авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«Федеральное агентство по образованию Российской федерации Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального ...»

-- [ Страница 3 ] --

ik = ki. (2.44) Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что энергия системы 1 8 W= Di Ei dV = Ei ik Ek dV (2.45) есть квадратичная форма и антисимметричная часть рассматриваемого тензо ра не входит в выражение (2.45). Тогда, ни при каких условиях не присутст вуя в Лагранжиане системы, антисимметричная часть тензора ik не позволя ет обнаружить себя экспериментально, и мы можем считать тензор диэлек трической проницаемости всегда симметричным.

Для дальнейшего отметим, что свободная энергия F равна F = F0 + W = F0 + Di Ei dV (2.46) 1 = F0 + Ei ik Ek dV = F0 + Di -1ik Dk dV 8 Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор ik путем надлежащего выбора осей координат может быть приведен к диагональному виду. В общем случае, следовательно, тензор ik определяется тремя незави симыми величинами — тремя главными значениями (1), (2), (3). Все эти величины всегда больше единицы.

В зависимости от той или иной симметрии кристалла число различных главных значений тензора ik может оказаться и меньшим трех.

В кристаллах триклинной, моноклинной и ромбической систем все три главных значения различны;

эти кристаллы называются двухосными. При этом в кристаллах триклинной системы направления главных осей тензора ik не связаны однозначным образом с какими-либо кристаллографическими на правлениями. В кристаллах моноклинной системы заранее определенным яв ляется направление одной из главных осей — она должна совпадать с осью симметрии второго порядка или быть перпендикулярной к плоскости сим метрии кристалла. В кристаллах же ромбической системы кристаллографиче ски определены все три главные оси тензора ik.

Далее, в кристаллах тетрагональной, ромбоэдрической и гексагональ ной систем два из трех главных значений совпадают, так что имеются всего две независимые величины;

такие кристаллы называют одноосными. Одна из главных осей совпадает при этом с кристаллографической осью симметрии четвертого, третьего или шестого порядка, а направление двух других глав ных осей можно выбрать произвольным образом.

Наконец, в кристаллах кубической системы все три главных значения тензора ik одинаковы, а направления главных осей произвольны. Это значит, что тензор ik имеет вид ik, т. е. определяется одним скаляром. Другими словами, в отношении своих диэлектрических свойств кристаллы кубической симметрии не отличаются от изотропных тел.

Все эти довольно очевидные свойства симметрии тензора ik становят ся особенно наглядными, если воспользоваться известным из тензорной ал гебры понятием тензорного эллипсоида, длина полуосей которого пропор циональна главным значениям симметричного тензора второго ранга. Сим метрия эллипсоида должна соответствовать при этом симметрии кристалла.

Так, в одноосном кристалле тензорный эллипсоид вырождается в эллипсоид вращения, полностью симметричный относительно продольной оси;

под черкнем, что для физических свойств кристалла, определяющихся симмет ричным тензором второго ранга, наличие оси симметрии уже третьего поряд ка эквивалентно полной изотропии в плоскости, перпендикулярной к этой оси. В кристаллах кубической симметрии тензорный эллипсоид вырождается в сферу.

Остановимся теперь на особенностях диэлектрических свойств кри сталлов с постоянным членом D0 в (2.43). Наличие этого члена означает, что диэлектрик спонтанно поляризован и в отсутствие внешнего электрического поля;

такие тела называют пироэлектрическими. Величина этой спонтанной поляризации, однако, фактически всегда очень мала (по сравнению с молеку лярными полями). Это обстоятельство связано с тем, что большие значения D0 приводили бы к существованию сильных полей внутри тела, что энерге тически весьма невыгодно и потому не могло бы соответствовать термодина мическому равновесию. Малость D0 обеспечивает в то же время законность разложения D по степеням E, первыми двумя членами которого и является выражение (2.43).

Термодинамические величины пироэлектрического тела находим, ин тегрируя соотношение F = Di = D0i + ik Ek.

4 (2.47) Ei Свободная энергия 1 ik Ek Ei = F0 + -1ik (Di D0i )(Dk D0 k ).

F = F0 + (2.48) 8 Отметим, что из F выпадает выражение, линейное по Ei.

Тогда полная свободная энергия пироэлектрика есть F = F0 + DE dV. (2.49) Отметим, что свободная энергия пироэлектрика в отсутствие внешнего поля зависит (вместе с полем E ) не только от его объема, но и от формы.

Как уже было указано, явление пироэлектричества возможно не при всякой симметрии кристалла. Поскольку при любом преобразовании симмет рии все свойства кристалла должны оставаться неизменными, то ясно, что пироэлектрическим может быть лишь такой кристалл, в котором существует направление, остающееся неизменным (в том числе не меняющееся на обрат ное) при всех преобразованиях симметрии;

в этом направлении и будет ле жать постоянный вектор D0.

Этому условию удовлетворяют лишь те группы симметрии, которые складываются из одной оси и проходящих через нее плоскостей симметрии. В частности, пироэлектрическими заведомо не могут быть кристаллы, обла дающие центром симметрии.

Следует указать, что в обычных условиях пироэлектрические кристал лы не имеют полного электрического дипольного момента, хотя поляризация в них и не равна нулю. Дело в том, что внутри спонтанно поляризованного диэлектрика имеется отличная от нуля напряженность поля E. Благодаря то му, что фактически образец обычно обладает некоторой, хотя и малой, но все же не равной нулю проводимостью, наличие поля вызовет появление тока, который будет течь до тех пор, пока образующиеся на поверхности тела сво бодные заряды не приведут к исчезновению поля в образце. В том же направ лении действуют ионы, оседающие на поверхность образца из воздуха. На опыте пироэлектрические свойства наблюдаются при нагревании тела, когда величина его спонтанной поляризации меняется - это изменение обнаружива ется.

2.5. Постоянный ток От изучения электрических полей, создаваемых неподвижными заряда ми, мы перейдем теперь к рассмотрению стационарного движения зарядов в проводниках (постоянный электрический ток).

Будем обозначать среднюю плотность потока зарядов буквой j ;

ее на зывают плотностью электрического тока. В постоянном токе пространствен ное распределение j не зависит от времени и подчиняется уравнению div j = 0, (2.50) выражающему собой постоянство полного среднего заряда, заключенного в любой части объема проводника.

Электрическое поле, существующее внутри проводника, по которому течет постоянный ток, тоже постоянно, а потому удовлетворяет уравнению rot E = 0, (2.51) т. е. имеет потенциал.

К этим двум уравнениям должно еще быть присоединено уравнение, связывающее между собой величины j и E. Эта связь зависит от свойств вещества проводника. В огромном большинстве случаев ее можно считать линейной (закон Ома).

Если проводник однороден и изотропен, то линейная зависимость сво дится к простой пропорциональности j = E. (2.52) Коэффициент зависит от рода и состояния проводника;

его называют коэффициентом электропроводности или просто проводимостью тела.

В однородном проводнике = const и подстановка (2.52) в (2.50) дает div E = 0. Поэтому в этом случае потенциал электрического поля удовлетво ряет уравнению Лапласа = 0.

На границе раздела двух проводящих сред нормальная компонента плотности тока должна, очевидно, быть непрерывной. Кроме того, согласно общему условию непрерывности тангенциальной компоненты напряженности (следующему из уравнения rot E = 0, должно быть непрерывно отношение jt /. Таким образом, граничные условия для плотности тока имеют следую щий вид:

jn1 = jn 2, jt1 / 1 = jt 2 / 2, (2.53) или для напряженности поля 1En1 = 2 En 2, Et1 = Et 2. (2.54) На границе же проводника с непроводящей средой имеем просто jn = или En = 0.

Обратим внимание на то, что уравнения rot E = 0, div E = 0 и гранич ные условия (2.54 к ним обнаруживают формальную аналогию с уравнениями электростатического поля в диэлектриках, отличаясь от них лишь заменой на. Это обстоятельство позволяет находить решения задач о распределении тока в неограниченной проводящей среде непосредственно по решениям ана логичных электростатических задач. При наличии границ проводника с не проводящей средой эта аналогия не приводит к цели, так как в электростатике нет сред с = 0.

Электрическое поле, поддерживающее ток, производит над переме щающимися в проводнике заряженными частицами (носителями тока) меха ническую работу;

работа, производимая в 1с в единице объема, равна, оче видно, произведению j E. Эта работа диссипируется в веществе проводника, переходя в тепло. Таким образом, количество тепла, выделяющегося в 1с в 1см3 однородного проводника, равно j E = E 2 = j 2 /, (2.55) (закон Джоуля-Ленца).

Выделение тепла приводит к возрастанию энтропии тела. При выделе нии тепла dQ = j EdV энтропия данного элемента объема увеличивается на dQ / T. Поэтому скорость изменения полной энтропии тела равна dS jE = dV. (2.56) dt T В силу закона возрастания энтропии эта производная должна быть по ложительной. Подставив в нее j = E, мы видим, что из этого требования можно сделать заключение о положительности проводимости.

В анизотропном теле (монокристалле) направления векторов j и E, вообще говоря, не совпадают и линейная связь между ними выражается фор мулами вида ji = ik Ek, (2.57) где величины ik составляют симметричный (см. ниже) тензор второго ранга (тензор проводимости).

Здесь необходимо сделать следующее замечание. Сама по себе симмет рия кристалла могла бы допустить наличие свободного члена в линейной свя зи между j и E, т. е. формулу вида ji = j0i + ik Ek (2.58) с постоянным вектором j0. Наличие такого члена означало бы «пироэлек тричность» проводника — в отсутствие тока ( j = 0 ) в нем существовало бы отличное от нуля поле. В действительности, однако, это невозможно в силу закона возрастания энтропии: член j0 E в подынтегральном выражении в (2.56) заведомо мог бы иметь оба знака, в результате чего dS / dt не могла бы быть существенно положительной величиной.

Подобно тому как в изотропной среде условие dS / dt 0 приводит к положительности, так в анизотропном теле из этого условия следует поло жительность главных значений тензора ik.

