авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Павлодарский государственный университет

им. С. Торайгырова

Ю. П. Макушев, Т. А.

Полякова,

В. В. Рындин, Т. Т. Токтаганов

ИНТЕГРАЛЬНОЕ И

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

ИСЧИСЛЕНИЯ В ПРИЛОЖЕНИИ

К ТЕХНИКЕ

Монография

Павлодар

Кереку

2013

УДК 621.43, 51-7

ББК 31.365.22.11

М 17

Рекомендовано к изданию Учёным советом ПГУ им. С. Торайгырова Рецензенты:

В. В. Шалай – доктор технических наук, профессор Омского государственного технического университета;

А. И. Володин – доктор технических наук, академик Академии транспорта РФ, профессор Омского государственного университета путей сообщения;

А. Н. Нуржауов – доктор технических наук, профессор Павлодарско го государственного университета им. С. Торайгырова.

Макушев Ю. П.

М17 Интегральное и дифференциальное исчисления в приложении к технике : монография / Ю. П. Макушев, Т. А. Полякова, В. В. Рындин, Т. Т. Токтаганов;

под ред. Ю. П. Макушева.

Павлодар : Кереку, 2013. 330 с.

ISBN В монографии приведены основы дифференциального и интегрального исчисления функции одной действительной переменной. Рассмотрены дифференциальные уравнения и показано их практическое применение при решении технических задач. Даны примеры расчёта систем двигателей с применением интегральных и дифференциальных уравнений.

Вывод формул, определение производных, интегралов, построение графиков даётся как обычными математическим методами, так и с применением системы Mathcad. Дан расчёт цикла тепловозного дизельного двигателя с автоматическим построением индикаторной диаграммы в системе Mathcad.

Монография предназначена для студентов технических специально стей при изучении как математики, так и прикладных дисциплин, а также инженерам и аспирантам.

УДК 621.43, 51- ББК 31.365.22. ISBN © Макушев Ю. П. и др., © ПГУ им. С. Торайгырова, За достоверность материалов, грамматические и орфографические ошибки ответственность несут авторы и составители Содержание Введение…………………………………………………………………. Основы дифференциального исчисления функции одной действительной переменной…………………………………………... 1.1 Понятие производной функции……………………………………….. 1.1.1 Физический и геометрический смысл производной………………… 1.1.2 Основные правила дифференцирования................................................ 1.1.3 Производная сложной функции.............................................................. 1.1.4 Производная обратной функции.............................................................. 1.1.5 Производная неявно заданной функции................................................. 1.1.6 Производные функций, заданных параметрически............................... 1.2 Производные высших порядков.............................................................. 1.2.1 Производные высших порядков явно заданной функции.................... 1.2.2 Производные высших порядков неявно заданной функции................ 1.2.3 Производные высших порядков функций, заданных параметрически 1.3 Дифференциал.......................................................................................... 1.3.1 Геометрический и механический смысл дифференциала..................... 1.3.2 Свойства дифференциала........................................................................ 1.3.3 Дифференциал сложной функции.......................................................... 1.3.4 Дифференциалы высших порядков........................................................ Основы интегрального исчисления функции одной действительной переменной................................................................................................ 2.1 Неопределенный интеграл....................................................................... 2.2 Определенный интеграл.......................................................................... 2.2.1 Свойства определенного интеграла.......................

................................. 2.2.2 Вычисление определенного интеграла................................................... 2.3 Приложения определенного интеграла Вычисление определенного интеграла................................................................................................... 2.3.1 Физические приложения определенного интеграла............................. 2.3.2 Геометрические приложения определенного интеграла....................... 3 Дифференциальные уравнения................................................................ 3.1 Понятие дифференциального уравнения............................................... 3.2 Дифференциальные уравнения первого порядка.................................. 3.2.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными..... 3.2.2 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка................ 3.3 Дифференциальные уравнения высших порядков (линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами)..................................................................................... 3.3.1 Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами........................................................... 3.3.2 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.............................................. 4 Определение скорости и ускорения поршня с помощью производных 4.1 Определение пути поршня....................................................................... 4.2 Определение скорости поршня............................................................... 4.3 Определение ускорения поршня............................................................. 4.4 Приближенные вычисления пути, скорости и ускорения поршня 5 Расчетное определение давления в цилиндре и построение индикаторной диаграммы....................................................................... 5.1 Основные термины и определения......................................................... 5.2 Общее устройство и принцип работы двигателя внутреннего сгорания..................................................................................................... 5.2.1 Четырехтактный рабочий цикл................................................................ 5.2.2 Индикаторная диаграмма двигателя...................................................... 5.3 Методика построения индикаторной диаграммы и определение положительной работы при помощи интегрирования.......................... 5.4 Экспериментальное определение давления газов в цилиндре Двигателя................................................................................................... 5.5 Диагностика двигателя по анализу индикаторной диаграммы.......... Определение момента инерции элементов коленчатого вала............. 6.1 Расчетно-экспериментальное определение момента инерции части коленчатого вала............................................................................ 6.2 Расчетное определение момента инерции элементов коленчатого вала............................................................................................................. Определение момента инерции маховика............................................. 7.1 Расчетно-экспериментальное определение момента инерции маховика..................................................................................................... 7.2 Расчетное определение момента инерции маховика Расчет маховик.......................................................................................... 8.1 Определение момента инерции маховика по результатам динамического расчета двигателя........................................................... 8.2 Пример расчета маховика......................................................................... 9 Расчет коленчатого вала двигателя на крутильные колебания 9.1 Свободные крутильные колебания вала с одной массой..................... 9.2 Вынужденные крутильные колебания вала с одной массой................ 9.3 Последовательность расчета коленчатого вала на крутильные колебания.................................................................................................. 9.3.1 Приведение крутильной системы вала 9.3.2 Определение частоты собственных крутильных колебаний приведенной системы............................................................................... 9.3.3 Определение резонансной критической частоты вращения 9.3.4 Выработка рекомендаций, устраняющих крутильные колебания....... 10 Методика построения дифференциальной и интегральной характеристик подачи топлива................................................................ 10.1. Расчет цикловой подачи топлива и выбор эффективного проходного сечения распылителя........................................................... 10.2 Методика построения дифференциальной характеристики подачи топлива.......................................................................................... 10.3 Расчет при помощи современной вычислительной техники дифференциальной характеристики впрыскивания.....................

10.4 Формы дифференциальной характеристики впрыскивания................. 10.5 Построение интегральной характеристики впрыскивания................... 11 Расчет параметров струи дизельного топлива....................................... 11.1 Расчет мелкости распыливания жидкого топлива................................. 11.2 Определение формы распыленного топливного факела при впрыске в неподвижную среду............................................................... 12 Расчет центробежного компрессора и центростремительной турбины 12.1 Методика расчёта центробежного компрессора с радиальными лопатками................................................................................................. 12.2 Расчёт радиально-осевой турбины........................................................ 13 Основы расчета теплообменных аппаратов.......................................... 13.1 Основные формулы теории теплообмена............................................... 13.2 Расчёт рекуперативного теплообменника.............................................. 13.3 Пример расчета теплообменного аппарата типа «труба в трубе»....... 14 Гидравлический расчет трубопроводов и насосной установки........... 14.1 Основные расчетные формулы............................................................... 14.2 Насосная установка.................................................................................. 14.3 Совмещенная характеристика насоса и трубопровода......................... 14.4 Регулирование режимов работы насоса................................................. 14.5 Выбор основных параметров центробежного насоса........................... 14.6 Пример расчета колеса центробежного насоса..................................... 15 Истечение жидкости................................................................................. 15.1 Истечение жидкости через отверстия..................................................... 15.2 Истечение жидкости через насадки.........................................................15.3 Истечение жидкости при переменном напоре....................................... 15.4 Принцип работы простейшего карбюратора.......................................... 15.5 Расчет простейшего карбюратора........................................................... 16 Устройство, принцип действия и основы расчета двигателя внешнего сгорания.................................................................................... 16.1 Идеальный цикл Стирлинга.................................................................... 16.2 Основные формулы, описывающие протекание процессов цикла двигателя Стирлинга................................................................................ 16.3 Принцип действия двигателя Стирлинг................................................ 16.4 Схема работы двигателя Стирлинга с кривошипно-шатунным механизмом и его расчёт......................................................................... Приложение А Таблицы производных, дифференциалов и интегралов Приложение Б Математические константы и логарифмы................... Приложение В Вычисление площадей и объемов некоторых фигур Приложение Г Начальные сведения для работы в среде Mathcad....... Приложение Д Расчёт цикла четырёхтактного тепловозного двига теля типа ЧН 26/26 в системе Mathcad......................................... Литература................................................................................................. Введение Двигатели внутреннего сгорания вырабатывают более 60 % энергии, используемой человеком (транспорт, сельское хозяйство, строительство, энергетика, добыча нефти, газа). Любая машина (транспортная, воздушная, морская, строительная, дорожная) в своем составе имеет двигатель. В данном учебном пособии предложена ме тодика расчета некоторых систем и механизмов двигателей внутрен него сгорания при помощи интегрального и дифференциального ис числения. Пособие может быть полезно студентам любой технической специальности, которые изучают дисциплину «Высшая математика».

Первые три главы пособия посвящены основным вопросам дифференциального и интегрального исчисления функции одной дей ствительной переменной.

Дифференциальное исчисление раздел математики, в кото ром изучаются способы вычисления производных, дифференциалов и их применение к исследованию свойств функций.

Интегральное исчисление раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложе ния (определения работы, площади, объемов). Именно с созданием дифференциального и интегрального исчисления связывают возник новение «высшей математики». С их появлением получен аппарат, позволяющий анализировать различные процессы, что важно для объяснения физических явлений и построения научной картины мира.

