авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«Федеральное агентство по образованию Российской федерации Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального ...»

-- [ Страница 2 ] --

Функция Лагранжа системы зарядов во внешнем постоянном однород ном магнитном поле содержит дополнительный (по отношению к функции Лагранжа замкнутой системы) член [] e e Hr v = [r v ]H L = Av = (3.127) 2c 2c (мы воспользовались перестановочным свойством смешанного произведения [] и выражением A = Hr / 2 для векторного потенциала однородного поля).

Вводя магнитный момент системы, имеем:

L = mH. (3.128) Рассмотрим систему зарядов, совершающих финитное движение (со скоростями v c ) в центрально-симметричном электрическом поле, созда ваемом некоторой неподвижной частицей.

Перейдем от неподвижной системы координат к системе, равномерно вращающейся вокруг оси, проходящей через неподвижную частицу. Согласно известной формуле скорость v частицы в новой системе координат связана с ее же скоростью v в старой системе соотношением [] v = v + r, (3.129) где r —радиус-вектор частицы, a — угловая скорость вращающейся сис темы координат. В неподвижной системе функция Лагранжа системы зарядов есть mv L= U, (3.130) где U — потенциальная энергия зарядов во внешнем электрическом поле вместе с энергией их взаимодействия друг с другом. U является функцией от расстояний зарядов до неподвижной частицы и от их взаимных расстояний;

при переходе к вращающейся системе координат она остается, очевидно, не изменной. Поэтому в новой системе функция Лагранжа будет mv ( [ ]) [] m L = v + r U + mv r U, (3.131) 2 [ ] где мы пренебрегли членами порядка r.

Предположим, что у всех частиц отношение e / m зарядов к массам одинаково, и рассмотрим функцию Лагранжа этой системы в однородном магнитном поле напряженностью H :

mv 2 [] L= + ev Hr U. (3.132) 2 2c Мы видим, что при e = (3.133) H 2mc она совпадает с функцией Лагранжа (3.131) вращающейся системы отсчета.

Таким образом, в нерелятивистском случае поведение системы зарядов с одинаковыми отношениями e / m, совершающих финитное движение в цен трально-симметричном электрическом поле и в слабом однородном магнит ном поле H, эквивалентно поведению этой же системы зарядов в том же электрическом поле в системе координат, равномерно вращающейся с угло вой скоростью (3.133). Это утверждение составляет содержание так называе мой теоремы Лармора, а угловая скорость = eH / 2mc называется ларморо вой частотой.

К этому же вопросу можно подойти с другой точки зрения. При доста точно слабом магнитном поле H ларморова частота мала по сравнению с частотами финитного движения данной системы зарядов, и можно рассмат ривать относящиеся к этой системе величины, усредненные по временам, ма лым по сравнению с периодом 2 /. Эти величины будут медленно (с час тотой ) меняться со временем.

Рассмотрим изменение среднего механического момента системы L.

Согласно известному уравнению механики производная L равна моменту действующих на систему сил M. Поэтому имеем:

[] d L = M = mH. (3.134) dt Если отношение e / m для всех частиц в системе одинаково, то механи ческий и магнитный моменты пропорциональны друг другу. Тогда [] d L = L. (3.135) dt Это уравнение означает, что вектор L (а с ним и магнитный момент m ) вра щается с угловой скоростью - вокруг направления поля, сохраняя при этом свою абсолютную величину и угол, образуемый им с этим направлением. Это явление называется ларморова прецессия.

Контрольные вопросы 1. Записать уравнения Максвелла для электростатики.

2. Записать закон Кулона.

3. Почему магнитное поле можно считать «фиктивным» полем?

4. Как выглядит электрическое поле быстро движущегося заряда?

5. Что такое дипольный момент? Запишите его в виде интеграла.

6. Напишите выражения для потенциала и поля диполя.

7. При каких условиях квадрупольный момент не зависит от выбора начала координат?

8. Что такое мультипольное разложение?

9. Чему равна потенциальная энергия диполя во внешнем поле?

10. Записать уравнения Максвелла для магнитостатики.

11. В чем состоят отличия мультипольного разложения в магнитостатике от аналогичного в электростатике?

12. Запишите выражение для магнитного момента через механический.

13. Что такое Ларморова прецессия?

Глава 4. Электромагнитные волны 4.1 Волновое уравнение Нестационарные решения уравнений Максвелла E (t, r ), H (t, r ), без ис точников = 0 и j = 0 называются электромагнитными волнами в вакууме.

Эти волновые поля описываются системой уравнений 1 H 1 E rot E =, rot H =, div E = 0, div H = 0. (4.1) c t c t Правая часть второго уравнения (1 / c) E / t называется ток смещения, эту величину Максвелл специально добавил в свои уравнения, чтобы обеспе чить существование волновых решений. Волновые решения должны удовле творять волновому уравнению или уравнению Даламбера. Таким образом, наша задача состоит в том, чтобы вывести волновое уравнение из уравнений Максвелла без источников.

Это можно сделать двумя способами: либо в 3-мерном виде непосред ственно из уравнений (4.1), либо переписать уравнения Максвелла в 4 мерном виде и выразить поля через 4-потенциал.

Первый способ. Применим операцию rot к первому и второму уравне ниям в (4.1) и выразим rot H и rot E из второго и первого уравнений 1 2E 1 1 E H = 2 2, rot rot E = rot = rot H = c t c t t c t c t c 1 2H 1 1 H E = rot rot H = rot = rot E =.

c t c t t c t c t c Теперь, применим известное векторное тождество к полям E и H rot rot E = grad div E E, rot rot H = grad div H H.

Учитывая два последних уравнения div E = 0 и div H = 0 в (4.1), получим два волновых уравнения для полей E (t, r ) и H (t, r ) 1 2E 1 2H E 2 2 = 0, H 2 = 0. (4.2) c t c t Здесь означает оператор Лапласа.

Второй способ. Если = 0 и j = 0, то равна нулю плотность тока, за писанная в 4-мерном виде J = (c, j ) = 0. Тогда 4-мерное уравнение Мак F / x = (4 / c) J свелла с источниками становится однородным F / x = 0. Выразим в этом уравнении тензор электромагнитного поля A = (, A).

F через 4-потенциал Согласно определению F = A / x A / x, тогда F A A = 0.

= x x x x x Свяжем 4-потенциал дополнительным условием, A / x = 0 дивергенция 4-вектора A = (, A) равна нулю, которое называется калибровка Лоренца.

Трехмерный вид этого условия: (1 / c) / t + div A = 0. В результате получим 4-мерную форму волнового уравнения для 4-потенциала 2 A A g =0, (4.3) x x x x где g метрический тензор, в декартовых координатах это диагональная матрица g = g = diag (1,1,1,1). В 3-мерном виде уравнение (4.3) пере писывается как 1 2 A0 1 = 0, A0 = 0 2 2 = 0, c 2 t 2 c t 1 2 A 1 2 A = 1, 2, 3, A 2 = 0 A 2 2 = 0.

c t 2 c t Итак, скалярный (t, r ) и векторный A(t, r ) потенциалы тоже удовле творяют волновому уравнению, значит и сами поля E (t, r ) и H (t, r ) должны описываь волны, поскольку они выражаются через потенциалы:

E = grad (1 / c) A / t, H = rot A.

Волновое уравнение для потенциала A(t, x) можно получить сразу в 3 мерном виде, если использовать векторное тождество для операции rot rot A и частный случай калибровки Лоренца (см., например, [1], С.153).

4.2 Плоские волны Если поля зависят только от одной пространственной переменой, на прмер, E (t, x), H (t, x) или (t, x), A(t, x), то такие поля описывают плоскую волну. Оператор Лапласа, в этом случае упрощается 2 / x 2, и мы полу чаем одномерное волновое уравнение 2 f 2 f c2 2 = 0. (4.4) t 2 x Здесь функция f (t, x) означает любую из компонент полей E (t, x), H (t, x) или потенциалов (t, x), A(t, x).

Для решения (4.4) воспользуемся второй канонической формой одно мерного уравнения Даламбера 2 f =0, (4.5) где = t x / c и = t + x / c называются запаздывающим и опережающим ар гументами соответственно, сама волновая функция зависит теперь от этих ар гументов f = f (, ).

Общее решение (4.5) записывается как f = f1 () + f 2 (), где f1 () и f 2 () произвольные функции своих аргументов. В итоге, мы можем записать общее решение волнового уравнения (4.4) f = f1 (t x / c) + f 2 (t + x / c). (4.6) Функции f1 (t x / c) и f 2 (t + x / c) это два независимых решения уравнения (4.4). Функция f1 (t x / c) описывает волну бегущую вдоль оси x, а функция f 2 (t + x / c) описывает волну бегущую в противоположном направлении.

Рассмотрим частный случай запаздывающей волны, т.е. f 2 (t + x / c) = 0.

Калибровка Лоренца (1 / c) / t + div A = 0 является инвариантной, т.е. оди наково записывается во всех ИСО. Однако если оставаться в одной инерци альной системе отсчета, то удобно вместо калибровки Лоренца использовать простое условие = 0, div A = 0 кулоновскую калибровку. В одномерном случае слудует положить Ax 0, так мы отбрасываем не волновое решение вида E x = const, (см., [1], C.157).

Теперь, электрическое и магнитное поля в плоской волне выражаются только через векторный потенциал 1 A E=, H = rot A.

c t Учитывая выбор Ax 0, = t x / c и что для плоской волны A / y 0, A / z 0 выразим операторы дифференцирования как x x = = t = = = t =,.

t t t c x x x c c Тогда rot A = [A] можно выразить как Az Ay A Ay Ay Ax Ay 0, [A] y = z [A] x = 0, [A] z = =.

y z y z x y x В итоге, электрическое и магнитное поля в плоской волне имеют вид 1 A [ ], 1 A E=, H = n, H = n E (4.7) c c где n единичный вектор вдоль оси x, т.е. вдоль распространения волны.

Из (4.7) видно, что E n, H n и E H, поэтому электромагнитные волны называют поперечными волнами. Для электромагнитных волн в вакууме, случай рассматриваемый здесь, выполняется условие | E | = | H |.

