствия эффективных механизмов локального вертикального взаимодействия, начинает ощущать воздействие атмосферы только на мас штабах времени в несколько лет – десятков лет.

Рис. 3.1.2. Характерный профиль температуры воды в деятельном слое субтропи ческого океана, океанская станция погоды «Е» (Северная Атлантика), 1958 г. [Ту жилкин, 1979].

Вне океанских фронтальных зон температура и соленость в ДСО больше изменяются по вертикали в пределах нескольких сотен метров, чем по гори зонтали на расстоянии многих сотен километров. Это означает, что в таких областях локальный обмен энергией и импульсом между атмосферой и океа ном и вертикальное перемешивание должны изменять локальные условия го раздо сильнее, чем горизонтальная адвекция и перемешивание. Эти рассуж дения (которые, естественно, подкреплены эмпирическими оценками) позво ляют, упростив управляющие уравнения, оставить в них только производные по вертикальной координате.


Четкость вертикальной структуры ДСО предопределяет априорную идею построения такой его параметризации, в которой должен явно выделяться однородный слой (ВКС). При этом предполагается, что процессы турбулент ного перемешивания выравнивают здесь профиль температуры «очень быст ро», так что если рассматривать процессы с гораздо большим (чем, приблизи тельно, 1 сутки) характерным временем, то ВКС все время будет однород ным. В этом случае можно рассмотреть условие сохранения его теплосодер жания в следующем виде:

c hT p w =B B, (3.1.1) s h t где T – температура воды ВКС (и, следовательно, температура поверхности w океана), B R P LE – тепловой баланс поверхности. Здесь s s s s R = Q (1 ) + F F есть алгебраическая сумма потоков суммарной сол s a s нечной радиации ( – альбедо поверхности океана), теплового излучения ат мосферы и теплового излучения поверхности, а P, LE – потоки явного и s s скрытого тепла ( E – скорость испарения, L – константа фазовых переходов s водяного пара – удельная теплота парообразования). Разные знаки у потоков тепла в формуле для B связаны с традиционно различающимися определе s ниями, так, R 0 в случае прихода тепла к поверхности океана, а турбу s лентные потоки положительны тогда, когда направлены вверх. На нижней границе ВКС поток солнечного излучения уже практически может не прини маться во внимание, так что B определяется исключительно динамически h ми эффектами (см. ниже).

Дифференцируя (3.1.1), и имея в виду, что толщина ВКС может быть пе ременной во времени величиной, получим T ( ) w + T h + T h = 1 B B.

h s t s t c s h t p Рассмотрение динамики плотности требует введения в рассмотрение уравнения состояния. Для морской воды оно представляет собой довольно сложную конструкцию [Архипкин, Добролюбов, 2005]. Однако вне высоко широтных зон можно считать, что изменения плотности следуют за измене ниями температуры и первые два слагаемых можно объединить, вводя неко торое среднее значение плотности.

Изменение h может быть связано с разными процессами. Так, в холодное время года развивается конвекция, выравнивающая характеристики на про тяжении нескольких сотен метров. Летом для ДСО характерна устойчивая стратификация, в которой глубина перемешанного слоя определяется совме стным воздействием ветрового перемешивания и притока тепла с поверхно сти. Для иллюстрации сезонного хода на рис. 3.1.3 показан типичный годовой ход толщины ВКС.

Помимо этого, в океане могут развиваться вертикальные движения как ре акция на локальные значения дивергенции (конвергенции) поля течений. В ДСО вне фронтальных зон они преимущественно возникают как реакция на относительную завихренность тангенциального напряжения ветра на поверх ности океана x,0, y,0. Выражение для вертикальной скорости (экманов ской) [Гилл, 1986] имеет вид 1 y,0 x, w= ( ).

E f x y Рис. 3.1.3. Динамика толщины ВКС (с 15 ноября 1976 г. по 2 февраля 1978 г.) на океанской станции погоды «С» (52.75° с.ш., 35.5° з.д.) [Мошонкин, Дианский, 1993].