Без помощи производных и интегралов практически невозмож но исследовать функции, характеризующие зависимость одних вели чин от других. Законы природы и техники можно описать с использо ванием производных и интегралов. Например, соотношения между пройденным расстоянием и скоростью движения, уравнением кривой и площадью под этой кривой представляют собой те конкретные во просы, на основе которых сложились дифференциальное и интеграль ное исчисления. Понятия производной и интеграла применимы не только к перечисленным вопросам, но и к самым различным областям науки и техники. В качестве примера следует назвать исследование горения топлива в цилиндрах двигателей внутреннего сгорания, коле бательные процессы в механических, гидравлических и электрических системах.

Производная, интеграл, теорема Ньютона-Лейбница связаны между собой и представляют определённый язык, приспособленный для описания различных законов природы и техники.

Для преобразования поступательного движения поршня в ци линдре во вращательное движение коленчатого вала служит криво шипно-шатунный механизм (КШМ). Этот механизм является главным для двигателя.

Все процессы в работающем двигателе переменны. При движе нии поршня в цилиндре изменяется во времени его скорость и ускоре ние. Изменение скорости и ускорения поршня по времени определя лось при помощи производных.

По данным теплового расчета двигателя построена индикатор ная диаграмма. Линии сжатия и расширения на ней определялись при использовании «текущей» величины сжатия и степени расширения.

Расчет индикаторной работы цикла осуществлялся с использованием определенного интеграла.

Качество процесса подачи топлива оценивалось дифференци альной и интегральной характеристиками. В работе приведена мето дика их построения и показан расчет на электронных вычислительных машинах (ЭВМ).

Для расчета коленчатого вала приведены дифференциальные уравнения свободных и вынужденных крутильных колебаний с од ной массой, дано их решение.

При определении времени вытекания жидкости через отверстие из резервуара при переменном напоре использовалось интегральное исчисление.

Вывод формул, определение производных, интегралов, построе ние графиков, расчёт систем и механизмов тепловых двигателей даёт ся как обычными математическим методами, так и с применением си стемы Mathcad. Дан расчёт цикла тепловозного дизельного двигателя с автоматическим построением индикаторной диаграммы в системе Mathcad. Приведены начальные сведения, достаточные для работы в среде Mathcad.

Целью данной монографии является формирование теоретиче ских и практических знаний у студентов технических специальностей при изучении дисциплины «Высшая математика», а также при изуче нии прикладных дисциплин, связанных с математическими расчётами.

1 Основы дифференциального исчисления функции одной действительной переменной 1.1 Понятие производной функции В процессе решения задач, возникающих в физике, химии, тех нике, достаточно часто приходится сталкиваться с зависимостями од них величин от других, с так называемыми функциональными зави симостями (функциями). Функциональная зависимость одной вели чины у от другой величины х означает, что каждому значению х соот ветствует определенное значение у. Величина х при этом называется независимой переменной (аргументом), а у – зависимой перемен ной (функцией). В переводе с латинского функция означает «исполне ние». Функция является одним из основных математических понятий.

Обозначается функция следующим образом: y y x ;

y f x.

Пусть функция y f (x) определена в некотором интервале a;

b (рисунок 1.1). Возьмем произвольную точку x0 a;

b. Для любого x a;

b разность x x0 называется конечным приращени ем аргумента x в точке x0 и обозначается x (читается как «дельта икс») x x x0. (1.1) Следовательно, x x0 x (см. рисунок 1.1). Обозначение x0 a ;

b означает, что точка х0 принадлежит интервалу a ;

b.

а) б) Рисунок 1.1 – Приращение аргумента и приращение функции Разность соответствующих значений функции f ( x) f ( x0 ) на зывается приращением функции f (x) в точке x0 и обозначается y (см. рисунок 1.1):

y f ( x) f ( x0 ) или y f ( x0 x ) f ( x0 ). (1.2) Необходимо понимать, что это не множитель, а символ, и x не произведение на x. Символ это прописная греческая буква «дельта», заменяющая слово «приращение».

Заметим, что приращения x и y могут быть как положитель ными, так и отрицательными числами (см. рис. 1.1). Так, например, на рисунке 1.1, а x 0 x x0 и y 0 f x f x0, а на рисун ке 1.1, б x 0 x x0, но y 0 ( f x f x0 ).

Задачи, приводящие к понятию производной. Классическими задачами, приводящими к понятию производной, считаются задача о нахождении скорости прямолинейного движения материальной точки и задача о касательной к кривой.

Скорость прямолинейного движения. Задачи о движении тел с постоянной скоростью приводят к простым арифметическим и ал гебраическим расчетам, основанным на том, что путь равен произве дению скорости на время, то есть по элементарной формуле S t, где S – путь, t – время, скорость. Однако в природе мы, как пра вило, имеем дело с движением, скорость которого меняется с течени ем времени. Исследование таких движений приводит к важным физи ческим понятиям пути и скорости как функций времени. Здесь воз никают основные понятия высшей математики – понятия производной и интеграла.

Итак, пусть материальная точка М (например, автомобиль) дви жется неравномерно по прямой линии (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 – Движение материальной точки Каждому значению времени t соответствует некоторое расстоя ние ОМ S от фиксированной точки О. В нашем примере точка М движется вправо от точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, поэтому мы имеем дело с функциональной зависимостью пути S от времени t. Закон движения материальной точки М выража ется функцией S S t. Найдем скорость движения материальной точки. В общем случае неравномерного движения скорость не остает ся постоянной. С течением времени она меняется, а потому скорость так же, как и путь S, является функцией времени t, t ). На ша задача заключается в том, чтобы выразить эту неизвестную функ цию t через известную функцию S t.

Если в некоторый момент времени t точка займет положение М, то в момент времени t t ( t приращение времени, некоторый малый промежуток времени) точка займет положение М (см. рисунок 1.2). При этом ОМ1 S S, то есть за время t точка М переместится на расстояние S S t t S t, ( S прираще ние расстояния). При этом средняя скорость движения материальной S точки М за время t будет определяться отношением ср.

t Заметим, что средняя скорость зависит от значения t и с уменьшением t средняя скорость точнее выражает скорость движе ния точки в данный момент времени t. Предел средней скорости дви жения при стремлении к нулю (малому значению) промежутка време ни t называется скоростью движения материальной точки в дан ный момент времени, или мгновенной скоростью. Обозначив эту ско рость через, получим S t t S t S lim lim. (1.3) t t 0 t t Буквы lim (начальные буквы латинского слова «limes» – «пре дел») обозначают предел;

под ним записано, о каком именно пределе идет речь – при t 0 ( заменяет слово «стремящимся»). Чтобы понять, что означает выражение «предел» («стремление к пределу»), обратим внимание на следующее. При вычислении скорости вся суть расчета заключалась в том, чтобы «брать» малые t и соответствую щие им малые S. При этом получается каждый раз вполне опреде S t уменьшается (стремится к нулю), то ленное отношение. Когда t величина S уменьшается пропорционально t, а потому отношение S S остается приблизительно постоянным. Отношение стремится t t к определенному пределу при стремлении t к нулю, но не достигая нуля. Величина этого предела и есть мгновенная скорость t в слу чае, когда S путь, а t время.

Задача 1.1 При движении материальной точки М по прямой на проходимого пути S от времени t блюдалась зависимость S 1 t (рисунок 1.3). Чему равна средняя скорость движения ср на интерва ле от момента t до t t ? Чему равна мгновенная скорость мгн в момент времени t ?

Рисунок 1.3 – График функции S 1 / (1 t 2 ) Рассмотрим правую часть графика при t 0, так как согласно условию задачи 1.1 t время. При t = 0 значение S = 1. При t, стремящемся к 0, предел данной функции также равен 1, поскольку функция непрерывна в точке t = 0. При увеличении t значение пути уменьшается согласно зависимости S и стремится к нулю. По 1 t подобной зависимости движется по прямой клапан, например, меха низма газораспределения, приводимый в действие кулачком вогнутой формы.

Решение. Согласно изложенному выше средняя скорость дви жения материальной точки может быть найдена как отношение S к t, где t приращение времени (некоторый малый промежуток времени), S приращение расстояния (расстояние, на которое пе реместится материальная точка за время t ), а мгновенная скорость S S есть предел средней скорости при t 0 : ср ;

мгн lim.

t t 0 t Следовательно, используя данные задачи, найдем ср и мгн.

1 t 2 1 t t 1 1 t t 1 t 2 2 S S t t S t 1 t t 1 t ср t t t t 1 t 1 t 2 t t t 1 t 2 1 t 2 2 t t t 2 1 t t 1 t t 1 t t 1 t t 2 2 2 t t t t 2t t 1 t t 1 t t 1 t t 1 t t 2 2 2t t.

1 t t 1 t S 2t t 2t lim мгн lim.

t 0 1 t2 t 0 t 1 t t 1 t График полученной функции мгновенной скорости (скорости в данной точке или в данный момент времени) представлен на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 – График функции 2t /(1 t 2 ) Использование математической системы Mathcad для опреде ления скорости и её графического построения. В приложении Г описаны основные возможности системы Mathcad, а также приведены инструкции по применению этой системы. Здесь же отметим лишь, что как на смену счёт и логарифмических линеек пришёл калькулятор, так и на смену калькулятору приходит компьютерная математическая система Mathcad. Одной из задач данной книги как раз и является обучение студентов приёмам работы в системе Mathcad с целью даль нейшего использования этой системы при выполнении курсовых про ектов и дипломных работ.

