авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |

«Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская, Я.С. Зинкевич Возмущенные и управляемые вращения твердого тела Одесса - 2013 УДК ...»

-- [ Страница 4 ] --

), 1, Учитывая, что согласно (4.1.17) A1' = A2, после вычислений полу ' чим M { L3 } M { L2 cos L1 sin } 0, = = 30 (1 + e cos ) M { L1 cos + L2 sin } = 2 (1 e 2 ) ( 12 + 2 2 32 )( A1' A3' ) sin cos, здесь M { } оператор усреднения по.

Отсюда следует, что после усреднения по уравнение (4.1.6) принимает вид 3 2 (1 + e cos ) T = G( A A ) ' ' 2 (1 e ) 1 A1 A sin 2 cos sin cos ( 12 + 2 2 32 ) = ( A1' A3' ) (4.1.18) 1 3Gz1 Gz2 Gz3 0 (1 + e cos ) ( 12 + 22 2 32 ).

G 2 (1 e ) A1 A2 В формулах (4.1.14) и (4.1.18) от быстрых переменных зависят то лько величины Gz1, Gz2, Gz3. Но средние значения их произведений Gz1 Gz2 и Gz1 Gz2 Gz3 по полодии невозмущенного движения равны нулю в силу симметрии участков полодий относительно координатных плоско стей Oz1 z2, Oz1 z3, Oz2 z3. Поэтому в обоих случаях после усреднения по полодии уравнение (4.1.6) принимает вид T = 0 и, следовательно, T T= const. Это означает, что уравнения для углов и после усре = днения можно рассматривать независимо от других уравнений для мед ленных переменных.

Средние по значения силовой функции в первом и втором слу чаях будут соответственно M (U ) =( ), a0 R02 R 2 cos sin cos a R M (U ) = 1 2 (1 3 / 2sin 2 ) sin 2 cos 2 ( ) + 1 / 2sin 2.

2R Теперь силовую функцию нужно усреднить вдоль полодии невоз мущенного движения. Невозмущенное движение трехосного спутника по дробно исследовано в [28].

Вычислим усредненное значение силовой функции в первом при ближении. Примем для определенности A1 A2 A3. Функция (t ) определяется разными формулами в зависимости от знака величины 2T0 A2 G0. Если 2T0 A2 G02 0, то (см. [28, 305]), cos ( ) = bdn. При 2T0 A2 G02 0 получим cos ( ) = bcn. Здесь dn, cn – эллиптичес с периодом Q = 4 K ( k 2 ), кие функции [308], периодические по K ( k 2 ) полный эллиптический интеграл первого рода, A3 ( A1 A2 ) 2T 1 AA 1 + h, 1 = = 20 2 3, b2 =,h A1 ( A2 A3 ) G0 A2 A2 A 1+ h G0 ( A1 A2 ) b2 h = t,k =, 1 + =.

A1 A21 b Формулы для модуля эллиптических функций k 2 и приведены для h 0. Остальные соотношения справедливы при любых значениях h.

Движениям в окрестности оси Oz3 (оси момента инерции A3 ) со ответствует значение h 0 ( 2T0 A2 G0 0 ), движениям в окрестности Oz1 (оси момента инерции A1 ) – значение h 0 ( 2T0 A2 G0 0 ), а h = 0 ( 2T0 A2 = G02 ) отвечает движению по сепаратрисе.

В результате усреднения по полодии в случае ac = a0 с использо ванием формул для интегралов от эллиптических функций [308] получим систему уравнений для и a0 R02 ( G0 R 2 ) F sin =( ), (4.1.20) a0 R02 ( G0 R 2 ) Fctg cos =( ), b F= при 2T0 A2 G0 0, 2K ( k ) F = 0 при 2T0 A2 G02 0.

В случае ac = a1 cos s усредненная система первого приближения для и принимает вид a1 R02 ( 2G0 R 2 ) H sin sin =( ), (4.1.21) a1 R02 ( G0 R 2 ) H cos cos =( ), 1 2 E (k ) 3b 1 при = 2T0 A2 G02 0, H K (k2 ) ( ) 1 при 2T A 1 3b 2 2 E k k 1 + = G02 0.

H ( ) 0 2 k2 K k При этом для медленных усредненных переменных сохраняются прежние обозначения.

В системах уравнений (4.1.20) и (4.1.21) удобно перейти к новой независимой переменной = (t ). В силу уравнения (4.1.10) и уравнения движения центра масс спутника по плоской эллиптической орбите = Pf / (1 + e cos ) после перехода от независимой переменной t к пе R ременной системы (4.1.20) и (4.1.21) примут вид ( ) d / d = ), a0 R02 G0 1 Pf F sin( (4.1.22) a R ( G P ) Fctg cos( d / d = ).

0 0 0 1 f a R ( 2G P ) H sin sin 2( d / d = ), (4.1.23) 1 0 0 1 f a R ( G P ) H cos cos d / d =( ).

2 1 0 0 1 f Обозначим =. Координата есть угол между текущим радиус-вектором орбиты e r и проекцией вектора G на плоскость орбиты.

Таким образом, углы, дают положение вектора G во вращающейся системе координат n,, e r, где n направлено по нормали к плоскости орбиты, – по трансверсали (рис. 40). Уравнения (4.1.22), (4.1.23) в пере менных, принимают вид ( ) d / d = a0 R02 G0 1 Pf F sin, (4.1.24) ( ) d / d = 1.

a0 R02 G0 1 Pf Fctg cos ( ) d / d = a1 R02 2G0 1 Pf H sin sin 2, (4.1.25) ( ) d / d = 1.

a1 R02 G0 1 Pf H cos cos Системы уравнений (4.1.24) и (4.1.25) являются автономными и имеют первые интегралы ( P ) F cos = G0 cos a0 R02 const, (4.1.26) 1 f G G cos a R ( 2 P ) H cos = 2 const. (4.1.27) 0 0 0 1 f G G – угол между векторами Здесь и (рис. 40), G er cos G = sin cos.

Первые интегралы (4.1.26) и (4.1.27) отличаются от первых интег ралов для систем, описывающих изменение углов и в случае дина мически симметричного спутника [25], только множителями F и H. По этому результаты могут быть перенесены на рассматриваемый нами слу чай вызванного моментом сил светового давления движения относительно центра масс космического аппарата с трехосным эллипсоидом инерции, представляющим собой тело вращения.

Первый интеграл (4.1.26) может быть записан в виде cos = const, (4.1.28) где – угол между векторами G и прямой ОР, лежащей в плоскости ( n, e r ) и составляющей с вектором n угол *. Величина угла * опреде ляется из уравнения a0 R tg * = n0, n0 = F.

G0 1 Pf Рис. ( n,, e r ) Равенство (4.1.28) означает, что в системе координат движение вектора кинетического момента G представляет собой равно мерное по вращение вокруг прямой ОР. В [25] определена угловая ско 1 + n0.

рость вращения вектора G, равная – Заметим, что если начальные условия T0 и G0 таковы, что 2T0 A2 G02 0, то F = 0 и угол * равен нулю. Тогда движение вектора G в системе координат ( n,, e r ) является вращением с угловой скорос тью 1 вокруг вектора n. В системе координат Ox1 x2 x3 вектор G будет постоянным. Это означает, что оскулирующие элементы не изменяются.

Если же T0 и G0 таковы, что 2T0 A2 G0 0, то угол * отличен от нуля и вращение вектора G происходит вокруг оси ОР, наклонной к источнику света, причем угол наклона тела тем больше, чем больше вели чина n0.

Исследование движения спутника во втором случае на основании первого интеграла (4.1.27) может быть проведено также, как это сделано в [25] для случая динамически симметричного спутника в гравитационном поле на круговой орбите, поскольку система уравнений (4.1.25) отличается от системы уравнений, описывающей движение спутника в гравитацион ном поле на круговой орбите, только множителем H, зависящим от нача льных данных T0, G0.

§2. Эволюция вращений спутника, близкого к динамически сферическому, под действием момента сил светового давления.

2.1. Исходные предположения и постановка задачи.

Рассмотрим движение космического аппарата относительно центра масс под действием момента сил светового давления. Аппарат движется по эллиптической орбите вокруг Солнца. Введем три правых де картовых системы координат Ox1 x2 x3, Oy1 y2 y3, Oz1 z2 z3 (см. §1 главы 1, рис.1, 2), начало координат совместим с центром инерции спутника. Углы, и углы Эйлера,,, определяющие ориентацию системы ко ординат Oz1 z2 z3 относительно системы Oy1 y2 y3, введены в §1 главы 1.

Будем пренебрегать моментами всех сил, кроме сил светового да вления. Как и в §1 допустим, что поверхность аппарата представляет собой поверхность вращения, причем единичный орт оси симметрии k направ лен по оси Oz3. В этом случае для момента сил светового давления L, действующего на спутник, имеет место формула (4.1.1). Далее полагаем ac = ac ( cos s ) и аппроксимируем ac полиномами по степеням cos s.

Момент сил светового давления имеет силовую функцию, зависящую то лько от ориентации оси симметрии тела в пространстве. Представим фун кцию ac ( cos s ) в виде (4.1.3). Уравнения возмущенного движения спут ника при наличии силовой функции в переменных G,,,,, имеют вид (4.1.4). Силовая функция U зависит от времени t через истин ную аномалию (t ) и от направляющих косинусов 3, 3, 3 оси Oz относительно системы координат Ox1 x2 x3 согласно (4.1.8). К системе ура внений (4.1.4) необходимо присоединить уравнение, описывающее изме нение истинной аномалии со временем (4.1.10).

Момент сил (4.1.1) соответствует силовой функции U ( cos s ) = R02 R 2 ac ( cos s ) d ( cos s ).

Рассмотрим вначале случай ac ( cos s ) = an cos n s. (4.2.1) Силовая функция в этом случае имеет вид an R U ( cos s ) = cos n +1 s, (4.2.2) ( n + 1) R = 3 cos + 3 sin.

cos s Направляющие косинусы 3, 3 выражаются через,,, по известным формулам [25].

Пусть главные центральные моменты инерции спутника близки друг к другу и представимы в виде A1 J 0 + A1', A2 J 0 + A2, A3 J 0 + A3, = = = ' ' (4.2.3) где 0 1 – малый параметр. Предположим также, что a0, a1, …, aN, т.е. момент сил светового давления имеет тот же порядок ве личины, что и гироскопический момент. Из (4.2.2) следует, что U.

Исследуем решение системы (4.1.4), (4.1.10) при малом на большом промежутке времени t 1. Погрешность усредненного решения для ме дленных переменных составляет величину O ( ) на интервале времени, за который тело совершит 1 оборотов. Независимое усреднение по, проводим как для нерезонансных случаев [26].

2.2. Преобразование выражения силовой функции, процедура усреднения и построение системы первого приближения.

Рассмотрим невозмущенное движение ( = 0 ), когда уравнения (4.1.4), (4.1.10) описывают движение сферически симметричного тела и момент сил светового давления (4.1.1) равен нулю. Из системы (4.1.4) в этом случае получим, что,, G, и постоянны, а определяет ся по формуле (1.2.17).

Как показано в [25] и в главе 1 нашего пособия усреднение функ ций, зависящих от, сводится к усреднению по согласно (1.2.19).

Сомножитель cos n +1 s выражения силовой функции (4.2.2) мож но с использованием выражения для бинома Ньютона представить в виде n + =cos k ( g k d n +1 k ), Cnk+ cos n +1 s = ) ( d + g cos n + (4.2.4) k = = cos sin cos ( ),, = d {sin sin ( ) sin 2 + cos 2 } 1/ = 2 g, { } 1/ cos = sin sin ( ) sin 2 sin 2 ( ) sin 2 + cos, { } 1/ = sin cos cos ( ) sin 2 sin 2 ( ) sin 2 + cos sin.