Зависимость числа независимых компонент тензора от симметрии кри сталла такая же, как у всякого симметричного тензора второго ранга: у двух осных кристаллов все три главных значения различны, у одноосных — два из них одинаковы, а у кубических — все три одинаковы, т. е. кубический кри сталл в отношении своих свойств проводимости ведет себя как изотропное тело.

Симметричность тензора проводимости ik = ki (2.59) является следствием принципа симметрии кинетических коэффициентов.

Формулировка этого общего принципа, принадлежащего Л. Онсагеру, удоб ная для применения здесь и ниже, заключается в следующем.

Пусть x1, x2,... — некоторые величины, характеризующие состояние тела в каждой его точке. Наряду с ними вводим величины S X =, (2.60) x где S — энтропия единицы объема тела, а производная берется при постоян ной энергии этого объема. В состоянии, близком к равновесному, величины x близки к своим равновесным значениям, а величины X малы. При этом в теле будут происходить процессы, стремящиеся привести его в состояние равновесия. О скоростях изменения величин x при этих процессах можно обычно утверждать, что они являются в каждой точке тела функциями только значений величин x (или X ) в тех же точках. Разлагая эти функции в ряд по степеням X и ограничиваясь линейными членами в разложении, получим соотношения вида x = X. (2.61) t Тогда можно утверждать, что коэффициенты (кинетические коэффици енты) симметричны по индексам и :

=. (2.62) Для фактического использования этого принципа необходимо, выбрав тем или иным способом величины x (или прямо их производные x ), опре делить соответствующие X. Эта задача обычно может быть весьма просто решена с помощью формулы, определяющей скорость изменения со време нем полной энтропии тела:

x dS = X dV, (2.63) t dt где интегрирование производится по всему объему тела.

В данном случае при прохождении тока через проводник для этой ско рости мы имеем формулу (2.56). Сравнивая ее с (2.63), мы видим, что если в качестве величин x, выбрать компоненты вектора плотности тока j, то со ответствующими величинами X будут компоненты вектора E / T. Сравне ние же формул (2.57) и (2.61) показывает, что роль кинетических коэффици ентов играют при этом умноженные на T компоненты тензора проводимости, симметрия которого следует, таким образом, непосредственно из общих со отношений (2.62).

2.6. Эффект Холла Если проводник находится во внешнем магнитном поле H, то связь между плотностью тока и напряженностью электрического поля по-прежнему дается соотношениями ji = ik Ek, (2.64) но компоненты тензора проводимости ik являются функциями H и, что особенно существенно, уже не симметричны по своим индексам. Симметрия этого тензора была доказана ранее, исходя из принципа симметрии кинетиче ских коэффициентов. Но в магнитном поле, как известно, формулировка это го принципа несколько меняется: одновременно с перестановкой индексов у кинетических коэффициентов должно быть изменено на обратное также и на () правление магнитного поля. Поэтому для компонент тензора ik H будем теперь иметь соотношения () () ik H = ki H. (2.65) () () Величины же ik H и ki H отнюдь не равны друг другу.

Как и всякий общий тензор второго ранга, тензор ik можно разделить на симметричную и антисимметричную части, которые мы обозначим соот ветственно как sik и aik :

ik = sik + aik. (2.66) По определению, sik = ski, aik = aki, (2.67) а из (2.65) следует, что () ( ) ( ).

sik H = ski H = sik H (2.68) aik (H ) = aki ( H ) = aik ( H ) Таким образом, компоненты тензора sik являются четными, а тензора aik — нечетными функциями магнитного поля.

Как известно, всякий антисимметричный тензор второго ранга aik эк вивалентен (дуален) некоторому аксиальному вектору, с которым его компо ненты связаны следующим образом:

a xy = a z, a xz = a y, a yz = a x (2.69) С помощью этого вектора компоненты произведения aik Ek могут быть [] написаны в виде компонент векторного произведения Ea :

[] ji = ik Ek = sik Ek + Ea i. (2.70) Джоулево тепло, выделяющееся при прохождении тока, определяется [] произведением j E. В силу перпендикулярности векторов Ea и E их произ ведение обращается тождественно в нуль, так что j E = sik Ek Ei, (2.71) т. е. джоулево тепло определяется одной лишь симметричной частью тензора проводимости.

Если магнитное поле достаточно слабое, можно разложить компоненты () тензора проводимости по его степеням. Ввиду нечетности функции a H, в разложение этого вектора войдут только члены нечетных степеней. Первые члены разложения линейны по полю, т. е. имеют вид ai = ik H k, (2.72) Векторы a и H оба аксиальны;

поэтому постоянные ik составляют () обычный (полярный) тензор. В разложение же четных функций sik H входят только члены с четными степенями. Первый член разложения есть проводи мость ik ) в отсутствие поля, а первые поправочные члены квадратичны по ( полю:

sik = ik ) + iklm H m H l.

( (2.73) Тензор iklm симметричен как по индексам ik, так и по индексам lm.

Таким образом, основной, линейный по полю, эффект влияния магнит [] ного поля заключен в члене Ea (эффект Холла). Он состоит, как мы видим, в появлении тока, перпендикулярного к электрическому полю и по величине пропорционального напряженности магнитного поля. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае произвольной анизотропной среды холловский ток не является единственным, перпендикулярным к E ;

такие составляющие может иметь и не холловский ток sik Ek i.

Эффект Холла имеет и другой аспект, явствующий из обратных фор мул, выражающих поле E через плотность тока:

Ei = -1ik jk. (2.74) Обратный тензор -1ik, как и прямой, можно разложить на симметрич ную часть (которую мы обозначим как ik ) и антисимметричную, дуальную некоторому аксиальному вектору b :

[] Ei = ik jk + j b i. (2.75) Тензор ik и вектор b обладают такими же свойствами, как и sik и a. В частности, в слабых полях вектор b линеен по магнитному полю. В форму [] лах (2.74) эффект Холла представляется членом j b, т. е. появлением элек трического поля, перпендикулярного к току и по величине пропорционально го магнитному полю и току j.

Все написанные выше соотношения очень упрощаются, если проводник изотропен. В этом случае из соображений симметрии очевидно, что вектор b (или a ) может быть направлен только вдоль магнитного поля. Единственны ми же отличными от нуля компонентами тензора ik являются xx = yy и zz, где ось z выбрана вдоль направления поля. Обозначив эти две величины посредством и || и выбрав плоскость xz проходящей через направление тока, будем иметь E x = j x, E y = bj x, E z = || j z. (2.76) Отсюда видно, что в изотропном проводнике холловское поле есть единственное электрическое поле, перпендикулярное одновременно току и магнитному полю.

В слабых магнитных полях связь векторов b и H дается (в изотропном теле) просто соотношением b = RH. (2.77) Постоянная R (постоянная Холла) может быть как положительной, так и отрицательной. Что касается квадратичных по H членов в зависимости ме жду E и j (входящих через тензор ik ), то их вид ясен из того, что единст венными векторами, которые можно составить из j и H (линейными по j и () квадратичными по H ) являются H j H и j H 2. Поэтому [] () E = (0) j + R Hj + 1 j H 2 + 2 H Hj (2.78) — общий вид зависимости между E и j в изотропном теле с учетом квадра тичных по H членов.

2.7. Статическое магнитное поле в сплошной среде Постоянное магнитное поле в материальных средах описывается двумя уравнениями Максвелла, которые получаются путем усреднения микроско пических уравнений 1 e div h = 0, rot h = + v. (2.79) c t c Среднюю напряженность магнитного поля принято называть магнит ной индукцией и обозначать как h = B. (2.80) Поэтому результат усреднения первого из уравнений (29.1) будет иметь вид div B = 0. (2.81) Во втором же уравнении производная по времени при усреднении исче зает, поскольку среднее поле предполагается постоянным, так что имеем rot B = v. (2.82) c Среднее значение микроскопической плотности тока, вообще говоря, отлично от нуля как в проводниках, так и в диэлектриках. Разница между этими двумя категориями тел заключается лишь в том, что в диэлектриках всегда v ds = 0, (2.83) где интеграл берется по полной площади любого поперечного сечения тела;

в проводниках же этот интеграл может быть отличным от нуля. Предположим сначала, что в теле (если оно является проводником) отсутствует полный ток, т. е. справедливо соотношение (2.83).

Равенство нулю интеграла (2.83) по любому сечению тела означает, что вектор v может быть написан в виде ротора некоторого другого вектора, ко торый принято обозначать как cM :

v = c rot M, (2.84) причем величина M отлична от нуля только внутри тела. Действительно, ин тегрируя по поверхности, ограниченной контуром, охватывающим тело и проходящим везде вне его, получим vds = c rot Mds = c Mdl = 0, (2.85) Вектор M называют намагниченностью тела. Вводя его в уравнение (2.82), получим rot H = 0, (2.86) где вектор H связан с магнитной индукцией B соотношением B = H + 4 M, (2.87) аналогичным соотношению между электрической индукцией D и напряжен ностью E. Хотя вектор H, по аналогии с E, называют обычно напряженно стью магнитного поля, следует помнить, что в действительности истинное среднее значение напряженности есть B, а не H.

Для выяснения физического смысла величины M рассмотрим полный магнитный момент, создаваемый всеми движущимися внутри тела заряжен ными частицами. По определению магнитного момента, это есть интеграл [] [ ] 1 2c r v dV = r rot M dV. (2.88) Поскольку вне тела v = 0, то интеграл можно брать по любому объе му, выходящему за пределы тела. Преобразуем интеграл следующим образом:

[r [M ]]dV = [r [ds M ]] [[M]r ]dV. (2.89) Интеграл по поверхности, проходящей вне тела, обращается в нуль. Во втором же члене имеем [[M]r ] = Mdiv r + M = 2M. (2.90) Таким образом, получаем в результате [] 2c r v dV = MdV. (2.91) Мы видим, что вектор намагниченности представляет собой магнитный момент единицы объема тела.

К уравнениям (2.81) и (2.86) должно быть присоединено соотношение, связывающее между собой величины H и B ;

лишь после этого система уравнений станет полной. В неферромагнитных телах, в не слишком сильных магнитных полях, B и H связаны друг с другом линейным соотношением. У изотропных тел линейная связь сводится к простой пропорциональности B = H. (2.92) Коэффициент называется магнитной проницаемостью, а коэффици ент пропорциональности - = (2.93) в соотношении M = H — магнитной восприимчивостью.

