авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |

«М.С. Корытов АВТОМАТИЗАЦИЯ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ГРУЗОВ МОБИЛЬНЫМИ ГРУЗОПОДЪЕМНЫМИ КРАНАМИ В НЕОДНОРОДНОМ ОРГАНИЗОВАННОМ ...»

-- [ Страница 5 ] --

u8 – шаг дискретизации угла подъема стрелы (обоб щенной координаты q8) при поиске оптимального значения q8 в на чальной и конечной точках таректории;

nЛ – количество отрезков раз биения траектории при ее дискретной локальной оптимизации;

lл – шаг дискретизации линейных управляемых обобщенных координат при дискретной локальной оптимизации траектории;

uл – шаг дис кретизации угловых управляемых обобщенных координат при дис кретной локальной оптимизации траектории;

opt – пороговое значе ние относительного убывания целевой функции на текущей итерации при дискретной локальной оптимизации;

vлин пред – максимально до пустимая мгновенная линейная скорость перемещения груза, созда ваемая изменением отдельной угловой координаты;

v7к пред – макси мальная конструктивно возможная угловая скорость изменения обобщенной координаты q7;

v8,1, v8,2 – максимальные рабочие скоро сти движения штока гидроцилиндра подъема стрелы q8 при выдвиже нии и втягивании соответственно;

v9,1, v9,2 – максимальные рабочие скорости движения штока гидроцилиндра нижней секции телескопи ческого звена стрелы при выдвижении и втягивании соответственно;

v9,3, v9,4 – максимальные рабочие скорости движения штока гидроци линдра верхней секции телескопического звена стрелы при выдвиже нии и втягивании соответственно;

q9гран – длина трехсекционной теле скопической стрелы, соответствующая полному выдвижению нижней секции телескопического звена при нулевом выдвижении верхней секции телескопического звена;

v10,1, v10,2 – максимальные рабочие скорости подъема и опускания груза соответственно;

m1, m2, m3, m4, m5=mГР – массы звеньев механической системы ГПК: базового шасси, поворотной колонки, стрелы, телескопического звена стрелы и груза соответственно;

x1,2, x2,2, y1,2, x3,31, y3,32, x3,33, x4,41, y3,42, y4,43, x2,54, cГ1, cГ2 – постоянные констрктивные размеры ГПК;

0 – постоянный конструк тивный угол для определения управляемой обобщенной координаты q8;

q7, q8, q9, q10 – максимально допустимые шаги дискретизации по управляемым обобщенным координатам q7, q8, q9 и q10 соответст венно при определении значения целевой функции путем численного интегрирования;

k7,1, k7,2, k8,1, k8,2, k8,3, k8,4, k9,1, k9,2, k10,1, k10,2 – эмпири ческие коэффициенты для определения целевой функции по времен ному критерию и регрессионным выражениям.

В качестве целевой функции L могут использоваться любые ин тегральные критерии оптимальности на основе управляемых обоб щенных координат ГПК в пространстве его конфигураций.

Практическую ценность представляют критерии, оценивающие временные и энергетические затраты при перемещении грузов. Необ ходимо переместить груз из начальной точки sнач в конечную sкон, ми нуя препятствия, форма и расположение которых известны и заданы во внешнем пространстве декартовых координат (в неподвижной сис теме координат O0Х0Y0Z0). Дополнительно необходимо минимизиро вать целевую функцию траектории перемещения, вычисляемую на основе управляемых обобщенных координат ГПК.

Необходимо найти траекторию S* с оптимальным (минимальным) значением L* целевой функции L, представляющую собой траекторию перемещения из sнач в sкон:

L*=min {Lq}, q[1;

С]. (4.3) где {Lq} – множество значений целевой функции множества траекто рий {Sq}, представляющих собой дискретные траектории перемеще ния из sнач в sкон в виде смежных точек sнач, s2, s3, …, sкон.

Представленная формулировка задачи имеет достаточно универ сальный характер и допускает решение задачи при помощи различ ных методик, использующих разные алгоритмические и вычисли тельные подходы.

4.2. Обоснование критериев эффективности перемещения груза в пространстве конфигураций грузоподъемного крана Для обоснованного выбора технологических параметров при пе ремещении грузов грузоподъемными машинами, а также конструк тивных решений при проектировании грузоподъемных машин и их элементов необходимы критерии сравнения различных вариантов [1, 23, 195, 196].

Для сравнения различных вариантов при решении вопросов ав томатизированного проектирования кранов широко используется ие рархическая система критериев, важнейшими и наиболее универсаль ными из которых являются критерий приведенных удельных затрат [186] и интегральный показатель качества [187].

Эти критерии применяются в основном для оценки оптимально сти проектирования конструкции крана в целом. Они учитывают множество факторов как постоянного, так и переменного характера.

При этом факторы переменного характера учитываются приблизи тельно или усредненно, т.к. их точное определение затруднено слож ными условиями применения, дискретным циклом работы машины.

Эти особенности затрудняют применение универсальных критериев для стреловых кранов.

В качестве показателей более низкого иерархического уровня, которые зависят от переменных факторов, используются: удельная себестоимость строительно-монтажных работ, отнесенная на единицу продукции либо на единицу времени;

часовая эксплуатационная про изводительность;

количество циклов за смену;

длительность цикла и др. [1, 23, 186, 187].

Показатели более низкого иерархического уровня зависят как от конструктивного исполнения крана и его эксплуатационных характе ристик, так и от переменных, не зависящих от конструкции крана, факторов. Последние, однако, оказывают существенное влияние на приведенные удельные затраты. В частности, технологическая схема организации работ, взаимное расположение крана и перемещаемого груза в его начальном и целевом положениях, угловая ориентация груза, взаимное расположение крана и препятствий в рабочей зоне, скорости рабочих движений и возможность их совмещения, длина пу ти грузозахватного органа влияют на машинное время цикла, на за траты энергии и в конечном счете на эксплуатационные расходы.

Задача эффективного перемещения груза является задачей опти мального управления несколькими совместно работающими крано выми механизмами и требует рассмотрения перемещений в простран стве конфигураций ГПК. Эта задача является геометрической, т.к. не обходимо определить оптимальную траекторию движения механизма или груза в пространстве с препятствиями.

Критерии оптимальности могут выражаться функциями времени (быстродействие), затрат энергии и т.д. Т.е. задача одновременно яв ляется в этом случае временной, энергетической и т.д. Кроме того, за дача может быть представлена одновременно как экономическая или стоимостная: минимизируются эксплуатационные расходы, обуслов ливающие минимум суммарных затрат на перегрузочные операции [186].

В научной литературе недостаточно раскрыты вопросы оптими зации траектории перемещением груза грузоподъемными кранами в трехмерном пространстве с препятствиями произвольной формы по временным, энергетическим и стоимостным критериям оптимально сти.

Предлагается в качестве критериев оптимальности (целевой функции L при постановке задачи в разделе 4.1) использовать сле дующие:

1. Временной критерий оптимальности – интегральное полное время перемещения T подвижных звеньев ГПК из начального поло жения в конечное – в случае дискретной формы представления траек тории будет иметь вид ({ }) nЛ T = max (T7 )i,i 1 ;

(T8 )i,i 1 ;

(T9 )i,i 1;

(T10 )i,i 1, (4.4) i = где (T7)i,i–1, (T8)i,i–1, (T9)i,i–1, (T10)i,i–1 – интегральное время изменения ко ординат q7, q8, q9, q10 механической системы ГПК при перемещении из точки (i–1) траектории груза в точку i с максимально допустимыми скоростями. Методика определения временной функции стоимости изменения управляемых обобщенных координат ГПК изложена в раз деле 4.6.

2. Энергетический критерий оптимальности – абсолютное коли чество топлива, израсходованного ДВС ГПК, или интегральная сум ма работ сил и моментов привода Ae за время перемещения груза по траектории – в случае дискретной формы представления траектории будет иметь вид ( ) nЛ Ae = ( A7 )i,i 1 + ( A8 )i,i 1 + ( A9 )i,i 1 + ( A10 )i,i 1 + ( AT )i,i 1, (4.5) i= где (A7)i,i–1, (A8)i,i–1, (A9)i,i–1, (A10)i,i–1 – суммы элементарных затрат топ лива (элементарных работ) при изменениях по отдельным управляе мым координатам привода q7, q8, q9, q10 соответственно при переме щении из точки (i–1) траектории груза в точку i;

AT – фиксированная составляющая затрат энергии в виде количества топлива или работы, зависящей от минимально допустимого по дополнительным условиям времени перемещения Ti,i–1 груза и звеньев ГПК из точки (i–1) траек тории груза в точку i. Методика определения энергетической функ ции стоимости изменения управляемых обобщенных координат ГПК изложена в разделе 4.7.

3. Экономический критерий оптимальности – абсолютная стои мость эксплуатационных расходов C при перемещении подвижных звеньев ГПК из начального положения в конечное. Складывается из стоимости топлива (количество которого пропорционально сумме элементарных работ по отдельным управляемым координатам) и суммы стоимостей (часть затрачиваемого топлива, пропорциональная времени работы, амортизационные отчисления, отчисления на буду щие ремонты по нормативам, заработная плата и т.д.), отнесенной ко времени работы машины. Определяется по зависимости, аналогичной (4.5), по методике раздела 4.7, при собственных значениях эмпириче ских коэффициентов:

( ) nЛ C = (C7 )i,i 1 + (C8 )i, i 1 + (C9 )i,i 1 + (C10 )i,i 1 + (CT )i,i 1, (4.6) i= где (C7)i,i–1, (C8)i,i–1, (C9)i,i–1, (C10)i,i–1 – суммы эксплуатационных расхо дов по отдельным управляемым координатам привода q7, q8, q9, q соответственно при перемещении из точки (i–1) траектории груза в точку i;

(CT)i,i–1 – фиксированная составляющая эксплуатационных расходов, зависящая от минимального времени перемещения Ti,i– груза и звеньев ГПК из точки (i–1) траектории груза в точку i.

Предложенные критерии имеют практическую направленность.

Аварийный характер работ, выполняемых в ряде случаев грузоподъ емными кранами, выдвигает в качестве важнейшего показателя про должительность производства работ, минимизировать которую по зволяет предложенная методика определения временного критерия оптимальности T (быстродействия).

Использование энергетического и связанного с ним стоимостного критериев оптимальности позволяет снизить величину эксплуатаци онных расходов C при перемещении грузов в сложноорганизованном трехмерном пространстве с препятствиями.

4.3. Методика определения управляемых координат грузоподъемного крана по известным координатам груза Задача определения управляемых координат механической сис темы машины по координатам рабочего органа, или обратная задача кинематики, является актуальной. Решение обратной задачи кинема тики является неотъемлемой частью прикладных задач более высоко го иерархического уровня, таких, как синтез и оптимизация конструк тивных параметров машины, технологических параметров рабочего процесса и др. Прямое аналитическое решение этой задачи во многих случаях затруднено, хотя является наиболее предпочтительным по причине его максимальной точности.

Для ГПК решение обратной задачи кинематики необходимо при планировании траектории в пространстве конфигураций машины.

