авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 10 |

«ЭЛЕКТРОННАЯ СТРУКТУРА, КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ И ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА d-И f-ПЕРЕХОДНЫХ МЕТАЛЛОВ И ИХ СОЕДИНЕНИЙ В.Ю. Ирхин, Ю.П. Ирхин ПРЕДИСЛОВИЕ ...»

-- [ Страница 7 ] --

Если добавленный электрон принадлежит другой оболочки, мы можем записать (1)ni Cn1, n1 (x1...xi1, xi1...xn1 ) (xi ) (A.10) n n (x1...xn ) = h1/ i,n1, (в отличие от случая эквивалентных электронов, антисимметризация необходима).

Обратите внимание, что это представление ME функции и операторов, которые опи сывают несколько электронных оболочек, допускается в теории твердого тела только при условии, что взаимодействие между оболочками много больше по сравнению с зонными энергиями (например, в узкозонной модели s-d обмена, см. Приложение I).

Волновая функция всего кристалла (A.5) может быть теперь получена как анти симметризованное произведение ME функций для электронных групп.

По аналогии с (A.6), (A.10) мы можем ввести МЕ операторы рождения для элек тронных групп [652]. Для эквивалентных электронов Gn Cn1, a+ A+n n A+n = h1/2 (A.11) n n1, При добавлении электрона из другой оболочки n A+n = Cn1, a+ A+n1 (A.12) n1, Антисимметрия функций |n = A+n |0 (A.13) обеспечивается антикоммутированием Ферми операторов. Дополнительные множи тели (1/n)1/2 в (A.11), (A.12) по сравнению с (A.6), (A.10) соответственно возникают при переходу от x-представления к представлению вторичного квантования.

В специфическом случае двух эквивалентных электронов Clm1,lm2 C Sµ, 1 a+ 2 2 a+ 1 A+ = LM (A.14) 1 lm lm 2 m1 m2 2 12 1 Из (A.14) можно видеть, что возможны только термы с четным значением S + L [20]: как следует из свойств коэффициентов Клебша-Гордана, A обращается в ноль, если S + L нечетно.

В отличие от Ферми операторов, коммутационные соотношения для операторов A более сложно. Например, из (A.14) мы получаем [A, A+ ] = + 2 C1 3 C2 3 a+2 a 1 2 Представляя результат действия операторов через одноэлектронные ферми опера торы, умножая скалярно на эрмитово сопряжонное выражение к последнему и ис пользуя соотношения ортогональности для коэффициентов Клебша-Гордана и гене алогических коэффициентов, мы получаем 0|A A+ |0 = (A.15) An A+n |0 = n n | Однако, при m n Am A+n |0 = Поэтому операторы (A.11), (A.12) удобны только для работы с конфигурациями с фиксированным числом электронов (например, в модели Гайтлера-London). В то же самое время, их недостаточно для рассмотрения проблемы с перемещением элек тронов между оболочками или узлами из-за “ неортогональности "при различных n. В таких ситуациях, уместно определить новые ME операторы рождения, которые содержат проекционные множители [653, 654] A+ = A+ (1 n ) (A.16) Формально, произведение в (A.16) идет по всем допустимым одноэлектронным со стояниям. Однако, из-за тождества a+ n = 0, достаточно сохранить только те которые не войдут в соответствующие произведения операторов в A. Должно быть отмечено, что вводя ME операторы, которые зависят от всех одноэлектронных кван товых чисел (как занятых так и свободных состояний), мы делаем следующий шаг в квантово - полевом описании после обычного вторичного квантования.

Мы получаем, вместо (A.15), следующие тождества A A+ = (1 n ) (A.17) A A = A+ A+ = 0 (| = 0) (A.18) (после приведения к нормальной форме, члены с Ферми операторами в левой стороне (A.17) уничтожаются множителями (1 n )). Таким образом мы можем прийти к представлению ME чисел заполнения N на данном узле:

A | = |0, A+ | = 0 | (A.19) A+ A = N, N | = | N = Обратите внимание, что в отличие от (A.4), только одно из чисел N отлично от нуля, и коммутационное соотношение для операторов (A.16) существенно отличается от соотношений для Ферми операторов:

[A, A+ ]± = N0 ± A+ A+ (A.20) причем N0 = (1 n ) = 1 N Поэтому, при практических вычислениях, удобно перейти от МЕ операторов рожде ния и уничтожения к X-операторам, которые обладают более простыми свойствами.

Для различных и, произведение X (, ) = A+ A (A.21) переводят состояние в состояние. Такие операторы были впервые предложены Хаббарда [31] аксиоматическим способом как обобщенные проекционные операторы:

X (, ) = | | (A.22) Где | - точные собственные состояния Гамильтониана.

Использование представленные операторы электронных конфигураций позволя ет получить явные выражения для X-операторов через одноэлектронные операторы.

В частности, X (, 0) = A+, X (, ) = N (A.23) Например, мы рассматрим простейший случай s-электронов где = = ±(, ), = 0,, 2 и |0 - свободное состояние (дырка) а |2 дважды занятое синглетное состояние на узле. Тогда мы получаем X (0, 0) = (1 n ) (1 n ), X (2, 2) = n n X (, ) = a+ a X (, ) = n (1 n ), (A.24) X (, 0) = a+ (1 n ), X (2, ) = a+ n Как следуют из (A.17), простые правила умножения, постулированные Хаббар дом [31], имеют вид X (, ) X (, ) = X (, ) (A.25) Для каждого числа электронов n, имеет место правило сумм X (, ) = n n... n (1 n ) Xn (A.26) n! = n n n = i j i что может быть проверено простым умножением X (, m ) Xn = nm X (, m ) (A.27) Наконец, можно доказать соотношение замкнутости X (, ) = Xn = 1 (A.28) n Действие произвольного оператора O на электроны на данном узле i, выражается через X-операторы так dx1...dxn (x1...xn ) O (x1...xn ) A+ A = O= |O| X(, ) (A.29) Из (A.11) следует что матричные элементы одноэлектронных Ферми операторов имеют вид n |a+ |n1 = n1/2 Gn Cn1, n (A.30) n Тогда мы получаем представление [32] Gn Cn1, X (n, n1 ) n a+ = n1/2 (A.31) n n n n В частности для s-электронов можно получить a+ = X (, 0) + X (2, ) (A.32) Используя (A.31) и соотношения ортогональности для коэффициентов Клебша Гордана и генеалогических коэффициентов (A.8) мы получаем a+ a = nX (n, n ) (A.33) nn a a+ = (2 [l] n) X (n, n ) nn выполнение коммутационных соотношений Ферми обеспечено тождеством Gn Gn Cn1, Cn1, + (n + 1) n n n Gn+1 Gn+1 Cn, Cn, = n n n+1 n+ n1 n n1 n n1 n (A.34) После умножения на C, и суммировании по проекциям момента, эта тождество мо жет быть выражено через 6j-символы и использовано чтобы получить рекуррентные формулы для генеалогических коэффициентов [32].

До сих пор мы рассматривали алгебру ME операторов для фиксированного узла в решетке. Общие соотношения коммутации для X-операторов на и узлах имеет вид [X (, ), X (, )]± = {X (, ) ± X (, ) } (A.35) Где положительный знак соответствует случаю, когда оба X-оператора имеют Фер ми тип, то есть изменяют число электронов на нечетное число, и отрицательным знак для всех других случаев. Для Фурье - преобразования X-операторов, уравне ние (A.35) принимает вид [Xk (, ), Xk (, )]± = Xkk (, ) ± Xkk (, ) (A.36) Операторы Хаббарда могут быть введены не только для собственных состоя ний Гамильтониана со сферической симметрией, но также и в присутствии сильного кристаллического поля. В такой ситуации, мы должны использовать неприводимые представления точечной группы и соответствующие коэффициенты Клебша-Гордана [564].

Приложение B Oператоры углового момента и двойные неприводимые тензорные операторы В множестве проблем физики твердого тела, удобно перейти к представлению опе раторов углового момента. Первым примером такого подхода является введение Ди раком операторов спина S = 1/ a+ a = S +, a + a = S (B.1) 1+ a a a+ a = S z 2 чтобы представить электронный обменный Гамильтониан для однократно заполнен ных s-состояний в виде скалярного произведения:

a+ a1 a+ a2 = + 2S1 S2 (B.2) 1 Это дало основу для модели магнетизма Гейзенберга (Раздел 4.1), которая также применяется для произвольного S. Однако, для S 1 приходится рассматривать орбитально вырожденные электронные состояния и вводить орбитальные моменты.

Рассмотрим связь спинового и орбитального моментов для атомных оболочек (1.7) с операторами Хаббарда. Операторы момента на состояниях LS-термов имеют вид:

LM SLµM |Lq |S L µ M = SL,S L µµ L (L + 1)CLM,1q (B.3) Sµ SLµM |Sq |S L µ M = SL,S L M M S (S + 1)CSµ,1q (B.4) где были введены циклические компоненты вектора 1 A± = (Ax ± iAy ) A±1 = 2 A0 = Az В присутствии спин-орбитальной связи, мы должны рассматривать функции с определенным полным угловым моментом J = L + S. В приближении Рессела Саундерса мы получаем JMJ |SLJMJ = SLJMJ = CSµ,LM |SLµM (B.5) µM а соответсвующие ME операторы рождения принимают вид JMJ A+ CSµ,LM A+ SLJMJ = (B.6) SLµM µM Матричные элементы полного углового момента на мультиплете с фиксированным J равны JM JM |Jq |JM = J (J + 1)CJM,1q (B.7) Циклические компоненты вектора I = S, L, J выражаются через операторы Habbard [(I M ) (I + M + 1)]1/2 X (M + 1, M ) I+ = (B.8) M [(I M + 1) (I + M )]1/2 X (M 1, M ) I = M Iz = M X (M, M ) M При переходе от обменных гамильтонианов, которые выражены через МЕ опера торы, к представлению момента импульса, требуются обратные преобразования от X-операторов к операторам момента. Чтобы получить их, мы можем записать выра жения для всех степеней (I )k где k = 0...2I (высшие степени не являются линейно независимыми) и решить эту систему (2I + 1)2 уравнений, что очень сложно. Более удобно использовать неприводимые тензорные операторы (k) IM Iq = CIM,kq X (IM, IM ) (q = k...k) (B.9) MM поэтому (1) Sq = S (S + 1)Sq (B.10) L(1) = L (L + 1)L(1) q q Операторы (B.9) связаны с эквивалентными операторами Стивенса в теории кри сталлического поля (см. Раздел.1.3). Используя соотношения ортогональности для коэффициентов Клебша-Гордана, легко получить требуемые обратные соотношения IM (k) X (IM, IM ) = CIM,kq Iq (B.11) kq Коммутационные соотношения операторов (В.9) принимают вид kk k 1/ (k) (k ) (1)k (1)k+k kq (k) [Iq, Iq ] = ([K ] [I]) Ckq,k q Iq II I kq...

где являются 6j-символами. Явные выражения для неприводимых тен...

зорных операторов через обычные операторы момента сведены в таблицы [41,43].

Помимо этого, можно применять при аналитических вычислениях рекуррентную формулу kp p k (1)k ([k p][p][I])1/2 I (k) = [I (kp) I (p) ](k) (B.12) I II где тензорное произведение ранга c определяется следующим образом (b) c [A(a) B (b) ] = (c) Ca,b A(a) B (B.13) Чтобы выразить X-операторы, связывающие термы с различными L, S, J можно использовать “ гиперболические "операторы, которые изменяют значение момента непосредственно [656]. Они удовлетворяют коммутационным соотношением [K ±, K z ] = K ±, [K +, K ] = 2K z (B.14) и имеют отличные от нуля матричные элементы JM |K + |J 1M = [(J + M ) (J M )]1/2 (B.15) JM |K z |JM = J + Эта проблема обсуждается также Поповым и Логиновым [657].

