авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |

«Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская, Я.С. Зинкевич Возмущенные и управляемые вращения твердого тела Одесса - 2013 УДК ...»

-- [ Страница 5 ] --

Кривая 3 получена при H = 1. Для расчета учитываются различные значе ния безразмерного коэффициента момента сил сопротивления среды: кри вые 1, 4 = 0.1, кривые 2, 3 = 1. Видно, что чем больше отношение коэффициента H к безразмерному коэффициенту момента сил сопротив, то тем быстрее тело стремится к устойчивому предельному по ления ложению оси вращения.

Рис. Расчет кривых рис.58, 59 проводился для динамически сплюсну того твердого тела. Значения безразмерных величин G 0,, H выбраны аналогично случаю динамически вытянутого тела. Из рисунков видно, что угол убывает, стремясь к некоторому предельному значению. Характер убывания функции также зависит от величины кинетического момента те ла в начальный момент времени, а при значительном коэффициенте моме нта сил вязкой жидкости в полости при незначительном сопротивлении среды, угол стремится к предельному положению 0 рад.

При A1 = A3, а также 0 в окрестности стационарных точек могут быть применены методы возмущений, которые в данном случае приводят к элементарным выражениям. Например, после первой итерации имеем выражение для ( ) =P 1 ( A3 A1 ) 2 cos 0 sin 0 A13 A31 (5.3.19) 0.5(G 0 + b) 2 1 ( exp ( 2 t ) 1) + 2(G 0 + b)b 1 ( exp ( t ) 1) + b 2 t Формула (5.3.19) позволяет провести анализ угла во времени для различных значений параметров системы и начальных данных.

Рис. Таким образом, аналитически и численно исследована задача син теза оптимального по быстродействию торможения вращений динамичес ки симметричного «квазитвердого» тела в сопротивляющейся среде. В ра мках асимптотического подхода определены управление, время быстро действия (функция Беллмана) и сферический угол, установлены качест венные свойства оптимального движения.

§4. Оптимальное торможение вращений динамически симмет ричного тела с подвижной массой в сопротивляющейся среде.

1. Постановка задачи оптимального управления.

На основе подхода [135, 223] уравнения управляемых вращений в проекциях на оси связанной с фиксированным твердым телом системы ко ординат (уравнения Эйлера) могут быть представлены в виде [70, 74, 168, 223] A1 p + ( A3 A1 ) qr =L p + FG 2 qr + Dr 4 p A1 p, A1 q + ( A1 A3 ) pr =Lq FG 2 pr + Dr 4 q A1 q, (5.4.1) A3 r =Lr A1 A31 Dr 3 ( p 2 + q 2 ) A3 r.

Здесь p, q, r проекции вектора абсолютной угловой скорости на связанные оси, J = diag( A1, A1, A3 ) тензор инерции невозмущен ного тела, L p, q, r проекции вектора управляющего момента сил Lu ;

ки G A12 + A32 r 2 2, нетический момент тела G = J, его модуль = = G p 2 + q 2.

= Как и в § 3 данной главы считается, что момент сил диссипации пропорционален кинетическому моменту.

Предполагается, что допустимые значения L ограничены сферой u и заданы в виде (5.1.2).

Введенные в (5.4.1) обозначения F, D выражаются через парамет ры системы согласно (5.1.3) = m 2 2 A3 A13,= m A3 ( A1 A3 ) A1.

4 3 D F (5.4.2) Коэффициенты D, F в (5.4.1) характеризуют возмущающие мо менты сил, обусловленные наличием вязкоупругого элемента, m масса подвижной точки, расстояние от центра масс недеформированной си стемы до точки крепления, которая находится, по предположению, на оси 1 = m динамической симметрии этого тела. Постоянные =c m, определяют частоту колебаний и скорость их затухания соответственно;

c жесткость (коэффициент упругости), коэффициент вязкости демп фера. Рассматривается случай сильного демпфера, когда коэффициенты связи велики в смысле (5.1.4).

В квазистатическом приближении возмущающие моменты сил, обусловленные упругостью и вязкостью демпфера, определяются монома ми компонент вектора четвертой и пятой степенями соответственно.

Малый тормозящий момент сопротивления среды является линейным от носительно угловой скорости возмущением. Математическая модель управляемых вращений квазитвердого тела построена в виде уравнений Эйлера (5.4.1).

Ставится задача оптимального по быстродействию торможения вращений (5.1.6).

Требуется найти оптимальный закон управления в виде синтеза u = u (t, ), соответствующую ему траекторию (t, t0, 0 ) и время быст родействия T = T (t0, 0 ), а также функцию Беллмана задачи V = T (t, ).

2. Решение задачи оптимального торможения.

Отметим, что момент сил, обусловленный движением вязкоупру гого элемента, является внутренним для фиктивного тела, а момент сил линейного сопротивления среды внешним.

На основе динамического программирования и неравенства Шва рца синтез оптимального по быстродействию управления имеет вид [223] Ar A1 p Aq, M q = b 1, M r = b 3, b = b ( t, G ). (5.4.3) M p = b G G G Здесь для упрощения полагаем b = b ( t, G ), 0 b1 b b2.

Домножим первое уравнение (5.4.1) на A1 p, второе – на A1 q, третье – на A3 r и сложим. Получим скалярное уравнение, подлежащее интегрированию, и уравнение для T ( ) G = ) G, G (t0 ) = G 0, G (T, t0, G 0 ) = 0, T = T t0, G 0, ( t ).

b ( t, G В предположении b = b ( t ) получим решение и условие для T t T ( t t0 ) b( )e ( t ) d, G 0 = e t0 b( )e d, = G0e G (t ) t0 t T = T ( t0, G ).

(5.4.4) Здесь t текущее время процесса торможения, T время быст родействия.

При b = const решение уравнения и краевой задачи (5.4.4) запи сывается следующим образом 1 0 ( G 0 + b ) exp(= t) b, T + 1, t0 = 0. (5.4.5) = ln G G (t ) b Далее детально анализируется случай (5.4.5).

3.Анализ осевого вращения для управляемого движения тела.

Подстановка известного выражения для G (5.4.5) в третье урав нение (5.4.1) приводит к элементарному нелинейному уравнению относи тельно r r =r bG 1 + + A11 A32 Dr 2 ( G 2 A32 r 2 ).

(5.4.6) Заменой осевой составляющей вектора угловой скорости r = GR, где R неизвестная функция, уравнение (5.4.6) приводится к виду, допус кающему разделение переменных и тривиальное интегрирование R = (1 A32 R 2 ).

A11 A32 DG 4 R 3 (5.4.7) Вектор кинетического момента G при проектировании на глав ные центральные оси инерции тела приводит к выражению A3 r = G cos, где сферический угол. В результате для неизвестной R получается соотношение A3 R = cos. Уравнение (5.4.7) после перехода к неизвест ной может быть представлено в виде = A11 A34 D 4 ( G 0 + b ) exp( t ) b cos3 sin, (0) =.

(5.4.8) Решение (5.4.8) записывается следующим образом:

tg 2 exp ( tg 2 ) = tg 2 0 exp ( tg 2 0 ) exp ( 2 K (t ) ),(5.4.9) f ( 4 t ) 4 f ( 3 t ) 3 f ( 2 t ) + 4 f ( t ) + b4 t, K (t ) A11 A34 D = + 4 3 ( t ) 1b4 ( b + G 0 ) ( exp ( t ) 1), = = 1, 2, 3, 4.

где f Без нарушения общности можно принять, что начальное значение ( 0 ) = 0 принадлежит первой четверти ( 0 0 2 ). Если 0 прини мает значения из указанного промежутка, то сферический угол в процессе эволюции вращений также не выйдет за его пределы, поскольку * = 0, 2 стационарные точки уравнения (5.4.9) независимо от измене ния G.

Уравнение (5.4.9) определяет в неявном виде зависимость угла от t. Левая часть этого равенства есть монотонно возрастающая функция от tg, а правая часть монотонная функция t. Следовательно, соотно шение (5.4.9) задает однозначную монотонную функцию (t ). Характер поведения данной функции аналогичен изученному в [168].

Исследуем поведение сферического угла в малой полуокрестности стационарной точки * = 0 уравнения (5.4.8): = 0. Уравнение (5.4.8) примет вид:

= A1 A3 D 4 (G 0 + b) exp ( t ) b, 1 4 = 0 exp( K (t )). (5.4.10) Из (5.4.10) следует, что при A3 A1 (динамически сплюснутое тело) вариация монотонно убывает, а при A3 A1 (динамически вы тянутое тело) – монотонно возрастает, так как D 0 или D 0.

При A1 A3, а также 0 в окрестности стационарных точек могут быть применены методы возмущений, которые в данном случае приводят к элементарным выражениям. Например, после первой итерации имеем выражение для ( t ) 0 + A11 A34 D 5 sin 0 cos3 0 K (t ).

= (5.4.11) Формула (5.4.11) позволяет провести анализ угла во времени для различных значений параметров системы и начальных данных.

4. Анализ вращений тела в экваториальной плоскости.

Рассмотрим теперь изменение экваториальных составляющих пе ременных p, q согласно первым двум уравнениям (5.4.1) с учетом (5.1.5) и известных выражений G ( t ), r ( t ) = A3 G ( t ) cos ( t ) ;

коэффициент b ( ) будет также известной функцией t : b = b t, G ( t ). Зависимость от пара метров системы и начальных данных не указывается ради сокращения за писи. Введем переменную N = A1, имеющую смысл модуля указанных составляющих, характеризующую эти вращения. Умножая первое уравне ние (5.4.1) на A1 pN 1, а второе на A1 qN 1 и складывая, получим для N линейное однородное уравнение N = ( t ) N, ( t ) = A11 Dr 4 ( t ) +, ( t ) 0.

b(t ) (5.4.12) G (t ) После интегрирования имеем t ) (( p ) + ( q0 ) 2 1/ = N 0 exp ( )d, N 0 A N (t ).(5.4.13) t0 С другой стороны, квадрат величины кинетического момента тела может быть представлен в виде G 2 N 2 + A3 r 2.

= (G A32 r 2 ) 1/ Отсюда легко получить выражение для N : = N или, учитывая соотношение A3 r = G cos, N = G sin.(5.4.14) При b = const с учетом (5.4.5) имеем ( G 0 + b ) exp( t ) b sin.

= N (5.4.15) Численный анализ изменения угла приведен в п.5.

Используя известные выражения G ( t ) и r ( t ), приведем уравне ния для p, q (5.4.1) к виду линейных уравнений с переменными коэф фициентами и определенной симметрией. Эти уравнения содержат только «гироскопические» и «диссипативные» члены с коэффициентами g ( t ) и ( t ) соответственно N = N + g ( t ) IN, N = ( A1 p, A1 q ), ( t ) T = A11 r ( t ) ( A1 A3 + FG 2 (t ) ).

g (t ) (5.4.16) Здесь I симплектическая единица, а коэффициент определен в (5.4.12).

Гироскопический коэффициент g ( t ) совпадает с аналогичной величиной, определенной при движении тела со сферической полостью, заполненной несжимаемой жидкостью большой вязкости, и с вязкоупру гим элементом [298].