По определению вектор Умова-Пойнтинга S = c [ EH ] / 4 описывает плотность потока энергии и в плоской волне записывается как [ [ ]] c c S= E nE = (4.8) E n, 4 здесь учтено, что ( E n ) = 0 и тождество [a[b c ]] = b (a c ) c (a b ). Из (4.8) следует, что поток энергии направлен вдоль распространения волны, в нашем случае вдоль оси x.

Плотность энергии электромагнитного поля, по определению, есть W = ( E 2 + H 2 ) / 8 и для плоской волны в вакууме W = E 2 / 4, тогда вектор потока энергии можно представить как S = c W n.

Плотность импульса электромагнитного поля выражается, как S / с 2 и равна так же W n / c.

Поток импульса описывается тензором максвеловских напряжений, ко торый выражается через пространственные компоненты тензора энергии импульса как ik = T ik (i, k = 1,2,3), знак минус берется по традиции, чтобы величина ik совпадала по знаку с трехмерными аналогами как в гидродина мике или теории упругости. Для плоской волны отличная от нуля компонента тензора максвеловских напряжений есть xx = T xx = W. Поток импульса направлен вдоль оси x и равен по величине плотности энергии.

Поскольку физические величины: плотность энергии, плотность потока энергии (плотность импульса) и плотность потока импульса, объединены в 4 мерный тензор энергии-импульса, то при переходе в другую ИСО они преоб разуются как соответствующие компоненты симметричного тензора энергии импульса: T = T. Матрица Лоренца описывает переход из штрихованной ИСО в нештрихованную ИСО, ее компоненты зависят от ве личины и направления относительной скорости.

4.3 Монохроматическая плоская волна Пусть плоская электромагнитная волна описывается функциями E (t, x), H (t, x) или A(t, x), которые меняются со временем по гармоническому зако ну, т.е. волновая функция в (4.4) f exp(it ) и вторая производная по вре мени может быть переписана как 2 f / t 2 = 2 f. Тогда само волновое уравнение (4.4) принимает вид f + 2 f = 0. (4.9) c В математической физике уравнение (4.9) известно как уравнение Гельмголь ца. Мы рассматриваем частный случай плоской волны, когда f = f (), = t x / c, причем это монохроматическая волна, т.е. имеется только одна волна вида f exp(it ) с постоянной частотой.

Удобно представить векторный потенциал в комплексной форме A0 exp(i), а физически наблюдаемый потенциал выражается через дейст вительную часть этого комплексного потенциала [ ], A = Re A0 exp( i(t x / c) ) где A0 постоянный комплексный вектор, называемый так же комплексной амплитудой. Поля E (t, x) и H (t, x) будут выражаться через потенциал A со гласно (4.7) и зависеть от времени как A.

С частотой связана физическая величина = 2с /, называемая длиной волны и волновой вектор k = n / c = 2n /, где n единичный век тор, направленный вдоль распространения волны. Если ввести фазу волны, определяемую как k r t, комплексный потенциал можно переписать в ви де A = A0 exp[ i(t x / c)], (4.10) Подстановка (4.10) в (4.7) дает [] E = i k A, H = i k A, k | k |.

Такое важное понятие как поляризация волны связано с направлением электрического поля в волне. Поэтому нужно выяснить, как направлено элек трическое поле в плоской монохроматической волне.

Представим электрическое поле в комплексном виде [ ].

E = E0 exp i (k r t ) Перепишем комплексную амплитуду, как E0 = b exp(i). Принято выбирать комплексный вектор b = b1 + i b2 и фазу, чтобы (b1 b2 ) = 0, тогда [ ].

E = b exp i (k r t + ) Направим вектор b1 вдоль оси y, тогда компоненты электрического по ля расположены в плоскости ( y, z ) и ортогональны вектору k, который те перь расположен вдоль оси x. Сами компоненты поля E запишем как E y = b1 cos(t k r ), E z = ± b2 sin(t k r ), (4.11) здесь два знака перед величиной b2 означают направление вектора b2 вдоль оси z или против нее. Исключив фазу из выражений (4.11) получим 2 Ey Ez + = 1. (4.12) b12 b Уравнение (4.12) показывает, что в любой точке пространства вектор электрического поля заметает эллипс. Такая монохроматическая волна назы вается эллиптически поляризованной. Если b1 = b2, то волна называется поля ризованной по кругу. Если вращение вектора E происходит против часовой стрелки вокруг вектора k, то волна называется правополяризованной, если по часовой стрелке то левополяризованной. Эти два случая отвечают двум знакам перед величиной b2 в (4.11). Если b1 = 0 или b2 = 0, то волна называ ется линейно поляризованной или поляризованной в плоскости ( x, y ) или в плоскости ( x, z ).

Фазу t k r можно представить как скалярное произведение двух 4 векторов: радиус-вектора x = (ct, x, y, z ) и 4-вектора с компонентами ( / c, k ) этот вектор называется 4-мерным волновым вектором k =, k.

c Если скорость волны равна скорости света в вакууме, то k k = 0. Если скорость волны меньше, чем скорости света в вакууме, то k k 0.

Решение 4-мерного волнового уравнения (4.3) в виде монохроматиче ской волны должно иметь вид ( ).

A exp i k x Плотность энергии, вектор Умова-Пойнтинга и тензор максвеловских напряжений могут быть вычислены с помощью тензора энергии импульса плоской монохроматической волны Wc = 2kk.

T Преобразование компонент 4-вектора k при переходе в другую ИСО описывается формулой k = k, где матрица Лоренца. Эта формула позволяет получить сразу преобразование частоты (эффект Доплера) и изме нение направления вектора k (аберрация).

4.4 Сферические волны Рассмотрим волновое уравнение для функции, зависящей от всех про странственных переменных f (t, r ) 1 2 f f = 0. (4.13) c 2 t Пусть функция f зависит от модуля вектора r, т.е. обладает сфериче ской симметрией f (t, r ), тогда в операторе Лапласа остается только радиаль ная часть и уравнение (4.13) переписывается как 1 2 f 1 2 f = 0.

r (4.14) r 2 r r c 2 t Сделаем подстановку f (t, r ) = u (t, r ) / r в (4.14), тогда для функции u (t, r ) получим уравнение 2u 1 2u = 0.

r 2 c 2 t Это уравнение для плоских волн и его решение нам уже известно u (t, r ) = f1 (t r / c) + f 2 (t + r / c).

В результате получено общее решение уравнения (4.14) f1 (t r / c) f 2 (t + r / c) f (t, r ) = +. (4.15) r r Решение (4.15) известно как сферические волны. Два линейно незави симых решения f1 (t r / c) / r и f 2 (t + r / c) / r называются запаздывающим и опережающим соответственно. Запаздывающее решение f1 (t r / c) / r описы вает сферическую волну, расходящуюся от цента со скоростью c. Опере жающее решение f 2 (t + r / c) / r описывает сферическую волну, сходящуюся к центру со скоростью c. Оба решения играют большую роль в математиче ской физике и используются в качестве базиса для разложения произвольных решений на сферические составляющие. В природе обычно встречаются за паздывающие решения, так на большом удалении от пространственно огра ниченного источника излучения (островной источник) волна стремится к сферически симметричному виду.

4.5 Общее решение неоднородного волнового уравнения Неоднородные волновые уравнения для полей и потенциалов возника ют, если рассмотреть уравнения Максвелла с источниками. Удобно сделать это в 4-мерной форме. Учитывая определение тензора электромагнитного по ля F = A / x A / x, выразим дивергенцию F через 4-потенциал A F A A.

= x x x x x Наложим на 4-потенциал дополнительное условие калибровку Лоренца A = 0.

x Тогда из уравнений Максвелла с источниками следует неоднородное волно вое уравнение для 4-потенциала F 2 A 4 = = J J.

x x x c c А так же закон сохранения 4-тока 2 F J =0 = 0.

x x x В 3-мерном виде получаются два неоднородных волновых уравнения 1 2 1 2 A 2 2 = 4, A 2 2 = (4.16) j c t c t с и дополнительне условия калибровка Лоренца и уравнение неразрывности 1 + div A = 0, + div j = 0.

c t t В математической физике существует несколько методов решения не однородных линейных уравнений в частных производных, наболее распро странен из них метод функций Грина. Суть метода заключается в том, чтобы представить распределенный источник в виде суперпозиции (интеграла) точечных источников. Такие точечные источники описываются с помощью -функции Дирака. Решение G линейного уравнения с правой частью в виде -функции называется функцией Грина. Тогда решение линейного уравнения с произвольной правой частью представляется в виде суперпозиции, т.е.

объемного интеграла от произведения функции Грина на функцию источника GdV. См., например, [1], [2].

Результат решения (4.16) принято записывать в следующем виде (r, t R / c ) (t, r ) = dxdydz + 0, R (4.17) j (r, t R / c ) A(t, r ) = dxdydz + A0, c R где R = r r, r = ( x, y, z ) радиус-вектор точки измерения потенциалов и A. r = ( x, y, z ) радиус-вектор элемента объема dxdy dz, по которому распределен источник. R = | R | расстояние от элемента объема dxdy dz до точки измерения потенциалов и A.

Объемные интегралы в (4.17) называются запаздывающими потенциа лами, величины 0 и A0 решения однородных волновых уравнений.

Потенциалы 0 и A0 принято интерпретировать как внешнее поле, на пример, плоская волна, падающая на систему зарядов. Отклик системы на внешнее воздействие и есть запаздывающие потенциалы, как видно из (4.17) это суперпозиция сферических запаздывающих волн, расходящихся от каж дой точки объема, по которому распределен источник.

Контрольные вопросы 1. Какие компоненты A удовлетворяют волновому уравнению?

2. Какие компоненты Е и Н удовлетворяют волновому уравнению?

3. Удовлетворяет ли волновому уравнению скалярный потенциал?

4. Смысл двух независимых решений одномерного волнового уравнения?

5. Сколько степеней свободы нужно для учета поляризации плоской волны?

6. Перечислить типы поляризации плоской монохроматической волны.

Глава 5. Электромагнитные поля движущихся зарядов 5.1. Запаздывающие потенциалы Факт конечности скорости передачи взаимодействия (скорости света) приводит к проблеме запаздывания сигнала и, в конечном счете, к введению запаздывающего времени = t x / c. Это эквивалентно смещению начала от счета времени на величину, равную времени распространения электромаг нитного сигнала из начальной точки в точку x.