При переходе от LS-представления к J-представлению для мультиплета с дан ным J, мы должны выразить произведение L(k) S () через операторы J (p). Используя (A.11), (B.6) и суммируя произведения четырех коэффициентов Клебша-Гордана с использованием 9j-символов мы получаем J S L () J S L ([S][L][J][p])1/2 C,kq J ) P S L(k) = (P (B.16) q pk P Обратите внимание, что p + + k четное (в противоположном случае, 9j-символ в (B. 15) обращается в ноль из-за свойств симметрии). Для k = 0 или = 0 9j-символ упрощается, так, что мы получаем JSL S () = (1)J+S+L+ ([S] [J])1/2 J () (B.17) SJ JLS L(k) = (1)J+S+L+k ([L] [J])1/2 J (k) (B.18) LJk В частности, при = 1 или k = 1 подстановка явных значений 6j-коэффициентов дает S = (g 1)J (B.19) L = (2 g)J (B.20) где (LS) J (J + 1) S (S + 1) L (L + 1) g =1+ =1+ J 2J (J + 1) - фактор Ланде. Таким образом известная формула де Женна (B.19) (см. Раздел 4.7) получена из общего соотношения (B.16).

Теперь мы обсудим другой подход к описанию произведений Ферми операторов.

Так как матричные элементы операторов рождения Ферми a+ (A.10) пропорцио lm нальны коэффициентам Клебша-Гордана, эти операторы могут рассматриваться как 2(2l + 1) компоненты двойного тензорного оператора, действующего в спиновом и орбитальном пространствах. При вычислении матричных элементов произведений фермиевских операторов на одном узле, удобно ввести для каждой оболочки двой ные неприводимые тензорные операторы с компонентами (k) 1/ Clm,kq C1/2, a+ al m lm Wq = (B.21) lm mm (мы использовали определение, слегка отличное от [32]). Любой оператор вида F= fi i где f - произвольный одноэлектронный оператор, может быть представлен через операторы (B.21). В частности, a+ alm = n W (00) = (B.22) lm m - оператор числа частиц в оболочке. Циклические компоненты операторов полного спинового и орбитального моментов (1.7) имеют вид (ср. (B.10)) 3 (10) S = W (B.23) l (l + 1)Wq(01) Lq = (B.24) а внутреннее скалярное произведение 1 (11) (1)q Wq,q = 3l (l + 1) si li (B.25) 2 q i пропорционально оператору спин-орбитальной связи.

Операторы (B.21) при k + 1, в отличие от операторов (B.23), (B.24), имеют ненулевые матричные элементы между термами с различными S и L и они, вообще говоря, не приведены к произведению операторов момента (B.9). Однако, соответ ствующие соотношения могут быть быть установлены для фиксированного терма с определенным L, S (или J). Вычисляя матричные элементы произведения Ферми операторов с учетом (3.10) мы получим в соответствии с теоремой Вигнера-Эккарта (k) SLµM |Wq |S L µ M (B.26) = ([S] [L])1/2 CL M,kq SL|W (k) |S L LM где приведенные матричные элементы имеют вид 1/ SL||W (k) ||S L = n (2 [l] [S] [S ] [L] [L ]) (B.

27) 1 lkl (1)1/2+l+S+L+S+L++k GSL GS L L 2 S L S SSS LLL {S L} 1/ SL||W (0k) ||S L = nSS ([l] [S] [L] [L ]) (B.28) lkl (1)l+L+L+k+ GSL GSL S L S L LLL {S L} Они могут быть найдены в существующих таблицах (см., также, [10, 659]). Поэтому, для терма мы получим () W (k) = ([S] [L])1/2 SL||W (k) ||SL S L(k) (B.29) q Сравнивая (B.27), (B.29) с (B.3), (B.4), (B.23), (B.24) можно заметить что подход двойного неприводимого тензорного оператора приводит к суммированию генеало гических коэффициентов при k = 0, = 1 или k = 1, = 0 [660]. Мы увидим в Дополнении D что это в свою очередь приводит к упрощению некоторых чле нов в обменном гамильтониане. В частности, подставляя значения 6j-символов в SL = S L, мы выводим (1)SS+1/2 [S]1 = GSL (S = 0) (B.30) S L n {S L} GSL L L + 1 = l (l + 1) + 1 L (L + 1) (L = 0) (B.31) S L n {S L} Формализм двойного неприводимого тензорного оператора может быть обобщен на тройные тензорные операторы a(qls) (q = s = 1/2) с компонентами (qls) a1/2m = a+ (B.32) lm (qls) a1/2m = (1)l+sm alm а операторы составлены из (k) (qls) q Cq, CS, Clm,kr a(qls) a m S lm Tr = (B.33) m mm В частности, для = 0, k = 0, = 1 мы получаем операторы квазиспина с компо нентами (1)l+1/2m a+ a+ Q+ = (B.34) lm lm 2 m a+ alm Qz = 2l + 1 lm 2 m которые удовлетворяют обычным коммутационным соотношениям для спиновых операторов. Обратите внимание что оператор Q+ совпадает с точностью до чис лового множителя с оператором рождения (2.14) для двух электронного синглета с нулевым L из 1 S состояний и добавляет подобную пару к конфигурации ln2.

Значение квазиспина для определенной последовательности термов эквивалентна максимальному значению Qz :

Q= (2l + 1 v) (B.35) где v - квантовое число сеньорити Рака, (nv)/2 - число замкнутых электронных пар с нулевым спином и орбитальным моментом для данного терма. Используя теорему Вигнера-Эккарта в квазиспиновом пространстве можно использовать дополнитель ную симметрию МЕ проблемы (в частности, представить зависимость приведенных матричных элементов и генеалогических коэффициентов от числа электронов в v терме) [32]. Этот формализм может быть полезен в теории твердого тела при рас смотрении флуктуации заряда. Дальнейшее приложения теории групп для класси фикации многоэлектронных состояний обсуждается в книге [65].

Приложение C Многоэлектронный гамильтониан кристалла Для того чтобы вывести многоэлектронные (ME) модели необходимо сначала рас смотреть точный Гамильтониан ME системы.

h2 e H= ri + V (ri ) + (C.1) 2m 2 |ri rj | i i=j где V (r) - периодический кристаллический потенциал. В дальнейшем мы перейдем к представлению вторичного квантования. Чтобы проделать это нужно иметь орто гональный набор одноэлектронных волновых функций. Однако, атомные волновые функции lm (x) = lm (r) (s) = Rl (r)Ylm () (s) r (C.2) (s - спиновая координата, Rl - радиальная волновая функция, Y – сферическая функция, = (, )) не удовлетворяют этому условию для различных узлов. Неор r тогональность - одна из наиболее трудных проблем в теории магнетизма [656,661].

Мы используем процедуру ортогонализации, предложенную Боголюбовым [651]. С точностью до первого порядка по перекрытию атомных волновых функций ортого нализованные функции имеют вид dr l m (r )lm (r) lm (r) = lm (r) l m (r) (C.3) 2 = l m Поправки от неортогональности можно не учитывать при рассмотрении одно узельных и двухузельных матричных элементов кулоновского (но не обменного) взаимодействия.

Тогда мы получим Гамильтониан полярной модели [651,662,663] в общем случае вырожденных зон l a† alm + 1 2 (l1 m1, l2 m2 )a† 1 l1 m1 a2 l2 m H= (C.4) lm lm = li mi I1 2 3 4 (l1 m1, l2 m2, l3 m3, l4 m4 )a† 1 l1 m1 1 a† 2 l2 m2 2 a4 l4 m4 2 a3 l3 m3 + 2lm i 1 ii Здесь мы использовали ортогональность спиновых волновых функций (s), 1d d l(l + 1) r2 drRl (r) r l = + + v(r) Rl (r) (C.5) 2mr2 dr 2mr dr - одноэлектронные уровни в центральном потенциале для узла v(r) (мы пренебрегаем влиянием потенциалов других атомов, например эффектами кристаллического поля) h 1 2 (l1 m1, l2 m2 ) = dr1 l1 m1 (r) + V (r) 2 l2 m2 (r) (C.6) 2m - матричные элементы переноса между узлами 1 and 2, I1 2 3 4 (l1 m1, l2 m2, l3 m3, l4 m4 ) (C.7) e = drdr 1 l1 m1 (r)2 l2 m2 (r ) l m (r)4 l4 m4 (r ) |r r | 3 3 - матричные элементы электростатического взаимодействия. Рассмотрим электро статическое взаимодействие между двумя атомными оболочками на одном узле 1 = 2 = 3 = 4. Мы используем стандартное разложение p p 1 4 r = Ypq ()Ypq ( ) r r (C.8) p+ |r r | [p] r p=0 q=p и выражение для матричных элементов сферических гармоник sin d dYl1 m1 ()Yl2 m2 ()Yl3 m3 () r r r (C.9) 0 1/ [l2 ][l3 ] 1 m Cll2 0,l3 0 Cll2 m2,l3 m3 Cll2 m2,l3 m 10 1 m = 4[l1 ] Величины C обращаются в ноль при четных l1 + l2 + l3 а для l1 + l2 + l3 = 2g можно получить {(2g 2li )!}1/ l1 0 l1 +g 1/2 1/ Cl2 0,l3 0 = (1) [l1 ] g!{(2g + 1)} (g li )!

i= Проводя интегрирование, мы получаем для кулоновских членов (l1 = l3, l2 = l4 ) (0p) (0p) Cll1 0,p0 Cll2 0,p0 F (p) (l1 l2 )(W 10 Hcoul (l1 l2 ) = W2 ) (C.10) p где p r F (p) (l1 l2 ) = e2 2 2 r1 dr1 r2 dr2 p+1 Rl1 (r1 )Rl2 (r2 ) (C.11) r – параметры Slater, неприводимые тензорные операторы W приведены в (B.21) а скалярное произведение определяется (a) A(a) B (a) = (1) A(a) B (1)a [a]1/2 [A(a) B (a) ](0) (C.12) Гамильтониан (C.10), с использованием (B.29), может быть выражен через много электронные операторы Хаббарда (B.29) (см. Приложение D).

Для обменных интегралов мы получаем 4 l1 m1 l2 m G(p) (l1 l2 ) I (l1 m1, l2 m2, l3 m3, l4 m4 ) = C C [p] l2 m3,pq l1 m4,pq pq где rp G(p) (l1 l2 ) = e2 r2 dr1 r2 dr2 Rl1 (r1 )Rl2 (r2 ) Rl2 (r1 )Rl1 (r2 ) (C.13) 1 rp+ Преобразуя произведение коэффициентов Клебша-Гордана l1 l2 p Cll2 m3,pq Cll1 m4,pq = 1 m1 2 m Cll1 m4,pq Cll2 m3,pq (1)kµ 1 m1 2 m (C.14) l2 l1 k q kµ мы выводим 1/ 1 [l2 ] l1 l2 p (1)k [k][] Hexch (l1 l2 ) = (C.15) l2 l1 k 2 [l1 ] kp 2 (k) (k) Cll2 0,p G(p) (l1 l2 ) W1 W Для k = 0 мы получаем из (B.22), (B.23) межатомный обменный гамильтониан 1/ 1 [l2 ] (0) Cll2 0,p G(p) (l1 l2 )[n1 n2 + 4(S1 S2 )] Hexch (l1 l2 ) = (C.16) 2 [l1 ] p а для = 0, k = 1 из (B.24) орбитальный обменный гамильтониан 3 2 l1 (l1 + 1) + l2 (l2 + 1) p(p + 1) (p) (01) Cll2 0,p Hexch (l1 l2 ) = G (l1 l2 )(L1 L2 ) (C.17) 4 l1 (l1 + 1)l2 (l2 + 1)[l1 ] p В случае электростатического взаимодействия между электронами одной оболоч ки, F = G, поэтому мы представляем Гамильтониан в обоих формах (C.10) и (C.15).

