авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |

«Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская, Я.С. Зинкевич Возмущенные и управляемые вращения твердого тела Одесса - 2013 УДК ...»

-- [ Страница 3 ] --

n G0 (1 + m1 ) Видно, что закон изменения угла ориентации вектора кинетиче ского момента имеет вид квадратичной функции. Коэффициенты этой функции зависят от значений моментов инерции спутника Ai (i = 1, 2, 3), от начальных значений кинетической энергии, кинетического момента и угловой скорости орбитального движения, а также от величины эксцен триситета орбиты спутника.

3. Пример 6. Движение динамически симметричного спутника.

Уравнения движения тела относительно центра масс (2.1.1) для динамически симметричного спутника при A1 = A2 будут иметь вид:

d L1 d L dG = L3, =, =, dt G sin dt dt G d L2 cos L1 sin =, (2.3.11) dt G 1 1 L cos + L2 sin d = G cos + 1, G sin A3 A dt d G L1 cos + L2 sin L = ctg 2 ctg.

dt A1 G G После усреднения по и имеем:

sin 2 I dG ( I11 + I 22 ) + 33 cos 2, = G 2 A1 dt A d I I +I = 33 11 22 sin cos,(2.3.12) dt A3 2 A 3 2 (1 + e cos ) d 3 sin( ) cos( )sin ( A1 A3 ) 1 sin 2, = G (1 e 2 ) 2 dt d 30 (1 + e cos ) 3 cos 2 ( ) cos ( A1 A3 ) 1 sin 2.

= G (1 e ) 2 dt Первое и второе уравнение системы (2.3.12) совпадают с анало гичными уравнениями в случае вращения динамически симметричного тяжелого твердого тела в вязкой среде (пример 3 §1 гл.2). Это объясняется тем, что эволюция величины кинетического момента и угла нутации про исходит только под действием момента сил сопротивления внешней сре ды.

Рассмотрим два последних уравнения системы (2.3.12) и уравне ние для истинной аномалии (1.2.12) 0 (,, ), 0 (,, ), = = 2 (1 + e cos ) 2, h(e) (1 e 2 )3/ 2.

= = h (e) Здесь, коэффициенты в правых частях последних двух уравнений (2.3.12),, медленные переменные, а полумедленная.

Применяя модифицированный метод усреднения [309] (см. также §4 гл.1), получим:

30 N cos..

= 0, =, (2.3.13) 2Gh(e) N =A1 A3 )(1 sin 2 ).

( Исследуем систему, состоящую из двух первых уравнений систе мы (2.3.12) и двух уравнений системы (2.3.13), произведя ее обезразмери вание. Характерными параметрами задачи будут G0 кинетический мо мент спутника при t = 0, 0 величина угловой скорости движения спутника относительно центра масс в начальный момент времени. Полу чим для безразмерных переменных систему вида:

sin 2 ( ) I dG 2 I11 + I 22 + 33 cos 2, =G 2 A1 dt A +I I d I = 2 33 11 22 sin cos, (2.3.14) A3 2 A dt d d 3 2 N cos =0, =, dt dt 2Gh(e) ( N =A1 A3 )(1 sin 2 ).

Интегрирование системы (2.3.14) проводится для медленного вре мени = 2 t при начальных условиях G (0) = 1 ;

(0) = / 4 рад ;

(0) = / 4 рад, (0) = / 6 рад и значениях главных центральных мо ментов инерции тела A1 = 4.175 ;

A3 = 1.67. Численный расчет выполнял ся для рассмотренных ранее различных видов орбит. Для коэффициентов сопротивления рассматривались два возможных варианта: I11 = 2.322 ;

I 22 = 1.31 ;

I 33 = 1.425 и I11 = 2.0 ;

I 22 = 1.0 ;

I 33 = 0.5. В первом слу чае величина в квадратных скобках второго уравнения системы (2.3.13) будет положительной, а во втором случае – отрицательной.

Для проверки корректности численного расчета уравнений систе мы (2.3.14) проводился сравнительный анализ графиков численного и ана литического расчетов в безразмерном виде для кинетического момента G и угла нутации, для которых известны аналитические решения (2.1.20) и (2.1.21). Численный расчет совпадает с аналитическим решением в обоих случаях с точностью до шестого знака. Графики приведены на рис. 14, 15 в двух возможных расчетных случаях коэффициентов сопротивления, где первая комбинация коэффициентов, а 2 вторая.

Рис. Подставляя (2.1.20) и (2.1.21), в последнее уравнение системы (2.3.12), получим дифференциальное уравнение для угла, которое мож но решить только численно, независимо от системы (2.3.12) 1 30 cos ( A1 A3 ) 1 tg 2 0 exp ( 2b2t ) exp ( µ3t ) d 2 =. (2.3.15) 2G0 cos 0 1 + tg 0 exp ( 2b2t ) 3/ dt Здесь b2 определено в (2.2.10), а µ3 в (2.1.17).

Рис. Сравнивались графики зависимости угла для решения системы дифференциальных уравнений (2.3.12) и решения уравнения (2.3.15) в без размерном виде в обоих расчетных случаях. Имеем в двух случаях на рис.

16, 17 совпадение с точностью до шестого знака. Каждый из указанных рисунков содержит по две кривые. Кривая 1 соответствует круговой орби те движения центра масс динамически симметричного спутника, кривая сильно эллиптической орбите. Из графиков видно, что в обоих расчет ных случаях увеличение эксцентриситета орбиты приводит к более стре мительному изменению функции угла. Значит, при движении центра масс спутника по орбите с большим эксцентриситетом вектор кинетиче ского момента совершает поворот вокруг оси вертикали с большей скоро стью.

Рис. 16 Рис. Четвертое уравнение системы (2.3.14) требует дополнительного исследования, так как функция N является знакопеременной и зависит от 3 sin. Необходимо определить, при каких зна знака выражения чениях угла это выражение является положительным. Имеем, что угол 0;

*, где * 0.955. Поэтому во втором расчетном случае выра 3 sin остается положительным на всем интервале време жение ни, а значит функция согласно четвертому уравнению системы (2.3.14), является монотонно возрастающей. В первом расчетном случае угол увеличивается и проходит критическое значение *, поэтому знак выра жения меняется. Подробное численное исследование показывает, что функция угла в первом расчетном варианте имеет вид, представленный на рис. 18.

Рис. Имеет смысл провести численный расчет для функции при раз личных начальных значениях угла нутации. Численный анализ приво дит к следующим результатам (см. рис. 19, 20).

Кривые 1 соответствуют начальному углу нутации 0 = / 6, а кривые 2 углу / 3. Для первого расчетного случая квадратная скобка во втором уравнении системы (2.3.14) является величиной положительной, а функция = (t ) является монотонно возрастающей. Для кривой 1 в начальный момент времени N 0, следовательно, функция = (t ) воз растает. С течением времени угол увеличивается, проходя критическое значение, а, значит, N становится величиной отрицательной и функция угла убывает. Согласно кривой 2 функция = (t ) является монотон но убывающей, так как всегда выполняется равенство N 0. Во втором расчетном случае коэффициентов сопротивления характер кривых меняет ся с точностью до наоборот, так как квадратная скобка во втором уравне нии системы (2.3.14) является величиной отрицательной, а функция = (t ) монотонно убывающей.

Рис. 19 Рис. Таким образом, исследовано движение динамически симметрич ного спутника относительно центра масс под действием совместного вли яния моментов сил гравитационного притяжения и сопротивления.

Контрольные вопросы и задания Когда момент силы тяжести тяжелого твердого тела относительно 1.

неподвижной точки равен нулю?

Какой функцией от угловой скорости вращения относительно не 2.

подвижной точки является зависимость момента сил сопротивле ния?

Какие величины являются медленными при движении тяжелого 3.

твердого тела вокруг неподвижной точки в вязкой среде?

Проведите численное интегрирование системы уравнений (2.1.19) 4.

с помощью метода Рунге-Кутта 4-го порядка при различных начальных значениях переменных,, G и.

Постройте графики изменения функции = (t ), G = G (t ) и 5.

= (t ) с помощью библиотеки ZedGraph.dll, проведите анализ полученных результатов.

Какая форма полости рассматривается при решении задачи?

6.

Каким образом введен малый параметр в задаче о вращении тяже 7.

лого гиростата в сопротивляющейся среде?

8. Постройте кривые первого интеграла (2.2.11), используя методы решения трансцендентных алгебраических уравнений.

9. Исследуйте характер поведения угла нутации для динамически симметричного спутника с полостью, целиком заполненной вяз кой жидкостью, под действием гравитационного момента в среде с сопротивлением.

10. Численно определите характер поведения функции (t ) для ди намически симметричного спутника.

Глава 3.

Влияние вязкой жидкости в полости на вращения спутника относительно центра масс.

Результаты §1 этой главы были опубликованы в работе авторов [289], § 2 – в статье [290], §3 – в статьях [291, 324].

§1. Вращательные движения несимметричного спутника с по лостью, заполненной вязкой жидкостью.

1. Постановка задачи и процедура усреднения.

Рассмотрим движение спутника относительно центра масс под действием момента сил гравитационного притяжения. Тело содержит по лость, целиком заполненную сильно вязкой однородной жидкостью. Вра щательные движения рассматриваются в рамках модели динамики ква зитвердого тела, центр масс которого движется по эллиптической орбите вокруг Земли [134].

Введем три декартовы системы координат согласно §1 главы 1.

Уравнения движения тела относительно центра масс запишем в форме (2.1.1) и работы [26].

Для исследования эволюции движения спутника удобно наряду с переменной использовать в качестве дополнительной переменной кине тическую энергию T, производная которой имеет вид (2.1.2).

Центр спутника движется по кеплеровскому эллипсу с эксцентри ситетом e и зависимость истинной аномалии от времени t дается со отношением (1.2.12).

Проекции Li момента приложенных сил складываются из грави тационного момента Li g и момента сил вязкой жидкости в полости Li p.

Здесь приведена проекция на ось Oy1 гравитационного момента, на дру гие оси проекции имеют аналогичный вид [26] 30 (1 + e cos ) (2 j S3 j 3 j S 2 j ), = g L (3.1.1) (1 e2 ) 3 j = S mj = Ap jp mp, = cos ( ) cos, p = = sin ( ), = cos ( ) sin.

Проекции момента сил вязкой жидкости в полости Lip на оси Oyi (i = 1, 2,3) записываются следующим образом:

30 (1 + e cos ) P ( D + S )= 1, 2,3),(3.1.2) B + = p (i L (1 e2 ) i A1 A2 A3 i p B * = = i 2, = q, B = B2,, 1 r B 3 i A A ( A A ) r + * ( F p + M p ) 2 1 23 3 1 31 A A ( A A ) r + * ( F p + M p ), = D 3 2 13 1 2 32 A A 2 2 r * F p + M p 1 ) ( 32 31 ) ( 2 ( 3 1 3 2 ) + + 33 32 + 32 ( 33 33 3 ) 1 33 2 2 31 33 = 32 33 33 + 3 33 + 2 31, M = 33 31 + 31 ( 33 33 3 ), F 2 33 ( 32 31 + 31 32 ) ( 32 31 ) 33 + 3 32 + 1 31 33 rA3 ( A1 A2 A12 A2 A3 + A32 ) + 32 qA2 ( A1 A3 A12 A2 A3 + A22 ) = 32 31 pA1 ( A3 A2 A22 A1 A3 + A12 ) + 33 rA3 ( A1 A2 A22 A1 A3 + A32 ), S qA ( A A A2 A A + A2 ) + pA ( A A A2 A A + A2 ) 33 32 2 1 3 3 12 2 31 1 23 3 3i =11i + 2 2i + 3 3i ( i =1, 2,3), = p 31 + q 32, = p 32 q 31, p 1 p 1 =1 + 122, 2 =1 + 132, 3 =1 + 112, 22 = 2 A2 ( A1 A2 )( A2 A3 + A1 ) + 32 A3 ( A1 A3 )( A3 A2 + A1 ) i1.

