авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 7 |

«Министерство образования и науки Республики Казахстан Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова Ю. П. Макушев, Т. А. ...»

-- [ Страница 2 ] --

Следовательно, большинство теорем и формул, относящихся к производным, сохраняют свою силу и для дифференциалов.

Пусть u u ( x ), ( x) дифференцируемые в точке x функции, тогда непосредственно из определения дифференциала и основных правил дифференцирования (1.1.2) следует:

1) d u u dx u dx u dx dx du d ;

2) d u u dx u u dx u dx u dx du u d ;

3) d Cu Cu dx C u dx C du ;

u u u dx u dx du u d u u 4) d dx dx 2 2 1.3.3 Дифференциал сложной функции Пусть y f (u ) и u (x ) две дифференцируемые функции.

Найдем дифференциал сложной функции y f ( ( x)), воспользо вавшись правилом дифференцирования сложной функции:

dy f x dx f u u dx f u du, (1.46) x то есть дифференциал сложной функции равен произведению произ водной этой функции по промежуточному аргументу на дифференци ал этого промежуточного аргумента.

Если сравнить формулы dy f x dx и dy f u du, то можно за метить, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, бу дет ли x независимой переменной или функцией какой- то другой пе ременной, в связи с чем это свойство дифференциала называют инва риантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Однако между записями dy f x dx и dy f u du существует принципиальное различие: в первой формуле x независимая пере менная, следовательно, dx x, во второй формуле u есть функция от x, поэтому du u.

С помощью определения дифференциала и основных его свойств таблицу производных можно преобразовать в таблицу дифференциа лов (таблица А.2).

Пример 1.20 Найти дифференциалы следующих функций:

а) y arctg x 2 ;

б) y cos x 2 ln 3x ;

x в) y 2.

x Решение. Воспользуемся формулой dy ydx. Следовательно, а) dy ydx arctg x 2 dx x 2 dx x 1 1 dx dx.

2x 3 x 1 x 2 2 x б) dy ydx cos x 2 ln 3x dx cosx 2 ln3x cos x ln 3x dx sin x 2 2 x ln 3 x cos x 2 3 dx 3x 2 x ln 3x sin x 2 cos x 2 dx.

x x 2 x 2 1 x 2 x 2 1 dx x в) dy ydx 2 dx x 1 x2 1 x 2 1 x 2 2 x x2 1 2x2 4x x2 4x dx dx dx.

x x x 2 2 2 2 1 1 1.3.4 Дифференциалы высших порядков Пусть y f x дифференцируемая функция, а x независи мая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy f x dx есть также функция от x. Найдем дифференциал этой функции.

Определение. Дифференциал от дифференциала функции y f x называется ее вторым дифференциалом (дифференциа лом второго порядка) и обозначается d 2 y или d 2 f x.

То есть d 2 y d dy. Найдем его выражение для функции y f x.

d 2 y d dy d f x dx f x dx dx f x dx dx f x dx 2 f x dx 2 ;

d 2 y f x dx 2. (1.47) Из формулы (1.47) следует, что обозначение для производной d2y второго порядка f x можно трактовать как отношение диф dx ференциала второго порядка d 2 y функции y f x к квадрату dx дифференциала первого порядка аргумента х.

Аналогично тому, как был определен дифференциал второго по рядка, находятся дифференциалы третьего, четвертого, пятого и более порядков.

Таким образом, по формуле d n y f n x dx n (1.48) может быть найден дифференциал n -го порядка. Однако необходимо помнить, что приведенные формулы справедливы только в том слу чае, когда x независимая переменная. Если же для функции y f x величина x является функцией от какой-то другой незави симой переменной, то дифференциалы второго и третьего порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по дру гим формулам. Например, в этом случае d 2 y f x dx 2 f x d 2 x.

Контрольные вопросы 1. Сформулируйте определение дифференциала.

2. В чем заключается геометрический смысл дифференциала?

3. Сформулируйте механический смысл дифференциала первого порядка.

4. Чему равен дифференциал суммы, разности, произведения и ча стного двух дифференцируемых функций?

5. В чем заключается свойство инвариантности формы первого дифференциала?

6. Каким образом дифференциал может быть применен к прибли женным вычислениям?

7. Каким образом считаются дифференциалы высших порядков?

2 Основы интегрального исчисления функции одной действительной переменной Интегральное исчисление возникло из задач определения пло щадей, объемов и центров тяжести, требующих вычисления опреде ленных интегралов пределов одного и того же типа. Понятие инте грала распространяется на функции, заданные в какой-либо области плоскости (двойные интегралы) или пространства (тройной интеграл).

Рассмотрим две различные на первый взгляд задачи:

1) нахождение суммы большого числа малых слагаемых вида (t ) t или (t) dt ;

2) нахождение функции S (t ), производная (t ) которой нам из dS ( t ).

вестна dt Многие задачи физики, химии, математики возникают как зада чи типа 1), то есть задачи суммирования большого числа малых вели чин. Действительно, сама их формулировка уже подсказывает простой путь вычисления интересующей нас величины – с помощью прямого суммирования тех (малых) слагаемых, о которых идет речь в задаче.

Однако этот прямой метод решения задач 1) не позволяет выразить ответ в виде формулы, и высшая математика возникла тогда, когда была установлена связь между задачами 1) и 2), что открыло путь к общим приемам (алгоритмам) решения задачи 1).

Итак, что же такое интеграл и как он связан с приведенными выше задачами? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, что в 1. задача об определении мгновенной скорости движения (t ) по задан ной зависимости S S (t ) положения S тела от времени t привела dS (t ) (1.7).

нас к понятию производной dt Обратная задача заключается в определении положения S S (t ) тела (то есть пути, пройденного телом за данный отрезок времени t ), если мгновенная скорость (t ) задана как функция времени. Эта за дача приводит ко второму важнейшему понятию высшей математики – понятию интеграла.

2.1 Неопределенный интеграл Итак, задача дифференциального исчисления – по данной функ ции f (x) найти ее производную (или дифференциал). Задача инте грального исчисления – найти функцию F (x), зная ее производную F ( x ) f ( x) (или дифференциал). Искомую функцию F (x) называ ют первообразной функции f (x).

По данной функции f (x) ищется такая первообразная функция F (x), для которой f (x) есть производная. Интегрирование есть действие, обратное дифференцированию.

Определение. Функция F (x) называется первообразной функ ции f (x) на интервале a;

b, если для любого x a;

b выполняется равенство F ( x ) f ( x) (или dF ( x) f ( x) dx ). (2.1) Теорема 2.1 Если функция F (x) является первообразной функ ции f (x) на интервале a;

b, то множество всех первообразных для f (x) задается формулой F ( x) С, где С – константа.

Другими словами, каждая функция имеет бесконечное множест во первообразных, отличающихся друг от друга на некоторую посто янную величину – константу.

Например, первообразной функции y x 3, x R, является x4 x 4 4 x x 3 f ( x), а, так как F ( x) функция F ( x) 4 4 x также функция F ( x) 3, так как x4 4 x 0 x 3 f ( x), и вообще любая функция F ( x) 4 x вида F ( x) С, где С константа, поскольку x4 4 x 0 x 3 f ( x) (воспользовались тем, что F ( x) С 4 производная константы равна нулю).

Определение. Множество всех первообразных функций F ( x) С для функции f (x) называется неопределенным интегра лом от функции f (x) и обозначается f ( x) dx, а операция нахожде ния неопределенного интеграла от функции называется интегриро ванием.

Таким образом, по определению f ( x) dx F ( x ) C, (2.2) где f (x) подынтегральная функция;

f ( x) dx подынтегральное выражение;

x переменная интегрирования;

знак неопределен ного интеграла.

Неопределенный интеграл иногда называют первообразной функцией, воспринимая этот термин как обратный к понятию «произ водная»: речь идет о той функции, от которой берется (уже известная нам) производная. Заметим, что слово «интеграл» образовано от лат.

«integer» «целый», а знак («интеграл») происходит от латинской буквы S, первой буквы слова «сумма»: он получился растягиванием буквы S в вертикальном направлении (символ ввёл Лейбниц). Ка ким образом интеграл связан с понятием «суммы», мы рассмотрим ниже.

Приведем (без доказательства) основные свойства неопределен ного интеграла:

1) f ( x )dx ( F ( x) C ) f ( x);

2) d f ( x) dx f ( x )dx;

3) dF ( x) F ( x) C ;

4) C f ( x) dx C f ( x)dx;

5) (u v)dx udx vdx, где u u ( x), v v( x) – некоторые функции, зависящие от х.

Нахождение значения неопределенного интеграла связано глав ным образом с нахождением первообразной функции. Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые быва ют иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство пред ставленных в этих таблицах формул являются следствиями друг дру га, поэтому в приложении А настоящего пособия приведена таблица А.3 основных интегралов, с помощью которых можно получить зна чения неопределенных интегралов различных функций.

Существуют три основных метода интегрирования:

1) метод непосредственного интегрирования – метод, при ко тором данный интеграл путем тождественных преобразований подын тегральной функции (подынтегрального выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или не скольким табличным интегралам.

Пример 2. x 8 x 7 4 cos x 4 x dx 7 dx dx 4 cos xdx 4 dx x x 7x 8 ln x 4 sin x 4 x C.

ln Вычисление интегралов в системе Mathcad. Для интегриро вания выражений в символьном виде необходимо на панели Матема тика выбрать панель Вычисления (Calculus) и нажать кнопку неопре делённого интеграла, в открывшемся шаблоне ввести выражение искомого интеграла, а затем ввести знак символьного вычисления :

8 x ( + 4cos(x) 4x) dx x 4 ln(7)sin(x) 8ln(7) ln(x)+7 x 2x 2 ln(7) ln(7) Результат интегрирования отличается от приведённого в приме ре выше. Проверять Mathcad не нужно – ошибку в приведённом выше расчёте предлагается найти самому читателю.

Пример 2. x3 5 11 5 1 x6 10x3 25 dx dx x 2 10 x 2 25 x 2 dx x 2 dx x1 x 11 5 1 1 5 1 x2 x2 x2 x 2 dx 25 x 2 dx C x 10 10 11 5 1 1 1 2 2 7 20 2 2 x 50 x 2 C x 6 x x 3 x 50 x C.

