авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирская ...»

-- [ Страница 5 ] --

Можно подсчитать среднее минимальное значение удельной энергоемкости процесса укатки ср Э удi. (5.12) Э уд nn Рассмотрим принцип работы программы для ЭВМ, составленной на основе полученного алгоритма вычисления оптимальных значений скорости движения дорожного катка при уплотнении смеси. Расчеты произведем на 1 м ширины вальца катка, т.е. Bi 1. Значения величин, необходимые для расчета оптимальной скорости движения катка, известны, и отображаются в соответствующих полях таблицы программы (рис. 5.1).

В левой части окна программы имеется область постоянных значений, позволяющая отметить величины, остающиеся неизменными на последующих шагах. После заполнения исходных данных необходимо отметить «Считать phi», затем последовательно нажать кнопки «Принять» и «Считать». Программа произведет расчет и выдаст данные в форме, представленной на рис. 5.1.

В табличной части окна программы для каждого прохода катка представлены расчетные значения угла внутреннего трения, длины дуги контактной зоны вальца с асфальтобетонной смесью du, а также в нижних трех строках, значения скоростей: p, найденные из i квадратного уравнения (5.9), iэ – из условия (5.2) и iopt, вычисленные по критериальному алгоритму (5.11). В графической части окна программы демонстрируются графики величин скоростей э и p. Число проходов дорожного катка выбрано условно, после каждой трети проходов возрастает масса катка.

Полученные результаты вычислений можно сохранить в файл, впоследствии из сохраненного файла данные можно загрузить в программу.

Анализ значений нижних строк табличной части программного окна и характер графика скоростей показывает, что критерию интегрального оптимума соответствует режим укатки асфальтобетонной смеси, определяемый из условия реализации процесса ее релаксации – квадратного уравнения (5.9). Для средних и тяжелых катков оптимальный режим укатки отвечает условию минимизации удельной энергоемкости рассматриваемого процесса (5.2).

Рис. 5.1. Результат расчетов и график зависимостей скорости движения дорожного катка от числа проходов i: 1 – э ;

2 – p При проектировании, с позиций интегрального оптимума, режимов укатки асфальтобетонной смеси катками статического действия установлена следующая закономерность:

– для легких катков оптимальный режим укатки отвечает условию реализации процесса релаксации асфальтобетонной смеси;

– для средних и тяжелых катков оптимальный режим укатки соответствует условию минимума удельной энергоемкости рассматриваемого процесса.

ГЛАВА 6. ПРИМЕНЕНИЕ АППАРАТА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ОТЫСКАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПРОФИЛЕЙ РАБОЧИХ ОРГАНОВ ДОРОЖНЫХ И СТРОИТЕЛЬНЫХ МАШИН ПРИ РАЗРАБОТКЕ ГРУНТОВ 6.1. Определения рационального профиля поперечного сечения рабочего органа Математические модели, описывающие динамику процессов взаимодействия рабочих органов дорожно-строительных машин со средой, позволяют в ряде случаев применить аппарат вариационного исчисления для определения рациональных, с точки зрения принятого критерия, профилей рассматриваемых рабочих органов [96].

Формализуем задачу.

Пусть функция F x, y, y имеет непрерывные частные производные по всем аргументам до второго порядка включительно.

y x, имеющих непрерывную Среди всех функций производную и удовлетворяющих граничным условиям:

y a A, y b B, (6.1) найти ту функцию, которая доставляет слабый экстремум функционалу b J y x F x, y, y dx. (6.2) a Другими словами, простейшая задача вариационного исчисления состоит в отыскании слабого экстремума функционала вида (6.2) на множестве всех гладких кривых, соединяющих две заданные точки P1 a, A и P2 b, B.

Теорема. Для того чтобы функционал (6.2), определенный на множестве функций y y x, имеющих непрерывную первую производную и удовлетворяющих граничным условиям (6.1), достигал на данной функции y x экстремума, необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера:

d F y F y 0, (6.3) dx где Fy, Fy частные производные функции F x, y, y соответственно по переменным y и y.

Интегральные кривые (решения) уравнения Эйлера называются экстремалями (лагранжевы кривые). Уравнение Эйлера в развернутом виде принимает следующий вид:

y x Fyy y x Fyy Fxy Fy 0, Fyy 0. (6.4) Уравнение (6.4) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, так что его общее решение должно зависеть от двух произвольных постоянных. Значения этих постоянных, в общем случае, определяется из граничных условий (6.1).

Экстремум функционала (6.2) может реализоваться только на тех экстремалях, которые удовлетворяют условиям (6.1).

Краевая задача d Fy Fy 0;

(6.5) dx y a A, y b B не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно может быть не единственным.

Определение рационального профиля поперечного сечения рабочего органа отвального типа Рассмотрим два примера применения задачи вариационного исчисления для определения рационального профиля поперечного сечения рабочего органа отвального типа. В качестве критерия рациональности профиля примем величину минимальной энергоемкости процесса, а энергоемкость рассматриваемых процессов, при условии равенства других параметров, характеризуется величиной сопротивления.

Пример. Рассмотрим процесс заглубления некоторого режущего инструмента рабочего органа в грунт в направлении оси OZ, начало которой находится в вершине проникающего органа. Пусть L f z уравнение образующей поверхности режущего инструмента (рис. 6.1).

L=f(z) L z Рис. 6.1. Расчетная схема профиля режущего инструмента Значение полной силы сопротивления заглублению, действующей на элемент поверхности в направлении оси OZ, записывается в виде:

H ds,(6.6) f z 0 cos arctg f z W P sin arctg arctg f z где угол между касательной к образующей проникающего тела и осью OZ.

Определим линию, являющуюся профилем рабочего инструмента, на котором достигалось бы минимальное сопротивление. Для решения задачи используем условие Эйлера экстремума функционала:

F d F 0. (6.7) L dz L В качестве функционала рассмотрим F z, L, L P sin arctg f z 0 cosarctg f z, (6.8) 0 L с граничным условием f 0 0.

где P 1 b Наложим на функцию f z, определяющую уравнение образующей поверхности режущего инструмента, условие f ' z 0. Тогда выражение (6.8) примет вид L F z, L, L 0 L 2.

0 (6.9) 1 b1 1 L 1 L С целью представления функционала (5.9) в форме полинома, L разложим выражения в ряд Тейлора в, 2 1 L 1 L окрестности точки z 0 0.

Тогда выражение (6.9) примет вид L 2 l 0 l1 z 0 k 0 k1 z, F z, L, L (6.10) 1 b где L 0 L L 0 L 1 (6.11) z zo z z l0, l1, k0, k 1 L20 1 L2 1 L20 1 L20 1 L2 1 L z z0 z z z0 z коэффициенты разложения в ряд Тейлора в окрестности точки z 0 0. Для функционала (6.10) уравнение Эйлера принимает вид L l1 0 k1 z l0 0 k 0 L l1 0 k1 0. (6.12) Решением уравнения (6.12) будет функция L f z, на которой, согласно условиям Сильвестра, достигается минимум функционала:

C ln l1 0 k1 z l 0 0 k 0 C1, (6.13) L l1 0 k где C,C1 постоянные интегрирования.

Выражение (6.13) является общим решением уравнения (6.12).

Для определения конкретного профиля режущего инструмента, зависящего от параметров заглубления и физико-механических свойств грунта, воспользуемся начальным условием, задающим исходный угол резания (угол заглубления).

Чтобы определить постоянную интегрирования С положим, что L 0 tg 0, где 0 исходный угол резания, поскольку tg 0 является z угловым коэффициентом касательной в точке z 0 0. Для нахождения С используем граничное условие f 0 0. Варьируя значения угла и угла внутреннего трения (рис. 6.2), получаем следующие уравнения профиля режущего инструмента, показанные в табл. 6.1.

Таким образом, конфигурация профиля зависит от физико механических свойств разрабатываемого грунта и параметров процесса заглубления.

Пример. Рассмотрим процесс перемещения грунта перед отвалом.

Пусть y y x уравнение образующей профиля рабочего органа отвального типа. Тогда горизонтальная составляющая сопротивления перемещению призмы грунта определяется:

dm P x, y sinarctg y 0 cosarctg y 0 u Y Г dt, W (6.14) 1 y 2 dy, где y S y высота призмы грунта, где за начало берётся верхняя точка тела, определяющая его высоту S;

y y x ;

m масса грунта в призме;

0 и u скорости перемещения рабочего органа и частиц присоединяемых масс грунта соответственно. Величина изменения массы грунта в призме определяется следующими формулами:

dm HB S y y (6.15) dt или dm HB S y y, (6.16) dt где агрегатная скорость машины;

коэффициент, устанавливающий связь между агрегатной скоростью дорожной машины и горизонтальной скоростью приращения основания призмы грунта;

В и Н ширина и глубина резания.

L L 2 1,5 1, 4 3 1 0, 0, 0 1 2z 2z 0 0,5 1 1, а) б) L 1, Рис. 6.2. Линии, описывающие 0, профиль режущего инструмента:

z 1, 2, 3, 4, соответственно равное 0 0,5 1 1,5 19, 23, 27, 31 при 35 а, 40 б, 45 в в) Таблица 6. Уравнения профиля режущего инструмента, 0, град.

град 35 40 19 L 7,8 ln 0,24 z 2,66 7,6 L 13,9 ln 0,1z 1,5 5, L 9,8 ln 0,17 z 2 6, 23 L 2, 4 ln 1,05z 2,5 2, L 2,6 ln 1,12z 3,5 3, L 2,7 ln 1,2 z 4,6 4, 27 L 1,6 ln 2,24 z 3,6 2, L 1,8 ln 2,3z 4,9 2, L 1,9 ln 2,4 z 6,6 3, 31 L 1,26 ln 3,67 z 4,6 1, L 1,4 ln 3,7 z 6,34 2, L 1,6 ln 3,8 z 8,7 3, Выражение величины давления на границе y y x имеет вид P kY 2 (6.17) или P k 2 S y, (6.18) где k постоянная, зависящая от физико-механических свойств грунта;

коэффициент линейности.