С другой стороны, решениями уравнений Максвелла являются как на пряженности электромагнитных полей, так и их потенциалы. Поэтому про блема тем более усложняется при нахождении полей и потенциалов движу щихся зарядов.

Для решения этой задачи рассмотрим уравнения Максвелла с источни ком (см. к примеру [1]) F = j. (5.1) x c Если теперь расписать тензор электромагнитного поля через 4 потенциалы A A F =, x x подставить в уравнения (5.1), наложить на потенциалы условия Лоренца A =0, x что в трехмерных обозначениях перепишется как + div A = 0, c t то уравнения (5.1) трансформируется в уравнение для потенциалов 2 A = g j, (5.2) x x c где оператор g xx есть оператор Д’Аламбера или д’аламбертиан, который позволяет записать уравнение (5.2) в трехмерном виде как два уравнения на потенциалы элек тромагнитного поля 1 A A = 4 j ;

(5.3) c 2 t 1 2 2 = 4. (5.4) c t Эти уравнения для стационарных полей сводятся к уравнения Пуассона на потенциалы, а для переменных полей без источников к однородным вол новым уравнениям.

В нашем случае неоднородных линейных уравнений (5.3) и (5.4) реше ние может быть представлено в виде суммы решений этих же уравнений без источников и частного решения уравнений с источниками. Для нахождения как раз частного решения разобьем все пространство на бесконечно малые участки и определим поле, создаваемое зарядом q, находящимся в одном из таких элементов объема. Из-за линейности уравнений истинное поле будет равно суперпозиции всех полей, создаваемых всеми такими зарядами.

Чтобы найти частное решение, начнем с уравнения (5.4). Для этого вы берем начало координат в рассматриваемом маленьком объеме пространства и определим плотность электрического заряда как ( R, t ) = q (t ) ( R ), где заряд q есть функция времени, R – расстояние от выбранного начала, ( R ) – дельта функция Дирака.

Это означает, что теперь необходимо решить следующее уравнение:

1 2 2 2 = 4 q (t ) ( R ). (5.5) c t Выбранная запись плотности заряда указывает на то, что заряд сосредоточен в очень малой области пространства, т.е. его можно в приближении считать точечным. Поэтому кроме начала координат справедливо однородное урав нение 1 2 2 = 0, (5.6) c t называемое уравнением Д’ Аламбера.

В силу малости рассматриваемого объема можно считать его сфериче ским, а функцию зависящей от радиуса R. Тогда уравнение (5.6) в сфери ческих координатах трансформируется в уравнение 1 1 ) =0. (5.7) (R R 2 R R c 2 t Допущение сферичности рассматриваемого заряженного объема позво ляет записать потенциал в виде функции, обратно пропорциональной ра диусу, ( R, t ) =.

R Такой вид потенциала характерен для потенциала точечного заряда или вне заряженной сферы. Подставляя в (5.7), получим уравнение для плоской волны на функцию ( R, t ) 2 1 = 0. (5.8) R 2 c 2 t Решение такого уравнения может быть сразу выписано через суперпо зицию функций запаздывающего и опережающего времени = f1 (t R / c) + f 2 (t + R / c). (5.9) Нам необходимо любое частное решение, поэтому оставим, исходя из физических соображений, связанных с принципом причинности, функцию f из (5.9). В итоге потенциал принимает вид (вне начала координат) (t R / c) =. (5.10) R Функция произвольна, поэтому можно подобрать ее таким образом, чтобы решение для потенциала (5.9) было справедливо и для области, зани маемой зарядом (в том числе и в начале координат). Другими словами, функ ция должна удовлетворять уравнению (5.5). Однако в силу ограниченности волновой функции плоской волны сам потенциал при R 0 неограни ченно возрастает, т.е. его производные по координатам растут быстрее, чем производные по времени. Поэтому в уравнении (5.5) вблизи начала координат можно пренебречь второй производной по времени (1 / c 2 ) 2 / t 2 по сравне нию с действием лапласиана на потенциал. Следовательно, около начала координат получаем уравнение Пуассона с сингулярным источником, приво дящее к закону Кулона. Это означает, что в каждый момент времени функция (5.10) в окрестности начала координат должна иметь вид q (t R / c) q () = =, (5.11) R R т.е. функция () = q (), = t R / c – запаздывающее время.

Для общего случая с произвольным распределением заряда в уравнении (5.4) представим q в (5.11) через объемную плотность заряда и элемент объема как q = dV, а затем проинтегрируем по всему пространству 1 R ( r, t ) = ( r, t )dV '+0, (5.12) R c где 0 – решение уравнения (5.4) без источника, R = r r ', r ' = ( x', y ', z ' ), R – есть расстояние элемента объема dV до «точки наблюдения», в которой не обходимо найти значение потенциала. Перепишем это выражение коротко как [1] = dV + 0, (5.13) R где индекс есть запаздывающее время.

Подобным образом находится решение и для векторного потенциала, удовлетворяющего уравнению (5.3), 1 j c R A= dV + A 0, (5.14) где A0 – решение уравнения (5.3) без правой части.

Полученные таким образом потенциалы (5.13) и (5.14) носят названия запаздывающих потенциалов. При этом 0 и A0 обычно отождествляют с внешним полем, действующим на систему.

5.2. Потенциалы Лиенара-Вихерта Перейдем теперь к нахождению потенциалов поля, создаваемого точе ным зарядом, совершающим заданное движение, описываемое законом дви жения r = r0 (t ) [1].

Как мы видели в предыдущем параграфе, согласно выражениям для за паздывающих потенциалов электромагнитное поле в точке наблюдения P( x, y, z ) в момент времени t определяется состоянием движения заряда в предшествующий момент времени t ', для которого время распространения электромагнитного сигнала из точки нахождения заряда r0 (t ' ) в точку наблю дения P как раз совпадает с разностью t t '. Определим R = r r0 (t ) – ради ус-вектор от заряда q в точку P, т.е. момент времени t ' задается как R(t ' ) t '+ =t. (5.15) c Таким образом, если в момент t ' в некоторой системе отсчета, где заряд покоится (сопутствующая система отсчета), то электромагнитное поле в точ ке наблюдения в момент времен t задается просто кулоновским потенциалом q = A = 0.

, (5.16) R(t ' ) Согласно (5.15) выражение (5.16) для сопутствующей системы отсчета можно переписать как q = A = 0.

, (5.17) c(t t ' ) Однако сопутствие означает равенство нулю относительной скорости v = заряда и наблюдателя. Поэтому необходимо обобщить выражения для потен циалов в произвольной системе отсчета. Далее заметим, что свертка 4-вектора R = (c(t t ' ), r r '(t )) с 4-скоростью заряда u = dx / ds дает Ru = c(t t ' ) в сопутствующей системе отсчета, где u = (1,0,0,0). Кроме того, справедливо R R = 0, т.е. вектор R является светоподобным. Это означает, что потен циал электрического поля в сопутствующей системе отсчета может быть представлен как u =q. (5.18) Ru Естественное ковариантное обобщение, которое может быть сразу вве дено, это запись 4-потенциала в виде u A =q. (5.19) Ru Переписывая (5.19) в трехмерных обозначениях, получим известные потенциалы Лиенара-Вихерта q qv = A=,, (5.20) vR vR R c( R ) c c где R – радиус-вектор, проведенный из точки нахождения заряда в точку на блюдения P, а все величины в правых частях равенств (5.20) берутся в мо мент времени t '.

Для нахождения соответствующих напряженностей электрического и магнитного полей 1 A E = H = rot A, (5.21) c t Необходимо дифференцировать потенциалы (5.20) по координатам ( x, y, z ) и моменту времени t наблюдения, а соотношения для потенциалов Лиенара Вихерта суть функции от штрихованного времени t '. Поэтому для вычисле ния искомых производных следует вычислить сначала производные от t '.

Начнем с производной по t. Для этого продифференцируем соотноше ние (5.15), записав предварительно как R(t ' ) = c(t t ' ), по t R R t ' R v t ' t ' = = = c(1 ), (5.22) t t ' t R t t где использовано при дифференцировании R / t ' тождество R = R и под становка R (t ' ) / t ' = v (t ' ), минус появляется из-за того, что R есть радиус вектор от заряда q в точку P [1].

Из (5.22) находим t ' =. (5.23) t Rv cR Найдем теперь производные по координатам. Аналогичным образом продифференцируем то же самое соотношение (5.15) 1 R 1 R grad t ' = grad R (t ' ) = ( grad t '+ ). (5.24) c t ' c R В итоге получаем R grad t ' =. (2.25) Rv c( R ) c Теперь с помощью этих формул можно вычислить напряженности элек тромагнитного поля, которые запишутся в виде v2 v v q v c E=q (R R) + [ R [( R R) ]] ;

(5.26) t ' c c Rv 3 Rv c2 (R (R ) ) c c H= [ R, E ], (5.27) R где все величины в правых сторонах равенств берутся в момент t '.

Следует отметить, что электрическое поле (5.26) состоит из двух частей с различным асимптотическим поведением на больших расстояниях. Первый член зависит только от скорости частицы и на больших расстояниях меняется как 1 / R 2, т.е. как кулоновское поле, а точнее, это есть поле равномерно дви жущегося заряда. Второй член зависит от ускорения и убывает на больших расстояниях как 1 / R, т.е. как поле волны, т.к. этот член связан с излучаемыми частицей электромагнитными волнами. Что касается магнитного поля, то в этом общем случае по сравнению с равномерно движущимся зарядом, оно также оказывается всегда перпендикулярным к электрическому.

Контрольные вопросы 1. Что такое запаздывающее время? Его физический смысл.

2. Что такое запаздывающие потенциалы? Их физический смысл.

3. Что описывают потенциалы Лиенара-Вихерта?

4. Записать уравнения электромагнитного поля для потенциалов.

Глава 6. Теория излучения 6.1 Поле системы зарядов на далеких расстояниях Пусть поле создается системой, движущихся зарядов. Решения в виде запаздывающих потенциалов (4.17) можно упростить, если рассматривать по ле на расстояниях много больших, чем размеры самой системы зарядов.