В случае антициклонической циркуляции развиваются нисходящие дви жения, в случае циклонической – восходящие движения. Наиболее эффектны они при прохождении тропических циклонов, когда экмановский дрейфовый апвеллинг «подтягивает» термоклин к поверхности (а избыточная вода из ВКС транспортируется в горизонтальной плоскости в соседние регионы), и турбулентные движения эффективно вовлекают холодные воды в ВКС. Это приводит к снижению его температуры и возникновению на поверхности океана «холодного следа» вдоль траектории атмосферного вихря. Однако это достаточно экзотическое явление. Более важно то, что в атмосфере сущест вуют области с преобладанием завихренности определенного знака, и поэто му можно говорить о том, что и в океане, в ответ на это, возникают климато логические особенности в распределении зон конвергенции (дивергенции), связанных с ними вертикальных движений вод и, как следствие, расположе ния глубины термоклина.

В реальности картина более сложная, чем та, что следует из экмановской теории. Однако поскольку скорость крупномасштабной вертикальной адвек ции в большинстве случаев близка к экмановской скорости и ее географиче ское распределение хорошо интерепретируется в терминах экмановской тео рии, часто термин «экмановская скорость» используется без конкретной при вязки к изложенной простой теории.

Если не рассматривать формирование зон дивергенции и конвергенции, то есть остановиться на анализе процессов меньших масштабов, то увеличение толщины ВКС происходит вследствие вовлечения вод, лежащих под его ниж ней границей внутрь турбулентного слоя. С точки зрения бюджета энергии при этом происходят затраты кинетической энергии, генерируемой ветром, на ра боту против сил плавучести. Напротив, уменьшение толщины ВКС (например, при ослаблении скорости ветра) означает то, что интенсивное перемешивание захватывает меньший слой и формируется новая, расположенная выше преж ней, граница, а вовлечение холодных вод при этом отсутствует.

Таким образом, вертикальная скорость складывается из суммы крупно масштабной скорости вертикальной адвекции и скорости турбулентного во влечения, так что dh =w +w.

B b dt Поскольку горизонтальная неоднородность в вариациях границы оказы вает малое влияние при локальном рассмотрении, общую производную можно заменить на частную [Демченко, 1993]. Перепишем уравнение в сле дующей форме T ( Bs Bh ).

w = 1T w + 1 (3.1.2) h w В h c t p Понимание механизма вовлечения позволяет параметризовать приток тепла на нижней границе перемешанного слоя пропорционально скорости турбу лентного вовлечения ( w ) и разности температур ВКС и верхней части термо b ( )() () клина ( B = c w T T H w ), причем H w – функция Хевисайда, h pbw h b b которая равна единице при заглублении ВКС и нулю в остальных случаях.

Представленная теория позволяет утверждать, что изменение температуры поверхности океана (и ВКС) определяется, в конечном счете, потоками тепла и импульса на границе с атмосферой, поскольку даже эффект вовлечения на нижней границе ВКС зависит от интенсивности турбулентности в ВКС, оп ределяемой скоростью ветра в приводном слое. Эта «возбуждающая функ ция» имеет четкий суточный ход, а ее междусуточная изменчивость опреде ляется синоптическими изменениями метеорологического режима с харак терным временем порядка нескольких суток. Такой же масштаб времени ха рактерен для реализации процесса вовлечения.

Названные эффекты редко настолько интенсивны, чтобы сразу резко из менить теплосодержание ВКС. Более обычной является ситуация накопления происходящих день ото дня изменений с медленной перестройкой темпера туры. Действительно, сопоставление интенсивности изменчивости в двух диапазонах: синоптическом (2–10 суток) и «низкочастотном» (12–20 суток) выявило [Тужилкин, 1979], что для внешних локальных факторов (скорости ветра и потоков тепла через поверхность) преобладающей является изменчи вость в синоптическом интервале, тогда как в изменчивости термической структуры они приблизительно равны между собой. Это говорит о том, что на рассматриваемом масштабе в изменчивости начинают проявляться свой ства красного шума. Действительно, спектр температуры в диапазоне перио дов от 10 до 60 суток (по данным измерений на станциях «B», «C», «D» и «Е»