7 13 При нахождении данного неопределенного интеграла мы воспользовались 4-м и 5-м свойствами неопределенного интеграла и таблицей А.3.

Вычисление в системе Mathcad:

(x 3 +5) 2 20 50 x dx x 2 ( 7 x3 + x6 + 13 ).

Данное выражение приводится к полученному выше путём за мены x13 / 2 x6 x ;

2) метод интегрирования подстановкой (заменой переменной) – метод, заключающийся во введении новой переменной интегриро вания. При этом исходный интеграл сводится к табличному значению.

Если требуется найти интеграл f ( x)dx, но сложно отыскать перво образную, то с помощью замены x (t ) и dx (t ) dt получается f ( x) dx f ( (t )) (t ) dt. (2.3) Метод замены переменной может быть применим в следующих случаях:

а) под знаком интеграла содержится сложная функция f ( ( x)), следовательно, замена: ( x ) t ;

( x) dx dt (например, f ( x) sin x x t, dx dt );

2x б) под знаком интеграла содержится полный дифференциал од ной из входящих функций. Тогда заменяем на переменную t ту функ цию, полный дифференциал которой содержится под знаком интегра ла. Например, при вычислении интегралов вида ax ax ax dx;

dx, dx необходимо сделать сле bx 2 c bx 2 c c bx dt дующую замену переменной: bx 2 c t 2bxdx dt xdx.

Пример 2. 8x 7 t 8 x 7 25 C.

1 t 1 8 x 7 dx 8dx dt dx t dt C 8 8 25 dx dt Вычисление в системе Mathcad:

(8x 7) (8x 7) dx 200.

Пример 2. 3x 5 3x x dx dx dx dx dx 3 5 2 2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x x2 2 t x dx tdt 5ln x x 2 2 2 xdx 2tdt 3 5 ln x x2 t x2 2 xdx tdt 3 dt 5 ln x x 2 2 3 t 5 ln x x 2 2 C 3 x 2 5 ln x x 2 2 C.

Вычисление в системе Mathcad:

3x dx 5ln(x x 2 2 ) 3 x 2 2 ;

x2 3) метод интегрирования по частям – метод, заключающийся в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла пред ставляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножите лей u и dv, а затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям:

udv u v vdu. (2.4) Вывод формулы основан на следующих соображениях. Пусть u u x и v v x функции от x. По свойствам дифференциала d u v vdu udv. Проинтегрировав это равенство, получим:

d (u v ) udv vdu. По приведенному выше свойству 3) неопре деленного интеграла: u v udv vdu или udv u v vdu.

В таблице 2.1 представлены основные типы интегралов, беру щихся по частям. При этом в таблице 2.1 указано, в каком случае вы ражение под знаком интеграла принимается за u и за v.

Таблица 2.1 – Основные типы интегралов, берущихся методом интегрирования по частям 1 тип 2 тип e axb, ln(ax b), axb arcsin(ax b ), c, P ( x) dx P( x) arccos(ax b), dx sin( ax b), arctg( ax b), cos(ax b) arcctg( ax b) Р(х) – многочлен степени n от х 1) u P ( x ) du P ( x ) dx ln(ax b), arcsin(ax b), e ax b, 1) u arccos(ax b), ax b c arctg(ax b),, dx dv 2) sin(ax b), arcctg(ax b) cos( ax b) ln( ax b), e axb, arcsin(ax b), axb c, du arccos(ax b), dx dx v arctg( ax b), sin(ax b), cos(ax b) arcctg(ax b) 2) P ( x)dx dv v P ( x)dx Пример 2. u 2 x 3 du 2dx 2 x 3 cos4xdx dv cos4 xdx v cos4 xdx v sin4 x 2x 1 1 2 x 3 sin4 x sin4 x 2dx sin4 x ( cos4 x ) C 4 4 4 2x 3 sin4 x cos4 x C.

4 Вычисление в системе Mathcad:

cos(4x) 3sin(4x) x sin(4x) (2x+3) cos(4x)dx.

8 4 Пример 2. u lnx du dx x lnx x5 dx lnx 4x x 1 1 dv 5 dx v 5 dx v x x 4x 11 1 11 1 1 4 dx 4 lnx 5 dx 4 lnx 4 C 4x x 4x 4 4x 4x 4x 1 C.

lnx 16 x 4x Вычисление в системе Mathcad:

ln(x) 4ln(x) dx.

x5 16x О методах интегрирования некоторых специальных типов функций: дробно-рациональных, тригонометрических, иррациональ ных можно узнать из специальной литературы по высшей матема тике, например [7, 12, 13, 25, 31, 32].

Контрольные вопросы 1. В чем заключаются задачи дифференциального и интеграль ного исчисления и как они связаны между собой?

2. Какую функцию называют первообразной для данной функ ции y f (x) ?

3. Какая функция называется интегрируемой?

4. Назовите основные свойства неопределенного интеграла.

5. Назовите основные методы интегрирования.

6. В чем заключается метод непосредственного интегрирования?

7. Что общего и различного между таблицами производных и интегралов?

8. В чем заключается суть метода подстановки? В каких случаях применяется этот метод интегрирования?

9. В чем заключается суть метода интегрирования по частям?

10. Для нахождения интегралов каких типов удобен этот метод?

2.2 Определенный интеграл Пусть функция y f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;

b], ab. Произвольным образом разобьём отрезок [a;

b] на n частей a x0 x1 x2... xn 1 xn b. Каждый отрезок точками xi 1;

xi, i 1,2,...n, назовем частичным отрезком, а разность xi xi xi 1 длиной частичного отрезка. Внутри каждого частич ного отрезка произвольным образом выберем точку сi, i 1, 2,...n, и найдем в ней значение функции yi f (сi ). Умножив каждое значение yi f (сi ) на длину соответствующего частичного отрезка xi, полу чим f ( ci ) xi.

Сумма вида n f (ci ) xi f (c1 )x1 f (c2 )x2... f (cn )xn (2.5) i называется интегральной суммой для функции y f (x) на отрезке a;

b.

n f (ci )xi Определение. Если интегральная сумма имеет пре i дел I (при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков xi стремится к нулю), не зависящий ни от способа разбиения отрезка a;

b на частичные отрезки, ни от выбора точек сi в них, то число I называется определенным интегралом от функции y f (x) на от b резке a;

b и обозначается f ( x )dx. Таким образом, a b n f (ci )xi, f (x)dx (2.6) lim maxxi 0i a n где числа a и b называются соответственно нижним и верхним пре делами интегрирования;

f (x) подынтегральной функцией;

f ( x) dx подынтегральным выражением;

x – переменной интег рирования, отрезок a;

b областью (отрезком) интегрирования.

Отметим, что запись dx (вместо x ) в записи определенного интеграла означает, что для получения точного значения интеграла необходимо перейти к пределу, когда все промежутки x стремятся к df нулю (подобно тому, как производная получается из отношения dx f, если устремить x к нулю и перейти к пределу).

x Определение. Функция y f (x), для которой на отрезке a;

b b существует определенный интеграл f ( x )dx, называется интегри a руемой на этом отрезке.

Теорема 2.2 (Теорема существования определенного интегра ла). Если функция y f (x) непрерывна на отрезке a;

b, то опреде b ленный интеграл f ( x )dx существует.

a 2.2.1 Свойства определенного интеграла a 1) f ( x )dx 0 ;

a b b 2) Af ( x)dx A f ( x )dx ;

a a b b b 3) ( f1 ( x) f 2 ( x ))dx f1 ( x )dx f 2 ( x) dx ;

a a a b a 4) f ( x )dx f ( x) dx ;

a b 5) для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство b c b f ( x) dx f ( x )dx f ( x) dx ;

a a c f ( x) ( x) [a, b] (a b), 6) если на отрезке то b b f ( x) dx ( x)dx.

a a Теорема 2.3. (Теорема о среднем). Если функция f (x) непре рывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке существует точка с такая, что b f ( x )dx f (с) (b a).

a Это далеко не полный список свойств определенного интеграла.

Весь список свойств с подробным доказательством представлен в учебниках и учебных пособиях по высшей математике [31,30]. В на стоящем пособии мы приводим те основные свойства, знание которых позволит нам применять их в задачах технического содержания.

2.2.2 Вычисление определенного интеграла Формула Ньютона-Лейбница.

Теорема 2.4 (Теорема Ньютона–Лейбница). Если функция y f (x) непрерывна на отрезке a;

b и F(x) – какая-либо ее перво образная, то имеет место формула b f ( x)dx F (b) F (a ). (2.7) a Это выражение называют формулой Ньютона – Лейбница.

Пример 2. x2 1 0 2 x sin2 x dx 2 cos2 x x 2 cos2 x cos 22 0 2 cos 0 2 1 1 2.

Вычисление определённого интеграла в системе Mathcad.

Для интегрирования выражений в символьном виде необходимо на панели Математика выбрать панель Вычисления (Calculus) и нажать b кнопку определённого интеграла, в открывшемся шаблоне ввести a выражение искомого интеграла, а затем ввести знак символьного вы числения :

0 (2x+sin(2x))dx.

При вычислении определенных интегралов часто приходится пользоваться формулой замены переменной и формулой интегрирова ния по частям. Рассмотрим особенности этих формул применительно к определённым интеграла.

Формула замены переменной в определённом интеграле.

b Пусть для вычисления интеграла f ( x )dx от непрерывной функции a сделана подстановка x (t ). Если функция (t ) и ее производная (t ) непрерывны на отрезке ;

, причем a ( );

b ( ), то справедлива формула b f ( x )dx f t t dt. (2.8) a Пример 2. x t 2 4t 3dt 2 t3 2 (t 3 1) dx 4t 3dt 16dx dt 4 dt 4 1 1 t 1 1 t t 11 x x 1 t 1 x 16 t 2 t3 1 2 (t 1) t 2 t 21 dt dt dt 4 dt 1 t 1 1 t 1 t 1 1 t t3 t2 t 4 ln 3 ln 4 t t 1 dt 4 ln t 1 4 3 2 8 4 11 3 11 3 22 4 2 1 4 ln 4 4 ln 4 ln.

3 2 32 2 6 23 Вычисление в системе Mathcad:

1 dx ln(16) ln(81)+.