С помощью известных выражений для направляющих косинусов 3, 3, 3 оси Oz3 относительно системы координат Ox1 x2 x3 [25] полу чим среднее по значение силовой функции. Для этого определим 2 n + Cnk+1 g k d n+ ( d + g cos ) n + d = k I k, (4.2.5) 2 k = ( 2m 1)!!.

cos d, I 2 m +1 = 0, I 2 m = Ik = k 2 (2m)!!

В результате усреднения по получим с учетом (4.2.7) n + ( 2m 1)!!

E a R2 2 m U n = n 0 2 Cn2+1 ( g 2 m d n +1 2 m ), (4.2.6) (n + 1) R m = 0 (2m)!!

где E ( z ) означает целую часть числа z.

Для упрощения записи усредненные выражения будем обозначать теми же символами, что и до усреднения.

Проведем усреднение по согласно (1.2.19). Заметим, что с уче том уравнения движения центра масс по эллиптической орбите имеем = Pf (1 + e cos ) 1, поэтому на основании (1.2.19) и (4.2.6) выражения R (1 + e cos ) 2 в формуле для U n сокращаются.

Обозначим u ;

тогда d = h cos u, где h = cos sin ;

вы = ражение g 2m в (4.2.6) с помощью формулы бинома Ньютона представим в виде g 2m = 2 u ) = 2k u ( q k bmk ), ( b + q sin m Cm sin m k k = b = sin cos, q = sin 2 sin 2.

2 Для второго усреднения по u необходимо рассмотреть = интеграл вида ( b + q sin u ) ( h cos u ) du = +1 2 m Cm ( q k b m k ) m hn n 2 m + m 2 k 2 k = u ( cos u ) n +1 2 m sin 2k du.

2 Полученный интеграл вычисляется в явном виде [327], причем при n = 2l он равен нулю.

Пусть n 2l + 1 – нечетная степень;

тогда имеем = n + k = 0,1,..., m ;

m = 0,1,..., E = l + 1.

После усреднения (4.2.6) по u получим = l +1 m U 2l +1 = l Almk ( cos ) sin 2 m (sin ) 2( l +1 m + k ) ( cos ) 2( l +1 m ) 2( m k ), = 0= mk a2l +1 R02 (1 e 2 ) 3/ l =, 2(l + 1) Pf (2m 1)!!(2k 1)!![ 2(l + 1 m) 1]!!

Almk = C2(m+1) Cm 2 k.

(2m)!![ 2(k + l + 1 m)]!!

l Силовая функция для коэффициента момента сил светового дав ления вида (4.1.3) записывается следующим образом N Q U (, ) = U 2l +1 (, ), Q = E. (4.2.8) l = Таким образом, в первом приближении коэффициент момента сил светового давления (4.1.3) эквивалентен следующему Q ac ac = a2l +1 ( cos s ) 2 l +, (4.2.9) l = поскольку четные гармоники коэффициента момента сил светового давле ния выпадают при усреднении.

Вычисляя частные производные U /, U / от функции (4.2.7) с учетом (4.2.8) и учитывая тождества U / = / = / U U находим, что усредненная система первого приближения принимает вид = l ( G sin ) U /, 2 (4.2.10) = G sin sin cos ( A11 A2 1 ), = 0, G = 0, = G cos ( A31 A11 sin 2 A21 cos 2 ) 2 l ( G sin ) U /, U l +1 m Q 2 l +1 m ) ( 2( l m + k ) + A ( cos ) sin 2 m ( sin ) ( cos ) 2( m k ) = lmk = 0 = 0= l mk ( l + 1) cos 2 + k m, U l +1 m Q 2 l +1 m + k ) ( ( cos ) ( 2 mk ) A ( sin ) ( cos ) ( sin ) 2( l m ) +1 2 m = lmk = 0 = 0= l mk m ( l + 1) sin 2.

Коэффициенты l и Almk определены в (4.2.7). Заметим, что коэ ффициенты a2l разложения (4.1.3), содержащие четные степени, при усре днении исчезают. Вектор кинетического момента остается постоянным по величине и постоянно наклоненным к нормали к плоскости орбиты.

2.3. Исследование уравнений для углов нутации и собственно го вращения,.

Уравнения для определения углов нутации и собственного вращения (4.2.10) описывают движение вектора кинетического момента G относительно тела и приводятся к виду (в медленном времени ):

= sin sin cos, (4.2.11) = cos (1 sin 2 ) 2 l 1G02 ( sin ) U (, 0 ) /, = G0 t, 1 = /, = A11 A2 1,= A2 1 A31.

Параметр l определен в (4.2.7), а U (, 0 ) / введено в (4.2.10). Величины G0, 0 в (4.2.11) это значения G, в начальный момент времени. С учетом соотношений (4.2.3) и предположения a2l +1 (l = 0,..., Q) получим, что,, l. Для системы (4.2.11) имеет место первый интеграл c= sin 2 (1 sin 2 ) 4 l 1G02 f (, 0 ), (4.2.12) m l m i (1)i ( sin )2( m + i ) l +1 m Q = Almk Cl m f (, 0 ) m+i 2= i = 0 = 0= l mk (1)i (sin ) 2( m + i +1) l m (l + 1) ( sin 0 ) ( cos 0 ) 2( l +1 m + k ) 2( m k ), m + i +1 2 i = в чем можно убедиться непосредственной проверкой.

Для дальнейших исследований более удобно преобразованное вы ражение первого интеграла (4.2.12).

c= sin 2 (1 sin 2 ) 4 l 1G02 F (, 0 ), (4.2.13) 2( l +1) [ 2(l + 1) 1]!!

l + 1 l i (1) ( sin ) 2 i + i Q =i Cl ( sin 0 ) F (, 0 ) = + [ 2(l + 1)]!!

i + = 0 l m l m (1) ( sin ) l + 1 l m i (1) ( sin ) 2( m + i ) 2( m + i +1) i i l m + Almk Cl m m+i m + i + 2= 0 2 = m 1= =k i i [ 2(l + 1) 1]!!(sin ) 2( l +1) ( sin 0 ) ( cos 0 ) 2( l +1 m + k ) 2( m k ) + 2 [ 2(l + 1) ]!!

( 2k 1)!!.

l + Clk+1 ( sin 0 ) ( cos 0 ) 2( l +1 k ) 2k ( 2k )!!

k = При отсутствии влияния момента сил светового давления, т.е. при a2= 0(l 0,...,Q) система (4.2.11) приводится к виду = l + = sin sin cos, cos (1 sin 2 ).

= (4.2.14) 2.4. Пример 10. Учет нулевой и первой гармоник при аппрок симации коэффициента момента сил светового давления.

2.4.1. Аналитическое исследование.

Представим функцию ac (cos S ) в виде a= a0 + a1 cos S. (4.2.15) c В этом случае уравнения для определения и, как следует из (4.2.13), принимают вид (остаются члены, обусловленные a1 ):

= sin sin cos, cos ( * sin 2 ), = 4.2.16) * ( ) /, = (1 e 2 ) a1 R02 Pf2G02 (1 3 / 2sin 2 0 ).

1 3/ = Здесь G0 значение G в начальный момент времени. Для систе мы (4.2.16) имеет место первый интеграл C1= sin 2 ( * sin 2 ) sin 2 ( * sin 2 0 ) const.

= = (4.2.17) Этот результат можно также получить из выражения первого ин теграла (4.2.13) для функции ac вида (4.1.3) при n = 1 ( l = 0 ).

Положим для определенности A1 A2 A3 ;

тогда 0, 0, * 0. Введем переменную x = cos. После ряда преобразований с уче том (4.2.17) уравнение (4.2.16) для определения допускает разделение переменных и приводится к соотношению x ( x h )( b12 x12 ) 1/ ( t t0= ) dx1, (4.2.18) x = A21 A11 ) * ( * 1), h = 1 c1 / *, b12 =/ ( * 1).

G0 ( 1/ 1 c Таким образом, задача свелась к квадратуре: справа в (4.2.18) сто ит эллиптический интеграл. Обращение интеграла (4.2.18) для получения решения уравнений (4.2.16) проводится по-разному в зависимости от зна чений корней в подрадикальном выражении интеграла (4.2.18).

Если положить A3 A2 A1, то 0, 0. При этом * 0, если и * 0, если. Эти случаи рассматриваются аналогич но. Рассмотрим некоторые неравенства, которым удовлетворяют величины h и b12 в (4.2.18).

Можно показать, что h = / * 1, h b12, b12 1, 1 c Откуда следуют неравенства h b12 1.Они могут удовлетворяться как при h 0, так и при h 0.

Проведем обращение интеграла (4.2.18) для случая h 0. В этом случае x b1, поэтому сделаем замену переменной x = b1 cos и интег рал (4.2.18) приводится к виду = ( t t* ) =(1 k 2 sin 2 ) 1/ d, (4.2.19) = ( b12 h ), = b12 / ( b12 h ) 1.

1/ k Здесь t* – некоторый фиксированный момент времени. Таким об разом, получен эллиптический интеграл первого рода. Обращение это ин теграла дает [308] = am, cos = cn, cos = b1cn. (4.2.20) функции cn, sn Амплитуда cos равна b1. По аргументу являются периодическими с периодом T = 4 K ( k ). Период колебаний 4 K (k 2 ) угла по времени равен T =. Таким образом, зависимость от времени вычисляется известным образом через эллиптические функции Якоби.

Для вычисления неизвестной (t ) достаточно знать, как изменя ются со временем функции sin sin и cos sin. Чтобы определить эти функции, обратимся к первому интегралу (4.2.17). Используя этот интег рал, получаем (для определенности берется знак плюс [28]) sin = * ( h b12 ) dn, 1/ sin cos sin = (1 * ) b1sn.

1/ (4.2.21) Таким образом, все направляющие косинусы вектора кинетичес кого момента с главными центральными осями инерции периодичны с пе риодом T.

Проинтегрируем теперь уравнение (4.2.16) для случая h 0. Обо значим h = b2 и представим интеграл (4.2.21) в виде b ( b1 x1 )( x1 b2 ) 1/ ( t t0= ) 2 2 2 dx1. (4.2.22) x Сделаем замену переменных x12 b12 cos 2 + b2 sin 2. После ря = да выкладок интеграл (4.2.2) примет вид (4.2.19), где b1, t* t0, а ( ) модуль k описывается соотношением 0 k 2 = b12 b2 b12 1. Обраще = am, ние этого интеграла запишется следующим образом:

= b1 ( t t0 ). Тогда = cos b1dn.

x= (4.2.23) Используя первый интеграл (4.2.16) получим (с точностью до зна ка) sin sin * ( b22 b12 ) cn, 1/ = (4.2.24) cos cos = * )( b12 b22 ) ( 1/ sn.

Таким образом, в первом приближении метода усреднения имеет место аналогия решаемой задачи со случаем Эйлера-Пуансо (в уравнениях (4.2.14) и (4.2.18) отличаются только множители 1 и * ). В медленном времени задача о движении близкого к динамически-сферическому тве рдого тела под действием момента сил светового давления эквивалентна задаче о движении фиктивного твердого тела с произвольными моментами инерции. Это обусловлено взятым приближением функции a= a0 + a1 cos S и является основным качественным результатом иссле c дования.

2.4.2 Качественный анализ фазовой плоскости угловых пере менных (, ).