B1 2 Коэффициенты B2, B3 имеют аналогичный вид и получаются также рота ij цией индексов (сдвигом);

величины i (i = 1, 2,3) введены в (3.1.1), направляющие косинусы, определяющие взаимное положение систем ко ординат Oyi (i = 1, 2,3) и Ozi (i = 1, 2,3) (см. (1.1.1)), p, q, r проекции на оси Ozi (i = 1, 2,3) вектора абсолютной угловой скорости спутника в системе координат Ox1 x2 x3.

Величина P тензор, зависящий только от формы полости, хара ктеризует диссипативный момент сил в квазистатическом приближении, обусловленный вязкой жидкостью в полости [134]. Для простоты в урав нениях (3.1.2) рассмотрен так называемый скалярный тензор, определен ный одной скалярной величиной P 0. Компоненты этого тензора имеют ij символы Кронекера (такой вид тензор P имеет, вид Pij = P ij, где например, в случае сферической полости). Если форма полости сущест венно отличается от сферической, то определение компонент тензора представляет значительные вычислительные трудности.

Рассматривается динамически несимметричный спутник, моменты инерции которого для определенности удовлетворяют неравенствам A1 A2 A3, в предположении, что модуль угловой скорости движе ния спутника относительно центра масс существенно больше угловой ско рости орбитального движения 0, т.е. = 0 / A10 / G 1. В этом случае кинетическая энергия вращения тела велика по сравнению с моме нтами возмущающих сил (см. ниже).

Предполагается, что в полости находится жидкость большой вяз кости, т.е. 1 ( 1 ~ ), форма полости сферическая, тогда согласно [134] P P = Pdiag (1,1,1), P=. (3.1.3) 1 Здесь, плотность и коэффициент кинематической вязкости жидкости в полости соответственно, а величина P задается формулой (2.2.2).

С учетом рассмотренных выше предположений видно, что второе слагаемое (с коэффициентом 0 ) в формуле проекции момента сил вязкой жидкости в полости (3.1.2) имеет порядок 2, а значит с точностью до ма лых первого порядка малости ( P ~ ) проекции момента сил вязкой жид кости в полости имеют вид:

{ P p q 2 A2 ( A1 A2 )( A2 A3 + A1 ) + =Lip A1 A2 A3 (3.1.4) + r A3 ( A1 A3 )( A3 A2 + A1 ) i1 + + q r 2 A3 ( A2 A3 )( A3 A1 + A2 ) + p 2 A1 ( A1 A2 )( A3 A1 A2 ) i 2 + } + r p 2 A1 ( A3 A1 )( A1 A2 + A3 ) + q 2 A2 ( A3 A2 )( A2 A1 + A3 ) i 3.

( i = 1, 2,3) Ставится задача исследования эволюции вращений спутника на асимптотически большом интервале времени t ~ 2, на котором проис ходит существенное изменение параметров движения. Для решения задачи будем применять метод усреднения [17].

Рассмотрим невозмущенное движение ( = 0), когда моменты приложенных сил равны нулю. В этом случае вращение твердого тела яв ляется движением ЭйлераПуансо. Величины G,,, T, обращаю тся в постоянные, а,, – некоторые функции времени t [305, 320].

Медленными переменными в возмущенном движении будут G,,, T,, а быстрыми – углы Эйлера,,.

Исследуем движение при условии 2TA1 G 2 2TA2, соответст вующем траекториям вектора кинетического момента, охватывающим ось наибольшего момента инерции Oz1. Введем модуль эллиптических функ ций k 2 согласно (1.3.6).

Для построения усредненной системы первого приближения подс тавим решение невозмущенного движения Эйлера Пуансо в правые час ти уравнений движения (2.1.1), (2.1.2) с учетом (3.1.1), (3.1.4) и проведем усреднение по переменной, а затем по времени t с учетом зависимости, от t. При этом для медленных переменных G,,, T, сох раняются прежние обозначения. В результате получим для них эволюци онные уравнения вида 3 2 (1 + e cos ) d 30 (1 + e cos ) 3 d dG 23 N *, 13 N *, = 0 = =0, 2G (1 e ) dt 2G (1 e ) sin 23 dt dt 4 PT 2 ( A1 A3 )( A1 A2 )( A2 A ) dT = 1 (3.1.5) 3 A12 A2 A32 S 2 (k ) dt { A2 ( A1 A3 )( A1 + A3 A2 ) k 2V (k ) W (k ) + + A1 ( A2 A3 )( A3 + A2 A1 ) (k 2 2)W (k ) + k 2 + } + A3 ( A1 A2 )( A1 + A2 A3 ) (1 2k 2 )W (k ) + k 2, E (k ) E (k ) S (k ) = A2 A3 + ( A1 A2 ) k 2, V (k ) = 1 +, W (k ) = 1.

K (k ) K (k ) Здесь N * определяется согласно (2.3.2), K ( k ) и E ( k ) полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно [308].

Согласно первому уравнению (3.1.5) кинетический момент спутника оста ется постоянным и равен G0. Дифференцируя выражение для k 2 (1.3.6) и используя уравнение для кинетической энергии системы (3.1.5), получим дифференциальное уравнение, которое не зависит от других переменных [134, 138, 277, 278] (см. также 2.1.7) dk 2 E (k ) = (1 )(1 k 2 ) [(1 ) + (1 + )k 2 ], d K (k ) 3 A2 [( A12 + A32 ) A2 ( A1 + A3 )] =, (3.1.6) ( A1 A3 )[ A2 ( A1 + A3 A2 ) + 2 A1 A3 ] = (t t* ) / N, 3 A12 A2 A ~ 1.

N= PG0 ( A1 A3 )[ A2 ( A1 + A3 A2 ) + 2 A1 A3 ] Здесь t постоянная. Значению k 2 = 1 отвечает равенство * 2TA2 = G 2, что соответствует сепаратрисе для движения Эйлера Пуансо.

Уравнение (3.1.6) описывает усредненное движение конца вектора кине тического момента G на сфере постоянного радиуса G0. Анализ уравне ний (3.1.6) свидетельствует об отсутствии стационарных значений k, кроме k = 0 и k = 1.

Из уравнений движения (3.1.6) следует, что под влиянием момента сил вязкой жидкости в полости происходит эволюция кинетической энер гии тела T. Изменения углов, зависят как от действия силы грави тационного притяжения, так и от действия момента сил вязкой жидкости в полости. Выражение, стоящее в фигурных скобках правой части уравнения (3.1.5) для T, положительно (при A1 A2 A3 ), так как справедливы не равенства (1 k 2 ) K E K [308]. Поэтому dT / dt 0 поскольку T 0, т.е. переменная T строго убывает для любых k 2 [0,1].

2. Численный анализ уравнений движения.

Рассмотрим систему, состоящую из четвертого уравнения систе мы (3.1.5) и уравнения (3.1.6). Проведем обезразмеривание уравнения для кинетической энергии, считая характерными величинами задачи N (3.1.6) и момент инерции A1. Имеем для приведенной кинетической энергии T 2T 2 ( A1 A2 )( A2 A3 ) dT = A1 A2 ( A1 + A3 A2 ) + 2 A1 A3 S 2 (k ) d { A2 ( A1 A3 )( A1 + A3 A2 ) k 2V (k ) W (k ) + (3.1.7) + A1 ( A2 A3 )( A3 + A2 A1 ) (k 2 2)W (k ) + k 2 + } + A3 ( A1 A2 )( A1 + A2 A3 ) (1 2k 2 )W (k ) + k 2, 2AT, определяется согласно (3.1.6). Это равенство выполняе где T = G тся при 0, т.е. для 2TA1 G 2 2TA2.

Проведен численный расчет при значениях моментов инерции A1 = 8, A2 = 5,6,7, A3 = 4 ;

k 2 (0) = 0.99999, G (0) = 1.Начальное значе ние кинетической энергии находилось из равенства G02 S (k0 ) T (0) =, (3.1.8) 2 R ( k0 ) Здесь k0 = k (0), S ( k0 ) = A2 A3 + ( A1 A2 ) k0, R (k0 ) A1 ( A2 A3 ) + A3 ( A1 A2 )k02.

= В безразмерном виде имеем A S (k ) T (0) = 1 0.

R ( k0 ) Рассмотрен также случай 0, соответствующий соотношению 2TA2 G 2 2TA3. Уравнение (3.1.7) принимает вид 2T 2 ( A1 A2 )( A2 A3 ) dT = d A3 A2 ( A1 + A3 A2 ) + 2 A1 A3 S 2 (k ) { A2 ( A1 A3 )( A1 + A3 A2 ) k 2V (k ) W (k ) + + A1 ( A2 A3 )( A3 + A2 A1 ) (k 2 2)W (k ) + k 2 + } + A3 ( A1 A2 )( A1 + A2 A3 ) (1 2k 2 )W (k ) + k с начальным условием A S (k ) T (0) = 3 0.

R ( k0 ) В этом случае численный расчет проводился для значений момен тов инерции A1 = 4, A2 = 5,6,7, A3 = 8. Графики изменения кинетичес кой энергии имеют вид, представленный на рис. 21.

Рис. Кривые 1, 2, 3 соответствуют различным значениям A2 = 5,6,7.

Значение T = 2 соответствует вращению вокруг оси наименьшего момен та инерции Oz3 (неустойчивое движение), T = 1 вращению вокруг оси наибольшего момента инерции Oz1 (устойчивое движение). При = (переход через сепаратрису) кривые имеют горизонтальную касательную (точки перегиба).

Рассмотрим систему, состоящую из уравнений для и систе мы (3.1.5) и уравнения (1.2.12). Их можно записать следующим образом:

0 (,, ), 0 (,, ), = = 2 (1 + e cos ) 2, h(e) (1 e 2 )3/ 2.

= = h (e) Здесь, коэффициенты в правых частях второго и третьего уравнений (3.1.5),, медленные переменные, а полумедленная.

Получена система специального вида, для решения которой при меняется модифицированный метод усреднения [309] (см. также §4 гл.1).

После усреднения получим.. 3 2 N * cos = 0, = 0. (3.1.9) 4G0 h(e) Видно, что угол отклонения вектора кинетического момента от вертикали остается постоянным в указанном приближении. Для численно го расчета угла необходимо провести обезразмеривание второго урав нения системы (3.1.9). Имеем для 0 :

d N cos N * =,N =, d h (e) A 90 A13 A2 A 2 =, (3.1.10) 4G P ( A1 A3 ) [ A2 ( A1 + A3 A2 ) + 2 A1 A3 ] K (k ) E (k ) ( ) N * = A2 + A3 2 A1 + 3 T 1 A3 + ( A2 A3 ) K (k )k, для 0 :

d N cos * N, = N=, d h (e) A 90 A12 A2 A 2 =, 4G0 P ( A1 A3 ) [ A2 ( A1 + A3 A2 ) + 2 A1 A3 ] A K (k ) E (k ) N * = A2 + A3 2 A1 + 3 1 T 1 A3 + ( A2 A3 ) K (k )k.

A Здесь P введено в (2.2.2).