В противоположность диэлектрической проницаемости, которая у всех тел превышает 1, магнитная проницаемость может быть как больше, так и меньше единицы. Можно только утверждать, что всегда 0. Соответст венно магнитная восприимчивость может быть как положительной, так и отрицательной.

Другое отличие — количественное — состоит в том, что магнитная восприимчивость огромного большинства тел очень мала по сравнению с их диэлектрической восприимчивостью. Это отличие связано с тем, что намаг ничение вещества (не ферромагнитного) является релятивистским эффектом второго порядка по v / c ( v — электронные скорости в атомах).

В анизотропных телах, кристаллах, простая пропорциональность (2.92) заменяется линейными соотношениями Bi = ik H k. (2.94) Тензор магнитной проницаемости ik симметричен. Это следует из термодинамических соотношений, которые выводятся точно так же, как была доказана симметричность тензора ik.

Из уравнений div B = 0, rot H = 0 следует, что на границе двух различ ных сред должны выполняться условия B1n = B2 n, H1n = H 2 n (2.95) Эта система уравнений и граничных условий к ним формально совпада ет с системой уравнений, определяющих электростатическое поле в диэлек триках в отсутствие свободных зарядов, отличаясь от них лишь заменой E и D соответственно на H и B. Ввиду уравнения rot H = 0 можно искать H в виде H = grad, и для потенциала получаются те же уравнения, что и для электростатического потенциала.

Тангенциальные компоненты магнитной индукции, в противополож ность ее нормальной компоненте, испытывают скачок на поверхности раздела двух сред. Величину этого скачка можно связать с плотностью токов, проте кающих по поверхности.

Если в проводнике течет отличный от нуля полный ток, то средняя плотность тока в нем может быть представлена в виде суммы v = c rot M + j, (2.96) Первый член, связанный с намагниченностью среды, не дает вклада в полный ток, так что полный перенос заряда через поперечное сечение тела определяется интегралом j ds только от второго члена. Величину j назы вают плотностью тока проводимости. Именно к ней относится все сказан ное ранее о плотности тока j, в частности, энергия, диссипируемая в едини цу времени в единице объема, равна Ej.

Распределение тока j по объему проводника определяется указанными ранее уравнениями, в которые не входит создаваемое этими же токами маг нитное поле (при условии пренебрежения влиянием поля на свойства прово димости самого металла). Поэтому задача об определении магнитного поля токов должна решаться по заданному распределению последних. Уравнения Максвелла тогда принимают вид:

div B = 0, (2.97) rot H = j. (2.98) c Плотность тока проводимости j, пропорциональная напряженности электрического поля, является величиной ограниченной, не обращающейся в бесконечность, в частности и на границе раздела двух сред. Поэтому наличие правой части в уравнении (2.98) не отражается на граничном условии непре рывности тангенциальных компонент H.

Для решения полученных уравнений удобно ввести векторный потен циал A, положив B = rotA, (2.99) в результате чего уравнение (2.97) удовлетворяется тождественно. Равенст вом (2.99) векторный потенциал еще не определяется однозначно. К нему можно прибавить, не нарушая (2.99), любой вектор вида grad f. Ввиду этой неоднозначности можно наложить на A одно дополнительное условие, в ка честве которого выберем div A = 0. (2.100) Тогда при линейной связи B = H имеем 1 rot rotA = c j. (2.101) В таком виде это уравнение справедливо для любой неоднородной сре ды.

() ( ) В однородной среде = const, и поскольку rot rotA = grad divA A, то уравнение (30.5) приводится к виду A = j. (2.102) c 2.8. Самоиндукция и взаимоиндукция Рассмотрим систему проводников с текущими по ним токами в нефер ромагнитной среде, так что везде B = H. Тогда энергия (свободная энергия) такой системы W= HBdV. (2.103) Интегрирование здесь проводится по всему пространству, включая объ емы проводников. Если учесть, что B = rotA, то [] 1 1 HrotAdV = 8 div HA dV + 8 ArotHdV.

W= (2.104) Первый интеграл по теореме Остроградского-Гаусса равен интегралу по бес конечно удаленной поверхности, который, в свою очередь, равен нулю при условии достаточно быстрого убывания A на бесконечности (ограниченность системы токов). С помощью второго интеграла, используя уравнения Мак свелла, окончательно получаем 1 ArotHdV = 2c Aj dV.

W= (2.105) Интегрирование здесь, очевидно, достаточно проводить только по области с j 0, то есть только по объемам проводников.

В силу принципа суперпозиции магнитное поле есть сумма магнитных полей, создаваемых по отдельности каждым проводником A = A, тогда 1 A j dV + c A j dV.

W= (2.106) 2c Причем нетрудно показать, что A j dV = H B dV = H B dV = A j dV. (2.107) Отметим, что индекс у элемента объема интегрирования означает, что инте грал берется только по объему этого проводника.

При заданном законе распределения плотности тока по объемам про водников значение энергии зависит только от величин протекающих по ним полных токов J. Тогда энергия, очевидно, выражается в виде следующей квадратичной формы:

1 2 L J 2 + 2 L J J.

W= (2.108) 2c c При указанных коэффициентах L называется коэффициентом самоиндук ции проводника, а L - коэффициентом взаимной индукции проводников.

Если не выделять эти коэффициенты по отдельности, то L J J.

W= (2.109) 2c 2 Очевидное условие положительной определенности этой квадратичной формы накладывает ряд ограничений на значения коэффициентов. В частно сти, все L 0, и L L L2. (2.110) Вычисление энергии токов в общем случае произвольных массивных проводников – достаточно сложная задача магнитостатики. Она существенно упрощается, если мы можем считать магнитную проницаемость всюду по стоянной – как в среде, так и в самих проводниках. В этом случае она не влияет на отношения токов или потенциалов и ее можно считать равной 1.

Тогда, по аналогии с электростатикой, решение уравнения A = j (2.111) c можно записать как 1 j dV c Rr A= (2.112) и выражение (2.106) принимает вид j j r W= dV dV, (2.113) 2c 2 r где интегрирования проводятся по соответствующим объемам проводников.

В качестве примера вычислим взаимную энергию двух линейных токов.

Переход от объемных токов к линейным осуществляется очевидной заменой j dV = Jdl, где вектор dl - касательный к проводнику. Тогда dl dl J J r W=. (2.114) 2c 2 r Следовательно, L зависит только от формы, размера и взаимного рас положения контуров и является их геометрической характеристикой.

При = в (2.114) получается расходящийся интеграл и, следователь но, мы не можем пренебречь толщиной проводника при вычислении его ко эффициента самоиндукции. Для расчета коэффициента самоиндукции вос пользуемся тем, что большая часть энергии линейного проводника сосредо точена вне его, что видно из анализа выражения 2c W= HBdV (2.115) в случае бесконечного прямого провода. Достаточно тонкий линейный про водник мы можем представить как состоящий из участков бесконечного пря мого провода. Но для него энергия на единицу длины J 2 dr 2J w = H 2 rdr = 2 rdr = 2, (2.116) 8 cr 8 r c где r - расстояние до оси провода, - магнитная проницаемость внешней среды – логарифмически расходится при больших r. Понятно, что для замк нутого контура эта расходимость исчезнет, поскольку интеграл «обрежется»

на размерах контура, где приближение контура прямым проводом уже будет неверным. Тем не менее, можно сделать вывод, что большая часть энергии магнитного поля сосредоточена вне проводника. Тогда мы можем получить приближенное значение энергии, умножив (2.116) на длину провода l и взяв для верхнего предела значение l, а для нижнего – радиус провода a :

J 2 l W= l ln. (2.117) c2 a Тогда самоиндукция l L = 2l ln. (2.118) a Это выражение обладает логарифмической точностью: его относительная погрешность – порядка 1 / ln(l/a ), и мы считаем, в рассматриваемых случаях l/a достаточно велико.

На практике применятся катушка (соленоид) - особый случай линейно го проводника, когда провод плотно намотан по спирали. Пренебрегая тол щиной провода и расстоянием между витками, мы получаем цилиндрическую проводящую поверхность, по угловой касательной которой течет ток. При та ком рассмотрении мы имеем стандартные граничные условия для H на по верхности цилиндра:

[n (H 2 H1 )] = 4c j, (2.119) где j в данном случае – поверхностная плотность тока, H1 и H 2 - напряжен ности поля по обе стороны поверхности соленоида, а нормаль n направлена на среду 2.

Если соленоид представляет собой бесконечный цилиндр, то нетрудно догадаться до решения: поле вне соленоида равно нулю, а внутри соленоида постоянно, направлено вдоль его оси и равно H= nJ, (2.120) c где n - число витков на единицу длины соленоида, J - ток. Действительно, такое поле удовлетворяет как граничным условиям, так и уравнениям Мак свелла. Энергия на единицу длины такого цилиндра H 2 2 2 2n 2b 2 W= b = J. (2.121) c Здесь b - радиус цилиндра, - магнитная проницаемость заполняющей ци линдр среды. Если пренебречь искажениями поля на концах соленоида, то есть, для достаточно длинного по сравнению со своим радиусом соленоида длины h, окончательно получаем L = 4 2n 2b 2 h = 2 nbl, (2.122) где l - длина провода в катушке. Мы видим существенное увеличение индук тивности катушки по сравнению с индуктивностью прямого провода, что объясняется большой взаимной индукцией близко расположенных витков провода.

Контрольные вопросы 1. Записать уравнения Максвелла в случае электростатики проводников.

2. Записать уравнения Лапласа и Пуассона.

3. Записать граничные условия на поверхности проводника.

4. Основная идея метода изображений. Какие задачи он решает?

5. Что такое метод инверсии? Какие задачи он решает?

6. Описать метод конформных отображений. Какие задачи он решает?

7. Записать уравнения Максвелла в случае электростатики диэлектриков.

8. Что такое поляризация диэлектрика?

9. Что такое диэлектрическая проницаемость?

10. Что такое диэлектрическая восприимчивость?

11. Записать граничные условия на границе диэлектрика.

12. Записать уравнения Максвелла для анизотропных диэлектриков.