1 1+ 4 x Пример 2. 1cos6 x t 6sin6 xdx dt 1 dt 4 6 1 dt 1 ln t 1 sin6 x dx ln1 ln 1cos6 x x t 1 t 6 t 6 6 1 9 2 x t 9 1 ln ln 2. (2.9) 6 Вычисление в системе Mathcad:

ln( ) 4 sin(6x) dx 2.

1 cos(6x) (2.10) Результаты интегрирования (2.9) и (2.10) не совпадают;

как уже отмечалось, проверять Mathcad не следует – ошибку следует искать при переходе к переменной t.

Формула интегрирования по частям в определённом инте грале. Если функции u u (x),v v(x) имеют непрерывные частные производные на отрезке a;

b, то имеет место формула b b b udv u v vdu. (2.11) a a a Пример 2. u x du dx 0, 1 5 x 0, 5x xe dx x e dv e 5 x dx v e 5 x dx v e 5 x 5 1 1 5 x 0, 2 0, 1 5x 1 5 0, 2 1 e e 5 0, 2 e e dx 0,2 e 0 e 05 5 55 25 25 1 1 1 e e.

25 25 25 Вычисление в системе Mathcad:

0.2 x e5x dx 0.

Таким образом, что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех при емов и методов, которые используются при нахождении неопределен ных интегралов. Точно также применяются методы подстановки (за мены переменной), метод интегрирования по частям, используются те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, ра циональных и иррациональных функций. Особенностью является толь ко то, что при применении этих приемов надо распространять преоб разование не только на подынтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Помните: заменяя переменную интегрирования, не забудьте изменить соответственно пределы интегрирования.

2.3 Приложения определенного интеграла Прежде чем начать разговор о приложениях определенного ин теграла, обозначим общую схему его применения к решению задач.

Итак, пусть требуется найти значение некоторой геометриче ской или физической величины А (это может быть площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину, путь, пройденный телом), связанной с отрезком изменения независимой пе ременной х. Предполагается, что эта величина А обладает свойством аддитивности (от лат. «additivus» — прибавляемый), то есть при раз биении отрезка a;

b точкой с a;

b на части a;

c и c;

b значение величины А, соответствующее всему отрезку a;

b, равно сумме ее значений, соответствующих отрезкам a;

c и c;

b.

Для нахождения величины А опишем метод интегральных сумм. Именно на этом методе в дальнейшем основывается вывод ряда формул, используемых для нахождения многих геометрических и фи зических величин. Например, данный метод используется при реше нии задач, рассматриваемых в гл. 5 и гл. 10.

Метод интегральных сумм включает в себя следующие основ ные этапы:

1) отрезок a;

b произвольным образом разбивается точками x0 a, x1, x2, x3,..., xn 1, xn b на n частей – n частичных отрезков xi 1;

xi, i 1,2,...n. Длина каждого частичного отрезка обозначается xi xi xi 1 ;

2) внутри каждого частичного отрезка xi 1 ;

xi, i 1,2,...n, про извольным образом выбирается точка сi ;

3) находится значение определяемой из условия задачи функции f (x) в точке сi, то есть значение f (сi ). Умножая это значение на соответствующего частичного отрезка xi 1 ;

xi длину xi (i 1,2,...n), получаем n произведений вида Ai f ci xi ;

4) составляется сумма всех таких произведений:

n n Аn A1 A2... An Ai f (ci ) xi интегральная сумма.

i 1 i Заметим, что при нахождении величины Ai допустимы некото рые упрощения. Например, дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы;

переменную скорость на малом уча стке пути можно приближенно считать постоянной, так же как и силу, действующую на движущуюся материальную точку. В связи с чем ве личина An дает приближенное значение величины А:

n A An f (ci ) xi. (2.12) i Точное значение величины А равно пределу интегральной сум мы An при условии, что длина наибольшего частичного отрезка xi 1;

xi стремится к нулю при неограниченном увеличении числа ча стичных отрезков (при n ).

b n A An f (ci ) xi f ( x) dx. (2.13) lim lim max x i 0 max x i 0 i 1 a n n Заметим, что указанный метод интегральных сумм основан на представлении интеграла как суммы бесконечно большого числа бес конечно малых слагаемых.

Итак, проследим, каким же образом данная схема может быть применена для выяснения геометрического и физического смысла оп ределенного интеграла.

2.3.1 Физические приложения определенного интеграла Вычисление массы стержня. Пусть (x) линейная плот ность неоднородного стержня [см. примечание к формуле (1.13)], рас положенного на отрезке a;

b оси Ox. Рассмотрим произвольное раз биение отрезка a;

b на частичные отрезки xi 1, xi, длины xi xi xi 1, i 1, 2,...n. Внутри каждого частичного отрезка выбе рем произвольную точку i и составим сумму по всем частичным от резкам:

n mn ( i )xi. (2.14) i Так как эта сумма, являющаяся интегральной суммой для функ ции (x) на отрезке a;

b, дает приближенное значение массы стержня, то точное значение этой массы будет равно пределу суммы n m ( i ) xi при стремлении к нулю наибольшей длины частич i ных отрезков, то есть будет равно интегралу:

b n ( i ) xi ( x) dx.

m mn (2.15) lim lim max xi 0 max x i 0 i 1 a n n Вычисление работы по перемещению материальной точки из положения а в положение b оси Ox под действием силы F(x), дей ствующей параллельно оси Ox (считаем, что направление перемеще ния совпадает с направлением действия силы). В случае постоянства силы работа силы равна произведению силы на перемещение. Однако на практике чаще приходится иметь дело с переменной силой. В этом случае, используя метод интегральных сумм, разбиваем весь путь на малые интервалы xi xi xi 1, i 1,2,3,...n, и суммируем выраже ния F i xi ( i xi 1 ;

xi ), получаемые в предположении, что на рассматриваемом малом интервале xi сила не меняется. В результате n F (i )xi, в которой для полу мы приходим к «интегральной сумме»

i чения выражения для проделанной работы А необходимо перейти к пределу, считая все отрезки xi неограниченно убывающими. Этот b предел равен интегралу F (x )dx, который дает точное значение работы А:

a b A F ( x )dx. (2.16) a Путь, пройденный телом. Пусть материальная точка переме щается по прямой с переменной скоростью t. Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от t1 до t 2. Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном на правлении «скорость прямолинейного движения равна производной dS от пути по времени», то есть ( t ). Отсюда следует, что dt dS (t )dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от t1 до t 2, получим t S (t ) dt. (2.17) t Заметим, что к данной формуле можно прийти и с использова нием метода интегральных сумм, разбивая путь S (отрезок a;

b, где a t1, b t2 ) на частичные отрезки и суммируя расстояния, пройден ные на участках пути S i ti ti, где ti ti ti 1 время прохо ждения i-го участка пути ti 1, ti, i 1,2,...n. Весь путь будет равен t n (ti )ti (t ) dt.

S Sn lim lim max t i 0 max t i 0 i 1 t n n Статические моменты и координаты центра тяжести пло ской фигуры. Пусть дана плоская фигура (материальная пластинка), ограниченная кривой y f x ( f ( x) 0 на отрезке a;

b ) и прямыми х=а, x=b, y=0 (рисунок 2.1). Полагая, что поверхностная плотность пластинки постоянна const (кг/м2), получим, что масса всей пла стинки (кг) равна m = S, где S площадь пластинки (м2);

плотность пластинки, отнесенная к единице площади (поверхностная плотность). Толщина пластинки настолько мала, что ей можно пре небречь. Таким образом, b m f x dx. (2.18) a Статическим моментом S x ( S y ) системы материальных точек от носительно оси Ox (Oy ) называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (абсциссы). Статиче Рисунок 2.1 – Координаты ские моменты S, S вычисляются по y x центра тяжести плоской фигуры формулам b b S x y 2 dx, S y xydx. (2.19) 2a a Если точка С хс, ус центр тяжести плоской фигуры (пла стинки), то его координаты вычисляются по формулам b b xydx xydx Sy a a xc ;

(2.20) b b m ydx ydx a a 1b2 b y dx y dx Sx 1a 2a yc. (2.21) b 2b m ydx ydx a a Это далеко не весь список задач, для решения которых приме няется определенный интеграл. С помощью определенного интеграла можно находить: работу газов в цилиндре двигателя, давление жидко сти на вертикальную пластину, работу растяжения пружины, массу вы текающей из сосуда жидкости, массу деталей сложной конфигурации.

Задача 2.1 Скорость тела меняется согласно выражению 0,03 t 2 м с. Какой путь пройдет тело за 10 с от начала движения?

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой (2.17) t S (t )dt. В нашем случае (t ) 0,03 t 2, t1 0, t 2 10. Следова t тельно (см. таблицу А.3):

t 2 1 10 t3 0,01 103 10 м.

S 0,03t dt 0,03 0, 2 1 0 3 Задача 2.2 Для растяжения пружины на 1 м необходимо совер шить работу 5 Дж (Нм). На какую длину нужно растянуть пружину, чтобы совершить работу в 15 Дж.

Решение. Согласно закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т.е. F ( x) k x, где k – коэффициент пропорциональности (жесткость пружины, Н/м).

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно знать значение этого коэф фициента. Для его нахождения воспользуемся формулой (2.16):

b A F ( x )dx. По условию задачи a 0, b 1, A 5, следовательно:

a kx 2 1 k 5 k x dx 5 k 10 Н/м.

20 Таким образом, F ( x) 10 x. Чтобы найти длину, на которую можно растянуть пружину, совершив работу в 15 Дж, мы также вос пользуемся упомянутой выше формулой, в которой нам теперь неиз вестен параметр b. То есть 10 x 2 b b 30 10b 2 3 b 2 b 3 1,73.

15 10 xdx Следовательно, пружину нужно растянуть примерно на 1,73 м.

Проиллюстрируем ситуацию, описанную в задаче графически (рисунки 2.2 и 2.3). На рис. 2.2 показаны пружины растяжения и сжа тия в состоянии покоя.

а) растяжение б) сжатие Рисунок 2.2 – Пружины в состоянии покоя В случае если пружина предварительно не растянута (см. рисунок 2.2), то при ее деформации сила F, растягивающая пру жину, определяется по формуле F k x. На плоскости (см. рисунок 2.3) этому выражению соответствует уравнение прямой y k x (в на шем примере k = 10, соответствующая прямая y 10 x изображена на рисунке 2.3). Так, например, по графику (см. рисунок 2.3) видно, что при растяжении пружины с жесткостью в 10 Н/м (k = 10) на 1 м (x = 1) сила пружины составит 10 Н (F = 10). Свойство растяжения пружины может быть использовано при изготовлении эспандера для развития мышц рук.

