авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

«Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская, Я.С. Зинкевич Возмущенные и управляемые вращения твердого тела Одесса - 2013 УДК ...»

-- [ Страница 2 ] --

В случае, когда возмущающие моменты, действующие на твердое тело, малы в том смысле, что текущее значение кинетической энергии вращательного движения тела T существенно превосходит работу воз мущающих сил A, т.е. T A, то движение на небольшом интервале времени будет близко к невозмущенному движению. Однако на достаточ но большом интервале времени действие малых возмущающих моментов может привести к накоплению возмущений и к постепенной эволюции движения. Такое движение называется возмущенным движением [28].

Основная цель пособия заключается в исследовании эволюции возмущенного движения. При этом хорошие результаты дает применение метода усреднения [16-18]. Для использования метода усреднения уравне ния движения твердого тела нужно привести к стандартному виду систем с одной или несколькими вращающимися фазами.

Успех в исследовании возмущенного движения во многом зависит от того, в каких переменных записаны уравнения возмущенного движения.

Точные уравнения возмущенного движения в общем случае не проинте грированы. Поэтому используются приближенные методы исследования, эффективность которых во многом зависит от вида решаемых уравнений.

В небесной механике для исследования уравнений возмущенного движения применяется метод оскулирующих элементов. Оскулирующие элементы – это характеристики орбиты, остающиеся постоянными в не возмущенном движении и меняющиеся со временем в возмущенном, т.е.

первые интегралы уравнений невозмущенного движения. Уравнения, за писанные в оскулирующих элементах, удобны тем, что их приближенное решение можно провести с помощью асимптотических методов.

В задачах о возмущенном движении твердого тела относительно центра масс можно найти элементы, аналогичные оскулирующим элемен там в небесной механике. При этом, достаточно, чтобы условию постоян ства в невозмущенном движении удовлетворяла только лишь часть эле ментов. Переменные, описывающие движение, должны удовлетворять следующим требованиям [28]:

1. Иметь простой механический и геометрический смысл.

2. В случае отсутствия возмущающих моментов они должны дать урав нения, достаточно просто описывающие движение Эйлера-Пуансо.

3. В случае возмущенного движения уравнения в выбранных перемен ных должны быть удобны для применения асимптотических методов нелинейной механики. Переменные должны делиться на медленные и быстрые, причем в невозмущенном движении медленные переменные постоянны.

Переменные, удовлетворяющие этим условиям, называются эво люционными [28]. Они могут быть выбраны неоднозначно.

Известны многочисленные способы введения эволюционных пе ременных при исследовании вращательного движения небесных тел:

кеплеровские оскулирующие элементы, канонические элементы Якоби, Делоне, Пуанкаре, элементы Пуассона, Андуайе, Шарлье, Депри и другие [11]. Б.В. Булгаков ввел фазовые координаты, близкие набору переменных Андуайе-Депри для описания движения симметричного твердого тела [71].

В.В. Белецкий успешно использовал оскулирующие элементы, отличаю щиеся на аддитивные постоянные от переменных Андуайе-Депри для ре шения ряда задач динамики вращательного движения динамически сим метричных спутников [25, 28]. Дальнейшее развитие метода оскулирую щих элементов было осуществлено Ф.Л. Черноусько, который исследовал движение спутника с трехосным эллипсоидом инерции [26]. Используем систему эволюционных переменных, предложенную в работах [25, 26, 28].

Введем три правых декартовых системы координат, начало кото рых совместим с центром инерции спутника. Система координат Ox1 x2 x движется поступательно вместе с центром инерции: ось Ox1 параллельна радиусу-вектору перигея орбиты, ось Ox2 параллельна вектору скорости центра масс спутника в перигее, ось Ox3 нормали к плоскости орбиты.

Ось Oy3 системы координат Oy1 y2 y3 направим по вектору кине тического момента G спутника относительно центра инерции, ось Oy перпендикулярна Oy3 и лежит в плоскости Ox3 y3, а ось Oy2 перпенди кулярна Oy1 и Oy3 и, следовательно, лежит в плоскости орбиты Ox1 x (рис. 1). Переход от системы координат Ox1 x2 x3 к системе Oy1 y2 y3 осу ществляется двумя поворотами: на угол вокруг оси Ox3 и на угол Рис. вокруг оси Oy2. Углы и определяют ориентацию вектора G в не подвижном пространстве.

Оси связанной системы координат Oz1 z2 z3 совместим с главными центральными осями инерции спутника. Их ориентацию относительно си стемы координат Oy1 y2 y3 определим углами Эйлера,, (рис.2) и ik = y i z k. Здесь направляющими косинусами y i орты системы Oy1 y2 y3, а z k орты системы Oz1 z2 z3. Соотношения между направляю щими косинусами и эйлеровыми углами даются выражениями [25] Рис. = cos cos cos sin sin, = cos sin + cos sin cos, 31 = sin sin, 12 = cos cos sin, sin cos 22 = + cos cos cos, sin sin (1.1.1) 32 = sin cos, 13 = sin sin, 23 = sin cos, 33 = cos.

В качестве переменных, описывающих возмущенное движение выбираются шесть параметров:

G,,,,, (1.1.2) Дифференциальные уравнения возмущенного движения записы ваются относительно этих переменных: угловых параметров,,,, и величины G, зависящей от угловых скоростей. Элементы (1.1.2) удобны тем, что в невозмущенном движении величины G,, посто янны, а углы,,, меняясь со временем, описывают движение Эйле ра-Пуансо.

§2. Уравнения возмущенного движения и их приведение к случаю систем с быстро вращающимися фазами. Постановка задачи динамики.

Составим уравнения движения спутника относительно центра инерции, взяв в качестве шести искомых функций величину кинетического момента G и углы,,,,. Теорема об изменении кинетическо го момента в векторной форме имеет вид:

dG =L, (1.2.1) dt где L момент возмущающих сил относительно центра инерции спут ника.

Проектируя векторное уравнение (1.2.1) на оси координатной си стемы Oy1 y2 y3, получим d L1 d L dG = L3, =, =, (1.2.2) dt G dt G sin dt где Li проекции момента возмущающих сил относительно центра инер ции на оси Oyi.

Выведем уравнения для углов,,. Вектор абсолютной угловой скорости вращения спутника относительно системы координат Ox1 x2 x3 складывается из пяти угловых скоростей вращений, соответству ющих поворотам на углы,,,,. Учитывая направления этих составляющих (рис.1, 2), найдем = 2 + (cos y 3 sin y1 ) + (cos z1 sin z 2 ) + y 3 + z 3.

y (1.2.3) Спроектируем равенство (1.2.3) на оси Oz1 z2 z3 и учтем, что ik = y i z k. Тогда проекции вектора абсолютной угловой скорости спутника на указанные оси равны p = 21 + ( 31 cos 11 sin ) + cos + 31, q = 22 + ( 32 cos 12 sin ) cos + 32, (1.2.4) = 33 + ( 33 cos 13 sin ) + + 33.

r С другой стороны, проектирование вектора кинетического момен та G на оси связанной системы координат Oz1 z2 z3 дает = A1 p G sin sin, = A2 q G sin cos, (1.2.5) G1 = = G G3 A3 r G cos, == где A1, A2, A3 главные центральные моменты инерции спутника отно сительно осей Oz1, Oz2, Oz3 соответственно.

Подставим в уравнения (1.2.4) p, q, r из (1.2.5),, из (1.2.2) и aij из (1.1.1) и разрешим их относительно производных эйлеро вых углов,, 1 1 L cos L1 sin = G sin sin cos +, A1 A2 G 1 sin 2 cos 2 L1 cos + L2 sin = G cos +, (1.2.6) G sin A3 A A sin 2 cos 2 L1 cos + L2 sin L = G ctg 2 ctg.

+ A1 A2 G G Уравнения (1.2.2), (1.2.6) образуют систему уравнений возмущен ного движения в форме, удобной для применения асимптотических мето дов. Уравнения (1.2.2) описывают изменение вектора кинетического мо мента, а уравнения (1.2.6) движение спутника относительно этого векто ра.

Рассмотрим спутник, моменты инерции которого произвольны A1 A2 A3, A1 A2 + A3. Предположим, что угловая скорость дви жения спутника относительно центра масс существенно больше угловой скорости орбитального движения 0 (другими словами приложенные мо менты сил малы) и положим 0 A0 G L ~ µ, = ~.

~ 1 1, (1.2.7) A1 A G Таким образом, скорость движения спутника относительно центра масс характеризуется двумя независимыми малыми параметрами. Первый из них отношение угловой скорости орбитального движения к угловой скорости относительного движения. Второй малый параметр равен отно шению работы моментов приложенных сил за характерное время относи тельного движения к средней кинетической энергии относительного дви жения.

Предположим, что единица измерения времени и период относи тельного движения 2 имеют одинаковый порядок, тогда 0 ~. Для гравитационных моментов эти малые параметры связаны соотношением µ = 2 [26] и моменты возмущающих сил Li ~ 2.

В общем случае параметры µ, могут быть связаны и по другому, и перед анализом быстрых движений спутника под действием возмущающих моментов какого-либо конкретного вида нужно задать или оценить относительную величину малых параметров, чтобы при построе нии асимптотического решения ограничиться нужной точностью.

В невозмущенном движении ( = 0 ) возмущающие моменты об ращаются в нуль и это движение является движением Эйлера-Пуансо. Ве личины G,, и кинетическая энергия T движения спутника относи тельно центра масс постоянны. Здесь G 2 2 ( A1 p 2 + A2 q 2 + A3r 2 ) =2 sin + cos sin 2 + cos 2 = T A1 A2 A (1.2.8) При = 0 углы Эйлера,, переменны, причем функцию = (t ) можно представить в виде 1 (t ) + 2 (t ) [305]. Функции = (t ), (t ), 1 (t ) или периодичны по t с периодом (период = (G, T ) время движения вектора G по замкнутой траектории), или получают за время приращение 2. Функция = (t + t0 ) 2 (t ) ( t0 = const ). Предположим, что = (G, T ) и несоизмеримы [75, 305, 320].

Введем две переменные (фазы) соотношениями = 1 (t + t1 ),= 2 (t + t2 ), (1.2.9) y1 y где t1, t2 произвольные постоянные, а 2 1 (G, T ) =, 2 (G, T ) =. (1.2.10) Тогда в движении Эйлера-Пуансо углы,, будут опреде ленными функциями этих переменных (фаз), а также величин G и T (от углов и они не зависят в силу изотропности различных направлений в пространстве при L1 L2 L3 0 ).

=== Запишем эту зависимость, используя равенство 2 = y2, в виде = (G, T, y1 ), = (G, T, y1 ), 1 (G, T, y1 ) + y2.

= (1.2.11) При увеличении y1 на 2 функции,, 1 в (1.2.11) либо не меняются, либо получают приращения 2.

В возмущенном движении ( 0 ) медленными переменными бу дут G, и, а быстрыми,,.

