авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |

«ЭЛЕКТРОННАЯ СТРУКТУРА, КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ И ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА d-И f-ПЕРЕХОДНЫХ МЕТАЛЛОВ И ИХ СОЕДИНЕНИЙ В.Ю. Ирхин, Ю.П. Ирхин ПРЕДИСЛОВИЕ ...»

-- [ Страница 8 ] --

Затухание вследствие двухмагнонных процессов рассеяния определяется мнимой частью функции (G.78). Оказывается, что межзонные переходы содержат меньшие степени и T, но вносят вклад только при max(T, q ) T. Используя соотношение n( )[1 n( )] = N ( )[n( ) n( )] и разлагая по = q и p, получаем из полюса (G.77) 2 Cq Dq Cp + Dp (2) q = I (G.89) 2 p k,p,=± ( p )[NB (p ) NB (p )](tk )(tk+pq ) Интегрирование при T с учетом ведущих температурных поправок дает v0 9 (2) ( A + B) 2 + 4 2 (2A + B)T q = (G.90) 24c T ) = B, B( T ) = 0. При где B( T получаем v (2) 6(3)AT + B T q = (G.91) 2c3 T ) = B, B(T T ) = 0, (3) 1.2.

где B(T Неаналитические поправки к намагниченности подрешетки и магнонной частоте появляются как от межзонных, так и от внутризонных переходов. Внутризонный вклад в магнонную скорость имеет вид [716] v0 AT 2 ln (c/c)1 = (G.92) 3c T При T T межзонный вклад в намагниченность подрешетки имеет вид v0 T SLBT ln (S el )2 = (G.93) 2 c T Полученный результаты сохраняются также в модели Хаббарда. В случае малых S магнонное затухание играет важную роль при вычислении температурных зави симостей магнитных и термодинамических свойств при не слишком низких темпе ратурах. Они определяются вкладом от спиновых флуктуаций с малыми |q Q|, причем, как и для ферромагнетика, магнонное затухание играет важную роль. В отличие от (G.21), затухание при q Q не содержит множителя |q Q|1. (Од нако такая зависимость может появиться в некоторой q-области при условии, что электронный спектр приблизительно удовлетворяет условию "нестинга"tk+Q = tk на большом участке поверхности Ферми.) Тогда можно заменить в знаменателях функций Грина (G.74) 1 A 2 (G.94) 2 2 () 2 ()]2 + A2 q [ q что дает для слабого коллективизированного антиферромагнетика 3/ A T S dNB () (G.95) 4 + A2 q EF q Рассмотрим теперь электронный и магнонный спектры антиферромагнетика Хаббарда с сильными корреляциями. Появление АФМ упорядочения приводит к расщеплению затравочной электронной зоны на две слэтеровские подзоны [44], ко торые описываются новыми электронными операторами [692,693] k = Ak c† † † k+Q/2 + Bk ckQ/2, (G.96) k = A k c† † † kQ/2 Bk ck+Q/2, 1 k Ek = (k + U 2 S )1/ A k, Bk = 1, 2 Ek k, k = (tk+Q/2 ± tkQ/2 ) В приближении Хартри-Фока преобразование (G.96) приводит гамильтониан Хаб барда к диагональной форме † † H= (Ek k k + Ek k k ) (G.97) k где одночастичные энергии равняются, Ek = k Ek (G.98) Величина c† ck+Q S= k k которая определяет АФМ расщепление, удовлетворяет самосогласованному уравне нию U nk nk 1= (G.99) 2 k ( 2 + U 2 S 2 )1/ k Если кулоновское взаимодействие достаточно сильно, вся энергетическая зона рас щеплена, так что щель появляются во всех направлениях. В частности, для одного электрона на атом происходит переход металл-изолятор. При условии, что условия "нестинга"tk EF = EF tk+Q выполняется для данного вектора Q, состояние изо лятора выгодно при произвольно малом U и щель будет экспоненциально малой [692].

Чтобы получить спин-волновые поправки к приближению Хартри-Фока, перей дем к локальной системе координат для электронных операторов d† = (c† † k+Q/2 + ckQ/2 ) (G.100) k и представим гамильтониан Хаббарда в следующем виде U† U )dk dk + k d† dk ] + + H= [(k + (Sq Sq + Sq Sq ) (G.101) k 2 2 q k где d† dk+q,, d† dk+q, z Sq = Sq = (G.102) k k k k Вычисляя поперечную спиновую функцию Грина с антиферромагнитной щелью, учитываемой в нулевом приближении, для магнонного спектра получаем [693] 2 U 4S U 2S q = (nk nk ) + 1 (G.103) 4 Ek Ek Ek+q k U 2S nk nk+q nk nk+q nk nk+q + +2 1+ Ek Ek+q Ek Ek+q Ek Ek+q Ek Ek+q U 4S k k+q nk nk+q nk nk+q nk nk+q + 4 Ek Ek+q Ek Ek+q Ek Ek+q Ek Ek+q k Для малого U можно разложить (G.103), что дает результат (G.74)-(G.77) с I U.

В случае большого U и полузаполненной зоны проводимости, получаем результат (E.12) с Jq = tk tk+q (G.104) Uk причем (G.94) - интеграл кинетического обмена (см. п. 5.1). Наконец, в случае U и нецелого наполнения зоны, где носители тока приводят к негейзенберговскому двойному обменному взаимодействию, получаем nk+q nk 2 H H q = JQ Jq + (k+q k )nk + k (k+q + k ) k+q k k 1H H H (J JQ+q JQq ) (G.105) 2Q nk+q nk + (k+q k )nk k (k+q k ) k+q k k где nk = nk = f (k ), nk H и взаимодействие Гейзенберга J вводится для стабилизации антиферромагнитного состояния.

Спин-волновые поправки к электронному спектру определяются, также как и для ферромагнетика (ср. (G.13), (G.36), (G.60)), амплитудой электрон-магнонного взаимодействия i 2 Hsw Ek k = = (G.106) Nq nki Nq nki Соответствующие поправки к свободной энергии имеют вид 1 1 T Fsw = Hsw = q Nq (G.107) 3 3 TN q (разница с (G.60) происходит из-за линейного закона дисперсии спиновых волн).

Температурная зависимость локального момента дается теоремой Геллмана Фейнмана:

3 S2 = N2 = Fsw T 4 (G.108) i 2 2 U Рассматриваемое приближение типа Хартри-Фока с флуктуационными поправ ками дает те же результаты для электронного и магнонного спектров в случае s-d модели (с заменой U I). В частности, при |I| электронный спектр со учетом спин-волновых и многоэлектронных поправок имеет вид [693] Ek = I(S + n ), Ek = I(S + 1 n ) Таким образом, обобщенное приближение Хартри-Фока дает корректные "атом ные"значения E = ±IS, ±I(S + 1) (Приложение I) в случае целочисленных величин n, n.

Приложение H Модель Хаббарда с сильными корреляциями Модель Хаббарда с вырожденной зоной в некоторых случаях применима к d электронам в переходных металлах и их соединениях. Соответствующий гамиль тониан имеет вид tk a† aklm + Hint H= (H.1) klm km где tk - зонная энергия. Для простоты мы не учитываем зависимость интегралов переноса от m, т.е. пренебрегаем эффектами кристаллического поля и сохраняем в (C.31) только вклад с = 0. Такое приближение позволяет в простейшем случае рас смотреть эффекты многоэлектронной термовой структуры в спектре.В многоэлек тронном представлении операторов Хаббарда (A.22) гамильтноиан взаимодействия принимает диагональный вид Hint = E Xi (, ) (H.2) i где энергии E определены в (C.19) и не зависят от проекций момента. Однако рассмотрение члена кинетической энергии становится более трудным из-за сложных коммутационных соотношений для X-операторов (A.36).

Рассмотрим одноэлектронную функцию Грина. Согласно (A.31), ak |a† n1/2 Gn Cn1, Xk (n1, n )|a† n Gk (E) = = (H.3) E E n k k nn n В уравнении движения для функции Грина в правой части (H.3) выполним про стейшее расцепление, которое соответствует расцеплению на разных узлах решетки “Хаббард-I” [28,29,31]:

(E En + En1 ) Xk (n1, n )|a† E k = n1/2 Gn Cn1, (Nn + Nn1 ) [1 + tk Gk (E)] n n Тогда получаем (E) Gk (E) = (H.4) 1 tk (E) где Nn + Nn n Gn Cn1, n (E) = (H.5) n E En + En nn n Отметим, что выражения (H.4), (H.5) имеют структуру, которая напоминает (F.8),(F.9). Как и в Приложение F, наше рассмотрение легко обобщается с учетом одноузельного кристаллического поля (см. также [29]). Используя для E прибли жение (C.20), можно просуммировать генеалогические коэффициенты в (H.5). Тогда зависимость от МЭ квантовых чисел L, S исчезает, что соответствует приближению [29].

В отсутствие магнитного и орбитального упорядочения числа заполнения N в (H.5) не зависят от проекции спина и мы имеем Nn + Nn n ([Sn1 ][Ln1 ])1 (Gn ) (E) = (H.6) n 2[l] E En + En nn n Спектр возбуждений определяется уравнением 1 tk (E) = 0 (H.7) Таким образом межузельный электронный перенос ведет к размытию каждого пере хода между атомными уровнями в хаббардовскую подзону. Эти подзоны разделены корреляционными щелями. В частности, для s-зоны мы получаем спектр, который содержит в ферромагнитной фазе четыре подзоны 1 1/ 1, (tk U )2 + 4tk U (N + N2 ) Ek = tk + U (H.8) Для более общей модели (C.23), 1 (00) (22) (00) 1, Ek = (N0 + N ) + k (N2 + N ) + U k (N0 + N ) (H.9) 2k 1/ 2 (22) (02) k (N2 + N ) U +4 k (N0 + N )(N2 + N ) Выражения (H.8), (H.9) могут быть также переписаны через одноэлектронные числа заполнения, поскольку N + N2 = n, N + N0 = 1 n Можно видеть, что, в отличие от приближения Стонера (G.3), зависимость спектра от чисел заполнения не сводится к постоянномй сдвигу подзон. Спектр Хаббард-I имеет наиболее простой вид в случае больших U, когда 1 Ek = (1 n )tk, Ek = tk n + U (H.10) Можно предположить, что в действительности некоторые подзоны плохо опреде лены из-за большого затухания. В Приложении J продемонстрировано, что в насы щенном ферромагнитном состоянии в приближениях высших порядков некоторые энергетические знаменатели заменяются резольвентами и сооответствующие состо яния имеют неквазичастичную природу. Подобная ситуация имеет место в прибли жении Хаббард-III [30,694,695], где затухание на уровне Ферми конечно (см. (H.17), (J.24)).

Рассмотрим модель Хаббарда с U, n = 1c 1 (c = N0 = n0 - концентрация дырок, N2 = 0) с включением внешнего магнитного поля (4.96). В приближении Хаббард-I мы получаем функции Грина c + n Xk (0)|Xk (0) = (H.11) E E k H/ k = (c + n )k = [(1 + c)/2 + S z ]k и, с учетом спектрального представления (E.18), соответствующие выражения для чисел заполнения 1+c + Sz nk Xk (0)Xk (0) = f (k + h) (H.12) 2 В принципе уравнения (H.4), (H.5) могут быть использованы для исследования магнитного упорядочения в модели Хаббарда. Однако приближение Хаббард-I в этой проблеме неудовлетворительно, так как трудно сформулировать разумный критерий ферромагнетизма с непосредственным использованием выражений для одноэлек тронных функций Грина типа (H.4), (H.11). Первая такая попытка была сделана самим Хаббардом [28], который не нашел магнитных решений для простых затра вочных плотностей состояний (однако ситуация может измениться в случае вырож денных d-зон [696]). Метод X-операторов проясняет причину этой неудачи: можно, в частности, видеть, что приближение (H.11) нарушает книматические сооотнношения (A.25), так как при S z = 0 невозможно удовлетворить тождества nk = X(00) = c (H.13) k для обеих проекций спина. Кроме того, подходы стонеровского типа не описыва ют образование локальных моментов и физически неудовлетворительны. Поэтому в разделе 4.5 используется подход на основе спиновой функции Грина + Gq () = Xq (+)|Xq (+) = Sq |Sq (H.14) Для ее вычисления запишем цепочку уравнений движения ( H)Gq () = n n + (kq k ) (H.15) k Xqk (0)Xk (+0)|Xq (+) ( k + kq H) Xqk (0)Xk (+0)|Xq (+) = nk nkq + (kq nkq k nk )Gq () где мы выполнили простейшее расцепление, которое соответствует пренебрежению флуктуациями чисел заполнения дырок. Подставляя (H.15) в (H.14), получаем вы ражение (4.97).