В случае предварительного растяжения пружины по ее оси дей ствует сила F k x b, где b величина предварительного растя жения пружины;

k жесткость пружины, Н/м. На графике данному выражению функции F соответствует прямая y k x b, располо женная параллельно прямой y k x (в нашем примере, это прямая y 10 x 5, см. рисунок 2.3).

Жесткость пружины (k) это величина, показывающая, какое уси лие в Н нужно приложить к ней для ее растяжения (сжатия) (в нашем приме ре для растяжения на 1 м). Обычно жесткость имеет единицу величины в Н/мм. У пружин форсунок автомо бильных дизелей жесткость лежит в Рисунок 2.3 – Характеристики пределах 200 300 Н/мм. пружины Пружины растяжения и сжатия с различной жесткостью применяются в технике. В двигателях внут реннего сгорания их используют в форсунках, насосах высокого дав ления, регуляторах, клапанах.

На рисунке 2.4 показан общий вид форсунки двигателя семейст ва Ярославского моторного завода [8].

1 – сопловые отверстия;

2 – игла;

3 – корпус распылителя;

4 – гайка распылителя;

5 – корпус;

6 – шток;

7 – опорная шайба;

8 – пружина;

9 – регулировочный винт;

10 – контргайка;

11 – колпак;

12 – сетчатый фильтр;

13 – уплотнитель;

14 – штуцер;

15 канал Рисунок 2.4 – Форсунка Под действием высокого давления игла форсунки 2 перемещает ся и через шток 6 сжимает пружину 8. Через открытые сопловые отверстия 1 топливо в распыленном виде подается в камеру сгорания.

После окончания впрыска пружина 8 разжимается и при помощи што ка 6 действует на иглу 2, закрывая сопловые отверстия 1. Усилие пружины сжатия 8 регулируют винтом 9.

2.3.2 Геометрические приложения определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком непрерывной функции y f x ( f ( x) 0 на отрезке a;

b ), снизу осью Ох, слева и справа соответственно параллельными прямыми х = a и x = b (рисунок 2.5).

Используя метод интеграль ных сумм, докажем, что площадь криволинейной трапеции, огра ниченной непрерывной кривой y f x, двумя параллельными прямыми х=a, x=b и осью Ох в случае, если f ( x) 0 на отрезке a;

b, вычисляется по формуле b S f ( x) dx. (2.22) Рисунок 2.5 – Криволинейная a трапеция 1 Произвольным образом точками x0 a,x1,x2,x3,...,xn 1,xn b отрезок a;

b разбиваем на n частей n частичных отрезков xi 1 ;

xi, i 1,2,...n. xi xi xi 1 длина i -го частичного отрезка (рису нок 2.6).

2 Внутри каждого частичного отрезка xi 1 ;

xi, i 1,2,...n, про извольным образом выбираем точку сi.

3 Находим значение определяемой функции f (x) в точке сi, то есть значение f (сi ) [из точки сi проводим прямую, параллельную оси Оу, до пересечения с графиком функции y f x ;

ордината по лученной точки пересечения даст нам искомое значение функ ции f (сi ) ]. Значение f (сi ) численно равно высоте hi i-го прямо угольника. Умножаем это значение на длину соответствующего час тичного отрезка xi 1 ;

xi (i 1,2,...n) xi. В результате получаем n произведений вида S i f ci xi, выражающих площадь прямо угольников с основанием xi высотой hi f ci.

4 Составим сумму всех таких произведений (сумму площадей):

n n f c1 x1 f c2 x2... f cn xn f (ci ) xi Si S n.

i 1 i Полученная сумма S n равна площади ступенчатой фигуры (см. рисунок 2.6) и приближенно равна площади криволинейной тра пеции S. То есть n S S n f (ci ) xi. (2.23) i 5 При xi 0 точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличивают ся. Следовательно, за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится значение площади ступенчатой фигуры S n, когда n неограниченно возрастает так, что max xi 0. Таким образом, мы получаем b n f (ci ) xi f x dx.

S lim S n (2.24) lim n max xi 0 i 1 a n Рисунок 2.6 – Площадь криволинейной трапеции b Геометрический смысл определенного интеграла f ( x )dx от a неотрицательной функции y f (x) ( f ( x) 0 на отрезке a;

b ) за ключается в том, что он численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной данной кривой.

Если же f ( x) 0 на отрезке a;

b (рисунок 2.7), то b S f ( x)dx. (2.25) a В общем случае b S f ( x )dx. (2.26) a Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми y1 f1 ( x), y 2 f 2 ( x) и двумя прямыми х=a, x=b, где f1 ( x ) f 2 ( x) на отрезке a;

b (рис. 2.8), может быть найдена по формуле b S f 2 ( x) f1 ( x)dx. (2.27) a Рисунок 2.7 – Площадь криволи- Рисунок 2.8 – Площадь фигуры, огра ниченной кривыми y1 f1 (x), y2 f2 (x) нейной трапеции в случае f (x ) x x(t ), В случае задания кривой параметрического y y (t ), y (t ) 0, t1 t t 2, площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой прямыми х=a, x=b и отрезком a;

b оси Ох, может быть найдена по формуле t S y (t ) x(t ) dt, (2.28) t при этом a (t1 ), b (t2 ).

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой r r ( ) и двумя полярными ра диусами 1, 2 (где 1 2 ) (рисунок 2.9), вычисля Рисунок 2.9 – Криволинейный сектор ется по формуле 1 2 S r ( ) d. (2.29) 2 Площадь круга. Используя общую формулу (2.29), получим формулу для площади круга радиусом r в системе Mathcad:

1 d r 2.

S:= r 2 dr r Площадь круга можно также вычис R лить как сумму площадей бесчисленного числа элементарных колец. Площадь малого dS 2 rdr кольца dS 2r dr находится как площадь Рисунок 2.10 – Расчёт прямоугольной полоски длиной 2r, равной площади круга как длине окружности текущего радиуса r, и ши суммы площадей колец риной dr (рисунок 2.10):

R Sкруга :=2 r dr R 2.

Площадь сферической поверхности. Выведем формулу для расчёта площади поверхности шара как сумму площадей бесчис ленного числа боковых поверхно стей усечённых конусов. Развёртку r dl=R d конуса представляем в виде полоски длиной 2r и высотой, равной дли не образующей конуса – длине хор d ды dl R d. Текущий радиус в со dS=2 r dl R ответствии с рисунком 2.11 опреде ляется по формуле r R sin, а площадь полоски dS 2r d l 2 R sin Rd. Ин Рисунок 2.11 – Расчёт площади тегрируя это выражение в системе шара как суммы площадей Mathcad, получим формулу для рас конических поверхностей чёта площади сферы радиусом R:

Sшара :=2 R sin() d 4R 2.

Длина дуги кривой. Пусть кривая на плоскости задана уравне нием y f x. Тогда длина дуги этой кривой АВ (рисунок 2.12), за ключенной между точками с абсциссами х=a, и x=b, может быть най дена по формуле b l 1 f ( x )2 dx. (2.30) a В случае параметрического за дания кривой x x(t ), y y (t ), где x (t ), y (t ) непрерывно диффе Рисунок 2.12 – Вычисление ренцируемые на отрезке a;

b функ длины дуги кривой ции, длина дуги кривой, соответст вующей монотонному изменению параметра t от t1 до t 2, вычисляет ся по формуле t x(t ) 2 y(t ) 2 dt.

l (2.31) t x x(t ), Если задана пространственная кривая y y (t ), t1 t t 2, то z z (t ), t x(t ) 2 y(t ) 2 z(t ) 2 dt.

l (2.32) t Если кривая задана в полярных координатах уравнением r r ( ), 1, 2 ( 1 2 ), то r 2 r 2 d.

l (2.33) Если кривая задана уравнением в полярных координатах (), то длина дуги d l d. (2.34) d В случае окружности r const подынтегральное выраже ние становится равным r d dl – элементарная длина дуги и форму ла (2.34) упрощается l r d. Применяя эту формулу к окружности, найдем её длину как бесконечной суммы элементарных длин дуг:

C: r d 2r.

Объем тела вращения. Пусть вокруг оси Ох вращается боковая поверхность криволинейной трапеции, ограниченная непрерывной линией y f x ( f ( x) 0 на отрезке a;

b ), осью Ох, параллельны ми прямыми х=a и x=b. Полученная от вращения фигура называется телом вращения (рисунок 2.13).

Если известны площади сечений S этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например, оси Ох: S S x, то дейст вуя по алгоритму метода интегральных сумм, можно показать, что объем V тела вращения будет равен b V S x dx. (2.35) a Рассмотрим рисунок 2.13. Заме Рисунок 2.13 – Тело вращения тим, что сечение этого тела плоско стью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси x a;

b, есть круг радиуса y f x. Следовательно, S y 2 f 2 x.

Тогда, в соответствии с предыдущей формулой, объем получен ного таким образом тела вращения вычисляется по формуле b Vx f 2 ( x) dx. (2.36) a Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерыв ной функции x y ( ( y ) 0 на отрезке c;

d ) осью Оу, прямыми y c, y d, c d, то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, вычисляется по формуле d V y 2 ( y )dy. (2.37) c Приведём примеры расчёта объёма шара двумя методами:

как суммы цилиндрических слоёв и как сумму шаровых слоёв.

Расчёт объёма шара в виде суммы цилиндрических слоёв.

Согласно рисунку 2.14 объём элементарного цилиндрического слоя радиусом r и высотой dh равен dV r 2 dh. Бесконечная сумма (ин теграл) этих объёмов при изменении h от 0 до R даст объём полусфе ры, поэтому полный объём шара будет равен двум таким суммам.

Связь между r и h устанавливается по теореме Пифагора. Определе ние выражения для объёма шара в системе Mathcad выглядит так:

4 R R 2 r:= R (R h) ;

V:=2 r dh.