13. Что такое тензор проводимости?

14. Рассказать принцип симметрии кинетических коэффициентов.

15. Что такое эффект Холла?

16. Записать уравнения Максвелла в случае магнитостатики 17. Что такое намагниченность?

18. Что такое магнитная проницаемость?

19. Что такое магнитная восприимчивость?

20. Записать граничные условия на границе магнетика.

21. Что такое коэффициент самоиндукции?

Глава 3. Магнитная гидродинамика Предметом изучения магнитной гидродинамики является поведение прово дящей жидкости в магнитном поле. Взаимосвязь гидродинамических и элек тромагнитных явлений обусловлена тем, что механическое течение проводя щей жидкости одновременно есть электрический ток, на который со стороны магнитного поля действует сила Лоренца [2]. С другой стороны, изменение тока само меняет магнитное поле в среде. Таким образом, необходимо решать совместно систему уравнений Максвелла и уравнений гидродинамики.

3.1. Основные уравнения магнитной гидродинамики Наряду с уравнениями Максвелла для проводящей среды rot H = j (3.1) c div B = 0 (3.2) 1 B rot E = (3.3) c t Необходимо записать закон Ома для движущихся проводников. Пусть дви жение прямолинейное и равномерное, тогда в движущейся системе отсчета k имеем обычную линейную связь для неподвижного проводника, j = E (3.4) где — удельная проводимость. С помощью преобразований Лоренца 1 E = E + v B 1 v 2 перейдем в лабораторную систему k c c Предполагая v c, получаем обобщение закона Ома для движущихся про водников j = E + v B. (3.5) c Запишем теперь уравнения гидродинамики. Уравнение непрерывности + div v = 0, (3.6) t где - плотность жидкости, в данном случае совпадает и с уравнением не прерывности в электродинамике, поскольку жидкость заряжена и плотность заряда пропорциональна.

Уравнение движения жидкости (аналог уравнения Ньютона) дается уравнением Навье-Стокса:

v + ( v ) = p + v + + div v + Fext. (3.7) t Здесь слева стоит полная производная скорости по времени v v = + ( v )v, t t отличающаяся от частной за счет конвективного вклада ( v )v. Полная плотность силы в правой части складывается из потенциальной силы (-grad p, p – давление в жидкости), силы трения с коэффициентами вязкости и и объемной плотности внешней силы Fext. Во внешнем электромагнитном поле Fext определяется как среднее от микроскопической силы Лоренца:

1 1 Fext = микро E микро + v H микро = j B = rot H B. (3.8) c c Кроме того, необходимо записать уравнение состояния, связывающее давление, плотность и температуру Т:

p = p(, T ), (3.9) закон сохранения энергии T =0 (3.10) x с тензором энергии импульса T жидкости.

Во многих случаях скорости всех движений малы по сравнению со ско ростью звука u0 = (p / ) 2, тогда жидкость можно считать несжимаемой. В этом случае уравнение непрерывности, уравнение состояния и закон сохране ния энергии переходят в условие несжимаемости div v = 0. (3.11) Итак, связь между электромагнитными и гидродинамическими явле ниями обусловлена плотностью внешних сил электромагнитного происхож дения в уравнении Навье-Стокса, а в уравнениях Максвелла – зависимость плотности тока j от характера движения среды.

3.2. Эффект увлечения магнитного потока хорошо проводящей жидко стью. Магнитная вязкость Рассмотрим сначала этот эффект качественно, а потом опишем количе ственно. В пределе из закона Ома (3.1.4) следует E = 0, иначе ток бу дет бесконечно большим. Таким образом, в системе k, где проводящая среда неподвижна, поле равно нулю (как и в электростатике) и не меняется со вре менем. Поэтому ЭДС по любому замкнутому контуру в жидкости равна ну лю, значит магнитный ток через площадку, ограниченную данным контуром, не меняется и постоянен. В результате магнитный поток как бы «вморожен» в данную локальную область перемещающейся жидкости («жидкую частицу»).

В этом и есть эффект увлечения потока идеально проводящей жидкостью. С микроскопической точки зрения, очевидно, что давление «жидкой частицы»

складывается из перемещения микроскопических заряженных частиц: ионов, электронов, протонов и т.п. Бесконечная проводимость (нулевое сопротивле ние) означает, что микроскопические частицы движутся без рассеяния и столкновений, а это означает, что магнитный поток, создаваемый частицами, также движется вместе с ними.

Такая микроскопическая картина легко позволяет понять, что происхо дит с потоком в реальном случае, когда сопротивление отлично от нуля. Час тицы рассеиваются, и часть из них выбывает из процесса переноса тока. Вме сте с ними выбывает и часть магнитного потока, он частично «разморажива ется». Оказывается, что «размораживание» потока описывается процессом диффузии. Из уравнений Максвелла запишем:

4 4 v rot B = j= E + B, (3.12) c c c откуда c E= rot B v B, (3.13) 4 c подставляя (3.13) в (3.3), находим 1 B c ( ) = rot E = rot rot B rot v B.

c t 4 c Для пространственно однородной среды проводимость не зависит от координат. Вычисляя, как обычно, rot rot B = grad div B B, получаем B = rot v B + m B. (3.14) t Здесь m = c 2 4 - магнитная вязкость. В пределе вязкость m 0 и в правой части (3.14) остается только конвективное слагаемое, от ветственное за замораживание потока. В реальной жидкости m 0. Если бы конвективный член в правой части отсутствовал, то мы бы получили самое обычное уравнение диффузии B t = m B. На самом деле, оба слагаемые вносят свой вклад в динамику магнитного поля.

В гидродинамике для оценки роли конвективных вкладов вводят число Рейнольдса R. При R1 можно пренебречь вязкостью, и течение жидкости ламинарное с плавными линиями тока. При Rm 1, наоборот, вязкие процес сы преобладают, течение становится турбулентным с хаотическими линиями тока. В магнитной гидродинамике введем по аналогии магнитное число Рей нольдса, определяемое отношением конвективного вклада в (3.14) к вязкому:

rot v B L1B L = Rm.

~ (3.15) m L2 B m m B Здесь производные оценивались следующим образом:

1 0 x ~ L, ~ L, где L – характерный размер системы. При Rm 1 можно пренебречь диффузией, и реализуется эффект увлечения магнитного потока.

При Rm 1 диффузия разрушает замороженный поток.

Рассмотрим для примера плазму, образованную межзвездным газом.

Характерный размер L ~ 1020 см, магнитная вязкость m ~ 107 см2/сек. В ре зультате уже при скорости 1012 см/сек Rm 1. На самом деле характер ная скорость частиц составляет заметную долю от скорости света С. Таким образом, для межзвездной плазмы всегда выполняется условие Rm 1. Оче видно, что это есть следствие большой разреженности газа, типичная длина свободного пробега l ~ 1012 см. В связи с этим примером необходимо отме тить, что применение магнитной гидродинамики к задачам физики плазмы (то есть приближение сплошной среды) ограничено условием l L. Это оз начает, что частицы многократно сталкиваются, проходя всю систему с мас штабом L. Поэтому и происходит усреднение микроскопических движений. В противном случае l L частицы пронизывают всю систему, и вместо урав нений сплошной среды необходимо переходить к кинетической теории, следя за движением каждой частицы.

3.3. Магнитогидродинамические волны Рассмотрим распространение малых возмущений в однородной прово дящей жидкости, находящейся в однородном постоянном поле H 0. Предпо ложим, что R 1 и Rm 1, и пренебрежем всеми диссипативными процес сами. В результате полная система уравнений из раздела 3.1 упрощается и принимает вид (считаем среду немагнитной, =1, B = H ):

div H = 0 (3.16) H = rot v H (3.17) t + div v = 0 (3.18) t v p + ( v ) = + rot H H (3.19) t t=0 t Возмущение жидкости распространяется в В начальный момент жидкость покоится в виде волны, характеризуемой величинами однородном постоянном поле H 0.

h, p, и скоростью v.

Рис. 3.1. Схема возникновения МГД-волн.

В покоящемся начальном состоянии v = 0, p = p0, =0 и H = H 0. После возникновения возмущения (рис. 3.1) в среде распространяется волна с коле баниями скорости v 0, давления p = p p0, плотности =-0 и магнит ного поля h = H H 0. Предполагая амплитуду волны малой, линеаризуем уравнения (3.3.1-3.3.4) по параметрам v, p, и h. Учтем также, что из-за отсутствия диссипации процесс является адиабатическим, и в уравнении со стояния (3.9) остается только зависимость давления от плотности (здесь u0 скорость звука):

p = u0.

(3.20) Линеаризованная система уравнений может быть записана в виде:

div h = 0 (3.21) h = rot v H 0 (3.22) t + 0 div v = 0 (3.23) t v u0 = + rot h H 0 (3.24) t 0 Для решений в виде волны ~ exp i ( k r t ) система (3.21-3.24) преоб разуется следующим образом:

k h = 0 (3.25) h = k ( v H 0 ) (3.26) = 0 k v (3.27) u0 v + k = = H 0 (k h ). (3.28) 0 Выберем ось х вдоль вектора k. Плоскость, проходящая через вектора k и H 0, обозначим через ху. Согласно (3.25) k h. Таким образом, три век тора k, H 0 и h имеют следующие проекции k = ( k,0,0), H 0 = ( H 0 x, H 0 y,0), h = (0, hy, hz ).

Введем также фазовую скорость волны u = k. Из (3.27) найдем 0 = v x u. (3.29) Для оставшихся 5 неизвестных: трех компонент вектора v и двух век тора h система уравнений (3.26-3.28) распадается на две подсистемы: два уравнения на vz и hz uhz + H 0 x v z =, (3.30) H0x hz + uv z = 40 и три уравнения на v x, v y и hy H0 y (u 2 u0 )v x + hy = H uv y + 0 x hy = 0. (3.31) 40 H 0 y v x H 0 x v y uh y = Нетривиальные решения этих систем однородных уравнений опреде ляются из равенства определителя нулю, что дает уравнения на фазовую ско рость. Для системы (3.30) находим H k H0x u = uA =, A = 0, (3.32) 40 такие волны называются альфеновскими (ван Альфен). Для системы (3.31) равенство нулю определителя дает биквадратное уравнение на фазовую ско рость 2 H 0 y u 2 H 02y (u u ) u = 2, 4 0 4 решение которого определяет быстрые (+) и медленные (-) магнитозвуковые волны 2 H 2 2 2 H 0 x u 1 H0 u± = + u0 ± 0 u0.