Уравнение (5.4.16) для N интегрируется в явном виде. Полагая N = Nn, где n = n ( t ) орт вектора N, получим для неизвестной n ура внение n = gIn. Начальное значение n ( 0 ) = n, n 0 = 1 определяется условием N 0 = N 0 n 0. Отметим, что n ( t ) 1 для всех t [ 0, T0 ]. Введем так, чтобы n = In ;

в этом случае получим (5.1.21).

аргумент Таким образом, прецессионные вращения твердого тела (относи тельно оси в экваториальной плоскости) полностью определены согласно (5.4.13), (5.1.21).

5.Численный анализ и выводы.

Обратимся вновь к задаче определения сферического угла (t ) в частном случае b = const согласно (5.4.8). Проведем обезразмеривание уравнения (5.4.8). Введем обозначения 0 G, D = A1 A4 DT 5 b 4.

t, = T, G = = (5.4.17) 1 bT T В результате этих преобразований получим уравнение для угла d ( ) = D 4 G 0 + 1 exp( ) 1 cos3 sin. (5.4.18) d Рис. Уравнения (5.4.18) было численно проинтегрированы для произ 0 = 4 рад. Графики изме вольных различных значений G 0,, D и нения угла представлены на рис.60 – 63. Рис.60, 61 соответствуют ди намически вытянутому телу, а рис. 62, 63 сплюснутому.

Расчет кривых рис. 60 проводился при значении D = 1 для разли чных безразмерных коэффициентов момента сил сопротивления и началь ного значения кинетического момента. Кривая 1 для G 0 = 1 и = 0.1, кривая 2 G0= 1 и кривая 3 G0= 0.1. Видно, что во всех расчет = = Рис. ных случаях угол растет, но характер роста зависит от значения вели чины G 0. Данная безразмерная величина характеризует отношение нача льного кинетического момента твердого тела по отношению к характерис тикам управляемого движения. Можно сделать вывод: при малом значении вектора кинетического момента в начальный момент времени изменение сферического угла носит более ярко выраженный экспоненциальный характер. Для заданных значений безразмерных параметров уравнения (5.3.18) изменение угла происходит на незначительную величину.

На рис.61 показан более существенный рост сферического угла твердого тела за время торможения с достижением предельного значения.

Все кривые получены при значении параметра G 0 = 1. Кривая 1 соответс = 1, а остальные при значении параметра = 0.1. Численный твует расчет показал, что с увеличением значения параметра D, рост сферичес кого угла происходит с большим градиентом на начальном промежутке движения твердого тела. Таким образом, чем больше возмущающий мо мент, обусловленный наличием вязкоупругого элемента, то тем быстрее угол достигает своего предельного значения. Само предельное значение сферического угла, при котором происходит полное торможение твердого тела, также зависит от величины возмущающего момента вязкоупругого элемента.

Аналогичный характер поведения для функции (t ) получен в работах [293, 298].

Расчет кривых рис.62, 63 проводился для динамически сплюсну того твердого тела. На рис. 62 представлено численное интегрирование Рис. при значении D = 1. Видим что, как и для динамически вытянутого твер дого тела, изменение угла незначительно. Для тела с такой геометрией масс сферический угол является функцией убывающей. Предельное зна чение, к которому стремится убывающая функция и характер поведения зависит от величины безразмерных параметров G 0,. Для кривых 1, отношение кинетического момента в начальный момент времени к пара метрам управляющего момента равно 0.1, а для кривых 3, 4 G0 = 1. Рас сматривались значения для безразмерного параметра = 1 для кр. 1, 3 и = 0.1 кр. 2, 4.

Рис. Из рисунка 63 видно, что угол убывает, стремясь к некоторому предельному значению. Характер убывания функции зависит от величины кинетического момента тела в начальный момент времени, а при значите льном коэффициенте возмущающего момента вязкоупругого элемента стремится к предельному положению 0 рад. Кривая 1: G 0 = 2, = 1, D = 1 ;

кр. 2 G = 1, = 0.1, D = 20 ;

кр. 3 G = 1, = 1, D = 100.

0 Численный расчет показал, что характер поведения функции (t ) в данной задаче совпадает с характером поведения функции изменения сферического угла для твердого тела с подвижными внутренними масса ми [168].

Таким образом, направление вектора кинетического момента G в связанной с телом системе координат стремится к стационарному состоя нию: к направлениям осей, соответствующим наибольшим моментам ине рции.

Аналитически и численно исследована задача синтеза оптималь ного по быстродействию торможения вращений динамически симметрич ного твердого тела с вязкоупругим элементом в сопротивляющейся среде.

В рамках асимптотического подхода определены управление, время быст родействия (функция Беллмана) и сферический угол, установлены ка чественные свойства оптимального движения.

§5. Оптимальное торможение вращений динамически симмет ричного тела с внутренней степенью свободы в среде с сопротивлени ем 1. Постановка задачи оптимального управления.

На основе подхода [223, 293] уравнения управляемых вращений в проекциях на оси связанной с фиксированным твердым телом системы ко ординат (уравнения Эйлера) могут быть представлены в виде [70, 74, 223, 293] A1 p + ( A3 A1 ) qr =L p + FG 2 qr + Spr 6 A1 p, A1 q + ( A1 A3 ) pr =Lq FG 2 pr + Sqr 6 A1 q, (5.5.1) A3 r = Sr A3 r.

Lr A1 A 5 Здесь p, q, r проекции вектора абсолютной угловой скорости на связанные оси, J = diag( A1, A1, A3 ) тензор инерции невозмущен ного тела, L p, q, r проекции вектора момента управляющих сил Lu ;

кине G A12 + A32 r 2 2, тический момент тела G = J, его модуль = = G p 2 + q 2.

= Как и в §3 данной главы считается, что момент сил диссипации пропорционален кинетическому моменту.

Предполагается, что допустимые значения L ограничены сферой u и заданы в виде (5.1.2).

Введенные в (5.5.1) обозначения F, S выражаются через парамет ры системы согласно (5.2.2) = m 2 2 A13 A3= m d d A1 A3, d = 1 A3 A11. (5.5.2) 3 4,S F Коэффициенты F, S характеризуют возмущающие моменты сил, обусловленные наличием упругого элемента. Здесь m масса подвижной точки, радиус-вектор точки O1 крепления подвижной массы, находя µ m, 1 = m = опреде щейся на оси симметрии. Постоянные =c 2 ляют частоту колебаний и скорость их затухания соответственно;

c жес ткость;

µ коэффициент квадратичного трения.

Рассматривается случай, когда коэффициенты связи 1 и тако вы, что «свободные» движения точки m, вызванные начальными откло нениями, затухают значительно быстрее, чем тело совершит оборот. Дви жение твердого тела близко к движению Эйлера-Пуансо, а относительные колебания точки, вынуждаемые этим движением будут малы (5.2.3).

Итак в квазистатическом приближении возмущающие моменты сил, обусловленные упругостью и квадратичным трением демпфера, опре деляются мономами компонент вектора = ( p, q, r ) четвертой и вось мой степени соответственно. Малый тормозящий момент сопротивления среды является линейным относительно угловой скорости возмущением.

Математическая модель управляемых вращений квазитвердого тела пост роена в виде уравнений Эйлера (5.5.1).

Ставится задача оптимального по быстродействию торможения вращений (5.1.6).

Требуется найти оптимальный закон управления в виде синтеза u = u (t, ), соответствующую ему траекторию (t, t0, 0 ) и время быст родействия T = T (t0, 0 ), а также функцию Беллмана задачи V = T (t, ).

2.Решение задачи оптимального торможения.

Отметим, что момент сил, обусловленный движением подвижной массы, соединенной с телом упругой связью при наличии квадратичного трения, является внутренним для фиктивного тела, а момент сил линейно го сопротивления среды внешним.

На основе динамического программирования синтез оптимального по быстродействию управления имеет вид [223] Ar A1 p Aq, M q = b 1, M r = b 3, b = b ( t, G ). (5.5.3) M p = b G G G Здесь для упрощения полагаем b = b ( t, G ), 0 b1 b b2.

Домножим первое уравнение (5.5.1) на A1 p, второе – на A1 q, третье – на A3 r и сложим. Получим скалярное уравнение, подлежащее интегрированию, и уравнение для T ( ) G = ) G, G (t0 ) = G 0, G (T, t0, G 0 ) = 0, T = T t0, G 0, b ( t, G V (t, G ) = T (t, G ).

В предположении b = b ( t ) получим решение и условие для T t T ( t t0 ) b( )e ( t ) d, G 0 = e t0 b( )e d, = G0e G (t ) t0 t T = T ( t0, G ).

(5.5.4) Здесь t текущее время процесса торможения, T время быст родействия.

При b = const решение уравнения и краевой задачи (5.5.4) запи сывается следующим образом 1 0 ( G 0 + b ) exp(= t) b, T + 1, t0 = 0.(5.5.5) = ln G G (t ) b Далее детально анализируется случай (5.5.5).

3. Анализ осевого вращения для управляемого движения тела.

Подстановка известного выражения для G (5.5.5) в третье урав нение (5.5.1) приводит к нелинейному уравнению относительно r следу ющего вида r = 1 + A12 A32 Sr 4 ( G 2 A32 r 2 ) +.

r bG 3/ (5.5.6) Заменой осевой составляющей вектора угловой скорости r = GR, где R неизвестная функция, уравнение (5.5.6) приводится к виду, допус кающему разделение переменных и тривиальное интегрирование R = (1 A32 R 2 ) 3/ A12 A32 SG 4 R 5 G 2. (5.5.7) Вектор кинетического момента G при проектировании на глав ные центральные оси инерции тела приводит к выражению A3 r = G cos, где сферический угол. В результате для неизвестной R получается соотношение A3 R = cos. Уравнение (5.5.7) после перехода к неизвест ной может быть записано в виде = A12 A36 S sin sin cos5 7 ( G 0 + b ) exp( t ) b, (5.5.8) (0) = 0.

Его решение записывается следующим образом:

2 sec cosec +5 ( sec 2 3) cosec 2 sec 4 0 cosec 5 ( sec 2 0 3) cosec 0 + 15 ln tg + tg 1 + =,K (t ) 4 2 4 f ( 7 t ) 7 f ( 6 t ) 21 f ( 5 t ) K (t ) =36 S ±8 A12 A + + (5.5.9) 7 6 35 f ( 4 t ) 35 f ( 3 t ) 21 f ( 2 t ) 7 f ( t ) + b7 t, + + 4 3 ( t ) 1b7 ( b + G 0 ) ( exp ( t ) 1), = = 1, 2,..., 7.

где f Без нарушения общности можно принять, что 0 (и ) принад лежат первой четверти ( 0 2 ). Если принимает значения из 0 указанного промежутка, то сферический угол в процессе эволюции враще * = 0, 2 стационарные ний также не выйдет за его пределы, поскольку точки уравнения (5.5.8).

При A1 A3, а также 0 в окрестности стационарных точек мо гут быть применены методы возмущений, которые в данном случае приво дят к элементарным выражениям. Например, после первой итерации име ем выражение для ( t ) 0 + sin 2 0 cos5 0 K (t ).

= (5.5.10) Формула (5.5.10) позволяет провести анализ угла во времени для различных значений параметров системы и начальных данных.

4. Анализ вращений тела в экваториальной плоскости.