С учётом формул (6.16) и (6.18) горизонтальная составляющая сопротивлению перемещения призмы грунта приобретает вид Y k S y sin arctg y 0 cos arctg y W 0 u HB S y y 1 y dy. (6.19) Введём следующие обозначения:

K1 k 2 ;

(6.20) K 2 0 u HB. (6.21) Тогда, с учётом этих обозначений, получаем Y W K1sinarctg y 0 cosarctg y K2 yS y 1 y2 dy. (6.22) Г Будем считать, что кривая, описывающая конфигурацию поперечного профиля рабочего органа, является возрастающей функцией, т.е. y x 0. Тогда, используя основные соотношения для обратных тригонометрических функций arctg arcsin, (6.22а) arccos 2 1 выражение (6.22) примет вид Y Г K1 y K 1 0 K 2 y 1 y S y dy. (6.23) W Представим правую часть соотношения (6.23) в виде полинома.

1 y Для этого разложим выражение в ряд Тейлора в окрестности точки x 0 0. Тогда горизонтальная составляющая перемещению грунта приобретает вид:

Y Г K1 y K 1 0 K 2 y 1 y S y dy ;

(6.24) W P1 1 y 0 ;

(6.25) x y 0 y x x. (6.26) P 1 y x Определим кривую, являющуюся профилем рабочего органа, на которой достигалось бы минимальное сопротивление. Для этого в качестве функционала рассмотрим следующее выражение:

F x, y, y S y K1 y K1 0 K 2 y p1 p 2 x. (6.27) y 0 0,5 1 1,5 2 2, x а) y 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 x б) Рис. 6.3. Линии, описывающие профиль рабочего органа отвального типа при перемещении грунта: а с различными углами резания грунта, где 1 20 °, 2 25 °, 3 30 °, 4 35 °, 5 40 °, с углом внешнего трения 30 °, со скоростью 0,5 м с ;

б с различной агрегатной скоростью машины, где 2 0,7 м с, 3 1,1м с, с углом внешнего трения 30 °, с углом резания грунта 30 ° Находим экстремум функционала, используя условие Эйлера:

F d F 0;

(6.28) y dx y F K1 y K1 0 K 2 y p1 p 2 x S 2 y ;

(6.29) y F S y K1 ;

(6.30) y d F y K1. (6.31) dx y Таким образом, условию Эйлера соответствует функция K1 0 S. (6.32) y 2 p1 p2 x K 2 Для определения коэффициентов в разложении в ряд Тейлора положим, что y 0 tg 0.

x На основании аналитического исследования функциональной зависимости (6.32) и её графической интерпретации (рис. 6.3) можно сделать следующие выводы:

- форма поперечного профиля рабочего органа отвального типа зависит от угла резания грунта и агрегатной скорости машины;

- с увеличением угла резания грунта радиус кривизны поперечного профиля возрастает;

- между величиной агрегатной скорости машины и радиусом кривизны поперечного профиля имеет место обратно пропорциональная зависимость.

Анализируя результаты, полученные в первом и втором примерах, можно отметить, что рациональным, с точки зрения наименьшей энергоемкости, является отвальный рабочий орган, кривизна поперечного профиля которого убывает по его высоте. Этот вывод согласуется с экспериментальными результатами А. А. Яркина.

6.2. Определение рационального профиля лопаток дискового рабочего органа подметально-уборочной машины Предварительное исследование дискового рабочего органа подметально-уборочной машины, предназначенной для очистки прибордюрных зон, выполнено в работе [104]. Ниже приведено исследование рационального профиля отбрасывающих лопаток.

Рациональным будем называть такой профиль отбрасывающих лопаток, при котором энергоёмкость процесса внедрения лопаток стремится к минимуму. Анализ показал, что вполне обоснован выбор конфигурации профиля в форме логарифмической спирали:

r R0 e k, (6.33) где R0 начальный радиус;

k коэффициент, определяющий форму спирали, k ctg ;

угол наклона касательной к радиус-вектору;

e основание натурального логарифма;

r, полярные координаты.

При выборе рационального профиля следует учитывать все этапы рабочего процесса;

при этом рассматривается процесс внедрения лопаток в грунтовый нанос. Считаем, что сопротивление резанию отбрасывающих лопаток минимально в том случае, когда касательная к логарифмической спирали в точке внедрения будет совпадать с направлением вектора абсолютной скорости движения этой точки (см. рис. 6.4).

Рис. 6.4. Кинематическая схема внедрения лопаток в грунтовый нанос:

L фрагмент логарифмической спирали;

Ve вектор переносной скорости;

V r вектор относительной скорости;

V a вектор абсолютной скорости;

вектор угловой скорости;

,,, углы;

R0, R начальный и конечный радиусы;

h высота грунтового наноса Исходя из этого условия, можно записать e r, (6.34) sin sin где e, r модули переносной и относительной скоростей соответственно, м/с, r R ;

угловая скорость, с 1 ;

R радиус кромки лопаток, м ;

угол между векторами абсолютной и относительной скоростями, 2 ( угол наклона касательной к радиус-вектору);

угол между векторами переносной и относительной скоростей.

Rh ;

(6.35) arccos R arcsin 2 Rh h 2 R, (6.36) где h высота удаляемого слоя, м.

Применив тригонометрические преобразования к выражению (6.36), получим R e cos ctg 2. (6.37) e sin Формула (6.37) верна при sin 2 0, т.е. при n, где n 0,1,2,, угол, при котором лопатки внедряются в грунтовый нанос. Значения угла находятся в пределах 2 и зависят от высоты h, радиуса кромки лопаток R.

Пользуясь выражениями (6.35), (6.36), определим коэффициент k формулы (6.33):

e 2 Rh h. (6.38) k R e R h Тогда уравнение логарифмической спирали примет вид e 2 Rh h r R0e R e R h. (6.39) Анализ формулы (6.39) показывает, что конфигурация профиля отбрасывающих лопаток в данном случае зависит от начального радиуса R0, высоты h, переносной e и угловой скоростей.

Пример. Исходные данные: 12,56 рад с;

е 1,75 м с;

h1 0,055 м;

R0 0,026 м;

R 0,31м;

h2 0,115 м.

Подставим h1 и другие исходные данные в формулу (6.39):

1, 75 20, 310, 055 0, 1, 750, 310, 0,026e 0,405.

r1 0,026e 12,560, Аналогично для значения h2 получим r2 0,026e 0, 487.

Определив конфигурации профилей в зависимости от высоты h, представим их графически (рис. 6.5).

Рис. 6.5. Конфигурации в зависимости от высоты h :

1 фрагмент логарифмической спирали r1 при h h1 ;

2 фрагмент логарифмической спирали r2 при h h Предложенный метод позволяет определить рациональный профиль отбрасывающих лопаток в зависимости от высоты грунтового наноса и кинематических параметров рабочего процесса.

6.3. Зависимость величины угла разгрузки лопаток от геометрических и кинематических параметров рабочего органа подметально-уборочной машины В последнее десятилетие наблюдается существенный рост парка автомобилей в России и, как следствие, возникает необходимость не только в расширении дорожной сети, но и в качественном её содержании. В связи с этим возрастает актуальность межсезонной и летней уборки городских дорог. В ряде работ определялся профиль отбрасывающих лопаток подметально-уборочной машины на основе анализа кинематики движения рабочего органа, причем рассматривался процесс внедрения лопаток в рабочую среду.

В данном разделе исследуется процесс разгрузки отбрасывающих лопаток (рис. 6.6).

Величина наполнения лопаток количество грунтового наноса, убираемого одной лопаткой с поверхности дорожного покрытия за один оборот дискового рабочего органа. Величина наполнения, в свою очередь, зависит от высоты грунтового наноса h, способа размещения лопаток в поперечном сечении рабочего органа, поступательной и вращательной скоростей рабочего органа.

Рис. 6.6. Кинематическая схема процесса разгрузки лопаток:

L фрагмент логарифмической спирали;

, углы;

r0, r начальный и конечный радиусы;

G, Fmp, N, Ф силы, действующие на частицу грунтового смета Согласно кинематической схеме (рис. 6.6) на элементарную частицу смета действуют следующие силы:

1) G сила тяжести:

G mg, (6.40) где m масса частицы, кг;

g ускорение свободного падения, м/с2;

2) Fтр сила трения:

Fтр N tg, (6.41) где N нормальная сила;

tg коэффициент трения смета о поверхность лопатки;

3) Ф центробежная сила:

Ф m 2 r, (6.42) где m масса частицы;

угловая частота вращения рабочего органа, рад/с;

r радиус удаления элементарной частицы от оси вращения, м.

Для решения поставленной задачи воспользуемся принципом Даламбера, спроецируем векторы сил, действующих на частицу, на ось X, параллельную вектору силы трения. Таким образом, для состояния предельного равновесия частицы смета запишем Fтр Ф cos G cos 0. (6.43) Для решения данного уравнения, воспользуемся формулами (6. - 6.42):

g cos sin tg (6.44) 2 r cos sin tg 0, где, углы поворота и установки лопаток соответственно.

Из формулы (6.44) находим угловую частоту вращения:

g cos sin tg. (6.45) r cos sin tg Представим решение уравнения (6.45) в виде номограммы (рис.

6.7).

Для примера определим диапазон частот по следующим исходным данным: угол разгрузки 6,06 рад ;

угол наклона лопаток 15 °, или 0,26 рад ;

коэффициент трения tg 0,4.

В результате получаем диапазон частот, соответствующий данному углу.

1,75 4,75 рад с.

Рис. 6.7. Номограмма определения диапазона частот вращения рабочего органа в зависимости от нужного угла разгрузки Предельные значения частот 1,75 рад/с и 4,75 рад/с связаны с величиной наполнения лопаток. Имеет место пропорциональная зависимость между величиной наполнения и частотой вращения. При максимальном наполнении частота вращения ближе к верхнему пределу диапазона частот 4,75 рад/с, а при минимальном наполнении соответственно к нижнему пределу диапазона 1,75 рад/с.

Представленный метод позволяет определить зависимость угла разгрузки лопаток от профиля отбрасывающих лопаток, в частности от угла наклона, и кинематических параметров рабочего процесса.

6.4. Определение и анализ конфигурации оптимальной контактной поверхности рабочего органа землеройной машины для разработки мёрзлых грунтов Поиск решения задачи оптимизации конфигурации контактной поверхности рабочего органа производим при помощи метода математического анализа – метода вариационного исчисления.