Последние достижения компьютерной алгебры позволяют ре шать задачи в аналитическом виде. Для расчёта выражения для скоро сти по известной функции пути от времени S ( t ) 1/(1 t 2 ) с помощью предела необходимо записать конечное приращение пути за конечный промежуток времени S ( t ) =S ( t t ) S ( t ) ;

выбрать на панели Math (Математика) панель Calculus (Вычисления) и нажать кнопку lim, в a открывшемся шаблоне заполнить затенённые клеточки, а затем ввести знак символьного вычисления (сочетание клавиш [Ctr+] (боль ше), то сразу появится решение:

1 2t S (t ) S ( t ): S ( t ):=S ( t t ) S ( t ) ( t ):= lim 2.

(t 1) 1 t2 t 0 t Для построения графиков пути и скорости необходимо вызвать панель Graph (График), выбрать шаблон для декартового графика и заполнить соответствующие ячейки, как это сделано на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5 – Графики функций S (t ) и (t ). Согласно усло Примечание. Рассмотрим функцию S 1 t вию задачи 1.1 функция S выражает путь, пройденный материальной точкой, а переменная t время. Следовательно, S и t размерные ве личины. Если путь S выражен в м, а время t в с, то для соблюдения требования размерности (единиц величины) надо записать функцию a, где коэффициент a имеет единицу м с 2, а пути S в виде S bt b имеет единицу c. В нашем примере a 1 м с 2, b = 1 c2.

Если рассмотреть полученную нами в результате решения зада 2t чи функцию мгн, выражающую скорость движения ма 1 t2 териальной точки в момент времени t (мгновенную скорость или ско рость в данной точке), то здесь также соблюдается требование раз мерности. Действительно, числитель полученной дроби имеет едини цу м с 2 с м с3 (после преобразований коэффициент a 1м с 2 как множитель останется в числителе, а время t выражено в с). Знамена тель полученной дроби имеет единицу с4 [b = 1 c2, время t выражено в с, следовательно, знаменатель имеет единицу с 2 2 с 4 ]. После соот ветствующего сокращения единиц мы получим значение скорости в м/с м с3 с 4 м с.

При измерении приращения функции S в м, а аргумента t в с отношение S/t равное, например, 0,5, следует понимать как скорость, равную 0,5 м/с.

Касательная к кривой. Рассмотрим график функции y f ( x ), определенной и непрерывной на интервале (a;

b) (рисунок 1.6) (напри мер, речь может идти о движении материальной точки М, тогда значе нию y будет соответствовать путь S, x время t ). Фиксируем про извольную точку х интервала a;

b и рассмотрим приращение x аргумента x, настолько малое, что значение x x также принадле жит интервалу (a;

b). Пусть М и Р – точки графика функции y f ( x ), абсциссы которых соответственно равны x и x. Тогда координаты точек М и Р соответственно равны: М x;

f x,P x x;

f x x.

Прямую, проходящую через две заданные точки М и Р графика функции y f ( x ), называют секущей (рисунок 1.4). Секущая прямая «режет», «рассекает» в нужном месте график функции y f ( x ).

Пусть точка Р, двигаясь по кривой, приближается к точке М (при стремлении x к нулю, y также стремится к нулю в силу непре рывности функции y f (x) ). Тогда секущая, поворачиваясь от точки Р, стремится к некоторому предельному положению Т (секущая МР примет одинаковое положение с касательной Т). Другими словами, когда две точки М и Р графика функции y f (x) сближаются, секу щая МР приближается к касательной Т.

Определение. Касательной к кривой в данной точке М называ ется предельное положение секущей МР, проходящей через точку М, когда вторая ее точка пересечения Р неограниченно приближается по кривой к точке М.

Рисунок 1.6 – Касательная к кривой (геометрический смысл производной) Проведем к графику непрерывной кривой y f (x) неверти кальную касательную Т в точке М (см. рисунок 1.6). Найдем ее уг ловой коэффициент k tg, численно равный тангенсу угла наклона касательной к оси Ох.

Рассмотрим угол между секущей МР и осью Ox. При анализе рисунка 1.6 можно заметить, что угловой коэффициент секущей равен y f x x f x kсек tg. (1.4) x x Напомним, что в прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета (например, прираще ния функции y ) к прилежащему (приращению аргумента x ).

При x 0 в силу непрерывности функции y f (x) прира щение y также стремится к нулю ( y 0 );

поэтому точка Р неог раниченно приближается по кривой к точке М, а секущая МР, повора чиваясь вокруг точки М, переходит в касательную. При этом угол, то есть lim, а следовательно, и lim tg tg.

x x Воспользовавшись вышеприведенными формулами, выразим угловой коэффициент касательной k:

f x x f x y k tg lim tg lim lim. (1.5) x 0 x x x 0 x Заметим, что пределы (1.3) и (1.5), полученные нами при реше нии задачи о скорости прямолинейного движения материальной точки и задачи о касательной к кривой, имеют одинаковый вид: везде тре буется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной.

Определение. Производной функции y f (x) в данной фик сированной точке x x0 называется предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x при стремлении прираще ния аргумента к нулю (при условии, что этот предел существует).

Таким образом, по определению:

f x0 x f x0 y f ( x0 ) lim lim. (1.6) x x 0 x x Обозначение производной: y, y, f x.

x Название «производная» связано со следующим обстоятельст вом. Если f x есть функция аргумента x, то предел (1.6) зависит как от вида функции f x, так и от того значения аргумента x, при котором вычисляется этот предел, то есть этот предел также есть функция аргумента x новая функция, которая задается (порожда ется или производится) функцией f x. А потому эту новую функ цию естественно называть производной функцией, где прилагательное «производная» подчеркивает ее зависимость от исходной, или основ ной функции f x.

Определение. Функция y f (x ), имеющая производную в каж дой точке интервала a;

b, называется дифференцируемой в этом интервале. Операция по нахождению производной функции называет ся дифференцированием.

1.1.1 Физический и геометрический смысл производной S Равенство lim, полученное нами при решении задачи о t 0 t скорости прямолинейного движения материальной точки (см. п. 1.1), перепишем в виде St, (1.7) то есть скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная пути S по времени t. Именно в этом заключается механический смысл производной.

В общем случае, если функция y f ( x ) описывает какой-либо физический процесс, то производная y есть скорость протекания это го процесса1. В этом заключается физический смысл производной.

Именно со скоростью отождествлял производную английский ученый, разработчик интегрального и дифференциального исчисления Исаак Ньютон (1642–1727). При этом свойства производной воспри нимались им как физические свойства скоростей. Ньютон называл про изводную флюксией, а исходную функцию, для которой вычисляется производная, флюентой (от латинского слова «fluere» – «течь»). Этим подчеркивалось, что рассматриваемые величины являются перемен ными. При этом флюксия возникла как скорость изменения флюенты, а флюента восстанавливалась по флюксии как путь по скорости.

В задаче о касательной к кривой (см. 1.1) был найден угловой y коэффициент касательной k tg lim. Опираясь на определе x 0 x ние производной, это равенство мы можем переписать в виде f x tg k, (1.8) то есть производная f x в точке x равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y f ( x ) в точке, абсцисса которой равна х. В этом заключается геометрический смысл производной.

Заметим, что в точке касания M x0 ;

y0 угловой коэффициент Обычно под скоростью протекания процесса понимается отношение при ращения какой-либо величины к приращению времени, то есть это понятие при меняется для величин, зависящих от времени. Например, dp(t) /dt – скорость из менения давления;

dT(t) /dt – скорость изменения температуры. Если величина зависит от координаты, то отношение приращения величины к приращению ко ординаты связывают с понятием градиента. Например, dT(x) /dx – модуль гради ента температуры.

касательной есть k f x0. Тогда уравнение касательной в этой точ ке имеет вид y y0 f x0 x x0. (1.9) Определение. Прямая, перпендикулярная к касательной в точке касания, называется нормалью к кривой. Ее уравнение имеет вид x x0.

y y0 (1.10) f x Предел, к которому стремится отношение приращения функции к приращению аргумента при стремлении к нулю приращения аргу мента, имеет первостепенное значение и для самой математики, и для многих ее приложений. Так, выше, при рассмотрении задачи о скоро сти прямолинейного движения мы видели, например, что такое важ нейшее понятие, как мгновенная скорость движения, находится с по мощью подобного предела. К подобному же пределу сводится ряд других важных задач. Перечислим некоторые из них:

а) если Q Q( t ) количество электричества (Кл), проходящего через поперечное сечение проводника за время t (с), то сила тока I (1 А = 1 Кл/с) в момент времени t равна Q t t Q t Q I Qt lim lim ;

(1.11) t t 0 t t б) если N N( t ) количество вещества (кг), вступившего в хи мическую реакцию за время t (с), то скорость химической реакции V (кг/с) в момент времени t равна N t t N t N V N t lim lim ;

(1.12) t t 0 t t в) если m m( x ) масса неоднородного стержня, расположен ного между точками O 0;

0 и М x;

0, то линейная плотность стержня в точке х равна m x x m x m m lim lim. (1.13) x x x 0 x x Поясним, что мы понимаем в данном случае под линейной плотностью. Рассмотрим тонкий стержень. Величина (кг/м) есть произведение объемной плотности материала d (кг/м3) и площади S сечения стержня (м2): d S. Так как стержень может иметь пере менные по длине, то есть зависящие от x сечение и плотность мате риала, из которого сделан стержень, то является функцией коорди наты x. Величину называют линейной плотностью, или плотностью на единицу длины [11]. Толщину стержня считаем беско нечно малой, а потому графически стержень представляет собой пря мую линию – отрезок оси Ох.

Примечание. Вообще, плотность вещества (кг/м3) опреде ляется как отношение массы вещества m (кг) к занимаемому им объе m му V (м3):. В математических расчетах приходится сталкивать V ся с такими понятиями, как линейная плотность (плотность на едини цу длины) (кг/м), поверхностная плотность (плотность на единицу площади) (кг/м2), объемная плотность (плотность на единицу объема) (кг/м3).