Исследуем систему для и (4.2.16) с первым интегралом c (4.2.17). В этой системе переменные, изменяются в пределах 0, 0 2, а параметр * может принимать произвольные значения: * + (в зависимости от соотношений между момента ми инерции). Область D допустимых значений параметров ( c1,1 ) при ведена на рис. 41. Выделим три подобласти D1,2,3, подобласть D1 опреде ляется неравенствами * c1 0 ( * 1 ), подобласть D2 определяется следующими соотношениями * c1 * 1 ( 0 * 1 ) и, наконец, для D3 имеем 0 c1 * 1 ( * 0 ). Допустимая область D параметров ( ) есть системы c1, * D = D1 D2 D3 – это все множество точек, кото рые находятся между положительной осью абсцисс и биссектрисой, па раллелограмм, между отрицательной осью абсцисс и сдвинутой вниз бис сектрисой (рис. 41).

Особыми подмножествами системы (4.2.16) являются границы по добластей D1,2,3. В областях D1 и D3 движение представляет собой коле бания по и колебания или вращения по. Сепаратриса для области D = * 1)( * sin 2 ), а для области D ( задается соотношением sin = ( * sin 2 ) 1. В области D2 имеют место коле * получим sin бания по и.

Можно рассмотреть 11 различных характерных случаев выбора параметра *.:

1) * = 0, 3) * = +1, 2) * = 1, 4) * = 1, 5) * = 1 + 1, 6) * = 1 1, 9) * 1, 7) * 1, 8) * +1, 11) 1 / 2, 10) * +1, ( 0 1 1 ).

* Рис. Семейство графиков зависимости от, полученных численно из (4.2.17) при * = 0 (случай 1), представлены на рис. 42. Эти графики * = 0 соответствуют колебаниям при различных начальных условиях.

Зависимость от при * = 1 (случай 2) получаются на изображенной на рис. 41 сдвигом на / 2 вдоль оси. При * = 1.7 (случай 9) гра фические зависимости от, полученные численно из первого интегра ла (4.2.17) представлены на рис. 43. Эти графики соответствуют только колебаниям по. По – колебания внутри сепаратрисы sin 2 = ( * sin 2 ) 1 и вращения вне сепаратрисы. Если * * (случаи 5, 8, 10), то графические зависимости имеют такой же вид, но про исходит сдвиг на / 2 вдоль оси. При * (случай 7) зависимос ти ( ) становятся параллельными прямыми. При * = 0.95 (случай 6) возможны только колебания и графические зависимости от предста влены на рис. 44. Зависимость от при * = +1 (случай 3) получает ся из приведенной на рис. 43 соответствующей деформацией. При * = 0.5 (случай 11) графические зависимости колебательных движений представлены на рис. 45.

Рис. 42 Рис. Рис. 44 Рис. 2.4.3 Исследование эволюции вектора кинетического момента.

Система (4.2.10) для функции ac вида (4.2.15) записывается сле дующим образом = (1 e 2 ) a1 R02G 1 Pf2 (1 3 / 2sin 2 ) cos, 3/ 1 / 2 (4.2.25) = G sin sin cos ( A11 A2 1 ), = 0, G = 0, cos G ( A31 A11 sin 2 A21 cos 2 ) = 1 / 2 (1 e 2 ) a1 R02G 1 Pf2 (1 3 / 2sin 2 ).

3/ Уравнение (4.2.25) для в случае h 0 с подстановкой (4.2.20) после ряда преобразований принимает вид d / d d (1 3b12 cn 2 ), = ( t t* ), = (4.2.26) d = 1 / 4 (1 e 2 ) a1 R02G 2 A1 A2 cos 0 ( A1 A2 ) ( c1 ) 1 1/ 3/, где 0 – значение в начальный момент времени. После интегрирования уравнения получим =+ d (1 + 3b12 k 2 / k 2 ) 3E ( g, k )b1 / k 2.

0 (4.2.27) Здесь E ( g, k ) – неполный эллиптический интеграл второго рода, k – квадрат модуля эллиптической функции, k 2 – квадрат дополнитель ного модуля, 0 – значение в начальный момент времени, g = am – эллиптическая амплитуда.

При малых значениях k можно пользоваться рядами для E ( g, k ) [308]. Подставляя их в (4.2.27), получим { =d ( 2 Ky / ) 1 + 3b12 k 2 ( k 2 E / K ) 0 + (4.2.28) ( ) 3b12 (1 k 2 / 4 )( 2sin 2 y + k 2 sin 4 y ) + (1 + k 2 ) sin y + k 2 sin 3 y } ( ) 1 / 4 (1 k 2 ) cos y + k 2 cos3 y (1 k 2 / 2 ) + O ( k 4 ).

Здесь y = ( 2 K ) ;

K, E – полные эллиптические интегралы первого и второго рода. Формула (4.2.28) справедлива для любых y и ма лых k и состоит из линейного и колебательного слагаемых по t.

При k, близком к единице, и небольших значениях g можно пользоваться соответствующими разложениями для E ( g, k ) [307]. Сохра няя члены k 2, получим после подстановки их в (4.2.27) выражение { =+ d (1 + 3b12 k 2 k 2 ) 3b12 k 2 (1 k 2 / 4 ) 0 (4.2.29) } ln tg (1 / 2am + / 4 ) + 1 / 4k 2 sn cn 2.

При h 0 уравнение для (4.2.26) с подстановкой (4.2.23) после ряда преобразований принимает вид d / = N (1 3b12 dn 2 = b1 ( t t0 ), ), d (4.2.30) = 1 / 4 (1 e 2 ) a1 R02G02 Pf2 A1 A2 ( A1 A2 ) * ( * 1 c1 ) 1/ 3/ cos.

N После интегрирования уравнения (4.2.30) находим =0 + N 3b12 E ( g, k ).

(4.2.31) При малых k, используя разложение E ( g, k ) в ряд [308], опре делим = ( 2 Ky / ) (1 3b12 E / K ) 51 / 8b12 k 2 sin 2 y + O(k 4 ).(4.2.32) 0 + N Здесь y = ( 2 K ). Формула (4.2.32) справедлива для любых y и малых k и содержит линейное и колебательное слагаемые.

При k, близком к единице, и небольших g, используя разложе ние E ( g, k ) [307], получим { } =0 + N 3b12 (1 k 2 / 4 ) ln tg ( am / 2 + / 4 ) + 1 / 4k 2 sn cn 2.

(4.2.33) Как следует из уравнения для (4.2.25), при, близком к 0 или, скорость знакопеременна;

она отрицательна при cos 0 и поло жительна, если cos 0.

В общем случае переменная может иметь характер вращатель ного или колебательного движения. Если сильно изменяется, то выра жение 1 3 / 2sin 2 может быть знакопеременным. В результате значе { } ние может быть практически постоянным при M t 1 3 / 2sin 2 = 0.

Анализ показывает, что существуют значения параметров *, 0, 0, при которых const.

В рассматриваемой задаче картина эволюции движения оказывае тся более сложной по сравнению со случаем динамически симметричного спутника ( A1 A2 A3 ), так как она содержит большее число (на едини = цу) медленных переменных.

2.4.4 Частные случаи движения тела.

Значение = 0 является стационарной точкой первого уравнения (4.2.16). Уравнение для при = 0 принимает вид, допускающий разде ление переменных. После интегрирования этого уравнения получим tg = ltg ± r + arctg ( l 1tg0 ), (4.2.34) = * / ( * 1), r * ( * 1), = G0 t.

1/ 2 1/ = l Верхний и нижний знаки у r в (4.2.34) соответствуют случаям 1 и * 0.

* Если 0 * 1, то имеем tg = ) w][ z exp( J ) + w], [ z exp( J (4.2.35) ( ) z =+ (1 * )( ) 1/ * 1/ tg= 2 1, 0, J * * 1 ( ) w = (1 * )( * ) 1/ 1 1/ tg0, / 1.

= * * 1 При малых система (4.2.25) записывается следующим образом = (1 e 2 ) a1 R02G 1 Pf2 cos 0, 3/ 1 / 2 (4.2.36) = G0 sin sin cos ( A11 A2 1 ), = 0, G = G0, = 0 ( A31 A11 sin 2 A21 cos 2 ) G 1 / 2 (1 e 2 ) a1 R02G 1 Pf2 (1 3 / 2sin 2 0 ).

3/ Здесь учтены члены порядка. Уравнение для определения в случае малых совпадает с соответствующим уравнением при = 0 и его решение может быть представлено в виде (4.2.34), (4.2.35). После инте грирования уравнения для определения (4.2.36) с учетом (4.2.34), полу чим {cos = 02 l 2 ( l 2 cos 2 0 + sin 2 0 ) ± r + arctg ( l 1tg0 ) + ± 2 } ± + l 2 sin 2 ± r + arctg ( l 1tg0 ). (4.2.37) Верхние и нижние знаки в (4.2.37) отвечают, соответственно, 1 и * 0.

* Если 0 * 1, то с учетом (4.2.35) определим = 0 [G exp(2 J ) + H exp( J ) + V ] exp(1 / 2 J ), (4.2.38) 1/ ( ) G z (1 + 2 ), H 2 zw (1 2 )= w 1 + 2.

= =,V В результате интегрирования уравнения для определения (4.2.36) получим = (1 e 2 ) a1 R02G01 Pf2t cos 0 + 0.

3/ 1 / 2 (4.2.39) Отметим, что для строго динамически симметричного спутника (A ) A2 + O ( 2 ) уравнения (4.2.25) могут быть проинтегрированы в = виде = 0, G = G0, = 0, =( )t cos 0 + 0, (4.2.40) G = (1 e ) a1 R02G01 Pf2 (1 3 / 2sin 2 0 ) t cos 0 + 0.

2 3/ 1 / Таким образом, исследована эволюция вращений спутника, близ кого к динамически-сферическому, под действием момента сил светового давления, при аппроксимации которого учтены нулевая и первая гармони ки, выявлены качественные эффекты.

2.5 Пример 11. Учет третьей и четных гармоник.

Представим функцию ac (cos s ) в виде Q a cos 2 k s + a3 cos3 s.

=ac (4.2.41) 2k k = В этом случае уравнение для определения и, как следует из (4.2.11), принимают вид (остаются члены, обусловленные a3 ):

d = sin sin cos, ' =, (4.2.42) d = cos (2 sin 2 1 sin 2 ), 2 = 1s, / (1 e2 ) (8 40sin 2 0 + 35sin 4 0 ), 3a3 R0 3/ = 64G0 Pf 4sin 2 0 ( 4 5sin 2 0 ) s=.

8 40sin 2 0 + 35sin 4 Величины,, определены в (4.2.11). С учетом соотношения (4.2.3) и предположения a3 получим, что,, величины.

Для системы (4.2.42) имеет место первый интеграл, который мож но получить непосредственно или из выражения первого интеграла для функции ac, аппроксимируемой тригонометрическим полиномом произ вольного порядка, (4.2.13) при n = 3 ( l = 1 ) c2 sin 2 ( 2 sin 2 1 / 21 sin 2 = ) = (4.2.43) = sin 2 0 ( 2 sin 2 0 1 / 21 sin 2 0= const.

) (, ). Иссле Проведем качественный анализ фазовой плоскости дуем систему для и (4.2.42) с первым интегралом c2 (4.2.43). В этой системе переменные, изменяются в пределах 0, 0 2, а параметр 2 может принимать произвольные значения 2 + (в зависимости от соотношений между моментами инерции). Область D * допустимых значений параметров приведена на рис. 46.

Определим стационарные точки уравнений (4.2.42), приравняв ну лю их правые части.

1) cos = 0, = ± / 2, 0,, ± / 2. Эти точки существуют во всей = (2,1 ).