Проводился численный расчет системы (3.1.10) в безразмерном виде при начальных условиях для углов (0) = 0.785 рад, (0) = 0. рад и для значений коэффициента =10, 1, 0.1, 0.01. Во всех расчетных случаях функция имеет один и тот же вид, отличаясь только диапазоном принимаемых значений. На рис. 22 приведен график функции = ( ) при =1 и моменте инерции A2 = 5 для круговой орбиты.

Рис. 22 Рис. [ 0,1] (рис. 23), то видно, что Если рассмотреть промежуток функция = ( ) не является монотонной при 0, а при монотонно возрастающая. Для малых моментов времени [ 5,3] фун кция зависит криволинейно, а для больших моментов времени близка к прямой линии. Из уравнения (3.1.10) видно, что приращение функции = ( ) зависит от непостоянной величины N, которая зависит от фун кций k 2 = k 2 ( ), полных эллиптических интегралов K ( k ) и E ( k ), а та кже кинетической энергии T = T ( ). Согласно результатам численного расчета, представленного на рис. 21, при больших значениях безразмерно го времени кинетическая энергия стремится к асимптотическим значе K (k ) E (k ). При 0 име ниям, при этом k 2 0, а отношение K (k )k 2 ем, что T 1, следовательно, N ( A2 + A3 2 A1 ) / A1.Аналогично при 0, следует, что при больших по модулю, закон изменения функции = ( ) аппроксимируется линейной функцией. При 0 кинетичес кая энергия является функцией убывающей, поэтому величина N знако переменна, что приводит к немонотонности функции = ( ).

Согласно численному расчету было получено, что для несиммет ричного спутника с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью, движущегося под действием момента сил гравитационного притяжения вектор кинетического момента G остается величиной постоянной, напра вленной под постоянным углом к вертикали плоскости орбиты. При этом конец вектора G движется по сфере радиуса G0, сначала против хо да часовой стрелки, за счет имеющейся начальной кинетической энергии, а затем по ходу часовой стрелки, при этом кинетическая энергия убывает до значения 1, что соответствует устойчивому движению спутника вокруг оси Oz1 (при положительных моментах времени).

3. Исследование вращательного движения спутника в окрест ности оси наибольшего момента инерции.

Рассмотрим движение тела при малых k 2 1, отвечающим дви жениям твердого тела, близким к вращениям вокруг оси Oz1. В этом слу чае правую часть уравнения (3.1.6) можно упростить, используя разложе ния полных эллиптических интегралов в ряды по k 2 [308]. Тогда уравне ние (3.1.6) интегрируется и асимптотическое решение записывается в виде (3 + ) при 0, (3.1.11) = C1 exp k (3 ) при 0, k 2 = C1 exp C1 = const, 0 C1 1.

Изменение кинетической энергии можно качественно получить, следуя работе [134], простым пересчетом из соотношения (1.3.6), исполь зуя найденное решение для малых k 2 (3.1.11). Имеем (3 + ) G 2 G 2 ( A1 A3 )( A1 A ) при 0, (3.1.12) T = 2 C1 exp + 2 A1 ( A2 A3 ) 2 A1 (3 ) G 2 G 2 ( A3 A1 )( A3 A2 ) при 0.

= + T C1 exp 2 A3 ( A2 A1 ) 2 A3 Для безразмерной величины кинетической энергии равенства (3.1.12) примут вид (3 + ) 1 + ( A1 A3 )( A1 A2 ) C при 0, T =exp (3.1.13) A1 ( A2 A3 ) A A ( A A )( A A2 ) C exp (3 ) при 0.

= 1 + 1 32 1 T A3 ( A2 A1 ) A3 Постоянная интегрирования C1 находится грубо из условия ра венства кинетической энергии при = 0 по формулам (3.1.13). Имеем A1 A3 ( A2 A3 )( A1 A2 ) C1 =. (3.1.14) A ( A1 A2 ) 2 + A12 ( A2 A3 ) Графики изменения безразмерной кинетической энергии в случае малых k 2 имеют вид, представленный на рис. 24. Кривые 1, 2, 3 получены для значений моментов инерции A1 = 4, A3 = 8 и A2 = 5,6,7 соответст венно. Как видно из рисунка, характер функции T = T ( ) тот же, что и для 0 k 2 1, а также асимптотические значения на положительных и отрицательных безразмерных моментах времени сохраняют свои величи ны. Движение стремится к вращению вокруг оси наибольшего момента инерции Oz1.

Рассмотрим дифференциальное уравнение изменения угла (3.1.10) для малых k 2 с учетом (3.1.11) и (3.1.12). Имеем A2 A3 (3 + ) d cos = + 2 + C1 exp, d (1 e 2 )3/ 2 A1 A 3( A A3 )( A1 A2 )( A2 + A3 ) = 1.

2 A12 ( A2 A3 ) После элементарного интегрирования для угла получается вы ражение вида cos A2 A3 (3 + ) = + C1 exp + C0, 2 3/ 3+ (1 e ) A1 A1 0 (1 e 2 )3/ 2 C = + C0.

cos 3+ На рис. 25 приведен график изменения функции = ( ) для малых k 2. Видно, что характер функции совпадает с характером измене ния угла для 0 k 2 1, приведенным на рис. 23. При расчете принято то же начальное значение угла, а также величин центральных моментов инерции, угла, кинетического момента G и коэффициента. Однако ввиду малости модуля эллиптических функций k 2, график изменения = ( ) имеет меньшие градиенты.

Рис.24 Рис. 4. Пример 7. Движение динамически симметричного спутника.

Рассмотрим движение динамически симметричного спутника с полостью, целиком заполненной сильно вязкой однородной жидкостью, относительно центра масс с учетом момента гравитационных сил. Для ре шения задачи введем три декартовые системы координат, следуя §1 гла вы 1. Положение вектора кинетического момента G относительно его центра масс в системе координат Oxi (i = 1, 2,3) определяются углами и, как показано на рис. 1.

Уравнения движения тела относительно центра масс запишем в форме (2.3.11). Центр масс спутника движется по кеплеровскому эллипсу с эксцентриситетом e и периодом обращения Q. Зависимость истинной аномалии от времени t дается соотношением (1.2.12).

Рассматривается динамически симметричный спутник в предпо ложении, что угловая скорость движения спутника относительно центра масс существенно больше угловой скорости орбитального движе ния 0, т.е.

= 0 / ~ A10 / G 1.

Движение спутника рассматривается при A1 = A2, моменты инер ции для определенности удовлетворяют неравенству A1 A3. Проекции L момента приложенных сил складываются из гравитационного момента i g L, представленного формулой (3.1.1) и момента сил вязкой жидкости в i p полости L. Для динамически симметричного спутника момент сил вяз i кой жидкости в полости записывается следующим образом P ( A1 A3 ) (1) 30 (1 + e cos ) (1) ( A1D + S ) = 1, 2,3), = B + p (1) (i L (1 e2 ) i A1 i A3 r 2 p *, = i 2, = 1 2, B = (1) A3 r q (3.1.15) rA1 ( p 2 + q 2 ) i 31 33 r * ( F1(1) p 1 + M 1(1) p 2 ) D(1) = 33 r + * ( F2(1) p 1 + M 2 p 2 ), 32 (1) 31 33 33 + 1 33 + 2 F = 32 33 33 + 3 33 + 2 31, (1) 33 32 + 32 33 33 323 33 31rA 2 M = 33 31 + 31 33 33 313, 33 32 rA = (1) (1) S, A ( q + p ) 0 33 1 32 3i =11i + 2 2i + 3 3i ( i =1, 2,3), = p 31 + q 32, = p 32 q 31, p 1 p 1 =1 + 122, 2 =1 + 132, 3 =1 + 112.

22 Величины i (i = 1, 2,3) введены в (3.1.1).

Предполагается, что в полости находится жидкость большой вяз кости, т.е. 1 ( 1 ~ ). С учетом сделанных предположений видно, что слагаемое с коэффициентом 0 в формуле проекции момента сил вяз кой жидкости в полости (3.1.15) имеет порядок 2, а значит с точностью до малых первого порядка малости ( P ~ ) проекции момента сил вязкой жидкости в полости на оси Oyi (i = 1, 2,3) имеют вид:

P ( A1 A3 ) } {r A3 ( pi1 + q i 2 ) A1r ( p 2 q 2 )i3.

=Lip (3.1.16) A Для невозмущенного движения Эйлера Пуансо (при = 0 ), ко гда эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения,, являются линейными функциями, а угол величина постоянная [305, 320]. Вели чины G,,, в невозмущенном движении обращаются в постоян ные. Для возмущенного движения углы, являются быстрыми пере менными, а переменные G,,,, медленными. Поэтому прово дим усреднение системы уравнений для медленных переменных G,,,, по быстрым переменным: сначала по, а затем по. После усре днения по и имеем:

d PG dG = = 13 ( A1 A3 )sin cos, 0, (3.1.17) dt A1 A dt 3 2 (1 + e cos ) d 3 sin( ) cos( )sin ( A1 A3 ) 1 sin 2, = G (1 e 2 ) 2 dt d 30 (1 + e cos ) 3 cos 2 ( ) cos ( A1 A3 ) 1 sin 2.

= G (1 e ) dt Согласно первому уравнению (3.1.17) величина кинетического момента спутника остается постоянной и равна G0, как и в случае несим метричного спутника (3.1.5).

Интегрируя второе уравнение системы (3.1.17) для угла нутации, получим:

PG 2 = tg 0 exp 13 0 ( A1 A3 )t.

tg (3.1.18) A1 A3 Здесь 0 начальное значение угла нутации. Коэффициент в квад ратных скобках есть величина положительная, так как задача рассматрива ется в предположении A1 A3. При различных начальных значениях угла график функции угла нутации = (t ) стремится к асимптотическому значению / 2, что видно на рис. 26. Кривая 1 соответствует начальному значению = / 3, кривая 2 – начальному значению / 4 и кривая /6.

Характер поведения функции = (t ) совпадает с описанным при исследовании формулы (2.1.20), но асимптотические значения опреде ляются знаком выражения A1 A3.

Рис. Рассмотрим два последних уравнения системы (3.1.17) и уравне ние для истинной аномалии (1.2.12) 0 (,, ), 0 (,, ), = = 2 (1 + e cos ) 2, h(e) (1 e 2 )3/ 2.

= = (3.1.19) h (e) Здесь, коэффициенты в правых частях последних двух уравнений (3.1.17),, медленные переменные, а полумедленная.

Применяя модифицированный метод усреднения [309], имеем 30 N cos..

= 0, =, (3.1.20) 2Gh(e) N =A1 A3 )(1 sin 2 ).

( Видно, что угол отклонения вектора кинетического момента G от вертикали остается постоянным в указанном приближении, как и в случае несимметричного спутника.

Второе дифференциальное уравнение системы (3.1.20) совпадает с уравнением изменения угла ориентации вектора кинетического момента (2.3.13) в примере 6. В этом примере приведен подробный анализ данного уравнения.

Проинтегрируем уравнение для угла (3.1.20) и, учитывая закон изменения угла нутации (3.1.18), имеем 30 cos ( A1 A3 ) ( ) ln 1 + tg 2 0 ln 1 + tg 2 0 exp( t ) + 0, = t + 2G (1 e )2 3/ 2 PG = ( A1 A3 ).

(3.1.21) A13 A На рис. 27 представлен график изменения угла для различных начальных значений угла. Кривая 1 соответствует начальному значе нию = / 3, кривая 2 – начальному значению / 4 и кривая 3 / 6.

Видно, что характер кривых 2 и 3 совпадает, а кривая 1 является монотон ной.

Рис. Анализ второго уравнения системы (3.1.20) для угла показыва ет, что правая часть уравнения является знакопеременной функцией и за 3 sin. При значениях угла 0;

* висит от знака выражения 1 это выражение является положительным, где критическое значение * 0.955 рад. Поэтому функция угла имеет промежутки возрастания и убывания.