Рассматривается движение спутника относительно центра масс под действием возмущающих моментов. С точностью до величин порядка квадрата отношения линейных размеров спутника к размерам орбиты можно считать, что движение спутника относительно центра масс не влия ет на движение самого центра масс. Центр масс движется по кеплеровско му эллипсу с эксцентриситетом e и периодом обращения Q0. Зависи мость истинной аномалии (полярного угла) от времени t дается соот ношением d 0 (1 + e cos ) ( (t + Q0 ) = (t ) + 2, 0 = = ). (1.2.12) (1 e ) 2 3/ Q dt Уравнения движения (1.2.2), (1.2.6) и уравнение (1.2.12) при усло виях 0 = O ( ), Li = O ( 2 ) примут вид x = 2 X ( x, y, ), y Y0 ( x, y ) + 2Y1 ( x, y, ), = f ( ), (1.2.13) = где f ( ) правая часть формулы (1.2.12).

Система (1.2.13) относится к нелинейным колебательным систе мам, содержащим быструю и относительно медленную фазы [309]. В [309] и в §4 главы 1 данного пособия предлагается модифицированный метод усреднения для ситуации, когда усредненные переменные не изменяются.

Излагается и обосновывается процедура разделения переменных на суще ственно больших по малому параметру интервалах времени, на которых происходит значительная эволюция всех переменных.

Систему (1.2.13) можно упростить, сделав замену переменных по формулам (1.2.11). Вместо трех быстрых переменных,, при этом вводятся две быстрые y1 и y2 и одна медленная T (постоянная в движе нии Эйлера-Пуансо). Фазы y1, y2 в возмущенном движении уже не опре деляются формулами (1.2.9), а являются новыми искомыми функциями, но скорости их изменения в первом приближении равны 1, 2 соответ ственно. Поэтому система уравнений движения запишется в виде x = 2 X ( x, y1, y2, ), = f ( ), (1.2.14) = 1 ( x) + Z1 ( x, y1, y2 )= 2 ( x) + Z 2 ( x, y1, y2 ).

2,y y 1 Здесь x, X 4-мерные вектор-функции соответствующие пере менным G, T,,, а остальные функции скалярные.

Функции X, Z1, Z 2 периодичны по y1, y2 с периодами 2.

Таким образом, уравнения возмущенного движения спутника при ведены к системе с двумя вращающимися фазами.

Опишем схему усреднения, предложенную Ф.Л. Черноусько в [26] для изучения движения несимметричного спутника под действием грави тационного момента сил при выполнении условия (1.2.7). В этой работе показано, что усреднение периодической функции F (,, ) по t с уче том зависимости переменных = (t ), = (t )= 1 (t ) + 2 (t ) мож, но разбить на два независимых этапа: усреднение по переменной и усреднение по времени t с учетом зависимости переменных (t ), (t ) от t.

В самом деле, в силу несоизмеримости периодов и, 2 t M t { F (,, )} F (t ), (t ), 1 (t ) + dt dt (1.2.15) = = 0 0 2 2 1 1 F ( (t ), (t ), )d dt 2 F (,, )d dt = == 2 0 0 0 = M 1 {M [ F (,, )]}.

Здесь M означает усреднение по, а M 1 по и, связан ным (1.2.8), производимое по замкнутым траекториям вектора кинетиче ского момента в движении Эйлера-Пуансо (рис.3).

Погрешность усредненного решения для медленных переменных составляет величину порядка на интервале времени, за который тело совершит ~ 1 оборотов.

Рассмотрим, следуя [26], случай, когда главные центральные мо менты инерции спутника близки друг к другу и представимы в виде A1 J 0 + A1, A2 J 0 + A2, A3 J 0 + A3, = = = (1.2.16) где 0 1 малый параметр. Применяется развитая методика иссле дования систем, содержащих медленные и быстрые движения, к уравнени ям относительного движения спутника (1.2.2), (1.2.6), (1.2.12).

При = 0 эти уравнения описывают движение сферически сим метричного спутника. В этом случае получается, что L1 L2 L3 0 и из === системы (1.2.2), (1.2.6) находим, что G,,, и постоянны, а = GJ 0 1t + 0, (1.2.17) т.е. спутник равномерно вращается вокруг поступательно движущейся оси кинетического момента.

При 0 в системе семи уравнений (1.2.2), (1.2.6) роль медлен ных переменных играют G,,,,, а роль быстрых и. Для получения решения в первом приближении достаточно просто усреднить правые части уравнений (1.2.2), (1.2.6), подставив в них из решения уравнения (1.2.12) и из (1.2.17). При фиксированных значениях мед ленных переменных правые части уравнений, подлежащие усреднению, будут суммами членов вида f1 ( ) f 2 ( ), где функции f1, f 2 периодичны по своим аргументам с периодами 2. Кроме того, разложение в ряд Фурье содержит гармоники не выше третьей. Поэтому разложение правых частей уравнений (1.2.2), (1.2.6) в двойной ряд Фурье (по и ), после подстановки и как функций времени, будет суммой членов вида Cmn cos m ( LJ 01t + 0 ) cos n0t ( m = n = ) 0,1, 2, 0,1, 2,3;

и подобных им, где один или оба косинуса могут быть заменены на сину сы. Пусть ни при каком натуральном n не выполняется ни одно из ра венств 1 nJ 00, G = nJ 00.

G = nJ 00, G = (1.2.18) 2 Тогда результат усреднения правых частей не зависит от началь ного значения 0. В этом случае усреднение по времени можно заменить независимым усреднением по и по, как по функции t.

Если выполняется хоть одно из равенств (1.2.18), то имеют место резонансные эффекты, которые не рассматриваются.

Усреднение по времени функций, зависящих от сводится в си лу (1.2.12), к усреднению по следующим образом (1 = e ) F ( )d 2 3/ Q 10 M t { F ( )} F ( (t ))dt 2 (1 + e cos ) == Q0 0 F ( ) (1 e ) 2 3/ = M. (1.2.19) (1 + e cos ) §3. Уравнения возмущенного движения твердого те ла,близкого к случаю Эйлера.

Эволюционные переменные можно выбрать, отличными от пред ложенного в §2. Заметим, что при движении свободного твердого тела со храняется его кинетическая энергия ( A1 p 2 + A2 q 2 + A3 r 2 = 1 (G, ) ) = T (1.3.1) и модуль кинетического момента G G 2 = A1 p 2 + A2 q 2 + A3 r 2 = ( J) 2. (1.3.2) Здесь = ( p, q, r ) вектор угловой скорости, а p, q, r его проекции на оси подвижной системы координат Oxyz, направленные вдоль главных осей инерции тела для неподвижной точки O ;

J = diag( A1, A2, A3 ) тензор инерции, имеющий в связанных осях диаго нальный вид.

Если рассматривать движение вектора кинетического момента в связанных с телом осях, то конец вектора G движется вдоль линии пере сечения эллипсоида и сферы, уравнения которых в осях G1, G2, G3 полу чаются из равенств (1.3.1), (1.3.2), выраженных через компоненты вектора G G12 A11 + G2 A2 1 + G3 A3 1 = 2 2T, (1.3.3) G +G +G =2 2 2 (1.3.4) G 1 2 Пересечение эллипсоида и сферы обеспечивается неравенствами 2TA1 G 2 2TA3.(1.3.5) Не ограничивая общности, предположим, что A1 A2 A3. При изучении движения вектора G в связанных осях исследуют траектории его конца на единичной сфере (см. [28, 134, 306]). При этом, для описания положения вектора кинетического момента на сфере вводится положи k 2 = k 2 (T, G 2 ), 0 k 1. Например, в области тельный параметр 2TA1 G 2 2TA2 параметр k представлен в виде ( A2 A3 ) ( 2TA1 G 2 ) =, 0 k 2 1.

k A1 A2 ) ( G 2 2TA3 ) (1.3.6) ( Значение k 2 = 0 соответствует вращению твердого тела вокруг оси с моментом инерции OA1, а k 2 = 1 движению по сепаратрисе (см.

рис. 3). При переходе в область 2TA2 G 2 2TA3 нужно поменять места ми A1 и A3 в выражении для k 2.

Здесь k имеет смысл модуля эллиптических функций движения Эйлера-Пуансо.

При наличии малых возмущений движение твердого тела описы вается возмущенными динамическими уравнениями Эйлера G + G =, (t0 ) = 0, 1.

L (1.3.7) Предполагается, что возмущающий момент зависит только от уг ловых скоростей L = L(), а движение рассматривается на асимптотиче t t0 ~ 1.

ски большом интервале времени При отсутствии возмущений ( = 0 ) твердое тело совершает дви жение Эйлера-Пуансо. В этом случае сохраняются величины T, G и k 2, а угловые скорости вращения тела выражаются через эллиптические функции [75, 305, 320].Так в области 2TA1 G 2 2TA2 решение выража ется через эллиптические функции Якоби [75, 305, 320] G 2 2TA3 2TA1 G dn, q = ± sn, p= (1.3.8) A1 ( A1 A3 ) A2 ( A1 A2 ) ( A1 A2 )(G 2 2TA3 ) 2TA1 G cn, = r= t.

A3 ( A1 A3 ) A1 A2 A Здесь dn дельта амплитуды, sn и cn эллиптический синус и косинус соответственно, по модулю k, введенному согласно (1.3.6).

В области 2TA2 G 2 2TA3 во всех формулах (1.3.8), а кроме то го в (1.3.6) нужно поменять местами A1 и A3.

Рис. Для изучения эволюции движения твердого тела методом усред нения естественно перейти от переменных p, q, r к эволюционным пе ременным G 2, T, или G 2, k 2,, где G 2, T, k 2 являются медлен ными переменными, а фаза быстрая переменная [134]. Уравнения для медленных переменных имеют вид:

G 2 G, L, T = (, L ), G (t0 ) = G0, T (t0 ) = T0, (1.3.9) 2 k 2 ( k 2 ) G kT, L, k 2 (t0 ) = k02.

= 2 2 J + Уравнение для фазы = 2 + O( ).

(1.3.10) период изменения угловых скоростей движения Эйлера Здесь Пуансо по времени движения. Конкретный вид выражения O ( ) не при водится из-за громоздкости и из-за того, что оно не используется в постро ении решения первого приближения. Правые части уравнений для медлен ных переменных периодичны по с периодом 2.

Поскольку G 2, T, k 2 являются медленно меняющимися функци ями времени, то в первом приближении в правые части уравнений (1.3.9) вместо p, q, r можно подставить их значения (1.3.8) из невозмущенного движения Эйлера-Пуансо. Усредняя затем по быстрой фазе и, считая при этом медленные переменные постоянными, получим в общем виде (G ) = 2 M {( G 0, L 0 )}, T = M {( 0, L 0 )}, G0 = G0, T0 = T0, 2 k 2 k ( k2) = M 2 2 J + 0, L 0, k0 = k0 при t = t0.(1.3.11) G T Конкретный вид правых частей уравнений (1.3.7) зависит от вида возмущающего момента L. Черточками сверху обозначены соответ ствующие усредненные переменные. Усреднение по проводится по схеме M { F0 } F ( p ( ), q ( ), r ( ) ) d. (1.3.12) 0 0 Усреднение по можно заменить усреднением по µ F ( p ( ), q ( ), r ( )) d M { F0 }. (1.3.13) 4K ( k ) 0 0 1 k 2 sin 4K Здесь µ = am, k, K (k ) полный эллиптический инте грал первого рода [307, 308].

Уравнения возмущенного движения спутника (1.2.2), (1.2.6) носят общий характер. Однако часто встречаются задачи, в которых моменты действующих сил обладают силовой функцией U = U (,,,,, t ).

Здесь, углы, определяющие ориентацию вектора кинетиче ского момента G в неподвижном пространстве (см. рис. 1);

,, углы Эйлера.