Флуктуационные поправки к электронным функциям Грина приближения Хаббард-I были получены в работах [337,338] в рамках разложения по 1/z (z - чис ло ближайших соседей). Они выражаются через одночастичные числа заполнения и спиновые и зарядовые корреляцилонные функции. В отличие от приближения Хаббард-I такие выражения позволяют правильно получить магнитную фазовую диаграмму и описать насыщенное и ненасыщенное ферромагнитное состояние [729].

Первая критическая концентрация носителей тока, соответствующая неустойчиво сти насыщенного ферромагнетизма, составляет для различных решеток около 30%.

Для парамагнитной фазы щель в спектре (H.8) сохраняется при сколь угодно малых U. Чтобы описать переход металл-изолятор, который имеет место при U W (W - ширина зоны), требуются более сложные самосогласованные приближения для электронных функций Грина. Первое описание такого типа было предложено Хаббардом [30], а более простое приближение использовалось Зайцевым [697].

Выражение Хаббард-III для одноэлектронной функции Грина в случае наполо вину заполненной зоны может быть представлено в виде [695] Gk (E) = [E tk (E)]1 (H.16) причем электронная собственная энергия определяется самосогласованно через точ ную резольвенту:

U2 (E) = R(E)/ 1 + (E)R(E) + ER(E)( 1) (H.17) 16 R(E) = Gk (E) k где = 3/4. Выражение (H.17) выполняется также для классической (S ) s-d обменной модели (см. Приложение I), если мы положим = 1/4, U |IS|. Тогда формула (H.17) упрощается и совпадает с результатом приближения когерентного потенциала (CPA) в теории неупорядоченных сплавов [435]. ??Эволюция электрон ного спектра в зависимости от параметра взаимодействия показана на Рис.H1.

Некоторые недостатки приближений [30,697] (нарушение аналитических свойств функций Грина, несамосогласованное описание термодинамических свойств) обсуж даются в работах [694,695] с точки зрения 1/z-разложения. Правильное описание перехода Мотта-Хаббарда до сих пор является важной физической проблемой. В последнее время здесь широко используется приближение бесконечной размерности пространства d [705], которое дает трехпиковую структуру плотности состояний, включая кондовский пик на уровне Ферми. Такой подход может давать два фазовых перехода: при U Uc1 нарушается фермижидкостная картина, а при U Uc2 Uc система переходит в изоляторное состояние. Учет фермиевских возбуждений в рам ках 1/z-разложения был выполнен в работе [730]. Использование локаторного пред ставления для функции Грина Gk (E) = (H.18) F (E) tk позволило получить правильные аналитические свойства и воспроизвести трехпико вую структуру. Самосогласованные результат для локатора F (E) имеет вид b(E) F (E) =, a(E) 3 U2 2U a(E) = 1 + tq Gq (E) + tq Gq (E)nq, 4 E2 E q q 2U t2 Gq (E)nq.

b(E) = F0 (E) + q E q где nq - точные числа заполнения.

Мы видели, что подходы Хартри-Фока и Хаббарда дают существенно разные результаты для электронного спектра. Неадекватность одноэлектронного подхода в случае больших U может быть показана рассмотрением случая малых электрон ных концентраций n [353]. Рассмотрим разложение одноэлектронной функции Гри на по числам заполнения носителей тока. В одноэлектронном представление (fk = a† ak ) получаем уравнение движения k (E tk ) ak |a† =1+U Fk (k1 k2 E) (H.19) E k k1 k a† 1 ak2 ak+k1 k2 |a† Lk (k1 k2 E) = E k k В низшем порядке по fk получаем замкнутое интегральное уравнение (E tk+k1 k2 + tk1 tk2 )Lk (k1, k2, E) = k1 k2 fk + U (1 fk2 ) Lk (k, p,E) p Решая его, находим выражение для электронной собственной энергии (1 fk2 )(1 fk+k1 k2 ) k (E) = U fk1 1 U (H.20) E tk+k1 k2 + tk1 tk k1 k которая конечна при U [348]. В то же время, согласно (E.18), (H.19) число двоек N2 = a† ai a† ai = dEf (E) Im Lk (k1 k2 E) (H.21) i i kk k 1 k (E) = dEf (E) Im U E tk k ведет себя в этом пределе как 1/U. Тогда теорема Геллмана-Фейнмана N2 = E/U дает расходимость энергии основного состояния E:

E(U ) E(0) = dU N2 (U ) ln U (H.22) Эта расходимость указывает на фомирование хаббардовских подзон и неправиль ность одноэлектронной картины при больших U. С другой стороны, вычисление в МЭ представлении дает [353] (tk+k1 k2 + tk2 ) Xk (2)|Xk (2) fk1 E + tk1 U E E tk+k1 k2 + tk1 tk k1 k (H.23) так что N2 = Im dEf (E) Im Xk (2)|Xk (2) (H.24) E k (tk+k1 k2 + tk2 )2 fk1 f (tk+k1 k2 tk1 + tk2 ) U2 kk1 k n tmin U Таким образом мы получаем правильную асимптотику N2 1/U 2.

Приложение I s-d обменная модель с узкими зонами и t-J модель При рассмотрении переноса электронов в узких вырожденных зонах, помимо модели Хаббарда, можно использовать s-d обменную модель с сильными корреляциями. Эта модель соответствует случаю, когда носители тока не принадлежат той же энерге тической зоне, в которой формируются магнитные моменты. Такая ситуация имеет место в некоторых магнитных полупроводниках и изоляторах [668].

В отличие от вырожденной модели Хаббарда, стандартный гамильтониан s-d об менной модели (G.2) не включает орбитальных степеней свободы. В случае большо го s-d обменного параметра I удобно перейти к атомному представлению [698-700].

Подставляя значения коэффициентов Клебша-Гордана, отвечающих сложению мо ментов S и 1/2, мы находим собственные функции Hsd |M |SM |0, |M 2 |SM |2 (I.1) 1/2 1/ S ± µ + 1/2 1 S µ + 1/2 |µ± = |S, µ | ± |S, µ + | (I.2) 2S + 1 2 2S + 1 где |m - состояния, занятые одним электроном с полным спином на узлу S + / и его проекцией m. Тогда Hsd диагонализуется:

S+1/2 S1/ Hsd = IS Xi (µ+, µ+) + I(S + 1) Xi (µ, µ) (I.3) i i µ=S1/2 µ=S+1/ Одноэлектронные операторы выражаются черех X-операторы как c† = (gi + h† ) † (I.4) i i {(S + M + 1)/(2S + 1)}1/2 Xi (M + † gi+ =, +;

M ) M {(S M )/(2S + 1)}1/2 Xi (M + + gi =, ;

M ) M {(S + M )/(2S + 1)}1/2 Xi (M 2;

M h† =, ) i+ M {(S M + 1)/(2S + 1)}1/2 Xi (M 2;

M h† =, +) i+ M В пределе I для концентрации электронов проводимости n 1 нужно сохра нить в (I.4) только члены, содержащие gi, и опустить гамильтониан Hsd, который дает постоянный сдвиг энергии. Мы получаем † H= tk gk gk + Hd, = signI (I.5) k Для n 1 мы должны сохранить члены, содержащие hi и перейти к “дырочно му"представлению введением новых локализованных спинов S = S ± 1/2. Тогда гамильтониан принимает вид (I.6) с заменой [700] tk tk ([S]/[S]) (I.6) При теоретическом рассмотрении сильнокоррелированных соединений, например, медь-кислородных высокотемпературных сверхпроводников, широко используется t J модель (модели Хаббарда для s-зоны с U включением гейзенберговского обмена). Ее гамильтониан в МЭ представлении имеет вид H= tij Xi (0)Xj (0) Jij {Xi (+)Xj (+) (I.7) ij ij + [Xi (++) Xi ()] [Xj (++) Xj ()] При получении t J модели из модели Хаббарда с большим U имеем J = 4t2 /U антиферромагнитный интеграл кинетического обмена. Впрочем, иногда удобно счи тать J независимой переменной. В частности, иногда исследуют “суперсимметрич ный“ случай с t = J [701], что позволяет использовать нетривиальные математиче ские методы.

Легко видеть, что модель (I.7) - частный случай s-d обменной модели с I, S = 1/2, причем tk заменяется в (I.5) на 2t (множитель 2 возникает из-за эквивалентности электронов с противоположными спинами в модели Хаббарда). s-d модель с произвольным спином S иногда оказывается более удобной, так как она использует при вычислениях, помимо малого параметра 1/z (z - число ближайших соседей), квазиклассический параметр 1/2S. Квазиклассическая s-d модель с S в атомном представлении была использована для исследования перехода металл изолятор [695] (приложение H).

Гамильтониан (I.5), аналогично (C.33), может быть выражен через фермиевские операторы и операторы локализованных спинов. Наконец, используя (A.21), (A.11), мы можем выделить операторы электронов проводимости из X-операторов:

† c† (1 ni, ) P + gi = (Si ) (I.8) i 2S + где S+1 S P+ =, P = (I.9) 2S + 1 2S + Кубо и Охата получили этот результат [702] с помощью канонического преобразова ния. Используя свойства матриц Паули, мы получаем 12 Si Sj 1 H= tij [ P + ] + P (Si +Sj ) (I.10) 2 2 (2S + 1) 4 (2S + 1) ij 2i [Si Sj ] c† (1 ni, )(1 ni, )cj + Hd + i (2S + 1) Члены, содержащие векторные произведения (ср. (K.8)), описывают анизотропное рассеяние электронов и могут быть важны при рассмотрении кинетических явлений в узких зонах, например, аномального эффекта Холла. Гамильтониан (I.10) может быть полезен при исследовании состояний с аномальными “ киральными“ парамет рами порядка, которые исследовались в рамках двумерной модели Гейзенберга и t J модели (см., например, [703]). Гамильтониан (I.5) более удобен при описании простых приближений в рамках 1/z-разложения [694]. Выполняя простейшие рас цепления, мы получаем электронный спектр в ферромагнитной фазе Sz Ek = P tk (I.11) 2S + Это выражение дает сильную зависимость электронного спектра от магнитного упо рядочения. Более точное выражение для функции Грина со спином вниз при = +, T = 0 [699] имеет неквазичастичную форму † ) gk+ |gk+ = E tk 2S( (I.12) E E tq q Магнонный спектр в модели (I.5) был расчитан в [79,80,83]. Результат в низшем порядке по 1/z имеет вид q = (tkq tk )f (tk ), =+ (I.13) 2S k 1 2S q = (tkq tk )f ( tk ), = 2S + 1 2S + k В антиферромагнетике со спиральной магнитной структурой, соответствующей вол новому вектору Q, мы должны перейти в s d гамильтониане к локальной системе координат с использованием (E.8), (G.90). Далее, переходя от операторов d† к МЭ i операторам, мы получаем вместо (I.5) H= (k gk gk + k gk gk,, ) + Hd (I.14) k 1 k = (tk+Q/2 tkQ/2 ), k = (tk+Q/2 + tkQ/2 ) 2 Выполняя расцепление “Хаббард-I”, мы получаем для электронного спектра [687] 1/ S S 1, k )2 + [P ( )2 ]k Ek = P k ± ( (I.15) 2S + 1 2S + где S - намагниченность подрешетки. В приближении ближайших соседей (q = 0) для I 0 зона при T = 0 сужается в (2S + 1)1/2 раз. В то же время, в рассматривае мом приближении для I 0 (а также в tJ модели) электроны не могут переходить на соседние узлы, и их движение возможно только благодаря квантовым эффектам.