Таким образом, при движении динамически симметричного спут ника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием гравита ционного момента величина вектора кинетического момента G остается постоянной, при этом вектор кинетического момента G направлен под по стоянным углом к вертикали плоскости орбиты. При начальных значе ниях угла нутации 0;

* конец вектора G движется по сфере радиу са G0 сначала против хода часовой стрелки, а затем по ходу часовой стре лки. При начальных значениях угла нутации * конец вектора G движется по сфере радиуса G0 по ходу часовой стрелки.

§2. Вращения спутника с полостью, заполненной вязкой жид костью, с учетом момента сил светового давления от Солнца.

1. Постановка задачи.

Рассмотрим движение спутника Солнца относительно центра масс под действием момента сил светового давления. Тело содержит полость, целиком заполненную сильно вязкой однородной жидкостью. Введем три правых декартовых системы координат, начало которых совместим с центром инерции спутника. Система координат Ox1 x2 x3 движется посту пательно вместе с центром инерции: ось Ox1 параллельна радиус-вектору перигелия орбиты, ось Ox2 параллельна вектору скорости центра масс спутника в перигелии, ось Ox3 нормали к плоскости орбиты. Системы координат Oyi (i = 1, 2,3) и Ozi (i = 1, 2,3) введены согласно §1 главы 1.

Положение вектора кинетического момента G относительно его центра масс в системе координат Oxi определяется углами и, как показано на рис. 1.

Уравнения движения тела относительно центра масс записывают ся в форме (2.1.1). Центр масс спутника движется по кеплеровскому элли псу с эксцентриситетом e и периодом обращения Q. Зависимость истин ной аномалии от времени t дается соотношением (1.2.12).

При исследовании движения спутника наряду с переменной используется в качестве дополнительной переменной кинетическая энер гия T, производная которой имеет вид (2.1.2).

Проекции Li момента приложенных сил складываются из момен та сил светового давления Li c и момента сил вязкой жидкости в полости Li p.

В данной постановке задачи пренебрегаем моментом гравитаци онных сил. Соотношения между характерными величинами моментов гра витационных сил и моментов сил светового давления приведены в [25].

Допустим, что поверхность космического аппарата представляет собой поверхность вращения, причем единичный орт оси симметрии k направлен вдоль оси Oz3. Как показано в [25, 114], в этом случае для мо мента сил светового давления, действующего на спутник, имеет место фо рмула ( a ( ) R / R 2 ) er k, =Lc c s R02 E R ac ( s ) = pc S ( s ) Z 0 ( s ), pc = 0 0.

' (3.2.1) R2 cR Здесь e r единичный вектор по направлению радиус-вектора ор биты;

s угол между направлениями e r и k так, что e r k = s ;

R sin текущее расстояние от центра Солнца до центра масс спутника;

R0 фи ксированное значение R, например, в начальный момент времени;

ac ( s ) коэффициент момента сил светового давления, определяемый свойства ми поверхности;

S площадь «тени» на плоскости, нормальной к потоку;

Z 0 расстояние от центра масс до центра давления;

pc величина свето ' вого давления на расстоянии R от центра Солнца;

c скорость света;

E величина потока энергии светового давления на расстоянии R0 от центра Солнца.

Полагаем согласно [25], что в силу симметрии соответствующая функция имеет вид ac = ac (cos s ) и аппроксимируем ее полиномами по степеням cos s. Представим функцию ac (cos s ) в виде ac = 1 cos s + a0 + a Рассмотрим второй член разложения ac (cos s ) = a1 cos s в предположе нии, что a1 ~.

Проекции момента сил вязкой жидкости в полости Li p на оси Oyi (i = 1, 2,3) записываются следующим образом P a (cos s ) R02 (2) Lip = B + c D (i = (3.2.2) 1, 2,3), A1 A2 A3 R i p B = q, B = B2, = i 2, * =, 1 r B 3 i A3 { ( A1 + A3 ) 31r + * ( ( 31 33 + 1 ) p 1 + 32 33 p 2 )} D= A3 {( A2 + A3 ) 32 r + * ( ( 32 33 + 3 ) p 1 + 31 33 p 2 )}, (2) q 32 A2 ( A1 A2 A3 ) + p 31 A1 ( A1 A2 + A3 ) 3i =11i + 2 2i + 3 3i ( i =1, 2,3), = p 31 + q 32, = p 32 q 31, p 1 p 1 =1 + 122, 2 =1 + 132, 3 =1 + 112, 22 = 2 A2 ( A1 A2 )( A2 A3 + A1 ) + 32 A3 ( A1 A3 )( A3 A2 + A1 ) i1, B1 2 B2, B3 имеют аналогичный вид и получаются ротацией индексов (сдви гом).

Величины i (i = 1, 2,3) введены в (3.1.1), ij направляющие ко синусы между системами координат Oyi (i = 1, 2,3) и Ozi (i = 1, 2,3), p, q, r проекции на оси Ozi (i = 1, 2,3) соответственно вектора абсолют ной угловой скорости спутника относительно системы координат Ox1 x2 x3. Скалярная величина P определяет тензор, зависящий только от формы полости, который характеризует диссипативный момент сил в ква зистатическом приближении. Эта величина определяется согласно форму ле (3.1.3). В задаче предполагается, что в полости находится жидкость бо льшой вязкости, т.е. 1 ( 1 ~ 2 ), а форма полости сферическая.

Рассматривается динамически несимметричный спутник, моменты инерции которого для определенности удовлетворяют неравенству A1 A2 A3, в предположении, что угловая скорость движения спут ника относительно центра масс существенно больше угловой скорости ор битального движения 0, т.е. = 0 / ~ A10 / G 1. В этом случае кинетическая энергия вращения тела велика по сравнению с моментами возмущающих сил.

С учетом рассмотренных выше предположений видно, что второе слагаемое (с коэффициентом ac ( cos s ) ) в формуле проекции момента сил вязкой жидкости в полости (3.2.2) имеет порядок 3, а значит с точно стью до малых второго порядка малости ( P ~ 2 ) проекции момента сил вязкой жидкости в полости имеют вид:

P = Lip (3.2.3) A1 A2 A { p q 2 A2 ( A1 A2 )( A2 A3 + A1 ) + r 2 A3 ( A1 A3 )( A3 A2 + A1 ) i1 + + q r 2 A3 ( A2 A3 )( A3 A1 + A2 ) + p 2 A1 ( A1 A2 )( A3 A1 A2 ) i 2 + } + r p 2 A1 ( A3 A1 )( A1 A2 + A3 ) + q 2 A2 ( A3 A2 )( A2 A1 + A3 ) i 3.

( i = 1, 2,3) Полученные выражения совпадают с (3.1.4), в котором P ~.

Ставится задача исследования эволюции вращений спутника на асимптотически большом интервале времени t ~ 2, на котором проис ходит существенное изменение параметров движения.

2. Модифицированная процедура метода усреднения.

Для исследования системы (2.1.1), (2.1.2), (1.2.12) с учетом (3.2.1), (3.2.3) при малом на промежутке времени t ~ 2 будем применять мо дифицированную схему метода усреднения [17, 26, 309]. Рассмотрим нево змущенное движение ( = 0), когда моменты приложенных сил равны ну лю. В этом случае вращение твердого тела является движением Эйлера Пуансо. Величины G,,, T, обращаются в постоянные, а,, – некоторые функции времени t [305, 320]. Медленными переменными в возмущенном движении будут G,,, T,, а быстрыми – углы Эй лера,,.

Рассмотрим движение при условии 2TA1 G 2 2TA2, соответст вующем траекториям вектора кинетического момента, охватывающим ось Oz1, соответствующую наибольшему моменту инерции A1. Для исследо вания движения введем величину, представляющую собой в невозмущен ном движении постоянную модуль эллиптических функций, описываю щих это движение, согласно (1.3.6).

Для построения усредненной системы первого приближения подс тавим решение невозмущенного движения Эйлера Пуансо в правые час ти уравнений движения и проведем усреднение по переменной, а затем по времени t с учетом зависимости, от t по схеме, предложенной в [26] для нерезонансных случаев. При этом для медленных переменных G,,, T, сохраняются прежние обозначения. В результате получим d a1 R02 ( 2GR 2 ) H sin sin 2( dG = ), =0, dt dt d a1 R02 ( GR 2 ) H cos cos =( ), dt 4 PT 2 ( A1 A3 )( A1 A2 )( A2 A ) dT = 1 (3.2.4) 3 A12 A2 A32 S 2 (k ) dt { A2 ( A1 A3 )( A1 + A3 A2 ) k 2V (k ) W (k ) + + A1 ( A2 A3 )( A3 + A2 A1 ) (k 2 2)W (k ) + k 2 + } + A3 ( A1 A2 )( A1 + A2 A3 ) (1 2k 2 )W (k ) + k 2, 1 2 E (k ) 3b K ( k ) 1 при 2TA2 G 0, = H 2 1 3b 2 2 2 k W (k ) 1 при 2TA2 G 0, = H 2 k A3 ( A1 A2 ) 2T 1 A2 A +h, =,= b2 = h, A1 ( A2 A3 ) A2 A2 A 1+ G E (k ) E (k ) S (k ) = A2 A3 + ( A1 A2 ) k 2, V (k ) = 1 +, W (k ) = 1.

K (k ) K (k ) Здесь K ( k ) и E ( k ) полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно [308]. Согласно первому уравнению (3.2.4) кинетический момент спутника остается постоянным и равен G0. Диффе ренцируя выражение для k 2 (1.3.6) и используя уравнения для кинетичес кой энергии (3.2.4), получим дифференциальное уравнение (3.1.6), которое не зависит от других переменных (см. также [134, 138, 277, 278]). Совпа дение уравнений для модуля эллиптических функций объясняется тем, что на эволюцию кинетической энергии спутника оказывает влияние только момент сил вязкой жидкости в полости.

Из уравнений движения (3.2.4) следует, что изменения углов, зависят как от действия момента сил светового давления, так и от дейс твия момента сил вязкой жидкости в полости. Выражение, стоящее в фи гурных скобках правой части уравнения (3.2.4) для T положительно (при A1 A2 A3 ), так как справедливы неравенства (1 k 2 ) K E K. Поэ тому dT / dt 0 поскольку T 0, т.е. переменная T строго убывает для любых k 2 [0,1].

Уравнение для кинетической энергии системы (3.2.4) совпадает с соответствующим уравнением в (3.1.5). Было показано, что под влиянием момента сил вязкой жидкости в полости происходит эволюция кинетичес кой энергии тела T в пределах от вращения вокруг оси Oz3, соответст вующей наименьшему моменту инерции A3 (неустойчивое движение) до вращения вокруг оси Oz1, соответствующей наибольшему моменту инер ции A1 (устойчивое движение). Анализ эволюции кинетической энергии спутника подробно проведен в §1 данной главы.

3. Ориентация вектора кинетического момента.

Рассмотрим систему, состоящую из уравнений для и систе l мы (3.2.4). Как известно R =, а фокальный параметр орбиты 1 + e cos 1/3 (1 e 2 ). Здесь гравитационная по определяется равенством l0 = 02/ стоянная. Тогда первые два уравнения (3.2.4) примут вид:

a1 R020 (1 + e cos ) d 4/ = ), H sin sin 2( (3.2.5) 2G 2/3 (1 e 2 ) dt a R 2 4/3 (1 + e cos ) d =( ). H cos cos 1 0 0 2/ G (1 e 2 ) dt Проведем обезразмеривание уравнения изменения кинетического момента (3.2.4), уравнений для истинной аномалии (1.2.12), модуля эллип тических функций k 2 (3.1.6), а также уравнений системы (3.2.5). Характе рными параметрами задачи являются G0 кинетический момент спутника при t = 0, 0 величина угловой скорости движения спутника относи тельно центра масс в начальный момент времени. Безразмерные величины A Li G определяются формулами t = 0 t, G =, Ai = i 0, Li =, G0 G0 G P T, 2 P = 1 0 (i = 1, 2,3).