Определенную сложность при этом создает кинематическая избыточ ность механической системы крана, которая приводит к неоднознач ности решения задачи и требует поэтапного решения с наложением дополнительных ограничений.

Перемещение грузов свободно стоящим ГПК либо двумя стрело выми кранами является работой повышенной опасности. Опасность может возникнуть вследствие потери устойчивости, столкновения груза или элементов рабочего оборудования крана/кранов с препятст виями, неправильного распределения нагрузок на краны, расцепления груза со стропами из-за несогласованных действий крановщиков или разных скоростей механизмов подъема и перемещения кранов, участ вующих в работе, раскачивания груза при наклонном положении ка натов и т.д. [129, 169, 170]. Поэтому при необходимости перемещения краном груза строго по заданной траектории в пространстве (такая необходимость возникает в процессе совместной работы двумя или несколькими кранами с общим грузом, в стесненных условиях работы отдельного крана, при наличии преград и ограничений на перемеще ния и может быть реализована при помощи системы автоматического управления) необходимо решить задачу определения значений управ ляемых обобщенных координат отдельного крана по известным зна чениям координат точки груза.

Задача значительно усложняется, если необходимо учесть углы наклона базового шасси ГПК относительно горизонтальной плоско сти, допустимые значения которых могут достигать 1,5°. Если углами наклона поворотной части пренебречь, то при их максимальных до пустимых значениях (которые в реальных условиях эксплуатации мо гут быть и превышены) абсолютная погрешность задания координат груза может достигать 0,5 м и более в зависимости от конструкции и типоразмера ГПК.

Методика определения значений управляемых координат ГПК по известным координатам груза с учетом углов наклона шасси заключа ется в следующем [107, 108, 109, 112, 113, 115, 116].

Постановка задачи. Если рассматривать груз и отдельный кран в левой инерциальной системе координат O0X0Y0Z0, ось Y0 которой на правлена вдоль гравитационной вертикали, то с базовым шасси крана будет связана локальная система координат O1X1Y1Z1, а с грузом – ло кальная система координат OgXgYgZg (рис. 4.2).

Динамическая система крана представлена четырьмя звеньями.

Это базовое шасси, поворотная платформа, стрела, телескопическое звено. Каждому звену соответствует своя локальная система коор динат.

Базовое шасси в транспортном режиме имеет 6 степеней свободы в инерциальной системе координат: перемещение центра масс базово го шасси вдоль оси x0 (q1);

перемещение центра масс базового шасси вдоль оси y0 (q2);

перемещение центра масс базового шасси вдоль оси z0 (q3);

поворот базового шасси вокруг оси x1 (q4);

поворот базового шасси вокруг оси z1 (q5);

поворот базового шасси вокруг оси y1 (q6).

X Y Z Y3 X Точка 4 Y Точка Z Точка X Y Z Точка X Z Yg Y Xg X Z0 Zg Рис. 4.2. Расчетная схема для определения управляемых координат ГПК по координатам груза Система ГПК в рабочем режиме будет иметь 4 степени свободы:

поворот поворотной платформы вокруг оси y2 (q7);

поворот стрелы вокруг оси z3 (q8);

выдвижение телескопического звена вдоль оси x (q9);

расстояние между точками оголовка стрелы и закрепления груза грузозахватным устройством (длина грузовой лебедки, q10). q10 – это расстояние между точками 1 и 3 на рис. 4.2.

Задача может быть сформулирована следующим образом: нахож дение значений управляемых координат ГПК q7, q8, q9, q10 по извест ным (измеренным) постоянным в процессе работы значениям коор динат ГПК q1, q2, q3, q4, q5, q6 и заданным в инерциальной системе пе ременным значениям координат точки подвеса груза x, y, z.

Поскольку управляемых координат ГПК четыре (q7, q8, q9, q10) и они независимы друг от друга, а независимых координат точки груза всего три (x, y, z), данная задача может иметь бесконечное множество численных решений.

Однако, как будет показано далее, для определенных значений x, y, z, если только решение с учетом предельных ограничений сущест вует, все управляемые координаты будут иметь диапазоны возмож ных значений со своими максимумом и минимумом.

Для практического использования методики необходимо задание значения одной из четырех управляемых координат q7, q8, q9, q10, при чем задание его внутри возможного диапазона этой координаты для определенных x, y, z. Тогда остальные три управляемые координаты при этом могут быть вычислены однозначно, т.е. сначала необходимо найти диапазоны возможных значений q7, q8, q9, q10 для определенных координат груза x, y, z, а затем, задав одну из четырех управляемых координат внутри ее диапазона, вычислить остальные три.

Описание методики. Согласно Правилам техники безопасности при эксплуатации стреловых самоходных кранов ВСН 274-88, рас положение грузового каната в процессе перемещения груза (не сколькими кранами) должно оставаться вертикальным [169, 170].

Следовательно, необходимо обеспечить равенство координат точек 1, 2 и 3 (см. рис. 4.2) по осям X0 и Z0 инерциальной системы коор динат.

Если рассматривать перемещение груза в инерциальной системе координат, то его положение будет описываться временными зависи мостями 6 координат: перемещение точки начала координат системы груза вдоль оси X0 (q1g);

перемещение точки начала координат груза вдоль оси Y0 (q2g);

перемещение точки начала координат груза вдоль оси Z0 (q3g);

поворот груза вокруг оси X1 (q4g);

поворот груза вокруг оси Z1 (q5g);

поворот груза вокруг оси Y1 (q6g).

Для определения обобщенных координат крана необходимо сна чала перейти от обобщенных координат груза к координатам харак терной точки груза в инерциальной системе (точка 1 закрепления гру за грузозахватным устройством на рис. 4.2).

Определение взаимного положения звеньев крана и груза удоб нее и легче всего свести к задаче преобразования одной системы свя занных осей в другую, используя метод однородных координат [12, 72, 127].

Рассматриваемую точку 1 груза определяет в собственной ло кальной системе однородных координат груза вектор положения [ ] v R1g = x1g z1g 1 T, (4.7) y1g где x1g, y1g, z1g – координаты точки 1 в локальной декартовой системе координат груза.

В инерциальной системе координат точка 1 будет задана векто ром v v R1,0 = Tg R1g, (4.8) где Tg – матрица перехода от локальной системы координат звена гру за к неподвижной инерциальной системе координат.

Tg=AxAyAzAA A, (4.9) где шесть матриц-сомножителей выражают три линейных (Ax, Ay, Az) и три угловых (A, A, A) перемещения для общего случая преобразо вания систем координат в трехмерном пространстве.

Элементы каждой из приведенных матриц-сомножителей разме ром 44 содержат одну из шести обобщенных координат груза q1g,…, q6g, которые считаются известными (заданными для каждого момента времени рабочего цикла согласно требуемой траектории перемещения груза в пространстве) [22, 153].

Матрица Tg будет иметь вид – cosq6g cosq5g q1g sinq6 g cosq5 g sinq5g sinq6g sinq4g q cosq6 g sinq4 g + cosq5g cosq6gcos q4+sinq5g cos g +sinq6 g cosq4 g sinq5g 2 g cosq4 g cosq5 g cosq6 g cosq4 g Tg= sinq6 g q. (4.10) q4 g +cosq6 g sin q4 g sinq5g sin q6 g sinq4 g sinq5 g 3g sinq4 g 0 0 Координаты точки 1 в инерциальной системе координат обо значены как x1,0, y1,0, z1,0, а координаты точки 3 в инерциальной систе ме – как x3,0, y3,0, z3,0. Координаты точки 3 должны удовлетворять условиям:

x3,0=x1,0;

y3,0=y1,0+q10, ;

z3,0=z1,0, (4.11) где q10 – длина грузового каната, на которую, как и на все прочие управляемые координаты ГПК, конструктивно установлены извест ные предельные ограничения (q10minq10q10max).

Поскольку диапазон значений управляемой координаты q [q10В q10Н] изначально неизвестен, координаты точки 3 на данном эта пе не могут быть найдены.

Используется точка 2 с координатами x2,0, y2,0, z2,0, расположенная также на грузовом канате, но выше точки 1 на любую известную (за данную) длину, например на 1 м. Тогда ее координаты в инерциаль ной системе могут быть определены как x2,0=x1,0;

y2,0=y1,0+1;

z2,0=z1,0. (4.12) После того, как определены декартовы координаты точки 2 на грузовом канате и точки 1 подвеса груза, появляется возможность оп ределения по ним диапазонов управляемых координат крана.

Базовое шасси крана в процессе работы должно оставаться не подвижным, поэтому первые 6 координат крана q1,…, q6 считаются постоянными. Их значения должны быть предварительно определены (измерены после установки выносных опор и фиксации базового шас си крана).

Задачу предлагается декомпозировать на несколько этапов. Вна чале выражаются координаты точек 1 и 2, найденных в инерциальной системе координат, в локальной системе координат базового шасси крана O1X1Y1Z1. Для этого необходимо получить матрицу перехода от базового шасси крана к инерциальной системе координат T1 по фор муле, аналогичной (4.9), с координатами q1… q6 в элементах матриц сомножителей, а затем обратить ее. Обратная матрица (T1)-1 будет вы ражать переход от инерциальной системы координат к системе коор динат базового шасси. Тогда вектор точки 1 в системе O1X1Y1Z1 опре делится как v v R1,1 = (T1 )1 R1,0, (4.13) v где R1, 0 – вектор положения точки 1 в инерциальной системе коорди нат вида [x1,0 y1,0 z1,0 1], компоненты которого найдены по формуле (4.8).

Вектор точки 2 в системе O1X1Y1Z1 определится как v v R2,1 = (T1 )1 R2,0, (4.14) v где R2,0 – вектор положения точки 2 в инерциальной системе коорди нат вида [x2,0 y2,0 z2,0 1], компоненты которого найдены по формуле (4.12).

Полученные значения координат в системе базового шасси обо значены как (x1, y1, z1) для точки 1 и (x2, y2, z2) для точки 2.

Используется известная форма записи уравнения прямой линии в пространстве, проходящей через две точки с координатами x1, y1, z1 и x2, y2, z2:

x x1 y y1 z z = =. (4.15) x2 x1 y 2 y1 z 2 z Для того чтобы опреде- Y1 Телескопическая лить диапазоны управляемых 2 стрела координат ГПК, необходимо найти точки пересечения этой q8max прямой, совпадающей с на правлением грузового каната и гравитационной вертикали, и границ некоторого простран- q8min ства всевозможных значений первых трех управляемых ко- c1 ординат крана q7, q8, q9. Сече- ние данного пространства лю- Рис. 4.3. Область возможных бой плоскостью, проходящей положений оголовка стрелы ГПК через ось вращения поворот- в координатах «вылет–высота» (–Y1) ной колонки ГПК, показано на рис. 4.3. Это будет область возможных положений оголовка стрелы ГПК в координатах –Y1. Здесь – вылет стрелы. Его значение связа но со значениями декартовых координат x и z оголовка стрелы в сис теме базового шасси зависимостью = x2 + z2. (4.16) На рис. 4.3 прямые 1 и 2 – это образующие конических поверх ностей, на которых угол подъема стрелы q8 принимает соответственно минимальное и максимальное значения, а дуги окружностей 3 и 4 – образующие торовых поверхностей, на которых величина выдвиже ния телескопического звена стрелы q9 соответственно минимальная и максимальная.