В настоящее время вариационные методы являются одним из мощных средств анализа самых разнообразных задач. Наиболее интенсивно вариационные подходы использовались в задачах об упругом поведении конструкций, особенно в задачах оптимального проектирования. Интерес к этим задачам усилился в связи с быстрым развитием авиационной и космической техники, судостроения, где чрезвычайно важно решение проблемы снижения веса конструкции без ущерба для ее прочности и аэродинамических свойств. Вариационный подход к решению задач об устойчивости, равновесии и колебаниях упругих конструкций позволил сформулировать ряд прикладных теорий, позволяющих с успехом осуществлять расчет самых разнообразных конструкций.

Суть метода состоит в отыскании экстремальных значений функционалов – переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций. Вариационная задача означает, как правило, нахождение функции, удовлетворяющей условию стационарности некоторого заданного функционала, то есть такой функции, (бесконечно малые) возмущения которой не вызывают изменения функционала по крайней мере в первом порядке малости. Также вариационной задачей называют тесно связанную с этим задачу нахождения функции (уравнения на функцию), на которой данный функционал достигает локального экстремума (во многом эта задача сводится к первой, иногда практически полностью). Обычно при таком употреблении терминов подразумевается, что задача решается методами вариационного исчисления.

Общая задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы среди всех непрерывных кривых y = y (x), соединяющих две точки P1 (x1, y1) и P2 (x2, y2) плоскости и имеющих непрерывно поворачивающиеся касательные, найти такую, для которой не x f x, y, y d x обращающийся в бесконечность интеграл J x dy ( y ) принимает экстремальное значение.

dx Л. Эйлер опубликовал теорему, ставшую основой всего вариационного исчисления: всякая функция y, обращающая в минимум или максимум интеграл J, должна удовлетворять d дифференциальному уравнению f y f y.

dx Ж. Лагранж обобщил полученные ранее результаты на случай (n + 1)-мерного пространства. Он сформулировал задачу следующим образом: среди непрерывных и имеющих непрерывные первые производные кривых yi = yi(x), i = 1,..., n, соединяющих две точки P1(x1, y1(x1),..., yn(x1)) и P2(x2, y1(x2),..., yn(x2)) и удовлетворяющих множеству независимых уравнений ja (x, y1,..., yn) = 0, a = 1,..., m n, найти такую, для которой не обращающийся в бесконечность интеграл x f x, y1,..., y n, y1,..., y n d x принимает экстремальное значение.

J x Точнее говоря, это прямое обобщение соответствующей формулы на случай функционалов функций бесконечномерного аргумента.

Для случая решения задачи оптимизации конфигурации контактной поверхности рабочего органа, условием экстремума будет являться минимизация величины энергоемкости процесса разработки мерзлого грунта землеройной машиной.

Использование для решения задачи поиска оптимальной конфигурации лобовой поверхности рабочего органа разложения в ряд по полиномам А. Лежандра обусловлено тем, что все нули многочлена Pi x действительные и лежат в основном промежутке [1, +1], перемежаясь с нулями многочлена Pi 1 x. Полиномы Лежандра – ортогональные многочлены с весом 1 на отрезке [1, +1];

они образуют полную систему, чем обусловливается возможность разложения в ряд произвольной функции f(x), интегрируемой на отрезке [1, +1].

Рассмотрим решение задачи оптимизации с использованием методов вариационного исчисления для продольного профиля, конфигурации лобовой поверхности рабочего органа и ее поперечного сечения. Методики определения конфигурации оптимальных параметров приведены выше (рис. 6.8 – 6.10).

Исходные данные: тип грунта, физико-механические свойства грунта, угол резания, толщина стружки, ширина резания Определение функционала, выражающего зависимость силы резания грунта от формы Ввод ограничения на длину продольного профиля рабочего органа Составление уравнения Эйлера-Лагранжа для нахождения оптимального продольного профиля рабочего органа Решение уравнения Эйлера-Лагранжа для нахождения оптимального продольного профиля рабочего органа Нет Поиск решений Да Поиск зависимости силы резания грунта от величины неопределенного множителя Лагранжа Определение значений множителя Лагранжа Окончательное определение формы продольного профиля рабочего органа Рис. 6.8. Методика определения конфигурации оптимального продольного профиля рабочего органа Исходные данные: тип грунта, физико-механические свойства грунта, угол резания, толщина стружки, тяговое усилие Вывод формулы для расчета величины нормальных давлений по лобовой поверхности рабочего органа произвольной конфигурации Составление выражения для расчета величины нормальной силы резания при разложении уравнения конфигурации поверхности в ряд по полиномам Лежандра Построение целевой функции для определения коэффициентов ряда Ввод ограничений на конфигурацию Прочностной расчет рабочего оптимальной лобовой поверхности органа рабочего органа Вычисление коэффициентов, входящих в ряд полиномов Лежандра с помощью задачи линейного программирования Нет Поиск решений Да Графическое построение конфигураций оптимальных профилей лобовой поверхности рабочего органа с учетом ограничений Рис. 6.9. Методика определения конфигурации оптимальной лобовой поверхности рабочего органа Исходные данные: тип грунта, физико-механические свойства грунта, угол резания Составление функционала для определения величины силы резания грунта для рабочего органа произвольной конфигурации Составление уравнения Эйлера для поиска оптимального поперечного сечения лобовой поверхности рабочего органа Решение уравнения Эйлера для поиска оптимального поперечного сечения лобовой поверхности рабочего органа Нет Поиск решений Да Графическое построение конфигураций оптимальных поперечных сечений лобовой поверхности рабочих органов в зависимости от коэффициента С Выбор оптимальной конфигурации поперечного сечения лобовой поверхности рабочих органов Рис. 6.10. Методика определения конфигурации оптимального поперечного сечения лобовой поверхности рабочего органа 6.4.1. Определение конфигурации оптимального продольного профиля рабочего органа Алгоритм 1. Запишем формулу для расчета горизонтальной составляющей усилия рыхления при произвольном цилиндрическом профиле наконечника.

2. Определяем относительное удельное сопротивление рыхлению k0.

3. Оптимальная форма наконечника находится при условии ограничения его длины.

4. Задача решается с помощью уравнения Эйлера - Лагранжа.

Задача решается для продольного профиля наконечника зуба рыхлителя. Рассматривается прямолинейный продольный профиль (см. рис. 6.11).

Рис. 6.11. Расчетная схема прямолинейного продольного профиля наконечника Формула для расчета нормального давления на плоский наконечник имеет вид Y X, (6.46) P p0 Q P l L где p0 – величина нормального давления в средней верхней точке наконечника;

Q Y, P X – функции, учитывающие изменение l L давления по ширине и длине наконечника соответственно;

X, Y – абсолютные координаты произвольной точки наконечника в системе координат X Y Z ( X направлена по длине, Y – по ширине наконечника);

L – длина наконечника;

l – полуширина наконечника.

Сделаем допущение, что закон распределения нормального давления по длине наконечника такой же, как и по глубине рыхления.

Из рис. 6.12 следует, что X x x, (6.47) Lh где x, x – абсолютная и относительная вертикальная координаты произвольной точки наконечника.

Таким образом, для прямолинейного профиля наконечника относительная координата x является одновременно относительной длиной и относительной глубиной наконечника.

Рассмотрим схему сил, действующих на элементарную площадку наконечника, имеющего криволинейный профиль (см. рис.

6.12).

Рис. 6.12. Схема сил, действующих на элементарную площадку рабочего органа криволинейного профиля Горизонтальная сила, действующая на элементарную площадку наконечника криволинейного профиля dS, в системе координат x y z равна d E г P cos F sin dS, (6.48) где P, F – нормальное и тангенциальное давление на площадке dS;

– текущее значение угла наклона к касательной в рассматриваемой точке криволинейного профиля.

Из формулы (6.46) с учетом выражения (6.47) имеем P p 0 Q y P x, (6.49) где y'. (6.50) y l Введем также относительную координату по горизонтали при помощи соотношения z' z. (6.51) l Учитывая, что T P f, (6.52) d x h d l y h l dx dy dx, (6.53) dy dS cos cos cos формула (6.48) принимает вид dE г P h l (1 f tg ) dxdy. (6.54) С учетом выражений (6.47) и (6.51) d z d h z dz. (6.55) tg dx' d h x dx Суммарное горизонтальное усилие находим, проинтегрировав выражение (6.54) с учетом (6.49) и (6.55):

11 1 Eг p0 Q( y) P(x) l h (1 f z' ) dxdy p0 l h Q( y) dy P (x) (1 f z' )dx 0 1 1 p0 l h k y P( x) (1 f z ' )dx. (6.56) Откуда ky Eг P( x) (1 f z ' )dx, (6.57) k 2 l h p0 где k y – коэффициент, учитывающий степень неравномерности распределения давления грунта по ширине наконечника;

2 l – ширина наконечника.

Левая часть уравнения (6.57) представляет собой отношение удельного сопротивления рыхлению к минимальному нормальному давлению в верхней части рабочего органа p0 (относительное удельное сопротивление рыхлению):

ky P( x) (1 f z ' )dx. (6.58) k 2 Задаем дополнительное ограничение: длина профиля наконечника ограничена. Тогда L 1 z '2 hdx. (6.59) Откуда L 1 z '2 dx. (6.60) h С учетом ограничения (6.60) оптимальная форма профиля наконечника находится из решения уравнения Эйлера-Лагранжа:

d Fz' ( x, z, z ' ) Fz' ' ( x, z, z ' ) 0, (6.61) dx где k y P( x) (1 f z ' ) 1 z '2, (6.62) F ( x, z, z ' ) где – неопределенный множитель Лагранжа.

Последнее слагаемое в формуле (6.62) учитывает ограничение длины рабочего органа. Следует отметить, что задача нахождения оптимального продольного профиля наконечника без ограничения (глобального экстремума) решения не имеет. Если в выражении (6.62) k y P( x) положить 0, то имеем F ( x, z, z ' ) (1 f z ' ). Откуда Fz' ( x, z, z ' ) 0. Следовательно, взяв частную производную в выражении k y P( x) k y P ( x) (1 f z ' ) по z, имеем Fz ( x, z, z ' ) f.

F ( x, z, z ' ) 2 Взяв производную по x в последнем выражении, имеем k y Px d' f. С учетом выше- изложенного уравнение Fz ' ( x, z, z ' ) dx k y Px (6.61) принимает вид f 0. Полученное уравнение не может быть решено относительно переменной z и тождественно не равно нулю, что свидетельствует о некорректности поставленной задачи поиска глобального экстремума.