плоскости 2) sin = 0, = 0,, 2 sin 2 = 2 1, = ± arcsin 2, 0, = 2 +. Эти точки существуют в полосе 0 2 1.

± arcsin sin = ± 2 / 1, = 0,, 2 1 sin 2 = 2 / 1 1, 0, 3) = ± arcsin 2 / 1, = 1 +.

± arcsin 2 / Эти точки существуют во внутренности углов, заштрихованных горизонтально на рис. 46, т.е. при Рис. 2 1 ( 2, 1 0 ), 2 1 ( 2, 1 0 ).

2 1, = ± arcsin 4) = ± / 2, 2 1 1 sin 2 =, 0, = +.

± arcsin Эти точки существуют во внутренности углов, заштрихованных вертика льно, т.е. при 2 1 1 ( 2 1, 1 0 ), 2 1 1 ( 2 1, 1 0 ).

Можно рассмотреть различные характерные случаи выбора пара метров 2, 1 (см. рис. 46): ( a1,2 ) не заштрихованные части плоскости вне углов;

( b ) не заштрихованный параллелограмм в центре;

( c ) полуполоса внизу налево;

( d ) полуполоса вверху направо, ( e ) полуполоса вверху;

( f ) полуполоса внизу;

( g1 ) угол вверху вправо;

( g 2 ) угол внизу влево.

Ниже приводятся фазовые портреты усредненной системы, пост роенные численно для перечисленных выше случаев. Отметим, что все фа зовые траектории, в силу (4.2.43), симметричны относительно прямых = / 2 и = / 2. Поэтому достаточно изображать четвертую часть фазового портрета системы при 0 / 2, 0 / 2.

Семейство фазовых траекторий усредненной системы в плоскости, при 2 = 5, 1 = 2 (случай ( a2 )) представлено на рис. 47. Эти графики соответствуют колебаниям по углу, а по происходят либо колебания (внутри сепаратрисы), либо вращения (вне сепаратрисы). Ана логичный характер зависимости от будет и в случае ( a1 ) ( 2 = 5, 1 = 2 ). При этом в случае ( a2 ) на фазовой плоскости (, ) имеется ( / 2, / 2 ) типа центр и точка ( / 2,0 ) типа сед стационарная точка ло, а в случае ( a ) – точка ( / 2,0 ) типа центр и ( / 2, / 2 ) типа сед ло.

Рис. 47 Рис. При 2 = 0.8, 1 = 0.5 (случай ( b )) фазовые траектории предста влены на рис. 48. Стационарными точками в этом случае являются ( / 2,0 ), ( / 2, / 2 ), ( 0, 1.1071). При = 0.8, 1 = 3 (случай ( e )) фазовые кривые описывают колебания по и колебания или вращения по, разделенные сепаратрисами (см. рис. 49). Стационарные точки в этом ( / 2, / 2 ), ( / 2,0 ), ( 0, 1.1071), ( 0.5426, 0 ).

случае таковы:

Подобные фазовые траектории получаются и в случае ( f ) ( 2 = 0.8 ;

1 = 1.5 ). При этом стационарными точками являются ( / 2,0 ), ( / 2, / 2 ), ( 0, 1.1071), ( 0.3738, / 2 ).

При 2 = 3, 1 = 5 (случай ( g1 )) фазовые траектории изображе ны на рис. 50 и описывают колебания по, колебания по внутри и выше сепаратрисы, проходящей через точку = / 2, = 0.3225, и вращения по ниже сепаратрисы. Стационарными точками являются:

( / 2,0 ), ( / 2, / 2 ), ( 0.6847, / 2 ), ( 0.8861,0 ). В случае ( g ) ( 2 = 2, 1 = 5 )имеет место аналогичный характер фазовых кривых.

При этом сепаратриса проходит через точку = / 2, = 0.9553, стаци ( / 2,0 ), ( / 2, / 2 ), ( 0.8861, / 2 ), ( 0.6847,0 ).

онарные точки – Рис. 49 Рис. Значение = 0 является стационарной точкой первого уравнения (4.2.42). Уравнение для при = 0 принимает вид, допускающий разде ление переменных. После интегрирования этого уравнения получим вы ражения (4.2.34), (4.2.35), в которых вместо * надо поставить 2. При малых система (4.2.44) записывается следующим образом = sin cos, = 1 sin 2. (4.2.44) Здесь учтены члены порядка. Уравнение для определения в случае малых совпадает с соответствующим уравнением при = 0 и его решение может быть представлено в виде (4.2.34), (4.2.35). После инте грирования уравнения (4.2.44) для с учетом решения (4.2.34) получим (4.2.37), (4.2.38) (заменив при этом * на 2 ).

Таким образом, исследована эволюция вращений спутника близ кого к динамически-сферическому, под действием момента сил светового давления. При этом коэффициент момента сил светового давления аппрок симируется тригонометрическим полиномом произвольного порядка. Вы явлены новые качественные эффекты вращений спутника.

Контрольные вопросы и задания Назовите медленные и быстрые переменные в возмущенном дви 1.

жении спутника Солнца с трехосным эллипсоидом инерции отно сительно центра масс под действием момента сил светового дав ления.

Какой силовой функции соответствует момент сил светового дав 2.

ления?

Как связаны момент сил светового давления, действующий на 3.

спутник с трехосным эллипсоидом инерции, с гравитационным моментом?

Чем отличаются первые интегралы (4.1.26), (4.1.27) для динамиче 4.

ски несимметричного спутника под действием светового момента от соответствующих интегралов в случае симметричного спутни ка?

Схематически изобразите первый интеграл (4.1.28).

5.

Что является малым параметром при вращении спутника, близко 6.

го к динамически-сферическому, под действием момента сил све тового давления?

Найдите первый интеграл в уравнениях для угла нутации и 7.

собственного вращения при учете нулевой и первой гармоник в выражении коэффициента момента сил светового давления.

В чем заключается аналогия задачи о движении близкого к дина 8.

мически сферическому твердого тела под действием момента сил светового давления с задачей о движении фиктивного твердого тела с произвольными моментами инерции?

Сколько существует характерных случаев для параметра * при 9.

анализе фазовой плоскости угловых переменных (, ) ?

10. Найдите угол при эволюции вектора кинетического момента.

Глава 5.

Оптимальное по быстродействию торможение вращений квазитвердого тела.

Анализ гибридных систем, т.е. объектов, содержащих элементы с распределенными и сосредоточенными параметрами, представляет значи тельный интерес в теоретическом и прикладном аспектах. Разработаны подходы и получены значительные результаты для систем, содержащих «квазитвердые» тела. Модели последних предполагают, что в определен ном смысле их движение близко движению абсолютно твердых тел. Оно сводится к наличию дополнительных слагаемых в уравнениях движения Эйлера для некоторого фиктивного твердого тела. Исследованию динами чески свободных твердых тел с внутренними степенями свободы посвящен ряд работ [223, 293, 294, 297, 298, 299] и др. Анализу пассивных движений твердого тела в сопротивляющейся среде уделялось большое внимание [70, 74]. Проблема управления вращениями «квазитвердых» тел посред ством сосредоточенных моментов сил, имеющая значение для приложе ний, менее исследована. Удалось выделить класс систем, приводящих к гладким управляющим воздействиям и дающих возможность применения метода сингулярных возмущений без накопления погрешностей типа «временных погранслоев» [223, 293, 298, 299].

Результаты § 1 главы 5 были впервые опубликованы в работе ав торов [298], § 2 – в статье [299], § 3 – в работе [301], а § 4 – в статье авто ров [300].

§1. Оптимальное торможение вращений твердого тела, содер жащего вязкоупругий элемент и полость, заполненную вязкой жидко стью.

1. Постановка задачи оптимального управления Неравенство Шварца оказывается весьма полезным при построе нии синтеза закона торможения для «квазитвердых» тел, деформация (отк лонения масс от равновесных состояний) которых, вызванная силами ине рции, оказывается в известном смысле малой [83, 168 – 170]. При этом предполагается, что возможные большие начальные отклонения и относи тельные колебания быстро затухают.

Исследуется задача оптимального по быстродействию торможения вращений динамически симметричного твердого тела со сферической по лостью, заполненной жидкостью большой вязкости (при малых числах Рейнольдса). Кроме того, тело содержит вязкоупругий элемент, который моделируется точечной массой, прикрепленной сильным демпфером к то чке на оси симметрии. Управление вращениями производится с помощью момента сил ограниченного по модулю.

На основе подхода [135,168] уравнения управляемых вращений в проекциях на оси связанной с фиксированным твердым телом системы ко ординат представляются в виде [223, 293, 297] A1 p + ( A3 A1 ) qr =L p + FG 2 qr + Dr 4 p + Qpr 2, A1 q + ( A1 A3 ) pr =Lq FG 2 pr + Dr 4 q + Qqr 2, (5.1.1) A3 r =Lr A1 A31 Dr 3 ( p 2 + q 2 ) + H ( p 2 + q 2 ) r.

Здесь p, q, r проекции вектора абсолютной угловой скорости на связанные оси, J = diag( A1, A1, A3 ) тензор инерции невозмущенного те ла, L p, q, r проекции вектора управляющего момента сил Lu, кинетичес ( ) кий момент тела G = J, его модуль G = G = A12 p 2 + q 2 + A3 r.

Предполагается, что допустимые значения Lu ограничены сферой [223] Lu = bu, u 1 ;

b = b(t, ), 0 b* b b*, (5.1.2) где b скалярная функция, ограниченная в рассматриваемой области из менения аргументов согласно (5.1.2). Эта область определяется априори или может быть оценена через начальные данные для, (t0 ) = 0.

Далее, введенные в (5.1.1) коэффициенты D, F, Q, H выражаю тся через параметры системы следующим образом D = 4 A14 A33 ( A1 A3 ),= m 2 2 A13 A3, m 2 F (5.1.3) = P 1 A12 A3 = P 1 A11 ( A3 A1 ).

( A1 A3 ), H Q Коэффициенты D, F (5.1.3) характеризуют возмущающие моме нты сил, обусловленные наличием вязкоупругого элемента. Здесь m ма сса подвижной точки, расстояние от центра масс недеформированной системы до точки крепления, которая находится, по предположению, на = m оси динамической симметрии этого тела. Постоянные =c m, определяют частоту колебаний и скорость их затухания соответственно, c жесткость (коэффициент упругости), коэффициент вязкости демп фера. Рассматривается случай сильного демпфера, когда коэффициенты связи велики в следующем смысле [168] 2 2. (5.1.4) Сильные неравенства (5.1.4) позволяют ввести малый параметр в (5.1.3) и считать указанные возмущающие моменты малыми с целью при менения асимптотических методов усреднения. Кроме того, условия (5.1.4) позволяют пренебречь погранслойными участками свободных колебатель ных движений массы, обусловленных начальными отклонениями, вследст вие их быстрого затухания и учесть вынужденные квазистационарные движения, вызванные вращением тела. Заметим, что величина массы m может быть значительной, сравнимой с массой тела.

Аналогично изложенному, коэффициенты Q, H (5.1.3) характе ризуют момент сил, обусловленный движениями сильно вязкой жидкости в полости, объемная плотность, кинематический коэффициент вя зкости, P коэффициент, определяемый формой полости;

для сферичес кой полости радиуса a0 он равен P = 8 a0 525 [135]. Основным допу щением является предположение о малости числа Рейнольдса Re :

Re = lV 1 l 2 T1 1 l 2 1 1. (5.1.5) Здесь l характерный линейный размер полости ( l a0 ), V ха рактерная скорость, а T некоторый временной масштаб ( T 1 ). Если взять за единицу длины и времени l и T соответственно, то согласно (5.1.5) кинематическая вязкость является большим параметром, [135]. Заметим также, что масса жидкости может быть значительной, срав нимой с массой системы.