Эта проблема обсуждается в разделе 6.7.

Флуктуационные поправки к спектру обсуждаются в [687,620]. Результат для магнонного спектра, полученный в МЭ представлении, совпадает с результатом обоб щенного приближения Хартри-Фока (G.95).

Приложение J Электронные состояния и спиновые волны в хаббардовском ферромагнетике с узкими зонами Электронный и магнонный спектры в хаббардовском ферромагнетике с сильным корреляциями (U ), который описывается гамильтонианом H= k Xk (0)Xk (0) (J.1) k можно исследовать строго в случае малой концентрации дырок c = 1 Ne /N (почти наполовину заполненная зона) и низких температур. Формально это достигается раз ложением по дырочным и магнонным числам заполнения [333,699,700]. Рассмотрим одночастичные функции Грина Gk = Xk (0)|Xk (0) (J.2) E Используя коммутационные соотношения [Xk (+0), H] = kp {[Xp (00) + Xp (++)]Xkp (+0) + Xp (+)Xkp (0)} p мы запишем для = уравнение движения (E.16a) (E k )Gk (E) = 1 n + (kp k+qp ) (J.3) pq Xq (+)Xp (+)Xk+qp (+0)|Xk (0+) E Здесь мы учли кинематические соотношения Xp (++) + Xp () = p0 Xp (), Xp () = Xq (+)Xp+q (+), (J.5) q Xkp (0) = Xq (+)Xk+qp (+0) q которые следуют из (A.28), (A.25), привели произведения операторов к “нормаль ной форме", где все операторы X(+) стоят слева, сохраняя линейные по спиновым отклонениям члены и пренебрегая вкладами, пропорциональными дырочной кон центрации. Вводя функции kqp (E) = Xq (+)Xp (+)Xk+qp (+0)|Xk (0+) E / [(E k )Nq ] (J.6) где Nq = Xq (+)Xq (+) мы приходим тем же путем к замкнутому интегральному уравнению (E k+qp )kqp (E) = (E k )(pq 1)+ (J.7) (k+qpr k+qr )kqr (E) r которое описывает рассеяние дырок на магнонах. Записывая уравнение Дайсона 1 n (1 n ) [E k k (E)] Gk (E) = 1 k (E) (J.8) E k E k мы получаем для собственной энергии k (E) = (kp k+qp )kqp (E) (J.9) pq Магнонный спектр получается с помощью спиновой функции Грина. Уравнение движения для нее имеет (ср. (H.15)) Gq () = 1 c + (kp k ) (J.10) kp Xk (0+)Xqk+p (+)Xk (+0)|Xq (+) Выполняя вычисления при T = 0 в низшем порядке по числам заполнения магнонов nk = Xk (0+)Xk (+0) = f (k ) мы получаем магнонную собственную энергию. Она, как оказывается, определяется той же функцией Gq () = (1 c) (kp k+qp )kqp ( + k ) (J.11) kp В низшем порядке по малому параметру 1/z (каждому порядку по 1/z соответствует дополнительное суммирование по волновому вектору) мы получаем для температур ной поправки к электронному спектру и к магнонной частоте k (T ) = (kq k )Nq (J.12) q q = (kq k )nk k Уравнение (J.7) может быть решено точно для конкретных решеток. В случае про стой кубической решетки в приближении ближайших соседей мы получаем для сдви га зоны 5/ 3(5/2)v0 T 0 = (J.13) 32 3/2 m D и для частоты спиновой волны при малом q q = Dq 2, D = c|t| (J.14) где выражается через решеточные функции Грина 1A = 0. 1+A cos qx A= 0. 3 cos qx cos qy cos qz q Более сложные характеристики при конечных температурах удобно вычислять с использованием 1/zразложения[700]. Магнонное затухание дается формулой (ср.

(G.23)-(G.25)) (kq k )2 [nk+qp (1 nk ) + (nk+qp nk )Np ] q = (J.15) kp ( + k k+qp p ) и оказывается конечным при T = 0, в отличие от случая гейзенберговского ферро магнетика.Температурная зависимость спиновой жесткости имеет вид (ср.(G.27)) 2 2 2 k d D(T ) = T N (EF ) (J.16) k 12 dEF k=kF 5/ 5 1/2 24 v0 kF T v0 k F 4DkF T 2 ln (5/2) 4 2 m 12 D 144DkF T Магнонная функция Грина позволяет вычислять спин-волновые поправки к на магниченности 1 1c S z = (n n ) = n (J.17) 2 1c = + dNB () Im Gq () 2 q Поправки, возникающие из-за затухания, сокращаются с множителем 1 c в знаме нателе (J.11), и мы получаем с точностью до членов порядка 1/z 1c Sz = Np (J.18) 2 p Таким образом, основное состояние есть действительно насыщенное ферромагнит ное, а намагниченность при низких температурах подчиняется обычному закону Блоха T 3/2.

Как следует из (J.9), состояния с проекцией спина 1/2 свободно распространяют ся на фоне насыщенного магнитного упорядочения, причем поправки к спектру при низких температурах пропорциональны T 5/2. Более интересная ситуация для состоя ний с проекцией спина, равной -1/2. Используя снова кинематические соотношения, мы получаем Gk (E) = Xq (+)Xk+q (+0)|Xk (0+) E (J.19) q Простейшее расцепление в уравнении движения для функции Грина в правой части (J.19) дает Nq + nk+q G0 (E) = (J.20) k E k+q + q q Функция Грина (J.20) имеет полностью неквазичастичную структуру. Вследствие слабой k-зависимости соответствующая функция распределения при T dEf (E) Im G0 (E) Xk (0)Xk (0) = c (J.21) k Неквазичастичные состояния обладают малой подвижностью и не переносят тока [333,338]. Таким образом, возбуждения со “спином вниз"напоминают андерсонов ские спиноны (раздел 6.8), которые также описываются функцией Грина с нулевым вычетом. Неквазичастичный вклад в плотность состояний оказывается заметным:

N (E, T = 0) = nk+q (E k+q + q ) (J.22) k N (E), EF E max = 0, E EF Смысл полученных результатов следующий. Состояния, лежащие значительно уров ня Ферми (для дырок), не обладают спиновой поляризацией, так как в них могут быть помещены электроны с любой проекцией спина (дырки являются бесспиновы ми). Однако из состояний выше уровня Ферми в нашем насыщенном ферромагнети ке можно извлечь только электроны со спином вверх. Может быть также выделен большой неквазичастичный вклад в линейную теплоемкость [338]. Впрочем, он име ет более сложное происхождение по сравнению со вкладом спинонов [631], так как неквазичастичные состояни отсутствуют на уровне Ферми.

Расцепление более высокого порядка дает [338] Gk (E) = E k + G0 (E) (J.23) k При малых c функция Грина (J.23) не имеет полюсов ниже уровня Ферми, так что полученные выводы качественно не меняются. Однако с увеличением c функция Гри на приобретает спин-поляронный полюс ниже EF, и насыщенный ферромагнетизм разрушается [332]. Выражение (J.23) следует сравнить с соотвествующим результа том дл парамагнитной фазы в приближении "Хаббард-III"(ср.(H.16)) 1c 0 Gk (E) = E k + Gk (E) (J.24) В отличие от (J.23), уравнение (J.24) не содержит фермиевских функций, так что некогерентные (неквазичастичные) состояния не исчезают при EF. Можно ожидать, что в ненасыщенном ферромагнитном состоянии (или при высоких температурах) выражение (J.20) должно заменяться результатом приближения Хаббард-I c + n Gk (E) = (J.25) E k (c + n ) которое описывает обычные квазичастичные состояния со суженными зонами. Заме тим, что выражение (J.25) можно получить усреднением числителя и знаменателя в (J.20) по q, что соответствует приближению большого z. Как следует из (J.22), вы ражения (J.8), (J.21), в отличие от (J.25), позволяют удовлетворить правилам сумм (H.13), так как EF Xk (0)Xk (0) = dEN (E) = c = n0 (J.26) k Таким образом, неквазичастичная природа носителей тока тесно связана с описани ем насыщенного ферромагнитного состояния.

Приложение K s f обменная модель и косвенное обменное взаимодействие в редких землях Для редкоземельных металлов, где 4f-электроны хорошо локализованы, sf модель может являться базисом для количественной теории магнитных свойств. В част ности, косвенное взаимодействие Рудермана-Киттеля-Касуя-Иосида (РККИ) через электроны проводимости, которое появляется во втором порядке теории возмуще ний по s f обменному параметру, является основным механизмом обмена между 4f-оболочками в редких землях и их проводящих соединениях. Исключая из простей шего гамильтониана sf модели (G.2) sf обменное взаимодействие каноническим преобразованием [265], мы получаем эффективный гейзенберговский гамильтониан nk nk+q RKKY RKKY = I Hf = Jq Sq Sq, Jq. (K.1) tk+q tk q k В обычном пространстве обменные интегралы РККИ имеют осциллирующую и мед ленно спадающую зависимость от расстояния. Производя интегрирование для сво бодных электронов, мы получаем 9n2 I 2 x cos x sin x Jij = F (2kF |Ri Rj |), F (x) =. (K.2) x 2v0 EF Теперь мы рассмотрим более реалистическую модель 4f-металлов. Для большин ства редких земель (исключая Eu и Sm) матричные элементы межузельного взаи модействия малы по сравнению с растояниями между LSJ-мультиплетами, поэтому схема связи Расселла-Саундерса является хорошей аппроксимацией. Используя для простоты представление плоских волн s-типа для электронов проводимости, мы по лучаем для s f гамильтониана (ср. (D.20)) e ei(kk )R 1, k| Hsf = |2, k |ri rc | ic kk 1 2 1 1 |a† 1 a2 |2 X (1, 2 )c† ck, (K.3) k где c† – операторы рождения для электронов проводимости, i = {lmi }, i = k {SLJMi }, pic – операторы перестановки проводящих и локализованных электронов.

Разлагая плоские волны в соответствии с (C.28) и используя (C.7), мы получаем ряды по, с "интегралами Слэтера" p r (p) F (kk ) = e2 2 2 r1 dr1 r2 dr2 Rl (r1 ) p+1 Rl (r2 )j (kr2 )j (k r1 ), (K.4) r p r (p) G (kk ) = e2 2 2 r1 dr1 r2 dr2 Rl (r1 )j (kr2 ) p+1 Rl (r2 )j (k r1 ), (K.5) r где l = 3 для f-электронов. Малым параметром разложения является kF rf 0.2, где rf - радиус 4f-электронной оболочки. Возникшие матричные элементы могут быть вычислены с помощью метода неприводимых тензорных операторов и выра жены через матричные элементы полного углового момента J, как демонстрируется в Приложении D. В частности, для члена нулевого порядка мы получаем из (B.19) 4 n (0) + (g 1)( J ) c† c.