Поместим начало координат O внутри системы. Радиус-вектор из точ ки O в точку P, где наблюдается поле, обозначим, как R0, а единичный век тор в этом направлении обозначим как n, т.е. R0 = n R0 Радиус-вектор из точки O в точку элемента заряда de = dV обозначим как r. Вектор от эле мента de в точку P обозначим как R, т.е. R = | R0 r |.

На больших расстояниях от системы зарядов R0 r, тогда ( R0 r ) 2 = R0 + r 2 2 r R0 R0 (1 2 r n / R0 ), 2 1 2 r n / R0 1 r n / R0.

( R0 r ) 2 или учитывая это, запишем величину R как R = | R0 r | R0 r n.

Подставим это в (4.17). В знаменателе R0 можно считать постоянной величиной и вынести за знак интеграла. В аргументе величину t R / c следу ет переписать, как t R0 / c + r n / c, последним слагаемым пренебрегать нельзя, если только функции и j не остаются постоянными за время по рядка r n / c. Окончательно получим результат (r, t R0 / c + r n / c ) dxdydz, R = (6.1) j (r, t R0 / c + r n / c ) dxdydz.

cR A= На больших расстояниях от системы волна асимптотически стремится сферической форме. Малый участок сферы можно рассматривать как пло скую площадку, если при этом R0 много больше, чем длина волны, то саму волну можно рассматривать как плоскую. Области электромагнитного излу чения, где выполняются эти условия, называются волновой зоной.

Электрическое и магнитное поля в волновой зоне связаны формулой E = [ H, n ]. Магнитное поле H = rot A, а сам векторный потенциал вычисля ется как в плоской волне. В результате имеем 1 1 An H = [ A n ], E = [n [ A n ]] = + ( A n ). (6.2) c c cс Здесь A означает дифференцирование по времени.

Согласно формулам (6.1) и (6.2) поля на больших расстояниях убывают по закону 1 / R0. Вектор Пойнтинга для плоской волны равен S = n cH 2 / 4.

Количество энергии, излучаемое в единицу времени в элемент телесно го угла d называется интенсивность излучения и описывается формулой H2 dI = c R0 d. (6.3) Закон убывания поля на больших расстояниях H 1 / R0. Получается, что интенсивность dI не зависит от расстояния, а зависит только от запазды вающего аргумента t R0 / c. Подробности о спектральных свойствах излуче ния на больших расстояниях см. в [1].

6.2 Дипольное излучение В формулах (6.1) время в аргументах функций и j входит в комби нации t R0 / c + r n / c. Когда можно пренебречь величиной r n / c ? Это можно сделать, если длина, излучаемой волны много больше, чем характер ный размер системы. Это утверждение эквивалентно требованию v c, где v характерная скорость зарядов.

Для определения полей в плоской волне достаточно вычислить вектор ный потенциал, который теперь с учетом требований и v c имеет вид j (r, t R0 / c ) dxdydz.

A= cR Полагая j = v, перепишем векторный потенциал как A = ev / cR0, где сумма берется по всем заряженным частицам. Поскольку ev = dt ( er ) = d, здесь вектор d = er d дипольный момент системы. В результате имеем 1 1 A= H= [d n ], E = 2 [[d n ] n ].

d (6.4) cR0 c R0 c R Поля в (6.4) вычислены согласно (6.2).

Электромагнитное излучение, в данном приближении, выражается че рез вторую производную по времени от дипольного момента, поэтому такое излучение называется дипольным. Принято говорит так же об излучении в дипольном приближении. Из формулы d = ev следует, что дипольное из лучение возможно, если заряды движутся с ускорением.

Интенсивность дипольного излучения согласно (6.3) описывается фор мулой d 1 sin 2 d.

dI = [ d n ] d = (6.5) 4 c 3 4 c Согласно (6.5) угловое распределение излучения пропорционально sin 2.

Учитывая, что d = 2 sin d и интегрируя (6.5) по d от 0 до, получим полное дипольное излучение:

I= d. (6.6) 3c Так полное излучение одиночного заряда есть I = 2e 2 a 2 / 3c 3. Если замкнутая система состоит из частиц с одинаковым отношением заряда к массе, напри мер, частицы одного сорта, то дипольное излучение такой системы равно ну лю. Это следует из определения d = er = (e / m) mr = (e / m) mr. Ради ус центра масс у замкнутой системы в нерелятивистском приближении v c движется равномерно.

6.3 Квадрупольное и магнито-дипольное излучения Если дипольное излучение невозможно, то необходимо учитывать сле дующие порядки малости при вычислении векторного потенциала в (6.1). Ве дем удобное обозначение для запаздывающего времени t t R0 / c, тогда векторный потенциал в (6.1) можно разложить в ряд по степеням малой вели чины r n / c j (r, t + r n / c ) dxdydz A= c R j (r, t ) dxdydz + (r n ) j (r, t ) dxdydz.

c 2 R0 t c R Полагая j = v, перепишем векторный потенциал как 1 ev (r n ).

ev + c 2 R A= t c R0 Преобразуем произведение во втором слагаемом 1 1 1 v (r n ) = r (r n ) + v (r n ) r (v n ) = r (r n ) + [[r v ] n ].

2 t 2 t 2 2 Тогда векторный потенциал перепишется как d 1 er (r n ) + c R A= + [m n ], c R0 2c 2 R0 t 2 где m = e[r v ] / 2c магнитный момент системы. Поля выражаются через векторный потенциал как [ A n ], поэтому к A можно прибавить любой вектор пропорциональный n, поля при этом не изменятся. Сделаем подстановку r (r n ) r (r n ) n r 2 / 3. Выражение Dik = e(3 xi xk ik r 2 ) называется тен зор квадрупольного момента. Введем вектор D, компоненты которого есть Di = Dik nk, тогда для векторного потенциала получим окончательное вы k ражение d 1 A= +2 D+ [m n ]. (6.7) c R0 6 c R0 c R Подставляя (6.7) в (6.2) получим формулы для полей 1 H= [d n ] + [ D n ] + [[m n ] n ], c R0 6c (6.8) 1 E = 2 [[d n ] n ] + [[ D n ] n ] + [n m].

c R0 6c Подстановка (6.8) в (6.3) дает интенсивность излучения в телесный угол dI. Если усреднить это по всем направлениям, то получим полное излучение, см., например, [1]:

22 1 Dik + 2 m 2.

I= d+ (6.9) 3c 3 180с 5 3c Три слагаемых в (6.9) называются соответственно дипольным, квадру польнымое и магнито-дипольным излучениями. Магнито-дипольное и ди польное излучения отсутствуют у замкнутых систем с частицами одного сор та.

6.4. Излучение быстро движущегося заряда Ранее было получено выражение (6.6), что мощность излучения заря женной частицы в нерелятивистском случае пропорциональна квадрату уско рения частицы. Полный же излучаемый ею импульс в той же системе отчета равен нулю, т.к. излучение импульса как интеграл от плотности потока им пульса в поле излучения по замкнутой поверхности, охватывающую частицу.

Однако в силу свойств симметрии дипольного излучения импульсы, уноси мые в противоположных направлениях, одинаковы по величине и противопо ложны по направлению, что и приводит к нулевому результату.

При переходе к произвольно движущейся системе отсчета необходимо предыдущие результаты обобщить на четырехмерную запись. Следует при этом учесть, что в сопутствующей системе отсчета (там, где частица покоит ся) пространственные компоненты 4-скорости u равны нулю, а квадрат 4 ускорения w = du / ds есть инвариант, пропорциональный квадрату 3 ускорения w a w w w = 4. (6.10) c Поэтому пространственные компоненты излучаемого 4-импульса dP обра щаются в нуль, а временная совпадает с выражением 2q 2 dE = 3 w dt. (6.11) 3c Это позволяет записать du du du du 2q 2 2q dP = dx = g g u ds. (6.12) 3c ds ds 3c ds ds Воспользуемся уравнениями движения в 4-мерной формулировке du q = F u, mc (6.13) ds c и перепишем (6.12) через тензор электромагнитного поля, исключив 4 ускорение. После этого, проинтегрировав полученное выражение, найдем полное излучение 4-импульса за время пролета частицы через данное элек тромагнитное поле 2q P = g F u F u dx.

2 (6.14) 3m c Временная компонента соотношения (6.14) и есть полное излучение энергии E, которая может быть записана в через трехмерные величины как 2 [ v, w] 2w 2q c 2 dt = I dt, E = 3 (6.15) v 3c (1 2 ) c где w = d v / dt – ускорение частицы, 1 {E + [ v, H ]}2 2 ( E, v ) 2q 4 c c I=. (6.16) 23 3m c v (1 2 ) c Из полученного выражения (6.16) видно, что при скоростях близких к скорости света, полное излучение энергии в единицу времени пропорцио нально квадрату энергии движущейся частицы, т.е. зависит от скорости как v 1 /(1 2 ). Однако при движении в электрическом поле параллельно направ c лению поля будем иметь исключение.

6.5. Рассеяние свободными зарядами При падении на систему электрических зарядов электромагнитной вол ны сами заряды приходят в движение, которое сопровождается излучением во все стороны, т.е. происходит рассеяние первоначально падающей волны.

Рассеяние обычно характеризуют отношением количества энергии, ис пускаемой рассеивающей системой в данном направлении в единицу времени к плотности потока энергии падающего на систему излучения. Это отноше ние имеет размерность площади и носит название эффективного сечения рассеяния [1].

Если при падении на систему зарядов волны с вектором Пойнтинга S излучаемая системой энергия в телесный угол d за единицу времени есть dI, то сечение рассеяния (в телесный угол) равно dI d =, (6.17) S где dI обозначено усреднение по времени. Полное сечение рассеяния есть интеграл по всем направлениям от (6.17).

Пусть имеется один неподвижный свободный заряд. Рассмотрим рас сеяние, когда на этот заряд падает плоская монохроматическая линейно поля ризованная электромагнитная волна. Напряженность электрического поля волны запишем в виде E = E 0 cos( k r t + ). (6.18) Практически скорость, приобретаемая зарядом под действием электро магнитной волны, много меньше скорости света, поэтому можно принять си q лу, действующую на заряд, равной q E, а лоренцевой силой [ v, H ] со сто c роны магнитного поля можно пренебречь. При этом пренебрегаем и влияни ем смещения заряда при его колебаниях под влиянием электрического поля.