в 1958–1959 гг.) хорошо соответствует закону 2 [Тужилкин, 1979]. Анало гично выглядит спектр флуктуаций температуры по измерениям на станциях «C» в 1976–1978 гг. [Мошонкин, Дианский, 1993]. В работе [Dobrovolski, 1992] локальная авторегрессионная модель была применена для описания аномалий температуры поверхности океана в пределах небольших участков поверхности (5х5° широты и долготы). Атмосферное возбуждение создава лось методом Монте-Карло в виде меняющихся от месяца к месяцу некорре лированных во времени переменных. Статистические параметры «погодного генератора» оценивались по данным наблюдений. Модель позволила описать спектры практически на всей акватории Мирового океана, кроме района Эль Ниньо. Важным результатом явилось подтверждение локального характера генерируемых в океане аномалий и, в частности, отсутствие явления адвек ции («плавания») аномалий вдоль океанских течений.

Вопрос об изменчивости температуры на более низких частотах (в межго довом и декадном интервалах) обсуждался неоднократно как на основе дан ных наблюдений, так и по данным моделирования в рамках моделей общей циркуляции Мирового океана. В работе [Hall, Manabe, 1997] сделан вывод о том, что во многих регионах Мирового океана изменчивость температуры происходит по закону «красного шума». В работе [Dommenget, Latif, 2002] сделан иной вывод, который, на наш взгляд, правилен исключительно с фор мально-статистической точки зрения. В этой работе была предпринята про верка применимости авторегрессионной модели первого порядка для воспро изведения изменчивости температуры океана в средних широтах. Главное от личие от красношумного поведения наблюдается в диапазоне межгодовой изменчивости – здесь нарастание дисперсии происходит несколько медлен нее, чем это предписывается моделью авторегресии. Следует, однако отме тить, что, несмотря на то, что формальный статистический тест не преодолен, картины спектров и дисперсий получились очень близки к тем, которые предписываются авторегрессионной теорией. Аналогичный результат полу чен и при анализе «модельных» полей, воспроизведенных полными моделя ми океана и атмосферы. В то же время, использование более простых моде лей, когда в модели общей циркуляции атмосферы океан представлен одно родным слоем постоянной теплоемкости, показало, что в этом случае стати стическая модель авторегрессии успешно применима.

Комментируя эти результаты хочется отметить, что не следует требовать от теории больше того, что она способна дать. В самом деле, по меньшей ме ре странно надеяться описать изменчивость поля температуры поверхности океана во всем частотном диапазоне единой моделью авторегрессии. Это вряд ли возможно, хотя бы потому, что сезонно меняется сам объект иссле дования – деятельный слой океана. Также не одинакова и физика процессов на разных масштабах. В этом смысле плодотворнее не заострять различия, которые и так должны быть очевидны, а наоборот, следует обратить внима ние на удивительную похожесть эмпирических спектров на то, что предпи сывается простой теорией. Именно это сделано в первых работах данного на правления [Hasselmann, 1976;

Frankignoul, 1985;

Frankignoul, Hasselmann, 1977], и это открывает перспективы плодотворного применения локальной статистической теории для описания и интерпретации изменчивости терми ческого состояния океана.

Применим уравнение (3.1.2) для описания изменчивости на интервалах, существенно превышающих характерное время атмосферных синоптических явлений. Ниже будет продемонстрировано, какими преобразованиями это выражается. Пока же только заметим, что за длительное время флуктуации глубины ВКС будут происходить неоднократно и поэтому можно ввести вме сто h = h ( t ) некоторую «эффективную» глубину перемешанного слоя h.

Придадим уравнению (3.2.2) более конкретный вид ( Питербарг, 1989;

По лонский, 1989 и др.]. Для этого запишем в явном виде выражения для расчета ( ) ( ) u C T T p T T, потоков тепла. Поток явного тепла P = c s p, a a aw aw – удельная где T – температура приповерхностного слоя воздуха, c p, a a a теплоемкость воздуха при постоянном давлении и плотность воздуха, u – модуль скорости ветра, C – коэффициент сопротивления. Поток скрытого ( ( )) () () тепла LE q q* T = f q* T + q* T (здесь q и f – удель s a w a a w a a ная и относительная влажность воздуха, а q* – насыщающее значение удель ной влажности, выражаемое известной аналитической зависимостью – фор мулой Магнуса). Примем, что в приводном слое относительная влажность близка к единице. Затем, имея в виду малость отклонений значений темпера ( ) туры воды от температуры воздуха получаем, что LE e T T в кото S aw ром e конструируется из констант формулы Магнуса. Длинноволновая со ставляющая радиационного бюджета поверхности вычисляется по полуэмпи рическим формулам F F = f f T 4 T 4, в которых – постоянная a s qn a w Больцмана, а f, f учитывают влияние водяного пара и облачности на qn встречное излучение атмосферы. Раскладывая T 4 в ряд Тейлора и ограни a чиваясь линейным слагаемым, приблизительно получим, что ( ) F F r T T.