Пример 1.1 Теплоёмкостью (удельной теплоемкостью) того или иного вещества называется количество тепла (Дж), которое не обходимо для нагревания 1 кг рассматриваемого вещества (например, воды, стали) на 1 оС 1. Но при различных начальных температурах для нагревания 1 кг вещества на 1 0С или 1 К требуется разное количество тепла. В связи с чем теплоемкость вещества с является функцией на чальной температуры Т: с сТ. Так, например, для нагревания 1 кг стали, взятой при температуре 0 оС, на 1 оС требуется 440,857 Дж теп лоты, а для нагревания на 1 оС того же количества стали, взятой при температуре 50 оС, нужно уже 470,583 Дж (сталь – сплав железа с уг леродом, где содержание углерода до 2 %).

Определим теплоемкость тела, отвечающую данной фиксиро ванной температуре Т. Пусть Q – количество тепла (Дж), которое надо передать 1 кг рассматриваемого вещества для нагревания его от исход ной температуры (не важно какой) до температуры Т. Очевидно, что Q зависит от Т: Q Q T. Тогда для нагревания 1 кг вещества от темпе ратуры T1 до температуры T2 понадобится Q T1,T2 Q T2 Q T Строго говоря, такая формулировка неверна, так как теплоёмкость не яв ляется количеством тепла (Дж) – это другая величина (Дж/(кг.К). Можно гово рить лишь о численном равенстве теплоёмкости и количества тепла, подведённо го к телу единичной массы при изменении его температуры на один градус [36].

теплоты;

для нагревания тела от температуры T до T T оС ( T очень малое приращение температуры) понадобится теплоты – Q T T Q T Q.

Поэтому средняя теплоемкость cср на участке от T до T T, оС, определится как отношение QT T QT Q сср. (1.14) T T Мгновенная теплоемкость cмгн (прилагательное «мгновенная» в данном случае относится не к определенному моменту времени, а к фиксированной температуре T тела) определяется как значение сср, отвечающее очень маленькому приращению Т температуры, при чем полученное таким путем значение теплоемкости cмгн будет тем точнее, чем меньшее Т мы берем. Заметим, что в подавляющем боль шинстве случаев уже значение Т 1 К (1 оС) будет достаточно мало для точного определения величины с с Т. Здесь выражение «дос таточно мало» означает, что полученное таким путем значение тепло емкости с практически не будет отличаться от значения, к которому мы придем, выбрав меньший интервал Т изменения температуры.

Таким образом, QT T QT Q cмгн QT lim lim. (1.15) T T 0 T T Проиллюстрируем сказанное выше на примере нагревания 1 кг стали от 0 до Т оС. Количество тепла Q Q T, необходимого для на гревания 1 кг стали от 0 до Т оС, дается следующей эмпирически на блюдаемой зависимостью [12]:

Q T 440,857 T 0,29725T 2.

Тогда в соответствии с вышесказанным Q QT T QT 440,857 T T 0,29725 T T сср T T T 440,857 T 0,29725T 440,857 0,5945 T 0,29725 T.

T Следовательно, Q lim 440,857 0,5945T 0, 29725 T cмгн lim T 0 T T 440,857 0,5945 T.

Аналогичный результат мы получим более коротким путем, взяв производную от выражения Q T 440,857 T 0,29725T 2 по пере менной Т, воспользовавшись таблицей производных A.1:

Q T 440,857 T 0,29725T 2 440,857 0,5945T.

Таким образом, с( 0 ) 440,857 Дж/(кгград), а например, с( 100 ) 440,857 0,5945 100 500,307 Дж/(кгград). Обычно удель ную теплоемкость с выражают в Дж/(кгК).

Рассмотрим также вариант графического решения задач на на хождение производной функции на примере задачи 1.2 и примера 1. (нахождение скорости по графику функции перемещения).

Задача 1.2 Пусть материальная точка движется по закону S t 2, где S = S(t) – функция зависимости пути от времени;

t время. Найти графически изменение скорости движения материальной точки за промежуток времени от нуля до двух секунд.

Замечание. Как и в задаче 1.1, для соблюдения требований раз мерности считаем S k t 2, где коэффициент k имеет единицу м/с2. В нашем случае считаем k 1 м/с2.

Решение. Построим график зависимости пути от времени.

Пусть вертикальная ось соответствует перемещению S, а горизонталь ная – времени t (рисунок 1.7). По условию задачи t 0;

2. График представляет собой ветвь параболы на участке изменения t от 0 до 2.

Рисунок 1.7 – График перемещения материальной точки Разобьем отрезок [0;

2] на 10 частичных отрезков [ti-1 ;

ti] равной длины ti = 0,2 (i принимает значения от 1 до 10). Найдем Si = = S(ti) S(ti-1) изменение пути, соответствующее изменению време ни ti на каждом участке. Например, на участке [0;

0,2] S1 = S(t1) S(t0) = S(0,2) S(0) = 0,22 02 =0,04;

на участке [0,2;

0,4] S2 = S(t2) S(t1) = S(0,4) S(0,2) = 0,42 0,22 = 0,16 0,04 = 0,12.

Результаты заносим в таблицу 1.1.

Таблица 1.1 – Определение скорости движения материальной точки cpi = Si / t, м/с ti, с Si=S(ti ), м Si, м 0 0 0 0,2 0,04 0,04 0, 0,4 0,16 0,12 0, 0,6 0,36 0,2 1, 0,8 0,64 0,28 1, 1,0 1,0 0,36 1, 1,2 1,44 0,44 2, 1,4 1,96 0,52 2, 1,6 2,56 0,6 1,8 3,24 0,68 3, 2,0 4,0 0,76 3, Далее на каждом интервале найдем отношение Si / ti. Это отношение равно средней скорости движения материальной точки cpi на каждом участке изменения времени (см. 1.1). Результаты так же заносим в таблицу 1.1. Используя полученные данные (первый и четвертый столбцы таблицы 1.1), в координатах V – t обозначаем точ ки (ti;

cpi ) (рисунок 1.8, а). Плавно соединив эти точки, строим гра фик изменения средней скорости движения материальной точки c течением времени (см. рисунок 1.8, а).

Получить график изменения скорости движения материальной точки за данный промежуток времени можно предварительно отыскав производную пути по времени. Согласно формуле (1.7) St, сле 2t. То есть график довательно, в нашем примере S t t изменения скорости движения материальной точки в координатах t представляет собой прямую линию (рисунок 1.8, б). Сравнитель ный анализ рисунков 1.8, а и 1.8, б показывает, что эти графики практически совпадают. Точный график скорости движения матери альной точки изображен на рисунке 1.8, б. С уменьшением ti график рисунка 1.8, а будет в большей степени соответствовать гра фику, изображенному на рисунке 1.8, б, в связи с тем, что S lim cp lim (1.3).

t 0 t t Рисунок 1.8 – Скорость движения материальной точки Пример 1.2 Графическое решение задачи нахождения скорости поршня по его перемещению. Рассмотрим движение поршня в криво шипно-шатунном механизме (КШМ) двигателя внутреннего сгорания.

КШМ служит для преобразования возвратно-поступательного движе ния поршня во вращательное движение коленчатого вала (кривошипа).

При вращении кривошипа 1 (рисунок 1.9) длиной АБ и радиу сом R точка Б описывает окружность. Разобьем половину окружности на 18 точек через 100. Кривошип перемещает шатун 2, который в точ ке С соединен при помощи пальца с поршнем 3. Поршень под дейст вием давления газов совершает движение по оси цилиндра 4.

Выполним чертеж КШМ в определенном масштабе (например, 1:1). В нашем примере радиус кривошипа R = 37 мм, а длина шатуна L = 125 мм. Конструктивный параметр КШМ = R/L для автомобиль ных двигателей лежит в пределах 0,250,35. Частота вращения кри вошипа 5600 мин-1 (двигатель типа ВАЗ).

Рисунок 1.9 – Определение пройденного пути поршнем в зави симости от положения кривошипа (угла ) За исходное примем положение, когда ось кривошипа 1 и шату на 2 совмещены с осью цилиндра 4. Для анализа движения поршня важны три его функции путь, скорость, ускорение, зависящие от времени или угла поворота кривошипа.

Рассмотрим перемещение поршня 3 от точки С по оси цилиндра 4 при повороте кривошипа 1 на 10, 20, 30о и т. д. до 180о. От 180 до 360о движение поршня симметрично, и на данном участке измерения не производим. При повороте кривошипа, например, на 30о шатун следует за кривошипом и перемещает поршень (смотрите отметки на оси цилиндра). Приращение хода поршня (изменение функции) обо значим через S. Результаты измерений заносим в таблицу 1.2, по данным которой строим график зависимости перемещения поршня S от угла поворота кривошипа (рисунок 1.10).

Функция S = S( ) является исходной (начальной) и с ее помо щью можно получить другие функции, например, скорости, ускоре ния поршня в зависимости от угла или времени поворота кривошипа.

Заметим, что путь поршня можно определить и расчетным способом по формуле (см. раздел 4) R ( 1 cos2).

S R (1 cos) Таблица 1.2 – Изменение перемещения и скорости поршня в зависимости от угла поворота кривошипа Приращение Скорость, Перемещение поршня, хода поршня поршня S, мм град (функции) S, м м/с 0 0 0 0,7210 - 10 0,72 2, 2,1510 - 20 2,87 7, 3,4610 - 30 6,33 11, 4,6010 - 40 10,93 15, 5,5410 - 50 16,47 18, 6,2010 - 60 22,67 20, 6,6010 - 70 29,27 22, 6,7310 - 80 36,00 22, 6,610 - 90 42,60 22, 6,2510 - 100 48,85 20, 5,7310 - 110 54,58 19, 5,0810 - 120 59,67 16, 4,3710 - 130 64,00 14, 3,310 - 140 67,30 11, 2,7010 - 150 70,00 9, 210 - 160 72,00 6, 110 - 170 73,98 3, 180 74,00 0 Рисунок 1.10 – Зависимость перемещения поршня от угла поворота кривошипа Для определения скорости и ускорения поршня необходимо знать время в секундах при повороте кривошипа на 10о. Время в се кундах, угол в градусах и частота вращения кривошипа n (мин-1) связаны выражением t / 6 n 10 / 6 5600 3 104 c.