2 2 (3.3.18) (3.33) 2 4 0 4 0 Альфеновские волны являются поперечными, так как сопровождаются колебаниями величин vz и hz. Магнитозвуковые нельзя в общем случае раз делить на продольные и поперечные, так как в колебаниях принимают уча стие, как продольная компонента v x, так и поперечные v y и hy. При выпол нении условия H 02 4 0u0 u+ u0, u u A, (3.34) волны разделяются: быстрая превращается в продольную звуковую с колеба ниями v x, плотности и давления с частотой = u0 k, а медленная с ко лебаниями hy и v y превращается в альфеновскую поперечную волну. В не сжимаемой жидкости u0, так что остаются только альфеновские колеба ния с v = h 40.

Контрольные вопросы 1. Какой класс явлений описывает магнитная гидродинамика?

2. Что обуславливает связь магнитных и гидродинамических степеней свобо ды в уравнениях магнитной гидродинамики?

3. Когда имеет место эффект увлечения магнитного потока?

4. При каких значениях магнитного числа Рейнольдса магнитное поле в жид кости диффундирует?

5. В каком приближении уравнения магнитной гидродинамики имеют реше ния в виде МГД-волн?

6. Чем отличается альфеновская волна от магнитозвуковой?

7. Во что превращаются магнитозвуковые волны в случае малого внешнего магнитного поля?

Глава 4. Электромагнитные волны в сплошной среде 4.1 Низкочастотное поле в диэлектриках Рассмотрим переменное электромагнитное поле в диэлектрической сре де в отсутствии зарядов и токов 1 B 1 D rotE =, rotH = c t c t (4.1) divD = 0, divB = Пусть связь между индукциями ( D и B ) и полями ( E и H ) остается еще такой же, как в постоянных полях, то есть, сводится к простой пропор циональности D = E, B = H, (4.2) где значения и такие же, что и в стационарных полях.

Эти соотношения нарушаются (говорят о появлении дисперсии и ) на частотах сравнимых с собственными частотами 0 молекулярных или электронных колебаний в среде. Порядок величины этих частот сильно зави сит от рода вещества и может сильно меняться при переходе к другому типу вещества. Таким образом, соотношения (4.2) выполняются только в низкочас тотном пределе при 0, где 0 — время установления поляризации среды (время релаксации).

В этом низкочастотном пределе уравнения распространения электро магнитных волн в однородной среде мало отличаются от аналогичных урав нений, полученных для волн в вакууме. Действительно, вычисляя 1 2 E rot rotE = rotB = rotH = из уравнений Максвелла, а также c t c t c t с помощью соотношения векторного анализа rot rotE = grad divE E, в ко тором для однородной среды divE = 0 получим волновое уравнение для на пряженности электрического поля 2 E E = 2 2. (4.3) c t Проделывая то же самое с выражением rotH, получим волновое урав нение для напряженности магнитного поля 2 H H =. (4.4) c 2 t Уравнения (4.3) и (4.4) отличаются от аналогичных волновых уравне ний в вакууме перенормировкой величины скорости волны. Вместо скорости c c света в вакууме c появляется скорость волны в сплошной среде cc = =, n где n = – показатель преломления среды.

Плотность потока энергии электромагнитной волны в неподвижной [ ] c среде вычисляется аналогично потоку энергии волны в вакууме S = E, H, а плотность энергии волны в диэлектрической среде равна U dU = ( E dD + H dB). Вычисляя и сравнивая с div S, получим урав 4 t нение непрерывности в виде закона сохранения энергии U + div S = 0. (4.5) t Медленность изменения поля позволяет воспользоваться для тензора напряжений прежними выражениями, полученными для постоянного поля, но при дифференцировании этих выражений по координатам следует учесть, что вместо уравнений rotE = 0, rotH = 0 теперь следует воспользоваться уравне ниями (4.1).

4.2 Переменное поле в диэлектриках с учетом эффектов запаздывания.

Значительно больший интерес вызывает рассмотрение быстроперемен ных электромагнитных полей, частоты которых не ограничены условием ма лости по сравнению с собственными частотами, характерными для данного вещества.

Поляризация вещества, в конечном итоге, связана со смещением заря дов (в основном электронов) в среде. В силу конечности массы носителей за ряда и, следовательно, инерционности их движения, смещение зарядов (поля ризация) определяется не мгновенным значением напряженности поля, а за висит от предыстории полей. На языке механики смещение частицы в момент времени t определяется не только величиной силы в данный момент времени, но и зависит от того, какой была эта сила в предшествующие моменты време ни. В случае линейной связи поляризации с величиной поля эту зависимость можно описать в следующем виде 4P(t ) = f () E (t ) d, (4.6) где f () – функция времени, зависящая от свойств данной среды и стремя щаяся к нулю при. Можно сказать, что f () весовая функция каждого прошлого момента времени. Она определяется механизмом поляризации. То гда индукция электрического поля D(t ) = E (t ) + 4P(t ) = E (t ) + f () E (t ) d (4.7) перестает быть пропорциональной напряженности поля E (t ) и соотношения (4.2) нарушаются.

Выходом из положения является переход к Фурье компонентам поляри зации, индукции и напряженности.

i i i P()e E ()e D()e P() = d;

E () = d;

D() = d;

(4.8) Действительно, выражение (4.6) похоже на свертку двух функций f1( x) f 2 ( y x) dx, F ( y) = (4.9) а Фурье преобразование свертки удовлетворяет соотношению F () = f1 () f 2 (), (4.10) где f () – Фурье образы соответствующих функций. По аналогии с доказа тельством теоремы о свертке выражение (4.6) преобразуется к виду 4 P() = f () E () (величина f () играет в нем роль восприимчивости на частоте ). Соотношение (4.7) принимает вид, внешне похожий на (4.2) D() = () E (), (4.11) где () – зависящая от частоты диэлектрическая проницаемость среды, D() и E () – Фурье компоненты индукции и напряженности электрическо го поля. А величина диэлектрической проницаемости среды () выражается через восприимчивость f () () = 1 + f (), (4.12) где f ()e i f () = d. (4.13) Нижний предел интегрирования в (4.13) при вычислении Фурье компо ненты восприимчивости в отличие от (4.8) заменен на ноль в силу принципа причинности (или можно считать, что f () равна тождественна нулю, при отрицательном ).

Все изложенное выше применимо и к магнитному полю H (), магнит ной индукции B() и магнитной восприимчивости () B() = () H (), (4.14) где () = 1 + 4() = 1 + ()e i d (4.15) есть зависящая от частоты магнитная проницаемость.

4.3 Дисперсия диэлектрической проницаемости. Соотношения Крамерса Кронига.

Электрическая и магнитная проницаемости, определенные в (4.12) – (4.15) являются комплексными функциями частоты. Рассмотрим основные свойства этих функций на примере ().

Выделим в (4.12) действительную и мнимую части () = () + i().

Тогда () = 1 + f () cos d, () = 1 + f () sin d. (4.16) 0 Отсюда видно, что () есть четная функция частоты, а () нечет ная, так что выполняется соотношение () + i() = () i(). (4.17) Другими словами, разложение (асимптотика) в области малых частот для действительной и мнимой частей электрической проницаемости имеют различный вид () = (0) + A2 + …;

() = B + …. (4.18) Рассмотрим высокочастотный предел. Когда электрическое поле изменяется очень быстро, элементарные заряды не успевают смещаться вслед за полем, и поляризация вещества f () стремится к нулю при. Мате матически этот результат просто следует из (4.13) и леммы Ватсона, говоря щей о том, что интеграл от быстро осциллирующей экспоненты стремится к нулю при.

Можно оценить электрическую проницаемость вещества из простой классической модели, в которой движение внутренних, почти свободных за рядов описывается уравнением Ньютона. Энергия взаимодействия с полем на больших частотах велика по сравнению с энергией связи. Для одной заряжен ной частицы (электрона) имеем уравнение mr = eE (t ) = eE0e it. Интегрируя e e E e it = это уравнение два раза, получим r (t ) = E (t ). Считая, что m m в единице объема содержится N таких электронов можно оценить поляриза Ne цию (дипольный момент единицы объема) как P = er = eNr = E (t ).

m 4Ne Тогда D = E + 4P = 1 E и электрическая проницаемость m 4Ne () = 1. (4.19) m В пределе электрическая проницаемость () 1.

Рассмотрим далее поведение восприимчивости f () и электрической проницаемости () при комплексных значениях = + i в верхней по луплоскости 0. Из определения f () в (4.13) следует, что i f ()e f ( + i) = d. (4.20) Интеграл в (4.20) заведомо сходится в верхней полуплоскости 0 и, следовательно, f () и () являются аналитическими функциями в верхней полуплоскости. Кроме того, f () 0 при. Отметим, что в нижней полуплоскости при интеграл (4.20) является расходящимся. Свойст во аналитичности f () и () при 0 является следствием принципа причинности, который ограничил пределы интегрирования в (4.20) условием 0.


Аналитичность f () и () при 0 позволяет доказать формулы Крамерса-Кронига. Рассмотрим следующий интеграл по замкнутому контуру, представленному на рис. 4. () I = d. (4.21) В силу отсутствия особых точек в верхней полуплоскости этот интеграл равен нулю. С другой стороны его можно разбить на сумму интегралов:

Im CR C.