Таким образом 1 Cll2 0,p F (p) (ll) (W (0p) W (0p) ) n H(l) = (C.18) 2 p где второй член в квадратных скобках появляется из-за условия i = j в (C.1). В ME представлении, Гамильтониан (C.18) принимает квазидиагональный вид. Вычисляя матричные элементы скалярного произведения мы получаем H(l) = ESL X(SLµM, SLµM ) SLµM где 1 Cll2 0,p F (p) (ll){[S]1 [L]1 SL W (0p) S L ESL = (C.19) 2 SLM µ p L SL W (0p) S L n } а приведенные матричные элементы даются (B.27). Если присутствует несколько ME термов с одинаковыми значениями L,S (что типично для d-и f - электронов), то требуется дополнительная диагонализация. Сохраняя в (C.19) вклады только с p = 0 мы получаем E = n(n 1)F (0) (ll) (C.20) Вклады с p = 2, 4... дают зависимость энергии термов от ME квантовых чисел S, L в соответствии с правилом Хунда.

Выражения (C.10), (C.16), (C.18) сводят проблему электростатического взаимо действия между электронами к вычислению интегралов Slater. Они могут рассмат риваться как параметры, которые должные быть найдены из экспериментальных данных (такая процедура часто используется в атомной спектроскопии). В этом случае, волновые функции, которые входят в интегралы Slater, могут быть рассчи таны самосогласованным образом из соответствующих интегро-дифференциальных уравнений [20]. Рассмотрим однозонный гамильтониан кристалла в многоэлектрон ном представлении. Из-за одноузельного кулоновского отталкивания и межузельно го переноса электронов (который принимается во внимание в модели Hubbard) мы учтем электронный перенос относящийся к матричным элементам электростатиче ского взаимодействия (C.7) для 1 = 3, 2 = 4. Ограничимся членами с 1 = или 2 = 3 (трехузельные члены меньше, благодаря убыванию Coulomb взаимодей ствия с расстоянием). Используя (B.21), (C.19) и принимая во внимания поправки от неортогональности мы получаем H= E X (, ) + B1 2 (n n1, n n 1 ) (C.21) 1 =2 n n1 n n X1 (n n1 )X2 (n n 1 ) где B1 2 (n n1, n n 1 ) = (nn )1/2 Gn Gn 1 (C.22) n1 n n Cn1,1 Cn 1,2 1 2 1 2 (lm1, lm2 ) n 1 +[n(n 1)n (n 1)]1/ Gn Gn2 Gn1 Gn [ n n n n n1 n Gn,1 Gn1,2 Gn1,3 Gn 1 3 2 n2 n2 n1 n 1, 1... I1 2 3 4 (lm1, lm2, lm3, lm4 ) +{n, n1 } {n, n 1 } – многоэлектронные интегралы переноса. Например, для s-зон мы получаем (00) (22) H=U X (2, 2) + {1 2 X1 (, 0)X2 (0, ) + 1 2 X1 (2, )X2 (, 2) (C.23) 1 (02) +1 2 X1 (, 0)X2 (, 2) + X1 (2, )X2 (0, ) где U = I = F (0) (00) – параметр Hubbard, (00) 1 2 = 1 2 (C.24) (22) 1 2 = 1 2 + 2I1 1 2 (02) (20) 1 2 = 1 2 = 1 2 + I1 1 2 – интегралы переноса для дырок и двойных состояний, и интеграл рождения дырок и двоек;

в соответствии с (C.3), U (0) I1 1 2 1 = I1 1 2 1 dr2 (r)1 (r) (C.25) где I (0) вычисляются для атомных функций. Необходимо отметить что зависи мость интегралов переноса от атомных ME термов может быть более сложной если мы используем при решении атомной проблемы подходы более сложные чем в При ложении A. Например, общее приближение Хартри-Фока (см. [20]) дает радиальные одноэлектронные функции которые явно зависят от атомных термов. В некоторых вариационных подходах многоэлектронной атомной теории (см. [664]) ME волно вые функции не факторизуются на одноэлектронные. Поэтому интегралы переноса должны быть вычислены с использованием ME волновых функций:

dxi 1 n 2 n Bv1 v2 (n n1, n n 1 ) = (C.26) v v h r + V (ri ) v1 n v2 n 2m i i В частности, для s - зон интегралы (C.24) могут отличаться даже в пренебреже нии межатомным кулоновским взаимодействием и неортогональности. Кроме этого, может потребоваться многоэлектронный подход, который принимает во внимание взаимодействие различных электронных оболочек.

Чтобы проанализировать m-зависимость двухузельных матричных элементов, удобно преобразовать их в одноузельные разлагая волновые функции 2 (r) вблизи первого атома [665]. Переходя к Fourier образам dkeikr Rl (k)Ylm (k) lm (r) = (C.27) (где Rl (k) – фурье-образ радиальной функции) и разлагая плоские волны по сфери ческим гармоникам eikr = 4 i j (kr)Yµ (k)Ylm () r (C.28) µ где j (x) – сферические функции Bessel, мы получаем 2 lm (r) 1 lm (r + ) = 4 Clm,µ Rl (r, )Yµ ()Y () r (C.29) µ где k 2 dkRl (k)i+ j (kr)j (k) Rl (r, ) = (C.30) Так же как и в (C.3), мы оставляем только кристаллический потенциал на узле 1 ;

в этом приближении, поправки неортогональности к одноэлектронным интегралам пе реноса отсутствуют [651]. Тогда, подставляя (C.29) в (C.6) мы получаем зависимость матричных элементов переноса от магнитных квантовых чисел[660] 1 m Cll2 m2,µ 1 2 (l1 l2 )Yµ (1 2 ) 1 2 (l1 m1, l2 m2 ) = 4 (C.31) µ где r2 drRl1 (r)v(r)Rl2 l1 (r, 1 2 ) 1 2 (l1 l2 ) = (C.32) Можно видеть что для четных l1 l2 (в частности, для межзонных интегралов пе реноса с l1 = l2 ) – четное, и для нечетных l1 l2 (в частности, для матричных элементов s p, p d и d f гибридизации) появляется угловая зависимость при = 1. Coulomb вклады в (C.22) оказывается имеют качественно ту же самую ани зотропию что и результат (C.31).

В случае сильного межатомного Coulomb взаимодействия мы можем оставить в Гамильтониане только два низших ME терма, = {SL} и = {S L }. Тогда межатомный Гамильтониан дает только постоянный сдвиг энергии которая может быть опущена. Гамильтониан переноса может быть представлен через спиновые и орбитальные операторы момента соответствующие терму n.

Наконец, отделим от X-операторов один Ферми оператор с использованием (A.21), (A.17), (A.11). Подставляя (C.31) и преобразуя произведения коэффициентов Клебша-Гордана мы получаем H = (4)1/2 Gn 1 2 (ll)[k1 ][k2 ]([k][p])1/2 (C.34) n+ i mi i k1 k2 pqk k1 l l L L k1 lm [L ]2 [L]1 (1)q Cl0,0 Clm2,pq l k2 l l l l k2 kp () (p) (k ) (k ) a+ lm1 1 P1 1 () Y () L11 L22 P2 2 a2 lm2 q где ([S ] + (1)SS +1/2 2(S )) P = 2[S] Здесь – матрицы Pauli, Y () – неприводимый тензор с компонентами Yµ, векторное произведение неприводимых тензоров определяется в (B.14).

Приложение D Межатомное электростатическое взаимодействие и вывод гамильтониана Гейзенберга В этом Приложении мы рассматриваем прямое Coulomb и обменное взаимодействие между двумя вырожденными атомными оболочками на различных узлах, стартуя от общего многоэлектронного гамильтониана кристалла (C.1). Рассмотрение этих меха низмов позволяет установить общие особенности Гамильтониана магнитных ионных систем с незамороженными орбитальными моментами.

Полагая в (C.7) 1 l1 = 3 l3, 2 l2 = 4 l4, подставляя (C.29), преобразуя произведе ния коэффициентов Клебша-Гордана и используя формулу умножения для сфери ческих гармоник µ Y1 µ1 ()Y2 µ2 () = C1 µ1,2 µ2 Yµ () (D.1) µ мы получаем, сходный с (C.10), гамильтониан межузельного кулоновского взаимо действия [660] Hcoul (1 2 ) = (4)1/2 F (p) (l1 l2 1 2 1 2 )[b][1 ][2 ][l2 ]1/2 (D.2) pb 1 2 1 l1 1 (1)1 C(l1 pl1, l2 1 1, 2 p1, l2 2 2, 1 2 ) l2 2 lp (0p) (ab) () Y () () [W1 W2 ] где p r (p) 2 2 2 F (l1 l2 1 2 1 2 ) = e r1 dr1 r2 dr2 Rl1 1 1 (r2, ) p+1 Rl1 1 1 (r2, )Rl1 (r1 ) (D.3) r – обобщенные интегралы Slater для двухузельного взаимодействия, при этом введе ны следующие обозначения ci C(a1, b1, c1, a2, b2, c2,...) = Cai 0,bi 0 (D.4) i Как можно видеть из (C.9) p, 1 + 2 и are четные (b - также четное из-за инва риантности по отношению к обращению времени), p 2l1, b 2l2, 2(l1 + l2 ).

Дальше мы работаем в многоэлектронном представлении. В соответствии с (B.29), для каждого LS-терма мы можем подставить (ok) (ok) (k) = ([Si ][Li ])1/2 Si Li Wi Wi Si Li Li (D.5) где приведенный матричный элемент дается (B.28). Переход к обычным векторам производится с использованием уравнения (B.13) и факторизации сферических гар моник в соответствии с (D.1). Например, (2) (2) [Li ]1/2 (2Li 1)1 (2Li + 3) L1 L2 = 20 (D.6) 3 i=1, 1 L1 (L1 + 1)L2 (L2 + 1) (L1 L2 )2 (L1 L2 ) 3 (L1 ) (2) L1 Y (2) () = 5(2)1/2 2Li 1)1 (2Li + 3) L1 (L1 + 1) (D.7) В классическом пределе (L1, L2 1) мы получаем разложение (L1 ) (L2 ) (L1 L2 ) Hcoul (1 2 ) = Q (D.8) + где коэффициенты Q – линейные комбинации интегралов Slater (D.3), показатели L1, L2 и в каждом слагаемом четные и + 2l1, + 2l2. Присутствуют и анизотропные члены, которые зависят от ориентации только орбитального момента в решетке. Векторные произведения не появились т.к. они преобразованы в скалярные произведения:

L1 (L1 + 1) (L1 L2 ) (L1 ) ([L1 L2 ])2 = det (L1 L2 ) L2 (L2 + 1) (L2 ) (D.9) (L1 ) (L2 ) Для конкретной электронной конфигурации, полное число термов в серии (D.7) ма ло. Поэтому, максимальные степени L1 и L2 не превосходят 2 для p-электронов и для d-электронов.