Рассмотрим теперь изменение экваториальных составляющих пе ременных p, q согласно первым двум уравнениям (5.5.1) с учетом (5.1.5) и известных выражений G ( t ), r ( t ) = A3 G ( t ) cos ( t ) ;

коэффициент b ( ) будет также известной функцией t : b = b t, G ( t ). Зависимость от пара метров системы и начальных данных не указывается ради сокращения за писи. Введем переменную N = A1, имеющую смысл модуля указанных составляющих, характеризующую эти вращения. Умножая первое уравне ние (5.5.1) на A1 pN 1, а второе на A1 qN 1 и складывая, получим для N линейное однородное уравнение N =N + f (t ) N 2, N ( t0 ) = N 0, ( t ) (5.5.11) b(t ) +, f ( t ) = A12 Sr 6 (t ).

(t ) = G (t ) Это уравнение Бернулли (см. [317], с.297). Интегрируя (5.5.11), находим t t N 1 ( N 0 ) = 12 S r 6 (t ) E 1 (t )dt, E (t ) = exp (t )dt.

E (t ) A t0 t (5.5.12) С другой стороны, квадрат величины кинетического момента тела может быть представлен в виде G 2 N 2 + A3 r 2.

= (G A32 r 2 ) 1/ Отсюда легко получить выражение для N : = N или, учитывая соотношение A3 r = G cos, N = G sin. 5.5.13) При b = const с учетом (5.5.4) имеем ( G 0 + b ) exp( t ) b sin.

= N (5.5.14) Численный анализ изменения угла приведен в п.5.

Используя известные выражения G ( t ) и r ( t ), приведем уравне ния для p, q (5.5.1) к виду уравнений с переменными коэффициентами и определенной симметрией. Эти уравнения содержат только «гироскопиче ские» и «диссипативные» члены с коэффициентами g ( t ), (t ) и f (t ) соответственно N = ( t ) f (t ) N N + g ( t ) IN, N = ( A1 p, A1 q ), T = A11 r ( t ) ( A1 A3 + FG 2 (t ) ).

g (t ) (5.5.15) Здесь I симплектическая единица, а «коэффициенты диссипа ции» (t ) и f ( t ) определены в (5.5.11).

Уравнение (5.5.15) для N интегрируется в явном виде. Полагая N = Nn, где n = n ( t ) орт вектора N, получим для неизвестной n ура внение n = gIn. Начальное значение n ( 0 ) = n, n 0 = 1 определяется условием N 0 = N 0 n 0. Отметим, что n ( t ) 1 для всех t [ 0, T0 ]. Введем аргумент так, чтобы n = In ;

в этом случае получим (5.1.21).

Таким образом, прецессионные вращения твердого тела (относи тельно оси в экваториальной плоскости) полностью определены согласно (5.5.12), (5.1.21).

5. Численный анализ и выводы.

Обратимся вновь к задаче определения угла (t ) в частном случае b = const согласно (5.5.8). Проведем обезразмеривание уравнения (5.5.8).

Введем обозначения 0 G, S = A2 A6 ST 8 b 7.

t, = T, G = = (5.5.16) 1 bT T В результате этих преобразований получим уравнение для угла d ( ) = S 7 sign(d ) sin sin cos5 G 0 + 1 exp( ) 1. (5.5.17) d Рис. Уравнения (5.5.17) было численно проинтегрированы для произ вольных различных значений G 0,, S и 0 = рад. Графики изме нения угла представлены на рис. 64 – 67. Рис. 64, 65 соответствуют ди намически вытянутому телу, а рис. 66, 67 сплюснутому.

Рис. На рис. 64 представлено небольшое изменение сферического угла, при чем наибольший градиент изменения его величины наблюдается в пе рвой трети времени. Расчет проводился при постоянных безразмерных значениях G 0 = 1 и S = 1, безразмерный коэффициент, характеризующий величину момента сил сопротивления среды, имел значения = 1, 0.1, 0.01 для кривых 3, 2 и 1 соответственно. Видно, что чем больше коэффициент, тем на меньшую величину возрастает угол. На рис. представлен численный расчет с большим приращением угла. Кривая G 0 = 3, S = 10, = 1, кривая 2 G 0 = 3, S = 1, = 1, кривая G 0 = 1, S = 100, = 0.1. Видно, что чем больше отношение начального значения кинетического момента к параметрам управления, тем к больше му асимптотическому значению стремится сферический угол. При этом градиент возрастания зависит от величины безразмерного коэффициента момента сопротивления. Уменьшение отношения возмущающего момента сил, обусловленного наличием упругого элемента, к параметрам управле ния при одних и тех же значениях G 0, приводит к уменьшению асимп тотического значения угла.

Рис. Аналогичный характер поведения для функции (t ) получен в работах [297 – 299].

Численно исследовано изменения сферического угла для динами чески сплюснутого твердого тела ( A1 A3 ). Получено убывание угла к некоторому асимптотическому значению, которое зависит от безразмер ных параметров уравнения (5.5.17). На рис. 66 видно незначительное из менение угла при G 0 = 1 : кривая 1 = 0.1, S = 0.1, кривая 2 = 1, S = 1, кривая 3 = 0.1, S = 1. Из рисунка видно, что более существен ное убывание численно получено при малом коэффициенте момента со Рис. противления и безразмерном коэффициенте возмущающего момента, обу словленного наличием упругого элемента, одного порядка с безразмерным коэффициентом G 0. При существенном влиянии возмущающего момента упругого элемента убывание сферического угла может происходить до ма лого значения. На рис. 67 представлен результат численного расчета пове дения сферического угла для динамически вытянутого твердого тела при G 0 = 1. Кривая 1 = 10, S = 10, кривая 2 = 0.1, S = 10, кривая 3 = 0.1, S = 100. Видно, что характер поведения функции = ( ) аналогичен рис. 66.

Численный расчет показал, что характер поведения функции (t ) в данной задаче совпадает с характером поведения функции изменения угла нутации для твердого тела с подвижными внутренними массами [168].

Таким образом, направление вектора кинетического момента G в связанной с телом системе координат стремится к стационарному состоя нию: к направлениям осей, соответствующим наибольшим моментам ине рции.

Аналитически и численно исследована задача синтеза оптималь ного по быстродействию торможения вращений динамически симметрич ного твердого тела с подвижной массой, соединенной с телом упругой свя зью при наличии квадратичного трения, в сопротивляющейся среде. В ра мках асимптотического подхода определены управление, время быстро действия (функция Беллмана) и сферический угол, установлены качест венные свойства оптимального движения.

Контрольные вопросы и задания Запишите формулу для числа Рейнольдса.

1.

Сформулируйте задачу оптимального по быстродействию тормо 2.

жения вращений твердого тела.

Проведите численное интегрирование уравнения изменения сфе 3.

рического угла (5.1.22) для различных значений параметров k, h при различных начальных условиях для угла 0.

Постройте графики изменения функции = (t ) с помощью биб 4.

лиотеки ZedGraph.dllи проведите анализ полученных результатов.

Что является малым параметром задачи о наискорейшем тормо 5.

жении вращений гиростата с массой, связанной демпфером с ква дратичным трением?

Численно определите характер поведения функции (t ) для ди 6.

намически симметричного гиростата (5.2.14) при b = const.

Сформулируйте результаты исследования задачи оптимального 7.

торможения вращений динамически симметричного тела с полос тью, заполненной вязкой жидкостью, в сопротивляющейся среде.

Численно исследуйте характер поведения модуля вектора кинети 8.

ческого момента при различных выражениях функции b = b ( t ) (5.4.4).

9. Запишите формулы частоты колебаний и скорости их затухания.

10. В чем заключаются результаты анализа вращений тела в экватори альной плоскости при оптимальном торможении вращений дина мически симметричного тела с внутренней степенью свободы в среде с сопротивлением?

Глава 6.

Оптимальное по быстродействию торможение вращений твердого тела в среде с сопротивлением.

Естественное развитие исследований задач динамики и управле ния движением твердых тел вокруг неподвижной точки состоит в учете то го обстоятельства, что тела не являются абсолютно твердыми, а в некото ром смысле близки к указанным идеальным моделям. Необходимость ана лиза влияния различных неидеальностей обусловлена ростом требований к точности решения практических задач космонавтики, гироскопии и др.

Влияние неидеальностей может быть выявлено на основе асимптотических методов нелинейной механики (сингулярных возмущений, усреднения и др.).

Главы 5 и 6 посвящены исследованию задач оптимального по быстродействию торможения вращений динамически симметричного твердого тела под действием моментов сил различной природы. Рассмат риваются вращения твердого тела при наличии моментов сил, обусловлен ных влиянием: а) сферической полости, заполненной жидкостью большой вязкости;

б) подвижной массы, соединенной с телом упругой связью с вяз ким или квадратичным трением;

в) линейного сопротивления внешней среды и некоторых сочетаний вышеуказанных возмущающих факторов.

Управление вращениями производится с помощью момента сил, ограниченного по модулю.

В главе 5 рассматриваются задачи оптимального торможения вращений твердого тела под действием двух различных приложенных к данному те лу моментов сил. В первых двух параграфах главы 6 исследуются задачи активного торможения вращений твердого тела под действием трех при ложенных моментов сил. Кроме того, в этой главе рассматривается задача оптимального по быстродействию торможения вращений динамически не симметричного твердого тела.

Результаты § 1 главы 6 были впервые опубликованы в работе ав торов [323], § 2 – в статье [302], § 3 – в статье авторов [303], § 4 в рабо тах [325, 326].

§1.Активное торможение вращений симметричного гиростата с подвижной массой в вязкой среде.

1. Постановка задачи оптимального управления.

Исследуется задача оптимального по быстродействию торможени явращений динамически симметричного твердого тела со сферическойпо лостью, заполненной жидкостью большой вязкости (при малых числах Рейнольдса). Кроме того, тело содержит вязкоупругий элемент,который моделируется точечной массой, прикрепленной демпфером кточке на оси симметрии. На твердое тело действует малый тормозящиймомент сил ли нейного сопротивления среды. Управление вращениямипроизводится с помощью момента сил, ограниченного по модулю.Рассматриваемая мо дель обобщает исследованные ранее в работах [223, 293, 298, 301].

На основеподхода [135, 168, 223] уравнения управляемых враще ний в проекциях наоси связанной с фиксированным твердым телом систе мы координат(уравнения Эйлера) могут быть представлены в виде [70, 74, 135, 168, 223] A1 p + ( A3 A1 ) qr =L p + FG 2 qr + Dr 4 p + Qpr 2 A1 p, A1q + ( A1 A3 ) pr =Lq FG 2 pr + Dr 4 q + Qqr 2 A1q, (6.1.1) (p )+ H(p + q ) r A3 r.

A3 r =Lr A1 A Dr +q 3 2 2 2 Здесь p, q, r – проекции вектора абсолютной угловой скорости на связанные оси, J = diag( A1, A1, A3 ) – тензор инерции невозмущен ного тела, L p, q, r – проекции вектора управляющего момента сил L, кине u тический момент тела G = J, его модуль G = G = A12 ( p 2 + q 2 ) + A32 r 2.

Как и в §3 главы 5 считается, что момент сил диссипации пропор ционален кинетическому моменту.Предполагается, что допустимые значе ния L ограничены сферой и заданы в виде (5.1.2).

u Введенные в (6.1.1) обозначения D, F, Q, H выражаются через параметры системы согласно (5.1.3) = m 2 4 A14 A33 ( A1 A3 ),= m 2 2 A13 A3, D F (6.1.2) = P A A3 ( A1 A3 ), H P A ( A3 A1 ).