Hsf (00) = G00 (K.6) [l] Члены высшего порядка анизотропны и имеют структуру ei(kk )R c† ck coul Hsf = k kk (B0 + B1 [3 {(kJ ), (k J )} 2(kk )J(J + 1)] +...), (K.7) exch Hsf = (A0 + A1 ( J ) + iA2 ([kk ]J ) kk +A3 (kJ ), (k J ) + A4 (k )(k J ) + (k )(kJ ) +A5 [(k )(kJ ) + (k )(k J )] +A6 (kJ )2 + (k J )2 + iA7 {( J ), ([kk ]J )} +..., (K.8) где {, } – антикоммутатор. Максимальная степень q оператора момента J определя ется максимальным значением, сохраненным в разложении (C.28), q = min{2J, 2+ 1}. Члены с векторными произведениеми [kk ] описывают анизотропное электронное рассеяние и важны в теории аномального эффекта Холла. Коэффициенты разложе ния (K.8) имеют вид [704] 2 (3) 2 (3) A1 = (g 1) G00 + (kk )1 D1 (kk )2 + 6G02, 7 35 1 95 A2 = (g 2)3 2 D2, A3 = D2 2, 28 70 27 3 6 (3) 3 5 (3) A4 = 2 D1, A5 G02 D1, A6 = G02 D2, 70 7 1/2 L J S 9 15 (2J 2)!

SL||W (11) ||SL, LJS A7 = A8 = 3 (2J + 1) (K.9) 14 (2J + 3)!

где неприводимы матричные элементы определены в (B.27), 9 (2) 4 (4) 9 (2) 5 (4) 9 (2) (4) 1 = G11 + G11, 2 = G11 + G11, 3 = G11 G11, 5 3 5 9 1/2 L J S 2J + SL||W (12) ||SL, LJS D1 = J(J + 1) 2 2J + 1 LJS D2 = (1)S+L+J SL||W (02) ||SL. (K.10) JL 1/ 3 (2S + 1) Гамильтониан косвенного f-f взаимодействия получается во втором по Hsf поряд ке и имеет ту же структуру, что и (D.22). Основные вклады могут быть записаны в форме [389] Hf f (1 2 ) = I1 (g 1)2 (J1 J2 ) I2 D1 (g 1) (J1 J2 ) 3(12 J I3 nD3 (J1 J2 ) 3(12 J2 )2 /2, (K.11) где Ii – линейные комбинации интегралов типа k 2 dk (p) (p ) µ p k 2 dknk Bµ p = j (k12 )jµ (k 12 )G (kk )G (kk ). (K.12) 2k2 µ k 0 Наибольший член этого разложения, который пропорционален (g1)2, соответствует обычному обменному взаимодействию между спинами в соответствии с формулой де Женна (B.19). Зависимость f-f обменного параметра Je (g 1)2 находится в хорошем согласии с экспериментальными данными для парамагнитных температур Кюри в ряду редкоземельных металлов. Орбитальные вклады в f-f взаимодействие, которые пропорциональны D1 и D2, исчезают при L = 0 и значительно меньше.

Еще более малый член чисто орбитального взаимодействия получается во втором порядке по A2 :

Hf f (1 2 ) = I4 (g 2)2 (J1 J2 ) = I4 (L1 L2 ). (K.13) Орбитальные члены могут дать заметный вклад в обменную анизотропию намагни ченности кристалла (Разд.4.8).

Приложение L Спин-орбитальное взаимодействие Кроме обменных взаимодействий, важная роль в магнитных кристаллах пренадле жит релятивистскому спин-орбитальному взаимодействия (СОВ). Последнее, хотя и слабо, приводит к частичному замораживанию орбитального момента и ответствен но за анизотропию магнитных и других свойств. СОВ особенно важно для кинети ческих явлений, например для аномальных гальваномагнитных и термомагнитных свойств.

Оператор СОВ для электрона с квазиимпульсом p и спином s в потенциале V (r) имеет вид h Hso = [ V, p]s. (L.1) 2m2 c Для кулоновского взаимодействия V (r) = Ze2 /r мы получаем Hso = (r)(ls), (L.2) где Ze2 h 1 l = [r, p], (r) = 2 c2 r h 2m Для оценки значения (r) можно использовать водородоподобные функции Z 4 hc nl = Ry (L.3) 3 l(l + 1/2)(l + 1) n где Ry = 13.6 eV – константа Ридберга, = 1/137. СОВ быстро возрастает с уве личение атомного числа. Мы имеем 1014 эрг для 3d-электронов и эрг для 4f-электронов в редких землях. Величины могут быть оценены их данных атомной спектроскопии, что качественно согласуется с теорией при использовании эффективных Z.

При рассмотрении СОВ существенным является вопрос о вырождении электрон ных состояний. Очевидно, для невырожденных волновых функций (например, для блоховских электронов в кристалле) диагональные матричные элементы Hso (L.2) исчезают, поэтому поправки к энергии, которые линейны по Hso, отсутствуют. С дру гой стороны, в вырожденном случае (например для свободного атома) имеет место расщепление уровней в первом порядке по Hso.

Кроме собственного СОВ (орбитальные электронные токи в магнитном поле соб ственного спинового момента), существует также взаимодействие орбитальных токов со спинами других электронов h Hso = [ Vij, pi ]sj, (L.4) m2 c2 i=j где i, j – номера электронов, e2 e2 rij Vij =, Vij =, rij = ri rj. (L.5) |rij | |rij | В случае двух электронов, один из которых имеет нулевой орбитальный момент и движется близко к ядру, мы можем положить r1 = 0, r12 = r2. Тогда (L.5) примет вид [20] Hso = (l2 s1 ), (L.6) где 0 пропорционально Z 3, а не Z 4 (как в (L.3)). Последний факт приводит к более важной роли взаимодействия между спином и чужой орбитой для легких эле ментов. Как правило, для 3d-электронов величина меньше чем на три-четыре порядка, но, как мы продемонстрируем ниже, соответствующее взаимодействие мо жет играть важную роль из-за его сингулярной k-зависимости.

Для одного электрона "собственное"СОВ делает выгодным антипараллельную ориентацию его спина и орбитального момента, но взаимодействие (L.6) ориентирует орбитальный момент параллельно спиновым моментам других электронов. Однако для орбитали, заполененной более чем на половину, знак изменяется и состояние с полным моментом J = L + S имеет меньшую энергию.

Теперь мы обсудим СОВ в периодических кристаллах. В локализованной модели Гейзенберга рассмотрение близко к изолированным атомам. С другой стороны, для кристаллов, содержащих 3d-элементы, ситуация существенно меняется. Как обсуж далось в Разд.1.3, локальный кристаллический потенциал может заморозить орби тальный момент только в случае кристалла низкой симметрии. С другой стороны, в реальных d-системах с кубической или гексагональной симметрией, которая до пускает вырожденные неприводимые представления точечной группы, вырождение снимается периодическим потенциалом в зонной картине (Разд.4.8). Поэтому пред ставляет интерес случай замораживания момента. Тогда отличны от нуля только недиагональные матричные элементы СОВ и возмущенные волновые функции име ют вид |Hso | (0) = (0) + (L.7) E E = где = {km} – состояния магнитных d-электронов в вырожденной d-зоне.

Волновые функции (L.7) могут быть использованы, чтобы рассчитать поправ ки к различным наблюдаемым, обусловленные СОВ. В частности, такие поправки к матричным элементам электростатического взаимодействия между проводящи ми и локализованными электронами будут анизотропными. Именно эти поправки являются причиной аномальных кинетических явлений в магнитных кристаллах.

Роль собственного СОВ и взаимодействия (L.6) различна для различных ситуаций и конкретных эффектов. Для гальваномагнитных эффектов в d-магнетиках можно различить два случая (a) Подвижность d-электронов высока, так что они напрямую определяют гальва номагнитные эффекты. Тогда собственное СОВ для делокализованных электронов играет доминирующую роль.

(б) Существует две электронные группы – s-электроны проводимости с малой намагниченностью и "магнитные"d-электроны с малой подвижностью. Тогда из че тырех возможных типов СОВ (s-s, d-d, s-d и d-s) наиболее важны собственное d-d взаимодействие и s-d взаимодействие s-электронных орбит с d-электронными спи нами. s-s и d-s взаимодействия дают малые вклады из-за малости намагниченности s-электронов.

Наконец, выведем гамильтониан s-d модели с учетом СОВ d-d и s-d типов в пред ставлении вторичного квантования. Рассмотрим случай сильного кристаллического поля, которое разрушает полный орбитальный мамент d-электронов. Мы получаем tk c† ck + E a† a H= k k + [I(k, 1, k, 2 ) I(k, 1, 2, k ) kk 1 + L(k, 1, k, 2 ) L(k, 1, 2, k )] a† 1 a2 c† ck, (L.8) k где кулоновские и обменные матричные элементы e I(1, 2, 3, 4) = dxdx 1 (x)2 (x ) 3 (x)4 (x ) (L.9) |r r | (x = {r, s}) должны вычисляться для волновых функций с учетом СОВ, а спин орбитальные матричные элементы имеют вид e2 h [r r, p]s L(1, 2, 3, 4) = dxdx 1 (x)2 (x ) 3 (x)4 (x ). (L.10) m2 c2 |r r | В представлении = {km} диагональные матричные элементы Hso (dd) исчезают, а недиагональные получаются с использованием теории возмущений и (L.7). Подстав ляя (L.7) в обменную часть (L.9), мы выводим поправку в линейном приближении по Hso k1 m1 1 |ls|k1 m (1) Hsd = Ek1 m1 Ek m I (0) (kk1 m1, k2 m2 k )a† 1 m1 1 ak2 m2 c† ck 2. (L.11) k k Матричные элементы (L.11) вычисляются, как и в Приложеним K, с использованием представления плоских волн для электронов проводимости (функции, соотвествую щие неприводимым представлением точечной группы, выражаются через их линей ные комбинации). Это представление позволяет ввести простым способом спиновые операторы для локализованных d-электронов:

a† am = (1 + 2sz )m (lz ), m a† am = s± m (lz ), (L.12) m± где 0 = 1 + (lz )2 [(lz )2 5], ±1 = lz (lz ± 1)[4 (lz )2 ], ±2 = lz (lz ± 1)[(lz )2 1], (L.13) Недиагональные произведения a† am выражаются через операторы l±. Поэтому m мы получаем для кубического кристалла (1) Fll (l, s )ei(kk )R c† ck, Hsd = (L.14) k E ll kk где мы положили для простоты E (k) = E = const. Член разложения с l = l = имеет вид 6 (1) (1) Hsd (11) = i e G11 (k, k )[kk ]s (l ) E kk ei(kk )R c† ck, (L.15) k и описывает анизотропное рассеяние (радиальный интеграл G дается (K.5)).

Теперь мы вычислим матричные элементы "несобственного"СОВ (L.10). Заменяя для простоты квадраты волновых функций d-электронов -функциями (что возмож но, поскольку орбитальные момент d-электронов не входят), мы получаем [kk ] ei(kk )R L(kk ) = i s (L.16) (k k ) где 1016 эрг. Выражение (L.16) не дает зависимости от ориентации локализо ванных спинов в кристалле. Однако, такая зависимость появляется для более слож ных d-волновых функций Комбинируя (L.15) с (L.16), запишем поправки к гамильтониану s-d модели, обу словленные СОВ, в виде ei(kk )R (s kk )c† ck, Hsd = (L.17) k kk где (1) I [kk ]z [kk ]z z = i kk l + i, (L.18) kk E kk (k k ) = 2 (lz )2 [4 (lz )2 ] 1 z2 z (l ) [(l ) 1] + 2(lz )2 [4 (lz )2 ] l, (L.19) 9 I (1) определяется (L.15). Хотя | | ||, роль второго члена в (L.17) может быть важной при условии, что главный вклад дают малые значения |k k |, как это имеет место для аномальных кинетических явлений при низких температурах.

Приложение M Аппарат матрицы плотности для вывода кинетических уравнений и теория аномального эффекта Холла Математическое описание кинетических явлений связано с уравнением баланса для функции распределения носителей тока во внешних электрических, магнитных и тепловых полях (5.14). В простых случаях такие уравнения могут быть получе ны из простого физического рассмотрения движения электрона в k-пространстве под действием внешних полей и столкновений. Однако в более сложных ситуациях, когда важны высшие порядки по амплитуде рассеяния, такие простые аргументы недостаточны. Так как часто мы действительно встречаемся с этой ситуацией для кинетических явлений в магнитных кристаллах, необходим более общий метод для вывода кинетических уравнений. Наиболее удобен подход, который использует мат рицу плотности. Уравнения движения для этой величины имеют обычный кванто вомеханический вид и могут быть легко сведены к кинетическим уравнениям.