Тогда уравнений (1.2.2), (1.2.6) преобразуются к виду [25, 28] = (G sin ) 1 U /, = sin ) 1 U / + G 1ctg U /, (G G = /, U = G sin sin cos ( A11 A2 1 ) (G sin ) 1 U / + +G 1ctg U /, = G cos ( A31 A11 sin 2 A2 1 cos 2 ) + (G sin ) 1 U /, = G ( A11 sin 2 + A2 1 cos 2 ) G 1 (U / ctg + U / ctg ).

Схемы усреднения для исследования движения быстро вращаю щегося симметричного и трехосного спутника для возмущений, имеющих силовую функцию, предложены В.В. Белецким в [25, 28].

В случае быстро вращающегося спутника с трехосным эллипсои дом инерции имеются три быстрые частоты: орбитальная 0, прецессии и частота периодического движения по полодиям. Силовую функ цию U поэтому нужно усреднять трижды по (t ), по и вдоль поло дии невозмущенного движения. Отметим только, что вблизи сепаратрисы (рис. 3) вектор G движется медленно и поэтому усреднять движение вдоль полодии можно везде, кроме некоторой окрестности сепаратрисы.

§4. Схема усреднения высших степеней в системах с быстры ми и медленными фазами.

В нелинейных колебательных системах часто возникают ситуа ции, когда эволюция оскулирующих переменных происходит с различны ми средними скоростями по отношению к степеням некоторого естествен ного малого параметра. Такими механическими системами описывается ряд задач теории колебаний механических систем (осцилляторов и маят ников), динамики твердых тел и гироскопов, орбитальных движений и вращений естественных и искусственных небесных тел. В теоретическом и прикладном аспектах представляет значительный интерес исследование эволюции системы на достаточно большом промежутке времени, приво дящем к существенному изменению оскулирующих переменных, в том числе самых медленных.

Оказывается, что для многих важных случаев можно применить и обосновать модифицированную схему метода усреднения Крылова Боголюбова и разделения движений (замены переменных [16, 17, 223]) на относительно больших интервалах времени [309].

Рассматривается стандартная по Н.Н. Боголюбову система [16, 17] для двух векторов x, y произвольных размерностей, причем предполага ются выполненными следующие требования относительно средних по t :

x = X ( t, x, y ), x(0) = x 0, X= M t { X } 0 ;

0 ( x, y ) y = Y ( t, x, y ), y (0) = y 0, Y0= M t {Y } 0.(1.4.1) ( x, y ) Функции X, Y считаются кусочно-непрерывными и 2 - перио дическими по t и достаточно гладкими по ( x, y ) Dx Dy, где Dx, y замкнутые ограниченные множества. Здесь M t означает усреднение по ар гументу (быстрой фазе) t. В первом приближении по средняя скорость изменения x равна нулю, т.е. x x 0 = ), а y порядка O ( ), т.е O( y y 0 = ), t 1. Для приложений представляет интерес суще O ( ствования эволюции при t 2 относительно более медленной перемен ной x, характеризующей основные параметры колебательной системы (энергию, амплитуду). Более быстрая переменная y обычно обусловлена эволюцией фазы или угловой переменной и может значительно влиять на изменение вектора x.

В общем случае системы вида (1.4.1) применение и обоснование стандартной процедуры метода усреднения на интервале t 2 затруд нительно. Поэтому рассматривается часто встречающаяся в задачах ситуа ция, когда усредненная система для y при постоянном x = допускает полное семейство одночастотных вращательно-колебательных движений [16, 17, 223]:

x= Dx, y 0 (,, )= (, ) +, = t.(1.4.2) Dy, = Здесь медленная фаза ( );

суммарная размерность посто янных векторов, 0 ( mod 2 ) совпадает с размерностью y.

( x, y ) (, ), Заменой близкой к тождественной, система (1.4.1) преобразуется к виду:

= 2 ( t,,, ), ( 0 ) = x 0, Dx ;

= Y0 (, ) + 2 H ( t,,, ), ( 0 ) = y 0, Dy ;

(1.4.3) t t x= + X ( s,, ) ds, y = + Y ( s,, ) Y0 (, ) ds.

0 Функции, H удовлетворяют требуемым условиям гладкости и ( ) в (1.4.3) приводит к вы периодичности. Отбрасывание слагаемых O (, ) согласно (1.4.2) с уче ражениям (1.4.2) для,. Замена y= ( ) и тождества для том величин O приводит к системе с быстрой t и медленной фазами вида = 2 A ( t,,, ), (0) = 0, = ( T, T ) T, = ( ) + 2 ( t,,, ), (0) = 0 ( mod 2 ) ;

0 0 = ( T, Z T ) =, (, Z ) T T H ;

T, (1.4.4) (, ) Y0 (,0 ), D,.

Функции A,, достаточно гладкие по,,, кусочно непрерывные по t и 2 -периодические по t и. Начальные значения 0, определяются заменой y (, ) (1.4.2). Система (1.4.4) подле L жит дальнейшему исследованию на интервале 0 t, на котором медленная переменная может получить, вообще говоря, приращение 1. При этом с заданной степенью точности по производится от деление быстрой фазы аргумента t, а относительно медленные фаза и переменная связаны. «Усредненная» система допускает введение аргу L = t, мента и далее может быть подвергнута стандартному асимптотическому анализу [12, 16, 17, 26, 223, 310]. В случае скалярной фазы применяется процедура усреднения [16, 17], разработанная для систем с быстро вращающейся фазой. Как и в классическом методе Кры лова-Боголюбова, предлагаемая схема высших степеней исходит из требо ваний, чтобы асимптотические разложения не содержали сингулярных ( t ) k L на расширенном интервале 0 t слагаемых типа. Частная си туация, когда y отсутствует, исследована ранее [311].

При отделении быстрой фазы t используется замена (, ) (, ) такая, что уравнения не содержат t с требуемой степе нью точности по :

= + 2 (t,,, ), = + 2 ( t,,, ), 2 (,, ),= ( ) + 2 (,, ).

= (1.4.5) Неизвестные 2 -периодические по t, функции замены, и не содержащие t (усредненные) функции, в правых частях систе мы (1.4.5) могут быть определены приближенно асимптотическими разло жениями или последовательными приближениями по степеням реше ний уравнений в частных производных ( I + 2 ' ) + ( + 2 ) = ( t, + 2, + 2, ) t', (1.4.6) ' 3 ' + (1 + 2 ) ( ( ) + = ( + 2 ) + ) ' + ( t, + 2, + 2, ) t'.

В частности, первые коэффициенты разложений, определяющие существенную эволюцию переменных, равны t ( ( ) M {( )})ds, = M t { ( t,,,0 )}, 0 ( t,, ) = 0 t 0 M t { ( t,,,0 )}, 0 ( t,, )= t ( ( ) M {( )})ds ;

= (1.4.7) t {( )} ( ) M { }, = Mt 1 ' ' t Здесь M t означает усреднение по явно входящему аргументу t, а ( ), ( ) =, = 0.

отвечают значениям =, выражения типа j, j1, j1, j1, j 2, вычисляются Последующие коэффициенты рекуррентно. По аналогии с классической схемой усреднения при постро ении j* -го приближения на интервале t 2 требуется определять j* 1, j* 2, j* 2, j* 3. В частности, задача Коши функции вплоть до первого приближения имеет вид 2 0 (, ), (0) = 0 ;

= = ( ), ( 0 ) = 0 ;

0 t L 2.

(1.4.8) Система (1.4.8) подлежит дальнейшему аналитическому или чис ленному исследованию. Она существенно проще, чем исходная система (1.4.4), допускает введение медленного времени = t и запись в стан дартной форме «с быстрой фазой» [12, 16, 17, 223, 310]. Если функция ( ) отделена от нуля, то фаза является вращающейся, и в первом приближении к системе применим метод усреднения по переменной на L, т.е. t 2.

интервале времени 0 Рассмотрим примеры колебательных систем, исследуемых с по мощью схемы усреднения второй степени.

Пример 1. Для иллюстрации рассмотрим сперва двумерную си стему = f ( x, y ) sin ( t + ( x, y ) ), y = ( x, y ) x (1.4.9), с соответствующими начальными данными. Функции f, считают ся гладкими по x, y и 2 -периодическими по y. Согласно (1.4.3) пре образуем переменную x, т.е ( x, y ) (, y ) ;

в итоге усреднения по t имеют место уравнения первого приближения в медленном времени = t :

= ' + ( f cos ) y, y = (, y ), 0. (1.4.10) 1 f 2 ' L 2 Медленная переменная y не преобразована к виду фазы, по скольку система (1.4.10) может быть исследована непосредственно. Если среднее по y функции отлично от нуля для рассматриваемых значений ( = x + O( ) ),, то переход к фазе а затем к согласно (1.4.3) – (1.4.5) проводится стандартным образом [16, 17, 223, 312]. В частности, если функция отделена от нуля, то от аргумента удобнее перейти к d y, т.е. исследовать уравнение для. Оно может быть усреднено по y, dy что приведет к обнулению второго слагаемого в правой части. После усреднения система (1.4.10) полностью интегрируется, поскольку оба уравнения допускают разделение переменных. Эволюция переменной f ' (и x ) будет определяться средним значением по y функции ив общем случае составит величину O (1) для y 1, т.е. t 2. Стан дартная процедура [16, 17, 223] на интервале t 1 приводит к выраже нию = x 0 + O ( ).

x Пример 2. При исследовании многочастотных квазилинейных си стем в окрестности резонанса часто возникает ситуация, когда одна из ча стот имеет относительно большую рассторойку (обычно ), чем другие.

При соответствующих предположениях получается система вида (1.4.4), в = const которой – указанная расстройка (далее для удобства вместо берется параметр ). В качестве примера рассматривается система q + Q(q ) P (t ) q, q = r, Q(0) = 0, Q (0) v 0, = = (1.4.11) ' 1 = Q" (0), µ = Q "'(0), P = 2 h sin 2t + 3 f sin(t + ), 2 v = 1 +, = 2.

() Отбрасыванием в (1.4.11) членов O 4 и делением на полу чается квазилинейное уравнение для r, приводимое стандартными преоб x sin( разованиями r x cos(t + y ), r = t + y ) к переменным амплитуда = ( x, y ).

- фазовая расстройка Преобразуя последовательно переменные ( x, y ) согласно (1.4.3) – (1.4.5), получим усредненную систему первого = t :

приближения в медленном времени 1 1 = 2 sin 2 2 f cos( ) + 4 2 2 + cos h 2 sin 2, =, 3 1 1 L = O ( ) = 2 +, 0 x+ x 0 exp.

2 2 Частотная расстройка (1.4.11) приводит к дополнительному экспоненциальному затуханию при t 2. Стандартный подход дает = x 0 + O ( ) для t 1.

x Контрольные вопросы и задания Что называется возмущенным движением?

1.

Какие характеристики орбиты называются оскулирующими эле 2.

ментами?

3. Сформулируйте теорему об изменении кинетического момента в векторной форме.

4. Какие углы определяют ориентацию вектора кинетического мо мента G в неподвижном пространстве?

5. Какое движение относительно центра масс будет невозмущенным в случае движения спутника под действием гравитационного мо мента?

6. Опишите два этапа усреднения возмущенного движения несим метричного спутника под действием гравитационного момента сил.

7. Какое соотношение между моментами инерции твердого тела принимается при решении задачи?