При 0 и Fz' ( x, z, z ' ) 0 (6.63) уравнение Эйлера-Лагранжа (6.61) принимает вид d' Fz ' ( x, z, z ' ) 0. (6.64) dx Следовательно, при Fz' ( x, z, z ' ) const (6.65) из выражения (6.62) находим k y P ( x) z' Fz' ' ( x, z, z ' ) f c const. (6.66) 1 z ' Анализируя формулу (6.66) можно заметить, что форма оптимального профиля наконечника зависит от типа грунта.

Обозначим величину k y P ( x) f ( x). (6.67) Тогда (6.66) примет вид z' ( x) c const. (6.68) 1 z' Постоянная c может быть найдена из условия, что значение угла резания p известно.

Тогда z ' ctg p. (6.69) Подставляя (6.69) в (6.68), получим c (1) ctg p / 1 сt g 2 р (1) cos p. (6.70) Решаем уравнение (6.69) относительно переменной z :

c ( x) z ' z x. (6.71) 1 c ( x) Уравнение продольного профиля найдется в результате интегрирования выражения (6.71):

x c ( x) dx. (6.72) z 0 1 c ( x ) В подынтегральное выражение входит неопределенный постоянный множитель Лагранжа. Интегрирование его в квадратурах является сомнительным.

Дальнейшее решение задачи представляется следующим.

Задаваясь, вычисляется значение функции z z (x) в численном виде, исходя из интеграла (6.72) с учетом формул (6.67) и (6.70).

L Далее находим значение относительной длины наконечника, h вычисляя интеграл (6.60), которое для выбранного значения составляет 2,31.

Строим график оптимального продольного профиля наконечника в относительных единицах для значения относительной L длины, равного 2,31 (рис. 6.13).

h x z Рис. 6.13. Оптимальный продольный профиль рабочего органа Из анализа графика следует, что оптимальный продольный профиль наконечника имеет криволинейный характер. При увеличении значения форма профиля приближается к прямой.

Задаваясь различными значениями в интервале [200;

2000], L находим значения относительной длины по формуле (6.60) и h удельного сопротивления рыхлению k0 из выражения (6.58).

L По полученным векторам и k0, а также и k0 строим графики h L зависимостей k0 = f ( ) и k 0 f (рис. 6.14 и 6.15).

h k Рис. 6.14. Зависимость относительного удельного сопротивления рыхлению от множителя Лагранжа k Рис. 6.15. Зависимость относительного удельного сопротивления рыхлению от относительной длины оптимальной формы наконечника Из анализа графиков следует, что относительное удельное сопротивление рыхлению уменьшается с уменьшением относительной длины наконечника, а также при увеличении неопределенного множителя Лагранжа.

Проанализируем зависимости (6.67) – (6.72).

При выражение (6.67) принимает вид ( x) 0. (6.73) Из выражения (6.70) с учетом формулы (6.73) имеем:

c cos p ;

(6.74) cos p ctg p. L/h (6.75) z' 1 cos p Уравнение оптимального продольного профиля наконечника при примет вид z x ctg p. (6.76) Выражение (6.76) описывает прямолинейный продольный профиль наконечника, установленный под углом p к горизонту.

L На рис. 6.15 начало координат (при = 2) соответствует h параметрам оптимальной прямолинейной формы наконечника, так как удельное сопротивление рыхлению при этом минимально. Таким образом, приходим к выводу, что оптимальный продольный профиль наконечника для любых типов грунтов должен быть прямолинейным.

6.4.2. Аналитическое решение задачи об оптимальной форме продольного профиля лобовой поверхности рабочего органа При решении научных задач необходимо стремиться к получению аналитического решения, хотя бы приближенного, поскольку оно содержит более емкую наглядную информацию, легче анализируется.

Решение задачи об оптимальной форме продольного профиля определяется интегралами (6.69) и (6.72) Как видно, в выражение (6.72) входит разность с x.

Из выражений (6.67) и (6.70) имеем k y P1 f k y P x f c x 1 cos р x cos p 2 k yf P 1 P x cos (6.77), p P x 1 2 a2 a3 e a3 x x, где (6.78) P 1 1 2 a 2 a3 e a3. (6.79) Подставляя формулы (6.78) и (6.79) в выражение (6.77), получим kyf 1 2 a 2 a 3 e a 3 1 2 a 2 a 3 x e a 3x cos p c x 2 (6.80) k y f a 3 e x e a 3x 2 a 2 a 3 cos p cos p T, 2 T k y f a 2 a3 e a 3 x e a 3 x ;

где (6.81). (6.82) При больших значениях значения согласно выражению (6.82) весьма малы.

Подставляя выражение (6.82) в уравнение (6.81), получим cos p T z. (6.83) 1 cos p T Для нахождения интервала изменения значений рассуждаем следующим образом.

Из выражения (6.83) нетрудно видеть, что подкоренное выражение знаменателя должно быть больше нуля:

1 cos p T 2 0. (6.84) Откуда cos p T 2 1. (6.85) Поскольку величины T и положительные, то cos p T 0. (6.86) Выражение (6.85) может быть записано в виде cos p T 1. (6.87) С учетом неравенства (6.86) имеем cos p T 1. (6.88) Полученное неравенство имеет два решения при определенных значениях Tmax и Tmin.

Можно записать cos p T max 1. (6.89) Чтобы найти Tmax, возьмем производную из выражения (6.81):

dT k y f a 2 a3 e a 3 x 1 2a3 x 2 0. (6.90) dx Откуда. (6.91) x 2 a Подставляя значение x в выражение (6.81), получим значение Tmin.

1 a 1 2 a Tmin k y f a2 a3 e a 3 e 2 a (6.92) k y f a 2 a 3 e a 3 e 2 0,07 k y f a2 a3.

2 a С учетом формулы (6.91) из выражения (6.92) при x получим значение Tmax:

Tmax k y f a2 a3 e a 3 0,37 k y f a 2 a3. (6.93) Подставляя полученное значение (6.93) в выражение (6.89), с учетом формулы (6.82) получим cos p 0,37 k y f a2 a3 1. (6.94) Откуда находим, что 186. (6.95) Дальнейшее решение задачи следующее. Разложим правую часть полученного уравнения в ряд Тейлора по малому параметру :

z x z 0 z 0.... (6.96) Значение z 0 получим из уравнения (6.96), полагая в нем 0:

cos p T z ctg p. (6.97) 1 cos p T z 0 в ряде (6.96), Чтобы получить значение прологарифмируем выражение (6.83) и продифференцируем полученное уравнение:

ln z ln cos p T ln 1 cos p T 2, (6.98) 1 2 cos p T T z T z cos p T 2 1 cos p T (6.99) cos p T T T.

cos p T 1 cos p T Положим в выражении (6.99) 0. Тогда 1 cos p z0 T cos p T T T 2. (6.100) z0 cos p 1cos p cos p sin cos sin p p p Откуда, с учетом (6.52), находим T T z 0 z 0. (6.101) cos p sin 2 p sin p Подставим значения z 0 и z 0 из формул (6.97) и (6.101) в ряд (6.96) T z x ctg p. (6.102) sin 3 p Учитывая выражения (6.101) и (6.102), находим k y f a3 a a x e a 3 x 2 3. (6.103) z x ctg p e sin 3 p Интеграл полученного выражения (6.103) представляет собой приближенное уравнение оптимального продольного профиля наконечника:

x k y f a2 a3 a3 a3 x2 z x ctg p e x e dx sin3 p 0 x k y f a2 a3 2e a3 x e a3 x ctg p x (6.104) 2 sin3 p k y f a2 a3 2e a3 x e a3x 1.

xctg p 2 sin3 p На рис. 6.16 представлены графики зависимостей оптимального продольного профиля наконечника, вычисленные численным методом согласно интегралу (6.72) (сплошная линия) и по приближенной формуле (6.73) (штриховая линия) при = 400. Из графиков видно, что приближенное аналитическое решение незначительного отклоняется от точного численного решения. Это отклонение будет тем меньше, чем больше значение.

k Рис. 6.16. Графики оптимальных профилей, вычисленные численным и аналитическим методами При получим z x ctg p. (6.105) Полученное выражение совпадает с полученным выражением (6.76).

Чтобы найти значение неопределенного множителя Лагранжа, рассмотрим интеграл (6.59).

cos T2 1 z 1. (6.106) 1cosp T 2 1cosp T Разложим правую часть полученного уравнения в ряд Тейлора по параметру :

0 0.... (6.107) Положив 0, из выражения (6.107) находим 1 0. (6.108) 1 cos 2 p sin p Чтобы найти 0, продифференцируем функцию (6.101) по параметру :

1 сos p T 2 2 сos p T T 2 (6.109) сos 2.

1 сos p T T T p Положим в выражении (6.109) 0.

Тогда cos cos T Tsin p 1 cos 2 p 2. (6.110) p p С учетом вышеизложенного ряд (6.107) представлен в виде T cos p 1 sin 3 p sin p sin p (6.111) cos p k y f a2 a3 a 3 x e a 3 x.

e sin 3 p Интеграл (6.60) с учетом выражения (6.111) принимает вид L 1 1 cos p k y f a2 a3 a 3 a 3 x e xe dx h 0 sin p sin 3 p cos p k y f a x 2 e a 3 a3 x e a 3 x (6.112) 2 sin p sin 3 p cos p k y f a.

2 a3 e a 3 e a 3 sin p sin 3 p Откуда находим L h sin p k y f a2. (6.113) 3 a 3 a 2 sin p 2 a3 e e 1 сos p Нетрудно видеть, что числитель полученного выражения представляет разность длин криволинейного и прямолинейного наконечников (рис. 6.17).

Следовательно, можно утверждать, что неопределенный множитель Лагранжа есть величина, обратно пропорциональная разности длин криволинейного и прямолинейного продольных профилей наконечника.

Подставляя выражение (6.113) в уравнение (6.76), окончательно получим приближенное уравнение оптимального продольного профиля наконечника:

L 1 2 e a3 a3 x e a3 x h sin p z x x ctg p. (6.114) a 3 a 1 сos p 2 a3 e e Рис. 6.17. Расчетная схема В полученной формуле первое слагаемое представляет собой уравнение прямолинейного продольного профиля – формула (6.75), а второе слагаемое – поправку, учитывающую разность длин криволинейного и прямолинейного продольных профилей наконечника.

Необходимо отметить, что в полученную зависимость (6.114) не входят ни коэффициент трения f, ни коэффициент ky, учитывающий ширину профиля наконечника.