Определим оператор матрицы плотности = eH /SpeH, 1/T (M.1) где H - полный гамильтониан системы, включая носители тока, рассеивающую си стему и внешние поля. Коэффициент в (M.1) определяется из условия нормировки Sp = Оператор, как и H, может быть записан в любом квантовом представлении. В теории твердого тела удобно использовать представление вторичного квантования.

Тогда символ Sp означает суммирование по всем возможным числам заполнения квазичастиц в системе. Например, в случае электрон-фононной системы Sp... =... (M.2) {nk }{Nq } где nk = 0, 1 - числа заполнения электронов, а Nq - фононов.

Среднее значение физической величинв A получается как A = Sp(A) (M.3) Для примера вычислим средние числа заполнения для невзаимодействующих элек тронов проводимости. Мы находим nk = c† ck = exp(k c† ck )...nk... | k k k {nk } c† ck |...nk... / exp(k c† ck ) |...nk...

...nk... | k k k {nk } exp(k ) = (exp(k ) + 1) = exp(k )nk / nk nk т.е. получается функция распределения Ферми Если гамильтониан системы записан в виде H = H0 + H где H’ - возмущение, равновесная матрица плотности (H) может быть разложена по степеням H’, что и требуется при вычислении полевого члена в кинетическом урав нении. С этой целью можно использовать теорему о разложении экспоненциального оператора [706]:

n| exp((H0 + H ))|n = nn exp(En ) 0 exp(En ) exp(En ) n|H |n n |H |n n|H |n + 0 0 En En En En n 0 0 0 exp(En ) exp(En ) exp(En ) exp(En ) (M.4) 0 0 En En En En где En - собственные значения H0. В представлении вторичного квантования числа n означают наборы чисел заполнения, и суммирование по ним дает выражение для (H) через степени H’ и (H) = 0. В представление волновых функций |l имеем = (0) + (1) + (2) +...

l l (0) (1) ll = l ll, ll = H (M.6a) l l ll где Hll Hl l l l l l (2) ll = l ll + (M.6b) l l l l l l l |Hll |2 l l l = (M.6c) l l l l l ll Уравнение движение для оператора матрицы плотности имеет обычный вид = [H, ] (M.7) t В любом представление |l мы можем записать систему уравнений для диагональ ных и недиагональных матричных элементов. При некоторых условиях эта система сводится к кинетическим уравнениям в низшем и следующем борновских приближе ниях. Таким путем быле получены кинетические уравнения для упругого рассеяния на примесях [458], а затем для рассеяния фононами [460] и спиновыми неоднородно стями [466]. Теория в случае произвольно большой амплитуды рассеяния, но малой концентрации примесей была развита Латтинджером [707]. Однако для сложного H вычисления в матричной форме довольно громоздки даже для примесного рассея ния во втором борновском приближении. Поэтому для практических целей удобно вывести кинетические уравнения в операторной форме без конкретизации гамиль тониана. Сейчас мы рассмотрим эту технику, развитую в [471,472].

Единственное требование к гамильтониану - возможность представления Ht = H0 + HE est + H (M.8) где H0 имеет диагональный вид в n-представлении, HE - энергия системы в адиа батически включаемом (s 0) электрическом поле E, H - недиагональная часть.

Полный оператор матрицы плотности записывается как t = + est (fa fb ) (M.9) где - рановесная матрица плотности в отсутствие электрического поля, fa и fb диагональные и недиагональные компоненты поправки. Учитывая соотношения [H0, fa ] = [H, fa ]a = [H0, fb ]a мы получаем в линейном приближении по E sfa = [HE, ]a + [H, fb ]a (M.10) fb = L1 [HE, ]b + [H, fa + fb ]b (M.11) где L1 =, fb = [H0, fb ] (M.12) is - разность собственных значения H в соответствующих состояниях. Система (M.10), (M.11) может быть решена методом итераций. Подставляя (M.11) в (M.10), получаем isfb = [HE, ]a + [H, L1 [HE, ]b + [H, fa + fb ]b ]a (M.13) Повторяя процедуру, имеем после n-1 итерации isfa = [HE, ]a + [H, L1 [HE, ]b + [H, fa ]b + [H, L1 [HE, ]b + [H, fa ]b + [H, L1 [HE, ]b + [H, fa ]b +... (M.14) + [H, L1... [HE, ]b + [H, fa + fb ]b... ]a где {...{ означает n фигурных скобок. Итерационная процедура позволяет получить решение в любом нужном порядке по H при условии, что разложение fa по H начинается с более низкой степени H, чем разложение fb. Тогда с точностью до (H )n+1 мы можем пренебречь членом [H, fb ] в (M.14), получить решение для fa и далее найти fb из (M.10).

Рассмотрим первую итерацию. В низшем порядке по H имеем [HE, (0) ]b + [H, L1 [H, fa ]b ]a = 0 (M.15) Учитывая тожество 1 L1 + Ln n = + i[(nn ) + (n n )] (M.16) nn nn n n умножая на n = a† a и суммируя по числам заполнения, мы получаем из (M.15) (0) (0) C + T = 0 (M.17) где (0) C = Sp{[HE, (0) ]n } (M.18) - полевой член, (0) T = Sp [H, L1 [H, fa ]b ]a n (M.19) = 2iSp{H fa H H H fa }()n столкновительный член (-функции соответствуют подчеркнутому оператору H ).

Легко видеть, что fa = f (2) (H )2. Таким образом мы получаем обычное кине тическое уравнение типа Больцмана В приближении следующего порядка по H мы должный учесть члены с f (1) (H )1. Находим (1) (1) (0) (0) C + C = T (f (1) ) + T (f (2) ) = 0 (M.20) где (1) C = Sp{[HE, (1) ]n } (M.21) (1) = 2iSp{[H, (0) HE H HE (0) ]n ()} C (M.22) и, в случае чисто мнимого произведения H H H (например, для спин-орбитального взаимодействия), (1) T = 6 2 Sp{fa ()H n H H ()} (M.23) Видно, что одно из важных преимуществ метода - простое формирование членов с дельта-функциями.

Во втором порядке по H (2) (2) (2) (0) (1) (2) + T (f (0) ) + T (f () ) + T (f (2) ) = C + C + C (M.24) где (2) C = Sp{[HE, (2) ]n } (M.25) (2) = Sp{[H, L1 [HE, (1) ]]n } C (M.26) (2) = Sp{[H, L1 [H, L1 [HE, (0) ]]]n } C (M.27) (2) T = Sp{[H, L1 [H, fa ]b [[H, n ]L1, H ]b L1 } (M.28) В матричной форме этот результат был выведен Коном и Латтинджером [478]. Далее мы рассматриваем кинетические уравнения для конкретных механизмов рассеяния.

M.1 Примесное рассеяние Гамильтноиан электронно-примесной системы имеет вид l c† cl, rll c† cl, Vll c† cl H0 = HE = eE H= (M.29) l l l l ll ll где l = {nk}, n - зонный индекс, ni ei(kk )Ri ll Vll = (M.30) i= drei(kk )r u (r)ul (r)(r) ll = (M.31) l (r) - однопримесный потенциал, ni - число примесей, ul - блоховские множители в (2.1). Усреднение по случайному распределению примесей дает |Vll |2 = ni |ll |2 (l = l ) (M.32) Диагональные матричные элементы примесного потенциала могут быть включены в нулевой гамильтониан и не важны при выводе кинетического уравнения. Рассмотрим уравение низшего порядка (M.17). Подставляя HE и H в (M.18), (M.19), получаем nl (0) (0) (0) = eE (ll rll rll l l ) = eE[(0), r]l = ieE Cl (M.33) k l (0) (здесь и далее мы используем обозначение nl = l = f (l ) для равновесной ферми евской функции распределения), (0) |ll |2 (fl fl )(l l ) Tl = 2i (M.34) l где fl = Sp(fa c† cl ) (M.35) l Выражения (M.33), (M.34) дают полевой и столкновительный члены кинетического уравнения для упругого рассеяния примесями в борновском приближении. Результа ты в двух следующих порядках были получены Латтинджером [459]. Кинетическое уравнение второго борновском приближения для примесного рассеяния имеет вид (поправки первого порядка к полевому члену отсутствуют) (1) (0) Tl (f (2) ) + Tl (f (1) ) = 0 (M.36) где (1) (l l )[(L(1) )ll Vll Vl l Vl l Tl = ll +(L(1) ) Vll Vl l Vl (fl fl )] (M.37) l ll (0) и Tl определяется (M.34).

Рассмотрим случай, когда присутствует спин-орбитальное взаимодействие (СОВ). Выделяя в (M.37) мнимую часть, линейную по СОВ, и усредняя по при месям, получаем (2) (2) (2) Tl (f (2) ) = (2)2 ni (l l )(l l )(fl fl ) Im(ll l l l l ) (M.38) ll Предполагая что эффективный радиус r0 потенциала (r) мал (kF r0 1), мы можем положить kk dr(r) = (M.39) Тогда, используя приближение эффективной массы, мы получаем решение в первом борновском приближении (благодаря дельта-функциям нужно учитывать только вн туризонные переходы) nl (2) fl = 0 eE vl (M.40) l ni 2 (2m)3/2 1/ 0 = EF (M.41) h 2 Для вычисления поправок от СОВ мы должны разложить матричные элементы (M.31) по малым |k k |:

i Im(ll l l l l ) = kk k k k k l J J l (k k )(k k ) (M.42) k k где un k (r) l nn nn dru (r) J = J (k), J = (M.43) nk k пропорционально СОВ и является чисто мнимым.

Подставляя (M.40), (M.42) в (M.38), находим l J J ini 3 EF 0 (2m )3 nl 2 l eE k 12 7 l k k h (1) (1) +2ni 2 (nk nk )(fnk fnk ) = 0 (M.44) k Это уравнение имеет структуру обычного борновского уравнения с мдифицирован ным полевым членом. Его решение имеет вид l J J l iEF nl (1) fl = eE k (M.45) 3ni l k k Теперь мы оценим величины J. В первом порядке теории возмущений по СОВ по лучаем n |HS0 |n (0) unk = unk + un k (M.46) nk nk n =n rnn n |HS0 |n l J = 2i (M.47) nk nk n =n где матричные элементы координаты связаны с матричными элементами квазиим пульса iPnn (k) rnn (k) = (M.48) m (nk nk ) Полагая для простоты nk n k = = const и подставляя выражение для Hso мы находим l J = 2 ((HS0 )nn Pn n Pnn (HS0 )n n ) m n =n h [Hso, p ]n n = (M.49) m Используя уравнение Пуассона V (r) = 4e2 (r) (M.50) ((r) - зарядовая плотность) и (L.1), получаем 2 4 e2 ef f h l [kM] J = i (M.51) 2 c2 m 2 M (0) 3m где M - намагниченность, dr|unk (r)|2 (r) ef f = (M.52) Подставляя (M.51) в (M.45) находим холловскую проводимость ev y e (1) l yx = =3 vy fl (M.53) a0 Ex a0 Ex l e2 n 2 2 M EF =t µ hef f 32 B m M (0) 3ni где t - число зон, n = kF /6 2 - концентрация электронов. Прнимая во внимание выражение для диагональной компоненты тензора проводимости evx e (2) l xx = =3 vx fl a0 Ex a0 Ex l e2 n nl = 0 e2 (vl )2 =t (M.54) l m l мы получаем для коэффициента Холла результат (5.124).


