авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ имени М.И. Платова

(НОВОЧЕРКАССКИЙ

ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ)

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Г.Я. Пятибратов, Д.В. Барыльник

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

НОВОЧЕРКАССК 2013

2 УДК 681.51.001.891.573(075.8) ББК 31.291 П99 Рецензенты: д-р техн. наук П.Г. Колпахчьян П99 Пятибратов Г.Я., Барыльник Д.В, Моделирование электромеханических систем: Учеб. пособие /Юж.-Рос.

гос. политехн. ун-т.– Новочеркасск: ЮРГПУ, 2013.– 103 с.

Рассмотрены основные проблемы и методологические подходы к разра ботке математического описания и получения моделей сложных электроме ханических систем, имеющих протяженные передачи с упругими механиче скими связями. Приведены расчетные схемы, дифференциальные уравнения и структурные схемы механизмов с рядным и разветвленным расположением дискретных масс, а также элементов электроприводов постоянного и пере менного тока.

Учебное пособие предназначено для изучения дисциплин «Моделирова ние электромеханических систем», «Управление электромеханическими сис темами» и выполнения выпускных работ магистрантами по направлению подготовки «Электроэнергетика и электротехника», а также может быть ис пользовано аспирантами электротехнического направления.

УДК 681.51.001.891.573(075.8) Южно-Российский государственный технический университет, Пятибратов Г.Я., Барыльник Д.В, СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................................. 1. ПРОБЛЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ......................................................... 1.1. Задачи комплексного исследования электромеханических систем...... 1.2. Подходы и методы получения и исследования математических моделей электромеханических систем..................................................... 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЧАСТИ СИСТЕМЫ.......................................................................................... 2.1. Особенности математического описания механизмов рабочих машин..................................................................... 2.2. Учет распределенности параметров протяженных механических передач.............................................................................. 2.3. Получение передаточных функций электромеханических систем с распределенными параметрами............................................... 2.4. Возможности описания механизмов с распределенными параметрами в виде дискретных моделей.............................................. 2.5. Математическое описание механической части системы с использованием уравнений Лагранжа.........................

........................ 2.6. Расчетные и структурные схемы механизмов при учете упругих связей......................................................................... 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЧАСТИ СИСТЕМЫ.......................................................................................... 3.1. Определение силовых взаимодействий в электромеханических системах............................................................ 3.2. Линеаризованные математические модели электродвигателей постоянного тока..................................................... 3.3. Математические модели управляемых преобразователей в электроприводах постоянного тока...................................................... 3.4. Линеаризация математической модели электродвигателей переменного тока...................................................................................... 3.5. Математическое описание статических преобразователей электроприводов переменного тока........................................................ 3.6. Математическое описание асинхронного электродвигателя при частотном регулировании электромагнитного момента...................... 3.7. Математическое описание синхронного электродвигателя с постоянными магнитами при частотном регулировании электромагнитного момента.................................................................... 3.8. Математическое описание электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением как обобщённой машины..................... 3.9. Структурные взаимодействия управляющих и информационных устройств ЭМС.......................................................................................... 3.10. Математическое описание статических преобразователей с широтно-импульсной модуляцией....................................................... 3.11. Математическое описание информационно-измерительных устройств ЭМС.......................................................................................... 3.12. Математическое описание и определение параметров регуляторов электроприводов постоянного и переменного тока................................................................................... 3.13. Структурные схемы электрической части ЭМС................................... 3.14. Математические модели элементов систем управления электроприводов................................................................... 4. ОБОБЩЕННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С УПРУГИМИ СВЯЗЯМИ........ 4.1. Способы получения обобщенных математических моделей................ 4.2. Структурная схема эквивалентной двухмассовой электромеханической системы................................................................ 4.3. Учет и определение эквивалентных параметров электромеханических систем................................................................... ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................................................................................... ЛИТЕРАТУРА................................................................................................... ВВЕДЕНИЕ Увеличение производительности технологических машин и агрегатов достигается, главным образом, благодаря росту единичной мощности и ин тенсивности работы. При этом на качество выпускаемой продукции, надеж ность и долговечность работы оборудования может отрицательно влиять по датливость конструкций и механических передач, увеличивающая колеба тельность регулируемых координат системы и способствующая возникнове нию значительных динамических нагрузок, которые ускоряют процесс нако пления усталостных напряжений в передачах, вызывают поломки механиз мов. Это приводит к возрастанию динамических ошибок регулирования, ухудшению работы исполнительных механизмов и качества управления тех нологическими процессами, увеличению незапланированных простоев обо рудования, стоимости ремонта и, как следствие, к значительному экономиче скому ущербу.

Широкие возможности и перспективы для решения указанной пробле мы открываются при использовании современных быстродействующих элек троприводов, так как в некоторых случаях благодаря рациональному выбору параметров неизменяемой части системы и регуляторов или организации до полнительных управляющих воздействий удается практически без дополни тельных экономических затрат уменьшить отрицательное влияние упругих связей на качество регулирования координат электромеханических систем (ЭМС). Исследование ЭМС с учетом упругости их механических передач яв ляется сложной проблемой, для решения которой требуется определить ра циональные подходы получения математических моделей, выбрать удобную форму их представления, определить эффективные методы комплексного решения задач анализа и синтеза системы управления, оценить влияние ос новных возмущений на происходящие процессы.

В практике проектирования электроприводов механическая часть элек тропривода обычно представляется жестким приведенным звеном. Однако детальный анализ кинематических схем сбалансированных манипуляторов, робототехнических комплексов, прокатных станов, подъемных кранов, экс каваторов, грузовых подъемников, лифтов, конвейеров, испытательных стен дов механических трансмиссий, крупных радиотелескопов, тренажеров пока зывает, что их особенностью является повышенная податливость механиче ских передач, которую необходимо учитывать при их проектировании.

Для повышения производительности и качества технологических про цессов используются всё более быстродействующие системы электроприво дов. При этом значения собственных резонансных частот механической час ти рабочих машин могут попадать в полосу пропускания электропривода, а возникающие при этом резонансные колебательные процессы приводить к значительным ошибкам регулирования усилий, скорости или перемещения механизмов, повышению нагрузок в механических передачах и более быст рому износу оборудования. Это требует совместного, комплексного исследо вания таких ЭМС с учетом влияния на их динамические процессы упругих связей.

При современном уровне развития теории ЭМС полное описание и ис следование всех особенностей поведения сложных технологических ком плексов, их электротехнического оборудования, совместный анализ динами ческих процессов, происходящих в механических и электрических устройст вах, представляет сложную трудоемкую задачу. Поэтому при проектирова нии и исследовании сложных ЭМС важно принять корректные допущения и оценить адекватность, необходимость и возможность упрощения используе мых математических моделей.

1. ПРОБЛЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 1.1. Задачи комплексного исследования электромеханических систем При решении прикладных проблем создания качественных ЭМС необ ходимо учитывать информационные возможности, энергетические законо мерности и ограничения, проявляющиеся при реализации реальных систем управления. Однако закономерности и ограничения часто возможно сформу лировать лишь на содержательном уровне, хотя они играют решающую роль в осуществлении предельных возможностей автоматического управления электроприводами, содержащими протяженные упругие механические пере дачи. Это определяет дополнительные сложности при исследовании и проек тировании электромеханических систем с упругими связями (ЭМС с УС).

Электроприводы реальных технологических машин чаще всего должны обеспечивать управление скоростью, положением или силовыми воздейст виями исполнительных механизмов и рабочих органов различных производ ственных агрегатов. Причем, независимо от вида регулируемых координат ЭМС взаимовлияние элементов и устройств электрической и механической частей системы наиболее часто осуществляется через силовые взаимодейст вия, что определяет важность и необходимость постановки задачи комплекс ного исследования и рационального управления усилиями в элементах меха нических передач средствами электропривода. В общем случае значительные по величине упругие колебания в ЭМС приводят к увеличению нагрузки в передачах или возрастанию динамических ошибок регулирования скорости и перемещения механизмов, что обусловливает снижение производительности работы оборудования, ухудшает качество выпускаемой продукции. При раз работке общих подходов к исследованию и реализации ЭМС с УС, исходя прежде всего из потребностей практики, в зависимости от решаемых задач и имеющихся средств предлагается выделить следующие случаи и возможно сти уменьшения амплитуды упругих колебаний выходных координат ЭМС с УС с помощью электропривода.

При отсутствии достоверной информации об усилиях в элементах меха нических передач необходимо решать задачу уменьшения упругих колебаний в ЭМС благодаря эффективному использованию демпфирующей способности существующих систем электропривода. В этом случае задачу необходимо рас сматривать как оптимизацию пассивного демпфирования упругих колебаний ЭМС, осуществляемую без ухудшения качества управления выходными коор динатами системы за счет рационального выбора структуры и параметров её регуляторов. Возможности такого подхода обычно ограничены заданными па раметрами и структурой неизменяемой части исследуемой ЭМС. Для ком плексного решения поставленной задачи требуется использовать методы па раметрического синтеза, способы определения достижимой эффективности и рациональных областей применения этого способа демпфирования выходных координат ЭМС с УС.

При наличии технических средств получения достоверной информации об изменении усилий в элементах механических передач целесообразно при менять методы активного демпфирования колебаний выходных координат ЭМС и ограничения динамических нагрузок в механических передачах бла годаря организации дополнительных управляющих воздействий электропри водом. Эффективность этого способа определяется энергетическими воз можностями электропривода, структурой его системы управления и парамет рами механической части системы. В общем случае для комплексного реше ния этой проблемы необходимо иметь надежные силоизмерительные устрой ства, методики определения требуемой мощности электропривода, обеспечи вающего заданную эффективность ограничения динамических нагрузок ме ханизмов, методы решения задачи синтеза управляющей части системы и уметь определять области целесообразного применения активного демпфи рования для улучшения качества работы таких ЭМС.