Итак, в квазистатическом приближении возмущающие моменты сил, обусловленные упругостью и вязкостью демпфера, являются монома ми вектора = ( p, q, r ) T четвертой и пятой степеней соответственно.

Момент со стороны вязкой жидкости определяется мономами третьей сте пени от. Математическая модель управляемых вращений квазитвердого тела построена в виде уравнений Эйлера (5.1.1).

Ставится задача оптимального по быстродействию торможения вращений (t0 ) = 0, (T ) = 0, T min u, u 1. (5.1.6) Требуется найти оптимальный закон управления в виде синтеза u = u (t, ), соответствующую ему траекторию (t, t0, 0 ) и время быст родействия T = T (t0, 0 ), а также функцию Беллмана задачи V = T (t, ).

2. Решение задачи оптимального торможения.

Отметим, что моменты сил, обусловленные движениями вязкоуп ругого элемента и вязкой жидкости в полости, являются внутренними для фиктивного тела. Это означает, что модуль G = G вектора кинетическо го момента G = J постоянен во времени: G (= G t ) = const при L 0, где G 0 значение G в начальный момент времени t = t0. Доказательст во следует непосредственно;

оно проводится на основе неуправляемой си стемы (5.1.1) скалярным умножением векторного уравнения на G = ( A1 p, A1 q, A3 r ) [213, 223].

T Таким образом, к рассматриваемой системе применена методика управления системами с инвариантной нормой посредством ограниченно го по модулю управляющего воздействия [223]. Решение задачи синтеза закона оптимального по быстродействию торможения вращений может быть построено на основе функционального неравенства Шварца [213, 223] для G ( t ) b = bG 1 ( u, G )max G 0 bG 1 ( u, G )max = b (5.1.7) Из (5.1.7) следует, что синтез оптимального закона торможения имеет вид L 0 = b ( t, G ) u 0, u 0 = GG 1 (5.1.8) Итак, орт оптимального по быстродействию тормозящего момента сил L 0 направлен против вектора кинетического момента. Модуль кине тического момента G ( t ) убывает до нуля за конечное время T0 t0, ко торое определяется в результате интегрирования системы (5.1.1) при L = L 0 ( t, ). Оптимальный момент времени T0 = T0 ( t0, 0 ) может быть оценен согласно (5.1.7), (5.1.8), (5.1.2) 0 =T T0 T = t0 + G t0 + G (5.1.9) b b Оптимальное время быстродействия T0 ( t0, 0 ) определяется в результате интегрирования системы (5.1.1), (5.1.8) из следующего условия:

G (T0, t0, G 0 ) = 0 или (T0, t0, 0 ) = 0, что то же самое. Проблема опре деления величины T0 упрощается и сводится к интегрированию одного уравнения для G, если b = b ( t, G ) ;

тогда для нахождения T0 имеем G = b ( t, G ), G (t0 ) = G 0, G (T0, t0, G 0 ) = (5.1.10) В частности, если функция b = b ( G ) не зависит от t явно, то G dG b (G ) T0 ( t0, G = t0 + ) (5.1.11) В другом частном случае b = b ( t ) время быстродействия T0 – единственный корень уравнения T = T0 ( t0, G 0 ) b ( t ) dt, T G= (5.1.12) t Наконец, при b = const имеем T0 t0 + G = b.

При помощи достаточных условий оптимальности метода дина мического программирования [321] можно также установить, что функция L 0 ( t, ) (5.1.8) есть оптимальный синтез в задаче быстродействия (5.1.1), (5.1.6), а соответствующая траектория = 0 (t, t0, 0 ) будет оп тимальной. Время T0 минимально, а функция V (t, ) = T0 (t, ) функция Беллмана задачи оптимального быстродействия. Для ее определения необ ходимо интегрировать систему уравнений (5.1.1), (5.1.8) в текущий момент времени t при заданном (измеренном) значении вектора до момента времени T0, для которого 0 (T0, t, ) = 0. В частных случаях (5.1.10) – (5.1.12) функция Беллмана находится достаточно просто. Далее для опре деленности будем рассматривать указанные более простые выражения фу нкции b = b ( t, G ) и считать, что величина T0 (t0, G 0 ) и зависимость G = G0 ( t, t0, G 0 ) известны.

3. Анализ осевого вращения для управляемого движения тела.

Подстановка известного выражения для G в третье уравнение (5.1.1) приводит к нелинейному уравнению относительно r r = 1 + A31 ( G 2 A32 r 2 )( A11 A31 Dr 2 A12 H ) r bG 5.1.13) Заменой осевой составляющей вектора угловой скорости r = GR, где R неизвестная функция, уравнение (5.1.13) приводится к более удоб ному виду ( z = R 2 ) z = z (1 A32 z )( DG 2 z + Q ) 2 A11 A32 G 2 (5.1.14) Вектор кинетического момента G при проектировании на глав ные центральные оси инерции приводит к выражению A3 r = G cos, где сферический угол. Тогда A3 R = cos и уравнение (5.1.14) может быть записано в виде =G 2 cos 2 + ) ( A1 A3 ) G 2 cos sin ( (5.1.15) = m 2 4 A15 A31, = P 1 A13 A31, ( t0 ) = 0, 0, 0, ( ) где, положительные постоянные, а переменная G = G t, t0, G считается известной в соответствии с принятым в п.2 предположением ( G = b ). Без нарушения общности можно принять, что 0 (и ) прина длежит первой четверти ( 0 0, 2 ). Если принимает значения из указанного промежутка, то угол в процессе эволюции вращений та * = 0, 2 стационарные точки кже не выйдет за его пределы, поскольку уравнения (5.1.15) независимо от изменения G.

Исследуем поведение сферического угла в малой полуокрестности стаци = +, 0. В первом случае онарных точек: = 0 и ( * = 0 ) имеем =) G 2 ( G 2 + ), (= 0 t0 ) ( A1 A3 (5.1.16) t ( t ) =( A1 A3 ) G 2 ( ) ( G 2 ( ) + )d 0 exp t Из (5.1.16) следует, что с ростом t при A3 A1 (сплюснутое тело) вариация монотонно убывает, а при A3 A1 (вытянутое тело) – моно тонно возрастает. Если торможение достаточно медленное (коэффициент b мал), то достаточно близко подходит к значению = 0 или экспо ненциально возрастает соответственно при A3 A1. Таким образом, движение тела стремится к вращению вокруг оси с максимальным момен том инерции. Чтобы это установить рассмотрим второй случай ( = * 2 );

для 0 аналогично (5.1.16) имеем ( A3 A1 ) G 2, (= t0 ) = 0 0 (5.1.17) t = 0 exp ( A3 A1 ) G 2 ( )d.

( t ) t Из (5.1.17) следует, что при A1 A3 величина монотонно возрас тает, а при A1 A3 монотонно убывает. Если убывание G ( t ) достаточ ( t ) 0, т.е. 2 0, а но медленное, то при A1 A3 величина ( t ). Заметим, что изменения в полуо при A1 A3 величина * = 2 несколько более медленные, чем при * = 0, поско крестности льку обнуляется член, содержащий cos 2 * (5.1.16). Характер поведения для всех 0 2 непосредственно следует из уравнения (5.1.15), поскольку знак правой части определяется константой A1 A3. Количест ( ) венные характеристики поведения угла t, t0, 0, [G ] получается в ре зультате численного интегрирования уравнений (5.1.15) и (5.1.10) (или (5.1.11), (5.1.12)).

Отметим, что случай = 0 в (5.1.15) означает отсутствие полости (или жидкость «заморожена»). При этом уравнение (5.1.15) допускает раз деление переменных, t и аналитическое интегрирование в квадратурах.

Другой случай = 0 в (5.1.15) означает, что вязкоупругий элемент отсут ствует или является абсолютно твердым. Наличие только полости с сильно вязкой жидкостью также допускает разделение переменных и интегриро вание в квадратурах. Если параметр или относительно мал, или оба малы, то к уравнению (5.1.15) можно применить методы регулярных воз мущений на промежутке времени t [t0, T0 ]. Однако только случай малых обоих коэффициентов и приводит к рациональным обозримым конструкциям приближенного решения. Они могут быть реализованы в виде разложений по степеням, или последовательными приближе ниями по схеме Пикара (см. п. 5).

Если в (5.1.15) формально положить = G 0 const, то это урав G= нение совпадает с полученным для неуправляемого движения ( b = 0 ). То гда правая часть есть тригонометрическая функция, а уравнение допус кает разделение переменных и полное интегрирование в элементарных функциях. Анализ неуправляемого движения в [294] отвечает изложенно ( ) му выше качественному выводу о финальном значении t, 0, G 0 при t.

4. Анализ вращений тела в экваториальной плоскости.

Рассмотрим теперь изменение переменных p, q согласно пер вым двум уравнениям (5.1.1) с учетом (5.1.5) и известных выражений G ( t ), r ( t ) = A31G ( t ) cos ( t ) ;

коэффициент b будет также известной ( ) функцией t : b = b t, G ( t ). Зависимость от параметров системы и нача льных данных не указывается ради сокращения записи. Введем перемен ( ) 2 1/ ную N A1 p + q =, характеризующую эти вращения. Умножая пер вое уравнение (5.1.1) на A1 pN 1, а второе на A1 qN 1, и складывая, полу чим для N линейное однородное уравнение, интегрируя которое находим t ) ( = N 0 exp ( ) d, N 0 A1 ( p 0 ) + ( q 0 ) 1/ N (t ) 2 =,(5.1.18) t0 ( t ) =b(t ) G ( t ) A1 Dr 4 ( t ) A11Qr 2 ( t ) С другой стороны, квадрат величины кинетического момента тела может быть представлен в виде G 2 N 2 + A3 r 2.

= (G A32 r 2 ) 1/ Отсюда легко получить выражение для N : = N или, учитывая соотношение A3 r = G cos, N = G sin. (5.1.19) Численный анализ изменения угла приведен в п.5.

Из (5.1.18) следует, что N (T0 ) = 0, так как G ( t ) +0 при t T0 + 0. Используя известные выражения G ( t ) и r ( t ) приведем ура внения для p, q (5.1.1) к виду линейных с переменными коэффициента ми и определенной симметрией. Эти уравнения содержат только «гирос копические» и «диссипативные» члены с коэффициентами g ( t ) и (t ) соответственно N = N + g ( t ) IN, N = ( A1 p, A1 q ), ( t ) T (5.1.20) = A r ( t ) ( A1 A3 + FG (t ) ).

g (t ) 1 Здесь I симплектическая единица, а «коэффициент диссипации»

( t ) определен выше в (5.1.18). Оба коэффициента и g известным образом зависят от времени t.

Уравнение (5.1.20) для N интегрируется в явном виде [223]. Дей ствительно, полагая N = Nn, где n = n ( t ) орт вектора N, получим для неизвестной n уравнение n = gIn. Начальное значение n ( t0 ) = n, N0 = N 0 n0.

n0 = 1 определяется условием Отметим, что n ( t ) n ( t0 ) =0 = для всех t [t0, T0 ]. Введем аргумент так, n чтобы n = In ;

имеем cos sin t n ( t ) = ( ) n, = g ( ) d, ( ) = cos, (5.1.21) sin t где ( ) матрица поворота (начального вектора n 0 ) на угол. Таким образом, прецессионные вращения квазитвердого тела (относительно оси в экваториальной плоскости) полностью определены согласно (5.1.18), (5.1.21). Существенное значение при этом, как отмечалось, имеет знание переменных G ( t ) и r ( t ), которые определялись в п.2, 3.