M.2 Рассеяние фононами В случае электрон-фононного взаимодействия мы имеем l c† cl + q b† bq H0 = (M.55) q l q l (Qll q c† cl bq + Q q c† cl b† ) H= (M.56) ll q l l ll q где Qll q = i(2M q )1/2 qCnn kk,q † q частота фононов, bq и bq - бозевские операторы рождения и уничтожения фоно нов, C - константа Блоха в теории проводимости [1]. Включение второго члена в H учитывает неупругий характер электрон-фононного рассеяния.

Рассмотрим приближение низшего порядка (M.17). Тогда полевой член опреде ляется (M.33), а член столкновений вычисляется из (M.19):

(0) |Qll q |2 {[(fl fl )Nq fl (1 nl ) + fl nl ](l l + q ) Tl = 2i lq + [(fl fl )(1 + Nq ) + fl (1 nl ) + fl nl ](l l q } (M.57) Здесь мы выполнили расцепления многочастичных матриц плотности, так что Nq и nnk - равновесные бозевские и фермиевские функции.

Вклад низшего порядка в аномальный эффект Холла (АЭХ) от фононного рас сеяния описывается уравнением второго порядка по H’. Соответствующая поправка к функции распределения, линейная по СОВ, возникает как от полевого, так и от столкновительного членов. Чтобы упростить рассмотрение, мы следуем работе [460] и не учитываем всех таких поправок, но ограничимся уравнением (2) (0) + Tl (f (0) ) = Cl (M.58) (см. (M.24)) и пренбережем C (2), C (2) и T (2). Опущенные вкалады по-видимому не влияют на качественные результаты.

(2) Чтобы вычислить Cl, мы должны разложить равновесную функцию распре деления до первого порядка по амплитуде рассеяния. Выполняя расцепление мно гочастичных средних с использованием теоремы о разложении экспоненциальных операторов (M.6), получаем (0) (0) |Qll q |2 [(l l + q )ll q (l l q )ll q ] lq |Qll q |2 nl (1 nl )(rl rl )[(l l + q )Nq +eE lq +(l l q )(1 + Nq )] = 0 (M.59) где (i) (i) (i) ll q = Nq (nl nl ) + fl (1 nl ) + fl (M.60) Для высоких температур T q имеем nl nl (1 nl ) = l так что решение, лиенйное по СОВ, имеет вид nl (0) = ieE J l fl (M.61) l где величина J (см. (M.43)) определяется диагональной частью координаты, связан ной с СОВ [459]:

nn rll = ill + iJ (k)kk (M.62) k Недиагональная часть f (0) получается из уравнения (M.11):

(2) (2) l ll 1 lq q (0) (0) Q l q Ql lq fl l = eE [, r ]l l Ql l q Qll q + l l l l lq l lq lq (2) (2) l l ll q q Qll q Q l q + Qll q Ql l q (M.63) l +l q l l q l где ±lq = l l ± q is, l l = l l is, s l Используя (M.61) и (M.63), мы можем вычислить среднюю скорость носителей тока в нулевом порядке по Q:

(0) (0) fl vl + fl l vll va +vb v= (M.64) l l =l l ll vl = nn, v = (l l )J kk (M.65) k Учитывая (M.62) и соотношение l J J l J J n J J n = nn n nn n (M.66) k k n получаем nl l l va = ieE v J (M.67) l l l J J l v b = ieE nl (M.68) k k l где мы пренебрегли межзонными переходами. Интегрируя (M.68) по частям и объ единяя с (M.67), получаем окончательное выражение для средней скорости nl l l v = ieE v J (M.69) l l Подставляя выражение (M.51) в (M.69), получаем e4 h4 Mz 2 nl l ph yx = ef f v kx (M.70) l x 3 m (mc)2 M (0) l Интегрируя по k и усредняя по подзонам, еаходим аналогично (M.53) 2 e4 n 4 1 Mz h ph yx = tef f (M.71) 3 (mc)2 m M (0) Тогда спонтанный коэффициент Холла равен 2 µ2 e2 n yx 2 h ph = B 2 ef f t RS = (M.72) 4M z 3 m M (0) M.3 Рассеяние спиновыми неоднородностями Для описания взаимодействия электронов проводимости с магнитными моментами мы используем s-d обменную модель с включением спин-орбитального взаимодей ствия (L.17). В случае высоких температур введем в гамильтониан взаимодействие электронов со средним полем:

Siz, WM = 2J0 S z Hd = WM (M.73) i В низшем борновском приближении находим nl± (2) (2) eE |Ill ± z |2 (fl ± fl± )K zz (l± l ± )+ = 2 ll k l (2) (2) +|Ill |2 (l±,l ± K ± l ±l± K ± )(l± l ± ± WM )+ (2) (2) +l l (l±,l ± K + l ±l± K + )(l± l ± + WM ) l l (2) (2) + (l±,l ± K + l ±l± K + )(l± l ± WM ) (M.74) где (i) (i) (i) = f (1 n ) f n (M.75) l± = l ± Ill S z и мы ввели одноузельные средние K zz = (S z )2 S z 2, K ± = S ±S = (S ± S z )(S S z + 1) (M.76) пренебрегая межузельными спиновыми корреляторами в духе приближения сред него поля. Уравнение (M.74) было впервые получено в [466] матричным методом.

Опуская спин-орбитальные члены мы получаем в однозонном приближении (l = k) для Ikk = const результат Касуя [422] nk± eE = 2I 2 [(fk ± fk± )K zz (k± k ± ) (M.77) k k (2) (2) +(k±,k K ± k ±,k± K ± )(k± k ± ± WM )] Пробное решение уравнения (M.77) имеет стандартный вид nk± (2) fk± = eE 0 (k± ) ± vx (M.78) k± Подставляя (M.78) в(M.77) и выполняя интегрирование по углам, находим 2 h WM ± (2m )3/2 ± 0 () =, (M.79) v0 I 2 TT где 1 + e ± (, ) = K zz + K ± (M.80) 1 + e± В частности, + (0, ) = (0, ) () = [K zz + 2K + (1 + e )]1 (M.81) так как K + = eWM /T K + Для S = 1/2 имеем [()]1 = 3 Sz (M.82) Теперь мы можем ввести транспортное время релаксации 1h f () 2h WM ( + + ) 0 = d EF (M.83) 3 I 2 3 I T Тогда магнитное сопротивление равно 1 e2 n0 3 m I 2 WM mag = = (M.84) m 2 e2 n hEF T Теперь мы рассмотрим случай низких температур T Tc, где можно использо ватб спин-волновое приближение. Используя представление Гольштейна-Примакова для спиновых операторов, находим (c† ck bq + c† ck+q b† ) H = (2S)1/2 I (M.85) q k+q k kq † (I + z † I k,k+qp )ck ck+qp bq bp kpq Столкновительный член низшего порядка вычисляется аналогично случаю электрон-фононного взаимодействия. Мы имеем f (±k± ) exp(q ) f (±k± q ) (0) Tk± = 2I 2 S Nq fk+q± fk+q± f (±k± q ) f (±k± ) q (k+q k± ± q ) (M.86) Решение соответствующего кинетического уравнения (M.17), которое описывает рас сеяние спиновыми волнами, имеет вид 1 nk fk = (k )k (M.87) T k () = C + () Энергетическая зависимость () необходима для того, чтобы удовлетворить инте гральному уравнению. Как и в случае рассеяния на фононах [1], эта зависимость приводит лишь к температурным поправкам высшего порядка в сопротивлении, од нако она важна при рассмотрении аномального эффекта Холла. Подстановка (M.87) в кинетическое уравнение дает для изотропного электронного спектра 1 nk ka0 k T eE x = 2I 2 S dxNB (Tx )f (±k )f (±k T x) (M.88) k 4 k TC e±k {x± (k T x)(1 x) x± (k )} где мы пренебрегли малым спиновым расщеплением, T I T (ka0 ) =, T0 Tc (kF a0 ) 0, = T0 EF 2Tc Интегрируя (M.88) по, мы вычисляем константу C 2 4ka0 k Tc Cx = eE x (M.89) I 2 S k T где dxNB (T x)f (T y)f (T (x + y))ey = dy(y), (y) = Тогда уравнение для принмает форму dxNB (T x)f ()f ( T x)e [x ( T x) x ()] 2eE x k Tc f () = 2 (M.90) I Ska0 k T Легко видеть, что x Tc /T, так что вклад функции в сопротивление пропорцио нален (T /Tc )3 и им можно пренебречь. Интегрируя по k, находим для проводимости 4 e2 n a0 k Tc (kF a0 )3 k xx = (M.91) 2 Sm v 3 I k T F kF что согласуется с результатом (5.62).

Кинетическое уравнение следующего приближения важно для рассмотрения вклада магнитного рассеяния в аномальный эффект Холла. При высоких темпе ратурах получаем [466] (1) |Ill |2 K zz (fl± fl ± )(l± l ± ) (M.92) l (1) +(K ± (1)± K ± l ±,l± )(l± l ± ± WM ) l±,l (2) (2) Wl± z (fl± (1) 2i fl ± )(l± l ± ) = ll l (2) где f - решение уравнения (M.74), (1) |Ill |2 (S z S z )3 (l± l Wl ± = ±) (M.93) l + (S z S z )S ± S ± (2K zz K ± )nl ± ±K nl± z + 2 S nl nl± ] (l± l ± WM )} ± Подставляя в (M.92) решение кинетического уравнения низшего порядка (M.78) и мптричные элементы СОВ (L.18), получим в однозонном приближении a3 km 64 I (1) nk± (1) ± vy W± 0 (k± ) 0 eE x l + k± 35 E 4h (1) (1) +I 2 K zz (fk± fk ± )(k± k ± ) k (1) (1) + (K ± k±,k ± K ± k ±,k± )(k± k ± ) = 0 (M.94) Решение уравнения (M.94) ишется как nk (1) = eE x (k ) fk vy (M.95) k Тогда мы находим mk (k ) = a ef f W [0 (k )] (1) (M.96) 2 h где 32 I (1) ef f = l + (M.97) 35 E Теперь можно вычислить холловский ток (1) jy = 2e fk vy k Результат для коэффициента Холла имеет вид m ef f S 9 I mag {K zz + (4 S z )1 [2K zz RS = (M.98) e2 n M (0) 32 EF h 1 WM sinh WM WM (K + + K + ) + S z coth ] } 2 2 cosh WM В частности, используя уравнение для намагниченности (4.14), получаем для S = 1/ m ef f 1/4 S z 9 I mag RS = e2 n 64 EF h M (0) WM sinh WM WM 1 + coth (M.99) 2 cosh WM В пренебрежение слабой температурной зависимостью функции в в квадратных скобках результат (M.99) может быть представлен в форме (5.130).

Кинетическое уравнение следующего борновского приближения с учетом линей ных поправок по СОВ, описывающее электрон-магнонное рассеяние при низких тем пературах, имеет вид (0) (1) T (f (1) ) + T (f (2) ) = 0 (M.100) где полевой член C (1) равен нулю (как и для примесного рассеяния), T (0) опреде ляется (M.86), решение в низшем борновском приближении дается (M.87). Чтобы вычислить T, запишем для (M.85) H =H +H где H содержит обменный член, а H - спин-орбитальные. Используя (M.23) и свойства Hn1 n2 = H, Hn1 n2 = Hn2 n1, (M.101) вычисляя коммутаторы и выполняя расцепления, которые справедливы в рассмат риваемом порядке, получаем (1) Tk± = 3I 2 S Nq Np z k,k+qp (kp k± ± q )(kp k± q ± p ) pq f (±k± )ep f (±k± )f (±k± + q p ) (q +p ) e fkp fk+qp [f (±k± p )]2 f (±k± + q p ) f (±k± q ) p +z kq,kp (kp k± ± p )(kq k± ± p ) e fkp (M.102) f (±k± p ) Следует отметить интересную особенность уравнения (M.100). Подстановка f (2) Cx = const в (M.102) дает нуль после интегрирования по в низшем порядке по q/k, а члены высших порядков по q приводят к более высоким степням T /Tc. Поэтому следует учесть энергетическую зависимость функции (M.87). Тогда решение (M.100) дает [472] I (1) T 3a0 k T nk (1) fk = 4.4l 0.24 v( ) ky (M.103) 16 k Tc E TC k где I (1) f ( + ) dNB ()e ln 1 + e v() = l E f () Вычисляя yx с учетом (M.103) и используя выражение для диагональной проводи мости (M.91), мы находим выражение для коэффициента Холла 3 2 I 2 S h dk mag RS = k (M.104) 2 k M (0) 512 e F dk kF 4 I (1) T T 1.1l + 0. E Tc Tc где самый большой T 3 -член возникает благодаря энергетической зависимости ().


