авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«В. К. БАЛХАНОВ ОСНОВЫ ФРАКТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ФРАКТАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Улан-Удэ 2013 РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ...»

-- [ Страница 2 ] --

квадрат a пересекается руслами дельты 7 раз Структуру в виде веера имеет и дельта Волги (рис. 2.16). Для из мерения ее фрактальной размерности используем канторовский метод.

Используя примененную для дельты Лены и Селенги методику, снача ла находим h = 1.44 0.01. Затем и фрактальную размерность:

D = 1 + h / 2 = 1.72 0.01.

Рис. 2.16. Дельта Волги;

D 1. § 6. ФРАКТАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СКОРОСТИ ТЕЧЕНИЯ РЕКИ Рассмотрим еще один метод определения фрактальной размерно сти дельты реки. Если исходное течение реки происходит через попе речное сечение S 0, то расход воды за единицу времени будет V 0 S 0, где – плотность воды, V – скорость течения. По форму ле Пуазейля эта же величина пропорциональна h S, где h – перепад высот, который и вызывает само течение реки. Приравнивая V 0 S иhS, находим скорость h S 0/.

V (2.13) Когда исходное русло разбивается на множество рукавов с мень шим сечением S, то скорость станет равной V h S /. Поскольку S S, то течение замедляется. Очевидно, что S N S, где, соглас 0 2 D но (2.9) и (2.10), N R, здесь R будет расстоянием от исходной точки до рассматриваемого русла. Подставляя все в (2.13), находим 2 D VV R.

Таким образом, измеряя скорость на разных участках от некоторо го исходного пункта, также возможно определить фрактальную раз мерность дельты. Полученный результат можно применять только на достаточно чистой воде. Дело в том, что с увеличением R русла мелеют и в поток воды начинают привноситься различные примеси – взвесь песка, тина и т. п. Все это ведет к изменению плотности воды, а также ее вязкости, что скажется на зависимости V от R.

§ 7. ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ПЛОСКОСТНОЙ ПРОЕКЦИИ СТРИМЕРНЫХ КАНАЛОВ В последнее время активизировалось изучение стримерных разря дов – сети каналов, возникающих при электрическом пробое в диэлек триках (воздухе, полимерных изоляторах, фотоэмульсии) [Попов Н.А., Носков М.Д. и др., Акишев Ю.С. и др.]. Изучение стало особенно актуальным в связи с использование кабелей с полимерной изоляцией. Однако отмечается, что количественной теории, описы вающей рост ветвления электрического пробоя, до сих пор нет. Мы геометрическую конфигурацию разрядных каналов, рост числа каналов и их ветвление рассмотрим как фрактальные разветвленные объекты и опишем их количественно с помощью понятия фрактальной размерно сти.

Электрический пробой – видимый в оптическом диапазоне стри мерный канал в диэлектриках, образованный локально растущим элек трическим полем. Пробой возникает, когда на небольшой участок под ложки подается такое высокое напряжение, что происходит собственно электрический пробой. Под такое определение подходят разряды мол ний в воздухе, частичные разряды в эпоксидной смоле, плазменные структуры в фотоэмульсии. В указанном смысле стримерные каналы относятся к классу универсальности, зависящие только от двух безраз мерных величин: фрактальной размерности и размерности пространст ва, в котором происходит процесс. М. Д. Носковым и др. прямым из мерением определено, что фрактальная размерность D частичных раз рядов лежит в пределах 1.45 1.55. Н. А. Попов определил фракталь ную размерность коронного разряда D = 2.16 ± 0.05. Для обычного раз ряда молний в главе 2 § 2 мы измерили фрактальную размерность, при этом установили, что на масштабах от десятков метров и выше D = 1.

Таким образом, видим существенное различие в значениях для размер ности. В связи с этим имеет смысл тремя независимыми методами из мерить фрактальную размерность планового рисунка системы стри мерных каналов (рис. 2.17) [Попов Н.А.].

Сначала используем кластерный метод, основанный на формуле (2.9). Применение этой формулы к определению фрактальной размер ности стримерных каналов состоит в следующем. На плановом рисунке стримерных каналов выделяется некоторая область (на рис. 2.17 это окружность радиусом R) и подсчитывается общая длина всех каналов, попадающих в рассматриваемую область. Так мы получаем первые значения L и R 1. Далее выделяется другая область (чуть больше первоначальной), после подсчета получаются другие значения L и R 2, как на рисунке 2.2. Таким образом, в итоге мы получаем набор значений L и R, по которым методом линейной регрессии строим пря мую на осях ln L и ln R. По угловому коэффициенту прямой вычис лим фрактальную размерность D. Таким образом установлено, что для стримерных каналов D = 1.52 0.03.

Рис. 2.17. Система микроразрядов, пересекающих диэлектрическую фотопластинку Для улучшения статистики нами выбирались разные формы облас тей разбиения – от прямоугольных до круглых, а также менялось и са мо число таких разбиений.

Мы изложили первый из используемых методов измерения фрак тальной размерности. Второй метод измерения состоит в подсчете чис ла N пересечений ветвлениями стримерных каналов периметра облас ти, т. е. используется канторовский метод. На рисунке 2.17 границей выделенной области является окружность радиусом R. Легко сосчи тать, что для изображенного на рисунке случая N = 53. Варьируя ради ус R, находим, что N и R связаны степенным (скейлинговым) законом h с показателем (размерностью блуждания) h 1.01 0.05. Ис N R пользуя (2.10), находим D 1.506 0.005.

Приступим к третьему методу измерения величины D. Метод ос нован на анализе графика на рисунке 2.18 [30], где представлена зави симость роста границы канальных лучей от времени. Пропорционально со временем увеличивается и число ветвлений, т. е. N t и из (2.9) сле дует, что 1/ h R t. (2.14) На интервале времен от 1 до 6 мин (см. рис. 2.18) следует, что R 0, t, откуда h = 1.06 и D 1.53.

Рис. 2.18. Зависимость длины дендрита от времени роста;

сплошная кривая – эксперимент, штриховая – моделирование Тремя независимыми методами измерена фрактальная размерность плоскостной проекции стримерных каналов, представленных на рисун ке 2.18. Полученные значения 1.50, 1.52 и 1.53 совпадают с данными работы [Носков М.Д. и др.]. Согласованность значений для размер ности указывает на работоспособность предложенных выше аксиом фрактального исчисления. Подобной рисунок имеется в работе [Попов 1, Н.А.], где получен следующий закон для числа ветвления: N R.

Из него следует, что D 1.59, т. е. близкая к нашим значениям размер ность.

Полученный в работах [Попов Н.А., Носков М.Д. и др., Акишев Ю.С. и др.] и нами усредненный результат D 1.52 указы вает на выполнение закона класса универсальности для электрических разрядов в различных диэлектрических средах.

§ 8. ТУНДРОВЫЕ ОЗЕРА Помимо дельты рек на поверхности Земли обширную площадь за нимают тундровые озера. Широко распространены не толко крупные, но мелководные старичные озера. Глубина озер незначительна: от 0, до 10–15 м, их берега либо крутые и высокие, либо низкие.и заболо ченные, их дно – гладкая ледяная поверхность, прикрытая торфяни стым илом. Именно поэтому в научной литературе равноправно упот ребляются оба термина: «тундровые озера» и «тундровые болота». На современном этапе развития спутниковых технологий, используя дан ные мониторинга Земли, изложенную и опробованную методику опре деления фрактальной размерности можно применить к оценке состоя ния тундровых озер и связать их изменчивость с изменением климата.

Для количественного описания тундровых озер необходимо ввести безразмерный количественный показатель фрактальности. Мы предла гаем в качестве такого показателя использовать фрактальную размер ность D, которая будет характеризовать степень заполнения тундровы ми озерами земной поверхности и принимать значения от 1 до 2. Зна чение D = 1 означает, что болот совсем нет. Величина D = 2 отвечает тому, что вся площадь рассматриваемого участка земной поверхности полностью заполнена озерами, т. е. участок представляет собой одно большое озеро. Измерение фрактальной размерности тундровых озер произведем следующим способом. Суммарный линейный размер R не скольких озер (например, сумма их поперечных размеров) связан с масштабом измерения формулой Мандельброта – Ричардсона: R 1 D. С другой стороны, если S – суммарная площадь рассматривае мых озер, то R S. Если болота покрыть сеткой, то их площадь бу дет пропорциональна числу K узлов сетки, попавших внутрь границ озер. Поэтому устанавливаем связь между числом узлов K сетки и раз мером ячейки :

2 D K. (2.15) Число K будем измерять модифицированным клеточным методом.

Сначала подсчитываем узловые точки сетки, находящиеся внутри кон туров озер (их число M 0 ). Затем подсчитываем количество узлов, попавших на линию контуров (их число М). Тогда число K будет равно следующему выражению (формула George Pick, 1899):

M K M 1. (2.16) На рисунке 2.19 представлен участок района пос. Черский (Респуб лика Саха (Якутия) с тундровыми озерами. Сеткой с равными длинами ребер ячеек покрываем двумя центральными выделенными участками тундровых озер. Участки специально выбраны так, чтобы явно был ви ден самоподобный характер 5 озер. В таблице 2.1 представлены ре зультаты измерений зависимости логарифма числа K от логарифма длины разных масштабов (в относительных единицах). По углу на клона легко находится степенной показатель в (2.15), откуда следует, что фрактальная размерность тундровых болот D 1.84 0.01.

На рисунке 2.20 данные таблицы нанесены на билогарифмический график, это сделано для того, чтобы был виден степенной характер за кона (2.15).

Рис. 2.19. Тундровые озера, D 1.68 0. Фрактальная размерность вычислялась по озерам 1–5, находящимся в двух прямоугольных центральных участках Таблица 2. Рис. 2.20. Билогарифмический график зависимости числа узловых точек площади озер от длины масштаба Для выявления дисперсии среднего значения фрактальной размер ности используем следующую методику. По 6 измеренным точкам на ходим 14 значений показателя h 2( D 1), вычисленных по формуле ln N 2 ln N h :

ln 1 ln 1.68, 1.73, 1.68, 1.68, 1.69, 1.77,1.69, 1.68, 1.69, 1.62, 1.66, 1.34, 1.68, 1.70.