То есть пространство возмож Конические Y ных положений оголовка стрелы поверхности ГПК в системе координат O1X1Y1Z ограничено двумя коническими и q двумя торовыми поверхностями, если ограничения по координате q отсутствуют, и дополнительно дву мя плоскостями, если последние q8 X q ограничения имеются (рис. 4.4).

q Конструктивные ограничения Z1 Торовые для стреловых кранов имеются поверхности Рис. 4.4. Пространство возможных лишь по управляемым координатам положений оголовка стрелы q8, q9 и q10, по координате q7 конст руктивные ограничения отсутству ют.

Каждая из двух торовых по Y верхностей на рис. 4.4 – это внут ренняя поверхность самопересе кающегося тора (рис. 4.5, 4.6). Ось X вращения тора будет совпадать с осью вращения поворотной части ГПК.

Чтобы определить диапазоны Z2 управляемых координат, необходи мо найти две точки пересечения Рис. 4.5. Самопересекающийся прямой линии грузового каната и тор – вид снаружи граничных поверхностей простран ства возможных положений оголовка стрелы, если таковые сущест вуют. Каждая точка, расположенная как внутри пространства воз можных положений оголовка стрелы, так и на его границе, однозначно определяет значения всех четырех управляемых координат ГПК q7, q8, q9, q10.

Нижняя (по координате y) из найденных двух точек будет соот ветствовать минимальным значениям управляемых координат q8, q9, q10, а верхняя – соответственно максимальным. Данные две точки на званы образующими интервал.

Возможен вариант, когда точка Y подвеса груза сама расположена внутри пространства возможных положений оголовка стрелы. Тогда нижняя из двух образующих интер- q вал точек положения оголовка будет X1, X находиться не на границе простран ства, а внутри него, а именно выше q точки подвеса груза на минимально возможную длину грузового каната.

То есть возможны три основных варианта расположения образующих Рис. 4.6. Внутренняя поверхность самопересекающегося тора интервал точек положения оголовка стрелы (рис. 4.7): 1 – верхняя точка на конической поверхности, нижняя на торовой поверхности;

2 – верхняя и нижняя точки на торовых поверхностях;

3 – верхняя точка на торовой поверхности, нижняя на конической поверхности.

И, наконец, при любом из пере Y1 численных трех вариантов возможно смещение нижней образующей ин тервал точки внутрь пространства, если точка подвеса груза располо жена внутри пространства возмож ных положений оголовка стрелы (например, позиция 4 на рис. 4.7).

Таким образом, необходимо найти декартовы координаты двух образующих интервал точек в сис- Рис. 4.7. Варианты расположения теме координат базового шасси, а по образующих интервал точек ним – диапазоны значений управ- оголовка стрелы ляемых координат ГПК q7, q8, q9, q10.

Решение первой из указанных задач возможно в трехмерном евк лидовом пространстве путем нахождения точек пересечения прямой, описываемой уравнением (4.15), и конической либо торовой поверх ности.

Коническая поверхность описывается уравнением второго порядка x2 z 2 y + + = 0, (4.17) a2 b2 c где a, b, c – некоторые постоянные.

Тор описывается уравнением четвертого порядка (x ) ( ) + z 2 + y 2 + R2 r 2 4 R2 x 2 + z 2 = 0, (4.18) где R – расстояние от центра окружности до оси вращения;

r – радиус окружности.

Система уравнений (4.15), (4.17) для случая пересечения прямой с конусом может быть сведена к квадратному уравнению второго по рядка с одним неизвестным и довольно просто решена, однако анали тическое решение системы уравнений (4.15), (4.18) для случая пере сечения прямой с тором хотя и возможно путем сведения к полиному четвертой степени с одним неизвестным и нахождению его корней, но слишком сложно и громоздко для практического применения. Приве дение формул решения занимает при этом несколько десятков стра ниц.

Гораздо проще и быстрее найти корни полинома четвертой сте пени численным методом с использованием средств вычислительной техники и специальных программных продуктов, реализующих из вестные итерационные методы: секущих, сопровождающей матрицы, Лагерра и др. [65, 147, 191, 193].

Вывод коэффициентов полинома четвертой степени для системы уравнений (4.15)– (4.18) пересечения прямой с тором в трехмерном пространстве приведен ниже.

Задача нахождения координат образующих интервал точек в сис теме базового шасси может быть сравнительно просто решена анали тически, путем сведения пространственной задачи к плоской.

При переходе от трехмерной декартовой системы координат ба зового шасси к цилиндрической формулы перехода будут иметь вид = x2 + z2 ;

q7=arctg(z/x);

y=y. (4.19) Здесь координата q7 будет соответствовать углу поворота пово ротной колонки, а координата – вылету стрелы.

Если затем временно исключить из рассмотрения координату по ворота q7, то получается плоская задача в декартовой системе коорди нат «вылет–высота» (–Y1). В данной системе координат коническая поверхность всегда проецируется в прямую линию, а торовая поверх ность – в дугу окружности.

Определенная сложность воз- Y никает в том, что прямая линия грузового каната, совпадающая с гравитационной вертикалью, при переводе в плоскую систему коор динат (–Y1) получает вид кривой второго порядка с небольшой кри визной, если углы наклона базово го шасси относительно гравитаци- онной вертикали имеют ненуле Рис. 4.8. Примерный вид линий вые значения (рис. 4.8).

Чтобы получить наиболее грузового каната в системе координат (–Y1) при ненулевых углах наклона простой вид уравнения прямой шасси грузового каната в системе коор динат (–Y1), используется схема, приведенная на рис. 4.9.

Уравнение прямой (4.15) в плоскости x1–z1 имеет вид l1, Y x x1 z z =. (4.20) Z x2 x1 z 2 z1 h1 h Уравнение данной прямой на плоскости можно также записать в виде X Рис. 4.9. Схема для определения A·x+B·z+C=0, (4.21) уравнения линии грузового каната где (вид сверху на поворотную колонку) A=1/(x2–x1);

B=–1/(z2–z1);

C=z1/(z2–z1) – x1/(x2–x1). (4.22) Расстояние от данной прямой до точки с нулевыми координатами (начало системы координат на рис. 4.9) определится как C h1 =. (4.23) A +B2 Зная координаты x1, z1 точки 1, можно определить по формуле (4.16). В то же время по схеме (см. рис. 4.9) 2=h12+h22. Тогда h2 = 2 h12. (4.24) По данной формуле может быть найдено численное значение h для точки 1.

Поскольку h2 – расстояние между проекциями двух точек 1 и 3, лежащими на прямой линии в пространстве, можно представить h как функцию от вертикальной координаты y:

h2=y·к+y0, (4.25) где к и y0 – некоторые постоянные.

Поскольку координаты точек 1 и 2 в системе координат базового шасси находятся по формулам (4.13), (4.14), коэффициент пропор циональности к может быть определен как к=l1,2/y1,2, (4.26) (x1,2 )2 + (z1, 2 )2 ;

где l1, 2 = x1,2=x1–x2;

z1,2=z1–z2;

y1,2=y1– –y2.

vПодставив в уравнение (4.24) значение y1 как компоненты векто ра R1,1 точки 1, определенного по (4.12), можно определить y0 как y0=h2 –y1·к. (4.27) Формула (4.24) справедлива для любой точки на прямой гравита ционной вертикали (для любых значений и h2), поэтому может быть получена зависимость вертикальной координаты y от вылета для конкретного расположения прямой в системе O1X1Y1Z1:

y к + y0 = 2 h12, (4.28) отсюда ) ( y= h12 y0 к.

(4.29) Или обратная зависимость:

2 = h12 + ( y к + y0 )2. (4.30) Границы области возможных положений оголовка стрелы в ко ординатах «вылет–высота» (–y) будут заданы следующими уравне ниями (см. рис. 4.3):

• линия 1: y=к1·+y01;

(4.31) • линия 2: y=к2·+y02;

(4.32) • (–c1)2+y2=(R3)2;

линия 3: (4.33) • (–c1)2+y2=(R4)2, линия 4: (4.34) где к1, к2, y01, y02, R3, R4, – конструктивно заданные постоянные.

Для их определения воспользу- q9 c емся схемой на рис. 4.10. Согласно Y этой схеме, по теореме синусов, c y q y01 yc c3 yc1 c = ;

yc1 = 3 ;

c sin (90° q8 ) sin 90° yc cos q c1 y = c2 ;

c sin (90° q8 ) sin q8 q8 zc yc 2 = c1 tg (q8 ) ;

yc2=yc1+y01;

q (90°–q8) c y01 = c1 tg (q8 min ) ;

(4.35) cos(q8 min ) Рис. 4.10. Схема для определения постоянных к1, к2, y01, y02, R3, R c y02 = c1 tg (q8 max ). (4.36) cos(q8 max ) к1=tg(q8min);

(4.37) к2=tg(q8max);

(4.38) (c2 + q9 min )2 + (c3 )2 ;

R3 = (4.39) (c2 + q9 max )2 + (c3 )2.

R4 = (4.40) После определения коэффициентов уравнений (4.31)–(4.34) необ ходимо решить четыре системы уравнений: (4.30)–(4.31), (4.30)– (4.32), (4.30)–(4.33) и (4.30)–(4.34).

Решения систем уравнений (4.30)–(4.31) и (4.30)–(4.32) имеют вид соответственно к y0 к1 + к 2 к1 y01 ± к к1 h1 + h1 + 2 2 к1 ± + 2 к y0 y01 + + y0 + к 2 y 2 +y ;

y= ( ) (4.41) к к1 к y0 к 2 + к 2 к 2 y02 ± к к 2 h1 + h1 + 2 2 к2 ± + 2 к y0 y02 + + y0 + к 2 y 2 +y.

y= ( ) (4.42) к 2 к2 Причем используются только положительные значения y, кото рым, как показали расчеты, соответствует знак «+» перед квадратным корнем.

Системы уравнений (4.30)–(4.33) и (4.30)–(4.34) могут быть све дены к уравнению с одним неизвестным четвертой степени, которое, как отмечалось, гораздо легче решить численно, чем аналитически.

Однако можно обойтись и без численных методов, если провести линеаризацию кривой грузового каната в координатах (–Y1), описы ваемой уравнением (4.30), в окрестностях ее пересечения с заданной дугой 4 (или 3) окружности (рис. 4.11).

Линеаризация для пересечения Y1 0=const линии грузового каната с дугой yв включает предварительное определе y ние вертикальной координаты y4 (см.

yд4 cy yн 4 рис. 4.11) пересечения вертикальной прямой линии вылета 0=const точки подвеса груза с координатами x1, z Точка 0 = x12 + z12, (4.43) 0 в н Рис. 4.11. Схема линеаризации и дуги 4, описываемой уравнением уравнения грузового каната (4.34) для пересечения с дугой y 4 = R4 2 ( 0 c1 )2. (4.44) Действительное значение yд4 вертикальной координаты точки пе ресечения линии грузового каната и дуги 4 будет отличаться от y4, ес ли имеются ненулевые углы наклона базового шасси относительно гравитационной вертикали.