Для каждого участка в интервале 10о приращение аргумента равно 310–4 c. Чтобы определить скорость поршня при повороте кри вошипа от 0 до 180о в интервале через 10о, необходимо приращение пути S (м) на каждом участке разделить на приращение аргумента t = 310 – 4 c. Получим значение средней скорости (м/с) на каждом участке и занесем в таблицу 1.2. Для определения ускорения поршня приращение скорости на каждом расчетном участке де лим на приращение аргумента t = 310 – 4 c.

Например, рассмотрим рисунок 1.10 на участке изменения пути, от 40 до 50о. Выделим прямоугольный треугольник, один из катетов которого численно равен приращению пути S = 5,54 мм (S = 16,47–10,93 = 5,54) (данные табл. 1.2), а другой приращению времени t = 310 – 4 c. В рассматриваемом прямоугольном треуголь нике отношение S/t численно равно тангенсу угла (рисунок 3 1.11): tg S / t 5,54 10 / 3 10 18,46. С другой сторо ны, это отношение равно средней скорости движения поршня на дан ном участке пути за данный промежуток времени. То есть при прира щении пути поршня на данном участке, равном 5,5410-3 м за время 310–4 с, средняя скорость достигнет 18,46 м/с.

Таким образом, средняя скорость поршня на каждом участке изменения времени равна отношению приращения пути к прираще нию времени. По полученным данным таблица 1.2 мы можем постро ить график изменения средней скорости движения поршня в КШМ. Однако, как и в предыдущей задаче 1.2, чем меньшие значения t мы будем брать (меньше шаг расчета), тем точнее полученный график будет соответствовать действительному графику скорости движения поршня. Та кой подход к решению рассматриваемой задачи согласуется с определением про изводной функции как предела отноше- Рисунок 1.11 – Определение ния приращения функции к приращению средней скорости поршня аргумента при стремлении последнего к нулю (малому значению) и иллюстрирует ее механический смысл.

Напомним, что производная является скоростью изменения процесса, а в нашем примере скоростью движения поршня.

На рисунке 1.12 представлен график изменения скорости движе ния поршня (первой производной пути по времени) в зависимости от угла поворота кривошипа или соответствующего времени.

Рисунок 1.12 – Зависимость скорости поршня от угла поворота кривошипа Следует отметить, что график пути поршня в зависимости от положения кривошипа существенно отличается от графика скорости поршня как по форме, так и по единицам величины (м и м/с). Ход поршня не зависит от частоты вращения кривошипа, а скорость зави сит. Таким образом, используя понятие производной, расчетным пу тем из исходного графика пути поршня мы получили новый график зависимости скорости поршня от угла поворота кривошипа.

Зная приращение скорости на отдельных участках, можно об ратным путем определить приращение пути. Например, при повороте кривошипа от 40 до 50о среднее значение скорости равнялось (15,33 + +18,46)/2 = 16,89 м/с. Умножим полученное значение скорости на время 310–4 c, соответствующее 10о (шагу расчета), получим среднее приращение пути, равное 5,0610-3 м. Полученный результат согласу ется с данными таблицы 1.2 (4,610-3 + 5,510-3)/2 = 5,0510-3 м).

Теорема 1.1 (Связь между непрерывностью и дифференцируе мостью функции). Если функция дифференцируема в некоторой точ ке, то она непрерывна в ней.

Непрерывность функции в точке x0 означает, что функция имеет в этой точке предел, равный значению функции в этой точке:

lim f x f x0. Или, что то же самое, каждому бесконечно малому x x приращению аргумента x [формула (1.1)] функции y f x соот ветствует бесконечно малое приращение функции y, определенное по формуле (1.2), то есть lim y 0. Графически непрерывность x функции в точке означает, что график функции в этой точке строится «не отрывая руки».

Заметим, что обратное утверждение неверно, так как непрерыв ная в данной точке функция может и не иметь в ней производной. Например, речь идет о функции y x. На рисунке 1.13 представлен ее график.

Данная функция непрерывна в точке x0 0, однако производной в этой точке функция не имеет. Покажем почему. Для этого по определению про Рисунок 1.11 – График изводной посчитаем предел:

функции y=|x| y y( x0 x ) y( x0 ) lim lim x0 x x0 x x 1, x x y(0+x) y(0) lim = lim lim.

x x 0 x x 0 x 1, x x y Следовательно, в точке x0 0 предел lim не существует, а x 0 x значит, функция y x не имеет в этой точке производной.

Найдем по определению производные некоторых элементарных функций.

Пример 1.3 Найти производную функции y x 2.

Решение. Функция y x 2 непрерывна в каждой точке действи y тельной оси Ох. Найдем предел lim.

x0 x x x 2 x y y (x x ) y (x ) x 2 lim lim lim x0 x x x x 0 x x2 2 x x x 2 x2 2 x x x 2 x 2 x x lim lim lim x x x x0 x0 x lim 2 x x 2 x.

x Пример 1.4 Найти производную функции y x3.

Решение. Функция y x3 непрерывна в каждой точке действи y тельной оси Ох. Найдем предел lim.

x0 x x x x y y (x x ) y (x) x lim lim lim x0 x x0 x x x 2 3 2 3 2 3 x 3x x3x x x x 3x x 3x x x lim lim x x x0 x x(3 x 2 3 xx x ) lim 3 x 2 3 x x x 3 x 2.

lim x x 0 x В общем случае вывод производной степенной функции y x n, n N аналогичен. При этом x n n x n 1.

Пример 1.5 Найти производную функции y cos x.

Решение. Функция y cos x непрерывна в каждой точке дейст y вительной оси Ох. Найдем предел lim.

x0 x cos x x cosx cosx lim y lim y (x x y(x) lim x) x 0 x x 0 x x x x x x x x 2 x x x 2sin sin 2sin sin 2 2 2 lim lim x x x 0 x 2 x x x x sin sin sin 2 lim sin 2 x x lim 2 lim x x 2 x x x 2 2x sin 1 sinx. Таким образом, cos x sin x.

Заметим, что при нахождении предела мы воспользовались формулой разности косинусов cos cos 2sin sin, а так 2 sin же первым замечательным пределом lim 1 (в нашем случае x ).

Аналогично можно найти производную функции y sinx :

sinx cosx.

Обратим внимание на то, что функции y sinx и y cosx игра ют важную роль в расчетах двигателей внутреннего сгорания. С их помощью описывают движение поршня (раздел 4);


свободные и вы нужденные крутильные колебания вала (раздел 6), работу турбины двигателя, движение жидкостей в трубопроводах и работу, совершае мую в насосных установках.

Графики периодических функций y s inx и y cosx представ лены на рисунке 1.14. Наименьший положительный период этих функций T 2, при этом справедливы формулы sin x 2 k sinx;

cos x 2 k cosx (k = 0;

± 1;

± 2;

± 3;

…).

Рисунок 1.14 – Графики функций: а) y=sin x;

б) y=cos x Расчёт производных в системе Mathcad. Для определения производных необходимо на панели Математика выбрать панель Вы числения и нажать кнопку d, в открывшемся шаблоне заполнить за dx тенённые клеточки, а затем ввести знак символьного вычисления :

d d cos(x ) sin( x ) ;

sin(x) cos( x ).

dx dx Для построения графиков sin(x) и cos( x ) необходимо вызвать панель Graph (График), выбрать шаблон для декартового графика и заполнить соответствующие ячейки, как это сделано на рисунке 1.15.

Рисунок 1.15 – Графики периодических функций sin(x) и cos( x ) 1.1.2 Основные правила дифференцирования Пусть u u( x ), ( x ) дифференцируемые в некотором ин тервале a;

b функции. Сформулируем для них правила дифференци рования:

1) производная произведения функции на константу равна произведению константы на производную данной функции (константа выносится за знак производной);

Сu C u. (1.16) 2) производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций;

u u. (1.17) Заметим, что данное правило распространяется на случай, когда число слагаемых 2 ;

3) производная произведения двух функций равна произведе нию производной первой функции на вторую плюс произведение пер вой функции на производную второй;

u u u. (1.18) u (x ) 4) производная частного двух функций (при условии (x) (x) 0 ) равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель равен квадрату знаменателя исходной дроби u uu. (1.19) 1.1.3 Производная сложной функции Пусть y f (u ) и u (x), тогда y f ((x )) сложная функция с промежуточным аргументом и и независимым аргументом х.

Тогда, если функция u (x) имеет производную u в точке х, а x функция y f (u ) имеет производную yu в соответствующей точке u (x), то сложная функция y f ((x )) имеет производную y в x точке х, которая находится по формуле y yu u.

x (1.20) x Таким образом, для нахождения производной сложной функции необходимо сделать следующее: производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежу точного аргумента по независимому аргументу.

В том случае, когда функция содержит несколько промежуточ ных аргументов, это правило остается в силе (пример 1.7).

Пример 1.6 Найти производную функции y 3 sin x 2.

Данная функция является сложной. Ее можно представить в ви де цепочки простых функций: y u 3,u sinx 2. Следовательно, воспользовавшись формулой (1.20), получим 1 2 1 1 1 1 y yu u u 3 cosx u 3 cosx sinx 2 3 cosx x x 3 cosx.