0 Re.

Рис. 4.1. Замкнутый контур интегрирования в комплексной плоскости () d );

1) по действительной оси (главное значение интеграла 2) интеграл по большой дуге C R, который стремится к нулю в силу стремле ния к нулю восприимчивости f () (для этого и пришлось писать в числителе () 1 );

3) интеграла по дуге вокруг полюса первого порядка в точке 0, который ра вен () 1 (), 0 = i [(0 ) 1].

d = i res (4.22) 0 C В итоге получаем () 0 d = i [(0 ) 1] (4.23) Выделяя в (4.23) действительную и мнимую части и расписывая () = () + i(), выводим формулы Крамерса-Кронига () () = 1 + d, (4.24) 1 1 () () = d Эти формулы связывают действительную и мнимую части электриче ской проницаемости для диэлектриков. Формулы Крамерса-Кронига можно записать и в несколько другом виде. Так разбив интеграл в (4.24) на первый в пределах от до 0 и второй от 0 до и переобозначив переменную интег рирования в первом, получим 2 () 2 (0 ) = 1 + d. (4.25) В средах с электрической проводимостью в формулах Крамерса Кронига следует учесть проводимость среды.

4.4 Распространение волн в диспергирующих средах В низкочастотном пределе было D = E, B = H и волновое уравне ние имело вид E + 2 E = 0. Выясним, что будет при учете дисперсии, ко c D( ) = ( ) E ( ) B( ) = ( ) H ( ).

гда и В этом случае 1 it B(r, ) e d, дифференцируя данное выражение, получим B(r, t ) = B i it B(r, ) e d.

= Вычисляя по известной формуле t rot rot E = grad divE E с учетом, что divE = 0 находим из уравнений Мак свелла волновое уравнение для электрического поля ()() E (r, ) + E (r, ) = 0. (4.26) c Это уравнение, точно такое же, что и волновое уравнение без диспер it E (r, t ) e сии, но только для Фурье компонент E (r, ) = dt.

Решение уравнения (4.26) в виде плоской волны E (r, ) = E0 eik r (4.27) ()() k= приводит к соотношению. В общем случае c () = () + i() и () = () + i() комплексные функции, следова тельно, комплексным будет и волновой вектор k = k + ik. Тогда (4.27) при мет вид E (r, ) = E0 eik r e k r. (4.28) Теперь осциллирующая часть волны умножается на затухающую экс поненту. Величина k задает коэффициент затухания. Такие волны получили название неоднородные (затухающие) волны. Вывод: дисперсия () и () приводит к затуханию волны.

Для общего рассмотрения плоских волн в диспергирующей среде про ведем в уравнениях Максвелла кратное преобразование Фурье i ( t k r ) E (r, t ) e E (k, ) = dt dV, (4.29) i ( t k r ) H (r, t ) e H (k, ) = dt dV 1 B При этом rot E (r, t ) перейдет в i[k, E (k, )], а производная пе c t 1 B i H (k, ). rot E (r, t ) = рейдет в И вместо уравнений, c t c 1 D rot H (r, t ) = мы получим соотношения для Фурье компонент c t i[k, E ] = i H, i[k, H ] = i E. (4.30) c c Из уравнений (4.30) следуют соотношения, выражающие E (k, ) через H (k, ) и наоборот E (k, ) = [n, H ], H (k, ) = [n, E ], (4.31) k где = – волновой импеданс среды, n = – единичный вектор в направ k ck лении распространения волны, и = – закон дисперсии электромагнит ной волны. Из соотношений (4.30) следует, что волны в диспергирующих средах остаются поперечными, но амплитуды E (k, ) и H (k, ) различны:

H (k, ) = E (k, ). Амплитуда H в раз больше E.

4.5 Соотношения между фазовой и групповой скоростью ck Из закона дисперсии электромагнитной волны = можно найти c c фазовую скорость vф = = =. Фазовая скорость (скорость распростра n k нения фазы) – характеристика монохроматической волны (бесконечной сину соиды). Любая реальная волна это группа (волновой пакет) таких идеальных волн. Передача реального сигнала осуществляется всегда с групповой скоро стью. И скорость такой передачи не может превышать скорость света. Из рас смотрения распространения волнового пакета следует, что величина группо вой скорости d vгр = =, (4.32) dk dk / d n() ck ck где = =, или k =. Тогда (4.32) можно преобразовать к ви n() c ду 1 c vгр = =. (4.33) dk / d n + n Рассмотрим частные случаи n = 0, дисперсии нет. В этом случае vгр = vф, а) n 0, система с нормальной дисперсией: vгр vф, б) n 0, система с аномальной дисперсией: vгр vф.

в) В любом случае выполняется неравенство: vгр c.

Рассмотрим далее влияние комплексной электрической проницаемости на затухание и фазовый сдвиг для плоской электромагнитной волны. Магнит ную проницаемость, для простоты, будем считать действительной и равной n(), где n() = = + i (для = 1) единице. Напомним, что k = c имеет смысл комплексного показателя преломления. Выделим действитель ную и мнимую части n() = n + in. Возводя в квадрат, получим () + i() = n2 n2 + 2i nn (4.34) Решая систему биквадратных алгебраических уравнений относительно величин n и n () = n2 n2, () = 2nn (4.35) найдем + 2 + 2 + 2 + n =, n =. (4.36) 2 Если мнимая часть = 0, то из (4.36) следует, что n =, а n = 0 и волновой вектор k действителен. Затухание не наблюдается.

Если же 0, то наблюдается затухание, связанное с тем, что k ком плексный вектор. Действительно для плоской монохроматической волны n E (r, t ) = E0 eik r t = E0 ei ( k r t ) e k r, где модуль k =.

c Комплексное число n() = n + in можно представить в экспоненциаль n ной форме n + in = n2 + n2 ei, где = arctg. Тогда из (4.31) при = n получаем k k, E = n2 + n2 ei, E, H (k, ) = (4.37) k k что приводит к фазовому сдвигу между полями E и H.

Для металлов () = + i = + i, где – проводимость металла. И вплоть до оптических частот =.

4 i В этом случае n = i =e 4 и фазовый сдвиг равен. Величина = Im n в металле тоже велика, что обуславливает большое затухания волн в n металле.

4.6 Переменное поле в металлах. Плазменные колебания Рассмотрим электромагнитные поля в металле более подробно. Истин ные металлы характеризуются очень высокой плотностью почти свободных носителей заряда электронов. Эта плотность имеет порядок n 1022 частиц на см3. Если в этом плотно упакованном газе электронов некоторый слой зарядов сместится на расстояние r, то сразу же возникнет огромная воз вращающая сила, которая вернет заряды на место и далее из-за инерционно сти движения возникнут колебания. Оценим частоту таких колебаний.

При смещении зарядов нарушается электронейтральность и возникает двойной заряженный слой с поверхностной плотностью = ner. В этом «плоском конденсаторе» возникает электрическое поле напряженностью E = 4 = 4 ner. Тогда на заряд (электрон) начинает действовать возвра щающая сила (в противоположном смещению направлении) величиной eE = 4ne2 r. Тогда уравнение движения принимает вид d 2r + 2 r = 0, (4.38) p dt 4ne где p = – плазменная частота. Соответствующие колебания назы m ваются плазменными, а квант колебаний – плазмоном. Характерные энергии плазмона p = 1 10 эВ, в то время как для звуковых колебаний – фононов ф 0,01 эВ.

Плазменная частота нам уже встречалась при вычислении высокочас тотной электрической проницаемости (4.19) p 4Ne () = 1 =1 2. (4.39) m2 При p электрическая проницаемость становится отрицательной, что приводит по (4.36) к большой величине n и, следовательно, к сильному затуханию электромагнитных волн в металле. В частотном диапазоне p мы говорим об области непрозрачности. В этом случае волны проникают в металл лишь на малую глубину. Это так называемый скин-эффект.

При p электрическая проницаемость действительна и положи тельна. В этом диапазоне частот (выше жесткого ультрафиолета) высокочас тотные волны могут проходить в металле без затухания.

4.7 Скин-эффект Рассмотрим более подробно низкочастотные p электромагнитные волны в металле. В уравнениях Максвелла 1 B 4 1 D rotE = rotH = E +, (4.40) c t c t c D D 4E. Другими словами, ток проводимости будем считать t много больше тока смещения. Это случай так называемых квазистационар ных полей. На самом деле, для типичных металлов это частоты от нуля до оп тического диапазона. Предположим также, что магнитные свойства металла в этом диапазоне частот остаются неизменными и характеризуются статиче ской магнитной проницаемостью. Тогда уравнения (4.40) преобразуются к виду H rotE = rotH = E.

, (4.41) c t c Вычисляя rot rotH = grad divH H с учетом, что divH = 0, получим уравнение квазистационарных полей 4 H H = 0, (4.42) c t и аналогичное уравнение для электрического поля. По классификации урав нений в частных производных оно относится к параболическому типу и опи сывает решения, сходные с решениями уравнения теплопроводности.

Рассмотрим задачу о проникновении линейно поляризованной моно хроматической электромагнитной волны в металл. Пусть металл занимает по лупространство z 0, направление изменения вектора E в падающей волне направлено по оси X (Рис. 4.2), а H y = H ( z )e it.

z k y H E x Рис. 4.2. Система координат для расчета скин-эффекта.

Запишем уравнение (4.42) для амплитуды магнитного поля H (z ) d 2H +i H = 0. (4.43) dz 2 c Уравнение (4.43) имеет вид волнового уравнения d 2 H + 2 H = 0, (4.44) dz 2 c в котором формально () = i. (4.45) Решение задачи о проникновении низкочастотного электромагнитного поля в металл, таким образом, можно получать из решения аналогичной зада чи для диэлектрика с заменой величины электрической проницаемости по формуле (4.45).

Для уравнения (4.43) найдем убывающее с ростом z решение в виде H ( z ) = H 0eikz с комплексным волновым числом 1 + i 4 1 + i k= =, (4.46) c2 где c = (4.47) имеет размерность длины и называется глубиной скин-слоя. Для магнитного поля получаем решение z z i t.


H y ( z, t ) = H 0 e e (4.48) Здесь играет двоякую роль. Это и коэффициент затухания волны, это и действительная часть волнового числа. Экспоненциальное затухание поля при проникновении вглубь металла носит название скин-эффекта.

Численные оценки для меди при комнатной температуре дают следую щие результаты:

а) на промышленной частоте = 50 Гц. – 1 см., б) на частоте FM диапазона = 50 МГц. – 103 см.

В сверхпроводящих образцах и, следовательно, 0. Оказыва ется (из-за особенности сверхпроводящего состояния), что в сверхпроводник не проникает даже постоянное магнитное поле (эффект Мейснера).