5. Численный анализ и выводы.

Обратимся вновь к проблеме определения сферического угла ( t ) в частном случае b = const. На основе п.2, 3 получим для и G представления ( ) = ) cos sin k (1 ) cos 2 + h, ( 2 (5.1.22) G ( ) G 0 (1 ) = t T0 [ 0,1], T0 = G 0 b,, = = G 05 A1 A3 = G 03 A1 A3 b, k b, h 0 k, h, = ( A1 A3 ) = ±1.


sign. Заметим, что Здесь штрих означает производную по аргументу в автономном случае b = b ( G ) (в частности, b = const ) без ограничения общности можно положить t0 = 0. При малых k и h, а также 0 в окрестности стационарных точек могут быть применены методы возмуще ний, которые в данном случае приводят к элементарным выражениям: по линомам по и экспонентам от полиномов и квадратурам от их произве дений. Например, после первой итерации в первом приближении по k, h (t ) и во втором по 0 имеем выражения для ( ) ( ) = 0 + sin 0 cos 0 ( k 5 ) cos 2 0 1 (1 ) + (5.1.23) ( ) + ( h 3) 1 (1 ) + O ( k 2 + h 2 ), ( ) (= (= 0 exp ( k 5 ) cos 2 0 1 (1 ) + ) ) ( ) + ( h 3) 1 (1 ) + O ( 03 ), * = 0, 0 0, ) ( ( ) ( )= 2 + ( )= 2 + 0 exp [ ( h 3) 1 (1 ) + O 0, = 2, 0.

* Для произвольных различных значений k, h и 0 решение урав нения (5.1.22) проводилось численно. Заметим, что семейства графиков = (, 0, k, h ) являются трехпараметрическими;

кроме того, два зна чения принимает параметр = ±1.

На рис. 51, 52 представлены расчетные графические зависимости ± при начальных условиях 0 = 3, 6 соответственно и различных значениях параметров k, h, которые приведены на соответствующих кривых. Значениям k= h 0 отвечают горизонтальные прямые = ( ) = 0. Если параметр = +1, то при k, h 0 кривые + ( ) идут монотонно вверх к * = 2 выше этих прямых;

если = 1, то, наобо рот, кривые ( ) идут монотонно вниз к * = 0 ниже этих прямых.

При h = 0 (полость отсутствует или жидкость «заморожена») семейства кривых по k совпадают с построенными ранее в [223, 293];

аналогично при k = 0 (вязкоупругий элемент отсутствует или является «абсолютно жестким») семейства по h отвечают изученным в [223, 297].

Рис. 51 Рис. Основной качественный вывод, следующий из графиков рис. 51, 52 и других расчетов, состоит в следующем. Оба фактора (вязкоупругий элемент и вязкая жидкость) способствуют стремлению ( ) = 2 при = 1. Для фиксированных значений k воз 0, ( ) к 0 или 2 ;

растание h приводит к более крутому стремлению аналогичная ситуация имеет место при фиксированных значениях h и во зрастании k. Итак, для семейств графиков имеют место следующие свой ства монотонности ± ( 1, 0, k, h ) ± ( 2, 0, k, h ), 2 1, 1,2 [ 0,1], ± (, 10, k, h ) ± (, 2 0, k, h ), 20 10, 1,2 [ 0, 2], ± (, 0, k1, h ) ± (, 0, k2, h ), k2 k1, k1,2 [ 0, ), (5.1.24) ± (, 0, k, h1 ) ± (, 0, k, h2 ), h2 h1, h1,2 [ 0, ), ( 0,1), 0 ( 0, 2 ), k, h ( 0, ).

( = +1), Верхние знаки (меньше) неравенств (5.1.24) отвечают + ( = 1). Неравенства (5.1.24) означают, что при нижние (больше) фиксированных двух параметрах из трех и изменении третьего эти одно параметрические семейства не пересекаются (кроме точки 0, = 0 ).

На основе имеющихся зависимостей G ( t ), ( t ) находится осе вая составляющая r вектора угловой скорости : r ( ) = A3 G cos.

Это позволяет по формулам (5.1.18), (5.1.21) определить другие составля ющие:

( p, q ) = A11 Nn.

T §2. Наискорейшее торможение вращений гиростата с массой, связанной демпфером с квадратичным трением.

1. Постановка задачи оптимального управления Исследуется задача оптимального по быстродействию торможения вращений динамически симметричного твердого тела со сферической по лостью, заполненной жидкостью большой вязкости (при малых числах Рейнольдса). Кроме того, тело соединено в точке на оси симметрии с мас сой относительно малых размеров посредством упругой связи с квадрати чной диссипацией. Управление вращениями производится с помощью мо мента сил, ограниченного по модулю. Рассматриваемая ниже модель обо бщает исследованные ранее в [223, 293, 297, 298].

На основе подхода [168, 297] уравнения управляемых вращений в проекциях на оси связанной с твердым телом системы координат могут быть представлены в виде A1 p + ( A3 A1 ) qr =L p + FG 2 qr + Spr 6 + Qpr 2, A1 q + ( A1 A3 ) pr =Lq FG 2 pr + Sqr 6 + Qqr 2, (5.2.1) A3 r =31 Sr 5 + Hr.

Lr A1 A 3 Здесь p, q, r проекции вектора абсолютной угловой скорости на связанные оси, J = diag( A1, A1, A3 ) тензор инерции невозмущен ного тела, L p, q, r проекции вектора управляющего момента сил Lu, кине G A12 + A32 r 2 2, тический момент тела G = J, его модуль = = G p 2 + q 2.

= Предполагается, что допустимые значения L ограничены сферой u и заданы (5.1.2).

Далее, введенные в (5.2.1) коэффициенты F, S, Q, H выражаю тся через параметры системы следующим образом = m 2 2 A13 A3 = m d d A1 A3, d = 1 A3 A11, 3 4,S F (5.2.2) = P A A3 = P A ( A3 A1 ).

( A1 A3 ), H 1 2 1 Q 1 Введенные в (5.2.2) обозначения D, F характеризуют возмуща ющие моменты сил, обусловленные наличием вязкоупругого элемента.

Здесь m масса подвижной точки, радиус-вектор точки O1 крепления =. Постоянные подвижной массы, находящейся на оси симметрии, µ m, 1 = m = определяют частоту колебаний и скорость их 2 =c затухания соответственно;

c жесткость, µ коэффициент квадратичного трения.

Рассматривается случай, когда коэффициенты связи 1 и тако вы, что «свободные» движения точки m, вызванные начальными откло нениями, затухают значительно быстрее, чем тело совершит оборот. Дви жение твердого тела близко к движению Эйлера-Пуансо, а относительные колебания точки, вынуждаемые этим движением, будут малыми. Предпо лагается, что. (5.2.3) Неравенство (5.2.3) позволяет ввести малый параметр в (5.2.2) и считать указанные возмущающие моменты малыми с целью применения методов сингулярных возмущений.

Коэффициенты Q, H (5.2.2) характеризуют момент сил, обусло вленный движениями сильно вязкой жидкости в полости.

Итак, в квазистатическом приближении возмущающие моменты сил, обусловленные упругостью и квадратичным трением демпфера, яв ляются однородными функциями вектора = ( p, q, r ) T четвертой и во сьмой степеней соответственно. Момент со стороны вязкой жидкости определяется мономами третьей степени от. Математическая модель управляемых вращений квазитвердого тела построена в виде уравнений Эйлера (5.2.1).

Ставится задача оптимального по быстродействию торможения вращений (5.1.6).

Требуется найти оптимальный закон управления в виде синтеза u = u (t, ), соответствующую ему траекторию (t, t0, 0 ) и время быст родействия T = T (t0, 0 ), а также функцию Беллмана задачи V = T (t, ).

2. Решение задачи оптимального торможения.

Отметим, что моменты сил, обусловленные движениями подвиж ной массы, соединенной с телом упругой связью при наличии квадратич ного трения и вязкой жидкости в полости, являются внутренними для фик тивного тела. Это означает, что модуль G = G вектора кинетического момента G = J постоянен во времени: G (= G t ) = const при L 0, где G 0 значение G в начальный момент времени t = t0. Доказательство следует непосредственно;

оно проводится на основе неуправляемой сис темы (5.2.1) скалярным умножением векторного уравнения на G = ( A1 p, A1 q, A3 r ). Таким образом, к рассматриваемой системе приме T нима методика управления системами с инвариантной нормой посредст вом ограниченного по модулю управляющего воздействия [223]. Решение задачи синтеза закона оптимального по быстродействию торможения вра щений может быть построено на основе функционального неравенства Шварца [213, 223] для G ( t ) (5.1.7).Из (5.1.7) следует, что синтез оптима льного закона торможения имеет вид (5.1.8).

Итак, орт оптимального по быстродействию тормозящего момента сил L 0 направлен против вектора кинетического момента. Модуль кине тического момента G ( t ) убывает до нуля за конечное время T0 t0, ко торое определяется в результате интегрирования системы (5.2.1) при L = L 0 ( t, ). Оптимальный момент времени T0 = T0 ( t0, 0 ) может быть оценен согласно (5.1.9).

( ) Оптимальное время быстродействия T0 t0, 0 определяется в результате интегрирования системы (5.2.1), (5.1.8) из следующего условия:

G (T0, t0, G 0 ) = 0 или (T0, t0, 0 ) = 0, что то же самое. Проблема опре деления величины T0 упрощается и сводится к интегрированию одного уравнения для G, если b = b ( t, G ) ;

тогда для нахождения T0 имеем (5.1.10).

В частности, если функция b = b ( G ) не зависит от t явно, то по лучим (5.1.11). В другом частном случае b = b ( t ) время быстродействия T0 есть единственный корень уравнения (5.1.12).

Пусть = b 0 + c 0 t, коэффициенты b 0 0 и c 0 0. Тогда урав b нение для G принимает вид G =b 0 c 0 t. (5.2.4) В результате интегрирования уравнения (5.2.4) получим g =1 2. (5.2.5) ( 2b ), g = G G, = t T0 [ 0, ], T0 = G b, = c G Здесь 0 0 0 0 = 1 + (1 + 4 ) 2 ( 2 ).

Для произвольных различных значений, указанных на рис. 53, расчетные графические зависимости g = g ( ) определены с помощью численного расчета. Основной вывод, следующий из графиков рис. 53 сос тоит в том, что g достигает нулевых значений за конечное время [ 0, ] и тем быстрее, чем больше значение.

Наконец, при b = const имеем T0 t0 + G =.

b При помощи достаточных условий оптимальности метода дина мического программирования [321] можно также установить, что функция L 0 ( t, ) (5.1.8) есть оптимальный синтез в задаче быстродействия (5.2.1), (5.1.6), а соответствующая траектория = 0 (t, t0, 0 ) будет оптималь ной. Время T0 является минимальным, а функция V (t, ) = T0 (t, ) есть функция Беллмана задачи оптимального быстродействия. Для ее опреде ления необходимо интегрировать систему уравнений (5.2.1), (5.1.8) в теку Рис. щий момент времени t при заданном (измеренном) значении вектора до момента времени T0, для которого 0 (T0, t, ) = 0. В частных случаях (5.1.10) – (5.1.12) функция Беллмана находится достаточно просто. Далее для определенности будем рассматривать указанные более простые выра жения функции b = b ( t, G ) и считать, что величина T0 (t0, G 0 ) и зависи ( ) мость G = G0 t, t0, G 0 известны.

3. Анализ осевого вращения для управляемого движения тела.