T= G0 G Введем обозначение a R 1 = 1 2/3 0 (3.2.6) G0 0 2/ и назовем эту величину приведенным коэффициентом момента сил свето вого давления.

После обезразмеривания имеем систему уравнений движения ви да:

H (1 + e cos ) d = ), 2 1 sin sin 2( dt 2G (1 e 2 ) H (1 + e cos ) d =( ), 2 1 cos cos (1 e 2 ) dt G d (1 + e cos ) 2 dG = =0,, (3.2.7) dt dt (1 e 2 )3/ 1 E (k ) dk = 2 (1 ) (1 k 2 ) (1 ) + (1 + ) k, N K (k ) dt 3 A12 A2 A N=, P ( A1 A3 )[ A2 ( A1 + A3 A2 ) + 2 A1 A3 ] 1 3b 2 E (k ) 1 при 2TA2 G 0, = 2 K (k ) H 1 3b k 2 W (k ) 1 при 2TA G 2 0, = 2 H 2 k ( ) A A 2T 1 A A +h, = 3 A = 2 2 3.

b2 =,h ( ) 1+ A2 A2 A A1 A2 A3 G Кинетическая энергия T находится из соотношения (1.3.6) в без размерном виде:

( ) G S (k ), S (k ) = A2 A3 + k 2 A1 A2, T= R(k ) ( ) ( ) = R(k ) A1 A2 A3 + A3 A1 A2 k 2.

Первые три уравнения для, и системы (3.2.7) можно за писать следующим образом:

d d = 2 (,, ), = 2 (,, ), (3.2.8) dt dt d (1 + e cos ) =, h(e) (1 e 2 )3/ 2.

= dt h (e) Здесь, коэффициенты в правых частях первого и второго уравнений (3.2.7),, медленные переменные, а полумедленная.

Получена система специального вида, для решения которой применяется модифицированный метод усреднения [309] (см. также §4 главы 1). После усреднения получим H cos d d = 2 =0,. (3.2.9) 2G (1 e 2 )1/ dt dt Интегрирование системы проводилось для медленного времени =. Численный расчет проводился при начальных условиях G (0) = ;

k 2 (0) = 0.99 ;

(0) = 0.785 рад ;

(0) = 0.785 рад;

P (0) = 10. Для без размерного времени имеем следующую картину, представленную на рис.28. Кривые 1, 2, 3 соответствуют различным значениям A2 = 5,6, для постоянных значений A = 8, A = 4. Из рис. 28 видно, что характер 1 изменения угла носит почти линейный характер и с увеличением значе ния момента инерции A2 функция увеличивается быстрее.

Согласно численному расчету показано, что для несимметричного спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, и движущегося под действием момента сил светового давления, вектор кинетического момен та G остается величиной постоянной, направленной под постоянным углом к вертикали плоскости орбиты. При этом конец вектора G дви жется по сфере радиуса G0 против хода часовой стрелки и кинетическая энергия убывает до значения 1, соответствующего устойчивому движению спутника вокруг оси наибольшего момента инерции Oz1.

Рис. 3. Предельный случай вращения, близкого к осевому.

Рассмотрим движение тела при малых k 2 1, отвечающих дви жениям твердого тела, близким к вращениям вокруг оси Oz1. Так как ура внение изменения модуля эллиптических функций имеет вид (3.1.6), то асимптотическое решение записывается согласно формуле (3.1.11). Таким образом, при движении спутника с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью, вокруг оси Oz1, соответствующей наибольшему моменту инерции A1, как под действием гравитационного момента, так и под дейс твием момента сил светового давления закон изменения кинетической энергии описывается одинаковыми формулами (3.1.12), (3.1.13). Графики изменения безразмерной кинетической энергии для малых k 2 представле ны на рис. 24.

Асимптотическое выражение модуля эллиптических функций мо жно представить в виде функции безразмерного времени = k02 exp [ u ], k ( ) ( ) P A1 A2 A1 A2 + A1 A3 A1 A3 + A2 A3. (3.2.10) = u A A2 A32 Рассмотрим дифференциальное уравнение (3.2.9) для угла в безразмерном времени для малых k 2 с учетом (3.2.10). В правую часть уравнения входит известная переменная величина H. При 2TA G функция H ( ) с учетом малых второго порядка имеет вид:

1 3 A3 ( A1 A2 ) k 2 exp [ u ] 1.

= H (3.2.11) 2 2 A1 ( A2 A3 ) Ясно, что H 0.5 при. Подставляем полученное выра жение для H в уравнение изменения угла, интегрируем и находим 3 A ( A1 A2 )1k02 cos 1 cos ( exp [ u ] 1) + 4(1 e2 )1/ 2, = 0 + 3 8uA1 ( A2 A3 )(1 e 2 )1/ где константы 0, k0 определяются из начальных условий. График дан ной функции = ( ) при k 2 1 имеет вид, представленный на рис. 29.

Кривые 1, 2, 3 соответствуют различным значениям A = 5,6,7, при пос тоянных значениях A1 = 8, A3 = 4 и при начальном значении угла (0) = 0.785.рад. Как видно из рисунка, характер кривых аналогичен фу нкциям = ( ) при произвольных k 2.

Рис. 4. Пример 8. Вращательное движение динамически симметри чного спутника.

Рассмотрим движение динамически симметричного спутника ( A1 = A2 ), моменты инерции которого для определенности удовлетворяют неравенству A1 A3. Уравнения движения тела относительно центра масс запишем в форме (2.3.11). Проекции момента сил Li p вязкой жидкости в полости на оси Oyi (i = 1, 2,3) при A1 = A2 имеют вид:

P ac (cos S ) R02 (3) ( A1 A3 ) B + D (i= 1, 2,3), Lip = (1) 2 A1 R i A3 r 2 p *, = i 2, = 1 2, B = (1) A3 r q (3.2.12) rA1 ( p 2 + q 2 ) i 31 r ( A1 + A3 ) + * A1 ( p 1 ( 1 33 ) + 32 33 p 2 ) = 32 r ( A1 + A3 ) + A1 ( p 1 ( 3 33 ) + 31 33 p 2 ), (3) * D A1 ( p 31 q 32 ) 3i =11i + 2 2i + 3 3i ( i =1, 2,3), = p 31 + q 32, = p 32 q 31, p 1 p 1 =1 + 122, 2 =1 + 132, 3 =1 + 112.

22 Величины i (i = 1, 2,3) введены в (3.1.1).

Полагаем согласно [25] ac = ac ( cos s ) и аппроксимируем эту функцию полиномами по степеням cos. Представим ac ( cos s ) в виде s ac = 1 cos s +. Рассмотрим второй член представленного разло a0 + a жения, когда ac ( cos s ) = a1 cos s с учетом того, что a1.

Предполагается, что в полости находится жидкость большой вяз кости, поэтому скалярная величина P ~ 2. Из (3.2.12) видно, что второе слагаемое (с коэффициентом ac ( cos s ) ) имеет порядок 3, а значит с точностью до малых второго порядка малости ( P ~ 2 ) проекции момента сил вязкой жидкости в полости имеют вид p P (A A ) } = 1 1 2 3 {r 2 A3 ( p i1 + q i 2 ) A1r ( = 1, 2,3).

p 2 + q 2 ) i 3 ( i L i A (3.2.13) Для решения задачи применяется метод усреднения [17]. После усреднения по быстрым переменным, получим уравнения в безраз мерных величинах d dG =0, =2 2 ( A1 A3 )sin cos, (3.2.14) dt dt (1 + e cos ) d =1 sin 2 sin sin 2 ( ), 2 2 (1 e 2 ) dt (1 + e cos ) d =1 sin 2 cos cos 2 ( ).

2 (1 e ) 22 dt Здесь безразмерные величины определяются равенствами t = 0 t, A Ai = i 0, 2 =, где 0 угловая скорость движения спутника 0 a G относительно центра масс в начальный момент времени, a радиус поло сти (см. (2.2.2)).

Введены обозначения 1 согласно формуле (3.2.6) и P G 2 =. (3.2.15) a 2 A13 A Величина 2 имеет смысл приведенного коэффициента момента сил вязкой жидкости в полости.

Исследуем решение системы (3.2.14) при малом на промежутке времени = 2 t. Из первого уравнения системы (3.2.14) видно, что кине тический момент является постоянной величиной. Интегрируя второе ура внение системы (3.2.14) для угла нутации, получим tg tg 0 exp 2 ( A1 A3 ).

= (3.2.16) График функции = ( ) имеет вид, представленный на рис. 30.

Расчет проводился при начальном условии ( 0 ) = / 3 рад. Кривая 1 со ответствует случаю A1 A3 (спутник «сплюснутый» по оси инерции A3 ), а кривая 2 A1 A3 (спутник «вытянутый» по оси инерции A3 ).

Рис. Последние два уравнения (3.2.14) и уравнение (1.2.12) в безразме рном времени могут быть записаны в виде d d = 2 (,, ), = 2 (,, ), d d d ( ) (1 + e cos ), h ( e = 1 e2, ) 3/ = (3.2.17) d h ( e ) где, коэффициенты в правых частях последних двух уравнений (3.2.14). Из системы (3.2.16) видно, что, медленные переменные, а полумедленная.

Применяя модифицированный метод усреднения [309], получим:

cos d d =1 sin 2.

=0, ( ) d d 2 1/ 2 1 e Видно, что угол отклонения вектора кинетического момента G от вертикали остается постоянным в указанном приближении, как и в случае несимметричного спутника.

С учетом (3.2.16) находим аналитически закон изменения угла от времени :

3u1 1 + u3 exp(u2 ) =0 + u1 ln, 1 + u 2u 1 cos u2 = 2 ( A1 A3 ), u1 = u3 = tg 2 0.

, 2(1 e 2 )3/ График изменения функции = ( ) имеет вид, представленный ( 0 ) = / 3 рад на рис. 31, для случая начального значения угла нутации и при начальном значении угла = / 4 рад. Кривые построены при раз личных значениях параметра u2 = 0.5, 1, 1.5, 2. Из рисунка видно, что при значениях u2 1 на малых промежутках временах 2.5 гра фик функции имеет вид монотонно убывающей функции. При значениях u2 1 на малых промежутках времени функция = ( ) не является монотонной, при этом, чем меньше параметр u2, тем больше возрастает функция. При значениях времени 2.5 графики всех функций линейны и практически подобны.

Рис. 31 Рис. Для тех же значений параметра u2 построены графики изменения угла нутации = ( ) (рис. 32). Видно, что чем меньше параметр u2, тем быстрее угол 0, т.е. чем более «вытянутое» тело по оси Oz3, соот ветствующей моменту инерции A3, тем быстрее спутник стремится к по ложению устойчивого вращения вокруг этой оси.

Таким образом, при движении динамически симметричного спут ника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момента сил светового давления величина вектора кинетического момента G оста ется постоянной, направленной под постоянным углом к вертикали плоскости орбиты. Направление движения конца вектора G зависит от формы спутника. В случае «сплюснутого» спутника по оси Oz3, соответс твующей моменту инерции A3, конец вектора G движется по сфере ра диуса G0 против хода часовой стрелки. При этом, угол нутации стремится к предельному значению / 2 рад. Для динамически «вытянутого» по этой же оси спутника конец вектора G движется по сфере радиуса G сначала по ходу часовой стрелки, а затем против хода часовой стрелки и угол нутации стремится к нулю.