1 2 1 = Q 1 Итак, в квазистатическом приближении возмущающие моменты сил, обусловленные упругостью и вязкостью демпфера, являются монома ми вектора = ( p, q, r ) T четвертой и пятой степеней соответственно.

Момент со стороны вязкой жидкости определяется мономами третьей сте пени от. Математическая модель управляемых вращений квазитвердого тела построена в виде уравнений Эйлера (6.1.1).

Ставится задача оптимального по быстродействию торможения вращений (t0 ) = 0, (T ) = 0, T min u, u 1. (6.1.3) Требуется найти оптимальный закон управления в виде синтеза u = u (t, ), соответствующую ему траекторию (t, t0, 0 ) и время быст родействия T = T (t0, 0 ), а также функцию Беллмана задачи V = T (t, ).

2. Решение задачи оптимального торможения.

Отметим, что моменты сил, обусловленныевязкой жидкости в по лости, а также движением вязкоупругого элемента являются внутренними для фиктивного тела, а момент сил линейного сопротивления среды внешним.

На основе динамического программирования и неравенства Шварца синтез оптимального по быстродействию управления имеет вид [223], M q = b 1, M r = b 3, b = b ( t, G ). (6.1.4) Ar A1 p Aq M p = b G G G b = b ( t, G ), 0 b1 b b2.

Здесь для упрощения полагаем Домножим первое уравнение (6.1.1) на A1 p, второе – на A1q, третье – на A3 r и сложим. Получим скалярное уравнение, подлежащее интегрированию, и уравнение для T ( ) G = ) G, G (t0 ) = G 0, G (T, t0, G 0 ) = 0, T = T t0, G 0, b ( t, G V (t, G ) = T (t, G ).

В предположении b = b ( t ) получим решение и условие для T t T b( )e ( t ) d, G 0 = e t0 b( )e d, T = T ( t0, G 0 ).

( t t0 ) = G 0e G (t ) t0 t (6.1.5) Здесь t текущее время процесса торможения, T время быст родействия.

При b = const решение уравнения и краевой задачи (6.1.5) запи сывается следующим образом 1 ( G 0 + b ) exp( t= ) b, T ln G + 1, t = 0. (6.1.6) = b G (t ) Далее детально анализируется случай (6.1.6).

3. Анализ осевого вращения для управляемого движения тела.

Подстановка известного выражения для G (6.1.6) в третье уравне ние (6.1.1) приводит к нелинейному уравнению относительно r следую щего вида r = r bG 1 + A11 A31 ( G 2 A32 r 2 )( HA11 DA31r 2 ).

(6.1.7) Заменой осевой составляющей вектора угловой скорости r = GR, где R неизвестная функция, уравнение (6.1.7) приводится к виду, допус кающему разделение переменных и тривиальное интегрирование R = A11 A31 RG 2 (1 A32 R 2 ) HA1 DA31GR 2.

(6.1.8) Вектор кинетического момента G при проектировании на глав ные центральные оси инерции тела приводит к выражению A3 r = G cos, где сферический угол. В результате для неизвестной R получается соотношение A3 R = cos. Уравнение (6.1.8) после перехода к неизвест ной может быть записано в виде = A11 A31 2 sin cos ( G 0 + b ) exp( t ) b (6.1.9) { } (0) = A11 H + A33 D 2 cos ( G 0 + b ) exp( t ) b,.

Без нарушения общности можно принять, что 0 (и ) принад лежит первой четверти ( 0 0, 2 ). Если принимает значения из указанного промежутка, то сферический угол в процессе эволюции враще * = 0, 2 – стационарные ний также не выйдет за его пределы, поскольку точки уравнения (6.1.9) независимо от изменения G.

Исследуем поведение сферического углав малой полуокрестности = +, 0. В первом случае стационарных точек: = 0 и ( * = 0 ) имеем d ( ) = A11 A31 2 ( G 0 + b ) exp( t ) b (6.1.10) dt { } A11 H + A33 D 2 ( G 0 + b ) exp( t ) b, = 0 exp ( K ( t ) ), (6.1.11) f ( 4 t ) f ( 3 t ) + 3Z1 Z 2 f ( 2 t ) K (t ) = A31 3 Z A11 4 Z 4 } 2 ( 2Z1 Z 2 ) f ( t ) + ( Z1 1 Z 2 ) b 4t, b 4 ( b + G 0 ) ( exp ( t ) 1), Z1 = A33 D, ( t )= где f Z 2 = A11 Hb 2, = 1,..., 4.

Из (6.1.11) следует, что с ростом t при A3 A1 (сплюснутое тело) вариация монотонно убывает ( H 0, D 0 ), а при A3 A1 (вытя нутое тело) – монотонно возрастает ( H 0, D 0 ).

+, 0 ( * = ). Анало Рассмотрим второй случай= 2 гично (6.1.10) имеем d ( ) = A11 A31 H 2 ( G 0 + b ) exp( t ) b, (6.1.12) dt { = 0 exp A11 A31 H 2 0,5 ( G 0 + b ) 1 ( exp(2 t ) 1) + } +2b ( G 0 + b ) 1 ( exp( t ) 1) + b 2t. (6.1.13) Из (6.1.13) следует, что при A1 A3 величина монотонно воз растает, а при A1 A3 - монотонно убывает. Отметим, что в уравнение (6.1.12) не входят слагаемые, обусловленные влиянием подвижной массы.

При A1 A3, а также 0 в окрестности стационарных точек могут быть применены методы возмущений, которые в данном случае приводят к элементарным выражениям. Например, после первой итерации имеем выражение для ( t= 0 + S (t ).

) (6.1.14) f ( 4 t ) f ( 3 t ) S (t ) = cos 0 sin 0 Z A11 A31 3 4 Z1 + 4 + 3Z1 Z 2 f ( 2 t ) 2 ( 2 Z1 Z 2 ) f ( t ) + ( Z1 Z 2 ) b 4 t, 2 b 4 ( b + G 0 ) ( exp ( t ) 1), Z1 = A33 D 2 cos 2 0, ( t )= где f Z 2 = A11 Hb 2, = 1,..., 4.

Формула (6.1.14) позволяет провести анализ сферического угла во времени для различных значений параметров системы и начальных дан ных.

4. Анализ вращений тела в экваториальной плоскости.

Рассмотрим теперь изменение экваториальных компонент вектора p, q согласно первым двум уравнениям (6.1.1). Введем переменную N = A1, имеющую смысл модуля указанных составляющих, характери зующую эти вращения. Умножая первое уравнение (6.1.1) на A1 pN 1, а второе на A1qN 1 и складывая, получим для N линейное однородное уравнение b(t ) N = ( t ) N, ( t )= A11r 2 ( t ) Dr 2 ( t ) + Q +, ( t ) 0.

G (t ) (6.1.15) Интегрируя (6.1.15), находим ) ( t ( p0 ) + ( q0 ) = N 0 exp ( ) d, N 0 A N (t ) 2 2. (6.1.16) t0 С другой стороны, квадрат величины кинетического момента тела может быть представлен в виде G 2 N 2 + A3 r 2.

= (G A32 r 2 ) 1/ Отсюда легко получить выражение для N : = N или, учитывая соотношение A3 r = G cos, N = G sin. (6.1.17) При b = const с учетом (6.1.5) имеем ( G 0 + b ) exp( t ) b sin.

= N (6.1.18) Численный анализ изменения угла приведен в п.5.

Используя известные выражения G ( t ) и r ( t ), приведем уравне ния для p, q (6.1.1) к виду уравнений с переменными коэффициентами и определенной симметрией. Эти уравнения содержат только «гироскопиче ские» и «диссипативные» члены с коэффициентами g ( t ) и ( t ) соответ ственно N = N + g ( t ) IN, N = ( A1 p, A1q ), ( t ) T = A11r ( t ) ( A1 A3 + FG 2 (t ) ).

g (t ) (6.1.19) Здесь I симплектическая единица, а «коэффициент диссипа ции» (t ) определен в (6.1.15).

Уравнение (6.1.19) для N интегрируется в явном виде. Полагая N = Nn, где n = n ( t ) орт вектора N, получим для неизвестной n ура внение n = gIn. Начальное значение n ( 0 ) = n, n 0 = 1 определяется условием N 0 = N 0 n 0. Отметим, что n ( t ) 1 для всех t [ 0, T0 ]. Введем аргумент так, чтобы n = In ;

в этом случае получим (5.1.21).

Таким образом, прецессионные вращения твердого тела (относи тельно оси в экваториальной плоскости) полностью определены согласно (6.1.16), (5.1.21).

5. Численный анализ и выводы.

Обратимся вновь к задаче определения угла (t ) в частномслучае b = const согласно (6.1.9).Проведем обезразмеривание уравнения (6.1.9).

Введем обозначения G t G0 = =, = T,, H = A12 HA3 1T 3b 2, D = A11 A3 4 DT 5b 4.

bT T В результате этих преобразований получим уравнение для угла d = ) + 4 D sin cos 2 f 4 ( ),(6.1.20) H 2 sin cos f 2 ( d ( G + 1) exp( ) 1.

( )= где f Уравнение (6.1.20) было численно проинтегрировано для произво 0 = 4 рад. Графики из льных различных значений G 0,, H, D и менения угла представлены на рис. 68-71. Рис. 68-70 соответствуют ди намически вытянутому телу, а рис. 71-73 сплюснутому.

Рис. 68 Рис. Расчет кривых рис. 68 был проведен при различных значениях безразмерного кинетического момента в начальный момент времени G 0 = 3, 2,0.1,1 для кривых 14 соответственно. Другие параметры имели единичные значения. Из рисунка видно, что характер поведения функции = ( ) существенно зависит от величины параметра G 0. Функция яв ляется монотонно убывающей только в случае, когда параметр G 0 совпа дает с другими безразмерными коэффициентами, а во всех остальных рас четных случаях угол сначала увеличивается, а затем убывает. При этом увеличение безразмерного кинетического момента приводит к большим градиентам возрастания сферического угла, а в момент остановки твердого тела значение угла не достигает своего первоначального значения.

На рис. 69 представлен результат численного интегрирования ура внения (6.1.20) при различных значениях безразмерного коэффициента для момента сил сопротивления среды. Кривая 2 =10, кривая 3 =1, кри =0.1, остальные параметры уравнения имеют единичные значе вая ния. Имеем, что чем больше безразмерный коэффициент для момента соп ротивления среды, то тем на меньший угол отклоняется ось твердого тела.

При этом во всех трех расчетных случаях функция является монотонно убывающей. Кривая 1 рис. 69 показывает характер поведения функции сферического угла при увеличении безразмерного коэффициента момента сил вязкоупругого элемента. D =5 для кривой 1 и D =1 для кривой 3. Из рисунка видно, что при существенном влиянии момента сил вязкоупругого = ( ) становиться немонотонной, но во всех расчет элемента функция случаях рис. 69 функция стремится к некоторому предельному значению.