Подстановка известного выражения для G в третье уравнение (5.2.1) приводит к нелинейному уравнению относительно r r = 1 + A12 A31 ( G 2 A32 r 2 ) A31 Sr 4 ( G 2 A32 r 2 ) 2 H.


r bG (5.2.6) Заменой осевой составляющей вектора угловой скорости r = GR, где R неизвестная функция, уравнение (5.2.6) приводится к более удоб ному виду ( z = R 2 ) z = 31G 2 z (1 A32 z ) A31 SG 5 z 2 (1 A32 z ) 2 H.

2 A12 A (5.2.7) Уравнение (5.2.7) после перехода к сферическому углу с учетом A3 R = cos может быть записано в виде, удобном для дальнейшего изу чения = cos 4 + ) ( A1 A3 ) G 2 cos sin ( G 5 sin (5.2.8) = m 3 3 A32 A17 d, d = 1 A3 A11, = P 1 A13 A31, ( t0 ) = 0, 0, 0.

( ) Здесь, положительные постоянные, а переменная G = G t, t0, G считается известной в соответствии с принятым в п.2 предположением ( G = b ). Переменная и уравнение (5.2.8) обладают привлекательной геометрической наглядностью. Без нарушения общности можно принять, что 0 (и ) принадлежит первой четверти ( 0 0, 2 ). Если принимает значения из указанного промежутка, то сферический угол в процессе эволюции вращений также не выйдет за его пределы, поскольку * = 0, 2 стационарные точки уравнения (5.2.8) независимо от измене ния G.

Исследуем поведение угла в малой полуокрестности стациона = +, 0. В первом случае ( * = 0 ) рных точек: = 0 и имеем ( A1 A3 ) G 2, (= t0 ) = 0 0 (5.2.9) t = 0 exp ( A1 A3 ) G 2 ( )d ( t ) t Из (5.2.9) следует, что с ростом t при A3 A1 (сплюснутое тело) вариация монотонно убывает, а при A3 A1 (вытянутое тело) – моно тонно возрастает. Если торможение достаточно медленное (коэффициент b мал), то достаточно близко подходит к значению = 0 или экспо ненциально возрастает соответственно при A3 A1. Таким образом, движение тела стремится к вращению вокруг оси с максимальным момен том инерции. Чтобы это установить, рассмотрим второй случай ( = * );

для 0 аналогично (5.2.9) имеем ( A3 A1 ) G 2, (= t0 ) = 0 0 (5.2.10) t = 0 exp ( A3 A1 ) G 2 ( )d ( t ) t Из (5.2.10) следует, что при A1 A3 величина монотонно воз растает, а при A1 A3 монотонно убывает. Если убывание G ( t ) доста ( t ) 0, т.е.

точно медленное, то при величина A1 A 2 0, а при A1 A3 величина ( t ). Характер поведения для всех 0 2 непосредственно следует из уравнения (5.2.8), по скольку знак правой части определяется константой A1 A3. Количест ( ) венные характеристики поведения угла t, t0, 0, [G ] получается в ре зультате численного интегрирования уравнений (5.2.8) и (5.1.10) (или (5.1.11), (5.1.1)).

Отметим, что случай = 0 в (5.2.8) означает отсутствие полости (или жидкость «заморожена»), рассмотренный в [223, 297]. При этом ура внение (5.2.8) допускает разделение переменных, t и аналитическое интегрирование в квадратурах. Другой случай = 0 в (5.2.8) означает, что подвижная масса, соедененная с телом упругой связью с квадратичным трением, отсутствует или является абсолютно твердой. Наличие только полости с сильно вязкой жидкостью также допускает разделение перемен ных и интегрирование в квадратурах;

эта задача изучена в [223, 297]. Если параметр или относительно мал или оба малы, то к уравнению (5.2.8) можно применить методы регулярных возмущений на рассматрива емом промежутке времени t [t0, T0 ]. Однако только случай малых обоих коэффициентов и приводит к рациональным обозримым конструк циям приближенного решения. Они могут быть реализованы в виде раз ложений по степеням, или последовательными приближениями по схеме Пикара (см. п. 5).

Если в (5.2.8) формально положить = G 0 const, то это урав G= нение совпадает с полученным для неуправляемого движения ( b = 0 ). То гда правая часть есть тригонометрическая функция, а уравнение допус кает разделение переменных и численное интегрирование. Результаты чи сленного интегрирования в [294] отвечают изложенному выше качествен ( ) при t.

ному выводу о финальном значении t, 0, G 4. Анализ вращений тела в экваториальной плоскости.

Рассмотрим теперь изменение переменных p, q согласно пер вым двум уравнениям (5.2.1) с учетом (5.1.8) и известных выражений G ( t ), r ( t ) = A31G ( t ) cos ( t ) ;

коэффициент b будет также известной функцией t : b = b ( t, G ( t ) ). Зависимость от параметров системы и нача льных данных не указывается ради сокращения записи. Введем перемен ( ) 2 1/ ную N A1 p + q =, характеризующую эти вращения. Умножая пер вое уравнение (5.2.1) на A1 pN 1, а второе на A1 qN 1, и складывая, полу чим для N уравнение N =N + f ( t ) N 2, ( t ) N ( t0 ) = N 0, (5.2.11) = b(t ) G ( t ) A Qr ( t ), f ( t ) = A Sr ( t ).

(t ) 1 2 1 Это уравнение Бернулли (см. [317], стр. 297). Интегрируя (5.2.11), находим t N 1 ( N 0 ) =A12 S r 6 ( t ) E 1 ( t )dt, E (t ) (5.2.12) t t E ( t ) = exp ( t ) dt.

t0 = G A3 r, r = A3 G cos и поэтому G и Отметим, что N 2 2 N одновременно обращаются в нуль при =, где = 1 + (1 + 4 ) 2 ( 2 ) – время окончания процесса, = c 0 G 0 ( 2b02 ) (см. (5.2.5)).

Кроме того, согласно (5.1.19) N = G sin. Численный анализ изменения угла приведен в п.5 этого параграфа.

Используя известные выражения G ( t ) и r ( t ) приведем уравне ния для p и q (5.2.1) к виду линейных с переменными коэффициентами и определенной симметрией. Эти уравнения содержат только «гироскопи ческие» и «диссипативные» члены с коэффициентами g ( t ), ( t ) и f ( t ) соответственно N = ( t ) f ( t ) N ( t ) N + g ( t ) IN, N = ( A1 p, A1 q ), (5.2.13) T = A11 r ( t ) ( A1 A3 + FG 2 (t ) ) g (t ) Здесь I симплектическая единица, а «коэффициенты диссипа ции» d ( t ) и f ( t ) определены выше в (5.2.11). Коэффициенты, f и g известным образом зависят от времени t.

Уравнение (5.2.13) для N интегрируется в явном виде [223]. Дей ствительно, полагая N = Nn, где n = n ( t ) орт вектора N, получим для неизвестной n уравнение n = gIn. Начальное значение n ( t0 ) = n, N0 = N 0 n0.

n0 = 1 определяется условием Отметим, что n ( t ) n ( t0 ) =0 = для всех t [t0, T0 ]. Введем аргумент так, n чтобы n = In ;

имеем (5.1.21). Таким образом, прецессионные вращения квазитвердого тела (относительно оси в экваториальной плоскости) полно стью определены согласно (5.2.12), (5.1.21). Существенное значение при этом, как отмечалось, имеет знание переменных G ( t ) и r ( t ), которые определились в п.2, 3.

5. Численный анализ и выводы.

Обратимся вновь к проблеме определения сферического угла ( t ) в частном случае b = const. На основе п.2, 3 получим для и G представления ( ) = sin k (1 ) sin cos 4 + h, (5.2.14) (1 ) cos 2 G ( ) G (1 ) = t T0 [ 0,1], T0 = G b,, = 0 = G 08 A1 A3 = G 03 A1 A3 b, k b, h 0 k, h, = ( A1 A3 ) = ±1.

sign. Заметим, что Здесь штрих означает производную по аргументу в автономном случае b = b ( G ) (в частности, b = const ) без ограничения общности можно положить t0 = 0. При малых k и h, а также 0 в окрестности стационарных точек могут быть применены методы возмуще ний, которые в данном случае приводят к элементарным выражениям: по линомам по и экспонентам от полиномов и квадратурам от их произве дений. Например, после первой итерации в первом приближении по k, h (t ) и во втором по 0 имеем выражения для ( ) ( ) = 0 + sin 0 cos 0 ( k 8 ) sin 0 cos 4 0 1 (1 ) + (5.2.15) ( ) + ( h 3) 1 (1 ) + O ( k 2 + h 2 ), ( ) (= (= exp ( h 3) 1 (1 ) + O ( 02 ), * = 0, ) ) 0 0, ) ( ( ) ( )= 2 + ( )= 2 + 0 exp [ ( h 3) 1 (1 ) + O 0, * = 2, 0 0.

Для произвольных различных значений k, h и 0 решение урав нения (5.2.14) проводилось численно. Заметим, что семейства графиков = (, 0, k, h ) являются трехпараметрическими;

кроме того, два зна чения принимает параметр = ±1.

Рис. 54 Рис. На рис. 54, 55 приведены расчетные графические зависимости ± при начальных условиях 0 = 3, 6 соответственно и различных зна чениях параметров k, h, которые приведены на соответствующих кри ( ) = 0.

вых. Значениям k= h 0 отвечают горизонтальные прямые = + ( ) идут монотонно Если параметр = +1, то при k, h 0 кривые вверх к * = 2 выше этих прямых;

если = 1, то, наоборот, кривые ( ) идут монотонно вниз к * = 0 ниже этих прямых. При h = 0 (по лость отсутствует или жидкость «заморожена») семейства кривых по k совпадают с построенными ранее в [223, 297];

аналогично при k = 0 (под вижная масса, соединенная с телом упругой связью с квадратичной дисси пацией, отсутствует или является «абсолютно жесткой») семейства по h также отвечают изученным в [223, 297]. Основной качественный вывод, следующий из графиков рис. 54, 55 и других многочисленных расчетов, состоит в следующем. Оба фактора (упругий элемент с квадратичным тре ( ) = 0, нием и вязкая жидкость) способствуют стремлению при = 1. Для фиксированных значений k возрастание h приводит к ( ) к 0 или 2 ;

аналогичная ситуация более крутому стремлению имеет место при фиксированных значениях h и возрастании k. Итак, для семейств графиков имеют место следующие свойства монотонности ± ( 1, 0, k, h ) ± ( 2, 0, k, h ), 2 1, 1,2 [ 0,1], ± (, 10, k, h ) ± (, 2 0, k, h ), 20 10, 1,2 [ 0, 2], ± (, 0, k1, h ) ± (, 0, k2, h ), k2 k1, k1,2 [ 0, ), (5.2.16) ± (, 0, k, h1 ) ± (, 0, k, h2 ), h2 h1, h1,2 [ 0, ), ( 0,1), 0 ( 0, 2 ), k, h ( 0, ).

( = +1), Верхние знаки (меньше) неравенств (5.2.16) отвечают + ( = 1). Неравенства (5.2.16) означают, что при нижние (больше) фиксированных двух параметрах из трех и изменении третьего эти одно параметрические семейства не пересекаются (кроме точки 0, = 0 ).

На основе имеющихся зависимостей G ( t ), ( t ) находится осе вая составляющая r вектора угловой скорости : r ( ) = A3 G cos.

Это позволяет по формулам (5.2.12), (5.1.21н) определить другие состав ляющие:

( p, q ) = A11 Nn.

T Сравнение графических зависимостей рис. 51 и 54, 52 и 55 пока ( ) зывает, что при одинаковых значениях k и h более круто стреми тся к 0 или 2 в случае твердого тела, соединенного с подвижной мас сой упругой связью с вязким трением, рассмотренном в [298] и в § 1 этой главы.