§3. Вращения спутника с полостью, заполненной жидкостью большой вязкости, под действием моментов сил гравитации и свето вого давления.

1. Постановка задачи.

Рассмотрим движение спутника (планеты) относительно центра масс под действием момента сил светового давления в гравитационном поле. Тело содержит полость, целиком заполненную сильно вязкой одно родной жидкостью (вязкое ядро). Вращательные движения рассматриваю тся в рамках модели квазитвердого тела, центр масс которого движется по заданной фиксированной эллиптической орбите вокруг Солнца [134].

Введем три декартовы системы координат согласно §2 данной главы. Положение вектора кинетического момента G относительно его центра масс в системе координат Oxi определяется углами и, как показано на рис.1.

Уравнения движения тела относительно центра масс записывают ся в форме (2.1.1).

Для удобства при исследовании движения спутника наряду с пе ременной используется в качестве дополнительной переменной кине тическая энергия T, производная которой имеет вид (2.1.2).

Центр масс спутника движется по кеплеровскому эллипсу с экс центриситетом e и периодом обращения Q. Зависимость истинной ано малии от времени t дается соотношением (1.2.12), при этом 2 (1 e 2 ) = =. (3.3.1) Q Здесь l0 фокальный параметр орбиты, 0 – угловая скорость орбитального движения, e – эксцентриситет орбиты, гравитационная постоянная.

Проекции Li момента приложенных сил складываются из момен та сил светового давления Lc, момента сил вязкой жидкости в полости Lip i и из гравитационного момента Lig.

Момент сил светового давления L, действующих на спутник, c определяется согласно (3.2.1). Проекции гравитационного момента Lig на оси Oyi (i = 1, 2,3) имеют вид (3.1.1).

Проекции момента сил сильно вязкой жидкости в полости Lip на оси Oyi (i = 1, 2,3) имеют вид [134]:

3µ P R B + ac ( cos s ) 2 C + 3 ( D + S ) ( i 1, 2,3), = = Lip A1 A2 A3 R R i p B = q, B = B2, = i 2, * =, (3.3.2) 1 r B 3 i A3 A2 * ( p 1 ( 31 33 221 + 122 ) + 32 33 p 2 ) r 31 ( A1 + A3 ) = A3 A1 ( p 1 (112 33 32 211 ) + 31 33 p 2 ) + r 32 ( A2 + A3 ), * C q 32 A2 ( A1 A2 A3 ) + p 31 A1 ( A1 A2 + A3 ) A A ( A A ){ r + ( F p + M p )} * 23 3 1 1 1 2 31 3{ 2 2 } A A ( A A ) r + * ( F p + M p ), =D 13 1 2 32 { } A A 2 2 r * F p + M p ( 3 1 3 2 ) 1 ) ( 32 31 ) ( 2 + + 33 32 + 32 33 33 1 33 2 2 31 33 = 32 33 33 + 3 33 + 2 31, M = 33 31 + 31 33 33 313, F 2 33 ( 32 31 + 31 32 ) ( 32 31 ) 33 + 3 32 + 1 31 33 rA3 ( A1 A2 A12 A2 A3 + A32 ) + 32 qA2 ( A1 A3 A12 A2 A3 + A22 ) = 32 31 pA1 ( A3 A2 A2 A1 A3 + A1 ) + 33 rA3 ( A1 A2 A2 A1 A3 + A3 ), 2 2 2 S qA ( A A A2 A A + A2 ) + pA ( A A A2 A A + A2 ) 33 32 2 1 3 3 12 2 31 1 23 3 3i =11i + 2 2i + 3 3i ( i =1, 2,3), = p 31 + q 32, = p 32 q 31, p 1 p 1 =1 + 122, 2 =1 + 132, 3 =1 + 112, 22 = 2 A2 ( A1 A2 )( A2 A3 + A1 ) + 32 A3 ( A1 A3 )( A3 A2 + A1 ) i1, B1 2 B2, B3 имеют аналогичный вид и получаются ротацией индексов (сдви гом).

Здесь i (i = 1, 2,3) введены в (3.1.1), ij направляющие косину сы между системами координат Oyi (i = 1, 2,3) и Ozi (i = 1, 2,3), p, q, r проекции на оси Ozi (i = 1, 2,3) вектора абсолютной угловой скорости спутника в системе координат Ox1 x2 x3.

Величина P определяет скалярный тензор, зависящий только от формы полости, который характеризует диссипативный момент сил в ква зистатическом приближении. Эта величина определяется согласно форму ле (3.1.3). В задаче предполагается, что в полости находится жидкость бо льшой вязкости, т.е. 1 ( 1 ~ 2 ), а форма полости сферическая.

С учетом введенных предположений видно, что второе слагаемое (с коэффициентом ac ( cos s ) ) в формуле проекции момента сил вязкой жидкости в полости (3.3.2) имеет порядок 3. Гравитационная постоянная пропорциональна квадрату угловой скорости орбитального движения 0, т.е. 2. Значит с точностью до величин второго порядка малости ( P 2 ) проекции момента сил вязкой жидкости в полости имеют вид:

{ p q A ( A A )( A P A3 + A1 ) + r 2 A3 ( A1 A3 )( A3 A2 + A1 ) i1 + =Lip 2 1 2 AA A1 2 + q r A3 ( A2 A3 )( A3 A1 + A2 ) + p 2 A1 ( A1 A2 )( A3 A1 A2 ) i 2 + (3.3.3) } + r p 2 A1 ( A3 A1 )( A1 A2 + A3 ) + q 2 A2 ( A3 A2 )( A2 A1 + A3 ) i 3 ( i = 1, 2,3).

Ставится задача исследования эволюции вращений спутника на асимптотически большом интервале времени t 2, на котором проис ходит существенное изменение параметров движения.

2. Модифицированная процедура усреднения.

Для решения задачи будем применять модифицированную схему метода усреднения [17, 26, 309]. Рассмотрим невозмущенное движение ( = 0), когда моменты приложенных сил равны нулю. В этом случае вращение твердого тела является движением ЭйлераПуансо. Величины G,,, T, обращаются в постоянные, а,, – некоторые фу нкции времени t [305, 320]. Медленными переменными в возмущенном движении будут G,,, T,, а быстрыми – углы Эйлера,,.

Рассмотрим движение при условии 2TA1 G 2 2TA2, соответст вующем траекториям вектора кинетического момента, охватывающим ось наибольшего момента инерции Oz1. Введем величину k 2 согласно (1.3.6), представляющую собой в невозмущенном движении постоянную модуль эллиптических функций, описывающих это движение.

Для построения усредненной системы первого приближения подс тавим решение невозмущенного движения Эйлера-Пуансо в правые части уравнений движения и проведем усреднение по переменной, а затем по времени t с учетом зависимости, от t по схеме, предложенной в [26] для нерезонансного случая. При этом для медленных переменных,, G, T сохраняются прежние обозначения. В результате получим dG =0, dt 3 (1 + e cos ) d = 1 R02 ( 2GR 2 ) H sin sin 2( ) 23 N *, a 2G (1 e ) dt 30 (1 + e cos ) d = 1 R0 ( GR ) H cos cos ( ) + 2 13 N *, a 2 2G (1 e ) sin dt 4 PT 2 ( A1 A3 )( A1 A2 )( A2 A ) dT = 3 (3.3.4) 3 A12 A2 A32 S 2 (k ) dt { A2 ( A1 A3 )( A1 + A3 A2 ) k 2V (k ) W (k ) + + A1 ( A2 A3 )( A3 + A2 A1 ) (k 2 2)W (k ) + k 2 + } + A3 ( A1 A2 )( A1 + A2 A3 ) (1 2k 2 )W (k ) + k 2, E (k ) E (k ) S (k ) = A2 A3 + ( A1 A2 )k 2, V (k ) = 1 +, W (k ) = 1, K (k ) K (k ) 1 2 E (k ) 1 при 2TA2 G 2 0, = 2 K (k ) H 3b 1 3b 2 2 2 k W (k ) 1 при 2TA2 G 0, = H 2 k A3 ( A1 A2 ) 2T 1 A2 A +h, =,= b2 = h, A1 ( A2 A3 ) A2 A2 A 1+ G K (k ) E (k ) 2AT N * = A2 + A3 2 A1 + 3 12 1 A3 + ( A2 A3 ) K (k )k.

G Здесь K ( k ) и E ( k ) полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно [308]. Согласно первому уравнению (3.3.4) кинетический момент спутника остается постоянным и равен G0. Диффе ренцируя выражение для k 2 (1.3.6) и используя уравнения для кинетичес кой энергии (3.3.4), получим дифференциальное уравнение (3.1.6), которое не зависит от других переменных (см. также [134, 138, 277, 278]). Совпа дение уравнений для модуля эллиптических функций объясняется тем, что на эволюцию кинетической энергии спутника оказывает влияние только момент сил вязкой жидкости в полости.

Уравнение для кинетической энергии системы (3.3.4) совпадает с соответствующими уравнениями (3.1.5) и (3.2.4). Было показано, что под влиянием момента сил вязкой жидкости в полости происходит эволюция кинетической энергии тела T в пределах от вращения вокруг оси Oz3, соответствующей наименьшему моменту инерции A3 (неустойчивое дви жение) до вращения вокруг оси Oz1, соответствующей наибольшему мо менту инерции A1 (устойчивое движение). Анализ эволюции кинетичес кой энергии спутника подробно проведен в §1 данной главы.

3. Ориентация вектора кинетического момента.

Рассмотрим систему, состоящую из уравнений для и систе мы (3.3.4). Как известно R l0 / (1 + e cos ), а фокальный параметр орби = ты определяется равенством l0 1/3 (1 e 2 ) / 0. Тогда первые два ура = 2/ внения (3.3.4) примут вид:

04/3 (1 + e cos ) 2 a1 R02 3(1 + e cos )02/ d H sin sin 2( ) + 23 N *, = 2G (1 e 2 ) 2 µ 2/3 1 e2 dt 2/3 (1 + e cos ) 04/3 (1 + e cos ) 2 a1 R02 d H cos cos 2 ( ) 0 13 N *.

= 2/ 2 (1 e ) sin µ G (1 e ) dt Проведем обезразмеривание уравнения изменения кинетического момента (3.3.4), уравнений для истинной аномалии (1.2.12), модуля эллип тических функций k 2 (3.1.6), а также уравнений системы (3.3.5). Характе рные параметры задачи выбираются согласно §2 данной главы.