8. Какие переменные можно выбрать в качестве эволюционных пе ременных при исследовании возмущенного движения твердого тела, близкого к случаю Эйлера?

9. Проведите численное интегрирование уравнения изменения ис тинной аномалии при различных начальных значениях величины и для орбит с разным эксцентриситетом e с помощью метода Рунге-Кутта 4-го порядка.

10. Постройте графики изменения функции = (t ) с помощью биб лиотеки ZedGraph.dll и проведите анализ полученных результа тов.

Глава 2.

Эволюция вращений твердого тела в среде с линейной диссипацией §1. Вращение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в вязкой среде.

Результаты §1 этой главы были впервые опубликованы в работах авторов пособия [276, 277], § 2 – в статье [287], §3 – в статьях [278, 279].

1. Постановка задачи и процедура усреднения.

Схема асимптотического решения, предложенная в главе 1, при менима не только к задачам движения искусственного спутника относи тельно центра масс, но и к задачам быстрого движения твердого тела от носительно неподвижной точки.

Рассмотрим быстрое движение вокруг неподвижной точки несим метричного тяжелого твердого тела в сопротивляющейся среде. Быстрыми движениями будем называть такие, для которых момент приложенных сил относительно неподвижной точки мал по сравнению с текущим значением кинетической энергии вращений.

Будем использовать те же обозначения и системы координат, что и в §1 главы 1 и на рис. 1, 2, с той только разницей, что начало всех систем координат O берется в неподвижной точке твердого тела. Ось Ox3 непо движной системы координат Ox1 x2 x3 направим вертикально вверх.

Соотношения между направляющими косинусами и углами Эйле ра представлены формулами (1.1.1).

Уравнения движения тела относительно неподвижной точки за пишем в форме [26] (см. также (1.2.2), (1.2.6)):

d L1 d L dG = L3, =, =, dt G dt G sin dt 1 1 L cos L1 sin d = G sin sin cos + 2, (2.1.1) A1 A dt G 1 sin 2 cos 2 L1 cos + L2 sin d = G cos +, G sin A3 A dt A sin 2 cos 2 L1 cos + L2 sin d L ctg 2 ctg.

= G + A1 A dt G G Здесь Li моменты приложенных сил относительно осей Oyi (i = 1, 2,3), G величина кинетического момента, A1, A2, A3 глав ные моменты инерции тела относительно осей системы координат Oz1 z2 z3, связанной с главными осями инерции тела.

Проектирование вектора G на оси связанной системы координат Oz1 z2 z3 представлено формулами (1.2.5).

Иногда удобно наряду с введенными переменными использовать в качестве переменной важную характеристику кинетическую энергию T (см. (1.2.8)), производная по времени которой имеет вид sin 2 cos 2 2T ( L2 cos L1 sin ) + L3 + G sin cos T = + A1 A G A 1 + sin cos ( L1 cos + L2 sin ). (2.1.2) A1 A2 Предполагаем, что на тело действуют силы тяжести и сопротивле ния среды. Положение центра масс определим его координатами ( l1, l2, l3 ) в связанной системе координат Oz1 z2 z3, а также радиусом-вектором r0 из неподвижной точки O. Момент силы тяжести равен [58] = mgx3 r0, L(1) (2.1.3) где m масса тела, g величина ускорения силы тяжести, x3 единич ный вектор, направленный вдоль оси Ox3.

Зависимость диссипативного момента сил сопротивления от век тора угловой скорости вращения твердого тела принимается линейной.

Следуя [25], запишем в связанной системе координат Oz1 z2 z3 выражения для компонент момента сил вязкого трения I11 I13 p I = I (2) L I 22 I 23 q. (2.1.4) I I 33 r 31 I Здесь I ij постоянные коэффициенты момента сил сопротивления вращению тела. В выражении (2.1.4) матрица диссипации считается поло жительно определенной и зависящей от формы тела и свойств среды. Пол ный момент приложенных сил равен = L + L.

(1) (2) L Спроектируем (2.1.3), (2.1.4) на оси системы координат oy1 y2 y3, ij (1.1.1) пользуясь направляющими косинусами I 3 I I L1 = l j 2 j G i1 311i + i 2 321i + i 3 331i, mg cos = 1= 1 A A2 A j i = mg l j ( 3 j sin + 1 j cos ) L j = I I I G i1 31 2i + i 2 32 2i + i 3 33 2i, (2.1.5) i =1 A A2 A I 3 I I L3 = l j 2 j G i1 31 3i + i 2 32 3i + i 3 33 3i.

mg sin = 1= 1 A A2 A j i Так как изучается быстрое движение то предполагается малым от mgl ~ 1, где l расстояние от центра масс до неподвижной ношение T точки. Сопротивление среды предполагается слабым того же порядка ма I / G0 ~ 1, где I норма матрицы коэффициентов сопро лости:

тивления. Для величин G, T можно взять некоторые, например, началь ные значения G0, T0.

Исследуем решение системы (2.1.1), (2.1.2) при малом на большом промежутке времени t. Для решения задачи применим ме тод усреднения [16 – 18]. Погрешность усредненного решения для мед ленных переменных составляет величину порядка на интервале време ни, за который тело совершит 1 оборотов.

Рассмотрим невозмущенное движение ( = 0 ), когда моменты внешних сил равны нулю. В этом случае вращение твердого тела является движением Эйлера-Пуансо. Величины G,,, T обращаются в посто янные, а,, некоторые функции времени t. Медленными пере менными в возмущенном движении будут G, T,,, а быстрыми – уг лы Эйлера,,.

Усреднение проводится по движению Эйлера-Пуансо для нерезо нансных случаев. Так как частоты движения Эйлера-Пуансо 1 = ( G, T ) и 2 = зависят от G, T, то условие их несоизмеримости может ( G, T ) нарушаться (резонансные явления). Исследование резонансов требует до полнительного рассмотрения. Однако, так как система «не застревает» на резонансе (ниже показано, что переменные G и T, от которых зависят частоты 1, 2, монотонно убывают), то после перехода через него дви жение тела снова описывается уравнениями для нерезонансного случая.

Точность в определении медленных переменных при этом составит на ин ( ) ln тервале t 1 величину [12, 319], которая стремится к нулю при 0.

Примем для определенности A1 A2 A3 и рассмотрим движение при условии 2TA1 G 2 2TA2, соответствующем траекториям вектора кинетического момента, охватывающим ось Oz1. Введем величину k 2 со гласно (1.3.6), представляющую собой в невозмущенном движении посто янную – модуль эллиптических функций, описывающих движение Эйлера Пуансо. В возмущенном движении k 2 будет медленной переменной, каче ственно характеризующей вращение твердого тела.

Для построения системы усредненных уравнений первого при ближения подставим решение невозмущенного движения Эйлера-Пуансо (1.3.8) в правые части уравнений (2.1.1), (2.1.2) и проведем усреднение по переменной, а затем по времени t с учетом зависимости, от t.

Подобная схема усреднения была использована при исследовании движе ния тела с трехосным эллипсоидом инерции относительно центра масс в [26, 276 – 278, 287]. Для медленных усредненных переменных сохраняют ся прежние обозначения. В результате, используя формулы для интегралов от эллиптических функций [308], получим mgl1 A1 (G 2 2TA3 ), = 0, = A1 A 2G 2 K (k ) { G G = I 22 ( A1 A3 )W (k ) + I 33 ( A1 A2 ) k 2 W (k ) + R(k ) + I11 ( A2 A3 ) [1 W (k )]}, { 2T T = I 22 ( A1 A3 )W (k ) + I 33 ( A1 A2 ) k 2 W (k ) + R(k ) ( A1 A2 )( A1 A3 )( A2 A3 ) I 33 k W (k ) + + (2.1.6) A S (k ) (1 k 2 )W (k ) + IA ( A2 SAk))R(k ) [1 W (k )], I + A2 ( R(k ) A1 ( A2 A3 ) + A3 ( A1 A2 ) k 2, = E (k ) W (k ) = 1, S ( k ) = A2 A3 + ( A1 A2 ) k 2.

K (k ) Здесь K ( k ) и E ( k ) полные эллиптические интегралы первого и второго рода.

После ряда преобразований, дифференцируя выражение для k (1.3.6) и используя уравнения для G и T (2.1.6), получим дифференци альное уравнение dk 2 E (k ), = (1 )(1 k 2 ) [(1 ) + (1 + ) k 2 ] d K (k ) = (2 I 22 A1 A3 I11 A2 A3 I 33 A1 A2 ) / [( I 33 A1 I11 A3 ) A2 ], (2.1.7) = (t = A1 A3 / ( I 33 A1 I11 A3 ).

t* ) / N, N k 2 = 1 отвечает равенство Здесь t* постоянная. Значению 2TA2 = G 2, что соответствует сепаратрисе для движения Эйлера-Пуансо.

Если для некоторого решения уравнения (2.1.7) равенство k 2 = 1 достига ется, то выберем t* так, чтобы k 2 = 1 при = 0, t = t*. Отметим, что в за висимости от соотношений между величинами I11, I 33, A1, A3 параметр N может принимать положительные и отрицательные значения.

Из уравнений (2.1.6) следует, что наличие сопротивления среды приводит к эволюции как кинетической энергии тела T, так и величины кинетического момента G. Непосредственно видно, что в первом при ближении на изменение T и G оказывает влияние только сила сопротив ления среды, причем в уравнения входят лишь диагональные коэффициен ты I ii матрицы момента трения, введенной в (2.1.4). Члены, содержащие недиагональные компоненты I ij (i j ), выпадают при усреднении. Угло вая скорость вращения вектора кинетического момента вокруг вертикали зависит как от действия силы тяжести, так и от силы сопротивления среды. Отметим, что действие этих сил не приводит к изменению угловой переменной и отклонение от вертикали остается постоянным в указан ном приближении.

Уравнение (2.1.7) описывает усредненное движение конца вектора кинетического момента G на сфере радиуса G. Третье уравнение (2.1.6) описывает изменение радиуса сферы с течением времени.

Выражение, стоящее в фигурных скобках правой части уравнения для G положительно (при A1 A2 A3 ), так как справедливы неравен ства (1 k 2 ) K E K [308]. Каждый коэффициент при I ii является не отрицательной функцией k 2, причем одновременно они все в нуль обра титься не могут. Поэтому dG / dt 0 при G 0, т.е. переменная G стро го убывает для любых k 2 [0,1]. Аналогично показывается, что кинети ческая энергия также строго убывает.

Уравнения (2.1.6), (2.1.7) для G, T, k 2 допускают интегрирова ние в квадратурах. Запишем их в виде () () G = Gf G ( k 2 ), T = TfT ( k 2 ), k 2 = f k k 2, (2.1.8) где f G, fT и f k функции, определенные в (2.1.6), (2.1.7). Отсюда нахо дим k2 k2 = G0 exp FG (n)dn, T ( k 2 ) T0 exp FT (n)dn, G (k 2 ) = k02 k02 f G,T ( k 2 ) k FG,T ( k 2 ) = dn (k ) = t t0.

, (2.1.9) f k ( n) fk k Оценивая функцию f G из (2.1.8), находим, что справедливо диф ференциальное неравенство G fG f G +, k 2 [0,1], (2.1.10) G где f G, f G + положительные постоянные. Следовательно, интегрируя (2.1.9), получим оценку для G G0 exp( f G t ) G G0 exp( f G + t ). (2.1.11) Аналогичные неравенства справедливы для T, они получаются заменой G на T.