В рассмотренных способах повышения демпфирующей способности ЭМС с УС на электропривод, кроме обеспечения основных технологических требований, возлагается дополнительная функция уменьшения колебаний усилий.

В последнее время возрастает необходимость управления усилиями в исполнительных элементов различных механизмов. Для этого в систему управления электроприводов дополнительно включают обратную связь по усилию или моменту механизма.

Существенно отличается по целям, способам и методам решения по ставленных задач подход к исследованию и проектированию ЭМС, когда ос новными регулируемыми координатами являются усилия в упругих элемен тах передач технологических машин. Объект управления в этом случае зна чительно усложняется, электропривод теряет саморегулирующие свойства, изменяется энергетика процессов, что определяет необходимость поиска специфических методов выбора неизменяемой части системы, идентифика ции её параметров, анализа и синтеза системы управления.

Особенности рассмотренных подходов к исследованию и способов реа лизации ЭМС с УС определяются, главным образом, целью, требованиями и задачами проектирования системы и носят условный характер, так как во всех случаях решается общая проблема управления усилиями в упругих эле ментах (УЭ) механизмов. Поэтому решение всех перечисленных задач целе сообразно осуществлять с использованием общей методологической основы, позволяющей выбирать наиболее удобную форму представления математи ческих моделей сложных ЭМС, применять единые подходы и методы иссле дования, обобщать полученные результаты.

В настоящее время в теории и практике ЭМС с УС можно выделить два основных взаимодополняющих пути решения поставленных задач. Первый ориентирован на широкое применение аналитических методов анализа и син теза систем управления, имеющих упрощенные математические модели и возможность формализации решаемых задач, что позволяет создавать эффек тивные алгоритмы и программы автоматизации исследования и проектиро вания систем управления электроприводов. Второй путь ориентирован на ис пользование широко применяемых в инженерной практике графоаналитиче ских частотных методов, что позволяет разрабатывать методики выбора и расчета регуляторов, наладки систем управления. Представляется перспек тивным объединение этих направлений и создание единой методологии ис следования и проектирования ЭМС, сочетающей аналитичность топологиче ских методов, преимущества операционного исчисления, достоинства много критериальной оптимизации, инженерную направленность частотных мето дов анализа и синтеза таких систем, эффективность применения вычисли тельной техники.

1.2. Подходы и методы получения и исследования математических моделей электромеханических систем Математическое описание и исследование особенностей динамических процессов, происходящих в механических и электрических устройствах, представляют сложную, трудоемкую задачу. Поэтому на начальной стадии исследования таких систем важно оценить правомерность выбора исходных гипотез, определить целесообразность применения тех или иных корректных допущений.

Первые этапы исследования сложных ЭМС направлены на разумное упрощение исходного объекта с целью представления его расчетной схемой, соответствующей наиболее простой физической модели, в которой учтены только наиболее существенные факторы, влияющие на решение рассматри ваемой задачи. Степень идеализации реальных ЭМС при получении их дина мических моделей зависит от многих факторов, которые определяются, глав ным образом, свойствами объекта и целью исследований. Например, учиты ваемое число степеней свободы элементов механической части рабочей ма шины зависит от её конструктивных особенностей, частотного спектра вы нуждающих сил и быстродействия приводных устройств. При выполнении данного этапа исследований важно, чтобы выбор динамической модели ЭМС и её упрощение не вступили в противоречие с возможностями принципиаль ного характера – учетом особенностей колебательных явлений, существенных для решения поставленных задач.

Следующим этапом исследования силовых взаимодействий в ЭМС с УС является представление математической модели в наиболее удобной для данного исследования форме: в виде системы дифференциальных, инте гральных или интегро-дифференциальных уравнений, структурных схем или графов. При получении математической модели из-за недостатка знаний об объекте дополнительно приходится принимать гипотезы и допущения, по зволяющие упростить математическое описание ЭМС и её дальнейшее ис следование. Разработка математической модели ЭМС базируется на теорети ческих положениях аналитической механики, электротехники, соответст вующих разделах математики при широком использовании эксперименталь ных зависимостей, подтверждающих адекватность полученных моделей ре альным объектам.

Исследование сложных ЭМС выполняется в большинстве случаев с ис пользованием современных ЭВМ и может быть эффективным только при на личии достаточно общих подходов и методов математического описания этих систем. При этом в теории и практике исследования ЭМС наиболее час то используются разные подходы к получению исходных уравнений, описы вающих динамические процессы с учетом упругости их механических пере дач.

Наиболее общий подход к получению математического описания ЭМС основан на использовании вариационных методов. При этом наибольшее распространение получил принцип наименьшего действия Гамильтона, при водящий к получению уравнений Лагранжа [1]. Комплексное системное применение этого подхода позволяет получить формальный метод строгого математического описания процессов в сложных ЭМС в форме уравнений Лагранжа–Максвелла. Основная трудность в использовании метода связана с отсутствием систематизации применяемых допущений и рекомендаций по выбору обобщенных координат [2].

В инженерной практике большое распространение получил метод по элементного описания ЭМС, в основу которого положена идея получения исходных уравнений системы с непосредственным применением законов ме ханики, электротехники и других смежных дисциплин. Этот подход базиру ется на изучении процессов и явлений, происходящих в отдельных устройст вах и элементах систем, и учете их влияния друг на друга с помощью урав нений связи. Однако отсутствие единого формального способа получения уравнений существенно затрудняет применение этого подхода для исследо вания сложных ЭМС, состоящих из физически разнородных объектов.

Третий подход, привлекающий в настоящее время внимание многих специалистов, основан на использовании теории линейных направленных графов для получения и исследования уравнений состояния сложных ЭМС [3]. Важным преимуществом такого подхода является возможность получе ния подграфов механической части системы (МЧС) и электропривода, рас сматриваемых изолированно – вне системы, в которую они входят. Эквива лентный граф системы получают на основе принципа однонаправленности ветвей графа путем объединения отдельных подграфов в соответствии с электрическими и кинематическими схемами исследуемой системы. Исполь зование теории направленных графов позволяет разработать общие формаль ные методы получения уравнений ЭМС с УС, не зависящие от её сложности и физической природы.

Применение того или иного подхода и выбор формы представления ма тематического описания ЭМС осуществляются в зависимости от целей иссле дования путем сопоставления их достоинств и недостатков, анализа возмож ности использования тех или иных гипотез и допущений при исследовании конкретной системы.

После получения математического описания системы следующим эта пом исследования ЭМС является решение уравнений или анализ структур ных и топологических свойств математической модели. При этом использу ют аналитические методы, позволяющие получать обобщающие результаты, и численные методы, опирающиеся на возможности современной вычисли тельной техники. Исследование ЭМС, имеющих протяженные механические передачи с упругими свойствами и описываемых в общем случае моделями с распределенными параметрами, связано с рассмотрением сложных много контурных взаимосвязанных систем автоматического управления с перекре щивающимися связями. Решение задач анализа и синтеза в таких системах, имеющих колебательные переходные процессы, отличается большой слож ностью и трудоемкостью, требует развития и совершенствования методов ис следований.

Сложность анализа вынужденных переходных процессов в ЭМС с УС определяется значительной колебательностью их координат, что затрудняет исследование таких систем во временной области. При исследовании сило вых взаимодействий в ЭМС с помощью частотных методов колебательные свойства системы зависят от вида частотных характеристик в области резо нансных частот. Поэтому при исследовании максимальных усилий ЭМС с УС удобно использовать частотные методы. Однако специфика структуры и свойств ЭМС с УС ограничивает возможность применения асимптотических логарифмических амплитудных частотных характеристик, что определяет необходимость совершенствования частотных методов для исследования та ких систем. Развитие частотных методов повысит прикладное значение ис следований, придаст им инженерную направленность, расширит возмож ность использования полученных результатов при проектировании, наладке и эксплуатации ЭМС рассматриваемого класса.

При исследовании силовых взаимодействий в ЭМС с УС значительные трудности возникают с определением структуры и реальных параметров ме ханической части технологических машин, так как попытки их определения аналитическими методами часто приводят к существенным ошибкам. Поэто му при создании систем управления ЭМС важное значение приобретают экс периментальные методы определения их параметров с использованием мето дов идентификации. Однако сложность взаимовлияния элементов МЧС друг на друга, невозможность их структурного разделения и исследования в виде отдельных звеньев существенно усложняют идентификацию параметров и требуют применения специальных подходов и методов выполнения экспери ментов и обработки полученных данных.

Сложность, разнообразие, многовариантность решаемых задач анализа и синтеза ЭМС предопределяют необходимость широкого применения вы числительной техники при их исследовании, моделировании и оптимизации численными методами, автоматизации проектных работ.

Достоверность полученных результатов при исследовании силовых взаимодействий в ЭМС необходимо оценивать по имеющимся эксперимен тальным данным. Экспериментальные исследования на начальных стадиях проектирования проводятся с целью идентификации параметров ЭМС с УС, проверки принятых гипотез и допущений. Причем, в реальных рабочих ма шинах в условиях их промышленной эксплуатации зачастую трудно выде лить и оценить влияние отдельных факторов на динамику процессов. В этом случае приходится выполнять исследования ЭМС с использованием методов физического моделирования на специальных лабораторных установках и стендах. Поскольку широкое варьирование параметрами и структурой систе мы связано с большой трудоемкостью и затратами, эксперимент должен быть тщательно спланирован и дополнен теоретическими исследованиями с ис пользованием методов математического моделирования на ЭВМ.