Значение 1.34 отбрасываем. По остальным значениям находим h 168 0.01. Отсюда следует, что фрактальная размерность тундровых болот D 1.84 0.01.

На современном этапе развития спутниковых технологий, исполь зуя данные мониторинга Земли, изложенную и опробованную методику определения фрактальной размерности, можно применить к оценке со стояния тундровых озер и, вероятно, связать изменчивость их состояния с изменчивостью климата.

§ 9. ВРЕМЕННАЯ ДИНАМИКА ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ ДЕЛЬТЫ СЕЛЕНГИ Дельты рек, как уникальные природные образования, всегда при влекают к себе повышенное внимание исследователей. Данное утвер ждение следует из анализа интенсивности и периодичности публикуе мых научных работ, посвященных данной тематике [2, 29, 34, 49].

Атлас «Байкал» [3] содержит карты дельты Селенги, собранные за 300 лет. В данной работе представлены обзорные карты исследуемой дельты [3] за 1701 г. (рис. 2.21), 1950 г. (рис. 2.22) и электронная карта настоящего времени (см. рис. 2.4) [45]. Если для обработки современ ных карт, например, как карты 1950 г. (см. рис. 2.21) и определения фрактальной размерности можно применить подходы, описанные вы ше, то для более старых карт (см. рис. 2.21) необходима совершенно другая методика.

Чертежная карта С. Ремизова (фрагмент) Рис. 2.21. Дельта р. Селенга в 1701 г.

Рис. 2.22. Дельта р. Селенга в 1950 г.

Как известно, классическим и универсальным является клеточный метод определения фрактальной размерности, когда рисунок разбива ется на сетку и подсчитывается число клеток, содержащих рассматри ваемый объект. Однако для объекта на рисунке 2.21, в силу упрощен ности и схематичности объекта, клеточный метод дает слишком неоп ределенную величину и высокую погрешность измерения D. В таком случае нужна более точная методика, которая изложена в главе 1 § 8.

Данный методический подход позволит проследить динамику измене ния фрактальной размерности дельты р. Селенга во времени.

Для фрактального анализа карты 1950 г. (см. рис. 2.22) были ис пользованы стандартные методы определения размерности – кластер ный и канторовский, величина D 1950 оказалась равной 1.38. Такая же величина D получена в главе 2 § 5. Данный факт означает, что за более чем 50-летний период времени пространственная структура дельты Селенги не изменилась. На величину фрактальной размерности D2000 дельты не оказали влияния, произошедшие за сейсмостатистиче ский период сильные и слабые землетрясения 60–70-х гг. XX в., кото рые не повлекли за собой таких существенных изменений дельты реки как, например, образование сейсмотектонического грабена – залив Провал во время 10-балльного Цаганского землетрясения в январе г.

Для определения фрактальной размерности D 1701 структуры дельты Селенги по карте 1701 г. (см. рис. 2.21) необходимо исходить из подхода, изложенного в главе 1 § 8. Использовать соотношения (1.21) и (1.22) нужно тогда, когда фрактальная структура «бедна» своими обра зованиями, т. е. является малоразветвленная. Если стандартный кле точный метод имеет первый порядок точности, то формулы главе 1 § дают результаты второго порядка точности. Таким образом, для дельты Селенги нами установлено, что D 1701 = 1.22.

Проведенное исследование пространственной структуры дельты Селенги обнаружило существенные изменения в величинах D 1701 и D1950 сети водотоков дельты (соответственно 1.22 и 1.38), в то время как величина D2000 рассматриваемого объекта за 50-летний временной отрезок (с 1950 г. до настоящего времени) не изменилась и составляет 1.38 (по данным фрактального анализа).

Таким образом, на основании проведенного фрактального анализа и безразмерного показателя D становится очевидным, что за 250 летний период времени (1701–1950 гг.) произошли пространственные изменения в структуре сети дельты: увеличилась разветвленность ее водотоков, что и повлияло на величину размерности D1950. Так как фрактальная размерность является и показателем извилистости линий, можно говорить и об увеличении за рассматриваемый период извили стости самих водотоков.

На возрастание показателя D1950 и, как следствие, усложнение пространственной структуры сети водотоков дельты, в первую очередь, оказали влияние сейсмические события прошлого. Как известно, дель та Селенги была и остается наиболее сейсмически и неотектонически активным звеном в рифтовой системе Прибайкалья. Данные о сильных землетрясениях прошлого свидетельствуют о высокой сейсмичности этого участка, где неоднократно происходили сильные землетрясения с параметром K14, а также в непосредственной близости расположены и эпицентры сильных землетрясений, что подтверждают палеосейсмо генные структуры, возраст которых оценивается в последние сотни лет – первые тысячи.

Следует заметить, что при рассмотрении карты дельты Селенги 1701 г. рисунок сети кажется схематичным и упрощенным. Однако ис пользование нескольких взаимодополняющих методов, наряду со спе циально разработанным, позволяет не брать во внимание субъектив ный взгляд картографа («человеческий фактор») и доверительно отно ситься к полученным результатам.

За второй рассматриваемый период (1950–2000 гг.) величина D2000 дельты не изменилась, несмотря на различия исходного факти ческого материала (бумажная и электронная топокарты). То есть про странственная структура дельты за последние 50 лет не претерпела ни каких изменений. Кроме того, немаловажен и тот факт, что по мате риалам инструментальных сейсмических наблюдений последних деся тилетий этот район испытывает лишь транзитное влияние сильных землетрясений, происходящих в окрестности.

ГЛАВА ФРАКТАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Введены фрактальные интегралы и дифференциалы. Вычислены фрактальные интегралы и дифференциалы от степенных функций. Уста новлены математические правила фрактального исчисления. Рассмотрены физические задачи. Для разветвленных структур предложена геометриче ская интерпретация фрактальной производной.

§ 1. ФРАКТАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Фрактальная геометрия устанавливает степенные характеристики ме жду геометрическими и физическими величинами. Такую взаимосвязь обычно получают после натурных измерений. Однако для моделирования динамики процессов и явлений необходим соответствующий математиче ский аппарат. Наиболее адекватным является язык дифференциальных уравнений и запись их решений в виде интегралов. Чтобы моделировать динамику процессов и явлений, происходящих на фрактальных структу рах, мы предложим фрактальные интегралы и дифференциалы, которые позволят естественным образом получать степенные характеристики. Со вокупность фрактальных интегралов и дифференциалов и правила обра щения с ними нами названы фрактальным исчислением.

Обычно за математический аппарат фрактальной геометрии при нимают дробное интегродифференцирование [Самко и др.]. Мы же счита ет, что таким аппаратом должно быть развиваемое ниже фрактальное ис числение. Хотя фрактальное исчисление в некоторых местах очень похоже на дробное интегродифференцирование, но есть и существенное отличие.

Например, фрактальная геометрия неотъемлемым своим атрибутом содер жит неопределенный множитель C, который отсутствует в дробном ин тегродифференциальном математическом аппарате.

Фрактальные интегралы и дифференциалы можно ввести несколь кими, математически эквивалентными схемами. Одна из возможных схем подобного введения следующая. При этом в основу предлагаемой схемы построения фрактального исчисления положена формула Мандельброта – Ричардсона. Это позволит сразу иметь дело со степенными закономерно стями.

По определению, длина L есть сумма необходимо числа масшта, т.е. L, где сумма берется от 1 до N. Поскольку счи бов таем, что N 1, то сумму можно заменить некоторым интегралом, кото рый назовем фрактальным, а способ его вычисления – фрактальным ис числением. Итак, определяем, dD. (3.1) Этим самым, вместе с фрактальным интегралом мы вводим и фрактальный дифференциал d D. Обратим внимание, что значок D, указывающий на фрактальность, пишем снизу символа дифференциала d. Опуская слово фрактальный, часто будем говорить просто об интегралах и дифференциа лах, где это не может вызвать недоразумения. Определение (3.1) можно n n dn, кото сравнить со следующим известным выражением:

рое тем вернее, чем большее числа суммируется.

1 D Поскольку длина фрактальной линии есть C (это формула (1.4)), то приходим к следующему первому правилу фрактального исчис ления – правилу интегрирования линейной функции:

1 D dD = C. (3.2) Проведем в формуле (3.2) масштабное преобразование, после чего она примет вид:

= C.

1 D d (3.3) D Примем, что масштабный множитель фиксирован, тогда выражение 1 D 1 D C справа в (3.3) можно переписать как, или, с учетом (3.2), 1 D D dD d D. Сравнивая здесь последний интеграл с интегралом (3.3), приходим к закону масштабного преобразо вания фрактального дифференциала:

D dD dD. (3.4) Полученное соотношение является законом подобия фрактального диффе ренциала. Относительно степенной зависимости закон (3.4) имеет такой же вид, как и условие самоподобия (1.11). Формула (3.4) указывает на еще одно отличие фрактального исчисления от дробного интегродифференци рования. Именно, выражение (3.4) существенно отличается от масштабно го преобразования для дробного дифференциала, для последнего [Самко и d, которое мы получим в следующей главе, по др.] d священной дробному интегродифференцированию.

Рельеф земной поверхности обычно испещрен впадинами и гора ми разного размера. Такая поверхность представляет собой фрактальный двумерный объект. Для измерения площади фрактальной поверхности, на N квадратиков, каждый площадью нее необходимо наложить 2. Тогда площадь фрактальной поверхности будет равна сум 2. В пределе N можно перейти к фрактальному инте ме 2 d D. Поскольку площадь, согласно (1.13), гралу:

2 D равна C, то приходим к правилу фрактального интегрирования квадратичной функции:

2 2 D dD = C. (3.5) Рассматривая объем фрактальной фигуры, а также другие гипе робъемные образования, с необходимостью приходим к правилу фрак тального интегрирования степенной функции:

n nD dD = C. (3.6) Здесь n – целое число. Однако полученный результат можно абстрагиро вать дальше, когда правило (3.6) будет справедливым и при произвольном числе n, не обязательно целым.

Установим правило предельного перехода, когда фрактальная размерность стремится к целому числу. Если D 0, то фрактальное ин тегрирование, очевидно, отсутствует, т.е.

d D 0.