6.5. Определение и анализ конфигурации оптимальной лобовой поверхности рабочего органа В процессе рыхления статическими рыхлителями происходит отделение грунта от массива и разрыхление до степени, обеспечивающей его дальнейшее транспортирование. После прохода рыхлителя в грунте образуется прорезь трапециевидной формы, в которой выделяют три зоны: зону вдавливания, зону сжатия и зону развала грунта. Геометрия рабочего органа влияет на величину скола грунта и изменение удельного сопротивления резанию в зонах разрушения. Например, известно, что при одинаковых по площади сечениях стружек Fс потребуются меньшие усилия для резания грунта стружкой большей ширины l и меньшей глубины h.

В зонах вдавливания и сжатия происходит блокированное резание грунта. В этих зонах происходит сжатие грунта перед отделением его от массива и его вдавливание в дно и боковые стенки прорези. Размер зоны вдавливания грунта в процессе рыхления не изменяется, однако увеличивается по мере изнашивания наконечника.

В зоне сжатия в результате увеличения давления на грунт происходит отделение крупных элементов массива грунта. Для отделения мерзлого грунта от массива необходимо создать в грунте давления, превосходящие по величине предельное значение напряжения сжатия грунта сж. В этом случае необходимо обеспечить высокие прочностные свойства рабочего органа.

После скола крупный элемент перемещается по поверхности рабочего органа вверх и в сторону, а сопротивление рыхлению резко уменьшается. При дальнейшем движении рыхлителя, до образования последующего крупного элемента, от массива откалываются более мелкие элементы грунта. Затем сопротивление вновь достигает наибольшего значения и происходит скалывание следующего крупного элемента грунта.

Выкалывание элементов стружки отражается в динамограммах, на которых видно, что к моменту скола усилие достигает своего максимального значения, а сразу после скалывания – резко уменьшается. Затем усилие возрастает при сжатии следующего элемента стружки. Частота возникновения максимальной нагрузки на рабочий орган рыхлителя зависит от физико-механических свойств грунта, глубины, скорости рыхления и геометрических параметров рабочего органа.

Раздробленные и мелкие элементы массива будут составлять зону развала грунта. Можно считать, что в этой зоне осуществляется свободное резание грунта.

Величина усилия рыхления грунта в трех зонах различна. При свободном резании усилие рыхления на 45-50 % меньше, чем при блокированном. Следовательно, свободное рыхление обладает меньшей энергоемкостью, чем блокированное.

Таким образом, оптимальные геометрические параметры наконечников должны быть такими, чтобы большая по площади часть грунта находилась в зоне свободного рыхления. Кроме этого, необходимо, чтобы та часть грунта, которая находится в зонах вдавливания и сжатия, разрушалась как можно более интенсивно под действием приложенного к рабочему органу усилия рыхления. При этом усилие рыхления по величине должно быть минимальным, но достаточным для разрушения грунта. Это приведет к полной загрузке рыхлителя и минимизации излишков энергоемкости на процесс рыхления мерзлого грунта. Оптимальным будем считать такой поперечный профиль (лобовую поверхность), при котором значение силы сопротивления резанию на рабочий орган будет минимально при постоянной площади его сечения. При минимуме сопротивления резанию на рабочем органе будет снижен его износ. Это в конечном итоге приведет к увеличению производительности и снижению энергоемкости разработки грунта.

Предположим, что нормальное давление на рабочий орган при его переменной ширине определяется выражением (6.112):

P p0 Q y P x, (6.115) где p0 – величина нормального давления в средней верхней точке рабочего органа;

Q y, P x – функции, учитывающие изменение давления по ширине и длине рабочего органа соответственно.

X a X P x 1 2 a 2 a3 e L ;

(6.116) L Y 1 a l Q y, (6.117) Y 1 b l где L, l – соответственно длина и полуширина рабочего органа;

X, Y – абсолютные координаты произвольной точки поверхности рабочего органа;

x, y – относительные координаты точек поверхности рабочего органа.

Нормальное усилие, приходящееся на лобовую поверхность рабочего органа (рис. 6.18), определяется выражением N P dS p0 P X Q Y d X d Y, (6.118) S S где S – площадь лобовой поверхности наконечника.

Положим Y y;

(6.119) Y x X 1 x. (6.120) L Рис. 6.18. Расчетная схема поперечного криволинейного профиля (лобовой поверхности) рабочего органа С учетом выражений (6.119), (6.120) интеграл (6.118) примет вид L N p0 Y x P( x) Q( y) dx dy (6.121) L1 p0 Q y d y P x dx Y x, 2 1 1 ay где (6.122) Q ( y) ;

(1 by 2 ) a3 1 x P x 1 2 a2 a3 1 x e (6.123) a 3 1 x 1 a2 a3 1 x e 4.

В формуле (6.121) положим Y x d i Pi x d 0 P0 x d1 P1 x... d P x, (6.124) i где di – неизвестный постоянный коэффициент, подлежащий определению;

Pi x – полиномы Лежандра, вычисляемые из выражения i i Pi x i x 1, (6.125) i !2 где i – производная i-го порядка.

x x 1 i i Рис. 6.19. Графики функции Pi x i !2i В частности, имеем:

P0 x l ;

(6.125а) P1 x x ;

(6.125б) P2 x 3x 2 1 ;

(6.125в) P3 x 5x 2 3x ;

(6.125г).

P4 x 35 x 4 30 x 2 3 (6.125д) Графики функций (6.125а) – (6.125г) представлены на рис. 6.19.

Площадь рабочего органа землеройной машины переменной ширины с учетом выражения (6.118) составляет L 11 L S 2 Y X dX 2 di Pi x dx L di Pi x dx 1 i 0 1 i (6.126) L di Pi x dx2 L d 0.

i 0 В преобразованиях последнего выражения (6.126) использовано свойство ортогональности полиномов Лежандра, справедливое при i j:

P i x P j x dx 0. (6.127) Откуда следует, что P i x dx 0 при i 0 ;

(6.128) 1 P 0 x dx 1 dx 2. (6.129) 1 Таким образом, ряд (6.124) определяет различные формы лобовой поверхности рабочего органа (семейство геометрических фигур), имеющие одинаковые площади сечения.

Из выражения (6.126) следует, что площадь поверхности рабочего органа, поперечный профиль (лобовая поверхность) которого определяется разложением в ряд по ортогональным полиномам Лежандра, зависит только от первого коэффициента Лежандра d0. Это означает, что различные поперечные профили поверхности рабочего органа, определяемые разложением в ряд Лежандра (6.126), имеют при одинаковых коэффициентах первого члена, но разных коэффициентах других членов, одинаковые площади. Это обстоятельство может быть использовано для определения оптимальной формы поперечного профиля, при котором результирующее нормальное усилие на наконечник минимально. То есть из всего семейства геометрических фигур ряда (6.124) необходимо выбрать такую, для которой давление на поверхность рабочего органа минимально.

Для этого необходимо определить соответствующие коэффициенты di ( i 0 ).

При i 0 из выражения (6.126) следует, S. (6.130) d 2L Если площадь сечения поверхности рабочего органа S известна, то первый член разложения в ряд по полиномам Лежандра d определяется формулой (6.130).

Далее, из выражения (6.121) находим результирующее нормальное усилие на поверхность рабочего органа N с учетом разложения в ряд по полиномам Лежандра (6.124):

1 p o L L N p 0 k y P x d i Pi x dx k y di P x Pi x dx 2 1 i0 i0 (6.131) p L o k y I i di, 2 i где – коэффициент, учитывающий неравномерность ky распределения давления по ширине рабочего органа;

p o – величина нормального давления в средней верхней точке поверхности рабочего органа.

I i P i x P x dx. (6.132) В определенный интеграл (6.132) входят функции, определяемые выражениями (6.133) и (6.125). Очевидно, что влияние формы поперечного профиля наконечника на суммарную величину нормального давления N определяется согласно выражениям, находящимся под знаком суммы в выражении (6.121):

sd i I i. (6.133) i Следовательно, оптимальным будет такой поперечный профиль поверхности рабочего органа, при котором ряд (6.133) имеет минимальное значение.

Вычислим первые члены Ii ряда (6.133):

I0 = 82,81;

I1 = 15,97;

I2 = – 7,23;

I3 = – 0,151;

I4 = 0,245;

I5 = – 0,00123;

I6 = 0,00297.

Очевидно, что членами I5 и большего индекса можно пренебречь, так как они не оказывают существенного влияния на результат расчета.

Ограничиваясь только пятью первыми членами ряда (6.133), задаем целевую функцию:

d i I i min. (6.134) i Очевидно, что значение ряда (6.134), определяющего закон изменения поперечного профиля рабочего органа, не должно быть, по крайней мере, отрицательным в диапазоне изменения переменной x.

То есть при 1 x d i P i x › 0. (6.135) i Естественно предположить, что ширина режущей кромки наконечника не должна быть менее установленной величины, то есть 4 d i P i 1 d i l, (6.136) i 0 i где l – полуширина режущей кромки наконечника.

Из графиков полиномов Лежандра (см. рис. 6.19) очевидно, что минимальные значения полинома Лежандра имеются в следующих точках:

P x при x 1;

P2 x при x 0 ;

P3 x при x 1 и x 0,44721 ;

P4 x при x 0,65465 и x 0,65465.

Для выполнения условия (6.135) необходимо выполнение неравенств:

di Pi 1 d 0 d1 d 2 d3 d 4 › 0;

(6.137) i 4 1 di Pi 0 d 0 d 2 d 4 › 0;

(6.138) 2 i di Pi 0,44721 › 0;

(6.139) i di Pi 0,65465 › 0;

(6.140) i di Pi 0,65465 › 0. (6.141) i Таким образом, имеем целевую функцию (6.134) при ограничениях (6.136) – (6.141). Следовательно, задача поиска оптимального поперечного профиля рабочего органа сводится к задаче линейного программирования, при решении которой находятся коэффициенты разложения di по полиномам Лежандра.

Совершенно очевидно, что оптимальное решение целевой функции (4.89) зависит от вида ограничений задачи. Поэтому рассмотрим различные виды ограничений.

Ограничение 1. Неотрицательность ширины рабочего органа.