В условиях сильного скин-эффекта величина поверхностного импедан са металла = 1. В таких случаях можно строить приближенное ре шение задачи в виде ряда по степеням.

4.8 Резонаторы и волноводы Резонатор представляет замкнутый объем с проводящими стенками и является аналогом высокодобротного колебательного контура.

Рассмотрим распространение волн в пустом резонаторе в виде прямо угольного параллелепипеда с идеально проводящими стенками. За счет скин эффекта электромагнитные волны не выходят за пределы резонатора и в нем образуются стоячие волны. Пусть имеются плоские волны вдоль оси x. Они удовлетворяют волновым уравнениям d 2 E 2 d 2 H + 2 E = 0, + 2 H = 0. (4.49) dx 2 dx c c Пусть далее = = 1 и k =. На стенках резонатора выполняются гранич c ные условия E = 0, H n = 0. (4.50) Ищем решение уравнения (4.49) в виде монохроматической волны E ( x, y, z, t ) = X ( x)Y ( y ) Z ( z )e it с граничными условиями первого рода для тангенциальных и второго рода для нормальных компонент электрического поля. Это приводит нас к решению для компонент поля E x ( x, y, z, t ) = E1 cos k1 x sin k2 y sin k3 z e it E y ( x, y, z, t ) = E2 sin k1 x cos k2 y sin k3 z e it (4.51) E z ( x, y, z, t ) = E3 sin k1 x sin k2 y cos k3 z e it где n1 n n k1 =, k 2 = 2, k3 = 3, (4.52) L1 L2 L а n1, n2, n3 – целые числа. В этом случае на длине стороны параллелепипеда укладывается целое число длин полуволн (условие образования стоячих волн). Тогда набор собственных частот электромагнитных колебаний в пря моугольном резонаторе 2 2 n1 n2 n k12 2 n1, n2, n3 = c + + = c 2 + 2 + 2.

k2 k3 (4.53) Lx L y Lz В общем случае в резонаторе существует суперпозиция колебаний с различными n1, n2, n3 – суперпозиция мод колебаний. Каждая мода характе ризуется набором трех чисел n1, n2, n3, происходит своеобразное квантование.

Спектр собственных частот неэквидистантный. Если предположить, что Lx Ly Lz, то низшей частотой будет обладать мода (1,0,0), и ее частота c min =.

Lx Если затухания нет, то резонансные линии близки к -образным, в про тивном случае они характеризуются определенной шириной, что можно учесть задав собственные частоты в комплексном виде = + i. Тогда от ношение Q = будет характеризовать добротность такого колебательного контура.

Перейдем к рассмотрению распространения электромагнитных волн в волноводах. Волновод это длинная труба прямоугольного или круглого сече ния, предназначенная для передачи высокочастотного сигнала. Мы будем считать, что волновод пустой (иногда его заполняют диэлектриком) и, что стенки волновода идеально проводящие. Выберем ось z вдоль оси волновода и будем искать решение для E и H в виде бегущей монохроматической вол ны вдоль оси z E ( x, y, z, t ) = E0 ( x, y ) ei ( kz t ). (4.54) Оказывается, что в волноводе не существует решения в виде попереч ных волн. Обязательно будет, по крайней мере, одна не равная нулю про дольная компонента поля, либо E z, либо H z. Естественно ввести, согласно Рэлею, классификацию волн:

а) волна E-типа: E z 0, H z = 0 (поперечная магнитная волна, ТМ волна), б) волна H-типа: H z 0, E z = 0 (поперечная электрическая волна, ТЕ волна).

В поперечном направлении (по осям x и y ) образуются стоячие волны, аналогично задаче о резонаторе. Тогда волновой вектор 2 n n k = = 1 + 2 + kz, (4.55) a b c где a и b поперечные размеры волновода. И закон дисперсии электромаг нитной волны в волноводе 2 n n = c 1 + 2 + kz. (4.56) a b Видно, что бегущие волны возможны только на частотах 2 n n c = c 1 + 2. (4.57) a b На меньших частотах распространение бегущих волн невозможно, ли бо, можно сказать, что в этом случае k z 0 и k z = ik, и волна быстро затуха ет (так бывает на входе в волновод).

Резонатор является заменителем колебательного контура на высоких частотах, где понятия сосредоточенной емкости и индуктивности теряют смысл. Волновод служит для передачи высокочастотного сигнала внутри та кой трубы так, как передача по проводам не возможна из-за больших потерь на излучение высокочастотного сигнала.

В некотором смысле земной шар (радиуса R 6400 км.), окруженный на высоте около h 30 км. проводящим ионизированным слоем, является неко торым волноводом, а с учетом его замыкания вокруг Земли и резонатором.

Можно выделить два набора собственных частот (в вертикальном и горизон тальном направлениях):

cn а) (1) = n 103 Гц., n h cn б) ( 2) = n 7,5 Гц.

n 2R Первая гармоника в 7,5 Гц соответствует частоте геопланетарного резо нанса.

4.9 Волны в анизотропных средах В анизотропных средах (кристаллах или анизотропных аморфных сре дах) электрическая и магнитная проницаемости являются тензорными вели чинами. Пусть для простоты, анизотропией обладают только электрические свойства кристалла Di = i, j E j, а = 1 – среда немагнитная и непроводящая.

Переходя в уравнениях Максвелла 1 B 1 D rotE = rotH =, (4.58) c t c t к Фурье компонентам (4.29) получим [] c k, E = H. (4.59) c[k, H ] = D Откуда следует, что H перпендикулярно k и E, а D перпендикулярно [ ] c k и H. Тогда поток энергии электромагнитной волны S = E, H перпен дикулярен к E и H.

D E S k H Рис. 4.3. Направление векторов индукции и поля в анизотропной среде.

Схематично направление векторов изображено на рис. 4.3. Отметим, что в этом случае фронт волны нормален к k, а поток энергии направлен по S. Выражая H из первого уравнения (5.59) и подставляя во второе получим [ ] [[ ] ] [ [ ]] D = H, n = n, E, n = n, E, n = En 2 n (n E ), (4.60) c где n = k – безразмерный волновой вектор (в изотропной среде n = ).

При выводе (4.60) была использована формула для двойного векторного про изведения.

Соотношение (4.60) можно записать в тензорных обозначениях Di = Ei n 2 ni n j E j. Подставляя сюда Di = ij E j и Ei = ij E j а затем, вы j j нося общий множитель E j, получим (ij ij n 2 + ni n j ) E j = 0. (4.61) j Для получения нетривиального решения системы уравнений (4.61) по требуем выполнения условия ( ) det ij ij n 2 + ni n j = 0. (4.62) Запишем это условие в явном виде в системе координат, в которой тен зор ij диагонален. Пусть в главных осях компоненты тензора x ij = 0 y 0. (4.63) 0 z Тогда имеем уравнение Френеля [ ] n 2 x nx + y n 2 + z nz 2 y [n ( ] (4.64) + z ) + n 2 y ( x + z ) + n z z ( y + x ) + x y z = xx y y Это уравнение относительно трех неизвестных nx, n y, n z может быть сведено к биквадратному уравнению относительно двух отношений. Рассмот рим частные случаи а) кубическая симметрия: x = y = z =. Уравнение Френеля ( ) n 4 2 2 n 2 + 3 = 0 или n 2 = 0. Модуль волнового вектора равен пока зателю преломления n = и пространство волновых векторов – сфера. Сре да изотропная.

б) одноосная симметрия: x = y =, z = ||. Уравнение Френеля [ ][ ] n 2 (nx + n 2 ) + ||nz ( + || )(nx + n 2 ) + 2 ||nz + || = 0 (4.65) 2 2 2 2 y y преобразуется к виду [ ] (n 2 ) (n x + n 2 ) + || n z || = 0.

2 (4.66) y Есть два типа решений.

1) n = – соответствует сферической волновой поверхности с пока зателем преломления n = как для изотропного кристалла.

[ ] + n 2 ) + ||nz || = (nx может быть приведено к виду 2) y nx + n 2 nz y + = 1. Пространство волновых векторов – эллипсоид вращения. В || этом случае наблюдается двойное лучепреломление.

4.10 Флуктуации, флуктуационно-диссипационная теорема Электрическая проницаемость (восприимчивость) является примером функции отклика системы на внешнее воздействие (поле).

Флуктуации это случайные отклонения наблюдаемой величины от рав новесного (среднего) значения для системы, находящейся в термодинамиче ском контакте с термостатом. Флуктуации описываются средними значения ми моментов флуктуирующих величин. Например, средними значениями двухвременных корреляционных функций в равновесном состоянии A() B(t 0.

Онзагером сформулирован постулат, что система, выведенная из равно весного состояния, возвращается к равновесию одинаково, как в случае если неравновесное состояние возникло под действием внешнего воздействия, так и случае если неравновесное состояние возникло в результате флуктуации.

Конечно, если отклонение от равновесия достаточно мало. Флуктуационно диссипационная теорема устанавливает связь между двумя на первый взгляд различными явлениями – средними значениями флуктуаций в системе в усло виях термодинамического равновесия и коэффициентами восприимчивости системы по отношению к внешним воздействиям.

Эта теорема имеет много обликов, поэтому можно было бы использо вать множественное число для ее названия. Первая теорема такого рода была получена Найквистом в 1928 г. в связи с теорией шумов в электрических це пях. Общая формулировка теоремы по отношению к статистической механи ке дана Кэлленом и Вельтоном в 1951 г.

Согласно этой теореме средний квадрат флуктуирующей величины (в нашем случае поляризации вещества) дается интегралом от мнимой части восприимчивости f ()cth = d. (4.67) P 2kT Если неравенство kT выполняется при всех существенных часто тах (частоты, для которых f () отлично от нуля), то в (4.67) можно перейти к классическому пределу f () 2kT = d.

P (4.68) Флуктуационно-диссипационная теорема устанавливает связь между равновесной и неравновесной статистической механикой, обеспечивает нас формулами, позволяющими выражать микроскопические величины через на блюдаемые макроскопические.