При рассмотрении межузельного прямого обменного взаимодействия [660, 666, 667] (1 l1 = 4 l4, 2 l2 = 3 l3 ), которые малы по перекрытию атомных волновых функций на различных узлах, необходимо принять во внимание поправки от неор тогональности т.к. они имеют тот же (второй) порядок малости. Вычисляя интеграл (C.6) для функций (C.3), и разлагая волновые функции, которые получаются, вблизи узла с использованием (C.29), мы получаем межузельный обменный гамильтониан [660] (4)1/2 []3/2 (1) I(l1 l2 k1 k2 ) Hexch (1 2 ) = (D.10) 2 k k (k1 ) (k2 ) (0) Y () (1 2 ) [W1 W2 ] где эффективные обменные параметры имеют вид {G(p) (l1 l2 1 2 1 2 ) Re[G(p) (l1 l2 1 2 2 )Z(l2 2 2 )] I(l1 l2 k1 k2 ) = [ (D.11) 2 p 1 2 1 + G(p) (l1 1 2 )Z(l1 1 1 )Z (l2 2 2 )} 1/ [l2 ][1 ] l1 l (1) [k1 ][k2 ][1 ][2 ] [] C(1 pl1, l1 p2, l2 2 2, l2 1 1, 1 2 ) l2 1 1 2 k l2 2 l1 l1 p k2 k F (p) (l1 l2 1 2 2 3 4 )Z(l1 1 1 )Z(l2 3 3 ) + 4 p a i ii 3 1/ [1 ][2 ][1 ][3 ] (1) [i ][k1 ][k2 ][a] [] i= C(l1 1 1, 3 pl1, 1 4 4, l2 3 3, 2 p4, l2 2 2, 1 4 1, 1 3 2, 2 2 ) l1 3 1 l2 2 l1 4 1 l2 a l1 1 4 l2 2 a ] 4 1 1 1 3 3 k a 2 k k + [{1 l1 k1 } {2 l2 k2 }] где k1 + k2 и – четные, k1 2l1, k2 2l2, 2(l1 + l2 ), 1. Здесь мы вводим двухузельные интегралы Slater p r (p) 2 2 2 G (l1 l2 1 2 1 2 ) = e dr1 r1 dr2 r2 Rl1 (r1 )Rl2 2 2 (r2, ) p+1 Rl2 1 2 (r1, )Rl1 (r2 ) r (D.12) p r G(p) (l1 l2 1 2 1 ) = e2 2 dr1 r1 dr2 r2 Rl1 (r1 )R2 (r2 ) p+1 Rl2 1 1 (r1, )Rl1 (r2 ) (D.13) r p r G(p) (l1 2 ) = e2 2 dr1 r1 dr2 r2 Rl1 (r1 )R2 (r2 ) p+1 R1 (r1 )Rl1 (r2 ) (D.14) r p r F (p) (l1 l2 1 2 3 4 2 3 4 ) = e2 2 2 dr1 r1 dr2 r2 Rl1 (r1 )Rl2 2 2 (r2, ) p+1 Rl3 3 3 (r1, )R1 4 4 (r2, ) r (D.15) а интегралы неортогональности r2 drRl (r)Rl (r, ) Z(l) = (D.16) Полагая k1 = k2 = = 0 мы получаем, аналогично (C.16), спиновый гамильтониан (0) Hexch (1 2 ) = I(l1 l2 000)[n1 n2 + 4(S1 S2 )] (D.17) Полагая k1 = k2 = 1, = 0 мы получаем орбитальный обменный гамильтониан (01) Hexch (1 2 ) = (l1 (l1 + 1)l2 (l2 + 1))1/2 (D.18) 1 (L1 )(L2 ) {I(l1 l2 110)(L1 L2 ) + (8)1/2 I(l1 l2 112)[ (L1 L2 ) ]} Для всех других вкладов, нам придется перейти к операторам S () и L(k) для фик сированного терма с использованием (B.29). Мы получаем разложение (L1 ) (L2 ) (L1 L2 ) (S1 S2 ) Hexch (1 2 ) = I (D.19) + с четными +, + 2l1, + 2l2, = 0, 1. Необходимо отметить что степени операторов орбитальных моментов в (D.7), (D.19) ограничены при микроскопиче ском рассмотрении не только 2L (как следует из кинематических соотношений), но также и 2l. Члены высшего порядка в спиновых операторах, например, биквадра тичный обмен, не появляются в (D.19) т.к. спин электрона s равен 1/2. Такие члены могут быть получены от поправок высших порядков по неортогональности [656,668].

Однако, они значительно меньше при перекрытии волновых функций различных уз лов.

Рассмотренной выше двухузельной задачи вообще говоря недостаточно для полу чения обменного Гамильтониана кристалла. Однако, пренебрежение многоузельны ми членами оправдано в приближении ближайших соседей. Поправки к двухцентро вому приближению особенно важны если несколько ближайших соседей образуют равносторонние треугольники (например, для гцк и гпу решеток).

Необходимо заметить что электростатическое взаимодействие может быть иссле довано прямым использованием представления ME волновых функций [655]. Мы получаем dxi dxj 1 1 ({xi })2 2 ({xi }) H(1 2 ) = (D.20) ij e (1 Pij )1 3 ({xi })2 4 ({xi })X1 (1, 3 )X2 (2, 4 ) |ri rj | ij где Pij – оператор перестановки. Подобный подход не дает немедленно результаты (D.17), (D.18) и требует суммирования генеалогических коэффициентов. Однако, этот подход позволяет учесть зависимость радиальных волновых функций от ME квантовых чисел, которые появляются, например, в приближении Хартри-Фока, и поэтому является более общим.

В случае сильного (в сравнении с кристаллическим полем) спин-орбитального взаимодействия орбитальный и спиновый моменты складываются в полный момент J (схема Рессела-Саундерса, подходящая для редкоземельных ионов). В кулонов ском члене спин-орбитальное взаимодействие приводит к замене Li Ji в соот ветствии с (B.18). Для обменного члена, необходимо произвести дополнительные преобразования. Используя (B.16) и суммируя коэффициенты Клебша-Гордана, мы выводим результат (D.10) с замещением P1 P (k1 ) (k2 ) (0) (P1 ) (P2 ) () []1/ [W1 W2 ] [J1 J2 ] (D.21) k1 k P1 P Ji Si Li (k ) [pi ] ([Si ][Li ][Ji ])1/2 Ji Si Li S L W i Si Li ii i Pi ki i=1, Поэтому разложение обменного гамильтониана имеет вид (J1 ) (J2 ) (J1 J2 ) Hexch (1 2 ) = I (D.22) + где + 2l1 + 1, + 2l2 + 1, + четное.

В пределе сильного спин-орбитального взаимодействия, учитывая только эф фекты кристаллического поля может быть получено антисимметричное обменное взаимодействие типа Дзялошинского-Мория K12 [J1 J2 ]. В отличие случая слабой спин-орбитальной связи, рассмотренной Мория [669], где антисимметричный обмен определяется матричными элементами орбитального момента, компоненты псевдо вектора Kij даются матричными элементами электростатического взаимодействия в локальной системе координат [666].

Кроме “потенциального” обмена (D.10), мы рассмотрим “кинетическое” обменноe взаимодействие. Мы рассмотрим вырожденную модель Hubbard (C.21) с большим Coulomb взаимодействием.

В основном состоянии электронные состояния для всех узлов отвечают одному и тому же SL-терму, поэтому теория возмущений применима. Кинетический обмен появляется во втором порядке по переносу.

(2En En+1 En1 ) H=2 1 2 (lm1, lm2 )2 1 (lm3, lm4 ) i mi i (i) n n1 n+ n+1 |a+ lm1 1 |n1 n1 |a1 lm4 2 |n n |a2 lm2 1 |n+1 (D.26) n+1 |a+ lm3 2 |n X1 (n, n )X2 (n, n ) где сумма по (i) стоит вместо суммы по проекциям момента терма n = {SLµM }. В частности, для s-зон мы получаем стандартный результат для кинетического обмена Anderson (4.8).

Вообще говоря, в проблеме кинетического обмена для вырожденных зон мы не можем использовать двойные неприводимые тензорные операторы (B.21) т.к. знаме натели в (D.26) зависят от ME квантовых чисел S, L виртуальных состояний. Это может быть, однако, сделано, если мы примем во внимание только зависимость E от числа электронов (C.20), что дает 1 2 (ll0) H= {n1 n2 + 4(S1 S2 ) [l](n1 + n2 )} (D.27) F (0) (ll) Взаимодействие (D.27) – антиферромагнитное и преобладает как правило над по тенциальным обменным взаимодействием (D.10). Необходимо заметить, что кинети ческое обменное взаимодействие остается даже в пределе F (2) = U благодаря поправкам неортогональности (второй член в (C.25)).

В общем случае мы можем напрямую применить подход ME операторов. Под ставляя выражения для матричных элементов Fermi операторов (A.30), принимая во внимание m-зависимость интегралов переноса (C.31) и выполняя суммирование коэффициентов Клебша-Гордана, мы получаем [660] 1 2 (ll1 )1 2 (ll2 ) Gn Gn+ H = (4)1/2 n(n + 1) (D.28) n En+1 + En1 2En n i ki i {Sn±1,Ln±1 } C(l1 l, l2 l, 1 2 )[l][1 ][2 ][k1 ][k2 ][Ln+1 ][]1/2 (1)Ln+1 Ln k1 k L L k1 L L k2 (k ) (k ) ([L 1 L2 2 ]() Y () (1,2 )) l l l l Ln1 l l Ln+ l l l (1 + 4(1)Sn+1 Sn1 ([Sn+1 ][Sn1 ])1 (S1 S2 )) где 1, 2, and k1 + k2 – четное, 1, 2 2l, k1, k2, k 2l, 2L. Переходя к обычным векторам, мы получаем мультипольное разложение в той же форме как и в (D.19).

Гамильтониан (D.28) содержит только билинейные члены по спиновым операторам.

Биквадратичный обмен может быть получен в четвертом порядке теории возмуще ний [661,668-670] что также соответствует высшим поправкам по перекрытию.

Знак вкладов от виртуальных конфигураций n1 и n+1 в эффективный обмен ный параметр (k1 = k2 = 0) определяется их спинами. Связь антиферромагнитна, если Sn+1 = Sn1 = Sn ± 1 и ферромагнитна, если Sn+1 Sn1 = ±1.

Похожие правила для связи между орбитальным моментом (k1 = k2 = 1, 1 = 2 = 0) получаются после подстановки явных значений для 6j-коэффициентов в (D.28). Орбитальное обменное взаимодействие “антиферромагнитно” если обе раз ницы ± = L(L + 1) + l(l + 1) Ln±1 (Ln±1 + 1) (D.29) имеют одинаковый знак и “ферромагнитно” в противоположном случае.

В реальных ситуациях, форма обменных гамильтонианов сильно модифицирует ся кристаллическим полем (КП) которое замораживает, по крайней мере частично, орбитальный момент. Даже в случае среднего КП, нужно рассматривать, вместо многоэлектронных SL-термов, соответствующие неприводимые представления то чечных групп. Кроме этого, перекрытие между частично занятыми d(f )-оболочками и, последовательно, прямой обмен как правило мал, поэтому нужно учесть более сложный механизм косвенного обменного взаимодействия посредством немагнитных атомов [661]. Кинетический обмен можно рассматривать как частный случай косвен ного обменного взаимодействия (косвенное взаимодействие через валентную зону).

Случай узких зон металлов или полупроводников с неполным заполнением, где об менное взаимодействие усреднено соответствующими носителями (случай “двойного обмена”) [668] может быть описан с помощью модели Хаббарда и s d обменной модели с сильными корреляциями. Соответствующие гамильтонианы (D.28), (I.10) описывают взаимодействие электронов с спиновыми и орбитальными степенями сво боды. В этом случае обменное взаимодействие не сводится к гейзенберговской форме.

Приложение E Спиновые волны в гейзенберговских магнетиках и метод функций Грина Экспоненциальное поведение намагниченности при низких температурах в прибли жении среднего поля (4.20) противоречит экспериментальным данным и по изоля торам, и по металлическим ферромагнетикам. При T TC спектр возбуждений и термодинамика модели Гейзенберга могут быть исследованы подробнее. Это дости гается переходом от спиновых операторов S z, S ± = S x ± iS y к бозе-операторам, что соответствует слабо взаимодействующим возбуждениям в ферромагнетике - спино вым волнам (магнонам). Самый простой способ сделать это - использовать пред ставление Гольштейна-Примакова 1 † 1/ S z = S b† b, S † = (2S)1/2 (1 b b) b, (E.1) 2S 1† S = (2S)1/2 b† ( b b) 2S Как факт, это представление хорошо определено только на базисе физических со стояний, для которых отклонения спина (числа заполнения магнонов) на узле не превышают 2S.. В отличие от представления (E.1), представление идеальных бозо нов Дайсона-Малеева S z = S b† b, (E.2) 1 † 1/ S † = (2S)1/2 (1 S = (2S)1/2 b† b b) b, 2S не содержит иррациональных функций от операторов Бозе, но является неэрмито вым. Это приводит к ошибкам, которые экспоненциально малы при низких темпе ратурах.

Выполняя разложение (E.1) по квазиклассическому параметру 1/2S, приводим Гамильтониан Гейзенберга (4.9) к виду q b† bq + (Jq + Jp 2Jqp )b† b† bp bq+rp +...