Необходимо определить значения вылета двух точек на линии грузового каната с вертикальными координатами, большими и меньшими y4 на некоторую постоянную величину cy (см. рис. 4.11).

Значение cy будет определяться конструкцией ГПК (типоразмером) и должно быть подобрано таким образом, чтобы для любых коор динат точки груза при любых допустимых углах наклона базового шасси точка пересечения yд4 линии грузового каната и дуги окруж ности 4 оказалась внутри интервала [(y4+cy) (y4–cy)].

Это означает, что cy должно быть больше определенного q cy минимально допустимого зна Касательная yc h чения.

Для приближенного вычис ления минимально возможного значения cy используется схема, q c изображенная на рис. 4.12.

Согласно этой схеме y0z R c=h/yc;

tg(q8)=h/cy;

yc= sin (q8 ) R4 + y0 z, отсюда Рис. 4.12. Схема для приближенного определения минимального c (sin(q8 ) R4 + y0z ), (4.45) cy = значения cy tg(q8 ) где c – максимальный суммарный угол наклона базового шасси от носительно гравитационной вертикали.

Так, например, если принять c=3°=0,05236 рад, то для конструк ции ГПК с R4=20 м и y0y=3 м при варьировании q8 от 10 до 80° мини мально допустимое значение cy будет равно 1,92 м. В данном случае целесообразно принять cy=2 м.

При обозначении yв=y4+cy;

yн=y4–cy. (4.46) Согласно (4.30) определится как = h12 + ( y к + y0 )2. (4.47) При подстановке yв и yн в формулу (4.47) вместо y получаются соответствующие значения в и н.

В координатах (–Y1) уравнение прямой, проходящей через две точки (в, yв) и (н, yн), выглядит следующим образом:

н y yн =. (4.48) в н yв y н Отсюда ( в н ) + yн ( в н ).

= y (4.49) ( yв yн ) н ( yв yн ) При обозначении ( в н ) ;

yн ( в н ) кp = 0 p = н (4.50) ( yв y н ) ( yв yн ) уравнение (4.49) запишется в виде = y к p + 0 p. (4.51) Далее необходимо решить систему из двух уравнений (4.51) и (4.34), т.е. найти точку пересечения прямой и дуги окружности. При подстановке (4.51) в (4.34) получается (y к p + ( 0 p c1 ))2 + y 2 = R32. (4.52) После разложения y 2 к p 2 + 2 y к p ( 0 p c1 ) + ( 0 p c1 )2 + y 2 = R3 2.

После комплектования по степеням y ( ) ( ) y 2 1 + к p 2 + y (2 к p ( p0 p c1 )) + ( p0 p c1 )2 R3 2 = 0. (4.53) При обозначении s1=1+кp2;

s2=2·кp·(0p–c1);

s3=(0p–c1)2–R32 (4.54) уравнение (4.53) запишется в виде y2·s1+y·s2+s3=0. (4.55) Решения данного квадратного уравнения имеют вид s2 ± s2 2 4 s1 s = y1, 2. (4.56) 2 s После того, как два решения (4.56) найдены, необходимо отбро сить все комплексные и отрицательные корни. Останется одно реше ние либо вообще ни одного. Последнее означает, что прямая не пере секает окружность.

Для пересечения линии грузового каната с дугой 3 может быть получено и решено уравнение, аналогичное (4.55).

Сравнительные расчеты показали, что полученное по формуле (4.56) приближенное решение расходится с истинным значением на несколько десятых долей миллиметра (максимально), что можно счи тать незначительной погрешностью при перемещении грузов.

После того, как найдено решение y по формулам (4.56), (4.41) или (4.42), по координате y оголовка стрелы и уравнению прямой в простран стве (4.15) могут быть найдены две других координаты оголовка x и z:

( y y1 ) (x2 x1 ) + x ;

x= (4.57) ( y2 y1 ) ( y y1 ) ( z2 z1 ) + z.

z= (4.58) ( y2 y1 ) q9 c Затем могут быть определены все управляемые координаты ГПК, соответствующие данному положе- c2 R y q8, нию точки оголовка стрелы: q X Y q7=arctg(z/x). (4.59) q Z1 Подсчитав предварительно по c q8, формуле (4.16) и используя схему на Рис. 4.13. Схема для определения рис. 4.13, получаются выражения:

координат q7, q8 и q (c2 + q9 )2 + c3 2 ;

R= (4.60) (c2 + q9 )2 + c3 2 = y 2 + (c1 + )2 ;

(4.61) q9 = y 2 + (c1 + )2 c3 2 c2. (4.62) q8,1=arctg(c3/(c2+q9));

(4.63) q8,2=arccos((c1+)/ c3 2 + (c2 + q9 )2 );

(4.64) q8=q8,1+q8,2=arctg(c3/(c2+q9))+arccos((c1+)/ c3 2 + (c2 + q9 )2 ). (4.65) Длина грузового каната от оголовка стрелы до точки подвеса гру за определится как расстояние между двумя точками с координатами (x,y,z) и (x1,y1,z1):

( x x1 )2 + (z z1 )2 + ( y y1 )2.

q10 = (4.66) Таким образом, последовательность алгоритма нахождения мак симальных и минимальных значений диапазонов управляемых коор динат ГПК следующая:

- по формулам (4.41), (4.42) и (4.56) находится от 2 до 4 действи тельных неотрицательных решений систем уравнений;

- для каждого из найденных решений по формулам (4.59), (4.62), (4.65), (4.66) определяются соответствующие значения управляемых обобщенных координат ГПК q7, q8, q9, q10;

- осуществляется проверка найденных значений q7, q8, q9, q10 на попадание каждого из них внутрь интервала допустимых конструкци ей ГПК значений:

q7minq7 q7max;

q8minq8 q8max;

q9minq9q9max;

q10minq10q10max. (4.67) Не попадающие внутрь соответствующего интервала значения q7, q8, q9, q10 отбрасываются. В результате остается по два значения каж дой управляемой координаты либо вообще ни одного. Два значения каждой координаты и определят искомые диапазоны управляемых координат.

В результате получаются четыре диапазона управляемых коор динат:

[q7В q7Н];

[q8В q8Н];

[q9В q9Н];

[q10В q10Н], (4.68) где q7В, q8В, q9В, q10В – верхние, а q7Н, q8Н, q9Н, q10Н – соответственно нижние значения координат.

При выходе любой из четырех координат (q7, q8, q9, q10) за грани цы соответствующего диапазона обеспечить требуемые координаты точки подвеса груза становится невозможно.

Далее необходимо задать значение любой из четырех управляе мых координат (q7, q8, q9, q10) внутри своего диапазона, и по нему вы числить значения трех других управляемых координат.

Если в результате проверки выполнения условий (4.67) не остает ся ни одного значения управляемых координат, это значит, что коор динаты точки подвеса груза находятся вне зоны досягаемости, за пре делами конструктивных ограничений на управляемые координаты ГПК.

Варианты задания каждой из координат (q7, q8, q9, q10) и методики вычисления по ней остальных приведены ниже.

Задана координата q7.

Исходя из (4.59) z/x=tg(q7);

(4.69) z=x·tg(q7). (4.70) Из уравнения (4.20) прямой по двум точкам выражается x:

(z z1 ) (x2 x1 ) + x.

x= (4.71) (z2 z1 ) При подстановке вместо z выражения (4.70) получается (x tg(q7 ) z1 ) ( x2 x1 ) x ;

x= + ( z2 z1 ) x tg (q7 ) x2 x tg(q7 ) x1 z1 ( x2 x1 ) x= + x1 ;

( z2 z1 ) (z2 z1 ) (z2 z1 ) tg (q7 ) ( x2 x1 ) z1 ( x2 x1 ) x 1 + x1 = 0 ;

( z2 z1 ) ( z2 z1 ) z ( x x ) tg (q7 ) ( x2 x1 ) x = x1 1 2 1 1. (4.72) ( z2 z1 ) ( z2 z1 ) Затем по формуле (4.70) находится z.

После этого по формуле (4.16) может быть определен вылет, а затем по (4.29) – координата y. Используемые в (4.29) параметры h1 и к были определены ранее и остаются неизменными для заданной точ ки закрепления груза.

x,y,z, м x1, y1, z1, - - 0 10 20 t, c Рис. 4.14. Закон изменения обобщенных координат точки подвеса груза в инерциальной системе координат (пример) q8, q7, рад рад 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.2 0. 0 10 20 40 0 10 20 t, c t, c q10, q9, м м 0 10 20 40 0 10 20 t, c t, c Рис. 4.15. Временные зависимости действительных (––) и диапазонных (- - -) значений управляемых координат q7, q8, q9, q10 для случая задания q Далее, располагая значениями xгр,yгр,zгр, по формулам (4.62), (4.65), (4.66) определяются значения q9, q8, q10. Все они гарантирован но попадают внутрь соответствующих им диапазонов.

Задана координата q8.

По (4.35) определяется y01 с подстановкой заданного q8 вместо q8min. Затем по (4.37) с аналогичной подстановкой определяется к1.

После этого по формуле (4.41) может быть найдено y. По форму лам (4.57), (4.58), зная y, можно определить значения x и z.

Затем необходимо подсчитать по (4.47) или по (4.16), а далее использовать формулы (4.59), (4.62) и (4.66) для нахождения q7, q9 и q10 соответственно.

q8, q7, рад рад 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 10 20 40 0 10 20 t, c t, c q9, q10, м м 0 5 10 15 20 25 t, c 35 0 10 20 t, c Рис. 4.16. Временные зависимости действительных (––) и диапазонных (- - -) значений управляемых координат q7, q8, q9, q10 для случая задания q Задана координата q9.

Определяется R по формуле (4.60) (см. рис. 4.13) для заданного q9. Затем используется (4.44), в него подставляется найденное значе ние R и полученное ранее по формуле (4.43) значение 0 для точки закрепления груза с известными координатами x1, z1. Определяется предварительное значение вертикальной координаты y4 (см. рис.

4.11).

Затем, располагая значением cy, полученным ранее по (4.45), на ходятся yв и yн по (4.46) и соответствующие им значения в и н по (4.47). Далее подсчитываются по (4.50) и (4.54) промежуточные пара метры и коэффициенты, и по формуле (4.56) определяется значение y.

По формулам (4.57), (4.58) при известном y могут быть определены значения x и z.

Затем необходимо подсчитать по (4.47) или по (4.16), а далее использовать формулы (4.59), (4.65) и (4.66) для нахождения q7, q8 и q10 соответственно.

Задана координата q10.

По формуле (4.11) необходимо определить координаты точки оголовка стрелы в инерциальной системе.