2. Исследование уравнения для k 2.

Основным этапом в исследовании движения тела является анализ уравнения (2.1.7). Интересно, что (2.1.7) совпадает с уравнением, получен ным для случая свободного пространственного движения тела с полостью, заполненной жидкостью большой вязкости [134, 135]. Отметим, что в уравнение (2.1.7) не входит ускорение силы тяжести. На эволюцию k оказывает влияние только сопротивление среды и в силу того, что это уравнение интегрируется самостоятельно, происходит частичное разделе ние влияния сопротивления и тяжести. Полное разделение в данном случае не имеет места, так как медленно убывающие переменные G, T входят в правую часть выражения для. Заметим, что в [58] исследовано влияние малого возмущающего момента силы тяжести на движение твердого тела (сопротивление отсутствует), в этом случае G, T сохраняются постоян ными.

Нетрудно проверить, что из (2.1.7) можно представить в виде A3 1 A1, 1, = I 22 A1 I11 A2 = I 33 A2 I 22 A3.

= A3 1 + A1 Так как величины 1, 2 могут принимать любые значения, то в зависимости от параметров задачи величина изменяется в диапазоне от до +. В работах [134, 135] выполнялись неравенства 1 0, 2 0 и, следовательно, 1. В статье [138] рассматривалось уравне ние вида (2.1.7) для твердого тела с полостью произвольной формы, за полненной сильно вязкой жидкостью, где параметр изменялся в преде 3. В указанных работах проведено численное интегрирование лах уравнения (2.1.7) при начальном условии k 2 (0) близком к 1.

Показано, что функция k 2 монотонно убывает от 1 до 0 с ростом, причем тем быстрее, чем больше.

Уравнение вида (2.1.7) получено также в [59] при исследовании влияния вихревых токов на вращение и ориентацию спутника с трехосным эллипсоидом инерции и в [316] при рассмотрении движения около центра масс быстро вращающегося твердого тела под действием сил, возникаю щих при движении проводника в однородном магнитном поле.

Далее исследуется семейство решений уравнения (2.1.7), соответ (, + ). Заметим, что для 3 появляют ствующее различным ся новые качественные эффекты, а при 3 характер решения тот же, что и при 3. Действительно, как видно из графиков функций k 2 (, ), приведенных на рис. 4 для = 3,0,1,3,5,8, большим соот ветствуют более быстро убывающие функции аргумента.

Рис. При 3 уравнение (2.1.7) для k 2 допускает стационарные точки k 2 = k*2 т.е. независимо от G и T величина k 2 в силу уравнения (2.1.7) остается постоянной при соответствующем выборе начальных условий. Отметим, что при 3 таких стационарных точек (кроме k = 0, k = 1 ) не существует.

Определим квазистационарные решения k 2 = k*2, для чего при равняем правую часть (2.1.7) нулю. Полученное уравнение разрешим от носительно k 2 1 + (1 + k 2 ) E (k ) / K (k ) =. (2.1.12) (1 k 2 ) [ E (k ) / K (k ) 1] График зависимости от k 2, определенный численно, изобра жен кривой 1 на рис. 5, из которой следует, что при любом 3 суще ствует единственное значение k*2 (0,1), отвечающее квазистационарно му движению k= k= const. Был проведен численный анализ уравнения 2 * (2.1.7) при 3. Для заданных значений k*2 (0,1), отвечающих квази стационарному движению, соответствующие значения определялись по формуле (2.1.12). На рис. 6 изображены типичные графики функций k 2 (, ), полученные в результате численного интегрирования уравнения (2.1.7). Здесь сплошная кривая получена при k*2 = 0.8, а кривая с марке рами при k*2 = 0.2. Каждый график содержит три ветви. В качестве начального условия для верхних ветвей выбиралось k 2 (0) = 1 ( 1).

Две нижние ветви на каждом графике были построены при начальных условиях k 2 (0) = 0.5k*2. При этом возрастающая ветвь отвечает интегри рованию для 0, а убывающая ветвь является зеркальным отражением относительно прямой = 0 зависимости k 2 (, ), полученной при Рис. Изображенные кривые позволяют для указанных значений пара метров исследовать уравнение (2.1.7) и построить решение при любом начальном условии. Действительно, ввиду автономности уравнения (2.1.7) Рис. для k 2 решение k 2 (, ) при любых начальных условиях определяется сдвигом начала отсчета по оси. Поэтому при любом начальном значе нии k 2 = k0 можно, выбрав соответствующую ветвь графиков, описать дальнейшее изменение k 2 этой ветвью. Если k0 k*2, то берется верхняя ветвь, если 0.5k*2 k0 k*2 средняя.

Если же k0 0.5k*2, то берется нижняя ветвь, движение по кото рой происходит с ростом в отрицательную сторону до k 2 = 0.5k*2, по сле чего переходим на среднюю ветвь. При k0 = k*2 имеем стационарное решение.

3. Качественное исследование частных случаев движения твердого тела.

Рассмотрим некоторые частные случаи движения. При I 33 A1 = I11 A3 в соотношениях (2.1.7) имеем N,. После раскры тия неопределенности вместо уравнения (2.1.7) получим E (k ) dk 2 ( I11 A3 I 22 A1 ) =. (2.1.13) K (k ) dt A1 A Следовательно, при I11 A3 I 22 A1 переменная k 2 возрастает и стремится к единице, при I11 A3 I 22 A1 величина k 2 убывает и стремится к нулю, т.е. движение стремится к вращению вокруг оси Oz1, соответ ствующей максимальному моменту инерции A1 (см. рис.3).

Из (2.1.7) следует, что решение k 2 = 0 удовлетворяет уравнению.

Такое квазистационарное движение отвечает замедленному вращению во круг оси с наибольшим моментом инерции.

Из уравнений (2.1.6) для переменных G и T при k 2 = 0 полу чаются выражения I I = G0 exp 11= T0 exp 2 11 t.

t, T G A1 A Формально полагая k 2 = 1, что соответствует движению по сепа ратрисе случая Эйлера-Пуансо, имеем I I = G0 exp 22 = T0 exp 2 22 t.

t, T G A2 A Таким образом, в частных случаях вращения твердого тела вокруг оси Oz1 и движения по сепаратрисе наличие силы сопротивления среды приводит к тому, что величина кинетического момента и кинетическая энергия убывают по экспоненциальному закону.

Аналогичные рассуждения могут быть проведены в области 2TA2 G 2 2TA3. При этом значение k 2 = 0 отвечает вращению вокруг оси Oz3, соответствующей минимальному моменту инерции A3 (см.

рис. 3).

При малых k 2, отвечающих движениям твердого тела, близким к вращениям вокруг оси Oz1, правую часть уравнения (2.1.7) можно упро стить используя разложения полных эллиптических интегралов в ряды по k 2 [308]. В этом случае (2.1.7) интегрируется и асимптотическое решение записывается в виде A3 1 + A2 ( I 33 A1 I11 A3 ) (3 + ) k 2 =1 exp =2 exp t, (2.1.14) C C A1 A2 A где C1 0, C2 0 постоянные.

В случаях малых k 2 аналитическое выражение для величины ки нетического момента и кинетической энергии (2.1.9) можно получить в явном виде. Так, например, формула (2.1.9) для G в этом случае с по ( ) может быть записана следующим образом грешностью O k A + A2 ( I 33 A1 I11 A3 ) I = G0 exp 11 t + b1 exp 3 1 t 1, (2.1.15) G A1 A1 A2 A C2 ( I 33 A1 I11 A3 ) b1 =.

2 ( A1 A3 )( I 22 A1 A3 + I 33 A1 A2 2 I11 A2 A3 ) Аналогичным образом может быть выражена зависимость T (t ).

Для величин k 2, близких к единице и отвечающих движениям твердого тела вблизи сепаратрисы, правую часть (2.1.7) можно записать применяя асимптотические разложения E ( k ), K ( k ) при k 2 1 [308]. В результате разложения и последующего интегрирования уравнения (2.1.7) получим 1 k2 = +.

ln (2.1.16) 1 k2 Отметим, что производная функции k 2 при = 0 равна нулю.

Кроме того, уравнение (2.1.7) допускает точное частное решение k 2 = 1, поэтому при k 2 = 1 теряется единственность решения. Это обстоятельство связано с тем, что при k 2 = 1 периодические движения Эйлера-Пуансо вырождаются в апериодическое движение по сепаратрисе и условия при менимости метода усреднения нарушаются. Однако, как следует из работ [12, 23, 313], метод усреднения пригоден для описания движений при всех начальных условиях, кроме множества малой меры;

ухудшается лишь точ ность метода.

4. Исследование устойчивости квазистационарных движений.

Устойчивость квазистационарных движений, найденных в пп.2, проанализируем в рамках усредненного уравнения (2.1.7). Для этого опре делим знак функции / k 2 при значении, соответствующем квази ( ) стационарным движениям (здесь k 2, - правая часть (2.1.7)). На рис.5 кривая 2 изображает график функции / k 2, полученный в ре зультате численного расчета. Как следует из графика, / k 2 0, т.е.

все квазистационарные движения п. 2 асимптотически устойчивы по от ношению к переменной k 2 (в смысле [314] для 0 ). Это видно также из графика рис. 6.

В истинном времени t t* имеет место устойчивость при N или I 33 A1 I11 A3, см. (2.1.7). В обратном случае, при N 0, I 33 A1 I11 A, эти квазистационарные движения неустойчивы.


Асимптотическая устойчивость понимается в том смысле, что при малых отклонениях следа вектора G на единичной сфере от движения по траектории Эйлера-Пуансо, отвечающей квазистационарному движению, след вектора G стремится с течением времени возвратиться на эту траек торию.

Квазистационарное движение k 2 = 0, согласно (2.1.14), для асимптотически устойчиво при 3 и неустойчиво при 3. В ис тинном времени для t t* данное движение может быть как асимптотиче ски устойчивым, так и неустойчивым – в зависимости от величины и знака параметра N.

На основе проведенного анализа получаем следующую качествен ную картину движения. Рассмотрим сначала случай N 0. Функцией (2.1.14) и формулами (1.3.6) для k 2, (2.1.6), (2.1.7) движение описывается при t t*, т.е. в области 2TA1 G 2 2TA2. При t t* выполняются нера венства 2TA2 G 2 2TA3, соответствующие траекториям вектора кине тического момента, охватывающим ось Oz3 (рис. 3). В этом случае нужно поменять местами A1 и A3, I11 и I 33 в формулах (1.3.6), (2.1.6), (2.1.7), а также заменить l1 на l3 в (2.1.6). Тогда уравнение (2.1.7) сохранит свой вид, но в нем нужно будет заменить на, N на N. Аналогично определяется движение при N 0. Предполагается, что в момент времени t = t* движение (одна из ветвей на рис. 6) переходит через сепаратрису, однако, как уже отмечалось, здесь возможно «застревание» на неопреде ленно долгое время для множества начальных данных малой меры [12, 23, 313].

На рис. 7 показан характер изменения величины k 2 в зависимости от, N в истинном времени t. Указаны точки, соответствующие квази стационарным движениям, а стрелками показано направление движения.

Буквы z1, z2, z3 – оси тела, которым соответствует данное значение k 2, причем слева от z2 расположена область, где 2TA1 G 2 2TA2, а справа – область, в которой 2TA2 G 2 2TA3.