Ограничения в виде неравенств (6.135), то есть условия неотрицательности аппликат граничной линии поперечного профиля, приводят к результату (рис. 6.20) y x 0. (6.142) Неприемлемый с практической точки зрения, он математически вполне корректен, так как при этом получается нулевое, а следовательно, самое минимальное значение целевой функции (6.134).

y x Рис. 6.20. График профиля наконечника, полученный из условия неотрицательности ширины рабочего органа Ограничение 2. Ограничение ширины режущей кромки и неотрицательность ширины рабочего органа.


Если к неравенствам (6.135) добавить неравенство (6.136), лимитирующее минимально возможное значение полуширины режущей кромки рабочего органа, то результат решения задачи будет представлен в виде графика поперечного профиля от относительной длины рабочего органа (рис. 6.21).

y x 0, y 1 l Рис. 6.21. График профиля наконечника, полученный из условия ограничения ширины режущей кромки и неотрицательности ширины рабочего органа ( y x 0, y 1 l ) Это решение неприемлемо хотя бы потому, что указанный наконечник не будет обладать необходимой прочностью.

Ограничение 3. Условие ограничения ширины наконечника.

При распространении неравенства (6.136), то есть при y x l, (6.143) на весь интервал изменения x 1;

1 решение задачи представляется в виде отрезка y x l, (6.144) график которого представлен на рис. 6.22.

Отметим, что полученное решение совпадает с выражением (6.136), в котором знак неравенства заменяется на знак равенства.

Если условие (6.143) полностью обосновано, то полученное решение задачи вполне приемлемо.

y x l Рис. 6.22. График профиля наконечника, полученный из условия ограничения ширины наконечника ( y x l ) Ограничение 4. Условие обеспечения прочностной защиты рабочего органа при столкновении с непреодолимым препятствием.

Рассмотрим ограничение с точки зрения обеспечения прочностной защиты рабочего органа при столкновении с непреодолимым препятствием, расчетная схема для которого приведена на рис. 6.23.

Рис. 6.23. Расчетная схема для определения конфигурации поперечного профиля по условию обеспечения прочностной защиты рабочего органа при столкновении с непреодолимым препятствием: Т – сила тяги рыхлителя;

hн, hк – ширина боковых граней наконечника в верхней части и на режущей кромке;

р – угол рыхления Считая, что сечение наконечника испытывает совместное действие изгибающего момента M T sin р L x (6.145) и нормальной силы P T cos р, (6.146) запишем условие прочности произвольного сечения наконечника:

M 2 n h, P (6.147) 2 nh где – допустимое напряжение на изгиб материала наконечника;

n y x – уравнение линии поперечного профиля;

h – ширина боковых граней наконечника в произвольном сечении.

Из расчетной схемы нетрудно получить уравнение ширины наконечника:

h h 1 x h hн к н. (6.148) Подставляя выражения (6.145) и (6.146) в условие (6.147), после необходимых преобразований получим искомое ограничение по прочности:

3 T sin T cos 1 x L 2 h2 2h y x. (6.149) Полученное выражение (6.149), с учетом формулы (6.146) для вычисления h, представляет собой сложную нелинейную зависимость.

Рис. 6.24. График профиля рабочего органа, полученный из расчета обеспечения прочностной защиты рабочего органа при столкновении с непреодолимым препятствием График решения (6.149) для следующих исходных данных приведен на рис. 6.24: T = 250000 H, hк = 15 мм, hн = 180 мм, L = 250 мм, р = 30, = 200 МПа.

График оптимального профиля наконечника, удовлетворяющего условию равнопрочности (6.149), представлен на рис. 6.25.

Рис. 6.25. Графики профилей наконечников, полученные: 1 – из расчета на прочность;

2 – из условия минимизации сопротивления рыхлению и с учетом обеспечения прочности Используя известную методику, находим оптимальный режущий профиль зуба экскаватора, задаваясь ограничением по прочности по формуле (6.149) (рис. 6.26).

Рис. 6.26. Графики профилей зуба ковша экскаватора, полученные: 1 – из расчета на прочность;

2 – из условия минимизации сопротивления рыхлению и с учетом обеспечения прочности Оптимальный профиль практически полностью совпадает с равнопрочным, за исключением области режущей кромки наконечника. Оптимальный профиль имеет большую площадь и в состоянии воспринимать большее нормальное усилие, чем равнопрочный. Однако он воспринимает такое же удельное давление, что и равнопрочный. Введем понятие величины удельного давления.

Под величиной удельного давления ki понимается отношение результирующего нормального усилия Ni на профиль наконечника к его площади Si:

Ni. (6.150) ki Si k1 = 46,2.

Ограничение 5. Условие равнопрочности наконечника и ограничения ширины режущей кромки наконечника.

Если к условию прочности наконечника (6.149) добавить требование по ограничению ширины режущей кромки, то это приведет к увеличению давления на грунт со стороны режущей кромки и, как следствие, улучшению процесса рыхления грунта. То есть с учетом выражения (6.147) и ограничения ширины режущей кромки T cos р y x, (6.151) 2 hн получим профиль наконечника с учетом ограничения 6.151 (рис.

6.27).

Можно утверждать, что полученный оптимальный профиль с учетом ограничения (6.151) лучше предыдущего, так как расчетное удельное давление на него меньше k1 и составляет k2 = 43,2.

Ограничение 6. Условие равнопрочности и ограничения ширины наконечника выше режущей кромки.

В частном случае, когда ограничение по ширине равно максимальной ширине равнопрочного наконечника, то получаем оптимальный профиль, представляющий собой прямую линию, касательную к кривой равнопрочного наконечника (проходящую через точку с максимальной ординатой равнопрочного наконечника) (рис. 6.28). Расчетное удельное давление, приходящееся на полученный профиль наконечника, составляет k 3 41,4, что меньше, чем у предыдущих наконечников.

Относительная длина Относительная длина Рис. 6.27. Графики профилей наконечников равной Рис. 6.28. Графики профилей наконечников равной прочности (штриховая линия) и оптимального прочности (кривая линия) и оптимального профиля профиля по условиям (6.149) и (6.151) (сплошная линия) с учетом ограничения 6 (прямая линия) Расчетная относительная площадь наконечника составила S3 = = 138 см2. Известно, что при увеличении относительной площади наконечника удельное давление на него падает. При попытке увеличения площади наконечника до величины S4 = 140 см удельное давление составило k 4 40,07. Это меньше, чем давление оптимального профиля с учетом ограничения 6 (см. рис. 6.28).

Однако из рис. 6.29 видно, что профиль, полученный для S4 = см2 и k 4 40,07, резко увеличивает свою ширину к верхней части наконечника до значения полуширины, равного 11 см.

Рис. 6.29. Профиль наконечника, полученный для F4 = 140 см2 и k 4 40, Это ведет к неоправданному увеличению габаритов и металлоемкости не только наконечника, но стойки зуба рыхлителя, так как удельное давление на наконечник снижается лишь на 3 %.

Ограничение 7. Условие обеспечения прочностной защиты рабочего органа при реализации максимального тягового усилия.

Используя известную методику расчета на прочность и расчетную схему, приведенную на рис. 6.30, определим конфигурации оптимального поперечного профиля из условия обеспечения прочностной защиты рабочего органа при реализации максимального тягового усилия.

dL P hн Q z dх hк X q Q Рис. 6.30. Расчетная схема для определения конфигурации поперечного профиля из условия обеспечения прочностной защиты рабочего органа при реализации максимального тягового усилия Интенсивность распределения нагрузки на средней линии рабочего органа определяется выражением dQ P 1 f tg1 L, (6.152) q dx где 1 – угол наклона рабочей поверхности к средней линии рабочего органа.

С учетом зависимости dQ k у p0 P( x )Y x L q (6.153) dx условие равнопрочности рабочего органа при реализации максимального тягового усилия можно записать в виде h 2 Y x М x, (6.154) где M, hx – соответственно изгибающий момент и толщина рабочего органа в произвольном сечении.

Тогда выражение (6.153) примет вид d Q 3 M k у p0 P ( x ) L. (6.155) q hx dx Из расчетной схемы видно, что hx hк hн hк x. (6.156) dM LQ. (6.157) dx Выражения (6.155) и (6.157) представляют собой систему дифференциальных уравнений относительно неизвестных M и Q.

Для решения этой системы необходимы начальные условия.

Очевидно, что на режущей кромке при x = 0 величина изгибающего момента равна нулю:

M M0 0, (6.158) Q Q0 p0 P (0) hk bk f p0 (1 2 a2 a3 e a3 ) hk bk f. (6.159) После решения системы уравнений (6.155) и (6.157) с учетом начальных условий (6.158) и (6.159) из формулы (6.154) можно определить полуширину Y(x) рабочего органа с учетом условия обеспечения прочностной защиты рабочего органа при реализации максимального тягового усилия:

3М Y x. (6.160) h x График оптимального профиля наконечника, удовлетворяющего условию равнопрочности (6.160), представлен на рис. 6.31.

Вывод. С точки зрения обеспечения защиты зуба ковша экскаватора и наконечника зуба рыхлителя от разрушения при разработке мерзлых грунтов и при внезапном столкновении с непреодолимым препятствием оптимальными будут являться поперечные профили, рассчитанные с учетом ограничений и приведенные на рис. 6.25 - 6.28 и 6.31. Изготовление рабочих органов с профилями, представленными на рис. 6.25 - 6.28, рекомендуются для мерзлых грунтов с каменистыми включениями. Указанные профили обеспечат минимизацию силы сопротивления разработке грунта, снижение энергоемкости процесса. Недостатком профилей лобовой поверхности (см. рис. 6.25 – 6.27) является усложнение технологии их изготовления. Рабочий орган с профилем, показанным на рис. 6.31, рекомендуется для разработки плотных абразивных грунтов. Прямолинейный профиль рабочего органа (см. рис. 6.28) удовлетворяет условию прочности и обладает меньшим удельным давлением. Кроме этого, он технологически прост в изготовлении.

Рис. 6.31. График профиля наконечника, полученный из расчета обеспечения прочностной защиты рабочего органа при реализации максимального тягового усилия Следует отметить, что вопрос об оптимальном поперечном профиле наконечника не исчерпан, так как могут существовать другие ограничения для расчета оптимального профиля.

6.6. Определение и анализ конфигурации оптимального поперечного сечения лобовой поверхности рабочего органа Известны наконечники зубьев рыхлителей как плоской, так и различной криволинейной геометрии рабочей поверхности.