Многоплановость, сложность и специфика задач, решаемых при осуще ствлении средствами электропривода демпфирования упругих колебаний, ограничения динамических нагрузок и регулирования усилий в механиче ских передачах, обладающих упругими свойствами, требуют использования единой методологии их проектирования и исследования. Комплексное реше ние проблемы возможно при использовании рациональных подходов, спосо бов и методов получения математических моделей ЭМС с УС, определения их параметров, решения задач идентификации, анализа и синтеза системы управления, обобщения полученных результатов и определения рекоменда ций по построению и реализации систем электроприводов, способных осу ществлять эффективное управление исполнительными механизмами различ ных технологических машин.

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЧАСТИ СИСТЕМЫ 2.1. Особенности математического описания механизмов рабочих машин Функционирование современных технологических машин сопровожда ется преобразованием различных видов энергии и форм движений при сило вых и кинематических взаимодействиях их составных элементов. При иссле довании и проектировании ЭМС возникает задача разработки единых подхо дов к анализу процессов различной физической природы в механической, электрической частях и в системе в целом. Достоверность получаемых при исследовании результатов зависит от степени детализации и полноты ото бражения используемых математических моделей, от обоснованности упро щающих их допущений, закладываемых при разработке моделей.

Выбор корректных допущений, определение условий их применимости, правильное использование математического аппарата, формы и вида его представления для получения наиболее простых моделей, адекватно описы вающие процессы, происходящие в реальных технологических машинах яв ляются важнейшими задачами математического описания и моделирования исследуемых ЭМС.

При получении обобщенной математической модели ЭМС с учетом уп ругих связей наибольшие сложности возникают при описании МЧС, так как в общем случае приходится учитывать распределенность параметров протя женных механических передач, различные виды нелинейностей, возмож ность изменения параметров и характеристик системы в функции координат и времени.

Динамические модели МЧС условно можно разделить на три вида: мо дели с распределенными параметрами, модели с сосредоточенными парамет рами и комбинированные модели, состоящие из подсистем первых двух ви дов.

В моделях с распределенными параметрами наиболее полно отражают ся свойства реальных механизмов, которые при учете упругих и инерцион ных свойств имеют бесконечное число степеней свободы. Такие модели опи сываются чаще всего системами дифференциальных уравнений в частных производных и, ввиду сложности их решения, на практике используются только для достаточно простых элементов в виде валов, балок, стержней, пластин. Исследование усилий в приводах реальных машин с использовани ем таких моделей – сложная задача, однако при составлении математическо го описания МЧС всегда необходимо четко представлять последствия не уче та распределённости их параметров. Это определяет необходимость вначале рассматривать наиболее протяженные элементы механических передач с уче том распределенности параметров и только после оценки возможности и ус ловий их корректного упрощения и аппроксимации характеристик представ лять в виде комбинированных или дискретных динамических моделей.

В практике исследования и проектирования ЭМС с УС наибольшее рас пространение получили дискретные динамические модели МЧС с сосредото ченными параметрами, в которых число рассматриваемых звеньев ограниче но. При построении таких моделей считают, что инерционные свойства сис темы учитываются массами или моментами инерции, которые сосредоточены в отдельных звеньях, и эти звенья соединены безынерционными упругодис сипативными геометрическими или кинематическими связями [2]. В этом случае, чем больше учитывается дискретных масс, тем меньшую погреш ность можно получить при решении задачи. Однако это справедливо лишь в том случае, если уровень достоверности исходных данных, на базе которых получена динамическая модель, высок, что требует выполнения широких экспериментальных исследований для проверки правильности используемых допущений, определения структуры динамической модели и идентификации её параметров. Практически использование такого подхода приводит к тому, что в механизме и его приводе выделяют наиболее массивные элементы и податливые участки кинематической цепи, а инерционные, упругие и дисси пативные свойства остальных элементов учитываются с помощью приведен ных эквивалентных значений соответствующих параметров.

2.2. Учет распределенности параметров протяженных механических передач Все механические колебательные системы, рассматриваемые с учетом упругих связей, состоят из элементов с непрерывно распределенными пара метрами (ЭНРП) – массой и податливостью – и имеют, поэтому бесконечно большое число собственных частот. Большинство частот этих колебаний су щественно выше частот, влияющих на движение МЧС как целого объекта.

Это позволяет предположить, что на низких частотах ЭМС с УС будет вести себя примерно так, как если бы она состояла из идеальных, не имеющих про странственной протяженности точечных масс и не обладающих массой упру гих элементов. Такое допущение дает возможность представлять их в виде более простых дискретных моделей с сосредоточенными параметрами. Од нако при выборе вида и структуры моделей таких ЭМС необходимо оцени вать их адекватность, определять корректность принимаемых допущений и устанавливать области применимости полученных моделей. Для комплексного решения этих задач применяют различные способы математического описания ЭНРП, методы их исследования и особенности протекающих процессов.

В общем случае колебания упругой системы с распределенными массой и упругостью можно описать дифференциальными уравнениями вида [4]:

d m 2 q ( x, y, z, t ) + cH,, q ( x, y, z, t ) = f ( x, t ), x y z dt где m – масса, отнесенная к единице площади или объема;

q ( x, y, z, t ) – смещение;

с – коэффициент комплексной жесткости;

f ( x, t ) – внешняя сила, отнесенная к единице площади или объема;

Н – линейный дифференциальный оператор, который характеризует уп ругую деформацию материала.

Первый член этого уравнения характеризует инерцию системы, а второй – упругую восстанавливающую силу.

Решение уравнений, описывающих процессы в объемных или плоско стных ЭНРП, сопровождается большими трудностями. В то же время реаль но в большинстве ЭМС наиболее часто встречаются ЭНРП в виде длинных канатов, валов или стержней. Такие механические системы по числу учета координат распространения упругих деформаций можно отнести к простран ственно одномерным объектам и описывать их однотипными дифференци альными уравнениями в частных производных гиперболического типа [4].

Причем, если инерционные характеристики (массы, моменты инерции) дви гательного устройства и объекта управления малы по сравнению с инерци онной характеристикой элемента с распределенными параметрами, то можно использовать при его описании однородные граничные условия. В против ном случае ЭНРП удовлетворяет неоднородным граничным условиям [5].

Сопоставление различных подходов и методов аналитического исследо вания ЭНРП показало, что наиболее эффективным математическим приемом является использование описания таких систем в виде волновых уравнений с комплексными коэффициентами, позволяющими легко учитывать их демп фирующие свойства и получать решение в виде стоячих волн или сумм соб ственных колебаний [4]. В этом случае анализ колебаний объекта длиной l можно осуществить, решая неоднородное дифференциальное уравнение q( x, t ) 2 q( x, t ) 2 = f ( x, t ), V m (2.1) x t где m – масса исследуемого объекта, приходящаяся на единицу длины;

q – смещение элементов;

x – текущее значение координаты смещения (деформации);

V 2 = f m – квадрат скорости распространения бегущих волн;

f ( x, t ) – вынуждающая сила, действующая на единицу длины.

Решение волнового уравнения, соответствующего исходному (2.1), можно представить в виде суммы двух бегущих волн q ( x, t ) = f 1 (V t x ) + f 2 (V t + x ). При этом точки, в которых функция f 1 (V t x ) принимает одно и то же значение (т.е. точки с одинаковым проги бом), перемещаются в положительном направлении вдоль оси x со скоростью V, а функция f 2 (V t + x ) представляет волну, распространяющуюся в отрица тельном направлении. В случае исследования периодических колебаний ре шение уравнения будет иметь вид q ( x, t ) = f 1 [(V )( t kx )] + f 2 [(V )( t + kx )], где – круговая частота колебаний;

k = V = 2 – волновое число;

= 2V – длина волны, т.е. расстояние, проходимое волной упругой деформации за период колебания.

Решение для периодической бегущей волны примет вид ( ) j t q ( x, t ) = A cos ( t kx ) + B cos ( t + kx ) = A e jkx + B e jkx e.

Размеры ЭНРП в реальных ЭМС соизмеримы с длиной волны, поэтому волны в них могут многократно отражаться в течение каждого периода, что не позволяет различать бегущие волны. Поэтому более удобно использовать решение исходного уравнения в виде стоячих волн:

q ( x, t ) = X ( x ) T (t ) = A cos (kx + x ) + B cos ( t + t ), (2.2) где X ( x ) – множитель, характеризующий пространственное распре деление амплитуды, он одинаков в любой момент времени;

T (t ) – множитель, характеризующий точки, двигающиеся синхронно, не распространяясь в пространстве, таким образом, что деформации точек различных сечений достигают своих максимальных или минимальных значе ний одновременно.

Решение, получаемое в виде (2.2), называют стоячей волной или собст венным колебанием:

( ) ( ) q ( x, t ) = A cos k x + t + B cos k Vt + t, где kV = – круговая частота собственного - го колебания q ( x, t ).

Общее решение в этом случае можно представить в виде суммы собст венных колебаний с соответствующими амплитудами A :

x q ( x, t ) = =1 q ( x ) cos ( t + ) = =1 A sin cos ( t + ), n n l = 1, 2,..., n, где q = A1 sin ( x l ) ;

= 1 = 2V ( 2l ) ;

T = T1 = 2l ( V ).