Рис. Полученным результатам можно дать следующую интерпретацию.

Введем обозначения µ = I= 1, = µi / µ 2 (i 1, 2,3).

2,3), i = / A (i (2.1.17) i ii i Вращение тела вокруг одной из главных осей, например Oz1, под действием диссипативного момента описывается соотношениями d = I11, = const exp( µ1t ).

A dt Поэтому величины µi в (2.1.17) имеют смысл коэффициентов торможения вращений вокруг осей инерции Ozi. Безразмерные величины i равны соответствующим коэффициентам, отнесенным к µ2 ;

при этом 2 = 1. Соотношения (2.1.7) для, N перепишем через i в виде 2 1 3 =, N=. (2.1.18) 3 1 µ2 ( 3 1 ) В плоскости 1 3 проведем прямую 3 = 1, на которой N ме няет знак, и прямые 1 + 1 =3 и 1 + 3 =1, отвечающие согласно 2 (2.1.18) равенствам = ±3. Эти прямые разбивают квадрант 1 0, 3 0 на шесть областей, изображенных на рис. 8. Номера областей от вечают порядковому номеру качественных картин движения, изображен ных на рис. 8. Отсюда видно, что число квазистационарных режимов дви жения и их устойчивость зависят от относительной величины коэффици ентов затухания вращений µi вокруг главных осей инерции.

Рис. Итак, в рассматриваемом приближении возмущенное движение тела складывается из быстрого движения Эйлера-Пуансо вокруг вектора G и из медленной эволюции параметров этого движения.

Величины кинетического момента и кинетической энергии строго убывают, и их изменение зависит только от наличия сопротивления среды.

Движения самого вектора G в пространстве описывается первыми двумя уравнениями системы (2.1.6) и происходит с постоянным отклонением от вертикали =const. В отличие от случая воздействия только силы тяже сти [58] скорость вращения вектора G вокруг вертикали переменна. Эво люция параметров движения Эйлера-Пуансо в системе координат, связан ной с телом, описывается уравнением (2.1.7) и качественно представлена на рис. 8.

5. Пример 3. Случай динамической симметрии.

Для осесимметричного тела ( A1 = A2 ) система усредненных урав нений для медленных переменных принимает вид mgl cos, = 0, = (2.1.19) G sin 2 I I +I G I ( I11 + I 22 ) + = sin cos 33 11 22.

cos 2, = 2 A1 A3 2 A G A Уравнения (2.1.19) указывают на то, что сопротивление среды приводит к эволюции G и, которые оставались постоянными в [58] при отсутствии сопротивления среды.

Интегрируя последнее уравнение (2.1.19), получим I I +I tg=tg 0 exp 33 11 22 t. (2.1.20) A 3 2A I + I I угол увеличивается и Из (2.1.20) видно, что при 33 A3 2 A стремится к. Окончательным движением здесь будет вращение вокруг оси перпендикулярной оси динамической симметрии.

При I= I= I= I и A1 A3 динамически вытянутое тело 11 22 опрокидывается. Такой результат был найден в [25] для динамически сим метричного спутника, находящегося под действием сил аэродинамической I11 + I 22 I угол убывает и стремится к нулю.

диссипации. В случае 2 A1 A В этом случае при I= I= I= I выполняется условие устойчивости 11 22 A3 A1, полученное в [315].

Таким образом, динамически сжатое тело стабилизируется вокруг оси симметрии, что также совпадает с выводом [25]. Окончательное дви жение будет вращением вокруг оси динамической симметрии. Отсюда можно сделать вывод, что движение стремится к вращению вокруг оси с наибольшим моментом инерции.

Третье уравнение (2.1.19) при подстановке выражения для (2.1.20) интегрируется в явном виде I + I I = G02 cos 2 0 exp 2 33 t + tg 2 0 exp 11 22 t. (2.1.21) G A3 A Исследуем скорость вращения вектора кинетического момента вокруг вертикали. Из уравнений (2.1.19) и соотношений (2.1.20), (2.1.21) следует, что mgl3 (1 + tg 2 0 ) 1/ =. (2.1.22) I + I I I G0 exp 33 t + tg 2 0 exp 33 11 22 t A3 A3 A1 I 33 I11 + I При этом, согласно (2.1.22), в случае угловая ско A3 2 A рость вращения вектора кинетического момента G вокруг вертикали I11 + I 22 I величина возрастает, убывает: 0 при t. При 2 A1 A mgl3 (1 + tg 2 0 ) 1/ I11 + I 22 I т.е. при t. Если, то = G0 tg 2 2 A1 A при t.

§2.Вращение тяжелого гиростата в сопротивляющейся среде.

Рассмотрим быстрое движение вокруг неподвижной точки в со противляющейся среде несимметричного тяжелого твердого тела со сфе рической полостью, заполненной жидкостью большой вязкости.

Воспользуемся системами координат, введенными в §1 главы 1 и поместим начало всех систем координат О в неподвижной точке твердого тела. Соотношения между направляющими косинусами и углами Эйлера заданы формулами (1.1.1).

Уравнения движения тела относительно неподвижной точки для несимметричного тела записываются в виде (1.2.2), (1.2.6). В выражения проекций момента Li в формулах (1.2.2) для нашей задачи входят слагае мые, учитывающие силу тяжести, силу сопротивления среды и влияние вязкой жидкости в полости на движение твердого тела. Первые два из них приведены в §1 главы 2.

Для нахождения малого возмущающего момента, обусловленного влиянием вязкой жидкости на движение твердого тела, используются вы ражения правой части уравнений движения свободного тела с жидкостью [134, 135].

P p A3 ( A1 A3 )( A1 + A3 A2 )r 2 + A1 p += ( A3 A2 )qr A1 A2 A + A2 ( A1 A2 )( A1 + A2 A3 )q 2. (2.2.1) Остальные уравнения получаются циклической перестановкой символов A1, A2, A3 и p, q, r. Уравнения (2.2.1) образуют замкнутую систему, поэтому кинематические соотношения не выписываем. Здесь в слагаемых, учитывающих влияние вязкой жидкости в полости на движе ние твердого тела, – плотность жидкости. Постоянный тензор P зави сит лишь от формы полости и характеризует диссипацию энергии за счет вязкой жидкости.

В рассматриваемой задаче тензор P зададим в виде Pij = P ij, ij – символ Кронекера, а P 0. Так, например, для сферической по где лости радиуса a имеем согласно [134, 135] 8 a P=. (2.2.2) Предполагается, что полость заполнена жидкостью достаточно большой PG, где G0 – начальное значение кинетиче вязкости, поэтому A1 A2 A ского момента тела, – коэффициент кинематической вязкости жидкости.

Связь между компонентами вектора момента приложенных сил в системах координат Oz1 z2 z3 и Oy1 y2 y3 задается соотношением L1 11 12 13 LOz L2 = 21 22 23 LOz2. (2.2.3) L 3 31 32 33 LOz Здесь LOzi – проекции на оси Ozi (i = 1, 2,3) момента сил тяжести, внешнего сопротивления и возмущающего момента, обусловленного вли янием вязкой жидкости в полости на движение твердого тела. В результате получим выражения I 3 I I L1 = mg cos l j 2 j G i1 311i + i 2 321i + i 3 331i + = 1= 1 A A2 A j i PG ( A1 A3 )( A1 + A3 A2 ) sin 2 sin ( cos cos cos + A1 A2 A3 2 A1 A ( A1 A2 )( A1 + A2 A3 ) sin sin ) + cos sin 3 sin 2 A1 A ( A2 A3 )( A2 + A3 A1 ) ( sin 2 cos cos cos sin + sin cos ), 2 A2 A (2.2.4) = mg l j ( 3 j sin + 1 j cos ) L j = I I I G i1 31 2i + i 2 32 2i + i 3 33 2i + i =1 A A2 A PG ( A1 A3 )( A1 + A3 A2 ) sin 2 sin ( cos sin + + A1 A2 A3 2 A1 A ( A1 A2 )( A1 + A2 A3 ) + sin cos cos ) + sin sin 3 sin 2 + 2 A1 A ( A2 A3 )( A2 + A3 A1 ) sin 2 cos ( cos cos sin cos sin ), + 2 A2 A I 3 I I L3 = l j 2 j G i1 31 3i + i 2 32 3i + i 3 33 3i.

mg sin = 1= 1 A A2 A j i Здесь I ij – коэффициенты момента сопротивления вращению тела [25], предполагаемые постоянными.

Так как изучается быстрое движение, то предполагается малым mgl 1, где l – расстояние от центра масс до неподвиж отношение T ной точки, T0 – начальное значение кинетической энергии тела. Сопротив ление среды предполагается слабым того же порядка малости:

I / G0 1, где I – норма матрицы коэффициентов сопротивления.

В выражениях (2.2.4) проекции диссипативного момента сил, обу словленного вязкой жидкостью в полости, записаны с точностью до вели чин первого порядка малости.

Переходим к исследованию вращения твердого тела под действи ем моментов указанного вида. Проведя процедуру усреднения по схеме § главы 1 и сохраняя для усредненных медленных переменных прежние обо значения, получим mgl1 A1 (G 2 2TA3 ), = 0, = (2.2.5) A1 A 2G 2 K (k ) { G G = I 22 ( A1 A3 )W (k ) + I 33 ( A1 A2 ) k 2 W (k ) + R(k ) + I11 ( A2 A3 ) [1 W (k )]}, PG 4 ( A1 A3 ) 2 ( A2 A3 )( A1 A2 ) [ A2 ( A1 + A3 A2 ) + 2 A1 A3 ] T = 6 A12 A22 A32 R 2 (k ) E (k ) (1 * )(1 k 2 ) (1 * ) + (1 + * ) k K (k ) 2T ( I 22 ( A1 A3 )W (k ) + R(k ) ( A1 A2 )( A1 A3 )( A2 A3 ) + I 33 ( A1 A2 ) k 2 W (k ) + S (k ) I I ( A A3 ) R (k ) 33 k 2 W (k ) + 22 (1 k 2 ) W (k ) + 11 I [1 W (k )].


A A3 S (k ) 3 A2 A1 + A2 A2 ( A1 + A3 ) 2 Здесь =, R ( k ), W ( k ), S ( k ) вве * ( A1 A3 ) [ A2 ( A1 + A3 A2 ) + 2 A1 A3 ] дены согласно (2.1.6).

Из уравнений (2.2.5) следует, что наличие полости с вязкой жид костью и сопротивляющейся среды приводит к эволюции кинетической энергии тела T и величины кинетического момента G. Непосредственно видно, что в первом приближении на изменение T оказывает влияние вязкая жидкость в полости и сопротивление внешней среды. Эволюция ве личины кинетического момента G зависит только от сопротивления сре ды и происходит согласно описанному в §1 данной главы. Момент сил вязкой жидкости в полости является внутренним.

Уравнение (2.2.5) для T содержит слагаемые, характеризующие влияние вязкой жидкости в полости и сопротивление среды. Слагаемое, обусловленное влиянием жидкости в полости, отрицательно согласно [134, 135]. Каждое слагаемое выражения в круглых скобках уравнения для T, характеризующее влияние сопротивления среды, является положительной величиной. Таким образом, кинетическая энергия T также строго убыва ет.