(1.21) 3 3 sinx Определение производной в системе Mathcad:

cos(x) 3 sin(x)+ d y(x): 3 sin(x )+2, y(x). (1.22) dx 3(sin(x)+2) Выражение (1.21) принимает вид (1.22), если числитель и зна менатель умножить на 3 sin(x)+2.

Пример 1.7 Найти производную функции y ctg 3 ln 3 x 1.

Данная функция также является сложной. Как и в предыдущем примере, ее можно представить в виде цепочки простых функций:

y u 3, u ctg v, v ln q, q 3 x 1.

Тогда 1 y yu uv v q 3u 2 2 3 3ctg 2 ln 3x qx x sin v q 1 1 3 9ctg 2 ln 3x 1. (1.23) 2 sin ln 3x 1 3x sin ln 3x 1 3x Определение производной в системе Mathcad:

9cot(ln(3x 1)) 2 (cot(ln(3x 1)) 2 1) d cot(ln(3x 1))3. (1.24) dx 3x Выражение (1.24) преобразуется в (1.23), если использовать из вестную зависимость между синусом и котангенсом (в Mathcad ко тангенс ctg обозначается cot) sin 2 1/(1+ctg 2 ).

1.1.4 Производная обратной функции Пусть y f (x ) и x (y ) взаимно-обратные функции.

Тогда, если функция y f (x) строго монотонна на интервале a;

b и имеет неравную нулю производную f x в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция x ( y ) также имеет про изводную в соответствующей точке, определяемую равенством y 1 или xy. (1.25) y f x y x Пример 1.8 Найти производную функции y arctgx.

Для решения задачи рассмотрим обратную функцию x tgy.

По формуле производной обратной функции (1.25): y. Следова x xy тельно, 1 1 1 1 y.

x tgy y 1 tg y 1 tg arctg x 1 x 2 cos 2 y В процессе преобразований мы воспользовались следующими тригонометрическими формулами:

1 + tg 2 ;

tg (arctg ).

cos Определение производной в системе Mathcad ( arctg x atan x ):

d atan(x) 2.

dx x Пример 1.9 Найти производную функции y 5 4 x 5, исполь зуя формулу производной обратной функции.

По формуле (1.25) y. Следовательно, x xy 1 4 4 y.

x 5 y4 5 y 5 5 5 4 x y y Определение производной в системе Mathcad:

4 5 4x d 4x 5.

dx 5 (4x 5) Производные основных элементарных функций записаны в виде таблицы (см. таблицу A.1). Заметим, вывод этих формул основан на определении производной и на приведенных выше правилах нахож дения производной.

Пример 1.10 Найти производные следующих функций:

а) y cos 7 x 63 x tg 4 ln 2 x ;

б) y ctg3x 8 arccos2 7 x ;

x 32.

y в) ln 5 x Решение а) Для нахождения производной функции y cos7 x 63 x tg4 ln2 x необходимо воспользоваться правилом дифференцирования суммы двух и более функций (1.17), а также правилом дифференцирования сложной функции (1.20), поскольку функции c os7 x, 63 x, ln2 x сложные.

y cos 7 x 63 x tg4 ln 2 x cos 7 x 63 x tg4 ln 2 x 1 7sin7 x 3 63 x ln6 0 2 7sin7 x 3 63 x ln6.

2x x Определение производной в системе Mathcad:

d (cos(7x) 63x + tan(4) +ln(2x)) 3 63x ln(6) 7sin(7x).

dx x б) Для нахождения производной функции y ctg 3x 8 arccos 27x необходимо воспользоваться правилом дифференцирования произве дения двух функций (1.18), а также правилом дифференцирования сложной функции (1.20), поскольку функции ctg 3 x 8, arccos 2 7 x сложные.

y сtg3x 8 arccos2 7 x ctg3x 8 arccos2 7 x ctg3x arccos2 7 x 3x 8 arccos 2 7 x ctg 3x 8 2arccos7 x sin 3x 3 arccos 2 7 x ctg 3 x 8 2arccos7 x arccos7 x sin 3 x 3 arccos 27x 1 7x = 2 ctg 3x 8 2arccos7x 7= sin 3x 1 7 x 2 149x 3 arccos2 7 x 14ctg3x 8 arccos 7 x. (1.26) sin 2 3x 8 1 49 x Определение производной в Mathcad, где acos x arccos x :

y(x):=cot(3x 8) acos(7x) d 14acos(7x)cot(3x 8) y(x) acos(7x) 2 (3cot(3x 8) 2 3). (1.27) dx 1 49x Выражение (1.27) преобразуется в (1.26), если использовать из вестную зависимость между синусом и котангенсом (в Mathcad ctg x cot x ) 1+ctg 2 =1/sin 2.

x y в) Для нахождения производной функции необ ln 5 x ходимо воспользоваться правилом дифференцирования частного двух функций (1.19), а также правилом дифференцирования сложной функции (1.20), поскольку функции x 3, ln 3 5 x 6 сложные.

x 32 x 32 ln 3 5 x 6 x 32 ln 3 5 x y 3 ln 5 x ln 3 5 x 2 x 3 x 3 ln 3 5 x 6 x 32 3 ln 2 5 x 6 ln5 x ln 6 5 x 1 2 x 3 1 ln 3 5 x 6 x 3 3 ln 2 5 x 6 5 x 5x ln 6 5 x 2x 3 ln 3 5 x 6 x 32 3 ln 2 5 x 6 5x ln 6 5 x 2x 3 ln 3 5 x 6 x 32 ln 2 5 x 5x ln 6 5 x x 3 2 5 x 6 ln5 x 6 15 x 3.

(1.28) 5 x 6 ln 4 5 x Определение производной в системе Mathcad:

d (x+3) 2 15(x+3) 2x+. (1.29) dx ln(5x 6)3 ln(5x 6)3 ln(5x 6)4 (5x 6) Выражение (1.29) преобразуется в (1.28), если правую часть привести к общему знаменателю.

1.1.5 Производная неявно заданной функции Под явным заданием функции понимают ее задание в виде уравнения y f x, разрешенного относительно y. Например, y x2 4.

Под неявным заданием функции понимают ее задание в виде уравнения F x, y 0, не разрешенного относительно y. Например, y 2 2 xy y sin x 6.

Для нахождения производной y функции, заданной неявно x уравнением F x, y 0, необходимо продифференцировать это урав нение по x, рассматривая при этом y как функцию от x (y = y(x)), а затем полученное уравнение (если это необходимо) разрешить отно сительно y.

Пример 1.11 Найти производную функции y, заданной неявно уравнением x y 2 cos y.

Решение. Согласно правилу дифференцирования неявно задан ной функции, продифференцируем уравнение по x, рассматривая при этом y как функцию от x, то есть y y x.

x 2 cos y x x x y x 2 cos y x x y 1 1 1 y 2 sin y y y 2 sin y 2 y 2x 2y 2x 1 1 4 y sin y 1 2 sin y y y 2 y 2 x 2 x 2y y y.

x 1 4 y sin y Пример 1.12 Найти производную функции y, заданной неявно x y ln x.

уравнением arcsin y Решение. Рассуждая аналогично, получаем:

x x y ln x x ;

arcsin y x x y ln x y ln x x ;

y 1 x y 2 1 y x y 1 y ln x y ;

y 2 x 1 x y y x y y y ln x y ;

x y2 x2 y y x y y ln x y ;

x y y2 x x y 1 y ln x y ;

x y 2 x 2 y y 2 x x 1 ln x y y ;

y y2 x2 x y2 x y x ln x.

y y2 x2 x y y2 x2 1.1.6 Производные функций, заданных параметрически Пусть x x(t ), y y (t ) – однозначные функции, определенные на отрезке t1 ;

t 2. Каждому значению t t1 ;

t 2 соответствуют опре деленные значения x, y, которые в свою очередь на координатной плоскости Oxy являются координатами некоторой точки P(x, y). Когда t изменится от t1 до t2, точка P на координатной плоскости Oxy опишет некоторую кривую.

Определение. Уравнения x x(t ), y y (t ) ( t t1 ;

t 2 ) назы ваются параметрическими уравнениями кривой, t параметром, а способ задания кривой параметрическими уравнениями парамет рическим.

Заметим, что в математике параметр (от греч. «parametron»

«отмеривающий») это величина, числовые значения которой позво ляют выделить определенный элемент (например, кривую) из множе ства элементов (кривых) того же рода. В технике параметр это вели чина, характеризующая какое-либо свойство процесса, явления или системы, машины, прибора (например, электрическое сопротивление, теплоемкость, масса, коэффициент трения).


Пусть x и y заданы как функции некоторого параметра t :

x x(t ), y y (t ), где x (t ), y (t ) имеют необходимое число производных по перемен ной t в рассматриваемой области изменения этой переменной. Тогда производная функции y f x, определяемой параметрическими уравнениями x x(t ), y y (t ), считается по формуле yt y. (1.30) x xt x t 4 9, Пример 1.13 Найти производную функции y 16 t 2 1.

y Решение. По формуле (1.30) y t. Следовательно, найдем x xt yt и xt, а затем подставим их в формулу.

32 t xt 4 t 3 ;

yt 32 t y y 2.

x x 4t3 t Определение производной в системе Mathcad:

d y(t) x(t):= t 4 9 ;

y(t):=16t 2 1 ;

dt y x (t): 2.

d t x(t) dt x sin 3 t, Пример 1.14 Найти производную функции y cos 3 t.