(3.7) 1 D dD C при D 0, нахо Сравнивая (3.7) с выражением дим, что для неопределенного множителя:

lim C 1. (3.8) D Для фрактальной геометрии главное – это степенная зависимость величин между собой. Неопределенный множитель, как коэффициент про порциональности, зависит от единиц измерения и разрядов единиц изме рения и ни как не влияет на фрактальную размерность. В этом отношении закон предельного перехода неопределенного множителя при стремлении фрактальной размерности к целому числу не имеет большого значения.

Тем более, что для процессов на Евклидовой геометрии все величины обычно строго определены. Это обстоятельство позволяет не следить за неопределенным множителем при устремлении фрактальной размерности D к целому числу. Его всегда можно найти из сравнения с формулами в Евклидовой геометрии.

Далее в (3.6) положим D 1, тогда d1 C.

Здесь обращаем внимание на то, что для получения от переменной посто янной величины, необходимо от этой переменной взять обычную произ водную по ней самой, т.е.

d 1.

d Мы можем утверждать, что при пределе D 1 фрактальному интегралу соответствует обычная производная:

d dD.

lim (3.9) d D Для произвольной функции u ( ) обобщение очевидно, так что:

d u( ) d D u( ).

lim (3.10) d D Проверим соотношение (3.10) для степенной функции. Имеем n nD dD C.

Здесь положим D 1 :

n n d1 C.

В силу выше сказанного здесь можно положить С n, а также использо 1d n 1 n. В итоге получаем вать известное соотношение n d d n n d1, d n.

т.е. соотношение (3.10) для степенной функции u ( ) § 2. ФРАКТАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Дальнейшее развитие фрактального исчисления требует установ ление правила фрактального интегрирования суммы функций. При этом исходим из того, что нам уже известно фрактальное интегрирование от степенной функции, оно дается выражением (3.6). Для этого рассмотрим aD bD C сумму C, которую представить в виде суммы интегра лов:

a b dD + dD.

Очевидно, что сумму интегралов можно представить в виде одного инте грала:

d a b.

D a b Теперь степенные функции и обобщим на произвольные функ ции u и v. В итоге получаем правило фрактального интегрирования суммы функций:

u v d = u dD + v dD.

(3.11) D Видим, что фрактальное интегрирование является линейной операцией.

Во фрактальном исчисление возможно установить правило интег рирования произведения двух функций, хотя это и требует определенной абстракции, правильность которой будет обоснована предельным перехо дом при D 1 к известному выражению. Рассмотрим следующий фрак тальный интеграл:

ab a b D dD = C.

Выражение справа перепишем как D a D b D C.

Возьмем среднюю сумму от последних двух сомножителей:

C.

D a D b D aD b D C Один из сомножителей в сумме в скобках представим в виде фрактального интеграла:

C D aD 1 b D aD 1 b D dD C dD.

С1 C Теперь мы можем записать:

ab C C1 a b dD + dD = 1 C C2 b a dD.

a Здесь уже можно провести обобщение, заключающееся в замене на 1 b 1 u ( ) и на v( ). Заменив, также, C C1 на C C C 2 на и v 2 C u, окончательно получаем правило фрактального интегрирования про изведения двух функций:

u v d D Cv u v d D Cu v u dD.

(3.12) В математическом анализе этой формуле соответствует вторая теорема о d средних. Обозначим, как это часто делается, производную на штрих.

d Тогда при предельном переходе D 1 из (3.11) и (3.12) следуют извест ные выражения:

u v ' u ' v ', u v ' u ' v u v '.

sin d D ;

tg d D ;

Найти a) b)* c)* Задачи.

ln d D.

§ 3. ФРАКТАЛЬНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ В обычном и дробном исчислении дифференцирование является обратной операцией к интегрированию. Аналогично им примем, что фрак тальное дифференцирование d / d D будет обратной операцией к фрак тальному интегрированию. Таким образом, полагаем, что d d.

d (3.13) D D Для степенной функции из (3.6) имеем:

d d n n D n dD d C.

d (3.14) D D Интуитивно понятно, что неопределенный множитель C можно вынести из под операции взятия производной. Далее покажем, что наша интуиция здесь не подводит. Используя это обстоятельство, из (3.14) имеем:

d n D n d.

C D Здесь заменим n на n D, после чего, в итоге получаем правило вычис ления фрактальной производной от степенной функции:

d n 1 nD d C. (3.15) D Для краткости записи фрактальную производную иногда будем писать в n виде.

D При решении физических задач пространство бывает удобно сло жить из кубиков с линейным размером b, а время отсчитывать в единицах. Например, закон Мандельброта – Ричардсона (1.4) можно запи сать в виде 1 D LL.

b Этим самым, неопределенный множитель C “спрятали” в L0 и b. Опреде ление (3.1) можно переписать как dD.

b Однако введение величин b и приводит только к появлению лишних множителей, которые всегда можно “перепрятать” в величину C. Поэтому вместо b и удобно ввести “единичным элементом” 1, определяемый как масштаб измерения в нулевой степени:

1. (3.16) Из определения (3.16) следует, что “единичный элемент” при возведении в произвольную степень не меняется.

Положив в формуле (3.15) степень n = 0, получаем:

d 1 D d 1 C. (3.17) D Полученное соотношение (3.17) фактически и позволяет выносить неопре деленный множитель из под операции взятия фрактальной производной.

Например, если V const, то d d 1 D.

d V V d 1 V C (3.18) D D Понятие единичного элемента обнаруживает еще один аспект. Как извест но из Главы 1, число масштабов измерения N D ( ) следующим образом зависит от масштаба измерения :

D N D( ) C. (3.19) Положив 1, получаем C N D (1). Таким образом, неопределенный множитель фактически является суммой единичных элементов:

C N D (1) 1. (3.20) Поскольку, согласно нашему определению фрактального интеграла, 1 1 dD, то отсюда сразу получаем:

d d N D ( ) 1.

(3.21) D Полученное соотношение полезно сравнить с выражением, следующее из (3.19):

d D d N D ( 1). (3.22) D 1 при целых значениях D. Для прямой Найдем, чему равно N D линии величина D 1 и из соотношения (3.19) следует N N 1 1 /. (3.23) Если длина линии единичная, то измерение ее длины можно провести еди ничным масштабом, прикладывая масштаб один раз. Таким образом, здесь имеем 1 и N 1.

Тогда из соотношения (3.23) следует, что N 1 1 1. (3.24) Для квадрата на плоскости D 2 и (3.19) примет следующий вид: N N 1 /. Взяв сторону квадрата единичной длины, 1 и N 1, откуда здесь также имеем N 2 1 1.

Аналогичным образом можно доказать, что при любом целом D всегда будет 1 1.

N (3.25) D n Приведем еще один аргумент, что дробное интегродифференци альное исчисление не может адекватно описывать процессы и явления на фрактальных структурах.

Часто для описания процессов на фрактальных структурах при влекают интегралы и дифференциалы дробного порядка. Например, для дробного дифференциала известно, что D d 1 1 D d, Г 2 D где Г – гамма функция. Сравнивая его с законом Мандельброта – Ричард сона (1.4), можно было бы предложить следующую формулу:

D d 1 D L N D 1 Г 2 D N d.

D Для случая D 2 получаем d d N.

Но слева выражение тождественно равно нулю, и чтобы правая часть об ратилась в нуль, необходимо положить N 2 1 0. Но это противоречит общей теореме (3.25). Поэтому, для фрактальной геометрии применение дробного дифференцирования неприемлемо.

§ 4. УРАВНЕНИЯ ВО ФРАКТАЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Приступим к решению некоторых уравнений во фрактальных про изводных. Простейшее из них следующее:

d y A. (3.26) dx D Оно элементарно решается фрактальным интегрированием:

D y A dD x A C x. (3.27) Аналогично выписываем следующее уравнение и, соответственно, его ре шение:

d nD n yC x yx ;

. (3.28) dx D Для описания процессов на фрактальных структурах, необходимо установить правила перехода от обыкновенных дифференциальных урав нений к фрактальным уравнениям (уравнениях во фрактальных производ ных).

Более 30 лет назад Бенуа Мандельброт открыл фрактальную гео метрию. С его легкой руки принято считать, что математическим аппара том фрактальной геометрии является дробное интегродифференцирование [37]. По-видимому, это было связано с тем, что в обоих случаях имеют дело с дробными степенями. Однако не было проведено обоснование мно гомасштабности, определяемой формулой Мандельброта – Ричардсона.

Сравним фрактальный интеграл и дробную производную от сте пенной функции:

E E D dD = C, D Г 1 E d E D E d.

Г 1 E D Отсюда следует, что дробную производную можно сравнить с результатом действия фрактального интеграла:

D Г 1 E D d E E dD C.

d (3.29) Г 1 E Справедливость этого равенства ограничено условием D E. В противном случае выражение (3.29) при некоторых D может обратиться в неопреде ленность, упоминаемую выше. Полезность соотношения (3.29) в том, что оно позволяет установить правило соответствия или перехода от обычного исчисления к фрактальному. Такой переход будет осуществляться сле дующими формулами:

d d Г 2 dD.

(3.30) d d Г 3 d D d.

(3.31) D Обобщение на высшие производные очевидно. Теперь от дифференциаль ных уравнений можно переходить сначала к фрактальным интегралам, а затем и к уравнениям во фрактальных производных.

Обратим внимание, что правило (3.30) фактически совпадает с законом предельного перехода (2.8) (с учетом того, что Г ( 2) 1 ). Дейст вительно, закон предельного перехода (2.8) можно было бы сразу предло жить для обратного преобразования. Именно, для перехода от обычной производной к фрактальной производной. Для этого (2.8) необходимо бы ло бы переписать в следующем виде:

d u u d D. (3.32) d Эта формула, естественно, совпадает с (3.30). Заметим также, что величина D в формулах (3.30) и (3.31) не обязательно является именно фрактальной размерностью.