Приложение N Вырожденная модель Андерсона.

Периодическая модель Андерсона описывает ситуацию, когда сильнокоррелирован ные d(f)-электроны не участвуют непосредственно в зонном движении, но гибриди зуются с состояниями зоны проводимости. Такое положение имеет место для ряда редкоземельных и актинидных соединений (глава 6). Гибридизационна (многокон фигурационная) картина часто полезна и для обсуждени некоторых свойств пере ходных d-металлов и других d-электронных систем. Например, сильная p-d гибри дизация имеет место в медь-кислородных высокотемпературных сверхпроводниках (раздел 6.7). Пренебрегая спин-орбитальным взаимодействием, что разумно для пе реходных металлов и их соединений, мы напишем гамильтониан решетки Андерсона в виде tk c† ck + Vklm c† aklm + h.c.

H = H0 + (N.1) k k k klm где H0 - гамильтониан внутриузельного взаимодействия между d-электронами. Сим метрийный анализ гибридизационного смешивания выполнен для различных ситу аций в обзорах [708,565]. Для упрощения модельного рассмотрения мы описываем состояния электронов проводимости плоскими волнами. Используя разложение по сферическим гармоникам (C.28), мы получаем для матричного элемента гибридиза ции Vklm = il Ylm (k)vl (k) (N.2) где r2 drRl (r)v(r)jl (kr) vl (k) = 4 (N.3) и v(r) - сферически симметричный потенциал для данного узла. В пределе jj-связи (соединения актинидов) нужно подставить в (N.1) lm jµ, где j = l±1/2 - полный момент электронов, а m его проекция.

В случае сильных корреляций для d-электронов удобно перейти к представлению операторов Хаббарда, которое приводит H0 к диагональному виду (H.2). Сохраняя два низших терма n = {SL}, n1 = {S L } для конфигураций dn и dn1, определяя новые электронные операторы проводимости d† sµ LM klm = Csµ,/2 CL M,lm Xk (SLµM, S L µ M ) (N.4) µµ M M c† † l klm = i Ylm (k)ck мы представляем гамильтониан (N.1) в форме tk c† ck + vl (k) c† dklm + h.c.

H = H0 + (N.5) k klm k где d† dklm + const H0 = (N.6) klm klm = ESL ES L (мы перешли к большому каноническому ансамблю введением химического потен циала ). Эффективные гибридизационные параметры даются формулой vl (k) = n1/2 GSn LnLn1 vl (k) (N.7) Sn Теперь мы обсудим редкоземельные системы. Вследствие сильного кулоновского взаимодействия между 4f-электронами образование f-зон, содержащих 14 электрон ных состояний, нереалистично. Таким образом, нужно использовать модель с двумя конфигурациями f n и s(d)f n1, что соответствует делокализации одного электро на на атоме. В схеме Рассела-Саундерса мы можем ограничиться двум низшими мультиплетами 4f-иона n = SLJ и n1 = S L J. Переходя в (N.1), (A.31) к J представлению с использованием (B.5) и суммируя произведения коэффициентов Клебша-Гордана по формулам JM Sµ JMJ LM CSµ,LM CS µ,L M CL M,lm CS µ,/2 (N.8) J µµ M M S L J 1/2 jµ JM S LJ = ([j][j ][L]) C/2,lm CJ MJ,jµ J 1/2 l j jµ мы выводим гамильниан, внешне напоминающий гамильтониан в случае jj-связи, fkjµ fkjµ + tk c† ckjµ + vj (k) c† fkjµ + h.c.

† H= (N.9) kjµ kjµ kjµ Здесь мы ввели новые электронные операторы † JM fkjµ = CJ MJ,jµ Xk (SLJMJ, S L J MJ ), (N.10) J MJ MJ c† = i l C/2,lm Ylm (k)c† jµ kjµ k m а эффективные гибридизационные параметры выражены через 9j-символы S L J 1/ ([j][j ][L]) GSL vl (k) S LJ vj (k) = (N.11) SL 1/2 l j Таким образом, гибридизационные эффекты в МЭ системах сильно зависят от МЭ квантовых чисел S, L, J и, следовательно, атомных номеров [709]. Такая зависимость в редкоземельном ряде подобна корреляции де Женна для s-f обменного параметра и парамагнитной температуры Кюри. Экспериментальные исследования этой зави симости, например, спектроскопические данные, представляют большой интерес.

В случае, когда || велика по сравнению с шириной d(f ) уровня, можно исклю чить гибридизационный член из гамильтонианов (N.5), (N.9) каноническим преоб разованием, получая соответственно 1 Sµ Sµ LM LM H= vl (k)vl (k )CL M,lm CS µ,/2 CL M CS µ (N.12a),lm, / [Xkk (SLµ M, SLµM ) µ µ M M +Xkk (S L µ M, S L µ M ) µµ M M ] c† ck lm klm 1 JM JM H= vj (k)vj (k )CJ M,jµ CJ M,j µ (N.12b) [Xkk (JM, JM ) M M + Xkk (J M, J M ) M M ] c† ck j µ kjµ Для 0 ( 0) заполнение уровня есть n (n 1) и нужно сохранить только первый (второй) член в скобках (N.12).

Выражения (N.12) описывают обменное взаимодействие электронов проводимо сти с d(f )-электронами. Заметим, что в рассматриваемом случае взаимодействие сильно анизотропно из-за сферических гармоник, входящих (N.4), (N.10). Это долж но приводить к сильно анизотропному f f взаимодействию РККИ-типа, которое получается во втором порядке по s-f обменному параметру. Такая анизотропия на блюдается в ряде редкоземельных и актинидных соединений. Используя тождество 1/ [L] ll p LM LM pq LM lm CL M,lm CL M,lm = (1) [p] CLM,pq Clm,pq (N.13) LL L [l] pq M гамильтониан (N.12) можно разложить на сумму членов, которые соответствуют взаимодействию электронов проводимости с различными мультипольными компо нентами орбитальных и спиновых (либо отвечающих полному моменту) степеней свободы.

Как и в обычной s f обменной модели [552], разложение теории возмущений в моделях (N.12) дает логарифмические поправки к различным физическим вели чинам, что говорит о перестройке состояния системы при низких температурах. В частности, такая поправка к электронной собственной энергии и сопротивлению воз никает в третьем порядке по I. К сожалению, сложная тензорная структура гамиль тонианов (N.12) препятствует вычислению единственного энергетического масшта ба инфракрасных расходимостей (температура Кондо). Впрочем, такое вычисление можно провести дл случая, когда энергия d(f) уровня не зависит от многоэлек тронного члена и определяется только числом электронов (см. Разд.6.2).

Рассмотрим антикоммутаторную запаздывающую функцию Грина для локали зованных d-электронов (H.3) в немагнитной фазе модели (N.1). Простейшее расцеп ление дает |Vklm | Gklm (E) = (E) (N.14) E tk где функция определена в (H.5). Соответствующий энергетический спектр содер жит систему подзон, разделенных гибридизационными щелями (или псевдощелями в случае, когда V (k) исчезает для некоторых k), которые окружены пиками плот ности состояний. В модели с сильными корреляциями (N.7) мы имеем 1 1, Ek = (tk + ) ± (tk )2 + |Vklm |2 (N.15) 2 где 1/ [S][L] l Vklm = i Ylm (k)vl (k) (NSL + NS L ) (N.16) 2[l] Легко видеть, что ширина гибридизационной щели явно зависит от многоэлектрон ных чисел заполнения (в частности, от положения d-уровня). Приближение (N.14) не учитывает процессов с переворотом спина, которые приводят к эффекту Кондо и могут существенно изменять структуру электронного спектра вблизи уровня Фер ми. Чтобы учесть кондовские аномалии, мы выполняем более точные вычисление функций Грина. Для краткости рассмотрим модель (N.9);

в модели (N.5) [J] [S][L], vj vl Удобно использовать операторы, усредненные по направлению вектора k:

† † c† = dkc† fkjm = dkfkjm, (N.17) kjm kjm Следуя рассмотрению SU (N ) модели Андерсона в разделе 6.4, мы напишем уравне ние движения † † (E ) fkjm |fkjm = Rj 1 + vj (k) ckjm |fkjm (N.18) E E Jµ Jµ + vj (q)CJ M,,jm CJ M,jm Xkq (J M, J M ) j m µM q M Jµ † + CJ M,j m Xkq (Jµ, Jµ) cqj m |fkjm µ где мы выполнили расцепление для члена, описывающего процессы без изменения m, 1 [J] [J] Rj = 1 X (JM, JM ) (N.19) [j] [J ] [J ] M В дальшейшем мы пренебрегаем для простоты упомянутым влиянием гибридизаци онной щели, что может быть обосновано тем, что последняя лежит намного ниже уровня Ферми (заметим, что соответствующие вклады формально малы по обратной кратности выпрождения f-уровня 1/N ). Выполняя расцепления для функций Грина в правой части (N.18), мы получаем † (E tq ) Xkq (Jµ, Jµ) cqj m |fkjm (N.20) E Jµ † = vj (q)nq CJ M Xkq (J M, Jµ ) |fkjm E,,,j m M † (E tq ) Xkq (J M, J M ) cqj m |fkjm E Jµ † = vj (q)nq CJ M,,j m Xkq (J M, Jµ ) |fkjm E µ где nk = c† ckjm = f (tk ) - фермиевские функции распределения. Подставляя kjm (N.20) в (N.19), усредняя по направлению и пользуясь соотношениями ортогональ ности для коэффициентов Клебша-Гордана, мы находим = RJ [E f (E)] † fkjm |fkjm (N.21) E J J W f (E) = 2 vj (kF ) ln (N.22) [J ] E j Здесь мы использовали приближение (6.5). При J J функции Грина (N.21) имеют полюс [J] | | = TK W exp 1 || vj (kF ) (N.23) [J ] j Обычный эффект Кондо соотвествует полной компенсации магнитного момента (J = 0). При J J полюс (N.23) отсутствует (режим сильной связи не возникает), так как рассматриваемая модель переходит в модель Коблина-Шриффера с поло жительным обменным параметром. Аналогия с результатом (N.23) для d-примесей имеет вид [S][L] || TK = W exp 1 (N.24) [S ][L ] vj (kF ) Заметим, что формула (N.24) удовлетволяет условию частично-дырочной симмет рии (n n = 2[l] + 1 n, ) благодаря тождеству для генеалогических коэффициентов n[S ][L ] GSL (n, n 1) GS L (n, n 1) = (N.25) SL SL n [S][L] В пренебрежении звисимостью (LS) все многоэлектронные термы конфигураций dn и dn1 дают равные вклады в процессы с переворотом спина и, следовательно, в температуру Кондо. Далее коэффициенты G входящие в (N.7) можно просум мированы в уравнениях движения с использованием соотношений ортогональности (A.8),(A.9) и получить для температуры Кондо vl2 (kF ) TK W exp (2[l] + 1 2n)1 (|I|)1, I= (N.26) Заметим, что выражение (N.26) может быть представлена в форме, которая сходна с (N.24), 2[l] + 1 2n TK W exp 1 (N.27) n n|I| где множитель (2[l] + 1 n)/n - отношение статистических весов конфигураций dn и dn1 :

2[l] + 1 n (2[l])! (2[l])!