Вследствие текучести материала, упругого запаздывания и других ана логичных явлений упругие свойства и рассеяние энергии механической ко лебательной системой зависят от предыстории её движения. При использова нии частотных методов исследования ЭМС, имеющих протяженные механи ческие передачи, рассеяние энергии в них удобно учитывать, вводя ком плексную упругую постоянную c = c0 (1 + j ), & где c0 – коэффициент жесткости системы, характеризующий упругие свойства объекта;

– коэффициент потерь, характеризующий диссипативные свойства.

Комплексный модуль упругости для рассматриваемого материала мож но найти, определив жесткость c0 на резонансной частоте Р, а коэффициент потерь = В Р – по ширине полосы резонансной кривой системы В на уровне амплитудных значений, в 2 раз меньших максимума частотной ха рактеристики.

Демпфирующие свойства ЭНРП удобно характеризовать внутренними потерями в материале независимо от вызывающей их причины фазовым сдвигом ( ) между напряжением и деформацией [4]. Этот сдвиг фаз учи тывается в дифференциальном уравнении, если заменить силу упругой де формации комплексной упругой силой:

F ( x ) = F0 ( x ) (1 + j ) или V 2 = F m = V02 (1 + j ), & & & где V02 = F0 m.

Волновое дифференциальное уравнение в этом случае примет вид 2 q( x, t ) 2 q( x, t ) & 2 2 q( x, t ) (1 + j ) = V0 =V, t 2 x 2 x а его полное решение можно получить в виде ряда ( l 2 )+ j 2 t q ( x, t ) = =1 A cos ( k x + ) cos ( t + ) e n, где = (1 2 ) – коэффициент затухания.

Для анализа вынужденных колебаний исследуемого объекта, в случае ес ли на единицу его длины действует гармоническая возмущающая сила f ( x, t ) = F ( x ) cos( t + F ), необходимо исследовать неоднородное диффе ренциальное уравнение q( x, t ) 2 q( x, t ) 2 = F ( x ) cos ( t + F ).

V m x t Его решение для вынужденных колебаний будет иметь вид F sin (x l ) n q( x, t ) = 0 2 cos ( t + F ), (2.3) м ( 2 ) = l где = (1 F0 ) F ( x ) sin (x l ) dx – коэффициент, определяющий до лю возмущающей силы, приходящейся на возбуждение частной формы коле баний q ( x ) ;

l F0 = F ( x ) dx – множитель, определяющий амплитуду распределения силы, его можно интерпретировать как модуль полной силы, действующей на ЭНРП;

м = 0,5 м = 0,5 ml – половинная масса ЭНРП, её можно интерпретиро вать как эквивалентную массу для - й формы собственных колебаний.

Анализ показывает, что решение (2.3) состоит из бесчисленного множе ства членов ряда, каждый из которых зависит от точек наблюдения x и при ложения внешней силы x F, и формально имеет такой же вид, что и для сис темы с сосредоточенными массой и упругостью. Каждый член ряда соответст вует одной форме собственных колебаний, а собственная частота этой формы колебаний (если не учитывать затухание) соответствует собственной частоте системы с сосредоточенными массой и упругостью. Эту аналогию удобно ис пользовать для определения возможности и оценки погрешности аппроксима ции ЭНРП моделью с сосредоточенными массой и упругостью.

Изменение скорости ЭНРП можно найти по выражению j ( t + F ) & = dq ( x, t ) = j q ( x, t ) = j F e cos k (l x ) & V, (2.4) & dt z С sin k l & где k = V = [ V0 1 + j ] – волновое число с учетом потерь;

& & z C = Vm – характеристический импеданс стержня такой длины, что от & & ражениями от свободного конца стержня можно пренебречь.

В точке приложения силы при x = 0 скорость определяется соотноше нием j ( t + F ) Fe V ( x, t ) x =0 = j & & ctg k l.

zС & Если осуществить разложение функции ( j ctg k l ) в ряд Тейлора, то из & менение скорости в точке возбуждения можно определить в виде суммы па дающей волны и бесконечного количества отраженных волн, распространяю щихся в однородном стержне:

F ( x, t ) & F ( x, t ) 1 + 2 e j 2 k l + 2 e j 4 k l +....

& & & & V ( x, t ) x =0 = ctg k l & zС jz С & & Отношение F V = j z С tg k l = z В – полный импеданс стержня в точке & && & возбуждения, а обратная величина V F = (ctg k l ) ( j zС ) = j ctg k l zС – полная & && && & проводимость в этой точке. На очень низких частотах ctg k l 1 k l. В этом & & случае полная проводимость в точке возбуждения определяется величиной V ( x, t ) & 1 1 1 = = = =, F ( x, t ) j z С k l j m V k l j ml j м && && & м = m l – полная масса стержня.

где Из полученного выражения видно, что на низких частотах скорость движения центра масс стержня под действием внешней силы определяется как для абсолютно жесткого тела. При увеличении частоты становится суще ственным влияние упругости стержня, и в реакции скорости точки возбужде ния возникает ряд максимумов (резонансов) и минимумов (антирезонансов).

Причем максимальные и минимальные значения определяются предельными & значениями сомножителя j ctg k l. Влияние затухания на распространение волн в длинном стержне можно определить при следующем приближении:

j j & = 1 +... k k= =.

V V0 1 + j V & При таком допущении исследуемое выражение можно представить в виде [6] jk l k l 2 jk l k l jk l & & jk l +e +e e e e e j ctg k l = = &, jk l k l 2 jk l k l jk l & & e jk l e ee e e а с учетом соотношений sin ( j ) = sin ch j cos sh, cos( j ) = cos ( j ) = cos ch + j sin sh окончательно получим cos k l ch (k l 2 ) + j sin k l sh (k l 2 ) j ctg k l &.

sin k l ch (k l 2 ) j cos k l sh (k l 2 ) Если демпфирование мало, то частоты максимумов соответствуют соб ственным частотам и могут быть определены из условия ctg k l соотно шениями k l =, где = 0, 1, 2,.... Частоты нулей (антирезонансные часто ты) определяются из условия ctg k l = 0 соотношениями k l = ( 2 ± 1) 2.

Значения скорости, соответствующие резонансным частотам, легко оп ределить, подставив в соответствующее выражение значение k l = :

F ( x, t ) kl & & & & & & F F F F V max = ± =± =± =± & cth, mV ( k l 2 ) ( m l 2 )( V ) м & & j zC 2 R & R = м – механическое сопротивление, характеризующее потери в где исследуемой системе.

Антирезонансные значения скорости можно найти, подставив в выра жение для скорости k l = ( 2 ± 1) 2 :

& ( V ) l = ± F м = ± F R.

F ( x, t ) k l & V min = ± ±F & & & th m 2V 2 & j zC 2 2 mV zC & Максимальные и минимальные значения модуля скорости:

F l 2F V max = ± ;

V min =.

m l 2 mV Анализ полученных выражений показывает, что на резонансной частоте мнимая составляющая становится равной нулю, и амплитуда скорости зави сит только от значения внешнего силового воздействия и механического со противления системы.

Значение экстремумов в функции j ctg ( k l 2 ) уменьшается с повыше & нием частоты. На высоких частотах ширина отдельных резонансов В, характеризующих потери, становится намного больше разности частот между соседними формами колебаний ( 1 ) = V l, равных ос новной частоте 1, т.е.

l kl = = = 1.

2 V l 2 2 V kl Это приводит к тому, что члены e jkl и e & в выражении j ctg k l становятся пренебрежимо малыми, и котангенс стремится к единице, а зави симость скорости от усилия принимает вид j ( t + F ) & F m V ( x, t ) x =0 = j ctg k l = j F e & &.

& zС V & Если приемник расположен на свободном конце стержня в точке x = l, противоположной точке возбуждения, то скорость этого конца можно опре делить из выражения (2.4) в виде m V & j ( t + F ) & V ( x, t ) x =l = & Fe.

& j sin k l Выполненный анализ показывает, что до первого резонанса это решение практически совпадает с предыдущим случаем, но минимумы скорости те перь получаются пологие и определяются соотношением sin k l ±1. До тех & пор, пока демпфирование мало, высота максимумов и минимумов скорости приблизительно одинакова вдоль всего стержня. Но с увеличением частоты, когда демпфирование становится значительным, среднее значение скорости уменьшается по мере увеличения расстояния между точкой возбуждения и точкой наблюдения.

Зависимости изменения скорости продольных колебаний стержня дли ной l, имеющего коэффициент затухания = 0,1 в различных точках наблю дения, рассчитанных в [4], показаны на рис. 2.1. Частотные характеристики A = mod ( z СV F ) = f ( k l ) приве &&& A дены в логарифмическом масшта бе и позволяют определить усло вия учета распределенности пара 2 метров механических элементов 1 передач ЭМС с УС. На рис. 2.1 по казаны зависимости амплитуд ко 0, лебаний скорости свободного кон ца стержня ( x = l ), когда возбуди тель и точка наблюдения располо 0, 0,1 1 10 k l жены на одном конце стержня Рис. 2.1. Частотные характеристики из (кривая 1) или на разных концах менения скорости продольных колебаний стержня с распределенными параметрами стержня (кривая 2).

Анализ приведенных зависимостей показывает, что первые антирезо нансы и резонансы зависимости 1 по виду совпадают с видом частотной характеристики изменения скорости двигателя в многомассовой дискретной модели. Начальный вид характеристики (кривая 2) похож на частотную характеристику изменения скорости масс, удаленных от двигателя, при гармоническом изменении его скорости в дискретных моделях с сосредоточенными массами.