§ 5. НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ В качестве применения выше изложенного рассмотрим равномер ное и равноускоренное движения тел. При этом будет виден смысл введе ния коэффициентов в (3.30) и (3.31). Получаемые траектории будут опи сывать движение на фрактальных структурах, иначе, получаем фракталь ное блуждание. Поскольку фрактальные структуры вложены в евклидовое пространство, то естественно принять, что E в (3.29) является размерно стью евклидового пространства.

Простейшее движение – это движение с постоянной скоростью:

dx V. Согласно правилу (3.30), V const. Сначала расписываем:

dt dx x d D t, после чего получаем заменяем dt x dD t V.

Возьмем от него фрактальную производную:

d d x dD t V.

d t d t D D D Слева получаем x, а справа, согласно (3.18), C Vt, т.е. движение на фрактальной структуре подчиняется следующему закону:

D xC Vt. (3.33) Наглядно можно сказать, что движение происходит по ухабам и колдоби нам. Мы получили закон фрактального блуждания, который подробно рас смотрим в Главе 4. В пределе D 1 получаем известное решение для равномерного движения: x V t.

Равноускоренное движение описывается уравнением:

dV a const. Отсюда сразу получаем dt 1 D V C at. (3.34) d x Далее имеем a. Здесь используем соответствие (3.31):

dt d x d D t, т.е. 2 d D t x dD t a.

x 2 d D t dt Беря последовательно два раза фрактальную производную, находим 1 2 2D x C at. (2.35) В пределе D 1 получаем известное решение: x a t /2.

Природные среды неоднородны и многофазны. Такое строение сред сказывается и на их электрических свойствах. Здесь мы забегаем впе ред, поскольку многие результаты независимым образом будут получены в следующих главах. Изложение материала в данном разделе связано имен но только с применением фрактального исчисления. Для однородной и 1 /, где - круговая частота. Для проводящей среды скин-слой H фрактальной по электрическим параметрам среды в [Балханов В.К. 2006] показано, что частотная характеристика скин-слоя имеет также степенную зависимость, но с отличным от -1/2 показателем D:

D H. (3.36) Распространение электромагнитного поля в неоднородной среде можно рассматривать как блуждание по проводящим и диэлектрическим участкам, которые описываются размерностью блуждания h. Для задачи радиофизики известно, что D и h связаны соотношением:

D 1/ h. (3.37) Наличие двух величин D и h означает, что при переходе к фрактальным производным согласно формулам (3.30) и (3.31), величина D в этих фор мулах не обязательно является фрактальной размерностью. Например, вместо (3.30) можно записать d z z d z, (3.38) h/ dz а затем уже, исходя из многомасштабности и самоподобия, устанавливать связь величины h с фрактальной размерностью.

Для монохроматической волны, падающей на проводящую среду с плоской поверхностью, уравнения Максвелла сводятся к следующим:

E B i B E,. (3.39) z z - проводимость, - магнитная постоянная, E (электрическое Здесь поле) и B (магнитная индукция) – тангенциальные компоненты электро магнитного поля, координата z направлена вглубь среды. Если среда неод нородна, то переходим, согласно (3.38), сначала к фрактальным интегра лам:

d d E E d z, B B d z.

h/2 h/ dz dz Взяв от получаемых уравнений фрактальные производные, для B оконча тельно находим:

d B B 0. (3.40) i dz h Здесь использовали легко доказываемое правило d d d d = =.

h/ dz dz h / 2 dz h / 2 dz h Хотя в настоящее время неизвестно, как решать подобные (3.40) уравне ния, но сразу можно установить, что скин - слой, как единственная вели чина с размерностью длины, должна иметь следующий вид:

h, H C (3.41) i 0 где C – неопределенный множитель. Отсюда, с учетом (3.37) находим за кон (3.36).

§ 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ФРАКТАЛЬНОЙ ПРОИЗВОД НОЙ Одно из свойств фрактальных линий – их изломанность в каждой точке. Это означает, что самоподобные кривые не имеют обычных произ водных. Если нарисовать галочку, то она в точке излома будет иметь две касательные. А поскольку касательная и есть геометрическая интерпрета ция производной, то получается, что галочка в точке излома имеет две производные. По – существу, у галочки имеется одна точка, в месте кото рой неизвестно, какую надо взять производную. Понятно, что для фрак тальных объектов, имеющих нерегулярность в каждой точке, надо ввести свою особую – фрактальную производную, и так, чтобы она была естест венным обобщением обычной производной. Это можно сделать следую щим образом.

Рассмотрим окружность радиусом R. Взяв производную от площа ди круга, получаем длину окружности (рис. 3.1 а). Видим, что фактически вырезали внутреннюю часть, оставив только границу самой окружности.

Аналогично примем, что действие фрактальной производной сводится к удалению внутренней части замкнутой области (рис. 3.1 b).

Рис. 3.1. Геометрический смысл обычной а) и фрактальной b) производных.

В главе 2 § 2 было установлено, что длина всех ветвлений внутри D области линейного размера R пропорционально R. Взяв фрактальную производную, мы вырезаем внутреннюю часть, оставляя только соприкос новения границы области с ветвлениями. Разделив получаемой выражение на площадь области, получаем число пересечений. Используя правило взя тия фрактальной производной от степенной функции (3.15), для числа ветвлений плоскостной проекции будем иметь D 1 d D 2D N 2 R CR. (3.42) R dR Сравнивая полученное выражение с (2.9), приходим к результату (2.10), которое надо переписать в следующем виде:

h 2 D 2 1. (3.43) В трехмерном случае, чтобы получить число ветвлений, фракталь ную производную от длины всех ветвлений необходимо разделить на объ ем R, т.е. для пространственной структуры:

D 1 d D 2D N 3 R C R. (3.44) R dR Отсюда следует, что для пространственного ветвления h 3 2 D 3 3. (3.45) Для разнообразных природных фрактальных объектов должна от дельно устанавливаться связь между D2 и D3, и их отношение с размер ностями блуждания. Формулы (3.43) и (3.45) дают пример связи h и D для разветвленных структур. Еще необходимо установить зависимость D2 и D3 между собой.

ГЛАВА ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ДРОБНОГО ПОРЯДКА § 1. ФАКТОРИАЛ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Основную роль во фрактальной геометрии играют дробные степе ни. Такую же роль дробные степени играют и в математическом аппа рате дробных интегралов и дифференциалов. Поэтому желательно провести сравнение между фрактальными и дробными интегралами.

Хотя мы увидим, что дробные интегралы, вообще говоря, не способны описать формулу Мандельброта – Ричардсона, но они позволяют полу чить эвристическое правило перехода от обыкновенных дифференци альных уравнений к фрактальным уравнениям. Переход от целых чисел к дробным удобно провести, отталкиваясь от факториалов.

Часто встречающееся произведение целых чисел 1 2...n обозна чает как число n с восклицательным знаком:

n! 1 2...n, его называют факториалом. При n = 0 полагают 0! = 1. Факториал, на пример, возникает при вычислении следующего определенного инте n x x e dx. Интегрируя по частям, легко получаем грала:

dx nn 1n 2...1 n!.

n x x e Но этот интеграл имеет конечное значение и при произвольном n, не обязательно целом. Для этого общего случая Эйлер ввел свою зна менитую гамму-функцию:

Г 1 x e x dx. (4.1) Для целых n будет Г 1 n n!. Теперь можно определить факториал и от дробного числа, заменяя его сначала Г-функцией:

! Г 1, а затем численно находя интеграл (4.1). При этом фактически доста точно знать интеграл (4.1) для значений, лежащих в интервале от 0 до 1/2. Остальные значения находятся из двух важных свойств, которым удовлетворяет Г-функция:

Г 1 Г, Г Г 1. (4.2) sin Перемножим две Г-функции:

Г a Г b x a 1 x b e y dy.

y e dx Заменим верхний предел интегрирования по x на конечное число R, которое после вычислений устремляется в бесконечность. Тогда R ( x y ) Г a Г b x a 1 b y e dx dy. (4.3) 0 Проведем замену переменных x y u, y u v, при этом вид но, что нижние пределы интегрирования по u и v остаются равными нулю. Для определения верхних пределов интегрирования сначала найдем u x y, v y / x y. Отсюда, после подстановок x R и y, находим u и v / R 1. Площадь в старых ко ординатах была равна v / R 1, в новых – du dv, причем ( x, y ) dx dy du dv u du dv.

(u, v) Произведение двух Г-функций (4.3) принимает следующий вид a b 1 b Г a Г b u v 1 v u a e du dv.

0 Заметим, что вспомогательный параметр R выпал. Интеграл в скобках есть Г a b, и мы приходим к еще одной полезной специ альной функции, которую Эйлер назвал бета-функцией:

Г (a) Г (b) x 1 x b a dx. (4.4) Г ( a b) Подобным образом можно прийти к наиболее общей специальной функции – гипергеометрической функции Гаусса:

Г (c ) b 1 c b 1 a t (1 t ) (1 z t ) dt.

F (a, b;

c;

z ) (4.5) Г (b) Г (1 b) Через гипергеометрическую функцию могут быть выражены эле ментарные и специальные функции, например, обобщенный полином Лежандра:

/ 1 x 1 x F (,1 ;

1 ;

P ( x) ), Г (1 ) 1 x причем 1 x 2.

§ 2. ДРОБНЫЙ ИНТЕГРАЛ x x x dx dx... ( x )dx n-кратный Рассмотрим интеграл = a a a x x n ( x )d x, если ввести оператор интегрирования J......dx, то n a a x. Итак, имеем n кратный интеграл примет вид J x x x x J x = n dx... ( x )dx = ( x )d n x.

dx (4.6) a a a a По индукции можно доказать, что рассматриваемый n-кратный интеграл равен x 1 n ( x t ) ( t )dt. (4.7) ( n 1)! a Аналогично тому, что интеграл (4.1) определен и для нецелых, притом, что оба интеграла, именно (4.6) и (4.7), cуществуют и в общем случае, когда n – не обязательно целое число. Заменяя n произвольным числом и учитывая правило n 1! Г n Г, в итоге прихо дим к интегралу Римана – Лиувилля:

x x (t ) x = ( x )d x = ( x t )1 dt.