0 Расчёт объёма шара как суммы шаровых слоёв. Согласно рисунку 2.15 объём элементарного шарового слоя будет равен произ ведению площади поверхности сферы (шара) dSш 4r 2 текущего радиуса r на приращение этого радиуса dr.

h r dSш 4r dh R-h R dr r R dVц= r dh dVш.с 4r dr Рисунок 2.14 – Расчёт Рисунок 2.15 – Расчёт объёма шара как суммы объёма шара как суммы объёмов цилиндров объёмов шаровых слоёв Решение в системе Mathcad будет таким:

4 R R V:= 4 r dr.

0 Задача 2.3 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y 3 / x, x y 4 0.

Решение. Построим область, площадь которой необходимо най ти. Кривая y представляет собой гиперболу, расположенную в x первой и третьей четвертях;

x y 4 0 прямая линия (рису нок 2.16).

Воспользуемся формулой (2.27), определим а и b. Найдем точки пересечения графиков функций y и y 4 x. Составим и решим x y 3, 4 x 3 4 x x 2, получим систему уравнений: x x y 4 x квадратное уравнение x2 4x 3 0.

Дискриминант полученного квадратного уравнения равен D 4 2 4 1 3 16 12 4, следовательно, корни уравнения 4 4 4 x1 1;

x2 3.

2 Найденные значения x1 1 и x2 3 будут соответственно ис Рисунок 2.16 – Фигура, огра- комыми значениями а и b.

ниченная графиками функций Таким образом, f1 ( x ), y = 3/x и x + y – 4 = 0 x f 2 ( x) 4 x, a 1, b 3. Тогда 3 4 x 3 dx 4 x x 3ln x 12 9 3ln3 4 1 3ln S x 2 2 1 1 9 12 3ln3 4 0 4 3ln3 ед 2.

2 Так как мы находим площадь, то в роли ед2 могут быть, напри мер, см2, м2.

Построение графиков в си стеме Mathcad Задаём функции y1 и y2 от х:

3 y 1( x) y1 (x):=, y 2 (x):= 4 x.

x y 2( x) Для построения графиков этих функций необходимо вы- звать панель Graph (График), вы брать шаблон для декартового 0 1 2 3 графика и заполнить соответст x вующие ячейки, как это сделано Рисунок 2.17 – Графики на рисунке 2.17. y = 3/x и y = 4 – х, постро Как видно из полученного енные в системе Mathcad графика пересечение этих линий находится вблизи точек 1 и 3. Не ка ждое пересечение кривых попадает в точку пересечения координат ных линий, как в данном случае, поэтому задачу решаем в общем слу чае, принимая значения х приближённо. Точное решение находим пу тём использования вычислительного блока Given – Find (Дано – Най ти). Система уравнений записывается между операторами Given и Find. Причём в уравнениях, входящих в систему, стоит знак жирного равно (вводится при одновременном нажатии клавиш ctrl и =). Заранее необходимо задать некоторые значения всех величин, входящих в си стему.

Поскольку в точках пересечения y1 (x) = y 2 (x), то решаемое уравнение будет 3/х = 4 – х.

Вычисление в системе Mathcad:

Задаём приближённые значения для первого корня x:=0. 4x a:= Find(x) = 1. Следовательно, искомое зна Given x чение первого корня х1 = 1.

Задаём приближённые значения для второго корня x:=3. 4x b:= Find(x) = 3. Следовательно, искомое зна Given x чение второго корня х2 = 3.

Для вычисления площади между кривыми запишем формулу 2. в виде b S: (y 2 (x) y 2 (x))dx 4 ln(27) или в полном виде a b S: (4 x )dx 4 ln(27). Учитывая, что ln27 = 3 ln3, a x получим числовое значение площади в таком виде {S} = 4 – 3 ln3.

Задача 2.4 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

2 y 3 x, y x 2, y 0.

Решение. Построим область, площадь которой необходимо най ти. Кривая y x 2 представляет собой параболу;

2 y 3 x прямая линия, y 0 уравнение оси Ох (рисунок 2.18).

По рисунку легко заметить, что, двигаясь по области снизу вверх, мы пересекаем не две, а три границы области. В связи с чем для нахо ждения площади S интересующей нас области необходимо в точке пе ресечения границ области разбить ее на две части, площади которых соответственно равны S1 и S 2.

Рисунок 2.18 – Фигура, ограниченная графиками функций 2 y 3 x, y x, y Чтобы найти абсциссу точки пересечения границ области, необ ходимо составить и решить систему уравнений:

y x2, 2 x2 3 x 2x 2 x 3 0.

2 y 3 x Найдем корни полученного квадратного уравнения 2 x 2 x 3 0. Его дискриминант D 12 4 2 3 1 24 25, 1 25 x1 ;

следовательно, корни уравнения 4 1 x2 1.

Нас интересует значение x2 1, так как именно оно принадлежит указанной области в отличие от значения x1 (см. рисунок 2.18).

Тогда площадь криволинейной трапеции S1 x 2 dx (в данной облас ти х принимает значения от 0 до 1).

Для нахождения S 2 необходимо знать абсциссу точки пересече ния прямых 2 y 3 x и y 0. Подставив в первое уравнение значе ние y 0, получим значение x 3. Выразив из уравнения прямой 3 x, получим S 2 3 x dx. Таким образом:

2y 3 x y 2 x3 1 1 x2 1 S S1 S 2 x dx 3 x dx 3x 30 2 2 2 0 1 1 9 1 1 1 1 9 3 2 1 ед 2.

3 2 2 2 3 2 3 Как и в предыдущем примере, в роли ед2 могут быть см2, м2.

Вычисление в системе Mathcad:

Вводим обозначения функций и строим их графики 3 x ;

y 2 (x): x 2 ;

y3 (x): 0.

y1 (x):

Ищем координату х1 = а точки пересечения параболы и оси х. Для уравнений этих кри- вых можно записать равенство y1 ( x) y 2 (x) x 2 y3 (x) 0. y2 ( x) Отсюда следует, что х1= 0. y3 ( x) Координату х2 точки пере сечения правой ветви параболы с прямой линией определяем путём решения системы, кото- 4 3 2 1 0 1 2 3 рую можно записать в виде ра- x венства Рисунок 2.19 – Графики у = (3–х)/2, y = x2, у = 0 в системе Mathcad 3 x y 2 (x) x 2 y1 (x).

Вычисление в системе Mathcad Задаём начальное приближение, например, x: 0.8.

3 x x2 Given x2:= Find(x) = 1.

Следовательно, х2 = b = 1.

Координату х3 точки пересечения прямой с осью Х находим, ре шая систему, которую можно записать для точки пересечения в виде 3 x Given x3:= Find(x) = 3.

Следовательно, х3 = с =3.

Площадь под параболой на участке а-b (0-1) определится инте b гралом S ab y2 (x) dx, под прямой линией на участке b-c (1-3) – a c интегралом Sbc y1 (x) dx.

b Вычисление всей площади в системе Mathcad:

3 3 x S x 2 dx dx 1.333.

2 0 Задача 2.5 Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом, x 4 cos t, y 6 sin t.

Решение. В данном примере кривая (эллипс), ограничивающая фигуру на плоскости (рисунок 2.20), задана параметрически, следова t тельно, необходимо воспользоваться формулой S y (t ) x(t ) dt.

t Найдем t1 и t 2. Для этого построим эллипс и проследим, каким обра зом меняется параметр t (в данном примере в роли параметра t высту пает угол).

Так как в построенной нами области имеются симметричные части, то доста точно найти площадь одной из них S1, а затем умножить ее на количество симмет ричных частей. В нашем случае их 4. То есть S 4S1, значение x меняется от 0 до 4 (a=0, b=4). Найдем значения t1 и t 2 из условий [см. формулу (2.28), случай па раметрического задания кривой]:

a x (t1 ), b x(t 2 ) 0 4 cos t1, Рисунок 2.20 – Фигура, 4 4 cos t 2 t1, t 2 0.

ограниченная эллипсом Таким образом:

0 0 S1 6 sin t 4 cos t dt 24 sin t sin t dt 24 sin 2 t dt 2 2 1 cos 2t 0 dt 12 1 cos 2t dt 12 t sin 2t 2 2 2 S 4S 12 0 sin 6 ед 2 4 6 24 ед 2.

В роли ед2 могут быть, например, см2, м2.

В общем случае площадь фигуры, ограниченной эллипсом, за x2 y2 x a cos t, данным уравнением 2 2 1 (неявное задание) или y b sin t, a b где 0 t 2 (параметрическое задание), может быть найдена по формуле S a b.

Окружность является частным случаем эллипса при равенстве его полуосей (a = b). Тогда если радиус окружности равен R R a b, то площадь ограниченного ею круга вычисляется по d формуле S R, или S, где d 2 R диаметр окружности.

Заметим, что форму в виде эллипса применяют при изготовле нии щек определенной толщины, которые соединяют коренную шей ку с шатунной шейкой коленчатого вала.

Вычисление в системе Mathcad:

По условию известны значения малой и большой полуосей:

a: 4 и b: 6. Из канонического уравнения эллипса (оси ко x2 y ординат совпадают с осями эллипса) 2 2 1 находим a b x y(x):=b 1 и строим график эллипса (рисунок 2.17).

a Параметрическое задание 7 y кривой: x(t):= 4cos(t), 7 y(t):= 6sin(t). Задаём первое приближение t:=0. Для х1 = 0 и х2 = 4 находим y ( x) 1 x соответствующие значения t: y ( x) Given 4 cos(t) = 0 ;

t1:=Find(t) ;

2 4cos(t) = 4 ;

Given 7 t 2 :=Find(t) 0. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Площадь верхней правой ча- 5 x сти эллипса находим по формуле Рисунок 2.17 – Эллипс, по (2.28), а умножая её на 4 части эл- строенный в системе Mathcad (оси добавлены в Word) липса, получим всю его площадь d t x(t)dt 24 75.398 (чтобы вывести результат в ра S:=4 y(t) t1 dt дианах, необходимо ответ умножить на ).

Если задать х1 = – 4, х2 = 4, то для х1 параметр t1 будет равен Given 4 cos(t) = 4 ;

t1:=Find(t).

Площадь верхней части эллипса находим по формуле (2.28), а умножая её на 2 части эллипса, получим всю его площадь d x(t)dt 24 75.398.

S:=2 y(t) dt Контрольные вопросы 1. Сформулируйте определение определенного интеграла.