H= q qr q pqr q = 2S(J0 Jq ) (E.3) Первый член Гамильтониана (E.3) описывает систему магнонов с частотами q, вто рой член - динамическое взаимодействие (магнон-магнонное рассеяние). При малом q для кубической решетки получаем q = Dq 2, D = J0 S Tc /2S(S + 1) (E.4) Величина D называется константой спиновой жесткости. Поправки, зависящие от температуры, к спин-волновому спектру из-за магнон-магнонного взаимодействия получаются расцеплением второго члена (E.3) с использованием теоремы Вика (Jq + Jp Jpq J0 )Nq, Nq = b† bq q = 2 (E.5) q p и пропорциональны T 5/2. Температурная зависимость намагниченности соответству ет закону Блоха 3/ q 2 dq v0 3 v0 T Sz = Np = = (E.6) 2 2 exp(Dq 2 /T ) 1 8 3/ 2 D p где v0 - объем кристаллической ячейки, (x) - дзета-функция Римана.

Теперь рассмотрим случай антиферромагнетика. Будем рассматривать общий случай спиральной структуры, описываемой волновым вектором Q. Соответствую щая классическая спиновая конфигурация записывается следующим образом Siy = S sin QRi, Six = S cos QRi, Siz = 0 (E.7) В частности, для обычного "шахматного"упорядочения в простой кубической ре шетке имеем Q = (), и в случае ферромагнитных плоскостей с чередующимся направлением намагниченности Q = (0,0, ). Удобно ввести локальную систему коор динат, в которой спины на каждом узле направлены вдоль новой локальной z-оси:

Six Siz cos QRi Siy sin QRi, (E.8) Siy Siz sin QRi + Six cos QRi, Siz Six Переходя от операторов спина в локальной системе координат к операторам спи новых отклонений с использованием (E.1), представим Гамильтониан Гейзенберга в следующем виде [Cq b† bq + Dq (bq bq + b† b† )] +...

H= (E.9) q q q q Cq = S[2JQ (JQ+q + JQq ) Jq ], Dq = S[ (JQ+q + JQq ) Jq ] Гамильтониан (E.9) может быть диагонализован преобразованием Боголюбова Тябликова † bq = uq q vq q, (E.10) 1 Cq 1 Cq u2 = + 1, vq = q 2 q 2 q и получаем † H = const + q q q +... (E.11) q где спин-волновой спектр имеет вид q = (Cq Dq )1/2 = 2S{[JQ (JQ+q + JQq )][JQ Jq ]}1/ 2 (E.12) Частота спиновой волны имеет тенденцию стремиться к нулю и при q 0, и при q Q, при этом q-зависимость линейна, в отличие от случая ферромагнетика (здесь не обсуждается магнитная анизотропия, которая приводит к искажению спектра спиновых волн при малых q, |q Q| [15,16]). Используя теорему Вика для четверных членов, которыми пренебрегли в Гамильтониане (E.9), можно получить поправки к Cq и Dq из-за магнон-магнонного взаимодействия Cq = (4JQ + 2JQ+qp + 2JQqp 2Jp 2JQ (E.13) 2 p JQ+q JQq 2JQ+p ) b† bp (JQ+p Jp ) b† bp p p p (JQ+q + 2JQ+p + JQq 2Jq 2Jp ) b† bp Dq = p 2 p (JQ+p + Jp ) b† b† + p p p Низкотемпературное поведение намагниченности подрешетки имеет следующий вид S = S z = S b† b = S u2 Nq + vq (1 + Nq ) (E.14) q q so that S(T ) (T /TN ) Спин-волновой подход позволяет получить интерполяционное описание ферромаг нетика Гейзенберга во всем температурном диапазоне. Это было сделано Тяблико вым [357] с использованием метода функции Грина. Определим антикоммутаторную (коммутаторную) двухвременную запаздывающую функция Грина для операторов A и B [671] ± dteiEt [eiHt AeiHt, B]±, A|B = Im E 0 (E.15) E Функция Грина (E.15) удовлетворяет уравнению движения ± ± E A|B = [A, B]± + [A, H]|B (E.16a) E E или ± ± E A|B = [A, B]± + A|[H, B (E.16b) E E и таким образом выражается через более сложные функции Грина. Как видно из (E.16), удобно использовать коммутаторную функцию Грина в случае операторов бозе-типа A, B (для которых коммутатор [A, B], который стоит в среднем, будет "более простым"оператором), и антикоммутаторную - в случае операторов Ферми типа. В случаях свободных бозонов и фермионов, для которых Гамильтониан имеет диагональную форму, уравнения (E.16) упрощаются и получаем 1 ck |c† + bq |b† =, = (E.17) q E k q E Ek Вычисление функции Грина позволяет получить соответствующие термодинамиче ские средние, используя спектральное представление 1 1 ± BA = dE Im A|B (E.18) E+i eE/T ± В частности, из (E.17) получаем c† ck = f (Ek ) b† bq = NB (q ), (E.19) q k В общем случае, бесконечная последовательность уравнений (E.16) может быть "расцеплена"выражением функции Грина с более высоким порядком через более простые. В случае взаимодействующих квазичастиц функция Грина может быть выражена через уравнение Дайсона bq |b† = [ q q ()]1 (E.20) q ck |c† = [E Ek k (E)] E k Вещественная часть собственной энергии (или поляризационного оператора )) дает энергетический сдвиг, а мнимая часть определяет затухание квазичастиц. При условии, что гамильтониан взаимодействия содержит малый параметр, метод урав нений движения позволяет провести разложение по возмущению в удобном виде.

В частности, применяя оба уравнения (E.16), получим выражение для собственной энергии [ck, Hint ] k ck |[Hint, c† ] k c† irr k (E) = k + E, k k [ck, Hint ], c† k = (E.21) k где символ "irr"означает, что расходящиеся вклады, содержащие знаменатели (E k )n, должны быть опущены при дальнейших вычислениях неприводимой функ ции Грина (E.21). В этой книге применяется метод двухвременной запаздывающей функции Грина к различным многоэлектронным моделям, описывающим высоко коррелированные d- и f-системы. В теории переходных металлов, эта методика очень полезна, так как приходится встречаться с операторами, которые не обла дают простыми коммутационными соотношениями, и таким образом стандартные диаграммные разложения [27] неприменимы. Таковыми являются многоэлектронные X-операторы Ферми и Бозе типа (Приложение A) и спиновые операторы (Приложе ние B). Ниже кратко опишем вывод уравнения Тябликова для намагниченности в модели Гейзенберга для спина S = 1/2 (общий случай обсуждается в Приложении F с использованием подхода X-операторов Хаббарда). Запишем уравнение движения для коммутаторной поперечной спиновой функции Грина + = 2 Sz + 2 z+ ( H) Sq |Sq (Jpq Jp ) Sp Sqp |Sq p Присутствие множителя 2 S z по сравнению с (E.17) связано с небозевскими комму тационными соотношениями для операторов спина. Результат (E.22) имеет силу для произвольного значения S.. Для S = 1/2, используя (E.18) и тождество Выполняя простейшее расцепление для различных узлов решетки, получаем 2 Sz +, q = 2 S z (J0 Jq ) + H Sq |Sq = (E.22) q Si Si+ Siz = (E.23) получаем самосогласованное уравнение для S z S z = [1 + 2 NB (q )] 2 q которое может быть преобразовано к виду 2 S z (J0 Jq ) + H Sz = coth (E.24) 2 T q Уравнение (E.24) отличается от уравнения в приближении среднего поля (4.14) присутствием дисперсионной (q-зависимость) спектра возбуждения. Такой подход удовлетворительно описывает термодинамику модели Гейзенберга и при высоких, и при низких температурах, хотя члены более высокого порядка в низкотемпера турном разложении не вполне согласуются со строгими результатами Дайсона (в частности, появляются паразитные T -члены в намагниченности). Многочисленные попытки улучшить область спин-волнового описания, используя более сложные про цедуры расцепления (см. [357]), привели ухудшению интерполяции. Значения фер ромагнитной и парамагнитной температур Кюри в приближении Тябликова для про извольного значения S имеют вид S(S + 1) Tc = (E.25) 3 J0 Jq q S(S + 1) = J0 (E.26) и несколько различаются (результат теории среднего поля (4.18) получен из (E.25) усреднением знаменателя по q, то есть в самом низком порядке по 1/z). Соответ ствующие выражения для антиферромагнетика получаются из (E.25), (E.26) заме ной J0 Jq. В конце этого Приложения обсудим еще один метод в теории гейзен берговских магнетиков [672]. Чтобы учесть кинематические взаимодействия, в этом подходе в представление Дайсона-Малеева (E.2) вводятся вспомогательные псевдо фермионные операторы c:

S z = S b† b (2S + 1)c† c, S = (2S)1/2 b† (E.27) 1† S † = (2S)1/2 1 b b b 2(2S + 1)(2S)1/2 bc† c 2S Функция распределения бездисперсионных фермионов оказывается следующей c† ci = NB ((2S + 1)H), H = H = 2J0 S z (E.28) i Видно, что псевдофермионные операторы исключают нефизические состояния, для того чтобы экстраполяция к высоким температурам стала возможной. В частности, пренебрегая дисперсией возбуждений спиновых волн, получаем из (E. 27), (E. 28) S z = S NB (H) + (2S + 1)NB ((2S + 1)H) = S BS (S H/T ) (E.29) Таким образом, получаем повторно уравнение для намагниченности в приближении среднего поля (4.15).

Приложение F Метод операторов Хаббарда в модели Гейзенберга Подход операторов Хаббарда в модели Гейзенберга Использование операторов Хаб барда дает возможность получить простым способом главные результаты теории гейзенберговских магнетиков. В частности, этот формализм позволяет принять во внимание сильную одноионную магнитную анизотропию в приближении нулевого порядка [673-677]. Гамильтониан модели Гейзенберга с произвольной одноузельной анизотропией имеет вид H= Jij Si Sj + Ha = Jq Sq Sq + Ha (F.1) q ij (Six, Siy, Siz, H) Ha = (F.2) i где Jq - Фурье компоненты обменных параметров, H - внешнее магнитное поле, - произвольная функция. Следует заметить, что, как следует из результатов При ложения C, гамильтониан (F.1) с S L описывает систему взаимодействующих орбитальных моментов в промежуточном кристаллическом поле, Ha имеет смысл гамильтониана кристаллического электрического поля. Таким образом, анизотроп ная модель Гейзенберга может применяться к проблеме подавления орбитальных моментов. Сначала рассмотрим ферромагнетик с легкой осью, для которого (Siz ) H Siz Ha = (F.3) i i Используем представление операторов момента через операторы Хаббарда (Прило жение B) S S Si± Siz = S (±M )Xi (M ± 1, M ), = M X(M, M ) M =S M =S S (M ) [(S M )(S + M + 1)]1/2 (F.4) Тогда гамильтониан анизотропии примет диагональную форму Ha = [(M ) + HM ]Xi (M, M ) (F.5) iM Удобно ввести коммутаторную функцию Грина + Gq () = Sq |Sq, (F.6) GqM () = Xq (M + 1, M )|Sq Запишем уравнение движения ( H (M + 1) + (M ) 2J0 S z )GqM () = S (M )(NM +! NM )[1 Jq Gq ()] (F.7) в котором выполним простейшее расцепление, соответствующее расцеплению Тяб ликова на различных узлах (E.22), NM = X(M, M ) После суммирования по M получаем S () Gq () = (F.8) 1 + Jq S () где S (M )(NM +1 NM ) S () = (F.9) H (M + 1) + (M ) 2J0 S z M Структура выражения (F.8) напоминает функцию Грина в теории коллективизи рованного электронного магнетизма (см. Приложения G,H). Спектр возбуждений определяется уравнением 1 + Jq S () = 0 (F.10) и содержит 2S ветви. Выражения (F.7), (F.8) позволяют вычислить числа заполне ния NM и получить самосогласованное уравнение для намагниченности Sz = M NM (F.11) M Для простоты ограничимся анализом этого уравнения в изотропном случае, кото рый приводит к (E.22). Используя правила умножения для операторов Хаббарда и спектральное представление (E.18), получаем Si Xi (M + 1, M ) = S (M )NM (F.12) = S (M )(NM +1 NM ) NB (q ) q Тогда система для NM имеет вид NM = (NM +1 NM )PS, NM = 1, PS NB (q ) (F.13) q M Решая эту систему, получим уравнение для S z [675] S z = SBS (S ln(PS /[1 + PS ])) (F.14) Уравнение (F.14) имеет вид, который несколько отличается от стандартного [357], и является более удобным. Теперь обсудим общий случай [675-677]. Гамильтониан (F.2) может быть диагонализован, что дает Ha |µ = Eµ |µ (F.15) Собственные функции µ могут быть выражены через собственные функции |M оператора S z :