После обезразмеривания имеем систему уравнений движения ви да:

(1 + e cos ) 2 3 (1 + e cos ) d 1 H sin sin 2( ) + 23 N *, = 2 (1 e 2 ) 2G (1 e 2 ) 2 dt (1 + e cos ) 3 (1 + e cos ) N * H cos cos2 ( ) d = 2, ( ) ( ) dt G 1 e 2 2 1 e sin 13 2 d (1 + e cos ) 2 dG = =0,, (3.3.6) dt dt (1 e ) 2 3/ 1 E (k ) dk = 2 (1 ) (1 k 2 ) (1 ) + (1 + ) k, N K (k ) dt 3 A12 A2 A N=, P ( A1 A3 )[ A2 ( A1 + A3 A2 ) + 2 A1 A3 ] 1 3b 2 E (k ) 1 при 2TA2 G 2 0, = 2 K (k ) H 1 3b k 2 W (k ) 1 при 2TA G 2 0, = H 2 k ( ) A A A 2T 1 A A +h, = 3 1 = 2 2 3, b2 =,h ( ) 1+ A2 A2 A A1 A2 A3 G 2 AT K (k ) E (k ), N * = A2 + A3 2 A1 + 3 12 1 A3 + ( A2 A3 ) K (k )k G 4 PT 2 ( A1 A3 )( A1 A2 )( A2 A ) dT 2 = 2 2 2 dt 3 A1 A2 A3 S (k ) { A2 ( A1 A3 )( A1 + A3 A2 ) k 2V (k ) W (k ) + + A1 ( A2 A3 )( A3 + A2 A1 ) (k 2 2)W (k ) + k 2 + } + A3 ( A1 A2 )( A1 + A2 A ) (1 2k 2 )W (k ) + k 2, 3 ( ) S (k ) = A2 A3 + A1 A2 k 2,где величина 1 введена согласно (3.2.6).

Первые три уравнения для, и системы (3.3.6) можно за писать следующим образом:

d d = 2 (,, ), = 2 (,, ), (3.3.7) dt dt d (1 + e cos ) =, h(e) (1 e 2 )3/ 2.

= dt h (e) Здесь, коэффициенты в правых частях первого и второго уравнений (3.3.6),, медленные переменные, а полумедленная.

Получена система специального вида, для решения которой применяется модифицированный метод усреднения [309] (см. также §4 главы 1). После усреднения получим 3N * 21 H cos d d = 2 =0, 2 1/ 2. (3.3.8) dt h(e) (1 e ) 4G dt Интегрирование системы проводилось для медленного времени = t. Численный расчет проводился при начальных условиях G (0) = 1 ;


k 2 (0) = 0.99 ;

(0) = 0.785 рад, (0) = 0.785 рад. Рассматривались ор биты с эксцентриситетом: e = 0 круговая орбита;

e = 0.421 сильно эл липтическая орбита. Для безразмерного времени имеем следующую ка ртину изменения угла ориентации вектора кинетического момента, пред ставленную на рис. 33. Кривая 1 соответствует круговой орбите, а кривая сильно вытянутой эллиптической.

Рис. 33 Рис. На рис. 34 представлены графики изменения этого же угла при ра зличных значениях моментов инерции спутника. Кривые 1, 2, 3 соответст вуют различным значениям A2 = 7,6,5 для постоянных значений A1 = 8, A3 = 4. Из рис. 34 видно, что характер изменения угла при близких значениях моментов инерции A и A близок к линейному. С уменьшени 1 ем значения момента инерции A2 кривизна функции увеличивается, при этом функция перестает быть монотонной.

Характер изменения угла имеет такой же вид, как и в задаче о движении спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью в грави тационном поле [289] (см. также §1 этой главы, рис. 22, 23).

В случае движения спутника с полостью, заполненной вязкой жи дкостью, под действием момента сил светового давления [290] характер изменения угла близок к линейному и с увеличением значения безраз мерного момента инерции A2 функция увеличивается быстрее (см. §2, рис. 28).

Можно также провести анализ изменения характера функции ( ) при различных значениях безразмерной величины P. Кривые 1, 2, на рис. 35 соответствуют различным значениям P (0) = 10,100,1000. Вид но, что характер изменения угла имеет почти линейный вид.

Рис. Согласно численному расчету показано, что для несимметричного спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, движущегося под действием момента сил светового давления в гравитационном поле вектор кинетического момента G остается величиной постоянной, направленной под постоянным углом к вертикали плоскости орбиты. При этом конец вектора G движется по сфере радиуса G0 по ходу часовой стрелки и ки нетическая энергия убывает до безразмерного значения 1, соответствую щего устойчивому движению спутника вокруг оси наибольшего момента инерции Oz1. Такое же направление движения конца вектора кинетичес кого момента характерно для задач о движении спутника с полостью под действием момента сил гравитационного притяжения [289] и момента сил светового давления [290] (см. §1, 2 данной главы).

4. Предельный случай вращения, близкого к осевому.

Рассмотрим движение тела при малых k 2 1, отвечающим дви жениям твердого тела, близким к вращениям вокруг оси Oz1.В этом слу чае правую часть уравнения (3.1.6) можно упростить, используя разложе ния полных эллиптических интегралов в ряды по k 2 [308]. Тогда уравне ние (3.1.6) интегрируется и асимптотическое решение записывается в виде (3.1.11).

Таким образом, при движении спутника с полостью, целиком за полненной вязкой жидкостью, вокруг оси Oz1, соответствующей наибо льшему моменту инерции A1, под действием гравитационного момента и момента сил светового давления закон изменения кинетической энергии описывается формулами (3.1.12), (3.1.13). Графики изменения безразмер ной кинетической энергии для малых k 2 представлены на рис. 24.

Асимптотическое выражение модуля эллиптических функций мо жно представить в виде функции безразмерного времени формулой (3.2.10).

Рассмотрим дифференциальное уравнение (3.3.8) для угла в для малых k 2 с учетом (3.2.10). В правую часть безразмерном времени уравнения входит непостоянная величина H. При 2TA2 G 0 функ ция H ( ) с учетом малых второго порядка имеет вид (3.2.11).

Асимптотическое выражение кинетической энергии можно пред ставить в виде функции по безразмерному времени 2 G + G ( A1 A3 )( A1 A ) T = 2 k02 exp [ u ].

2 2 A1 ( A2 A3 ) 2 A Подставляем полученное выражение H и T в уравнение измене ния угла, интегрируем и находим cos = (1 e 2 )1/ 4G 3( A1 A2 )k 3( A2 + A3 )( A1 A3 ) exp ( u ) 1 + 1 A3 1 e A1 ( A2 A3 )u 2( A + A3 2 A1 ) + 1 + 0, + 1 e где константы 0, k0 определяются из начальных условий. График дан ной функции = ( ) при k 2 1 имеет вид, представленный на рис. 36.

Рис. Кривые 1, 2, 3 соответствуют различным значениям A2 = 7,6,5, при постоянных значениях A1 = 8, A3 = 4 и при начальном значении угла (0) = 0.785 рад.Как видно из рисунка, характер кривых аналогичен фу нкциям = ( ) при произвольных k 2.

Изменение угла при малых k 2 имеет приблизительно тот же вид, что и в случае движения спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, в гравитационном поле [289]. При этом в рассматриваемом случае убывание угла ориентации происходит несколько быстрее (см. § данной главы, рис. 27).

При движении спутника с вязкой жидкостью в полости тела под действием момента сил светового давления [290] угол возрастает, как и в случае движения спутника под действием момента сил светового давле ния в сопротивляющейся среде [285].

5. Пример 9. Движение динамически симметричного спутника.

Рассмотрим движение динамически симметричного спутника ( A1 = A2 ), моменты инерции которого для определенности удовлетворяют неравенству A1 A3. Уравнения движения тела относительно центра масс запишем в форме (2.3.11). Проекции момента сил Li p вязкой жидкости в полости на оси Oyi (i = 1, 2,3) при A1 = A2 имеют вид (3.2.13).

Для решения задачи будем применять метод усреднения [17]. В случае невозмущенного движения Эйлера-Пуансо, когда эллипсоид инер ции является эллипсоидом вращения, углы, являются линейными функциями, а угол величина постоянная [305, 320]. Для возмущенного движения углы, являются быстрыми переменными, а угол мед ленной. Проводим усреднение системы уравнений для медленных пере менных G,,, по быстрым переменным: сначала по, а затем по.

После усреднения по быстрым переменным, имеем уравне ния в безразмерных величинах d dG =0, =2 2 ( A1 A3 )sin cos, (3.3.9) dt dt 3 (1 + e cos ) d 3 = 2 fe 1 sin 2 sin sin 2 ( ) 1 ( A1 A3 ), G (1 e 2 ) 2 dt 3 (1 + e cos ) d 3 = 2 2 fe 1 sin 2 cos cos 2 ( ) ( A1 A3 ) 1, G (1 e ) 2 dt (1 + e cos ) fe =.

2 (1 e 2 ) Здесь безразмерные величины определены как в примере 8. Обо значения 1 и 2 введены согласно формулам (3.2.6) и (3.2.15).

Исследуем решение системы (3.3.9) при малом на промежутке времени = 2 t. Из первого уравнения системы (3.3.9) видно, что кине тический момент есть величина постоянная. Второе уравнение системы совпадает с уравнением для угла нутации примера 8, где проведен анализ данного уравнения.

Последние два уравнения (3.3.9) и уравнение для истинной анома лии (1.2.12) в безразмерном времени могут быть записаны в виде d d = 2 (,, ), = 2 (,, ), (3.3.10) dt dt d ( ) (1 + e cos ), h ( e = 1 e2, ) 3/ = dt h ( e ) где, коэффициенты в правых частях последних двух уравнений (3.3.9). Из системы (3.3.10) видно, что, медленные переменные, а полумедленная.

Применяя модифицированный метод усреднения [309], получим:

cos 3 2 3( A1 A3 ) d d 1 sin 1.

= =0, 1/ G (1 e 2 ) d 2 (1 e 2 ) 2 d Видно, что угол отклонения вектора кинетического момента G от вертикали остается постоянным в указанном приближении, как и в случае несимметричного спутника.

С учетом (3.2.14) находим аналитически закон изменения угла от времени :

3a1 1 + exp(a2 ) =0 + a1, ln 1 + a 2a 3( A A ) cos 2 1 23 1, a2 =( A1 A3 ), a3 = tg 2 0.

=a G (1 e ) 2(1 e 2 )1/ 2 Рис. График изменения функции = ( ) имеет вид, представленный ( 0 ) = / 3 рад и при на рис. 37 для начального значения угла нутации начальном значении угла = / 4 рад. Кривые построены при различ ных значениях параметра a2 =2, 1, 1, 2. Из рисунка видно, что при отрицательных значениях параметра a2 на малых промежутках времени функция = ( ) сначала возрастает, а затем убывает. При положитель ных значениях параметра функция = ( ) является убывающей. При моментах времени 2.5 графики всех функций почти линейны.

В нашей задаче характер убывания совпадает с полученным в [289, 290] при исследовании движения спутника с вязкой жидкостью в по лости под действием гравитационного или светового моментов. При этом, угол ориентации вектора кинетического момента G в рассматриваемом нами случае убывает быстрее (см. примеры 7, 8, рис. 27, 31).

Для значений параметра a2 = 0.5, 1, 1.5, 2 построены гра фики изменения угла нутации = ( ) (рис. 38). Видно, что чем меньше параметр a2, тем быстрее угол 0, т.е. чем более “вытянутое” тело по оси A3, тем быстрее спутник стремится к положению устойчивого вра щения вокруг этой оси.

Характер изменения угла нутации в рассматриваемом случае, близок к изученному при вращении спутника с вязкой жидкостью под дей ствием момента сил светового давления [290] (см. §2 данной главы).

Таким образом, при движении динамически симметричного спут ника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, под действием момен тов сил гравитации и светового давления вектор кинетического момента G остается величиной постоянной, направленной под постоянным углом к вертикали плоскости орбиты. Направление движения конца вектора G зависит от формы спутника, например от формы планета Земля. В слу чае спутника “сплюснутого” по оси инерции A3 конец вектора G движет ся по сфере радиуса G0 против хода часовой стрелки. При этом угол ну тации стремится к предельному значению / 2 рад. Для динамически “вытянутого” по этой же оси спутника конец вектора G движется по сфе ре радиуса G0, сначала по ходу часовой стрелки, а затем против хода ча совой стрелки, а угол нутации стремится к нулю.