2. Назовите условие существования определенного интеграла.

3. Назовите основные свойства определенного интеграла.

4. В чем заключается геометрический смысл определенного ин теграла?

5. В чем заключается физический смысл определенного инте грала?

6. С помощью какой формулы находят значение определенного интеграла?

7. Назовите и поясните формулу интегрирования заменой пере менной в определенном интеграле и формулу интегрирования по час тям. Чем они отличаются от формул замены переменной и интегриро вания по частям в неопределенном интеграле? На что необходимо об ращать особое внимание при использовании этих формул?

8. В чем заключается суть метода интегральных сумм?

9. Какие геометрические приложения определенного интеграла вы знаете?

10. Какие физические и механические приложения определен ного интеграла вы знаете?

3 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения представляют собой основной аппарат естествоиспытателя и инженера. Математический анализ яв лений природы обычно начинается с попыток представить те или иные естественнонаучные законы в виде дифференциальных уравне ний. Эти уравнения связывают переменные величины, с помощью ко торых описывается интересующее нас явление. Однако нужно пони мать, что такое представление зачастую является не «абсолютным», а составляет лишь приближенное описание реальной картины.


3.1 Понятие дифференциального уравнения Определение. Дифференциальным уравнением называют урав нение, содержащее помимо независимых переменных x1, x2,..., xn и искомой функции от них y x1, x2,..., xn, производные искомой функ ции или ее дифференциалы.

Определение. Если функция, относительно которой составлено дифференциальное уравнение, зависит только от одной независимой переменной, то это уравнение называется обыкновенным дифферен циальным уравнением.

Обыкновенное дифференциальное уравнение для искомой функции y y x одной независимой переменной может быть запи сано в виде F x, y, y, y,..., y n 0. (3.1) Определение. Если искомая функция зависит от нескольких не зависимых переменных, то это уравнение называется дифференциаль ным уравнением в частных производных.

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Примеры:

1) 5 cos x 3 y 8 y tg x 0 обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается F ( x, y, y ) 0 ;

d2y dy 2) x 2 y x 2 4 y обыкновенное дифференциальное dx dx уравнение 2-го порядка. В общем виде записывается F ( x, y, y, y ) 0 ;

z z 3) y 2 x ln y 0 дифференциальное уравнение в част x y ных производных первого порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения назы вается такая дифференцируемая функция, которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество. График любого решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой, а процесс отыскания решения диф ференциального уравнения интегрированием.

Дифференциальные уравнения используются для решения раз личных задач, возникающих в математике, физике, химии. Естествен нонаучные законы и конкретные свойства тех или иных систем и ме ханизмов весьма часто записываются в виде дифференциальных урав нений, так что во многих случаях существенная часть изучения инте ресующего нас явления состоит в анализе и решении соответствую щего уравнения. При этом дифференциальное уравнение выступает в роли математической модели рассматриваемого процесса или явле ния. Рассмотрим несколько задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Пример 3.1 Рассмотрим простейший случай равноускоренного движения материальной точки.

Известно, что перемещение материальной точки при равноуско ренном движении является функцией времени и выражается по фор муле at S 0 t.

В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости, которая также является производной по времени t от перемещения S:

d d dS d 2 S dS ;

a.

dt dt dt dt dt S (t ) t Тогда получаем: S 0 t уравнение связывает функцию S t с независимой переменной t и производной второго порядка функции S t.

Задача 3.1 Материальная точка массы m замедляет свое движе ние под действием силы сопротивления среды пропорционально квадрату скорости. Найти зависимость скорости от времени.

Решение. Пусть t скорость движения материальной точки (функция от времени t );

t время, отсчитываемое от начала d движения;

a ускорение движущегося тела.

dt По второму закону Ньютона сила, действующая на тело в про цессе движения, равна F m a. По условию задачи F k 2, где k 0 коэффициент пропорциональности (знак « » указывает на то, что скорость тела уменьшается).

d k 2. Таким об Следовательно, m a k 2, или m dt разом, мы получили дифференциальное уравнение, решением которо го является функция t. Чтобы ответить на вопрос задачи, ре шим полученное уравнение. Данное уравнение является дифференци альным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными (ниже мы выпишем общий вид и метод решения уравнений такого ти па). Следовательно:

d d d kdt k k 2 m 2 dt dt m m k 1 k t C m m t C, m m k t C m или, где С константа.

k t C m Задача 3.2 Пусть в начальный момент тело массы m имеет тем пературу T0. Температура окружающей среды постоянна и равна Tc.

При этом T0 Tc. Найти закон охлаждения тела.

Решение. При решении задачи используем закон Ньютона (для охлаждающегося тела): скорость изменения температуры тела про порциональна разности температур тела и окружающей среды.

dT Если T температура тела в любой момент времени t, dt dT k T Tc закон скорость изменения температуры тела, то dt Ньютона для охлаждающегося тела, где k = const коэффициент про порциональности.

Данное уравнение также является дифференциальным уравне нием первого порядка с разделяющимися переменными. Следователь но, dT dT dT k T Tc k dt k dt dt T Tc T Tc ln T Tc kt C T Tc e kt C T Tc e kt C, где е 2,71 основание натурального логарифма.

В главе 9 «Расчет коленчатого вала двигателя на крутильные колебания» настоящего пособия также рассматривается задача, при водящая к дифференциальному уравнению.

Заметим, что теории дифференциальных уравнений посвящено много учебников и учебных пособий, а потому в настоящем пособии мы ограничимся лишь тем, что рассмотрим несколько основных (наи более часто встречающихся) типов дифференциальных уравнений и приведем алгоритмы их решения. Подробнее о дифференциальных уравнениях и методах их решения смотрите [11, 12, 25].

3.2 Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения первого порядка в общем случае можно записать в виде F ( x, y, y ) 0. (3.2) В случае если данное уравнение можно разрешить относительно производной y, то полученное уравнение y f x;

y называют дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным от носительно производной.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y x, C, содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:

1) функция y x, C является решением дифференциального уравнения при каждом фиксированном значении С;

2) каково бы ни было начальное условие y x0 y0, можно най ти такое значение постоянной C C0, что функция y x, C удовлетворяет данному начальному условию.

Равенство типа Ф x, y,C 0, неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравне ния первого порядка называется любая функция y x, C0, полу ченная из общего решения y x, C при конкретном значении C C0. Соотношение Ф x, y,C0 0 называется частным интегралом дифференциального уравнения.

Итак, далее мы рассмотрим три основных типа дифференциаль ных уравнений первого порядка.

3.2.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Определение. Дифференциальное уравнение вида Р1 x Q1 y dx Р2 x Q2 y dy 0, (3.3) где Р1 x, P2 x функции, зависящие только от х, Q1 y, Q2 y функции, зависящие только от y, называется уравнением с разделяю щимися переменными.

Уравнение (3.3) путем деления на произведение Q1 y P2 x 0 приводится к уравнению с разделенными перемен ными P x Q y dx 2 dy 0, P2 x Q1 y или ( x) dx ( y ) dy 0, (3.4) P x Q y где x функция, зависящая только от x, а y P2 x Q1 y функция, зависящая только от y.

Данная операция, приводящая уравнение с разделяющимися пе ременными (3.3) к уравнению с разделенными переменными (3.4), на зывается разделением переменных.

Проинтегрировав почленно уравнение (3.4), получим его общий интеграл ( x) dx ( y ) dy 0 ( x) dx ( y )dy C.

Заметим, что уравнению (3.3) могут удовлетворять решения, по терянные при делении на Q1 y P2 x, то есть получаемые из уравне ния Q1 y P2 x 0. Если эти решения не входят в найденный общий интеграл, то они являются особыми решениями уравнения (3.3).

Уравнение вида y f1 ( x) f 2 ( y ), где f1 x функция, зависящая только от x, а f 2 y функция, зави сящая только от y, сводится к уравнению с разделенными перемен dy ными (3.4). Для этого достаточно представить y и разделить dx переменные (полагаем, что f 2 y 0 ).

dy dy dy f1 ( x) f 2 ( y ) f1 ( x )dx 0 f1 ( x)dx С.

f2 y f2 y dx Заметим, что уравнения такого типа наиболее часто встречаются на практике. Сложности при решении таких уравнений могут возник нуть только на этапе нахождения интегралов. Вопросы интегрирова ния функции одной независимой переменной были нами затронуты в разделе. 2 настоящего пособия.

В задачах 3.1 и 3.2 решены уравнения с разделяющимися пере менными. Рассмотрим еще несколько примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и приведем их решения.

Пример 3.2 Решить уравнение y 2 y 1 tg x.

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяю щимися переменными. Разделим переменные x и y и проинтегрируем полученные выражения dy dy dy 2 y 1 tg x tg x dx tg x dx ;

dx 2y 1 2y dy 1 1 tg x dx ln y ln cos x C.

2 y 1 2 В качестве константы C возьмем C ln C1, тогда 1 ln y ln cos x ln C 2 C2 C C 1C 1 1 ln 1 y 1 y 12 y 12.

ln y cosx 2 cosx 2 2 cos x cos x Задача 3.3 Тело движется со скоростью, пропорциональной пройденному пути. Какой путь пройдет тело за 5 секунд от начала движения, если известно, что за 1 секунду оно проходит путь 8 мет ров, а за 3 секунды – 40 метров?

Решение. Пусть t скорость движения тела в момент времени t, S S t путь, пройденным телом за время t. По усло вию задачи: k S, где k коэффициент пропорциональности. Из физического смысла производной (п. 1.1.1) нам известно, что t S t. Тогда S k S. Решим полученное дифференциальное уравнение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, следовательно, dS dS dS k dt ln S kt C S e kt C.

k S k dt dt S S Мы получили закон движения тела, соответствующий условию задачи.

Для того чтобы найти путь, который пройдет тело за 5 минут от начала движения, необходимо найти коэффициент пропорционально сти k и константу С. Эти величины найдем, подставив в полученное S 1 8 8 e k C ;

решение начальные условия:

S 3 40 40 e3k C.

8 e k eC, Составим и решим систему:

40 e 3k e C.

Из первого уравнения выразим e C k и подставим во второе e ln 5 C 8 уравнение. 40 e 3k k 5 e 2 k k ;


e ln 5. Таким e e ln 5 t образом, S e.

ln e 5ln5 l n ln5 5 8 e2ln5 8 52 200 м.