2.3. Получение передаточных функций электромеханических систем с распределенными параметрами В теории управления ЭМС в настоящее время наибольшее распростра нение получили структурные методы исследования, основанные на примене нии передаточных функций и частотных характеристик. Поэтому практиче ский интерес представляет сопоставление различных методов получения ма тематических моделей ЭМС с распределенными параметрами в виде переда точных функций.

Большое разнообразие объектов с распределенными параметрами (РП), различие типов их структур, граничных и начальных условий при исследова нии в составе ЭМС обусловливают множество методов исследования РП объектов и заставляют для каждой из структур искать наиболее рациональ ный способ определения передаточной функции системы. В теории и прак тике расчета и моделирования ЭМС с распределенными параметрами приме няются два основных метода их исследования. Первый базируется на мате матическом аппарате и использует дискретное преобразование Лапласа. Вто рой связан с применением непрерывного интегрального преобразования Ла пласа (операторный метод).

В общем случае способы определения передаточных функций ЭМС с РП-объектами отличаются от способов, используемых в теории систем с со средоточенными параметрами, так как РП-объекты описываются дифферен циальными уравнениями в частных производных и для полной характеристи ки их свойств необходима двухточечная передаточная функция с бесконечным числом параметров:

Y ( x2, S ) W ( x 2, x1 ;

S ) = x1 P, x 2 Q,, F ( x1, S ) где Р – множество точек приложения входного воздействия F;

Q – множество точек, в которых наблюдается выходной сигнал Y;

Y ( x 2, S ) и F ( x 1, S ) – преобразования Лапласа от выходной координаты системы и входного воздействия.

В зависимости от типа структуры РП-объектов применяют следующие методы определения их передаточных функций: прямой, интегральный, ме тод функциональных преобразований, матричный и другие, подробно рас смотренные в монографии [5].

Прямой метод получения передаточных функций РП-объектов наиболее удобен при описании их свойств волновыми уравнениями вида (2.1), так как при определении передаточных функций элементов, испытывающих деформа ции изгиба, необходимо решать изображающее уравнение четвертого и более высоких порядков.

Интегральный метод применяют, когда необходимо найти передаточ ные функции объекта от входа к разным точкам выхода. В этом случае доста точно определить функцию Грина [6] для исследуемого объекта и затем, под ставляя конкретные значения выходной координаты, получить требуемые передаточные функции от входных точек к точкам выхода.

Получение передаточных функций РП-объектов с помощью метода функциональных преобразований наиболее целесообразно применять при описании свойств ЭМС с использованием дискретного преобразования Фу рье.

Матричный метод определения передаточных функций наиболее удобен при рассмотрении сложных разветвленных РП-систем при наличии в них ме ханических элементов, испытывающих деформации кручения, а также про дольный или поперечный изгиб. Метод достаточно прост и доступен для ин женерных расчетов, так как матричная форма записи передаточных функций РП-объектов удобна для программирования и выполнения расчетов на ЭВМ по стандартным алгоритмам.

Расчетная схема для крутильных колебаний вала с сосредоточенной массой на неприводном конце такого РП-объекта приведена на рис. 2.2.

J х M Д (0, t ) (x, t) (l, t ) Рис. 2.2. Расчетная схема длинного вала с сосредоточенной массой на конце Уравнение колебаний такого вала имеет вид 2 I 2 G J P = x x t ( x, t ) = M Д (0, t ), GJP x x = с граничными условиями G J P ( x, t ) 2 ( x, t ) = J 2, x x x =l x =l где G J P ( x ) – закручивающий момент в сечении x;

( x, t ) – угол поворота сечения x;

М Д – момент приводного устройства;

J 2 – момент инерции объекта регулирования.

Введем относительные единицы, обозначив:

x = l, a = G J P I, T РП = l a, = t TРП, M ( x, t ) = µ (, ) G J P l.

Функция Грина Г (, 0, ) для исходной системы уравнений РП объекта в сечении с входным сигналом µ ( 0, ), приложенным в точке 0 = 0, определяется уравнением [6] 2 Г 2Г = ( 0 ) ( ) 2 с граничными условиями:

Г Г Г J2 2Г = 0, = Г =0 = =0,, = =0 =1 J 0 2 = где ( 0 ) и ( ) – дельта-функции.

Передаточная функция рассматриваемого РП-объекта может быть опре делена как изображение по Лапласу функции Грина:

cos ( n ) cos ( n 0 ) W (, 0 ;

S ) = 2 2, (S + 2 )[1 + ( J 2 J РП ) cos 2 n ] (1 + J 2 J РП ) S 2 n =1 n где J РП – момент инерции РП-объекта;

n – собственные значения обобщенной задачи Штурма–Лиувилля, ко торые являются неотрицательными корнями уравнения sin + ( J 2 J РП ) cos = 0.

Так как в рассматриваемой ЭМС входное силовое воздействие µ (, ) по дается на конец РП-объекта ( 0 = 0 ), а выходной координатой является конец = 1, то для определения передаточной функции W (1, 0 ;

S ) необходимо пере даточную функцию W (, 0 ;

S ) умножить на соответствующие -функции:

(l, S ) W (S ) = = W (1, 0 ;

S ) = W (, 0 ;

S ) ( 1) ( 0 ).

µ (0, S ) В результате получим (l, S ) cos n W (S ) = 2 =.

n =1 (S + n )[1 + ( J 2 J РП ) cos n ] µ (0, S ) [1 + ( J 2 J РП )] S 2 2 Суммируя ряд в последнем выражении, передаточную функцию иссле дуемого звена можно представить в замкнутой форме:

(l, S ) W (S ) = =.

µ (0, S ) S [shS + ( J 2 J Р ) S chS ] Аналогично можно получить передаточные функции РП-объектов, имеющих другие структуры и конфигурацию.

2.4. Возможности описания механизмов с распределенными параметрами в виде дискретных моделей Полученные в п. 2.2 выражения и зависимости, приведенные на рис. 2.1, характеризуют свойства ЭНРП и позволяют определить подходы, возможно сти, условия и методы их приближенного исследования при упрощенном представлении в виде моделей с сосредоточенными параметрами.

На очень низких частотах (при k 1 ) вид частотной характеристики ЭНРП определяется только суммарной массой элемента, а упругие свойства системы не проявляются, поэтому их можно не учитывать и рассматривать систему как абсолютно жесткую.


На низких частотах (при k 1 ) отдельные резонансы ЭНРП отчетливо различаются, и поэтому при выполнении исследований ЭМС в низкочастотном диапазоне можно учитывать только несколько первых членов ряда вида (2.3), количество которых определяется, в общем случае, решаемыми задачами.

На высоких частотах ( k 1 ) при 1, когда влияние затухания становится значительным и отдельные формы собственных колебаний сли ваются в сплошную плавную кривую, упрощенное исследование ЭНРП в ви де дискретной модели становится принципиально невозможным.

Анализ показывает, что в общем случае возможность приближенного ис следования поведения ЭНРП с помощью дискретной модели определяется его линейными размерами l, скоростью распространения упругих деформаций V и коэффициентом затухания, значение которого зависит от диссипативных свойств материала.

В практических исследованиях удобно сравнивать размеры ЭНРП с длиной волн упругих деформаций = 2 V. В большинстве случаев можно рассматривать вопросы аппроксимации характеристик ЭНРП моде лью с дискретным расположением масс, если линейные размеры элементов и узлов рабочих машин меньше длины волны упругой деформации в рассмат риваемом направлении.

При необходимости выполнения исследований ЭМС в области средних и высоких частот их упругих механических колебаний, когда размеры МЧС больше длины волны ( l ), расчетную динамическую модель объекта не обходимо представлять с учетом распределенности его параметров. Кроме этого, нельзя переходить к дискретным моделям при исследовании распро странения энергии колебаний в ЭНРП, так как физика процессов при этом существенно различается. При рассмотрении дискретных моделей механизмов предполагается, что энергия в них распространяется мгновенно, а в системах с распределенными параметрами изменение энергии определяется волновыми процессами в МЧС.

В низкочастотном диапазоне исследований размеры элементов рабочих машин меньше длины волны упругой деформации, распространяющейся по конструкции, ( l ), и поэтому математическое описание ЭМС с УС можно рассматривать в виде дискретных многомассовых динамических моделей с сосредоточенными параметрами. При этом важно определить необходимые степени свободы дискретной модели, обеспечивающей выполнение исследо ваний ЭМС с УС с заданной точностью.

При аппроксимации ЭНРП дискретными моделями число сосредото ченных масс при рассмотрении ЭМС с УС может изменяться в широких пре делах – от одной – двух до 10 – 20. При этом слишком большое число масс приводит к неоправданному усложнению расчетной схемы и значительному повышению порядка системы в целом. Поэтому при аппроксимации длинных кинематических передач наиболее часто упрощение математического описа ния ЭНРП выполняется в два этапа: на первом этапе осуществляется аппрок симация объекта с распределенными параметрами моделью с сосредоточен ными массами, а на втором этапе производится понижение порядка получен ной дискретной модели.

В зависимости от решаемых задач, вида и структуры ЭНРП применяют различные методы их аппроксимации. Наиболее характерные из них – раз ложение в цепные дроби, бесконечные произведения, по собственным функ циям и другие [5]. При этом наиболее часто исходные расчетные схемы по лучают путем разделения ЭНРП на n одинаковых участков (рис. 2.3, а и б).