Рис. 70 Рис. = ( ) Проведено численное исследование поведения функции для различных значений безразмерного коэффициента момента сил вязкой жидкости в полости: H = 0.1, 5, 1 для кривых 1 3 рис. 70 соответствен но. Видно, что наибольшее уменьшение сферического угла происходит в том случае, когда все безразмерные коэффициенты уравнения (6.1.20) имеют одинаковую единичную величину, а в других случае изменение угла незначительное, но характер поведения функции имеет разный вид.

Если H 1, то функция = ( ) монотонно убывает, а для H 1 воз растает.

Проведено численное исследование характера поведения функции = ( ) для динамически сплюснутого тела. На рис. 71 представлен ре зультат численного интегрирования уравнения (6.1.20) при различных вы ражениях безразмерного начального значения кинетического момента тве рдого тела: G 0 =1, 0.1, 0.01, 1.5 для кривых 1 4 соответственно, все оста льные параметры уравнения имели единичные значения. Видно, что при единичном значении параметра G 0, совпадающем по величине с осталь ными параметрами уравнения, функция является возрастающей и имеет перегиб. В случае малого начального значения кинетического момента = ( ) носит явно выраженный экспоненциальный характер. Самый сложный вид функция имеет при значении параметра больше 1, в этом случае сферический угол изначально уменьшается, достигая некоторого минимального значения, а затем плавно увеличивается до некоторого пре дельного значения, при котором происходит полное торможение тела.

Кривые 2 4 рис.72 показывают зависимость сферического угла от безразмерного коэффициента сопротивления среды для динамически сплюснутого твердого тела. Коэффициент =0.1, 1, 10 для соответству = ( ) являет ющих кривых. Во всех трех расчетных случаях функция ся монотонно возрастающей. При изменении значения безразмерного коэффициента момента сил вязкоупругого элемента имеем, что для D =0.1(кривая 1) наблюдается больший градиент возрастания функции = ( ) изначально, а для D =5 функция сферического угла становится убывающей.

Рис. 72 Рис. На рис.73 представлен результат численного интегрирования при различных значениях безразмерного коэффициента момента сил вязкой жидкости в полости. H =5, 1, 0.1, 0.01 для кривых 1 4 соответственно, все остальные безразмерные коэффициенты имели единичное значение.

Существенное увеличение сферического угла наблюдается при наиболь шем значении коэффициента H, при малых значениях функция = ( ) является монотонно убывающей.

Таким образом, аналитически и численно исследована задача син теза оптимального по быстродействию торможения вращений динамиче ски симметричного квазитвердого тела в сопротивляющейся среде. В рам ках асимптотического подхода определены управление, время быстродей ствия (функция Беллмана) и сферический угол ( ), установлены каче ственные свойства оптимального движения.

§2. Оптимальная стабилизация вращений симметричного ги ростата с внутренними степенями свободы в среде с сопротивлением.

1. Постановка задачи оптимального управления.

Ниже исследуется задача оптимального по быстродействию тор можения вращений динамически симметричного твердого тела со сфери ческой полостью, заполненной жидкостью большой вязкости. Кроме того, тело содержит подвижную массу, прикрепленную демпфером к точке на оси симметрии посредством упругой связи с квадратичной диссипацией.

На твердое тело действует малый тормозящий момент сил линейного соп ротивления. Управление вращениями проводится с помощью момента сил, ограниченного по модулю. Рассматриваемая ниже модель обобщает исс ледованные ранее в работах [298, 299, 300, 301].

На основе подхода [135, 223, 293] уравнения управляемых враще ний в проекциях на оси связанной с фиксированным твердым телом сис темы координат (уравнения Эйлера) могут быть представлены в виде [70, 74, 135, 223, 293] A1 p + ( A3 A1 ) qr =L p + FG 2 qr + Spr 6 + Qpr 2 A1 p, A1q + ( A1 A3 ) pr =Lq FG 2 pr + Sqr 6 + Qqr 2 A1q, (6.2.1) A3 r =r A1 A Sr + H ( p + q ) r A3 r.

L 5 3 2 Здесь p, q, r проекции вектора абсолютной угловой скорости на связанные оси, J = diag( A1, A1, A3 ) тензор инерции невозмущен ного тела, L p, q, r проекции вектора управляющего момента сил L, кине u тический момент тела G = J, его модуль G = G = A12 ( p 2 + q 2 ) + A32 r 2.

Как и в §4 главы 5 считается, что момент сил диссипации пропор ционален кинетическому моменту.

Предполагается, что допустимые значения Lu ограничены сферой и заданы в виде (5.1.2).

Введенные в (6.2.1) обозначения S, F, Q, H выражаются через параметры системы согласно (5.2.2) = m 3 3 d d A14 A34,= m 2 2 A13 A3, d = 1 A3 A11, (6.2.2) S F = P 1 A12 A3 (= P 1 A11 ( A3 A1 ).

A1 A3 ), H Q Итак, в квазистатическом приближении возмущающие моменты сил, обусловленные упругостью и квадратичным трением, являются мо номами компонент вектора = ( p, q, r ) T четвертой и восьмой степеней соответственно. Момент сил со стороны вязкой жидкости определяется мономами компонент третьей степени от вектора. Математическая мо дель управляемых вращений квазитвердого тела построена в виде уравне ний Эйлера (6.2.1).

Ставится задача оптимального по быстродействию торможения вращений(6.1.3).

Требуется найти оптимальный закон управления в виде синтеза u = u (t, ), соответствующую ему траекторию (t, t0, 0 ) и время быст родействия T = T (t0, 0 ), а также функцию Беллмана задачи V = T (t, ).

2. Решение задачи оптимального торможения.

Отметим, что моменты сил, обусловленныевязкой жидкостью в полости, а также движением подвижной массы, соединенной с телом упру гой связью при наличии квадратичного трения, являются внутренними для фиктивного тела, а момент сил линейного сопротивления среды внеш ним.

На основе динамического программирования и неравенства Шварца синтез оптимального по быстродействию управления имеет вид [223], M q = b 1, M r = b 3, b = b ( t, G ). (6.2.3) Ar A1 p Aq M p = b G G G Здесь для упрощения полагаем b = b ( t, G ), 0 b1 b b2.

Домножим первое уравнение (6.2.1) на A1 p, второе – на A1q, третье – на A3 r и сложим. Получим скалярное уравнение, подлежащее интегрированию, и уравнение для T ( ) G = ) G, G (t0 ) = G 0, G (T, t0, G 0 ) = 0, T = T t0, G 0, b ( t, G V (t, G ) = T (t, G ).

В предположении b = b ( t ) получим решение и условие для T t T b( )e ( t ) d, G 0 = e t0 b( )e d, T = T ( t0, G 0 ).

( t t0 ) = G 0e G (t ) t0 t (6.2.4) Здесь t текущее время процесса торможения, T время быст родействия.

При b = const решение уравнения и краевой задачи (6.2.4) запи сывается следующим образом 1 ( G 0 + b ) exp( t= ) b, T ln G + 1, t = 0.

= b G (t ) (6.2.5) Далее детально анализируется случай (6.2.5).

3. Анализ осевого вращения для управляемого движения тела.

Подстановка известного выражения для G (6.2.5) в третье уравне ние (6.2.1) приводит к нелинейному уравнению относительно r следую щего вида r = r bG 1 + A12 A31 H ( G 2 A32 r 2 ) + A12 A32 Sr 4 ( G 2 A32 r 2 ) 2.

(6.2.6) Заменой осевой составляющей вектора угловой скорости r = GR, где R неизвестная функция, уравнение (6.2.6) приводится к виду, допус кающему разделение переменных и тривиальное интегрирование = A12 A31 HG 2 R (1 A32 R 2 ) A12 A32 SG 7 R 5 (1 A32 R 2 ) 2. (6.2.7) R Вектор кинетического момента G при проектировании на глав ные центральные оси инерции тела приводит к выражению A3 r = G cos, где сферический угол. В результате для неизвестной R получается соотношение A3 R = cos. Уравнение (6.2.7) после перехода к неизвест ной может быть записано в виде = 12 A31 H 2 ( G 0 + b ) exp( t ) b sin cos + A + A12 A36 S 7 ( G 0 + b ) exp( t ) b cos5 sin 2, (0) = 0. (6.2.8) Без нарушения общности можно принять, что 0 (и ) принад лежит первой четверти ( 0 0, 2 ). Если принимает значения из указанного промежутка, то сферический угол в процессе эволюции враще * = 0, 2 стационарные ний также не выйдет за его пределы, поскольку точки уравнения (6.2.8) независимо от изменения G.

Исследуем поведение сферического углав малой полуокрестности = +, 0. В первом случае стационарных точек: = 0 и ( * = 0 ) имеем d ( ) = 12 A31 H 2 ( G 0 + b ) exp( t ) b, A (6.2.9) dt = 0 exp ( K ( t ) ), (6.2.10) K (t ) = 2 A31 H 2 1 ( G 0 + b ) (1 exp(2 t ) ) A 2b 1 ( G 0 + b ) (1 exp( t ) ) + b 2t.

Из (6.2.10) следует, что с ростом t при A3 A1 (сплюснутое тело) вариация монотонно убывает ( H 0 ), а при A3 A1 (вытянутое те ло) – монотонно возрастает ( H 0 ).

+, 0 ( * = ). Анало Рассмотрим второй случай= 2 гично (6.2.9) имеем d ( ) = A12 A31 H 2 ( G 0 + b ) exp( t ) b, (6.2.11) dt = 0 exp ( K ( t ) ).

(6.2.12) Из (6.2.12) следует, что при A1 A3 величина монотонно воз растает, а при A1 A3 монотонно убывает. Отметим, что в уравнение (6.2.11) не входят слагаемые, обусловленные влиянием подвижной массы.

При A1 A3, а также 0 в окрестности стационарных точек мо гут быть применены методы возмущений, которые в данном случае приво дят к элементарным выражениям. Например, после первой итерации име ем выражение для ( t= 0 + S (t ).

) (6.2.13) f ( 7 t ) 7 f ( 6 t ) 21 f ( 5 t ) = A12 A31 3 sin 0 cos 0 B ( 0 ) + S (t ) 7 6 35 f ( 4 t ) 35 f ( 3 t ) 21 f ( 2 t ) + 7 f ( t ) + b7 t + + 4 3 f ( 2 t ) 2 f ( t ) b2t, +H 5 2b b B ( ) = A3 S sin cos, 5 0 0 f ( t ) b7 ( b + G 0 ) ( exp ( t ) 1), = 1, 2,...,7.


= Формула (6.2.13) позволяет провести анализ сферического угла с течением времени для различных значений параметров системы и началь ных данных.

4. Анализ вращений тела в экваториальной плоскости.

Рассмотрим теперь изменение экваториальных составляющих пе ременных p, q согласно первым двум уравнениям (6.2.1). Введем пере менную N = A1, имеющую смысл модуля указанных составляющих, характеризующую эти вращения. Умножая первое уравнение (6.2.1) на A1 pN 1, а второе на A1qN 1 и складывая, получим для N линейное од нородное уравнение N = N + f ( t ) N 2, N ( t0 ) = N 0, ( t ) ( t ) = A1Qr 2 ( t ) +, ( t ) 0, f ( t ) = A2 Sr 6 ( t ). (6.2.14) b(t ) G (t ) Это уравнение Бернулли (см. [317] c.297).

Интегрируя (6.2.14), находим t E ( t ) = exp ( t ) dt. (6.2.15) t0 С другой стороны, квадрат величины кинетического момента тела может быть представлен в виде G 2 N 2 + A3 r 2.