a S aw Уравнение (3.1.2) принимает вид dT w = T +. (3.1.3) Tw dt Введя для температуры воды и метеорологических переменных сезонный ход и отклонения от него ( T ) и выделив в сезонную составляющую и от клонения, из уравнения (3) можно выделить уравнение для аномалий d T w = T +, (3.1.4) Tw dt в котором = p + e + r + c w h c, (3.1.5) T p p (0 ) h0c p Q + T + B. (3.1.6) = Q Q (1 ) + ( p + e + r ) T T B B 0 a h,0 h Здесь введены безразмерные величины вариаций потока суммарной сол нечной радиации ( Q ), температуры воздуха ( T ) и интенсивности тепло a обмена за счет вовлечения вод из термоклина ( B ), умноженные на соот h ветствующие масштабные множители (обозначенные индексом «0»), оценкой которых служат соответствующие стандартные отклонения. Отметим, что факторы, учитываемые в выражении (3.1.6), на самом деле не настолько не зависимы друг от друга, как может показаться. В самом деле, флуктуации по тока солнечного тепла определяются колебаниями облачного покрова, кото рые управляются теми же самыми процессами, которые вызывают колебания температуры. Эффект вовлечения вод из термоклина, хоть и параметризуется традиционно через градиент температуры в нижней части ВКС, зависит от развития турбулентности в ВКС, то есть от скорости ветра в приводном слое, изменчивость которой определяется все теми же атмосферными процессами.

Отклонения от сезонного хода формируются различными процессами, харктерные масштабы которых простираются от секунд до недель. Они включают микромасштабную турбулентность, мезометеорологические про цессы (типа крупных скоплений конвективной облачности и (или) отдельных атмосферных фронтов) и синоптические процессы (волны и вихри в атмо сфере, с временным масштабом в несколько суток, и пространственным мас штабом в несколько сотен километров). Вносит вклад и весьма сильный де терминированный эффект суточного хода метеорологических величин. Су ществуют и более продолжительные явления, имеющие различный генезис, такие, как волны МадденаДжулиана в тропиках, «двухнедельные» колеба ния интенсивности муссонов, «цикл индекса» в циркуляции умеренных ши рот и др., часто представляющие собой короткий, быстро обрывающийся, цуг аномалий. Эмпирическая автокорреляционная функция случайного процесса, порождаемого совокупностью эффектов такого рода, будет аппроксимирова на, как рекомендовано во Введении, экспоненциальной зависимостью. Пол ное затуханием корреляции, характеризуемое «временным радиусом корре ляции» ( ), составляет несколько суток. Оценим порядки величин, входя r u C и (далее в едини щих в выражение (3.1.5). Имея в виду, что p c p, a a = 103 Дж/(кгК), = 1 кг/м, u = 5 м/с, C = 103, по цах системы СИ) c p, a a лучаем, что p 5 Вт/(Км ). Оценить e по порядку величины можно не вы p писывая громоздких формул. Будем исходить из того, что e =,а P s LE s стоящая в знаменателе величина (отношение потоков явного и скрытого теп ла) есть так называемое отношение Боуэна, которое можно для качественных оценок принимать как типичную для данных условий климата величину. Над тропическими океанами оно, примерно, 0,2 (так как испарение велико), в умеренных широтах несколько больше. Исходя из этого, примем e =15 Вт/(Км ). Наконец, r = 5 Вт/(Км ). Оценки скорости вовлечения могут быть получены по данным работы [Тужилкин, 1979], где B был рассчитан h методом остаточного члена из уравнения притока тепла. В среднем можно = 50 Вт/м (хотя в отдельных и не так уж редких случаях принять B h, возможны большие в несколько раз значения). В этом случае значение c pw можно взять приблизительно равным 10 Дж/(кгК). Для океана c = 4, 2 106 Дж/(м К), а h примем равным 70 м, так что p h c = 2,9 108 Дж/(м К). В этом случае = 107 с. Таким образом, ха 2 – 0p T рактерное время изменчивости температуры перемешанного слоя воды (и температуры поверхности) имеет порядок 1 =100 суток.