Массу каждого участка mi = м n сосредотачивают в его середине в виде абсолютно жесткого тела. Упругости между соседними участками учитыва ют коэффициентами жесткости ci, i + 1 = n c0 = n ( E S C l ). После этого зада ( ) ются необходимой погрешностью аппроксимации в диапазоне частот, суще ственных для данного исследования, и определяют требуемое число масс дискретной модели МЧС.

Наиболее часто в качестве предварительной оценки правомерности за мены ЭНРП дискретной моделью используется величина отклонения собст венных частот эквивалентных объектов с распределенными и сосредоточен ными параметрами. Анализ погрешности аппроксимации однородного стержня с распределенными параметрами моделью дискретной системы с одинаковыми массами и жесткостями, выполненный в [5], показал, что при таком подходе погрешность не зависит от параметров объекта, а определяет ся только числом выделенных сосредоточенных масс и номером рассматри ваемой гармоники. Так, при аппроксимации свойств однородного стержня (вала) с распределенными параметрами дискретной трехмассовой моделью (рис. 2.3, в) имеет место достаточно хорошее совпадение первых резонанс ных частот.

Рассмотренные подходы аппроксимации могут использоваться и при исследовании неоднородных колебательных ЭНРП, так как решения исход ных уравнений будут отличаться только граничными условиями, что позво ляет почти все неоднородные системы, представляющие практический инте рес, исследовать в виде однородного ЭНРП с дополнительно присоединен ной сосредоточенной массой.

ln м0 ;

c 0 = E S C l m F (0, t ) q x ( l, t ) l а) c ( n 1 ) n 1 2 n c 12 c F m = м n m m m б) x 1 x 2 x c Э 12 F12 c Э F12 F23 F F m m1 m m1 = m 2 = m 3 = м в) Рис. 2.3. Аппроксимация ЭНРП трёхмассовой моделью с дискретными параметрами Особенности аппроксимации комбинированных систем, содержащих одновременно элементы с сосредоточенными и распределенными парамет рами и совершающих крутильные колебания, рассмотрим на примере анали за модели с расчетной схемой, приведенной на рис. 2.4,а. Такие схемы наи более часто встречаются при рассмотрении электроприводов с упругими ме ханическими передачами. Исследования, выполненные в [5], показывают, что при анализе процессов по управляющему воздействию при J 1 = 0, соответст вующем применению малоинерционных двигателей, ошибки аппроксимации уменьшаются с возрастанием момента инерции механизма J 2. График изме нения погрешности = (1 СП 1 РП ) первой резонансной частоты 1 РП элемента с распределенными параметрами относительно резонансной часто ты СП эквивалентной двухмассовой системы в зависимости от отношения µ 2 = J 2 J РП = J 2 I P l приведен на рис. 2.4,б (кривая 1). Исследование влияния диссипативных сил на возможность представления рассматриваемой комбинированной системы эквивалентной двухмассовой моделью показало, что с увеличением коэффициента затухания = 2 точность аппрокси мации возрастает. На рис. 2.4,б в виде кривой 2 представлена зависимость = f ( µ 2 ), определяющая условия, когда максимум второго резонансного пика колебаний скорости 2 ( 2 ), а значит и всех последующих резонансов, не будет превышать её отклонений при нулевой частоте 2 (0 ). Область зна чений параметров µ 2 и, соответствующих условию 2 ( 2 ) 2 (0 ) 1, за штрихована. Анализ приведенных характеристик показывает, что при = 0, момент инерции объекта управления J 2 должен, по крайней мере в три раза превышать момент инерции ЭНРП J РП = I P l, чтобы не возникали значи тельные по величине высокочастотные колебания системы. При использова нии ЭНРП с коэффициентом затухания = 0,05 аналогичное уменьшение колебаний скорости 2 наступит при J 2 J РП 7.

0, 0, 0, 0, J 1, 1 J 2, J РП = I P l 0,04 0, 0,02 0, MС MД 8 µ l 0 2 4 а) б) Рис. 2.4. Механическая система с сосредоточенными и распределенными параметрами, испытывающая крутильные колебания Исследования показали, что при анализе ЭМС, включающих ЭНРП, возможно с учетом диапазона существенных для данного исследования час тот выделить ряд гармоник упругих колебаний, подлежащих учету, и пред ставить звено с распределенными параметрами соответствующими дискрет ными моделями с сосредоточенными параметрами.

При другой постановке задачи можно, исходя из требуемой погрешно сти аппроксимации, заменить объект с распределенными массой и упруго стью многомассовой системой с сосредоточенными параметрами, содержа щей минимально возможное количество дискретных масс.

Выполненный в монографии [7] анализ позволил определить основные влияющие факторы и условия, которые необходимо учитывать при опреде лении возможностей исследования ЭНРП моделями с сосредоточенными па раметрами. При исследовании рабочих машин с протяженными механиче скими передачами допустимо представлять их математическое описание в виде дискретных моделей с сосредоточенными параметрами, если размеры МЧС l намного меньше длины волны упругой деформации = 2V, рас пространяющейся по механическим конструкциям. Для стальных конструк ций в виде длинных стержней или валов из стали с модулем упругости = 7,85 10 3 кг/м E = 1,96 1011 Па и плотностью имеем V = E 5000 м/с. Полоса пропускания частот контуров регулирования тока или момента двигателей современных ЭП может достигать 500– 1000 рад/с. Поэтому при создании систем регулирования быстродействую щих электроприводов необходимость учета распределенности параметров МЧС может возникнуть при протяженности механических передач в не сколько десятков метров, что расширяет области применения таких моделей.

В большинстве практических случаев имеем l, поэтому при иссле довании реальных ЭМС с УС допустимо использовать дискретные модели, достаточно точно описывающие свойства таких МЧС. Основной проблемой при этом является правильный выбор структуры и необходимого количества степеней свободы дискретной модели МЧС, позволяющей эффективно ре шать поставленную задачу. При этом, исходя из диапазона частот, сущест венных для данного исследования, с учетом демпфирующих свойств и соот ношения масс элементов с распределенными и сосредоточенными парамет рами определяют вид и структуру математической модели. В общем случае увеличение демпфирующих свойств ЭМС и значительное превышение имеющихся сосредоточенных масс над массами ЭНРП способствуют расши рению области рационального применения и повышению точности дискрет ных моделей МЧС меньшей размерности.

Таким образом, с использованием рассмотренных подходов, допущений и методов в большинстве случаев механическую часть ЭМС можно предста вить в виде эквивалентных расчетных схем с сосредоточенными параметра ми. При исследовании ЭМС с УС модель МЧС необходимо привести к экви валентной расчетной схеме, состоящей из ряда инерционных элементов, со единенных невесомыми упругими связями.


2.5. Математическое описание механической части системы с использованием уравнений Лагранжа При исследовании силовых взаимодействий и перемещений элементов МЧС физическую модель системы представляют в виде совокупности мате риальных точек с определенным количеством степеней свободы. При этом движение системы характеризуют совокупностью n независимых величин ( q1, q 2, K, q n ), называемых обобщенными координатами, их производными по времени ( q1, q 2, K, q n ) – обобщенными скоростями и вторыми произ && & водными по времени ( q1, q 2, K, q n ) – обобщенными ускорениями, которые && && && совместно однозначно определяют поведение исследуемой системы.

Соотношения во времени t, связывающие ускорения с координатами и скоростями, представляют в виде уравнений движения, разрешенных относи тельно производных qi :

&& Фi ( q, q, t ) qi + i ( q, q, t ) = 0, i = 1, 2, K, n.

& && & Общим подходом, позволяющим получать уравнения движения ЭМС в таком виде, является принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона), физический смысл и математическая трактовка которого заключаются в сле дующем: если исследуемая система в моменты времени t = t 1 и t = t 2 занима ет соответственно положения q (t 1 ) и q (t 2 ), то из всех возможных траекто рий, по которым система могла бы перейти из положения q (t 1 ) в положение q (t 2 ), в действительности всегда реализуется траектория, обеспечивающая минимум интегралу L М ( q, q, t ) dt = min.

t (2.5) & t Функция LМ в выражении (2.5) является функцией Лагранжа данной ме ханической системы [1]. Необходимым условием экстремальности интеграла L М ( q, q, t ) dt = 0, t (2.5) является обращение в нуль его первой вариации: & t когда все n функций q1 (t ), q 2 (t ),..., q n (t ) должны варьироваться независимо.

Выполнение этих условий возможно в случае, когда d L М L М q = 0, i = 1, 2, K, n. (2.6) dt qi & i Дифференциальные уравнения вида (2.6) в механике называются уравне ниями Лагранжа [1], а в вариационном исчислении – уравнениями Эйлера [6].

Для того чтобы из уравнений (2.6) получить уравнения движения иссле дуемой системы, необходимо определить функцию Лагранжа этой системы.

В общем виде функцию Лагранжа удобно представить зависящей от измене ния кинетической Т, потенциальной П энергий и диссипативной функции рассеяния D М :

L = T ( qi, q j ;

qi, q j ) ( q, q ) + D ( q, q ;

q, q ;

q&, q& ).

&& &&&& i j i j i j i j Кинетическая энергия системы может быть определена через обобщенные скорости:

( ) ( ) n n T qi, q j ;

qi, q j = 0,5 aij qi, q j qi q j.

&& & & && i =1 j = Коэффициенты a ij характеризуют инерционные свойства системы и могут зависеть от координат. Кинетическая энергия при малых отклонениях от положения равновесия может быть представлена квадратичной формой скоростей ( ) n n T qi, q j 0,5 a ij qi q j.