= (G A32 r 2 ) 1/ Отсюда легко получить выражение для N : = N или, учитывая соотношение A3 r = G cos, N = G sin. (6.2.16) При b = const с учетом (6.2.5) имеем ( G 0 + b ) exp( t ) b sin. (6.2.17) = N Численный анализ изменения угла приведен в п.5.

Используя известные выражения G ( t ) и r ( t ), приведем уравне ния для p, q (6.2.1) к виду уравнений с переменными коэффициентами и определенной симметрией. Эти уравнения содержат только «гироскопиче ские» и «диссипативные» члены с коэффициентами g ( t ) и ( t ) соответ ственно N = ( t ) f ( t ) N ( t ) N + g ( t ) IN, N = ( A1 p, A1q ), T = A11r ( t ) ( A1 A3 + FG 2 (t ) ).

g (t ) (6.2.18) Здесь I симплектическая единица, а «коэффициенты диссипа ции» (t ) и f (t ) определены в (6.2.14).

Уравнение (6.2.18) для N интегрируется в явном виде. Полагая N = Nn, где n = n ( t ) орт вектора N, получим для неизвестной n ура внение n = gIn. Начальное значение n ( 0 ) = n, n 0 = 1 определяется условием N 0 = N 0 n 0. Отметим, что n ( t ) 1 для всех t [ 0, T0 ]. Введем аргумент так, чтобы n = In ;

в этом случае получим (5.1.21).

Таким образом, прецессионные вращения твердого тела (относи тельно оси в экваториальной плоскости) полностью определены согласно (6.2.15), (5.1.21).

5. Численный анализ и выводы.

Обратимся вновь к задаче определения угла (t ) в частномслучае b = const согласно (6.2.8). Проведем обезразмеривание уравнения (6.2.8).

Введем обозначения 0 G, H = A2 HA1T 3b 2, S = A2 A6 ST 8b 7.

t, = T, G = = 1 1 bT T В результате этих преобразований получим уравнение для угла d = + S 7 f 7 ( ) cos5 sin 2, H 2 f 2 ( ) sin cos (6.2.19) d ( G + 1) exp( ) 1.

( )= где f Уравнения (5.3.18) было численно проинтегрированы для произ 0 = 4 рад. Графики вольных различных значений G 0,, H, S и изменения угла представлены на рис.74 77. Рис.74, 75 соответствуют динамически вытянутому телу, а рис. 76, 77 сплюснутому.

= ( ) На рис. 74 исследуется характер поведения функции при различных значениях безразмерного коэффициента кинетического момента тела в начальный момент времени и при различных значениях безразмерного коэффициента момента сил сопротивления. Кривые 2, 3, соответствуют значениям G 0 =0.1, 1, 1.5, при этом все остальные безраз мерные коэффициенты равны единице. Видно, что характер поведения функции сферического угла зависит от порядка величины G 0. Если G 0 на порядок меньше единицы, то функция G имеет немонотонный характер, при этом само изменение сферического угла весьма незначительно. При = ( ) является монотонно убы значениях порядка 1 и выше, функция вающей при этом, чем больше значение G 0, тем с большим градиентом происходит убывание. В этих расчетных случаях стремится к некото рому предельному значению.

Рис. 74 Рис. Расчет проводился для различных значений =0.1, 1, 10 – кри вые 4, 3, 1 рис. 74 соответственно, при единичных значениях остальных безразмерных параметров уравнения (6.2.19). Характер поведения функ = ( ) остается монотонным во всех расчетных случаях, а преде ции льное значение тем больше, чем меньше коэффициент сопротивления сре ды, что вполне согласуется с физической постановкой задачи.

Численный расчет показал, что характер поведения функция = ( ) остается одинаковым при различных значениях безразмерного коэффициента момента сил подвижной массы. Это видно из рис. 75 для кривых 3 5, которые получены для S = 0.1, 1, 5 соответственно. При рас чете все остальные безразмерные коэффициенты моментов сил равны 1.

На рис. 75 также представлен результат численного интегрирова ния уравнения (6.2.19) для различных значений безразмерного коэффици ента момента сил вязкой жидкости в полости твердого тела. Для H = 0.01, 0.1, 1 получены кривые 1, 2, 4 соответственно. Во всех расчетных случаях = ( ) является монотонно убывающей и стремящейся к не функция которому предельному значению сферического угла. Следует отметить, что при увеличении безразмерной величины H наблюдается более значи тельное уменьшение угла и его стремление к нулевому значению.

Рис. 76 Рис. Проведено численное интегрирование уравнения (6.2.19) для ди намически сплюснутого тела при различных значениях безразмерного па раметра G 0. Результат расчета приведен на рис. 76, значения G 0 =1.5, 1, = ( ) имеет 0.1, 1.75 соответствуют кривым 14. Видно, что функция монотонный характер для значений G 0 меньших или равных единице.

При значениях больших единицы сферический угол сначала уменьшается, а затем увеличивается до некоторого предельного значения, при котором происходит полное торможение твердого тела.

На рис.77 представлен результат численного интегрирования при различных значениях безразмерных коэффициентов моментов сил сопро тивления среды и подвижной массы. Кривая 1 соответствует значениям G 0 = H = S =1, =0.1, кривая 2 S = H = = G 0 =1, кривая 3 G 0 = = H =1, S =5, кривая 4 S = H = G =1, =10. Видно, что характер поведе ния функции аналогичен во всех расчетных случаях. Ось тела достигает предельного положения меньше чем за половину времени торможения.

Таким образом, аналитически и численно исследована задача син теза оптимального по быстродействию торможения вращений динамиче ски симметричного квазитвердого тела в сопротивляющейся среде. В рам ках асимптотического подхода определены управление, время быстродей ствия (функция Беллмана) и сферический угол ( ), установлены каче ственные свойства оптимального движения.

§3. Оптимальное торможение вращений динамически несим метричного тела в среде с сопротивлением.

1. Постановка задачи оптимального управления.

На основе подхода [223] уравнения управляемых вращений в про екциях на оси связанной с фиксированным твердым телом системы коор динат (уравнения Эйлера) могут быть записаны в виде [70, 74, 223] J + [ J ] = M J, (6.3.1) = ( p, q, r ) – вектор абсолютной угловой скорости, Здесь J = diag( A1, A2, A3 ) тензор инерции невозмущенного тела, M вектор управляющего момента сил, кинетический момент тела G = J, его мо дуль G = =A1 p + A2 q + A3 r G 22 22 22.

Как и в §4 главы 5 считается, что момент сил диссипации пропор ционален кинетическому моменту.Предполагается, что допустимые значе ния M ограничены сферой и заданы в виде (5.1.2).

Тормозящий момент сопротивления является линейным относите льно угловой скорости возмущением. Математическая модель управляе мых вращений твердого тела построена в виде уравнений Эйлера (6.3.1).

Ставится задача оптимального по быстродействию торможения вращений (5.1.6). Решение задачи (6.3.1), (5.1.6) строится в точной поста новке без предположения о малости различных параметров.

Требуется найти оптимальный закон управления в виде синтеза u = u (t, ), соответствующую ему траекторию (t, t0, 0 ) и время быст родействия T = T (t0, 0 ), а также функцию Беллмана задачи V = T (t, ).

2. Решение задачи оптимального торможения.

Решим задачу синтеза оптимального управления в упрощеннойпо становке. На основе динамического программирования и неравенства Шварца синтез оптимального по быстродействию управления имеет вид [223], M q = b 2, M r = b 3, b = b ( t, G ).

Ar A1 p Aq M p = b (6.3.2) G G G Здесь для упрощения полагаем b = b ( t, G ), 0 b1 b b2.

Домножим первое уравнение (6.3.1) на A1 p, второе – на A2 q, третье – на A3 r и сложим. Получим скалярное уравнение, подлежащее интегрированию, и уравнение для T ( ) G = ) G, G (t0 ) = G 0, G (T, t0, G 0 ) = 0, T = T t0, G 0, (6.3.3) b ( t, G V (t, G ) = T (t, G ).

В предположении b = b ( t ), т.е. функция b ( t ) не зависит от мо дуля G получим решение и условие для T t T b( )e ( t ) d, G 0 = e t0 b( )e d, T = T ( t0, G 0 ).

( t t0 ) = G 0e G (t ) t0 t (6.3.4) Решение всегда существует, что приводит к построению решения задачи оптимального торможения в форме синтеза. Здесь t текущее время процесса торможения, T время быстродействия. При b = const решение уравнения (6.3.3) для G и краевой задачи (6.3.4) записывется следующим образом 1 ( G 0 + b ) exp( t= ) b, T ln G + 1, t = 0. (6.3.5) = b G (t ) Далее подробно анализируется случай (6.3.5).Домножим первое уравнение (6.3.1) на p, второе – на q, третье – на r и сложим. Получим выражение для производной от кинетической энергии H ( A1 p 2 + A2 q 2 + A3r 2 ).

2bH H = 2 H, H= (6.3.6) G Поскольку функция G ( t ) известна, то уравнение (6.3.6) допускает полное интегрирование = H 0G 0 2 2 ( G 0 + b ) exp ( t ) b.

H (6.3.7) Примем для определенности, что A1 A2 A3. Рассмотрим сначала дви жение при условии 2 HA1 G 2 2 HA2, соответствующем траекториям, охватывающим ось наибольшего момента инерции Oz1. Введем функцию k, имеющую смысл модуля эллиптических функций [305] ( A2 A3 ) ( 2 HA1 G 2 ) ( 0 k 2 1) = k (6.3.8) ( A1 A2 ) ( G 2 2 HA3 ) и однозначно связанную с кинетической энергией H и величиной кине тического момента G. Значение k = 0 соответствует вращению вокруг оси Oz1, а k = 1 - движению по сепаратрисе. При помощи формул (6.3.8), (6.3.1), (6.3.2), (6.3.5), (6.3.7) получим выражение для производной k 2 ( G 0 + b ) exp ( t ) dk ( + k 2 + k 4 ), k 2 ( 0 ) = ( k 0 )2.(6.3.9) = dt ( G + b ) exp ( t ) b = ( A1 A2 )( A2 A3 )( A1 A3 ), =A1 ( A2 A3 ) 1 2 A1 H 0 ( G 0 ), = ( A1 A2 )( A2 A3 ) A1 + A3 4 A1 A3 H 0 ( G 0 ), =A3 ( A1 A2 ) 1 2 A3 H 0 ( G 0 ).


Стационарные точки k 2 соответствуют положительным корням уравне ния + z + z 2 = z = k 2.

0, Разделяя переменные и интегрируя уравнение (6.3.9), получим не явную зависимость k 2 от времени t + 2 k = exp ( 4 t ) ( G 0 + b ) exp ( t ) b, (6.3.10) 4 t + 2 k + где = ( A1 A2 ) ( A2 A3 ) ( A1 A3 ) 2 2.

Формула (6.3.10) связывает переменные k 2 и t ;

она элементарно разрешима относительно k 2.

3. Построение оптимального управляемого движения.

Приведем решение системы (6.3.1) другим способом. Система (6.3.1) в векторном виде записывается следующим образом L + L = M L, L = J. (6.3.11) Здесь L вектор кинетического момента, вектор угловой скорости, J = diag ( A1, A2, A3 ) тензор инерции тела.