Актуальным является вопрос оптимальности конфигурации поверхности рабочего органа с точки зрения минимизации сопротивления рыхлению, а значит, и увеличения производительности и снижения энергоемкости процесса рыхления.

Поставим задачу определения оптимального поперечного сечения лобовой поверхности рабочего органа землеройной машины.

Рассмотрим решение данного вопроса на примере наконечника зуба рыхлителя.

Свяжем с наклонно установленным наконечником декартовую систему координат x y z таким образом, чтобы ось x проходила по средней образующей цилиндрической поверхности наконечника, а ось y располагалась в горизонтальной плоскости (рис. 6.32).

Рис. 6.32. Схема сил, действующих на элементарную поверхность криволинейного рабочего органа Пусть уравнение поверхности рабочего органа (наконечника) в системе координат x y z имеет вид z f y. (6.161) Одновременно введем систему координат x y z, полученную поворотом системы x y z на угол резания р. При этом оси x и z будут располагаться по горизонтали и вертикали (см. рис. 6.32).

Можно записать выражения для нахождения координат точек криволинейной поверхности наконечника:

x x cos y 0 z sin x cos z sin ;

(6.162) y x 0 y 1 z 0 y ;

(6.163) z x sin y 0 z cos x sin z cos. (6.164) Подставляя выражения (6.162) и (6.163) в уравнение (6.164), получим z cos x sin f y. (6.165) Преобразовав формулу (6.165), запишем x sin f y z cos 0. (6.166) Выделим на поверхности наконечника бесконечно малую произвольную площадку dS, на которую действует нормальное усилие dN и сила трения dT (см. рис. 6.32).

Очевидно, что элементарное нормальное усилие будет определяться зависимостью dN P dS, (6.167) где Р – величина нормального давления на наконечник, определяемая по формуле P p0 Q y P x, (6.168) здесь p0 - величина нормального давления в средней верхней точке рабочего органа;

Q y, P x – функции, учитывающие изменение давления по ширине и длине рабочего органа (наконечника) соответственно.

X a X P x 1 2 a2 a3 e L ;

(6.169) L Y 1 a l Q y, (6.170) Y 1 b l где L, l – соответственно длина и полуширина наконечника;

X, Y – абсолютные координаты произвольной точки поверхности наконечника;

x, y – относительные координаты точек поверхности наконечника.

Элементарная величина силы трения, действующего на произвольную площадку dS, будет равна dT f dN f P dS. (6.171) Горизонтальная сила, действующая на элементарную площадку dS, будет определяться по следующей зависимости:

d E г dN cos dT cos, (6.172) где – угол наклона нормального усилия dN к оси x, находящийся по формуле. (6.173) x cos 2 2 x y z Площадь произвольной элементарной площадки dS будет равна dz 2 dS dl dx d z d y dx d y dx dy (6.174) 1 f y 2 dx dy 1 z 2 dx dy.

Найдем частные производные, входящие в формулу (6.173), исходя из функции (6.166):

sin ;

(6.175) x f y z ;

(6.176) y cos. (6.177) z Подставляя полученные выражения (6.175) – (6.177) в формулу (6.172), находим sin sin cos. (6.178) y 2 1 z 1 f С учетом зависимостей (6.167), (6.171), (6.173) и (6.178) выражение (6.172) принимает вид sin dEг P 1 z 2 dx dy f P 1 z 2 dx dy cos 1 z 2 (6.179) P sin dx dy f P cos 1 z 2 dx dy.

Интегрируя полученное выражение (6.178) по всей поверхности наконечника, получим E г P sin dx dy f P cos 1 z 2 dx dy S p0 P x Q y sin dx dy (6.180) p0 P x Q y f cos 1 z 2 dx dy.

Первое слагаемое в полученном выражении не зависит от формы криволинейного профиля наконечника z f y. Поэтому в дальнейших рассуждениях будем рассматривать только второе слагаемое, которое является проекцией суммарной силы трения на поверхность рабочего органа.

Запишем Eтр p0 P x Q y f cos 1 z 2 dx dy. (6.181) Упрощая выражение (6.181), получим L l Eтр p0 f cos P x dx Q y 1 z 2 dy. (6.182) 0 l В полученном выражении (6.182) от формы криволинейной поверхности зависит лишь последний интеграл l Q y 1 z dy. (6.183) l Применим к интегралу (6.183) известную формулу Эйлера:

F y, z d Fz y, z 0, (6.184) z dy где F y, z Q y 1 z 2. (6.185) Тогда F y, z 0. (6.186) z Из уравнения (6.184) и выражения (6.185) следует z Fz y, z Q y С const. (6.187) 1 z где С – неопределенная константа.

Из полученного выражения можно записать Q y z С 1 z 2. (6.188) Тогда, с учетом преобразований (4.144) – (4.147):

Q 2 y z 2 С 1 z2 ;

(6.189) Q 2 y z С z2 С ;

(6.190) C z 2 ;

(6.191) Q 2 y C C, (6.192) z y C Q следует l C dy. (6.193) z y C Q l Анализируя подынтегральное выражение (6.193), нетрудно заметить, что 0 C 1. Задаваясь значениями С, определены различные варианты оптимальных профилей рабочих поверхностей наконечника зуба рыхлителя (рис. 6.33 – 6.36).

z C Рис. 6.33. Оптимальная рабочая поверхность при С = 0, z C Рис. 6.34. Оптимальная рабочая поверхность при С = 0, z C Рис. 6.35. Оптимальная рабочая поверхность при С = 0, z C Рис. 6.36. Оптимальная рабочая поверхность при С = 0, По полученным данным построим график зависимости функционала (6.183) от константы С (рис. 6.37).

C l Рис. 6.37. Зависимость функционала Q y 1 z 2 dy l от неопределенной константы С В силу симметричности рабочего органа рыхлителя на рисунках (6.33 – 6.37) приведены половины поперечных сечений профиля.

Из выражения (6.191) можно видеть, что значение функционала (6.182) зависит от константы С. Поэтому задаваясь различными значениями константы С в диапазоне (0;

1) и подставляя полученные значения выражений (6.170) и (6.192) в функционал (6.183), определяем его численное значение.

Из графика, представленного на рис. 6.37, следует, что наименьшее значение функционала, а следовательно, и сопротивления разработке, определяемого из выражения (6.180), соответствует постоянной С = 0. Таким образом, исходя из формулы (6.183), геометрия оптимальной лобовой поверхности рабочего органа соответствует прямолинейной конфигурации, то есть когда z = 0.

Основываясь на вышеизложенном, можно утверждать, что величина пространственного распределения напряжений, приходящихся на контактную поверхность рабочего органа, определяет различные его конфигурации. Характер распределения напряжений зависит от факторов разработки: типа грунта, его физико-механических свойств, температуры, влажности, максимального тягового усилия трактора, скорости и глубины разработки мерзлого грунта.

Рис. 6.38. Конфигурация оптимальной формы рабочего органа рыхлителя для разработки мерзлого песчаного грунта с каменистыми включениями при температуре (- 5…- 8) С, влажности 10-15 %, при глубине разработки 0,7-0,8 м, максимальном тяговом усилии 300 кН, скорости 0,69-0,75 м/с Рис. 6.39. Конфигурация оптимальной формы рабочего органа рыхлителя для разработки мерзлого глинистого грунта при температуре (- 3…- 5) С, влажностью 30 %, при глубине разработки 1,0-1,2 м, максимальном тяговом усилии 250 кН, скорости 0,75-0,83 м/с Представленная методика позволяет получать различные конфигурации оптимальных форм контактных поверхностей рабочих органов в зависимости от вариации факторов разработки с точки зрения минимизации энергоемкости процесса разработки мерзлых грунтов. На рис. 6.38, 6.39 приведены примеры рабочих органов землеройных машин, полученных по представленной в главе методике оптимизации, с учетом различных факторов разработки мерзлых грунтов.

Глава 7. ОБОСНОВАНИЕ ЭНЕРГОЭФФЕКТИВНЫХ РЕЖИМОВ ПОГРУЖЕНИЯ ЗАБИВНЫХ СВАЙ 7.1. Анализ влияния связности грунта на процесс погружения забивных свай В ряде работ представлена математическая модель процесса погружения забивных свай в грунт. Однако не учитываются силы трения по боковой поверхности сваи, что оправдано для связных грунтов, то есть для достаточно малых значений угла внутреннего трения 0 (когда 0 0 ). Указанные силы трения можно не учитывать при анализе математической модели погружения, а также в том случае, когда технология забивки сваи предусматривает применение смазочных материалов. Рассмотрим влияние связности грунта на динамические характеристики процесса погружения забивных свай без использования смазки.

Установим «удельный вес» величины силы трения в общем балансе сил сопротивления погружению забивной сваи в грунт.

Дифференциальное уравнение движения забивной сваи в период действия ударного импульса приобретает вид m Fуд F Q Qб, (7.1) x где Fуд – силы удара по свае;

F и Q проекции на ось х нормальной составляющей сопротивления грунта и силы трения соответственно, действующих на коническую поверхность заостренной части сваи;

Qб сила трения по боковой поверхности сваи;

m масса сваи;

ускорение в направлении оси x (рис.

x 7.1).

Дифференциальное уравнение движения сваи после прекращения действия ударного импульса Fуд m F Q Qб. (7.2) x Накладывая на решения уравнений (6.1) и (6.2) граничные и начальные условия:

x h 0, x i t ti x i, (7.3) где h0 длина заостренной части сваи, i 0, 1, 2,, n, получим дискретную модель процесса погружения забивной сваи.

Разрешая уравнение (7.1) относительно переменной x, а затем, делая подстановку y x 2, откуда y 2, y dy dx, с x учётом аналитического выражения силы F Q, после преобразований, получим уравнение (7.1) в виде AD x 3 BD x 2 2 Fуд CD 2 2Qб y 1, (7.4) y x 3 m m 2 0 tg 2 где a 1 ;

A b 0 tg 2 2 2 2 2 a 1 b 2a a 1 ;

B b 2 0 a 2 ;

С 1 4 tg 1 ctg ;

D m ;

b угол заострения;

0 sin 0 ;

0 2k cos 0 ;

a 1 b и начальная и текущая коэффициент уплотнения грунта ( плотность грунта);

, sin ;

k сцепление грунта.