&& && i =1 j = ( ) Потенциальная энергия П qi, q j в положении устойчивого равновесия системы имеет [П (qi ) qi ] q =0 = 0. При малых отклонениях от положения i равновесия выражение для потенциальной энергии может быть разложено по степеням координат qi :

( ) П (qi ) 2П q, q ( ) n 1n n П qi, q j = П (qi )q =0 + i j qi + q q qi q j + K qi qi =0 2 i = i i =1 j =1 i j qi = Если принять, что в начале координат П (qi )q = 0 = 0, и рассматривать i лишь изменения потенциальной энергии с учетом условия [П (qi ) qi ] q =0 = 0, то при не учете членов разложения, более высоких, i чем квадратичные, получим ( ) n n П qi, q j 0,5 cij qi q j, i =1 j = ( ) П qi, q j где cij = – коэффициент пропорциональности, ха qi q j q = i рактеризующий упругие свойства механических элементов системы.

Силы внутреннего сопротивления FВС учитываются функцией рассея ния D М, которая в общем случае сложным образом зависит от координат ( ) системы и её производных D М qi, q j ;

qi, q j ;

qi, q j. Однако при решении & & && && практических задач обычно предполагают, что силы сопротивления являются силами вязкого трения FВТ и линейно зависят от скоростей. В этом случае функция рассеяния принимает вид ( ) n n D М qi, q j 0,5 bij qi q j.

&& && i =1 j = Силу, характеризующую вязкое трение в системе, определяют как взя тую с обратным знаком частную производную от функции рассеяния по из менению координаты: FВТ i = D М qi.

В зависимости от физической природы системы постоянные a ij, bij, сij выражают различные физические величины. В механических системах это, соответственно, массы или моменты инерции, коэффициенты демпфирова ния и коэффициенты жесткости.

При линейной постановке задачи во всех рассмотренных выражениях коэффициенты входят в виде сумм, поэтому их можно выбрать так, чтобы a ij = a ji ;

bij = b ji ;

cij = c ji, и уравнения Лагранжа представить в виде T D М П d T q + q + q = 0, i = 1, 2, K, n.

dt qi & &i i i При выполнении вышеуказанных допущений и подстановке выражений ( ) ( ) для кинетической T qi, q j, потенциальной П qi, q j энергий и диссипа && ( ) тивной функции рассеяния D М qi, q j в уравнения Лагранжа получим сис && тему n уравнений, описывающих свободное движение механической части системы:

( aij q& j + bij q j + cij q j ) = 0, n i = 1, 2, K, n.

& & j = Многочисленные эксперименты с реальными системами показали [2], что законы сохранения энергии, импульса и момента импульса систем имеют универсальный характер – они оказываются верны и в тех случаях, когда на систему действуют внешние силы произвольной природы, а не только поро жденные силовым полем. Поэтому в общем случае с учетом однородности времени при выполнении условий изотропии пространства и соотношений, подтвержденных экспериментальными данными, обобщенные динамические модели механических колебательных систем можно получать с использова нием уравнений Лагранжа второго рода в виде T D М П d T q + q + q = Fi, i = 1, 2, K, n, (2.7) dt qi & &i i i где Fi – обобщенная сила, определяющая движение системы при дей ствии как внутренних FBi, так и внешних FCi сил.

Обобщенные силы, обусловливающие колебательные процессы в меха нических системах, разделяют на силы, зависящие от времени, F (t ), силы, зависящие от положения, F ( q ) и силы, зависящие от скорости, F ( q ). В зави & симости от функционального воздействия различают обобщенные вынуж дающие силы, позиционные силы и силы трения. Особенности математиче ских моделей различных обобщенных сил, в том числе и случайного харак тера, используемых при исследовании силовых взаимодействий в ЭМС, рас смотрены в работе [7].

2.6. Расчетные и структурные схемы механизмов при учете упругих связей Исследованию динамики системы управления электропривода с учетом реальных свойств механизма предшествует создание математической моде ли. Эта модель должна быть достаточно подробной, чтобы достоверно отра жать свойства системы в области существенных частот ЭМС, и в то же время простой, чтобы изучение динамических процессов на ее основе было реально осуществимым. Критерием допустимости принятых упрощений является совпадение результатов теоретических расчетов с результатом эксперимента.

В общем случае реальный механизм при учете упругих свойств протя женных передач представляет собой систему с распределенными параметрами и имеет бесконечное число степеней свободы. Для упрощения математической модели ЭМС с УС её механическую часть представляют в виде системы с со средоточенными параметрами. При этом используют следующие общеприня тые допущения [7]:

волновые процессы деформации элементов механической передачи не учитывают;

силы и моменты, действующие в системе, приложены к недеформи руемым сосредоточенным массам;

упругие звенья невесомы и имеют постоянную жесткость;

удлинение канатов и скручивание валов достаточно мало, и реальные деформации могут быть учтены с помощью закона Гука;

силы внутреннего трения малы и пропорциональны скорости изме нения деформации.

Многим реальным ЭМС присущи типовые нелинейности: зона нечувст вительности и зона насыщения усилителей каналов передачи сигналов, огра ничение движущих моментов, люфты и трение в кинематических передачах прямых каналов и обратных связей, нелинейности преобразователей обрат ных связей. Однако на начальном этапе исследования динамики ЭМС с УС часто представляют в виде линеаризованных математических моделей и влияние указанных нелинейностей не учитывают. На последующих этапах исследований необходимо уточнить области устойчивости системы и опре делить качество динамических процессов с учетом влияния основных нели нейностей.

При исследовании различных технологических машин расчетные схемы механизмов в зависимости от конфигурации кинематической схемы наиболее часто представляют в виде рядных или разветвленных многомассовых моде лей.

Поскольку характер движения системы определяется наибольшими массами и наименьшими жесткостями связей, то при наличии в системе оп ределяющих трех масс с учетом рассмотренных допущений рекомендуется использовать трехмассовые расчетные схемы в виде рядной схемы механиз ма, приведенной на рис. 2.5,а, или разветвленной – на рис. 2.5,б.

c J c12 c b М М ВТ J J1 J2 J3 c b12 b23 М В М 12 М М М1 b М М ВТ М 12 М ВТ 23 J М 23 М ВТ М В М ВТ М ВТ М В1 М М 1 М В2 М ВТ М ВТ 2 М В М В а) б) Рис. 2.5. Рядная (а) и разветвленная (б) трехмассовые расчетные схемы На рис. 2.5 приняты следующие обозначения:

J 1 – суммарный приведенный к валу двигателя момент инерции первой массы (якорь или ротор электродвигателя, муфта, зубчатая передача, бара бан);

J 2 и J 3 – приведенные моменты инерции второй и третьей масс;

bij и cij – приведенные коэффициенты демпфирования и эквивалентной жесткости передачи между i - й и j - й массами;

M 1 – электромагнитный момент электродвигателя;

M ij, M ВТ ij – упругий момент и момент вязкого трения в механической передаче между i - й и j - й массами;

M Вi – внешний момент нагрузки i - й массы;

i – скорость i - й массы.

Системы дифференциальных уравнений, описывающие переходные процессы в ЭМС, представленной рядной и разветвленной схемами, будут иметь следующий вид:

для рядной схемы 1 12 ВТ 12 М В 1 = J 1 ( d 1 dt ) ;

12 + ВТ 12 M 23 ВТ 23 М В 2 = J 2 ( d 2 dt ) ;

(2.8) + ВТ 23 В 3 = J 3 ( d 3 dt ) ;

для разветвленной схемы 1 12 ВТ 12 13 ВТ 13 М В 1 = J 1 (d 1 dt ) ;

12 + ВТ 12 М В 2 = J 2 (d 2 dt ) ;

(2.9) + ВТ 13 В 3 = J 3 ( d 3 dt ) ;

М 12 = с12 ( 1 2 ) ;

М ВТ 12 = b12 ( 1 2 ) ;

М 23 = с 23 ( 2 3 ) ;

где М ВТ 23 = b23 ( 2 3 ) ;

М 13 = с13 ( 1 3 ) ;

М ВТ 13 = b13 ( 1 3 ).

Для общности исследования и абстрагирования от частных параметров перейдем к системе относительных единиц. В качестве базовых значений моментов примем номинальный момент двигателя МН:

М Б = М ij Б = М ВТ ij Б = М Вi Б = М Н, а для скоростей – скорость идеального хо лостого хода двигателя 0 : 1 Б = 2 Б = 3 Б = 0. Тогда системы (2.8) и (2.9) с координатами, определяемыми в относительных единицах, примут вид:

T S + [1 ( S ) 2 ( S )], Т М 1 S 1 ( S ) = M 1 ( S ) d TC 12 S Td 12 S + 1 T S + [1 ( S ) 2 ( S )] М В 2 ( S ) d 23 [ 2 ( S ) 3 ( S )], Т М 2 S 2 ( S ) = TC 12 S TC 23 S Td 23 S + [ 2 ( S ) 3 ( S )] M В 3 ( S ) ;

Т М 3 S 3 ( S ) = TC 23 S (2.10) T S +1 T S + [ 1 ( S ) 2 ( S )] d 13 [ 1 ( S ) 3 ( S )], Т М 1 S 1 ( S ) = M 1 ( S ) d TC 12 S TC 13 S T S + [ 1 ( S ) 2 ( S )] М В 2 ( S ), Т М 2 S 2 ( S ) = d TC 12 S T S + [ 1 ( S ) 3 ( S )] M В 3 ( S ), Т М 3 S 3 ( S ) = d TC 13 S (2.11) где T М i – механические постоянные времени масс J i ;

TС ij – постоянная времени эквивалентной жесткости передач между i-й и j-й массами;

Td ij – постоянная времени диссипативных сил, обусловленных вязким трением.