T Имея в виду, что изменения температуры создаются локальным быстро флуктуирующим воздействием, уравнение (3.1.4) можно трактовать как сто хастическое уравнение Ланжевена.

Как было показано ранее (см. 1.2), при нулевом начальном условии и пред положении, что ( t ) = 0, дисперсия определяется следующим выражением:

2 = r.

3.1.7) T, st T Величина вычислена ранее, а 2 определяется как Т 2 = 2 + 2 + 2. (3.1.8) Q T B Дисперсию короткопериодных случайных воздействий можно получить по данным о наблюдаемых величинах вариаций бюджета потоков солнечной радиации, температуры и интенсивности теплоообмена ВКС с термоклином.

Ясно, что эти оценки могут быть весьма различными для разного времени го да и разных географических областей. Так, в полярных широтах зимой пото ки солнечного тепла относительно малы, а изменения температуры воздуха (и, соответственно, воздействия на температуру океана) могут быть гораздо больше. Для приблизительных оценок можно использовать данные о харак терных масштабах, введенных выше (см. (3.1.6)). Так, для баланса коротко волновой радиации примем, что Q =100 Вт/м. В качестве оценки «масшта ба температуры» используем характерную величину возможных адвективных изменений температуры за сутки при типичных скоростях ветра и горизон тальном градиенте температуры в умеренных широтах: T 5К. Масштаб ва риаций теплообмена ВКС с термоклинном оценен выше при анализе наблю даемых значений. Примем, что =5 сут, то есть на больших временах связ r ность внутри рядов исчезает и «возбуждающяя сила» представляет собой стационарный дельта-коррелированный процесс.

Подчеркнем ценность развиваемой теории: все величины, описывающие случайный процесс формирования аномалий температуры, могут быть оце нены непосредственно из исходных соотношений уравнения баланса тепла.

Имея это в виду, определим дисперсию стационарных флуктуаций, используя оценки и 2. В результате получим, что 2 =1К. По порядку эта ве T, st Т личина соответствует данным наблюдений, более надежно она может быть скорректиррована для конкретного сезона и региона.

Аналогичный рассмотренному для температуры подход может быть реали зован при выводе уравнения для солености. Вместо уравнения (3.1.2) имеем ( ) w S S S S ( ) w h, w = 0 E P (3.1.13) s h h t 0 в котором S и S соленость верхнего слоя и соленость ниже h, S – w h 0 среднее значение солености слоя h, поток солей между поверхностью и ни жележащими слоями воды определяется разностью испарения и осадков. В качестве аналога выражения (4), запишем d S w = S +, (3.1.14) sw dt S ( ) в котором = w h, а в последнем члене = 0 E P + S S соб s wh S 0 h раны внешние, воздействующие на перемешанный слой, факторы. Используя определенные ранее значения, получим = 0,3 107 с и характерное вре – s мя изменений солености составляет 1 = 400 сут. Отсюда получается, что s аномалии солености должны быть более долгоживущими, чем аномалии тем пературы. Уравнение (3.1.14) может трактоваться как стохастическое уравне ние Ланжевена, описывающее медленные изменения солености под влиянием возбуждения в виде стационарного дельта-коррелированного процесса (если рассматриваются атмосферные воздействия с характерным временем корре ляции, не превышающим нескольких суток).

Различия в поведении аномалий температуры и солености можно отчетли во проследить, анализируя функции спектральной плотности. Как известно, спектры «воздействия» и «отклика», соответствующие уравнениям (3.1.4) и (3.1.14), имеют вид S S S=,S =. (3.1.15) T s 2 + 2 2 + T s На относительно высоких частотах, где 2 ( 2, 2 ), спектр «отклика»



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.