J (4.8) Г ( ) a a Для наших целей строгое ограничение пределов интегрирования не нужно. Мы будем придерживаться простого правила: вычисляем интеграл (t ) x = ( x )d x = ( x t )1 dt J (4.9) Г ( ) так, как если бы он имел удобные для нас пределы интегрирования, чтобы результат интегрирования выражался через элементарные или специальные функции. Если заменить переменную интегрирования x t на t, то получим более удобную форму представления дробного интеграла:

1 x = t x t dt.

Г ( ) J (4.10) Из определения (4.6) очевидным образом следует, что n-кратное интегрирование подчиняется мультипликативному свойству:

k m km J J J. (4.11) Действительно, dx... dx dx... x dx dx... x dx = k m интегралов k инт. m интегралов m x x d k d x.

Понятно, что свойство (4.11) будет верно и при произвольных k и m. Это позволяет рассматривать значения, заключенные только меж ду 0 и 1. Если, например, больше единицы (но меньше 2), то, заменяя его на 1 +, всегда можно расписать x = ( x )d 1 x = dx ( x )d x, J (4.12) имея после дробного интегрирования уже обычный интеграл. Очевид ( x )dx.

d x но, что (4.12) можно переписать и как x x d 1, 5 x, Проверить, что три интеграла Задача 10.

5/ x x x x 8x x d 0,5 x и d 0,5 x dx x d x равны.

15 Г 0, 0 0 0 Решение. Рассмотрим третий интеграл. Первое интегрирование является табличным и равно x / 2. Для последующего уже дробного x x y dy интеграла имеем 1 x 2 d 0,5 x x y. Заменой пере 2 Г 0,5 x x z менной x y z 2 получаем d z. Полученный ин 0, Г теграл элементарный, в итоге приходим к выше написанному результа ту.

§ 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ n Для степенной функции x дробный интеграл (4.10) примет вид t 1 ( x t ) n dt.

J xn Г ( ) После замены переменной интегрирования t x t, получим n x t 1 (1 t ) n dt.

J xn Г ( ) Но интеграл здесь есть В-функция (4.4), поэтому Г (1 n) n n n dx = J x x x =. (4.13) Г (1 n ) Если отвлечься от множителя, то результат вполне очевиден.

x Рассмотрим экспоненциальную функцию e, для этого слу чая ex 1 x x t e t d t, J e t e dt = t Г ( ) Г ( ) но интеграл есть Г-функция (26.1), так что x x x J e e d xe. (4.14) Экспонента не меняется при дробном интегрировании. Для случая ax e без труда находим ax ax J e =a e. (4.15) Этот результат можно получить, не проводя фактически интегри рования, а используя только (4.14). Для этого проведем масштабное преобразование, т. е. заменим x на a x. Тогда (4.14) примет вид ax ax e d a xe. Но из определения кратного интеграла (4.6) сле дует, что для кратного дифференциала d a xa d x. (4.16) ax ax Поэтому a e d xe, откуда и следует (4.15).

Рассмотрим тригонометрическую функцию, например, sin x.

В этом случае 1 i x ix (J e –J e J sin x ).

2i Здесь пригодится (4.15), получаем 1 i x ix - ( i ) e ) = (i e 2i 1 i ( x / 2 ) i ( x / 2 ) ) = sin x.

(e –e = 2i Таким образом, x = sin x.

J sin x sin x d (4.17) Результат (4.17) можно получить, вычисляя последовательно:

sin xdx cos x sin x / 2, dx sin xdx sin x sin x 2 / 2, dx dx sin xdx cos x sin x 3 / 2, … n x sin x n / 2.

sin xd Обобщая n на нецелые, приходим к (4.17).

Аналогично находим и в более сложном случае:

ax e sin x, ax J e sin bx / (a 2 b 2 ) где угол = arg(a + ib) 0, /2.

d Если ввести пси-функцию ( z ) = ln Г ( z ), то можно найти dz дробный интеграл и от логарифма:

x J ln x ln x (1) (1 ), (4.18) Г (1 ) 1 t ln t dt.

где (1+) - (1) = - В конце укажем на две трудности, возникающие при вычислении интеграла (4.14). Если разложить экспоненту в ряд, то получим сле дующее:

x 1 x... d x e d x x= Г 1 Г 2 Г 3 x x x....

Г 1 Г 2 Г 3 2 x В итоге мы не получаем e. Вторая трудность в том, что если оп ределить пределы интегрирования, например, интегрировать от 0 до x, то в итоге получаем x 1 x x x ed xe.

1 x «Постоянная» интегрирования на самом деле является функцией переменной.

§ 4. ДРОБНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Интегрирование и дифференцирование являются обратными по отношению друг к другу операциями. Это означает, что если продиф ференцировать интеграл от некоторой функции, то получим саму функцию:

d ( x) d x ( x).

dx Для интеграла n-го порядка, очевидно, надо провести n дифферен цирований:

n d n ( x) d x ( x).

dx Мы распространим эту операцию и на произвольное число n, т. е. будем считать, что d ( x) d x ( x).

(4.19) dx d как D, тогда (4.19) Обозначим оператор дифференцирования dx или D J примет вид D J 1 – единичный оператор.

Отсюда ясно, что D J. (4.20) Заменив в формулах интегрирования на -, получаем дробное дифференцирование. Например, для элементарных функций получаем Г (1 n) n xn D x, Г (1 n ) x x D e e, (4.21) sin x sin( x / 2), D ln x 1 1 D ln x =.

x Г 1 Дробный дифференциал D можно выразить через интеграл, для этого в (4.9) заменим на -:

(t ) J ( x) d t.

Г ( ) ( x t ) Так как Г n n 1Г n 1, то, заменив n –1 на -, получим Г Г 1 /.

1d 1 Далее, заменив, окончательно 1 ( ) dx ( x t ) (x t) приходим к формуле (t ) d D ( x ) ( x t ) dt, (4.22) Г (1 ) dx впервые предложенной Лиувиллем.

Пределы интегрирования у нас в некотором роде произвольные, фиксируя их в (4.27), можно получать различные формы интегрального представления оператора дробного дифференциала. Например, считая пределы интегрирования от 0 до x, выражение (4.22) можно преобразо вать в производную Маршо:

(t ) ( x t ) D ( x) dt.

Г ( ) ( x t ) Однако лучше сначала использовать интеграл (4.10), который во всех отношениях более удобен, а затем просто поменять на -.

Оба интеграла (4.9) и (4.22) удивительным образом проявляются в интегральном уравнении Абеля:

1 x (t ) d t f ( x ), Г ( ) ( x t ) xa. (4.23) a Решим его, считая (x) – неизвестной. Обычно используемая при этом процедура заключается в следующем. Сначала заменим перемен ные и перепишем (4.23) в виде t ( s)ds Г ( ) f (t ).

(t s ) a и проинтегрируем по t от a до x:

Умножим его на (x t) x t x ( s) d s f (t ) d t dt Г ( ) ( x t) (t s).

1 (x t) a a a Используя интеграл Дирихле x t x x d t...d s d s...d t, a a a s получаем x x x dt f (t ) d t ( s) d s Г ( ) ( x t ) (t s).

1 (x t) a s a Для внутреннего интеграла заменим переменную t на согласно формуле t s x s, тогда (1 ) d B(,1 ) Г ( ) Г (1 ), поэтому x x f (t ) d t ( s) d s (x t).

Г (1 ) a a Дифференцируя по x, окончательно получим:

d x f (t ) d t x.

Г (1 ) d x ( x t ) (4.24) a Производную от интеграла здесь можно переписать в следующем эквивалентном виде:

f ' t d t f a d x f (t ) d t x d x ( x t ) x a a.

x t a Легко видеть, что выражение (4.23) есть определение дробного ин теграла (4.9), а (4.24) – определение дробного дифференциала (4.22).

Задача 11. Доказать, что d a xa d x, где а – постоян ная.

ГЛАВА ФРАКТАЛЬНОЕ БЛУЖДАНИЕ В главе рассматриваются некоторые физические задачи, для кото рых фрактальной геометрией установим степенные закономерности.

Исторически первыми из таких задач были теория броуновского дви жения, теория полимеров и теория перколяции, поэтому уместно рас смотрение их в данной книге. Замечательно, что для электромагнитных процессов устанавливается связь между размерностью блуждания и фрактальной размерностью, для стримерных каналов степенные пока затели удается вычислить. Для ветвлений дельты рек также установле ны степенные закономерности, хотя здесь еще и остаются нерешенные вопросы.

§ 1. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ Если в одном углу комнаты пролить духи, то спустя некоторое время их можно почувствовать и в другом углу. Распространение мо лекул, ответственных за запах, происходит в окружение молекул воз духа, поэтому существенно отличается от движения в безвоздушном пространстве. Молекула запаха (далее – частица), двигаясь сначала по прямой, сталкивается с молекулой воздуха и, как бильярдный шар, ме няет свое направление. Такое движение открыл Роберт Броун (Robert Brown, 1826), поэтому его называют броуновским движением. Задачей здесь является получение информации о том, на какое расстояние за время t удалится частица от некоторого первоначального местополо жения, какую она будет иметь скорость. Впервые эта задача была ре шена А. Эйнштейном (1905) и приводится практически во всех учеб никах, посвященных кинетической теории вещества. Ввиду важности как самой задачи, так и возможного применения к другим задачам, приведем решение, следуя изложению в Фейнмановских лекциях по физике.

Частица в среде испытывает порядка 10 столкновений в секун ду, поэтому спустя, скажем, одной сотой доли секунды, уже не «пом нит», что с ней было раньше. Значит все столкновения случайны, каж дый следующий «шаг» частицы совершенно не зависит от предыдуще го. Если R – расстояние частицы от начального положения, то в сред R 0, но, как и для всякого флуктуационного явления, нем R 0.

Пусть l – среднее расстояние между двумя последовательными столкновениями, тогда (рис. 5.1):

R R l.

N N R N l Рис. 5.1. Блуждание молекулы. В результате хаотического движения R из N сегментов длиной l молекула смещается на расстояние N 2 2 Возведем его в квадрат: R R 2 R l l и усред N N N R l 0 – все направления равноверо ним. Так как, очевидно, N ятны, то 2 2 R R l.