Поместим начало координат в точку, около которой заряд совершает колебания. Тогда в (6.18) исчезнет член k r и можно считать, что на заряд все время действует поле E = E 0 cos(t ). (6.19) При принятых допущениях уравнение движения заряда записываются как d2 r m 2 = qE, (6.20) dt а с учетом, что дипольный момент заряда есть d = q r, уравнение (6.20) пе реписывается в виде d 2 d q = E. (6.21) dt 2 m В принятом приближении воспользуемся выражением (6.5), учитывая при этом, что частота рассеянной зарядом волны равна частоте падающей.

После подстановки (6.21) в (6.5) получаем q4 [ E, n ' ] 2 d, dI = (6.22) 4 m 2c где n ' – единичный вектор в направлении рассеяния.

Для падающей волны величина вектора Пойнтинга равна c S= E. (6.23) В результате получаем сечение рассеяния в телесный угол d, не зави сящее от частоты, q2 2 d = ( ) sin d, (6.24) mc где – угол между направлением рассеяния и направлением вектора напря женности электрического поля падающей волны.

Чтобы найти полное сечение рассеяния выберем направление вектора E в качестве полярной оси. Это означает, что d = sin d d. Интегрируя по от 0 до и по от 0 до 2, получаем формулу Томсона 8 q 2 = ( 2). (6.25) 3 mc Контрольные вопросы 1. Как называются частные решения неоднородного волнового уравнения?

2. Существует ли дипольное излучение от электронного газа?

3. Существует ли чисто квадрупольное излучение?

4. Существует ли чисто магнитодипольное излучение?

5. Может ли излучать заряд двигающийся равномерно и прямолинейно?

6. Чему пропорциональна мощность излучения ускоренного заряда?

7. Что такое сечение рассеяния?

8. Записать формулу Томсона и дать физическую интерпретации.

Глава 7. Спектральные представления электромагнитного поля В этой главе мы сформулируем основные результаты классической электродинамики в виде, удобном для перехода к квантовой теории[1].

7.1 Собственные колебания поля Рассмотрим электромагнитное поле в отсутствие зарядов в конечном объеме V, который предположим в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами L1, L2, L3. Все поля можно разложить в трехмерный ряд Фурье, на пример векторный потенциал A( r, t ) = ak (t )eik r. (7.1) k Здесь компоненты вектора k принимают дискретный ряд значений k x = 2nx L1, k y = 2n y L2, k z = 2nz L3, n x, n y, nz - произвольные целые числа. Из условия вещественности вектор потенциала A+ = ak+ eik r = a k eik r = A + k k следует a k = ak+. Из калибровки Ландау div A = 0 следует k ak = 0, то есть + поле ak перпендикулярно волновому вектору k (поперечная волна). Из вол нового уравнения следует ak + c 2 k 2 ak = 0. (7.2) Решение уравнения (7.2) имеет вид ak (t ) = ak e ik t, где k = ck. Чтобы явно выделить бегущие волны, перегруппируем слагаемые в (7.1) следующим образом ( ) ( ) A( r, t ) = ak eik r + a k (t )e ik r = ak eik r + ak+ e ik r. (7.3) k k В первом слагаемом (7.3) волна имеет вид exp i ( k r k t ), во втором exp i ( k t k r ). Оба слагаемых есть функция от k r k t и соответствует волне, бегущей вдоль вектора k.

Напряженность электрического поля равна ( ) ( ) 1 E = A = ak eik r + ak+ e ik r = i k ak eik r ak+ e ik r. (7.4) c ck k Аналогично находим напряженность магнитного поля H = rot A.

( ) ( ) H = i k ak eik r k ak+ e ik r. (7.5) k Энергия поля ( H + E )dV = 2 может быть представлена в виде ( )( ) v k 2 ak ak+ + k ak k ak+.

= (7.6) 4 k Так как поле поперечно, то k ak = 0 и k ak = kak. В результате v k 2 ak ak+ = k, = (7.7) 2 k k v k ak ak+ - есть энергия одной плоской волны. Поскольку волновое где k = уравнение (7.2) для амплитуд ak совпадает с уравнением осциллятора с час тотой k = ck, то представление поля (7.3-7.5) есть разложение поля в виде набора линейных осцилляторов, каждый из которых обладает энергией k ~ k 2.

7.2. Спектральное разложение электростатического поля.

Спектральное представление, описанное в предыдущем разделе, отно силось к полю в пустом пространстве без зарядов. Это поле можно предста вить как совокупность осциллирующих колебаний с волновым вектором k и частотой k = ck. Можем ли мы представить в виде осцилляторов поле, соз данное зарядами, в частности электростатическое поле? Такое поле уже не является решением волнового уравнения. Поэтому для плоских волн, на ко торые можно разложить поле зарядов, не выполняется закон дисперсии k = ck. Как мы покажем ниже, частота таких волн = 0, хотя они и характе ризуются волновым вектором k.

Рассмотрим точечный заряд в начале координат. Потенциал созданного им поля определяется уравнением Пуассона = 4e( r ). (7.8) Разложим ( r ) в интеграл Фурье ( r ) = k eik r dk, k = ( r )e ik r dr.

(2) Фурье-образ равен ( ) k = k 2 k.

Фурье-образ правой части уравнения (7.8) равен dr e e ( r )e ik r = 2.

(2) В результате находим e k =. (7.9) 2 2 k Разлагая напряженности поля E в интеграл Фурье E ( r ) = Ek eik r dk и вычисляя E = = k eik r dk = i k k eik r dk, находим ke Ek = ik k = i. (7.10) k 2 2 Формулы (7.9) и (7.10) описывают электростатическое поле в виде пло ских волн с нулевой частотой. Заметим, что поле Ek || k, то есть это продоль ное поле в отличие от поперечного поля электромагнитной волны в вакууме.

7.3. Спектральное представление запаздывающих потенциалов.

Разложим поле движущихся зарядов в интеграле Фурье ( r, t ) = ( r )e it d, A( r, t ) = A ( r )e it d. (7.11) Аналогично разложим плотность заряда и тока, их фурье-образы и j. Из общего выражения для запаздывающих потенциалов следует e it (t R / c ) = e dr, R =| r r |.

it (7.12) R Вводя волновой вектор k = / c, из (7.12) находим eik R eik R = dV, A = j dV. (7.13) R c R Заметим, что фурье-образ является решением обобщенного уравне ния Пуассона + k 2 = 4 (7.14) Поскольку с помощью обратного преобразования Фурье равно (r, t )e = it dt, то окончательное спектральное представление для запаздывающего потен циала имеет вид dt dv ei (t +k R ).

(r ) = (7.15) R В частности, для одного точечного заряда ( r, t ) = e ( r r (t ) ).

Спектральные представления в этом случае принимают вид 1 it + R ( t ) / c (r ) = e dt, R(t ) = r r, e (7.16) R (t ) аналогично, e v (t ) it + R ( t ) / c A ( r ) = dt, v (t ) = r (t ).

e (7.17) c R(t ) Таким образом, поле представляется в виде расходящейся сферической волны.

Контрольные вопросы 1.С какой целью вводится спектральное представление в электродинамике?

2. Является ли электростатический потенциал решением волнового уравне ния?

3. В каком случае электромагнитное поле может быть представлено в виде набора свободных осцилляторов ЧАСТЬ II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СПЛОШНЫХ СРЕД Глава 1. Макроскопические уравнения Максвелла 1.1. Уравнения Максвелла для сплошных сред Обобщая опыт предшественников, Максвелл постулировал для описа ния электромагнитных свойств сплошных сред следующие уравнения [2]:

1 B div B = 0, rot E = c t 1 D div D = 4пов., rot H = + j. (1.1) c t c В отличие от уравнений теории поля для микроскопических частиц, в сплошных средах необходимо ввести 2 вектора для описания электрической компоненты поля и 2 — для магнитной. Наряду с напряженностями E и H в теорию входят также электрическая индукция D и магнитная индукция B.

Причина появления двух новых векторов заключается в возможном упорядо чении микроскопических электрических дипольных моментов и микроскопи ческих магнитных моментов частиц вещества. Для описания такого упорядо чения введем вектора электрической поляризации P и намагниченности M, e r ea ra va.

P=, M= (1.2) aa 2c a a Здесь условные скобки означают усреднение по бесконечно-малому фи зическому объему, которое будет подробно обсуждаться в следующем разде ле. Связь между векторами индукции и напряженности в системе СГС опре деляется так:

D = E + 4P, B = H + 4M. (1.3) Рассматривая напряженности E и H как внешнее воздействие, а ин дукции как отклик системы на внешнее воздействие, можно записать матери альные соотношения D = E, B = H, j = E, (1.4) где и есть диэлектрическая и магнитная проницаемость, - электриче ская проводимость. В отличие от точных определений (1.3), соотношения (1.4) имеют ограниченную область применимости. Во-вторых, они справед ливы в общем случае при малых полях (к ним возможны нелинейные поправ ки по E или H );

во-вторых, запись (1.4) справедлива только для изотропных сред, в третьих, для переменных полей условия (1.4) заменяются аналогич ными условиями для Фурье-образов. Более подробно все эти ограничения бу дут рассмотрены ниже в других главах.

1.2. Вывод макроскопических уравнений Максвелла из микроскопиче ских Мы знаем, что всякая сплошная среда как конденсированная система состоит из большого числа молекул и атомов, которые формируются из по ложительно заряженных ядер и отрицательно заряженных электронов. Эти микроскопические заряды, число которых для сплошной среды велико (по рядка числа Авогардо N A ), порождают микроскопические электрическое E микро и магнитное H микро поле. Мы знаем также (см. Часть I), что микроско пические уравнения Максвелла могут быть получены из принципа наимень шего действия и имеют вид:

1 H микро div H микро = 0, rot E микро =, c t 1 E микро div E микро = 4 микро, rot H микро = + jмикро. (1.5) c t c Здесь микро и jмикро есть микроскопические плотности заряда и тока, созданные микроскопическими зарядами электронов и атомных ядер. Число слагаемых в микро и jмикро велико, порядка N A, соответственно микроскопи ческие напряженности E микро и H микро зависят от совокупности координат всех микроскопических зарядов.