Поделив обе части уравнения (6.4) на выражение при y и обозначив 2 Fуд m CD x 2 2 2Qб m BD x 1 x и 2 x, 3 2 1 AD x 3 1 AD x получим уравнение (7.4), а следовательно, и (7.1) в форме y 1 x y 2 x. (7.5) Решение уравнения (7.5) имеет вид x q x y i 1 2 x e q x dx, (7.6) ye xi x q x 1 x dx, y i 1 y xi 1.

где xi Учитывая, что y x 2, скорость движения сваи, которую она приобретает в результате действия i -го ударного импульса, можно определить выражением 02 2 x 1 x x 2, (7.7) x уд i 1 x u 2 1 ctg tg x i m1 xi 2B b где xi 1 0 ;

u ;

0 скорость ударного инструмента в 0 tg 2 ln a момент соприкосновения со сваей.

При условии, что ударный инструмент совершает свободное падение, 2 g, 0 (7.8) где g ускорение свободного падения;

рабочий ход ударного инструмента.

Найдем теперь выражения сил Fуд и Qб. Очевидно, что при свободном падении ударного инструмента выражение Fуд можно записать как m. (7.9) Fуд t где m1 масса ударного инструмента;

t время действия импульса.

Силу трения по боковой поверхности сваи определим как Qб б S, (7.10) где б сила трения, действующая на элемент площади боковой поверхности сваи;

S площадь боковой поверхности.

В результате давления боковой поверхности сваи на грунт в последнем с течением времени имеет место явление релаксации, вследствие чего грунт, контактирующий с боковой поверхностью сваи, приобретает пластические свойства.

Тогда из условия пластичности Прандтля, с учётом релаксации, определим б как E t t 2k cos 0 tg б tg e (7.11).

1 sin где E модуль упругости грунта;

валентный коэффициент динамической вязкости.

В частности, при 0, что имеет место в результате адгезии грунта, формула (7.11) принимает вид E 2k sin tg t t б. (7.12) e 1 sin Площадь боковой поверхности, с учётом осевой симметрии сваи, определяется по формуле x S 2 f x 1 f x 2 dx, (7.13) где f x уравнение образующей.

Если допустить, что забивная свая имеет цилиндрическую поверхность, величину S можно записать S 2 h0 tg x. (7.14) В результате формула (7.10) принимает вид E t t 4 k h0 tg sin 0 tg tg x e. (7.15) Qб 1 sin Проинтегрировав соответствующее решение (7.6), получим выражение скорости погружения сваи после i -го удара:

x x xi2 x уд i 2 e 1 x x xi 1 2.

(7.16) 1 x 1 x Положив xi 0, найдём выражение глубины погружения забивной сваи в грунт после i -го удара:

x x 1 ln x уд i 2 ln 2, (7.17) xi 1 xi 1 1 x 1 x xi xi xi 1.

где Следует заметить, что выражения (7.16) и (7.17) содержательно отличаются функцией 2 x, в рассматриваем случае выражение 2 x включает силу трения по боковой поверхности сваи Qб.

Из формулы (7.11) период процесса релаксации, за который величина нормального напряжения уменьшится на порядок, то есть сила трения, действующая на элемент площади боковой поверхности, будет равна 0,1 б.

tg 20 k cos tg. (7.18) t рел t0 ln E 1 sin 0 б Анализ математической модели (7.1) – (7.18) позволил построить зависимости, показанные на рис. 7.1 и 7.2, описывающие процесс погружения забивных свай (ГОСТ 19804.3-80) при следующих данных: плотность грунта 0 1,9 т м 3, угол 0 30, коэффициент сцепления грунта внутреннего трения k 10 кН м 2, E 4,7 103 кН м 2, модуль упругости грунта валентный коэффициент динамической вязкости 10 4 м 2 кН с ;

масса сваи m 2 т ударного инструмента m1 2,5 т, рабочий ход ударного инструмента 2,2 м.

x, м t, c Рис. 7.1. Динамика погружения забивной сваи 1, 2 – закономерности процесса погружения забивной сваи P + Qб, кН t, c Рис. 7.2. Динамика изменения сил сопротивления и эффективности процесса:

1, 2 – зависимости изменения сил сопротивления погружению забивной сваи с учётом сил трения;

3 – эффективность влияния силы трения на общий баланс сил сопротивления Определение периода релаксации по формуле (7.18) при вышеуказанных данных даёт возможность утверждать, что рост силы трения обусловлен увеличением площади боковой поверхности заглубляемой сваи, согласно формуле (6.11) сила трения линейно зависит от этой площади. Эта компонента превалирует над уменьшением нормального напряжения, вследствие релаксации грунта. Действительно, период релаксации, за который нормальные напряжения, действующие на боковую поверхность сваи, уменьшаются на порядок, равный 550 c, значительно превышает время процесса погружения сваи – 330 с.

7.2. Обоснование рационального режима погружения забивных свай В настоящее время, в большинстве случаев, погружение свай осуществляется наиболее эффективным ударным способом, что имеет как положительные, так и отрицательные стороны. К последним можно отнести возможность повреждения окружающих зданий и сооружений, вызванных колебаниями грунта при забивке, шумовой фактор, а также разрушение самой сваи.

Установим режимы погружения забивных свай, согласующиеся с изменениями физико-механических свойств грунта, происходящими в течение всего процесса. При реализации таких режимов свая не должна подвергаться разрушению.

Сначала рассмотрим те изменения, которые происходят с физико-механическими свойствами грунта, находящегося под основанием погружаемой сваи. По мере погружения забивкой плотность грунта под основанием сваи повышается после каждого удара. В период времени между очередными ударами происходит релаксация напряжений в грунте по следующему закону:

E t to tg ое, (7.19) где o нормальные напряжения, o t o ;

E модуль упругости грунта;

t время;

угол внутреннего трения;

валентный коэффициент динамической вязкости;

e основание натурального логарифма.

Период времени, когда первоначальная величина напряжений n o снизится в e раз, то есть 1no, называется периодом релаксации и определяется из формулы (7.19):

tg. (7.20) t to E Если период релаксации напряжений будет меньше периода времени между циклами приложения деформирующих сил, то возникающие внутренние напряжения в грунте успевают значительно снизиться к следующему моменту нагружения. В результате этого в грунте будут превалировать пластические свойства, что делает его более деформируемым.

Экспериментальные данные позволили сделать вывод, что более интенсивное падение напряжений в начальный период релаксации происходят в средах с низкой плотностью.

При плотности среды 0,8 max время активной релаксации составляет 0,09 с, при 0,9 max соответственно 0,18 с и при 0,96 max – 0,48 с. Здесь max – максимальная плотность. Учитывая, что частота приложения нагрузки (частота ударов молота) обратно пропорциональна периоду времени, не должна превышать соответствующие значения частоты ударов: для 0,8 max – частота Гц, для 0,9 max – частота 5-6 Гц и для 0,96 max – частота 2 Гц.

Применяя формулу (7.20) при t o 0, запишем величину частоты ударов в виде E, (7.21) tg где – частота ударов молота, с 1.

Воспользовавшись корреляционной зависимостью b ln 2e tg, имеющей место между коэффициентом степени уплотняемости среды и коэффициентом внутреннего трения, согласно экспериментальным данным, формулу (7.21) можно представлять как E. (7.22) e b 2b Анализ соотношения между значениями величин нормального давления, коэффициента пористости, модулем деформации и коэффициента степени уплотняемости для суглинистых грунтов по данным ряда работ позволил установить зависимость между величинами E МПа и b :

1,64b 1 w 4,7, (7.23) E 152, b где w – влажность грунта.

С учетом полученной зависимости формула (6.4) приобретает вид 1,64b 1 w b 4,7. (7.24) 152, e 2b 1 b Допуская, что величина b по мере погружения забивной сваи изменяется по линейному закону на промежутке b1 ;

b2, причем b2 b1, получим зависимость между коэффициентом степени уплотнения, величиной заглубления сваи и её длиной:

b b b 2 1 x b1, (7.25) L где x, L величина заглубления и длина сваи;

b1 и b2 – начальное и конечное значения b.

Тогда зависимости модуля деформации и величины заглубления забивной сваи будут иметь следующий вид:

b x b1 1 w 1, L 4,7 ;

(7.26) E 152, b x b L b 1,64 x b1 1 w L 1521 4,7, (7.27) b, b b xb1 x b eL 2 x b1 L L где b b2 b1.

, с Е, М а П 100 1, 0, 60 0, 40 0, 20 0, 0 1,2 1,78 2,32 2,83 3,33 3,81 4,28 4,73 5,17 5,59 6 6,4 6,78 7,14 7, x, м Рис. 7.3. Графическая интерпретация адаптивного режима погружения забивных свай:

1 – частота ударов молота;

2 – модуль упругости грунта Графическая интерпретация зависимости (7.9) (рис. 7.3) указывает на адаптивный режим погружения забивных свай, учитывающий изменения физико-механических свойств грунта в процессе забивки. Этот режим предполагает снижение частоты приложения ударной нагрузки по мере погружения забивной сваи (линия 1) и уплотнение грунта, находящегося под основанием сваи (линия 2).

В процессе погружения забивной сваи растут величины степени уплотняемости грунта и угол внутреннего трения (рис. 7.4).

, С 1b 0, 0,9 0,85 1,2 1,78 2,32 2,83 3,33 3,81 4,28 4,73 5,17 5,59 6 6,4 6,78 7,14 7, x, м Рис. 7.4. Закономерности изменения физико-механических свойств грунта в процессе погружения забивных свай:

1 – угол внутреннего трения грунта;

2 – коэффициент степени уплотняемости грунта Адаптивный режим погружения забивных свай является энергоэффективным, поскольку при условии реализации периода релаксации энергия удара эффективно расходуется на погружение, а не на процесс колебания грунта и сваи, что экологически рационально, особенно при строительстве в стесненных условиях.

Таким образом, энерго- и экологоэффективным режимом погружения забивных свай в грунт является адаптивный режим снижения частоты ударной нагрузки, реализуемой по формуле (7.27).

7.3. Энергоэффективные режимы погружения забивных свай Одним из возможных путей предотвращения разрушения забивных свай при погружении на проектные отметки является выбор энергоэффективных режимов погружения свай, исходя из их марки, параметров сваебойного оборудования, а также закономерностей изменения физико-механических свойств грунта, имеющих место в течение всего процесса погружения.

Установим зависимость между частотой ударов молота по забиваемой свае и величиной его начальной скорости при изменяющейся высоте подъема ударной части.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.