N N Это уравнение легко решается по индукции:

2 2 2 2 2 R1 l ;

R R 1 l 2 l ;

2 2 2 R3 R2 l 3 l … Так, что 2 R Nl. (5.1) N Если ввести среднее время между двумя столкновениями, то за время t произойдет всего N t / столкновений и (5.1) примет вид l R t.


(5.2) Отношение l / определяет какую-то скорость v. Поскольку сред нее v 0, то надо находить среднее от квадрата v. По определе нию среднего 1l 2 2 v v v, нач кон а по кинетической теории v 3kT / m, следовательно, 6k T l B, (5.3) m где k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура, m – B масса броуновской молекулы. Длина свободного пробега и время меж ду двумя столкновениями строго связаны между собой.

Шагая по дороге со скоростью v l /, путник за время t преодо леет расстояние L v t (рис. 5.2). Например, имея скорость 3 км/ч, путник за 1 час может удалиться на 3 км. Однако, шагая в лесу, путник постоянно будет менять направление, обходя деревья. В этом случае, меняя время t на L / l, из (5.2) находим среднеквадратичное рас стояние R:

R R Ll. (5.4) Для путника в лесу длина l будет определяться пределом прямой видимости, скажем, в 30 м. Тогда, согласно (5.3), путник за 1 час уда 3 км 30 м 300 м, а не на 3 км, как это было бы на лится на прямой дороге.

RN L l Рис. 5.2. Движение по прямой и хаотическое блуждание § 2. ТЕОРИЯ ПЕРКОЛЯЦИИ Пусть путник находится не в лесу, а на краю болота. Перепрыги вая с кочки на кочку, это болото можно легко преодолеть, но это воз можно, если кочки находятся достаточно близко друг от друга. Может случиться так, что кочки окажутся на далеком расстоянии и путник не сможет по ним прыгать, застрянет где-нибудь посередине болота. Оче видно, что существует критическая плотность n расположения ко c чек, при котором становится возможным преодолеть болото. Такую ситуацию называют порогом протекания. Теория, основанная на суще ствовании порога протекания, называется теорией перколяции. Ее ос новное положение заключается в предположении, что вблизи порога протекания все величины в задаче степенным образом зависят от раз ности n n nс. Согласно формуле (5.1), в задаче броуновского движения основными величинами являются среднеквадратичное рас стояние R, число прыжков N и среднее расстояние между кочками l.

Когда n nc, кочки расположены достаточно плотно, и путник в кон це концов преодолеет болото. Если n nc, то кочки расположены да леко друг от друга, и турист не сможет прыгать по ним. Вблизи n nc, согласно теории перколяции, мы должны принять, что l n, (5.5) N n, (5.6) R n. (5.7) Чтобы турист застрял в болоте, расстояние между кочками l надо устремить в бесконечность: l при n 0, поэтому в (5.5) показа тель степени входит с отрицательным знаком. Знаки в степенях в (5.6) и (5.7) положительны, это необходимо для того, чтобы при n было N 0 и R 0, – турист остается на месте.

По существу законы (5.5) – (5.7) означают многомасштабность процесса протекания.

В теории перколяции остается справедливой формула (5.1):

2 R Nl. (5.8) Кроме того, согласно определению понятия плотности, имеем:

N n. (5.9) R По существу, это условие самоподобия процесса протекания.

Подставляя (5.5)–(5.7) в (5.8)–(5.9), получаем два уравнения для трех показателей:

2, 1.

Отсюда сразу находим 1 / 2, т. е.

1 l. (5.10) n nn c Полученное соотношение указывает, что средняя длина свободно го пробега представляет собой корреляционную длину. Далее N n, R n 1. (5.11) Если мы хотим найти зависимость R от N, то сначала выражаем 1/ n N, далее R N.

Поскольку число прыжков от кочки к кочке пропорционально времени t передвижения через болото, то получаем, что R t. (5.12) Получили степенной закон блуждания путника через болото.

Обратим внимание на существенный недостаток перколяционного подхода. Во-первых, необходимо сразу предполагать степенные зави симости, во-вторых, он характеризуется обилием степенных показате лей. Хотя нам и удалось для блуждания по болоту все степенные пока затели выразить через одну величину, но в общем случае этого не все гда удается сделать.

§ 3. ФРАКТАЛЬНОЕ БЛУЖДАНИЕ Неоднородность реальных сред приводит к тому, что траектория путника представляет собой сильно изломанную, причудливую линию.

Перепрыгивая с кочки на кочку при пересечении болота, путник опи сывает не только извилистую линию, но и линию, состоящую из отрез ков. Это означает, что в общем случае линия еще и фрагментарна. Та кие извилистые и иногда фрагментарные линии обладают важными свойствами многомасштабности и самоподобия, т. е. описываются фрактальной геометрией, их длина L описывается формулой Ман дельброта – Ричардсона:

1 D LC. (5.13) Здесь – масштаб измерения, D – фрактальная размерность линии.

Если линия непрерывна, то для путника на плоской поверхности Земли 1 D 2. Для путника на болоте линия фрагментарна и 0 D 1.

Если линия в неоднородной, неупорядоченной среде является фрактальной, то и среда является фрактальной. Тогда движение путни ка во фрактальной среде будет являться блужданием по или вокруг не однородностей.

Траектория движения частицы описывается заданием зависимости местоположения частиц от времени t. При движении во фрактальной среде траектория будет фрактальной, т. е. многомасштабной и самопо добной. Это означает, что все траектории геометрически подобны друг другу. Геометрическое подобие математически описывается следую щими преобразованиями:

h L ' L, t ' t. (5.14) Здесь траектория (L ’, t ’) подобна траектории (L, t), – масштаб ный множитель. Степенной показатель h говорит о том, что происхо дит именно блуждание и соотносится с размерностью фрактальной среды. Поэтому естественно h назвать размерностью блуждания. Мы с ней уже встречались в главе 2 (формула 2.9). Исключим масштабный множитель следующим приемом:

L' t ' h.

L t 1/ h Отсюда следует, что L и t пропорциональны друг другу:

1/ h Lt. (5.15) Мы получили фундаментальный для фрактальной геометрии закон фрактального блуждания. Он описывает степенной рост со временем линейного размера области блуждания объекта во фрактальной среде.

Закон (5.15) мы получили, перенося фрактальность объекта на сре ду. Но рассуждения можно обратить, тогда (5.15) будет описывать рост фрактальных объектов со временем. Если объект состоит из отдельных структур (стримерные каналы, дельты рек), то при росте структуры происходит их бурное разветвление и запутывание. Природные объек ты стремятся захватить как можно больший объем и плотнее его за полнить.

Одна из задач фрактальной геометрии и фрактального исчисления – это установление связи размерности блуждания h и фрактальной раз мерности D среды, в котором происходит блуждание. В главе 3 мы уже установили, что для разветвленных структур на плоскости h 2 2 D 2 2.

Если ветвление происходит в объеме, то из геометрического смыс ла фрактальной производной следует, что h 3 2 D 3 3.

Для блуждания через болото мы установили закон (5.12), откуда следует, что h.

Поскольку одновременно h 0 и 0, то отсюда следует, что фактически 1. Впрочем, неравенства следуют и из (5.11).

1/ Сравнение формулы R t, относящейся к броуновскому блуж 1/ h данию, и результата R t, относящегося к фрактальному блужда нию, позволяет выдвинуть следующий эвристический принцип. Если для какого-то процесса, происходящего в однородной среде, для вели чин y и x, описывающих этот процесс, известен следующий степенной закон:

1/ y x, (5.16) то для этого же процесса, но происходящего в неоднородной, неупоря доченной среде, закон (32.4) заменяется на следующий:

1/ h y x. (5.17) В качестве примера рассмотрим затухание электромагнитного по ля в однородной среде. Величина, описывающая это затухание, являет ся скин-слой H C, который зависит от частоты f электромагнитного поля:

1 / f H. (5.18) C Согласно эвристическому принципу, если среда неоднородная, ко гда проводящие и диэлектрические свойства в среде распределены хао тично, то скин-слой будет следующим образом зависеть от частоты:

1 / h f H. (5.19) C Остается только определить фрактальную размерность среды, т. е.

что она описывает, и установить ее связь с величиной h в (5.19). Эту задачу решим в следующем параграфе.

Если известна скорость движения v, то пройденное расстояние r будет находиться как r v d t. Однако при броуновском движении средние значения r иv равны нулю. Отличные от нуля только 2 средние значения квадратов этих величин: r иv, и нужно го ворить о зависимости r r от времени. Для броуновского дви жения r t. Такую зависимость можно получить, используя разра ботанное в главе 3 фрактальное исчисление. Необходимо использовать правило перехода:

d v d t v.

d t 1/ При этом приобретает смысл и величина r, она является средне квадратичным значением. Таким образом, находим, что соотношение r vdt переходит в d 2 r v.

d t 1/ Поскольку v v const, то получаем 1/ rC v t. (5.20) Такой степенной закон был получен ранее в главе 1 § 1.

Если ввести среднюю длину свободного пробега l и среднее время, то в (5.20) можно избавиться от множителя C:

t rl.

Для описания фрактального блуждания необходимо использовать следующее правило перехода:

d v d t v.

(5.21) d t 1/ h Теперь, используя правило взятия фрактальной производной от постоянной величины, находим d v C v t 1/ h, r d t 1/ h т. е. получили степенной закон (5.20), где согласно эвристическому принципу степенной показатель 1 / 2 заменен на 1 / h.

§ 4. СВЯЗЬ МЕЖДУ h И D ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ Пусть на частоте f проводящая среда зондируется внешним элек тромагнитным полем на глубине скин-слоя H C f. Глубину зонди рования скин-слоя разделим на три равные части, среднюю проводя щую часть заменим диэлектрической прослойкой. Для оставшихся двух проводящих слоев повторим операцию замены средней части ди электрической прослойкой (рис. 5.3). С геометрической точки зрения получаем канторовское множество с размерностью D ln 2 / ln 3.

Чтобы прозондировать получаемый участок, достаточно частоты 3 f. Поскольку таких участков 2, то отсюда следует функциональное уравнение H C f 2 H C 3 f. (5.22) Согласно методу решения таких уравнений, решение ищем в виде сте пенной функции:


x f A H f, (5.23) C с неизвестным степенным показателем x, где A – некоторая постоянная.