Очевидно, что микроскопическое описание сплошной среды избыточно [23]. В самом деле, когда мы смотрим на экран телевизора, на циферблат электронных часов или следим за поворотом стрелки компаса, нас совершен но не интересуют координаты отдельных электронов и протонов, нам важны другие, макроскопические переменные. Для введения этих переменных опре делим понятие бесконечно малого физического объема в пространстве и вре мени. Пусть f ( x, y, z, t ) есть любая из микроскопических функций, входящих в (1.5). Бесконечно малый физический объем мы определим следующим об разом: из точки r = ( x, y, z ), как из центра, опишем сферу радиуса a в момент t и выберем временной интервал. Макроскопические переменные определим как арифметическое среднее от микроскопических, входящих в данный объем 4 a 2 :

ddd df ( x +, y +, z +, t + ). (1.6) f ( x, y, z, t ) = 4 a 2 2 + 2 + 2 a 2 Размеры a и предполагаются достаточно большими по сравнению с характерными внутриатомными масштабами 10-8 см и 10-16 сек, и в то же вре мя малыми по сравнению с макроскопическими масштабами. Обычно a ~102103 нм. В случае электромагнитных волн, характеризуемых длиной волны и периодом Т a a ~, ~T, в остальных случаях эти размеры остаются до известной степени неопределенными. Заметим также, что интегрирование в (1.6) не затрагивает макроскопических переменных центра объема ( x, y, z, t ), так что усреднение переставимо с дифференцированием по r и t:


f f f= f=,.

x x t t В результате усреднение микроскопических уравнений (1.5) сводится к замене микроскопических величин на их средние:

1 H микро div H микро = 0, rot E микро =. (1.7) t c Сопоставляя первую пару уравнений (1.7) с макроскопическим (1.1), мы видим, что они совпадают при условии E микро = E, H микро = B. (1.8) Если первое из этих условий очевидно и ожидаемо, то второе – неоче видно. Средним значением напряженности микроскопического магнитного поля является именно магнитная индукция, то есть поле B описывает маг нитное поле в веществе, а поле H есть вспомогательная переменная, H = B 4M.

Сравнивая вторые пары уравнений (1.1) и (1.7), находим их совпадение при условиях P jмикро = j + c rot M +, (1.9) t микро = div P. (1.10) Три слагаемых, определяющие среднее значение микроскопических то ков, имеют разное происхождение и физический смысл. Первый ток j есть ток проводимости, он связан с реальным переносом зарядов и характеризует ся ненулевым потоком df 0.

jмикро пров.

S Второе слагаемое есть циркуляци = c rot M. Он связан с онный ток j цирк.

локальными замкнутыми токами и облада ет нулевым потоком через поверхность S.

df = jмикро циркул.

S Так как замкнутые токи формируют магнитные моменты, то неудиви тельно, что циркуляционный ток связан с намагниченностью. Третье слагае мое в (1.9) есть поляризационный ток, который проявляется в отсутствие сво бодных зарядов в диэлектриках. Вспоминая определение поляризации (1.2), видим, что e r e v P= = aa aa a a имеет размерность тока и проявляется в виде колебаний заряженных частиц, формирующих дипольные моменты.

Так вещество в нормальных условиях электронейтрально, то внутри = 0, причем для металлов микро определяется как среднее свободных за рядов, а для диэлектриков как среднее от связанных зарядов. На поверхности вещества возможна ненулевая плотность зарядов = пов.. Кроме того, неод нородная поляризация в диэлектрике порождает объемный поляризационный заряд с плотностью div P. Приведенное выше усреднение микроскопиче ских полей и вывод макроскопических уравнений был сделан Г.А. Лоренцом спустя много лет, как Максвелл записал свои уравнения (1.1).

Вектор Умова-Пойнтинга в сплошной среде сохраняет свое определе ние c S= EH, а закон сохранения энергии имеет вид 1 D B div S = E + H. (1.11) t t 1.3. Макроскопические уравнения Максвелла в релятивистском виде Микроскопические напряженности E микро и H микро являются компонен ( ) тами 4-х тензора электромагнитного поля Fмикро = E микро, H микро [23]. После его усреднения возникает макроскопический тензор F = ( E, B ) с компонен тами 0, E x, E y, E z E, Bz, B y 0, x, F = (1.12) E y, Bz, Bx 0, E z, B y, Bx, с помощью которого первая пара уравнений (1.2.1) в 4-х мерном виде выгля дит также, как в Части I:

F e =0 (1.13) x Для записи второй пары требуются вектора D и H, не являющиеся непосредственно средними значениями микроскопических полей. Из компо нент ( D, H ) можно определить второй тензор электромагнитного поля H, 0, Dx, D y, Dz D, H z, H y 0, x, H = (1.14) Dy, H z, H x 0, Dz, H y, H x, с помощью которого вторая пара уравнений Максвелла в 4-х мерной записи имеет вид:

H = j, (1.15) x c где 4-х вектор тока j = ( c, j ) определяется только током проводимости. За метим, что связь между индукциями и напряженностями (1.14) также может быть записана в тензорном виде. Пара трехмерных векторов ( P, M ) также формирует антисимметричный 4-х тензор второго ранга P -тензор поляри зации с компонентами 0, Px, Py, Pz P, M z, M y 0, x.

H = (1.16) Py, M z, M x 0, Pz, M y, M x, В тензорном виде два определения (1.3) выглядит следующим образом:

H = F 4P. (1.17) Поскольку трансформационные свойства всех 4-х тензоров одинаковы при преобразованиях Лоренца, 4-х мерная формулировка позволяет записать материальные соотношения типа (1.4) для движущихся сред. В инерциальной системе k, двигающейся прямолинейно и равномерно вместе с веществом со скоростью v относительно системы k, выполняются соотношения (1.4):

D = E, B = H. При переходе в лабораторную систему k поля преобразу ются следующим образом v E = E + v B, B = B E, = 1 (1 v 2 / c 2 ) 2, c c v D = D + v H, H = H D. (1.18) c c Это соотношение справедливо при произвольной величине v/c. При v/c1 можно разрешить систему уравнений (1.18) относительно B и D и сформулировать теорему линейного отклика для движущихся сред:

1 D = E + v H, B = H + 2 E v. (1.19) c c Легко видеть, что при v0 эти выражения переходят в (1.4).

Контрольные вопросы 1. Почему для описания макроскопических явлений неудобно пользоваться микроскопическими уравнениями Максвелла?

2. Какой вектор-напряженности или индукции, равен среднему значению на пряженности микроскопического магнитного поля?

3. Как выглядят условия линейной связи между внешними воздействиями и откликами на них (аналог формул (1.4) в случае переменных полей?

4. Можно ли макроскопические уравнения Максвелла в релятивистcком слу чае записать с помощью тензора электромагнитного поля по аналогии с мик роскопическими уравнениями?

5. С помощью тензора поляризации (1.16) запишите преобразования Лоренца для электрической поляризации и намагниченности.

Глава 2. Статические поля в различных средах 2.1. Электростатика проводников Как известно, в отношении электрических свойств все тела делятся на две категории — проводники и диэлектрики, причем первые отличаются от вторых тем, что всякое электрическое поле вызывает в них движение зарядов — электрический ток.

Мы начнем с изучения постоянных электрических полей, создаваемых заряженными проводниками (электростатика проводников). Из основного свойства проводников, прежде всего, следует, что в электростатическом слу чае напряженность электрического поля внутри них должна быть равной ну лю. Действительно, отличная от нуля напряженность E привела бы к возник новению тока;

между тем распространение тока в проводнике связано с дис сипацией энергии и потому не может само по себе (без внешних источников энергии) поддерживаться в стационарном состоянии.

Отсюда в свою очередь следует, что все заряды в проводнике должны быть распределены по его поверхности: наличие зарядов в объеме проводни ка непременно привело бы к возникновению электрического поля в нем;

рас пределение же зарядов по поверхности может быть осуществлено таким об разом, чтобы создаваемые ими внутри проводника поля взаимно компенсиро вались.

Тем самым задача электростатики проводников сводится к определе нию электрического поля в пустоте, вне проводников, и к определению рас пределения зарядов по поверхности проводников.

В точках, не слишком близких к поверхности тела, среднее поле E в пустоте фактически совпадает с истинным полем e. Эти две величины отли чаются друг от друга лишь в непосредственной близости к телу, где еще ска зывается влияние нерегулярных молекулярных полей. Последнее обстоятель ство, однако, не отражается на виде усредненных уравнений поля.

Поскольку среднее магнитное поле предполагается отсутствующим, то постоянное электрическое поле в пустоте удовлетворяет обычным уравнени ям divE = 0, rotE = 0, (2.1) т. е. является потенциальным полем с потенциалом, связанным с напря женностью соотношением E = grad (2.2) и удовлетворяющим уравнению Лапласа = 0 (2.3) Определим теперь граничные условия для поля E на поверхности про водника. Они следуют из самого уравнения rotE = 0, справедливого и вне, и внутри тела. Выберем ось z по направлению нормали n к поверхности про водника в некоторой его точке. Тогда (rotE )x = 0 = (rotE )y, (2.4) или E z E y E E =0= z x, (2.5) y z x z и, поскольку внутри проводника вообще E = 0, то мы приходим к выводу, что касательные компоненты внешнего поля на его поверхности должны об ращаться в нуль:

Et = 0, (2.6) Таким образом, электростатическое поле должно быть нормальным к поверхности проводника в каждой ее точке. Поскольку E = grad, то это значит, что потенциал поля должен быть постоянным вдоль всей поверхности каждого данного проводника. Другими словами, поверхность однородного проводника представляет собой эквипотенциальную поверхность электроста тического поля.