Пуск Задание исходных данных: координат точки подве са груза x1,0, y1,0, z1,0, координат шасси q1…q6, по стоянных конструктивных и технологических па раметров крана с1, с2, с3, z0z Определение координат точки 2 в инерциальной системе x2,0, y2,0, z2,0 по формуле (4.12) Определение координат точек 1 и 2 x1, y1, z и x2, y2, z2 в системе базового шасси по (4.13) и (4.14) Определение вылета стрелы по (4.16) Определение коэффициентов уравнения прямой в плоскости A, B, C по (4.22) Определение расстояния h1 от прямой до оси вращения ко лонки по формуле (4.23) Определение к и y0 по формулам (4.26) и (4.27) Определение постоянных к1, к2, y01, y02, R3, R4 по (4.35)–(4.40) Определение от 2 до 4 действительных неотрицательных ре- шений систем уравнений вида (4.30)–(4.31) и (4.30)–(4.32) по формулам (4.41), (4.42), (4.56) Определение управляемых координат q7, q8, q9, q10 по форму лам (4.59), (4.62), (4.65), (4.66) для каждого из найденных на предыдущей итерации алгоритма Проверка всех значений q7, q8, q9, q10 на попадание внутрь ин тервала конструктивно допустимых значений по (4.67) Рис. 4.17. Блок-схема алгоритма определения управляемых координат ГПК по координатам точки груза (начало) Да Нет Имеются решения, удовле творяющие (4.67) Вывод сообщения о невозможности обеспечить требуемые координаты груза Останов Да Нет Задается q 86 Опр-е x по (4.72) Да Нет Задается q8 Опр-е z по (4.70) 85 Опр-е по (4.16) Опр-е y01 по (4.35) 84 Опр-е к1 по (4.37) Опр-е y по (4.29) 83 Опр-е y по (4.41) Опр-е q8 по (4.65) 82 Опр-е x и z по (4.57), (4.58) Опр-е q9 по (4.62) 81 Опр-е по (4.47) Опр-е q10 по (4.66) 80 Опр-е q7 по (4.59) 79 Опр-е q9 по (4.62) Да Нет Задается q 78 Опр-е q10 по (4.66) Опр-е R по (4.60) Опр-е y4 по (4.44) Опр-е x3,0 y3,0 z3,0 по (4.11) 69 Опр-е yв и yн по (4.46) Опр-е x, z, y по (4.73) 68 Опр-е в и н по (4.47) Опр-е по (4.47) 67 Опр-е y по (4.56) Опр-е q7 по (4.59) 66 Опр-е x и z по (4.57), (4.58) Опр-е q8 по (4.65) 65 Опр-е по (4.47) Опр-е q9 по (4.62) Опр-е q7 по (4.59) 1 Вывод q7В, q7Н, q8В, q8Н, q9В, q9Н, Опр-е q8 по (4.65) q10В, q10Н, q7, q8, q9, q Опр-е q10 по (4.66) Останов Рис. 4.17. Блок-схема алгоритма определения управляемых координат ГПК по координатам точки груза (окончание) Тогда вектор точки 3 в системе O1X1Y1Z1 определится как v v R3,1 = (T1 )1 R3,0, (4.73) v где R3,0 – вектор положения точки 3 в инерциальной системе коорди нат вида [x3,0 y3,0 z3,0 1], компоненты которого найдены по формуле (4.11).

В результате будут получены координаты точки оголовка в сис теме базового шасси, которые обозначим как x, z, y.

Затем необходимо подсчитать по (4.47) или по (4.16), а далее использовать формулы (4.59), (4.65), (4.62) для нахождения q7, q8, q соответственно.

По данной методике была разработана имитационная модель и составлена компьютерная программа, испытание которой подтверди ло адекватность предложенной методики.

В качестве примера, иллюстрирующего работоспособность мето дики, для заданного закона изменения обобщенных координат точки подвеса груза, приведенного на рис. 4.14, были получены временные зависимости верхних и нижних диапазонных значений управляемых координат q7, q8, q9, q10 (изображены пунктирными линиями на рис.

4.15, 4.16).

Также в качестве примера были рассмотрены два варианта зада ния одной из четырех управляющих координат внутри своего диапа зона: угла подъема стрелы q8 на рис. 4.15 (случай равномерного пря молинейного уменьшения, т.е. опускания стрелы) и длины грузового каната q10 на рис. 4.16 (постоянное значение).

Как видно из рис. 4.15 и 4.16, остальные управляемые координа ты при этом также однозначно определялись внутри своих допусти мых диапазонов.

На рис. 4.14 пунктирная линия показывает временное значение, при котором координаты точки подвеса груза выходят за пределы до сягаемости, обеспечиваемые управляемыми обобщенными координа тами ГПК. На рис. 4.15 и 4.16 верхнее и нижнее диапазонные значе ния всех управляемых координат в это же время одновременно схо дятся в одну точку.

Блок-схема алгоритма описанной методики с использованием линеаризации приведена на рис. 4.17.

Вывод коэффициентов полинома четвертой степени для системы уравнений (4.15)–(4.18).

В уравнении тора (4.18), согласно выражению (4.16), в принятой системе координат x2+z2=2. В то же время, согласно (4.30), 2 может быть выражено через y. Подставив (4.30) в (4.18), получим уравнение с одним неизвестным:

(h ) + ( y к + y0 )2 + y 2 + R 2 r ( ) 4 R 2 h1 + ( y к + y0 ) = 0.

2 2 (4.74) Дальнейшие преобразования приводятся без пояснений:

(h ) + y 2 к 2 + 2 y к y0 + y0 2 + y 2 + R 2 r ( ) 4 R 2 h1 + y 2 к 2 + 2 y к y0 + y0 = 0;

2 (y (к +1)+ y(2к y ) +(h + y )) 0 + R r 2 2 2 0 4 R2 h12 4 R2 y2 k2 4 R2 y 2 k y0 4 R2 y02 = 0;

( ) (( ) ) y 4 к 2 + 1 + y 3 2 к 2 + 1 2 к y0 + (( )) + y 2 2 h1 + y 0 + R 2 r 2 + y 2 (2 к y0 ) + 2 2 ( ( )) + y 2 2 к y0 h12 + y0 2 + R 2 r 2 + ( ) + h1 + y 0 + R 2 r 2 4 R 2 h1 4 R 2 y 2 к 2 2 4 R 2 y 2 к y0 4 R 2 y0 = 0.

Если обозначить (к ) + 1 = s1 ;

(2 (к ) ) + 1 2 к y0 = s2 ;

( ) 2 h1 + y0 + R 2 r 2 + 22 к 2 y0 4 R 2 к 2 = s3 ;

2 2 ( ) 4 к y0 h12 + y0 2 + R 2 r 2 4 R 2 2 к y0 = s4 ;

(h ) + y0 + R 2 r 2 4 R 2 h1 4 R 2 y 0 = s5, 2 2 2 то может быть получена классическая форма полинома четвертой степени:

y4·s1+y3·s2+y2·s3+y·s4+s5=0, (4.75) уравнение которого может быть решено численными методами.

Моделирование описанной методики с использованием ПК под твердило ее адекватность реальному объекту и возможность исполь зования методики для определения необходимых значений управляе мых координат отдельно стоящего ГПК либо двух стреловых кранов, перемещающих общий груз.

Упрощенная методика определения управляемых координат ГПК по известным координатам груза при нулевых углах наклона шасси.

В случае обеспечения горизонтального положения опорной платформы при помощи систем автоматического горизонтирования [58, 79, 84, 98, 118, 125, 126, 156, 158, 162] может быть использована упрощенная методика определения управляемых координат ГПК по известным координатам груза, которая заключается в описанной ниже последовательности шагов [103]. Предполагаются известными декар товы координаты точки подвеса груза [xгр;

yгр;

zгр], заданные в непод вижной системе координат O0Х0Y0Z0, а также координаты точки O начала системы координат O1Х1Y1Z1, связанной с базовым шасси ГПК:

[q1;

q2;

q3;

0;

0;

q6].

1. Определяются координаты груза в полярной системе коорди нат, связанной с базовым шасси (значение координаты угла поворота q7 и вылета ). Используются схема, приведенная на рис. 4.18, а, и за висимости для перевода декартовых координат в полярные на плос кости [31]:

(xгр q1 )2 + (z гр q3 )2.

= (4.76) arctg((z гр q3 ) (xгр q1 )) при (xгр q1 ) 0;

arctg((z q ) (x q )) + при (x q ) 0;

(z q ) 0;

гр гр гр гр 3 1 1 q6,7 = arctg((z гр q3 ) (xгр q1 )) при (xгр q1 ) 0;

(zгр q3 ) 0;

(4.77) при (xгр q1 ) = 0;

(z гр q3 ) 0;

при (xгр q1 ) = 0;

(z гр q3 ) 0.

Отсюда при известном значении q q7= q6,7 – q6. (4.78) 2. Определяются максимальные и минимальные значения диапа зонов управляемых координат ГПК [q8В q8Н];

[q9В q9Н].

xгр q1 X O X2, X3, X zгр 0, 5, 6, Z q6,7=q6+q а) q X q q6 X Z 2 Z Z Z0 Y4 X3, X q9 y4, 3 Y1, Y2 x3,33 R2,5 q y5, q б) Y q8, q8,2 X O3 y6, 2 Y y1,2 y0,6=yгр y0,7= O1,O2 X q7 =q2+y1, 1 q Z1 X Z0 O0 X x1,2 Рис. 4.18. Схема для определения управляемых координат ГПК при нулевых углах наклона шасси 2.1. Для этого определяются значения вылета, соответствующие четырем возможным сочетаниям максимальных и минимальных до пустимых конструкцией ГПК значений координат q8 и q9 (точки 1, 2, 3, 4 положения оголовка стрелы):

Точка 1 (=1): q8=q8max;

q9=q9min;

(4.79) Точка 2 (=2): q8=q8max;

q9=q9max;

(4.80) Точка 3 (=3): q8=q8min;

q9=q9min;

(4.81) Точка 4 (=4): q8=q8min;


q9=q9max. (4.82) Для каждого сочетания зна Y чений q8 и q9 используется после довательность вычислений:

q8,1=arctg(y4,43/(x3,33+q9));

(x3,33 + q9 )2 + y4,432 ;

R2,5 = q8,2=q8–q8,1;

(4.83) =R2,5cos q8,2 – x1,2. (4.84) По (4.83)–(4.84) определяют ся последовательно 4 постоянных 2 1 значения: 1, 2, 3, 4.

2.2. По заданному текущему Рис. 4.19. К определению диапазонов значению определяются гра вылета ничные значения диапазонов управляемых координат [q8В q8Н];

[q9В q9Н].

При q8В=q8max;

q8Н=arctg(y4,43/(x3,33+q9min))+arccos((x1,2+)/ y4,432 + (x3,33 + q9min )2 );

(4.85) q9В=(x1,2+–y4,43sin q8max)/cos q8max – x3,33;

q9Н=q9min.

При q8В=arctg(y4,43/(x3,33+q9max))+arccos((x1,2+)/ y 4,43 2 + (x3,33 + q9 max )2 );

q8Н=arctg(y4,43/(x3,33+q9min))+arccos((x1,2+)/ y4,432 + (x3,33 + q9min )2 );

(4.86) q9В=q9max;

q9Н=q9min.