Угловая скорость вращения вектора кинетического момента во круг вертикали зависит от воздействия силы тяжести, сопротивления среды и демпфирующего влияния вязкой жидкости в полости тела. В пер вом приближении метода усреднения отклонение вектора кинетического момента от вертикали остается постоянным.

В результате ряда преобразований, используя (1.3.6) и два послед них уравнения (2.2.5), получим дифференциальное уравнение для пере менной k dk 2 PG ( A1 A3 ) [ A2 ( A1 + A3 A2 ) + 2 A1 A3 ] = (2.2.6) 3 A12 A2 A dt E (k ) (1 * )(1 k 2 ) (1 * ) + (1 + * ) k K (k ) + 2 ( I 33 A1 I11 A3 ) E (k ) (1 ) (1 k ) (1 ) + (1 + ) k + 2.

K (k ) A1 A Здесь параметр вводится согласно формуле (2.1.7).

Уравнения (2.2.5), (2.2.6) описывают движение при условии 2TA1 G 2 2TA2, соответствующем траекториям вектора кинетического момента, охватывающим ось Oz1 (рис.3). Когда выполняются неравенства 2TA2 G 2 2TA3, описывающие траектории вектора кинетического мо мента, охватывающим ось Oz3, нужно в уравнениях (2.2.5), (2.2.6) поме нять местами параметры A1 и A3, I11 и I 33, а также заменить l1 на l3 в уравнении для (2.2.5). Тогда формула (2.2.6) сохраняет свой вид, но в ней нужно заменить на, * на *.

Уравнение для переменной G (2.2.5) совпадает с соответствую щим уравнением (2.1.6), для которого доказано, что G 0 для всех k 2 [ 0,1]. Кинетический момент асимптотически экспоненциально убы вает и стремится к нулю, причем закон убывания может быть оценен:

G exp( t ) ( const 0 ). При этом переменная k 2 изменяется со = гласно уравнению (2.2.6). Стационарными точками уравнения (2.2.6) яв ляются значения k = 0, k = 1.

Отметим, что по сравнению с (2.1.7) правая часть уравнения для k (2.2.6) зависит от неизвестной G, а в отличие от [134, 135], где учиты вается только влияние жидкости в полости, величина G переменна во времени. В общем случае систему уравнений для G и k 2 проинтегриро вать не удается, а ее исследование представляет трудности.

Проинтегрируем эту систему численно при начальных условиях G (0) = 1, 414 ;

k 2 (0) = 0,99, что соответствует движению, близкому к пе реходу через сепаратрису. Принимаем, кроме того, для определенности A1 = 3, 2 ;

A2 = 2,6 ;

A3 = 1,67, что соответствует значению * = 0,112.

На рис. 9 изображены графики функций k 2, G, полученные в результате численного интегрирования. Кривые 1, 2 соответствуют значениям пара метров = 4, 471 ( I11 = 2,322 ;

I 22 = 1,31 ;

I 33 = 1, 425 ) и = 3,852 ( I11 = 0,919 ;

I 22 = 5, 228 ;

I 33 = 1,666 ). Как видно, в первом случае вели чина кинетического момента G убывает «быстрее» k 2, а во втором слу чае для значений параметров переменная k 2 приближается к нулю «быст рее» G, т.е. движение стремится к вращению вокруг оси Oz1.

Рис. Кроме того, для первого случая был проведен численный анализ скорости стремления к нулю величин k 2 и G при различных начальных значениях переменной k 2 k 2 (0) = 0,8;

0,6;

0, 4;

0, 2. Полученные в ре зультате расчетов кривые изображены на рис. 10. Таким образом, при раз личном наборе начальных значений k 2 (0) для выбранных параметров за дачи скорость стремления G к нулю больше, чем переменной k 2.

При малых k 2, что соответствует движению, близкому к враще нию вокруг оси Oz1, система уравнений для G 2 и k 2 принимает вид k 2 ( A1 A3 )( I 22 A1 I11 A2 ) + ( A1 A2 )( I 33 A1 I11 A3 ), G =I11 + dG 2 2 A1 ( A2 A3 ) A1 dt { dk 2 k 2 A3 ( I 22 A1 I11 A2 ) + A2 ( I 33 A1 I11 A3 ) + = A1 A2 A3 dt PG [ A2 ( A1 A2 ) + A3 ( A1 A3 )].(2.2.7) + A2 A3 Рис. Следует отметить, что уравнения (2.2.7) формально совпадают с системой нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих эво люцию экологических систем [317, 318].

Из (2.2.7) непосредственно определяется первый интеграл вида ( A A3 )( I 22 A1 I11 A2 ) + ( A1 A2 )( I 33 A1 I11 A3 ) k 4 µ1 exp 2 1 k = A1 ( A2 A3 ) PG 2 2 2( A A A2 ) + A3 ( A1 A3 ), = C1G 2 exp (2.2.8) A1 A2 A3 I11 [ A3 ( I 22 A1 I11 A2 ) + A2 ( I 33 A1 I11 A3 )].

µ1 =,= A1 A1 A2 A При малых G 2, k 2 следует, что характер изменения квадрата ве личины кинетического момента зависит от знака выражений I 22 A1 I11 A и I 33 A1 I11 A3. Поведение переменной k 2 зависит от знака коэффициента A3 ( I 22 A1 I11 A2 ) + A2 ( I 33 A1 I11 A3 ).

Пример 4. Рассмотрим теперь частный случай осесимметричного тела ( A1 = A2 ). Система уравнений для медленных переменных принимает вид sin 2 G I mgl ( I11 + I 22 ) + 33 cos 2,, = 0, = = (2.2.9) 2 A1 G A G PG ( A1 A3 ) I 33 I11 + I sin cos.

= + A13 A3 A3 2 A Последние два уравнения (2.2.9) можно записать следующим об разом ( G ) =a ( hG b2 ) sin 2, ( + b2 cos 2 ) G 2,= 2 (2.2.10) P ( A1 A3 ) I11 + I 22 I 33 I +I I = + = 11 22 33, h = a2, b2.

A13 A 2 A1 A3 2 A1 A Уравнения (2.2.9) имеют первый интеграл hG 2 b2 ln C1G 2 = + ln sin 2, C1 = const.

a2 ln tg2 (2.2.11) Из выражения для G (2.2.9) следует, что кинетический момент строго убывает.

Поведение угла нутации определяется знаком величины в квадратной скобке и в пределе при G 0 определяется знаком величины I 33 I11 + I.

A3 2 A Действительно, если эта величина положительна, то угол стре мится к / 2 независимо от величины G 2 (первого слагаемого в квадрат ной скобке). Если же эта величина отрицательна, то на некотором началь ном участке, соответствующем достаточно большим значениям G, угол стремится к / 2. Однако с течением времени, когда G становится достаточно малым, величина, стоящая в квадратной скобке, становится от рицательной и твердое тело стремится к вращению вокруг оси A1. Преды дущие рассуждения были верны при A1 A3. Аналогичные рассуждения могут быть приведены при A1 A3.

§3. Быстрое вращение спутника относительно центра масс под действием гравитационного момента в среде с сопротивлением.

1. Возмущенное вращательное движение динамически несим метричного спутника.

Рассмотрим движение спутника относительно центра масс под действием совместного влияния моментов сил гравитационного притяже ния и сопротивления.

Введем три декартовые системы координат, как указано в §1 гла вы 1. Положение вектора кинетического момента G относительно его центра масс в системе координат Oxi (i = 1, 2,3) определяются углами и, как показано на рис. 1.

Уравнения движения тела относительно центра масс запишем в форме (1.2.2), (1.2.6), а зависимость истинной аномалии от времени t дается соотношением (1.2.12).

Рассматривается динамически несимметричный спутник, моменты инерции которого для определенности удовлетворяют неравенству A1 A2 A3, в предположении, что угловая скорость движения спут ника относительно центра масс существенно больше угловой скорости ор битального движения 0, т.е. 0 / ~ A10 / G 1. В этом случае = кинетическая энергия вращения тела велика по сравнению с моментами возмущающих сил.

Проекции Li момента внешних сил складываются из гравитаци онного момента Li g и момента сил внешнего сопротивления Li r. В проек циях на оси Oyi (i = 1, 2,3) они записываются в виде [26, 277]. Здесь при ведена проекция на ось Oy1, на другие оси проекции имеют аналогичный вид 30 (1 + e cos ) ( S 3 j S 2 j ) L1 = L1 + L g r (1 e ) 2 j 3j j = I I I G i1 1i 31 + i 2 1i 32 + i 3 1i 33, (2.3.1) i =1 A A1 A S mj = Ap jp mp, 1 cos ( ) cos, = p = = sin ( = cos ( ) sin.

), Предполагается, что момент сил сопротивления Lr может быть представлен в виде Lr = I, аналогично рассмотренному в §1 этой главы [25, 277]. Сопротивление среды предполагаем слабым порядка малости : I / G0 ~ 1, где I норма матрицы коэффициентов сопротивле ния, G0 – кинетический момент спутника в начальный момент времени.

Построение такой модели диссипативного момента сил I = const допустимо в связи с тем, что движение спутника определяется высотой.

Кроме того, можно допустить «квазиизотермичность» модели атмосферы, так как движение центра масс происходит на больших высотах (~ км). На начальном этапе исследования величине плотности придается не которое среднее значение, зависящее от элементов орбиты.

Производная кинетической энергии имеет вид (2.1.2). Ставится задача исследовать решение при малом на большом промежутке време ни t ~ 2. Для решения задачи будем применять метод усреднения [16 18].

Как и в задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в вязкой среде (§1 гл.2), так и в рассматриваемой задаче в случае не возмущенного движения (движение Эйлера-Пуансо) величины G,,, T, обращаются в постоянные, а,, – некоторые функции време ни t. Медленными переменными в возмущенном движении будут G,,, T,, а быстрыми – углы Эйлера,,.

Рассмотрим движение при условии 2TA1 G 2 2TA2, соответ ствующем траекториям вектора кинетического момента, охватывающим ось максимального момента инерции Oz1 [305]. Введем величину k 2 со гласно (1.3.6), представляющую собой в невозмущенном движении посто янную модуль эллиптических функций, описывающих это движение.

Для построения усредненной системы первого приближения про ведем усреднение по переменной, а затем по времени t с учетом зави симости, от t [26]. При этом для медленных переменных,, G, T сохраняются прежние обозначения. В результате получим 3 2 (1 + e cos ) d 30 (1 + e cos ) 3 d 23 N *, 13 N *, = 0 = 2G (1 e ) dt 2G (1 e 2 )3 sin dt { dG G = I 22 ( A1 A3 )W (k ) + I 33 ( A1 A2 ) k 2 W (k ) + dt R(k ) + I11 ( A2 A3 ) [1 W (k )]}, (2.3.2) { dT 2T = I 22 ( A1 A3 )W (k ) + I 33 ( A1 A2 ) k 2 W (k ) + dt R(k ) ( A1 A2 )( A1 A3 )( A2 A3 ) I 33 2 k W (k ) + (1 k )W (k ) + I + A A S (k ) I11 ( A2 A3 ) R(k ) [1 W (k )].

+ A1 S (k ) Здесь K (k ) E (k ) 2AT N * = A2 + A3 2 A1 + 3 12 1 A3 + ( A2 A3 ) K (k )k, G R (k ), W (k ), S (k ) введены согласно (2.1.6).