Подставляя (5.22) в (5.23), получаем 2 3 f.

x x f x Отсюда находим 2 3 и x ln 2 / ln 3.

Сравнивая с величиной D ln 2 / ln 3, заключаем, что x D и D H Cf A f. (5.24) Теперь уже можно сравнить формулы (5.24) и (5.19), из сравнения которых следует, что h. (5.25) D Рис. 5.3. Канторовское множество, образованное проводящими участками с проводимостью, разделенные диэлектрическими участками с проницае мостью. Все значения и в общем случае неоднородной среды Таким образом, для электромагнитных процессов во фрактальных средах размерность блуждания электромагнитного поля обратно про порциональна фрактальной размерности распределения проводящих участков.

§ 5. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛИМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ Для физико-математической науки свойственно, что только не большое число задач поддается точному решению. Зачастую приходит ся использовать приближенные методы. Фрактальная геометрия не яв ляется исключением, здесь только для иерархических структур воз можно точное вычисление фрактальной размерности. Для реальных природных объектов фрактальную размерность можно найти только после тщательных измерений. Однако в природе есть объекты, для ко торых фрактальная размерность вычисляется. К таким объектам отно сятся полимерные цепи, стримерные каналы и дельты рек. Сначала рассмотрим полимерные цепи.

Полимерная цепь представляет собой клубок, состоящий из N звеньев, каждое длиной l. Поскольку число звеньев цепи огромно, то для их описания можно применить методы статистической физики, как это впервые сделал Флори (P. Flory, 1949). Согласно распределению Гаусса, вероятность P того, что размер клубка, состоящего из полимер ной цепи, будет равен R, есть.

2 P const exp 3R / 2 N l (5.26) Это ведет к появлению эффективного потенциала U eff T S, где T – температура, энтропия S ln P, т. е.

3R U eff const T. (5.27) 2 Nl Для идеального газа внутренняя энергия U V n T, где V – объем газа, n – плотность частиц. Для реальных газов внутреннюю энергию разлагают в ряд по плотности n:

2 U V T n n B n C..., где B, C – вариальные коэффициенты. Исключая идеальный газ, при мем, что энергия клубка равна U BVTn, (5.28) где под n понимаем концентрацию звеньев в клубке (n N / R ). Те перь можно составить функционал F, называемый свободной энергией:

2 N 3T R F U T S c T B, (5.29) 3 N R 2l где постоянная c 1. В состоянии равновесия F ( R) min, поэтому dF / dR 0, откуда 3 1/ 5 3/ N R c Bl N. (5.30) Поскольку для фрактального объекта 1/ D RN, (5.31) то из (5.30) следует, что размерность блуждания звеньев полимерной цепи равна D. (5.32) Поскольку звенья расположены в объеме, то под D в (5.32) надо понимать D 3.

Полимерную цепь можно растянуть в линию или расплющить на плоскости. Поэтому, в общем случае, вместо (5.26) будет, 2 P const exp E R / 2 N l где E – размерность евклидова пространства;

E 1 – линия, E 2 – E N/R плоскость, E 3 – объем. Плотность звеньев n и объем V E E R. В итоге, свободная энергия будет 2 N R F.

E N R Здесь мы все величины, не относящиеся к N и R, не стали выписы вать. Из условия F ( R) min, находим RN.

2 h Таким образом, в общем случае фрактальная размерность звеньев полимерной цепи 2E D. (5.33) E Пьетронеро (L. Pietronero, 1982) установил, что для полимерных цепей размерность блуждания h связана с фрактальной размерностью D трехмерного пространства, образуемой самой полимерной цепью, следующим соотношением:

D h 3 1. (5.34) Теперь из (5.33) находим h3. (5.35) Отметим еще один аспект, следующий из (5.33). Поскольку D 2 4 / 3 и D 3 5 / 3, то D D2. (5.36) Этим самым устанавливается связь между фрактальными размер ностями полимерной цепи в пространстве и на плоскости.

§ 6. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СТРИМЕРНЫХ КАНАЛОВ В природе и технических устройствах в результате пробоя высо ким напряжением диэлектрического материала часто возникают стри мерные каналы (см. рис. 2.15). В главе 2 § 3 в результате измерений мы установили, что для планового рисунка стримерного канала размер ность блуждания h 1.04 0. и фрактальная размерность D 1.52 0.03, причем эти обе величины связаны следующим соотношением:

h 2 2 D 2 1. (5.37) С другой стороны, из литературных источников (см. глава 2 § 3) известно, что D 2 (литер) 1.45 1.55, D 3 (литер) 2.16 0.05.

измер и литер в пределах ошибок изме Видим, что D D 2 рения совпадают друг с другом. Было бы желательно вычислить уста новленные в результате измерений фрактальные размерности стример ных каналов. Эту задачу можно решить, если предположить, что ветв ления, образующие рисунок стримерных каналов, состоят из сегментов эффективной длиной l. Огромное число сегментов, как и для полимер ных цепей, позволяет использовать методы статистической физики.

Вероятность того, что ветвления стримерного канала распространятся на расстояние R, пропорциональна.

2 exp 3 R / 2 N l (5.38) Нормировочный множитель не выписан, поскольку в решение рас сматриваемой задачи он не войдет. Взяв от вероятности (5.38) лога рифм, находим энтропию S данной конфигурации:

3 k R SS 0, (5.39) 2 N l где k – постоянная Больцмана, S – энтропия среды, в которой проис ходит развитие стримерных каналов.

Примем, что стримерные каналы представляют собой низкотемпе ратурное плазменное образование. Тогда внутренняя энергия U пред ставляет в основном корреляционную энергию, которая относительно ионов вычисляется методом Дебая – Хюккеля. Применительно к элек тронам внутренняя энергия будет q U N, (5.40) rD где q – заряд электрона. Здесь радиус Дебая kT V rD, (5.41) N q где T – абсолютная температура, V – объем конфигурации. Зная внут реннюю энергию и энтропию, находим свободную энергию конфигу рации:

3/ kT q 2 R N N kT F U T S F 0. (5.42) 2 0 k T V2 Nl 3 R. В состоянии равновесия F R min Здесь объем V F 0. Отсюда окончательно находим:

или R N R A R 7 / 5, (5.43) где 3/ 1/ 1 kT A l 7 / 5. (5.44) q 2 /4 l 18 Мы получили степенной, или скейлинговый, закон роста стример ных каналов. Теперь осталось связать степенной показатель с фрак тальной размерностью. К сожалению, имеющиеся в литературе данные не позволяют по формулам (5.42) и (5.44) определить эффективную длину сегмента l.

Из сравнения (5.43) и (5.31) следует, что h3.

Стримерные каналы представляют собой разветвленную структуру и для объемного его образования из главы 3§ 5 (3.38) известно, что h 3 2 D 3 3.

Теперь можно найти фрактальную размерность объемной структу ры стримерного канала:

D 2. 2.

По известной величине D теперь надо найти значение D 2. Это можно сделать, если предположить справедливость следующего равен ства:

D3 = D2 +, (5.45) Одно из обоснований этого соотношения в § 7 Главы 6. Тогда легко можно найти, что 2 1. D2 = D3 – 3 и h 2 D 2 2 1.07.

Все вычисленные величины согласуются с измеренными значе ниями, приведенными в начале параграфа. Хотя и не удалось пока строго доказать соотношение (5.45), но совпадение численных резуль татов внушают оптимизм, что такое доказательство существует.

§ 7. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕТВЛЕНИЙ ДЕЛЬТЫ РЕК Образование дельтообразного устья реки связано с неоднородным строением земной поверхности. Последовательный учет всех неодно родностей вряд ли представляется возможным. Но можно предложить качественную статистическую теорию, связанную с тем, что количест во рукавов дельты достаточно большое, и их можно описывать стати стически.

Исходным пунктом предлагаемой теории является предположение, что дельту можно рассматривать как статистическую систему, обла дающую вероятностью ветвлений, энтропией и величиной, аналогич ной свободной энергии в статистической физике. Вероятность P того, что на расстоянии R образуется N рукавов, пропорциональна распреде лению Гаусса:

2 R P exp. (5.46) 2 Nl Множитель 2 в знаменателе экспоненты связан с тем, что система двухмерна. Величина l – это некоторая эффективная длина. Логариф мируя, находим энтропию S системы рукавов:

2R S ln P. (5.47) 2Nl Введем величину U, аналогичную внутренней энергии в статисти ческой физике. Если внешней границы нет, то U пропорциональна чис лу рукавов. Однако дельта реки всегда упирается в водоем сбора своих вод, где испытывает сильнейший гидроудар. Поэтому для дельты рек величина U будет пропорциональна квадрату числа рукавов. Кроме этого, U должна быть пропорциональна плотности рукавов n, где N n. (5.48) R Здесь R – линейный размер области, содержащий N рукавов. Одна ко из-за сложной структуры дельты величина U будет пропорциональ на плотности n в некоторой степени k. Таким образом, собирая все, по лучаем:

2 k U const N n. (5.49) Система рукавов описывается функционалом F, аналогичной сво бодной энергии в статистической физике, т. е.

F U S или 2 k N R F. (5.50) 2k N R dF В состоянии равновесия F min, или 0. Отсюда находим:

dR k NR. (5.51) k Мы получили скейлинговый закон роста количества рукавов с ли нейным размером дельты.

Предложенная теория ветвлений позволила описать установлен ный для дельты рек Селенги, Лены и Волги степенной закон (5.51). С другой стороны, согласно фрактальной геометрии 2 ( D 1) NR. (5.52) Приравнивая степенные показатели в (5.51) и (5.52), находим связь между степенным показателем в (5.49) с фрактальной размерностью:

3 D k. (5.53) 2D Отсюда следуют два вывода, связанные с тем, что мы полагаем k 0. Во-первых, 2 D 0, или D 2, как и должно быть для фракталь ного объекта на плоскости. Во-вторых, 3D 4 0, откуда 1.33.