При q8В=arctg(y4,43/(x3,33+q9max))+arccos((x1,2+)/ y4,432 + (x3,33 + q9 max )2 );

q8Н=q8min;

q9В=q9max;

(4.87) q9Н=(x1,2+–y4,43sin q8min)/cos q8min – x3,33.

В случае, если значение вылета находится вне интервала конст руктивно допустимых значений [1 ;

4 ], (4.88) делается вывод о невозможности обеспечить требуемые координаты груза при текущем положении базового шасси ГПК, алгоритм завер шает свою работу.

2.3. По текущему значению и граничным значениям координат [q8В q8Н];

[q9В q9Н] определяются граничные значения диапазона управляемой координаты [q10В q10Н].

[1;

4 ], используя (4.83), получим y5,7=tg(q8–arctg(y4,43/(x3,33+q9)))(+x1,2). (4.89) Согласно схеме на рис. 4.18, б, q10=y5,7 – y6,7 = y5,7 – (yгр– y0,7)= y5,7 – (yгр– (q2+y1,2))= = tg(q8–arctg(y4,43/(x3,33+q9)))(+x1,2) – (yгр– (q2+y1,2)), (4.90) где y4,43 x3,33 x1,2 y1,2 – постоянные конструктивные значения.

Соответственно значения [q10В q10Н] определятся как q10Н = tg(q8Н –arctg(y4,43/(x3,33+q9Н)))(+x1,2) – (yгр– (q2+y1,2));

q10В = tg(q8В –arctg(y4,43/(x3,33+q9В)))(+x1,2) – (yгр– (q2+y1,2)). (4.91) 2.4. В случае, если полученное по (4.91) значение q10В меньше минимальной конструктивно возможной длины грузовой лебедки от оголовка стрелы q10Вq10min, (4.92) делается вывод о невозможности обеспечить требуемые координаты груза, алгоритм завершает свою работу.

Если выполняется условие q10Вq10min q10Нq10min, (4.93) где – знак логического умножения (конъюнкции), т.е. точка подве са груза расположена внутри пространства возможных положений оголовка стрелы (позиция 4 на рис. 4.7), q10Н корректируется:

q10Н=q10min. (4.94) После этого также последовательно корректируются значения q9Н и q8Н по (4.97) и (4.96) с подстановкой значения q10Н.

Пуск 1 Задание исходных данных: координат точки подвеса груза xгр, yгр, zгр, координат шасси q1…q6, постоянных конструктивных параметров кра на x1,2, y1,2, x3,33, y4,43, q8max, q8min, q9max, q9min, q10max, q10min = (x гр q1 ) + (z гр q 3 ) 2 q8=q8max;

q9=q9min 7 Нет Определение q6,7 по (4.77) Да q7= q6,7 – q6 Определение [q8В q8Н];

[q9В q9Н]по (4.85) 11 Нет q8=q8max;

q9=q9min Да q8,1=arctg(y4,43/(x3,33+q9));

R = (x + q )2 + y 2 ;

Определение [q8В q8Н];

[q9В q9Н]по (4.86) 2,5 3,33 9 4, Нет q8,2=q8–q8,1;

1=R2,5cos q8,2 – x1,2 Да q8=q8max;

q9=q9max 17 Определение [q8В q8Н];

[q9В q9Н]по (4.87) q8,1=arctg(y4,43/(x3,33+q9));

41 R2,5 = (x3,33 + q9 )2 + y 4,43 2 ;

Вывод сообщения о невоз Останов можности обеспечить тре q8,2=q8–q8,1;

2=R2,5cos q8,2 – x1,2 буемые координаты груза 19 q8=q8min;

q9=q9max q10Н=tg(q8Н–arctg(y4,43/(x3,33+q9Н)))(+x1,2)–(yгр– 21 – (q2+y1,2));

q8,1=arctg(y4,43/(x3,33+q9));

q10В=tg(q8В–arctg(y4,43/(x3,33+q9В)))(+x1,2)–(yгр– R2,5 = (x3,33 + q9 )2 + y 4,43 2 ;

– (q2+y1,2)) Да 47 Нет q8,2=q8–q8,1;

3=R2,5cos q8,2 – x1,2 q10Вq10min (q10Вq10min) Да 23 51 (q10Нq10min) q8=q8min;

q9=q9min Коррекция q10Н, q9Н и q8Н Нет по (4.94), (4.97) и (4.96) q8,1=arctg(y4,43/(x3,33+q9));

R2,5 = (x3,33 + q9 )2 + y 4,43 2 ;

Задается q Нет Да q8,2=q8–q8,1;

4=R2,5cos q8,2 – x1,2 q9=(x1,2+–y4,43sin q8)/cos q8 – x3, Определение q10 по (4.90) q8=arctg(y4,43/(x3,33+q9))+arccos((x1,2+)/ Да Нет / y 4,43 2 + (x3,33 + q9 )2 ) Задается q Определение q10 по (4.90) ( (q ) x + yгр q2 y1,2 )2 + (x1,2 + ) q9 = y4,432 + 10 3, Вывод q8В, q8Н, q9В, q9Н, q8=arctg(y4,43/(x3,33+q9))+arccos((x1,2+)/ 65 q10В, q10Н, q7, q8, q9, q / y 4,43 2 + (x3,33 + q9 )2 ) Останов Рис. 4.20. Блок-схема алгоритма определения управляемых координат ГПК по упрощенной методике при нулевых углах наклона шасси 3. По значению одной из управляемых координат (q8, q9, q10), за данному внутри соответствующего диапазона [q8В q8Н], [q9В q9Н], [q10В q10Н], определяются значения двух оставшихся управляемых коорди нат.

Задана координата q8.

q9=(x1,2+–y4,43sin q8)/cos q8 – x3,33;

(4.95) q10 определяется по (4.90).

Задана координата q9.

q8=arctg(y4,43/(x3,33+q9))+arccos((x1,2+)/ y 4,43 2 + (x3,33 + q9 )2 );

(4.96) q10 определяется по (4.90).

Задана координата q10.

( (q ) x + y гр q 2 y1,2 ) + (x1,2 + ) q9 = y 4,43 + 2 2 3,33 ;

(4.97) q8 определяется по (4.96).

Блок-схема алгоритма определения управляемых координат ГПК при нулевых углах наклона шасси приведена на рис. 4.20.

Рассмотренный алгоритм позволяет моделировать управляемые координаты ГПК для заданного положения груза, при нулевых углах наклона шасси;

позволяет в автоматизированном режиме решать об ратную задачу кинематики ГПК [103]. Алгоритм может использовать ся при планировании траекторий перемещения груза, при решении задач кинематического анализа и синтеза конструктивных параметров ГПК и технологических параметров его рабочего процесса.

4.4. Методика проверки положения автомобильного крана в пространстве конфигураций по ограничению на устойчивость Проверка положений ГПК на устойчивость является необходи мым элементом обеспечения безопасной эксплуатации. Возможно выполнение данной проверки как для уже найденной, имеющейся траектории, так и в процессе поиска траектории, что позволяет зара нее исключить неустойчивые конфигурации из рассмотрения. Мето дика проверки отдельного положения ГПК в пространстве конфигу раций по ограничению на устойчивость, описанная в данном разделе, использована как составляющая часть общей методики поиска опти мальной траектории в пространстве конфигураций ГПК.

Математическая модель динамической системы ГПК [104, 105], сведенная в систему из 11-ти дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами с 11 неизвестными функ циями – обобщенными координатами, позволяет решать задачи ста тики и динамики ГПК.

Статическая составляющая разработанной модели использова лась для оценки устойчивости ГПК и проверки положения ГПК в про странстве конфигураций по огра ничению на устойчивость [86, 87, 93, 96, 111, 117, 119, 123, 127, 128].

Практическую значимость представляют при этом зависимо сти обобщенных координат qi, i[1;

6], которые использовались для определения значений показа телей устойчивости ГПК. Получен ные обобщенные координаты так же использовались для моделиро вания значений информационных параметров для вычисления крите Рис. 4.21. Прямоугольный опорный рия устойчивости [93, 96].

контур ГПК Для проверки устойчивости положения ГПК, имеющего прямо угольный опорный контур (рис. 4.21), в пространстве его конфигура ций предлагается использовать следующий критерий оценки устой чивости:

= min k1;

k 2 ;

, ;

(4.98) k1 k где k1, k2, 1/k1, 1/k2 – показатели устойчивости для четырех осей опро кидывания, входящих в опорный контур, вычисляемые на основе нор мальных реакций в опорных элементах:

R + R3 1 R1 + R R1 + R2 1 R3 + R k1 = = ;

k2 = 2 = ;

;

, (4.99) R3 + R4 k1 R1 + R2 R1 + R4 k 2 R2 + R где R1, R2, R3, R4 – нормальные реакции на опорных элементах ГПК (см. рис. 4.21).

Из этих показателей только два (k1, k2) являются независимыми.

Аналитические выражения для вычисления критерия устойчиво сти (sgn – функция знака числа):

1=k2sgn(1+ sgn(k1– k2))+k1sgn(1+ sgn(k2– k1));

2=(1/k2)sgn(1+ sgn(1/k1–1/k2))+ (1/k1)sgn(1+ sgn(1/k2–1/k1)). (4.100) Тогда =2sgn(1+ sgn(1–2))+1sgn(1+ sgn(2– 1)). (4.101) После подстановки (4.100) в (4.101) полное аналитическое выра жение критерия будет иметь вид:

=((1/k2)sgn(1+sgn(1/k1–1/k2))+(1/k1)sgn(1+sgn(1/k2– –1/k1)))sgn(1+sgn((k2sgn(1+sgn(k1–k2))+k1sgn(1+sgn(k2–k1)))– – ((1/k2)sgn(1+sgn(1/k1–1/k2))+(1/k1)sgn(1+sgn(1/k2– –1/k1)))))+(k2sgn(1+sgn(k1–k2))+k1sgn(1+sgn(k2– –k1)))sgn(1+sgn(((1/k2)sgn(1+sgn(1/k1–1/k2))+(1/k1)sgn(1+sgn(1/k2– –1/k1)))–(k2sgn(1+sgn(k1–k2))+k1sgn(1+sgn(k2–k1))))). (4.102) Значение критерия устойчивости может быть также определено путем последовательных сравнений показателей устойчивости для четырех осей опрокидывания.

Для получения нормальных реакций R1, R2, R3, R4 на опорных элементах ГПК как первичных информационных параметров исполь зовались отклонения обобщенных координат q2, q4, q5, q6, получен ные в результате решения задачи статики при заданных больших зна чениях обобщенных координат q1…q11.

Вертикальное смещение yio,0 характерной точки выносной гид равлической опоры io[1;

4] ГПК вдоль оси O0Y0 инерциальной сис- r темы координат является второй компонентой вектора Rio,0, задающе го смещения характерной точки опоры вдоль координатных осей инерциальной системы координат:

Rio, 0 = [xio, 0 y io, 0 z io, 0 1]T ;

i[1;

4], v (4.103) r Вектор Rio,0 определяется по формуле r r r Rio,0 = Rio,1 T1* Rio,1, (4.104) r где Rio,1 – вектор положения характерной точки опоры io в локальной системе координат базового шасси, к которому относится масса каж v дой выдвижной опоры, Rio,1 = [xio,1 yio,1 zio,1 1]T ;

T1* – матрица перехо да из локальной системы координат звена базового шасси в инерци альную с учетом как больших, так и малых значений обобщенных ко ординат (qj+qj), j=2;


4;

5;

6.