Контрольные вопросы и задания Запишите выражения для коэффициентов B2, B3 формулы 1.

(3.1.2).

2. Что является малым параметром задачи о вращательном движении несимметричного спутника с полостью, заполненной вязкой жид костью, в гравитационном поле?

3. Опишите этапы метода усреднения уравнений движения несимме тричного спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью, в гравитационном поле.

4. Проведите численное интегрирование уравнения изменения моду ля эллиптических функций (3.1.6) для спутников с разной геомет рией масс, используя библиотеку алгоритмов для вычисления эл липтических интегралов.

5. При каких значениях k 2 осуществляется вращательное движение спутника в окрестности оси наибольшего момента инерции?

6. Какой спутник называется динамически симметричным?

7. В чем заключается суть модифицированного метода усреднения?

8. Численно исследуйте характер поведения угла нутации (3.1.18) для динамически симметричного спутника с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью, под действием гравитационного момента.

9. Какой вид имеет поверхность космического аппарата?

10. Численно определите характер поведения функции (t ) для ма лых k 2 1, в задаче вращения спутника с полостью, заполненной жидкостью большой вязкости, под действием моментов сил гра витации и светового давления.

Глава 4.

Влияние момента сил светового давления на вращение спутника.

Результаты §1 главы были впервые опубликованы в работе авто ров [280], § 2 – в статьях [281, 282].

§1. О движении спутника Солнца с трехосным эллипсоидом инерции относительно центра масс под действием момента сил свето вого давления.

Рассмотрим движение космического аппарата относительно центра масс под действием момента сил светового давления. Введем четы ре декартовы системы координат, начало которых совместим с центром инерции спутника. Системы координат Ox1 x2 x3, Oy1 y2 y3 и Oz1 z2 z3 вве дены в §1 главы 1 (см. рис.1, 2).

OXYZ – орбитальная система координат. Ось OZ направлена по текущему радиус-вектору спутника (на Солнце), оси OY и OX паралле льно соответственно нормали к плоскости орбиты и трансверсали (рис. 39) Рис. Взаимное расположение систем Oz1 z2 z3 и OXYZ определим таб лицей направляющих косинусов [25] z1 z 2 z X Y Z Взаимное положение главных центральных осей инерции и осей Oyi (i = 1, 2,3) определяется углами Эйлера,,. При этом направ ляющие косинусы системы Oy1 y2 y3 выражаются через углы Эйлера,, по формулам (1.1.1).

Будем считать, что аппарат движется по эллиптической орбите во круг Солнца и предположим, что можно пренебречь моментами всех сил, кроме сил светового давления. Допустим, что поверхность аппарата пред ставляет собой поверхность вращения, причем единичный орт оси симме трии k направлен по оси Oz3. Как показано в [25, 114] в этом случае для момента сил светового давления L, действующего на спутник, для тел вращения имеет место формула [25, 114], см. также (3.2.1) ac ( s ) R er k.

=L (4.1.1) R В случае полного поглощения выполняется соотношение R ac ( s ) = pc S ( s ) Z 0' ( s ). (4.1.2) R Здесь e r – единичный вектор по направлению радиус-вектора ор биты (рассматривается спутник Солнца);

k – единичный вектор по на правлению оси симметрии спутника;

s угол между этими направления ми, так что e r k = s ;

R текущее расстояние от центра Солнца до sin центра масс спутника;

R0 фиксированное значение R (например, в нача льный момент времени);

ac ( s ) коэффициент момента сил светового да вления, определяемый свойствами поверхности;

S площадь «тени» на плоскости, нормальной к потоку;

Z 0 расстояние от центра масс до ' центра давления. Считаем, что ac = ac (cos s ) и аппроксимируем ac по линомами по степеням cos s. Момент сил светового давления имеет си ловую функцию, зависящую только от положения оси симметрии тела в пространстве [25]. Представим функцию ac (cos s ) в виде ac = a0 + a1 cos s + + aN cos N s. (4.1.3) Расчет влияния сил и моментов сил светового давления на астеро ид произвольной формы и космический аппарат с солнечным парусом приведен в работах [119, 110]. Уравнения возмущенного движения спут ника при наличии силовой функции в переменных G,,,,, имеют вид (1.3.14) [25] = (G sin ) 1 U /, =G sin ) 1 U / + G 1ctg U /, ( G = /, U (4.1.4) = G sin sin cos ( A A ) (G sin ) U / + G ctg U /, 1 1 1 1 G cos ( A A sin A cos ) + (G sin ) U /, 1 1 1 = 2 3 1 G ( A sin + A cos ) G (U / ctg + U / ctg ).

1 1 = 2 1 В некоторых случаях удобно совместно с углом использовать в качестве переменной кинетическую энергию G 2 sin 2 cos 2 2 cos sin + T = +, (4.1.5) 2 A1 A2 A производная которой имеет вид sin 2 cos 2 2T ( L2 cos L1 sin ) + L3 + G sin cos T = + A1 A G A 1 + sin cos ( L1 cos + L2 sin ). (4.1.6) A1 A2 Силовая функция U зависит от времени t через истинную анома лию (t ) и от направляющих косинусов 3, 3, 3 оси Oz3 относительно системы координат Ox1 x2 x3 (см. [25] гл. 1, §1) U = U ( (t ), 3, 3, 3 ). (4.1.7) Проекции вектора момента сил L на оси системы координат Ox1 x2 x3 имеют вид [25]:

U U U U U U 3 = 3 = 3 3.

= Lx1 3, Lx2 3, Lx 3 3 3 3 3 (4.1.8) Компоненты рассматриваемого момента по осям Oy1 y2 y3 выражаются че рез Lx1, Lx2, Lx3 по формулам ( ) L1 = + Lx1 cos cos Lx3 sin, (4.1.9) Lx2 sin = Lx2 cos Lx1 sin, L ( ) L3 =sin + Lx1 cos sin + Lx3 cos.

Lx К системе уравнений (4.1.4) необходимо присоединить уравнение, описывающее изменение истинной аномалии со временем (см. (1.2.12)) 1/ 1 (1 e 2 ) d 0 (1 + e cos ) 2, = ==, (4.1.10) (1 e ) 2 3/ Pf dt Q0 где 0 средняя угловая скорость движения центра масс по эллиптичес кой орбите, Q0 период обращения спутника, e и Pf эксцентриситет и фокальный параметр орбиты соответственно, 1 произведение постоян ной всемирного тяготения на массу Солнца.

Момент сил (4.1.1) соответствует силовой функции U ( cos s ) = R02 / R 2 ac ( cos s ) d ( cos s ).

Рассмотрим два случая: ac (cos s ) = a0 и ac (cos s ) = a1 cos s, которые соответствуют первым двум членам разложения функции ac (cos s ) (4.1.3).

Силовые функции в этих случаях имеют вид R U ( cos s ) = R0 R 2 a0 cos s и U ( cos s ) = a cos 2 s соответст 2R венно, причем = 3 cos + 3 sin.

cos s Заметим, что первый случай соответствует, например, спутнику сферической формы со смещенным относительно центра сферы центром масс.

Введем в систему уравнений (4.1.4), (4.1.10) малые параметры.

Предположим, что 0, а также a0 1 или a1 в зависимости от того, какой из случаев рассматривается. Исследуем системы (4.1.4), (4.1.10) при малом на большом промежутке времени t 1. Для реше ния задачи применим метод усреднения [16 – 18]. Погрешность усреднен ного решения для медленных переменных составляет величину порядка на интервале времени, за который тело совершит 1 оборотов. Усред нение по движению Эйлера-Пуансо проводим по методике работ [26, 28] для нерезонансных случаев.

Рассмотрим невозмущенное движение ( = 0 ), когда момент сил светового давления (4.1.1) равен нулю. В этом случае вращение спутника является движением Эйлера-Пуансо. Величины,, G, T, обраща ются в постоянные, а,, – некоторые функции времени. Медлен ными переменными в возмущенном движении будут,, G, T,, а быстрыми – углы Эйлера,,.

Проведем усреднение первых трех уравнений системы (4.1.4) и (4.1.6) вдоль траектории невозмущенного движения. Согласно [26], усред нение выполняется сначала по переменной, а затем по и, связан ных соотношением (4.1.7). Оно проводится по замкнутым траекториям ве ктора кинетического момента в движении Эйлера-Пуансо. Усреднение правых частей первых трех уравнений (4.1.1) по приводит к уравнени ям M M = ( G sin ), = ( G sin ) 1, Ud.

G = 0, M = (4.1.11) 2 Усредним правую часть уравнения (4.1.6) по углу. В первом случае на основании формул (4.1.8), (4.1.9) имеем L1 =a0 3 sin cos + 3 sin ( ) cos 3 sin sin, R02 R 2 L2 =( ), R02 R 2 a0 3 cos (4.1.12) L3 = R02 R 2 a0 3 cos cos + 3 sin ( ) sin + 3 cos sin.

Используя выражения направляющих косинусов 3, 3, 3 оси Oz3 относительно системы координат Ox1 x2 x3 [25], из формул (4.1.12) получим M ( L1 cos= R02 R 2 a0 sin sin sin ( ).

+ L2 sin ) Отсюда следует, что после усреднения по и проектирования вектора G на оси связанной системы координат согласно формулам Gz1 = G sin sin, Gz2 = G sin cos, Gz3 = G cos (4.1.13) уравнение (4.1.6) принимает вид R02 1 1 Gz1 Gz sin cos ( ).

T= a0 (4.1.14) R 2 A1 A2 G Усредним теперь правую часть уравнения (4.1.6) по для второ го случая. Из формулы для момента сил светового давления (4.1.1) с уче том совпадения оси Oz3 и оси симметрии спутника следует [115] = a1 R02 R 2 cos s ( z1 z 2 ), L (4.1.15) где z1, z 2 – орты осей Oz1 и Oz2.

Как известно [26], момент гравитационных сил, действующих на спутник имеет вид = 3 2 R13 ( A3' A2 ) z1 + ( A1' A3' ) z 2 + ( A2 A1' ) z 3. (4.1.16) ' ' L Здесь A1', A2, A3 – главные центральные моменты инерции спут ' ' ника, находящегося в гравитационном поле, 2 – произведение постоян ной всемирного тяготения на массу Земли, R1 – расстояние от центра Зем ли до центра масс спутника. Отметим также, что согласно [25] = 3 cos + 3 sin = cos s.

Момент сил светового давления, определяемый формулой (4.1.15), совпадает с моментом гравитационных сил (4.1.16), действующим на спу тник, находящийся в гравитационном поле, главные центральные моменты инерции которого имеют вид R02 R13 2a R 2 R ==, A3 = 1 0 2 1.

A1' A2 a ' ' (4.1.17) 3 2 R 3 2 R Движение спутника с трехосным эллипсоидом инерции относите льно центра масс под действием гравитационных моментов исследовано в [26]. Согласно [26], проекции момента гравитационных сил на оси Oy1, Oy2, Oy3 для трехосного спутника могут быть представлены в виде L1 = (1 + e cos ) (1 e 2 ) ( s 3 j s2 j ), 2 j 3j j = L2 = (1 + e cos ) (1 e 2 ) ( s 1 j s3 j ), 3 j 1j j = L3 = (1 + e cos ) (1 e 2 ) ( s 2 j s1 j ), 1 j 2j j = sij =A1' i1 j1 + A2 i 2 j 2 + A3' i 3 j 3.

' ij определены формулами (1.1.1), 1, 2, 3 – направля Здесь ющие косинусы вектора e r в системе координат Oy1 y2 y3, равные = cos cos ( )= sin (= sin cos ( ).



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.