Нормальная же к поверхности компонента поля весьма просто связана с плотностью распределенного по поверхности заряда. Эта связь получается из общего электродинамического уравнения dive = 4, которое после усредне ния принимает вид divE = 4, (2.7) где — средняя плотность заряда. В интегральном виде это уравнение озна чает, как известно из теоремы Остроградского-Гаусса, что поток электриче ского поля через замкнутую поверхность пропорционален полному заряду, находящемуся в ограниченном этой поверхностью объеме. Применив эту теорему к элементу объема, заключенному между двумя бесконечно близки ми единичными площадками, примыкающими с обеих сторон к поверхности проводника, и учитывая, что на внутренней площадке E = 0, найдем, что En = 4, где — поверхностная плотность заряда, т. е. заряд на единице площади поверхности проводника. Таким образом, распределение зарядов по поверхности проводника дается формулой = En =, (2.8) 4 n (производная от потенциала берется в направлении внешней нормали к по верхности).

Распределение потенциала во всяком электростатическом поле обладает следующим замечательным свойством: Потенциал может достигать мак симального или минимального значения лишь на границах области поля. Эту теорему можно сформулировать и как утверждение о невозможности устой чивого равновесия внесенного в поле пробного заряда q, так как нет такой точки, в которой бы его потенциальная энергия q имела минимум.


Доказательство теоремы весьма просто. Допустим, например, что в не которой точке A (не находящейся на границе поля) потенциал имеет макси мум. Тогда можно окружить точку A такой малой замкнутой поверхностью, на которой везде производная по нормали / n 0. Следовательно, и инте грал по этой поверхности ( / n )df 0, что, по теореме Остроградского ( / n)df = dV 0, противоречит уравнению Лапласа = 0.

Гаусса 2.1. Методы решения электростатических задач Общие методы решения уравнения Лапласа при заданных граничных условиях изучаются в соответствующем разделе математической физики. Мы ограничимся здесь «физическими» способами решения ряда типичных задач.

Метод изображений. Решение задачи определения поля, создаваемого точечным зарядом e, расположенным над проводящей плоскостью, является простейшим примером применения так называемого метода изображений.

Идея этого метода состоит в подборе таких дополнительных фиктивных то чечных зарядов, которые вместе с данными зарядами создавали бы поле, для которого поверхность заданного проводника совпадала бы с одной из эквипо тенциальных поверхностей поля. В данном случае это достигается введением фиктивного заряда e, расположенного в точке, представляющей собой зер кальное отражение точки e в граничной плоскости проводящей среды. Этот метод применим, если проводящими поверхностями являются плоскости или сферы.

Рассмотрим подробнее задачу о заряде над проводящей плоскостью.

Пусть заряд e расположен на расстоянии a над плоскостью. Предположим, что поле, создаваемое расположенными на плоскости зарядами, вне плоско сти можно представить в виде поля фиктивного заряда e, расположенного за плоскостью. Из симметрии очевидно, что такое поле создает заряд e = e, расположенный на расстоянии a под плоскостью – тогда потенциал плоско сти будет равен нулю. В самом деле, потенциал поля заряда e и его «изобра жения» e = e равен 1 = e, (2.9) r r где r и r — расстояния точки наблюдения от зарядов e и e. На граничной плоскости r = r и потенциал имеет постоянное значение = 0, так что необ ходимое граничное условие действительно выполняется и (2.9) дает решение поставленной задачи. Отметим, что заряд e притягивается к проводящей плоскости с силой e 2 / (2a )2 (сила изображения), а энергия взаимодействия равна e 2 / (4a ). Распределение на граничной плоскости поверхностных заря дов, индуцированных точечным зарядом e, дается формулой 1 ea = =, (2.10) 4 n 2 r где a — расстояние от заряда до плоскости.

Далее, рассмотрим более сложную задачу о поле, создаваемом точеч ным зарядом e, находящимся вблизи сферического проводника. Для решения этой задачи воспользуемся следующим результатом, который легко прове рить непосредственными вычислениями. Потенциал поля, создаваемого дву мя точечными зарядами e и e e e = (2.11) r r обращается в нуль на сферической поверхности радиуса R, центр которой лежит на продолжении прямой, соединяющей точки e и e, на расстоянии l и l от этих точек, причем l, l, R удовлетворяют равенствам e 2 e, ll = R 2.

= (2.12) l l Предположим сначала, что сферический проводник поддерживается при постоянном потенциале = 0 (заземлен). Тогда поле, создаваемое вне сферы точечным зарядом e, находящимся на расстоянии l от центра сферы будет совпадать с полем, создаваемым системой двух зарядов: данным заря дом e и фиктивным зарядом e, помещенным внутри сферы на расстоянии l от его центра, причем R2 eR l =, e =. (2.13) l l Если же проводящая сфера поддерживается при равном нулю полном заряде (изолированная незаряженная сфера), то надо ввести еще один фик тивный заряд таким образом, чтобы полный индуцированный на поверхности шара заряд оказался равным нулю, причем не должно нарушаться постоянст во потенциала на этой поверхности. Это достигается помещением заряда + e в центр сферы.

Наконец, если заряд e находится в сферической полости в проводящей среде, то поле внутри полости совпадает с полем, которое создавалось бы за рядом e и его «изображением» вне сферы (независимо от того, заземлен про водник или изолирован.

Метод инверсии. Существует простой метод, который в ряде случаев позволяет по известному решению одной электростатической задачи нахо дить решение другой задачи. Основанием этого метода является инвариант ность уравнения Лапласа по отношении к определенному преобразованию переменных.

В сферических координатах уравнение Лапласа имеет вид 1 2 + = 0, r (2.14) r 2 r r r где посредством обозначена угловая часть оператора Лапласа. Легко убе диться в том, что это уравнение сохраняет свою форму, если вместо перемен ной r ввести новую переменную r согласно R r= (2.15) r (преобразование инверсии) и одновременно заменить неизвестную функцию согласно r.

= (2.16) R Здесь R — некоторая постоянная с размерностью длины (радиус ин версии). Таким образом, если функция (r ) удовлетворяет уравнению Лапла са, то функция R R2 (r ) = 2 r (2.17) r r тоже есть решение этого уравнения.

Предположим, что нам известно решение задачи об электростатическом поле, создаваемом некоторой системой проводников, которые находятся при одном и том же потенциале 0, и системой точечных зарядов. Потенциал (r ) обычно определяют так, чтобы он обращался в нуль на бесконечности.

Здесь, однако, мы определим (r ) так, чтобы на бесконечности эта функция стремилась к 0 ;

тогда на проводниках = 0.

Выясним теперь, какая электростатическая задача будет решаться пре образованной функцией (2.14). Прежде всего, меняются фигуры всех протя женных проводников и их взаимное расположение. Граничное условие по стоянства потенциала на поверхности проводников автоматически выполня ется, так как при = 0 будет и = 0. Далее, меняются расположение и вели чины всех точечных зарядов: заряд, находящийся в точке r0, переходит в точ ( ) ку r0 = R 2 / r02 r0. Определим теперь величину заряда e. При r r0 потен циал (r ) обращается в бесконечность по закону = e / r, где r = r r0. С ( )r другой стороны, дифференцируя соотношение r = R 2 / r 2, найдем, что R (r ) = 4 (r ) (2.18) r Поэтому при r r0 функция стремится к бесконечности по закону er Re = =, (2.19) r0 r R r соответствующему заряду er0 eR e = =. (2.20) R r Наконец, рассмотрим поведение функции вблизи начала координат.

Точке r 0 соответствует r. Но при r функция стремится к 0. Поэтому при r 0 функция обращается в бесконечность по закону R =. (2.21) r Это значит, что в точке r = 0 находится заряд e0 = R 0.

Итак, при преобразовании инверсии:

1.изменяется форма и положение проводников;

2.изменяется положение и величины точечных зарядов;

3.в центре координат появляется точечный заряд.

Укажем, как преобразуются при инверсии некоторые геометрические фигуры. Для начала рассмотрим сферу. Сферическая поверхность радиуса a и с центром в точке r0 (r r0 )2 = a 2 после проведения преобразования инвер ( ) сии имеет уравнение R 2 / r 2 r r0 = a 2, которое после умножения на r 2 и перегруппировки членов опять может быть приведено к виду (r r0 )2 = a2.

Таким образом, мы снова получаем сферу (другого радиуса и с другим центром). Если первоначальная сфера проходила через начало координат, то в этом случае сфера преобразуется в плоскость.

Если же рассмотреть плоскость, то при преобразовании инверсии она преобразуется или в другую параллельную ей плоскость, или в сферу, если начало координат принадлежит исходной плоскости.

Метод конформного отображения. Поле, зависящее только от двух декартовых координат x, y, называют плоским. Мощным средством для ре шения плоских задач электростатики является теория функций комплексного переменного. Основания для применения этой теории заключаются в сле дующем.

Электростатическое поле в пустоте удовлетворяет двум уравнениям:

rotE = 0 и divE = 0. Первое из них позволяет ввести потенциал поля согласно E = grad. Второе же уравнение показывает, что наряду с обычным скаляр ным потенциалом для электростатического поля в пустоте можно ввести и векторный потенциал поля A согласно E = rotA. В трехмерном случае такое преобразование обычно не интересно – вместо уравнения в частных произ водных второго порядка на скалярный потенциал (уравнения Лапласа), мы имеем аналогичное уравнение для векторного потенциала. То есть вместо од ной неизвестной функции у нас их 3. В плоском же случае вектор E лежит в плоскости x y и зависит только от этих двух координат. Соответственно, вектор A можно выбрать так, чтобы он был везде направлен перпендикуляр но к плоскости x y. Тогда компоненты напряженности выражаются в виде производных от или A согласно Az A = z.

Ex = =, Ey = (2.21) x y y x Но такие соотношения между производными функций и Az совпадают с известными условиями Коши—Римана, выражающими тот факт, что ком плексная функция = iAz (2.22) является аналитической функцией комплексного аргумента z = x iy.

Рассмотрим физический смысл комплексного потенциала (z ). По оп ределению, комплексная функция (z ) имеет в каждой точке определенную производную, не зависящую от направления, в котором она берется. Тогда, дифференцируя в направлении оси x, найдем, что d = i Az = E x iE y. (2.23) x x dz И это соотношение не зависит от выбора направления дифференциро вания. Далее, силовые линии электрического поля определяются уравнением dx dy =, (2.24) Ex E y или Az + dy Az = 0, (2.25) dx x y откуда Az ( x, y ) const. Таким образом, линии постоянных значений мнимой части комплексного потенциала представляют собой силовые линии поля.