Решение.

yt cos 3 t 3 cos 2 t sin t cos t y сtg t.

x xt sin t 3 sin t cos t sin t Определение производной в системе Mathcad:

d y(t) cos(t) x(t):= sin(t)3 ;

y(t):= cos(t)3 ;

y x (t): dt.

d sin(t) x(t) dt 1.2 Производные высших порядков 1.2.1 Производные высших порядков явно заданной функции Пусть функция y f x дифференцируема на некотором ин тервале a;

b. Тогда, дифференцируя ее, получим первую производ ную (производную первого порядка) df ( x) y f ( x), (1.31) dx которая также является функцией от x.

Если найти производную дифференцируемой функции y f x, то получим вторую производную (производную второго порядка) функции y f x :

d 2 f ( x) y f ( x), (1.32) dx или d y d dy.

y y (1.33) dx 2 dx dx Этот процесс взятия производных можно продолжить и далее, находя производные порядка n:

dny d d n 1 y n n n 1, y y или (1.34) dx dx n dx то есть n-й производной (производной n-го порядка) называется производная от производной n 1 - го порядка.

Заметим, что вторая производная имеет важный физический смысл. Так, если S S t зависимость пути от времени, то, как бы ло рассмотрено ранее [формула (1.3)]: S t скорость движения.

Тогда S t ' t «скорость изменения скорости», или ускорение:

S t ' t a. (1.35) Ускорение обычно обозначается буквой а («acceleration» – «ус корение» по-французски). Так как единица скорости см/с или м/с, то единица ускорения см/с2, или м/с2. Именно тот смысл, который имеет вторая производная (ускорение), делает ее понятие особенно важным для физики. Ведь согласно второму закону Ньютона именно ускоре ние является главной характеристикой движения (сила в Н равна про изведению массы тела в кг на его ускорение в м/с2).

Задача 1.3 Найдите ускорение материальной точки в момент времени t по данным задачи 1.1.

Решение. Напомним, что в задаче 1.1 требовалось найти скорость движения материальной точки в момент времени t, если закон движе ния материальной точки выражается функцией S. В процессе 1t 2t решения задачи мы получили мгн (далее обозначим 1t 2 мгн ). Заметим, что к такому результату мы пришли путем непо S средственного нахождения предела lim (без использования пра t 0 t вил дифференцирования). Поэтому прежде чем находить ускорение а t Stt (1.35), найдем как первую производную функции S S t (1.7), воспользовавшись таблицей А.1 и основными правила ми дифференцирования (1.1.2).

2t 1 1 1 t2 St 1 1 t 2t.

2 1 t 1 t Как видим, результаты совпадают. Найдем далее ускорение a как первую производную скорости или как вторую производную перемещения S.

2t 1 t2 2t 1 t 2t а Stt t 2 1 t2 2 1 t 2 3t 2 1t 2 2 t 2 1t 2 2 t 2 1t 2 1t 2 4t 2 1t 1t 4 1t 2 Таким образом, мы получили, что ускорение материальной точки, движущейся по закону S, в момент времени t равно 1 t 2 3t 2 a.

1 t2 Расчёт скорости и ускорения в системе Mathcad:

1 d 2t ;

(t):= S(t):= S(t) 2 ;

1+t 2 (t +1) dt 8t d a(t):= (t) 2 2 ;

3 dt (t +1) (t +1) или, используя шаблон второй производной d2 8t 2 a(t):= S(t).

2 2 3 2 dt (t +1) (t +1) Пример. 1.15 Найти производные указанных порядков для сле дующих функций:

б) y xe 2x, y ?

, y ?

а) y 3x Решение а) y y найдем сначала производную первого порядка y :

1 1 3x 1 2 3x y.

3x 3x Тогда 3 3 3 x 1 3 2 3 x 1 y.

3 x 12 3 x б) y y, следовательно, найдем сначала производную пер вого порядка y :

y xe 2 x 1 e 2 x x e 2 x 2 e 2 x 1 2 x.

Тогда производная второго порядка y будет найдена следую щим образом:

y e 2 x 1 2 x e 2 x 2 1 2 x e 2 x 2 e 2 x 2 4 x 4e 2 x 1 x.

Расчёт производных высших порядков в системе Mathcad:

d2 y(x) y(x):= ;

.

3x 1 dx 2 (3x 1) d 2x y(x) 4e 2x 4 x e2x ;

y(x):= x e ;

dx в задаче б) по заданию требовалось найти производную y ?

d y(x) 12e 2x 8 x e2x.

dx 1.2.2 Производные высших порядков неявно заданной функции Пусть функция y f x задана неявно уравнением F x, y 0.

Для нахождения производной первого порядка y воспользуемся правилом дифференцирования неявно заданной функции (1.1.5), а именно продифференцируем это уравнение по переменной x и раз решим его относительно y. Продифференцировав далее по x первую производную y, получим вторую производную от неявно заданной функции. В нее войдут x, y, y. Подставляя уже найденное значение y в выражение второй производной y, выразим y через x и y.

Пример 1.16 Для неявно заданной функции 4 x 2 y 3 2 xy най ти производную второго порядка y.

xx Решение. По правилу дифференцирования неявно заданной функции (см. 1.1.5) найдем y, продифференцировав левую и правую x части исходного равенства по переменной x, считая y функцией от x (y = y(x)).

4 x 2 xy x 8 x 3 y 2 y 2 y 2 x y.

y3 x Разрешим полученное выражение относительно y :

8x 2 y y.

2x 3 y Найдем далее y (или просто y ), продифференцировав полу xx ченное выражение для y.

8x 2 y y 8 2 y 2 x 3 y 8x 2 y 2 6 y y y 2x 3 y 2 ;

2x 3 y 2 16 x 24 y 2 4 x y 6 y 2 y 16 x 48 x y y 4 y 12 y 2 y y ;

2x 3 y 2.

24 y 2 4 y 2 y 3 y 2 2 x24 xy 24 y2 4 x y6 y 2 y48 x y y 4 y y 2x3 y 2 x 3 y 22 Далее, в случае необходимости, в полученное выражение можно подставить уже найденное значение y и выразить y через x и y.

8x 2 y 24 y 2 4 y 2 3 y 2 2 x 24 xy 2x 3y y 2x 3 y 2 6 y y 2 x 3 y 2 4 x y 3 y 2 2 x 24 xy 4.

2x 3y Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим 9 y 4 4 x 2 24 xy 2 48 x 2 y 4 xy y 8.

2x 3y 2 1.2.3 Производные высших порядков функций, заданных параметрически Пусть x и y заданы как функции некоторого параметра t :

x x(t ), y y (t ).

Тогда, если первая производная (производная первого порядка) yt y определяется по формуле y [формула (1.30)], то вторая про x x xt изводная y находится по формуле xx yx t ytt xt xtt yt y. (1.36) xx xt xt yxx t ;

y IV yxxx t.

Аналогично получаем y xxx xxxx xt xt Пример 1.17 Найти производные y, y для функции x xx x t arctg t, t y 1, заданной параметрически.

Решение. Найдем сначала y [формула (1.30)].

x t 3 1 3t 3 t2 t yt 3 2 1 t2.

y x xt t arctg t 1 1 1 t 1 t 1 t2 1 t2 1 t По формуле (1.36) найдем y. xx yx t 1 t2 t 2 1 t 2t y 2.

xx t arctg t t xt t t 1 t Решение в системе Mathcad:

d y(t) t t dt x(t):= t atan(t) ;

y(t):= 1;

y x (t): ;

d 3 x(t) dt t + d y x (t) 2(1+t 2 ) 2t dt y x (t): 1 t y xx (t): ;

y xx (t):= d 1 t x(t) t 2 + dt Контрольные вопросы 1. Какие основные задачи, приводящие к понятию производной, вы знаете? В чем сходство всех таких задач?

2. Сформулируйте определение производной функции в точке и на интервале.

3. В чем заключается геометрический, физический и механиче ский смысл производной?

4. Следует ли из условия непрерывности функции в точке ее дифференцируемость в этой точке?

5. Назовите основные правила дифференцирования.

6. Сформулируйте правило нахождения производной сложной функции.

7. Сформулируйте правило нахождения производной обратной функции.

8. Какое задание функции называют неявным и что необходимо сделать, чтобы найти производную неявно заданной функции?

9. По какому правилу считаются производные высших порядков для неявно заданных функций?

10. Назовите формулы, позволяющие находить производные первого и второго порядков функций, заданных параметрически.

11. В чем заключается механический смысл производной второ го порядка?

12. Сформулируйте понятие производной n -го порядка. Приве дите примеры.

1.3 Дифференциал Из анализа формулы (1.6) следует, что для нахождения произ водной f x функции y f x по определению необходимо совер шить следующие действия:

1)задать некоторое значение x и приращение x [формула (1.1)];

2)найти f x и f x x ;

3)найти приращение y f ( x x) f ( x ) ;

y 4)составить отношение и найти его предел при x 0 :

x y lim. Этот предел, в случае его существования, и будет равен x 0 x y f x.

производной функции y f x, а именно lim x 0 x Таким образом, точное равенство между производной f x и y отношением достигается лишь в пределе. Если предел «опус x y f x. Следова тить», то мы получим приближенное равенство x тельно, f ( x x) f ( x ) y f x x. (1.37) Можно сказать, что равенство в формуле (1.37) становится «точным в пределе» при x 0. Здесь выражение «точно в пределе»

вовсе не означает, что при x 0 левая и правая части приближенно го равенства совпадают (равны нулю), оно подчеркивает, что при ма лых x левая и правая части (1.37) «почти равны» в том смысле, что их разность гораздо меньше самих этих выражений.

Таким образом, y f x x, тогда как точное равенство для приращения y f ( x x) f ( x ) имеет вид y f x x, (1.38) где бесконечно малая функция более высокого порядка, чем x (это означает, что при x 0 стремится к нулю гораздо быстрее y f x x ). Именно это мы имели в виду, говоря, что равенство x y является «точным в пределе»: само по себе отношение, вообще x y f x, поскольку при ма говоря, отлично от f x, но вот lim x 0 x лых x слагаемым, в силу его малости, в правой части равенства (1.38) можно пренебречь. Поэтому первое слагаемое равенства (1.38) f x x называют главной линейной частью приращения y.