Пуск Ввод исходных данных:

v q1…q11;

m1…m5;

{ Ris } Расчет статических отклонений обобщенных координат q1…q11 по модели ГПК – cos(q6 + q6 ) cos(q5 + q5 ) sin(q5 + q5 ) sin(q6 + q6 ) cos(q5 + q5 ) sin(q6 + q6 ) sin(q4 + q4 ) cos(q6 + q6 ) sin(q4 + q4 ) + cos(q5 + q5 ) cos(q6 + q6 ) cos(q4 + q4 ) + sin(q6 + q6 ) cos(q4 + q4 ) (q2 + q2 ).

* cos(q4 + q4 ) T1 = sin(q + q ) sin(q5 + q5 ) ( 5 )( ) cos(q6 + q6 ) cos(q4 + q4 ) sin q6 + q6 cos q4 + q4 + cos(q5 + q5 ) + cos(q6 + q6 ) sin(q4 + q4 ) sin(q6 + q6 ) sin(q4 + q4 ) sin(q4 + q4 ) sin(q5 + q5 ) sin(q5 + q5 ) 0 0 6 r r r R1=coy1o,0;

R2=coy2o,0;

R io, 0 = R io,1 T1* R io, R3=coy3o,0;

R4=coy4o, 7 R1 + R2 k1 = Нет Да R2 + R3 R3 + R4 k2 = R1 + R4 = = Да Нет k1k а Да 1 1 Нет а k1 k 2 Нет Да 1=k2 13 1=k крит 2=1/k 2=1/k 19 Opr =1 Opr = Вывод Останов результатов: Opr Рис. 4.22. Блок-схема алгоритма определения критерия устойчивости ГПК на основе нормальных реакций Матрица T1* будет иметь вид – cos(q6 + q6 ) cos(q5 + q5 ) sin(q5 + q5 ) sin(q6 + q6 ) cos(q5 + q5 ) sin(q6 + q6 ) sin(q4 + q4 ) cos(q6 + q6 ) sin(q4 + q4 ) + cos(q5 + q5 ) * cos(q6 + q6 ) cos(q4 + q4 ) + sin(q6 + q6 ) cos(q4 + q4 ) (q2 + q2 ) cos(q4 + q4 ) T1 =. (4.105) sin(q5 + q5 ) sin(q5 + q5 ) ( )( ) cos(q6 + q6 ) cos(q4 + q4 ) sin q6 + q6 cosq4 + q4 + cos(q + q ) + cos(q6 + q6 ) sin(q4 + q4 ) sin(q6 + q6 ) sin(q4 + q4 ) 5 (q4 + q4 ) sin sin(q5 + q5 ) sin(q5 + q5 ) 0 0 Нормальные реакции R1, R2, R3, R4 на опорных элементах опреде лялись по зависимостям:

R1=coy1o,0;

R2=coy2o,0;

R3=coy3o,0;

R4=coy4o,0, (4.106) где co – приведенный коэффициент жесткости опоры.

Текущее значение критерия устойчивости, вычисленное на ос нове нормальных реакций, сравнивается с предельным критическим значением критерия крит. При снижении ниже значения крит пере менная потери устойчивости Opr принимается равной 1, что соответ ствует недопустимому состоянию системы. В противном случае Opr принимается равной 0, что соответствует устойчивому состоянию системы.

Блок-схема алгоритма проверки положения ГПК в пространстве конфигураций по ограничению на устойчивость приведена на рис.

4.22.

Варьирование значения крит позволяет учесть условия работы ГПК, динамические составляющие, снижающие устойчивость.

Алгоритм проверки положения ГПК в пространстве конфигура ций по ограничению на устойчивость универсален, характеризуется высоким быстродействием и малой вычислительной сложностью.

4.5. Методика дискретной локальной оптимизации заданной траектории в среде с препятствиями по критериям эффективности в пространстве конфигураций Локальная оптимизация отдельной заданной в пространстве кон фигураций ГПК траектории S может быть выполнена при соблюдении условия непересечения груза с эквидистантной (полидистантной) по верхностью [YЭ] вокруг препятствий [94, 102]. Если имеется некото рая траектория, в общем случае не являющаяся оптимальной, локаль ная оптимизация позволяет сравнительно быстро достичь положения ближайшего локального оптимума по целевой функции L (T, Ae или C) путем последовательного изменения положения точек траектории sp, p[1;

sm]. Поскольку траектория и полидистантная поверхность [YЭ] заданы дискретно на равномерной сетке, предлагается следую щий алгоритм дискретной локальной оптимизации отдельной траек тории, заданной в пространстве конфигураций ГПК.

Последовательно для каждой из точек траектории sp с координа тами sp=(q7p, q8p, q9p, q10p), (4.107) где p[1;

sm], осуществляется дискретная оптимизация точек из ин тервала p[2;

(sm–1)], т.е. точка sp перемещается в новое положение, минимизирующее целевую функцию L (T, Ae или C). Поскольку зна чение целевой функции L по (4.4), (4.5) или (4.6) определяется дис кретно в виде суммы, при изменении положения одной точки будут меняться значения только двух слагаемых этой суммы, поэтому вме сто значения L (T, Ae, C) при оптимизации может быть использовано значение Lp (Tp, Aep, Cp), вычисление которого занимает в (sm/2) меньше времени по сравнению с L (T, Ae, C):

Tp=T(p, p–1)+T(p, p+1);

Aep=Ae(p, p–1)+Ae(p, p+1) ;

Cp=C(p, p–1)+C(p, p+1). (4.108) Для дискретной оптимизации положения отдельной точки траек тории в пространстве с препятствиями гарантировать результат спо собен метод полного перебора на ограниченной области-гиперкубе с центром в исходном положении точки sp.

Описание методики локальной оптимизации для отдельной точки траектории в пространстве конфигураций приведено в пп. 1–7.

1. Используя вложенные циклы по i, j, k, l, определяющие значе ния координат q7, q8, q9, q10 соответственно, для оптимизируемой точ ки sp с фиксированным p рассматриваются всевозможные сочетания координат груза q7, q8, q9, q10 на дискретной равномерной сетке для ограниченной области-гиперкуба с центром в исходном положении точки sp. Для этого варьируются индексы i, j, k, l в следующих диапа зонах (область гиперкуба):

i[(ip–dip);

(ip+dip)];

j[(jp–djp);

(jp+djp)];

k[(kp–dkp);

(kp+dkp)];

l[(lp–dlp);

(lp+dlp)], (4.109) где ip, jp, kp, lp – индексы, соответствующие координатам q7p, q8p, q9p, q10p точки sp до оптимизации;

dip, djp, dkp, dlp – заданные положитель ные целочисленные значения приращений индексов i, j, k, l соответст венно.

Соответствующие индексам i, j, k, l текущие значения координат q7, q8, q9, q10 определятся по соотношениям:

q7=q7p+iuл;

q8=q8p+juл;

q9=q9p+klл;

q10= q10p+llл. (4.110) 2. Текущие значения координат q8, q9, q10, варьируемые по (4.110), проверяются на выполнение условия невыхода за границы диапазонов предельных конструктивных значений q8[q8min;

q8max];

q9[q9min;

q9max];

q10[q10min;

q10max] соответственно. В случае выхода за границы диапазонов любой управляемой координаты текущее соче тание координат q7, q8, q9, q10 не рассматривается (переменная break=1).

3. Для каждого сочетания текущих значений координат q7, q8, q9, q10 в области гиперкуба выполняется проверка на пересечение под вижных звеньев ГПК и груза с полидистантной поверхностью препят ствий по методике, изложенной в разделе 4.8.

В случае пересечения с препятствиями текущее сочетание коор динат q7, q8, q9, q10 не рассматривается (переменная break=1).

4. В случае выполнения условия равенства переменной break ну лю (break=0), что соответствует рассмотрению текущего сочетания координат q7, q8, q9, q10, для него определяется сумма значений целе вой функции (Lp)u ((Tp)u, (Aep)u либо (Cp)u) между оптимизируемой точкой и двумя соседними точками траектории по (4.108), где u[1;

(dip2+djp2+dkp2+dlp2)] – индекс, соответствующий уникальному со четанию значений индексов i, j, k, l и координат q7, q8, q9, q10. Для ка ждого значения u из приведенного диапазона в массиве [tgu] запоми наются соответствующие текущие значения координат (q7)u, (q8)u, (q9)u, (q10)u. Предварительно до начала вложенных циклов по i, j, k, l, все элементы векторов значений целевой функции (Lp)u ((Tp)u, (Aep)u либо (Cp)u) заполняются бесконечно большими значениями.

5. По выходе из циклов по i, j, k, l определяется значение индекса um, соответствующее минимальному значению (Lp1)u:

um=Индекс(min({(Tp)u}));

um=Индекс(min({(Aep)u}));

um=Индекс(min({(Cp)u})). (4.111) Пуск 1 Ввод исходных данных: S;

q8min;

q8max;

q9min;

q9max;

q10min;

q10max;

[YЭ];

dip;

djp;

dkp;

dlp;

lл;

uл;

opt opt=0;

L = opt Вывод результатов: Sopt Да ((Lopt–1)– Lopt)/( Lopt–1)opt Останов 9 Нет u=u+ 7 p break= i p=2;

psm–1;

i=ip–dip;

i ip+dip;

p=p+1 q7=q7p+iuл;

q8=q8p+juл;

i=i+ q9=q9p+klл;

q10= q10p+llл 12 j u j=jp–djp;

j jp+djp;

u=0;

j=j+ u(dip2+djp2+ (q8q8min) (q8q8max) Нет +dkp2+dlp2);

(q9q9min) (q9q9max) k (q10q10min) (q10q10max) u=u+1 k=kp–dkp;

kkp+dkp;

14 k=k+ (Lp)u = 19 Да l 18 l=lp–dlp;

llp+dlp;

break= l=l+ u Проверка пересечений точки q7, q8, q9, q10 по алгоритму проверки пересечений раздела l 4. 21 u=0 Нет Да Пересечения k имеют место?

23 break= j Нет Да break= i p Lp=L(p, p–1)+L(p, p+1) 31 Определение значения целевой функции для всей opt=opt+ траектории Lopt по (4.4), (4.5), (4.6) Рис. 4.23. Блок-схема алгоритма дискретной локальной оптимизации траектории в пространстве конфигураций ГПК Функцией Индекс обозначено выполнение известного алгоритма определения номера минимального элемента одномерного массива [74].

6. Оптимальные значения координат q7p, q8p, q9p, q10p точки sp вос станавливаются по значению um из массива [tgu]:

q7p=q7um;

q8p= q8um;

q9p= q9um;

q10p= q10um. (4.112) 7. Оптимизация по текущей точке sp завершается, и начинается оптимизация по следующей точке sp+1:

p=p+1. (4.113) После выполнения п. 7. начинается выполнение с п. 1 с новым значением индекса p, который для каждой траектории изменяется в диапазоне p[2;

(sm–1)]. После того, как p достигает значения (sm–1), по (4.4), (4.5), либо (4.6) определяется значение целевой функции Topt, Aeopt, либо Copt соответственно для траектории Sopt на итерации opt.