Обозначим Lx = A1 p, Ly = A2 q, Lz = A3 r. (6.3.12) Тогда Lx = A1 p, Ly = A2 q, Lz = A3 r, (6.3.13) где Lx, Ly, Lz проекции вектора L на оси связанной системы коорди нат Oxyz.Систему (6.3.11) с учетом (6.3.12), (6.3.13) можно записать сле дующим образом L L + J 1L L = L.

b G (6.3.14) Проведем в (6.3.14) замену L = Gl, где G величина кинетичес кого момента, l орт вектора L. Учитывая, что G = b G, получим = L(0) = L, L(T ) = 0, L Gl + G.

l (6.3.15) Подстановка формулы (6.3.15) в (6.3.14) с учетом равенства G = b G дает G 1 + J 1l l = l 0. (6.3.16). Из (6.3.16) окончательно следует Выполним замену аргумента t на l + J l l = d = G ( t ) dt, l ( 0 ) = L0 G 0. (6.3.17) 0, Введем обозначения K = J 1l. (6.3.18) Подставляя (6.3.18) в (6.3.17) получим систему уравнений, анало гичную системе уравнений в случае Эйлера для свободного твердого тела:

JK + [ K JK ] = 0. (6.3.19) Оно может быть полностью проинтегрировано. Для сравнения приведем формулы.

Для этого умножим скалярно уравнение (6.3.19) на K, результа том чего будет уравнение:

( K, JK ) = 0. (6.3.20) Интегрируя это уравнение, получим выражение, аналогичное выражению для кинетической энергии [320] ( K, JK ) = = const.

Hk (6.3.21) Умножим теперь уравнение (6.3.19) скалярно на l.Имеем соотношение:

( JK, JK ) = = Gk2 1, (6.3.22) где Gk величина вектора l кинетического момента.

Выразим из (6.3.21) и (6.3.22) величины k x и k z2 через k y, A1, A2, A3, H k, Gk ( 2 H k A3 Gk ) A2 ( A3 A2 ) k y, =k x2 2 A1 ( A3 A1 ) (6.3.23) ( Gk2 2 H k A1 ) A2 ( A2 A1 ) k y.

= 2 k A3 ( A3 A1 ) z Определяемые из (6.3.23) значения k x, k z подставим во второе уравнение системы (6.3.19). Получим дифференциальное уравнение для k y с разде ляющимися переменными ( 2 H k A3 Gk2 ) A2 ( A3 A2 ) k y dk y = ± (6.3.24) A2 A1 A3 d ( Gk2 2 H k A1 ) A2 ( A2 A1 ) k y.

Если уравнение (6.3.20) проинтегрировано, то функции k x, k z найдутся из равенств (6.3.23). При этом при извлечении квадратных кор ней перед радикалами возможны два знака: плюс или минус. Конкретный выбор этих знаков делается при помощи уравнений (6.3.19).

Выделим два случая, соответствующих различным соотношениям между постоянными H k и Gk. Будем, для определенности считать, что A1 A2 A3.

Рассмотрим случай 2 H k A1 Gk2 2 H k A2, при котором величина k x во все время движения отлична от нуля.

Для интегрирования уравнения (6.3.24) сделаем замены перемен ных ( A1 A2 ) ( Gk2 2 H k A3 ) 2 H k A1 Gk sin, = ky = ± t (6.3.25) A2 ( A1 A2 ) A1 A2 A и введем положительный параметр 0 k 2 1 согласно формуле ( A2 A3 ) ( 2 H k A1 Gk2 ) = k.

( A1 A2 ) ( Gk2 2 H k A3 ) В новых переменных уравнение (6.3.24) запишется в виде d 1 k 2 sin 2.

= d Пусть при t = 0 компонента k y = 0 ;

тогда = am, где am эллиптическая амплитуда по модулю k. Решение уравнений Эйлера (6.3.19) в рассматриваемом случае записывается через эллиптические фун кции Якоби dn, sn, cn (см. [308]) в виде:

Gk2 2 H k A3 2 H k A1 Gk dn ( ;

k ), k y = ± sn ( ;

k ), kx = A1 ( A1 A3 ) A2 ( A1 A2 ) 2 H k A1 Gk cn ( ;

k ).

kz = (6.3.26) A3 ( A1 A3 ) Учитывая, что l = L G, а также формулы (6.3.18) и (6.3.12), получим Gk2 2 H k A3 2 H k A1 Gk dn ( ;

k ), q = ±Gk sn ( ;

k ), p = Gk A1 ( A1 A3 ) A2 ( A1 A2 ) 2 H k A1 Gk cn ( ;

k ).

r = Gk (6.3.27) A3 ( A1 A3 ) Перейдем с сферическим углам и, характеризующим проек ции вектора кинетического момента L на оси системы координат, связан ные с телом. Проекции вектора на оси Ox, Oy, Oz равны Gk G G sin sin, q = k sin cos, r = k cos. (6.3.28) p= A1 A2 A Тогда подставляя (6.3.28) в (6.3.27) получим A1 ( Gk2 2 H k A3 ) dn ( ;

k ), sin sin = ( A1 A3 ) A2 ( 2 H k A1 Gk2 ) sn ( ;

k ), sin cos = ± ( A1 A2 ) A3 ( 2 H k A1 Gk2 ) cn ( ;

k ).

cos = (6.3.29) ( A1 A3 ) Теперь проанализируем вариант 2 H k A2 Gk2 2 H k A3. В этом случае величина k z во все время движения отлична от нуля.Сделаем заме ны переменных:

( A2 A3 ) ( 2 H k A1 Gk2 ) Gk2 2 H k A sin, = ky = ± t.

A2 ( A2 A3 ) A1 A2 A Если ввести параметр 0 k 2 1 по формуле ( A1 A2 ) ( Gk2 2 H k A3 ) = k, ( A2 A3 ) ( 2 H k A1 Gk2 ) то уравнение (6.3.24) примет вид d = 1 k 2 sin 2.

d Допустим, что при t = 0 компонента k y = 0. Тогда решение (6.3.19) будет иметь вид Gk2 2 H k A3 G 2 2 H k A cn ( ;

k ), k y = ± k sn ( ;

k ), kx = A1 ( A1 A3 ) A2 ( A2 A3 ) 2 H k A1 Gk dn ( ;

k ).

kz = (6.3.30) A3 ( A1 A3 ) Учитывая, что l = L G, формулы (6.3.17), (6.3.12) и (6.3.27) получим A1 ( Gk2 2 H k A3 ) cn ( ;

k ), sin sin = ( A1 A3 ) A2 ( Gk2 2 H k A3 ) sn ( ;

k ), sin cos = ± ( A2 A3 ) A3 ( 2 H k A1 Gk2 ) dn ( ;

k ).

cos = (6.3.31) ( A1 A3 ) Здесь одновременно берутся либо только верхние, либо только нижние знаки.Заметим, что в двух рассмотренных случаях величины k x, k y, k z периодические функции времени, поэтому полодии представляют собой замкнутые кривые.

Таким образом, исследована задача синтеза оптимального по быс тродействию торможения вращений динамически несимметричного тела в сопротивляющейся среде. Определены управление и время быстродейст вия (функция Беллмана). Управляемое движение представляет собой дви жение типа Эйлера-Пуансо с изменяющейся по времени согласно форму лам (6.3.4), (6.3.5) величиной кинетического момента тела Gk. Отметим, что изложенный выше подход был развит в [223] на основе теории [162, 213, 322], разработанной для управляемых систем с инвариантной нормой.

§4. Оптимальное торможение вращений несимметричного те ла с полостью, заполненной вязкой жидкостью, в сопротивляющейся среде.

1. Постановка задачи.Рассматривается динамически несиммет ричное твердое тело, моменты инерции которого для определенности удо влетворяют неравенству A1 A2 A3. На основе подхода [223] уравнения управляемых вращений в проекциях на оси, связанной с твердым телом системы координат (уравнения Эйлера) могут быть представлены в виде [70, 74, 135, 223] J + [ J ] = M u + M r + M c.

(6.4.1) Здесь = ( p, q, r ) вектор абсолютной угловой скорости;

J = diag( A1, A2, A3 ) тензор инерции тела, M вектор управляющего u момента сил;

M момент сил диссипации;

M момент сил вязкой жи r c дкости в полости тела.

Кинетический момент тела определяется стандартным образом G = J, G = ( G1, G2, G3 ), G1 = A1 p, G2 = A2 q, G3 = A3 r, ( ) где G = G = G1 + G2 + G3 его величина.

2 2 2 Для упрощения задачи в систему (6.4.1) далее вносятся структур ные ограничения, в частности, предполагается, что допустимые значения момента управляющих сил M u принадлежит шару [223]. Это допущение не противоречит распределению масс и форме твердого тела и часто при меняется в исследованиях задач управления ориентацией.

Считается также, что диагональный тензор момента сил внешнего сопротивления пропорционален тензору момента сил инерции, т.е. момент сил диссипации пропорционален кинетическому моменту M r = J. (6.4.2) Здесь некоторый постоянный коэффициент пропорциональ ности, зависящий от свойств среды. Сопротивление, действующее на тело, представлено парой приложенных сил. При этом, проекции момента этой пары на главные оси инерции тела являются величинами A1 p, A2 q, A3 r [70, 74]. Такое предположение не является противоречивым.

Далее предполагается, что в полости находится жидкость большой вязкости, т.е. 1 ( 1 ~ 1 ). Форма полости считается близкой к сферической, тогда, следуя [135], для тензора вязких сил P имеем выра жение 8 a P = Pdiag(1,1,1), P =. (6.4.3) Здесь, плотность и кинематический коэффициент вязкости жидкости в полости соответственно, a радиус полости.

Тензор P, зависящий только от формы полости, характеризует внутренний диссипативный момент сил в квазистатическом приближении, обусловленный вязкой жидкостью в полости. Для простоты в уравнениях (6.4.1) рассмотрен так называемый скалярный тензор, определенный одной скалярной величиной P 0. Компоненты этого тензора имеют вид Pij = P ij, где ij символы Кронекера (такой вид тензор P имеет, на пример, в случае сферической полости). Если форма полости существенно отличается от сферической, то определение компонент тензора представ ляет значительные вычислительные трудности.

Предполагается, что допустимые значения момента управляющих сил M ограничены сферой u M u = bu, u 1 ;

b = b(t, G ), 0 b* b b*, (6.4.4) где b скалярная функция, ограниченная в рассматриваемой области из менения аргументов t, G согласно условиям (6.4.4). Эта область опреде ляется априори или может быть оценена через начальные данные для G, G (t0 ) = G 0. Далее полагаем, что b = b(t, G ) (либо b = b(t ) или b = const ).

На основе динамического программирования и неравенства Шва рца при упрощающем условии на коэффициент b синтез оптимального по быстродействию управления имеет вид [223] Ar A1 p Aq, M q = b 2, M r = b 3, b = b(t,G). (6.4.5) M p = b G G G Момент сил вязкой жидкости в полости M c с учетом внешних силовых факторов согласно [135] определяется следующим образом m P M= c m2, (6.4.6) m 2 b b m1 = p 2 + 2 + p+ G G G b q ( 31 + 32 ) Gr 32 + + 3qr ( A3 A2 ) + + 2 1 A1 G p q 2 A2 ( A1 A2 )( A2 A3 + A1 ) + r 2 A3 ( A1 A3 )( A3 A2 + A1 ).