D (5.54) Неравенство означает, что дельты рек с фрактальной размерно стью, меньшей 1,33, в природе существовать не могут. Результат верен, по крайней мере, для дельты рек Селенги, Лены и Волги. Обратим внимание на то, что критическая фрактальная размерность близка к фрактальной размерности побережья оз. Байкал (см. глава 1§ 11).

Выше предположено, что из-за гидроудара величина U пропор циональна N. Однако возможно и другое рассмотрение, когда из-за разветвления рукавов величина U будет пропорциональна n (как и для полимерных цепей). Тогда вместо (5.49) будем иметь 2 k U const n N. (5.55) Функционал F изменится и примет следующий вид:

2 k N R F.

N R Откуда из условия F min находим NR.

k Сравнивая с (5.52), получаем 2D k 3.

D Поскольку k 0, то 1 D 2, как и должно быть для фрактального объекта на плоскости. В настоящее время чисто логическим путем не возможно указать, какой из полученных результатов оказывается вер ным. Здесь необходимо дальнейшее исследование.

ГЛАВА ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА, ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ВРЕМЕНИ, ТУРБУЛЕНТНОСТЬ Оригинальным методом получена формула Пьетронеро. Предло жена фрактальная размерность времени. Это позволяет установить взаимосвязь фрактальной размерности времени с коэффициентом зату хания периодических процессов и подойти к вопросу о турбулентно сти. Предложен математический метод получения степенных законов.

Здесь мы вторгаемся в обширную область науки, которую называ ют физикой.

§ 1. ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА В физике наиболее общее описание движение частицы произво дится функцией Лагранжа L, зависящей от положения частицы R и его dR скорости R :

dt L LR, R.

(6.1) Для свободного движения частицы массой m функция Лагранжа есть mR L=, (6.2) Перейдем на геометрически подобную траекторию:

h t R R, t. (6.3) Функция Лагранжа изменится и примет следующий вид:

mR 2 2 h 2 2 h L (6.4) L.

Чтобы преобразование (6.3) не коснулись самого движения, необхо димо положить 2 2h 0.

Откуда h 1. (6.5) Таким образом, для свободного движения размерность блуждания h равна 1. При этом R '/ R t '/t, что означает движение по инерции.

Если на частицу наложены внешние условия, которые изменяют характер движения частицы, то говорят, что частица находится во внешнем потенциальном поле U R. Функция Лагранжа во внешнем поле изменяется, и вместо (6.2) принимает следующий вид:

mR U R. (6.6) Применим функцию к полимерной цепи. Полимерная цепь пред ставляет собой клубок, состоящий из N звеньев, каждое длиной l. Об разование клубка можно рассматривать как движение частицы без са мопересечения в некотором эффективном поле U R, на которое на ложено условие масштабной инвариантности:

U R U R.

D (6.7) Функция Лагранжа (6.6) после масштабного преобразования (6.3) при мет вид:

mR 2 2 h D U R L= или mR D 2 2h D U R.

L= Чтобы новая функция Лагранжа была пропорциональна исходной функции Лагранжа, необходимо положить 2 2h D 0, откуда получаем соотношение Пьетронеро:

D h 1. (6.8) Этим самым мы установили связь между размерностью блуждания и фрактальной размерностью для полимерной цепи, которая старается заполнить как можно больший объем и не пересекаться сама с собой.

Поскольку клубок заполняет некоторый объем, то (6.5) необходимо уточнить, именно D h 3 1, где индекс 3 указывает, что полимерная цепь располагается в трехмер ном пространстве.

Одна из альтернативных формулировок аксиомы самоподобия (глава 1 § 3) является замена R. Тогда потенциальная энергия (6.7) примет вид U R R U.

D Положив здесь 1, получаем U R R U 1.

D Функция Лагранжа примет вид mR D U 1 R L=.

Теперь можно составить уравнения Лагранжа, которые имеют сле дующее точное решение:

1 1 1 sin Г D 2 D 2 1 D / 2m t R. (6.9) U (1) sin Г D D Отсюда опять следует соотношение (6.8).

§ 2. ФРАКТАЛЬНАЯ ПРИРОДА ВРЕМЕНИ Время измеряют, наблюдая какой-либо периодический процесс.

Например, если стрелка часов сделала полный оборот, то мы говорим, что прошел 1 час. Однако, если периметр окружности часов представ ляет собой извилистую линию, то стрелка часов будет пробегать боль шую длину и затратит на это больше, чем 1 час.

Аналогично тому, что длину измеряют с помощью масштаба, для измерения времени выберем эталон. Тогда соотношение 1/ h L t можно переписать как h t L.

1 D Считая / const и подставляя L C, находим 1 hD tK, (6.10) где в множитель K спрятали все неопределенные множители. Если за писать tK, (6.11) где – фрактальная размерность времени, то из (6.10) следует h D. (6.12) Например, для полимерных цепей D D 1, для разветвленных структур D 2 D 3, для электромагнитных процессов 1.

Для решения физических задач предположим, что время обладает фрактальной размерностью, равной 1. Для наших целей удобно считать число небольшим;

в рассматриваемых ниже задачах малость будет подтверждена расчетом. Кроме того, для удобства записи формул примем, что для учета фрактальной природы времени (если таковая имеет место в природе) достаточно поменять обычную произ водную на дробную.

Эволюция физической системы со временем описывается операто ром Гамильтона. Будем считать, что этот оператор имеет дискретный спектр E 0, E 1, E 2..., разность между ними E n E на nm m зывается частотой. Зависимость от времени какой-либо физической величины x дается экспоненциальным множителем exp i t. По nm собственным функциям оператора Гамильтона строим матричные эле менты x nm физической величины x. Матричный элемент от скорости i изменения x будет x x (точка сверху означает произ nm nm nm водную по времени).

Фрактальная природа времени ведет к изменению характера про изводной по времени, предположим, что она становится дробной. При d этом скорость изменения величины x заменится: x x.

dx Соответственно изменятся и матричные элементы:

.

d x [ x].

nm dx nm D d ax D ax e a e Поскольку, то dx i i x x.

nm nm nm nm Дальнейшее уже требует конкретного рассмотрения физической системы.

§ 3. СВЯЗЬ КОЭФФИЦИЕНТА ЗАТУХАНИЯ С ФРАКТАЛОМ Рассмотрим матричный элемент от ускорения:

2 x i x.

nm nm nm nm 2 i 1 i, иметь i e Используя малость, будем 1. Для ускорения получаем nm 2 i x x x.

nm nm nm nm nm В последнем слагаемом заменим i x обратно на x, nm nm nm тогда окончательно находим x x x nm.

nm nm nm nm Множитель при скорости является коэффициентом затухания, его матричный элемент. В силу малости будет ма nm nm лым и коэффициент затухания, что обычно и полагается для затухаю щих колебаний.

Полученный результат может быть применен для одного частного случая. Рассмотрим макроскопическое количество частиц, находящих ся в термодинамическом равновесии. Перейдем к квазиклассическому пределу, заменив равенство для матричных элементов на равенство для физических величин:

. (6.13) Движение частиц происходит в узком слое шириной E между двумя близкорасположенными энергетическими поверхностями. Час тота будет связана с переходами частиц между этими поверхностя ми: E. Сами переходы происходят из-за столкновений между частицами, при этом коэффициент затухания просто связан со средним временем свободного пробега · 1 /. Но с этим же временем в силу принципа неопределенности связана и ширина размытия энергии:

E 2. Отсюда следует, что частота 2 /. Подставляя в (6.13), получаем, (6.14) откуда 1/ 2 0.05. (6.15) Этим самым оправдывается сделанное выше предположение о ма лости параметра. Обратим внимание на то, что результат (6.15) ус танавливает связь между фрактальной размерностью времени и трансцендентным числом. В такой связи нет ничего удивительного, если вспомнить, что как, так и связаны с длиной окружности.

§ 4. ФРАКТАЛ И ТУРБУЛЕНТНОСТЬ Пусть на стационарное движение жидкости накладываются малые возмущения, происходящие с частотой i. Амплитуда возмуще ний скорости будет А exp i t exp t, т. е. начинает расти со временем. Это, как считается по Ландау, и явля ется условием появления турбулентности. Мы выразим параметр через фрактал времени.

Для малых времен производную по времени от квадрата амплиту ды A2 можно разложить в ряд по ней самой:

d 2 2 A.

A dt Чтобы правая часть была заведомо первым членом некоторого ряда, необходимо считать, что. В случае фрактальности времени надо заменить d d 2 A A.

dt dt Здесь обратим внимание на то, что все частоты образуют дискретный спектр. Это необходимо для того, чтобы на бесконечности поток был ламинарным. Дискретный спектр находят, решая задачу на собствен ные значения для некоторого оператора. Причем нам не важен вид это го оператора, мы должны быть уверены только в том, что такой опера тор существует. По собственным функциям этого оператора составим матричные элементы:

d d 2 A A nm dt dt nm i i A nm.

nm nm Для учета малости надо принять i exp 3 i / 2, чтобы поя вилась первая, нужная для возникновения турбулентности, частота. В этом случае d 2 2 dt A i A A, nm nm nm nm nm 1. Сравнивая последнее слагаемое с учтено, что nm 2 A, находим nm. (6.16) nm nm Этим самым устанавливается связь между и, т. е. турбулентно стью и фракталом. Поскольку, то 1, что выше и предпола галось.

Если перейти к некоторому «квазиклассическому» пределу, то можно переписать (6.16) непосредственно для физических величин:

. (6.17) Действительно, явление турбулентности явно не квантовое, поэто му необходимо пользоваться формулой (6.14). Аналогично формуле (6.11) можно предположить, что, 4 откуда.

Здесь также 1.

При выводе (6.13) и (6.17) мы полагали 1. От этого произ вольного условия можно избавиться, если провести процедуру, анало гичную операции «перенормировки». Это означает, что сначала задает ся затравочная частота 0, затем по ходу вычислений выражения ви 1 ln да... переобозначают на и считается, что новое 0 значение и есть физическая частота, которая поддается измерению.

Результаты §§ 3 и 4 настоящей главы получены в предположении, что мы имеем дело с производными дробного порядка. Если все вы числения проводить во фрактальных производных (попробуйте это сделать), то это повлечет только изменение численных коэффициентов в формулах (6.13) и (6.17).



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.