Системам уравнений (2.10) и (2.11) соответствуют структурные схемы механической части, изображенные на рис. 2.6.

М В М В k M 1 1 k M 3 k M 2 2 S + 1 M Td 12 S + 1 М М1 T d TМ 2 S TМ 3 S TМ 1 S TС 23 S TС 12 S М В а) М В S +1 M T kM d TМ 3 S TС 13 S k M 1 M TМ 1 S Td 12 S + 1 М 12 kM М В TС 12 S TМ 2 S М В б) Рис. 2.6. Структурные схемы рядной (а) и разветвленной (б) трехмассовых систем При выбранных базовых переменных ряд коэффициентов приведенных структурных схем равен единице, а параметры и координаты механической части в относительных единицах определяются из выражений:

М 0 1 МН Т С ij = Td ij = Т Мi = Ji,,, cij 0 2 C i МН i* = i 0, M ij = М ij М Н, M * i = М Вi М Н, * В где М = 0,2–0,6 – коэффициент рассеяния;

C i – собственная резонансная частота недемпфированных колебаний механической части системы.

В трехмассовой системе имеются две резонансные частоты. Для рядной схемы:

С 1,2 = 0,5( 12 + 2 ) ± 0,25 ( 12 + 2 ) (Т М 1 + Т М 2 + Т М 3 ) (Т М 1 Т М 2 Т М 3 Т С 12 Т С 23 ) 2 где 1 = (Т М 1 + Т М 2 ) (Т М 1 Т М 2 Т С 12 ) ;

2 = (Т М 2 + Т М 3 ) (Т М 2 Т М 3 Т С 23 ).

Для разветвленной схемы в приведенных формулах следует заменить на ТС 13.

Т С 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЧАСТИ СИСТЕМЫ 3.1. Определение силовых взаимодействий в электромеханических системах Уравнения Лагранжа (2.7), полученные для МЧС, можно распростра нить на электрическую часть ЭМС, если учесть, что в исследуемой системе, кроме потенциальных сил П qi, диссипативных сил D М qi, некон & сервативных обобщенных сил механической природы FМ i, действуют пон деромоторные силы FП i :

П D М d T T = + FМ i + FП i, i = 1, 2,..., n, dt qi q qi qi & & i W M WЭ (W M WЭ ) – пондеромоторные силы, ко FП i = = где qi qi qi торые возникают при действии на элементы двигателей магнитных и элек трических молей;

W M – энергия магнитного поля, запасенная в контурах с токами;

WЭ – энергия электрического поля, запасенная между обкладками заря женных конденсаторов.

Пондеромоторные силы наиболее просто определить из уравнений ба ланса энергии ЭМС:

W M WЭ m dq m n + R k i k + FП i i.

E k ik = + t t dt k =1 k =1 i = Из приведенного уравнения видно, что в общем случае работа, совер шаемая сторонней ЭДС E k, идет на изменение магнитного и электрического полей, на тепловые потери, а также на работу пондеромоторных сил.

Подставив в полученное выражение значения пондеромоторных сил FП и объединив его с уравнением для напряжений U k электрических цепей, по лучим систему уравнений для ЭМС в виде d W М W Э D Э + + = U k, k = 1, 2,..., m;

dt i k e k i k (3.1) d T T П W М WЭ D М + + + = FМ i, i = 1, 2,..., n.

dt q q q qi qi qi &i & i i Для представления полученных выражений в единой форме уравнений Лагранжа–Максвелла введем функцию Лагранжа ЭМС в виде L = T (qi, qi ) П (qi ) + WМ (qi, ik ) WЭ (qi, ek ) & и диссипативную функцию ЭМС, равную сумме электрической DЭ и механической D М диссипативных функций:

D = D Э ( i k ) + D М ( qi ), & где D Э = 0,5 k =1 Rk i k не зависит от обобщенных скоростей qi, а D M m & не зависит от токов i k, поэтому D Э i k = D i k, D M qi = D qi и ча стные производные от обобщенной функции Лагранжа равны:

L T П W M WЭ WЭ L W М L T L = = + = = ;

;

;

.

qi qi qi qi qi qi qi ek ek i k i k & & Подставив значения частных производных в систему уравнений (3.1) и учитывая, что ток есть производная заряда по времени i k = ek, получим сис & тему уравнений Лагранжа–Максвелла для ЭМС:

d L L D e e + e = E k, k = 1, 2,..., m;

dt & k &k k (3.2) L L D d + + = FM i, i = 1, 2,..., n.

dt q q q &i &i i Уравнения (3.2) образуют систему ( n + m ) обыкновенных дифференци альных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат МЧС, зарядов и токов. Связность систем уравнений для обобщенных коор динат qi и зарядов ek обусловлена зависимостью коэффициентов квадра & & тичных форм, определяющих энергии электрического и магнитного полей от обобщенных координат.

Рассмотрим особенности получения математической модели ЭМС с УС при использовании уравнений движения в форме Лагранжа–Максвелла (3.2).

Для описания вращательной формы движения МЧС необходимо ис пользовать в качестве обобщенных координат угловые значения координат системы ( qi i ), заряды ek или токи i k. В этом случае уравнения (3.2) позволяют получить математическое описание ЭМС с УС в наиболее удоб ной форме.

Определим частные производные от обобщенной функции Лагранжа L (qi, qi, ek, i k ) и диссипативной функции D (qi, qi, i k ) :

& & d W М ( i k ) d ( ) ( ) d L d L di d = = LЭ k i k = LЭ k k = 0,5 LЭ k i k = dt ek dt i dt i k dt i k dt dt & k WЭ (ek ) ( ) L e 0,5 ek C Э k = k = U С k ;

= = ek ek ek CЭk D DЭ (i k ) ( 0,5 Rk ik2 ) = Rk ik = U R k.

= = ek i k i k & В случае изменяющегося момента инерции J i ( i ) получим:

d L d T ( ) d [0,5 J i ( i ) i ] d i = J i ( i ) = = ;

dt i dt i dt i dt & [ ] L T ( i, i ) П ( i ) [0,5 J i ( i ) i ] 0,5 Ci (i+1 ) ( i i +1 ) = = = i i i i i 1 dJ i ( i ) i C i (i +1 ) ( i i +1 ) ;

= d [ ] [D М ( i )] 0,5 bi (i+1 ) ( i i +1 ) = bi (i +1 ) ( i i +1 ).

= i i Обобщенное внешнее силовое воздействие в виде соответствующих моментов определяется суммой элементарных работ на всех возможных пе ремещениях внешних движущих сил и сил сопротивления. Пондеромоторные силы в ЭМС определяются, в общем случае, принципом действия и конст руктивным исполнением двигательного устройства. Для учета силового воз действия со стороны электропривода в математической модели ЭМС с УС необходимо в полученных уравнениях учесть влияние ЭДС вращения E Д ( i ), зависящей от скорости i и развиваемого двигателем момента M Д (i k, Фk ), зависящего от значения тока i k в его электрической цепи и со ответствующего потокосцепления Фk.

Выполнив подстановку полученных выражений в систему уравнений (3.2), получим:

di i k Rk + LЭ k k = E k E Д ( i ) ;

dt dJ ( ) d J ( ) i + 1 i i 2 = M Д ( i, Ф ) M M ( ) M ( ), 2 d i i i dt i Ci Уi i ВТ i i k k где Rk и Lk – сопротивление и индуктивность электрических цепей двига теля;

J i – момент инерции движущихся элементов МЧС;

M C i – моменты внешних сил, действующих на i-е элементы ЭМС;

M У i = C i (i +1 ) ( i i +1 ) – моменты упругих сил;

M ВТ i = bi (i +1 ) ( i i+1 ) – моменты сопротивления внутреннего вязкого трения, вызванные диссипативными силами в упругих передачах механизма.

Например, движение электродвигателя совместно с рядной трехмассовой механической системой при постоянных моментах инерции всех элементов будет описываться системой линейных уравнений:

L di + Ri = U (U ) E ( ) ;

dt П У Д d = M Д (i, Ф ) c12 ( 1 2 ) b12 ( 1 2 ) M С 1 ;

J 1 dt d (3.3) = c12 ( 1 2 ) + b12 ( 1 2 ) c 23 ( 2 3 ) b23 ( 2 3 ) M С 2 ;

J 2 dt d = c 23 ( 2 3 ) + b23 ( 2 3 ) M С 3.

J dt Отметим, что уравнения (3.3) по структуре аналогичны системе уравне ний (2.8), приведенной в п. 2.6.

Из системы уравнений (3.3) легко получить выражения для двухмассо вой МЧС, положив 2 = 3 и 2 = 3 :

d J 1 dt = M Д (i, Ф ) M 12 (, ) M С 1 ;

(3.4) J 2 d 2 = M 12 (, ) M С 2, dt M 12 (, ) = c12 ( 1 2 ) + b12 ( 1 2 ) ;

J 2 = J 2 + J 3 ;

где M С 2 = M С 2 + M С 3.

Необходимо иметь в виду, что в системах уравнений (3.3) и (3.4) долж ны использоваться приведенные значения статических моментов, моментов инерции, коэффициентов жесткости и сопротивления.

3.2. Линеаризованные математические модели электродвигателей постоянного тока При получении математических моделей электроприводов постоянного тока приходится учитывать ряд гипотез и предположений. При упрощенном исследовании электродвигателей постоянного тока с использованием линеа ризованных математических моделей обычно принимают следующие допу щения:



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.