Определение. Дифференциалом функции y f x в точке x называется главная линейная часть приращения функции, равная про изведению производной функции на приращение аргумента, и обо значается dy (или df x ).

dy f x x. (1.39) Заметим, что слово «дифференциал» происходит от латинского «differentia» «разность, различие, приращение». Русским словом «приращение» мы называем величины y и x – конечные прираще ния, а латинским термином «дифференциал» – «почти приращения»

dy и dx – бесконечно малые приращения. Что не случайно, посколь ку y и x имеют точные значения, тогда как dy и dx связаны с пределом (с некоторым приближением).

Рассмотрим функцию y x и найдем дифференциал независи мой переменной x. Так как y x 1, то согласно предыдущей фор муле dy dx x мы можем записать dx x, то есть дифферен циал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Таким образом, формулу для дифференциала можно записать в виде dy f x dx. (1.40) dy Следовательно, f x, а потому обозначение производной dx dy можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dx.

dx dy Заметим, что понятие дифференциала и запись для произ dx водной были введены немецким ученым Готфридом Вильгельмом фон Лейбницем (1646 – 1716).

Пусть функция y f x дифференцируема в точке x0. Следо y f x0. По формулам (1.37), вательно, существует предел lim x 0 x (1.39) y f x0 x (или y dy ) при достаточно малых x ( x 0 ). Так как y f x0 x f x0, то предыдущее равенство можно переписать в виде f x0 x f x0 f x0 x или f x0 x f x0 f x0 x. (1.41) Формула (1.41) позволяет находить приближенные значения функции y f x в точке x x0 x по известному значению этой функции и ее производной в точке x0.

Пример 1.18 Найти дифференциал dy и приращение y функ ции y x 2 : а) при произвольных значениях x и x ;

б) при x 1, x 0,01.

Решение а) Найдем в общем виде приращение функции y и дифферен циал dy.

y y x x y x x x 2 x 2 x 2 2 x x x 2 x 2 x x x 2.

dу y x x x 2 x 2 x x.

б) Подставив в полученные выражения приращения функции y и дифференциала dy значения x 1, x 0,01, получим y 2 1 0,01 0,012 0,0201, dy 2 1 0,01 0,02.

Погрешность при замене y на dy равна 0,0001, составляет 0,5 %, и ею можно пренебречь. Таким образом, на данном примере не трудно заметить, что при достаточно малых x справедливо прибли женное равенство y dy, используемое при приближенных вычис лениях.

Пример 1.18 наглядно иллюстриру ется рисунком 1.16. Действительно, функция y x 2 выражает площадь квад рата со стороной x. Обозначим эту пло щадь S1 (S1=y(x)=x2). Зададим стороне квадрата x очень малое приращение x.

В результате мы получим квадрат со сто роной x+x, площадь которого S может быть найдена по формуле S 2 y x x x x 2.

Тогда y Рисунок 1.16 – Иллюстрация выражает разность площадей S2 и S1:

примера 1. y S 2 S1. На рисунке 1.16 эта раз ность равна площади всей заштрихованной фигуры.

Дифференциал dy функции y x 2 на рисунке 1.16 численно ра вен сумме площадей двух прямоугольников со сторонами х и x. Дей ствительно, согласно нашим предыдущим вычислениям dy 2 x x, но величина x x численно равна площади прямоугольника со сто ронами х и x. Таких прямоугольников у нас 2, поэтому сумма их площадей равна 2 x x.

Тогда из рисунка 1.16 видно, что площадь всей заштрихованной фигуры, численно равная приращению функции y 2 x x x 2, отличается от суммы площадей двух прямоугольников со сторонами х и x, численно равной дифференциалу функции dy 2 x x, на ве личину площади квадрата со стороной x. Так как величина x дос таточно мала, то эта разница незначительна, и ею можно пренебречь.

В результате будет справедливо приближенное равенство: y dy.

Пример 1.19 Вычислить приближенно с помощью дифферен циала значение 3 24.

Решение. Воспользуемся формулой приближенных вычислений (1.41): f x0 x f x0 f x0 x.

Рассмотрим функцию f x 3 x. Ближайшее к 24-м значение x, для которого можно найти точное значение данной функции, равно 27. Пусть x0 27 f x0 f 27 3 27 3.

Так как x 24, а x0 27, то x x x0 24 27 3.

Чтобы воспользоваться формулой (1.41), нам осталось вычис лить значение f x0. Для этого найдем f x :

x 13 1 x 2 f x x 2 1 1 1 1 f x0 f 27 27 3 33 33 3 3.

3 3 3 3 Мы нашли все значения неизвестных, которые необходимо под ставить в формулу (1.41): x0 27;

x 3;

f x0 3;

f x0. Сле 1 1 3 24 3 2,89.

довательно, 27 1.3.1 Геометрический и механический смысл дифференциала Геометрический смысл дифференциала. Для того чтобы ис следовать геометрический смысл дифференциала, проведем к графику функции y f x в точке M x;

y касательную l и рассмотрим ор динату этой касательной для точки Q, абсцисса которой равна x x (рисунок 1.17).

На рисунке 1.14 MQ1 x, M 1Q1 y. Рассмотрим прямо NQ1 NQ угольный треугольник MNQ1. В нем: tg, MQ1 x NQ1 tg x. Но, согласно геометрическому смыслу производной, tg f x. Следовательно, NQ1 f x x. Сравнив полученный результат с определением дифференциала [формула (1.39)], приходим к выводу, что NQ1 dy.

Таким образом, дифференциал функции y f x в точке x ра вен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке, когда x получает приращение x. Именно в этом заключается геометрический смысл дифференциала.

Рисунок 1.14. Геометрический и механический смысл дифференциала первого порядка Существует некоторое отличие в толковании в математике и физике смысла обозначения типа dy. Символом d в математике при нято обозначать дифференциал – главную линейную часть прира щения функции y, в том смысле, что (при фиксированном хо) dy есть линейная функция от x и разность y – dy есть бесконечно малая относительно x. В физике же символ d используют для обо значения малых ("элементарных") приращений как аргумента dx (в математике dx = x ), так и самой функции dy (в математике оно обо значается y ), а символ используют для обозначения конечных x приращений: x x 2 dx x2 x1. В физике производную трактуют как отношение не математических дифференциалов функции и аргу мента, а малых (элементарных) приращений функции и аргумента.

Следовательно, в физике рассматривают такие малые приращения ар гумента (дифференциалы аргумента), когда приращение функции можно считать линейным, т. е. равным дифференциалу функции [36].

Пояснить сказанное можно с помощью рисунка 1.18. В соответ ствии с рисунком можно записать следующие соотношения:

y dy f (x) ;

tg (1.42) x dx для конечных изменений y y f (x) x + ;

(1.43) для бесконечно малых изменений:

в математике Dy dy f (x) dx dy f (x)dx, (1.44) Dy dy f (x )dx.

в физике (1.45) y y=f(x) y y dy Dy dx x x Рисунок 1.18 – Конечные и бесконечно малые приращения функции и аргумента Здесь приняты следующие обозначения:

y – конечное приращение функции;

y f (x ) x – конечное приращение ординаты касательной – главная линейная часть приращения y функции (1.43);

x – конечное приращение аргумента;

y y – разность приращений функции и ординаты каса тельной – конечная величина;

Dy – бесконечно малое приращение функции;

dy f (x) dx в математике – дифференциал функции y(x) – главная линейная часть приращения Dy функции, бесконечно малое приращение ординаты касательной (1.44);

dy f (x) dx в физике – бесконечно малое приращение функ ции, равное бесконечно малому приращению ординаты касательной (1.46);

Dy dy – разность бесконечно малых приращений функции и ординаты касательной – величина высшего порядка малости, чем dx.

Механический смысл дифференциала. Понятию дифферен циала можно также придать механический смысл. Предположим, что на рисунке 1.17 абсцисса x это время [сверху над осью Ох (t)], а ор дината y путь (S). Нас интересует процесс изменения пути с тече нием времени: y f x. Представление о постоянно меняющейся под влиянием каких-то сил скорости не слишком просто, поэтому при изучении движения в окрестности какого-то момента времени (поло жение тела в этот момент на графике движения изображено точкой М) удобно считать, что, начиная с этого момента, скорость перестала ме няться (это предположение равносильно гипотезе о том, что в рас сматриваемый момент времени мы «отключили» все действующие на тело силы, предоставив ему далее двигаться по инерции, то есть с по стоянной скоростью). Тогда, начиная с этого момента x, скорость все dy время будет оставаться равной мгновенной скорости x в мо dx dS t ), и пройденный за это время x мент x (или в момент времени dt путь будет равен: x x f x x dy.

Таким образом, механический смысл дифференциала заклю чается в том, что он равен пути, который прошла бы материальная точка за очень малый промежуток времени t, если бы ее движение стало равномерным, со скоростью, взятой в момент времени t.

На рисунке 1.17 равномерному движению тела соответствует прямая l, в то время как графиком исходного, неравномерного дви жения, служит кривая y f x. При малых x этот предполагаемый путь NQ1 dy (или dS ) будет отличаться от истинного пути M 1Q1 y (или S ) весьма мало, а именно на малую величину NM 1 более высокого порядка, чем PQ x (или t ).

Именно в таком «механическом» обличии появился дифферен циал у Ньютона, который назвал его термином «момент».

1.3.2 Свойства дифференциала Задача нахождения дифференциала функции равносильна нахо ждению производной, так как, умножив производную на дифференци ал аргумента, получим дифференциал функции.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.