+ A1 A2 A Выражения для m2, m3 получаются из m1 в (6.4.6) циклической перестановкой величин A1, A2, A3 и p, q, r. При этом, коэффициенты b 2 b b + 2, +, в mi (i = 1, 2,3) остаются неизменными, а слагае G G G мые, содержащие 31, 32, 31 + 32 имеют похожий вид. Направляющие 2 ij выражаются через углы Эйлера,, по известным форму косинусы лам [25].

Без учета влияния M и M на M с точностью до величины u r c первого порядка малости момент сил вязкой жидкости в полости имеет вид P = Mc (6.4.7) A1 A2 A p q 2 A2 ( A1 A2 )( A2 A3 + A1 ) + r 2 A3 ( A1 A3 )( A3 A2 + A1 ) q r A3 ( A2 A3 )( A3 A1 + A2 ) + p A1 ( A1 A2 )( A3 A1 A2 ).

2 r p A1 ( A3 A1 )( A1 A2 + A3 ) + q A2 ( A2 A3 )( A1 A2 A3 ) 2 Ограничимся указанным выражением в первом приближении.

Упрощенные на основе выражения (6.4.7) уравнения управляемого движе ния (6.4.1) в проекциях на главные центральные оси инерции имеет вид Ap A1 p + ( A3 A2 ) qr = 1 A1 p + b G P + p q 2 A2 ( A1 A2 )( A2 A3 + A1 ) + r 2 A3 ( A1 A3 )( A3 A2 + A1 ), A1 A2 A A2 q A2 q + ( A1 A3 ) pr = A2 q + (6.4.8) b G P + q r 2 A3 ( A2 A3 )( A3 A1 + A2 ) + p 2 A1 ( A2 A1 )( A1 A3 + A2 ), A1 A2 A A3 r A3 r + ( A2 A1 ) pq = A3 r + b G P r p 2 A1 ( A3 A1 )( A1 A2 + A3 ) + q 2 A2 ( A3 A2 )( A2 A1 + A3 ).

+ A1 A2 A Кинематические соотношения не выписываем, так как уравнения (6.4.8) образуют замкнутую систему. Уравнения (6.4.8) подвергаются дальней шему анализу.

Ставится задача оптимального по быстродействию торможения вращений (t0 ) = 0, (T ) = 0, T min u, u 1. (6.4.9) Требуется найти оптимальный закон управления в виде синтеза u = u (t, ), соответствующую ему траекторию (t, t0, 0 ) и время быст родействия T = T (t0, 0 ), а также функцию Беллмана W = T (t, ). На помним, что в выражении b в (6.4.4) полагается далее b = b(t, G ) (либо b = b(t ) или b = const ).

2. Решение задачи оптимального торможения. Отметим, что момент сил, обусловленный вязкой жидкостью в полости, являются внут ренним, а момент сил линейного сопротивления среды внешним. Дом ножим первое уравнение (6.4.8) на G1, второе – на G2, третье – на G3 и сложим (скалярное умножение G G ). Получим скалярное уравнение, по длежащее интегрированию, G = ) G, G (t0 ) = G 0, G (t0 ) = 0, T = T ( t0, G 0 ), b ( t, G W (t, G ) = T (t, G ). (6.4.10) Напомним, что G = J.

В общем случае для произвольной функции b = b(t,G) в (6.4.10) аналитическое интегрирование задачи Коши затруднительно: возможно ее численное решение. Из уравнений (6.4.10) следует, что эволюция величи ны кинетического момента G происходит под влиянием управляющего момента и сопротивления среды. Внутренний момент сил вязкой жидкости в полости влияния не оказывает.

В предположении b = b ( t ), т.е. функция b ( t ) не зависит от мо дуля G, приходим к решению краевой задачи (6.4.9) t G= G exp ( ( t t0 ) ) b( )exp ( (t ) ) d, (6.4.11) (t ) t T где = exp ( t0 ) b( ) exp ( ) d.

G t Решение всегда существует, что приводит к построению решения задачи оптимального быстродействия в форме синтеза. Здесь t текущее время процесса торможения, T время быстродействия.

При b = const и t0 = 0 решения уравнения (6.4.10) и краевой за дачи (6.4.11) записываются следующим образом:

( G 0 + b ) exp( t = 1 ) b, T = ln(G 0 + 1).

G (t ) (6.4.12) b Далее детально анализируется случай (6.4.12). Домножим первое уравнение (6.4.8) на p, второе – на q, третье – на r и сложим. В резуль тате имеем выражение для производной от кинетической энергии H 2bH P p q ( A1 A2 ) ( A3 A1 A2 ) + H = 2 2 H + G A1 A2 A + p 2 r 2 ( A1 A3 ) ( A2 A1 A3 ) + q 2 r 2 ( A2 A3 ) ( A1 A2 A3 ). (6.4.13) 2 Рассмотрим невозмущенное движение ( b = = 0 ). Напомним, = что в полости находится жидкость большой вязкости и 1 ~ 1, где кинематический коэффициент вязкости. При отсутствии возмущений вращение твердого тела является движением Эйлера-Пуансо. Переменные G, H становятся постоянными, а,, – некоторые функции време ни t. Медленными переменными в возмущенном движении будут G, H, а быстрыми – углы Эйлера,,.

Рассмотрим движение при условии 2 HA1 G 2 2 HA2, соответс твующем траекториям вектора кинетического момента, охватывающим ось наибольшего момента инерции Oz1. Введем величину ( A2 A3 ) ( 2 HA1 G 2 ) (0 k 1), =k2 (6.4.14) ( A1 A2 ) ( G 2 2 HA3 ) представляющую собой в невозмущенном движении постоянную модуль эллиптических функций, описывающих это движение, однозначно связан ный с величиной кинетического момента G и кинетической энергей H.

Для построения усредненной системы первого приближения подс тавим функции p, q, r из невозмущенного движения Эйлера-Пуансо [305] в правую часть уравнения (6.4.14) и проведем усреднение по периоду движения Эйлера-Пуансо. При этом для медленных переменных G, H сохраняются прежние обозначения. В результате получим 4 PH 2 ( A1 A3 )( A1 A2 )( A2 A3 ) dH 2bH = 2 H (6.4.15) 3 A12 A2 A32 S 2 (k ) dt G { A2 ( A1 A3 )( A1 + A3 A2 ) k 2V (k ) U (k ) + + A1 ( A2 A3 )( A3 + A2 A1 ) (k 2 2)U (k ) + k 2 + } + A3 ( A1 A2 )( A1 + A2 A3 ) (1 2k 2 )U (k ) + k 2, E (k ) 2 E (k ), S ( k ) = A2 A3 + ( A1 A2 ) k, V ( k ) = 1 + где U ( k ) = 1 K (k ) K (k ) Здесь K ( k ) и E ( k ) полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно [308]. Из уравнения (6.4.15) следует, что под влияни ем сопротивления среды и момента сил вязкой жидкости в полости тела, а также управляющего момента происходит эволюция кинетической энер гии тела H. Выражение, стоящее в фигурных скобках в правой части ура внения (6.4.15) положительно (при A1 A2 A3 ), так как справедливы не dH / dt (1 k 2 ) K E K [308]. Поэтому равенства поскольку H 0, т.е. переменная H строго убывает для любых k [0,1]. Заме- тим, что уравнение (6.4.15) при G 0 обладает существенной особенно стью.

Дифференцируя выражение для k 2 (6.4.14) с учетом (6.4.15), по лучим дифференциальное уравнение следующего вида dk 2 PG ( A1 A3 ) A2 ( A1 + A3 A2 ) + 2 A1 A = (6.4.16) 3 A12 A2 A dt E (k ) (1 )(1 k 2 ) [(1 ) + (1 + )k 2 ], K (k ) 3 A2 [( A12 + A32 ) A2 ( A1 + A3 )] где =.

( A1 A3 )[ A2 ( A1 + A3 A2 ) + 2 A1 A3 ] Уравнения (6.4.15), (6.4.16) получены в предположении, что b,, ~ 1 методом усреднения. Это соответствует тому, что кинетиче ская энергия вращения тела много больше величины управляющего векто ра, сопротивление среды предполагается слабым порядка малости, по лость заполнена жидкостью большой вязкости.

Значению k 2 = 1 отвечает равенство 2HA2 = G 2, что соответствует сепаратрисе для движения ЭйлераПуансо. Уравнение (6.4.16) описывает усредненное движение конца вектора кинетического момента G на сфере радиуса G. Отметим, что на эволюцию k 2 оказывает влияние только момент сил вязкой жидкости в полости и в силу того, что это уравнение интегрируется самостоятельно, происходит частичное разделение влияния момента сил вязкой жидкости в полости, а также управляющего момента и момента сопротивления. Анализ уравнения (6.4.16) свидетельствует об от сутствии стационарных значений k, кроме k = 0 и k = 1.

3. Численный расчет.Проведем обезразмеривание уравнений (6.4.15), (6.4.16) и дифференциального уравнения изменения кинетическо го момента при b = const. В качестве характерных параметров задачи во зьмем значение кинетического момента в начальный момент времени G0 = G (t0 ) и время быстродействия T (6.4.12) G, t = t.

G= G0 T Значение безразмерной кинетической энергии вводится следую щим образом [135] 2HA1.

H= G Получим безразмерную систему следующего вида:

b dG = + G T, dt G dk 2 PTG G0 ( A1 A3 ) A2 ( A1 + A3 A2 ) + 2 A1 A 2 = dt 3 A13 A2 A E (k ) (1 )(1 k 2 ) [(1 ) + (1 + )k 2 ], K (k ) 2 2bH 4 PG0 H ( A1 A3 )( A1 A2 )( A2 A3 ) dH + 2 H + = T GG 3 A13 A2 A32 S 2 ( k ) dt { A2 ( A1 A3 )( A1 + A3 A2 ) k 2V (k ) U (k ) + + A1 ( A2 A3 )( A3 + A2 A1 ) (k 2 2)U (k ) + k 2 + }) + A3 ( A1 A2 )( A1 + A2 A3 ) (1 2k 2 )U (k ) + k 2.(6.4.17) Выше проведено усреднение, так как из выражений (6.4.13), (6.4.14) следует, что H и k 2 являются медленными переменными.

Проведем численное интегрирование на промежутке времени [0,1], который соответствует полному торможению тела. Расчет соответс = = H (0) = твует начальным значениям функций и G (0) G0 1, k (0) 1. Для моментов инерции задаются значения [135]: A1 = 8, A2 = 6, A3 = 4. Интегрирование проводится при различных значениях, b, P, что позволяет провести исследование влияния различных силовых факторов на характер торможения твердого тела. Для каждого расчетного случая первоначально определялось время быстродействия, затем в соот ветствующем временном диапазоне проводился расчет характеристик движения твердого тела.

Рис. 78 Рис. На рис. 78, 79 представлен численный анализ при P = 101, b = 101 и = 0.5,101,102 (кривые 1 – 3). Видно, что при уменьшении момента сил сопротивления среды, торможение твердого тела происходит с меньшим градиентом, а изменение модуля кинетического момента имеет почти прямолинейный характер (кривая 3 рис. 78).



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.