|µ = cµM |M (F.16) M Тогда спиновые операторы можно представить через операторы Хаббарда следую щим образом Si+ = cµ/ M c +1 S (M )Xi (µ, µ/ ) (F.17) µ,M µµ/ M Siz = cµ/ M c M Xi (µ, µ/ ) (F.18) µ,M µµ/ M Для H|| S z в простейшем приближении среднего поля можно учесть межузельное обменное взаимодействие, заменяя H на эффективное поле H = H + 2J0 S z (F.19) Тогда числа заполнения NM получаются следующим образом |cµM |2 exp(Eµ /T ) µ NM = |cµM | Nµ = (F.20) µ exp(Eµ /T ) µ Рассмотрим ферромагнетик типа легкая плоскость, для которого (Six )2 H Siz, Ha = 2D D0 (F.21) i i Результаты оказываются существенно разными для целочисленных и полуцелых спинов. (Такая разница типична для квантовых спиновых систем, см., например, [678]). Это происходит из-за того, что основное состояние иона с целым S - синглет, и возбужденные магнитные состояния отделены энергетической щелью.


В частно сти, для S = 1 имеем [673] |1,3 = cos | ± 1 ± sin | 1 (F.22) (H 2 + D2 )1/2, E1,3 = D E2 = 2D где H D cos 2 =, sin 2 = (F.23) (H 2 + D2 )1/2 (H 2 + D2 )1/ Согласно (F.10), (F.20) уравнение для намагниченности имеет вид cos 2 sinh[(H 2 + D2 )1/2 /T ] Sz = (F.24) cosh[(H 2 + D2 )1/2 /T ] + 1 exp(D/T ) При нулевых температуре и магнитном поле получаем [1 (D/2J0 )2 ]1/2, D 2J Sz = (F.25) 0, D 2J Таким образом, при D 2J0 основное состояние |1 - наложение синглетных состо яний |1 и | 1 (sin = cos ), и ферромагнитное упорядочение подавляется. Сильно анизотропные системы с легкой плоскостью проявляют также нетривиальное пове дение намагниченности при изменении магнитного поля [679,680], что напоминает о поведении удельной проводимости Холла в случае квантового эффекта Холла [681].

Для полуцелых S, основное состояние упорядоченно при произвольных D. Однако, значение намагниченности уменьшается из-за смешивания состояний с различными значениями M полем анизотропии. Так, для S = 3/2 имеем |1,4 = cos ± | ± 3/2 sin ± | 1/2 (F.26) |2,3 = cos | ± 1/2 sin | 3/ 1 E1,4 = (5D H) E±, E2,3 = (5D ± H) E 2 где cos ± = [H ± D + E± ]/[3D2 + (H ± D + E± )2 ]1/ E± = [(H ± D)2 + 3D2 ]1/2 (F.27) Можно видеть, что нижний уровень |1 - смесь состояний с M = 3/2 и M = 1/2.

Намагниченность при T = 0 равняется 6D Sz = (F.28) 2 3D2 + (H + D + E+ ) J получаем из (F.28) S z = 1, и основное состояние - дублет.

При D Для кубических анизотропных ферромагнетиков имеем (Six )4 + (Siy )4 + (Siz )4 H Siz Ha = K (F.29) 2 i i При S 3/2 одноионная кубическая анизотропия не проявляется из-за кинематиче ских причин. Для S = 2 получаем |1,2 = cos | ± 2 ± sin | 2, |3,4 = | ± 1, |S = | E1,2 = C E, E3,4 = C + K H, ES + C K (F.30) E = (H 2 + K 2 )1/ C= K, где 2H + E D cos =, sin = (F.31) [K 2 + (2H + E)2 ]1/2 [K 2 + (2H + E)2 ]1/ Рассмотрим случай K 0, так что направление легкого намагничивания совпадает с осью z. Тогда основное состояние - |1.. Уравнение для намагниченности имеет вид 2 cos 2 sinh(/T ) + exp(K/T ) sin(H/T ) Sz = (F.32) cosh(/T ) + 1 exp(K/T ) + exp(K/T ) cos(H/T ) Намагниченность основного состояния записывается следующим образом S z = 2[1 (K/8J0 )2 ]1/2 (F.33) и исчезает при K 8J. Ферромагнитное упорядочение при большом значении K так же не происходит для S = 4. Таким образом, орбитальные моменты L = 2 и L = подавляются кубическим кристаллическим полем. Внутриатомное орбитальное об менное взаимодействие, которое требуется для их размораживания, определяется из (F.19), (F.32). Для S = 5/2, 3 и 7/2 основное состояние оказывается всегда упорядо ченным, значения S z при T = 0 в пределе сильной анизотропии будут 11/6, 3/2 и 7/6 соответственно [676].

Приложение G Электрон-магнонное взаимодействие в магнитных металлах В этом Приложении будет вычислен спектр одночастичных и спин-волновых воз буждений в металлических магнетиках. С этой целью используем многоэлектрон ные модели, которые позволяют описывать влияние межэлектронных корреляций.

Простейшая модель такого типа - модель Хаббарда. В случае невырожденной зоны ее гамильтониан имеет вид tk c† ck + Hint, H= (G.1) k k c† ci c† ci Hint = U i i i где U - параметр отталкивания на узле. Модель Хаббарда широко использовалась для рассмотрения коллективизированного электронного ферромагнетизма, так как она учитывает самую большую часть кулоновского взаимодействия - внутриатом ную. Несмотря на очевидную простоту, эта модель содержит очень богатую физику и ее строгое исследование является весьма трудной проблемой.

Помимо модели Хаббарда, для теоретического описания магнитных металлов иногда удобно использовать s-d(f) обменную модель. Модель s-d обмена была снача ла предложена для переходных d-металлов, чтобы рассмотреть особенности их элек трического сопротивления [265]. Эта модель постулирует существование двух элек тронных подсистем: коллективизированных "s-электронов", которые играют роль носителей тока, и локализованных "d-электронов", которые дают главный вклад в магнитный момент. Такое предположение едва ли может быть количественно под тверждено для d-металлов, но все же оно может быть полезным при качественном рассмотрении некоторых физических свойств (особенно явлений переноса). В то же самое время, s-f обменная модель о беспечивает хорошее описание магнетизма в ред коземельных металлах и их соединениях с хорошо локализованными 4f-состояниями.

Гамильтониан s-d(f) модели в простейшей форме имеет вид tk c† ck H= Jq Sq Sq + Hint k q k Hs + Hd(f ) + Hint (G.2) (Si )c† ci Hint = I i i где Sq - операторы локализованных спинов, - матрицы Паули, I - параметр s-d(f) об менного взаимодействия, которое предполагается контактным (вывод s-d(f) модели в более общем случае рассматривается в Приложении K), Jq - Фурье компоненты об менных параметров между локализованными спинами. В редкоземельных металлах последнее взаимодействие обычно является косвенным РККИ обменом через элек троны проводимости, причиной которого является то же самое s-f взаимодействие.

Однако при построении теории возмущений удобно включить это взаимодействие в нулевой гамильтониан.

Имея более сложную форму, s-d модель оказывается в некотором отношении бо лее простой, чем модель Хаббарда, так как в этой модели возможно выполнить квазиклассическое разложение по малому параметру 1/2S. При использовании про стых аппроксимаций, результаты s-d(f) модели и модели Хаббарда отличаются как правило только заменой I U.

Ниже будет проделано систематическое исследование спин-волновых и электрон ных спектров проводящих ферро- и антиферромагнетиков в рамках вышеупомя нутых моделей. Будут продемонстрированы сходства и различия по сравнению с магнитными изоляторами, которые обладают локализованными моментами и опи сываются моделью Гейзенберга.

G.1 Ферромагнетики Следуя главным образом статье [338], рассмотрим здесь спин-волновую теорию хаб бардовских ферромагнетиков. Мы используем в качестве приближение нулевого по рядка спин-расщепленные стонеровские состояния. (Предел сильных корреляций об суждается в п.4.6 и Приложениях H, J.) Простейшее приближение Хартри-Фока (Стонера) в модели Хаббарда, которое формально соответствует теории возмуще ний первого порядка по U, дает электронный спектр следующего вида n S z ) tk Ek = tk + U n = tk + U ( (G.3) так что имеем для спинового расщепления = U (n n ) = 2U S z (G.4) и U играет роль параметра Стонера. Расцепление Хартри-Фока не учитывает кор ректно формирования "двоек", то есть дважды занятых состояний на узле. (Это может быть сделано с использованием многоэлектронного приближения Хаббарда [28-31], см. Приложение H). Следует обратить внимание, что этот недостатоу не иг рает роли для насыщенного ферромагнитного состояния.

В отличие от теории Стонера, модель Хаббарда позволяет описывать спин волновые возбуждения в коллективизированном ферромагнетике. Представим Га мильтониан взаимодействия в следующем виде U U c† ck + + Hint = (Sq Sq + Sq Sq ) (G.5) k 2 2 q k где вводятся фурье-компоненты операторов спиновой плотности c† ck+q, c† ck+q + Sq = Sq = (G.6) k k k k (c† ck+q c† ck+q ) z Sq = k k 2 k Первый член в (G.5) дает перенормировку химического потенциала и может быть опущен. Рассмотрим спиновую функцию Грина + Gq () = Sq |Sq Записывая цепочку уравнений движения для нее, получаем (tk+q tk ) c† ck+q |Sq Gq () = 2 S z + (G.7) k k ( tk+q + tk ) c† ck+q |Sq k = (nk nk+q )[1 U Gq ()] (G.8) где введена неприводимая функция Грина Lkqp = c† Sp ck+qp c† + + k+p Sp ck+q k + pq (nk nk+q )Sq |Sq (G.9) (cимвол означает, что хартри-фоковские расцепления должны быть исключе ны).Подставляя (G.8) в (G.7) получаем S z q ()/U Gq () = (G.10) q () q () tk+q tk q () = U (nk nk+q ) (G.11) tk+q tk + k где поляризационный оператор определяется функцией Грина (G.9). Пренебрегая функцией, получаем приближение случайных фаз (RPA). В отличие от стандарт ного вида q () Gq () = (G.12) 1 U q () где nk nk+q q () = + tk tk+q k представление (G.10) явно дает магнонный (спин-волновой) полюс A nk q q (0) = (G.13) kq k причем tk+q tk A = U (G.14) kq tk+q tk + имеет смысл амплитуды электрон-магнонного взаимодействия. При разложении по q получаем q = D q q где 2 tk U 1 tk tk D = (nk + nk ) (nk nk ) (G.15) k k k k k компоненты тензора спин-волновой жесткости. В случае слабого ферромагнетика ( EF, U ) получаем 2 tk 2 nk 1 tk tk 3 nk U D = + (G.16) k k t2 6 k k t 4 k k k так что D. Магнонное затухание в RPA имеет следующий вид nk (1) q () = Im q () = U ( tk+q + tk ) (G.17) tk k (1) (1) q q (q ) U q N (EF )N (EF )(q ) (G.18) где (x) - ступенчатая функция. = (q0 ) есть пороговая энергия, которая опре деляется условием вхождения в стонеровский континуум (распад стонеровских воз буждений, то есть электронно-дырочных пар), q0 является минимальным (по k) ре шением уравнения tk+q0 = tk = EF (G.19) Величина определяет характерный энергетический масштаб, разделяющий две температурных области: вклады от спиновых волн (полюсы функции Грина (G.10)) преобладают при T, а вклады от возбуждений Стонера (разреза) при T.