Тогда S 5 e 2 8e 2 ln e В процессе вычислений мы воспользовались свойствами нату рального логарифма (см. приложение Б.3).

3.2.2 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Определение. Линейным дифференциальным уравнением пер вого порядка называется уравнение вида y p x y qx, (3.5) где p x, q x заданные функции. При q x 0 данное уравнение называется однородным, а при q x 0 неоднородным.

Рассмотрим однородное линейное уравнение y p x y 0.

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися перемен ными, поэтому для его решения достаточно «разделить» переменные и найти соответствующие интегралы:

dy p x y 0;

dx dy p ( x) dx ;

y ln y p ( x) dx ln C ;

y ln p( x) dx;

C y Ce p ( x ) dx. (3.6) Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка y p x y q x воспользуемся мето дом Бернулли [Иоганн Бернулли (16671748) швейцарский матема тик].

Суть метода заключается в том, что искомая функция представ ляется в виде произведения двух функций y u v, где u u x, v vx неизвестные функции от x, причем одна из них произвольна (но не равна нулю).

При этом по правилу дифференцирования произведения двух функций y u v u v (1.18).

Подставляя значения для y и y в исходное уравнение, получаем u v u v p ( x )u v q ( x ) ;

u v u v p ( x ) v q ( x).

Так как первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произве дение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотре нию. Таким образом, можно одну из составляющих произведения функций выбрать так, что выражение v p ( x) v 0.

Таким образом, появляется возможность получить функцию v, проинтегрировав полученное соотношение как однородное диффе ренциальное уравнение по описанной выше схеме а:

v Ce p ( x ) dx. (3.7) Заметим, что зачастую на практике при нахождении v констан ту C «опускают» (например, в данном случае возьмем ее равной 1), тогда полученное решение будет иметь вид v e p ( x ) dx.

Для нахождения второй неизвестной функции u подставим по выражение для функции v в исходное уравнение лученное u v u v p ( x ) v q ( x) с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю. Следовательно, u Сe p ( x ) dx q( x );

du e p ( x ) dx q ( x);

C 1 p ( x ) dx du e q ( x) dx ;

C u e p ( x ) dx q( x)dx C1. (3.8) C В итоге получим искомую функцию y, подставив в ее выраже ние найденные значения u и v.

1 y u v e p ( x ) dx q( x) dx C1 Ce p ( x ) dx ;

C y e p ( x ) dx q x e p ( x ) dx dx C2, (3.9) где C2 C1 C.

Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка в общем виде по методу Бернулли.

Пример 3.3 Решить уравнение x 2 1 y 2 xy 3.

Решение. Данное уравнение является линейным дифференци альным уравнением первого порядка. Действительно, после неболь ших алгебраических преобразований оно соответствует общему виду линейного дифференциального уравнения y p x y q x.

2x 2x 3, где p x 2 ;

q x y y 2.

x2 1 x 1 x 1 x Решение будем искать в виде y u v, y u v u v.

Подставим в исходное уравнение и решим его методом Бернулли.

2x u v u v u v 2 ;

x2 1 x 2x u v u v 2 v 2 ;

x 1 x 2x dv 2x dv 2x а) v 2 v 0 v dx 2 dx v x 1 x 1 x dv 2x 2 dx.

v x Найдем x2 1 t 2x dt ln t ln x 2 1 ln 2 dx.

t x 1 x 2xdx dt Таким образом, 1 ln v ln v 2 ;

x 1 x 3 1 б) u v u u 3 u 3dx u 3x C ;

x2 1 x2 1 x2 в) y u v 3 x C.

x2 Задача 3.4 (Задача о переменном синусоидальном токе). Пусть дана электрическая лампа, которая питается от источника переменно го тока. Найти закон изменения тока в зависимости от времени, если напряжение U изменяется по синусоидальному закону.

Решение. Примем за начальный момент времени t0, при кото ром U 0 0. Тогда можно положить U U 0 sin t, где часто та, например, переменного тока 50 Гц, или 50 колебаний в с.

Уравнение изменения силы тока в электрической цепи R и самоиндукцией L примет вид с сопротивлением U dI R I 0 sin t. Это линейное дифференциальное уравнение dt L L первого порядка, решаемое методом Бернулли. Итак, решим это урав нение.

Воспользуемся подстановкой I u v, I u v u v. Следо вательно, получим уравнение U R u v 0 sin t ;

u v u v L L RU u v u v v 0 sin t.

LL а) Пусть R dv R dv R dv R v v 0 v dt dt;

L dt L v L v L R ln v t ;

L R R t t eL eL.

v U sin t, под б) Чтобы найти u, решим уравнение u v L R t eL:

ставив вместо v найденную в предыдущем пункте функцию v R U t sin t ;

u e L L R U t du 0 sin t e L dt ;

L R U0 t t e L dt ;

du sin L R sin t cos t R t U L eL C.

u L R L Rt U 0 R L sin t cos t L t R e Сe L в) I u v R 2 L L R sin t cos t R U0 t L С e L L R L R U0 t R sin t L cos t С e L.

2 2 R L Таким образом, R U t I 2 0 2 R sin t L cos t С e L.

R L 3.3 Дифференциальные уравнения высших порядков (линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами) В настоящем пункте мы также рассмотрим не все типы диффе ренциальных уравнений высших порядков. Остановимся только на линейных дифференциальных уравнениях высших порядков с посто янными коэффициентами, поскольку они наиболее часто встречаются на практике, в частности, в главе 6 настоящего пособия.

Определение. Дифференциальным уравнением порядка n назы вается уравнение вида F ( x, y, y,..., y ( n ) ) 0. (3.10) В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относи тельно y(n):

y ( n ) f ( x, y, y,..., y ( n 1) ). (3.11) Так же, как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.

Определение. Решением дифференциального уравнения n-го порядка, как и уравнения первого порядка, называется диффе ренцируемая функция y y x, которая при ее подстановке в ис ходное уравнение обращает его в верное равенство.

Общее решение уравнения n-го порядка зависит от перемен ной x и n произвольных констант C1, C 2,..., Cn, то есть имеет вид y y x, C1, C2,..., Cn. (3.12) Определение. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется любое уравнение вида y ( n ) a1 y ( n 1) a2 y ( n 2)... an 1 y an y f ( x ), (3.13) где a1, a2,...an 2, an 1, an некоторые действительные числа;

функция f x задана и непрерывна в некотором интервале a;

b. В случае, если f x 0, уравнение называется линейным однородным (или уравнением без правой части), если f x 0 линейным неод нородным (или уравнением с правой частью).

3.3.1 Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ), то есть урав нение вида y ( n ) a1 y ( n 1) a2 y ( n 2 )... an 1 y an y 0. (3.14) Для нахождения его частных решений составляем характери стическое уравнение n k n a1k a2 k n 2... an 1k an 0, (3.15) которое получается из исходного уравнения путем замены в нем про изводных искомой функции y на соответствующие степени k :

y n k n ;

y n 1 k n 1;

...;

y k 2 ;

y k ;

y 1. (3.16) Полученное характеристическое уравнение является обычным алгебраическим уравнением n -й степени относительно k, а потому имеет n корней, действительных или комплексных, среди которых могут быть и равные.

Общее решение ЛОДУ имеет вид y C1 y1 C2 y 2...Cn y n (где C1, C 2,..., Cn произвольные постоянные) и строится в зависимо сти от характера корней характеристического уравнения по следую щему правилу:

1) каждому действительному простому корню k в общем реше нии соответствует слагаемое вида C ek ;

(3.17) 2) каждому действительному корню кратности m в общем реше нии соответствует слагаемое вида C C2 x... Cm x m 1 e kx ;

(3.18) 3) каждой паре комплексных сопряженных простых корней i в общем решении соответствует слагаемое вида k1 ex C1 cos x C2 sin x ;

(3.19) (комплексными числами называют числа вида z a b i, где a, b R (действительные числа), i 2 1 (мнимая единица). В частности, квадратное уравнение, дискриминант которого 0, имеет комплекс ные корни. Для их нахождения достаточно умножить отрицательный дискриминант на i 2, а далее искать корни по обычным формулам вы числения корней квадратного уравнения. Два комплексных числа вида z a b i и z a b i называются комплексно сопряженными [`12, 32]);

4) каждой паре комплексных сопряженных корней k1 2 i кратности m в общем решении соответствует слагаемое вида ex C1 C2x... Cm xm1 cosx A A2 x... Am xm1 sinx. (3.20) Запишем схему решения линейного дифференциального урав нения второго порядка с постоянными коэффициентами, являющегося частным случаем линейных дифференциальных уравнений с постоян ными коэффициентами n - го порядка (табл. 3.1).

Таблица 3.1 – Нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка Дифференциальное y p y q y уравнение Характеристическое k2 p k q уравнение Дискриминант характеристического D0 D D уравнения Корни характеристи- k1 2 i k1 k2 R k1 k 2 k R ческого уравнения e x C1 cos x kx k1 x k2 x C1 C2 x e Общее решение C1e C2e C 2 sin x Пример 3.4. Найти решение уравнений:

а) y 2 y 4 y 0 ;

б) y 6 y 9 y 0 ;

в) y 6 y 18 y 0 ;

г) y 3 y 0.

Решение. Все представленные уравнения являются ЛОДУ с по стоянными коэффициентами, причем уравнения под буквами а, б, в второго порядка, а значит их решение мы будем искать с помощью таблицы 3.1. Уравнение г – ЛОДУ 3-го порядка.

а) y 2 y 4 y 0. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: k 2 2k 4 0 ;

D 2 4 4 1 20 данное характеристическое уравнение имеет 2 различных действи 2 20 2 k1 k 1 5;

1 5.

тельных корня 2 Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид y C1e 1 5 x C 2 e 1 5 x.

б) y 6 y 9 y 0. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: k 2 6k 9 0 ;

D 36 36 0 данное харак теристическое уравнение имеет 1 корень кратности 2, а именно, k 3. Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид y C1 C2 x e 3 x.

в) y 6 y 18 y 0. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

k 2 6k 18 0 ;

D 36 72 36 0 D 36 i 2, а потому данное характеристическое уравнение имеет 2 комплексных 6 6i сопряженных корня k1 2 3 3i. Следовательно, общее ре шение ЛОДУ имеет вид y e 3 x C1 cos 3x C2 sin 3x.