Третье и четвертое уравнения системы (2.3.2) совпадают с уравне ниями изменения кинетического момента и кинетической энергии (2.1.7).

Это объясняется тем, что эволюция этих величин происходит только под действием сопротивления среды.

Дифференциальное уравнение изменения величины k 2 имеет вид (2.1.7). Из этого следует, что усредненное движение конца вектора кине тического момента G на сфере радиуса G имеет одинаковый характер с изученным в §1.

Рассмотрим систему, состоящую из первых двух уравнений си стемы (2.3.2) и уравнения (1.2.12). Их можно записать следующим обра зом:

0 (,, ), 0 (,, ), = = 2 (1 + e cos ) 2, h(e) (1 e 2 )3/ 2.

= = h (e) Здесь, коэффициенты в правых частях первых двух урав нений (2.3.2),, медленные переменные, а полумедленная.

Получена система специального вида, для решения которой при меняется модифицированный метод усреднения, описанный в §4 главы 1, по следующей схеме [309]:

02 h(e) 2 (,, ).

2 (1 + e cos ) = d, 02 h(e) 2 (,, ).

2 (1 + e cos ) = d.

После усреднения получим 30 N * cos..

= 0, =. (2.3.3) 4Gh(e) Для медленных усредненных переменных сохраняются прежние обозначения. Отметим, что действие приложенных сил не приводит к из менению угловой скорости и отклонение вектора G от вертикали оста ется постоянным в указанном приближении.

Полученную систему уравнений (2.3.3), два последних уравнения системы (2.3.2) и уравнение dk 2 I A I A E (k ) = 33 1 11 3 (1 ) (1 k 2 ) (1 ) + (1 + ) k K (k ) (2.3.4) dt A1 A можно численно проинтегрировать. Интегрирование проводилось при k 2 (0) = 0.99 ;

(0) = 0.785 рад;

G (0) = 1 ;

начальных условиях (0) = 0.785 рад и значениях главных центральных моментов инерции тела A1 = 3.2 ;

A2 = 2.6 ;

A3 = 1.67. Численный расчет выполнялся для различных видов орбит с эксцентриситетом: e = 0 круговая орбита;

e = 0.04473 1-й советский спутник;

e = 0.0487 3-й советский спут ник;

e = 0.421 сильно эллиптическая орбита [25]. Для коэффициентов сопротивления рассматривались два возможных варианта: I11 = 2.322 ;

I 22 = 1.31 ;

I 33 = 1.425 и I11 = 0.919 ;

I 22 = 5.228 ;

I 33 = 1.666. В первом случае величина в уравнении (2.3.4) была отрицательной 4.477, а во втором положительной и равной 3.853.

Для численного расчета было проведено обезразмеривание урав нений системы (2.3.3), двух последних уравнений системы (2.3.2) и урав нения (2.3.4). Характерными параметрами задачи являются G0 кинетиче ский момент спутника при t = 0, 0 величина угловой скорости дви жения спутника относительно центра масс в начальный момент времени.

G Безразмерные величины определяются формулами t = 0 t, G =, G A Li I T, I ii = ii (согласно предположению Ai = i 0, Li =,T= G0 0 G0 G0 G о сопротивлении среды). Система уравнений примет вид:

{( ) ( ) dG G 2 I A A3 W (k ) + I 33 A1 A2 k 2 W (k ) + = (k ) 22 dt R } + I11 ( A2 A3 ) [1 W (k )], {( ) ( ) dT 2T 2 I 22 A1 A3 W (k ) + I 33 A1 A2 k 2 W (k ) + = dt R(k ) ( A1 A2 )( A1 A3 )( A2 A3 ) I 33 2 k W (k ) + (1 k )W (k ) + I + A (k ) A S I11 ( A2 A3 ) R(k ) [1 W (k )], + (k ) A1 S d 3 N * cos d = =0,, (2.3.5) dt dt 4Gh(e) I A I A E (k ) dk = 2 33 1 11 3 (1 ) (1 k 2 ) (1 ) + (1 + ) k K (k ), A dt A1 ( ) ( ) = R(k ) A1 A2 A3 + A3 A1 A2 k 2, S (k ) = A2 A3 + ( A1 A2 )k 2, 2 AT K (k ) E (k ).

N * = A2 + A3 2 A1 + 3 12 1 A3 + ( A2 A3 ) K (k )k G Интегрирование системы проводилось для медленного времени = t. Численный анализ показывает, что функции G ( ) и T ( ) явля ются монотонно убывающими (рис. 11, 12). Видно, что при положитель ной величине (кривые 2) функции убывают быстрее, но функция G ( ) стремится к асимптоте медленнее за больший промежуток времени. Функ ция = ( ) в обоих расчетных вариантах величины является убыва ющей функцией, но в первом варианте убывает быстрее. Необходимо от метить, что при изменении эксцентриситета орбиты в расчетах в обоих ва риантах увеличение e приводит к более быстрому убыванию угла.

Рис. На рис. 13 показаны графики функции = ( ) при e = 0 (кривая 1) и e = 0.421 (кривая 2) при положительном. Видно, что со временем ве личина угла уменьшается, т.е. вращение вектора G в пространстве во круг нормали к плоскости орбиты происходит на постоянном угловом рас стоянии от нее в направлении по ходу часовой стрелки.

Рис. 12 Рис. 2. Анализ предельных случаев Рассмотрим движение тела при малых k 2 1, отвечающих дви жениям твердого тела, близким к вращениям вокруг оси Oz1. В этом слу чае правую часть уравнения (2.1.7) можно упростить используя разложе ния полных эллиптических интегралов в ряды по k 2 [308]. Тогда уравне ние интегрируется и асимптотическое решение записывается в виде (3 + ) = exp µ t µ = µ 2 + µ3 2 µ k 2 = exp,, (2.3.6) C1 k0 где C1 0 постоянная, а µ (i = 1, 2,3) определяются формулой (2.1.17).

i В случае малых k 2 аналитические выражения для величины кине тического момента и кинетической энергии можно получить в явном виде { )} ( = G0 exp µ1t + b3 exp µ t 1, G T exp {2 µ t + a ( exp t 1)}, = T µ 0 1 0.5k [ µ A (2 A2 A3 A1 A2 A1 A3 ) + µ2 A1 A2 ( A1 A3 ) + = b µ A ( A2 A3 ) 1 + µ3 A1 A3 ( A1 A2 ) ], (2.3.7) k [ µ2 ( A1 A3 ) + µ3 ( A1 A2 ) + µ1 ( A2 + A3 2 A1 )].

=a ( A2 A3 ) µ Уравнение (2.3.3) для с учетом (2.3.7) записывается таким об разом d { } = exp µ1t b3 exp µ t {d + ( exp ( a3 2b3 ) exp( µ t ) 1)}, dt 30 cos =, d = A2 + A3 2 A1, 4(1 e ) 2 3/ G 3 2A T ( A2 + A3 ), = 1 0.

= 2 G Его решение имеет следующий вид { ( d ) ( b3 ) ( k, b3 ) + ( k, b3e ) = k µ } x (k, x) + (k, xe ), k µ,= 3b3 a3, = t.

k = x µ Здесь ( n, x) неполная гамма функция [308] и b3 0, x 0.

Представляет интерес исследование системы (2.3.2) в случае ма лых диагональных коэффициентов сопротивления, т.е.

I11 = i11, I 22 = i22, I 33 = i33, 1. (2.3.8) Кинетический момент G и кинетическая энергия T могут быть представлены в виде степенных рядов по G = 0 + G1 +..., T = 0 + T1 +....

G T Два последних уравнения системы (2.3.2) после интегрирования записываются следующим образом G t G = 0 {i22 ( A1 A3 )W (k0 ) + G R ( k0 ) } +i33 ( A1 A2 ) k02 W (k0 ) + i11 ( A2 A3 ) [1 W (k0 ) ], 2T0 t {i22 ( A1 A3 )W (k0 ) + i33 ( A1 A2 ) k02 W (k0 ) + T = T0 (2.3.9) R ( k0 ) ( A1 A2 )( A1 A3 )( A2 A3 ) i33 2 i k0 W (k0 ) + (1 k0 )W (k0 ) + + A A3 S ( k0 ) i11 ( A2 A3 ) R (k0 ) [1 W (k0 )].

+ A1S (k0 ) Здесь W ( k0 ), R ( k0 ), S ( k0 ) значения функций (2.1.6) при k = k0. Согласно (2.3.9) функции G (t ) и T (t ) являются строго убываю щими, как и в случае системы (2.3.2).

Для малых моментов сопротивления необходимо также построить приближенное решение 2 t { A1 (i33 A2 i22 A3 )(1 k02 ) k 2 =k02 + A1 A2 A E ( k0 ) A1 (i33 A2 i22 A3 ) + A3 (i22 A1 i11 A2 )k02.

K ( k0 ) С помощью формулы для изменения величины кинетического мо мента (2.3.9), проведем анализ направления вращения вектора G. Соглас но (2.3.3) отклонение вектора G от вертикали также остается постоян ным, как и в случае малых k 2, а скорость изменения угла зависит от непостоянной величины N *, которая выражается через кинетический мо мент G и кинетическую энергию T. Тогда для малых моментов сопро тивления закон изменения угла от времени имеет вид 3 2 N t cos 30 t 2 cos = 0 + 0 +.

4G0 (1 e 2 ) 8G0 (1 e 2 ) 3/ 2 3/ Изменение угла = (t ) имеет вид квадратичной функции от t, у которой свободный член и коэффициент при первой степени t выража ются через постоянные величины 0, N 0, G0 и cos. Все величины яв ляются положительными и задаются в начальный момент времени.

Рассмотрим случай малых k 2 и малых коэффициентов сопротив ления (2.3.8). При малых k 2 были получены законы изменения кинетиче ского момента G, кинетической энергии T (2.3.7), которые с учетом ма лых первого порядка дают G= G0 {1 + m1 n1t}, T = T0 {1 + m2 n2t}, k [ µ1 A1 ( A2 A3 A1 A2 A1 A3 ) + n1= µ1 + 2 A1 ( A2 A3 ) + µ2 A1 A2 ( A1 A3 ) + µ3 A1 A3 ( A1 A2 ) ]}, 0.5k [ A ( A A A1 A2 A1 A3 ) + = (2.3.10) m A ( A2 A3 ) 1 1 2 + µ 2 A1 A2 ( A1 A3 ) + µ3 A1 A3 ( A1 A2 ) ], k [ µ2 ( A1 A3 ) + µ3 ( A1 A2 ) + µ1 ( A2 + A3 2 A1 )], =m ( A2 A3 ) k [ µ2 ( A1 A3 ) + µ3 ( A1 A2 ) + = 2 µ1 + n A2 A + µ1 ( A2 + A3 2 A1 )}, = µ2 + µ3 2 µ1, µi iii / Ai (i 1, 2,3).

== Функции G (t ) и T (t ) являются строго убывающими, как во всех ранее рассмотренных случаях. Для определения направления вращения вектора G второе уравнение системы (2.3.2) рассматривается с учетом (2.3.10). После его интегрирования получим 30 cos {(m3 + n3 )t + = 4(1 e 2 )3/ 2 G0 (1 + m1 ) nz t 3n (1 + m2 ) n2 + 0, + 1 + f 1 + m1 1 + m1 A2 + A3 + 4 A1 T A (1 + m2 ) m3 =, = 3( A2 + A3 ) 0 2 1.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.