В случае слабых ферромагнетиков вклад разреза в спиновую функцию Грина можно приближенно рассматривать как парамагнонный полюс с комплексным, и таким образом получаем = D(kF kF )2 3 Tc2 /EF q0 = k F k F, (G.20) Так как q0 мало, при малых q q0 вместо (G.18) получаем U v0 (1) q (q ) (m ) A/q (G.21) q Оценка (G.20) справедлива также для s-d(f) обменной модели с косвенным РККИ взаимодействием, для которого D Tc /S I 2 S/EF (G.22) Затухание при очень малых q q0 (когда (G.17) исчезает) возникает из-за двух магнонных процессов рассеивания. Чтобы рассмотреть их, необходимо вычислить функцию в ведущем порядке по флуктуационной части кулоновского взаимодей ствия. Записывая уравнение движения для функции Грина (G.9), получаем (A )2 [B(k, k + q p,p ) + B(k + p, k + q,p ) q () = kq pk B(k + p,k,p ) B(k + q, k + q p,p )] (G.23) где Np (nk nk ) + nk (1 nk ) B(k, k, ) = tk + tk Требуемое магнонное затухание дается мнимой частью (G.23). После некоторых пре образований получаем (A )2 (nk nk+qp ) [Np NB (p )] (2) q () = kq kp ( + tk tk+qp p ) (G.24) Интегрирование для изотропного электронного спектра дает [682,683] q v0 q /35, T q (2) q () = kF (G.25) (T /4) ln(T /q ) +, T q 12 3 4 S z Вещественная часть (G.23) описывает температурную зависимость спиновой жест кости, появляющуюся вследствие двухмагнонных процессов (кроме простейшего T 2 вклада, который появляется из температурной зависимости функций распределения Ферми в (G.10)). Спин-волновой вклад связан с магнонными функциями распреде ления и пропорционален T. Более интересен неаналитический многоэлектронный вклад, обусловленный функциями Ферми:


1 tk tk nk (1 nkp ) D = + (G.26) 4 Sz 2 k k tk tkp p pk nk+p (1 nk ) nk+p (1 nk ) nk (1 nkp ) + tk+p tk p tk+p tk p tk tkp p Выполняя интегрирование для параболических спектров электронов и магнонов (tk = k 2 /2m, q = Dq 2 ), получаем v0 T 1 T D(T ) = N (EF ) ln 12 S z m D + max(, T ) 2N (EF )N (EF ) ln (G.27) + где ± = D(kF ± kF )2, N (EF ) = m v0 kF /2 2 (G.28) При T + мы получаем v0 T 1 T [N (EF ) N (EF )]2 ln D(T ) = (G.29) 12 S z m D + Следует отметить, что поправки (G.27) преобладают при низких температурах над вышеупомянутыми T 2 -членами, что демонстрирует важную роль поправок к RPA приближению. К сожалению, член T 2 ln T еще не рассматривался при анализе спек тра магнонов в ферромагнитных металлах. Видно, что температурные зависимости спин-волновых характеристик в проводящих магнетиках значительно отличаются от поведения в модели Гейзенберга.

Чтобы получить поправки к приближению Стонера для электронного спектра (G.3), необходимо вычислить одноэлектронную функцию Грина ck |c† = [E tk k (E)] Gk (E) = (G.30) E k Для собственно-энергетической части получаем [573] d NB () + nk+q, k (E) = U 2 Im Sq |Sq (G.31) E tk+q, + q Сохраняя только вклад магнонных полюсов в спектральную плотность (то есть пре небрегая затуханием спиновых волн), можно записать 1 = 2 S z ( q ) Im Sq |Sq (G.32) так что Sq Sq = 2 S z Np + (G.33) Тогда получаем Nq + nk+q k (E) = U E tk+q + q q 1 + Nq nkq k (E) = U (G.34) E tkq q q Результаты (G.34) справедливы в s-d модели (U I) в первом порядке по малому параметру 1/2S [323]. Принимая во внимание соотношение S z = S0 Np (G.35) p где S0 - намагниченность насыщения, получаем для спин-волновых поправок к энер гии электрона A Nq Ek (T ) = (G.36) kq q 5/2 2 tk v0 (5/2) T tk = 2 S z 32 3/2 2 U Sz D kx k Зависимость электронного спектра T 5/2, обусловленная магнонами, более слаба, чем зависимость намагниченности T 3/2. Этот факт связан с обращением в нуль амплиту ды электрон-магнонного взаимодействия A при нулевом волновом векторе магнона, что связано с симметрией обменного взаимодействия. Подобное ослабление темпе ратурной зависимости спинового расщепления наблюдалось в железе [145]. Следует отметить, что зависимость T 5/2 также имеет место в ферромагнетике с хаббардов скими подзонами [337,338].

Одноэлектронные числа заполнения получаются через спектральное представле ние для антикоммутаторной функции Грина (G.30):

c† ck = f (tk + Re k (tk )) (G.37) k Np (nk+p nk ) + nk+p (1 nk ) +U (tk+p tk p ) p c† ck = f (tk + Re k (tk )) (G.38) k Np (nk nkp ) + nk (1 nkp ) +U (tkp tk + p ) p где второй член происходит от мнимой части собственной энергии. Сохраняя только магнонные вклады до T 3/2, получаем S0 + S z S0 S z c† ck nk + nk (G.39) k 2S0 2S где S z определяется из (G.35). Таким образом, несмотря на присутствие спинового расщепления, электронные числа заполнения имеют сильную зависимость T 3/2, а не экспоненциальную зависимость (как в теории Стонера). Эта зависимость возни кает из-за процессов испускания и поглощения тепловых магнонов. Таким образом спиновая поляризация электронов проводимости n n P= (G.40) n + n равняется относительной намагниченности, что очевидно для коллективизирован ных ферромагнетика. Однако такое поведение имеет место также для произвольных проводящих ферромагнетиков, например, для ферромагнитных полупроводников, которые описываются s-d(f) обменной моделью [329]. Формально, T 3/2 - зависимость P(T) имеет место из-за сильной температурной зависимости вычетов электронных функций Грина и появления неквазичастичных состояний в "чужой"спиновой под зоне вследствие электрон-магнонного рассеивания. Картина плотности состояний обсуждается более детально в п.4.5.

Рассмотрим поправки к намагниченности S z. Имеем n Sz = + Sq Sq ni ni (G.41) 2 q Первое среднее, входящее в (G.41), рассчитывается из спектрального представления функции Грина RPA (G.10):

+ Sq Sq = 2S0 Nq (q q0 ) (G.42) (1) 1 NB ()q ()( )/U + Sq Sq = d (q q0 ) (G.43) (1) [ Re q ()]2 + [q ()] Используя соотношение NB (tk+q tk )(nk nk+q ) = nk+q (1 nk ) (G.44) мы получаем из (G.43) (tk+q tk )2 nk+q (1 nk ) + Sq Sq = (G.45) (1) ) (tk+q tk q + q (tk+q tk ) k В отличие от (G.41), (G.42), истинный блоховский спин-волновой вклад в намагни ченность должен даваться (G.35), так как каждый магнон уменьшает S z на едини цу. Согласие может быть восстановлено, если учесть не только магнонный полюс, но и вклад от разреза. Заменяя в (G.45) nk c† ck и используя (G.39), получаем k Sz = Nq [2S0 + (G.46) SW q (tk tk )2 (nk nk ) + (1 nk + nk ) Nq (tk tk kk ) 2S0 q kk где мы пренебрегаем спиновым расщеплением в знаменателе.

Полуфеноменологически удобно ввести "магнонные"операторы, которые удовле творяют в среднем коммутационным соотношениям Бозе:

bq = (2S0 )1/2 Sq, + b† = (2S0 )1/2 Sq (G.47) q Тогда получаем Sz = b† bq = + Sq Sq (G.48) q (2S0 ) q q Выполняя интегрирование по в (G.43) при T = 0, получаем (1) 1 q W z S = ln (G.49) q q q где W - ширина зоны. Этот вклад описывает уменьшение намагниченности из-за затухания магнонов в основном состоянии, проявляющееся из-за возбуждений Сто нера. Для параболического электронного и магнонного спектров, пренебрегая зату ханием в знаменателе (G.43), получаем при низких температурах T nk (1 nk ) Sz U cl (tk tk kk ) kk m v0 U W W = + ln ln 2 2 4D + 2 2 2 1 + T (G.50) 3 + где ± определена в (G.28). Для слабого ферромагнетика, температурная поправка к S z в (G.50) пропорциональна (T /TC )2, что находится в согласии с самосогласован ной перенормированной теорией [296,26]. Следует обратить внимание, что получен ная T 2 -поправка является намного большей, чем вклад Стонера порядка (T /EF )2.

Учет затухания при низких T влияет только на числовые коэффициенты в (G.50).

В то же самое время, при высоких T затухание в знаменателе преобладает при малых q в случае слабого ферромагнетика. Принимая во внимание (G.21), получаем из (G.43) 4/ Aqdq T + Sq Sq = dNB () (G.51) (Dq 2 )2 + A2 2 /q U EF Таким образом, мы получаем из (G.41) поправку к намагниченности вида T 4/3, что совпадает с результатом скейлинговой теории фазовых переходов вблизи T = TC.

Для ферромагнетика с хорошо локализованными магнитными моментами затухани ем можно пренебречь, и мы получаем [716] Sz I 2 ln(T / ) (G.52) el Рассмотрим перенормировку электронной теплоемкости в коллективизирован ном ферромагнетике из-за взаимодействия со спиновыми флуктуациями. Интегри рование в (G.34) при T=0 дает U |E | Re (kF, E) = N (EF ) (E ) ln (G.53) + W =± Тогда обратный вычет электронной функции Грина Zk (E) = 1 Re k (E) E принимает форму U E + Z (kF, EF ) = 1 + N (EF ) ln (G.54) + E Величина (G.54) определяет перенормировку электронной эффективной массы из-за электрон-магнонного взаимодействия. Таким образом, для коэффициента при ли нейном члене в электронной теплоемкости (T ) получаем (0) = /Z (kF, EF ) = N (EF ) [1+ U + + N (EF ) ln (G.55) + Для слабых коллекитвизированных ферромагнетиков имеем + ln 2 ln(U N (EF ) 1) (G.56) так что выражение (G.55) описывает парамагнонное увеличение теплоемкости [297,573] обсуждаемое в п.4.4. Численный коэффициент в (G.55) неточен в этом пределе из-за пренебрежения продольными спиновыми флуктуациями (см.[26]). С другой стороны, наше рассмотрение не ограничивается случаем слабых ферромаг нетиков. Это важно, поскольку значительное повышение удельной теплоты из-за спиновых флуктуаций наблюдается во множестве сильных ферромагнетиков. На пример, экспериментальное значение в системе CeFe1x Cox S2 (где при увеличении x происходит ферро-антиферро переход ) в ферромагнитной фазе = 48 мДж/моль K2 (x = 0), что превышает в два раза теоретическое значение, полученное из рас четной плотности состояний, и значительно больше, чем значения в пара- и анти ферромагнитных фазах [684].

Другие термодинамические свойства могут быть исследованы при вычислении свободной энергии системы. При низких T многоэлектронный вклад от разреза имеет вид 1 + Fel = q Sq Sq (G.57) 2S0 qq nk (1 nk ) U Fel (0) + Fel (T ) tk tk + kk kk где m v 1 W 1 W W (1) 2 Fel (0) = q ln + ln ln (G.58) 2 q 8D + q U + N (EF ) T 2 ln Fel (T ) = (G.59) + 3 max(, T ) Спин-волновой вклад в свободную энергию имеет форму, обычную для бозе возбуждений с квадратичным законом дисперсии FSW = H SW, (G.60) T 5/ 3v0 H = q Nq = SW 16 3/2 D3/ qq Зависящие от температуры поправки к физическим свойствам получаются из (G.59), (G.60). Дифференцируя (G.59) по T, получаем Cel = Fel (T ) (G.61) T 2 Sz 2 2 + = U2 N (EF )N (EF ) T ln + 3 max(, T ) Таким образом, при T получаем вместо (G.55) зависимость теплоемкости вида T ln T.