г) y 3 y 0. Составим характеристическое уравнение и най дем его корни: k 3 3k 2 0 k 2 k 3 0. Полученное характери стическое уравнение имеет три корня: k1 k 2 0;

k3 3, следова тельно, общее решение ЛОДУ имеет вид y C1 C2 x e 0 x C3e 3 x C1 C2 x C3e 3 x.

Обратите внимание, что в главе 9 настоящего пособия будет рассмотрено решение уравнения свободных колебаний вала с одной массой, являющегося линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами второго порядка.

3.3.2 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравне ние n-го порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ), то есть уравнение вида y ( n ) a1 y ( n 1) a2 y ( n 2)... an 1 y an y f x, f x 0. (3.21) Общее решение ЛНДУ ун может быть найдено по формуле y н у0 у, где уо общее решение ЛОДУ, соответствующего дан ному ЛНДУ ( f x 0 );

y частное решение данного ЛНДУ.

Общее решение ЛОДУ уо можно найти согласно приведенному выше алгоритму, тогда как для нахождения y используют так назы ваемый метод подбора (метод неопределенных коэффициентов). Од нако этот метод применим не всегда. В таблице 3.2 приведены наибо лее распространенные частные случаи вида правой части [функции f x ] ЛНДУ и соответствующие им частные решения y.

Таблица 3.2 – Частные решения ЛНДУ Вид частного решения y ЛНДУ Правая часть не является корнем является корнем f x ЛНДУ характеристического характеристического уравнения уравнения 0 – корень кратности s 1 0 – не корень f x Pn x y Qn x y x s Qn x многочлен сте- многочлен степени n многочлен степени пени n от х n s от х от х – не корень – корень кратности s x y e Qn x x f x e Pn x y e x x s Qn x i не корень i корень 3 кратности s y M k x cos x f x Pn x cos x y x s M k x cos x N k x sin x, где Qm sin x N k x sin x, где k maxn;

m k maxn;

m i корень 4 i не корень кратности s x f x e Pn x cos y ex M x cos x y x s e x k Qm sin x M k x cos x N k x sin x, где N k x sin x, где k maxn;

m k maxn;

m Выпишем общий вид многочленов Qn x ( n 0, 1, 2, 3,…;

A,B,C,D константы). Эти выражения будут нам необходимы при отыскании частного решения с помощью таблицы 3.2:

Q0 x A Q1 x Ax B Q2 x Ax 2 Bx C Q3 x Ax 3 Bx 2 Cx D Пример 3.5. Найти общее решение уравнения y 9 y 20 y 126 e 2x.

Решение. Данное уравнение является ЛНДУ второго порядка.

Решение ищем в виде y н у0 у, где уо общее решение ЛОДУ y 9 y 20 y 0 ;

y частное решение данного ЛНДУ.

а) Найдем уо. Для этого рассмотрим ЛОДУ y 9 y 20 y 0, составим характеристическое уравнение, найдем его корни и выпи шем по таблице 3.1 его решение. Характеристическое уравнение k 2 9k 20 0 имеет 2 различных действительных корня, поскольку его дискриминант D 1 0, следовательно, k1,2 k1 4;

k2 5.

Таким образом уо C1 e 4 x C2 e 5 x.

б) Найдем y. Для этого рассмотрим правую часть ЛНДУ, функцию f x 126e 2 x и воспользуемся таблицей 3.2. Вид нашей функции соответствует второй строке таблицы, при этом 2 не является корнем характеристического уравнения ЛОДУ, соответст вующего ЛНДУ, следовательно, y ищем в виде y e 2 x A, где A Q0 x многочлен нулевой степени от x, поскольку Pn 126 n 0. Подставим выбранное с помощью таблицы 3.2 ча стное решение y e 2 x A в исходное уравнение и методом неопре деленных коэффициентов найдем А. Прежде найдем y и y.

y Ae 2 x 2 Ae 2 x ;

y 2 Ae 2 x 4 Ae 2 x. Таким образом, 4 Ae 2 x 9 2 Ae 2 x 20 Ae 2 x 126e 2 x, 42 A e 2 x 126e 2 x, 42 A 126 A 3.

Следовательно, y 3e2 x y y0 y C1 e 4 x C2 e5 x 3e2 x.

Обращаем ваше внимание на то, что в главе 9 настоящего посо бия будет рассмотрено решение уравнения вынужденных колебаний вала с одной массой, являющегося линейным неоднородным диффе ренциальным уравнением с постоянными коэффициентами второго порядка.

Далее приведем пример задачи прикладной механики, которую исследуем и решим с помощью линейных дифференциальных уравне ний.

Пример 3.6. Дифференциальное уравнение механических коле баний на примере колебаний пружины амортизатора.

Амортизатор (от фр. «смягчать») применяют для гашения коле баний при движении автомобиля (рисунок 3.1). Он состоит из вспомо гательной пружины 1 жесткостью К равной, например, 50 Н/мм.

Амортизатор дополнительно имеет гаситель колебаний (демпфер), ко торый состоит из цилиндра 5, заполненного маслом 4, и штока 2 с поршнем 3. При помощи втулки 6 амортизатор крепится к ходовой части автомобиля. В поршне имеются отверстия, и при движении штока вместе с поршнем в цилиндре масло перемещается в верхнюю или нижнюю полость, что приводит к гашению колебаний. В качестве амортизационной жидкости применяют, например, АЖ-12Т на основе трансформаторного масла. Ее кинематическая вязкость составляет 12 мм2/c при 50 0С, а динамическая 1410–3 Пас, плотность 900 кг/м3.

На автомобилях амортизатор устанавливают в центр главной пружины, которая воспринимает колебания, возникающие при движе нии по неровной дороге.

Рисунок 3.1 – Общий вид амортизатора Рассмотрим работу амортизатора автомобиля, применяя диффе ренциальные уравнения. Пусть груз массой М (часть массы автомоби ля) находится на упругой пружине жесткостью К = 300 Н/мм (рисунок 3.2). На рисунке 3.2, а пружина находится в свободном состоянии. На рисунке 3.2, б пружина сжата под действием груза массой М и нахо дится в положении равновесия. Отклонение груза от положения рав новесия (см. рисунок 3.2, в) обозначим через перемещение у. При М = 300 кг сила тяжести груза составит примерно 3000 Н. При жест кости пружины К = 300 Н/мм величина у = 10 мм. Движение вниз при мем за положительное, вверх за отрицательное. В положении равно весия сила веса уравновешивается силой упругости пружины [34].

Силу, стремящуюся вернуть груз в положение равновесия, назо вем восстанавливающей (сила пропорциональна отклонению).

Восстанавливающая сила (Н) равна Ку. Пружины, у которых восста навливающая сила пропорциональна отклонению, называются пружи нами с «линейной характеристикой».

а в свободном состоянии;

б при сжатии грузом;

в в состоянии колебания Рисунок 3.2 – Положение пружины Предположим, что движению груза массой М препятствует сила сопротивления, возникающая в амортизаторе. Она направлена в сто рону, противоположную направлению движения, и пропорциональна скорости движении груза относительно нижней точки пружины. Сила (Н), возникающая в штоке амортизатора, равна = dу / dt, (3.22) где = const 0 постоянная амортизатора;

скорость движения штока.

Величина представляет собой массовый секундный расход масла (кг/с) через отверстия в поршне. Масло выжимается через от верстия в поршне из одной полости цилиндра в другую. Шток и пор шень с отверстиями в данном случае движутся со скоростью.

Запишем дифференциальное уравнение движения груза, распо ложенного на пружине. На основании второго закона Ньютона (F = ma, сила F (Н) равна произведению массы тела на его ускорение) получим dу 2 dу 2 у, (3.23) dt dt где К и положительные постоянные числа.

Выражение (3.23) является линейным однородным дифференци альным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение (3.23) можно переписать в виде dу 2 dу p q у 0, (3.24) 2 dt dt где р = / М;

q = К /М постоянные коэффициенты.

Найдем в общем виде решение этого уравнения. Для чего соста вим характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (3.24) (см. 3.3.1). Оно будет иметь вид k 2 p k q 0.

Найдем корни полученного квадратного уравнения. Дискрими нант D p 2 4q. Подставим в дискриминант значения р = /М и 4 K 2 4 KM q =К/М. Получим D 2. Возможны следующие M M M три случая (см. табл. 3.1):

1) 2 4 KM 0, следовательно, характеристическое уравнение p D имеет 2 действительных корня: k1 / 2 или, 2 4 KM 2 4 KM M M k1 ;

2M 2 4 KM k2.

2M В этом случае решение уравнения (3.24) будет иметь вид 2 4 KM 2 4 KM t t y C1 e k1t C2 e k 2 t C1 2M 2M e C2 e, где С1, С2 константы;

2) 2 4 KM 0, следовательно, характеристическое уравнение p имеет 1 действительный корень кратности 2: k.

2M В этом случае решение уравнения (3.24) будет иметь вид t kt y C1 C2 t e C1 C2 t e 2M, где С1, С2 константы;

3) 2 4 KM 0, следовательно, характеристическое уравнение имеет 2 комплексных сопряженных корня 4 KM i i 4 KM M M k1/ 2.

2M В этом случае решение уравнения (3.24) будет иметь вид (см.

табл. 3.1) y e t C1 cos t C2 sin t ;

так как 4 KM ;

, то 2M 2M 2 C cos 4 KM t C sin 4 KM t t, 2M ye 1 2M 2M где С1, С2 константы.

Усложним задачу тем, что нижняя точка пружины амортизатора совершает вертикальное движение по закону z = (t). Нижний конец пружины (амортизатора) прикрепим к колесу автомобиля, которое вместе с пружиной движется по неровности (рисунок 3.3).

В этом случае восстанавливающая сила будет равна не Ку, а К [у + (t)], сила сопротивления будет [у /+ /(t)] и вместо урав нения (3.23) получим уравнение dу 2 dу 2 К у К (t ) / (t ). (3.25) dt dt После преобразования выражения (3.25) получим dу 2 dу p q у f (t ), (3.26) dt 2 dt где f (t ) [ К (t ) / (t )] /.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 7 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.