Линии же постоянных значений ее вещественной части являются эквипотен циальными линиями. Взаимная ортогональность этих двух семейств линий обеспечивается уже исходными соотношениями (2.21).

Как вещественная, так и мнимая части комплексного потенциала в рав ной степени удовлетворяют уравнению Лапласа. Поэтому с тем же успехом можно принять его мнимую часть в качестве потенциала поля. Соответствен но силовые линии будут тогда даваться уравнениями Re (z ) = const. Вместо (2.22) будем при этом иметь = i + Az.

Продолжим рассмотрение физического смысла комплексного потен циала. Поток напряженности электрического поля через какой-либо отрезок эквипотенциальной линии дается интегралом En dl = dl, (2.26) n где dl есть элемент эквипотенциальной линии, n — направление нормали к ней. Согласно соотношениям (2.21) имеем / n = Az / l, причем выбор знака предполагает, что если смотреть в направлении n, то положительное направление l — влево. Поэтому A En dl = dl = z dl = Az, (2.27) n l где Az — разность значений Az на обоих концах отрезка. Поскольку поток электрического поля через замкнутый контур равен 4, где — полный за ряд, охватываемый этим контуром (отнесенный к единице длины проводни ков вдоль оси z ), то e= Az, (2.27) где Az — изменение Az при обходе замкнутой эквипотенциальной линии в направлении против часовой стрелки.

Таким образом, мнимая часть комплексного потенциала имеет смысл потока электрического поля (отсчитываемого от произвольной оси). Кроме того, комплексный потенциал имеет особенности – точки ветвления лога рифмического типа – в местах расположения двумерных зарядов (равномерно заряженных нитей, перпендикулярных плоскости x y ).

Метод конформных преобразований основан на том факте, что кон формные преобразования переводят гармонические функции в гармонические – то есть, решение уравнения Лапласа инвариантно относительно конформ ных преобразований. Предположим, что нам известно решение задачи элек тростатики для внешнего поля окружности с заданным на ней потенциалом.

И пусть нам известно конформное преобразование, отображающее область, внешнюю к окружности, на область, внешнюю к другой фигуре – например, прямоугольника (преобразование Шварца). Тогда, записав решение для поля окружности в комплексной форме, с помощью простой замены переменных, заданной конформным преобразованием, мы получаем решение задачи о поле прямоугольника. Понятно, что конкретные формы тел – окружности и прямо угольника – не важны и взяты только для примера. Важно, что с помощью конформных преобразований мы можем, имея решение какой-либо задачи электростатики, получить решение другой задачи, если удается найти кон формное преобразование, заданным образом преобразующее форму тел.

Примером конформного преобразования может служить двумерная модифи кация рассмотренного выше метода инверсий. В этом случае конформное преобразование задается функцией f ( z ) = 1 / ( z z0 ).

2.2. Электростатика диэлектриков Перейдем теперь к изучению постоянного электрического поля в дру гой категории материальных сред — в диэлектриках.

Основное свойство диэлектриков заключается в невозможности проте кания в них постоянного тока. Поэтому, в отличие от проводников, напря женность постоянного электрического поля в диэлектриках отнюдь не долж на быть равной нулю, и мы должны получить уравнения, которыми это поле описывается. Предположим, что внутрь вещества диэлектрика не внесено из вне никаких посторонних зарядов - это есть наиболее обычный и важный случай. Под действием внешнего поля присутствующие в диэлектрике свя занные заряды смещаются относительно друг друга, и можно полагать, что в этом случае возникает распределенный по объему проводника дипольный момент P(r ). Его легко выразить через плотность связанных зарядов св : В самом деле, в малом объеме диэлектрика V, когда уже нужно считать, что электрическое поле создается точечными микроскопическими зарядами:

P(r ) = ei (ri + r ), (2.28) V где положения ri зарядов ei отсчитываются от «центра» объема V - его ра диус-вектор r. Тогда divP(r ) = ei = св. (2.29) V Теперь уравнения Максвелла divE = 4 ( + св ), rot E = 0, (2.30) где - плотность сторонних зарядов, можно записать в виде divD = 4, rot E = 0, (2.30) где введен вектор электрической индукции D :

D = E + 4 P. (2.31) На поверхности раздела двух различных диэлектриков должны выпол няться определенные граничные условия. Одно из этих условий является следствием уравнения rot E = 0. Если поверхность раздела однородна по сво им физическим свойствам, то это условие требует непрерывности тангенци альной составляющей напряженности поля:

Et1 = Et 2. (2.32) Второе же условие следует из уравнения divD = 0 в отсутствие сторон них зарядов и требует непрерывности нормальной к поверхности составляю щей индукции:

Dn1 = Dn 2. (2.33) Действительно, скачок нормальной составляющей Dn = Dz означал бы обращение производной dDz / dz (а с нею и divD ) в бесконечность.

На границе между диэлектриком и проводником Et = 0, а условие для нормальной компоненты получается из (2.30):

Et = 0, Dn = 4, (2.34) где - плотность зарядов на поверхности проводника.

2.3. Свойства изотропных диэлектриков в статическом поле Для того чтобы уравнения (2.30) составляли полную систему уравне ний, определяющих электростатическое поле, к ним надо еще присоединить соотношение, связывающее индукцию D и напряженность поля E. В огром ном большинстве случаев эту зависимость можно считать линейной. Она со ответствует первым членам разложения D по степеням E и связанна, с мало стью внешних электрических полей по сравнению с внутренними молекуляр ными полями.

Линейная зависимость D от E приобретает особенно простой вид в важнейшем случае изотропных диэлектриков. Очевидно, что в изотропном диэлектрике векторы D и E должны иметь одинаковое направление. Поэто му их линейная зависимость сводится к простой пропорциональности D = E. (2.35) Коэффициент называется диэлектрической проницаемостью веще ства и является функцией его термодинамического состояния.

Вместе с индукцией пропорциональна полю также и поляризация:

- P = E E. (2.36) Величина называется коэффициентом поляризуемости вещества (или его диэлектрической восприимчивостью). Поляризуемость разрежен ной среды (газ) можно считать пропорциональной ее плотности.

Граничные условия (2.32) и (2.33) на поверхности раздела двух изо тропных диэлектриков принимают вид Et1 = Et 2. 1En1 = 2 En 2 (2.37) Таким образом, нормальная составляющая напряженности поля испы тывает скачок, меняясь обратно пропорционально диэлектрическим прони цаемостям соответствующих сред.

В однородном диэлектрике = const, и тогда из уравнения divD = следует, что и divP = 0. Это значит, что объемная плотность зарядов в таком теле отсутствует. Напротив, если диэлектрик не однороден, то имеем отлич ную от нуля объемную плотность -1 D -1 E = divP = div D = grad =. (2.38) 4 4 Если стандартно ввести потенциал электрического поля E = grad, то уравнение divD = 0 приобретает вид div( ) = 0. (2.39) Это уравнение переходит в обычное уравнение Лапласа лишь в одно родной диэлектрической среде. Граничные условия (2.37) можно переписать в виде следующих условий для потенциала:

1 1 = 2, 1 = 2 2. (2.40) n n (условие непрерывности тангенциальных производных потенциала эквива лентно условию непрерывности самого ).

В кусочно-однородной диэлектрической среде уравнение (2.39) сводит ся в каждом однородном участке к уравнению Лапласа = 0, так что ди электрические проницаемости входят в решение задачи только через посред ство условий (2.40). Но эти условия содержат лишь отношение диэлектриче ских проницаемостей двух соприкасающихся сред. Поэтому, в частности, ре шение электростатической задачи для диэлектрического тела с проницаемо стью 2, окруженного средой с проницаемостью 1, сводится к такой же за даче для тела с проницаемостью 2 /1, находящегося в пустоте.

Рассмотрим вопрос о том, как меняются полученные в предыдущих па раграфах результаты для электростатического поля проводников, если по следние находятся не в пустоте, а погружены в однородную и изотропную диэлектрическую среду. В обоих случаях распределение потенциала описы вается уравнением = 0 с граничным условием постоянства на поверх ности проводника, и все отличие заключается в том, что вместо связи En = / n = 4 с поверхностной плотностью зарядов теперь будет:

Dn = = 4. (2.41) n Отсюда видно, что решение задачи о поле заряженного проводника в пустоте переходит в решение той же задачи в диэлектрической среде путем формальной замены потенциалов и зарядов: либо, e e, либо, e e /. При заданных зарядах проводников потенциал и напряжен ность поля убывают в раз по сравнению с их значениями для поля в пусто те;

это ослабление поля может быть наглядно истолковано как результат час тичной экранировки заряда проводника поверхностными зарядами приле гающего к нему поляризованного диэлектрика. Если же поддерживаются по стоянными потенциалы проводников, то поле остается неизменным, но уве личиваются в раз заряды проводников).

Наконец, отметим, что в электростатике можно формально рассматри вать проводник (незаряженный) как тело с бесконечной диэлектрической проницаемостью — в том смысле, что влияние, оказываемое им на внешнее электрическое поле, такое же, какое оказывал бы диэлектрик (той лее формы) с. Действительно, в силу конечности граничного условия для индук ции D она должна оставаться конечной внутри тела и при ;

но это оз начает, что в таком поле будет E = 0, в соответствии со свойствами провод ника.

2.4. Свойства анизотропных диэлектриков В анизотропной диэлектрической среде (монокристалл) линейная связь между индукцией и напряженностью электрического поля имеет более слож ный вид, не сводящийся к простой пропорциональности.

Наиболее общий вид такой зависимости дается выражением Di = D0i + ik Ek, (2.42) где D0 — постоянный вектор, а совокупность величин ik составляет тензор второго ранга — тензор диэлектрической проницаемости (или, короче, ди электрический тензор). Свободный член D0 существует, однако, не во всяком кристалле. Большинство типов кристаллографической симметрии не допуска ет существования постоянного вектора (см. ниже), и тогда имеем соотноше ние Di = ik Ek. (2.43) Тензор ik симметричен:



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.