4.11 Прохождение быстрых частиц через вещество. Излучение Вавилова Черенкова Быстрые заряженные частицы при прохождении через вещество иони зуют атомы и теряют энергию. Именно на этом основаны методы наблюдения частиц (камера Вильсона, ионизационная камера и т.д.). В газах эти столкно вения носят отдельный, единичный характер. В конденсированных средах быстрая частица взаимодействует сразу с большим числом атомов и создает вокруг себя облако поляризации, которое движется вместе с частицей и по степенно рассеивается. Вещество можно рассматривать как сплошную среду только если размер поляризационного облака L много больше межатомного расстояния a. А это означает, что скорость частицы v a0 = vат, где 0 – максимальная частота перехода в атомах.

vат v c Нерелятивистский случай. Пусть (в металлах vат 10 7 108 см./с.). Здесь достаточно рассмотреть лишь электрическое по ле, которое мы найдем из скалярного потенциала, удовлетворяющего урав нению Пуассона (r, t ) = 4e (r v t ), (4.69) it ( ) ( )e где (r, t ) = d – есть интегральный оператор.

Разложим k (t )e ik r d 3k, (r, t ) = (4.70) тогда dV ik r e (4e) (r v t ) = 2 e ik v t.(4.71) ( ) k = k k (t ) = e ( 2 ) Решение уравнения (4.71) есть e e ik v t.

k (t ) = (4.72) 2 k ( k, v ) Фурье-компонента поля Ek e ik r = ( k e ik r ) = ik k e ik r, отсюда Ek = ik k и подставляя (4.72) получим iek e ik v t.

Ek (t ) = (4.73) 2 k ( k, v ) Созданное частицей поле, действует на нее с силой торможения e2 k = e Ek (t )e d k = i 2 ik v t d 3k.

F = eE (r, t ) (4.74) r =vt 2 k ( k, v ) Пусть скорость v = (vx,0,0). Для вычисления (4.74) обозначим = k x vx, 2 поперечный импульс q = k y + k z и перейдем к интегрированию в цилинд рической системе координат q 2 e2 q d d dq ()(q 2v 2 + 2 ).

F = i 2 (4.75) 2 0 Здесь интеграл по q ограничен верхним пределом q0 (обрезан). Введе ние величины q0 связано с условием L a применимости макротеории. По ле Ek передает ионизационному электрону импульс hk, который при боль ших q приближенно равен hq. Такому импульсу соответствуют столкнове ния с прицельным параметром, который в силу принципа неопределен q ности не может быть меньше a. Поэтому, параметр q0 заключен в пределах 0 q0 и определяет силу торможения. Введем обозначения v a = () = () + i(), где () – четная функция частоты, а () () нечетная функция. Тогда (4.71) приобретает вид q R e2 d (q 2 ) 2 R R lim d [() + i()] 2 F = i.(4.76) (q v + 2 ) Здесь введен предельный переход R для исключения логарифми ческой расходимости в интеграле по. Это связано с тем, что из полного по ля надо было вычесть поле в пустоте, не имеющее отношение к торможению частицы в веществе. При симметричных пределах расходимость пропадает в силу четности (). Эту расходимость можно было также убрать заменой 1 диэлектрической проницаемости 1. Итак 2e 2 2e 1 q0v 2 q () 2v 2 ln(q v + ) 0 d = () ln d.(4.77) F (q0 ) = 0 m Определим среднюю частоту ln = 2 2 () ln d, тогда 2 e N 2e 2 F (q0 ) = 2 ln q0v ()d () ln d = v 0 (4.78) 2e 22e 2 N 4Ne 4 q0v 22e 2 N =2 ln q0v ln = ln.

mv 2 v m m Формула (4.78) определяет торможение быстрой частицы путем иони зации с передачей энергии малой по сравнению с энергией частицы. При та ком условии формула справедлива в равной степени для торможения как тя желых, так и легких быстрых частиц.

Релятивистский случай. Теперь для расчета электрического поля надо исходить из полной системы уравнений Максвелла с плотностью сторонних зарядов и токов ст = e(r v t ), jст = ev (r v t ). (4.79) Действуя аналогично предыдущему случаю, получим 1 () 2 2 qdq q ie v c d 2 2 1 ().

F (q0 ) = (4.80) 0 () q + v2 c При c выражение (4.80) переходит в (4.75). Здесь, обычно, разби рают два предельных случая.

Если среда является диэлектриком, а скорость частицы удовлетворяет c условию v, то выражение для силы торможения мало отличатся от при веденного в (4.78) 4Ne 4 q0v v F (q0 ) = 2.

ln (4.81) mv 2 2c c2 Во втором предельном случае, когда v (этот случай реализуется в металлах) 2Ne 4 mc 2 q F (q0 ) = ln. (4.82) mc 2 4Ne Излучение Вавилова-Черенкова. Заряженная частица, движущаяся в прозрачной среде, в определенных условиях испускает своеобразное излуче ние, оно было впервые открыто Черенковым в 1937 г. Отметим, что это не тормозное излучение, которое испускается движущимся электроном при его столкновениях с атомами. В явлении Черенкова мы имеем дело с излучением среды под влиянием поля движущегося в ней заряда.

Введем следующие обозначения: волновое число волны k = n, где c n = – вещественный показатель преломления, = k x v (частица движется в n 2 2 направлении оси x ). Поскольку k = k x + k y + k z k x, то или c v c v = vфаз. Введем угол излучения от направления движения, тогда n c vфаз n k x = k cos = cos =. Отсюда направление излучения cos = =.

c v nv v Излучение волн дополнительная, хоть и малая, часть полных потерь энергии.

Из (4.80) потери энергии в интервале частот d q ie 2 1 1 0 qdq 2 v 2 c dF = d. (4.83) 2 q 2 c v Введем новую переменную = q 2 2 2 2 :

c v ie 2 1 d v 2 c 2.

dF = d (4.84) Особую точку = 0, лежащую на пути интегрирования, следует обойти с учетом знака мнимой части (). Хотя мы и считали среду прозрачной и () вещественной, но все таки она обладает некоторой малой мнимой ча стью положительной при 0, и отрицательной при 0. С учетом этого приходим к окончательной формуле e2 2 1 c d = e sin 2 d, dF = 2 (4.85) c v 2n2 c определяющей интенсивность излучения в частотном интервале d. Приме ром черенковского излучения служит яркое голубое свечение воды, окру жающей реактор в качестве защиты от быстрых частиц. Отметим, что тор мозное излучение пропадает в пределе m, а черенковское остается.

Качественно, черенковское излучение можно объяснить резонансным возбуждением волн быстро движущейся частицей.

Контрольные вопросы 1.Какое электромагнитное поле можно считать низкочастотным?

2. В чем состоит причина частотной дисперсии электрической и магнитной проницаемостей?

3. Как связаны между собой Фурье компоненты индукции и напряженности поля в среде с частотной дисперсией?

4. Какой четностью обладают действительная и мнимая части диэлектриче ской проницаемости?

5. Каковы свойства диэлектрической проницаемости и восприимчивости в комплексной плоскости = + i ?

6. Какова связь между амплитудами E и H плоской волны в диспергирую щей среде?

7. Как выражаются действительная и мнимая части комплексного показателя преломления диспергирующей среды через действительную и мнимую части диэлектрической проницаемости?

8. Что такое плазменные колебания в металле и какова их частота?

9. В чем состоит скин-эффект и какова глубина скин-слоя?

10. Какой вид имеют уравнения квазистационарных полей?

11. Каков спектр частот электромагнитных колебаний в прямоугольном резо наторе?

12. Являются ли электромагнитные волны в прямоугольном волноводе попе речными?

13. Совпадают ли направления распространения волны и вектора потока энергии в анизотропных средах?

14. Что такое флуктуации и в чем смысл флуктуационно-диссипационной теоремы?

15. В чем причина излучения Вавилова-Черенкова, и чем оно отличается от тормозного излучения?

Глава 5. Магнитные свойства конденсированных сред В этой главе будут рассмотрены магнитные свойства как слабомагнит ных диа- и парамагнетиков (не обладающих дальним магнитным порядком), так и сильномагнитных веществ, обладающих дальним магнитным порядком.

Среди них наиболее известны ферромагнетики, антиферромагнетики и фер ромагнетики. Сверхпроводники также обладают особыми магнитными свой ствами, в них также есть дальний порядок, хотя и иной породы. Сверхпро водники и магнитоупорядоченные материалы объединяет еще то обстоятель ство, что оба класса явлений не могут быть принципиально описаны в рамках классической физики и требуют квантового подхода.

5.1. Магнитная симметрия конденсированных сред Несмотря на магнитостатическую аналогию (см. раздел 2.5), между электрическими и магнитными свойствами вещества имеется глубокое отли чие. Первые создаются распределением зарядов, а вторые – распределением токов [2]. Заряды и токи ведут себя по-разному при инверсии времени:

T (t ) = (t ), Tj (t ) = j (t ), где T - оператор инверсии времени, для произ вольной функции f (t ) Tf (t ) = f ( t ).

Мы знаем, что уравнения динамики инвариантны относительно инвер сии времени. Инверсия времени приводит термодинамически равновесное макроскопическое состояние также к равновесному состоянию. При этом возникает два варианта: новое состояние совпадает или не совпадает с исход ным. Введем микроскопические плотности зарядов ( r ) и токов j ( r ), усред ненные только по времени. Именно эти функции определяют электрическую и магнитную структуру вещества. Термодинамический потенциал есть функционал от этих переменных, =, j. При инверсии времени T, j =, j. (5.1) Если состояние не меняется при инверсии, то, j =, j, то есть макроскопический эффект от микроскопических токов отсутствует. Про такие вещества мы говорим, что у них нет магнитной структуры, в них на магниченность М равна нулю в отсутствие внешнего магнитного поля.

Во втором случае, когда состояние меняется при инверсии времени, T, j =, j, j. (5.2) Это означает, что распределение токов приводит к макроскопическим эффектам. Такие вещества обладают магнитной структурой. Заметим, что электрической структурой обладают все конденсированные системы, по скольку ( t ) = (t ) 0.

Число различных магнитных структур велико. Простейшие из них по казаны на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Основные типы магнитных а), M 0, ферромагнетик структур. Стрелки показывают микроскопи ческие магнитные моменты.



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.