Изложенная выше методика синтеза и анализа гибридных систем может быть обобщена с учетом возмущающих факторов различной физи ческой природы [223].

§3.Оптимальное торможение вращений динамически симмет ричного тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью, в сопро тивляющейся среде.

1. Постановка задача оптимального управления.

На основе подхода [135, 223] уравнения управляемых вращений в проекциях на оси связанной с фиксированным твердым телом системы ко ординат (уравнения Эйлера) могут быть представлены в виде [70, 74, 135, 223] A1 p + ( A3 A1 ) qr =L p + Qpr 2 A1 p, A1 q + ( A1 A3 ) pr =Lq + Qqr 2 A1 q, (5.3.1) A3 r = + H ( p 2 + q 2 ) r A3 r.

Lr Здесь p, q, r проекции вектора абсолютной угловой скорости на связанные оси, J = diag( A1, A1, A3 ) тензор инерции невозмущен ного тела, L p, q, r проекции вектора управляющего момента сил L ;

ки u G A12 + A32 r 2 2, нетический момент тела G = J, его модуль = = G p 2 + q 2.

= Для упрощения задачи в систему (5.3.1) внесено структурное ограничение. Считается, что диагональный тензор момента сил вязкого сопротивления пропорционален тензору момента сил инерции, т.е. момент сил диссипации пропорционален кинетическому моменту Lr = J, (5.3.2) где некоторый постоянный коэффициент пропорциональности, зави сящий от свойств среды. Сопротивление действующее на тело, можно представить парой приложенных сил. При этом, проекции момента этой пары на главные оси инерции тела являются величинами A1 p, A1 q, A1 r [70, 74]. Такое предположение не является противоречивым.

Предполагается, что допустимые значения Lu ограничены сферой и заданы в виде (5.1.2).

Введенные в (5.3.1) обозначения Q, H выражаются через пара метры системы согласно (5.1.3) = P 1 A12 A3 ( = P 1 A11 ( A3 A1 ). (5.3.3) A1 A3 ), H Q Коэффициенты Q, H в (5.3.1) характеризуют момент сил, обус ловленный движениями сильно вязкой жидкости в полости, объемная плотность, кинематический коэффициент вязкости, P коэффици ент, определяемый формой полости;

для сферической полости радиуса a он равен P = 8 a0 / 525 [135]. Основное допущение предположение о малости числа Рейнольдса Re, введенное, следуя (5.1.5).

Итак, в квазистатическом приближении момент со стороны вязкой жидкости в полости определяется мономами третьей степени от. Ма лый тормозящий момент сил вязкого трения является линейным относите льно угловой скорости возмущением. Математическая модель управляе мых вращений квазитвердого тела построена в виде уравнений Эйлера (5.3.1).

Ставится задача оптимального по быстродействию торможения вращений (5.1.6).

Требуется найти оптимальный закон управления в виде синтеза u = u (t, ), соответствующую ему траекторию (t, t0, 0 ) и время быст родействия T = T (t0, 0 ), а также функцию Беллмана задачи V = T (t, ).

2. Решение задачи оптимального торможения.

Отметим, что момент сил, обусловленный вязкой жидкостью в по лости, является внутренним для фиктивного тела, а момент сил вязкого трения внешним.

На основе динамического программирования синтез оптимального по быстродействию управления имеет вид [223] Ar A1 p Aq, Lq = b 1, Lr = b 3, b = b ( t, G ).

L p = b (5.3.4) G G G полагается b = b ( t, G ), Здесь для дальнейшего упрощения 0 b1 b b2.

Домножим первое уравнение (5.3.1) на A1 p, второе – на A1 q, третье – на A3 r и сложим. Получим уравнение вида G = ) G, G (t0 ) = G 0, G (T, t0, G 0 ) = 0, T = T ( t0, G 0 ), b ( t, G V (t, G ) = T (t, G ).

В предположении b = b ( t ) получим решение и условие для T t T ( t t0 ) b( )e ( t ) d, G 0 = e t0 b( )e (T ) d, = G0e G (t ) t0 t T = T ( t0, G ).

(5.3.5) Здесь t текущее время процесса торможения, T время быст родействия.

При b = const решение уравнения и краевой задачи (5.3.5) запи сывается следующим образом b b G (t ) = G 0 + exp(= t), T ln(G 0 + 1), t0 = 0. 5.3.6) b Далее детально анализируется случай (5.3.6).

3. Анализ осевого вращения для управляемого движения тела.

Подстановка известного выражения для G (5.3.6) в третье урав нение (5.3.1) приводит к элементарному нелинейному уравнению относи тельно r (уравнению Бернулли) r =r bG 1 + A12 HA31 ( G 2 A32 r 2 ).

(5.3.7) Заменой осевой составляющей вектора угловой скорости r = GR, где R неизвестная функция, уравнение (5.3.7) приводится к виду, допус кающему разделение переменных и тривиальное интегрирование R = (1 A32 R 2 ) R.

A2 HA1G 2 (5.3.8) 1 Вектор кинетического момента G при проектировании на глав ные центральные оси инерции тела приводит к выражению A3 r = G cos, где сферический угол. В результате для неизвестной R получается соотношение A3 R = cos. Уравнение (5.3.8) после перехода к неизвест ной может быть записано в виде, также допускающем разделение пере менных и аналитическое интегрирование =12 HA31 2 ( G 0 + b ) exp ( t ) b cos sin, (0) = 0.

A (5.3.9) Его решение записывается следующим образом { = tg 0 exp A12 HA31 0.5(G 0 + b) 2 1 ( exp ( 2 t ) 1) + tg } +2b(G 0 + b) 1 ( exp ( t ) 1) + b 2 t.

(5.3.10) Без нарушения общности можно принять, что начальное значение ( 0 ) = 0 принадлежит первой четверти ( 0 0 2 ). Если 0 прини мает значения из указанного промежутка, то угол в процессе эволюции * = 0, 2 стаци вращений также не выйдет за его пределы, поскольку онарные точки уравнения (5.3.9) независимо от изменения G.

Исследуем поведение угла нутации в малой полуокрестности ста * = 0, 2 уравнения (5.3.8): = 0 и +, = ционарных точек 0. В первом случае ( * = 0 ) имеем =12 HA31 2 (G 0 + b) exp ( t ) b, A (5.3.11) ( t ) 0 exp { A12 HA31 2 0.5(G 0 + b) 2 1 ( exp ( 2 t ) 1) + = } +2b(G 0 + b) 1 ( exp ( t ) 1) + b 2 t.

Из (5.3.11) следует, что при A3 A1 (сплюснутое тело) вариация монотонно убывает, а при A3 A1 (вытянутое тело) – монотонно воз растает, так как H 0 или H 0.

+, 0 * =. Анало Рассмотрим второй случай = гично (5.3.11) имеем = A12 HA31 2 (G 0 + b) exp ( t ) b, (5.3.12) { = 0 exp A12 HA31 2 0.5(G 0 + b) 2 1 ( exp ( 2 t ) 1) + ( t ) } +2b(G 0 + b) 1 ( exp ( t ) 1) + b 2 t, = 0 0.

(0) Из (5.3.12) следует, что при A1 A3 величина монотонно убывает, а при A1 A3 монотонно возрастает.

4. Анализ вращений тела в экваториальной плоскости.

Рассмотрим теперь изменение экваториальных составляющих пе ременных p, q согласно первым двум уравнением (5.3.1) с учетом (5.1.5) и известных выражений G ( t ), r ( t ) = A3 G ( t ) cos ( t ) ;

коэффициент b ( ) будет также известной функцией t : b = b t, G ( t ). Зависимость от пара метров системы и начальных данных не указывается ради сокращения за ( ) 2 1/ писи. Введем переменную N A1 p + q =, имеющую смысл модуля указанных составляющих, характеризующую эти вращения. Умножая пер вое уравнение (5.3.1) на A1 pN 1, а второе на A1 qN 1 и складывая, полу чим для N линейное однородное уравнение b N = ( t ) N, ( t ) = A11Qr 2 ( t ) +, ( t ) 0.

(5.3.13) G (t ) После интегрирования имеем ) (( p ) + ( q ) t = N 0 exp ( )d, N 0 A N (t ) 02 02 =. (5.3.14) t0 Согласно (5.1.19) N = G sin.

При b = const с учетом (5.3.6) имеем ( G 0 + b ) exp( t ) b sin.

= N (5.3.15) Численный анализ изменения угла приведен в п.5.

Используя известные выражения G ( t ) и r ( t ), приведем уравне ния для p, q (5.3.1) к виду линейных с переменными коэффициентами и определенной симметрией. Эти уравнения содержат только «гироскопиче ские» и «диссипативные» члены с коэффициентами g ( t ) и ( t ) соответ ственно N = N + g ( t ) IN, N = ( A1 p, A1= A11 r ( t )( A1 A3 ). (5.3.16) ( t ) q ), g (t ) T Здесь I симплектическая единица, а коэффициент определен в (5.3.13).

Уравнение (5.3.16) для N интегрируется в явном виде. Полагая N = Nn, где n = n ( t ) орт вектора N, получим для неизвестной n ура внение n = gIn. Начальное значение n ( 0 ) = n, n 0 = 1 определяется условием N 0 = N 0 n 0. Отметим, что n ( t ) 1 для всех t [ 0, T0 ]. Введем аргумент так, чтобы n = In ;

в этом случае получим (5.1.21).

Таким образом, прецессионные вращения квазитвердого тела (от носительно оси в экваториальной плоскости) полностью определены сог ласно (5.3.14), (5.1.21).

5. Численный анализ и выводы.

(t ) в Обратимся вновь к задаче определения сферического угла частном случае b = const согласно (5.3.9). Проведем обезразмеривание этого уравнения. Введем обозначения 0 G, H = A2 HA1T 3 b 2.

t, = T, G = = (5.3.17) 1 bT T В результате этих преобразований получим уравнения для угла d ( ) ( ) ±H = 2 G 0 + 1 exp 1 cos sin, (5.3.18) d при A1 A3 или A1 A3.

Уравнения (5.3.18) было численно проинтегрированы для произ 0 = 4 рад. Графики изме вольных различных значений G 0,, H и нения угла представлены на рис.56 – 59. Рис. 56, 57 соответствуют ди намически вытянутому телу, а рис. 58, 59 сплюснутому.

Рис. Рис. Расчет кривых рис. 56 проводился при значении H = 1 для разли чных безразмерных коэффициентов момента сил сопротивления и началь ного значения кинетического момента. Кривая 1 для G 0 = 1 и = 0.1, кривая 2 G0= 1 и кривая 3 G0= 0.1. Видно, что во всех расче = = тных случаях угол растет, но характер роста зависит от значения вели чины G 0. Данная безразмерная величина характеризует отношение нача льного кинетического момента твердого тела по отношению к характерис тикам управляемого движения, что позволяет сделать вывод: при малой начальной скорости вращения тела изменение сферического угла носит более ярко выраженный экспоненциальный характер. При данных значе ниях безразмерных параметров уравнения (5.3.18) изменение угла проис ходит в среднем на 20 %. Рис.57 показывает существенный рост сферичес кого угла твердого тела за время торможения с достижением предельного значения. Кривые 1, 2 соответствуют G 0 = 1, кривая 3 G 0 = 2, а кривая 0 = 0.1. Эти кривые подтверждают вышеуказанный вывод о характе 4 G ре изменения функции сферического угла. Кривые 1, 2, 4 соответствуют существенному влиянию момента сил вязкой жидкости в полости H = 10.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.