Рассмотрим локальный магнитный момент на узле S z = (n 2N2 ), N2 = ni ni (G.62) Число двоек N2 может быть определено с помощью теоремы Геллмана-Фейнмана N2 = F/U. При T получаем Sz (T /)2 S z (T /Tc )5/ el (T ) el (T ) (G.63) Таким образом, температурная зависимость спин-волнового вклада в S2 более сла ба, чем температурная зависимость спин-волнового вклада в S z, что оправдыва ет пренебрежение им в обсуждении намагниченности, которое было сделано выше (G.41). При высоких T локальный момент имеет следующую T-зависимость:

Si2 = Sq Sq (T /EF )4/ + (G.64) q Как видно из (G.

55), усиление эффективной массы и электронной теплоемкости из за спиновых флуктуаций отсутствует в полуметаллическом состоянии (п.4.5). По кажем, что теплоемкость проводящего ферромагнетика может содержать вклады спиновых флуктуаций другой природы. Запишем общее выражение для удельной теплоты в s-d обменной модели через полную энергию H C(T ) = = dEEf (E)Nt (E) (G.65) T T 2 = Nt (E)T + dEEf (E) Nt (E, T ) 3 T где Nt (E) = Im Gk (E) k есть полная плотность состояний. Первый член справа (G.65) дает стандартный ре зультат теории ферми-жидкости. Второй член появляется из-за энергетической за висимости плотности состояний. Такая зависимость появляется в проводящем фер ромагнетике из-за неквазичастичных (некогерентных) состояний (см. п.4.5). Под ставляя (4.87) в этот член, получаем [338] f (tk+q, q ) C (T ) = 2I 2 S z nk+q, (G.66) (tk+q, tk, )2 T kq При низких температурах f (tk+q, q ) = 1, f (tk+q, q ) = 0 (G.67) Таким образом, неквазичастичные состояния с = не вносят вклад в линейную теплоемкость, так как они пусты при T = 0. В полуметаллическом состоянии неква зичастичные вклады (G.66) с = присутствуют только при I 0, и мы получаем 2 2 2 z C (T ) = I S N (EF )T (G.67) (tk EF ) 3 k Чтобы избежать недоразумений, следует отметить, что присутствие таких вкладов в теплоемкость означает неприменимость фермижидкостного описания только че рез динамические квазичастицы, которые определяются полюсами функций Грина.

Можно строго показать, что энтропия взаимодействующей фермиевской системы при низких T выражается через квазичастицы Ландау с энергиями, определенными как вариационные производные полной энергии относительно чисел заполнения. Та ким образом, даже в присутствии неполюсных вкладов в функции Грина описание термодинамики через статистические квазичастицы [685] сохраняется. (Однако опи сание через квазичастицы недостаточно для спектральных характеристик, напри мер, для оптических и эмиссионных данных.) Аномальный T -член определяется различием спектров статистических и динамических квазичастиц.

Подобные вклады в удельную теплоту в модели Хаббарда с сильными корреляци ями обсуждаются также в статье [338]. Они преобладают в усилении теплоемкости для полуметаллических ферромагнетиков и могут быть важны, помимо эффектив ного усиления массы (G.55), для "обычных"магнетиков с хорошо локализованными моментами.

G.2 Антиферромагнетики Для рассмотрения электронного и магнонного спектров металлического антиферро магнетика в s-d(f) обменной модели перейдем к локальной системе координат со гласно (E.8). Тогда гамильтониан s-d(f) обменного взаимодействия примет вид [Sq (c† ck c† ck ) x Hsd = I (G.68) k+q k+q kq +iSq (c† † y kQ ckQ ck+q ckQ ) +Sq (c† ckQ + c† z kQ ckq )] k+q Переходя к магнонному представлению с использованием (E.1), (E.10) и вычисляя электронную собственную энергию во втором порядке по I, получаем I 2S k (E) = (G.69) E tkQ 1 1 nkq + Nq nkq + Nq + I 2S (uq vq )2 + 2 E tkq q E tkq + q q 1 nk+qQ + Nq nk+qQ + Nq +(uq + vq )2 + E tk+qQ q E tk+qQ + q где S - намагничeнность подрешетки. В приближении среднего поля электронный спектр содержит две расщепленные антиферромагнитные подзоны:

1 1 1, Ek = (tk + tkQ ) ± [(tk tkQ )2 + 4I 2 S ]1/2 (G.70) 2 Помимо зависимости S(T ), при вычислении температурной зависимости электрон ного спектра важны флуктуационные поправки (второй член в (G.68)). Рассмотрим магнонные вкдады от функций Бозе u2 + vq (uq vq )2 (uq + vq ) q Ek (T ) = I 2 S 2 + + Nq (G.71) tk tkQ tk tkq tk tk+qQ q Поправки к энергии дна зоны (tk = tmin ) из-за намагниченности подрешетки (пер вый член в квадратных скобках) и из-за поперечных флуктуаций имеют противопо ложные знаки. Вклад от флуктуаций преобладает, что приводит к "синему"сдвигу дна зоны проводимости с уменьшением температуры, который наблюдается в анти ферромагнитных полупроводниках [352,686], в отличие от "красного"сдвига в фер ромагнитных полупроводниках (ср.(G.36)). (Подобная ситуация происходит и при высоких температурах [686,687].) В частности, в приближении ближайших соседей для простых решеток, когда tk+Q = tk, вклад от флуктуаций больше по абсолют ному значению в два раза. Интегрирование дает (z - число ближайших соседей) 3 I 2S z T 3/ (S + 1)3/ Emin (T ) = (G.72) 16 W 2 TN T 2 -зависимость электронного спектра (такая же, как и у намагниченности подрешет ки) является следствием линейной дисперсии спектра спиновой волны и зависимо сти амплитуды электрон-магнонного взаимодействия вида q 1, которые специфичны для антиферромагнетиков. Поведение электронного спектра в ферримагнетике ка чественно подобно поведению в ферромагнетиках (зависимость T 5/2 ) [687].

Запишем также многоэлектронный вклад третьего порядка к сорбственной, ко торый описывает перенормировку антиферромагнитной щели из-за подобных рас ходимостей кондовского типа [367] (см. Главу 6) (3) k (E) = 2I 3 S 2 nk+q (E tk+q ) (G.73) (E tk+q )2 q q 1 tk+q tkQ+q E tk+Q Для исследования магнонного спектра вычислим запаздывающую коммутатор ную функцию Грина b† |b† bq |b† q () =, q () = q q q Записывая цепочку уравнений движения до второго порядка по I и выполняя про стейшее возможное расцепление, получаем [716] (ср. (E.9)) + Cq q () = (G.74) ( Cq )( + Cq ) + Dq Dq q () = (G.75) ( Cq )( + Cq ) + Dq tot tot tot Cq = S(JQ+q, + Jq 2JQ0 ) + [Cp pq p (Cp Dp )p00 + + + ] + gq (G.76) pq pq tot tot Dq = Dq = S(Jq JQ+q, ) + Dp pq + hq p где s-d обменные вклады первого порядка по 1/2S соответствуют приближению РК КИ nk nkq tot RKKY () = Jq + I Jq = Jq + Jq (G.77) + tk tkq k RKKY Jq () есть зависящая от Фурье-компонента интеграла косвенного обменно го взаимодействия через электроны проводимости (ср. (K.1)). Функция, которая определяет поправки второго порядка, имеет вид pq = (+ )/p (G.78) pq pq nk (1 nk+pq ) + NB (±p )(nk nk+pq ) ± = I pq + tk tk+pq p k p - магнонная частота нулевого порядка по I и 1/2S. В (G.76) были приняты во внимание уравнения типа 1/ S ( tk + tk+q ) c† ck |b† (nk+q nk ) bq |b† =I (G.79) q q k+q и выражения для статических корреляционных функций, появляющихся в уравне ниях движения c† tot I kQ ck = S(JQ0 JQ ) (G.80) k b† (c† † 1/ I p kp ck ckp ck ) = (2S) (Cp Dp )p00 (G.81) k Они получаются при вычислении соответствующей запаздывающей функции Грина и использовании спектрального представления (E.8). Функции [(2JQ + 2Jqp 2Jp JQ+q Jq ) b† bp 2Jp bp bp ] gq = (G.82) p p [(JQ+q Jq ) b† bp 2Jqp bp bp ] hq = p p описывают "прямое"магнон-магнонное взаимодействие. s-d обменные вклады в сред ние в (G.82) получаются при использовании (G.74), (G.75) в первом порядке по 1/2S и спектрального представления b† bq 1 q () q = dNB () Im (G.83) b† b† q () q q Энергетические знаменатели в (G.77), (G.78) не учитывают расщепление зоны, которое проявляется при АФМ упорядочении. В то же самое время, важно раз делить вклады от переходов внутри и между АФМ подзонами. Такое разделение может быть выполнено при учете АФМ расщепления = 2|I|S (S - намагничен ность подрешетки) в приближении нулевого порядка, например в рамках теории возмущений по 1/2S. Однако соответствующие выражения очень громоздки (см. ко нец этого Приложения). Поэтому здесь мы используем простую теорию возмущений по I, принимая во внимание, что переходы между АФМ подзонами соответствуют передаче квазиимпульса электронов q Q. Вообще говоря, междзонные вклады в спектральные характеристики и термодинамические свойства более сингулярны, но фактически эти расходимости должны быть обрезаны из-за АФМ расщепления. Со ответствующее пороговое значение передачи магнонного квазиимпульса оценивается как min |q Q| = q0 = /vF (vF - электронная скорость на уровне Ферми). Эта величина определяет характерный температурный и энергетический масштаб T = (q0 ) = cq0 (/vF )TN (G.84) где c - магнонная скорость, а магнонный спектр дается полюсом (G.74), q = 2 (q ) = Cq (q ) Dq (q ) 2 2 q RKKY Зависимость Jq (), которая теряется при использовании стандартного мето да канонического преобразования [265], является важной при вычислении магнон ного затухания. Затухание спиновой волны вследствие одномагнонных процессов распада, которое определяется мнимой частью (G.77), при малых q имеет вид A (1) q = S[ q + B(q)] (G.85) L где L = 2S(J0 JQ ), функция описывает вхождение в "стонеровский континуум", (q q0 ) = 0, (q q0 ) = 1, A = cI 2 lim q (tk )(tkq ) (G.86) q k B = LI 2 (tk )(tkQ ), (G.87) k tk отсчитывается от уровня Ферми. Вообще говоря, A зависит от направления век тора q. Для изотропного электронного спектра имеем A = cI 2 v0 {4 2 |k 1 tk /k|2 F }1 (G.88) k=k где v0 - объем кристаллической ячейки.

Можно видеть, что одномагнонное затухание (G.85) конечно при произвольно ма лом q (в отличие от FM случая), но становится значительно большим, когда начина ют работать межзонные переходы (q q0 ). Таким образом отношение /|q0 имеет величину около I 2 S/W 2 и не зависит от волнового вектора и концентрации элек тронов [689]. Такая же ситуация, которая аналогична случаю электрон-фононного взаимодействия, возникает для коллективизированного антиферромагнетика [690].

Линейная зависимость затухания от волнового вектора наблюдалась, например, в антиферромагнетике Mn0.9 Cu0.1 [691]. Учет процессов релаксации электронов про водимости, которые происходят при наличии беспорядка, приводит к изменению q-зависимости. Вычисление в такой ситуации [689] дает 2 при малых q, что находится в согласии с гидродинамикой.

Аналогично (G.20), из (G.74), (G.77) и спектрального представления получаем логарифмические поправки к магнонным числам заполнения и намагниченности подрешетки (6.88), (6.89).



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 10 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.