= / n n!(2[l] n)! (n 1)!(2[l] n + 1)!

Результат (N.26) отличается от результата теории возмущений при высоких темпе ратурах (6.22) только единицей в знаменателе показателя степени. Такая разница типична для вычисления температуры Кондо в вырожденной модели Андерсона [565,574] и объясняется тем, что этот подход оправдан, строго говоря, только в пре деле больших N.

Приложение O Приближение среднего поля для основного состояния магнитных решеток Кондо Чтобы построить приближение среднего поля, описывающее основное состояние ре шеток Кондо, мы используем представление псевдофермионов Абрикосова для ло кализованных спинов S = 1/2 (которое совпадает с представлением Дирака (B.1)) 1 † Si = fi fi (O.1) 2 с вспомогательными условиями † † fi fi + fi fi = Используя приближение перевальной точки для интеграла по траекториям, опи сывающего спин-фермионную взаимодействующую систему [711], можно свести га мильтониан s f обменного взаимодействия к эффективной гибридизационной мо дели:

1 c† ci Si fi† Vi ci + c† Vi† fi Sp(Vi Vi† ) I (O.2) i i 2 2I где использованы векторные обозначения fi† = (fi, fi ), † † c† = (c†, c† ) i i i V - эффективная матрица гибридизации, определяемая из услови минимума сво бодной энергии. Коулмен и Андрей [711] рассмотрели формирование состояния спи новой жидкости в двумерной ситуации. Здесь мы исследуем более простой случай ферромагнитного упорядочения, следуя [608]. Рассмотрим гейзенберговский гамиль тониан f-подсистемы в приближении среднего поля. Дл ферромагнетика мы имеем (S = S z ) † Hf = J0 S fi fi, V = V (O.3) i и гамильтониан s f модели принимает вид [(tk )c† ck + w fk fk † H n = (O.4) k k +V (c† fk + fk ck ) + const † k где w = w J0 S, w - энергия “f -уровня”. Уровнения для w, химического потенциала и S имеют вид † n† fk fk = + S (O.5) k c† ck n= (O.6) k k Легко видеть, что w играет роль химического потенциала для псевдофермионов (заметим, что числа электронов и псевдофермионов сохраняются по отдельности).

После минимизации получаем уравнение для V † V = 2I fk ck (O.7) k Диагонализуя гамильтониан (O.4) каноническим преобразованием c† = uk k vk k, † † † † † fk = uk k vk k (O.8) k uk = cos(k /2), vk = sin(k /2) где 2V tk w sin k =, cos k = (O.9) Ek Ek мы получаем энергетический спектр гибридизационного типа, Ek = (tk + w ± Ek ) (O.10) И уравнения (O.5)-(O.7) принимают вид (1 cos k ) n + (1 + cos k ) n nf = (O.11) k k 2 k (1 + cos k ) n + (1 cos k ) n n= (O.12) k k 2 k n n 1 = 2I Ek (O.13) k k k При малых |V |, |w | и T = 0 имеем cos k sign (tk ) (O.14) так что уравнения (O.11), (O.12) упрощаются. Края гибридизационных щелей спи новых подзон даются формулой Ek w + V2 /, Ek w V2 /(W ) (O.15) Далее мы рассмотрим различные типы ферромагнитных решений. Мы ограничимся случаем, когда концентрация электронов проводимости n 1 (результаты для n получаются после частично-дырочного преобразования). Как следует из (O.15), при не слишком больших S для обеих выполняется условие w V2 /(W ) (O.16) т.е. химический потенциал лежит ниже энергетической щели, как и в немагнитном случае. Определим функцию (c) формулой (c) c=2 dE(E) (O.17) где (E) (0 E W ) - затравочная плотность состояний. Тогда уравнение (O.12) принимает вид (n) =, а (O.11) и (O.13) дают V2 / = (n + 2nf ) (n) (O.18) + dE(E) 1 = 2I (O.19) [(E w )2 + 4V2 ]1/ Вычисляя интеграл в (O.19) с точностью до ведущего и следующего порядка по 1/ ln |W/V |, мы получаем f (n+2n ) C (E + ) (E) 1 = 4I ln 2I dE + dE (O.20) V E E C C+ где C - параметр обрезания, не входящий в окончательный результат. В ведущем приближении V не зависит от и мы имеем |V | (W TK )1/2, TK W exp (O.21) 2I Сохраняя члены следующего порядка, мы получаем самосогласованное уравнение для намагниченности (n+1+2S) 1 (E) J0 S tanh dE = (O.22) 4 E w (n+12S) где V 2 /[(n + 1) ] TK (O.23) Уравнение (O.22) не имеет тривиальных решений для затравочной плотности состо яний (E) = const. Однако решения с S = 0 могут возникать для некоторых (E), если левая и правая части порядка единицы, т.е. J0 TK (см. Рис. О.1).

При условии w V2 /(W ), w V2 / (O.24) т.е. лежит в энергетической щели для =, мы получаем “полуметаллическое” ферромагнитное решение с nf = 1 n/2, nf = n/2, S = (1 n)/2 (O.25) (см. рис. O.2). Такое решение существует при условии / [(2n) ]1 J0 (1 n)/V2 /(W ) (O.26) W V 1 dE(E) = exp (O.27) V E (2n) Для (E) = const (O.26) принимает вид J0 (1 n) TK (O.28) и соответствующая полная энергия n2 n TK J0 S 2 = Enonmag J0 S E= (O.29) 4 всегда ниже, чем немагнитное состояние Кондо. Таким образом, энергетически вы годно образование состояния полуметаллического ферромагнетика. В этом состо янии каждый электрон проводимости компенсирует один локализованный спин и магнитный порядок обусловлен обменным взаимодействием между нескомпенсиро ванными моментами. Такая картина напоминает ситуацию в хаббардовской или sd обменной модели с узкими зонами и большим внутриузельным взаимодействием (Разд. 4.6). В нашем случае затравочное взаимодействие мало, но эффективное вза имодействие велико в режиме сильной связи.

Выражение (O.29) следует сравнить с энергией обычного ферромагнитного со стояния с подавленным эффектом Кондо n2 E= J0 /4 (V = 0, S = 1/2) (O.30) Мы видим, что последнее состояние становится энергетически выгодным при n J0 (1 ) TK (O.31) В критической точке происходит переход первого рода.

Третий тип возможных ферромагнитных решений соответствует ситуации боль шому значению расщепления, когда лежит в нижней гибридизационной подзоне для = и в верхней дл = (см. рис. O.3). Впрочем, такие решения (по крайней мере для (E) = const) энергетически невыгодны [608].

Приложение P Представления Швингера и Дайсона-Малеева в теории двумерных гейзенберговских антиферромагнетиков Представление швингеровских бозонов имеет вид, напоминающий представление Аб рикосова (O.1), однако фермиевские операторы заменяются на бозевские bi :

b† bi Si = i 2 1† Si+ = b† bi, Si = b† bi, bi bi b† bi Siz = (P.1) i i i При фиксированной величине локализованных спинов S эти операторы должны удовлетворять на каждом узле i дополнительному условию b† bi = 2S (P.2) i Необходимо отметить что "гиперболические"операторы (B.14) которые изменяют значение момента, также могут быть выражены через швингеровские бозоны [656]:

1† K + = b† b†, b b + b† bi + K = b b, Kz = (P.3) 2 Представление (P.1) оказывается удобным при рассмотрения низкоразмерных си стем, которые не могут иметь дальнего порядка при конечных температурах, но демонстрируют протяженные спиновые флуктуации (ближний порядок).

Рассмотрим теорию среднего поля для двумерной модели Гейзенберга в рам ках самосогласованной спин-волновой теории [623] (Она существенно отличается от обычной теории среднего поля Разд. 4.1, поскольку позволяет описывать сильный ближний порядок выше точки упорядочения.) Условие (P.2) учитывается в среднем, с помощью введения множителя Лагранжа, который полагается не зависящим от i. Аномальные средние bi bj, описывающие синглетное спаривание бозонов, явля ются параметрами ближнего порядка. Возможность дальнего порядка, характери зуемого волновым вектором Q, соответствует бозе-эйнштейновской конденсации с квазиимпульсом k = ±Q/2 Удобно ввести взаимодействие с малым внешним маг нитным полем H. Тогда преобразование Боголюбова k k † bQ/2+k = cosh k sinh 2 k k k † bQ/2k = cosh k sinh (P.4) 2k приводит гамильтониан Гейзенберга к диагональной форме † † Hd = Ek k k + Ek k k (P.5) k где, для квадратной решетки с параметром a0 = 1,, H 2|J| S z Ek = (2 k )1/ Ek = Ek, (P.6) sinh k = k /Ek, cosh k = /Ek (P.7) где k = (sin kx + sin ky ) Уравнения для и, которые получаются из (P.7), имеют вид 1 2S + 1 = (1 + Nk + Nk ) (P.8) N Ek k 1 |J| (sin kx + sin ky )2 (1 + Nk + Nk ) 1= (P.9) 2N Ek k, где Nk, = NB (Ek ), N – число узлов, которое в рассматриваемой задаче нужно писать явно.

При T = 0 мы получаем =, а Nk (но не Nk ) содержит конденсатный член при Ek = 0, т.е.

Ek = H 2J S z H k = ±Q/2, (P.10) Поэтому получаем N±Q/2 = N S z = N EQ/2 nB / (P.11) где 2nB – плотность сконденсировавшихся бозонов. Уравнение (P.8) дает 1/ 1 1 1 (sin kx + sin ky ) nB = S + = S 0.197 (P.12) 2 2N k поэтому nB равняется подрешеточной намагниченности в основном состоянии нее левского антиферромагнетика S(0) с учетом нулевых спин-волновых поправок.

При конечных T спектр бозонов (P.6) содержит щель и конденсация отсутсвует.

Тогда мы с самого начала можем считать H = 0, Nk, = Nk.

Рассмотрим спиновую спектральную плотность Kq () = NB ()Im Sq |Sq (P.13) в представлении швингеровских бозонов. Спиновая функция Грина выражается че рез поляризационные операторы невзаимодействующих бозонов и, и мы полу чаем 1 k k+q (2 µ ) cosh Kq () = Nkµ (1 + Nk+q ) 4 k,µ=, k k+q µ ( + Ek+q Ek ) + (1 + µ ) sinh [Nkµ Nk+q µ µ ( Ek+q Ek ) + (1 + Nkµ )(1 + Nk+q )( + Ek+q + Ek )] (P.14) Как следует из (P.11), (P.14), спектральная плотность содержит при T = 0, H дельта-функционный вклад Kq () = n2 N qQ () (P.15) 2B Множитель 3/2 в (P.15) должен быть на самом деле опущен, поскольку он является артефактом теории среднего поля которая дает из-за неаккуратного учета условия (P.2) Si2 = S(S + 1) нарушая тим самым соответствующее правило сумм на узле.

При конечных температурах мы получаем Ek = 2 (k Q/2)2 + 2, k ±Q/2 (P.16) где коррелляционная длина равна exp(nB /2T ) (P.17) При q = Q интеграл в (P.14) “почти” расходится в точках k = ±Q/2 с обрезани ем на масштабе |k Q/2| 1. Используя разложение Nk T /Ek, представим = соответствующий сингулярный вклад в виде 3 2T q n2 q Kq () = ln (P.18) 2B где q и есть функции (q Q) и (), размытые на масштабе 1 и J/ соответственно. При T J получаем T, и мы можем принебречь размытием, что дает формальное описание сильного ближнего порядка. Чтобы получить темпе ратурную зависимость коэффициента в (P.18) (“подрешеточной намагниченности”), мы оценим интенсивность пика Орнштейна - Цернике при q = Q в статическом корреляторе 1/ Se (T ) = Sq Sq (P.19) |qQ|q 1 – волновой вектор обрезания. Используем результат скейлингового где q рассмотрения [712], которое дает правильный предэкспоненциальный множитель:



Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.