Затем начинается следующий цикл оптимизации: p=2, 3,…, (sm–1) и.т.д. Оптимизация отдельной траектории прекращается при выполнении условия окончания расчета, которое заключается в сни жении относительного убывания значения целевой функции на теку щей итерации ниже заданного порогового значения opt:

((Topt–1)–Topt)/(Topt–1)opt;

((Aeopt–1)–Aeopt)/(Aeopt–1)opt;

((Copt–1)–Copt)/(Copt–1)opt. (4.114) После этого выводится оптимизированная траектория Sopt.

Блок-схема алгоритма дискретной локальной оптимизации от дельной траектории в пространстве конфигураций ГПК приведена на рис. 4.23.

Алгоритм локальной дискретной оптимизации траектории в про странстве конфигураций может быть применен в составе различных алгоритмов планирования траектории в пространстве конфигураций ГПК при сохранении постановки задачи.

4.6. Методика определения временной функции стоимости изменения управляемых обобщенных координат грузоподъемного крана В качестве функции стоимости перемещений груза ГПК из неко торого начального положения в некоторое конечное используется интегральное полное время перемещения T.

Принято в качестве допущения, что разгон и торможение звеньев в начале и в конце перемещения незначительно влияют на полное время перемещения T, и их влиянием можно пренебречь при рассмотрении достаточно больших перемещений звеньев ГПК. Максимальные скоро сти приводов управляемых координат q7, q8, q9, q10 при определении ми нимального времени перемещений выступают как функции от всех управляемых координат. Принятое допущение позволяет рассматривать T как функцию перемещений звеньев ГПК, т.е. изменения обобщенных координат, и использовать методы поиска оптимальной (по T) траекто рии на графах, методику дискретной локальной оптимизации.

Переменные ограничения на максимальные скорости управляе мых координат q7, q8, q9, q10 приняты по условиям соблюдения конст руктивных ограничений на скорости изменения указанных координат и рациональных, задаваемых человеком-оператором ГПК, исходя из условий безопасной работы ограничений, полученных по результатам натурных экспериментов.

Максимальная скорость изменения трех (q8, q9, q10) из четырех управляемых координат ГПК q7, q8, q9, q10 в общем случае может за висеть как от значения координат q8 и q9, так от направления измене ния рассматриваемой координаты (знака приращения). Кроме того, максимальные скорости изменения всех управляемых координат q7, q8, q9, q10 будут зависеть от массы перемещаемого груза mГР.

Для большинства современных стреловых кранов используются два значения скорости подъема/опускания груза грузовым канатом:

номинальная и увеличенная с грузом не более определенной массы mГРгран, составляющей некоторую долю от максимальной грузоподъ емности [129, 170].

В качестве еще одного допущения принято соблюдение принципа суперпозиции при совмещении изменения нескольких управляемых ко ординат: интегральное время изменения Ti отдельной координаты qi, i [7;

10] от некоторого начального значения qi нач до конечного значе ния qi кон не зависит от наличия или отсутствия перемещений по другим управляемым координатам в рассматриваемый период времени.

Тогда интегральное полное время перемещения T звеньев ГПК из начального положения sнач с координатами sнач=[q7нач;

q8нач;

q9нач;

q10нач] (4.115) в конечное положение sкон с координатами sкон=[q7кон;

q8кон;

q9кон;

q10кон] (4.116) определится как максимальный элемент множества:

T = max {T7;

T8;

T9;

T10}, (4.117) где T7, T8, T9, T10 – интегральное время изменения координат q7, q8, q9, q10 соответственно при перемещении из точки с координатами (4.115) в точку с координатами (4.116) с максимально допустимыми скоро стями.

X3, X q y4, m Y y3, x3, Y m m5=mГР Y m q X x2, x2, Рис. 4.24. Расчетная схема для определения элементарного времени перемещения dT7 при изменении обобщенной координаты q Выражения для вычисления значений T7, T8, T9, T10 будут иметь следующий вид.

При изменении координаты q7.

Принято допущение: при изменении управляемой координаты q значения обобщенных координат q8 и q9 также могут изменяться по неявной зависимости. Равным образом данное допущение относится и ко всем остальным управляемым координатам.

Согласно схеме, изображенной на рис. 4.24, определяется вылет стрелы – расстояние x2,5 от точки проекции центра масс груза (m5=mГР) на горизонтальную плоскость до точки проекции оси пово рота поворотной колонки:

x2,5=(q9+ x3,33)·cos(q8)+ y4,43·sin(q8) – x2,54, (4.118) где x3,31, x2,54, y4,43 – постоянные конструктивные размеры.

Тогда значение грузового момента MФ будет равно MФ= mГРx2,5. (4.119) Выражение для вычисления элементарного времени перемеще ния dT7 при элементарном изменении обобщенной координаты q имеет вид dT7=dq7/v7, (4.120) где v7 – максимально возможная, исходя из заданных как конструк тивных, так и рациональных ограничений, текущая рабочая скорость изменения обобщенной координаты поворота поворотной колонки q7, (k 7,1 + k 7, 2 M Ф ) v7 = min, (4.121) v7 к пред здесь k7,1, k7,2 – эмпирические коэффициенты, определяющие рацио нальные ограничения скоростей согласно данным натурных экспери ментов;

v7к пред – максимальная конструктивно возможная угловая ско рость изменения обобщенной координаты q7 (постоянная характери стика ГПК определенной конструкции).

Интегрирование позволяет определить минимально возможное вре мя перемещения для некоторого конечного изменения координаты q7:

q7 кон T7 = f [dT7 (q8, q9, m ГР )]dq7, (4.122) q7 нач где f[dT7(q8, q9, mГР)] – интегрируемая функция вида (4.120);

q7нач и q7кон – соответственно начальное и конечное интервальные значения координаты q7. При изменении q7 от q7нач до q7кон определяется иско мое время перемещения T7.

В интервале элементарного прира щения обобщенной координаты dq7 ве личина v7 может рассматриваться как константа, что позволяет использовать численный способ интегрирования с постоянным шагом (рис. 4.26).

При изменении координаты q8.

Поскольку стрела ГПК изменяет свой угол подъема при помощи гидро cГ цилиндра подъема, интегральное время перемещения по координате q8 будет q lГ зависеть от изменения длины гидроци Горизонталь 4 0 линдра, которую, в свою очередь, опре деляют начальные и конечные значения cГ координаты q8нач и q8кон.

Рис. 4.25. Расчетная схема для При известном значении координа определения длины гидроци ты q8 может быть определена длина линдра lГ по углу подъема гидроцилиндра lГ (рис. 4.25). стрелы q Угол подъема стрелы равен q8=1–0, (4.123) где 0 – постоянный конструктивный угол.

Отсюда длина гидроцилиндра lГ равна l Г = c Г 12 + c Г 2 2 2 c Г 1 c Г 2 cos 1, (4.124) где cГ1 и cГ2 – постоянные конструктивные значения;

1= q8+ 0.

По (4.123), (4.124) может быть определено dlГ – элементарное приращение величины lГ, соответствующее элементарному прираще ния координаты dq8.

Выражение для вычисления элементарного времени перемеще ния dT8 при элементарном изменении обобщенной координаты q8 бу дет иметь вид dT8=dlГ/v8, (4.125) где v8 – максимальная рабочая скорость движения штока гидроцилин дра подъема стрелы, (q8нач q8кон ) 0;

v8,1 при v8 = (4.126) (q8нач q8кон ) 0, при v8, здесь v8,1, v8,2 – максимальные рабочие скорости движения штока гид роцилиндра подъема стрелы при выдвижении и втягивании соответ ственно (постоянные характеристики гидропривода ГПК определен ной конструкции).

В то же время, согласно результатам проведенных натурных экспериментов, условие ограничения на максимальную мгновен ную скорость перемещения груза при элементарном изменении ко ординаты q8 может быть аппроксимировано полиномиальной зави симостью вида dq dT8 = (k ), (4.127) 8,1 M Ф + k8, 2 M Ф + k 8, 3 M Ф + k8, 3 где k8,1, k8,2, k8,3, k8,4 – эмпирические коэффициенты.

Представленная зависимость отражает границы зоны рациональ ных максимальных технологических скоростей рабочего процесса, которые устанавливает человек-оператор.

Результирующее выражение для вычисления элементарного вре мени перемещения dT8 при элементарном изменении обобщенной ко ординаты q8, учитывающее как конструктивные, так и рациональные ограничения, будет иметь следующий вид:

dq dT8 = max ( ) ;

dl Г /v8. (4.128) k8,1 M Ф + k8, 2 M Ф + k8,3 M Ф + k8, 3 Интегрирование позволяет определить минимально возможное время перемещения для некоторого конечного изменения координаты q8:

q8 кон T8 = f [(q8, q9, m ГР )]dq8, (4.129) q8 нач где f[dT8(q8, q9, mГР)] – интегрируемая функция вида (4.128);

q8нач и q8кон – соответственно начальное и конечное интервальные значения координаты q8. При изменении q8 от q8нач до q8кон определяется иско мое время перемещения T8.

В интервале элементарного приращения обобщенной координаты dq8 величина v8 может рассматриваться как константа, что позволяет использовать численный способ интегрирования с постоянным шагом (рис. 4.26).

При изменении координаты q9.

Выражение для вычисления элементарного времени перемеще ния dT9 при элементарном изменении обобщенной координаты q9 бу дет иметь вид dT9=dq9/v9, (4.130) где v9 – максимально возможная конструктивная рабочая скорость движения штока гидроцилиндра выдвижения телескопического звена стрелы, при (q9нач q9кон ) 0;

v9, v9 = (4.131) при (q9 нач q9 кон ) 0, v9, здесь v9,1, v9,2 – максимально возможные конструктивные рабочие ско рости движения штока гидроцилиндра телескопического звена двух секционной стрелы при выдвижении и втягивании соответственно.

Для трехсекционной стрелы соответствующие зависимости будут иметь следующий вид:

[(q9 нач q9 кон ) 0] [q9 q9 гран ] ;

= v9,1 при v v [(q9 нач q9 кон ) 0] [q9 q9 гран ] ;

= v9, 2 при (4.132) [(q9нач q9 кон ) 0] [q9 q9 гран ] ;

= v9,3 при v [(q9 нач q9 кон ) 0] [q9 q9 гран ], v9 = v9, 4 при где v9,1, v9,2 – максимальные рабочие скорости движения штока гидро цилиндра нижней секции телескопического звена стрелы при выдви жении и втягивании соответственно;

v9,3, v9,4 – максимальные рабочие скорости движения штока гидроцилиндра верхней секции телескопи ческого звена стрелы при выдвижении и втягивании соответственно;

q9гран – длина телескопической стрелы, соответствующая полному вы движению нижней секции телескопического звена при нулевом вы движении верхней секции телескопического звена;



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.